{"text": "[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\n⊢ p ∈ lifts f ↔ ∃ q, map f q = p\n[PROOFSTEP]\nsimp only [coe_mapRingHom, lifts, RingHom.mem_rangeS]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\n⊢ p ∈ lifts f ↔ p ∈ Set.range (map f)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [coe_mapRingHom, lifts, Set.mem_range, RingHom.mem_rangeS]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\n⊢ p ∈ lifts f ↔ p ∈ RingHom.rangeS (mapRingHom f)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [coe_mapRingHom, lifts, Set.mem_range, RingHom.mem_rangeS]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\n⊢ p ∈ lifts f ↔ ∀ (n : ℕ), coeff p n ∈ Set.range ↑f\n[PROOFSTEP]\nrw [lifts_iff_ringHom_rangeS, mem_map_rangeS f]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\n⊢ (∀ (n : ℕ), coeff p n ∈ RingHom.rangeS f) ↔ ∀ (n : ℕ), coeff p n ∈ Set.range ↑f\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf✝ f : R →+* S\nr : R\n⊢ ↑(mapRingHom f) (↑C r) = ↑C (↑f r)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [coe_mapRingHom, map_C, Set.mem_univ, Subsemiring.coe_top, eq_self_iff_true, and_self_iff]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf✝ f : R →+* S\ns : S\nh : s ∈ Set.range ↑f\n⊢ ↑C s ∈ lifts f\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨r, rfl⟩ := Set.mem_range.1 h\n[GOAL]\ncase intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf✝ f : R →+* S\nr : R\nh : ↑f r ∈ Set.range ↑f\n⊢ ↑C (↑f r) ∈ lifts f\n[PROOFSTEP]\nuse C r\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf✝ f : R →+* S\nr : R\nh : ↑f r ∈ Set.range ↑f\n⊢ ↑(mapRingHom f) (↑C r) = ↑C (↑f r)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [coe_mapRingHom, map_C, Set.mem_univ, Subsemiring.coe_top, eq_self_iff_true, and_self_iff]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf✝ f : R →+* S\n⊢ ↑(mapRingHom f) X = X\n[PROOFSTEP]\nsimp only [coe_mapRingHom, Set.mem_univ, Subsemiring.coe_top, eq_self_iff_true, map_X, and_self_iff]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf✝ f : R →+* S\nn : ℕ\n⊢ ↑(mapRingHom f) (X ^ n) = X ^ n\n[PROOFSTEP]\nsimp only [coe_mapRingHom, map_pow, Set.mem_univ, Subsemiring.coe_top, eq_self_iff_true, map_X, and_self_iff]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\nr : R\nhp : p ∈ lifts f\n⊢ ↑C (↑f r) * p ∈ lifts f\n[PROOFSTEP]\nsimp only [lifts, RingHom.mem_rangeS] at hp ⊢\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\nr : R\nhp : ∃ x, ↑(mapRingHom f) x = p\n⊢ ∃ x, ↑(mapRingHom f) x = ↑C (↑f r) * p\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨p₁, rfl⟩ := hp\n[GOAL]\ncase intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nr : R\np₁ : R[X]\n⊢ ∃ x, ↑(mapRingHom f) x = ↑C (↑f r) * ↑(mapRingHom f) p₁\n[PROOFSTEP]\nuse C r * p₁\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nr : R\np₁ : R[X]\n⊢ ↑(mapRingHom f) (↑C r * p₁) = ↑C (↑f r) * ↑(mapRingHom f) p₁\n[PROOFSTEP]\nsimp only [coe_mapRingHom, map_C, map_mul]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nh : s ∈ Set.range ↑f\n⊢ ↑(monomial n) s ∈ lifts f\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨r, rfl⟩ := Set.mem_range.1 h\n[GOAL]\ncase intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nr : R\nh : ↑f r ∈ Set.range ↑f\n⊢ ↑(monomial n) (↑f r) ∈ lifts f\n[PROOFSTEP]\nuse monomial n r\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nr : R\nh : ↑f r ∈ Set.range ↑f\n⊢ ↑(mapRingHom f) (↑(monomial n) r) = ↑(monomial n) (↑f r)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [coe_mapRingHom, Set.mem_univ, map_monomial, Subsemiring.coe_top, eq_self_iff_true, and_self_iff]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\nn : ℕ\nh : p ∈ lifts f\n⊢ erase n p ∈ lifts f\n[PROOFSTEP]\nrw [lifts_iff_ringHom_rangeS, mem_map_rangeS] at h ⊢\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\nn : ℕ\nh : ∀ (n : ℕ), coeff p n ∈ RingHom.rangeS f\n⊢ ∀ (n_1 : ℕ), coeff (erase n p) n_1 ∈ RingHom.rangeS f\n[PROOFSTEP]\nintro k\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\nn : ℕ\nh : ∀ (n : ℕ), coeff p n ∈ RingHom.rangeS f\nk : ℕ\n⊢ coeff (erase n p) k ∈ RingHom.rangeS f\n[PROOFSTEP]\nby_cases hk : k = n\n[GOAL]\ncase pos\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\nn : ℕ\nh : ∀ (n : ℕ), coeff p n ∈ RingHom.rangeS f\nk : ℕ\nhk : k = n\n⊢ coeff (erase n p) k ∈ RingHom.rangeS f\n[PROOFSTEP]\nuse 0\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\nn : ℕ\nh : ∀ (n : ℕ), coeff p n ∈ RingHom.rangeS f\nk : ℕ\nhk : k = n\n⊢ ↑f 0 = coeff (erase n p) k\n[PROOFSTEP]\nsimp only [hk, RingHom.map_zero, erase_same]\n[GOAL]\ncase neg\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\nn : ℕ\nh : ∀ (n : ℕ), coeff p n ∈ RingHom.rangeS f\nk : ℕ\nhk : ¬k = n\n⊢ coeff (erase n p) k ∈ RingHom.rangeS f\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨i, hi⟩ := h k\n[GOAL]\ncase neg.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\nn : ℕ\nh : ∀ (n : ℕ), coeff p n ∈ RingHom.rangeS f\nk : ℕ\nhk : ¬k = n\ni : R\nhi : ↑f i = coeff p k\n⊢ coeff (erase n p) k ∈ RingHom.rangeS f\n[PROOFSTEP]\nuse i\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\nn : ℕ\nh : ∀ (n : ℕ), coeff p n ∈ RingHom.rangeS f\nk : ℕ\nhk : ¬k = n\ni : R\nhi : ↑f i = coeff p k\n⊢ ↑f i = coeff (erase n p) k\n[PROOFSTEP]\nsimp only [hi, hk, erase_ne, Ne.def, not_false_iff]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhl : ↑(monomial n) s ∈ lifts f\n⊢ ∃ q, map f q = ↑(monomial n) s ∧ degree q = degree (↑(monomial n) s)\n[PROOFSTEP]\nby_cases hzero : s = 0\n[GOAL]\ncase pos\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhl : ↑(monomial n) s ∈ lifts f\nhzero : s = 0\n⊢ ∃ q, map f q = ↑(monomial n) s ∧ degree q = degree (↑(monomial n) s)\n[PROOFSTEP]\nuse 0\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhl : ↑(monomial n) s ∈ lifts f\nhzero : s = 0\n⊢ map f 0 = ↑(monomial n) s ∧ degree 0 = degree (↑(monomial n) s)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [hzero, degree_zero, eq_self_iff_true, and_self_iff, monomial_zero_right, Polynomial.map_zero]\n[GOAL]\ncase neg\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhl : ↑(monomial n) s ∈ lifts f\nhzero : ¬s = 0\n⊢ ∃ q, map f q = ↑(monomial n) s ∧ degree q = degree (↑(monomial n) s)\n[PROOFSTEP]\nrw [lifts_iff_set_range] at hl \n[GOAL]\ncase neg\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhl : ↑(monomial n) s ∈ Set.range (map f)\nhzero : ¬s = 0\n⊢ ∃ q, map f q = ↑(monomial n) s ∧ degree q = degree (↑(monomial n) s)\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨q, hq⟩ := hl\n[GOAL]\ncase neg.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhzero : ¬s = 0\nq : R[X]\nhq : map f q = ↑(monomial n) s\n⊢ ∃ q, map f q = ↑(monomial n) s ∧ degree q = degree (↑(monomial n) s)\n[PROOFSTEP]\nreplace hq := (ext_iff.1 hq) n\n[GOAL]\ncase neg.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhzero : ¬s = 0\nq : R[X]\nhq : coeff (map f q) n = coeff (↑(monomial n) s) n\n⊢ ∃ q, map f q = ↑(monomial n) s ∧ degree q = degree (↑(monomial n) s)\n[PROOFSTEP]\nhave hcoeff : f (q.coeff n) = s := by\n  simp [coeff_monomial] at hq \n  exact hq\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhzero : ¬s = 0\nq : R[X]\nhq : coeff (map f q) n = coeff (↑(monomial n) s) n\n⊢ ↑f (coeff q n) = s\n[PROOFSTEP]\nsimp [coeff_monomial] at hq \n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhzero : ¬s = 0\nq : R[X]\nhq : ↑f (coeff q n) = s\n⊢ ↑f (coeff q n) = s\n[PROOFSTEP]\nexact hq\n[GOAL]\ncase neg.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhzero : ¬s = 0\nq : R[X]\nhq : coeff (map f q) n = coeff (↑(monomial n) s) n\nhcoeff : ↑f (coeff q n) = s\n⊢ ∃ q, map f q = ↑(monomial n) s ∧ degree q = degree (↑(monomial n) s)\n[PROOFSTEP]\nuse monomial n (q.coeff n)\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhzero : ¬s = 0\nq : R[X]\nhq : coeff (map f q) n = coeff (↑(monomial n) s) n\nhcoeff : ↑f (coeff q n) = s\n⊢ map f (↑(monomial n) (coeff q n)) = ↑(monomial n) s ∧ degree (↑(monomial n) (coeff q n)) = degree (↑(monomial n) s)\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase h.left\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhzero : ¬s = 0\nq : R[X]\nhq : coeff (map f q) n = coeff (↑(monomial n) s) n\nhcoeff : ↑f (coeff q n) = s\n⊢ map f (↑(monomial n) (coeff q n)) = ↑(monomial n) s\n[PROOFSTEP]\nsimp only [hcoeff, map_monomial]\n[GOAL]\ncase h.right\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhzero : ¬s = 0\nq : R[X]\nhq : coeff (map f q) n = coeff (↑(monomial n) s) n\nhcoeff : ↑f (coeff q n) = s\n⊢ degree (↑(monomial n) (coeff q n)) = degree (↑(monomial n) s)\n[PROOFSTEP]\nhave hqzero : q.coeff n ≠ 0 := by\n  intro habs\n  simp only [habs, RingHom.map_zero] at hcoeff \n  exact hzero hcoeff.symm\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhzero : ¬s = 0\nq : R[X]\nhq : coeff (map f q) n = coeff (↑(monomial n) s) n\nhcoeff : ↑f (coeff q n) = s\n⊢ coeff q n ≠ 0\n[PROOFSTEP]\nintro habs\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhzero : ¬s = 0\nq : R[X]\nhq : coeff (map f q) n = coeff (↑(monomial n) s) n\nhcoeff : ↑f (coeff q n) = s\nhabs : coeff q n = 0\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nsimp only [habs, RingHom.map_zero] at hcoeff \n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhzero : ¬s = 0\nq : R[X]\nhq : coeff (map f q) n = coeff (↑(monomial n) s) n\nhabs : coeff q n = 0\nhcoeff : 0 = s\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact hzero hcoeff.symm\n[GOAL]\ncase h.right\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhzero : ¬s = 0\nq : R[X]\nhq : coeff (map f q) n = coeff (↑(monomial n) s) n\nhcoeff : ↑f (coeff q n) = s\nhqzero : coeff q n ≠ 0\n⊢ degree (↑(monomial n) (coeff q n)) = degree (↑(monomial n) s)\n[PROOFSTEP]\nrw [← C_mul_X_pow_eq_monomial]\n[GOAL]\ncase h.right\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhzero : ¬s = 0\nq : R[X]\nhq : coeff (map f q) n = coeff (↑(monomial n) s) n\nhcoeff : ↑f (coeff q n) = s\nhqzero : coeff q n ≠ 0\n⊢ degree (↑C (coeff q n) * X ^ n) = degree (↑(monomial n) s)\n[PROOFSTEP]\nrw [← C_mul_X_pow_eq_monomial]\n[GOAL]\ncase h.right\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\ns : S\nn : ℕ\nhzero : ¬s = 0\nq : R[X]\nhq : coeff (map f q) n = coeff (↑(monomial n) s) n\nhcoeff : ↑f (coeff q n) = s\nhqzero : coeff q n ≠ 0\n⊢ degree (↑C (coeff q n) * X ^ n) = degree (↑C s * X ^ n)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [hzero, hqzero, Ne.def, not_false_iff, degree_C_mul_X_pow]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\n[PROOFSTEP]\ngeneralize hd : p.natDegree = d\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nd : ℕ\nhd : natDegree p = d\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\n[PROOFSTEP]\nrevert hd p\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nd : ℕ\n⊢ ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = d → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\n[PROOFSTEP]\ninduction' d using Nat.strong_induction_on with n hn\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\n⊢ ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = n → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\n[PROOFSTEP]\nintros p hlifts hdeg\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\n[PROOFSTEP]\nby_cases erase_zero : p.eraseLead = 0\n[GOAL]\ncase pos\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : eraseLead p = 0\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\n[PROOFSTEP]\nrw [← eraseLead_add_monomial_natDegree_leadingCoeff p, erase_zero, zero_add, leadingCoeff]\n[GOAL]\ncase pos\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : eraseLead p = 0\n⊢ ∃ q,\n    map f q = ↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)) ∧\n      degree q = degree (↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)))\n[PROOFSTEP]\nexact monomial_mem_lifts_and_degree_eq (monomial_mem_lifts p.natDegree ((lifts_iff_coeff_lifts p).1 hlifts p.natDegree))\n[GOAL]\ncase neg\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\n[PROOFSTEP]\nhave deg_erase := Or.resolve_right (eraseLead_natDegree_lt_or_eraseLead_eq_zero p) erase_zero\n[GOAL]\ncase neg\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < natDegree p\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\n[PROOFSTEP]\nhave pzero : p ≠ 0 := by\n  intro habs\n  exfalso\n  rw [habs, eraseLead_zero, eq_self_iff_true, not_true] at erase_zero \n  exact erase_zero\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < natDegree p\n⊢ p ≠ 0\n[PROOFSTEP]\nintro habs\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < natDegree p\nhabs : p = 0\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexfalso\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < natDegree p\nhabs : p = 0\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nrw [habs, eraseLead_zero, eq_self_iff_true, not_true] at erase_zero \n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : False\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < natDegree p\nhabs : p = 0\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact erase_zero\n[GOAL]\ncase neg\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < natDegree p\npzero : p ≠ 0\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\n[PROOFSTEP]\nhave lead_zero : p.coeff p.natDegree ≠ 0 := by rw [← leadingCoeff, Ne.def, leadingCoeff_eq_zero]; exact pzero\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < natDegree p\npzero : p ≠ 0\n⊢ coeff p (natDegree p) ≠ 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← leadingCoeff, Ne.def, leadingCoeff_eq_zero]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < natDegree p\npzero : p ≠ 0\n⊢ ¬p = 0\n[PROOFSTEP]\nexact pzero\n[GOAL]\ncase neg\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < natDegree p\npzero : p ≠ 0\nlead_zero : coeff p (natDegree p) ≠ 0\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨lead, hlead⟩ :=\n  monomial_mem_lifts_and_degree_eq (monomial_mem_lifts p.natDegree ((lifts_iff_coeff_lifts p).1 hlifts p.natDegree))\n[GOAL]\ncase neg.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < natDegree p\npzero : p ≠ 0\nlead_zero : coeff p (natDegree p) ≠ 0\nlead : R[X]\nhlead :\n  map f lead = ↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)) ∧\n    degree lead = degree (↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)))\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\n[PROOFSTEP]\nhave deg_lead : lead.degree = p.natDegree := by\n  rw [hlead.2, ← C_mul_X_pow_eq_monomial, degree_C_mul_X_pow p.natDegree lead_zero]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < natDegree p\npzero : p ≠ 0\nlead_zero : coeff p (natDegree p) ≠ 0\nlead : R[X]\nhlead :\n  map f lead = ↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)) ∧\n    degree lead = degree (↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)))\n⊢ degree lead = ↑(natDegree p)\n[PROOFSTEP]\nrw [hlead.2, ← C_mul_X_pow_eq_monomial, degree_C_mul_X_pow p.natDegree lead_zero]\n[GOAL]\ncase neg.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < natDegree p\npzero : p ≠ 0\nlead_zero : coeff p (natDegree p) ≠ 0\nlead : R[X]\nhlead :\n  map f lead = ↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)) ∧\n    degree lead = degree (↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)))\ndeg_lead : degree lead = ↑(natDegree p)\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\n[PROOFSTEP]\nrw [hdeg] at deg_erase \n[GOAL]\ncase neg.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < n\npzero : p ≠ 0\nlead_zero : coeff p (natDegree p) ≠ 0\nlead : R[X]\nhlead :\n  map f lead = ↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)) ∧\n    degree lead = degree (↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)))\ndeg_lead : degree lead = ↑(natDegree p)\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨erase, herase⟩ :=\n  hn p.eraseLead.natDegree deg_erase (erase_mem_lifts p.natDegree hlifts) (refl p.eraseLead.natDegree)\n[GOAL]\ncase neg.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < n\npzero : p ≠ 0\nlead_zero : coeff p (natDegree p) ≠ 0\nlead : R[X]\nhlead :\n  map f lead = ↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)) ∧\n    degree lead = degree (↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)))\ndeg_lead : degree lead = ↑(natDegree p)\nerase : R[X]\nherase : map f erase = Polynomial.erase (natDegree p) p ∧ degree erase = degree (Polynomial.erase (natDegree p) p)\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\n[PROOFSTEP]\nuse erase + lead\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < n\npzero : p ≠ 0\nlead_zero : coeff p (natDegree p) ≠ 0\nlead : R[X]\nhlead :\n  map f lead = ↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)) ∧\n    degree lead = degree (↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)))\ndeg_lead : degree lead = ↑(natDegree p)\nerase : R[X]\nherase : map f erase = Polynomial.erase (natDegree p) p ∧ degree erase = degree (Polynomial.erase (natDegree p) p)\n⊢ map f (erase + lead) = p ∧ degree (erase + lead) = degree p\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase h.left\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < n\npzero : p ≠ 0\nlead_zero : coeff p (natDegree p) ≠ 0\nlead : R[X]\nhlead :\n  map f lead = ↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)) ∧\n    degree lead = degree (↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)))\ndeg_lead : degree lead = ↑(natDegree p)\nerase : R[X]\nherase : map f erase = Polynomial.erase (natDegree p) p ∧ degree erase = degree (Polynomial.erase (natDegree p) p)\n⊢ map f (erase + lead) = p\n[PROOFSTEP]\nsimp only [hlead, herase, Polynomial.map_add]\n[GOAL]\ncase h.left\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < n\npzero : p ≠ 0\nlead_zero : coeff p (natDegree p) ≠ 0\nlead : R[X]\nhlead :\n  map f lead = ↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)) ∧\n    degree lead = degree (↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)))\ndeg_lead : degree lead = ↑(natDegree p)\nerase : R[X]\nherase : map f erase = Polynomial.erase (natDegree p) p ∧ degree erase = degree (Polynomial.erase (natDegree p) p)\n⊢ Polynomial.erase (natDegree p) p + ↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)) = p\n[PROOFSTEP]\nrw [← eraseLead, ← leadingCoeff]\n[GOAL]\ncase h.left\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < n\npzero : p ≠ 0\nlead_zero : coeff p (natDegree p) ≠ 0\nlead : R[X]\nhlead :\n  map f lead = ↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)) ∧\n    degree lead = degree (↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)))\ndeg_lead : degree lead = ↑(natDegree p)\nerase : R[X]\nherase : map f erase = Polynomial.erase (natDegree p) p ∧ degree erase = degree (Polynomial.erase (natDegree p) p)\n⊢ eraseLead p + ↑(monomial (natDegree p)) (leadingCoeff p) = p\n[PROOFSTEP]\nrw [eraseLead_add_monomial_natDegree_leadingCoeff p]\n[GOAL]\ncase h.right\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < n\npzero : p ≠ 0\nlead_zero : coeff p (natDegree p) ≠ 0\nlead : R[X]\nhlead :\n  map f lead = ↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)) ∧\n    degree lead = degree (↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)))\ndeg_lead : degree lead = ↑(natDegree p)\nerase : R[X]\nherase : map f erase = Polynomial.erase (natDegree p) p ∧ degree erase = degree (Polynomial.erase (natDegree p) p)\n⊢ degree (erase + lead) = degree p\n[PROOFSTEP]\nrw [degree_eq_natDegree pzero, ← deg_lead]\n[GOAL]\ncase h.right\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < n\npzero : p ≠ 0\nlead_zero : coeff p (natDegree p) ≠ 0\nlead : R[X]\nhlead :\n  map f lead = ↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)) ∧\n    degree lead = degree (↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)))\ndeg_lead : degree lead = ↑(natDegree p)\nerase : R[X]\nherase : map f erase = Polynomial.erase (natDegree p) p ∧ degree erase = degree (Polynomial.erase (natDegree p) p)\n⊢ degree (erase + lead) = degree lead\n[PROOFSTEP]\napply degree_add_eq_right_of_degree_lt\n[GOAL]\ncase h.right.h\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < n\npzero : p ≠ 0\nlead_zero : coeff p (natDegree p) ≠ 0\nlead : R[X]\nhlead :\n  map f lead = ↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)) ∧\n    degree lead = degree (↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)))\ndeg_lead : degree lead = ↑(natDegree p)\nerase : R[X]\nherase : map f erase = Polynomial.erase (natDegree p) p ∧ degree erase = degree (Polynomial.erase (natDegree p) p)\n⊢ degree erase < degree lead\n[PROOFSTEP]\nrw [herase.2, deg_lead, ← degree_eq_natDegree pzero]\n[GOAL]\ncase h.right.h\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nn : ℕ\nhn : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {p : S[X]}, p ∈ lifts f → natDegree p = m → ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhdeg : natDegree p = n\nerase_zero : ¬eraseLead p = 0\ndeg_erase : natDegree (eraseLead p) < n\npzero : p ≠ 0\nlead_zero : coeff p (natDegree p) ≠ 0\nlead : R[X]\nhlead :\n  map f lead = ↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)) ∧\n    degree lead = degree (↑(monomial (natDegree p)) (coeff p (natDegree p)))\ndeg_lead : degree lead = ↑(natDegree p)\nerase : R[X]\nherase : map f erase = Polynomial.erase (natDegree p) p ∧ degree erase = degree (Polynomial.erase (natDegree p) p)\n⊢ degree (Polynomial.erase (natDegree p) p) < degree p\n[PROOFSTEP]\nexact degree_erase_lt pzero\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p ∧ Monic q\n[PROOFSTEP]\ncases' subsingleton_or_nontrivial R with hR hR\n[GOAL]\ncase inl\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Subsingleton R\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p ∧ Monic q\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨q, hq⟩ := mem_lifts_and_degree_eq hlifts\n[GOAL]\ncase inl.intro\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Subsingleton R\nq : R[X]\nhq : map f q = p ∧ degree q = degree p\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p ∧ Monic q\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨q, hq.1, hq.2, monic_of_subsingleton _⟩\n[GOAL]\ncase inr\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial R\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p ∧ Monic q\n[PROOFSTEP]\nhave H : erase p.natDegree p + X ^ p.natDegree = p := by\n  simpa only [hp.leadingCoeff, C_1, one_mul, eraseLead] using eraseLead_add_C_mul_X_pow p\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial R\n⊢ erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [hp.leadingCoeff, C_1, one_mul, eraseLead] using eraseLead_add_C_mul_X_pow p\n[GOAL]\ncase inr\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial R\nH : erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p ∧ Monic q\n[PROOFSTEP]\nby_cases h0 : erase p.natDegree p = 0\n[GOAL]\ncase pos\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial R\nH : erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\nh0 : erase (natDegree p) p = 0\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p ∧ Monic q\n[PROOFSTEP]\nrw [← H, h0, zero_add]\n[GOAL]\ncase pos\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial R\nH : erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\nh0 : erase (natDegree p) p = 0\n⊢ ∃ q, map f q = X ^ natDegree p ∧ degree q = degree (X ^ natDegree p) ∧ Monic q\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨X ^ p.natDegree, _, _, monic_X_pow p.natDegree⟩\n[GOAL]\ncase pos.refine'_1\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial R\nH : erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\nh0 : erase (natDegree p) p = 0\n⊢ map f (X ^ natDegree p) = X ^ natDegree p\n[PROOFSTEP]\nrw [Polynomial.map_pow, map_X]\n[GOAL]\ncase pos.refine'_2\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial R\nH : erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\nh0 : erase (natDegree p) p = 0\n⊢ degree (X ^ natDegree p) = degree (X ^ natDegree p)\n[PROOFSTEP]\nrw [degree_X_pow, degree_X_pow]\n[GOAL]\ncase neg\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial R\nH : erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\nh0 : ¬erase (natDegree p) p = 0\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p ∧ Monic q\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨q, hq⟩ := mem_lifts_and_degree_eq (erase_mem_lifts p.natDegree hlifts)\n[GOAL]\ncase neg.intro\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial R\nH : erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\nh0 : ¬erase (natDegree p) p = 0\nq : R[X]\nhq : map f q = erase (natDegree p) p ∧ degree q = degree (erase (natDegree p) p)\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p ∧ Monic q\n[PROOFSTEP]\nhave p_neq_0 : p ≠ 0 := by intro hp; apply h0; rw [hp]; simp only [natDegree_zero, erase_zero]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial R\nH : erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\nh0 : ¬erase (natDegree p) p = 0\nq : R[X]\nhq : map f q = erase (natDegree p) p ∧ degree q = degree (erase (natDegree p) p)\n⊢ p ≠ 0\n[PROOFSTEP]\nintro hp\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp✝ : Monic p\nhR : Nontrivial R\nH : erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\nh0 : ¬erase (natDegree p) p = 0\nq : R[X]\nhq : map f q = erase (natDegree p) p ∧ degree q = degree (erase (natDegree p) p)\nhp : p = 0\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\napply h0\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp✝ : Monic p\nhR : Nontrivial R\nH : erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\nh0 : ¬erase (natDegree p) p = 0\nq : R[X]\nhq : map f q = erase (natDegree p) p ∧ degree q = degree (erase (natDegree p) p)\nhp : p = 0\n⊢ erase (natDegree p) p = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [hp]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp✝ : Monic p\nhR : Nontrivial R\nH : erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\nh0 : ¬erase (natDegree p) p = 0\nq : R[X]\nhq : map f q = erase (natDegree p) p ∧ degree q = degree (erase (natDegree p) p)\nhp : p = 0\n⊢ erase (natDegree 0) 0 = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [natDegree_zero, erase_zero]\n[GOAL]\ncase neg.intro\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial R\nH : erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\nh0 : ¬erase (natDegree p) p = 0\nq : R[X]\nhq : map f q = erase (natDegree p) p ∧ degree q = degree (erase (natDegree p) p)\np_neq_0 : p ≠ 0\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p ∧ Monic q\n[PROOFSTEP]\nhave hdeg : q.degree < (X ^ p.natDegree).degree :=\n  by\n  rw [@degree_X_pow R, hq.2, ← degree_eq_natDegree p_neq_0]\n  exact degree_erase_lt p_neq_0\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial R\nH : erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\nh0 : ¬erase (natDegree p) p = 0\nq : R[X]\nhq : map f q = erase (natDegree p) p ∧ degree q = degree (erase (natDegree p) p)\np_neq_0 : p ≠ 0\n⊢ degree q < degree (X ^ natDegree p)\n[PROOFSTEP]\nrw [@degree_X_pow R, hq.2, ← degree_eq_natDegree p_neq_0]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial R\nH : erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\nh0 : ¬erase (natDegree p) p = 0\nq : R[X]\nhq : map f q = erase (natDegree p) p ∧ degree q = degree (erase (natDegree p) p)\np_neq_0 : p ≠ 0\n⊢ degree (erase (natDegree p) p) < degree p\n[PROOFSTEP]\nexact degree_erase_lt p_neq_0\n[GOAL]\ncase neg.intro\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial R\nH : erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\nh0 : ¬erase (natDegree p) p = 0\nq : R[X]\nhq : map f q = erase (natDegree p) p ∧ degree q = degree (erase (natDegree p) p)\np_neq_0 : p ≠ 0\nhdeg : degree q < degree (X ^ natDegree p)\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ degree q = degree p ∧ Monic q\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨q + X ^ p.natDegree, _, _, (monic_X_pow _).add_of_right hdeg⟩\n[GOAL]\ncase neg.intro.refine'_1\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial R\nH : erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\nh0 : ¬erase (natDegree p) p = 0\nq : R[X]\nhq : map f q = erase (natDegree p) p ∧ degree q = degree (erase (natDegree p) p)\np_neq_0 : p ≠ 0\nhdeg : degree q < degree (X ^ natDegree p)\n⊢ map f (q + X ^ natDegree p) = p\n[PROOFSTEP]\nrw [Polynomial.map_add, hq.1, Polynomial.map_pow, map_X, H]\n[GOAL]\ncase neg.intro.refine'_2\nR : Type u\ninst✝² : Semiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\nf : R →+* S\ninst✝ : Nontrivial S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial R\nH : erase (natDegree p) p + X ^ natDegree p = p\nh0 : ¬erase (natDegree p) p = 0\nq : R[X]\nhq : map f q = erase (natDegree p) p ∧ degree q = degree (erase (natDegree p) p)\np_neq_0 : p ≠ 0\nhdeg : degree q < degree (X ^ natDegree p)\n⊢ degree (q + X ^ natDegree p) = degree p\n[PROOFSTEP]\nrw [degree_add_eq_right_of_degree_lt hdeg, degree_X_pow, degree_eq_natDegree hp.ne_zero]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ natDegree q = natDegree p ∧ Monic q\n[PROOFSTEP]\ncases' subsingleton_or_nontrivial S with hR hR\n[GOAL]\ncase inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Subsingleton S\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ natDegree q = natDegree p ∧ Monic q\n[PROOFSTEP]\nobtain rfl : p = 1 := Subsingleton.elim _ _\n[GOAL]\ncase inl\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nhR : Subsingleton S\nhlifts : 1 ∈ lifts f\nhp : Monic 1\n⊢ ∃ q, map f q = 1 ∧ natDegree q = natDegree 1 ∧ Monic q\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨1, Subsingleton.elim _ _, by simp, by simp⟩\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nhR : Subsingleton S\nhlifts : 1 ∈ lifts f\nhp : Monic 1\n⊢ natDegree 1 = natDegree 1\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\nhR : Subsingleton S\nhlifts : 1 ∈ lifts f\nhp : Monic 1\n⊢ Monic 1\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase inr\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial S\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ natDegree q = natDegree p ∧ Monic q\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨p', h₁, h₂, h₃⟩ := lifts_and_degree_eq_and_monic hlifts hp\n[GOAL]\ncase inr.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : Semiring R\nS : Type v\ninst✝ : Semiring S\nf : R →+* S\np : S[X]\nhlifts : p ∈ lifts f\nhp : Monic p\nhR : Nontrivial S\np' : R[X]\nh₁ : map f p' = p\nh₂ : degree p' = degree p\nh₃ : Monic p'\n⊢ ∃ q, map f q = p ∧ natDegree q = natDegree p ∧ Monic q\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨p', h₁, natDegree_eq_of_degree_eq h₂, h₃⟩\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nS : Type v\ninst✝ : Ring S\nf : R →+* S\np : S[X]\n⊢ p ∈ lifts f ↔ p ∈ liftsRing f\n[PROOFSTEP]\nsimp only [lifts, liftsRing, RingHom.mem_range, RingHom.mem_rangeS]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝² : CommSemiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\ninst✝ : Algebra R S\np : R[X]\n⊢ ↑(mapAlg R S) p = map (algebraMap R S) p\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mapAlg, aeval_def, eval₂_eq_sum, map, algebraMap_apply, RingHom.coe_comp]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝² : CommSemiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\ninst✝ : Algebra R S\np : R[X]\n⊢ (sum p fun e a => ↑C (↑(algebraMap R S) a) * X ^ e) = sum p fun e a => (↑C ∘ ↑(algebraMap R S)) a * X ^ e\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase a\nR : Type u\ninst✝² : CommSemiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\ninst✝ : Algebra R S\np : R[X]\nn✝ : ℕ\n⊢ coeff (sum p fun e a => ↑C (↑(algebraMap R S) a) * X ^ e) n✝ =\n    coeff (sum p fun e a => (↑C ∘ ↑(algebraMap R S)) a * X ^ e) n✝\n[PROOFSTEP]\ncongr\n[GOAL]\nR✝ : Type u\ninst✝⁵ : CommSemiring R✝\nS✝ : Type v\ninst✝⁴ : Semiring S✝\ninst✝³ : Algebra R✝ S✝\nR : Type u\ninst✝² : CommSemiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\ninst✝ : Algebra R S\np : S[X]\n⊢ p ∈ lifts (algebraMap R S) ↔ p ∈ AlgHom.range (mapAlg R S)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [coe_mapRingHom, lifts, mapAlg_eq_map, AlgHom.mem_range, RingHom.mem_rangeS]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝² : CommSemiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\ninst✝ : Algebra R S\np : S[X]\nr : R\nhp : p ∈ lifts (algebraMap R S)\n⊢ r • p ∈ lifts (algebraMap R S)\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_lifts_iff_mem_alg] at hp ⊢\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝² : CommSemiring R\nS : Type v\ninst✝¹ : Semiring S\ninst✝ : Algebra R S\np : S[X]\nr : R\nhp : p ∈ AlgHom.range (mapAlg R S)\n⊢ r • p ∈ AlgHom.range (mapAlg R S)\n[PROOFSTEP]\nexact Subalgebra.smul_mem (mapAlg R S).range hp r\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.Data.Polynomial.Lifts", "llama_tokens": 20474, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. YES\n2. NO", "lm_q1_score": 0.511716619597144, "lm_q2_score": 0.48828339529583464, "lm_q1q2_score": 0.2498627284462005}}
{"text": "[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nF G : C ⥤ Discrete PUnit\nX : C\n⊢ F.obj X = G.obj X\n[PROOFSTEP]\nsimp only [eq_iff_true_of_subsingleton]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nF G : C ⥤ Discrete PUnit\nX : C\n⊢ F.obj X = G.obj X\n[PROOFSTEP]\nsimp only [eq_iff_true_of_subsingleton]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\n⊢ Nonempty (C ≌ Discrete PUnit) ↔ Nonempty C ∧ ∀ (x y : C), Nonempty (Unique (x ⟶ y))\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase mp\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\n⊢ Nonempty (C ≌ Discrete PUnit) → Nonempty C ∧ ∀ (x y : C), Nonempty (Unique (x ⟶ y))\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨h⟩\n[GOAL]\ncase mp.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\n⊢ Nonempty C ∧ ∀ (x y : C), Nonempty (Unique (x ⟶ y))\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨⟨h.inverse.obj ⟨⟨⟩⟩⟩, fun x y => Nonempty.intro _⟩\n[GOAL]\ncase mp.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\nx y : C\n⊢ Unique (x ⟶ y)\n[PROOFSTEP]\nlet f : x ⟶ y := by\n  have hx : x ⟶ h.inverse.obj ⟨⟨⟩⟩ := by convert h.unit.app x\n  have hy : h.inverse.obj ⟨⟨⟩⟩ ⟶ y := by convert h.unitInv.app y\n  exact hx ≫ hy\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\nx y : C\n⊢ x ⟶ y\n[PROOFSTEP]\nhave hx : x ⟶ h.inverse.obj ⟨⟨⟩⟩ := by convert h.unit.app x\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\nx y : C\n⊢ x ⟶ h.inverse.obj { as := PUnit.unit }\n[PROOFSTEP]\nconvert h.unit.app x\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\nx y : C\nhx : x ⟶ h.inverse.obj { as := PUnit.unit }\n⊢ x ⟶ y\n[PROOFSTEP]\nhave hy : h.inverse.obj ⟨⟨⟩⟩ ⟶ y := by convert h.unitInv.app y\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\nx y : C\nhx : x ⟶ h.inverse.obj { as := PUnit.unit }\n⊢ h.inverse.obj { as := PUnit.unit } ⟶ y\n[PROOFSTEP]\nconvert h.unitInv.app y\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\nx y : C\nhx : x ⟶ h.inverse.obj { as := PUnit.unit }\nhy : h.inverse.obj { as := PUnit.unit } ⟶ y\n⊢ x ⟶ y\n[PROOFSTEP]\nexact hx ≫ hy\n[GOAL]\ncase mp.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\nx y : C\nf : x ⟶ y :=\n  let_fun hx :=\n    Eq.mpr (_ : (x ⟶ h.inverse.obj { as := PUnit.unit }) = ((𝟭 C).obj x ⟶ (h.functor ⋙ h.inverse).obj x))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unit h) x));\n  let_fun hy :=\n    Eq.mpr (_ : (h.inverse.obj { as := PUnit.unit } ⟶ y) = ((h.functor ⋙ h.inverse).obj y ⟶ (𝟭 C).obj y))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y));\n  hx ≫ hy\n⊢ Unique (x ⟶ y)\n[PROOFSTEP]\nsuffices sub : Subsingleton (x ⟶ y) from uniqueOfSubsingleton f\n[GOAL]\ncase mp.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\nx y : C\nf : x ⟶ y :=\n  let_fun hx :=\n    Eq.mpr (_ : (x ⟶ h.inverse.obj { as := PUnit.unit }) = ((𝟭 C).obj x ⟶ (h.functor ⋙ h.inverse).obj x))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unit h) x));\n  let_fun hy :=\n    Eq.mpr (_ : (h.inverse.obj { as := PUnit.unit } ⟶ y) = ((h.functor ⋙ h.inverse).obj y ⟶ (𝟭 C).obj y))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y));\n  hx ≫ hy\n⊢ Subsingleton (x ⟶ y)\n[PROOFSTEP]\nhave : ∀ z, z = h.unit.app x ≫ (h.functor ⋙ h.inverse).map z ≫ h.unitInv.app y :=\n  by\n  intro z\n  simp [congrArg (· ≫ h.unitInv.app y) (h.unit.naturality z)]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\nx y : C\nf : x ⟶ y :=\n  let_fun hx :=\n    Eq.mpr (_ : (x ⟶ h.inverse.obj { as := PUnit.unit }) = ((𝟭 C).obj x ⟶ (h.functor ⋙ h.inverse).obj x))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unit h) x));\n  let_fun hy :=\n    Eq.mpr (_ : (h.inverse.obj { as := PUnit.unit } ⟶ y) = ((h.functor ⋙ h.inverse).obj y ⟶ (𝟭 C).obj y))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y));\n  hx ≫ hy\n⊢ ∀ (z : x ⟶ y),\n    z = NatTrans.app (Equivalence.unit h) x ≫ (h.functor ⋙ h.inverse).map z ≫ NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y\n[PROOFSTEP]\nintro z\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\nx y : C\nf : x ⟶ y :=\n  let_fun hx :=\n    Eq.mpr (_ : (x ⟶ h.inverse.obj { as := PUnit.unit }) = ((𝟭 C).obj x ⟶ (h.functor ⋙ h.inverse).obj x))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unit h) x));\n  let_fun hy :=\n    Eq.mpr (_ : (h.inverse.obj { as := PUnit.unit } ⟶ y) = ((h.functor ⋙ h.inverse).obj y ⟶ (𝟭 C).obj y))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y));\n  hx ≫ hy\nz : x ⟶ y\n⊢ z = NatTrans.app (Equivalence.unit h) x ≫ (h.functor ⋙ h.inverse).map z ≫ NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y\n[PROOFSTEP]\nsimp [congrArg (· ≫ h.unitInv.app y) (h.unit.naturality z)]\n[GOAL]\ncase mp.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\nx y : C\nf : x ⟶ y :=\n  let_fun hx :=\n    Eq.mpr (_ : (x ⟶ h.inverse.obj { as := PUnit.unit }) = ((𝟭 C).obj x ⟶ (h.functor ⋙ h.inverse).obj x))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unit h) x));\n  let_fun hy :=\n    Eq.mpr (_ : (h.inverse.obj { as := PUnit.unit } ⟶ y) = ((h.functor ⋙ h.inverse).obj y ⟶ (𝟭 C).obj y))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y));\n  hx ≫ hy\nthis :\n  ∀ (z : x ⟶ y),\n    z = NatTrans.app (Equivalence.unit h) x ≫ (h.functor ⋙ h.inverse).map z ≫ NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y\n⊢ Subsingleton (x ⟶ y)\n[PROOFSTEP]\napply Subsingleton.intro\n[GOAL]\ncase mp.intro.allEq\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\nx y : C\nf : x ⟶ y :=\n  let_fun hx :=\n    Eq.mpr (_ : (x ⟶ h.inverse.obj { as := PUnit.unit }) = ((𝟭 C).obj x ⟶ (h.functor ⋙ h.inverse).obj x))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unit h) x));\n  let_fun hy :=\n    Eq.mpr (_ : (h.inverse.obj { as := PUnit.unit } ⟶ y) = ((h.functor ⋙ h.inverse).obj y ⟶ (𝟭 C).obj y))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y));\n  hx ≫ hy\nthis :\n  ∀ (z : x ⟶ y),\n    z = NatTrans.app (Equivalence.unit h) x ≫ (h.functor ⋙ h.inverse).map z ≫ NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y\n⊢ ∀ (a b : x ⟶ y), a = b\n[PROOFSTEP]\nintro a b\n[GOAL]\ncase mp.intro.allEq\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\nx y : C\nf : x ⟶ y :=\n  let_fun hx :=\n    Eq.mpr (_ : (x ⟶ h.inverse.obj { as := PUnit.unit }) = ((𝟭 C).obj x ⟶ (h.functor ⋙ h.inverse).obj x))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unit h) x));\n  let_fun hy :=\n    Eq.mpr (_ : (h.inverse.obj { as := PUnit.unit } ⟶ y) = ((h.functor ⋙ h.inverse).obj y ⟶ (𝟭 C).obj y))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y));\n  hx ≫ hy\nthis :\n  ∀ (z : x ⟶ y),\n    z = NatTrans.app (Equivalence.unit h) x ≫ (h.functor ⋙ h.inverse).map z ≫ NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y\na b : x ⟶ y\n⊢ a = b\n[PROOFSTEP]\nrw [this a, this b]\n[GOAL]\ncase mp.intro.allEq\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\nx y : C\nf : x ⟶ y :=\n  let_fun hx :=\n    Eq.mpr (_ : (x ⟶ h.inverse.obj { as := PUnit.unit }) = ((𝟭 C).obj x ⟶ (h.functor ⋙ h.inverse).obj x))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unit h) x));\n  let_fun hy :=\n    Eq.mpr (_ : (h.inverse.obj { as := PUnit.unit } ⟶ y) = ((h.functor ⋙ h.inverse).obj y ⟶ (𝟭 C).obj y))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y));\n  hx ≫ hy\nthis :\n  ∀ (z : x ⟶ y),\n    z = NatTrans.app (Equivalence.unit h) x ≫ (h.functor ⋙ h.inverse).map z ≫ NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y\na b : x ⟶ y\n⊢ NatTrans.app (Equivalence.unit h) x ≫ (h.functor ⋙ h.inverse).map a ≫ NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y =\n    NatTrans.app (Equivalence.unit h) x ≫ (h.functor ⋙ h.inverse).map b ≫ NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Functor.comp_map]\n[GOAL]\ncase mp.intro.allEq\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\nx y : C\nf : x ⟶ y :=\n  let_fun hx :=\n    Eq.mpr (_ : (x ⟶ h.inverse.obj { as := PUnit.unit }) = ((𝟭 C).obj x ⟶ (h.functor ⋙ h.inverse).obj x))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unit h) x));\n  let_fun hy :=\n    Eq.mpr (_ : (h.inverse.obj { as := PUnit.unit } ⟶ y) = ((h.functor ⋙ h.inverse).obj y ⟶ (𝟭 C).obj y))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y));\n  hx ≫ hy\nthis :\n  ∀ (z : x ⟶ y),\n    z = NatTrans.app (Equivalence.unit h) x ≫ (h.functor ⋙ h.inverse).map z ≫ NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y\na b : x ⟶ y\n⊢ NatTrans.app (Equivalence.unit h) x ≫ h.inverse.map (h.functor.map a) ≫ NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y =\n    NatTrans.app (Equivalence.unit h) x ≫ h.inverse.map (h.functor.map b) ≫ NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y\n[PROOFSTEP]\ncongr 3\n[GOAL]\ncase mp.intro.allEq.e_a.e_a.e_a\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\nx y : C\nf : x ⟶ y :=\n  let_fun hx :=\n    Eq.mpr (_ : (x ⟶ h.inverse.obj { as := PUnit.unit }) = ((𝟭 C).obj x ⟶ (h.functor ⋙ h.inverse).obj x))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unit h) x));\n  let_fun hy :=\n    Eq.mpr (_ : (h.inverse.obj { as := PUnit.unit } ⟶ y) = ((h.functor ⋙ h.inverse).obj y ⟶ (𝟭 C).obj y))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y));\n  hx ≫ hy\nthis :\n  ∀ (z : x ⟶ y),\n    z = NatTrans.app (Equivalence.unit h) x ≫ (h.functor ⋙ h.inverse).map z ≫ NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y\na b : x ⟶ y\n⊢ h.functor.map a = h.functor.map b\n[PROOFSTEP]\napply ULift.ext\n[GOAL]\ncase mp.intro.allEq.e_a.e_a.e_a.h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : C ≌ Discrete PUnit\nx y : C\nf : x ⟶ y :=\n  let_fun hx :=\n    Eq.mpr (_ : (x ⟶ h.inverse.obj { as := PUnit.unit }) = ((𝟭 C).obj x ⟶ (h.functor ⋙ h.inverse).obj x))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unit h) x));\n  let_fun hy :=\n    Eq.mpr (_ : (h.inverse.obj { as := PUnit.unit } ⟶ y) = ((h.functor ⋙ h.inverse).obj y ⟶ (𝟭 C).obj y))\n      (id (NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y));\n  hx ≫ hy\nthis :\n  ∀ (z : x ⟶ y),\n    z = NatTrans.app (Equivalence.unit h) x ≫ (h.functor ⋙ h.inverse).map z ≫ NatTrans.app (Equivalence.unitInv h) y\na b : x ⟶ y\n⊢ (h.functor.map a).down = (h.functor.map b).down\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase mpr\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\n⊢ (Nonempty C ∧ ∀ (x y : C), Nonempty (Unique (x ⟶ y))) → Nonempty (C ≌ Discrete PUnit)\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨⟨p⟩, h⟩\n[GOAL]\ncase mpr.intro.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : ∀ (x y : C), Nonempty (Unique (x ⟶ y))\np : C\n⊢ Nonempty (C ≌ Discrete PUnit)\n[PROOFSTEP]\nhaveI := fun x y => (h x y).some\n[GOAL]\ncase mpr.intro.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : ∀ (x y : C), Nonempty (Unique (x ⟶ y))\np : C\nthis : (x y : C) → Unique (x ⟶ y)\n⊢ Nonempty (C ≌ Discrete PUnit)\n[PROOFSTEP]\nrefine'\n  Nonempty.intro\n    (CategoryTheory.Equivalence.mk ((Functor.const _).obj ⟨⟨⟩⟩) ((@Functor.const <| Discrete PUnit).obj p) ?_\n      (by apply Functor.punitExt))\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : ∀ (x y : C), Nonempty (Unique (x ⟶ y))\np : C\nthis : (x y : C) → Unique (x ⟶ y)\n⊢ (Functor.const (Discrete PUnit)).obj p ⋙ (Functor.const C).obj { as := PUnit.unit } ≅ 𝟭 (Discrete PUnit)\n[PROOFSTEP]\napply Functor.punitExt\n[GOAL]\ncase mpr.intro.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nh : ∀ (x y : C), Nonempty (Unique (x ⟶ y))\np : C\nthis : (x y : C) → Unique (x ⟶ y)\n⊢ 𝟭 C ≅ (Functor.const C).obj { as := PUnit.unit } ⋙ (Functor.const (Discrete PUnit)).obj p\n[PROOFSTEP]\nexact\n  NatIso.ofComponents fun _ =>\n    { hom := default\n      inv := default }\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.CategoryTheory.PUnit", "llama_tokens": 5337, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. YES\n2. NO\n\n", "lm_q1_score": 0.5428632831725052, "lm_q2_score": 0.45713671682749474, "lm_q1q2_score": 0.2481627389556736}}
{"text": "[GOAL]\nα : Type u\nr : α → α → Prop\ninst✝ : IsIrrefl α r\na : α\nl₁ l₂ : List α\nh : Lex r (a :: l₁) (a :: l₂)\n⊢ Lex r l₁ l₂\n[PROOFSTEP]\ncases' h with _ _ _ _ _ h _ _ _ _ h\n[GOAL]\ncase cons\nα : Type u\nr : α → α → Prop\ninst✝ : IsIrrefl α r\na : α\nl₁ l₂ : List α\nh : Lex r l₁ l₂\n⊢ Lex r l₁ l₂\ncase rel α : Type u r : α → α → Prop inst✝ : IsIrrefl α r a : α l₁ l₂ : List α h : r a a ⊢ Lex r l₁ l₂\n[PROOFSTEP]\nexacts [h, (irrefl_of r a h).elim]\n[GOAL]\nα : Type u\nr : α → α → Prop\ninst✝¹ : IsOrderConnected α r\ninst✝ : IsTrichotomous α r\na : α\nl₁ : List α\nb : α\nl₂ l₃ : List α\nh : Lex r l₁ l₃\n⊢ Lex r (a :: l₁) (b :: l₂) ∨ Lex r (b :: l₂) (a :: l₃)\n[PROOFSTEP]\nrcases trichotomous_of r a b with (ab | rfl | ab)\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u\nr : α → α → Prop\ninst✝¹ : IsOrderConnected α r\ninst✝ : IsTrichotomous α r\na : α\nl₁ : List α\nb : α\nl₂ l₃ : List α\nh : Lex r l₁ l₃\nab : r a b\n⊢ Lex r (a :: l₁) (b :: l₂) ∨ Lex r (b :: l₂) (a :: l₃)\n[PROOFSTEP]\nexact Or.inl (rel ab)\n[GOAL]\ncase inr.inl\nα : Type u\nr : α → α → Prop\ninst✝¹ : IsOrderConnected α r\ninst✝ : IsTrichotomous α r\na : α\nl₁ l₂ l₃ : List α\nh : Lex r l₁ l₃\n⊢ Lex r (a :: l₁) (a :: l₂) ∨ Lex r (a :: l₂) (a :: l₃)\n[PROOFSTEP]\nexact (aux _ l₂ _ h).imp cons cons\n[GOAL]\ncase inr.inr\nα : Type u\nr : α → α → Prop\ninst✝¹ : IsOrderConnected α r\ninst✝ : IsTrichotomous α r\na : α\nl₁ : List α\nb : α\nl₂ l₃ : List α\nh : Lex r l₁ l₃\nab : r b a\n⊢ Lex r (a :: l₁) (b :: l₂) ∨ Lex r (b :: l₂) (a :: l₃)\n[PROOFSTEP]\nexact Or.inr (rel ab)\n[GOAL]\nα : Type u\nr : α → α → Prop\ninst✝ : IsTrichotomous α r\na : α\nl₁ : List α\nb : α\nl₂ : List α\n⊢ Lex r (a :: l₁) (b :: l₂) ∨ a :: l₁ = b :: l₂ ∨ Lex r (b :: l₂) (a :: l₁)\n[PROOFSTEP]\nrcases trichotomous_of r a b with (ab | rfl | ab)\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u\nr : α → α → Prop\ninst✝ : IsTrichotomous α r\na : α\nl₁ : List α\nb : α\nl₂ : List α\nab : r a b\n⊢ Lex r (a :: l₁) (b :: l₂) ∨ a :: l₁ = b :: l₂ ∨ Lex r (b :: l₂) (a :: l₁)\n[PROOFSTEP]\nexact Or.inl (rel ab)\n[GOAL]\ncase inr.inl\nα : Type u\nr : α → α → Prop\ninst✝ : IsTrichotomous α r\na : α\nl₁ l₂ : List α\n⊢ Lex r (a :: l₁) (a :: l₂) ∨ a :: l₁ = a :: l₂ ∨ Lex r (a :: l₂) (a :: l₁)\n[PROOFSTEP]\nexact (aux l₁ l₂).imp cons (Or.imp (congr_arg _) cons)\n[GOAL]\ncase inr.inr\nα : Type u\nr : α → α → Prop\ninst✝ : IsTrichotomous α r\na : α\nl₁ : List α\nb : α\nl₂ : List α\nab : r b a\n⊢ Lex r (a :: l₁) (b :: l₂) ∨ a :: l₁ = b :: l₂ ∨ Lex r (b :: l₂) (a :: l₁)\n[PROOFSTEP]\nexact Or.inr (Or.inr (rel ab))\n[GOAL]\nα : Type u\ninst✝¹ : DecidableEq α\nr : α → α → Prop\ninst✝ : DecidableRel r\nl₁ : List α\nh : Lex r l₁ []\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\ncases h\n[GOAL]\nα : Type u\ninst✝¹ : DecidableEq α\nr : α → α → Prop\ninst✝ : DecidableRel r\na : α\nl₁ : List α\nb : α\nl₂ : List α\n⊢ Decidable (Lex r (a :: l₁) (b :: l₂))\n[PROOFSTEP]\nhaveI := decidableRel r l₁ l₂\n[GOAL]\nα : Type u\ninst✝¹ : DecidableEq α\nr : α → α → Prop\ninst✝ : DecidableRel r\na : α\nl₁ : List α\nb : α\nl₂ : List α\nthis : Decidable (Lex r l₁ l₂)\n⊢ Decidable (Lex r (a :: l₁) (b :: l₂))\n[PROOFSTEP]\nrefine' decidable_of_iff (r a b ∨ a = b ∧ Lex r l₁ l₂) ⟨fun h => _, fun h => _⟩\n[GOAL]\ncase refine'_1\nα : Type u\ninst✝¹ : DecidableEq α\nr : α → α → Prop\ninst✝ : DecidableRel r\na : α\nl₁ : List α\nb : α\nl₂ : List α\nthis : Decidable (Lex r l₁ l₂)\nh : r a b ∨ a = b ∧ Lex r l₁ l₂\n⊢ Lex r (a :: l₁) (b :: l₂)\n[PROOFSTEP]\nrcases h with (h | ⟨rfl, h⟩)\n[GOAL]\ncase refine'_1.inl\nα : Type u\ninst✝¹ : DecidableEq α\nr : α → α → Prop\ninst✝ : DecidableRel r\na : α\nl₁ : List α\nb : α\nl₂ : List α\nthis : Decidable (Lex r l₁ l₂)\nh : r a b\n⊢ Lex r (a :: l₁) (b :: l₂)\n[PROOFSTEP]\nexact Lex.rel h\n[GOAL]\ncase refine'_1.inr.intro\nα : Type u\ninst✝¹ : DecidableEq α\nr : α → α → Prop\ninst✝ : DecidableRel r\na : α\nl₁ l₂ : List α\nthis : Decidable (Lex r l₁ l₂)\nh : Lex r l₁ l₂\n⊢ Lex r (a :: l₁) (a :: l₂)\n[PROOFSTEP]\nexact Lex.cons h\n[GOAL]\ncase refine'_2\nα : Type u\ninst✝¹ : DecidableEq α\nr : α → α → Prop\ninst✝ : DecidableRel r\na : α\nl₁ : List α\nb : α\nl₂ : List α\nthis : Decidable (Lex r l₁ l₂)\nh : Lex r (a :: l₁) (b :: l₂)\n⊢ r a b ∨ a = b ∧ Lex r l₁ l₂\n[PROOFSTEP]\nrcases h with (_ | h | h)\n[GOAL]\ncase refine'_2.cons\nα : Type u\ninst✝¹ : DecidableEq α\nr : α → α → Prop\ninst✝ : DecidableRel r\na : α\nl₁ l₂ : List α\nthis : Decidable (Lex r l₁ l₂)\nh : Lex r l₁ l₂\n⊢ r a a ∨ a = a ∧ Lex r l₁ l₂\n[PROOFSTEP]\nexact Or.inr ⟨rfl, h⟩\n[GOAL]\ncase refine'_2.rel\nα : Type u\ninst✝¹ : DecidableEq α\nr : α → α → Prop\ninst✝ : DecidableRel r\na : α\nl₁ : List α\nb : α\nl₂ : List α\nthis : Decidable (Lex r l₁ l₂)\nh : r a b\n⊢ r a b ∨ a = b ∧ Lex r l₁ l₂\n[PROOFSTEP]\nexact Or.inl h\n[GOAL]\nα : Type u\ninst✝ : DecidableEq α\nl₁ l₂ : List α\nH : length l₁ ≤ length l₂\nh : l₁ ≠ l₂\n⊢ Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁ l₂\n[PROOFSTEP]\ninduction' l₁ with a l₁ IH generalizing l₂\n[GOAL]\ncase nil\nα : Type u\ninst✝ : DecidableEq α\nl₁ l₂✝ : List α\nH✝ : length l₁ ≤ length l₂✝\nh✝ : l₁ ≠ l₂✝\nl₂ : List α\nH : length [] ≤ length l₂\nh : [] ≠ l₂\n⊢ Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) [] l₂\n[PROOFSTEP]\ncases' l₂ with b l₂\n[GOAL]\ncase cons\nα : Type u\ninst✝ : DecidableEq α\nl₁✝ l₂✝ : List α\nH✝ : length l₁✝ ≤ length l₂✝\nh✝ : l₁✝ ≠ l₂✝\na : α\nl₁ : List α\nIH : ∀ {l₂ : List α}, length l₁ ≤ length l₂ → l₁ ≠ l₂ → Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁ l₂\nl₂ : List α\nH : length (a :: l₁) ≤ length l₂\nh : a :: l₁ ≠ l₂\n⊢ Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a :: l₁) l₂\n[PROOFSTEP]\ncases' l₂ with b l₂\n[GOAL]\ncase nil.nil\nα : Type u\ninst✝ : DecidableEq α\nl₁ l₂ : List α\nH✝ : length l₁ ≤ length l₂\nh✝ : l₁ ≠ l₂\nH : length [] ≤ length []\nh : [] ≠ []\n⊢ Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) [] []\n[PROOFSTEP]\ncontradiction\n[GOAL]\ncase nil.cons\nα : Type u\ninst✝ : DecidableEq α\nl₁ l₂✝ : List α\nH✝ : length l₁ ≤ length l₂✝\nh✝ : l₁ ≠ l₂✝\nb : α\nl₂ : List α\nH : length [] ≤ length (b :: l₂)\nh : [] ≠ b :: l₂\n⊢ Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) [] (b :: l₂)\n[PROOFSTEP]\napply nil\n[GOAL]\ncase cons.nil\nα : Type u\ninst✝ : DecidableEq α\nl₁✝ l₂ : List α\nH✝ : length l₁✝ ≤ length l₂\nh✝ : l₁✝ ≠ l₂\na : α\nl₁ : List α\nIH : ∀ {l₂ : List α}, length l₁ ≤ length l₂ → l₁ ≠ l₂ → Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁ l₂\nH : length (a :: l₁) ≤ length []\nh : a :: l₁ ≠ []\n⊢ Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a :: l₁) []\n[PROOFSTEP]\nexact (not_lt_of_ge H).elim (succ_pos _)\n[GOAL]\ncase cons.cons\nα : Type u\ninst✝ : DecidableEq α\nl₁✝ l₂✝ : List α\nH✝ : length l₁✝ ≤ length l₂✝\nh✝ : l₁✝ ≠ l₂✝\na : α\nl₁ : List α\nIH : ∀ {l₂ : List α}, length l₁ ≤ length l₂ → l₁ ≠ l₂ → Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁ l₂\nb : α\nl₂ : List α\nH : length (a :: l₁) ≤ length (b :: l₂)\nh : a :: l₁ ≠ b :: l₂\n⊢ Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a :: l₁) (b :: l₂)\n[PROOFSTEP]\nby_cases ab : a = b\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u\ninst✝ : DecidableEq α\nl₁✝ l₂✝ : List α\nH✝ : length l₁✝ ≤ length l₂✝\nh✝ : l₁✝ ≠ l₂✝\na : α\nl₁ : List α\nIH : ∀ {l₂ : List α}, length l₁ ≤ length l₂ → l₁ ≠ l₂ → Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁ l₂\nb : α\nl₂ : List α\nH : length (a :: l₁) ≤ length (b :: l₂)\nh : a :: l₁ ≠ b :: l₂\nab : a = b\n⊢ Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a :: l₁) (b :: l₂)\n[PROOFSTEP]\nsubst b\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u\ninst✝ : DecidableEq α\nl₁✝ l₂✝ : List α\nH✝ : length l₁✝ ≤ length l₂✝\nh✝ : l₁✝ ≠ l₂✝\na : α\nl₁ : List α\nIH : ∀ {l₂ : List α}, length l₁ ≤ length l₂ → l₁ ≠ l₂ → Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁ l₂\nl₂ : List α\nH : length (a :: l₁) ≤ length (a :: l₂)\nh : a :: l₁ ≠ a :: l₂\n⊢ Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a :: l₁) (a :: l₂)\n[PROOFSTEP]\napply cons\n[GOAL]\ncase pos.h\nα : Type u\ninst✝ : DecidableEq α\nl₁✝ l₂✝ : List α\nH✝ : length l₁✝ ≤ length l₂✝\nh✝ : l₁✝ ≠ l₂✝\na : α\nl₁ : List α\nIH : ∀ {l₂ : List α}, length l₁ ≤ length l₂ → l₁ ≠ l₂ → Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁ l₂\nl₂ : List α\nH : length (a :: l₁) ≤ length (a :: l₂)\nh : a :: l₁ ≠ a :: l₂\n⊢ Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁ l₂\n[PROOFSTEP]\nexact IH (le_of_succ_le_succ H) (mt (congr_arg _) h)\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u\ninst✝ : DecidableEq α\nl₁✝ l₂✝ : List α\nH✝ : length l₁✝ ≤ length l₂✝\nh✝ : l₁✝ ≠ l₂✝\na : α\nl₁ : List α\nIH : ∀ {l₂ : List α}, length l₁ ≤ length l₂ → l₁ ≠ l₂ → Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁ l₂\nb : α\nl₂ : List α\nH : length (a :: l₁) ≤ length (b :: l₂)\nh : a :: l₁ ≠ b :: l₂\nab : ¬a = b\n⊢ Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) (a :: l₁) (b :: l₂)\n[PROOFSTEP]\nexact rel ab\n[GOAL]\nα : Type u\nl₁ l₂ : List α\nH : length l₁ ≤ length l₂\n⊢ Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁ l₂ ↔ l₁ ≠ l₂\n[PROOFSTEP]\nclassical exact Decidable.List.Lex.ne_iff H\n[GOAL]\nα : Type u\nl₁ l₂ : List α\nH : length l₁ ≤ length l₂\n⊢ Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁ l₂ ↔ l₁ ≠ l₂\n[PROOFSTEP]\nexact Decidable.List.Lex.ne_iff H\n[GOAL]\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\n⊢ lt l l' ↔ Lex (fun x x_1 => x < x_1) l l'\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase mp\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\n⊢ lt l l' → Lex (fun x x_1 => x < x_1) l l'\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\ncase mpr\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\n⊢ Lex (fun x x_1 => x < x_1) l l' → lt l l'\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\ncase mp\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\nh : lt l l'\n⊢ Lex (fun x x_1 => x < x_1) l l'\n[PROOFSTEP]\ninduction h with\n| nil b bs => exact Lex.nil\n| @head a as b bs hab => apply Lex.rel; assumption\n|\n  @tail a as b bs hab hba _ ih =>\n  have heq : a = b := _root_.le_antisymm (le_of_not_lt hba) (le_of_not_lt hab)\n  subst b; apply Lex.cons; assumption\n[GOAL]\ncase mp\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\nh : lt l l'\n⊢ Lex (fun x x_1 => x < x_1) l l'\n[PROOFSTEP]\ninduction h with\n| nil b bs => exact Lex.nil\n| @head a as b bs hab => apply Lex.rel; assumption\n|\n  @tail a as b bs hab hba _ ih =>\n  have heq : a = b := _root_.le_antisymm (le_of_not_lt hba) (le_of_not_lt hab)\n  subst b; apply Lex.cons; assumption\n[GOAL]\ncase mp.nil\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\nb : α\nbs : List α\n⊢ Lex (fun x x_1 => x < x_1) [] (b :: bs)\n[PROOFSTEP]\n\n| nil b bs => exact Lex.nil\n[GOAL]\ncase mp.nil\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\nb : α\nbs : List α\n⊢ Lex (fun x x_1 => x < x_1) [] (b :: bs)\n[PROOFSTEP]\nexact Lex.nil\n[GOAL]\ncase mp.head\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas : List α\nb : α\nbs : List α\nhab : a < b\n⊢ Lex (fun x x_1 => x < x_1) (a :: as) (b :: bs)\n[PROOFSTEP]\n\n| @head a as b bs hab => apply Lex.rel; assumption\n[GOAL]\ncase mp.head\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas : List α\nb : α\nbs : List α\nhab : a < b\n⊢ Lex (fun x x_1 => x < x_1) (a :: as) (b :: bs)\n[PROOFSTEP]\napply Lex.rel\n[GOAL]\ncase mp.head.h\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas : List α\nb : α\nbs : List α\nhab : a < b\n⊢ a < b\n[PROOFSTEP]\nassumption\n[GOAL]\ncase mp.tail\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas : List α\nb : α\nbs : List α\nhab : ¬a < b\nhba : ¬b < a\na✝ : lt as bs\nih : Lex (fun x x_1 => x < x_1) as bs\n⊢ Lex (fun x x_1 => x < x_1) (a :: as) (b :: bs)\n[PROOFSTEP]\n\n|\n  @tail a as b bs hab hba _ ih =>\n  have heq : a = b := _root_.le_antisymm (le_of_not_lt hba) (le_of_not_lt hab)\n  subst b; apply Lex.cons; assumption\n[GOAL]\ncase mp.tail\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas : List α\nb : α\nbs : List α\nhab : ¬a < b\nhba : ¬b < a\na✝ : lt as bs\nih : Lex (fun x x_1 => x < x_1) as bs\n⊢ Lex (fun x x_1 => x < x_1) (a :: as) (b :: bs)\n[PROOFSTEP]\nhave heq : a = b := _root_.le_antisymm (le_of_not_lt hba) (le_of_not_lt hab)\n[GOAL]\ncase mp.tail\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas : List α\nb : α\nbs : List α\nhab : ¬a < b\nhba : ¬b < a\na✝ : lt as bs\nih : Lex (fun x x_1 => x < x_1) as bs\nheq : a = b\n⊢ Lex (fun x x_1 => x < x_1) (a :: as) (b :: bs)\n[PROOFSTEP]\nsubst b\n[GOAL]\ncase mp.tail\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas bs : List α\na✝ : lt as bs\nih : Lex (fun x x_1 => x < x_1) as bs\nhab hba : ¬a < a\n⊢ Lex (fun x x_1 => x < x_1) (a :: as) (a :: bs)\n[PROOFSTEP]\napply Lex.cons\n[GOAL]\ncase mp.tail.h\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas bs : List α\na✝ : lt as bs\nih : Lex (fun x x_1 => x < x_1) as bs\nhab hba : ¬a < a\n⊢ Lex (fun x x_1 => x < x_1) as bs\n[PROOFSTEP]\nassumption\n[GOAL]\ncase mpr\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\nh : Lex (fun x x_1 => x < x_1) l l'\n⊢ lt l l'\n[PROOFSTEP]\ninduction h with\n| @nil a as => apply lt.nil\n| @cons a as bs _ ih => apply lt.tail <;> simp [ih]\n| @rel a as b bs h => apply lt.head; assumption\n[GOAL]\ncase mpr\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\nh : Lex (fun x x_1 => x < x_1) l l'\n⊢ lt l l'\n[PROOFSTEP]\ninduction h with\n| @nil a as => apply lt.nil\n| @cons a as bs _ ih => apply lt.tail <;> simp [ih]\n| @rel a as b bs h => apply lt.head; assumption\n[GOAL]\ncase mpr.nil\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas : List α\n⊢ lt [] (a :: as)\n[PROOFSTEP]\n\n| @nil a as => apply lt.nil\n[GOAL]\ncase mpr.nil\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas : List α\n⊢ lt [] (a :: as)\n[PROOFSTEP]\napply lt.nil\n[GOAL]\ncase mpr.cons\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas bs : List α\nh✝ : Lex (fun x x_1 => x < x_1) as bs\nih : lt as bs\n⊢ lt (a :: as) (a :: bs)\n[PROOFSTEP]\n\n| @cons a as bs _ ih => apply lt.tail <;> simp [ih]\n[GOAL]\ncase mpr.cons\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas bs : List α\nh✝ : Lex (fun x x_1 => x < x_1) as bs\nih : lt as bs\n⊢ lt (a :: as) (a :: bs)\n[PROOFSTEP]\napply lt.tail\n[GOAL]\ncase mpr.cons.a\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas bs : List α\nh✝ : Lex (fun x x_1 => x < x_1) as bs\nih : lt as bs\n⊢ ¬a < a\n[PROOFSTEP]\nsimp [ih]\n[GOAL]\ncase mpr.cons.a\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas bs : List α\nh✝ : Lex (fun x x_1 => x < x_1) as bs\nih : lt as bs\n⊢ ¬a < a\n[PROOFSTEP]\nsimp [ih]\n[GOAL]\ncase mpr.cons.a\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas bs : List α\nh✝ : Lex (fun x x_1 => x < x_1) as bs\nih : lt as bs\n⊢ lt as bs\n[PROOFSTEP]\nsimp [ih]\n[GOAL]\ncase mpr.rel\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas : List α\nb : α\nbs : List α\nh : a < b\n⊢ lt (a :: as) (b :: bs)\n[PROOFSTEP]\n\n| @rel a as b bs h => apply lt.head; assumption\n[GOAL]\ncase mpr.rel\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas : List α\nb : α\nbs : List α\nh : a < b\n⊢ lt (a :: as) (b :: bs)\n[PROOFSTEP]\napply lt.head\n[GOAL]\ncase mpr.rel.a\nα : Type u\ninst✝ : LinearOrder α\nl l' : List α\na : α\nas : List α\nb : α\nbs : List α\nh : a < b\n⊢ a < b\n[PROOFSTEP]\nassumption\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.Data.List.Lex", "llama_tokens": 7273, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nα : Type ?u.37\nβ : Type ?u.40\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\n⊢ inst✝¹ ≤ OuterMeasure.caratheodory (OuterMeasure.dirac a)\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.2205\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\nh : a ∈ s\n⊢ ↑↑(dirac a) s = 1\n[PROOFSTEP]\nhave : ∀ t : Set α, a ∈ t → t.indicator (1 : α → ℝ≥0∞) a = 1 := fun t ht => indicator_of_mem ht 1\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.2205\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\nh : a ∈ s\nthis : ∀ (t : Set α), a ∈ t → indicator t 1 a = 1\n⊢ ↑↑(dirac a) s = 1\n[PROOFSTEP]\nrefine' le_antisymm (this univ trivial ▸ _) (this s h ▸ le_dirac_apply)\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.2205\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\nh : a ∈ s\nthis : ∀ (t : Set α), a ∈ t → indicator t 1 a = 1\n⊢ ↑↑(dirac a) s ≤ indicator univ 1 a\n[PROOFSTEP]\nrw [← dirac_apply' a MeasurableSet.univ]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.2205\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\nh : a ∈ s\nthis : ∀ (t : Set α), a ∈ t → indicator t 1 a = 1\n⊢ ↑↑(dirac a) s ≤ ↑↑(dirac a) univ\n[PROOFSTEP]\nexact measure_mono (subset_univ s)\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.3101\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\ns✝ : Set α\ninst✝ : MeasurableSingletonClass α\na : α\ns : Set α\n⊢ ↑↑(dirac a) s = indicator s 1 a\n[PROOFSTEP]\nby_cases h : a ∈ s\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.3101\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\ns✝ : Set α\ninst✝ : MeasurableSingletonClass α\na : α\ns : Set α\nh : a ∈ s\n⊢ ↑↑(dirac a) s = indicator s 1 a\n[PROOFSTEP]\nrw [dirac_apply_of_mem h, indicator_of_mem h, Pi.one_apply]\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.3101\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\ns✝ : Set α\ninst✝ : MeasurableSingletonClass α\na : α\ns : Set α\nh : ¬a ∈ s\n⊢ ↑↑(dirac a) s = indicator s 1 a\n[PROOFSTEP]\nrw [indicator_of_not_mem h, ← nonpos_iff_eq_zero]\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.3101\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\ns✝ : Set α\ninst✝ : MeasurableSingletonClass α\na : α\ns : Set α\nh : ¬a ∈ s\n⊢ ↑↑(dirac a) s ≤ 0\n[PROOFSTEP]\ncalc\n  dirac a s ≤ dirac a { a }ᶜ := measure_mono (subset_compl_comm.1 <| singleton_subset_iff.2 h)\n  _ = 0 := by simp [dirac_apply' _ (measurableSet_singleton _).compl]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.3101\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\ns✝ : Set α\ninst✝ : MeasurableSingletonClass α\na : α\ns : Set α\nh : ¬a ∈ s\n⊢ ↑↑(dirac a) {a}ᶜ = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [dirac_apply' _ (measurableSet_singleton _).compl]\n[GOAL]\nα : Type u_2\nβ : Type u_1\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\ns✝ : Set α\nf : α → β\nhf : Measurable f\na : α\ns : Set β\nhs : MeasurableSet s\n⊢ ↑↑(map f (dirac a)) s = ↑↑(dirac (f a)) s\n[PROOFSTEP]\nsimp [hs, map_apply hf hs, hf hs, indicator_apply]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.7321\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\ns : Set α\nμ : Measure α\na : α\n⊢ restrict μ {a} = ↑↑μ {a} • dirac a\n[PROOFSTEP]\next1 s hs\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.7321\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\ns✝ : Set α\nμ : Measure α\na : α\ns : Set α\nhs : MeasurableSet s\n⊢ ↑↑(restrict μ {a}) s = ↑↑(↑↑μ {a} • dirac a) s\n[PROOFSTEP]\nby_cases ha : a ∈ s\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.7321\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\ns✝ : Set α\nμ : Measure α\na : α\ns : Set α\nhs : MeasurableSet s\nha : a ∈ s\n⊢ ↑↑(restrict μ {a}) s = ↑↑(↑↑μ {a} • dirac a) s\n[PROOFSTEP]\nhave : s ∩ { a } = { a } := by simpa\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.7321\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\ns✝ : Set α\nμ : Measure α\na : α\ns : Set α\nhs : MeasurableSet s\nha : a ∈ s\n⊢ s ∩ {a} = {a}\n[PROOFSTEP]\nsimpa\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.7321\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\ns✝ : Set α\nμ : Measure α\na : α\ns : Set α\nhs : MeasurableSet s\nha : a ∈ s\nthis : s ∩ {a} = {a}\n⊢ ↑↑(restrict μ {a}) s = ↑↑(↑↑μ {a} • dirac a) s\n[PROOFSTEP]\nsimp [*]\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.7321\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\ns✝ : Set α\nμ : Measure α\na : α\ns : Set α\nhs : MeasurableSet s\nha : ¬a ∈ s\n⊢ ↑↑(restrict μ {a}) s = ↑↑(↑↑μ {a} • dirac a) s\n[PROOFSTEP]\nhave : s ∩ { a } = ∅ := inter_singleton_eq_empty.2 ha\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.7321\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\ns✝ : Set α\nμ : Measure α\na : α\ns : Set α\nhs : MeasurableSet s\nha : ¬a ∈ s\nthis : s ∩ {a} = ∅\n⊢ ↑↑(restrict μ {a}) s = ↑↑(↑↑μ {a} • dirac a) s\n[PROOFSTEP]\nsimp [*]\n[GOAL]\nα : Type u_2\nβ : Type u_1\ninst✝³ : MeasurableSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace β\ns : Set α\ninst✝¹ : Countable β\ninst✝ : MeasurableSingletonClass β\nμ : Measure α\nf : α → β\nhf : Measurable f\n⊢ map f μ = sum fun b => ↑↑μ (f ⁻¹' {b}) • dirac b\n[PROOFSTEP]\next1 s hs\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_2\nβ : Type u_1\ninst✝³ : MeasurableSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace β\ns✝ : Set α\ninst✝¹ : Countable β\ninst✝ : MeasurableSingletonClass β\nμ : Measure α\nf : α → β\nhf : Measurable f\ns : Set β\nhs : MeasurableSet s\n⊢ ↑↑(map f μ) s = ↑↑(sum fun b => ↑↑μ (f ⁻¹' {b}) • dirac b) s\n[PROOFSTEP]\nhave : ∀ y ∈ s, MeasurableSet (f ⁻¹' { y }) := fun y _ => hf (measurableSet_singleton _)\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_2\nβ : Type u_1\ninst✝³ : MeasurableSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace β\ns✝ : Set α\ninst✝¹ : Countable β\ninst✝ : MeasurableSingletonClass β\nμ : Measure α\nf : α → β\nhf : Measurable f\ns : Set β\nhs : MeasurableSet s\nthis : ∀ (y : β), y ∈ s → MeasurableSet (f ⁻¹' {y})\n⊢ ↑↑(map f μ) s = ↑↑(sum fun b => ↑↑μ (f ⁻¹' {b}) • dirac b) s\n[PROOFSTEP]\nsimp [← tsum_measure_preimage_singleton (to_countable s) this, *, tsum_subtype s fun b => μ (f ⁻¹' { b }), ←\n  indicator_mul_right s fun b => μ (f ⁻¹' { b })]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.17308\ninst✝³ : MeasurableSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace β\ns : Set α\ninst✝¹ : Countable α\ninst✝ : MeasurableSingletonClass α\nμ : Measure α\n⊢ (sum fun a => ↑↑μ {a} • dirac a) = μ\n[PROOFSTEP]\nsimpa using (map_eq_sum μ id measurable_id).symm\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.19567\ninst✝³ : MeasurableSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace β\ns✝ : Set α\ninst✝¹ : Countable α\ninst✝ : MeasurableSingletonClass α\nμ : Measure α\ns : Set α\nhs : MeasurableSet s\n⊢ ∑' (x : α), indicator s (fun x => ↑↑μ {x}) x = ↑↑(sum fun a => ↑↑μ {a} • dirac a) s\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Measure.sum_apply _ hs, Measure.smul_apply, smul_eq_mul, Measure.dirac_apply, Set.indicator_apply, mul_ite,\n  Pi.one_apply, mul_one, mul_zero]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.19567\ninst✝³ : MeasurableSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace β\ns✝ : Set α\ninst✝¹ : Countable α\ninst✝ : MeasurableSingletonClass α\nμ : Measure α\ns : Set α\nhs : MeasurableSet s\n⊢ ↑↑(sum fun a => ↑↑μ {a} • dirac a) s = ↑↑μ s\n[PROOFSTEP]\nrw [μ.sum_smul_dirac]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.22509\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\nhs : MeasurableSet s\n⊢ s ∈ ae (dirac a) ↔ a ∈ s\n[PROOFSTEP]\nby_cases a ∈ s\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.22509\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\nhs : MeasurableSet s\n⊢ s ∈ ae (dirac a) ↔ a ∈ s\n[PROOFSTEP]\nby_cases a ∈ s\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.22509\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\nhs : MeasurableSet s\nh : a ∈ s\n⊢ s ∈ ae (dirac a) ↔ a ∈ s\n[PROOFSTEP]\nsimp [mem_ae_iff, dirac_apply', hs.compl, indicator_apply, *]\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.22509\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\nhs : MeasurableSet s\nh : ¬a ∈ s\n⊢ s ∈ ae (dirac a) ↔ a ∈ s\n[PROOFSTEP]\nsimp [mem_ae_iff, dirac_apply', hs.compl, indicator_apply, *]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.24298\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\ns : Set α\ninst✝ : MeasurableSingletonClass α\na : α\n⊢ ae (dirac a) = pure a\n[PROOFSTEP]\next s\n[GOAL]\ncase a\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.24298\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\ns✝ : Set α\ninst✝ : MeasurableSingletonClass α\na : α\ns : Set α\n⊢ s ∈ ae (dirac a) ↔ s ∈ pure a\n[PROOFSTEP]\nsimp [mem_ae_iff, imp_false]\n[GOAL]\nα : Type u_2\nβ : Type ?u.26464\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\ns : Set α\nδ : Type u_1\ninst✝ : MeasurableSingletonClass α\na : α\nf : α → δ\n⊢ f =ᶠ[ae (dirac a)] const α (f a)\n[PROOFSTEP]\nsimp [Filter.EventuallyEq]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.27478\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\nhs : MeasurableSet s\ninst✝ : Decidable (a ∈ s)\n⊢ Measure.restrict (dirac a) s = if a ∈ s then dirac a else 0\n[PROOFSTEP]\nsplit_ifs with has\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.27478\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\nhs : MeasurableSet s\ninst✝ : Decidable (a ∈ s)\nhas : a ∈ s\n⊢ Measure.restrict (dirac a) s = dirac a\n[PROOFSTEP]\napply restrict_eq_self_of_ae_mem\n[GOAL]\ncase pos.hs\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.27478\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\nhs : MeasurableSet s\ninst✝ : Decidable (a ∈ s)\nhas : a ∈ s\n⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂dirac a, x ∈ s\n[PROOFSTEP]\nrw [ae_dirac_iff]\n[GOAL]\ncase pos.hs\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.27478\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\nhs : MeasurableSet s\ninst✝ : Decidable (a ∈ s)\nhas : a ∈ s\n⊢ a ∈ s\n[PROOFSTEP]\nassumption\n[GOAL]\ncase pos.hs\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.27478\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\nhs : MeasurableSet s\ninst✝ : Decidable (a ∈ s)\nhas : a ∈ s\n⊢ MeasurableSet {x | x ∈ s}\n[PROOFSTEP]\nassumption\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.27478\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\nhs : MeasurableSet s\ninst✝ : Decidable (a ∈ s)\nhas : ¬a ∈ s\n⊢ Measure.restrict (dirac a) s = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [restrict_eq_zero, dirac_apply' _ hs, indicator_of_not_mem has]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.28375\ninst✝³ : MeasurableSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\ninst✝¹ : MeasurableSingletonClass α\ninst✝ : Decidable (a ∈ s)\n⊢ Measure.restrict (dirac a) s = if a ∈ s then dirac a else 0\n[PROOFSTEP]\nsplit_ifs with has\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.28375\ninst✝³ : MeasurableSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\ninst✝¹ : MeasurableSingletonClass α\ninst✝ : Decidable (a ∈ s)\nhas : a ∈ s\n⊢ Measure.restrict (dirac a) s = dirac a\n[PROOFSTEP]\napply restrict_eq_self_of_ae_mem\n[GOAL]\ncase pos.hs\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.28375\ninst✝³ : MeasurableSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\ninst✝¹ : MeasurableSingletonClass α\ninst✝ : Decidable (a ∈ s)\nhas : a ∈ s\n⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂dirac a, x ∈ s\n[PROOFSTEP]\nrwa [ae_dirac_eq]\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type ?u.28375\ninst✝³ : MeasurableSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace β\ns : Set α\na : α\ninst✝¹ : MeasurableSingletonClass α\ninst✝ : Decidable (a ∈ s)\nhas : ¬a ∈ s\n⊢ Measure.restrict (dirac a) s = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [restrict_eq_zero, dirac_apply, indicator_of_not_mem has]\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.MeasureTheory.Measure.Dirac", "llama_tokens": 5565, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : PartialOrder α\ninst✝ : Nontrivial α\n⊢ Disjoint atBot atTop\n[PROOFSTEP]\nrcases exists_pair_ne α with ⟨x, y, hne⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : PartialOrder α\ninst✝ : Nontrivial α\nx y : α\nhne : x ≠ y\n⊢ Disjoint atBot atTop\n[PROOFSTEP]\nby_cases hle : x ≤ y\n[GOAL]\ncase pos\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : PartialOrder α\ninst✝ : Nontrivial α\nx y : α\nhne : x ≠ y\nhle : x ≤ y\n⊢ Disjoint atBot atTop\n[PROOFSTEP]\nrefine' disjoint_of_disjoint_of_mem _ (Iic_mem_atBot x) (Ici_mem_atTop y)\n[GOAL]\ncase pos\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : PartialOrder α\ninst✝ : Nontrivial α\nx y : α\nhne : x ≠ y\nhle : x ≤ y\n⊢ Disjoint (Iic x) (Ici y)\n[PROOFSTEP]\nexact Iic_disjoint_Ici.2 (hle.lt_of_ne hne).not_le\n[GOAL]\ncase neg\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : PartialOrder α\ninst✝ : Nontrivial α\nx y : α\nhne : x ≠ y\nhle : ¬x ≤ y\n⊢ Disjoint atBot atTop\n[PROOFSTEP]\nrefine' disjoint_of_disjoint_of_mem _ (Iic_mem_atBot y) (Ici_mem_atTop x)\n[GOAL]\ncase neg\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : PartialOrder α\ninst✝ : Nontrivial α\nx y : α\nhne : x ≠ y\nhle : ¬x ≤ y\n⊢ Disjoint (Iic y) (Ici x)\n[PROOFSTEP]\nexact Iic_disjoint_Ici.2 hle\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : Preorder α\np : α → Prop\n⊢ (∀ᶠ (x : α) in atTop, ∀ (y : α), x ≤ y → p y) ↔ ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x\n[PROOFSTEP]\nrefine ⟨fun h ↦ h.mono fun x hx ↦ hx x le_rfl, fun h ↦ ?_⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : Preorder α\np : α → Prop\nh : ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x\n⊢ ∀ᶠ (x : α) in atTop, ∀ (y : α), x ≤ y → p y\n[PROOFSTEP]\nrcases(hasBasis_iInf_principal_finite _).eventually_iff.1 h with ⟨S, hSf, hS⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : Preorder α\np : α → Prop\nh : ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x\nS : Set α\nhSf : Set.Finite S\nhS : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ ⋂ (i : α) (_ : i ∈ S), Ici i → p x\n⊢ ∀ᶠ (x : α) in atTop, ∀ (y : α), x ≤ y → p y\n[PROOFSTEP]\nrefine mem_iInf_of_iInter hSf (V := fun x ↦ Ici x.1) (fun _ ↦ Subset.rfl) fun x hx y hy ↦ ?_\n[GOAL]\ncase intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : Preorder α\np : α → Prop\nh : ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x\nS : Set α\nhSf : Set.Finite S\nhS : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ ⋂ (i : α) (_ : i ∈ S), Ici i → p x\nx : α\nhx : x ∈ ⋂ (i : ↑S), (fun x => Ici ↑x) i\ny : α\nhy : x ≤ y\n⊢ p y\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mem_iInter] at hS hx \n[GOAL]\ncase intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : Preorder α\np : α → Prop\nh : ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x\nS : Set α\nhSf : Set.Finite S\nx y : α\nhy : x ≤ y\nhS : ∀ ⦃x : α⦄, (∀ (i : α), i ∈ S → x ∈ Ici i) → p x\nhx : ∀ (i : ↑S), x ∈ Ici ↑i\n⊢ p y\n[PROOFSTEP]\nexact hS fun z hz ↦ le_trans (hx ⟨z, hz⟩) hy\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ✝ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nβ : Type u_7\ninst✝ : Preorder β\nl : Filter α\np : β → Prop\nf : α → β\nhf : Tendsto f l atTop\nh_evtl : ∀ᶠ (x : β) in atTop, p x\n⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (y : β), f x ≤ y → p y\n[PROOFSTEP]\nrw [← Filter.eventually_forall_ge_atTop] at h_evtl \n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ✝ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nβ : Type u_7\ninst✝ : Preorder β\nl : Filter α\np : β → Prop\nf : α → β\nhf : Tendsto f l atTop\nh_evtl : ∀ᶠ (x : β) in atTop, ∀ (y : β), x ≤ y → p y\n⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (y : β), f x ≤ y → p y\n[PROOFSTEP]\nexact (h_evtl.comap f).filter_mono hf.le_comap\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ✝ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nβ : Type u_7\ninst✝ : Preorder β\nl : Filter α\np : β → Prop\nf : α → β\nhf : Tendsto f l atBot\nh_evtl : ∀ᶠ (x : β) in atBot, p x\n⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (y : β), y ≤ f x → p y\n[PROOFSTEP]\nrw [← Filter.eventually_forall_le_atBot] at h_evtl \n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ✝ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nβ : Type u_7\ninst✝ : Preorder β\nl : Filter α\np : β → Prop\nf : α → β\nhf : Tendsto f l atBot\nh_evtl : ∀ᶠ (x : β) in atBot, ∀ (y : β), y ≤ x → p y\n⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (y : β), y ≤ f x → p y\n[PROOFSTEP]\nexact (h_evtl.comap f).filter_mono hf.le_comap\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝¹ : Subsingleton α\ninst✝ : Preorder α\n⊢ atTop = ⊤\n[PROOFSTEP]\nrefine' top_unique fun s hs x => _\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝¹ : Subsingleton α\ninst✝ : Preorder α\ns : Set α\nhs : s ∈ atTop\nx : α\n⊢ x ∈ s\n[PROOFSTEP]\nrw [atTop, ciInf_subsingleton x, mem_principal] at hs \n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝¹ : Subsingleton α\ninst✝ : Preorder α\ns : Set α\nx : α\nhs : Ici x ⊆ s\n⊢ x ∈ s\n[PROOFSTEP]\nexact hs left_mem_Ici\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : Nonempty α\nr : α → β → Prop\n⊢ (∃ b, ∀ᶠ (a : α) in atTop, r a b) ↔ ∀ᶠ (a₀ : α) in atTop, ∃ b, ∀ (a : α), a ≥ a₀ → r a b\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [eventually_atTop, ← exists_swap (α := α)]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : Nonempty α\nr : α → β → Prop\n⊢ (∃ x y, ∀ (b : α), b ≥ x → r b y) ↔ ∃ a, ∀ (b : α), b ≥ a → ∃ b_1, ∀ (a : α), a ≥ b → r a b_1\n[PROOFSTEP]\nexact exists_congr fun a ↦ .symm <| forall_ge_iff <| Monotone.exists fun _ _ _ hb H n hn ↦ H n (hb.trans hn)\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeInf α\ninst✝ : Nonempty α\nr : α → β → Prop\n⊢ (∃ b, ∀ᶠ (a : α) in atBot, r a b) ↔ ∀ᶠ (a₀ : α) in atBot, ∃ b, ∀ (a : α), a ≤ a₀ → r a b\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [eventually_atBot, ← exists_swap (α := α)]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeInf α\ninst✝ : Nonempty α\nr : α → β → Prop\n⊢ (∃ x y, ∀ (b : α), b ≤ x → r b y) ↔ ∃ a, ∀ (b : α), b ≤ a → ∃ b_1, ∀ (a : α), a ≤ b → r a b_1\n[PROOFSTEP]\nexact exists_congr fun a ↦ .symm <| forall_le_iff <| Antitone.exists fun _ _ _ hb H n hn ↦ H n (hn.trans hb)\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : Nonempty α\np : α → Prop\n⊢ (∀ (i : α), True → ∃ x, x ∈ Ici i ∧ p x) ↔ ∀ (a : α), ∃ b, b ≥ a ∧ p b\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : NoMaxOrder α\np : α → Prop\n⊢ (∀ (i : α), True → ∃ x, x ∈ Ioi i ∧ p x) ↔ ∀ (a : α), ∃ b, b > a ∧ p b\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : Preorder β\nm : α → β\nf : Filter α\n⊢ Tendsto m f atTop ↔ ∀ (b : β), ∀ᶠ (a : α) in f, b ≤ m a\n[PROOFSTEP]\nsimp only [atTop, tendsto_iInf, tendsto_principal, mem_Ici]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : Preorder β\nl : Filter α\nf₁ f₂ : α → β\nh : f₁ ≤ᶠ[l] f₂\nh₁ : Tendsto f₁ l atTop\nb : β\n⊢ ∀ᶠ (a : α) in l, b ≤ f₂ a\n[PROOFSTEP]\nfilter_upwards [tendsto_atTop.1 h₁ b, h] with x using le_trans\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : Preorder β\ne : α ≃o β\n⊢ comap (↑e) atTop = atTop\n[PROOFSTEP]\nsimp [atTop, ← e.surjective.iInf_comp]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : Preorder β\ne : α ≃o β\n⊢ map (↑e) atTop = atTop\n[PROOFSTEP]\nrw [← e.comap_atTop, map_comap_of_surjective e.surjective]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : Preorder β\nl : Filter γ\nf : γ → α\ne : α ≃o β\n⊢ Tendsto (fun x => ↑e (f x)) l atTop ↔ Tendsto f l atTop\n[PROOFSTEP]\nrw [← e.comap_atTop, tendsto_comap_iff]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : Preorder β\nl : Filter γ\nf : γ → α\ne : α ≃o β\n⊢ Tendsto (fun x => ↑e (f x)) l atTop ↔ Tendsto (↑e ∘ f) l atTop\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : Nonempty α\nF : Filter β\nu : α → β\n⊢ NeBot (F ⊓ map u atTop) ↔ ∀ (U : Set β), U ∈ F → ∀ (N : α), ∃ n, n ≥ N ∧ u n ∈ U\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [inf_neBot_iff_frequently_left, frequently_map, frequently_atTop]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : Nonempty α\nF : Filter β\nu : α → β\n⊢ (∀ {p : β → Prop}, (∀ᶠ (x : β) in F, p x) → ∀ (a : α), ∃ b, b ≥ a ∧ p (u b)) ↔\n    ∀ (U : Set β), U ∈ F → ∀ (N : α), ∃ n, n ≥ N ∧ u n ∈ U\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → Prop\nh : ∀ (N : ℕ), ∃ n, n > N ∧ P n\n⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P (φ n)\n[PROOFSTEP]\nchoose u hu hu' using h\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → Prop\nu : ℕ → ℕ\nhu : ∀ (N : ℕ), u N > N\nhu' : ∀ (N : ℕ), P (u N)\n⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P (φ n)\n[PROOFSTEP]\nrefine ⟨fun n => u^[n + 1] 0, strictMono_nat_of_lt_succ fun n => ?_, fun n => ?_⟩\n[GOAL]\ncase refine_1\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → Prop\nu : ℕ → ℕ\nhu : ∀ (N : ℕ), u N > N\nhu' : ∀ (N : ℕ), P (u N)\nn : ℕ\n⊢ u^[n + 1] 0 < u^[n + 1 + 1] 0\n[PROOFSTEP]\nexact Trans.trans (hu _) (Function.iterate_succ_apply' _ _ _).symm\n[GOAL]\ncase refine_2\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → Prop\nu : ℕ → ℕ\nhu : ∀ (N : ℕ), u N > N\nhu' : ∀ (N : ℕ), P (u N)\nn : ℕ\n⊢ P ((fun n => u^[n + 1] 0) n)\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [Function.iterate_succ_apply'] using hu' _\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → Prop\nh : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, P n\n⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P (φ n)\n[PROOFSTEP]\nrw [frequently_atTop'] at h \n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → Prop\nh : ∀ (a : ℕ), ∃ b, b > a ∧ P b\n⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P (φ n)\n[PROOFSTEP]\nexact extraction_of_frequently_atTop' h\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → ℕ → Prop\nh : ∀ (n : ℕ), ∃ᶠ (k : ℕ) in atTop, P n k\n⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P n (φ n)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [frequently_atTop'] at h \n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → ℕ → Prop\nh : ∀ (n a : ℕ), ∃ b, b > a ∧ P n b\n⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P n (φ n)\n[PROOFSTEP]\nchoose u hu hu' using h\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → ℕ → Prop\nu : ℕ → ℕ → ℕ\nhu : ∀ (n a : ℕ), u n a > a\nhu' : ∀ (n a : ℕ), P n (u n a)\n⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P n (φ n)\n[PROOFSTEP]\nuse(fun n => Nat.recOn n (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v : ℕ → ℕ)\n[GOAL]\ncase h\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → ℕ → Prop\nu : ℕ → ℕ → ℕ\nhu : ∀ (n a : ℕ), u n a > a\nhu' : ∀ (n a : ℕ), P n (u n a)\n⊢ (StrictMono fun n => Nat.recOn n (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v) ∧\n    ∀ (n : ℕ), P n (Nat.recOn n (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v)\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase h.left\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → ℕ → Prop\nu : ℕ → ℕ → ℕ\nhu : ∀ (n a : ℕ), u n a > a\nhu' : ∀ (n a : ℕ), P n (u n a)\n⊢ StrictMono fun n => Nat.recOn n (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v\n[PROOFSTEP]\napply strictMono_nat_of_lt_succ\n[GOAL]\ncase h.left.hf\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → ℕ → Prop\nu : ℕ → ℕ → ℕ\nhu : ∀ (n a : ℕ), u n a > a\nhu' : ∀ (n a : ℕ), P n (u n a)\n⊢ ∀ (n : ℕ), (Nat.recOn n (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v) < Nat.recOn (n + 1) (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v\n[PROOFSTEP]\nintro n\n[GOAL]\ncase h.left.hf\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → ℕ → Prop\nu : ℕ → ℕ → ℕ\nhu : ∀ (n a : ℕ), u n a > a\nhu' : ∀ (n a : ℕ), P n (u n a)\nn : ℕ\n⊢ (Nat.recOn n (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v) < Nat.recOn (n + 1) (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v\n[PROOFSTEP]\napply hu\n[GOAL]\ncase h.right\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → ℕ → Prop\nu : ℕ → ℕ → ℕ\nhu : ∀ (n a : ℕ), u n a > a\nhu' : ∀ (n a : ℕ), P n (u n a)\n⊢ ∀ (n : ℕ), P n (Nat.recOn n (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v)\n[PROOFSTEP]\nintro n\n[GOAL]\ncase h.right\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → ℕ → Prop\nu : ℕ → ℕ → ℕ\nhu : ∀ (n a : ℕ), u n a > a\nhu' : ∀ (n a : ℕ), P n (u n a)\nn : ℕ\n⊢ P n (Nat.recOn n (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v)\n[PROOFSTEP]\ncases n\n[GOAL]\ncase h.right.zero\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → ℕ → Prop\nu : ℕ → ℕ → ℕ\nhu : ∀ (n a : ℕ), u n a > a\nhu' : ∀ (n a : ℕ), P n (u n a)\n⊢ P Nat.zero (Nat.recOn Nat.zero (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v)\n[PROOFSTEP]\nsimp [hu']\n[GOAL]\ncase h.right.succ\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → ℕ → Prop\nu : ℕ → ℕ → ℕ\nhu : ∀ (n a : ℕ), u n a > a\nhu' : ∀ (n a : ℕ), P n (u n a)\nn✝ : ℕ\n⊢ P (Nat.succ n✝) (Nat.recOn (Nat.succ n✝) (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v)\n[PROOFSTEP]\nsimp [hu']\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nP : ℕ → ℕ → Prop\nh : ∀ (n : ℕ), ∃ N, ∀ (k : ℕ), k ≥ N → P n k\n⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop, P n k\n[PROOFSTEP]\nsimp [eventually_atTop, h]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\np : ℕ → Prop\nn : ℕ\nhn : n ≠ 0\nhp : ∀ (k : ℕ), k < n → ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, p (n * a + k)\n⊢ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, p a\n[PROOFSTEP]\nsimp only [eventually_atTop] at hp ⊢\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\np : ℕ → Prop\nn : ℕ\nhn : n ≠ 0\nhp : ∀ (k : ℕ), k < n → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → p (n * b + k)\n⊢ ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → p b\n[PROOFSTEP]\nchoose! N hN using hp\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\np : ℕ → Prop\nn : ℕ\nhn : n ≠ 0\nN : ℕ → ℕ\nhN : ∀ (k : ℕ), k < n → ∀ (b : ℕ), b ≥ N k → p (n * b + k)\n⊢ ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → p b\n[PROOFSTEP]\nrefine ⟨(Finset.range n).sup (n * N ·), fun b hb => ?_⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\np : ℕ → Prop\nn : ℕ\nhn : n ≠ 0\nN : ℕ → ℕ\nhN : ∀ (k : ℕ), k < n → ∀ (b : ℕ), b ≥ N k → p (n * b + k)\nb : ℕ\nhb : b ≥ Finset.sup (Finset.range n) fun x => n * N x\n⊢ p b\n[PROOFSTEP]\nrw [← Nat.div_add_mod b n]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\np : ℕ → Prop\nn : ℕ\nhn : n ≠ 0\nN : ℕ → ℕ\nhN : ∀ (k : ℕ), k < n → ∀ (b : ℕ), b ≥ N k → p (n * b + k)\nb : ℕ\nhb : b ≥ Finset.sup (Finset.range n) fun x => n * N x\n⊢ p (n * (b / n) + b % n)\n[PROOFSTEP]\nhave hlt := Nat.mod_lt b hn.bot_lt\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\np : ℕ → Prop\nn : ℕ\nhn : n ≠ 0\nN : ℕ → ℕ\nhN : ∀ (k : ℕ), k < n → ∀ (b : ℕ), b ≥ N k → p (n * b + k)\nb : ℕ\nhb : b ≥ Finset.sup (Finset.range n) fun x => n * N x\nhlt : b % n < n\n⊢ p (n * (b / n) + b % n)\n[PROOFSTEP]\nrefine hN _ hlt _ ?_\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\np : ℕ → Prop\nn : ℕ\nhn : n ≠ 0\nN : ℕ → ℕ\nhN : ∀ (k : ℕ), k < n → ∀ (b : ℕ), b ≥ N k → p (n * b + k)\nb : ℕ\nhb : b ≥ Finset.sup (Finset.range n) fun x => n * N x\nhlt : b % n < n\n⊢ b / n ≥ N (b % n)\n[PROOFSTEP]\nrw [ge_iff_le, Nat.le_div_iff_mul_le hn.bot_lt, mul_comm]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\np : ℕ → Prop\nn : ℕ\nhn : n ≠ 0\nN : ℕ → ℕ\nhN : ∀ (k : ℕ), k < n → ∀ (b : ℕ), b ≥ N k → p (n * b + k)\nb : ℕ\nhb : b ≥ Finset.sup (Finset.range n) fun x => n * N x\nhlt : b % n < n\n⊢ n * N (b % n) ≤ b\n[PROOFSTEP]\nexact (Finset.le_sup (f := (n * N ·)) (Finset.mem_range.2 hlt)).trans hb\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : Preorder β\nu : α → β\nh : Tendsto u atTop atTop\na : α\nb : β\n⊢ ∃ a', a' ≥ a ∧ b ≤ u a'\n[PROOFSTEP]\nhave : Nonempty α := ⟨a⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : Preorder β\nu : α → β\nh : Tendsto u atTop atTop\na : α\nb : β\nthis : Nonempty α\n⊢ ∃ a', a' ≥ a ∧ b ≤ u a'\n[PROOFSTEP]\nhave : ∀ᶠ x in atTop, a ≤ x ∧ b ≤ u x := (eventually_ge_atTop a).and (h.eventually <| eventually_ge_atTop b)\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : Preorder β\nu : α → β\nh : Tendsto u atTop atTop\na : α\nb : β\nthis✝ : Nonempty α\nthis : ∀ᶠ (x : α) in atTop, a ≤ x ∧ b ≤ u x\n⊢ ∃ a', a' ≥ a ∧ b ≤ u a'\n[PROOFSTEP]\nexact this.exists\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Preorder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : α → β\nh : Tendsto u atTop atTop\na : α\nb : β\n⊢ ∃ a', a' ≥ a ∧ b < u a'\n[PROOFSTEP]\ncases' exists_gt b with b' hb'\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Preorder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : α → β\nh : Tendsto u atTop atTop\na : α\nb b' : β\nhb' : b < b'\n⊢ ∃ a', a' ≥ a ∧ b < u a'\n[PROOFSTEP]\nrcases exists_le_of_tendsto_atTop h a b' with ⟨a', ha', ha''⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Preorder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : α → β\nh : Tendsto u atTop atTop\na : α\nb b' : β\nhb' : b < b'\na' : α\nha' : a' ≥ a\nha'' : b' ≤ u a'\n⊢ ∃ a', a' ≥ a ∧ b < u a'\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨a', ha', lt_of_lt_of_le hb' ha''⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : ℕ → β\nhu : Tendsto u atTop atTop\n⊢ ∀ (N : ℕ), ∃ n, n ≥ N ∧ ∀ (k : ℕ), k < n → u k < u n\n[PROOFSTEP]\nintro N\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : ℕ → β\nhu : Tendsto u atTop atTop\nN : ℕ\n⊢ ∃ n, n ≥ N ∧ ∀ (k : ℕ), k < n → u k < u n\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨k : ℕ, - : k ≤ N, hku : ∀ l ≤ N, u l ≤ u k⟩ : ∃ k ≤ N, ∀ l ≤ N, u l ≤ u k\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : ℕ → β\nhu : Tendsto u atTop atTop\nN : ℕ\n⊢ ∃ k, k ≤ N ∧ ∀ (l : ℕ), l ≤ N → u l ≤ u k\ncase intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : ℕ → β\nhu : Tendsto u atTop atTop\nN k : ℕ\nhku : ∀ (l : ℕ), l ≤ N → u l ≤ u k\n⊢ ∃ n, n ≥ N ∧ ∀ (k : ℕ), k < n → u k < u n\n[PROOFSTEP]\nexact exists_max_image _ u (finite_le_nat N) ⟨N, le_refl N⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : ℕ → β\nhu : Tendsto u atTop atTop\nN k : ℕ\nhku : ∀ (l : ℕ), l ≤ N → u l ≤ u k\n⊢ ∃ n, n ≥ N ∧ ∀ (k : ℕ), k < n → u k < u n\n[PROOFSTEP]\nhave ex : ∃ n ≥ N, u k < u n := exists_lt_of_tendsto_atTop hu _ _\n[GOAL]\ncase intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : ℕ → β\nhu : Tendsto u atTop atTop\nN k : ℕ\nhku : ∀ (l : ℕ), l ≤ N → u l ≤ u k\nex : ∃ n, n ≥ N ∧ u k < u n\n⊢ ∃ n, n ≥ N ∧ ∀ (k : ℕ), k < n → u k < u n\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨n : ℕ, hnN : n ≥ N, hnk : u k < u n, hn_min : ∀ m, m < n → N ≤ m → u m ≤ u k⟩ :\n  ∃ n ≥ N, u k < u n ∧ ∀ m, m < n → N ≤ m → u m ≤ u k :=\n  by\n  rcases Nat.findX ex with ⟨n, ⟨hnN, hnk⟩, hn_min⟩\n  push_neg at hn_min \n  exact ⟨n, hnN, hnk, hn_min⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : ℕ → β\nhu : Tendsto u atTop atTop\nN k : ℕ\nhku : ∀ (l : ℕ), l ≤ N → u l ≤ u k\nex : ∃ n, n ≥ N ∧ u k < u n\n⊢ ∃ n, n ≥ N ∧ u k < u n ∧ ∀ (m : ℕ), m < n → N ≤ m → u m ≤ u k\n[PROOFSTEP]\nrcases Nat.findX ex with ⟨n, ⟨hnN, hnk⟩, hn_min⟩\n[GOAL]\ncase mk.intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : ℕ → β\nhu : Tendsto u atTop atTop\nN k : ℕ\nhku : ∀ (l : ℕ), l ≤ N → u l ≤ u k\nex : ∃ n, n ≥ N ∧ u k < u n\nn : ℕ\nhn_min : ∀ (m : ℕ), m < n → ¬(m ≥ N ∧ u k < u m)\nhnN : n ≥ N\nhnk : u k < u n\n⊢ ∃ n, n ≥ N ∧ u k < u n ∧ ∀ (m : ℕ), m < n → N ≤ m → u m ≤ u k\n[PROOFSTEP]\npush_neg at hn_min \n[GOAL]\ncase mk.intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : ℕ → β\nhu : Tendsto u atTop atTop\nN k : ℕ\nhku : ∀ (l : ℕ), l ≤ N → u l ≤ u k\nex : ∃ n, n ≥ N ∧ u k < u n\nn : ℕ\nhnN : n ≥ N\nhnk : u k < u n\nhn_min : ∀ (m : ℕ), m < n → m ≥ N → u m ≤ u k\n⊢ ∃ n, n ≥ N ∧ u k < u n ∧ ∀ (m : ℕ), m < n → N ≤ m → u m ≤ u k\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨n, hnN, hnk, hn_min⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : ℕ → β\nhu : Tendsto u atTop atTop\nN k : ℕ\nhku : ∀ (l : ℕ), l ≤ N → u l ≤ u k\nex : ∃ n, n ≥ N ∧ u k < u n\nn : ℕ\nhnN : n ≥ N\nhnk : u k < u n\nhn_min : ∀ (m : ℕ), m < n → N ≤ m → u m ≤ u k\n⊢ ∃ n, n ≥ N ∧ ∀ (k : ℕ), k < n → u k < u n\n[PROOFSTEP]\nuse n, hnN\n[GOAL]\ncase right\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : ℕ → β\nhu : Tendsto u atTop atTop\nN k : ℕ\nhku : ∀ (l : ℕ), l ≤ N → u l ≤ u k\nex : ∃ n, n ≥ N ∧ u k < u n\nn : ℕ\nhnN : n ≥ N\nhnk : u k < u n\nhn_min : ∀ (m : ℕ), m < n → N ≤ m → u m ≤ u k\n⊢ ∀ (k : ℕ), k < n → u k < u n\n[PROOFSTEP]\nrintro (l : ℕ) (hl : l < n)\n[GOAL]\ncase right\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : ℕ → β\nhu : Tendsto u atTop atTop\nN k : ℕ\nhku : ∀ (l : ℕ), l ≤ N → u l ≤ u k\nex : ∃ n, n ≥ N ∧ u k < u n\nn : ℕ\nhnN : n ≥ N\nhnk : u k < u n\nhn_min : ∀ (m : ℕ), m < n → N ≤ m → u m ≤ u k\nl : ℕ\nhl : l < n\n⊢ u l < u n\n[PROOFSTEP]\nhave hlk : u l ≤ u k := by\n  cases' (le_total l N : l ≤ N ∨ N ≤ l) with H H\n  · exact hku l H\n  · exact hn_min l hl H\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : ℕ → β\nhu : Tendsto u atTop atTop\nN k : ℕ\nhku : ∀ (l : ℕ), l ≤ N → u l ≤ u k\nex : ∃ n, n ≥ N ∧ u k < u n\nn : ℕ\nhnN : n ≥ N\nhnk : u k < u n\nhn_min : ∀ (m : ℕ), m < n → N ≤ m → u m ≤ u k\nl : ℕ\nhl : l < n\n⊢ u l ≤ u k\n[PROOFSTEP]\ncases' (le_total l N : l ≤ N ∨ N ≤ l) with H H\n[GOAL]\ncase inl\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : ℕ → β\nhu : Tendsto u atTop atTop\nN k : ℕ\nhku : ∀ (l : ℕ), l ≤ N → u l ≤ u k\nex : ∃ n, n ≥ N ∧ u k < u n\nn : ℕ\nhnN : n ≥ N\nhnk : u k < u n\nhn_min : ∀ (m : ℕ), m < n → N ≤ m → u m ≤ u k\nl : ℕ\nhl : l < n\nH : l ≤ N\n⊢ u l ≤ u k\n[PROOFSTEP]\nexact hku l H\n[GOAL]\ncase inr\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : ℕ → β\nhu : Tendsto u atTop atTop\nN k : ℕ\nhku : ∀ (l : ℕ), l ≤ N → u l ≤ u k\nex : ∃ n, n ≥ N ∧ u k < u n\nn : ℕ\nhnN : n ≥ N\nhnk : u k < u n\nhn_min : ∀ (m : ℕ), m < n → N ≤ m → u m ≤ u k\nl : ℕ\nhl : l < n\nH : N ≤ l\n⊢ u l ≤ u k\n[PROOFSTEP]\nexact hn_min l hl H\n[GOAL]\ncase right\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : ℕ → β\nhu : Tendsto u atTop atTop\nN k : ℕ\nhku : ∀ (l : ℕ), l ≤ N → u l ≤ u k\nex : ∃ n, n ≥ N ∧ u k < u n\nn : ℕ\nhnN : n ≥ N\nhnk : u k < u n\nhn_min : ∀ (m : ℕ), m < n → N ≤ m → u m ≤ u k\nl : ℕ\nhl : l < n\nhlk : u l ≤ u k\n⊢ u l < u n\n[PROOFSTEP]\ncalc\n  u l ≤ u k := hlk\n  _ < u n := hnk\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nu : ℕ → β\nhu : Tendsto u atTop atTop\n⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (k : ℕ), k < n → u k < u n\n[PROOFSTEP]\nsimpa [frequently_atTop] using high_scores hu\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : OrderedAddCommGroup β\nl : Filter α\nf g : α → β\nC : β\nhf : ∀ᶠ (x : α) in l, C ≤ f x\nhg : Tendsto g l atTop\n⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, (fun x => -f x) x ≤ -C\n[PROOFSTEP]\nsimpa\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : OrderedAddCommGroup β\nl : Filter α\nf g : α → β\nC : β\nhf : ∀ᶠ (x : α) in l, C ≤ f x\nhg : Tendsto g l atTop\n⊢ Tendsto (fun x => (fun x => -f x) x + (fun x => f x + g x) x) l atTop\n[PROOFSTEP]\nsimpa\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : OrderedAddCommGroup β\nl : Filter α\nf g : α → β\nC : β\nhf : Tendsto f l atTop\nhg : ∀ᶠ (x : α) in l, C ≤ g x\n⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, (fun x => -g x) x ≤ -C\n[PROOFSTEP]\nsimp [hg]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : OrderedAddCommGroup β\nl : Filter α\nf g : α → β\nC : β\nhf : Tendsto f l atTop\nhg : ∀ᶠ (x : α) in l, C ≤ g x\n⊢ Tendsto (fun x => (fun x => f x + g x) x + (fun x => -g x) x) l atTop\n[PROOFSTEP]\nsimp [hf]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : StrictOrderedSemiring α\nl : Filter β\nf g : β → α\nhf : Tendsto f l atTop\nhg : Tendsto g l atTop\n⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop\n[PROOFSTEP]\nrefine' tendsto_atTop_mono' _ _ hg\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : StrictOrderedSemiring α\nl : Filter β\nf g : β → α\nhf : Tendsto f l atTop\nhg : Tendsto g l atTop\n⊢ g ≤ᶠ[l] fun x => f x * g x\n[PROOFSTEP]\nfilter_upwards [hg.eventually (eventually_ge_atTop 0), hf.eventually (eventually_ge_atTop 1)] with _ using\n  le_mul_of_one_le_left\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : StrictOrderedRing α\nl : Filter β\nf g : β → α\nhf : Tendsto f l atTop\nhg : Tendsto g l atBot\n⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot\n[PROOFSTEP]\nhave := hf.atTop_mul_atTop <| tendsto_neg_atBot_atTop.comp hg\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : StrictOrderedRing α\nl : Filter β\nf g : β → α\nhf : Tendsto f l atTop\nhg : Tendsto g l atBot\nthis : Tendsto (fun x => f x * (Neg.neg ∘ g) x) l atTop\n⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [(· ∘ ·), neg_mul_eq_mul_neg, neg_neg] using tendsto_neg_atTop_atBot.comp this\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : StrictOrderedRing α\nl : Filter β\nf g : β → α\nhf : Tendsto f l atBot\nhg : Tendsto g l atTop\n⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot\n[PROOFSTEP]\nhave : Tendsto (fun x => -f x * g x) l atTop := (tendsto_neg_atBot_atTop.comp hf).atTop_mul_atTop hg\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : StrictOrderedRing α\nl : Filter β\nf g : β → α\nhf : Tendsto f l atBot\nhg : Tendsto g l atTop\nthis : Tendsto (fun x => -f x * g x) l atTop\n⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [(· ∘ ·), neg_mul_eq_neg_mul, neg_neg] using tendsto_neg_atTop_atBot.comp this\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : StrictOrderedRing α\nl : Filter β\nf g : β → α\nhf : Tendsto f l atBot\nhg : Tendsto g l atBot\n⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop\n[PROOFSTEP]\nhave : Tendsto (fun x => -f x * -g x) l atTop :=\n  (tendsto_neg_atBot_atTop.comp hf).atTop_mul_atTop (tendsto_neg_atBot_atTop.comp hg)\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : StrictOrderedRing α\nl : Filter β\nf g : β → α\nhf : Tendsto f l atBot\nhg : Tendsto g l atBot\nthis : Tendsto (fun x => -f x * -g x) l atTop\n⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [neg_mul_neg] using this\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\n⊢ comap abs atTop = atBot ⊔ atTop\n[PROOFSTEP]\nrefine'\n  le_antisymm (((atTop_basis.comap _).le_basis_iff (atBot_basis.sup atTop_basis)).2 _)\n    (sup_le tendsto_abs_atBot_atTop.le_comap tendsto_abs_atTop_atTop.le_comap)\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\n⊢ ∀ (i' : α × α), True ∧ True → ∃ i, True ∧ abs ⁻¹' Ici i ⊆ Iic i'.fst ∪ Ici i'.snd\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨a, b⟩ -\n[GOAL]\ncase mk\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\na b : α\n⊢ ∃ i, True ∧ abs ⁻¹' Ici i ⊆ Iic (a, b).fst ∪ Ici (a, b).snd\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨max (-a) b, trivial, fun x hx => _⟩\n[GOAL]\ncase mk\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\na b x : α\nhx : x ∈ abs ⁻¹' Ici (max (-a) b)\n⊢ x ∈ Iic (a, b).fst ∪ Ici (a, b).snd\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_preimage, mem_Ici, le_abs', max_le_iff, ← min_neg_neg, le_min_iff, neg_neg] at hx \n[GOAL]\ncase mk\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α\na b x : α\nhx : x ≤ a ∧ x ≤ -b ∨ -a ≤ x ∧ b ≤ x\n⊢ x ∈ Iic (a, b).fst ∪ Ici (a, b).snd\n[PROOFSTEP]\nexact hx.imp And.left And.right\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedSemiring α\nl : Filter β\nf : β → α\nn : ℕ\nh : Tendsto (fun x => x ^ n) atTop atTop\nhn : n = 0\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nsimp only [hn, pow_zero, not_tendsto_const_atTop] at h \n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedRing α\n⊢ ¬Tendsto (fun x => x ^ 0) atTop atBot\n[PROOFSTEP]\nsimp [not_tendsto_const_atBot]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedSemifield α\nl : Filter β\nf : β → α\nr c : α\nn : ℕ\nhr : 0 < r\nh : Tendsto f l atTop\n⊢ Tendsto (fun x => r⁻¹ * (r * f x)) l atTop\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [inv_mul_cancel_left₀ hr.ne']\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedSemifield α\nl : Filter β\nf : β → α\nr c : α\nn : ℕ\nhr : 0 < r\n⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atTop ↔ Tendsto f l atTop\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [mul_comm] using tendsto_const_mul_atTop_of_pos hr\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedSemifield α\nl : Filter β\nf : β → α\nr c : α\nn : ℕ\ninst✝ : NeBot l\nh : Tendsto f l atTop\n⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ 0 < r\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨fun hrf => not_le.mp fun hr => _, fun hr => (tendsto_const_mul_atTop_of_pos hr).mpr h⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedSemifield α\nl : Filter β\nf : β → α\nr c : α\nn : ℕ\ninst✝ : NeBot l\nh : Tendsto f l atTop\nhrf : Tendsto (fun x => r * f x) l atTop\nhr : r ≤ 0\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nrcases((h.eventually_ge_atTop 0).and (hrf.eventually_gt_atTop 0)).exists with ⟨x, hx, hrx⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedSemifield α\nl : Filter β\nf : β → α\nr c : α\nn : ℕ\ninst✝ : NeBot l\nh : Tendsto f l atTop\nhrf : Tendsto (fun x => r * f x) l atTop\nhr : r ≤ 0\nx : β\nhx : 0 ≤ f x\nhrx : 0 < r * f x\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact (mul_nonpos_of_nonpos_of_nonneg hr hx).not_lt hrx\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedSemifield α\nl : Filter β\nf : β → α\nr c : α\nn : ℕ\ninst✝ : NeBot l\nh : Tendsto f l atTop\n⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atTop ↔ 0 < r\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mul_comm _ r, tendsto_const_mul_atTop_iff_pos h]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedSemifield α\nl : Filter β\nf : β → α\nr c : α\nn : ℕ\nhr : 0 < r\nhf : Tendsto f l atTop\n⊢ Tendsto (fun x => f x / r) l atTop\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [div_eq_mul_inv] using hf.atTop_mul_const (inv_pos.2 hr)\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedSemifield α\nl : Filter β\nf : β → α\nr c : α\nn : ℕ\n⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atTop ↔ n ≠ 0 ∧ 0 < c\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨fun h => ⟨_, _⟩, fun h => tendsto_const_mul_pow_atTop h.1 h.2⟩\n[GOAL]\ncase refine'_1\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedSemifield α\nl : Filter β\nf : β → α\nr c : α\nn : ℕ\nh : Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atTop\n⊢ n ≠ 0\n[PROOFSTEP]\nrintro rfl\n[GOAL]\ncase refine'_1\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedSemifield α\nl : Filter β\nf : β → α\nr c : α\nh : Tendsto (fun x => c * x ^ 0) atTop atTop\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nsimp only [pow_zero, not_tendsto_const_atTop] at h \n[GOAL]\ncase refine'_2\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedSemifield α\nl : Filter β\nf : β → α\nr c : α\nn : ℕ\nh : Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atTop\n⊢ 0 < c\n[PROOFSTEP]\nrcases((h.eventually_gt_atTop 0).and (eventually_ge_atTop 0)).exists with ⟨k, hck, hk⟩\n[GOAL]\ncase refine'_2.intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedSemifield α\nl : Filter β\nf : β → α\nr c : α\nn : ℕ\nh : Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atTop\nk : α\nhck : 0 < c * k ^ n\nhk : 0 ≤ k\n⊢ 0 < c\n[PROOFSTEP]\nexact pos_of_mul_pos_left hck (pow_nonneg hk _)\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\nhr : 0 < r\n⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atBot ↔ Tendsto f l atBot\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [← mul_neg, ← tendsto_neg_atTop_iff] using tendsto_const_mul_atTop_of_pos hr\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\nhr : 0 < r\n⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ Tendsto f l atBot\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [mul_comm] using tendsto_const_mul_atBot_of_pos hr\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\nhr : r < 0\n⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ Tendsto f l atBot\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [neg_mul, tendsto_neg_atBot_iff] using tendsto_const_mul_atBot_of_pos (neg_pos.2 hr)\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\nhr : r < 0\n⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atTop ↔ Tendsto f l atBot\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [mul_comm] using tendsto_const_mul_atTop_of_neg hr\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\nhr : r < 0\n⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atBot ↔ Tendsto f l atTop\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [neg_mul, tendsto_neg_atTop_iff] using tendsto_const_mul_atTop_of_pos (neg_pos.2 hr)\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\nhr : r < 0\n⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ Tendsto f l atTop\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [mul_comm] using tendsto_const_mul_atBot_of_neg hr\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\ninst✝ : NeBot l\n⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atTop ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atBot\n[PROOFSTEP]\nrcases lt_trichotomy r 0 with (hr | rfl | hr)\n[GOAL]\ncase inl\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\ninst✝ : NeBot l\nhr : r < 0\n⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atTop ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atBot\n[PROOFSTEP]\nsimp [hr, hr.not_lt, tendsto_const_mul_atTop_of_neg]\n[GOAL]\ncase inr.inl\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\ninst✝ : NeBot l\n⊢ Tendsto (fun x => 0 * f x) l atTop ↔ 0 < 0 ∧ Tendsto f l atTop ∨ 0 < 0 ∧ Tendsto f l atBot\n[PROOFSTEP]\nsimp [not_tendsto_const_atTop]\n[GOAL]\ncase inr.inr\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\ninst✝ : NeBot l\nhr : 0 < r\n⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atTop ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atBot\n[PROOFSTEP]\nsimp [hr, hr.not_lt, tendsto_const_mul_atTop_of_pos]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\ninst✝ : NeBot l\n⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atTop ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atTop ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atBot\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mul_comm _ r, tendsto_const_mul_atTop_iff]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\ninst✝ : NeBot l\n⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atBot ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atBot ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atTop\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← tendsto_neg_atTop_iff, ← mul_neg, tendsto_const_mul_atTop_iff, neg_neg]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\ninst✝ : NeBot l\n⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atBot ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atTop\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mul_comm _ r, tendsto_const_mul_atBot_iff]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\ninst✝ : NeBot l\nh : Tendsto f l atBot\n⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ r < 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [tendsto_const_mul_atTop_iff, h, h.not_tendsto disjoint_atBot_atTop]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\ninst✝ : NeBot l\nh : Tendsto f l atBot\n⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atTop ↔ r < 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mul_comm _ r, tendsto_const_mul_atTop_iff_neg h]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\ninst✝ : NeBot l\nh : Tendsto f l atBot\n⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atBot ↔ 0 < r\n[PROOFSTEP]\nsimp [tendsto_const_mul_atBot_iff, h, h.not_tendsto disjoint_atBot_atTop]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\ninst✝ : NeBot l\nh : Tendsto f l atBot\n⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ 0 < r\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mul_comm _ r, tendsto_const_mul_atBot_iff_pos h]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\ninst✝ : NeBot l\nh : Tendsto f l atTop\n⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atBot ↔ r < 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [tendsto_const_mul_atBot_iff, h, h.not_tendsto disjoint_atTop_atBot]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\ninst✝ : NeBot l\nh : Tendsto f l atTop\n⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ r < 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mul_comm _ r, tendsto_const_mul_atBot_iff_neg h]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr : α\nhr : 0 < r\nhf : Tendsto f l atBot\n⊢ Tendsto (fun x => f x / r) l atBot\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [div_eq_mul_inv] using hf.atBot_mul_const (inv_pos.2 hr)\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : LinearOrderedField α\nl : Filter β\nf : β → α\nr c : α\nn : ℕ\n⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atBot ↔ n ≠ 0 ∧ c < 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← tendsto_neg_atTop_iff, ← neg_mul, tendsto_const_mul_pow_atTop_iff, neg_pos]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : SemilatticeSup α\nf : α → β\nl : Filter β\n⊢ Tendsto f atTop l ↔ ∀ (s : Set β), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : α), b ≥ a → f b ∈ s\n[PROOFSTEP]\nsimp only [tendsto_def, mem_atTop_sets]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : SemilatticeSup α\nf : α → β\nl : Filter β\n⊢ (∀ (s : Set β), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : α), b ≥ a → b ∈ f ⁻¹' s) ↔ ∀ (s : Set β), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : α), b ≥ a → f b ∈ s\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Nonempty β\ninst✝ : SemilatticeSup β\nf : β → α\ns : Set α\n⊢ Tendsto f atTop (𝓟 s) ↔ ∃ N, ∀ (n : β), n ≥ N → f n ∈ s\n[PROOFSTEP]\nrw [tendsto_iff_comap, comap_principal, le_principal_iff, mem_atTop_sets]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Nonempty β\ninst✝ : SemilatticeSup β\nf : β → α\ns : Set α\n⊢ (∃ a, ∀ (b : β), b ≥ a → b ∈ f ⁻¹' s) ↔ ∃ N, ∀ (n : β), n ≥ N → f n ∈ s\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Preorder β\ninst✝ : Preorder γ\nf : α → β\ne : β → γ\nl : Filter α\nhm : ∀ (b₁ b₂ : β), e b₁ ≤ e b₂ ↔ b₁ ≤ b₂\nhu : ∀ (c : γ), ∃ b, c ≤ e b\n⊢ Tendsto (e ∘ f) l atTop ↔ Tendsto f l atTop\n[PROOFSTEP]\nrw [← comap_embedding_atTop hm hu, tendsto_comap_iff]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\n⊢ atTop = ⨅ (x : α), 𝓟 (Ici {x})\n[PROOFSTEP]\nrefine' le_antisymm (le_iInf fun i => le_principal_iff.2 <| mem_atTop { i }) _\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\n⊢ ⨅ (x : α), 𝓟 (Ici {x}) ≤ atTop\n[PROOFSTEP]\nrefine' le_iInf fun s => le_principal_iff.2 <| mem_iInf_of_iInter s.finite_toSet (fun i => mem_principal_self _) _\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns : Finset α\n⊢ ⋂ (i : ↑↑s), Ici {↑i} ⊆ Ici s\n[PROOFSTEP]\nsimp only [subset_def, mem_iInter, SetCoe.forall, mem_Ici, Finset.le_iff_subset, Finset.mem_singleton,\n  Finset.subset_iff, forall_eq]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ns : Finset α\n⊢ ∀ (x : Finset α), (∀ (x_1 : α), x_1 ∈ ↑s → x_1 ∈ x) → ∀ ⦃x_1 : α⦄, x_1 ∈ s → x_1 ∈ x\n[PROOFSTEP]\nexact fun t => id\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : Preorder β\nf : β → Finset α\nh : Monotone f\nh' : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ f n\n⊢ Tendsto f atTop atTop\n[PROOFSTEP]\nsimp only [atTop_finset_eq_iInf, tendsto_iInf, tendsto_principal]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : Preorder β\nf : β → Finset α\nh : Monotone f\nh' : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ f n\n⊢ ∀ (i : α), ∀ᶠ (a : β) in atTop, f a ∈ Ici {i}\n[PROOFSTEP]\nintro a\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : Preorder β\nf : β → Finset α\nh : Monotone f\nh' : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ f n\na : α\n⊢ ∀ᶠ (a_1 : β) in atTop, f a_1 ∈ Ici {a}\n[PROOFSTEP]\nrcases h' a with ⟨b, hb⟩\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : Preorder β\nf : β → Finset α\nh : Monotone f\nh' : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ f n\na : α\nb : β\nhb : a ∈ f b\n⊢ ∀ᶠ (a_1 : β) in atTop, f a_1 ∈ Ici {a}\n[PROOFSTEP]\nexact (eventually_ge_atTop b).mono fun b' hb' => (Finset.singleton_subset_iff.2 hb).trans (h hb')\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : DecidableEq β\ni : β → γ\nj : γ → β\nh : Function.LeftInverse j i\na : β\n⊢ a ∈ Finset.image j {i a}\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Finset.image_singleton, h a, Finset.mem_singleton]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : Preorder β\n⊢ atTop ×ˢ atTop = atTop\n[PROOFSTEP]\ncases isEmpty_or_nonempty α\n[GOAL]\ncase inl\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : Preorder β\nh✝ : IsEmpty α\n⊢ atTop ×ˢ atTop = atTop\ncase inr\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : Preorder β\nh✝ : Nonempty α\n⊢ atTop ×ˢ atTop = atTop\n[PROOFSTEP]\nexact Subsingleton.elim _ _\n[GOAL]\ncase inr\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : Preorder β\nh✝ : Nonempty α\n⊢ atTop ×ˢ atTop = atTop\n[PROOFSTEP]\ncases isEmpty_or_nonempty β\n[GOAL]\ncase inr.inl\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : Preorder β\nh✝¹ : Nonempty α\nh✝ : IsEmpty β\n⊢ atTop ×ˢ atTop = atTop\ncase inr.inr\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : Preorder β\nh✝¹ : Nonempty α\nh✝ : Nonempty β\n⊢ atTop ×ˢ atTop = atTop\n[PROOFSTEP]\nexact Subsingleton.elim _ _\n[GOAL]\ncase inr.inr\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Preorder α\ninst✝ : Preorder β\nh✝¹ : Nonempty α\nh✝ : Nonempty β\n⊢ atTop ×ˢ atTop = atTop\n[PROOFSTEP]\nsimpa [atTop, prod_iInf_left, prod_iInf_right, iInf_prod] using iInf_comm\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα₁ : Type u_6\nα₂ : Type u_7\nβ₁ : Type u_8\nβ₂ : Type u_9\ninst✝¹ : Preorder β₁\ninst✝ : Preorder β₂\nu₁ : β₁ → α₁\nu₂ : β₂ → α₂\n⊢ map u₁ atTop ×ˢ map u₂ atTop = map (Prod.map u₁ u₂) atTop\n[PROOFSTEP]\nrw [prod_map_map_eq, prod_atTop_atTop_eq, Prod.map_def]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeInf α\n⊢ Tendsto (fun a => (a, a)) atBot atBot\n[PROOFSTEP]\nrw [← prod_atBot_atBot_eq]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeInf α\n⊢ Tendsto (fun a => (a, a)) atBot (atBot ×ˢ atBot)\n[PROOFSTEP]\nexact tendsto_id.prod_mk tendsto_id\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\n⊢ Tendsto (fun a => (a, a)) atTop atTop\n[PROOFSTEP]\nrw [← prod_atTop_atTop_eq]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\n⊢ Tendsto (fun a => (a, a)) atTop (atTop ×ˢ atTop)\n[PROOFSTEP]\nexact tendsto_id.prod_mk tendsto_id\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeInf γ\nF : Filter α\nG : Filter β\nf : α → γ\ng : β → γ\nhf : Tendsto f F atBot\nhg : Tendsto g G atBot\n⊢ Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) atBot\n[PROOFSTEP]\nrw [← prod_atBot_atBot_eq]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeInf γ\nF : Filter α\nG : Filter β\nf : α → γ\ng : β → γ\nhf : Tendsto f F atBot\nhg : Tendsto g G atBot\n⊢ Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) (atBot ×ˢ atBot)\n[PROOFSTEP]\nexact hf.prod_map hg\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup γ\nF : Filter α\nG : Filter β\nf : α → γ\ng : β → γ\nhf : Tendsto f F atTop\nhg : Tendsto g G atTop\n⊢ Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) atTop\n[PROOFSTEP]\nrw [← prod_atTop_atTop_eq]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup γ\nF : Filter α\nG : Filter β\nf : α → γ\ng : β → γ\nhf : Tendsto f F atTop\nhg : Tendsto g G atTop\n⊢ Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) (atTop ×ˢ atTop)\n[PROOFSTEP]\nexact hf.prod_map hg\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeInf α\ninst✝ : SemilatticeInf γ\nf g : α → γ\nhf : Tendsto f atBot atBot\nhg : Tendsto g atBot atBot\n⊢ Tendsto (Prod.map f g) atBot atBot\n[PROOFSTEP]\nrw [← prod_atBot_atBot_eq]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeInf α\ninst✝ : SemilatticeInf γ\nf g : α → γ\nhf : Tendsto f atBot atBot\nhg : Tendsto g atBot atBot\n⊢ Tendsto (Prod.map f g) (atBot ×ˢ atBot) atBot\n[PROOFSTEP]\nexact hf.prod_map_prod_atBot hg\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : SemilatticeSup γ\nf g : α → γ\nhf : Tendsto f atTop atTop\nhg : Tendsto g atTop atTop\n⊢ Tendsto (Prod.map f g) atTop atTop\n[PROOFSTEP]\nrw [← prod_atTop_atTop_eq]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : SemilatticeSup γ\nf g : α → γ\nhf : Tendsto f atTop atTop\nhg : Tendsto g atTop atTop\n⊢ Tendsto (Prod.map f g) (atTop ×ˢ atTop) atTop\n[PROOFSTEP]\nexact hf.prod_map_prod_atTop hg\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeInf α\ninst✝ : Nonempty α\np : α × α → Prop\n⊢ (∀ᶠ (x : α × α) in atBot, p x) ↔ ∃ a, ∀ (k l : α), k ≤ a → l ≤ a → p (k, l)\n[PROOFSTEP]\nsimp [← prod_atBot_atBot_eq, (@atBot_basis α _ _).prod_self.eventually_iff]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeInf α\ninst✝ : Nonempty α\np : α × α → Prop\n⊢ (∀ᶠ (x : α × α) in atBot, p x) ↔ ∃ a, ∀ (k : α), k ≤ a → ∀ (l : α), l ≤ a → p (k, l)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [eventually_atBot_prod_self, ball_cond_comm]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : Nonempty α\np : α × α → Prop\n⊢ (∀ᶠ (x : α × α) in atTop, p x) ↔ ∃ a, ∀ (k : α), k ≥ a → ∀ (l : α), l ≥ a → p (k, l)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [eventually_atTop_prod_self, ball_cond_comm]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : SemilatticeSup β\np : α × β → Prop\nhp : ∀ᶠ (x : α × β) in atTop, p x\n⊢ ∀ᶠ (k : α) in atTop, ∀ᶠ (l : β) in atTop, p (k, l)\n[PROOFSTEP]\nrw [← prod_atTop_atTop_eq] at hp \n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : SemilatticeSup β\np : α × β → Prop\nhp : ∀ᶠ (x : α × β) in atTop ×ˢ atTop, p x\n⊢ ∀ᶠ (k : α) in atTop, ∀ᶠ (l : β) in atTop, p (k, l)\n[PROOFSTEP]\nexact hp.curry\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : SemilatticeSup β\nf : α → β\ng : β → α\nb' : β\nhf : Monotone f\ngc : ∀ (a : α) (b : β), b ≥ b' → (f a ≤ b ↔ a ≤ g b)\nhgi : ∀ (b : β), b ≥ b' → b ≤ f (g b)\n⊢ map f atTop = atTop\n[PROOFSTEP]\nrefine' le_antisymm (hf.tendsto_atTop_atTop fun b => ⟨g (b ⊔ b'), le_sup_left.trans <| hgi _ le_sup_right⟩) _\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : SemilatticeSup β\nf : α → β\ng : β → α\nb' : β\nhf : Monotone f\ngc : ∀ (a : α) (b : β), b ≥ b' → (f a ≤ b ↔ a ≤ g b)\nhgi : ∀ (b : β), b ≥ b' → b ≤ f (g b)\n⊢ atTop ≤ map f atTop\n[PROOFSTEP]\nrw [@map_atTop_eq _ _ ⟨g b'⟩]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : SemilatticeSup β\nf : α → β\ng : β → α\nb' : β\nhf : Monotone f\ngc : ∀ (a : α) (b : β), b ≥ b' → (f a ≤ b ↔ a ≤ g b)\nhgi : ∀ (b : β), b ≥ b' → b ≤ f (g b)\n⊢ atTop ≤ ⨅ (a : α), 𝓟 (f '' {a' | a ≤ a'})\n[PROOFSTEP]\nrefine' le_iInf fun a => iInf_le_of_le (f a ⊔ b') <| principal_mono.2 fun b hb => _\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : SemilatticeSup β\nf : α → β\ng : β → α\nb' : β\nhf : Monotone f\ngc : ∀ (a : α) (b : β), b ≥ b' → (f a ≤ b ↔ a ≤ g b)\nhgi : ∀ (b : β), b ≥ b' → b ≤ f (g b)\na : α\nb : β\nhb : b ∈ Ici (f a ⊔ b')\n⊢ b ∈ f '' {a' | a ≤ a'}\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_Ici, sup_le_iff] at hb \n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : SemilatticeSup β\nf : α → β\ng : β → α\nb' : β\nhf : Monotone f\ngc : ∀ (a : α) (b : β), b ≥ b' → (f a ≤ b ↔ a ≤ g b)\nhgi : ∀ (b : β), b ≥ b' → b ≤ f (g b)\na : α\nb : β\nhb : f a ≤ b ∧ b' ≤ b\n⊢ b ∈ f '' {a' | a ≤ a'}\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨g b, (gc _ _ hb.2).1 hb.1, le_antisymm ((gc _ _ hb.2).2 le_rfl) (hgi _ hb.2)⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\ns : Set α\nh : Ici a ⊆ s\n⊢ map Subtype.val atTop = atTop\n[PROOFSTEP]\nhaveI : Nonempty s := ⟨⟨a, h le_rfl⟩⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\ns : Set α\nh : Ici a ⊆ s\nthis : Nonempty ↑s\n⊢ map Subtype.val atTop = atTop\n[PROOFSTEP]\nhave : Directed (· ≥ ·) fun x : s => 𝓟 (Ici x) := by\n  intro x y\n  use⟨x ⊔ y ⊔ a, h le_sup_right⟩\n  simp only [ge_iff_le, principal_mono, Ici_subset_Ici, ← Subtype.coe_le_coe, Subtype.coe_mk]\n  exact ⟨le_sup_left.trans le_sup_left, le_sup_right.trans le_sup_left⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\ns : Set α\nh : Ici a ⊆ s\nthis : Nonempty ↑s\n⊢ Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun x => 𝓟 (Ici x)\n[PROOFSTEP]\nintro x y\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\ns : Set α\nh : Ici a ⊆ s\nthis : Nonempty ↑s\nx y : ↑s\n⊢ ∃ z,\n    (fun x x_1 => x ≥ x_1) ((fun x => 𝓟 (Ici x)) x) ((fun x => 𝓟 (Ici x)) z) ∧\n      (fun x x_1 => x ≥ x_1) ((fun x => 𝓟 (Ici x)) y) ((fun x => 𝓟 (Ici x)) z)\n[PROOFSTEP]\nuse⟨x ⊔ y ⊔ a, h le_sup_right⟩\n[GOAL]\ncase h\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\ns : Set α\nh : Ici a ⊆ s\nthis : Nonempty ↑s\nx y : ↑s\n⊢ (fun x x_1 => x ≥ x_1) ((fun x => 𝓟 (Ici x)) x)\n      ((fun x => 𝓟 (Ici x)) { val := ↑x ⊔ ↑y ⊔ a, property := (_ : ↑x ⊔ ↑y ⊔ a ∈ s) }) ∧\n    (fun x x_1 => x ≥ x_1) ((fun x => 𝓟 (Ici x)) y)\n      ((fun x => 𝓟 (Ici x)) { val := ↑x ⊔ ↑y ⊔ a, property := (_ : ↑x ⊔ ↑y ⊔ a ∈ s) })\n[PROOFSTEP]\nsimp only [ge_iff_le, principal_mono, Ici_subset_Ici, ← Subtype.coe_le_coe, Subtype.coe_mk]\n[GOAL]\ncase h\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\ns : Set α\nh : Ici a ⊆ s\nthis : Nonempty ↑s\nx y : ↑s\n⊢ ↑x ≤ ↑x ⊔ ↑y ⊔ a ∧ ↑y ≤ ↑x ⊔ ↑y ⊔ a\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨le_sup_left.trans le_sup_left, le_sup_right.trans le_sup_left⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\ns : Set α\nh : Ici a ⊆ s\nthis✝ : Nonempty ↑s\nthis : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun x => 𝓟 (Ici x)\n⊢ map Subtype.val atTop = atTop\n[PROOFSTEP]\nsimp only [le_antisymm_iff, atTop, le_iInf_iff, le_principal_iff, mem_map, mem_setOf_eq, map_iInf_eq this,\n  map_principal]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\ns : Set α\nh : Ici a ⊆ s\nthis✝ : Nonempty ↑s\nthis : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun x => 𝓟 (Ici x)\n⊢ (∀ (i : α), Ici i ∈ ⨅ (i : ↑s), 𝓟 (Subtype.val '' Ici i)) ∧ ∀ (i : ↑s), Subtype.val '' Ici i ∈ ⨅ (a : α), 𝓟 (Ici a)\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase left\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\ns : Set α\nh : Ici a ⊆ s\nthis✝ : Nonempty ↑s\nthis : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun x => 𝓟 (Ici x)\n⊢ ∀ (i : α), Ici i ∈ ⨅ (i : ↑s), 𝓟 (Subtype.val '' Ici i)\n[PROOFSTEP]\nintro x\n[GOAL]\ncase left\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\ns : Set α\nh : Ici a ⊆ s\nthis✝ : Nonempty ↑s\nthis : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun x => 𝓟 (Ici x)\nx : α\n⊢ Ici x ∈ ⨅ (i : ↑s), 𝓟 (Subtype.val '' Ici i)\n[PROOFSTEP]\nrefine' mem_of_superset (mem_iInf_of_mem ⟨x ⊔ a, h le_sup_right⟩ (mem_principal_self _)) _\n[GOAL]\ncase left\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\ns : Set α\nh : Ici a ⊆ s\nthis✝ : Nonempty ↑s\nthis : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun x => 𝓟 (Ici x)\nx : α\n⊢ Subtype.val '' Ici { val := x ⊔ a, property := (_ : x ⊔ a ∈ s) } ⊆ Ici x\n[PROOFSTEP]\nrintro _ ⟨y, hy, rfl⟩\n[GOAL]\ncase left.intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\ns : Set α\nh : Ici a ⊆ s\nthis✝ : Nonempty ↑s\nthis : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun x => 𝓟 (Ici x)\nx : α\ny : ↑s\nhy : y ∈ Ici { val := x ⊔ a, property := (_ : x ⊔ a ∈ s) }\n⊢ ↑y ∈ Ici x\n[PROOFSTEP]\nexact le_trans le_sup_left (Subtype.coe_le_coe.2 hy)\n[GOAL]\ncase right\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\ns : Set α\nh : Ici a ⊆ s\nthis✝ : Nonempty ↑s\nthis : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun x => 𝓟 (Ici x)\n⊢ ∀ (i : ↑s), Subtype.val '' Ici i ∈ ⨅ (a : α), 𝓟 (Ici a)\n[PROOFSTEP]\nintro x\n[GOAL]\ncase right\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\ns : Set α\nh : Ici a ⊆ s\nthis✝ : Nonempty ↑s\nthis : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun x => 𝓟 (Ici x)\nx : ↑s\n⊢ Subtype.val '' Ici x ∈ ⨅ (a : α), 𝓟 (Ici a)\n[PROOFSTEP]\nfilter_upwards [mem_atTop (↑x ⊔ a)] with b hb\n[GOAL]\ncase h\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\ns : Set α\nh : Ici a ⊆ s\nthis✝ : Nonempty ↑s\nthis : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun x => 𝓟 (Ici x)\nx : ↑s\nb : α\nhb : ↑x ⊔ a ≤ b\n⊢ b ∈ Subtype.val '' Ici x\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨⟨b, h <| le_sup_right.trans hb⟩, Subtype.coe_le_coe.1 (le_sup_left.trans hb), rfl⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\n⊢ atTop = comap Subtype.val atTop\n[PROOFSTEP]\nrcases isEmpty_or_nonempty (Ioi a) with h | ⟨⟨b, hb⟩⟩\n[GOAL]\ncase inl\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\nh : IsEmpty ↑(Ioi a)\n⊢ atTop = comap Subtype.val atTop\n[PROOFSTEP]\nexact Subsingleton.elim _ _\n[GOAL]\ncase inr.intro.mk\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na b : α\nhb : b ∈ Ioi a\n⊢ atTop = comap Subtype.val atTop\n[PROOFSTEP]\nrw [← map_val_atTop_of_Ici_subset (Ici_subset_Ioi.2 hb), comap_map Subtype.coe_injective]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\n⊢ atTop = comap Subtype.val atTop\n[PROOFSTEP]\nrw [← map_val_Ici_atTop a, comap_map Subtype.coe_injective]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\nf : β → ↑(Ioi a)\nl : Filter β\n⊢ Tendsto f l atTop ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atTop\n[PROOFSTEP]\nrw [atTop_Ioi_eq, tendsto_comap_iff]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\nf : β → ↑(Ioi a)\nl : Filter β\n⊢ Tendsto (Subtype.val ∘ f) l atTop ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atTop\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeInf α\na : α\nf : β → ↑(Iio a)\nl : Filter β\n⊢ Tendsto f l atBot ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atBot\n[PROOFSTEP]\nrw [atBot_Iio_eq, tendsto_comap_iff]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeInf α\na : α\nf : β → ↑(Iio a)\nl : Filter β\n⊢ Tendsto (Subtype.val ∘ f) l atBot ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atBot\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\nf : β → ↑(Ici a)\nl : Filter β\n⊢ Tendsto f l atTop ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atTop\n[PROOFSTEP]\nrw [atTop_Ici_eq, tendsto_comap_iff]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\nf : β → ↑(Ici a)\nl : Filter β\n⊢ Tendsto (Subtype.val ∘ f) l atTop ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atTop\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeInf α\na : α\nf : β → ↑(Iic a)\nl : Filter β\n⊢ Tendsto f l atBot ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atBot\n[PROOFSTEP]\nrw [atBot_Iic_eq, tendsto_comap_iff]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeInf α\na : α\nf : β → ↑(Iic a)\nl : Filter β\n⊢ Tendsto (Subtype.val ∘ f) l atBot ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atBot\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : NoMaxOrder α\na : α\nf : α → β\nl : Filter β\n⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto f atTop l\n[PROOFSTEP]\nrw [← map_val_Ioi_atTop a, tendsto_map'_iff]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeSup α\ninst✝ : NoMaxOrder α\na : α\nf : α → β\nl : Filter β\n⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atTop l\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\nf : α → β\nl : Filter β\n⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto f atTop l\n[PROOFSTEP]\nrw [← map_val_Ici_atTop a, tendsto_map'_iff]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeSup α\na : α\nf : α → β\nl : Filter β\n⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atTop l\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeInf α\ninst✝ : NoMinOrder α\na : α\nf : α → β\nl : Filter β\n⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto f atBot l\n[PROOFSTEP]\nrw [← map_val_Iio_atBot a, tendsto_map'_iff]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : SemilatticeInf α\ninst✝ : NoMinOrder α\na : α\nf : α → β\nl : Filter β\n⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atBot l\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeInf α\na : α\nf : α → β\nl : Filter β\n⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto f atBot l\n[PROOFSTEP]\nrw [← map_val_Iic_atBot a, tendsto_map'_iff]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : SemilatticeInf α\na : α\nf : α → β\nl : Filter β\n⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atBot l\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nk a : ℕ\nh : a ≥ k\n⊢ a ≤ (fun a => a - k) a + k\n[PROOFSTEP]\nrw [tsub_add_cancel_of_le h]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nk b : ℕ\nx✝ : b ≥ 0\n⊢ b ≤ (fun a => a + k) b - k\n[PROOFSTEP]\nrw [add_tsub_cancel_right]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : ℕ → α\nl : Filter α\nk : ℕ\n⊢ Tendsto (f ∘ fun n => n + k) atTop l ↔ Tendsto f atTop l\n[PROOFSTEP]\nrw [← tendsto_map'_iff, map_add_atTop_eq_nat]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nk : ℕ\nhk : 0 < k\na b : ℕ\nx✝ : b ≥ 1\n⊢ a / k ≤ b ↔ a ≤ (fun b => b * k + (k - 1)) b\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← Nat.lt_succ_iff, Nat.div_lt_iff_lt_mul hk, Nat.succ_eq_add_one, add_assoc,\n  tsub_add_cancel_of_le (Nat.one_le_iff_ne_zero.2 hk.ne'), add_mul, one_mul]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nk : ℕ\nhk : 0 < k\nb : ℕ\nx✝ : b ≥ 1\n⊢ b = b * k / k\n[PROOFSTEP]\nrw [Nat.mul_div_cancel b hk]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Preorder ι\ninst✝ : LinearOrder α\nu : ι → α\nh : Monotone u\nH : ¬BddAbove (range u)\n⊢ Tendsto u atTop atTop\n[PROOFSTEP]\napply h.tendsto_atTop_atTop\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Preorder ι\ninst✝ : LinearOrder α\nu : ι → α\nh : Monotone u\nH : ¬BddAbove (range u)\n⊢ ∀ (b : α), ∃ a, b ≤ u a\n[PROOFSTEP]\nintro b\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Preorder ι\ninst✝ : LinearOrder α\nu : ι → α\nh : Monotone u\nH : ¬BddAbove (range u)\nb : α\n⊢ ∃ a, b ≤ u a\n[PROOFSTEP]\nrcases not_bddAbove_iff.1 H b with ⟨_, ⟨N, rfl⟩, hN⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝¹ : Preorder ι\ninst✝ : LinearOrder α\nu : ι → α\nh : Monotone u\nH : ¬BddAbove (range u)\nb : α\nN : ι\nhN : b < u N\n⊢ ∃ a, b ≤ u a\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨N, le_of_lt hN⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝³ : Nonempty α\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Preorder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nf : α → β\nh : Tendsto f atTop atTop\n⊢ ¬BddAbove (range f)\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨M, hM⟩\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝³ : Nonempty α\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Preorder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nf : α → β\nh : Tendsto f atTop atTop\nM : β\nhM : M ∈ upperBounds (range f)\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\ncases' mem_atTop_sets.mp (h <| Ioi_mem_atTop M) with a ha\n[GOAL]\ncase intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝³ : Nonempty α\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Preorder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nf : α → β\nh : Tendsto f atTop atTop\nM : β\nhM : M ∈ upperBounds (range f)\na : α\nha : ∀ (b : α), b ≥ a → b ∈ f ⁻¹' Ioi M\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\napply lt_irrefl M\n[GOAL]\ncase intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝³ : Nonempty α\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Preorder β\ninst✝ : NoMaxOrder β\nf : α → β\nh : Tendsto f atTop atTop\nM : β\nhM : M ∈ upperBounds (range f)\na : α\nha : ∀ (b : α), b ≥ a → b ∈ f ⁻¹' Ioi M\n⊢ M < M\n[PROOFSTEP]\ncalc\n  M < f a := ha a le_rfl\n  _ ≤ M := hM (Set.mem_range_self a)\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\nf : β → α\ng : γ → α\nh_eq : ∀ (u : Finset γ), ∃ v, ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∏ x in u', g x = ∏ b in v', f b\n⊢ map (fun s => ∏ b in s, f b) atTop ≤ map (fun s => ∏ x in s, g x) atTop\n[PROOFSTEP]\nclassical\nrefine' ((atTop_basis.map _).le_basis_iff (atTop_basis.map _)).2 fun b _ => _\nlet ⟨v, hv⟩ := h_eq b\nrefine ⟨v, trivial, ?_⟩\nsimpa [image_subset_iff] using hv\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\nf : β → α\ng : γ → α\nh_eq : ∀ (u : Finset γ), ∃ v, ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∏ x in u', g x = ∏ b in v', f b\n⊢ map (fun s => ∏ b in s, f b) atTop ≤ map (fun s => ∏ x in s, g x) atTop\n[PROOFSTEP]\nrefine' ((atTop_basis.map _).le_basis_iff (atTop_basis.map _)).2 fun b _ => _\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\nf : β → α\ng : γ → α\nh_eq : ∀ (u : Finset γ), ∃ v, ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∏ x in u', g x = ∏ b in v', f b\nb : Finset γ\nx✝ : True\n⊢ ∃ i, True ∧ (fun s => ∏ b in s, f b) '' Ici i ⊆ (fun s => ∏ x in s, g x) '' Ici b\n[PROOFSTEP]\nlet ⟨v, hv⟩ := h_eq b\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\nf : β → α\ng : γ → α\nh_eq : ∀ (u : Finset γ), ∃ v, ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∏ x in u', g x = ∏ b in v', f b\nb : Finset γ\nx✝ : True\nv : Finset β\nhv : ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', b ⊆ u' ∧ ∏ x in u', g x = ∏ b in v', f b\n⊢ ∃ i, True ∧ (fun s => ∏ b in s, f b) '' Ici i ⊆ (fun s => ∏ x in s, g x) '' Ici b\n[PROOFSTEP]\nrefine ⟨v, trivial, ?_⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\nf : β → α\ng : γ → α\nh_eq : ∀ (u : Finset γ), ∃ v, ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∏ x in u', g x = ∏ b in v', f b\nb : Finset γ\nx✝ : True\nv : Finset β\nhv : ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', b ⊆ u' ∧ ∏ x in u', g x = ∏ b in v', f b\n⊢ (fun s => ∏ b in s, f b) '' Ici v ⊆ (fun s => ∏ x in s, g x) '' Ici b\n[PROOFSTEP]\nsimpa [image_subset_iff] using hv\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ns : ℕ → Set α\nhs : HasAntitoneBasis f s\nr : ℕ → ℕ → Prop\nhr : ∀ (m : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r m n\n⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ (∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → r (φ m) (φ n)) ∧ HasAntitoneBasis f (s ∘ φ)\n[PROOFSTEP]\nsuffices : ∃ φ : ℕ → ℕ, StrictMono φ ∧ ∀ m n, m < n → r (φ m) (φ n)\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ns : ℕ → Set α\nhs : HasAntitoneBasis f s\nr : ℕ → ℕ → Prop\nhr : ∀ (m : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r m n\nthis : ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (m n : ℕ), m < n → r (φ m) (φ n)\n⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ (∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → r (φ m) (φ n)) ∧ HasAntitoneBasis f (s ∘ φ)\n[PROOFSTEP]\nrcases this with ⟨φ, hφ, hrφ⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ns : ℕ → Set α\nhs : HasAntitoneBasis f s\nr : ℕ → ℕ → Prop\nhr : ∀ (m : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r m n\nφ : ℕ → ℕ\nhφ : StrictMono φ\nhrφ : ∀ (m n : ℕ), m < n → r (φ m) (φ n)\n⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ (∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → r (φ m) (φ n)) ∧ HasAntitoneBasis f (s ∘ φ)\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨φ, hφ, hrφ, hs.comp_strictMono hφ⟩\n[GOAL]\ncase this\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ns : ℕ → Set α\nhs : HasAntitoneBasis f s\nr : ℕ → ℕ → Prop\nhr : ∀ (m : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r m n\n⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (m n : ℕ), m < n → r (φ m) (φ n)\n[PROOFSTEP]\nhave : ∀ t : Set ℕ, t.Finite → ∀ᶠ n in atTop, ∀ m ∈ t, m < n ∧ r m n := fun t ht =>\n  (eventually_all_finite ht).2 fun m _ => (eventually_gt_atTop m).and (hr _)\n[GOAL]\ncase this\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ns : ℕ → Set α\nhs : HasAntitoneBasis f s\nr : ℕ → ℕ → Prop\nhr : ∀ (m : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r m n\nthis : ∀ (t : Set ℕ), Set.Finite t → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (m : ℕ), m ∈ t → m < n ∧ r m n\n⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (m n : ℕ), m < n → r (φ m) (φ n)\n[PROOFSTEP]\nrcases seq_of_forall_finite_exists fun t ht => (this t ht).exists with ⟨φ, hφ⟩\n[GOAL]\ncase this.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ns : ℕ → Set α\nhs : HasAntitoneBasis f s\nr : ℕ → ℕ → Prop\nhr : ∀ (m : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r m n\nthis : ∀ (t : Set ℕ), Set.Finite t → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (m : ℕ), m ∈ t → m < n ∧ r m n\nφ : ℕ → ℕ\nhφ : ∀ (n m : ℕ), m ∈ φ '' Iio n → m < φ n ∧ r m (φ n)\n⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (m n : ℕ), m < n → r (φ m) (φ n)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [ball_image_iff, forall_and, mem_Iio] at hφ \n[GOAL]\ncase this.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ns : ℕ → Set α\nhs : HasAntitoneBasis f s\nr : ℕ → ℕ → Prop\nhr : ∀ (m : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r m n\nthis : ∀ (t : Set ℕ), Set.Finite t → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (m : ℕ), m ∈ t → m < n ∧ r m n\nφ : ℕ → ℕ\nhφ : (∀ (x x_1 : ℕ), x_1 < x → φ x_1 < φ x) ∧ ∀ (x x_1 : ℕ), x_1 < x → r (φ x_1) (φ x)\n⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (m n : ℕ), m < n → r (φ m) (φ n)\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨φ, forall_swap.2 hφ.1, forall_swap.2 hφ.2⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ninst✝¹ : IsCountablyGenerated f\ninst✝ : NeBot f\n⊢ ∃ x, Tendsto x atTop f\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨B, h⟩ := f.exists_antitone_basis\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ninst✝¹ : IsCountablyGenerated f\ninst✝ : NeBot f\nB : ℕ → Set α\nh : HasAntitoneBasis f B\n⊢ ∃ x, Tendsto x atTop f\n[PROOFSTEP]\nchoose x hx using fun n => Filter.nonempty_of_mem (h.mem n)\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ninst✝¹ : IsCountablyGenerated f\ninst✝ : NeBot f\nB : ℕ → Set α\nh : HasAntitoneBasis f B\nx : ℕ → α\nhx : ∀ (n : ℕ), x n ∈ B n\n⊢ ∃ x, Tendsto x atTop f\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨x, h.tendsto hx⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\n⊢ ∃ xs, Monotone xs ∧ Tendsto xs atTop atTop\n[PROOFSTEP]\nhaveI h_ne_bot : (atTop : Filter α).NeBot := atTop_neBot\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\n⊢ ∃ xs, Monotone xs ∧ Tendsto xs atTop atTop\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨ys, h⟩ := exists_seq_tendsto (atTop : Filter α)\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : Tendsto ys atTop atTop\n⊢ ∃ xs, Monotone xs ∧ Tendsto xs atTop atTop\n[PROOFSTEP]\nlet xs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) Finset.nonempty_range_succ ys\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : Tendsto ys atTop atTop\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\n⊢ ∃ xs, Monotone xs ∧ Tendsto xs atTop atTop\n[PROOFSTEP]\nhave h_mono : Monotone xs := by\n  intro i j hij\n  rw [Finset.sup'_le_iff]\n  intro k hk\n  refine' Finset.le_sup'_of_le _ _ le_rfl\n  rw [Finset.mem_range] at hk ⊢\n  exact hk.trans_le (add_le_add_right hij _)\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : Tendsto ys atTop atTop\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\n⊢ Monotone xs\n[PROOFSTEP]\nintro i j hij\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : Tendsto ys atTop atTop\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\ni j : ℕ\nhij : i ≤ j\n⊢ xs i ≤ xs j\n[PROOFSTEP]\nrw [Finset.sup'_le_iff]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : Tendsto ys atTop atTop\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\ni j : ℕ\nhij : i ≤ j\n⊢ ∀ (b : ℕ), b ∈ Finset.range (i + 1) → ys b ≤ xs j\n[PROOFSTEP]\nintro k hk\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : Tendsto ys atTop atTop\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\ni j : ℕ\nhij : i ≤ j\nk : ℕ\nhk : k ∈ Finset.range (i + 1)\n⊢ ys k ≤ xs j\n[PROOFSTEP]\nrefine' Finset.le_sup'_of_le _ _ le_rfl\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : Tendsto ys atTop atTop\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\ni j : ℕ\nhij : i ≤ j\nk : ℕ\nhk : k ∈ Finset.range (i + 1)\n⊢ k ∈ Finset.range (j + 1)\n[PROOFSTEP]\nrw [Finset.mem_range] at hk ⊢\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : Tendsto ys atTop atTop\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\ni j : ℕ\nhij : i ≤ j\nk : ℕ\nhk : k < i + 1\n⊢ k < j + 1\n[PROOFSTEP]\nexact hk.trans_le (add_le_add_right hij _)\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : Tendsto ys atTop atTop\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\nh_mono : Monotone xs\n⊢ ∃ xs, Monotone xs ∧ Tendsto xs atTop atTop\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨xs, h_mono, _⟩\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : Tendsto ys atTop atTop\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\nh_mono : Monotone xs\n⊢ Tendsto xs atTop atTop\n[PROOFSTEP]\nrefine' tendsto_atTop_atTop_of_monotone h_mono _\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : Tendsto ys atTop atTop\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\nh_mono : Monotone xs\n⊢ ∀ (b : α), ∃ a, b ≤ xs a\n[PROOFSTEP]\nhave : ∀ a : α, ∃ n : ℕ, a ≤ ys n := by\n  rw [tendsto_atTop_atTop] at h \n  intro a\n  obtain ⟨i, hi⟩ := h a\n  exact ⟨i, hi i le_rfl⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : Tendsto ys atTop atTop\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\nh_mono : Monotone xs\n⊢ ∀ (a : α), ∃ n, a ≤ ys n\n[PROOFSTEP]\nrw [tendsto_atTop_atTop] at h \n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : ∀ (b : α), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ys a\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\nh_mono : Monotone xs\n⊢ ∀ (a : α), ∃ n, a ≤ ys n\n[PROOFSTEP]\nintro a\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : ∀ (b : α), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ys a\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\nh_mono : Monotone xs\na : α\n⊢ ∃ n, a ≤ ys n\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨i, hi⟩ := h a\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : ∀ (b : α), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ys a\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\nh_mono : Monotone xs\na : α\ni : ℕ\nhi : ∀ (a_1 : ℕ), i ≤ a_1 → a ≤ ys a_1\n⊢ ∃ n, a ≤ ys n\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨i, hi i le_rfl⟩\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : Tendsto ys atTop atTop\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\nh_mono : Monotone xs\nthis : ∀ (a : α), ∃ n, a ≤ ys n\n⊢ ∀ (b : α), ∃ a, b ≤ xs a\n[PROOFSTEP]\nintro a\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : Tendsto ys atTop atTop\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\nh_mono : Monotone xs\nthis : ∀ (a : α), ∃ n, a ≤ ys n\na : α\n⊢ ∃ a_1, a ≤ xs a_1\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨i, hi⟩ := this a\n[GOAL]\ncase intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : Tendsto ys atTop atTop\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\nh_mono : Monotone xs\nthis : ∀ (a : α), ∃ n, a ≤ ys n\na : α\ni : ℕ\nhi : a ≤ ys i\n⊢ ∃ a_1, a ≤ xs a_1\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨i, hi.trans _⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : Tendsto ys atTop atTop\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\nh_mono : Monotone xs\nthis : ∀ (a : α), ∃ n, a ≤ ys n\na : α\ni : ℕ\nhi : a ≤ ys i\n⊢ ys i ≤ xs i\n[PROOFSTEP]\nrefine' Finset.le_sup'_of_le _ _ le_rfl\n[GOAL]\ncase intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\ninst✝² : SemilatticeSup α\ninst✝¹ : Nonempty α\ninst✝ : IsCountablyGenerated atTop\nh_ne_bot : NeBot atTop\nys : ℕ → α\nh : Tendsto ys atTop atTop\nxs : ℕ → α := fun n => Finset.sup' (Finset.range (n + 1)) (_ : Finset.Nonempty (Finset.range (n + 1))) ys\nh_mono : Monotone xs\nthis : ∀ (a : α), ∃ n, a ≤ ys n\na : α\ni : ℕ\nhi : a ≤ ys i\n⊢ i ∈ Finset.range (i + 1)\n[PROOFSTEP]\nrw [Finset.mem_range_succ_iff]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : α → β\nk : Filter α\nl : Filter β\ninst✝ : IsCountablyGenerated k\n⊢ Tendsto f k l ↔ ∀ (x : ℕ → α), Tendsto x atTop k → Tendsto (f ∘ x) atTop l\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨fun h x hx => h.comp hx, fun H s hs => _⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : α → β\nk : Filter α\nl : Filter β\ninst✝ : IsCountablyGenerated k\nH : ∀ (x : ℕ → α), Tendsto x atTop k → Tendsto (f ∘ x) atTop l\ns : Set β\nhs : s ∈ l\n⊢ s ∈ map f k\n[PROOFSTEP]\ncontrapose! H\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : α → β\nk : Filter α\nl : Filter β\ninst✝ : IsCountablyGenerated k\ns : Set β\nhs : s ∈ l\nH : ¬s ∈ map f k\n⊢ ∃ x, Tendsto x atTop k ∧ ¬Tendsto (f ∘ x) atTop l\n[PROOFSTEP]\nhave : NeBot (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ)) := by simpa [neBot_iff, inf_principal_eq_bot]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : α → β\nk : Filter α\nl : Filter β\ninst✝ : IsCountablyGenerated k\ns : Set β\nhs : s ∈ l\nH : ¬s ∈ map f k\n⊢ NeBot (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ))\n[PROOFSTEP]\nsimpa [neBot_iff, inf_principal_eq_bot]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : α → β\nk : Filter α\nl : Filter β\ninst✝ : IsCountablyGenerated k\ns : Set β\nhs : s ∈ l\nH : ¬s ∈ map f k\nthis : NeBot (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ))\n⊢ ∃ x, Tendsto x atTop k ∧ ¬Tendsto (f ∘ x) atTop l\n[PROOFSTEP]\nrcases(k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ)).exists_seq_tendsto with ⟨x, hx⟩\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : α → β\nk : Filter α\nl : Filter β\ninst✝ : IsCountablyGenerated k\ns : Set β\nhs : s ∈ l\nH : ¬s ∈ map f k\nthis : NeBot (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ))\nx : ℕ → α\nhx : Tendsto x atTop (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ))\n⊢ ∃ x, Tendsto x atTop k ∧ ¬Tendsto (f ∘ x) atTop l\n[PROOFSTEP]\nrw [tendsto_inf, tendsto_principal] at hx \n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : α → β\nk : Filter α\nl : Filter β\ninst✝ : IsCountablyGenerated k\ns : Set β\nhs : s ∈ l\nH : ¬s ∈ map f k\nthis : NeBot (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ))\nx : ℕ → α\nhx : Tendsto x atTop k ∧ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, x a ∈ f ⁻¹' sᶜ\n⊢ ∃ x, Tendsto x atTop k ∧ ¬Tendsto (f ∘ x) atTop l\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨x, hx.1, fun h => _⟩\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : α → β\nk : Filter α\nl : Filter β\ninst✝ : IsCountablyGenerated k\ns : Set β\nhs : s ∈ l\nH : ¬s ∈ map f k\nthis : NeBot (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ))\nx : ℕ → α\nhx : Tendsto x atTop k ∧ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, x a ∈ f ⁻¹' sᶜ\nh : Tendsto (f ∘ x) atTop l\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nrcases(hx.2.and (h hs)).exists with ⟨N, hnmem, hmem⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : α → β\nk : Filter α\nl : Filter β\ninst✝ : IsCountablyGenerated k\ns : Set β\nhs : s ∈ l\nH : ¬s ∈ map f k\nthis : NeBot (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ))\nx : ℕ → α\nhx : Tendsto x atTop k ∧ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, x a ∈ f ⁻¹' sᶜ\nh : Tendsto (f ∘ x) atTop l\nN : ℕ\nhnmem : x N ∈ f ⁻¹' sᶜ\nhmem : (f ∘ x) N ∈ s\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact hnmem hmem\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nx : ι → α\nf : Filter α\nl : Filter ι\n⊢ ¬Tendsto x l f ↔ ∃ s, s ∈ f ∧ ∃ᶠ (n : ι) in l, ¬x n ∈ s\n[PROOFSTEP]\nsimp only [tendsto_iff_forall_eventually_mem, not_forall, exists_prop, Filter.Frequently, not_not]\n[GOAL]\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\n⊢ (∃ᶠ (n : ι) in l, p n) ↔ ∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨fun h_freq => _, fun h_exists_freq => _⟩\n[GOAL]\ncase refine'_1\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nh_freq : ∃ᶠ (n : ι) in l, p n\n⊢ ∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n[PROOFSTEP]\nhave : NeBot (l ⊓ 𝓟 {x : ι | p x}) := by simpa [neBot_iff, inf_principal_eq_bot]\n[GOAL]\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nh_freq : ∃ᶠ (n : ι) in l, p n\n⊢ NeBot (l ⊓ 𝓟 {x | p x})\n[PROOFSTEP]\nsimpa [neBot_iff, inf_principal_eq_bot]\n[GOAL]\ncase refine'_1\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nh_freq : ∃ᶠ (n : ι) in l, p n\nthis : NeBot (l ⊓ 𝓟 {x | p x})\n⊢ ∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨x, hx⟩ := exists_seq_tendsto (l ⊓ 𝓟 {x : ι | p x})\n[GOAL]\ncase refine'_1.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nh_freq : ∃ᶠ (n : ι) in l, p n\nthis : NeBot (l ⊓ 𝓟 {x | p x})\nx : ℕ → ι\nhx : Tendsto x atTop (l ⊓ 𝓟 {x | p x})\n⊢ ∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n[PROOFSTEP]\nrw [tendsto_inf] at hx \n[GOAL]\ncase refine'_1.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nh_freq : ∃ᶠ (n : ι) in l, p n\nthis : NeBot (l ⊓ 𝓟 {x | p x})\nx : ℕ → ι\nhx : Tendsto x atTop l ∧ Tendsto x atTop (𝓟 {x | p x})\n⊢ ∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n[PROOFSTEP]\ncases' hx with hx_l hx_p\n[GOAL]\ncase refine'_1.intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nh_freq : ∃ᶠ (n : ι) in l, p n\nthis : NeBot (l ⊓ 𝓟 {x | p x})\nx : ℕ → ι\nhx_l : Tendsto x atTop l\nhx_p : Tendsto x atTop (𝓟 {x | p x})\n⊢ ∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨x, hx_l, _⟩\n[GOAL]\ncase refine'_1.intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nh_freq : ∃ᶠ (n : ι) in l, p n\nthis : NeBot (l ⊓ 𝓟 {x | p x})\nx : ℕ → ι\nhx_l : Tendsto x atTop l\nhx_p : Tendsto x atTop (𝓟 {x | p x})\n⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n[PROOFSTEP]\nrw [tendsto_principal] at hx_p \n[GOAL]\ncase refine'_1.intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nh_freq : ∃ᶠ (n : ι) in l, p n\nthis : NeBot (l ⊓ 𝓟 {x | p x})\nx : ℕ → ι\nhx_l : Tendsto x atTop l\nhx_p : ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, x a ∈ {x | p x}\n⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n[PROOFSTEP]\nexact hx_p.frequently\n[GOAL]\ncase refine'_2\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nh_exists_freq : ∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n⊢ ∃ᶠ (n : ι) in l, p n\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨x, hx_tendsto, hx_freq⟩ := h_exists_freq\n[GOAL]\ncase refine'_2.intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nx : ℕ → ι\nhx_tendsto : Tendsto x atTop l\nhx_freq : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n⊢ ∃ᶠ (n : ι) in l, p n\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [Filter.Frequently, Filter.Eventually] at hx_freq ⊢\n[GOAL]\ncase refine'_2.intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nx : ℕ → ι\nhx_tendsto : Tendsto x atTop l\nhx_freq : ¬{x_1 | ¬p (x x_1)} ∈ atTop\n⊢ ¬{x | ¬p x} ∈ l\n[PROOFSTEP]\nhave : {n : ℕ | ¬p (x n)} = {n | x n ∈ {y | ¬p y}} := rfl\n[GOAL]\ncase refine'_2.intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nx : ℕ → ι\nhx_tendsto : Tendsto x atTop l\nhx_freq : ¬{x_1 | ¬p (x x_1)} ∈ atTop\nthis : {n | ¬p (x n)} = {n | x n ∈ {y | ¬p y}}\n⊢ ¬{x | ¬p x} ∈ l\n[PROOFSTEP]\nrw [this, ← mem_map'] at hx_freq \n[GOAL]\ncase refine'_2.intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nx : ℕ → ι\nhx_tendsto : Tendsto x atTop l\nhx_freq : ¬{y | ¬p y} ∈ map (fun n => x n) atTop\nthis : {n | ¬p (x n)} = {n | x n ∈ {y | ¬p y}}\n⊢ ¬{x | ¬p x} ∈ l\n[PROOFSTEP]\nexact mt (@hx_tendsto _) hx_freq\n[GOAL]\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\n⊢ (∀ᶠ (n : ι) in l, p n) ↔ ∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n[PROOFSTEP]\nhave : (∀ᶠ n in l, p n) ↔ ¬∃ᶠ n in l, ¬p n := by\n  rw [not_frequently]\n  simp_rw [not_not]\n[GOAL]\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\n⊢ (∀ᶠ (n : ι) in l, p n) ↔ ¬∃ᶠ (n : ι) in l, ¬p n\n[PROOFSTEP]\nrw [not_frequently]\n[GOAL]\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\n⊢ (∀ᶠ (n : ι) in l, p n) ↔ ∀ᶠ (x : ι) in l, ¬¬p x\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [not_not]\n[GOAL]\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nthis : (∀ᶠ (n : ι) in l, p n) ↔ ¬∃ᶠ (n : ι) in l, ¬p n\n⊢ (∀ᶠ (n : ι) in l, p n) ↔ ∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n[PROOFSTEP]\nrw [this, frequently_iff_seq_frequently]\n[GOAL]\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nthis : (∀ᶠ (n : ι) in l, p n) ↔ ¬∃ᶠ (n : ι) in l, ¬p n\n⊢ (¬∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ¬p (x n)) ↔\n    ∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n[PROOFSTEP]\npush_neg\n[GOAL]\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nthis : (∀ᶠ (n : ι) in l, p n) ↔ ¬∃ᶠ (n : ι) in l, ¬p n\n⊢ (∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → ¬∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ¬p (x n)) ↔\n    ∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [not_frequently, not_not]\n[GOAL]\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nx : ℕ → ι\np : ι → Prop\nl : Filter ι\nh_tendsto : Tendsto x atTop l\nh : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n⊢ ∃ ns, Tendsto (fun n => x (ns n)) atTop l ∧ ∀ (n : ℕ), p (x (ns n))\n[PROOFSTEP]\nrw [tendsto_iff_seq_tendsto] at h_tendsto \n[GOAL]\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nx : ℕ → ι\np : ι → Prop\nl : Filter ι\nh_tendsto : ∀ (x_1 : ℕ → ℕ), Tendsto x_1 atTop atTop → Tendsto (x ∘ x_1) atTop l\nh : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n⊢ ∃ ns, Tendsto (fun n => x (ns n)) atTop l ∧ ∀ (n : ℕ), p (x (ns n))\n[PROOFSTEP]\nchoose ns hge hns using frequently_atTop.1 h\n[GOAL]\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nx : ℕ → ι\np : ι → Prop\nl : Filter ι\nh_tendsto : ∀ (x_1 : ℕ → ℕ), Tendsto x_1 atTop atTop → Tendsto (x ∘ x_1) atTop l\nh : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\nns : ℕ → ℕ\nhge : ∀ (a : ℕ), ns a ≥ a\nhns : ∀ (a : ℕ), p (x (ns a))\n⊢ ∃ ns, Tendsto (fun n => x (ns n)) atTop l ∧ ∀ (n : ℕ), p (x (ns n))\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨ns, h_tendsto ns (tendsto_atTop_mono hge tendsto_id), hns⟩\n[GOAL]\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nh : ∃ᶠ (n : ι) in l, p n\n⊢ ∃ ns, Tendsto ns atTop l ∧ ∀ (n : ℕ), p (ns n)\n[PROOFSTEP]\nrw [frequently_iff_seq_frequently] at h \n[GOAL]\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nh : ∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n⊢ ∃ ns, Tendsto ns atTop l ∧ ∀ (n : ℕ), p (ns n)\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨x, hx_tendsto, hx_freq⟩ := h\n[GOAL]\ncase intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nx : ℕ → ι\nhx_tendsto : Tendsto x atTop l\nhx_freq : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\n⊢ ∃ ns, Tendsto ns atTop l ∧ ∀ (n : ℕ), p (ns n)\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨n_to_n, h_tendsto, h_freq⟩ := subseq_forall_of_frequently hx_tendsto hx_freq\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nι : Type u_6\nl : Filter ι\np : ι → Prop\nhl : IsCountablyGenerated l\nx : ℕ → ι\nhx_tendsto : Tendsto x atTop l\nhx_freq : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)\nn_to_n : ℕ → ℕ\nh_tendsto : Tendsto (fun n => x (n_to_n n)) atTop l\nh_freq : ∀ (n : ℕ), p (x (n_to_n n))\n⊢ ∃ ns, Tendsto ns atTop l ∧ ∀ (n : ℕ), p (ns n)\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨x ∘ n_to_n, h_tendsto, h_freq⟩\n[GOAL]\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nι : Type u_7\nx : ι → α\nf : Filter α\nl : Filter ι\ninst✝ : IsCountablyGenerated l\nhxy : ∀ (ns : ℕ → ι), Tendsto ns atTop l → ∃ ms, Tendsto (fun n => x (ns (ms n))) atTop f\n⊢ Tendsto x l f\n[PROOFSTEP]\nby_contra h\n[GOAL]\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nι : Type u_7\nx : ι → α\nf : Filter α\nl : Filter ι\ninst✝ : IsCountablyGenerated l\nhxy : ∀ (ns : ℕ → ι), Tendsto ns atTop l → ∃ ms, Tendsto (fun n => x (ns (ms n))) atTop f\nh : ¬Tendsto x l f\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨s, hs, hfreq⟩ : ∃ s ∈ f, ∃ᶠ n in l, x n ∉ s := by rwa [not_tendsto_iff_exists_frequently_nmem] at h \n[GOAL]\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nι : Type u_7\nx : ι → α\nf : Filter α\nl : Filter ι\ninst✝ : IsCountablyGenerated l\nhxy : ∀ (ns : ℕ → ι), Tendsto ns atTop l → ∃ ms, Tendsto (fun n => x (ns (ms n))) atTop f\nh : ¬Tendsto x l f\n⊢ ∃ s, s ∈ f ∧ ∃ᶠ (n : ι) in l, ¬x n ∈ s\n[PROOFSTEP]\nrwa [not_tendsto_iff_exists_frequently_nmem] at h \n[GOAL]\ncase intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nι : Type u_7\nx : ι → α\nf : Filter α\nl : Filter ι\ninst✝ : IsCountablyGenerated l\nhxy : ∀ (ns : ℕ → ι), Tendsto ns atTop l → ∃ ms, Tendsto (fun n => x (ns (ms n))) atTop f\nh : ¬Tendsto x l f\ns : Set α\nhs : s ∈ f\nhfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, ¬x n ∈ s\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨y, hy_tendsto, hy_freq⟩ := exists_seq_forall_of_frequently hfreq\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nι : Type u_7\nx : ι → α\nf : Filter α\nl : Filter ι\ninst✝ : IsCountablyGenerated l\nhxy : ∀ (ns : ℕ → ι), Tendsto ns atTop l → ∃ ms, Tendsto (fun n => x (ns (ms n))) atTop f\nh : ¬Tendsto x l f\ns : Set α\nhs : s ∈ f\nhfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, ¬x n ∈ s\ny : ℕ → ι\nhy_tendsto : Tendsto y atTop l\nhy_freq : ∀ (n : ℕ), ¬x (y n) ∈ s\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nspecialize hxy y hy_tendsto\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nι : Type u_7\nx : ι → α\nf : Filter α\nl : Filter ι\ninst✝ : IsCountablyGenerated l\nh : ¬Tendsto x l f\ns : Set α\nhs : s ∈ f\nhfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, ¬x n ∈ s\ny : ℕ → ι\nhy_tendsto : Tendsto y atTop l\nhy_freq : ∀ (n : ℕ), ¬x (y n) ∈ s\nhxy : ∃ ms, Tendsto (fun n => x (y (ms n))) atTop f\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨ms, hms_tendsto⟩ := hxy\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nι : Type u_7\nx : ι → α\nf : Filter α\nl : Filter ι\ninst✝ : IsCountablyGenerated l\nh : ¬Tendsto x l f\ns : Set α\nhs : s ∈ f\nhfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, ¬x n ∈ s\ny : ℕ → ι\nhy_tendsto : Tendsto y atTop l\nhy_freq : ∀ (n : ℕ), ¬x (y n) ∈ s\nms : ℕ → ℕ\nhms_tendsto : Tendsto (fun n => x (y (ms n))) atTop f\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nspecialize hms_tendsto hs\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nι : Type u_7\nx : ι → α\nf : Filter α\nl : Filter ι\ninst✝ : IsCountablyGenerated l\nh : ¬Tendsto x l f\ns : Set α\nhs : s ∈ f\nhfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, ¬x n ∈ s\ny : ℕ → ι\nhy_tendsto : Tendsto y atTop l\nhy_freq : ∀ (n : ℕ), ¬x (y n) ∈ s\nms : ℕ → ℕ\nhms_tendsto : s ∈ map (fun n => x (y (ms n))) atTop\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_map] at hms_tendsto \n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nι : Type u_7\nx : ι → α\nf : Filter α\nl : Filter ι\ninst✝ : IsCountablyGenerated l\nh : ¬Tendsto x l f\ns : Set α\nhs : s ∈ f\nhfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, ¬x n ∈ s\ny : ℕ → ι\nhy_tendsto : Tendsto y atTop l\nhy_freq : ∀ (n : ℕ), ¬x (y n) ∈ s\nms : ℕ → ℕ\nhms_tendsto : (fun n => x (y (ms n))) ⁻¹' s ∈ atTop\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nhave hms_freq : ∀ n : ℕ, x (y (ms n)) ∉ s := fun n => hy_freq (ms n)\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nι : Type u_7\nx : ι → α\nf : Filter α\nl : Filter ι\ninst✝ : IsCountablyGenerated l\nh : ¬Tendsto x l f\ns : Set α\nhs : s ∈ f\nhfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, ¬x n ∈ s\ny : ℕ → ι\nhy_tendsto : Tendsto y atTop l\nhy_freq : ∀ (n : ℕ), ¬x (y n) ∈ s\nms : ℕ → ℕ\nhms_tendsto : (fun n => x (y (ms n))) ⁻¹' s ∈ atTop\nhms_freq : ∀ (n : ℕ), ¬x (y (ms n)) ∈ s\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nhave h_empty : (fun n : ℕ => x (y (ms n))) ⁻¹' s = ∅ := by\n  ext1 n\n  simp only [Set.mem_preimage, Set.mem_empty_iff_false, iff_false_iff]\n  exact hms_freq n\n[GOAL]\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nι : Type u_7\nx : ι → α\nf : Filter α\nl : Filter ι\ninst✝ : IsCountablyGenerated l\nh : ¬Tendsto x l f\ns : Set α\nhs : s ∈ f\nhfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, ¬x n ∈ s\ny : ℕ → ι\nhy_tendsto : Tendsto y atTop l\nhy_freq : ∀ (n : ℕ), ¬x (y n) ∈ s\nms : ℕ → ℕ\nhms_tendsto : (fun n => x (y (ms n))) ⁻¹' s ∈ atTop\nhms_freq : ∀ (n : ℕ), ¬x (y (ms n)) ∈ s\n⊢ (fun n => x (y (ms n))) ⁻¹' s = ∅\n[PROOFSTEP]\next1 n\n[GOAL]\ncase h\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nι : Type u_7\nx : ι → α\nf : Filter α\nl : Filter ι\ninst✝ : IsCountablyGenerated l\nh : ¬Tendsto x l f\ns : Set α\nhs : s ∈ f\nhfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, ¬x n ∈ s\ny : ℕ → ι\nhy_tendsto : Tendsto y atTop l\nhy_freq : ∀ (n : ℕ), ¬x (y n) ∈ s\nms : ℕ → ℕ\nhms_tendsto : (fun n => x (y (ms n))) ⁻¹' s ∈ atTop\nhms_freq : ∀ (n : ℕ), ¬x (y (ms n)) ∈ s\nn : ℕ\n⊢ n ∈ (fun n => x (y (ms n))) ⁻¹' s ↔ n ∈ ∅\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Set.mem_preimage, Set.mem_empty_iff_false, iff_false_iff]\n[GOAL]\ncase h\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nι : Type u_7\nx : ι → α\nf : Filter α\nl : Filter ι\ninst✝ : IsCountablyGenerated l\nh : ¬Tendsto x l f\ns : Set α\nhs : s ∈ f\nhfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, ¬x n ∈ s\ny : ℕ → ι\nhy_tendsto : Tendsto y atTop l\nhy_freq : ∀ (n : ℕ), ¬x (y n) ∈ s\nms : ℕ → ℕ\nhms_tendsto : (fun n => x (y (ms n))) ⁻¹' s ∈ atTop\nhms_freq : ∀ (n : ℕ), ¬x (y (ms n)) ∈ s\nn : ℕ\n⊢ ¬x (y (ms n)) ∈ s\n[PROOFSTEP]\nexact hms_freq n\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nι : Type u_7\nx : ι → α\nf : Filter α\nl : Filter ι\ninst✝ : IsCountablyGenerated l\nh : ¬Tendsto x l f\ns : Set α\nhs : s ∈ f\nhfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, ¬x n ∈ s\ny : ℕ → ι\nhy_tendsto : Tendsto y atTop l\nhy_freq : ∀ (n : ℕ), ¬x (y n) ∈ s\nms : ℕ → ℕ\nhms_tendsto : (fun n => x (y (ms n))) ⁻¹' s ∈ atTop\nhms_freq : ∀ (n : ℕ), ¬x (y (ms n)) ∈ s\nh_empty : (fun n => x (y (ms n))) ⁻¹' s = ∅\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nrw [h_empty] at hms_tendsto \n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro\nι✝ : Type u_1\nι' : Type u_2\nα✝ : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nα : Type u_6\nι : Type u_7\nx : ι → α\nf : Filter α\nl : Filter ι\ninst✝ : IsCountablyGenerated l\nh : ¬Tendsto x l f\ns : Set α\nhs : s ∈ f\nhfreq : ∃ᶠ (n : ι) in l, ¬x n ∈ s\ny : ℕ → ι\nhy_tendsto : Tendsto y atTop l\nhy_freq : ∀ (n : ℕ), ¬x (y n) ∈ s\nms : ℕ → ℕ\nhms_tendsto : ∅ ∈ atTop\nhms_freq : ∀ (n : ℕ), ¬x (y (ms n)) ∈ s\nh_empty : (fun n => x (y (ms n))) ⁻¹' s = ∅\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact empty_not_mem atTop hms_tendsto\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ninst✝ : IsCountablyGenerated f\nu : ℕ → α\nhx : NeBot (f ⊓ map u atTop)\n⊢ ∃ θ, StrictMono θ ∧ Tendsto (u ∘ θ) atTop f\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨B, h⟩ := f.exists_antitone_basis\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ninst✝ : IsCountablyGenerated f\nu : ℕ → α\nhx : NeBot (f ⊓ map u atTop)\nB : ℕ → Set α\nh : HasAntitoneBasis f B\n⊢ ∃ θ, StrictMono θ ∧ Tendsto (u ∘ θ) atTop f\n[PROOFSTEP]\nhave : ∀ N, ∃ n ≥ N, u n ∈ B N := fun N => Filter.inf_map_atTop_neBot_iff.mp hx _ (h.1.mem_of_mem trivial) N\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ninst✝ : IsCountablyGenerated f\nu : ℕ → α\nhx : NeBot (f ⊓ map u atTop)\nB : ℕ → Set α\nh : HasAntitoneBasis f B\nthis : ∀ (N : ℕ), ∃ n, n ≥ N ∧ u n ∈ B N\n⊢ ∃ θ, StrictMono θ ∧ Tendsto (u ∘ θ) atTop f\n[PROOFSTEP]\nchoose φ hφ using this\n[GOAL]\ncase intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ninst✝ : IsCountablyGenerated f\nu : ℕ → α\nhx : NeBot (f ⊓ map u atTop)\nB : ℕ → Set α\nh : HasAntitoneBasis f B\nφ : ℕ → ℕ\nhφ : ∀ (N : ℕ), φ N ≥ N ∧ u (φ N) ∈ B N\n⊢ ∃ θ, StrictMono θ ∧ Tendsto (u ∘ θ) atTop f\n[PROOFSTEP]\ncases' forall_and.mp hφ with φ_ge φ_in\n[GOAL]\ncase intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ninst✝ : IsCountablyGenerated f\nu : ℕ → α\nhx : NeBot (f ⊓ map u atTop)\nB : ℕ → Set α\nh : HasAntitoneBasis f B\nφ : ℕ → ℕ\nhφ : ∀ (N : ℕ), φ N ≥ N ∧ u (φ N) ∈ B N\nφ_ge : ∀ (x : ℕ), φ x ≥ x\nφ_in : ∀ (x : ℕ), u (φ x) ∈ B x\n⊢ ∃ θ, StrictMono θ ∧ Tendsto (u ∘ θ) atTop f\n[PROOFSTEP]\nhave lim_uφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop f := h.tendsto φ_in\n[GOAL]\ncase intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ninst✝ : IsCountablyGenerated f\nu : ℕ → α\nhx : NeBot (f ⊓ map u atTop)\nB : ℕ → Set α\nh : HasAntitoneBasis f B\nφ : ℕ → ℕ\nhφ : ∀ (N : ℕ), φ N ≥ N ∧ u (φ N) ∈ B N\nφ_ge : ∀ (x : ℕ), φ x ≥ x\nφ_in : ∀ (x : ℕ), u (φ x) ∈ B x\nlim_uφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop f\n⊢ ∃ θ, StrictMono θ ∧ Tendsto (u ∘ θ) atTop f\n[PROOFSTEP]\nhave lim_φ : Tendsto φ atTop atTop := tendsto_atTop_mono φ_ge tendsto_id\n[GOAL]\ncase intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ninst✝ : IsCountablyGenerated f\nu : ℕ → α\nhx : NeBot (f ⊓ map u atTop)\nB : ℕ → Set α\nh : HasAntitoneBasis f B\nφ : ℕ → ℕ\nhφ : ∀ (N : ℕ), φ N ≥ N ∧ u (φ N) ∈ B N\nφ_ge : ∀ (x : ℕ), φ x ≥ x\nφ_in : ∀ (x : ℕ), u (φ x) ∈ B x\nlim_uφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop f\nlim_φ : Tendsto φ atTop atTop\n⊢ ∃ θ, StrictMono θ ∧ Tendsto (u ∘ θ) atTop f\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨ψ, hψ, hψφ⟩ : ∃ ψ : ℕ → ℕ, StrictMono ψ ∧ StrictMono (φ ∘ ψ)\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ninst✝ : IsCountablyGenerated f\nu : ℕ → α\nhx : NeBot (f ⊓ map u atTop)\nB : ℕ → Set α\nh : HasAntitoneBasis f B\nφ : ℕ → ℕ\nhφ : ∀ (N : ℕ), φ N ≥ N ∧ u (φ N) ∈ B N\nφ_ge : ∀ (x : ℕ), φ x ≥ x\nφ_in : ∀ (x : ℕ), u (φ x) ∈ B x\nlim_uφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop f\nlim_φ : Tendsto φ atTop atTop\n⊢ ∃ ψ, StrictMono ψ ∧ StrictMono (φ ∘ ψ)\ncase intro.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ninst✝ : IsCountablyGenerated f\nu : ℕ → α\nhx : NeBot (f ⊓ map u atTop)\nB : ℕ → Set α\nh : HasAntitoneBasis f B\nφ : ℕ → ℕ\nhφ : ∀ (N : ℕ), φ N ≥ N ∧ u (φ N) ∈ B N\nφ_ge : ∀ (x : ℕ), φ x ≥ x\nφ_in : ∀ (x : ℕ), u (φ x) ∈ B x\nlim_uφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop f\nlim_φ : Tendsto φ atTop atTop\nψ : ℕ → ℕ\nhψ : StrictMono ψ\nhψφ : StrictMono (φ ∘ ψ)\n⊢ ∃ θ, StrictMono θ ∧ Tendsto (u ∘ θ) atTop f\n[PROOFSTEP]\nexact strictMono_subseq_of_tendsto_atTop lim_φ\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\nf : Filter α\ninst✝ : IsCountablyGenerated f\nu : ℕ → α\nhx : NeBot (f ⊓ map u atTop)\nB : ℕ → Set α\nh : HasAntitoneBasis f B\nφ : ℕ → ℕ\nhφ : ∀ (N : ℕ), φ N ≥ N ∧ u (φ N) ∈ B N\nφ_ge : ∀ (x : ℕ), φ x ≥ x\nφ_in : ∀ (x : ℕ), u (φ x) ∈ B x\nlim_uφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop f\nlim_φ : Tendsto φ atTop atTop\nψ : ℕ → ℕ\nhψ : StrictMono ψ\nhψφ : StrictMono (φ ∘ ψ)\n⊢ ∃ θ, StrictMono θ ∧ Tendsto (u ∘ θ) atTop f\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨φ ∘ ψ, hψφ, lim_uφ.comp hψ.tendsto_atTop⟩\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ✝ : Type u_4\nγ : Type u_5\nβ : α → Type u_6\ninst✝² : Preorder ι\ns : ι → Set α\ninst✝¹ : (i : ι) → DecidablePred fun x => x ∈ s i\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ ⋃ (i : ι), s i\nhs : Monotone s\nf g : (a : α) → β a\na : α\n⊢ ∀ᶠ (i : ι) in atTop, Set.piecewise (s i) f g a = Set.piecewise (⋃ (i : ι), s i) f g a\n[PROOFSTEP]\nrcases em (∃ i, a ∈ s i) with ⟨i, hi⟩ | ha\n[GOAL]\ncase inl.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ✝ : Type u_4\nγ : Type u_5\nβ : α → Type u_6\ninst✝² : Preorder ι\ns : ι → Set α\ninst✝¹ : (i : ι) → DecidablePred fun x => x ∈ s i\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ ⋃ (i : ι), s i\nhs : Monotone s\nf g : (a : α) → β a\na : α\ni : ι\nhi : a ∈ s i\n⊢ ∀ᶠ (i : ι) in atTop, Set.piecewise (s i) f g a = Set.piecewise (⋃ (i : ι), s i) f g a\n[PROOFSTEP]\nrefine (eventually_ge_atTop i).mono fun j hij ↦ ?_\n[GOAL]\ncase inl.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ✝ : Type u_4\nγ : Type u_5\nβ : α → Type u_6\ninst✝² : Preorder ι\ns : ι → Set α\ninst✝¹ : (i : ι) → DecidablePred fun x => x ∈ s i\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ ⋃ (i : ι), s i\nhs : Monotone s\nf g : (a : α) → β a\na : α\ni : ι\nhi : a ∈ s i\nj : ι\nhij : i ≤ j\n⊢ Set.piecewise (s j) f g a = Set.piecewise (⋃ (i : ι), s i) f g a\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Set.piecewise_eq_of_mem, hs hij hi, subset_iUnion _ _ hi]\n[GOAL]\ncase inr\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ✝ : Type u_4\nγ : Type u_5\nβ : α → Type u_6\ninst✝² : Preorder ι\ns : ι → Set α\ninst✝¹ : (i : ι) → DecidablePred fun x => x ∈ s i\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ ⋃ (i : ι), s i\nhs : Monotone s\nf g : (a : α) → β a\na : α\nha : ¬∃ i, a ∈ s i\n⊢ ∀ᶠ (i : ι) in atTop, Set.piecewise (s i) f g a = Set.piecewise (⋃ (i : ι), s i) f g a\n[PROOFSTEP]\nrefine eventually_of_forall fun i ↦ ?_\n[GOAL]\ncase inr\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ✝ : Type u_4\nγ : Type u_5\nβ : α → Type u_6\ninst✝² : Preorder ι\ns : ι → Set α\ninst✝¹ : (i : ι) → DecidablePred fun x => x ∈ s i\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ ⋃ (i : ι), s i\nhs : Monotone s\nf g : (a : α) → β a\na : α\nha : ¬∃ i, a ∈ s i\ni : ι\n⊢ Set.piecewise (s i) f g a = Set.piecewise (⋃ (i : ι), s i) f g a\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Set.piecewise_eq_of_not_mem, not_exists.1 ha i, mt mem_iUnion.1 ha]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ✝ : Type u_4\nγ : Type u_5\nβ : α → Type u_6\ninst✝² : Preorder ι\ns : ι → Set α\ninst✝¹ : (i : ι) → DecidablePred fun x => x ∈ s i\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ ⋂ (i : ι), s i\nhs : Antitone s\nf g : (a : α) → β a\na : α\n⊢ ∀ᶠ (i : ι) in atTop, Set.piecewise (s i) f g a = Set.piecewise (⋂ (i : ι), s i) f g a\n[PROOFSTEP]\nclassical\nconvert ← (compl_anti.comp hs).piecewise_eventually_eq_iUnion g f a using 3\n· convert congr_fun (Set.piecewise_compl (s _) g f) a\n· simp only [(· ∘ ·), ← compl_iInter, Set.piecewise_compl]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ✝ : Type u_4\nγ : Type u_5\nβ : α → Type u_6\ninst✝² : Preorder ι\ns : ι → Set α\ninst✝¹ : (i : ι) → DecidablePred fun x => x ∈ s i\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ ⋂ (i : ι), s i\nhs : Antitone s\nf g : (a : α) → β a\na : α\n⊢ ∀ᶠ (i : ι) in atTop, Set.piecewise (s i) f g a = Set.piecewise (⋂ (i : ι), s i) f g a\n[PROOFSTEP]\nconvert ← (compl_anti.comp hs).piecewise_eventually_eq_iUnion g f a using 3\n[GOAL]\ncase h.e'_2.h.h.e'_2\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ✝ : Type u_4\nγ : Type u_5\nβ : α → Type u_6\ninst✝² : Preorder ι\ns : ι → Set α\ninst✝¹ : (i : ι) → DecidablePred fun x => x ∈ s i\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ ⋂ (i : ι), s i\nhs : Antitone s\nf g : (a : α) → β a\na : α\nx✝ : ι\n⊢ Set.piecewise ((compl ∘ s) x✝) g f a = Set.piecewise (s x✝) f g a\n[PROOFSTEP]\nconvert congr_fun (Set.piecewise_compl (s _) g f) a\n[GOAL]\ncase h.e'_2.h.h.e'_3\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ✝ : Type u_4\nγ : Type u_5\nβ : α → Type u_6\ninst✝² : Preorder ι\ns : ι → Set α\ninst✝¹ : (i : ι) → DecidablePred fun x => x ∈ s i\ninst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ ⋂ (i : ι), s i\nhs : Antitone s\nf g : (a : α) → β a\na : α\nx✝ : ι\n⊢ Set.piecewise (⋃ (i : ι), (compl ∘ s) i) g f a = Set.piecewise (⋂ (i : ι), s i) f g a\n[PROOFSTEP]\nsimp only [(· ∘ ·), ← compl_iInter, Set.piecewise_compl]\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\ng : γ → β\nhg : Injective g\nf : β → α\nhf : ∀ (x : β), ¬x ∈ Set.range g → f x = 1\n⊢ Filter.map (fun s => ∏ i in s, f (g i)) atTop = Filter.map (fun s => ∏ i in s, f i) atTop\n[PROOFSTEP]\nhaveI := Classical.decEq β\n[GOAL]\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\ng : γ → β\nhg : Injective g\nf : β → α\nhf : ∀ (x : β), ¬x ∈ Set.range g → f x = 1\nthis : DecidableEq β\n⊢ Filter.map (fun s => ∏ i in s, f (g i)) atTop = Filter.map (fun s => ∏ i in s, f i) atTop\n[PROOFSTEP]\napply le_antisymm\n[GOAL]\ncase a\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\ng : γ → β\nhg : Injective g\nf : β → α\nhf : ∀ (x : β), ¬x ∈ Set.range g → f x = 1\nthis : DecidableEq β\n⊢ Filter.map (fun s => ∏ i in s, f (g i)) atTop ≤ Filter.map (fun s => ∏ i in s, f i) atTop\n[PROOFSTEP]\nrefine' map_atTop_finset_prod_le_of_prod_eq fun s => _\n[GOAL]\ncase a\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\ng : γ → β\nhg : Injective g\nf : β → α\nhf : ∀ (x : β), ¬x ∈ Set.range g → f x = 1\nthis : DecidableEq β\n⊢ Filter.map (fun s => ∏ i in s, f i) atTop ≤ Filter.map (fun s => ∏ i in s, f (g i)) atTop\n[PROOFSTEP]\nrefine' map_atTop_finset_prod_le_of_prod_eq fun s => _\n[GOAL]\ncase a\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\ng : γ → β\nhg : Injective g\nf : β → α\nhf : ∀ (x : β), ¬x ∈ Set.range g → f x = 1\nthis : DecidableEq β\ns : Finset β\n⊢ ∃ v, ∀ (v' : Finset γ), v ⊆ v' → ∃ u', s ⊆ u' ∧ ∏ x in u', f x = ∏ b in v', f (g b)\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨s.preimage g (hg.injOn _), fun t ht => _⟩\n[GOAL]\ncase a\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\ng : γ → β\nhg : Injective g\nf : β → α\nhf : ∀ (x : β), ¬x ∈ Set.range g → f x = 1\nthis : DecidableEq β\ns : Finset β\nt : Finset γ\nht : Finset.preimage s g (_ : InjOn g (g ⁻¹' ↑s)) ⊆ t\n⊢ ∃ u', s ⊆ u' ∧ ∏ x in u', f x = ∏ b in t, f (g b)\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨t.image g ∪ s, Finset.subset_union_right _ _, _⟩\n[GOAL]\ncase a\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\ng : γ → β\nhg : Injective g\nf : β → α\nhf : ∀ (x : β), ¬x ∈ Set.range g → f x = 1\nthis : DecidableEq β\ns : Finset β\nt : Finset γ\nht : Finset.preimage s g (_ : InjOn g (g ⁻¹' ↑s)) ⊆ t\n⊢ ∏ x in Finset.image g t ∪ s, f x = ∏ b in t, f (g b)\n[PROOFSTEP]\nrw [← Finset.prod_image (hg.injOn _)]\n[GOAL]\ncase a\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\ng : γ → β\nhg : Injective g\nf : β → α\nhf : ∀ (x : β), ¬x ∈ Set.range g → f x = 1\nthis : DecidableEq β\ns : Finset β\nt : Finset γ\nht : Finset.preimage s g (_ : InjOn g (g ⁻¹' ↑s)) ⊆ t\n⊢ ∏ x in Finset.image g t ∪ s, f x = ∏ x in Finset.image (fun x => g x) t, f x\n[PROOFSTEP]\nrefine' (prod_subset (subset_union_left _ _) _).symm\n[GOAL]\ncase a\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\ng : γ → β\nhg : Injective g\nf : β → α\nhf : ∀ (x : β), ¬x ∈ Set.range g → f x = 1\nthis : DecidableEq β\ns : Finset β\nt : Finset γ\nht : Finset.preimage s g (_ : InjOn g (g ⁻¹' ↑s)) ⊆ t\n⊢ ∀ (x : β), x ∈ Finset.image g t ∪ s → ¬x ∈ Finset.image g t → f x = 1\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Finset.mem_union, Finset.mem_image]\n[GOAL]\ncase a\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\ng : γ → β\nhg : Injective g\nf : β → α\nhf : ∀ (x : β), ¬x ∈ Set.range g → f x = 1\nthis : DecidableEq β\ns : Finset β\nt : Finset γ\nht : Finset.preimage s g (_ : InjOn g (g ⁻¹' ↑s)) ⊆ t\n⊢ ∀ (x : β), (∃ a, a ∈ t ∧ g a = x) ∨ x ∈ s → (¬∃ a, a ∈ t ∧ g a = x) → f x = 1\n[PROOFSTEP]\nrefine' fun y hy hyt => hf y (mt _ hyt)\n[GOAL]\ncase a\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\ng : γ → β\nhg : Injective g\nf : β → α\nhf : ∀ (x : β), ¬x ∈ Set.range g → f x = 1\nthis : DecidableEq β\ns : Finset β\nt : Finset γ\nht : Finset.preimage s g (_ : InjOn g (g ⁻¹' ↑s)) ⊆ t\ny : β\nhy : (∃ a, a ∈ t ∧ g a = y) ∨ y ∈ s\nhyt : ¬∃ a, a ∈ t ∧ g a = y\n⊢ y ∈ Set.range g → ∃ a, a ∈ t ∧ g a = y\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨x, rfl⟩\n[GOAL]\ncase a.intro\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\ng : γ → β\nhg : Injective g\nf : β → α\nhf : ∀ (x : β), ¬x ∈ Set.range g → f x = 1\nthis : DecidableEq β\ns : Finset β\nt : Finset γ\nht : Finset.preimage s g (_ : InjOn g (g ⁻¹' ↑s)) ⊆ t\nx : γ\nhy : (∃ a, a ∈ t ∧ g a = g x) ∨ g x ∈ s\nhyt : ¬∃ a, a ∈ t ∧ g a = g x\n⊢ ∃ a, a ∈ t ∧ g a = g x\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨x, ht (Finset.mem_preimage.2 <| hy.resolve_left hyt), rfl⟩\n[GOAL]\ncase a\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\ng : γ → β\nhg : Injective g\nf : β → α\nhf : ∀ (x : β), ¬x ∈ Set.range g → f x = 1\nthis : DecidableEq β\ns : Finset γ\n⊢ ∃ v, ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', s ⊆ u' ∧ ∏ x in u', f (g x) = ∏ b in v', f b\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨s.image g, fun t ht => _⟩\n[GOAL]\ncase a\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\ng : γ → β\nhg : Injective g\nf : β → α\nhf : ∀ (x : β), ¬x ∈ Set.range g → f x = 1\nthis : DecidableEq β\ns : Finset γ\nt : Finset β\nht : Finset.image g s ⊆ t\n⊢ ∃ u', s ⊆ u' ∧ ∏ x in u', f (g x) = ∏ b in t, f b\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← prod_preimage _ _ (hg.injOn _) _ fun x _ => hf x]\n[GOAL]\ncase a\nι : Type u_1\nι' : Type u_2\nα : Type u_3\nβ : Type u_4\nγ : Type u_5\ninst✝ : CommMonoid α\ng : γ → β\nhg : Injective g\nf : β → α\nhf : ∀ (x : β), ¬x ∈ Set.range g → f x = 1\nthis : DecidableEq β\ns : Finset γ\nt : Finset β\nht : Finset.image g s ⊆ t\n⊢ ∃ u', s ⊆ u' ∧ ∏ x in u', f (g x) = ∏ x in Finset.preimage t g (_ : InjOn g (g ⁻¹' ↑t)), f (g x)\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨_, (image_subset_iff_subset_preimage _).1 ht, rfl⟩\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.Order.Filter.AtTopBot", "llama_tokens": 62102, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns : Finset β\n⊢ HasSum (fun x => 0) 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [HasSum, tendsto_const_nhds]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns : Finset β\ninst✝ : IsEmpty β\n⊢ HasSum f 0\n[PROOFSTEP]\nconvert @hasSum_zero α β _ _\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns : Finset β\nh : ¬Summable f\n⊢ ∑' (b : β), f b = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [tsum_def, h]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g✝ : β → α\na b : α\ns : Finset β\ng : γ → β\nhg : Injective g\nhf : ∀ (x : β), ¬x ∈ Set.range g → f x = 0\n⊢ HasSum (f ∘ g) a ↔ HasSum f a\n[PROOFSTEP]\nsimp only [HasSum, Tendsto, comp_apply, hg.map_atTop_finset_sum_eq hf]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g✝ : β → α\na b : α\ns : Finset β\ng : β → γ\nhg : Injective g\n⊢ HasSum (extend g f 0) a ↔ HasSum f a\n[PROOFSTEP]\nrw [← hg.hasSum_iff, extend_comp hg]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g✝ : β → α\na b : α\ns : Finset β\ng : β → γ\nhg : Injective g\n⊢ ∀ (x : γ), ¬x ∈ Set.range g → extend g f 0 x = 0\n[PROOFSTEP]\nexact extend_apply' _ _\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns✝ : Finset β\ns : Set β\nhf : support f ⊆ s\n⊢ ∀ (x : β), (¬x ∈ Set.range fun a => ↑a) → f x = 0\n[PROOFSTEP]\nsimpa using support_subset_iff'.1 hf\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns✝ : Finset β\ns : Set β\n⊢ HasSum (f ∘ Subtype.val) a ↔ HasSum (Set.indicator s f) a\n[PROOFSTEP]\nrw [← Set.indicator_range_comp, Subtype.range_coe, hasSum_subtype_iff_of_support_subset Set.support_indicator_subset]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na b : α\ns✝ s : Finset β\nf : β → α\n⊢ HasSum (f ∘ Subtype.val) (∑ b in s, f b)\n[PROOFSTEP]\nrw [← sum_attach]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na b : α\ns✝ s : Finset β\nf : β → α\n⊢ HasSum (f ∘ Subtype.val) (∑ x in attach s, f ↑x)\n[PROOFSTEP]\nexact hasSum_fintype _\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na b : α\ns✝ : Finset β\ns : Set β\nhs : Set.Finite s\nf : β → α\n⊢ Summable (f ∘ Subtype.val)\n[PROOFSTEP]\nhave := hs.toFinset.summable f\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na b : α\ns✝ : Finset β\ns : Set β\nhs : Set.Finite s\nf : β → α\nthis : Summable (f ∘ Subtype.val)\n⊢ Summable (f ∘ Subtype.val)\n[PROOFSTEP]\nrwa [hs.coe_toFinset] at this \n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns : Finset β\nh : Set.Finite (support f)\n⊢ Summable f\n[PROOFSTEP]\napply summable_of_ne_finset_zero (s := h.toFinset)\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns : Finset β\nh : Set.Finite (support f)\n⊢ ∀ (b : β), ¬b ∈ Set.Finite.toFinset h → f b = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns : Finset β\nha : Summable f\n⊢ HasSum f (∑' (b : β), f b)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [tsum_def, ha, dite_true]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns : Finset β\nha : Summable f\n⊢ HasSum f (if Set.Finite (support fun b => f b) then ∑ᶠ (b : β), f b else Classical.choose (_ : Summable fun b => f b))\n[PROOFSTEP]\nby_cases H : (support f).Finite\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns : Finset β\nha : Summable f\nH : Set.Finite (support f)\n⊢ HasSum f (if Set.Finite (support fun b => f b) then ∑ᶠ (b : β), f b else Classical.choose (_ : Summable fun b => f b))\n[PROOFSTEP]\nsimp [H, hasSum_sum_of_ne_finset_zero, finsum_eq_sum]\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns : Finset β\nha : Summable f\nH : ¬Set.Finite (support f)\n⊢ HasSum f (if Set.Finite (support fun b => f b) then ∑ᶠ (b : β), f b else Classical.choose (_ : Summable fun b => f b))\n[PROOFSTEP]\nsimpa [H] using Classical.choose_spec ha\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na b✝ : α\ns : Finset β\nf : β → α\nb : β\nhf : ∀ (b' : β), b' ≠ b → f b' = 0\n⊢ ∀ (b_1 : β), ¬b_1 ∈ {b} → f b_1 = 0\n[PROOFSTEP]\nsimpa [hf]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na b✝ : α\ns : Finset β\nf : β → α\nb : β\nhf : ∀ (b' : β), b' ≠ b → f b' = 0\nthis : HasSum f (∑ b' in {b}, f b')\n⊢ HasSum f (f b)\n[PROOFSTEP]\nsimpa using this\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na✝ b✝ : α\ns : Finset β\nb : β\ninst✝ : DecidablePred fun x => x = b\na : α\n⊢ HasSum (fun b' => if b' = b then a else 0) a\n[PROOFSTEP]\nconvert @hasSum_single _ _ _ _ (fun b' => if b' = b then a else 0) b (fun b' hb' => if_neg hb')\n[GOAL]\ncase h.e'_6\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na✝ b✝ : α\ns : Finset β\nb : β\ninst✝ : DecidablePred fun x => x = b\na : α\n⊢ a = if b = b then a else 0\n[PROOFSTEP]\nexact (if_pos rfl).symm\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na✝ b✝ : α\ns : Finset β\ninst✝ : DecidableEq β\nb : β\na : α\n⊢ HasSum (Pi.single b a) a\n[PROOFSTEP]\nconvert hasSum_ite_eq b a\n[GOAL]\ncase h.e'_5.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na✝ b✝ : α\ns : Finset β\ninst✝ : DecidableEq β\nb : β\na : α\nx✝ : β\n⊢ Pi.single b a x✝ = if x✝ = b then a else 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [Pi.single_apply]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns : Finset β\ne : γ ≃ β\n⊢ ∀ (x : β), ¬x ∈ Set.range ↑e → f x = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g✝ : β → α\na b : α\ns : Finset β\ng : γ → α\ne : ↑(support f) ≃ ↑(support g)\nhe : ∀ (x : ↑(support f)), g ↑(↑e x) = f ↑x\n⊢ HasSum f a ↔ HasSum g a\n[PROOFSTEP]\nhave : (g ∘ (↑)) ∘ e = f ∘ (↑) := funext he\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g✝ : β → α\na b : α\ns : Finset β\ng : γ → α\ne : ↑(support f) ≃ ↑(support g)\nhe : ∀ (x : ↑(support f)), g ↑(↑e x) = f ↑x\nthis : (g ∘ Subtype.val) ∘ ↑e = f ∘ Subtype.val\n⊢ HasSum f a ↔ HasSum g a\n[PROOFSTEP]\nrw [← hasSum_subtype_support, ← this, e.hasSum_iff, hasSum_subtype_support]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommMonoid α\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α\nf g✝ : β → α\na b : α\ns : Finset β\ninst✝³ : AddCommMonoid γ\ninst✝² : TopologicalSpace γ\nG : Type u_5\nG' : Type u_6\ninst✝¹ : AddMonoidHomClass G α γ\ninst✝ : AddMonoidHomClass G' γ α\ng : G\ng' : G'\nhg : Continuous ↑g\nhg' : Continuous ↑g'\nhinv : LeftInverse ↑g' ↑g\nh : Summable (↑g ∘ f)\n⊢ Summable f\n[PROOFSTEP]\nhave := h.map _ hg'\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommMonoid α\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α\nf g✝ : β → α\na b : α\ns : Finset β\ninst✝³ : AddCommMonoid γ\ninst✝² : TopologicalSpace γ\nG : Type u_5\nG' : Type u_6\ninst✝¹ : AddMonoidHomClass G α γ\ninst✝ : AddMonoidHomClass G' γ α\ng : G\ng' : G'\nhg : Continuous ↑g\nhg' : Continuous ↑g'\nhinv : LeftInverse ↑g' ↑g\nh : Summable (↑g ∘ f)\nthis : Summable (↑g' ∘ ↑g ∘ f)\n⊢ Summable f\n[PROOFSTEP]\nrwa [← Function.comp.assoc, hinv.id] at this \n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na✝ b : α\ns : Finset β\ninst✝ : T2Space α\nf : ℕ → α\na : α\nhf : Summable f\n⊢ HasSum f a ↔ Tendsto (fun n => ∑ i in range n, f i) atTop (𝓝 a)\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨fun h => h.tendsto_sum_nat, fun h => _⟩\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na✝ b : α\ns : Finset β\ninst✝ : T2Space α\nf : ℕ → α\na : α\nhf : Summable f\nh : Tendsto (fun n => ∑ i in range n, f i) atTop (𝓝 a)\n⊢ HasSum f a\n[PROOFSTEP]\nrw [tendsto_nhds_unique h hf.hasSum.tendsto_sum_nat]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na✝ b : α\ns : Finset β\ninst✝ : T2Space α\nf : ℕ → α\na : α\nhf : Summable f\nh : Tendsto (fun n => ∑ i in range n, f i) atTop (𝓝 a)\n⊢ HasSum f (∑' (b : ℕ), f b)\n[PROOFSTEP]\nexact hf.hasSum\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\nhf : HasSum f a\nhg : HasSum g b\n⊢ HasSum (fun b => f b + g b) (a + b)\n[PROOFSTEP]\ndsimp only [HasSum] at hf hg ⊢\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\nhf : Tendsto (fun s => ∑ b in s, f b) atTop (𝓝 a)\nhg : Tendsto (fun s => ∑ b in s, g b) atTop (𝓝 b)\n⊢ Tendsto (fun s => ∑ b in s, (f b + g b)) atTop (𝓝 (a + b))\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [sum_add_distrib]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\nhf : Tendsto (fun s => ∑ b in s, f b) atTop (𝓝 a)\nhg : Tendsto (fun s => ∑ b in s, g b) atTop (𝓝 b)\n⊢ Tendsto (fun s => ∑ x in s, f x + ∑ x in s, g x) atTop (𝓝 (a + b))\n[PROOFSTEP]\nexact hf.add hg\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na✝ b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : γ → β → α\na : γ → α\ns : Finset γ\n⊢ (∀ (i : γ), i ∈ ∅ → HasSum (f i) (a i)) → HasSum (fun b => ∑ i in ∅, f i b) (∑ i in ∅, a i)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [hasSum_zero, sum_empty, forall_true_iff]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na✝ b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : γ → β → α\na : γ → α\ns : Finset γ\n⊢ ∀ ⦃a_1 : γ⦄ {s : Finset γ},\n    ¬a_1 ∈ s →\n      ((∀ (i : γ), i ∈ s → HasSum (f i) (a i)) → HasSum (fun b => ∑ i in s, f i b) (∑ i in s, a i)) →\n        (∀ (i : γ), i ∈ insert a_1 s → HasSum (f i) (a i)) →\n          HasSum (fun b => ∑ i in insert a_1 s, f i b) (∑ i in insert a_1 s, a i)\n[PROOFSTEP]\nsimp (config := { contextual := true }) only [mem_insert, forall_eq_or_imp, not_false_iff, sum_insert, and_imp]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na✝ b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : γ → β → α\na : γ → α\ns : Finset γ\n⊢ ∀ ⦃a_1 : γ⦄ {s : Finset γ},\n    ¬a_1 ∈ s →\n      ((∀ (i : γ), i ∈ s → HasSum (f i) (a i)) → HasSum (fun b => ∑ i in s, f i b) (∑ i in s, a i)) →\n        HasSum (f a_1) (a a_1) →\n          (∀ (a_5 : γ), a_5 ∈ s → HasSum (f a_5) (a a_5)) →\n            HasSum (fun b => f a_1 b + ∑ i in s, f i b) (a a_1 + ∑ i in s, a i)\n[PROOFSTEP]\nexact fun x s _ IH hx h ↦ hx.add (IH h)\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\ns t : Set β\nhs : Disjoint s t\nha : HasSum (f ∘ Subtype.val) a\nhb : HasSum (f ∘ Subtype.val) b\n⊢ HasSum (f ∘ Subtype.val) (a + b)\n[PROOFSTEP]\nrw [hasSum_subtype_iff_indicator] at *\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\ns t : Set β\nhs : Disjoint s t\nha : HasSum (Set.indicator s f) a\nhb : HasSum (Set.indicator t f) b\n⊢ HasSum (Set.indicator (s ∪ t) f) (a + b)\n[PROOFSTEP]\nrw [Set.indicator_union_of_disjoint hs]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\ns t : Set β\nhs : Disjoint s t\nha : HasSum (Set.indicator s f) a\nhb : HasSum (Set.indicator t f) b\n⊢ HasSum (fun a => Set.indicator s f a + Set.indicator t f a) (a + b)\n[PROOFSTEP]\nexact ha.add hb\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na✝ b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\nι : Type u_5\ns : Finset ι\nt : ι → Set β\na : ι → α\nhs : Set.Pairwise (↑s) (Disjoint on t)\nhf : ∀ (i : ι), i ∈ s → HasSum (f ∘ Subtype.val) (a i)\n⊢ HasSum (f ∘ Subtype.val) (∑ i in s, a i)\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [hasSum_subtype_iff_indicator] at *\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na✝ b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\nι : Type u_5\ns : Finset ι\nt : ι → Set β\na : ι → α\nhs : Set.Pairwise (↑s) (Disjoint on t)\nhf : ∀ (i : ι), i ∈ s → HasSum (Set.indicator (t i) f) (a i)\n⊢ HasSum (Set.indicator (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), t i) f) (∑ i in s, a i)\n[PROOFSTEP]\nrw [Set.indicator_finset_biUnion _ _ hs]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na✝ b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\nι : Type u_5\ns : Finset ι\nt : ι → Set β\na : ι → α\nhs : Set.Pairwise (↑s) (Disjoint on t)\nhf : ∀ (i : ι), i ∈ s → HasSum (Set.indicator (t i) f) (a i)\n⊢ HasSum (fun a => ∑ i in s, Set.indicator (t i) f a) (∑ i in s, a i)\n[PROOFSTEP]\nexact hasSum_sum hf\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\ns t : Set β\nhs : IsCompl s t\nha : HasSum (f ∘ Subtype.val) a\nhb : HasSum (f ∘ Subtype.val) b\n⊢ HasSum f (a + b)\n[PROOFSTEP]\nsimpa [← hs.compl_eq] using (hasSum_subtype_iff_indicator.1 ha).add (hasSum_subtype_iff_indicator.1 hb)\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na b : α\ns : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : ℕ → α\nhe : HasSum (fun k => f (2 * k)) a\nho : HasSum (fun k => f (2 * k + 1)) b\n⊢ HasSum f (a + b)\n[PROOFSTEP]\nhave := mul_right_injective₀ (two_ne_zero' ℕ)\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na b : α\ns : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : ℕ → α\nhe : HasSum (fun k => f (2 * k)) a\nho : HasSum (fun k => f (2 * k + 1)) b\nthis : Injective ((fun x x_1 => x * x_1) 2)\n⊢ HasSum f (a + b)\n[PROOFSTEP]\nreplace he := this.hasSum_range_iff.2 he\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na b : α\ns : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : ℕ → α\nho : HasSum (fun k => f (2 * k + 1)) b\nthis : Injective ((fun x x_1 => x * x_1) 2)\nhe : HasSum (fun x => f ↑x) a\n⊢ HasSum f (a + b)\n[PROOFSTEP]\nreplace ho := ((add_left_injective 1).comp this).hasSum_range_iff.2 ho\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na b : α\ns : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : ℕ → α\nthis : Injective ((fun x x_1 => x * x_1) 2)\nhe : HasSum (fun x => f ↑x) a\nho : HasSum (fun x => f ↑x) b\n⊢ HasSum f (a + b)\n[PROOFSTEP]\nrefine' he.add_isCompl _ ho\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na b : α\ns : Finset β\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : ℕ → α\nthis : Injective ((fun x x_1 => x * x_1) 2)\nhe : HasSum (fun x => f ↑x) a\nho : HasSum (fun x => f ↑x) b\n⊢ IsCompl (Set.range ((fun x x_1 => x * x_1) 2)) (Set.range ((fun x => x + 1) ∘ (fun x x_1 => x * x_1) 2))\n[PROOFSTEP]\nsimpa [(· ∘ ·)] using Nat.isCompl_even_odd\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ✝ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na✝ b : α\ns : Finset β\ninst✝¹ : ContinuousAdd α\ninst✝ : RegularSpace α\nγ : β → Type u_5\nf : (b : β) × γ b → α\ng : β → α\na : α\nha : HasSum f a\nhf : ∀ (b : β), HasSum (fun c => f { fst := b, snd := c }) (g b)\n⊢ HasSum g a\n[PROOFSTEP]\nrefine' (atTop_basis.tendsto_iff (closed_nhds_basis a)).mpr _\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ✝ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na✝ b : α\ns : Finset β\ninst✝¹ : ContinuousAdd α\ninst✝ : RegularSpace α\nγ : β → Type u_5\nf : (b : β) × γ b → α\ng : β → α\na : α\nha : HasSum f a\nhf : ∀ (b : β), HasSum (fun c => f { fst := b, snd := c }) (g b)\n⊢ ∀ (ib : Set α), ib ∈ 𝓝 a ∧ IsClosed ib → ∃ ia, True ∧ ∀ (x : Finset β), x ∈ Set.Ici ia → ∑ b in x, g b ∈ id ib\n[PROOFSTEP]\nrintro s ⟨hs, hsc⟩\n[GOAL]\ncase intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ✝ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na✝ b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝¹ : ContinuousAdd α\ninst✝ : RegularSpace α\nγ : β → Type u_5\nf : (b : β) × γ b → α\ng : β → α\na : α\nha : HasSum f a\nhf : ∀ (b : β), HasSum (fun c => f { fst := b, snd := c }) (g b)\ns : Set α\nhs : s ∈ 𝓝 a\nhsc : IsClosed s\n⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ (x : Finset β), x ∈ Set.Ici ia → ∑ b in x, g b ∈ id s\n[PROOFSTEP]\nrcases mem_atTop_sets.mp (ha hs) with ⟨u, hu⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ✝ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na✝ b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝¹ : ContinuousAdd α\ninst✝ : RegularSpace α\nγ : β → Type u_5\nf : (b : β) × γ b → α\ng : β → α\na : α\nha : HasSum f a\nhf : ∀ (b : β), HasSum (fun c => f { fst := b, snd := c }) (g b)\ns : Set α\nhs : s ∈ 𝓝 a\nhsc : IsClosed s\nu : Finset ((b : β) × γ b)\nhu : ∀ (b : Finset ((b : β) × γ b)), b ≥ u → b ∈ (fun s => ∑ b in s, f b) ⁻¹' s\n⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ (x : Finset β), x ∈ Set.Ici ia → ∑ b in x, g b ∈ id s\n[PROOFSTEP]\nuse u.image Sigma.fst, trivial\n[GOAL]\ncase right\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ✝ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na✝ b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝¹ : ContinuousAdd α\ninst✝ : RegularSpace α\nγ : β → Type u_5\nf : (b : β) × γ b → α\ng : β → α\na : α\nha : HasSum f a\nhf : ∀ (b : β), HasSum (fun c => f { fst := b, snd := c }) (g b)\ns : Set α\nhs : s ∈ 𝓝 a\nhsc : IsClosed s\nu : Finset ((b : β) × γ b)\nhu : ∀ (b : Finset ((b : β) × γ b)), b ≥ u → b ∈ (fun s => ∑ b in s, f b) ⁻¹' s\n⊢ ∀ (x : Finset β), x ∈ Set.Ici (image Sigma.fst u) → ∑ b in x, g b ∈ id s\n[PROOFSTEP]\nintro bs hbs\n[GOAL]\ncase right\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ✝ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na✝ b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝¹ : ContinuousAdd α\ninst✝ : RegularSpace α\nγ : β → Type u_5\nf : (b : β) × γ b → α\ng : β → α\na : α\nha : HasSum f a\nhf : ∀ (b : β), HasSum (fun c => f { fst := b, snd := c }) (g b)\ns : Set α\nhs : s ∈ 𝓝 a\nhsc : IsClosed s\nu : Finset ((b : β) × γ b)\nhu : ∀ (b : Finset ((b : β) × γ b)), b ≥ u → b ∈ (fun s => ∑ b in s, f b) ⁻¹' s\nbs : Finset β\nhbs : bs ∈ Set.Ici (image Sigma.fst u)\n⊢ ∑ b in bs, g b ∈ id s\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Set.mem_preimage, ge_iff_le, Finset.le_iff_subset] at hu \n[GOAL]\ncase right\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ✝ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na✝ b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝¹ : ContinuousAdd α\ninst✝ : RegularSpace α\nγ : β → Type u_5\nf : (b : β) × γ b → α\ng : β → α\na : α\nha : HasSum f a\nhf : ∀ (b : β), HasSum (fun c => f { fst := b, snd := c }) (g b)\ns : Set α\nhs : s ∈ 𝓝 a\nhsc : IsClosed s\nu : Finset ((b : β) × γ b)\nbs : Finset β\nhbs : bs ∈ Set.Ici (image Sigma.fst u)\nhu : ∀ (b : Finset ((b : β) × γ b)), u ⊆ b → ∑ b in b, f b ∈ s\n⊢ ∑ b in bs, g b ∈ id s\n[PROOFSTEP]\nhave : Tendsto (fun t : Finset (Σ b, γ b) => ∑ p in t.filter fun p => p.1 ∈ bs, f p) atTop (𝓝 <| ∑ b in bs, g b) :=\n  by\n  simp only [← sigma_preimage_mk, sum_sigma]\n  refine' tendsto_finset_sum _ fun b _ => _\n  change Tendsto (fun t => (fun t => ∑ s in t, f ⟨b, s⟩) (preimage t (Sigma.mk b) _)) atTop (𝓝 (g b))\n  exact (hf b).comp (tendsto_finset_preimage_atTop_atTop (sigma_mk_injective))\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ✝ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na✝ b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝¹ : ContinuousAdd α\ninst✝ : RegularSpace α\nγ : β → Type u_5\nf : (b : β) × γ b → α\ng : β → α\na : α\nha : HasSum f a\nhf : ∀ (b : β), HasSum (fun c => f { fst := b, snd := c }) (g b)\ns : Set α\nhs : s ∈ 𝓝 a\nhsc : IsClosed s\nu : Finset ((b : β) × γ b)\nbs : Finset β\nhbs : bs ∈ Set.Ici (image Sigma.fst u)\nhu : ∀ (b : Finset ((b : β) × γ b)), u ⊆ b → ∑ b in b, f b ∈ s\n⊢ Tendsto (fun t => ∑ p in filter (fun p => p.fst ∈ bs) t, f p) atTop (𝓝 (∑ b in bs, g b))\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← sigma_preimage_mk, sum_sigma]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ✝ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na✝ b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝¹ : ContinuousAdd α\ninst✝ : RegularSpace α\nγ : β → Type u_5\nf : (b : β) × γ b → α\ng : β → α\na : α\nha : HasSum f a\nhf : ∀ (b : β), HasSum (fun c => f { fst := b, snd := c }) (g b)\ns : Set α\nhs : s ∈ 𝓝 a\nhsc : IsClosed s\nu : Finset ((b : β) × γ b)\nbs : Finset β\nhbs : bs ∈ Set.Ici (image Sigma.fst u)\nhu : ∀ (b : Finset ((b : β) × γ b)), u ⊆ b → ∑ b in b, f b ∈ s\n⊢ Tendsto\n    (fun t =>\n      ∑ a in bs,\n        ∑ s in preimage t (Sigma.mk a) (_ : Set.InjOn (Sigma.mk a) (Sigma.mk a ⁻¹' ↑t)), f { fst := a, snd := s })\n    atTop (𝓝 (∑ b in bs, g b))\n[PROOFSTEP]\nrefine' tendsto_finset_sum _ fun b _ => _\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ✝ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na✝ b✝ : α\ns✝ : Finset β\ninst✝¹ : ContinuousAdd α\ninst✝ : RegularSpace α\nγ : β → Type u_5\nf : (b : β) × γ b → α\ng : β → α\na : α\nha : HasSum f a\nhf : ∀ (b : β), HasSum (fun c => f { fst := b, snd := c }) (g b)\ns : Set α\nhs : s ∈ 𝓝 a\nhsc : IsClosed s\nu : Finset ((b : β) × γ b)\nbs : Finset β\nhbs : bs ∈ Set.Ici (image Sigma.fst u)\nhu : ∀ (b : Finset ((b : β) × γ b)), u ⊆ b → ∑ b in b, f b ∈ s\nb : β\nx✝ : b ∈ bs\n⊢ Tendsto\n    (fun t => ∑ s in preimage t (Sigma.mk b) (_ : Set.InjOn (Sigma.mk b) (Sigma.mk b ⁻¹' ↑t)), f { fst := b, snd := s })\n    atTop (𝓝 (g b))\n[PROOFSTEP]\nchange Tendsto (fun t => (fun t => ∑ s in t, f ⟨b, s⟩) (preimage t (Sigma.mk b) _)) atTop (𝓝 (g b))\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ✝ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na✝ b✝ : α\ns✝ : Finset β\ninst✝¹ : ContinuousAdd α\ninst✝ : RegularSpace α\nγ : β → Type u_5\nf : (b : β) × γ b → α\ng : β → α\na : α\nha : HasSum f a\nhf : ∀ (b : β), HasSum (fun c => f { fst := b, snd := c }) (g b)\ns : Set α\nhs : s ∈ 𝓝 a\nhsc : IsClosed s\nu : Finset ((b : β) × γ b)\nbs : Finset β\nhbs : bs ∈ Set.Ici (image Sigma.fst u)\nhu : ∀ (b : Finset ((b : β) × γ b)), u ⊆ b → ∑ b in b, f b ∈ s\nb : β\nx✝ : b ∈ bs\n⊢ Tendsto\n    (fun t =>\n      (fun t => ∑ s in t, f { fst := b, snd := s })\n        (preimage t (Sigma.mk b) (_ : Set.InjOn (Sigma.mk b) (Sigma.mk b ⁻¹' ↑t))))\n    atTop (𝓝 (g b))\n[PROOFSTEP]\nexact (hf b).comp (tendsto_finset_preimage_atTop_atTop (sigma_mk_injective))\n[GOAL]\ncase right\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ✝ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na✝ b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝¹ : ContinuousAdd α\ninst✝ : RegularSpace α\nγ : β → Type u_5\nf : (b : β) × γ b → α\ng : β → α\na : α\nha : HasSum f a\nhf : ∀ (b : β), HasSum (fun c => f { fst := b, snd := c }) (g b)\ns : Set α\nhs : s ∈ 𝓝 a\nhsc : IsClosed s\nu : Finset ((b : β) × γ b)\nbs : Finset β\nhbs : bs ∈ Set.Ici (image Sigma.fst u)\nhu : ∀ (b : Finset ((b : β) × γ b)), u ⊆ b → ∑ b in b, f b ∈ s\nthis : Tendsto (fun t => ∑ p in filter (fun p => p.fst ∈ bs) t, f p) atTop (𝓝 (∑ b in bs, g b))\n⊢ ∑ b in bs, g b ∈ id s\n[PROOFSTEP]\nrefine' hsc.mem_of_tendsto this (eventually_atTop.2 ⟨u, fun t ht => hu _ fun x hx => _⟩)\n[GOAL]\ncase right\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ✝ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na✝ b : α\ns✝ : Finset β\ninst✝¹ : ContinuousAdd α\ninst✝ : RegularSpace α\nγ : β → Type u_5\nf : (b : β) × γ b → α\ng : β → α\na : α\nha : HasSum f a\nhf : ∀ (b : β), HasSum (fun c => f { fst := b, snd := c }) (g b)\ns : Set α\nhs : s ∈ 𝓝 a\nhsc : IsClosed s\nu : Finset ((b : β) × γ b)\nbs : Finset β\nhbs : bs ∈ Set.Ici (image Sigma.fst u)\nhu : ∀ (b : Finset ((b : β) × γ b)), u ⊆ b → ∑ b in b, f b ∈ s\nthis : Tendsto (fun t => ∑ p in filter (fun p => p.fst ∈ bs) t, f p) atTop (𝓝 (∑ b in bs, g b))\nt : Finset ((b : β) × γ b)\nht : t ≥ u\nx : (b : β) × γ b\nhx : x ∈ u\n⊢ x ∈ filter (fun p => p.fst ∈ bs) t\n[PROOFSTEP]\nexact mem_filter.2 ⟨ht hx, hbs <| mem_image_of_mem _ hx⟩\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ✝ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na✝ b : α\ns : Finset β\ninst✝¹ : ContinuousAdd α\ninst✝ : T3Space α\nγ : β → Type u_5\nf : (b : β) × γ b → α\ng : β → α\na : α\nha : HasSum g a\nhf : ∀ (b : β), HasSum (fun c => f { fst := b, snd := c }) (g b)\nhf' : Summable f\n⊢ HasSum f a\n[PROOFSTEP]\nsimpa [(hf'.hasSum.sigma hf).unique ha] using hf'.hasSum\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁶ : AddCommMonoid α✝\ninst✝⁵ : TopologicalSpace α✝\nf✝ g : β✝ → α✝\na✝ b✝ : α✝\ns : Finset β✝\ninst✝⁴ : ContinuousAdd α✝\nα : Type u_5\nβ : Type u_6\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : β → α\na a' : α\nhf : HasSum f a\nb : β\nx : α\nhf' : HasSum (update f b x) a'\n⊢ a + x = a' + f b\n[PROOFSTEP]\nhave : ∀ b', f b' + ite (b' = b) x 0 = update f b x b' + ite (b' = b) (f b) 0 :=\n  by\n  intro b'\n  split_ifs with hb'\n  · simpa only [Function.update_apply, hb', eq_self_iff_true] using add_comm (f b) x\n  · simp only [Function.update_apply, hb', if_false]\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁶ : AddCommMonoid α✝\ninst✝⁵ : TopologicalSpace α✝\nf✝ g : β✝ → α✝\na✝ b✝ : α✝\ns : Finset β✝\ninst✝⁴ : ContinuousAdd α✝\nα : Type u_5\nβ : Type u_6\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : β → α\na a' : α\nhf : HasSum f a\nb : β\nx : α\nhf' : HasSum (update f b x) a'\n⊢ ∀ (b' : β), (f b' + if b' = b then x else 0) = update f b x b' + if b' = b then f b else 0\n[PROOFSTEP]\nintro b'\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁶ : AddCommMonoid α✝\ninst✝⁵ : TopologicalSpace α✝\nf✝ g : β✝ → α✝\na✝ b✝ : α✝\ns : Finset β✝\ninst✝⁴ : ContinuousAdd α✝\nα : Type u_5\nβ : Type u_6\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : β → α\na a' : α\nhf : HasSum f a\nb : β\nx : α\nhf' : HasSum (update f b x) a'\nb' : β\n⊢ (f b' + if b' = b then x else 0) = update f b x b' + if b' = b then f b else 0\n[PROOFSTEP]\nsplit_ifs with hb'\n[GOAL]\ncase pos\nα✝ : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁶ : AddCommMonoid α✝\ninst✝⁵ : TopologicalSpace α✝\nf✝ g : β✝ → α✝\na✝ b✝ : α✝\ns : Finset β✝\ninst✝⁴ : ContinuousAdd α✝\nα : Type u_5\nβ : Type u_6\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : β → α\na a' : α\nhf : HasSum f a\nb : β\nx : α\nhf' : HasSum (update f b x) a'\nb' : β\nhb' : b' = b\n⊢ f b' + x = update f b x b' + f b\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [Function.update_apply, hb', eq_self_iff_true] using add_comm (f b) x\n[GOAL]\ncase neg\nα✝ : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁶ : AddCommMonoid α✝\ninst✝⁵ : TopologicalSpace α✝\nf✝ g : β✝ → α✝\na✝ b✝ : α✝\ns : Finset β✝\ninst✝⁴ : ContinuousAdd α✝\nα : Type u_5\nβ : Type u_6\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : β → α\na a' : α\nhf : HasSum f a\nb : β\nx : α\nhf' : HasSum (update f b x) a'\nb' : β\nhb' : ¬b' = b\n⊢ f b' + 0 = update f b x b' + 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Function.update_apply, hb', if_false]\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁶ : AddCommMonoid α✝\ninst✝⁵ : TopologicalSpace α✝\nf✝ g : β✝ → α✝\na✝ b✝ : α✝\ns : Finset β✝\ninst✝⁴ : ContinuousAdd α✝\nα : Type u_5\nβ : Type u_6\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : β → α\na a' : α\nhf : HasSum f a\nb : β\nx : α\nhf' : HasSum (update f b x) a'\nthis : ∀ (b' : β), (f b' + if b' = b then x else 0) = update f b x b' + if b' = b then f b else 0\n⊢ a + x = a' + f b\n[PROOFSTEP]\nhave h := hf.add (hasSum_ite_eq b x)\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁶ : AddCommMonoid α✝\ninst✝⁵ : TopologicalSpace α✝\nf✝ g : β✝ → α✝\na✝ b✝ : α✝\ns : Finset β✝\ninst✝⁴ : ContinuousAdd α✝\nα : Type u_5\nβ : Type u_6\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : β → α\na a' : α\nhf : HasSum f a\nb : β\nx : α\nhf' : HasSum (update f b x) a'\nthis : ∀ (b' : β), (f b' + if b' = b then x else 0) = update f b x b' + if b' = b then f b else 0\nh : HasSum (fun b_1 => f b_1 + if b_1 = b then x else 0) (a + x)\n⊢ a + x = a' + f b\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [this] at h \n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁶ : AddCommMonoid α✝\ninst✝⁵ : TopologicalSpace α✝\nf✝ g : β✝ → α✝\na✝ b✝ : α✝\ns : Finset β✝\ninst✝⁴ : ContinuousAdd α✝\nα : Type u_5\nβ : Type u_6\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : β → α\na a' : α\nhf : HasSum f a\nb : β\nx : α\nhf' : HasSum (update f b x) a'\nthis : ∀ (b' : β), (f b' + if b' = b then x else 0) = update f b x b' + if b' = b then f b else 0\nh : HasSum (fun b_1 => update f b x b_1 + if b_1 = b then f b else 0) (a + x)\n⊢ a + x = a' + f b\n[PROOFSTEP]\nexact HasSum.unique h (hf'.add (hasSum_ite_eq b (f b)))\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁶ : AddCommMonoid α✝\ninst✝⁵ : TopologicalSpace α✝\nf✝ g : β✝ → α✝\na✝ b✝ : α✝\ns : Finset β✝\ninst✝⁴ : ContinuousAdd α✝\nα : Type u_5\nβ : Type u_6\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : β → α\na : α\nhf : HasSum f a\nb : β\na' : α\nhf' : HasSum (fun n => if n = b then 0 else f n) a'\n⊢ a = a' + f b\n[PROOFSTEP]\nrefine' (add_zero a).symm.trans (hf.update' b 0 _)\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁶ : AddCommMonoid α✝\ninst✝⁵ : TopologicalSpace α✝\nf✝ g : β✝ → α✝\na✝ b✝ : α✝\ns : Finset β✝\ninst✝⁴ : ContinuousAdd α✝\nα : Type u_5\nβ : Type u_6\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : β → α\na : α\nhf : HasSum f a\nb : β\na' : α\nhf' : HasSum (fun n => if n = b then 0 else f n) a'\n⊢ HasSum (update f b 0) a'\n[PROOFSTEP]\nconvert hf'\n[GOAL]\ncase h.e'_5.h\nα✝ : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁶ : AddCommMonoid α✝\ninst✝⁵ : TopologicalSpace α✝\nf✝ g : β✝ → α✝\na✝ b✝ : α✝\ns : Finset β✝\ninst✝⁴ : ContinuousAdd α✝\nα : Type u_5\nβ : Type u_6\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : β → α\na : α\nhf : HasSum f a\nb : β\na' : α\nhf' : HasSum (fun n => if n = b then 0 else f n) a'\nx✝ : β\n⊢ update f b 0 x✝ = if x✝ = b then 0 else f x✝\n[PROOFSTEP]\napply update_apply\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : β → α\ns t : Set β\nh : s = t\n⊢ ∑' (x : ↑s), f ↑x = ∑' (x : ↑t), f ↑x\n[PROOFSTEP]\nrw [h]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nhf : Set.Finite (support f)\n⊢ ∑' (b : β), f b = ∑ᶠ (b : β), f b\n[PROOFSTEP]\nsimp [tsum_def, summable_of_finite_support hf, hf]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ns : Finset β\nhf : ∀ (b : β), ¬b ∈ s → f b = 0\n⊢ ∑' (b : β), f b = ∑ b in s, f b\n[PROOFSTEP]\nhave I : support f ⊆ s := by\n  intros x hx\n  contrapose! hx\n  rw [nmem_support]\n  exact hf _ hx\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ns : Finset β\nhf : ∀ (b : β), ¬b ∈ s → f b = 0\n⊢ support f ⊆ ↑s\n[PROOFSTEP]\nintros x hx\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ns : Finset β\nhf : ∀ (b : β), ¬b ∈ s → f b = 0\nx : β\nhx : x ∈ support f\n⊢ x ∈ ↑s\n[PROOFSTEP]\ncontrapose! hx\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ns : Finset β\nhf : ∀ (b : β), ¬b ∈ s → f b = 0\nx : β\nhx : ¬x ∈ ↑s\n⊢ ¬x ∈ support f\n[PROOFSTEP]\nrw [nmem_support]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ns : Finset β\nhf : ∀ (b : β), ¬b ∈ s → f b = 0\nx : β\nhx : ¬x ∈ ↑s\n⊢ f x = 0\n[PROOFSTEP]\nexact hf _ hx\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ns : Finset β\nhf : ∀ (b : β), ¬b ∈ s → f b = 0\nI : support f ⊆ ↑s\n⊢ ∑' (b : β), f b = ∑ b in s, f b\n[PROOFSTEP]\nsimp [tsum_def, summable_of_ne_finset_zero hf, Set.Finite.subset (finite_toSet s) I]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ns : Finset β\nhf : ∀ (b : β), ¬b ∈ s → f b = 0\nI : support f ⊆ ↑s\n⊢ ∑ᶠ (b : β), f b = ∑ b in s, f b\n[PROOFSTEP]\nexact finsum_eq_sum_of_support_subset f I\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\n⊢ ∑' (x : β), 0 = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [tsum_eq_finsum]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\n⊢ ∑ᶠ (b : β), 0 = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\n⊢ Set.Finite (support fun x => 0)\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : IsEmpty β\n⊢ ∑' (b : β), f b = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [tsum_eq_sum (s := (∅ : Finset β))]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : IsEmpty β\n⊢ ∑ b in ∅, f b = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : IsEmpty β\n⊢ ∀ (b : β), ¬b ∈ ∅ → f b = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : Fintype β\nf : β → α\n⊢ ∑' (b : β), f b = ∑ b : β, f b\n[PROOFSTEP]\napply tsum_eq_sum\n[GOAL]\ncase hf\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : Fintype β\nf : β → α\n⊢ ∀ (b : β), ¬b ∈ univ → f b = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : Bool → α\n⊢ ∑' (i : Bool), f i = f (decide False) + f (decide True)\n[PROOFSTEP]\nrw [tsum_fintype, Finset.sum_eq_add]\n[GOAL]\ncase hn\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : Bool → α\n⊢ decide False ≠ decide True\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase h₀\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : Bool → α\n⊢ ∀ (c : Bool), c ∈ univ → c ≠ decide False ∧ c ≠ decide True → f c = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase ha\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : Bool → α\n⊢ ¬decide False ∈ univ → f (decide False) = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase hb\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : Bool → α\n⊢ ¬decide True ∈ univ → f (decide True) = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : β → α\nb : β\nhf : ∀ (b' : β), b' ≠ b → f b' = 0\n⊢ ∑' (b : β), f b = f b\n[PROOFSTEP]\nrw [tsum_eq_sum (s := { b }), sum_singleton]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : β → α\nb : β\nhf : ∀ (b' : β), b' ≠ b → f b' = 0\n⊢ ∀ (b_1 : β), ¬b_1 ∈ {b} → f b_1 = 0\n[PROOFSTEP]\nexact fun b' hb' ↦ hf b' (by simpa using hb')\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : β → α\nb : β\nhf : ∀ (b' : β), b' ≠ b → f b' = 0\nb' : β\nhb' : ¬b' ∈ {b}\n⊢ b' ≠ b\n[PROOFSTEP]\nsimpa using hb'\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nb : β\ninst✝ : DecidablePred fun x => x = b\na : α\n⊢ (∑' (b' : β), if b' = b then a else 0) = a\n[PROOFSTEP]\nrw [tsum_eq_single b]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nb : β\ninst✝ : DecidablePred fun x => x = b\na : α\n⊢ (if b = b then a else 0) = a\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nb : β\ninst✝ : DecidablePred fun x => x = b\na : α\n⊢ ∀ (b' : β), b' ≠ b → (if b' = b then a else 0) = 0\n[PROOFSTEP]\nintro b' hb'\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nb : β\ninst✝ : DecidablePred fun x => x = b\na : α\nb' : β\nhb' : b' ≠ b\n⊢ (if b' = b then a else 0) = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [hb']\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\ninst✝ : DecidableEq β\nb : β\na : α\n⊢ ∑' (b' : β), Pi.single b a b' = a\n[PROOFSTEP]\nrw [tsum_eq_single b]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\ninst✝ : DecidableEq β\nb : β\na : α\n⊢ Pi.single b a b = a\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\ninst✝ : DecidableEq β\nb : β\na : α\n⊢ ∀ (b' : β), b' ≠ b → Pi.single b a b' = 0\n[PROOFSTEP]\nintro b' hb'\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\ninst✝ : DecidableEq β\nb : β\na : α\nb' : β\nhb' : b' ≠ b\n⊢ Pi.single b a b' = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [hb']\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ns : Finset β\nf : β → α\n⊢ ∑' (x : { x // x ∈ s }), f ↑x = ∑ x in s, f x\n[PROOFSTEP]\nrw [← sum_attach]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ns : Finset β\nf : β → α\n⊢ ∑' (x : { x // x ∈ s }), f ↑x = ∑ x in attach s, f ↑x\n[PROOFSTEP]\nexact tsum_fintype _\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ns : Finset β\nf : β → α\n⊢ ∑' (x : ↑↑s), f ↑x = ∑ x in s, f x\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommMonoid α\ninst✝ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nb : β\nf : β → α\n⊢ ∑' (x : ↑{b}), f ↑x = f b\n[PROOFSTEP]\nrw [← coe_singleton, Finset.tsum_subtype', sum_singleton]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝¹ : T2Space α\nP : Prop\ninst✝ : Decidable P\nx : β → ¬P → α\n⊢ (∑' (b : β), if h : P then 0 else x b h) = if h : P then 0 else ∑' (b : β), x b h\n[PROOFSTEP]\nby_cases hP : P\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝¹ : T2Space α\nP : Prop\ninst✝ : Decidable P\nx : β → ¬P → α\nhP : P\n⊢ (∑' (b : β), if h : P then 0 else x b h) = if h : P then 0 else ∑' (b : β), x b h\n[PROOFSTEP]\nsimp [hP]\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝¹ : T2Space α\nP : Prop\ninst✝ : Decidable P\nx : β → ¬P → α\nhP : ¬P\n⊢ (∑' (b : β), if h : P then 0 else x b h) = if h : P then 0 else ∑' (b : β), x b h\n[PROOFSTEP]\nsimp [hP]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝¹ : T2Space α\nP : Prop\ninst✝ : Decidable P\nx : β → P → α\n⊢ (∑' (b : β), if h : P then x b h else 0) = if h : P then ∑' (b : β), x b h else 0\n[PROOFSTEP]\nby_cases hP : P\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝¹ : T2Space α\nP : Prop\ninst✝ : Decidable P\nx : β → P → α\nhP : P\n⊢ (∑' (b : β), if h : P then x b h else 0) = if h : P then ∑' (b : β), x b h else 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [hP]\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝¹ : T2Space α\nP : Prop\ninst✝ : Decidable P\nx : β → P → α\nhP : ¬P\n⊢ (∑' (b : β), if h : P then x b h else 0) = if h : P then ∑' (b : β), x b h else 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [hP]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\nα' : Type u_5\ninst✝¹ : AddCommMonoid α'\ninst✝ : TopologicalSpace α'\ne : α' → α\nhes : Surjective e\nh0 : e 0 = 0\nf : β → α\ng : γ → α'\nh : ∀ {a : α'}, HasSum f (e a) ↔ HasSum g a\nhg : ¬Summable g\n⊢ ∑' (b : β), f b = e (∑' (c : γ), g c)\n[PROOFSTEP]\nhave hf : ¬Summable f := mt (hes.summable_iff_of_hasSum_iff @h).1 hg\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\nα' : Type u_5\ninst✝¹ : AddCommMonoid α'\ninst✝ : TopologicalSpace α'\ne : α' → α\nhes : Surjective e\nh0 : e 0 = 0\nf : β → α\ng : γ → α'\nh : ∀ {a : α'}, HasSum f (e a) ↔ HasSum g a\nhg : ¬Summable g\nhf : ¬Summable f\n⊢ ∑' (b : β), f b = e (∑' (c : γ), g c)\n[PROOFSTEP]\nsimp [tsum_def, hf, hg, h0]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : T2Space α\ng : γ → β\nf : β → α\nhg : Injective g\n⊢ ∑' (x : ↑(Set.range g)), f ↑x = ∑' (x : γ), f (g x)\n[PROOFSTEP]\nrw [← Set.image_univ, tsum_image f (hg.injOn _)]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf✝ g✝ : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : T2Space α\ng : γ → β\nf : β → α\nhg : Injective g\n⊢ ∑' (x : ↑Set.univ), f (g ↑x) = ∑' (x : γ), f (g x)\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [← comp_apply (g := g), tsum_univ (f ∘ g)]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : β → α\nb : β\nhf : Summable (update f b 0)\nn : β\n⊢ f n = (if n = b then f n else 0) + update f b 0 n\n[PROOFSTEP]\nsplit_ifs with h\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : β → α\nb : β\nhf : Summable (update f b 0)\nn : β\nh : n = b\n⊢ f n = f n + update f b 0 n\n[PROOFSTEP]\nsimp [update_apply, h]\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : β → α\nb : β\nhf : Summable (update f b 0)\nn : β\nh : ¬n = b\n⊢ f n = 0 + update f b 0 n\n[PROOFSTEP]\nsimp [update_apply, h]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : β → α\nb : β\nhf : Summable (update f b 0)\n⊢ (∑' (x : β), if x = b then f x else 0) + ∑' (x : β), update f b 0 x =\n    (if b = b then f b else 0) + ∑' (x : β), update f b 0 x\n[PROOFSTEP]\ncongr\n[GOAL]\ncase e_a\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : β → α\nb : β\nhf : Summable (update f b 0)\n⊢ (∑' (x : β), if x = b then f x else 0) = if b = b then f b else 0\n[PROOFSTEP]\nexact tsum_eq_single b fun b' hb' => if_neg hb'\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : ContinuousAdd α\nf : β → α\nb : β\nhf : Summable (update f b 0)\n⊢ (if b = b then f b else 0) + ∑' (x : β), update f b 0 x = f b + ∑' (x : β), if x = b then 0 else f x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [update, eq_self_iff_true, if_true, eq_rec_constant, dite_eq_ite]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁷ : AddCommMonoid α\ninst✝⁶ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝⁵ : T2Space α\ninst✝⁴ : ContinuousAdd α\ninst✝³ : AddCommMonoid δ\ninst✝² : TopologicalSpace δ\ninst✝¹ : T3Space δ\ninst✝ : ContinuousAdd δ\nf : β → γ → δ\nh : Summable (uncurry f)\nh₁ : ∀ (b : β), Summable (f b)\nh₂ : ∀ (c : γ), Summable fun b => f b c\n⊢ ∑' (c : γ) (b : β), f b c = ∑' (b : β) (c : γ), f b c\n[PROOFSTEP]\nerw [← tsum_prod' h h₁, ← tsum_prod' h.prod_symm h₂, ← (Equiv.prodComm γ β).tsum_eq (uncurry f)]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁷ : AddCommMonoid α\ninst✝⁶ : TopologicalSpace α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝⁵ : T2Space α\ninst✝⁴ : ContinuousAdd α\ninst✝³ : AddCommMonoid δ\ninst✝² : TopologicalSpace δ\ninst✝¹ : T3Space δ\ninst✝ : ContinuousAdd δ\nf : β → γ → δ\nh : Summable (uncurry f)\nh₁ : ∀ (b : β), Summable (f b)\nh₂ : ∀ (c : γ), Summable fun b => f b c\n⊢ ∑' (p : γ × β), uncurry f (Prod.swap p) = ∑' (c : γ × β), uncurry f (↑(Equiv.prodComm γ β) c)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\n⊢ ∑' (i : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b) = ∑' (b : γ), m (s b)\n[PROOFSTEP]\nhave H : ∀ n, m (⨆ b ∈ decode₂ γ n, s b) ≠ 0 → (decode₂ γ n).isSome :=\n  by\n  intro n h\n  generalize decode₂ γ n = foo at *\n  cases' foo with b\n  · refine' (h <| by simp [m0]).elim\n  · exact rfl\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\n⊢ ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\n[PROOFSTEP]\nintro n h\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nn : ℕ\nh : m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0\n⊢ Option.isSome (decode₂ γ n) = true\n[PROOFSTEP]\ngeneralize decode₂ γ n = foo at *\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nn : ℕ\nfoo : Option γ\nh : m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ foo), s b) ≠ 0\n⊢ Option.isSome foo = true\n[PROOFSTEP]\ncases' foo with b\n[GOAL]\ncase none\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nn : ℕ\nh : m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ none), s b) ≠ 0\n⊢ Option.isSome none = true\n[PROOFSTEP]\nrefine' (h <| by simp [m0]).elim\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nn : ℕ\nh : m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ none), s b) ≠ 0\n⊢ m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ none), s b) = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [m0]\n[GOAL]\ncase some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nn : ℕ\nb : γ\nh : m (⨆ (b_1 : γ) (_ : b_1 ∈ some b), s b_1) ≠ 0\n⊢ Option.isSome (some b) = true\n[PROOFSTEP]\nexact rfl\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\n⊢ ∑' (i : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b) = ∑' (b : γ), m (s b)\n[PROOFSTEP]\nsymm\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\n⊢ ∑' (b : γ), m (s b) = ∑' (i : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)\n[PROOFSTEP]\nrefine' tsum_eq_tsum_of_ne_zero_bij (fun a => Option.get _ (H a.1 a.2)) _ _ _\n[GOAL]\ncase refine'_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\n⊢ ∀ ⦃x y : ↑(support fun i => m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b))⦄,\n    (fun a => Option.get (decode₂ γ ↑a) (_ : Option.isSome (decode₂ γ ↑a) = true)) x =\n        (fun a => Option.get (decode₂ γ ↑a) (_ : Option.isSome (decode₂ γ ↑a) = true)) y →\n      ↑x = ↑y\n[PROOFSTEP]\ndsimp only []\n[GOAL]\ncase refine'_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\n⊢ ∀ ⦃x y : ↑(support fun i => m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b))⦄,\n    Option.get (decode₂ γ ↑x) (_ : Option.isSome (decode₂ γ ↑x) = true) =\n        Option.get (decode₂ γ ↑y) (_ : Option.isSome (decode₂ γ ↑y) = true) →\n      ↑x = ↑y\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨m, hm⟩ ⟨n, hn⟩ e\n[GOAL]\ncase refine'_1.mk.mk\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm✝ : β → α\nm0 : m✝ ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m✝ (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\nm : ℕ\nhm : m ∈ support fun i => m✝ (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)\nn : ℕ\nhn : n ∈ support fun i => m✝ (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)\ne :\n  Option.get (decode₂ γ ↑{ val := m, property := hm })\n      (_ : Option.isSome (decode₂ γ ↑{ val := m, property := hm }) = true) =\n    Option.get (decode₂ γ ↑{ val := n, property := hn })\n      (_ : Option.isSome (decode₂ γ ↑{ val := n, property := hn }) = true)\n⊢ ↑{ val := m, property := hm } = ↑{ val := n, property := hn }\n[PROOFSTEP]\nhave := mem_decode₂.1 (Option.get_mem (H n hn))\n[GOAL]\ncase refine'_1.mk.mk\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm✝ : β → α\nm0 : m✝ ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m✝ (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\nm : ℕ\nhm : m ∈ support fun i => m✝ (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)\nn : ℕ\nhn : n ∈ support fun i => m✝ (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)\ne :\n  Option.get (decode₂ γ ↑{ val := m, property := hm })\n      (_ : Option.isSome (decode₂ γ ↑{ val := m, property := hm }) = true) =\n    Option.get (decode₂ γ ↑{ val := n, property := hn })\n      (_ : Option.isSome (decode₂ γ ↑{ val := n, property := hn }) = true)\nthis : encode (Option.get (decode₂ γ n) (_ : Option.isSome (decode₂ γ n) = true)) = n\n⊢ ↑{ val := m, property := hm } = ↑{ val := n, property := hn }\n[PROOFSTEP]\nrwa [← e, mem_decode₂.1 (Option.get_mem (H m hm))] at this \n[GOAL]\ncase refine'_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\n⊢ (support fun b => m (s b)) ⊆ Set.range fun a => Option.get (decode₂ γ ↑a) (_ : Option.isSome (decode₂ γ ↑a) = true)\n[PROOFSTEP]\nintro b h\n[GOAL]\ncase refine'_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\nb : γ\nh : b ∈ support fun b => m (s b)\n⊢ b ∈ Set.range fun a => Option.get (decode₂ γ ↑a) (_ : Option.isSome (decode₂ γ ↑a) = true)\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨⟨encode b, _⟩, _⟩\n[GOAL]\ncase refine'_2.refine'_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\nb : γ\nh : b ∈ support fun b => m (s b)\n⊢ encode b ∈ support fun i => m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mem_support, encodek₂] at h ⊢\n[GOAL]\ncase refine'_2.refine'_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\nb : γ\nh : m (s b) ≠ 0\n⊢ m (⨆ (b_1 : γ) (_ : b_1 ∈ some b), s b_1) ≠ 0\n[PROOFSTEP]\nconvert h\n[GOAL]\ncase h.e'_2.h.e'_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\nb : γ\nh : m (s b) ≠ 0\n⊢ ⨆ (b_1 : γ) (_ : b_1 ∈ some b), s b_1 = s b\n[PROOFSTEP]\nsimp [Set.ext_iff, encodek₂]\n[GOAL]\ncase refine'_2.refine'_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\nb : γ\nh : b ∈ support fun b => m (s b)\n⊢ (fun a => Option.get (decode₂ γ ↑a) (_ : Option.isSome (decode₂ γ ↑a) = true))\n      { val := encode b, property := (_ : encode b ∈ support fun i => m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)) } =\n    b\n[PROOFSTEP]\nexact Option.get_of_mem _ (encodek₂ _)\n[GOAL]\ncase refine'_3\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\n⊢ ∀ (x : ↑(support fun i => m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b))),\n    m (s ((fun a => Option.get (decode₂ γ ↑a) (_ : Option.isSome (decode₂ γ ↑a) = true)) x)) =\n      m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ ↑x), s b)\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨n, h⟩\n[GOAL]\ncase refine'_3.mk\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\nn : ℕ\nh : n ∈ support fun i => m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)\n⊢ m (s ((fun a => Option.get (decode₂ γ ↑a) (_ : Option.isSome (decode₂ γ ↑a) = true)) { val := n, property := h })) =\n    m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ ↑{ val := n, property := h }), s b)\n[PROOFSTEP]\ndsimp only [Subtype.coe_mk]\n[GOAL]\ncase refine'_3.mk\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\nn : ℕ\nh : n ∈ support fun i => m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)\n⊢ m (s (Option.get (decode₂ γ n) (_ : Option.isSome (decode₂ γ n) = true))) = m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b)\n[PROOFSTEP]\ntrans\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\nn : ℕ\nh : n ∈ support fun i => m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)\n⊢ m (s (Option.get (decode₂ γ n) (_ : Option.isSome (decode₂ γ n) = true))) = ?m.392413\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\nn : ℕ\nh : n ∈ support fun i => m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)\n⊢ ?m.392413 = m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b)\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\nn : ℕ\nh : n ∈ support fun i => m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)\n⊢ α\n[PROOFSTEP]\nswap\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\nn : ℕ\nh : n ∈ support fun i => m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)\n⊢ ?m.392413 = m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b)\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\nn : ℕ\nh : n ∈ support fun i => m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)\n⊢ m (s (Option.get (decode₂ γ n) (_ : Option.isSome (decode₂ γ n) = true))) = ?m.392413\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\nn : ℕ\nh : n ∈ support fun i => m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)\n⊢ α\n[PROOFSTEP]\nrw [show decode₂ γ n = _ from Option.get_mem (H n h)]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\nn : ℕ\nh : n ∈ support fun i => m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)\n⊢ m (s (Option.get (decode₂ γ n) (_ : Option.isSome (decode₂ γ n) = true))) =\n    m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ some (Option.get (decode₂ γ n) (_ : Option.isSome (decode₂ γ n) = true))), s b)\n[PROOFSTEP]\ncongr\n[GOAL]\ncase e_a\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Encodable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\ns : γ → β\nH : ∀ (n : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ n), s b) ≠ 0 → Option.isSome (decode₂ γ n) = true\nn : ℕ\nh : n ∈ support fun i => m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)\n⊢ s (Option.get (decode₂ γ n) (_ : Option.isSome (decode₂ γ n) = true)) =\n    ⨆ (b : γ) (_ : b ∈ some (Option.get (decode₂ γ n) (_ : Option.isSome (decode₂ γ n) = true))), s b\n[PROOFSTEP]\nsimp [ext_iff, -Option.some_get]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Countable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\nR : α → α → Prop\nm_iSup : ∀ (s : ℕ → β), R (m (⨆ (i : ℕ), s i)) (∑' (i : ℕ), m (s i))\ns : γ → β\n⊢ R (m (⨆ (b : γ), s b)) (∑' (b : γ), m (s b))\n[PROOFSTEP]\ncases nonempty_encodable γ\n[GOAL]\ncase intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Countable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\nR : α → α → Prop\nm_iSup : ∀ (s : ℕ → β), R (m (⨆ (i : ℕ), s i)) (∑' (i : ℕ), m (s i))\ns : γ → β\nval✝ : Encodable γ\n⊢ R (m (⨆ (b : γ), s b)) (∑' (b : γ), m (s b))\n[PROOFSTEP]\nrw [← iSup_decode₂, ← tsum_iSup_decode₂ _ m0 s]\n[GOAL]\ncase intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Countable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\nR : α → α → Prop\nm_iSup : ∀ (s : ℕ → β), R (m (⨆ (i : ℕ), s i)) (∑' (i : ℕ), m (s i))\ns : γ → β\nval✝ : Encodable γ\n⊢ R (m (⨆ (i : ℕ) (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b)) (∑' (i : ℕ), m (⨆ (b : γ) (_ : b ∈ decode₂ γ i), s b))\n[PROOFSTEP]\nexact m_iSup _\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Countable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\nR : α → α → Prop\nm_iSup : ∀ (s : ℕ → β), R (m (⨆ (i : ℕ), s i)) (∑' (i : ℕ), m (s i))\ns : δ → β\nt : Finset δ\n⊢ R (m (⨆ (d : δ) (_ : d ∈ t), s d)) (∑ d in t, m (s d))\n[PROOFSTEP]\nrw [iSup_subtype', ← Finset.tsum_subtype]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Countable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\nR : α → α → Prop\nm_iSup : ∀ (s : ℕ → β), R (m (⨆ (i : ℕ), s i)) (∑' (i : ℕ), m (s i))\ns : δ → β\nt : Finset δ\n⊢ R (m (⨆ (x : { d // d ∈ t }), s ↑x)) (∑' (x : { x // x ∈ t }), m (s ↑x))\n[PROOFSTEP]\nexact rel_iSup_tsum m m0 R m_iSup _\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Countable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\nR : α → α → Prop\nm_iSup : ∀ (s : ℕ → β), R (m (⨆ (i : ℕ), s i)) (∑' (i : ℕ), m (s i))\ns₁ s₂ : β\n⊢ R (m (s₁ ⊔ s₂)) (m s₁ + m s₂)\n[PROOFSTEP]\nconvert rel_iSup_tsum m m0 R m_iSup fun b => cond b s₁ s₂\n[GOAL]\ncase h.e'_1.h.e'_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Countable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\nR : α → α → Prop\nm_iSup : ∀ (s : ℕ → β), R (m (⨆ (i : ℕ), s i)) (∑' (i : ℕ), m (s i))\ns₁ s₂ : β\n⊢ s₁ ⊔ s₂ = ⨆ (b : Bool), bif b then s₁ else s₂\n[PROOFSTEP]\nsimp only [iSup_bool_eq, cond]\n[GOAL]\ncase h.e'_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝² : T2Space α\ninst✝¹ : Countable γ\ninst✝ : CompleteLattice β\nm : β → α\nm0 : m ⊥ = 0\nR : α → α → Prop\nm_iSup : ∀ (s : ℕ → β), R (m (⨆ (i : ℕ), s i)) (∑' (i : ℕ), m (s i))\ns₁ s₂ : β\n⊢ m s₁ + m s₂ = ∑' (b : Bool), m (bif b then s₁ else s₂)\n[PROOFSTEP]\nrw [tsum_fintype, Fintype.sum_bool, cond, cond]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nh : HasSum f a\n⊢ HasSum (fun b => -f b) (-a)\n[PROOFSTEP]\nsimpa only using h.map (-AddMonoidHom.id α) continuous_neg\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nhf : Summable fun b => -f b\n⊢ Summable f\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [neg_neg] using hf.neg\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nhf : HasSum f a₁\nhg : HasSum g a₂\n⊢ HasSum (fun b => f b - g b) (a₁ - a₂)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [sub_eq_add_neg]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nhf : HasSum f a₁\nhg : HasSum g a₂\n⊢ HasSum (fun b => f b + -g b) (a₁ + -a₂)\n[PROOFSTEP]\nexact hf.add hg.neg\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nhg : Summable g\nhfg : Summable fun b => f b - g b\n⊢ Summable f\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [sub_add_cancel] using hfg.add hg\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nhfg : Summable fun b => f b - g b\nhf : Summable f\n⊢ Summable fun b => g b - f b\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [neg_sub] using hfg.neg\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nhf : HasSum f a₁\nb : β\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\n⊢ HasSum (Function.update f b a) (a - f b + a₁)\n[PROOFSTEP]\nconvert (hasSum_ite_eq b (a - f b)).add hf\n[GOAL]\ncase h.e'_5.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nhf : HasSum f a₁\nb : β\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nx✝ : β\n⊢ Function.update f b a x✝ = (if x✝ = b then a - f b else 0) + f x✝\n[PROOFSTEP]\nrename_i b'\n[GOAL]\ncase h.e'_5.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nhf : HasSum f a₁\nb : β\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nb' : β\n⊢ Function.update f b a b' = (if b' = b then a - f b else 0) + f b'\n[PROOFSTEP]\nby_cases h : b' = b\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nhf : HasSum f a₁\nb : β\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nb' : β\nh : b' = b\n⊢ Function.update f b a b' = (if b' = b then a - f b else 0) + f b'\n[PROOFSTEP]\nrw [h, update_same]\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nhf : HasSum f a₁\nb : β\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nb' : β\nh : b' = b\n⊢ a = (if b = b then a - f b else 0) + f b\n[PROOFSTEP]\nsimp [eq_self_iff_true, if_true, sub_add_cancel]\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nhf : HasSum f a₁\nb : β\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nb' : β\nh : ¬b' = b\n⊢ Function.update f b a b' = (if b' = b then a - f b else 0) + f b'\n[PROOFSTEP]\nsimp only [h, update_noteq, if_false, Ne.def, zero_add, not_false_iff]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ns : Set β\nhf : HasSum (f ∘ Subtype.val) a₁\n⊢ HasSum (f ∘ Subtype.val) a₂ ↔ HasSum f (a₁ + a₂)\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨fun h => hf.add_compl h, fun h => _⟩\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ns : Set β\nhf : HasSum (f ∘ Subtype.val) a₁\nh : HasSum f (a₁ + a₂)\n⊢ HasSum (f ∘ Subtype.val) a₂\n[PROOFSTEP]\nrw [hasSum_subtype_iff_indicator] at hf ⊢\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ns : Set β\nhf : HasSum (Set.indicator s f) a₁\nh : HasSum f (a₁ + a₂)\n⊢ HasSum (Set.indicator sᶜ f) a₂\n[PROOFSTEP]\nrw [Set.indicator_compl]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ns : Set β\nhf : HasSum (Set.indicator s f) a₁\nh : HasSum f (a₁ + a₂)\n⊢ HasSum (f - Set.indicator s f) a₂\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [add_sub_cancel'] using h.sub hf\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ns : Set β\nhf : HasSum (f ∘ Subtype.val) a₁\n⊢ HasSum f (a₁ + (a₂ - a₁)) ↔ HasSum f a₂\n[PROOFSTEP]\nrw [add_sub_cancel'_right]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ns : Finset β\n⊢ HasSum f (∑ b in s, f b + a) ↔ HasSum f (a + ∑ i in s, f i)\n[PROOFSTEP]\nrw [add_comm]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : DecidableEq β\nhf : HasSum f a\nb : β\n⊢ HasSum (fun n => if n = b then 0 else f n) (a - f b)\n[PROOFSTEP]\nconvert hf.update b 0 using 1\n[GOAL]\ncase h.e'_5\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : DecidableEq β\nhf : HasSum f a\nb : β\n⊢ (fun n => if n = b then 0 else f n) = update f b 0\n[PROOFSTEP]\next n\n[GOAL]\ncase h.e'_5.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : DecidableEq β\nhf : HasSum f a\nb n : β\n⊢ (if n = b then 0 else f n) = update f b 0 n\n[PROOFSTEP]\nrw [Function.update_apply]\n[GOAL]\ncase h.e'_6\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : DecidableEq β\nhf : HasSum f a\nb : β\n⊢ a - f b = 0 - f b + a\n[PROOFSTEP]\nrw [sub_add_eq_add_sub, zero_add]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : T2Space α\n⊢ ∑' (b : β), -f b = -∑' (b : β), f b\n[PROOFSTEP]\nby_cases hf : Summable f\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : T2Space α\nhf : Summable f\n⊢ ∑' (b : β), -f b = -∑' (b : β), f b\n[PROOFSTEP]\nexact hf.hasSum.neg.tsum_eq\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : T2Space α\nhf : ¬Summable f\n⊢ ∑' (b : β), -f b = -∑' (b : β), f b\n[PROOFSTEP]\nsimp [tsum_eq_zero_of_not_summable hf, tsum_eq_zero_of_not_summable (mt Summable.of_neg hf)]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : DecidableEq β\nhf : Summable f\nb : β\n⊢ ∑' (n : β), f n = f b + ∑' (n : β), if n = b then 0 else f n\n[PROOFSTEP]\nrw [(hasSum_ite_sub_hasSum hf.hasSum b).tsum_eq]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : TopologicalAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝¹ : T2Space α\ninst✝ : DecidableEq β\nhf : Summable f\nb : β\n⊢ ∑' (n : β), f n = f b + (∑' (b : β), f b - f b)\n[PROOFSTEP]\nexact (add_sub_cancel'_right _ _).symm\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nf : ℕ → α\nk : ℕ\na : α\n⊢ HasSum (fun n => f (n + k)) a ↔ HasSum f (a + ∑ i in range k, f i)\n[PROOFSTEP]\nrefine' Iff.trans _ (range k).hasSum_compl_iff\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nf : ℕ → α\nk : ℕ\na : α\n⊢ HasSum (fun n => f (n + k)) a ↔ HasSum (fun x => f ↑x) a\n[PROOFSTEP]\nrw [← (notMemRangeEquiv k).symm.hasSum_iff]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nf : ℕ → α\nk : ℕ\na : α\n⊢ HasSum (fun n => f (n + k)) a ↔ HasSum ((fun x => f ↑x) ∘ ↑(notMemRangeEquiv k).symm) a\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nf : ℕ → α\nk : ℕ\na : α\n⊢ HasSum (fun n => f (n + k)) (a - ∑ i in range k, f i) ↔ HasSum f a\n[PROOFSTEP]\nsimp [hasSum_nat_add_iff]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nM : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid M\ninst✝¹ : TopologicalSpace M\ninst✝ : ContinuousAdd M\nf : ℕ → M\nk : ℕ\na : M\nh : HasSum (fun n => f (n + k)) a\n⊢ HasSum f (∑ i in range k, f i + a)\n[PROOFSTEP]\nrefine ((range k).hasSum f).add_compl ?_\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nM : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid M\ninst✝¹ : TopologicalSpace M\ninst✝ : ContinuousAdd M\nf : ℕ → M\nk : ℕ\na : M\nh : HasSum (fun n => f (n + k)) a\n⊢ HasSum (f ∘ Subtype.val) a\n[PROOFSTEP]\nrwa [← (notMemRangeEquiv k).symm.hasSum_iff]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁶ : AddCommGroup α\ninst✝⁵ : TopologicalSpace α\ninst✝⁴ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nM : Type u_5\ninst✝³ : AddCommMonoid M\ninst✝² : TopologicalSpace M\ninst✝¹ : ContinuousAdd M\ninst✝ : T2Space M\nf : ℕ → M\nhf : Summable fun n => f (n + 1)\n⊢ ∑' (b : ℕ), f b = f 0 + ∑' (b : ℕ), f (b + 1)\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [sum_range_one] using (sum_add_tsum_nat_add' hf).symm\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : T2Space α\nf : ℕ → α\n⊢ Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 0)\n[PROOFSTEP]\nby_cases hf : Summable f\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : T2Space α\nf : ℕ → α\nhf : Summable f\n⊢ Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 0)\n[PROOFSTEP]\nhave h₀ : (fun i => ∑' i, f i - ∑ j in range i, f j) = fun i => ∑' k : ℕ, f (k + i) :=\n  by\n  ext1 i\n  rw [sub_eq_iff_eq_add, add_comm, sum_add_tsum_nat_add i hf]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : T2Space α\nf : ℕ → α\nhf : Summable f\n⊢ (fun i => ∑' (i : ℕ), f i - ∑ j in range i, f j) = fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)\n[PROOFSTEP]\next1 i\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : T2Space α\nf : ℕ → α\nhf : Summable f\ni : ℕ\n⊢ ∑' (i : ℕ), f i - ∑ j in range i, f j = ∑' (k : ℕ), f (k + i)\n[PROOFSTEP]\nrw [sub_eq_iff_eq_add, add_comm, sum_add_tsum_nat_add i hf]\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : T2Space α\nf : ℕ → α\nhf : Summable f\nh₀ : (fun i => ∑' (i : ℕ), f i - ∑ j in range i, f j) = fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)\n⊢ Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 0)\n[PROOFSTEP]\nhave h₁ : Tendsto (fun _ : ℕ => ∑' i, f i) atTop (𝓝 (∑' i, f i)) := tendsto_const_nhds\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : T2Space α\nf : ℕ → α\nhf : Summable f\nh₀ : (fun i => ∑' (i : ℕ), f i - ∑ j in range i, f j) = fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)\nh₁ : Tendsto (fun x => ∑' (i : ℕ), f i) atTop (𝓝 (∑' (i : ℕ), f i))\n⊢ Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 0)\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [h₀, sub_self] using Tendsto.sub h₁ hf.hasSum.tendsto_sum_nat\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : T2Space α\nf : ℕ → α\nhf : ¬Summable f\n⊢ Tendsto (fun i => ∑' (k : ℕ), f (k + i)) atTop (𝓝 0)\n[PROOFSTEP]\nconvert tendsto_const_nhds (α := α) (β := ℕ) (a := 0) (f := atTop)\n[GOAL]\ncase h.e'_3.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : T2Space α\nf : ℕ → α\nhf : ¬Summable f\nx✝ : ℕ\n⊢ ∑' (k : ℕ), f (k + x✝) = 0\n[PROOFSTEP]\nrename_i i\n[GOAL]\ncase h.e'_3.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : T2Space α\nf : ℕ → α\nhf : ¬Summable f\ni : ℕ\n⊢ ∑' (k : ℕ), f (k + i) = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← summable_nat_add_iff i] at hf \n[GOAL]\ncase h.e'_3.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : T2Space α\nf : ℕ → α\ni : ℕ\nhf : ¬Summable fun n => f (n + i)\n⊢ ∑' (k : ℕ), f (k + i) = 0\n[PROOFSTEP]\nexact tsum_eq_zero_of_not_summable hf\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g✝ : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf g : ℕ → α\nhf : HasSum f a\nhg : HasSum g b\n⊢ HasSum (Int.rec f g) (a + b)\n[PROOFSTEP]\nhave h₁ : Injective ((↑) : ℕ → ℤ) := @Int.ofNat.inj\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g✝ : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf g : ℕ → α\nhf : HasSum f a\nhg : HasSum g b\nh₁ : Injective Nat.cast\n⊢ HasSum (Int.rec f g) (a + b)\n[PROOFSTEP]\nhave h₂ : Injective Int.negSucc := @Int.negSucc.inj\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g✝ : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf g : ℕ → α\nhf : HasSum f a\nhg : HasSum g b\nh₁ : Injective Nat.cast\nh₂ : Injective Int.negSucc\n⊢ HasSum (Int.rec f g) (a + b)\n[PROOFSTEP]\nhave : IsCompl (Set.range ((↑) : ℕ → ℤ)) (Set.range Int.negSucc) :=\n  by\n  constructor\n  · rw [disjoint_iff_inf_le]\n    rintro _ ⟨⟨i, rfl⟩, ⟨j, ⟨⟩⟩⟩\n  · rw [codisjoint_iff_le_sup]\n    rintro (i | j) _\n    exacts [Or.inl ⟨_, rfl⟩, Or.inr ⟨_, rfl⟩]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g✝ : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf g : ℕ → α\nhf : HasSum f a\nhg : HasSum g b\nh₁ : Injective Nat.cast\nh₂ : Injective Int.negSucc\n⊢ IsCompl (Set.range Nat.cast) (Set.range Int.negSucc)\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase disjoint\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g✝ : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf g : ℕ → α\nhf : HasSum f a\nhg : HasSum g b\nh₁ : Injective Nat.cast\nh₂ : Injective Int.negSucc\n⊢ Disjoint (Set.range Nat.cast) (Set.range Int.negSucc)\n[PROOFSTEP]\nrw [disjoint_iff_inf_le]\n[GOAL]\ncase disjoint\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g✝ : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf g : ℕ → α\nhf : HasSum f a\nhg : HasSum g b\nh₁ : Injective Nat.cast\nh₂ : Injective Int.negSucc\n⊢ Set.range Nat.cast ⊓ Set.range Int.negSucc ≤ ⊥\n[PROOFSTEP]\nrintro _ ⟨⟨i, rfl⟩, ⟨j, ⟨⟩⟩⟩\n[GOAL]\ncase codisjoint\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g✝ : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf g : ℕ → α\nhf : HasSum f a\nhg : HasSum g b\nh₁ : Injective Nat.cast\nh₂ : Injective Int.negSucc\n⊢ Codisjoint (Set.range Nat.cast) (Set.range Int.negSucc)\n[PROOFSTEP]\nrw [codisjoint_iff_le_sup]\n[GOAL]\ncase codisjoint\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g✝ : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf g : ℕ → α\nhf : HasSum f a\nhg : HasSum g b\nh₁ : Injective Nat.cast\nh₂ : Injective Int.negSucc\n⊢ ⊤ ≤ Set.range Nat.cast ⊔ Set.range Int.negSucc\n[PROOFSTEP]\nrintro (i | j) _\n[GOAL]\ncase codisjoint.ofNat\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g✝ : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf g : ℕ → α\nhf : HasSum f a\nhg : HasSum g b\nh₁ : Injective Nat.cast\nh₂ : Injective Int.negSucc\ni : ℕ\na✝ : Int.ofNat i ∈ ⊤\n⊢ Int.ofNat i ∈ Set.range Nat.cast ⊔ Set.range Int.negSucc\ncase codisjoint.negSucc\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g✝ : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf g : ℕ → α\nhf : HasSum f a\nhg : HasSum g b\nh₁ : Injective Nat.cast\nh₂ : Injective Int.negSucc\nj : ℕ\na✝ : Int.negSucc j ∈ ⊤\n⊢ Int.negSucc j ∈ Set.range Nat.cast ⊔ Set.range Int.negSucc\n[PROOFSTEP]\nexacts [Or.inl ⟨_, rfl⟩, Or.inr ⟨_, rfl⟩]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g✝ : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf g : ℕ → α\nhf : HasSum f a\nhg : HasSum g b\nh₁ : Injective Nat.cast\nh₂ : Injective Int.negSucc\nthis : IsCompl (Set.range Nat.cast) (Set.range Int.negSucc)\n⊢ HasSum (Int.rec f g) (a + b)\n[PROOFSTEP]\nexact HasSum.add_isCompl this (h₁.hasSum_range_iff.mpr hf) (h₂.hasSum_range_iff.mpr hg)\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf : ℤ → α\nhnonneg : HasSum (fun n => f ↑n) a\nhneg : HasSum (fun n => f (-↑(Nat.succ n))) b\n⊢ HasSum f (a + b)\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [← Int.negSucc_coe] at hneg \n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf : ℤ → α\nhnonneg : HasSum (fun n => f ↑n) a\nhneg : HasSum (fun n => f (Int.negSucc n)) b\n⊢ HasSum f (a + b)\n[PROOFSTEP]\nconvert hnonneg.int_rec hneg using 1\n[GOAL]\ncase h.e'_5\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf : ℤ → α\nhnonneg : HasSum (fun n => f ↑n) a\nhneg : HasSum (fun n => f (Int.negSucc n)) b\n⊢ f = Int.rec (fun n => f ↑n) fun n => f (Int.negSucc n)\n[PROOFSTEP]\next (i | j)\n[GOAL]\ncase h.e'_5.h.ofNat\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf : ℤ → α\nhnonneg : HasSum (fun n => f ↑n) a\nhneg : HasSum (fun n => f (Int.negSucc n)) b\ni : ℕ\n⊢ f (Int.ofNat i) = Int.rec (fun n => f ↑n) (fun n => f (Int.negSucc n)) (Int.ofNat i)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase h.e'_5.h.negSucc\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf : ℤ → α\nhnonneg : HasSum (fun n => f ↑n) a\nhneg : HasSum (fun n => f (Int.negSucc n)) b\nj : ℕ\n⊢ f (Int.negSucc j) = Int.rec (fun n => f ↑n) (fun n => f (Int.negSucc n)) (Int.negSucc j)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf : ℤ → α\nhpos : HasSum (fun n => f (↑n + 1)) a\nhneg : HasSum (fun n => f (-↑(Nat.succ n))) b\n⊢ ∀ (g : ℕ → α), HasSum (fun k => g (k + 1)) a → HasSum g (a + g 0)\n[PROOFSTEP]\nintro g hg\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : TopologicalAddGroup α\nf✝ g✝ : β → α\na a₁ a₂ b : α\nf : ℤ → α\nhpos : HasSum (fun n => f (↑n + 1)) a\nhneg : HasSum (fun n => f (-↑(Nat.succ n))) b\ng : ℕ → α\nhg : HasSum (fun k => g (k + 1)) a\n⊢ HasSum g (a + g 0)\n[PROOFSTEP]\nsimpa using (hasSum_nat_add_iff _).mp hg\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\n⊢ HasSum (fun n => f ↑n + f (-↑n)) (a + f 0)\n[PROOFSTEP]\napply (hf.add (hasSum_ite_eq (0 : ℤ) (f 0))).hasSum_of_sum_eq fun u => ?_\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\n⊢ ∃ v,\n    ∀ (v' : Finset ℕ), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∑ x in u', (f x + if x = 0 then f 0 else 0) = ∑ b in v', (f ↑b + f (-↑b))\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨u.image Int.natAbs, fun v' hv' => _⟩\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\n⊢ ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∑ x in u', (f x + if x = 0 then f 0 else 0) = ∑ b in v', (f ↑b + f (-↑b))\n[PROOFSTEP]\nlet u1 := v'.image fun x : ℕ => (x : ℤ)\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\n⊢ ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∑ x in u', (f x + if x = 0 then f 0 else 0) = ∑ b in v', (f ↑b + f (-↑b))\n[PROOFSTEP]\nlet u2 := v'.image fun x : ℕ => -(x : ℤ)\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\n⊢ ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∑ x in u', (f x + if x = 0 then f 0 else 0) = ∑ b in v', (f ↑b + f (-↑b))\n[PROOFSTEP]\nhave A : u ⊆ u1 ∪ u2 := by\n  intro x hx\n  simp only [mem_union, mem_image, exists_prop]\n  rcases le_total 0 x with (h'x | h'x)\n  · left\n    refine' ⟨Int.natAbs x, hv' _, _⟩\n    · simp only [mem_image, exists_prop]\n      exact ⟨x, hx, rfl⟩\n    · simp only [h'x, Int.coe_natAbs, abs_eq_self]\n  · right\n    refine' ⟨Int.natAbs x, hv' _, _⟩\n    · simp only [mem_image, exists_prop]\n      exact ⟨x, hx, rfl⟩\n    · simp only [abs_of_nonpos h'x, Int.coe_natAbs, neg_neg]\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\n⊢ u ⊆ u1 ∪ u2\n[PROOFSTEP]\nintro x hx\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nx : ℤ\nhx : x ∈ u\n⊢ x ∈ u1 ∪ u2\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mem_union, mem_image, exists_prop]\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nx : ℤ\nhx : x ∈ u\n⊢ (∃ a, a ∈ v' ∧ ↑a = x) ∨ ∃ a, a ∈ v' ∧ -↑a = x\n[PROOFSTEP]\nrcases le_total 0 x with (h'x | h'x)\n[GOAL]\ncase inl\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nx : ℤ\nhx : x ∈ u\nh'x : 0 ≤ x\n⊢ (∃ a, a ∈ v' ∧ ↑a = x) ∨ ∃ a, a ∈ v' ∧ -↑a = x\n[PROOFSTEP]\nleft\n[GOAL]\ncase inl.h\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nx : ℤ\nhx : x ∈ u\nh'x : 0 ≤ x\n⊢ ∃ a, a ∈ v' ∧ ↑a = x\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨Int.natAbs x, hv' _, _⟩\n[GOAL]\ncase inl.h.refine'_1\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nx : ℤ\nhx : x ∈ u\nh'x : 0 ≤ x\n⊢ Int.natAbs x ∈ image Int.natAbs u\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mem_image, exists_prop]\n[GOAL]\ncase inl.h.refine'_1\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nx : ℤ\nhx : x ∈ u\nh'x : 0 ≤ x\n⊢ ∃ a, a ∈ u ∧ Int.natAbs a = Int.natAbs x\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨x, hx, rfl⟩\n[GOAL]\ncase inl.h.refine'_2\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nx : ℤ\nhx : x ∈ u\nh'x : 0 ≤ x\n⊢ ↑(Int.natAbs x) = x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [h'x, Int.coe_natAbs, abs_eq_self]\n[GOAL]\ncase inr\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nx : ℤ\nhx : x ∈ u\nh'x : x ≤ 0\n⊢ (∃ a, a ∈ v' ∧ ↑a = x) ∨ ∃ a, a ∈ v' ∧ -↑a = x\n[PROOFSTEP]\nright\n[GOAL]\ncase inr.h\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nx : ℤ\nhx : x ∈ u\nh'x : x ≤ 0\n⊢ ∃ a, a ∈ v' ∧ -↑a = x\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨Int.natAbs x, hv' _, _⟩\n[GOAL]\ncase inr.h.refine'_1\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nx : ℤ\nhx : x ∈ u\nh'x : x ≤ 0\n⊢ Int.natAbs x ∈ image Int.natAbs u\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mem_image, exists_prop]\n[GOAL]\ncase inr.h.refine'_1\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nx : ℤ\nhx : x ∈ u\nh'x : x ≤ 0\n⊢ ∃ a, a ∈ u ∧ Int.natAbs a = Int.natAbs x\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨x, hx, rfl⟩\n[GOAL]\ncase inr.h.refine'_2\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nx : ℤ\nhx : x ∈ u\nh'x : x ≤ 0\n⊢ -↑(Int.natAbs x) = x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [abs_of_nonpos h'x, Int.coe_natAbs, neg_neg]\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\n⊢ ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∑ x in u', (f x + if x = 0 then f 0 else 0) = ∑ b in v', (f ↑b + f (-↑b))\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨u1 ∪ u2, A, _⟩\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\n⊢ ∑ x in u1 ∪ u2, (f x + if x = 0 then f 0 else 0) = ∑ b in v', (f ↑b + f (-↑b))\n[PROOFSTEP]\ncalc\n  (∑ x in u1 ∪ u2, (f x + ite (x = 0) (f 0) 0)) = (∑ x in u1 ∪ u2, f x) + ∑ x in u1 ∩ u2, f x :=\n    by\n    rw [sum_add_distrib]\n    congr 1\n    refine' (sum_subset_zero_on_sdiff inter_subset_union _ _).symm\n    · intro x hx\n      suffices x ≠ 0 by simp only [this, if_false]\n      rintro rfl\n      simp at hx \n    · intro x hx\n      simp only [mem_inter, mem_image, exists_prop] at hx \n      have : x = 0 := by\n        apply le_antisymm\n        · rcases hx.2 with ⟨a, _, rfl⟩\n          simp only [Right.neg_nonpos_iff, Nat.cast_nonneg]\n        · rcases hx.1 with ⟨a, _, rfl⟩\n          simp only [Nat.cast_nonneg]\n      simp only [this, eq_self_iff_true, if_true]\n  _ = (∑ x in u1, f x) + ∑ x in u2, f x := sum_union_inter\n  _ = (∑ b in v', f b) + ∑ b in v', f (-b) := by simp\n  _ = ∑ b in v', (f b + f (-b)) := sum_add_distrib.symm\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\n⊢ ∑ x in u1 ∪ u2, (f x + if x = 0 then f 0 else 0) = ∑ x in u1 ∪ u2, f x + ∑ x in u1 ∩ u2, f x\n[PROOFSTEP]\nrw [sum_add_distrib]\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\n⊢ (∑ x in u1 ∪ u2, f x + ∑ x in u1 ∪ u2, if x = 0 then f 0 else 0) = ∑ x in u1 ∪ u2, f x + ∑ x in u1 ∩ u2, f x\n[PROOFSTEP]\ncongr 1\n[GOAL]\ncase e_a\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\n⊢ (∑ x in u1 ∪ u2, if x = 0 then f 0 else 0) = ∑ x in u1 ∩ u2, f x\n[PROOFSTEP]\nrefine' (sum_subset_zero_on_sdiff inter_subset_union _ _).symm\n[GOAL]\ncase e_a.refine'_1\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\n⊢ ∀ (x : ℤ), x ∈ (u1 ∪ u2) \\ (u1 ∩ u2) → (if x = 0 then f 0 else 0) = 0\n[PROOFSTEP]\nintro x hx\n[GOAL]\ncase e_a.refine'_1\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\nx : ℤ\nhx : x ∈ (u1 ∪ u2) \\ (u1 ∩ u2)\n⊢ (if x = 0 then f 0 else 0) = 0\n[PROOFSTEP]\nsuffices x ≠ 0 by simp only [this, if_false]\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\nx : ℤ\nhx : x ∈ (u1 ∪ u2) \\ (u1 ∩ u2)\nthis : x ≠ 0\n⊢ (if x = 0 then f 0 else 0) = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [this, if_false]\n[GOAL]\ncase e_a.refine'_1\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\nx : ℤ\nhx : x ∈ (u1 ∪ u2) \\ (u1 ∩ u2)\n⊢ x ≠ 0\n[PROOFSTEP]\nrintro rfl\n[GOAL]\ncase e_a.refine'_1\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\nhx : 0 ∈ (u1 ∪ u2) \\ (u1 ∩ u2)\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nsimp at hx \n[GOAL]\ncase e_a.refine'_2\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\n⊢ ∀ (x : ℤ), x ∈ u1 ∩ u2 → f x = if x = 0 then f 0 else 0\n[PROOFSTEP]\nintro x hx\n[GOAL]\ncase e_a.refine'_2\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\nx : ℤ\nhx : x ∈ u1 ∩ u2\n⊢ f x = if x = 0 then f 0 else 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mem_inter, mem_image, exists_prop] at hx \n[GOAL]\ncase e_a.refine'_2\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\nx : ℤ\nhx : (∃ a, a ∈ v' ∧ ↑a = x) ∧ ∃ a, a ∈ v' ∧ -↑a = x\n⊢ f x = if x = 0 then f 0 else 0\n[PROOFSTEP]\nhave : x = 0 := by\n  apply le_antisymm\n  · rcases hx.2 with ⟨a, _, rfl⟩\n    simp only [Right.neg_nonpos_iff, Nat.cast_nonneg]\n  · rcases hx.1 with ⟨a, _, rfl⟩\n    simp only [Nat.cast_nonneg]\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\nx : ℤ\nhx : (∃ a, a ∈ v' ∧ ↑a = x) ∧ ∃ a, a ∈ v' ∧ -↑a = x\n⊢ x = 0\n[PROOFSTEP]\napply le_antisymm\n[GOAL]\ncase a\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\nx : ℤ\nhx : (∃ a, a ∈ v' ∧ ↑a = x) ∧ ∃ a, a ∈ v' ∧ -↑a = x\n⊢ x ≤ 0\n[PROOFSTEP]\nrcases hx.2 with ⟨a, _, rfl⟩\n[GOAL]\ncase a.intro.intro\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝¹ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na✝ : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a✝\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\na : ℕ\nleft✝ : a ∈ v'\nhx : (∃ a_1, a_1 ∈ v' ∧ ↑a_1 = -↑a) ∧ ∃ a_1, a_1 ∈ v' ∧ -↑a_1 = -↑a\n⊢ -↑a ≤ 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Right.neg_nonpos_iff, Nat.cast_nonneg]\n[GOAL]\ncase a\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\nx : ℤ\nhx : (∃ a, a ∈ v' ∧ ↑a = x) ∧ ∃ a, a ∈ v' ∧ -↑a = x\n⊢ 0 ≤ x\n[PROOFSTEP]\nrcases hx.1 with ⟨a, _, rfl⟩\n[GOAL]\ncase a.intro.intro\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝¹ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na✝ : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a✝\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\na : ℕ\nleft✝ : a ∈ v'\nhx : (∃ a_1, a_1 ∈ v' ∧ ↑a_1 = ↑a) ∧ ∃ a_1, a_1 ∈ v' ∧ -↑a_1 = ↑a\n⊢ 0 ≤ ↑a\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Nat.cast_nonneg]\n[GOAL]\ncase e_a.refine'_2\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\nx : ℤ\nhx : (∃ a, a ∈ v' ∧ ↑a = x) ∧ ∃ a, a ∈ v' ∧ -↑a = x\nthis : x = 0\n⊢ f x = if x = 0 then f 0 else 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [this, eq_self_iff_true, if_true]\n[GOAL]\nα✝ : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁵ : AddCommGroup α✝\ninst✝⁴ : TopologicalSpace α✝\ninst✝³ : TopologicalAddGroup α✝\nf✝ g : β → α✝\na✝ a₁ a₂ : α✝\nα : Type u_5\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\ninst✝ : ContinuousAdd α\na : α\nf : ℤ → α\nhf : HasSum f a\nu : Finset ℤ\nv' : Finset ℕ\nhv' : image Int.natAbs u ⊆ v'\nu1 : Finset ℤ := image (fun x => ↑x) v'\nu2 : Finset ℤ := image (fun x => -↑x) v'\nA : u ⊆ u1 ∪ u2\n⊢ ∑ x in u1, f x + ∑ x in u2, f x = ∑ b in v', f ↑b + ∑ b in v', f (-↑b)\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\n⊢ (CauchySeq fun s => ∑ b in s, f b) ↔ ∀ (e : Set α), e ∈ 𝓝 0 → ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\n[PROOFSTEP]\nsimp only [CauchySeq, cauchy_map_iff, and_iff_right atTop_neBot, prod_atTop_atTop_eq, uniformity_eq_comap_nhds_zero α,\n  tendsto_comap_iff, (· ∘ ·), atTop_neBot, true_and]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\n⊢ Tendsto (fun x => ∑ b in x.snd, f b - ∑ b in x.fst, f b) atTop (𝓝 0) ↔\n    ∀ (e : Set α), e ∈ 𝓝 0 → ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\n[PROOFSTEP]\nrw [tendsto_atTop']\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\n⊢ (∀ (s : Set α), s ∈ 𝓝 0 → ∃ a, ∀ (b : Finset β × Finset β), b ≥ a → ∑ b in b.snd, f b - ∑ b in b.fst, f b ∈ s) ↔\n    ∀ (e : Set α), e ∈ 𝓝 0 → ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase mp\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\n⊢ (∀ (s : Set α), s ∈ 𝓝 0 → ∃ a, ∀ (b : Finset β × Finset β), b ≥ a → ∑ b in b.snd, f b - ∑ b in b.fst, f b ∈ s) →\n    ∀ (e : Set α), e ∈ 𝓝 0 → ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\n[PROOFSTEP]\nintro h e he\n[GOAL]\ncase mp\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nh : ∀ (s : Set α), s ∈ 𝓝 0 → ∃ a, ∀ (b : Finset β × Finset β), b ≥ a → ∑ b in b.snd, f b - ∑ b in b.fst, f b ∈ s\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\n⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨⟨s₁, s₂⟩, h⟩ := h e he\n[GOAL]\ncase mp.intro.mk\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nh✝ : ∀ (s : Set α), s ∈ 𝓝 0 → ∃ a, ∀ (b : Finset β × Finset β), b ≥ a → ∑ b in b.snd, f b - ∑ b in b.fst, f b ∈ s\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\ns₁ s₂ : Finset β\nh : ∀ (b : Finset β × Finset β), b ≥ (s₁, s₂) → ∑ b in b.snd, f b - ∑ b in b.fst, f b ∈ e\n⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\n[PROOFSTEP]\nuse s₁ ∪ s₂\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nh✝ : ∀ (s : Set α), s ∈ 𝓝 0 → ∃ a, ∀ (b : Finset β × Finset β), b ≥ a → ∑ b in b.snd, f b - ∑ b in b.fst, f b ∈ s\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\ns₁ s₂ : Finset β\nh : ∀ (b : Finset β × Finset β), b ≥ (s₁, s₂) → ∑ b in b.snd, f b - ∑ b in b.fst, f b ∈ e\n⊢ ∀ (t : Finset β), Disjoint t (s₁ ∪ s₂) → ∑ b in t, f b ∈ e\n[PROOFSTEP]\nintro t ht\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nh✝ : ∀ (s : Set α), s ∈ 𝓝 0 → ∃ a, ∀ (b : Finset β × Finset β), b ≥ a → ∑ b in b.snd, f b - ∑ b in b.fst, f b ∈ s\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\ns₁ s₂ : Finset β\nh : ∀ (b : Finset β × Finset β), b ≥ (s₁, s₂) → ∑ b in b.snd, f b - ∑ b in b.fst, f b ∈ e\nt : Finset β\nht : Disjoint t (s₁ ∪ s₂)\n⊢ ∑ b in t, f b ∈ e\n[PROOFSTEP]\nspecialize h (s₁ ∪ s₂, s₁ ∪ s₂ ∪ t) ⟨le_sup_left, le_sup_of_le_left le_sup_right⟩\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nh✝ : ∀ (s : Set α), s ∈ 𝓝 0 → ∃ a, ∀ (b : Finset β × Finset β), b ≥ a → ∑ b in b.snd, f b - ∑ b in b.fst, f b ∈ s\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\ns₁ s₂ t : Finset β\nht : Disjoint t (s₁ ∪ s₂)\nh : ∑ b in (s₁ ∪ s₂, s₁ ∪ s₂ ∪ t).snd, f b - ∑ b in (s₁ ∪ s₂, s₁ ∪ s₂ ∪ t).fst, f b ∈ e\n⊢ ∑ b in t, f b ∈ e\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [Finset.sum_union ht.symm, add_sub_cancel'] using h\n[GOAL]\ncase mpr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\n⊢ (∀ (e : Set α), e ∈ 𝓝 0 → ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e) →\n    ∀ (s : Set α), s ∈ 𝓝 0 → ∃ a, ∀ (b : Finset β × Finset β), b ≥ a → ∑ b in b.snd, f b - ∑ b in b.fst, f b ∈ s\n[PROOFSTEP]\nrintro h e he\n[GOAL]\ncase mpr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nh : ∀ (e : Set α), e ∈ 𝓝 0 → ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\n⊢ ∃ a, ∀ (b : Finset β × Finset β), b ≥ a → ∑ b in b.snd, f b - ∑ b in b.fst, f b ∈ e\n[PROOFSTEP]\nrcases exists_nhds_half_neg he with ⟨d, hd, hde⟩\n[GOAL]\ncase mpr.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nh : ∀ (e : Set α), e ∈ 𝓝 0 → ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\nd : Set α\nhd : d ∈ 𝓝 0\nhde : ∀ (v : α), v ∈ d → ∀ (w : α), w ∈ d → v - w ∈ e\n⊢ ∃ a, ∀ (b : Finset β × Finset β), b ≥ a → ∑ b in b.snd, f b - ∑ b in b.fst, f b ∈ e\n[PROOFSTEP]\nrcases h d hd with ⟨s, h⟩\n[GOAL]\ncase mpr.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nh✝ : ∀ (e : Set α), e ∈ 𝓝 0 → ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\nd : Set α\nhd : d ∈ 𝓝 0\nhde : ∀ (v : α), v ∈ d → ∀ (w : α), w ∈ d → v - w ∈ e\ns : Finset β\nh : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ d\n⊢ ∃ a, ∀ (b : Finset β × Finset β), b ≥ a → ∑ b in b.snd, f b - ∑ b in b.fst, f b ∈ e\n[PROOFSTEP]\nuse(s, s)\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nh✝ : ∀ (e : Set α), e ∈ 𝓝 0 → ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\nd : Set α\nhd : d ∈ 𝓝 0\nhde : ∀ (v : α), v ∈ d → ∀ (w : α), w ∈ d → v - w ∈ e\ns : Finset β\nh : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ d\n⊢ ∀ (b : Finset β × Finset β), b ≥ (s, s) → ∑ b in b.snd, f b - ∑ b in b.fst, f b ∈ e\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨t₁, t₂⟩ ⟨ht₁, ht₂⟩\n[GOAL]\ncase h.mk.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nh✝ : ∀ (e : Set α), e ∈ 𝓝 0 → ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\nd : Set α\nhd : d ∈ 𝓝 0\nhde : ∀ (v : α), v ∈ d → ∀ (w : α), w ∈ d → v - w ∈ e\ns : Finset β\nh : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ d\nt₁ t₂ : Finset β\nht₁ : (s, s).fst ≤ (t₁, t₂).fst\nht₂ : (s, s).snd ≤ (t₁, t₂).snd\n⊢ ∑ b in (t₁, t₂).snd, f b - ∑ b in (t₁, t₂).fst, f b ∈ e\n[PROOFSTEP]\nhave : ((∑ b in t₂, f b) - ∑ b in t₁, f b) = (∑ b in t₂ \\ s, f b) - ∑ b in t₁ \\ s, f b := by\n  rw [← Finset.sum_sdiff ht₁, ← Finset.sum_sdiff ht₂, add_sub_add_right_eq_sub]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nh✝ : ∀ (e : Set α), e ∈ 𝓝 0 → ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\nd : Set α\nhd : d ∈ 𝓝 0\nhde : ∀ (v : α), v ∈ d → ∀ (w : α), w ∈ d → v - w ∈ e\ns : Finset β\nh : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ d\nt₁ t₂ : Finset β\nht₁ : (s, s).fst ≤ (t₁, t₂).fst\nht₂ : (s, s).snd ≤ (t₁, t₂).snd\n⊢ ∑ b in t₂, f b - ∑ b in t₁, f b = ∑ b in t₂ \\ s, f b - ∑ b in t₁ \\ s, f b\n[PROOFSTEP]\nrw [← Finset.sum_sdiff ht₁, ← Finset.sum_sdiff ht₂, add_sub_add_right_eq_sub]\n[GOAL]\ncase h.mk.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nh✝ : ∀ (e : Set α), e ∈ 𝓝 0 → ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\nd : Set α\nhd : d ∈ 𝓝 0\nhde : ∀ (v : α), v ∈ d → ∀ (w : α), w ∈ d → v - w ∈ e\ns : Finset β\nh : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ d\nt₁ t₂ : Finset β\nht₁ : (s, s).fst ≤ (t₁, t₂).fst\nht₂ : (s, s).snd ≤ (t₁, t₂).snd\nthis : ∑ b in t₂, f b - ∑ b in t₁, f b = ∑ b in t₂ \\ s, f b - ∑ b in t₁ \\ s, f b\n⊢ ∑ b in (t₁, t₂).snd, f b - ∑ b in (t₁, t₂).fst, f b ∈ e\n[PROOFSTEP]\nsimp only [this]\n[GOAL]\ncase h.mk.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\nh✝ : ∀ (e : Set α), e ∈ 𝓝 0 → ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\nd : Set α\nhd : d ∈ 𝓝 0\nhde : ∀ (v : α), v ∈ d → ∀ (w : α), w ∈ d → v - w ∈ e\ns : Finset β\nh : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ d\nt₁ t₂ : Finset β\nht₁ : (s, s).fst ≤ (t₁, t₂).fst\nht₂ : (s, s).snd ≤ (t₁, t₂).snd\nthis : ∑ b in t₂, f b - ∑ b in t₁, f b = ∑ b in t₂ \\ s, f b - ∑ b in t₁ \\ s, f b\n⊢ ∑ b in t₂ \\ s, f b - ∑ b in t₁ \\ s, f b ∈ e\n[PROOFSTEP]\nexact hde _ (h _ Finset.sdiff_disjoint) _ (h _ Finset.sdiff_disjoint)\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : β → α\n⊢ Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // ¬x ∈ s }), f ↑b) atTop (𝓝 0)\n[PROOFSTEP]\nby_cases H : Summable f\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : Summable f\n⊢ Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // ¬x ∈ s }), f ↑b) atTop (𝓝 0)\n[PROOFSTEP]\nintro e he\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : Summable f\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\n⊢ e ∈ Filter.map (fun s => ∑' (b : { x // ¬x ∈ s }), f ↑b) atTop\n[PROOFSTEP]\nrcases exists_mem_nhds_isClosed_subset he with ⟨o, ho, o_closed, oe⟩\n[GOAL]\ncase pos.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : Summable f\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\no : Set α\nho : o ∈ 𝓝 0\no_closed : IsClosed o\noe : o ⊆ e\n⊢ e ∈ Filter.map (fun s => ∑' (b : { x // ¬x ∈ s }), f ↑b) atTop\n[PROOFSTEP]\nsimp only [le_eq_subset, Set.mem_preimage, mem_atTop_sets, Filter.mem_map, ge_iff_le]\n[GOAL]\ncase pos.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : Summable f\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\no : Set α\nho : o ∈ 𝓝 0\no_closed : IsClosed o\noe : o ⊆ e\n⊢ ∃ a, ∀ (b : Finset β), a ⊆ b → ∑' (b_1 : { x // ¬x ∈ b }), f ↑b_1 ∈ e\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨s, hs⟩ : ∃ s : Finset β, ∀ t : Finset β, Disjoint t s → (∑ b : β in t, f b) ∈ o :=\n  cauchySeq_finset_iff_vanishing.1 (Tendsto.cauchySeq H.hasSum) o ho\n[GOAL]\ncase pos.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : Summable f\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\no : Set α\nho : o ∈ 𝓝 0\no_closed : IsClosed o\noe : o ⊆ e\ns : Finset β\nhs : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ o\n⊢ ∃ a, ∀ (b : Finset β), a ⊆ b → ∑' (b_1 : { x // ¬x ∈ b }), f ↑b_1 ∈ e\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨s, fun a sa => oe _⟩\n[GOAL]\ncase pos.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : Summable f\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\no : Set α\nho : o ∈ 𝓝 0\no_closed : IsClosed o\noe : o ⊆ e\ns : Finset β\nhs : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ o\na : Finset β\nsa : s ⊆ a\n⊢ ∑' (b : { x // ¬x ∈ a }), f ↑b ∈ o\n[PROOFSTEP]\nhave A : Summable fun b : { x // x ∉ a } => f b := a.summable_compl_iff.2 H\n[GOAL]\ncase pos.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : Summable f\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\no : Set α\nho : o ∈ 𝓝 0\no_closed : IsClosed o\noe : o ⊆ e\ns : Finset β\nhs : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ o\na : Finset β\nsa : s ⊆ a\nA : Summable fun b => f ↑b\n⊢ ∑' (b : { x // ¬x ∈ a }), f ↑b ∈ o\n[PROOFSTEP]\nrefine' IsClosed.mem_of_tendsto o_closed A.hasSum (eventually_of_forall fun b => _)\n[GOAL]\ncase pos.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : Summable f\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\no : Set α\nho : o ∈ 𝓝 0\no_closed : IsClosed o\noe : o ⊆ e\ns : Finset β\nhs : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ o\na : Finset β\nsa : s ⊆ a\nA : Summable fun b => f ↑b\nb : Finset { x // ¬x ∈ a }\n⊢ ∑ b in b, (fun b => f ↑b) b ∈ o\n[PROOFSTEP]\nhave : Disjoint (Finset.image (fun i : { x // x ∉ a } => (i : β)) b) s :=\n  by\n  refine' disjoint_left.2 fun i hi his => _\n  rcases mem_image.1 hi with ⟨i', _, rfl⟩\n  exact i'.2 (sa his)\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : Summable f\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\no : Set α\nho : o ∈ 𝓝 0\no_closed : IsClosed o\noe : o ⊆ e\ns : Finset β\nhs : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ o\na : Finset β\nsa : s ⊆ a\nA : Summable fun b => f ↑b\nb : Finset { x // ¬x ∈ a }\n⊢ Disjoint (image (fun i => ↑i) b) s\n[PROOFSTEP]\nrefine' disjoint_left.2 fun i hi his => _\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : Summable f\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\no : Set α\nho : o ∈ 𝓝 0\no_closed : IsClosed o\noe : o ⊆ e\ns : Finset β\nhs : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ o\na : Finset β\nsa : s ⊆ a\nA : Summable fun b => f ↑b\nb : Finset { x // ¬x ∈ a }\ni : β\nhi : i ∈ image (fun i => ↑i) b\nhis : i ∈ s\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nrcases mem_image.1 hi with ⟨i', _, rfl⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : Summable f\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\no : Set α\nho : o ∈ 𝓝 0\no_closed : IsClosed o\noe : o ⊆ e\ns : Finset β\nhs : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ o\na : Finset β\nsa : s ⊆ a\nA : Summable fun b => f ↑b\nb : Finset { x // ¬x ∈ a }\ni' : { x // ¬x ∈ a }\nleft✝ : i' ∈ b\nhi : ↑i' ∈ image (fun i => ↑i) b\nhis : ↑i' ∈ s\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact i'.2 (sa his)\n[GOAL]\ncase pos.intro.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : Summable f\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\no : Set α\nho : o ∈ 𝓝 0\no_closed : IsClosed o\noe : o ⊆ e\ns : Finset β\nhs : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ o\na : Finset β\nsa : s ⊆ a\nA : Summable fun b => f ↑b\nb : Finset { x // ¬x ∈ a }\nthis : Disjoint (image (fun i => ↑i) b) s\n⊢ ∑ b in b, (fun b => f ↑b) b ∈ o\n[PROOFSTEP]\nconvert hs _ this using 1\n[GOAL]\ncase h.e'_4\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : Summable f\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\no : Set α\nho : o ∈ 𝓝 0\no_closed : IsClosed o\noe : o ⊆ e\ns : Finset β\nhs : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ o\na : Finset β\nsa : s ⊆ a\nA : Summable fun b => f ↑b\nb : Finset { x // ¬x ∈ a }\nthis : Disjoint (image (fun i => ↑i) b) s\n⊢ ∑ b in b, (fun b => f ↑b) b = ∑ b in image (fun i => ↑i) b, f b\n[PROOFSTEP]\nrw [sum_image]\n[GOAL]\ncase h.e'_4\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na✝ a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : Summable f\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\no : Set α\nho : o ∈ 𝓝 0\no_closed : IsClosed o\noe : o ⊆ e\ns : Finset β\nhs : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ o\na : Finset β\nsa : s ⊆ a\nA : Summable fun b => f ↑b\nb : Finset { x // ¬x ∈ a }\nthis : Disjoint (image (fun i => ↑i) b) s\n⊢ ∀ (x : { x // ¬x ∈ a }), x ∈ b → ∀ (y : { x // ¬x ∈ a }), y ∈ b → ↑x = ↑y → x = y\n[PROOFSTEP]\nintro i _ j _ hij\n[GOAL]\ncase h.e'_4\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na✝² a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : Summable f\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\no : Set α\nho : o ∈ 𝓝 0\no_closed : IsClosed o\noe : o ⊆ e\ns : Finset β\nhs : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ o\na : Finset β\nsa : s ⊆ a\nA : Summable fun b => f ↑b\nb : Finset { x // ¬x ∈ a }\nthis : Disjoint (image (fun i => ↑i) b) s\ni : { x // ¬x ∈ a }\na✝¹ : i ∈ b\nj : { x // ¬x ∈ a }\na✝ : j ∈ b\nhij : ↑i = ↑j\n⊢ i = j\n[PROOFSTEP]\nexact Subtype.ext hij\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : ¬Summable f\n⊢ Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // ¬x ∈ s }), f ↑b) atTop (𝓝 0)\n[PROOFSTEP]\nconvert tendsto_const_nhds (α := α) (β := Finset β) (f := atTop) (a := 0)\n[GOAL]\ncase h.e'_3.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : ¬Summable f\nx✝ : Finset β\n⊢ ∑' (b : { x // ¬x ∈ x✝ }), f ↑b = 0\n[PROOFSTEP]\napply tsum_eq_zero_of_not_summable\n[GOAL]\ncase h.e'_3.h.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommGroup α\ninst✝¹ : UniformSpace α\ninst✝ : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\nf : β → α\nH : ¬Summable f\nx✝ : Finset β\n⊢ ¬Summable fun b => f ↑b\n[PROOFSTEP]\nrwa [Finset.summable_compl_iff]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : UniformSpace α\ninst✝¹ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : CompleteSpace α\n⊢ Summable f ↔ ∀ (e : Set α), e ∈ 𝓝 0 → ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\n[PROOFSTEP]\nrw [summable_iff_cauchySeq_finset, cauchySeq_finset_iff_vanishing]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : UniformSpace α\ninst✝¹ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : CompleteSpace α\nhf : Summable f\nh : ∀ (b : β), g b = 0 ∨ g b = f b\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\ns : Finset β\nhs : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\nt : Finset β\nht : Disjoint t s\n⊢ ∑ b in filter (fun b => g b = f b) t, g b = ∑ b in t, g b\n[PROOFSTEP]\n{ refine' Finset.sum_subset (Finset.filter_subset _ _) _\n  intro b hbt hb\n  simp only [Finset.mem_filter, and_iff_right hbt] at hb \n  exact (h b).resolve_right hb\n}\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : UniformSpace α\ninst✝¹ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : CompleteSpace α\nhf : Summable f\nh : ∀ (b : β), g b = 0 ∨ g b = f b\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\ns : Finset β\nhs : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\nt : Finset β\nht : Disjoint t s\n⊢ ∑ b in filter (fun b => g b = f b) t, g b = ∑ b in t, g b\n[PROOFSTEP]\nrefine' Finset.sum_subset (Finset.filter_subset _ _) _\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : UniformSpace α\ninst✝¹ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : CompleteSpace α\nhf : Summable f\nh : ∀ (b : β), g b = 0 ∨ g b = f b\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\ns : Finset β\nhs : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\nt : Finset β\nht : Disjoint t s\n⊢ ∀ (x : β), x ∈ t → ¬x ∈ filter (fun b => g b = f b) t → g x = 0\n[PROOFSTEP]\nintro b hbt hb\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : UniformSpace α\ninst✝¹ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : CompleteSpace α\nhf : Summable f\nh : ∀ (b : β), g b = 0 ∨ g b = f b\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\ns : Finset β\nhs : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\nt : Finset β\nht : Disjoint t s\nb : β\nhbt : b ∈ t\nhb : ¬b ∈ filter (fun b => g b = f b) t\n⊢ g b = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Finset.mem_filter, and_iff_right hbt] at hb \n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : UniformSpace α\ninst✝¹ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : CompleteSpace α\nhf : Summable f\nh : ∀ (b : β), g b = 0 ∨ g b = f b\ne : Set α\nhe : e ∈ 𝓝 0\ns : Finset β\nhs : ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∑ b in t, f b ∈ e\nt : Finset β\nht : Disjoint t s\nb : β\nhbt : b ∈ t\nhb : ¬g b = f b\n⊢ g b = 0\n[PROOFSTEP]\nexact (h b).resolve_right hb\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommGroup α\ninst✝² : UniformSpace α\ninst✝¹ : UniformAddGroup α\nf g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝ : CompleteSpace α\ni : γ → β\nhf : Summable f\nhi : Injective i\n⊢ Summable (f ∘ i)\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [Set.indicator_range_comp] using\n  (hi.summable_iff (fun x hx => Set.indicator_of_not_mem hx _)).2 (hf.indicator (Set.range i))\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup α\ninst✝³ : UniformSpace α\ninst✝² : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝¹ : CompleteSpace α\ninst✝ : T2Space α\nf : β → α\nhf : Summable f\ns : Finset β\n⊢ ∑ x in s, f x + ∑' (x : { x // ¬x ∈ s }), f ↑x = ∑' (x : β), f x\n[PROOFSTEP]\nrw [← tsum_subtype_add_tsum_subtype_compl hf s]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup α\ninst✝³ : UniformSpace α\ninst✝² : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝¹ : CompleteSpace α\ninst✝ : T2Space α\nf : β → α\nhf : Summable f\ns : Finset β\n⊢ ∑ x in s, f x + ∑' (x : { x // ¬x ∈ s }), f ↑x = ∑' (x : ↑↑s), f ↑x + ∑' (x : ↑(↑s)ᶜ), f ↑x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Finset.tsum_subtype', add_right_inj]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup α\ninst✝³ : UniformSpace α\ninst✝² : UniformAddGroup α\nf✝ g : β → α\na a₁ a₂ : α\ninst✝¹ : CompleteSpace α\ninst✝ : T2Space α\nf : β → α\nhf : Summable f\ns : Finset β\n⊢ ∑' (x : { x // ¬x ∈ s }), f ↑x = ∑' (x : ↑(↑s)ᶜ), f ↑x\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nG : Type u_5\ninst✝² : TopologicalSpace G\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : TopologicalAddGroup G\nf : α → G\nhf : Summable f\ne : Set G\nhe : e ∈ 𝓝 0\n⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∑ k in t, f k ∈ e\n[PROOFSTEP]\nletI : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nG : Type u_5\ninst✝² : TopologicalSpace G\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : TopologicalAddGroup G\nf : α → G\nhf : Summable f\ne : Set G\nhe : e ∈ 𝓝 0\nthis : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G\n⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∑ k in t, f k ∈ e\n[PROOFSTEP]\nletI : UniformAddGroup G := comm_topologicalAddGroup_is_uniform\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nG : Type u_5\ninst✝² : TopologicalSpace G\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : TopologicalAddGroup G\nf : α → G\nhf : Summable f\ne : Set G\nhe : e ∈ 𝓝 0\nthis✝ : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G\nthis : UniformAddGroup G := comm_topologicalAddGroup_is_uniform\n⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∑ k in t, f k ∈ e\n[PROOFSTEP]\nrcases hf with ⟨y, hy⟩\n[GOAL]\ncase intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nG : Type u_5\ninst✝² : TopologicalSpace G\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : TopologicalAddGroup G\nf : α → G\ne : Set G\nhe : e ∈ 𝓝 0\nthis✝ : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G\nthis : UniformAddGroup G := comm_topologicalAddGroup_is_uniform\ny : G\nhy : HasSum f y\n⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∑ k in t, f k ∈ e\n[PROOFSTEP]\nexact cauchySeq_finset_iff_vanishing.1 hy.cauchySeq e he\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nG : Type u_5\ninst✝² : TopologicalSpace G\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : TopologicalAddGroup G\nf : α → G\nhf : Summable f\n⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0)\n[PROOFSTEP]\nintro e he\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nG : Type u_5\ninst✝² : TopologicalSpace G\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : TopologicalAddGroup G\nf : α → G\nhf : Summable f\ne : Set G\nhe : e ∈ 𝓝 0\n⊢ e ∈ Filter.map f cofinite\n[PROOFSTEP]\nrw [Filter.mem_map]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nG : Type u_5\ninst✝² : TopologicalSpace G\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : TopologicalAddGroup G\nf : α → G\nhf : Summable f\ne : Set G\nhe : e ∈ 𝓝 0\n⊢ f ⁻¹' e ∈ cofinite\n[PROOFSTEP]\nrcases hf.vanishing he with ⟨s, hs⟩\n[GOAL]\ncase intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nG : Type u_5\ninst✝² : TopologicalSpace G\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : TopologicalAddGroup G\nf : α → G\nhf : Summable f\ne : Set G\nhe : e ∈ 𝓝 0\ns : Finset α\nhs : ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∑ k in t, f k ∈ e\n⊢ f ⁻¹' e ∈ cofinite\n[PROOFSTEP]\nrefine' s.eventually_cofinite_nmem.mono fun x hx => _\n[GOAL]\ncase intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nG : Type u_5\ninst✝² : TopologicalSpace G\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : TopologicalAddGroup G\nf : α → G\nhf : Summable f\ne : Set G\nhe : e ∈ 𝓝 0\ns : Finset α\nhs : ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∑ k in t, f k ∈ e\nx : α\nhx : ¬x ∈ s\n⊢ f x ∈ e\n[PROOFSTEP]\nsimpa using hs { x } (disjoint_singleton_left.2 hx)\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nG : Type u_5\ninst✝² : TopologicalSpace G\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : TopologicalAddGroup G\nf✝ : α → G\nf : ℕ → G\nhf : Summable f\n⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0)\n[PROOFSTEP]\nrw [← Nat.cofinite_eq_atTop]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nG : Type u_5\ninst✝² : TopologicalSpace G\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : TopologicalAddGroup G\nf✝ : α → G\nf : ℕ → G\nhf : Summable f\n⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0)\n[PROOFSTEP]\nexact hf.tendsto_cofinite_zero\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nG : Type u_5\ninst✝⁴ : TopologicalSpace G\ninst✝³ : AddCommGroup G\ninst✝² : TopologicalAddGroup G\nf : α → G\ninst✝¹ : TopologicalSpace.FirstCountableTopology G\ninst✝ : T1Space G\nhf : Summable f\n⊢ Set.Countable (support f)\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [sInter_sets_nhds] using hf.tendsto_cofinite_zero.countable_compl_preimage_sInter_sets\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : AddCommMonoid γ\ninst✝ : TopologicalSpace γ\nf : β → α\ng : β → γ\na : α\nb : γ\nhf : HasSum f a\nhg : HasSum g b\n⊢ HasSum (fun x => (f x, g x)) (a, b)\n[PROOFSTEP]\nsimp [HasSum, ← prod_mk_sum, Filter.Tendsto.prod_mk_nhds hf hg]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Type u_5\nπ : α → Type u_6\ninst✝¹ : (x : α) → AddCommMonoid (π x)\ninst✝ : (x : α) → TopologicalSpace (π x)\nf : ι → (x : α) → π x\ng : (x : α) → π x\n⊢ HasSum f g ↔ ∀ (x : α), HasSum (fun i => f i x) (g x)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [HasSum, tendsto_pi_nhds, sum_apply]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Type u_5\nπ : α → Type u_6\ninst✝¹ : (x : α) → AddCommMonoid (π x)\ninst✝ : (x : α) → TopologicalSpace (π x)\nf : ι → (x : α) → π x\n⊢ Summable f ↔ ∀ (x : α), Summable fun i => f i x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Summable, Pi.hasSum, skolem]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf : β → α\na : α\ninst✝ : T2Space α\n⊢ ∑' (x : β), op (f x) = op (∑' (x : β), f x)\n[PROOFSTEP]\nby_cases h : Summable f\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf : β → α\na : α\ninst✝ : T2Space α\nh : Summable f\n⊢ ∑' (x : β), op (f x) = op (∑' (x : β), f x)\n[PROOFSTEP]\nexact h.hasSum.op.tsum_eq\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf : β → α\na : α\ninst✝ : T2Space α\nh : ¬Summable f\n⊢ ∑' (x : β), op (f x) = op (∑' (x : β), f x)\n[PROOFSTEP]\nhave ho := summable_op.not.mpr h\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝² : AddCommMonoid α\ninst✝¹ : TopologicalSpace α\nf : β → α\na : α\ninst✝ : T2Space α\nh : ¬Summable f\nho : ¬Summable fun a => op (f a)\n⊢ ∑' (x : β), op (f x) = op (∑' (x : β), f x)\n[PROOFSTEP]\nrw [tsum_eq_zero_of_not_summable h, tsum_eq_zero_of_not_summable ho, MulOpposite.op_zero]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : StarAddMonoid α\ninst✝ : ContinuousStar α\nf : β → α\na : α\nh : HasSum f a\n⊢ HasSum (fun b => Star.star (f b)) (Star.star a)\n[PROOFSTEP]\nsimpa only using h.map (starAddEquiv : α ≃+ α) continuous_star\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝³ : AddCommMonoid α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : StarAddMonoid α\ninst✝ : ContinuousStar α\nf : β → α\na : α\nhf : Summable fun b => Star.star (f b)\n⊢ Summable f\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [star_star] using hf.star\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : StarAddMonoid α\ninst✝¹ : ContinuousStar α\nf : β → α\na : α\ninst✝ : T2Space α\n⊢ star (∑' (b : β), f b) = ∑' (b : β), star (f b)\n[PROOFSTEP]\nby_cases hf : Summable f\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : StarAddMonoid α\ninst✝¹ : ContinuousStar α\nf : β → α\na : α\ninst✝ : T2Space α\nhf : Summable f\n⊢ star (∑' (b : β), f b) = ∑' (b : β), star (f b)\n[PROOFSTEP]\nexact hf.hasSum.star.tsum_eq.symm\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommMonoid α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : StarAddMonoid α\ninst✝¹ : ContinuousStar α\nf : β → α\na : α\ninst✝ : T2Space α\nhf : ¬Summable f\n⊢ star (∑' (b : β), f b) = ∑' (b : β), star (f b)\n[PROOFSTEP]\nrw [tsum_eq_zero_of_not_summable hf, tsum_eq_zero_of_not_summable (mt Summable.ofStar hf), star_zero]\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Basic", "llama_tokens": 75911, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. YES\n2. NO", "lm_q1_score": 0.531209388216861, "lm_q2_score": 0.4649015713733885, "lm_q1q2_score": 0.24696007931031505}}
{"text": "[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Cover J X\n⊢ ∀ {X_1 Y : WalkingMulticospan (index S (P ⋙ F)).fstTo (index S (P ⋙ F)).sndTo} (f : X_1 ⟶ Y),\n    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).map f ≫\n        ((fun t =>\n              match t with\n              | WalkingMulticospan.left a =>\n                eqToIso\n                  (_ :\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                      (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n              | WalkingMulticospan.right b =>\n                eqToIso\n                  (_ :\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                      (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n            Y).hom =\n      ((fun t =>\n              match t with\n              | WalkingMulticospan.left a =>\n                eqToIso\n                  (_ :\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                      (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n              | WalkingMulticospan.right b =>\n                eqToIso\n                  (_ :\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                      (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n            X_1).hom ≫\n        (MulticospanIndex.multicospan (index S P) ⋙ F).map f\n[PROOFSTEP]\nrintro (a | b) (a | b) (f | f | f)\n[GOAL]\ncase left.left.id\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Cover J X\na : (index S (P ⋙ F)).L\n⊢ (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).map (WalkingMulticospan.Hom.id (WalkingMulticospan.left a)) ≫\n      ((fun t =>\n            match t with\n            | WalkingMulticospan.left a =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n            | WalkingMulticospan.right b =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n          (WalkingMulticospan.left a)).hom =\n    ((fun t =>\n            match t with\n            | WalkingMulticospan.left a =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n            | WalkingMulticospan.right b =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n          (WalkingMulticospan.left a)).hom ≫\n      (MulticospanIndex.multicospan (index S P) ⋙ F).map (WalkingMulticospan.Hom.id (WalkingMulticospan.left a))\ncase left.right.fst\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Cover J X\nb : (index S (P ⋙ F)).R\n⊢ (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).map (WalkingMulticospan.Hom.fst b) ≫\n      ((fun t =>\n            match t with\n            | WalkingMulticospan.left a =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n            | WalkingMulticospan.right b =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n          (WalkingMulticospan.right b)).hom =\n    ((fun t =>\n            match t with\n            | WalkingMulticospan.left a =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n            | WalkingMulticospan.right b =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n          (WalkingMulticospan.left (MulticospanIndex.fstTo (index S (P ⋙ F)) b))).hom ≫\n      (MulticospanIndex.multicospan (index S P) ⋙ F).map (WalkingMulticospan.Hom.fst b)\ncase left.right.snd\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Cover J X\nb : (index S (P ⋙ F)).R\n⊢ (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).map (WalkingMulticospan.Hom.snd b) ≫\n      ((fun t =>\n            match t with\n            | WalkingMulticospan.left a =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n            | WalkingMulticospan.right b =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n          (WalkingMulticospan.right b)).hom =\n    ((fun t =>\n            match t with\n            | WalkingMulticospan.left a =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n            | WalkingMulticospan.right b =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n          (WalkingMulticospan.left (MulticospanIndex.sndTo (index S (P ⋙ F)) b))).hom ≫\n      (MulticospanIndex.multicospan (index S P) ⋙ F).map (WalkingMulticospan.Hom.snd b)\ncase right.right.id\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Cover J X\nb : (index S (P ⋙ F)).R\n⊢ (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).map (WalkingMulticospan.Hom.id (WalkingMulticospan.right b)) ≫\n      ((fun t =>\n            match t with\n            | WalkingMulticospan.left a =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n            | WalkingMulticospan.right b =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n          (WalkingMulticospan.right b)).hom =\n    ((fun t =>\n            match t with\n            | WalkingMulticospan.left a =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n            | WalkingMulticospan.right b =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n          (WalkingMulticospan.right b)).hom ≫\n      (MulticospanIndex.multicospan (index S P) ⋙ F).map (WalkingMulticospan.Hom.id (WalkingMulticospan.right b))\n[PROOFSTEP]\nall_goals aesop_cat\n[GOAL]\ncase left.left.id\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Cover J X\na : (index S (P ⋙ F)).L\n⊢ (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).map (WalkingMulticospan.Hom.id (WalkingMulticospan.left a)) ≫\n      ((fun t =>\n            match t with\n            | WalkingMulticospan.left a =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n            | WalkingMulticospan.right b =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n          (WalkingMulticospan.left a)).hom =\n    ((fun t =>\n            match t with\n            | WalkingMulticospan.left a =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n            | WalkingMulticospan.right b =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n          (WalkingMulticospan.left a)).hom ≫\n      (MulticospanIndex.multicospan (index S P) ⋙ F).map (WalkingMulticospan.Hom.id (WalkingMulticospan.left a))\n[PROOFSTEP]\naesop_cat\n[GOAL]\ncase left.right.fst\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Cover J X\nb : (index S (P ⋙ F)).R\n⊢ (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).map (WalkingMulticospan.Hom.fst b) ≫\n      ((fun t =>\n            match t with\n            | WalkingMulticospan.left a =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n            | WalkingMulticospan.right b =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n          (WalkingMulticospan.right b)).hom =\n    ((fun t =>\n            match t with\n            | WalkingMulticospan.left a =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n            | WalkingMulticospan.right b =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n          (WalkingMulticospan.left (MulticospanIndex.fstTo (index S (P ⋙ F)) b))).hom ≫\n      (MulticospanIndex.multicospan (index S P) ⋙ F).map (WalkingMulticospan.Hom.fst b)\n[PROOFSTEP]\naesop_cat\n[GOAL]\ncase left.right.snd\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Cover J X\nb : (index S (P ⋙ F)).R\n⊢ (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).map (WalkingMulticospan.Hom.snd b) ≫\n      ((fun t =>\n            match t with\n            | WalkingMulticospan.left a =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n            | WalkingMulticospan.right b =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n          (WalkingMulticospan.right b)).hom =\n    ((fun t =>\n            match t with\n            | WalkingMulticospan.left a =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n            | WalkingMulticospan.right b =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n          (WalkingMulticospan.left (MulticospanIndex.sndTo (index S (P ⋙ F)) b))).hom ≫\n      (MulticospanIndex.multicospan (index S P) ⋙ F).map (WalkingMulticospan.Hom.snd b)\n[PROOFSTEP]\naesop_cat\n[GOAL]\ncase right.right.id\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Cover J X\nb : (index S (P ⋙ F)).R\n⊢ (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).map (WalkingMulticospan.Hom.id (WalkingMulticospan.right b)) ≫\n      ((fun t =>\n            match t with\n            | WalkingMulticospan.left a =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n            | WalkingMulticospan.right b =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n          (WalkingMulticospan.right b)).hom =\n    ((fun t =>\n            match t with\n            | WalkingMulticospan.left a =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.left a))\n            | WalkingMulticospan.right b =>\n              eqToIso\n                (_ :\n                  (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b) =\n                    (MulticospanIndex.multicospan (index S (P ⋙ F))).obj (WalkingMulticospan.right b)))\n          (WalkingMulticospan.right b)).hom ≫\n      (MulticospanIndex.multicospan (index S P) ⋙ F).map (WalkingMulticospan.Hom.id (WalkingMulticospan.right b))\n[PROOFSTEP]\naesop_cat\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Cover J X\n⊢ ∀ (j : WalkingMulticospan (index S P).fstTo (index S P).sndTo),\n    NatTrans.app (F.mapCone (multifork S P)).π j =\n      (eqToIso (_ : (F.mapCone (multifork S P)).pt = (F.mapCone (multifork S P)).pt)).hom ≫\n        NatTrans.app ((Cones.postcompose (multicospanComp F P S).hom).obj (multifork S (P ⋙ F))).π j\n[PROOFSTEP]\nrintro (a | b)\n[GOAL]\ncase left\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Cover J X\na : (index S P).L\n⊢ NatTrans.app (F.mapCone (multifork S P)).π (WalkingMulticospan.left a) =\n    (eqToIso (_ : (F.mapCone (multifork S P)).pt = (F.mapCone (multifork S P)).pt)).hom ≫\n      NatTrans.app ((Cones.postcompose (multicospanComp F P S).hom).obj (multifork S (P ⋙ F))).π\n        (WalkingMulticospan.left a)\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\ncase left\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Cover J X\na : (index S P).L\n⊢ F.map (P.map a.f.op) =\n    𝟙 (F.obj (P.obj (Opposite.op X))) ≫\n      F.map (P.map a.f.op) ≫ NatTrans.app (multicospanComp F P S).hom (WalkingMulticospan.left a)\n[PROOFSTEP]\nerw [Category.id_comp, multicospanComp_hom_app_left, eqToHom_refl, Category.comp_id]\n[GOAL]\ncase right\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Cover J X\nb : (index S P).R\n⊢ NatTrans.app (F.mapCone (multifork S P)).π (WalkingMulticospan.right b) =\n    (eqToIso (_ : (F.mapCone (multifork S P)).pt = (F.mapCone (multifork S P)).pt)).hom ≫\n      NatTrans.app ((Cones.postcompose (multicospanComp F P S).hom).obj (multifork S (P ⋙ F))).π\n        (WalkingMulticospan.right b)\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\ncase right\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Cover J X\nb : (index S P).R\n⊢ F.map (P.map (MulticospanIndex.fstTo (index S P) b).f.op ≫ MulticospanIndex.fst (index S P) b) =\n    𝟙 (F.obj (P.obj (Opposite.op X))) ≫\n      (F.map (P.map (MulticospanIndex.fstTo (index S (P ⋙ F)) b).f.op) ≫ MulticospanIndex.fst (index S (P ⋙ F)) b) ≫\n        NatTrans.app (multicospanComp F P S).hom (WalkingMulticospan.right b)\n[PROOFSTEP]\nerw [Functor.map_comp, Category.assoc, Category.id_comp, multicospanComp_hom_app_right, eqToHom_refl, Category.comp_id]\n[GOAL]\ncase right\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nX : C\nS : Cover J X\nb : (index S P).R\n⊢ F.map (P.map (MulticospanIndex.fstTo (index S P) b).f.op) ≫ F.map (MulticospanIndex.fst (index S P) b) =\n    F.map (P.map (MulticospanIndex.fstTo (index S (P ⋙ F)) b).f.op) ≫ MulticospanIndex.fst (index S (P ⋙ F)) b\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝³ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\ninst✝² :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) F\ninst✝¹ :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) G\ninst✝ :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nhP : IsSheaf J P\n⊢ IsSheaf J (P ⋙ F)\n[PROOFSTEP]\nrw [Presheaf.isSheaf_iff_multifork] at hP ⊢\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝³ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\ninst✝² :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) F\ninst✝¹ :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) G\ninst✝ :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nhP : ∀ (X : C) (S : GrothendieckTopology.Cover J X), Nonempty (IsLimit (GrothendieckTopology.Cover.multifork S P))\n⊢ ∀ (X : C) (S : GrothendieckTopology.Cover J X), Nonempty (IsLimit (GrothendieckTopology.Cover.multifork S (P ⋙ F)))\n[PROOFSTEP]\nintro X S\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝³ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\ninst✝² :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) F\ninst✝¹ :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) G\ninst✝ :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nhP : ∀ (X : C) (S : GrothendieckTopology.Cover J X), Nonempty (IsLimit (GrothendieckTopology.Cover.multifork S P))\nX : C\nS : GrothendieckTopology.Cover J X\n⊢ Nonempty (IsLimit (GrothendieckTopology.Cover.multifork S (P ⋙ F)))\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨h⟩ := hP X S\n[GOAL]\ncase intro\nC : Type u₁\ninst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝³ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\ninst✝² :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) F\ninst✝¹ :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) G\ninst✝ :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nhP : ∀ (X : C) (S : GrothendieckTopology.Cover J X), Nonempty (IsLimit (GrothendieckTopology.Cover.multifork S P))\nX : C\nS : GrothendieckTopology.Cover J X\nh : IsLimit (GrothendieckTopology.Cover.multifork S P)\n⊢ Nonempty (IsLimit (GrothendieckTopology.Cover.multifork S (P ⋙ F)))\n[PROOFSTEP]\nreplace h := isLimitOfPreserves F h\n[GOAL]\ncase intro\nC : Type u₁\ninst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝³ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\ninst✝² :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) F\ninst✝¹ :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) G\ninst✝ :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nhP : ∀ (X : C) (S : GrothendieckTopology.Cover J X), Nonempty (IsLimit (GrothendieckTopology.Cover.multifork S P))\nX : C\nS : GrothendieckTopology.Cover J X\nh : IsLimit (F.mapCone (GrothendieckTopology.Cover.multifork S P))\n⊢ Nonempty (IsLimit (GrothendieckTopology.Cover.multifork S (P ⋙ F)))\n[PROOFSTEP]\nreplace h := Limits.IsLimit.ofIsoLimit h (S.mapMultifork F P)\n[GOAL]\ncase intro\nC : Type u₁\ninst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C\nA : Type u₂\ninst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} A\nB : Type u₃\ninst✝³ : Category.{v₃, u₃} B\nJ : GrothendieckTopology C\nU : C\nR : Presieve U\nF G H : A ⥤ B\nη : F ⟶ G\nγ : G ⟶ H\ninst✝² :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) F\ninst✝¹ :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) G\ninst✝ :\n  (X : C) →\n    (S : GrothendieckTopology.Cover J X) →\n      (P : Cᵒᵖ ⥤ A) → PreservesLimit (MulticospanIndex.multicospan (GrothendieckTopology.Cover.index S P)) H\nP : Cᵒᵖ ⥤ A\nhP : ∀ (X : C) (S : GrothendieckTopology.Cover J X), Nonempty (IsLimit (GrothendieckTopology.Cover.multifork S P))\nX : C\nS : GrothendieckTopology.Cover J X\nh :\n  IsLimit\n    ((Cones.postcompose (GrothendieckTopology.Cover.multicospanComp F P S).hom).obj\n      (GrothendieckTopology.Cover.multifork S (P ⋙ F)))\n⊢ Nonempty (IsLimit (GrothendieckTopology.Cover.multifork S (P ⋙ F)))\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨Limits.IsLimit.postcomposeHomEquiv (S.multicospanComp F P) _ h⟩\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.CategoryTheory.Sites.Whiskering", "llama_tokens": 11402, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nI : Ideal R\nh : I ≤ Ideal.jacobson ⊥\n⊢ IsLocalRingHom (Ideal.Quotient.mk I)\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase map_nonunit\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nI : Ideal R\nh : I ≤ Ideal.jacobson ⊥\n⊢ ∀ (a : R), IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) a) → IsUnit a\n[PROOFSTEP]\nintro a h\n[GOAL]\ncase map_nonunit\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nI : Ideal R\nh✝ : I ≤ Ideal.jacobson ⊥\na : R\nh : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) a)\n⊢ IsUnit a\n[PROOFSTEP]\nhave : IsUnit (Ideal.Quotient.mk (Ideal.jacobson ⊥) a) :=\n  by\n  rw [isUnit_iff_exists_inv] at *\n  obtain ⟨b, hb⟩ := h\n  obtain ⟨b, rfl⟩ := Ideal.Quotient.mk_surjective b\n  use Ideal.Quotient.mk _ b\n  rw [← (Ideal.Quotient.mk _).map_one, ← (Ideal.Quotient.mk _).map_mul, Ideal.Quotient.eq] at hb ⊢\n  exact h hb\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nI : Ideal R\nh✝ : I ≤ Ideal.jacobson ⊥\na : R\nh : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) a)\n⊢ IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.jacobson ⊥)) a)\n[PROOFSTEP]\nrw [isUnit_iff_exists_inv] at *\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nI : Ideal R\nh✝ : I ≤ Ideal.jacobson ⊥\na : R\nh : ∃ b, ↑(Ideal.Quotient.mk I) a * b = 1\n⊢ ∃ b, ↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.jacobson ⊥)) a * b = 1\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨b, hb⟩ := h\n[GOAL]\ncase intro\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nI : Ideal R\nh : I ≤ Ideal.jacobson ⊥\na : R\nb : R ⧸ I\nhb : ↑(Ideal.Quotient.mk I) a * b = 1\n⊢ ∃ b, ↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.jacobson ⊥)) a * b = 1\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨b, rfl⟩ := Ideal.Quotient.mk_surjective b\n[GOAL]\ncase intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nI : Ideal R\nh : I ≤ Ideal.jacobson ⊥\na b : R\nhb : ↑(Ideal.Quotient.mk I) a * ↑(Ideal.Quotient.mk I) b = 1\n⊢ ∃ b, ↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.jacobson ⊥)) a * b = 1\n[PROOFSTEP]\nuse Ideal.Quotient.mk _ b\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nI : Ideal R\nh : I ≤ Ideal.jacobson ⊥\na b : R\nhb : ↑(Ideal.Quotient.mk I) a * ↑(Ideal.Quotient.mk I) b = 1\n⊢ ↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.jacobson ⊥)) a * ↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.jacobson ⊥)) b = 1\n[PROOFSTEP]\nrw [← (Ideal.Quotient.mk _).map_one, ← (Ideal.Quotient.mk _).map_mul, Ideal.Quotient.eq] at hb ⊢\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nI : Ideal R\nh : I ≤ Ideal.jacobson ⊥\na b : R\nhb : a * b - 1 ∈ I\n⊢ a * b - 1 ∈ Ideal.jacobson ⊥\n[PROOFSTEP]\nexact h hb\n[GOAL]\ncase map_nonunit\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nI : Ideal R\nh✝ : I ≤ Ideal.jacobson ⊥\na : R\nh : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) a)\nthis : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.jacobson ⊥)) a)\n⊢ IsUnit a\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨⟨x, y, h1, h2⟩, rfl : x = _⟩ := this\n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nI : Ideal R\nh✝ : I ≤ Ideal.jacobson ⊥\na : R\nh : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) a)\ny : R ⧸ Ideal.jacobson ⊥\nh1 : ↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.jacobson ⊥)) a * y = 1\nh2 : y * ↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.jacobson ⊥)) a = 1\n⊢ IsUnit a\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨y, rfl⟩ := Ideal.Quotient.mk_surjective y\n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk.intro\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nI : Ideal R\nh✝ : I ≤ Ideal.jacobson ⊥\na : R\nh : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) a)\ny : R\nh1 : ↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.jacobson ⊥)) a * ↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.jacobson ⊥)) y = 1\nh2 : ↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.jacobson ⊥)) y * ↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.jacobson ⊥)) a = 1\n⊢ IsUnit a\n[PROOFSTEP]\nrw [← (Ideal.Quotient.mk _).map_mul, ← (Ideal.Quotient.mk _).map_one, Ideal.Quotient.eq, Ideal.mem_jacobson_bot] at h1\n  h2 \n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk.intro\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nI : Ideal R\nh✝ : I ≤ Ideal.jacobson ⊥\na : R\nh : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) a)\ny : R\nh1 : ∀ (y_1 : R), IsUnit ((a * y - 1) * y_1 + 1)\nh2 : ∀ (y_1 : R), IsUnit ((y * a - 1) * y_1 + 1)\n⊢ IsUnit a\n[PROOFSTEP]\nspecialize h1 1\n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk.intro\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nI : Ideal R\nh✝ : I ≤ Ideal.jacobson ⊥\na : R\nh : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) a)\ny : R\nh2 : ∀ (y_1 : R), IsUnit ((y * a - 1) * y_1 + 1)\nh1 : IsUnit ((a * y - 1) * 1 + 1)\n⊢ IsUnit a\n[PROOFSTEP]\nsimp at h1 \n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk.intro\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nI : Ideal R\nh✝ : I ≤ Ideal.jacobson ⊥\na : R\nh : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) a)\ny : R\nh2 : ∀ (y_1 : R), IsUnit ((y * a - 1) * y_1 + 1)\nh1 : IsUnit a ∧ IsUnit y\n⊢ IsUnit a\n[PROOFSTEP]\nexact h1.1\n[GOAL]\nK : Type u_1\ninst✝ : Field K\nf : K[X]\nx✝¹ : Monic f\na₀ : K\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ maximalIdeal K\nx✝ : IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f))\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ maximalIdeal K\n[PROOFSTEP]\nsimp only [(maximalIdeal K).eq_bot_of_prime, Ideal.mem_bot] at h₁ ⊢\n[GOAL]\nK : Type u_1\ninst✝ : Field K\nf : K[X]\nx✝¹ : Monic f\na₀ : K\nx✝ : IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f))\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f = 0\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ = 0\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨a₀, h₁, sub_self _⟩\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n⊢ List.TFAE\n    [HenselianLocalRing R,\n      ∀ (f : R[X]),\n        Monic f →\n          ∀ (a₀ : ResidueField R),\n            ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀,\n      ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n        Surjective ↑φ →\n          ∀ (f : R[X]),\n            Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀]\n[PROOFSTEP]\ntfae_have _3_2 : 3 → 2\n[GOAL]\ncase _3_2\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n⊢ (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\n[PROOFSTEP]\nintro H\n[GOAL]\ncase _3_2\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\nH :\n  ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n    Surjective ↑φ →\n      ∀ (f : R[X]),\n        Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀\n⊢ ∀ (f : R[X]),\n    Monic f →\n      ∀ (a₀ : ResidueField R),\n        ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\n[PROOFSTEP]\nexact H (residue R) Ideal.Quotient.mk_surjective\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\n⊢ List.TFAE\n    [HenselianLocalRing R,\n      ∀ (f : R[X]),\n        Monic f →\n          ∀ (a₀ : ResidueField R),\n            ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀,\n      ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n        Surjective ↑φ →\n          ∀ (f : R[X]),\n            Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀]\n[PROOFSTEP]\ntfae_have _2_1 : 2 → 1\n[GOAL]\ncase _2_1\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\n⊢ (∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀) →\n    HenselianLocalRing R\n[PROOFSTEP]\nintro H\n[GOAL]\ncase _2_1\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\nH :\n  ∀ (f : R[X]),\n    Monic f →\n      ∀ (a₀ : ResidueField R),\n        ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\n⊢ HenselianLocalRing R\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase _2_1.is_henselian\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\nH :\n  ∀ (f : R[X]),\n    Monic f →\n      ∀ (a₀ : ResidueField R),\n        ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\n⊢ ∀ (f : R[X]),\n    Monic f →\n      ∀ (a₀ : R),\n        Polynomial.eval a₀ f ∈ maximalIdeal R →\n          IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) → ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ maximalIdeal R\n[PROOFSTEP]\nintro f hf a₀ h₁ h₂\n[GOAL]\ncase _2_1.is_henselian\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\nH :\n  ∀ (f : R[X]),\n    Monic f →\n      ∀ (a₀ : ResidueField R),\n        ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ maximalIdeal R\nh₂ : IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f))\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ maximalIdeal R\n[PROOFSTEP]\nspecialize H f hf (residue R a₀)\n[GOAL]\ncase _2_1.is_henselian\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ maximalIdeal R\nh₂ : IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f))\nH :\n  ↑(aeval (↑(residue R) a₀)) f = 0 →\n    ↑(aeval (↑(residue R) a₀)) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = ↑(residue R) a₀\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ maximalIdeal R\n[PROOFSTEP]\nhave aux := flip mem_nonunits_iff.mp h₂\n[GOAL]\ncase _2_1.is_henselian\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ maximalIdeal R\nh₂ : IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f))\nH :\n  ↑(aeval (↑(residue R) a₀)) f = 0 →\n    ↑(aeval (↑(residue R) a₀)) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = ↑(residue R) a₀\naux : Polynomial.eval a₀ (↑derivative f) ∈ nonunits R → False\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ maximalIdeal R\n[PROOFSTEP]\nsimp only [aeval_def, ResidueField.algebraMap_eq, eval₂_at_apply, ← Ideal.Quotient.eq_zero_iff_mem, ←\n  LocalRing.mem_maximalIdeal] at H h₁ aux \n[GOAL]\ncase _2_1.is_henselian\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nh₂ : IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f))\nH :\n  ↑(residue R) (Polynomial.eval a₀ f) = 0 →\n    ↑(residue R) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = ↑(residue R) a₀\nh₁ : ↑(Ideal.Quotient.mk (maximalIdeal R)) (Polynomial.eval a₀ f) = 0\naux : ↑(Ideal.Quotient.mk (maximalIdeal R)) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) = 0 → False\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ maximalIdeal R\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨a, ha₁, ha₂⟩ := H h₁ aux\n[GOAL]\ncase _2_1.is_henselian.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nh₂ : IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f))\nH :\n  ↑(residue R) (Polynomial.eval a₀ f) = 0 →\n    ↑(residue R) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = ↑(residue R) a₀\nh₁ : ↑(Ideal.Quotient.mk (maximalIdeal R)) (Polynomial.eval a₀ f) = 0\naux : ↑(Ideal.Quotient.mk (maximalIdeal R)) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) = 0 → False\na : R\nha₁ : IsRoot f a\nha₂ : ↑(residue R) a = ↑(residue R) a₀\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ maximalIdeal R\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨a, ha₁, _⟩\n[GOAL]\ncase _2_1.is_henselian.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nh₂ : IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f))\nH :\n  ↑(residue R) (Polynomial.eval a₀ f) = 0 →\n    ↑(residue R) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = ↑(residue R) a₀\nh₁ : ↑(Ideal.Quotient.mk (maximalIdeal R)) (Polynomial.eval a₀ f) = 0\naux : ↑(Ideal.Quotient.mk (maximalIdeal R)) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) = 0 → False\na : R\nha₁ : IsRoot f a\nha₂ : ↑(residue R) a = ↑(residue R) a₀\n⊢ a - a₀ ∈ maximalIdeal R\n[PROOFSTEP]\nrw [← Ideal.Quotient.eq_zero_iff_mem]\n[GOAL]\ncase _2_1.is_henselian.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nh₂ : IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f))\nH :\n  ↑(residue R) (Polynomial.eval a₀ f) = 0 →\n    ↑(residue R) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = ↑(residue R) a₀\nh₁ : ↑(Ideal.Quotient.mk (maximalIdeal R)) (Polynomial.eval a₀ f) = 0\naux : ↑(Ideal.Quotient.mk (maximalIdeal R)) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) = 0 → False\na : R\nha₁ : IsRoot f a\nha₂ : ↑(residue R) a = ↑(residue R) a₀\n⊢ ↑(Ideal.Quotient.mk (maximalIdeal R)) (a - a₀) = 0\n[PROOFSTEP]\nrwa [← sub_eq_zero, ← RingHom.map_sub] at ha₂ \n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\n_2_1 :\n  (∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀) →\n    HenselianLocalRing R\n⊢ List.TFAE\n    [HenselianLocalRing R,\n      ∀ (f : R[X]),\n        Monic f →\n          ∀ (a₀ : ResidueField R),\n            ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀,\n      ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n        Surjective ↑φ →\n          ∀ (f : R[X]),\n            Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀]\n[PROOFSTEP]\ntfae_have _1_3 : 1 → 3\n[GOAL]\ncase _1_3\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\n_2_1 :\n  (∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀) →\n    HenselianLocalRing R\n⊢ HenselianLocalRing R →\n    ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀\n[PROOFSTEP]\nintro hR K _K φ hφ f hf a₀ h₁ h₂\n[GOAL]\ncase _1_3\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\n_2_1 :\n  (∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀) →\n    HenselianLocalRing R\nhR : HenselianLocalRing R\nK : Type u\n_K : Field K\nφ : R →+* K\nhφ : Surjective ↑φ\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : K\nh₁ : eval₂ φ a₀ f = 0\nh₂ : eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨a₀, rfl⟩ := hφ a₀\n[GOAL]\ncase _1_3.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\n_2_1 :\n  (∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀) →\n    HenselianLocalRing R\nhR : HenselianLocalRing R\nK : Type u\n_K : Field K\nφ : R →+* K\nhφ : Surjective ↑φ\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nh₁ : eval₂ φ (↑φ a₀) f = 0\nh₂ : eval₂ φ (↑φ a₀) (↑derivative f) ≠ 0\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = ↑φ a₀\n[PROOFSTEP]\nhave H := HenselianLocalRing.is_henselian f hf a₀\n[GOAL]\ncase _1_3.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\n_2_1 :\n  (∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀) →\n    HenselianLocalRing R\nhR : HenselianLocalRing R\nK : Type u\n_K : Field K\nφ : R →+* K\nhφ : Surjective ↑φ\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nh₁ : eval₂ φ (↑φ a₀) f = 0\nh₂ : eval₂ φ (↑φ a₀) (↑derivative f) ≠ 0\nH :\n  Polynomial.eval a₀ f ∈ maximalIdeal R →\n    IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) → ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ maximalIdeal R\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = ↑φ a₀\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← ker_eq_maximalIdeal φ hφ, eval₂_at_apply, RingHom.mem_ker φ] at H h₁ h₂ \n[GOAL]\ncase _1_3.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\n_2_1 :\n  (∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀) →\n    HenselianLocalRing R\nhR : HenselianLocalRing R\nK : Type u\n_K : Field K\nφ : R →+* K\nhφ : Surjective ↑φ\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nH : ↑φ (Polynomial.eval a₀ f) = 0 → IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ (a - a₀) = 0\nh₁ : ↑φ (Polynomial.eval a₀ f) = 0\nh₂ : ↑φ (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) ≠ 0\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = ↑φ a₀\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨a, ha₁, ha₂⟩ :=\n  H h₁\n    (by\n      contrapose! h₂\n      rwa [← mem_nonunits_iff, ← LocalRing.mem_maximalIdeal, ← LocalRing.ker_eq_maximalIdeal φ hφ, RingHom.mem_ker] at\n        h₂ )\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\n_2_1 :\n  (∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀) →\n    HenselianLocalRing R\nhR : HenselianLocalRing R\nK : Type u\n_K : Field K\nφ : R →+* K\nhφ : Surjective ↑φ\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nH : ↑φ (Polynomial.eval a₀ f) = 0 → IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ (a - a₀) = 0\nh₁ : ↑φ (Polynomial.eval a₀ f) = 0\nh₂ : ↑φ (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) ≠ 0\n⊢ IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f))\n[PROOFSTEP]\ncontrapose! h₂\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\n_2_1 :\n  (∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀) →\n    HenselianLocalRing R\nhR : HenselianLocalRing R\nK : Type u\n_K : Field K\nφ : R →+* K\nhφ : Surjective ↑φ\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nH : ↑φ (Polynomial.eval a₀ f) = 0 → IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ (a - a₀) = 0\nh₁ : ↑φ (Polynomial.eval a₀ f) = 0\nh₂ : ¬IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f))\n⊢ ↑φ (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) = 0\n[PROOFSTEP]\nrwa [← mem_nonunits_iff, ← LocalRing.mem_maximalIdeal, ← LocalRing.ker_eq_maximalIdeal φ hφ, RingHom.mem_ker] at h₂ \n[GOAL]\ncase _1_3.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\n_2_1 :\n  (∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀) →\n    HenselianLocalRing R\nhR : HenselianLocalRing R\nK : Type u\n_K : Field K\nφ : R →+* K\nhφ : Surjective ↑φ\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nH : ↑φ (Polynomial.eval a₀ f) = 0 → IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ (a - a₀) = 0\nh₁ : ↑φ (Polynomial.eval a₀ f) = 0\nh₂ : ↑φ (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) ≠ 0\na : R\nha₁ : IsRoot f a\nha₂ : ↑φ (a - a₀) = 0\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = ↑φ a₀\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨a, ha₁, _⟩\n[GOAL]\ncase _1_3.intro.intro.intro\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\n_2_1 :\n  (∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀) →\n    HenselianLocalRing R\nhR : HenselianLocalRing R\nK : Type u\n_K : Field K\nφ : R →+* K\nhφ : Surjective ↑φ\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nH : ↑φ (Polynomial.eval a₀ f) = 0 → IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ (a - a₀) = 0\nh₁ : ↑φ (Polynomial.eval a₀ f) = 0\nh₂ : ↑φ (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) ≠ 0\na : R\nha₁ : IsRoot f a\nha₂ : ↑φ (a - a₀) = 0\n⊢ ↑φ a = ↑φ a₀\n[PROOFSTEP]\nrwa [φ.map_sub, sub_eq_zero] at ha₂ \n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : CommRing R\ninst✝ : LocalRing R\n_3_2 :\n  (∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀) →\n    ∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀\n_2_1 :\n  (∀ (f : R[X]),\n      Monic f →\n        ∀ (a₀ : ResidueField R),\n          ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀) →\n    HenselianLocalRing R\n_1_3 :\n  HenselianLocalRing R →\n    ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n      Surjective ↑φ →\n        ∀ (f : R[X]),\n          Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀\n⊢ List.TFAE\n    [HenselianLocalRing R,\n      ∀ (f : R[X]),\n        Monic f →\n          ∀ (a₀ : ResidueField R),\n            ↑(aeval a₀) f = 0 → ↑(aeval a₀) (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑(residue R) a = a₀,\n      ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (φ : R →+* K),\n        Surjective ↑φ →\n          ∀ (f : R[X]),\n            Monic f → ∀ (a₀ : K), eval₂ φ a₀ f = 0 → eval₂ φ a₀ (↑derivative f) ≠ 0 → ∃ a, IsRoot f a ∧ ↑φ a = a₀]\n[PROOFSTEP]\ntfae_finish\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nhR : HenselianLocalRing R\n⊢ maximalIdeal R ≤ Ideal.jacobson ⊥\n[PROOFSTEP]\nrw [Ideal.jacobson, le_sInf_iff]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nhR : HenselianLocalRing R\n⊢ ∀ (b : Ideal R), b ∈ {J | ⊥ ≤ J ∧ Ideal.IsMaximal J} → maximalIdeal R ≤ b\n[PROOFSTEP]\nrintro I ⟨-, hI⟩\n[GOAL]\ncase intro\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nhR : HenselianLocalRing R\nI : Ideal R\nhI : Ideal.IsMaximal I\n⊢ maximalIdeal R ≤ I\n[PROOFSTEP]\nexact (eq_maximalIdeal hI).ge\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nhR : HenselianLocalRing R\n⊢ ∀ (f : R[X]),\n    Monic f →\n      ∀ (a₀ : R),\n        Polynomial.eval a₀ f ∈ maximalIdeal R →\n          IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk (maximalIdeal R)) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f))) →\n            ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ maximalIdeal R\n[PROOFSTEP]\nintro f hf a₀ h₁ h₂\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nhR : HenselianLocalRing R\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ maximalIdeal R\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk (maximalIdeal R)) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ maximalIdeal R\n[PROOFSTEP]\nrefine' HenselianLocalRing.is_henselian f hf a₀ h₁ _\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nhR : HenselianLocalRing R\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ maximalIdeal R\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk (maximalIdeal R)) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\n⊢ IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f))\n[PROOFSTEP]\ncontrapose! h₂\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nhR : HenselianLocalRing R\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ maximalIdeal R\nh₂ : ¬IsUnit (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f))\n⊢ ¬IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk (maximalIdeal R)) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\n[PROOFSTEP]\nrw [← mem_nonunits_iff, ← LocalRing.mem_maximalIdeal, ← Ideal.Quotient.eq_zero_iff_mem] at h₂ \n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nhR : HenselianLocalRing R\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ maximalIdeal R\nh₂✝ : Polynomial.eval a₀ (↑derivative f) ∈ nonunits R\nh₂ : ↑(Ideal.Quotient.mk (maximalIdeal R)) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) = 0\n⊢ ¬IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk (maximalIdeal R)) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\n[PROOFSTEP]\nrw [h₂]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nhR : HenselianLocalRing R\nf : R[X]\nhf : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ maximalIdeal R\nh₂✝ : Polynomial.eval a₀ (↑derivative f) ∈ nonunits R\nh₂ : ↑(Ideal.Quotient.mk (maximalIdeal R)) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)) = 0\n⊢ ¬IsUnit 0\n[PROOFSTEP]\nexact not_isUnit_zero\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\n⊢ ∀ (f : R[X]),\n    Monic f →\n      ∀ (a₀ : R),\n        Polynomial.eval a₀ f ∈ I →\n          IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f))) → ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ I\n[PROOFSTEP]\nintro f _ a₀ h₁ h₂\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ I\n[PROOFSTEP]\nclassical\nlet f' := derivative f\nlet c : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun _ b => b - f.eval b * Ring.inverse (f'.eval b)\nhave hc : ∀ n, c (n + 1) = c n - f.eval (c n) * Ring.inverse (f'.eval (c n)) :=\n  by\n  intro n\n  simp only [Nat.rec_add_one]\n    -- we now spend some time determining properties of the sequence `c : ℕ → R`\n          -- `hc_mod`: for every `n`, we have `c n ≡ a₀ [SMOD I]`\n          -- `hf'c`  : for every `n`, `f'.eval (c n)` is a unit\n          -- `hfcI`  : for every `n`, `f.eval (c n)` is contained in `I ^ (n+1)`\nhave hc_mod : ∀ n, c n ≡ a₀ [SMOD I] := by\n  intro n\n  induction' n with n ih\n  · rfl\n  rw [Nat.succ_eq_add_one, hc, sub_eq_add_neg, ← add_zero a₀]\n  refine' ih.add _\n  rw [SModEq.zero, Ideal.neg_mem_iff]\n  refine' I.mul_mem_right _ _\n  rw [← SModEq.zero] at h₁ ⊢\n  exact (ih.eval f).trans h₁\nhave hf'c : ∀ n, IsUnit (f'.eval (c n)) := by\n  intro n\n  haveI := isLocalRingHom_of_le_jacobson_bot I (IsAdicComplete.le_jacobson_bot I)\n  apply isUnit_of_map_unit (Ideal.Quotient.mk I)\n  convert h₂ using 1\n  exact SModEq.def.mp ((hc_mod n).eval _)\nhave hfcI : ∀ n, f.eval (c n) ∈ I ^ (n + 1) := by\n  intro n\n  induction' n with n ih\n  · simpa only [Nat.zero_eq, Nat.rec_zero, zero_add, pow_one] using h₁\n  rw [Nat.succ_eq_add_one, ← taylor_eval_sub (c n), hc, sub_eq_add_neg, sub_eq_add_neg, add_neg_cancel_comm]\n  rw [eval_eq_sum, sum_over_range' _ _ _ (lt_add_of_pos_right _ zero_lt_two), ←\n    Finset.sum_range_add_sum_Ico _ (Nat.le_add_left _ _)]\n  swap\n  · intro i\n    rw [zero_mul]\n  refine' Ideal.add_mem _ _ _\n  · erw [Finset.sum_range_succ]\n    rw [Finset.range_one, Finset.sum_singleton, taylor_coeff_zero, taylor_coeff_one, pow_zero, pow_one, mul_one,\n      mul_neg, mul_left_comm, Ring.mul_inverse_cancel _ (hf'c n), mul_one, add_neg_self]\n    exact Ideal.zero_mem _\n  · refine' Submodule.sum_mem _ _\n    simp only [Finset.mem_Ico]\n    rintro i ⟨h2i, _⟩\n    have aux : n + 2 ≤ i * (n + 1) := by trans 2 * (n + 1) <;> nlinarith only [h2i]\n    refine' Ideal.mul_mem_left _ _ (Ideal.pow_le_pow aux _)\n    rw [pow_mul']\n    refine'\n      Ideal.pow_mem_pow ((Ideal.neg_mem_iff _).2 <| Ideal.mul_mem_right _ _ ih)\n        _\n          -- we are now in the position to show that `c : ℕ → R` is a Cauchy sequence\nhave aux : ∀ m n, m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD (I ^ m • ⊤ : Ideal R)] :=\n  by\n  intro m n hmn\n  rw [← Ideal.one_eq_top, Ideal.smul_eq_mul, mul_one]\n  obtain ⟨k, rfl⟩ := Nat.exists_eq_add_of_le hmn\n  clear hmn\n  induction' k with k ih\n  · rw [Nat.zero_eq, add_zero]\n  rw [Nat.succ_eq_add_one, ← add_assoc, hc, ← add_zero (c m), sub_eq_add_neg]\n  refine' ih.add _\n  symm\n  rw [SModEq.zero, Ideal.neg_mem_iff]\n  refine' Ideal.mul_mem_right _ _ (Ideal.pow_le_pow _ (hfcI _))\n  rw [add_assoc]\n  exact le_self_add\nobtain ⟨a, ha⟩ := IsPrecomplete.prec' c (aux _ _)\nrefine' ⟨a, _, _⟩\n· show f.IsRoot a\n  suffices ∀ n, f.eval a ≡ 0 [SMOD (I ^ n • ⊤ : Ideal R)] by exact IsHausdorff.haus' _ this\n  intro n\n  specialize ha n\n  rw [← Ideal.one_eq_top, Ideal.smul_eq_mul, mul_one] at ha ⊢\n  refine' (ha.symm.eval f).trans _\n  rw [SModEq.zero]\n  exact Ideal.pow_le_pow le_self_add (hfcI _)\n· show a - a₀ ∈ I\n  specialize ha 1\n  rw [hc, pow_one, ← Ideal.one_eq_top, Ideal.smul_eq_mul, mul_one, sub_eq_add_neg] at ha \n  rw [← SModEq.sub_mem, ← add_zero a₀]\n  refine' ha.symm.trans (SModEq.rfl.add _)\n  rw [SModEq.zero, Ideal.neg_mem_iff]\n  exact Ideal.mul_mem_right _ _ h₁\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ I\n[PROOFSTEP]\nlet f' := derivative f\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ I\n[PROOFSTEP]\nlet c : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun _ b => b - f.eval b * Ring.inverse (f'.eval b)\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ I\n[PROOFSTEP]\nhave hc : ∀ n, c (n + 1) = c n - f.eval (c n) * Ring.inverse (f'.eval (c n)) :=\n  by\n  intro n\n  simp only [Nat.rec_add_one]\n    -- we now spend some time determining properties of the sequence `c : ℕ → R`\n          -- `hc_mod`: for every `n`, we have `c n ≡ a₀ [SMOD I]`\n          -- `hf'c`  : for every `n`, `f'.eval (c n)` is a unit\n          -- `hfcI`  : for every `n`, `f.eval (c n)` is contained in `I ^ (n+1)`\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\n⊢ ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\n[PROOFSTEP]\nintro n\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nn : ℕ\n⊢ c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Nat.rec_add_one]\n  -- we now spend some time determining properties of the sequence `c : ℕ → R`\n        -- `hc_mod`: for every `n`, we have `c n ≡ a₀ [SMOD I]`\n        -- `hf'c`  : for every `n`, `f'.eval (c n)` is a unit\n        -- `hfcI`  : for every `n`, `f.eval (c n)` is contained in `I ^ (n+1)`\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ I\n[PROOFSTEP]\nhave hc_mod : ∀ n, c n ≡ a₀ [SMOD I] := by\n  intro n\n  induction' n with n ih\n  · rfl\n  rw [Nat.succ_eq_add_one, hc, sub_eq_add_neg, ← add_zero a₀]\n  refine' ih.add _\n  rw [SModEq.zero, Ideal.neg_mem_iff]\n  refine' I.mul_mem_right _ _\n  rw [← SModEq.zero] at h₁ ⊢\n  exact (ih.eval f).trans h₁\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\n⊢ ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\n[PROOFSTEP]\nintro n\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\n⊢ c n ≡ a₀ [SMOD I]\n[PROOFSTEP]\ninduction' n with n ih\n[GOAL]\ncase zero\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\n⊢ c Nat.zero ≡ a₀ [SMOD I]\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase succ\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : c n ≡ a₀ [SMOD I]\n⊢ c (Nat.succ n) ≡ a₀ [SMOD I]\n[PROOFSTEP]\nrw [Nat.succ_eq_add_one, hc, sub_eq_add_neg, ← add_zero a₀]\n[GOAL]\ncase succ\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : c n ≡ a₀ [SMOD I]\n⊢ c n + -(Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')) ≡ a₀ + 0 [SMOD I]\n[PROOFSTEP]\nrefine' ih.add _\n[GOAL]\ncase succ\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : c n ≡ a₀ [SMOD I]\n⊢ -(Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')) ≡ 0 [SMOD I]\n[PROOFSTEP]\nrw [SModEq.zero, Ideal.neg_mem_iff]\n[GOAL]\ncase succ\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : c n ≡ a₀ [SMOD I]\n⊢ Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f') ∈ I\n[PROOFSTEP]\nrefine' I.mul_mem_right _ _\n[GOAL]\ncase succ\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : c n ≡ a₀ [SMOD I]\n⊢ Polynomial.eval (c n) f ∈ I\n[PROOFSTEP]\nrw [← SModEq.zero] at h₁ ⊢\n[GOAL]\ncase succ\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ≡ 0 [SMOD I]\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : R[X] := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : c n ≡ a₀ [SMOD I]\n⊢ Polynomial.eval (c n) f ≡ 0 [SMOD I]\n[PROOFSTEP]\nexact (ih.eval f).trans h₁\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ I\n[PROOFSTEP]\nhave hf'c : ∀ n, IsUnit (f'.eval (c n)) := by\n  intro n\n  haveI := isLocalRingHom_of_le_jacobson_bot I (IsAdicComplete.le_jacobson_bot I)\n  apply isUnit_of_map_unit (Ideal.Quotient.mk I)\n  convert h₂ using 1\n  exact SModEq.def.mp ((hc_mod n).eval _)\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\n⊢ ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\n[PROOFSTEP]\nintro n\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nn : ℕ\n⊢ IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\n[PROOFSTEP]\nhaveI := isLocalRingHom_of_le_jacobson_bot I (IsAdicComplete.le_jacobson_bot I)\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nn : ℕ\nthis : IsLocalRingHom (Ideal.Quotient.mk I)\n⊢ IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\n[PROOFSTEP]\napply isUnit_of_map_unit (Ideal.Quotient.mk I)\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nn : ℕ\nthis : IsLocalRingHom (Ideal.Quotient.mk I)\n⊢ IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval (c n) f'))\n[PROOFSTEP]\nconvert h₂ using 1\n[GOAL]\ncase h.e'_3\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nn : ℕ\nthis : IsLocalRingHom (Ideal.Quotient.mk I)\n⊢ ↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval (c n) f') = ↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f))\n[PROOFSTEP]\nexact SModEq.def.mp ((hc_mod n).eval _)\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ I\n[PROOFSTEP]\nhave hfcI : ∀ n, f.eval (c n) ∈ I ^ (n + 1) := by\n  intro n\n  induction' n with n ih\n  · simpa only [Nat.zero_eq, Nat.rec_zero, zero_add, pow_one] using h₁\n  rw [Nat.succ_eq_add_one, ← taylor_eval_sub (c n), hc, sub_eq_add_neg, sub_eq_add_neg, add_neg_cancel_comm]\n  rw [eval_eq_sum, sum_over_range' _ _ _ (lt_add_of_pos_right _ zero_lt_two), ←\n    Finset.sum_range_add_sum_Ico _ (Nat.le_add_left _ _)]\n  swap\n  · intro i\n    rw [zero_mul]\n  refine' Ideal.add_mem _ _ _\n  · erw [Finset.sum_range_succ]\n    rw [Finset.range_one, Finset.sum_singleton, taylor_coeff_zero, taylor_coeff_one, pow_zero, pow_one, mul_one,\n      mul_neg, mul_left_comm, Ring.mul_inverse_cancel _ (hf'c n), mul_one, add_neg_self]\n    exact Ideal.zero_mem _\n  · refine' Submodule.sum_mem _ _\n    simp only [Finset.mem_Ico]\n    rintro i ⟨h2i, _⟩\n    have aux : n + 2 ≤ i * (n + 1) := by trans 2 * (n + 1) <;> nlinarith only [h2i]\n    refine' Ideal.mul_mem_left _ _ (Ideal.pow_le_pow aux _)\n    rw [pow_mul']\n    refine'\n      Ideal.pow_mem_pow ((Ideal.neg_mem_iff _).2 <| Ideal.mul_mem_right _ _ ih)\n        _\n          -- we are now in the position to show that `c : ℕ → R` is a Cauchy sequence\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\n⊢ ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\n[PROOFSTEP]\nintro n\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\n⊢ Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\n[PROOFSTEP]\ninduction' n with n ih\n[GOAL]\ncase zero\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\n⊢ Polynomial.eval (c Nat.zero) f ∈ I ^ (Nat.zero + 1)\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [Nat.zero_eq, Nat.rec_zero, zero_add, pow_one] using h₁\n[GOAL]\ncase succ\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\n⊢ Polynomial.eval (c (Nat.succ n)) f ∈ I ^ (Nat.succ n + 1)\n[PROOFSTEP]\nrw [Nat.succ_eq_add_one, ← taylor_eval_sub (c n), hc, sub_eq_add_neg, sub_eq_add_neg, add_neg_cancel_comm]\n[GOAL]\ncase succ\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\n⊢ Polynomial.eval (-(Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f'))) (↑(taylor (c n)) f) ∈\n    I ^ (n + 1 + 1)\n[PROOFSTEP]\nrw [eval_eq_sum, sum_over_range' _ _ _ (lt_add_of_pos_right _ zero_lt_two), ←\n  Finset.sum_range_add_sum_Ico _ (Nat.le_add_left _ _)]\n[GOAL]\ncase succ\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\n⊢ ∑ k in Finset.range 2,\n        coeff (↑(taylor (c n)) f) k * (-(Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f'))) ^ k +\n      ∑ k in Finset.Ico 2 (natDegree (↑(taylor (c n)) f) + 2),\n        coeff (↑(taylor (c n)) f) k * (-(Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f'))) ^ k ∈\n    I ^ (n + 1 + 1)\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\n⊢ ∀ (n_1 : ℕ), 0 * (-(Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f'))) ^ n_1 = 0\n[PROOFSTEP]\nswap\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\n⊢ ∀ (n_1 : ℕ), 0 * (-(Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f'))) ^ n_1 = 0\n[PROOFSTEP]\nintro i\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\ni : ℕ\n⊢ 0 * (-(Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f'))) ^ i = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [zero_mul]\n[GOAL]\ncase succ\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\n⊢ ∑ k in Finset.range 2,\n        coeff (↑(taylor (c n)) f) k * (-(Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f'))) ^ k +\n      ∑ k in Finset.Ico 2 (natDegree (↑(taylor (c n)) f) + 2),\n        coeff (↑(taylor (c n)) f) k * (-(Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f'))) ^ k ∈\n    I ^ (n + 1 + 1)\n[PROOFSTEP]\nrefine' Ideal.add_mem _ _ _\n[GOAL]\ncase succ.refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\n⊢ ∑ k in Finset.range 2,\n      coeff (↑(taylor (c n)) f) k * (-(Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f'))) ^ k ∈\n    I ^ (n + 1 + 1)\n[PROOFSTEP]\nerw [Finset.sum_range_succ]\n[GOAL]\ncase succ.refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\n⊢ ∑ x in Finset.range 1,\n        coeff (↑(taylor (c n)) f) x * (-(Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f'))) ^ x +\n      coeff (↑(taylor (c n)) f) 1 * (-(Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f'))) ^ 1 ∈\n    I ^ (n + 1 + 1)\n[PROOFSTEP]\nrw [Finset.range_one, Finset.sum_singleton, taylor_coeff_zero, taylor_coeff_one, pow_zero, pow_one, mul_one, mul_neg,\n  mul_left_comm, Ring.mul_inverse_cancel _ (hf'c n), mul_one, add_neg_self]\n[GOAL]\ncase succ.refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\n⊢ 0 ∈ I ^ (n + 1 + 1)\n[PROOFSTEP]\nexact Ideal.zero_mem _\n[GOAL]\ncase succ.refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\n⊢ ∑ k in Finset.Ico 2 (natDegree (↑(taylor (c n)) f) + 2),\n      coeff (↑(taylor (c n)) f) k * (-(Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f'))) ^ k ∈\n    I ^ (n + 1 + 1)\n[PROOFSTEP]\nrefine' Submodule.sum_mem _ _\n[GOAL]\ncase succ.refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\n⊢ ∀ (c_1 : ℕ),\n    c_1 ∈ Finset.Ico 2 (natDegree (↑(taylor (c n)) f) + 2) →\n      coeff (↑(taylor (c n)) f) c_1 * (-(Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f'))) ^ c_1 ∈\n        I ^ (n + 1 + 1)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Finset.mem_Ico]\n[GOAL]\ncase succ.refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\n⊢ ∀ (c : ℕ),\n    2 ≤ c ∧\n        c <\n          natDegree\n              (↑(taylor\n                    (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f)))\n                      n))\n                f) +\n            2 →\n      coeff\n            (↑(taylor\n                  (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f)))\n                    n))\n              f)\n            c *\n          (-(Polynomial.eval\n                  (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n)\n                  f *\n                Ring.inverse\n                  (Polynomial.eval\n                    (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f)))\n                      n)\n                    (↑derivative f)))) ^\n            c ∈\n        I ^ (n + 1 + 1)\n[PROOFSTEP]\nrintro i ⟨h2i, _⟩\n[GOAL]\ncase succ.refine'_2.intro\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\ni : ℕ\nh2i : 2 ≤ i\nright✝ :\n  i <\n    natDegree\n        (↑(taylor\n              (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n))\n          f) +\n      2\n⊢ coeff\n        (↑(taylor\n              (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n))\n          f)\n        i *\n      (-(Polynomial.eval\n              (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n) f *\n            Ring.inverse\n              (Polynomial.eval\n                (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n)\n                (↑derivative f)))) ^\n        i ∈\n    I ^ (n + 1 + 1)\n[PROOFSTEP]\nhave aux : n + 2 ≤ i * (n + 1) := by trans 2 * (n + 1) <;> nlinarith only [h2i]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\ni : ℕ\nh2i : 2 ≤ i\nright✝ :\n  i <\n    natDegree\n        (↑(taylor\n              (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n))\n          f) +\n      2\n⊢ n + 2 ≤ i * (n + 1)\n[PROOFSTEP]\ntrans 2 * (n + 1)\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\ni : ℕ\nh2i : 2 ≤ i\nright✝ :\n  i <\n    natDegree\n        (↑(taylor\n              (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n))\n          f) +\n      2\n⊢ n + 2 ≤ 2 * (n + 1)\n[PROOFSTEP]\nnlinarith only [h2i]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\ni : ℕ\nh2i : 2 ≤ i\nright✝ :\n  i <\n    natDegree\n        (↑(taylor\n              (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n))\n          f) +\n      2\n⊢ 2 * (n + 1) ≤ i * (n + 1)\n[PROOFSTEP]\nnlinarith only [h2i]\n[GOAL]\ncase succ.refine'_2.intro\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\ni : ℕ\nh2i : 2 ≤ i\nright✝ :\n  i <\n    natDegree\n        (↑(taylor\n              (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n))\n          f) +\n      2\naux : n + 2 ≤ i * (n + 1)\n⊢ coeff\n        (↑(taylor\n              (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n))\n          f)\n        i *\n      (-(Polynomial.eval\n              (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n) f *\n            Ring.inverse\n              (Polynomial.eval\n                (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n)\n                (↑derivative f)))) ^\n        i ∈\n    I ^ (n + 1 + 1)\n[PROOFSTEP]\nrefine' Ideal.mul_mem_left _ _ (Ideal.pow_le_pow aux _)\n[GOAL]\ncase succ.refine'_2.intro\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\ni : ℕ\nh2i : 2 ≤ i\nright✝ :\n  i <\n    natDegree\n        (↑(taylor\n              (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n))\n          f) +\n      2\naux : n + 2 ≤ i * (n + 1)\n⊢ (-(Polynomial.eval\n            (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n) f *\n          Ring.inverse\n            (Polynomial.eval\n              (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n)\n              (↑derivative f)))) ^\n      i ∈\n    I ^ (i * (n + 1))\n[PROOFSTEP]\nrw [pow_mul']\n[GOAL]\ncase succ.refine'_2.intro\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nn : ℕ\nih : Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\ni : ℕ\nh2i : 2 ≤ i\nright✝ :\n  i <\n    natDegree\n        (↑(taylor\n              (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n))\n          f) +\n      2\naux : n + 2 ≤ i * (n + 1)\n⊢ (-(Polynomial.eval\n            (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n) f *\n          Ring.inverse\n            (Polynomial.eval\n              (Nat.rec a₀ (fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b (↑derivative f))) n)\n              (↑derivative f)))) ^\n      i ∈\n    (I ^ (n + 1)) ^ i\n[PROOFSTEP]\nrefine'\n  Ideal.pow_mem_pow ((Ideal.neg_mem_iff _).2 <| Ideal.mul_mem_right _ _ ih)\n    _\n      -- we are now in the position to show that `c : ℕ → R` is a Cauchy sequence\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ I\n[PROOFSTEP]\nhave aux : ∀ m n, m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD (I ^ m • ⊤ : Ideal R)] :=\n  by\n  intro m n hmn\n  rw [← Ideal.one_eq_top, Ideal.smul_eq_mul, mul_one]\n  obtain ⟨k, rfl⟩ := Nat.exists_eq_add_of_le hmn\n  clear hmn\n  induction' k with k ih\n  · rw [Nat.zero_eq, add_zero]\n  rw [Nat.succ_eq_add_one, ← add_assoc, hc, ← add_zero (c m), sub_eq_add_neg]\n  refine' ih.add _\n  symm\n  rw [SModEq.zero, Ideal.neg_mem_iff]\n  refine' Ideal.mul_mem_right _ _ (Ideal.pow_le_pow _ (hfcI _))\n  rw [add_assoc]\n  exact le_self_add\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\n⊢ ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\n[PROOFSTEP]\nintro m n hmn\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\n⊢ c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\n[PROOFSTEP]\nrw [← Ideal.one_eq_top, Ideal.smul_eq_mul, mul_one]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\nm n : ℕ\nhmn : m ≤ n\n⊢ c m ≡ c n [SMOD I ^ m]\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨k, rfl⟩ := Nat.exists_eq_add_of_le hmn\n[GOAL]\ncase intro\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\nm k : ℕ\nhmn : m ≤ m + k\n⊢ c m ≡ c (m + k) [SMOD I ^ m]\n[PROOFSTEP]\nclear hmn\n[GOAL]\ncase intro\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\nm k : ℕ\n⊢ c m ≡ c (m + k) [SMOD I ^ m]\n[PROOFSTEP]\ninduction' k with k ih\n[GOAL]\ncase intro.zero\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\nm : ℕ\n⊢ c m ≡ c (m + Nat.zero) [SMOD I ^ m]\n[PROOFSTEP]\nrw [Nat.zero_eq, add_zero]\n[GOAL]\ncase intro.succ\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\nm k : ℕ\nih : c m ≡ c (m + k) [SMOD I ^ m]\n⊢ c m ≡ c (m + Nat.succ k) [SMOD I ^ m]\n[PROOFSTEP]\nrw [Nat.succ_eq_add_one, ← add_assoc, hc, ← add_zero (c m), sub_eq_add_neg]\n[GOAL]\ncase intro.succ\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\nm k : ℕ\nih : c m ≡ c (m + k) [SMOD I ^ m]\n⊢ c m + 0 ≡ c (m + k) + -(Polynomial.eval (c (m + k)) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c (m + k)) f')) [SMOD I ^ m]\n[PROOFSTEP]\nrefine' ih.add _\n[GOAL]\ncase intro.succ\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\nm k : ℕ\nih : c m ≡ c (m + k) [SMOD I ^ m]\n⊢ 0 ≡ -(Polynomial.eval (c (m + k)) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c (m + k)) f')) [SMOD I ^ m]\n[PROOFSTEP]\nsymm\n[GOAL]\ncase intro.succ\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\nm k : ℕ\nih : c m ≡ c (m + k) [SMOD I ^ m]\n⊢ -(Polynomial.eval (c (m + k)) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c (m + k)) f')) ≡ 0 [SMOD I ^ m]\n[PROOFSTEP]\nrw [SModEq.zero, Ideal.neg_mem_iff]\n[GOAL]\ncase intro.succ\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\nm k : ℕ\nih : c m ≡ c (m + k) [SMOD I ^ m]\n⊢ Polynomial.eval (c (m + k)) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c (m + k)) f') ∈ I ^ m\n[PROOFSTEP]\nrefine' Ideal.mul_mem_right _ _ (Ideal.pow_le_pow _ (hfcI _))\n[GOAL]\ncase intro.succ\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\nm k : ℕ\nih : c m ≡ c (m + k) [SMOD I ^ m]\n⊢ m ≤ m + k + 1\n[PROOFSTEP]\nrw [add_assoc]\n[GOAL]\ncase intro.succ\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\nm k : ℕ\nih : c m ≡ c (m + k) [SMOD I ^ m]\n⊢ m ≤ m + (k + 1)\n[PROOFSTEP]\nexact le_self_add\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ I\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨a, ha⟩ := IsPrecomplete.prec' c (aux _ _)\n[GOAL]\ncase intro\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\na : R\nha : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a [SMOD I ^ n • ⊤]\n⊢ ∃ a, IsRoot f a ∧ a - a₀ ∈ I\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨a, _, _⟩\n[GOAL]\ncase intro.refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\na : R\nha : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a [SMOD I ^ n • ⊤]\n⊢ IsRoot f a\n[PROOFSTEP]\nshow f.IsRoot a\n[GOAL]\ncase intro.refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\na : R\nha : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a [SMOD I ^ n • ⊤]\n⊢ IsRoot f a\n[PROOFSTEP]\nsuffices ∀ n, f.eval a ≡ 0 [SMOD (I ^ n • ⊤ : Ideal R)] by exact IsHausdorff.haus' _ this\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\na : R\nha : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a [SMOD I ^ n • ⊤]\nthis : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval a f ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]\n⊢ IsRoot f a\n[PROOFSTEP]\nexact IsHausdorff.haus' _ this\n[GOAL]\ncase intro.refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\na : R\nha : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a [SMOD I ^ n • ⊤]\n⊢ ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval a f ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]\n[PROOFSTEP]\nintro n\n[GOAL]\ncase intro.refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\na : R\nha : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a [SMOD I ^ n • ⊤]\nn : ℕ\n⊢ Polynomial.eval a f ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]\n[PROOFSTEP]\nspecialize ha n\n[GOAL]\ncase intro.refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\na : R\nn : ℕ\nha : c n ≡ a [SMOD I ^ n • ⊤]\n⊢ Polynomial.eval a f ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]\n[PROOFSTEP]\nrw [← Ideal.one_eq_top, Ideal.smul_eq_mul, mul_one] at ha ⊢\n[GOAL]\ncase intro.refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\na : R\nn : ℕ\nha : c n ≡ a [SMOD I ^ n]\n⊢ Polynomial.eval a f ≡ 0 [SMOD I ^ n]\n[PROOFSTEP]\nrefine' (ha.symm.eval f).trans _\n[GOAL]\ncase intro.refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\na : R\nn : ℕ\nha : c n ≡ a [SMOD I ^ n]\n⊢ Polynomial.eval (c n) f ≡ 0 [SMOD I ^ n]\n[PROOFSTEP]\nrw [SModEq.zero]\n[GOAL]\ncase intro.refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\na : R\nn : ℕ\nha : c n ≡ a [SMOD I ^ n]\n⊢ Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ n\n[PROOFSTEP]\nexact Ideal.pow_le_pow le_self_add (hfcI _)\n[GOAL]\ncase intro.refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\na : R\nha : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a [SMOD I ^ n • ⊤]\n⊢ a - a₀ ∈ I\n[PROOFSTEP]\nshow a - a₀ ∈ I\n[GOAL]\ncase intro.refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\na : R\nha : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a [SMOD I ^ n • ⊤]\n⊢ a - a₀ ∈ I\n[PROOFSTEP]\nspecialize ha 1\n[GOAL]\ncase intro.refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\na : R\nha : c 1 ≡ a [SMOD I ^ 1 • ⊤]\n⊢ a - a₀ ∈ I\n[PROOFSTEP]\nrw [hc, pow_one, ← Ideal.one_eq_top, Ideal.smul_eq_mul, mul_one, sub_eq_add_neg] at ha \n[GOAL]\ncase intro.refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\na : R\nha : c 0 + -(Polynomial.eval (c 0) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c 0) f')) ≡ a [SMOD I]\n⊢ a - a₀ ∈ I\n[PROOFSTEP]\nrw [← SModEq.sub_mem, ← add_zero a₀]\n[GOAL]\ncase intro.refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\na : R\nha : c 0 + -(Polynomial.eval (c 0) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c 0) f')) ≡ a [SMOD I]\n⊢ a ≡ a₀ + 0 [SMOD I]\n[PROOFSTEP]\nrefine' ha.symm.trans (SModEq.rfl.add _)\n[GOAL]\ncase intro.refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\na : R\nha : c 0 + -(Polynomial.eval (c 0) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c 0) f')) ≡ a [SMOD I]\n⊢ -(Polynomial.eval (c 0) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c 0) f')) ≡ 0 [SMOD I]\n[PROOFSTEP]\nrw [SModEq.zero, Ideal.neg_mem_iff]\n[GOAL]\ncase intro.refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝¹ : CommRing R\nI : Ideal R\ninst✝ : IsAdicComplete I R\nf : R[X]\nx✝ : Monic f\na₀ : R\nh₁ : Polynomial.eval a₀ f ∈ I\nh₂ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval a₀ (↑derivative f)))\nf' : (fun x => R[X]) f := ↑derivative f\nc : ℕ → R := fun n => Nat.recOn n a₀ fun x b => b - Polynomial.eval b f * Ring.inverse (Polynomial.eval b f')\nhc : ∀ (n : ℕ), c (n + 1) = c n - Polynomial.eval (c n) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c n) f')\nhc_mod : ∀ (n : ℕ), c n ≡ a₀ [SMOD I]\nhf'c : ∀ (n : ℕ), IsUnit (Polynomial.eval (c n) f')\nhfcI : ∀ (n : ℕ), Polynomial.eval (c n) f ∈ I ^ (n + 1)\naux : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → c m ≡ c n [SMOD I ^ m • ⊤]\na : R\nha : c 0 + -(Polynomial.eval (c 0) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c 0) f')) ≡ a [SMOD I]\n⊢ Polynomial.eval (c 0) f * Ring.inverse (Polynomial.eval (c 0) f') ∈ I\n[PROOFSTEP]\nexact Ideal.mul_mem_right _ _ h₁\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.RingTheory.Henselian", "llama_tokens": 48036, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : f.domain = g.domain\nh' : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ g.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\n⊢ f = g\n[PROOFSTEP]\nrcases f with ⟨f_dom, f⟩\n[GOAL]\ncase mk\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : E →ₗ.[R] F\nf_dom : Submodule R E\nf : { x // x ∈ f_dom } →ₗ[R] F\nh : { domain := f_dom, toFun := f }.domain = g.domain\nh' :\n  ∀ ⦃x : { x // x ∈ { domain := f_dom, toFun := f }.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ g.domain }⦄,\n    ↑x = ↑y → ↑{ domain := f_dom, toFun := f } x = ↑g y\n⊢ { domain := f_dom, toFun := f } = g\n[PROOFSTEP]\nrcases g with ⟨g_dom, g⟩\n[GOAL]\ncase mk.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf_dom : Submodule R E\nf : { x // x ∈ f_dom } →ₗ[R] F\ng_dom : Submodule R E\ng : { x // x ∈ g_dom } →ₗ[R] F\nh : { domain := f_dom, toFun := f }.domain = { domain := g_dom, toFun := g }.domain\nh' :\n  ∀ ⦃x : { x // x ∈ { domain := f_dom, toFun := f }.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ { domain := g_dom, toFun := g }.domain }⦄,\n    ↑x = ↑y → ↑{ domain := f_dom, toFun := f } x = ↑{ domain := g_dom, toFun := g } y\n⊢ { domain := f_dom, toFun := f } = { domain := g_dom, toFun := g }\n[PROOFSTEP]\nobtain rfl : f_dom = g_dom := h\n[GOAL]\ncase mk.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf_dom : Submodule R E\nf g : { x // x ∈ f_dom } →ₗ[R] F\nh' :\n  ∀ ⦃x : { x // x ∈ { domain := f_dom, toFun := f }.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ { domain := f_dom, toFun := g }.domain }⦄,\n    ↑x = ↑y → ↑{ domain := f_dom, toFun := f } x = ↑{ domain := f_dom, toFun := g } y\n⊢ { domain := f_dom, toFun := f } = { domain := f_dom, toFun := g }\n[PROOFSTEP]\nobtain rfl : f = g := LinearMap.ext fun x => h' rfl\n[GOAL]\ncase mk.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf_dom : Submodule R E\nf : { x // x ∈ f_dom } →ₗ[R] F\nh' :\n  ∀ ⦃x y : { x // x ∈ { domain := f_dom, toFun := f }.domain }⦄,\n    ↑x = ↑y → ↑{ domain := f_dom, toFun := f } x = ↑{ domain := f_dom, toFun := f } y\n⊢ { domain := f_dom, toFun := f } = { domain := f_dom, toFun := f }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nEQ : f = g\nx y : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x = ↑y\n⊢ ↑f x = ↑f y\n[PROOFSTEP]\ncongr\n[GOAL]\ncase e_a\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nEQ : f = g\nx y : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x = ↑y\n⊢ x = y\n[PROOFSTEP]\nexact_mod_cast h\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\n⊢ ∀ (c₁ c₂ : R), c₁ • x = c₂ • x → c₁ • y = c₂ • y\n[PROOFSTEP]\nintro c₁ c₂ h\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nc₁ c₂ : R\nh : c₁ • x = c₂ • x\n⊢ c₁ • y = c₂ • y\n[PROOFSTEP]\nrw [← sub_eq_zero, ← sub_smul] at h ⊢\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nc₁ c₂ : R\nh✝ : c₁ • x = c₂ • x\nh : (c₁ - c₂) • x = 0\n⊢ (c₁ - c₂) • y = 0\n[PROOFSTEP]\nexact H _ h\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny✝ : F\nH✝ : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y✝ = 0\nH : ∀ (c₁ c₂ : R), c₁ • x = c₂ • x → c₁ • y✝ = c₂ • y✝\ny z : { x_1 // x_1 ∈ span R {x} }\n⊢ (fun z => Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑z) • y✝) (y + z) =\n    (fun z => Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑z) • y✝) y + (fun z => Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑z) • y✝) z\n[PROOFSTEP]\ndsimp only []\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny✝ : F\nH✝ : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y✝ = 0\nH : ∀ (c₁ c₂ : R), c₁ • x = c₂ • x → c₁ • y✝ = c₂ • y✝\ny z : { x_1 // x_1 ∈ span R {x} }\n⊢ Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑(y + z)) • y✝ =\n    Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑y) • y✝ + Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑z) • y✝\n[PROOFSTEP]\nrw [← add_smul]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny✝ : F\nH✝ : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y✝ = 0\nH : ∀ (c₁ c₂ : R), c₁ • x = c₂ • x → c₁ • y✝ = c₂ • y✝\ny z : { x_1 // x_1 ∈ span R {x} }\n⊢ Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑(y + z)) • y✝ =\n    (Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑y) + Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑z)) • y✝\n[PROOFSTEP]\napply H\n[GOAL]\ncase a\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny✝ : F\nH✝ : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y✝ = 0\nH : ∀ (c₁ c₂ : R), c₁ • x = c₂ • x → c₁ • y✝ = c₂ • y✝\ny z : { x_1 // x_1 ∈ span R {x} }\n⊢ Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑(y + z)) • x =\n    (Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑y) + Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑z)) • x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [add_smul, sub_smul, fun w : R ∙ x => Classical.choose_spec (mem_span_singleton.1 w.prop)]\n[GOAL]\ncase a\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny✝ : F\nH✝ : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y✝ = 0\nH : ∀ (c₁ c₂ : R), c₁ • x = c₂ • x → c₁ • y✝ = c₂ • y✝\ny z : { x_1 // x_1 ∈ span R {x} }\n⊢ ↑(y + z) = ↑y + ↑z\n[PROOFSTEP]\napply coe_add\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH✝ : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nH : ∀ (c₁ c₂ : R), c₁ • x = c₂ • x → c₁ • y = c₂ • y\nc : R\nz : { x_1 // x_1 ∈ span R {x} }\n⊢ AddHom.toFun\n      { toFun := fun z => Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑z) • y,\n        map_add' :=\n          (_ :\n            ∀ (y_1 z : { x_1 // x_1 ∈ span R {x} }),\n              (fun z => Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑z) • y) (y_1 + z) =\n                (fun z => Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑z) • y) y_1 +\n                  (fun z => Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑z) • y) z) }\n      (c • z) =\n    ↑(RingHom.id R) c •\n      AddHom.toFun\n        { toFun := fun z => Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑z) • y,\n          map_add' :=\n            (_ :\n              ∀ (y_1 z : { x_1 // x_1 ∈ span R {x} }),\n                (fun z => Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑z) • y) (y_1 + z) =\n                  (fun z => Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑z) • y) y_1 +\n                    (fun z => Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑z) • y) z) }\n        z\n[PROOFSTEP]\ndsimp only []\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH✝ : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nH : ∀ (c₁ c₂ : R), c₁ • x = c₂ • x → c₁ • y = c₂ • y\nc : R\nz : { x_1 // x_1 ∈ span R {x} }\n⊢ Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑(c • z)) • y = ↑(RingHom.id R) c • Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑z) • y\n[PROOFSTEP]\nrw [smul_smul]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH✝ : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nH : ∀ (c₁ c₂ : R), c₁ • x = c₂ • x → c₁ • y = c₂ • y\nc : R\nz : { x_1 // x_1 ∈ span R {x} }\n⊢ Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑(c • z)) • y = (↑(RingHom.id R) c * Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑z)) • y\n[PROOFSTEP]\napply H\n[GOAL]\ncase a\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH✝ : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nH : ∀ (c₁ c₂ : R), c₁ • x = c₂ • x → c₁ • y = c₂ • y\nc : R\nz : { x_1 // x_1 ∈ span R {x} }\n⊢ Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑(c • z)) • x = (↑(RingHom.id R) c * Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = ↑z)) • x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mul_smul, fun w : R ∙ x => Classical.choose_spec (mem_span_singleton.1 w.prop)]\n[GOAL]\ncase a\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH✝ : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nH : ∀ (c₁ c₂ : R), c₁ • x = c₂ • x → c₁ • y = c₂ • y\nc : R\nz : { x_1 // x_1 ∈ span R {x} }\n⊢ ↑(c • z) = ↑(RingHom.id R) c • ↑z\n[PROOFSTEP]\napply coe_smul\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nc : R\nh : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain\n⊢ ↑(mkSpanSingleton' x y H) { val := c • x, property := h } = c • y\n[PROOFSTEP]\ndsimp [mkSpanSingleton']\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nc : R\nh : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain\n⊢ Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = c • x) • y = c • y\n[PROOFSTEP]\nrw [← sub_eq_zero, ← sub_smul]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nc : R\nh : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain\n⊢ (Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = c • x) - c) • y = 0\n[PROOFSTEP]\napply H\n[GOAL]\ncase a\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nc : R\nh : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain\n⊢ (Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = c • x) - c) • x = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [sub_smul, one_smul, sub_eq_zero]\n[GOAL]\ncase a\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nc : R\nh : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain\n⊢ Classical.choose (_ : ∃ a, a • x = c • x) • x = c • x\n[PROOFSTEP]\napply Classical.choose_spec (mem_span_singleton.1 h)\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nh : x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain\n⊢ ↑(mkSpanSingleton' x y H) { val := x, property := h } = y\n[PROOFSTEP]\nhave := by refine mkSpanSingleton'_apply x y H 1 ?_; rwa [one_smul]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nh : x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain\n⊢ ?m.88594\n[PROOFSTEP]\nrefine mkSpanSingleton'_apply x y H 1 ?_\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nh : x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain\n⊢ 1 • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain\n[PROOFSTEP]\nrwa [one_smul]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nh : x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain\nthis : ↑(mkSpanSingleton' x y H) { val := 1 • x, property := (_ : 1 • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain) } = 1 • y\n⊢ ↑(mkSpanSingleton' x y H) { val := x, property := h } = y\n[PROOFSTEP]\nconvert this\n[GOAL]\ncase h.e'_2.h.e'_10.h.e'_3\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nh : x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain\nthis : ↑(mkSpanSingleton' x y H) { val := 1 • x, property := (_ : 1 • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain) } = 1 • y\n⊢ x = 1 • x\n[PROOFSTEP]\nrw [one_smul]\n[GOAL]\ncase h.e'_3\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nx : E\ny : F\nH : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0\nh : x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain\nthis : ↑(mkSpanSingleton' x y H) { val := 1 • x, property := (_ : 1 • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain) } = 1 • y\n⊢ y = 1 • y\n[PROOFSTEP]\nrw [one_smul]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹¹ : Ring R\nE✝ : Type u_2\ninst✝¹⁰ : AddCommGroup E✝\ninst✝⁹ : Module R E✝\nF✝ : Type u_3\ninst✝⁸ : AddCommGroup F✝\ninst✝⁷ : Module R F✝\nG : Type u_4\ninst✝⁶ : AddCommGroup G\ninst✝⁵ : Module R G\nK : Type u_5\nE : Type u_6\nF : Type u_7\ninst✝⁴ : DivisionRing K\ninst✝³ : AddCommGroup E\ninst✝² : Module K E\ninst✝¹ : AddCommGroup F\ninst✝ : Module K F\nx : E\ny : F\nhx : x ≠ 0\nc : K\nhc✝ : c • x = 0\nhc : c = 0\n⊢ c • y = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [hc, zero_smul]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nx y : E\nx✝¹ : x ∈ {x | ∃ hf hg, ↑f { val := x, property := hf } = ↑g { val := x, property := hg }}\nx✝ : y ∈ {x | ∃ hf hg, ↑f { val := x, property := hf } = ↑g { val := x, property := hg }}\nhfx : x ∈ f.domain\nhgx : x ∈ g.domain\nhx : ↑f { val := x, property := hfx } = ↑g { val := x, property := hgx }\nhfy : y ∈ f.domain\nhgy : y ∈ g.domain\nhy : ↑f { val := y, property := hfy } = ↑g { val := y, property := hgy }\n⊢ ↑f { val := x + y, property := (_ : x + y ∈ f.domain) } = ↑g { val := x + y, property := (_ : x + y ∈ g.domain) }\n[PROOFSTEP]\nerw [f.map_add ⟨x, hfx⟩ ⟨y, hfy⟩, g.map_add ⟨x, hgx⟩ ⟨y, hgy⟩, hx, hy]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\n⊢ ∀ (c : R) {x : E},\n    x ∈\n        {\n              toAddSubsemigroup :=\n                { carrier := {x | ∃ hf hg, ↑f { val := x, property := hf } = ↑g { val := x, property := hg }},\n                  add_mem' :=\n                    (_ :\n                      ∀ {x y : E},\n                        x ∈ {x | ∃ hf hg, ↑f { val := x, property := hf } = ↑g { val := x, property := hg }} →\n                          y ∈ {x | ∃ hf hg, ↑f { val := x, property := hf } = ↑g { val := x, property := hg }} →\n                            x + y ∈ {x | ∃ hf hg, ↑f { val := x, property := hf } = ↑g { val := x, property := hg }}) },\n              zero_mem' :=\n                (_ :\n                  ∃ hf hg,\n                    ↑f { val := 0, property := hf } = ↑g { val := 0, property := hg }) }.toAddSubsemigroup.carrier →\n      c • x ∈\n        {\n              toAddSubsemigroup :=\n                { carrier := {x | ∃ hf hg, ↑f { val := x, property := hf } = ↑g { val := x, property := hg }},\n                  add_mem' :=\n                    (_ :\n                      ∀ {x y : E},\n                        x ∈ {x | ∃ hf hg, ↑f { val := x, property := hf } = ↑g { val := x, property := hg }} →\n                          y ∈ {x | ∃ hf hg, ↑f { val := x, property := hf } = ↑g { val := x, property := hg }} →\n                            x + y ∈ {x | ∃ hf hg, ↑f { val := x, property := hf } = ↑g { val := x, property := hg }}) },\n              zero_mem' :=\n                (_ :\n                  ∃ hf hg,\n                    ↑f { val := 0, property := hf } = ↑g { val := 0, property := hg }) }.toAddSubsemigroup.carrier\n[PROOFSTEP]\nrintro c x ⟨hfx, hgx, hx⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nc : R\nx : E\nhfx : x ∈ f.domain\nhgx : x ∈ g.domain\nhx : ↑f { val := x, property := hfx } = ↑g { val := x, property := hgx }\n⊢ c • x ∈\n    {\n          toAddSubsemigroup :=\n            { carrier := {x | ∃ hf hg, ↑f { val := x, property := hf } = ↑g { val := x, property := hg }},\n              add_mem' :=\n                (_ :\n                  ∀ {x y : E},\n                    x ∈ {x | ∃ hf hg, ↑f { val := x, property := hf } = ↑g { val := x, property := hg }} →\n                      y ∈ {x | ∃ hf hg, ↑f { val := x, property := hf } = ↑g { val := x, property := hg }} →\n                        x + y ∈ {x | ∃ hf hg, ↑f { val := x, property := hf } = ↑g { val := x, property := hg }}) },\n          zero_mem' :=\n            (_ : ∃ hf hg, ↑f { val := 0, property := hf } = ↑g { val := 0, property := hg }) }.toAddSubsemigroup.carrier\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨smul_mem _ c hfx, smul_mem _ c hgx, by erw [f.map_smul c ⟨x, hfx⟩, g.map_smul c ⟨x, hgx⟩, hx]⟩\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nc : R\nx : E\nhfx : x ∈ f.domain\nhgx : x ∈ g.domain\nhx : ↑f { val := x, property := hfx } = ↑g { val := x, property := hgx }\n⊢ ↑f { val := c • x, property := (_ : c • x ∈ f.domain) } = ↑g { val := c • x, property := (_ : c • x ∈ g.domain) }\n[PROOFSTEP]\nerw [f.map_smul c ⟨x, hfx⟩, g.map_smul c ⟨x, hgx⟩, hx]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\n⊢ ∀ (a b c : E →ₗ.[R] F), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c\n[PROOFSTEP]\nrintro f g h ⟨fg_le, fg_eq⟩ ⟨fh_le, fh_eq⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g h : E →ₗ.[R] F\nfg_le : f.domain ≤ g.domain\nfg_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ g.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nfh_le : f.domain ≤ h.domain\nfh_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ h.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑h y\n⊢ f ≤ g ⊓ h\n[PROOFSTEP]\nexact\n  ⟨fun x hx =>\n    ⟨fg_le hx, fh_le hx, by\n      -- Porting note: `[exact ⟨x, hx⟩, rfl, rfl]` → `[skip, exact ⟨x, hx⟩, skip] <;> rfl`refine'\n            (fg_eq _).symm.trans (fh_eq _) <;>\n          [skip; exact ⟨x, hx⟩; skip] <;>\n        rfl⟩,\n    fun x ⟨y, yg, hy⟩ h => by\n    apply fg_eq\n    exact h⟩\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g h : E →ₗ.[R] F\nfg_le : f.domain ≤ g.domain\nfg_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ g.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nfh_le : f.domain ≤ h.domain\nfh_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ h.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑h y\nx : E\nhx : x ∈ f.domain\n⊢ ↑g { val := x, property := (_ : x ∈ g.domain) } = ↑h { val := x, property := (_ : x ∈ h.domain) }\n[PROOFSTEP]\nrefine' (fg_eq _).symm.trans (fh_eq _) <;> [skip; exact ⟨x, hx⟩; skip]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g h : E →ₗ.[R] F\nfg_le : f.domain ≤ g.domain\nfg_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ g.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nfh_le : f.domain ≤ h.domain\nfh_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ h.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑h y\nx : E\nhx : x ∈ f.domain\n⊢ ↑g { val := x, property := (_ : x ∈ g.domain) } = ↑h { val := x, property := (_ : x ∈ h.domain) }\n[PROOFSTEP]\nrefine' (fg_eq _).symm.trans (fh_eq _)\n[GOAL]\ncase refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g h : E →ₗ.[R] F\nfg_le : f.domain ≤ g.domain\nfg_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ g.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nfh_le : f.domain ≤ h.domain\nfh_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ h.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑h y\nx : E\nhx : x ∈ f.domain\n⊢ ↑?refine'_2 = ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ g.domain) }\n[PROOFSTEP]\nskip\n[GOAL]\ncase refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g h : E →ₗ.[R] F\nfg_le : f.domain ≤ g.domain\nfg_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ g.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nfh_le : f.domain ≤ h.domain\nfh_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ h.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑h y\nx : E\nhx : x ∈ f.domain\n⊢ { x // x ∈ f.domain }\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨x, hx⟩\n[GOAL]\ncase refine'_3\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g h : E →ₗ.[R] F\nfg_le : f.domain ≤ g.domain\nfg_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ g.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nfh_le : f.domain ≤ h.domain\nfh_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ h.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑h y\nx : E\nhx : x ∈ f.domain\n⊢ ↑{ val := x, property := hx } = ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ h.domain) }\n[PROOFSTEP]\nskip\n[GOAL]\ncase refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g h : E →ₗ.[R] F\nfg_le : f.domain ≤ g.domain\nfg_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ g.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nfh_le : f.domain ≤ h.domain\nfh_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ h.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑h y\nx : E\nhx : x ∈ f.domain\n⊢ ↑{ val := x, property := hx } = ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ g.domain) }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase refine'_3\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g h : E →ₗ.[R] F\nfg_le : f.domain ≤ g.domain\nfg_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ g.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nfh_le : f.domain ≤ h.domain\nfh_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ h.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑h y\nx : E\nhx : x ∈ f.domain\n⊢ ↑{ val := x, property := hx } = ↑{ val := x, property := (_ : x ∈ h.domain) }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g h✝ : E →ₗ.[R] F\nfg_le : f.domain ≤ g.domain\nfg_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ g.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nfh_le : f.domain ≤ h✝.domain\nfh_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ h✝.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑h✝ y\nx : { x // x ∈ f.domain }\nx✝ : { x // x ∈ (g ⊓ h✝).domain }\ny : E\nyg : y ∈ g.domain\nhy : ∃ hg, ↑g { val := y, property := yg } = ↑h✝ { val := y, property := hg }\nh : ↑x = ↑{ val := y, property := (_ : ∃ hf hg, ↑g { val := y, property := hf } = ↑h✝ { val := y, property := hg }) }\n⊢ ↑f x =\n    ↑(g ⊓ h✝)\n      { val := y, property := (_ : ∃ hf hg, ↑g { val := y, property := hf } = ↑h✝ { val := y, property := hg }) }\n[PROOFSTEP]\napply fg_eq\n[GOAL]\ncase _h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g h✝ : E →ₗ.[R] F\nfg_le : f.domain ≤ g.domain\nfg_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ g.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nfh_le : f.domain ≤ h✝.domain\nfh_eq : ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ h✝.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑h✝ y\nx : { x // x ∈ f.domain }\nx✝ : { x // x ∈ (g ⊓ h✝).domain }\ny : E\nyg : y ∈ g.domain\nhy : ∃ hg, ↑g { val := y, property := yg } = ↑h✝ { val := y, property := hg }\nh : ↑x = ↑{ val := y, property := (_ : ∃ hf hg, ↑g { val := y, property := hf } = ↑h✝ { val := y, property := hg }) }\n⊢ ↑x =\n    ↑(↑(ofLe (_ : ∀ (_x : E), _x ∈ eqLocus g h✝ → _x ∈ g.domain))\n        { val := y, property := (_ : ∃ hf hg, ↑g { val := y, property := hf } = ↑h✝ { val := y, property := hg }) })\n[PROOFSTEP]\nexact h\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ ⊥.domain }\ny : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x = ↑y\n⊢ ↑⊥ x = ↑f y\n[PROOFSTEP]\nhave hx : x = 0 := Subtype.eq ((mem_bot R).1 x.2)\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ ⊥.domain }\ny : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x = ↑y\nhx : x = 0\n⊢ ↑⊥ x = ↑f y\n[PROOFSTEP]\nhave hy : y = 0 := Subtype.eq (h.symm.trans (congr_arg _ hx))\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ ⊥.domain }\ny : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x = ↑y\nhx : x = 0\nhy : y = 0\n⊢ ↑⊥ x = ↑f y\n[PROOFSTEP]\nrw [hx, hy, map_zero, map_zero]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\n⊢ ∃ fg,\n    ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }) (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }),\n      ↑x + ↑y = ↑z → ↑fg z = ↑f x + ↑g y\n[PROOFSTEP]\nchoose x hx y hy hxy using fun z : ↥(f.domain ⊔ g.domain) => mem_sup.1 z.prop\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z + y z = ↑z\n⊢ ∃ fg,\n    ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }) (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }),\n      ↑x + ↑y = ↑z → ↑fg z = ↑f x + ↑g y\n[PROOFSTEP]\nset fg := fun z => f ⟨x z, hx z⟩ + g ⟨y z, hy z⟩\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z + y z = ↑z\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\n⊢ ∃ fg,\n    ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }) (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }),\n      ↑x + ↑y = ↑z → ↑fg z = ↑f x + ↑g y\n[PROOFSTEP]\nhave fg_eq :\n  ∀ (x' : f.domain) (y' : g.domain) (z' : ↥(f.domain ⊔ g.domain)) (_H : (x' : E) + y' = z'), fg z' = f x' + g y' :=\n  by\n  intro x' y' z' H\n  dsimp\n  rw [add_comm, ← sub_eq_sub_iff_add_eq_add, eq_comm, ← map_sub, ← map_sub]\n  apply h\n  simp only [← eq_sub_iff_add_eq] at hxy \n  simp only [AddSubgroupClass.coe_sub, coe_mk, coe_mk, hxy, ← sub_add, ← sub_sub, sub_self, zero_sub, ← H]\n  apply neg_add_eq_sub\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z + y z = ↑z\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\n⊢ ∀ (x' : { x // x ∈ f.domain }) (y' : { x // x ∈ g.domain }) (z' : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }),\n    ↑x' + ↑y' = ↑z' → fg z' = ↑f x' + ↑g y'\n[PROOFSTEP]\nintro x' y' z' H\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z + y z = ↑z\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\nx' : { x // x ∈ f.domain }\ny' : { x // x ∈ g.domain }\nz' : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }\nH : ↑x' + ↑y' = ↑z'\n⊢ fg z' = ↑f x' + ↑g y'\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z + y z = ↑z\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\nx' : { x // x ∈ f.domain }\ny' : { x // x ∈ g.domain }\nz' : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }\nH : ↑x' + ↑y' = ↑z'\n⊢ ↑f { val := x z', property := (_ : x z' ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z', property := (_ : y z' ∈ g.domain) } =\n    ↑f x' + ↑g y'\n[PROOFSTEP]\nrw [add_comm, ← sub_eq_sub_iff_add_eq_add, eq_comm, ← map_sub, ← map_sub]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z + y z = ↑z\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\nx' : { x // x ∈ f.domain }\ny' : { x // x ∈ g.domain }\nz' : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }\nH : ↑x' + ↑y' = ↑z'\n⊢ ↑f (x' - { val := x z', property := (_ : x z' ∈ f.domain) }) =\n    ↑g ({ val := y z', property := (_ : y z' ∈ g.domain) } - y')\n[PROOFSTEP]\napply h\n[GOAL]\ncase a\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z + y z = ↑z\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\nx' : { x // x ∈ f.domain }\ny' : { x // x ∈ g.domain }\nz' : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }\nH : ↑x' + ↑y' = ↑z'\n⊢ ↑(x' - { val := x z', property := (_ : x z' ∈ f.domain) }) =\n    ↑({ val := y z', property := (_ : y z' ∈ g.domain) } - y')\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← eq_sub_iff_add_eq] at hxy \n[GOAL]\ncase a\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\nx' : { x // x ∈ f.domain }\ny' : { x // x ∈ g.domain }\nz' : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }\nH : ↑x' + ↑y' = ↑z'\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z = ↑z - y z\n⊢ ↑(x' - { val := x z', property := (_ : x z' ∈ f.domain) }) =\n    ↑({ val := y z', property := (_ : y z' ∈ g.domain) } - y')\n[PROOFSTEP]\nsimp only [AddSubgroupClass.coe_sub, coe_mk, coe_mk, hxy, ← sub_add, ← sub_sub, sub_self, zero_sub, ← H]\n[GOAL]\ncase a\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\nx' : { x // x ∈ f.domain }\ny' : { x // x ∈ g.domain }\nz' : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }\nH : ↑x' + ↑y' = ↑z'\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z = ↑z - y z\n⊢ -↑y' + y z' = y z' - ↑y'\n[PROOFSTEP]\napply neg_add_eq_sub\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z + y z = ↑z\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\nfg_eq :\n  ∀ (x' : { x // x ∈ f.domain }) (y' : { x // x ∈ g.domain }) (z' : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }),\n    ↑x' + ↑y' = ↑z' → fg z' = ↑f x' + ↑g y'\n⊢ ∃ fg,\n    ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }) (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }),\n      ↑x + ↑y = ↑z → ↑fg z = ↑f x + ↑g y\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨{ toFun := fg .. }, fg_eq⟩\n[GOAL]\ncase refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z + y z = ↑z\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\nfg_eq :\n  ∀ (x' : { x // x ∈ f.domain }) (y' : { x // x ∈ g.domain }) (z' : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }),\n    ↑x' + ↑y' = ↑z' → fg z' = ↑f x' + ↑g y'\n⊢ ∀ (x y : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), fg (x + y) = fg x + fg y\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨z₁, hz₁⟩ ⟨z₂, hz₂⟩\n[GOAL]\ncase refine'_1.mk.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z + y z = ↑z\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\nfg_eq :\n  ∀ (x' : { x // x ∈ f.domain }) (y' : { x // x ∈ g.domain }) (z' : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }),\n    ↑x' + ↑y' = ↑z' → fg z' = ↑f x' + ↑g y'\nz₁ : E\nhz₁ : z₁ ∈ f.domain ⊔ g.domain\nz₂ : E\nhz₂ : z₂ ∈ f.domain ⊔ g.domain\n⊢ fg ({ val := z₁, property := hz₁ } + { val := z₂, property := hz₂ }) =\n    fg { val := z₁, property := hz₁ } + fg { val := z₂, property := hz₂ }\n[PROOFSTEP]\nrw [← add_assoc, add_right_comm (f _), ← map_add, add_assoc, ← map_add]\n[GOAL]\ncase refine'_1.mk.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z + y z = ↑z\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\nfg_eq :\n  ∀ (x' : { x // x ∈ f.domain }) (y' : { x // x ∈ g.domain }) (z' : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }),\n    ↑x' + ↑y' = ↑z' → fg z' = ↑f x' + ↑g y'\nz₁ : E\nhz₁ : z₁ ∈ f.domain ⊔ g.domain\nz₂ : E\nhz₂ : z₂ ∈ f.domain ⊔ g.domain\n⊢ fg ({ val := z₁, property := hz₁ } + { val := z₂, property := hz₂ }) =\n    ↑f\n        ({ val := x { val := z₁, property := hz₁ }, property := (_ : x { val := z₁, property := hz₁ } ∈ f.domain) } +\n          { val := x { val := z₂, property := hz₂ }, property := (_ : x { val := z₂, property := hz₂ } ∈ f.domain) }) +\n      ↑g\n        ({ val := y { val := z₁, property := hz₁ }, property := (_ : y { val := z₁, property := hz₁ } ∈ g.domain) } +\n          { val := y { val := z₂, property := hz₂ }, property := (_ : y { val := z₂, property := hz₂ } ∈ g.domain) })\n[PROOFSTEP]\napply fg_eq\n[GOAL]\ncase refine'_1.mk.mk._H\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z + y z = ↑z\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\nfg_eq :\n  ∀ (x' : { x // x ∈ f.domain }) (y' : { x // x ∈ g.domain }) (z' : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }),\n    ↑x' + ↑y' = ↑z' → fg z' = ↑f x' + ↑g y'\nz₁ : E\nhz₁ : z₁ ∈ f.domain ⊔ g.domain\nz₂ : E\nhz₂ : z₂ ∈ f.domain ⊔ g.domain\n⊢ ↑({ val := x { val := z₁, property := hz₁ }, property := (_ : x { val := z₁, property := hz₁ } ∈ f.domain) } +\n          { val := x { val := z₂, property := hz₂ }, property := (_ : x { val := z₂, property := hz₂ } ∈ f.domain) }) +\n      ↑({ val := y { val := z₁, property := hz₁ }, property := (_ : y { val := z₁, property := hz₁ } ∈ g.domain) } +\n          { val := y { val := z₂, property := hz₂ }, property := (_ : y { val := z₂, property := hz₂ } ∈ g.domain) }) =\n    ↑({ val := z₁, property := hz₁ } + { val := z₂, property := hz₂ })\n[PROOFSTEP]\nsimp only [coe_add, coe_mk, ← add_assoc]\n[GOAL]\ncase refine'_1.mk.mk._H\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z + y z = ↑z\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\nfg_eq :\n  ∀ (x' : { x // x ∈ f.domain }) (y' : { x // x ∈ g.domain }) (z' : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }),\n    ↑x' + ↑y' = ↑z' → fg z' = ↑f x' + ↑g y'\nz₁ : E\nhz₁ : z₁ ∈ f.domain ⊔ g.domain\nz₂ : E\nhz₂ : z₂ ∈ f.domain ⊔ g.domain\n⊢ x { val := z₁, property := hz₁ } + x { val := z₂, property := hz₂ } + y { val := z₁, property := hz₁ } +\n      y { val := z₂, property := hz₂ } =\n    z₁ + z₂\n[PROOFSTEP]\nrw [add_right_comm (x _), hxy, add_assoc, hxy, coe_mk, coe_mk]\n[GOAL]\ncase refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z + y z = ↑z\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\nfg_eq :\n  ∀ (x' : { x // x ∈ f.domain }) (y' : { x // x ∈ g.domain }) (z' : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }),\n    ↑x' + ↑y' = ↑z' → fg z' = ↑f x' + ↑g y'\n⊢ ∀ (r : R) (x_1 : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }),\n    AddHom.toFun { toFun := fg, map_add' := (_ : ∀ (x y : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), fg (x + y) = fg x + fg y) }\n        (r • x_1) =\n      ↑(RingHom.id R) r •\n        AddHom.toFun\n          { toFun := fg, map_add' := (_ : ∀ (x y : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), fg (x + y) = fg x + fg y) } x_1\n[PROOFSTEP]\nintro c z\n[GOAL]\ncase refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z + y z = ↑z\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\nfg_eq :\n  ∀ (x' : { x // x ∈ f.domain }) (y' : { x // x ∈ g.domain }) (z' : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }),\n    ↑x' + ↑y' = ↑z' → fg z' = ↑f x' + ↑g y'\nc : R\nz : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }\n⊢ AddHom.toFun { toFun := fg, map_add' := (_ : ∀ (x y : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), fg (x + y) = fg x + fg y) }\n      (c • z) =\n    ↑(RingHom.id R) c •\n      AddHom.toFun\n        { toFun := fg, map_add' := (_ : ∀ (x y : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), fg (x + y) = fg x + fg y) } z\n[PROOFSTEP]\nrw [smul_add, ← map_smul, ← map_smul]\n[GOAL]\ncase refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z + y z = ↑z\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\nfg_eq :\n  ∀ (x' : { x // x ∈ f.domain }) (y' : { x // x ∈ g.domain }) (z' : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }),\n    ↑x' + ↑y' = ↑z' → fg z' = ↑f x' + ↑g y'\nc : R\nz : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }\n⊢ AddHom.toFun { toFun := fg, map_add' := (_ : ∀ (x y : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), fg (x + y) = fg x + fg y) }\n      (c • z) =\n    ↑f (↑(RingHom.id R) c • { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) }) +\n      ↑g (↑(RingHom.id R) c • { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) })\n[PROOFSTEP]\napply fg_eq\n[GOAL]\ncase refine'_2._H\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nx : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhx : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z ∈ f.domain\ny : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → E\nhy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), y z ∈ g.domain\nhxy : ∀ (z : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }), x z + y z = ↑z\nfg : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain } → F :=\n  fun z => ↑f { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) } + ↑g { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }\nfg_eq :\n  ∀ (x' : { x // x ∈ f.domain }) (y' : { x // x ∈ g.domain }) (z' : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }),\n    ↑x' + ↑y' = ↑z' → fg z' = ↑f x' + ↑g y'\nc : R\nz : { x // x ∈ f.domain ⊔ g.domain }\n⊢ ↑(↑(RingHom.id R) c • { val := x z, property := (_ : x z ∈ f.domain) }) +\n      ↑(↑(RingHom.id R) c • { val := y z, property := (_ : y z ∈ g.domain) }) =\n    ↑(c • z)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [coe_smul, coe_mk, ← smul_add, hxy, RingHom.id_apply]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\n⊢ f ≤ LinearPMap.sup f g h\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨le_sup_left, fun z₁ z₂ hz => _⟩\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nz₁ : { x // x ∈ f.domain }\nz₂ : { x // x ∈ (LinearPMap.sup f g h).domain }\nhz : ↑z₁ = ↑z₂\n⊢ ↑f z₁ = ↑(LinearPMap.sup f g h) z₂\n[PROOFSTEP]\nrw [← add_zero (f _), ← g.map_zero]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nz₁ : { x // x ∈ f.domain }\nz₂ : { x // x ∈ (LinearPMap.sup f g h).domain }\nhz : ↑z₁ = ↑z₂\n⊢ ↑f z₁ + ↑g 0 = ↑(LinearPMap.sup f g h) z₂\n[PROOFSTEP]\nrefine' (sup_apply h _ _ _ _).symm\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nz₁ : { x // x ∈ f.domain }\nz₂ : { x // x ∈ (LinearPMap.sup f g h).domain }\nhz : ↑z₁ = ↑z₂\n⊢ ↑z₁ + ↑0 = ↑z₂\n[PROOFSTEP]\nsimpa\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\n⊢ g ≤ LinearPMap.sup f g h\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨le_sup_right, fun z₁ z₂ hz => _⟩\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nz₁ : { x // x ∈ g.domain }\nz₂ : { x // x ∈ (LinearPMap.sup f g h).domain }\nhz : ↑z₁ = ↑z₂\n⊢ ↑g z₁ = ↑(LinearPMap.sup f g h) z₂\n[PROOFSTEP]\nrw [← zero_add (g _), ← f.map_zero]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nz₁ : { x // x ∈ g.domain }\nz₂ : { x // x ∈ (LinearPMap.sup f g h).domain }\nhz : ↑z₁ = ↑z₂\n⊢ ↑f 0 + ↑g z₁ = ↑(LinearPMap.sup f g h) z₂\n[PROOFSTEP]\nrefine' (sup_apply h _ _ _ _).symm\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : { x // x ∈ f.domain }) (y : { x // x ∈ g.domain }), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\nz₁ : { x // x ∈ g.domain }\nz₂ : { x // x ∈ (LinearPMap.sup f g h).domain }\nhz : ↑z₁ = ↑z₂\n⊢ ↑0 + ↑z₁ = ↑z₂\n[PROOFSTEP]\nsimpa\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : Disjoint f.domain g.domain\nx : { x // x ∈ f.domain }\ny : { x // x ∈ g.domain }\nhxy : ↑x = ↑y\n⊢ ↑f x = ↑g y\n[PROOFSTEP]\nrw [disjoint_def] at h \n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : E), x ∈ f.domain → x ∈ g.domain → x = 0\nx : { x // x ∈ f.domain }\ny : { x // x ∈ g.domain }\nhxy : ↑x = ↑y\n⊢ ↑f x = ↑g y\n[PROOFSTEP]\nhave hy : y = 0 := Subtype.eq (h y (hxy ▸ x.2) y.2)\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : E), x ∈ f.domain → x ∈ g.domain → x = 0\nx : { x // x ∈ f.domain }\ny : { x // x ∈ g.domain }\nhxy : ↑x = ↑y\nhy : y = 0\n⊢ ↑f x = ↑g y\n[PROOFSTEP]\nhave hx : x = 0 := Subtype.eq (hxy.trans <| congr_arg _ hy)\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : ∀ (x : E), x ∈ f.domain → x ∈ g.domain → x = 0\nx : { x // x ∈ f.domain }\ny : { x // x ∈ g.domain }\nhxy : ↑x = ↑y\nhy : y = 0\nhx : x = 0\n⊢ ↑f x = ↑g y\n[PROOFSTEP]\nsimp [*]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\n⊢ - -f = f\n[PROOFSTEP]\next x y hxy\n[GOAL]\ncase h.h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\n⊢ x ∈ (- -f).domain ↔ x ∈ f.domain\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase h'\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ (- -f).domain }\ny : { x // x ∈ f.domain }\nhxy : ↑x = ↑y\n⊢ ↑(- -f) x = ↑f y\n[PROOFSTEP]\nsimp only [neg_apply, neg_neg]\n[GOAL]\ncase h'\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ (- -f).domain }\ny : { x // x ∈ f.domain }\nhxy : ↑x = ↑y\n⊢ ↑f x = ↑f y\n[PROOFSTEP]\ncases x\n[GOAL]\ncase h'.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\ny : { x // x ∈ f.domain }\nval✝ : E\nproperty✝ : val✝ ∈ (- -f).domain\nhxy : ↑{ val := val✝, property := property✝ } = ↑y\n⊢ ↑f { val := val✝, property := property✝ } = ↑f y\n[PROOFSTEP]\ncongr\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g h : E →ₗ.[R] F\n⊢ f + g + h = f + (g + h)\n[PROOFSTEP]\next x y hxy\n[GOAL]\ncase h.h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g h : E →ₗ.[R] F\nx : E\n⊢ x ∈ (f + g + h).domain ↔ x ∈ (f + (g + h)).domain\n[PROOFSTEP]\nsimp only [add_domain, inf_assoc]\n[GOAL]\ncase h'\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g h : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ (f + g + h).domain }\ny : { x // x ∈ (f + (g + h)).domain }\nhxy : ↑x = ↑y\n⊢ ↑(f + g + h) x = ↑(f + (g + h)) y\n[PROOFSTEP]\nsimp only [add_apply, hxy, add_assoc]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\n⊢ 0 + f = f\n[PROOFSTEP]\next x y hxy\n[GOAL]\ncase h.h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\n⊢ x ∈ (0 + f).domain ↔ x ∈ f.domain\n[PROOFSTEP]\nsimp [add_domain]\n[GOAL]\ncase h'\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ (0 + f).domain }\ny : { x // x ∈ f.domain }\nhxy : ↑x = ↑y\n⊢ ↑(0 + f) x = ↑f y\n[PROOFSTEP]\nsimp only [add_apply, hxy, zero_apply, zero_add]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\n⊢ f + 0 = f\n[PROOFSTEP]\next x y hxy\n[GOAL]\ncase h.h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\n⊢ x ∈ (f + 0).domain ↔ x ∈ f.domain\n[PROOFSTEP]\nsimp [add_domain]\n[GOAL]\ncase h'\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ (f + 0).domain }\ny : { x // x ∈ f.domain }\nhxy : ↑x = ↑y\n⊢ ↑(f + 0) x = ↑f y\n[PROOFSTEP]\nsimp only [add_apply, hxy, zero_apply, add_zero]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\n⊢ 0 + f = f\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\n⊢ ∀ (a : E →ₗ.[R] F), a + 0 = a\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\n⊢ f + g = g + f\n[PROOFSTEP]\next x y hxy\n[GOAL]\ncase h.h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nx : E\n⊢ x ∈ (f + g).domain ↔ x ∈ (g + f).domain\n[PROOFSTEP]\nsimp only [add_domain, inf_comm]\n[GOAL]\ncase h'\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ (f + g).domain }\ny : { x // x ∈ (g + f).domain }\nhxy : ↑x = ↑y\n⊢ ↑(f + g) x = ↑(g + f) y\n[PROOFSTEP]\nsimp only [add_apply, hxy, add_comm]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\n⊢ f - g = f + -g\n[PROOFSTEP]\next x y h\n[GOAL]\ncase h.h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nx : E\n⊢ x ∈ (f - g).domain ↔ x ∈ (f + -g).domain\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase h'\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ (f - g).domain }\ny : { x // x ∈ (f + -g).domain }\nh : ↑x = ↑y\n⊢ ↑(f - g) x = ↑(f + -g) y\n[PROOFSTEP]\nsimp [sub_apply, add_apply, neg_apply, ← sub_eq_add_neg, h]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\n⊢ -(f + g) = -g + -f\n[PROOFSTEP]\next x y h\n[GOAL]\ncase h.h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nx : E\n⊢ x ∈ (-(f + g)).domain ↔ x ∈ (-g + -f).domain\n[PROOFSTEP]\nsimp [add_domain, sub_domain, neg_domain, And.comm]\n[GOAL]\ncase h'\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ (-(f + g)).domain }\ny : { x // x ∈ (-g + -f).domain }\nh : ↑x = ↑y\n⊢ ↑(-(f + g)) x = ↑(-g + -f) y\n[PROOFSTEP]\nsimp [sub_apply, add_apply, neg_apply, ← sub_eq_add_neg, h]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh' : f + g = 0\n⊢ -f = g\n[PROOFSTEP]\next x y h\n[GOAL]\ncase h.h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh' : f + g = 0\nx : E\n⊢ x ∈ (-f).domain ↔ x ∈ g.domain\n[PROOFSTEP]\nhave : (0 : E →ₗ.[R] F).domain = ⊤ := zero_domain\n[GOAL]\ncase h.h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh' : f + g = 0\nx : E\nthis : 0.domain = ⊤\n⊢ x ∈ (-f).domain ↔ x ∈ g.domain\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← h', add_domain, ge_iff_le, inf_eq_top_iff] at this \n[GOAL]\ncase h.h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh' : f + g = 0\nx : E\nthis : f.domain = ⊤ ∧ g.domain = ⊤\n⊢ x ∈ (-f).domain ↔ x ∈ g.domain\n[PROOFSTEP]\nrw [neg_domain, this.1, this.2]\n[GOAL]\ncase h'\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh' : f + g = 0\nx : { x // x ∈ (-f).domain }\ny : { x // x ∈ g.domain }\nh : ↑x = ↑y\n⊢ ↑(-f) x = ↑g y\n[PROOFSTEP]\nsimp only [inf_coe, neg_domain, Eq.ndrec, Int.ofNat_eq_coe, neg_apply]\n[GOAL]\ncase h'\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh' : f + g = 0\nx : { x // x ∈ (-f).domain }\ny : { x // x ∈ g.domain }\nh : ↑x = ↑y\n⊢ -↑f x = ↑g y\n[PROOFSTEP]\nrw [ext_iff] at h' \n[GOAL]\ncase h'\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nh' : ∃ _domain_eq, ∀ ⦃x : { x // x ∈ (f + g).domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ 0.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑(f + g) x = ↑0 y\nx : { x // x ∈ (-f).domain }\ny : { x // x ∈ g.domain }\nh : ↑x = ↑y\n⊢ -↑f x = ↑g y\n[PROOFSTEP]\nrcases h' with ⟨hdom, h'⟩\n[GOAL]\ncase h'.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ (-f).domain }\ny : { x // x ∈ g.domain }\nh : ↑x = ↑y\nhdom : (f + g).domain = 0.domain\nh' : ∀ ⦃x : { x // x ∈ (f + g).domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ 0.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑(f + g) x = ↑0 y\n⊢ -↑f x = ↑g y\n[PROOFSTEP]\nrw [zero_domain] at hdom \n[GOAL]\ncase h'.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ (-f).domain }\ny : { x // x ∈ g.domain }\nh : ↑x = ↑y\nhdom : (f + g).domain = ⊤\nh' : ∀ ⦃x : { x // x ∈ (f + g).domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ 0.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑(f + g) x = ↑0 y\n⊢ -↑f x = ↑g y\n[PROOFSTEP]\nsimp only [inf_coe, neg_domain, Eq.ndrec, Int.ofNat_eq_coe, zero_domain, top_coe, zero_apply, Subtype.forall, mem_top,\n  forall_true_left, forall_eq'] at h' \n[GOAL]\ncase h'.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ (-f).domain }\ny : { x // x ∈ g.domain }\nh : ↑x = ↑y\nhdom : (f + g).domain = ⊤\nh' : ∀ (a : E) (b : a ∈ (f + g).domain), ↑(f + g) { val := a, property := b } = 0\n⊢ -↑f x = ↑g y\n[PROOFSTEP]\nspecialize h' x.1 (by simp [hdom])\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ (-f).domain }\ny : { x // x ∈ g.domain }\nh : ↑x = ↑y\nhdom : (f + g).domain = ⊤\nh' : ∀ (a : E) (b : a ∈ (f + g).domain), ↑(f + g) { val := a, property := b } = 0\n⊢ ↑x ∈ (f + g).domain\n[PROOFSTEP]\nsimp [hdom]\n[GOAL]\ncase h'.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ (-f).domain }\ny : { x // x ∈ g.domain }\nh : ↑x = ↑y\nhdom : (f + g).domain = ⊤\nh' : ↑(f + g) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (f + g).domain) } = 0\n⊢ -↑f x = ↑g y\n[PROOFSTEP]\nsimp only [inf_coe, neg_domain, Eq.ndrec, Int.ofNat_eq_coe, add_apply, Subtype.coe_eta, ← neg_eq_iff_add_eq_zero] at h' \n[GOAL]\ncase h'.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf g : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ (-f).domain }\ny : { x // x ∈ g.domain }\nh : ↑x = ↑y\nhdom : (f + g).domain = ⊤\nh' : -↑f x = ↑g { val := ↑x, property := (_ : ↑{ val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (f + g).domain) } ∈ ↑g.domain) }\n⊢ -↑f x = ↑g y\n[PROOFSTEP]\nrw [h', h]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nK : Type u_5\ninst✝² : DivisionRing K\ninst✝¹ : Module K E\ninst✝ : Module K F\nf : E →ₗ.[K] F\nx : E\ny : F\nhx : ¬x ∈ f.domain\n⊢ Disjoint f.domain (mkSpanSingleton x y (_ : x = 0 → False)).domain\n[PROOFSTEP]\nsimp [disjoint_span_singleton]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nK : Type u_5\ninst✝² : DivisionRing K\ninst✝¹ : Module K E\ninst✝ : Module K F\nf : E →ₗ.[K] F\nx : E\ny : F\nhx : ¬x ∈ f.domain\n⊢ x ∈ f.domain → x = 0\n[PROOFSTEP]\nexact fun h => False.elim <| hx h\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nK : Type u_5\ninst✝² : DivisionRing K\ninst✝¹ : Module K E\ninst✝ : Module K F\nf : E →ₗ.[K] F\nx : E\ny : F\nhx : ¬x ∈ f.domain\nx' : E\nhx' : x' ∈ f.domain\nc : K\n⊢ ↑(supSpanSingleton f x y hx)\n      { val := x' + c • x,\n        property := (_ : x' + c • x ∈ f.domain ⊔ (mkSpanSingleton x y (_ : x = 0 → False)).domain) } =\n    ↑f { val := x', property := hx' } + c • y\n[PROOFSTEP]\nerw [sup_apply _ ⟨x', hx'⟩ ⟨c • x, _⟩, mkSpanSingleton'_apply]\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nK : Type u_5\ninst✝² : DivisionRing K\ninst✝¹ : Module K E\ninst✝ : Module K F\nf : E →ₗ.[K] F\nx : E\ny : F\nhx : ¬x ∈ f.domain\nx' : E\nhx' : x' ∈ f.domain\nc : K\n⊢ c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y (_ : ∀ (c : K), c • x = 0 → c • y = 0)).domain\n[PROOFSTEP]\nexact mem_span_singleton.2 ⟨c, rfl⟩\n[GOAL]\ncase hz\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nK : Type u_5\ninst✝² : DivisionRing K\ninst✝¹ : Module K E\ninst✝ : Module K F\nf : E →ₗ.[K] F\nx : E\ny : F\nhx : ¬x ∈ f.domain\nx' : E\nhx' : x' ∈ f.domain\nc : K\n⊢ ↑{ val := x', property := hx' } + ↑{ val := c • x, property := (_ : c • x ∈ span K {x}) } =\n    ↑{ val := x' + c • x, property := (_ : x' + c • x ∈ f.domain ⊔ (mkSpanSingleton x y (_ : x = 0 → False)).domain) }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\n⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c\n[PROOFSTEP]\ncases' c.eq_empty_or_nonempty with ceq cne\n[GOAL]\ncase inl\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\nceq : c = ∅\n⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c\n[PROOFSTEP]\nsubst c\n[GOAL]\ncase inl\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) ∅\n⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' ∅), toFun := f } ∈ upperBounds ∅\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase inr\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\n⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c\n[PROOFSTEP]\nhave hdir : DirectedOn (· ≤ ·) (domain '' c) := directedOn_image.2 (hc.mono @(domain_mono.monotone))\n[GOAL]\ncase inr\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\n⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c\n[PROOFSTEP]\nhave P : ∀ x : ↥(sSup (domain '' c)), { p : c // (x : E) ∈ p.val.domain } :=\n  by\n  rintro x\n  apply Classical.indefiniteDescription\n  have :=\n    (mem_sSup_of_directed (cne.image _) hdir).1\n      x.2\n        -- Porting note: + `← bex_def`\n  rwa [bex_image_iff, ← bex_def, SetCoe.exists'] at this \n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\n⊢ (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\n[PROOFSTEP]\nrintro x\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nx : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }\n⊢ { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\n[PROOFSTEP]\napply Classical.indefiniteDescription\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nx : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }\n⊢ ∃ x_1, ↑x ∈ (↑x_1).domain\n[PROOFSTEP]\nhave :=\n  (mem_sSup_of_directed (cne.image _) hdir).1\n    x.2\n      -- Porting note: + `← bex_def`\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nx : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }\nthis : ∃ y, y ∈ domain '' c ∧ ↑x ∈ y\n⊢ ∃ x_1, ↑x ∈ (↑x_1).domain\n[PROOFSTEP]\nrwa [bex_image_iff, ← bex_def, SetCoe.exists'] at this \n[GOAL]\ncase inr\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\n⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c\n[PROOFSTEP]\nset f : ↥(sSup (domain '' c)) → F := fun x => (P x).val.val ⟨x, (P x).property⟩\n[GOAL]\ncase inr\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\n⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c\n[PROOFSTEP]\nhave f_eq : ∀ (p : c) (x : ↥(sSup (domain '' c))) (y : p.1.1) (_hxy : (x : E) = y), f x = p.1 y :=\n  by\n  intro p x y hxy\n  rcases hc (P x).1.1 (P x).1.2 p.1 p.2 with\n    ⟨q, _hqc, hxq, hpq⟩\n      -- Porting note: `refine' ..; exacts [ofLe hpq.1 y, hxy, rfl]`\n          --               → `refine' .. <;> [skip; exact ofLe hpq.1 y; rfl]; exact hxy`\n  refine' (hxq.2 _).trans (hpq.2 _).symm <;> [skip; exact ofLe hpq.1 y; rfl]; exact hxy\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\n⊢ ∀ (p : ↑c) (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) (y : { x // x ∈ (↑p).domain }), ↑x = ↑y → f x = ↑↑p y\n[PROOFSTEP]\nintro p x y hxy\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\np : ↑c\nx : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }\ny : { x // x ∈ (↑p).domain }\nhxy : ↑x = ↑y\n⊢ f x = ↑↑p y\n[PROOFSTEP]\nrcases hc (P x).1.1 (P x).1.2 p.1 p.2 with\n  ⟨q, _hqc, hxq, hpq⟩\n    -- Porting note: `refine' ..; exacts [ofLe hpq.1 y, hxy, rfl]`\n        --               → `refine' .. <;> [skip; exact ofLe hpq.1 y; rfl]; exact hxy`\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\np : ↑c\nx : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }\ny : { x // x ∈ (↑p).domain }\nhxy : ↑x = ↑y\nq : E →ₗ.[R] F\n_hqc : q ∈ c\nhxq : ↑↑(P x) ≤ q\nhpq : ↑p ≤ q\n⊢ f x = ↑↑p y\n[PROOFSTEP]\nrefine' (hxq.2 _).trans (hpq.2 _).symm <;> [skip; exact ofLe hpq.1 y; rfl]\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\np : ↑c\nx : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }\ny : { x // x ∈ (↑p).domain }\nhxy : ↑x = ↑y\nq : E →ₗ.[R] F\n_hqc : q ∈ c\nhxq : ↑↑(P x) ≤ q\nhpq : ↑p ≤ q\n⊢ f x = ↑↑p y\n[PROOFSTEP]\nrefine' (hxq.2 _).trans (hpq.2 _).symm\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\np : ↑c\nx : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }\ny : { x // x ∈ (↑p).domain }\nhxy : ↑x = ↑y\nq : E →ₗ.[R] F\n_hqc : q ∈ c\nhxq : ↑↑(P x) ≤ q\nhpq : ↑p ≤ q\n⊢ ↑{ val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) } = ↑?intro.intro.intro.refine'_2\n[PROOFSTEP]\nskip\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\np : ↑c\nx : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }\ny : { x // x ∈ (↑p).domain }\nhxy : ↑x = ↑y\nq : E →ₗ.[R] F\n_hqc : q ∈ c\nhxq : ↑↑(P x) ≤ q\nhpq : ↑p ≤ q\n⊢ { x // x ∈ q.domain }\n[PROOFSTEP]\nexact ofLe hpq.1 y\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.refine'_3\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\np : ↑c\nx : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }\ny : { x // x ∈ (↑p).domain }\nhxy : ↑x = ↑y\nq : E →ₗ.[R] F\n_hqc : q ∈ c\nhxq : ↑↑(P x) ≤ q\nhpq : ↑p ≤ q\n⊢ ↑y = ↑(↑(ofLe (_ : (↑p).domain ≤ q.domain)) y)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\np : ↑c\nx : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }\ny : { x // x ∈ (↑p).domain }\nhxy : ↑x = ↑y\nq : E →ₗ.[R] F\n_hqc : q ∈ c\nhxq : ↑↑(P x) ≤ q\nhpq : ↑p ≤ q\n⊢ ↑{ val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) } = ↑(↑(ofLe (_ : (↑p).domain ≤ q.domain)) y)\n[PROOFSTEP]\nexact hxy\n[GOAL]\ncase inr\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\nf_eq : ∀ (p : ↑c) (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) (y : { x // x ∈ (↑p).domain }), ↑x = ↑y → f x = ↑↑p y\n⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨{ toFun := f .. }, _⟩\n[GOAL]\ncase inr.refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\nf_eq : ∀ (p : ↑c) (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) (y : { x // x ∈ (↑p).domain }), ↑x = ↑y → f x = ↑↑p y\n⊢ ∀ (x y : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }), f (x + y) = f x + f y\n[PROOFSTEP]\nintro x y\n[GOAL]\ncase inr.refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\nf_eq : ∀ (p : ↑c) (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) (y : { x // x ∈ (↑p).domain }), ↑x = ↑y → f x = ↑↑p y\nx y : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }\n⊢ f (x + y) = f x + f y\n[PROOFSTEP]\nrcases hc (P x).1.1 (P x).1.2 (P y).1.1 (P y).1.2 with ⟨p, hpc, hpx, hpy⟩\n[GOAL]\ncase inr.refine'_1.intro.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\nf_eq : ∀ (p : ↑c) (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) (y : { x // x ∈ (↑p).domain }), ↑x = ↑y → f x = ↑↑p y\nx y : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }\np : E →ₗ.[R] F\nhpc : p ∈ c\nhpx : ↑↑(P x) ≤ p\nhpy : ↑↑(P y) ≤ p\n⊢ f (x + y) = f x + f y\n[PROOFSTEP]\nset x' := ofLe hpx.1 ⟨x, (P x).2⟩\n[GOAL]\ncase inr.refine'_1.intro.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\nf_eq : ∀ (p : ↑c) (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) (y : { x // x ∈ (↑p).domain }), ↑x = ↑y → f x = ↑↑p y\nx y : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }\np : E →ₗ.[R] F\nhpc : p ∈ c\nhpx : ↑↑(P x) ≤ p\nhpy : ↑↑(P y) ≤ p\nx' : { x // x ∈ p.domain } :=\n  ↑(ofLe (_ : (↑↑(P x)).domain ≤ p.domain)) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\n⊢ f (x + y) = f x + f y\n[PROOFSTEP]\nset y' := ofLe hpy.1 ⟨y, (P y).2⟩\n[GOAL]\ncase inr.refine'_1.intro.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\nf_eq : ∀ (p : ↑c) (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) (y : { x // x ∈ (↑p).domain }), ↑x = ↑y → f x = ↑↑p y\nx y : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }\np : E →ₗ.[R] F\nhpc : p ∈ c\nhpx : ↑↑(P x) ≤ p\nhpy : ↑↑(P y) ≤ p\nx' : { x // x ∈ p.domain } :=\n  ↑(ofLe (_ : (↑↑(P x)).domain ≤ p.domain)) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\ny' : { x // x ∈ p.domain } :=\n  ↑(ofLe (_ : (↑↑(P y)).domain ≤ p.domain)) { val := ↑y, property := (_ : ↑y ∈ (↑↑(P y)).domain) }\n⊢ f (x + y) = f x + f y\n[PROOFSTEP]\nrw [f_eq ⟨p, hpc⟩ x x' rfl, f_eq ⟨p, hpc⟩ y y' rfl, f_eq ⟨p, hpc⟩ (x + y) (x' + y') rfl, map_add]\n[GOAL]\ncase inr.refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\nf_eq : ∀ (p : ↑c) (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) (y : { x // x ∈ (↑p).domain }), ↑x = ↑y → f x = ↑↑p y\n⊢ ∀ (r : R) (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }),\n    AddHom.toFun { toFun := f, map_add' := (_ : ∀ (x y : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }), f (x + y) = f x + f y) }\n        (r • x) =\n      ↑(RingHom.id R) r •\n        AddHom.toFun { toFun := f, map_add' := (_ : ∀ (x y : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }), f (x + y) = f x + f y) }\n          x\n[PROOFSTEP]\nintro c x\n[GOAL]\ncase inr.refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc✝ : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c✝\ncne : Set.Nonempty c✝\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c✝)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c✝) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c✝) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\nf_eq : ∀ (p : ↑c✝) (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c✝) }) (y : { x // x ∈ (↑p).domain }), ↑x = ↑y → f x = ↑↑p y\nc : R\nx : { x // x ∈ sSup (domain '' c✝) }\n⊢ AddHom.toFun { toFun := f, map_add' := (_ : ∀ (x y : { x // x ∈ sSup (domain '' c✝) }), f (x + y) = f x + f y) }\n      (c • x) =\n    ↑(RingHom.id R) c •\n      AddHom.toFun { toFun := f, map_add' := (_ : ∀ (x y : { x // x ∈ sSup (domain '' c✝) }), f (x + y) = f x + f y) } x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [f_eq (P x).1 (c • x) (c • ⟨x, (P x).2⟩) rfl, ← map_smul, RingHom.id_apply]\n[GOAL]\ncase inr.refine'_3\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\nf_eq : ∀ (p : ↑c) (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) (y : { x // x ∈ (↑p).domain }), ↑x = ↑y → f x = ↑↑p y\n⊢ { domain := sSup (domain '' c),\n      toFun :=\n        {\n          toAddHom :=\n            { toFun := f, map_add' := (_ : ∀ (x y : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }), f (x + y) = f x + f y) },\n          map_smul' :=\n            (_ :\n              ∀ (c_1 : R) (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }),\n                f (c_1 • x) = c_1 • ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }) } } ∈\n    upperBounds c\n[PROOFSTEP]\nintro p hpc\n[GOAL]\ncase inr.refine'_3\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\nf_eq : ∀ (p : ↑c) (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) (y : { x // x ∈ (↑p).domain }), ↑x = ↑y → f x = ↑↑p y\np : E →ₗ.[R] F\nhpc : p ∈ c\n⊢ p ≤\n    { domain := sSup (domain '' c),\n      toFun :=\n        {\n          toAddHom :=\n            { toFun := f, map_add' := (_ : ∀ (x y : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }), f (x + y) = f x + f y) },\n          map_smul' :=\n            (_ :\n              ∀ (c_1 : R) (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }),\n                f (c_1 • x) = c_1 • ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }) } }\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨le_sSup <| mem_image_of_mem domain hpc, fun x y hxy => Eq.symm _⟩\n[GOAL]\ncase inr.refine'_3\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\ncne : Set.Nonempty c\nhdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)\nP : (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }\nf : { x // x ∈ sSup (domain '' c) } → F := fun x => ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }\nf_eq : ∀ (p : ↑c) (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }) (y : { x // x ∈ (↑p).domain }), ↑x = ↑y → f x = ↑↑p y\np : E →ₗ.[R] F\nhpc : p ∈ c\nx : { x // x ∈ p.domain }\ny :\n  { x //\n    x ∈\n      { domain := sSup (domain '' c),\n          toFun :=\n            {\n              toAddHom :=\n                { toFun := f, map_add' := (_ : ∀ (x y : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }), f (x + y) = f x + f y) },\n              map_smul' :=\n                (_ :\n                  ∀ (c_1 : R) (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }),\n                    f (c_1 • x) = c_1 • ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }) } }.domain }\nhxy : ↑x = ↑y\n⊢ ↑{ domain := sSup (domain '' c),\n          toFun :=\n            {\n              toAddHom :=\n                { toFun := f, map_add' := (_ : ∀ (x y : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }), f (x + y) = f x + f y) },\n              map_smul' :=\n                (_ :\n                  ∀ (c_1 : R) (x : { x // x ∈ sSup (domain '' c) }),\n                    f (c_1 • x) = c_1 • ↑↑↑(P x) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (↑↑(P x)).domain) }) } }\n      y =\n    ↑p x\n[PROOFSTEP]\nexact f_eq ⟨p, hpc⟩ _ _ hxy.symm\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\nl : E →ₗ.[R] F\nhl : l ∈ c\nx : { x // x ∈ l.domain }\n⊢ ↑(LinearPMap.sSup c hc) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (LinearPMap.sSup c hc).domain) } = ↑l x\n[PROOFSTEP]\nsymm\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\nl : E →ₗ.[R] F\nhl : l ∈ c\nx : { x // x ∈ l.domain }\n⊢ ↑l x = ↑(LinearPMap.sSup c hc) { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (LinearPMap.sSup c hc).domain) }\n[PROOFSTEP]\napply (Classical.choose_spec (sSup_aux c hc) hl).2\n[GOAL]\ncase _h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nc : Set (E →ₗ.[R] F)\nhc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c\nl : E →ₗ.[R] F\nhl : l ∈ c\nx : { x // x ∈ l.domain }\n⊢ ↑x = ↑{ val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ (LinearPMap.sSup c hc).domain) }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nS : Submodule R E\n⊢ S ⊓ f.domain ≤ f.domain\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nS : Submodule R E\nx : { x // x ∈ S ⊓ f.domain }\ny : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x = ↑y\n⊢ ↑(domRestrict f S) x = ↑f y\n[PROOFSTEP]\nhave : Submodule.ofLe (by simp) x = y := by\n  ext\n  simp [h]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nS : Submodule R E\nx : { x // x ∈ S ⊓ f.domain }\ny : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x = ↑y\n⊢ S ⊓ f.domain ≤ f.domain\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nS : Submodule R E\nx : { x // x ∈ S ⊓ f.domain }\ny : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x = ↑y\n⊢ ↑(Submodule.ofLe (_ : S ⊓ f.domain ≤ f.domain)) x = y\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase a\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nS : Submodule R E\nx : { x // x ∈ S ⊓ f.domain }\ny : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x = ↑y\n⊢ ↑(↑(Submodule.ofLe (_ : S ⊓ f.domain ≤ f.domain)) x) = ↑y\n[PROOFSTEP]\nsimp [h]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nS : Submodule R E\nx : { x // x ∈ S ⊓ f.domain }\ny : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x = ↑y\nthis : ↑(Submodule.ofLe (_ : S ⊓ f.domain ≤ f.domain)) x = y\n⊢ ↑(domRestrict f S) x = ↑f y\n[PROOFSTEP]\nrw [← this]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nS : Submodule R E\nx : { x // x ∈ S ⊓ f.domain }\ny : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x = ↑y\nthis : ↑(Submodule.ofLe (_ : S ⊓ f.domain ≤ f.domain)) x = y\n⊢ ↑(domRestrict f S) x = ↑f (↑(Submodule.ofLe (_ : S ⊓ f.domain ≤ f.domain)) x)\n[PROOFSTEP]\nexact LinearPMap.mk_apply _ _ _\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nS : Submodule R E\n⊢ (domRestrict f S).domain ≤ f.domain\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E × F\n⊢ x ∈ graph f ↔ ∃ y, (↑y, ↑f y) = x\n[PROOFSTEP]\nsimp [graph]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E × F\n⊢ x ∈ graph f ↔ ∃ y, ↑y = x.fst ∧ ↑f y = x.snd\n[PROOFSTEP]\ncases x\n[GOAL]\ncase mk\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nfst✝ : E\nsnd✝ : F\n⊢ (fst✝, snd✝) ∈ graph f ↔ ∃ y, ↑y = (fst✝, snd✝).fst ∧ ↑f y = (fst✝, snd✝).snd\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [mem_graph_iff', Prod.mk.inj_iff]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : { x // x ∈ f.domain }\n⊢ (↑x, ↑f x) ∈ graph f\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\n⊢ Submodule.map (LinearMap.fst R E F) (graph f) = f.domain\n[PROOFSTEP]\next x\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\n⊢ x ∈ Submodule.map (LinearMap.fst R E F) (graph f) ↔ x ∈ f.domain\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Submodule.mem_map, mem_graph_iff, Subtype.exists, exists_and_left, exists_eq_left, LinearMap.fst_apply,\n  Prod.exists, exists_and_right, exists_eq_right]\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\n⊢ (∃ x_1 h, ↑f { val := x, property := (_ : (x, x_1).fst ∈ f.domain) } = x_1) ↔ x ∈ f.domain\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase h.mp\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\n⊢ (∃ x_1 h, ↑f { val := x, property := (_ : (x, x_1).fst ∈ f.domain) } = x_1) → x ∈ f.domain\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\ncase h.mpr\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\n⊢ x ∈ f.domain → ∃ x_1 h, ↑f { val := x, property := (_ : (x, x_1).fst ∈ f.domain) } = x_1\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\ncase h.mp\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\nh : ∃ x_1 h, ↑f { val := x, property := (_ : (x, x_1).fst ∈ f.domain) } = x_1\n⊢ x ∈ f.domain\n[PROOFSTEP]\nrcases h with ⟨x, hx, _⟩\n[GOAL]\ncase h.mp.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx✝ : E\nx : F\nhx : x✝ ∈ f.domain\nh✝ : ↑f { val := x✝, property := (_ : (x✝, x).fst ∈ f.domain) } = x\n⊢ x✝ ∈ f.domain\n[PROOFSTEP]\nexact hx\n[GOAL]\ncase h.mpr\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\nh : x ∈ f.domain\n⊢ ∃ x_1 h, ↑f { val := x, property := (_ : (x, x_1).fst ∈ f.domain) } = x_1\n[PROOFSTEP]\nuse f ⟨x, h⟩\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\nh : x ∈ f.domain\n⊢ ∃ h_1,\n    ↑f { val := x, property := (_ : (x, ↑f { val := x, property := h }).fst ∈ f.domain) } =\n      ↑f { val := x, property := h }\n[PROOFSTEP]\nsimp only [h, exists_prop]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\n⊢ Submodule.map (LinearMap.snd R E F) (graph f) = LinearMap.range f.toFun\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nx✝ : F\n⊢ x✝ ∈ Submodule.map (LinearMap.snd R E F) (graph f) ↔ x✝ ∈ LinearMap.range f.toFun\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\n⊢ graph (z • f) = Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (z • LinearMap.id)) (graph f)\n[PROOFSTEP]\next x\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx : E × F\n⊢ x ∈ graph (z • f) ↔ x ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (z • LinearMap.id)) (graph f)\n[PROOFSTEP]\ncases' x with x_fst x_snd\n[GOAL]\ncase h.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (z • f) ↔\n    (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (z • LinearMap.id)) (graph f)\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase h.mk.mp\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (z • f) →\n    (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (z • LinearMap.id)) (graph f)\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\ncase h.mk.mpr\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (z • LinearMap.id)) (graph f) →\n    (x_fst, x_snd) ∈ graph (z • f)\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\ncase h.mk.mp\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\nh : (x_fst, x_snd) ∈ graph (z • f)\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (z • LinearMap.id)) (graph f)\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_graph_iff] at h \n[GOAL]\ncase h.mk.mp\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\nh : ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).fst ∧ ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).snd\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (z • LinearMap.id)) (graph f)\n[PROOFSTEP]\nrcases h with ⟨y, hy, h⟩\n[GOAL]\ncase h.mk.mp.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\ny : { x // x ∈ (z • f).domain }\nhy : ↑y = (x_fst, x_snd).fst\nh : ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).snd\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (z • LinearMap.id)) (graph f)\n[PROOFSTEP]\nrw [LinearPMap.smul_apply] at h \n[GOAL]\ncase h.mk.mp.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\ny : { x // x ∈ (z • f).domain }\nhy : ↑y = (x_fst, x_snd).fst\nh : z • ↑f y = (x_fst, x_snd).snd\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (z • LinearMap.id)) (graph f)\n[PROOFSTEP]\nrw [Submodule.mem_map]\n[GOAL]\ncase h.mk.mp.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\ny : { x // x ∈ (z • f).domain }\nhy : ↑y = (x_fst, x_snd).fst\nh : z • ↑f y = (x_fst, x_snd).snd\n⊢ ∃ y, y ∈ graph f ∧ ↑(LinearMap.prodMap LinearMap.id (z • LinearMap.id)) y = (x_fst, x_snd)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mem_graph_iff, LinearMap.prodMap_apply, LinearMap.id_coe, id.def, LinearMap.smul_apply, Prod.mk.inj_iff,\n  Prod.exists, exists_exists_and_eq_and]\n[GOAL]\ncase h.mk.mp.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\ny : { x // x ∈ (z • f).domain }\nhy : ↑y = (x_fst, x_snd).fst\nh : z • ↑f y = (x_fst, x_snd).snd\n⊢ ∃ a a_1, ↑a_1 = a ∧ a = x_fst ∧ z • ↑f a_1 = x_snd\n[PROOFSTEP]\nuse x_fst, y, hy\n[GOAL]\ncase h.mk.mpr\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\nh : (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (z • LinearMap.id)) (graph f)\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (z • f)\n[PROOFSTEP]\nrw [Submodule.mem_map] at h \n[GOAL]\ncase h.mk.mpr\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\nh : ∃ y, y ∈ graph f ∧ ↑(LinearMap.prodMap LinearMap.id (z • LinearMap.id)) y = (x_fst, x_snd)\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (z • f)\n[PROOFSTEP]\nrcases h with ⟨x', hx', h⟩\n[GOAL]\ncase h.mk.mpr.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\nx' : E × F\nhx' : x' ∈ graph f\nh : ↑(LinearMap.prodMap LinearMap.id (z • LinearMap.id)) x' = (x_fst, x_snd)\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (z • f)\n[PROOFSTEP]\ncases x'\n[GOAL]\ncase h.mk.mpr.intro.intro.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\nfst✝ : E\nsnd✝ : F\nhx' : (fst✝, snd✝) ∈ graph f\nh : ↑(LinearMap.prodMap LinearMap.id (z • LinearMap.id)) (fst✝, snd✝) = (x_fst, x_snd)\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (z • f)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [LinearMap.prodMap_apply, LinearMap.id_coe, id.def, LinearMap.smul_apply, Prod.mk.inj_iff] at h \n[GOAL]\ncase h.mk.mpr.intro.intro.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\nfst✝ : E\nsnd✝ : F\nhx' : (fst✝, snd✝) ∈ graph f\nh : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (z • f)\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_graph_iff] at hx' ⊢\n[GOAL]\ncase h.mk.mpr.intro.intro.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\nfst✝ : E\nsnd✝ : F\nhx' : ∃ y, ↑y = (fst✝, snd✝).fst ∧ ↑f y = (fst✝, snd✝).snd\nh : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd\n⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).fst ∧ ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).snd\n[PROOFSTEP]\nrcases hx' with ⟨y, hy, hx'⟩\n[GOAL]\ncase h.mk.mpr.intro.intro.mk.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\nfst✝ : E\nsnd✝ : F\nh : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd\ny : { x // x ∈ f.domain }\nhy : ↑y = (fst✝, snd✝).fst\nhx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).snd\n⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).fst ∧ ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).snd\n[PROOFSTEP]\nuse y\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\nfst✝ : E\nsnd✝ : F\nh : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd\ny : { x // x ∈ f.domain }\nhy : ↑y = (fst✝, snd✝).fst\nhx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).snd\n⊢ ↑y = (x_fst, x_snd).fst ∧ ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).snd\n[PROOFSTEP]\nrw [← h.1, ← h.2]\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nz : M\nx_fst : E\nx_snd : F\nfst✝ : E\nsnd✝ : F\nh : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd\ny : { x // x ∈ f.domain }\nhy : ↑y = (fst✝, snd✝).fst\nhx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).snd\n⊢ ↑y = (fst✝, z • snd✝).fst ∧ ↑(z • f) y = (fst✝, z • snd✝).snd\n[PROOFSTEP]\nsimp [hy, hx']\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\n⊢ graph (-f) = Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f)\n[PROOFSTEP]\next x\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E × F\n⊢ x ∈ graph (-f) ↔ x ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f)\n[PROOFSTEP]\ncases' x with x_fst x_snd\n[GOAL]\ncase h.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (-f) ↔\n    (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f)\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase h.mk.mp\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (-f) →\n    (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f)\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\ncase h.mk.mpr\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f) →\n    (x_fst, x_snd) ∈ graph (-f)\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\ncase h.mk.mp\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\nh : (x_fst, x_snd) ∈ graph (-f)\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f)\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_graph_iff] at h \n[GOAL]\ncase h.mk.mp\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\nh : ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).fst ∧ ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).snd\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f)\n[PROOFSTEP]\nrcases h with ⟨y, hy, h⟩\n[GOAL]\ncase h.mk.mp.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\ny : { x // x ∈ (-f).domain }\nhy : ↑y = (x_fst, x_snd).fst\nh : ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).snd\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f)\n[PROOFSTEP]\nrw [LinearPMap.neg_apply] at h \n[GOAL]\ncase h.mk.mp.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\ny : { x // x ∈ (-f).domain }\nhy : ↑y = (x_fst, x_snd).fst\nh : -↑f y = (x_fst, x_snd).snd\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f)\n[PROOFSTEP]\nrw [Submodule.mem_map]\n[GOAL]\ncase h.mk.mp.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\ny : { x // x ∈ (-f).domain }\nhy : ↑y = (x_fst, x_snd).fst\nh : -↑f y = (x_fst, x_snd).snd\n⊢ ∃ y, y ∈ graph f ∧ ↑(LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) y = (x_fst, x_snd)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mem_graph_iff, LinearMap.prodMap_apply, LinearMap.id_coe, id.def, LinearMap.neg_apply, Prod.mk.inj_iff,\n  Prod.exists, exists_exists_and_eq_and]\n[GOAL]\ncase h.mk.mp.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\ny : { x // x ∈ (-f).domain }\nhy : ↑y = (x_fst, x_snd).fst\nh : -↑f y = (x_fst, x_snd).snd\n⊢ ∃ a a_1, ↑a_1 = a ∧ a = x_fst ∧ -↑f a_1 = x_snd\n[PROOFSTEP]\nuse x_fst, y, hy\n[GOAL]\ncase h.mk.mpr\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\nh : (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (graph f)\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (-f)\n[PROOFSTEP]\nrw [Submodule.mem_map] at h \n[GOAL]\ncase h.mk.mpr\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\nh : ∃ y, y ∈ graph f ∧ ↑(LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) y = (x_fst, x_snd)\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (-f)\n[PROOFSTEP]\nrcases h with ⟨x', hx', h⟩\n[GOAL]\ncase h.mk.mpr.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\nx' : E × F\nhx' : x' ∈ graph f\nh : ↑(LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) x' = (x_fst, x_snd)\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (-f)\n[PROOFSTEP]\ncases x'\n[GOAL]\ncase h.mk.mpr.intro.intro.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\nfst✝ : E\nsnd✝ : F\nhx' : (fst✝, snd✝) ∈ graph f\nh : ↑(LinearMap.prodMap LinearMap.id (-LinearMap.id)) (fst✝, snd✝) = (x_fst, x_snd)\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (-f)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [LinearMap.prodMap_apply, LinearMap.id_coe, id.def, LinearMap.neg_apply, Prod.mk.inj_iff] at h \n[GOAL]\ncase h.mk.mpr.intro.intro.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\nfst✝ : E\nsnd✝ : F\nhx' : (fst✝, snd✝) ∈ graph f\nh : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd\n⊢ (x_fst, x_snd) ∈ graph (-f)\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_graph_iff] at hx' ⊢\n[GOAL]\ncase h.mk.mpr.intro.intro.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\nfst✝ : E\nsnd✝ : F\nhx' : ∃ y, ↑y = (fst✝, snd✝).fst ∧ ↑f y = (fst✝, snd✝).snd\nh : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd\n⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).fst ∧ ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).snd\n[PROOFSTEP]\nrcases hx' with ⟨y, hy, hx'⟩\n[GOAL]\ncase h.mk.mpr.intro.intro.mk.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\nfst✝ : E\nsnd✝ : F\nh : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd\ny : { x // x ∈ f.domain }\nhy : ↑y = (fst✝, snd✝).fst\nhx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).snd\n⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).fst ∧ ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).snd\n[PROOFSTEP]\nuse y\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\nfst✝ : E\nsnd✝ : F\nh : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd\ny : { x // x ∈ f.domain }\nhy : ↑y = (fst✝, snd✝).fst\nhx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).snd\n⊢ ↑y = (x_fst, x_snd).fst ∧ ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).snd\n[PROOFSTEP]\nrw [← h.1, ← h.2]\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx_fst : E\nx_snd : F\nfst✝ : E\nsnd✝ : F\nh : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd\ny : { x // x ∈ f.domain }\nhy : ↑y = (fst✝, snd✝).fst\nhx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).snd\n⊢ ↑y = (fst✝, -snd✝).fst ∧ ↑(-f) y = (fst✝, -snd✝).snd\n[PROOFSTEP]\nsimp [hy, hx']\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx y : E\nx' y' : F\nhx : (x, x') ∈ graph f\nhy : (y, y') ∈ graph f\nhxy : x = y\n⊢ x' = y'\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_graph_iff] at hx hy \n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx y : E\nx' y' : F\nhx : ∃ y, ↑y = (x, x').fst ∧ ↑f y = (x, x').snd\nhy : ∃ y_1, ↑y_1 = (y, y').fst ∧ ↑f y_1 = (y, y').snd\nhxy : x = y\n⊢ x' = y'\n[PROOFSTEP]\nrcases hx with ⟨x'', hx1, hx2⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx y : E\nx' y' : F\nhy : ∃ y_1, ↑y_1 = (y, y').fst ∧ ↑f y_1 = (y, y').snd\nhxy : x = y\nx'' : { x // x ∈ f.domain }\nhx1 : ↑x'' = (x, x').fst\nhx2 : ↑f x'' = (x, x').snd\n⊢ x' = y'\n[PROOFSTEP]\nrcases hy with ⟨y'', hy1, hy2⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx y : E\nx' y' : F\nhxy : x = y\nx'' : { x // x ∈ f.domain }\nhx1 : ↑x'' = (x, x').fst\nhx2 : ↑f x'' = (x, x').snd\ny'' : { x // x ∈ f.domain }\nhy1 : ↑y'' = (y, y').fst\nhy2 : ↑f y'' = (y, y').snd\n⊢ x' = y'\n[PROOFSTEP]\nsimp only at hx1 hx2 hy1 hy2 \n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx y : E\nx' y' : F\nhxy : x = y\nx'' : { x // x ∈ f.domain }\nhx1 : ↑x'' = x\nhx2 : ↑f x'' = x'\ny'' : { x // x ∈ f.domain }\nhy1 : ↑y'' = y\nhy2 : ↑f y'' = y'\n⊢ x' = y'\n[PROOFSTEP]\nrw [← hx1, ← hy1, SetLike.coe_eq_coe] at hxy \n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx y : E\nx' y' : F\nx'' : { x // x ∈ f.domain }\nhx1 : ↑x'' = x\nhx2 : ↑f x'' = x'\ny'' : { x // x ∈ f.domain }\nhxy : x'' = y''\nhy1 : ↑y'' = y\nhy2 : ↑f y'' = y'\n⊢ x' = y'\n[PROOFSTEP]\nrw [← hx2, ← hy2, hxy]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx y : E × F\nhx : x ∈ graph f\nhy : y ∈ graph f\nhxy : x.fst = y.fst\n⊢ x.snd = y.snd\n[PROOFSTEP]\ncases x\n[GOAL]\ncase mk\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\ny : E × F\nhy : y ∈ graph f\nfst✝ : E\nsnd✝ : F\nhx : (fst✝, snd✝) ∈ graph f\nhxy : (fst✝, snd✝).fst = y.fst\n⊢ (fst✝, snd✝).snd = y.snd\n[PROOFSTEP]\ncases y\n[GOAL]\ncase mk.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nfst✝¹ : E\nsnd✝¹ : F\nhx : (fst✝¹, snd✝¹) ∈ graph f\nfst✝ : E\nsnd✝ : F\nhy : (fst✝, snd✝) ∈ graph f\nhxy : (fst✝¹, snd✝¹).fst = (fst✝, snd✝).fst\n⊢ (fst✝¹, snd✝¹).snd = (fst✝, snd✝).snd\n[PROOFSTEP]\nexact f.mem_graph_snd_inj hx hy hxy\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\n⊢ x ∈ f.domain ↔ ∃ y, (x, y) ∈ graph f\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase mp\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\n⊢ x ∈ f.domain → ∃ y, (x, y) ∈ graph f\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\ncase mpr\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\n⊢ (∃ y, (x, y) ∈ graph f) → x ∈ f.domain\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\ncase mp\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\nh : x ∈ f.domain\n⊢ ∃ y, (x, y) ∈ graph f\n[PROOFSTEP]\nuse f ⟨x, h⟩\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\nh : x ∈ f.domain\n⊢ (x, ↑f { val := x, property := h }) ∈ graph f\n[PROOFSTEP]\nexact f.mem_graph ⟨x, h⟩\n[GOAL]\ncase mpr\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\nh : ∃ y, (x, y) ∈ graph f\n⊢ x ∈ f.domain\n[PROOFSTEP]\ncases' h with y h\n[GOAL]\ncase mpr.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\ny : F\nh : (x, y) ∈ graph f\n⊢ x ∈ f.domain\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_graph_iff] at h \n[GOAL]\ncase mpr.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\ny : F\nh : ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).fst ∧ ↑f y_1 = (x, y).snd\n⊢ x ∈ f.domain\n[PROOFSTEP]\ncases' h with x' h\n[GOAL]\ncase mpr.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\ny : F\nx' : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x' = (x, y).fst ∧ ↑f x' = (x, y).snd\n⊢ x ∈ f.domain\n[PROOFSTEP]\nsimp only at h \n[GOAL]\ncase mpr.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\ny : F\nx' : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x' = x ∧ ↑f x' = y\n⊢ x ∈ f.domain\n[PROOFSTEP]\nrw [← h.1]\n[GOAL]\ncase mpr.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\ny : F\nx' : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x' = x ∧ ↑f x' = y\n⊢ ↑x' ∈ f.domain\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\ny : F\nh : (x, y) ∈ graph f\n⊢ x ∈ f.domain\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_domain_iff]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\ny : F\nh : (x, y) ∈ graph f\n⊢ ∃ y, (x, y) ∈ graph f\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨y, h⟩\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\ny : F\nhx : x ∈ f.domain\n⊢ y = ↑f { val := x, property := hx } ↔ (x, y) ∈ graph f\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_graph_iff]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\ny : F\nhx : x ∈ f.domain\n⊢ y = ↑f { val := x, property := hx } ↔ ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).fst ∧ ↑f y_1 = (x, y).snd\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase mp\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\ny : F\nhx : x ∈ f.domain\n⊢ y = ↑f { val := x, property := hx } → ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).fst ∧ ↑f y_1 = (x, y).snd\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\ncase mpr\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\ny : F\nhx : x ∈ f.domain\n⊢ (∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).fst ∧ ↑f y_1 = (x, y).snd) → y = ↑f { val := x, property := hx }\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\ncase mp\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\ny : F\nhx : x ∈ f.domain\nh : y = ↑f { val := x, property := hx }\n⊢ ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).fst ∧ ↑f y_1 = (x, y).snd\n[PROOFSTEP]\nuse⟨x, hx⟩\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\ny : F\nhx : x ∈ f.domain\nh : y = ↑f { val := x, property := hx }\n⊢ ↑{ val := x, property := hx } = (x, y).fst ∧ ↑f { val := x, property := hx } = (x, y).snd\n[PROOFSTEP]\nsimp [h]\n[GOAL]\ncase mpr\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\ny : F\nhx : x ∈ f.domain\nh : ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).fst ∧ ↑f y_1 = (x, y).snd\n⊢ y = ↑f { val := x, property := hx }\n[PROOFSTEP]\nrcases h with ⟨⟨x', hx'⟩, ⟨h1, h2⟩⟩\n[GOAL]\ncase mpr.intro.mk.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\ny : F\nhx : x ∈ f.domain\nx' : E\nhx' : x' ∈ f.domain\nh1 : ↑{ val := x', property := hx' } = (x, y).fst\nh2 : ↑f { val := x', property := hx' } = (x, y).snd\n⊢ y = ↑f { val := x, property := hx }\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Submodule.coe_mk] at h1 h2 \n[GOAL]\ncase mpr.intro.mk.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\nx : E\ny : F\nhx : x ∈ f.domain\nx' : E\nhx' : x' ∈ f.domain\nh1 : x' = x\nh2 : ↑f { val := x', property := hx' } = y\n⊢ y = ↑f { val := x, property := hx }\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← h2, h1]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\ny : F\n⊢ y ∈ range ↑f ↔ ∃ x, (x, y) ∈ graph f\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase mp\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\ny : F\n⊢ y ∈ range ↑f → ∃ x, (x, y) ∈ graph f\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\ncase mpr\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\ny : F\n⊢ (∃ x, (x, y) ∈ graph f) → y ∈ range ↑f\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\ncase mp\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\ny : F\nh : y ∈ range ↑f\n⊢ ∃ x, (x, y) ∈ graph f\n[PROOFSTEP]\nrw [Set.mem_range] at h \n[GOAL]\ncase mp\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\ny : F\nh : ∃ y_1, ↑f y_1 = y\n⊢ ∃ x, (x, y) ∈ graph f\n[PROOFSTEP]\nrcases h with ⟨⟨x, hx⟩, h⟩\n[GOAL]\ncase mp.intro.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\ny : F\nx : E\nhx : x ∈ f.domain\nh : ↑f { val := x, property := hx } = y\n⊢ ∃ x, (x, y) ∈ graph f\n[PROOFSTEP]\nuse x\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\ny : F\nx : E\nhx : x ∈ f.domain\nh : ↑f { val := x, property := hx } = y\n⊢ (x, y) ∈ graph f\n[PROOFSTEP]\nrw [← h]\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\ny : F\nx : E\nhx : x ∈ f.domain\nh : ↑f { val := x, property := hx } = y\n⊢ (x, ↑f { val := x, property := hx }) ∈ graph f\n[PROOFSTEP]\nexact f.mem_graph ⟨x, hx⟩\n[GOAL]\ncase mpr\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\ny : F\nh : ∃ x, (x, y) ∈ graph f\n⊢ y ∈ range ↑f\n[PROOFSTEP]\ncases' h with x h\n[GOAL]\ncase mpr.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\ny : F\nx : E\nh : (x, y) ∈ graph f\n⊢ y ∈ range ↑f\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_graph_iff] at h \n[GOAL]\ncase mpr.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\ny : F\nx : E\nh : ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).fst ∧ ↑f y_1 = (x, y).snd\n⊢ y ∈ range ↑f\n[PROOFSTEP]\ncases' h with x h\n[GOAL]\ncase mpr.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\ny : F\nx✝ : E\nx : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x = (x✝, y).fst ∧ ↑f x = (x✝, y).snd\n⊢ y ∈ range ↑f\n[PROOFSTEP]\nrw [Set.mem_range]\n[GOAL]\ncase mpr.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\ny : F\nx✝ : E\nx : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x = (x✝, y).fst ∧ ↑f x = (x✝, y).snd\n⊢ ∃ y_1, ↑f y_1 = y\n[PROOFSTEP]\nuse x\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\ny : F\nx✝ : E\nx : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x = (x✝, y).fst ∧ ↑f x = (x✝, y).snd\n⊢ ↑f x = y\n[PROOFSTEP]\nsimp only at h \n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf : E →ₗ.[R] F\ny : F\nx✝ : E\nx : { x // x ∈ f.domain }\nh : ↑x = x✝ ∧ ↑f x = y\n⊢ ↑f x = y\n[PROOFSTEP]\nrw [h.2]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f = graph g\nx : E\n⊢ x ∈ f.domain ↔ x ∈ g.domain\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [mem_domain_iff, h]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f ≤ graph g\n⊢ f ≤ g\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase left\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f ≤ graph g\n⊢ f.domain ≤ g.domain\n[PROOFSTEP]\nintro x hx\n[GOAL]\ncase left\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f ≤ graph g\nx : E\nhx : x ∈ f.domain\n⊢ x ∈ g.domain\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_domain_iff] at hx ⊢\n[GOAL]\ncase left\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f ≤ graph g\nx : E\nhx : ∃ y, (x, y) ∈ graph f\n⊢ ∃ y, (x, y) ∈ graph g\n[PROOFSTEP]\ncases' hx with y hx\n[GOAL]\ncase left.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f ≤ graph g\nx : E\ny : F\nhx : (x, y) ∈ graph f\n⊢ ∃ y, (x, y) ∈ graph g\n[PROOFSTEP]\nuse y\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f ≤ graph g\nx : E\ny : F\nhx : (x, y) ∈ graph f\n⊢ (x, y) ∈ graph g\n[PROOFSTEP]\nexact h hx\n[GOAL]\ncase right\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f ≤ graph g\n⊢ ∀ ⦃x : { x // x ∈ f.domain }⦄ ⦃y : { x // x ∈ g.domain }⦄, ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨x, hx⟩ ⟨y, hy⟩ hxy\n[GOAL]\ncase right.mk.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f ≤ graph g\nx : E\nhx : x ∈ f.domain\ny : E\nhy : y ∈ g.domain\nhxy : ↑{ val := x, property := hx } = ↑{ val := y, property := hy }\n⊢ ↑f { val := x, property := hx } = ↑g { val := y, property := hy }\n[PROOFSTEP]\nrw [image_iff]\n[GOAL]\ncase right.mk.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f ≤ graph g\nx : E\nhx : x ∈ f.domain\ny : E\nhy : y ∈ g.domain\nhxy : ↑{ val := x, property := hx } = ↑{ val := y, property := hy }\n⊢ (y, ↑f { val := x, property := hx }) ∈ graph g\n[PROOFSTEP]\nrefine' h _\n[GOAL]\ncase right.mk.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f ≤ graph g\nx : E\nhx : x ∈ f.domain\ny : E\nhy : y ∈ g.domain\nhxy : ↑{ val := x, property := hx } = ↑{ val := y, property := hy }\n⊢ (y, ↑f { val := x, property := hx }) ∈ graph f\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Submodule.coe_mk] at hxy \n[GOAL]\ncase right.mk.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f ≤ graph g\nx : E\nhx : x ∈ f.domain\ny : E\nhy : y ∈ g.domain\nhxy : x = y\n⊢ (y, ↑f { val := x, property := hx }) ∈ graph f\n[PROOFSTEP]\nrw [hxy] at hx \n[GOAL]\ncase right.mk.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f ≤ graph g\nx : E\nhx✝ : x ∈ f.domain\ny : E\nhx : y ∈ f.domain\nhy : y ∈ g.domain\nhxy : x = y\n⊢ (y, ↑f { val := x, property := hx✝ }) ∈ graph f\n[PROOFSTEP]\nrw [← image_iff hx]\n[GOAL]\ncase right.mk.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f ≤ graph g\nx : E\nhx✝ : x ∈ f.domain\ny : E\nhx : y ∈ f.domain\nhy : y ∈ g.domain\nhxy : x = y\n⊢ ↑f { val := x, property := hx✝ } = ↑f { val := y, property := hx }\n[PROOFSTEP]\nsimp [hxy]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : f ≤ g\n⊢ graph f ≤ graph g\n[PROOFSTEP]\nintro x hx\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : f ≤ g\nx : E × F\nhx : x ∈ graph f\n⊢ x ∈ graph g\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_graph_iff] at hx ⊢\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : f ≤ g\nx : E × F\nhx : ∃ y, ↑y = x.fst ∧ ↑f y = x.snd\n⊢ ∃ y, ↑y = x.fst ∧ ↑g y = x.snd\n[PROOFSTEP]\ncases' hx with y hx\n[GOAL]\ncase intro\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : f ≤ g\nx : E × F\ny : { x // x ∈ f.domain }\nhx : ↑y = x.fst ∧ ↑f y = x.snd\n⊢ ∃ y, ↑y = x.fst ∧ ↑g y = x.snd\n[PROOFSTEP]\nuse⟨y, h.1 y.2⟩\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : f ≤ g\nx : E × F\ny : { x // x ∈ f.domain }\nhx : ↑y = x.fst ∧ ↑f y = x.snd\n⊢ ↑{ val := ↑y, property := (_ : ↑y ∈ g.domain) } = x.fst ∧ ↑g { val := ↑y, property := (_ : ↑y ∈ g.domain) } = x.snd\n[PROOFSTEP]\nsimp only [hx, Submodule.coe_mk, eq_self_iff_true, true_and_iff]\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : f ≤ g\nx : E × F\ny : { x // x ∈ f.domain }\nhx : ↑y = x.fst ∧ ↑f y = x.snd\n⊢ ↑g { val := x.fst, property := (_ : (fun x => x ∈ g.domain) x.fst) } = x.snd\n[PROOFSTEP]\nconvert hx.2 using 1\n[GOAL]\ncase h.e'_2\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : f ≤ g\nx : E × F\ny : { x // x ∈ f.domain }\nhx : ↑y = x.fst ∧ ↑f y = x.snd\n⊢ ↑g { val := x.fst, property := (_ : (fun x => x ∈ g.domain) x.fst) } = ↑f y\n[PROOFSTEP]\nrefine' (h.2 _).symm\n[GOAL]\ncase h.e'_2\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : f ≤ g\nx : E × F\ny : { x // x ∈ f.domain }\nhx : ↑y = x.fst ∧ ↑f y = x.snd\n⊢ ↑y = ↑{ val := x.fst, property := (_ : (fun x => x ∈ g.domain) x.fst) }\n[PROOFSTEP]\nsimp only [hx.1, Submodule.coe_mk]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f = graph g\n⊢ f = g\n[PROOFSTEP]\nrefine ext (Submodule.ext fun x => ?_) (fun x y h' => ?_)\n[GOAL]\ncase refine_1\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f = graph g\nx : E\n⊢ x ∈ f.domain ↔ x ∈ g.domain\ncase refine_2\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f = graph g\nx : { x // x ∈ f.domain }\ny : { x // x ∈ g.domain }\nh' : ↑x = ↑y\n⊢ ↑f x = ↑g y\n[PROOFSTEP]\nexact mem_domain_iff_of_eq_graph h\n[GOAL]\ncase refine_2\nR : Type u_1\ninst✝⁹ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁸ : AddCommGroup E\ninst✝⁷ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝⁶ : AddCommGroup F\ninst✝⁵ : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝⁴ : AddCommGroup G\ninst✝³ : Module R G\nM : Type u_5\ninst✝² : Monoid M\ninst✝¹ : DistribMulAction M F\ninst✝ : SMulCommClass R M F\ny✝ : M\nf g : E →ₗ.[R] F\nh : graph f = graph g\nx : { x // x ∈ f.domain }\ny : { x // x ∈ g.domain }\nh' : ↑x = ↑y\n⊢ ↑f x = ↑g y\n[PROOFSTEP]\nexact (le_of_le_graph h.le).2 h'\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\na : E\nha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\n⊢ ∃! b, (a, b) ∈ g\n[PROOFSTEP]\nrefine' exists_unique_of_exists_of_unique _ _\n[GOAL]\ncase refine'_1\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\na : E\nha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\n⊢ ∃ x, (a, x) ∈ g\n[PROOFSTEP]\nconvert ha\n[GOAL]\ncase a\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\na : E\nha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\n⊢ (∃ x, (a, x) ∈ g) ↔ a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\na : E\nha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\n⊢ ∀ (y₁ y₂ : F), (a, y₁) ∈ g → (a, y₂) ∈ g → y₁ = y₂\n[PROOFSTEP]\nintro y₁ y₂ hy₁ hy₂\n[GOAL]\ncase refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\na : E\nha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\ny₁ y₂ : F\nhy₁ : (a, y₁) ∈ g\nhy₂ : (a, y₂) ∈ g\n⊢ y₁ = y₂\n[PROOFSTEP]\nhave hy : ((0 : E), y₁ - y₂) ∈ g := by\n  convert g.sub_mem hy₁ hy₂\n  exact (sub_self _).symm\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\na : E\nha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\ny₁ y₂ : F\nhy₁ : (a, y₁) ∈ g\nhy₂ : (a, y₂) ∈ g\n⊢ (0, y₁ - y₂) ∈ g\n[PROOFSTEP]\nconvert g.sub_mem hy₁ hy₂\n[GOAL]\ncase h.e'_4.h.e'_3\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\na : E\nha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\ny₁ y₂ : F\nhy₁ : (a, y₁) ∈ g\nhy₂ : (a, y₂) ∈ g\n⊢ 0 = ((a, y₁) - (a, y₂)).fst\n[PROOFSTEP]\nexact (sub_self _).symm\n[GOAL]\ncase refine'_2\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\na : E\nha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\ny₁ y₂ : F\nhy₁ : (a, y₁) ∈ g\nhy₂ : (a, y₂) ∈ g\nhy : (0, y₁ - y₂) ∈ g\n⊢ y₁ = y₂\n[PROOFSTEP]\nexact sub_eq_zero.mp (hg hy (by simp))\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\na : E\nha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\ny₁ y₂ : F\nhy₁ : (a, y₁) ∈ g\nhy₂ : (a, y₂) ∈ g\nhy : (0, y₁ - y₂) ∈ g\n⊢ (0, y₁ - y₂).fst = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nv w : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }\n⊢ (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) (v + w) =\n    (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) v +\n      (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) w\n[PROOFSTEP]\nhave hadd := (g.map (LinearMap.fst R E F)).add_mem v.2 w.2\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nv w : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }\nhadd : ↑v + ↑w ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\n⊢ (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) (v + w) =\n    (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) v +\n      (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) w\n[PROOFSTEP]\nhave hvw := valFromGraph_mem hg hadd\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nv w : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }\nhadd : ↑v + ↑w ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\nhvw : (↑v + ↑w, valFromGraph hg hadd) ∈ g\n⊢ (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) (v + w) =\n    (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) v +\n      (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) w\n[PROOFSTEP]\nhave hvw' := g.add_mem (valFromGraph_mem hg v.2) (valFromGraph_mem hg w.2)\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nv w : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }\nhadd : ↑v + ↑w ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\nhvw : (↑v + ↑w, valFromGraph hg hadd) ∈ g\nhvw' :\n  (↑v, valFromGraph hg (_ : ↑v ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) +\n      (↑w, valFromGraph hg (_ : ↑w ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) ∈\n    g\n⊢ (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) (v + w) =\n    (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) v +\n      (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) w\n[PROOFSTEP]\nrw [Prod.mk_add_mk] at hvw' \n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nv w : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }\nhadd : ↑v + ↑w ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\nhvw : (↑v + ↑w, valFromGraph hg hadd) ∈ g\nhvw' :\n  (↑v + ↑w,\n      valFromGraph hg (_ : ↑v ∈ map (LinearMap.fst R E F) g) + valFromGraph hg (_ : ↑w ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) ∈\n    g\n⊢ (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) (v + w) =\n    (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) v +\n      (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) w\n[PROOFSTEP]\nexact (existsUnique_from_graph (@hg) hadd).unique hvw hvw'\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\na : R\nv : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }\n⊢ AddHom.toFun\n      { toFun := fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g),\n        map_add' :=\n          (_ :\n            ∀ (v w : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }),\n              (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) (v + w) =\n                (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) v +\n                  (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) w) }\n      (a • v) =\n    ↑(RingHom.id R) a •\n      AddHom.toFun\n        { toFun := fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g),\n          map_add' :=\n            (_ :\n              ∀ (v w : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }),\n                (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) (v + w) =\n                  (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) v +\n                    (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) w) }\n        v\n[PROOFSTEP]\nhave hsmul := (g.map (LinearMap.fst R E F)).smul_mem a v.2\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\na : R\nv : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }\nhsmul : a • ↑v ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\n⊢ AddHom.toFun\n      { toFun := fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g),\n        map_add' :=\n          (_ :\n            ∀ (v w : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }),\n              (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) (v + w) =\n                (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) v +\n                  (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) w) }\n      (a • v) =\n    ↑(RingHom.id R) a •\n      AddHom.toFun\n        { toFun := fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g),\n          map_add' :=\n            (_ :\n              ∀ (v w : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }),\n                (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) (v + w) =\n                  (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) v +\n                    (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) w) }\n        v\n[PROOFSTEP]\nhave hav := valFromGraph_mem hg hsmul\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\na : R\nv : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }\nhsmul : a • ↑v ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\nhav : (a • ↑v, valFromGraph hg hsmul) ∈ g\n⊢ AddHom.toFun\n      { toFun := fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g),\n        map_add' :=\n          (_ :\n            ∀ (v w : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }),\n              (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) (v + w) =\n                (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) v +\n                  (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) w) }\n      (a • v) =\n    ↑(RingHom.id R) a •\n      AddHom.toFun\n        { toFun := fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g),\n          map_add' :=\n            (_ :\n              ∀ (v w : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }),\n                (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) (v + w) =\n                  (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) v +\n                    (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) w) }\n        v\n[PROOFSTEP]\nhave hav' := g.smul_mem a (valFromGraph_mem hg v.2)\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\na : R\nv : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }\nhsmul : a • ↑v ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\nhav : (a • ↑v, valFromGraph hg hsmul) ∈ g\nhav' : a • (↑v, valFromGraph hg (_ : ↑v ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) ∈ g\n⊢ AddHom.toFun\n      { toFun := fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g),\n        map_add' :=\n          (_ :\n            ∀ (v w : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }),\n              (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) (v + w) =\n                (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) v +\n                  (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) w) }\n      (a • v) =\n    ↑(RingHom.id R) a •\n      AddHom.toFun\n        { toFun := fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g),\n          map_add' :=\n            (_ :\n              ∀ (v w : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }),\n                (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) (v + w) =\n                  (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) v +\n                    (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) w) }\n        v\n[PROOFSTEP]\nrw [Prod.smul_mk] at hav' \n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\na : R\nv : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }\nhsmul : a • ↑v ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\nhav : (a • ↑v, valFromGraph hg hsmul) ∈ g\nhav' : (a • ↑v, a • valFromGraph hg (_ : ↑v ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) ∈ g\n⊢ AddHom.toFun\n      { toFun := fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g),\n        map_add' :=\n          (_ :\n            ∀ (v w : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }),\n              (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) (v + w) =\n                (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) v +\n                  (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) w) }\n      (a • v) =\n    ↑(RingHom.id R) a •\n      AddHom.toFun\n        { toFun := fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g),\n          map_add' :=\n            (_ :\n              ∀ (v w : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }),\n                (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) (v + w) =\n                  (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) v +\n                    (fun x => valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) w) }\n        v\n[PROOFSTEP]\nexact (existsUnique_from_graph (@hg) hsmul).unique hav hav'\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }\n⊢ ↑(toLinearPMap g) x = valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)\n[PROOFSTEP]\nclassical\nchange (if hg : _ then g.toLinearPMapAux hg else 0) x = _\nrw [dif_pos]\n· rfl\n· exact hg\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }\n⊢ ↑(toLinearPMap g) x = valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)\n[PROOFSTEP]\nchange (if hg : _ then g.toLinearPMapAux hg else 0) x = _\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }\n⊢ ↑(if hg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0 then toLinearPMapAux g hg else 0) x =\n    valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)\n[PROOFSTEP]\nrw [dif_pos]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }\n⊢ ↑(toLinearPMapAux g ?hc) x = valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase hc\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }\n⊢ ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\n[PROOFSTEP]\nexact hg\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }\n⊢ (↑x, ↑(toLinearPMap g) x) ∈ g\n[PROOFSTEP]\nrw [toLinearPMap_apply_aux hg]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx : { x // x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g }\n⊢ (↑x, valFromGraph hg (_ : ↑x ∈ map (LinearMap.fst R E F) g)) ∈ g\n[PROOFSTEP]\nexact valFromGraph_mem hg x.2\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\n⊢ LinearPMap.graph (toLinearPMap g) = g\n[PROOFSTEP]\next x\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx : E × F\n⊢ x ∈ LinearPMap.graph (toLinearPMap g) ↔ x ∈ g\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase h.mp\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx : E × F\n⊢ x ∈ LinearPMap.graph (toLinearPMap g) → x ∈ g\n[PROOFSTEP]\nintro hx\n[GOAL]\ncase h.mpr\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx : E × F\n⊢ x ∈ g → x ∈ LinearPMap.graph (toLinearPMap g)\n[PROOFSTEP]\nintro hx\n[GOAL]\ncase h.mp\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx : E × F\nhx : x ∈ LinearPMap.graph (toLinearPMap g)\n⊢ x ∈ g\n[PROOFSTEP]\nrw [LinearPMap.mem_graph_iff] at hx \n[GOAL]\ncase h.mp\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx : E × F\nhx : ∃ y, ↑y = x.fst ∧ ↑(toLinearPMap g) y = x.snd\n⊢ x ∈ g\n[PROOFSTEP]\nrcases hx with ⟨y, hx1, hx2⟩\n[GOAL]\ncase h.mp.intro.intro\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx : E × F\ny : { x // x ∈ (toLinearPMap g).domain }\nhx1 : ↑y = x.fst\nhx2 : ↑(toLinearPMap g) y = x.snd\n⊢ x ∈ g\n[PROOFSTEP]\nconvert g.mem_graph_toLinearPMap hg y using 1\n[GOAL]\ncase h.e'_4\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx : E × F\ny : { x // x ∈ (toLinearPMap g).domain }\nhx1 : ↑y = x.fst\nhx2 : ↑(toLinearPMap g) y = x.snd\n⊢ x = (↑y, ↑(toLinearPMap g) y)\n[PROOFSTEP]\nexact Prod.ext hx1.symm hx2.symm\n[GOAL]\ncase h.mpr\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx : E × F\nhx : x ∈ g\n⊢ x ∈ LinearPMap.graph (toLinearPMap g)\n[PROOFSTEP]\nrw [LinearPMap.mem_graph_iff]\n[GOAL]\ncase h.mpr\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx : E × F\nhx : x ∈ g\n⊢ ∃ y, ↑y = x.fst ∧ ↑(toLinearPMap g) y = x.snd\n[PROOFSTEP]\ncases' x with x_fst x_snd\n[GOAL]\ncase h.mpr.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx_fst : E\nx_snd : F\nhx : (x_fst, x_snd) ∈ g\n⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).fst ∧ ↑(toLinearPMap g) y = (x_fst, x_snd).snd\n[PROOFSTEP]\nhave hx_fst : x_fst ∈ g.map (LinearMap.fst R E F) :=\n  by\n  simp only [mem_map, LinearMap.fst_apply, Prod.exists, exists_and_right, exists_eq_right]\n  exact ⟨x_snd, hx⟩\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx_fst : E\nx_snd : F\nhx : (x_fst, x_snd) ∈ g\n⊢ x_fst ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mem_map, LinearMap.fst_apply, Prod.exists, exists_and_right, exists_eq_right]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx_fst : E\nx_snd : F\nhx : (x_fst, x_snd) ∈ g\n⊢ ∃ x, (x_fst, x) ∈ g\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨x_snd, hx⟩\n[GOAL]\ncase h.mpr.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx_fst : E\nx_snd : F\nhx : (x_fst, x_snd) ∈ g\nhx_fst : x_fst ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\n⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).fst ∧ ↑(toLinearPMap g) y = (x_fst, x_snd).snd\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨⟨x_fst, hx_fst⟩, Subtype.coe_mk x_fst hx_fst, _⟩\n[GOAL]\ncase h.mpr.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx_fst : E\nx_snd : F\nhx : (x_fst, x_snd) ∈ g\nhx_fst : x_fst ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\n⊢ ↑(toLinearPMap g) { val := x_fst, property := hx_fst } = (x_fst, x_snd).snd\n[PROOFSTEP]\nrw [toLinearPMap_apply_aux hg]\n[GOAL]\ncase h.mpr.mk\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\nx_fst : E\nx_snd : F\nhx : (x_fst, x_snd) ∈ g\nhx_fst : x_fst ∈ map (LinearMap.fst R E F) g\n⊢ valFromGraph hg (_ : ↑{ val := x_fst, property := hx_fst } ∈ map (LinearMap.fst R E F) g) = (x_fst, x_snd).snd\n[PROOFSTEP]\nexact (existsUnique_from_graph (@hg) hx_fst).unique (valFromGraph_mem hg hx_fst) hx\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\ng : Submodule R (E × F)\nhg : ∀ (x : E × F), x ∈ g → x.fst = 0 → x.snd = 0\n⊢ LinearMap.range (toLinearPMap g).toFun = map (LinearMap.snd R E F) g\n[PROOFSTEP]\nrwa [← LinearPMap.graph_map_snd_eq_range, toLinearPMap_graph_eq]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\n⊢ (inverse f).domain = LinearMap.range f.toFun\n[PROOFSTEP]\nrw [inverse, Submodule.toLinearPMap_domain, ← graph_map_snd_eq_range, ← LinearEquiv.fst_comp_prodComm,\n  Submodule.map_comp]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\n⊢ Submodule.map (LinearMap.fst R F E) (Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) (graph f)) =\n    Submodule.map (LinearMap.fst R F E) (Submodule.map (↑(LinearEquiv.prodComm R E F)) (graph f))\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nhf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥\nx : F × E\nhv : x ∈ Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) (graph f)\nhv' : x.fst = 0\n⊢ x.snd = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Submodule.mem_map, mem_graph_iff, Subtype.exists, exists_and_left, exists_eq_left,\n  LinearEquiv.prodComm_apply, Prod.exists, Prod.swap_prod_mk] at hv \n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nhf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥\nx : F × E\nhv' : x.fst = 0\nhv : ∃ a b, (∃ h, ↑f { val := a, property := (_ : (a, b).fst ∈ f.domain) } = b) ∧ (b, a) = x\n⊢ x.snd = 0\n[PROOFSTEP]\nrcases hv with ⟨a, b, ⟨ha, h1⟩, ⟨h2, h3⟩⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.refl\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nhf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥\na : E\nb : F\nha : a ∈ f.domain\nh1 : ↑f { val := a, property := (_ : (a, b).fst ∈ f.domain) } = b\nhv' : (b, a).fst = 0\n⊢ (b, a).snd = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only at hv' ⊢\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.refl\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nhf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥\na : E\nb : F\nha : a ∈ f.domain\nh1 : ↑f { val := a, property := (_ : (a, b).fst ∈ f.domain) } = b\nhv' : b = 0\n⊢ a = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [hv'] at h1 \n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.refl\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nhf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥\na : E\nb : F\nha : a ∈ f.domain\nh1 : ↑f { val := a, property := (_ : (a, 0).fst ∈ f.domain) } = 0\nhv' : b = 0\n⊢ a = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [LinearMap.ker_eq_bot'] at hf \n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.refl\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nhf : ∀ (m : { x // x ∈ f.domain }), ↑f.toFun m = 0 → m = 0\na : E\nb : F\nha : a ∈ f.domain\nh1 : ↑f { val := a, property := (_ : (a, 0).fst ∈ f.domain) } = 0\nhv' : b = 0\n⊢ a = 0\n[PROOFSTEP]\nspecialize hf ⟨a, ha⟩ h1\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.refl\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\na : E\nb : F\nha : a ∈ f.domain\nh1 : ↑f { val := a, property := (_ : (a, 0).fst ∈ f.domain) } = 0\nhv' : b = 0\nhf : { val := a, property := ha } = 0\n⊢ a = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Submodule.mk_eq_zero] at hf \n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.refl\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\na : E\nb : F\nha : a ∈ f.domain\nh1 : ↑f { val := a, property := (_ : (a, 0).fst ∈ f.domain) } = 0\nhv' : b = 0\nhf : a = 0\n⊢ a = 0\n[PROOFSTEP]\nexact hf\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nhf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥\n⊢ graph (inverse f) = Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) (graph f)\n[PROOFSTEP]\nrw [inverse, Submodule.toLinearPMap_graph_eq _ (mem_inverse_graph_snd_eq_zero hf)]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nhf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥\n⊢ LinearMap.range (inverse f).toFun = f.domain\n[PROOFSTEP]\nrw [inverse, Submodule.toLinearPMap_range _ (mem_inverse_graph_snd_eq_zero hf), ← graph_map_fst_eq_domain, ←\n  LinearEquiv.snd_comp_prodComm, Submodule.map_comp]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nhf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥\n⊢ Submodule.map (LinearMap.snd R F E) (Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) (graph f)) =\n    Submodule.map (LinearMap.snd R F E) (Submodule.map (↑(LinearEquiv.prodComm R E F)) (graph f))\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nhf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥\nx : { x // x ∈ f.domain }\n⊢ (↑f x, ↑x) ∈ graph (inverse f)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [inverse_graph hf, Submodule.mem_map, mem_graph_iff, Subtype.exists, exists_and_left, exists_eq_left,\n  LinearEquiv.prodComm_apply, Prod.exists, Prod.swap_prod_mk, Prod.mk.injEq]\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nhf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥\nx : { x // x ∈ f.domain }\n⊢ ∃ a b, (∃ h, ↑f { val := a, property := (_ : (a, b).fst ∈ f.domain) } = b) ∧ b = ↑f x ∧ a = ↑x\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨(x : E), f x, ⟨x.2, Eq.refl _⟩, Eq.refl _, Eq.refl _⟩\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nhf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥\ny : { x // x ∈ (inverse f).domain }\nx : { x // x ∈ f.domain }\nhxy : ↑f x = ↑y\n⊢ ↑(inverse f) y = ↑x\n[PROOFSTEP]\nhave := mem_inverse_graph hf x\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nhf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥\ny : { x // x ∈ (inverse f).domain }\nx : { x // x ∈ f.domain }\nhxy : ↑f x = ↑y\nthis : (↑f x, ↑x) ∈ graph (inverse f)\n⊢ ↑(inverse f) y = ↑x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mem_graph_iff, Subtype.exists, exists_and_left, exists_eq_left] at this \n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nhf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥\ny : { x // x ∈ (inverse f).domain }\nx : { x // x ∈ f.domain }\nhxy : ↑f x = ↑y\nthis : ∃ x_1, ↑(inverse f) { val := ↑f x, property := (_ : ↑f x ∈ (inverse f).domain) } = ↑x\n⊢ ↑(inverse f) y = ↑x\n[PROOFSTEP]\nrcases this with ⟨hx, h⟩\n[GOAL]\ncase intro\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nhf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥\ny : { x // x ∈ (inverse f).domain }\nx : { x // x ∈ f.domain }\nhxy : ↑f x = ↑y\nhx : ↑f x ∈ (inverse f).domain\nh : ↑(inverse f) { val := ↑f x, property := (_ : ↑f x ∈ (inverse f).domain) } = ↑x\n⊢ ↑(inverse f) y = ↑x\n[PROOFSTEP]\nrw [← h]\n[GOAL]\ncase intro\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nhf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥\ny : { x // x ∈ (inverse f).domain }\nx : { x // x ∈ f.domain }\nhxy : ↑f x = ↑y\nhx : ↑f x ∈ (inverse f).domain\nh : ↑(inverse f) { val := ↑f x, property := (_ : ↑f x ∈ (inverse f).domain) } = ↑x\n⊢ ↑(inverse f) y = ↑(inverse f) { val := ↑f x, property := (_ : ↑f x ∈ (inverse f).domain) }\n[PROOFSTEP]\ncongr\n[GOAL]\ncase intro.e_a\nR : Type u_1\ninst✝⁶ : Ring R\nE : Type u_2\ninst✝⁵ : AddCommGroup E\ninst✝⁴ : Module R E\nF : Type u_3\ninst✝³ : AddCommGroup F\ninst✝² : Module R F\nG : Type u_4\ninst✝¹ : AddCommGroup G\ninst✝ : Module R G\nf : E →ₗ.[R] F\nhf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥\ny : { x // x ∈ (inverse f).domain }\nx : { x // x ∈ f.domain }\nhxy : ↑f x = ↑y\nhx : ↑f x ∈ (inverse f).domain\nh : ↑(inverse f) { val := ↑f x, property := (_ : ↑f x ∈ (inverse f).domain) } = ↑x\n⊢ y = { val := ↑f x, property := (_ : ↑f x ∈ (inverse f).domain) }\n[PROOFSTEP]\nsimp only [hxy, Subtype.coe_eta]\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.LinearAlgebra.LinearPMap", "llama_tokens": 101722, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nt : Type u → Type u → Type u\ninst✝⁵ : Bitraversable t\nβ✝ : Type u\nF G : Type u → Type u\ninst✝⁴ : Applicative F\ninst✝³ : Applicative G\ninst✝² : LawfulBitraversable t\ninst✝¹ : LawfulApplicative F\ninst✝ : LawfulApplicative G\nα₀ α₁ α₂ β : Type u\nf : α₀ → F α₁\nf' : α₁ → G α₂\nx : t α₀ β\n⊢ Comp.mk (tfst f' <$> tfst f x) = tfst (Comp.mk ∘ map f' ∘ f) x\n[PROOFSTEP]\nrw [← comp_bitraverse]\n[GOAL]\nt : Type u → Type u → Type u\ninst✝⁵ : Bitraversable t\nβ✝ : Type u\nF G : Type u → Type u\ninst✝⁴ : Applicative F\ninst✝³ : Applicative G\ninst✝² : LawfulBitraversable t\ninst✝¹ : LawfulApplicative F\ninst✝ : LawfulApplicative G\nα₀ α₁ α₂ β : Type u\nf : α₀ → F α₁\nf' : α₁ → G α₂\nx : t α₀ β\n⊢ bitraverse (Comp.mk ∘ map f' ∘ f) (Comp.mk ∘ map pure ∘ pure) x = tfst (Comp.mk ∘ map f' ∘ f) x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Function.comp, tfst, map_pure, Pure.pure]\n[GOAL]\nt : Type u → Type u → Type u\ninst✝⁵ : Bitraversable t\nβ : Type u\nF G : Type u → Type u\ninst✝⁴ : Applicative F\ninst✝³ : Applicative G\ninst✝² : LawfulBitraversable t\ninst✝¹ : LawfulApplicative F\ninst✝ : LawfulApplicative G\nα₀ α₁ β₀ β₁ : Type u\nf : α₀ → F α₁\nf' : β₀ → G β₁\nx : t α₀ β₀\n⊢ Comp.mk (tfst f <$> tsnd f' x) = bitraverse (Comp.mk ∘ pure ∘ f) (Comp.mk ∘ map pure ∘ f') x\n[PROOFSTEP]\nrw [← comp_bitraverse]\n[GOAL]\nt : Type u → Type u → Type u\ninst✝⁵ : Bitraversable t\nβ : Type u\nF G : Type u → Type u\ninst✝⁴ : Applicative F\ninst✝³ : Applicative G\ninst✝² : LawfulBitraversable t\ninst✝¹ : LawfulApplicative F\ninst✝ : LawfulApplicative G\nα₀ α₁ β₀ β₁ : Type u\nf : α₀ → F α₁\nf' : β₀ → G β₁\nx : t α₀ β₀\n⊢ bitraverse (Comp.mk ∘ map f ∘ pure) (Comp.mk ∘ map pure ∘ f') x =\n    bitraverse (Comp.mk ∘ pure ∘ f) (Comp.mk ∘ map pure ∘ f') x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Function.comp, map_pure]\n[GOAL]\nt : Type u → Type u → Type u\ninst✝⁵ : Bitraversable t\nβ : Type u\nF G : Type u → Type u\ninst✝⁴ : Applicative F\ninst✝³ : Applicative G\ninst✝² : LawfulBitraversable t\ninst✝¹ : LawfulApplicative F\ninst✝ : LawfulApplicative G\nα₀ α₁ β₀ β₁ : Type u\nf : α₀ → F α₁\nf' : β₀ → G β₁\nx : t α₀ β₀\n⊢ Comp.mk (tsnd f' <$> tfst f x) = bitraverse (Comp.mk ∘ map pure ∘ f) (Comp.mk ∘ pure ∘ f') x\n[PROOFSTEP]\nrw [← comp_bitraverse]\n[GOAL]\nt : Type u → Type u → Type u\ninst✝⁵ : Bitraversable t\nβ : Type u\nF G : Type u → Type u\ninst✝⁴ : Applicative F\ninst✝³ : Applicative G\ninst✝² : LawfulBitraversable t\ninst✝¹ : LawfulApplicative F\ninst✝ : LawfulApplicative G\nα₀ α₁ β₀ β₁ : Type u\nf : α₀ → F α₁\nf' : β₀ → G β₁\nx : t α₀ β₀\n⊢ bitraverse (Comp.mk ∘ map pure ∘ f) (Comp.mk ∘ map f' ∘ pure) x =\n    bitraverse (Comp.mk ∘ map pure ∘ f) (Comp.mk ∘ pure ∘ f') x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Function.comp, map_pure]\n[GOAL]\nt : Type u → Type u → Type u\ninst✝⁵ : Bitraversable t\nβ : Type u\nF G : Type u → Type u\ninst✝⁴ : Applicative F\ninst✝³ : Applicative G\ninst✝² : LawfulBitraversable t\ninst✝¹ : LawfulApplicative F\ninst✝ : LawfulApplicative G\nα β₀ β₁ β₂ : Type u\ng : β₀ → F β₁\ng' : β₁ → G β₂\nx : t α β₀\n⊢ Comp.mk (tsnd g' <$> tsnd g x) = tsnd (Comp.mk ∘ map g' ∘ g) x\n[PROOFSTEP]\nrw [← comp_bitraverse]\n[GOAL]\nt : Type u → Type u → Type u\ninst✝⁵ : Bitraversable t\nβ : Type u\nF G : Type u → Type u\ninst✝⁴ : Applicative F\ninst✝³ : Applicative G\ninst✝² : LawfulBitraversable t\ninst✝¹ : LawfulApplicative F\ninst✝ : LawfulApplicative G\nα β₀ β₁ β₂ : Type u\ng : β₀ → F β₁\ng' : β₁ → G β₂\nx : t α β₀\n⊢ bitraverse (Comp.mk ∘ map pure ∘ pure) (Comp.mk ∘ map g' ∘ g) x = tsnd (Comp.mk ∘ map g' ∘ g) x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Function.comp, map_pure]\n[GOAL]\nt : Type u → Type u → Type u\ninst✝⁵ : Bitraversable t\nβ : Type u\nF G : Type u → Type u\ninst✝⁴ : Applicative F\ninst✝³ : Applicative G\ninst✝² : LawfulBitraversable t\ninst✝¹ : LawfulApplicative F\ninst✝ : LawfulApplicative G\nα β₀ β₁ β₂ : Type u\ng : β₀ → F β₁\ng' : β₁ → G β₂\nx : t α β₀\n⊢ bitraverse (fun x => Comp.mk (pure (pure x))) (fun x => Comp.mk (g' <$> g x)) x =\n    tsnd (fun x => Comp.mk (g' <$> g x)) x\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nt : Type u → Type u → Type u\ninst✝⁵ : Bitraversable t\nβ✝ : Type u\nF G : Type u → Type u\ninst✝⁴ : Applicative F\ninst✝³ : Applicative G\ninst✝² : LawfulBitraversable t\ninst✝¹ : LawfulApplicative F\ninst✝ : LawfulApplicative G\nα α' β : Type u\nf : α → α'\nx : t α β\n⊢ tfst (pure ∘ f) x = pure (fst f x)\n[PROOFSTEP]\napply bitraverse_eq_bimap_id\n[GOAL]\nt : Type u → Type u → Type u\ninst✝⁵ : Bitraversable t\nβ✝ : Type u\nF G : Type u → Type u\ninst✝⁴ : Applicative F\ninst✝³ : Applicative G\ninst✝² : LawfulBitraversable t\ninst✝¹ : LawfulApplicative F\ninst✝ : LawfulApplicative G\nα β β' : Type u\nf : β → β'\nx : t α β\n⊢ tsnd (pure ∘ f) x = pure (snd f x)\n[PROOFSTEP]\napply bitraverse_eq_bimap_id\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.Control.Bitraversable.Lemmas", "llama_tokens": 2268, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. YES\n2. NO", "lm_q1_score": 0.546738151984614, "lm_q2_score": 0.4416730056646256, "lm_q1q2_score": 0.24147948289856733}}
{"text": "[GOAL]\nα : Type u_1\ninst✝ : DecidableEq α\na : α\nas : List α\nx : α\n⊢ x ∈ List.insert a as ↔ x ∈ a :: as\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\ninst✝ : DecidableEq α\nas bs : List α\nx : α\n⊢ x ∈ as ∪ bs ↔ x ∈ as ++ bs\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b : α\nas : List α\n⊢ b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\n[PROOFSTEP]\ninduction as with\n| nil => simp [remove]\n| cons a' as ih =>\n  simp [remove]\n  cases Decidable.em (a = a') with\n  | inl h =>\n    simp only [if_pos h, ih]\n    exact ⟨fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨Or.inr h1, h2⟩, fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨Or.resolve_left h1 (h ▸ h2), h2⟩⟩\n  | inr h =>\n    simp [if_neg h, ih]\n    constructor\n    {focus\n        intro h'\n        cases h' with\n        | inl h₁ => exact ⟨Or.inl h₁, h₁.symm ▸ (Ne.symm h)⟩\n        | inr h₁ => exact ⟨Or.inr h₁.1, h₁.2⟩\n    }\n    intro ⟨h1, h2⟩\n    cases h1 with\n    | inl h1' => exact Or.inl h1'\n    | inr h1' => exact Or.inr ⟨h1', h2⟩\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b : α\nas : List α\n⊢ b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\n[PROOFSTEP]\ninduction as with\n| nil => simp [remove]\n| cons a' as ih =>\n  simp [remove]\n  cases Decidable.em (a = a') with\n  | inl h =>\n    simp only [if_pos h, ih]\n    exact ⟨fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨Or.inr h1, h2⟩, fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨Or.resolve_left h1 (h ▸ h2), h2⟩⟩\n  | inr h =>\n    simp [if_neg h, ih]\n    constructor\n    {focus\n        intro h'\n        cases h' with\n        | inl h₁ => exact ⟨Or.inl h₁, h₁.symm ▸ (Ne.symm h)⟩\n        | inr h₁ => exact ⟨Or.inr h₁.1, h₁.2⟩\n    }\n    intro ⟨h1, h2⟩\n    cases h1 with\n    | inl h1' => exact Or.inl h1'\n    | inr h1' => exact Or.inr ⟨h1', h2⟩\n[GOAL]\ncase nil\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b : α\n⊢ b ∈ remove a [] ↔ b ∈ [] ∧ b ≠ a\n[PROOFSTEP]\n\n| nil => simp [remove]\n[GOAL]\ncase nil\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b : α\n⊢ b ∈ remove a [] ↔ b ∈ [] ∧ b ≠ a\n[PROOFSTEP]\nsimp [remove]\n[GOAL]\ncase cons\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\n⊢ b ∈ remove a (a' :: as) ↔ b ∈ a' :: as ∧ b ≠ a\n[PROOFSTEP]\n\n| cons a' as ih =>\n  simp [remove]\n  cases Decidable.em (a = a') with\n  | inl h =>\n    simp only [if_pos h, ih]\n    exact ⟨fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨Or.inr h1, h2⟩, fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨Or.resolve_left h1 (h ▸ h2), h2⟩⟩\n  | inr h =>\n    simp [if_neg h, ih]\n    constructor\n    {focus\n        intro h'\n        cases h' with\n        | inl h₁ => exact ⟨Or.inl h₁, h₁.symm ▸ (Ne.symm h)⟩\n        | inr h₁ => exact ⟨Or.inr h₁.1, h₁.2⟩\n    }\n    intro ⟨h1, h2⟩\n    cases h1 with\n    | inl h1' => exact Or.inl h1'\n    | inr h1' => exact Or.inr ⟨h1', h2⟩\n[GOAL]\ncase cons\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\n⊢ b ∈ remove a (a' :: as) ↔ b ∈ a' :: as ∧ b ≠ a\n[PROOFSTEP]\nsimp [remove]\n[GOAL]\ncase cons\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\n⊢ (b ∈ if a = a' then remove a as else a' :: remove a as) ↔ (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (a = a') with\n| inl h =>\n  simp only [if_pos h, ih]\n  exact ⟨fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨Or.inr h1, h2⟩, fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨Or.resolve_left h1 (h ▸ h2), h2⟩⟩\n| inr h =>\n  simp [if_neg h, ih]\n  constructor\n  {focus\n      intro h'\n      cases h' with\n      | inl h₁ => exact ⟨Or.inl h₁, h₁.symm ▸ (Ne.symm h)⟩\n      | inr h₁ => exact ⟨Or.inr h₁.1, h₁.2⟩\n  }\n  intro ⟨h1, h2⟩\n  cases h1 with\n  | inl h1' => exact Or.inl h1'\n  | inr h1' => exact Or.inr ⟨h1', h2⟩\n[GOAL]\ncase cons\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nx✝ : a = a' ∨ ¬a = a'\n⊢ (b ∈ if a = a' then remove a as else a' :: remove a as) ↔ (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (a = a') with\n| inl h =>\n  simp only [if_pos h, ih]\n  exact ⟨fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨Or.inr h1, h2⟩, fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨Or.resolve_left h1 (h ▸ h2), h2⟩⟩\n| inr h =>\n  simp [if_neg h, ih]\n  constructor\n  {focus\n      intro h'\n      cases h' with\n      | inl h₁ => exact ⟨Or.inl h₁, h₁.symm ▸ (Ne.symm h)⟩\n      | inr h₁ => exact ⟨Or.inr h₁.1, h₁.2⟩\n  }\n  intro ⟨h1, h2⟩\n  cases h1 with\n  | inl h1' => exact Or.inl h1'\n  | inr h1' => exact Or.inr ⟨h1', h2⟩\n[GOAL]\ncase cons.inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : a = a'\n⊢ (b ∈ if a = a' then remove a as else a' :: remove a as) ↔ (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\n\n| inl h =>\n  simp only [if_pos h, ih]\n  exact ⟨fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨Or.inr h1, h2⟩, fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨Or.resolve_left h1 (h ▸ h2), h2⟩⟩\n[GOAL]\ncase cons.inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : a = a'\n⊢ (b ∈ if a = a' then remove a as else a' :: remove a as) ↔ (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\nsimp only [if_pos h, ih]\n[GOAL]\ncase cons.inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : a = a'\n⊢ b ∈ as ∧ b ≠ a ↔ (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨Or.inr h1, h2⟩, fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨Or.resolve_left h1 (h ▸ h2), h2⟩⟩\n[GOAL]\ncase cons.inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\n⊢ (b ∈ if a = a' then remove a as else a' :: remove a as) ↔ (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\n\n| inr h =>\n  simp [if_neg h, ih]\n  constructor\n  {focus\n      intro h'\n      cases h' with\n      | inl h₁ => exact ⟨Or.inl h₁, h₁.symm ▸ (Ne.symm h)⟩\n      | inr h₁ => exact ⟨Or.inr h₁.1, h₁.2⟩\n  }\n  intro ⟨h1, h2⟩\n  cases h1 with\n  | inl h1' => exact Or.inl h1'\n  | inr h1' => exact Or.inr ⟨h1', h2⟩\n[GOAL]\ncase cons.inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\n⊢ (b ∈ if a = a' then remove a as else a' :: remove a as) ↔ (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\nsimp [if_neg h, ih]\n[GOAL]\ncase cons.inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\n⊢ b = a' ∨ b ∈ as ∧ ¬b = a ↔ (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase cons.inr.mp\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\n⊢ b = a' ∨ b ∈ as ∧ ¬b = a → (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a\ncase cons.inr.mpr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\n⊢ (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a → b = a' ∨ b ∈ as ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\n{focus\n    intro h'\n    cases h' with\n    | inl h₁ => exact ⟨Or.inl h₁, h₁.symm ▸ (Ne.symm h)⟩\n    | inr h₁ => exact ⟨Or.inr h₁.1, h₁.2⟩\n}\n[GOAL]\ncase cons.inr.mp\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\n⊢ b = a' ∨ b ∈ as ∧ ¬b = a → (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\nfocus\n  intro h'\n  cases h' with\n  | inl h₁ => exact ⟨Or.inl h₁, h₁.symm ▸ (Ne.symm h)⟩\n  | inr h₁ => exact ⟨Or.inr h₁.1, h₁.2⟩\n[GOAL]\ncase cons.inr.mp\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\n⊢ b = a' ∨ b ∈ as ∧ ¬b = a → (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\nintro h'\n[GOAL]\ncase cons.inr.mp\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\nh' : b = a' ∨ b ∈ as ∧ ¬b = a\n⊢ (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\ncases h' with\n| inl h₁ => exact ⟨Or.inl h₁, h₁.symm ▸ (Ne.symm h)⟩\n| inr h₁ => exact ⟨Or.inr h₁.1, h₁.2⟩\n[GOAL]\ncase cons.inr.mp\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\nh' : b = a' ∨ b ∈ as ∧ ¬b = a\n⊢ (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\ncases h' with\n| inl h₁ => exact ⟨Or.inl h₁, h₁.symm ▸ (Ne.symm h)⟩\n| inr h₁ => exact ⟨Or.inr h₁.1, h₁.2⟩\n[GOAL]\ncase cons.inr.mp.inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\nh₁ : b = a'\n⊢ (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\n\n| inl h₁ => exact ⟨Or.inl h₁, h₁.symm ▸ (Ne.symm h)⟩\n[GOAL]\ncase cons.inr.mp.inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\nh₁ : b = a'\n⊢ (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨Or.inl h₁, h₁.symm ▸ (Ne.symm h)⟩\n[GOAL]\ncase cons.inr.mp.inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\nh₁ : b ∈ as ∧ ¬b = a\n⊢ (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\n\n| inr h₁ => exact ⟨Or.inr h₁.1, h₁.2⟩\n[GOAL]\ncase cons.inr.mp.inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\nh₁ : b ∈ as ∧ ¬b = a\n⊢ (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨Or.inr h₁.1, h₁.2⟩\n[GOAL]\ncase cons.inr.mpr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\n⊢ (b = a' ∨ b ∈ as) ∧ ¬b = a → b = a' ∨ b ∈ as ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\nintro ⟨h1, h2⟩\n[GOAL]\ncase cons.inr.mpr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\nh1 : b = a' ∨ b ∈ as\nh2 : ¬b = a\n⊢ b = a' ∨ b ∈ as ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\ncases h1 with\n| inl h1' => exact Or.inl h1'\n| inr h1' => exact Or.inr ⟨h1', h2⟩\n[GOAL]\ncase cons.inr.mpr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\nh1 : b = a' ∨ b ∈ as\nh2 : ¬b = a\n⊢ b = a' ∨ b ∈ as ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\ncases h1 with\n| inl h1' => exact Or.inl h1'\n| inr h1' => exact Or.inr ⟨h1', h2⟩\n[GOAL]\ncase cons.inr.mpr.inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\nh2 : ¬b = a\nh1' : b = a'\n⊢ b = a' ∨ b ∈ as ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\n\n| inl h1' => exact Or.inl h1'\n[GOAL]\ncase cons.inr.mpr.inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\nh2 : ¬b = a\nh1' : b = a'\n⊢ b = a' ∨ b ∈ as ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\nexact Or.inl h1'\n[GOAL]\ncase cons.inr.mpr.inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\nh2 : ¬b = a\nh1' : b ∈ as\n⊢ b = a' ∨ b ∈ as ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\n\n| inr h1' => exact Or.inr ⟨h1', h2⟩\n[GOAL]\ncase cons.inr.mpr.inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.8926\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b a' : α\nas : List α\nih : b ∈ remove a as ↔ b ∈ as ∧ b ≠ a\nh : ¬a = a'\nh2 : ¬b = a\nh1' : b ∈ as\n⊢ b = a' ∨ b ∈ as ∧ ¬b = a\n[PROOFSTEP]\nexact Or.inr ⟨h1', h2⟩\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.19025\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nx✝ : ¬a ∈ []\n⊢ remove a [] = []\n[PROOFSTEP]\nsimp [remove]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.19025\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : ¬a ∈ a' :: as\n⊢ remove a (a' :: as) = a' :: as\n[PROOFSTEP]\nhave h1 : a ≠ a' := fun h' ↦ h (by rw [h']; apply mem_cons_self)\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.19025\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : ¬a ∈ a' :: as\nh' : a = a'\n⊢ a ∈ a' :: as\n[PROOFSTEP]\nrw [h']\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.19025\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : ¬a ∈ a' :: as\nh' : a = a'\n⊢ a' ∈ a' :: as\n[PROOFSTEP]\napply mem_cons_self\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.19025\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : ¬a ∈ a' :: as\nh1 : a ≠ a'\n⊢ remove a (a' :: as) = a' :: as\n[PROOFSTEP]\nhave h2 : a ∉ as := fun h' ↦ h (mem_cons_of_mem _ h')\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.19025\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : ¬a ∈ a' :: as\nh1 : a ≠ a'\nh2 : ¬a ∈ as\n⊢ remove a (a' :: as) = a' :: as\n[PROOFSTEP]\nsimp [remove, h1, remove_eq_of_not_mem h2]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.19685\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b : α\nas : List α\nh : b ∈ remove a as\n⊢ b ∈ as\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_remove_iff] at h \n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.19685\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na b : α\nas : List α\nh : b ∈ as ∧ b ≠ a\n⊢ b ∈ as\n[PROOFSTEP]\nexact\n  h.1\n    /- card -/\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.20767\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas : List α\nh : a ∈ as\n⊢ card (a :: as) = card as\n[PROOFSTEP]\nsimp [card, h]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.21944\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas : List α\nh : ¬a ∈ as\n⊢ card (a :: as) = card as + 1\n[PROOFSTEP]\nsimp [card, h]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.22769\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas : List α\n⊢ card as ≤ card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (a ∈ as) with\n| inl h => simp [h, Nat.le_refl]\n| inr h => simp [h, Nat.le_succ]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.22769\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas : List α\nx✝ : a ∈ as ∨ ¬a ∈ as\n⊢ card as ≤ card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (a ∈ as) with\n| inl h => simp [h, Nat.le_refl]\n| inr h => simp [h, Nat.le_succ]\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.22769\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas : List α\nh : a ∈ as\n⊢ card as ≤ card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\n\n| inl h => simp [h, Nat.le_refl]\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.22769\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas : List α\nh : a ∈ as\n⊢ card as ≤ card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\nsimp [h, Nat.le_refl]\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.22769\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas : List α\nh : ¬a ∈ as\n⊢ card as ≤ card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\n\n| inr h => simp [h, Nat.le_succ]\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.22769\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas : List α\nh : ¬a ∈ as\n⊢ card as ≤ card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\nsimp [h, Nat.le_succ]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.25043\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas : List α\nh : a ∈ as\n⊢ card (List.insert a as) = card as\n[PROOFSTEP]\nsimp [h]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.25854\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas : List α\nh : ¬a ∈ as\n⊢ card (List.insert a as) = card as + 1\n[PROOFSTEP]\nsimp [h]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\n⊢ card (a' :: as) = card (remove a (a' :: as)) + 1\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (a = a') with\n| inl h' =>\n  simp [remove, if_pos h']\n  cases Decidable.em (a ∈ as) with\n  | inl h'' =>\n    have h₃ : a' ∈ as := h' ▸ h''\n    simp [card_remove_of_mem h'', h₃]\n  | inr h'' =>\n    have h₃ : a' ∉ as := h' ▸ h''\n    simp [card_cons_of_not_mem h₃, remove_eq_of_not_mem h'']\n| inr h' =>\n  have h₃ : a ∈ as := (mem_cons.1 h).resolve_left h'\n  simp [remove, h']\n  cases Decidable.em (a' ∈ as) with\n  | inl h'' =>\n    have : a' ∈ remove a as := by rw [mem_remove_iff]; exact ⟨h'', Ne.symm h'⟩\n    simp [h'', this, card_remove_of_mem h₃]\n  | inr h'' =>\n    have : a' ∉ remove a as := fun h ↦ h'' (mem_of_mem_remove h)\n    simp [h'', this, card_remove_of_mem h₃]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nx✝ : a = a' ∨ ¬a = a'\n⊢ card (a' :: as) = card (remove a (a' :: as)) + 1\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (a = a') with\n| inl h' =>\n  simp [remove, if_pos h']\n  cases Decidable.em (a ∈ as) with\n  | inl h'' =>\n    have h₃ : a' ∈ as := h' ▸ h''\n    simp [card_remove_of_mem h'', h₃]\n  | inr h'' =>\n    have h₃ : a' ∉ as := h' ▸ h''\n    simp [card_cons_of_not_mem h₃, remove_eq_of_not_mem h'']\n| inr h' =>\n  have h₃ : a ∈ as := (mem_cons.1 h).resolve_left h'\n  simp [remove, h']\n  cases Decidable.em (a' ∈ as) with\n  | inl h'' =>\n    have : a' ∈ remove a as := by rw [mem_remove_iff]; exact ⟨h'', Ne.symm h'⟩\n    simp [h'', this, card_remove_of_mem h₃]\n  | inr h'' =>\n    have : a' ∉ remove a as := fun h ↦ h'' (mem_of_mem_remove h)\n    simp [h'', this, card_remove_of_mem h₃]\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : a = a'\n⊢ card (a' :: as) = card (remove a (a' :: as)) + 1\n[PROOFSTEP]\n\n| inl h' =>\n  simp [remove, if_pos h']\n  cases Decidable.em (a ∈ as) with\n  | inl h'' =>\n    have h₃ : a' ∈ as := h' ▸ h''\n    simp [card_remove_of_mem h'', h₃]\n  | inr h'' =>\n    have h₃ : a' ∉ as := h' ▸ h''\n    simp [card_cons_of_not_mem h₃, remove_eq_of_not_mem h'']\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : a = a'\n⊢ card (a' :: as) = card (remove a (a' :: as)) + 1\n[PROOFSTEP]\nsimp [remove, if_pos h']\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : a = a'\n⊢ card (a' :: as) = card (remove a as) + 1\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (a ∈ as) with\n| inl h'' =>\n  have h₃ : a' ∈ as := h' ▸ h''\n  simp [card_remove_of_mem h'', h₃]\n| inr h'' =>\n  have h₃ : a' ∉ as := h' ▸ h''\n  simp [card_cons_of_not_mem h₃, remove_eq_of_not_mem h'']\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : a = a'\nx✝ : a ∈ as ∨ ¬a ∈ as\n⊢ card (a' :: as) = card (remove a as) + 1\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (a ∈ as) with\n| inl h'' =>\n  have h₃ : a' ∈ as := h' ▸ h''\n  simp [card_remove_of_mem h'', h₃]\n| inr h'' =>\n  have h₃ : a' ∉ as := h' ▸ h''\n  simp [card_cons_of_not_mem h₃, remove_eq_of_not_mem h'']\n[GOAL]\ncase inl.inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : a = a'\nh'' : a ∈ as\n⊢ card (a' :: as) = card (remove a as) + 1\n[PROOFSTEP]\n\n| inl h'' =>\n  have h₃ : a' ∈ as := h' ▸ h''\n  simp [card_remove_of_mem h'', h₃]\n[GOAL]\ncase inl.inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : a = a'\nh'' : a ∈ as\n⊢ card (a' :: as) = card (remove a as) + 1\n[PROOFSTEP]\nhave h₃ : a' ∈ as := h' ▸ h''\n[GOAL]\ncase inl.inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : a = a'\nh'' : a ∈ as\nh₃ : a' ∈ as\n⊢ card (a' :: as) = card (remove a as) + 1\n[PROOFSTEP]\nsimp [card_remove_of_mem h'', h₃]\n[GOAL]\ncase inl.inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : a = a'\nh'' : ¬a ∈ as\n⊢ card (a' :: as) = card (remove a as) + 1\n[PROOFSTEP]\n\n| inr h'' =>\n  have h₃ : a' ∉ as := h' ▸ h''\n  simp [card_cons_of_not_mem h₃, remove_eq_of_not_mem h'']\n[GOAL]\ncase inl.inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : a = a'\nh'' : ¬a ∈ as\n⊢ card (a' :: as) = card (remove a as) + 1\n[PROOFSTEP]\nhave h₃ : a' ∉ as := h' ▸ h''\n[GOAL]\ncase inl.inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : a = a'\nh'' : ¬a ∈ as\nh₃ : ¬a' ∈ as\n⊢ card (a' :: as) = card (remove a as) + 1\n[PROOFSTEP]\nsimp [card_cons_of_not_mem h₃, remove_eq_of_not_mem h'']\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : ¬a = a'\n⊢ card (a' :: as) = card (remove a (a' :: as)) + 1\n[PROOFSTEP]\n\n| inr h' =>\n  have h₃ : a ∈ as := (mem_cons.1 h).resolve_left h'\n  simp [remove, h']\n  cases Decidable.em (a' ∈ as) with\n  | inl h'' =>\n    have : a' ∈ remove a as := by rw [mem_remove_iff]; exact ⟨h'', Ne.symm h'⟩\n    simp [h'', this, card_remove_of_mem h₃]\n  | inr h'' =>\n    have : a' ∉ remove a as := fun h ↦ h'' (mem_of_mem_remove h)\n    simp [h'', this, card_remove_of_mem h₃]\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : ¬a = a'\n⊢ card (a' :: as) = card (remove a (a' :: as)) + 1\n[PROOFSTEP]\nhave h₃ : a ∈ as := (mem_cons.1 h).resolve_left h'\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : ¬a = a'\nh₃ : a ∈ as\n⊢ card (a' :: as) = card (remove a (a' :: as)) + 1\n[PROOFSTEP]\nsimp [remove, h']\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : ¬a = a'\nh₃ : a ∈ as\n⊢ card (a' :: as) = card (a' :: remove a as) + 1\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (a' ∈ as) with\n| inl h'' =>\n  have : a' ∈ remove a as := by rw [mem_remove_iff]; exact ⟨h'', Ne.symm h'⟩\n  simp [h'', this, card_remove_of_mem h₃]\n| inr h'' =>\n  have : a' ∉ remove a as := fun h ↦ h'' (mem_of_mem_remove h)\n  simp [h'', this, card_remove_of_mem h₃]\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : ¬a = a'\nh₃ : a ∈ as\nx✝ : a' ∈ as ∨ ¬a' ∈ as\n⊢ card (a' :: as) = card (a' :: remove a as) + 1\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (a' ∈ as) with\n| inl h'' =>\n  have : a' ∈ remove a as := by rw [mem_remove_iff]; exact ⟨h'', Ne.symm h'⟩\n  simp [h'', this, card_remove_of_mem h₃]\n| inr h'' =>\n  have : a' ∉ remove a as := fun h ↦ h'' (mem_of_mem_remove h)\n  simp [h'', this, card_remove_of_mem h₃]\n[GOAL]\ncase inr.inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : ¬a = a'\nh₃ : a ∈ as\nh'' : a' ∈ as\n⊢ card (a' :: as) = card (a' :: remove a as) + 1\n[PROOFSTEP]\n\n| inl h'' =>\n  have : a' ∈ remove a as := by rw [mem_remove_iff]; exact ⟨h'', Ne.symm h'⟩\n  simp [h'', this, card_remove_of_mem h₃]\n[GOAL]\ncase inr.inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : ¬a = a'\nh₃ : a ∈ as\nh'' : a' ∈ as\n⊢ card (a' :: as) = card (a' :: remove a as) + 1\n[PROOFSTEP]\nhave : a' ∈ remove a as := by rw [mem_remove_iff]; exact ⟨h'', Ne.symm h'⟩\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : ¬a = a'\nh₃ : a ∈ as\nh'' : a' ∈ as\n⊢ a' ∈ remove a as\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_remove_iff]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : ¬a = a'\nh₃ : a ∈ as\nh'' : a' ∈ as\n⊢ a' ∈ as ∧ a' ≠ a\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨h'', Ne.symm h'⟩\n[GOAL]\ncase inr.inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : ¬a = a'\nh₃ : a ∈ as\nh'' : a' ∈ as\nthis : a' ∈ remove a as\n⊢ card (a' :: as) = card (a' :: remove a as) + 1\n[PROOFSTEP]\nsimp [h'', this, card_remove_of_mem h₃]\n[GOAL]\ncase inr.inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : ¬a = a'\nh₃ : a ∈ as\nh'' : ¬a' ∈ as\n⊢ card (a' :: as) = card (a' :: remove a as) + 1\n[PROOFSTEP]\n\n| inr h'' =>\n  have : a' ∉ remove a as := fun h ↦ h'' (mem_of_mem_remove h)\n  simp [h'', this, card_remove_of_mem h₃]\n[GOAL]\ncase inr.inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : ¬a = a'\nh₃ : a ∈ as\nh'' : ¬a' ∈ as\n⊢ card (a' :: as) = card (a' :: remove a as) + 1\n[PROOFSTEP]\nhave : a' ∉ remove a as := fun h ↦ h'' (mem_of_mem_remove h)\n[GOAL]\ncase inr.inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.27827\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na a' : α\nas : List α\nh : a ∈ a' :: as\nh' : ¬a = a'\nh₃ : a ∈ as\nh'' : ¬a' ∈ as\nthis : ¬a' ∈ remove a as\n⊢ card (a' :: as) = card (a' :: remove a as) + 1\n[PROOFSTEP]\nsimp [h'', this, card_remove_of_mem h₃]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.43663\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nbs : List α\nx✝ : [] ⊆ bs\n⊢ card [] ≤ card bs\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.43663\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\nhsub : a :: as ⊆ bs\n⊢ card (a :: as) ≤ card bs\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (a ∈ as) with\n| inl h' =>\n  have hsub' : as ⊆ bs := fun _ xmem ↦ hsub (mem_cons_of_mem a xmem)\n  simp [h', card_subset_le hsub']\n| inr h' =>\n  have : a ∈ bs := hsub (Mem.head ..)\n  rw [card_cons_of_not_mem h', card_remove_of_mem this]\n  apply Nat.add_le_add_right\n  apply card_subset_le\n  intro x xmem\n  rw [mem_remove_iff]\n  exact ⟨hsub (mem_cons_of_mem _ xmem), fun h ↦ h' (h ▸ xmem)⟩\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.43663\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\nhsub : a :: as ⊆ bs\nx✝ : a ∈ as ∨ ¬a ∈ as\n⊢ card (a :: as) ≤ card bs\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (a ∈ as) with\n| inl h' =>\n  have hsub' : as ⊆ bs := fun _ xmem ↦ hsub (mem_cons_of_mem a xmem)\n  simp [h', card_subset_le hsub']\n| inr h' =>\n  have : a ∈ bs := hsub (Mem.head ..)\n  rw [card_cons_of_not_mem h', card_remove_of_mem this]\n  apply Nat.add_le_add_right\n  apply card_subset_le\n  intro x xmem\n  rw [mem_remove_iff]\n  exact ⟨hsub (mem_cons_of_mem _ xmem), fun h ↦ h' (h ▸ xmem)⟩\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.43663\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\nhsub : a :: as ⊆ bs\nh' : a ∈ as\n⊢ card (a :: as) ≤ card bs\n[PROOFSTEP]\n\n| inl h' =>\n  have hsub' : as ⊆ bs := fun _ xmem ↦ hsub (mem_cons_of_mem a xmem)\n  simp [h', card_subset_le hsub']\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.43663\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\nhsub : a :: as ⊆ bs\nh' : a ∈ as\n⊢ card (a :: as) ≤ card bs\n[PROOFSTEP]\nhave hsub' : as ⊆ bs := fun _ xmem ↦ hsub (mem_cons_of_mem a xmem)\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.43663\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\nhsub : a :: as ⊆ bs\nh' : a ∈ as\nhsub' : as ⊆ bs\n⊢ card (a :: as) ≤ card bs\n[PROOFSTEP]\nsimp [h', card_subset_le hsub']\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.43663\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\nhsub : a :: as ⊆ bs\nh' : ¬a ∈ as\n⊢ card (a :: as) ≤ card bs\n[PROOFSTEP]\n\n| inr h' =>\n  have : a ∈ bs := hsub (Mem.head ..)\n  rw [card_cons_of_not_mem h', card_remove_of_mem this]\n  apply Nat.add_le_add_right\n  apply card_subset_le\n  intro x xmem\n  rw [mem_remove_iff]\n  exact ⟨hsub (mem_cons_of_mem _ xmem), fun h ↦ h' (h ▸ xmem)⟩\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.43663\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\nhsub : a :: as ⊆ bs\nh' : ¬a ∈ as\n⊢ card (a :: as) ≤ card bs\n[PROOFSTEP]\nhave : a ∈ bs := hsub (Mem.head ..)\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.43663\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\nhsub : a :: as ⊆ bs\nh' : ¬a ∈ as\nthis : a ∈ bs\n⊢ card (a :: as) ≤ card bs\n[PROOFSTEP]\nrw [card_cons_of_not_mem h', card_remove_of_mem this]\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.43663\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\nhsub : a :: as ⊆ bs\nh' : ¬a ∈ as\nthis : a ∈ bs\n⊢ card as + 1 ≤ card (remove a bs) + 1\n[PROOFSTEP]\napply Nat.add_le_add_right\n[GOAL]\ncase inr.h\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.43663\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\nhsub : a :: as ⊆ bs\nh' : ¬a ∈ as\nthis : a ∈ bs\n⊢ card as ≤ card (remove a bs)\n[PROOFSTEP]\napply card_subset_le\n[GOAL]\ncase inr.h.a\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.43663\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\nhsub : a :: as ⊆ bs\nh' : ¬a ∈ as\nthis : a ∈ bs\n⊢ as ⊆ remove a bs\n[PROOFSTEP]\nintro x xmem\n[GOAL]\ncase inr.h.a\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.43663\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\nhsub : a :: as ⊆ bs\nh' : ¬a ∈ as\nthis : a ∈ bs\nx : α\nxmem : x ∈ as\n⊢ x ∈ remove a bs\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_remove_iff]\n[GOAL]\ncase inr.h.a\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.43663\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\nhsub : a :: as ⊆ bs\nh' : ¬a ∈ as\nthis : a ∈ bs\nx : α\nxmem : x ∈ as\n⊢ x ∈ bs ∧ x ≠ a\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨hsub (mem_cons_of_mem _ xmem), fun h ↦ h' (h ▸ xmem)⟩\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\nas : List α\n⊢ card (map f as) ≤ card as\n[PROOFSTEP]\ninduction as with\n| nil => simp\n| cons a as ih =>\n  cases Decidable.em (f a ∈ map f as) with\n  | inl h =>\n    rw [map, card_cons_of_mem h]\n    apply Nat.le_trans ih (card_le_card_cons ..)\n  | inr h =>\n    have : a ∉ as := fun h'' ↦ h (mem_map_of_mem _ h'')\n    rw [map, card_cons_of_not_mem h, card_cons_of_not_mem this]\n    exact Nat.add_le_add_right ih _\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\nas : List α\n⊢ card (map f as) ≤ card as\n[PROOFSTEP]\ninduction as with\n| nil => simp\n| cons a as ih =>\n  cases Decidable.em (f a ∈ map f as) with\n  | inl h =>\n    rw [map, card_cons_of_mem h]\n    apply Nat.le_trans ih (card_le_card_cons ..)\n  | inr h =>\n    have : a ∉ as := fun h'' ↦ h (mem_map_of_mem _ h'')\n    rw [map, card_cons_of_not_mem h, card_cons_of_not_mem this]\n    exact Nat.add_le_add_right ih _\n[GOAL]\ncase nil\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\n⊢ card (map f []) ≤ card []\n[PROOFSTEP]\n\n| nil => simp\n[GOAL]\ncase nil\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\n⊢ card (map f []) ≤ card []\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase cons\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : card (map f as) ≤ card as\n⊢ card (map f (a :: as)) ≤ card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\n\n| cons a as ih =>\n  cases Decidable.em (f a ∈ map f as) with\n  | inl h =>\n    rw [map, card_cons_of_mem h]\n    apply Nat.le_trans ih (card_le_card_cons ..)\n  | inr h =>\n    have : a ∉ as := fun h'' ↦ h (mem_map_of_mem _ h'')\n    rw [map, card_cons_of_not_mem h, card_cons_of_not_mem this]\n    exact Nat.add_le_add_right ih _\n[GOAL]\ncase cons\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : card (map f as) ≤ card as\n⊢ card (map f (a :: as)) ≤ card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (f a ∈ map f as) with\n| inl h =>\n  rw [map, card_cons_of_mem h]\n  apply Nat.le_trans ih (card_le_card_cons ..)\n| inr h =>\n  have : a ∉ as := fun h'' ↦ h (mem_map_of_mem _ h'')\n  rw [map, card_cons_of_not_mem h, card_cons_of_not_mem this]\n  exact Nat.add_le_add_right ih _\n[GOAL]\ncase cons\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : card (map f as) ≤ card as\nx✝ : f a ∈ map f as ∨ ¬f a ∈ map f as\n⊢ card (map f (a :: as)) ≤ card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (f a ∈ map f as) with\n| inl h =>\n  rw [map, card_cons_of_mem h]\n  apply Nat.le_trans ih (card_le_card_cons ..)\n| inr h =>\n  have : a ∉ as := fun h'' ↦ h (mem_map_of_mem _ h'')\n  rw [map, card_cons_of_not_mem h, card_cons_of_not_mem this]\n  exact Nat.add_le_add_right ih _\n[GOAL]\ncase cons.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : card (map f as) ≤ card as\nh : f a ∈ map f as\n⊢ card (map f (a :: as)) ≤ card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\n\n| inl h =>\n  rw [map, card_cons_of_mem h]\n  apply Nat.le_trans ih (card_le_card_cons ..)\n[GOAL]\ncase cons.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : card (map f as) ≤ card as\nh : f a ∈ map f as\n⊢ card (map f (a :: as)) ≤ card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\nrw [map, card_cons_of_mem h]\n[GOAL]\ncase cons.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : card (map f as) ≤ card as\nh : f a ∈ map f as\n⊢ card (map f as) ≤ card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\napply Nat.le_trans ih (card_le_card_cons ..)\n[GOAL]\ncase cons.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : card (map f as) ≤ card as\nh : ¬f a ∈ map f as\n⊢ card (map f (a :: as)) ≤ card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\n\n| inr h =>\n  have : a ∉ as := fun h'' ↦ h (mem_map_of_mem _ h'')\n  rw [map, card_cons_of_not_mem h, card_cons_of_not_mem this]\n  exact Nat.add_le_add_right ih _\n[GOAL]\ncase cons.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : card (map f as) ≤ card as\nh : ¬f a ∈ map f as\n⊢ card (map f (a :: as)) ≤ card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\nhave : a ∉ as := fun h'' ↦ h (mem_map_of_mem _ h'')\n[GOAL]\ncase cons.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : card (map f as) ≤ card as\nh : ¬f a ∈ map f as\nthis : ¬a ∈ as\n⊢ card (map f (a :: as)) ≤ card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\nrw [map, card_cons_of_not_mem h, card_cons_of_not_mem this]\n[GOAL]\ncase cons.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : card (map f as) ≤ card as\nh : ¬f a ∈ map f as\nthis : ¬a ∈ as\n⊢ card (map f as) + 1 ≤ card as + 1\n[PROOFSTEP]\nexact Nat.add_le_add_right ih _\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\nas : List α\n⊢ inj_on f as → card (map f as) = card as\n[PROOFSTEP]\ninduction as with\n| nil => simp\n| cons a as ih =>\n  cases Decidable.em (f a ∈ map f as) with\n  | inl h =>\n    intro inj_on'\n    cases (exists_of_mem_map h) with\n    | intro x hx =>\n      have : x = a := inj_on' (mem_cons_of_mem _ hx.1) (mem_cons_self ..) hx.2\n      have h1 : a ∈ as := this ▸ hx.1\n      have h2 : inj_on f as := inj_on_of_subset inj_on' (subset_cons _ _)\n      rw [map, card_cons_of_mem h, ih h2, card_cons_of_mem h1]\n  | inr h =>\n    intro inj_on'\n    have h1 : a ∉ as := fun h'' ↦ h (mem_map_of_mem _ h'')\n    have h2 : inj_on f as := inj_on_of_subset inj_on' (subset_cons _ _)\n    rw [map, card_cons_of_not_mem h, card_cons_of_not_mem h1, ih h2]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\nas : List α\n⊢ inj_on f as → card (map f as) = card as\n[PROOFSTEP]\ninduction as with\n| nil => simp\n| cons a as ih =>\n  cases Decidable.em (f a ∈ map f as) with\n  | inl h =>\n    intro inj_on'\n    cases (exists_of_mem_map h) with\n    | intro x hx =>\n      have : x = a := inj_on' (mem_cons_of_mem _ hx.1) (mem_cons_self ..) hx.2\n      have h1 : a ∈ as := this ▸ hx.1\n      have h2 : inj_on f as := inj_on_of_subset inj_on' (subset_cons _ _)\n      rw [map, card_cons_of_mem h, ih h2, card_cons_of_mem h1]\n  | inr h =>\n    intro inj_on'\n    have h1 : a ∉ as := fun h'' ↦ h (mem_map_of_mem _ h'')\n    have h2 : inj_on f as := inj_on_of_subset inj_on' (subset_cons _ _)\n    rw [map, card_cons_of_not_mem h, card_cons_of_not_mem h1, ih h2]\n[GOAL]\ncase nil\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\n⊢ inj_on f [] → card (map f []) = card []\n[PROOFSTEP]\n\n| nil => simp\n[GOAL]\ncase nil\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\n⊢ inj_on f [] → card (map f []) = card []\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase cons\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : inj_on f as → card (map f as) = card as\n⊢ inj_on f (a :: as) → card (map f (a :: as)) = card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\n\n| cons a as ih =>\n  cases Decidable.em (f a ∈ map f as) with\n  | inl h =>\n    intro inj_on'\n    cases (exists_of_mem_map h) with\n    | intro x hx =>\n      have : x = a := inj_on' (mem_cons_of_mem _ hx.1) (mem_cons_self ..) hx.2\n      have h1 : a ∈ as := this ▸ hx.1\n      have h2 : inj_on f as := inj_on_of_subset inj_on' (subset_cons _ _)\n      rw [map, card_cons_of_mem h, ih h2, card_cons_of_mem h1]\n  | inr h =>\n    intro inj_on'\n    have h1 : a ∉ as := fun h'' ↦ h (mem_map_of_mem _ h'')\n    have h2 : inj_on f as := inj_on_of_subset inj_on' (subset_cons _ _)\n    rw [map, card_cons_of_not_mem h, card_cons_of_not_mem h1, ih h2]\n[GOAL]\ncase cons\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : inj_on f as → card (map f as) = card as\n⊢ inj_on f (a :: as) → card (map f (a :: as)) = card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (f a ∈ map f as) with\n| inl h =>\n  intro inj_on'\n  cases (exists_of_mem_map h) with\n  | intro x hx =>\n    have : x = a := inj_on' (mem_cons_of_mem _ hx.1) (mem_cons_self ..) hx.2\n    have h1 : a ∈ as := this ▸ hx.1\n    have h2 : inj_on f as := inj_on_of_subset inj_on' (subset_cons _ _)\n    rw [map, card_cons_of_mem h, ih h2, card_cons_of_mem h1]\n| inr h =>\n  intro inj_on'\n  have h1 : a ∉ as := fun h'' ↦ h (mem_map_of_mem _ h'')\n  have h2 : inj_on f as := inj_on_of_subset inj_on' (subset_cons _ _)\n  rw [map, card_cons_of_not_mem h, card_cons_of_not_mem h1, ih h2]\n[GOAL]\ncase cons\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : inj_on f as → card (map f as) = card as\nx✝ : f a ∈ map f as ∨ ¬f a ∈ map f as\n⊢ inj_on f (a :: as) → card (map f (a :: as)) = card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (f a ∈ map f as) with\n| inl h =>\n  intro inj_on'\n  cases (exists_of_mem_map h) with\n  | intro x hx =>\n    have : x = a := inj_on' (mem_cons_of_mem _ hx.1) (mem_cons_self ..) hx.2\n    have h1 : a ∈ as := this ▸ hx.1\n    have h2 : inj_on f as := inj_on_of_subset inj_on' (subset_cons _ _)\n    rw [map, card_cons_of_mem h, ih h2, card_cons_of_mem h1]\n| inr h =>\n  intro inj_on'\n  have h1 : a ∉ as := fun h'' ↦ h (mem_map_of_mem _ h'')\n  have h2 : inj_on f as := inj_on_of_subset inj_on' (subset_cons _ _)\n  rw [map, card_cons_of_not_mem h, card_cons_of_not_mem h1, ih h2]\n[GOAL]\ncase cons.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : inj_on f as → card (map f as) = card as\nh : f a ∈ map f as\n⊢ inj_on f (a :: as) → card (map f (a :: as)) = card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\n\n| inl h =>\n  intro inj_on'\n  cases (exists_of_mem_map h) with\n  | intro x hx =>\n    have : x = a := inj_on' (mem_cons_of_mem _ hx.1) (mem_cons_self ..) hx.2\n    have h1 : a ∈ as := this ▸ hx.1\n    have h2 : inj_on f as := inj_on_of_subset inj_on' (subset_cons _ _)\n    rw [map, card_cons_of_mem h, ih h2, card_cons_of_mem h1]\n[GOAL]\ncase cons.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : inj_on f as → card (map f as) = card as\nh : f a ∈ map f as\n⊢ inj_on f (a :: as) → card (map f (a :: as)) = card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\nintro inj_on'\n[GOAL]\ncase cons.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : inj_on f as → card (map f as) = card as\nh : f a ∈ map f as\ninj_on' : inj_on f (a :: as)\n⊢ card (map f (a :: as)) = card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\ncases (exists_of_mem_map h) with\n| intro x hx =>\n  have : x = a := inj_on' (mem_cons_of_mem _ hx.1) (mem_cons_self ..) hx.2\n  have h1 : a ∈ as := this ▸ hx.1\n  have h2 : inj_on f as := inj_on_of_subset inj_on' (subset_cons _ _)\n  rw [map, card_cons_of_mem h, ih h2, card_cons_of_mem h1]\n[GOAL]\ncase cons.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : inj_on f as → card (map f as) = card as\nh : f a ∈ map f as\ninj_on' : inj_on f (a :: as)\nx✝ : ∃ a_1, a_1 ∈ as ∧ f a_1 = f a\n⊢ card (map f (a :: as)) = card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\ncases (exists_of_mem_map h) with\n| intro x hx =>\n  have : x = a := inj_on' (mem_cons_of_mem _ hx.1) (mem_cons_self ..) hx.2\n  have h1 : a ∈ as := this ▸ hx.1\n  have h2 : inj_on f as := inj_on_of_subset inj_on' (subset_cons _ _)\n  rw [map, card_cons_of_mem h, ih h2, card_cons_of_mem h1]\n[GOAL]\ncase cons.inl.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : inj_on f as → card (map f as) = card as\nh : f a ∈ map f as\ninj_on' : inj_on f (a :: as)\nx : α\nhx : x ∈ as ∧ f x = f a\n⊢ card (map f (a :: as)) = card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\n\n| intro x hx =>\n  have : x = a := inj_on' (mem_cons_of_mem _ hx.1) (mem_cons_self ..) hx.2\n  have h1 : a ∈ as := this ▸ hx.1\n  have h2 : inj_on f as := inj_on_of_subset inj_on' (subset_cons _ _)\n  rw [map, card_cons_of_mem h, ih h2, card_cons_of_mem h1]\n[GOAL]\ncase cons.inl.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : inj_on f as → card (map f as) = card as\nh : f a ∈ map f as\ninj_on' : inj_on f (a :: as)\nx : α\nhx : x ∈ as ∧ f x = f a\n⊢ card (map f (a :: as)) = card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\nhave : x = a := inj_on' (mem_cons_of_mem _ hx.1) (mem_cons_self ..) hx.2\n[GOAL]\ncase cons.inl.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : inj_on f as → card (map f as) = card as\nh : f a ∈ map f as\ninj_on' : inj_on f (a :: as)\nx : α\nhx : x ∈ as ∧ f x = f a\nthis : x = a\n⊢ card (map f (a :: as)) = card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\nhave h1 : a ∈ as := this ▸ hx.1\n[GOAL]\ncase cons.inl.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : inj_on f as → card (map f as) = card as\nh : f a ∈ map f as\ninj_on' : inj_on f (a :: as)\nx : α\nhx : x ∈ as ∧ f x = f a\nthis : x = a\nh1 : a ∈ as\n⊢ card (map f (a :: as)) = card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\nhave h2 : inj_on f as := inj_on_of_subset inj_on' (subset_cons _ _)\n[GOAL]\ncase cons.inl.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : inj_on f as → card (map f as) = card as\nh : f a ∈ map f as\ninj_on' : inj_on f (a :: as)\nx : α\nhx : x ∈ as ∧ f x = f a\nthis : x = a\nh1 : a ∈ as\nh2 : inj_on f as\n⊢ card (map f (a :: as)) = card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\nrw [map, card_cons_of_mem h, ih h2, card_cons_of_mem h1]\n[GOAL]\ncase cons.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : inj_on f as → card (map f as) = card as\nh : ¬f a ∈ map f as\n⊢ inj_on f (a :: as) → card (map f (a :: as)) = card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\n\n| inr h =>\n  intro inj_on'\n  have h1 : a ∉ as := fun h'' ↦ h (mem_map_of_mem _ h'')\n  have h2 : inj_on f as := inj_on_of_subset inj_on' (subset_cons _ _)\n  rw [map, card_cons_of_not_mem h, card_cons_of_not_mem h1, ih h2]\n[GOAL]\ncase cons.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : inj_on f as → card (map f as) = card as\nh : ¬f a ∈ map f as\n⊢ inj_on f (a :: as) → card (map f (a :: as)) = card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\nintro inj_on'\n[GOAL]\ncase cons.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : inj_on f as → card (map f as) = card as\nh : ¬f a ∈ map f as\ninj_on' : inj_on f (a :: as)\n⊢ card (map f (a :: as)) = card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\nhave h1 : a ∉ as := fun h'' ↦ h (mem_map_of_mem _ h'')\n[GOAL]\ncase cons.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : inj_on f as → card (map f as) = card as\nh : ¬f a ∈ map f as\ninj_on' : inj_on f (a :: as)\nh1 : ¬a ∈ as\n⊢ card (map f (a :: as)) = card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\nhave h2 : inj_on f as := inj_on_of_subset inj_on' (subset_cons _ _)\n[GOAL]\ncase cons.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nf : α → β\na : α\nas : List α\nih : inj_on f as → card (map f as) = card as\nh : ¬f a ∈ map f as\ninj_on' : inj_on f (a :: as)\nh1 : ¬a ∈ as\nh2 : inj_on f as\n⊢ card (map f (a :: as)) = card (a :: as)\n[PROOFSTEP]\nrw [map, card_cons_of_not_mem h, card_cons_of_not_mem h1, ih h2]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.48627\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nx✝¹ : List α\nx✝ : Disjoint [] x✝¹\n⊢ card ([] ++ x✝¹) = card [] + card x✝¹\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.48627\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\ndisj : Disjoint (a :: as) bs\n⊢ card (a :: as ++ bs) = card (a :: as) + card bs\n[PROOFSTEP]\nhave disj' : Disjoint as bs := fun _ h1 h2 ↦ disj (mem_cons_of_mem a h1) h2\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.48627\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\ndisj : Disjoint (a :: as) bs\ndisj' : Disjoint as bs\n⊢ card (a :: as ++ bs) = card (a :: as) + card bs\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (a ∈ as) with\n| inl h => simp [h, card_append_disjoint disj']\n| inr h =>\n  have h1 : a ∉ bs := fun h' ↦ disj (mem_cons_self a as) h'\n  simp [h, h1, card_append_disjoint disj']\n  rw [Nat.add_right_comm]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.48627\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\ndisj : Disjoint (a :: as) bs\ndisj' : Disjoint as bs\nx✝ : a ∈ as ∨ ¬a ∈ as\n⊢ card (a :: as ++ bs) = card (a :: as) + card bs\n[PROOFSTEP]\ncases Decidable.em (a ∈ as) with\n| inl h => simp [h, card_append_disjoint disj']\n| inr h =>\n  have h1 : a ∉ bs := fun h' ↦ disj (mem_cons_self a as) h'\n  simp [h, h1, card_append_disjoint disj']\n  rw [Nat.add_right_comm]\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.48627\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\ndisj : Disjoint (a :: as) bs\ndisj' : Disjoint as bs\nh : a ∈ as\n⊢ card (a :: as ++ bs) = card (a :: as) + card bs\n[PROOFSTEP]\n\n| inl h => simp [h, card_append_disjoint disj']\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.48627\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\ndisj : Disjoint (a :: as) bs\ndisj' : Disjoint as bs\nh : a ∈ as\n⊢ card (a :: as ++ bs) = card (a :: as) + card bs\n[PROOFSTEP]\nsimp [h, card_append_disjoint disj']\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.48627\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\ndisj : Disjoint (a :: as) bs\ndisj' : Disjoint as bs\nh : ¬a ∈ as\n⊢ card (a :: as ++ bs) = card (a :: as) + card bs\n[PROOFSTEP]\n\n| inr h =>\n  have h1 : a ∉ bs := fun h' ↦ disj (mem_cons_self a as) h'\n  simp [h, h1, card_append_disjoint disj']\n  rw [Nat.add_right_comm]\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.48627\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\ndisj : Disjoint (a :: as) bs\ndisj' : Disjoint as bs\nh : ¬a ∈ as\n⊢ card (a :: as ++ bs) = card (a :: as) + card bs\n[PROOFSTEP]\nhave h1 : a ∉ bs := fun h' ↦ disj (mem_cons_self a as) h'\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.48627\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\ndisj : Disjoint (a :: as) bs\ndisj' : Disjoint as bs\nh : ¬a ∈ as\nh1 : ¬a ∈ bs\n⊢ card (a :: as ++ bs) = card (a :: as) + card bs\n[PROOFSTEP]\nsimp [h, h1, card_append_disjoint disj']\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.48627\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\na : α\nas bs : List α\ndisj : Disjoint (a :: as) bs\ndisj' : Disjoint as bs\nh : ¬a ∈ as\nh1 : ¬a ∈ bs\n⊢ card as + card bs + 1 = card as + 1 + card bs\n[PROOFSTEP]\nrw [Nat.add_right_comm]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Sort ?u.54019\ninst✝¹ : DecidableEq α\ninst✝ : DecidableEq β\nas bs : List α\nh : Disjoint as bs\n⊢ card (as ∪ bs) = card as + card bs\n[PROOFSTEP]\nrw [card_eq_of_equiv (union_equiv_append as bs), card_append_disjoint h]\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.Data.List.Card", "llama_tokens": 24582, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ g : Set α → Filter β\n⊢ Filter.lift ⊤ g = g univ\n[PROOFSTEP]\nsimp [Filter.lift]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι✝ : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝\nι : Sort u_6\np : ι → Prop\ns✝ : ι → Set α\nf : Filter α\nhf : HasBasis f p s✝\nβ : ι → Type u_5\npg : (i : ι) → β i → Prop\nsg : (i : ι) → β i → Set γ\ng : Set α → Filter γ\nhg : ∀ (i : ι), HasBasis (g (s✝ i)) (pg i) (sg i)\ngm : Monotone g\ns : Set γ\n⊢ s ∈ Filter.lift f g ↔ ∃ i, p i ∧ ∃ x, pg i x ∧ sg i x ⊆ s\n[PROOFSTEP]\nrefine' (mem_biInf_of_directed _ ⟨univ, univ_sets _⟩).trans _\n[GOAL]\ncase refine'_1\nα : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι✝ : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝\nι : Sort u_6\np : ι → Prop\ns✝ : ι → Set α\nf : Filter α\nhf : HasBasis f p s✝\nβ : ι → Type u_5\npg : (i : ι) → β i → Prop\nsg : (i : ι) → β i → Set γ\ng : Set α → Filter γ\nhg : ∀ (i : ι), HasBasis (g (s✝ i)) (pg i) (sg i)\ngm : Monotone g\ns : Set γ\n⊢ DirectedOn ((fun s => g s) ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) f.sets\n[PROOFSTEP]\nintro t₁ ht₁ t₂ ht₂\n[GOAL]\ncase refine'_1\nα : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι✝ : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝\nι : Sort u_6\np : ι → Prop\ns✝ : ι → Set α\nf : Filter α\nhf : HasBasis f p s✝\nβ : ι → Type u_5\npg : (i : ι) → β i → Prop\nsg : (i : ι) → β i → Set γ\ng : Set α → Filter γ\nhg : ∀ (i : ι), HasBasis (g (s✝ i)) (pg i) (sg i)\ngm : Monotone g\ns : Set γ\nt₁ : Set α\nht₁ : t₁ ∈ f.sets\nt₂ : Set α\nht₂ : t₂ ∈ f.sets\n⊢ ∃ z, z ∈ f.sets ∧ ((fun s => g s) ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) t₁ z ∧ ((fun s => g s) ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) t₂ z\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨t₁ ∩ t₂, inter_mem ht₁ ht₂, gm <| inter_subset_left _ _, gm <| inter_subset_right _ _⟩\n[GOAL]\ncase refine'_2\nα : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι✝ : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝\nι : Sort u_6\np : ι → Prop\ns✝ : ι → Set α\nf : Filter α\nhf : HasBasis f p s✝\nβ : ι → Type u_5\npg : (i : ι) → β i → Prop\nsg : (i : ι) → β i → Set γ\ng : Set α → Filter γ\nhg : ∀ (i : ι), HasBasis (g (s✝ i)) (pg i) (sg i)\ngm : Monotone g\ns : Set γ\n⊢ (∃ i, i ∈ f.sets ∧ s ∈ g i) ↔ ∃ i, p i ∧ ∃ x, pg i x ∧ sg i x ⊆ s\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← (hg _).mem_iff]\n[GOAL]\ncase refine'_2\nα : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι✝ : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝\nι : Sort u_6\np : ι → Prop\ns✝ : ι → Set α\nf : Filter α\nhf : HasBasis f p s✝\nβ : ι → Type u_5\npg : (i : ι) → β i → Prop\nsg : (i : ι) → β i → Set γ\ng : Set α → Filter γ\nhg : ∀ (i : ι), HasBasis (g (s✝ i)) (pg i) (sg i)\ngm : Monotone g\ns : Set γ\n⊢ (∃ i, i ∈ f.sets ∧ s ∈ g i) ↔ ∃ i, p i ∧ s ∈ g (s✝ i)\n[PROOFSTEP]\nexact hf.exists_iff fun t₁ t₂ ht H => gm ht H\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι✝ : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝\nι : Type u_6\np : ι → Prop\ns : ι → Set α\nf : Filter α\nhf : HasBasis f p s\nβ : ι → Type u_5\npg : (i : ι) → β i → Prop\nsg : (i : ι) → β i → Set γ\ng : Set α → Filter γ\nhg : ∀ (i : ι), HasBasis (g (s i)) (pg i) (sg i)\ngm : Monotone g\n⊢ HasBasis (Filter.lift f g) (fun i => p i.fst ∧ pg i.fst i.snd) fun i => sg i.fst i.snd\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨fun t => (hf.mem_lift_iff hg gm).trans _⟩\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ✝ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι✝ : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝\nι : Type u_6\np : ι → Prop\ns : ι → Set α\nf : Filter α\nhf : HasBasis f p s\nβ : ι → Type u_5\npg : (i : ι) → β i → Prop\nsg : (i : ι) → β i → Set γ\ng : Set α → Filter γ\nhg : ∀ (i : ι), HasBasis (g (s i)) (pg i) (sg i)\ngm : Monotone g\nt : Set γ\n⊢ (∃ i, p i ∧ ∃ x, pg i x ∧ sg i x ⊆ t) ↔ ∃ i, (p i.fst ∧ pg i.fst i.snd) ∧ sg i.fst i.snd ⊆ t\n[PROOFSTEP]\nsimp [Sigma.exists, and_assoc, exists_and_left]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf f₁ f₂ : Filter α\ng g₁ g₂ : Set α → Filter β\nhg : Monotone g\ns : Set β\n⊢ (∃ i, i ∈ f ∧ ∃ x, x ∈ g i ∧ id x ⊆ s) ↔ ∃ t, t ∈ f ∧ s ∈ g t\n[PROOFSTEP]\nsimp only [id, exists_mem_subset_iff]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf f₁ f₂ : Filter α\ng g₁ g₂ : Set α → Filter β\nhg : Monotone g\n⊢ ⋂₀ {s | s ∈ Filter.lift f g} = ⋂ (s : Set α) (_ : s ∈ f), ⋂₀ {t | t ∈ g s}\n[PROOFSTEP]\nsimp only [sInter_eq_biInter, mem_setOf_eq, Filter.mem_sets, mem_lift_sets hg, iInter_exists, iInter_and,\n  @iInter_comm _ (Set β)]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf f₁ f₂ : Filter α\ng g₁ g₂ : Set α → Filter β\nm : γ → β\nl : Filter γ\n⊢ Tendsto m l (Filter.lift f g) ↔ ∀ (s : Set α), s ∈ f → Tendsto m l (g s)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Filter.lift, tendsto_iInf]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf f₁ f₂ : Filter α\ng g₁ g₂ : Set α → Filter β\nm : β → γ\nhg : Monotone g\nthis : Monotone (map m ∘ g)\ns : Set γ\n⊢ s ∈ map m (Filter.lift f g) ↔ s ∈ Filter.lift f (map m ∘ g)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mem_lift_sets hg, mem_lift_sets this, exists_prop, mem_map, Function.comp_apply]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf f₁ f₂ : Filter α\ng g₁ g₂ : Set α → Filter β\nm : γ → β\n⊢ comap m (Filter.lift f g) = Filter.lift f (comap m ∘ g)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Filter.lift, comap_iInf]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf f₁ f₂ : Filter α\ng g₁ g₂ : Set α → Filter β\nm : γ → β\n⊢ ⨅ (i : Set α) (_ : i ∈ f), comap m (g i) = ⨅ (s : Set α) (_ : s ∈ f), (comap m ∘ g) s\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf f₁ f₂ : Filter α\ng g₁ g₂ : Set α → Filter β\nhm : Monotone g\n⊢ NeBot (Filter.lift f g) ↔ ∀ (s : Set α), s ∈ f → NeBot (g s)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [neBot_iff, Ne.def, ← empty_mem_iff_bot, mem_lift_sets hm, not_exists, not_and]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β\nf : Filter α\ng h : Set α → Filter β\n⊢ (Filter.lift f fun x => g x ⊓ h x) = Filter.lift f g ⊓ Filter.lift f h\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Filter.lift, iInf_inf_eq]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng g₁ g₂ : Set α → Filter β\nf : Filter α\ns : Set α\nhs : s ∈ f\n⊢ f ≤ 𝓟 s\n[PROOFSTEP]\nsimp only [hs, le_principal_iff]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β\ninst✝ : Nonempty ι\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Filter β\nhg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t\n⊢ Filter.lift (iInf f) g = ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g\n[PROOFSTEP]\nrefine' lift_iInf_le.antisymm fun s => _\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β\ninst✝ : Nonempty ι\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Filter β\nhg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t\ns : Set β\n⊢ s ∈ Filter.lift (iInf f) g → s ∈ ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g\n[PROOFSTEP]\nhave H : ∀ t ∈ iInf f, ⨅ i, (f i).lift g ≤ g t := by\n  intro t ht\n  refine' iInf_sets_induct ht _ fun hs ht => _\n  · inhabit ι\n    exact iInf₂_le_of_le default univ (iInf_le _ univ_mem)\n  · rw [hg]\n    exact le_inf (iInf₂_le_of_le _ _ <| iInf_le _ hs) ht\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β\ninst✝ : Nonempty ι\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Filter β\nhg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t\ns : Set β\n⊢ ∀ (t : Set α), t ∈ iInf f → ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g ≤ g t\n[PROOFSTEP]\nintro t ht\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β\ninst✝ : Nonempty ι\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Filter β\nhg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t\ns : Set β\nt : Set α\nht : t ∈ iInf f\n⊢ ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g ≤ g t\n[PROOFSTEP]\nrefine' iInf_sets_induct ht _ fun hs ht => _\n[GOAL]\ncase refine'_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β\ninst✝ : Nonempty ι\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Filter β\nhg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t\ns : Set β\nt : Set α\nht : t ∈ iInf f\n⊢ ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g ≤ g univ\n[PROOFSTEP]\ninhabit ι\n[GOAL]\ncase refine'_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β\ninst✝ : Nonempty ι\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Filter β\nhg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t\ns : Set β\nt : Set α\nht : t ∈ iInf f\ninhabited_h : Inhabited ι\n⊢ ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g ≤ g univ\n[PROOFSTEP]\nexact iInf₂_le_of_le default univ (iInf_le _ univ_mem)\n[GOAL]\ncase refine'_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β\ninst✝ : Nonempty ι\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Filter β\nhg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t\ns : Set β\nt : Set α\nht✝ : t ∈ iInf f\ni✝ : ι\ns₁✝ s₂✝ : Set α\nhs : s₁✝ ∈ f i✝\nht : ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g ≤ g s₂✝\n⊢ ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g ≤ g (s₁✝ ∩ s₂✝)\n[PROOFSTEP]\nrw [hg]\n[GOAL]\ncase refine'_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β\ninst✝ : Nonempty ι\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Filter β\nhg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t\ns : Set β\nt : Set α\nht✝ : t ∈ iInf f\ni✝ : ι\ns₁✝ s₂✝ : Set α\nhs : s₁✝ ∈ f i✝\nht : ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g ≤ g s₂✝\n⊢ ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g ≤ g s₁✝ ⊓ g s₂✝\n[PROOFSTEP]\nexact le_inf (iInf₂_le_of_le _ _ <| iInf_le _ hs) ht\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β\ninst✝ : Nonempty ι\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Filter β\nhg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t\ns : Set β\nH : ∀ (t : Set α), t ∈ iInf f → ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g ≤ g t\n⊢ s ∈ Filter.lift (iInf f) g → s ∈ ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mem_lift_sets (Monotone.of_map_inf hg), exists_imp, and_imp]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β\ninst✝ : Nonempty ι\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Filter β\nhg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t\ns : Set β\nH : ∀ (t : Set α), t ∈ iInf f → ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g ≤ g t\n⊢ ∀ (x : Set α), x ∈ iInf f → s ∈ g x → s ∈ ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g\n[PROOFSTEP]\nexact fun t ht hs => H t ht hs\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β\ninst✝ : Nonempty ι\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Filter β\nhf : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f\nhg : Monotone g\ns : Set β\n⊢ s ∈ Filter.lift (iInf f) g → s ∈ ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mem_lift_sets hg, exists_imp, and_imp, mem_iInf_of_directed hf]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β\ninst✝ : Nonempty ι\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Filter β\nhf : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f\nhg : Monotone g\ns : Set β\n⊢ ∀ (x : Set α) (x_1 : ι), x ∈ f x_1 → s ∈ g x → s ∈ ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g\n[PROOFSTEP]\nexact fun t i ht hs => mem_iInf_of_mem i <| mem_lift ht hs\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Filter β\nhg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t\nhg' : g univ = ⊤\n⊢ Filter.lift (iInf f) g = ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g\n[PROOFSTEP]\ncases isEmpty_or_nonempty ι\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Filter β\nhg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t\nhg' : g univ = ⊤\nh✝ : IsEmpty ι\n⊢ Filter.lift (iInf f) g = ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g\n[PROOFSTEP]\nsimp [iInf_of_empty, hg']\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\ng✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Filter β\nhg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t\nhg' : g univ = ⊤\nh✝ : Nonempty ι\n⊢ Filter.lift (iInf f) g = ⨅ (i : ι), Filter.lift (f i) g\n[PROOFSTEP]\nexact lift_iInf hg\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf f₁ f₂ : Filter α\nh h₁ h₂ : Set α → Set β\nm : γ → β\nl : Filter γ\n⊢ Tendsto m l (Filter.lift' f h) ↔ ∀ (s : Set α), s ∈ f → ∀ᶠ (a : γ) in l, m a ∈ h s\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Filter.lift', tendsto_lift, tendsto_principal, comp]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι✝ : Sort u_4\nf f₁ f₂ : Filter α\nh h₁ h₂ : Set α → Set β\nι : Sort u_5\np : ι → Prop\ns : ι → Set α\nhf : HasBasis f p s\nhh : Monotone h\nt : Set β\n⊢ (∃ i, p i ∧ ∃ x, True ∧ h (s i) ⊆ t) ↔ ∃ i, p i ∧ (h ∘ s) i ⊆ t\n[PROOFSTEP]\nsimp only [exists_const, true_and, comp]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf f₁ f₂ : Filter α\nh h₁ h₂ : Set α → Set β\nm : β → γ\nhh : Monotone h\n⊢ Filter.lift f (map m ∘ 𝓟 ∘ h) = Filter.lift' f (image m ∘ h)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [comp, Filter.lift', map_principal]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf f₁ f₂ : Filter α\nh h₁ h₂ : Set α → Set β\nm : γ → β\n⊢ comap m (Filter.lift' f h) = Filter.lift' f (preimage m ∘ h)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Filter.lift', comap_lift_eq, (· ∘ ·), comap_principal]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf f₁ f₂ : Filter α\nh h₁ h₂ : Set α → Set β\na : α\nhh : Monotone h\n⊢ Filter.lift' (pure a) h = 𝓟 (h {a})\n[PROOFSTEP]\nrw [← principal_singleton, lift'_principal hh]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf f₁ f₂ : Filter α\nh h₁ h₂ : Set α → Set β\nhh : Monotone h\n⊢ Filter.lift' ⊥ h = 𝓟 (h ∅)\n[PROOFSTEP]\nrw [← principal_empty, lift'_principal hh]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf f₁ f₂ : Filter α\nh✝ h₁ h₂ g : Set α → Set β\nh : Set β → Filter γ\nhg : Monotone g\nhh : Monotone h\n⊢ (Filter.lift f fun s => Filter.lift (𝓟 (g s)) h) = Filter.lift f fun s => h (g s)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [lift_principal, hh, eq_self_iff_true]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf f₁ f₂ : Filter α\nh✝ h₁ h₂ h : Set α → Set β\ns : Set β\n⊢ Filter.lift' f h ⊓ 𝓟 s = Filter.lift' f fun t => h t ∩ s\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Filter.lift', Filter.lift, (· ∘ ·), ← inf_principal, iInf_subtype', ← iInf_inf]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf f₁ f₂ : Filter α\nh h₁ h₂ : Set α → Set β\nhh : Monotone h\n⊢ (∀ (s : Set α), s ∈ f → NeBot (𝓟 (h s))) ↔ ∀ (s : Set α), s ∈ f → Set.Nonempty (h s)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [principal_neBot_iff]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\nh h₁ h₂ : Set α → Set β\ninst✝ : Nonempty ι\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Set β\nhg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ∩ g t\ns t : Set α\n⊢ (𝓟 ∘ g) (s ∩ t) = (𝓟 ∘ g) s ⊓ (𝓟 ∘ g) t\n[PROOFSTEP]\nsimp only [inf_principal, comp, hg]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\nh h₁ h₂ : Set α → Set β\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Set β\nhg : ∀ {s t : Set α}, g (s ∩ t) = g s ∩ g t\nhg' : g univ = univ\ns t : Set α\n⊢ (𝓟 ∘ g) (s ∩ t) = (𝓟 ∘ g) s ⊓ (𝓟 ∘ g) t\n[PROOFSTEP]\nsimp only [inf_principal, comp, hg]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\nh h₁ h₂ : Set α → Set β\nf : ι → Filter α\ng : Set α → Set β\nhg : ∀ {s t : Set α}, g (s ∩ t) = g s ∩ g t\nhg' : g univ = univ\n⊢ (𝓟 ∘ g) univ = ⊤\n[PROOFSTEP]\nrw [Function.comp_apply, hg', principal_univ]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\nh h₁ h₂ : Set α → Set β\nf g : Filter α\ns : Set α → Set β\nhs : ∀ (t₁ t₂ : Set α), s (t₁ ∩ t₂) = s t₁ ∩ s t₂\n⊢ Filter.lift' (f ⊓ g) s = Filter.lift' f s ⊓ Filter.lift' g s\n[PROOFSTEP]\nrw [inf_eq_iInf, inf_eq_iInf, lift'_iInf hs]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\nh h₁ h₂ : Set α → Set β\nf g : Filter α\ns : Set α → Set β\nhs : ∀ (t₁ t₂ : Set α), s (t₁ ∩ t₂) = s t₁ ∩ s t₂\n⊢ ⨅ (i : Bool), Filter.lift' (bif i then f else g) s = ⨅ (b : Bool), bif b then Filter.lift' f s else Filter.lift' g s\n[PROOFSTEP]\nrefine iInf_congr ?_\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\nh h₁ h₂ : Set α → Set β\nf g : Filter α\ns : Set α → Set β\nhs : ∀ (t₁ t₂ : Set α), s (t₁ ∩ t₂) = s t₁ ∩ s t₂\n⊢ ∀ (i : Bool), Filter.lift' (bif i then f else g) s = bif i then Filter.lift' f s else Filter.lift' g s\n[PROOFSTEP]\nrintro (_ | _)\n[GOAL]\ncase false\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\nh h₁ h₂ : Set α → Set β\nf g : Filter α\ns : Set α → Set β\nhs : ∀ (t₁ t₂ : Set α), s (t₁ ∩ t₂) = s t₁ ∩ s t₂\n⊢ Filter.lift' (bif false then f else g) s = bif false then Filter.lift' f s else Filter.lift' g s\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase true\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f₁ f₂ : Filter α\nh h₁ h₂ : Set α → Set β\nf g : Filter α\ns : Set α → Set β\nhs : ∀ (t₁ t₂ : Set α), s (t₁ ∩ t₂) = s t₁ ∩ s t₂\n⊢ Filter.lift' (bif true then f else g) s = bif true then Filter.lift' f s else Filter.lift' g s\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ f : Filter α\ng : Filter β\n⊢ f ×ˢ g = Filter.lift f fun s => Filter.lift' g fun t => s ×ˢ t\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [Filter.lift', Filter.lift, (f.basis_sets.prod g.basis_sets).eq_biInf, iInf_prod, iInf_and] using\n  iInf_congr fun i => iInf_comm\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf✝ : Filter α\nf : α × α → β\nx : Filter α\ny : Filter β\n⊢ Tendsto f (x ×ˢ x) y ↔ ∀ (W : Set β), W ∈ y → ∃ U, U ∈ x ∧ ∀ (x x' : α), x ∈ U → x' ∈ U → f (x, x') ∈ W\n[PROOFSTEP]\nsimp only [tendsto_def, mem_prod_same_iff, prod_sub_preimage_iff, exists_prop, iff_self_iff]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf : Filter α\nα₁ : Type u_5\nα₂ : Type u_6\nβ₁ : Type u_7\nβ₂ : Type u_8\nf₁ : Filter α₁\nf₂ : Filter α₂\ng₁ : Set α₁ → Filter β₁\ng₂ : Set α₂ → Filter β₂\nhg₁ : Monotone g₁\nhg₂ : Monotone g₂\n⊢ Filter.lift f₁ g₁ ×ˢ Filter.lift f₂ g₂ = Filter.lift f₁ fun s => Filter.lift f₂ fun t => g₁ s ×ˢ g₂ t\n[PROOFSTEP]\nsimp only [prod_def, lift_assoc hg₁]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf : Filter α\nα₁ : Type u_5\nα₂ : Type u_6\nβ₁ : Type u_7\nβ₂ : Type u_8\nf₁ : Filter α₁\nf₂ : Filter α₂\ng₁ : Set α₁ → Filter β₁\ng₂ : Set α₂ → Filter β₂\nhg₁ : Monotone g₁\nhg₂ : Monotone g₂\n⊢ (Filter.lift f₁ fun s => Filter.lift (g₁ s) fun s => Filter.lift' (Filter.lift f₂ g₂) fun t => s ×ˢ t) =\n    Filter.lift f₁ fun s => Filter.lift f₂ fun t => Filter.lift (g₁ s) fun s => Filter.lift' (g₂ t) fun t => s ×ˢ t\n[PROOFSTEP]\napply congr_arg\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf : Filter α\nα₁ : Type u_5\nα₂ : Type u_6\nβ₁ : Type u_7\nβ₂ : Type u_8\nf₁ : Filter α₁\nf₂ : Filter α₂\ng₁ : Set α₁ → Filter β₁\ng₂ : Set α₂ → Filter β₂\nhg₁ : Monotone g₁\nhg₂ : Monotone g₂\n⊢ (fun s => Filter.lift (g₁ s) fun s => Filter.lift' (Filter.lift f₂ g₂) fun t => s ×ˢ t) = fun s =>\n    Filter.lift f₂ fun t => Filter.lift (g₁ s) fun s => Filter.lift' (g₂ t) fun t => s ×ˢ t\n[PROOFSTEP]\nfunext x\n[GOAL]\ncase h.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf : Filter α\nα₁ : Type u_5\nα₂ : Type u_6\nβ₁ : Type u_7\nβ₂ : Type u_8\nf₁ : Filter α₁\nf₂ : Filter α₂\ng₁ : Set α₁ → Filter β₁\ng₂ : Set α₂ → Filter β₂\nhg₁ : Monotone g₁\nhg₂ : Monotone g₂\nx : Set α₁\n⊢ (Filter.lift (g₁ x) fun s => Filter.lift' (Filter.lift f₂ g₂) fun t => s ×ˢ t) =\n    Filter.lift f₂ fun t => Filter.lift (g₁ x) fun s => Filter.lift' (g₂ t) fun t => s ×ˢ t\n[PROOFSTEP]\nrw [lift_comm]\n[GOAL]\ncase h.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf : Filter α\nα₁ : Type u_5\nα₂ : Type u_6\nβ₁ : Type u_7\nβ₂ : Type u_8\nf₁ : Filter α₁\nf₂ : Filter α₂\ng₁ : Set α₁ → Filter β₁\ng₂ : Set α₂ → Filter β₂\nhg₁ : Monotone g₁\nhg₂ : Monotone g₂\nx : Set α₁\n⊢ (Filter.lift (g₁ x) fun s => Filter.lift' (Filter.lift f₂ g₂) fun t => s ×ˢ t) =\n    Filter.lift (g₁ x) fun t => Filter.lift f₂ fun s => Filter.lift' (g₂ s) fun t_1 => t ×ˢ t_1\n[PROOFSTEP]\napply congr_arg\n[GOAL]\ncase h.h.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf : Filter α\nα₁ : Type u_5\nα₂ : Type u_6\nβ₁ : Type u_7\nβ₂ : Type u_8\nf₁ : Filter α₁\nf₂ : Filter α₂\ng₁ : Set α₁ → Filter β₁\ng₂ : Set α₂ → Filter β₂\nhg₁ : Monotone g₁\nhg₂ : Monotone g₂\nx : Set α₁\n⊢ (fun s => Filter.lift' (Filter.lift f₂ g₂) fun t => s ×ˢ t) = fun t =>\n    Filter.lift f₂ fun s => Filter.lift' (g₂ s) fun t_1 => t ×ˢ t_1\n[PROOFSTEP]\nfunext y\n[GOAL]\ncase h.h.h.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf : Filter α\nα₁ : Type u_5\nα₂ : Type u_6\nβ₁ : Type u_7\nβ₂ : Type u_8\nf₁ : Filter α₁\nf₂ : Filter α₂\ng₁ : Set α₁ → Filter β₁\ng₂ : Set α₂ → Filter β₂\nhg₁ : Monotone g₁\nhg₂ : Monotone g₂\nx : Set α₁\ny : Set β₁\n⊢ (Filter.lift' (Filter.lift f₂ g₂) fun t => y ×ˢ t) = Filter.lift f₂ fun s => Filter.lift' (g₂ s) fun t => y ×ˢ t\n[PROOFSTEP]\napply lift'_lift_assoc hg₂\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf : Filter α\nα₁ : Type u_5\nα₂ : Type u_6\nβ₁ : Type u_7\nβ₂ : Type u_8\nf₁ : Filter α₁\nf₂ : Filter α₂\ng₁ : Set α₁ → Set β₁\ng₂ : Set α₂ → Set β₂\nhg₁ : Monotone g₁\nhg₂ : Monotone g₂\n⊢ (Filter.lift f₁ fun s => Filter.lift f₂ fun t => 𝓟 (g₁ s) ×ˢ 𝓟 (g₂ t)) =\n    Filter.lift f₁ fun s => Filter.lift f₂ fun t => 𝓟 (g₁ s ×ˢ g₂ t)\n[PROOFSTEP]\n{simp only [prod_principal_principal]\n}\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nι : Sort u_4\nf : Filter α\nα₁ : Type u_5\nα₂ : Type u_6\nβ₁ : Type u_7\nβ₂ : Type u_8\nf₁ : Filter α₁\nf₂ : Filter α₂\ng₁ : Set α₁ → Set β₁\ng₂ : Set α₂ → Set β₂\nhg₁ : Monotone g₁\nhg₂ : Monotone g₂\n⊢ (Filter.lift f₁ fun s => Filter.lift f₂ fun t => 𝓟 (g₁ s) ×ˢ 𝓟 (g₂ t)) =\n    Filter.lift f₁ fun s => Filter.lift f₂ fun t => 𝓟 (g₁ s ×ˢ g₂ t)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [prod_principal_principal]\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.Order.Filter.Lift", "llama_tokens": 11513, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑(toTopCat X)\n⊢ ¬r ∈ (toΓSpecFun X x).asIdeal ↔ IsUnit (↑(ΓToStalk X x) r)\n[PROOFSTEP]\nerw [LocalRing.mem_maximalIdeal, Classical.not_not]\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\n⊢ toΓSpecFun X ⁻¹' (basicOpen r).carrier = (RingedSpace.basicOpen (toRingedSpace X) r).carrier\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx✝ : ↑(toTopCat X)\n⊢ x✝ ∈ toΓSpecFun X ⁻¹' (basicOpen r).carrier ↔ x✝ ∈ (RingedSpace.basicOpen (toRingedSpace X) r).carrier\n[PROOFSTEP]\nerw [X.toRingedSpace.mem_top_basicOpen]\n[GOAL]\ncase h\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx✝ : ↑(toTopCat X)\n⊢ x✝ ∈ toΓSpecFun X ⁻¹' (basicOpen r).carrier ↔\n    IsUnit (↑(germ (toRingedSpace X).toPresheafedSpace.presheaf { val := x✝, property := (_ : x✝ ∈ ⊤) }) r)\n[PROOFSTEP]\napply not_mem_prime_iff_unit_in_stalk\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\n⊢ Continuous (toΓSpecFun X)\n[PROOFSTEP]\napply isTopologicalBasis_basic_opens.continuous\n[GOAL]\ncase hf\nX : LocallyRingedSpace\n⊢ ∀ (s : Set (PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)))), (s ∈ Set.range fun r => ↑(basicOpen r)) → IsOpen (toΓSpecFun X ⁻¹' s)\n[PROOFSTEP]\nrintro _ ⟨r, rfl⟩\n[GOAL]\ncase hf.intro\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\n⊢ IsOpen (toΓSpecFun X ⁻¹' (fun r => ↑(basicOpen r)) r)\n[PROOFSTEP]\nerw [X.toΓSpec_preim_basicOpen_eq r]\n[GOAL]\ncase hf.intro\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\n⊢ IsOpen (RingedSpace.basicOpen (toRingedSpace X) r).carrier\n[PROOFSTEP]\nexact (X.toRingedSpace.basicOpen r).2\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\n⊢ IsUnit (↑(toToΓSpecMapBasicOpen X r) r)\n[PROOFSTEP]\nconvert\n  (X.presheaf.map <| (eqToHom <| X.toΓSpecMapBasicOpen_eq r).op).isUnit_map\n    (X.toRingedSpace.isUnit_res_basicOpen r)\n      -- Porting note : `rw [comp_apply]` to `erw [comp_apply]`\n[GOAL]\ncase h.e'_3\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\n⊢ ↑(toToΓSpecMapBasicOpen X r) r =\n    ↑(X.presheaf.map (eqToHom (_ : toΓSpecMapBasicOpen X r = RingedSpace.basicOpen (toRingedSpace X) r)).op)\n      (↑((toRingedSpace X).toPresheafedSpace.presheaf.map\n            (homOfLE (_ : RingedSpace.basicOpen (toRingedSpace X) r ≤ ⊤)).op)\n        r)\n[PROOFSTEP]\nerw [← comp_apply, ← Functor.map_comp]\n[GOAL]\ncase h.e'_3\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\n⊢ ↑(toToΓSpecMapBasicOpen X r) r =\n    ↑((toRingedSpace X).toPresheafedSpace.presheaf.map\n          ((homOfLE (_ : RingedSpace.basicOpen (toRingedSpace X) r ≤ ⊤)).op ≫\n            (eqToHom (_ : toΓSpecMapBasicOpen X r = RingedSpace.basicOpen (toRingedSpace X) r)).op))\n      r\n[PROOFSTEP]\ncongr\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nf : (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)) ⟶ X.presheaf.obj (op (toΓSpecMapBasicOpen X r))\n⊢ toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r) ≫ f = toToΓSpecMapBasicOpen X r ↔ f = toΓSpecCApp X r\n[PROOFSTEP]\nhave loc_inst := IsLocalization.to_basicOpen (Γ.obj (op X)) r\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nf : (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)) ⟶ X.presheaf.obj (op (toΓSpecMapBasicOpen X r))\nloc_inst : IsLocalization.Away r ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)))\n⊢ toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r) ≫ f = toToΓSpecMapBasicOpen X r ↔ f = toΓSpecCApp X r\n[PROOFSTEP]\nrw [← @IsLocalization.Away.AwayMap.lift_comp _ _ _ _ _ _ _ r loc_inst _ (X.isUnit_res_toΓSpecMapBasicOpen r)]\n  --pick_goal 5; exact is_localization.to_basic_open _ r\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nf : (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)) ⟶ X.presheaf.obj (op (toΓSpecMapBasicOpen X r))\nloc_inst : IsLocalization.Away r ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)))\n⊢ toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r) ≫ f =\n      RingHom.comp (IsLocalization.Away.lift r (_ : IsUnit (↑(toToΓSpecMapBasicOpen X r) r)))\n        (algebraMap ↑(Γ.obj (op X)) ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)))) ↔\n    f = toΓSpecCApp X r\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase mp\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nf : (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)) ⟶ X.presheaf.obj (op (toΓSpecMapBasicOpen X r))\nloc_inst : IsLocalization.Away r ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)))\n⊢ toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r) ≫ f =\n      RingHom.comp (IsLocalization.Away.lift r (_ : IsUnit (↑(toToΓSpecMapBasicOpen X r) r)))\n        (algebraMap ↑(Γ.obj (op X)) ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)))) →\n    f = toΓSpecCApp X r\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\ncase mp\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nf : (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)) ⟶ X.presheaf.obj (op (toΓSpecMapBasicOpen X r))\nloc_inst : IsLocalization.Away r ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)))\nh :\n  toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r) ≫ f =\n    RingHom.comp (IsLocalization.Away.lift r (_ : IsUnit (↑(toToΓSpecMapBasicOpen X r) r)))\n      (algebraMap ↑(Γ.obj (op X)) ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r))))\n⊢ f = toΓSpecCApp X r\n[PROOFSTEP]\nrefine' @IsLocalization.ringHom_ext _ _ _ _ _ _ _ _ loc_inst _ _ _\n[GOAL]\ncase mp\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nf : (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)) ⟶ X.presheaf.obj (op (toΓSpecMapBasicOpen X r))\nloc_inst : IsLocalization.Away r ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)))\nh :\n  toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r) ≫ f =\n    RingHom.comp (IsLocalization.Away.lift r (_ : IsUnit (↑(toToΓSpecMapBasicOpen X r) r)))\n      (algebraMap ↑(Γ.obj (op X)) ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r))))\n⊢ RingHom.comp f (algebraMap ↑(Γ.obj (op X)) ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)))) =\n    RingHom.comp (toΓSpecCApp X r)\n      (algebraMap ↑(Γ.obj (op X)) ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r))))\n[PROOFSTEP]\nexact h\n[GOAL]\ncase mpr\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nf : (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)) ⟶ X.presheaf.obj (op (toΓSpecMapBasicOpen X r))\nloc_inst : IsLocalization.Away r ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)))\n⊢ f = toΓSpecCApp X r →\n    toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r) ≫ f =\n      RingHom.comp (IsLocalization.Away.lift r (_ : IsUnit (↑(toToΓSpecMapBasicOpen X r) r)))\n        (algebraMap ↑(Γ.obj (op X)) ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r))))\n[PROOFSTEP]\napply congr_arg\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nr s : (InducedCategory (Opens (PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)))) basicOpen)ᵒᵖ\nf : r ⟶ s\n⊢ ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val).map f ≫ (fun r => toΓSpecCApp X r.unop) s =\n    (fun r => toΓSpecCApp X r.unop) r ≫\n      ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward (toΓSpecBase X)).obj (𝒪 X)).val).map f\n[PROOFSTEP]\napply (StructureSheaf.to_basicOpen_epi (Γ.obj (op X)) r.unop).1\n[GOAL]\ncase a\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nr s : (InducedCategory (Opens (PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)))) basicOpen)ᵒᵖ\nf : r ⟶ s\n⊢ toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r.unop) ≫\n      ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val).map f ≫ (fun r => toΓSpecCApp X r.unop) s =\n    toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r.unop) ≫\n      (fun r => toΓSpecCApp X r.unop) r ≫\n        ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward (toΓSpecBase X)).obj (𝒪 X)).val).map f\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← Category.assoc]\n[GOAL]\ncase a\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nr s : (InducedCategory (Opens (PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)))) basicOpen)ᵒᵖ\nf : r ⟶ s\n⊢ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r.unop) ≫\n        ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val).map f) ≫\n      toΓSpecCApp X s.unop =\n    (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r.unop) ≫ toΓSpecCApp X r.unop) ≫\n      ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward (toΓSpecBase X)).obj (𝒪 X)).val).map f\n[PROOFSTEP]\nerw [X.toΓSpecCApp_spec r.unop]\n[GOAL]\ncase a\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nr s : (InducedCategory (Opens (PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)))) basicOpen)ᵒᵖ\nf : r ⟶ s\n⊢ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r.unop) ≫\n        ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val).map f) ≫\n      toΓSpecCApp X s.unop =\n    toToΓSpecMapBasicOpen X r.unop ≫\n      ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward (toΓSpecBase X)).obj (𝒪 X)).val).map f\n[PROOFSTEP]\nconvert X.toΓSpecCApp_spec s.unop\n[GOAL]\ncase h.e'_3.h\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nr s : (InducedCategory (Opens (PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)))) basicOpen)ᵒᵖ\nf : r ⟶ s\ne_1✝ :\n  (CommRingCat.of ↑(Γ.obj (op X)) ⟶\n      ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward (toΓSpecBase X)).obj (𝒪 X)).val).obj s) =\n    (CommRingCat.of ↑(Γ.obj (op X)) ⟶ X.presheaf.obj (op (toΓSpecMapBasicOpen X s.unop)))\n⊢ toToΓSpecMapBasicOpen X r.unop ≫\n      ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward (toΓSpecBase X)).obj (𝒪 X)).val).map f =\n    toToΓSpecMapBasicOpen X s.unop\n[PROOFSTEP]\nsymm\n[GOAL]\ncase h.e'_3.h\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nr s : (InducedCategory (Opens (PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)))) basicOpen)ᵒᵖ\nf : r ⟶ s\ne_1✝ :\n  (CommRingCat.of ↑(Γ.obj (op X)) ⟶\n      ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward (toΓSpecBase X)).obj (𝒪 X)).val).obj s) =\n    (CommRingCat.of ↑(Γ.obj (op X)) ⟶ X.presheaf.obj (op (toΓSpecMapBasicOpen X s.unop)))\n⊢ toToΓSpecMapBasicOpen X s.unop =\n    toToΓSpecMapBasicOpen X r.unop ≫\n      ((inducedFunctor basicOpen).op ⋙ ((TopCat.Sheaf.pushforward (toΓSpecBase X)).obj (𝒪 X)).val).map f\n[PROOFSTEP]\napply X.presheaf.map_comp\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\n⊢ NatTrans.app (toΓSpecSheafedSpace X).c (op (basicOpen r)) = toΓSpecCApp X r\n[PROOFSTEP]\nhave :=\n  TopCat.Sheaf.extend_hom_app (Spec.toSheafedSpace.obj (op (Γ.obj (op X)))).presheaf\n    ((TopCat.Sheaf.pushforward X.toΓSpecBase).obj X.𝒪) isBasis_basic_opens X.toΓSpecCBasicOpens r\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nthis :\n  NatTrans.app\n      (↑(TopCat.Sheaf.restrictHomEquivHom (Spec.toSheafedSpace.obj (op (Γ.obj (op X)))).presheaf\n            ((TopCat.Sheaf.pushforward (toΓSpecBase X)).obj (𝒪 X)) (_ : Opens.IsBasis (Set.range basicOpen)))\n        (toΓSpecCBasicOpens X))\n      (op (basicOpen r)) =\n    NatTrans.app (toΓSpecCBasicOpens X) (op r)\n⊢ NatTrans.app (toΓSpecSheafedSpace X).c (op (basicOpen r)) = toΓSpecCApp X r\n[PROOFSTEP]\ndsimp at this \n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nthis :\n  NatTrans.app\n      (↑(TopCat.Sheaf.restrictHomEquivHom (structureSheaf ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))).val\n            ((TopCat.Sheaf.pushforward (toΓSpecBase X)).obj (𝒪 X)) (_ : Opens.IsBasis (Set.range basicOpen)))\n        (toΓSpecCBasicOpens X))\n      (op (basicOpen r)) =\n    toΓSpecCApp X r\n⊢ NatTrans.app (toΓSpecSheafedSpace X).c (op (basicOpen r)) = toΓSpecCApp X r\n[PROOFSTEP]\nrw [← this]\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nthis :\n  NatTrans.app\n      (↑(TopCat.Sheaf.restrictHomEquivHom (structureSheaf ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))).val\n            ((TopCat.Sheaf.pushforward (toΓSpecBase X)).obj (𝒪 X)) (_ : Opens.IsBasis (Set.range basicOpen)))\n        (toΓSpecCBasicOpens X))\n      (op (basicOpen r)) =\n    toΓSpecCApp X r\n⊢ NatTrans.app (toΓSpecSheafedSpace X).c (op (basicOpen r)) =\n    NatTrans.app\n      (↑(TopCat.Sheaf.restrictHomEquivHom (structureSheaf ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))).val\n            ((TopCat.Sheaf.pushforward (toΓSpecBase X)).obj (𝒪 X)) (_ : Opens.IsBasis (Set.range basicOpen)))\n        (toΓSpecCBasicOpens X))\n      (op (basicOpen r))\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nthis :\n  NatTrans.app\n      (↑(TopCat.Sheaf.restrictHomEquivHom (structureSheaf ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))).val\n            ((TopCat.Sheaf.pushforward (toΓSpecBase X)).obj (𝒪 X)) (_ : Opens.IsBasis (Set.range basicOpen)))\n        (toΓSpecCBasicOpens X))\n      (op (basicOpen r)) =\n    toΓSpecCApp X r\n⊢ NatTrans.app\n      (↑(TopCat.Sheaf.restrictHomEquivHom (structureSheaf ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))).val\n            ((TopCat.Sheaf.pushforward (toΓSpecBase X)).obj (𝒪 X)) (_ : Opens.IsBasis (Set.range basicOpen)))\n        (toΓSpecCBasicOpens X))\n      (op (basicOpen r)) =\n    NatTrans.app\n      (↑(TopCat.Sheaf.restrictHomEquivHom (structureSheaf ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))).val\n            ((TopCat.Sheaf.pushforward (toΓSpecBase X)).obj (𝒪 X)) (_ : Opens.IsBasis (Set.range basicOpen)))\n        (toΓSpecCBasicOpens X))\n      (op (basicOpen r))\n[PROOFSTEP]\ncongr\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑(toTopCat X)\n⊢ toStalk (↑(op (Γ.obj (op X))).unop) (↑(toΓSpecSheafedSpace X).base x) ≫\n      PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x =\n    ΓToStalk X x\n[PROOFSTEP]\nrw [PresheafedSpace.stalkMap]\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑(toTopCat X)\n⊢ toStalk (↑(op (Γ.obj (op X))).unop) (↑(toΓSpecSheafedSpace X).base x) ≫\n      (stalkFunctor CommRingCat (↑(toΓSpecSheafedSpace X).base x)).map (toΓSpecSheafedSpace X).c ≫\n        stalkPushforward CommRingCat (toΓSpecSheafedSpace X).base X.presheaf x =\n    ΓToStalk X x\n[PROOFSTEP]\nerw [← toOpen_germ _ (basicOpen (1 : Γ.obj (op X))) ⟨X.toΓSpecFun x, by rw [basicOpen_one]; trivial⟩]\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑(toTopCat X)\n⊢ toΓSpecFun X x ∈ basicOpen 1\n[PROOFSTEP]\nrw [basicOpen_one]\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑(toTopCat X)\n⊢ toΓSpecFun X x ∈ ⊤\n[PROOFSTEP]\ntrivial\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑(toTopCat X)\n⊢ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫\n        germ (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))))\n          { val := toΓSpecFun X x, property := (_ : toΓSpecFun X x ∈ basicOpen 1) }) ≫\n      (stalkFunctor CommRingCat (↑(toΓSpecSheafedSpace X).base x)).map (toΓSpecSheafedSpace X).c ≫\n        stalkPushforward CommRingCat (toΓSpecSheafedSpace X).base X.presheaf x =\n    ΓToStalk X x\n[PROOFSTEP]\nrw [← Category.assoc, Category.assoc (toOpen _ _)]\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑(toTopCat X)\n⊢ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫\n        germ (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))))\n            { val := toΓSpecFun X x, property := (_ : toΓSpecFun X x ∈ basicOpen 1) } ≫\n          (stalkFunctor CommRingCat (↑(toΓSpecSheafedSpace X).base x)).map (toΓSpecSheafedSpace X).c) ≫\n      stalkPushforward CommRingCat (toΓSpecSheafedSpace X).base X.presheaf x =\n    ΓToStalk X x\n[PROOFSTEP]\nerw [stalkFunctor_map_germ]\n  -- Porting note : was `rw [←assoc, toΓSpecSheafedSpace_app_spec]`, but Lean did not like it.\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑(toTopCat X)\n⊢ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫\n        NatTrans.app (toΓSpecSheafedSpace X).c (op (basicOpen 1)) ≫\n          germ ((toΓSpecSheafedSpace X).base _* X.presheaf)\n            { val := toΓSpecFun X x, property := (_ : toΓSpecFun X x ∈ basicOpen 1) }) ≫\n      stalkPushforward CommRingCat (toΓSpecSheafedSpace X).base X.presheaf x =\n    ΓToStalk X x\n[PROOFSTEP]\nrw [toΓSpecSheafedSpace_app_spec_assoc]\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑(toTopCat X)\n⊢ (toToΓSpecMapBasicOpen X 1 ≫\n        germ ((toΓSpecSheafedSpace X).base _* X.presheaf)\n          { val := toΓSpecFun X x, property := (_ : toΓSpecFun X x ∈ basicOpen 1) }) ≫\n      stalkPushforward CommRingCat (toΓSpecSheafedSpace X).base X.presheaf x =\n    ΓToStalk X x\n[PROOFSTEP]\nunfold ΓToStalk\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑(toTopCat X)\n⊢ (toToΓSpecMapBasicOpen X 1 ≫\n        germ ((toΓSpecSheafedSpace X).base _* X.presheaf)\n          { val := toΓSpecFun X x, property := (_ : toΓSpecFun X x ∈ basicOpen 1) }) ≫\n      stalkPushforward CommRingCat (toΓSpecSheafedSpace X).base X.presheaf x =\n    germ X.presheaf { val := x, property := trivial }\n[PROOFSTEP]\nrw [← stalkPushforward_germ _ X.toΓSpecBase X.presheaf ⊤]\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑(toTopCat X)\n⊢ (toToΓSpecMapBasicOpen X 1 ≫\n        germ ((toΓSpecSheafedSpace X).base _* X.presheaf)\n          { val := toΓSpecFun X x, property := (_ : toΓSpecFun X x ∈ basicOpen 1) }) ≫\n      stalkPushforward CommRingCat (toΓSpecSheafedSpace X).base X.presheaf x =\n    germ (toΓSpecBase X _* X.presheaf)\n        { val := ↑(toΓSpecBase X) ↑{ val := x, property := trivial },\n          property := (_ : ↑{ val := x, property := trivial } ∈ (Opens.map (toΓSpecBase X)).obj ⊤) } ≫\n      stalkPushforward CommRingCat (toΓSpecBase X) X.presheaf ↑{ val := x, property := trivial }\n[PROOFSTEP]\ncongr 1\n[GOAL]\ncase e_a\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑(toTopCat X)\n⊢ toToΓSpecMapBasicOpen X 1 ≫\n      germ ((toΓSpecSheafedSpace X).base _* X.presheaf)\n        { val := toΓSpecFun X x, property := (_ : toΓSpecFun X x ∈ basicOpen 1) } =\n    germ (toΓSpecBase X _* X.presheaf)\n      { val := ↑(toΓSpecBase X) ↑{ val := x, property := trivial },\n        property := (_ : ↑{ val := x, property := trivial } ∈ (Opens.map (toΓSpecBase X)).obj ⊤) }\n[PROOFSTEP]\nchange (X.toΓSpecBase _* X.presheaf).map le_top.hom.op ≫ _ = _\n[GOAL]\ncase e_a\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑(toTopCat X)\n⊢ (toΓSpecBase X _* X.presheaf).map\n        (LE.le.hom\n            (_ :\n              { carrier := {x | ¬1 ∈ x.asIdeal}, is_open' := (_ : ∃ y, zeroLocus y = {x | ¬1 ∈ x.asIdeal}ᶜ) } ≤ ⊤)).op ≫\n      germ ((toΓSpecSheafedSpace X).base _* X.presheaf)\n        { val := toΓSpecFun X x, property := (_ : toΓSpecFun X x ∈ basicOpen 1) } =\n    germ (toΓSpecBase X _* X.presheaf)\n      { val := ↑(toΓSpecBase X) ↑{ val := x, property := trivial },\n        property := (_ : ↑{ val := x, property := trivial } ∈ (Opens.map (toΓSpecBase X)).obj ⊤) }\n[PROOFSTEP]\napply germ_res\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\n⊢ ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), IsLocalRingHom (PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x)\n[PROOFSTEP]\nintro x\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ IsLocalRingHom (PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x)\n[PROOFSTEP]\nlet p : PrimeSpectrum (Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\np : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := toΓSpecFun X x\n⊢ IsLocalRingHom (PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x)\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n  -- show stalk map is local hom ↓\n[GOAL]\ncase map_nonunit\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\np : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := toΓSpecFun X x\n⊢ ∀\n    (a :\n      ↑(PresheafedSpace.stalk (Spec.locallyRingedSpaceObj (Γ.obj (op X))).toSheafedSpace.toPresheafedSpace\n          (↑(toΓSpecSheafedSpace X).base x))),\n    IsUnit (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) a) → IsUnit a\n[PROOFSTEP]\nlet S := (structureSheaf _).presheaf.stalk p\n[GOAL]\ncase map_nonunit\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\np : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := toΓSpecFun X x\nS : CommRingCat := TopCat.Presheaf.stalk (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X)))) p\n⊢ ∀\n    (a :\n      ↑(PresheafedSpace.stalk (Spec.locallyRingedSpaceObj (Γ.obj (op X))).toSheafedSpace.toPresheafedSpace\n          (↑(toΓSpecSheafedSpace X).base x))),\n    IsUnit (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) a) → IsUnit a\n[PROOFSTEP]\nrintro (t : S) ht\n[GOAL]\ncase map_nonunit\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\np : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := toΓSpecFun X x\nS : CommRingCat := TopCat.Presheaf.stalk (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X)))) p\nt : ↑S\nht : IsUnit (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t)\n⊢ IsUnit t\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨⟨r, s⟩, he⟩ := IsLocalization.surj p.asIdeal.primeCompl t\n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\np : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := toΓSpecFun X x\nS : CommRingCat := TopCat.Presheaf.stalk (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X)))) p\nt : ↑S\nht : IsUnit (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t)\nr : ↑(Γ.obj (op X))\ns : { x // x ∈ Ideal.primeCompl p.asIdeal }\nhe : t * ↑(algebraMap ↑(Γ.obj (op X)) ↑S) ↑(r, s).snd = ↑(algebraMap ↑(Γ.obj (op X)) ↑S) (r, s).fst\n⊢ IsUnit t\n[PROOFSTEP]\ndsimp at he \n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\np : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := toΓSpecFun X x\nS : CommRingCat := TopCat.Presheaf.stalk (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X)))) p\nt : ↑S\nht : IsUnit (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t)\nr : ↑(Γ.obj (op X))\ns : { x // x ∈ Ideal.primeCompl p.asIdeal }\nhe :\n  t * ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) ↑s =\n    ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) r\n⊢ IsUnit t\n[PROOFSTEP]\nset t' := _\n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\np : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := toΓSpecFun X x\nS : CommRingCat := TopCat.Presheaf.stalk (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X)))) p\nt : ↑S\nht : IsUnit (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t)\nr : ↑(Γ.obj (op X))\ns : { x // x ∈ Ideal.primeCompl p.asIdeal }\nhe :\n  t * ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) ↑s =\n    ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) r\nt' : ?m.142259 := ?m.142260\n⊢ IsUnit t\n[PROOFSTEP]\nchange t * t' = _ at he \n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\np : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := toΓSpecFun X x\nS : CommRingCat := TopCat.Presheaf.stalk (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X)))) p\nt : ↑S\nht : IsUnit (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t)\nr : ↑(Γ.obj (op X))\ns : { x // x ∈ Ideal.primeCompl p.asIdeal }\nt' : ↑S := ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) ↑s\nhe : t * t' = ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) r\n⊢ IsUnit t\n[PROOFSTEP]\napply isUnit_of_mul_isUnit_left (y := t')\n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\np : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := toΓSpecFun X x\nS : CommRingCat := TopCat.Presheaf.stalk (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X)))) p\nt : ↑S\nht : IsUnit (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t)\nr : ↑(Γ.obj (op X))\ns : { x // x ∈ Ideal.primeCompl p.asIdeal }\nt' : ↑S := ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) ↑s\nhe : t * t' = ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) r\n⊢ IsUnit (t * t')\n[PROOFSTEP]\nrw [he]\n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\np : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := toΓSpecFun X x\nS : CommRingCat := TopCat.Presheaf.stalk (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X)))) p\nt : ↑S\nht : IsUnit (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t)\nr : ↑(Γ.obj (op X))\ns : { x // x ∈ Ideal.primeCompl p.asIdeal }\nt' : ↑S := ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) ↑s\nhe : t * t' = ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) r\n⊢ IsUnit (↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) r)\n[PROOFSTEP]\nrefine' IsLocalization.map_units S (⟨r, _⟩ : p.asIdeal.primeCompl)\n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\np : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := toΓSpecFun X x\nS : CommRingCat := TopCat.Presheaf.stalk (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X)))) p\nt : ↑S\nht : IsUnit (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t)\nr : ↑(Γ.obj (op X))\ns : { x // x ∈ Ideal.primeCompl p.asIdeal }\nt' : ↑S := ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) ↑s\nhe : t * t' = ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) r\n⊢ r ∈ Ideal.primeCompl p.asIdeal\n[PROOFSTEP]\napply (not_mem_prime_iff_unit_in_stalk _ _ _).mpr\n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\np : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := toΓSpecFun X x\nS : CommRingCat := TopCat.Presheaf.stalk (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X)))) p\nt : ↑S\nht : IsUnit (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t)\nr : ↑(Γ.obj (op X))\ns : { x // x ∈ Ideal.primeCompl p.asIdeal }\nt' : ↑S := ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) ↑s\nhe : t * t' = ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) r\n⊢ IsUnit (↑(ΓToStalk X x) r)\n[PROOFSTEP]\nrw [← toStalk_stalkMap_toΓSpec]\n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\np : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := toΓSpecFun X x\nS : CommRingCat := TopCat.Presheaf.stalk (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X)))) p\nt : ↑S\nht : IsUnit (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t)\nr : ↑(Γ.obj (op X))\ns : { x // x ∈ Ideal.primeCompl p.asIdeal }\nt' : ↑S := ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) ↑s\nhe : t * t' = ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) r\n⊢ IsUnit\n    (↑(toStalk (↑(op (Γ.obj (op X))).unop) (↑(toΓSpecSheafedSpace X).base x) ≫\n          PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x)\n      r)\n[PROOFSTEP]\nerw [comp_apply, ← he]\n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\np : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := toΓSpecFun X x\nS : CommRingCat := TopCat.Presheaf.stalk (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X)))) p\nt : ↑S\nht : IsUnit (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t)\nr : ↑(Γ.obj (op X))\ns : { x // x ∈ Ideal.primeCompl p.asIdeal }\nt' : ↑S := ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) ↑s\nhe : t * t' = ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) r\n⊢ IsUnit (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) (t * t'))\n[PROOFSTEP]\nrw [RingHom.map_mul]\n  -- Porting note : `IsLocalization.map_units` and the goal needs to be simplified before Lean\n      -- realize it is useful\n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\np : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := toΓSpecFun X x\nS : CommRingCat := TopCat.Presheaf.stalk (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X)))) p\nt : ↑S\nht : IsUnit (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t)\nr : ↑(Γ.obj (op X))\ns : { x // x ∈ Ideal.primeCompl p.asIdeal }\nt' : ↑S := ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) ↑s\nhe : t * t' = ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) r\n⊢ IsUnit\n    (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t * ↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t')\n[PROOFSTEP]\nhave := IsLocalization.map_units (R := Γ.obj (op X)) S s\n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\np : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := toΓSpecFun X x\nS : CommRingCat := TopCat.Presheaf.stalk (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X)))) p\nt : ↑S\nht : IsUnit (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t)\nr : ↑(Γ.obj (op X))\ns : { x // x ∈ Ideal.primeCompl p.asIdeal }\nt' : ↑S := ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) ↑s\nhe : t * t' = ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) r\nthis : IsUnit (↑(algebraMap ↑(Γ.obj (op X)) ↑S) ↑s)\n⊢ IsUnit\n    (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t * ↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t')\n[PROOFSTEP]\ndsimp at this ⊢\n[GOAL]\ncase map_nonunit.intro.mk\nX : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X))\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\np : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := toΓSpecFun X x\nS : CommRingCat := TopCat.Presheaf.stalk (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X)))) p\nt : ↑S\nht : IsUnit (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t)\nr : ↑(Γ.obj (op X))\ns : { x // x ∈ Ideal.primeCompl p.asIdeal }\nt' : ↑S := ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) ↑s\nhe : t * t' = ↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) r\nthis : IsUnit (↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) ↑s)\n⊢ IsUnit\n    (↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) t *\n      ↑(PresheafedSpace.stalkMap (toΓSpecSheafedSpace X) x) (↑(toStalk (↑(X.presheaf.obj (op ⊤))) (toΓSpecFun X x)) ↑s))\n[PROOFSTEP]\nrefine ht.mul <| this.map _\n[GOAL]\nX✝ : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X✝))\nX : LocallyRingedSpace\nR : CommRingCat\nf : R ⟶ Γ.obj (op X)\nβ : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R\nw : (toΓSpec X).val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base\nh :\n  ∀ (r : ↑R),\n    f ≫ X.presheaf.map (homOfLE (_ : (Opens.map β.val.base).obj (basicOpen r) ≤ ⊤)).op =\n      toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ NatTrans.app β.val.c (op (basicOpen r))\n⊢ toΓSpec X ≫ Spec.locallyRingedSpaceMap f = β\n[PROOFSTEP]\next1\n  -- Porting note : need more hand holding here\n[GOAL]\ncase h\nX✝ : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X✝))\nX : LocallyRingedSpace\nR : CommRingCat\nf : R ⟶ Γ.obj (op X)\nβ : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R\nw : (toΓSpec X).val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base\nh :\n  ∀ (r : ↑R),\n    f ≫ X.presheaf.map (homOfLE (_ : (Opens.map β.val.base).obj (basicOpen r) ≤ ⊤)).op =\n      toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ NatTrans.app β.val.c (op (basicOpen r))\n⊢ (toΓSpec X ≫ Spec.locallyRingedSpaceMap f).val = β.val\n[PROOFSTEP]\nchange (X.toΓSpec.1 ≫ _).base = _ at w \n[GOAL]\ncase h\nX✝ : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X✝))\nX : LocallyRingedSpace\nR : CommRingCat\nf : R ⟶ Γ.obj (op X)\nβ : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R\nh :\n  ∀ (r : ↑R),\n    f ≫ X.presheaf.map (homOfLE (_ : (Opens.map β.val.base).obj (basicOpen r) ≤ ⊤)).op =\n      toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ NatTrans.app β.val.c (op (basicOpen r))\nw : ((toΓSpec X).val ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val).base = β.val.base\n⊢ (toΓSpec X ≫ Spec.locallyRingedSpaceMap f).val = β.val\n[PROOFSTEP]\napply Spec.basicOpen_hom_ext w\n[GOAL]\ncase h\nX✝ : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X✝))\nX : LocallyRingedSpace\nR : CommRingCat\nf : R ⟶ Γ.obj (op X)\nβ : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R\nh :\n  ∀ (r : ↑R),\n    f ≫ X.presheaf.map (homOfLE (_ : (Opens.map β.val.base).obj (basicOpen r) ≤ ⊤)).op =\n      toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ NatTrans.app β.val.c (op (basicOpen r))\nw : ((toΓSpec X).val ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val).base = β.val.base\n⊢ ∀ (r : ↑R),\n    let U := basicOpen r;\n    (toOpen (↑R) U ≫ NatTrans.app ((toΓSpec X).val ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val).c (op U)) ≫\n        X.presheaf.map\n          (eqToHom\n            (_ :\n              (Opens.map ((toΓSpec X).val ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val).base).op.obj (op U) =\n                (Opens.map β.val.base).op.obj (op U))) =\n      toOpen (↑R) U ≫ NatTrans.app β.val.c (op U)\n[PROOFSTEP]\nintro r U\n[GOAL]\ncase h\nX✝ : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))\nX : LocallyRingedSpace\nR : CommRingCat\nf : R ⟶ Γ.obj (op X)\nβ : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R\nh :\n  ∀ (r : ↑R),\n    f ≫ X.presheaf.map (homOfLE (_ : (Opens.map β.val.base).obj (basicOpen r) ≤ ⊤)).op =\n      toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ NatTrans.app β.val.c (op (basicOpen r))\nw : ((toΓSpec X).val ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val).base = β.val.base\nr : ↑R\nU : Opens (PrimeSpectrum ↑R) := basicOpen r\n⊢ (toOpen (↑R) U ≫ NatTrans.app ((toΓSpec X).val ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val).c (op U)) ≫\n      X.presheaf.map\n        (eqToHom\n          (_ :\n            (Opens.map ((toΓSpec X).val ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val).base).op.obj (op U) =\n              (Opens.map β.val.base).op.obj (op U))) =\n    toOpen (↑R) U ≫ NatTrans.app β.val.c (op U)\n[PROOFSTEP]\nerw [LocallyRingedSpace.comp_val_c_app]\n[GOAL]\ncase h\nX✝ : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))\nX : LocallyRingedSpace\nR : CommRingCat\nf : R ⟶ Γ.obj (op X)\nβ : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R\nh :\n  ∀ (r : ↑R),\n    f ≫ X.presheaf.map (homOfLE (_ : (Opens.map β.val.base).obj (basicOpen r) ≤ ⊤)).op =\n      toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ NatTrans.app β.val.c (op (basicOpen r))\nw : ((toΓSpec X).val ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val).base = β.val.base\nr : ↑R\nU : Opens (PrimeSpectrum ↑R) := basicOpen r\n⊢ (toOpen (↑R) U ≫\n        NatTrans.app (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.c (op U) ≫\n          NatTrans.app (toΓSpec X).val.c (op ((Opens.map (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base).obj (op U).unop))) ≫\n      X.presheaf.map\n        (eqToHom\n          (_ :\n            (Opens.map ((toΓSpec X).val ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val).base).op.obj (op U) =\n              (Opens.map β.val.base).op.obj (op U))) =\n    toOpen (↑R) U ≫ NatTrans.app β.val.c (op U)\n[PROOFSTEP]\nerw [toOpen_comp_comap_assoc]\n[GOAL]\ncase h\nX✝ : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))\nX : LocallyRingedSpace\nR : CommRingCat\nf : R ⟶ Γ.obj (op X)\nβ : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R\nh :\n  ∀ (r : ↑R),\n    f ≫ X.presheaf.map (homOfLE (_ : (Opens.map β.val.base).obj (basicOpen r) ≤ ⊤)).op =\n      toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ NatTrans.app β.val.c (op (basicOpen r))\nw : ((toΓSpec X).val ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val).base = β.val.base\nr : ↑R\nU : Opens (PrimeSpectrum ↑R) := basicOpen r\n⊢ (CommRingCat.ofHom f ≫\n        toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (↑(Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) U) ≫\n          NatTrans.app (toΓSpec X).val.c (op ((Opens.map (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base).obj (op U).unop))) ≫\n      X.presheaf.map\n        (eqToHom\n          (_ :\n            (Opens.map ((toΓSpec X).val ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val).base).op.obj (op U) =\n              (Opens.map β.val.base).op.obj (op U))) =\n    toOpen (↑R) U ≫ NatTrans.app β.val.c (op U)\n[PROOFSTEP]\nrw [Category.assoc]\n[GOAL]\ncase h\nX✝ : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))\nX : LocallyRingedSpace\nR : CommRingCat\nf : R ⟶ Γ.obj (op X)\nβ : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R\nh :\n  ∀ (r : ↑R),\n    f ≫ X.presheaf.map (homOfLE (_ : (Opens.map β.val.base).obj (basicOpen r) ≤ ⊤)).op =\n      toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ NatTrans.app β.val.c (op (basicOpen r))\nw : ((toΓSpec X).val ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val).base = β.val.base\nr : ↑R\nU : Opens (PrimeSpectrum ↑R) := basicOpen r\n⊢ CommRingCat.ofHom f ≫\n      (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (↑(Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) U) ≫\n          NatTrans.app (toΓSpec X).val.c (op ((Opens.map (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base).obj (op U).unop))) ≫\n        X.presheaf.map\n          (eqToHom\n            (_ :\n              (Opens.map ((toΓSpec X).val ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val).base).op.obj (op U) =\n                (Opens.map β.val.base).op.obj (op U))) =\n    toOpen (↑R) U ≫ NatTrans.app β.val.c (op U)\n[PROOFSTEP]\nerw [toΓSpecSheafedSpace_app_spec, ← X.presheaf.map_comp]\n[GOAL]\ncase h\nX✝ : LocallyRingedSpace\nr✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))\nX : LocallyRingedSpace\nR : CommRingCat\nf : R ⟶ Γ.obj (op X)\nβ : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R\nh :\n  ∀ (r : ↑R),\n    f ≫ X.presheaf.map (homOfLE (_ : (Opens.map β.val.base).obj (basicOpen r) ≤ ⊤)).op =\n      toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ NatTrans.app β.val.c (op (basicOpen r))\nw : ((toΓSpec X).val ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val).base = β.val.base\nr : ↑R\nU : Opens (PrimeSpectrum ↑R) := basicOpen r\n⊢ CommRingCat.ofHom f ≫\n      X.presheaf.map\n        ((Opens.leTop (toΓSpecMapBasicOpen X (↑f r))).op ≫\n          eqToHom\n            (_ :\n              (Opens.map ((toΓSpec X).val ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val).base).op.obj (op U) =\n                (Opens.map β.val.base).op.obj (op U))) =\n    toOpen (↑R) U ≫ NatTrans.app β.val.c (op U)\n[PROOFSTEP]\nconvert h r using 1\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\n⊢ toSpecΓ (Γ.obj (op X)) ≫ NatTrans.app (toΓSpec X).val.c (op ⊤) = 𝟙 (Γ.obj (op X))\n[PROOFSTEP]\nunfold toSpecΓ\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\n⊢ toOpen ↑(Γ.obj (op X)) ⊤ ≫ NatTrans.app (toΓSpec X).val.c (op ⊤) = 𝟙 (Γ.obj (op X))\n[PROOFSTEP]\nrw [← toOpen_res _ (basicOpen (1 : Γ.obj (op X))) ⊤ (eqToHom basicOpen_one.symm)]\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\n⊢ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫\n        (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.map (eqToHom (_ : ⊤ = basicOpen 1)).op) ≫\n      NatTrans.app (toΓSpec X).val.c (op ⊤) =\n    𝟙 (Γ.obj (op X))\n[PROOFSTEP]\nerw [Category.assoc]\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\n⊢ toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫\n      (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.map (eqToHom (_ : ⊤ = basicOpen 1)).op ≫\n        NatTrans.app (toΓSpec X).val.c (op ⊤) =\n    𝟙 (Γ.obj (op X))\n[PROOFSTEP]\nrw [NatTrans.naturality, ← Category.assoc]\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\n⊢ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ NatTrans.app (toΓSpec X).val.c (op (basicOpen 1))) ≫\n      ((toΓSpec X).val.base _* X.presheaf).map (eqToHom (_ : ⊤ = basicOpen 1)).op =\n    𝟙 (Γ.obj (op X))\n[PROOFSTEP]\nerw [X.toΓSpecSheafedSpace_app_spec 1, ← Functor.map_comp]\n[GOAL]\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\n⊢ X.presheaf.map\n      ((Opens.leTop (toΓSpecMapBasicOpen X 1)).op ≫\n        (Opens.map (toΓSpec X).val.base).op.map (eqToHom (_ : ⊤ = basicOpen 1)).op) =\n    𝟙 (Γ.obj (op X))\n[PROOFSTEP]\nconvert eqToHom_map X.presheaf _\n[GOAL]\ncase convert_3\nX : LocallyRingedSpace\nr : ↑(Γ.obj (op X))\n⊢ op ⊤ = (Opens.map (toΓSpec X).val.base).op.obj (op ⊤)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nX Y : LocallyRingedSpace\nf : X ⟶ Y\n⊢ (𝟭 LocallyRingedSpace).map f ≫ toΓSpec Y = toΓSpec X ≫ (Γ.rightOp ⋙ Spec.toLocallyRingedSpace).map f\n[PROOFSTEP]\nsymm\n[GOAL]\nX Y : LocallyRingedSpace\nf : X ⟶ Y\n⊢ toΓSpec X ≫ (Γ.rightOp ⋙ Spec.toLocallyRingedSpace).map f = (𝟭 LocallyRingedSpace).map f ≫ toΓSpec Y\n[PROOFSTEP]\napply LocallyRingedSpace.comp_ring_hom_ext\n[GOAL]\ncase w\nX Y : LocallyRingedSpace\nf : X ⟶ Y\n⊢ (toΓSpec ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj X)).val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap (Γ.rightOp.map f).unop).val.base =\n    ((𝟭 LocallyRingedSpace).map f ≫ toΓSpec Y).val.base\n[PROOFSTEP]\next1 x\n[GOAL]\ncase w.w\nX Y : LocallyRingedSpace\nf : X ⟶ Y\nx : (forget TopCat).obj ↑((𝟭 LocallyRingedSpace).obj X).toPresheafedSpace\n⊢ ↑((toΓSpec ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj X)).val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap (Γ.rightOp.map f).unop).val.base)\n      x =\n    ↑((𝟭 LocallyRingedSpace).map f ≫ toΓSpec Y).val.base x\n[PROOFSTEP]\ndsimp [Spec.topMap, LocallyRingedSpace.toΓSpecFun]\n  --Porting Note: Had to add the next four lines\n[GOAL]\ncase w.w\nX Y : LocallyRingedSpace\nf : X ⟶ Y\nx : (forget TopCat).obj ↑((𝟭 LocallyRingedSpace).obj X).toPresheafedSpace\n⊢ ↑(toΓSpecBase X ≫ PrimeSpectrum.comap (NatTrans.app f.val.c (op ⊤))) x = ↑(f.val.base ≫ toΓSpecBase Y) x\n[PROOFSTEP]\nrw [comp_apply, comp_apply]\n[GOAL]\ncase w.w\nX Y : LocallyRingedSpace\nf : X ⟶ Y\nx : (forget TopCat).obj ↑((𝟭 LocallyRingedSpace).obj X).toPresheafedSpace\n⊢ ↑(PrimeSpectrum.comap (NatTrans.app f.val.c (op ⊤))) (↑(toΓSpecBase X) x) = ↑(toΓSpecBase Y) (↑f.val.base x)\n[PROOFSTEP]\ndsimp [toΓSpecBase]\n[GOAL]\ncase w.w\nX Y : LocallyRingedSpace\nf : X ⟶ Y\nx : (forget TopCat).obj ↑((𝟭 LocallyRingedSpace).obj X).toPresheafedSpace\n⊢ ↑(PrimeSpectrum.comap (NatTrans.app f.val.c (op ⊤))) (↑(ContinuousMap.mk (toΓSpecFun X)) x) =\n    ↑(ContinuousMap.mk (toΓSpecFun Y)) (↑f.val.base x)\n[PROOFSTEP]\nrw [ContinuousMap.coe_mk, ContinuousMap.coe_mk]\n[GOAL]\ncase w.w\nX Y : LocallyRingedSpace\nf : X ⟶ Y\nx : (forget TopCat).obj ↑((𝟭 LocallyRingedSpace).obj X).toPresheafedSpace\n⊢ ↑(PrimeSpectrum.comap (NatTrans.app f.val.c (op ⊤))) (toΓSpecFun X x) = toΓSpecFun Y (↑f.val.base x)\n[PROOFSTEP]\ndsimp [toΓSpecFun]\n[GOAL]\ncase w.w\nX Y : LocallyRingedSpace\nf : X ⟶ Y\nx : (forget TopCat).obj ↑((𝟭 LocallyRingedSpace).obj X).toPresheafedSpace\n⊢ ↑(PrimeSpectrum.comap (NatTrans.app f.val.c (op ⊤)))\n      (↑(PrimeSpectrum.comap (ΓToStalk X x)) (LocalRing.closedPoint ↑(TopCat.Presheaf.stalk X.presheaf x))) =\n    ↑(PrimeSpectrum.comap (ΓToStalk Y (↑f.val.base x)))\n      (LocalRing.closedPoint ↑(TopCat.Presheaf.stalk Y.presheaf (↑f.val.base x)))\n[PROOFSTEP]\nrw [← LocalRing.comap_closedPoint (PresheafedSpace.stalkMap f.val x), ← PrimeSpectrum.comap_comp_apply, ←\n  PrimeSpectrum.comap_comp_apply]\n[GOAL]\ncase w.w\nX Y : LocallyRingedSpace\nf : X ⟶ Y\nx : (forget TopCat).obj ↑((𝟭 LocallyRingedSpace).obj X).toPresheafedSpace\n⊢ ↑(PrimeSpectrum.comap (RingHom.comp (ΓToStalk X x) (NatTrans.app f.val.c (op ⊤))))\n      (LocalRing.closedPoint ↑(TopCat.Presheaf.stalk X.presheaf x)) =\n    ↑(PrimeSpectrum.comap (RingHom.comp (PresheafedSpace.stalkMap f.val x) (ΓToStalk Y (↑f.val.base x))))\n      (LocalRing.closedPoint ↑(PresheafedSpace.stalk X.toPresheafedSpace x))\n[PROOFSTEP]\ncongr 2\n[GOAL]\ncase w.w.e_a.e_f\nX Y : LocallyRingedSpace\nf : X ⟶ Y\nx : (forget TopCat).obj ↑((𝟭 LocallyRingedSpace).obj X).toPresheafedSpace\n⊢ RingHom.comp (ΓToStalk X x) (NatTrans.app f.val.c (op ⊤)) =\n    RingHom.comp (PresheafedSpace.stalkMap f.val x) (ΓToStalk Y (↑f.val.base x))\n[PROOFSTEP]\nexact (PresheafedSpace.stalkMap_germ f.1 ⊤ ⟨x, trivial⟩).symm\n[GOAL]\ncase h\nX Y : LocallyRingedSpace\nf : X ⟶ Y\n⊢ ∀ (r : ↑(Γ.rightOp.obj Y).unop),\n    (Γ.rightOp.map f).unop ≫\n        ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj X).presheaf.map\n          (homOfLE (_ : (Opens.map ((𝟭 LocallyRingedSpace).map f ≫ toΓSpec Y).val.base).obj (basicOpen r) ≤ ⊤)).op =\n      toOpen (↑(Γ.rightOp.obj Y).unop) (basicOpen r) ≫\n        NatTrans.app ((𝟭 LocallyRingedSpace).map f ≫ toΓSpec Y).val.c (op (basicOpen r))\n[PROOFSTEP]\nintro r\n[GOAL]\ncase h\nX Y : LocallyRingedSpace\nf : X ⟶ Y\nr : ↑(Γ.rightOp.obj Y).unop\n⊢ (Γ.rightOp.map f).unop ≫\n      ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj X).presheaf.map\n        (homOfLE (_ : (Opens.map ((𝟭 LocallyRingedSpace).map f ≫ toΓSpec Y).val.base).obj (basicOpen r) ≤ ⊤)).op =\n    toOpen (↑(Γ.rightOp.obj Y).unop) (basicOpen r) ≫\n      NatTrans.app ((𝟭 LocallyRingedSpace).map f ≫ toΓSpec Y).val.c (op (basicOpen r))\n[PROOFSTEP]\nrw [LocallyRingedSpace.comp_val_c_app, ← Category.assoc]\n[GOAL]\ncase h\nX Y : LocallyRingedSpace\nf : X ⟶ Y\nr : ↑(Γ.rightOp.obj Y).unop\n⊢ (Γ.rightOp.map f).unop ≫\n      ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj X).presheaf.map\n        (homOfLE (_ : (Opens.map ((𝟭 LocallyRingedSpace).map f ≫ toΓSpec Y).val.base).obj (basicOpen r) ≤ ⊤)).op =\n    (toOpen (↑(Γ.rightOp.obj Y).unop) (basicOpen r) ≫ NatTrans.app (toΓSpec Y).val.c (op (basicOpen r))) ≫\n      NatTrans.app ((𝟭 LocallyRingedSpace).map f).val.c\n        (op ((Opens.map (toΓSpec Y).val.base).obj (op (basicOpen r)).unop))\n[PROOFSTEP]\nerw [Y.toΓSpecSheafedSpace_app_spec, f.1.c.naturality]\n[GOAL]\ncase h\nX Y : LocallyRingedSpace\nf : X ⟶ Y\nr : ↑(Γ.rightOp.obj Y).unop\n⊢ (Γ.rightOp.map f).unop ≫\n      ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj X).presheaf.map\n        (homOfLE (_ : (Opens.map ((𝟭 LocallyRingedSpace).map f ≫ toΓSpec Y).val.base).obj (basicOpen r) ≤ ⊤)).op =\n    NatTrans.app f.val.c (op ⊤) ≫ (f.val.base _* X.presheaf).map (Opens.leTop (toΓSpecMapBasicOpen Y r)).op\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : CommRingCat\n⊢ NatTrans.app identityToΓSpec (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)) ≫\n      Spec.toLocallyRingedSpace.map (NatTrans.app SpecΓIdentity.inv R).op =\n    𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))\n[PROOFSTEP]\napply LocallyRingedSpace.comp_ring_hom_ext\n[GOAL]\ncase w\nR : CommRingCat\n⊢ (toΓSpec ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))).val.base ≫\n      (Spec.locallyRingedSpaceMap (NatTrans.app SpecΓIdentity.inv R).op.unop).val.base =\n    (𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))).val.base\n[PROOFSTEP]\next (p : PrimeSpectrum R)\n[GOAL]\ncase w.w\nR : CommRingCat\np : PrimeSpectrum ↑R\n⊢ ↑((toΓSpec ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))).val.base ≫\n          (Spec.locallyRingedSpaceMap (NatTrans.app SpecΓIdentity.inv R).op.unop).val.base)\n      p =\n    ↑(𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))).val.base p\n[PROOFSTEP]\nchange _ = p\n[GOAL]\ncase w.w\nR : CommRingCat\np : PrimeSpectrum ↑R\n⊢ ↑((toΓSpec ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))).val.base ≫\n          (Spec.locallyRingedSpaceMap (NatTrans.app SpecΓIdentity.inv R).op.unop).val.base)\n      p =\n    p\n[PROOFSTEP]\next x\n[GOAL]\ncase w.w.asIdeal.h\nR : CommRingCat\np : PrimeSpectrum ↑R\nx : ↑(op ((𝟭 CommRingCat).obj R)).unop\n⊢ x ∈\n      (↑((toΓSpec ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))).val.base ≫\n              (Spec.locallyRingedSpaceMap (NatTrans.app SpecΓIdentity.inv R).op.unop).val.base)\n          p).asIdeal ↔\n    x ∈ p.asIdeal\n[PROOFSTEP]\nerw [← IsLocalization.AtPrime.to_map_mem_maximal_iff ((structureSheaf R).presheaf.stalk p) p.asIdeal x]\n[GOAL]\ncase w.w.asIdeal.h\nR : CommRingCat\np : PrimeSpectrum ↑R\nx : ↑(op ((𝟭 CommRingCat).obj R)).unop\n⊢ x ∈\n      (↑((toΓSpec ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))).val.base ≫\n              (Spec.locallyRingedSpaceMap (NatTrans.app SpecΓIdentity.inv R).op.unop).val.base)\n          p).asIdeal ↔\n    ↑(algebraMap ↑R ↑(TopCat.Presheaf.stalk (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑R)) p)) x ∈\n      LocalRing.maximalIdeal ↑(TopCat.Presheaf.stalk (TopCat.Sheaf.presheaf (structureSheaf ↑R)) p)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase h\nR : CommRingCat\n⊢ ∀ (r : ↑(op ((𝟭 CommRingCat).obj R)).unop),\n    (NatTrans.app SpecΓIdentity.inv R).op.unop ≫\n        ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R))).presheaf.map\n          (homOfLE\n              (_ :\n                (Opens.map (𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))).val.base).obj\n                    (basicOpen r) ≤\n                  ⊤)).op =\n      toOpen (↑(op ((𝟭 CommRingCat).obj R)).unop) (basicOpen r) ≫\n        NatTrans.app (𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))).val.c (op (basicOpen r))\n[PROOFSTEP]\nintro r\n[GOAL]\ncase h\nR : CommRingCat\nr : ↑(op ((𝟭 CommRingCat).obj R)).unop\n⊢ (NatTrans.app SpecΓIdentity.inv R).op.unop ≫\n      ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R))).presheaf.map\n        (homOfLE\n            (_ :\n              (Opens.map (𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))).val.base).obj\n                  (basicOpen r) ≤\n                ⊤)).op =\n    toOpen (↑(op ((𝟭 CommRingCat).obj R)).unop) (basicOpen r) ≫\n      NatTrans.app (𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)))).val.c (op (basicOpen r))\n[PROOFSTEP]\napply toOpen_res\n[GOAL]\n⊢ whiskerRight identityToΓSpec Γ.rightOp ≫\n      (Functor.associator Γ.rightOp Spec.toLocallyRingedSpace Γ.rightOp).hom ≫\n        whiskerLeft Γ.rightOp (NatIso.op SpecΓIdentity).inv =\n    NatTrans.id (𝟭 LocallyRingedSpace ⋙ Γ.rightOp)\n[PROOFSTEP]\next X\n[GOAL]\ncase w.h\nX : LocallyRingedSpace\n⊢ NatTrans.app\n      (whiskerRight identityToΓSpec Γ.rightOp ≫\n        (Functor.associator Γ.rightOp Spec.toLocallyRingedSpace Γ.rightOp).hom ≫\n          whiskerLeft Γ.rightOp (NatIso.op SpecΓIdentity).inv)\n      X =\n    NatTrans.app (NatTrans.id (𝟭 LocallyRingedSpace ⋙ Γ.rightOp)) X\n[PROOFSTEP]\nerw [Category.id_comp]\n[GOAL]\ncase w.h\nX : LocallyRingedSpace\n⊢ NatTrans.app (whiskerRight identityToΓSpec Γ.rightOp ≫ whiskerLeft Γ.rightOp (NatIso.op SpecΓIdentity).inv) X =\n    NatTrans.app (NatTrans.id (𝟭 LocallyRingedSpace ⋙ Γ.rightOp)) X\n[PROOFSTEP]\nexact congr_arg Quiver.Hom.op (left_triangle X)\n[GOAL]\n⊢ whiskerLeft Spec.toLocallyRingedSpace identityToΓSpec ≫\n      (Functor.associator Spec.toLocallyRingedSpace Γ.rightOp Spec.toLocallyRingedSpace).inv ≫\n        whiskerRight (NatIso.op SpecΓIdentity).inv Spec.toLocallyRingedSpace =\n    NatTrans.id (Spec.toLocallyRingedSpace ⋙ 𝟭 LocallyRingedSpace)\n[PROOFSTEP]\next R : 2\n  -- Porting note : a little bit hand holding\n[GOAL]\ncase w.h\nR : CommRingCatᵒᵖ\n⊢ NatTrans.app\n      (whiskerLeft Spec.toLocallyRingedSpace identityToΓSpec ≫\n        (Functor.associator Spec.toLocallyRingedSpace Γ.rightOp Spec.toLocallyRingedSpace).inv ≫\n          whiskerRight (NatIso.op SpecΓIdentity).inv Spec.toLocallyRingedSpace)\n      R =\n    NatTrans.app (NatTrans.id (Spec.toLocallyRingedSpace ⋙ 𝟭 LocallyRingedSpace)) R\n[PROOFSTEP]\nchange identityToΓSpec.app _ ≫ 𝟙 _ ≫ Spec.toLocallyRingedSpace.map _ = 𝟙 _\n[GOAL]\ncase w.h\nR : CommRingCatᵒᵖ\n⊢ NatTrans.app identityToΓSpec (Spec.locallyRingedSpaceObj R.unop) ≫\n      𝟙 ((Γ.rightOp ⋙ Spec.toLocallyRingedSpace).obj (Spec.locallyRingedSpaceObj R.unop)) ≫\n        Spec.toLocallyRingedSpace.map (NatTrans.app (NatIso.op SpecΓIdentity).inv R) =\n    𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.locallyRingedSpaceObj R.unop))\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [Category.id_comp, show (NatIso.op SpecΓIdentity).inv.app R = (SpecΓIdentity.inv.app R.unop).op from rfl]\n[GOAL]\ncase w.h\nR : CommRingCatᵒᵖ\n⊢ NatTrans.app identityToΓSpec (Spec.locallyRingedSpaceObj R.unop) ≫\n      Spec.toLocallyRingedSpace.map (NatTrans.app SpecΓIdentity.inv R.unop).op =\n    𝟙 ((𝟭 LocallyRingedSpace).obj (Spec.locallyRingedSpaceObj R.unop))\n[PROOFSTEP]\nexact right_triangle R.unop\n[GOAL]\nX : Scheme\nR : CommRingCatᵒᵖ\nf : op (Scheme.Γ.obj (op X)) ⟶ R\n⊢ ↑(Adjunction.homEquiv adjunction X R) f =\n    ↑(Adjunction.homEquiv locallyRingedSpaceAdjunction X.toLocallyRingedSpace R) f\n[PROOFSTEP]\ndsimp [adjunction, Adjunction.restrictFullyFaithful]\n[GOAL]\nX : Scheme\nR : CommRingCatᵒᵖ\nf : op (Scheme.Γ.obj (op X)) ⟶ R\n⊢ ↑(equivOfFullyFaithful Scheme.forgetToLocallyRingedSpace).symm\n      (𝟙 X.toLocallyRingedSpace ≫\n        ↑(Adjunction.homEquiv locallyRingedSpaceAdjunction X.toLocallyRingedSpace R)\n            (𝟙 (op (X.presheaf.obj (op ⊤))) ≫ ↑(equivOfFullyFaithful (𝟭 CommRingCatᵒᵖ)) f ≫ 𝟙 R) ≫\n          𝟙 (Spec.locallyRingedSpaceObj R.unop)) =\n    ↑(Adjunction.homEquiv locallyRingedSpaceAdjunction X.toLocallyRingedSpace R) f\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Category.comp_id, Category.id_comp]\n[GOAL]\nX : Scheme\nR : CommRingCatᵒᵖ\nf : op (Scheme.Γ.obj (op X)) ⟶ R\n⊢ ↑(equivOfFullyFaithful Scheme.forgetToLocallyRingedSpace).symm\n      (↑(Adjunction.homEquiv locallyRingedSpaceAdjunction X.toLocallyRingedSpace R)\n        (↑(equivOfFullyFaithful (𝟭 CommRingCatᵒᵖ)) f)) =\n    ↑(Adjunction.homEquiv locallyRingedSpaceAdjunction X.toLocallyRingedSpace R) f\n[PROOFSTEP]\nrfl\n  --Porting Note: Added\n[GOAL]\nX : Scheme\nR : CommRingCatᵒᵖ\nf : X ⟶ Scheme.Spec.obj R\n⊢ ↑(Adjunction.homEquiv adjunction X R).symm f =\n    ↑(Adjunction.homEquiv locallyRingedSpaceAdjunction X.toLocallyRingedSpace R).symm f\n[PROOFSTEP]\nrw [adjunction_homEquiv]\n[GOAL]\nX : Scheme\nR : CommRingCatᵒᵖ\nf : X ⟶ Scheme.Spec.obj R\n⊢ ↑(Adjunction.homEquiv locallyRingedSpaceAdjunction X.toLocallyRingedSpace R).symm f =\n    ↑(Adjunction.homEquiv locallyRingedSpaceAdjunction X.toLocallyRingedSpace R).symm f\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : CommRingCatᵒᵖ\n⊢ NatTrans.app adjunction.counit R = NatTrans.app locallyRingedSpaceAdjunction.counit R\n[PROOFSTEP]\nrw [← Adjunction.homEquiv_symm_id, ← Adjunction.homEquiv_symm_id, adjunction_homEquiv_symm_apply]\n[GOAL]\nR : CommRingCatᵒᵖ\n⊢ ↑(Adjunction.homEquiv locallyRingedSpaceAdjunction (Scheme.Spec.obj R).toLocallyRingedSpace R).symm\n      (𝟙 (Scheme.Spec.obj R)) =\n    ↑(Adjunction.homEquiv locallyRingedSpaceAdjunction (Spec.toLocallyRingedSpace.obj R) R).symm\n      (𝟙 (Spec.toLocallyRingedSpace.obj R))\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nX : Scheme\n⊢ NatTrans.app adjunction.unit X = NatTrans.app locallyRingedSpaceAdjunction.unit X.toLocallyRingedSpace\n[PROOFSTEP]\nrw [← Adjunction.homEquiv_id, ← Adjunction.homEquiv_id, adjunction_homEquiv_apply]\n[GOAL]\nX : Scheme\n⊢ ↑(Adjunction.homEquiv locallyRingedSpaceAdjunction X.toLocallyRingedSpace (Scheme.Γ.rightOp.obj X))\n      (𝟙 (Scheme.Γ.rightOp.obj X)) =\n    ↑(Adjunction.homEquiv locallyRingedSpaceAdjunction X.toLocallyRingedSpace (Γ.rightOp.obj X.toLocallyRingedSpace))\n      (𝟙 (Γ.rightOp.obj X.toLocallyRingedSpace))\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\n⊢ IsIso locallyRingedSpaceAdjunction.counit\n[PROOFSTEP]\ndsimp only [locallyRingedSpaceAdjunction, Adjunction.mkOfUnitCounit_counit]\n  -- Porting Note: `dsimp` was unnecessary and had to make this explicit\n[GOAL]\n⊢ IsIso (NatIso.op SpecΓIdentity).inv\n[PROOFSTEP]\nconvert IsIso.of_iso_inv (NatIso.op SpecΓIdentity) using 1\n[GOAL]\n⊢ IsIso adjunction.counit\n[PROOFSTEP]\napply (config := { allowSynthFailures := true }) NatIso.isIso_of_isIso_app\n[GOAL]\ncase inst\n⊢ ∀ (X : CommRingCatᵒᵖ), IsIso (NatTrans.app adjunction.counit X)\n[PROOFSTEP]\nintro R\n[GOAL]\ncase inst\nR : CommRingCatᵒᵖ\n⊢ IsIso (NatTrans.app adjunction.counit R)\n[PROOFSTEP]\nrw [adjunction_counit_app]\n[GOAL]\ncase inst\nR : CommRingCatᵒᵖ\n⊢ IsIso (NatTrans.app locallyRingedSpaceAdjunction.counit R)\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\nX : Scheme\n⊢ NatTrans.app (NatTrans.app adjunction.unit X).val.c (op ⊤) = NatTrans.app SpecΓIdentity.hom (X.presheaf.obj (op ⊤))\n[PROOFSTEP]\nhave := congr_app ΓSpec.adjunction.left_triangle X\n[GOAL]\nX : Scheme\nthis :\n  NatTrans.app (whiskerRight adjunction.unit Scheme.Γ.rightOp ≫ whiskerLeft Scheme.Γ.rightOp adjunction.counit) X =\n    NatTrans.app (𝟙 (𝟭 Scheme ⋙ Scheme.Γ.rightOp)) X\n⊢ NatTrans.app (NatTrans.app adjunction.unit X).val.c (op ⊤) = NatTrans.app SpecΓIdentity.hom (X.presheaf.obj (op ⊤))\n[PROOFSTEP]\ndsimp at this \n[GOAL]\nX : Scheme\nthis :\n  (NatTrans.app (NatTrans.app adjunction.unit X).val.c (op ⊤)).op ≫\n      NatTrans.app adjunction.counit (op (X.presheaf.obj (op ⊤))) =\n    𝟙 (op (X.presheaf.obj (op ⊤)))\n⊢ NatTrans.app (NatTrans.app adjunction.unit X).val.c (op ⊤) = NatTrans.app SpecΓIdentity.hom (X.presheaf.obj (op ⊤))\n[PROOFSTEP]\nrw [← IsIso.eq_comp_inv] at this \n[GOAL]\nX : Scheme\nthis :\n  (NatTrans.app (NatTrans.app adjunction.unit X).val.c (op ⊤)).op =\n    𝟙 (op (X.presheaf.obj (op ⊤))) ≫ inv (NatTrans.app adjunction.counit (op (X.presheaf.obj (op ⊤))))\n⊢ NatTrans.app (NatTrans.app adjunction.unit X).val.c (op ⊤) = NatTrans.app SpecΓIdentity.hom (X.presheaf.obj (op ⊤))\n[PROOFSTEP]\nsimp only [adjunction_counit_app, locallyRingedSpaceAdjunction_counit, NatIso.op_inv, NatTrans.op_app, unop_op,\n  Functor.id_obj, Functor.comp_obj, Functor.rightOp_obj, Spec.toLocallyRingedSpace_obj, Γ_obj,\n  Spec.locallyRingedSpaceObj_toSheafedSpace, Spec.sheafedSpaceObj_carrier, Spec.sheafedSpaceObj_presheaf,\n  SpecΓIdentity_inv_app, Category.id_comp] at this \n[GOAL]\nX : Scheme\nthis : (NatTrans.app (NatTrans.app adjunction.unit X).val.c (op ⊤)).op = inv (toSpecΓ (X.presheaf.obj (op ⊤))).op\n⊢ NatTrans.app (NatTrans.app adjunction.unit X).val.c (op ⊤) = NatTrans.app SpecΓIdentity.hom (X.presheaf.obj (op ⊤))\n[PROOFSTEP]\nrw [← op_inv, Quiver.Hom.op_inj.eq_iff] at this \n[GOAL]\nX : Scheme\nthis : NatTrans.app (NatTrans.app adjunction.unit X).val.c (op ⊤) = inv (toSpecΓ (X.presheaf.obj (op ⊤)))\n⊢ NatTrans.app (NatTrans.app adjunction.unit X).val.c (op ⊤) = NatTrans.app SpecΓIdentity.hom (X.presheaf.obj (op ⊤))\n[PROOFSTEP]\nrw [SpecΓIdentity_hom_app]\n[GOAL]\nX : Scheme\nthis : NatTrans.app (NatTrans.app adjunction.unit X).val.c (op ⊤) = inv (toSpecΓ (X.presheaf.obj (op ⊤)))\n⊢ NatTrans.app (NatTrans.app adjunction.unit X).val.c (op ⊤) = inv (toSpecΓ (X.presheaf.obj (op ⊤)))\n[PROOFSTEP]\nconvert this using 1\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.AlgebraicGeometry.GammaSpecAdjunction", "llama_tokens": 25179, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nM : Monad C\n⊢ MonoidalCategory.tensorHom (μ M) (𝟙 M.toFunctor) ≫ μ M =\n    (MonoidalCategory.associator M.toFunctor M.toFunctor M.toFunctor).hom ≫\n      MonoidalCategory.tensorHom (𝟙 M.toFunctor) (μ M) ≫ μ M\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase w.h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nM : Monad C\nx✝ : C\n⊢ NatTrans.app (MonoidalCategory.tensorHom (μ M) (𝟙 M.toFunctor) ≫ μ M) x✝ =\n    NatTrans.app\n      ((MonoidalCategory.associator M.toFunctor M.toFunctor M.toFunctor).hom ≫\n        MonoidalCategory.tensorHom (𝟙 M.toFunctor) (μ M) ≫ μ M)\n      x✝\n[PROOFSTEP]\nsimp [M.assoc]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nM : Mon_ (C ⥤ C)\nX : C\n⊢ M.X.map (NatTrans.app M.mul X) ≫ NatTrans.app M.mul X = NatTrans.app M.mul (M.X.obj X) ≫ NatTrans.app M.mul X\n[PROOFSTEP]\nrw [← NatTrans.hcomp_id_app, ← NatTrans.comp_app]\n  -- Porting note: had to add this step:\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nM : Mon_ (C ⥤ C)\nX : C\n⊢ NatTrans.app ((M.mul ◫ 𝟙 M.X) ≫ M.mul) X = NatTrans.app M.mul (M.X.obj X) ≫ NatTrans.app M.mul X\n[PROOFSTEP]\nerw [M.mul_assoc]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nM : Mon_ (C ⥤ C)\nX : C\n⊢ NatTrans.app ((MonoidalCategory.associator M.X M.X M.X).hom ≫ MonoidalCategory.tensorHom (𝟙 M.X) M.mul ≫ M.mul) X =\n    NatTrans.app M.mul (M.X.obj X) ≫ NatTrans.app M.mul X\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nM : Mon_ (C ⥤ C)\nX : C\n⊢ NatTrans.app M.one (M.X.obj X) ≫ NatTrans.app M.mul X = 𝟙 ((𝟭 C).obj (M.X.obj X))\n[PROOFSTEP]\nerw [← NatTrans.id_hcomp_app M.one, ← NatTrans.comp_app, M.mul_one]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nM : Mon_ (C ⥤ C)\nX : C\n⊢ NatTrans.app (MonoidalCategory.rightUnitor M.X).hom X = 𝟙 ((𝟭 C).obj (M.X.obj X))\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nM : Mon_ (C ⥤ C)\nX : C\n⊢ M.X.map (NatTrans.app M.one X) ≫ NatTrans.app M.mul X = 𝟙 (M.X.obj ((𝟭 C).obj X))\n[PROOFSTEP]\nerw [← NatTrans.hcomp_id_app M.one, ← NatTrans.comp_app, M.one_mul]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nM : Mon_ (C ⥤ C)\nX : C\n⊢ NatTrans.app (MonoidalCategory.leftUnitor M.X).hom X = 𝟙 (M.X.obj ((𝟭 C).obj X))\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX Y : Mon_ (C ⥤ C)\nf : X ⟶ Y\nsrc✝ : X.X ⟶ Y.X := f.hom\n⊢ ∀ (X_1 : C), NatTrans.app (η (ofMon X)) X_1 ≫ NatTrans.app (NatTrans.mk src✝.app) X_1 = NatTrans.app (η (ofMon Y)) X_1\n[PROOFSTEP]\nintro X\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX✝ Y : Mon_ (C ⥤ C)\nf : X✝ ⟶ Y\nsrc✝ : X✝.X ⟶ Y.X := f.hom\nX : C\n⊢ NatTrans.app (η (ofMon X✝)) X ≫ NatTrans.app (NatTrans.mk src✝.app) X = NatTrans.app (η (ofMon Y)) X\n[PROOFSTEP]\nerw [← NatTrans.comp_app, f.one_hom]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX✝ Y : Mon_ (C ⥤ C)\nf : X✝ ⟶ Y\nsrc✝ : X✝.X ⟶ Y.X := f.hom\nX : C\n⊢ NatTrans.app Y.one X = NatTrans.app (η (ofMon Y)) X\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX Y : Mon_ (C ⥤ C)\nf : X ⟶ Y\nsrc✝ : X.X ⟶ Y.X := f.hom\n⊢ ∀ (X_1 : C),\n    NatTrans.app (μ (ofMon X)) X_1 ≫ NatTrans.app (NatTrans.mk src✝.app) X_1 =\n      ((ofMon X).toFunctor.map (NatTrans.app (NatTrans.mk src✝.app) X_1) ≫\n          NatTrans.app (NatTrans.mk src✝.app) ((ofMon Y).toFunctor.obj X_1)) ≫\n        NatTrans.app (μ (ofMon Y)) X_1\n[PROOFSTEP]\nintro Z\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX Y : Mon_ (C ⥤ C)\nf : X ⟶ Y\nsrc✝ : X.X ⟶ Y.X := f.hom\nZ : C\n⊢ NatTrans.app (μ (ofMon X)) Z ≫ NatTrans.app (NatTrans.mk src✝.app) Z =\n    ((ofMon X).toFunctor.map (NatTrans.app (NatTrans.mk src✝.app) Z) ≫\n        NatTrans.app (NatTrans.mk src✝.app) ((ofMon Y).toFunctor.obj Z)) ≫\n      NatTrans.app (μ (ofMon Y)) Z\n[PROOFSTEP]\nerw [← NatTrans.comp_app, f.mul_hom]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX Y : Mon_ (C ⥤ C)\nf : X ⟶ Y\nsrc✝ : X.X ⟶ Y.X := f.hom\nZ : C\n⊢ NatTrans.app (MonoidalCategory.tensorHom f.hom f.hom ≫ Y.mul) Z =\n    ((ofMon X).toFunctor.map (NatTrans.app (NatTrans.mk src✝.app) Z) ≫\n        NatTrans.app (NatTrans.mk src✝.app) ((ofMon Y).toFunctor.obj Z)) ≫\n      NatTrans.app (μ (ofMon Y)) Z\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX Y : Mon_ (C ⥤ C)\nf : X ⟶ Y\nsrc✝ : X.X ⟶ Y.X := f.hom\nZ : C\n⊢ (NatTrans.app f.hom (X.X.obj Z) ≫ Y.X.map (NatTrans.app f.hom Z)) ≫ NatTrans.app Y.mul Z =\n    ((ofMon X).toFunctor.map (NatTrans.app f.hom Z) ≫ NatTrans.app f.hom (Y.X.obj Z)) ≫ NatTrans.app Y.mul Z\n[PROOFSTEP]\nsimp only [NatTrans.naturality, NatTrans.hcomp_app, assoc, NatTrans.comp_app, ofMon_μ]\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.CategoryTheory.Monad.EquivMon", "llama_tokens": 2307, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. YES\n2. NO", "lm_q1_score": 0.523420348936324, "lm_q2_score": 0.4532618480153861, "lm_q1q2_score": 0.2372464746477365}}
{"text": "[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nT : Monad C\nA B : Algebra T\nh : A.A ≅ B.A\nw : autoParam (T.map h.hom ≫ B.a = A.a ≫ h.hom) _auto✝\n⊢ T.map h.inv ≫ A.a = B.a ≫ h.inv\n[PROOFSTEP]\nrw [h.eq_comp_inv, Category.assoc, ← w, ← Functor.map_comp_assoc]\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nT : Monad C\nA B : Algebra T\nh : A.A ≅ B.A\nw : autoParam (T.map h.hom ≫ B.a = A.a ≫ h.hom) _auto✝\n⊢ T.map (h.inv ≫ h.hom) ≫ B.a = B.a\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nT : Monad C\nX : C\nY : Algebra T\nf : X ⟶ (forget T).obj Y\n⊢ T.map (T.map f ≫ Y.a) ≫ Y.a = ((free T).obj X).a ≫ T.map f ≫ Y.a\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nT : Monad C\nX : C\nY : Algebra T\nf : X ⟶ (forget T).obj Y\n⊢ T.map (T.map f ≫ Y.a) ≫ Y.a = NatTrans.app (μ T) X ≫ T.map f ≫ Y.a\n[PROOFSTEP]\nsimp [← Y.assoc, ← T.μ.naturality_assoc]\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nT : Monad C\nX : C\nY : Algebra T\nf : (free T).obj X ⟶ Y\n⊢ (fun f => Algebra.Hom.mk (T.map f ≫ Y.a)) ((fun f => NatTrans.app (η T) X ≫ f.f) f) = f\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nT : Monad C\nX : C\nY : Algebra T\nf : (free T).obj X ⟶ Y\n⊢ ((fun f => Algebra.Hom.mk (T.map f ≫ Y.a)) ((fun f => NatTrans.app (η T) X ≫ f.f) f)).f = f.f\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nT : Monad C\nX : C\nY : Algebra T\nf : (free T).obj X ⟶ Y\n⊢ T.map (NatTrans.app (η T) X ≫ f.f) ≫ Y.a = f.f\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nT : Monad C\nX : C\nY : Algebra T\nf : X ⟶ (forget T).obj Y\n⊢ (fun f => NatTrans.app (η T) X ≫ f.f) ((fun f => Algebra.Hom.mk (T.map f ≫ Y.a)) f) = f\n[PROOFSTEP]\ndsimp only [forget_obj]\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nT : Monad C\nX : C\nY : Algebra T\nf : X ⟶ (forget T).obj Y\n⊢ NatTrans.app (η T) X ≫ T.map f ≫ Y.a = f\n[PROOFSTEP]\nrw [← T.η.naturality_assoc, Y.unit]\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nT : Monad C\nX : C\nY : Algebra T\nf : X ⟶ (forget T).obj Y\n⊢ (𝟭 C).map f ≫ 𝟙 Y.A = f\n[PROOFSTEP]\napply Category.comp_id\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C\nT : Monad C\nA B : Algebra T\nf : A ⟶ B\ninst✝ : IsIso f.f\n⊢ T.map (inv f.f) ≫ A.a = B.a ≫ inv f.f\n[PROOFSTEP]\nrw [IsIso.eq_comp_inv f.f, Category.assoc, ← f.h]\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C\nT : Monad C\nA B : Algebra T\nf : A ⟶ B\ninst✝ : IsIso f.f\n⊢ T.map (inv f.f) ≫ T.map f.f ≫ B.a = B.a\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C\nT : Monad C\nA B : Algebra T\nf : A ⟶ B\ninst✝ : IsIso f.f\n⊢ f ≫ Algebra.Hom.mk (inv f.f) = 𝟙 A ∧ Algebra.Hom.mk (inv f.f) ≫ f = 𝟙 B\n[PROOFSTEP]\naesop_cat\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nT T₁ T₂ : Monad C\nh : T₂ ⟶ T₁\nA : Algebra T₁\n⊢ NatTrans.app (η T₂) A.A ≫ NatTrans.app h.toNatTrans A.A ≫ A.a = 𝟙 A.A\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nT T₁ T₂ : Monad C\nh : T₂ ⟶ T₁\nA : Algebra T₁\n⊢ NatTrans.app (η T₂) A.A ≫ NatTrans.app h.toNatTrans A.A ≫ A.a = 𝟙 A.A\n[PROOFSTEP]\nsimp [A.unit]\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nT T₁ T₂ : Monad C\nh : T₂ ⟶ T₁\nA : Algebra T₁\n⊢ NatTrans.app (μ T₂) A.A ≫ NatTrans.app h.toNatTrans A.A ≫ A.a =\n    T₂.map (NatTrans.app h.toNatTrans A.A ≫ A.a) ≫ NatTrans.app h.toNatTrans A.A ≫ A.a\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nT T₁ T₂ : Monad C\nh : T₂ ⟶ T₁\nA : Algebra T₁\n⊢ NatTrans.app (μ T₂) A.A ≫ NatTrans.app h.toNatTrans A.A ≫ A.a =\n    T₂.map (NatTrans.app h.toNatTrans A.A ≫ A.a) ≫ NatTrans.app h.toNatTrans A.A ≫ A.a\n[PROOFSTEP]\nsimp [A.assoc]\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nT T₁ T₂ : Monad C\nh : T₁ ≅ T₂\n⊢ 𝟙 T₁ = h.hom ≫ h.inv\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nT T₁ T₂ : Monad C\nh : T₁ ≅ T₂\n⊢ h.inv ≫ h.hom = 𝟙 T₂\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nG : Comonad C\nA B : Coalgebra G\nh : A.A ≅ B.A\nw : autoParam (A.a ≫ G.map h.hom = h.hom ≫ B.a) _auto✝\n⊢ B.a ≫ G.map h.inv = h.inv ≫ A.a\n[PROOFSTEP]\nrw [h.eq_inv_comp, ← reassoc_of% w, ← Functor.map_comp]\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nG : Comonad C\nA B : Coalgebra G\nh : A.A ≅ B.A\nw : autoParam (A.a ≫ G.map h.hom = h.hom ≫ B.a) _auto✝\n⊢ A.a ≫ G.map (h.hom ≫ h.inv) = A.a\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nG : Comonad C\nX : Coalgebra G\nY : C\nf : (forget G).obj X ⟶ Y\n⊢ X.a ≫ G.map (X.a ≫ G.map f) = (X.a ≫ G.map f) ≫ ((cofree G).obj Y).a\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nG : Comonad C\nX : Coalgebra G\nY : C\nf : (forget G).obj X ⟶ Y\n⊢ X.a ≫ G.map (X.a ≫ G.map f) = (X.a ≫ G.map f) ≫ NatTrans.app (δ G) Y\n[PROOFSTEP]\nsimp [← Coalgebra.coassoc_assoc]\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nG : Comonad C\nX : Coalgebra G\nY : C\nf : (forget G).obj X ⟶ Y\n⊢ (fun g => g.f ≫ NatTrans.app (ε G) Y) ((fun f => Coalgebra.Hom.mk (X.a ≫ G.map f)) f) = f\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nG : Comonad C\nX : Coalgebra G\nY : C\nf : (forget G).obj X ⟶ Y\n⊢ (X.a ≫ G.map f) ≫ NatTrans.app (ε G) Y = f\n[PROOFSTEP]\nrw [Category.assoc, G.ε.naturality, Functor.id_map, X.counit_assoc]\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nG : Comonad C\nX : Coalgebra G\nY : C\ng : X ⟶ (cofree G).obj Y\n⊢ (fun f => Coalgebra.Hom.mk (X.a ≫ G.map f)) ((fun g => g.f ≫ NatTrans.app (ε G) Y) g) = g\n[PROOFSTEP]\next1\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nG : Comonad C\nX : Coalgebra G\nY : C\ng : X ⟶ (cofree G).obj Y\n⊢ ((fun f => Coalgebra.Hom.mk (X.a ≫ G.map f)) ((fun g => g.f ≫ NatTrans.app (ε G) Y) g)).f = g.f\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nG : Comonad C\nX : Coalgebra G\nY : C\ng : X ⟶ (cofree G).obj Y\n⊢ X.a ≫ G.map (g.f ≫ NatTrans.app (ε G) Y) = g.f\n[PROOFSTEP]\nrw [Functor.map_comp, g.h_assoc, cofree_obj_a, Comonad.right_counit]\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u₁\ninst✝ : Category.{v₁, u₁} C\nG : Comonad C\nX : Coalgebra G\nY : C\ng : X ⟶ (cofree G).obj Y\n⊢ g.f ≫ 𝟙 (G.obj Y) = g.f\n[PROOFSTEP]\napply comp_id\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C\nG : Comonad C\nA B : Coalgebra G\nf : A ⟶ B\ninst✝ : IsIso f.f\n⊢ B.a ≫ G.map (inv f.f) = inv f.f ≫ A.a\n[PROOFSTEP]\nrw [IsIso.eq_inv_comp f.f, ← f.h_assoc]\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C\nG : Comonad C\nA B : Coalgebra G\nf : A ⟶ B\ninst✝ : IsIso f.f\n⊢ A.a ≫ G.map f.f ≫ G.map (inv f.f) = A.a\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C\nG : Comonad C\nA B : Coalgebra G\nf : A ⟶ B\ninst✝ : IsIso f.f\n⊢ f ≫ Coalgebra.Hom.mk (inv f.f) = 𝟙 A ∧ Coalgebra.Hom.mk (inv f.f) ≫ f = 𝟙 B\n[PROOFSTEP]\naesop_cat\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.CategoryTheory.Monad.Algebra", "llama_tokens": 3658, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", 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{"text": "[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ns : KernelFork f\n⊢ Fork.ι s ≫ f = 0\n[PROOFSTEP]\nerw [Fork.condition, HasZeroMorphisms.comp_zero]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ns : KernelFork f\n⊢ NatTrans.app s.π one = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [Fork.app_one_eq_ι_comp_right]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nι : Z ⟶ X\nw : ι ≫ f = 0\n⊢ ι ≫ f = ι ≫ 0\n[PROOFSTEP]\nrw [w, HasZeroMorphisms.comp_zero]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ns : Fork f 0\n⊢ ∀ (j : WalkingParallelPair),\n    NatTrans.app s.π j = (Iso.refl s.pt).hom ≫ NatTrans.app (Fork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0)).π j\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨j⟩\n[GOAL]\ncase zero\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ns : Fork f 0\n⊢ NatTrans.app s.π zero =\n    (Iso.refl s.pt).hom ≫ NatTrans.app (Fork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0)).π zero\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase one\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ns : Fork f 0\n⊢ NatTrans.app s.π one =\n    (Iso.refl s.pt).hom ≫ NatTrans.app (Fork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0)).π one\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nP : C\nι ι' : P ⟶ X\nw : ι ≫ f = 0\nh : ι = ι'\n⊢ ι' ≫ f = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← h, w]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u'\ninst✝² : Category.{v, u'} D\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms D\nF : C ⥤ D\ninst✝ : IsEquivalence F\napp : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=\n  fun j =>\n    match j with\n    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)\n    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)\n⊢ ∀ {X_1 Y_1 : WalkingParallelPair} (f_1 : X_1 ⟶ Y_1),\n    (parallelPair f 0 ⋙ F).map f_1 ≫ (app Y_1).hom = (app X_1).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map f_1\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨i⟩ ⟨j⟩\n[GOAL]\ncase zero.zero\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u'\ninst✝² : Category.{v, u'} D\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms D\nF : C ⥤ D\ninst✝ : IsEquivalence F\napp : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=\n  fun j =>\n    match j with\n    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)\n    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)\n⊢ ∀ (f_1 : zero ⟶ zero),\n    (parallelPair f 0 ⋙ F).map f_1 ≫ (app zero).hom = (app zero).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map f_1\n[PROOFSTEP]\nintro g\n[GOAL]\ncase zero.one\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u'\ninst✝² : Category.{v, u'} D\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms D\nF : C ⥤ D\ninst✝ : IsEquivalence F\napp : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=\n  fun j =>\n    match j with\n    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)\n    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)\n⊢ ∀ (f_1 : zero ⟶ one),\n    (parallelPair f 0 ⋙ F).map f_1 ≫ (app one).hom = (app zero).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map f_1\n[PROOFSTEP]\nintro g\n[GOAL]\ncase one.zero\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u'\ninst✝² : Category.{v, u'} D\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms D\nF : C ⥤ D\ninst✝ : IsEquivalence F\napp : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=\n  fun j =>\n    match j with\n    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)\n    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)\n⊢ ∀ (f_1 : one ⟶ zero),\n    (parallelPair f 0 ⋙ F).map f_1 ≫ (app zero).hom = (app one).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map f_1\n[PROOFSTEP]\nintro g\n[GOAL]\ncase one.one\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u'\ninst✝² : Category.{v, u'} D\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms D\nF : C ⥤ D\ninst✝ : IsEquivalence F\napp : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=\n  fun j =>\n    match j with\n    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)\n    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)\n⊢ ∀ (f_1 : one ⟶ one),\n    (parallelPair f 0 ⋙ F).map f_1 ≫ (app one).hom = (app one).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map f_1\n[PROOFSTEP]\nintro g\n[GOAL]\ncase zero.zero\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u'\ninst✝² : Category.{v, u'} D\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms D\nF : C ⥤ D\ninst✝ : IsEquivalence F\napp : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=\n  fun j =>\n    match j with\n    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)\n    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)\ng : zero ⟶ zero\n⊢ (parallelPair f 0 ⋙ F).map g ≫ (app zero).hom = (app zero).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map g\n[PROOFSTEP]\ncases g\n[GOAL]\ncase zero.one\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u'\ninst✝² : Category.{v, u'} D\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms D\nF : C ⥤ D\ninst✝ : IsEquivalence F\napp : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=\n  fun j =>\n    match j with\n    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)\n    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)\ng : zero ⟶ one\n⊢ (parallelPair f 0 ⋙ F).map g ≫ (app one).hom = (app zero).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map g\n[PROOFSTEP]\ncases g\n[GOAL]\ncase one.zero\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u'\ninst✝² : Category.{v, u'} D\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms D\nF : C ⥤ D\ninst✝ : IsEquivalence F\napp : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=\n  fun j =>\n    match j with\n    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)\n    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)\ng : one ⟶ zero\n⊢ (parallelPair f 0 ⋙ F).map g ≫ (app zero).hom = (app one).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map g\n[PROOFSTEP]\ncases g\n[GOAL]\ncase one.one\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u'\ninst✝² : Category.{v, u'} D\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms D\nF : C ⥤ D\ninst✝ : IsEquivalence F\napp : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=\n  fun j =>\n    match j with\n    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)\n    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)\ng : one ⟶ one\n⊢ (parallelPair f 0 ⋙ F).map g ≫ (app one).hom = (app one).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map g\n[PROOFSTEP]\ncases g\n[GOAL]\ncase zero.zero.id\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u'\ninst✝² : Category.{v, u'} D\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms D\nF : C ⥤ D\ninst✝ : IsEquivalence F\napp : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=\n  fun j =>\n    match j with\n    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)\n    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)\n⊢ (parallelPair f 0 ⋙ F).map (WalkingParallelPairHom.id zero) ≫ (app zero).hom =\n    (app zero).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map (WalkingParallelPairHom.id zero)\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase zero.one.left\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u'\ninst✝² : Category.{v, u'} D\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms D\nF : C ⥤ D\ninst✝ : IsEquivalence F\napp : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=\n  fun j =>\n    match j with\n    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)\n    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)\n⊢ (parallelPair f 0 ⋙ F).map WalkingParallelPairHom.left ≫ (app one).hom =\n    (app zero).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map WalkingParallelPairHom.left\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase zero.one.right\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u'\ninst✝² : Category.{v, u'} D\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms D\nF : C ⥤ D\ninst✝ : IsEquivalence F\napp : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=\n  fun j =>\n    match j with\n    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)\n    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)\n⊢ (parallelPair f 0 ⋙ F).map WalkingParallelPairHom.right ≫ (app one).hom =\n    (app zero).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map WalkingParallelPairHom.right\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase one.one.id\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u'\ninst✝² : Category.{v, u'} D\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms D\nF : C ⥤ D\ninst✝ : IsEquivalence F\napp : (j : WalkingParallelPair) → (parallelPair f 0 ⋙ F).obj j ≅ (parallelPair (F.map f) 0).obj j :=\n  fun j =>\n    match j with\n    | zero => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj zero)\n    | one => Iso.refl ((parallelPair f 0 ⋙ F).obj one)\n⊢ (parallelPair f 0 ⋙ F).map (WalkingParallelPairHom.id one) ≫ (app one).hom =\n    (app one).hom ≫ (parallelPair (F.map f) 0).map (WalkingParallelPairHom.id one)\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nt : KernelFork f\nlift : (s : KernelFork f) → s.pt ⟶ t.pt\nfac : ∀ (s : KernelFork f), lift s ≫ Fork.ι t = Fork.ι s\nuniq : ∀ (s : KernelFork f) (m : s.pt ⟶ t.pt), m ≫ Fork.ι t = Fork.ι s → m = lift s\ns : Cone (parallelPair f 0)\nj : WalkingParallelPair\n⊢ lift s ≫ NatTrans.app t.π j = NatTrans.app s.π j\n[PROOFSTEP]\ncases j\n[GOAL]\ncase zero\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nt : KernelFork f\nlift : (s : KernelFork f) → s.pt ⟶ t.pt\nfac : ∀ (s : KernelFork f), lift s ≫ Fork.ι t = Fork.ι s\nuniq : ∀ (s : KernelFork f) (m : s.pt ⟶ t.pt), m ≫ Fork.ι t = Fork.ι s → m = lift s\ns : Cone (parallelPair f 0)\n⊢ lift s ≫ NatTrans.app t.π zero = NatTrans.app s.π zero\n[PROOFSTEP]\nexact fac s\n[GOAL]\ncase one\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nt : KernelFork f\nlift : (s : KernelFork f) → s.pt ⟶ t.pt\nfac : ∀ (s : KernelFork f), lift s ≫ Fork.ι t = Fork.ι s\nuniq : ∀ (s : KernelFork f) (m : s.pt ⟶ t.pt), m ≫ Fork.ι t = Fork.ι s → m = lift s\ns : Cone (parallelPair f 0)\n⊢ lift s ≫ NatTrans.app t.π one = NatTrans.app s.π one\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : KernelFork f\ni : IsLimit c\nZ : C\ng : Y ⟶ Z\nhg : Mono g\nh : X ⟶ Z\nhh : h = f ≫ g\n⊢ Fork.ι c ≫ h = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [hh]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : KernelFork f\ni : IsLimit c\nZ : C\ng : Y ⟶ Z\nhg : Mono g\nh : X ⟶ Z\nhh : h = f ≫ g\ns : Fork h 0\n⊢ Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← cancel_mono g]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : KernelFork f\ni : IsLimit c\nZ : C\ng : Y ⟶ Z\nhg : Mono g\nh : X ⟶ Z\nhh : h = f ≫ g\ns : Fork h 0\n⊢ (Fork.ι s ≫ f) ≫ g = (Fork.ι s ≫ 0) ≫ g\n[PROOFSTEP]\nsimp [← hh, s.condition]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : KernelFork f\ni : IsLimit c\nZ : C\ng : Y ⟶ Z\nhg : Mono g\nh : X ⟶ Z\nhh : h = f ≫ g\ns : Fork h 0\ns' : KernelFork f := Fork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0)\nl : { l // l ≫ Fork.ι c = Fork.ι s' } := KernelFork.IsLimit.lift' i (Fork.ι s') (_ : Fork.ι s' ≫ f = 0)\nm✝ :\n  ((Functor.const WalkingParallelPair).obj s.pt).obj zero ⟶\n    ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (KernelFork.ofι (Fork.ι c) (_ : Fork.ι c ≫ h = 0)).pt).obj zero\nhm : m✝ ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (Fork.ι c) (_ : Fork.ι c ≫ h = 0)) = Fork.ι s\n⊢ m✝ = ↑l\n[PROOFSTEP]\napply Fork.IsLimit.hom_ext i\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : KernelFork f\ni : IsLimit c\nZ : C\ng : Y ⟶ Z\nhg : Mono g\nh : X ⟶ Z\nhh : h = f ≫ g\ns : Fork h 0\ns' : KernelFork f := Fork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0)\nl : { l // l ≫ Fork.ι c = Fork.ι s' } := KernelFork.IsLimit.lift' i (Fork.ι s') (_ : Fork.ι s' ≫ f = 0)\nm✝ :\n  ((Functor.const WalkingParallelPair).obj s.pt).obj zero ⟶\n    ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (KernelFork.ofι (Fork.ι c) (_ : Fork.ι c ≫ h = 0)).pt).obj zero\nhm : m✝ ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (Fork.ι c) (_ : Fork.ι c ≫ h = 0)) = Fork.ι s\n⊢ m✝ ≫ Fork.ι c = ↑l ≫ Fork.ι c\n[PROOFSTEP]\nrw [Fork.ι_ofι] at hm \n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : KernelFork f\ni : IsLimit c\nZ : C\ng : Y ⟶ Z\nhg : Mono g\nh : X ⟶ Z\nhh : h = f ≫ g\ns : Fork h 0\ns' : KernelFork f := Fork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0)\nl : { l // l ≫ Fork.ι c = Fork.ι s' } := KernelFork.IsLimit.lift' i (Fork.ι s') (_ : Fork.ι s' ≫ f = 0)\nm✝ :\n  ((Functor.const WalkingParallelPair).obj s.pt).obj zero ⟶\n    ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (KernelFork.ofι (Fork.ι c) (_ : Fork.ι c ≫ h = 0)).pt).obj zero\nhm : m✝ ≫ Fork.ι c = Fork.ι s\n⊢ m✝ ≫ Fork.ι c = ↑l ≫ Fork.ι c\n[PROOFSTEP]\nrw [hm]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : KernelFork f\ni : IsLimit c\nZ : C\ng : Y ⟶ Z\nhg : Mono g\nh : X ⟶ Z\nhh : h = f ≫ g\ns : Fork h 0\ns' : KernelFork f := Fork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0)\nl : { l // l ≫ Fork.ι c = Fork.ι s' } := KernelFork.IsLimit.lift' i (Fork.ι s') (_ : Fork.ι s' ≫ f = 0)\nm✝ :\n  ((Functor.const WalkingParallelPair).obj s.pt).obj zero ⟶\n    ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (KernelFork.ofι (Fork.ι c) (_ : Fork.ι c ≫ h = 0)).pt).obj zero\nhm : m✝ ≫ Fork.ι c = Fork.ι s\n⊢ Fork.ι s = ↑l ≫ Fork.ι c\n[PROOFSTEP]\nexact l.2.symm\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : KernelFork f\ni : IsLimit c\nZ : C\ng : Y ⟶ Z\nhg : Mono g\nh : X ⟶ Z\nhh : h = f ≫ g\ns : KernelFork h\n⊢ Fork.ι s ≫ f = Fork.ι s ≫ 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← cancel_mono g, Category.assoc, ← hh]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : KernelFork f\ni : IsLimit c\nZ : C\ng : Y ⟶ Z\nhg : Mono g\nh : X ⟶ Z\nhh : h = f ≫ g\ns : KernelFork h\n⊢ Fork.ι s ≫ h = (Fork.ι s ≫ 0) ≫ g\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nW : C\ng : Y ⟶ W\nh : X ⟶ W\nc : KernelFork h\ni : IsLimit c\nhf : Fork.ι c ≫ f = 0\nhfg : f ≫ g = h\ns : Fork f 0\n⊢ Fork.ι s ≫ h = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [← hfg]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nW : C\ng : Y ⟶ W\nh : X ⟶ W\nc : KernelFork h\ni : IsLimit c\nhf : Fork.ι c ≫ f = 0\nhfg : f ≫ g = h\ns : Fork f 0\n⊢ (fun s => IsLimit.lift i (KernelFork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ h = 0))) s ≫\n      Fork.ι (KernelFork.ofι (Fork.ι c) hf) =\n    Fork.ι s\n[PROOFSTEP]\nsimp only [KernelFork.ι_ofι, Fork.IsLimit.lift_ι]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nW : C\ng : Y ⟶ W\nh✝ : X ⟶ W\nc : KernelFork h✝\ni : IsLimit c\nhf : Fork.ι c ≫ f = 0\nhfg : f ≫ g = h✝\ns : Fork f 0\nm : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι (Fork.ι c) hf).pt\nh : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (Fork.ι c) hf) = Fork.ι s\n⊢ m = (fun s => IsLimit.lift i (KernelFork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ h✝ = 0))) s\n[PROOFSTEP]\napply Fork.IsLimit.hom_ext i\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nW : C\ng : Y ⟶ W\nh✝ : X ⟶ W\nc : KernelFork h✝\ni : IsLimit c\nhf : Fork.ι c ≫ f = 0\nhfg : f ≫ g = h✝\ns : Fork f 0\nm : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι (Fork.ι c) hf).pt\nh : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (Fork.ι c) hf) = Fork.ι s\n⊢ m ≫ Fork.ι c = (fun s => IsLimit.lift i (KernelFork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ h✝ = 0))) s ≫ Fork.ι c\n[PROOFSTEP]\nsimpa using h\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nhf : f = 0\n⊢ 𝟙 X ≫ f = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [hf, comp_zero]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nhf : f = 0\nW'✝ : C\nx✝² : W'✝ ⟶ X\nx✝¹ : x✝² ≫ f = 0\nx✝ : W'✝ ⟶ X\nhb : x✝ ≫ 𝟙 X = x✝²\n⊢ x✝ = (fun {W'} x x_1 => x) x✝² x✝¹\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← hb, Category.comp_id]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : KernelFork f\nhf : Mono f\nh : IsZero c.pt\ns : KernelFork f\n⊢ (fun s => 0) s ≫ Fork.ι c = Fork.ι s\n[PROOFSTEP]\nrw [zero_comp, ← cancel_mono f, zero_comp, s.condition]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : KernelFork f\nhc : IsLimit c\nhf : f = 0\n⊢ IsIso (Fork.ι c)\n[PROOFSTEP]\nlet e : c.pt ≅ X := IsLimit.conePointUniqueUpToIso hc (KernelFork.IsLimit.ofId (f : X ⟶ Y) hf)\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : KernelFork f\nhc : IsLimit c\nhf : f = 0\ne : c.pt ≅ X := IsLimit.conePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)\n⊢ IsIso (Fork.ι c)\n[PROOFSTEP]\nhave eq : e.inv ≫ c.ι = 𝟙 X := Fork.IsLimit.lift_ι hc\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : KernelFork f\nhc : IsLimit c\nhf : f = 0\ne : c.pt ≅ X := IsLimit.conePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)\neq : e.inv ≫ Fork.ι c = 𝟙 X\n⊢ IsIso (Fork.ι c)\n[PROOFSTEP]\nhaveI : IsIso (e.inv ≫ c.ι) := by\n  rw [eq]\n  infer_instance\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : KernelFork f\nhc : IsLimit c\nhf : f = 0\ne : c.pt ≅ X := IsLimit.conePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)\neq : e.inv ≫ Fork.ι c = 𝟙 X\n⊢ IsIso (e.inv ≫ Fork.ι c)\n[PROOFSTEP]\nrw [eq]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : KernelFork f\nhc : IsLimit c\nhf : f = 0\ne : c.pt ≅ X := IsLimit.conePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)\neq : e.inv ≫ Fork.ι c = 𝟙 X\n⊢ IsIso (𝟙 X)\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : KernelFork f\nhc : IsLimit c\nhf : f = 0\ne : c.pt ≅ X := IsLimit.conePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)\neq : e.inv ≫ Fork.ι c = 𝟙 X\nthis : IsIso (e.inv ≫ Fork.ι c)\n⊢ IsIso (Fork.ι c)\n[PROOFSTEP]\nexact IsIso.of_isIso_comp_left e.inv c.ι\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasKernel f\n⊢ (Iso.refl (limit.cone (parallelPair f 0)).pt).hom ≫\n      Fork.ι (Fork.ofι (kernel.ι f) (_ : kernel.ι f ≫ f = kernel.ι f ≫ 0)) =\n    Fork.ι (limit.cone (parallelPair f 0))\n[PROOFSTEP]\naesop_cat\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasKernel f\nW : C\nh : 0 ≫ f = 0\n⊢ lift f 0 h = 0\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasKernel f\nW : C\nh : 0 ≫ f = 0\n⊢ lift f 0 h ≫ equalizer.ι f 0 = 0 ≫ equalizer.ι f 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasKernel f\nW : C\nk : W ⟶ X\nh : k ≫ f = 0\ninst✝ : Mono k\nZ : C\ng g' : Z ⟶ W\nw : g ≫ lift f k h = g' ≫ lift f k h\n⊢ g = g'\n[PROOFSTEP]\nreplace w := w =≫ kernel.ι f\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasKernel f\nW : C\nk : W ⟶ X\nh : k ≫ f = 0\ninst✝ : Mono k\nZ : C\ng g' : Z ⟶ W\nw : (g ≫ lift f k h) ≫ ι f = (g' ≫ lift f k h) ≫ ι f\n⊢ g = g'\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Category.assoc, kernel.lift_ι] at w \n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasKernel f\nW : C\nk : W ⟶ X\nh : k ≫ f = 0\ninst✝ : Mono k\nZ : C\ng g' : Z ⟶ W\nw : g ≫ k = g' ≫ k\n⊢ g = g'\n[PROOFSTEP]\nexact (cancel_mono k).1 w\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasKernel f\nX' Y' : C\nf' : X' ⟶ Y'\ninst✝ : HasKernel f'\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nw : f ≫ q = p ≫ f'\n⊢ (ι f ≫ p) ≫ f' = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [← w]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasKernel f✝\nX Y Z X' Y' Z' : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : HasKernel g\nw : f ≫ g = 0\nf' : X' ⟶ Y'\ng' : Y' ⟶ Z'\ninst✝ : HasKernel g'\nw' : f' ≫ g' = 0\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nr : Z ⟶ Z'\nh₁ : f ≫ q = p ≫ f'\nh₂ : g ≫ r = q ≫ g'\n⊢ lift g f w ≫ map g g' q r h₂ = p ≫ lift g' f' w'\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasKernel f✝\nX Y Z X' Y' Z' : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : HasKernel g\nw : f ≫ g = 0\nf' : X' ⟶ Y'\ng' : Y' ⟶ Z'\ninst✝ : HasKernel g'\nw' : f' ≫ g' = 0\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nr : Z ⟶ Z'\nh₁ : f ≫ q = p ≫ f'\nh₂ : g ≫ r = q ≫ g'\n⊢ (lift g f w ≫ map g g' q r h₂) ≫ equalizer.ι g' 0 = (p ≫ lift g' f' w') ≫ equalizer.ι g' 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [h₁]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasKernel f\nX' Y' : C\nf' : X' ⟶ Y'\ninst✝ : HasKernel f'\np : X ≅ X'\nq : Y ≅ Y'\nw : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'\n⊢ f' ≫ q.inv = p.inv ≫ f\n[PROOFSTEP]\nrefine' (cancel_mono q.hom).1 _\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasKernel f\nX' Y' : C\nf' : X' ⟶ Y'\ninst✝ : HasKernel f'\np : X ≅ X'\nq : Y ≅ Y'\nw : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'\n⊢ (f' ≫ q.inv) ≫ q.hom = (p.inv ≫ f) ≫ q.hom\n[PROOFSTEP]\nsimp [w]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasKernel f\ninst✝ : Epi (kernel.ι f)\n⊢ kernel.ι f ≫ f = kernel.ι f ≫ 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasKernel f\n⊢ 𝟙 X ≫ 0 = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasKernel f\n⊢ kernelZeroIsoSource.inv = kernel.lift 0 (𝟙 X) (_ : 𝟙 X ≫ 0 = 0)\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasKernel f\n⊢ kernelZeroIsoSource.inv ≫ equalizer.ι 0 0 = kernel.lift 0 (𝟙 X) (_ : 𝟙 X ≫ 0 = 0) ≫ equalizer.ι 0 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [kernelZeroIsoSource]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasKernel f✝\nf g : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasKernel f\ninst✝ : HasKernel g\nh : f = g\n⊢ parallelPair f 0 ≅ parallelPair g 0\n[PROOFSTEP]\nrw [h]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasKernel f\nh : f = f\n⊢ kernelIsoOfEq h = Iso.refl (kernel f)\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase w.h\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasKernel f\nh : f = f\n⊢ (kernelIsoOfEq h).hom ≫ equalizer.ι f 0 = (Iso.refl (kernel f)).hom ≫ equalizer.ι f 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [kernelIsoOfEq]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasKernel f✝\nf g : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasKernel f\ninst✝ : HasKernel g\nh : f = g\n⊢ (kernelIsoOfEq h).hom ≫ kernel.ι g = kernel.ι f\n[PROOFSTEP]\ncases h\n[GOAL]\ncase refl\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasKernel f✝\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ inst✝ : HasKernel f\n⊢ (kernelIsoOfEq (_ : f = f)).hom ≫ kernel.ι f = kernel.ι f\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasKernel f✝\nf g : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasKernel f\ninst✝ : HasKernel g\nh : f = g\n⊢ (kernelIsoOfEq h).inv ≫ kernel.ι f = kernel.ι g\n[PROOFSTEP]\ncases h\n[GOAL]\ncase refl\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasKernel f✝\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ inst✝ : HasKernel f\n⊢ (kernelIsoOfEq (_ : f = f)).inv ≫ kernel.ι f = kernel.ι f\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasKernel f✝\nZ : C\nf g : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasKernel f\ninst✝ : HasKernel g\nh : f = g\ne : Z ⟶ X\nhe : e ≫ f = 0\n⊢ e ≫ g = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [← h, he]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasKernel f✝\nZ : C\nf g : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasKernel f\ninst✝ : HasKernel g\nh : f = g\ne : Z ⟶ X\nhe : e ≫ f = 0\n⊢ kernel.lift f e he ≫ (kernelIsoOfEq h).hom = kernel.lift g e (_ : e ≫ g = 0)\n[PROOFSTEP]\ncases h\n[GOAL]\ncase refl\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasKernel f✝\nZ : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasKernel f\ne : Z ⟶ X\nhe : e ≫ f = 0\ninst✝ : HasKernel f\n⊢ kernel.lift f e he ≫ (kernelIsoOfEq (_ : f = f)).hom = kernel.lift f e (_ : e ≫ f = 0)\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasKernel f✝\nZ : C\nf g : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasKernel f\ninst✝ : HasKernel g\nh : f = g\ne : Z ⟶ X\nhe : e ≫ g = 0\n⊢ e ≫ f = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [h, he]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasKernel f✝\nZ : C\nf g : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasKernel f\ninst✝ : HasKernel g\nh : f = g\ne : Z ⟶ X\nhe : e ≫ g = 0\n⊢ kernel.lift g e he ≫ (kernelIsoOfEq h).inv = kernel.lift f e (_ : e ≫ f = 0)\n[PROOFSTEP]\ncases h\n[GOAL]\ncase refl\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasKernel f✝\nZ : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasKernel f\ne : Z ⟶ X\ninst✝ : HasKernel f\nhe : e ≫ f = 0\n⊢ kernel.lift f e he ≫ (kernelIsoOfEq (_ : f = f)).inv = kernel.lift f e (_ : e ≫ f = 0)\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasKernel f✝\nf g h : X ⟶ Y\ninst✝² : HasKernel f\ninst✝¹ : HasKernel g\ninst✝ : HasKernel h\nw₁ : f = g\nw₂ : g = h\n⊢ kernelIsoOfEq w₁ ≪≫ kernelIsoOfEq w₂ = kernelIsoOfEq (_ : f = h)\n[PROOFSTEP]\ncases w₁\n[GOAL]\ncase refl\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasKernel f✝\nf h : X ⟶ Y\ninst✝² : HasKernel f\ninst✝¹ : HasKernel h\ninst✝ : HasKernel f\nw₂ : f = h\n⊢ kernelIsoOfEq (_ : f = f) ≪≫ kernelIsoOfEq w₂ = kernelIsoOfEq (_ : f = h)\n[PROOFSTEP]\ncases w₂\n[GOAL]\ncase refl.refl\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasKernel f✝\nf : X ⟶ Y\ninst✝² inst✝¹ inst✝ : HasKernel f\n⊢ kernelIsoOfEq (_ : f = f) ≪≫ kernelIsoOfEq (_ : f = f) = kernelIsoOfEq (_ : f = f)\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase refl.refl.w.h\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasKernel f✝\nf : X ⟶ Y\ninst✝² inst✝¹ inst✝ : HasKernel f\n⊢ (kernelIsoOfEq (_ : f = f) ≪≫ kernelIsoOfEq (_ : f = f)).hom ≫ equalizer.ι f 0 =\n    (kernelIsoOfEq (_ : f = f)).hom ≫ equalizer.ι f 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [kernelIsoOfEq]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasKernel f\nw : f ≠ 0\nI : IsIso (kernel.ι f)\n⊢ Epi (kernel.ι f)\n[PROOFSTEP]\nskip\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasKernel f\nw : f ≠ 0\nI : IsIso (kernel.ι f)\n⊢ Epi (kernel.ι f)\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasKernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : HasKernel f\ninst✝ : Mono g\n⊢ kernel.ι (f ≫ g) ≫ f = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← cancel_mono g]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasKernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : HasKernel f\ninst✝ : Mono g\n⊢ (kernel.ι (f ≫ g) ≫ f) ≫ g = 0 ≫ g\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasKernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : HasKernel f\ninst✝ : Mono g\n⊢ kernel.ι f ≫ f ≫ g = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasKernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : IsIso f\ninst✝ : HasKernel g\n⊢ (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasKernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : IsIso f\ninst✝ : HasKernel g\ns : KernelFork (f ≫ g)\n⊢ (Fork.ι s ≫ f) ≫ g = 0\n[PROOFSTEP]\naesop_cat\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasKernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : IsIso f\ninst✝ : HasKernel g\n⊢ ∀ (s : KernelFork (f ≫ g)),\n    (fun s => kernel.lift g (Fork.ι s ≫ f) (_ : (Fork.ι s ≫ f) ≫ g = 0)) s ≫\n        Fork.ι (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0)) =\n      Fork.ι s\n[PROOFSTEP]\naesop_cat\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasKernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : IsIso f\ninst✝ : HasKernel g\ns : KernelFork (f ≫ g)\nm : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0)).pt\nw : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0)) = Fork.ι s\n⊢ m = (fun s => kernel.lift g (Fork.ι s ≫ f) (_ : (Fork.ι s ≫ f) ≫ g = 0)) s\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [← w]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasKernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : IsIso f\ninst✝ : HasKernel g\ns : KernelFork (f ≫ g)\nm : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0)).pt\nw : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0)) = Fork.ι s\n⊢ m =\n    kernel.lift g ((m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0))) ≫ f)\n      (_ : ((m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0))) ≫ f) ≫ g = 0)\n[PROOFSTEP]\napply equalizer.hom_ext\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasKernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : IsIso f\ninst✝ : HasKernel g\ns : KernelFork (f ≫ g)\nm : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0)).pt\nw : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0)) = Fork.ι s\n⊢ m ≫ equalizer.ι g 0 =\n    kernel.lift g ((m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0))) ≫ f)\n        (_ : ((m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (kernel.ι g ≫ inv f) (_ : (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0))) ≫ f) ≫ g = 0) ≫\n      equalizer.ι g 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasKernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : IsIso f\ninst✝ : HasKernel g\n⊢ (kernel.ι (f ≫ g) ≫ f) ≫ g = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasKernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : IsIso f\ninst✝ : HasKernel g\n⊢ (kernel.ι g ≫ inv f) ≫ f ≫ g = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasZeroObject C\ninst✝ : Mono f\ns : Fork f 0\n⊢ (fun s => 0) s ≫ Fork.ι (zeroKernelFork f) = Fork.ι s\n[PROOFSTEP]\nerw [zero_comp]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasZeroObject C\ninst✝ : Mono f\ns : Fork f 0\n⊢ 0 = Fork.ι s\n[PROOFSTEP]\nrefine (zero_of_comp_mono f ?_).symm\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasZeroObject C\ninst✝ : Mono f\ns : Fork f 0\n⊢ Fork.ι s ≫ f = 0\n[PROOFSTEP]\nexact KernelFork.condition _\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝ : HasZeroObject C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nhf : ∀ (Z : C) (g : Z ⟶ X), g ≫ f = 0 → g = 0\n⊢ 0 ≫ f = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝ : HasZeroObject C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nhf : ∀ (Z : C) (g : Z ⟶ X), g ≫ f = 0 → g = 0\ns : Fork f 0\n⊢ (fun s => 0) s ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι 0 (_ : 0 ≫ f = 0)) = Fork.ι s\n[PROOFSTEP]\nrw [hf _ _ (KernelFork.condition s), zero_comp]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝ : HasZeroObject C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nhf : ∀ (Z : C) (g : Z ⟶ X), g ≫ f = 0 → g = 0\ns : Fork f 0\nm : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι 0 (_ : 0 ≫ f = 0)).pt\nx✝ : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι 0 (_ : 0 ≫ f = 0)) = Fork.ι s\n⊢ m = (fun s => 0) s\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝ : HasZeroObject C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nhf : ∀ (Z : C) (g : Z ⟶ X), g ≫ f = 0 → g = 0\ns : Fork f 0\nm : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι 0 (_ : 0 ≫ f = 0)).pt\nx✝ : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι 0 (_ : 0 ≫ f = 0)) = Fork.ι s\n⊢ m = 0\n[PROOFSTEP]\napply HasZeroObject.to_zero_ext\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : X ⟶ Z\ni : Z ≅ Y\nh : l ≫ i.hom = f\ns : KernelFork f\nhs : IsLimit s\n⊢ Fork.ι s ≫ l = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [← i.comp_inv_eq.2 h.symm]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : X ⟶ Z\ni : Z ≅ Y\nh : l ≫ i.hom = f\ns✝ : KernelFork f\nhs : IsLimit s✝\ns : Fork l 0\n⊢ Fork.ι s ≫ f = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [← h]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : X ⟶ Z\ni : Z ≅ Y\nh : l ≫ i.hom = f\ns✝ : KernelFork f\nhs : IsLimit s✝\ns : Fork l 0\n⊢ (fun s => IsLimit.lift hs (KernelFork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = 0))) s ≫\n      Fork.ι (KernelFork.ofι (Fork.ι s✝) (_ : Fork.ι s✝ ≫ l = 0)) =\n    Fork.ι s\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : X ⟶ Z\ni : Z ≅ Y\nh✝ : l ≫ i.hom = f\ns✝ : KernelFork f\nhs : IsLimit s✝\ns : Fork l 0\nm : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι (Fork.ι s✝) (_ : Fork.ι s✝ ≫ l = 0)).pt\nh : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (Fork.ι s✝) (_ : Fork.ι s✝ ≫ l = 0)) = Fork.ι s\n⊢ m = (fun s => IsLimit.lift hs (KernelFork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = 0))) s\n[PROOFSTEP]\napply Fork.IsLimit.hom_ext hs\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : X ⟶ Z\ni : Z ≅ Y\nh✝ : l ≫ i.hom = f\ns✝ : KernelFork f\nhs : IsLimit s✝\ns : Fork l 0\nm : s.pt ⟶ (KernelFork.ofι (Fork.ι s✝) (_ : Fork.ι s✝ ≫ l = 0)).pt\nh : m ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (Fork.ι s✝) (_ : Fork.ι s✝ ≫ l = 0)) = Fork.ι s\n⊢ m ≫ Fork.ι s✝ = (fun s => IsLimit.lift hs (KernelFork.ofι (Fork.ι s) (_ : Fork.ι s ≫ f = 0))) s ≫ Fork.ι s✝\n[PROOFSTEP]\nsimpa using h\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasKernel f\nZ : C\nl : X ⟶ Z\ni : Z ≅ Y\nh : l ≫ i.hom = f\n⊢ ι f ≫ l = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [← i.comp_inv_eq.2 h.symm]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : Z ⟶ X\ns : KernelFork f\nhs : IsLimit s\ni : Z ≅ s.pt\nh : i.hom ≫ Fork.ι s = l\n⊢ l ≫ f = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [← h]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : Z ⟶ X\ns : KernelFork f\nhs : IsLimit s\ni : Z ≅ s.pt\nh : i.hom ≫ Fork.ι s = l\nj : WalkingParallelPair\n⊢ NatTrans.app s.π j = i.symm.hom ≫ NatTrans.app (KernelFork.ofι l (_ : l ≫ f = 0)).π j\n[PROOFSTEP]\ncases j\n[GOAL]\ncase zero\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : Z ⟶ X\ns : KernelFork f\nhs : IsLimit s\ni : Z ≅ s.pt\nh : i.hom ≫ Fork.ι s = l\n⊢ NatTrans.app s.π zero = i.symm.hom ≫ NatTrans.app (KernelFork.ofι l (_ : l ≫ f = 0)).π zero\n[PROOFSTEP]\nexact (Iso.eq_inv_comp i).2 h\n[GOAL]\ncase one\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : Z ⟶ X\ns : KernelFork f\nhs : IsLimit s\ni : Z ≅ s.pt\nh : i.hom ≫ Fork.ι s = l\n⊢ NatTrans.app s.π one = i.symm.hom ≫ NatTrans.app (KernelFork.ofι l (_ : l ≫ f = 0)).π one\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\ncase one\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : Z ⟶ X\ns : KernelFork f\nhs : IsLimit s\ni : Z ≅ s.pt\nh : i.hom ≫ Fork.ι s = l\n⊢ NatTrans.app s.π one = i.inv ≫ l ≫ f\n[PROOFSTEP]\nrw [← h]\n[GOAL]\ncase one\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : Z ⟶ X\ns : KernelFork f\nhs : IsLimit s\ni : Z ≅ s.pt\nh : i.hom ≫ Fork.ι s = l\n⊢ NatTrans.app s.π one = i.inv ≫ (i.hom ≫ Fork.ι s) ≫ f\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasKernel f\nZ : C\nl : Z ⟶ X\ni : Z ≅ kernel f\nh : i.hom ≫ ι f = l\n⊢ l ≫ f = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [← h]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ns : CokernelCofork f\n⊢ f ≫ Cofork.π s = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [Cofork.condition, zero_comp]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ns : CokernelCofork f\n⊢ NatTrans.app s.ι zero = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [Cofork.app_zero_eq_comp_π_right]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nπ : Y ⟶ Z\nw : f ≫ π = 0\n⊢ f ≫ π = 0 ≫ π\n[PROOFSTEP]\nrw [w, zero_comp]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ns : Cofork f 0\nj : WalkingParallelPair\n⊢ NatTrans.app s.ι j ≫ (Iso.refl s.pt).hom =\n    NatTrans.app (Cofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s)).ι j\n[PROOFSTEP]\ncases j\n[GOAL]\ncase zero\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ns : Cofork f 0\n⊢ NatTrans.app s.ι zero ≫ (Iso.refl s.pt).hom =\n    NatTrans.app (Cofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s)).ι zero\n[PROOFSTEP]\naesop_cat\n[GOAL]\ncase one\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ns : Cofork f 0\n⊢ NatTrans.app s.ι one ≫ (Iso.refl s.pt).hom =\n    NatTrans.app (Cofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s)).ι one\n[PROOFSTEP]\naesop_cat\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nP : C\nπ π' : Y ⟶ P\nw : f ≫ π = 0\nh : π = π'\n⊢ f ≫ π' = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← h, w]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nP : C\nπ π' : Y ⟶ P\nw : f ≫ π = 0\nh : π = π'\nj : WalkingParallelPair\n⊢ NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ π w).ι j ≫ (Iso.refl (CokernelCofork.ofπ π w).pt).hom =\n    NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ π' (_ : f ≫ π' = 0)).ι j\n[PROOFSTEP]\ncases j\n[GOAL]\ncase zero\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nP : C\nπ π' : Y ⟶ P\nw : f ≫ π = 0\nh : π = π'\n⊢ NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ π w).ι zero ≫ (Iso.refl (CokernelCofork.ofπ π w).pt).hom =\n    NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ π' (_ : f ≫ π' = 0)).ι zero\n[PROOFSTEP]\naesop_cat\n[GOAL]\ncase one\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nP : C\nπ π' : Y ⟶ P\nw : f ≫ π = 0\nh : π = π'\n⊢ NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ π w).ι one ≫ (Iso.refl (CokernelCofork.ofπ π w).pt).hom =\n    NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ π' (_ : f ≫ π' = 0)).ι one\n[PROOFSTEP]\naesop_cat\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nt : CokernelCofork f\ndesc : (s : CokernelCofork f) → t.pt ⟶ s.pt\nfac : ∀ (s : CokernelCofork f), Cofork.π t ≫ desc s = Cofork.π s\nuniq : ∀ (s : CokernelCofork f) (m : t.pt ⟶ s.pt), Cofork.π t ≫ m = Cofork.π s → m = desc s\ns : Cocone (parallelPair f 0)\nj : WalkingParallelPair\n⊢ NatTrans.app t.ι j ≫ desc s = NatTrans.app s.ι j\n[PROOFSTEP]\ncases j\n[GOAL]\ncase zero\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nt : CokernelCofork f\ndesc : (s : CokernelCofork f) → t.pt ⟶ s.pt\nfac : ∀ (s : CokernelCofork f), Cofork.π t ≫ desc s = Cofork.π s\nuniq : ∀ (s : CokernelCofork f) (m : t.pt ⟶ s.pt), Cofork.π t ≫ m = Cofork.π s → m = desc s\ns : Cocone (parallelPair f 0)\n⊢ NatTrans.app t.ι zero ≫ desc s = NatTrans.app s.ι zero\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase one\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nt : CokernelCofork f\ndesc : (s : CokernelCofork f) → t.pt ⟶ s.pt\nfac : ∀ (s : CokernelCofork f), Cofork.π t ≫ desc s = Cofork.π s\nuniq : ∀ (s : CokernelCofork f) (m : t.pt ⟶ s.pt), Cofork.π t ≫ m = Cofork.π s → m = desc s\ns : Cocone (parallelPair f 0)\n⊢ NatTrans.app t.ι one ≫ desc s = NatTrans.app s.ι one\n[PROOFSTEP]\nexact fac s\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\ni : IsColimit c\nW : C\ng : W ⟶ X\nhg : Epi g\nh : W ⟶ Y\nhh : h = g ≫ f\n⊢ h ≫ Cofork.π c = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [hh]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\ni : IsColimit c\nW : C\ng : W ⟶ X\nhg : Epi g\nh : W ⟶ Y\nhh : h = g ≫ f\n⊢ (g ≫ f) ≫ Cofork.π c = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\ni : IsColimit c\nW : C\ng : W ⟶ X\nhg : Epi g\nh : W ⟶ Y\nhh : h = g ≫ f\ns : Cofork h 0\n⊢ f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s\n[PROOFSTEP]\napply hg.left_cancellation\n[GOAL]\ncase a\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\ni : IsColimit c\nW : C\ng : W ⟶ X\nhg : Epi g\nh : W ⟶ Y\nhh : h = g ≫ f\ns : Cofork h 0\n⊢ g ≫ f ≫ Cofork.π s = g ≫ 0 ≫ Cofork.π s\n[PROOFSTEP]\nrw [← Category.assoc, ← hh, s.condition]\n[GOAL]\ncase a\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\ni : IsColimit c\nW : C\ng : W ⟶ X\nhg : Epi g\nh : W ⟶ Y\nhh : h = g ≫ f\ns : Cofork h 0\n⊢ 0 ≫ Cofork.π s = g ≫ 0 ≫ Cofork.π s\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\ni : IsColimit c\nW : C\ng : W ⟶ X\nhg : Epi g\nh : W ⟶ Y\nhh : h = g ≫ f\ns : Cofork h 0\ns' : CokernelCofork f := Cofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s)\nl : { l // Cofork.π c ≫ l = Cofork.π s' } := CokernelCofork.IsColimit.desc' i (Cofork.π s') (_ : f ≫ Cofork.π s' = 0)\nm✝ :\n  ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) (_ : h ≫ Cofork.π c = 0)).pt).obj one ⟶\n    ((Functor.const WalkingParallelPair).obj s.pt).obj one\nhm : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) (_ : h ≫ Cofork.π c = 0)) ≫ m✝ = Cofork.π s\n⊢ m✝ = ↑l\n[PROOFSTEP]\napply Cofork.IsColimit.hom_ext i\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\ni : IsColimit c\nW : C\ng : W ⟶ X\nhg : Epi g\nh : W ⟶ Y\nhh : h = g ≫ f\ns : Cofork h 0\ns' : CokernelCofork f := Cofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s)\nl : { l // Cofork.π c ≫ l = Cofork.π s' } := CokernelCofork.IsColimit.desc' i (Cofork.π s') (_ : f ≫ Cofork.π s' = 0)\nm✝ :\n  ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) (_ : h ≫ Cofork.π c = 0)).pt).obj one ⟶\n    ((Functor.const WalkingParallelPair).obj s.pt).obj one\nhm : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) (_ : h ≫ Cofork.π c = 0)) ≫ m✝ = Cofork.π s\n⊢ Cofork.π c ≫ m✝ = Cofork.π c ≫ ↑l\n[PROOFSTEP]\nrw [Cofork.π_ofπ] at hm \n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\ni : IsColimit c\nW : C\ng : W ⟶ X\nhg : Epi g\nh : W ⟶ Y\nhh : h = g ≫ f\ns : Cofork h 0\ns' : CokernelCofork f := Cofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s)\nl : { l // Cofork.π c ≫ l = Cofork.π s' } := CokernelCofork.IsColimit.desc' i (Cofork.π s') (_ : f ≫ Cofork.π s' = 0)\nm✝ :\n  ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) (_ : h ≫ Cofork.π c = 0)).pt).obj one ⟶\n    ((Functor.const WalkingParallelPair).obj s.pt).obj one\nhm : Cofork.π c ≫ m✝ = Cofork.π s\n⊢ Cofork.π c ≫ m✝ = Cofork.π c ≫ ↑l\n[PROOFSTEP]\nrw [hm]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\ni : IsColimit c\nW : C\ng : W ⟶ X\nhg : Epi g\nh : W ⟶ Y\nhh : h = g ≫ f\ns : Cofork h 0\ns' : CokernelCofork f := Cofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s)\nl : { l // Cofork.π c ≫ l = Cofork.π s' } := CokernelCofork.IsColimit.desc' i (Cofork.π s') (_ : f ≫ Cofork.π s' = 0)\nm✝ :\n  ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) (_ : h ≫ Cofork.π c = 0)).pt).obj one ⟶\n    ((Functor.const WalkingParallelPair).obj s.pt).obj one\nhm : Cofork.π c ≫ m✝ = Cofork.π s\n⊢ Cofork.π s = Cofork.π c ≫ ↑l\n[PROOFSTEP]\nexact l.2.symm\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\ni : IsColimit c\nW : C\ng : W ⟶ X\nhg : Epi g\nh : W ⟶ Y\nhh : h = g ≫ f\ns : CokernelCofork h\n⊢ f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s\n[PROOFSTEP]\nrw [← cancel_epi g, ← Category.assoc, ← hh]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\ni : IsColimit c\nW : C\ng : W ⟶ X\nhg : Epi g\nh : W ⟶ Y\nhh : h = g ≫ f\ns : CokernelCofork h\n⊢ h ≫ Cofork.π s = g ≫ 0 ≫ Cofork.π s\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nW : C\ng : W ⟶ X\nh : W ⟶ Y\nc : CokernelCofork h\ni : IsColimit c\nhf : f ≫ Cofork.π c = 0\nhfg : g ≫ f = h\ns : Cofork f 0\n⊢ h ≫ Cofork.π s = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [← hfg]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nW : C\ng : W ⟶ X\nh : W ⟶ Y\nc : CokernelCofork h\ni : IsColimit c\nhf : f ≫ Cofork.π c = 0\nhfg : g ≫ f = h\ns : Cofork f 0\n⊢ Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) hf) ≫\n      (fun s => IsColimit.desc i (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : h ≫ Cofork.π s = 0))) s =\n    Cofork.π s\n[PROOFSTEP]\nsimp only [CokernelCofork.π_ofπ, Cofork.IsColimit.π_desc]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nW : C\ng : W ⟶ X\nh✝ : W ⟶ Y\nc : CokernelCofork h✝\ni : IsColimit c\nhf : f ≫ Cofork.π c = 0\nhfg : g ≫ f = h✝\ns : Cofork f 0\nm : (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) hf).pt ⟶ s.pt\nh : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) hf) ≫ m = Cofork.π s\n⊢ m = (fun s => IsColimit.desc i (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : h✝ ≫ Cofork.π s = 0))) s\n[PROOFSTEP]\napply Cofork.IsColimit.hom_ext i\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nW : C\ng : W ⟶ X\nh✝ : W ⟶ Y\nc : CokernelCofork h✝\ni : IsColimit c\nhf : f ≫ Cofork.π c = 0\nhfg : g ≫ f = h✝\ns : Cofork f 0\nm : (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) hf).pt ⟶ s.pt\nh : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π c) hf) ≫ m = Cofork.π s\n⊢ Cofork.π c ≫ m =\n    Cofork.π c ≫ (fun s => IsColimit.desc i (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : h✝ ≫ Cofork.π s = 0))) s\n[PROOFSTEP]\nsimpa using h\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nhf : f = 0\n⊢ f ≫ 𝟙 Y = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [hf, zero_comp]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nhf : f = 0\nZ'✝ : C\nx✝² : Y ⟶ Z'✝\nx✝¹ : f ≫ x✝² = 0\nx✝ : Y ⟶ Z'✝\nhb : 𝟙 Y ≫ x✝ = x✝²\n⊢ x✝ = (fun {Z'} x x_1 => x) x✝² x✝¹\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← hb, Category.id_comp]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\nhf : Epi f\nh : IsZero c.pt\ns : CokernelCofork f\n⊢ Cofork.π c ≫ (fun s => 0) s = Cofork.π s\n[PROOFSTEP]\nrw [comp_zero, ← cancel_epi f, comp_zero, s.condition]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\nhc : IsColimit c\nhf : f = 0\n⊢ IsIso (Cofork.π c)\n[PROOFSTEP]\nlet e : c.pt ≅ Y := IsColimit.coconePointUniqueUpToIso hc (CokernelCofork.IsColimit.ofId (f : X ⟶ Y) hf)\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\nhc : IsColimit c\nhf : f = 0\ne : c.pt ≅ Y := IsColimit.coconePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)\n⊢ IsIso (Cofork.π c)\n[PROOFSTEP]\nhave eq : c.π ≫ e.hom = 𝟙 Y := Cofork.IsColimit.π_desc hc\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\nhc : IsColimit c\nhf : f = 0\ne : c.pt ≅ Y := IsColimit.coconePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)\neq : Cofork.π c ≫ e.hom = 𝟙 Y\n⊢ IsIso (Cofork.π c)\n[PROOFSTEP]\nhaveI : IsIso (c.π ≫ e.hom) := by\n  rw [eq]\n  dsimp\n  infer_instance\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\nhc : IsColimit c\nhf : f = 0\ne : c.pt ≅ Y := IsColimit.coconePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)\neq : Cofork.π c ≫ e.hom = 𝟙 Y\n⊢ IsIso (Cofork.π c ≫ e.hom)\n[PROOFSTEP]\nrw [eq]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\nhc : IsColimit c\nhf : f = 0\ne : c.pt ≅ Y := IsColimit.coconePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)\neq : Cofork.π c ≫ e.hom = 𝟙 Y\n⊢ IsIso (𝟙 Y)\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\nhc : IsColimit c\nhf : f = 0\ne : c.pt ≅ Y := IsColimit.coconePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)\neq : Cofork.π c ≫ e.hom = 𝟙 Y\n⊢ IsIso (𝟙 Y)\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nc : CokernelCofork f\nhc : IsColimit c\nhf : f = 0\ne : c.pt ≅ Y := IsColimit.coconePointUniqueUpToIso hc (ofId f hf)\neq : Cofork.π c ≫ e.hom = 𝟙 Y\nthis : IsIso (Cofork.π c ≫ e.hom)\n⊢ IsIso (Cofork.π c)\n[PROOFSTEP]\nexact IsIso.of_isIso_comp_right c.π e.hom\n[GOAL]\nC✝ : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C✝\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C✝\nX✝ Y✝ : C✝\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝³ : HasCokernel f✝\nC : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nh : f ≫ g = 0\ninst✝ : HasCokernel f\n⊢ colimit.ι (parallelPair f 0) zero ≫ cokernel.desc f g h = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [(colimit.w (parallelPair f 0) WalkingParallelPairHom.left).symm]\n[GOAL]\nC✝ : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C✝\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C✝\nX✝ Y✝ : C✝\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝³ : HasCokernel f✝\nC : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_2, u_1} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\nh : f ≫ g = 0\ninst✝ : HasCokernel f\n⊢ ((parallelPair f 0).map WalkingParallelPairHom.left ≫ colimit.ι (parallelPair f 0) one) ≫ cokernel.desc f g h = 0\n[PROOFSTEP]\naesop_cat\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasCokernel f\nW : C\nh : f ≫ 0 = 0\n⊢ desc f 0 h = 0\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasCokernel f\nW : C\nh : f ≫ 0 = 0\n⊢ coequalizer.π f 0 ≫ desc f 0 h = coequalizer.π f 0 ≫ 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\nW : C\nk : Y ⟶ W\nh : f ≫ k = 0\ninst✝ : Epi k\nZ : C\ng g' : W ⟶ Z\nw : desc f k h ≫ g = desc f k h ≫ g'\n⊢ g = g'\n[PROOFSTEP]\nreplace w := cokernel.π f ≫= w\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\nW : C\nk : Y ⟶ W\nh : f ≫ k = 0\ninst✝ : Epi k\nZ : C\ng g' : W ⟶ Z\nw : π f ≫ desc f k h ≫ g = π f ≫ desc f k h ≫ g'\n⊢ g = g'\n[PROOFSTEP]\nsimp only [cokernel.π_desc_assoc] at w \n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\nW : C\nk : Y ⟶ W\nh : f ≫ k = 0\ninst✝ : Epi k\nZ : C\ng g' : W ⟶ Z\nw : k ≫ g = k ≫ g'\n⊢ g = g'\n[PROOFSTEP]\nexact (cancel_epi k).1 w\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\nX' Y' : C\nf' : X' ⟶ Y'\ninst✝ : HasCokernel f'\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nw : f ≫ q = p ≫ f'\n⊢ f ≫ q ≫ π f' = 0\n[PROOFSTEP]\nhave : f ≫ q ≫ π f' = p ≫ f' ≫ π f' := by\n  simp only [← Category.assoc]\n  apply congrArg (· ≫ π f') w\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\nX' Y' : C\nf' : X' ⟶ Y'\ninst✝ : HasCokernel f'\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nw : f ≫ q = p ≫ f'\n⊢ f ≫ q ≫ π f' = p ≫ f' ≫ π f'\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← Category.assoc]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\nX' Y' : C\nf' : X' ⟶ Y'\ninst✝ : HasCokernel f'\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nw : f ≫ q = p ≫ f'\n⊢ (f ≫ q) ≫ π f' = (p ≫ f') ≫ π f'\n[PROOFSTEP]\napply congrArg (· ≫ π f') w\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\nX' Y' : C\nf' : X' ⟶ Y'\ninst✝ : HasCokernel f'\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nw : f ≫ q = p ≫ f'\nthis : f ≫ q ≫ π f' = p ≫ f' ≫ π f'\n⊢ f ≫ q ≫ π f' = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [this]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasCokernel f✝\nX Y Z X' Y' Z' : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\ng : Y ⟶ Z\nw : f ≫ g = 0\nf' : X' ⟶ Y'\ninst✝ : HasCokernel f'\ng' : Y' ⟶ Z'\nw' : f' ≫ g' = 0\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nr : Z ⟶ Z'\nh₁ : f ≫ q = p ≫ f'\nh₂ : g ≫ r = q ≫ g'\n⊢ map f f' p q h₁ ≫ desc f' g' w' = desc f g w ≫ r\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasCokernel f✝\nX Y Z X' Y' Z' : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\ng : Y ⟶ Z\nw : f ≫ g = 0\nf' : X' ⟶ Y'\ninst✝ : HasCokernel f'\ng' : Y' ⟶ Z'\nw' : f' ≫ g' = 0\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nr : Z ⟶ Z'\nh₁ : f ≫ q = p ≫ f'\nh₂ : g ≫ r = q ≫ g'\n⊢ coequalizer.π f 0 ≫ map f f' p q h₁ ≫ desc f' g' w' = coequalizer.π f 0 ≫ desc f g w ≫ r\n[PROOFSTEP]\nsimp [h₂]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\nX' Y' : C\nf' : X' ⟶ Y'\ninst✝ : HasCokernel f'\np : X ≅ X'\nq : Y ≅ Y'\nw : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'\n⊢ f' ≫ q.inv = p.inv ≫ f\n[PROOFSTEP]\nrefine' (cancel_mono q.hom).1 _\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\nX' Y' : C\nf' : X' ⟶ Y'\ninst✝ : HasCokernel f'\np : X ≅ X'\nq : Y ≅ Y'\nw : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'\n⊢ (f' ≫ q.inv) ≫ q.hom = (p.inv ≫ f) ≫ q.hom\n[PROOFSTEP]\nsimp [w]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Mono (cokernel.π f)\n⊢ f ≫ cokernel.π f = 0 ≫ cokernel.π f\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasCokernel f\n⊢ 0 ≫ 𝟙 Y = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasCokernel f\n⊢ cokernelZeroIsoTarget.hom = cokernel.desc 0 (𝟙 Y) (_ : 0 ≫ 𝟙 Y = 0)\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasCokernel f\n⊢ coequalizer.π 0 0 ≫ cokernelZeroIsoTarget.hom = coequalizer.π 0 0 ≫ cokernel.desc 0 (𝟙 Y) (_ : 0 ≫ 𝟙 Y = 0)\n[PROOFSTEP]\nsimp [cokernelZeroIsoTarget]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasCokernel f✝\nf g : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : HasCokernel g\nh : f = g\n⊢ parallelPair f 0 ≅ parallelPair g 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [h]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasCokernel f✝\nf g : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : HasCokernel g\nh : f = g\n⊢ parallelPair g 0 ≅ parallelPair g 0\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasCokernel f\nh : f = f\n⊢ cokernelIsoOfEq h = Iso.refl (cokernel f)\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase w.h\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasCokernel f\nh : f = f\n⊢ coequalizer.π f 0 ≫ (cokernelIsoOfEq h).hom = coequalizer.π f 0 ≫ (Iso.refl (cokernel f)).hom\n[PROOFSTEP]\nsimp [cokernelIsoOfEq]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasCokernel f✝\nf g : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : HasCokernel g\nh : f = g\n⊢ cokernel.π f ≫ (cokernelIsoOfEq h).hom = cokernel.π g\n[PROOFSTEP]\ncases h\n[GOAL]\ncase refl\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasCokernel f✝\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ inst✝ : HasCokernel f\n⊢ cokernel.π f ≫ (cokernelIsoOfEq (_ : f = f)).hom = cokernel.π f\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasCokernel f✝\nf g : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : HasCokernel g\nh : f = g\n⊢ cokernel.π g ≫ (cokernelIsoOfEq h).inv = cokernel.π f\n[PROOFSTEP]\ncases h\n[GOAL]\ncase refl\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasCokernel f✝\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ inst✝ : HasCokernel f\n⊢ cokernel.π f ≫ (cokernelIsoOfEq (_ : f = f)).inv = cokernel.π f\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasCokernel f✝\nZ : C\nf g : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : HasCokernel g\nh : f = g\ne : Y ⟶ Z\nhe : g ≫ e = 0\n⊢ f ≫ e = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [h, he]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasCokernel f✝\nZ : C\nf g : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : HasCokernel g\nh : f = g\ne : Y ⟶ Z\nhe : g ≫ e = 0\n⊢ (cokernelIsoOfEq h).hom ≫ cokernel.desc g e he = cokernel.desc f e (_ : f ≫ e = 0)\n[PROOFSTEP]\ncases h\n[GOAL]\ncase refl\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasCokernel f✝\nZ : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\ne : Y ⟶ Z\ninst✝ : HasCokernel f\nhe : f ≫ e = 0\n⊢ (cokernelIsoOfEq (_ : f = f)).hom ≫ cokernel.desc f e he = cokernel.desc f e (_ : f ≫ e = 0)\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasCokernel f✝\nZ : C\nf g : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : HasCokernel g\nh : f = g\ne : Y ⟶ Z\nhe : f ≫ e = 0\n⊢ g ≫ e = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [← h, he]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasCokernel f✝\nZ : C\nf g : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : HasCokernel g\nh : f = g\ne : Y ⟶ Z\nhe : f ≫ e = 0\n⊢ (cokernelIsoOfEq h).inv ≫ cokernel.desc f e he = cokernel.desc g e (_ : g ≫ e = 0)\n[PROOFSTEP]\ncases h\n[GOAL]\ncase refl\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝² : HasCokernel f✝\nZ : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasCokernel f\ne : Y ⟶ Z\nhe : f ≫ e = 0\ninst✝ : HasCokernel f\n⊢ (cokernelIsoOfEq (_ : f = f)).inv ≫ cokernel.desc f e he = cokernel.desc f e (_ : f ≫ e = 0)\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasCokernel f✝\nf g h : X ⟶ Y\ninst✝² : HasCokernel f\ninst✝¹ : HasCokernel g\ninst✝ : HasCokernel h\nw₁ : f = g\nw₂ : g = h\n⊢ cokernelIsoOfEq w₁ ≪≫ cokernelIsoOfEq w₂ = cokernelIsoOfEq (_ : f = h)\n[PROOFSTEP]\ncases w₁\n[GOAL]\ncase refl\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasCokernel f✝\nf h : X ⟶ Y\ninst✝² : HasCokernel f\ninst✝¹ : HasCokernel h\ninst✝ : HasCokernel f\nw₂ : f = h\n⊢ cokernelIsoOfEq (_ : f = f) ≪≫ cokernelIsoOfEq w₂ = cokernelIsoOfEq (_ : f = h)\n[PROOFSTEP]\ncases w₂\n[GOAL]\ncase refl.refl\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasCokernel f✝\nf : X ⟶ Y\ninst✝² inst✝¹ inst✝ : HasCokernel f\n⊢ cokernelIsoOfEq (_ : f = f) ≪≫ cokernelIsoOfEq (_ : f = f) = cokernelIsoOfEq (_ : f = f)\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase refl.refl.w.h\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf✝ : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasCokernel f✝\nf : X ⟶ Y\ninst✝² inst✝¹ inst✝ : HasCokernel f\n⊢ coequalizer.π f 0 ≫ (cokernelIsoOfEq (_ : f = f) ≪≫ cokernelIsoOfEq (_ : f = f)).hom =\n    coequalizer.π f 0 ≫ (cokernelIsoOfEq (_ : f = f)).hom\n[PROOFSTEP]\nsimp [cokernelIsoOfEq]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasCokernel f\nw : f ≠ 0\nI : IsIso (cokernel.π f)\n⊢ Mono (cokernel.π f)\n[PROOFSTEP]\nskip\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasCokernel f\nw : f ≠ 0\nI : IsIso (cokernel.π f)\n⊢ Mono (cokernel.π f)\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasCokernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : IsIso g\n⊢ (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasCokernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : IsIso g\ns : CokernelCofork (f ≫ g)\n⊢ f ≫ g ≫ Cofork.π s = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← Category.assoc, CokernelCofork.condition]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasCokernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : IsIso g\n⊢ ∀ (s : CokernelCofork (f ≫ g)),\n    Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)) ≫\n        (fun s => cokernel.desc f (g ≫ Cofork.π s) (_ : f ≫ g ≫ Cofork.π s = 0)) s =\n      Cofork.π s\n[PROOFSTEP]\naesop_cat\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasCokernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : IsIso g\ns : CokernelCofork (f ≫ g)\nm : (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)).pt ⟶ s.pt\nw : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)) ≫ m = Cofork.π s\n⊢ m = (fun s => cokernel.desc f (g ≫ Cofork.π s) (_ : f ≫ g ≫ Cofork.π s = 0)) s\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [← w]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasCokernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : IsIso g\ns : CokernelCofork (f ≫ g)\nm : (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)).pt ⟶ s.pt\nw : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)) ≫ m = Cofork.π s\n⊢ m =\n    cokernel.desc f\n      (g ≫ Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)) ≫ m)\n      (_ :\n        f ≫ g ≫ Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)) ≫ m = 0)\n[PROOFSTEP]\napply coequalizer.hom_ext\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasCokernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : IsIso g\ns : CokernelCofork (f ≫ g)\nm : (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)).pt ⟶ s.pt\nw : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)) ≫ m = Cofork.π s\n⊢ coequalizer.π f 0 ≫ m =\n    coequalizer.π f 0 ≫\n      cokernel.desc f\n        (g ≫ Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)) ≫ m)\n        (_ :\n          f ≫ g ≫ Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (inv g ≫ cokernel.π f) (_ : (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0)) ≫ m = 0)\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasCokernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : IsIso g\n⊢ (f ≫ g) ≫ inv g ≫ cokernel.π f = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasCokernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : IsIso g\n⊢ f ≫ g ≫ cokernel.π (f ≫ g) = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← Category.assoc, cokernel.condition]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasCokernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : Epi f\ninst✝ : HasCokernel g\n⊢ (f ≫ g) ≫ cokernel.π g = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasCokernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : Epi f\ninst✝ : HasCokernel g\n⊢ g ≫ cokernel.π (f ≫ g) = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← cancel_epi f, ← Category.assoc]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁴ : Category.{v, u} C\ninst✝³ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝² : HasCokernel f✝\nX Y Z : C\nf : X ⟶ Y\ng : Y ⟶ Z\ninst✝¹ : Epi f\ninst✝ : HasCokernel g\n⊢ (f ≫ g) ≫ cokernel.π (f ≫ g) = f ≫ 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasZeroObject C\ninst✝ : Epi f\ns : Cofork f 0\n⊢ Cofork.π (zeroCokernelCofork f) ≫ (fun s => 0) s = Cofork.π s\n[PROOFSTEP]\nerw [zero_comp]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasZeroObject C\ninst✝ : Epi f\ns : Cofork f 0\n⊢ 0 = Cofork.π s\n[PROOFSTEP]\nrefine (zero_of_epi_comp f ?_).symm\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝³ : Category.{v, u} C\ninst✝² : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝¹ : HasZeroObject C\ninst✝ : Epi f\ns : Cofork f 0\n⊢ f ≫ Cofork.π s = 0\n[PROOFSTEP]\nexact CokernelCofork.condition _\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasKernel f\nF : MonoFactorisation f\n⊢ kernel.ι f ≫ F.e = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← cancel_mono F.m, zero_comp, Category.assoc, F.fac, kernel.condition]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\n⊢ image.ι f ≫ cokernel.π f = 0\n[PROOFSTEP]\nhave w := cokernel.condition f\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\nw : f ≫ cokernel.π f = 0\n⊢ image.ι f ≫ cokernel.π f = 0\n[PROOFSTEP]\nconv at w =>\n  lhs\n  congr\n  rw [← image.fac f]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\nw : f ≫ cokernel.π f = 0\n| f ≫ cokernel.π f = 0\n[PROOFSTEP]\n  lhs\n  congr\n  rw [← image.fac f]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\nw : f ≫ cokernel.π f = 0\n| f ≫ cokernel.π f = 0\n[PROOFSTEP]\n  lhs\n  congr\n  rw [← image.fac f]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\nw : f ≫ cokernel.π f = 0\n| f ≫ cokernel.π f = 0\n[PROOFSTEP]\nlhs\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\nw : f ≫ cokernel.π f = 0\n| f ≫ cokernel.π f\n[PROOFSTEP]\ncongr\n[GOAL]\ncase a\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\nw : f ≫ cokernel.π f = 0\n| f\ncase a\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\nw : f ≫ cokernel.π f = 0\n| cokernel.π f\n[PROOFSTEP]\nrw [← image.fac f]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\nw : (factorThruImage f ≫ image.ι f) ≫ cokernel.π f = 0\n⊢ image.ι f ≫ cokernel.π f = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← HasZeroMorphisms.comp_zero (Limits.factorThruImage f), Category.assoc, cancel_epi] at w \n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\nw : image.ι f ≫ cokernel.π f = 0\n⊢ image.ι f ≫ cokernel.π f = 0\n[PROOFSTEP]\nexact w\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\n⊢ f ≫ cokernel.π (image.ι f) = 0\n[PROOFSTEP]\nconv =>\n  lhs\n  congr\n  rw [← image.fac f]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\n| f ≫ cokernel.π (image.ι f) = 0\n[PROOFSTEP]\n  lhs\n  congr\n  rw [← image.fac f]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\n| f ≫ cokernel.π (image.ι f) = 0\n[PROOFSTEP]\n  lhs\n  congr\n  rw [← image.fac f]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\n| f ≫ cokernel.π (image.ι f) = 0\n[PROOFSTEP]\nlhs\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\n| f ≫ cokernel.π (image.ι f)\n[PROOFSTEP]\ncongr\n[GOAL]\ncase a\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\n| f\ncase a\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\n| cokernel.π (image.ι f)\n[PROOFSTEP]\nrw [← image.fac f]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁵ : Category.{v, u} C\ninst✝⁴ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝³ : HasImage f\ninst✝² : HasCokernel (image.ι f)\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : Epi (factorThruImage f)\n⊢ (factorThruImage f ≫ image.ι f) ≫ cokernel.π (image.ι f) = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [Category.assoc, cokernel.condition, HasZeroMorphisms.comp_zero]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝ : HasZeroObject C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nhf : ∀ (Z : C) (g : Y ⟶ Z), f ≫ g = 0 → g = 0\n⊢ f ≫ 0 = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝ : HasZeroObject C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nhf : ∀ (Z : C) (g : Y ⟶ Z), f ≫ g = 0 → g = 0\ns : Cofork f 0\n⊢ Cofork.π (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0)) ≫ (fun s => 0) s = Cofork.π s\n[PROOFSTEP]\nrw [hf _ _ (CokernelCofork.condition s), comp_zero]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX✝ Y✝ : C\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ninst✝ : HasZeroObject C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nhf : ∀ (Z : C) (g : Y ⟶ Z), f ≫ g = 0 → g = 0\ns : Cofork f 0\nm : (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0)).pt ⟶ s.pt\nx✝ : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ 0 (_ : f ≫ 0 = 0)) ≫ m = Cofork.π s\n⊢ m = (fun s => 0) s\n[PROOFSTEP]\napply HasZeroObject.from_zero_ext\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : Z ⟶ Y\ni : X ≅ Z\nh : i.hom ≫ l = f\ns : CokernelCofork f\nhs : IsColimit s\n⊢ l ≫ Cofork.π s = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [i.eq_inv_comp.2 h]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : Z ⟶ Y\ni : X ≅ Z\nh : i.hom ≫ l = f\ns✝ : CokernelCofork f\nhs : IsColimit s✝\ns : Cofork l 0\n⊢ f ≫ Cofork.π s = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [← h]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : Z ⟶ Y\ni : X ≅ Z\nh : i.hom ≫ l = f\ns✝ : CokernelCofork f\nhs : IsColimit s✝\ns : Cofork l 0\n⊢ Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s✝) (_ : l ≫ Cofork.π s✝ = 0)) ≫\n      (fun s => IsColimit.desc hs (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0))) s =\n    Cofork.π s\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : Z ⟶ Y\ni : X ≅ Z\nh✝ : i.hom ≫ l = f\ns✝ : CokernelCofork f\nhs : IsColimit s✝\ns : Cofork l 0\nm : (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s✝) (_ : l ≫ Cofork.π s✝ = 0)).pt ⟶ s.pt\nh : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s✝) (_ : l ≫ Cofork.π s✝ = 0)) ≫ m = Cofork.π s\n⊢ m = (fun s => IsColimit.desc hs (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0))) s\n[PROOFSTEP]\napply Cofork.IsColimit.hom_ext hs\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : Z ⟶ Y\ni : X ≅ Z\nh✝ : i.hom ≫ l = f\ns✝ : CokernelCofork f\nhs : IsColimit s✝\ns : Cofork l 0\nm : (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s✝) (_ : l ≫ Cofork.π s✝ = 0)).pt ⟶ s.pt\nh : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s✝) (_ : l ≫ Cofork.π s✝ = 0)) ≫ m = Cofork.π s\n⊢ Cofork.π s✝ ≫ m =\n    Cofork.π s✝ ≫ (fun s => IsColimit.desc hs (CokernelCofork.ofπ (Cofork.π s) (_ : f ≫ Cofork.π s = 0))) s\n[PROOFSTEP]\nsimpa using h\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasCokernel f\nZ : C\nl : Z ⟶ Y\ni : X ≅ Z\nh : i.hom ≫ l = f\n⊢ l ≫ π f = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [i.eq_inv_comp.2 h]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : Y ⟶ Z\ns : CokernelCofork f\nhs : IsColimit s\ni : s.pt ≅ Z\nh : Cofork.π s ≫ i.hom = l\n⊢ f ≫ l = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [← h]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : Y ⟶ Z\ns : CokernelCofork f\nhs : IsColimit s\ni : s.pt ≅ Z\nh : Cofork.π s ≫ i.hom = l\nj : WalkingParallelPair\n⊢ NatTrans.app s.ι j ≫ i.hom = NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ l (_ : f ≫ l = 0)).ι j\n[PROOFSTEP]\ncases j\n[GOAL]\ncase zero\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : Y ⟶ Z\ns : CokernelCofork f\nhs : IsColimit s\ni : s.pt ≅ Z\nh : Cofork.π s ≫ i.hom = l\n⊢ NatTrans.app s.ι zero ≫ i.hom = NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ l (_ : f ≫ l = 0)).ι zero\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\ncase zero\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : Y ⟶ Z\ns : CokernelCofork f\nhs : IsColimit s\ni : s.pt ≅ Z\nh : Cofork.π s ≫ i.hom = l\n⊢ NatTrans.app s.ι zero ≫ i.hom = f ≫ l\n[PROOFSTEP]\nrw [← h]\n[GOAL]\ncase zero\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : Y ⟶ Z\ns : CokernelCofork f\nhs : IsColimit s\ni : s.pt ≅ Z\nh : Cofork.π s ≫ i.hom = l\n⊢ NatTrans.app s.ι zero ≫ i.hom = f ≫ Cofork.π s ≫ i.hom\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase one\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nZ : C\nl : Y ⟶ Z\ns : CokernelCofork f\nhs : IsColimit s\ni : s.pt ≅ Z\nh : Cofork.π s ≫ i.hom = l\n⊢ NatTrans.app s.ι one ≫ i.hom = NatTrans.app (CokernelCofork.ofπ l (_ : f ≫ l = 0)).ι one\n[PROOFSTEP]\nexact h\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝² : Category.{v, u} C\ninst✝¹ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\ninst✝ : HasCokernel f\nZ : C\nl : Y ⟶ Z\ni : cokernel f ≅ Z\nh : π f ≫ i.hom = l\n⊢ f ≫ l = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [← h]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁶ : Category.{v, u} C\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝³ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝² : Functor.PreservesZeroMorphisms G\ninst✝¹ : HasKernel f\ninst✝ : HasKernel (G.map f)\n⊢ G.map (kernel.ι f) ≫ G.map f = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← G.map_comp, kernel.condition, Functor.map_zero]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁶ : Category.{v, u} C\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝³ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝² : Functor.PreservesZeroMorphisms G\ninst✝¹ : HasKernel f\ninst✝ : HasKernel (G.map f)\nZ : C\nh : Z ⟶ X\nw : h ≫ f = 0\n⊢ G.map h ≫ G.map f = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← G.map_comp, w, Functor.map_zero]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁶ : Category.{v, u} C\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝³ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝² : Functor.PreservesZeroMorphisms G\ninst✝¹ : HasKernel f\ninst✝ : HasKernel (G.map f)\nZ : C\nh : Z ⟶ X\nw : h ≫ f = 0\n⊢ G.map (kernel.lift f h w) ≫ kernelComparison f G = kernel.lift (G.map f) (G.map h) (_ : G.map h ≫ G.map f = 0)\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝⁶ : Category.{v, u} C\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝³ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝² : Functor.PreservesZeroMorphisms G\ninst✝¹ : HasKernel f\ninst✝ : HasKernel (G.map f)\nZ : C\nh : Z ⟶ X\nw : h ≫ f = 0\n⊢ (G.map (kernel.lift f h w) ≫ kernelComparison f G) ≫ equalizer.ι (G.map f) 0 =\n    kernel.lift (G.map f) (G.map h) (_ : G.map h ≫ G.map f = 0) ≫ equalizer.ι (G.map f) 0\n[PROOFSTEP]\nsimp [← G.map_comp]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁸ : Category.{v, u} C\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G\nX' Y' : C\ninst✝³ : HasKernel f\ninst✝² : HasKernel (G.map f)\ng : X' ⟶ Y'\ninst✝¹ : HasKernel g\ninst✝ : HasKernel (G.map g)\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nhpq : f ≫ q = p ≫ g\n⊢ G.map f ≫ G.map q = G.map p ≫ G.map g\n[PROOFSTEP]\nrw [← G.map_comp, hpq, G.map_comp]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁸ : Category.{v, u} C\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G\nX' Y' : C\ninst✝³ : HasKernel f\ninst✝² : HasKernel (G.map f)\ng : X' ⟶ Y'\ninst✝¹ : HasKernel g\ninst✝ : HasKernel (G.map g)\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nhpq : f ≫ q = p ≫ g\n⊢ G.map (kernel.ι f) ≫ G.map f = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← G.map_comp, kernel.condition, G.map_zero]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁸ : Category.{v, u} C\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G\nX' Y' : C\ninst✝³ : HasKernel f\ninst✝² : HasKernel (G.map f)\ng : X' ⟶ Y'\ninst✝¹ : HasKernel g\ninst✝ : HasKernel (G.map g)\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nhpq : f ≫ q = p ≫ g\n⊢ G.map (kernel.ι g) ≫ G.map g = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← G.map_comp, kernel.condition, G.map_zero]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁸ : Category.{v, u} C\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G\nX' Y' : C\ninst✝³ : HasKernel f\ninst✝² : HasKernel (G.map f)\ng : X' ⟶ Y'\ninst✝¹ : HasKernel g\ninst✝ : HasKernel (G.map g)\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nhpq : f ≫ q = p ≫ g\n⊢ G.map (kernel.ι f) ≫ G.map p = G.map (kernel.map f g p q hpq) ≫ G.map (kernel.ι g)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← G.map_comp]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁸ : Category.{v, u} C\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G\nX' Y' : C\ninst✝³ : HasKernel f\ninst✝² : HasKernel (G.map f)\ng : X' ⟶ Y'\ninst✝¹ : HasKernel g\ninst✝ : HasKernel (G.map g)\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nhpq : f ≫ q = p ≫ g\n⊢ G.map (kernel.ι f ≫ p) = G.map (kernel.map f g p q hpq ≫ kernel.ι g)\n[PROOFSTEP]\nexact G.congr_map (kernel.lift_ι _ _ _).symm\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁶ : Category.{v, u} C\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝³ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝² : Functor.PreservesZeroMorphisms G\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : HasCokernel (G.map f)\n⊢ G.map f ≫ G.map (coequalizer.π f 0) = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← G.map_comp, cokernel.condition, Functor.map_zero]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁶ : Category.{v, u} C\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝³ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝² : Functor.PreservesZeroMorphisms G\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : HasCokernel (G.map f)\nZ : C\nh : Y ⟶ Z\nw : f ≫ h = 0\n⊢ G.map f ≫ G.map h = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← G.map_comp, w, Functor.map_zero]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁶ : Category.{v, u} C\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝³ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝² : Functor.PreservesZeroMorphisms G\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : HasCokernel (G.map f)\nZ : C\nh : Y ⟶ Z\nw : f ≫ h = 0\n⊢ cokernelComparison f G ≫ G.map (cokernel.desc f h w) = cokernel.desc (G.map f) (G.map h) (_ : G.map f ≫ G.map h = 0)\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝⁶ : Category.{v, u} C\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝³ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝² : Functor.PreservesZeroMorphisms G\ninst✝¹ : HasCokernel f\ninst✝ : HasCokernel (G.map f)\nZ : C\nh : Y ⟶ Z\nw : f ≫ h = 0\n⊢ coequalizer.π (G.map f) 0 ≫ cokernelComparison f G ≫ G.map (cokernel.desc f h w) =\n    coequalizer.π (G.map f) 0 ≫ cokernel.desc (G.map f) (G.map h) (_ : G.map f ≫ G.map h = 0)\n[PROOFSTEP]\nsimp [← G.map_comp]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁸ : Category.{v, u} C\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G\nX' Y' : C\ninst✝³ : HasCokernel f\ninst✝² : HasCokernel (G.map f)\ng : X' ⟶ Y'\ninst✝¹ : HasCokernel g\ninst✝ : HasCokernel (G.map g)\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nhpq : f ≫ q = p ≫ g\n⊢ G.map f ≫ G.map q = G.map p ≫ G.map g\n[PROOFSTEP]\nrw [← G.map_comp, hpq, G.map_comp]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁸ : Category.{v, u} C\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G\nX' Y' : C\ninst✝³ : HasCokernel f\ninst✝² : HasCokernel (G.map f)\ng : X' ⟶ Y'\ninst✝¹ : HasCokernel g\ninst✝ : HasCokernel (G.map g)\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nhpq : f ≫ q = p ≫ g\n⊢ G.map f ≫ G.map (coequalizer.π f 0) = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← G.map_comp, cokernel.condition, G.map_zero]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁸ : Category.{v, u} C\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G\nX' Y' : C\ninst✝³ : HasCokernel f\ninst✝² : HasCokernel (G.map f)\ng : X' ⟶ Y'\ninst✝¹ : HasCokernel g\ninst✝ : HasCokernel (G.map g)\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nhpq : f ≫ q = p ≫ g\n⊢ G.map g ≫ G.map (coequalizer.π g 0) = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← G.map_comp, cokernel.condition, G.map_zero]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁸ : Category.{v, u} C\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G\nX' Y' : C\ninst✝³ : HasCokernel f\ninst✝² : HasCokernel (G.map f)\ng : X' ⟶ Y'\ninst✝¹ : HasCokernel g\ninst✝ : HasCokernel (G.map g)\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nhpq : f ≫ q = p ≫ g\n⊢ G.map (coequalizer.π f 0) ≫ G.map (cokernel.map f g p q hpq) = G.map q ≫ G.map (coequalizer.π g 0)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [← G.map_comp]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝⁸ : Category.{v, u} C\ninst✝⁷ : HasZeroMorphisms C\nX Y : C\nf : X ⟶ Y\nD : Type u₂\ninst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D\ninst✝⁵ : HasZeroMorphisms D\nG : C ⥤ D\ninst✝⁴ : Functor.PreservesZeroMorphisms G\nX' Y' : C\ninst✝³ : HasCokernel f\ninst✝² : HasCokernel (G.map f)\ng : X' ⟶ Y'\ninst✝¹ : HasCokernel g\ninst✝ : HasCokernel (G.map g)\np : X ⟶ X'\nq : Y ⟶ Y'\nhpq : f ≫ q = p ≫ g\n⊢ G.map (coequalizer.π f 0 ≫ cokernel.map f g p q hpq) = G.map (q ≫ coequalizer.π g 0)\n[PROOFSTEP]\nexact G.congr_map (cokernel.π_desc _ _ _)\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Kernels", "llama_tokens": 47217, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{u_4, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX : C\nS : Sieve X\n⊢ GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S) ↔ ∃ T, Sieve.functorPullback G ↑T = S\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase mp\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{u_4, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX : C\nS : Sieve X\n⊢ GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S) → ∃ T, Sieve.functorPullback G ↑T = S\n[PROOFSTEP]\nintro hS\n[GOAL]\ncase mp\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{u_4, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX : C\nS : Sieve X\nhS : GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)\n⊢ ∃ T, Sieve.functorPullback G ↑T = S\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨⟨_, hS⟩, (Sieve.fullyFaithfulFunctorGaloisCoinsertion G X).u_l_eq S⟩\n[GOAL]\ncase mpr\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{u_4, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX : C\nS : Sieve X\n⊢ (∃ T, Sieve.functorPullback G ↑T = S) → GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨T, rfl⟩\n[GOAL]\ncase mpr.intro\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{u_4, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX : C\nT : ↑(GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X))\n⊢ GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T))\n[PROOFSTEP]\nexact Hld T\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX : C\n⊢ ⊤ ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\n[PROOFSTEP]\nchange K _ _\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX : C\n⊢ GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G ⊤)\n[PROOFSTEP]\nrw [Sieve.functorPushforward_top]\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX : C\n⊢ GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) ⊤\n[PROOFSTEP]\nexact K.top_mem _\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX Y : C\nS : Sieve X\nf : Y ⟶ X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\n⊢ Sieve.pullback f S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y\n[PROOFSTEP]\nhave : S.pullback f = ((S.functorPushforward G).pullback (G.map f)).functorPullback G :=\n  by\n  conv_lhs => rw [← (Sieve.fullyFaithfulFunctorGaloisCoinsertion G X).u_l_eq S]\n  ext\n  change (S.functorPushforward G) _ ↔ (S.functorPushforward G) _\n  rw [G.map_comp]\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX Y : C\nS : Sieve X\nf : Y ⟶ X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\n⊢ Sieve.pullback f S = Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map f) (Sieve.functorPushforward G S))\n[PROOFSTEP]\nconv_lhs => rw [← (Sieve.fullyFaithfulFunctorGaloisCoinsertion G X).u_l_eq S]\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX Y : C\nS : Sieve X\nf : Y ⟶ X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\n| Sieve.pullback f S\n[PROOFSTEP]\nrw [← (Sieve.fullyFaithfulFunctorGaloisCoinsertion G X).u_l_eq S]\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX Y : C\nS : Sieve X\nf : Y ⟶ X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\n| Sieve.pullback f S\n[PROOFSTEP]\nrw [← (Sieve.fullyFaithfulFunctorGaloisCoinsertion G X).u_l_eq S]\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX Y : C\nS : Sieve X\nf : Y ⟶ X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\n| Sieve.pullback f S\n[PROOFSTEP]\nrw [← (Sieve.fullyFaithfulFunctorGaloisCoinsertion G X).u_l_eq S]\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX Y : C\nS : Sieve X\nf : Y ⟶ X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\n⊢ Sieve.pullback f (Sieve.functorPullback G (Sieve.functorPushforward G S)) =\n    Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map f) (Sieve.functorPushforward G S))\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX Y : C\nS : Sieve X\nf : Y ⟶ X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\nY✝ : C\nf✝ : Y✝ ⟶ Y\n⊢ (Sieve.pullback f (Sieve.functorPullback G (Sieve.functorPushforward G S))).arrows f✝ ↔\n    (Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map f) (Sieve.functorPushforward G S))).arrows f✝\n[PROOFSTEP]\nchange (S.functorPushforward G) _ ↔ (S.functorPushforward G) _\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX Y : C\nS : Sieve X\nf : Y ⟶ X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\nY✝ : C\nf✝ : Y✝ ⟶ Y\n⊢ (Sieve.functorPushforward G S).arrows (G.map (f✝ ≫ f)) ↔ (Sieve.functorPushforward G S).arrows (G.map f✝ ≫ G.map f)\n[PROOFSTEP]\nrw [G.map_comp]\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX Y : C\nS : Sieve X\nf : Y ⟶ X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\nthis : Sieve.pullback f S = Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map f) (Sieve.functorPushforward G S))\n⊢ Sieve.pullback f S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y\n[PROOFSTEP]\nrw [this]\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX Y : C\nS : Sieve X\nf : Y ⟶ X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\nthis : Sieve.pullback f S = Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map f) (Sieve.functorPushforward G S))\n⊢ Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map f) (Sieve.functorPushforward G S)) ∈\n    (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y\n[PROOFSTEP]\nchange K _ _\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX Y : C\nS : Sieve X\nf : Y ⟶ X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\nthis : Sieve.pullback f S = Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map f) (Sieve.functorPushforward G S))\n⊢ GrothendieckTopology.sieves K (G.obj Y)\n    (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map f) (Sieve.functorPushforward G S))))\n[PROOFSTEP]\napply Hld ⟨_, K.pullback_stable (G.map f) hS⟩\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX : C\nS : Sieve X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\nS' : Sieve X\nH' :\n  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,\n    S.arrows f →\n      Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y\n⊢ S' ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\n[PROOFSTEP]\napply K.transitive hS\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX : C\nS : Sieve X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\nS' : Sieve X\nH' :\n  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,\n    S.arrows f →\n      Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y\n⊢ ∀ ⦃Y : D⦄ ⦃f : Y ⟶ G.obj X⦄,\n    (Sieve.functorPushforward G S).arrows f →\n      Sieve.pullback f (Sieve.functorPushforward G S') ∈ GrothendieckTopology.sieves K Y\n[PROOFSTEP]\nrintro Y _ ⟨Z, g, i, hg, rfl⟩\n[GOAL]\ncase h.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX : C\nS : Sieve X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\nS' : Sieve X\nH' :\n  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,\n    S.arrows f →\n      Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y\nY : D\nZ : C\ng : Z ⟶ X\ni : Y ⟶ G.obj Z\nhg : S.arrows g\n⊢ Sieve.pullback (i ≫ G.map g) (Sieve.functorPushforward G S') ∈ GrothendieckTopology.sieves K Y\n[PROOFSTEP]\nrw [Sieve.pullback_comp]\n[GOAL]\ncase h.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX : C\nS : Sieve X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\nS' : Sieve X\nH' :\n  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,\n    S.arrows f →\n      Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y\nY : D\nZ : C\ng : Z ⟶ X\ni : Y ⟶ G.obj Z\nhg : S.arrows g\n⊢ Sieve.pullback i (Sieve.pullback (G.map g) (Sieve.functorPushforward G S')) ∈ GrothendieckTopology.sieves K Y\n[PROOFSTEP]\napply K.pullback_stable i\n[GOAL]\ncase h.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX : C\nS : Sieve X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\nS' : Sieve X\nH' :\n  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,\n    S.arrows f →\n      Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y\nY : D\nZ : C\ng : Z ⟶ X\ni : Y ⟶ G.obj Z\nhg : S.arrows g\n⊢ Sieve.pullback (G.map g) (Sieve.functorPushforward G S') ∈ GrothendieckTopology.sieves K (G.obj Z)\n[PROOFSTEP]\nrefine' K.superset_covering _ (H' hg)\n[GOAL]\ncase h.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX : C\nS : Sieve X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\nS' : Sieve X\nH' :\n  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,\n    S.arrows f →\n      Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y\nY : D\nZ : C\ng : Z ⟶ X\ni : Y ⟶ G.obj Z\nhg : S.arrows g\n⊢ Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback g S') ≤ Sieve.pullback (G.map g) (Sieve.functorPushforward G S')\n[PROOFSTEP]\nrintro W _ ⟨Z', g', i', hg, rfl⟩\n[GOAL]\ncase h.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX : C\nS : Sieve X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\nS' : Sieve X\nH' :\n  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,\n    S.arrows f →\n      Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y\nY : D\nZ : C\ng : Z ⟶ X\ni : Y ⟶ G.obj Z\nhg✝ : S.arrows g\nW : D\nZ' : C\ng' : Z' ⟶ Z\ni' : W ⟶ G.obj Z'\nhg : (Sieve.pullback g S').arrows g'\n⊢ (Sieve.pullback (G.map g) (Sieve.functorPushforward G S')).arrows (i' ≫ G.map g')\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨Z', g' ≫ g, i', hg, _⟩\n[GOAL]\ncase h.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝⁴ : Category.{?u.3052, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝³ : Category.{?u.3059, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝² : Category.{u, v} A\ninst✝¹ : Full G\ninst✝ : Faithful G\nHld : LocallyCoverDense K G\nX : C\nS : Sieve X\nhS : S ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X\nS' : Sieve X\nH' :\n  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,\n    S.arrows f →\n      Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y\nY : D\nZ : C\ng : Z ⟶ X\ni : Y ⟶ G.obj Z\nhg✝ : S.arrows g\nW : D\nZ' : C\ng' : Z' ⟶ Z\ni' : W ⟶ G.obj Z'\nhg : (Sieve.pullback g S').arrows g'\n⊢ (i' ≫ G.map g') ≫ G.map g = i' ≫ G.map (g' ≫ g)\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_4, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝¹ : Category.{u, v} A\ninst✝ : Full G\nH : CoverDense K G\n⊢ LocallyCoverDense K G\n[PROOFSTEP]\nintro X T\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_4, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝¹ : Category.{u, v} A\ninst✝ : Full G\nH : CoverDense K G\nX : C\nT : ↑(GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X))\n⊢ Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T) ∈ GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X)\n[PROOFSTEP]\nrefine' K.superset_covering _ (K.bind_covering T.property fun Y f _ => H.is_cover Y)\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_4, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝¹ : Category.{u, v} A\ninst✝ : Full G\nH : CoverDense K G\nX : C\nT : ↑(GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X))\n⊢ (Sieve.bind (↑T).arrows fun Y f x => Sieve.coverByImage G Y) ≤ Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T)\n[PROOFSTEP]\nrintro Y _ ⟨Z, _, f, hf, ⟨W, g, f', rfl : _ = _⟩, rfl⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_4, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝¹ : Category.{u, v} A\ninst✝ : Full G\nH : CoverDense K G\nX : C\nT : ↑(GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X))\nY Z : D\nf : Z ⟶ G.obj X\nhf : (↑T).arrows f\nW : C\ng : Y ⟶ G.obj W\nf' : G.obj W ⟶ Z\n⊢ (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑T)).arrows ((g ≫ f') ≫ f)\n[PROOFSTEP]\nuse W\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_4, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝¹ : Category.{u, v} A\ninst✝ : Full G\nH : CoverDense K G\nX : C\nT : ↑(GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X))\nY Z : D\nf : Z ⟶ G.obj X\nhf : (↑T).arrows f\nW : C\ng : Y ⟶ G.obj W\nf' : G.obj W ⟶ Z\n⊢ ∃ g_1 h, (Sieve.functorPullback G ↑T).arrows g_1 ∧ (g ≫ f') ≫ f = h ≫ G.map g_1\n[PROOFSTEP]\nuse G.preimage (f' ≫ f)\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_4, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝¹ : Category.{u, v} A\ninst✝ : Full G\nH : CoverDense K G\nX : C\nT : ↑(GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X))\nY Z : D\nf : Z ⟶ G.obj X\nhf : (↑T).arrows f\nW : C\ng : Y ⟶ G.obj W\nf' : G.obj W ⟶ Z\n⊢ ∃ h, (Sieve.functorPullback G ↑T).arrows (G.preimage (f' ≫ f)) ∧ (g ≫ f') ≫ f = h ≫ G.map (G.preimage (f' ≫ f))\n[PROOFSTEP]\nuse g\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_4, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝¹ : Category.{u, v} A\ninst✝ : Full G\nH : CoverDense K G\nX : C\nT : ↑(GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X))\nY Z : D\nf : Z ⟶ G.obj X\nhf : (↑T).arrows f\nW : C\ng : Y ⟶ G.obj W\nf' : G.obj W ⟶ Z\n⊢ (Sieve.functorPullback G ↑T).arrows (G.preimage (f' ≫ f)) ∧ (g ≫ f') ≫ f = g ≫ G.map (G.preimage (f' ≫ f))\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase h.left\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_4, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝¹ : Category.{u, v} A\ninst✝ : Full G\nH : CoverDense K G\nX : C\nT : ↑(GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X))\nY Z : D\nf : Z ⟶ G.obj X\nhf : (↑T).arrows f\nW : C\ng : Y ⟶ G.obj W\nf' : G.obj W ⟶ Z\n⊢ (Sieve.functorPullback G ↑T).arrows (G.preimage (f' ≫ f))\ncase h.right\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_4, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝¹ : Category.{u, v} A\ninst✝ : Full G\nH : CoverDense K G\nX : C\nT : ↑(GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X))\nY Z : D\nf : Z ⟶ G.obj X\nhf : (↑T).arrows f\nW : C\ng : Y ⟶ G.obj W\nf' : G.obj W ⟶ Z\n⊢ (g ≫ f') ≫ f = g ≫ G.map (G.preimage (f' ≫ f))\n[PROOFSTEP]\nsimpa using T.val.downward_closed hf f'\n[GOAL]\ncase h.right\nC : Type u_1\ninst✝³ : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝² : Category.{u_4, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝¹ : Category.{u, v} A\ninst✝ : Full G\nH : CoverDense K G\nX : C\nT : ↑(GrothendieckTopology.sieves K (G.obj X))\nY Z : D\nf : Z ⟶ G.obj X\nhf : (↑T).arrows f\nW : C\ng : Y ⟶ G.obj W\nf' : G.obj W ⟶ Z\n⊢ (g ≫ f') ≫ f = g ≫ G.map (G.preimage (f' ≫ f))\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{?u.13139, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝ : Category.{u, v} A\nX : C\n⊢ LocallyCoverDense J (Over.forget X)\n[PROOFSTEP]\nintro Y T\n[GOAL]\nC : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{?u.13139, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝ : Category.{u, v} A\nX : C\nY : Over X\nT : ↑(GrothendieckTopology.sieves J ((Over.forget X).obj Y))\n⊢ Sieve.functorPushforward (Over.forget X) (Sieve.functorPullback (Over.forget X) ↑T) ∈\n    GrothendieckTopology.sieves J ((Over.forget X).obj Y)\n[PROOFSTEP]\nconvert T.property\n[GOAL]\ncase h.e'_4\nC : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{?u.13139, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝ : Category.{u, v} A\nX : C\nY : Over X\nT : ↑(GrothendieckTopology.sieves J ((Over.forget X).obj Y))\n⊢ Sieve.functorPushforward (Over.forget X) (Sieve.functorPullback (Over.forget X) ↑T) = ↑T\n[PROOFSTEP]\next Z f\n[GOAL]\ncase h.e'_4.h\nC : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{?u.13139, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝ : Category.{u, v} A\nX : C\nY : Over X\nT : ↑(GrothendieckTopology.sieves J ((Over.forget X).obj Y))\nZ : C\nf : Z ⟶ (Over.forget X).obj Y\n⊢ (Sieve.functorPushforward (Over.forget X) (Sieve.functorPullback (Over.forget X) ↑T)).arrows f ↔ (↑T).arrows f\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase h.e'_4.h.mp\nC : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{?u.13139, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝ : Category.{u, v} A\nX : C\nY : Over X\nT : ↑(GrothendieckTopology.sieves J ((Over.forget X).obj Y))\nZ : C\nf : Z ⟶ (Over.forget X).obj Y\n⊢ (Sieve.functorPushforward (Over.forget X) (Sieve.functorPullback (Over.forget X) ↑T)).arrows f → (↑T).arrows f\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨_, _, g', hg, rfl⟩\n[GOAL]\ncase h.e'_4.h.mp.intro.intro.intro.intro\nC : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{?u.13139, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝ : Category.{u, v} A\nX : C\nY : Over X\nT : ↑(GrothendieckTopology.sieves J ((Over.forget X).obj Y))\nZ : C\nw✝¹ : Over X\nw✝ : w✝¹ ⟶ Y\ng' : Z ⟶ (Over.forget X).obj w✝¹\nhg : (Sieve.functorPullback (Over.forget X) ↑T).arrows w✝\n⊢ (↑T).arrows (g' ≫ (Over.forget X).map w✝)\n[PROOFSTEP]\nexact T.val.downward_closed hg g'\n[GOAL]\ncase h.e'_4.h.mpr\nC : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{?u.13139, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝ : Category.{u, v} A\nX : C\nY : Over X\nT : ↑(GrothendieckTopology.sieves J ((Over.forget X).obj Y))\nZ : C\nf : Z ⟶ (Over.forget X).obj Y\n⊢ (↑T).arrows f → (Sieve.functorPushforward (Over.forget X) (Sieve.functorPullback (Over.forget X) ↑T)).arrows f\n[PROOFSTEP]\nintro hf\n[GOAL]\ncase h.e'_4.h.mpr\nC : Type u_1\ninst✝² : Category.{u_3, u_1} C\nD : Type u_2\ninst✝¹ : Category.{?u.13139, u_2} D\nG : C ⥤ D\nJ : GrothendieckTopology C\nK : GrothendieckTopology D\nA : Type v\ninst✝ : Category.{u, v} A\nX : C\nY : Over X\nT : ↑(GrothendieckTopology.sieves J ((Over.forget X).obj Y))\nZ : C\nf : Z ⟶ (Over.forget X).obj Y\nhf : (↑T).arrows f\n⊢ (Sieve.functorPushforward (Over.forget X) (Sieve.functorPullback (Over.forget X) ↑T)).arrows f\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨Over.mk (f ≫ Y.hom), Over.homMk f, 𝟙 _, hf, (Category.id_comp _).symm⟩\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.CategoryTheory.Sites.InducedTopology", "llama_tokens": 12352, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. YES\n2. NO", "lm_q1_score": 0.5350984286266115, "lm_q2_score": 0.43398146480389854, "lm_q1q2_score": 0.23222279986964123}}
{"text": "[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : OrderTopology α\ninst✝ : DenselyOrdered α\nf : Filter β\nu : β → α\ns : Set α\nhs : Dense s\nH : ∀ (a : α), a ∈ s → ∀ (b : α), b ∈ s → a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)\nh : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nh' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝\n⊢ ∃ c, Tendsto u f (𝓝 c)\n[PROOFSTEP]\nrcases f.eq_or_neBot with rfl | hbot\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : OrderTopology α\ninst✝ : DenselyOrdered α\nu : β → α\ns : Set α\nhs : Dense s\nH : ∀ (a : α), a ∈ s → ∀ (b : α), b ∈ s → a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in ⊥, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in ⊥, b < u n)\nh : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⊥ u) _auto✝\nh' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) ⊥ u) _auto✝\n⊢ ∃ c, Tendsto u ⊥ (𝓝 c)\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨sInf ∅, tendsto_bot⟩\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : OrderTopology α\ninst✝ : DenselyOrdered α\nf : Filter β\nu : β → α\ns : Set α\nhs : Dense s\nH : ∀ (a : α), a ∈ s → ∀ (b : α), b ∈ s → a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)\nh : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nh' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝\nhbot : NeBot f\n⊢ ∃ c, Tendsto u f (𝓝 c)\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨limsup u f, _⟩\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : OrderTopology α\ninst✝ : DenselyOrdered α\nf : Filter β\nu : β → α\ns : Set α\nhs : Dense s\nH : ∀ (a : α), a ∈ s → ∀ (b : α), b ∈ s → a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)\nh : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nh' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝\nhbot : NeBot f\n⊢ Tendsto u f (𝓝 (limsup u f))\n[PROOFSTEP]\napply tendsto_of_le_liminf_of_limsup_le _ le_rfl h h'\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : OrderTopology α\ninst✝ : DenselyOrdered α\nf : Filter β\nu : β → α\ns : Set α\nhs : Dense s\nH : ∀ (a : α), a ∈ s → ∀ (b : α), b ∈ s → a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)\nh : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nh' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝\nhbot : NeBot f\n⊢ limsup u f ≤ liminf u f\n[PROOFSTEP]\nby_contra' hlt\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : OrderTopology α\ninst✝ : DenselyOrdered α\nf : Filter β\nu : β → α\ns : Set α\nhs : Dense s\nH : ∀ (a : α), a ∈ s → ∀ (b : α), b ∈ s → a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)\nh : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nh' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝\nhbot : NeBot f\nhlt : liminf u f < limsup u f\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨a, ⟨⟨la, au⟩, as⟩⟩ : ∃ a, (f.liminf u < a ∧ a < f.limsup u) ∧ a ∈ s :=\n  dense_iff_inter_open.1 hs (Set.Ioo (f.liminf u) (f.limsup u)) isOpen_Ioo (Set.nonempty_Ioo.2 hlt)\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : OrderTopology α\ninst✝ : DenselyOrdered α\nf : Filter β\nu : β → α\ns : Set α\nhs : Dense s\nH : ∀ (a : α), a ∈ s → ∀ (b : α), b ∈ s → a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)\nh : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nh' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝\nhbot : NeBot f\nhlt : liminf u f < limsup u f\na : α\nas : a ∈ s\nla : liminf u f < a\nau : a < limsup u f\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨b, ⟨⟨ab, bu⟩, bs⟩⟩ : ∃ b, (a < b ∧ b < f.limsup u) ∧ b ∈ s :=\n  dense_iff_inter_open.1 hs (Set.Ioo a (f.limsup u)) isOpen_Ioo (Set.nonempty_Ioo.2 au)\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : OrderTopology α\ninst✝ : DenselyOrdered α\nf : Filter β\nu : β → α\ns : Set α\nhs : Dense s\nH : ∀ (a : α), a ∈ s → ∀ (b : α), b ∈ s → a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)\nh : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nh' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝\nhbot : NeBot f\nhlt : liminf u f < limsup u f\na : α\nas : a ∈ s\nla : liminf u f < a\nau : a < limsup u f\nb : α\nbs : b ∈ s\nab : a < b\nbu : b < limsup u f\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nhave A : ∃ᶠ n in f, u n < a := frequently_lt_of_liminf_lt (IsBounded.isCobounded_ge h) la\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : OrderTopology α\ninst✝ : DenselyOrdered α\nf : Filter β\nu : β → α\ns : Set α\nhs : Dense s\nH : ∀ (a : α), a ∈ s → ∀ (b : α), b ∈ s → a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)\nh : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nh' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝\nhbot : NeBot f\nhlt : liminf u f < limsup u f\na : α\nas : a ∈ s\nla : liminf u f < a\nau : a < limsup u f\nb : α\nbs : b ∈ s\nab : a < b\nbu : b < limsup u f\nA : ∃ᶠ (n : β) in f, u n < a\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nhave B : ∃ᶠ n in f, b < u n := frequently_lt_of_lt_limsup (IsBounded.isCobounded_le h') bu\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝² : TopologicalSpace α\ninst✝¹ : OrderTopology α\ninst✝ : DenselyOrdered α\nf : Filter β\nu : β → α\ns : Set α\nhs : Dense s\nH : ∀ (a : α), a ∈ s → ∀ (b : α), b ∈ s → a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)\nh : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nh' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝\nhbot : NeBot f\nhlt : liminf u f < limsup u f\na : α\nas : a ∈ s\nla : liminf u f < a\nau : a < limsup u f\nb : α\nbs : b ∈ s\nab : a < b\nbu : b < limsup u f\nA : ∃ᶠ (n : β) in f, u n < a\nB : ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact H a as b bs ab ⟨A, B⟩\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : OrderTopology α\ninst✝¹ : FirstCountableTopology α\nf : Filter β\ninst✝ : CountableInterFilter f\nu : β → α\nhf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\n⊢ ∀ᶠ (b : β) in f, u b ≤ limsup u f\n[PROOFSTEP]\nobtain ha | ha := isTop_or_exists_gt (f.limsup u)\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : OrderTopology α\ninst✝¹ : FirstCountableTopology α\nf : Filter β\ninst✝ : CountableInterFilter f\nu : β → α\nhf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nha : IsTop (limsup u f)\n⊢ ∀ᶠ (b : β) in f, u b ≤ limsup u f\n[PROOFSTEP]\nexact eventually_of_forall fun _ => ha _\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : OrderTopology α\ninst✝¹ : FirstCountableTopology α\nf : Filter β\ninst✝ : CountableInterFilter f\nu : β → α\nhf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nha : ∃ b, limsup u f < b\n⊢ ∀ᶠ (b : β) in f, u b ≤ limsup u f\n[PROOFSTEP]\nby_cases H : IsGLB (Set.Ioi (f.limsup u)) (f.limsup u)\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : OrderTopology α\ninst✝¹ : FirstCountableTopology α\nf : Filter β\ninst✝ : CountableInterFilter f\nu : β → α\nhf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nha : ∃ b, limsup u f < b\nH : IsGLB (Set.Ioi (limsup u f)) (limsup u f)\n⊢ ∀ᶠ (b : β) in f, u b ≤ limsup u f\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨u, -, -, hua, hu⟩ := H.exists_seq_antitone_tendsto ha\n[GOAL]\ncase pos.intro.intro.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : OrderTopology α\ninst✝¹ : FirstCountableTopology α\nf : Filter β\ninst✝ : CountableInterFilter f\nu✝ : β → α\nhf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u✝) _auto✝\nha : ∃ b, limsup u✝ f < b\nH : IsGLB (Set.Ioi (limsup u✝ f)) (limsup u✝ f)\nu : ℕ → α\nhua : Tendsto u atTop (𝓝 (limsup u✝ f))\nhu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Set.Ioi (limsup u✝ f)\n⊢ ∀ᶠ (b : β) in f, u✝ b ≤ limsup u✝ f\n[PROOFSTEP]\nhave := fun n => eventually_lt_of_limsup_lt (hu n) hf\n[GOAL]\ncase pos.intro.intro.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : OrderTopology α\ninst✝¹ : FirstCountableTopology α\nf : Filter β\ninst✝ : CountableInterFilter f\nu✝ : β → α\nhf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u✝) _auto✝\nha : ∃ b, limsup u✝ f < b\nH : IsGLB (Set.Ioi (limsup u✝ f)) (limsup u✝ f)\nu : ℕ → α\nhua : Tendsto u atTop (𝓝 (limsup u✝ f))\nhu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Set.Ioi (limsup u✝ f)\nthis : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (a : β) in f, u✝ a < u n\n⊢ ∀ᶠ (b : β) in f, u✝ b ≤ limsup u✝ f\n[PROOFSTEP]\nexact (eventually_countable_forall.2 this).mono fun b hb => ge_of_tendsto hua <| eventually_of_forall fun n => (hb _).le\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : OrderTopology α\ninst✝¹ : FirstCountableTopology α\nf : Filter β\ninst✝ : CountableInterFilter f\nu : β → α\nhf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nha : ∃ b, limsup u f < b\nH : ¬IsGLB (Set.Ioi (limsup u f)) (limsup u f)\n⊢ ∀ᶠ (b : β) in f, u b ≤ limsup u f\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨x, hx, xa⟩ : ∃ x, (∀ ⦃b⦄, f.limsup u < b → x ≤ b) ∧ f.limsup u < x :=\n  by\n  simp only [IsGLB, IsGreatest, lowerBounds, upperBounds, Set.mem_Ioi, Set.mem_setOf_eq, not_and, not_forall, not_le,\n    exists_prop] at H \n  exact H fun x => le_of_lt\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : OrderTopology α\ninst✝¹ : FirstCountableTopology α\nf : Filter β\ninst✝ : CountableInterFilter f\nu : β → α\nhf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nha : ∃ b, limsup u f < b\nH : ¬IsGLB (Set.Ioi (limsup u f)) (limsup u f)\n⊢ ∃ x, (∀ ⦃b : α⦄, limsup u f < b → x ≤ b) ∧ limsup u f < x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [IsGLB, IsGreatest, lowerBounds, upperBounds, Set.mem_Ioi, Set.mem_setOf_eq, not_and, not_forall, not_le,\n  exists_prop] at H \n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : OrderTopology α\ninst✝¹ : FirstCountableTopology α\nf : Filter β\ninst✝ : CountableInterFilter f\nu : β → α\nhf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nha : ∃ b, limsup u f < b\nH : (∀ ⦃a : α⦄, limsup u f < a → limsup u f ≤ a) → ∃ x, (∀ ⦃a : α⦄, limsup u f < a → x ≤ a) ∧ limsup u f < x\n⊢ ∃ x, (∀ ⦃b : α⦄, limsup u f < b → x ≤ b) ∧ limsup u f < x\n[PROOFSTEP]\nexact H fun x => le_of_lt\n[GOAL]\ncase neg.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : OrderTopology α\ninst✝¹ : FirstCountableTopology α\nf : Filter β\ninst✝ : CountableInterFilter f\nu : β → α\nhf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nha : ∃ b, limsup u f < b\nH : ¬IsGLB (Set.Ioi (limsup u f)) (limsup u f)\nx : α\nhx : ∀ ⦃b : α⦄, limsup u f < b → x ≤ b\nxa : limsup u f < x\n⊢ ∀ᶠ (b : β) in f, u b ≤ limsup u f\n[PROOFSTEP]\nfilter_upwards [eventually_lt_of_limsup_lt xa hf] with y hy\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : OrderTopology α\ninst✝¹ : FirstCountableTopology α\nf : Filter β\ninst✝ : CountableInterFilter f\nu : β → α\nhf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nha : ∃ b, limsup u f < b\nH : ¬IsGLB (Set.Ioi (limsup u f)) (limsup u f)\nx : α\nhx : ∀ ⦃b : α⦄, limsup u f < b → x ≤ b\nxa : limsup u f < x\ny : β\nhy : u y < x\n⊢ u y ≤ limsup u f\n[PROOFSTEP]\ncontrapose! hy\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : OrderTopology α\ninst✝¹ : FirstCountableTopology α\nf : Filter β\ninst✝ : CountableInterFilter f\nu : β → α\nhf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝\nha : ∃ b, limsup u f < b\nH : ¬IsGLB (Set.Ioi (limsup u f)) (limsup u f)\nx : α\nhx : ∀ ⦃b : α⦄, limsup u f < b → x ≤ b\nxa : limsup u f < x\ny : β\nhy : limsup u f < u y\n⊢ x ≤ u y\n[PROOFSTEP]\nexact hx hy\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝⁴ : CompleteLinearOrder α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : FirstCountableTopology α\ninst✝¹ : OrderTopology α\nf : Filter β\ninst✝ : CountableInterFilter f\nu : β → α\nh : u =ᶠ[f] ⊥\n⊢ limsup u f = ⊥\n[PROOFSTEP]\nrw [limsup_congr h]\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\ninst✝⁴ : CompleteLinearOrder α\ninst✝³ : TopologicalSpace α\ninst✝² : FirstCountableTopology α\ninst✝¹ : OrderTopology α\nf : Filter β\ninst✝ : CountableInterFilter f\nu : β → α\nh : u =ᶠ[f] ⊥\n⊢ limsup (fun a => ⊥ a) f = ⊥\n[PROOFSTEP]\nexact limsup_const_bot\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\n⊢ f (limsSup F) = liminf f F\n[PROOFSTEP]\nhave cobdd : F.IsCobounded (· ≤ ·) := bdd_below.isCobounded_flip\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\n⊢ f (limsSup F) = liminf f F\n[PROOFSTEP]\napply le_antisymm\n[GOAL]\ncase a\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\n⊢ f (limsSup F) ≤ liminf f F\n[PROOFSTEP]\nrw [limsSup, f_decr.map_sInf_of_continuousAt' f_cont bdd_above cobdd]\n[GOAL]\ncase a\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\n⊢ sSup (f '' {a | ∀ᶠ (n : R) in F, n ≤ a}) ≤ liminf f F\n[PROOFSTEP]\napply le_of_forall_lt\n[GOAL]\ncase a.H\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\n⊢ ∀ (c : S), c < sSup (f '' {a | ∀ᶠ (n : R) in F, n ≤ a}) → c < liminf f F\n[PROOFSTEP]\nintro c hc\n[GOAL]\ncase a.H\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nc : S\nhc : c < sSup (f '' {a | ∀ᶠ (n : R) in F, n ≤ a})\n⊢ c < liminf f F\n[PROOFSTEP]\nsimp only [liminf, limsInf, eventually_map] at hc ⊢\n[GOAL]\ncase a.H\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nc : S\nhc : c < sSup (f '' {a | ∀ᶠ (n : R) in F, n ≤ a})\n⊢ c < sSup {a | ∀ᶠ (a_1 : R) in F, a ≤ f a_1}\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨d, hd, h'd⟩ := exists_lt_of_lt_csSup (bdd_above.recOn fun x hx ↦ ⟨f x, Set.mem_image_of_mem f hx⟩) hc\n[GOAL]\ncase a.H.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nc : S\nhc : c < sSup (f '' {a | ∀ᶠ (n : R) in F, n ≤ a})\nd : S\nhd : d ∈ f '' {a | ∀ᶠ (n : R) in F, n ≤ a}\nh'd : c < d\n⊢ c < sSup {a | ∀ᶠ (a_1 : R) in F, a ≤ f a_1}\n[PROOFSTEP]\napply lt_csSup_of_lt ?_ ?_ h'd\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nc : S\nhc : c < sSup (f '' {a | ∀ᶠ (n : R) in F, n ≤ a})\nd : S\nhd : d ∈ f '' {a | ∀ᶠ (n : R) in F, n ≤ a}\nh'd : c < d\n⊢ BddAbove {a | ∀ᶠ (a_1 : R) in F, a ≤ f a_1}\n[PROOFSTEP]\nexact (Antitone.isBoundedUnder_le_comp f_decr bdd_below).isCoboundedUnder_flip\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nc : S\nhc : c < sSup (f '' {a | ∀ᶠ (n : R) in F, n ≤ a})\nd : S\nhd : d ∈ f '' {a | ∀ᶠ (n : R) in F, n ≤ a}\nh'd : c < d\n⊢ d ∈ {a | ∀ᶠ (a_1 : R) in F, a ≤ f a_1}\n[PROOFSTEP]\nrcases hd with ⟨e, ⟨he, fe_eq_d⟩⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nc : S\nhc : c < sSup (f '' {a | ∀ᶠ (n : R) in F, n ≤ a})\nd : S\nh'd : c < d\ne : R\nhe : e ∈ {a | ∀ᶠ (n : R) in F, n ≤ a}\nfe_eq_d : f e = d\n⊢ d ∈ {a | ∀ᶠ (a_1 : R) in F, a ≤ f a_1}\n[PROOFSTEP]\nfilter_upwards [he] with x hx using (fe_eq_d.symm ▸ f_decr hx)\n[GOAL]\ncase a\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\n⊢ liminf f F ≤ f (limsSup F)\n[PROOFSTEP]\nby_cases h' : ∃ c, c < F.limsSup ∧ Set.Ioo c F.limsSup = ∅\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nh' : ∃ c, c < limsSup F ∧ Set.Ioo c (limsSup F) = ∅\n⊢ liminf f F ≤ f (limsSup F)\n[PROOFSTEP]\nrcases h' with ⟨c, c_lt, hc⟩\n[GOAL]\ncase pos.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nc : R\nc_lt : c < limsSup F\nhc : Set.Ioo c (limsSup F) = ∅\n⊢ liminf f F ≤ f (limsSup F)\n[PROOFSTEP]\nhave B : ∃ᶠ n in F, F.limsSup ≤ n :=\n  by\n  apply (frequently_lt_of_lt_limsSup cobdd c_lt).mono\n  intro x hx\n  by_contra'\n  have : (Set.Ioo c F.limsSup).Nonempty := ⟨x, ⟨hx, this⟩⟩\n  simp only [hc, Set.not_nonempty_empty] at this \n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nc : R\nc_lt : c < limsSup F\nhc : Set.Ioo c (limsSup F) = ∅\n⊢ ∃ᶠ (n : R) in F, limsSup F ≤ n\n[PROOFSTEP]\napply (frequently_lt_of_lt_limsSup cobdd c_lt).mono\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nc : R\nc_lt : c < limsSup F\nhc : Set.Ioo c (limsSup F) = ∅\n⊢ ∀ (x : R), c < x → limsSup F ≤ x\n[PROOFSTEP]\nintro x hx\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nc : R\nc_lt : c < limsSup F\nhc : Set.Ioo c (limsSup F) = ∅\nx : R\nhx : c < x\n⊢ limsSup F ≤ x\n[PROOFSTEP]\nby_contra'\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nc : R\nc_lt : c < limsSup F\nhc : Set.Ioo c (limsSup F) = ∅\nx : R\nhx : c < x\nthis : x < limsSup F\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nhave : (Set.Ioo c F.limsSup).Nonempty := ⟨x, ⟨hx, this⟩⟩\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nc : R\nc_lt : c < limsSup F\nhc : Set.Ioo c (limsSup F) = ∅\nx : R\nhx : c < x\nthis✝ : x < limsSup F\nthis : Set.Nonempty (Set.Ioo c (limsSup F))\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nsimp only [hc, Set.not_nonempty_empty] at this \n[GOAL]\ncase pos.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nc : R\nc_lt : c < limsSup F\nhc : Set.Ioo c (limsSup F) = ∅\nB : ∃ᶠ (n : R) in F, limsSup F ≤ n\n⊢ liminf f F ≤ f (limsSup F)\n[PROOFSTEP]\napply liminf_le_of_frequently_le _ (bdd_above.isBoundedUnder f_decr)\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nc : R\nc_lt : c < limsSup F\nhc : Set.Ioo c (limsSup F) = ∅\nB : ∃ᶠ (n : R) in F, limsSup F ≤ n\n⊢ ∃ᶠ (x : R) in F, f x ≤ f (limsSup F)\n[PROOFSTEP]\nexact (B.mono fun x hx ↦ f_decr hx)\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nh' : ¬∃ c, c < limsSup F ∧ Set.Ioo c (limsSup F) = ∅\n⊢ liminf f F ≤ f (limsSup F)\n[PROOFSTEP]\npush_neg at h' \n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nh' : ∀ (c : R), c < limsSup F → Set.Ioo c (limsSup F) ≠ ∅\n⊢ liminf f F ≤ f (limsSup F)\n[PROOFSTEP]\nby_contra' H\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nh' : ∀ (c : R), c < limsSup F → Set.Ioo c (limsSup F) ≠ ∅\nH : f (limsSup F) < liminf f F\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nhave not_bot : ¬IsBot F.limsSup := fun maybe_bot ↦\n  lt_irrefl (F.liminf f) <|\n    lt_of_le_of_lt\n      (liminf_le_of_frequently_le (frequently_of_forall (fun r ↦ f_decr (maybe_bot r)))\n        (bdd_above.isBoundedUnder f_decr))\n      H\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nh' : ∀ (c : R), c < limsSup F → Set.Ioo c (limsSup F) ≠ ∅\nH : f (limsSup F) < liminf f F\nnot_bot : ¬IsBot (limsSup F)\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨l, l_lt, h'l⟩ : ∃ l < F.limsSup, Set.Ioc l F.limsSup ⊆ {x : R | f x < F.liminf f}\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nh' : ∀ (c : R), c < limsSup F → Set.Ioo c (limsSup F) ≠ ∅\nH : f (limsSup F) < liminf f F\nnot_bot : ¬IsBot (limsSup F)\n⊢ ∃ l, l < limsSup F ∧ Set.Ioc l (limsSup F) ⊆ {x | f x < liminf f F}\n[PROOFSTEP]\napply exists_Ioc_subset_of_mem_nhds ((tendsto_order.1 f_cont.tendsto).2 _ H)\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nh' : ∀ (c : R), c < limsSup F → Set.Ioo c (limsSup F) ≠ ∅\nH : f (limsSup F) < liminf f F\nnot_bot : ¬IsBot (limsSup F)\n⊢ ∃ l, l < limsSup F\n[PROOFSTEP]\nsimpa [IsBot] using not_bot\n[GOAL]\ncase neg.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nh' : ∀ (c : R), c < limsSup F → Set.Ioo c (limsSup F) ≠ ∅\nH : f (limsSup F) < liminf f F\nnot_bot : ¬IsBot (limsSup F)\nl : R\nl_lt : l < limsSup F\nh'l : Set.Ioc l (limsSup F) ⊆ {x | f x < liminf f F}\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨m, l_m, m_lt⟩ : (Set.Ioo l F.limsSup).Nonempty :=\n  by\n  contrapose! h'\n  refine' ⟨l, l_lt, by rwa [Set.not_nonempty_iff_eq_empty] at h' ⟩\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nh' : ∀ (c : R), c < limsSup F → Set.Ioo c (limsSup F) ≠ ∅\nH : f (limsSup F) < liminf f F\nnot_bot : ¬IsBot (limsSup F)\nl : R\nl_lt : l < limsSup F\nh'l : Set.Ioc l (limsSup F) ⊆ {x | f x < liminf f F}\n⊢ Set.Nonempty (Set.Ioo l (limsSup F))\n[PROOFSTEP]\ncontrapose! h'\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nH : f (limsSup F) < liminf f F\nnot_bot : ¬IsBot (limsSup F)\nl : R\nl_lt : l < limsSup F\nh'l : Set.Ioc l (limsSup F) ⊆ {x | f x < liminf f F}\nh' : ¬Set.Nonempty (Set.Ioo l (limsSup F))\n⊢ ∃ c, c < limsSup F ∧ Set.Ioo c (limsSup F) = ∅\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨l, l_lt, by rwa [Set.not_nonempty_iff_eq_empty] at h' ⟩\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nH : f (limsSup F) < liminf f F\nnot_bot : ¬IsBot (limsSup F)\nl : R\nl_lt : l < limsSup F\nh'l : Set.Ioc l (limsSup F) ⊆ {x | f x < liminf f F}\nh' : ¬Set.Nonempty (Set.Ioo l (limsSup F))\n⊢ Set.Ioo l (limsSup F) = ∅\n[PROOFSTEP]\nrwa [Set.not_nonempty_iff_eq_empty] at h' \n[GOAL]\ncase neg.intro.intro.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nh' : ∀ (c : R), c < limsSup F → Set.Ioo c (limsSup F) ≠ ∅\nH : f (limsSup F) < liminf f F\nnot_bot : ¬IsBot (limsSup F)\nl : R\nl_lt : l < limsSup F\nh'l : Set.Ioc l (limsSup F) ⊆ {x | f x < liminf f F}\nm : R\nl_m : l < m\nm_lt : m < limsSup F\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nhave B : F.liminf f ≤ f m := by\n  apply liminf_le_of_frequently_le _ _\n  · apply (frequently_lt_of_lt_limsSup cobdd m_lt).mono\n    exact fun x hx ↦ f_decr hx.le\n  · exact IsBounded.isBoundedUnder f_decr bdd_above\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nh' : ∀ (c : R), c < limsSup F → Set.Ioo c (limsSup F) ≠ ∅\nH : f (limsSup F) < liminf f F\nnot_bot : ¬IsBot (limsSup F)\nl : R\nl_lt : l < limsSup F\nh'l : Set.Ioc l (limsSup F) ⊆ {x | f x < liminf f F}\nm : R\nl_m : l < m\nm_lt : m < limsSup F\n⊢ liminf f F ≤ f m\n[PROOFSTEP]\napply liminf_le_of_frequently_le _ _\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nh' : ∀ (c : R), c < limsSup F → Set.Ioo c (limsSup F) ≠ ∅\nH : f (limsSup F) < liminf f F\nnot_bot : ¬IsBot (limsSup F)\nl : R\nl_lt : l < limsSup F\nh'l : Set.Ioc l (limsSup F) ⊆ {x | f x < liminf f F}\nm : R\nl_m : l < m\nm_lt : m < limsSup F\n⊢ ∃ᶠ (x : R) in F, f x ≤ f m\n[PROOFSTEP]\napply (frequently_lt_of_lt_limsSup cobdd m_lt).mono\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nh' : ∀ (c : R), c < limsSup F → Set.Ioo c (limsSup F) ≠ ∅\nH : f (limsSup F) < liminf f F\nnot_bot : ¬IsBot (limsSup F)\nl : R\nl_lt : l < limsSup F\nh'l : Set.Ioc l (limsSup F) ⊆ {x | f x < liminf f F}\nm : R\nl_m : l < m\nm_lt : m < limsSup F\n⊢ ∀ (x : R), m < x → f x ≤ f m\n[PROOFSTEP]\nexact fun x hx ↦ f_decr hx.le\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nh' : ∀ (c : R), c < limsSup F → Set.Ioo c (limsSup F) ≠ ∅\nH : f (limsSup F) < liminf f F\nnot_bot : ¬IsBot (limsSup F)\nl : R\nl_lt : l < limsSup F\nh'l : Set.Ioc l (limsSup F) ⊆ {x | f x < liminf f F}\nm : R\nl_m : l < m\nm_lt : m < limsSup F\n⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) F f\n[PROOFSTEP]\nexact IsBounded.isBoundedUnder f_decr bdd_above\n[GOAL]\ncase neg.intro.intro.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nh' : ∀ (c : R), c < limsSup F → Set.Ioo c (limsSup F) ≠ ∅\nH : f (limsSup F) < liminf f F\nnot_bot : ¬IsBot (limsSup F)\nl : R\nl_lt : l < limsSup F\nh'l : Set.Ioc l (limsSup F) ⊆ {x | f x < liminf f F}\nm : R\nl_m : l < m\nm_lt : m < limsSup F\nB : liminf f F ≤ f m\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nhave I : f m < F.liminf f := h'l ⟨l_m, m_lt.le⟩\n[GOAL]\ncase neg.intro.intro.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\nS : Type u_3\nF✝ : Filter ι\ninst✝⁷ : NeBot F✝\ninst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R\ninst✝⁵ : TopologicalSpace R\ninst✝⁴ : OrderTopology R\ninst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S\ninst✝² : TopologicalSpace S\ninst✝¹ : OrderTopology S\nF : Filter R\ninst✝ : NeBot F\nf : R → S\nf_decr : Antitone f\nf_cont : ContinuousAt f (limsSup F)\nbdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝\nbdd_below : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≥ x_1) F) _auto✝\ncobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F\nh' : ∀ (c : R), c < limsSup F → Set.Ioo c (limsSup F) ≠ ∅\nH : f (limsSup F) < liminf f F\nnot_bot : ¬IsBot (limsSup F)\nl : R\nl_lt : l < limsSup F\nh'l : Set.Ioc l (limsSup F) ⊆ {x | f x < liminf f F}\nm : R\nl_m : l < m\nm_lt : m < limsSup F\nB : liminf f F ≤ f m\nI : f m < liminf f F\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact lt_irrefl _ (B.trans_lt I)\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CompleteLinearOrder R\ninst✝² : TopologicalSpace R\ninst✝¹ : OrderTopology R\nx : R\nas : ι → R\nx_le : ∀ (i : ι), x ≤ as i\nF : Filter ι\ninst✝ : NeBot F\nas_lim : Tendsto as F (𝓝 x)\n⊢ ⨅ (i : ι), as i = x\n[PROOFSTEP]\nrefine' iInf_eq_of_forall_ge_of_forall_gt_exists_lt (fun i ↦ x_le i) _\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CompleteLinearOrder R\ninst✝² : TopologicalSpace R\ninst✝¹ : OrderTopology R\nx : R\nas : ι → R\nx_le : ∀ (i : ι), x ≤ as i\nF : Filter ι\ninst✝ : NeBot F\nas_lim : Tendsto as F (𝓝 x)\n⊢ ∀ (w : R), x < w → ∃ i, as i < w\n[PROOFSTEP]\napply fun w x_lt_w ↦ ‹Filter.NeBot F›.nonempty_of_mem (eventually_lt_of_tendsto_lt x_lt_w as_lim)\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CompleteLinearOrder R\ninst✝² : TopologicalSpace R\ninst✝¹ : OrderTopology R\nι : Type u_3\nx : R\nas : ι → R\nx_lt : ∀ (i : ι), x < as i\nF : Filter ι\ninst✝ : NeBot F\nas_lim : Tendsto as F (𝓝 x)\n⊢ ⋃ (i : ι), Ici (as i) = Ioi x\n[PROOFSTEP]\nhave obs : x ∉ range as := by\n  intro maybe_x_is\n  rcases mem_range.mp maybe_x_is with ⟨i, hi⟩\n  simpa only [hi, lt_self_iff_false] using x_lt i\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CompleteLinearOrder R\ninst✝² : TopologicalSpace R\ninst✝¹ : OrderTopology R\nι : Type u_3\nx : R\nas : ι → R\nx_lt : ∀ (i : ι), x < as i\nF : Filter ι\ninst✝ : NeBot F\nas_lim : Tendsto as F (𝓝 x)\n⊢ ¬x ∈ range as\n[PROOFSTEP]\nintro maybe_x_is\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CompleteLinearOrder R\ninst✝² : TopologicalSpace R\ninst✝¹ : OrderTopology R\nι : Type u_3\nx : R\nas : ι → R\nx_lt : ∀ (i : ι), x < as i\nF : Filter ι\ninst✝ : NeBot F\nas_lim : Tendsto as F (𝓝 x)\nmaybe_x_is : x ∈ range as\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nrcases mem_range.mp maybe_x_is with ⟨i, hi⟩\n[GOAL]\ncase intro\nα : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CompleteLinearOrder R\ninst✝² : TopologicalSpace R\ninst✝¹ : OrderTopology R\nι : Type u_3\nx : R\nas : ι → R\nx_lt : ∀ (i : ι), x < as i\nF : Filter ι\ninst✝ : NeBot F\nas_lim : Tendsto as F (𝓝 x)\nmaybe_x_is : x ∈ range as\ni : ι\nhi : as i = x\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [hi, lt_self_iff_false] using x_lt i\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CompleteLinearOrder R\ninst✝² : TopologicalSpace R\ninst✝¹ : OrderTopology R\nι : Type u_3\nx : R\nas : ι → R\nx_lt : ∀ (i : ι), x < as i\nF : Filter ι\ninst✝ : NeBot F\nas_lim : Tendsto as F (𝓝 x)\nobs : ¬x ∈ range as\n⊢ ⋃ (i : ι), Ici (as i) = Ioi x\n[PROOFSTEP]\nhave := iInf_eq_of_forall_le_of_tendsto (fun i ↦ (x_lt i).le) as_lim\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CompleteLinearOrder R\ninst✝² : TopologicalSpace R\ninst✝¹ : OrderTopology R\nι : Type u_3\nx : R\nas : ι → R\nx_lt : ∀ (i : ι), x < as i\nF : Filter ι\ninst✝ : NeBot F\nas_lim : Tendsto as F (𝓝 x)\nobs : ¬x ∈ range as\nthis : ⨅ (i : ι), as i = x\n⊢ ⋃ (i : ι), Ici (as i) = Ioi x\n[PROOFSTEP]\nrw [← this] at obs \n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CompleteLinearOrder R\ninst✝² : TopologicalSpace R\ninst✝¹ : OrderTopology R\nι : Type u_3\nx : R\nas : ι → R\nx_lt : ∀ (i : ι), x < as i\nF : Filter ι\ninst✝ : NeBot F\nas_lim : Tendsto as F (𝓝 x)\nobs : ¬⨅ (i : ι), as i ∈ range as\nthis : ⨅ (i : ι), as i = x\n⊢ ⋃ (i : ι), Ici (as i) = Ioi x\n[PROOFSTEP]\nrw [← this]\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nι✝ : Type u_1\nR : Type u_2\ninst✝³ : CompleteLinearOrder R\ninst✝² : TopologicalSpace R\ninst✝¹ : OrderTopology R\nι : Type u_3\nx : R\nas : ι → R\nx_lt : ∀ (i : ι), x < as i\nF : Filter ι\ninst✝ : NeBot F\nas_lim : Tendsto as F (𝓝 x)\nobs : ¬⨅ (i : ι), as i ∈ range as\nthis : ⨅ (i : ι), as i = x\n⊢ ⋃ (i : ι), Ici (as i) = Ioi (⨅ (i : ι), as i)\n[PROOFSTEP]\nexact iUnion_Ici_eq_Ioi_iInf obs\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\n⊢ limsup s atTop = {ω | Tendsto (fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω) atTop atTop}\n[PROOFSTEP]\next ω\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\n⊢ ω ∈ limsup s atTop ↔ ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω) atTop atTop}\n[PROOFSTEP]\nsimp only [limsup_eq_iInf_iSup_of_nat, ge_iff_le, Set.iSup_eq_iUnion, Set.iInf_eq_iInter, Set.mem_iInter,\n  Set.mem_iUnion, exists_prop]\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\n⊢ (∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1) ↔\n    ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω) atTop atTop}\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase h.mp\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\n⊢ (∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1) →\n    ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω) atTop atTop}\n[PROOFSTEP]\nintro hω\n[GOAL]\ncase h.mp\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\n⊢ ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω) atTop atTop}\n[PROOFSTEP]\nrefine'\n  tendsto_atTop_atTop_of_monotone'\n    (fun n m hnm ↦\n      Finset.sum_mono_set_of_nonneg (fun i ↦ Set.indicator_nonneg (fun _ _ ↦ zero_le_one) _) (Finset.range_mono hnm))\n    _\n[GOAL]\ncase h.mp\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\n⊢ ¬BddAbove (Set.range fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω)\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨i, h⟩\n[GOAL]\ncase h.mp.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni : ℕ\nh : i ∈ upperBounds (Set.range fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω)\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nsimp only [mem_upperBounds, Set.mem_range, forall_exists_index, forall_apply_eq_imp_iff'] at h \n[GOAL]\ncase h.mp.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\ninduction' i with k hk\n[GOAL]\ncase h.mp.intro.zero\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni : ℕ\nh✝ : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ Nat.zero\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨j, hj₁, hj₂⟩ := hω 1\n[GOAL]\ncase h.mp.intro.zero.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni : ℕ\nh✝ : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ Nat.zero\nj : ℕ\nhj₁ : 1 ≤ j\nhj₂ : ω ∈ s j\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nrefine' not_lt.2 (h <| j + 1) (lt_of_le_of_lt (Finset.sum_const_zero.symm : 0 = ∑ k in Finset.range (j + 1), 0).le _)\n[GOAL]\ncase h.mp.intro.zero.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni : ℕ\nh✝ : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ Nat.zero\nj : ℕ\nhj₁ : 1 ≤ j\nhj₂ : ω ∈ s j\n⊢ ∑ _x in Finset.range (j + 1), 0 < ∑ k in Finset.range (j + 1), Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\n[PROOFSTEP]\nrefine'\n  Finset.sum_lt_sum (fun m _ ↦ Set.indicator_nonneg (fun _ _ ↦ zero_le_one) _)\n    ⟨j - 1, Finset.mem_range.2 (lt_of_le_of_lt (Nat.sub_le _ _) j.lt_succ_self), _⟩\n[GOAL]\ncase h.mp.intro.zero.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni : ℕ\nh✝ : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ Nat.zero\nj : ℕ\nhj₁ : 1 ≤ j\nhj₂ : ω ∈ s j\n⊢ 0 < Set.indicator (s (j - 1 + 1)) 1 ω\n[PROOFSTEP]\nrw [Nat.sub_add_cancel hj₁, Set.indicator_of_mem hj₂]\n[GOAL]\ncase h.mp.intro.zero.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni : ℕ\nh✝ : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ Nat.zero\nj : ℕ\nhj₁ : 1 ≤ j\nhj₂ : ω ∈ s j\n⊢ 0 < OfNat.ofNat 1 ω\n[PROOFSTEP]\nexact zero_lt_one\n[GOAL]\ncase h.mp.intro.succ\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni : ℕ\nh✝ : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\nk : ℕ\nhk : (∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ k) → False\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ Nat.succ k\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nrw [imp_false] at hk \n[GOAL]\ncase h.mp.intro.succ\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni : ℕ\nh✝ : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\nk : ℕ\nhk : ¬∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ k\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ Nat.succ k\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\npush_neg at hk \n[GOAL]\ncase h.mp.intro.succ\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni : ℕ\nh✝ : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\nk : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ Nat.succ k\nhk : ∃ a, k < ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨i, hi⟩ := hk\n[GOAL]\ncase h.mp.intro.succ.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni✝ : ℕ\nh✝ : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i✝\nk : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ Nat.succ k\ni : ℕ\nhi : k < ∑ k in Finset.range i, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨j, hj₁, hj₂⟩ := hω (i + 1)\n[GOAL]\ncase h.mp.intro.succ.intro.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni✝ : ℕ\nh✝ : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i✝\nk : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ Nat.succ k\ni : ℕ\nhi : k < ∑ k in Finset.range i, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\nj : ℕ\nhj₁ : i + 1 ≤ j\nhj₂ : ω ∈ s j\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nreplace hi : (∑ k in Finset.range i, (s (k + 1)).indicator 1 ω) = k + 1 := le_antisymm (h i) hi\n[GOAL]\ncase h.mp.intro.succ.intro.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni✝ : ℕ\nh✝ : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i✝\nk : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ Nat.succ k\ni j : ℕ\nhj₁ : i + 1 ≤ j\nhj₂ : ω ∈ s j\nhi : ∑ k in Finset.range i, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω = k + 1\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nrefine' not_lt.2 (h <| j + 1) _\n[GOAL]\ncase h.mp.intro.succ.intro.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni✝ : ℕ\nh✝ : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i✝\nk : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ Nat.succ k\ni j : ℕ\nhj₁ : i + 1 ≤ j\nhj₂ : ω ∈ s j\nhi : ∑ k in Finset.range i, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω = k + 1\n⊢ Nat.succ k < ∑ k in Finset.range (j + 1), Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\n[PROOFSTEP]\nrw [← Finset.sum_range_add_sum_Ico _ (i.le_succ.trans (hj₁.trans j.le_succ)), hi]\n[GOAL]\ncase h.mp.intro.succ.intro.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni✝ : ℕ\nh✝ : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i✝\nk : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ Nat.succ k\ni j : ℕ\nhj₁ : i + 1 ≤ j\nhj₂ : ω ∈ s j\nhi : ∑ k in Finset.range i, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω = k + 1\n⊢ Nat.succ k < k + 1 + ∑ k in Finset.Ico i (Nat.succ j), Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\n[PROOFSTEP]\nrefine' lt_add_of_pos_right _ _\n[GOAL]\ncase h.mp.intro.succ.intro.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni✝ : ℕ\nh✝ : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i✝\nk : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ Nat.succ k\ni j : ℕ\nhj₁ : i + 1 ≤ j\nhj₂ : ω ∈ s j\nhi : ∑ k in Finset.range i, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω = k + 1\n⊢ 0 < ∑ k in Finset.Ico i (Nat.succ j), Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\n[PROOFSTEP]\nrw [(Finset.sum_const_zero.symm : 0 = ∑ k in Finset.Ico i (j + 1), 0)]\n[GOAL]\ncase h.mp.intro.succ.intro.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni✝ : ℕ\nh✝ : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i✝\nk : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ Nat.succ k\ni j : ℕ\nhj₁ : i + 1 ≤ j\nhj₂ : ω ∈ s j\nhi : ∑ k in Finset.range i, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω = k + 1\n⊢ ∑ _x in Finset.Ico i (j + 1), 0 < ∑ k in Finset.Ico i (Nat.succ j), Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\n[PROOFSTEP]\nrefine'\n  Finset.sum_lt_sum (fun m _ ↦ Set.indicator_nonneg (fun _ _ ↦ zero_le_one) _)\n    ⟨j - 1,\n      Finset.mem_Ico.2\n        ⟨(Nat.le_sub_iff_add_le (le_trans ((le_add_iff_nonneg_left _).2 zero_le') hj₁)).2 hj₁,\n          lt_of_le_of_lt (Nat.sub_le _ _) j.lt_succ_self⟩,\n      _⟩\n[GOAL]\ncase h.mp.intro.succ.intro.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni✝ : ℕ\nh✝ : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i✝\nk : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ Nat.succ k\ni j : ℕ\nhj₁ : i + 1 ≤ j\nhj₂ : ω ∈ s j\nhi : ∑ k in Finset.range i, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω = k + 1\n⊢ 0 < Set.indicator (s (j - 1 + 1)) 1 ω\n[PROOFSTEP]\nrw [Nat.sub_add_cancel (le_trans ((le_add_iff_nonneg_left _).2 zero_le') hj₁), Set.indicator_of_mem hj₂]\n[GOAL]\ncase h.mp.intro.succ.intro.intro.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\ni✝ : ℕ\nh✝ : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i✝\nk : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ Nat.succ k\ni j : ℕ\nhj₁ : i + 1 ≤ j\nhj₂ : ω ∈ s j\nhi : ∑ k in Finset.range i, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω = k + 1\n⊢ 0 < OfNat.ofNat 1 ω\n[PROOFSTEP]\nexact zero_lt_one\n[GOAL]\ncase h.mpr\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\n⊢ ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω) atTop atTop} →\n    ∀ (i : ℕ), ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\n[PROOFSTEP]\nrintro hω i\n[GOAL]\ncase h.mpr\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω) atTop atTop}\ni : ℕ\n⊢ ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\n[PROOFSTEP]\nrw [Set.mem_setOf_eq, tendsto_atTop_atTop] at hω \n[GOAL]\ncase h.mpr\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (b : ℕ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\ni : ℕ\n⊢ ∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\n[PROOFSTEP]\nby_contra hcon\n[GOAL]\ncase h.mpr\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (b : ℕ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\ni : ℕ\nhcon : ¬∃ i_1, i ≤ i_1 ∧ ω ∈ s i_1\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\npush_neg at hcon \n[GOAL]\ncase h.mpr\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (b : ℕ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\ni : ℕ\nhcon : ∀ (i_1 : ℕ), i ≤ i_1 → ¬ω ∈ s i_1\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨j, h⟩ := hω (i + 1)\n[GOAL]\ncase h.mpr.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (b : ℕ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\ni : ℕ\nhcon : ∀ (i_1 : ℕ), i ≤ i_1 → ¬ω ∈ s i_1\nj : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), j ≤ a → i + 1 ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nhave : (∑ k in Finset.range j, (s (k + 1)).indicator 1 ω) ≤ i :=\n  by\n  have hle : ∀ j ≤ i, (∑ k in Finset.range j, (s (k + 1)).indicator 1 ω) ≤ i :=\n    by\n    refine' fun j hij ↦ (Finset.sum_le_card_nsmul _ _ _ _ : _ ≤ (Finset.range j).card • 1).trans _\n    · exact fun m _ ↦ Set.indicator_apply_le' (fun _ ↦ le_rfl) fun _ ↦ zero_le_one\n    · simpa only [Finset.card_range, smul_eq_mul, mul_one]\n  by_cases hij : j < i\n  · exact hle _ hij.le\n  · rw [← Finset.sum_range_add_sum_Ico _ (not_lt.1 hij)]\n    suffices (∑ k in Finset.Ico i j, (s (k + 1)).indicator 1 ω) = 0\n      by\n      rw [this, add_zero]\n      exact hle _ le_rfl\n    refine' Finset.sum_eq_zero fun m hm ↦ _\n    exact Set.indicator_of_not_mem (hcon _ <| (Finset.mem_Ico.1 hm).1.trans m.le_succ) _\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (b : ℕ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\ni : ℕ\nhcon : ∀ (i_1 : ℕ), i ≤ i_1 → ¬ω ∈ s i_1\nj : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), j ≤ a → i + 1 ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\n⊢ ∑ k in Finset.range j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\n[PROOFSTEP]\nhave hle : ∀ j ≤ i, (∑ k in Finset.range j, (s (k + 1)).indicator 1 ω) ≤ i :=\n  by\n  refine' fun j hij ↦ (Finset.sum_le_card_nsmul _ _ _ _ : _ ≤ (Finset.range j).card • 1).trans _\n  · exact fun m _ ↦ Set.indicator_apply_le' (fun _ ↦ le_rfl) fun _ ↦ zero_le_one\n  · simpa only [Finset.card_range, smul_eq_mul, mul_one]\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (b : ℕ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\ni : ℕ\nhcon : ∀ (i_1 : ℕ), i ≤ i_1 → ¬ω ∈ s i_1\nj : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), j ≤ a → i + 1 ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\n⊢ ∀ (j : ℕ), j ≤ i → ∑ k in Finset.range j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\n[PROOFSTEP]\nrefine' fun j hij ↦ (Finset.sum_le_card_nsmul _ _ _ _ : _ ≤ (Finset.range j).card • 1).trans _\n[GOAL]\ncase refine'_1\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (b : ℕ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\ni : ℕ\nhcon : ∀ (i_1 : ℕ), i ≤ i_1 → ¬ω ∈ s i_1\nj✝ : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), j✝ ≤ a → i + 1 ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\nj : ℕ\nhij : j ≤ i\n⊢ ∀ (x : ℕ), x ∈ Finset.range j → Set.indicator (s (x + 1)) 1 ω ≤ 1\n[PROOFSTEP]\nexact fun m _ ↦ Set.indicator_apply_le' (fun _ ↦ le_rfl) fun _ ↦ zero_le_one\n[GOAL]\ncase refine'_2\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (b : ℕ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\ni : ℕ\nhcon : ∀ (i_1 : ℕ), i ≤ i_1 → ¬ω ∈ s i_1\nj✝ : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), j✝ ≤ a → i + 1 ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\nj : ℕ\nhij : j ≤ i\n⊢ Finset.card (Finset.range j) • 1 ≤ i\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [Finset.card_range, smul_eq_mul, mul_one]\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (b : ℕ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\ni : ℕ\nhcon : ∀ (i_1 : ℕ), i ≤ i_1 → ¬ω ∈ s i_1\nj : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), j ≤ a → i + 1 ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\nhle : ∀ (j : ℕ), j ≤ i → ∑ k in Finset.range j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\n⊢ ∑ k in Finset.range j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\n[PROOFSTEP]\nby_cases hij : j < i\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (b : ℕ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\ni : ℕ\nhcon : ∀ (i_1 : ℕ), i ≤ i_1 → ¬ω ∈ s i_1\nj : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), j ≤ a → i + 1 ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\nhle : ∀ (j : ℕ), j ≤ i → ∑ k in Finset.range j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\nhij : j < i\n⊢ ∑ k in Finset.range j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\n[PROOFSTEP]\nexact hle _ hij.le\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (b : ℕ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\ni : ℕ\nhcon : ∀ (i_1 : ℕ), i ≤ i_1 → ¬ω ∈ s i_1\nj : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), j ≤ a → i + 1 ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\nhle : ∀ (j : ℕ), j ≤ i → ∑ k in Finset.range j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\nhij : ¬j < i\n⊢ ∑ k in Finset.range j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\n[PROOFSTEP]\nrw [← Finset.sum_range_add_sum_Ico _ (not_lt.1 hij)]\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (b : ℕ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\ni : ℕ\nhcon : ∀ (i_1 : ℕ), i ≤ i_1 → ¬ω ∈ s i_1\nj : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), j ≤ a → i + 1 ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\nhle : ∀ (j : ℕ), j ≤ i → ∑ k in Finset.range j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\nhij : ¬j < i\n⊢ ∑ k in Finset.range i, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω + ∑ k in Finset.Ico i j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\n[PROOFSTEP]\nsuffices (∑ k in Finset.Ico i j, (s (k + 1)).indicator 1 ω) = 0\n  by\n  rw [this, add_zero]\n  exact hle _ le_rfl\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (b : ℕ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\ni : ℕ\nhcon : ∀ (i_1 : ℕ), i ≤ i_1 → ¬ω ∈ s i_1\nj : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), j ≤ a → i + 1 ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\nhle : ∀ (j : ℕ), j ≤ i → ∑ k in Finset.range j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\nhij : ¬j < i\nthis : ∑ k in Finset.Ico i j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω = 0\n⊢ ∑ k in Finset.range i, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω + ∑ k in Finset.Ico i j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\n[PROOFSTEP]\nrw [this, add_zero]\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (b : ℕ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\ni : ℕ\nhcon : ∀ (i_1 : ℕ), i ≤ i_1 → ¬ω ∈ s i_1\nj : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), j ≤ a → i + 1 ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\nhle : ∀ (j : ℕ), j ≤ i → ∑ k in Finset.range j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\nhij : ¬j < i\nthis : ∑ k in Finset.Ico i j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω = 0\n⊢ ∑ k in Finset.range i, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\n[PROOFSTEP]\nexact hle _ le_rfl\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (b : ℕ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\ni : ℕ\nhcon : ∀ (i_1 : ℕ), i ≤ i_1 → ¬ω ∈ s i_1\nj : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), j ≤ a → i + 1 ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\nhle : ∀ (j : ℕ), j ≤ i → ∑ k in Finset.range j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\nhij : ¬j < i\n⊢ ∑ k in Finset.Ico i j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω = 0\n[PROOFSTEP]\nrefine' Finset.sum_eq_zero fun m hm ↦ _\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (b : ℕ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\ni : ℕ\nhcon : ∀ (i_1 : ℕ), i ≤ i_1 → ¬ω ∈ s i_1\nj : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), j ≤ a → i + 1 ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\nhle : ∀ (j : ℕ), j ≤ i → ∑ k in Finset.range j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\nhij : ¬j < i\nm : ℕ\nhm : m ∈ Finset.Ico i j\n⊢ Set.indicator (s (m + 1)) 1 ω = 0\n[PROOFSTEP]\nexact Set.indicator_of_not_mem (hcon _ <| (Finset.mem_Ico.1 hm).1.trans m.le_succ) _\n[GOAL]\ncase h.mpr.intro\nα : Type u\nβ : Type v\ns : ℕ → Set α\nω : α\nhω : ∀ (b : ℕ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\ni : ℕ\nhcon : ∀ (i_1 : ℕ), i ≤ i_1 → ¬ω ∈ s i_1\nj : ℕ\nh : ∀ (a : ℕ), j ≤ a → i + 1 ≤ ∑ k in Finset.range a, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω\nthis : ∑ k in Finset.range j, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω ≤ i\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact not_le.2 (lt_of_lt_of_le i.lt_succ_self <| h _ le_rfl) this\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nR : Type u_1\ninst✝¹ : StrictOrderedSemiring R\ninst✝ : Archimedean R\ns : ℕ → Set α\n⊢ limsup s atTop = {ω | Tendsto (fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω) atTop atTop}\n[PROOFSTEP]\nrw [limsup_eq_tendsto_sum_indicator_nat_atTop s]\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nR : Type u_1\ninst✝¹ : StrictOrderedSemiring R\ninst✝ : Archimedean R\ns : ℕ → Set α\n⊢ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω) atTop atTop} =\n    {ω | Tendsto (fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω) atTop atTop}\n[PROOFSTEP]\next ω\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u\nβ : Type v\nR : Type u_1\ninst✝¹ : StrictOrderedSemiring R\ninst✝ : Archimedean R\ns : ℕ → Set α\nω : α\n⊢ ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω) atTop atTop} ↔\n    ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω) atTop atTop}\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Set.mem_setOf_eq]\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u\nβ : Type v\nR : Type u_1\ninst✝¹ : StrictOrderedSemiring R\ninst✝ : Archimedean R\ns : ℕ → Set α\nω : α\n⊢ Tendsto (fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω) atTop atTop ↔\n    Tendsto (fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω) atTop atTop\n[PROOFSTEP]\nrw [(_ :\n    (fun n ↦ ∑ k in Finset.range n, (s (k + 1)).indicator (1 : α → R) ω) = fun n ↦\n      ↑(∑ k in Finset.range n, (s (k + 1)).indicator (1 : α → ℕ) ω))]\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u\nβ : Type v\nR : Type u_1\ninst✝¹ : StrictOrderedSemiring R\ninst✝ : Archimedean R\ns : ℕ → Set α\nω : α\n⊢ Tendsto (fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω) atTop atTop ↔\n    Tendsto (fun n => ↑(∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω)) atTop atTop\n[PROOFSTEP]\nexact tendsto_nat_cast_atTop_iff.symm\n[GOAL]\nα : Type u\nβ : Type v\nR : Type u_1\ninst✝¹ : StrictOrderedSemiring R\ninst✝ : Archimedean R\ns : ℕ → Set α\nω : α\n⊢ (fun n => ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω) = fun n =>\n    ↑(∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω)\n[PROOFSTEP]\next n\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u\nβ : Type v\nR : Type u_1\ninst✝¹ : StrictOrderedSemiring R\ninst✝ : Archimedean R\ns : ℕ → Set α\nω : α\nn : ℕ\n⊢ ∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω = ↑(∑ k in Finset.range n, Set.indicator (s (k + 1)) 1 ω)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Set.indicator, Pi.one_apply, Finset.sum_boole, Nat.cast_id]\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.Topology.Algebra.Order.LiminfLimsup", "llama_tokens": 35558, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β\nx : α\n⊢ x ∈ Dom f ↔ ∃ y, y ∈ f x\n[PROOFSTEP]\nsimp [Dom, Part.dom_iff_mem]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nx✝ : (p : α → Prop) × (Subtype p → β)\np : α → Prop\nf : Subtype p → β\n⊢ (fun f => { fst := fun a => (f a).Dom, snd := asSubtype f })\n      ((fun f x => { Dom := Sigma.fst f x, get := fun h => Sigma.snd f { val := x, property := h } })\n        { fst := p, snd := f }) =\n    { fst := p, snd := f }\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nx✝ : (p : α → Prop) × (Subtype p → β)\np : α → Prop\nf : Subtype p → β\n⊢ { fst := fun a => p a, snd := asSubtype fun x => { Dom := p x, get := fun h => f { val := x, property := h } } } =\n    { fst := p, snd := f }\n[PROOFSTEP]\ncongr\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β\ns : Set α\nh : s ⊆ Dom f\na : α\nb : β\n⊢ b ∈ restrict f h a ↔ a ∈ s ∧ b ∈ f a\n[PROOFSTEP]\nsimp [restrict]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α → β\ns : Set α\na : α\nb : β\n⊢ b ∈ res f s a ↔ a ∈ s ∧ f a = b\n[PROOFSTEP]\nsimp [res, @eq_comm _ b]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α → β\na : α\nb : β\n⊢ (∃ x, f a = b) ↔ f a = b\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nα✝ : Type ?u.16924\nf : α →. α✝\n⊢ id <$> f = f\n[PROOFSTEP]\nfunext a\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nα✝ : Type ?u.16924\nf : α →. α✝\na : α\n⊢ (id <$> f) a = f a\n[PROOFSTEP]\ndsimp [Functor.map, PFun.map]\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nα✝ : Type ?u.16924\nf : α →. α✝\na : α\n⊢ Part.map id (f a) = f a\n[PROOFSTEP]\ncases f a\n[GOAL]\ncase h.mk\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nα✝ : Type ?u.16924\nf : α →. α✝\na : α\nDom✝ : Prop\nget✝ : Dom✝ → α✝\n⊢ Part.map id { Dom := Dom✝, get := get✝ } = { Dom := Dom✝, get := get✝ }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh : b ∈ fix f a\n⊢ (f a).Dom\n[PROOFSTEP]\nlet ⟨h₁, h₂⟩ := Part.mem_assert_iff.1 h\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh : b ∈ fix f a\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a\nh₂ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a h₁\n⊢ (f a).Dom\n[PROOFSTEP]\nrw [WellFounded.fixFEq] at h₂ \n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh : b ∈ fix f a\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a\nh₂ :\n  b ∈\n    Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n      match e : Part.get (f a) hf with\n      | Sum.inl b => Part.some b\n      | Sum.inr a' =>\n        (fun y p =>\n            WellFounded.fixF\n              (fun a IH =>\n                Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                  match e : Part.get (f a) hf with\n                  | Sum.inl b => Part.some b\n                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n              y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))\n          a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a')\n⊢ (f a).Dom\n[PROOFSTEP]\nexact h₂.fst.fst\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh : b ∈ fix f a\n⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\nlet ⟨h₁, h₂⟩ := Part.mem_assert_iff.1 h\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh : b ∈ fix f a\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a\nh₂ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a h₁\n⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\nrw [WellFounded.fixFEq] at h₂ \n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh : b ∈ fix f a\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a\nh₂ :\n  b ∈\n    Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n      match e : Part.get (f a) hf with\n      | Sum.inl b => Part.some b\n      | Sum.inr a' =>\n        (fun y p =>\n            WellFounded.fixF\n              (fun a IH =>\n                Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                  match e : Part.get (f a) hf with\n                  | Sum.inl b => Part.some b\n                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n              y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))\n          a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a')\n⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\nsimp at h₂ \n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh : b ∈ fix f a\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a\nh₂ :\n  ∃ h,\n    b ∈\n      match e : Part.get (f a) h with\n      | Sum.inl b => Part.some b\n      | Sum.inr a' =>\n        WellFounded.fixF\n          (fun a IH =>\n            Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n              match e : Part.get (f a) hf with\n              | Sum.inl b => Part.some b\n              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n          a' (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) a')\n⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\ncases' h₂ with h₂ h₃\n[GOAL]\ncase intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh : b ∈ fix f a\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a\nh₂ : (f a).Dom\nh₃ :\n  b ∈\n    match e : Part.get (f a) h₂ with\n    | Sum.inl b => Part.some b\n    | Sum.inr a' =>\n      WellFounded.fixF\n        (fun a IH =>\n          Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n            match e : Part.get (f a) hf with\n            | Sum.inl b => Part.some b\n            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n        a' (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) a')\n⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\nsplit at h₃ \n[GOAL]\ncase intro.h_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh : b ∈ fix f a\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a\nh₂ : (f a).Dom\nb✝ : β\nheq✝ : Part.get (f a) h₂ = Sum.inl b✝\nh₃ : b ∈ Part.some b✝\n⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'\ncase intro.h_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh : b ∈ fix f a\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a\nh₂ : (f a).Dom\na'✝ : α\nheq✝ : Part.get (f a) h₂ = Sum.inr a'✝\nh₃ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a'✝ (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) a'✝)\n⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\nnext e => simp at h₃ ; subst b; refine' Or.inl ⟨h₂, e⟩\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh : b ∈ fix f a\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a\nh₂ : (f a).Dom\nb✝ : β\ne : Part.get (f a) h₂ = Sum.inl b✝\nh₃ : b ∈ Part.some b✝\n⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\nsimp at h₃ \n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh : b ∈ fix f a\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a\nh₂ : (f a).Dom\nb✝ : β\ne : Part.get (f a) h₂ = Sum.inl b✝\nh₃ : b = b✝\n⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\nsubst b\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a\nh₂ : (f a).Dom\nb✝ : β\ne : Part.get (f a) h₂ = Sum.inl b✝\nh : b✝ ∈ fix f a\n⊢ Sum.inl b✝ ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b✝ ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\nrefine' Or.inl ⟨h₂, e⟩\n[GOAL]\ncase intro.h_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh : b ∈ fix f a\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a\nh₂ : (f a).Dom\na'✝ : α\nheq✝ : Part.get (f a) h₂ = Sum.inr a'✝\nh₃ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a'✝ (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) a'✝)\n⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\nnext e => exact Or.inr ⟨_, ⟨_, e⟩, Part.mem_assert _ h₃⟩\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh : b ∈ fix f a\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a\nh₂ : (f a).Dom\na'✝ : α\ne : Part.get (f a) h₂ = Sum.inr a'✝\nh₃ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a'✝ (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) a'✝)\n⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\nexact Or.inr ⟨_, ⟨_, e⟩, Part.mem_assert _ h₃⟩\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh : Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'\n⊢ b ∈ fix f a\n[PROOFSTEP]\nsimp [fix]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh : Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'\n⊢ ∃ h,\n    b ∈\n      WellFounded.fixF\n        (fun a IH =>\n          Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n            match e : Part.get (f a) hf with\n            | Sum.inl b => Part.some b\n            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n        a h\n[PROOFSTEP]\nrcases h with (⟨h₁, h₂⟩ | ⟨a', h, h₃⟩)\n[GOAL]\ncase inl.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b\n⊢ ∃ h,\n    b ∈\n      WellFounded.fixF\n        (fun a IH =>\n          Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n            match e : Part.get (f a) hf with\n            | Sum.inl b => Part.some b\n            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n        a h\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨⟨_, fun y h' => _⟩, _⟩\n[GOAL]\ncase inl.intro.refine'_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b\ny : α\nh' : Sum.inr y ∈ f a\n⊢ Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) y\n[PROOFSTEP]\ninjection Part.mem_unique ⟨h₁, h₂⟩ h'\n[GOAL]\ncase inl.intro.refine'_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b\n⊢ b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a)\n[PROOFSTEP]\nrw [WellFounded.fixFEq]\n  -- Porting note: used to be simp [h₁, h₂]\n[GOAL]\ncase inl.intro.refine'_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b\n⊢ b ∈\n    Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n      match e : Part.get (f a) hf with\n      | Sum.inl b => Part.some b\n      | Sum.inr a' =>\n        (fun y p =>\n            WellFounded.fixF\n              (fun a IH =>\n                Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                  match e : Part.get (f a) hf with\n                  | Sum.inl b => Part.some b\n                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n              y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))\n          a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a')\n[PROOFSTEP]\napply Part.mem_assert h₁\n[GOAL]\ncase inl.intro.refine'_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b\n⊢ b ∈\n    match e : Part.get (f a) h₁ with\n    | Sum.inl b => Part.some b\n    | Sum.inr a' =>\n      (fun y p =>\n          WellFounded.fixF\n            (fun a IH =>\n              Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                match e : Part.get (f a) hf with\n                | Sum.inl b => Part.some b\n                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n            y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))\n        a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a')\n[PROOFSTEP]\nsplit\n[GOAL]\ncase inl.intro.refine'_2.h_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b\nb✝ : β\nheq✝ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b✝\n⊢ b ∈ Part.some b✝\ncase inl.intro.refine'_2.h_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b\na'✝ : α\nheq✝ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝\n⊢ b ∈\n    (fun y p =>\n        WellFounded.fixF\n          (fun a IH =>\n            Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n              match e : Part.get (f a) hf with\n              | Sum.inl b => Part.some b\n              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n          y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))\n      a'✝ (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'✝)\n[PROOFSTEP]\nnext e => injection h₂.symm.trans e with h; simp [h]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b\nb✝ : β\ne : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b✝\n⊢ b ∈ Part.some b✝\n[PROOFSTEP]\ninjection h₂.symm.trans e with h\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b\nb✝ : β\ne : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b✝\nh : b = b✝\n⊢ b ∈ Part.some b✝\n[PROOFSTEP]\nsimp [h]\n[GOAL]\ncase inl.intro.refine'_2.h_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b\na'✝ : α\nheq✝ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝\n⊢ b ∈\n    (fun y p =>\n        WellFounded.fixF\n          (fun a IH =>\n            Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n              match e : Part.get (f a) hf with\n              | Sum.inl b => Part.some b\n              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n          y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))\n      a'✝ (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'✝)\n[PROOFSTEP]\nnext e => injection h₂.symm.trans e\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b\na'✝ : α\ne : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝\n⊢ b ∈\n    (fun y p =>\n        WellFounded.fixF\n          (fun a IH =>\n            Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n              match e : Part.get (f a) hf with\n              | Sum.inl b => Part.some b\n              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n          y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))\n      a'✝ (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'✝)\n[PROOFSTEP]\ninjection h₂.symm.trans e\n[GOAL]\ncase inr.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\na' : α\nh : Sum.inr a' ∈ f a\nh₃ : b ∈ fix f a'\n⊢ ∃ h,\n    b ∈\n      WellFounded.fixF\n        (fun a IH =>\n          Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n            match e : Part.get (f a) hf with\n            | Sum.inl b => Part.some b\n            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n        a h\n[PROOFSTEP]\nsimp [fix] at h₃ \n[GOAL]\ncase inr.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\na' : α\nh : Sum.inr a' ∈ f a\nh₃ :\n  ∃ h,\n    b ∈\n      WellFounded.fixF\n        (fun a IH =>\n          Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n            match e : Part.get (f a) hf with\n            | Sum.inl b => Part.some b\n            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n        a' h\n⊢ ∃ h,\n    b ∈\n      WellFounded.fixF\n        (fun a IH =>\n          Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n            match e : Part.get (f a) hf with\n            | Sum.inl b => Part.some b\n            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n        a h\n[PROOFSTEP]\ncases' h₃ with h₃ h₄\n[GOAL]\ncase inr.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\na' : α\nh : Sum.inr a' ∈ f a\nh₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'\nh₄ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a' h₃\n⊢ ∃ h,\n    b ∈\n      WellFounded.fixF\n        (fun a IH =>\n          Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n            match e : Part.get (f a) hf with\n            | Sum.inl b => Part.some b\n            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n        a h\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨⟨_, fun y h' => _⟩, _⟩\n[GOAL]\ncase inr.intro.intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\na' : α\nh : Sum.inr a' ∈ f a\nh₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'\nh₄ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a' h₃\ny : α\nh' : Sum.inr y ∈ f a\n⊢ Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) y\n[PROOFSTEP]\ninjection Part.mem_unique h h' with e\n[GOAL]\ncase inr.intro.intro.intro.refine'_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\na' : α\nh : Sum.inr a' ∈ f a\nh₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'\nh₄ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a' h₃\ny : α\nh' : Sum.inr y ∈ f a\ne : a' = y\n⊢ Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) y\n[PROOFSTEP]\nexact e ▸ h₃\n[GOAL]\ncase inr.intro.intro.intro.refine'_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\na' : α\nh : Sum.inr a' ∈ f a\nh₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'\nh₄ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a' h₃\n⊢ b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a)\n[PROOFSTEP]\ncases' h with h₁ h₂\n[GOAL]\ncase inr.intro.intro.intro.refine'_2.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\na' : α\nh₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'\nh₄ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a' h₃\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'\n⊢ b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a)\n[PROOFSTEP]\nrw [WellFounded.fixFEq]\n  -- Porting note: used to be simp [h₁, h₂, h₄]\n[GOAL]\ncase inr.intro.intro.intro.refine'_2.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\na' : α\nh₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'\nh₄ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a' h₃\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'\n⊢ b ∈\n    Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n      match e : Part.get (f a) hf with\n      | Sum.inl b => Part.some b\n      | Sum.inr a'_1 =>\n        (fun y p =>\n            WellFounded.fixF\n              (fun a IH =>\n                Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                  match e : Part.get (f a) hf with\n                  | Sum.inl b => Part.some b\n                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n              y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))\n          a'_1 (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'_1)\n[PROOFSTEP]\napply Part.mem_assert h₁\n[GOAL]\ncase inr.intro.intro.intro.refine'_2.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\na' : α\nh₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'\nh₄ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a' h₃\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'\n⊢ b ∈\n    match e : Part.get (f a) h₁ with\n    | Sum.inl b => Part.some b\n    | Sum.inr a'_1 =>\n      (fun y p =>\n          WellFounded.fixF\n            (fun a IH =>\n              Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                match e : Part.get (f a) hf with\n                | Sum.inl b => Part.some b\n                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n            y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))\n        a'_1 (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'_1)\n[PROOFSTEP]\nsplit\n[GOAL]\ncase inr.intro.intro.intro.refine'_2.intro.h_1\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\na' : α\nh₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'\nh₄ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a' h₃\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'\nb✝ : β\nheq✝ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b✝\n⊢ b ∈ Part.some b✝\ncase inr.intro.intro.intro.refine'_2.intro.h_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\na' : α\nh₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'\nh₄ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a' h₃\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'\na'✝ : α\nheq✝ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝\n⊢ b ∈\n    (fun y p =>\n        WellFounded.fixF\n          (fun a IH =>\n            Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n              match e : Part.get (f a) hf with\n              | Sum.inl b => Part.some b\n              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n          y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))\n      a'✝ (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'✝)\n[PROOFSTEP]\nnext e => injection h₂.symm.trans e\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\na' : α\nh₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'\nh₄ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a' h₃\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'\nb✝ : β\ne : Part.get (f a) h₁ = Sum.inl b✝\n⊢ b ∈ Part.some b✝\n[PROOFSTEP]\ninjection h₂.symm.trans e\n[GOAL]\ncase inr.intro.intro.intro.refine'_2.intro.h_2\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\na' : α\nh₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'\nh₄ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a' h₃\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'\na'✝ : α\nheq✝ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝\n⊢ b ∈\n    (fun y p =>\n        WellFounded.fixF\n          (fun a IH =>\n            Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n              match e : Part.get (f a) hf with\n              | Sum.inl b => Part.some b\n              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n          y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))\n      a'✝ (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'✝)\n[PROOFSTEP]\nnext e => injection h₂.symm.trans e; subst a'; exact h₄\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\na' : α\nh₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'\nh₄ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a' h₃\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'\na'✝ : α\ne : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝\n⊢ b ∈\n    (fun y p =>\n        WellFounded.fixF\n          (fun a IH =>\n            Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n              match e : Part.get (f a) hf with\n              | Sum.inl b => Part.some b\n              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n          y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))\n      a'✝ (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'✝)\n[PROOFSTEP]\ninjection h₂.symm.trans e\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\na' : α\nh₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'\nh₄ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a' h₃\nh₁ : (f a).Dom\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'\na'✝ : α\ne : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝\nval_eq✝ : a' = a'✝\n⊢ b ∈\n    (fun y p =>\n        WellFounded.fixF\n          (fun a IH =>\n            Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n              match e : Part.get (f a) hf with\n              | Sum.inl b => Part.some b\n              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n          y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))\n      a'✝ (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'✝)\n[PROOFSTEP]\nsubst a'\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na : α\nb : β\nh₁ : (f a).Dom\na'✝ : α\ne : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝\nh₃ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'✝\nh₄ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a'✝ h₃\nh₂ : Part.get (f a) h₁ = Sum.inr a'✝\n⊢ b ∈\n    (fun y p =>\n        WellFounded.fixF\n          (fun a IH =>\n            Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n              match e : Part.get (f a) hf with\n              | Sum.inl b => Part.some b\n              | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n          y (_ : Acc (fun y x => Sum.inr y ∈ f x) y))\n      a'✝ (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'✝)\n[PROOFSTEP]\nexact h₄\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nhb : Sum.inl b ∈ f a\n⊢ b ∈ fix f a\n[PROOFSTEP]\nrw [PFun.mem_fix_iff]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nhb : Sum.inl b ∈ f a\n⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\nexact Or.inl hb\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na a' : α\nha' : Sum.inr a' ∈ f a\n⊢ fix f a = fix f a'\n[PROOFSTEP]\next b\n[GOAL]\ncase H\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na a' : α\nha' : Sum.inr a' ∈ f a\nb : β\n⊢ b ∈ fix f a ↔ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase H.mp\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na a' : α\nha' : Sum.inr a' ∈ f a\nb : β\n⊢ b ∈ fix f a → b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\ncase H.mp\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na a' : α\nha' : Sum.inr a' ∈ f a\nb : β\nh : b ∈ fix f a\n⊢ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\nobtain h' | ⟨a, h', e'⟩ := mem_fix_iff.1 h\n[GOAL]\ncase H.mp.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na a' : α\nha' : Sum.inr a' ∈ f a\nb : β\nh : b ∈ fix f a\nh' : Sum.inl b ∈ f a\n⊢ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\ncases Part.mem_unique ha' h'\n[GOAL]\ncase H.mp.inr.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na✝ a' : α\nha' : Sum.inr a' ∈ f a✝\nb : β\nh : b ∈ fix f a✝\na : α\nh' : Sum.inr a ∈ f a✝\ne' : b ∈ fix f a\n⊢ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\ncases Part.mem_unique ha' h'\n[GOAL]\ncase H.mp.inr.intro.intro.refl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na a' : α\nha' : Sum.inr a' ∈ f a\nb : β\nh : b ∈ fix f a\nh' : Sum.inr a' ∈ f a\ne' : b ∈ fix f a'\n⊢ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\nexact e'\n[GOAL]\ncase H.mpr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na a' : α\nha' : Sum.inr a' ∈ f a\nb : β\n⊢ b ∈ fix f a' → b ∈ fix f a\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\ncase H.mpr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na a' : α\nha' : Sum.inr a' ∈ f a\nb : β\nh : b ∈ fix f a'\n⊢ b ∈ fix f a\n[PROOFSTEP]\nrw [PFun.mem_fix_iff]\n[GOAL]\ncase H.mpr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\na a' : α\nha' : Sum.inr a' ∈ f a\nb : β\nh : b ∈ fix f a'\n⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\nexact Or.inr ⟨a', ha', h⟩\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na a' : α\nhb : b ∈ fix f a\nha' : Sum.inr a' ∈ f a\n⊢ b ∈ fix f a'\n[PROOFSTEP]\nrwa [← fix_fwd_eq ha']\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh : b ∈ fix f a\nH : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'\n⊢ C a\n[PROOFSTEP]\nhave h₂ := (Part.mem_assert_iff.1 h).snd\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh : b ∈ fix f a\nH : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'\nh₂ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a)\n⊢ C a\n[PROOFSTEP]\nrevert h₂\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh : b ∈ fix f a\nH : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'\n⊢ b ∈\n      WellFounded.fixF\n        (fun a IH =>\n          Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n            match e : Part.get (f a) hf with\n            | Sum.inl b => Part.some b\n            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n        a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) →\n    C a\n[PROOFSTEP]\ngeneralize_proofs h₁\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh : b ∈ fix f a\nH : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a\n⊢ b ∈\n      WellFounded.fixF\n        (fun a IH =>\n          Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n            match e : Part.get (f a) hf with\n            | Sum.inl b => Part.some b\n            | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n        a h₁ →\n    C a\n[PROOFSTEP]\nintro h₂\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh : b ∈ fix f a\nH : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a\nh₂ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a h₁\n⊢ C a\n[PROOFSTEP]\nclear h\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nH : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a\nh₂ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a h₁\n⊢ C a\n[PROOFSTEP]\ninduction' h₁ with a ha IH\n[GOAL]\ncase intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na✝ : α\nH : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a✝\nh₂✝ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a✝ h₁\na : α\nha : ∀ (y : α), Sum.inr y ∈ f a → Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) y\nIH :\n  (y : α) →\n    (a : Sum.inr y ∈ f a) →\n      b ∈\n          WellFounded.fixF\n            (fun a IH =>\n              Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                match e : Part.get (f a) hf with\n                | Sum.inl b => Part.some b\n                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n            y (_ : Acc ?m.29240 y) →\n        C y\nh₂ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a)\n⊢ C a\n[PROOFSTEP]\nhave h : b ∈ f.fix a := Part.mem_assert_iff.2 ⟨⟨a, ha⟩, h₂⟩\n[GOAL]\ncase intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na✝ : α\nH : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'\nh₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a✝\nh₂✝ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a✝ h₁\na : α\nha : ∀ (y : α), Sum.inr y ∈ f a → Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) y\nIH :\n  (y : α) →\n    (a : Sum.inr y ∈ f a) →\n      b ∈\n          WellFounded.fixF\n            (fun a IH =>\n              Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                match e : Part.get (f a) hf with\n                | Sum.inl b => Part.some b\n                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n            y (_ : Acc ?m.29240 y) →\n        C y\nh₂ :\n  b ∈\n    WellFounded.fixF\n      (fun a IH =>\n        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n          match e : Part.get (f a) hf with\n          | Sum.inl b => Part.some b\n          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n      a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a)\nh : b ∈ fix f a\n⊢ C a\n[PROOFSTEP]\nexact H a h fun a' fa' => IH a' fa' (Part.mem_assert_iff.1 (fix_fwd h fa')).snd\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh : b ∈ fix f a\nH : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'\n⊢ fixInduction h H = H a h fun a' h' => fixInduction (_ : b ∈ fix f a') H\n[PROOFSTEP]\nunfold fixInduction\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh : b ∈ fix f a\nH : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'\n⊢ (let_fun h₂ :=\n      (_ :\n        b ∈\n          WellFounded.fixF\n            (fun a IH =>\n              Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                match e : Part.get (f a) hf with\n                | Sum.inl b => Part.some b\n                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n            a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a));\n    Acc.rec (motive := fun {a} h₁ =>\n      b ∈\n          WellFounded.fixF\n            (fun a IH =>\n              Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                match e : Part.get (f a) hf with\n                | Sum.inl b => Part.some b\n                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n            a h₁ →\n        C a)\n      (fun a ha IH h₂ =>\n        let_fun h :=\n          (_ :\n            b ∈\n              Part.assert (Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) fun h =>\n                WellFounded.fixF\n                  (fun a IH =>\n                    Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                      match e : Part.get (f a) hf with\n                      | Sum.inl b => Part.some b\n                      | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                  a h);\n        H a h fun a' fa' =>\n          IH a' fa'\n            (_ :\n              b ∈\n                WellFounded.fixF\n                  (fun a IH =>\n                    Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                      match e : Part.get (f a) hf with\n                      | Sum.inl b => Part.some b\n                      | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                  a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a')))\n      (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) h₂) =\n    H a h fun a' h' =>\n      let_fun h₂ :=\n        (_ :\n          b ∈\n            WellFounded.fixF\n              (fun a IH =>\n                Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                  match e : Part.get (f a) hf with\n                  | Sum.inl b => Part.some b\n                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n              a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'));\n      Acc.rec (motive := fun {a} h₁ =>\n        b ∈\n            WellFounded.fixF\n              (fun a IH =>\n                Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                  match e : Part.get (f a) hf with\n                  | Sum.inl b => Part.some b\n                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n              a h₁ →\n          (fun x => C x) a)\n        (fun a ha IH h₂ =>\n          let_fun h :=\n            (_ :\n              b ∈\n                Part.assert (Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) fun h =>\n                  WellFounded.fixF\n                    (fun a IH =>\n                      Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                        match e : Part.get (f a) hf with\n                        | Sum.inl b => Part.some b\n                        | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                    a h);\n          H a h fun a' fa' =>\n            IH a' fa'\n              (_ :\n                b ∈\n                  WellFounded.fixF\n                    (fun a IH =>\n                      Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                        match e : Part.get (f a) hf with\n                        | Sum.inl b => Part.some b\n                        | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                    a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a')))\n        (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a') h₂\n[PROOFSTEP]\ngeneralize (Part.mem_assert_iff.1 h).fst = ha\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh : b ∈ fix f a\nH : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'\nha : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a\n⊢ (let_fun h₂ :=\n      (_ :\n        b ∈\n          WellFounded.fixF\n            (fun a IH =>\n              Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                match e : Part.get (f a) hf with\n                | Sum.inl b => Part.some b\n                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n            a (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a));\n    Acc.rec (motive := fun {a} h₁ =>\n      b ∈\n          WellFounded.fixF\n            (fun a IH =>\n              Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                match e : Part.get (f a) hf with\n                | Sum.inl b => Part.some b\n                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n            a h₁ →\n        C a)\n      (fun a ha IH h₂ =>\n        let_fun h :=\n          (_ :\n            b ∈\n              Part.assert (Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) fun h =>\n                WellFounded.fixF\n                  (fun a IH =>\n                    Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                      match e : Part.get (f a) hf with\n                      | Sum.inl b => Part.some b\n                      | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                  a h);\n        H a h fun a' fa' =>\n          IH a' fa'\n            (_ :\n              b ∈\n                WellFounded.fixF\n                  (fun a IH =>\n                    Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                      match e : Part.get (f a) hf with\n                      | Sum.inl b => Part.some b\n                      | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                  a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a')))\n      ha h₂) =\n    H a h fun a' h' =>\n      let_fun h₂ :=\n        (_ :\n          b ∈\n            WellFounded.fixF\n              (fun a IH =>\n                Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                  match e : Part.get (f a) hf with\n                  | Sum.inl b => Part.some b\n                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n              a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'));\n      Acc.rec (motive := fun {a} h₁ =>\n        b ∈\n            WellFounded.fixF\n              (fun a IH =>\n                Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                  match e : Part.get (f a) hf with\n                  | Sum.inl b => Part.some b\n                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n              a h₁ →\n          (fun x => C x) a)\n        (fun a ha IH h₂ =>\n          let_fun h :=\n            (_ :\n              b ∈\n                Part.assert (Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) fun h =>\n                  WellFounded.fixF\n                    (fun a IH =>\n                      Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                        match e : Part.get (f a) hf with\n                        | Sum.inl b => Part.some b\n                        | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                    a h);\n          H a h fun a' fa' =>\n            IH a' fa'\n              (_ :\n                b ∈\n                  WellFounded.fixF\n                    (fun a IH =>\n                      Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                        match e : Part.get (f a) hf with\n                        | Sum.inl b => Part.some b\n                        | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                    a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a')))\n        (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a') h₂\n[PROOFSTEP]\ninduction ha\n[GOAL]\ncase intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nH : (a' : α) → b ∈ fix f a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a'\nx✝ : α\nh✝ : ∀ (y : α), Sum.inr y ∈ f x✝ → Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) y\nh_ih✝ :\n  ∀ (y : α) (a : Sum.inr y ∈ f x✝) (h : b ∈ fix f y),\n    (let_fun h₂ :=\n        (_ :\n          b ∈\n            WellFounded.fixF\n              (fun a IH =>\n                Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                  match e : Part.get (f a) hf with\n                  | Sum.inl b => Part.some b\n                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n              y (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) y));\n      Acc.rec (motive := fun {a} h₁ =>\n        b ∈\n            WellFounded.fixF\n              (fun a IH =>\n                Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                  match e : Part.get (f a) hf with\n                  | Sum.inl b => Part.some b\n                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n              a h₁ →\n          C a)\n        (fun a ha IH h₂ =>\n          let_fun h :=\n            (_ :\n              b ∈\n                Part.assert (Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) fun h =>\n                  WellFounded.fixF\n                    (fun a IH =>\n                      Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                        match e : Part.get (f a) hf with\n                        | Sum.inl b => Part.some b\n                        | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                    a h);\n          H a h fun a' fa' =>\n            IH a' fa'\n              (_ :\n                b ∈\n                  WellFounded.fixF\n                    (fun a IH =>\n                      Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                        match e : Part.get (f a) hf with\n                        | Sum.inl b => Part.some b\n                        | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                    a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a')))\n        (_ : Acc ?m.30282 y) h₂) =\n      H y h fun a' h' =>\n        let_fun h₂ :=\n          (_ :\n            b ∈\n              WellFounded.fixF\n                (fun a IH =>\n                  Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                    match e : Part.get (f a) hf with\n                    | Sum.inl b => Part.some b\n                    | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'));\n        Acc.rec (motive := fun {a} h₁ =>\n          b ∈\n              WellFounded.fixF\n                (fun a IH =>\n                  Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                    match e : Part.get (f a) hf with\n                    | Sum.inl b => Part.some b\n                    | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                a h₁ →\n            (fun x => C x) a)\n          (fun a ha IH h₂ =>\n            let_fun h :=\n              (_ :\n                b ∈\n                  Part.assert (Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) fun h =>\n                    WellFounded.fixF\n                      (fun a IH =>\n                        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                          match e : Part.get (f a) hf with\n                          | Sum.inl b => Part.some b\n                          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                      a h);\n            H a h fun a' fa' =>\n              IH a' fa'\n                (_ :\n                  b ∈\n                    WellFounded.fixF\n                      (fun a IH =>\n                        Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                          match e : Part.get (f a) hf with\n                          | Sum.inl b => Part.some b\n                          | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                      a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a')))\n          (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a') h₂\nh : b ∈ fix f x✝\n⊢ (let_fun h₂ :=\n      (_ :\n        b ∈\n          WellFounded.fixF\n            (fun a IH =>\n              Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                match e : Part.get (f a) hf with\n                | Sum.inl b => Part.some b\n                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n            x✝ (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) x✝));\n    Acc.rec (motive := fun {a} h₁ =>\n      b ∈\n          WellFounded.fixF\n            (fun a IH =>\n              Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                match e : Part.get (f a) hf with\n                | Sum.inl b => Part.some b\n                | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n            a h₁ →\n        C a)\n      (fun a ha IH h₂ =>\n        let_fun h :=\n          (_ :\n            b ∈\n              Part.assert (Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) fun h =>\n                WellFounded.fixF\n                  (fun a IH =>\n                    Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                      match e : Part.get (f a) hf with\n                      | Sum.inl b => Part.some b\n                      | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                  a h);\n        H a h fun a' fa' =>\n          IH a' fa'\n            (_ :\n              b ∈\n                WellFounded.fixF\n                  (fun a IH =>\n                    Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                      match e : Part.get (f a) hf with\n                      | Sum.inl b => Part.some b\n                      | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                  a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a')))\n      (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) x✝) h₂) =\n    H x✝ h fun a' h' =>\n      let_fun h₂ :=\n        (_ :\n          b ∈\n            WellFounded.fixF\n              (fun a IH =>\n                Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                  match e : Part.get (f a) hf with\n                  | Sum.inl b => Part.some b\n                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n              a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a'));\n      Acc.rec (motive := fun {a} h₁ =>\n        b ∈\n            WellFounded.fixF\n              (fun a IH =>\n                Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                  match e : Part.get (f a) hf with\n                  | Sum.inl b => Part.some b\n                  | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n              a h₁ →\n          (fun x => C x) a)\n        (fun a ha IH h₂ =>\n          let_fun h :=\n            (_ :\n              b ∈\n                Part.assert (Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a) fun h =>\n                  WellFounded.fixF\n                    (fun a IH =>\n                      Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                        match e : Part.get (f a) hf with\n                        | Sum.inl b => Part.some b\n                        | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                    a h);\n          H a h fun a' fa' =>\n            IH a' fa'\n              (_ :\n                b ∈\n                  WellFounded.fixF\n                    (fun a IH =>\n                      Part.assert (f a).Dom fun hf =>\n                        match e : Part.get (f a) hf with\n                        | Sum.inl b => Part.some b\n                        | Sum.inr a' => IH a' (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'))\n                    a' (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a')))\n        (_ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a') h₂\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh : b ∈ fix f a\nhbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final\nhind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀\n⊢ C a\n[PROOFSTEP]\nrefine' fixInduction h fun a' h ih => _\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh✝ : b ∈ fix f a\nhbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final\nhind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀\na' : α\nh : b ∈ fix f a'\nih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''\n⊢ C a'\n[PROOFSTEP]\nrcases e : (f a').get (dom_of_mem_fix h) with b' | a''\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh✝ : b ∈ fix f a\nhbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final\nhind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀\na' : α\nh : b ∈ fix f a'\nih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''\nb' : β\ne : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Sum.inl b'\n⊢ C a'\n[PROOFSTEP]\nreplace e : _ ∈ f a' := ⟨_, e⟩\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh✝ : b ∈ fix f a\nhbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final\nhind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀\na' : α\nh : b ∈ fix f a'\nih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''\na'' : α\ne : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Sum.inr a''\n⊢ C a'\n[PROOFSTEP]\nreplace e : _ ∈ f a' := ⟨_, e⟩\n[GOAL]\ncase inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh✝ : b ∈ fix f a\nhbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final\nhind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀\na' : α\nh : b ∈ fix f a'\nih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''\nb' : β\ne : Sum.inl b' ∈ f a'\n⊢ C a'\n[PROOFSTEP]\napply hbase\n[GOAL]\ncase inl.a\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh✝ : b ∈ fix f a\nhbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final\nhind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀\na' : α\nh : b ∈ fix f a'\nih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''\nb' : β\ne : Sum.inl b' ∈ f a'\n⊢ Sum.inl b ∈ f a'\n[PROOFSTEP]\nconvert e\n[GOAL]\ncase h.e'_4.h.e'_3\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh✝ : b ∈ fix f a\nhbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final\nhind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀\na' : α\nh : b ∈ fix f a'\nih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''\nb' : β\ne : Sum.inl b' ∈ f a'\n⊢ b = b'\n[PROOFSTEP]\nexact Part.mem_unique h (fix_stop e)\n[GOAL]\ncase inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh✝ : b ∈ fix f a\nhbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final\nhind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀\na' : α\nh : b ∈ fix f a'\nih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''\na'' : α\ne : Sum.inr a'' ∈ f a'\n⊢ C a'\n[PROOFSTEP]\nexact hind _ _ (fix_fwd h e) e (ih _ e)\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh : b ∈ fix f a\nfa : Sum.inl b ∈ f a\nhbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final\nhind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀\n⊢ fixInduction' h hbase hind = hbase a fa\n[PROOFSTEP]\nunfold fixInduction'\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh : b ∈ fix f a\nfa : Sum.inl b ∈ f a\nhbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final\nhind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀\n⊢ (fixInduction h fun a' h ih =>\n      Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → C a') (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))\n        (fun b' e =>\n          let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');\n          hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))\n        (fun a'' e =>\n          let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');\n          hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))\n        (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))) =\n    hbase a fa\n[PROOFSTEP]\nrw [fixInduction_spec]\n  -- Porting note: the explicit motive required because `simp` behaves differently\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh : b ∈ fix f a\nfa : Sum.inl b ∈ f a\nhbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final\nhind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀\n⊢ Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a) (_ : (f a).Dom) = x → C a) (Part.get (f a) (_ : (f a).Dom))\n      (fun b' e =>\n        let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inl b');\n        hbase a (_ : Sum.inl b ∈ f a))\n      (fun a'' e =>\n        let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'');\n        hind a a'' (_ : b ∈ fix f a'') e\n          ((fun a' h' =>\n              fixInduction (_ : b ∈ fix f a') fun a' h ih =>\n                Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → C a')\n                  (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))\n                  (fun b' e =>\n                    let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');\n                    hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))\n                  (fun a'' e =>\n                    let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');\n                    hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))\n                  (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom)))\n            a'' e))\n      (_ : Part.get (f a) (_ : (f a).Dom) = Part.get (f a) (_ : (f a).Dom)) =\n    hbase a fa\n[PROOFSTEP]\nrefine'\n  Eq.rec (motive := fun x e =>\n    Sum.casesOn (motive := fun y => (f a).get (dom_of_mem_fix h) = y → C a) x _ _\n        (Eq.trans (Part.get_eq_of_mem fa (dom_of_mem_fix h)) e) =\n      hbase a fa)\n    _ (Part.get_eq_of_mem fa (dom_of_mem_fix h)).symm\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na : α\nh : b ∈ fix f a\nfa : Sum.inl b ∈ f a\nhbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final\nhind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀\n⊢ (fun x e =>\n      Sum.casesOn (motive := fun y => Part.get (f a) (_ : (f a).Dom) = y → C a) x\n          (fun val =>\n            (fun b' e =>\n                let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inl b');\n                hbase a (_ : Sum.inl b ∈ f a))\n              val)\n          (fun val =>\n            (fun a'' e =>\n                let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'');\n                hind a a'' (_ : b ∈ fix f a'') e\n                  ((fun a' h' =>\n                      fixInduction (_ : b ∈ fix f a') fun a' h ih =>\n                        Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → C a')\n                          (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))\n                          (fun b' e =>\n                            let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');\n                            hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))\n                          (fun a'' e =>\n                            let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');\n                            hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))\n                          (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom)))\n                    a'' e))\n              val)\n          (_ : Part.get (f a) (_ : (f a).Dom) = x) =\n        hbase a fa)\n    (Sum.inl b) (_ : Sum.inl b = Sum.inl b)\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na a' : α\nh : b ∈ fix f a\nh' : b ∈ fix f a'\nfa : Sum.inr a' ∈ f a\nhbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final\nhind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀\n⊢ fixInduction' h hbase hind = hind a a' h' fa (fixInduction' h' hbase hind)\n[PROOFSTEP]\nunfold fixInduction'\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na a' : α\nh : b ∈ fix f a\nh' : b ∈ fix f a'\nfa : Sum.inr a' ∈ f a\nhbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final\nhind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀\n⊢ (fixInduction h fun a' h ih =>\n      Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → C a') (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))\n        (fun b' e =>\n          let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');\n          hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))\n        (fun a'' e =>\n          let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');\n          hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))\n        (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))) =\n    hind a a' h' fa\n      (fixInduction h' fun a' h ih =>\n        Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → (fun x => C x) a')\n          (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))\n          (fun b' e =>\n            let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');\n            hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))\n          (fun a'' e =>\n            let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');\n            hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))\n          (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom)))\n[PROOFSTEP]\nrw [fixInduction_spec]\n  -- Porting note: the explicit motive required because `simp` behaves differently\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na a' : α\nh : b ∈ fix f a\nh' : b ∈ fix f a'\nfa : Sum.inr a' ∈ f a\nhbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final\nhind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀\n⊢ Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a) (_ : (f a).Dom) = x → C a) (Part.get (f a) (_ : (f a).Dom))\n      (fun b' e =>\n        let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inl b');\n        hbase a (_ : Sum.inl b ∈ f a))\n      (fun a'' e =>\n        let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'');\n        hind a a'' (_ : b ∈ fix f a'') e\n          ((fun a' h' =>\n              fixInduction (_ : b ∈ fix f a') fun a' h ih =>\n                Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → C a')\n                  (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))\n                  (fun b' e =>\n                    let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');\n                    hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))\n                  (fun a'' e =>\n                    let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');\n                    hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))\n                  (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom)))\n            a'' e))\n      (_ : Part.get (f a) (_ : (f a).Dom) = Part.get (f a) (_ : (f a).Dom)) =\n    hind a a' h' fa\n      (fixInduction h' fun a' h ih =>\n        Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → (fun x => C x) a')\n          (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))\n          (fun b' e =>\n            let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');\n            hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))\n          (fun a'' e =>\n            let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');\n            hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))\n          (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom)))\n[PROOFSTEP]\nrefine'\n  Eq.rec (motive := fun x e =>\n    Sum.casesOn (motive := fun y => (f a).get (dom_of_mem_fix h) = y → C a) x _ _\n        (Eq.trans (Part.get_eq_of_mem fa (dom_of_mem_fix h)) e) =\n      _)\n    _ (Part.get_eq_of_mem fa (dom_of_mem_fix h)).symm\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nC : α → Sort u_7\nf : α →. β ⊕ α\nb : β\na a' : α\nh : b ∈ fix f a\nh' : b ∈ fix f a'\nfa : Sum.inr a' ∈ f a\nhbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final\nhind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ fix f a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀\n⊢ (fun x e =>\n      Sum.casesOn (motive := fun y => Part.get (f a) (_ : (f a).Dom) = y → C a) x\n          (fun val =>\n            (fun b' e =>\n                let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inl b');\n                hbase a (_ : Sum.inl b ∈ f a))\n              val)\n          (fun val =>\n            (fun a'' e =>\n                let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a) h = Sum.inr a'');\n                hind a a'' (_ : b ∈ fix f a'') e\n                  ((fun a' h' =>\n                      fixInduction (_ : b ∈ fix f a') fun a' h ih =>\n                        Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → C a')\n                          (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))\n                          (fun b' e =>\n                            let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');\n                            hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))\n                          (fun a'' e =>\n                            let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');\n                            hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))\n                          (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom)))\n                    a'' e))\n              val)\n          (_ : Part.get (f a) (_ : (f a).Dom) = x) =\n        hind a a' h' fa\n          (fixInduction h' fun a' h ih =>\n            Sum.casesOn (motive := fun x => Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = x → (fun x => C x) a')\n              (Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))\n              (fun b' e =>\n                let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inl b');\n                hbase a' (_ : Sum.inl b ∈ f a'))\n              (fun a'' e =>\n                let_fun e := (_ : ∃ h, Part.get (f a') h = Sum.inr a'');\n                hind a' a'' (_ : b ∈ fix f a'') e (ih a'' e))\n              (_ : Part.get (f a') (_ : (f a').Dom) = Part.get (f a') (_ : (f a').Dom))))\n    (Sum.inr a') (_ : Sum.inr a' = Sum.inr a')\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β\n⊢ preimage f Set.univ = Dom f\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β\nx✝ : α\n⊢ x✝ ∈ preimage f Set.univ ↔ x✝ ∈ Dom f\n[PROOFSTEP]\nsimp [mem_preimage, mem_dom]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : α → β\ns : Set β\n⊢ preimage (↑f) s = f ⁻¹' s\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : α → β\ns : Set β\nx✝ : α\n⊢ x✝ ∈ preimage (↑f) s ↔ x✝ ∈ f ⁻¹' s\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : α → β\ns : Set α\nt : Set β\nx : α\n⊢ x ∈ core (res f s) t ↔ x ∈ s → f x ∈ t\n[PROOFSTEP]\nsimp [mem_core, mem_res]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : α → β\ns : Set α\nt : Set β\n⊢ core (res f s) t = sᶜ ∪ f ⁻¹' t\n[PROOFSTEP]\next x\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : α → β\ns : Set α\nt : Set β\nx : α\n⊢ x ∈ core (res f s) t ↔ x ∈ sᶜ ∪ f ⁻¹' t\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_core_res]\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : α → β\ns : Set α\nt : Set β\nx : α\n⊢ x ∈ s → f x ∈ t ↔ x ∈ sᶜ ∪ f ⁻¹' t\n[PROOFSTEP]\nby_cases h : x ∈ s\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : α → β\ns : Set α\nt : Set β\nx : α\nh : x ∈ s\n⊢ x ∈ s → f x ∈ t ↔ x ∈ sᶜ ∪ f ⁻¹' t\n[PROOFSTEP]\nsimp [h]\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : α → β\ns : Set α\nt : Set β\nx : α\nh : ¬x ∈ s\n⊢ x ∈ s → f x ∈ t ↔ x ∈ sᶜ ∪ f ⁻¹' t\n[PROOFSTEP]\nsimp [h]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : α → β\ns : Set β\n⊢ core (↑f) s = f ⁻¹' s\n[PROOFSTEP]\next x\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : α → β\ns : Set β\nx : α\n⊢ x ∈ core (↑f) s ↔ x ∈ f ⁻¹' s\n[PROOFSTEP]\nsimp [core_def]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ f : α →. β\ns : Set β\n⊢ core f s = preimage f s ∪ (Dom f)ᶜ\n[PROOFSTEP]\nrw [preimage_eq, Set.union_distrib_right, Set.union_comm (Dom f), Set.compl_union_self, Set.inter_univ,\n  Set.union_eq_self_of_subset_right (f.compl_dom_subset_core s)]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ f : α →. β\ns : Set β\n⊢ asSubtype f ⁻¹' s = Subtype.val ⁻¹' preimage f s\n[PROOFSTEP]\next x\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ f : α →. β\ns : Set β\nx : ↑(Dom f)\n⊢ x ∈ asSubtype f ⁻¹' s ↔ x ∈ Subtype.val ⁻¹' preimage f s\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Set.mem_preimage, Set.mem_setOf_eq, PFun.asSubtype, PFun.mem_preimage]\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ f : α →. β\ns : Set β\nx : ↑(Dom f)\n⊢ fn f ↑x (_ : ↑x ∈ Dom f) ∈ s ↔ ∃ y, y ∈ s ∧ y ∈ f ↑x\n[PROOFSTEP]\nshow f.fn x.val _ ∈ s ↔ ∃ y ∈ s, y ∈ f x.val\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ f : α →. β\ns : Set β\nx : ↑(Dom f)\n⊢ fn f ↑x (_ : ↑x ∈ Dom f) ∈ s ↔ ∃ y, y ∈ s ∧ y ∈ f ↑x\n[PROOFSTEP]\nexact\n  Iff.intro (fun h => ⟨_, h, Part.get_mem _⟩) fun ⟨y, ys, fxy⟩ =>\n    have : f.fn x.val x.property ∈ f x.val := Part.get_mem _\n    Part.mem_unique fxy this ▸ ys\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\np : β → Prop\nf : α → β\na : α\nb : Subtype p\n⊢ b ∈ toSubtype p f a ↔ ↑b = f a\n[PROOFSTEP]\nrw [toSubtype_apply, Part.mem_mk_iff, exists_subtype_mk_eq_iff, eq_comm]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ f : α →. β\nx✝¹ : α\nx✝ : β\n⊢ x✝ ∈ comp (PFun.id β) f x✝¹ ↔ x✝ ∈ f x✝¹\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ f : α →. β\nx✝¹ : α\nx✝ : β\n⊢ x✝ ∈ comp f (PFun.id α) x✝¹ ↔ x✝ ∈ f x✝¹\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : β →. γ\ng : α →. β\n⊢ Dom (comp f g) = preimage g (Dom f)\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : β →. γ\ng : α →. β\nx✝ : α\n⊢ x✝ ∈ Dom (comp f g) ↔ x✝ ∈ preimage g (Dom f)\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [mem_preimage, mem_dom, comp_apply, Part.mem_bind_iff, ← exists_and_right]\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : β →. γ\ng : α →. β\nx✝ : α\n⊢ (∃ y a, a ∈ g x✝ ∧ y ∈ f a) ↔ ∃ y x, x ∈ f y ∧ y ∈ g x✝\n[PROOFSTEP]\nrw [exists_comm]\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : β →. γ\ng : α →. β\nx✝ : α\n⊢ (∃ b a, b ∈ g x✝ ∧ a ∈ f b) ↔ ∃ y x, x ∈ f y ∧ y ∈ g x✝\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [and_comm]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : β →. γ\ng : α →. β\ns : Set γ\n⊢ preimage (comp f g) s = preimage g (preimage f s)\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : β →. γ\ng : α →. β\ns : Set γ\nx✝ : α\n⊢ x✝ ∈ preimage (comp f g) s ↔ x✝ ∈ preimage g (preimage f s)\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [mem_preimage, comp_apply, Part.mem_bind_iff, ← exists_and_right, ← exists_and_left]\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : β →. γ\ng : α →. β\ns : Set γ\nx✝ : α\n⊢ (∃ y x, y ∈ s ∧ x ∈ g x✝ ∧ y ∈ f x) ↔ ∃ y x, (x ∈ s ∧ x ∈ f y) ∧ y ∈ g x✝\n[PROOFSTEP]\nrw [exists_comm]\n[GOAL]\ncase h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : β →. γ\ng : α →. β\ns : Set γ\nx✝ : α\n⊢ (∃ b a, a ∈ s ∧ b ∈ g x✝ ∧ a ∈ f b) ↔ ∃ y x, (x ∈ s ∧ x ∈ f y) ∧ y ∈ g x✝\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [and_assoc, and_comm]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : β →. γ\ng : α →. β\na : Part α\n⊢ Part.bind a (comp f g) = Part.bind (Part.bind a g) f\n[PROOFSTEP]\next c\n[GOAL]\ncase H\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : β →. γ\ng : α →. β\na : Part α\nc : γ\n⊢ c ∈ Part.bind a (comp f g) ↔ c ∈ Part.bind (Part.bind a g) f\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [Part.mem_bind_iff, comp_apply, Part.mem_bind_iff, ← exists_and_right, ← exists_and_left]\n[GOAL]\ncase H\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : β →. γ\ng : α →. β\na : Part α\nc : γ\n⊢ (∃ a_1 x, a_1 ∈ a ∧ x ∈ g a_1 ∧ c ∈ f x) ↔ ∃ a_1 x, (x ∈ a ∧ a_1 ∈ g x) ∧ c ∈ f a_1\n[PROOFSTEP]\nrw [exists_comm]\n[GOAL]\ncase H\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : β →. γ\ng : α →. β\na : Part α\nc : γ\n⊢ (∃ b a_1, a_1 ∈ a ∧ b ∈ g a_1 ∧ c ∈ f b) ↔ ∃ a_1 x, (x ∈ a ∧ a_1 ∈ g x) ∧ c ∈ f a_1\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [and_assoc]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : γ →. δ\ng : β →. γ\nh : α →. β\nx✝¹ : α\nx✝ : δ\n⊢ x✝ ∈ comp (comp f g) h x✝¹ ↔ x✝ ∈ comp f (comp g h) x✝¹\n[PROOFSTEP]\nsimp only [comp_apply, Part.bind_comp]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\ng : β → γ\nf : α → β\nx✝¹ : α\nx✝ : γ\n⊢ x✝ ∈ ↑(g ∘ f) x✝¹ ↔ x✝ ∈ comp (↑g) (↑f) x✝¹\n[PROOFSTEP]\nsimp only [coe_val, comp_apply, Function.comp, Part.bind_some]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ f : α →. β\ng : α →. γ\nx : α\ny : β × γ\n⊢ y ∈ prodLift f g x ↔ y.fst ∈ f x ∧ y.snd ∈ g x\n[PROOFSTEP]\ntrans ∃ hp hq, (f x).get hp = y.1 ∧ (g x).get hq = y.2\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ f : α →. β\ng : α →. γ\nx : α\ny : β × γ\n⊢ y ∈ prodLift f g x ↔ ∃ hp hq, Part.get (f x) hp = y.fst ∧ Part.get (g x) hq = y.snd\n[PROOFSTEP]\nsimp only [prodLift, Part.mem_mk_iff, And.exists, Prod.ext_iff]\n  -- Porting note: was just `[exists_and_left, exists_and_right]`\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ f : α →. β\ng : α →. γ\nx : α\ny : β × γ\n⊢ (∃ hp hq, Part.get (f x) hp = y.fst ∧ Part.get (g x) hq = y.snd) ↔ y.fst ∈ f x ∧ y.snd ∈ g x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [exists_and_left, exists_and_right, (· ∈ ·), Part.Mem]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : α →. γ\ng : β →. δ\nx : α × β\ny : γ × δ\n⊢ y ∈ prodMap f g x ↔ y.fst ∈ f x.fst ∧ y.snd ∈ g x.snd\n[PROOFSTEP]\ntrans ∃ hp hq, (f x.1).get hp = y.1 ∧ (g x.2).get hq = y.2\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : α →. γ\ng : β →. δ\nx : α × β\ny : γ × δ\n⊢ y ∈ prodMap f g x ↔ ∃ hp hq, Part.get (f x.fst) hp = y.fst ∧ Part.get (g x.snd) hq = y.snd\n[PROOFSTEP]\nsimp only [prodMap, Part.mem_mk_iff, And.exists, Prod.ext_iff]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : α →. γ\ng : β →. δ\nx : α × β\ny : γ × δ\n⊢ (∃ hp hq, Part.get (f x.fst) hp = y.fst ∧ Part.get (g x.snd) hq = y.snd) ↔ y.fst ∈ f x.fst ∧ y.snd ∈ g x.snd\n[PROOFSTEP]\nsimp only [exists_and_left, exists_and_right, (· ∈ ·), Part.Mem]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf✝ : α →. β\nf : α →. γ\ng : β →. δ\na : α × β\n⊢ ∀ (b : γ × δ), b ∈ prodLift (comp f ↑Prod.fst) (comp g ↑Prod.snd) a ↔ b ∈ prodMap f g a\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nε : Type u_5\nι : Type u_6\nf : α →. β\nx✝¹ x✝ : α × β\n⊢ x✝ ∈ prodMap (PFun.id α) (PFun.id β) x✝¹ ↔ x✝ ∈ PFun.id (α × β) x✝¹\n[PROOFSTEP]\nsimp [eq_comm]\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.Data.PFun", "llama_tokens": 36850, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. YES\n2. NO", "lm_q1_score": 0.523420348936324, "lm_q2_score": 0.44167300566462553, "lm_q1q2_score": 0.23118063874073333}}
{"text": "[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nr : R\nM N : ModuleCat R\nf : M ⟶ N\n⊢ (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.map f ≫\n      (fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r)) N =\n    (fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r)) M ≫\n      (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.map f\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase w\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nr : R\nM N : ModuleCat R\nf : M ⟶ N\nx✝ : ↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.obj M)\n⊢ ↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.map f ≫\n          (fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r)) N)\n      x✝ =\n    ↑((fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r)) M ≫\n          (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.map f)\n      x✝\n[PROOFSTEP]\nexact (f.map_smul _ _).symm\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\n⊢ Function.LeftInverse (fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) fun r =>\n    NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r)\n[PROOFSTEP]\nintro r\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nr : R\n⊢ (fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1)\n      ((fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r)) r) =\n    r\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\n⊢ Function.RightInverse (fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) fun r =>\n    NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r)\n[PROOFSTEP]\nintro φ\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nφ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))\n⊢ (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n    φ\n[PROOFSTEP]\napply NatTrans.ext\n[GOAL]\ncase app\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nφ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))\n⊢ ((fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n        ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ)).app =\n    φ.app\n[PROOFSTEP]\next M (x : M)\n[GOAL]\ncase app.h.w\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nφ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))\nM : ModuleCat R\nx : ↑M\n⊢ ↑(NatTrans.app\n          ((fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n            ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ))\n          M)\n      x =\n    ↑(NatTrans.app φ M) x\n[PROOFSTEP]\nhave w :=\n  congr_fun ((forget _).congr_map (φ.naturality (ModuleCat.asHomRight (LinearMap.toSpanSingleton R M x)))) (1 : R)\n[GOAL]\ncase app.h.w\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nφ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))\nM : ModuleCat R\nx : ↑M\nw :\n  (forget AddCommGroupCat).map\n      ((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.map\n          (ModuleCat.asHomRight (LinearMap.toSpanSingleton R (↑M) x)) ≫\n        NatTrans.app φ M)\n      1 =\n    (forget AddCommGroupCat).map\n      (NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R) ≫\n        (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.map\n          (ModuleCat.asHomRight (LinearMap.toSpanSingleton R (↑M) x)))\n      1\n⊢ ↑(NatTrans.app\n          ((fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n            ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ))\n          M)\n      x =\n    ↑(NatTrans.app φ M) x\n[PROOFSTEP]\nexact w.symm.trans (congr_arg (φ.app M) (one_smul R x))\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\n⊢ ∀ (x y : R),\n    Equiv.toFun\n        { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n          invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                    ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                  φ) }\n        (x * y) =\n      Equiv.toFun\n          { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n            invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                  (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                    φ) }\n          x *\n        Equiv.toFun\n          { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n            invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                  (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                    φ) }\n          y\n[PROOFSTEP]\nintros\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nx✝ y✝ : R\n⊢ Equiv.toFun\n      { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n        invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n        right_inv :=\n          (_ :\n            ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n              (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                  ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                φ) }\n      (x✝ * y✝) =\n    Equiv.toFun\n        { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n          invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                    ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                  φ) }\n        x✝ *\n      Equiv.toFun\n        { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n          invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                    ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                  φ) }\n        y✝\n[PROOFSTEP]\napply NatTrans.ext\n[GOAL]\ncase app\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nx✝ y✝ : R\n⊢ (Equiv.toFun\n        { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n          invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                    ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                  φ) }\n        (x✝ * y✝)).app =\n    (Equiv.toFun\n          { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n            invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                  (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                    φ) }\n          x✝ *\n        Equiv.toFun\n          { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n            invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                  (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                    φ) }\n          y✝).app\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase app.h.w\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nx✝² y✝ : R\nx✝¹ : ModuleCat R\nx✝ : ↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.obj x✝¹)\n⊢ ↑(NatTrans.app\n          (Equiv.toFun\n            { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n              invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n              right_inv :=\n                (_ :\n                  ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                    (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                        ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                      φ) }\n            (x✝² * y✝))\n          x✝¹)\n      x✝ =\n    ↑(NatTrans.app\n          (Equiv.toFun\n              { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n                invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n                right_inv :=\n                  (_ :\n                    ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                      (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                          ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                        φ) }\n              x✝² *\n            Equiv.toFun\n              { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n                invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n                right_inv :=\n                  (_ :\n                    ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                      (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                          ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                        φ) }\n              y✝)\n          x✝¹)\n      x✝\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\ncase app.h.w\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nx✝² y✝ : R\nx✝¹ : ModuleCat R\nx✝ : ↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.obj x✝¹)\n⊢ (x✝² * y✝) • x✝ =\n    ↑(NatTrans.app\n          ((NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) x✝²)) *\n            NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) y✝))\n          x✝¹)\n      x✝\n[PROOFSTEP]\nsimp only [AddCommGroupCat.ofHom_apply, DistribMulAction.toAddMonoidHom_apply, mul_smul]\n[GOAL]\ncase app.h.w\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nx✝² y✝ : R\nx✝¹ : ModuleCat R\nx✝ : ↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.obj x✝¹)\n⊢ x✝² • y✝ • x✝ =\n    ↑(NatTrans.app\n          ((NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) x✝²)) *\n            NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) y✝))\n          x✝¹)\n      x✝\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\n⊢ ∀ (x y : R),\n    Equiv.toFun\n        { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n          invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                    ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                  φ) }\n        (x + y) =\n      Equiv.toFun\n          { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n            invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                  (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                    φ) }\n          x +\n        Equiv.toFun\n          { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n            invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                  (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                    φ) }\n          y\n[PROOFSTEP]\nintros\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nx✝ y✝ : R\n⊢ Equiv.toFun\n      { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n        invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n        right_inv :=\n          (_ :\n            ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n              (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                  ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                φ) }\n      (x✝ + y✝) =\n    Equiv.toFun\n        { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n          invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                    ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                  φ) }\n        x✝ +\n      Equiv.toFun\n        { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n          invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                    ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                  φ) }\n        y✝\n[PROOFSTEP]\napply NatTrans.ext\n[GOAL]\ncase app\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nx✝ y✝ : R\n⊢ (Equiv.toFun\n        { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n          invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                    ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                  φ) }\n        (x✝ + y✝)).app =\n    (Equiv.toFun\n          { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n            invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                  (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                    φ) }\n          x✝ +\n        Equiv.toFun\n          { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n            invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                  (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                      ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                    φ) }\n          y✝).app\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase app.h.w\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nx✝² y✝ : R\nx✝¹ : ModuleCat R\nx✝ : ↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.obj x✝¹)\n⊢ ↑(NatTrans.app\n          (Equiv.toFun\n            { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n              invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n              right_inv :=\n                (_ :\n                  ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                    (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                        ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                      φ) }\n            (x✝² + y✝))\n          x✝¹)\n      x✝ =\n    ↑(NatTrans.app\n          (Equiv.toFun\n              { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n                invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n                right_inv :=\n                  (_ :\n                    ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                      (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                          ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                        φ) }\n              x✝² +\n            Equiv.toFun\n              { toFun := fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r),\n                invFun := fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1, left_inv := (_ : ∀ (r : R), r * 1 = r),\n                right_inv :=\n                  (_ :\n                    ∀ (φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat))),\n                      (fun r => NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) r))\n                          ((fun φ => ↑(NatTrans.app φ (ModuleCat.of R R)) 1) φ) =\n                        φ) }\n              y✝)\n          x✝¹)\n      x✝\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\ncase app.h.w\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nx✝² y✝ : R\nx✝¹ : ModuleCat R\nx✝ : ↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.obj x✝¹)\n⊢ (x✝² + y✝) • x✝ =\n    ↑(NatTrans.app\n          ((NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) x✝²)) +\n            NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) y✝))\n          x✝¹)\n      x✝\n[PROOFSTEP]\nsimp only [AddCommGroupCat.ofHom_apply, DistribMulAction.toAddMonoidHom_apply, add_smul]\n[GOAL]\ncase app.h.w\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nx✝² y✝ : R\nx✝¹ : ModuleCat R\nx✝ : ↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGroupCat)).obj.obj x✝¹)\n⊢ x✝² • x✝ + y✝ • x✝ =\n    ↑(NatTrans.app\n          ((NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) x✝²)) +\n            NatTrans.mk fun M => AddCommGroupCat.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M) y✝))\n          x✝¹)\n      x✝\n[PROOFSTEP]\nrfl\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Tannaka", "llama_tokens": 8440, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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Classical.choice (hT X)⟩, fun a => _⟩\n  let E := equalizer a (i ≫ Classical.choice (hT _))\n  let e : E ⟶ wideEqualizer id := equalizer.ι _ _\n  let h : T ⟶ E := Classical.choice (hT E)\n  have : ((i ≫ h) ≫ e) ≫ i = i ≫ 𝟙 _ := by\n    rw [Category.assoc, Category.assoc]\n    apply wideEqualizer.condition (id : endos → endos) (h ≫ e ≫ i)\n  rw [Category.comp_id, cancel_mono_id i] at this \n  haveI : IsSplitEpi e := IsSplitEpi.mk' ⟨i ≫ h, this⟩\n  rw [← cancel_epi e]\n  apply equalizer.condition\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasWideEqualizers C\nT : C\nhT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)\nendos : Type v := T ⟶ T\ni : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id\nthis : Nonempty endos\n⊢ (X : C) → Unique (wideEqualizer id ⟶ X)\n[PROOFSTEP]\nintro X\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasWideEqualizers C\nT : C\nhT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)\nendos : Type v := T ⟶ T\ni : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id\nthis : Nonempty endos\nX : C\n⊢ Unique (wideEqualizer id ⟶ X)\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨⟨i ≫ Classical.choice (hT X)⟩, fun a => _⟩\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasWideEqualizers C\nT : C\nhT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)\nendos : Type v := T ⟶ T\ni : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id\nthis : Nonempty endos\nX : C\na : wideEqualizer id ⟶ X\n⊢ a = default\n[PROOFSTEP]\nlet E := equalizer a (i ≫ Classical.choice (hT _))\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasWideEqualizers C\nT : C\nhT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)\nendos : Type v := T ⟶ T\ni : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id\nthis : Nonempty endos\nX : C\na : wideEqualizer id ⟶ X\nE : C := equalizer a (i ≫ Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ X)))\n⊢ a = default\n[PROOFSTEP]\nlet e : E ⟶ wideEqualizer id := equalizer.ι _ _\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasWideEqualizers C\nT : C\nhT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)\nendos : Type v := T ⟶ T\ni : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id\nthis : Nonempty endos\nX : C\na : wideEqualizer id ⟶ X\nE : C := equalizer a (i ≫ Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ X)))\ne : E ⟶ wideEqualizer id := equalizer.ι a (i ≫ Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ X)))\n⊢ a = default\n[PROOFSTEP]\nlet h : T ⟶ E := Classical.choice (hT E)\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasWideEqualizers C\nT : C\nhT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)\nendos : Type v := T ⟶ T\ni : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id\nthis : Nonempty endos\nX : C\na : wideEqualizer id ⟶ X\nE : C := equalizer a (i ≫ Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ X)))\ne : E ⟶ wideEqualizer id := equalizer.ι a (i ≫ Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ X)))\nh : T ⟶ E := Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ E))\n⊢ a = default\n[PROOFSTEP]\nhave : ((i ≫ h) ≫ e) ≫ i = i ≫ 𝟙 _ := by\n  rw [Category.assoc, Category.assoc]\n  apply wideEqualizer.condition (id : endos → endos) (h ≫ e ≫ i)\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasWideEqualizers C\nT : C\nhT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)\nendos : Type v := T ⟶ T\ni : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id\nthis : Nonempty endos\nX : C\na : wideEqualizer id ⟶ X\nE : C := equalizer a (i ≫ Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ X)))\ne : E ⟶ wideEqualizer id := equalizer.ι a (i ≫ Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ X)))\nh : T ⟶ E := Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ E))\n⊢ ((i ≫ h) ≫ e) ≫ i = i ≫ 𝟙 T\n[PROOFSTEP]\nrw [Category.assoc, Category.assoc]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasWideEqualizers C\nT : C\nhT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)\nendos : Type v := T ⟶ T\ni : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id\nthis : Nonempty endos\nX : C\na : wideEqualizer id ⟶ X\nE : C := equalizer a (i ≫ Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ X)))\ne : E ⟶ wideEqualizer id := equalizer.ι a (i ≫ Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ X)))\nh : T ⟶ E := Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ E))\n⊢ i ≫ h ≫ e ≫ i = i ≫ 𝟙 T\n[PROOFSTEP]\napply wideEqualizer.condition (id : endos → endos) (h ≫ e ≫ i)\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasWideEqualizers C\nT : C\nhT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)\nendos : Type v := T ⟶ T\ni : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id\nthis✝ : Nonempty endos\nX : C\na : wideEqualizer id ⟶ X\nE : C := equalizer a (i ≫ Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ X)))\ne : E ⟶ wideEqualizer id := equalizer.ι a (i ≫ Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ X)))\nh : T ⟶ E := Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ E))\nthis : ((i ≫ h) ≫ e) ≫ i = i ≫ 𝟙 T\n⊢ a = default\n[PROOFSTEP]\nrw [Category.comp_id, cancel_mono_id i] at this \n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasWideEqualizers C\nT : C\nhT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)\nendos : Type v := T ⟶ T\ni : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id\nthis✝ : Nonempty endos\nX : C\na : wideEqualizer id ⟶ X\nE : C := equalizer a (i ≫ Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ X)))\ne : E ⟶ wideEqualizer id := equalizer.ι a (i ≫ Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ X)))\nh : T ⟶ E := Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ E))\nthis : (i ≫ h) ≫ e = 𝟙 (wideEqualizer id)\n⊢ a = default\n[PROOFSTEP]\nhaveI : IsSplitEpi e := IsSplitEpi.mk' ⟨i ≫ h, this⟩\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasWideEqualizers C\nT : C\nhT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)\nendos : Type v := T ⟶ T\ni : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id\nthis✝¹ : Nonempty endos\nX : C\na : wideEqualizer id ⟶ X\nE : C := equalizer a (i ≫ Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ X)))\ne : E ⟶ wideEqualizer id := equalizer.ι a (i ≫ Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ X)))\nh : T ⟶ E := Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ E))\nthis✝ : (i ≫ h) ≫ e = 𝟙 (wideEqualizer id)\nthis : IsSplitEpi e\n⊢ a = default\n[PROOFSTEP]\nrw [← cancel_epi e]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasWideEqualizers C\nT : C\nhT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)\nendos : Type v := T ⟶ T\ni : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id\nthis✝¹ : Nonempty endos\nX : C\na : wideEqualizer id ⟶ X\nE : C := equalizer a (i ≫ Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ X)))\ne : E ⟶ wideEqualizer id := equalizer.ι a (i ≫ Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ X)))\nh : T ⟶ E := Classical.choice (_ : Nonempty (T ⟶ E))\nthis✝ : (i ≫ h) ≫ e = 𝟙 (wideEqualizer id)\nthis : IsSplitEpi e\n⊢ e ≫ a = e ≫ default\n[PROOFSTEP]\napply equalizer.condition\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝¹ : Category.{v, u} C\ninst✝ : HasWideEqualizers C\nT : C\nhT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)\nendos : Type v := T ⟶ T\ni : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id\nthis✝ : Nonempty endos\nthis : (X : C) → Unique (wideEqualizer id ⟶ X)\n⊢ HasInitial C\n[PROOFSTEP]\nexact hasInitial_of_unique (wideEqualizer (id : endos → endos))\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.CategoryTheory.Limits.Constructions.WeaklyInitial", "llama_tokens": 3353, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Monoid R\nS : Submonoid R\ninst✝ : OreSet S\nx✝¹ x✝ : R\ns : { x // x ∈ ⊥ }\nh : ↑s * x✝¹ = ↑s * x✝\n⊢ x✝¹ * ↑s = x✝ * ↑s\n[PROOFSTEP]\nrcases s with ⟨s, hs⟩\n[GOAL]\ncase mk\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Monoid R\nS : Submonoid R\ninst✝ : OreSet S\nx✝¹ x✝ s : R\nhs : s ∈ ⊥\nh : ↑{ val := s, property := hs } * x✝¹ = ↑{ val := s, property := hs } * x✝\n⊢ x✝¹ * ↑{ val := s, property := hs } = x✝ * ↑{ val := s, property := hs }\n[PROOFSTEP]\nrw [Submonoid.mem_bot] at hs \n[GOAL]\ncase mk\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Monoid R\nS : Submonoid R\ninst✝ : OreSet S\nx✝¹ x✝ s : R\nhs✝ : s ∈ ⊥\nhs : s = 1\nh : ↑{ val := s, property := hs✝ } * x✝¹ = ↑{ val := s, property := hs✝ } * x✝\n⊢ x✝¹ * ↑{ val := s, property := hs✝ } = x✝ * ↑{ val := s, property := hs✝ }\n[PROOFSTEP]\nsubst hs\n[GOAL]\ncase mk\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Monoid R\nS : Submonoid R\ninst✝ : OreSet S\nx✝¹ x✝ : R\nhs : 1 ∈ ⊥\nh : ↑{ val := 1, property := hs } * x✝¹ = ↑{ val := 1, property := hs } * x✝\n⊢ x✝¹ * ↑{ val := 1, property := hs } = x✝ * ↑{ val := 1, property := hs }\n[PROOFSTEP]\nrw [one_mul, one_mul] at h \n[GOAL]\ncase mk\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Monoid R\nS : Submonoid R\ninst✝ : OreSet S\nx✝¹ x✝ : R\nhs : 1 ∈ ⊥\nh : x✝¹ = x✝\n⊢ x✝¹ * ↑{ val := 1, property := hs } = x✝ * ↑{ val := 1, property := hs }\n[PROOFSTEP]\nsubst h\n[GOAL]\ncase mk\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Monoid R\nS : Submonoid R\ninst✝ : OreSet S\nx✝ : R\nhs : 1 ∈ ⊥\n⊢ x✝ * ↑{ val := 1, property := hs } = x✝ * ↑{ val := 1, property := hs }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Monoid R\nS : Submonoid R\ninst✝ : OreSet S\nx✝ : R\ns : { x // x ∈ ⊥ }\n⊢ x✝ * ↑((fun x s => s) x✝ s) = ↑s * (fun r x => r) x✝ s\n[PROOFSTEP]\nrcases s with ⟨s, hs⟩\n[GOAL]\ncase mk\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Monoid R\nS : Submonoid R\ninst✝ : OreSet S\nx✝ s : R\nhs : s ∈ ⊥\n⊢ x✝ * ↑((fun x s => s) x✝ { val := s, property := hs }) =\n    ↑{ val := s, property := hs } * (fun r x => r) x✝ { val := s, property := hs }\n[PROOFSTEP]\nrw [Submonoid.mem_bot] at hs \n[GOAL]\ncase mk\nR : Type u_1\ninst✝¹ : Monoid R\nS : Submonoid R\ninst✝ : OreSet S\nx✝ s : R\nhs✝ : s ∈ ⊥\nhs : s = 1\n⊢ x✝ * ↑((fun x s => s) x✝ { val := s, property := hs✝ }) =\n    ↑{ val := s, property := hs✝ } * (fun r x => r) x✝ { val := s, property := hs✝ }\n[PROOFSTEP]\nsimp [hs]\n[GOAL]\nR✝ : Type u_1\ninst✝² : Monoid R✝\nS✝ : Submonoid R✝\ninst✝¹ : OreSet S✝\nR : Type ?u.7831\ninst✝ : CommMonoid R\nS : Submonoid R\nm n : R\ns : { x // x ∈ S }\nh : ↑s * m = ↑s * n\n⊢ m * ↑s = n * ↑s\n[PROOFSTEP]\nrw [mul_comm n s, mul_comm m s, h]\n[GOAL]\nR✝ : Type u_1\ninst✝² : Monoid R✝\nS✝ : Submonoid R✝\ninst✝¹ : OreSet S✝\nR : Type ?u.7831\ninst✝ : CommMonoid R\nS : Submonoid R\nr : R\ns : { x // x ∈ S }\n⊢ r * ↑((fun x s => s) r s) = ↑s * (fun r x => r) r s\n[PROOFSTEP]\nrw [mul_comm]\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.RingTheory.OreLocalization.OreSet", "llama_tokens": 1582, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. YES\n2. NO", "lm_q1_score": 0.5078118642792043, "lm_q2_score": 0.44939263446475963, "lm_q1q2_score": 0.2282069115008926}}
{"text": "[GOAL]\nX : TopCat\nU : Opens ↑X\nR : Presieve U\nhR : Sieve.generate R ∈ GrothendieckTopology.sieves (Opens.grothendieckTopology ↑X) U\n⊢ iSup (coveringOfPresieve U R) = U\n[PROOFSTEP]\napply le_antisymm\n[GOAL]\ncase a\nX : TopCat\nU : Opens ↑X\nR : Presieve U\nhR : Sieve.generate R ∈ GrothendieckTopology.sieves (Opens.grothendieckTopology ↑X) U\n⊢ iSup (coveringOfPresieve U R) ≤ U\n[PROOFSTEP]\nrefine' iSup_le _\n[GOAL]\ncase a\nX : TopCat\nU : Opens ↑X\nR : Presieve U\nhR : Sieve.generate R ∈ GrothendieckTopology.sieves (Opens.grothendieckTopology ↑X) U\n⊢ ∀ (i : (V : Opens ↑X) × { f // R f }), coveringOfPresieve U R i ≤ U\n[PROOFSTEP]\nintro f\n[GOAL]\ncase a\nX : TopCat\nU : Opens ↑X\nR : Presieve U\nhR : Sieve.generate R ∈ GrothendieckTopology.sieves (Opens.grothendieckTopology ↑X) U\nf : (V : Opens ↑X) × { f // R f }\n⊢ coveringOfPresieve U R f ≤ U\n[PROOFSTEP]\nexact f.2.1.le\n[GOAL]\ncase a\nX : TopCat\nU : Opens ↑X\nR : Presieve U\nhR : Sieve.generate R ∈ GrothendieckTopology.sieves (Opens.grothendieckTopology ↑X) U\n⊢ U ≤ iSup (coveringOfPresieve U R)\n[PROOFSTEP]\nintro x hxU\n[GOAL]\ncase a\nX : TopCat\nU : Opens ↑X\nR : Presieve U\nhR : Sieve.generate R ∈ GrothendieckTopology.sieves (Opens.grothendieckTopology ↑X) U\nx : ↑X\nhxU : x ∈ ↑U\n⊢ x ∈ ↑(iSup (coveringOfPresieve U R))\n[PROOFSTEP]\nrw [Opens.coe_iSup, Set.mem_iUnion]\n[GOAL]\ncase a\nX : TopCat\nU : Opens ↑X\nR : Presieve U\nhR : Sieve.generate R ∈ GrothendieckTopology.sieves (Opens.grothendieckTopology ↑X) U\nx : ↑X\nhxU : x ∈ ↑U\n⊢ ∃ i, x ∈ ↑(coveringOfPresieve U R i)\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨V, iVU, ⟨W, iVW, iWU, hiWU, -⟩, hxV⟩ := hR x hxU\n[GOAL]\ncase a.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : TopCat\nU : Opens ↑X\nR : Presieve U\nhR : Sieve.generate R ∈ GrothendieckTopology.sieves (Opens.grothendieckTopology ↑X) U\nx : ↑X\nhxU : x ∈ ↑U\nV : Opens ↑X\niVU : V ⟶ U\nhxV : x ∈ V\nW : Opens ↑X\niVW : V ⟶ W\niWU : W ⟶ U\nhiWU : R iWU\n⊢ ∃ i, x ∈ ↑(coveringOfPresieve U R i)\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨⟨W, ⟨iWU, hiWU⟩⟩, iVW.le hxV⟩\n[GOAL]\nX : TopCat\nY : Opens ↑X\nR : Presieve Y\n⊢ presieveOfCoveringAux (coveringOfPresieve Y R) Y = R\n[PROOFSTEP]\nfunext Z\n[GOAL]\ncase h\nX : TopCat\nY : Opens ↑X\nR : Presieve Y\nZ : Opens ↑X\n⊢ presieveOfCoveringAux (coveringOfPresieve Y R) Y = R\n[PROOFSTEP]\next f\n[GOAL]\ncase h.h\nX : TopCat\nY : Opens ↑X\nR : Presieve Y\nZ : Opens ↑X\nf : Z ⟶ Y\n⊢ f ∈ presieveOfCoveringAux (coveringOfPresieve Y R) Y ↔ f ∈ R\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨fun ⟨⟨_, f', h⟩, rfl⟩ => by rwa [Subsingleton.elim f f'], fun h => ⟨⟨Z, f, h⟩, rfl⟩⟩\n[GOAL]\nX : TopCat\nY : Opens ↑X\nR : Presieve Y\nZ : Opens ↑X\nf : Z ⟶ Y\nx✝ : f ∈ presieveOfCoveringAux (coveringOfPresieve Y R) Y\nf' : Z ⟶ Y\nh : R f'\n⊢ f ∈ R\n[PROOFSTEP]\nrwa [Subsingleton.elim f f']\n[GOAL]\nX : TopCat\nι : Type v\nU : ι → Opens ↑X\n⊢ Sieve.generate (presieveOfCovering U) ∈ GrothendieckTopology.sieves (Opens.grothendieckTopology ↑X) (iSup U)\n[PROOFSTEP]\nintro x hx\n[GOAL]\nX : TopCat\nι : Type v\nU : ι → Opens ↑X\nx : ↑X\nhx : x ∈ iSup U\n⊢ ∃ U_1 f, (Sieve.generate (presieveOfCovering U)).arrows f ∧ x ∈ U_1\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨i, hxi⟩ := Opens.mem_iSup.mp hx\n[GOAL]\ncase intro\nX : TopCat\nι : Type v\nU : ι → Opens ↑X\nx : ↑X\nhx : x ∈ iSup U\ni : ι\nhxi : x ∈ U i\n⊢ ∃ U_1 f, (Sieve.generate (presieveOfCovering U)).arrows f ∧ x ∈ U_1\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨U i, Opens.leSupr U i, ⟨U i, 𝟙 _, Opens.leSupr U i, ⟨i, rfl⟩, Category.id_comp _⟩, hxi⟩\n[GOAL]\nX : TopCat\nι : Type u_1\ninst✝ : Category.{u_2, u_1} ι\nB : ι ⥤ Opens ↑X\n⊢ CoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X) B ↔ Opens.IsBasis (Set.range B.obj)\n[PROOFSTEP]\nrw [Opens.isBasis_iff_nbhd]\n[GOAL]\nX : TopCat\nι : Type u_1\ninst✝ : Category.{u_2, u_1} ι\nB : ι ⥤ Opens ↑X\n⊢ CoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X) B ↔\n    ∀ {U : Opens ↑X} {x : ↑X}, x ∈ U → ∃ U', U' ∈ Set.range B.obj ∧ x ∈ U' ∧ U' ≤ U\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase mp\nX : TopCat\nι : Type u_1\ninst✝ : Category.{u_2, u_1} ι\nB : ι ⥤ Opens ↑X\n⊢ CoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X) B →\n    ∀ {U : Opens ↑X} {x : ↑X}, x ∈ U → ∃ U', U' ∈ Set.range B.obj ∧ x ∈ U' ∧ U' ≤ U\ncase mpr\nX : TopCat\nι : Type u_1\ninst✝ : Category.{u_2, u_1} ι\nB : ι ⥤ Opens ↑X\n⊢ (∀ {U : Opens ↑X} {x : ↑X}, x ∈ U → ∃ U', U' ∈ Set.range B.obj ∧ x ∈ U' ∧ U' ≤ U) →\n    CoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X) B\n[PROOFSTEP]\nintro hd U x hx\n[GOAL]\ncase mp\nX : TopCat\nι : Type u_1\ninst✝ : Category.{u_2, u_1} ι\nB : ι ⥤ Opens ↑X\nhd : CoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X) B\nU : Opens ↑X\nx : ↑X\nhx : x ∈ U\n⊢ ∃ U', U' ∈ Set.range B.obj ∧ x ∈ U' ∧ U' ≤ U\ncase mpr\nX : TopCat\nι : Type u_1\ninst✝ : Category.{u_2, u_1} ι\nB : ι ⥤ Opens ↑X\n⊢ (∀ {U : Opens ↑X} {x : ↑X}, x ∈ U → ∃ U', U' ∈ Set.range B.obj ∧ x ∈ U' ∧ U' ≤ U) →\n    CoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X) B\n[PROOFSTEP]\nrcases hd.1 U x hx with ⟨V, f, ⟨i, f₁, f₂, _⟩, hV⟩\n[GOAL]\ncase mp.intro.intro.intro.intro.mk\nX : TopCat\nι : Type u_1\ninst✝ : Category.{u_2, u_1} ι\nB : ι ⥤ Opens ↑X\nhd : CoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X) B\nU : Opens ↑X\nx : ↑X\nhx : x ∈ U\nV : Opens ↑X\nf : V ⟶ U\nhV : x ∈ V\ni : ι\nf₁ : V ⟶ B.obj i\nf₂ : B.obj i ⟶ U\nfac✝ : f₁ ≫ f₂ = f\n⊢ ∃ U', U' ∈ Set.range B.obj ∧ x ∈ U' ∧ U' ≤ U\ncase mpr\nX : TopCat\nι : Type u_1\ninst✝ : Category.{u_2, u_1} ι\nB : ι ⥤ Opens ↑X\n⊢ (∀ {U : Opens ↑X} {x : ↑X}, x ∈ U → ∃ U', U' ∈ Set.range B.obj ∧ x ∈ U' ∧ U' ≤ U) →\n    CoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X) B\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨B.obj i, ⟨i, rfl⟩, f₁.le hV, f₂.le⟩\n[GOAL]\ncase mpr\nX : TopCat\nι : Type u_1\ninst✝ : Category.{u_2, u_1} ι\nB : ι ⥤ Opens ↑X\n⊢ (∀ {U : Opens ↑X} {x : ↑X}, x ∈ U → ∃ U', U' ∈ Set.range B.obj ∧ x ∈ U' ∧ U' ≤ U) →\n    CoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X) B\n[PROOFSTEP]\nintro hb\n[GOAL]\ncase mpr\nX : TopCat\nι : Type u_1\ninst✝ : Category.{u_2, u_1} ι\nB : ι ⥤ Opens ↑X\nhb : ∀ {U : Opens ↑X} {x : ↑X}, x ∈ U → ∃ U', U' ∈ Set.range B.obj ∧ x ∈ U' ∧ U' ≤ U\n⊢ CoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X) B\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase mpr.is_cover\nX : TopCat\nι : Type u_1\ninst✝ : Category.{u_2, u_1} ι\nB : ι ⥤ Opens ↑X\nhb : ∀ {U : Opens ↑X} {x : ↑X}, x ∈ U → ∃ U', U' ∈ Set.range B.obj ∧ x ∈ U' ∧ U' ≤ U\n⊢ ∀ (U : Opens ↑X), Sieve.coverByImage B U ∈ GrothendieckTopology.sieves (Opens.grothendieckTopology ↑X) U\n[PROOFSTEP]\nintro U x hx\n[GOAL]\ncase mpr.is_cover\nX : TopCat\nι : Type u_1\ninst✝ : Category.{u_2, u_1} ι\nB : ι ⥤ Opens ↑X\nhb : ∀ {U : Opens ↑X} {x : ↑X}, x ∈ U → ∃ U', U' ∈ Set.range B.obj ∧ x ∈ U' ∧ U' ≤ U\nU : Opens ↑X\nx : ↑X\nhx : x ∈ U\n⊢ ∃ U_1 f, (Sieve.coverByImage B U).arrows f ∧ x ∈ U_1\n[PROOFSTEP]\nrcases hb hx with ⟨_, ⟨i, rfl⟩, hx, hi⟩\n[GOAL]\ncase mpr.is_cover.intro.intro.intro.intro\nX : TopCat\nι : Type u_1\ninst✝ : Category.{u_2, u_1} ι\nB : ι ⥤ Opens ↑X\nhb : ∀ {U : Opens ↑X} {x : ↑X}, x ∈ U → ∃ U', U' ∈ Set.range B.obj ∧ x ∈ U' ∧ U' ≤ U\nU : Opens ↑X\nx : ↑X\nhx✝ : x ∈ U\ni : ι\nhx : x ∈ B.obj i\nhi : B.obj i ≤ U\n⊢ ∃ U_1 f, (Sieve.coverByImage B U).arrows f ∧ x ∈ U_1\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨B.obj i, ⟨⟨hi⟩⟩, ⟨⟨i, 𝟙 _, ⟨⟨hi⟩⟩, rfl⟩⟩, hx⟩\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX Y : TopCat\nf : X ⟶ Y\nF : TopCat.Presheaf C Y\nhf : OpenEmbedding ↑f\n⊢ CompatiblePreserving (Opens.grothendieckTopology ↑Y) (IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f))\n[PROOFSTEP]\nhaveI : Mono f := (TopCat.mono_iff_injective f).mpr hf.inj\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX Y : TopCat\nf : X ⟶ Y\nF : TopCat.Presheaf C Y\nhf : OpenEmbedding ↑f\nthis : Mono f\n⊢ CompatiblePreserving (Opens.grothendieckTopology ↑Y) (IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f))\n[PROOFSTEP]\napply compatiblePreservingOfDownwardsClosed\n[GOAL]\ncase hF\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX Y : TopCat\nf : X ⟶ Y\nF : TopCat.Presheaf C Y\nhf : OpenEmbedding ↑f\nthis : Mono f\n⊢ {c : Opens ↑X} →\n    {d : Opens ↑Y} →\n      (d ⟶ (IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f)).obj c) →\n        (c' : Opens ↑X) × ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f)).obj c' ≅ d)\n[PROOFSTEP]\nintro U V i\n[GOAL]\ncase hF\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX Y : TopCat\nf : X ⟶ Y\nF : TopCat.Presheaf C Y\nhf : OpenEmbedding ↑f\nthis : Mono f\nU : Opens ↑X\nV : Opens ↑Y\ni : V ⟶ (IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f)).obj U\n⊢ (c' : Opens ↑X) × ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f)).obj c' ≅ V)\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨(Opens.map f).obj V, eqToIso <| Opens.ext <| Set.image_preimage_eq_of_subset fun x h ↦ _⟩\n[GOAL]\ncase hF\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX Y : TopCat\nf : X ⟶ Y\nF : TopCat.Presheaf C Y\nhf : OpenEmbedding ↑f\nthis : Mono f\nU : Opens ↑X\nV : Opens ↑Y\ni : V ⟶ (IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f)).obj U\nx : ↑Y\nh : x ∈ V.1\n⊢ x ∈ Set.range fun x => ↑f x\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨_, _, rfl⟩ := i.le h\n[GOAL]\ncase hF.intro.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX Y : TopCat\nf : X ⟶ Y\nF : TopCat.Presheaf C Y\nhf : OpenEmbedding ↑f\nthis : Mono f\nU : Opens ↑X\nV : Opens ↑Y\ni : V ⟶ (IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f)).obj U\nw✝ : (forget TopCat).obj X\nleft✝ : w✝ ∈ ↑U\nh : ↑f w✝ ∈ V.1\n⊢ ↑f w✝ ∈ Set.range fun x => ↑f x\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨_, rfl⟩\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX Y : TopCat\nf : X ⟶ Y\nF : TopCat.Presheaf C Y\nhf : IsOpenMap ↑f\n⊢ CoverPreserving (Opens.grothendieckTopology ↑X) (Opens.grothendieckTopology ↑Y) (functor hf)\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase cover_preserve\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX Y : TopCat\nf : X ⟶ Y\nF : TopCat.Presheaf C Y\nhf : IsOpenMap ↑f\n⊢ ∀ {U : Opens ↑X} {S : Sieve U},\n    S ∈ GrothendieckTopology.sieves (Opens.grothendieckTopology ↑X) U →\n      Sieve.functorPushforward (functor hf) S ∈\n        GrothendieckTopology.sieves (Opens.grothendieckTopology ↑Y) ((functor hf).obj U)\n[PROOFSTEP]\nrintro U S hU _ ⟨x, hx, rfl⟩\n[GOAL]\ncase cover_preserve.intro.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX Y : TopCat\nf : X ⟶ Y\nF : TopCat.Presheaf C Y\nhf : IsOpenMap ↑f\nU : Opens ↑X\nS : Sieve U\nhU : S ∈ GrothendieckTopology.sieves (Opens.grothendieckTopology ↑X) U\nx : (forget TopCat).obj X\nhx : x ∈ ↑U\n⊢ ∃ U_1 f_1, (Sieve.functorPushforward (functor hf) S).arrows f_1 ∧ ↑f x ∈ U_1\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨V, i, hV, hxV⟩ := hU x hx\n[GOAL]\ncase cover_preserve.intro.intro.intro.intro.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX Y : TopCat\nf : X ⟶ Y\nF : TopCat.Presheaf C Y\nhf : IsOpenMap ↑f\nU : Opens ↑X\nS : Sieve U\nhU : S ∈ GrothendieckTopology.sieves (Opens.grothendieckTopology ↑X) U\nx : (forget TopCat).obj X\nhx : x ∈ ↑U\nV : Opens ↑X\ni : V ⟶ U\nhV : S.arrows i\nhxV : x ∈ V\n⊢ ∃ U_1 f_1, (Sieve.functorPushforward (functor hf) S).arrows f_1 ∧ ↑f x ∈ U_1\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨_, hf.functor.map i, ⟨_, i, 𝟙 _, hV, rfl⟩, Set.mem_image_of_mem f hxV⟩\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX : TopCat\nι : Type u_1\nB : ι → Opens ↑X\nF✝ : Presheaf C X\nF' : Sheaf C X\nh✝ : Opens.IsBasis (Set.range B)\nF : Sheaf C X\nU : Opens ↑X\nh : U = ⊥\n⊢ Limits.IsTerminal (F.val.obj (op U))\n[PROOFSTEP]\nconvert F.isTerminalOfEmpty\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX : TopCat\nι : Type u_1\nB : ι → Opens ↑X\nF : Presheaf C X\nF' : Sheaf C X\nh : Opens.IsBasis (Set.range B)\nα : (inducedFunctor B).op ⋙ F ⟶ (inducedFunctor B).op ⋙ F'.val\ni : ι\n⊢ NatTrans.app (↑(restrictHomEquivHom F F' h) α) (op (B i)) = NatTrans.app α (op i)\n[PROOFSTEP]\nnth_rw 2 [← (restrictHomEquivHom F F' h).left_inv α]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX : TopCat\nι : Type u_1\nB : ι → Opens ↑X\nF : Presheaf C X\nF' : Sheaf C X\nh : Opens.IsBasis (Set.range B)\nα : (inducedFunctor B).op ⋙ F ⟶ (inducedFunctor B).op ⋙ F'.val\ni : ι\n⊢ NatTrans.app (↑(restrictHomEquivHom F F' h) α) (op (B i)) =\n    NatTrans.app (Equiv.invFun (restrictHomEquivHom F F' h) (Equiv.toFun (restrictHomEquivHom F F' h) α)) (op i)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX : TopCat\nι : Type u_1\nB : ι → Opens ↑X\nF : Presheaf C X\nF' : Sheaf C X\nh : Opens.IsBasis (Set.range B)\nα β : F ⟶ F'.val\nhe : ∀ (i : ι), NatTrans.app α (op (B i)) = NatTrans.app β (op (B i))\n⊢ α = β\n[PROOFSTEP]\napply (restrictHomEquivHom F F' h).symm.injective\n[GOAL]\ncase a\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX : TopCat\nι : Type u_1\nB : ι → Opens ↑X\nF : Presheaf C X\nF' : Sheaf C X\nh : Opens.IsBasis (Set.range B)\nα β : F ⟶ F'.val\nhe : ∀ (i : ι), NatTrans.app α (op (B i)) = NatTrans.app β (op (B i))\n⊢ ↑(restrictHomEquivHom F F' h).symm α = ↑(restrictHomEquivHom F F' h).symm β\n[PROOFSTEP]\next i\n[GOAL]\ncase a.w.h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nX : TopCat\nι : Type u_1\nB : ι → Opens ↑X\nF : Presheaf C X\nF' : Sheaf C X\nh : Opens.IsBasis (Set.range B)\nα β : F ⟶ F'.val\nhe : ∀ (i : ι), NatTrans.app α (op (B i)) = NatTrans.app β (op (B i))\ni : (InducedCategory (Opens ↑X) B)ᵒᵖ\n⊢ NatTrans.app (↑(restrictHomEquivHom F F' h).symm α) i = NatTrans.app (↑(restrictHomEquivHom F F' h).symm β) i\n[PROOFSTEP]\nexact he i.unop\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.Topology.Sheaves.SheafCondition.Sites", "llama_tokens": 6546, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\n⊢ Function.Injective fun f => f.toFun\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨⟨⟨f, _⟩, _⟩, _⟩ ⟨⟨⟨g, _⟩, _⟩, _⟩ h\n[GOAL]\ncase mk.mk.mk.mk.mk.mk\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nf : A → B\nmap_smul'✝¹ : ∀ (m : R) (x : A), f (m • x) = m • f x\nmap_zero'✝¹ : MulActionHom.toFun { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ } 0 = 0\nmap_add'✝¹ :\n  ∀ (x y : A),\n    MulActionHom.toFun { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ } (x + y) =\n      MulActionHom.toFun { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ } x +\n        MulActionHom.toFun { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ } y\nmap_mul'✝¹ :\n  ∀ (x y : A),\n    MulActionHom.toFun\n        { toMulActionHom := { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ }, map_zero' := map_zero'✝¹,\n            map_add' := map_add'✝¹ }.toMulActionHom\n        (x * y) =\n      MulActionHom.toFun\n          { toMulActionHom := { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ }, map_zero' := map_zero'✝¹,\n              map_add' := map_add'✝¹ }.toMulActionHom\n          x *\n        MulActionHom.toFun\n          { toMulActionHom := { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ }, map_zero' := map_zero'✝¹,\n              map_add' := map_add'✝¹ }.toMulActionHom\n          y\ng : A → B\nmap_smul'✝ : ∀ (m : R) (x : A), g (m • x) = m • g x\nmap_zero'✝ : MulActionHom.toFun { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ } 0 = 0\nmap_add'✝ :\n  ∀ (x y : A),\n    MulActionHom.toFun { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ } (x + y) =\n      MulActionHom.toFun { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ } x +\n        MulActionHom.toFun { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ } y\nmap_mul'✝ :\n  ∀ (x y : A),\n    MulActionHom.toFun\n        { toMulActionHom := { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ }, map_zero' := map_zero'✝,\n            map_add' := map_add'✝ }.toMulActionHom\n        (x * y) =\n      MulActionHom.toFun\n          { toMulActionHom := { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ }, map_zero' := map_zero'✝,\n              map_add' := map_add'✝ }.toMulActionHom\n          x *\n        MulActionHom.toFun\n          { toMulActionHom := { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ }, map_zero' := map_zero'✝,\n              map_add' := map_add'✝ }.toMulActionHom\n          y\nh :\n  (fun f => f.toFun)\n      {\n        toDistribMulActionHom :=\n          { toMulActionHom := { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ }, map_zero' := map_zero'✝¹,\n            map_add' := map_add'✝¹ },\n        map_mul' := map_mul'✝¹ } =\n    (fun f => f.toFun)\n      {\n        toDistribMulActionHom :=\n          { toMulActionHom := { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ }, map_zero' := map_zero'✝, map_add' := map_add'✝ },\n        map_mul' := map_mul'✝ }\n⊢ {\n      toDistribMulActionHom :=\n        { toMulActionHom := { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ }, map_zero' := map_zero'✝¹,\n          map_add' := map_add'✝¹ },\n      map_mul' := map_mul'✝¹ } =\n    {\n      toDistribMulActionHom :=\n        { toMulActionHom := { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ }, map_zero' := map_zero'✝, map_add' := map_add'✝ },\n      map_mul' := map_mul'✝ }\n[PROOFSTEP]\ncongr\n[GOAL]\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\n⊢ Function.Injective FunLike.coe\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨⟨⟨f, _⟩, _⟩, _⟩ ⟨⟨⟨g, _⟩, _⟩, _⟩ h\n[GOAL]\ncase mk.mk.mk.mk.mk.mk\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nf : A → B\nmap_smul'✝¹ : ∀ (m : R) (x : A), f (m • x) = m • f x\nmap_zero'✝¹ : MulActionHom.toFun { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ } 0 = 0\nmap_add'✝¹ :\n  ∀ (x y : A),\n    MulActionHom.toFun { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ } (x + y) =\n      MulActionHom.toFun { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ } x +\n        MulActionHom.toFun { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ } y\nmap_mul'✝¹ :\n  ∀ (x y : A),\n    MulActionHom.toFun\n        { toMulActionHom := { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ }, map_zero' := map_zero'✝¹,\n            map_add' := map_add'✝¹ }.toMulActionHom\n        (x * y) =\n      MulActionHom.toFun\n          { toMulActionHom := { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ }, map_zero' := map_zero'✝¹,\n              map_add' := map_add'✝¹ }.toMulActionHom\n          x *\n        MulActionHom.toFun\n          { toMulActionHom := { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ }, map_zero' := map_zero'✝¹,\n              map_add' := map_add'✝¹ }.toMulActionHom\n          y\ng : A → B\nmap_smul'✝ : ∀ (m : R) (x : A), g (m • x) = m • g x\nmap_zero'✝ : MulActionHom.toFun { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ } 0 = 0\nmap_add'✝ :\n  ∀ (x y : A),\n    MulActionHom.toFun { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ } (x + y) =\n      MulActionHom.toFun { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ } x +\n        MulActionHom.toFun { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ } y\nmap_mul'✝ :\n  ∀ (x y : A),\n    MulActionHom.toFun\n        { toMulActionHom := { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ }, map_zero' := map_zero'✝,\n            map_add' := map_add'✝ }.toMulActionHom\n        (x * y) =\n      MulActionHom.toFun\n          { toMulActionHom := { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ }, map_zero' := map_zero'✝,\n              map_add' := map_add'✝ }.toMulActionHom\n          x *\n        MulActionHom.toFun\n          { toMulActionHom := { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ }, map_zero' := map_zero'✝,\n              map_add' := map_add'✝ }.toMulActionHom\n          y\nh :\n  ↑{\n        toDistribMulActionHom :=\n          { toMulActionHom := { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ }, map_zero' := map_zero'✝¹,\n            map_add' := map_add'✝¹ },\n        map_mul' := map_mul'✝¹ } =\n    ↑{\n        toDistribMulActionHom :=\n          { toMulActionHom := { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ }, map_zero' := map_zero'✝, map_add' := map_add'✝ },\n        map_mul' := map_mul'✝ }\n⊢ {\n      toDistribMulActionHom :=\n        { toMulActionHom := { toFun := f, map_smul' := map_smul'✝¹ }, map_zero' := map_zero'✝¹,\n          map_add' := map_add'✝¹ },\n      map_mul' := map_mul'✝¹ } =\n    {\n      toDistribMulActionHom :=\n        { toMulActionHom := { toFun := g, map_smul' := map_smul'✝ }, map_zero' := map_zero'✝, map_add' := map_add'✝ },\n      map_mul' := map_mul'✝ }\n[PROOFSTEP]\ncongr\n[GOAL]\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nf g : A →ₙₐ[R] B\n⊢ f = g → ∀ (x : A), ↑f x = ↑g x\n[PROOFSTEP]\nrintro rfl x\n[GOAL]\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nf : A →ₙₐ[R] B\nx : A\n⊢ ↑f x = ↑f x\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nf : A →ₙₐ[R] B\nh₁ : ∀ (m : R) (x : A), ↑f (m • x) = m • ↑f x\nh₂ : MulActionHom.toFun { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ } 0 = 0\nh₃ :\n  ∀ (x y : A),\n    MulActionHom.toFun { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ } (x + y) =\n      MulActionHom.toFun { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ } x + MulActionHom.toFun { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ } y\nh₄ :\n  ∀ (x y : A),\n    MulActionHom.toFun\n        { toMulActionHom := { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ }, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toMulActionHom (x * y) =\n      MulActionHom.toFun\n          { toMulActionHom := { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ }, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toMulActionHom x *\n        MulActionHom.toFun\n          { toMulActionHom := { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ }, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toMulActionHom y\n⊢ { toDistribMulActionHom := { toMulActionHom := { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ }, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ },\n      map_mul' := h₄ } =\n    f\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nf g : A →ₙₐ[R] B\nh : ↑f = ↑g\n⊢ f = g\n[PROOFSTEP]\next a\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nf g : A →ₙₐ[R] B\nh : ↑f = ↑g\na : A\n⊢ ↑f a = ↑g a\n[PROOFSTEP]\nexact DistribMulActionHom.congr_fun h a\n[GOAL]\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nf g : A →ₙₐ[R] B\nh : ↑f = ↑g\n⊢ f = g\n[PROOFSTEP]\next a\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nf g : A →ₙₐ[R] B\nh : ↑f = ↑g\na : A\n⊢ ↑f a = ↑g a\n[PROOFSTEP]\nexact FunLike.congr_fun h a\n[GOAL]\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nf : A →ₙₐ[R] B\nh₁ : ∀ (m : R) (x : A), ↑f (m • x) = m • ↑f x\nh₂ : MulActionHom.toFun { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ } 0 = 0\nh₃ :\n  ∀ (x y : A),\n    MulActionHom.toFun { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ } (x + y) =\n      MulActionHom.toFun { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ } x + MulActionHom.toFun { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ } y\nh₄ :\n  ∀ (x y : A),\n    MulActionHom.toFun\n        { toMulActionHom := { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ }, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toMulActionHom (x * y) =\n      MulActionHom.toFun\n          { toMulActionHom := { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ }, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toMulActionHom x *\n        MulActionHom.toFun\n          { toMulActionHom := { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ }, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toMulActionHom y\n⊢ ↑{ toDistribMulActionHom := { toMulActionHom := { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ }, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ },\n        map_mul' := h₄ } =\n    { toMulActionHom := { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ }, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nf : A →ₙₐ[R] B\nh₁ : ∀ (m : R) (x : A), ↑f (m • x) = m • ↑f x\nh₂ : MulActionHom.toFun { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ } 0 = 0\nh₃ :\n  ∀ (x y : A),\n    MulActionHom.toFun { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ } (x + y) =\n      MulActionHom.toFun { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ } x + MulActionHom.toFun { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ } y\nh₄ :\n  ∀ (x y : A),\n    MulActionHom.toFun\n        { toMulActionHom := { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ }, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toMulActionHom (x * y) =\n      MulActionHom.toFun\n          { toMulActionHom := { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ }, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toMulActionHom x *\n        MulActionHom.toFun\n          { toMulActionHom := { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ }, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ }.toMulActionHom y\n⊢ ↑{ toDistribMulActionHom := { toMulActionHom := { toFun := ↑f, map_smul' := h₁ }, map_zero' := h₂, map_add' := h₃ },\n        map_mul' := h₄ } =\n    { toFun := ↑f, map_mul' := h₄ }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nsrc✝ : A →+[R] B := 0\n⊢ ∀ (x y : A),\n    MulActionHom.toFun\n        { toMulActionHom := src✝.toMulActionHom, map_zero' := (_ : MulActionHom.toFun src✝.toMulActionHom 0 = 0),\n            map_add' :=\n              (_ :\n                ∀ (x y : A),\n                  MulActionHom.toFun src✝.toMulActionHom (x + y) =\n                    MulActionHom.toFun src✝.toMulActionHom x +\n                      MulActionHom.toFun src✝.toMulActionHom y) }.toMulActionHom\n        (x * y) =\n      MulActionHom.toFun\n          { toMulActionHom := src✝.toMulActionHom, map_zero' := (_ : MulActionHom.toFun src✝.toMulActionHom 0 = 0),\n              map_add' :=\n                (_ :\n                  ∀ (x y : A),\n                    MulActionHom.toFun src✝.toMulActionHom (x + y) =\n                      MulActionHom.toFun src✝.toMulActionHom x +\n                        MulActionHom.toFun src✝.toMulActionHom y) }.toMulActionHom\n          x *\n        MulActionHom.toFun\n          { toMulActionHom := src✝.toMulActionHom, map_zero' := (_ : MulActionHom.toFun src✝.toMulActionHom 0 = 0),\n              map_add' :=\n                (_ :\n                  ∀ (x y : A),\n                    MulActionHom.toFun src✝.toMulActionHom (x + y) =\n                      MulActionHom.toFun src✝.toMulActionHom x +\n                        MulActionHom.toFun src✝.toMulActionHom y) }.toMulActionHom\n          y\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nf : A →ₙₐ[R] B\ng : A →ₙₐ[R] C\nc : R\nx : A\n⊢ Pi.prod (↑f) (↑g) (c • x) = c • Pi.prod (↑f) (↑g) x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Pi.prod, Prod.smul_mk, map_smul, RingHom.id_apply]\n[GOAL]\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nf : A →ₙₐ[R] B\ng : A →ₙₐ[R] C\n⊢ MulActionHom.toFun\n      { toFun := Pi.prod ↑f ↑g, map_smul' := (_ : ∀ (c : R) (x : A), (↑f (c • x), ↑g (c • x)) = (c • ↑f x, c • ↑g x)) }\n      0 =\n    0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Pi.prod, Prod.zero_eq_mk, map_zero]\n[GOAL]\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nf : A →ₙₐ[R] B\ng : A →ₙₐ[R] C\nx y : A\n⊢ MulActionHom.toFun\n      { toFun := Pi.prod ↑f ↑g, map_smul' := (_ : ∀ (c : R) (x : A), (↑f (c • x), ↑g (c • x)) = (c • ↑f x, c • ↑g x)) }\n      (x + y) =\n    MulActionHom.toFun\n        { toFun := Pi.prod ↑f ↑g,\n          map_smul' := (_ : ∀ (c : R) (x : A), (↑f (c • x), ↑g (c • x)) = (c • ↑f x, c • ↑g x)) }\n        x +\n      MulActionHom.toFun\n        { toFun := Pi.prod ↑f ↑g,\n          map_smul' := (_ : ∀ (c : R) (x : A), (↑f (c • x), ↑g (c • x)) = (c • ↑f x, c • ↑g x)) }\n        y\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Pi.prod, Prod.mk_add_mk, map_add]\n[GOAL]\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nf : A →ₙₐ[R] B\ng : A →ₙₐ[R] C\nx y : A\n⊢ MulActionHom.toFun\n      {\n          toMulActionHom :=\n            { toFun := Pi.prod ↑f ↑g,\n              map_smul' := (_ : ∀ (c : R) (x : A), (↑f (c • x), ↑g (c • x)) = (c • ↑f x, c • ↑g x)) },\n          map_zero' := (_ : (↑f 0, ↑g 0) = (0, 0)),\n          map_add' := (_ : ∀ (x y : A), (↑f (x + y), ↑g (x + y)) = (↑f x + ↑f y, ↑g x + ↑g y)) }.toMulActionHom\n      (x * y) =\n    MulActionHom.toFun\n        {\n            toMulActionHom :=\n              { toFun := Pi.prod ↑f ↑g,\n                map_smul' := (_ : ∀ (c : R) (x : A), (↑f (c • x), ↑g (c • x)) = (c • ↑f x, c • ↑g x)) },\n            map_zero' := (_ : (↑f 0, ↑g 0) = (0, 0)),\n            map_add' := (_ : ∀ (x y : A), (↑f (x + y), ↑g (x + y)) = (↑f x + ↑f y, ↑g x + ↑g y)) }.toMulActionHom\n        x *\n      MulActionHom.toFun\n        {\n            toMulActionHom :=\n              { toFun := Pi.prod ↑f ↑g,\n                map_smul' := (_ : ∀ (c : R) (x : A), (↑f (c • x), ↑g (c • x)) = (c • ↑f x, c • ↑g x)) },\n            map_zero' := (_ : (↑f 0, ↑g 0) = (0, 0)),\n            map_add' := (_ : ∀ (x y : A), (↑f (x + y), ↑g (x + y)) = (↑f x + ↑f y, ↑g x + ↑g y)) }.toMulActionHom\n        y\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Pi.prod, Prod.mk_mul_mk, map_mul]\n[GOAL]\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nf : A →ₙₐ[R] B\ng : A →ₙₐ[R] C\n⊢ comp (fst R B C) (prod f g) = f\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : Type u\nA : Type v\nB : Type w\nC : Type w₁\ninst✝⁶ : Monoid R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A\ninst✝⁴ : DistribMulAction R A\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B\ninst✝² : DistribMulAction R B\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C\ninst✝ : DistribMulAction R C\nf : A →ₙₐ[R] B\ng : A →ₙₐ[R] C\n⊢ comp (snd R B C) (prod f g) = g\n[PROOFSTEP]\nrfl\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.Algebra.Hom.NonUnitalAlg", "llama_tokens": 8654, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nX : Scheme\n⊢ T0Space ↑↑X.toPresheafedSpace\n[PROOFSTEP]\nrefine' T0Space.of_open_cover fun x => _\n[GOAL]\nX : Scheme\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ ∃ s, x ∈ s ∧ IsOpen s ∧ T0Space ↑s\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨U, R, ⟨e⟩⟩ := X.local_affine x\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro\nX : Scheme\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : OpenNhds x\nR : CommRingCat\ne :\n  LocallyRingedSpace.restrict X.toLocallyRingedSpace (_ : OpenEmbedding ↑(Opens.inclusion U.obj)) ≅\n    Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)\n⊢ ∃ s, x ∈ s ∧ IsOpen s ∧ T0Space ↑s\n[PROOFSTEP]\nlet e' : U.1 ≃ₜ PrimeSpectrum R :=\n  homeoOfIso ((LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget _).mapIso e)\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro\nX : Scheme\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : OpenNhds x\nR : CommRingCat\ne :\n  LocallyRingedSpace.restrict X.toLocallyRingedSpace (_ : OpenEmbedding ↑(Opens.inclusion U.obj)) ≅\n    Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)\ne' : { x_1 // x_1 ∈ U.obj } ≃ₜ PrimeSpectrum ↑R :=\n  homeoOfIso ((LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forget CommRingCat).mapIso e)\n⊢ ∃ s, x ∈ s ∧ IsOpen s ∧ T0Space ↑s\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨U.1.1, U.2, U.1.2, e'.embedding.t0Space⟩\n[GOAL]\nX : Scheme\n⊢ QuasiSober ↑↑X.toPresheafedSpace\n[PROOFSTEP]\napply (config := { allowSynthFailures := true })\n  quasiSober_of_open_cover (Set.range fun x => Set.range <| (X.affineCover.map x).1.base)\n[GOAL]\ncase hS\nX : Scheme\n⊢ ∀ (s : ↑(Set.range fun x => Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineCover X) x).val.base)), IsOpen ↑s\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨_, i, rfl⟩\n[GOAL]\ncase hS.mk.intro\nX : Scheme\ni : (Scheme.affineCover X).J\n⊢ IsOpen\n    ↑{ val := (fun x => Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineCover X) x).val.base) i,\n        property :=\n          (_ :\n            ∃ y,\n              (fun x => Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineCover X) x).val.base) y =\n                (fun x => Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineCover X) x).val.base) i) }\n[PROOFSTEP]\nexact (X.affineCover.IsOpen i).base_open.open_range\n[GOAL]\ncase hS'\nX : Scheme\n⊢ ∀ (s : ↑(Set.range fun x => Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineCover X) x).val.base)), QuasiSober ↑↑s\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨_, i, rfl⟩\n[GOAL]\ncase hS'.mk.intro\nX : Scheme\ni : (Scheme.affineCover X).J\n⊢ QuasiSober\n    ↑↑{ val := (fun x => Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineCover X) x).val.base) i,\n          property :=\n            (_ :\n              ∃ y,\n                (fun x => Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineCover X) x).val.base) y =\n                  (fun x => Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineCover X) x).val.base) i) }\n[PROOFSTEP]\nexact\n  @OpenEmbedding.quasiSober _ _ _ _ _\n    (Homeomorph.ofEmbedding _ (X.affineCover.IsOpen i).base_open.toEmbedding).symm.openEmbedding\n    PrimeSpectrum.quasiSober\n[GOAL]\ncase hS''\nX : Scheme\n⊢ (⋃₀ Set.range fun x => Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineCover X) x).val.base) = ⊤\n[PROOFSTEP]\nrw [Set.top_eq_univ, Set.sUnion_range, Set.eq_univ_iff_forall]\n[GOAL]\ncase hS''\nX : Scheme\n⊢ ∀ (x : (forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace),\n    x ∈ ⋃ (x : (Scheme.affineCover X).J), Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineCover X) x).val.base\n[PROOFSTEP]\nintro x\n[GOAL]\ncase hS''\nX : Scheme\nx : (forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\n⊢ x ∈ ⋃ (x : (Scheme.affineCover X).J), Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineCover X) x).val.base\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨_, ⟨_, rfl⟩, X.affineCover.Covers x⟩\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(Presheaf.stalk X.presheaf x)\n⊢ IsReduced X\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨fun U => ⟨fun s hs => _⟩⟩\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(Presheaf.stalk X.presheaf x)\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : IsNilpotent s\n⊢ s = 0\n[PROOFSTEP]\napply Presheaf.section_ext X.sheaf U s 0\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(Presheaf.stalk X.presheaf x)\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : IsNilpotent s\n⊢ ∀ (x : { x // x ∈ U }),\n    ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) 0\n[PROOFSTEP]\nintro x\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(Presheaf.stalk X.presheaf x)\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : IsNilpotent s\nx : { x // x ∈ U }\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) 0\n[PROOFSTEP]\nrw [RingHom.map_zero]\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(Presheaf.stalk X.presheaf x)\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : IsNilpotent s\nx : { x // x ∈ U }\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0\n[PROOFSTEP]\nchange X.presheaf.germ x s = 0\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(Presheaf.stalk X.presheaf x)\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : IsNilpotent s\nx : { x // x ∈ U }\n⊢ ↑(Presheaf.germ X.presheaf x) s = 0\n[PROOFSTEP]\nexact (hs.map _).eq_zero\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ _root_.IsReduced ↑(Presheaf.stalk X.presheaf x)\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase eq_zero\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ ∀ (x_1 : ↑(Presheaf.stalk X.presheaf x)), IsNilpotent x_1 → x_1 = 0\n[PROOFSTEP]\nrintro g ⟨n, e⟩\n[GOAL]\ncase eq_zero.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\ng : ↑(Presheaf.stalk X.presheaf x)\nn : ℕ\ne : g ^ n = 0\n⊢ g = 0\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨U, hxU, s, rfl⟩ := X.presheaf.germ_exist x g\n[GOAL]\ncase eq_zero.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\nn : ℕ\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhxU : x ∈ U\ns : (forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op U))\ne : ↑(Presheaf.germ X.presheaf { val := x, property := hxU }) s ^ n = 0\n⊢ ↑(Presheaf.germ X.presheaf { val := x, property := hxU }) s = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← map_pow, ← map_zero (X.presheaf.germ ⟨x, hxU⟩)] at e \n[GOAL]\ncase eq_zero.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\nn : ℕ\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhxU : x ∈ U\ns : (forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op U))\ne :\n  ↑(Presheaf.germ X.presheaf { val := x, property := hxU }) (s ^ n) =\n    ↑(Presheaf.germ X.presheaf { val := x, property := hxU }) 0\n⊢ ↑(Presheaf.germ X.presheaf { val := x, property := hxU }) s = 0\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨V, hxV, iU, iV, e'⟩ := X.presheaf.germ_eq x hxU hxU _ 0 e\n[GOAL]\ncase eq_zero.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\nn : ℕ\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhxU : x ∈ U\ns : (forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op U))\ne :\n  ↑(Presheaf.germ X.presheaf { val := x, property := hxU }) (s ^ n) =\n    ↑(Presheaf.germ X.presheaf { val := x, property := hxU }) 0\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhxV : x ∈ V\niU iV : V ⟶ U\ne' : ↑(X.presheaf.map iU.op) (s ^ n) = ↑(X.presheaf.map iV.op) 0\n⊢ ↑(Presheaf.germ X.presheaf { val := x, property := hxU }) s = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [map_pow, map_zero] at e' \n[GOAL]\ncase eq_zero.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\nn : ℕ\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhxU : x ∈ U\ns : (forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op U))\ne :\n  ↑(Presheaf.germ X.presheaf { val := x, property := hxU }) (s ^ n) =\n    ↑(Presheaf.germ X.presheaf { val := x, property := hxU }) 0\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhxV : x ∈ V\niU iV : V ⟶ U\ne' : ↑(X.presheaf.map iU.op) s ^ n = 0\n⊢ ↑(Presheaf.germ X.presheaf { val := x, property := hxU }) s = 0\n[PROOFSTEP]\nreplace e' := (IsNilpotent.mk _ _ e').eq_zero (R := X.presheaf.obj <| op V)\n[GOAL]\ncase eq_zero.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\nn : ℕ\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhxU : x ∈ U\ns : (forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op U))\ne :\n  ↑(Presheaf.germ X.presheaf { val := x, property := hxU }) (s ^ n) =\n    ↑(Presheaf.germ X.presheaf { val := x, property := hxU }) 0\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhxV : x ∈ V\niU iV : V ⟶ U\ne' : ↑(X.presheaf.map iU.op) s = 0\n⊢ ↑(Presheaf.germ X.presheaf { val := x, property := hxU }) s = 0\n[PROOFSTEP]\nerw [← ConcreteCategory.congr_hom (X.presheaf.germ_res iU ⟨x, hxV⟩) s]\n[GOAL]\ncase eq_zero.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\nn : ℕ\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhxU : x ∈ U\ns : (forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op U))\ne :\n  ↑(Presheaf.germ X.presheaf { val := x, property := hxU }) (s ^ n) =\n    ↑(Presheaf.germ X.presheaf { val := x, property := hxU }) 0\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhxV : x ∈ V\niU iV : V ⟶ U\ne' : ↑(X.presheaf.map iU.op) s = 0\n⊢ ↑(X.presheaf.map iU.op ≫ Presheaf.germ X.presheaf { val := x, property := hxV }) s = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [comp_apply, e', map_zero]\n[GOAL]\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝ : IsReduced Y\n⊢ IsReduced X\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase component_reduced\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝ : IsReduced Y\n⊢ autoParam (∀ (U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.obj (op U))) _auto✝\n[PROOFSTEP]\nintro U\n[GOAL]\ncase component_reduced\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝ : IsReduced Y\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.obj (op U))\n[PROOFSTEP]\nhave : U = (Opens.map f.1.base).obj (H.base_open.isOpenMap.functor.obj U) := by ext1;\n  exact (Set.preimage_image_eq _ H.base_open.inj).symm\n[GOAL]\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝ : IsReduced Y\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ U = (Opens.map f.val.base).obj ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f.val.base)).obj U)\n[PROOFSTEP]\next1\n[GOAL]\ncase h\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝ : IsReduced Y\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ ↑U = ↑((Opens.map f.val.base).obj ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f.val.base)).obj U))\n[PROOFSTEP]\nexact (Set.preimage_image_eq _ H.base_open.inj).symm\n[GOAL]\ncase component_reduced\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝ : IsReduced Y\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nthis : U = (Opens.map f.val.base).obj ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f.val.base)).obj U)\n⊢ _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.obj (op U))\n[PROOFSTEP]\nrw [this]\n[GOAL]\ncase component_reduced\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝ : IsReduced Y\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nthis : U = (Opens.map f.val.base).obj ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f.val.base)).obj U)\n⊢ _root_.IsReduced\n    ↑(X.presheaf.obj (op ((Opens.map f.val.base).obj ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f.val.base)).obj U))))\n[PROOFSTEP]\nexact\n  isReduced_of_injective (inv <| f.1.c.app (op <| H.base_open.isOpenMap.functor.obj U))\n    (asIso <| f.1.c.app (op <| H.base_open.isOpenMap.functor.obj U) :\n        Y.presheaf.obj _ ≅ _).symm.commRingCatIsoToRingEquiv.injective\n[GOAL]\nX : Scheme\nR : CommRingCat\nH : _root_.IsReduced ↑R\n⊢ IsReduced (Scheme.Spec.obj (op R))\n[PROOFSTEP]\napply (config := { allowSynthFailures := true }) isReducedOfStalkIsReduced\n[GOAL]\ncase inst\nX : Scheme\nR : CommRingCat\nH : _root_.IsReduced ↑R\n⊢ ∀ (x : ↑↑(Scheme.Spec.obj (op R)).toPresheafedSpace),\n    _root_.IsReduced ↑(Presheaf.stalk (Scheme.Spec.obj (op R)).presheaf x)\n[PROOFSTEP]\nintro x\n[GOAL]\ncase inst\nX : Scheme\nR : CommRingCat\nH : _root_.IsReduced ↑R\nx : ↑↑(Scheme.Spec.obj (op R)).toPresheafedSpace\n⊢ _root_.IsReduced ↑(Presheaf.stalk (Scheme.Spec.obj (op R)).presheaf x)\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\ncase inst\nX : Scheme\nR : CommRingCat\nH : _root_.IsReduced ↑R\nx : ↑↑(Scheme.Spec.obj (op R)).toPresheafedSpace\n⊢ _root_.IsReduced ↑(Presheaf.stalk (Scheme.Spec.obj (op R)).presheaf x)\n[PROOFSTEP]\nhave : _root_.IsReduced (CommRingCat.of <| Localization.AtPrime (PrimeSpectrum.asIdeal x)) := by dsimp; infer_instance\n[GOAL]\nX : Scheme\nR : CommRingCat\nH : _root_.IsReduced ↑R\nx : ↑↑(Scheme.Spec.obj (op R)).toPresheafedSpace\n⊢ _root_.IsReduced ↑(CommRingCat.of (Localization.AtPrime x.asIdeal))\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\nX : Scheme\nR : CommRingCat\nH : _root_.IsReduced ↑R\nx : ↑↑(Scheme.Spec.obj (op R)).toPresheafedSpace\n⊢ _root_.IsReduced (Localization.AtPrime x.asIdeal)\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\ncase inst\nX : Scheme\nR : CommRingCat\nH : _root_.IsReduced ↑R\nx : ↑↑(Scheme.Spec.obj (op R)).toPresheafedSpace\nthis : _root_.IsReduced ↑(CommRingCat.of (Localization.AtPrime x.asIdeal))\n⊢ _root_.IsReduced ↑(Presheaf.stalk (Scheme.Spec.obj (op R)).presheaf x)\n[PROOFSTEP]\nexact\n  isReduced_of_injective (StructureSheaf.stalkIso R x).hom\n    (StructureSheaf.stalkIso R x).commRingCatIsoToRingEquiv.injective\n[GOAL]\nX : Scheme\nR : CommRingCat\n⊢ IsReduced (Scheme.Spec.obj (op R)) ↔ _root_.IsReduced ↑R\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨_, fun h => inferInstance⟩\n[GOAL]\nX : Scheme\nR : CommRingCat\n⊢ IsReduced (Scheme.Spec.obj (op R)) → _root_.IsReduced ↑R\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\nX : Scheme\nR : CommRingCat\nh : IsReduced (Scheme.Spec.obj (op R))\n⊢ _root_.IsReduced ↑R\n[PROOFSTEP]\nhave : _root_.IsReduced (LocallyRingedSpace.Γ.obj (op <| Spec.toLocallyRingedSpace.obj <| op R)) := by\n  change _root_.IsReduced ((Scheme.Spec.obj <| op R).presheaf.obj <| op ⊤); infer_instance\n[GOAL]\nX : Scheme\nR : CommRingCat\nh : IsReduced (Scheme.Spec.obj (op R))\n⊢ _root_.IsReduced ↑(LocallyRingedSpace.Γ.obj (op (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R))))\n[PROOFSTEP]\nchange _root_.IsReduced ((Scheme.Spec.obj <| op R).presheaf.obj <| op ⊤)\n[GOAL]\nX : Scheme\nR : CommRingCat\nh : IsReduced (Scheme.Spec.obj (op R))\n⊢ _root_.IsReduced ↑((Scheme.Spec.obj (op R)).presheaf.obj (op ⊤))\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\nX : Scheme\nR : CommRingCat\nh : IsReduced (Scheme.Spec.obj (op R))\nthis : _root_.IsReduced ↑(LocallyRingedSpace.Γ.obj (op (Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R))))\n⊢ _root_.IsReduced ↑R\n[PROOFSTEP]\nexact isReduced_of_injective (toSpecΓ R) (asIso <| toSpecΓ R).commRingCatIsoToRingEquiv.injective\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsAffine X\nh : _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))\n⊢ IsReduced (Scheme.Spec.obj (op (Scheme.Γ.obj (op X))))\n[PROOFSTEP]\nrw [affine_isReduced_iff]\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsAffine X\nh : _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))\n⊢ _root_.IsReduced ↑(Scheme.Γ.obj (op X))\n[PROOFSTEP]\nexact h\n[GOAL]\nX : Scheme\nP : (X : Scheme) → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop\nh₁ : ∀ (X : Scheme) (U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace), (∀ (x : { x // x ∈ U }), ∃ V x x, P X V) → P X U\nh₂ :\n  ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f],\n    ∃ U V hU hV, P X { carrier := U, is_open' := (_ : IsOpen U) } → P Y { carrier := V, is_open' := (_ : IsOpen V) }\nh₃ : ∀ (R : CommRingCat), P (Scheme.Spec.obj (op R)) ⊤\n⊢ ∀ (X : Scheme) (U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace), P X U\n[PROOFSTEP]\nintro X U\n[GOAL]\nX✝ : Scheme\nP : (X : Scheme) → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop\nh₁ : ∀ (X : Scheme) (U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace), (∀ (x : { x // x ∈ U }), ∃ V x x, P X V) → P X U\nh₂ :\n  ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f],\n    ∃ U V hU hV, P X { carrier := U, is_open' := (_ : IsOpen U) } → P Y { carrier := V, is_open' := (_ : IsOpen V) }\nh₃ : ∀ (R : CommRingCat), P (Scheme.Spec.obj (op R)) ⊤\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ P X U\n[PROOFSTEP]\napply h₁\n[GOAL]\ncase a\nX✝ : Scheme\nP : (X : Scheme) → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop\nh₁ : ∀ (X : Scheme) (U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace), (∀ (x : { x // x ∈ U }), ∃ V x x, P X V) → P X U\nh₂ :\n  ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f],\n    ∃ U V hU hV, P X { carrier := U, is_open' := (_ : IsOpen U) } → P Y { carrier := V, is_open' := (_ : IsOpen V) }\nh₃ : ∀ (R : CommRingCat), P (Scheme.Spec.obj (op R)) ⊤\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ ∀ (x : { x // x ∈ U }), ∃ V x x, P X V\n[PROOFSTEP]\nintro x\n[GOAL]\ncase a\nX✝ : Scheme\nP : (X : Scheme) → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop\nh₁ : ∀ (X : Scheme) (U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace), (∀ (x : { x // x ∈ U }), ∃ V x x, P X V) → P X U\nh₂ :\n  ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f],\n    ∃ U V hU hV, P X { carrier := U, is_open' := (_ : IsOpen U) } → P Y { carrier := V, is_open' := (_ : IsOpen V) }\nh₃ : ∀ (R : CommRingCat), P (Scheme.Spec.obj (op R)) ⊤\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : { x // x ∈ U }\n⊢ ∃ V x x, P X V\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨_, ⟨j, rfl⟩, hx, i⟩ := X.affineBasisCover_is_basis.exists_subset_of_mem_open (SetLike.mem_coe.2 x.prop) U.isOpen\n[GOAL]\ncase a.intro.intro.intro.intro\nX✝ : Scheme\nP : (X : Scheme) → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop\nh₁ : ∀ (X : Scheme) (U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace), (∀ (x : { x // x ∈ U }), ∃ V x x, P X V) → P X U\nh₂ :\n  ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f],\n    ∃ U V hU hV, P X { carrier := U, is_open' := (_ : IsOpen U) } → P Y { carrier := V, is_open' := (_ : IsOpen V) }\nh₃ : ∀ (R : CommRingCat), P (Scheme.Spec.obj (op R)) ⊤\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : { x // x ∈ U }\nj : (Scheme.affineBasisCover X).J\nhx : ↑x ∈ Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base\ni : Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base ⊆ ↑U\n⊢ ∃ V x x, P X V\n[PROOFSTEP]\nlet U' : Opens _ := ⟨_, (X.affineBasisCover.IsOpen j).base_open.open_range⟩\n[GOAL]\ncase a.intro.intro.intro.intro\nX✝ : Scheme\nP : (X : Scheme) → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop\nh₁ : ∀ (X : Scheme) (U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace), (∀ (x : { x // x ∈ U }), ∃ V x x, P X V) → P X U\nh₂ :\n  ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f],\n    ∃ U V hU hV, P X { carrier := U, is_open' := (_ : IsOpen U) } → P Y { carrier := V, is_open' := (_ : IsOpen V) }\nh₃ : ∀ (R : CommRingCat), P (Scheme.Spec.obj (op R)) ⊤\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : { x // x ∈ U }\nj : (Scheme.affineBasisCover X).J\nhx : ↑x ∈ Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base\ni : Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base ⊆ ↑U\nU' : Opens ((forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace) :=\n  { carrier := Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base,\n    is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base)) }\n⊢ ∃ V x x, P X V\n[PROOFSTEP]\nlet i' : U' ⟶ U := homOfLE i\n[GOAL]\ncase a.intro.intro.intro.intro\nX✝ : Scheme\nP : (X : Scheme) → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop\nh₁ : ∀ (X : Scheme) (U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace), (∀ (x : { x // x ∈ U }), ∃ V x x, P X V) → P X U\nh₂ :\n  ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f],\n    ∃ U V hU hV, P X { carrier := U, is_open' := (_ : IsOpen U) } → P Y { carrier := V, is_open' := (_ : IsOpen V) }\nh₃ : ∀ (R : CommRingCat), P (Scheme.Spec.obj (op R)) ⊤\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : { x // x ∈ U }\nj : (Scheme.affineBasisCover X).J\nhx : ↑x ∈ Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base\ni : Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base ⊆ ↑U\nU' : Opens ((forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace) :=\n  { carrier := Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base,\n    is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base)) }\ni' : U' ⟶ U := homOfLE i\n⊢ ∃ V x x, P X V\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨U', hx, i', _⟩\n[GOAL]\ncase a.intro.intro.intro.intro\nX✝ : Scheme\nP : (X : Scheme) → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop\nh₁ : ∀ (X : Scheme) (U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace), (∀ (x : { x // x ∈ U }), ∃ V x x, P X V) → P X U\nh₂ :\n  ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f],\n    ∃ U V hU hV, P X { carrier := U, is_open' := (_ : IsOpen U) } → P Y { carrier := V, is_open' := (_ : IsOpen V) }\nh₃ : ∀ (R : CommRingCat), P (Scheme.Spec.obj (op R)) ⊤\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : { x // x ∈ U }\nj : (Scheme.affineBasisCover X).J\nhx : ↑x ∈ Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base\ni : Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base ⊆ ↑U\nU' : Opens ((forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace) :=\n  { carrier := Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base,\n    is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base)) }\ni' : U' ⟶ U := homOfLE i\n⊢ P X U'\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨_, _, rfl, rfl, h₂'⟩ := h₂ (X.affineBasisCover.map j)\n[GOAL]\ncase a.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX✝ : Scheme\nP : (X : Scheme) → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop\nh₁ : ∀ (X : Scheme) (U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace), (∀ (x : { x // x ∈ U }), ∃ V x x, P X V) → P X U\nh₂ :\n  ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f],\n    ∃ U V hU hV, P X { carrier := U, is_open' := (_ : IsOpen U) } → P Y { carrier := V, is_open' := (_ : IsOpen V) }\nh₃ : ∀ (R : CommRingCat), P (Scheme.Spec.obj (op R)) ⊤\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : { x // x ∈ U }\nj : (Scheme.affineBasisCover X).J\nhx : ↑x ∈ Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base\ni : Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base ⊆ ↑U\nU' : Opens ((forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace) :=\n  { carrier := Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base,\n    is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base)) }\ni' : U' ⟶ U := homOfLE i\nh₂' :\n  P (Scheme.OpenCover.obj (Scheme.affineBasisCover X) j) { carrier := ⊤, is_open' := (_ : IsOpen ⊤) } →\n    P X\n      { carrier := Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base,\n        is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base)) }\n⊢ P X U'\n[PROOFSTEP]\napply h₂'\n[GOAL]\ncase a.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX✝ : Scheme\nP : (X : Scheme) → Opens ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop\nh₁ : ∀ (X : Scheme) (U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace), (∀ (x : { x // x ∈ U }), ∃ V x x, P X V) → P X U\nh₂ :\n  ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f],\n    ∃ U V hU hV, P X { carrier := U, is_open' := (_ : IsOpen U) } → P Y { carrier := V, is_open' := (_ : IsOpen V) }\nh₃ : ∀ (R : CommRingCat), P (Scheme.Spec.obj (op R)) ⊤\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : { x // x ∈ U }\nj : (Scheme.affineBasisCover X).J\nhx : ↑x ∈ Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base\ni : Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base ⊆ ↑U\nU' : Opens ((forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace) :=\n  { carrier := Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base,\n    is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base)) }\ni' : U' ⟶ U := homOfLE i\nh₂' :\n  P (Scheme.OpenCover.obj (Scheme.affineBasisCover X) j) { carrier := ⊤, is_open' := (_ : IsOpen ⊤) } →\n    P X\n      { carrier := Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base,\n        is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineBasisCover X) j).val.base)) }\n⊢ P (Scheme.OpenCover.obj (Scheme.affineBasisCover X) j) { carrier := ⊤, is_open' := (_ : IsOpen ⊤) }\n[PROOFSTEP]\napply h₃\n[GOAL]\nX : Scheme\nP : (X : Scheme) → ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop\nh₁ : ∀ (R : CommRingCat) (x : PrimeSpectrum ↑R), P (Scheme.Spec.obj (op R)) x\nh₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsOpenImmersion f] (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P X x → P Y (↑f.val.base x)\n⊢ ∀ (X : Scheme) (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P X x\n[PROOFSTEP]\nintro X x\n[GOAL]\nX✝ : Scheme\nP : (X : Scheme) → ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop\nh₁ : ∀ (R : CommRingCat) (x : PrimeSpectrum ↑R), P (Scheme.Spec.obj (op R)) x\nh₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsOpenImmersion f] (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P X x → P Y (↑f.val.base x)\nX : Scheme\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ P X x\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨y, e⟩ := X.affineCover.Covers x\n[GOAL]\ncase intro\nX✝ : Scheme\nP : (X : Scheme) → ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop\nh₁ : ∀ (R : CommRingCat) (x : PrimeSpectrum ↑R), P (Scheme.Spec.obj (op R)) x\nh₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsOpenImmersion f] (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P X x → P Y (↑f.val.base x)\nX : Scheme\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\ny :\n  (forget TopCat).obj\n    ↑(Scheme.OpenCover.obj (Scheme.affineCover X) (Scheme.OpenCover.f (Scheme.affineCover X) x)).toPresheafedSpace\ne : ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineCover X) (Scheme.OpenCover.f (Scheme.affineCover X) x)).val.base y = x\n⊢ P X x\n[PROOFSTEP]\nconvert h₂ (X.affineCover.map (X.affineCover.f x)) y _\n[GOAL]\ncase h.e'_2\nX✝ : Scheme\nP : (X : Scheme) → ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop\nh₁ : ∀ (R : CommRingCat) (x : PrimeSpectrum ↑R), P (Scheme.Spec.obj (op R)) x\nh₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsOpenImmersion f] (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P X x → P Y (↑f.val.base x)\nX : Scheme\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\ny :\n  (forget TopCat).obj\n    ↑(Scheme.OpenCover.obj (Scheme.affineCover X) (Scheme.OpenCover.f (Scheme.affineCover X) x)).toPresheafedSpace\ne : ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineCover X) (Scheme.OpenCover.f (Scheme.affineCover X) x)).val.base y = x\n⊢ x = ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineCover X) (Scheme.OpenCover.f (Scheme.affineCover X) x)).val.base y\n[PROOFSTEP]\nrw [e]\n[GOAL]\ncase intro\nX✝ : Scheme\nP : (X : Scheme) → ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop\nh₁ : ∀ (R : CommRingCat) (x : PrimeSpectrum ↑R), P (Scheme.Spec.obj (op R)) x\nh₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsOpenImmersion f] (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P X x → P Y (↑f.val.base x)\nX : Scheme\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\ny :\n  (forget TopCat).obj\n    ↑(Scheme.OpenCover.obj (Scheme.affineCover X) (Scheme.OpenCover.f (Scheme.affineCover X) x)).toPresheafedSpace\ne : ↑(Scheme.OpenCover.map (Scheme.affineCover X) (Scheme.OpenCover.f (Scheme.affineCover X) x)).val.base y = x\n⊢ P (Scheme.OpenCover.obj (Scheme.affineCover X) (Scheme.OpenCover.f (Scheme.affineCover X) x)) y\n[PROOFSTEP]\napply h₁\n[GOAL]\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X s = ⊥\n⊢ s = 0\n[PROOFSTEP]\napply TopCat.Presheaf.section_ext X.sheaf U\n[GOAL]\ncase h\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X s = ⊥\n⊢ ∀ (x : { x // x ∈ U }),\n    ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) 0\n[PROOFSTEP]\nconv => intro x; rw [RingHom.map_zero]\n[GOAL]\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X s = ⊥\n| ∀ (x : { x // x ∈ U }),\n    ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) 0\n[PROOFSTEP]\nintro x; rw [RingHom.map_zero]\n[GOAL]\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X s = ⊥\n| ∀ (x : { x // x ∈ U }),\n    ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) 0\n[PROOFSTEP]\nintro x; rw [RingHom.map_zero]\n[GOAL]\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X s = ⊥\n| ∀ (x : { x // x ∈ U }),\n    ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) 0\n[PROOFSTEP]\nintro x\n[GOAL]\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X s = ⊥\nx : { x // x ∈ U }\n| ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) 0\n[PROOFSTEP]\nrw [RingHom.map_zero]\n[GOAL]\ncase h\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X s = ⊥\n⊢ ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0\n[PROOFSTEP]\nrefine'\n  (@reduce_to_affine_global\n      (fun X U => ∀ [IsReduced X] (s : X.presheaf.obj (op U)), X.basicOpen s = ⊥ → ∀ x, (X.sheaf.presheaf.germ x) s = 0)\n      _ _ _)\n    X U s hs\n[GOAL]\ncase h.refine'_1\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X s = ⊥\n⊢ ∀ (X : Scheme) (U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace),\n    (∀ (x : { x // x ∈ U }),\n        ∃ V x x,\n          (fun X U =>\n              ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n                Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n                  ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n            X V) →\n      (fun X U =>\n          ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n            Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n              ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n        X U\n[PROOFSTEP]\nintro X U hx hX s hs x\n[GOAL]\ncase h.refine'_1\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU✝ : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U✝))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhx :\n  ∀ (x : { x // x ∈ U }),\n    ∃ V x x,\n      (fun X U =>\n          ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n            Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n              ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n        X V\nhX : IsReduced X\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X s = ⊥\nx : { x // x ∈ U }\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨V, hx, i, H⟩ := hx x\n[GOAL]\ncase h.refine'_1.intro.intro.intro\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU✝ : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U✝))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhx✝ :\n  ∀ (x : { x // x ∈ U }),\n    ∃ V x x,\n      (fun X U =>\n          ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n            Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n              ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n        X V\nhX : IsReduced X\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X s = ⊥\nx : { x // x ∈ U }\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhx : ↑x ∈ V\ni : V ⟶ U\nH :\n  ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op V))),\n    Scheme.basicOpen X s = ⊥ → ∀ (x : { x // x ∈ V }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0\n[PROOFSTEP]\nspecialize H (X.presheaf.map i.op s)\n[GOAL]\ncase h.refine'_1.intro.intro.intro\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU✝ : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U✝))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhx✝ :\n  ∀ (x : { x // x ∈ U }),\n    ∃ V x x,\n      (fun X U =>\n          ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n            Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n              ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n        X V\nhX : IsReduced X\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X s = ⊥\nx : { x // x ∈ U }\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhx : ↑x ∈ V\ni : V ⟶ U\nH :\n  Scheme.basicOpen X (↑(X.presheaf.map i.op) s) = ⊥ →\n    ∀ (x : { x // x ∈ V }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) (↑(X.presheaf.map i.op) s) = 0\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0\n[PROOFSTEP]\nerw [Scheme.basicOpen_res] at H \n[GOAL]\ncase h.refine'_1.intro.intro.intro\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU✝ : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U✝))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhx✝ :\n  ∀ (x : { x // x ∈ U }),\n    ∃ V x x,\n      (fun X U =>\n          ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n            Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n              ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n        X V\nhX : IsReduced X\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X s = ⊥\nx : { x // x ∈ U }\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhx : ↑x ∈ V\ni : V ⟶ U\nH :\n  V ⊓ Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n    ∀ (x : { x // x ∈ V }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) (↑(X.presheaf.map i.op) s) = 0\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [hs] at H \n[GOAL]\ncase h.refine'_1.intro.intro.intro\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU✝ : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U✝))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhx✝ :\n  ∀ (x : { x // x ∈ U }),\n    ∃ V x x,\n      (fun X U =>\n          ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n            Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n              ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n        X V\nhX : IsReduced X\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X s = ⊥\nx : { x // x ∈ U }\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhx : ↑x ∈ V\ni : V ⟶ U\nH :\n  V ⊓ ⊥ = ⊥ →\n    ∀ (x : { x // x ∈ V }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) (↑(X.presheaf.map i.op) s) = 0\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0\n[PROOFSTEP]\nspecialize H inf_bot_eq ⟨x, hx⟩\n[GOAL]\ncase h.refine'_1.intro.intro.intro\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU✝ : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U✝))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhx✝ :\n  ∀ (x : { x // x ∈ U }),\n    ∃ V x x,\n      (fun X U =>\n          ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n            Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n              ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n        X V\nhX : IsReduced X\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X s = ⊥\nx : { x // x ∈ U }\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhx : ↑x ∈ V\ni : V ⟶ U\nH : ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) { val := ↑x, property := hx }) (↑(X.presheaf.map i.op) s) = 0\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0\n[PROOFSTEP]\nerw [TopCat.Presheaf.germ_res_apply] at H \n[GOAL]\ncase h.refine'_1.intro.intro.intro\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU✝ : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U✝))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX : Scheme\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhx✝ :\n  ∀ (x : { x // x ∈ U }),\n    ∃ V x x,\n      (fun X U =>\n          ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n            Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n              ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n        X V\nhX : IsReduced X\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X s = ⊥\nx : { x // x ∈ U }\nV : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhx : ↑x ∈ V\ni : V ⟶ U\nH :\n  ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X))\n          ((fun x => { val := ↑x, property := (_ : ↑x ∈ ↑U) }) { val := ↑x, property := hx }))\n      s =\n    0\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0\n[PROOFSTEP]\nexact H\n[GOAL]\ncase h.refine'_2\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X s = ⊥\n⊢ ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f],\n    ∃ U V hU hV,\n      (fun X U =>\n            ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n              Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n                ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n          X { carrier := U, is_open' := (_ : IsOpen U) } →\n        (fun X U =>\n            ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n              Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n                ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n          Y { carrier := V, is_open' := (_ : IsOpen V) }\n[PROOFSTEP]\nrintro X Y f hf\n[GOAL]\ncase h.refine'_2\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX : IsReduced X✝\nU : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns : ↑(X✝.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X✝ s = ⊥\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nhf : IsOpenImmersion f\n⊢ ∃ U V hU hV,\n    (fun X U =>\n          ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n            Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n              ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n        X { carrier := U, is_open' := (_ : IsOpen U) } →\n      (fun X U =>\n          ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n            Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n              ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n        Y { carrier := V, is_open' := (_ : IsOpen V) }\n[PROOFSTEP]\nhave e : f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base = Set.univ := by\n  rw [← Set.image_univ, Set.preimage_image_eq _ hf.base_open.inj]\n[GOAL]\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX : IsReduced X✝\nU : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns : ↑(X✝.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X✝ s = ⊥\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nhf : IsOpenImmersion f\n⊢ ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base = Set.univ\n[PROOFSTEP]\nrw [← Set.image_univ, Set.preimage_image_eq _ hf.base_open.inj]\n[GOAL]\ncase h.refine'_2\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX : IsReduced X✝\nU : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns : ↑(X✝.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X✝ s = ⊥\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nhf : IsOpenImmersion f\ne : ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base = Set.univ\n⊢ ∃ U V hU hV,\n    (fun X U =>\n          ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n            Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n              ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n        X { carrier := U, is_open' := (_ : IsOpen U) } →\n      (fun X U =>\n          ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n            Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n              ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n        Y { carrier := V, is_open' := (_ : IsOpen V) }\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨_, _, e, rfl, _⟩\n[GOAL]\ncase h.refine'_2\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX : IsReduced X✝\nU : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns : ↑(X✝.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X✝ s = ⊥\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nhf : IsOpenImmersion f\ne : ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base = Set.univ\n⊢ (fun X U =>\n        ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n          Scheme.basicOpen X s = ⊥ → ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n      X\n      { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n        is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) } →\n    (fun X U =>\n        ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n          Scheme.basicOpen X s = ⊥ → ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n      Y { carrier := Set.range ↑f.val.base, is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑f.val.base)) }\n[PROOFSTEP]\nrintro H hX s hs ⟨_, x, rfl⟩\n[GOAL]\ncase h.refine'_2.mk.intro\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nhf : IsOpenImmersion f\ne : ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base = Set.univ\nH :\n  ∀ [inst : IsReduced X]\n    (s :\n      ↑(X.presheaf.obj\n          (op\n            { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n              is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) }))),\n    Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n      ∀\n        (x :\n          { x //\n            x ∈\n              { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n                is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) } }),\n        ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0\nhX : IsReduced Y\ns : ↑(Y.presheaf.obj (op { carrier := Set.range ↑f.val.base, is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑f.val.base)) }))\nhs : Scheme.basicOpen Y s = ⊥\nx : (forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf Y))\n          { val := ↑f.val.base x, property := (_ : ∃ y, ↑f.val.base y = ↑f.val.base x) })\n      s =\n    0\n[PROOFSTEP]\nhaveI := isReducedOfOpenImmersion f\n[GOAL]\ncase h.refine'_2.mk.intro\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nhf : IsOpenImmersion f\ne : ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base = Set.univ\nH :\n  ∀ [inst : IsReduced X]\n    (s :\n      ↑(X.presheaf.obj\n          (op\n            { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n              is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) }))),\n    Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n      ∀\n        (x :\n          { x //\n            x ∈\n              { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n                is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) } }),\n        ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0\nhX : IsReduced Y\ns : ↑(Y.presheaf.obj (op { carrier := Set.range ↑f.val.base, is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑f.val.base)) }))\nhs : Scheme.basicOpen Y s = ⊥\nx : (forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nthis : IsReduced X\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf Y))\n          { val := ↑f.val.base x, property := (_ : ∃ y, ↑f.val.base y = ↑f.val.base x) })\n      s =\n    0\n[PROOFSTEP]\nspecialize H (f.1.c.app _ s) _ ⟨x, by rw [Opens.mem_mk, e]; trivial⟩\n[GOAL]\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nhf : IsOpenImmersion f\ne : ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base = Set.univ\nH :\n  ∀ [inst : IsReduced X]\n    (s :\n      ↑(X.presheaf.obj\n          (op\n            { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n              is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) }))),\n    Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n      ∀\n        (x :\n          { x //\n            x ∈\n              { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n                is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) } }),\n        ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0\nhX : IsReduced Y\ns : ↑(Y.presheaf.obj (op { carrier := Set.range ↑f.val.base, is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑f.val.base)) }))\nhs : Scheme.basicOpen Y s = ⊥\nx : (forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nthis : IsReduced X\n⊢ x ∈\n    { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n      is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) }\n[PROOFSTEP]\nrw [Opens.mem_mk, e]\n[GOAL]\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nhf : IsOpenImmersion f\ne : ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base = Set.univ\nH :\n  ∀ [inst : IsReduced X]\n    (s :\n      ↑(X.presheaf.obj\n          (op\n            { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n              is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) }))),\n    Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n      ∀\n        (x :\n          { x //\n            x ∈\n              { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n                is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) } }),\n        ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0\nhX : IsReduced Y\ns : ↑(Y.presheaf.obj (op { carrier := Set.range ↑f.val.base, is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑f.val.base)) }))\nhs : Scheme.basicOpen Y s = ⊥\nx : (forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nthis : IsReduced X\n⊢ x ∈ Set.univ\n[PROOFSTEP]\ntrivial\n[GOAL]\ncase h.refine'_2.mk.intro\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nhf : IsOpenImmersion f\ne : ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base = Set.univ\nH :\n  ∀ [inst : IsReduced X]\n    (s :\n      ↑(X.presheaf.obj\n          (op\n            { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n              is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) }))),\n    Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n      ∀\n        (x :\n          { x //\n            x ∈\n              { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n                is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) } }),\n        ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0\nhX : IsReduced Y\ns : ↑(Y.presheaf.obj (op { carrier := Set.range ↑f.val.base, is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑f.val.base)) }))\nhs : Scheme.basicOpen Y s = ⊥\nx : (forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nthis : IsReduced X\n⊢ Scheme.basicOpen X\n      (↑(NatTrans.app f.val.c\n            (op { carrier := Set.range ↑f.val.base, is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑f.val.base)) }))\n        s) =\n    ⊥\n[PROOFSTEP]\nrw [← Scheme.preimage_basicOpen, hs]\n[GOAL]\ncase h.refine'_2.mk.intro\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nhf : IsOpenImmersion f\ne : ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base = Set.univ\nH :\n  ∀ [inst : IsReduced X]\n    (s :\n      ↑(X.presheaf.obj\n          (op\n            { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n              is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) }))),\n    Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n      ∀\n        (x :\n          { x //\n            x ∈\n              { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n                is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) } }),\n        ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0\nhX : IsReduced Y\ns : ↑(Y.presheaf.obj (op { carrier := Set.range ↑f.val.base, is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑f.val.base)) }))\nhs : Scheme.basicOpen Y s = ⊥\nx : (forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nthis : IsReduced X\n⊢ (Opens.map f.val.base).obj ⊥ = ⊥\n[PROOFSTEP]\next1\n[GOAL]\ncase h.refine'_2.mk.intro.h\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nhf : IsOpenImmersion f\ne : ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base = Set.univ\nH :\n  ∀ [inst : IsReduced X]\n    (s :\n      ↑(X.presheaf.obj\n          (op\n            { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n              is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) }))),\n    Scheme.basicOpen X s = ⊥ →\n      ∀\n        (x :\n          { x //\n            x ∈\n              { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n                is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) } }),\n        ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0\nhX : IsReduced Y\ns : ↑(Y.presheaf.obj (op { carrier := Set.range ↑f.val.base, is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑f.val.base)) }))\nhs : Scheme.basicOpen Y s = ⊥\nx : (forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nthis : IsReduced X\n⊢ ↑((Opens.map f.val.base).obj ⊥) = ↑⊥\n[PROOFSTEP]\nsimp [Opens.map]\n[GOAL]\ncase h.refine'_2.mk.intro\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nhf : IsOpenImmersion f\ne : ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base = Set.univ\nhX : IsReduced Y\ns : ↑(Y.presheaf.obj (op { carrier := Set.range ↑f.val.base, is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑f.val.base)) }))\nhs : Scheme.basicOpen Y s = ⊥\nx : (forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nthis : IsReduced X\nH :\n  ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X))\n          { val := x,\n            property :=\n              (_ :\n                x ∈\n                  { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n                    is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) }) })\n      (↑(NatTrans.app f.val.c\n            (op { carrier := Set.range ↑f.val.base, is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑f.val.base)) }))\n        s) =\n    0\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf Y))\n          { val := ↑f.val.base x, property := (_ : ∃ y, ↑f.val.base y = ↑f.val.base x) })\n      s =\n    0\n[PROOFSTEP]\nerw [← PresheafedSpace.stalkMap_germ_apply f.1 ⟨_, _⟩ ⟨x, _⟩] at H \n[GOAL]\ncase h.refine'_2.mk.intro\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nhf : IsOpenImmersion f\ne : ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base = Set.univ\nhX : IsReduced Y\ns : ↑(Y.presheaf.obj (op { carrier := Set.range ↑f.val.base, is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑f.val.base)) }))\nhs : Scheme.basicOpen Y s = ⊥\nx : (forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nthis : IsReduced X\nH :\n  ↑(PresheafedSpace.stalkMap f.val\n          ↑{ val := x,\n              property :=\n                (_ :\n                  x ∈\n                    { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n                      is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) }) })\n      (↑(Presheaf.germ Y.presheaf\n            {\n              val :=\n                ↑f.val.base\n                  ↑{ val := x,\n                      property :=\n                        (_ :\n                          x ∈\n                            { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n                              is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) }) },\n              property :=\n                (_ :\n                  ↑{ val := x,\n                        property :=\n                          (_ :\n                            x ∈\n                              { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n                                is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) }) } ∈\n                    (Opens.map f.val.base).obj\n                      { carrier := fun x => ∃ y, ↑f.val.base y = x,\n                        is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑f.val.base)) }) })\n        s) =\n    0\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf Y))\n          { val := ↑f.val.base x, property := (_ : ∃ y, ↑f.val.base y = ↑f.val.base x) })\n      s =\n    0\n[PROOFSTEP]\napply_fun inv <| PresheafedSpace.stalkMap f.val x at H \n[GOAL]\ncase h.refine'_2.mk.intro\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nhf : IsOpenImmersion f\ne : ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base = Set.univ\nhX : IsReduced Y\ns : ↑(Y.presheaf.obj (op { carrier := Set.range ↑f.val.base, is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑f.val.base)) }))\nhs : Scheme.basicOpen Y s = ⊥\nx : (forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nthis : IsReduced X\nH :\n  ↑(inv (PresheafedSpace.stalkMap f.val x))\n      (↑(PresheafedSpace.stalkMap f.val\n            ↑{ val := x,\n                property :=\n                  (_ :\n                    x ∈\n                      { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n                        is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) }) })\n        (↑(Presheaf.germ Y.presheaf\n              {\n                val :=\n                  ↑f.val.base\n                    ↑{ val := x,\n                        property :=\n                          (_ :\n                            x ∈\n                              { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n                                is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) }) },\n                property :=\n                  (_ :\n                    ↑{ val := x,\n                          property :=\n                            (_ :\n                              x ∈\n                                { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n                                  is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) }) } ∈\n                      (Opens.map f.val.base).obj\n                        { carrier := fun x => ∃ y, ↑f.val.base y = x,\n                          is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑f.val.base)) }) })\n          s)) =\n    ↑(inv (PresheafedSpace.stalkMap f.val x)) 0\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf Y))\n          { val := ↑f.val.base x, property := (_ : ∃ y, ↑f.val.base y = ↑f.val.base x) })\n      s =\n    0\n[PROOFSTEP]\nerw [CategoryTheory.IsIso.hom_inv_id_apply, map_zero] at H \n[GOAL]\ncase h.refine'_2.mk.intro\nX✝¹ : Scheme\nX✝ : Scheme\nhX✝ : IsReduced X✝\nU : Opens ↑↑X✝.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X✝.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X✝ s✝ = ⊥\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nhf : IsOpenImmersion f\ne : ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base = Set.univ\nhX : IsReduced Y\ns : ↑(Y.presheaf.obj (op { carrier := Set.range ↑f.val.base, is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑f.val.base)) }))\nhs : Scheme.basicOpen Y s = ⊥\nx : (forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nthis : IsReduced X\nH :\n  ↑(Presheaf.germ Y.presheaf\n          {\n            val :=\n              ↑f.val.base\n                ↑{ val := x,\n                    property :=\n                      (_ :\n                        x ∈\n                          { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n                            is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) }) },\n            property :=\n              (_ :\n                ↑{ val := x,\n                      property :=\n                        (_ :\n                          x ∈\n                            { carrier := ↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base,\n                              is_open' := (_ : IsOpen (↑f.val.base ⁻¹' Set.range ↑f.val.base)) }) } ∈\n                  (Opens.map f.val.base).obj\n                    { carrier := fun x => ∃ y, ↑f.val.base y = x, is_open' := (_ : IsOpen (Set.range ↑f.val.base)) }) })\n      s =\n    0\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf Y))\n          { val := ↑f.val.base x, property := (_ : ∃ y, ↑f.val.base y = ↑f.val.base x) })\n      s =\n    0\n[PROOFSTEP]\nexact H\n[GOAL]\ncase h.refine'_3\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs : Scheme.basicOpen X s = ⊥\n⊢ ∀ (R : CommRingCat),\n    (fun X U =>\n        ∀ [inst : IsReduced X] (s : ↑(X.presheaf.obj (op U))),\n          Scheme.basicOpen X s = ⊥ → ∀ (x : { x // x ∈ U }), ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf X)) x) s = 0)\n      (Scheme.Spec.obj (op R)) ⊤\n[PROOFSTEP]\nintro R hX s hs x\n[GOAL]\ncase h.refine'_3\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX✝ : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X s✝ = ⊥\nR : CommRingCat\nhX : IsReduced (Scheme.Spec.obj (op R))\ns : ↑((Scheme.Spec.obj (op R)).presheaf.obj (op ⊤))\nhs : Scheme.basicOpen (Scheme.Spec.obj (op R)) s = ⊥\nx : { x // x ∈ ⊤ }\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf (Scheme.Spec.obj (op R)))) x) s = 0\n[PROOFSTEP]\nerw [basicOpen_eq_of_affine', PrimeSpectrum.basicOpen_eq_bot_iff] at hs \n[GOAL]\ncase h.refine'_3\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX✝ : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X s✝ = ⊥\nR : CommRingCat\nhX : IsReduced (Scheme.Spec.obj (op R))\ns : ↑((Scheme.Spec.obj (op R)).presheaf.obj (op ⊤))\nhs : IsNilpotent (↑(SpecΓIdentity.app R).hom s)\nx : { x // x ∈ ⊤ }\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf (Scheme.Spec.obj (op R)))) x) s = 0\n[PROOFSTEP]\nreplace hs := hs.map (SpecΓIdentity.app R).inv\n[GOAL]\ncase h.refine'_3\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX✝ : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X s✝ = ⊥\nR : CommRingCat\nhX : IsReduced (Scheme.Spec.obj (op R))\ns : ↑((Scheme.Spec.obj (op R)).presheaf.obj (op ⊤))\nx : { x // x ∈ ⊤ }\nhs : IsNilpotent (↑(SpecΓIdentity.app R).inv (↑(SpecΓIdentity.app R).hom s))\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf (Scheme.Spec.obj (op R)))) x) s = 0\n[PROOFSTEP]\nreplace hs := @IsNilpotent.eq_zero _ _ _ _ (show _ from ?_) hs\n[GOAL]\ncase h.refine'_3.refine_2\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX✝ : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X s✝ = ⊥\nR : CommRingCat\nhX : IsReduced (Scheme.Spec.obj (op R))\ns : ↑((Scheme.Spec.obj (op R)).presheaf.obj (op ⊤))\nx : { x // x ∈ ⊤ }\nhs : ↑(SpecΓIdentity.app R).inv (↑(SpecΓIdentity.app R).hom s) = 0\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf (Scheme.Spec.obj (op R)))) x) s = 0\ncase h.refine'_3.refine_1\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX✝ : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X s✝ = ⊥\nR : CommRingCat\nhX : IsReduced (Scheme.Spec.obj (op R))\ns : ↑((Scheme.Spec.obj (op R)).presheaf.obj (op ⊤))\nx : { x // x ∈ ⊤ }\nhs : IsNilpotent (↑(SpecΓIdentity.app R).inv (↑(SpecΓIdentity.app R).hom s))\n⊢ _root_.IsReduced\n    ((fun x => ↑((Spec.toLocallyRingedSpace.rightOp ⋙ LocallyRingedSpace.Γ).obj R)) (↑(SpecΓIdentity.app R).hom s))\n[PROOFSTEP]\nrw [Iso.hom_inv_id_apply] at hs \n[GOAL]\ncase h.refine'_3.refine_2\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX✝ : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X s✝ = ⊥\nR : CommRingCat\nhX : IsReduced (Scheme.Spec.obj (op R))\ns : ↑((Scheme.Spec.obj (op R)).presheaf.obj (op ⊤))\nx : { x // x ∈ ⊤ }\nhs : s = 0\n⊢ ↑(Presheaf.germ (Sheaf.presheaf (Scheme.sheaf (Scheme.Spec.obj (op R)))) x) s = 0\ncase h.refine'_3.refine_1\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX✝ : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X s✝ = ⊥\nR : CommRingCat\nhX : IsReduced (Scheme.Spec.obj (op R))\ns : ↑((Scheme.Spec.obj (op R)).presheaf.obj (op ⊤))\nx : { x // x ∈ ⊤ }\nhs : IsNilpotent (↑(SpecΓIdentity.app R).inv (↑(SpecΓIdentity.app R).hom s))\n⊢ _root_.IsReduced\n    ((fun x => ↑((Spec.toLocallyRingedSpace.rightOp ⋙ LocallyRingedSpace.Γ).obj R)) (↑(SpecΓIdentity.app R).hom s))\n[PROOFSTEP]\nrw [hs, map_zero]\n[GOAL]\ncase h.refine'_3.refine_1\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\nhX✝ : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns✝ : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nhs✝ : Scheme.basicOpen X s✝ = ⊥\nR : CommRingCat\nhX : IsReduced (Scheme.Spec.obj (op R))\ns : ↑((Scheme.Spec.obj (op R)).presheaf.obj (op ⊤))\nx : { x // x ∈ ⊤ }\nhs : IsNilpotent (↑(SpecΓIdentity.app R).inv (↑(SpecΓIdentity.app R).hom s))\n⊢ _root_.IsReduced\n    ((fun x => ↑((Spec.toLocallyRingedSpace.rightOp ⋙ LocallyRingedSpace.Γ).obj R)) (↑(SpecΓIdentity.app R).hom s))\n[PROOFSTEP]\nexact @IsReduced.component_reduced _ hX ⊤\n[GOAL]\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\n⊢ Scheme.basicOpen X s = ⊥ ↔ s = 0\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨eq_zero_of_basicOpen_eq_bot s, _⟩\n[GOAL]\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ns : ↑(X.presheaf.obj (op U))\n⊢ s = 0 → Scheme.basicOpen X s = ⊥\n[PROOFSTEP]\nrintro rfl\n[GOAL]\nX✝ : Scheme\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ Scheme.basicOpen X 0 = ⊥\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nX : Scheme\nh : IsIntegral X\n⊢ Nonempty { x // x ∈ ⊤ }\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Set.univ_nonempty, Opens.nonempty_coeSort, Opens.coe_top]\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\n⊢ IsReduced X\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase component_reduced\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\n⊢ autoParam (∀ (U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.obj (op U))) _auto✝\n[PROOFSTEP]\nintro U\n[GOAL]\ncase component_reduced\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.obj (op U))\n[PROOFSTEP]\ncases' U.1.eq_empty_or_nonempty with h h\n[GOAL]\ncase component_reduced.inl\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nh : U.carrier = ∅\n⊢ _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.obj (op U))\n[PROOFSTEP]\nhave : U = ⊥ := SetLike.ext' h\n[GOAL]\ncase component_reduced.inl\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nh : U.carrier = ∅\nthis : U = ⊥\n⊢ _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.obj (op U))\n[PROOFSTEP]\nhaveI := CommRingCat.subsingleton_of_isTerminal (X.sheaf.isTerminalOfEqEmpty this)\n[GOAL]\ncase component_reduced.inl\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nh : U.carrier = ∅\nthis✝ : U = ⊥\nthis : Subsingleton ↑((Scheme.sheaf X).val.obj (op U))\n⊢ _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.obj (op U))\n[PROOFSTEP]\nchange _root_.IsReduced (X.sheaf.val.obj (op U))\n[GOAL]\ncase component_reduced.inl\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nh : U.carrier = ∅\nthis✝ : U = ⊥\nthis : Subsingleton ↑((Scheme.sheaf X).val.obj (op U))\n⊢ _root_.IsReduced ↑((Scheme.sheaf X).val.obj (op U))\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\ncase component_reduced.inr\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nh : Set.Nonempty U.carrier\n⊢ _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.obj (op U))\n[PROOFSTEP]\nhaveI : Nonempty U := by simpa\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nh : Set.Nonempty U.carrier\n⊢ Nonempty { x // x ∈ U }\n[PROOFSTEP]\nsimpa\n[GOAL]\ncase component_reduced.inr\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nh : Set.Nonempty U.carrier\nthis : Nonempty { x // x ∈ U }\n⊢ _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.obj (op U))\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\n⊢ IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\n[PROOFSTEP]\nby_contra H\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nH : ¬IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nreplace H : ¬IsPreirreducible (⊤ : Set X.carrier) := fun h =>\n  H { toPreirreducibleSpace := ⟨h⟩\n      toNonempty := inferInstance }\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nH : ¬IsPreirreducible ⊤\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [isPreirreducible_iff_closed_union_closed, not_forall, not_or] at H \n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nH : ∃ x x_1 h h h, ¬⊤ ⊆ x ∧ ¬⊤ ⊆ x_1\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nrcases H with ⟨S, T, hS, hT, h₁, h₂, h₃⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsClosed S\nhT : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ¬⊤ ⊆ S\nh₃ : ¬⊤ ⊆ T\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nerw [not_forall] at h₂ h₃ \n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsClosed S\nhT : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x, ¬(x ∈ ⊤ → x ∈ S)\nh₃ : ∃ x, ¬(x ∈ ⊤ → x ∈ T)\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [not_forall] at h₂ h₃ \n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsClosed S\nhT : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nhaveI : Nonempty (⟨Sᶜ, hS.1⟩ : Opens X.carrier) := ⟨⟨_, h₂.choose_spec.choose_spec⟩⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsClosed S\nhT : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nhaveI : Nonempty (⟨Tᶜ, hT.1⟩ : Opens X.carrier) := ⟨⟨_, h₃.choose_spec.choose_spec⟩⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsClosed S\nhT : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis✝ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\nthis : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nhaveI : Nonempty (⟨Sᶜ, hS.1⟩ ⊔ ⟨Tᶜ, hT.1⟩ : Opens X.carrier) := ⟨⟨_, Or.inl h₂.choose_spec.choose_spec⟩⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsClosed S\nhT : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis✝¹ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\nthis✝ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nthis :\n  Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nlet e : X.presheaf.obj _ ≅ CommRingCat.of _ :=\n  (X.sheaf.isProductOfDisjoint ⟨_, hS.1⟩ ⟨_, hT.1⟩ ?_).conePointUniqueUpToIso (CommRingCat.prodFanIsLimit _ _)\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsClosed S\nhT : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis✝¹ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\nthis✝ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nthis :\n  Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\ne : X.presheaf.obj\n    (op ({ carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) })) ≅\n  CommRingCat.of\n    ↑(CommRingCat.prodFan ((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) }))\n          ((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) }))).1 :=\n  IsLimit.conePointUniqueUpToIso\n    (Sheaf.isProductOfDisjoint (Scheme.sheaf X) { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) }\n      { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } ?intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1)\n    (CommRingCat.prodFanIsLimit ((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) }))\n      ((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) })))\n⊢ False\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsClosed S\nhT : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis✝¹ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\nthis✝ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nthis :\n  Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\n⊢ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊓ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } = ⊥\n[PROOFSTEP]\napply (config := { allowSynthFailures := true }) false_of_nontrivial_of_product_domain\n[GOAL]\ncase inst\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsClosed S\nhT : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis✝¹ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\nthis✝ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nthis :\n  Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\ne : X.presheaf.obj\n    (op ({ carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) })) ≅\n  CommRingCat.of\n    ↑(CommRingCat.prodFan ((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) }))\n          ((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) }))).1 :=\n  IsLimit.conePointUniqueUpToIso\n    (Sheaf.isProductOfDisjoint (Scheme.sheaf X) { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) }\n      { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } ?intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1)\n    (CommRingCat.prodFanIsLimit ((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) }))\n      ((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) })))\n⊢ IsDomain (?intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.R × ?intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.S)\n[PROOFSTEP]\nexact e.symm.commRingCatIsoToRingEquiv.toMulEquiv.isDomain _\n[GOAL]\ncase inst\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsClosed S\nhT : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis✝¹ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\nthis✝ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nthis :\n  Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\ne : X.presheaf.obj\n    (op ({ carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) })) ≅\n  CommRingCat.of\n    ↑(CommRingCat.prodFan ((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) }))\n          ((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) }))).1 :=\n  IsLimit.conePointUniqueUpToIso\n    (Sheaf.isProductOfDisjoint (Scheme.sheaf X) { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) }\n      { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } ?intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1)\n    (CommRingCat.prodFanIsLimit ((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) }))\n      ((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) })))\n⊢ Nontrivial ↑((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) }))\n[PROOFSTEP]\napply X.toLocallyRingedSpace.component_nontrivial\n[GOAL]\ncase inst\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsClosed S\nhT : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis✝¹ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\nthis✝ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nthis :\n  Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\ne : X.presheaf.obj\n    (op ({ carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) })) ≅\n  CommRingCat.of\n    ↑(CommRingCat.prodFan ((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) }))\n          ((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) }))).1 :=\n  IsLimit.conePointUniqueUpToIso\n    (Sheaf.isProductOfDisjoint (Scheme.sheaf X) { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) }\n      { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } ?intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1)\n    (CommRingCat.prodFanIsLimit ((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) }))\n      ((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) })))\n⊢ Nontrivial ↑((Scheme.sheaf X).val.obj (op { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) }))\n[PROOFSTEP]\napply X.toLocallyRingedSpace.component_nontrivial\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsClosed S\nhT : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis✝¹ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\nthis✝ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nthis :\n  Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\n⊢ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊓ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } = ⊥\n[PROOFSTEP]\next x\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1.h.h\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsClosed S\nhT : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis✝¹ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\nthis✝ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nthis :\n  Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ x ∈ ↑({ carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊓ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) }) ↔ x ∈ ↑⊥\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1.h.h.mp\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsClosed S\nhT : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis✝¹ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\nthis✝ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nthis :\n  Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ x ∈ ↑({ carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊓ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) }) → x ∈ ↑⊥\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨hS, hT⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1.h.h.mp.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS✝ : IsClosed S\nhT✝ : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis✝¹ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\nthis✝ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nthis :\n  Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : x ∈ ↑{ carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) }\nhT : x ∈ ↑{ carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) }\n⊢ x ∈ ↑⊥\n[PROOFSTEP]\ncases' h₁ (show x ∈ ⊤ by trivial) with h h\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS✝ : IsClosed S\nhT✝ : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis✝¹ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\nthis✝ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nthis :\n  Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : x ∈ ↑{ carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) }\nhT : x ∈ ↑{ carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) }\n⊢ x ∈ ⊤\n[PROOFSTEP]\ntrivial\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1.h.h.mp.intro.inl\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS✝ : IsClosed S\nhT✝ : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis✝¹ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\nthis✝ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nthis :\n  Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : x ∈ ↑{ carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) }\nhT : x ∈ ↑{ carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) }\nh : x ∈ S\n⊢ x ∈ ↑⊥\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1.h.h.mp.intro.inr\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS✝ : IsClosed S\nhT✝ : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis✝¹ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\nthis✝ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nthis :\n  Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : x ∈ ↑{ carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) }\nhT : x ∈ ↑{ carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) }\nh : x ∈ T\n⊢ x ∈ ↑⊥\n[PROOFSTEP]\nexacts [hS h, hT h]\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1.h.h.mpr\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsClosed S\nhT : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis✝¹ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\nthis✝ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nthis :\n  Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nx : ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ x ∈ ↑⊥ → x ∈ ↑({ carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊓ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) })\n[PROOFSTEP]\nintro x\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1.h.h.mpr\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsClosed S\nhT : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis✝¹ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\nthis✝ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nthis :\n  Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nx✝ : ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : x✝ ∈ ↑⊥\n⊢ x✝ ∈ ↑({ carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊓ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) })\n[PROOFSTEP]\nrefine' x.rec (by contradiction)\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nS T : Set ↑↑X.toPresheafedSpace\nhS : IsClosed S\nhT : IsClosed T\nh₁ : ⊤ ⊆ S ∪ T\nh₂ : ∃ x x_1, ¬x ∈ S\nh₃ : ∃ x x_1, ¬x ∈ T\nthis✝¹ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } }\nthis✝ : Nonempty { x // x ∈ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nthis :\n  Nonempty { x // x ∈ { carrier := Sᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Sᶜ) } ⊔ { carrier := Tᶜ, is_open' := (_ : IsOpen Tᶜ) } }\nx✝ : ↑↑X.toPresheafedSpace\nx : x✝ ∈ ↑⊥\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\ncontradiction\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ IsIntegral X\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase nonempty\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ autoParam (Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace) _auto✝\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\ncase component_integral\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ autoParam (∀ (U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace) [inst : Nonempty { x // x ∈ U }], IsDomain ↑(X.presheaf.obj (op U)))\n    _auto✝\n[PROOFSTEP]\nintro U hU\n[GOAL]\ncase component_integral\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\n⊢ IsDomain ↑(X.presheaf.obj (op U))\n[PROOFSTEP]\nhaveI := (@LocallyRingedSpace.component_nontrivial X.toLocallyRingedSpace U hU).1\n[GOAL]\ncase component_integral\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis : ∃ x y, x ≠ y\n⊢ IsDomain ↑(X.presheaf.obj (op U))\n[PROOFSTEP]\nhave : NoZeroDivisors (X.toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace.presheaf.obj (op U)) :=\n  by\n  refine' ⟨fun {a b} e => _⟩\n  simp_rw [← basicOpen_eq_bot_iff, ← Opens.not_nonempty_iff_eq_bot]\n  by_contra' h\n  obtain ⟨_, ⟨x, hx₁, rfl⟩, ⟨x, hx₂, e'⟩⟩ := nonempty_preirreducible_inter (X.basicOpen a).2 (X.basicOpen b).2 h.1 h.2\n  replace e' := Subtype.eq e'\n  subst e'\n  replace e := congr_arg (X.presheaf.germ x) e\n  rw [RingHom.map_mul, RingHom.map_zero] at e \n  refine' zero_ne_one' (X.presheaf.stalk x.1) (isUnit_zero_iff.1 _)\n  convert hx₁.mul hx₂\n  exact e.symm\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis : ∃ x y, x ≠ y\n⊢ NoZeroDivisors ↑(X.presheaf.obj (op U))\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨fun {a b} e => _⟩\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis : ∃ x y, x ≠ y\na b : ↑(X.presheaf.obj (op U))\ne : a * b = 0\n⊢ a = 0 ∨ b = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [← basicOpen_eq_bot_iff, ← Opens.not_nonempty_iff_eq_bot]\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis : ∃ x y, x ≠ y\na b : ↑(X.presheaf.obj (op U))\ne : a * b = 0\n⊢ ¬Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X a) ∨ ¬Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X b)\n[PROOFSTEP]\nby_contra' h\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis : ∃ x y, x ≠ y\na b : ↑(X.presheaf.obj (op U))\ne : a * b = 0\nh : Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X a) ∧ Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X b)\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨_, ⟨x, hx₁, rfl⟩, ⟨x, hx₂, e'⟩⟩ := nonempty_preirreducible_inter (X.basicOpen a).2 (X.basicOpen b).2 h.1 h.2\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis : ∃ x y, x ≠ y\na b : ↑(X.presheaf.obj (op U))\ne : a * b = 0\nh : Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X a) ∧ Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X b)\nx✝ : { x // x ∈ U }\nhx₁ :\n  x✝ ∈\n    {x |\n      IsUnit\n        (↑(Presheaf.germ (LocallyRingedSpace.toRingedSpace X.toLocallyRingedSpace).toPresheafedSpace.presheaf x) a)}\nx : { x // x ∈ U }\nhx₂ :\n  x ∈\n    {x |\n      IsUnit\n        (↑(Presheaf.germ (LocallyRingedSpace.toRingedSpace X.toLocallyRingedSpace).toPresheafedSpace.presheaf x) b)}\ne' : ↑x = ↑x✝\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nreplace e' := Subtype.eq e'\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis : ∃ x y, x ≠ y\na b : ↑(X.presheaf.obj (op U))\ne : a * b = 0\nh : Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X a) ∧ Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X b)\nx✝ : { x // x ∈ U }\nhx₁ :\n  x✝ ∈\n    {x |\n      IsUnit\n        (↑(Presheaf.germ (LocallyRingedSpace.toRingedSpace X.toLocallyRingedSpace).toPresheafedSpace.presheaf x) a)}\nx : { x // x ∈ U }\nhx₂ :\n  x ∈\n    {x |\n      IsUnit\n        (↑(Presheaf.germ (LocallyRingedSpace.toRingedSpace X.toLocallyRingedSpace).toPresheafedSpace.presheaf x) b)}\ne' : x = x✝\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nsubst e'\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis : ∃ x y, x ≠ y\na b : ↑(X.presheaf.obj (op U))\ne : a * b = 0\nh : Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X a) ∧ Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X b)\nx : { x // x ∈ U }\nhx₂ :\n  x ∈\n    {x |\n      IsUnit\n        (↑(Presheaf.germ (LocallyRingedSpace.toRingedSpace X.toLocallyRingedSpace).toPresheafedSpace.presheaf x) b)}\nhx₁ :\n  x ∈\n    {x |\n      IsUnit\n        (↑(Presheaf.germ (LocallyRingedSpace.toRingedSpace X.toLocallyRingedSpace).toPresheafedSpace.presheaf x) a)}\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nreplace e := congr_arg (X.presheaf.germ x) e\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis : ∃ x y, x ≠ y\na b : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nh : Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X a) ∧ Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X b)\nx : { x // x ∈ U }\nhx₂ :\n  x ∈\n    {x |\n      IsUnit\n        (↑(Presheaf.germ (LocallyRingedSpace.toRingedSpace X.toLocallyRingedSpace).toPresheafedSpace.presheaf x) b)}\nhx₁ :\n  x ∈\n    {x |\n      IsUnit\n        (↑(Presheaf.germ (LocallyRingedSpace.toRingedSpace X.toLocallyRingedSpace).toPresheafedSpace.presheaf x) a)}\ne : ↑(Presheaf.germ X.presheaf x) (a * b) = ↑(Presheaf.germ X.presheaf x) 0\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nrw [RingHom.map_mul, RingHom.map_zero] at e \n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis : ∃ x y, x ≠ y\na b : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nh : Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X a) ∧ Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X b)\nx : { x // x ∈ U }\nhx₂ :\n  x ∈\n    {x |\n      IsUnit\n        (↑(Presheaf.germ (LocallyRingedSpace.toRingedSpace X.toLocallyRingedSpace).toPresheafedSpace.presheaf x) b)}\nhx₁ :\n  x ∈\n    {x |\n      IsUnit\n        (↑(Presheaf.germ (LocallyRingedSpace.toRingedSpace X.toLocallyRingedSpace).toPresheafedSpace.presheaf x) a)}\ne : ↑(Presheaf.germ X.presheaf x) a * ↑(Presheaf.germ X.presheaf x) b = 0\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nrefine' zero_ne_one' (X.presheaf.stalk x.1) (isUnit_zero_iff.1 _)\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis : ∃ x y, x ≠ y\na b : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nh : Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X a) ∧ Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X b)\nx : { x // x ∈ U }\nhx₂ :\n  x ∈\n    {x |\n      IsUnit\n        (↑(Presheaf.germ (LocallyRingedSpace.toRingedSpace X.toLocallyRingedSpace).toPresheafedSpace.presheaf x) b)}\nhx₁ :\n  x ∈\n    {x |\n      IsUnit\n        (↑(Presheaf.germ (LocallyRingedSpace.toRingedSpace X.toLocallyRingedSpace).toPresheafedSpace.presheaf x) a)}\ne : ↑(Presheaf.germ X.presheaf x) a * ↑(Presheaf.germ X.presheaf x) b = 0\n⊢ IsUnit 0\n[PROOFSTEP]\nconvert hx₁.mul hx₂\n[GOAL]\ncase h.e'_3.h\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis : ∃ x y, x ≠ y\na b : ↑(X.presheaf.obj (op U))\nh : Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X a) ∧ Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X b)\nx : { x // x ∈ U }\nhx₂ :\n  x ∈\n    {x |\n      IsUnit\n        (↑(Presheaf.germ (LocallyRingedSpace.toRingedSpace X.toLocallyRingedSpace).toPresheafedSpace.presheaf x) b)}\nhx₁ :\n  x ∈\n    {x |\n      IsUnit\n        (↑(Presheaf.germ (LocallyRingedSpace.toRingedSpace X.toLocallyRingedSpace).toPresheafedSpace.presheaf x) a)}\ne : ↑(Presheaf.germ X.presheaf x) a * ↑(Presheaf.germ X.presheaf x) b = 0\ne_1✝ :\n  ↑(Presheaf.stalk X.presheaf ↑x) =\n    (fun x_1 =>\n        (forget CommRingCat).obj\n          (Presheaf.stalk (LocallyRingedSpace.toRingedSpace X.toLocallyRingedSpace).toPresheafedSpace.presheaf ↑x))\n      a\n⊢ 0 =\n    ↑(Presheaf.germ (LocallyRingedSpace.toRingedSpace X.toLocallyRingedSpace).toPresheafedSpace.presheaf x) a *\n      ↑(Presheaf.germ (LocallyRingedSpace.toRingedSpace X.toLocallyRingedSpace).toPresheafedSpace.presheaf x) b\n[PROOFSTEP]\nexact e.symm\n[GOAL]\ncase component_integral\nX : Scheme\ninst✝ : IsReduced X\nH : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis✝ : ∃ x y, x ≠ y\nthis : NoZeroDivisors ↑(X.presheaf.obj (op U))\n⊢ IsDomain ↑(X.presheaf.obj (op U))\n[PROOFSTEP]\nexact NoZeroDivisors.to_isDomain _\n[GOAL]\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝¹ : IsIntegral Y\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ IsIntegral X\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase nonempty\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝¹ : IsIntegral Y\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ autoParam (Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace) _auto✝\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\ncase component_integral\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝¹ : IsIntegral Y\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\n⊢ autoParam (∀ (U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace) [inst : Nonempty { x // x ∈ U }], IsDomain ↑(X.presheaf.obj (op U)))\n    _auto✝\n[PROOFSTEP]\nintro U hU\n[GOAL]\ncase component_integral\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝¹ : IsIntegral Y\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\n⊢ IsDomain ↑(X.presheaf.obj (op U))\n[PROOFSTEP]\nhave : U = (Opens.map f.1.base).obj (H.base_open.isOpenMap.functor.obj U) := by ext1;\n  exact (Set.preimage_image_eq _ H.base_open.inj).symm\n[GOAL]\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝¹ : IsIntegral Y\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\n⊢ U = (Opens.map f.val.base).obj ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f.val.base)).obj U)\n[PROOFSTEP]\next1\n[GOAL]\ncase h\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝¹ : IsIntegral Y\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\n⊢ ↑U = ↑((Opens.map f.val.base).obj ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f.val.base)).obj U))\n[PROOFSTEP]\nexact (Set.preimage_image_eq _ H.base_open.inj).symm\n[GOAL]\ncase component_integral\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝¹ : IsIntegral Y\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis : U = (Opens.map f.val.base).obj ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f.val.base)).obj U)\n⊢ IsDomain ↑(X.presheaf.obj (op U))\n[PROOFSTEP]\nrw [this]\n[GOAL]\ncase component_integral\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝¹ : IsIntegral Y\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis : U = (Opens.map f.val.base).obj ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f.val.base)).obj U)\n⊢ IsDomain ↑(X.presheaf.obj (op ((Opens.map f.val.base).obj ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f.val.base)).obj U))))\n[PROOFSTEP]\nhave : IsDomain (Y.presheaf.obj (op (H.base_open.isOpenMap.functor.obj U))) :=\n  by\n  apply (config := { allowSynthFailures := true }) IsIntegral.component_integral\n  refine' ⟨⟨_, _, hU.some.prop, rfl⟩⟩\n[GOAL]\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝¹ : IsIntegral Y\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis : U = (Opens.map f.val.base).obj ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f.val.base)).obj U)\n⊢ IsDomain ↑(Y.presheaf.obj (op ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f.val.base)).obj U)))\n[PROOFSTEP]\napply (config := { allowSynthFailures := true }) IsIntegral.component_integral\n[GOAL]\ncase inst\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝¹ : IsIntegral Y\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis : U = (Opens.map f.val.base).obj ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f.val.base)).obj U)\n⊢ Nonempty { x // x ∈ (IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f.val.base)).obj U }\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨⟨_, _, hU.some.prop, rfl⟩⟩\n[GOAL]\ncase component_integral\nX✝ : Scheme\nX Y : Scheme\nf : X ⟶ Y\nH : IsOpenImmersion f\ninst✝¹ : IsIntegral Y\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\nU : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\nhU : Nonempty { x // x ∈ U }\nthis✝ : U = (Opens.map f.val.base).obj ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f.val.base)).obj U)\nthis : IsDomain ↑(Y.presheaf.obj (op ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f.val.base)).obj U)))\n⊢ IsDomain ↑(X.presheaf.obj (op ((Opens.map f.val.base).obj ((IsOpenMap.functor (_ : IsOpenMap ↑f.val.base)).obj U))))\n[PROOFSTEP]\nexact\n  (asIso <| f.1.c.app (op <| H.base_open.isOpenMap.functor.obj U) :\n        Y.presheaf.obj _ ≅ _).symm.commRingCatIsoToRingEquiv.toMulEquiv.isDomain\n    _\n[GOAL]\nX : Scheme\nR : CommRingCat\nH : IsDomain ↑R\n⊢ IrreducibleSpace ↑↑(Scheme.Spec.obj (op R)).toPresheafedSpace\n[PROOFSTEP]\nconvert PrimeSpectrum.irreducibleSpace (R := R)\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝¹ : IsAffine X\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\nh : IsDomain ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))\n⊢ IsIntegral (Scheme.Spec.obj (op (Scheme.Γ.obj (op X))))\n[PROOFSTEP]\nrw [affine_isIntegral_iff]\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝¹ : IsAffine X\ninst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace\nh : IsDomain ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))\n⊢ IsDomain ↑(Scheme.Γ.obj (op X))\n[PROOFSTEP]\nexact h\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ni : U ⟶ V\nH : Nonempty { x // x ∈ U }\n⊢ Function.Injective ↑(X.presheaf.map i.op)\n[PROOFSTEP]\nrw [injective_iff_map_eq_zero]\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ni : U ⟶ V\nH : Nonempty { x // x ∈ U }\n⊢ ∀ (a : (forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))), ↑(X.presheaf.map i.op) a = 0 → a = 0\n[PROOFSTEP]\nintro x hx\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ni : U ⟶ V\nH : Nonempty { x // x ∈ U }\nx : (forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))\nhx : ↑(X.presheaf.map i.op) x = 0\n⊢ x = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [← basicOpen_eq_bot_iff] at hx ⊢\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ni : U ⟶ V\nH : Nonempty { x // x ∈ U }\nx : (forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))\nhx : Scheme.basicOpen X (↑(X.presheaf.map i.op) x) = ⊥\n⊢ Scheme.basicOpen X x = ⊥\n[PROOFSTEP]\nrw [Scheme.basicOpen_res] at hx \n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ni : U ⟶ V\nH : Nonempty { x // x ∈ U }\nx : (forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))\nhx : U ⊓ Scheme.basicOpen X x = ⊥\n⊢ Scheme.basicOpen X x = ⊥\n[PROOFSTEP]\nrevert hx\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ni : U ⟶ V\nH : Nonempty { x // x ∈ U }\nx : (forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))\n⊢ U ⊓ Scheme.basicOpen X x = ⊥ → Scheme.basicOpen X x = ⊥\n[PROOFSTEP]\ncontrapose!\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ni : U ⟶ V\nH : Nonempty { x // x ∈ U }\nx : (forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))\n⊢ Scheme.basicOpen X x ≠ ⊥ → U ⊓ Scheme.basicOpen X x ≠ ⊥\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [Ne.def, ← Opens.not_nonempty_iff_eq_bot, Classical.not_not]\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ni : U ⟶ V\nH : Nonempty { x // x ∈ U }\nx : (forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))\n⊢ Set.Nonempty ↑(Scheme.basicOpen X x) → Set.Nonempty ↑(U ⊓ Scheme.basicOpen X x)\n[PROOFSTEP]\napply nonempty_preirreducible_inter U.isOpen (RingedSpace.basicOpen _ _).isOpen\n[GOAL]\nX : Scheme\ninst✝ : IsIntegral X\nU V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace\ni : U ⟶ V\nH : Nonempty { x // x ∈ U }\nx : (forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))\n⊢ Set.Nonempty ↑U\n[PROOFSTEP]\nsimpa using H\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.AlgebraicGeometry.Properties", "llama_tokens": 45231, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} E\n⊢ Category.{?u.2036, u₁} (Skeleton C)\n[PROOFSTEP]\napply InducedCategory.category\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} E\n⊢ Full (fromSkeleton C)\n[PROOFSTEP]\napply InducedCategory.full\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} E\n⊢ Faithful (fromSkeleton C)\n[PROOFSTEP]\napply InducedCategory.faithful\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} E\n⊢ Skeletal (Skeleton C)\n[PROOFSTEP]\nrintro X Y ⟨h⟩\n[GOAL]\ncase intro\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} E\nX Y : Skeleton C\nh : X ≅ Y\n⊢ X = Y\n[PROOFSTEP]\nhave : X.out ≈ Y.out := ⟨(fromSkeleton C).mapIso h⟩\n[GOAL]\ncase intro\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} E\nX Y : Skeleton C\nh : X ≅ Y\nthis : Quotient.out X ≈ Quotient.out Y\n⊢ X = Y\n[PROOFSTEP]\nsimpa using Quotient.sound this\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} E\n⊢ ∀ (a₁ b₁ a₂ b₂ : C), a₁ ≈ a₂ → b₁ ≈ b₂ → (fun X Y => Nonempty (X ⟶ Y)) a₁ b₁ = (fun X Y => Nonempty (X ⟶ Y)) a₂ b₂\n[PROOFSTEP]\nrintro _ _ _ _ ⟨i₁⟩ ⟨i₂⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} E\na₁✝ b₁✝ a₂✝ b₂✝ : C\ni₁ : a₁✝ ≅ a₂✝\ni₂ : b₁✝ ≅ b₂✝\n⊢ (fun X Y => Nonempty (X ⟶ Y)) a₁✝ b₁✝ = (fun X Y => Nonempty (X ⟶ Y)) a₂✝ b₂✝\n[PROOFSTEP]\nexact propext ⟨Nonempty.map fun f => i₁.inv ≫ f ≫ i₂.hom, Nonempty.map fun f => i₁.hom ≫ f ≫ i₂.inv⟩\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} E\n⊢ ∀ (a : ThinSkeleton C), a ≤ a\n[PROOFSTEP]\nrefine' Quotient.ind fun a => _\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} E\na : C\n⊢ Quotient.mk (isIsomorphicSetoid C) a ≤ Quotient.mk (isIsomorphicSetoid C) a\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨𝟙 _⟩\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} E\nx✝¹ x✝ : ThinSkeleton C\n⊢ ∀ (a b : x✝¹ ⟶ x✝), a = b\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨⟨f₁⟩⟩ ⟨⟨_⟩⟩\n[GOAL]\ncase up.up.up.up\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} E\nx✝¹ x✝ : ThinSkeleton C\nf₁ down✝ : x✝¹ ≤ x✝\n⊢ { down := { down := f₁ } } = { down := { down := down✝ } }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝³ : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E\ninst✝ : Quiver.IsThin C\nsrc✝ : Preorder (ThinSkeleton C) := preorder C\n⊢ ∀ (a b : C),\n    Quotient.mk (isIsomorphicSetoid C) a ≤ Quotient.mk (isIsomorphicSetoid C) b →\n      Quotient.mk (isIsomorphicSetoid C) b ≤ Quotient.mk (isIsomorphicSetoid C) a →\n        Quotient.mk (isIsomorphicSetoid C) a = Quotient.mk (isIsomorphicSetoid C) b\n[PROOFSTEP]\nrintro _ _ ⟨f⟩ ⟨g⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro\nC : Type u₁\ninst✝³ : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝² : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E\ninst✝ : Quiver.IsThin C\nsrc✝ : Preorder (ThinSkeleton C) := preorder C\na✝ b✝ : C\nf : a✝ ⟶ b✝\ng : b✝ ⟶ a✝\n⊢ Quotient.mk (isIsomorphicSetoid C) a✝ = Quotient.mk (isIsomorphicSetoid C) b✝\n[PROOFSTEP]\napply Quotient.sound (equiv_of_both_ways f g)\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} E\nR : D ⥤ C\nL : C ⥤ D\nh : L ⊣ R\nX : ThinSkeleton C\n⊢ (𝟭 (ThinSkeleton C)).obj X ⟶ (map L ⋙ map R).obj X\n[PROOFSTEP]\nletI := isIsomorphicSetoid C\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} E\nR : D ⥤ C\nL : C ⥤ D\nh : L ⊣ R\nX : ThinSkeleton C\nthis : Setoid C := isIsomorphicSetoid C\n⊢ (𝟭 (ThinSkeleton C)).obj X ⟶ (map L ⋙ map R).obj X\n[PROOFSTEP]\nrefine' Quotient.recOnSubsingleton X fun x => homOfLE ⟨h.unit.app x⟩\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} E\nR : D ⥤ C\nL : C ⥤ D\nh : L ⊣ R\nX : ThinSkeleton D\n⊢ (map R ⋙ map L).obj X ⟶ (𝟭 (ThinSkeleton D)).obj X\n[PROOFSTEP]\nletI := isIsomorphicSetoid D\n[GOAL]\nC : Type u₁\ninst✝² : Category.{v₁, u₁} C\nD : Type u₂\ninst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D\nE : Type u₃\ninst✝ : Category.{v₃, u₃} E\nR : D ⥤ C\nL : C ⥤ D\nh : L ⊣ R\nX : ThinSkeleton D\nthis : Setoid D := isIsomorphicSetoid D\n⊢ (map R ⋙ map L).obj X ⟶ (𝟭 (ThinSkeleton D)).obj X\n[PROOFSTEP]\nrefine' Quotient.recOnSubsingleton X fun x => homOfLE ⟨h.counit.app x⟩\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.CategoryTheory.Skeletal", "llama_tokens": 2729, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns t : S\nm : t ∈ l s\n⊢ turnBound s ≠ 0\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns t : S\nm : t ∈ l s\nh : turnBound s = 0\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nhave t := left_bound m\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns t✝ : S\nm : t✝ ∈ l s\nh : turnBound s = 0\nt : turnBound t✝ < turnBound s\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nrw [h] at t \n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns t✝ : S\nm : t✝ ∈ l s\nh : turnBound s = 0\nt : turnBound t✝ < 0\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact Nat.not_succ_le_zero _ t\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns t : S\nm : t ∈ r s\n⊢ turnBound s ≠ 0\n[PROOFSTEP]\nintro h\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns t : S\nm : t ∈ r s\nh : turnBound s = 0\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nhave t := right_bound m\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns t✝ : S\nm : t✝ ∈ r s\nh : turnBound s = 0\nt : turnBound t✝ < turnBound s\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nrw [h] at t \n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns t✝ : S\nm : t✝ ∈ r s\nh : turnBound s = 0\nt : turnBound t✝ < 0\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact Nat.not_succ_le_zero _ t\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ 0\nt : { t // t ∈ l s }\n⊢ PGame\n[PROOFSTEP]\nexfalso\n[GOAL]\ncase h\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ 0\nt : { t // t ∈ l s }\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact turnBound_ne_zero_of_left_move t.2 (nonpos_iff_eq_zero.mp h)\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ 0\nt : { t // t ∈ r s }\n⊢ PGame\n[PROOFSTEP]\nexfalso\n[GOAL]\ncase h\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ 0\nt : { t // t ∈ r s }\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact turnBound_ne_zero_of_right_move t.2 (nonpos_iff_eq_zero.mp h)\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nhn hm : turnBound s ≤ 0\n⊢ ofStateAux 0 s hn ≡r ofStateAux 0 s hm\n[PROOFSTEP]\ndsimp [PGame.ofStateAux]\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nhn hm : turnBound s ≤ 0\n⊢ (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False)) ≡r\n    mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False)\n[PROOFSTEP]\nfconstructor\n[GOAL]\ncase L\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nhn hm : turnBound s ≤ 0\n⊢ LeftMoves (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False)) ≃\n    LeftMoves (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\ncase R\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nhn hm : turnBound s ≤ 0\n⊢ RightMoves (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False)) ≃\n    RightMoves (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nhn hm : turnBound s ≤ 0\n⊢ (i :\n      LeftMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))) →\n    moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        i ≡r\n      moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        (↑?L i)\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nhn hm : turnBound s ≤ 0\n⊢ (j :\n      RightMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))) →\n    moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        j ≡r\n      moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        (↑?R j)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase R\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nhn hm : turnBound s ≤ 0\n⊢ RightMoves (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False)) ≃\n    RightMoves (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nhn hm : turnBound s ≤ 0\n⊢ (i :\n      LeftMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))) →\n    moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        i ≡r\n      moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        (↑(Equiv.refl\n              (LeftMoves\n                (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t =>\n                  False.elim (_ : False))))\n          i)\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nhn hm : turnBound s ≤ 0\n⊢ (j :\n      RightMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))) →\n    moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        j ≡r\n      moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        (↑?R j)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nhn hm : turnBound s ≤ 0\n⊢ (i :\n      LeftMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))) →\n    moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        i ≡r\n      moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        (↑(Equiv.refl\n              (LeftMoves\n                (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t =>\n                  False.elim (_ : False))))\n          i)\n[PROOFSTEP]\nintro i\n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nhn hm : turnBound s ≤ 0\ni : LeftMoves (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n⊢ moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False)) i ≡r\n    moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n      (↑(Equiv.refl\n            (LeftMoves\n              (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))))\n        i)\n[PROOFSTEP]\ndsimp at i \n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nhn hm : turnBound s ≤ 0\ni : { t // t ∈ l s }\n⊢ moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False)) i ≡r\n    moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n      (↑(Equiv.refl\n            (LeftMoves\n              (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))))\n        i)\n[PROOFSTEP]\nexfalso\n[GOAL]\ncase a.h\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nhn hm : turnBound s ≤ 0\ni : { t // t ∈ l s }\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact turnBound_ne_zero_of_left_move i.2 (nonpos_iff_eq_zero.mp hn)\n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nhn hm : turnBound s ≤ 0\n⊢ (j :\n      RightMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))) →\n    moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        j ≡r\n      moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        (↑(Equiv.refl\n              (RightMoves\n                (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t =>\n                  False.elim (_ : False))))\n          j)\n[PROOFSTEP]\nintro j\n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nhn hm : turnBound s ≤ 0\nj : RightMoves (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n⊢ moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n      j ≡r\n    moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n      (↑(Equiv.refl\n            (RightMoves\n              (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))))\n        j)\n[PROOFSTEP]\ndsimp at j \n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nhn hm : turnBound s ≤ 0\nj : { t // t ∈ r s }\n⊢ moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n      j ≡r\n    moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n      (↑(Equiv.refl\n            (RightMoves\n              (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))))\n        j)\n[PROOFSTEP]\nexfalso\n[GOAL]\ncase a.h\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nhn hm : turnBound s ≤ 0\nj : { t // t ∈ r s }\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact turnBound_ne_zero_of_right_move j.2 (nonpos_iff_eq_zero.mp hm)\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nm : ℕ\nhn : turnBound s ≤ 0\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ ofStateAux 0 s hn ≡r ofStateAux (m + 1) s hm\n[PROOFSTEP]\ndsimp [PGame.ofStateAux]\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nm : ℕ\nhn : turnBound s ≤ 0\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False)) ≡r\n    mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n      ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)\n[PROOFSTEP]\nfconstructor\n[GOAL]\ncase L\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nm : ℕ\nhn : turnBound s ≤ 0\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ LeftMoves (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False)) ≃\n    LeftMoves\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n        ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\ncase R\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nm : ℕ\nhn : turnBound s ≤ 0\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ RightMoves (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False)) ≃\n    RightMoves\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n        ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nm : ℕ\nhn : turnBound s ≤ 0\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ (i :\n      LeftMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))) →\n    moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        i ≡r\n      moveLeft\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n          ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n        (↑?L i)\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nm : ℕ\nhn : turnBound s ≤ 0\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ (j :\n      RightMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))) →\n    moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        j ≡r\n      moveRight\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n          ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n        (↑?R j)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase R\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nm : ℕ\nhn : turnBound s ≤ 0\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ RightMoves (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False)) ≃\n    RightMoves\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n        ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nm : ℕ\nhn : turnBound s ≤ 0\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ (i :\n      LeftMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))) →\n    moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        i ≡r\n      moveLeft\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n          ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n        (↑(Equiv.refl\n              (LeftMoves\n                (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t =>\n                  False.elim (_ : False))))\n          i)\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nm : ℕ\nhn : turnBound s ≤ 0\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ (j :\n      RightMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))) →\n    moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        j ≡r\n      moveRight\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n          ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n        (↑?R j)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nm : ℕ\nhn : turnBound s ≤ 0\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ (i :\n      LeftMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))) →\n    moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        i ≡r\n      moveLeft\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n          ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n        (↑(Equiv.refl\n              (LeftMoves\n                (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t =>\n                  False.elim (_ : False))))\n          i)\n[PROOFSTEP]\nintro i\n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nm : ℕ\nhn : turnBound s ≤ 0\nhm : turnBound s ≤ m + 1\ni : LeftMoves (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n⊢ moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False)) i ≡r\n    moveLeft\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n        ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n      (↑(Equiv.refl\n            (LeftMoves\n              (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))))\n        i)\n[PROOFSTEP]\ndsimp at i \n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nm : ℕ\nhn : turnBound s ≤ 0\nhm : turnBound s ≤ m + 1\ni : { t // t ∈ l s }\n⊢ moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False)) i ≡r\n    moveLeft\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n        ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n      (↑(Equiv.refl\n            (LeftMoves\n              (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))))\n        i)\n[PROOFSTEP]\nexfalso\n[GOAL]\ncase a.h\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nm : ℕ\nhn : turnBound s ≤ 0\nhm : turnBound s ≤ m + 1\ni : { t // t ∈ l s }\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact turnBound_ne_zero_of_left_move i.2 (nonpos_iff_eq_zero.mp hn)\n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nm : ℕ\nhn : turnBound s ≤ 0\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ (j :\n      RightMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))) →\n    moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        j ≡r\n      moveRight\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n          ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n        (↑(Equiv.refl\n              (RightMoves\n                (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t =>\n                  False.elim (_ : False))))\n          j)\n[PROOFSTEP]\nintro j\n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nm : ℕ\nhn : turnBound s ≤ 0\nhm : turnBound s ≤ m + 1\nj : RightMoves (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n⊢ moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n      j ≡r\n    moveRight\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n        ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n      (↑(Equiv.refl\n            (RightMoves\n              (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))))\n        j)\n[PROOFSTEP]\ndsimp at j \n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nm : ℕ\nhn : turnBound s ≤ 0\nhm : turnBound s ≤ m + 1\nj : { t // t ∈ r s }\n⊢ moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n      j ≡r\n    moveRight\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n        ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n      (↑(Equiv.refl\n            (RightMoves\n              (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))))\n        j)\n[PROOFSTEP]\nexfalso\n[GOAL]\ncase a.h\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nm : ℕ\nhn : turnBound s ≤ 0\nhm : turnBound s ≤ m + 1\nj : { t // t ∈ r s }\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact turnBound_ne_zero_of_right_move j.2 (nonpos_iff_eq_zero.mp hn)\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ 0\n⊢ ofStateAux (n + 1) s hn ≡r ofStateAux 0 s hm\n[PROOFSTEP]\ndsimp [PGame.ofStateAux]\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ 0\n⊢ (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n      ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) ≡r\n    mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False)\n[PROOFSTEP]\nfconstructor\n[GOAL]\ncase L\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ 0\n⊢ LeftMoves\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n        ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) ≃\n    LeftMoves (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\ncase R\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ 0\n⊢ RightMoves\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n        ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) ≃\n    RightMoves (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ 0\n⊢ (i :\n      LeftMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))) →\n    moveLeft\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n        i ≡r\n      moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        (↑?L i)\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ 0\n⊢ (j :\n      RightMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))) →\n    moveRight\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n        j ≡r\n      moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        (↑?R j)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase R\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ 0\n⊢ RightMoves\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n        ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) ≃\n    RightMoves (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ 0\n⊢ (i :\n      LeftMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))) →\n    moveLeft\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n        i ≡r\n      moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        (↑(Equiv.refl\n              (LeftMoves\n                (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n                  ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))))\n          i)\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ 0\n⊢ (j :\n      RightMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))) →\n    moveRight\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n        j ≡r\n      moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        (↑?R j)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ 0\n⊢ (i :\n      LeftMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))) →\n    moveLeft\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n        i ≡r\n      moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        (↑(Equiv.refl\n              (LeftMoves\n                (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n                  ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))))\n          i)\n[PROOFSTEP]\nintro i\n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ 0\ni :\n  LeftMoves\n    (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n      ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n⊢ moveLeft\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n        ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n      i ≡r\n    moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n      (↑(Equiv.refl\n            (LeftMoves\n              (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n                ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))))\n        i)\n[PROOFSTEP]\ndsimp at i \n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ 0\ni : { t // t ∈ l s }\n⊢ moveLeft\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n        ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n      i ≡r\n    moveLeft (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n      (↑(Equiv.refl\n            (LeftMoves\n              (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n                ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))))\n        i)\n[PROOFSTEP]\nexfalso\n[GOAL]\ncase a.h\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ 0\ni : { t // t ∈ l s }\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact turnBound_ne_zero_of_left_move i.2 (nonpos_iff_eq_zero.mp hm)\n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ 0\n⊢ (j :\n      RightMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))) →\n    moveRight\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n        j ≡r\n      moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n        (↑(Equiv.refl\n              (RightMoves\n                (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n                  ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))))\n          j)\n[PROOFSTEP]\nintro j\n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ 0\nj :\n  RightMoves\n    (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n      ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n⊢ moveRight\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n        ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n      j ≡r\n    moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n      (↑(Equiv.refl\n            (RightMoves\n              (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n                ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))))\n        j)\n[PROOFSTEP]\ndsimp at j \n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ 0\nj : { t // t ∈ r s }\n⊢ moveRight\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n        ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n      j ≡r\n    moveRight (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => False.elim (_ : False)) fun t => False.elim (_ : False))\n      (↑(Equiv.refl\n            (RightMoves\n              (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n                ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))))\n        j)\n[PROOFSTEP]\nexfalso\n[GOAL]\ncase a.h\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ 0\nj : { t // t ∈ r s }\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact turnBound_ne_zero_of_right_move j.2 (nonpos_iff_eq_zero.mp hm)\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn m : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ ofStateAux (n + 1) s hn ≡r ofStateAux (m + 1) s hm\n[PROOFSTEP]\ndsimp [PGame.ofStateAux]\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn m : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n      ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) ≡r\n    mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n      ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)\n[PROOFSTEP]\nfconstructor\n[GOAL]\ncase L\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn m : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ LeftMoves\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n        ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) ≃\n    LeftMoves\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n        ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\ncase R\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn m : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ RightMoves\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n        ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) ≃\n    RightMoves\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n        ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn m : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ (i :\n      LeftMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))) →\n    moveLeft\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n        i ≡r\n      moveLeft\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n          ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n        (↑?L i)\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn m : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ (j :\n      RightMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))) →\n    moveRight\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n        j ≡r\n      moveRight\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n          ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n        (↑?R j)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase R\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn m : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ RightMoves\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n        ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) ≃\n    RightMoves\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n        ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn m : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ (i :\n      LeftMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))) →\n    moveLeft\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n        i ≡r\n      moveLeft\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n          ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n        (↑(Equiv.refl\n              (LeftMoves\n                (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n                  ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))))\n          i)\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn m : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ (j :\n      RightMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))) →\n    moveRight\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n        j ≡r\n      moveRight\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n          ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n        (↑?R j)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn m : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ (i :\n      LeftMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))) →\n    moveLeft\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n        i ≡r\n      moveLeft\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n          ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n        (↑(Equiv.refl\n              (LeftMoves\n                (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n                  ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))))\n          i)\n[PROOFSTEP]\nintro i\n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn m : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ m + 1\ni :\n  LeftMoves\n    (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n      ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n⊢ moveLeft\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n        ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n      i ≡r\n    moveLeft\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n        ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n      (↑(Equiv.refl\n            (LeftMoves\n              (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n                ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))))\n        i)\n[PROOFSTEP]\napply ofStateAuxRelabelling\n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn m : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ m + 1\n⊢ (j :\n      RightMoves\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))) →\n    moveRight\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n          ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n        j ≡r\n      moveRight\n        (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n          ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n        (↑(Equiv.refl\n              (RightMoves\n                (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n                  ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))))\n          j)\n[PROOFSTEP]\nintro j\n[GOAL]\ncase a\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn m : ℕ\nhn : turnBound s ≤ n + 1\nhm : turnBound s ≤ m + 1\nj :\n  RightMoves\n    (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n      ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n⊢ moveRight\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n        ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))\n      j ≡r\n    moveRight\n      (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m)) fun t =>\n        ofStateAux m ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ m))\n      (↑(Equiv.refl\n            (RightMoves\n              (mk { t // t ∈ l s } { t // t ∈ r s } (fun t => ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n)) fun t =>\n                ofStateAux n ↑t (_ : turnBound ↑t ≤ n))))\n        j)\n[PROOFSTEP]\napply ofStateAuxRelabelling\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\nn : ℕ\ns : S\nh : turnBound s ≤ n\n⊢ LeftMoves (ofStateAux n s h) ≃ { t // t ∈ l s }\n[PROOFSTEP]\ninduction n\n[GOAL]\ncase zero\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ Nat.zero\n⊢ LeftMoves (ofStateAux Nat.zero s h) ≃ { t // t ∈ l s }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase succ\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn✝ : ℕ\nn_ih✝ : (h : turnBound s ≤ n✝) → LeftMoves (ofStateAux n✝ s h) ≃ { t // t ∈ l s }\nh : turnBound s ≤ Nat.succ n✝\n⊢ LeftMoves (ofStateAux (Nat.succ n✝) s h) ≃ { t // t ∈ l s }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\nn : ℕ\ns : S\nh : turnBound s ≤ n\n⊢ RightMoves (ofStateAux n s h) ≃ { t // t ∈ r s }\n[PROOFSTEP]\ninduction n\n[GOAL]\ncase zero\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ Nat.zero\n⊢ RightMoves (ofStateAux Nat.zero s h) ≃ { t // t ∈ r s }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase succ\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn✝ : ℕ\nn_ih✝ : (h : turnBound s ≤ n✝) → RightMoves (ofStateAux n✝ s h) ≃ { t // t ∈ r s }\nh : turnBound s ≤ Nat.succ n✝\n⊢ RightMoves (ofStateAux (Nat.succ n✝) s h) ≃ { t // t ∈ r s }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\nn : ℕ\ns : S\nh : turnBound s ≤ n\nt : LeftMoves (ofStateAux n s h)\n⊢ moveLeft (ofStateAux n s h) t ≡r\n    ofStateAux (n - 1) ↑(↑(leftMovesOfStateAux n h) t) (_ : turnBound ↑(↑(leftMovesOfStateAux n h) t) ≤ n - 1)\n[PROOFSTEP]\ninduction n\n[GOAL]\ncase zero\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ Nat.zero\nt : LeftMoves (ofStateAux Nat.zero s h)\n⊢ moveLeft (ofStateAux Nat.zero s h) t ≡r\n    ofStateAux (Nat.zero - 1) ↑(↑(leftMovesOfStateAux Nat.zero h) t)\n      (_ : turnBound ↑(↑(leftMovesOfStateAux Nat.zero h) t) ≤ Nat.zero - 1)\n[PROOFSTEP]\nhave t' := (leftMovesOfStateAux 0 h) t\n[GOAL]\ncase zero\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ Nat.zero\nt : LeftMoves (ofStateAux Nat.zero s h)\nt' : (fun x => { t // t ∈ l s }) t\n⊢ moveLeft (ofStateAux Nat.zero s h) t ≡r\n    ofStateAux (Nat.zero - 1) ↑(↑(leftMovesOfStateAux Nat.zero h) t)\n      (_ : turnBound ↑(↑(leftMovesOfStateAux Nat.zero h) t) ≤ Nat.zero - 1)\n[PROOFSTEP]\nexfalso\n[GOAL]\ncase zero.h\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ Nat.zero\nt : LeftMoves (ofStateAux Nat.zero s h)\nt' : (fun x => { t // t ∈ l s }) t\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact turnBound_ne_zero_of_left_move t'.2 (nonpos_iff_eq_zero.mp h)\n[GOAL]\ncase succ\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn✝ : ℕ\nn_ih✝ :\n  (h : turnBound s ≤ n✝) →\n    (t : LeftMoves (ofStateAux n✝ s h)) →\n      moveLeft (ofStateAux n✝ s h) t ≡r\n        ofStateAux (n✝ - 1) ↑(↑(leftMovesOfStateAux n✝ h) t) (_ : turnBound ↑(↑(leftMovesOfStateAux n✝ h) t) ≤ n✝ - 1)\nh : turnBound s ≤ Nat.succ n✝\nt : LeftMoves (ofStateAux (Nat.succ n✝) s h)\n⊢ moveLeft (ofStateAux (Nat.succ n✝) s h) t ≡r\n    ofStateAux (Nat.succ n✝ - 1) ↑(↑(leftMovesOfStateAux (Nat.succ n✝) h) t)\n      (_ : turnBound ↑(↑(leftMovesOfStateAux (Nat.succ n✝) h) t) ≤ Nat.succ n✝ - 1)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nt : LeftMoves (ofState s)\n⊢ moveLeft (ofState s) t ≡r ofState ↑(Equiv.toFun (leftMovesOfState s) t)\n[PROOFSTEP]\ntrans\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nt : LeftMoves (ofState s)\n⊢ moveLeft (ofState s) t ≡r ?m.9328\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nt : LeftMoves (ofState s)\n⊢ ?m.9328 ≡r ofState ↑(Equiv.toFun (leftMovesOfState s) t)\nS : Type u inst✝ : State S s : S t : LeftMoves (ofState s) ⊢ PGame\n[PROOFSTEP]\napply relabellingMoveLeftAux\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nt : LeftMoves (ofState s)\n⊢ ofStateAux (turnBound s - 1) ↑(↑(leftMovesOfStateAux (turnBound s) (_ : turnBound s ≤ turnBound s)) t)\n      (_ : turnBound ↑(↑(leftMovesOfStateAux (turnBound s) (_ : turnBound s ≤ turnBound s)) t) ≤ turnBound s - 1) ≡r\n    ofState ↑(Equiv.toFun (leftMovesOfState s) t)\n[PROOFSTEP]\napply ofStateAuxRelabelling\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\nn : ℕ\ns : S\nh : turnBound s ≤ n\nt : RightMoves (ofStateAux n s h)\n⊢ moveRight (ofStateAux n s h) t ≡r\n    ofStateAux (n - 1) ↑(↑(rightMovesOfStateAux n h) t) (_ : turnBound ↑(↑(rightMovesOfStateAux n h) t) ≤ n - 1)\n[PROOFSTEP]\ninduction n\n[GOAL]\ncase zero\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ Nat.zero\nt : RightMoves (ofStateAux Nat.zero s h)\n⊢ moveRight (ofStateAux Nat.zero s h) t ≡r\n    ofStateAux (Nat.zero - 1) ↑(↑(rightMovesOfStateAux Nat.zero h) t)\n      (_ : turnBound ↑(↑(rightMovesOfStateAux Nat.zero h) t) ≤ Nat.zero - 1)\n[PROOFSTEP]\nhave t' := (rightMovesOfStateAux 0 h) t\n[GOAL]\ncase zero\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ Nat.zero\nt : RightMoves (ofStateAux Nat.zero s h)\nt' : (fun x => { t // t ∈ r s }) t\n⊢ moveRight (ofStateAux Nat.zero s h) t ≡r\n    ofStateAux (Nat.zero - 1) ↑(↑(rightMovesOfStateAux Nat.zero h) t)\n      (_ : turnBound ↑(↑(rightMovesOfStateAux Nat.zero h) t) ≤ Nat.zero - 1)\n[PROOFSTEP]\nexfalso\n[GOAL]\ncase zero.h\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ Nat.zero\nt : RightMoves (ofStateAux Nat.zero s h)\nt' : (fun x => { t // t ∈ r s }) t\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact turnBound_ne_zero_of_right_move t'.2 (nonpos_iff_eq_zero.mp h)\n[GOAL]\ncase succ\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nn✝ : ℕ\nn_ih✝ :\n  (h : turnBound s ≤ n✝) →\n    (t : RightMoves (ofStateAux n✝ s h)) →\n      moveRight (ofStateAux n✝ s h) t ≡r\n        ofStateAux (n✝ - 1) ↑(↑(rightMovesOfStateAux n✝ h) t) (_ : turnBound ↑(↑(rightMovesOfStateAux n✝ h) t) ≤ n✝ - 1)\nh : turnBound s ≤ Nat.succ n✝\nt : RightMoves (ofStateAux (Nat.succ n✝) s h)\n⊢ moveRight (ofStateAux (Nat.succ n✝) s h) t ≡r\n    ofStateAux (Nat.succ n✝ - 1) ↑(↑(rightMovesOfStateAux (Nat.succ n✝) h) t)\n      (_ : turnBound ↑(↑(rightMovesOfStateAux (Nat.succ n✝) h) t) ≤ Nat.succ n✝ - 1)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nt : RightMoves (ofState s)\n⊢ moveRight (ofState s) t ≡r ofState ↑(Equiv.toFun (rightMovesOfState s) t)\n[PROOFSTEP]\ntrans\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nt : RightMoves (ofState s)\n⊢ moveRight (ofState s) t ≡r ?m.11225\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nt : RightMoves (ofState s)\n⊢ ?m.11225 ≡r ofState ↑(Equiv.toFun (rightMovesOfState s) t)\nS : Type u inst✝ : State S s : S t : RightMoves (ofState s) ⊢ PGame\n[PROOFSTEP]\napply relabellingMoveRightAux\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nt : RightMoves (ofState s)\n⊢ ofStateAux (turnBound s - 1) ↑(↑(rightMovesOfStateAux (turnBound s) (_ : turnBound s ≤ turnBound s)) t)\n      (_ : turnBound ↑(↑(rightMovesOfStateAux (turnBound s) (_ : turnBound s ≤ turnBound s)) t) ≤ turnBound s - 1) ≡r\n    ofState ↑(Equiv.toFun (rightMovesOfState s) t)\n[PROOFSTEP]\napply ofStateAuxRelabelling\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\nn : ℕ\ns : S\nh : turnBound s ≤ n\n⊢ Fintype (LeftMoves (ofStateAux n s h))\n[PROOFSTEP]\napply Fintype.ofEquiv _ (leftMovesOfStateAux _ _).symm\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\nn : ℕ\ns : S\nh : turnBound s ≤ n\n⊢ Fintype (RightMoves (ofStateAux n s h))\n[PROOFSTEP]\napply Fintype.ofEquiv _ (rightMovesOfStateAux _ _).symm\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ 0\ni : LeftMoves (ofStateAux 0 s h)\n⊢ Short (moveLeft (ofStateAux 0 s h) i)\n[PROOFSTEP]\nhave i := (leftMovesOfStateAux _ _).toFun i\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ 0\ni✝ : LeftMoves (ofStateAux 0 s h)\ni : { t // t ∈ l s }\n⊢ Short (moveLeft (ofStateAux 0 s h) i✝)\n[PROOFSTEP]\nexfalso\n[GOAL]\ncase h\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ 0\ni✝ : LeftMoves (ofStateAux 0 s h)\ni : { t // t ∈ l s }\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact turnBound_ne_zero_of_left_move i.2 (nonpos_iff_eq_zero.mp h)\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ 0\nj : RightMoves (ofStateAux 0 s h)\n⊢ Short (moveRight (ofStateAux 0 s h) j)\n[PROOFSTEP]\nhave j := (rightMovesOfStateAux _ _).toFun j\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ 0\nj✝ : RightMoves (ofStateAux 0 s h)\nj : { t // t ∈ r s }\n⊢ Short (moveRight (ofStateAux 0 s h) j✝)\n[PROOFSTEP]\nexfalso\n[GOAL]\ncase h\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\nh : turnBound s ≤ 0\nj✝ : RightMoves (ofStateAux 0 s h)\nj : { t // t ∈ r s }\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact turnBound_ne_zero_of_right_move j.2 (nonpos_iff_eq_zero.mp h)\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\n⊢ Short (ofState s)\n[PROOFSTEP]\ndsimp [PGame.ofState]\n[GOAL]\nS : Type u\ninst✝ : State S\ns : S\n⊢ Short (ofStateAux (turnBound s) s (_ : turnBound s ≤ turnBound s))\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.SetTheory.Game.State", "llama_tokens": 19930, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nG H : AddCommGroupCat\n⊢ ∀ ⦃X Y : Discrete WalkingPair⦄ (f : X ⟶ Y),\n    ((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj (of (↑G × ↑H))).map f ≫\n        (fun j => Discrete.casesOn j fun j => WalkingPair.casesOn j (AddMonoidHom.fst ↑G ↑H) (AddMonoidHom.snd ↑G ↑H))\n          Y =\n      (fun j => Discrete.casesOn j fun j => WalkingPair.casesOn j (AddMonoidHom.fst ↑G ↑H) (AddMonoidHom.snd ↑G ↑H)) X ≫\n        (pair G H).map f\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨⟨⟩⟩ ⟨⟨⟩⟩ ⟨⟨⟨⟩⟩⟩\n[GOAL]\ncase mk.left.mk.left.up.up.refl\nG H : AddCommGroupCat\n⊢ ((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj (of (↑G × ↑H))).map\n        { down := { down := (_ : { as := WalkingPair.left }.as = { as := WalkingPair.left }.as) } } ≫\n      (fun j => Discrete.casesOn j fun j => WalkingPair.casesOn j (AddMonoidHom.fst ↑G ↑H) (AddMonoidHom.snd ↑G ↑H))\n        { as := WalkingPair.left } =\n    (fun j => Discrete.casesOn j fun j => WalkingPair.casesOn j (AddMonoidHom.fst ↑G ↑H) (AddMonoidHom.snd ↑G ↑H))\n        { as := WalkingPair.left } ≫\n      (pair G H).map { down := { down := (_ : { as := WalkingPair.left }.as = { as := WalkingPair.left }.as) } }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase mk.right.mk.right.up.up.refl\nG H : AddCommGroupCat\n⊢ ((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj (of (↑G × ↑H))).map\n        { down := { down := (_ : { as := WalkingPair.right }.as = { as := WalkingPair.right }.as) } } ≫\n      (fun j => Discrete.casesOn j fun j => WalkingPair.casesOn j (AddMonoidHom.fst ↑G ↑H) (AddMonoidHom.snd ↑G ↑H))\n        { as := WalkingPair.right } =\n    (fun j => Discrete.casesOn j fun j => WalkingPair.casesOn j (AddMonoidHom.fst ↑G ↑H) (AddMonoidHom.snd ↑G ↑H))\n        { as := WalkingPair.right } ≫\n      (pair G H).map { down := { down := (_ : { as := WalkingPair.right }.as = { as := WalkingPair.right }.as) } }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nG H : AddCommGroupCat\n⊢ ∀ (s : Cone (pair G H)) (j : Discrete WalkingPair),\n    (fun s =>\n            AddMonoidHom.prod (NatTrans.app s.π { as := WalkingPair.left })\n              (NatTrans.app s.π { as := WalkingPair.right }))\n          s ≫\n        NatTrans.app\n          { pt := of (↑G × ↑H),\n              π :=\n                NatTrans.mk fun j =>\n                  Discrete.casesOn j fun j =>\n                    WalkingPair.casesOn j (AddMonoidHom.fst ↑G ↑H) (AddMonoidHom.snd ↑G ↑H) }.π\n          j =\n      NatTrans.app s.π j\n[PROOFSTEP]\nrintro s (⟨⟩ | ⟨⟩)\n[GOAL]\ncase mk.left\nG H : AddCommGroupCat\ns : Cone (pair G H)\n⊢ (fun s =>\n          AddMonoidHom.prod (NatTrans.app s.π { as := WalkingPair.left })\n            (NatTrans.app s.π { as := WalkingPair.right }))\n        s ≫\n      NatTrans.app\n        { pt := of (↑G × ↑H),\n            π :=\n              NatTrans.mk fun j =>\n                Discrete.casesOn j fun j => WalkingPair.casesOn j (AddMonoidHom.fst ↑G ↑H) (AddMonoidHom.snd ↑G ↑H) }.π\n        { as := WalkingPair.left } =\n    NatTrans.app s.π { as := WalkingPair.left }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase mk.right\nG H : AddCommGroupCat\ns : Cone (pair G H)\n⊢ (fun s =>\n          AddMonoidHom.prod (NatTrans.app s.π { as := WalkingPair.left })\n            (NatTrans.app s.π { as := WalkingPair.right }))\n        s ≫\n      NatTrans.app\n        { pt := of (↑G × ↑H),\n            π :=\n              NatTrans.mk fun j =>\n                Discrete.casesOn j fun j => WalkingPair.casesOn j (AddMonoidHom.fst ↑G ↑H) (AddMonoidHom.snd ↑G ↑H) }.π\n        { as := WalkingPair.right } =\n    NatTrans.app s.π { as := WalkingPair.right }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nG H : AddCommGroupCat\ns : Cone (pair G H)\nm :\n  s.pt ⟶\n    { pt := of (↑G × ↑H),\n        π :=\n          NatTrans.mk fun j =>\n            Discrete.casesOn j fun j => WalkingPair.casesOn j (AddMonoidHom.fst ↑G ↑H) (AddMonoidHom.snd ↑G ↑H) }.pt\nw :\n  ∀ (j : Discrete WalkingPair),\n    m ≫\n        NatTrans.app\n          { pt := of (↑G × ↑H),\n              π :=\n                NatTrans.mk fun j =>\n                  Discrete.casesOn j fun j =>\n                    WalkingPair.casesOn j (AddMonoidHom.fst ↑G ↑H) (AddMonoidHom.snd ↑G ↑H) }.π\n          j =\n      NatTrans.app s.π j\n⊢ m =\n    (fun s =>\n        AddMonoidHom.prod (NatTrans.app s.π { as := WalkingPair.left }) (NatTrans.app s.π { as := WalkingPair.right }))\n      s\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [← w ⟨WalkingPair.left⟩, ← w ⟨WalkingPair.right⟩]\n[GOAL]\nG H : AddCommGroupCat\ns : Cone (pair G H)\nm :\n  s.pt ⟶\n    { pt := of (↑G × ↑H),\n        π :=\n          NatTrans.mk fun j =>\n            Discrete.casesOn j fun j => WalkingPair.casesOn j (AddMonoidHom.fst ↑G ↑H) (AddMonoidHom.snd ↑G ↑H) }.pt\nw :\n  ∀ (j : Discrete WalkingPair),\n    m ≫\n        NatTrans.app\n          { pt := of (↑G × ↑H),\n              π :=\n                NatTrans.mk fun j =>\n                  Discrete.casesOn j fun j =>\n                    WalkingPair.casesOn j (AddMonoidHom.fst ↑G ↑H) (AddMonoidHom.snd ↑G ↑H) }.π\n          j =\n      NatTrans.app s.π j\n⊢ m = AddMonoidHom.prod (m ≫ AddMonoidHom.fst ↑G ↑H) (m ≫ AddMonoidHom.snd ↑G ↑H)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nJ : Type w\nf : J → AddCommGroupCat\ns : Fan f\n⊢ (fun x j => ↑(NatTrans.app s.π { as := j }) x) 0 = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Functor.const_obj_obj, map_zero]\n[GOAL]\nJ : Type w\nf : J → AddCommGroupCat\ns : Fan f\n⊢ (fun j => 0) = 0\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nJ : Type w\nf : J → AddCommGroupCat\ns : Fan f\nx y : ↑s.pt\n⊢ ZeroHom.toFun\n      { toFun := fun x j => ↑(NatTrans.app s.π { as := j }) x,\n        map_zero' := (_ : (fun x j => ↑(NatTrans.app s.π { as := j }) x) 0 = 0) }\n      (x + y) =\n    ZeroHom.toFun\n        { toFun := fun x j => ↑(NatTrans.app s.π { as := j }) x,\n          map_zero' := (_ : (fun x j => ↑(NatTrans.app s.π { as := j }) x) 0 = 0) }\n        x +\n      ZeroHom.toFun\n        { toFun := fun x j => ↑(NatTrans.app s.π { as := j }) x,\n          map_zero' := (_ : (fun x j => ↑(NatTrans.app s.π { as := j }) x) 0 = 0) }\n        y\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Functor.const_obj_obj, map_add]\n[GOAL]\nJ : Type w\nf : J → AddCommGroupCat\ns : Fan f\nx y : ↑s.pt\n⊢ (fun j => ↑(NatTrans.app s.π { as := j }) x + ↑(NatTrans.app s.π { as := j }) y) =\n    (fun j => ↑(NatTrans.app s.π { as := j }) x) + fun j => ↑(NatTrans.app s.π { as := j }) y\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nJ : Type w\nf : J → AddCommGroupCat\ns : Cone (Discrete.functor f)\nm :\n  s.pt ⟶ { pt := of ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j.as }.pt\nw :\n  ∀ (j : Discrete J),\n    m ≫\n        NatTrans.app\n          { pt := of ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j.as }.π\n          j =\n      NatTrans.app s.π j\n⊢ m = lift f s\n[PROOFSTEP]\next x\n[GOAL]\ncase w\nJ : Type w\nf : J → AddCommGroupCat\ns : Cone (Discrete.functor f)\nm :\n  s.pt ⟶ { pt := of ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j.as }.pt\nw :\n  ∀ (j : Discrete J),\n    m ≫\n        NatTrans.app\n          { pt := of ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j.as }.π\n          j =\n      NatTrans.app s.π j\nx : ↑s.pt\n⊢ ↑m x = ↑(lift f s) x\n[PROOFSTEP]\nfunext j\n[GOAL]\ncase w.h\nJ : Type w\nf : J → AddCommGroupCat\ns : Cone (Discrete.functor f)\nm :\n  s.pt ⟶ { pt := of ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j.as }.pt\nw :\n  ∀ (j : Discrete J),\n    m ≫\n        NatTrans.app\n          { pt := of ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j.as }.π\n          j =\n      NatTrans.app s.π j\nx : ↑s.pt\nj : J\n⊢ ↑m x j = ↑(lift f s) x j\n[PROOFSTEP]\nexact congr_arg (fun g : s.pt ⟶ f j => (g : s.pt → f j) x) (w ⟨j⟩)\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.Algebra.Category.GroupCat.Biproducts", "llama_tokens": 3292, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nD : GlueData\ni j : D.J\n⊢ LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion (f (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i j)\n[PROOFSTEP]\napply GlueData.f_open\n[GOAL]\nD : GlueData\ni j : D.J\n⊢ SheafedSpace.IsOpenImmersion\n    (f (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)).toGlueData i j)\n[PROOFSTEP]\napply GlueData.f_open\n[GOAL]\nD : GlueData\ni j : D.J\n⊢ PresheafedSpace.IsOpenImmersion\n    (f\n      (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n          (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D))).toGlueData\n      i j)\n[PROOFSTEP]\napply GlueData.f_open\n[GOAL]\nD : GlueData\ni : D.J\n⊢ LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion (ι (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i)\n[PROOFSTEP]\napply LocallyRingedSpace.GlueData.ι_isOpenImmersion\n[GOAL]\nD : GlueData\n⊢ Scheme\n[PROOFSTEP]\napply LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion.scheme D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toGlueData.glued\n[GOAL]\nD : GlueData\n⊢ ∀ (x : ↑(LocallyRingedSpace.toTopCat (glued (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData))),\n    ∃ R f, x ∈ Set.range ↑f.val.base ∧ LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion f\n[PROOFSTEP]\nintro x\n[GOAL]\nD : GlueData\nx : ↑(LocallyRingedSpace.toTopCat (glued (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData))\n⊢ ∃ R f, x ∈ Set.range ↑f.val.base ∧ LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion f\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨i, y, rfl⟩ := D.toLocallyRingedSpaceGlueData.ι_jointly_surjective x\n[GOAL]\ncase intro.intro\nD : GlueData\ni : (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData.J\ny : ↑(LocallyRingedSpace.toTopCat (U (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i))\n⊢ ∃ R f,\n    ↑(ι (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i).val.base y ∈ Set.range ↑f.val.base ∧\n      LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion f\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨_, _ ≫ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toGlueData.ι i, _⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro.refine'_1\nD : GlueData\ni : (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData.J\ny : ↑(LocallyRingedSpace.toTopCat (U (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i))\n⊢ CommRingCat\ncase intro.intro.refine'_2\nD : GlueData\ni : (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData.J\ny : ↑(LocallyRingedSpace.toTopCat (U (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i))\n⊢ Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op ?intro.intro.refine'_1) ⟶ U (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i\ncase intro.intro.refine'_3\nD : GlueData\ni : (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData.J\ny : ↑(LocallyRingedSpace.toTopCat (U (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i))\n⊢ ↑(ι (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i).val.base y ∈\n      Set.range ↑(?intro.intro.refine'_2 ≫ ι (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i).val.base ∧\n    LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion (?intro.intro.refine'_2 ≫ ι (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i)\n[PROOFSTEP]\nswap\n[GOAL]\ncase intro.intro.refine'_2\nD : GlueData\ni : (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData.J\ny : ↑(LocallyRingedSpace.toTopCat (U (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i))\n⊢ Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op ?intro.intro.refine'_1) ⟶ U (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i\ncase intro.intro.refine'_1\nD : GlueData\ni : (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData.J\ny : ↑(LocallyRingedSpace.toTopCat (U (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i))\n⊢ CommRingCat\ncase intro.intro.refine'_3\nD : GlueData\ni : (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData.J\ny : ↑(LocallyRingedSpace.toTopCat (U (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i))\n⊢ ↑(ι (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i).val.base y ∈\n      Set.range ↑(?intro.intro.refine'_2 ≫ ι (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i).val.base ∧\n    LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion (?intro.intro.refine'_2 ≫ ι (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i)\n[PROOFSTEP]\nexact (D.U i).affineCover.map y\n[GOAL]\ncase intro.intro.refine'_3\nD : GlueData\ni : (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData.J\ny : ↑(LocallyRingedSpace.toTopCat (U (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i))\n⊢ ↑(ι (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i).val.base y ∈\n      Set.range\n        ↑(OpenCover.map (affineCover (U D.toGlueData i)) y ≫ ι (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i).val.base ∧\n    LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion\n      (OpenCover.map (affineCover (U D.toGlueData i)) y ≫ ι (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i)\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase intro.intro.refine'_3.left\nD : GlueData\ni : (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData.J\ny : ↑(LocallyRingedSpace.toTopCat (U (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i))\n⊢ ↑(ι (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i).val.base y ∈\n    Set.range\n      ↑(OpenCover.map (affineCover (U D.toGlueData i)) y ≫ ι (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i).val.base\n[PROOFSTEP]\ndsimp [-Set.mem_range]\n[GOAL]\ncase intro.intro.refine'_3.left\nD : GlueData\ni : (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData.J\ny : ↑(LocallyRingedSpace.toTopCat (U (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i))\n⊢ ↑(ι (mapGlueData D.toGlueData forgetToLocallyRingedSpace) i).val.base y ∈\n    Set.range\n      ↑((OpenCover.map (affineCover (U D.toGlueData i)) y).val.base ≫\n          (ι (mapGlueData D.toGlueData forgetToLocallyRingedSpace) i).val.base)\n[PROOFSTEP]\nrw [coe_comp, Set.range_comp]\n[GOAL]\ncase intro.intro.refine'_3.left\nD : GlueData\ni : (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData.J\ny : ↑(LocallyRingedSpace.toTopCat (U (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i))\n⊢ ↑(ι (mapGlueData D.toGlueData forgetToLocallyRingedSpace) i).val.base y ∈\n    ↑(ι (mapGlueData D.toGlueData forgetToLocallyRingedSpace) i).val.base ''\n      Set.range ↑(OpenCover.map (affineCover (U D.toGlueData i)) y).val.base\n[PROOFSTEP]\nrefine' Set.mem_image_of_mem _ _\n[GOAL]\ncase intro.intro.refine'_3.left\nD : GlueData\ni : (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData.J\ny : ↑(LocallyRingedSpace.toTopCat (U (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i))\n⊢ y ∈ Set.range ↑(OpenCover.map (affineCover (U D.toGlueData i)) y).val.base\n[PROOFSTEP]\nexact (D.U i).affineCover.Covers y\n[GOAL]\ncase intro.intro.refine'_3.right\nD : GlueData\ni : (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData.J\ny : ↑(LocallyRingedSpace.toTopCat (U (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i))\n⊢ LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion\n    (OpenCover.map (affineCover (U D.toGlueData i)) y ≫ ι (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i)\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\nD : GlueData\ni : D.J\n⊢ IsOpenImmersion (CategoryTheory.GlueData.ι D.toGlueData i)\n[PROOFSTEP]\nrw [← D.ι_isoLocallyRingedSpace_inv]\n[GOAL]\nD : GlueData\ni : D.J\n⊢ IsOpenImmersion\n    (CategoryTheory.GlueData.ι (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i ≫ (isoLocallyRingedSpace D).inv)\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\nD : GlueData\ni j : D.J\n⊢ f D.toGlueData i j ≫ ι D i = (t D.toGlueData i j ≫ f D.toGlueData j i) ≫ ι D j\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nD : GlueData\n⊢ ↑(glued D).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace ≅\n    CategoryTheory.GlueData.glued\n      (GlueData.toTopGlueData\n          (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n            (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)))).toGlueData\n[PROOFSTEP]\nrefine (PresheafedSpace.forget _).mapIso ?_ ≪≫ GlueData.gluedIso _ (PresheafedSpace.forget.{_, _, u} _)\n[GOAL]\nD : GlueData\n⊢ (glued D).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace ≅\n    CategoryTheory.GlueData.glued\n      (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n          (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D))).toGlueData\n[PROOFSTEP]\nrefine SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.mapIso ?_ ≪≫ SheafedSpace.GlueData.isoPresheafedSpace _\n[GOAL]\nD : GlueData\n⊢ (glued D).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace ≅\n    CategoryTheory.GlueData.glued\n      (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)).toGlueData\n[PROOFSTEP]\nrefine LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace.mapIso ?_ ≪≫ LocallyRingedSpace.GlueData.isoSheafedSpace _\n[GOAL]\nD : GlueData\n⊢ (glued D).toLocallyRingedSpace ≅ CategoryTheory.GlueData.glued (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData\n[PROOFSTEP]\nexact Scheme.GlueData.isoLocallyRingedSpace _\n[GOAL]\nD : GlueData\ni : D.J\n⊢ CategoryTheory.GlueData.ι\n        (GlueData.toTopGlueData\n            (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n              (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)))).toGlueData\n        i ≫\n      (isoCarrier D).inv =\n    (ι D i).val.base\n[PROOFSTEP]\ndelta isoCarrier\n[GOAL]\nD : GlueData\ni : D.J\n⊢ CategoryTheory.GlueData.ι\n        (GlueData.toTopGlueData\n            (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n              (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)))).toGlueData\n        i ≫\n      ((PresheafedSpace.forget CommRingCat).mapIso\n            (SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.mapIso\n                (LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace.mapIso (isoLocallyRingedSpace D) ≪≫\n                  LocallyRingedSpace.GlueData.isoSheafedSpace (toLocallyRingedSpaceGlueData D)) ≪≫\n              SheafedSpace.GlueData.isoPresheafedSpace\n                (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D))) ≪≫\n          gluedIso\n            (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n                (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D))).toGlueData\n            (PresheafedSpace.forget CommRingCat)).inv =\n    (ι D i).val.base\n[PROOFSTEP]\nrw [Iso.trans_inv, GlueData.ι_gluedIso_inv_assoc, Functor.mapIso_inv, Iso.trans_inv, Functor.mapIso_inv, Iso.trans_inv,\n  SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace_map, forget_map, forget_map, ← comp_base, ← Category.assoc,\n  D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.ι_isoPresheafedSpace_inv i]\n[GOAL]\nD : GlueData\ni : D.J\n⊢ (CategoryTheory.GlueData.ι\n          (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)).toGlueData i ≫\n        (LocallyRingedSpace.GlueData.isoSheafedSpace (toLocallyRingedSpaceGlueData D)).inv ≫\n          (LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace.mapIso (isoLocallyRingedSpace D)).inv).base =\n    (ι D i).val.base\n[PROOFSTEP]\nerw [← Category.assoc, D.toLocallyRingedSpaceGlueData.ι_isoSheafedSpace_inv i]\n[GOAL]\nD : GlueData\ni : D.J\n⊢ ((CategoryTheory.GlueData.ι (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i).val ≫\n        (LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace.mapIso (isoLocallyRingedSpace D)).inv).base =\n    (ι D i).val.base\n[PROOFSTEP]\nchange (_ ≫ D.isoLocallyRingedSpace.inv).1.base = _\n[GOAL]\nD : GlueData\ni : D.J\n⊢ (CategoryTheory.GlueData.ι (toLocallyRingedSpaceGlueData D).toGlueData i ≫ (isoLocallyRingedSpace D).inv).val.base =\n    (ι D i).val.base\n[PROOFSTEP]\nrw [D.ι_isoLocallyRingedSpace_inv i]\n[GOAL]\nD : GlueData\ni j : D.J\nx : ↑↑(U D.toGlueData i).toPresheafedSpace\ny : ↑↑(U D.toGlueData j).toPresheafedSpace\n⊢ ↑(CategoryTheory.GlueData.ι D.toGlueData i).val.base x = ↑(CategoryTheory.GlueData.ι D.toGlueData j).val.base y ↔\n    Rel D { fst := i, snd := x } { fst := j, snd := y }\n[PROOFSTEP]\nrefine'\n  Iff.trans _\n    (TopCat.GlueData.ι_eq_iff_rel\n      D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData i j x y)\n[GOAL]\nD : GlueData\ni j : D.J\nx : ↑↑(U D.toGlueData i).toPresheafedSpace\ny : ↑↑(U D.toGlueData j).toPresheafedSpace\n⊢ ↑(CategoryTheory.GlueData.ι D.toGlueData i).val.base x = ↑(CategoryTheory.GlueData.ι D.toGlueData j).val.base y ↔\n    ↑(CategoryTheory.GlueData.ι\n            (GlueData.toTopGlueData\n                (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n                  (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)))).toGlueData\n            i)\n        x =\n      ↑(CategoryTheory.GlueData.ι\n            (GlueData.toTopGlueData\n                (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n                  (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)))).toGlueData\n            j)\n        y\n[PROOFSTEP]\nrw [← ((TopCat.mono_iff_injective D.isoCarrier.inv).mp _).eq_iff]\n[GOAL]\nD : GlueData\ni j : D.J\nx : ↑↑(U D.toGlueData i).toPresheafedSpace\ny : ↑↑(U D.toGlueData j).toPresheafedSpace\n⊢ ↑(CategoryTheory.GlueData.ι D.toGlueData i).val.base x = ↑(CategoryTheory.GlueData.ι D.toGlueData j).val.base y ↔\n    ↑(isoCarrier D).inv\n        (↑(CategoryTheory.GlueData.ι\n              (GlueData.toTopGlueData\n                  (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n                    (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)))).toGlueData\n              i)\n          x) =\n      ↑(isoCarrier D).inv\n        (↑(CategoryTheory.GlueData.ι\n              (GlueData.toTopGlueData\n                  (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n                    (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)))).toGlueData\n              j)\n          y)\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [← comp_apply, ← D.ι_isoCarrier_inv]\n[GOAL]\nD : GlueData\ni j : D.J\nx : ↑↑(U D.toGlueData i).toPresheafedSpace\ny : ↑↑(U D.toGlueData j).toPresheafedSpace\n⊢ ↑(CategoryTheory.GlueData.ι\n              (mapGlueData\n                (mapGlueData\n                  (mapGlueData (mapGlueData D.toGlueData forgetToLocallyRingedSpace)\n                    LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace)\n                  SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace)\n                (PresheafedSpace.forget CommRingCat))\n              i ≫\n            (isoCarrier D).inv)\n        x =\n      ↑(CategoryTheory.GlueData.ι\n              (mapGlueData\n                (mapGlueData\n                  (mapGlueData (mapGlueData D.toGlueData forgetToLocallyRingedSpace)\n                    LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace)\n                  SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace)\n                (PresheafedSpace.forget CommRingCat))\n              j ≫\n            (isoCarrier D).inv)\n        y ↔\n    ↑(CategoryTheory.GlueData.ι\n              (mapGlueData\n                (mapGlueData\n                  (mapGlueData (mapGlueData D.toGlueData forgetToLocallyRingedSpace)\n                    LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace)\n                  SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace)\n                (PresheafedSpace.forget CommRingCat))\n              i ≫\n            (isoCarrier D).inv)\n        x =\n      ↑(CategoryTheory.GlueData.ι\n              (mapGlueData\n                (mapGlueData\n                  (mapGlueData (mapGlueData D.toGlueData forgetToLocallyRingedSpace)\n                    LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace)\n                  SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace)\n                (PresheafedSpace.forget CommRingCat))\n              j ≫\n            (isoCarrier D).inv)\n        y\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nD : GlueData\ni j : D.J\nx : ↑↑(U D.toGlueData i).toPresheafedSpace\ny : ↑↑(U D.toGlueData j).toPresheafedSpace\n⊢ Mono (isoCarrier D).inv\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\nD : GlueData\nU : Set ↑↑(glued D).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace\n⊢ IsOpen U ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (↑(ι D i).val.base ⁻¹' U)\n[PROOFSTEP]\nrw [← (TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm).isOpen_preimage]\n[GOAL]\nD : GlueData\nU : Set ↑↑(glued D).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace\n⊢ IsOpen (↑(TopCat.homeoOfIso (isoCarrier D).symm) ⁻¹' U) ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (↑(ι D i).val.base ⁻¹' U)\n[PROOFSTEP]\nrw [TopCat.GlueData.isOpen_iff]\n[GOAL]\nD : GlueData\nU : Set ↑↑(glued D).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace\n⊢ (∀\n      (i :\n        (GlueData.toTopGlueData\n              (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n                (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)))).toGlueData.J),\n      IsOpen\n        (↑(CategoryTheory.GlueData.ι\n              (GlueData.toTopGlueData\n                  (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n                    (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)))).toGlueData\n              i) ⁻¹'\n          (↑(TopCat.homeoOfIso (isoCarrier D).symm) ⁻¹' U))) ↔\n    ∀ (i : D.J), IsOpen (↑(ι D i).val.base ⁻¹' U)\n[PROOFSTEP]\napply forall_congr'\n[GOAL]\ncase h\nD : GlueData\nU : Set ↑↑(glued D).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace\n⊢ ∀\n    (a :\n      (GlueData.toTopGlueData\n            (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n              (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)))).toGlueData.J),\n    IsOpen\n        (↑(CategoryTheory.GlueData.ι\n              (GlueData.toTopGlueData\n                  (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n                    (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)))).toGlueData\n              a) ⁻¹'\n          (↑(TopCat.homeoOfIso (isoCarrier D).symm) ⁻¹' U)) ↔\n      IsOpen (↑(ι D a).val.base ⁻¹' U)\n[PROOFSTEP]\nintro i\n[GOAL]\ncase h\nD : GlueData\nU : Set ↑↑(glued D).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace\ni :\n  (GlueData.toTopGlueData\n        (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n          (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)))).toGlueData.J\n⊢ IsOpen\n      (↑(CategoryTheory.GlueData.ι\n            (GlueData.toTopGlueData\n                (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n                  (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)))).toGlueData\n            i) ⁻¹'\n        (↑(TopCat.homeoOfIso (isoCarrier D).symm) ⁻¹' U)) ↔\n    IsOpen (↑(ι D i).val.base ⁻¹' U)\n[PROOFSTEP]\nerw [← Set.preimage_comp, ← ι_isoCarrier_inv]\n[GOAL]\ncase h\nD : GlueData\nU : Set ↑↑(glued D).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace\ni :\n  (GlueData.toTopGlueData\n        (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n          (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)))).toGlueData.J\n⊢ IsOpen\n      (↑(TopCat.homeoOfIso (isoCarrier D).symm) ∘\n          ↑(CategoryTheory.GlueData.ι\n              (GlueData.toTopGlueData\n                  (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n                    (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)))).toGlueData\n              i) ⁻¹'\n        U) ↔\n    IsOpen\n      (↑(CategoryTheory.GlueData.ι\n              (GlueData.toTopGlueData\n                  (SheafedSpace.GlueData.toPresheafedSpaceGlueData\n                    (LocallyRingedSpace.GlueData.toSheafedSpaceGlueData (toLocallyRingedSpaceGlueData D)))).toGlueData\n              i ≫\n            (isoCarrier D).inv) ⁻¹'\n        U)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ pullback pullback.fst pullback.fst ⟶ pullback pullback.fst pullback.fst\n[PROOFSTEP]\nrefine' (pullbackRightPullbackFstIso _ _ _).hom ≫ _\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ pullback (pullback.fst ≫ map 𝒰 x) (map 𝒰 z) ⟶ pullback pullback.fst pullback.fst\n[PROOFSTEP]\nrefine' _ ≫ (pullbackSymmetry _ _).hom\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ pullback (pullback.fst ≫ map 𝒰 x) (map 𝒰 z) ⟶ pullback pullback.fst pullback.fst\n[PROOFSTEP]\nrefine' _ ≫ (pullbackRightPullbackFstIso _ _ _).inv\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ pullback (pullback.fst ≫ map 𝒰 x) (map 𝒰 z) ⟶ pullback (pullback.fst ≫ map 𝒰 y) (map 𝒰 z)\n[PROOFSTEP]\nrefine' pullback.map _ _ _ _ (pullbackSymmetry _ _).hom (𝟙 _) (𝟙 _) _ _\n[GOAL]\ncase refine'_1\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ (pullback.fst ≫ map 𝒰 x) ≫ 𝟙 X = (pullbackSymmetry (map 𝒰 x) (map 𝒰 y)).hom ≫ pullback.fst ≫ map 𝒰 y\n[PROOFSTEP]\nsimp [pullback.condition]\n[GOAL]\ncase refine'_2\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ map 𝒰 z ≫ 𝟙 X = 𝟙 (obj 𝒰 z) ≫ map 𝒰 z\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ gluedCoverT' 𝒰 x y z ≫ pullback.fst ≫ pullback.fst = pullback.fst ≫ pullback.snd\n[PROOFSTEP]\ndelta gluedCoverT'\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ ((pullbackRightPullbackFstIso (map 𝒰 x) (map 𝒰 z) pullback.fst).hom ≫\n        (pullback.map (pullback.fst ≫ map 𝒰 x) (map 𝒰 z) (pullback.fst ≫ map 𝒰 y) (map 𝒰 z)\n              (pullbackSymmetry (map 𝒰 x) (map 𝒰 y)).hom (𝟙 (obj 𝒰 z)) (𝟙 X)\n              (_ : (pullback.fst ≫ map 𝒰 x) ≫ 𝟙 X = (pullbackSymmetry (map 𝒰 x) (map 𝒰 y)).hom ≫ pullback.fst ≫ map 𝒰 y)\n              (_ : map 𝒰 z ≫ 𝟙 X = 𝟙 (obj 𝒰 z) ≫ map 𝒰 z) ≫\n            (pullbackRightPullbackFstIso (map 𝒰 y) (map 𝒰 z) pullback.fst).inv) ≫\n          (pullbackSymmetry pullback.fst pullback.fst).hom) ≫\n      pullback.fst ≫ pullback.fst =\n    pullback.fst ≫ pullback.snd\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ gluedCoverT' 𝒰 x y z ≫ pullback.fst ≫ pullback.snd = pullback.snd ≫ pullback.snd\n[PROOFSTEP]\ndelta gluedCoverT'\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ ((pullbackRightPullbackFstIso (map 𝒰 x) (map 𝒰 z) pullback.fst).hom ≫\n        (pullback.map (pullback.fst ≫ map 𝒰 x) (map 𝒰 z) (pullback.fst ≫ map 𝒰 y) (map 𝒰 z)\n              (pullbackSymmetry (map 𝒰 x) (map 𝒰 y)).hom (𝟙 (obj 𝒰 z)) (𝟙 X)\n              (_ : (pullback.fst ≫ map 𝒰 x) ≫ 𝟙 X = (pullbackSymmetry (map 𝒰 x) (map 𝒰 y)).hom ≫ pullback.fst ≫ map 𝒰 y)\n              (_ : map 𝒰 z ≫ 𝟙 X = 𝟙 (obj 𝒰 z) ≫ map 𝒰 z) ≫\n            (pullbackRightPullbackFstIso (map 𝒰 y) (map 𝒰 z) pullback.fst).inv) ≫\n          (pullbackSymmetry pullback.fst pullback.fst).hom) ≫\n      pullback.fst ≫ pullback.snd =\n    pullback.snd ≫ pullback.snd\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ gluedCoverT' 𝒰 x y z ≫ pullback.snd ≫ pullback.fst = pullback.fst ≫ pullback.snd\n[PROOFSTEP]\ndelta gluedCoverT'\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ ((pullbackRightPullbackFstIso (map 𝒰 x) (map 𝒰 z) pullback.fst).hom ≫\n        (pullback.map (pullback.fst ≫ map 𝒰 x) (map 𝒰 z) (pullback.fst ≫ map 𝒰 y) (map 𝒰 z)\n              (pullbackSymmetry (map 𝒰 x) (map 𝒰 y)).hom (𝟙 (obj 𝒰 z)) (𝟙 X)\n              (_ : (pullback.fst ≫ map 𝒰 x) ≫ 𝟙 X = (pullbackSymmetry (map 𝒰 x) (map 𝒰 y)).hom ≫ pullback.fst ≫ map 𝒰 y)\n              (_ : map 𝒰 z ≫ 𝟙 X = 𝟙 (obj 𝒰 z) ≫ map 𝒰 z) ≫\n            (pullbackRightPullbackFstIso (map 𝒰 y) (map 𝒰 z) pullback.fst).inv) ≫\n          (pullbackSymmetry pullback.fst pullback.fst).hom) ≫\n      pullback.snd ≫ pullback.fst =\n    pullback.fst ≫ pullback.snd\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ gluedCoverT' 𝒰 x y z ≫ pullback.snd ≫ pullback.snd = pullback.fst ≫ pullback.fst\n[PROOFSTEP]\ndelta gluedCoverT'\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ ((pullbackRightPullbackFstIso (map 𝒰 x) (map 𝒰 z) pullback.fst).hom ≫\n        (pullback.map (pullback.fst ≫ map 𝒰 x) (map 𝒰 z) (pullback.fst ≫ map 𝒰 y) (map 𝒰 z)\n              (pullbackSymmetry (map 𝒰 x) (map 𝒰 y)).hom (𝟙 (obj 𝒰 z)) (𝟙 X)\n              (_ : (pullback.fst ≫ map 𝒰 x) ≫ 𝟙 X = (pullbackSymmetry (map 𝒰 x) (map 𝒰 y)).hom ≫ pullback.fst ≫ map 𝒰 y)\n              (_ : map 𝒰 z ≫ 𝟙 X = 𝟙 (obj 𝒰 z) ≫ map 𝒰 z) ≫\n            (pullbackRightPullbackFstIso (map 𝒰 y) (map 𝒰 z) pullback.fst).inv) ≫\n          (pullbackSymmetry pullback.fst pullback.fst).hom) ≫\n      pullback.snd ≫ pullback.snd =\n    pullback.fst ≫ pullback.fst\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ gluedCoverT' 𝒰 x y z ≫ gluedCoverT' 𝒰 y z x ≫ gluedCoverT' 𝒰 z x y ≫ pullback.fst = pullback.fst\n[PROOFSTEP]\napply pullback.hom_ext\n[GOAL]\ncase h₀\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ (gluedCoverT' 𝒰 x y z ≫ gluedCoverT' 𝒰 y z x ≫ gluedCoverT' 𝒰 z x y ≫ pullback.fst) ≫ pullback.fst =\n    pullback.fst ≫ pullback.fst\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase h₁\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ (gluedCoverT' 𝒰 x y z ≫ gluedCoverT' 𝒰 y z x ≫ gluedCoverT' 𝒰 z x y ≫ pullback.fst) ≫ pullback.snd =\n    pullback.fst ≫ pullback.snd\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ gluedCoverT' 𝒰 x y z ≫ gluedCoverT' 𝒰 y z x ≫ gluedCoverT' 𝒰 z x y ≫ pullback.snd = pullback.snd\n[PROOFSTEP]\napply pullback.hom_ext\n[GOAL]\ncase h₀\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ (gluedCoverT' 𝒰 x y z ≫ gluedCoverT' 𝒰 y z x ≫ gluedCoverT' 𝒰 z x y ≫ pullback.snd) ≫ pullback.fst =\n    pullback.snd ≫ pullback.fst\n[PROOFSTEP]\nsimp [pullback.condition]\n[GOAL]\ncase h₁\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ (gluedCoverT' 𝒰 x y z ≫ gluedCoverT' 𝒰 y z x ≫ gluedCoverT' 𝒰 z x y ≫ pullback.snd) ≫ pullback.snd =\n    pullback.snd ≫ pullback.snd\n[PROOFSTEP]\nsimp [pullback.condition]\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ gluedCoverT' 𝒰 x y z ≫ gluedCoverT' 𝒰 y z x ≫ gluedCoverT' 𝒰 z x y = 𝟙 (pullback pullback.fst pullback.fst)\n[PROOFSTEP]\napply pullback.hom_ext\n[GOAL]\ncase h₀\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ (gluedCoverT' 𝒰 x y z ≫ gluedCoverT' 𝒰 y z x ≫ gluedCoverT' 𝒰 z x y) ≫ pullback.fst =\n    𝟙 (pullback pullback.fst pullback.fst) ≫ pullback.fst\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [Category.id_comp, Category.assoc]\n[GOAL]\ncase h₁\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ (gluedCoverT' 𝒰 x y z ≫ gluedCoverT' 𝒰 y z x ≫ gluedCoverT' 𝒰 z x y) ≫ pullback.snd =\n    𝟙 (pullback pullback.fst pullback.fst) ≫ pullback.snd\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [Category.id_comp, Category.assoc]\n[GOAL]\ncase h₀\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ gluedCoverT' 𝒰 x y z ≫ gluedCoverT' 𝒰 y z x ≫ gluedCoverT' 𝒰 z x y ≫ pullback.fst = pullback.fst\ncase h₁\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ gluedCoverT' 𝒰 x y z ≫ gluedCoverT' 𝒰 y z x ≫ gluedCoverT' 𝒰 z x y ≫ pullback.snd = pullback.snd\n[PROOFSTEP]\napply glued_cover_cocycle_fst\n[GOAL]\ncase h₁\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ gluedCoverT' 𝒰 x y z ≫ gluedCoverT' 𝒰 y z x ≫ gluedCoverT' 𝒰 z x y ≫ pullback.snd = pullback.snd\n[PROOFSTEP]\napply glued_cover_cocycle_snd\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx : 𝒰.J\n⊢ (fun x y => (pullbackSymmetry (map 𝒰 x) (map 𝒰 y)).hom) x x =\n    𝟙\n      ((fun x =>\n          match x with\n          | (x, y) => pullback (map 𝒰 x) (map 𝒰 y))\n        (x, x))\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ (fun x y z => gluedCoverT' 𝒰 x y z) x y z ≫ pullback.snd =\n    pullback.fst ≫ (fun x y => (pullbackSymmetry (map 𝒰 x) (map 𝒰 y)).hom) x y\n[PROOFSTEP]\napply pullback.hom_ext\n[GOAL]\ncase h₀\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ ((fun x y z => gluedCoverT' 𝒰 x y z) x y z ≫ pullback.snd) ≫ pullback.fst =\n    (pullback.fst ≫ (fun x y => (pullbackSymmetry (map 𝒰 x) (map 𝒰 y)).hom) x y) ≫ pullback.fst\n[PROOFSTEP]\nsimp\n  -- The `cocycle` field could have been `by tidy` but lean timeouts.\n[GOAL]\ncase h₁\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y z : 𝒰.J\n⊢ ((fun x y z => gluedCoverT' 𝒰 x y z) x y z ≫ pullback.snd) ≫ pullback.snd =\n    (pullback.fst ≫ (fun x y => (pullbackSymmetry (map 𝒰 x) (map 𝒰 y)).hom) x y) ≫ pullback.snd\n[PROOFSTEP]\nsimp\n  -- The `cocycle` field could have been `by tidy` but lean timeouts.\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\n⊢ GlueData.glued (gluedCover 𝒰) ⟶ X\n[PROOFSTEP]\nfapply Multicoequalizer.desc\n[GOAL]\ncase k\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\n⊢ (b : (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData).R) → MultispanIndex.right (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) b ⟶ X\ncase h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\n⊢ ∀ (a : (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData).L),\n    MultispanIndex.fst (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) a ≫\n        ?k (MultispanIndex.fstFrom (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) a) =\n      MultispanIndex.snd (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) a ≫\n        ?k (MultispanIndex.sndFrom (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) a)\n[PROOFSTEP]\nexact fun x => 𝒰.map x\n[GOAL]\ncase h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\n⊢ ∀ (a : (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData).L),\n    MultispanIndex.fst (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) a ≫\n        map 𝒰 (MultispanIndex.fstFrom (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) a) =\n      MultispanIndex.snd (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) a ≫\n        map 𝒰 (MultispanIndex.sndFrom (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) a)\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨x, y⟩\n[GOAL]\ncase h.mk\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\n⊢ MultispanIndex.fst (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) (x, y) ≫\n      map 𝒰 (MultispanIndex.fstFrom (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) (x, y)) =\n    MultispanIndex.snd (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) (x, y) ≫\n      map 𝒰 (MultispanIndex.sndFrom (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) (x, y))\n[PROOFSTEP]\nchange pullback.fst ≫ _ = ((pullbackSymmetry _ _).hom ≫ pullback.fst) ≫ _\n[GOAL]\ncase h.mk\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\n⊢ pullback.fst ≫ map 𝒰 (MultispanIndex.fstFrom (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) (x, y)) =\n    ((pullbackSymmetry (map 𝒰 x) (map 𝒰 y)).hom ≫ pullback.fst) ≫\n      map 𝒰 (MultispanIndex.sndFrom (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) (x, y))\n[PROOFSTEP]\nsimpa using pullback.condition\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\n⊢ Function.Injective ↑(fromGlued 𝒰).val.base\n[PROOFSTEP]\nintro x y h\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx y :\n  (CategoryTheory.forget TopCat).obj\n    ↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace\nh : ↑(fromGlued 𝒰).val.base x = ↑(fromGlued 𝒰).val.base y\n⊢ x = y\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨i, x, rfl⟩ := 𝒰.gluedCover.ι_jointly_surjective x\n[GOAL]\ncase intro.intro\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ny :\n  (CategoryTheory.forget TopCat).obj\n    ↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nh : ↑(fromGlued 𝒰).val.base (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base x) = ↑(fromGlued 𝒰).val.base y\n⊢ ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base x = y\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨j, y, rfl⟩ := 𝒰.gluedCover.ι_jointly_surjective y\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nj : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\ny : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData j).toPresheafedSpace\nh :\n  ↑(fromGlued 𝒰).val.base (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base x) =\n    ↑(fromGlued 𝒰).val.base (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) j).val.base y)\n⊢ ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base x = ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) j).val.base y\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [← comp_apply, ← SheafedSpace.comp_base, ← LocallyRingedSpace.comp_val] at h \n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nj : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\ny : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData j).toPresheafedSpace\nh : ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i ≫ fromGlued 𝒰).val.base x = ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) j ≫ fromGlued 𝒰).val.base y\n⊢ ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base x = ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) j).val.base y\n[PROOFSTEP]\nerw [ι_fromGlued, ι_fromGlued] at h \n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nj : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\ny : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData j).toPresheafedSpace\nh : ↑(map 𝒰 i).val.base x = ↑(map 𝒰 j).val.base y\n⊢ ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base x = ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) j).val.base y\n[PROOFSTEP]\nlet e :=\n  (TopCat.pullbackConeIsLimit _ _).conePointUniqueUpToIso\n    (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit Scheme.forgetToTop (𝒰.map i) (𝒰.map j))\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nj : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\ny : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData j).toPresheafedSpace\nh : ↑(map 𝒰 i).val.base x = ↑(map 𝒰 j).val.base y\ne : (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt ≅\n  (PullbackCone.mk (forgetToTop.map pullback.fst) (forgetToTop.map pullback.snd)\n      (_ :\n        forgetToTop.map pullback.fst ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 i) =\n          forgetToTop.map pullback.snd ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt :=\n  IsLimit.conePointUniqueUpToIso (TopCat.pullbackConeIsLimit (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j)))\n    (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit forgetToTop (map 𝒰 i) (map 𝒰 j))\n⊢ ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base x = ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) j).val.base y\n[PROOFSTEP]\nrw [𝒰.gluedCover.ι_eq_iff]\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nj : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\ny : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData j).toPresheafedSpace\nh : ↑(map 𝒰 i).val.base x = ↑(map 𝒰 j).val.base y\ne : (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt ≅\n  (PullbackCone.mk (forgetToTop.map pullback.fst) (forgetToTop.map pullback.snd)\n      (_ :\n        forgetToTop.map pullback.fst ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 i) =\n          forgetToTop.map pullback.snd ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt :=\n  IsLimit.conePointUniqueUpToIso (TopCat.pullbackConeIsLimit (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j)))\n    (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit forgetToTop (map 𝒰 i) (map 𝒰 j))\n⊢ GlueData.Rel (gluedCover 𝒰) { fst := i, snd := x } { fst := j, snd := y }\n[PROOFSTEP]\nright\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro.intro.h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nj : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\ny : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData j).toPresheafedSpace\nh : ↑(map 𝒰 i).val.base x = ↑(map 𝒰 j).val.base y\ne : (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt ≅\n  (PullbackCone.mk (forgetToTop.map pullback.fst) (forgetToTop.map pullback.snd)\n      (_ :\n        forgetToTop.map pullback.fst ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 i) =\n          forgetToTop.map pullback.snd ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt :=\n  IsLimit.conePointUniqueUpToIso (TopCat.pullbackConeIsLimit (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j)))\n    (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit forgetToTop (map 𝒰 i) (map 𝒰 j))\n⊢ ∃ x_1,\n    ↑(GlueData.f (gluedCover 𝒰).toGlueData { fst := i, snd := x }.fst { fst := j, snd := y }.fst).val.base x_1 =\n        { fst := i, snd := x }.snd ∧\n      ↑(t (gluedCover 𝒰).toGlueData { fst := i, snd := x }.fst { fst := j, snd := y }.fst ≫\n                  GlueData.f (gluedCover 𝒰).toGlueData { fst := j, snd := y }.fst { fst := i, snd := x }.fst).val.base\n          x_1 =\n        { fst := j, snd := y }.snd\n[PROOFSTEP]\nuse e.hom ⟨⟨x, y⟩, h⟩\n[GOAL]\ncase h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nj : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\ny : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData j).toPresheafedSpace\nh : ↑(map 𝒰 i).val.base x = ↑(map 𝒰 j).val.base y\ne : (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt ≅\n  (PullbackCone.mk (forgetToTop.map pullback.fst) (forgetToTop.map pullback.snd)\n      (_ :\n        forgetToTop.map pullback.fst ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 i) =\n          forgetToTop.map pullback.snd ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt :=\n  IsLimit.conePointUniqueUpToIso (TopCat.pullbackConeIsLimit (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j)))\n    (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit forgetToTop (map 𝒰 i) (map 𝒰 j))\n⊢ ↑(GlueData.f (gluedCover 𝒰).toGlueData { fst := i, snd := x }.fst { fst := j, snd := y }.fst).val.base\n        (↑e.hom { val := (x, y), property := h }) =\n      { fst := i, snd := x }.snd ∧\n    ↑(t (gluedCover 𝒰).toGlueData { fst := i, snd := x }.fst { fst := j, snd := y }.fst ≫\n                GlueData.f (gluedCover 𝒰).toGlueData { fst := j, snd := y }.fst { fst := i, snd := x }.fst).val.base\n        (↑e.hom { val := (x, y), property := h }) =\n      { fst := j, snd := y }.snd\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n  -- Porting note: in the two subproofs below, added the `change` lines\n[GOAL]\ncase h.left\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nj : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\ny : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData j).toPresheafedSpace\nh : ↑(map 𝒰 i).val.base x = ↑(map 𝒰 j).val.base y\ne : (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt ≅\n  (PullbackCone.mk (forgetToTop.map pullback.fst) (forgetToTop.map pullback.snd)\n      (_ :\n        forgetToTop.map pullback.fst ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 i) =\n          forgetToTop.map pullback.snd ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt :=\n  IsLimit.conePointUniqueUpToIso (TopCat.pullbackConeIsLimit (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j)))\n    (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit forgetToTop (map 𝒰 i) (map 𝒰 j))\n⊢ ↑(GlueData.f (gluedCover 𝒰).toGlueData { fst := i, snd := x }.fst { fst := j, snd := y }.fst).val.base\n      (↑e.hom { val := (x, y), property := h }) =\n    { fst := i, snd := x }.snd\n[PROOFSTEP]\nchange (e.hom ≫ _) ⟨(x, y), h⟩ = x\n[GOAL]\ncase h.left\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nj : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\ny : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData j).toPresheafedSpace\nh : ↑(map 𝒰 i).val.base x = ↑(map 𝒰 j).val.base y\ne : (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt ≅\n  (PullbackCone.mk (forgetToTop.map pullback.fst) (forgetToTop.map pullback.snd)\n      (_ :\n        forgetToTop.map pullback.fst ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 i) =\n          forgetToTop.map pullback.snd ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt :=\n  IsLimit.conePointUniqueUpToIso (TopCat.pullbackConeIsLimit (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j)))\n    (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit forgetToTop (map 𝒰 i) (map 𝒰 j))\n⊢ ↑(e.hom ≫ (GlueData.f (gluedCover 𝒰).toGlueData { fst := i, snd := x }.fst { fst := j, snd := y }.fst).val.base)\n      { val := (x, y), property := h } =\n    x\n[PROOFSTEP]\nerw [IsLimit.conePointUniqueUpToIso_hom_comp _ _ WalkingCospan.left]\n[GOAL]\ncase h.left\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nj : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\ny : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData j).toPresheafedSpace\nh : ↑(map 𝒰 i).val.base x = ↑(map 𝒰 j).val.base y\ne : (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt ≅\n  (PullbackCone.mk (forgetToTop.map pullback.fst) (forgetToTop.map pullback.snd)\n      (_ :\n        forgetToTop.map pullback.fst ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 i) =\n          forgetToTop.map pullback.snd ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt :=\n  IsLimit.conePointUniqueUpToIso (TopCat.pullbackConeIsLimit (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j)))\n    (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit forgetToTop (map 𝒰 i) (map 𝒰 j))\n⊢ ↑(NatTrans.app (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j))).π WalkingCospan.left)\n      { val := (x, y), property := h } =\n    x\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase h.right\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nj : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\ny : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData j).toPresheafedSpace\nh : ↑(map 𝒰 i).val.base x = ↑(map 𝒰 j).val.base y\ne : (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt ≅\n  (PullbackCone.mk (forgetToTop.map pullback.fst) (forgetToTop.map pullback.snd)\n      (_ :\n        forgetToTop.map pullback.fst ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 i) =\n          forgetToTop.map pullback.snd ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt :=\n  IsLimit.conePointUniqueUpToIso (TopCat.pullbackConeIsLimit (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j)))\n    (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit forgetToTop (map 𝒰 i) (map 𝒰 j))\n⊢ ↑(t (gluedCover 𝒰).toGlueData { fst := i, snd := x }.fst { fst := j, snd := y }.fst ≫\n              GlueData.f (gluedCover 𝒰).toGlueData { fst := j, snd := y }.fst { fst := i, snd := x }.fst).val.base\n      (↑e.hom { val := (x, y), property := h }) =\n    { fst := j, snd := y }.snd\n[PROOFSTEP]\nchange (e.hom ≫ ((gluedCover 𝒰).toGlueData.t i j ≫ (gluedCover 𝒰).toGlueData.f j i).val.base) ⟨(x, y), h⟩ = y\n[GOAL]\ncase h.right\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nj : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\ny : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData j).toPresheafedSpace\nh : ↑(map 𝒰 i).val.base x = ↑(map 𝒰 j).val.base y\ne : (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt ≅\n  (PullbackCone.mk (forgetToTop.map pullback.fst) (forgetToTop.map pullback.snd)\n      (_ :\n        forgetToTop.map pullback.fst ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 i) =\n          forgetToTop.map pullback.snd ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt :=\n  IsLimit.conePointUniqueUpToIso (TopCat.pullbackConeIsLimit (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j)))\n    (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit forgetToTop (map 𝒰 i) (map 𝒰 j))\n⊢ ↑(e.hom ≫ (t (gluedCover 𝒰).toGlueData i j ≫ GlueData.f (gluedCover 𝒰).toGlueData j i).val.base)\n      { val := (x, y), property := h } =\n    y\n[PROOFSTEP]\nerw [pullbackSymmetry_hom_comp_fst, IsLimit.conePointUniqueUpToIso_hom_comp _ _ WalkingCospan.right]\n[GOAL]\ncase h.right\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nj : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\ny : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData j).toPresheafedSpace\nh : ↑(map 𝒰 i).val.base x = ↑(map 𝒰 j).val.base y\ne : (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt ≅\n  (PullbackCone.mk (forgetToTop.map pullback.fst) (forgetToTop.map pullback.snd)\n      (_ :\n        forgetToTop.map pullback.fst ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 i) =\n          forgetToTop.map pullback.snd ≫ forgetToTop.map (map 𝒰 j))).pt :=\n  IsLimit.conePointUniqueUpToIso (TopCat.pullbackConeIsLimit (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j)))\n    (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit forgetToTop (map 𝒰 i) (map 𝒰 j))\n⊢ ↑(NatTrans.app (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (map 𝒰 i)) (forgetToTop.map (map 𝒰 j))).π WalkingCospan.right)\n      { val := (x, y), property := h } =\n    y\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx : ↑↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace\n⊢ IsIso (stalkMap (fromGlued 𝒰).val x)\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨i, x, rfl⟩ := 𝒰.gluedCover.ι_jointly_surjective x\n[GOAL]\ncase intro.intro\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\n⊢ IsIso (stalkMap (fromGlued 𝒰).val (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base x))\n[PROOFSTEP]\nhave := PresheafedSpace.stalkMap.congr_hom _ _ (congr_arg LocallyRingedSpace.Hom.val <| 𝒰.ι_fromGlued i) x\n[GOAL]\ncase intro.intro\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nthis :\n  stalkMap (GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i ≫ fromGlued 𝒰).val x =\n    eqToHom\n        (_ :\n          stalk X.toPresheafedSpace (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i ≫ fromGlued 𝒰).val.base x) =\n            stalk X.toPresheafedSpace (↑(map 𝒰 i).val.base x)) ≫\n      stalkMap (map 𝒰 i).val x\n⊢ IsIso (stalkMap (fromGlued 𝒰).val (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base x))\n[PROOFSTEP]\nerw [PresheafedSpace.stalkMap.comp] at this \n[GOAL]\ncase intro.intro\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nthis :\n  stalkMap (fromGlued 𝒰).val (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base x) ≫\n      stalkMap (GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val x =\n    eqToHom\n        (_ :\n          stalk X.toPresheafedSpace (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i ≫ fromGlued 𝒰).val.base x) =\n            stalk X.toPresheafedSpace (↑(map 𝒰 i).val.base x)) ≫\n      stalkMap (map 𝒰 i).val x\n⊢ IsIso (stalkMap (fromGlued 𝒰).val (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base x))\n[PROOFSTEP]\nrw [← IsIso.eq_comp_inv] at this \n[GOAL]\ncase intro.intro\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nthis :\n  stalkMap (fromGlued 𝒰).val (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base x) =\n    (eqToHom\n          (_ :\n            stalk X.toPresheafedSpace (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i ≫ fromGlued 𝒰).val.base x) =\n              stalk X.toPresheafedSpace (↑(map 𝒰 i).val.base x)) ≫\n        stalkMap (map 𝒰 i).val x) ≫\n      inv (stalkMap (GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val x)\n⊢ IsIso (stalkMap (fromGlued 𝒰).val (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base x))\n[PROOFSTEP]\nrw [this]\n[GOAL]\ncase intro.intro\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\ni : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\nx : ↑↑(U (gluedCover 𝒰).toGlueData i).toPresheafedSpace\nthis :\n  stalkMap (fromGlued 𝒰).val (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base x) =\n    (eqToHom\n          (_ :\n            stalk X.toPresheafedSpace (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i ≫ fromGlued 𝒰).val.base x) =\n              stalk X.toPresheafedSpace (↑(map 𝒰 i).val.base x)) ≫\n        stalkMap (map 𝒰 i).val x) ≫\n      inv (stalkMap (GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val x)\n⊢ IsIso\n    ((eqToHom\n          (_ :\n            stalk X.toPresheafedSpace (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i ≫ fromGlued 𝒰).val.base x) =\n              stalk X.toPresheafedSpace (↑(map 𝒰 i).val.base x)) ≫\n        stalkMap (map 𝒰 i).val x) ≫\n      inv (stalkMap (GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val x))\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\n⊢ IsOpenMap ↑(fromGlued 𝒰).val.base\n[PROOFSTEP]\nintro U hU\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nU :\n  Set\n    ((CategoryTheory.forget TopCat).obj\n      ↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace)\nhU : _root_.IsOpen U\n⊢ _root_.IsOpen (↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U)\n[PROOFSTEP]\nrw [isOpen_iff_forall_mem_open]\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nU :\n  Set\n    ((CategoryTheory.forget TopCat).obj\n      ↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace)\nhU : _root_.IsOpen U\n⊢ ∀ (x : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace),\n    x ∈ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U → ∃ t, t ⊆ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U ∧ _root_.IsOpen t ∧ x ∈ t\n[PROOFSTEP]\nintro x hx\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nU :\n  Set\n    ((CategoryTheory.forget TopCat).obj\n      ↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace)\nhU : _root_.IsOpen U\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nhx : x ∈ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U\n⊢ ∃ t, t ⊆ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U ∧ _root_.IsOpen t ∧ x ∈ t\n[PROOFSTEP]\nrw [𝒰.gluedCover.isOpen_iff] at hU \n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nU :\n  Set\n    ((CategoryTheory.forget TopCat).obj\n      ↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace)\nhU : ∀ (i : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J), _root_.IsOpen (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base ⁻¹' U)\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nhx : x ∈ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U\n⊢ ∃ t, t ⊆ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U ∧ _root_.IsOpen t ∧ x ∈ t\n[PROOFSTEP]\nuse 𝒰.fromGlued.val.base '' U ∩ Set.range (𝒰.map (𝒰.f x)).1.base\n[GOAL]\ncase h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nU :\n  Set\n    ((CategoryTheory.forget TopCat).obj\n      ↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace)\nhU : ∀ (i : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J), _root_.IsOpen (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base ⁻¹' U)\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nhx : x ∈ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U\n⊢ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U ∩ Set.range ↑(map 𝒰 (f 𝒰 x)).val.base ⊆ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U ∧\n    _root_.IsOpen (↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U ∩ Set.range ↑(map 𝒰 (f 𝒰 x)).val.base) ∧\n      x ∈ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U ∩ Set.range ↑(map 𝒰 (f 𝒰 x)).val.base\n[PROOFSTEP]\nuse Set.inter_subset_left _ _\n[GOAL]\ncase right\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nU :\n  Set\n    ((CategoryTheory.forget TopCat).obj\n      ↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace)\nhU : ∀ (i : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J), _root_.IsOpen (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base ⁻¹' U)\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nhx : x ∈ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U\n⊢ _root_.IsOpen (↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U ∩ Set.range ↑(map 𝒰 (f 𝒰 x)).val.base) ∧\n    x ∈ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U ∩ Set.range ↑(map 𝒰 (f 𝒰 x)).val.base\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase right.left\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nU :\n  Set\n    ((CategoryTheory.forget TopCat).obj\n      ↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace)\nhU : ∀ (i : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J), _root_.IsOpen (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base ⁻¹' U)\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nhx : x ∈ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U\n⊢ _root_.IsOpen (↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U ∩ Set.range ↑(map 𝒰 (f 𝒰 x)).val.base)\n[PROOFSTEP]\nrw [← Set.image_preimage_eq_inter_range]\n[GOAL]\ncase right.left\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nU :\n  Set\n    ((CategoryTheory.forget TopCat).obj\n      ↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace)\nhU : ∀ (i : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J), _root_.IsOpen (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base ⁻¹' U)\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nhx : x ∈ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U\n⊢ _root_.IsOpen (↑(map 𝒰 (f 𝒰 x)).val.base '' (↑(map 𝒰 (f 𝒰 x)).val.base ⁻¹' (↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U)))\n[PROOFSTEP]\napply (show IsOpenImmersion (𝒰.map (𝒰.f x)) from inferInstance).base_open.isOpenMap\n[GOAL]\ncase right.left.a\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nU :\n  Set\n    ((CategoryTheory.forget TopCat).obj\n      ↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace)\nhU : ∀ (i : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J), _root_.IsOpen (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base ⁻¹' U)\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nhx : x ∈ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U\n⊢ _root_.IsOpen (↑(map 𝒰 (f 𝒰 x)).val.base ⁻¹' (↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U))\n[PROOFSTEP]\nconvert hU (𝒰.f x) using 1\n[GOAL]\ncase h.e'_3.h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nU :\n  Set\n    ((CategoryTheory.forget TopCat).obj\n      ↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace)\nhU : ∀ (i : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J), _root_.IsOpen (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base ⁻¹' U)\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nhx : x ∈ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U\ne_1✝ :\n  (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑(obj 𝒰 (f 𝒰 x)).toPresheafedSpace =\n    (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑(CategoryTheory.GlueData.U (gluedCover 𝒰).toGlueData (f 𝒰 x)).toPresheafedSpace\n⊢ ↑(map 𝒰 (f 𝒰 x)).val.base ⁻¹' (↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U) = ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) (f 𝒰 x)).val.base ⁻¹' U\n[PROOFSTEP]\nrw [← ι_fromGlued]\n[GOAL]\ncase h.e'_3.h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nU :\n  Set\n    ((CategoryTheory.forget TopCat).obj\n      ↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace)\nhU : ∀ (i : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J), _root_.IsOpen (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base ⁻¹' U)\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nhx : x ∈ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U\ne_1✝ :\n  (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑(obj 𝒰 (f 𝒰 x)).toPresheafedSpace =\n    (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑(CategoryTheory.GlueData.U (gluedCover 𝒰).toGlueData (f 𝒰 x)).toPresheafedSpace\n⊢ ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) (f 𝒰 x) ≫ fromGlued 𝒰).val.base ⁻¹' (↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U) =\n    ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) (f 𝒰 x)).val.base ⁻¹' U\n[PROOFSTEP]\nerw [coe_comp]\n[GOAL]\ncase h.e'_3.h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nU :\n  Set\n    ((CategoryTheory.forget TopCat).obj\n      ↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace)\nhU : ∀ (i : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J), _root_.IsOpen (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base ⁻¹' U)\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nhx : x ∈ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U\ne_1✝ :\n  (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑(obj 𝒰 (f 𝒰 x)).toPresheafedSpace =\n    (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑(CategoryTheory.GlueData.U (gluedCover 𝒰).toGlueData (f 𝒰 x)).toPresheafedSpace\n⊢ ↑(fromGlued 𝒰).val.base ∘ ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) (f 𝒰 x)).val.base ⁻¹' (↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U) =\n    ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) (f 𝒰 x)).val.base ⁻¹' U\n[PROOFSTEP]\nrw [Set.preimage_comp]\n[GOAL]\ncase h.e'_3.h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nU :\n  Set\n    ((CategoryTheory.forget TopCat).obj\n      ↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace)\nhU : ∀ (i : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J), _root_.IsOpen (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base ⁻¹' U)\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nhx : x ∈ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U\ne_1✝ :\n  (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑(obj 𝒰 (f 𝒰 x)).toPresheafedSpace =\n    (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑(CategoryTheory.GlueData.U (gluedCover 𝒰).toGlueData (f 𝒰 x)).toPresheafedSpace\n⊢ ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) (f 𝒰 x)).val.base ⁻¹' (↑(fromGlued 𝒰).val.base ⁻¹' (↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U)) =\n    ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) (f 𝒰 x)).val.base ⁻¹' U\n[PROOFSTEP]\ncongr! 1\n[GOAL]\ncase h.e'_3.h.h.e'_4\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nU :\n  Set\n    ((CategoryTheory.forget TopCat).obj\n      ↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace)\nhU : ∀ (i : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J), _root_.IsOpen (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base ⁻¹' U)\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nhx : x ∈ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U\ne_1✝ :\n  (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑(obj 𝒰 (f 𝒰 x)).toPresheafedSpace =\n    (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑(CategoryTheory.GlueData.U (gluedCover 𝒰).toGlueData (f 𝒰 x)).toPresheafedSpace\n⊢ ↑(fromGlued 𝒰).val.base ⁻¹' (↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U) = U\n[PROOFSTEP]\nrefine' Set.preimage_image_eq _ 𝒰.fromGlued_injective\n[GOAL]\ncase right.right\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nU :\n  Set\n    ((CategoryTheory.forget TopCat).obj\n      ↑(GlueData.glued (gluedCover 𝒰)).toLocallyRingedSpace.toSheafedSpace.toPresheafedSpace)\nhU : ∀ (i : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J), _root_.IsOpen (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) i).val.base ⁻¹' U)\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\nhx : x ∈ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U\n⊢ x ∈ ↑(fromGlued 𝒰).val.base '' U ∩ Set.range ↑(map 𝒰 (f 𝒰 x)).val.base\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨hx, 𝒰.Covers x⟩\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\n⊢ Epi (fromGlued 𝒰).val.base\n[PROOFSTEP]\nrw [TopCat.epi_iff_surjective]\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\n⊢ Function.Surjective ↑(fromGlued 𝒰).val.base\n[PROOFSTEP]\nintro x\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\n⊢ ∃ a, ↑(fromGlued 𝒰).val.base a = x\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨y, h⟩ := 𝒰.Covers x\n[GOAL]\ncase intro\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\ny : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑(obj 𝒰 (f 𝒰 x)).toPresheafedSpace\nh : ↑(map 𝒰 (f 𝒰 x)).val.base y = x\n⊢ ∃ a, ↑(fromGlued 𝒰).val.base a = x\n[PROOFSTEP]\nuse(𝒰.gluedCover.ι (𝒰.f x)).1.base y\n[GOAL]\ncase h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\ny : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑(obj 𝒰 (f 𝒰 x)).toPresheafedSpace\nh : ↑(map 𝒰 (f 𝒰 x)).val.base y = x\n⊢ ↑(fromGlued 𝒰).val.base (↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) (f 𝒰 x)).val.base y) = x\n[PROOFSTEP]\nrw [← comp_apply]\n[GOAL]\ncase h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\ny : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑(obj 𝒰 (f 𝒰 x)).toPresheafedSpace\nh : ↑(map 𝒰 (f 𝒰 x)).val.base y = x\n⊢ ↑((GlueData.ι (gluedCover 𝒰) (f 𝒰 x)).val.base ≫ (fromGlued 𝒰).val.base) y = x\n[PROOFSTEP]\nrw [← 𝒰.ι_fromGlued (𝒰.f x)] at h \n[GOAL]\ncase h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nx : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑X.toPresheafedSpace\ny : (CategoryTheory.forget TopCat).obj ↑(obj 𝒰 (f 𝒰 x)).toPresheafedSpace\nh : ↑(GlueData.ι (gluedCover 𝒰) (f 𝒰 x) ≫ fromGlued 𝒰).val.base y = x\n⊢ ↑((GlueData.ι (gluedCover 𝒰) (f 𝒰 x)).val.base ≫ (fromGlued 𝒰).val.base) y = x\n[PROOFSTEP]\nexact h\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nF : Scheme ⥤ PresheafedSpace CommRingCat :=\n  forgetToLocallyRingedSpace ⋙ LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace\n⊢ IsIso (F.map (fromGlued 𝒰))\n[PROOFSTEP]\nchange @IsIso (PresheafedSpace _) _ _ _ 𝒰.fromGlued.val\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nF : Scheme ⥤ PresheafedSpace CommRingCat :=\n  forgetToLocallyRingedSpace ⋙ LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace ⋙ SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace\n⊢ IsIso (fromGlued 𝒰).val\n[PROOFSTEP]\napply PresheafedSpace.IsOpenImmersion.to_iso\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nY : Scheme\nf : (x : 𝒰.J) → obj 𝒰 x ⟶ Y\nhf : ∀ (x y : 𝒰.J), pullback.fst ≫ f x = pullback.snd ≫ f y\n⊢ X ⟶ Y\n[PROOFSTEP]\nrefine' inv 𝒰.fromGlued ≫ _\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nY : Scheme\nf : (x : 𝒰.J) → obj 𝒰 x ⟶ Y\nhf : ∀ (x y : 𝒰.J), pullback.fst ≫ f x = pullback.snd ≫ f y\n⊢ GlueData.glued (gluedCover 𝒰) ⟶ Y\n[PROOFSTEP]\nfapply Multicoequalizer.desc\n[GOAL]\ncase k\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nY : Scheme\nf : (x : 𝒰.J) → obj 𝒰 x ⟶ Y\nhf : ∀ (x y : 𝒰.J), pullback.fst ≫ f x = pullback.snd ≫ f y\n⊢ (b : (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData).R) → MultispanIndex.right (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) b ⟶ Y\ncase h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nY : Scheme\nf : (x : 𝒰.J) → obj 𝒰 x ⟶ Y\nhf : ∀ (x y : 𝒰.J), pullback.fst ≫ f x = pullback.snd ≫ f y\n⊢ ∀ (a : (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData).L),\n    MultispanIndex.fst (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) a ≫\n        ?k (MultispanIndex.fstFrom (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) a) =\n      MultispanIndex.snd (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) a ≫\n        ?k (MultispanIndex.sndFrom (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) a)\n[PROOFSTEP]\nexact f\n[GOAL]\ncase h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nY : Scheme\nf : (x : 𝒰.J) → obj 𝒰 x ⟶ Y\nhf : ∀ (x y : 𝒰.J), pullback.fst ≫ f x = pullback.snd ≫ f y\n⊢ ∀ (a : (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData).L),\n    MultispanIndex.fst (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) a ≫\n        f (MultispanIndex.fstFrom (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) a) =\n      MultispanIndex.snd (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) a ≫\n        f (MultispanIndex.sndFrom (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) a)\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨i, j⟩\n[GOAL]\ncase h.mk\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nY : Scheme\nf : (x : 𝒰.J) → obj 𝒰 x ⟶ Y\nhf : ∀ (x y : 𝒰.J), pullback.fst ≫ f x = pullback.snd ≫ f y\ni j : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\n⊢ MultispanIndex.fst (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) (i, j) ≫\n      f (MultispanIndex.fstFrom (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) (i, j)) =\n    MultispanIndex.snd (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) (i, j) ≫\n      f (MultispanIndex.sndFrom (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) (i, j))\n[PROOFSTEP]\nchange pullback.fst ≫ f i = (_ ≫ _) ≫ f j\n[GOAL]\ncase h.mk\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nY : Scheme\nf : (x : 𝒰.J) → obj 𝒰 x ⟶ Y\nhf : ∀ (x y : 𝒰.J), pullback.fst ≫ f x = pullback.snd ≫ f y\ni j : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\n⊢ pullback.fst ≫ f i = (t (gluedCover 𝒰).toGlueData i j ≫ GlueData.f (gluedCover 𝒰).toGlueData j i) ≫ f j\n[PROOFSTEP]\nerw [pullbackSymmetry_hom_comp_fst]\n[GOAL]\ncase h.mk\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nY : Scheme\nf : (x : 𝒰.J) → obj 𝒰 x ⟶ Y\nhf : ∀ (x y : 𝒰.J), pullback.fst ≫ f x = pullback.snd ≫ f y\ni j : (gluedCover 𝒰).toGlueData.J\n⊢ pullback.fst ≫ f i = pullback.snd ≫ f j\n[PROOFSTEP]\nexact hf i j\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nY : Scheme\nf : (x : 𝒰.J) → obj 𝒰 x ⟶ Y\nhf : ∀ (x y : 𝒰.J), pullback.fst ≫ f x = pullback.snd ≫ f y\nx : 𝒰.J\n⊢ map 𝒰 x ≫ glueMorphisms 𝒰 f hf = f x\n[PROOFSTEP]\nrw [← ι_fromGlued, Category.assoc]\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nY : Scheme\nf : (x : 𝒰.J) → obj 𝒰 x ⟶ Y\nhf : ∀ (x y : 𝒰.J), pullback.fst ≫ f x = pullback.snd ≫ f y\nx : 𝒰.J\n⊢ GlueData.ι (gluedCover 𝒰) x ≫ fromGlued 𝒰 ≫ glueMorphisms 𝒰 f hf = f x\n[PROOFSTEP]\nerw [IsIso.hom_inv_id_assoc, Multicoequalizer.π_desc]\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nY : Scheme\nf₁ f₂ : X ⟶ Y\nh : ∀ (x : 𝒰.J), map 𝒰 x ≫ f₁ = map 𝒰 x ≫ f₂\n⊢ f₁ = f₂\n[PROOFSTEP]\nrw [← cancel_epi 𝒰.fromGlued]\n[GOAL]\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nY : Scheme\nf₁ f₂ : X ⟶ Y\nh : ∀ (x : 𝒰.J), map 𝒰 x ≫ f₁ = map 𝒰 x ≫ f₂\n⊢ fromGlued 𝒰 ≫ f₁ = fromGlued 𝒰 ≫ f₂\n[PROOFSTEP]\napply Multicoequalizer.hom_ext\n[GOAL]\ncase h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nY : Scheme\nf₁ f₂ : X ⟶ Y\nh : ∀ (x : 𝒰.J), map 𝒰 x ≫ f₁ = map 𝒰 x ≫ f₂\n⊢ ∀ (b : (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData).R),\n    Multicoequalizer.π (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) b ≫ fromGlued 𝒰 ≫ f₁ =\n      Multicoequalizer.π (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) b ≫ fromGlued 𝒰 ≫ f₂\n[PROOFSTEP]\nintro x\n[GOAL]\ncase h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nY : Scheme\nf₁ f₂ : X ⟶ Y\nh : ∀ (x : 𝒰.J), map 𝒰 x ≫ f₁ = map 𝒰 x ≫ f₂\nx : (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData).R\n⊢ Multicoequalizer.π (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) x ≫ fromGlued 𝒰 ≫ f₁ =\n    Multicoequalizer.π (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) x ≫ fromGlued 𝒰 ≫ f₂\n[PROOFSTEP]\nerw [Multicoequalizer.π_desc_assoc]\n[GOAL]\ncase h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nY : Scheme\nf₁ f₂ : X ⟶ Y\nh : ∀ (x : 𝒰.J), map 𝒰 x ≫ f₁ = map 𝒰 x ≫ f₂\nx : (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData).R\n⊢ map 𝒰 x ≫ f₁ = Multicoequalizer.π (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData) x ≫ fromGlued 𝒰 ≫ f₂\n[PROOFSTEP]\nerw [Multicoequalizer.π_desc_assoc]\n[GOAL]\ncase h\nX : Scheme\n𝒰 : OpenCover X\nY : Scheme\nf₁ f₂ : X ⟶ Y\nh : ∀ (x : 𝒰.J), map 𝒰 x ≫ f₁ = map 𝒰 x ≫ f₂\nx : (diagram (gluedCover 𝒰).toGlueData).R\n⊢ map 𝒰 x ≫ f₁ = map 𝒰 x ≫ f₂\n[PROOFSTEP]\nexact h x\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.AlgebraicGeometry.Gluing", "llama_tokens": 31129, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nX✝ Y✝ : ModuleCat R\na₁✝ a₂✝ : X✝ ⟶ Y✝\nh :\n  (CategoryTheory.Functor.mk { obj := fun R_1 => ↑R_1, map := fun {X Y} f => f.toFun }).map a₁✝ =\n    (CategoryTheory.Functor.mk { obj := fun R_1 => ↑R_1, map := fun {X Y} f => f.toFun }).map a₂✝\nx : ↑X✝\n⊢ ↑a₁✝ x = ↑a₂✝ x\n[PROOFSTEP]\ndsimp at h \n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nX✝ Y✝ : ModuleCat R\na₁✝ a₂✝ : X✝ ⟶ Y✝\nh : ↑a₁✝ = ↑a₂✝\nx : ↑X✝\n⊢ ↑a₁✝ x = ↑a₂✝ x\n[PROOFSTEP]\nrw [h]\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nM : ModuleCat R\ninst✝ : Subsingleton ↑M\nX : ModuleCat R\nf : M ⟶ X\n⊢ f = default\n[PROOFSTEP]\next x\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nM : ModuleCat R\ninst✝ : Subsingleton ↑M\nX : ModuleCat R\nf : M ⟶ X\nx : ↑M\n⊢ ↑f x = ↑default x\n[PROOFSTEP]\nrw [Subsingleton.elim x (0 : M)]\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nM : ModuleCat R\ninst✝ : Subsingleton ↑M\nX : ModuleCat R\nf : M ⟶ X\nx : ↑M\n⊢ ↑f 0 = ↑default 0\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nM : ModuleCat R\ninst✝ : Subsingleton ↑M\nX : ModuleCat R\nf : M ⟶ X\nx : ↑M\n⊢ ↑f 0 = ↑0 0\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nM : ModuleCat R\ninst✝ : Subsingleton ↑M\nX : ModuleCat R\nf : X ⟶ M\n⊢ f = default\n[PROOFSTEP]\next x\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nM : ModuleCat R\ninst✝ : Subsingleton ↑M\nX : ModuleCat R\nf : X ⟶ M\nx : ↑X\n⊢ ↑f x = ↑default x\n[PROOFSTEP]\napply Subsingleton.elim\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\ng₁ : AddCommGroup X₁\ng₂ : AddCommGroup X₂\nm₁ : Module R X₁\nm₂ : Module R X₂\ne : X₁ ≃ₗ[R] X₂\n⊢ ↑e ≫ ↑(symm e) = 𝟙 (ModuleCat.of R X₁)\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\ng₁ : AddCommGroup X₁\ng₂ : AddCommGroup X₂\nm₁ : Module R X₁\nm₂ : Module R X₂\ne : X₁ ≃ₗ[R] X₂\nx✝ : ↑(ModuleCat.of R X₁)\n⊢ ↑(↑e ≫ ↑(symm e)) x✝ = ↑(𝟙 (ModuleCat.of R X₁)) x✝\n[PROOFSTEP]\napply e.left_inv\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\ng₁ : AddCommGroup X₁\ng₂ : AddCommGroup X₂\nm₁ : Module R X₁\nm₂ : Module R X₂\ne : X₁ ≃ₗ[R] X₂\n⊢ ↑(symm e) ≫ ↑e = 𝟙 (ModuleCat.of R X₂)\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\ng₁ : AddCommGroup X₁\ng₂ : AddCommGroup X₂\nm₁ : Module R X₁\nm₂ : Module R X₂\ne : X₁ ≃ₗ[R] X₂\nx✝ : ↑(ModuleCat.of R X₂)\n⊢ ↑(↑(symm e) ≫ ↑e) x✝ = ↑(𝟙 (ModuleCat.of R X₂)) x✝\n[PROOFSTEP]\napply e.right_inv\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\nX Y : ModuleCat R\ni : X ≅ Y\n⊢ ∀ (x y : ↑X), ↑i.hom (x + y) = ↑i.hom x + ↑i.hom y\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\nX Y : ModuleCat R\ni : X ≅ Y\n⊢ ∀ (r : R) (x : ↑X),\n    AddHom.toFun { toFun := ↑i.hom, map_add' := (_ : ∀ (a a_1 : ↑X), ↑i.hom (a + a_1) = ↑i.hom a + ↑i.hom a_1) }\n        (r • x) =\n      ↑(RingHom.id R) r •\n        AddHom.toFun { toFun := ↑i.hom, map_add' := (_ : ∀ (a a_1 : ↑X), ↑i.hom (a + a_1) = ↑i.hom a + ↑i.hom a_1) } x\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\nX Y : ModuleCat R\ni : X ≅ Y\nx : ↑X\n⊢ ↑i.inv\n      (AddHom.toFun\n        { toAddHom := { toFun := ↑i.hom, map_add' := (_ : ∀ (a a_1 : ↑X), ↑i.hom (a + a_1) = ↑i.hom a + ↑i.hom a_1) },\n            map_smul' := (_ : ∀ (a : R) (a_1 : ↑X), ↑i.hom (a • a_1) = a • ↑i.hom a_1) }.toAddHom\n        x) =\n    x\n[PROOFSTEP]\nchange (i.hom ≫ i.inv) x = x\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\nX Y : ModuleCat R\ni : X ≅ Y\nx : ↑X\n⊢ ↑(i.hom ≫ i.inv) x = x\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\nX Y : ModuleCat R\ni : X ≅ Y\nx : ↑Y\n⊢ AddHom.toFun\n      { toAddHom := { toFun := ↑i.hom, map_add' := (_ : ∀ (a a_1 : ↑X), ↑i.hom (a + a_1) = ↑i.hom a + ↑i.hom a_1) },\n          map_smul' := (_ : ∀ (a : R) (a_1 : ↑X), ↑i.hom (a • a_1) = a • ↑i.hom a_1) }.toAddHom\n      (↑i.inv x) =\n    x\n[PROOFSTEP]\nchange (i.inv ≫ i.hom) x = x\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\nX Y : ModuleCat R\ni : X ≅ Y\nx : ↑Y\n⊢ ↑(i.inv ≫ i.hom) x = x\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR✝ : Type u\ninst✝ : Ring R✝\nX₁ X₂ : Type v\nP Q R : ModuleCat R✝\nf f' : P ⟶ Q\ng : Q ⟶ R\n⊢ (f + f') ≫ g = f ≫ g + f' ≫ g\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nR✝ : Type u\ninst✝ : Ring R✝\nX₁ X₂ : Type v\nP Q R : ModuleCat R✝\nf f' : P ⟶ Q\ng : Q ⟶ R\nx✝ : ↑P\n⊢ ↑((f + f') ≫ g) x✝ = ↑(f ≫ g + f' ≫ g) x✝\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\ncase h\nR✝ : Type u\ninst✝ : Ring R✝\nX₁ X₂ : Type v\nP Q R : ModuleCat R✝\nf f' : P ⟶ Q\ng : Q ⟶ R\nx✝ : ↑P\n⊢ ↑g (↑(f + f') x✝) = ↑(f ≫ g + f' ≫ g) x✝\n[PROOFSTEP]\nerw [map_add]\n[GOAL]\ncase h\nR✝ : Type u\ninst✝ : Ring R✝\nX₁ X₂ : Type v\nP Q R : ModuleCat R✝\nf f' : P ⟶ Q\ng : Q ⟶ R\nx✝ : ↑P\n⊢ ↑g (↑f x✝) + ↑g (↑f' x✝) = ↑(f ≫ g + f' ≫ g) x✝\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR✝ : Type u\ninst✝ : Ring R✝\nX₁ X₂ : Type v\nP Q R : ModuleCat R✝\nf : P ⟶ Q\ng g' : Q ⟶ R\n⊢ f ≫ (g + g') = f ≫ g + f ≫ g'\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nR✝ : Type u\ninst✝ : Ring R✝\nX₁ X₂ : Type v\nP Q R : ModuleCat R✝\nf : P ⟶ Q\ng g' : Q ⟶ R\nx✝ : ↑P\n⊢ ↑(f ≫ (g + g')) x✝ = ↑(f ≫ g + f ≫ g') x✝\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\nS : Type u\ninst✝ : CommRing S\n⊢ ∀ (X Y Z : ModuleCat S) (r : S) (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), (r • f) ≫ g = r • f ≫ g\n[PROOFSTEP]\nintros\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\nS : Type u\ninst✝ : CommRing S\nX✝ Y✝ Z✝ : ModuleCat S\nr✝ : S\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ng✝ : Y✝ ⟶ Z✝\n⊢ (r✝ • f✝) ≫ g✝ = r✝ • f✝ ≫ g✝\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\nS : Type u\ninst✝ : CommRing S\nX✝ Y✝ Z✝ : ModuleCat S\nr✝ : S\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ng✝ : Y✝ ⟶ Z✝\nx✝ : ↑X✝\n⊢ ↑((r✝ • f✝) ≫ g✝) x✝ = ↑(r✝ • f✝ ≫ g✝) x✝\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\nS : Type u\ninst✝ : CommRing S\nX✝ Y✝ Z✝ : ModuleCat S\nr✝ : S\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ng✝ : Y✝ ⟶ Z✝\nx✝ : ↑X✝\n⊢ ↑g✝ (↑(r✝ • f✝) x✝) = ↑(r✝ • f✝ ≫ g✝) x✝\n[PROOFSTEP]\nrw [LinearMap.smul_apply, LinearMap.smul_apply, map_smul]\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\nS : Type u\ninst✝ : CommRing S\nX✝ Y✝ Z✝ : ModuleCat S\nr✝ : S\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\ng✝ : Y✝ ⟶ Z✝\nx✝ : ↑X✝\n⊢ r✝ • ↑g✝ (↑f✝ x✝) = r✝ • ↑(f✝ ≫ g✝) x✝\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\nS : Type u\ninst✝ : CommRing S\n⊢ ∀ (X Y Z : ModuleCat S) (f : X ⟶ Y) (r : S) (g : Y ⟶ Z), f ≫ (r • g) = r • f ≫ g\n[PROOFSTEP]\nintros\n[GOAL]\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\nS : Type u\ninst✝ : CommRing S\nX✝ Y✝ Z✝ : ModuleCat S\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nr✝ : S\ng✝ : Y✝ ⟶ Z✝\n⊢ f✝ ≫ (r✝ • g✝) = r✝ • f✝ ≫ g✝\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\ninst✝¹ : Ring R\nX₁ X₂ : Type v\nS : Type u\ninst✝ : CommRing S\nX✝ Y✝ Z✝ : ModuleCat S\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nr✝ : S\ng✝ : Y✝ ⟶ Z✝\nx✝ : ↑X✝\n⊢ ↑(f✝ ≫ (r✝ • g✝)) x✝ = ↑(r✝ • f✝ ≫ g✝) x✝\n[PROOFSTEP]\nrfl\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Basic", "llama_tokens": 4025, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. YES\n2. NO", "lm_q1_score": 0.5039061705290805, "lm_q2_score": 0.41869690935568665, "lm_q1q2_score": 0.21098395620578558}}
{"text": "[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : SetLike S R\ninst✝ : NonUnitalSubsemiringClass S R\ns : S\n⊢ ∀ (x y : { x // x ∈ s }), ↑(x + y) = ↑x + ↑y\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR✝ : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring R✝\nM : Subsemigroup R✝\ninst✝⁴ : SetLike S R✝\ninst✝³ : NonUnitalSubsemiringClass S R✝\ns : S\nR : Type ?u.22770\ninst✝² : NonUnitalSemiring R\ninst✝¹ : SetLike S R\ninst✝ : NonUnitalSubsemiringClass S R\n⊢ ∀ (x y : { x // x ∈ s }), ↑(x + y) = ↑x + ↑y\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR✝ : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring R✝\nM : Subsemigroup R✝\ninst✝⁴ : SetLike S R✝\ninst✝³ : NonUnitalSubsemiringClass S R✝\ns : S\nR : Type ?u.28609\ninst✝² : NonUnitalCommSemiring R\ninst✝¹ : SetLike S R\ninst✝ : NonUnitalSubsemiringClass S R\n⊢ ∀ (x y : { x // x ∈ s }), ↑(x + y) = ↑x + ↑y\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\np q : NonUnitalSubsemiring R\nh : (fun s => s.carrier) p = (fun s => s.carrier) q\n⊢ p = q\n[PROOFSTEP]\ncases p\n[GOAL]\ncase mk\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nq : NonUnitalSubsemiring R\ntoAddSubmonoid✝ : AddSubmonoid R\nmul_mem'✝ : ∀ {a b : R}, a ∈ toAddSubmonoid✝.carrier → b ∈ toAddSubmonoid✝.carrier → a * b ∈ toAddSubmonoid✝.carrier\nh : (fun s => s.carrier) { toAddSubmonoid := toAddSubmonoid✝, mul_mem' := mul_mem'✝ } = (fun s => s.carrier) q\n⊢ { toAddSubmonoid := toAddSubmonoid✝, mul_mem' := mul_mem'✝ } = q\n[PROOFSTEP]\ncases q\n[GOAL]\ncase mk.mk\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\ntoAddSubmonoid✝¹ : AddSubmonoid R\nmul_mem'✝¹ : ∀ {a b : R}, a ∈ toAddSubmonoid✝¹.carrier → b ∈ toAddSubmonoid✝¹.carrier → a * b ∈ toAddSubmonoid✝¹.carrier\ntoAddSubmonoid✝ : AddSubmonoid R\nmul_mem'✝ : ∀ {a b : R}, a ∈ toAddSubmonoid✝.carrier → b ∈ toAddSubmonoid✝.carrier → a * b ∈ toAddSubmonoid✝.carrier\nh :\n  (fun s => s.carrier) { toAddSubmonoid := toAddSubmonoid✝¹, mul_mem' := mul_mem'✝¹ } =\n    (fun s => s.carrier) { toAddSubmonoid := toAddSubmonoid✝, mul_mem' := mul_mem'✝ }\n⊢ { toAddSubmonoid := toAddSubmonoid✝¹, mul_mem' := mul_mem'✝¹ } =\n    { toAddSubmonoid := toAddSubmonoid✝, mul_mem' := mul_mem'✝ }\n[PROOFSTEP]\ncongr\n[GOAL]\ncase mk.mk.e_toAddSubmonoid\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\ntoAddSubmonoid✝¹ : AddSubmonoid R\nmul_mem'✝¹ : ∀ {a b : R}, a ∈ toAddSubmonoid✝¹.carrier → b ∈ toAddSubmonoid✝¹.carrier → a * b ∈ toAddSubmonoid✝¹.carrier\ntoAddSubmonoid✝ : AddSubmonoid R\nmul_mem'✝ : ∀ {a b : R}, a ∈ toAddSubmonoid✝.carrier → b ∈ toAddSubmonoid✝.carrier → a * b ∈ toAddSubmonoid✝.carrier\nh :\n  (fun s => s.carrier) { toAddSubmonoid := toAddSubmonoid✝¹, mul_mem' := mul_mem'✝¹ } =\n    (fun s => s.carrier) { toAddSubmonoid := toAddSubmonoid✝, mul_mem' := mul_mem'✝ }\n⊢ toAddSubmonoid✝¹ = toAddSubmonoid✝\n[PROOFSTEP]\nexact SetLike.coe_injective' h\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\ns : Set R\nsg : Subsemigroup R\nhg : ↑sg = s\nsa : AddSubmonoid R\nha : ↑sa = s\n⊢ ∀ {a b : R}, a ∈ s → b ∈ s → a + b ∈ s\n[PROOFSTEP]\nsubst ha\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nsg : Subsemigroup R\nsa : AddSubmonoid R\nhg : ↑sg = ↑sa\n⊢ ∀ {a b : R}, a ∈ ↑sa → b ∈ ↑sa → a + b ∈ ↑sa\n[PROOFSTEP]\nexact sa.add_mem\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\ns : Set R\nsg : Subsemigroup R\nhg : ↑sg = s\nsa : AddSubmonoid R\nha : ↑sa = s\n⊢ 0 ∈ { carrier := s, add_mem' := (_ : ∀ {a b : R}, a ∈ s → b ∈ s → a + b ∈ s) }.carrier\n[PROOFSTEP]\nsubst ha\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nsg : Subsemigroup R\nsa : AddSubmonoid R\nhg : ↑sg = ↑sa\n⊢ 0 ∈ { carrier := ↑sa, add_mem' := (_ : ∀ {a b : R}, a ∈ ↑sa → b ∈ ↑sa → a + b ∈ ↑sa) }.carrier\n[PROOFSTEP]\nexact sa.zero_mem\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\ns : Set R\nsg : Subsemigroup R\nhg : ↑sg = s\nsa : AddSubmonoid R\nha : ↑sa = s\n⊢ ∀ {a b : R},\n    a ∈\n        { toAddSubsemigroup := { carrier := s, add_mem' := (_ : ∀ {a b : R}, a ∈ s → b ∈ s → a + b ∈ s) },\n              zero_mem' :=\n                (_ :\n                  0 ∈\n                    { carrier := s,\n                        add_mem' :=\n                          (_ : ∀ {a b : R}, a ∈ s → b ∈ s → a + b ∈ s) }.carrier) }.toAddSubsemigroup.carrier →\n      b ∈\n          { toAddSubsemigroup := { carrier := s, add_mem' := (_ : ∀ {a b : R}, a ∈ s → b ∈ s → a + b ∈ s) },\n                zero_mem' :=\n                  (_ :\n                    0 ∈\n                      { carrier := s,\n                          add_mem' :=\n                            (_ : ∀ {a b : R}, a ∈ s → b ∈ s → a + b ∈ s) }.carrier) }.toAddSubsemigroup.carrier →\n        a * b ∈\n          { toAddSubsemigroup := { carrier := s, add_mem' := (_ : ∀ {a b : R}, a ∈ s → b ∈ s → a + b ∈ s) },\n                zero_mem' :=\n                  (_ :\n                    0 ∈\n                      { carrier := s,\n                          add_mem' :=\n                            (_ : ∀ {a b : R}, a ∈ s → b ∈ s → a + b ∈ s) }.carrier) }.toAddSubsemigroup.carrier\n[PROOFSTEP]\nsubst hg\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nsg : Subsemigroup R\nsa : AddSubmonoid R\nha : ↑sa = ↑sg\n⊢ ∀ {a b : R},\n    a ∈\n        { toAddSubsemigroup := { carrier := ↑sg, add_mem' := (_ : ∀ {a b : R}, a ∈ ↑sg → b ∈ ↑sg → a + b ∈ ↑sg) },\n              zero_mem' :=\n                (_ :\n                  0 ∈\n                    { carrier := ↑sg,\n                        add_mem' :=\n                          (_ : ∀ {a b : R}, a ∈ ↑sg → b ∈ ↑sg → a + b ∈ ↑sg) }.carrier) }.toAddSubsemigroup.carrier →\n      b ∈\n          { toAddSubsemigroup := { carrier := ↑sg, add_mem' := (_ : ∀ {a b : R}, a ∈ ↑sg → b ∈ ↑sg → a + b ∈ ↑sg) },\n                zero_mem' :=\n                  (_ :\n                    0 ∈\n                      { carrier := ↑sg,\n                          add_mem' :=\n                            (_ : ∀ {a b : R}, a ∈ ↑sg → b ∈ ↑sg → a + b ∈ ↑sg) }.carrier) }.toAddSubsemigroup.carrier →\n        a * b ∈\n          { toAddSubsemigroup := { carrier := ↑sg, add_mem' := (_ : ∀ {a b : R}, a ∈ ↑sg → b ∈ ↑sg → a + b ∈ ↑sg) },\n                zero_mem' :=\n                  (_ :\n                    0 ∈\n                      { carrier := ↑sg,\n                          add_mem' :=\n                            (_ : ∀ {a b : R}, a ∈ ↑sg → b ∈ ↑sg → a + b ∈ ↑sg) }.carrier) }.toAddSubsemigroup.carrier\n[PROOFSTEP]\nexact sg.mul_mem\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\nG : Type u_2\ninst✝¹ : NonUnitalRingHomClass F R S\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass G S T\ns✝ : NonUnitalSubsemiring R\nf : F\ns : NonUnitalSubsemiring R\ny : S\n⊢ y ∈ map f s ↔ ∃ x, x ∈ s ∧ ↑f x = y\n[PROOFSTEP]\nconvert Set.mem_image_iff_bex\n[GOAL]\ncase h.e'_2.h.e'_2.h.a\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\nG : Type u_2\ninst✝¹ : NonUnitalRingHomClass F R S\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass G S T\ns✝ : NonUnitalSubsemiring R\nf : F\ns : NonUnitalSubsemiring R\ny : S\nx✝ : R\n⊢ x✝ ∈ s ∧ ↑f x✝ = y ↔ ∃ x, ↑f x✝ = y\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\nG : Type u_2\ninst✝¹ : NonUnitalRingHomClass F R S\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass G S T\nf : F\ng : G\n⊢ srange f = map f ⊤\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\nG : Type u_2\ninst✝¹ : NonUnitalRingHomClass F R S\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass G S T\nf : F\ng : G\nx✝ : S\n⊢ x✝ ∈ srange f ↔ x✝ ∈ map f ⊤\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\nG : Type u_2\ninst✝¹ : NonUnitalRingHomClass F R S\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass G S T\nf✝ : F\ng✝ : G\ng : S →ₙ+* T\nf : R →ₙ+* S\n⊢ map g (srange f) = srange (comp g f)\n[PROOFSTEP]\nsimpa only [srange_eq_map] using (⊤ : NonUnitalSubsemiring R).map_map g f\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\na✝ b✝ : R\nx✝¹ : a✝ ∈ {0}\nx✝ : b✝ ∈ {0}\n⊢ a✝ + b✝ ∈ {0}\n[PROOFSTEP]\nsimp_all\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\na✝ b✝ : R\nx✝¹ :\n  a✝ ∈\n    { toAddSubsemigroup := { carrier := {0}, add_mem' := (_ : ∀ {a b : R}, a ∈ {0} → b ∈ {0} → a + b ∈ {0}) },\n          zero_mem' := (_ : 0 ∈ {0}) }.toAddSubsemigroup.carrier\nx✝ :\n  b✝ ∈\n    { toAddSubsemigroup := { carrier := {0}, add_mem' := (_ : ∀ {a b : R}, a ∈ {0} → b ∈ {0} → a + b ∈ {0}) },\n          zero_mem' := (_ : 0 ∈ {0}) }.toAddSubsemigroup.carrier\n⊢ a✝ * b✝ ∈\n    { toAddSubsemigroup := { carrier := {0}, add_mem' := (_ : ∀ {a b : R}, a ∈ {0} → b ∈ {0} → a + b ∈ {0}) },\n          zero_mem' := (_ : 0 ∈ {0}) }.toAddSubsemigroup.carrier\n[PROOFSTEP]\nsimp_all\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\ns : Set (NonUnitalSubsemiring R)\n⊢ ↑(⨅ (t : NonUnitalSubsemiring R) (_ : t ∈ s), toSubsemigroup t) = ⋂ (t : NonUnitalSubsemiring R) (_ : t ∈ s), ↑t\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\ns : Set (NonUnitalSubsemiring R)\n⊢ ↑(⨅ (t : NonUnitalSubsemiring R) (_ : t ∈ s), t.toAddSubmonoid) = ⋂ (t : NonUnitalSubsemiring R) (_ : t ∈ s), ↑t\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nf : R ≃+* S\nK : NonUnitalSubsemiring R\nx : S\n⊢ x ∈ map (↑f) K ↔ ↑(RingEquiv.symm f) x ∈ K\n[PROOFSTEP]\nconvert @Set.mem_image_equiv _ _ (↑K) f.toEquiv x\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\n⊢ nonUnitalSubsemiringClosure M = NonUnitalSubsemiring.closure ↑M\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nx✝ : R\n⊢ x✝ ∈ nonUnitalSubsemiringClosure M ↔ x✝ ∈ NonUnitalSubsemiring.closure ↑M\n[PROOFSTEP]\nrefine ⟨fun hx => ?_, fun hx => (NonUnitalSubsemiring.mem_closure.mp hx) M.nonUnitalSubsemiringClosure fun s sM => ?_⟩\n[GOAL]\ncase h.refine_1\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nx✝ : R\nhx : x✝ ∈ nonUnitalSubsemiringClosure M\n⊢ x✝ ∈ NonUnitalSubsemiring.closure ↑M\n[PROOFSTEP]\nrintro - ⟨H1, rfl⟩\n[GOAL]\ncase h.refine_2\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nx✝ : R\nhx : x✝ ∈ NonUnitalSubsemiring.closure ↑M\ns : R\nsM : s ∈ ↑M\n⊢ s ∈ ↑(nonUnitalSubsemiringClosure M)\n[PROOFSTEP]\nrintro - ⟨H1, rfl⟩\n[GOAL]\ncase h.refine_1.intro\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nx✝ : R\nhx : x✝ ∈ nonUnitalSubsemiringClosure M\nH1 : NonUnitalSubsemiring R\n⊢ x✝ ∈ (fun t => ⋂ (_ : t ∈ {S | ↑M ⊆ ↑S}), ↑t) H1\n[PROOFSTEP]\nrintro - ⟨H2, rfl⟩\n[GOAL]\ncase h.refine_2.intro\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nx✝ : R\nhx : x✝ ∈ NonUnitalSubsemiring.closure ↑M\ns : R\nsM : s ∈ ↑M\nH1 : AddSubmonoid R\n⊢ s ∈ (fun t => ⋂ (_ : t ∈ {S | ↑M ⊆ ↑S}), ↑t) H1\n[PROOFSTEP]\nrintro - ⟨H2, rfl⟩\n[GOAL]\ncase h.refine_1.intro.intro\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nx✝ : R\nhx : x✝ ∈ nonUnitalSubsemiringClosure M\nH1 : NonUnitalSubsemiring R\nH2 : H1 ∈ {S | ↑M ⊆ ↑S}\n⊢ x✝ ∈ (fun h => ↑H1) H2\n[PROOFSTEP]\nexact AddSubmonoid.mem_closure.mp hx H1.toAddSubmonoid H2\n[GOAL]\ncase h.refine_2.intro.intro\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nx✝ : R\nhx : x✝ ∈ NonUnitalSubsemiring.closure ↑M\ns : R\nsM : s ∈ ↑M\nH1 : AddSubmonoid R\nH2 : H1 ∈ {S | ↑M ⊆ ↑S}\n⊢ s ∈ (fun h => ↑H1) H2\n[PROOFSTEP]\nexact H2 sM\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\ns : Set R\n⊢ ↑(closure s) = ↑(AddSubmonoid.closure ↑(Subsemigroup.closure s))\n[PROOFSTEP]\nsimp [← Subsemigroup.nonUnitalSubsemiringClosure_toAddSubmonoid, Subsemigroup.nonUnitalSubsemiringClosure_eq_closure]\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\ns : Set R\n⊢ closure ↑(AddSubmonoid.closure s) = closure s\n[PROOFSTEP]\next x\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\ns : Set R\nx : R\n⊢ x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s) ↔ x ∈ closure s\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨fun hx => _, fun hx => closure_mono AddSubmonoid.subset_closure hx⟩\n[GOAL]\ncase h\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\ns : Set R\nx : R\nhx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)\n⊢ x ∈ closure s\n[PROOFSTEP]\nrintro - ⟨H, rfl⟩\n[GOAL]\ncase h.intro\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\ns : Set R\nx : R\nhx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)\nH : NonUnitalSubsemiring R\n⊢ x ∈ (fun t => ⋂ (_ : t ∈ {S | s ⊆ ↑S}), ↑t) H\n[PROOFSTEP]\nrintro - ⟨J, rfl⟩\n[GOAL]\ncase h.intro.intro\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\ns : Set R\nx : R\nhx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)\nH : NonUnitalSubsemiring R\nJ : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}\n⊢ x ∈ (fun h => ↑H) J\n[PROOFSTEP]\nrefine' (AddSubmonoid.mem_closure.mp (mem_closure_iff.mp hx)) H.toAddSubmonoid fun y hy => _\n[GOAL]\ncase h.intro.intro\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\ns : Set R\nx : R\nhx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)\nH : NonUnitalSubsemiring R\nJ : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}\ny : R\nhy : y ∈ ↑(Subsemigroup.closure ↑(AddSubmonoid.closure s))\n⊢ y ∈ ↑H.toAddSubmonoid\n[PROOFSTEP]\nrefine' (Subsemigroup.mem_closure.mp hy) H.toSubsemigroup fun z hz => _\n[GOAL]\ncase h.intro.intro\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T\ns : Set R\nx : R\nhx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)\nH : NonUnitalSubsemiring R\nJ : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}\ny : R\nhy : y ∈ ↑(Subsemigroup.closure ↑(AddSubmonoid.closure s))\nz : R\nhz : z ∈ ↑(AddSubmonoid.closure s)\n⊢ z ∈ ↑(toSubsemigroup H)\n[PROOFSTEP]\nexact (AddSubmonoid.mem_closure.mp hz) H.toAddSubmonoid fun w hw => J hw\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S\ns : NonUnitalSubsemiring R\nx : R × S\n⊢ x ∈ prod s ⊤ ↔ x ∈ comap (NonUnitalRingHom.fst R S) s\n[PROOFSTEP]\nsimp [mem_prod, MonoidHom.coe_fst]\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S\ns : NonUnitalSubsemiring S\nx : R × S\n⊢ x ∈ prod ⊤ s ↔ x ∈ comap (NonUnitalRingHom.snd R S) s\n[PROOFSTEP]\nsimp [mem_prod, MonoidHom.coe_snd]\n[GOAL]\nR : Type u\nS✝ : Type v\nT : Type w\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S✝\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝\nι : Sort u_2\nhι : Nonempty ι\nS : ι → NonUnitalSubsemiring R\nhS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S\nx : R\n⊢ x ∈ ⨆ (i : ι), S i ↔ ∃ i, x ∈ S i\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨_, fun ⟨i, hi⟩ => (SetLike.le_def.1 <| le_iSup S i) hi⟩\n[GOAL]\nR : Type u\nS✝ : Type v\nT : Type w\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S✝\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝\nι : Sort u_2\nhι : Nonempty ι\nS : ι → NonUnitalSubsemiring R\nhS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S\nx : R\n⊢ x ∈ ⨆ (i : ι), S i → ∃ i, x ∈ S i\n[PROOFSTEP]\nlet U : NonUnitalSubsemiring R :=\n  NonUnitalSubsemiring.mk' (⋃ i, (S i : Set R)) (⨆ i, (S i).toSubsemigroup)\n    (Subsemigroup.coe_iSup_of_directed <| hS.mono_comp _ fun _ _ => id) (⨆ i, (S i).toAddSubmonoid)\n    (AddSubmonoid.coe_iSup_of_directed <| hS.mono_comp _ fun _ _ => id)\n      -- Porting note `@this` doesn't work\n[GOAL]\nR : Type u\nS✝ : Type v\nT : Type w\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S✝\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝\nι : Sort u_2\nhι : Nonempty ι\nS : ι → NonUnitalSubsemiring R\nhS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S\nx : R\nU : NonUnitalSubsemiring R :=\n  NonUnitalSubsemiring.mk' (⋃ (i : ι), ↑(S i)) (⨆ (i : ι), toSubsemigroup (S i))\n    (_ : ↑(⨆ (i : ι), toSubsemigroup (S i)) = ⋃ (i : ι), ↑(toSubsemigroup (S i))) (⨆ (i : ι), (S i).toAddSubmonoid)\n    (_ : ↑(⨆ (i : ι), (S i).toAddSubmonoid) = ⋃ (i : ι), ↑(S i).toAddSubmonoid)\n⊢ x ∈ ⨆ (i : ι), S i → ∃ i, x ∈ S i\n[PROOFSTEP]\nsuffices H : ⨆ i, S i ≤ U\n[GOAL]\nR : Type u\nS✝ : Type v\nT : Type w\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S✝\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝\nι : Sort u_2\nhι : Nonempty ι\nS : ι → NonUnitalSubsemiring R\nhS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S\nx : R\nU : NonUnitalSubsemiring R :=\n  NonUnitalSubsemiring.mk' (⋃ (i : ι), ↑(S i)) (⨆ (i : ι), toSubsemigroup (S i))\n    (_ : ↑(⨆ (i : ι), toSubsemigroup (S i)) = ⋃ (i : ι), ↑(toSubsemigroup (S i))) (⨆ (i : ι), (S i).toAddSubmonoid)\n    (_ : ↑(⨆ (i : ι), (S i).toAddSubmonoid) = ⋃ (i : ι), ↑(S i).toAddSubmonoid)\nH : ⨆ (i : ι), S i ≤ U\n⊢ x ∈ ⨆ (i : ι), S i → ∃ i, x ∈ S i\ncase H\nR : Type u\nS✝ : Type v\nT : Type w\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S✝\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝\nι : Sort u_2\nhι : Nonempty ι\nS : ι → NonUnitalSubsemiring R\nhS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S\nx : R\nU : NonUnitalSubsemiring R :=\n  NonUnitalSubsemiring.mk' (⋃ (i : ι), ↑(S i)) (⨆ (i : ι), toSubsemigroup (S i))\n    (_ : ↑(⨆ (i : ι), toSubsemigroup (S i)) = ⋃ (i : ι), ↑(toSubsemigroup (S i))) (⨆ (i : ι), (S i).toAddSubmonoid)\n    (_ : ↑(⨆ (i : ι), (S i).toAddSubmonoid) = ⋃ (i : ι), ↑(S i).toAddSubmonoid)\n⊢ ⨆ (i : ι), S i ≤ U\n[PROOFSTEP]\nsimpa using @H x\n[GOAL]\ncase H\nR : Type u\nS✝ : Type v\nT : Type w\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S✝\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝\nι : Sort u_2\nhι : Nonempty ι\nS : ι → NonUnitalSubsemiring R\nhS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S\nx : R\nU : NonUnitalSubsemiring R :=\n  NonUnitalSubsemiring.mk' (⋃ (i : ι), ↑(S i)) (⨆ (i : ι), toSubsemigroup (S i))\n    (_ : ↑(⨆ (i : ι), toSubsemigroup (S i)) = ⋃ (i : ι), ↑(toSubsemigroup (S i))) (⨆ (i : ι), (S i).toAddSubmonoid)\n    (_ : ↑(⨆ (i : ι), (S i).toAddSubmonoid) = ⋃ (i : ι), ↑(S i).toAddSubmonoid)\n⊢ ⨆ (i : ι), S i ≤ U\n[PROOFSTEP]\nexact iSup_le fun i x hx => Set.mem_iUnion.2 ⟨i, hx⟩\n[GOAL]\nR : Type u\nS✝ : Type v\nT : Type w\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S✝\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝\nι : Sort u_2\nhι : Nonempty ι\nS : ι → NonUnitalSubsemiring R\nhS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S\nx : R\n⊢ x ∈ ↑(⨆ (i : ι), S i) ↔ x ∈ ⋃ (i : ι), ↑(S i)\n[PROOFSTEP]\nsimp [mem_iSup_of_directed hS]\n[GOAL]\nR : Type u\nS✝ : Type v\nT : Type w\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S✝\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝\nS : Set (NonUnitalSubsemiring R)\nSne : Set.Nonempty S\nhS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S\nx : R\n⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s, s ∈ S ∧ x ∈ s\n[PROOFSTEP]\nhaveI : Nonempty S := Sne.to_subtype\n[GOAL]\nR : Type u\nS✝ : Type v\nT : Type w\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S✝\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝\nS : Set (NonUnitalSubsemiring R)\nSne : Set.Nonempty S\nhS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S\nx : R\nthis : Nonempty ↑S\n⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s, s ∈ S ∧ x ∈ s\n[PROOFSTEP]\nsimp only [sSup_eq_iSup', mem_iSup_of_directed hS.directed_val, Subtype.exists, exists_prop]\n[GOAL]\nR : Type u\nS✝ : Type v\nT : Type w\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S✝\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝\nS : Set (NonUnitalSubsemiring R)\nSne : Set.Nonempty S\nhS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S\nx : R\n⊢ x ∈ ↑(sSup S) ↔ x ∈ ⋃ (s : NonUnitalSubsemiring R) (_ : s ∈ S), ↑s\n[PROOFSTEP]\nsimp [mem_sSup_of_directedOn Sne hS]\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring T\nF : Type u_1\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring T\ninst✝² : NonUnitalRingHomClass F R S\nS' : Type u_2\ninst✝¹ : SetLike S' S\ninst✝ : NonUnitalSubsemiringClass S' S\ns : NonUnitalSubsemiring R\nf : F\n⊢ ↑(srange f) = ↑⊤ ↔ Set.range ↑f = Set.univ\n[PROOFSTEP]\nrw [coe_srange, coe_top]\n[GOAL]\nR : Type u\nS : Type v\nT : Type w\ninst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring R\nM : Subsemigroup R\ninst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S\ninst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring T\ns t : NonUnitalSubsemiring R\nF : Type u_1\ninst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S\ng : S → R\nf : F\nh : Function.LeftInverse g ↑f\nsrc✝ : R →ₙ+* { x // x ∈ srange f } := srangeRestrict f\nx : { x // x ∈ srange f }\nx' : R\nhx' : ↑f x' = ↑x\n⊢ ↑f (g ↑x) = ↑x\n[PROOFSTEP]\nrw [← hx', h x']\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.RingTheory.NonUnitalSubsemiring.Basic", "llama_tokens": 11939, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\ni : ι\n⊢ aeSeqSet hf p ⊆ {x | ∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x}\n[PROOFSTEP]\nrw [aeSeqSet, ← compl_compl {x | ∀ i, f i x = (hf i).mk (f i) x}, Set.compl_subset_compl]\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\ni : ι\n⊢ {x | ∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x}ᶜ ⊆\n    toMeasurable μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ\n[PROOFSTEP]\nrefine' Set.Subset.trans (Set.compl_subset_compl.mpr fun x h => _) (subset_toMeasurable _ _)\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nx✝ : α\nhx : x✝ ∈ aeSeqSet hf p\ni : ι\nx : α\nh : x ∈ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x) ∧ p x fun n => f n x}\n⊢ x ∈ {x | ∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x}\n[PROOFSTEP]\nexact h.1\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\ni : ι\n⊢ aeSeq hf p i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [aeSeq, hx, if_true]\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\ni : ι\n⊢ aeSeq hf p i x = f i x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [aeSeq_eq_mk_of_mem_aeSeqSet hf hx i, mk_eq_fun_of_mem_aeSeqSet hf hx i]\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\n⊢ p x fun n => aeSeq hf p n x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [aeSeq, hx, if_true]\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\n⊢ p x fun n => AEMeasurable.mk (f n) (_ : AEMeasurable (f n)) x\n[PROOFSTEP]\nrw [funext fun n => mk_eq_fun_of_mem_aeSeqSet hf hx n]\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\n⊢ p x fun n => f n x\n[PROOFSTEP]\nhave h_ss : aeSeqSet hf p ⊆ {x | p x fun n => f n x} :=\n  by\n  rw [← compl_compl {x | p x fun n => f n x}, aeSeqSet, Set.compl_subset_compl]\n  refine' Set.Subset.trans (Set.compl_subset_compl.mpr _) (subset_toMeasurable _ _)\n  exact fun x hx => hx.2\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\n⊢ aeSeqSet hf p ⊆ {x | p x fun n => f n x}\n[PROOFSTEP]\nrw [← compl_compl {x | p x fun n => f n x}, aeSeqSet, Set.compl_subset_compl]\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\n⊢ {x | p x fun n => f n x}ᶜ ⊆\n    toMeasurable μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ\n[PROOFSTEP]\nrefine' Set.Subset.trans (Set.compl_subset_compl.mpr _) (subset_toMeasurable _ _)\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\n⊢ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x) ∧ p x fun n => f n x} ⊆\n    {x | p x fun n => f n x}\n[PROOFSTEP]\nexact fun x hx => hx.2\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\nh_ss : aeSeqSet hf p ⊆ {x | p x fun n => f n x}\n⊢ p x fun n => f n x\n[PROOFSTEP]\nhave hx' := Set.mem_of_subset_of_mem h_ss hx\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\nh_ss : aeSeqSet hf p ⊆ {x | p x fun n => f n x}\nhx' : x ∈ {x | p x fun n => f n x}\n⊢ p x fun n => f n x\n[PROOFSTEP]\nexact hx'\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\n⊢ p x fun n => f n x\n[PROOFSTEP]\nhave h_eq : (fun n => f n x) = fun n => aeSeq hf p n x := funext fun n => (aeSeq_eq_fun_of_mem_aeSeqSet hf hx n).symm\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\nh_eq : (fun n => f n x) = fun n => aeSeq hf p n x\n⊢ p x fun n => f n x\n[PROOFSTEP]\nrw [h_eq]\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝¹ : MeasurableSpace α\ninst✝ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\nh_eq : (fun n => f n x) = fun n => aeSeq hf p n x\n⊢ p x fun n => aeSeq hf p n x\n[PROOFSTEP]\nexact prop_of_mem_aeSeqSet hf hx\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\ninst✝ : Countable ι\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nhp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x\n⊢ ↑↑μ (aeSeqSet hf p)ᶜ = 0\n[PROOFSTEP]\nrw [aeSeqSet, compl_compl, measure_toMeasurable]\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\ninst✝ : Countable ι\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nhp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x\n⊢ ↑↑μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ = 0\n[PROOFSTEP]\nhave hf_eq := fun i => (hf i).ae_eq_mk\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\ninst✝ : Countable ι\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nhp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x\nhf_eq : ∀ (i : ι), f i =ᵐ[μ] AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i))\n⊢ ↑↑μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ = 0\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [Filter.EventuallyEq, ← ae_all_iff] at hf_eq \n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\ninst✝ : Countable ι\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nhp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x\nhf_eq : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ι), f i a = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) a\n⊢ ↑↑μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ = 0\n[PROOFSTEP]\nexact Filter.Eventually.and hf_eq hp\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝² : MeasurableSpace α\ninst✝¹ : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\ninst✝ : Countable ι\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nhp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\ni : ι\n⊢ aeSeq hf p i x = AEMeasurable.mk (f i) (_ : AEMeasurable (f i)) x\n[PROOFSTEP]\nsimp only [aeSeq, hx, if_true]\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : MeasurableSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\ninst✝¹ : CompleteLattice β\ninst✝ : Countable ι\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nhp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x\n⊢ ⨆ (n : ι), aeSeq hf p n =ᵐ[μ] ⨆ (n : ι), f n\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [Filter.EventuallyEq, ae_iff, iSup_apply]\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : MeasurableSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\ninst✝¹ : CompleteLattice β\ninst✝ : Countable ι\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nhp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x\n⊢ ↑↑μ {a | ¬⨆ (i : ι), aeSeq hf p i a = ⨆ (i : ι), f i a} = 0\n[PROOFSTEP]\nhave h_ss : aeSeqSet hf p ⊆ {a : α | ⨆ i : ι, aeSeq hf p i a = ⨆ i : ι, f i a} :=\n  by\n  intro x hx\n  congr\n  exact funext fun i => aeSeq_eq_fun_of_mem_aeSeqSet hf hx i\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : MeasurableSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\ninst✝¹ : CompleteLattice β\ninst✝ : Countable ι\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nhp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x\n⊢ aeSeqSet hf p ⊆ {a | ⨆ (i : ι), aeSeq hf p i a = ⨆ (i : ι), f i a}\n[PROOFSTEP]\nintro x hx\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : MeasurableSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\ninst✝¹ : CompleteLattice β\ninst✝ : Countable ι\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nhp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\n⊢ x ∈ {a | ⨆ (i : ι), aeSeq hf p i a = ⨆ (i : ι), f i a}\n[PROOFSTEP]\ncongr\n[GOAL]\ncase e_s\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : MeasurableSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\ninst✝¹ : CompleteLattice β\ninst✝ : Countable ι\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nhp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x\nx : α\nhx : x ∈ aeSeqSet hf p\n⊢ (fun i => aeSeq hf p i x) = fun i => f i x\n[PROOFSTEP]\nexact funext fun i => aeSeq_eq_fun_of_mem_aeSeqSet hf hx i\n[GOAL]\nι : Sort u_1\nα : Type u_2\nβ : Type u_3\nγ : Type u_4\ninst✝³ : MeasurableSpace α\ninst✝² : MeasurableSpace β\nf : ι → α → β\nμ : Measure α\np : α → (ι → β) → Prop\ninst✝¹ : CompleteLattice β\ninst✝ : Countable ι\nhf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i)\nhp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x\nh_ss : aeSeqSet hf p ⊆ {a | ⨆ (i : ι), aeSeq hf p i a = ⨆ (i : ι), f i a}\n⊢ ↑↑μ {a | ¬⨆ (i : ι), aeSeq hf p i a = ⨆ (i : ι), f i a} = 0\n[PROOFSTEP]\nexact measure_mono_null (Set.compl_subset_compl.mpr h_ss) (measure_compl_aeSeqSet_eq_zero hf hp)\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.MeasureTheory.Function.AEMeasurableSequence", "llama_tokens": 6047, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. YES\n2. NO", "lm_q1_score": 0.5467381519846138, "lm_q2_score": 0.38121956625614994, "lm_q1q2_score": 0.20842728115526346}}
{"text": "[GOAL]\n⊢ ConcreteCategory HeytAlgCat\n[PROOFSTEP]\ndsimp [HeytAlgCat]\n[GOAL]\n⊢ ConcreteCategory (Bundled HeytingAlgebra)\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n  -- Porting note: No idea why it does not find this instance...\n[GOAL]\nα β : HeytAlgCat\ne : ↑α ≃o ↑β\n⊢ {\n        toLatticeHom :=\n          { toSupHom := { toFun := ↑e, map_sup' := (_ : ∀ (a b : ↑α), ↑e (a ⊔ b) = ↑e a ⊔ ↑e b) },\n            map_inf' := (_ : ∀ (a b : ↑α), ↑e (a ⊓ b) = ↑e a ⊓ ↑e b) },\n        map_bot' := (_ : ↑e ⊥ = ⊥), map_himp' := (_ : ∀ (a b : ↑α), ↑e (a ⇨ b) = ↑e a ⇨ ↑e b) } ≫\n      {\n        toLatticeHom :=\n          {\n            toSupHom :=\n              { toFun := ↑(OrderIso.symm e),\n                map_sup' :=\n                  (_ : ∀ (a b : ↑β), ↑(OrderIso.symm e) (a ⊔ b) = ↑(OrderIso.symm e) a ⊔ ↑(OrderIso.symm e) b) },\n            map_inf' := (_ : ∀ (a b : ↑β), ↑(OrderIso.symm e) (a ⊓ b) = ↑(OrderIso.symm e) a ⊓ ↑(OrderIso.symm e) b) },\n        map_bot' := (_ : ↑(OrderIso.symm e) ⊥ = ⊥),\n        map_himp' := (_ : ∀ (a b : ↑β), ↑(OrderIso.symm e) (a ⇨ b) = ↑(OrderIso.symm e) a ⇨ ↑(OrderIso.symm e) b) } =\n    𝟙 α\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase w\nα β : HeytAlgCat\ne : ↑α ≃o ↑β\nx✝ : (forget HeytAlgCat).obj α\n⊢ ↑({\n            toLatticeHom :=\n              { toSupHom := { toFun := ↑e, map_sup' := (_ : ∀ (a b : ↑α), ↑e (a ⊔ b) = ↑e a ⊔ ↑e b) },\n                map_inf' := (_ : ∀ (a b : ↑α), ↑e (a ⊓ b) = ↑e a ⊓ ↑e b) },\n            map_bot' := (_ : ↑e ⊥ = ⊥), map_himp' := (_ : ∀ (a b : ↑α), ↑e (a ⇨ b) = ↑e a ⇨ ↑e b) } ≫\n          {\n            toLatticeHom :=\n              {\n                toSupHom :=\n                  { toFun := ↑(OrderIso.symm e),\n                    map_sup' :=\n                      (_ : ∀ (a b : ↑β), ↑(OrderIso.symm e) (a ⊔ b) = ↑(OrderIso.symm e) a ⊔ ↑(OrderIso.symm e) b) },\n                map_inf' :=\n                  (_ : ∀ (a b : ↑β), ↑(OrderIso.symm e) (a ⊓ b) = ↑(OrderIso.symm e) a ⊓ ↑(OrderIso.symm e) b) },\n            map_bot' := (_ : ↑(OrderIso.symm e) ⊥ = ⊥),\n            map_himp' := (_ : ∀ (a b : ↑β), ↑(OrderIso.symm e) (a ⇨ b) = ↑(OrderIso.symm e) a ⇨ ↑(OrderIso.symm e) b) })\n      x✝ =\n    ↑(𝟙 α) x✝\n[PROOFSTEP]\nexact e.symm_apply_apply _\n[GOAL]\nα β : HeytAlgCat\ne : ↑α ≃o ↑β\n⊢ {\n        toLatticeHom :=\n          {\n            toSupHom :=\n              { toFun := ↑(OrderIso.symm e),\n                map_sup' :=\n                  (_ : ∀ (a b : ↑β), ↑(OrderIso.symm e) (a ⊔ b) = ↑(OrderIso.symm e) a ⊔ ↑(OrderIso.symm e) b) },\n            map_inf' := (_ : ∀ (a b : ↑β), ↑(OrderIso.symm e) (a ⊓ b) = ↑(OrderIso.symm e) a ⊓ ↑(OrderIso.symm e) b) },\n        map_bot' := (_ : ↑(OrderIso.symm e) ⊥ = ⊥),\n        map_himp' := (_ : ∀ (a b : ↑β), ↑(OrderIso.symm e) (a ⇨ b) = ↑(OrderIso.symm e) a ⇨ ↑(OrderIso.symm e) b) } ≫\n      {\n        toLatticeHom :=\n          { toSupHom := { toFun := ↑e, map_sup' := (_ : ∀ (a b : ↑α), ↑e (a ⊔ b) = ↑e a ⊔ ↑e b) },\n            map_inf' := (_ : ∀ (a b : ↑α), ↑e (a ⊓ b) = ↑e a ⊓ ↑e b) },\n        map_bot' := (_ : ↑e ⊥ = ⊥), map_himp' := (_ : ∀ (a b : ↑α), ↑e (a ⇨ b) = ↑e a ⇨ ↑e b) } =\n    𝟙 β\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase w\nα β : HeytAlgCat\ne : ↑α ≃o ↑β\nx✝ : (forget HeytAlgCat).obj β\n⊢ ↑({\n            toLatticeHom :=\n              {\n                toSupHom :=\n                  { toFun := ↑(OrderIso.symm e),\n                    map_sup' :=\n                      (_ : ∀ (a b : ↑β), ↑(OrderIso.symm e) (a ⊔ b) = ↑(OrderIso.symm e) a ⊔ ↑(OrderIso.symm e) b) },\n                map_inf' :=\n                  (_ : ∀ (a b : ↑β), ↑(OrderIso.symm e) (a ⊓ b) = ↑(OrderIso.symm e) a ⊓ ↑(OrderIso.symm e) b) },\n            map_bot' := (_ : ↑(OrderIso.symm e) ⊥ = ⊥),\n            map_himp' :=\n              (_ : ∀ (a b : ↑β), ↑(OrderIso.symm e) (a ⇨ b) = ↑(OrderIso.symm e) a ⇨ ↑(OrderIso.symm e) b) } ≫\n          {\n            toLatticeHom :=\n              { toSupHom := { toFun := ↑e, map_sup' := (_ : ∀ (a b : ↑α), ↑e (a ⊔ b) = ↑e a ⊔ ↑e b) },\n                map_inf' := (_ : ∀ (a b : ↑α), ↑e (a ⊓ b) = ↑e a ⊓ ↑e b) },\n            map_bot' := (_ : ↑e ⊥ = ⊥), map_himp' := (_ : ∀ (a b : ↑α), ↑e (a ⇨ b) = ↑e a ⇨ ↑e b) })\n      x✝ =\n    ↑(𝟙 β) x✝\n[PROOFSTEP]\nexact e.apply_symm_apply _\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.Order.Category.HeytAlgCat", "llama_tokens": 2162, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. YES\n2. NO", "lm_q1_score": 0.5698526514141571, "lm_q2_score": 0.36296921930155557, "lm_q1q2_score": 0.20683897200071807}}
{"text": "[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nU V : Cᵒᵖ\nx✝¹ : U ⟶ V\nx : F.obj U\nx✝ : x ∈ (fun U => ⊤) U\n⊢ x ∈ F.map x✝¹ ⁻¹' (fun U => ⊤) V\n[PROOFSTEP]\naesop_cat\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nX : Cᵒᵖ\n⊢ { obj := fun U => ↑(obj G U),\n          map := fun U V i x => { val := F.map i ↑x, property := (_ : ↑x ∈ F.map i ⁻¹' obj G V) } }.map\n      (𝟙 X) =\n    𝟙\n      ({ obj := fun U => ↑(obj G U),\n            map := fun U V i x => { val := F.map i ↑x, property := (_ : ↑x ∈ F.map i ⁻¹' obj G V) } }.obj\n        X)\n[PROOFSTEP]\next ⟨x, _⟩\n[GOAL]\ncase h.mk\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nX : Cᵒᵖ\nx : F.obj X\nproperty✝ : x ∈ obj G X\n⊢ { obj := fun U => ↑(obj G U),\n          map := fun U V i x => { val := F.map i ↑x, property := (_ : ↑x ∈ F.map i ⁻¹' obj G V) } }.map\n      (𝟙 X) { val := x, property := property✝ } =\n    𝟙\n      ({ obj := fun U => ↑(obj G U),\n            map := fun U V i x => { val := F.map i ↑x, property := (_ : ↑x ∈ F.map i ⁻¹' obj G V) } }.obj\n        X)\n      { val := x, property := property✝ }\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\ncase h.mk\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nX : Cᵒᵖ\nx : F.obj X\nproperty✝ : x ∈ obj G X\n⊢ { val := F.map (𝟙 X) x, property := (_ : x ∈ F.map (𝟙 X) ⁻¹' obj G X) } = { val := x, property := property✝ }\n[PROOFSTEP]\nsimp only [FunctorToTypes.map_id_apply]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nX Y Z : Cᵒᵖ\ni : X ⟶ Y\nj : Y ⟶ Z\n⊢ { obj := fun U => ↑(obj G U),\n          map := fun U V i x => { val := F.map i ↑x, property := (_ : ↑x ∈ F.map i ⁻¹' obj G V) } }.map\n      (i ≫ j) =\n    { obj := fun U => ↑(obj G U),\n            map := fun U V i x => { val := F.map i ↑x, property := (_ : ↑x ∈ F.map i ⁻¹' obj G V) } }.map\n        i ≫\n      { obj := fun U => ↑(obj G U),\n            map := fun U V i x => { val := F.map i ↑x, property := (_ : ↑x ∈ F.map i ⁻¹' obj G V) } }.map\n        j\n[PROOFSTEP]\next ⟨x, _⟩\n[GOAL]\ncase h.mk\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nX Y Z : Cᵒᵖ\ni : X ⟶ Y\nj : Y ⟶ Z\nx : F.obj X\nproperty✝ : x ∈ obj G X\n⊢ { obj := fun U => ↑(obj G U),\n          map := fun U V i x => { val := F.map i ↑x, property := (_ : ↑x ∈ F.map i ⁻¹' obj G V) } }.map\n      (i ≫ j) { val := x, property := property✝ } =\n    ({ obj := fun U => ↑(obj G U),\n              map := fun U V i x => { val := F.map i ↑x, property := (_ : ↑x ∈ F.map i ⁻¹' obj G V) } }.map\n          i ≫\n        { obj := fun U => ↑(obj G U),\n              map := fun U V i x => { val := F.map i ↑x, property := (_ : ↑x ∈ F.map i ⁻¹' obj G V) } }.map\n          j)\n      { val := x, property := property✝ }\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\ncase h.mk\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nX Y Z : Cᵒᵖ\ni : X ⟶ Y\nj : Y ⟶ Z\nx : F.obj X\nproperty✝ : x ∈ obj G X\n⊢ { val := F.map (i ≫ j) x, property := (_ : x ∈ F.map (i ≫ j) ⁻¹' obj G Z) } =\n    { val := F.map j (F.map i x), property := (_ : F.map i x ∈ F.map j ⁻¹' obj G Z) }\n[PROOFSTEP]\nsimp only [FunctorToTypes.map_comp_apply]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG✝ G'✝ G G' : Subpresheaf F\nh : G ≤ G'\n⊢ homOfLe h ≫ ι G' = ι G\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase w.h.h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG✝ G'✝ G G' : Subpresheaf F\nh : G ≤ G'\nx✝ : Cᵒᵖ\na✝ : (toPresheaf G).obj x✝\n⊢ NatTrans.app (homOfLe h ≫ ι G') x✝ a✝ = NatTrans.app (ι G) x✝ a✝\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\n⊢ IsIso (Subpresheaf.ι ⊤)\n[PROOFSTEP]\nrefine @NatIso.isIso_of_isIso_app _ _ _ _ _ _ _ ?_\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\n⊢ ∀ (X : Cᵒᵖ), IsIso (NatTrans.app (Subpresheaf.ι ⊤) X)\n[PROOFSTEP]\nintro X\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nX : Cᵒᵖ\n⊢ IsIso (NatTrans.app (Subpresheaf.ι ⊤) X)\n[PROOFSTEP]\nrw [isIso_iff_bijective]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nX : Cᵒᵖ\n⊢ Function.Bijective (NatTrans.app (Subpresheaf.ι ⊤) X)\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨Subtype.coe_injective, fun x => ⟨⟨x, _root_.trivial⟩, rfl⟩⟩\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\n⊢ G = ⊤ ↔ IsIso (ι G)\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase mp\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\n⊢ G = ⊤ → IsIso (ι G)\n[PROOFSTEP]\nrintro rfl\n[GOAL]\ncase mp\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG' : Subpresheaf F\n⊢ IsIso (ι ⊤)\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\ncase mpr\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\n⊢ IsIso (ι G) → G = ⊤\n[PROOFSTEP]\nintro H\n[GOAL]\ncase mpr\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nH : IsIso (ι G)\n⊢ G = ⊤\n[PROOFSTEP]\next U x\n[GOAL]\ncase mpr.obj.h.h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nH : IsIso (ι G)\nU : Cᵒᵖ\nx : F.obj U\n⊢ x ∈ obj G U ↔ x ∈ obj ⊤ U\n[PROOFSTEP]\napply iff_true_iff.mpr\n[GOAL]\ncase mpr.obj.h.h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nH : IsIso (ι G)\nU : Cᵒᵖ\nx : F.obj U\n⊢ x ∈ obj G U\n[PROOFSTEP]\nrw [← IsIso.inv_hom_id_apply (G.ι.app U) x]\n[GOAL]\ncase mpr.obj.h.h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nH : IsIso (ι G)\nU : Cᵒᵖ\nx : F.obj U\n⊢ ↑(NatTrans.app (ι G) U)\n      (↑(Classical.choose\n            (_ :\n              ∃ inv, NatTrans.app (ι G) U ≫ inv = 𝟙 ((toPresheaf G).obj U) ∧ inv ≫ NatTrans.app (ι G) U = 𝟙 (F.obj U)))\n        x) ∈\n    obj G U\n[PROOFSTEP]\nexact ((inv (G.ι.app U)) x).2\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : F' ⟶ F\nhf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), NatTrans.app f U x ∈ obj G U\n⊢ ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y),\n    F'.map f_1 ≫ (fun U x => { val := NatTrans.app f U x, property := (_ : NatTrans.app f U x ∈ obj G U) }) Y =\n      (fun U x => { val := NatTrans.app f U x, property := (_ : NatTrans.app f U x ∈ obj G U) }) X ≫\n        (toPresheaf G).map f_1\n[PROOFSTEP]\nhave := elementwise_of% f.naturality\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : F' ⟶ F\nhf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), NatTrans.app f U x ∈ obj G U\nthis : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), NatTrans.app f Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (NatTrans.app f X x)\n⊢ ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y),\n    F'.map f_1 ≫ (fun U x => { val := NatTrans.app f U x, property := (_ : NatTrans.app f U x ∈ obj G U) }) Y =\n      (fun U x => { val := NatTrans.app f U x, property := (_ : NatTrans.app f U x ∈ obj G U) }) X ≫\n        (toPresheaf G).map f_1\n[PROOFSTEP]\nintros\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : F' ⟶ F\nhf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), NatTrans.app f U x ∈ obj G U\nthis : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), NatTrans.app f Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (NatTrans.app f X x)\nX✝ Y✝ : Cᵒᵖ\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\n⊢ F'.map f✝ ≫ (fun U x => { val := NatTrans.app f U x, property := (_ : NatTrans.app f U x ∈ obj G U) }) Y✝ =\n    (fun U x => { val := NatTrans.app f U x, property := (_ : NatTrans.app f U x ∈ obj G U) }) X✝ ≫\n      (toPresheaf G).map f✝\n[PROOFSTEP]\nrefine funext fun x => Subtype.ext ?_\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : F' ⟶ F\nhf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), NatTrans.app f U x ∈ obj G U\nthis : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), NatTrans.app f Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (NatTrans.app f X x)\nX✝ Y✝ : Cᵒᵖ\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nx : F'.obj X✝\n⊢ ↑((F'.map f✝ ≫ (fun U x => { val := NatTrans.app f U x, property := (_ : NatTrans.app f U x ∈ obj G U) }) Y✝) x) =\n    ↑(((fun U x => { val := NatTrans.app f U x, property := (_ : NatTrans.app f U x ∈ obj G U) }) X✝ ≫\n          (toPresheaf G).map f✝)\n        x)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [toPresheaf_obj, types_comp_apply]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : F' ⟶ F\nhf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), NatTrans.app f U x ∈ obj G U\nthis : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), NatTrans.app f Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (NatTrans.app f X x)\nX✝ Y✝ : Cᵒᵖ\nf✝ : X✝ ⟶ Y✝\nx : F'.obj X✝\n⊢ NatTrans.app f Y✝ (F'.map f✝ x) =\n    ↑((toPresheaf G).map f✝ { val := NatTrans.app f X✝ x, property := (_ : NatTrans.app f X✝ x ∈ obj G X✝) })\n[PROOFSTEP]\nexact this _ _\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : F' ⟶ F\nhf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), NatTrans.app f U x ∈ obj G U\n⊢ lift G f hf ≫ ι G = f\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase w.h.h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : F' ⟶ F\nhf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), NatTrans.app f U x ∈ obj G U\nx✝ : Cᵒᵖ\na✝ : F'.obj x✝\n⊢ NatTrans.app (lift G f hf ≫ ι G) x✝ a✝ = NatTrans.app f x✝ a✝\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nV W : C\ni : V ⟶ U.unop\nhi : (fun V f => F.map f.op s ∈ obj G (op V)) V i\nj : W ⟶ V\n⊢ (fun V f => F.map f.op s ∈ obj G (op V)) W (j ≫ i)\n[PROOFSTEP]\nsimp only [op_unop, op_comp, FunctorToTypes.map_comp_apply]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nV W : C\ni : V ⟶ U.unop\nhi : (fun V f => F.map f.op s ∈ obj G (op V)) V i\nj : W ⟶ V\n⊢ F.map j.op (F.map i.op s) ∈ obj G (op W)\n[PROOFSTEP]\nexact G.map _ hi\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\n⊢ Presieve.FamilyOfElements.Compatible (familyOfElementsOfSection G s)\n[PROOFSTEP]\nintro Y₁ Y₂ Z g₁ g₂ f₁ f₂ h₁ h₂ e\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nY₁ Y₂ Z : C\ng₁ : Z ⟶ Y₁\ng₂ : Z ⟶ Y₂\nf₁ : Y₁ ⟶ U.unop\nf₂ : Y₂ ⟶ U.unop\nh₁ : (sieveOfSection G s).arrows f₁\nh₂ : (sieveOfSection G s).arrows f₂\ne : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂\n⊢ (toPresheaf G).map g₁.op (familyOfElementsOfSection G s f₁ h₁) =\n    (toPresheaf G).map g₂.op (familyOfElementsOfSection G s f₂ h₂)\n[PROOFSTEP]\nrefine\n  Subtype.ext\n    ?_\n      -- port note: `ext1` does not work here\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nY₁ Y₂ Z : C\ng₁ : Z ⟶ Y₁\ng₂ : Z ⟶ Y₂\nf₁ : Y₁ ⟶ U.unop\nf₂ : Y₂ ⟶ U.unop\nh₁ : (sieveOfSection G s).arrows f₁\nh₂ : (sieveOfSection G s).arrows f₂\ne : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂\n⊢ ↑((toPresheaf G).map g₁.op (familyOfElementsOfSection G s f₁ h₁)) =\n    ↑((toPresheaf G).map g₂.op (familyOfElementsOfSection G s f₂ h₂))\n[PROOFSTEP]\nchange F.map g₁.op (F.map f₁.op s) = F.map g₂.op (F.map f₂.op s)\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nY₁ Y₂ Z : C\ng₁ : Z ⟶ Y₁\ng₂ : Z ⟶ Y₂\nf₁ : Y₁ ⟶ U.unop\nf₂ : Y₂ ⟶ U.unop\nh₁ : (sieveOfSection G s).arrows f₁\nh₂ : (sieveOfSection G s).arrows f₂\ne : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂\n⊢ F.map g₁.op (F.map f₁.op s) = F.map g₂.op (F.map f₂.op s)\n[PROOFSTEP]\nrw [← FunctorToTypes.map_comp_apply, ← FunctorToTypes.map_comp_apply, ← op_comp, ← op_comp, e]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\n⊢ ∀ {U V : Cᵒᵖ} (i : U ⟶ V),\n    (fun U => {s | sieveOfSection G s ∈ sieves J U.unop}) U ⊆\n      F.map i ⁻¹' (fun U => {s | sieveOfSection G s ∈ sieves J U.unop}) V\n[PROOFSTEP]\nrintro U V i s hs\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : F.obj U\nhs : s ∈ (fun U => {s | sieveOfSection G s ∈ sieves J U.unop}) U\n⊢ s ∈ F.map i ⁻¹' (fun U => {s | sieveOfSection G s ∈ sieves J U.unop}) V\n[PROOFSTEP]\nrefine' J.superset_covering _ (J.pullback_stable i.unop hs)\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : F.obj U\nhs : s ∈ (fun U => {s | sieveOfSection G s ∈ sieves J U.unop}) U\n⊢ Sieve.pullback i.unop (sieveOfSection G s) ≤ sieveOfSection G (F.map i s)\n[PROOFSTEP]\nintro _ _ h\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : F.obj U\nhs : s ∈ (fun U => {s | sieveOfSection G s ∈ sieves J U.unop}) U\nY✝ : C\nf✝ : Y✝ ⟶ V.unop\nh : (Sieve.pullback i.unop (sieveOfSection G s)).arrows f✝\n⊢ (sieveOfSection G (F.map i s)).arrows f✝\n[PROOFSTEP]\ndsimp at h ⊢\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : F.obj U\nhs : s ∈ (fun U => {s | sieveOfSection G s ∈ sieves J U.unop}) U\nY✝ : C\nf✝ : Y✝ ⟶ V.unop\nh : F.map (i ≫ f✝.op) s ∈ obj G (op Y✝)\n⊢ F.map f✝.op (F.map i s) ∈ obj G (op Y✝)\n[PROOFSTEP]\nrwa [← FunctorToTypes.map_comp_apply]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\n⊢ G ≤ sheafify J G\n[PROOFSTEP]\nintro U s hs\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nhs : s ∈ obj G U\n⊢ s ∈ obj (sheafify J G) U\n[PROOFSTEP]\nchange _ ∈ J _\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nhs : s ∈ obj G U\n⊢ sieveOfSection G s ∈ sieves J U.unop\n[PROOFSTEP]\nconvert J.top_mem U.unop\n[GOAL]\ncase h.e'_4\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nhs : s ∈ obj G U\n⊢ sieveOfSection G s = ⊤\n[PROOFSTEP]\nrw [eq_top_iff]\n[GOAL]\ncase h.e'_4\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nhs : s ∈ obj G U\n⊢ ⊤ ≤ sieveOfSection G s\n[PROOFSTEP]\nrintro V i -\n[GOAL]\ncase h.e'_4\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nhs : s ∈ obj G U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\n⊢ (sieveOfSection G s).arrows i\n[PROOFSTEP]\nexact G.map i.op hs\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : Presieve.IsSheaf J F\nhG : Presieve.IsSheaf J (toPresheaf G)\n⊢ G = sheafify J G\n[PROOFSTEP]\napply (G.le_sheafify J).antisymm\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : Presieve.IsSheaf J F\nhG : Presieve.IsSheaf J (toPresheaf G)\n⊢ sheafify J G ≤ G\n[PROOFSTEP]\nintro U s hs\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : Presieve.IsSheaf J F\nhG : Presieve.IsSheaf J (toPresheaf G)\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nhs : s ∈ obj (sheafify J G) U\n⊢ s ∈ obj G U\n[PROOFSTEP]\nsuffices ((hG _ hs).amalgamate _ (G.family_of_elements_compatible s)).1 = s\n  by\n  rw [← this]\n  exact ((hG _ hs).amalgamate _ (G.family_of_elements_compatible s)).2\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : Presieve.IsSheaf J F\nhG : Presieve.IsSheaf J (toPresheaf G)\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nhs : s ∈ obj (sheafify J G) U\nthis :\n  ↑(Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor (toPresheaf G) (sieveOfSection G s).arrows)\n        (familyOfElementsOfSection G s) (_ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible (familyOfElementsOfSection G s))) =\n    s\n⊢ s ∈ obj G U\n[PROOFSTEP]\nrw [← this]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : Presieve.IsSheaf J F\nhG : Presieve.IsSheaf J (toPresheaf G)\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nhs : s ∈ obj (sheafify J G) U\nthis :\n  ↑(Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor (toPresheaf G) (sieveOfSection G s).arrows)\n        (familyOfElementsOfSection G s) (_ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible (familyOfElementsOfSection G s))) =\n    s\n⊢ ↑(Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor (toPresheaf G) (sieveOfSection G s).arrows)\n        (familyOfElementsOfSection G s) (_ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible (familyOfElementsOfSection G s))) ∈\n    obj G U\n[PROOFSTEP]\nexact ((hG _ hs).amalgamate _ (G.family_of_elements_compatible s)).2\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : Presieve.IsSheaf J F\nhG : Presieve.IsSheaf J (toPresheaf G)\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nhs : s ∈ obj (sheafify J G) U\n⊢ ↑(Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor (toPresheaf G) (sieveOfSection G s).arrows)\n        (familyOfElementsOfSection G s) (_ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible (familyOfElementsOfSection G s))) =\n    s\n[PROOFSTEP]\napply (h _ hs).isSeparatedFor.ext\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : Presieve.IsSheaf J F\nhG : Presieve.IsSheaf J (toPresheaf G)\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nhs : s ∈ obj (sheafify J G) U\n⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ U.unop⦄,\n    (sieveOfSection G s).arrows f →\n      F.map f.op\n          ↑(Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor (toPresheaf G) (sieveOfSection G s).arrows)\n              (familyOfElementsOfSection G s)\n              (_ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible (familyOfElementsOfSection G s))) =\n        F.map f.op s\n[PROOFSTEP]\nintro V i hi\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : Presieve.IsSheaf J F\nhG : Presieve.IsSheaf J (toPresheaf G)\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nhs : s ∈ obj (sheafify J G) U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\nhi : (sieveOfSection G s).arrows i\n⊢ F.map i.op\n      ↑(Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor (toPresheaf G) (sieveOfSection G s).arrows)\n          (familyOfElementsOfSection G s) (_ : Presieve.FamilyOfElements.Compatible (familyOfElementsOfSection G s))) =\n    F.map i.op s\n[PROOFSTEP]\nexact (congr_arg Subtype.val ((hG _ hs).valid_glue (G.family_of_elements_compatible s) _ hi) : _)\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\n⊢ Presieve.IsSheaf J (toPresheaf (sheafify J G))\n[PROOFSTEP]\nintro U S hS x hx\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\n⊢ ∃! t, Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t\n[PROOFSTEP]\nlet S' := Sieve.bind S fun Y f hf => G.sieveOfSection (x f hf).1\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\n⊢ ∃! t, Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t\n[PROOFSTEP]\nhave := fun (V) (i : V ⟶ U) (hi : S' i) => hi\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nthis : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U), S'.arrows i → S'.arrows i\n⊢ ∃! t, Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t\n[PROOFSTEP]\nchoose W i₁ i₂ hi₂ h₁ h₂ using this\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i),\n    (fun Y f h => ((fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)) Y f h).arrows) (W V i hi) (i₂ V i hi)\n      (_ : S.arrows (i₂ V i hi)) (i₁ V i hi)\nh₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\n⊢ ∃! t, Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t\n[PROOFSTEP]\ndsimp [-Sieve.bind_apply] at *\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\n⊢ ∃! t, Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t\n[PROOFSTEP]\nlet x'' : Presieve.FamilyOfElements F S' := fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op (x _ (hi₂ V i hi))\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\n⊢ ∃! t, Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t\n[PROOFSTEP]\nhave H : ∀ s, x.IsAmalgamation s ↔ x''.IsAmalgamation s.1 :=\n  by\n  intro s\n  constructor\n  · intro H V i hi\n    dsimp only [show x'' = fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op (x _ (hi₂ V i hi)) from rfl]\n    conv_lhs => rw [← h₂ _ _ hi]\n    rw [← H _ (hi₂ _ _ hi)]\n    exact FunctorToTypes.map_comp_apply F (i₂ _ _ hi).op (i₁ _ _ hi).op _\n  · intro H V i hi\n    refine Subtype.ext ?_\n    apply (hF _ (x i hi).2).isSeparatedFor.ext\n    intro V' i' hi'\n    have hi'' : S' (i' ≫ i) := ⟨_, _, _, hi, hi', rfl⟩\n    have := H _ hi''\n    rw [op_comp, F.map_comp] at this \n    refine' this.trans (congr_arg Subtype.val (hx _ _ (hi₂ _ _ hi'') hi (h₂ _ _ hi'')))\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\n⊢ ∀ (s : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)),\n    Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s ↔ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\n[PROOFSTEP]\nintro s\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)\n⊢ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s ↔ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase mp\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)\n⊢ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s → Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\n[PROOFSTEP]\nintro H V i hi\n[GOAL]\ncase mp\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)\nH : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s\nV : C\ni : V ⟶ U\nhi : S'.arrows i\n⊢ F.map i.op ↑s = x'' i hi\n[PROOFSTEP]\ndsimp only [show x'' = fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op (x _ (hi₂ V i hi)) from rfl]\n[GOAL]\ncase mp\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)\nH : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s\nV : C\ni : V ⟶ U\nhi : S'.arrows i\n⊢ F.map i.op ↑s = F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\n[PROOFSTEP]\nconv_lhs => rw [← h₂ _ _ hi]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)\nH : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s\nV : C\ni : V ⟶ U\nhi : S'.arrows i\n| F.map i.op ↑s\n[PROOFSTEP]\nrw [← h₂ _ _ hi]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)\nH : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s\nV : C\ni : V ⟶ U\nhi : S'.arrows i\n| F.map i.op ↑s\n[PROOFSTEP]\nrw [← h₂ _ _ hi]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)\nH : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s\nV : C\ni : V ⟶ U\nhi : S'.arrows i\n| F.map i.op ↑s\n[PROOFSTEP]\nrw [← h₂ _ _ hi]\n[GOAL]\ncase mp\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)\nH : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s\nV : C\ni : V ⟶ U\nhi : S'.arrows i\n⊢ F.map (i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi).op ↑s = F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\n[PROOFSTEP]\nrw [← H _ (hi₂ _ _ hi)]\n[GOAL]\ncase mp\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)\nH : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s\nV : C\ni : V ⟶ U\nhi : S'.arrows i\n⊢ F.map (i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi).op ↑s = F.map (i₁ V i hi).op ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map (i₂ V i hi).op s)\n[PROOFSTEP]\nexact FunctorToTypes.map_comp_apply F (i₂ _ _ hi).op (i₁ _ _ hi).op _\n[GOAL]\ncase mpr\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)\n⊢ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s → Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s\n[PROOFSTEP]\nintro H V i hi\n[GOAL]\ncase mpr\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)\nH : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\nV : C\ni : V ⟶ U\nhi : S.arrows i\n⊢ (toPresheaf (sheafify J G)).map i.op s = x i hi\n[PROOFSTEP]\nrefine Subtype.ext ?_\n[GOAL]\ncase mpr\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)\nH : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\nV : C\ni : V ⟶ U\nhi : S.arrows i\n⊢ ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i.op s) = ↑(x i hi)\n[PROOFSTEP]\napply (hF _ (x i hi).2).isSeparatedFor.ext\n[GOAL]\ncase mpr\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)\nH : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\nV : C\ni : V ⟶ U\nhi : S.arrows i\n⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ (op V).unop⦄,\n    (sieveOfSection G ↑(x i hi)).arrows f → F.map f.op ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i.op s) = F.map f.op ↑(x i hi)\n[PROOFSTEP]\nintro V' i' hi'\n[GOAL]\ncase mpr\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)\nH : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\nV : C\ni : V ⟶ U\nhi : S.arrows i\nV' : C\ni' : V' ⟶ (op V).unop\nhi' : (sieveOfSection G ↑(x i hi)).arrows i'\n⊢ F.map i'.op ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i.op s) = F.map i'.op ↑(x i hi)\n[PROOFSTEP]\nhave hi'' : S' (i' ≫ i) := ⟨_, _, _, hi, hi', rfl⟩\n[GOAL]\ncase mpr\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)\nH : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\nV : C\ni : V ⟶ U\nhi : S.arrows i\nV' : C\ni' : V' ⟶ (op V).unop\nhi' : (sieveOfSection G ↑(x i hi)).arrows i'\nhi'' : S'.arrows (i' ≫ i)\n⊢ F.map i'.op ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i.op s) = F.map i'.op ↑(x i hi)\n[PROOFSTEP]\nhave := H _ hi''\n[GOAL]\ncase mpr\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)\nH : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\nV : C\ni : V ⟶ U\nhi : S.arrows i\nV' : C\ni' : V' ⟶ (op V).unop\nhi' : (sieveOfSection G ↑(x i hi)).arrows i'\nhi'' : S'.arrows (i' ≫ i)\nthis : F.map (i' ≫ i).op ↑s = x'' (i' ≫ i) hi''\n⊢ F.map i'.op ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i.op s) = F.map i'.op ↑(x i hi)\n[PROOFSTEP]\nrw [op_comp, F.map_comp] at this \n[GOAL]\ncase mpr\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)\nH : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\nV : C\ni : V ⟶ U\nhi : S.arrows i\nV' : C\ni' : V' ⟶ (op V).unop\nhi' : (sieveOfSection G ↑(x i hi)).arrows i'\nhi'' : S'.arrows (i' ≫ i)\nthis : (F.map i.op ≫ F.map i'.op) ↑s = x'' (i' ≫ i) hi''\n⊢ F.map i'.op ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i.op s) = F.map i'.op ↑(x i hi)\n[PROOFSTEP]\nrefine' this.trans (congr_arg Subtype.val (hx _ _ (hi₂ _ _ hi'') hi (h₂ _ _ hi'')))\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\nH :\n  ∀ (s : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)),\n    Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s ↔ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\n⊢ ∃! t, Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t\n[PROOFSTEP]\nhave : x''.Compatible := by\n  intro V₁ V₂ V₃ g₁ g₂ g₃ g₄ S₁ S₂ e\n  rw [← FunctorToTypes.map_comp_apply, ← FunctorToTypes.map_comp_apply]\n  exact\n    congr_arg Subtype.val\n      (hx (g₁ ≫ i₁ _ _ S₁) (g₂ ≫ i₁ _ _ S₂) (hi₂ _ _ S₁) (hi₂ _ _ S₂) (by simp only [Category.assoc, h₂, e]))\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\nH :\n  ∀ (s : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)),\n    Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s ↔ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\n⊢ Presieve.FamilyOfElements.Compatible x''\n[PROOFSTEP]\nintro V₁ V₂ V₃ g₁ g₂ g₃ g₄ S₁ S₂ e\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\nH :\n  ∀ (s : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)),\n    Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s ↔ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\nV₁ V₂ V₃ : C\ng₁ : V₃ ⟶ V₁\ng₂ : V₃ ⟶ V₂\ng₃ : V₁ ⟶ U\ng₄ : V₂ ⟶ U\nS₁ : S'.arrows g₃\nS₂ : S'.arrows g₄\ne : g₁ ≫ g₃ = g₂ ≫ g₄\n⊢ F.map g₁.op (x'' g₃ S₁) = F.map g₂.op (x'' g₄ S₂)\n[PROOFSTEP]\nrw [← FunctorToTypes.map_comp_apply, ← FunctorToTypes.map_comp_apply]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\nH :\n  ∀ (s : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)),\n    Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s ↔ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\nV₁ V₂ V₃ : C\ng₁ : V₃ ⟶ V₁\ng₂ : V₃ ⟶ V₂\ng₃ : V₁ ⟶ U\ng₄ : V₂ ⟶ U\nS₁ : S'.arrows g₃\nS₂ : S'.arrows g₄\ne : g₁ ≫ g₃ = g₂ ≫ g₄\n⊢ F.map ((i₁ V₁ g₃ S₁).op ≫ g₁.op) ↑(x (i₂ V₁ g₃ S₁) (_ : S.arrows (i₂ V₁ g₃ S₁))) =\n    F.map ((i₁ V₂ g₄ S₂).op ≫ g₂.op) ↑(x (i₂ V₂ g₄ S₂) (_ : S.arrows (i₂ V₂ g₄ S₂)))\n[PROOFSTEP]\nexact\n  congr_arg Subtype.val\n    (hx (g₁ ≫ i₁ _ _ S₁) (g₂ ≫ i₁ _ _ S₂) (hi₂ _ _ S₁) (hi₂ _ _ S₂) (by simp only [Category.assoc, h₂, e]))\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\nH :\n  ∀ (s : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)),\n    Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s ↔ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\nV₁ V₂ V₃ : C\ng₁ : V₃ ⟶ V₁\ng₂ : V₃ ⟶ V₂\ng₃ : V₁ ⟶ U\ng₄ : V₂ ⟶ U\nS₁ : S'.arrows g₃\nS₂ : S'.arrows g₄\ne : g₁ ≫ g₃ = g₂ ≫ g₄\n⊢ (g₁ ≫ i₁ V₁ g₃ S₁) ≫ i₂ V₁ g₃ S₁ = (g₂ ≫ i₁ V₂ g₄ S₂) ≫ i₂ V₂ g₄ S₂\n[PROOFSTEP]\nsimp only [Category.assoc, h₂, e]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\nH :\n  ∀ (s : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)),\n    Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s ↔ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\nthis : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x''\n⊢ ∃! t, Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨t, ht, ht'⟩ := hF _ (J.bind_covering hS fun V i hi => (x i hi).2) _ this\n[GOAL]\ncase intro.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\nH :\n  ∀ (s : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)),\n    Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s ↔ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\nthis : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x''\nt : F.obj (op U)\nht : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' t\nht' : ∀ (y : F.obj (op U)), (fun t => Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' t) y → y = t\n⊢ ∃! t, Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x t\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨⟨t, _⟩, (H ⟨t, _⟩).mpr ht, fun y hy => Subtype.ext (ht' _ ((H _).mp hy))⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\nH :\n  ∀ (s : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)),\n    Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s ↔ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\nthis : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x''\nt : F.obj (op U)\nht : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' t\nht' : ∀ (y : F.obj (op U)), (fun t => Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' t) y → y = t\n⊢ t ∈ obj (sheafify J G) (op U)\n[PROOFSTEP]\nrefine' J.superset_covering _ (J.bind_covering hS fun V i hi => (x i hi).2)\n[GOAL]\ncase intro.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\nH :\n  ∀ (s : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)),\n    Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s ↔ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\nthis : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x''\nt : F.obj (op U)\nht : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' t\nht' : ∀ (y : F.obj (op U)), (fun t => Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' t) y → y = t\n⊢ (Sieve.bind S.arrows fun V i hi => sieveOfSection G ↑(x i hi)) ≤ sieveOfSection G t\n[PROOFSTEP]\nintro V i hi\n[GOAL]\ncase intro.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\nH :\n  ∀ (s : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)),\n    Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s ↔ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\nthis : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x''\nt : F.obj (op U)\nht : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' t\nht' : ∀ (y : F.obj (op U)), (fun t => Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' t) y → y = t\nV : C\ni : V ⟶ (op U).unop\nhi : (Sieve.bind S.arrows fun V i hi => sieveOfSection G ↑(x i hi)).arrows i\n⊢ (sieveOfSection G t).arrows i\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\ncase intro.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\nH :\n  ∀ (s : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)),\n    Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s ↔ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\nthis : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x''\nt : F.obj (op U)\nht : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' t\nht' : ∀ (y : F.obj (op U)), (fun t => Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' t) y → y = t\nV : C\ni : V ⟶ (op U).unop\nhi : (Sieve.bind S.arrows fun V i hi => sieveOfSection G ↑(x i hi)).arrows i\n⊢ F.map i.op t ∈ obj G (op V)\n[PROOFSTEP]\nrw [ht _ hi]\n[GOAL]\ncase intro.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nU : C\nS : Sieve U\nhS : S ∈ sieves J U\nx : Presieve.FamilyOfElements (toPresheaf (sheafify J G)) S.arrows\nhx : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x\nS' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)\nW : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C\ni₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi\ni₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U\nhi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)\nh₁ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi))) ∈ obj G (op V)\nh₂ :\n  ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : (Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => sieveOfSection G ↑(x f hf)).arrows i),\n    i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i\nx'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows :=\n  fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) (_ : S.arrows (i₂ V i hi)))\nH :\n  ∀ (s : (toPresheaf (sheafify J G)).obj (op U)),\n    Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x s ↔ Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' ↑s\nthis : Presieve.FamilyOfElements.Compatible x''\nt : F.obj (op U)\nht : Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' t\nht' : ∀ (y : F.obj (op U)), (fun t => Presieve.FamilyOfElements.IsAmalgamation x'' t) y → y = t\nV : C\ni : V ⟶ (op U).unop\nhi : (Sieve.bind S.arrows fun V i hi => sieveOfSection G ↑(x i hi)).arrows i\n⊢ x'' i hi ∈ obj G (op V)\n[PROOFSTEP]\nexact h₁ _ _ hi\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : Presieve.IsSheaf J F\n⊢ Presieve.IsSheaf J (toPresheaf G) ↔ ∀ (U : Cᵒᵖ) (s : F.obj U), sieveOfSection G s ∈ sieves J U.unop → s ∈ obj G U\n[PROOFSTEP]\nrw [← G.eq_sheafify_iff h]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : Presieve.IsSheaf J F\n⊢ G = sheafify J G ↔ ∀ (U : Cᵒᵖ) (s : F.obj U), sieveOfSection G s ∈ sieves J U.unop → s ∈ obj G U\n[PROOFSTEP]\nchange _ ↔ G.sheafify J ≤ G\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : Presieve.IsSheaf J F\n⊢ G = sheafify J G ↔ sheafify J G ≤ G\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨Eq.ge, (G.le_sheafify J).antisymm⟩\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\n⊢ ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y),\n    (toPresheaf (sheafify J G)).map f_1 ≫\n        (fun U s =>\n            Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor F' (sieveOfSection G ↑s).arrows)\n              (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))\n              (_ :\n                Presieve.FamilyOfElements.Compatible\n                  (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))))\n          Y =\n      (fun U s =>\n            Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor F' (sieveOfSection G ↑s).arrows)\n              (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))\n              (_ :\n                Presieve.FamilyOfElements.Compatible\n                  (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))))\n          X ≫\n        F'.map f_1\n[PROOFSTEP]\nintro U V i\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\n⊢ (toPresheaf (sheafify J G)).map i ≫\n      (fun U s =>\n          Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor F' (sieveOfSection G ↑s).arrows)\n            (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))\n            (_ :\n              Presieve.FamilyOfElements.Compatible\n                (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))))\n        V =\n    (fun U s =>\n          Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor F' (sieveOfSection G ↑s).arrows)\n            (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))\n            (_ :\n              Presieve.FamilyOfElements.Compatible\n                (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))))\n        U ≫\n      F'.map i\n[PROOFSTEP]\next s\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj U\n⊢ ((toPresheaf (sheafify J G)).map i ≫\n        (fun U s =>\n            Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor F' (sieveOfSection G ↑s).arrows)\n              (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))\n              (_ :\n                Presieve.FamilyOfElements.Compatible\n                  (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))))\n          V)\n      s =\n    ((fun U s =>\n            Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor F' (sieveOfSection G ↑s).arrows)\n              (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))\n              (_ :\n                Presieve.FamilyOfElements.Compatible\n                  (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))))\n          U ≫\n        F'.map i)\n      s\n[PROOFSTEP]\napply (h _ ((Subpresheaf.sheafify J G).toPresheaf.map i s).prop).isSeparatedFor.ext\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj U\n⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f_1 : Y ⟶ V.unop⦄,\n    (sieveOfSection G ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i s)).arrows f_1 →\n      F'.map f_1.op\n          (((toPresheaf (sheafify J G)).map i ≫\n              (fun U s =>\n                  Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor F' (sieveOfSection G ↑s).arrows)\n                    (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))\n                    (_ :\n                      Presieve.FamilyOfElements.Compatible\n                        (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))))\n                V)\n            s) =\n        F'.map f_1.op\n          (((fun U s =>\n                  Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor F' (sieveOfSection G ↑s).arrows)\n                    (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))\n                    (_ :\n                      Presieve.FamilyOfElements.Compatible\n                        (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))))\n                U ≫\n              F'.map i)\n            s)\n[PROOFSTEP]\nintro W j hj\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj U\nW : C\nj : W ⟶ V.unop\nhj : (sieveOfSection G ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i s)).arrows j\n⊢ F'.map j.op\n      (((toPresheaf (sheafify J G)).map i ≫\n          (fun U s =>\n              Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor F' (sieveOfSection G ↑s).arrows)\n                (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))\n                (_ :\n                  Presieve.FamilyOfElements.Compatible\n                    (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))))\n            V)\n        s) =\n    F'.map j.op\n      (((fun U s =>\n              Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor F' (sieveOfSection G ↑s).arrows)\n                (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))\n                (_ :\n                  Presieve.FamilyOfElements.Compatible\n                    (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))))\n            U ≫\n          F'.map i)\n        s)\n[PROOFSTEP]\nrefine'\n  (Presieve.IsSheafFor.valid_glue (h _ ((G.sheafify J).toPresheaf.map i s).2)\n        ((G.family_of_elements_compatible _).compPresheafMap _) _ hj).trans\n    _\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj U\nW : C\nj : W ⟶ V.unop\nhj : (sieveOfSection G ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i s)).arrows j\n⊢ Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i s)) j\n      hj =\n    F'.map j.op\n      (((fun U s =>\n              Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor F' (sieveOfSection G ↑s).arrows)\n                (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))\n                (_ :\n                  Presieve.FamilyOfElements.Compatible\n                    (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))))\n            U ≫\n          F'.map i)\n        s)\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj U\nW : C\nj : W ⟶ V.unop\nhj : (sieveOfSection G ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i s)).arrows j\n⊢ Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G (F.map i ↑s)) j hj =\n    F'.map j.op\n      (F'.map i\n        (Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor F' (sieveOfSection G ↑s).arrows)\n          (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))\n          (_ :\n            Presieve.FamilyOfElements.Compatible\n              (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s)))))\n[PROOFSTEP]\nconv_rhs => rw [← FunctorToTypes.map_comp_apply]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj U\nW : C\nj : W ⟶ V.unop\nhj : (sieveOfSection G ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i s)).arrows j\n| F'.map j.op\n    (F'.map i\n      (Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor F' (sieveOfSection G ↑s).arrows)\n        (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))\n        (_ :\n          Presieve.FamilyOfElements.Compatible\n            (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s)))))\n[PROOFSTEP]\nrw [← FunctorToTypes.map_comp_apply]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj U\nW : C\nj : W ⟶ V.unop\nhj : (sieveOfSection G ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i s)).arrows j\n| F'.map j.op\n    (F'.map i\n      (Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor F' (sieveOfSection G ↑s).arrows)\n        (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))\n        (_ :\n          Presieve.FamilyOfElements.Compatible\n            (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s)))))\n[PROOFSTEP]\nrw [← FunctorToTypes.map_comp_apply]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj U\nW : C\nj : W ⟶ V.unop\nhj : (sieveOfSection G ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i s)).arrows j\n| F'.map j.op\n    (F'.map i\n      (Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor F' (sieveOfSection G ↑s).arrows)\n        (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))\n        (_ :\n          Presieve.FamilyOfElements.Compatible\n            (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s)))))\n[PROOFSTEP]\nrw [← FunctorToTypes.map_comp_apply]\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj U\nW : C\nj : W ⟶ V.unop\nhj : (sieveOfSection G ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i s)).arrows j\n⊢ Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G (F.map i ↑s)) j hj =\n    F'.map (i ≫ j.op)\n      (Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor F' (sieveOfSection G ↑s).arrows)\n        (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))\n        (_ :\n          Presieve.FamilyOfElements.Compatible\n            (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))))\n[PROOFSTEP]\nchange _ = F'.map (j ≫ i.unop).op _\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj U\nW : C\nj : W ⟶ V.unop\nhj : (sieveOfSection G ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i s)).arrows j\n⊢ Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G (F.map i ↑s)) j hj =\n    F'.map (j ≫ i.unop).op\n      (Presieve.IsSheafFor.amalgamate (_ : Presieve.IsSheafFor F' (sieveOfSection G ↑s).arrows)\n        (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))\n        (_ :\n          Presieve.FamilyOfElements.Compatible\n            (Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s))))\n[PROOFSTEP]\nrefine'\n  Eq.trans _\n    (Presieve.IsSheafFor.valid_glue (h _ s.2) ((G.family_of_elements_compatible s.1).compPresheafMap f) (j ≫ i.unop)\n        _).symm\n[GOAL]\ncase h.refine'_1\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj U\nW : C\nj : W ⟶ V.unop\nhj : (sieveOfSection G ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i s)).arrows j\n⊢ Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G (F.map i ↑s)) j hj =\n    Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s) (j ≫ i.unop) ?h.refine'_2\ncase h.refine'_2\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj U\nW : C\nj : W ⟶ V.unop\nhj : (sieveOfSection G ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i s)).arrows j\n⊢ (sieveOfSection G ↑s).arrows (j ≫ i.unop)\n[PROOFSTEP]\nswap\n  -- porting note: need to swap two goals otherwise the first goal needs to be proven\n      -- inside the second goal any way\n[GOAL]\ncase h.refine'_2\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj U\nW : C\nj : W ⟶ V.unop\nhj : (sieveOfSection G ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i s)).arrows j\n⊢ (sieveOfSection G ↑s).arrows (j ≫ i.unop)\n[PROOFSTEP]\ndsimp [Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap] at hj ⊢\n[GOAL]\ncase h.refine'_2\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj U\nW : C\nj : W ⟶ V.unop\nhj : F.map j.op (F.map i ↑s) ∈ obj G (op W)\n⊢ F.map (i ≫ j.op) ↑s ∈ obj G (op W)\n[PROOFSTEP]\nrwa [FunctorToTypes.map_comp_apply]\n[GOAL]\ncase h.refine'_1\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj U\nW : C\nj : W ⟶ V.unop\nhj : (sieveOfSection G ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i s)).arrows j\n⊢ Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G (F.map i ↑s)) j hj =\n    Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap f (familyOfElementsOfSection G ↑s) (j ≫ i.unop)\n      (_ : (sieveOfSection G ↑s).arrows (j ≫ i.unop))\n[PROOFSTEP]\ndsimp [Presieve.FamilyOfElements.compPresheafMap]\n[GOAL]\ncase h.refine'_1\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\ns : (toPresheaf (sheafify J G)).obj U\nW : C\nj : W ⟶ V.unop\nhj : (sieveOfSection G ↑((toPresheaf (sheafify J G)).map i s)).arrows j\n⊢ NatTrans.app f (op W) (familyOfElementsOfSection G (F.map i ↑s) j hj) =\n    NatTrans.app f (op W) (familyOfElementsOfSection G (↑s) (j ≫ i.unop) (_ : F.map (i ≫ j.op) ↑s ∈ obj G (op W)))\n[PROOFSTEP]\nexact congr_arg _ (Subtype.ext (FunctorToTypes.map_comp_apply _ _ _ _).symm)\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\n⊢ homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ sheafifyLift G f h = f\n[PROOFSTEP]\next U s\n[GOAL]\ncase w.h.h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU : Cᵒᵖ\ns : (toPresheaf G).obj U\n⊢ NatTrans.app (homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ sheafifyLift G f h) U s = NatTrans.app f U s\n[PROOFSTEP]\napply (h _ ((Subpresheaf.homOfLe (G.le_sheafify J)).app U s).prop).isSeparatedFor.ext\n[GOAL]\ncase w.h.h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU : Cᵒᵖ\ns : (toPresheaf G).obj U\n⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f_1 : Y ⟶ U.unop⦄,\n    (sieveOfSection G ↑(NatTrans.app (homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G)) U s)).arrows f_1 →\n      F'.map f_1.op (NatTrans.app (homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ sheafifyLift G f h) U s) =\n        F'.map f_1.op (NatTrans.app f U s)\n[PROOFSTEP]\nintro V i hi\n[GOAL]\ncase w.h.h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU : Cᵒᵖ\ns : (toPresheaf G).obj U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\nhi : (sieveOfSection G ↑(NatTrans.app (homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G)) U s)).arrows i\n⊢ F'.map i.op (NatTrans.app (homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ sheafifyLift G f h) U s) =\n    F'.map i.op (NatTrans.app f U s)\n[PROOFSTEP]\nhave := elementwise_of% f.naturality\n[GOAL]\ncase w.h.h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : toPresheaf G ⟶ F'\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nU : Cᵒᵖ\ns : (toPresheaf G).obj U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\nhi : (sieveOfSection G ↑(NatTrans.app (homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G)) U s)).arrows i\nthis :\n  ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : (toPresheaf G).obj X),\n    NatTrans.app f Y ((toPresheaf G).map f_1 x) = F'.map f_1 (NatTrans.app f X x)\n⊢ F'.map i.op (NatTrans.app (homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ sheafifyLift G f h) U s) =\n    F'.map i.op (NatTrans.app f U s)\n[PROOFSTEP]\nexact\n  (Presieve.IsSheafFor.valid_glue (h _ ((homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G)).app U s).2)\n        ((G.family_of_elements_compatible _).compPresheafMap _) _ hi).trans\n    (this _ _)\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nl₁ l₂ : toPresheaf (sheafify J G) ⟶ F'\ne : homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ l₁ = homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ l₂\n⊢ l₁ = l₂\n[PROOFSTEP]\next U ⟨s, hs⟩\n[GOAL]\ncase w.h.h.mk\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nl₁ l₂ : toPresheaf (sheafify J G) ⟶ F'\ne : homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ l₁ = homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ l₂\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nhs : s ∈ obj (sheafify J G) U\n⊢ NatTrans.app l₁ U { val := s, property := hs } = NatTrans.app l₂ U { val := s, property := hs }\n[PROOFSTEP]\napply (h _ hs).isSeparatedFor.ext\n[GOAL]\ncase w.h.h.mk\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nl₁ l₂ : toPresheaf (sheafify J G) ⟶ F'\ne : homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ l₁ = homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ l₂\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nhs : s ∈ obj (sheafify J G) U\n⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ U.unop⦄,\n    (sieveOfSection G s).arrows f →\n      F'.map f.op (NatTrans.app l₁ U { val := s, property := hs }) =\n        F'.map f.op (NatTrans.app l₂ U { val := s, property := hs })\n[PROOFSTEP]\nrintro V i hi\n[GOAL]\ncase w.h.h.mk\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nl₁ l₂ : toPresheaf (sheafify J G) ⟶ F'\ne : homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ l₁ = homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ l₂\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nhs : s ∈ obj (sheafify J G) U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\nhi : (sieveOfSection G s).arrows i\n⊢ F'.map i.op (NatTrans.app l₁ U { val := s, property := hs }) =\n    F'.map i.op (NatTrans.app l₂ U { val := s, property := hs })\n[PROOFSTEP]\ndsimp at hi \n[GOAL]\ncase w.h.h.mk\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nl₁ l₂ : toPresheaf (sheafify J G) ⟶ F'\ne : homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ l₁ = homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ l₂\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nhs : s ∈ obj (sheafify J G) U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\nhi : F.map i.op s ∈ obj G (op V)\n⊢ F'.map i.op (NatTrans.app l₁ U { val := s, property := hs }) =\n    F'.map i.op (NatTrans.app l₂ U { val := s, property := hs })\n[PROOFSTEP]\nerw [← FunctorToTypes.naturality, ← FunctorToTypes.naturality]\n[GOAL]\ncase w.h.h.mk\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : Presieve.IsSheaf J F'\nl₁ l₂ : toPresheaf (sheafify J G) ⟶ F'\ne : homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ l₁ = homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ l₂\nU : Cᵒᵖ\ns : F.obj U\nhs : s ∈ obj (sheafify J G) U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\nhi : F.map i.op s ∈ obj G (op V)\n⊢ NatTrans.app l₁ (op V) ((toPresheaf (sheafify J G)).map i.op { val := s, property := hs }) =\n    NatTrans.app l₂ (op V) ((toPresheaf (sheafify J G)).map i.op { val := s, property := hs })\n[PROOFSTEP]\nexact (congr_fun (congr_app e <| op V) ⟨_, hi⟩ : _)\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : G ≤ G'\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nhG' : Presieve.IsSheaf J (toPresheaf G')\n⊢ sheafify J G ≤ G'\n[PROOFSTEP]\nintro U x hx\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : G ≤ G'\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nhG' : Presieve.IsSheaf J (toPresheaf G')\nU : Cᵒᵖ\nx : F.obj U\nhx : x ∈ obj (sheafify J G) U\n⊢ x ∈ obj G' U\n[PROOFSTEP]\nconvert ((G.sheafifyLift (Subpresheaf.homOfLe h) hG').app U ⟨x, hx⟩).2\n[GOAL]\ncase h.e'_4\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : G ≤ G'\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nhG' : Presieve.IsSheaf J (toPresheaf G')\nU : Cᵒᵖ\nx : F.obj U\nhx : x ∈ obj (sheafify J G) U\n⊢ x = ↑(NatTrans.app (sheafifyLift G (homOfLe h) hG') U { val := x, property := hx })\n[PROOFSTEP]\napply (hF _ hx).isSeparatedFor.ext\n[GOAL]\ncase h.e'_4\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : G ≤ G'\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nhG' : Presieve.IsSheaf J (toPresheaf G')\nU : Cᵒᵖ\nx : F.obj U\nhx : x ∈ obj (sheafify J G) U\n⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ U.unop⦄,\n    (sieveOfSection G x).arrows f →\n      F.map f.op x = F.map f.op ↑(NatTrans.app (sheafifyLift G (homOfLe h) hG') U { val := x, property := hx })\n[PROOFSTEP]\nintro V i hi\n[GOAL]\ncase h.e'_4\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : G ≤ G'\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nhG' : Presieve.IsSheaf J (toPresheaf G')\nU : Cᵒᵖ\nx : F.obj U\nhx : x ∈ obj (sheafify J G) U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\nhi : (sieveOfSection G x).arrows i\n⊢ F.map i.op x = F.map i.op ↑(NatTrans.app (sheafifyLift G (homOfLe h) hG') U { val := x, property := hx })\n[PROOFSTEP]\nhave :=\n  congr_arg (fun f : G.toPresheaf ⟶ G'.toPresheaf => (NatTrans.app f (op V) ⟨_, hi⟩).1)\n    (G.to_sheafifyLift (Subpresheaf.homOfLe h) hG')\n[GOAL]\ncase h.e'_4\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : G ≤ G'\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nhG' : Presieve.IsSheaf J (toPresheaf G')\nU : Cᵒᵖ\nx : F.obj U\nhx : x ∈ obj (sheafify J G) U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\nhi : (sieveOfSection G x).arrows i\nthis :\n  (fun f => ↑(NatTrans.app f (op V) { val := F.map i.op x, property := hi }))\n      (homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ sheafifyLift G (homOfLe h) hG') =\n    (fun f => ↑(NatTrans.app f (op V) { val := F.map i.op x, property := hi })) (homOfLe h)\n⊢ F.map i.op x = F.map i.op ↑(NatTrans.app (sheafifyLift G (homOfLe h) hG') U { val := x, property := hx })\n[PROOFSTEP]\nconvert this.symm\n[GOAL]\ncase h.e'_3\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : G ≤ G'\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nhG' : Presieve.IsSheaf J (toPresheaf G')\nU : Cᵒᵖ\nx : F.obj U\nhx : x ∈ obj (sheafify J G) U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\nhi : (sieveOfSection G x).arrows i\nthis :\n  (fun f => ↑(NatTrans.app f (op V) { val := F.map i.op x, property := hi }))\n      (homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ sheafifyLift G (homOfLe h) hG') =\n    (fun f => ↑(NatTrans.app f (op V) { val := F.map i.op x, property := hi })) (homOfLe h)\n⊢ F.map i.op ↑(NatTrans.app (sheafifyLift G (homOfLe h) hG') U { val := x, property := hx }) =\n    (fun f => ↑(NatTrans.app f (op V) { val := F.map i.op x, property := hi }))\n      (homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ sheafifyLift G (homOfLe h) hG')\n[PROOFSTEP]\nerw [← Subpresheaf.nat_trans_naturality]\n[GOAL]\ncase h.e'_3\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nh : G ≤ G'\nhF : Presieve.IsSheaf J F\nhG' : Presieve.IsSheaf J (toPresheaf G')\nU : Cᵒᵖ\nx : F.obj U\nhx : x ∈ obj (sheafify J G) U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\nhi : (sieveOfSection G x).arrows i\nthis :\n  (fun f => ↑(NatTrans.app f (op V) { val := F.map i.op x, property := hi }))\n      (homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ sheafifyLift G (homOfLe h) hG') =\n    (fun f => ↑(NatTrans.app f (op V) { val := F.map i.op x, property := hi })) (homOfLe h)\n⊢ ↑(NatTrans.app (sheafifyLift G (homOfLe h) hG') (op V)\n        ((toPresheaf (sheafify J G)).map i.op { val := x, property := hx })) =\n    (fun f => ↑(NatTrans.app f (op V) { val := F.map i.op x, property := hi }))\n      (homOfLe (_ : G ≤ sheafify J G) ≫ sheafifyLift G (homOfLe h) hG')\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : F' ⟶ F\n⊢ ∀ {U V : Cᵒᵖ} (i : U ⟶ V),\n    (fun U => Set.range (NatTrans.app f U)) U ⊆ F.map i ⁻¹' (fun U => Set.range (NatTrans.app f U)) V\n[PROOFSTEP]\nrintro U V i _ ⟨x, rfl⟩\n[GOAL]\ncase intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : F' ⟶ F\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\nx : F'.obj U\n⊢ NatTrans.app f U x ∈ F.map i ⁻¹' (fun U => Set.range (NatTrans.app f U)) V\n[PROOFSTEP]\nhave := elementwise_of% f.naturality\n[GOAL]\ncase intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nf : F' ⟶ F\nU V : Cᵒᵖ\ni : U ⟶ V\nx : F'.obj U\nthis : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), NatTrans.app f Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (NatTrans.app f X x)\n⊢ NatTrans.app f U x ∈ F.map i ⁻¹' (fun U => Set.range (NatTrans.app f U)) V\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨_, this i x⟩\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\n⊢ imagePresheaf (𝟙 F) = ⊤\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase obj.h.h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F\nx✝¹ : Cᵒᵖ\nx✝ : F.obj x✝¹\n⊢ x✝ ∈ Subpresheaf.obj (imagePresheaf (𝟙 F)) x✝¹ ↔ x✝ ∈ Subpresheaf.obj ⊤ x✝¹\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Cᵒᵖ ⥤ TypeMax\nf : F ⟶ F'\nhf : Mono f\n⊢ IsIso (toImagePresheaf f)\n[PROOFSTEP]\nhave : ∀ (X : Cᵒᵖ), IsIso ((toImagePresheaf f).app X) :=\n  by\n  intro X\n  rw [isIso_iff_bijective]\n  constructor\n  · intro x y e\n    have := (NatTrans.mono_iff_mono_app _ _).mp hf X\n    rw [mono_iff_injective] at this \n    exact this (congr_arg Subtype.val e : _)\n  · rintro ⟨_, ⟨x, rfl⟩⟩\n    exact ⟨x, rfl⟩\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Cᵒᵖ ⥤ TypeMax\nf : F ⟶ F'\nhf : Mono f\n⊢ ∀ (X : Cᵒᵖ), IsIso (NatTrans.app (toImagePresheaf f) X)\n[PROOFSTEP]\nintro X\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Cᵒᵖ ⥤ TypeMax\nf : F ⟶ F'\nhf : Mono f\nX : Cᵒᵖ\n⊢ IsIso (NatTrans.app (toImagePresheaf f) X)\n[PROOFSTEP]\nrw [isIso_iff_bijective]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Cᵒᵖ ⥤ TypeMax\nf : F ⟶ F'\nhf : Mono f\nX : Cᵒᵖ\n⊢ Function.Bijective (NatTrans.app (toImagePresheaf f) X)\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase left\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Cᵒᵖ ⥤ TypeMax\nf : F ⟶ F'\nhf : Mono f\nX : Cᵒᵖ\n⊢ Function.Injective (NatTrans.app (toImagePresheaf f) X)\n[PROOFSTEP]\nintro x y e\n[GOAL]\ncase left\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Cᵒᵖ ⥤ TypeMax\nf : F ⟶ F'\nhf : Mono f\nX : Cᵒᵖ\nx y : F.obj X\ne : NatTrans.app (toImagePresheaf f) X x = NatTrans.app (toImagePresheaf f) X y\n⊢ x = y\n[PROOFSTEP]\nhave := (NatTrans.mono_iff_mono_app _ _).mp hf X\n[GOAL]\ncase left\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Cᵒᵖ ⥤ TypeMax\nf : F ⟶ F'\nhf : Mono f\nX : Cᵒᵖ\nx y : F.obj X\ne : NatTrans.app (toImagePresheaf f) X x = NatTrans.app (toImagePresheaf f) X y\nthis : Mono (NatTrans.app f X)\n⊢ x = y\n[PROOFSTEP]\nrw [mono_iff_injective] at this \n[GOAL]\ncase left\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Cᵒᵖ ⥤ TypeMax\nf : F ⟶ F'\nhf : Mono f\nX : Cᵒᵖ\nx y : F.obj X\ne : NatTrans.app (toImagePresheaf f) X x = NatTrans.app (toImagePresheaf f) X y\nthis : Function.Injective (NatTrans.app f X)\n⊢ x = y\n[PROOFSTEP]\nexact this (congr_arg Subtype.val e : _)\n[GOAL]\ncase right\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Cᵒᵖ ⥤ TypeMax\nf : F ⟶ F'\nhf : Mono f\nX : Cᵒᵖ\n⊢ Function.Surjective (NatTrans.app (toImagePresheaf f) X)\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨_, ⟨x, rfl⟩⟩\n[GOAL]\ncase right.mk.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Cᵒᵖ ⥤ TypeMax\nf : F ⟶ F'\nhf : Mono f\nX : Cᵒᵖ\nx : F.obj X\n⊢ ∃ a,\n    NatTrans.app (toImagePresheaf f) X a =\n      { val := NatTrans.app f X x, property := (_ : ∃ y, NatTrans.app f X y = NatTrans.app f X x) }\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨x, rfl⟩\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Cᵒᵖ ⥤ TypeMax\nf : F ⟶ F'\nhf : Mono f\nthis : ∀ (X : Cᵒᵖ), IsIso (NatTrans.app (toImagePresheaf f) X)\n⊢ IsIso (toImagePresheaf f)\n[PROOFSTEP]\napply NatIso.isIso_of_isIso_app\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\n⊢ Presheaf.IsSheaf J (Subpresheaf.toPresheaf (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)))\n[PROOFSTEP]\nrw [isSheaf_iff_isSheaf_of_type]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\n⊢ Presieve.IsSheaf J (Subpresheaf.toPresheaf (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)))\n[PROOFSTEP]\napply Subpresheaf.sheafify_isSheaf\n[GOAL]\ncase hF\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\n⊢ Presieve.IsSheaf J F'.val\n[PROOFSTEP]\nrw [← isSheaf_iff_isSheaf_of_type]\n[GOAL]\ncase hF\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\n⊢ Presheaf.IsSheaf J F'.val\n[PROOFSTEP]\nexact F'.2\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\n⊢ toImageSheaf f ≫ imageSheafι f = f\n[PROOFSTEP]\next1\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\n⊢ (toImageSheaf f ≫ imageSheafι f).val = f.val\n[PROOFSTEP]\nsimp [toImagePresheafSheafify]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\n⊢ Mono ((sheafToPresheaf J (Type w)).map (imageSheafι f))\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\n⊢ Mono (Subpresheaf.ι (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)))\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\n⊢ Epi (toImageSheaf f)\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨@fun G' g₁ g₂ e => _⟩\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G'✝ : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\nG' : Sheaf J (Type w)\ng₁ g₂ : imageSheaf f ⟶ G'\ne : toImageSheaf f ≫ g₁ = toImageSheaf f ≫ g₂\n⊢ g₁ = g₂\n[PROOFSTEP]\next U ⟨s, hx⟩\n[GOAL]\ncase h.w.h.h.mk\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G'✝ : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\nG' : Sheaf J (Type w)\ng₁ g₂ : imageSheaf f ⟶ G'\ne : toImageSheaf f ≫ g₁ = toImageSheaf f ≫ g₂\nU : Cᵒᵖ\ns : F'.val.obj U\nhx : s ∈ Subpresheaf.obj (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)) U\n⊢ NatTrans.app g₁.val U { val := s, property := hx } = NatTrans.app g₂.val U { val := s, property := hx }\n[PROOFSTEP]\napply ((isSheaf_iff_isSheaf_of_type J _).mp G'.2 _ hx).isSeparatedFor.ext\n[GOAL]\ncase h.w.h.h.mk\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G'✝ : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\nG' : Sheaf J (Type w)\ng₁ g₂ : imageSheaf f ⟶ G'\ne : toImageSheaf f ≫ g₁ = toImageSheaf f ≫ g₂\nU : Cᵒᵖ\ns : F'.val.obj U\nhx : s ∈ Subpresheaf.obj (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)) U\n⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f_1 : Y ⟶ U.unop⦄,\n    (Subpresheaf.sieveOfSection (imagePresheaf f.val) s).arrows f_1 →\n      G'.val.map f_1.op (NatTrans.app g₁.val U { val := s, property := hx }) =\n        G'.val.map f_1.op (NatTrans.app g₂.val U { val := s, property := hx })\n[PROOFSTEP]\nrintro V i ⟨y, e'⟩\n[GOAL]\ncase h.w.h.h.mk.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G'✝ : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\nG' : Sheaf J (Type w)\ng₁ g₂ : imageSheaf f ⟶ G'\ne : toImageSheaf f ≫ g₁ = toImageSheaf f ≫ g₂\nU : Cᵒᵖ\ns : F'.val.obj U\nhx : s ∈ Subpresheaf.obj (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)) U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\ny : F.val.obj (op V)\ne' : NatTrans.app f.val (op V) y = F'.val.map i.op s\n⊢ G'.val.map i.op (NatTrans.app g₁.val U { val := s, property := hx }) =\n    G'.val.map i.op (NatTrans.app g₂.val U { val := s, property := hx })\n[PROOFSTEP]\nchange (g₁.val.app _ ≫ G'.val.map _) _ = (g₂.val.app _ ≫ G'.val.map _) _\n[GOAL]\ncase h.w.h.h.mk.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G'✝ : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\nG' : Sheaf J (Type w)\ng₁ g₂ : imageSheaf f ⟶ G'\ne : toImageSheaf f ≫ g₁ = toImageSheaf f ≫ g₂\nU : Cᵒᵖ\ns : F'.val.obj U\nhx : s ∈ Subpresheaf.obj (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)) U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\ny : F.val.obj (op V)\ne' : NatTrans.app f.val (op V) y = F'.val.map i.op s\n⊢ (NatTrans.app g₁.val (op U.unop) ≫ G'.val.map i.op) { val := s, property := hx } =\n    (NatTrans.app g₂.val (op U.unop) ≫ G'.val.map i.op) { val := s, property := hx }\n[PROOFSTEP]\nrw [← NatTrans.naturality, ← NatTrans.naturality]\n[GOAL]\ncase h.w.h.h.mk.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G'✝ : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\nG' : Sheaf J (Type w)\ng₁ g₂ : imageSheaf f ⟶ G'\ne : toImageSheaf f ≫ g₁ = toImageSheaf f ≫ g₂\nU : Cᵒᵖ\ns : F'.val.obj U\nhx : s ∈ Subpresheaf.obj (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)) U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\ny : F.val.obj (op V)\ne' : NatTrans.app f.val (op V) y = F'.val.map i.op s\n⊢ ((imageSheaf f).val.map i.op ≫ NatTrans.app g₁.val (op V)) { val := s, property := hx } =\n    ((imageSheaf f).val.map i.op ≫ NatTrans.app g₂.val (op V)) { val := s, property := hx }\n[PROOFSTEP]\nhave E : (toImageSheaf f).val.app (op V) y = (imageSheaf f).val.map i.op ⟨s, hx⟩ := Subtype.ext e'\n[GOAL]\ncase h.w.h.h.mk.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G'✝ : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\nG' : Sheaf J (Type w)\ng₁ g₂ : imageSheaf f ⟶ G'\ne : toImageSheaf f ≫ g₁ = toImageSheaf f ≫ g₂\nU : Cᵒᵖ\ns : F'.val.obj U\nhx : s ∈ Subpresheaf.obj (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)) U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\ny : F.val.obj (op V)\ne' : NatTrans.app f.val (op V) y = F'.val.map i.op s\nE : NatTrans.app (toImageSheaf f).val (op V) y = (imageSheaf f).val.map i.op { val := s, property := hx }\n⊢ ((imageSheaf f).val.map i.op ≫ NatTrans.app g₁.val (op V)) { val := s, property := hx } =\n    ((imageSheaf f).val.map i.op ≫ NatTrans.app g₂.val (op V)) { val := s, property := hx }\n[PROOFSTEP]\nhave := congr_arg (fun f : F ⟶ G' => (Sheaf.Hom.val f).app _ y) e\n[GOAL]\ncase h.w.h.h.mk.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G'✝ : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\nG' : Sheaf J (Type w)\ng₁ g₂ : imageSheaf f ⟶ G'\ne : toImageSheaf f ≫ g₁ = toImageSheaf f ≫ g₂\nU : Cᵒᵖ\ns : F'.val.obj U\nhx : s ∈ Subpresheaf.obj (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)) U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\ny : F.val.obj (op V)\ne' : NatTrans.app f.val (op V) y = F'.val.map i.op s\nE : NatTrans.app (toImageSheaf f).val (op V) y = (imageSheaf f).val.map i.op { val := s, property := hx }\nthis :\n  (fun f => NatTrans.app f.val (op V) y) (toImageSheaf f ≫ g₁) =\n    (fun f => NatTrans.app f.val (op V) y) (toImageSheaf f ≫ g₂)\n⊢ ((imageSheaf f).val.map i.op ≫ NatTrans.app g₁.val (op V)) { val := s, property := hx } =\n    ((imageSheaf f).val.map i.op ≫ NatTrans.app g₂.val (op V)) { val := s, property := hx }\n[PROOFSTEP]\ndsimp at this ⊢\n[GOAL]\ncase h.w.h.h.mk.intro\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G'✝ : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\nG' : Sheaf J (Type w)\ng₁ g₂ : imageSheaf f ⟶ G'\ne : toImageSheaf f ≫ g₁ = toImageSheaf f ≫ g₂\nU : Cᵒᵖ\ns : F'.val.obj U\nhx : s ∈ Subpresheaf.obj (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)) U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\ny : F.val.obj (op V)\ne' : NatTrans.app f.val (op V) y = F'.val.map i.op s\nE : NatTrans.app (toImageSheaf f).val (op V) y = (imageSheaf f).val.map i.op { val := s, property := hx }\nthis :\n  NatTrans.app g₁.val (op V) (NatTrans.app (toImagePresheafSheafify J f.val) (op V) y) =\n    NatTrans.app g₂.val (op V) (NatTrans.app (toImagePresheafSheafify J f.val) (op V) y)\n⊢ NatTrans.app g₁.val (op V)\n      ((Subpresheaf.toPresheaf (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val))).map i.op { val := s, property := hx }) =\n    NatTrans.app g₂.val (op V)\n      ((Subpresheaf.toPresheaf (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val))).map i.op { val := s, property := hx })\n[PROOFSTEP]\nconvert this\n[GOAL]\ncase h.e'_2.h.e'_5\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G'✝ : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\nG' : Sheaf J (Type w)\ng₁ g₂ : imageSheaf f ⟶ G'\ne : toImageSheaf f ≫ g₁ = toImageSheaf f ≫ g₂\nU : Cᵒᵖ\ns : F'.val.obj U\nhx : s ∈ Subpresheaf.obj (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)) U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\ny : F.val.obj (op V)\ne' : NatTrans.app f.val (op V) y = F'.val.map i.op s\nE : NatTrans.app (toImageSheaf f).val (op V) y = (imageSheaf f).val.map i.op { val := s, property := hx }\nthis :\n  NatTrans.app g₁.val (op V) (NatTrans.app (toImagePresheafSheafify J f.val) (op V) y) =\n    NatTrans.app g₂.val (op V) (NatTrans.app (toImagePresheafSheafify J f.val) (op V) y)\n⊢ (Subpresheaf.toPresheaf (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val))).map i.op { val := s, property := hx } =\n    NatTrans.app (toImagePresheafSheafify J f.val) (op V) y\n[PROOFSTEP]\nexact E.symm\n[GOAL]\ncase h.e'_3.h.e'_5\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G'✝ : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J (Type w)\nf : F ⟶ F'\nG' : Sheaf J (Type w)\ng₁ g₂ : imageSheaf f ⟶ G'\ne : toImageSheaf f ≫ g₁ = toImageSheaf f ≫ g₂\nU : Cᵒᵖ\ns : F'.val.obj U\nhx : s ∈ Subpresheaf.obj (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)) U\nV : C\ni : V ⟶ U.unop\ny : F.val.obj (op V)\ne' : NatTrans.app f.val (op V) y = F'.val.map i.op s\nE : NatTrans.app (toImageSheaf f).val (op V) y = (imageSheaf f).val.map i.op { val := s, property := hx }\nthis :\n  NatTrans.app g₁.val (op V) (NatTrans.app (toImagePresheafSheafify J f.val) (op V) y) =\n    NatTrans.app g₂.val (op V) (NatTrans.app (toImagePresheafSheafify J f.val) (op V) y)\n⊢ (Subpresheaf.toPresheaf (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val))).map i.op { val := s, property := hx } =\n    NatTrans.app (toImagePresheafSheafify J f.val) (op V) y\n[PROOFSTEP]\nexact E.symm\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\n⊢ (imageMonoFactorization f).I ⟶ I.I\n[PROOFSTEP]\nhaveI M := (Sheaf.Hom.mono_iff_presheaf_mono J TypeMax.{v, u} _).mp I.m_mono\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\nM : Mono I.m.val\n⊢ (imageMonoFactorization f).I ⟶ I.I\n[PROOFSTEP]\nhaveI := isIso_toImagePresheaf I.m.1\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\nM : Mono I.m.val\nthis : IsIso (toImagePresheaf I.m.val)\n⊢ (imageMonoFactorization f).I ⟶ I.I\n[PROOFSTEP]\nrefine' ⟨Subpresheaf.homOfLe _ ≫ inv (toImagePresheaf I.m.1)⟩\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\nM : Mono I.m.val\nthis : IsIso (toImagePresheaf I.m.val)\n⊢ Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val) ≤ imagePresheaf I.m.val\n[PROOFSTEP]\napply Subpresheaf.sheafify_le\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\nM : Mono I.m.val\nthis : IsIso (toImagePresheaf I.m.val)\n⊢ imagePresheaf f.val ≤ imagePresheaf I.m.val\n[PROOFSTEP]\nconv_lhs => rw [← I.fac]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\nM : Mono I.m.val\nthis : IsIso (toImagePresheaf I.m.val)\n| imagePresheaf f.val\n[PROOFSTEP]\nrw [← I.fac]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\nM : Mono I.m.val\nthis : IsIso (toImagePresheaf I.m.val)\n| imagePresheaf f.val\n[PROOFSTEP]\nrw [← I.fac]\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\nM : Mono I.m.val\nthis : IsIso (toImagePresheaf I.m.val)\n| imagePresheaf f.val\n[PROOFSTEP]\nrw [← I.fac]\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\nM : Mono I.m.val\nthis : IsIso (toImagePresheaf I.m.val)\n⊢ imagePresheaf (I.e ≫ I.m).val ≤ imagePresheaf I.m.val\n[PROOFSTEP]\napply imagePresheaf_comp_le\n[GOAL]\ncase hF\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\nM : Mono I.m.val\nthis : IsIso (toImagePresheaf I.m.val)\n⊢ Presieve.IsSheaf J F'.val\n[PROOFSTEP]\nrw [← isSheaf_iff_isSheaf_of_type]\n[GOAL]\ncase hF\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\nM : Mono I.m.val\nthis : IsIso (toImagePresheaf I.m.val)\n⊢ Presheaf.IsSheaf J F'.val\n[PROOFSTEP]\nexact F'.2\n[GOAL]\ncase hG'\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\nM : Mono I.m.val\nthis : IsIso (toImagePresheaf I.m.val)\n⊢ Presieve.IsSheaf J (Subpresheaf.toPresheaf (imagePresheaf I.m.val))\n[PROOFSTEP]\napply Presieve.isSheaf_iso J (asIso <| toImagePresheaf I.m.1)\n[GOAL]\ncase hG'\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\nM : Mono I.m.val\nthis : IsIso (toImagePresheaf I.m.val)\n⊢ Presieve.IsSheaf J I.I.val\n[PROOFSTEP]\nrw [← isSheaf_iff_isSheaf_of_type]\n[GOAL]\ncase hG'\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\nM : Mono I.m.val\nthis : IsIso (toImagePresheaf I.m.val)\n⊢ Presheaf.IsSheaf J I.I.val\n[PROOFSTEP]\nexact I.I.2\n[GOAL]\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\n⊢ (fun I =>\n          {\n            val :=\n              Subpresheaf.homOfLe (_ : Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val) ≤ imagePresheaf I.m.val) ≫\n                inv (toImagePresheaf I.m.val) })\n        I ≫\n      I.m =\n    (imageMonoFactorization f).m\n[PROOFSTEP]\next1\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\n⊢ ((fun I =>\n            {\n              val :=\n                Subpresheaf.homOfLe (_ : Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val) ≤ imagePresheaf I.m.val) ≫\n                  inv (toImagePresheaf I.m.val) })\n          I ≫\n        I.m).val =\n    (imageMonoFactorization f).m.val\n[PROOFSTEP]\ndsimp [imageMonoFactorization]\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\n⊢ (Subpresheaf.homOfLe (_ : Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val) ≤ imagePresheaf I.m.val) ≫\n        inv (toImagePresheaf I.m.val)) ≫\n      I.m.val =\n    Subpresheaf.ι (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val))\n[PROOFSTEP]\ngeneralize_proofs h\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\nh : Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val) ≤ imagePresheaf I.m.val\nh✝ : IsIso (toImagePresheaf I.m.val)\n⊢ (Subpresheaf.homOfLe (_ : Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val) ≤ imagePresheaf I.m.val) ≫\n        inv (toImagePresheaf I.m.val)) ≫\n      I.m.val =\n    Subpresheaf.ι (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val))\n[PROOFSTEP]\nrw [← Subpresheaf.homOfLe_ι h, Category.assoc]\n[GOAL]\ncase h\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\nh : Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val) ≤ imagePresheaf I.m.val\nh✝ : IsIso (toImagePresheaf I.m.val)\n⊢ Subpresheaf.homOfLe (_ : Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val) ≤ imagePresheaf I.m.val) ≫\n      inv (toImagePresheaf I.m.val) ≫ I.m.val =\n    Subpresheaf.homOfLe h ≫ Subpresheaf.ι (imagePresheaf I.m.val)\n[PROOFSTEP]\ncongr 1\n[GOAL]\ncase h.e_a\nC : Type u\ninst✝ : Category.{v, u} C\nJ : GrothendieckTopology C\nF✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w\nG G' : Subpresheaf F✝\nF F' : Sheaf J TypeMax\nf : F ⟶ F'\nI : Limits.MonoFactorisation f\nh : Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val) ≤ imagePresheaf I.m.val\nh✝ : IsIso (toImagePresheaf I.m.val)\n⊢ inv (toImagePresheaf I.m.val) ≫ I.m.val = Subpresheaf.ι (imagePresheaf I.m.val)\n[PROOFSTEP]\nrw [IsIso.inv_comp_eq, toImagePresheaf_ι]\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.CategoryTheory.Sites.Subsheaf", "llama_tokens": 57161, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. YES\n2. NO\n\n", "lm_q1_score": 0.523420348936324, "lm_q2_score": 0.3923368301671084, "lm_q1q2_score": 0.2053570805466392}}
{"text": "[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝ : LE α\ns✝ t✝ s t : NonemptyInterval α\nh : s.toProd = t.toProd\n⊢ s = t\n[PROOFSTEP]\ncases s\n[GOAL]\ncase mk\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝ : LE α\ns t✝ t : NonemptyInterval α\ntoProd✝ : α × α\nfst_le_snd✝ : toProd✝.fst ≤ toProd✝.snd\nh : { toProd := toProd✝, fst_le_snd := fst_le_snd✝ }.toProd = t.toProd\n⊢ { toProd := toProd✝, fst_le_snd := fst_le_snd✝ } = t\n[PROOFSTEP]\ncases t\n[GOAL]\ncase mk.mk\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝ : LE α\ns t : NonemptyInterval α\ntoProd✝¹ : α × α\nfst_le_snd✝¹ : toProd✝¹.fst ≤ toProd✝¹.snd\ntoProd✝ : α × α\nfst_le_snd✝ : toProd✝.fst ≤ toProd✝.snd\nh : { toProd := toProd✝¹, fst_le_snd := fst_le_snd✝¹ }.toProd = { toProd := toProd✝, fst_le_snd := fst_le_snd✝ }.toProd\n⊢ { toProd := toProd✝¹, fst_le_snd := fst_le_snd✝¹ } = { toProd := toProd✝, fst_le_snd := fst_le_snd✝ }\n[PROOFSTEP]\ncongr\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝⁴ : Preorder α\ninst✝³ : Preorder β\ninst✝² : Preorder γ\ninst✝¹ : Preorder δ\ns : NonemptyInterval α\nx : α × α\na : α\ninst✝ : Nonempty α\n⊢ Nonempty α\n[PROOFSTEP]\ninfer_instance\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : PartialOrder α\ninst✝ : PartialOrder β\ns t : NonemptyInterval α\nx : α × α\na b : α\n⊢ b ∈ pure a ↔ b = a\n[PROOFSTEP]\nrw [← SetLike.mem_coe, coe_pure, mem_singleton_iff]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝² : Preorder α\ninst✝¹ : Preorder β\ninst✝ : Preorder γ\nf : α →o β\ns : Interval α\n⊢ ↑dual (map f s) = map (↑OrderHom.dual f) (↑dual s)\n[PROOFSTEP]\ncases s\n[GOAL]\ncase none\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝² : Preorder α\ninst✝¹ : Preorder β\ninst✝ : Preorder γ\nf : α →o β\n⊢ ↑dual (map f none) = map (↑OrderHom.dual f) (↑dual none)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝² : Preorder α\ninst✝¹ : Preorder β\ninst✝ : Preorder γ\nf : α →o β\nval✝ : NonemptyInterval α\n⊢ ↑dual (map f (some val✝)) = map (↑OrderHom.dual f) (↑dual (some val✝))\n[PROOFSTEP]\nexact WithBot.map_comm rfl _\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : PartialOrder α\ninst✝ : PartialOrder β\ns✝ t : Interval α\na b : α\ns : Interval α\n⊢ ↑(↑dual s) = ↑ofDual ⁻¹' ↑s\n[PROOFSTEP]\ncases s with\n| none => rfl\n| some s₀ => exact NonemptyInterval.coe_dual s₀\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : PartialOrder α\ninst✝ : PartialOrder β\ns✝ t : Interval α\na b : α\ns : Interval α\n⊢ ↑(↑dual s) = ↑ofDual ⁻¹' ↑s\n[PROOFSTEP]\ncases s with\n| none => rfl\n| some s₀ => exact NonemptyInterval.coe_dual s₀\n[GOAL]\ncase none\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : PartialOrder α\ninst✝ : PartialOrder β\ns t : Interval α\na b : α\n⊢ ↑(↑dual none) = ↑ofDual ⁻¹' ↑none\n[PROOFSTEP]\n\n| none => rfl\n[GOAL]\ncase none\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : PartialOrder α\ninst✝ : PartialOrder β\ns t : Interval α\na b : α\n⊢ ↑(↑dual none) = ↑ofDual ⁻¹' ↑none\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : PartialOrder α\ninst✝ : PartialOrder β\ns t : Interval α\na b : α\ns₀ : NonemptyInterval α\n⊢ ↑(↑dual (some s₀)) = ↑ofDual ⁻¹' ↑(some s₀)\n[PROOFSTEP]\n\n| some s₀ => exact NonemptyInterval.coe_dual s₀\n[GOAL]\ncase some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : PartialOrder α\ninst✝ : PartialOrder β\ns t : Interval α\na b : α\ns₀ : NonemptyInterval α\n⊢ ↑(↑dual (some s₀)) = ↑ofDual ⁻¹' ↑(some s₀)\n[PROOFSTEP]\nexact NonemptyInterval.coe_dual s₀\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : PartialOrder α\ninst✝ : PartialOrder β\ns t : Interval α\na b : α\nf : α →o β\n⊢ ↑f '' ↑⊥ ⊆ ↑(map f ⊥)\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : PartialOrder α\ninst✝ : PartialOrder β\ns t : Interval α\na b : α\n⊢ b ∈ pure a ↔ b = a\n[PROOFSTEP]\nrw [← SetLike.mem_coe, coe_pure, mem_singleton_iff]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ : Interval α\ns t : NonemptyInterval α\n⊢ some s ⊓ some t ≤ some s\n[PROOFSTEP]\nchange dite _ _ _ ≤ _\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ : Interval α\ns t : NonemptyInterval α\n⊢ (if h : s.fst ≤ t.snd ∧ t.fst ≤ s.snd then\n      some\n        { toProd := (s.fst ⊔ t.fst, s.snd ⊓ t.snd),\n          fst_le_snd := (_ : s.fst ⊔ t.fst ≤ (s.fst ⊔ t.fst, s.snd ⊓ t.snd).snd) }\n    else ⊥) ≤\n    some s\n[PROOFSTEP]\nsplit_ifs\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ : Interval α\ns t : NonemptyInterval α\nh✝ : s.fst ≤ t.snd ∧ t.fst ≤ s.snd\n⊢ some\n      { toProd := (s.fst ⊔ t.fst, s.snd ⊓ t.snd),\n        fst_le_snd := (_ : s.fst ⊔ t.fst ≤ (s.fst ⊔ t.fst, s.snd ⊓ t.snd).snd) } ≤\n    some s\n[PROOFSTEP]\nexact WithBot.some_le_some.2 ⟨le_sup_left, inf_le_left⟩\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ : Interval α\ns t : NonemptyInterval α\nh✝ : ¬(s.fst ≤ t.snd ∧ t.fst ≤ s.snd)\n⊢ ⊥ ≤ some s\n[PROOFSTEP]\nexact bot_le\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ : Interval α\ns t : NonemptyInterval α\n⊢ some s ⊓ some t ≤ some t\n[PROOFSTEP]\nchange dite _ _ _ ≤ _\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ : Interval α\ns t : NonemptyInterval α\n⊢ (if h : s.fst ≤ t.snd ∧ t.fst ≤ s.snd then\n      some\n        { toProd := (s.fst ⊔ t.fst, s.snd ⊓ t.snd),\n          fst_le_snd := (_ : s.fst ⊔ t.fst ≤ (s.fst ⊔ t.fst, s.snd ⊓ t.snd).snd) }\n    else ⊥) ≤\n    some t\n[PROOFSTEP]\nsplit_ifs\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ : Interval α\ns t : NonemptyInterval α\nh✝ : s.fst ≤ t.snd ∧ t.fst ≤ s.snd\n⊢ some\n      { toProd := (s.fst ⊔ t.fst, s.snd ⊓ t.snd),\n        fst_le_snd := (_ : s.fst ⊔ t.fst ≤ (s.fst ⊔ t.fst, s.snd ⊓ t.snd).snd) } ≤\n    some t\n[PROOFSTEP]\nexact WithBot.some_le_some.2 ⟨le_sup_right, inf_le_right⟩\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ : Interval α\ns t : NonemptyInterval α\nh✝ : ¬(s.fst ≤ t.snd ∧ t.fst ≤ s.snd)\n⊢ ⊥ ≤ some t\n[PROOFSTEP]\nexact bot_le\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ c✝ : Interval α\ns : NonemptyInterval α\nt c : Interval α\nhb : some s ≤ t\nhc : some s ≤ c\n⊢ some s ≤ t ⊓ c\n[PROOFSTEP]\nlift t to NonemptyInterval α using ne_bot_of_le_ne_bot WithBot.coe_ne_bot hb\n[GOAL]\ncase intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ c✝ : Interval α\ns : NonemptyInterval α\nc : Interval α\nhc : some s ≤ c\nt : NonemptyInterval α\nhb : some s ≤ ↑t\n⊢ some s ≤ ↑t ⊓ c\n[PROOFSTEP]\nlift c to NonemptyInterval α using ne_bot_of_le_ne_bot WithBot.coe_ne_bot hc\n[GOAL]\ncase intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ c✝ : Interval α\ns t : NonemptyInterval α\nhb : some s ≤ ↑t\nc : NonemptyInterval α\nhc : some s ≤ ↑c\n⊢ some s ≤ ↑t ⊓ ↑c\n[PROOFSTEP]\nchange\n  _ ≤\n    dite _ _\n      _\n        -- Porting note: was `simp only` but that fails to use the second lemma.\n[GOAL]\ncase intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ c✝ : Interval α\ns t : NonemptyInterval α\nhb : some s ≤ ↑t\nc : NonemptyInterval α\nhc : some s ≤ ↑c\n⊢ some s ≤\n    if h : t.fst ≤ c.snd ∧ c.fst ≤ t.snd then\n      some\n        { toProd := (t.fst ⊔ c.fst, t.snd ⊓ c.snd),\n          fst_le_snd := (_ : t.fst ⊔ c.fst ≤ (t.fst ⊔ c.fst, t.snd ⊓ c.snd).snd) }\n    else ⊥\n[PROOFSTEP]\nrw [WithBot.some_eq_coe, WithBot.coe_le_coe] at hb hc \n[GOAL]\ncase intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ c✝ : Interval α\ns t : NonemptyInterval α\nhb : s ≤ t\nc : NonemptyInterval α\nhc : s ≤ c\n⊢ some s ≤\n    if h : t.fst ≤ c.snd ∧ c.fst ≤ t.snd then\n      some\n        { toProd := (t.fst ⊔ c.fst, t.snd ⊓ c.snd),\n          fst_le_snd := (_ : t.fst ⊔ c.fst ≤ (t.fst ⊔ c.fst, t.snd ⊓ c.snd).snd) }\n    else ⊥\n[PROOFSTEP]\nsimp only [WithBot.some_eq_coe, WithBot.coe_le_coe]\n  -- at hb hc ⊢\n[GOAL]\ncase intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ c✝ : Interval α\ns t : NonemptyInterval α\nhb : s ≤ t\nc : NonemptyInterval α\nhc : s ≤ c\n⊢ ↑s ≤\n    if h : t.fst ≤ c.snd ∧ c.fst ≤ t.snd then\n      ↑{ toProd := (t.fst ⊔ c.fst, t.snd ⊓ c.snd),\n          fst_le_snd := (_ : t.fst ⊔ c.fst ≤ (t.fst ⊔ c.fst, t.snd ⊓ c.snd).snd) }\n    else ⊥\n[PROOFSTEP]\nrw [dif_pos, WithBot.coe_le_coe]\n[GOAL]\ncase intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ c✝ : Interval α\ns t : NonemptyInterval α\nhb : s ≤ t\nc : NonemptyInterval α\nhc : s ≤ c\n⊢ s ≤\n    { toProd := (t.fst ⊔ c.fst, t.snd ⊓ c.snd), fst_le_snd := (_ : t.fst ⊔ c.fst ≤ (t.fst ⊔ c.fst, t.snd ⊓ c.snd).snd) }\ncase intro.intro.hc\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ c✝ : Interval α\ns t : NonemptyInterval α\nhb : s ≤ t\nc : NonemptyInterval α\nhc : s ≤ c\n⊢ t.fst ≤ c.snd ∧ c.fst ≤ t.snd\ncase intro.intro.hc\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ c✝ : Interval α\ns t : NonemptyInterval α\nhb : s ≤ t\nc : NonemptyInterval α\nhc : s ≤ c\n⊢ t.fst ≤ c.snd ∧ c.fst ≤ t.snd\n[PROOFSTEP]\nexact\n  ⟨sup_le hb.1 hc.1, le_inf hb.2 hc.2⟩\n    -- Porting note: had to add the next 6 lines including the changes because\n            -- it seems that lean cannot automatically turn `NonemptyInterval.toDualProd s`\n            -- into `s.toProd` anymore.\n[GOAL]\ncase intro.intro.hc\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ c✝ : Interval α\ns t : NonemptyInterval α\nhb : s ≤ t\nc : NonemptyInterval α\nhc : s ≤ c\n⊢ t.fst ≤ c.snd ∧ c.fst ≤ t.snd\ncase intro.intro.hc\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ c✝ : Interval α\ns t : NonemptyInterval α\nhb : s ≤ t\nc : NonemptyInterval α\nhc : s ≤ c\n⊢ t.fst ≤ c.snd ∧ c.fst ≤ t.snd\n[PROOFSTEP]\nrcases hb with ⟨hb₁, hb₂⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro.hc.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ c✝ : Interval α\ns t c : NonemptyInterval α\nhc : s ≤ c\nhb₁ : (NonemptyInterval.toDualProd s).fst ≤ (NonemptyInterval.toDualProd t).fst\nhb₂ : (NonemptyInterval.toDualProd s).snd ≤ (NonemptyInterval.toDualProd t).snd\n⊢ t.fst ≤ c.snd ∧ c.fst ≤ t.snd\n[PROOFSTEP]\nrcases hc with ⟨hc₁, hc₂⟩\n[GOAL]\ncase intro.intro.hc.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ c✝ : Interval α\ns t c : NonemptyInterval α\nhb₁ : (NonemptyInterval.toDualProd s).fst ≤ (NonemptyInterval.toDualProd t).fst\nhb₂ : (NonemptyInterval.toDualProd s).snd ≤ (NonemptyInterval.toDualProd t).snd\nhc₁ : (NonemptyInterval.toDualProd s).fst ≤ (NonemptyInterval.toDualProd c).fst\nhc₂ : (NonemptyInterval.toDualProd s).snd ≤ (NonemptyInterval.toDualProd c).snd\n⊢ t.fst ≤ c.snd ∧ c.fst ≤ t.snd\n[PROOFSTEP]\nchange t.toProd.fst ≤ s.toProd.fst at hb₁ \n[GOAL]\ncase intro.intro.hc.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ c✝ : Interval α\ns t c : NonemptyInterval α\nhb₂ : (NonemptyInterval.toDualProd s).snd ≤ (NonemptyInterval.toDualProd t).snd\nhc₁ : (NonemptyInterval.toDualProd s).fst ≤ (NonemptyInterval.toDualProd c).fst\nhc₂ : (NonemptyInterval.toDualProd s).snd ≤ (NonemptyInterval.toDualProd c).snd\nhb₁ : t.fst ≤ s.fst\n⊢ t.fst ≤ c.snd ∧ c.fst ≤ t.snd\n[PROOFSTEP]\nchange s.toProd.snd ≤ t.toProd.snd at hb₂ \n[GOAL]\ncase intro.intro.hc.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ c✝ : Interval α\ns t c : NonemptyInterval α\nhc₁ : (NonemptyInterval.toDualProd s).fst ≤ (NonemptyInterval.toDualProd c).fst\nhc₂ : (NonemptyInterval.toDualProd s).snd ≤ (NonemptyInterval.toDualProd c).snd\nhb₁ : t.fst ≤ s.fst\nhb₂ : s.snd ≤ t.snd\n⊢ t.fst ≤ c.snd ∧ c.fst ≤ t.snd\n[PROOFSTEP]\nchange c.toProd.fst ≤ s.toProd.fst at hc₁ \n[GOAL]\ncase intro.intro.hc.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ c✝ : Interval α\ns t c : NonemptyInterval α\nhc₂ : (NonemptyInterval.toDualProd s).snd ≤ (NonemptyInterval.toDualProd c).snd\nhb₁ : t.fst ≤ s.fst\nhb₂ : s.snd ≤ t.snd\nhc₁ : c.fst ≤ s.fst\n⊢ t.fst ≤ c.snd ∧ c.fst ≤ t.snd\n[PROOFSTEP]\nchange s.toProd.snd ≤ c.toProd.snd at hc₂ \n[GOAL]\ncase intro.intro.hc.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝ : SemilatticeSup (Interval α) := semilatticeSup\ns✝ t✝ c✝ : Interval α\ns t c : NonemptyInterval α\nhb₁ : t.fst ≤ s.fst\nhb₂ : s.snd ≤ t.snd\nhc₁ : c.fst ≤ s.fst\nhc₂ : s.snd ≤ c.snd\n⊢ t.fst ≤ c.snd ∧ c.fst ≤ t.snd\n[PROOFSTEP]\nexact ⟨hb₁.trans <| s.fst_le_snd.trans hc₂, hc₁.trans <| s.fst_le_snd.trans hb₂⟩\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\ns t : Interval α\n⊢ ↑(s ⊓ t) = ↑s ∩ ↑t\n[PROOFSTEP]\ncases s with\n| none =>\n  rw [WithBot.none_eq_bot, bot_inf_eq]\n  exact (empty_inter _).symm\n| some s =>\n  cases t with\n  | none =>\n    rw [WithBot.none_eq_bot, inf_bot_eq]\n    exact (inter_empty _).symm\n  |\n    some t =>\n    refine'\n      (_ : setLike.coe (dite (s.toProd.fst ≤ t.toProd.snd ∧ t.toProd.fst ≤ s.toProd.snd) _ _) = _).trans\n        Icc_inter_Icc.symm\n    split_ifs with h\n    · rfl\n    ·\n      exact\n        (Icc_eq_empty fun H =>\n            h ⟨le_sup_left.trans <| H.trans inf_le_right, le_sup_right.trans <| H.trans inf_le_left⟩).symm\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\ns t : Interval α\n⊢ ↑(s ⊓ t) = ↑s ∩ ↑t\n[PROOFSTEP]\ncases s with\n| none =>\n  rw [WithBot.none_eq_bot, bot_inf_eq]\n  exact (empty_inter _).symm\n| some s =>\n  cases t with\n  | none =>\n    rw [WithBot.none_eq_bot, inf_bot_eq]\n    exact (inter_empty _).symm\n  |\n    some t =>\n    refine'\n      (_ : setLike.coe (dite (s.toProd.fst ≤ t.toProd.snd ∧ t.toProd.fst ≤ s.toProd.snd) _ _) = _).trans\n        Icc_inter_Icc.symm\n    split_ifs with h\n    · rfl\n    ·\n      exact\n        (Icc_eq_empty fun H =>\n            h ⟨le_sup_left.trans <| H.trans inf_le_right, le_sup_right.trans <| H.trans inf_le_left⟩).symm\n[GOAL]\ncase none\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nt : Interval α\n⊢ ↑(none ⊓ t) = ↑none ∩ ↑t\n[PROOFSTEP]\n\n| none =>\n  rw [WithBot.none_eq_bot, bot_inf_eq]\n  exact (empty_inter _).symm\n[GOAL]\ncase none\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nt : Interval α\n⊢ ↑(none ⊓ t) = ↑none ∩ ↑t\n[PROOFSTEP]\nrw [WithBot.none_eq_bot, bot_inf_eq]\n[GOAL]\ncase none\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nt : Interval α\n⊢ ↑⊥ = ↑⊥ ∩ ↑t\n[PROOFSTEP]\nexact (empty_inter _).symm\n[GOAL]\ncase some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nt : Interval α\ns : NonemptyInterval α\n⊢ ↑(some s ⊓ t) = ↑(some s) ∩ ↑t\n[PROOFSTEP]\n\n| some s =>\n  cases t with\n  | none =>\n    rw [WithBot.none_eq_bot, inf_bot_eq]\n    exact (inter_empty _).symm\n  |\n    some t =>\n    refine'\n      (_ : setLike.coe (dite (s.toProd.fst ≤ t.toProd.snd ∧ t.toProd.fst ≤ s.toProd.snd) _ _) = _).trans\n        Icc_inter_Icc.symm\n    split_ifs with h\n    · rfl\n    ·\n      exact\n        (Icc_eq_empty fun H =>\n            h ⟨le_sup_left.trans <| H.trans inf_le_right, le_sup_right.trans <| H.trans inf_le_left⟩).symm\n[GOAL]\ncase some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nt : Interval α\ns : NonemptyInterval α\n⊢ ↑(some s ⊓ t) = ↑(some s) ∩ ↑t\n[PROOFSTEP]\ncases t with\n| none =>\n  rw [WithBot.none_eq_bot, inf_bot_eq]\n  exact (inter_empty _).symm\n|\n  some t =>\n  refine'\n    (_ : setLike.coe (dite (s.toProd.fst ≤ t.toProd.snd ∧ t.toProd.fst ≤ s.toProd.snd) _ _) = _).trans\n      Icc_inter_Icc.symm\n  split_ifs with h\n  · rfl\n  ·\n    exact\n      (Icc_eq_empty fun H =>\n          h ⟨le_sup_left.trans <| H.trans inf_le_right, le_sup_right.trans <| H.trans inf_le_left⟩).symm\n[GOAL]\ncase some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nt : Interval α\ns : NonemptyInterval α\n⊢ ↑(some s ⊓ t) = ↑(some s) ∩ ↑t\n[PROOFSTEP]\ncases t with\n| none =>\n  rw [WithBot.none_eq_bot, inf_bot_eq]\n  exact (inter_empty _).symm\n|\n  some t =>\n  refine'\n    (_ : setLike.coe (dite (s.toProd.fst ≤ t.toProd.snd ∧ t.toProd.fst ≤ s.toProd.snd) _ _) = _).trans\n      Icc_inter_Icc.symm\n  split_ifs with h\n  · rfl\n  ·\n    exact\n      (Icc_eq_empty fun H =>\n          h ⟨le_sup_left.trans <| H.trans inf_le_right, le_sup_right.trans <| H.trans inf_le_left⟩).symm\n[GOAL]\ncase some.none\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\ns : NonemptyInterval α\n⊢ ↑(some s ⊓ none) = ↑(some s) ∩ ↑none\n[PROOFSTEP]\n\n| none =>\n  rw [WithBot.none_eq_bot, inf_bot_eq]\n  exact (inter_empty _).symm\n[GOAL]\ncase some.none\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\ns : NonemptyInterval α\n⊢ ↑(some s ⊓ none) = ↑(some s) ∩ ↑none\n[PROOFSTEP]\nrw [WithBot.none_eq_bot, inf_bot_eq]\n[GOAL]\ncase some.none\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\ns : NonemptyInterval α\n⊢ ↑⊥ = ↑(some s) ∩ ↑⊥\n[PROOFSTEP]\nexact (inter_empty _).symm\n[GOAL]\ncase some.some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\ns t : NonemptyInterval α\n⊢ ↑(some s ⊓ some t) = ↑(some s) ∩ ↑(some t)\n[PROOFSTEP]\n\n|\n  some t =>\n  refine'\n    (_ : setLike.coe (dite (s.toProd.fst ≤ t.toProd.snd ∧ t.toProd.fst ≤ s.toProd.snd) _ _) = _).trans\n      Icc_inter_Icc.symm\n  split_ifs with h\n  · rfl\n  ·\n    exact\n      (Icc_eq_empty fun H =>\n          h ⟨le_sup_left.trans <| H.trans inf_le_right, le_sup_right.trans <| H.trans inf_le_left⟩).symm\n[GOAL]\ncase some.some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\ns t : NonemptyInterval α\n⊢ ↑(some s ⊓ some t) = ↑(some s) ∩ ↑(some t)\n[PROOFSTEP]\nrefine'\n  (_ : setLike.coe (dite (s.toProd.fst ≤ t.toProd.snd ∧ t.toProd.fst ≤ s.toProd.snd) _ _) = _).trans Icc_inter_Icc.symm\n[GOAL]\ncase some.some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\ns t : NonemptyInterval α\n⊢ ↑(if h : s.fst ≤ t.snd ∧ t.fst ≤ s.snd then\n        some\n          { toProd := (s.fst ⊔ t.fst, s.snd ⊓ t.snd),\n            fst_le_snd := (_ : s.fst ⊔ t.fst ≤ (s.fst ⊔ t.fst, s.snd ⊓ t.snd).snd) }\n      else ⊥) =\n    Icc (s.fst ⊔ t.fst) (s.snd ⊓ t.snd)\n[PROOFSTEP]\nsplit_ifs with h\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\ns t : NonemptyInterval α\nh : s.fst ≤ t.snd ∧ t.fst ≤ s.snd\n⊢ ↑(some\n        { toProd := (s.fst ⊔ t.fst, s.snd ⊓ t.snd),\n          fst_le_snd := (_ : s.fst ⊔ t.fst ≤ (s.fst ⊔ t.fst, s.snd ⊓ t.snd).snd) }) =\n    Icc (s.fst ⊔ t.fst) (s.snd ⊓ t.snd)\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : Lattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\ns t : NonemptyInterval α\nh : ¬(s.fst ≤ t.snd ∧ t.fst ≤ s.snd)\n⊢ ↑⊥ = Icc (s.fst ⊔ t.fst) (s.snd ⊓ t.snd)\n[PROOFSTEP]\nexact\n  (Icc_eq_empty fun H => h ⟨le_sup_left.trans <| H.trans inf_le_right, le_sup_right.trans <| H.trans inf_le_left⟩).symm\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝ : Lattice α\ns t : Interval α\n⊢ Disjoint ↑s ↑t ↔ Disjoint s t\n[PROOFSTEP]\nclassical\nrw [disjoint_iff_inf_le, disjoint_iff_inf_le, ← coe_subset_coe, coe_inf]\nrfl\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝ : Lattice α\ns t : Interval α\n⊢ Disjoint ↑s ↑t ↔ Disjoint s t\n[PROOFSTEP]\nrw [disjoint_iff_inf_le, disjoint_iff_inf_le, ← coe_subset_coe, coe_inf]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝ : Lattice α\ns t : Interval α\n⊢ ↑s ⊓ ↑t ≤ ⊥ ↔ ↑s ∩ ↑t ⊆ ↑⊥\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝ : Preorder α\ns : NonemptyInterval α\na : α\n⊢ ↑s = Interval.pure a ↔ s = pure a\n[PROOFSTEP]\nrw [← Interval.coe_inj, coe_pure_interval]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\n⊢ CompleteLattice (Interval α)\n[PROOFSTEP]\nclassical exact\n  { Interval.lattice,\n    Interval.boundedOrder with\n    sSup := fun S =>\n      if h : S ⊆ {⊥} then ⊥\n      else\n        some\n          ⟨⟨⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst, ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd⟩,\n            by\n            obtain ⟨s, hs, ha⟩ := not_subset.1 h\n            lift s to NonemptyInterval α using ha\n            exact iInf₂_le_of_le s hs (le_iSup₂_of_le s hs s.fst_le_snd)⟩\n    le_sSup := fun s s ha =>\n      by\n      dsimp only\n        -- Porting note: added\n      split_ifs with h\n      · exact (h ha).le\n      cases s\n      · exact bot_le\n      ·\n        -- Porting note: This case was\n                    -- `exact WithBot.some_le_some.2 ⟨iInf₂_le _ ha, le_iSup₂_of_le _ ha le_rfl⟩`\n                    -- but there seems to be a defEq-problem at `iInf₂_le` that lean cannot resolve yet.\n        apply WithBot.some_le_some.2\n        constructor\n        · apply iInf₂_le\n          exact ha\n        · exact le_iSup₂_of_le _ ha le_rfl\n    sSup_le := fun s s ha =>\n      by\n      dsimp only\n        -- Porting note: added\n      split_ifs with h\n      · exact bot_le\n      obtain ⟨b, hs, hb⟩ := not_subset.1 h\n      lift s to NonemptyInterval α using ne_bot_of_le_ne_bot hb (ha _ hs)\n      exact\n        WithBot.coe_le_coe.2\n          ⟨le_iInf₂ fun c hc => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hc).1,\n            iSup₂_le fun c hc => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hc).2⟩\n    sInf := fun S =>\n      if h : ⊥ ∉ S ∧ ∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd then\n        some\n          ⟨⟨⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst, ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd⟩,\n            iSup₂_le fun s hs => le_iInf₂ <| h.2 hs⟩\n      else ⊥\n    sInf_le := fun s₁ s ha =>\n      by\n      dsimp only\n        -- Porting note: added\n      split_ifs with h\n      · lift s to NonemptyInterval α using\n          ne_of_mem_of_not_mem ha\n            h.1\n              -- Porting note: Lean failed to figure out the function `f` by itself,\n                          -- so I added it through manually\n        let f := fun (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s₁) => s.toProd.fst\n        exact WithBot.coe_le_coe.2 ⟨le_iSup₂ (f := f) s ha, iInf₂_le s ha⟩\n      · exact bot_le\n    le_sInf := by\n      intro S s ha\n      cases s with\n      | none => exact bot_le\n      |\n        some s =>\n        dsimp\n          -- Porting note: added\n        split_ifs with h\n        ·\n          exact\n            WithBot.some_le_some.2\n              ⟨iSup₂_le fun t hb => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).1,\n                le_iInf₂ fun t hb => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).2⟩\n        · rw [not_and_or, not_not] at h \n          rcases h with h | h\n          · exact ha _ h\n          ·\n            -- Porting note: ungolfed, due to identification problems\n                            -- between `toProd` and `toDualProd`. Original mathport output:\n                            -- cases h fun t hb c hc =>\n                            --   (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).1.trans <|\n                            --     s.fst_le_snd.trans (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hc).2 }\n            exfalso\n            apply h\n            intro b hb c hc\n            have h₁ := (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).1\n            repeat rw [NonemptyInterval.toDualProd_apply] at h₁ \n            rw [OrderDual.toDual_le_toDual] at h₁ \n            exact h₁.trans (s.fst_le_snd.trans (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hc).2) }\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\n⊢ CompleteLattice (Interval α)\n[PROOFSTEP]\nexact\n  { Interval.lattice,\n    Interval.boundedOrder with\n    sSup := fun S =>\n      if h : S ⊆ {⊥} then ⊥\n      else\n        some\n          ⟨⟨⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst, ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd⟩,\n            by\n            obtain ⟨s, hs, ha⟩ := not_subset.1 h\n            lift s to NonemptyInterval α using ha\n            exact iInf₂_le_of_le s hs (le_iSup₂_of_le s hs s.fst_le_snd)⟩\n    le_sSup := fun s s ha =>\n      by\n      dsimp only\n        -- Porting note: added\n      split_ifs with h\n      · exact (h ha).le\n      cases s\n      · exact bot_le\n      ·\n        -- Porting note: This case was\n                    -- `exact WithBot.some_le_some.2 ⟨iInf₂_le _ ha, le_iSup₂_of_le _ ha le_rfl⟩`\n                    -- but there seems to be a defEq-problem at `iInf₂_le` that lean cannot resolve yet.\n        apply WithBot.some_le_some.2\n        constructor\n        · apply iInf₂_le\n          exact ha\n        · exact le_iSup₂_of_le _ ha le_rfl\n    sSup_le := fun s s ha =>\n      by\n      dsimp only\n        -- Porting note: added\n      split_ifs with h\n      · exact bot_le\n      obtain ⟨b, hs, hb⟩ := not_subset.1 h\n      lift s to NonemptyInterval α using ne_bot_of_le_ne_bot hb (ha _ hs)\n      exact\n        WithBot.coe_le_coe.2\n          ⟨le_iInf₂ fun c hc => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hc).1,\n            iSup₂_le fun c hc => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hc).2⟩\n    sInf := fun S =>\n      if h : ⊥ ∉ S ∧ ∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd then\n        some\n          ⟨⟨⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst, ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd⟩,\n            iSup₂_le fun s hs => le_iInf₂ <| h.2 hs⟩\n      else ⊥\n    sInf_le := fun s₁ s ha =>\n      by\n      dsimp only\n        -- Porting note: added\n      split_ifs with h\n      · lift s to NonemptyInterval α using\n          ne_of_mem_of_not_mem ha\n            h.1\n              -- Porting note: Lean failed to figure out the function `f` by itself,\n                          -- so I added it through manually\n        let f := fun (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s₁) => s.toProd.fst\n        exact WithBot.coe_le_coe.2 ⟨le_iSup₂ (f := f) s ha, iInf₂_le s ha⟩\n      · exact bot_le\n    le_sInf := by\n      intro S s ha\n      cases s with\n      | none => exact bot_le\n      |\n        some s =>\n        dsimp\n          -- Porting note: added\n        split_ifs with h\n        ·\n          exact\n            WithBot.some_le_some.2\n              ⟨iSup₂_le fun t hb => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).1,\n                le_iInf₂ fun t hb => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).2⟩\n        · rw [not_and_or, not_not] at h \n          rcases h with h | h\n          · exact ha _ h\n          ·\n            -- Porting note: ungolfed, due to identification problems\n                            -- between `toProd` and `toDualProd`. Original mathport output:\n                            -- cases h fun t hb c hc =>\n                            --   (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).1.trans <|\n                            --     s.fst_le_snd.trans (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hc).2 }\n            exfalso\n            apply h\n            intro b hb c hc\n            have h₁ := (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).1\n            repeat rw [NonemptyInterval.toDualProd_apply] at h₁ \n            rw [OrderDual.toDual_le_toDual] at h₁ \n            exact h₁.trans (s.fst_le_snd.trans (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hc).2) }\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\nh : ¬S ⊆ {⊥}\n⊢ (⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst, ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd).fst ≤\n    (⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst, ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd).snd\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨s, hs, ha⟩ := not_subset.1 h\n[GOAL]\ncase intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\nh : ¬S ⊆ {⊥}\ns : Interval α\nhs : s ∈ S\nha : ¬s ∈ {⊥}\n⊢ (⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst, ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd).fst ≤\n    (⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst, ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd).snd\n[PROOFSTEP]\nlift s to NonemptyInterval α using ha\n[GOAL]\ncase intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\nh : ¬S ⊆ {⊥}\ns : NonemptyInterval α\nhs : ↑s ∈ S\n⊢ (⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst, ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd).fst ≤\n    (⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst, ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd).snd\n[PROOFSTEP]\nexact iInf₂_le_of_le s hs (le_iSup₂_of_le s hs s.fst_le_snd)\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns✝ : Set (Interval α)\ns : Interval α\nha : s ∈ s✝\n⊢ s ≤ sSup s✝\n[PROOFSTEP]\ndsimp only\n  -- Porting note: added\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns✝ : Set (Interval α)\ns : Interval α\nha : s ∈ s✝\n⊢ s ≤\n    if h : s✝ ⊆ {⊥} then ⊥\n    else\n      some\n        { toProd := (⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.fst, ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.snd),\n          fst_le_snd :=\n            (_ : ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.fst ≤ ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.snd) }\n[PROOFSTEP]\nsplit_ifs with h\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns✝ : Set (Interval α)\ns : Interval α\nha : s ∈ s✝\nh : s✝ ⊆ {⊥}\n⊢ s ≤ ⊥\n[PROOFSTEP]\nexact (h ha).le\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns✝ : Set (Interval α)\ns : Interval α\nha : s ∈ s✝\nh : ¬s✝ ⊆ {⊥}\n⊢ s ≤\n    some\n      { toProd := (⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.fst, ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.snd),\n        fst_le_snd :=\n          (_ : ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.fst ≤ ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.snd) }\n[PROOFSTEP]\ncases s\n[GOAL]\ncase neg.none\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns : Set (Interval α)\nh : ¬s ⊆ {⊥}\nha : none ∈ s\n⊢ none ≤\n    some\n      {\n        toProd :=\n          (⨅ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.fst, ⨆ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.snd),\n        fst_le_snd :=\n          (_ :\n            ⨅ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.fst ≤\n              ⨆ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.snd) }\n[PROOFSTEP]\nexact bot_le\n[GOAL]\ncase neg.some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns : Set (Interval α)\nh : ¬s ⊆ {⊥}\nval✝ : NonemptyInterval α\nha : some val✝ ∈ s\n⊢ some val✝ ≤\n    some\n      {\n        toProd :=\n          (⨅ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.fst, ⨆ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.snd),\n        fst_le_snd :=\n          (_ :\n            ⨅ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.fst ≤\n              ⨆ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.snd) }\n[PROOFSTEP]\napply WithBot.some_le_some.2\n[GOAL]\ncase neg.some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns : Set (Interval α)\nh : ¬s ⊆ {⊥}\nval✝ : NonemptyInterval α\nha : some val✝ ∈ s\n⊢ val✝ ≤\n    {\n      toProd :=\n        (⨅ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.fst, ⨆ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.snd),\n      fst_le_snd :=\n        (_ :\n          ⨅ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.fst ≤ ⨆ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.snd) }\n[PROOFSTEP]\nconstructor\n[GOAL]\ncase neg.some.left\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns : Set (Interval α)\nh : ¬s ⊆ {⊥}\nval✝ : NonemptyInterval α\nha : some val✝ ∈ s\n⊢ (NonemptyInterval.toDualProd val✝).fst ≤\n    (NonemptyInterval.toDualProd\n        {\n          toProd :=\n            (⨅ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.fst,\n              ⨆ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.snd),\n          fst_le_snd :=\n            (_ :\n              ⨅ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.fst ≤\n                ⨆ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.snd) }).fst\n[PROOFSTEP]\napply iInf₂_le\n[GOAL]\ncase neg.some.left.j\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns : Set (Interval α)\nh : ¬s ⊆ {⊥}\nval✝ : NonemptyInterval α\nha : some val✝ ∈ s\n⊢ ↑val✝ ∈ s\n[PROOFSTEP]\nexact ha\n[GOAL]\ncase neg.some.right\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns : Set (Interval α)\nh : ¬s ⊆ {⊥}\nval✝ : NonemptyInterval α\nha : some val✝ ∈ s\n⊢ (NonemptyInterval.toDualProd val✝).snd ≤\n    (NonemptyInterval.toDualProd\n        {\n          toProd :=\n            (⨅ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.fst,\n              ⨆ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.snd),\n          fst_le_snd :=\n            (_ :\n              ⨅ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.fst ≤\n                ⨆ (s_1 : NonemptyInterval α) (_ : ↑s_1 ∈ s), s_1.snd) }).snd\n[PROOFSTEP]\nexact le_iSup₂_of_le _ ha le_rfl\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns✝ : Set (Interval α)\ns : Interval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ s✝ → b ≤ s\n⊢ sSup s✝ ≤ s\n[PROOFSTEP]\ndsimp only\n  -- Porting note: added\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns✝ : Set (Interval α)\ns : Interval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ s✝ → b ≤ s\n⊢ (if h : s✝ ⊆ {⊥} then ⊥\n    else\n      some\n        { toProd := (⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.fst, ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.snd),\n          fst_le_snd :=\n            (_ : ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.fst ≤ ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.snd) }) ≤\n    s\n[PROOFSTEP]\nsplit_ifs with h\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns✝ : Set (Interval α)\ns : Interval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ s✝ → b ≤ s\nh : s✝ ⊆ {⊥}\n⊢ ⊥ ≤ s\n[PROOFSTEP]\nexact bot_le\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns✝ : Set (Interval α)\ns : Interval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ s✝ → b ≤ s\nh : ¬s✝ ⊆ {⊥}\n⊢ some\n      { toProd := (⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.fst, ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.snd),\n        fst_le_snd :=\n          (_ : ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.fst ≤ ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.snd) } ≤\n    s\n[PROOFSTEP]\nobtain ⟨b, hs, hb⟩ := not_subset.1 h\n[GOAL]\ncase neg.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns✝ : Set (Interval α)\ns : Interval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ s✝ → b ≤ s\nh : ¬s✝ ⊆ {⊥}\nb : Interval α\nhs : b ∈ s✝\nhb : ¬b ∈ {⊥}\n⊢ some\n      { toProd := (⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.fst, ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.snd),\n        fst_le_snd :=\n          (_ : ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.fst ≤ ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.snd) } ≤\n    s\n[PROOFSTEP]\nlift s to NonemptyInterval α using ne_bot_of_le_ne_bot hb (ha _ hs)\n[GOAL]\ncase neg.intro.intro.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns✝ : Set (Interval α)\nh : ¬s✝ ⊆ {⊥}\nb : Interval α\nhs : b ∈ s✝\nhb : ¬b ∈ {⊥}\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ s✝ → b ≤ ↑s\n⊢ some\n      { toProd := (⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.fst, ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.snd),\n        fst_le_snd :=\n          (_ : ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.fst ≤ ⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s✝), s.snd) } ≤\n    ↑s\n[PROOFSTEP]\nexact\n  WithBot.coe_le_coe.2\n    ⟨le_iInf₂ fun c hc => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hc).1, iSup₂_le fun c hc => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hc).2⟩\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns₁ : Set (Interval α)\ns : Interval α\nha : s ∈ s₁\n⊢ sInf s₁ ≤ s\n[PROOFSTEP]\ndsimp only\n  -- Porting note: added\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns₁ : Set (Interval α)\ns : Interval α\nha : s ∈ s₁\n⊢ (if h : ¬⊥ ∈ s₁ ∧ ∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ s₁ → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ s₁ → s.fst ≤ t.snd then\n      some\n        { toProd := (⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s₁), s.fst, ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s₁), s.snd),\n          fst_le_snd :=\n            (_ : ⨆ (i : NonemptyInterval α) (_ : ↑i ∈ s₁), i.fst ≤ ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s₁), s.snd) }\n    else ⊥) ≤\n    s\n[PROOFSTEP]\nsplit_ifs with h\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns₁ : Set (Interval α)\ns : Interval α\nha : s ∈ s₁\nh : ¬⊥ ∈ s₁ ∧ ∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ s₁ → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ s₁ → s.fst ≤ t.snd\n⊢ some\n      { toProd := (⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s₁), s.fst, ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s₁), s.snd),\n        fst_le_snd :=\n          (_ : ⨆ (i : NonemptyInterval α) (_ : ↑i ∈ s₁), i.fst ≤ ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s₁), s.snd) } ≤\n    s\n[PROOFSTEP]\nlift s to NonemptyInterval α using\n  ne_of_mem_of_not_mem ha\n    h.1\n      -- Porting note: Lean failed to figure out the function `f` by itself,\n                  -- so I added it through manually\n[GOAL]\ncase pos.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns₁ : Set (Interval α)\nh : ¬⊥ ∈ s₁ ∧ ∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ s₁ → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ s₁ → s.fst ≤ t.snd\ns : NonemptyInterval α\nha : ↑s ∈ s₁\n⊢ some\n      { toProd := (⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s₁), s.fst, ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s₁), s.snd),\n        fst_le_snd :=\n          (_ : ⨆ (i : NonemptyInterval α) (_ : ↑i ∈ s₁), i.fst ≤ ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s₁), s.snd) } ≤\n    ↑s\n[PROOFSTEP]\nlet f := fun (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s₁) => s.toProd.fst\n[GOAL]\ncase pos.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns₁ : Set (Interval α)\nh : ¬⊥ ∈ s₁ ∧ ∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ s₁ → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ s₁ → s.fst ≤ t.snd\ns : NonemptyInterval α\nha : ↑s ∈ s₁\nf : (s : NonemptyInterval α) → ↑s ∈ s₁ → α := fun s x => s.fst\n⊢ some\n      { toProd := (⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s₁), s.fst, ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s₁), s.snd),\n        fst_le_snd :=\n          (_ : ⨆ (i : NonemptyInterval α) (_ : ↑i ∈ s₁), i.fst ≤ ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ s₁), s.snd) } ≤\n    ↑s\n[PROOFSTEP]\nexact WithBot.coe_le_coe.2 ⟨le_iSup₂ (f := f) s ha, iInf₂_le s ha⟩\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\ns₁ : Set (Interval α)\ns : Interval α\nha : s ∈ s₁\nh : ¬(¬⊥ ∈ s₁ ∧ ∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ s₁ → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ s₁ → s.fst ≤ t.snd)\n⊢ ⊥ ≤ s\n[PROOFSTEP]\nexact bot_le\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\n⊢ ∀ (s : Set (Interval α)) (a : Interval α), (∀ (b : Interval α), b ∈ s → a ≤ b) → a ≤ sInf s\n[PROOFSTEP]\nintro S s ha\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : Interval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → s ≤ b\n⊢ s ≤ sInf S\n[PROOFSTEP]\ncases s with\n| none => exact bot_le\n|\n  some s =>\n  dsimp\n    -- Porting note: added\n  split_ifs with h\n  ·\n    exact\n      WithBot.some_le_some.2\n        ⟨iSup₂_le fun t hb => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).1,\n          le_iInf₂ fun t hb => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).2⟩\n  · rw [not_and_or, not_not] at h \n    rcases h with h | h\n    · exact ha _ h\n    ·\n      -- Porting note: ungolfed, due to identification problems\n                      -- between `toProd` and `toDualProd`. Original mathport output:\n                      -- cases h fun t hb c hc =>\n                      --   (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).1.trans <|\n                      --     s.fst_le_snd.trans (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hc).2 }\n      exfalso\n      apply h\n      intro b hb c hc\n      have h₁ := (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).1\n      repeat rw [NonemptyInterval.toDualProd_apply] at h₁ \n      rw [OrderDual.toDual_le_toDual] at h₁ \n      exact h₁.trans (s.fst_le_snd.trans (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hc).2)\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : Interval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → s ≤ b\n⊢ s ≤ sInf S\n[PROOFSTEP]\ncases s with\n| none => exact bot_le\n|\n  some s =>\n  dsimp\n    -- Porting note: added\n  split_ifs with h\n  ·\n    exact\n      WithBot.some_le_some.2\n        ⟨iSup₂_le fun t hb => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).1,\n          le_iInf₂ fun t hb => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).2⟩\n  · rw [not_and_or, not_not] at h \n    rcases h with h | h\n    · exact ha _ h\n    ·\n      -- Porting note: ungolfed, due to identification problems\n                      -- between `toProd` and `toDualProd`. Original mathport output:\n                      -- cases h fun t hb c hc =>\n                      --   (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).1.trans <|\n                      --     s.fst_le_snd.trans (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hc).2 }\n      exfalso\n      apply h\n      intro b hb c hc\n      have h₁ := (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).1\n      repeat rw [NonemptyInterval.toDualProd_apply] at h₁ \n      rw [OrderDual.toDual_le_toDual] at h₁ \n      exact h₁.trans (s.fst_le_snd.trans (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hc).2)\n[GOAL]\ncase none\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → none ≤ b\n⊢ none ≤ sInf S\n[PROOFSTEP]\n\n| none => exact bot_le\n[GOAL]\ncase none\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → none ≤ b\n⊢ none ≤ sInf S\n[PROOFSTEP]\nexact bot_le\n[GOAL]\ncase some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → some s ≤ b\n⊢ some s ≤ sInf S\n[PROOFSTEP]\n\n|\n  some s =>\n  dsimp\n    -- Porting note: added\n  split_ifs with h\n  ·\n    exact\n      WithBot.some_le_some.2\n        ⟨iSup₂_le fun t hb => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).1,\n          le_iInf₂ fun t hb => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).2⟩\n  · rw [not_and_or, not_not] at h \n    rcases h with h | h\n    · exact ha _ h\n    ·\n      -- Porting note: ungolfed, due to identification problems\n                      -- between `toProd` and `toDualProd`. Original mathport output:\n                      -- cases h fun t hb c hc =>\n                      --   (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).1.trans <|\n                      --     s.fst_le_snd.trans (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hc).2 }\n      exfalso\n      apply h\n      intro b hb c hc\n      have h₁ := (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).1\n      repeat rw [NonemptyInterval.toDualProd_apply] at h₁ \n      rw [OrderDual.toDual_le_toDual] at h₁ \n      exact h₁.trans (s.fst_le_snd.trans (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hc).2)\n[GOAL]\ncase some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → some s ≤ b\n⊢ some s ≤ sInf S\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n  -- Porting note: added\n[GOAL]\ncase some\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → some s ≤ b\n⊢ some s ≤\n    if h : ¬⊥ ∈ S ∧ ∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd then\n      some\n        { toProd := (⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst, ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd),\n          fst_le_snd :=\n            (_ : ⨆ (i : NonemptyInterval α) (_ : ↑i ∈ S), i.fst ≤ ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd) }\n    else ⊥\n[PROOFSTEP]\nsplit_ifs with h\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → some s ≤ b\nh : ¬⊥ ∈ S ∧ ∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\n⊢ some s ≤\n    some\n      { toProd := (⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst, ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd),\n        fst_le_snd :=\n          (_ : ⨆ (i : NonemptyInterval α) (_ : ↑i ∈ S), i.fst ≤ ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd) }\n[PROOFSTEP]\nexact\n  WithBot.some_le_some.2\n    ⟨iSup₂_le fun t hb => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).1, le_iInf₂ fun t hb => (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).2⟩\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → some s ≤ b\nh : ¬(¬⊥ ∈ S ∧ ∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd)\n⊢ some s ≤ ⊥\n[PROOFSTEP]\nrw [not_and_or, not_not] at h \n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → some s ≤ b\nh : ⊥ ∈ S ∨ ¬∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\n⊢ some s ≤ ⊥\n[PROOFSTEP]\nrcases h with h | h\n[GOAL]\ncase neg.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → some s ≤ b\nh : ⊥ ∈ S\n⊢ some s ≤ ⊥\n[PROOFSTEP]\nexact ha _ h\n[GOAL]\ncase neg.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → some s ≤ b\nh : ¬∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\n⊢ some s ≤ ⊥\n[PROOFSTEP]\nexfalso\n[GOAL]\ncase neg.inr.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → some s ≤ b\nh : ¬∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\napply h\n[GOAL]\ncase neg.inr.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → some s ≤ b\nh : ¬∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\n⊢ ∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\n[PROOFSTEP]\nintro b hb c hc\n[GOAL]\ncase neg.inr.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → some s ≤ b\nh : ¬∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\nb : NonemptyInterval α\nhb : ↑b ∈ S\nc : NonemptyInterval α\nhc : ↑c ∈ S\n⊢ b.fst ≤ c.snd\n[PROOFSTEP]\nhave h₁ := (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hb).1\n[GOAL]\ncase neg.inr.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → some s ≤ b\nh : ¬∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\nb : NonemptyInterval α\nhb : ↑b ∈ S\nc : NonemptyInterval α\nhc : ↑c ∈ S\nh₁ : (NonemptyInterval.toDualProd s).fst ≤ (NonemptyInterval.toDualProd b).fst\n⊢ b.fst ≤ c.snd\n[PROOFSTEP]\nrepeat rw [NonemptyInterval.toDualProd_apply] at h₁ \n[GOAL]\ncase neg.inr.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → some s ≤ b\nh : ¬∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\nb : NonemptyInterval α\nhb : ↑b ∈ S\nc : NonemptyInterval α\nhc : ↑c ∈ S\nh₁ : (NonemptyInterval.toDualProd s).fst ≤ (NonemptyInterval.toDualProd b).fst\n⊢ b.fst ≤ c.snd\n[PROOFSTEP]\nrw [NonemptyInterval.toDualProd_apply] at h₁ \n[GOAL]\ncase neg.inr.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → some s ≤ b\nh : ¬∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\nb : NonemptyInterval α\nhb : ↑b ∈ S\nc : NonemptyInterval α\nhc : ↑c ∈ S\nh₁ : (↑toDual s.fst, s.snd).fst ≤ (NonemptyInterval.toDualProd b).fst\n⊢ b.fst ≤ c.snd\n[PROOFSTEP]\nrw [NonemptyInterval.toDualProd_apply] at h₁ \n[GOAL]\ncase neg.inr.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → some s ≤ b\nh : ¬∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\nb : NonemptyInterval α\nhb : ↑b ∈ S\nc : NonemptyInterval α\nhc : ↑c ∈ S\nh₁ : (↑toDual s.fst, s.snd).fst ≤ (↑toDual b.fst, b.snd).fst\n⊢ b.fst ≤ c.snd\n[PROOFSTEP]\nrw [NonemptyInterval.toDualProd_apply] at h₁ \n[GOAL]\ncase neg.inr.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → some s ≤ b\nh : ¬∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\nb : NonemptyInterval α\nhb : ↑b ∈ S\nc : NonemptyInterval α\nhc : ↑c ∈ S\nh₁ : (↑toDual s.fst, s.snd).fst ≤ (↑toDual b.fst, b.snd).fst\n⊢ b.fst ≤ c.snd\n[PROOFSTEP]\nrw [OrderDual.toDual_le_toDual] at h₁ \n[GOAL]\ncase neg.inr.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nsrc✝¹ : Lattice (Interval α) := lattice\nsrc✝ : BoundedOrder (Interval α) := boundedOrder\nS : Set (Interval α)\ns : NonemptyInterval α\nha : ∀ (b : Interval α), b ∈ S → some s ≤ b\nh : ¬∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\nb : NonemptyInterval α\nhb : ↑b ∈ S\nc : NonemptyInterval α\nhc : ↑c ∈ S\nh₁ : b.fst ≤ s.fst\n⊢ b.fst ≤ c.snd\n[PROOFSTEP]\nexact h₁.trans (s.fst_le_snd.trans (WithBot.coe_le_coe.1 <| ha _ hc).2)\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nS : Set (Interval α)\n⊢ ↑(sInf S) = ⋂ (s : Interval α) (_ : s ∈ S), ↑s\n[PROOFSTEP]\nclassical\n  -- Porting note: added\n    -- Porting note: this `change` was\n    -- change ↑ (dite _ _ _) = _\nchange ((dite _ _ _ : Interval α) : Set α) = ⋂ (s : Interval α) (_ : s ∈ S), (s : Set α)\nsplit_ifs with h\n· ext\n  simp [WithBot.some_eq_coe, Interval.forall, h.1, ← forall_and, ← NonemptyInterval.mem_def]\nsimp_rw [not_and_or, Classical.not_not] at h \nrcases h with h | h\n· refine' (eq_empty_of_subset_empty _).symm\n  exact iInter₂_subset_of_subset _ h Subset.rfl\n· refine' (not_nonempty_iff_eq_empty.1 _).symm\n  rintro ⟨x, hx⟩\n  rw [mem_iInter₂] at hx \n  exact h fun s ha t hb => (hx _ ha).1.trans (hx _ hb).2\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nS : Set (Interval α)\n⊢ ↑(sInf S) = ⋂ (s : Interval α) (_ : s ∈ S), ↑s\n[PROOFSTEP]\nchange ((dite _ _ _ : Interval α) : Set α) = ⋂ (s : Interval α) (_ : s ∈ S), (s : Set α)\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nS : Set (Interval α)\n⊢ ↑(if h : ¬⊥ ∈ S ∧ ∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd then\n        some\n          { toProd := (⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst, ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd),\n            fst_le_snd :=\n              (_ :\n                ⨆ (i : NonemptyInterval α) (_ : ↑i ∈ S), i.fst ≤\n                  (⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst,\n                      ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd).snd) }\n      else ⊥) =\n    ⋂ (s : Interval α) (_ : s ∈ S), ↑s\n[PROOFSTEP]\nsplit_ifs with h\n[GOAL]\ncase pos\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nS : Set (Interval α)\nh : ¬⊥ ∈ S ∧ ∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\n⊢ ↑(some\n        { toProd := (⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst, ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd),\n          fst_le_snd :=\n            (_ :\n              ⨆ (i : NonemptyInterval α) (_ : ↑i ∈ S), i.fst ≤\n                (⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst,\n                    ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd).snd) }) =\n    ⋂ (s : Interval α) (_ : s ∈ S), ↑s\n[PROOFSTEP]\next\n[GOAL]\ncase pos.h\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nS : Set (Interval α)\nh : ¬⊥ ∈ S ∧ ∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\nx✝ : α\n⊢ x✝ ∈\n      ↑(some\n          { toProd := (⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst, ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd),\n            fst_le_snd :=\n              (_ :\n                ⨆ (i : NonemptyInterval α) (_ : ↑i ∈ S), i.fst ≤\n                  (⨆ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.fst,\n                      ⨅ (s : NonemptyInterval α) (_ : ↑s ∈ S), s.snd).snd) }) ↔\n    x✝ ∈ ⋂ (s : Interval α) (_ : s ∈ S), ↑s\n[PROOFSTEP]\nsimp [WithBot.some_eq_coe, Interval.forall, h.1, ← forall_and, ← NonemptyInterval.mem_def]\n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nS : Set (Interval α)\nh : ¬(¬⊥ ∈ S ∧ ∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd)\n⊢ ↑⊥ = ⋂ (s : Interval α) (_ : s ∈ S), ↑s\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [not_and_or, Classical.not_not] at h \n[GOAL]\ncase neg\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nS : Set (Interval α)\nh : ⊥ ∈ S ∨ ¬∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\n⊢ ↑⊥ = ⋂ (s : Interval α) (_ : s ∈ S), ↑s\n[PROOFSTEP]\nrcases h with h | h\n[GOAL]\ncase neg.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nS : Set (Interval α)\nh : ⊥ ∈ S\n⊢ ↑⊥ = ⋂ (s : Interval α) (_ : s ∈ S), ↑s\n[PROOFSTEP]\nrefine' (eq_empty_of_subset_empty _).symm\n[GOAL]\ncase neg.inl\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nS : Set (Interval α)\nh : ⊥ ∈ S\n⊢ ⋂ (s : Interval α) (_ : s ∈ S), ↑s ⊆ ∅\n[PROOFSTEP]\nexact iInter₂_subset_of_subset _ h Subset.rfl\n[GOAL]\ncase neg.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nS : Set (Interval α)\nh : ¬∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\n⊢ ↑⊥ = ⋂ (s : Interval α) (_ : s ∈ S), ↑s\n[PROOFSTEP]\nrefine' (not_nonempty_iff_eq_empty.1 _).symm\n[GOAL]\ncase neg.inr\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nS : Set (Interval α)\nh : ¬∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\n⊢ ¬Set.Nonempty (⋂ (s : Interval α) (_ : s ∈ S), ↑s)\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨x, hx⟩\n[GOAL]\ncase neg.inr.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nS : Set (Interval α)\nh : ¬∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\nx : α\nhx : x ∈ ⋂ (s : Interval α) (_ : s ∈ S), ↑s\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nrw [mem_iInter₂] at hx \n[GOAL]\ncase neg.inr.intro\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nS : Set (Interval α)\nh : ¬∀ ⦃s : NonemptyInterval α⦄, ↑s ∈ S → ∀ ⦃t : NonemptyInterval α⦄, ↑t ∈ S → s.fst ≤ t.snd\nx : α\nhx : ∀ (i : Interval α), i ∈ S → x ∈ ↑i\n⊢ False\n[PROOFSTEP]\nexact h fun s ha t hb => (hx _ ha).1.trans (hx _ hb).2\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nf : ι → Interval α\n⊢ ↑(⨅ (i : ι), f i) = ⋂ (i : ι), ↑(f i)\n[PROOFSTEP]\nsimp [iInf]\n[GOAL]\nα : Type u_1\nβ : Type u_2\nγ : Type u_3\nδ : Type u_4\nι : Sort u_5\nκ : ι → Sort u_6\ninst✝¹ : CompleteLattice α\ninst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1\nf : (i : ι) → κ i → Interval α\n⊢ ↑(⨅ (i : ι) (j : κ i), f i j) = ⋂ (i : ι) (j : κ i), ↑(f i j)\n[PROOFSTEP]\nsimp_rw [coe_iInf]\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.Order.Interval", "llama_tokens": 34154, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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{"text": "[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\n⊢ ∀ (x y : ℍ[DualNumber R]),\n    Equiv.toFun\n        {\n          toFun := fun q =>\n            ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n              { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n          invFun := fun d =>\n            { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n              imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n              imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n              imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n          left_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                (fun d =>\n                      { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                        imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                        imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                        imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                    ((fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      x) =\n                  x),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                (fun q =>\n                      ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                        { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                    ((fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      x) =\n                  x) }\n        (x * y) =\n      Equiv.toFun\n          {\n            toFun := fun q =>\n              ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n            invFun := fun d =>\n              { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n            left_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                  (fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      ((fun q =>\n                          ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                            { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                        x) =\n                    x),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                  (fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      ((fun d =>\n                          { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                            imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                            imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                            imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                        x) =\n                    x) }\n          x *\n        Equiv.toFun\n          {\n            toFun := fun q =>\n              ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n            invFun := fun d =>\n              { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n            left_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                  (fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      ((fun q =>\n                          ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                            { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                        x) =\n                    x),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                  (fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      ((fun d =>\n                          { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                            imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                            imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                            imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                        x) =\n                    x) }\n          y\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨⟨xr, xrε⟩, ⟨xi, xiε⟩, ⟨xj, xjε⟩, ⟨xk, xkε⟩⟩\n[GOAL]\ncase mk.mk.mk.mk.mk\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nxr xrε xi xiε xj xjε xk xkε : R\n⊢ ∀ (y : ℍ[DualNumber R]),\n    Equiv.toFun\n        {\n          toFun := fun q =>\n            ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n              { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n          invFun := fun d =>\n            { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n              imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n              imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n              imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n          left_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                (fun d =>\n                      { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                        imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                        imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                        imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                    ((fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      x) =\n                  x),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                (fun q =>\n                      ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                        { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                    ((fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      x) =\n                  x) }\n        ({ re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } * y) =\n      Equiv.toFun\n          {\n            toFun := fun q =>\n              ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n            invFun := fun d =>\n              { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n            left_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                  (fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      ((fun q =>\n                          ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                            { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                        x) =\n                    x),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                  (fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      ((fun d =>\n                          { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                            imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                            imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                            imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                        x) =\n                    x) }\n          { re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } *\n        Equiv.toFun\n          {\n            toFun := fun q =>\n              ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n            invFun := fun d =>\n              { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n            left_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                  (fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      ((fun q =>\n                          ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                            { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                        x) =\n                    x),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                  (fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      ((fun d =>\n                          { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                            imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                            imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                            imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                        x) =\n                    x) }\n          y\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨⟨yr, yrε⟩, ⟨yi, yiε⟩, ⟨yj, yjε⟩, ⟨yk, ykε⟩⟩\n[GOAL]\ncase mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nxr xrε xi xiε xj xjε xk xkε yr yrε yi yiε yj yjε yk ykε : R\n⊢ Equiv.toFun\n      {\n        toFun := fun q =>\n          ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n              imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n            { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n              imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n        invFun := fun d =>\n          { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n            imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n            imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n            imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n        left_inv :=\n          (_ :\n            ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n              (fun d =>\n                    { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                      imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                      imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                      imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                  ((fun q =>\n                      ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                        { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                    x) =\n                x),\n        right_inv :=\n          (_ :\n            ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n              (fun q =>\n                    ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                        imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                      { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                        imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                  ((fun d =>\n                      { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                        imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                        imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                        imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                    x) =\n                x) }\n      ({ re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } *\n        { re := (yr, yrε), imI := (yi, yiε), imJ := (yj, yjε), imK := (yk, ykε) }) =\n    Equiv.toFun\n        {\n          toFun := fun q =>\n            ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n              { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n          invFun := fun d =>\n            { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n              imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n              imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n              imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n          left_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                (fun d =>\n                      { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                        imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                        imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                        imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                    ((fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      x) =\n                  x),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                (fun q =>\n                      ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                        { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                    ((fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      x) =\n                  x) }\n        { re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } *\n      Equiv.toFun\n        {\n          toFun := fun q =>\n            ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n              { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n          invFun := fun d =>\n            { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n              imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n              imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n              imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n          left_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                (fun d =>\n                      { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                        imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                        imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                        imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                    ((fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      x) =\n                  x),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                (fun q =>\n                      ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                        { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                    ((fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      x) =\n                  x) }\n        { re := (yr, yrε), imI := (yi, yiε), imJ := (yj, yjε), imK := (yk, ykε) }\n[PROOFSTEP]\next : 1\n[GOAL]\ncase mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.h1\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nxr xrε xi xiε xj xjε xk xkε yr yrε yi yiε yj yjε yk ykε : R\n⊢ TrivSqZeroExt.fst\n      (Equiv.toFun\n        {\n          toFun := fun q =>\n            ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n              { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n          invFun := fun d =>\n            { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n              imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n              imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n              imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n          left_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                (fun d =>\n                      { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                        imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                        imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                        imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                    ((fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      x) =\n                  x),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                (fun q =>\n                      ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                        { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                    ((fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      x) =\n                  x) }\n        ({ re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } *\n          { re := (yr, yrε), imI := (yi, yiε), imJ := (yj, yjε), imK := (yk, ykε) })) =\n    TrivSqZeroExt.fst\n      (Equiv.toFun\n          {\n            toFun := fun q =>\n              ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n            invFun := fun d =>\n              { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n            left_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                  (fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      ((fun q =>\n                          ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                            { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                        x) =\n                    x),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                  (fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      ((fun d =>\n                          { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                            imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                            imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                            imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                        x) =\n                    x) }\n          { re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } *\n        Equiv.toFun\n          {\n            toFun := fun q =>\n              ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n            invFun := fun d =>\n              { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n            left_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                  (fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      ((fun q =>\n                          ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                            { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                        x) =\n                    x),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                  (fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      ((fun d =>\n                          { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                            imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                            imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                            imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                        x) =\n                    x) }\n          { re := (yr, yrε), imI := (yi, yiε), imJ := (yj, yjε), imK := (yk, ykε) })\n[PROOFSTEP]\nrfl\n[GOAL]\ncase mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.h2\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nxr xrε xi xiε xj xjε xk xkε yr yrε yi yiε yj yjε yk ykε : R\n⊢ TrivSqZeroExt.snd\n      (Equiv.toFun\n        {\n          toFun := fun q =>\n            ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n              { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n          invFun := fun d =>\n            { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n              imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n              imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n              imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n          left_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                (fun d =>\n                      { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                        imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                        imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                        imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                    ((fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      x) =\n                  x),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                (fun q =>\n                      ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                        { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                    ((fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      x) =\n                  x) }\n        ({ re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } *\n          { re := (yr, yrε), imI := (yi, yiε), imJ := (yj, yjε), imK := (yk, ykε) })) =\n    TrivSqZeroExt.snd\n      (Equiv.toFun\n          {\n            toFun := fun q =>\n              ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n            invFun := fun d =>\n              { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n            left_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                  (fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      ((fun q =>\n                          ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                            { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                        x) =\n                    x),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                  (fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      ((fun d =>\n                          { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                            imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                            imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                            imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                        x) =\n                    x) }\n          { re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } *\n        Equiv.toFun\n          {\n            toFun := fun q =>\n              ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n            invFun := fun d =>\n              { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n            left_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                  (fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      ((fun q =>\n                          ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                            { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                        x) =\n                    x),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                  (fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      ((fun d =>\n                          { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                            imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                            imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                            imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                        x) =\n                    x) }\n          { re := (yr, yrε), imI := (yi, yiε), imJ := (yj, yjε), imK := (yk, ykε) })\n[PROOFSTEP]\ndsimp\n[GOAL]\ncase mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.h2\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nxr xrε xi xiε xj xjε xk xkε yr yrε yi yiε yj yjε yk ykε : R\n⊢ {\n      re :=\n        TrivSqZeroExt.snd\n          ({ re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } *\n              { re := (yr, yrε), imI := (yi, yiε), imJ := (yj, yjε), imK := (yk, ykε) }).re,\n      imI :=\n        TrivSqZeroExt.snd\n          ({ re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } *\n              { re := (yr, yrε), imI := (yi, yiε), imJ := (yj, yjε), imK := (yk, ykε) }).imI,\n      imJ :=\n        TrivSqZeroExt.snd\n          ({ re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } *\n              { re := (yr, yrε), imI := (yi, yiε), imJ := (yj, yjε), imK := (yk, ykε) }).imJ,\n      imK :=\n        TrivSqZeroExt.snd\n          ({ re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } *\n              { re := (yr, yrε), imI := (yi, yiε), imJ := (yj, yjε), imK := (yk, ykε) }).imK } =\n    { re := xr, imI := xi, imJ := xj, imK := xk } * { re := yrε, imI := yiε, imJ := yjε, imK := ykε } +\n      { re := xrε, imI := xiε, imJ := xjε, imK := xkε } * { re := yr, imI := yi, imJ := yj, imK := yk }\n[PROOFSTEP]\ncongr 1\n[GOAL]\ncase mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.h2.e_re\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nxr xrε xi xiε xj xjε xk xkε yr yrε yi yiε yj yjε yk ykε : R\n⊢ TrivSqZeroExt.snd\n      ({ re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } *\n          { re := (yr, yrε), imI := (yi, yiε), imJ := (yj, yjε), imK := (yk, ykε) }).re =\n    ({ re := xr, imI := xi, imJ := xj, imK := xk } * { re := yrε, imI := yiε, imJ := yjε, imK := ykε }).re +\n      ({ re := xrε, imI := xiε, imJ := xjε, imK := xkε } * { re := yr, imI := yi, imJ := yj, imK := yk }).re\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.h2.e_imI\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nxr xrε xi xiε xj xjε xk xkε yr yrε yi yiε yj yjε yk ykε : R\n⊢ TrivSqZeroExt.snd\n      ({ re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } *\n          { re := (yr, yrε), imI := (yi, yiε), imJ := (yj, yjε), imK := (yk, ykε) }).imI =\n    ({ re := xr, imI := xi, imJ := xj, imK := xk } * { re := yrε, imI := yiε, imJ := yjε, imK := ykε }).imI +\n      ({ re := xrε, imI := xiε, imJ := xjε, imK := xkε } * { re := yr, imI := yi, imJ := yj, imK := yk }).imI\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.h2.e_imJ\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nxr xrε xi xiε xj xjε xk xkε yr yrε yi yiε yj yjε yk ykε : R\n⊢ TrivSqZeroExt.snd\n      ({ re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } *\n          { re := (yr, yrε), imI := (yi, yiε), imJ := (yj, yjε), imK := (yk, ykε) }).imJ =\n    ({ re := xr, imI := xi, imJ := xj, imK := xk } * { re := yrε, imI := yiε, imJ := yjε, imK := ykε }).imJ +\n      ({ re := xrε, imI := xiε, imJ := xjε, imK := xkε } * { re := yr, imI := yi, imJ := yj, imK := yk }).imJ\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.h2.e_imK\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nxr xrε xi xiε xj xjε xk xkε yr yrε yi yiε yj yjε yk ykε : R\n⊢ TrivSqZeroExt.snd\n      ({ re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } *\n          { re := (yr, yrε), imI := (yi, yiε), imJ := (yj, yjε), imK := (yk, ykε) }).imK =\n    ({ re := xr, imI := xi, imJ := xj, imK := xk } * { re := yrε, imI := yiε, imJ := yjε, imK := ykε }).imK +\n      ({ re := xrε, imI := xiε, imJ := xjε, imK := xkε } * { re := yr, imI := yi, imJ := yj, imK := yk }).imK\n[PROOFSTEP]\nsimp\n[GOAL]\ncase mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.h2.e_re\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nxr xrε xi xiε xj xjε xk xkε yr yrε yi yiε yj yjε yk ykε : R\n⊢ xr * yrε + xrε * yr - (xi * yiε + xiε * yi) - (xj * yjε + xjε * yj) - (xk * ykε + xkε * yk) =\n    xr * yrε - xi * yiε - xj * yjε - xk * ykε + (xrε * yr - xiε * yi - xjε * yj - xkε * yk)\n[PROOFSTEP]\nring\n[GOAL]\ncase mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.h2.e_imI\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nxr xrε xi xiε xj xjε xk xkε yr yrε yi yiε yj yjε yk ykε : R\n⊢ xr * yiε + xrε * yi + (xi * yrε + xiε * yr) + (xj * ykε + xjε * yk) - (xk * yjε + xkε * yj) =\n    xr * yiε + xi * yrε + xj * ykε - xk * yjε + (xrε * yi + xiε * yr + xjε * yk - xkε * yj)\n[PROOFSTEP]\nring\n[GOAL]\ncase mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.h2.e_imJ\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nxr xrε xi xiε xj xjε xk xkε yr yrε yi yiε yj yjε yk ykε : R\n⊢ xr * yjε + xrε * yj - (xi * ykε + xiε * yk) + (xj * yrε + xjε * yr) + (xk * yiε + xkε * yi) =\n    xr * yjε - xi * ykε + xj * yrε + xk * yiε + (xrε * yj - xiε * yk + xjε * yr + xkε * yi)\n[PROOFSTEP]\nring\n[GOAL]\ncase mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.h2.e_imK\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nxr xrε xi xiε xj xjε xk xkε yr yrε yi yiε yj yjε yk ykε : R\n⊢ xr * ykε + xrε * yk + (xi * yjε + xiε * yj) - (xj * yiε + xjε * yi) + (xk * yrε + xkε * yr) =\n    xr * ykε + xi * yjε - xj * yiε + xk * yrε + (xrε * yk + xiε * yj - xjε * yi + xkε * yr)\n[PROOFSTEP]\nring\n[GOAL]\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\n⊢ ∀ (x y : ℍ[DualNumber R]),\n    Equiv.toFun\n        {\n          toFun := fun q =>\n            ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n              { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n          invFun := fun d =>\n            { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n              imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n              imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n              imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n          left_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                (fun d =>\n                      { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                        imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                        imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                        imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                    ((fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      x) =\n                  x),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                (fun q =>\n                      ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                        { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                    ((fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      x) =\n                  x) }\n        (x + y) =\n      Equiv.toFun\n          {\n            toFun := fun q =>\n              ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n            invFun := fun d =>\n              { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n            left_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                  (fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      ((fun q =>\n                          ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                            { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                        x) =\n                    x),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                  (fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      ((fun d =>\n                          { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                            imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                            imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                            imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                        x) =\n                    x) }\n          x +\n        Equiv.toFun\n          {\n            toFun := fun q =>\n              ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n            invFun := fun d =>\n              { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n            left_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                  (fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      ((fun q =>\n                          ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                            { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                        x) =\n                    x),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                  (fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      ((fun d =>\n                          { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                            imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                            imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                            imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                        x) =\n                    x) }\n          y\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨⟨xr, xrε⟩, ⟨xi, xiε⟩, ⟨xj, xjε⟩, ⟨xk, xkε⟩⟩\n[GOAL]\ncase mk.mk.mk.mk.mk\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nxr xrε xi xiε xj xjε xk xkε : R\n⊢ ∀ (y : ℍ[DualNumber R]),\n    Equiv.toFun\n        {\n          toFun := fun q =>\n            ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n              { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n          invFun := fun d =>\n            { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n              imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n              imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n              imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n          left_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                (fun d =>\n                      { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                        imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                        imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                        imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                    ((fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      x) =\n                  x),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                (fun q =>\n                      ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                        { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                    ((fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      x) =\n                  x) }\n        ({ re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } + y) =\n      Equiv.toFun\n          {\n            toFun := fun q =>\n              ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n            invFun := fun d =>\n              { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n            left_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                  (fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      ((fun q =>\n                          ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                            { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                        x) =\n                    x),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                  (fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      ((fun d =>\n                          { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                            imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                            imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                            imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                        x) =\n                    x) }\n          { re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } +\n        Equiv.toFun\n          {\n            toFun := fun q =>\n              ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                  imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n            invFun := fun d =>\n              { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n            left_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                  (fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      ((fun q =>\n                          ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                            { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                              imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                        x) =\n                    x),\n            right_inv :=\n              (_ :\n                ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                  (fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      ((fun d =>\n                          { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                            imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                            imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                            imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                        x) =\n                    x) }\n          y\n[PROOFSTEP]\nrintro ⟨⟨yr, yrε⟩, ⟨yi, yiε⟩, ⟨yj, yjε⟩, ⟨yk, ykε⟩⟩\n[GOAL]\ncase mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk.mk\nR : Type u_1\ninst✝ : CommRing R\nxr xrε xi xiε xj xjε xk xkε yr yrε yi yiε yj yjε yk ykε : R\n⊢ Equiv.toFun\n      {\n        toFun := fun q =>\n          ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n              imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n            { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n              imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n        invFun := fun d =>\n          { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n            imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n            imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n            imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n        left_inv :=\n          (_ :\n            ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n              (fun d =>\n                    { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                      imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                      imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                      imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                  ((fun q =>\n                      ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                        { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                    x) =\n                x),\n        right_inv :=\n          (_ :\n            ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n              (fun q =>\n                    ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                        imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                      { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                        imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                  ((fun d =>\n                      { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                        imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                        imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                        imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                    x) =\n                x) }\n      ({ re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } +\n        { re := (yr, yrε), imI := (yi, yiε), imJ := (yj, yjε), imK := (yk, ykε) }) =\n    Equiv.toFun\n        {\n          toFun := fun q =>\n            ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n              { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n          invFun := fun d =>\n            { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n              imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n              imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n              imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n          left_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                (fun d =>\n                      { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                        imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                        imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                        imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                    ((fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      x) =\n                  x),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                (fun q =>\n                      ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                        { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                    ((fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      x) =\n                  x) }\n        { re := (xr, xrε), imI := (xi, xiε), imJ := (xj, xjε), imK := (xk, xkε) } +\n      Equiv.toFun\n        {\n          toFun := fun q =>\n            ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n              { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }),\n          invFun := fun d =>\n            { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n              imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n              imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n              imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) },\n          left_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : ℍ[DualNumber R]),\n                (fun d =>\n                      { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                        imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                        imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                        imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                    ((fun q =>\n                        ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                            imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                          { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI,\n                            imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ, imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                      x) =\n                  x),\n          right_inv :=\n            (_ :\n              ∀ (x : DualNumber ℍ[R]),\n                (fun q =>\n                      ({ re := TrivSqZeroExt.fst q.re, imI := TrivSqZeroExt.fst q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.fst q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.fst q.imK },\n                        { re := TrivSqZeroExt.snd q.re, imI := TrivSqZeroExt.snd q.imI, imJ := TrivSqZeroExt.snd q.imJ,\n                          imK := TrivSqZeroExt.snd q.imK }))\n                    ((fun d =>\n                        { re := ((TrivSqZeroExt.fst d).re, (TrivSqZeroExt.snd d).re),\n                          imI := ((TrivSqZeroExt.fst d).imI, (TrivSqZeroExt.snd d).imI),\n                          imJ := ((TrivSqZeroExt.fst d).imJ, (TrivSqZeroExt.snd d).imJ),\n                          imK := ((TrivSqZeroExt.fst d).imK, (TrivSqZeroExt.snd d).imK) })\n                      x) =\n                  x) }\n        { re := (yr, yrε), imI := (yi, yiε), imJ := (yj, yjε), imK := (yk, ykε) }\n[PROOFSTEP]\nrfl\n", "meta": {"mathlib_filename": "Mathlib.Algebra.DualQuaternion", "llama_tokens": 28429, "lm_name": "Qwen/Qwen-72B", "lm_label": "1. 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