{
 "source": {
  "schedule": "https://meyda.education.gov.il/files/Pop/0files/matmatika/Chativat-Beynayim/tashpaz/prisa_9A.pdf"
 },
 "mastery": "כל השאלות של תת־הנושא נענו נכון",
 "units": [
  {
   "id": "t",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "טכניקה אלגברית 1",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "ספטמבר",
   "quiz": {
    "minutes": 45,
    "questions": [
     {
      "points": 25,
      "question": "פתחו סוגריים ופשטו. הראו את דרך הפתרון.\nא. $(x + 4)(x − 3)$\nב. $(2x − 5)²$\nג. $(3x + 2)(3x − 2) − 9x²$",
      "skills": [
       "t_ext",
       "t_simplify",
       "t_formulas"
      ]
     },
     {
      "points": 25,
      "question": "פתרו את המשוואה ובדקו את הפתרון שמצאתם: $(x + 3)(x − 2) = (x − 1)(x + 4) + 4$",
      "skills": [
       "t_ext_eq"
      ]
     },
     {
      "points": 25,
      "question": "אורך מלבן גדול ב־$5$ ס״מ מצלע של ריבוע, ורוחבו קטן ב־$3$ ס״מ מצלע הריבוע. נסמן את צלע הריבוע ב־$x$.\nא. בטאו בעזרת $x$ את שטח המלבן ופשטו.\nב. שטח המלבן גדול ב־$1$ סמ״ר משטח הריבוע. מצאו את צלע הריבוע ואת מידות המלבן.",
      "skills": [
       "t_area",
       "t_ext_eq"
      ]
     },
     {
      "points": 25,
      "question": "א. חשבו בלי מחשבון, בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר, והראו כיצד: $49²$ ו־$102 · 98$.\nב. הוכיחו שלכל $x$ מתקיים: $(x + 3)² − (x − 3)² = 12x$.",
      "skills": [
       "t_formulas"
      ]
     }
    ]
   }
  },
  {
   "id": "t2",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "טכניקה אלגברית 2",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "אוקטובר",
   "from": [
    "t"
   ],
   "quiz": {
    "minutes": 45,
    "questions": [
     {
      "points": 30,
      "question": "פרקו לגורמים:\nא. $6x² − 9x$\nב. $x² − 7x + 12$\nג. $4x² − 25$",
      "skills": [
       "t_gcf",
       "t_trinomial",
       "t_factor_formula"
      ]
     },
     {
      "points": 25,
      "question": "פתרו בעזרת פירוק לגורמים:\nא. $x² − 5x = 0$\nב. $x² + 2x − 15 = 0$",
      "skills": [
       "t_quad_eq"
      ]
     },
     {
      "points": 20,
      "question": "מצאו את תחום ההצבה וצמצמו: $(x² − 16) / (x² − 4x)$",
      "skills": [
       "t_reduce"
      ]
     },
     {
      "points": 25,
      "question": "מצאו את תחום ההצבה, חשבו ופשטו: $(x² − 4) / (3x) · (6x) / (x + 2)$",
      "skills": [
       "t_muldiv",
       "t_factor_formula"
      ]
     }
    ]
   }
  },
  {
   "id": "k",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "דלתון",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "ספטמבר",
   "quiz": {
    "minutes": 45,
    "questions": [
     {
      "points": 20,
      "question": "בדלתון $ABCD$: $AB = AD$ ו־$CB = CD$. נתון: $∢BAD = 70°$ ו־$∢BCD = 50°$. חשבו את $∢ABC$ ונמקו.",
      "figure": "A=0,3.71; B=-2.6,0; C=0,-5.58; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; ang B A D 70°; ang D C B 50°",
      "skills": [
       "k_angles"
      ]
     },
     {
      "points": 30,
      "question": "בדלתון $ABCD$: $AB = AD$ ו־$CB = CD$, ו־$AC$ הוא האלכסון הראשי.\nא. הוכיחו: $△ABC ≅ △ADC$.\nב. הוכיחו ש־$AC$ חוצה את $∢BAD$ ואת $∢BCD$.",
      "figure": "A=0,3.71; B=-2.6,0; C=0,-5.58; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; line A C",
      "skills": [
       "k_def",
       "k_diag"
      ]
     },
     {
      "points": 25,
      "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$) האלכסונים נחתכים בנקודה $E$. נתון: $AB = 10$ ס״מ, $BD = 12$ ס״מ, $CE = 15$ ס״מ.\nא. מהו אורך $BE$? נמקו לפי תכונות האלכסונים בדלתון.\nב. חשבו את $AE$.\nג. חשבו את שטח הדלתון.",
      "figure": "A=0,8; B=-6,0; C=0,-15; D=6,0; E=0,0@ne; poly A B C D; line A C; line B D; right A E D; len A B 10; len E C 15; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2",
      "skills": [
       "k_diag"
      ]
     },
     {
      "points": 25,
      "question": "במערכת צירים נתונות הנקודות $A(0, 6)$, $B(3, 2)$, $C(0, −4)$, $D(−3, 2)$.\nא. חשבו את אורכי הצלעות והראו ש־$ABCD$ הוא דלתון.\nב. חשבו את שטח הדלתון.",
      "figure": "grid; A=0,6@ne; B=3,2@e; C=0,-4@se; D=-3,2@w; poly A B C D",
      "skills": [
       "k_axes"
      ]
     }
    ]
   }
  },
  {
   "id": "i",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "משולש שווה שוקיים",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "אוקטובר",
   "from": [
    "k"
   ],
   "quiz": {
    "minutes": 45,
    "questions": [
     {
      "points": 25,
      "question": "במשולש $ABC$, הקטע $AD$ הוא גם גובה לצלע $BC$ וגם תיכון לצלע $BC$. הוכיחו ש־$△ABC$ שווה שוקיים.",
      "figure": "A=0,4; B=-3,0; C=3,0; D=0,0@s; poly A B C; line A D; right A D C; tick B D 1; tick D C 1",
      "skills": [
       "i_converse_lines"
      ]
     },
     {
      "points": 25,
      "question": "במשולש $ABC$: $AB = AC$ ו־$∢A = 36°$. הקטע $BD$ חוצה את $∢B$ (הנקודה $D$ על $AC$).\nא. חשבו את זוויות המשולש $BDC$.\nב. הוכיחו שהמשולשים $ABD$ ו־$BDC$ שווי שוקיים.",
      "figure": "A=0,3.08; B=-1,0; C=1,0; D=0.62,1.18@e; poly A B C; line B D; tick A B 1; tick A C 1; ang B A C 36°; ang A B D; ang D B C",
      "skills": [
       "i_props",
       "i_converse_angles"
      ]
     },
     {
      "points": 25,
      "question": "במשולש $ABC$, הקטע $BD$ חוצה את $∢ABC$ (הנקודה $D$ על $AC$). דרך $D$ העבירו ישר המקביל ל־$BC$, והוא חותך את $AB$ בנקודה $E$. הוכיחו ש־$△EBD$ שווה שוקיים.",
      "figure": "A=-1,4; B=-3,0; C=3,0; D=0.71,2.29@e; E=-1.85,2.29@w; poly A B C; line B D; line E D; par E D 1; par B C 1; ang E B D; ang D B C",
      "skills": [
       "i_converse_angles"
      ]
     },
     {
      "points": 25,
      "question": "במערכת צירים נתונות הנקודות $A(−3, 0)$, $B(3, 0)$, $C(0, 5)$.\nא. הראו ש־$△ABC$ שווה שוקיים.\nב. $M$ היא אמצע $AB$. מצאו את שיעורי $M$ והראו ש־$CM ⊥ AB$.\nג. חשבו את שטח המשולש.",
      "figure": "grid; A=-3,0@sw; B=3,0@se; C=0,5@ne; poly A B C",
      "skills": [
       "i_axes"
      ]
     }
    ]
   }
  },
  {
   "id": "q",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "פונקציות ריבועיות ופתרון משוואות ריבועיות 1",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "נובמבר"
  },
  {
   "id": "q2",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "פונקציות ריבועיות ופתרון משוואות ריבועיות 2",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "נובמבר",
   "from": [
    "q"
   ]
  },
  {
   "id": "a",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "יחסי צלעות וזוויות",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "נובמבר"
  },
  {
   "id": "l",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "משולש ישר זווית 30°, 60°, 90°",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "נובמבר",
   "from": [
    "a"
   ]
  },
  {
   "id": "z",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "ישרים מקבילים וטרפז 1",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "נובמבר"
  },
  {
   "id": "z2",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "ישרים מקבילים וטרפז 2",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "נובמבר–דצמבר",
   "from": [
    "z"
   ]
  },
  {
   "id": "e",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "המשך פתרון משוואות ריבועיות ויישומים",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "דצמבר"
  },
  {
   "id": "v",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "אי־שוויונות ריבועיים",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "דצמבר",
   "from": [
    "e"
   ]
  },
  {
   "id": "g",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "מקבילית",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "דצמבר–ינואר",
   "from": [
    "z"
   ]
  },
  {
   "id": "r",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "משוואות רציונליות",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "ינואר"
  },
  {
   "id": "m",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "מלבן",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "ינואר–פברואר"
  },
  {
   "id": "h",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "הסתברות",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "ינואר–פברואר"
  },
  {
   "id": "s",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "מערכת משוואות ממעלה שנייה",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "פברואר"
  },
  {
   "id": "n",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "תכונות של פונקציה",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "מרץ"
  },
  {
   "id": "b",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "מעוין",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "מרץ",
   "from": [
    "m"
   ]
  },
  {
   "id": "c",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "ריבוע",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "מרץ–אפריל",
   "from": [
    "m"
   ]
  },
  {
   "id": "o",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "משולש ישר זווית: התיכון ליתר",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "אפריל",
   "from": [
    "a"
   ]
  },
  {
   "id": "p",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "חוקי חזקות",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "מאי"
  },
  {
   "id": "w",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "שאלות מילוליות",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "מאי"
  },
  {
   "id": "d",
   "subject": "מתמטיקה",
   "name": "דמיון משולשים",
   "source": "פריסת ט׳ תשפ״ז",
   "when": "מאי"
  }
 ],
 "skills": [
  {
   "id": "t_ext",
   "unit": "t",
   "name": "חוק הפילוג המורחב",
   "short": "פילוג מורחב",
   "prereqs": [],
   "description": "כל איבר בסוגריים הראשונים כופל כל איבר בסוגריים השניים.",
   "month": "ספטמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "$(x + 3)(x − 5) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² − 2x − 15$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² − 15$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$x² + 2x − 15$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$x² − 2x + 15$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x + 4)(x + 2) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² + 6x + 8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 8$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$x² + 6x + 6$",
       "mistake": "const_added"
      },
      {
       "text": "$x² + 8x + 6$",
       "mistake": "const_added"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(2x + 1)(x − 3) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2x² − 5x − 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2x² − 3$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$2x² + 5x − 3$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$2x² − 5x + 3$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x − 7)(x − 2) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² − 9x + 14$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 14$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$x² − 9x − 14$",
       "mistake": "neg_times_neg"
      },
      {
       "text": "$x² + 9x + 14$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(3x − 2)(2x + 5) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$6x² + 11x − 10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$6x² − 10$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$6x² − 11x − 10$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$6x² + 11x + 10$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(a + b)(c + d) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$ac + ad + bc + bd$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$ac + bd$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$ab + cd$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(2a − b)(a + 3b) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2a² + 5ab − 3b²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2a² − 3b²$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$2a² + 7ab − 3b²$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$2a² + 5ab + 3b²$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(5 − x)(x + 2) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−x² + 3x + 10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10 − x²$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$−x² − 3x + 10$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$x² + 3x + 10$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(4x + 3)(x − 1) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$4x² − x − 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4x² − 3$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$4x² + x − 3$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$4x² − x + 3$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x + 5)(2x − 1) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2x² + 9x − 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2x² − 5$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$2x² + 11x − 5$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$2x² + 9x + 5$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x − 2)(x + 8) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² + 6x − 16$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² − 16$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$x² − 6x − 16$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$x² + 6x + 16$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(3x + 1)(2x − 3) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$6x² − 7x − 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$6x² − 3$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$6x² + 7x − 3$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$6x² − 7x + 3$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(3a + 2b)(a + 2b) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$3a² + 8ab + 4b²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3a² + 4b²$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$3a² − 8ab + 4b²$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x + 5)(3x − 5) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$3x² + 10x − 25$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3x² − 25$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$3x² − 10x − 25$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$3x² + 10x + 25$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(3a + 2b)(2a − 3b) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$6a² − 5ab − 6b²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$6a² − 6b²$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$6a² + 5ab − 6b²$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$6a² − 5ab + 6b²$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(7 − x)(x + 2) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−x² + 5x + 14$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$14 − x²$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$−x² − 5x + 14$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$x² + 5x + 14$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x + 3)(x + 9) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² + 12x + 27$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 27$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$x² + 12x + 12$",
       "mistake": "const_added"
      },
      {
       "text": "$x² + 27x + 12$",
       "mistake": "const_added"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x + 4)(x + 7) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² + 11x + 28$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 28$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$x² + 11x + 11$",
       "mistake": "const_added"
      },
      {
       "text": "$x² + 28x + 11$",
       "mistake": "const_added"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(9 − x)(x + 3) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−x² + 6x + 27$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$27 − x²$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$−x² − 6x + 27$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$x² + 6x + 27$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(2a + 3b)(2a + b) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$4a² + 8ab + 3b²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4a² + 3b²$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$4a² − 8ab + 3b²$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(2a + b)(a + b) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2a² + 3ab + b²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2a² + b²$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$2a² − 3ab + b²$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x − 8)(2x + 7) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2x² − 9x − 56$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2x² − 56$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$2x² + 9x − 56$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$2x² − 9x + 56$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(a + 2b)(2a − 2b) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2a² + 2ab − 4b²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2a² − 4b²$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$2a² − 2ab − 4b²$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$2a² + 2ab + 4b²$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(2x − 6)(x + 5) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2x² + 4x − 30$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2x² − 30$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$2x² − 4x − 30$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$2x² + 4x + 30$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(6 − x)(x + 8) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−x² − 2x + 48$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$48 − x²$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$−x² + 2x + 48$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$x² − 2x + 48$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(8 − x)(x + 4) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−x² + 4x + 32$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$32 − x²$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$−x² − 4x + 32$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$x² + 4x + 32$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x − 9)(3x − 8) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$3x² − 35x + 72$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3x² + 72$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$3x² + 35x + 72$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$3x² − 35x − 72$",
       "mistake": "neg_times_neg"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(2x − 1)(x + 6) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2x² + 11x − 6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2x² − 6$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$2x² − 11x − 6$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$2x² + 11x + 6$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(2 − x)(x + 1) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−x² + x + 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2 − x²$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$−x² − x + 2$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$x² + x + 2$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x + 5)(x + 7) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² + 12x + 35$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 35$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$x² + 12x + 12$",
       "mistake": "const_added"
      },
      {
       "text": "$x² + 35x + 12$",
       "mistake": "const_added"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "t_simplify",
   "unit": "t",
   "name": "פישוט ביטויים בעזרת הפילוג המורחב",
   "short": "פישוט ביטויים",
   "prereqs": [
    "t_ext"
   ],
   "description": "פותחים סוגריים בפילוג המורחב, שמים לב לסימן שלפני כל מכפלה ומכנסים איברים דומים.",
   "month": "ספטמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "פשטו: $(x + 2)(x + 3) − x(x + 4)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x + 6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$9x + 6$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$6 − 4x$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $(x − 1)(x + 5) + (x + 2)(x − 3)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2x² + 3x − 11$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2x² − 11$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$2x² − 3x − 11$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$2x² + 3x + 11$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $(2x + 1)(x + 4) − 2x²$",
     "choices": [
      {
       "text": "$9x + 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$8x + 4$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$4x² + 9x + 4$",
       "mistake": "minus_paren"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $(x + 3)(x − 3) − (x − 1)(x + 2)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−x − 7$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x − 11$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$−7$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$x − 7$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $3x(x + 1) − (x + 2)(3x − 1)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2 − 2x$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$8x − 2$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$3x + 2$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $(a + 2)(a + 5) − (a + 1)(a + 6)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$14a + 16$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$0$",
       "mistake": "const_added"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $(2x − 3)(x + 1) − (x + 1)(x − 1)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² − x − 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² − x − 4$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$x² + x − 2$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$x² − 2$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזה ביטוי שווה ל־$(x + 4)(x − 1) − x²$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3x − 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−4$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$−3x − 4$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$3x + 4$",
       "mistake": "sign_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $5 − (x + 1)(x − 2)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−x² + x + 7$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−x² − x + 3$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$7 − x²$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $2(x + 3)(x − 1)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2x² + 4x − 6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4x² + 8x − 12$",
       "mistake": "double_both"
      },
      {
       "text": "$2x² + 4x − 3$",
       "mistake": "partial_dist"
      },
      {
       "text": "$2x² − 6$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $(x + 7)(x − 5) + (x − 1)(x + 6)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2x² + 7x − 41$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2x² − 41$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$2x² − 7x − 41$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $4(x + 7)(x − 2)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$4x² + 20x − 56$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4x² − 56$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$4x² + 20x − 14$",
       "mistake": "partial_dist"
      },
      {
       "text": "$16x² + 80x − 224$",
       "mistake": "double_both"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $(x + 2)(x + 1) − x(x + 7)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−4x + 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10x + 2$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$4x + 2$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$−7x + 2$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $(x − 7)(x + 5) − x(x + 1)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−3x − 35$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−x − 35$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$3x − 35$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $(x + 3)(x + 2) − x(x + 2)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$3x + 6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−3x + 6$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$−2x + 6$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$7x + 6$",
       "mistake": "minus_paren"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $(x − 5)(x + 2) − (x + 7)(x + 4)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−14x − 38$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−38$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$8x + 18$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$14x − 38$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזה ביטוי שווה ל־$(x − 5)(x + 7) − (x − 5)(x + 5)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$2x − 10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−10$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$2x − 60$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$−2x − 10$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $(x − 5)(x + 1) − (x + 5)(x − 4)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−5x + 15$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5x + 15$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$15$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$−3x − 25$",
       "mistake": "minus_paren"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $(x − 6)(x − 7) − (x + 6)(x − 2)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−17x + 54$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$54$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$−9x + 30$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$17x + 54$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזה ביטוי שווה ל־$(x − 2)(x + 3) − x(x − 3)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$4x − 6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−4x − 6$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$−2x − 6$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$3x − 6$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $3 − (x + 2)(x − 4)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−x² + 2x + 11$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−x² + 11$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$−x² − 2x − 5$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$−x² − 2x + 11$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזה ביטוי שווה ל־$(x + 7)(x − 5) + (x − 7)(x + 3)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$2x² − 2x − 56$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2x² + 2x − 56$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$2x² − 56$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $(x + 3)(x − 4) − x²$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−x − 12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x − 12$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$−12$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזה ביטוי שווה ל־$10 − (x − 5)(x − 1)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$−x² + 6x + 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−x² − 6x + 5$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$−x² + 5$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$−x² − 6x + 15$",
       "mistake": "minus_paren"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $3(x − 2)(x − 5)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$3x² − 21x + 30$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3x² + 21x + 30$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$9x² − 63x + 90$",
       "mistake": "double_both"
      },
      {
       "text": "$3x² − 21x + 10$",
       "mistake": "partial_dist"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $6 − (x − 6)(x + 1)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−x² + 5x + 12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−x² − 5x$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$−x² − 5x + 12$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$−x² + 12$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $(x − 6)(x + 7) + (x + 3)(x − 2)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2x² + 2x − 48$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2x² − 48$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$2x² − 2x − 48$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $(3x − 2)(x + 6) − 3x²$",
     "choices": [
      {
       "text": "$16x − 12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−16x − 12$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$−12$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $5 − (x − 3)(x + 1)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−x² + 2x + 8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−x² + 8$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$−x² − 2x + 2$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$−x² − 2x + 8$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פשטו: $(x − 5)(x − 6) − x²$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−11x + 30$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$30$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$11x + 30$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "t_ext_eq",
   "unit": "t",
   "name": "פתרון משוואות בעזרת הפילוג המורחב",
   "short": "משוואה ופילוג",
   "prereqs": [
    "t_ext"
   ],
   "description": "פותחים סוגריים בפילוג המורחב, האיברים עם $x²$ מתבטלים, ופותרים משוואה ממעלה ראשונה.",
   "month": "ספטמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "פתרו: $(x + 2)(x + 3) = x² + 16$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 4.4$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 10$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "אין פתרון",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x + 4)(x − 1) = x² + 8$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 4/3$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 12$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$x = −4$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(2x − 1)(x + 3) = 2x² + 1$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 0.8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −0.4$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 4$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "אין פתרון",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x − 3)(x − 5) = x² − 1$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −2$",
       "mistake": "neg_divide"
      },
      {
       "text": "$x = −1.75$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = −16$",
       "mistake": "forgot_divide"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x(x + 6) = (x + 2)(x + 3)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 1$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$x = 6/11$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x + 5)(x − 2) − x² = 11$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 7$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −7$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$x = 21$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 1/3$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(3 − x)(x + 4) = 10 − x²$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −2$",
       "mistake": "neg_divide"
      },
      {
       "text": "$x = −22$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(2x + 3)(x − 4) = 2(x² − 5)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −0.4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −1.4$",
       "mistake": "partial_dist"
      },
      {
       "text": "$x = 0.4$",
       "mistake": "neg_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 4.4$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מכפלת $x + 1$ ב־$x + 7$ גדולה ב־$23$ מ־$x²$. מצאו את $x$.",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −3.75$",
       "mistake": "diff_order"
      },
      {
       "text": "$x = 16$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 3.75$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x − 6)(x + 1) = x(x − 7) + 4$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 10$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 10/7$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$x = 5/6$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(2x − 6)(x + 1) = 2x² − 2$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 2$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 1$",
       "mistake": "neg_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 4$",
       "mistake": "forgot_divide"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x + 5)(x − 8) = x² − 31$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 9$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 3$",
       "mistake": "neg_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 71/3$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x + 3)(x + 2) = x² − 19$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −2.6$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 5$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$x = −25$",
       "mistake": "forgot_divide"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x + 6)(x + 5) = x(x + 8)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 10$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = −30$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 3.75$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x + 3)(x − 7) − x² = 3$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 4.5$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 6$",
       "mistake": "neg_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 24$",
       "mistake": "forgot_divide"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x + 1)(x + 5) = x² + 2$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −0.5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 0.5$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$x = −3$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 7/6$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x − 5)(x − 3) = x² + 39$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 24$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 3$",
       "mistake": "neg_divide"
      },
      {
       "text": "$x = −6.75$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(2x + 7)(x + 5) = 2x² + 1$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −34$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 36/17$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 2$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x − 1)(x + 8) = x(x + 3)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −2$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$x = 8$",
       "mistake": "forgot_divide"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x − 2)(x + 3) = x(x + 6)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −1.2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 1.2$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 6$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$x = −1$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x − 8)(x + 3) − x² = −59$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 7$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −35$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$x = −7$",
       "mistake": "neg_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 16.6$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x + 3)(x − 4) − x² = −6$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 6$",
       "mistake": "neg_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 18$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "אין פתרון",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x + 4)(x + 2) − x² = −22$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −30$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$x = −7/3$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 5$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x + 4)(x − 2) − x² = −7$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 0.5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −7.5$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = −0.5$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$x = 1$",
       "mistake": "forgot_divide"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x − 4)(x − 3) = x(x + 8)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 0.8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −12$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$x = −0.8$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 1.5$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x − 1)(x − 4) = x(x + 7) − 5$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 0.75$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −9$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$x = −0.75$",
       "mistake": "neg_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 1/12$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x + 8)(x − 1) − x² = 48$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 40/7$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = −8$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "אין פתרון",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מכפלת $x + 4$ ב־$x − 2$ גדולה ב־$8$ מ־$x²$. מצאו את $x$.",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 16$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 0$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = −8$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מכפלת $x + 1$ ב־$x + 6$ גדולה ב־$48$ מ־$x²$. מצאו את $x$.",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −6$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$x = 54/7$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "אין פתרון",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x + 5)(x + 3) = x(x + 4) + 2$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −3.25$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −13$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 4.25$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 3.25$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "t_area",
   "unit": "t",
   "name": "השוואת שטחים בעזרת הפילוג",
   "short": "השוואת שטחים",
   "prereqs": [
    "t_ext"
   ],
   "description": "מבטאים שטחים כמכפלות של ביטויים אלגבריים ומשווים ביניהם.",
   "month": "ספטמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "אורך מלבן $x + 4$ ורוחבו $x + 1$. צלע ריבוע $x + 2$. בכמה שטח המלבן גדול משטח הריבוע?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5x$",
       "mistake": "forgot_middle"
      },
      {
       "text": "$2$",
       "mistake": "area_perimeter"
      },
      {
       "text": "$−x$",
       "mistake": "diff_order"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אורך מלבן $x + 5$ ורוחבו $x − 2$. מה שטחו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² + 3x − 10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² − 10$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$4x + 6$",
       "mistake": "area_perimeter"
      },
      {
       "text": "$x² − 3x − 10$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צלע ריבוע היא $x$. מגדילים צלע אחת ב־$3$ ומקטינים את הצלע השנייה ב־$3$, ומתקבל מלבן. מה קרה לשטח?",
     "choices": [
      {
       "text": "השטח קטן ב־$9$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "השטח לא השתנה",
       "mistake": "shift_balance"
      },
      {
       "text": "השטח גדל ב־$9$",
       "mistake": "diff_order"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מלבן א׳: $x + 6$ על $x$. מלבן ב׳: $x + 2$ על $x + 3$. בכמה שטח מלבן א׳ גדול משטח מלבן ב׳?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x − 6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$11x + 6$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$6x − 6$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$6 − x$",
       "mistake": "diff_order"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "גינה מלבנית שמידותיה $x$ על $x + 4$ מוקפת בשביל ברוחב $1$ מכל צד. מה השטח של הגינה יחד עם השביל?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² + 8x + 12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 6x + 5$",
       "mistake": "frame_one_side"
      },
      {
       "text": "$x² + 12$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "גינה מלבנית שמידותיה $x$ על $x + 4$ מוקפת בשביל ברוחב $1$ מכל צד. מה שטח השביל לבדו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$4x + 12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$12x + 12$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$2x + 5$",
       "mistake": "frame_one_side"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שטח מלבן שמידותיו $x + 7$ על $x − 1$ שווה לשטח ריבוע שצלעו $x + 2$. מצאו את $x$.",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 5.5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 11/6$",
       "mistake": "forgot_middle"
      },
      {
       "text": "$x = −2.75$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צלע ריבוע היא $x$. אורך מלבן גדול ב־$5$ מצלע הריבוע, ורוחבו קטן ב־$2$ ממנה. בכמה שטח המלבן גדול משטח הריבוע?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3x − 10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−10$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$−3x − 10$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$6$",
       "mistake": "area_perimeter"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מלבן שמידותיו $x + 3$ על $x + 5$, וריבוע שצלעו $x + 4$. איזה שטח גדול יותר, ובכמה?",
     "choices": [
      {
       "text": "שטח הריבוע, ב־$1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שטח המלבן, ב־$1$",
       "mistake": "diff_order"
      },
      {
       "text": "השטחים שווים",
       "mistake": "shift_balance"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ניצבי משולש ישר זווית הם $x + 4$ ו־$x − 2$. מה שטח המשולש?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x² + 2x − 8) : 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 2x − 8$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$(x² − 8) : 2$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אורך מלבן $x + 9$ ורוחבו $x + 2$. מה שטחו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² + 11x + 18$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 18$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$4x + 22$",
       "mistake": "area_perimeter"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אורך מלבן $x + 7$ ורוחבו $x + 9$. צלע ריבוע $x + 4$. בכמה שטח המלבן גדול משטח הריבוע?",
     "choices": [
      {
       "text": "$8x + 47$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$16x + 47$",
       "mistake": "forgot_middle"
      },
      {
       "text": "$−8x − 47$",
       "mistake": "diff_order"
      },
      {
       "text": "$16$",
       "mistake": "area_perimeter"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אורך מלבן $x + 4$ ורוחבו $x − 6$. מה שטחו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² − 2x − 24$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² − 24$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$4x − 4$",
       "mistake": "area_perimeter"
      },
      {
       "text": "$x² + 2x − 24$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מלבן שמידותיו $x + 1$ על $x + 9$, וריבוע שצלעו $x + 5$. איזה שטח גדול יותר, ובכמה?",
     "choices": [
      {
       "text": "שטח הריבוע, ב־$16$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שטח המלבן, ב־$16$",
       "mistake": "diff_order"
      },
      {
       "text": "השטחים שווים",
       "mistake": "shift_balance"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "גינה מלבנית שמידותיה $x$ על $x + 9$ מוקפת בשביל ברוחב $1$ מכל צד. מה שטח השביל לבדו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$4x + 22$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$22x + 22$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$2x + 10$",
       "mistake": "frame_one_side"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אורך מלבן $x + 7$ ורוחבו $x − 5$. מה שטחו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² + 2x − 35$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² − 35$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$4x + 4$",
       "mistake": "area_perimeter"
      },
      {
       "text": "$x² − 2x − 35$",
       "mistake": "sign_mid"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צלע ריבוע היא $x$. אורך מלבן גדול ב־$8$ מצלע הריבוע, ורוחבו קטן ב־$6$ ממנה. בכמה שטח המלבן גדול משטח הריבוע?",
     "choices": [
      {
       "text": "$2x − 48$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−48$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$−2x − 48$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "area_perimeter"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מלבן א׳: $x + 6$ על $x + 9$. מלבן ב׳: $x + 5$ על $x + 7$. בכמה שטח מלבן א׳ גדול משטח מלבן ב׳?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3x + 19$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$27x + 89$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$19$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$−3x − 19$",
       "mistake": "diff_order"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מלבן שמידותיו $x + 7$ על $x + 11$, וריבוע שצלעו $x + 9$. איזה שטח גדול יותר, ובכמה?",
     "choices": [
      {
       "text": "שטח הריבוע, ב־$4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שטח המלבן, ב־$4$",
       "mistake": "diff_order"
      },
      {
       "text": "השטחים שווים",
       "mistake": "shift_balance"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צלע ריבוע היא $x$. אורך מלבן גדול ב־$5$ מצלע הריבוע, ורוחבו קטן ב־$4$ ממנה. בכמה שטח המלבן גדול משטח הריבוע?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x − 20$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−20$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$−x − 20$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$2$",
       "mistake": "area_perimeter"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "גינה מלבנית שמידותיה $x$ על $x + 7$ מוקפת בשביל ברוחב $2$ מכל צד. מה שטח השביל לבדו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$8x + 44$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$22x + 44$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$4x + 18$",
       "mistake": "frame_one_side"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מלבן שמידותיו $x + 6$ על $x + 12$, וריבוע שצלעו $x + 9$. איזה שטח גדול יותר, ובכמה?",
     "choices": [
      {
       "text": "שטח הריבוע, ב־$9$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שטח המלבן, ב־$9$",
       "mistake": "diff_order"
      },
      {
       "text": "השטחים שווים",
       "mistake": "shift_balance"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "גינה מלבנית שמידותיה $x$ על $x + 6$ מוקפת בשביל ברוחב $1$ מכל צד. מה שטח השביל לבדו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$4x + 16$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$16x + 16$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$2x + 7$",
       "mistake": "frame_one_side"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ניצבי משולש ישר זווית הם $x + 3$ ו־$x + 2$. מה שטח המשולש?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x² + 5x + 6) : 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 5x + 6$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$(x² + 6) : 2$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ניצבי משולש ישר זווית הם $x + 9$ ו־$x + 6$. מה שטח המשולש?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x² + 15x + 54) : 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 15x + 54$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$(x² + 54) : 2$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "גינה מלבנית שמידותיה $x$ על $x + 4$ מוקפת בשביל ברוחב $3$ מכל צד. מה השטח של הגינה יחד עם השביל?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² + 16x + 60$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 10x + 21$",
       "mistake": "frame_one_side"
      },
      {
       "text": "$x² + 60$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "גינה מלבנית שמידותיה $x$ על $x + 9$ מוקפת בשביל ברוחב $1$ מכל צד. מה השטח של הגינה יחד עם השביל?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² + 13x + 22$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 11x + 10$",
       "mistake": "frame_one_side"
      },
      {
       "text": "$x² + 22$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ניצבי משולש ישר זווית הם $x + 6$ ו־$x − 2$. מה שטח המשולש?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x² + 4x − 12) : 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 4x − 12$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$(x² − 12) : 2$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "גינה מלבנית שמידותיה $x$ על $x + 8$ מוקפת בשביל ברוחב $1$ מכל צד. מה השטח של הגינה יחד עם השביל?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² + 12x + 20$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 10x + 9$",
       "mistake": "frame_one_side"
      },
      {
       "text": "$x² + 20$",
       "mistake": "ext_partial"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מלבן א׳: $x + 5$ על $x + 8$. מלבן ב׳: $x + 8$ על $x + 1$. בכמה שטח מלבן א׳ גדול משטח מלבן ב׳?",
     "choices": [
      {
       "text": "$4x + 32$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$22x + 48$",
       "mistake": "minus_paren"
      },
      {
       "text": "$32$",
       "mistake": "ext_partial"
      },
      {
       "text": "$−4x − 32$",
       "mistake": "diff_order"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "t_formulas",
   "unit": "t",
   "name": "נוסחאות הכפל המקוצר",
   "short": "כפל מקוצר",
   "prereqs": [
    "t_ext"
   ],
   "description": "$(a ± b)² = a² ± 2ab + b²$ ו־$(a + b)(a − b) = a² − b²$. אפשר לראות אותן גם כשטחים של ריבועים ומלבנים.",
   "month": "ספטמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "$(2x − 3)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$4x² − 12x + 9$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4x² + 9$",
       "mistake": "forgot_middle"
      },
      {
       "text": "$4x² − 6x + 9$",
       "mistake": "middle_no_2"
      },
      {
       "text": "$2x² − 12x + 9$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(3x + 5)(3x − 5) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$9x² − 25$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$9x² + 25$",
       "mistake": "diff_sign"
      },
      {
       "text": "$3x² − 25$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      },
      {
       "text": "$9x² − 30x + 25$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x + 6)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² + 12x + 36$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 36$",
       "mistake": "forgot_middle"
      },
      {
       "text": "$x² + 6x + 36$",
       "mistake": "middle_no_2"
      },
      {
       "text": "$x² + 12x + 12$",
       "mistake": "sq_as_double"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x − 4)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² − 8x + 16$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² − 16$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      },
      {
       "text": "$x² + 8x + 16$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$x² − 8x − 16$",
       "mistake": "neg_times_neg"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(a + 2b)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$a² + 4ab + 4b²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$a² + 2ab + 4b²$",
       "mistake": "middle_no_2"
      },
      {
       "text": "$a² + 4ab + 2b²$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      },
      {
       "text": "$a² + 4b²$",
       "mistake": "forgot_middle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(7 − x)(7 + x) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$49 − x²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² − 49$",
       "mistake": "diffsq_order"
      },
      {
       "text": "$49 − 14x + x²$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      },
      {
       "text": "$14 − x²$",
       "mistake": "sq_as_double"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(5x + 1)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$25x² + 10x + 1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$25x² + 5x + 1$",
       "mistake": "middle_no_2"
      },
      {
       "text": "$5x² + 10x + 1$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      },
      {
       "text": "$25x² + 1$",
       "mistake": "forgot_middle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ריבוע שצלעו $a + b$ מחולק לריבוע שצלעו $a$, לריבוע שצלעו $b$ ולשני מלבנים. מה סכום השטחים של שני המלבנים?",
     "choices": [
      {
       "text": "$2ab$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$ab$",
       "mistake": "middle_no_2"
      },
      {
       "text": "$a² + b²$",
       "mistake": "other_quantity"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "חשבו בעזרת נוסחת הכפל המקוצר: $51² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2601$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2501$",
       "mistake": "forgot_middle"
      },
      {
       "text": "$2551$",
       "mistake": "middle_no_2"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "חשבו בעזרת נוסחת הכפל המקוצר: $98 · 102 = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$9996$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10004$",
       "mistake": "diff_sign"
      },
      {
       "text": "$9604$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "חשבו בעזרת נוסחת הכפל המקוצר: $52² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2704$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2504$",
       "mistake": "forgot_middle"
      },
      {
       "text": "$2604$",
       "mistake": "middle_no_2"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x + 2)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² + 4x + 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 2x + 4$",
       "mistake": "middle_no_2"
      },
      {
       "text": "$x² + 4$",
       "mistake": "forgot_middle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x + 4)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² + 8x + 16$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 8x + 8$",
       "mistake": "sq_as_double"
      },
      {
       "text": "$x² + 4x + 16$",
       "mistake": "middle_no_2"
      },
      {
       "text": "$x² + 16$",
       "mistake": "forgot_middle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x − 1)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x² − 2x + 1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² − 1$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      },
      {
       "text": "$x² + 1$",
       "mistake": "forgot_middle"
      },
      {
       "text": "$x² − 2x + 2$",
       "mistake": "sq_as_double"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(4x + 9)(4x − 9) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$16x² − 81$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$16x² + 81$",
       "mistake": "diff_sign"
      },
      {
       "text": "$16x² − 72x + 81$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      },
      {
       "text": "$4x² − 81$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(2x + 6)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$4x² + 24x + 36$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4x² + 12x + 36$",
       "mistake": "middle_no_2"
      },
      {
       "text": "$2x² + 24x + 36$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      },
      {
       "text": "$4x² + 36$",
       "mistake": "forgot_middle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(a − 3b)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$a² − 6ab + 9b²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$a² − 3ab + 9b²$",
       "mistake": "middle_no_2"
      },
      {
       "text": "$a² − 6ab + 3b²$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      },
      {
       "text": "$a² + 9b²$",
       "mistake": "forgot_middle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(5x − 1)(5x + 1) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$25x² − 1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$25x² + 1$",
       "mistake": "diff_sign"
      },
      {
       "text": "$25x² − 10x + 1$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      },
      {
       "text": "$5x² − 1$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(a − 4b)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$a² − 8ab + 16b²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$a² − 4ab + 16b²$",
       "mistake": "middle_no_2"
      },
      {
       "text": "$a² − 8ab + 4b²$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      },
      {
       "text": "$a² + 16b²$",
       "mistake": "forgot_middle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "חשבו בעזרת נוסחת הכפל המקוצר: $26 · 34 = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$884$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$916$",
       "mistake": "diff_sign"
      },
      {
       "text": "$676$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(5x − 9)(5x + 9) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$25x² − 81$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$25x² + 81$",
       "mistake": "diff_sign"
      },
      {
       "text": "$25x² − 90x + 81$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      },
      {
       "text": "$5x² − 81$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "חשבו בעזרת נוסחת הכפל המקוצר: $57 · 63 = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$3591$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3609$",
       "mistake": "diff_sign"
      },
      {
       "text": "$3249$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(4x − 8)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$16x² − 64x + 64$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4x² − 64x + 64$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      },
      {
       "text": "$16x² + 64$",
       "mistake": "forgot_middle"
      },
      {
       "text": "$16x² − 32x + 64$",
       "mistake": "middle_no_2"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(8 − x)(8 + x) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$64 − x²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² − 64$",
       "mistake": "diffsq_order"
      },
      {
       "text": "$64 − 16x + x²$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      },
      {
       "text": "$16 − x²$",
       "mistake": "sq_as_double"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(a − 5b)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$a² − 10ab + 25b²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$a² − 5ab + 25b²$",
       "mistake": "middle_no_2"
      },
      {
       "text": "$a² − 10ab + 5b²$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      },
      {
       "text": "$a² + 25b²$",
       "mistake": "forgot_middle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(2x + 6)(2x − 6) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$4x² − 36$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4x² + 36$",
       "mistake": "diff_sign"
      },
      {
       "text": "$4x² − 24x + 36$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      },
      {
       "text": "$2x² − 36$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(a + 4b)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$a² + 8ab + 16b²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$a² + 4ab + 16b²$",
       "mistake": "middle_no_2"
      },
      {
       "text": "$a² + 8ab + 4b²$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      },
      {
       "text": "$a² + 16b²$",
       "mistake": "forgot_middle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(3x − 2)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$9x² − 12x + 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$9x² − 4$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      },
      {
       "text": "$9x² + 4$",
       "mistake": "forgot_middle"
      },
      {
       "text": "$3x² − 12x + 4$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(a + 5b)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$a² + 10ab + 25b²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$a² + 5ab + 25b²$",
       "mistake": "middle_no_2"
      },
      {
       "text": "$a² + 10ab + 5b²$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      },
      {
       "text": "$a² + 25b²$",
       "mistake": "forgot_middle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(2x + 3)(2x − 3) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$4x² − 9$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4x² + 9$",
       "mistake": "diff_sign"
      },
      {
       "text": "$4x² − 12x + 9$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      },
      {
       "text": "$2x² − 9$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "t_gcf",
   "unit": "t2",
   "name": "פירוק לגורמים: הוצאת גורם משותף",
   "short": "גורם משותף",
   "prereqs": [],
   "description": "מוציאים את הגורם המשותף הגדול ביותר, כולל משתנים, ובודקים בפתיחת סוגריים.",
   "month": "אוקטובר",
   "questions": [
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $6x² − 9x$",
     "choices": [
      {
       "text": "$3x(2x − 3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3(2x² − 3x)$",
       "mistake": "partial_gcf"
      },
      {
       "text": "$3x(2x − 9)$",
       "mistake": "divide_each"
      },
      {
       "text": "$3x(2x + 3)$",
       "mistake": "sign_of_term"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $4x + 12$",
     "choices": [
      {
       "text": "$4(x + 3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4(x + 12)$",
       "mistake": "divide_each"
      },
      {
       "text": "$2(2x + 6)$",
       "mistake": "partial_gcf"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $5x² + 15x$",
     "choices": [
      {
       "text": "$5x(x + 3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5(x² + 3x)$",
       "mistake": "partial_gcf"
      },
      {
       "text": "$x(5x + 15)$",
       "mistake": "partial_gcf"
      },
      {
       "text": "$5x(x + 15)$",
       "mistake": "divide_each"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $8x³ − 4x²$",
     "choices": [
      {
       "text": "$4x²(2x − 1)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4x² · 2x$",
       "mistake": "lost_one"
      },
      {
       "text": "$4x(2x² − x)$",
       "mistake": "partial_gcf"
      },
      {
       "text": "$4x²(2x + 1)$",
       "mistake": "sign_of_term"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $7x − 7$",
     "choices": [
      {
       "text": "$7(x − 1)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$7(x + 1)$",
       "mistake": "sign_of_term"
      },
      {
       "text": "$7(x − 7)$",
       "mistake": "divide_each"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $12a²b − 18ab²$",
     "choices": [
      {
       "text": "$6ab(2a − 3b)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$6(2a²b − 3ab²)$",
       "mistake": "partial_gcf"
      },
      {
       "text": "$6ab(2a − 3)$",
       "mistake": "divide_each"
      },
      {
       "text": "$3ab(4a − 6b)$",
       "mistake": "partial_gcf"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים כשהגורם המשותף הוא $−x$: $−x² − 5x$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−x(x + 5)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−x(x − 5)$",
       "mistake": "sign_of_term"
      },
      {
       "text": "$x(x − 5)$",
       "mistake": "sign_of_term"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $x(x + 2) + 3(x + 2)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x + 2)(x + 3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3x(x + 2)$",
       "mistake": "common_bracket"
      },
      {
       "text": "$x² + 5x + 6$",
       "mistake": "expanded_not_factored"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $10x²y + 5xy$",
     "choices": [
      {
       "text": "$5xy(2x + 1)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5xy · 2x$",
       "mistake": "lost_one"
      },
      {
       "text": "$5x(2xy + y)$",
       "mistake": "partial_gcf"
      },
      {
       "text": "$5xy(2x + 5)$",
       "mistake": "divide_each"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $9x³ + 6x² − 3x$",
     "choices": [
      {
       "text": "$3x(3x² + 2x − 1)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3x(3x² + 2x)$",
       "mistake": "lost_one"
      },
      {
       "text": "$3(3x³ + 2x² − x)$",
       "mistake": "partial_gcf"
      },
      {
       "text": "$3x(3x² + 2x + 1)$",
       "mistake": "sign_of_term"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "t_trinomial",
   "unit": "t2",
   "name": "פירוק טרינום ריבועי",
   "short": "פירוק טרינום",
   "prereqs": [
    "t_ext"
   ],
   "description": "$x² + bx + c = (x + m)(x + n)$ כאשר $m + n = b$ ו־$m · n = c$.",
   "month": "אוקטובר",
   "questions": [
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $x² − x − 12$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x − 4)(x + 3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(x + 4)(x − 3)$",
       "mistake": "signs_swapped"
      },
      {
       "text": "$(x − 6)(x + 2)$",
       "mistake": "product_only"
      },
      {
       "text": "$(x − 12)(x + 1)$",
       "mistake": "product_only"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $x² + 5x + 6$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x + 2)(x + 3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(x + 1)(x + 6)$",
       "mistake": "product_only"
      },
      {
       "text": "$(x − 2)(x − 3)$",
       "mistake": "signs_swapped"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $x² + 7x + 10$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x + 2)(x + 5)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(x + 1)(x + 10)$",
       "mistake": "product_only"
      },
      {
       "text": "$(x + 3)(x + 4)$",
       "mistake": "sum_only"
      },
      {
       "text": "$(x − 2)(x − 5)$",
       "mistake": "signs_swapped"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $x² − 8x + 15$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x − 3)(x − 5)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(x + 3)(x + 5)$",
       "mistake": "signs_swapped"
      },
      {
       "text": "$(x − 1)(x − 15)$",
       "mistake": "product_only"
      },
      {
       "text": "$(x − 2)(x − 6)$",
       "mistake": "sum_only"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $x² + 2x − 15$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x + 5)(x − 3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(x − 5)(x + 3)$",
       "mistake": "signs_swapped"
      },
      {
       "text": "$(x + 15)(x − 1)$",
       "mistake": "product_only"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $x² − 10x + 21$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x − 3)(x − 7)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(x + 3)(x + 7)$",
       "mistake": "signs_swapped"
      },
      {
       "text": "$(x − 1)(x − 21)$",
       "mistake": "product_only"
      },
      {
       "text": "$(x − 4)(x − 6)$",
       "mistake": "sum_only"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $x² − 4x − 21$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x − 7)(x + 3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(x + 7)(x − 3)$",
       "mistake": "signs_swapped"
      },
      {
       "text": "$(x − 21)(x + 1)$",
       "mistake": "product_only"
      },
      {
       "text": "$(x − 5)(x + 1)$",
       "mistake": "sum_only"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $a² + a − 20$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(a + 5)(a − 4)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(a − 5)(a + 4)$",
       "mistake": "signs_swapped"
      },
      {
       "text": "$(a + 10)(a − 2)$",
       "mistake": "product_only"
      },
      {
       "text": "$(a + 3)(a − 2)$",
       "mistake": "sum_only"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "נתון: $x² + bx + 12 = (x + 3)(x + 4)$. מה $b$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$b = 7$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$b = 12$",
       "mistake": "product_only"
      },
      {
       "text": "$b = 1$",
       "mistake": "signs_swapped"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $x² − 2x − 24$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x − 6)(x + 4)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(x + 6)(x − 4)$",
       "mistake": "signs_swapped"
      },
      {
       "text": "$(x − 8)(x + 3)$",
       "mistake": "product_only"
      },
      {
       "text": "$(x − 12)(x + 2)$",
       "mistake": "product_only"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "t_factor_formula",
   "unit": "t2",
   "name": "פירוק בנוסחאות הכפל המקוצר",
   "short": "פירוק בנוסחאות",
   "prereqs": [
    "t_formulas",
    "t_gcf"
   ],
   "description": "מוציאים גורם משותף אם יש, ואחר כך מזהים הפרש ריבועים או ריבוע של סכום או הפרש.",
   "month": "אוקטובר",
   "questions": [
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $2x² − 18$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2(x − 3)(x + 3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2(x² − 9)$",
       "mistake": "partial_factor"
      },
      {
       "text": "$(2x − 3)(2x + 3)$",
       "mistake": "gcf_first"
      },
      {
       "text": "$2(x − 3)²$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $x² − 49$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x − 7)(x + 7)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(x − 7)²$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      },
      {
       "text": "לא ניתן לפרק",
       "mistake": "diffsq_missed"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $x² + 10x + 25$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x + 5)²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(x + 5)(x − 5)$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      },
      {
       "text": "$(x + 10)²$",
       "mistake": "middle_no_2"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $9x² − 12x + 4$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(3x − 2)²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(3x + 2)²$",
       "mistake": "sign_mid"
      },
      {
       "text": "$(3x − 2)(3x + 2)$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $3x² − 12$",
     "choices": [
      {
       "text": "$3(x − 2)(x + 2)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3(x² − 4)$",
       "mistake": "partial_factor"
      },
      {
       "text": "$3(x − 2)²$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      },
      {
       "text": "$(3x − 2)(3x + 2)$",
       "mistake": "gcf_first"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $x² + 16$",
     "choices": [
      {
       "text": "לא ניתן לפרק",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(x + 4)(x − 4)$",
       "mistake": "diff_sign"
      },
      {
       "text": "$(x + 4)²$",
       "mistake": "forgot_middle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $5x² + 10x + 5$",
     "choices": [
      {
       "text": "$5(x + 1)²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5(x² + 2x + 1)$",
       "mistake": "partial_factor"
      },
      {
       "text": "$(5x + 1)²$",
       "mistake": "gcf_first"
      },
      {
       "text": "$5(x + 1)(x − 1)$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $4x² − 25$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(2x − 5)(2x + 5)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(4x − 5)(4x + 5)$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      },
      {
       "text": "$(2x − 5)²$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $x³ − x$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x(x − 1)(x + 1)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x(x² − 1)$",
       "mistake": "partial_factor"
      },
      {
       "text": "$x(x − 1)²$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פרקו לגורמים: $2x² − 8x + 8$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2(x − 2)²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2(x² − 4x + 4)$",
       "mistake": "partial_factor"
      },
      {
       "text": "$2(x − 2)(x + 2)$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      },
      {
       "text": "$(2x − 2)²$",
       "mistake": "gcf_first"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "t_quad_eq",
   "unit": "t2",
   "name": "משוואות ריבועיות בסיסיות בפירוק לגורמים",
   "short": "משוואה בפירוק",
   "prereqs": [
    "t_trinomial",
    "t_factor_formula"
   ],
   "description": "מעבירים את כל האיברים לאגף אחד, מפרקים לגורמים, ומשווים כל גורם לאפס.",
   "month": "אוקטובר",
   "questions": [
    {
     "question": "פתרו: $(x − 2)(x + 5) = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 2$ או $x = −5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −2$ או $x = 5$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 2$",
       "mistake": "t_one_factor"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² − 5x = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 0$ או $x = 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 5$",
       "mistake": "divide_by_x"
      },
      {
       "text": "$x = 0$ או $x = −5$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² − 9 = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 3$ או $x = −3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 3$",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$x = 9$",
       "mistake": "forgot_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² + 7x + 12 = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −3$ או $x = −4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 3$ או $x = 4$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      },
      {
       "text": "$x = −2$ או $x = −6$",
       "mistake": "product_only"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² − x − 6 = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 3$ או $x = −2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −3$ או $x = 2$",
       "mistake": "signs_swapped"
      },
      {
       "text": "$x = 6$ או $x = −1$",
       "mistake": "product_only"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $3x² − 12x = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 0$ או $x = 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 4$",
       "mistake": "divide_by_x"
      },
      {
       "text": "$x = 0$ או $x = 12$",
       "mistake": "divide_each"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² − 6x + 9 = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −3$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 3$ או $x = −3$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² = 4x$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 0$ או $x = 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 4$",
       "mistake": "divide_by_x"
      },
      {
       "text": "$x = 0$ או $x = −4$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $2x² − 50 = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 5$ או $x = −5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 5$",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$x = 25$ או $x = −25$",
       "mistake": "forgot_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² + 3x = 10$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −5$ או $x = 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 10$ או $x = 7$",
       "mistake": "factor_nonzero"
      },
      {
       "text": "$x = 5$ או $x = −2$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "t_reduce",
   "unit": "t2",
   "name": "צמצום שברים אלגבריים",
   "short": "צמצום שברים",
   "prereqs": [
    "t_factor_formula",
    "t_trinomial"
   ],
   "description": "מפרקים את המונה ואת המכנה לגורמים ומצמצמים רק גורמים משותפים.",
   "month": "אוקטובר",
   "questions": [
    {
     "question": "צמצמו (בתחום ההצבה): $(x² − 9) / (x² + 3x)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x − 3) / x$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−9 / (3x)$",
       "mistake": "cancel_terms"
      },
      {
       "text": "$(x + 3) / x$",
       "mistake": "factor_sign"
      },
      {
       "text": "$x − 3$",
       "mistake": "lost_denominator"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צמצמו (בתחום ההצבה): $(2x + 6) / (x + 3)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2x + 2$",
       "mistake": "cancel_terms"
      },
      {
       "text": "$2x$",
       "mistake": "cancel_terms"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צמצמו (בתחום ההצבה): $(x² − 4) / (x − 2)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x + 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x − 2$",
       "mistake": "factor_sign"
      },
      {
       "text": "$x² + 2$",
       "mistake": "cancel_terms"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צמצמו (בתחום ההצבה): $(x² + 5x + 6) / (x + 2)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x + 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 5x + 3$",
       "mistake": "cancel_terms"
      },
      {
       "text": "$x + 2$",
       "mistake": "factor_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צמצמו (בתחום ההצבה): $(x − 5) / (5 − x)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "opposite_factor"
      },
      {
       "text": "$0$",
       "mistake": "cancel_terms"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צמצמו (בתחום ההצבה): $3x² / (6x)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x / 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2x$",
       "mistake": "reduce_flip"
      },
      {
       "text": "$x² / 2$",
       "mistake": "cancel_power"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צמצמו (בתחום ההצבה): $(x² − 6x + 9) / (x² − 9)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x − 3) / (x + 3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      },
      {
       "text": "$x − 3$",
       "mistake": "lost_denominator"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צמצמו (בתחום ההצבה): $(4x + 8) / (x² − 4)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$4 / (x − 2)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4 / (x + 2)$",
       "mistake": "factor_sign"
      },
      {
       "text": "$4 / x$",
       "mistake": "cancel_terms"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צמצמו (בתחום ההצבה): $(x² − x − 12) / (x² + 3x)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x − 4) / x$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(−x − 12) / (3x)$",
       "mistake": "cancel_terms"
      },
      {
       "text": "$x − 4$",
       "mistake": "lost_denominator"
      },
      {
       "text": "$(x + 4) / x$",
       "mistake": "signs_swapped"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צמצמו (בתחום ההצבה): $(x² + 2x) / (x² + 4x + 4)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x / (x + 2)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2x / (4x + 4)$",
       "mistake": "cancel_terms"
      },
      {
       "text": "$x / (x − 2)$",
       "mistake": "factor_sign"
      },
      {
       "text": "$x$",
       "mistake": "lost_denominator"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "t_muldiv",
   "unit": "t2",
   "name": "כפל וחילוק שברים אלגבריים",
   "short": "כפל וחילוק שברים",
   "prereqs": [
    "t_reduce"
   ],
   "description": "כופלים מונה במונה ומכנה במכנה; חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך. מפרקים ומצמצמים.",
   "month": "אוקטובר",
   "questions": [
    {
     "question": "$(x² − 4) / x : (x + 2) / x² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x(x − 2)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(x − 2)(x + 2)² / x³$",
       "mistake": "div_not_flipped"
      },
      {
       "text": "$x − 2$",
       "mistake": "cancel_power"
      },
      {
       "text": "$x(x + 2)$",
       "mistake": "factor_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$x / 3 · 6 / x² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2 / x$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2x$",
       "mistake": "reduce_flip"
      },
      {
       "text": "$2 / x²$",
       "mistake": "cancel_power"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x + 1) / x · x² / (x + 1) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "cancel_power"
      },
      {
       "text": "$x²$",
       "mistake": "lost_denominator"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x² − 9) / (2x) · 4 / (x + 3) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2(x − 3) / x$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2(x + 3) / x$",
       "mistake": "factor_sign"
      },
      {
       "text": "$(x − 3) / (2x)$",
       "mistake": "reduce_flip"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$2x / (x − 1) : 4x / (x² − 1) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x + 1) / 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$8x² / ((x − 1)(x² − 1))$",
       "mistake": "div_not_flipped"
      },
      {
       "text": "$2 / (x + 1)$",
       "mistake": "reduce_flip"
      },
      {
       "text": "$(x − 1) / 2$",
       "mistake": "factor_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x² − 1) / (x + 2) · (x + 2) / (x − 1) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x + 1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x − 1$",
       "mistake": "factor_sign"
      },
      {
       "text": "$x²$",
       "mistake": "cancel_terms"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$5 / x² : 10 / x = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$1 / (2x)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$50 / x³$",
       "mistake": "div_not_flipped"
      },
      {
       "text": "$2x$",
       "mistake": "reduce_flip"
      },
      {
       "text": "$1 / (2x²)$",
       "mistake": "cancel_power"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x² − 5x) / 3 : (x − 5) / 6 = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2x$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x(x − 5)² / 18$",
       "mistake": "div_not_flipped"
      },
      {
       "text": "$x / 2$",
       "mistake": "reduce_flip"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(3x + 3) / x · x² / (x² − 1) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$3x / (x − 1)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3x / (x + 1)$",
       "mistake": "factor_sign"
      },
      {
       "text": "$3 / (x − 1)$",
       "mistake": "cancel_power"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x² + 4x + 4) / x : (x + 2) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x + 2) / x$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(x + 2)³ / x$",
       "mistake": "div_not_flipped"
      },
      {
       "text": "$x / (x + 2)$",
       "mistake": "reduce_flip"
      },
      {
       "text": "$1 / x$",
       "mistake": "cancel_power"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "k_def",
   "unit": "k",
   "name": "הכרת הדלתון",
   "short": "הכרת הדלתון",
   "prereqs": [],
   "description": "דלתון הוא מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות.",
   "month": "ספטמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "איזה מרובע נקרא דלתון?",
     "figure": "A=0,2; B=-2.6,0; C=0,-4.99; D=2.6,0; poly A B C D",
     "choices": [
      {
       "text": "מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מרובע שכל צלעותיו שוות",
       "mistake": "kite_rhombus"
      },
      {
       "text": "מרובע שבו הצלעות הנגדיות שוות",
       "mistake": "kite_parallelogram"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$: $AB = AD = 5$ ס״מ ו־$CB = CD = 8$ ס״מ. מה היקף הדלתון?",
     "figure": "A=0,2.18; B=-2.6,0; C=0,-4.5; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; len A B 5; len A D 5; len C B 8; len C D 8",
     "choices": [
      {
       "text": "$26$ ס״מ",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$13$ ס״מ",
       "mistake": "perim_all_sides"
      },
      {
       "text": "$18$ ס״מ",
       "mistake": "perim_all_sides"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "היקף דלתון הוא $30$ ס״מ, ושתי צלעות סמוכות שוות בו באורך $6$ ס״מ כל אחת. מה אורך כל אחת משתי הצלעות האחרות?",
     "figure": "A=0,2.18; B=-2.6,0; C=0,-4.5; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; len A B 6; len A D 6; len C B ?; len C D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$9$ ס״מ",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$18$ ס״מ",
       "mistake": "perim_all_sides"
      },
      {
       "text": "$24$ ס״מ",
       "mistake": "perim_all_sides"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזו טענה נכונה תמיד?",
     "figure": "A=0,2; B=-2.6,0; C=0,-4.99; D=2.6,0; poly A B C D",
     "choices": [
      {
       "text": "כל מעוין הוא דלתון",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כל דלתון הוא מעוין",
       "mistake": "kite_rhombus"
      },
      {
       "text": "כל מקבילית היא דלתון",
       "mistake": "kite_parallelogram"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ נתון $AB = AD$. אילו צלעות שוות נוספות יש בו?",
     "figure": "A=0,2.18; B=-2.6,0; C=0,-4.5; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1",
     "choices": [
      {
       "text": "$CB = CD$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$BC = AD$",
       "mistake": "kite_parallelogram"
      },
      {
       "text": "$AC = BD$",
       "mistake": "kite_diag_equal"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $AB = BC = 4$ ו־$CD = DA = 7$. האם הוא דלתון?",
     "figure": "B=0,2.18; C=2.6,0; D=0,-4.5; A=-2.6,0; poly A B C D; len A B 4; len B C 4; len C D 7; len D A 7",
     "choices": [
      {
       "text": "כן, יש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "לא, כי לא כל הצלעות שוות",
       "mistake": "kite_rhombus"
      },
      {
       "text": "לא, כי הצלעות הנגדיות אינן שוות",
       "mistake": "kite_parallelogram"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $AB = CD = 5$ ו־$BC = DA = 9$. האם הוא דלתון?",
     "figure": "A=0,0; D=9,0; C=11.35,4.41; B=2.35,4.41; poly A B C D; len A B 5; len C D 5; len B C 9; len D A 9",
     "choices": [
      {
       "text": "לא, הצלעות השוות נגדיות ולא סמוכות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כן, יש בו שני זוגות של צלעות שוות",
       "mistake": "kite_parallelogram"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה נכון לגבי ריבוע?",
     "figure": "A=0,0; B=4,0; C=4,4; D=0,4; poly A B C D",
     "choices": [
      {
       "text": "הוא גם דלתון וגם מעוין",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "הוא מעוין, אבל לא דלתון",
       "mistake": "kite_rhombus"
      },
      {
       "text": "הוא מלבן, ולכן לא דלתון",
       "mistake": "kite_parallelogram"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "היקף דלתון $40$ ס״מ, ואחת מצלעותיו $12$ ס״מ. מה אורך צלע סמוכה לה שאינה שווה לה?",
     "figure": "A=0,4.5; B=-2.6,0; C=0,-1.82; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; len A B 12; len C B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$ ס״מ",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$28$ ס״מ",
       "mistake": "perim_all_sides"
      },
      {
       "text": "$16$ ס״מ",
       "mistake": "perim_all_sides"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$) נתון $AB = 2x$, $AD = x + 3$. מה $x$?",
     "figure": "A=0,2.18; B=-2.6,0; C=0,-4.5; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; len A B 2x; len A D x + 3",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 1$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 6$",
       "mistake": "other_quantity"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "k_angles",
   "unit": "k",
   "name": "זוויות בדלתון",
   "short": "זוויות בדלתון",
   "prereqs": [
    "k_def"
   ],
   "description": "בדלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו־$CB = CD$, הזוויות שבין הצלעות השונות שוות: $∢B = ∢D$.",
   "month": "ספטמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$): $∢A = 80°$, $∢C = 60°$. מה גודל $∢B$?",
     "figure": "A=0,3.1; B=-2.6,0; C=0,-4.5; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; ang D A B 80°; ang B C D 60°; ang C B A ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$110°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$220°$",
       "mistake": "forgot_half"
      },
      {
       "text": "$20°$",
       "mistake": "angle_sum_180"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$): $∢A = 100°$, $∢C = 50°$. מה גודל $∢B$?",
     "figure": "A=0,2.18; B=-2.6,0; C=0,-5.58; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; ang D A B 100°; ang B C D 50°; ang C B A ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$105°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$210°$",
       "mistake": "forgot_half"
      },
      {
       "text": "$15°$",
       "mistake": "angle_sum_180"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$): $∢A = 70°$, $∢C = 40°$. מה גודל $∢B$?",
     "figure": "A=0,3.71; B=-2.6,0; C=0,-7.14; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; ang D A B 70°; ang B C D 40°; ang C B A ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$125°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$250°$",
       "mistake": "forgot_half"
      },
      {
       "text": "$35°$",
       "mistake": "angle_sum_180"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$): $∢A = 110°$, $∢C = 90°$. מה גודל $∢B$?",
     "figure": "A=0,1.82; B=-2.6,0; C=0,-2.6; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; ang D A B 110°; ang B C D 90°; ang C B A ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$80°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$160°$",
       "mistake": "forgot_half"
      },
      {
       "text": "$110°$",
       "mistake": "kite_wrong_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$): $∢A = 130°$, $∢C = 50°$. מה גודל $∢B$?",
     "figure": "A=0,1.21; B=-2.6,0; C=0,-5.58; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; ang D A B 130°; ang B C D 50°; ang C B A ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$90°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$180°$",
       "mistake": "forgot_half"
      },
      {
       "text": "$130°$",
       "mistake": "kite_wrong_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$): $∢B = 115°$, $∢A = 70°$. מה גודל $∢C$?",
     "figure": "A=0,3.71; B=-2.6,0; C=0,-4.5; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; ang D A B 70°; ang C B A 115°; ang B C D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$60°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$175°$",
       "mistake": "kite_wrong_pair"
      },
      {
       "text": "$115°$",
       "mistake": "kite_wrong_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$): $∢B = 95°$, $∢A = 110°$. מה גודל $∢C$?",
     "figure": "A=0,1.82; B=-2.6,0; C=0,-4.5; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; ang D A B 110°; ang C B A 95°; ang B C D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$60°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$155°$",
       "mistake": "kite_wrong_pair"
      },
      {
       "text": "$70°$",
       "mistake": "angle_sum_180"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו־$CB = CD$, אילו זוויות שוות?",
     "figure": "A=0,2.18; B=-2.6,0; C=0,-4.5; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2",
     "choices": [
      {
       "text": "$∢B = ∢D$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$∢A = ∢C$",
       "mistake": "kite_wrong_pair"
      },
      {
       "text": "כל ארבע הזוויות",
       "mistake": "kite_rhombus"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$) האלכסון $AC$ חוצה את $∢A = 80°$. מה גודל $∢BAC$?",
     "figure": "A=0,3.1; B=-2.6,0; C=0,-4.5; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; line A C; ang D A B 80°",
     "choices": [
      {
       "text": "$40°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$80°$",
       "mistake": "bisect_half"
      },
      {
       "text": "$160°$",
       "mistake": "bisect_half"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$): $∢A = 2 · ∢C$ ו־$∢B = 120°$. מה גודל $∢A$?",
     "figure": "A=0,3.1; B=-2.6,0; C=0,-7.14; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; ang C B A 120°; ang D A B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$80°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$40°$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$160°$",
       "mistake": "kite_wrong_pair"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "k_diag",
   "unit": "k",
   "name": "האלכסון הראשי בדלתון",
   "short": "האלכסון הראשי",
   "prereqs": [
    "k_def"
   ],
   "description": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$) האלכסון הראשי $AC$ מאונך לאלכסון $BD$, חוצה אותו וחוצה את $∢A$ ואת $∢C$.",
   "month": "ספטמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$) האלכסונים נחתכים בנקודה $E$, ו־$BD = 10$. מה $BE$?",
     "figure": "A=0,2.18; B=-2.6,0; C=0,-4.5; D=2.6,0; E=0,0@se; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; line A C; line B D; dot E; len B E ?; note BD = 10",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "kite_diag_bisect"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "kite_diag_bisect"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה הזווית בין האלכסונים של דלתון?",
     "figure": "A=0,2.18; B=-2.6,0; C=0,-4.5; D=2.6,0; E=0,0@se; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; line A C; line B D; dot E; ang D E A ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$90°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "kite_perp"
      },
      {
       "text": "תלוי בדלתון",
       "mistake": "kite_perp"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$) האלכסונים נחתכים ב־$E$: $AE = 12$, $BE = 5$. מה $AB$?",
     "figure": "A=0,6.24; B=-2.6,0; C=0,-2.6; D=2.6,0; E=0,0@se; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; line A C; line B D; dot E; lenx A E 12; lenx B E 5; len A B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$13$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$17$",
       "mistake": "pyth"
      },
      {
       "text": "$7$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$), איזו טענה נכונה?",
     "figure": "A=0,2.18; B=-2.6,0; C=0,-4.5; D=2.6,0; E=0,0@se; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; line A C; line B D; dot E",
     "choices": [
      {
       "text": "האלכסון $AC$ חוצה את האלכסון $BD$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "האלכסון $BD$ חוצה את האלכסון $AC$",
       "mistake": "kite_diag_bisect"
      },
      {
       "text": "האלכסונים חוצים זה את זה",
       "mistake": "kite_parallelogram"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$) האלכסונים נחתכים ב־$E$, ו־$∢ABD = 35°$. מה גודל $∢BAC$?",
     "figure": "A=0,1.82; B=-2.6,0; C=0,-4.5; D=2.6,0; E=0,0@se; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; line A C; line B D; dot E; ang A B D 35°; ang B A C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$55°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$35°$",
       "mistake": "kite_perp"
      },
      {
       "text": "$145°$",
       "mistake": "kite_perp"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$): $∢BAD = 70°$. מה גודל $∢ABD$?",
     "figure": "A=0,3.71; B=-2.6,0; C=0,-4.5; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; line B D; ang B A D 70°; ang A B D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$55°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$110°$",
       "mistake": "forgot_half"
      },
      {
       "text": "$35°$",
       "mistake": "bisect_half"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אורכי האלכסונים של דלתון הם $10$ ס״מ ו־$16$ ס״מ. מה שטחו?",
     "figure": "A=0,2.18; B=-2.6,0; C=0,-4.5; D=2.6,0; poly A B C D; line A C; line B D; note BD = 10, AC = 16",
     "choices": [
      {
       "text": "$80$ סמ״ר",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$160$ סמ״ר",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$26$ סמ״ר",
       "mistake": "area_add"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$): $AC = 20$, $AE = 8$, כאשר $E$ נקודת חיתוך האלכסונים. מה $CE$?",
     "figure": "A=0,2.18; B=-2.6,0; C=0,-5.58; D=2.6,0; E=0,0@se; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; line A C; line B D; dot E; lenx A E 8; lenx E C ?; note AC = 20",
     "choices": [
      {
       "text": "$12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "kite_diag_bisect"
      },
      {
       "text": "$8$",
       "mistake": "kite_diag_bisect"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$): $∢BCD = 50°$. מה גודל $∢BCA$?",
     "figure": "A=0,2.18; B=-2.6,0; C=0,-5.58; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; line A C; ang B C D 50°",
     "choices": [
      {
       "text": "$25°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$50°$",
       "mistake": "bisect_half"
      },
      {
       "text": "$100°$",
       "mistake": "bisect_half"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "היכן האלכסון הראשי $AC$ של הדלתון חותך את האלכסון $BD$?",
     "figure": "A=0,2.18; B=-2.6,0; C=0,-4.5; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; line A C; line B D",
     "choices": [
      {
       "text": "באמצע $BD$, בזווית ישרה",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "באמצע $BD$, לא בהכרח בזווית ישרה",
       "mistake": "kite_perp"
      },
      {
       "text": "בזווית ישרה, לא בהכרח באמצע $BD$",
       "mistake": "kite_diag_bisect"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "k_axes",
   "unit": "k",
   "name": "דלתון במערכת צירים",
   "short": "דלתון בצירים",
   "prereqs": [
    "k_diag"
   ],
   "description": "במערכת צירים מחשבים אורכי צלעות ואלכסונים, מוצאים קודקוד חסר ומחשבים שטח של דלתון.",
   "month": "ספטמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "נתונות הנקודות $A(0, 5)$, $B(3, 1)$, $C(0, −1)$. איזו נקודה $D$ משלימה דלתון $ABCD$ שהאלכסון הראשי שלו $AC$?",
     "figure": "A=0,5; B=3,1; C=0,-1; grid; line A B; line B C",
     "choices": [
      {
       "text": "$(−3, 1)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(3, −1)$",
       "mistake": "reflect_axis"
      },
      {
       "text": "$(−3, −1)$",
       "mistake": "reflect_axis"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $A(0, 5)$, $B(3, 1)$, $C(0, −1)$, $D(−3, 1)$, מה אורך האלכסון $BD$?",
     "figure": "A=0,5; B=3,1; C=0,-1; D=-3,1; poly A B C D; grid; dash B D",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3$",
       "mistake": "kite_diag_bisect"
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "axes_mixed"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $A(0, 5)$, $B(3, 1)$, $C(0, −1)$, $D(−3, 1)$, מה אורך הצלע $AB$?",
     "figure": "A=0,5; B=3,1; C=0,-1; D=-3,1; poly A B C D; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$7$",
       "mistake": "dist_add"
      },
      {
       "text": "$25$",
       "mistake": "sqrt_forgot"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $A(0, 5)$, $B(3, 1)$, $C(0, −1)$, $D(−3, 1)$, היכן נחתכים האלכסונים?",
     "figure": "A=0,5; B=3,1; C=0,-1; D=-3,1; poly A B C D; grid; dash A C; dash B D",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, 1)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(0, 2)$",
       "mistake": "kite_diag_bisect"
      },
      {
       "text": "$(1, 0)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה שטח הדלתון $A(0, 5)$, $B(3, 1)$, $C(0, −1)$, $D(−3, 1)$?",
     "figure": "A=0,5; B=3,1; C=0,-1; D=-3,1; poly A B C D; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$18$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$36$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "area_add"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $A(−4, 0)$, $B(0, 2)$, $C(2, 0)$, $D(0, −2)$, איזה אלכסון הוא האלכסון הראשי?",
     "figure": "A=-4,0; B=0,2; C=2,0; D=0,-2; poly A B C D; grid; dash A C; dash B D",
     "choices": [
      {
       "text": "$AC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$BD$",
       "mistake": "kite_wrong_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $A(−4, 0)$, $B(0, 2)$, $C(2, 0)$, $D(0, −2)$, היכן נחתכים האלכסונים?",
     "figure": "A=-4,0; B=0,2; C=2,0; D=0,-2; poly A B C D; grid; dash A C; dash B D",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(−1, 0)$",
       "mistake": "kite_diag_bisect"
      },
      {
       "text": "$(0, −1)$",
       "mistake": "kite_diag_bisect"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $A(2, 7)$, $B(5, 4)$, $C(2, −2)$, $D(−1, 4)$, מה אורך האלכסון $AC$?",
     "figure": "A=2,7; B=5,4; C=2,-2; D=-1,4; poly A B C D; grid; dash A C",
     "choices": [
      {
       "text": "$9$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4.5$",
       "mistake": "kite_diag_bisect"
      },
      {
       "text": "$5$",
       "mistake": "axes_mixed"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $A(2, 7)$, $B(5, 4)$, $C(2, −2)$, $D(−1, 4)$, מה אורך האלכסון $BD$?",
     "figure": "A=2,7; B=5,4; C=2,-2; D=-1,4; poly A B C D; grid; dash B D",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3$",
       "mistake": "kite_diag_bisect"
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "axes_mixed"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה שטח הדלתון $A(2, 7)$, $B(5, 4)$, $C(2, −2)$, $D(−1, 4)$?",
     "figure": "A=2,7; B=5,4; C=2,-2; D=-1,4; poly A B C D; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$27$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$54$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$15$",
       "mistake": "area_add"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "i_props",
   "unit": "i",
   "name": "תכונות משולש שווה שוקיים (חזרה)",
   "short": "תכונות שווה שוקיים",
   "prereqs": [],
   "description": "במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות, וחוצה זווית הראש, הגובה לבסיס והתיכון לבסיס מתלכדים.",
   "month": "אוקטובר",
   "questions": [
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $AB = AC$ ו־$∢A = 40°$. מה גודל $∢B$?",
     "figure": "A=0,7.14; B=-2.6,0; C=2.6,0; poly A B C; tick A B 1; tick A C 1; ang B A C 40°; ang A B C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$70°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$140°$",
       "mistake": "forgot_half_angle"
      },
      {
       "text": "$40°$",
       "mistake": "iso_wrong_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $AB = AC$ ו־$∢B = 65°$. מה גודל $∢A$?",
     "figure": "A=0,5.58; B=-2.6,0; C=2.6,0; poly A B C; tick A B 1; tick A C 1; ang C B A 65°; ang B A C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$50°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$115°$",
       "mistake": "iso_wrong_angle"
      },
      {
       "text": "$65°$",
       "mistake": "iso_wrong_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$ ($AB = AC$) $AD$ תיכון לבסיס, ו־$∢BAD = 25°$. מה גודל $∢BAC$?",
     "figure": "A=0,5.58; B=-2.6,0; C=2.6,0; D=0,0@s; poly A B C; tick A B 1; tick A C 1; line A D; tick B D 2; tick D C 2; ang B A D 25°",
     "choices": [
      {
       "text": "$50°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$25°$",
       "mistake": "iso_median_bisects"
      },
      {
       "text": "$65°$",
       "mistake": "iso_median_height"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$ ($AB = AC$) $AD$ תיכון לבסיס. מה גודל $∢ADB$?",
     "figure": "A=0,5.58; B=-2.6,0; C=2.6,0; D=0,0@s; poly A B C; tick A B 1; tick A C 1; line A D; tick B D 2; tick D C 2; ang A D B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$90°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$45°$",
       "mistake": "iso_median_height"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "iso_median_height"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$ ($AB = AC$) $AD$ גובה לבסיס, ו־$BC = 10$. מה $BD$?",
     "figure": "A=0,5.58; B=-2.6,0; C=2.6,0; D=0,0@s; poly A B C; tick A B 1; tick A C 1; line A D; right A D C; len B D ?; note BC = 10",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "height_is_median"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "height_is_median"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $AB = AC$ ו־$∢A = 100°$. מה גודל $∢C$?",
     "figure": "A=0,2.18; B=-2.6,0; C=2.6,0; poly A B C; tick A B 1; tick A C 1; ang B A C 100°; ang A C B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$40°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$80°$",
       "mistake": "forgot_half_angle"
      },
      {
       "text": "$100°$",
       "mistake": "iso_wrong_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $AB = AC = 13$, $BC = 10$. מה אורך הגובה לבסיס?",
     "figure": "A=0,6.24; B=-2.6,0; C=2.6,0; _D=0,0; poly A B C; dash A _D; right A _D C; len A B 13; len A C 13; len B C 10; lenx A _D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5$",
       "mistake": "iso_half_base"
      },
      {
       "text": "$8$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש שווה שוקיים זווית הראש היא $90°$. מה גודל כל זווית בסיס?",
     "figure": "A=0,2.6; B=-2.6,0; C=2.6,0; poly A B C; tick A B 1; tick A C 1; right B A C; ang A B C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$45°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$90°$",
       "mistake": "forgot_half_angle"
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "iso_wrong_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$ ($AB = AC$) $AD$ חוצה את זווית הראש, ו־$BC = 14$. מה $DC$?",
     "figure": "A=0,5.58; B=-2.6,0; C=2.6,0; D=0,0@s; poly A B C; tick A B 1; tick A C 1; line A D; ang B A D; ang D A C; len D C ?; note BC = 14",
     "choices": [
      {
       "text": "$7$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$14$",
       "mistake": "iso_median_bisects"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "iso_median_bisects"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$ ($AB = AC$): $∢B = 2x$ ו־$∢C = 50°$. מה $x$?",
     "figure": "A=0,3.1; B=-2.6,0; C=2.6,0; poly A B C; tick A B 1; tick A C 1; ang C B A 2x; ang A C B 50°",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 25$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 50$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$x = 40$",
       "mistake": "iso_wrong_angle"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "i_converse_angles",
   "unit": "i",
   "name": "משפט הפוך: שתי זוויות שוות",
   "short": "זוויות שוות",
   "prereqs": [
    "i_props"
   ],
   "description": "אם במשולש שתי זוויות שוות, הצלעות שמולן שוות, והמשולש שווה שוקיים.",
   "month": "אוקטובר",
   "questions": [
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢B = ∢C = 70°$ ו־$AB = 8$. מה $AC$?",
     "figure": "A=0,7.14; B=-2.6,0; C=2.6,0; poly A B C; ang C B A 70°; ang A C B 70°; len A B 8; len A C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "iso_converse"
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "iso_half_base"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢A = 50°$, $∢B = 65°$. אילו צלעות שוות?",
     "figure": "A=0,5.58; B=-2.6,0; C=2.6,0; poly A B C; ang B A C 50°; ang C B A 65°",
     "choices": [
      {
       "text": "$AB = AC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$BC = AC$",
       "mistake": "iso_wrong_side"
      },
      {
       "text": "אין צלעות שוות",
       "mistake": "iso_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢A = ∢B = 40°$. אילו צלעות שוות?",
     "figure": "C=0,2.18; A=-2.6,0; B=2.6,0; poly C A B; ang B A C 40°; ang C B A 40°",
     "choices": [
      {
       "text": "$BC = AC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$AB = AC$",
       "mistake": "iso_wrong_side"
      },
      {
       "text": "$AB = BC$",
       "mistake": "iso_wrong_side"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢B = ∢C$, $AB = 5$ ו־$BC = 8$. מה היקף המשולש?",
     "figure": "A=0,1.95; B=-2.6,0; C=2.6,0; poly A B C; ang C B A; ang A C B; len A B 5; len B C 8",
     "choices": [
      {
       "text": "$18$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$21$",
       "mistake": "iso_wrong_side"
      },
      {
       "text": "$15$",
       "mistake": "iso_equilateral"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢A = 80°$, $∢B = 50°$. אילו צלעות שוות?",
     "figure": "A=0,3.1; B=-2.6,0; C=2.6,0; poly A B C; ang B A C 80°; ang C B A 50°",
     "choices": [
      {
       "text": "$AB = AC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$BC = AB$",
       "mistake": "iso_wrong_side"
      },
      {
       "text": "$BC = AC$",
       "mistake": "iso_wrong_side"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢A = ∢B = 60°$. איזה משולש זה?",
     "figure": "C=0,4.5; A=-2.6,0; B=2.6,0; poly C A B; ang B A C 60°; ang C B A 60°",
     "choices": [
      {
       "text": "משולש שווה צלעות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "משולש שווה שוקיים שאינו שווה צלעות",
       "mistake": "all_60"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "iso_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢A = 36°$, $∢B = 72°$, $AC = 9$. מה $AB$?",
     "figure": "A=0,8; B=-2.6,0; C=2.6,0; poly A B C; ang B A C 36°; ang C B A 72°; len A C 9; len A B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$9$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4.5$",
       "mistake": "iso_half_base"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "iso_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$ הזוויות החיצוניות ליד $B$ וליד $C$ שוות. מה אפשר להסיק?",
     "figure": "A=0,5.58; B=-2.6,0; C=2.6,0; _B2=-4.94,0; _C2=4.94,0; poly A B C; line _B2 _C2; ang2 A B _B2; ang2 _C2 C A",
     "choices": [
      {
       "text": "$AB = AC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$BC = AB$",
       "mistake": "iso_wrong_side"
      },
      {
       "text": "המשולש שווה צלעות",
       "mistake": "iso_equilateral"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢A = 70°$, $∢B = 40°$. האם המשולש שווה שוקיים?",
     "figure": "B=0,7.14; A=-2.6,0; C=2.6,0; poly B A C; ang C A B 70°; ang A B C 40°",
     "choices": [
      {
       "text": "כן, $AB = BC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כן, $AB = AC$",
       "mistake": "iso_wrong_side"
      },
      {
       "text": "לא",
       "mistake": "iso_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢B = ∢C$, $AB = 2x + 1$ ו־$AC = x + 6$. מה $x$?",
     "figure": "A=0,5.58; B=-2.6,0; C=2.6,0; poly A B C; ang C B A; ang A C B; len A B 2x + 1; len A C x + 6",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 7$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 7/3$",
       "mistake": "iso_wrong_side"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "i_converse_lines",
   "unit": "i",
   "name": "משפטים הפוכים: גובה, תיכון וחוצה זווית",
   "short": "קטע בשני תפקידים",
   "prereqs": [
    "i_props"
   ],
   "description": "אם במשולש קטע אחד ממלא שני תפקידים (גובה ותיכון, גובה וחוצה זווית, או תיכון וחוצה זווית), המשולש שווה שוקיים.",
   "month": "אוקטובר",
   "questions": [
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $AD$ הוא גם תיכון לצלע $BC$ וגם גובה לה. מה אפשר להסיק?",
     "figure": "A=0,4.99; B=-2.6,0; C=2.6,0; D=0,0@s; poly A B C; line A D; right A D C; tick B D 2; tick D C 2",
     "choices": [
      {
       "text": "$AB = AC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$BD = AD$",
       "mistake": "iso_half_base"
      },
      {
       "text": "$∢A = 90°$",
       "mistake": "iso_right"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $AD$ חוצה את $∢A$ וגם מאונך ל־$BC$, ו־$AB = 7$. מה $AC$?",
     "figure": "A=0,4.99; B=-2.6,0; C=2.6,0; D=0,0@s; poly A B C; line A D; right A D C; ang B A D; ang D A C; len A B 7; len A C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$7$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3.5$",
       "mistake": "iso_half_base"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "iso_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $AD$ גובה לצלע $BC$, ו־$BD = DC = 4$, $AB = 6$. מה היקף המשולש?",
     "figure": "A=0,2.91; B=-2.6,0; C=2.6,0; D=0,0@s; poly A B C; line A D; right A D C; len B D 4; len D C 4; len A B 6",
     "choices": [
      {
       "text": "$20$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$16$",
       "mistake": "iso_half_base"
      },
      {
       "text": "$14$",
       "mistake": "iso_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $AD$ חוצה את $∢A$ והוא גם תיכון לצלע $BC$, ו־$∢B = 55°$. מה גודל $∢C$?",
     "figure": "A=0,3.71; B=-2.6,0; C=2.6,0; D=0,0@s; poly A B C; line A D; ang B A D; ang D A C; tick B D 2; tick D C 2; ang C B A 55°; ang A C B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$55°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$70°$",
       "mistake": "iso_wrong_angle"
      },
      {
       "text": "$125°$",
       "mistake": "iso_wrong_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $AD$ גובה ותיכון לצלע $BC$, ו־$∢BAD = 20°$. מה גודל $∢B$?",
     "figure": "A=0,7.14; B=-2.6,0; C=2.6,0; D=0,0@s; poly A B C; line A D; right A D C; tick B D 2; tick D C 2; ang B A D 20°; ang A B C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$70°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$20°$",
       "mistake": "iso_median_bisects"
      },
      {
       "text": "$140°$",
       "mistake": "forgot_half_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזה נתון מספיק כדי להוכיח שהמשולש $ABC$ שווה שוקיים?",
     "figure": "A=2.2,3.6; B=0,0; C=6.2,0; D=2.79,0@s; poly A B C; line A D",
     "choices": [
      {
       "text": "$AD$ גם גובה וגם תיכון לצלע $BC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$AD$ גובה לצלע $BC$",
       "mistake": "one_role"
      },
      {
       "text": "$AD$ תיכון לצלע $BC$",
       "mistake": "one_role"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $AD ⊥ BC$ ו־$AD$ חוצה את $∢A$. נתון $∢B = 3x + 10$, $∢C = 5x − 20$. מה $x$?",
     "figure": "A=0,3.71; B=-2.6,0; C=2.6,0; D=0,0@s; poly A B C; line A D; right A D C; ang B A D; ang D A C; ang C B A 3x + 10; ang A C B 5x − 20",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 15$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 5$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 30$",
       "mistake": "forgot_divide"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, חוצה הזווית $A$ הוא גם גובה. נתון $AB = 3y$ ו־$AC = y + 8$. מה $y$?",
     "figure": "A=0,4.99; B=-2.6,0; C=2.6,0; D=0,0@s; poly A B C; line A D; right A D C; ang B A D; ang D A C; len A B 3y; len A C y + 8",
     "choices": [
      {
       "text": "$y = 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$y = 8$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$y = 2$",
       "mistake": "iso_wrong_side"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $BD = DC$ ו־$AD ⊥ BC$, ו־$∢BAC = 50°$. מה גודל $∢ABC$?",
     "figure": "A=0,5.58; B=-2.6,0; C=2.6,0; D=0,0@s; poly A B C; line A D; right A D C; tick B D 2; tick D C 2; ang B A C 50°; ang A B C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$65°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$50°$",
       "mistake": "iso_wrong_angle"
      },
      {
       "text": "$130°$",
       "mistake": "forgot_half_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $AE$ תיכון לצלע $BC$ והוא גם חוצה זווית. נתון $AB = 10$, $BC = 12$. מה $AE$?",
     "figure": "A=0,3.47; B=-2.6,0; C=2.6,0; E=0,0@s; poly A B C; line A E; tick B E 2; tick E C 2; ang B A E; ang E A C; len A B 10; lenx A E ?; note BC = 12",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$6$",
       "mistake": "iso_half_base"
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "i_axes",
   "unit": "i",
   "name": "משולש שווה שוקיים במערכת צירים",
   "short": "שווה שוקיים בצירים",
   "prereqs": [
    "i_converse_lines"
   ],
   "description": "במערכת צירים מזהים משולש שווה שוקיים, מחשבים את הגובה לבסיס ומשתמשים בכך שהוא גם תיכון.",
   "month": "אוקטובר",
   "questions": [
    {
     "question": "איזה משולש הוא $A(0, 6)$, $B(−4, 0)$, $C(4, 0)$?",
     "figure": "A=0,6; B=-4,0; C=4,0; poly A B C; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "שווה שוקיים ($AB = AC$)",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שווה צלעות",
       "mistake": "iso_equilateral"
      },
      {
       "text": "ישר זווית",
       "mistake": "iso_right"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $A(0, 6)$, $B(−4, 0)$, $C(4, 0)$, מה אורך הגובה לבסיס $BC$?",
     "figure": "A=0,6; B=-4,0; C=4,0; _H=0,0; poly A B C; grid; dash A _H",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "iso_half_base"
      },
      {
       "text": "$8$",
       "mistake": "iso_half_base"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $A(2, 7)$, $B(−1, 3)$, $C(5, 3)$, מה אורך הגובה לבסיס $BC$?",
     "figure": "A=2,7; B=-1,3; C=5,3; _H=2,3; poly A B C; grid; dash A _H",
     "choices": [
      {
       "text": "$4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$7$",
       "mistake": "height_from_axis"
      },
      {
       "text": "$3$",
       "mistake": "iso_half_base"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה שטח המשולש $A(2, 7)$, $B(−1, 3)$, $C(5, 3)$?",
     "figure": "A=2,7; B=-1,3; C=5,3; poly A B C; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$24$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$21$",
       "mistake": "height_from_axis"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "המשולש $A(3, 5)$, $B(0, 1)$, $C(x, 1)$ שווה שוקיים שבסיסו $BC$. מה $x$?",
     "figure": "A=3,5; B=0,1; grid; line A B; note C(x, 1)",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 3$",
       "mistake": "iso_half_base"
      },
      {
       "text": "$x = −3$",
       "mistake": "reflect_axis"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$B(−3, −2)$ ו־$C(5, −2)$ הם קצות הבסיס של משולש שווה שוקיים $ABC$. על איזה ישר נמצא $A$?",
     "figure": "B=-3,-2; C=5,-2; grid; line B C",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$y = 1$",
       "mistake": "axes_mixed"
      },
      {
       "text": "$x = 4$",
       "mistake": "forgot_half_axis"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $A(1, 4)$, $B(−2, 0)$, $C(4, 0)$, מה $AB$?",
     "figure": "A=1,4; B=-2,0; C=4,0; poly A B C; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$7$",
       "mistake": "dist_add"
      },
      {
       "text": "$25$",
       "mistake": "sqrt_forgot"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $A(1, 4)$, $B(−2, 0)$, $C(4, 0)$, היכן הגובה מ־$A$ פוגש את $BC$?",
     "figure": "A=1,4; B=-2,0; C=4,0; poly A B C; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$(1, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(3, 0)$",
       "mistake": "iso_half_base"
      },
      {
       "text": "$(0, 1)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה היקף המשולש $A(0, 8)$, $B(−6, 0)$, $C(6, 0)$?",
     "figure": "A=0,8; B=-6,0; C=6,0; poly A B C; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$32$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$22$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      },
      {
       "text": "$26$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה שטח המשולש $A(4, 1)$, $B(0, 4)$, $C(8, 4)$?",
     "figure": "A=4,1; B=0,4; C=8,4; poly A B C; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$24$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$16$",
       "mistake": "height_from_axis"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "q_parabola",
   "unit": "q",
   "name": "הפרבולה $y = ax²$",
   "short": "הפרבולה $ax²$",
   "prereqs": [],
   "description": "הקודקוד של $ax²$ הוא $(0, 0)$. סימן $a$ קובע אם הוא נקודת מינימום ($a > 0$) או מקסימום ($a < 0$).",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "לאיזו מהפונקציות יש נקודת מקסימום?",
     "choices": [
      {
       "text": "$f(x) = −2x²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$f(x) = 2x²$",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "$f(x) = 0.5x²$",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "$f(x) = x²$",
       "mistake": "opening_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לאיזו מהפונקציות יש נקודת מינימום?",
     "choices": [
      {
       "text": "$f(x) = 0.5x²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$f(x) = −x²$",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "$f(x) = −3x²$",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "$f(x) = −0.5x²$",
       "mistake": "opening_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה הקודקוד של הפרבולה $f(x) = −4x²$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(0, −4)$",
       "mistake": "a_as_k"
      },
      {
       "text": "$(−4, 0)$",
       "mistake": "a_as_k"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "נתונה $f(x) = 3x²$. מה $f(−2)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−12$",
       "mistake": "neg_square"
      },
      {
       "text": "$36$",
       "mistake": "squared_coef"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "נתונה $f(x) = −x²$. מה $f(3)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$−9$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$9$",
       "mistake": "minus_outside"
      },
      {
       "text": "$−6$",
       "mistake": "sq_as_double"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "הנקודה $(2, 8)$ נמצאת על הגרף של $f(x) = ax²$. מה $a$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$a = 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$a = 4$",
       "mistake": "a_from_point"
      },
      {
       "text": "$a = 0.5$",
       "mistake": "a_from_point"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "הגרף של $f(x) = ax²$ עובר בנקודה $(1, −3)$. איזו נקודת קיצון יש לפונקציה?",
     "choices": [
      {
       "text": "נקודת מקסימום",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "נקודת מינימום",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "אין לה נקודת קיצון",
       "mistake": "no_extremum_parabola"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזו מהנקודות נמצאת על הגרף של $f(x) = 2x²$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(−3, 18)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(−3, −18)$",
       "mistake": "neg_square"
      },
      {
       "text": "$(3, 36)$",
       "mistake": "squared_coef"
      },
      {
       "text": "$(18, 3)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "הגרף של $f(x) = −0.5x²$ עובר בנקודה $(4, −8)$. איזו נקודה נוספת על הגרף נמצאת באותו גובה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(−4, −8)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(4, 8)$",
       "mistake": "reflect_axis"
      },
      {
       "text": "$(−8, 4)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "נתונה $f(x) = ax²$ כאשר $a < 0$. איזו טענה נכונה?",
     "choices": [
      {
       "text": "ערך המקסימום של הפונקציה הוא $0$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "ערך המינימום של הפונקציה הוא $0$",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "הפונקציה חיובית לכל $x ≠ 0$",
       "mistake": "pos_neg_swap"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "q_props",
   "unit": "q",
   "name": "תכונות הפונקציה הריבועית מגרף",
   "short": "תכונות מגרף",
   "prereqs": [
    "q_parabola"
   ],
   "description": "מגרף של פרבולה קוראים נקודת קיצון, תחומי עלייה וירידה, חיתוך עם הצירים ותחומי חיוביות ושליליות.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "לפי הגרף, מהי נקודת הקיצון של הפונקציה, ומה סוגה?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -2,
        5
       ],
       [
        -1,
        0
       ],
       [
        0,
        -3
       ],
       [
        1,
        -4
       ],
       [
        2,
        -3
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        5
       ]
      ],
      "x": [
       -2.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       5.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$(1, −4)$, מינימום",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(1, −4)$, מקסימום",
       "mistake": "max_vs_min"
      },
      {
       "text": "$(−4, 1)$, מינימום",
       "mistake": "swapped_pair"
      },
      {
       "text": "$(−1, 0)$, מינימום",
       "mistake": "vertex_as_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, באיזה תחום הפונקציה עולה?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -2,
        5
       ],
       [
        -1,
        0
       ],
       [
        0,
        -3
       ],
       [
        1,
        -4
       ],
       [
        2,
        -3
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        5
       ]
      ],
      "x": [
       -2.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       5.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$x > 1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x < 1$",
       "mistake": "dir_confusion"
      },
      {
       "text": "$y > −4$",
       "mistake": "x_vs_y_interval"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, באיזה תחום הפונקציה שלילית?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -2,
        5
       ],
       [
        -1,
        0
       ],
       [
        0,
        -3
       ],
       [
        1,
        -4
       ],
       [
        2,
        -3
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        5
       ]
      ],
      "x": [
       -2.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       5.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$−1 < x < 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x < −1$ או $x > 3$",
       "mistake": "pos_neg_swap"
      },
      {
       "text": "$x < 0$",
       "mistake": "neg_x"
      },
      {
       "text": "$−4 < y < 0$",
       "mistake": "x_vs_y_interval"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מהן נקודות החיתוך של הגרף עם ציר $x$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -2,
        5
       ],
       [
        -1,
        0
       ],
       [
        0,
        -3
       ],
       [
        1,
        -4
       ],
       [
        2,
        -3
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        5
       ]
      ],
      "x": [
       -2.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       5.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$(−1, 0)$ ו־$(3, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(0, −3)$",
       "mistake": "axes_mixed"
      },
      {
       "text": "$(1, −4)$",
       "mistake": "vertex_as_root"
      },
      {
       "text": "$(0, −1)$ ו־$(0, 3)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מהי נקודת הקיצון של הפונקציה, ומה סוגה?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        -5
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -2,
        3
       ],
       [
        -1,
        4
       ],
       [
        0,
        3
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -5
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       2.5
      ],
      "y": [
       -5.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$(−1, 4)$, מקסימום",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(−1, 4)$, מינימום",
       "mistake": "max_vs_min"
      },
      {
       "text": "$(4, −1)$, מקסימום",
       "mistake": "swapped_pair"
      },
      {
       "text": "$(0, 3)$, מקסימום",
       "mistake": "plug_zero"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, באיזה תחום הפונקציה יורדת?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        -5
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -2,
        3
       ],
       [
        -1,
        4
       ],
       [
        0,
        3
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -5
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       2.5
      ],
      "y": [
       -5.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$x > −1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x < −1$",
       "mistake": "dir_confusion"
      },
      {
       "text": "$y < 4$",
       "mistake": "x_vs_y_interval"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, באיזה תחום הפונקציה חיובית?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        -5
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -2,
        3
       ],
       [
        -1,
        4
       ],
       [
        0,
        3
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -5
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       2.5
      ],
      "y": [
       -5.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$−3 < x < 1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x < −3$ או $x > 1$",
       "mistake": "pos_neg_swap"
      },
      {
       "text": "$x > 0$",
       "mistake": "neg_x"
      },
      {
       "text": "$0 < y < 4$",
       "mistake": "x_vs_y_interval"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מהי נקודת החיתוך של הגרף עם ציר $y$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        -5
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -2,
        3
       ],
       [
        -1,
        4
       ],
       [
        0,
        3
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -5
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       2.5
      ],
      "y": [
       -5.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, 3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(3, 0)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      },
      {
       "text": "$(−3, 0)$",
       "mistake": "axes_mixed"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מה הערך המקסימלי של הפונקציה?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        0,
        -2.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        1.5
       ],
       [
        3,
        2
       ],
       [
        4,
        1.5
       ],
       [
        5,
        0
       ],
       [
        6,
        -2.5
       ]
      ],
      "x": [
       -0.5,
       6.5
      ],
      "y": [
       -3,
       2.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3$",
       "mistake": "x_as_value"
      },
      {
       "text": "$(3, 2)$",
       "mistake": "value_vs_point"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, באיזה תחום הפונקציה חיובית?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        4
       ],
       [
        -3,
        1
       ],
       [
        -2,
        0
       ],
       [
        -1,
        1
       ],
       [
        0,
        4
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       1.5
      ],
      "y": [
       -1,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "לכל $x ≠ −2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x > −2$",
       "mistake": "touch_point"
      },
      {
       "text": "אין תחום שבו הפונקציה חיובית",
       "mistake": "pos_neg_swap"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "q_vshift",
   "unit": "q",
   "name": "הזזה אנכית $ax² + k$",
   "short": "הזזה אנכית",
   "prereqs": [
    "q_parabola"
   ],
   "description": "$ax² + k$ היא הפרבולה $ax²$ שהוזזה $k$ יחידות למעלה ($k > 0$) או למטה ($k < 0$). הקודקוד $(0, k)$.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "מה הקודקוד של הפרבולה $f(x) = 2x² − 5$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, −5)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(−5, 0)$",
       "mistake": "vshift_as_h"
      },
      {
       "text": "$(0, 5)$",
       "mistake": "k_sign"
      },
      {
       "text": "$(5, 0)$",
       "mistake": "vshift_as_h"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איך מתקבל הגרף של $f(x) = x² + 3$ מהגרף של $y = x²$?",
     "choices": [
      {
       "text": "הזזה של $3$ יחידות למעלה",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "הזזה של $3$ יחידות למטה",
       "mistake": "k_sign"
      },
      {
       "text": "הזזה של $3$ יחידות ימינה",
       "mistake": "vshift_as_h"
      },
      {
       "text": "הזזה של $3$ יחידות שמאלה",
       "mistake": "vshift_as_h"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהי נקודת הקיצון של $f(x) = −x² + 4$, ומה סוגה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, 4)$, מקסימום",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(0, 4)$, מינימום",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "$(4, 0)$, מקסימום",
       "mistake": "vshift_as_h"
      },
      {
       "text": "$(0, −4)$, מקסימום",
       "mistake": "k_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מזיזים את הגרף של $y = 3x²$ שתי יחידות למטה. מהי הפונקציה המתקבלת?",
     "choices": [
      {
       "text": "$f(x) = 3x² − 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$f(x) = 3x² + 2$",
       "mistake": "k_sign"
      },
      {
       "text": "$f(x) = 3(x − 2)²$",
       "mistake": "vshift_as_h"
      },
      {
       "text": "$f(x) = 3(x + 2)²$",
       "mistake": "vshift_as_h"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $f(x) = x² − 9$ עם ציר $x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(3, 0)$ ו־$(−3, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(3, 0)$ בלבד",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$(0, −9)$",
       "mistake": "axes_mixed"
      },
      {
       "text": "$(9, 0)$ ו־$(−9, 0)$",
       "mistake": "forgot_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "כמה נקודות חיתוך עם ציר $x$ יש לגרף של $f(x) = 2x² + 1$?",
     "choices": [
      {
       "text": "אין נקודות חיתוך",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שתי נקודות",
       "mistake": "vertex_side"
      },
      {
       "text": "נקודה אחת",
       "mistake": "vertex_side"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהי נקודת החיתוך של $f(x) = −2x² + 8$ עם ציר $y$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, 8)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(8, 0)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      },
      {
       "text": "$(2, 0)$",
       "mistake": "axes_mixed"
      },
      {
       "text": "$(0, −2)$",
       "mistake": "a_as_k"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "נתונה $f(x) = −x² + 1$. באיזה תחום הפונקציה חיובית?",
     "choices": [
      {
       "text": "$−1 < x < 1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x < −1$ או $x > 1$",
       "mistake": "pos_neg_swap"
      },
      {
       "text": "$x > 0$",
       "mistake": "neg_x"
      },
      {
       "text": "$0 < y < 1$",
       "mistake": "x_vs_y_interval"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לאיזו מהפונקציות יש ערך מינימום $−6$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$f(x) = 4x² − 6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$f(x) = −4x² − 6$",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "$f(x) = 4x² + 6$",
       "mistake": "k_sign"
      },
      {
       "text": "$f(x) = 4(x − 6)²$",
       "mistake": "vshift_as_h"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "נתונה $f(x) = 0.5x² − 2$. באיזה תחום הפונקציה יורדת?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x < 0$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x > 0$",
       "mistake": "dir_confusion"
      },
      {
       "text": "$x < −2$",
       "mistake": "vshift_as_h"
      },
      {
       "text": "$y < −2$",
       "mistake": "x_vs_y_interval"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "q_hshift",
   "unit": "q",
   "name": "הזזה אופקית $a(x − b)²$",
   "short": "הזזה אופקית",
   "prereqs": [
    "q_parabola"
   ],
   "description": "$a(x − b)²$ היא הפרבולה $ax²$ שהוזזה $b$ יחידות ימינה (ואם $b < 0$, שמאלה). הקודקוד $(b, 0)$.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "מה הקודקוד של הפרבולה $f(x) = (x + 3)²$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(−3, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(3, 0)$",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$(0, 3)$",
       "mistake": "h_as_v"
      },
      {
       "text": "$(0, 9)$",
       "mistake": "plug_zero"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איך מתקבל הגרף של $f(x) = (x − 5)²$ מהגרף של $y = x²$?",
     "choices": [
      {
       "text": "הזזה של $5$ יחידות ימינה",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "הזזה של $5$ יחידות שמאלה",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "הזזה של $5$ יחידות למעלה",
       "mistake": "h_as_v"
      },
      {
       "text": "הזזה של $5$ יחידות למטה",
       "mistake": "h_as_v"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהי נקודת הקיצון של $f(x) = −2(x − 1)²$, ומה סוגה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(1, 0)$, מקסימום",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(1, 0)$, מינימום",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "$(−1, 0)$, מקסימום",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$(0, −2)$, מקסימום",
       "mistake": "plug_zero"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מזיזים את הגרף של $y = x²$ ארבע יחידות שמאלה. מהי הפונקציה המתקבלת?",
     "choices": [
      {
       "text": "$f(x) = (x + 4)²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$f(x) = (x − 4)²$",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$f(x) = x² + 4$",
       "mistake": "h_as_v"
      },
      {
       "text": "$f(x) = x² − 4$",
       "mistake": "h_as_v"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהי נקודת החיתוך של $f(x) = (x − 2)²$ עם ציר $y$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, 4)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(2, 0)$",
       "mistake": "axes_mixed"
      },
      {
       "text": "$(0, −4)$",
       "mistake": "neg_square"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "באיזה תחום הפונקציה $f(x) = (x + 1)²$ עולה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x > −1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x > 1$",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$x < −1$",
       "mistake": "dir_confusion"
      },
      {
       "text": "$x > 0$",
       "mistake": "shift_keeps"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $f(x) = 3(x − 4)²$ עם ציר $x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(4, 0)$ בלבד",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(−4, 0)$ בלבד",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$(4, 0)$ ו־$(−4, 0)$",
       "mistake": "touch_point"
      },
      {
       "text": "$(0, 48)$",
       "mistake": "axes_mixed"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לאיזו מהפרבולות ציר הסימטריה הוא $x = −6$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$f(x) = (x + 6)²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$f(x) = (x − 6)²$",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$f(x) = x² − 6$",
       "mistake": "h_as_v"
      },
      {
       "text": "$f(x) = x² + 6$",
       "mistake": "h_as_v"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "נתונה $f(x) = −(x + 2)²$. באיזה תחום הפונקציה שלילית?",
     "choices": [
      {
       "text": "לכל $x ≠ −2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x > −2$",
       "mistake": "touch_point"
      },
      {
       "text": "לכל $x ≠ 2$",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "אין תחום שבו הפונקציה שלילית",
       "mistake": "pos_neg_swap"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה ערך המינימום של $f(x) = 2(x − 3)²$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$0$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3$",
       "mistake": "x_as_value"
      },
      {
       "text": "$18$",
       "mistake": "plug_zero"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "q_vertex",
   "unit": "q",
   "name": "הזזה אופקית ואנכית $a(x − b)² + k$",
   "short": "הצגה קודקודית",
   "prereqs": [
    "q_vshift",
    "q_hshift"
   ],
   "description": "שילוב הזזה אופקית ואנכית: הקודקוד $(b, k)$, וסימן $a$ קובע את סוג הקיצון.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "מה הקודקוד של $f(x) = −(x − 4)² + 1$, והאם הוא נקודת מינימום או מקסימום?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(4, 1)$, מקסימום",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(4, 1)$, מינימום",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "$(−4, 1)$, מקסימום",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$(1, 4)$, מקסימום",
       "mistake": "swapped_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה הקודקוד של $f(x) = 2(x + 1)² − 3$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(−1, −3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(1, −3)$",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$(−1, 3)$",
       "mistake": "k_sign"
      },
      {
       "text": "$(−3, −1)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מזיזים את $y = x²$ שתי יחידות ימינה וחמש יחידות למעלה. מהי הפונקציה המתקבלת?",
     "choices": [
      {
       "text": "$f(x) = (x − 2)² + 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$f(x) = (x + 2)² + 5$",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$f(x) = (x − 5)² + 2$",
       "mistake": "h_as_v"
      },
      {
       "text": "$f(x) = (x − 2)² − 5$",
       "mistake": "k_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $f(x) = (x − 2)² − 9$ עם ציר $x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(−1, 0)$ ו־$(5, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(5, 0)$ בלבד",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$(2, −9)$",
       "mistake": "vertex_as_root"
      },
      {
       "text": "$(0, −5)$",
       "mistake": "axes_mixed"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהי נקודת החיתוך של $f(x) = −(x − 3)² + 4$ עם ציר $y$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, −5)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(0, 13)$",
       "mistake": "minus_outside"
      },
      {
       "text": "$(0, 4)$",
       "mistake": "k_as_yint"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "באיזה תחום הפונקציה $f(x) = −2(x + 3)² + 1$ עולה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x < −3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x > −3$",
       "mistake": "dir_confusion"
      },
      {
       "text": "$x < 3$",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$y < 1$",
       "mistake": "x_vs_y_interval"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "כמה נקודות חיתוך עם ציר $x$ יש לגרף של $f(x) = (x − 1)² + 2$?",
     "choices": [
      {
       "text": "אין נקודות חיתוך",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שתי נקודות",
       "mistake": "vertex_side"
      },
      {
       "text": "נקודה אחת",
       "mistake": "vertex_side"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $f(x) = (x + 4)² − 1$ עם ציר $x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(−3, 0)$ ו־$(−5, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(3, 0)$ ו־$(5, 0)$",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$(−3, 0)$ בלבד",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$(−4, −1)$",
       "mistake": "vertex_as_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לאיזו מהפרבולות הקודקוד $(−2, 5)$ והיא פתוחה כלפי מטה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$f(x) = −(x + 2)² + 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$f(x) = (x + 2)² + 5$",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "$f(x) = −(x − 2)² + 5$",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$f(x) = −(x + 5)² − 2$",
       "mistake": "swapped_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "נתונה $f(x) = 3(x − 1)² − 12$. באיזה תחום הפונקציה שלילית?",
     "choices": [
      {
       "text": "$−1 < x < 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x < −1$ או $x > 3$",
       "mistake": "pos_neg_swap"
      },
      {
       "text": "$1 < x < 3$",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$−12 < y < 0$",
       "mistake": "x_vs_y_interval"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "q_fform",
   "unit": "q2",
   "name": "הצגה כמכפלה $a(x − x₁)(x − x₂)$",
   "short": "הצגה כמכפלה",
   "prereqs": [
    "q_parabola"
   ],
   "description": "$a(x − x₁)(x − x₂)$: נקודות החיתוך עם ציר $x$ הן $x₁$ ו־$x₂$, וציר הסימטריה באמצע ביניהן.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $f(x) = 2(x − 1)(x + 3)$ עם ציר $x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(1, 0)$ ו־$(−3, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(−1, 0)$ ו־$(3, 0)$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      },
      {
       "text": "$(2, 0)$, $(1, 0)$ ו־$(−3, 0)$",
       "mistake": "a_as_zero"
      },
      {
       "text": "$(0, −6)$",
       "mistake": "axes_mixed"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהי נקודת החיתוך של $f(x) = (x − 4)(x + 2)$ עם ציר $y$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, −8)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(0, 8)$",
       "mistake": "sign_product"
      },
      {
       "text": "$(4, 0)$ ו־$(−2, 0)$",
       "mistake": "axes_mixed"
      },
      {
       "text": "$(−8, 0)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו ציר הסימטריה של $f(x) = −(x − 1)(x − 5)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 6$",
       "mistake": "forgot_half_axis"
      },
      {
       "text": "$x = −3$",
       "mistake": "axis_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 2$",
       "mistake": "axis_diff"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה הקודקוד של הפרבולה $f(x) = (x − 1)(x − 5)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(3, −4)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(3, 0)$",
       "mistake": "forgot_y"
      },
      {
       "text": "$(−3, −4)$",
       "mistake": "axis_sign"
      },
      {
       "text": "$(6, 5)$",
       "mistake": "forgot_half_axis"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהי נקודת הקיצון של $f(x) = −2(x + 1)(x − 3)$, ומה סוגה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(1, 8)$, מקסימום",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(1, 8)$, מינימום",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "$(1, −8)$, מקסימום",
       "mistake": "sign_product"
      },
      {
       "text": "$(1, 0)$, מקסימום",
       "mistake": "forgot_y"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "באיזה תחום הפונקציה $f(x) = (x + 2)(x − 4)$ שלילית?",
     "choices": [
      {
       "text": "$−2 < x < 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x < −2$ או $x > 4$",
       "mistake": "pos_neg_swap"
      },
      {
       "text": "$−4 < x < 2$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזו פונקציה חותכת את ציר $x$ בנקודות $(2, 0)$ ו־$(−7, 0)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$f(x) = (x − 2)(x + 7)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$f(x) = (x + 2)(x − 7)$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      },
      {
       "text": "$f(x) = (x − 2)(x − 7)$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $f(x) = 3x(x − 6)$ עם ציר $x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, 0)$ ו־$(6, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(6, 0)$ בלבד",
       "mistake": "divide_by_x"
      },
      {
       "text": "$(3, 0)$ ו־$(6, 0)$",
       "mistake": "a_as_zero"
      },
      {
       "text": "$(0, 0)$ ו־$(−6, 0)$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "נתונה $f(x) = −(x − 2)(x − 8)$. באיזה תחום הפונקציה עולה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x < 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x > 5$",
       "mistake": "dir_confusion"
      },
      {
       "text": "$x < 10$",
       "mistake": "forgot_half_axis"
      },
      {
       "text": "$x < −5$",
       "mistake": "axis_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה ערך המינימום של $f(x) = 0.5(x + 4)(x − 2)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$−4.5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−1$",
       "mistake": "x_as_value"
      },
      {
       "text": "$(−1, −4.5)$",
       "mistake": "value_vs_point"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "q_sform",
   "unit": "q2",
   "name": "הצגה סטנדרטית $ax² + bx + c$",
   "short": "הצגה סטנדרטית",
   "prereqs": [
    "q_props"
   ],
   "description": "ב־$ax² + bx + c$: $c$ הוא החיתוך עם ציר $y$, ושיעור $x$ של הקודקוד הוא $−b : 2a$.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "מה הקודקוד של הפרבולה $f(x) = x² − 6x + 5$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(3, −4)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(−3, 32)$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "$(6, 5)$",
       "mistake": "forgot_2a_axis"
      },
      {
       "text": "$(0, 5)$",
       "mistake": "c_as_vertex"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהם המקדמים $a$, $b$ ו־$c$ בפונקציה $f(x) = 2x² − 3x + 7$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$a = 2$, $b = −3$, $c = 7$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$a = 2$, $b = 3$, $c = 7$",
       "mistake": "coef_sign"
      },
      {
       "text": "$a = 7$, $b = −3$, $c = 2$",
       "mistake": "abc_order"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהי נקודת החיתוך של $f(x) = −x² + 4x − 1$ עם ציר $y$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, −1)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(−1, 0)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      },
      {
       "text": "$(0, 4)$",
       "mistake": "abc_order"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו ציר הסימטריה של $f(x) = 2x² + 8x − 3$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 2$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "$x = −8$",
       "mistake": "forgot_2a_axis"
      },
      {
       "text": "$x = −4$",
       "mistake": "forgot_2a"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה הקודקוד של הפרבולה $f(x) = −x² + 2x + 3$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(1, 4)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(−1, 0)$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "$(1, 0)$",
       "mistake": "forgot_y"
      },
      {
       "text": "$(0, 3)$",
       "mistake": "c_as_vertex"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזו נקודת קיצון יש לפונקציה $f(x) = −3x² + x + 5$?",
     "choices": [
      {
       "text": "נקודת מקסימום",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "נקודת מינימום",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "אין לה נקודת קיצון",
       "mistake": "no_extremum_parabola"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה ערך המינימום של $f(x) = x² + 4x + 7$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−2$",
       "mistake": "x_as_value"
      },
      {
       "text": "$7$",
       "mistake": "c_as_vertex"
      },
      {
       "text": "$19$",
       "mistake": "minus_b"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "באיזה תחום הפונקציה $f(x) = x² − 8x + 1$ יורדת?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x < 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x > 4$",
       "mistake": "dir_confusion"
      },
      {
       "text": "$x < −4$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "$x < 8$",
       "mistake": "forgot_2a_axis"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזו מהנקודות נמצאת על הגרף של $f(x) = 3x² − x − 2$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(1, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(0, 3)$",
       "mistake": "abc_order"
      },
      {
       "text": "$(−1, 0)$",
       "mistake": "lost_sign_move"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה הקודקוד של הפרבולה $f(x) = 2x² − 4x + 5$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(1, 3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(−1, 11)$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "$(4, 21)$",
       "mistake": "forgot_2a_axis"
      },
      {
       "text": "$(2, 5)$",
       "mistake": "forgot_2a"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "q_formula",
   "unit": "q2",
   "name": "פתרון משוואות ריבועיות בנוסחת השורשים",
   "short": "נוסחת השורשים",
   "prereqs": [
    "t_quad_eq"
   ],
   "description": "את $ax² + bx + c = 0$ פותרים בנוסחה $x = (−b ± √(b² − 4ac)) : 2a$. סימן $b² − 4ac$ קובע כמה פתרונות יש.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "פתרו: $2x² − 3x − 2 = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 2$ או $x = −0.5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −2$ או $x = 0.5$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "$x = 4$ או $x = −1$",
       "mistake": "forgot_2a"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² + 4x − 5 = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 1$ או $x = −5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −1$ או $x = 5$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "$x = 2$ או $x = −10$",
       "mistake": "forgot_2a"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $3x² − 5x + 2 = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 1$ או $x = 2/3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −1$ או $x = −2/3$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "$x = 3$ או $x = 2$",
       "mistake": "forgot_2a"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² − 2x − 1 = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 1 + √2$ או $x = 1 − √2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −1 + √2$ או $x = −1 − √2$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "$x = 1$",
       "mistake": "disc_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² + 6x + 9 = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 3$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "אין פתרון",
       "mistake": "disc_meaning"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² + x + 1 = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "אין פתרון",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −1$ או $x = 0$",
       "mistake": "disc_sign"
      },
      {
       "text": "$x = −0.5$",
       "mistake": "disc_meaning"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $2x² + x − 6 = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 1.5$ או $x = −2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −1.5$ או $x = 2$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "$x = 3$ או $x = −4$",
       "mistake": "forgot_2a"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $−x² + 4x + 5 = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −1$ או $x = 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 1$ או $x = −5$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "$x = 2$ או $x = −10$",
       "mistake": "forgot_2a"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "כמה פתרונות יש למשוואה $x² − 4x + 4 = 0$?",
     "choices": [
      {
       "text": "פתרון אחד",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שני פתרונות",
       "mistake": "disc_meaning"
      },
      {
       "text": "אין פתרון",
       "mistake": "disc_meaning"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה ערך $b² − 4ac$ במשוואה $2x² + 3x − 2 = 0$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$25$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−7$",
       "mistake": "disc_sign"
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "disc_sign"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "q_sketch",
   "unit": "q2",
   "name": "סרטוט פרבולה מהצגה סטנדרטית",
   "short": "סרטוט פרבולה",
   "prereqs": [
    "q_sform"
   ],
   "description": "כיוון הפתיחה, הקודקוד, החיתוך עם ציר $y$ והחיתוכים עם ציר $x$ מספיקים לסרטוט הגרף.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "איזה תיאור מתאים לגרף של $f(x) = −x² + 2x + 3$?",
     "choices": [
      {
       "text": "פתוחה כלפי מטה, קודקוד $(1, 4)$, חותכת את ציר $x$ ב־$−1$ וב־$3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "פתוחה כלפי מעלה, קודקוד $(1, 4)$, חותכת את ציר $x$ ב־$−1$ וב־$3$",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "פתוחה כלפי מטה, קודקוד $(1, 4)$, חותכת את ציר $x$ ב־$1$ וב־$−3$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      },
      {
       "text": "פתוחה כלפי מטה, קודקוד $(−1, 0)$, חותכת את ציר $x$ ב־$−1$ וב־$3$",
       "mistake": "minus_b"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזו פונקציה מתאימה לגרף?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -2,
        5
       ],
       [
        -1,
        0
       ],
       [
        0,
        -3
       ],
       [
        1,
        -4
       ],
       [
        2,
        -3
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        5
       ]
      ],
      "x": [
       -2.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       5.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$f(x) = x² − 2x − 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$f(x) = −x² + 2x + 3$",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "$f(x) = x² + 2x − 3$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "$f(x) = x² − 2x + 3$",
       "mistake": "c_as_vertex"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזה תיאור מתאים לגרף של $f(x) = x² − 4x + 3$?",
     "choices": [
      {
       "text": "פתוחה כלפי מעלה, קודקוד $(2, −1)$, חותכת את ציר $x$ ב־$1$ וב־$3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "פתוחה כלפי מטה, קודקוד $(2, −1)$, חותכת את ציר $x$ ב־$1$ וב־$3$",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "פתוחה כלפי מעלה, קודקוד $(−2, 15)$, חותכת את ציר $x$ ב־$1$ וב־$3$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "פתוחה כלפי מעלה, קודקוד $(2, −1)$, חותכת את ציר $x$ ב־$−1$ וב־$−3$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "באיזה רביע נמצא הקודקוד של $f(x) = x² + 6x + 5$?",
     "choices": [
      {
       "text": "ברביע השלישי",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "ברביע הראשון",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "על ציר $y$",
       "mistake": "c_as_vertex"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזו פונקציה מתאימה לגרף?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        0,
        -3
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        1
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        -3
       ]
      ],
      "x": [
       -0.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -3.5,
       1.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$f(x) = −x² + 4x − 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$f(x) = x² − 4x + 3$",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "$f(x) = −x² − 4x − 3$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "$f(x) = −x² + 4x + 3$",
       "mistake": "c_as_vertex"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "כמה נקודות חיתוך עם ציר $x$ יש לגרף של $f(x) = x² − 2x + 5$?",
     "choices": [
      {
       "text": "אין נקודות חיתוך",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שתי נקודות",
       "mistake": "vertex_side"
      },
      {
       "text": "נקודה אחת",
       "mistake": "vertex_side"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזה תיאור מתאים לגרף של $f(x) = −2x² + 8x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "פתוחה כלפי מטה, קודקוד $(2, 8)$, חותכת את ציר $x$ ב־$0$ וב־$4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "פתוחה כלפי מעלה, קודקוד $(2, 8)$, חותכת את ציר $x$ ב־$0$ וב־$4$",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "פתוחה כלפי מטה, קודקוד $(−2, −24)$, חותכת את ציר $x$ ב־$0$ וב־$4$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "פתוחה כלפי מטה, קודקוד $(2, 8)$, חותכת את ציר $x$ ב־$0$ וב־$−4$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזו פונקציה מתאימה לגרף?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        5
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -2,
        -3
       ],
       [
        -1,
        -4
       ],
       [
        0,
        -3
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        5
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       2.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       5.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$f(x) = x² + 2x − 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$f(x) = x² − 2x − 3$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "$f(x) = −x² − 2x + 3$",
       "mistake": "opening_sign"
      },
      {
       "text": "$f(x) = x² + 2x + 3$",
       "mistake": "c_as_vertex"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזה תיאור מתאים לגרף של $f(x) = x² − 4$?",
     "choices": [
      {
       "text": "פתוחה כלפי מעלה, קודקוד $(0, −4)$, חותכת את ציר $x$ ב־$−2$ וב־$2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "פתוחה כלפי מעלה, קודקוד $(0, −4)$, חותכת את ציר $x$ ב־$2$ בלבד",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "פתוחה כלפי מעלה, קודקוד $(4, 0)$, חותכת את ציר $x$ ב־$−2$ וב־$2$",
       "mistake": "vshift_as_h"
      },
      {
       "text": "פתוחה כלפי מטה, קודקוד $(0, −4)$, חותכת את ציר $x$ ב־$−2$ וב־$2$",
       "mistake": "opening_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "באיזה תחום הגרף של $f(x) = −x² − 2x + 8$ נמצא מעל ציר $x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$−4 < x < 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x < −4$ או $x > 2$",
       "mistake": "pos_neg_swap"
      },
      {
       "text": "$−2 < x < 4$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "a_side_angle",
   "unit": "a",
   "name": "מול הצלע הגדולה הזווית הגדולה",
   "short": "צלע ← זווית",
   "prereqs": [],
   "description": "אם במשולש שתי צלעות שונות, מול הצלע הגדולה מביניהן נמצאת הזווית הגדולה.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $AB = 5$, $BC = 7$, $AC = 9$. איזו זווית היא הגדולה ביותר?",
     "figure": "A=-0.5,4.97; B=0,0; C=7,0; poly A B C; len B C 7; len A C 9; len A B 5",
     "choices": [
      {
       "text": "$∢B$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$∢A$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "$∢C$",
       "mistake": "opposite_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $AB = 5$, $BC = 7$, $AC = 9$. איזו זווית היא הקטנה ביותר?",
     "figure": "A=-0.5,4.97; B=0,0; C=7,0; poly A B C; len B C 7; len A C 9; len A B 5",
     "choices": [
      {
       "text": "$∢C$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$∢B$",
       "mistake": "reversed_order"
      },
      {
       "text": "$∢A$",
       "mistake": "opposite_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $AB = 8$, $BC = 6$, $AC = 10$. מה סדר הזוויות מהקטנה לגדולה?",
     "figure": "A=0,8; B=0,0; C=6,0; poly A B C; len B C 6; len A C 10; len A B 8",
     "choices": [
      {
       "text": "$∢A < ∢C < ∢B$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$∢B < ∢C < ∢A$",
       "mistake": "reversed_order"
      },
      {
       "text": "$∢C < ∢A < ∢B$",
       "mistake": "opposite_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $AB = AC = 7$, $BC = 10$. איזו זווית היא הגדולה ביותר?",
     "figure": "A=5,4.9; B=0,0; C=10,0; poly A B C; len B C 10; len A C 7; len A B 7",
     "choices": [
      {
       "text": "$∢A$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$∢B$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "כל הזוויות שוות",
       "mistake": "side_angle_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהי הצלע הגדולה ביותר במשולש ישר זווית, ולמה?",
     "figure": "_A=6,0; _B=0,4.2; _C=0,0; poly _A _B _C; right _A _C _B",
     "choices": [
      {
       "text": "היתר, כי הוא מול הזווית הישרה",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "אחד הניצבים, כי הוא צמוד לזווית הישרה",
       "mistake": "side_angle_rule"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת בלי אורכים",
       "mistake": "side_angle_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $AB = 4$, $BC = 4$, $AC = 6$. איזו טענה נכונה?",
     "figure": "A=-0.5,3.97; B=0,0; C=4,0; poly A B C; len B C 4; len A C 6; len A B 4",
     "choices": [
      {
       "text": "$∢B$ היא הזווית הגדולה ביותר",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$∢A = ∢B$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "$∢C$ היא הזווית הגדולה ביותר",
       "mistake": "opposite_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $PQR$: $PQ = 12$, $QR = 9$, $PR = 15$. מול איזו צלע נמצאת הזווית הקטנה ביותר?",
     "figure": "P=0,12; Q=0,0; R=9,0; poly P Q R; len Q R 9; len P R 15; len P Q 12",
     "choices": [
      {
       "text": "מול $QR$, זו $∢P$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מול $PR$, זו $∢Q$",
       "mistake": "reversed_order"
      },
      {
       "text": "מול $QR$, זו $∢R$",
       "mistake": "opposite_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $AC > BC$. מה אפשר להסיק?",
     "figure": "A=1.2,5.88; B=0,0; C=5,0; poly A B C; note AC > BC",
     "choices": [
      {
       "text": "$∢B > ∢A$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$∢A > ∢B$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "$∢C > ∢A$",
       "mistake": "opposite_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $KLM$: $KL = 6$, $LM = 11$, $KM = 8$. מה סדר הזוויות מהגדולה לקטנה?",
     "figure": "K=4.23,4.26; L=0,0; M=11,0; poly K L M; len L M 11; len K M 8; len K L 6",
     "choices": [
      {
       "text": "$∢K > ∢L > ∢M$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$∢M > ∢L > ∢K$",
       "mistake": "reversed_order"
      },
      {
       "text": "$∢L > ∢K > ∢M$",
       "mistake": "opposite_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $AB = 5$, $BC = 5$, $AC = 5$. מה נכון?",
     "figure": "A=2.5,4.33; B=0,0; C=5,0; poly A B C; len B C 5; len A C 5; len A B 5",
     "choices": [
      {
       "text": "כל הזוויות שוות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$∢B$ היא הזווית הגדולה ביותר",
       "mistake": "side_angle_rule"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "side_angle_rule"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "a_angle_side",
   "unit": "a",
   "name": "מול הזווית הגדולה הצלע הגדולה",
   "short": "זווית ← צלע",
   "prereqs": [
    "a_side_angle"
   ],
   "description": "אם במשולש שתי זוויות שונות, מול הזווית הגדולה מביניהן נמצאת הצלע הגדולה.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢A = 50°$, $∢B = 60°$, $∢C = 70°$. איזו צלע היא הגדולה ביותר?",
     "figure": "A=3.68,6.37; B=0,0; C=6,0; poly A B C; ang B A C 50°; ang C B A 60°; ang A C B 70°",
     "choices": [
      {
       "text": "$AB$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$BC$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "$AC$",
       "mistake": "opposite_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢A = 100°$, $∢B = 30°$. איזו צלע היא הקטנה ביותר?",
     "figure": "A=4.04,2.33; B=0,0; C=6,0; poly A B C; ang B A C 100°; ang C B A 30°",
     "choices": [
      {
       "text": "$AC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$BC$",
       "mistake": "reversed_order"
      },
      {
       "text": "$AB$",
       "mistake": "opposite_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢C = 90°$, $∢A = ∢B = 45°$. איזו צלע היא הגדולה ביותר?",
     "figure": "A=6,0; B=0,6; C=0,0; poly A B C; right A C B; ang C A B 45°; ang A B C 45°",
     "choices": [
      {
       "text": "$AB$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$AC$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "כל הצלעות שוות",
       "mistake": "side_angle_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢A = 40°$, $∢B = 70°$. איזו צלע היא הקטנה ביותר?",
     "figure": "A=3,8.24; B=0,0; C=6,0; poly A B C; ang B A C 40°; ang C B A 70°",
     "choices": [
      {
       "text": "$BC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$AB$",
       "mistake": "reversed_order"
      },
      {
       "text": "$AC$",
       "mistake": "opposite_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢A = 80°$, $∢B = 60°$, $∢C = 40°$. מה סדר הצלעות מהגדולה לקטנה?",
     "figure": "A=1.96,3.39; B=0,0; C=6,0; poly A B C; ang B A C 80°; ang C B A 60°; ang A C B 40°",
     "choices": [
      {
       "text": "$BC > AC > AB$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$AB > AC > BC$",
       "mistake": "reversed_order"
      },
      {
       "text": "$AC > BC > AB$",
       "mistake": "opposite_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $∢B$ זווית קהה. איזו צלע היא הגדולה ביותר?",
     "figure": "B=3.29,1.9; C=0,0; A=6,0; poly B C A; ang C B A; note ∢B > 90°",
     "choices": [
      {
       "text": "$AC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$AB$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "side_angle_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢A = 65°$, $∢B = 50°$. האם $BC > AC$?",
     "figure": "A=3.86,4.6; B=0,0; C=6,0; poly A B C; ang B A C 65°; ang C B A 50°",
     "choices": [
      {
       "text": "כן, כי $∢A > ∢B$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "לא, כי $∢A > ∢B$",
       "mistake": "reversed_order"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "side_angle_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $DEF$: $∢D = 35°$, $∢E = 110°$. איזו צלע היא הגדולה ביותר?",
     "figure": "E=3,2.1; D=0,0; F=6,0; poly E D F; ang F D E 35°; ang D E F 110°",
     "choices": [
      {
       "text": "$DF$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$EF$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "$DE$",
       "mistake": "opposite_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢A = 2x$, $∢B = 3x$, $∢C = 4x$. איזו צלע היא הקטנה ביותר?",
     "figure": "A=4.6,7.96; B=0,0; C=6,0; poly A B C; ang B A C 2x; ang C B A 3x; ang A C B 4x",
     "choices": [
      {
       "text": "$BC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$AB$",
       "mistake": "reversed_order"
      },
      {
       "text": "$AC$",
       "mistake": "opposite_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢A = 30°$, $∢B = 75°$. איזו טענה נכונה?",
     "figure": "A=3,11.2; B=0,0; C=6,0; poly A B C; ang B A C 30°; ang C B A 75°",
     "choices": [
      {
       "text": "$AB = AC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$AB = BC$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "$BC$ היא הצלע הגדולה ביותר",
       "mistake": "reversed_order"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "l_30_side",
   "unit": "l",
   "name": "המשפט: ניצב מול זווית של $30°$",
   "short": "ניצב מול $30°$",
   "prereqs": [],
   "description": "במשולש ישר זווית שאחת מזוויותיו $30°$, הניצב שמול זווית זו שווה למחצית היתר.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "במשולש ישר זווית אחת הזוויות $30°$ והיתר $14$ ס״מ. מה אורך הניצב שמול הזווית של $30°$?",
     "figure": "_A=6,0; _B=0,3.46; _C=0,0; poly _A _B _C; right _A _C _B; ang _C _A _B 30°; len _A _B 14; len _B _C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$7$ ס״מ",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$28$ ס״מ",
       "mistake": "half_double"
      },
      {
       "text": "$14$ ס״מ",
       "mistake": "half_double"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש ישר זווית אחת הזוויות $30°$ והיתר $9$ ס״מ. מה אורך הניצב שמול הזווית של $30°$?",
     "figure": "_A=6,0; _B=0,3.46; _C=0,0; poly _A _B _C; right _A _C _B; ang _C _A _B 30°; len _A _B 9; len _B _C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$4.5$ ס״מ",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$18$ ס״מ",
       "mistake": "half_double"
      },
      {
       "text": "$3$ ס״מ",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש ישר זווית הניצב שמול זווית של $30°$ הוא $6$ ס״מ. מה אורך היתר?",
     "figure": "_A=6,0; _B=0,3.46; _C=0,0; poly _A _B _C; right _A _C _B; ang _C _A _B 30°; len _B _C 6; len _A _B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$12$ ס״מ",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3$ ס״מ",
       "mistake": "half_double"
      },
      {
       "text": "$6$ ס״מ",
       "mistake": "half_double"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢C = 90°$, $∢A = 30°$, $AB = 20$. מה $BC$?",
     "figure": "A=6,0; B=0,3.46; C=0,0; poly A B C; right A C B; ang C A B 30°; len A B 20; len B C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$40$",
       "mistake": "half_double"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת בלי משפט פיתגורס",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢C = 90°$, $∢A = 30°$. איזו צלע שווה למחצית $AB$?",
     "figure": "A=6,0; B=0,3.46; C=0,0; poly A B C; right A C B; ang C A B 30°",
     "choices": [
      {
       "text": "$BC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$AC$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "אף צלע",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢C = 90°$, $∢B = 60°$, $AB = 16$. מה $BC$?",
     "figure": "A=6,0; B=0,3.46; C=0,0; poly A B C; right A C B; ang A B C 60°; len A B 16; len B C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$32$",
       "mistake": "half_double"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢B = 90°$, $∢C = 30°$, $AB = 5$. מה $AC$?",
     "figure": "C=6,0; A=0,3.46; B=0,0; poly C A B; right C B A; ang B C A 30°; len A B 5; len A C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2.5$",
       "mistake": "half_double"
      },
      {
       "text": "$5$",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש ישר זווית אחת הזוויות $60°$ והיתר $22$. מה אורך הניצב הקצר?",
     "figure": "_A=6,0; _B=0,3.46; _C=0,0; poly _A _B _C; right _A _C _B; ang _A _B _C 60°; len _A _B 22; len _B _C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$11$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$44$",
       "mistake": "half_double"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢C = 90°$, $∢A = 30°$, $BC = x + 2$, $AB = 3x$. מה $x$?",
     "figure": "A=6,0; B=0,3.46; C=0,0; poly A B C; right A C B; ang C A B 30°; len B C x + 2; len A B 3x",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 1$",
       "mistake": "half_double"
      },
      {
       "text": "$x = 2/7$",
       "mistake": "half_double"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "סולם באורך $6$ מ׳ נשען על קיר ויוצר עם הקרקע זווית של $30°$. לאיזה גובה הוא מגיע?",
     "figure": "_A=6,0; _B=0,3.46; _C=0,0; poly _A _B _C; right _A _C _B; ang _C _A _B 30°; len _A _B 6; len _B _C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3$ מ׳",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$12$ מ׳",
       "mistake": "half_double"
      },
      {
       "text": "$6$ מ׳",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "a_30_side",
   "unit": "l",
   "name": "ניצב מול $30°$: פתרון מנומק בכתב יד",
   "short": "פתרון בכתב יד",
   "prereqs": [
    "l_30_side"
   ],
   "description": "במשולש ישר זווית, הניצב שמול זווית של $30°$ שווה למחצית היתר.",
   "month": "נובמבר",
   "sample": {
    "question": "במשולש ישר זווית אחת הזוויות היא $30°$, והיתר באורך $14$ ס״מ. שרטטו את המשולש, חשבו את אורך הניצב שמול הזווית של $30°$ ונמקו על דף.",
    "diagram": {
     "type": "triangle",
     "base": "",
     "height": "?",
     "side": "14 cm",
     "alt": "משולש ישר זווית שהיתר שלו 14 סנטימטרים; הניצב המבוקש מול הזווית של 30 מעלות"
    },
    "type": "open-ended",
    "version": 1
   },
   "fallback_sample": {
    "question": "במשולש ישר זווית אחת הזוויות היא $30°$, והיתר באורך $14$ ס״מ. מה אורך הניצב שמול הזווית של $30°$?",
    "choices": [
     {
      "text": "$7$ ס״מ",
      "correct": true
     },
     {
      "text": "$28$ ס״מ",
      "mistake": "half_double"
     },
     {
      "text": "אי אפשר לדעת בלי משפט פיתגורס",
      "mistake": "a30_rule"
     }
    ],
    "diagram": {
     "type": "triangle",
     "base": "",
     "height": "?",
     "side": "14 cm",
     "alt": "משולש ישר זווית שהיתר שלו 14 סנטימטרים; הניצב המבוקש מול הזווית של 30 מעלות"
    }
   }
  },
  {
   "id": "l_30_converse",
   "unit": "l",
   "name": "המשפט ההפוך: ניצב שהוא חצי מהיתר",
   "short": "משפט הפוך $30°$",
   "prereqs": [
    "l_30_side"
   ],
   "description": "במשולש ישר זווית, אם ניצב שווה למחצית היתר, הזווית שמולו היא $30°$.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢C = 90°$ ו־$BC = AB : 2$. מה גודל $∢A$?",
     "figure": "A=6,0; B=0,3.46; C=0,0; poly A B C; right A C B; ang C A B ?; note BC = AB : 2",
     "choices": [
      {
       "text": "$30°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "$45°$",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢C = 90°$, $AB = 12$, $BC = 6$. מה גודל $∢B$?",
     "figure": "A=6,0; B=0,3.46; C=0,0; poly A B C; right A C B; len A B 12; len B C 6; ang A B C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$60°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$30°$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "$90°$",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש ישר זווית הניצב $5$ והיתר $10$. מה גודל הזווית שמול הניצב הזה?",
     "figure": "_A=6,0; _B=0,3.46; _C=0,0; poly _A _B _C; right _A _C _B; len _B _C 5; len _A _B 10; ang _C _A _B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$30°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "$45°$",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $DEF$: $∢E = 90°$, $DF = 18$, $EF = 9$. מה גודל $∢F$?",
     "figure": "D=6,0; F=0,3.46; E=0,0; poly D F E; right D E F; len D F 18; len F E 9; ang D F E ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$60°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$30°$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "$45°$",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש ישר זווית הניצב $7$ והיתר $14$. מה גודלן של שתי הזוויות החדות?",
     "figure": "_A=6,0; _B=0,3.46; _C=0,0; poly _A _B _C; right _A _C _B; len _B _C 7; len _A _B 14; ang _C _A _B ?; ang _A _B _C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$30°$ ו־$60°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$45°$ ו־$45°$",
       "mistake": "a30_rule"
      },
      {
       "text": "$30°$ ו־$30°$",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢C = 90°$, $AC = 4$, $AB = 8$. מה גודל $∢A$?",
     "figure": "A=6,0; B=0,10.39; C=0,0; poly A B C; right A C B; len A C 4; len A B 8; ang C A B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$60°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$30°$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "$45°$",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש ישר זווית היתר $20$ וניצב אחד $10$. האם אחת הזוויות היא $30°$?",
     "figure": "_A=6,0; _B=0,3.46; _C=0,0; poly _A _B _C; right _A _C _B; len _B _C 10; len _A _B 20",
     "choices": [
      {
       "text": "כן, הזווית שמול הניצב $10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כן, הזווית שליד הניצב $10$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש ישר זווית היתר $10$ וניצב אחד $6$. האם אחת הזוויות היא $30°$?",
     "figure": "_A=6,0; _B=0,4.5; _C=0,0; poly _A _B _C; right _A _C _B; len _B _C 6; len _A _B 10",
     "choices": [
      {
       "text": "לא, הניצב אינו חצי מהיתר",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כן, הזווית שמול הניצב $6$",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "כבל באורך $8$ מ׳ מחובר לראש עמוד שגובהו $4$ מ׳ ולקרקע. מה הזווית בין הכבל לקרקע?",
     "figure": "_A=6,0; _B=0,3.46; _C=0,0; poly _A _B _C; right _A _C _B; len _B _C 4; len _A _B 8; ang _C _A _B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$30°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "$45°$",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $∢C = 90°$, $BC = 3$, $AB = 6$. מה גודל $∢B$?",
     "figure": "A=6,0; B=0,3.46; C=0,0; poly A B C; right A C B; len B C 3; len A B 6; ang A B C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$60°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$30°$",
       "mistake": "opposite_angle"
      },
      {
       "text": "$90°$",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "l_equilateral",
   "unit": "l",
   "name": "משולש שווה צלעות והמשפט",
   "short": "שווה צלעות",
   "prereqs": [
    "l_30_side"
   ],
   "description": "גובה במשולש שווה צלעות הוא גם תיכון וחוצה זווית, ויוצר שני משולשים ישרי זווית עם זוויות $30°$, $60°$ ו־$90°$.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "במשולש שווה צלעות $ABC$ הגובה $AD$. מה גודל $∢BAD$?",
     "figure": "A=3,5.2; B=0,0; C=6,0; D=3,0@s; poly A B C; tick A B 1; tick B C 1; tick A C 1; line A D; right A D C; ang B A D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$30°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "eq_split"
      },
      {
       "text": "$90°$",
       "mistake": "eq_split"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צלע משולש שווה צלעות $12$ ס״מ, ו־$AD$ גובה. מה $BD$?",
     "figure": "A=3,5.2; B=0,0; C=6,0; D=3,0@s; poly A B C; tick A B 1; tick B C 1; tick A C 1; line A D; right A D C; len A B 12; len B D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$ ס״מ",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$12$ ס״מ",
       "mistake": "eq_split"
      },
      {
       "text": "$24$ ס״מ",
       "mistake": "half_double"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש שווה צלעות $ABC$ הגובה $AD$. מה הזוויות של המשולש $ABD$?",
     "figure": "A=3,5.2; B=0,0; C=6,0; D=3,0@s; poly A B C; tick A B 1; tick B C 1; tick A C 1; line A D; right A D C",
     "choices": [
      {
       "text": "$30°$, $60°$, $90°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$60°$, $60°$, $60°$",
       "mistake": "eq_split"
      },
      {
       "text": "$45°$, $45°$, $90°$",
       "mistake": "eq_split"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צלע משולש שווה צלעות $2$. מה אורך הגובה?",
     "figure": "A=3,5.2; B=0,0; C=6,0; _D=3,0; poly A B C; tick A B 1; tick B C 1; tick A C 1; dash A _D; right A _D C; len A B 2; lenx A _D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$√3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "iso_half_base"
      },
      {
       "text": "$√5$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "גובה במשולש שווה צלעות יוצר משולש ישר זווית $ABD$. אם $BD = 5$, מה אורך צלע המשולש?",
     "figure": "A=3,5.2; B=0,0; C=6,0; D=3,0@s; poly A B C; tick A B 1; tick B C 1; tick A C 1; line A D; right A D C; len B D 5; len A B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2.5$",
       "mistake": "half_double"
      },
      {
       "text": "$5$",
       "mistake": "eq_split"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש שווה צלעות $ABC$, $AD$ חוצה את $∢A$. מה גודל $∢ADB$?",
     "figure": "A=3,5.2; B=0,0; C=6,0; D=3,0@s; poly A B C; tick A B 1; tick B C 1; tick A C 1; line A D; ang B A D; ang D A C; ang A D B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$90°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "eq_split"
      },
      {
       "text": "$30°$",
       "mistake": "eq_split"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "היקף משולש שווה צלעות $36$ ס״מ. מה המרחק מקודקוד $B$ לנקודה שבה הגובה מ־$A$ פוגש את $BC$?",
     "figure": "A=3,5.2; B=0,0; C=6,0; _D=3,0; poly A B C; tick A B 1; tick B C 1; tick A C 1; dash A _D; right A _D C; len B _D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$ ס״מ",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$12$ ס״מ",
       "mistake": "eq_split"
      },
      {
       "text": "$18$ ס״מ",
       "mistake": "half_double"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $AB = AC$, $∢A = 120°$, $AD$ גובה לבסיס ו־$AB = 10$. מה $AD$?",
     "figure": "A=0,1.5; B=-2.6,0; C=2.6,0; D=0,0@s; poly A B C; tick A B 1; tick A C 1; line A D; right A D C; ang B A C; len A B 10; note ∢A = 120°; lenx A D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "half_double"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$: $AB = AC = 8$ ו־$∢B = 30°$. מה אורך הגובה מ־$A$ לבסיס?",
     "figure": "A=0,1.5; B=-2.6,0; C=2.6,0; _D=0,0; poly A B C; tick A B 1; tick A C 1; dash A _D; right A _D C; len A B 8; ang C B A 30°; lenx A _D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$16$",
       "mistake": "half_double"
      },
      {
       "text": "$8$",
       "mistake": "a30_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צלע משולש שווה צלעות $6$. מה אורך הגובה?",
     "figure": "A=3,5.2; B=0,0; C=6,0; _D=3,0; poly A B C; tick A B 1; tick B C 1; tick A C 1; dash A _D; right A _D C; len A B 6; lenx A _D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$√27$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3$",
       "mistake": "iso_half_base"
      },
      {
       "text": "$√45$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "z_parallel",
   "unit": "z",
   "name": "זוויות בין ישרים מקבילים",
   "short": "ישרים מקבילים",
   "prereqs": [],
   "description": "כשחותך חוצה שני ישרים מקבילים, זוויות מתאימות ומתחלפות שוות, וזוויות חד־צדדיות משלימות ל־$180°$.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "הישרים $a$ ו־$b$ מקבילים, ו־$∢1 = 70°$. מה גודל הזווית המתחלפת ל־$∢1$?",
     "figure": "_T=0,2; _S=0.73,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=-0.44,3.22; _D=1.17,-1.22; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b; par _aL _aR 1; par _bL _bR 1; ang _S _T _aR 1; note ∢1 = 70°",
     "choices": [
      {
       "text": "$70°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$110°$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      },
      {
       "text": "$20°$",
       "mistake": "complement90"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "הישרים $a$ ו־$b$ מקבילים, ו־$∢1 = 125°$. מה גודל הזווית המתאימה ל־$∢1$?",
     "figure": "_T=0,2; _S=-1.4,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=0.75,3.06; _D=-2.15,-1.06; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b; par _aL _aR 1; par _bL _bR 1; ang _S _T _aR 1; note ∢1 = 125°",
     "choices": [
      {
       "text": "$125°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$55°$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      },
      {
       "text": "$35°$",
       "mistake": "complement90"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "הישרים $a$ ו־$b$ מקבילים, ו־$∢1 = 65°$. מה גודל הזווית החד־צדדית ל־$∢1$?",
     "figure": "_T=0,2; _S=0.93,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=-0.55,3.18; _D=1.48,-1.18; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b; par _aL _aR 1; par _bL _bR 1; ang _S _T _aR 1; note ∢1 = 65°",
     "choices": [
      {
       "text": "$115°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$65°$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      },
      {
       "text": "$25°$",
       "mistake": "complement90"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$a ∥ b$, ושתי זוויות מתאימות הן $3x + 10$ ו־$2x + 40$. מה $x$?",
     "figure": "_T=0,2; _S=-0.73,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=0.44,3.22; _D=-1.17,-1.22; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b; par _aL _aR 1; par _bL _bR 1; ang _aR _T _U 3x + 10; ang _bR _S _T 2x + 40",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 30$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 26$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      },
      {
       "text": "$x = 10$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$a ∥ b$, ושתי זוויות חד־צדדיות הן $2x$ ו־$x + 30$. מה $x$?",
     "figure": "_T=0,2; _S=-0.35,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=0.23,3.28; _D=-0.58,-1.28; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b; par _aL _aR 1; par _bL _bR 1; ang _S _T _aR 2x; ang _bR _S _T x + 30",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 50$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 30$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      },
      {
       "text": "$x = 20$",
       "mistake": "complement90"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$a ∥ b$, ושתי זוויות מתחלפות הן $4x − 20$ ו־$2x + 30$. מה $x$?",
     "figure": "_T=0,2; _S=0.35,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=-0.23,3.28; _D=0.58,-1.28; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b; par _aL _aR 1; par _bL _bR 1; ang _S _T _aR 4x − 20; ang _T _S _bL 2x + 30",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 25$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 5$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 85/3$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$a ∥ b$, ו־$∢1 = 48°$. מה גודל הזווית הצמודה לזווית המתחלפת ל־$∢1$?",
     "figure": "_T=0,2; _S=1.8,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=-0.87,2.97; _D=2.67,-0.97; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b; par _aL _aR 1; par _bL _bR 1; ang _S _T _aR 1; note ∢1 = 48°",
     "choices": [
      {
       "text": "$132°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$48°$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      },
      {
       "text": "$42°$",
       "mistake": "complement90"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$a ∥ b$, והחותך מאונך לישר $a$. מה הזווית בין החותך לישר $b$?",
     "figure": "_T=0,2; _S=0,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=0,3.3; _D=0,-1.3; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b; par _aL _aR 1; par _bL _bR 1; right _aR _T _U; ang _bR _S _T ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$90°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      },
      {
       "text": "$45°$",
       "mistake": "complement90"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$a ∥ b$, ושתי זוויות חד־צדדיות $∢1$ ו־$∢2$ מקיימות $∢1 = 2 · ∢2$. מה גודל $∢1$?",
     "figure": "_T=0,2; _S=-1.15,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=0.65,3.13; _D=-1.8,-1.13; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b; par _aL _aR 1; par _bL _bR 1; ang _S _T _aR 1; ang _bR _S _T 2; note ∢1 = 2 · ∢2",
     "choices": [
      {
       "text": "$120°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$90°$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$a ∥ b$, ושתי זוויות מתאימות הן $∢1 = 5x$ ו־$∢2 = 3x + 24$. מה גודל $∢1$?",
     "figure": "_T=0,2; _S=-1.15,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=0.65,3.13; _D=-1.8,-1.13; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b; par _aL _aR 1; par _bL _bR 1; ang _aR _T _U 1; ang _bR _S _T 2; note ∢1 = 5x, ∢2 = 3x + 24",
     "choices": [
      {
       "text": "$60°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$12°$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$97.5°$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "z_converse",
   "unit": "z",
   "name": "משפטים הפוכים: מתי ישרים מקבילים",
   "short": "מתי מקבילים",
   "prereqs": [
    "z_parallel"
   ],
   "description": "אם זוויות מתאימות או מתחלפות שוות, או שזוויות חד־צדדיות משלימות ל־$180°$, הישרים מקבילים.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "חותך חוצה שני ישרים, ושתי זוויות מתחלפות הן $50°$ ו־$50°$. האם הישרים מקבילים?",
     "figure": "_T=0,2; _S=1.68,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=-0.84,3; _D=2.51,-1; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b; ang _S _T _aR 50°; ang _T _S _bL 50°",
     "choices": [
      {
       "text": "כן",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "לא",
       "mistake": "parallel_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "חותך חוצה שני ישרים, ושתי זוויות חד־צדדיות הן $65°$ ו־$115°$. האם הישרים מקבילים?",
     "figure": "_T=0,2; _S=0.93,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=-0.55,3.18; _D=1.48,-1.18; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b; ang _S _T _aR 65°; ang _bR _S _T 115°",
     "choices": [
      {
       "text": "כן",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "לא, הזוויות אינן שוות",
       "mistake": "parallel_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "חותך חוצה שני ישרים, ושתי זוויות מתאימות הן $70°$ ו־$75°$. האם הישרים מקבילים?",
     "figure": "_T=0,2; _S=-0.73,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=0.44,3.22; _D=-1.17,-1.22; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b; ang _aR _T _U 70°; ang _bR _S _T 75°",
     "choices": [
      {
       "text": "לא",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כן",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "חותך חוצה שני ישרים, ושתי זוויות חד־צדדיות הן $80°$ ו־$80°$. האם הישרים מקבילים?",
     "figure": "_T=0,2; _S=0.35,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=-0.23,3.28; _D=0.58,-1.28; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b; ang _S _T _aR 80°; ang _bR _S _T 80°",
     "choices": [
      {
       "text": "לא, סכומן אינו $180°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כן, הן שוות",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "זוויות חד־צדדיות הן $2x + 10$ ו־$x + 20$. עבור איזה $x$ הישרים מקבילים?",
     "figure": "_T=0,2; _S=0.73,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=-0.44,3.22; _D=1.17,-1.22; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b; ang _S _T _aR 2x + 10; ang _bR _S _T x + 20",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 50$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 10$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      },
      {
       "text": "$x = 30$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "זוויות מתחלפות הן $3x$ ו־$x + 40$. עבור איזה $x$ הישרים מקבילים?",
     "figure": "_T=0,2; _S=1.15,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=-0.65,3.13; _D=1.8,-1.13; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b; ang _S _T _aR 3x; ang _T _S _bL x + 40",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 20$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 35$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      },
      {
       "text": "$x = 10$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $∢A = 110°$, $∢B = 70°$. אילו צלעות בהכרח מקבילות?",
     "figure": "A=0,0; B=5,0; D=-1.16,3.19; C=4.11,2.44; poly A B C D; ang B A D 110°; ang C B A 70°",
     "choices": [
      {
       "text": "$AD ∥ BC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$AB ∥ DC$",
       "mistake": "wrong_pair_parallel"
      },
      {
       "text": "אף זוג",
       "mistake": "parallel_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $∢A = 75°$, $∢D = 105°$. אילו צלעות בהכרח מקבילות?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=5.27,3; D=0.8,3; poly A B C D; ang B A D 75°; ang A D C 105°",
     "choices": [
      {
       "text": "$AB ∥ DC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$AD ∥ BC$",
       "mistake": "wrong_pair_parallel"
      },
      {
       "text": "אף זוג",
       "mistake": "parallel_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה מספיק כדי ששני ישרים שחותך חוצה אותם יהיו מקבילים?",
     "figure": "_T=0,2; _S=-1.06,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=0.61,3.15; _D=-1.67,-1.15; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b",
     "choices": [
      {
       "text": "זוויות מתחלפות שוות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "זוויות מתחלפות משלימות ל־$180°$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      },
      {
       "text": "זוויות חד־צדדיות שוות",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "חותך חוצה שני ישרים, ושתי זוויות חד־צדדיות הן $42°$ ו־$138°$. האם הישרים מקבילים?",
     "figure": "_T=0,2; _S=2.22,0; _aL=-4.2,2; _aR=3.2,2; _bL=-4.2,0; _bR=3.2,0; _U=-0.97,2.87; _D=3.19,-0.87; line _aL _aR; line _bL _bR; line _U _D; text 3.55,2 a; text 3.55,0 b; ang _S _T _aR 42°; ang _bR _S _T 138°",
     "choices": [
      {
       "text": "כן",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "לא, הזוויות אינן שוות",
       "mistake": "parallel_converse"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "z_trap_def",
   "unit": "z",
   "name": "הכרת הטרפז",
   "short": "הכרת הטרפז",
   "prereqs": [
    "z_parallel"
   ],
   "description": "טרפז הוא מרובע שיש בו זוג אחד בדיוק של צלעות מקבילות (בסיסים). זוויות שליד אותה שוק משלימות ל־$180°$.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "איזה מרובע נקרא טרפז?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=4.9,3; D=1.4,3; poly A B C D",
     "choices": [
      {
       "text": "מרובע שיש בו זוג אחד בדיוק של צלעות מקבילות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות מקבילות",
       "mistake": "trap_vs_par"
      },
      {
       "text": "מרובע שבו הצלעות הנגדיות שוות",
       "mistake": "trap_vs_par"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטרפז $ABCD$ ($AB ∥ DC$): $∢A = 70°$. מה גודל $∢D$?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=5.27,3; D=1.09,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; ang B A D 70°; ang A D C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$110°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$70°$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      },
      {
       "text": "$20°$",
       "mistake": "complement90"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטרפז $ABCD$ ($AB ∥ DC$): $∢B = 125°$. מה גודל $∢C$?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=9.1,3; D=1.6,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; ang C B A 125°; ang D C B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$55°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$125°$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      },
      {
       "text": "$35°$",
       "mistake": "complement90"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטרפז $ABCD$ ($AB ∥ DC$): $∢A = 3 · ∢D$. מה גודל $∢A$?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=5.5,2.6; D=-2.6,2.6; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; ang B A D ?; ang A D C; note ∢A = 3 · ∢D",
     "choices": [
      {
       "text": "$135°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$45°$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$90°$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטרפז $ABCD$ ($AB ∥ DC$), אילו זוגות של זוויות משלימים ל־$180°$?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=4.9,3; D=1.4,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1",
     "choices": [
      {
       "text": "$∢A + ∢D$ ו־$∢B + ∢C$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$∢A + ∢B$ ו־$∢C + ∢D$",
       "mistake": "wrong_pair_parallel"
      },
      {
       "text": "$∢A + ∢C$ ו־$∢B + ∢D$",
       "mistake": "wrong_pair_parallel"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטרפז $ABCD$ ($AB ∥ DC$): $∢A = 80°$, $∢B = 60°$. מה $∢C + ∢D$?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=5.27,3; D=0.53,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; ang B A D 80°; ang C B A 60°; ang D C B ?; ang A D C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$220°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$140°$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      },
      {
       "text": "$180°$",
       "mistake": "angle_sum_180"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "האם יש טרפז עם שלוש זוויות ישרות?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=4.9,3; D=0,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; right B A D; right A D C",
     "choices": [
      {
       "text": "לא, אז גם הרביעית ישרה והמרובע מלבן",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כן",
       "mistake": "three_right"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטרפז ישר זווית $ABCD$ ($AB ∥ DC$, $∢D = 90°$): $∢B = 115°$. מה גודל $∢C$?",
     "figure": "A=0,0; B=5,0; C=6.4,3; D=0,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; right A D C; ang C B A 115°; ang D C B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$65°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$115°$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      },
      {
       "text": "$90°$",
       "mistake": "trap_vs_par"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהם הבסיסים של טרפז?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=4.9,3; D=1.4,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1",
     "choices": [
      {
       "text": "הצלעות המקבילות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "הצלעות שאינן מקבילות",
       "mistake": "trap_vs_par"
      },
      {
       "text": "האלכסונים",
       "mistake": "trap_vs_par"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטרפז $ABCD$ ($AB ∥ DC$): $∢CAB = 30°$. מה גודל $∢ACD$?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=4.9,3; D=1.4,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; line A C; ang C A B 30°; ang A C D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$30°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$150°$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "complement90"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "z_trap_iso",
   "unit": "z",
   "name": "טרפז שווה שוקיים",
   "short": "טרפז שווה שוקיים",
   "prereqs": [
    "z_trap_def"
   ],
   "description": "בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות והאלכסונים שווים.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ($AB ∥ DC$, $AD = BC$): $∢A = 70°$. מה גודל $∢B$?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=5.91,3; D=1.09,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; tick A D 1; tick B C 1; ang B A D 70°; ang C B A ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$70°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$110°$",
       "mistake": "trap_iso_angles"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ($AB ∥ DC$, $AD = BC$): $∢A = 70°$. מה גודל $∢C$?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=5.91,3; D=1.09,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; tick A D 1; tick B C 1; ang B A D 70°; ang D C B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$110°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$70°$",
       "mistake": "trap_iso_angles"
      },
      {
       "text": "$20°$",
       "mistake": "complement90"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה נכון לגבי האלכסונים של טרפז שווה שוקיים?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=5.6,3; D=1.4,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; tick A D 1; tick B C 1; line A C; line B D",
     "choices": [
      {
       "text": "הם שווים",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "הם חוצים זה את זה",
       "mistake": "trap_iso_diag"
      },
      {
       "text": "הם מאונכים",
       "mistake": "trap_iso_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ האלכסון $AC = 12$. מה $BD$?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=5.6,3; D=1.4,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; tick A D 1; tick B C 1; line A C; line B D; note AC = 12",
     "choices": [
      {
       "text": "$12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$6$",
       "mistake": "trap_iso_diag"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "trap_iso_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בסיסי טרפז שווה שוקיים $10$ ו־$4$, והגובה $4$. מה אורך השוק?",
     "figure": "_A=0,0; _B=10,0; _C=7,4; _D=3,4; _H=3,0; poly _A _B _C _D; dash _D _H; right _D _H _B; lenx _D _H 4; len _A _B 10; len _D _C 4; len _A _D ?; tick _A _D 1; tick _B _C 1",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "leg_as_height"
      },
      {
       "text": "$6$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ($AB ∥ DC$): $∢D = 2 · ∢A$. מה גודל $∢C$?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=5.27,3; D=1.73,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; tick A D 1; tick B C 1; note ∢D = 2 · ∢A; ang D C B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$120°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "trap_iso_angles"
      },
      {
       "text": "$90°$",
       "mistake": "alt_vs_cointerior"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "היקף טרפז שווה שוקיים $30$, ובסיסיו $8$ ו־$12$. מה אורך השוק?",
     "figure": "_A=0,0; _B=12,0; _C=10,3; _D=2,3; poly _A _B _C _D; len _A _B 12; len _D _C 8; len _A _D ?; len _B _C ?; tick _A _D 1; tick _B _C 1",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      },
      {
       "text": "$2.5$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בסיסי טרפז שווה שוקיים $14$ ו־$6$, וזווית הבסיס הגדול $60°$. מה אורך השוק?",
     "figure": "_A=0,0; _B=14,0; _C=10,6.93; _D=4,6.93; poly _A _B _C _D; len _A _B 14; len _D _C 6; len _A _D ?; ang _B _A _D 60°; tick _A _D 1; tick _B _C 1",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "leg_as_height"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ($AB ∥ DC$), מה $∢A + ∢C$?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=5.6,3; D=1.4,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; tick A D 1; tick B C 1; ang B A D; ang D C B",
     "choices": [
      {
       "text": "$180°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$360°$",
       "mistake": "trap_iso_angles"
      },
      {
       "text": "תלוי בטרפז",
       "mistake": "trap_iso_angles"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזו טענה נכונה בכל טרפז שווה שוקיים?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=5.6,3; D=1.4,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; tick A D 1; tick B C 1",
     "choices": [
      {
       "text": "זוויות הבסיס שוות והאלכסונים שווים",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "האלכסונים חוצים זה את זה",
       "mistake": "trap_iso_diag"
      },
      {
       "text": "השוקיים מקבילות",
       "mistake": "trap_vs_par"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "z_trap_proof",
   "unit": "z2",
   "name": "הוכחה שמרובע הוא טרפז",
   "short": "הוכחת טרפז",
   "prereqs": [
    "z_converse",
    "z_trap_def"
   ],
   "description": "מוכיחים שזוג צלעות אחד מקביל (בעזרת משפט הפוך לישרים מקבילים) ושהזוג השני אינו מקביל.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $∢A + ∢D = 180°$, אבל $∢A + ∢B ≠ 180°$. מהו המרובע?",
     "figure": "A=0,0; B=6,-0.4; C=5.1,3.4; D=0.9,2.7; poly A B C D; note ∢A + ∢D = 180°, ∢A + ∢B ≠ 180°",
     "choices": [
      {
       "text": "טרפז שבו $AB ∥ DC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "טרפז שבו $AD ∥ BC$",
       "mistake": "wrong_pair_parallel"
      },
      {
       "text": "מקבילית",
       "mistake": "trap_vs_par"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $AB ∥ DC$, ו־$AD$ אינו מקביל ל־$BC$. מהו המרובע?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=4.48,3; D=1.09,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1",
     "choices": [
      {
       "text": "טרפז",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מקבילית",
       "mistake": "trap_vs_par"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "parallel_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $AB ∥ DC$ ו־$AB = DC$. מהו המרובע?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7,3; D=1.6,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; tick A B 1; tick D C 1",
     "choices": [
      {
       "text": "מקבילית",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "טרפז",
       "mistake": "trap_vs_par"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $∢A = 70°$, $∢B = 110°$, $∢C = 80°$. מהו המרובע?",
     "figure": "A=0,0; B=5,0; D=1.23,3.38; C=5.82,2.26; poly A B C D; ang B A D 70°; ang C B A 110°; ang D C B 80°",
     "choices": [
      {
       "text": "טרפז שבו $AD ∥ BC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "טרפז שבו $AB ∥ DC$",
       "mistake": "wrong_pair_parallel"
      },
      {
       "text": "מקבילית",
       "mistake": "trap_vs_par"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $D$ על $AB$ ו־$E$ על $AC$, ו־$∢ADE = ∢ABC$. מהו המרובע $DBCE$?",
     "figure": "A=2.4,4.6; B=0,0; C=6.4,0; D=1.39,2.67@w; E=4.08,2.67@e; poly A B C; line D E; ang A D E; ang A B C",
     "choices": [
      {
       "text": "טרפז",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מקבילית",
       "mistake": "trap_vs_par"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "parallel_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $AB ∥ DC$ ו־$AD = BC$. מה אפשר להסיק?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=5.6,3; D=1.4,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; tick A D 1; tick B C 1; note AB ∥ DC, AD = BC",
     "choices": [
      {
       "text": "המרובע טרפז שווה שוקיים או מקבילית",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "המרובע טרפז שווה שוקיים",
       "mistake": "trap_vs_par"
      },
      {
       "text": "המרובע מקבילית",
       "mistake": "trap_vs_par"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $∢A = ∢B = 90°$. אילו צלעות מקבילות?",
     "figure": "A=0,0; B=5.5,0; C=5.5,2.6; D=0,4; poly A B C D; right B A D; right C B A",
     "choices": [
      {
       "text": "$AD ∥ BC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$AB ∥ DC$",
       "mistake": "wrong_pair_parallel"
      },
      {
       "text": "אף זוג",
       "mistake": "parallel_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $∢A = 65°$, $∢D = 115°$, $∢B = 70°$. מהו המרובע?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=5.91,3; D=1.4,3; poly A B C D; ang B A D 65°; ang A D C 115°; ang C B A 70°",
     "choices": [
      {
       "text": "טרפז שבו $AB ∥ DC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מקבילית",
       "mistake": "trap_vs_par"
      },
      {
       "text": "טרפז שבו $AD ∥ BC$",
       "mistake": "wrong_pair_parallel"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטרפז $ABCD$ ($AB ∥ DC$): $∢D = ∢C$. איזה טרפז זה?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=5.27,3; D=1.73,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; ang A D C; ang D C B",
     "choices": [
      {
       "text": "טרפז שווה שוקיים",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "טרפז ישר זווית",
       "mistake": "trap_iso_angles"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "trap_iso_angles"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שני ישרים מאונכים לאותו ישר. מה היחס ביניהם?",
     "figure": "_L1=-0.5,0; _L2=6,0; _P=1.5,0; _P2=1.5,3.4; _Q=4,0; _Q2=4,3.4; line _L1 _L2; line _P _P2; line _Q _Q2; right _L2 _P _P2; right _L2 _Q _Q2",
     "choices": [
      {
       "text": "הם מקבילים",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "הם מאונכים זה לזה",
       "mistake": "parallel_converse"
      },
      {
       "text": "הם נחתכים",
       "mistake": "parallel_converse"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "z_trap_area",
   "unit": "z2",
   "name": "שטח והיקף טרפז",
   "short": "שטח טרפז",
   "prereqs": [
    "z_trap_def"
   ],
   "description": "שטח טרפז: $(a + b) · h : 2$, כאשר $a$ ו־$b$ הבסיסים ו־$h$ הגובה. היקף: סכום ארבע הצלעות.",
   "month": "נובמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "בסיסי טרפז $10$ ו־$6$, וגובהו $4$. מה שטחו?",
     "figure": "_A=0,0; _B=10,0; _C=8,4; _D=2,4; _H=2,0; poly _A _B _C _D; dash _D _H; right _D _H _B; lenx _D _H 4; len _A _B 10; len _D _C 6",
     "choices": [
      {
       "text": "$32$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$64$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$120$",
       "mistake": "mult_all"
      },
      {
       "text": "$20$",
       "mistake": "trap_one_base"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בסיסי טרפז $7$ ו־$5$, וגובהו $6$. מה שטחו?",
     "figure": "_A=0,0; _B=7,0; _C=6,3.6; _D=1,3.6; _H=1,0; poly _A _B _C _D; dash _D _H; right _D _H _B; lenx _D _H 6; len _A _B 7; len _D _C 5",
     "choices": [
      {
       "text": "$36$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$72$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$21$",
       "mistake": "trap_one_base"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שטח טרפז $60$ ובסיסיו $8$ ו־$12$. מה גובהו?",
     "figure": "_A=0,0; _B=12,0; _C=10,3; _D=2,3; _H=2,0; poly _A _B _C _D; dash _D _H; right _D _H _B; lenx _D _H ?; len _A _B 12; len _D _C 8; note S = 60",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "trap_one_base"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שטח טרפז $45$, גובהו $5$ ואחד הבסיסים $7$. מה הבסיס השני?",
     "figure": "_A=0,0; _B=11,0; _C=9,3; _D=2,3; _H=2,0; poly _A _B _C _D; dash _D _H; right _D _H _B; lenx _D _H 5; len _A _B ?; len _D _C 7; note S = 45",
     "choices": [
      {
       "text": "$11$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$18$",
       "mistake": "other_quantity"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בסיסי טרפז $9$ ו־$15$, ושוקיו $5$ ו־$5$. מה היקפו?",
     "figure": "_A=0,0; _B=15,0; _C=12,4; _D=3,4; poly _A _B _C _D; len _A _B 15; len _D _C 9; len _A _D 5; len _B _C 5",
     "choices": [
      {
       "text": "$34$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$29$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      },
      {
       "text": "$24$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בסיסי טרפז שווה שוקיים $12$ ו־$6$, ושוקו $5$. מה שטחו?",
     "figure": "_A=0,0; _B=12,0; _C=9,4; _D=3,4; poly _A _B _C _D; len _A _B 12; len _D _C 6; len _A _D 5; len _B _C 5; tick _A _D 1; tick _B _C 1",
     "choices": [
      {
       "text": "$36$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$45$",
       "mistake": "leg_as_height"
      },
      {
       "text": "$72$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטרפז ישר זווית הבסיסים $10$ ו־$4$, והשוק המאונכת $8$. מה היקפו?",
     "figure": "_A=0,0; _B=10,0; _C=4,4.8; _D=0,4.8; poly _A _B _C _D; right _B _A _D; right _A _D _C; len _A _B 10; len _D _C 4; len _A _D 8",
     "choices": [
      {
       "text": "$32$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$28$",
       "mistake": "pyth"
      },
      {
       "text": "$30$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בסיסי טרפז $x$ ו־$x + 4$, גובהו $6$ ושטחו $42$. מה $x$?",
     "figure": "_A=0,0; _B=9,0; _C=7,3.3; _D=2,3.3; _H=2,0; poly _A _B _C _D; dash _D _H; right _D _H _B; lenx _D _H 6; len _A _B x + 4; len _D _C x; note S = 42",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 1.5$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$x = 7$",
       "mistake": "trap_one_base"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שטח טרפז $50$ וגובהו $5$. מה סכום הבסיסים?",
     "figure": "_A=0,0; _B=11,0; _C=9,3; _D=2,3; _H=2,0; poly _A _B _C _D; dash _D _H; right _D _H _B; lenx _D _H 5; note S = 50",
     "choices": [
      {
       "text": "$20$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$250$",
       "mistake": "mult_all"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בסיסי טרפז שווה שוקיים $16$ ו־$10$, ושוקיו $5$. מה גובהו?",
     "figure": "_A=0,0; _B=16,0; _C=13,4; _D=3,4; _H=3,0; poly _A _B _C _D; dash _D _H; right _D _H _B; lenx _D _H ?; len _A _B 16; len _D _C 10; len _A _D 5; len _B _C 5",
     "choices": [
      {
       "text": "$4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5$",
       "mistake": "leg_as_height"
      },
      {
       "text": "$3$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "z_trap_axes",
   "unit": "z2",
   "name": "טרפז במערכת צירים",
   "short": "טרפז בצירים",
   "prereqs": [
    "z_trap_area"
   ],
   "description": "במערכת צירים מזהים בסיסים מקבילים, מחשבים גובה, שטח והיקף של טרפז.",
   "month": "דצמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "בטרפז $A(0, 0)$, $B(8, 0)$, $C(6, 4)$, $D(2, 4)$, אילו צלעות מקבילות?",
     "figure": "A=0,0; B=8,0; C=6,4; D=2,4; poly A B C D; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$AB ∥ DC$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$AD ∥ BC$",
       "mistake": "wrong_pair_parallel"
      },
      {
       "text": "שני הזוגות",
       "mistake": "trap_vs_par"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטרפז $A(0, 0)$, $B(8, 0)$, $C(6, 4)$, $D(2, 4)$, מה אורכי הבסיסים?",
     "figure": "A=0,0; B=8,0; C=6,4; D=2,4; poly A B C D; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$ ו־$4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$8$ ו־$6$",
       "mistake": "axes_mixed"
      },
      {
       "text": "$4$ ו־$4$",
       "mistake": "axes_mixed"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטרפז $A(0, 0)$, $B(8, 0)$, $C(6, 4)$, $D(2, 4)$, מה הגובה?",
     "figure": "A=0,0; B=8,0; C=6,4; D=2,4; poly A B C D; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$6$",
       "mistake": "axes_mixed"
      },
      {
       "text": "$√20$",
       "mistake": "leg_as_height"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה שטח הטרפז $A(0, 0)$, $B(8, 0)$, $C(6, 4)$, $D(2, 4)$?",
     "figure": "A=0,0; B=8,0; C=6,4; D=2,4; poly A B C D; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$24$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$48$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$16$",
       "mistake": "trap_one_base"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "האם הטרפז $A(0, 0)$, $B(8, 0)$, $C(6, 4)$, $D(2, 4)$ שווה שוקיים?",
     "figure": "A=0,0; B=8,0; C=6,4; D=2,4; poly A B C D; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "כן, $AD = BC = √20$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "לא",
       "mistake": "trap_iso_angles"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזה מרובע הוא $A(−2, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 5)$, $D(1, 5)$?",
     "figure": "A=-2,1; B=4,1; C=4,5; D=1,5; poly A B C D; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "טרפז ישר זווית",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מקבילית",
       "mistake": "trap_vs_par"
      },
      {
       "text": "טרפז שווה שוקיים",
       "mistake": "trap_iso_angles"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה שטח הטרפז $A(−2, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 5)$, $D(1, 5)$?",
     "figure": "A=-2,1; B=4,1; C=4,5; D=1,5; poly A B C D; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$18$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$36$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "trap_one_base"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטרפז $A(−2, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 5)$, $D(1, 5)$, מה אורך $AD$?",
     "figure": "A=-2,1; B=4,1; C=4,5; D=1,5; poly A B C D; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$7$",
       "mistake": "dist_add"
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "leg_as_height"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה היקף הטרפז $A(−2, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 5)$, $D(1, 5)$?",
     "figure": "A=-2,1; B=4,1; C=4,5; D=1,5; poly A B C D; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$18$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$20$",
       "mistake": "dist_add"
      },
      {
       "text": "$17$",
       "mistake": "leg_as_height"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "נתונים $A(0, 0)$, $B(6, 0)$, $C(5, 3)$. איזו נקודה $D$ יוצרת טרפז שווה שוקיים $ABCD$ שבו $AB ∥ DC$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=5,3; grid; line A B; line B C",
     "choices": [
      {
       "text": "$(1, 3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(0, 3)$",
       "mistake": "trap_iso_angles"
      },
      {
       "text": "$(−1, 3)$",
       "mistake": "trap_vs_par"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "e_way",
   "unit": "e",
   "name": "בחירת דרך פתרון יעילה",
   "short": "דרך פתרון יעילה",
   "prereqs": [
    "q_formula"
   ],
   "description": "לפי צורת המשוואה בוחרים דרך יעילה: הוצאת שורש, הוצאת גורם משותף, פירוק טרינום או נוסחת השורשים.",
   "month": "דצמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "פתרו: $(x − 3)² = 16$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 7$ או $x = −1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 7$",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$x = 4$ או $x = −4$",
       "mistake": "lost_shift"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x(x + 4) = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 0$ או $x = −4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 0$ או $x = 4$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      },
      {
       "text": "$x = −4$",
       "mistake": "divide_by_x"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $5x² = 45$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 3$ או $x = −3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 3$",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$x = 9$ או $x = −9$",
       "mistake": "forgot_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(2x − 1)(x + 3) = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 0.5$ או $x = −3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 1$ או $x = −3$",
       "mistake": "divide_wrong"
      },
      {
       "text": "$x = −0.5$ או $x = 3$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² − 7x = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 0$ או $x = 7$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 7$",
       "mistake": "divide_by_x"
      },
      {
       "text": "$x = 0$ או $x = −7$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $2(x + 1)² = 18$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 2$ או $x = −4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 2$",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$x = 8$ או $x = −10$",
       "mistake": "forgot_divide"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² − 10x + 25 = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 5$ או $x = −5$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      },
      {
       "text": "$x = −5$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² + 2x − 8 = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 2$ או $x = −4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −2$ או $x = 4$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 1$ או $x = −8$",
       "mistake": "product_only"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזו משוואה הכי נוח לפתור בהוצאת שורש?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(x + 2)² = 25$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x² + 4x − 21 = 0$",
       "mistake": "way_choice"
      },
      {
       "text": "$x² − 3x = 0$",
       "mistake": "way_choice"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה הדרך היעילה ביותר לפתור את $x² − 6x = 0$?",
     "choices": [
      {
       "text": "הוצאת גורם משותף",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "נוסחת השורשים",
       "mistake": "way_choice"
      },
      {
       "text": "הוצאת שורש",
       "mistake": "way_choice"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "e_technique",
   "unit": "e",
   "name": "משוואות ריבועיות שדורשות טכניקה אלגברית",
   "short": "טכניקה ומשוואות",
   "prereqs": [
    "q_formula"
   ],
   "description": "פותחים סוגריים (גם בנוסחאות הכפל המקוצר), מעבירים הכול לאגף אחד ורק אז פותרים.",
   "month": "דצמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "פתרו: $(x + 2)² = 4x + 13$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 3$ או $x = −3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 3$",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$x = 9$ או $x = −9$",
       "mistake": "forgot_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x(x − 3) = 10$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 5$ או $x = −2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 10$ או $x = 13$",
       "mistake": "factor_nonzero"
      },
      {
       "text": "$x = −5$ או $x = 2$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x − 1)(x + 4) = 6$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −5$ או $x = 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 7$ או $x = 2$",
       "mistake": "factor_nonzero"
      },
      {
       "text": "$x = 5$ או $x = −2$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $2x² = 3(x + 3)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 3$ או $x = −1.5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −3$ או $x = 1.5$",
       "mistake": "minus_b"
      },
      {
       "text": "$x = 6$ או $x = −3$",
       "mistake": "forgot_2a"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(2x − 1)² = 9$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 2$ או $x = −1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 2$",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$x = 4$ או $x = −2$",
       "mistake": "forgot_divide"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x + 3)(x − 3) = 8x$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 9$ או $x = −1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −9$ או $x = 1$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 3$ או $x = −3$",
       "mistake": "factor_nonzero"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² + (x + 1)² = 25$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 3$ או $x = −4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = √12$ או $x = −√12$",
       "mistake": "forgot_middle"
      },
      {
       "text": "$x = −3$ או $x = 4$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x + 5)² = 10x + 50$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 5$ או $x = −5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 5$",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$x = 25$ או $x = −25$",
       "mistake": "forgot_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $3(x² − 2) = 7x$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 3$ או $x = −2/3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 9$ או $x = −2$",
       "mistake": "forgot_2a"
      },
      {
       "text": "$x = −3$ או $x = 2/3$",
       "mistake": "minus_b"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x − 2)² + x = 8$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 4$ או $x = −1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −4$ או $x = 1$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 2 + √8$ או $x = 2 − √8$",
       "mistake": "factor_nonzero"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "e_apply_geo",
   "unit": "e",
   "name": "יישומים הנדסיים של משוואות ריבועיות",
   "short": "יישומים הנדסיים",
   "prereqs": [
    "e_technique"
   ],
   "description": "בונים משוואה מנתוני שטח, היקף או משפט פיתגורס, פותרים, ופוסלים פתרון שאינו יכול להיות אורך.",
   "month": "דצמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "אורך מלבן גדול ב־$3$ מרוחבו, ושטחו $40$. מה רוחבו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5$ או $−8$",
       "mistake": "inadmissible"
      },
      {
       "text": "$8$",
       "mistake": "other_quantity"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ניצבי משולש ישר זווית הם $x$ ו־$x + 7$, והיתר $13$. מה $x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 5$ או $x = −12$",
       "mistake": "inadmissible"
      },
      {
       "text": "$x = 12$",
       "mistake": "other_quantity"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "היקף מלבן $26$ ושטחו $40$. מה אורכו (הצלע הארוכה)?",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$13$",
       "mistake": "half_perimeter"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "תמונה שמידותיה $20$ על $10$ ממוסגרת במסגרת ברוחב $x$ מכל צד. השטח הכולל $336$. מה $x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 4$",
       "mistake": "frame_one_side"
      },
      {
       "text": "$x = 2$ או $x = −17$",
       "mistake": "inadmissible"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בסיס משולש $x + 2$, הגובה אליו $x$, ושטחו $24$. מה $x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 4$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$x = 6$ או $x = −8$",
       "mistake": "inadmissible"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אורך מלבן כפול מרוחבו, ושטחו $72$. מה רוחבו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$36$",
       "mistake": "forgot_root"
      },
      {
       "text": "$6$ או $−6$",
       "mistake": "inadmissible"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "סביב בריכה שמידותיה $8$ על $6$ יש שביל ברוחב $x$. שטח השביל לבדו $72$. מה $x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 4$",
       "mistake": "frame_one_side"
      },
      {
       "text": "$x = 2$ או $x = −9$",
       "mistake": "inadmissible"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אלכסון מלבן $10$, ואורכו גדול ב־$2$ מרוחבו. מה רוחבו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$8$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$6$ או $−8$",
       "mistake": "inadmissible"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בסיסי טרפז $x$ ו־$x + 4$, גובהו $x$ ושטחו $48$. מה $x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 4$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$x = 6$ או $x = −8$",
       "mistake": "inadmissible"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "חוט באורך $20$ ס״מ חותכים לשני חלקים, ומכל חלק בונים ריבוע. סכום שטחי הריבועים $13$ סמ״ר. מה אורכי החלקים?",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$ ס״מ ו־$12$ ס״מ",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2$ ס״מ ו־$3$ ס״מ",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$10$ ס״מ ו־$10$ ס״מ",
       "mistake": "half_product"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "e_apply_num",
   "unit": "e",
   "name": "יישומים מספריים של משוואות ריבועיות",
   "short": "יישומים מספריים",
   "prereqs": [
    "e_technique"
   ],
   "description": "מתרגמים את הסיפור למשוואה ריבועית, פותרים, ובודקים את הפתרונות מול תנאי השאלה.",
   "month": "דצמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "מכפלת שני מספרים שלמים עוקבים היא $56$. מהם המספרים?",
     "choices": [
      {
       "text": "$7$ ו־$8$, או $−8$ ו־$−7$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$28$ ו־$28$",
       "mistake": "half_product"
      },
      {
       "text": "$7$ ו־$8$ בלבד",
       "mistake": "both_solutions"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "סכום מספר וריבועו הוא $30$. מהו המספר?",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$ או $−6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5$ בלבד",
       "mistake": "both_solutions"
      },
      {
       "text": "$15$",
       "mistake": "half_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ריבועו של מספר טבעי גדול ב־$12$ מהמספר. מהו המספר?",
     "choices": [
      {
       "text": "$4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4$ או $−3$",
       "mistake": "inadmissible"
      },
      {
       "text": "$3$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "סכום שני מספרים $10$ ומכפלתם $21$. מהם המספרים?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3$ ו־$7$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5$ ו־$5$",
       "mistake": "product_check"
      },
      {
       "text": "$1$ ו־$21$",
       "mistake": "product_check"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ההפרש בין שני מספרים טבעיים $3$, ומכפלתם $40$. מהם המספרים?",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$ ו־$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4$ ו־$10$",
       "mistake": "product_check"
      },
      {
       "text": "$−8$ ו־$−5$",
       "mistake": "inadmissible"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "גובה כדור (במטרים) אחרי $t$ שניות הוא $h = −5t² + 20t$. אחרי כמה שניות יחזור לקרקע?",
     "choices": [
      {
       "text": "$4$ שניות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2$ שניות",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$20$ שניות",
       "mistake": "forgot_divide"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "גובה כדור (במטרים) אחרי $t$ שניות הוא $h = −5t² + 20t$. מה הגובה המרבי שלו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$20$ מ׳",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2$ מ׳",
       "mistake": "x_as_value"
      },
      {
       "text": "$40$ מ׳",
       "mistake": "minus_outside"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "כל תלמיד בכיתה שלח הודעה אחת לכל תלמיד אחר, ונשלחו $90$ הודעות. כמה תלמידים בכיתה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$ או $−9$",
       "mistake": "inadmissible"
      },
      {
       "text": "$45$",
       "mistake": "half_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "סכום הריבועים של שני מספרים טבעיים עוקבים הוא $41$. מהם המספרים?",
     "choices": [
      {
       "text": "$4$ ו־$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−5$ ו־$−4$",
       "mistake": "inadmissible"
      },
      {
       "text": "$20$ ו־$21$",
       "mistake": "half_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מספר אחד גדול פי $3$ מהשני, ומכפלתם $48$. מהם המספרים?",
     "choices": [
      {
       "text": "$4$ ו־$12$, או $−4$ ו־$−12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4$ ו־$12$ בלבד",
       "mistake": "both_solutions"
      },
      {
       "text": "$16$ ו־$48$",
       "mistake": "forgot_root"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "v_graph",
   "unit": "v",
   "name": "אי־שוויון ריבועי מגרף",
   "short": "אי־שוויון מגרף",
   "prereqs": [
    "q_props"
   ],
   "description": "פתרון $f(x) > 0$ הוא תחום ערכי $x$ שבו הגרף מעל ציר $x$; פתרון $f(x) < 0$ הוא היכן שהוא מתחתיו.",
   "month": "דצמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "לפי הגרף, מתי $f(x) > 0$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -2,
        5
       ],
       [
        -1,
        0
       ],
       [
        0,
        -3
       ],
       [
        1,
        -4
       ],
       [
        2,
        -3
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        5
       ]
      ],
      "x": [
       -2.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       5.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$x < −1$ או $x > 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−1 < x < 3$",
       "mistake": "sign_regions"
      },
      {
       "text": "$x > 3$",
       "mistake": "partial_intervals"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מתי $f(x) ≤ 0$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -2,
        5
       ],
       [
        -1,
        0
       ],
       [
        0,
        -3
       ],
       [
        1,
        -4
       ],
       [
        2,
        -3
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        5
       ]
      ],
      "x": [
       -2.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       5.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$−1 ≤ x ≤ 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−1 < x < 3$",
       "mistake": "strict_vs_weak"
      },
      {
       "text": "$x ≤ −1$ או $x ≥ 3$",
       "mistake": "sign_regions"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מתי $f(x) > 0$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        -5
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -2,
        3
       ],
       [
        -1,
        4
       ],
       [
        0,
        3
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -5
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       2.5
      ],
      "y": [
       -5.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$−3 < x < 1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x < −3$ או $x > 1$",
       "mistake": "sign_regions"
      },
      {
       "text": "$x < 1$",
       "mistake": "partial_intervals"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מתי $f(x) ≥ 0$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        -5
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -2,
        3
       ],
       [
        -1,
        4
       ],
       [
        0,
        3
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -5
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       2.5
      ],
      "y": [
       -5.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$−3 ≤ x ≤ 1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−3 < x < 1$",
       "mistake": "strict_vs_weak"
      },
      {
       "text": "$x ≤ −3$ או $x ≥ 1$",
       "mistake": "sign_regions"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מתי $f(x) < 0$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        -5
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -2,
        3
       ],
       [
        -1,
        4
       ],
       [
        0,
        3
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -5
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       2.5
      ],
      "y": [
       -5.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$x < −3$ או $x > 1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−3 < x < 1$",
       "mistake": "sign_regions"
      },
      {
       "text": "$x > 1$",
       "mistake": "partial_intervals"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מתי $f(x) > 0$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        4
       ],
       [
        -3,
        1
       ],
       [
        -2,
        0
       ],
       [
        -1,
        1
       ],
       [
        0,
        4
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       1.5
      ],
      "y": [
       -1,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "לכל $x ≠ −2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x > −2$",
       "mistake": "touch_point"
      },
      {
       "text": "אין פתרון",
       "mistake": "sign_regions"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מתי $f(x) < 0$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        4
       ],
       [
        -3,
        1
       ],
       [
        -2,
        0
       ],
       [
        -1,
        1
       ],
       [
        0,
        4
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       1.5
      ],
      "y": [
       -1,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "אין פתרון",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x < −2$",
       "mistake": "touch_point"
      },
      {
       "text": "לכל $x ≠ −2$",
       "mistake": "sign_regions"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מתי $f(x) ≤ 0$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        4
       ],
       [
        -3,
        1
       ],
       [
        -2,
        0
       ],
       [
        -1,
        1
       ],
       [
        0,
        4
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       1.5
      ],
      "y": [
       -1,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "אין פתרון",
       "mistake": "strict_vs_weak"
      },
      {
       "text": "$x ≤ −2$",
       "mistake": "touch_point"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מתי $f(x) > 0$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        0,
        -3
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        1
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        -3
       ]
      ],
      "x": [
       -0.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -3.5,
       1.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$1 < x < 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x < 1$ או $x > 3$",
       "mistake": "sign_regions"
      },
      {
       "text": "$1 ≤ x ≤ 3$",
       "mistake": "strict_vs_weak"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מתי $f(x) ≤ 0$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        0,
        -3
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        1
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        -3
       ]
      ],
      "x": [
       -0.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -3.5,
       1.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≤ 1$ או $x ≥ 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1 ≤ x ≤ 3$",
       "mistake": "sign_regions"
      },
      {
       "text": "$x < 1$ או $x > 3$",
       "mistake": "strict_vs_weak"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "v_solve",
   "unit": "v",
   "name": "פתרון אי־שוויון ריבועי",
   "short": "פתרון אי־שוויון",
   "prereqs": [
    "v_graph",
    "q_formula"
   ],
   "description": "מוצאים את השורשים, משרטטים סקיצה לפי סימן $a$, וקוראים ממנה את התחום המבוקש.",
   "month": "דצמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "פתרו: $x² − 5x + 6 < 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2 < x < 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x < 2$ או $x > 3$",
       "mistake": "sign_regions"
      },
      {
       "text": "$x < 3$",
       "mistake": "partial_intervals"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² − 9 ≥ 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≤ −3$ או $x ≥ 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≥ 3$",
       "mistake": "partial_intervals"
      },
      {
       "text": "$−3 ≤ x ≤ 3$",
       "mistake": "sign_regions"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $−x² + 4x > 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$0 < x < 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x < 0$ או $x > 4$",
       "mistake": "sign_regions"
      },
      {
       "text": "$x > 4$",
       "mistake": "partial_intervals"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² + 1 > 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "לכל $x$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "אין פתרון",
       "mistake": "vertex_side"
      },
      {
       "text": "$x > −1$",
       "mistake": "partial_intervals"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² < 2x$",
     "choices": [
      {
       "text": "$0 < x < 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x < 2$",
       "mistake": "divide_by_x"
      },
      {
       "text": "$x < 0$ או $x > 2$",
       "mistake": "sign_regions"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x − 1)(x + 4) ≤ 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−4 ≤ x ≤ 1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−4 < x < 1$",
       "mistake": "strict_vs_weak"
      },
      {
       "text": "$−1 ≤ x ≤ 4$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² + 2x − 15 > 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x < −5$ או $x > 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−5 < x < 3$",
       "mistake": "sign_regions"
      },
      {
       "text": "$x < −3$ או $x > 5$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $−x² + x + 6 ≥ 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−2 ≤ x ≤ 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≤ −2$ או $x ≥ 3$",
       "mistake": "sign_regions"
      },
      {
       "text": "$−2 < x < 3$",
       "mistake": "strict_vs_weak"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² ≤ 16$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−4 ≤ x ≤ 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≤ 4$",
       "mistake": "partial_intervals"
      },
      {
       "text": "$x ≤ −4$ או $x ≥ 4$",
       "mistake": "sign_regions"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $2x² − 8 < 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−2 < x < 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x < 2$",
       "mistake": "partial_intervals"
      },
      {
       "text": "$−4 < x < 4$",
       "mistake": "forgot_root"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "g_def",
   "unit": "g",
   "name": "הגדרת המקבילית, צלעות וזוויות",
   "short": "הגדרת מקבילית",
   "prereqs": [
    "z_parallel"
   ],
   "description": "מקבילית היא מרובע ששני זוגות הצלעות הנגדיות בו מקבילים. במקבילית צלעות נגדיות שוות, זוויות נגדיות שוות וזוויות סמוכות משלימות ל־$180°$.",
   "month": "דצמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "איזה מרובע נקרא מקבילית?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; poly A B C D",
     "choices": [
      {
       "text": "מרובע ששני זוגות הצלעות הנגדיות בו מקבילים",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מרובע שיש בו זוג אחד של צלעות מקבילות",
       "mistake": "trap_vs_par"
      },
      {
       "text": "מרובע שאלכסוניו שווים",
       "mistake": "par_not_rect"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$: $∢A = 70°$. מה גודל $∢C$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.16,3.19; D=1.16,3.19; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2; ang B A D 70°; ang D C B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$70°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$110°$",
       "mistake": "par_opposite"
      },
      {
       "text": "$20°$",
       "mistake": "complement90"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$: $∢A = 70°$. מה גודל $∢B$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.16,3.19; D=1.16,3.19; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2; ang B A D 70°; ang C B A ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$110°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$70°$",
       "mistake": "par_adjacent"
      },
      {
       "text": "$20°$",
       "mistake": "complement90"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$: $AB = 7$, $BC = 4$. מה היקפה?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=8.69,3.63; D=1.69,3.63; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2; len A B 7; len B C 4",
     "choices": [
      {
       "text": "$22$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$11$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      },
      {
       "text": "$28$",
       "mistake": "par_not_rhombus"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$: $∢A = 2 · ∢B$. מה גודל $∢A$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=4.4,2.77; D=-1.6,2.77; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2; ang B A D ?; note ∢A = 2 · ∢B",
     "choices": [
      {
       "text": "$120°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$90°$",
       "mistake": "par_adjacent"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$: $∢A + ∢C = 140°$. מה גודל $∢B$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.16,3.19; D=1.16,3.19; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2; ang C B A ?; note ∢A + ∢C = 140°",
     "choices": [
      {
       "text": "$110°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$40°$",
       "mistake": "par_adjacent"
      },
      {
       "text": "$70°$",
       "mistake": "par_opposite"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$: $AB = 3x − 1$, $DC = x + 7$. מה $x$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2; len A B 3x − 1; len D C x + 7",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 3$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 1.5$",
       "mistake": "par_opposite"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "היקף מקבילית $40$, ו־$AB = 12$. מה $BC$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.69,3.63; D=1.69,3.63; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2; len A B 12; len B C ?; note P = 40",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$28$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      },
      {
       "text": "$16$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$: $∢A = 5x + 10$, $∢C = 3x + 40$. מה גודל $∢A$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6.3,3.39; D=0.3,3.39; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2; ang B A D 5x + 10; ang D C B 3x + 40",
     "choices": [
      {
       "text": "$85°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$15°$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$91.25°$",
       "mistake": "par_adjacent"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזו טענה נכונה בכל מקבילית?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2",
     "choices": [
      {
       "text": "הצלעות הנגדיות שוות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כל הצלעות שוות",
       "mistake": "par_not_rhombus"
      },
      {
       "text": "האלכסונים שווים",
       "mistake": "par_not_rect"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "g_diag",
   "unit": "g",
   "name": "אלכסוני המקבילית",
   "short": "אלכסוני מקבילית",
   "prereqs": [
    "g_def"
   ],
   "description": "אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה.",
   "month": "דצמבר",
   "questions": [
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$ האלכסונים נחתכים ב־$O$, ו־$AC = 12$. מה $AO$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; O=3.72,1.54@s; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2; line A C; line B D; dot O; lenx A O ?; note AC = 12",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "par_diag"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "par_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$ האלכסונים נחתכים ב־$O$: $AO = 5$, $BO = 3$. מה $BD$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; O=3.72,1.54@s; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2; line A C; line B D; dot O; lenx A O 5; lenx B O 3",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "par_diag"
      },
      {
       "text": "$3$",
       "mistake": "par_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה נכון לגבי אלכסוני המקבילית?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; O=3.72,1.54@s; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2; line A C; line B D; dot O",
     "choices": [
      {
       "text": "הם חוצים זה את זה",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "הם שווים",
       "mistake": "par_not_rect"
      },
      {
       "text": "הם מאונכים",
       "mistake": "par_not_rhombus"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים): $AO = 2x + 1$, $OC = x + 5$. מה $x$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; O=3.72,1.54@s; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2; line A C; line B D; dot O; lenx A O 2x + 1; lenx O C x + 5",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 2$",
       "mistake": "par_diag"
      },
      {
       "text": "$x = 6$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים): $AC = 3x$, $AO = x + 4$. מה $x$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; O=3.72,1.54@s; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2; line A C; line B D; dot O; lenx A O x + 4; note AC = 3x",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 2$",
       "mistake": "par_diag"
      },
      {
       "text": "$x = 4$",
       "mistake": "par_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים): $AO = 4$, $BO = 3$ ו־$∢AOB = 90°$. מה $AB$?",
     "figure": "O=0,0@e; A=-4,-0.6; C=4,0.6; B=0.45,-3; D=-0.45,3; poly A B C D; line A C; line B D; dot O; right A O B; lenx A O 4; lenx B O 3; len A B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$7$",
       "mistake": "pyth"
      },
      {
       "text": "$√7$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים), לאיזה משולש חופף המשולש $AOB$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; O=3.72,1.54@s; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2; line A C; line B D; dot O",
     "choices": [
      {
       "text": "$△COD$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$△BOC$",
       "mistake": "par_diag"
      },
      {
       "text": "$△AOD$",
       "mistake": "par_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים): $AC + BD = 30$, $AO = 6$. מה $BO$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; O=3.72,1.54@s; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2; line A C; line B D; dot O; lenx A O 6; lenx B O ?; note AC + BD = 30",
     "choices": [
      {
       "text": "$9$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$18$",
       "mistake": "par_diag"
      },
      {
       "text": "$24$",
       "mistake": "par_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים): $AO = 7$, $BD = 10$. מה $AC + BD$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; O=3.72,1.54@s; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2; line A C; line B D; dot O; lenx A O 7; note BD = 10",
     "choices": [
      {
       "text": "$24$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$17$",
       "mistake": "par_diag"
      },
      {
       "text": "$34$",
       "mistake": "par_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים) שטח המשולש $AOB$ הוא $5$. מה שטח המקבילית?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; O=3.72,1.54@s; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; par A D 2; par B C 2; line A C; line B D; dot O; note S(△AOB) = 5",
     "choices": [
      {
       "text": "$20$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "par_diag"
      },
      {
       "text": "$15$",
       "mistake": "par_diag"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "g_converse",
   "unit": "g",
   "name": "משפטים הפוכים: מתי מרובע הוא מקבילית",
   "short": "הוכחת מקבילית",
   "prereqs": [
    "g_diag"
   ],
   "description": "מרובע הוא מקבילית אם שני זוגות של צלעות נגדיות שווים, אם זוג צלעות נגדיות מקביל ושווה, אם האלכסונים חוצים זה את זה, או אם הזוויות הנגדיות שוות.",
   "month": "ינואר",
   "questions": [
    {
     "question": "במרובע $ABCD$ האלכסונים חוצים זה את זה. מהו המרובע?",
     "figure": "A=0,0; B=6,-0.4; C=5.1,3.4; D=0.9,2.7; O=2.55,1.7@s; poly A B C D; line A C; line B D; dot O; note AO = OC, BO = OD",
     "choices": [
      {
       "text": "מקבילית",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "לא בהכרח מקבילית",
       "mistake": "par_tests"
      },
      {
       "text": "מלבן",
       "mistake": "par_not_rect"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $AB ∥ DC$ ו־$AD = BC$. האם הוא בהכרח מקבילית?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=6.2,3; D=2.2,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; tick A D 1; tick B C 1",
     "choices": [
      {
       "text": "לא, ייתכן שהוא טרפז שווה שוקיים",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כן",
       "mistake": "par_trap_iso"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $AB ∥ DC$ ו־$AB = DC$. האם הוא מקבילית?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7,3; D=1.6,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; tick A B 1; tick D C 1",
     "choices": [
      {
       "text": "כן",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "לא בהכרח",
       "mistake": "par_tests"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $AB = DC$ ו־$AD = BC$. האם הוא מקבילית?",
     "figure": "A=0,0; B=6,-0.4; C=5.1,3.4; D=0.9,2.7; poly A B C D; note AB = DC, AD = BC",
     "choices": [
      {
       "text": "כן",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "לא בהכרח",
       "mistake": "par_tests"
      },
      {
       "text": "רק אם יש בו זווית ישרה",
       "mistake": "par_not_rect"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$ האלכסונים מאונכים זה לזה. האם הוא בהכרח מקבילית?",
     "figure": "A=0,0; B=6,-0.4; C=5.1,3.4; D=0.9,2.7; O=2.55,1.7@s; poly A B C D; line A C; line B D; dot O; right A O B; note AC ⊥ BD",
     "choices": [
      {
       "text": "לא",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כן",
       "mistake": "kite_par"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $∢A = ∢C$ ו־$∢B = ∢D$. מהו המרובע?",
     "figure": "A=0,0; B=6,-0.4; C=5.1,3.4; D=0.9,2.7; poly A B C D; ang B A D; ang D C B; ang2 C B A; ang2 A D C",
     "choices": [
      {
       "text": "מקבילית",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "דלתון",
       "mistake": "kite_parallelogram"
      },
      {
       "text": "לא בהכרח מקבילית",
       "mistake": "par_tests"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $AB = DC = 6$, $AD = BC = 9$. מהו המרובע?",
     "figure": "A=0,0; B=6,-0.4; C=5.1,3.4; D=0.9,2.7; poly A B C D; len A B 6; len D C 6; len A D 9; len B C 9",
     "choices": [
      {
       "text": "מקבילית",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "דלתון",
       "mistake": "kite_parallelogram"
      },
      {
       "text": "מלבן",
       "mistake": "par_not_rect"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$ האלכסונים נחתכים ב־$O$, ו־$AO = OC$, $BO = OD$. מהו המרובע?",
     "figure": "A=0,0; B=6,-0.4; C=5.1,3.4; D=0.9,2.7; O=2.55,1.7@s; poly A B C D; line A C; line B D; dot O; note AO = OC, BO = OD",
     "choices": [
      {
       "text": "מקבילית",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מעוין",
       "mistake": "par_not_rhombus"
      },
      {
       "text": "לא בהכרח מקבילית",
       "mistake": "par_tests"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $AB ∥ DC$, $AB = 5$ ו־$DC = 8$. מהו המרובע?",
     "figure": "A=0,0; B=5,0; C=6.5,3; D=-1.5,3; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; len A B 5; len D C 8",
     "choices": [
      {
       "text": "טרפז",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מקבילית",
       "mistake": "trap_vs_par"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $∢A + ∢B = 180°$ ו־$∢A + ∢D = 180°$. מהו המרובע?",
     "figure": "A=0,0; B=6,-0.4; C=5.1,3.4; D=0.9,2.7; poly A B C D; note ∢A + ∢B = 180°, ∢A + ∢D = 180°",
     "choices": [
      {
       "text": "מקבילית",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "טרפז",
       "mistake": "trap_vs_par"
      },
      {
       "text": "לא בהכרח מקבילית",
       "mistake": "par_tests"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "g_axes",
   "unit": "g",
   "name": "מקבילית במערכת צירים",
   "short": "מקבילית בצירים",
   "prereqs": [
    "g_converse"
   ],
   "description": "במערכת צירים מוצאים קודקוד חסר של מקבילית, את מפגש האלכסונים, ואת השטח וההיקף.",
   "month": "ינואר",
   "questions": [
    {
     "question": "האם $A(0, 0)$, $B(5, 0)$, $C(7, 3)$, $D(2, 3)$ היא מקבילית?",
     "figure": "A=0,0; B=5,0; C=7,3; D=2,3; poly A B C D; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "כן, $AB$ ו־$DC$ מקבילים ושווים ($5$)",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "לא",
       "mistake": "par_tests"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $A(0, 0)$, $B(5, 0)$, $C(7, 3)$, $D(2, 3)$, היכן נחתכים האלכסונים?",
     "figure": "A=0,0; B=5,0; C=7,3; D=2,3; poly A B C D; grid; dash A C; dash B D",
     "choices": [
      {
       "text": "$(3.5, 1.5)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(2.5, 0)$",
       "mistake": "par_diag"
      },
      {
       "text": "$(1.5, 3.5)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה שטח המקבילית $A(0, 0)$, $B(5, 0)$, $C(7, 3)$, $D(2, 3)$?",
     "figure": "A=0,0; B=5,0; C=7,3; D=2,3; poly A B C D; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$15$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$7.5$",
       "mistake": "par_area"
      },
      {
       "text": "$21$",
       "mistake": "axes_mixed"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "נתונים $A(1, 1)$, $B(4, 2)$, $C(6, 5)$. מה $D$ במקבילית $ABCD$?",
     "figure": "A=1,1; B=4,2; C=6,5; grid; line A B; line B C",
     "choices": [
      {
       "text": "$(3, 4)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(9, 6)$",
       "mistake": "vertex_order"
      },
      {
       "text": "$(−1, −2)$",
       "mistake": "vertex_order"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית שבה $A(1, 1)$ ו־$C(6, 5)$ קודקודים נגדיים, היכן נחתכים האלכסונים?",
     "figure": "A=1,1; C=6,5; grid; dash A C",
     "choices": [
      {
       "text": "$(3.5, 3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(2.5, 2)$",
       "mistake": "par_diag"
      },
      {
       "text": "$(3, 3.5)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "נתונים $A(−2, 1)$, $B(3, 1)$, $C(5, 4)$. מה $D$ במקבילית $ABCD$?",
     "figure": "A=-2,1; B=3,1; C=5,4; grid; line A B; line B C",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, 4)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(10, 4)$",
       "mistake": "vertex_order"
      },
      {
       "text": "$(−4, −2)$",
       "mistake": "vertex_order"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה שטח המקבילית $A(−2, 1)$, $B(3, 1)$, $C(5, 4)$, $D(0, 4)$?",
     "figure": "A=-2,1; B=3,1; C=5,4; D=0,4; poly A B C D; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$15$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$7.5$",
       "mistake": "par_area"
      },
      {
       "text": "$20$",
       "mistake": "axes_mixed"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "האם $A(0, 0)$, $B(4, 0)$, $C(5, 2)$, $D(1, 3)$ היא מקבילית?",
     "figure": "A=0,0; B=4,0; C=5,2; D=1,3; poly A B C D; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "לא, $DC$ אינו מקביל ל־$AB$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כן",
       "mistake": "par_tests"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "נתונים $A(0, 0)$, $B(6, 0)$, $D(2, 4)$. מה $C$ במקבילית $ABCD$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; D=2,4; grid; line A B; line A D",
     "choices": [
      {
       "text": "$(8, 4)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(4, 4)$",
       "mistake": "vertex_order"
      },
      {
       "text": "$(−4, 4)$",
       "mistake": "vertex_order"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה היקף המקבילית $A(0, 0)$, $B(6, 0)$, $C(8, 4)$, $D(2, 4)$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=8,4; D=2,4; poly A B C D; grid",
     "choices": [
      {
       "text": "$12 + 2√20$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$12 + √20$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      },
      {
       "text": "$24$",
       "mistake": "dist_add"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "r_domain",
   "unit": "r",
   "name": "תחום הצבה",
   "short": "תחום הצבה",
   "prereqs": [],
   "description": "פוסלים כל ערך של $x$ שמאפס מכנה. המונה אינו מגביל.",
   "month": "ינואר",
   "questions": [
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $5 / (x − 4)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≠ 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ −4$",
       "mistake": "domain_sign"
      },
      {
       "text": "$x ≠ 0$",
       "mistake": "domain_zero"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $(x + 2) / (x + 7)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≠ −7$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ −2$",
       "mistake": "numerator_domain"
      },
      {
       "text": "$x ≠ 7$",
       "mistake": "domain_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $3 / x + 1 / (x − 2)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≠ 0$, $x ≠ 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ 2$",
       "mistake": "domain_all"
      },
      {
       "text": "$x ≠ 0$, $x ≠ −2$",
       "mistake": "domain_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $1 / (2x − 6)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≠ 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ 6$",
       "mistake": "divide_wrong"
      },
      {
       "text": "$x ≠ −3$",
       "mistake": "domain_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $(x − 1) / (5x)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≠ 0$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ 1$",
       "mistake": "numerator_domain"
      },
      {
       "text": "$x ≠ 5$",
       "mistake": "domain_zero"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $4 / (x + 1) − 2 / (3 − x)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≠ −1$, $x ≠ 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ 1$, $x ≠ −3$",
       "mistake": "domain_sign"
      },
      {
       "text": "$x ≠ −1$",
       "mistake": "domain_all"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזה ערך אסור להציב ב־$7 / (x + 0.5)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −0.5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 0.5$",
       "mistake": "domain_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 7$",
       "mistake": "numerator_domain"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $(x² + 1) / (x − 9)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≠ 9$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ 9$, $x ≠ ±1$",
       "mistake": "numerator_domain"
      },
      {
       "text": "$x ≠ −9$",
       "mistake": "domain_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $2 / (4 − x)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≠ 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ −4$",
       "mistake": "domain_sign"
      },
      {
       "text": "$x ≠ 2$",
       "mistake": "numerator_domain"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $x / (x + 3) + 1 / x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≠ −3$, $x ≠ 0$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ −3$",
       "mistake": "domain_all"
      },
      {
       "text": "$x ≠ 3$, $x ≠ 0$",
       "mistake": "domain_sign"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "r_factor",
   "unit": "r",
   "name": "תחום הצבה עם פירוק המכנה",
   "short": "פירוק המכנה",
   "prereqs": [
    "r_domain",
    "t_factor_formula"
   ],
   "description": "מפרקים את המכנה לגורמים ופוסלים כל ערך שמאפס אחד מהם, עוד לפני שמצמצמים.",
   "month": "ינואר",
   "questions": [
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $1 / (x² − 9)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≠ 3$, $x ≠ −3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ 3$",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$x ≠ 9$",
       "mistake": "forgot_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $2 / (x² − 4x)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≠ 0$, $x ≠ 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ 4$",
       "mistake": "divide_by_x"
      },
      {
       "text": "$x ≠ 0$, $x ≠ −4$",
       "mistake": "domain_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $5 / (x² + 5x + 6)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≠ −2$, $x ≠ −3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ 2$, $x ≠ 3$",
       "mistake": "domain_sign"
      },
      {
       "text": "$x ≠ −6$",
       "mistake": "domain_all"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $1 / (x² + 4)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "כל $x$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ 2$, $x ≠ −2$",
       "mistake": "diffsq_missed"
      },
      {
       "text": "$x ≠ −4$",
       "mistake": "domain_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $x / (x² − 6x + 9)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≠ 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ 3$, $x ≠ −3$",
       "mistake": "diffsq_as_square"
      },
      {
       "text": "$x ≠ 0$, $x ≠ 3$",
       "mistake": "numerator_domain"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $(x + 1) / (2x² − 8)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≠ 2$, $x ≠ −2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ 2$",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$x ≠ −1$, $x ≠ 2$, $x ≠ −2$",
       "mistake": "numerator_domain"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $3 / (x² − x − 12)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≠ 4$, $x ≠ −3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ −4$, $x ≠ 3$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      },
      {
       "text": "$x ≠ 12$",
       "mistake": "domain_all"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $1 / (x³ − x)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≠ 0$, $x ≠ 1$, $x ≠ −1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ 1$, $x ≠ −1$",
       "mistake": "divide_by_x"
      },
      {
       "text": "$x ≠ 0$, $x ≠ 1$",
       "mistake": "missing_neg_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צמצמו את $x / (x² + 2x)$ וכתבו את תחום ההצבה.",
     "choices": [
      {
       "text": "$1 / (x + 2)$, כאשר $x ≠ 0$, $x ≠ −2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1 / (x + 2)$, כאשר $x ≠ −2$",
       "mistake": "domain_before_reduce"
      },
      {
       "text": "$1 / (2x)$, כאשר $x ≠ 0$",
       "mistake": "cancel_terms"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהו תחום ההצבה של $4 / (9 − x²)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x ≠ 3$, $x ≠ −3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x ≠ 3$",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$x ≠ 9$",
       "mistake": "forgot_root"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "r_solve",
   "unit": "r",
   "name": "פתרון משוואות רציונליות",
   "short": "משוואה רציונלית",
   "prereqs": [
    "r_domain"
   ],
   "description": "קובעים תחום הצבה, כופלים את שני האגפים במכנה המשותף, ופותרים את המשוואה שמתקבלת.",
   "month": "ינואר",
   "questions": [
    {
     "question": "פתרו: $12 / x = 3$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 36$",
       "mistake": "mult_instead"
      },
      {
       "text": "$x = 1/4$",
       "mistake": "inverse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $6 / (x − 1) = 2$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 3.5$",
       "mistake": "partial_dist"
      },
      {
       "text": "$x = 2$",
       "mistake": "lost_sign_move"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $1 / x + 1 / (2x) = 3$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 0.5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 2/9$",
       "mistake": "add_denoms"
      },
      {
       "text": "$x = 2$",
       "mistake": "inverse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x + 6 / x = 5$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 2$ או $x = 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "אין פתרון",
       "mistake": "mult_only_one"
      },
      {
       "text": "$x = −2$ או $x = −3$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $3 / (x + 2) = 1 / (x − 2)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −2$",
       "mistake": "lost_sign_move"
      },
      {
       "text": "$x = 2$",
       "mistake": "lost_sign_move"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x + 3) / x = 4$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −1$",
       "mistake": "lost_sign_move"
      },
      {
       "text": "$x = 3/5$",
       "mistake": "mult_only_one"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $4 / (x − 3) = x$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 4$ או $x = −1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 4$",
       "mistake": "valid_root_dropped"
      },
      {
       "text": "$x = −4$ או $x = 1$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x / (x + 1) = 2/3$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −2$",
       "mistake": "lost_sign_move"
      },
      {
       "text": "$x = 2/3$",
       "mistake": "mult_only_one"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $5 / (2x) = 1 / (x − 3)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −5$",
       "mistake": "lost_sign_move"
      },
      {
       "text": "$x = 3$",
       "mistake": "excluded_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $1 / (x − 1) + 1 / (x + 1) = 4/3$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 2$ או $x = −0.5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 0.75$",
       "mistake": "add_denoms"
      },
      {
       "text": "$x = 2$",
       "mistake": "valid_root_dropped"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "r_excluded",
   "unit": "r",
   "name": "פתרון שאינו בתחום ההצבה",
   "short": "פתרון לא קביל",
   "prereqs": [
    "r_solve",
    "r_factor"
   ],
   "description": "אחרי הפתרון בודקים כל פתרון מול תחום ההצבה ופוסלים פתרון שמאפס מכנה.",
   "month": "ינואר",
   "questions": [
    {
     "question": "פתרו: $(x² − 4) / (x − 2) = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 2$ או $x = −2$",
       "mistake": "excluded_root"
      },
      {
       "text": "$x = 2$",
       "mistake": "excluded_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x / (x − 3) = 3 / (x − 3)$",
     "choices": [
      {
       "text": "אין פתרון",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 3$",
       "mistake": "excluded_root"
      },
      {
       "text": "$x = 0$",
       "mistake": "numerator_domain"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x² − 1) / (x + 1) = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 1$ או $x = −1$",
       "mistake": "excluded_root"
      },
      {
       "text": "$x = −1$",
       "mistake": "excluded_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² / (x − 5) = 25 / (x − 5)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 5$ או $x = −5$",
       "mistake": "excluded_root"
      },
      {
       "text": "$x = 5$",
       "mistake": "excluded_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x² + x) / x = 5$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 0$ או $x = 4$",
       "mistake": "excluded_root"
      },
      {
       "text": "$x = 5$",
       "mistake": "cancel_terms"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $6 / (x² − 9) = 1 / (x − 3)$",
     "choices": [
      {
       "text": "אין פתרון",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 3$",
       "mistake": "excluded_root"
      },
      {
       "text": "$x = −3$",
       "mistake": "excluded_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x² / (x + 3) = 9 / (x + 3)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 3$ או $x = −3$",
       "mistake": "excluded_root"
      },
      {
       "text": "$x = −3$",
       "mistake": "excluded_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x² − 3x) / (x − 3) = 3$",
     "choices": [
      {
       "text": "אין פתרון",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 3$",
       "mistake": "excluded_root"
      },
      {
       "text": "$x = 0$",
       "mistake": "cancel_terms"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $1 / (x − 1) = (2x − 3) / (x² − 1)$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −4$",
       "mistake": "lost_sign_move"
      },
      {
       "text": "$x = 4$ או $x = 1$",
       "mistake": "excluded_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $(x² − 2x − 3) / (x − 3) = 0$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 3$ או $x = −1$",
       "mistake": "excluded_root"
      },
      {
       "text": "$x = −3$ או $x = 1$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "m_def",
   "unit": "m",
   "name": "הגדרת המלבן, צלעות וזוויות",
   "short": "הגדרת מלבן",
   "prereqs": [
    "g_def"
   ],
   "description": "מלבן הוא מקבילית שיש בה זווית ישרה, ולכן כל זוויותיו ישרות וצלעותיו הנגדיות שוות.",
   "month": "ינואר",
   "questions": [
    {
     "question": "איזה מרובע נקרא מלבן?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; poly A B C D",
     "choices": [
      {
       "text": "מקבילית שיש בה זווית ישרה",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מרובע שכל צלעותיו שוות",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      },
      {
       "text": "מרובע שיש בו זווית ישרה אחת",
       "mistake": "three_right"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "היקף מלבן $26$ ואורכו $8$. מה רוחבו?",
     "figure": "_A=0,0; _B=6,0; _C=6,3.6; _D=0,3.6; poly _A _B _C _D; right _B _A _D; right _C _B _A; right _D _C _B; right _A _D _C; len _A _B 8; len _B _C ?; note P = 26",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$18$",
       "mistake": "half_perimeter"
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "half_perimeter"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במלבן $ABCD$: $AB = 12$, $BC = 5$. מה $AC$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,2.5; D=0,2.5; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; len A B 12; len B C 5; lenx A C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$13$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$17$",
       "mistake": "pyth"
      },
      {
       "text": "$7$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שטח מלבן $48$ ואורכו $8$. מה רוחבו?",
     "figure": "_A=0,0; _B=6,0; _C=6,3.6; _D=0,3.6; poly _A _B _C _D; right _B _A _D; right _C _B _A; right _D _C _B; right _A _D _C; len _A _B 8; len _B _C ?; note S = 48",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$16$",
       "mistake": "area_perimeter"
      },
      {
       "text": "$40$",
       "mistake": "area_perimeter"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית אחת הזוויות ישרה. מה גודל שאר הזוויות?",
     "figure": "_A=0,0; _B=6,0; _C=6,3.6; _D=0,3.6; poly _A _B _C _D; right _B _A _D",
     "choices": [
      {
       "text": "כולן $90°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "three_right"
      },
      {
       "text": "שתיים $90°$ ושתיים $45°$",
       "mistake": "par_adjacent"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אורך מלבן כפול מרוחבו, והיקפו $36$. מה רוחבו?",
     "figure": "_A=0,0; _B=6,0; _C=6,3; _D=0,3; poly _A _B _C _D; right _B _A _D; right _C _B _A; right _D _C _B; right _A _D _C; len _B _C ?; note P = 36",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$9$",
       "mistake": "half_perimeter"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מלבן שצלעותיו $6$ ו־$8$. מה אורך האלכסון?",
     "figure": "_A=0,0; _B=8,0; _C=8,6; _D=0,6; poly _A _B _C _D; right _B _A _D; right _C _B _A; right _D _C _B; right _A _D _C; line _A _C; len _A _B 8; len _B _C 6; lenx _A _C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$14$",
       "mistake": "pyth"
      },
      {
       "text": "$7$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אלכסון מלבן $13$, ואחת מצלעותיו $5$. מה הצלע השנייה?",
     "figure": "_A=0,0; _B=12,0; _C=12,5; _D=0,5; poly _A _B _C _D; right _B _A _D; right _C _B _A; right _D _C _B; right _A _D _C; line _A _C; lenx _A _C 13; len _B _C 5; len _A _B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$8$",
       "mistake": "pyth"
      },
      {
       "text": "$√194$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במלבן $ABCD$: $AB = x + 2$, $DC = 2x − 3$. מה $x$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; len A B x + 2; len D C 2x − 3",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 1$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 1/3$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שטח מלבן $60$ והיקפו $34$. מה אורכי צלעותיו?",
     "figure": "_A=0,0; _B=6,0; _C=6,3.6; _D=0,3.6; poly _A _B _C _D; right _B _A _D; right _C _B _A; right _D _C _B; right _A _D _C; note S = 60, P = 34",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$ ו־$12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$6$ ו־$10$",
       "mistake": "product_check"
      },
      {
       "text": "$4$ ו־$15$",
       "mistake": "product_check"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "m_diag",
   "unit": "m",
   "name": "אלכסוני המלבן",
   "short": "אלכסוני מלבן",
   "prereqs": [
    "m_def"
   ],
   "description": "אלכסוני המלבן שווים וחוצים זה את זה, ולכן מפגש האלכסונים נמצא במרחק שווה מארבעת הקודקודים.",
   "month": "פברואר",
   "questions": [
    {
     "question": "במלבן $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים) $AC = 10$. מה $BO$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; O=3,1.8@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; line B D; dot O; lenx B O ?; note AC = 10",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "whole_diag"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "rect_diag_equal"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במלבן $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים) $∢OAB = 30°$. מה גודל $∢OBA$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; O=3,1.8@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; line B D; dot O; ang O A B 30°; ang A B O ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$30°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "rect_iso"
      },
      {
       "text": "$120°$",
       "mistake": "rect_iso"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במלבן $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים) $∢AOB = 120°$. מה גודל $∢OAB$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.46; D=0,3.46; O=3,1.73@n; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; line B D; dot O; ang A O B 120°; ang O A B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$30°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "forgot_half_angle"
      },
      {
       "text": "$120°$",
       "mistake": "rect_iso"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במלבן $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים): $AO = 2x + 1$, $BD = 6x − 4$. מה $x$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; O=3,1.8@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; line B D; dot O; lenx A O 2x + 1; note BD = 6x − 4",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 1.25$",
       "mistake": "whole_diag"
      },
      {
       "text": "$x = 1.5$",
       "mistake": "rect_diag_equal"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה נכון לגבי אלכסוני המלבן?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; O=3,1.8@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; line B D; dot O",
     "choices": [
      {
       "text": "הם שווים וחוצים זה את זה",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "הם מאונכים וחוצים זה את זה",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      },
      {
       "text": "הם שווים, אבל לא חוצים זה את זה",
       "mistake": "rect_diag_equal"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במלבן $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים) $∢ACB = 35°$. מה גודל $∢AOB$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; O=3,1.8@n; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; line B D; dot O; ang A C B 35°; ang A O B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$70°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$110°$",
       "mistake": "rect_iso"
      },
      {
       "text": "$35°$",
       "mistake": "rect_iso"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במלבן $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים): $AC = 8$ ו־$∢AOB = 60°$. מה $AB$?",
     "figure": "A=0,0; B=3,0; C=3,5.2; D=0,5.2; O=1.5,2.6@n; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; line B D; dot O; ang A O B 60°; len A B ?; note AC = 8",
     "choices": [
      {
       "text": "$4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$8$",
       "mistake": "whole_diag"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "rect_iso"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במלבן $ABCD$: $AB = 6$, $BC = 8$, ו־$O$ מפגש האלכסונים. מה $AO$?",
     "figure": "A=0,0; B=4.5,0; C=4.5,6; D=0,6; O=2.25,3@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; line B D; dot O; len A B 6; len B C 8; lenx A O ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "whole_diag"
      },
      {
       "text": "$7$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במלבן $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים): $AO + BO + CO + DO = 26$. מה $AC$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; O=3,1.8@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; line B D; dot O; note AO + BO + CO + DO = 26",
     "choices": [
      {
       "text": "$13$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$26$",
       "mistake": "whole_diag"
      },
      {
       "text": "$6.5$",
       "mistake": "whole_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במלבן $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים) $∢BAC = 40°$. מה גודל $∢AOD$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; O=3,1.8@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; line B D; dot O; ang B A O 40°; ang A O D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$80°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$100°$",
       "mistake": "rect_iso"
      },
      {
       "text": "$40°$",
       "mistake": "rect_iso"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "m_converse",
   "unit": "m",
   "name": "משפטים הפוכים: מתי מרובע הוא מלבן",
   "short": "הוכחת מלבן",
   "prereqs": [
    "m_diag"
   ],
   "description": "מקבילית שיש בה זווית ישרה, או שאלכסוניה שווים, היא מלבן. גם מרובע עם שלוש זוויות ישרות הוא מלבן.",
   "month": "פברואר",
   "questions": [
    {
     "question": "מקבילית שאלכסוניה שווים היא:",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; O=3.72,1.54@s; poly A B C D; line A C; line B D; dot O; note AC = BD",
     "choices": [
      {
       "text": "מלבן",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מעוין",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      },
      {
       "text": "לא בהכרח מלבן",
       "mistake": "rect_diag_equal"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מקבילית שיש בה זווית ישרה היא:",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; poly A B C D; note ∢A = 90°",
     "choices": [
      {
       "text": "מלבן",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      },
      {
       "text": "לא בהכרח מלבן",
       "mistake": "three_right"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מרובע שיש בו שלוש זוויות ישרות הוא:",
     "figure": "A=0,0; B=6,-0.4; C=5.1,3.4; D=0.9,2.7; poly A B C D; note ∢A = ∢B = ∢C = 90°",
     "choices": [
      {
       "text": "מלבן",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "לא בהכרח מלבן",
       "mistake": "three_right"
      },
      {
       "text": "ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מרובע שאלכסוניו שווים הוא:",
     "figure": "A=0,0; B=6,-0.4; C=5.1,3.4; D=0.9,2.7; O=2.55,1.7@s; poly A B C D; line A C; line B D; dot O; note AC = BD",
     "choices": [
      {
       "text": "לא בהכרח מלבן",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מלבן",
       "mistake": "par_trap_iso"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מרובע שאלכסוניו שווים וחוצים זה את זה הוא:",
     "figure": "A=0,0; B=6,-0.4; C=5.1,3.4; D=0.9,2.7; O=2.55,1.7@s; poly A B C D; line A C; line B D; dot O; note AC = BD, AO = OC, BO = OD",
     "choices": [
      {
       "text": "מלבן",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מעוין",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      },
      {
       "text": "לא בהכרח מלבן",
       "mistake": "par_trap_iso"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מקבילית שאלכסוניה מאונכים היא:",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; O=3.72,1.54@s; poly A B C D; line A C; line B D; dot O; note AC ⊥ BD",
     "choices": [
      {
       "text": "מעוין, לא בהכרח מלבן",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מלבן",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$: $AC = 2x + 3$, $BD = 4x − 5$, ו־$x = 4$. מה סוג המקבילית?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; O=3.72,1.54@s; poly A B C D; line A C; line B D; dot O; note AC = 2x + 3, BD = 4x − 5, x = 4",
     "choices": [
      {
       "text": "מלבן",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מעוין",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "rect_diag_equal"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$: $∢A = ∢B$. מה סוג המקבילית?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; poly A B C D; note ∢A = ∢B",
     "choices": [
      {
       "text": "מלבן",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מעוין",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "par_adjacent"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים) $AO = BO$. מה סוג המקבילית?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; O=3.72,1.54@s; poly A B C D; line A C; line B D; dot O; note AO = BO",
     "choices": [
      {
       "text": "מלבן",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מעוין",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "rect_diag_equal"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע יש זוג צלעות נגדיות מקבילות וזווית ישרה. האם הוא בהכרח מלבן?",
     "figure": "_A=0,0; _B=7,0; _C=4,3; _D=0,3; poly _A _B _C _D; par _A _B 1; par _D _C 1; right _B _A _D",
     "choices": [
      {
       "text": "לא, ייתכן שהוא טרפז ישר זווית",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כן",
       "mistake": "trap_vs_par"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "h_basic",
   "unit": "h",
   "name": "מושגים בסיסיים וחישוב הסתברות",
   "short": "מהי הסתברות",
   "prereqs": [],
   "description": "כשכל התוצאות שוות סיכוי, ההסתברות היא מספר התוצאות הרצויות חלקי מספר כל התוצאות. היא בין $0$ ל־$1$.",
   "month": "ינואר",
   "questions": [
    {
     "question": "מטילים קובייה. מה ההסתברות לקבל $4$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1/6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4/6$",
       "mistake": "prob_as_count"
      },
      {
       "text": "$1/4$",
       "mistake": "guess_cases"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מטילים קובייה. מה ההסתברות לקבל מספר זוגי?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1/2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1/6$",
       "mistake": "count_one"
      },
      {
       "text": "$1/3$",
       "mistake": "part_vs_whole"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בשקית $3$ כדורים אדומים ו־$5$ כחולים. מוציאים כדור. מה ההסתברות שהוא אדום?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3/8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3/5$",
       "mistake": "part_vs_whole"
      },
      {
       "text": "$1/2$",
       "mistake": "guess_cases"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מטילים מטבע. מה ההסתברות לקבל „עץ“?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1/2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "guess_cases"
      },
      {
       "text": "$0$",
       "mistake": "guess_cases"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מטילים קובייה. מה ההסתברות לקבל מספר גדול מ־$4$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1/3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1/2$",
       "mistake": "guess_cases"
      },
      {
       "text": "$2/4$",
       "mistake": "part_vs_whole"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בכיתה $12$ בנים ו־$18$ בנות. בוחרים תלמיד באקראי. מה ההסתברות שזו בת?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3/5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2/3$",
       "mistake": "part_vs_whole"
      },
      {
       "text": "$1/2$",
       "mistake": "guess_cases"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה ההסתברות של מאורע ודאי?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$100$",
       "mistake": "prob_as_count"
      },
      {
       "text": "$0$",
       "mistake": "guess_cases"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזה מספר אינו יכול להיות הסתברות?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1.2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$0$",
       "mistake": "prob_as_count"
      },
      {
       "text": "$0.5$",
       "mistake": "prob_as_count"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "סביבון מחולק ל־$8$ חלקים שווים, ו־$3$ מהם אדומים. מה ההסתברות שייעצר על אדום?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3/8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3/5$",
       "mistake": "part_vs_whole"
      },
      {
       "text": "$1/3$",
       "mistake": "guess_cases"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בכד $20$ כדורים ממוספרים מ־$1$ עד $20$. מה ההסתברות להוציא מספר שמתחלק ב־$5$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1/5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1/4$",
       "mistake": "guess_cases"
      },
      {
       "text": "$5/20$",
       "mistake": "count_one"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "h_relfreq",
   "unit": "h",
   "name": "הסתברות ושכיחות יחסית",
   "short": "שכיחות יחסית",
   "prereqs": [
    "h_complement"
   ],
   "description": "שכיחות יחסית היא מספר ההופעות חלקי מספר הניסויים. כשמספר הניסויים גדל, היא מתקרבת להסתברות.",
   "month": "ינואר",
   "questions": [
    {
     "question": "הטילו קובייה $60$ פעם וקיבלו $6$ ב־$12$ מהן. מה השכיחות היחסית של $6$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$0.2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1/6$",
       "mistake": "relfreq_vs_prob"
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "freq_abs"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "הטילו מטבע $200$ פעם וקיבלו „עץ“ $92$ פעמים. מה השכיחות היחסית של „עץ“?",
     "choices": [
      {
       "text": "$0.46$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$0.5$",
       "mistake": "relfreq_vs_prob"
      },
      {
       "text": "$92$",
       "mistake": "freq_abs"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה קורה לשכיחות היחסית כשמספר הניסויים גדל מאוד?",
     "choices": [
      {
       "text": "היא מתקרבת להסתברות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "היא שווה בדיוק להסתברות",
       "mistake": "relfreq_vs_prob"
      },
      {
       "text": "היא גדלה כל הזמן",
       "mistake": "freq_abs"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "הסתברות שמוצר פגום היא $0.02$. כמה מוצרים פגומים צפויים מתוך $1500$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$30$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$300$",
       "mistake": "decimal_error"
      },
      {
       "text": "$0.02$",
       "mistake": "prob_as_count"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "השכיחות היחסית של תוצאה ב־$50$ ניסויים היא $0.3$. כמה פעמים היא הופיעה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$15$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3$",
       "mistake": "decimal_error"
      },
      {
       "text": "$35$",
       "mistake": "complement"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ההסתברות לגשם ביום חורף היא $0.4$. בכמה ימים מתוך $30$ צפוי גשם?",
     "choices": [
      {
       "text": "$12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "decimal_error"
      },
      {
       "text": "$18$",
       "mistake": "complement"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איך מחשבים שכיחות יחסית?",
     "choices": [
      {
       "text": "מספר ההופעות חלקי מספר הניסויים",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מספר הניסויים חלקי מספר ההופעות",
       "mistake": "ratio_flipped"
      },
      {
       "text": "מספר ההופעות בלבד",
       "mistake": "freq_abs"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מטילים קובייה $600$ פעם. כמה פעמים צפוי לצאת $3$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$100$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$200$",
       "mistake": "decimal_error"
      },
      {
       "text": "$1/6$",
       "mistake": "prob_as_count"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שכיחות יחסית של תוצאה היא $0.25$, והיא הופיעה $20$ פעם. כמה ניסויים נערכו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$80$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5$",
       "mistake": "ratio_flipped"
      },
      {
       "text": "$20$",
       "mistake": "freq_abs"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מתוך $40$ זריקות לסל $28$ נכנסו. מה השכיחות היחסית של החטאה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$0.3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$0.7$",
       "mistake": "complement"
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "freq_abs"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "h_complement",
   "unit": "h",
   "name": "מאורע משלים",
   "short": "מאורע משלים",
   "prereqs": [
    "h_basic"
   ],
   "description": "ההסתברות שמאורע לא יקרה היא $1 − P(A)$.",
   "month": "ינואר",
   "questions": [
    {
     "question": "ההסתברות לגשם מחר $0.35$. מה ההסתברות שלא ירד גשם?",
     "choices": [
      {
       "text": "$0.65$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$0.35$",
       "mistake": "complement"
      },
      {
       "text": "$0.75$",
       "mistake": "decimal_error"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מטילים קובייה. מה ההסתברות לא לקבל $6$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$5/6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1/6$",
       "mistake": "complement"
      },
      {
       "text": "$6/5$",
       "mistake": "ratio_flipped"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$P(A) = 2/7$. מה ההסתברות של המאורע המשלים?",
     "choices": [
      {
       "text": "$5/7$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2/7$",
       "mistake": "complement"
      },
      {
       "text": "$7/2$",
       "mistake": "ratio_flipped"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מטילים קובייה. מה ההסתברות לקבל מספר שאינו ראשוני?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1/2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1/3$",
       "mistake": "complement"
      },
      {
       "text": "$2/3$",
       "mistake": "guess_cases"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בשקית $4$ כדורים אדומים ו־$6$ ירוקים. מה ההסתברות להוציא כדור שאינו אדום?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3/5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2/5$",
       "mistake": "complement"
      },
      {
       "text": "$2/3$",
       "mistake": "part_vs_whole"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$P(A) = 0.8$. מה ההסתברות של המשלים של $A$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$0.2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$0.8$",
       "mistake": "complement"
      },
      {
       "text": "$1.8$",
       "mistake": "complement"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשחק ההסתברות להפסיד $0.15$ ולתיקו $0.25$. מה ההסתברות לנצח?",
     "choices": [
      {
       "text": "$0.6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$0.85$",
       "mistake": "complement"
      },
      {
       "text": "$0.4$",
       "mistake": "part_vs_whole"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה סכום ההסתברויות של מאורע ושל המשלים שלו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$0.5$",
       "mistake": "complement"
      },
      {
       "text": "$0$",
       "mistake": "complement"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ההסתברות שמאורע לא יקרה גדולה פי $3$ מההסתברות שיקרה. מה ההסתברות שיקרה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1/4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1/3$",
       "mistake": "complement"
      },
      {
       "text": "$3/4$",
       "mistake": "other_quantity"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מטילים מטבע פעמיים. מה ההסתברות לקבל „עץ“ לפחות פעם אחת?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3/4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1/2$",
       "mistake": "both_vs_atleast"
      },
      {
       "text": "$1/4$",
       "mistake": "complement"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "h_two_stage",
   "unit": "h",
   "name": "מאורעות דו־שלביים",
   "short": "דו־שלביים",
   "prereqs": [
    "h_basic"
   ],
   "description": "בניסוי דו־שלבי כופלים את ההסתברויות לאורך המסלול, ומחברים מסלולים שונים שמובילים לאותו מאורע.",
   "month": "פברואר",
   "questions": [
    {
     "question": "מטילים מטבע פעמיים. מה ההסתברות לקבל „עץ“ בשתי ההטלות?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1/4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1/2$",
       "mistake": "one_stage"
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "prob_add"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מטילים קובייה ומטבע. מה ההסתברות לקבל $6$ ו„עץ“?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1/12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2/3$",
       "mistake": "prob_add"
      },
      {
       "text": "$1/6$",
       "mistake": "one_stage"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בשקית $3$ כדורים אדומים ו־$2$ כחולים. מוציאים כדור, מחזירים ומוציאים שוב. מה ההסתברות לשני אדומים?",
     "choices": [
      {
       "text": "$9/25$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3/10$",
       "mistake": "with_replace"
      },
      {
       "text": "$3/5$",
       "mistake": "one_stage"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בשקית $3$ כדורים אדומים ו־$2$ כחולים. מוציאים שני כדורים בלי החזרה. מה ההסתברות ששניהם אדומים?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3/10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$9/25$",
       "mistake": "no_replace"
      },
      {
       "text": "$3/5$",
       "mistake": "one_stage"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מטילים שתי קוביות. מה ההסתברות שסכומן $7$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1/6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1/36$",
       "mistake": "count_one"
      },
      {
       "text": "$7/36$",
       "mistake": "guess_cases"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מטילים שתי קוביות. מה ההסתברות לקבל $6$ בשתיהן?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1/36$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1/3$",
       "mistake": "prob_add"
      },
      {
       "text": "$1/6$",
       "mistake": "one_stage"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מטילים שתי קוביות. מה ההסתברות לקבל $6$ לפחות פעם אחת?",
     "choices": [
      {
       "text": "$11/36$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1/3$",
       "mistake": "double_count"
      },
      {
       "text": "$1/36$",
       "mistake": "both_vs_atleast"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מטילים מטבע פעמיים. מה ההסתברות לקבל „עץ“ אחד ו„פלי“ אחד (בכל סדר)?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1/2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1/4$",
       "mistake": "count_one"
      },
      {
       "text": "$1/3$",
       "mistake": "guess_cases"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בשקית $2$ כדורים אדומים ו־$3$ כחולים. מוציאים שניים בלי החזרה. מה ההסתברות לכחול ואחריו אדום?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3/10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$6/25$",
       "mistake": "no_replace"
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "prob_add"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ההסתברות שרמזור ירוק היא $0.4$, ושני רמזורים פועלים בנפרד. מה ההסתברות ששניהם ירוקים?",
     "choices": [
      {
       "text": "$0.16$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$0.8$",
       "mistake": "prob_add"
      },
      {
       "text": "$0.4$",
       "mistake": "one_stage"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "h_reps",
   "unit": "h",
   "name": "ייצוגים: טבלה, דיאגרמת עץ ומודל השטח",
   "short": "ייצוגי הסתברות",
   "prereqs": [
    "h_two_stage"
   ],
   "description": "טבלה מתאימה לשני שלבים עם תוצאות שוות סיכוי, דיאגרמת עץ להסתברויות שונות בכל שלב, ומודל השטח ליחס בין שטחים.",
   "month": "פברואר",
   "questions": [
    {
     "question": "בטבלת התוצאות של הטלת שתי קוביות, כמה תאים יש?",
     "choices": [
      {
       "text": "$36$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "prob_add"
      },
      {
       "text": "$6$",
       "mistake": "one_stage"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדיאגרמת עץ להטלת מטבע $3$ פעמים, כמה מסלולים יש?",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$6$",
       "mistake": "prob_add"
      },
      {
       "text": "$3$",
       "mistake": "one_stage"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בתוך ריבוע שצלעו $10$ יש ריבוע שצלעו $5$. בוחרים נקודה אקראית בריבוע הגדול. מה ההסתברות שהיא בריבוע הקטן?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1/4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1/2$",
       "mistake": "length_vs_area"
      },
      {
       "text": "$5/10$",
       "mistake": "length_vs_area"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדיאגרמת עץ, הענף הראשון במסלול $0.3$ והשני $0.5$. מה ההסתברות של המסלול?",
     "choices": [
      {
       "text": "$0.15$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$0.8$",
       "mistake": "prob_add"
      },
      {
       "text": "$0.5$",
       "mistake": "one_stage"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטבלת שתי קוביות, בכמה תאים הסכום הוא $8$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "count_one"
      },
      {
       "text": "$8$",
       "mistake": "guess_cases"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה סכום ההסתברויות על הענפים שיוצאים מנקודה אחת בעץ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "תלוי בעץ",
       "mistake": "prob_add"
      },
      {
       "text": "$0.5$",
       "mistake": "guess_cases"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בכיתה $12$ בנים ($5$ מהם משחקים כדורגל) ו־$18$ בנות ($3$ מהן משחקות). מה ההסתברות שתלמיד אקראי הוא בן שמשחק כדורגל?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1/6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5/12$",
       "mistake": "part_vs_whole"
      },
      {
       "text": "$4/15$",
       "mistake": "read_table"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בכיתה $12$ בנים ($5$ מהם משחקים כדורגל) ו־$18$ בנות ($3$ מהן משחקות). מה ההסתברות שתלמיד אקראי משחק כדורגל?",
     "choices": [
      {
       "text": "$4/15$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1/6$",
       "mistake": "read_table"
      },
      {
       "text": "$8/12$",
       "mistake": "part_vs_whole"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מטרה עגולה ברדיוס $10$, ובמרכזה עיגול ברדיוס $5$. מה ההסתברות שחץ אקראי שפוגע במטרה יפגע בעיגול הפנימי?",
     "choices": [
      {
       "text": "$1/4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1/2$",
       "mistake": "length_vs_area"
      },
      {
       "text": "$1/5$",
       "mistake": "length_vs_area"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בשקית $2$ כדורים אדומים וכחול אחד. מוציאים פעמיים עם החזרה. לפי דיאגרמת עץ, מה ההסתברות לאדום ואחריו כחול?",
     "choices": [
      {
       "text": "$2/9$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "prob_add"
      },
      {
       "text": "$2/3$",
       "mistake": "one_stage"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "s_algebra",
   "unit": "s",
   "name": "פתרון אלגברי בהצבה",
   "short": "פתרון בהצבה",
   "prereqs": [
    "q_formula"
   ],
   "description": "מבודדים משתנה ממשוואה אחת, מציבים בשנייה, פותרים את המשוואה הריבועית ומוצאים את המשתנה השני לכל פתרון.",
   "month": "פברואר",
   "questions": [
    {
     "question": "פתרו: $x + y = 5$, $xy = 6$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(2, 3)$ ו־$(3, 2)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(2, 3)$ בלבד",
       "mistake": "one_solution"
      },
      {
       "text": "$(1, 6)$ ו־$(6, 1)$",
       "mistake": "product_check"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $y = x + 1$, $x² + y = 7$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(2, 3)$ ו־$(−3, −2)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(2, 3)$ בלבד",
       "mistake": "one_solution"
      },
      {
       "text": "$(−2, −1)$ ו־$(3, 4)$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $y = 2x$, $x² + y² = 20$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(2, 4)$ ו־$(−2, −4)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(2, 4)$ בלבד",
       "mistake": "one_solution"
      },
      {
       "text": "$(2, −4)$ ו־$(−2, 4)$",
       "mistake": "y_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x − y = 1$, $xy = 12$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(4, 3)$ ו־$(−3, −4)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(4, 3)$ בלבד",
       "mistake": "one_solution"
      },
      {
       "text": "$(3, 4)$ ו־$(−4, −3)$",
       "mistake": "check_both"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזה זוג פותר את המערכת $y = x²$, $y = x + 2$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(2, 4)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(1, 1)$",
       "mistake": "check_both"
      },
      {
       "text": "$(2, 3)$",
       "mistake": "check_both"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $y = x² − 3$, $y = 2x$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(3, 6)$ ו־$(−1, −2)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(3, 6)$ בלבד",
       "mistake": "one_solution"
      },
      {
       "text": "$(−3, −6)$ ו־$(1, 2)$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $x + y = 7$, $x² + y² = 25$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(3, 4)$ ו־$(4, 3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(3, 4)$ בלבד",
       "mistake": "one_solution"
      },
      {
       "text": "$(5, 0)$ ו־$(0, 5)$",
       "mistake": "check_both"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $y = x² + 1$, $y = 2x + 4$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(3, 10)$ ו־$(−1, 2)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(3, 10)$ ו־$(−1, 0)$",
       "mistake": "y_sign"
      },
      {
       "text": "$(−3, 10)$ ו־$(1, 2)$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $y = x² − 2$, $y = x$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(2, 2)$ ו־$(−1, −1)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(2, 2)$ ו־$(−1, 1)$",
       "mistake": "y_sign"
      },
      {
       "text": "$(−2, −2)$ ו־$(1, 1)$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פתרו: $y = 4 − x²$, $y = x + 2$",
     "choices": [
      {
       "text": "$(1, 3)$ ו־$(−2, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(1, 3)$ בלבד",
       "mistake": "one_solution"
      },
      {
       "text": "$(−1, 1)$ ו־$(2, 4)$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "s_line_parab",
   "unit": "s",
   "name": "חיתוך פרבולה וישר",
   "short": "פרבולה וישר",
   "prereqs": [
    "s_algebra"
   ],
   "description": "נקודות החיתוך של פרבולה וישר הן פתרונות המערכת. משווים את הביטויים ופותרים משוואה ריבועית.",
   "month": "פברואר",
   "questions": [
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $y = x²$ ו־$y = 2x + 3$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(3, 9)$ ו־$(−1, 1)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(3, 9)$ בלבד",
       "mistake": "one_solution"
      },
      {
       "text": "$(−3, 9)$ ו־$(1, 1)$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $y = x² − 4$ ו־$y = 3x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(4, 12)$ ו־$(−1, −3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(4, 12)$ ו־$(−1, 3)$",
       "mistake": "y_sign"
      },
      {
       "text": "$(−4, −12)$ ו־$(1, 3)$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "כמה נקודות חיתוך יש ל־$y = x²$ ול־$y = −1$?",
     "choices": [
      {
       "text": "אף אחת",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שתיים",
       "mistake": "vertex_height"
      },
      {
       "text": "אחת",
       "mistake": "vertex_height"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "כמה נקודות חיתוך יש ל־$y = x² + 2$ ול־$y = 2$?",
     "choices": [
      {
       "text": "אחת",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שתיים",
       "mistake": "vertex_height"
      },
      {
       "text": "אף אחת",
       "mistake": "vertex_height"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $y = −x² + 5$ ו־$y = 1$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(2, 1)$ ו־$(−2, 1)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(2, 1)$ בלבד",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$(1, 2)$ ו־$(1, −2)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $y = x² − 2x$ ו־$y = x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, 0)$ ו־$(3, 3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(3, 3)$ בלבד",
       "mistake": "divide_by_x"
      },
      {
       "text": "$(0, 0)$ ו־$(−3, −3)$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $y = x² + x − 2$ ו־$y = x + 2$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(2, 4)$ ו־$(−2, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(2, 4)$ בלבד",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$(2, 4)$ ו־$(−2, 4)$",
       "mistake": "y_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $y = 2x²$ ו־$y = 8$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(2, 8)$ ו־$(−2, 8)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(2, 8)$ בלבד",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$(4, 8)$ ו־$(−4, 8)$",
       "mistake": "forgot_divide"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "עבור איזה $k$ הישר $y = k$ חותך את $y = (x − 1)² + 3$ בנקודה אחת בלבד?",
     "choices": [
      {
       "text": "$k = 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$k = 1$",
       "mistake": "vertex_height"
      },
      {
       "text": "$k = 0$",
       "mistake": "vertex_height"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $y = −x² + 4x$ ו־$y = x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, 0)$ ו־$(3, 3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(3, 3)$ בלבד",
       "mistake": "divide_by_x"
      },
      {
       "text": "$(0, 0)$ ו־$(4, 0)$",
       "mistake": "check_both"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "s_two_parab",
   "unit": "s",
   "name": "חיתוך שתי פרבולות",
   "short": "שתי פרבולות",
   "prereqs": [
    "s_line_parab"
   ],
   "description": "משווים את שני הביטויים הריבועיים; לעתים $x²$ מתבטל ומתקבלת משוואה ממעלה ראשונה.",
   "month": "פברואר",
   "questions": [
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $y = x²$ ו־$y = −x² + 8$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(2, 4)$ ו־$(−2, 4)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(2, 4)$ בלבד",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$(4, 16)$ ו־$(−4, 16)$",
       "mistake": "forgot_divide"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $y = x² + 2x$ ו־$y = x² + 6$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(3, 15)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(3, 15)$ ו־$(−3, 3)$",
       "mistake": "one_solution"
      },
      {
       "text": "$(3, 6)$",
       "mistake": "y_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $y = 2x² − 3$ ו־$y = x² + 1$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(2, 5)$ ו־$(−2, 5)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(2, 5)$ בלבד",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$(4, 17)$ ו־$(−4, 17)$",
       "mistake": "forgot_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $y = x² − 4x$ ו־$y = −x² + 4x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, 0)$ ו־$(4, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(4, 0)$ בלבד",
       "mistake": "divide_by_x"
      },
      {
       "text": "$(0, 0)$ ו־$(−4, 0)$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "כמה נקודות חיתוך יש ל־$y = x² + 3$ ול־$y = −x² + 1$?",
     "choices": [
      {
       "text": "אף אחת",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שתיים",
       "mistake": "sys_meaning"
      },
      {
       "text": "אחת",
       "mistake": "sys_meaning"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $y = x² − 1$ ו־$y = 3 − x²$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(√2, 1)$ ו־$(−√2, 1)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(2, 3)$ ו־$(−2, 3)$",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$(√2, 1)$ בלבד",
       "mistake": "missing_neg_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $y = x² + x$ ו־$y = 2x² − x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, 0)$ ו־$(2, 6)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(2, 6)$ בלבד",
       "mistake": "divide_by_x"
      },
      {
       "text": "$(0, 0)$ ו־$(−2, 2)$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $y = (x − 1)²$ ו־$y = (x + 1)²$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, 1)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(1, 0)$ ו־$(−1, 0)$",
       "mistake": "vertex_as_root"
      },
      {
       "text": "אין נקודות חיתוך",
       "mistake": "sys_meaning"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $y = x² − 5$ ו־$y = −2x² + 7$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(2, −1)$ ו־$(−2, −1)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(2, −1)$ בלבד",
       "mistake": "missing_neg_root"
      },
      {
       "text": "$(2, 1)$ ו־$(−2, 1)$",
       "mistake": "y_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מהן נקודות החיתוך של $y = x² + 4x + 1$ ו־$y = x² + 2x + 5$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(2, 13)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(2, 13)$ ו־$(−2, −3)$",
       "mistake": "one_solution"
      },
      {
       "text": "$(−2, −3)$",
       "mistake": "lost_sign_move"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "s_meaning",
   "unit": "s",
   "name": "משמעות גרפית של פתרון מערכת",
   "short": "משמעות גרפית",
   "prereqs": [
    "s_line_parab"
   ],
   "description": "כל פתרון של המערכת הוא נקודה משותפת לשני הגרפים; מספר הפתרונות הוא מספר נקודות החיתוך.",
   "month": "פברואר",
   "questions": [
    {
     "question": "לפי הגרף של $f(x) = x² − 2x − 3$, כמה פתרונות יש למערכת $y = f(x)$, $y = −4$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -2,
        5
       ],
       [
        -1,
        0
       ],
       [
        0,
        -3
       ],
       [
        1,
        -4
       ],
       [
        2,
        -3
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        5
       ]
      ],
      "x": [
       -2.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       5.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "פתרון אחד",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שני פתרונות",
       "mistake": "vertex_height"
      },
      {
       "text": "אין פתרון",
       "mistake": "vertex_height"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף של $f(x) = x² − 2x − 3$, כמה פתרונות יש למערכת $y = f(x)$, $y = 0$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -2,
        5
       ],
       [
        -1,
        0
       ],
       [
        0,
        -3
       ],
       [
        1,
        -4
       ],
       [
        2,
        -3
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        5
       ]
      ],
      "x": [
       -2.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       5.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "שני פתרונות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "פתרון אחד",
       "mistake": "sys_meaning"
      },
      {
       "text": "אין פתרון",
       "mistake": "sys_meaning"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף של $f(x) = x² − 2x − 3$, כמה פתרונות יש למערכת $y = f(x)$, $y = −5$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -2,
        5
       ],
       [
        -1,
        0
       ],
       [
        0,
        -3
       ],
       [
        1,
        -4
       ],
       [
        2,
        -3
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        5
       ]
      ],
      "x": [
       -2.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       5.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "אין פתרון",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "פתרון אחד",
       "mistake": "vertex_height"
      },
      {
       "text": "שני פתרונות",
       "mistake": "sys_meaning"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף של $f(x) = x² − 2x − 3$, מהם הפתרונות של המערכת $y = f(x)$, $y = −3$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -2,
        5
       ],
       [
        -1,
        0
       ],
       [
        0,
        -3
       ],
       [
        1,
        -4
       ],
       [
        2,
        -3
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        5
       ]
      ],
      "x": [
       -2.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       5.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, −3)$ ו־$(2, −3)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(0, −3)$ בלבד",
       "mistake": "one_solution"
      },
      {
       "text": "$(−3, 0)$ ו־$(−3, 2)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה המשמעות הגרפית של פתרון מערכת של פרבולה וישר?",
     "choices": [
      {
       "text": "נקודה שבה הפרבולה והישר נפגשים",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "נקודה שבה הפרבולה חותכת את ציר $x$",
       "mistake": "sys_meaning"
      },
      {
       "text": "הקודקוד של הפרבולה",
       "mistake": "sys_meaning"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "למערכת של פרבולה וישר אין פתרון. מה אפשר לומר על הגרפים?",
     "choices": [
      {
       "text": "הם לא נפגשים",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "הם משיקים",
       "mistake": "sys_meaning"
      },
      {
       "text": "הישר עובר בקודקוד",
       "mistake": "vertex_height"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "כמה פתרונות לכל היותר יכולים להיות למערכת של פרבולה וישר?",
     "choices": [
      {
       "text": "שניים",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "אחד",
       "mistake": "sys_meaning"
      },
      {
       "text": "ארבעה",
       "mistake": "sys_meaning"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "הישר $y = 5$ והפרבולה $y = −x² + 5$. כמה נקודות משותפות להם?",
     "choices": [
      {
       "text": "אחת",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שתיים",
       "mistake": "vertex_height"
      },
      {
       "text": "אף אחת",
       "mistake": "vertex_height"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף של $f(x) = x² − 2x − 3$, מה הפתרונות של המערכת $y = f(x)$, $y = 5$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -2,
        5
       ],
       [
        -1,
        0
       ],
       [
        0,
        -3
       ],
       [
        1,
        -4
       ],
       [
        2,
        -3
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        5
       ]
      ],
      "x": [
       -2.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       5.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$(−2, 5)$ ו־$(4, 5)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(4, 5)$ בלבד",
       "mistake": "one_solution"
      },
      {
       "text": "$(5, −2)$ ו־$(5, 4)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "הפרבולות $y = x²$ ו־$y = x² + 1$. כמה נקודות משותפות להן?",
     "choices": [
      {
       "text": "אף אחת",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "אחת",
       "mistake": "sys_meaning"
      },
      {
       "text": "שתיים",
       "mistake": "sys_meaning"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "n_points",
   "unit": "n",
   "name": "חיתוך עם הצירים, חיוביות ושליליות",
   "short": "חיתוך וחיוביות",
   "prereqs": [],
   "description": "חיתוך עם ציר $x$: נקודות שבהן $y = 0$. חיתוך עם ציר $y$: הנקודה שבה $x = 0$. הפונקציה חיובית היכן שהגרף מעל ציר $x$.",
   "month": "מרץ",
   "questions": [
    {
     "question": "לפי הגרף, מהן נקודות החיתוך עם ציר $x$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        3
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -1,
        -2
       ],
       [
        0,
        -1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        1.5
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        -1
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -2.5,
       3.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$(−3, 0)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(0, −1.5)$",
       "mistake": "axes_mixed"
      },
      {
       "text": "$(−1, −2)$ ו־$(2, 1.5)$",
       "mistake": "vertex_as_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מהי נקודת החיתוך עם ציר $y$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        3
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -1,
        -2
       ],
       [
        0,
        -1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        1.5
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        -1
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -2.5,
       3.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, −1.5)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(−1.5, 0)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      },
      {
       "text": "$(1, 0)$",
       "mistake": "axes_mixed"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, באילו תחומים הפונקציה חיובית?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        3
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -1,
        -2
       ],
       [
        0,
        -1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        1.5
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        -1
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -2.5,
       3.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$−4 ≤ x < −3$ ו־$1 < x < 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−3 < x < 1$ ו־$3 < x ≤ 4$",
       "mistake": "pos_neg_swap"
      },
      {
       "text": "$x > 0$",
       "mistake": "neg_x"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, באילו תחומים הפונקציה שלילית?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        3
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -1,
        -2
       ],
       [
        0,
        -1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        1.5
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        -1
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -2.5,
       3.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$−3 < x < 1$ ו־$3 < x ≤ 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−4 ≤ x < −3$ ו־$1 < x < 3$",
       "mistake": "pos_neg_swap"
      },
      {
       "text": "$−2 ≤ y < 0$",
       "mistake": "x_vs_y_interval"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, כמה נקודות חיתוך עם ציר $x$ יש לפונקציה?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -3,
        -4
       ],
       [
        -2,
        0
       ],
       [
        -1,
        2
       ],
       [
        0,
        1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -2
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        4
       ]
      ],
      "x": [
       -3.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2$",
       "mistake": "count_all"
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "axes_mixed"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מהי נקודת החיתוך עם ציר $y$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -3,
        -4
       ],
       [
        -2,
        0
       ],
       [
        -1,
        2
       ],
       [
        0,
        1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -2
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        4
       ]
      ],
      "x": [
       -3.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, 1.5)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(1, 0)$",
       "mistake": "axes_mixed"
      },
      {
       "text": "$(1.5, 0)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, באילו תחומים הפונקציה חיובית?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -3,
        -4
       ],
       [
        -2,
        0
       ],
       [
        -1,
        2
       ],
       [
        0,
        1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -2
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        4
       ]
      ],
      "x": [
       -3.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$−2 < x < 1$ ו־$x > 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x < −2$ ו־$1 < x < 3$",
       "mistake": "pos_neg_swap"
      },
      {
       "text": "$0 < y < 4$",
       "mistake": "x_vs_y_interval"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, באילו תחומים הפונקציה שלילית?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -3,
        -4
       ],
       [
        -2,
        0
       ],
       [
        -1,
        2
       ],
       [
        0,
        1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -2
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        4
       ]
      ],
      "x": [
       -3.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$x < −2$ ו־$1 < x < 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−2 < x < 1$ ו־$x > 3$",
       "mistake": "pos_neg_swap"
      },
      {
       "text": "$x < 0$",
       "mistake": "neg_x"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, באיזה תחום הפונקציה חיובית?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -3,
        -2
       ],
       [
        0,
        0
       ],
       [
        3,
        2
       ]
      ],
      "x": [
       -3.5,
       3.5
      ],
      "y": [
       -2.5,
       2.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$x > 0$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$y > 0$",
       "mistake": "x_vs_y_interval"
      },
      {
       "text": "$x < 0$",
       "mistake": "pos_neg_swap"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפונקציה נקודת חיתוך עם ציר $x$ ב־$(5, 0)$. מה $f(5)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$0$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5$",
       "mistake": "swapped_pair"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "axes_mixed"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "n_extremum",
   "unit": "n",
   "name": "נקודות קיצון, עלייה וירידה",
   "short": "קיצון ועלייה",
   "prereqs": [
    "n_points"
   ],
   "description": "נקודת קיצון היא זוג סדור; ערך המקסימום או המינימום הוא שיעור ה־$y$ שלה. בין נקודות הקיצון הפונקציה עולה או יורדת.",
   "month": "מרץ",
   "questions": [
    {
     "question": "לפי הגרף, מהי נקודת המקסימום המקומי?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        3
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -1,
        -2
       ],
       [
        0,
        -1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        1.5
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        -1
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -2.5,
       3.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$(2, 1.5)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(1.5, 2)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      },
      {
       "text": "$(−1, −2)$",
       "mistake": "max_vs_min"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מה ערך המינימום המקומי?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        3
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -1,
        -2
       ],
       [
        0,
        -1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        1.5
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        -1
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -2.5,
       3.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$−2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−1$",
       "mistake": "x_as_value"
      },
      {
       "text": "$(−1, −2)$",
       "mistake": "value_vs_point"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, באיזה תחום הפונקציה עולה?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        3
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -1,
        -2
       ],
       [
        0,
        -1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        1.5
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        -1
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -2.5,
       3.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$−1 < x < 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−4 < x < −1$ ו־$2 < x < 4$",
       "mistake": "dir_confusion"
      },
      {
       "text": "$−2 < y < 1.5$",
       "mistake": "x_vs_y_interval"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, האם $(2, 1.5)$ היא נקודת מקסימום מוחלט?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        3
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -1,
        -2
       ],
       [
        0,
        -1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        1.5
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        -1
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -2.5,
       3.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "לא, הנקודה $(−4, 3)$ גבוהה ממנה",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כן",
       "mistake": "local_as_abs"
      },
      {
       "text": "כן, כי הגרף יורד אחריה",
       "mistake": "abs_vs_local"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מהי נקודת המקסימום המקומי, ומה ערכו?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -3,
        -4
       ],
       [
        -2,
        0
       ],
       [
        -1,
        2
       ],
       [
        0,
        1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -2
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        4
       ]
      ],
      "x": [
       -3.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$(−1, 2)$, הערך $2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(−1, 2)$, הערך $−1$",
       "mistake": "x_as_value"
      },
      {
       "text": "$(2, −2)$, הערך $−2$",
       "mistake": "max_vs_min"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, באיזה תחום הפונקציה יורדת?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -3,
        -4
       ],
       [
        -2,
        0
       ],
       [
        -1,
        2
       ],
       [
        0,
        1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -2
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        4
       ]
      ],
      "x": [
       -3.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$−1 < x < 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x < −1$ ו־$x > 2$",
       "mistake": "dir_confusion"
      },
      {
       "text": "$−2 < y < 2$",
       "mistake": "x_vs_y_interval"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, באילו תחומים הפונקציה עולה?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -3,
        -4
       ],
       [
        -2,
        0
       ],
       [
        -1,
        2
       ],
       [
        0,
        1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -2
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        4
       ]
      ],
      "x": [
       -3.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$x < −1$ ו־$x > 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−1 < x < 2$",
       "mistake": "dir_confusion"
      },
      {
       "text": "$x > 0$",
       "mistake": "neg_x"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, אילו נקודות קיצון יש לפונקציה?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -3,
        -2
       ],
       [
        0,
        0
       ],
       [
        3,
        2
       ]
      ],
      "x": [
       -3.5,
       3.5
      ],
      "y": [
       -2.5,
       2.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "אין לה נקודות קיצון",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(0, 0)$",
       "mistake": "no_extremum"
      },
      {
       "text": "$(3, 2)$",
       "mistake": "no_extremum"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה ההבדל בין נקודת מקסימום לערך המקסימום?",
     "choices": [
      {
       "text": "הנקודה היא זוג $(x, y)$; הערך הוא שיעור ה־$y$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "אין הבדל",
       "mistake": "value_vs_point"
      },
      {
       "text": "הערך הוא שיעור ה־$x$",
       "mistake": "x_as_value"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "פונקציה עולה עד $x = 3$ ויורדת אחריו, ו־$f(3) = 7$. מה נכון?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(3, 7)$ נקודת מקסימום",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(3, 7)$ נקודת מינימום",
       "mistake": "max_vs_min"
      },
      {
       "text": "$(7, 3)$ נקודת מקסימום",
       "mistake": "swapped_pair"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "n_eq_graph",
   "unit": "n",
   "name": "הקשר בין משוואות לגרף",
   "short": "משוואות וגרף",
   "prereqs": [
    "n_points"
   ],
   "description": "פתרונות $f(x) = m$ הם שיעורי ה־$x$ של הנקודות שבהן הגרף פוגש את הישר האופקי $y = m$.",
   "month": "מרץ",
   "questions": [
    {
     "question": "לפי הגרף, מהם הפתרונות של $f(x) = 0$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -3,
        -4
       ],
       [
        -2,
        0
       ],
       [
        -1,
        2
       ],
       [
        0,
        1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -2
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        4
       ]
      ],
      "x": [
       -3.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −2$, $x = 1$, $x = 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 1.5$",
       "mistake": "axes_mixed"
      },
      {
       "text": "$x = −1$ ו־$x = 2$",
       "mistake": "vertex_as_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, כמה פתרונות יש ל־$f(x) = 1$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -3,
        -4
       ],
       [
        -2,
        0
       ],
       [
        -1,
        2
       ],
       [
        0,
        1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -2
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        4
       ]
      ],
      "x": [
       -3.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "x_equals_m"
      },
      {
       "text": "$2$",
       "mistake": "x_equals_m"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, כמה פתרונות יש ל־$f(x) = 2$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -3,
        -4
       ],
       [
        -2,
        0
       ],
       [
        -1,
        2
       ],
       [
        0,
        1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -2
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        4
       ]
      ],
      "x": [
       -3.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "x_equals_m"
      },
      {
       "text": "$3$",
       "mistake": "x_equals_m"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, כמה פתרונות יש ל־$f(x) = −2$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -3,
        -4
       ],
       [
        -2,
        0
       ],
       [
        -1,
        2
       ],
       [
        0,
        1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -2
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        4
       ]
      ],
      "x": [
       -3.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "x_equals_m"
      },
      {
       "text": "$0$",
       "mistake": "count_all"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, כמה פתרונות יש ל־$f(x) = 5$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -3,
        -4
       ],
       [
        -2,
        0
       ],
       [
        -1,
        2
       ],
       [
        0,
        1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        -2
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        4
       ]
      ],
      "x": [
       -3.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -4.5,
       4.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$0$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "x_equals_m"
      },
      {
       "text": "$2$",
       "mistake": "x_equals_m"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מה הפתרון של $f(x) = 3$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        3
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -1,
        -2
       ],
       [
        0,
        -1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        1.5
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        -1
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -2.5,
       3.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 3$",
       "mistake": "x_equals_m"
      },
      {
       "text": "אין פתרון",
       "mistake": "count_all"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, כמה פתרונות יש ל־$f(x) = −2$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -4,
        3
       ],
       [
        -3,
        0
       ],
       [
        -1,
        -2
       ],
       [
        0,
        -1.5
       ],
       [
        1,
        0
       ],
       [
        2,
        1.5
       ],
       [
        3,
        0
       ],
       [
        4,
        -1
       ]
      ],
      "x": [
       -4.5,
       4.5
      ],
      "y": [
       -2.5,
       3.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2$",
       "mistake": "x_equals_m"
      },
      {
       "text": "$0$",
       "mistake": "count_all"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפי הגרף, מה הפתרון של $f(x) = 0$?",
     "graph": {
      "points": [
       [
        -3,
        -2
       ],
       [
        0,
        0
       ],
       [
        3,
        2
       ]
      ],
      "x": [
       -3.5,
       3.5
      ],
      "y": [
       -2.5,
       2.5
      ]
     },
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 0$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$y = 0$",
       "mistake": "x_vs_y_interval"
      },
      {
       "text": "אין פתרון",
       "mistake": "count_all"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה המשמעות הגרפית של פתרון המשוואה $f(x) = 4$?",
     "choices": [
      {
       "text": "שיעור ה־$x$ של נקודה שבה הגרף פוגש את הישר $y = 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שיעור ה־$x$ של נקודה שבה הגרף פוגש את הישר $x = 4$",
       "mistake": "x_equals_m"
      },
      {
       "text": "הערך $f(4)$",
       "mistake": "x_equals_m"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "הגרף של $f$ עובר בנקודה $(2, 5)$. איזו משוואה בהכרח מתקיימת?",
     "choices": [
      {
       "text": "$f(2) = 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$f(5) = 2$",
       "mistake": "swapped_pair"
      },
      {
       "text": "$f(0) = 5$",
       "mistake": "axes_mixed"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "n_vshift",
   "unit": "n",
   "name": "הזזה אנכית של פונקציה",
   "short": "הזזה אנכית",
   "prereqs": [
    "n_extremum"
   ],
   "description": "$f(x) + k$ מזיזה את הגרף $k$ יחידות למעלה ($k > 0$) או למטה ($k < 0$). תחומי העלייה והירידה נשמרים; חיתוכים עם הצירים משתנים.",
   "month": "מרץ",
   "questions": [
    {
     "question": "לפונקציה $f$ נקודת מינימום $(−1, −2)$. מהי נקודת המינימום של $g(x) = f(x) + 2$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(−1, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(1, −2)$",
       "mistake": "vshift_as_h"
      },
      {
       "text": "$(−1, −4)$",
       "mistake": "vshift_dir"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפונקציה $f$ נקודת מקסימום $(2, 1.5)$. מהי נקודת המקסימום של $g(x) = f(x) − 3$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(2, −1.5)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(−1, 1.5)$",
       "mistake": "vshift_as_h"
      },
      {
       "text": "$(2, 4.5)$",
       "mistake": "vshift_dir"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$f$ עולה בתחום $−1 < x < 2$. באיזה תחום עולה $g(x) = f(x) + 5$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$−1 < x < 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4 < x < 7$",
       "mistake": "vshift_as_h"
      },
      {
       "text": "$−6 < x < −3$",
       "mistake": "shift_keeps"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איך מתקבל הגרף של $g(x) = f(x) − 4$ מהגרף של $f$?",
     "choices": [
      {
       "text": "הזזה של $4$ יחידות למטה",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "הזזה של $4$ יחידות למעלה",
       "mistake": "vshift_dir"
      },
      {
       "text": "הזזה של $4$ יחידות ימינה",
       "mistake": "vshift_as_h"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$f(0) = −1.5$. מה נקודת החיתוך של $g(x) = f(x) + 1.5$ עם ציר $y$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(0, −3)$",
       "mistake": "vshift_dir"
      },
      {
       "text": "$(1.5, −1.5)$",
       "mistake": "vshift_as_h"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה נשמר כשמזיזים גרף הזזה אנכית?",
     "choices": [
      {
       "text": "תחומי העלייה והירידה",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "נקודות החיתוך עם ציר $x$",
       "mistake": "shift_keeps"
      },
      {
       "text": "ערך המקסימום",
       "mistake": "vshift_keeps_y"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "הנקודה $(3, 0)$ על הגרף של $f$. איזו נקודה על הגרף של $f(x) + 2$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(3, 2)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(5, 0)$",
       "mistake": "vshift_as_h"
      },
      {
       "text": "$(3, −2)$",
       "mistake": "vshift_dir"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$f(x) = x²$. מהי $g$ שמתקבלת מהזזת $f$ שלוש יחידות למטה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$g(x) = x² − 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$g(x) = (x − 3)²$",
       "mistake": "vshift_as_h"
      },
      {
       "text": "$g(x) = x² + 3$",
       "mistake": "vshift_dir"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ערך המקסימום של $f$ הוא $4$. מה ערך המקסימום של $f(x) − 6$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$−2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "vshift_dir"
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "vshift_keeps_y"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ל־$f$ שלוש נקודות חיתוך עם ציר $x$. האם גם ל־$f(x) + 1$ בהכרח שלוש?",
     "choices": [
      {
       "text": "לא בהכרח",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כן, הזזה שומרת על החיתוכים",
       "mistake": "shift_keeps"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "n_hshift",
   "unit": "n",
   "name": "הזזה אופקית של פונקציה",
   "short": "הזזה אופקית",
   "prereqs": [
    "n_extremum"
   ],
   "description": "$f(x − b)$ מזיזה את הגרף $b$ יחידות ימינה ($b > 0$) או שמאלה ($b < 0$). ערכי המקסימום והמינימום נשמרים; התחומים זזים.",
   "month": "מרץ",
   "questions": [
    {
     "question": "לפונקציה $f$ נקודת מינימום $(−1, −2)$. מהי נקודת המינימום של $g(x) = f(x − 2)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(1, −2)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(−3, −2)$",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$(−1, −4)$",
       "mistake": "h_as_v"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "לפונקציה $f$ נקודת מקסימום $(2, 1.5)$. מהי נקודת המקסימום של $g(x) = f(x + 3)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(−1, 1.5)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(5, 1.5)$",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$(2, 4.5)$",
       "mistake": "h_as_v"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$f$ עולה בתחום $−1 < x < 2$. באיזה תחום עולה $g(x) = f(x − 4)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3 < x < 6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−1 < x < 2$",
       "mistake": "shift_keeps"
      },
      {
       "text": "$−5 < x < −2$",
       "mistake": "hshift_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איך מתקבל הגרף של $g(x) = f(x + 2)$ מהגרף של $f$?",
     "choices": [
      {
       "text": "הזזה של $2$ יחידות שמאלה",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "הזזה של $2$ יחידות ימינה",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "הזזה של $2$ יחידות למעלה",
       "mistake": "h_as_v"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ל־$f$ חיתוכים עם ציר $x$ ב־$x = −3$, $x = 1$, $x = 3$. היכן חותכת $g(x) = f(x − 1)$ את ציר $x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −2$, $x = 2$, $x = 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −4$, $x = 0$, $x = 2$",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$x = −3$, $x = 1$, $x = 3$",
       "mistake": "shift_keeps"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה נשמר כשמזיזים גרף הזזה אופקית?",
     "choices": [
      {
       "text": "ערכי המקסימום והמינימום",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "תחומי העלייה והירידה",
       "mistake": "shift_keeps"
      },
      {
       "text": "נקודת החיתוך עם ציר $y$",
       "mistake": "hshift_keeps_x"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "הנקודה $(3, 0)$ על הגרף של $f$. איזו נקודה על הגרף של $f(x − 2)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(5, 0)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(1, 0)$",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$(3, −2)$",
       "mistake": "h_as_v"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$f(x) = x²$. מהי $g$ שמתקבלת מהזזת $f$ שלוש יחידות ימינה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$g(x) = (x − 3)²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$g(x) = (x + 3)²$",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$g(x) = x² − 3$",
       "mistake": "h_as_v"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ערך המינימום של $f$ הוא $−2$. מה ערך המינימום של $f(x + 5)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$−2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3$",
       "mistake": "h_as_v"
      },
      {
       "text": "$−7$",
       "mistake": "h_as_v"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$f$ חיובית בתחום $1 < x < 3$. באיזה תחום חיובית $g(x) = f(x + 1)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$0 < x < 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2 < x < 4$",
       "mistake": "hshift_sign"
      },
      {
       "text": "$1 < x < 3$",
       "mistake": "shift_keeps"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "n_reflect",
   "unit": "n",
   "name": "שיקוף ביחס לציר $x$",
   "short": "שיקוף",
   "prereqs": [
    "n_extremum"
   ],
   "description": "$−f(x)$ היא שיקוף של $f$ ביחס לציר $x$: $(a, b)$ עוברת ל־$(a, −b)$. מקסימום הופך למינימום, וחיובית הופכת לשלילית.",
   "month": "מרץ",
   "questions": [
    {
     "question": "לפונקציה $f$ נקודת מינימום $(−1, −2)$. מה נקודת הקיצון של $−f(x)$, ומה סוגה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(−1, 2)$, מקסימום",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(−1, 2)$, מינימום",
       "mistake": "reflect_type"
      },
      {
       "text": "$(1, −2)$, מינימום",
       "mistake": "reflect_axis"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ל־$f$ חיתוכים עם ציר $x$ ב־$x = −3$, $x = 1$, $x = 3$. היכן חותכת $−f(x)$ את ציר $x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = −3$, $x = 1$, $x = 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 3$, $x = −1$, $x = −3$",
       "mistake": "reflect_zeros"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$f$ חיובית בתחום $1 < x < 3$. מה נכון לגבי $−f(x)$ בתחום זה?",
     "choices": [
      {
       "text": "היא שלילית",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "היא חיובית",
       "mistake": "reflect_zeros"
      },
      {
       "text": "היא אפס",
       "mistake": "reflect_zeros"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$f$ עולה בתחום $−1 < x < 2$. מה עושה $−f(x)$ בתחום זה?",
     "choices": [
      {
       "text": "יורדת",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "עולה",
       "mistake": "reflect_type"
      },
      {
       "text": "קבועה",
       "mistake": "reflect_type"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "הנקודה $(2, 5)$ על הגרף של $f$. איזו נקודה על הגרף של $−f(x)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(2, −5)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(−2, 5)$",
       "mistake": "reflect_axis"
      },
      {
       "text": "$(−2, −5)$",
       "mistake": "reflect_axis"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$f(x) = x² − 4$. מהי $−f(x)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$−x² + 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−x² − 4$",
       "mistake": "reflect_zeros"
      },
      {
       "text": "$x² + 4$",
       "mistake": "reflect_axis"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ערך המקסימום של $f$ הוא $3$. מה נכון לגבי $−f(x)$?",
     "choices": [
      {
       "text": "יש לה ערך מינימום $−3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "יש לה ערך מקסימום $−3$",
       "mistake": "reflect_type"
      },
      {
       "text": "יש לה ערך מקסימום $3$",
       "mistake": "reflect_type"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$f(0) = −1.5$. מהי נקודת החיתוך של $−f(x)$ עם ציר $y$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$(0, 1.5)$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$(0, −1.5)$",
       "mistake": "reflect_zeros"
      },
      {
       "text": "$(1.5, 0)$",
       "mistake": "swapped_pair"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איך מתקבל הגרף של $−f(x)$ מהגרף של $f$?",
     "choices": [
      {
       "text": "שיקוף ביחס לציר $x$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שיקוף ביחס לציר $y$",
       "mistake": "reflect_axis"
      },
      {
       "text": "הזזה למטה",
       "mistake": "vshift_dir"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$f$ שלילית בתחום $x < −2$. באיזה תחום $−f(x)$ חיובית?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x < −2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x > −2$",
       "mistake": "reflect_axis"
      },
      {
       "text": "$x > 2$",
       "mistake": "reflect_axis"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "b_def",
   "unit": "b",
   "name": "הגדרת המעוין ותכונות הצלעות",
   "short": "הגדרת מעוין",
   "prereqs": [
    "g_def"
   ],
   "description": "מעוין הוא מרובע שכל צלעותיו שוות. הוא גם מקבילית וגם דלתון.",
   "month": "מרץ",
   "questions": [
    {
     "question": "איזה מרובע נקרא מעוין?",
     "figure": "A=-3.46,0; B=0,-2; C=3.46,0; D=0,2; poly A B C D",
     "choices": [
      {
       "text": "מרובע שכל צלעותיו שוות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מרובע שכל זוויותיו ישרות",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      },
      {
       "text": "מרובע שאלכסוניו שווים",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "היקף מעוין $36$. מה אורך צלעו?",
     "figure": "_A=-3.46,0; _B=0,-2; _C=3.46,0; _D=0,2; poly _A _B _C _D; tick _A _B 1; tick _B _C 1; tick _C _D 1; tick _D _A 1; len _A _B ?; note P = 36",
     "choices": [
      {
       "text": "$9$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$18$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צלע מעוין $7$. מה היקפו?",
     "figure": "_A=-3.46,0; _B=0,-2; _C=3.46,0; _D=0,2; poly _A _B _C _D; tick _A _B 1; tick _B _C 1; tick _C _D 1; tick _D _A 1; len _A _B 7",
     "choices": [
      {
       "text": "$28$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$14$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      },
      {
       "text": "$49$",
       "mistake": "area_perimeter"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "האם כל מעוין הוא מקבילית?",
     "figure": "A=-3.46,0; B=0,-2; C=3.46,0; D=0,2; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1",
     "choices": [
      {
       "text": "כן",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "לא",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במעוין $ABCD$: $AB = 2x + 1$, $BC = x + 6$. מה $x$?",
     "figure": "A=-3.46,0; B=0,-2; C=3.46,0; D=0,2; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; len A B 2x + 1; len B C x + 6",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 7/3$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 7$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מעוין הוא גם:",
     "figure": "A=-3.46,0; B=0,-2; C=3.46,0; D=0,2; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1",
     "choices": [
      {
       "text": "דלתון וגם מקבילית",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מלבן",
       "mistake": "square_hierarchy"
      },
      {
       "text": "טרפז",
       "mistake": "trap_vs_par"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צלע מעוין $3x − 1$ והיקפו $44$. מה $x$?",
     "figure": "_A=-3.46,0; _B=0,-2; _C=3.46,0; _D=0,2; poly _A _B _C _D; tick _A _B 1; tick _B _C 1; tick _C _D 1; tick _D _A 1; len _A _B 3x − 1; note P = 44",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 15$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      },
      {
       "text": "$x = 11$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "איזו טענה נכונה?",
     "figure": "A=-3.46,0; B=0,-2; C=3.46,0; D=0,2; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1",
     "choices": [
      {
       "text": "כל ריבוע הוא מעוין",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כל מעוין הוא ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      },
      {
       "text": "כל מלבן הוא מעוין",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $AB = BC = CD = DA = 6$ ו־$∢A = 90°$. מהו המרובע?",
     "figure": "A=-3.46,0; B=0,-2; C=3.46,0; D=0,2; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; len A B 6; note AB = BC = CD = DA, ∢A = 90°",
     "choices": [
      {
       "text": "ריבוע",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מעוין שאינו ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      },
      {
       "text": "מלבן שאינו ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במעוין $ABCD$: $AB = 3y − 2$, $CD = y + 4$. מה $y$?",
     "figure": "A=-3.46,0; B=0,-2; C=3.46,0; D=0,2; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; len A B 3y − 2; len C D y + 4",
     "choices": [
      {
       "text": "$y = 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$y = 1$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$y = 0.5$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "b_angles",
   "unit": "b",
   "name": "זוויות המעוין",
   "short": "זוויות מעוין",
   "prereqs": [
    "b_def"
   ],
   "description": "במעוין זוויות נגדיות שוות, זוויות סמוכות משלימות ל־$180°$, והאלכסונים חוצים את הזוויות.",
   "month": "מרץ",
   "questions": [
    {
     "question": "במעוין $ABCD$: $∢A = 70°$. מה גודל $∢B$?",
     "figure": "A=-3.28,0; B=0,-2.29; C=3.28,0; D=0,2.29; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; ang B A D 70°; ang C B A ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$110°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$70°$",
       "mistake": "par_adjacent"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במעוין $ABCD$: $∢A = 70°$. מה גודל $∢BAC$?",
     "figure": "A=-3.28,0; B=0,-2.29; C=3.28,0; D=0,2.29; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; ang B A D 70°",
     "choices": [
      {
       "text": "$35°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$70°$",
       "mistake": "rh_bisect"
      },
      {
       "text": "$55°$",
       "mistake": "rh_perp"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במעוין $ABCD$: $∢ABC = 120°$. מה גודל $∢ABD$?",
     "figure": "A=-3.46,0; B=0,-2; C=3.46,0; D=0,2; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line B D; ang A B C 120°",
     "choices": [
      {
       "text": "$60°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$120°$",
       "mistake": "rh_bisect"
      },
      {
       "text": "$30°$",
       "mistake": "rh_perp"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במעוין $ABCD$: $∢A = 60°$ ו־$AB = 4$. מה אורך האלכסון $BD$?",
     "figure": "A=-3.46,0; B=0,-2; C=3.46,0; D=0,2; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; dash B D; ang B A D 60°; len A B 4; lenx B D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$8$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$2$",
       "mistake": "other_quantity"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במעוין $ABCD$: $∢BAC = 25°$. מה גודל $∢ABC$?",
     "figure": "A=-3.63,0; B=0,-1.69; C=3.63,0; D=0,1.69; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; ang B A C 25°; ang A B C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$130°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$50°$",
       "mistake": "rh_bisect"
      },
      {
       "text": "$65°$",
       "mistake": "rh_bisect"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במעוין $ABCD$: $∢ABD = 40°$. מה גודל $∢BAD$?",
     "figure": "A=-2.57,0; B=0,-3.06; C=2.57,0; D=0,3.06; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line B D; ang A B D 40°; ang B A D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$100°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$80°$",
       "mistake": "par_adjacent"
      },
      {
       "text": "$40°$",
       "mistake": "rh_bisect"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במעוין $ABCD$: $∢A = 2 · ∢B$. מה גודל $∢A$?",
     "figure": "A=-2,0; B=0,-3.46; C=2,0; D=0,3.46; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; ang B A D ?; note ∢A = 2 · ∢B",
     "choices": [
      {
       "text": "$120°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$90°$",
       "mistake": "par_adjacent"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במעוין $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים): $∢OAB = 30°$. מה גודל $∢OBA$?",
     "figure": "A=-3.46,0; B=0,-2; C=3.46,0; D=0,2; O=0,0@se; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; line B D; dot O; ang O A B 30°; ang A B O ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$60°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$30°$",
       "mistake": "rh_perp"
      },
      {
       "text": "$90°$",
       "mistake": "rh_perp"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במעוין $ABCD$: $∢A = 80°$. מה גודל $∢ACD$?",
     "figure": "A=-3.06,0; B=0,-2.57; C=3.06,0; D=0,2.57; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; ang B A D 80°; ang A C D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$40°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$80°$",
       "mistake": "rh_bisect"
      },
      {
       "text": "$50°$",
       "mistake": "rh_perp"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במעוין $ABCD$: $∢A + ∢C = 100°$. מה גודל $∢B$?",
     "figure": "A=-3.63,0; B=0,-1.69; C=3.63,0; D=0,1.69; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; ang C B A ?; note ∢A + ∢C = 100°",
     "choices": [
      {
       "text": "$130°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$50°$",
       "mistake": "par_adjacent"
      },
      {
       "text": "$80°$",
       "mistake": "par_opposite"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "b_diag",
   "unit": "b",
   "name": "אלכסוני המעוין",
   "short": "אלכסוני מעוין",
   "prereqs": [
    "b_def"
   ],
   "description": "אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה וחוצים זה את זה. שטח המעוין הוא מכפלת האלכסונים חלקי $2$.",
   "month": "מרץ",
   "questions": [
    {
     "question": "אלכסוני מעוין $16$ ו־$12$. מה אורך צלעו?",
     "figure": "A=-4,0; B=0,-3; C=4,0; D=0,3; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; dash A C; dash B D; len A B ?; note AC = 16, BD = 12",
     "choices": [
      {
       "text": "$10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$20$",
       "mistake": "diag_half"
      },
      {
       "text": "$14$",
       "mistake": "add_lengths"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אלכסוני מעוין $10$ ו־$8$. מה שטחו?",
     "figure": "A=-3.9,0; B=0,-3.12; C=3.9,0; D=0,3.12; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; dash A C; dash B D; note AC = 10, BD = 8",
     "choices": [
      {
       "text": "$40$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$80$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$18$",
       "mistake": "area_add"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה נכון לגבי אלכסוני המעוין?",
     "figure": "A=-3.46,0; B=0,-2; C=3.46,0; D=0,2; O=0,0@se; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; line B D; dot O",
     "choices": [
      {
       "text": "הם מאונכים וחוצים זה את זה",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "הם שווים וחוצים זה את זה",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      },
      {
       "text": "הם מאונכים, אבל לא חוצים זה את זה",
       "mistake": "kite_par"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צלע מעוין $13$ ואחד מאלכסוניו $10$. מה האלכסון השני?",
     "figure": "A=-5.54,0; B=0,-2.31; C=5.54,0; D=0,2.31; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; dash A C; dash B D; len A B 13; note BD = 10, AC = ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$24$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "diag_half"
      },
      {
       "text": "$23$",
       "mistake": "add_lengths"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צלע מעוין $5$ ואחד מאלכסוניו $6$. מה האלכסון השני?",
     "figure": "A=-4,0; B=0,-3; C=4,0; D=0,3; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; dash A C; dash B D; len A B 5; note BD = 6, AC = ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "diag_half"
      },
      {
       "text": "$√11$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שטח מעוין $24$ ואחד מאלכסוניו $6$. מה האלכסון השני?",
     "figure": "A=-4,0; B=0,-3; C=4,0; D=0,3; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; dash A C; dash B D; note BD = 6, AC = ?, S = 24",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$18$",
       "mistake": "area_add"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במעוין $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים), מה גודל $∢AOB$?",
     "figure": "A=-3.46,0; B=0,-2; C=3.46,0; D=0,2; O=0,0@se; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; line B D; dot O; ang A O D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$90°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$45°$",
       "mistake": "rh_perp"
      },
      {
       "text": "תלוי במעוין",
       "mistake": "rh_perp"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במעוין $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים): $AO = 4$, $BO = 3$. מה שטח המעוין?",
     "figure": "A=-4,0; B=0,-3; C=4,0; D=0,3; O=0,0@se; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; line B D; dot O; len A O 4; lenx B O 3",
     "choices": [
      {
       "text": "$24$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "diag_half"
      },
      {
       "text": "$48$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במעוין $AC = 2x$, $BD = x + 3$, והשטח $18$. מה $x$?",
     "figure": "A=-3.28,0; B=0,-2.29; C=3.28,0; D=0,2.29; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; dash A C; dash B D; note AC = 2x, BD = x + 3, S = 18",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −6$",
       "mistake": "inadmissible"
      },
      {
       "text": "$x = 1.5$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צלע מעוין $6$ והגובה אליה $4$. מה שטח המעוין?",
     "figure": "_A=0,0; _B=6,0; _C=10.47,4; _D=4.47,4; _H=4.47,0; poly _A _B _C _D; dash _D _H; right _D _H _B; tick _A _B 1; tick _B _C 1; tick _C _D 1; tick _D _A 1; len _A _B 6; lenx _D _H 4",
     "choices": [
      {
       "text": "$24$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "par_area"
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "area_add"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "b_converse",
   "unit": "b",
   "name": "משפטים הפוכים: מתי מרובע הוא מעוין",
   "short": "הוכחת מעוין",
   "prereqs": [
    "b_diag",
    "b_angles"
   ],
   "description": "מקבילית שאלכסוניה מאונכים, שיש בה צלעות סמוכות שוות, או שאלכסון חוצה בה זווית, היא מעוין.",
   "month": "מרץ",
   "questions": [
    {
     "question": "מקבילית שאלכסוניה מאונכים היא:",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; O=3.72,1.54@s; poly A B C D; line A C; line B D; dot O; note AC ⊥ BD",
     "choices": [
      {
       "text": "מעוין",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מלבן",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      },
      {
       "text": "לא בהכרח מעוין",
       "mistake": "par_not_rhombus"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$: $AB = BC$. מה סוג המקבילית?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; poly A B C D; note AB = BC",
     "choices": [
      {
       "text": "מעוין",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מלבן",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "par_not_rhombus"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מרובע שאלכסוניו מאונכים הוא:",
     "figure": "A=0,0; B=6,-0.4; C=5.1,3.4; D=0.9,2.7; O=2.55,1.7@s; poly A B C D; line A C; line B D; dot O; note AC ⊥ BD",
     "choices": [
      {
       "text": "לא בהכרח מעוין (למשל דלתון)",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מעוין",
       "mistake": "kite_par"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$ האלכסון $AC$ חוצה את $∢A$. מה סוג המקבילית?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; poly A B C D; line A C; ang B A C; ang C A D",
     "choices": [
      {
       "text": "מעוין",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מלבן",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "rh_bisect"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מרובע שאלכסוניו מאונכים וחוצים זה את זה הוא:",
     "figure": "A=0,0; B=6,-0.4; C=5.1,3.4; D=0.9,2.7; O=2.55,1.7@s; poly A B C D; line A C; line B D; dot O; note AC ⊥ BD, AO = OC, BO = OD",
     "choices": [
      {
       "text": "מעוין",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "דלתון שאינו מעוין",
       "mistake": "kite_par"
      },
      {
       "text": "מלבן",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מרובע שכל צלעותיו שוות הוא:",
     "figure": "A=0,0; B=6,-0.4; C=5.1,3.4; D=0.9,2.7; poly A B C D; note AB = BC = CD = DA",
     "choices": [
      {
       "text": "מעוין",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      },
      {
       "text": "לא בהכרח מקבילית",
       "mistake": "par_tests"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במקבילית $ABCD$: $AB = 2x$, $BC = x + 5$, ו־$x = 5$. מה סוג המקבילית?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; poly A B C D; len A B 2x; len B C x + 5; note x = 5",
     "choices": [
      {
       "text": "מעוין",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מלבן",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "par_not_rhombus"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מקבילית שאלכסוניה שווים ומאונכים היא:",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; O=3.72,1.54@s; poly A B C D; line A C; line B D; dot O; note AC = BD, AC ⊥ BD",
     "choices": [
      {
       "text": "ריבוע",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מעוין שאינו ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      },
      {
       "text": "מלבן שאינו ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$ כל אלכסון חוצה את שתי הזוויות שהוא מחבר. מהו המרובע?",
     "figure": "A=0,0; B=6,-0.4; C=5.1,3.4; D=0.9,2.7; poly A B C D; line A C; line B D; ang B A C; ang C A D; ang D C A; ang A C B; ang2 A B D; ang2 D B C; ang2 C D B; ang2 B D A",
     "choices": [
      {
       "text": "מעוין",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "דלתון שאינו מעוין",
       "mistake": "kite_par"
      },
      {
       "text": "מלבן",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בדלתון $ABCD$ ($AB = AD$, $CB = CD$) נתון גם $AB = BC$. מהו המרובע?",
     "figure": "A=0,2.18; B=-2.6,0; C=0,-4.5; D=2.6,0; poly A B C D; tick A B 1; tick A D 1; tick C B 2; tick C D 2; note AB = BC",
     "choices": [
      {
       "text": "מעוין",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "דלתון שאינו מעוין",
       "mistake": "kite_rhombus"
      },
      {
       "text": "מלבן",
       "mistake": "rect_vs_rhombus"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "c_def",
   "unit": "c",
   "name": "הגדרת הריבוע, צלעות וזוויות",
   "short": "הגדרת ריבוע",
   "prereqs": [
    "m_def",
    "b_def"
   ],
   "description": "ריבוע הוא מלבן שצלעותיו הסמוכות שוות, והוא גם מעוין שיש בו זווית ישרה.",
   "month": "מרץ",
   "questions": [
    {
     "question": "איזה מרובע נקרא ריבוע?",
     "figure": "A=0,0; B=4,0; C=4,4; D=0,4; poly A B C D",
     "choices": [
      {
       "text": "מלבן שבו צלעות סמוכות שוות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מעוין שבו האלכסונים מאונכים",
       "mistake": "square_hierarchy"
      },
      {
       "text": "מקבילית שבה האלכסונים חוצים זה את זה",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צלע ריבוע $6$. מה אורך האלכסון?",
     "figure": "_A=0,0; _B=4,0; _C=4,4; _D=0,4; poly _A _B _C _D; right _B _A _D; right _C _B _A; right _D _C _B; right _A _D _C; tick _A _B 1; tick _B _C 1; tick _C _D 1; tick _D _A 1; line _A _C; len _A _B 6; lenx _A _C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$√72$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "pyth"
      },
      {
       "text": "$6$",
       "mistake": "square_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "היקף ריבוע $20$. מה שטחו?",
     "figure": "_A=0,0; _B=4,0; _C=4,4; _D=0,4; poly _A _B _C _D; right _B _A _D; right _C _B _A; right _D _C _B; right _A _D _C; tick _A _B 1; tick _B _C 1; tick _C _D 1; tick _D _A 1; note P = 20",
     "choices": [
      {
       "text": "$25$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$20$",
       "mistake": "area_perimeter"
      },
      {
       "text": "$100$",
       "mistake": "area_perimeter"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "האם כל ריבוע הוא מלבן?",
     "figure": "A=0,0; B=4,0; C=4,4; D=0,4; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1",
     "choices": [
      {
       "text": "כן",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "לא",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "האם כל מלבן הוא ריבוע?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C",
     "choices": [
      {
       "text": "לא",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כן",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שטח ריבוע $49$. מה היקפו?",
     "figure": "_A=0,0; _B=4,0; _C=4,4; _D=0,4; poly _A _B _C _D; right _B _A _D; right _C _B _A; right _D _C _B; right _A _D _C; tick _A _B 1; tick _B _C 1; tick _C _D 1; tick _D _A 1; note S = 49",
     "choices": [
      {
       "text": "$28$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$14$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      },
      {
       "text": "$196$",
       "mistake": "area_perimeter"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אלכסון ריבוע $10$. מה שטחו?",
     "figure": "_A=0,0; _B=4,0; _C=4,4; _D=0,4; poly _A _B _C _D; right _B _A _D; right _C _B _A; right _D _C _B; right _A _D _C; tick _A _B 1; tick _B _C 1; tick _C _D 1; tick _D _A 1; line _A _C; lenx _A _C 10",
     "choices": [
      {
       "text": "$50$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$100$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$25$",
       "mistake": "diag_half"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בריבוע $ABCD$, מה גודל $∢ABD$?",
     "figure": "A=0,0; B=4,0; C=4,4; D=0,4; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line B D; ang A B D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$45°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$90°$",
       "mistake": "square_diag"
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "square_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מלבן שהוא גם מעוין הוא:",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; poly A B C D",
     "choices": [
      {
       "text": "ריבוע",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מקבילית שאינה ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      },
      {
       "text": "לא ייתכן מרובע כזה",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צלע ריבוע $x + 3$ והיקפו $28$. מה $x$?",
     "figure": "_A=0,0; _B=4,0; _C=4,4; _D=0,4; poly _A _B _C _D; right _B _A _D; right _C _B _A; right _D _C _B; right _A _D _C; tick _A _B 1; tick _B _C 1; tick _C _D 1; tick _D _A 1; len _A _B x + 3; note P = 28",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 25$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      },
      {
       "text": "$x = 11$",
       "mistake": "perim_all_sides"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "c_diag",
   "unit": "c",
   "name": "אלכסוני הריבוע",
   "short": "אלכסוני ריבוע",
   "prereqs": [
    "c_def"
   ],
   "description": "אלכסוני הריבוע שווים, מאונכים, חוצים זה את זה וחוצים את הזוויות הישרות.",
   "month": "אפריל",
   "questions": [
    {
     "question": "מה נכון לגבי אלכסוני הריבוע?",
     "figure": "A=0,0; B=4,0; C=4,4; D=0,4; O=2,2@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; line B D; dot O",
     "choices": [
      {
       "text": "הם שווים, מאונכים, חוצים זה את זה וחוצים את הזוויות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "הם שווים, אבל לא מאונכים",
       "mistake": "square_diag"
      },
      {
       "text": "הם מאונכים, אבל לא שווים",
       "mistake": "square_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בריבוע $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים), מה גודל $∢AOB$?",
     "figure": "A=0,0; B=4,0; C=4,4; D=0,4; O=2,2@n; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; line B D; dot O; ang A O B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$90°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$45°$",
       "mistake": "square_diag"
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "square_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בריבוע $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים), מה גודל $∢OAB$?",
     "figure": "A=0,0; B=4,0; C=4,4; D=0,4; O=2,2@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; line B D; dot O; ang O A B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$45°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$90°$",
       "mistake": "square_diag"
      },
      {
       "text": "$30°$",
       "mistake": "square_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בריבוע $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים) $AC = 12$. מה $OB$?",
     "figure": "A=0,0; B=4,0; C=4,4; D=0,4; O=2,2@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; line B D; dot O; lenx O B ?; note AC = 12",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "whole_diag"
      },
      {
       "text": "$√72$",
       "mistake": "square_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אלכסון ריבוע $8$. מה שטחו?",
     "figure": "_A=0,0; _B=4,0; _C=4,4; _D=0,4; poly _A _B _C _D; right _B _A _D; right _C _B _A; right _D _C _B; right _A _D _C; tick _A _B 1; tick _B _C 1; tick _C _D 1; tick _D _A 1; line _A _C; lenx _A _C 8",
     "choices": [
      {
       "text": "$32$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$64$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      },
      {
       "text": "$16$",
       "mistake": "diag_half"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בריבוע $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים), איזה משולש הוא $AOB$?",
     "figure": "A=0,0; B=4,0; C=4,4; D=0,4; O=2,2@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; line B D; dot O",
     "choices": [
      {
       "text": "ישר זווית ושווה שוקיים",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שווה צלעות",
       "mistake": "square_diag"
      },
      {
       "text": "ישר זווית שאינו שווה שוקיים",
       "mistake": "square_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בריבוע $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים) $AO = 5$. מה שטח הריבוע?",
     "figure": "A=0,0; B=4,0; C=4,4; D=0,4; O=2,2@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; line B D; dot O; lenx A O 5",
     "choices": [
      {
       "text": "$50$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$25$",
       "mistake": "diag_half"
      },
      {
       "text": "$100$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בריבוע $ABCD$, מה גודל $∢CAD$?",
     "figure": "A=0,0; B=4,0; C=4,4; D=0,4; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; ang C A D ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$45°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$90°$",
       "mistake": "square_diag"
      },
      {
       "text": "$30°$",
       "mistake": "square_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אלכסון ריבוע $√50$. מה אורך צלעו?",
     "figure": "_A=0,0; _B=4,0; _C=4,4; _D=0,4; poly _A _B _C _D; right _B _A _D; right _C _B _A; right _D _C _B; right _A _D _C; tick _A _B 1; tick _B _C 1; tick _C _D 1; tick _D _A 1; line _A _C; lenx _A _C √50; len _A _B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$25$",
       "mistake": "sqrt_forgot"
      },
      {
       "text": "$√25$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בריבוע $ABCD$ ($O$ מפגש האלכסונים): $AO = 2x − 1$, $BD = 3x + 4$. מה $x$?",
     "figure": "A=0,0; B=4,0; C=4,4; D=0,4; O=2,2@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; line B D; dot O; lenx A O 2x − 1; note BD = 3x + 4",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = −5$",
       "mistake": "whole_diag"
      },
      {
       "text": "$x = 3$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "c_converse",
   "unit": "c",
   "name": "משפטים הפוכים: מתי מרובע הוא ריבוע",
   "short": "הוכחת ריבוע",
   "prereqs": [
    "c_diag"
   ],
   "description": "מלבן שאלכסוניו מאונכים או שצלעותיו הסמוכות שוות הוא ריבוע; מעוין שאלכסוניו שווים או שיש בו זווית ישרה הוא ריבוע.",
   "month": "אפריל",
   "questions": [
    {
     "question": "מלבן שאלכסוניו מאונכים הוא:",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; O=3,1.8@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; line B D; dot O; note AC ⊥ BD",
     "choices": [
      {
       "text": "ריבוע",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מלבן שאינו ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      },
      {
       "text": "מעוין שאינו ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מעוין שאלכסוניו שווים הוא:",
     "figure": "A=-3.46,0; B=0,-2; C=3.46,0; D=0,2; O=0,0@se; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; line B D; dot O; note AC = BD",
     "choices": [
      {
       "text": "ריבוע",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מעוין שאינו ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      },
      {
       "text": "מלבן שאינו ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מעוין שיש בו זווית ישרה הוא:",
     "figure": "A=-3.46,0; B=0,-2; C=3.46,0; D=0,2; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; note ∢A = 90°",
     "choices": [
      {
       "text": "ריבוע",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מעוין שאינו ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מלבן שיש בו שתי צלעות סמוכות שוות הוא:",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; note AB = BC",
     "choices": [
      {
       "text": "ריבוע",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מלבן שאינו ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מרובע שאלכסוניו שווים ומאונכים הוא:",
     "figure": "A=0,0; B=6,-0.4; C=5.1,3.4; D=0.9,2.7; O=2.55,1.7@s; poly A B C D; line A C; line B D; dot O; note AC = BD, AC ⊥ BD",
     "choices": [
      {
       "text": "לא בהכרח ריבוע",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מקבילית שאלכסוניה שווים ומאונכים היא:",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=7.44,3.08; D=1.44,3.08; O=3.72,1.54@s; poly A B C D; line A C; line B D; dot O; note AC = BD, AC ⊥ BD",
     "choices": [
      {
       "text": "ריבוע",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מלבן שאינו ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      },
      {
       "text": "מעוין שאינו ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במעוין $ABCD$: $∢A = ∢B$. מה סוג המעוין?",
     "figure": "A=-3.46,0; B=0,-2; C=3.46,0; D=0,2; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; note ∢A = ∢B",
     "choices": [
      {
       "text": "ריבוע",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מעוין שאינו ריבוע",
       "mistake": "par_adjacent"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במלבן $ABCD$ האלכסון $AC$ חוצה את $∢A$. מה סוג המלבן?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; ang B A C; ang C A D",
     "choices": [
      {
       "text": "ריבוע",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מלבן שאינו ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מרובע שכל צלעותיו שוות ואלכסוניו שווים הוא:",
     "figure": "A=0,0; B=6,-0.4; C=5.1,3.4; D=0.9,2.7; O=2.55,1.7@s; poly A B C D; line A C; line B D; dot O; note AB = BC = CD = DA, AC = BD",
     "choices": [
      {
       "text": "ריבוע",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "מעוין שאינו ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      },
      {
       "text": "מלבן שאינו ריבוע",
       "mistake": "square_hierarchy"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במלבן $ABCD$: $AB = 2x + 1$, $BC = 3x − 4$. עבור איזה $x$ המלבן ריבוע?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; len A B 2x + 1; len B C 3x − 4",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 3$",
       "mistake": "move_sign"
      },
      {
       "text": "$x = 0.6$",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "o_median",
   "unit": "o",
   "name": "התיכון ליתר",
   "short": "התיכון ליתר",
   "prereqs": [],
   "description": "במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.",
   "month": "אפריל",
   "questions": [
    {
     "question": "במשולש ישר זווית היתר $10$ ס״מ. מה אורך התיכון ליתר?",
     "figure": "_A=6,0; _B=0,4.2; _C=0,0; _M=3,2.1@ne; poly _A _B _C; right _A _C _B; line _C _M; len _A _B 10; len _C _M ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$ ס״מ",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$ ס״מ",
       "mistake": "median_hyp_rule"
      },
      {
       "text": "$20$ ס״מ",
       "mistake": "median_hyp_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$ ($∢C = 90°$) $CM$ תיכון ליתר ו־$CM = 7$. מה $AB$?",
     "figure": "A=6,0; B=0,4.2; C=0,0; M=3,2.1@ne; poly A B C; right A C B; line C M; len C M 7; note AB = ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$14$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3.5$",
       "mistake": "median_hyp_rule"
      },
      {
       "text": "$7$",
       "mistake": "median_hyp_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$ ($∢C = 90°$) $CM$ תיכון ליתר ו־$∢A = 35°$. מה גודל $∢ACM$?",
     "figure": "A=6,0; B=0,4.2; C=0,0; M=3,2.1@ne; poly A B C; right A C B; line C M; ang C A B 35°; ang A C M ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$35°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$55°$",
       "mistake": "median_iso"
      },
      {
       "text": "$90°$",
       "mistake": "median_iso"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$ ($∢C = 90°$) $CM$ תיכון ליתר ו־$∢A = 35°$. מה גודל $∢BCM$?",
     "figure": "A=6,0; B=0,4.2; C=0,0; M=3,2.1@ne; poly A B C; right A C B; line C M; ang C A B 35°; ang B C M ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$55°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$35°$",
       "mistake": "median_iso"
      },
      {
       "text": "$45°$",
       "mistake": "median_hyp_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$ ($∢C = 90°$): $AC = 6$, $BC = 8$. מה אורך התיכון ליתר?",
     "figure": "A=6,0; B=0,8; C=0,0; M=3,4@ne; poly A B C; right A C B; line C M; len A C 6; len B C 8; len C M ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "median_hyp_rule"
      },
      {
       "text": "$7$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$ ($∢C = 90°$) $CM$ תיכון ליתר. איזה משולש $AMC$?",
     "figure": "A=6,0; B=0,4.2; C=0,0; M=3,2.1@ne; poly A B C; right A C B; line C M",
     "choices": [
      {
       "text": "שווה שוקיים",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "שווה צלעות",
       "mistake": "median_iso"
      },
      {
       "text": "ישר זווית",
       "mistake": "median_iso"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$ ($∢C = 90°$) $CM$ תיכון ליתר ו־$∢B = 60°$. מה גודל $∢CMB$?",
     "figure": "A=6,0; B=0,3.46; C=0,0; M=3,1.73@ne; poly A B C; right A C B; line C M; ang A B C 60°; ang C M B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$60°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$30°$",
       "mistake": "median_iso"
      },
      {
       "text": "$120°$",
       "mistake": "median_iso"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש ישר זווית התיכון ליתר $2x + 1$ והיתר $6x − 4$. מה $x$?",
     "figure": "_A=6,0; _B=0,4.2; _C=0,0; _M=3,2.1@ne; poly _A _B _C; right _A _C _B; line _C _M; len _C _M 2x + 1; len _A _B 6x − 4",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 1.25$",
       "mistake": "median_hyp_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$ ($∢C = 90°$) $CM$ תיכון ליתר ו־$AB = 18$. מה $AM + CM$?",
     "figure": "A=6,0; B=0,4.2; C=0,0; M=3,2.1@ne; poly A B C; right A C B; line C M; note AB = 18",
     "choices": [
      {
       "text": "$18$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$27$",
       "mistake": "median_hyp_rule"
      },
      {
       "text": "$9$",
       "mistake": "median_hyp_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$ ($∢C = 90°$) $CM$ תיכון ליתר ו־$∢ACM = 25°$. מה גודל $∢B$?",
     "figure": "A=6,0; B=0,2.8; C=0,0; M=3,1.4@ne; poly A B C; right A C B; line C M; ang A C M 25°; ang A B C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$65°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$25°$",
       "mistake": "median_iso"
      },
      {
       "text": "$50°$",
       "mistake": "median_iso"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "o_converse",
   "unit": "o",
   "name": "המשפט ההפוך לתיכון ליתר",
   "short": "משפט הפוך לתיכון",
   "prereqs": [
    "o_median"
   ],
   "description": "אם במשולש התיכון לצלע שווה למחצית הצלע שאליה הוא יורד, המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול אותה צלע.",
   "month": "אפריל",
   "questions": [
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $CM$ תיכון לצלע $AB$ ו־$CM = AB : 2$. מה גודל $∢C$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; M=3,0@s; C=1.73,2.72; poly A B C; line C M; tick A M 1; tick M B 1; ang A C B ?; note CM = AB : 2",
     "choices": [
      {
       "text": "$90°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "median_converse"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "median_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $CM$ תיכון לצלע $AB$: $AB = 12$, $CM = 6$. איזו זווית ישרה?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; M=3,0@s; C=1.73,2.72; poly A B C; line C M; tick A M 1; tick M B 1; len C M 6; note AB = 12",
     "choices": [
      {
       "text": "$∢C$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$∢M$",
       "mistake": "median_converse"
      },
      {
       "text": "$∢A$",
       "mistake": "opposite_angle"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $PQR$, $PN$ תיכון לצלע $QR$: $QR = 10$, $PN = 5$. מה גודל $∢P$?",
     "figure": "Q=0,0; R=6,0; N=3,0@s; P=1.73,2.72; poly Q R P; line P N; tick Q N 1; tick N R 1; len P N 5; ang Q P R ?; note QR = 10",
     "choices": [
      {
       "text": "$90°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$45°$",
       "mistake": "median_converse"
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "median_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $CM$ תיכון לצלע $AB$: $AB = 12$, $CM = 7$. האם $∢C = 90°$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; M=3,0@s; C=1.8,3.29; poly A B C; line C M; tick A M 1; tick M B 1; len C M 7; ang A C B ?; note AB = 12",
     "choices": [
      {
       "text": "לא, התיכון אינו חצי מ־$AB$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "כן",
       "mistake": "median_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "הנקודות $A$, $B$, $C$ נמצאות במרחק $5$ מהנקודה $M$, ו־$M$ אמצע $AB$. מה גודל $∢ACB$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; M=3,0@s; C=1.73,2.72; poly A B C; line C M; tick A M 1; tick M B 1; len A M 5; len M B 5; len C M 5; ang A C B ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$90°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "median_converse"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "median_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $CM$ תיכון לצלע $AB$, $AM = MC$ ו־$∢A = 40°$. מה גודל $∢B$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; M=3,0@s; C=3.52,2.95; poly A B C; line C M; tick A M 1; tick M B 1; tick C M 1; ang B A C 40°; ang C B A ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$50°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$40°$",
       "mistake": "median_iso"
      },
      {
       "text": "$100°$",
       "mistake": "median_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $CM$ תיכון לצלע $AB$: $AB = 2x + 6$, $CM = x + 3$. מה גודל $∢C$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; M=3,0@s; C=1.73,2.72; poly A B C; line C M; tick A M 1; tick M B 1; len C M x + 3; ang A C B ?; note AB = 2x + 6",
     "choices": [
      {
       "text": "$90°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "תלוי ב־$x$",
       "mistake": "median_converse"
      },
      {
       "text": "$60°$",
       "mistake": "median_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $M$ אמצע $AB$ ו־$MA = MB = MC = 4$. מה אורך $AB$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; M=3,0@s; C=1.73,2.72; poly A B C; line C M; tick A M 1; tick M B 1; len A M 4; len M B 4; len C M 4",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "median_hyp_rule"
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "median_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $CM$ תיכון לצלע $AB$ ו־$CM = AM$. אילו שתי זוויות משלימות ל־$90°$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; M=3,0@s; C=1.73,2.72; poly A B C; line C M; tick A M 1; tick M B 1; tick C M 1",
     "choices": [
      {
       "text": "$∢A$ ו־$∢B$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$∢A$ ו־$∢C$",
       "mistake": "median_converse"
      },
      {
       "text": "$∢B$ ו־$∢C$",
       "mistake": "median_converse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $CM$ תיכון לצלע $AB$: $CM = 5$, $AC = 6$, $AB = 10$. מה $BC$?",
     "figure": "A=0,0; B=10,0; M=5,0@s; C=3.6,4.8; poly A B C; line C M; tick A M 1; tick M B 1; len C M 5; len A C 6; len B C ?; note AB = 10",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "pyth"
      },
      {
       "text": "$5$",
       "mistake": "median_hyp_rule"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "o_quads",
   "unit": "o",
   "name": "התיכון ליתר בשילוב מרובעים",
   "short": "תיכון ליתר ומרובעים",
   "prereqs": [
    "o_median"
   ],
   "description": "במרובעים עם זוויות ישרות מוצאים משולשים ישרי זווית ומשתמשים בתיכון ליתר.",
   "month": "אפריל",
   "questions": [
    {
     "question": "במלבן $ABCD$ האלכסון $AC = 16$, ו־$O$ אמצע $AC$. מה $BO$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; O=3,1.8@n; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; dot O; dash B O; len B O ?; note AC = 16",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$16$",
       "mistake": "whole_diag"
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "whole_diag"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במלבן $ABCD$, $O$ נקודת חיתוך האלכסונים ו־$BO = 6.5$. מה אורך האלכסון $AC$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; O=3,1.8@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; line B D; dot O; lenx B O 6.5",
     "choices": [
      {
       "text": "$13$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$6.5$",
       "mistake": "whole_diag"
      },
      {
       "text": "$3.25$",
       "mistake": "median_hyp_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $∢B = ∢D = 90°$ ו־$M$ אמצע $AC$. מה נכון?",
     "figure": "A=-3,0; C=3,0; B=1.5,-2.6; D=-1.03,2.82; M=0,0@n; poly A B C D; line A C; dot M; dash M B; dash M D; right A B C; right C D A",
     "choices": [
      {
       "text": "$MB = MD = AC : 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$MB = MD = AC$",
       "mistake": "whole_diag"
      },
      {
       "text": "$MB = AC : 2$, אבל $MD$ לא בהכרח",
       "mistake": "median_hyp_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במרובע $ABCD$: $∢B = ∢D = 90°$, $AC = 20$, ו־$M$ אמצע $AC$. מה $BM + DM$?",
     "figure": "A=-3,0; C=3,0; B=1.5,-2.6; D=-1.03,2.82; M=0,0@n; poly A B C D; line A C; dot M; dash M B; dash M D; right A B C; right C D A; note AC = 20",
     "choices": [
      {
       "text": "$20$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$40$",
       "mistake": "whole_diag"
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "median_hyp_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במלבן $ABCD$, $O$ נקודת חיתוך האלכסונים ו־$∢OAB = 25°$. מה גודל $∢OBA$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; O=3,1.8@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; line B D; dot O; ang O A B 25°; ang A B O ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$25°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$65°$",
       "mistake": "median_iso"
      },
      {
       "text": "$50°$",
       "mistake": "median_iso"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במלבן $ABCD$, $O$ נקודת חיתוך האלכסונים ו־$∢OBC = 35°$. מה גודל $∢BOC$?",
     "figure": "A=0,0; B=6,0; C=6,3.6; D=0,3.6; O=3,1.8@w; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; line B D; dot O; ang O B C 35°; ang B O C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$110°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$70°$",
       "mistake": "median_iso"
      },
      {
       "text": "$35°$",
       "mistake": "median_iso"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בריבוע $ABCD$ האלכסון $10$, ו־$O$ אמצע האלכסון $AC$. מה $OB$?",
     "figure": "A=0,0; B=4,0; C=4,4; D=0,4; O=2,2@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; line B D; dot O; lenx O B ?; note AC = 10",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "whole_diag"
      },
      {
       "text": "$5√2$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטרפז ישר זווית $ABCD$ ($AB ∥ DC$, $∢D = 90°$) $M$ אמצע $AC$ ו־$AC = 12$. מה $DM$?",
     "figure": "A=0,0; B=7,0; C=4,3; D=0,3; M=2,1.5@se; poly A B C D; par A B 1; par D C 1; right A D C; line A C; dot M; dash D M; len D M ?; note AC = 12",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "whole_diag"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "median_hyp_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במעוין $ABCD$ האלכסונים נחתכים ב־$O$, ו־$M$ אמצע הצלע $AB = 10$. מה $OM$?",
     "figure": "A=-3.46,0; B=0,-2; C=3.46,0; D=0,2; O=0,0@se; M=-1.73,-1@sw; poly A B C D; tick A B 1; tick B C 1; tick C D 1; tick D A 1; line A C; line B D; dot O; dot M; dash O M; lenx O M ?; note AB = 10",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "whole_diag"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "median_hyp_rule"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במלבן $ABCD$: $AB = 8$, $BC = 6$, ו־$O$ נקודת חיתוך האלכסונים. מה $BO$?",
     "figure": "A=0,0; B=8,0; C=8,6; D=0,6; O=4,3@s; poly A B C D; right B A D; right C B A; right D C B; right A D C; line A C; line B D; dot O; len A B 8; len B C 6; lenx B O ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "whole_diag"
      },
      {
       "text": "$7$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "p_mult_div",
   "unit": "p",
   "name": "כפל וחילוק חזקות",
   "short": "כפל וחילוק חזקות",
   "prereqs": [],
   "description": "בכפל חזקות עם אותו בסיס מחברים מעריכים; בחילוק מחסרים מעריכים.",
   "month": "מאי",
   "questions": [
    {
     "question": "$a³ · a⁵ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$a⁸$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$a¹⁵$",
       "mistake": "mult_exponents"
      },
      {
       "text": "$2a⁸$",
       "mistake": "coef_doubled"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$x¹² : x⁴ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x⁸$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x³$",
       "mistake": "div_exponents"
      },
      {
       "text": "$x¹⁶$",
       "mistake": "div_as_mult"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$2⁵ · 2³ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2⁸$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2¹⁵$",
       "mistake": "mult_exponents"
      },
      {
       "text": "$4⁸$",
       "mistake": "coef_doubled"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$y⁷ : y⁴ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$y³$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$y¹¹$",
       "mistake": "div_as_mult"
      },
      {
       "text": "$y^(7/4)$",
       "mistake": "div_exponents"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$3x² · 4x⁵ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$12x⁷$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$7x⁷$",
       "mistake": "coef_doubled"
      },
      {
       "text": "$12x¹⁰$",
       "mistake": "mult_exponents"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$10a⁶ : 2a² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$5a⁴$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5a³$",
       "mistake": "div_exponents"
      },
      {
       "text": "$8a⁴$",
       "mistake": "div_as_mult"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$5⁹ : 5⁷ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$25$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5^(9/7)$",
       "mistake": "div_exponents"
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "div_exponents"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$x³ · x · x⁴ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x⁸$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x⁷$",
       "mistake": "mult_exponents"
      },
      {
       "text": "$x¹²$",
       "mistake": "mult_exponents"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$a⁵ · a⁵ : a² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$a⁸$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$a²³$",
       "mistake": "mult_exponents"
      },
      {
       "text": "$a¹²$",
       "mistake": "div_as_mult"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "עבור איזה $n$ מתקיים $2ⁿ · 2³ = 2¹⁰$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$n = 7$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$n = 13$",
       "mistake": "div_as_mult"
      },
      {
       "text": "$n = 10/3$",
       "mistake": "mult_exponents"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "p_power_product",
   "unit": "p",
   "name": "חזקה של חזקה, של מכפלה ושל מנה",
   "short": "חזקה של חזקה",
   "prereqs": [
    "p_mult_div"
   ],
   "description": "$(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ$, $(ab)ⁿ = aⁿbⁿ$ ו־$(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ$.",
   "month": "מאי",
   "questions": [
    {
     "question": "$(y⁴)³ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$y¹²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$y⁷$",
       "mistake": "pow_pow_add"
      },
      {
       "text": "$y⁶⁴$",
       "mistake": "pow_tower"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(2x³)⁴ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$16x¹²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$8x¹²$",
       "mistake": "coef_mult"
      },
      {
       "text": "$2x¹²$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(3a²b)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$9a⁴b²$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$6a⁴b²$",
       "mistake": "coef_mult"
      },
      {
       "text": "$9a⁴b$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(x/3)³ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$x³/27$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x³/3$",
       "mistake": "denom_not_raised"
      },
      {
       "text": "$x³/9$",
       "mistake": "coef_mult"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(2⁵)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$2¹⁰$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2⁷$",
       "mistake": "pow_pow_add"
      },
      {
       "text": "$4¹⁰$",
       "mistake": "coef_doubled"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(−2)⁴ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$16$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−16$",
       "mistake": "neg_base_power"
      },
      {
       "text": "$−8$",
       "mistake": "coef_mult"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$−2⁴ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$−16$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$16$",
       "mistake": "neg_base_power"
      },
      {
       "text": "$−8$",
       "mistake": "coef_mult"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(a²)³ · a = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$a⁷$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$a⁶$",
       "mistake": "pow_pow_add"
      },
      {
       "text": "$a⁹$",
       "mistake": "pow_pow_add"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(5x)² : (5x) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$5x$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "cancel_power"
      },
      {
       "text": "$x$",
       "mistake": "coef_not_raised"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מה גדול יותר: $4¹⁴$ או $2³⁰$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$2³⁰$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4¹⁴$",
       "mistake": "bigger_base"
      },
      {
       "text": "הם שווים",
       "mistake": "pow_pow_add"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "p_zero",
   "unit": "p",
   "name": "מעריך אפס",
   "short": "מעריך אפס",
   "prereqs": [
    "p_mult_div"
   ],
   "description": "כל מספר שונה מאפס בחזקת $0$ שווה $1$, כי $aⁿ : aⁿ = a⁰ = 1$.",
   "month": "מאי",
   "questions": [
    {
     "question": "$7⁰ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$0$",
       "mistake": "zero_power"
      },
      {
       "text": "$7$",
       "mistake": "zero_power"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(−3)⁰ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−1$",
       "mistake": "zero_power"
      },
      {
       "text": "$0$",
       "mistake": "zero_power"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$5 · 2⁰ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$0$",
       "mistake": "zero_power"
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "zero_power"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$x⁵ : x⁵ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$0$",
       "mistake": "zero_power"
      },
      {
       "text": "$x$",
       "mistake": "div_exponents"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(2x)⁰ + 3 = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3$",
       "mistake": "zero_power"
      },
      {
       "text": "$2x + 3$",
       "mistake": "zero_power"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$10⁰ + 10¹ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$11$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "zero_power"
      },
      {
       "text": "$20$",
       "mistake": "zero_power"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$a³ · a⁰ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$a³$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$0$",
       "mistake": "zero_power"
      },
      {
       "text": "$a⁰$",
       "mistake": "zero_power"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$4⁰ · 4² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$16$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$0$",
       "mistake": "zero_power"
      },
      {
       "text": "$8$",
       "mistake": "coef_mult"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(7⁰)³ = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$7³$",
       "mistake": "zero_power"
      },
      {
       "text": "$0$",
       "mistake": "zero_power"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "עבור איזה $n$ מתקיים $3ⁿ = 1$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$n = 0$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$n = 1$",
       "mistake": "zero_power"
      },
      {
       "text": "$n = 1/3$",
       "mistake": "zero_power"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "p_sqrt",
   "unit": "p",
   "name": "חוקי שורש ריבועי",
   "short": "חוקי שורש",
   "prereqs": [],
   "description": "$√a · √b = √(ab)$ ו־$√a : √b = √(a : b)$, אבל שורש של סכום אינו סכום השורשים.",
   "month": "מאי",
   "questions": [
    {
     "question": "$√12 · √3 = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$√15$",
       "mistake": "sqrt_add"
      },
      {
       "text": "$36$",
       "mistake": "sqrt_forgot"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$√50 : √2 = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$25$",
       "mistake": "sqrt_forgot"
      },
      {
       "text": "$√48$",
       "mistake": "sqrt_add"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$√9 + √16 = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$7$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5$",
       "mistake": "sqrt_split"
      },
      {
       "text": "$√25$",
       "mistake": "sqrt_split"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$√(9 + 16) = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$7$",
       "mistake": "sqrt_split"
      },
      {
       "text": "$25$",
       "mistake": "sqrt_forgot"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$√50 = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$5√2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$25√2$",
       "mistake": "sqrt_of_square"
      },
      {
       "text": "$2√5$",
       "mistake": "sqrt_of_square"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$(√7)² = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$7$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$49$",
       "mistake": "sqrt_forgot"
      },
      {
       "text": "$√14$",
       "mistake": "sqrt_add"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$√2 · √8 = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$√10$",
       "mistake": "sqrt_add"
      },
      {
       "text": "$16$",
       "mistake": "sqrt_forgot"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$√36x² = ?$ (כאשר $x > 0$)",
     "choices": [
      {
       "text": "$6x$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$36x$",
       "mistake": "sqrt_forgot"
      },
      {
       "text": "$6x²$",
       "mistake": "sqrt_of_square"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$3√5 · 2√5 = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$30$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$6√5$",
       "mistake": "sqrt_forgot"
      },
      {
       "text": "$5√10$",
       "mistake": "sqrt_add"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$√18 + √8 = ?$",
     "choices": [
      {
       "text": "$5√2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$√26$",
       "mistake": "sqrt_split"
      },
      {
       "text": "$13√2$",
       "mistake": "sqrt_of_square"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "w_geo",
   "unit": "w",
   "name": "שאלות מילוליות הנדסיות",
   "short": "מילוליות הנדסיות",
   "prereqs": [
    "e_apply_geo"
   ],
   "description": "מבטאים אורכים בעזרת משתנה, בונים משוואה מנתוני שטח או היקף, ופוסלים פתרונות שאינם אורכים.",
   "month": "מאי",
   "questions": [
    {
     "question": "גינה מלבנית צמודה לקיר, ו־$40$ מ׳ גדר מקיפות את שלוש צלעותיה האחרות. הצלע המקבילה לקיר באורך $y$ והאחרות $x$. איזו משוואה נכונה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$2x + y = 40$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2x + 2y = 40$",
       "mistake": "wall_side"
      },
      {
       "text": "$x + y = 40$",
       "mistake": "wall_side"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "גינה צמודה לקיר מוקפת ב־$40$ מ׳ גדר משלושה צדדים, ושטחה $200$ מ״ר. מה אורך הצלע המקבילה לקיר?",
     "choices": [
      {
       "text": "$20$ מ׳",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$ מ׳",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$40$ מ׳",
       "mistake": "wall_side"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "ריבוע שצלעו $x$. מגדילים את אחת הצלעות ב־$3$ ואת השנייה ב־$2$, ומתקבל מלבן ששטחו $56$. מה $x$?",
     "choices": [
      {
       "text": "$x = 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$x = 5$ או $x = −10$",
       "mistake": "inadmissible"
      },
      {
       "text": "$x = 7$",
       "mistake": "other_quantity"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "היקף משולש ישר זווית $24$ והיתר $10$. מה אורכי הניצבים?",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$ ו־$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$7$ ו־$7$",
       "mistake": "half_product"
      },
      {
       "text": "$5$ ו־$9$",
       "mistake": "pyth"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שטח מלבן $48$ וההפרש בין אורכו לרוחבו $2$. מה היקפו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$28$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$14$",
       "mistake": "half_perimeter"
      },
      {
       "text": "$48$",
       "mistake": "area_perimeter"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מקטינים כל צלע של ריבוע ב־$2$, והשטח קטן ב־$32$. מה אורך צלע הריבוע?",
     "choices": [
      {
       "text": "$9$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$8$",
       "mistake": "forgot_middle"
      },
      {
       "text": "$16$",
       "mistake": "other_quantity"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בסיס משולש גדול ב־$4$ מהגובה אליו, ושטחו $30$. מה אורך הבסיס?",
     "choices": [
      {
       "text": "$10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$6$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$8$",
       "mistake": "forgot_half_area"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "גינה ריבועית מוקפת בשביל ברוחב $1$ מ׳. השטח הכולל $64$ מ״ר. מה צלע הגינה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$ מ׳",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$7$ מ׳",
       "mistake": "frame_one_side"
      },
      {
       "text": "$8$ מ׳",
       "mistake": "other_quantity"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אורך מלבן גדול פי $3$ מרוחבו, ואלכסונו $√40$. מה רוחבו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$√10$",
       "mistake": "pyth"
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "forgot_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שני ריבועים: צלע הגדול גדולה ב־$3$ מצלע הקטן, וסכום שטחיהם $117$. מה צלע הריבוע הקטן?",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$9$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$6$ או $−9$",
       "mistake": "inadmissible"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "w_general",
   "unit": "w",
   "name": "שאלות מילוליות כלליות",
   "short": "מילוליות כלליות",
   "prereqs": [
    "e_apply_num",
    "s_algebra"
   ],
   "description": "בונים משוואה ריבועית או מערכת משוואות ממעלה שנייה מהסיפור, פותרים ובודקים את התשובה.",
   "month": "מאי",
   "questions": [
    {
     "question": "סכום שני מספרים $13$ ומכפלתם $40$. מהם המספרים?",
     "choices": [
      {
       "text": "$5$ ו־$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4$ ו־$10$",
       "mistake": "product_check"
      },
      {
       "text": "$6.5$ ו־$6.5$",
       "mistake": "half_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "סכום ריבועי שני מספרים $34$ וסכומם $8$. מהם המספרים?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3$ ו־$5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4$ ו־$4$",
       "mistake": "half_product"
      },
      {
       "text": "$1$ ו־$7$",
       "mistake": "product_check"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מספר דו־ספרתי: מכפלת ספרותיו $12$ וסכומן $7$. איזה מספר יכול להיות?",
     "choices": [
      {
       "text": "$34$ או $43$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$26$ או $62$",
       "mistake": "product_check"
      },
      {
       "text": "$34$ בלבד",
       "mistake": "both_solutions"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "גיל האב פי $3$ מגיל בנו, ומכפלת גיליהם $192$. מה גיל הבן?",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$24$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$64$",
       "mistake": "forgot_root"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במלבן מסודרים $60$ כיסאות. בכל שורה יש $4$ כיסאות יותר ממספר השורות. כמה שורות?",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$6$ או $−10$",
       "mistake": "inadmissible"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "קבוצה קנתה מתנה ב־$120$ ₪ ושילמה בחלקים שווים. אילו היו $2$ אנשים פחות, כל אחד היה משלם $5$ ₪ יותר. כמה אנשים בקבוצה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$6$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$15$",
       "mistake": "other_quantity"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מספר חיובי $x$ מקיים $x = 6 / x + 1$. מהו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−2$",
       "mistake": "inadmissible"
      },
      {
       "text": "$6$",
       "mistake": "mult_only_one"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "הפרש בין שני מספרים $5$ ומכפלתם $36$. מהם המספרים?",
     "choices": [
      {
       "text": "$4$ ו־$9$, או $−9$ ו־$−4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4$ ו־$9$ בלבד",
       "mistake": "both_solutions"
      },
      {
       "text": "$6$ ו־$6$",
       "mistake": "product_check"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בטורניר כל קבוצה שיחקה פעם אחת מול כל קבוצה אחרת, ונערכו $28$ משחקים. כמה קבוצות?",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$7$",
       "mistake": "half_product"
      },
      {
       "text": "$14$",
       "mistake": "half_product"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "סכום מספר וחצי ריבועו הוא $12$. מהו המספר (חיובי)?",
     "choices": [
      {
       "text": "$4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$−6$",
       "mistake": "inadmissible"
      },
      {
       "text": "$6$",
       "mistake": "zero_root_sign"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "w_motion",
   "unit": "w",
   "name": "שאלות תנועה",
   "short": "שאלות תנועה",
   "prereqs": [
    "e_technique"
   ],
   "description": "מרחק = מהירות × זמן. בונים טבלה של מהירות, זמן ומרחק לכל גוף ומשווים את מה שידוע.",
   "month": "מאי",
   "questions": [
    {
     "question": "שתי מכוניות יוצאות זו לקראת זו ממקומות שהמרחק ביניהם $300$ ק״מ, במהירויות $70$ ו־$80$ קמ״ש. אחרי כמה שעות ייפגשו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$2$ שעות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$30$ שעות",
       "mistake": "speed_diff"
      },
      {
       "text": "$4$ שעות",
       "mistake": "one_speed"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "רוכב נסע $60$ ק״מ. אילו היה נוסע מהר יותר ב־$5$ קמ״ש, היה מגיע שעה מוקדם יותר. מה הייתה מהירותו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$15$ קמ״ש",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$20$ קמ״ש",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$12$ קמ״ש",
       "mistake": "time_units"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שתי מכוניות יוצאות מאותה נקודה באותו כיוון, במהירויות $90$ ו־$60$ קמ״ש. מה המרחק ביניהן אחרי $2$ שעות?",
     "choices": [
      {
       "text": "$60$ ק״מ",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$300$ ק״מ",
       "mistake": "relative_speed"
      },
      {
       "text": "$30$ ק״מ",
       "mistake": "relative_speed"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "הולך רגל הולך $30$ דקות במהירות $6$ קמ״ש. איזה מרחק עבר?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3$ ק״מ",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$180$ ק״מ",
       "mistake": "time_units"
      },
      {
       "text": "$5$ ק״מ",
       "mistake": "time_units"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "רכבת עברה $240$ ק״מ. מהירותה הייתה גדולה ב־$20$ קמ״ש ממה שתוכנן, ולכן הגיעה שעה מוקדם יותר. מה הייתה מהירותה בפועל?",
     "choices": [
      {
       "text": "$80$ קמ״ש",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$60$ קמ״ש",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$120$ קמ״ש",
       "mistake": "one_speed"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שני רוכבים יוצאים בו־זמנית זה לקראת זה ממקומות שהמרחק ביניהם $90$ ק״מ, ונפגשים אחרי $3$ שעות. מהירות האחד $14$ קמ״ש. מה מהירות השני?",
     "choices": [
      {
       "text": "$16$ קמ״ש",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$30$ קמ״ש",
       "mistake": "speed_diff"
      },
      {
       "text": "$44$ קמ״ש",
       "mistake": "one_speed"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "סירה שטה $24$ ק״מ במורד הנהר במהירות $8$ קמ״ש ובחזרה במהירות $4$ קמ״ש. כמה זמן נמשך הכול?",
     "choices": [
      {
       "text": "$9$ שעות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4$ שעות",
       "mistake": "one_speed"
      },
      {
       "text": "$6$ שעות",
       "mistake": "speed_diff"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מכונית נוסעת במהירות $x$ קמ״ש ועוברת $150$ ק״מ. כמה זמן נסעה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$150 / x$ שעות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$150x$ שעות",
       "mistake": "mult_instead"
      },
      {
       "text": "$x / 150$ שעות",
       "mistake": "inverse"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אופנוען עבר $120$ ק״מ. על כל ק״מ הוא נסע מהר יותר ב־$10$ קמ״ש ממשאית, ועבר את המרחק בשעה פחות. מה מהירות המשאית?",
     "choices": [
      {
       "text": "$30$ קמ״ש",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$40$ קמ״ש",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$−40$ קמ״ש",
       "mistake": "inadmissible"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שתי מכוניות יוצאות מאותה נקודה, אחת צפונה במהירות $60$ קמ״ש ואחת מזרחה במהירות $80$ קמ״ש. מה המרחק ביניהן אחרי שעה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$100$ ק״מ",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$140$ ק״מ",
       "mistake": "pyth"
      },
      {
       "text": "$20$ ק״מ",
       "mistake": "relative_speed"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "w_percent",
   "unit": "w",
   "name": "שאלות עם אחוזים",
   "short": "שאלות אחוזים",
   "prereqs": [],
   "description": "שינוי באחוזים מחושב מהכמות שלפני השינוי. שינויים חוזרים מצטברים בכפל.",
   "month": "מאי",
   "questions": [
    {
     "question": "מחיר מוצר $80$ ₪ עלה ב־$25%$. מה מחירו החדש?",
     "choices": [
      {
       "text": "$100$ ₪",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$105$ ₪",
       "mistake": "percent_as_shekel"
      },
      {
       "text": "$20$ ₪",
       "mistake": "other_quantity"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אחרי הנחה של $15%$ מחיר חולצה $68$ ₪. מה היה מחירה לפני ההנחה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$80$ ₪",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$78.2$ ₪",
       "mistake": "percent_of_new"
      },
      {
       "text": "$83$ ₪",
       "mistake": "percent_as_shekel"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מחיר עלה ב־$20%$ ואחר כך ירד ב־$20%$. מה השינוי הכולל?",
     "choices": [
      {
       "text": "ירידה של $4%$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "אין שינוי",
       "mistake": "percent_add"
      },
      {
       "text": "ירידה של $20%$",
       "mistake": "percent_add"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מחיר עלה פעמיים באותו אחוז, ובסך הכול ב־$21%$. באיזה אחוז עלה בכל פעם?",
     "choices": [
      {
       "text": "$10%$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10.5%$",
       "mistake": "percent_split"
      },
      {
       "text": "$21%$",
       "mistake": "square_total"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$30%$ מתוך $250$ תלמידים הם בני ט׳. כמה בני ט׳?",
     "choices": [
      {
       "text": "$75$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$30$",
       "mistake": "percent_as_shekel"
      },
      {
       "text": "$220$",
       "mistake": "other_quantity"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "משכורת $8000$ ₪ עלתה ב־$5%$. מה המשכורת החדשה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$8400$ ₪",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$8005$ ₪",
       "mistake": "percent_as_shekel"
      },
      {
       "text": "$400$ ₪",
       "mistake": "other_quantity"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מחיר ירד מ־$200$ ₪ ל־$150$ ₪. בכמה אחוזים ירד?",
     "choices": [
      {
       "text": "$25%$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$50%$",
       "mistake": "percent_as_shekel"
      },
      {
       "text": "$33.3%$",
       "mistake": "percent_base"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מספר תושבים גדל מ־$5000$ ל־$6050$ בשנתיים, באותו אחוז בכל שנה. מה אחוז הגידול השנתי?",
     "choices": [
      {
       "text": "$10%$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$10.5%$",
       "mistake": "percent_split"
      },
      {
       "text": "$21%$",
       "mistake": "square_total"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בחנות הנחה של $10%$ ועוד $10%$ על המחיר המוזל. מה ההנחה הכוללת?",
     "choices": [
      {
       "text": "$19%$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$20%$",
       "mistake": "percent_add"
      },
      {
       "text": "$1%$",
       "mistake": "percent_split"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מחיר אחרי עלייה של $25%$ הוא $150$ ₪. מה היה המחיר לפני העלייה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$120$ ₪",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$112.5$ ₪",
       "mistake": "percent_of_new"
      },
      {
       "text": "$125$ ₪",
       "mistake": "percent_as_shekel"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "w_literacy",
   "unit": "w",
   "name": "שאלות אוריינות",
   "short": "אוריינות",
   "prereqs": [
    "w_geo",
    "w_percent"
   ],
   "description": "קוראים נתונים מטקסט, טבלה או גרף, בוחרים מודל מתמטי מתאים ובודקים שהתשובה הגיונית בהקשר.",
   "month": "מאי",
   "questions": [
    {
     "question": "חברת מוניות גובה $12$ ₪ בכניסה ועוד $3$ ₪ לכל ק״מ. כמה עולה נסיעה של $8$ ק״מ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$36$ ₪",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$24$ ₪",
       "mistake": "read_table"
      },
      {
       "text": "$120$ ₪",
       "mistake": "mult_all"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "באותה חברת מוניות ($12$ ₪ בכניסה ועוד $3$ ₪ לק״מ) נסיעה עלתה $45$ ₪. כמה ק״מ נסעו?",
     "choices": [
      {
       "text": "$11$ ק״מ",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$15$ ק״מ",
       "mistake": "read_table"
      },
      {
       "text": "$19$ ק״מ",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מסלול א׳: $50$ ₪ לחודש ו־$0.2$ ₪ לדקה. מסלול ב׳: $0.5$ ₪ לדקה בלי תשלום חודשי. מאיזה מספר דקות מסלול א׳ זול יותר?",
     "choices": [
      {
       "text": "החל מ־$167$ דקות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "החל מ־$100$ דקות",
       "mistake": "read_table"
      },
      {
       "text": "החל מ־$250$ דקות",
       "mistake": "read_table"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "גובה עץ (במטרים) אחרי $t$ שנים הוא $0.5t + 2$. אחרי כמה שנים יגיע ל־$7$ מ׳?",
     "choices": [
      {
       "text": "$10$ שנים",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5$ שנים",
       "mistake": "forgot_divide"
      },
      {
       "text": "$18$ שנים",
       "mistake": "move_sign"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בכיתה $30$ תלמידים, ו־$40%$ מהם בנות. כמה בנים בכיתה?",
     "choices": [
      {
       "text": "$18$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$26$",
       "mistake": "percent_as_shekel"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מפה בקנה מידה $1 : 50000$. מרחק של $4$ ס״מ במפה הוא במציאות:",
     "choices": [
      {
       "text": "$2$ ק״מ",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$200$ מ׳",
       "mistake": "unit_conv"
      },
      {
       "text": "$20$ ק״מ",
       "mistake": "unit_conv"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מיכל מלא $600$ ליטר ומתרוקן ב־$25$ ליטר בדקה. אחרי כמה דקות יישארו בו $200$ ליטר?",
     "choices": [
      {
       "text": "$16$ דקות",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$8$ דקות",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$24$ דקות",
       "mistake": "other_quantity"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "רצפה מלבנית $4$ מ׳ על $3$ מ׳ מרוצפת באריחים ריבועיים של $20$ ס״מ. כמה אריחים צריך?",
     "choices": [
      {
       "text": "$300$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$60$",
       "mistake": "unit_conv"
      },
      {
       "text": "$35$",
       "mistake": "area_perimeter"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "בסקר השתתפו $400$ אנשים, ו־$35%$ מהם ענו „כן“. כמה ענו „לא“, אם כל השאר ענו „לא“?",
     "choices": [
      {
       "text": "$260$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$140$",
       "mistake": "other_quantity"
      },
      {
       "text": "$365$",
       "mistake": "percent_as_shekel"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "אריזה של $6$ בקבוקים עולה $21$ ₪, ובקבוק בודד עולה $4$ ₪. כמה חוסכים בקניית אריזה לעומת $6$ בקבוקים בודדים?",
     "choices": [
      {
       "text": "$3$ ₪",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$17$ ₪",
       "mistake": "read_table"
      },
      {
       "text": "$0.5$ ₪",
       "mistake": "other_quantity"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "d_ratio",
   "unit": "d",
   "name": "משולשים דומים ויחס הדמיון",
   "short": "יחס דמיון",
   "prereqs": [],
   "description": "במשולשים דומים הזוויות המתאימות שוות, והצלעות המתאימות פרופורציוניות ביחס הדמיון.",
   "month": "מאי",
   "questions": [
    {
     "question": "$△ABC ∼ △DEF$: $AB = 6$, $DE = 9$, $BC = 8$. מה $EF$?",
     "figure": "A=0,0; B=3.2,0; C=1.1,2.2; D=4.64,0; E=9.44,0; F=6.29,3.3; poly A B C; poly D E F; len A B 6; len B C 8; len D E 9; len E F ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$11$",
       "mistake": "add_vs_ratio"
      },
      {
       "text": "$16/3$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$△ABC ∼ △DEF$ ו־$∢A = 50°$. מה גודל $∢D$?",
     "figure": "A=0,0; B=3.2,0; C=1.1,2.2; D=4.64,0; E=9.44,0; F=6.29,3.3; poly A B C; poly D E F; ang B A C 50°; ang E D F ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$50°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$75°$",
       "mistake": "angle_scale"
      },
      {
       "text": "אי אפשר לדעת",
       "mistake": "angle_scale"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$△ABC ∼ △DEF$: $AB = 4$, $DE = 10$. מה יחס הדמיון $△DEF : △ABC$?",
     "figure": "A=0,0; B=3.2,0; C=1.1,2.2; D=4.64,0; E=12.64,0; F=7.39,5.5; poly A B C; poly D E F; len A B 4; len D E 10",
     "choices": [
      {
       "text": "$2.5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$0.4$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      },
      {
       "text": "$6$",
       "mistake": "add_vs_ratio"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$△ABC ∼ △DEF$ ביחס $1 : 3$, ו־$AC = 5$. מה $DF$?",
     "figure": "A=0,0; B=3.2,0; C=1.1,2.2; D=4.64,0; E=12.64,0; F=7.39,5.5; poly A B C; poly D E F; len A C 5; len D F ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$15$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$8$",
       "mistake": "add_vs_ratio"
      },
      {
       "text": "$5/3$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$△ABC ∼ △DEF$: $AB = 6$, $BC = 8$, $DE = 3$. מה $EF$?",
     "figure": "A=0,0; B=3.2,0; C=1.1,2.2; D=4.64,0; E=6.24,0; F=5.19,1.1; poly A B C; poly D E F; len A B 6; len B C 8; len D E 3; len E F ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$16$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      },
      {
       "text": "$5$",
       "mistake": "add_vs_ratio"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$△ABC ∼ △PQR$. איזו צלע מתאימה ל־$BC$?",
     "figure": "A=0,0; B=3.2,0; C=1.1,2.2; P=4.64,0; Q=9.44,0; R=6.29,3.3; poly A B C; poly P Q R",
     "choices": [
      {
       "text": "$QR$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$PQ$",
       "mistake": "similar_order"
      },
      {
       "text": "$PR$",
       "mistake": "similar_order"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $DE ∥ BC$ ($D$ על $AB$, $E$ על $AC$): $AD = 2$, $AB = 6$, $BC = 9$. מה $DE$?",
     "figure": "A=2.4,4.6; B=0,0; C=6.4,0; D=1.6,3.07@w; E=3.73,3.07@e; poly A B C; line D E; par D E 1; par B C 1; len A D 2; len B C 9; lenx D E ?; note AB = 6",
     "choices": [
      {
       "text": "$3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$5$",
       "mistake": "add_vs_ratio"
      },
      {
       "text": "$27$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$△ABC ∼ △DEF$ ו־$∢B = 70°$, $∢C = 40°$. מה גודל $∢D$?",
     "figure": "A=0,0; B=3.2,0; C=1.1,2.2; D=4.64,0; E=9.44,0; F=6.29,3.3; poly A B C; poly D E F; ang A B C 70°; ang B C A 40°; ang E D F ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$70°$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$40°$",
       "mistake": "similar_order"
      },
      {
       "text": "$140°$",
       "mistake": "angle_scale"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צלעות משולש $3$, $4$, $5$. במשולש דומה הצלע הקטנה $6$. מהן שאר הצלעות?",
     "figure": "_a=0,0; _b=4,0; _c=0,3; _d=5.8,0; _e=13.8,0; _f=5.8,6; poly _a _b _c; poly _d _e _f; len _a _b 4; len _a _c 3; len _b _c 5; len _d _f 6; len _d _e ?; len _e _f ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$8$ ו־$10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$7$ ו־$8$",
       "mistake": "add_vs_ratio"
      },
      {
       "text": "$2$ ו־$2.5$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $DE ∥ BC$: $AD = 3$, $DB = 2$, $DE = 6$. מה $BC$?",
     "figure": "A=2.4,4.6; B=0,0; C=6.4,0; D=0.96,1.84@w; E=4.8,1.84@e; poly A B C; line D E; par D E 1; par B C 1; len A D 3; len D B 2; lenx D E 6; len B C ?",
     "choices": [
      {
       "text": "$10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "wrong_segment"
      },
      {
       "text": "$9$",
       "mistake": "wrong_segment"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "d_perimeter",
   "unit": "d",
   "name": "יחס ההיקפים במשולשים דומים",
   "short": "יחס היקפים",
   "prereqs": [
    "d_ratio"
   ],
   "description": "יחס ההיקפים של משולשים דומים שווה ליחס הדמיון.",
   "month": "מאי",
   "questions": [
    {
     "question": "יחס הדמיון בין שני משולשים $2 : 3$. מה יחס ההיקפים?",
     "figure": "_a=0,0; _b=3.2,0; _c=1.1,2.2; _d=4.64,0; _e=9.44,0; _f=6.29,3.3; poly _a _b _c; poly _d _e _f; note k = 2 : 3",
     "choices": [
      {
       "text": "$2 : 3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4 : 9$",
       "mistake": "perim_square"
      },
      {
       "text": "$3 : 2$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$△ABC ∼ △DEF$ ביחס $1 : 4$, והיקף $ABC$ הוא $15$. מה היקף $DEF$?",
     "figure": "A=0,0; B=3.2,0; C=1.1,2.2; D=4.64,0; E=12.64,0; F=7.39,5.5; poly A B C; poly D E F; note k = 1 : 4, P(ABC) = 15",
     "choices": [
      {
       "text": "$60$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$240$",
       "mistake": "perim_square"
      },
      {
       "text": "$15/4$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "היקפי שני משולשים דומים $12$ ו־$30$. מה יחס הדמיון?",
     "figure": "_a=0,0; _b=3.2,0; _c=1.1,2.2; _d=4.64,0; _e=12.64,0; _f=7.39,5.5; poly _a _b _c; poly _d _e _f; note P₁ = 12, P₂ = 30",
     "choices": [
      {
       "text": "$2 : 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4 : 25$",
       "mistake": "perim_square"
      },
      {
       "text": "$5 : 2$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$△ABC ∼ △DEF$: $AB = 5$, $DE = 15$, והיקף $DEF$ הוא $36$. מה היקף $ABC$?",
     "figure": "A=0,0; B=3.2,0; C=1.1,2.2; D=4.64,0; E=12.64,0; F=7.39,5.5; poly A B C; poly D E F; len A B 5; len D E 15; note P(DEF) = 36",
     "choices": [
      {
       "text": "$12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4$",
       "mistake": "perim_square"
      },
      {
       "text": "$108$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "צלעות משולש $5$, $6$, $7$. מה היקף משולש דומה לו ביחס $3$?",
     "figure": "_a=0,0; _b=7,0; _c=2.71,4.2; _d=10.15,0; _e=24.15,0; _f=15.58,8.4; poly _a _b _c; poly _d _e _f; len _a _b 7; len _a _c 5; len _b _c 6; note k = 3",
     "choices": [
      {
       "text": "$54$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$162$",
       "mistake": "perim_square"
      },
      {
       "text": "$21$",
       "mistake": "add_vs_ratio"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "יחס ההיקפים של שני משולשים דומים $3 : 5$. מה יחס הצלעות המתאימות?",
     "figure": "_a=0,0; _b=3.2,0; _c=1.1,2.2; _d=4.64,0; _e=9.97,0; _f=6.47,3.67; poly _a _b _c; poly _d _e _f; note P₁ : P₂ = 3 : 5",
     "choices": [
      {
       "text": "$3 : 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$9 : 25$",
       "mistake": "perim_square"
      },
      {
       "text": "$√3 : √5$",
       "mistake": "perim_square"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "היקף משולש $24$. מקטינים אותו ביחס $1 : 2$. מה היקף המשולש החדש?",
     "figure": "_a=0,0; _b=3.2,0; _c=1.1,2.2; _d=4.64,0; _e=6.24,0; _f=5.19,1.1; poly _a _b _c; poly _d _e _f; note P = 24, k = 1 : 2",
     "choices": [
      {
       "text": "$12$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$6$",
       "mistake": "perim_square"
      },
      {
       "text": "$48$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $DE ∥ BC$ ו־$AD : AB = 1 : 3$. היקף $ABC$ הוא $27$. מה היקף $ADE$?",
     "figure": "A=2.4,4.6; B=0,0; C=6.4,0; D=1.6,3.07@w; E=3.73,3.07@e; poly A B C; line D E; par D E 1; par B C 1; note AD : AB = 1 : 3, P(ABC) = 27",
     "choices": [
      {
       "text": "$9$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$3$",
       "mistake": "perim_square"
      },
      {
       "text": "$13.5$",
       "mistake": "wrong_segment"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$△ABC ∼ △DEF$, והיקפיהם $20$ ו־$50$. $BC = 8$. מה $EF$?",
     "figure": "A=0,0; B=3.2,0; C=1.1,2.2; D=4.64,0; E=12.64,0; F=7.39,5.5; poly A B C; poly D E F; len B C 8; len E F ?; note P(ABC) = 20, P(DEF) = 50",
     "choices": [
      {
       "text": "$20$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$50$",
       "mistake": "perim_square"
      },
      {
       "text": "$16/5$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מגדילים משולש כך שכל צלע גדלה פי $1.5$. פי כמה גדל ההיקף?",
     "figure": "_a=0,0; _b=3.2,0; _c=1.1,2.2; _d=4.64,0; _e=9.44,0; _f=6.29,3.3; poly _a _b _c; poly _d _e _f; note k = 1.5",
     "choices": [
      {
       "text": "פי $1.5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "פי $2.25$",
       "mistake": "perim_square"
      },
      {
       "text": "פי $4.5$",
       "mistake": "add_vs_ratio"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "d_area",
   "unit": "d",
   "name": "יחס השטחים במשולשים דומים",
   "short": "יחס שטחים",
   "prereqs": [
    "d_ratio"
   ],
   "description": "יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון: אם יחס הדמיון $k$, יחס השטחים $k²$.",
   "month": "מאי",
   "questions": [
    {
     "question": "יחס הדמיון בין שני משולשים $2 : 3$. מה יחס השטחים?",
     "figure": "_a=0,0; _b=3.2,0; _c=1.1,2.2; _d=4.64,0; _e=9.44,0; _f=6.29,3.3; poly _a _b _c; poly _d _e _f; note k = 2 : 3",
     "choices": [
      {
       "text": "$4 : 9$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2 : 3$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "$9 : 4$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$△ABC ∼ △DEF$ ביחס $1 : 3$, ושטח $ABC$ הוא $5$. מה שטח $DEF$?",
     "figure": "A=0,0; B=3.2,0; C=1.1,2.2; D=4.64,0; E=12.64,0; F=7.39,5.5; poly A B C; poly D E F; note k = 1 : 3, S(ABC) = 5",
     "choices": [
      {
       "text": "$45$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$15$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "$5/9$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מגדילים משולש כך שכל צלע גדלה פי $2$. פי כמה גדל השטח?",
     "figure": "_a=0,0; _b=3.2,0; _c=1.1,2.2; _d=4.64,0; _e=11.04,0; _f=6.84,4.4; poly _a _b _c; poly _d _e _f; note k = 2",
     "choices": [
      {
       "text": "פי $4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "פי $2$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "פי $8$",
       "mistake": "area_ratio"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$△ABC ∼ △DEF$: $AB = 4$, $DE = 6$, ושטח $ABC$ הוא $16$. מה שטח $DEF$?",
     "figure": "A=0,0; B=3.2,0; C=1.1,2.2; D=4.64,0; E=9.44,0; F=6.29,3.3; poly A B C; poly D E F; len A B 4; len D E 6; note S(ABC) = 16",
     "choices": [
      {
       "text": "$36$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$24$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "$64/9$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $DE ∥ BC$ ו־$AD : AB = 1 : 2$. שטח $ABC$ הוא $40$. מה שטח $ADE$?",
     "figure": "A=2.4,4.6; B=0,0; C=6.4,0; D=1.2,2.3@w; E=4.4,2.3@e; poly A B C; line D E; par D E 1; par B C 1; note AD : AB = 1 : 2, S(ABC) = 40",
     "choices": [
      {
       "text": "$10$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$20$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "$30$",
       "mistake": "wrong_segment"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $DE ∥ BC$ ו־$AD : AB = 1 : 2$. שטח $ABC$ הוא $40$. מה שטח הטרפז $DBCE$?",
     "figure": "A=2.4,4.6; B=0,0; C=6.4,0; D=1.2,2.3@w; E=4.4,2.3@e; poly A B C; line D E; par D E 1; par B C 1; note AD : AB = 1 : 2, S(ABC) = 40",
     "choices": [
      {
       "text": "$30$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$20$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "$10$",
       "mistake": "other_quantity"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$△ABC ∼ △DEF$ ביחס $3 : 5$, ושטח $DEF$ הוא $50$. מה שטח $ABC$?",
     "figure": "A=0,0; B=3.2,0; C=1.1,2.2; D=4.64,0; E=9.97,0; F=6.47,3.67; poly A B C; poly D E F; note k = 3 : 5, S(DEF) = 50",
     "choices": [
      {
       "text": "$18$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$30$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "$1250/9$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "מקטינים משולש ביחס $1 : 10$. איזה חלק מהשטח המקורי נשאר?",
     "figure": "_a=0,0; _b=3.2,0; _c=1.1,2.2; _d=4.64,0; _e=5.92,0; _f=5.08,0.88; poly _a _b _c; poly _d _e _f; note k = 1 : 10",
     "choices": [
      {
       "text": "$1/100$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1/10$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "$1/20$",
       "mistake": "area_ratio"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במפה בקנה מידה $1 : 100$ שטח משולש הוא $12$ סמ״ר. מה השטח האמיתי בסמ״ר?",
     "figure": "_a=1.1,2.2; _b=0,0; _c=3.2,0; poly _a _b _c; note 1 : 100, S = 12",
     "choices": [
      {
       "text": "$120000$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1200$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "unit_conv"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$△ABC ∼ △DEF$ ביחס $k = 1.5$, ושטח $ABC$ הוא $8$. מה שטח $DEF$?",
     "figure": "A=0,0; B=3.2,0; C=1.1,2.2; D=4.64,0; E=9.44,0; F=6.29,3.3; poly A B C; poly D E F; note k = 1.5, S(ABC) = 8",
     "choices": [
      {
       "text": "$18$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$12$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "$9.5$",
       "mistake": "add_vs_ratio"
      }
     ]
    }
   ]
  },
  {
   "id": "d_area_back",
   "unit": "d",
   "name": "מיחס השטחים ליחס הדמיון",
   "short": "משטחים לדמיון",
   "prereqs": [
    "d_area"
   ],
   "description": "אם יחס השטחים $k²$, יחס הדמיון (ויחס הצלעות וההיקפים) הוא $k$: מוציאים שורש.",
   "month": "מאי",
   "questions": [
    {
     "question": "יחס השטחים של שני משולשים דומים $9 : 16$. מה יחס הדמיון?",
     "figure": "_a=0,0; _b=3.2,0; _c=1.1,2.2; _d=4.64,0; _e=8.91,0; _f=6.11,2.93; poly _a _b _c; poly _d _e _f; note S₁ : S₂ = 9 : 16",
     "choices": [
      {
       "text": "$3 : 4$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$9 : 16$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "$81 : 256$",
       "mistake": "area_ratio"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שטחי שני משולשים דומים $8$ ו־$50$. מה יחס הצלעות?",
     "figure": "_a=0,0; _b=3.2,0; _c=1.1,2.2; _d=4.64,0; _e=12.64,0; _f=7.39,5.5; poly _a _b _c; poly _d _e _f; note S₁ = 8, S₂ = 50",
     "choices": [
      {
       "text": "$2 : 5$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$4 : 25$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "$5 : 2$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שטח משולש גדל פי $9$ בלי לשנות את צורתו. פי כמה גדלה כל צלע?",
     "figure": "_a=0,0; _b=3.2,0; _c=1.1,2.2; _d=4.64,0; _e=12.64,0; _f=7.39,5.5; poly _a _b _c; poly _d _e _f; note S₂ = 9 · S₁",
     "choices": [
      {
       "text": "פי $3$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "פי $9$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "פי $81$",
       "mistake": "area_ratio"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "$△ABC ∼ △DEF$, ושטחיהם $12$ ו־$27$. $AB = 4$. מה $DE$?",
     "figure": "A=0,0; B=3.2,0; C=1.1,2.2; D=4.64,0; E=9.44,0; F=6.29,3.3; poly A B C; poly D E F; len A B 4; len D E ?; note S(ABC) = 12, S(DEF) = 27",
     "choices": [
      {
       "text": "$6$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$9$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "$16/9$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "יחס השטחים של שני משולשים דומים $1 : 4$. מה יחס ההיקפים?",
     "figure": "_a=0,0; _b=3.2,0; _c=1.1,2.2; _d=4.64,0; _e=11.04,0; _f=6.84,4.4; poly _a _b _c; poly _d _e _f; note S₁ : S₂ = 1 : 4",
     "choices": [
      {
       "text": "$1 : 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1 : 4$",
       "mistake": "perim_square"
      },
      {
       "text": "$1 : 16$",
       "mistake": "area_ratio"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שטחי שני משולשים דומים $25$ ו־$36$. היקף הקטן $20$. מה היקף הגדול?",
     "figure": "_a=0,0; _b=3.2,0; _c=1.1,2.2; _d=4.64,0; _e=8.48,0; _f=5.96,2.64; poly _a _b _c; poly _d _e _f; note S₁ = 25, S₂ = 36, P₁ = 20",
     "choices": [
      {
       "text": "$24$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$28.8$",
       "mistake": "perim_square"
      },
      {
       "text": "$50/3$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במשולש $ABC$, $DE ∥ BC$, ושטח $ADE$ הוא רבע משטח $ABC$. מה $AD : AB$?",
     "figure": "A=2.4,4.6; B=0,0; C=6.4,0; D=1.2,2.3@w; E=4.4,2.3@e; poly A B C; line D E; par D E 1; par B C 1; note S(ADE) = S(ABC) : 4",
     "choices": [
      {
       "text": "$1 : 2$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$1 : 4$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "$1 : 3$",
       "mistake": "wrong_segment"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "יחס השטחים של שני משולשים דומים $2 : 1$. מה יחס הדמיון?",
     "figure": "_a=0,0; _b=3.2,0; _c=1.1,2.2; _d=4.64,0; _e=6.91,0; _f=5.42,1.56; poly _a _b _c; poly _d _e _f; note S₁ : S₂ = 2 : 1",
     "choices": [
      {
       "text": "$√2 : 1$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$2 : 1$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "$4 : 1$",
       "mistake": "area_ratio"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "שטח משולש $18$, ושטח משולש דומה לו $2$. צלע במשולש הקטן $3$. מה הצלע המתאימה בגדול?",
     "figure": "_a=0,0; _b=3.2,0; _c=1.1,2.2; _d=4.64,0; _e=5.92,0; _f=5.08,0.88; poly _a _b _c; poly _d _e _f; len _d _e 3; len _a _b ?; note S₁ = 18, S₂ = 2",
     "choices": [
      {
       "text": "$9$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$27$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "$1$",
       "mistake": "ratio_inverted"
      }
     ]
    },
    {
     "question": "במפה בקנה מידה $1 : 1000$ שטח מגרש $6$ סמ״ר. מה שטחו האמיתי במ״ר?",
     "figure": "_a=1.1,2.2; _b=0,0; _c=3.2,0; poly _a _b _c; note 1 : 1000, S = 6",
     "choices": [
      {
       "text": "$600$",
       "correct": true
      },
      {
       "text": "$6$",
       "mistake": "area_ratio"
      },
      {
       "text": "$60000$",
       "mistake": "unit_conv"
      }
     ]
    }
   ]
  }
 ],
 "mistakes": {
  "ext_partial": {
   "name": "כפל חלקי בפילוג המורחב",
   "tip": "כל איבר בסוגריים הראשונים כופל כל איבר בשניים: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.",
   "back": "t_ext"
  },
  "sign_mid": {
   "name": "טעות סימן באיבר האמצעי",
   "tip": "חברו את שתי המכפלות האמצעיות עם הסימנים שלהן: $3x + (−5x) = −2x$.",
   "back": null
  },
  "sign_product": {
   "name": "סימן של מכפלה",
   "tip": "מכפלה של מספר חיובי במספר שלילי היא שלילית: $3 · (−5) = −15$.",
   "back": null
  },
  "move_sign": {
   "name": "העברת אגף בלי החלפת סימן",
   "tip": "כשמעבירים איבר לאגף השני מחליפים את סימנו: $5x + 6 = 16 ⇒ 5x = 10$.",
   "back": null
  },
  "forgot_divide": {
   "name": "שכחתם לחלק במקדם",
   "tip": "בסוף מחלקים במקדם של $x$: $5x = 10 ⇒ x = 2$.",
   "back": null
  },
  "forgot_middle": {
   "name": "שכחתם את האיבר האמצעי",
   "tip": "$(a + b)² = a² + 2ab + b²$, ולא $a² + b²$.",
   "back": null
  },
  "area_perimeter": {
   "name": "היקף במקום שטח",
   "tip": "שטח מלבן הוא אורך כפול רוחב; היקף הוא סכום הצלעות.",
   "back": null
  },
  "diff_order": {
   "name": "חיסור בסדר הפוך",
   "tip": "„בכמה גדול $A$ מ־$B$“ הוא $A − B$.",
   "back": null
  },
  "middle_no_2": {
   "name": "שכחתם להכפיל ב־2",
   "tip": "באיבר האמצעי יש כפל ב־2: $(a − b)² = a² − 2ab + b²$.",
   "back": "t_formulas"
  },
  "coef_not_raised": {
   "name": "המקדם לא הועלה בחזקה",
   "tip": "מעלים בחזקה גם את המקדם: $(2x)² = 4x²$, $(3x)² = 9x²$.",
   "back": null
  },
  "diff_sign": {
   "name": "סימן בהפרש ריבועים",
   "tip": "$(a + b)(a − b) = a² − b²$: התוצאה היא הפרש.",
   "back": "t_formulas"
  },
  "diffsq_as_square": {
   "name": "בלבול בין הפרש ריבועים לריבוע של הפרש",
   "tip": "$(a − b)² = a² − 2ab + b²$, ואילו $(a − b)(a + b) = a² − b²$, בלי איבר אמצעי.",
   "back": "t_formulas"
  },
  "partial_gcf": {
   "name": "לא הוצאתם את כל הגורם המשותף",
   "tip": "בדקו גם את המשתנים: $6x² − 9x = 3x(2x − 3)$.",
   "back": "t_gcf"
  },
  "divide_each": {
   "name": "לא חילקתם כל איבר",
   "tip": "כל איבר בסוגריים הוא האיבר המקורי חלקי הגורם המשותף: $9x : 3x = 3$.",
   "back": "t_gcf"
  },
  "sign_of_term": {
   "name": "סימן האיבר אבד",
   "tip": "הסימן נשאר עם האיבר: $−9x : 3x = −3$.",
   "back": null
  },
  "signs_swapped": {
   "name": "הסימנים התחלפו",
   "tip": "צריך שני מספרים שמכפלתם $c$ וסכומם $b$. בדקו את הסימנים בפתיחת הסוגריים.",
   "back": "t_trinomial"
  },
  "product_only": {
   "name": "בדקתם רק את המכפלה",
   "tip": "שני המספרים צריכים לתת גם את המכפלה $c$ וגם את הסכום $b$.",
   "back": "t_trinomial"
  },
  "partial_factor": {
   "name": "הפירוק לא הושלם",
   "tip": "אחרי הוצאת גורם משותף בדקו אם מה שנשאר מתפרק: $x² − 9 = (x − 3)(x + 3)$.",
   "back": null
  },
  "gcf_first": {
   "name": "פירוק בלי הוצאת גורם משותף",
   "tip": "$(2x − 3)(2x + 3) = 4x² − 9$. הוציאו קודם את הגורם המשותף $2$.",
   "back": "t_gcf"
  },
  "cancel_terms": {
   "name": "צמצום של מחוברים",
   "tip": "מצמצמים רק גורמים (כופלים), לא מחוברים. פרקו קודם את המונה ואת המכנה.",
   "back": null
  },
  "factor_sign": {
   "name": "צמצום של הגורם הלא נכון",
   "tip": "$a² − b² = (a − b)(a + b)$: מצמצמים רק את הגורם שמופיע גם במונה וגם במכנה, והגורם השני נשאר.",
   "back": null
  },
  "lost_denominator": {
   "name": "המכנה נעלם",
   "tip": "המכנה לא נעלם: אחרי צמצום נשאר בו כל גורם שלא צומצם.",
   "back": null
  },
  "div_not_flipped": {
   "name": "חילקתם בלי להפוך את השבר",
   "tip": "חילוק בשבר הוא כפל בשבר ההפוך: $A/B : C/D = A/B · D/C$.",
   "back": null
  },
  "cancel_power": {
   "name": "צמצום שגוי של חזקה",
   "tip": "$x² : x = x$, לא $1$. אחרי הצמצום נשאר גורם $x$.",
   "back": null
  },
  "kite_rhombus": {
   "name": "בלבול בין דלתון למעוין",
   "tip": "בדלתון שני זוגות של צלעות סמוכות שוות. רק במעוין כל ארבע הצלעות שוות.",
   "back": null
  },
  "kite_parallelogram": {
   "name": "בלבול בין דלתון למקבילית",
   "tip": "צלעות נגדיות שוות הן תכונה של מקבילית. בדלתון הצלעות השוות סמוכות.",
   "back": null
  },
  "kite_diag_equal": {
   "name": "אלכסוני הדלתון אינם שווים",
   "tip": "בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה, אך אורכיהם בדרך כלל שונים.",
   "back": null
  },
  "kite_wrong_pair": {
   "name": "הזוויות השוות בדלתון",
   "tip": "בדלתון הזוויות השוות הן אלה שבין הצלעות השונות: $∢B = ∢D$.",
   "back": "k_def"
  },
  "forgot_half": {
   "name": "שכחתם לחלק ל־2",
   "tip": "שתי הזוויות שוות, ולכן מחלקים את הסכום שלהן ב־2.",
   "back": null
  },
  "angle_sum_180": {
   "name": "סכום הזוויות במרובע",
   "tip": "סכום הזוויות במרובע הוא $360°$, לא $180°$.",
   "back": null
  },
  "kite_diag_bisect": {
   "name": "האלכסון הראשי חוצה את המשני",
   "tip": "האלכסון הראשי $AC$ הוא אנך אמצעי לאלכסון $BD$, ולכן $BE = BD : 2$.",
   "back": null
  },
  "reflect_axis": {
   "name": "שיקוף ביחס לציר הלא נכון",
   "tip": "שיקוף ביחס לציר $y$: $(x, y) → (−x, y)$. שיקוף ביחס לציר $x$: $(x, y) → (x, −y)$.",
   "back": null
  },
  "swapped_pair": {
   "name": "החלפת סדר השיעורים",
   "tip": "בנקודה $(x, y)$ השיעור הראשון הוא $x$ והשני $y$.",
   "back": null
  },
  "iso_wrong_angle": {
   "name": "זוויות הבסיס",
   "tip": "במשולש שווה שוקיים הזוויות השוות הן זוויות הבסיס, שמול השוקיים: $∢B = ∢C$.",
   "back": "i_props"
  },
  "forgot_half_angle": {
   "name": "שכחתם לחלק בין שתי זוויות הבסיס",
   "tip": "$∢B + ∢C = 180° − ∢A$, ושתי הזוויות שוות.",
   "back": null
  },
  "iso_converse": {
   "name": "המשפט ההפוך",
   "tip": "אם במשולש שתי זוויות שוות, הצלעות שמולן שוות.",
   "back": null
  },
  "iso_wrong_side": {
   "name": "צלע מול זווית",
   "tip": "הצלעות השוות הן אלה שמול הזוויות השוות: $AB$ מול $∢C$ ו־$AC$ מול $∢B$.",
   "back": null
  },
  "iso_equilateral": {
   "name": "מסקנה חזקה מדי",
   "tip": "המשפט ההפוך מראה רק ש־$AB = AC$. אין סיבה ש־$BC$ תהיה שווה להן.",
   "back": null
  },
  "iso_right": {
   "name": "גובה אינו זווית ישרה במשולש",
   "tip": "הגובה מאונך לצלע, אבל זה לא אומר שאחת מזוויות המשולש ישרה.",
   "back": null
  },
  "iso_median_bisects": {
   "name": "התיכון לבסיס חוצה את זווית הראש",
   "tip": "במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס, הגובה לבסיס וחוצה זווית הראש מתלכדים.",
   "back": "i_props"
  },
  "iso_median_height": {
   "name": "התיכון לבסיס הוא גם גובה",
   "tip": "במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס מאונך לבסיס, ולכן הזווית $90°$.",
   "back": "i_props"
  },
  "height_from_axis": {
   "name": "גובה נמדד עד הבסיס",
   "tip": "הגובה הוא המרחק בין הישרים: הפרש שיעורי ה־$y$, לא שיעור ה־$y$ עצמו.",
   "back": null
  },
  "iso_half_base": {
   "name": "בלבול בין הגובה לחצי הבסיס",
   "tip": "חצי הבסיס והגובה הם קטעים שונים. הגובה הוא המרחק מהקודקוד לבסיס.",
   "back": null
  },
  "opening_sign": {
   "name": "סימן $a$ קובע את כיוון הפרבולה",
   "tip": "כאשר $a > 0$ הפרבולה פתוחה כלפי מעלה ויש לה מינימום; כאשר $a < 0$ יש לה מקסימום.",
   "back": "q_parabola"
  },
  "dir_confusion": {
   "name": "עלייה וירידה",
   "tip": "פונקציה עולה כאשר $y$ גדל ככל ש־$x$ גדל, כלומר כשהגרף מטפס משמאל לימין.",
   "back": null
  },
  "x_vs_y_interval": {
   "name": "תחום נכתב בערכי $x$",
   "tip": "תחומים (עלייה, ירידה, חיוביות) מתארים ערכי $x$, לא ערכי $y$.",
   "back": null
  },
  "vshift_as_h": {
   "name": "הזזה אנכית כאופקית",
   "tip": "מספר שמחובר מחוץ לפונקציה מזיז את הגרף למעלה או למטה.",
   "back": null
  },
  "k_sign": {
   "name": "סימן ההזזה האנכית",
   "tip": "$+k$ מזיז את הגרף למעלה ו־$−k$ למטה.",
   "back": null
  },
  "hshift_sign": {
   "name": "סימן ההזזה האופקית",
   "tip": "$f(x − b)$ מזיזה את הגרף $b$ יחידות ימינה, ו־$f(x + b)$ שמאלה.",
   "back": null
  },
  "h_as_v": {
   "name": "הזזה אופקית כאנכית",
   "tip": "מספר שבתוך הסוגריים עם $x$ מזיז את הגרף ימינה או שמאלה, לא למעלה או למטה.",
   "back": null
  },
  "plug_zero": {
   "name": "הצבת $x = 0$",
   "tip": "הצבת $x = 0$ נותנת את נקודת החיתוך עם ציר $y$, לא את הקודקוד.",
   "back": null
  },
  "missing_neg_root": {
   "name": "שכחתם את הפתרון השלילי",
   "tip": "גם למספר שלילי יש ריבוע חיובי: אם $u² = 9$ אז $u = 3$ או $u = −3$.",
   "back": null
  },
  "vertex_as_root": {
   "name": "הקודקוד אינו נקודת חיתוך",
   "tip": "החיתוך עם ציר $x$ הוא היכן ש־$f(x) = 0$. הקודקוד הוא נקודת הקיצון.",
   "back": null
  },
  "axes_mixed": {
   "name": "בלבול בין הצירים",
   "tip": "בחיתוך עם ציר $x$ מתקיים $y = 0$; בחיתוך עם ציר $y$ מתקיים $x = 0$.",
   "back": null
  },
  "zero_root_sign": {
   "name": "סימן הפתרון",
   "tip": "$x − 1 = 0$ כאשר $x = 1$, ו־$x + 3 = 0$ כאשר $x = −3$: הפתרון בסימן הפוך למספר שבסוגריים.",
   "back": null
  },
  "a_as_zero": {
   "name": "המקדם $a$ אינו שורש",
   "tip": "המקדם שלפני הסוגריים אינו מתאפס; רק הסוגריים מתאפסים.",
   "back": null
  },
  "forgot_y": {
   "name": "חסר שיעור $y$",
   "tip": "אחרי שמוצאים את $x$ מציבים אותו כדי למצוא את $y$. התשובה היא נקודה $(x, y)$.",
   "back": null
  },
  "axis_sign": {
   "name": "סימן ציר הסימטריה",
   "tip": "ציר הסימטריה באמצע בין השורשים: ממוצע שני השורשים.",
   "back": null
  },
  "forgot_half_axis": {
   "name": "שכחתם לחלק ב־2",
   "tip": "ציר הסימטריה הוא ממוצע השורשים: $(1 + 5) : 2 = 3$.",
   "back": null
  },
  "minus_b": {
   "name": "שכחתם את המינוס",
   "tip": "בנוסחה $x = −b : 2a$ (ובנוסחת השורשים) מופיע $−b$.",
   "back": null
  },
  "forgot_2a_axis": {
   "name": "שכחתם לחלק ב־$2a$",
   "tip": "שיעור $x$ של הקודקוד הוא $−b : 2a$, לא $−b$.",
   "back": null
  },
  "c_as_vertex": {
   "name": "$c$ אינו הקודקוד",
   "tip": "$c$ הוא נקודת החיתוך עם ציר $y$: $(0, c)$.",
   "back": null
  },
  "forgot_root": {
   "name": "שכחתם להוציא שורש",
   "tip": "אחרי שמבודדים את הריבוע מוציאים שורש: $x² = 16 ⇒ x = ±4$.",
   "back": null
  },
  "divide_wrong": {
   "name": "שכחתם לחלק במקדם",
   "tip": "$2x + 1 = 0 ⇒ 2x = −1 ⇒ x = −0.5$.",
   "back": null
  },
  "divide_by_x": {
   "name": "חילוק ב־$x$ מאבד פתרון",
   "tip": "אסור לחלק ב־$x$, כי הוא עלול להיות $0$. מעבירים אגף ומפרקים: $x(x − 5) = 0$.",
   "back": null
  },
  "forgot_2a": {
   "name": "חילוק ב־$2a$",
   "tip": "בנוסחת השורשים מחלקים ב־$2a$, לא ב־$2$.",
   "back": null
  },
  "disc_sign": {
   "name": "סימן ב־$b² − 4ac$",
   "tip": "$b² − 4ac = 9 − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25$: מינוס כפול מינוס הוא פלוס.",
   "back": null
  },
  "disc_meaning": {
   "name": "משמעות הדיסקרימיננטה",
   "tip": "אם $b² − 4ac > 0$ יש שני פתרונות, אם $b² − 4ac = 0$ פתרון אחד, ואם $b² − 4ac < 0$ אין פתרון.",
   "back": null
  },
  "lost_shift": {
   "name": "שכחתם את ההזזה",
   "tip": "$x − 1 = ±4$, ולכן $x = 1 ± 4$.",
   "back": null
  },
  "inadmissible": {
   "name": "פתרון שאינו מתאים לשאלה",
   "tip": "פתרון שלילי של המשוואה אינו יכול להיות אורך, מהירות או מספר טבעי.",
   "back": null
  },
  "other_quantity": {
   "name": "עניתם על כמות אחרת",
   "tip": "קראו שוב: על איזו כמות השאלה שואלת?",
   "back": null
  },
  "half_product": {
   "name": "חלוקה ב־2 במקום משוואה",
   "tip": "בנו משוואה: $n(n + 1) = 56$, ופתרו אותה.",
   "back": null
  },
  "sign_regions": {
   "name": "איפה הפרבולה חיובית",
   "tip": "פרבולה פתוחה כלפי מעלה שלילית בין השורשים; פרבולה פתוחה כלפי מטה חיובית בין השורשים.",
   "back": "v_graph"
  },
  "partial_intervals": {
   "name": "חסר חלק מהתנאי",
   "tip": "התחום נקבע על ידי שני השורשים, ולכן יש לו שני קצוות.",
   "back": null
  },
  "strict_vs_weak": {
   "name": "אי־שוויון חלש",
   "tip": "ב־$≥$ ו־$≤$ גם השורשים עצמם נכללים בפתרון, כי שם הביטוי שווה ל־$0$.",
   "back": null
  },
  "opposite_angle": {
   "name": "הזווית שמול הצלע",
   "tip": "הזווית שמול צלע היא הזווית בקודקוד שאינו על הצלע: מול $AC$ נמצאת $∢B$.",
   "back": null
  },
  "side_angle_rule": {
   "name": "יחסי צלעות וזוויות",
   "tip": "במשולש, מול הצלע הגדולה נמצאת הזווית הגדולה, ולהפך.",
   "back": "a_side_angle"
  },
  "reversed_order": {
   "name": "סדר הפוך",
   "tip": "מול הזווית הקטנה נמצאת הצלע הקטנה, ומול הזווית הגדולה נמצאת הצלע הגדולה.",
   "back": null
  },
  "half_double": {
   "name": "חצי ולא כפליים",
   "tip": "הניצב שמול זווית של $30°$ הוא חצי מהיתר, לא שווה לו או כפול ממנו.",
   "back": "l_30_side"
  },
  "a30_rule": {
   "name": "הניצב שמול $30°$",
   "tip": "במשולש ישר זווית, הניצב שמול זווית של $30°$ שווה למחצית היתר, ולהפך.",
   "back": "l_30_side"
  },
  "eq_split": {
   "name": "הגובה יוצר זווית ישרה",
   "tip": "הגובה מאונך לבסיס, ולכן נוצרים שני משולשים ישרי זווית עם זוויות $30°$ ו־$60°$.",
   "back": null
  },
  "median_hyp_rule": {
   "name": "התיכון ליתר",
   "tip": "במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.",
   "back": "o_median"
  },
  "median_converse": {
   "name": "המשפט ההפוך לתיכון ליתר",
   "tip": "אם התיכון שווה למחצית הצלע שאליה הוא יורד, הזווית שמול הצלע ישרה.",
   "back": null
  },
  "median_iso": {
   "name": "משולש שווה שוקיים שנוצר",
   "tip": "$CM = AM$, ולכן במשולש $AMC$ הזוויות שמול הצלעות השוות שוות: $∢ACM = ∢A$.",
   "back": null
  },
  "whole_diag": {
   "name": "היתר הוא האלכסון כולו",
   "tip": "במשולש $ABC$ היתר הוא האלכסון $AC$ כולו, ולכן $BC = AC : 2$.",
   "back": null
  },
  "alt_vs_cointerior": {
   "name": "מתחלפות או חד־צדדיות",
   "tip": "זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות; זוויות חד־צדדיות משלימות ל־$180°$.",
   "back": "z_parallel"
  },
  "complement90": {
   "name": "השלמה ל־$90°$",
   "tip": "זוויות בין ישרים מקבילים שוות או משלימות ל־$180°$, לא ל־$90°$.",
   "back": null
  },
  "parallel_converse": {
   "name": "משפט הפוך לישרים מקבילים",
   "tip": "אם זוויות חד־צדדיות משלימות ל־$180°$, הישרים מקבילים.",
   "back": null
  },
  "trap_iso_angles": {
   "name": "זוויות בטרפז שווה שוקיים",
   "tip": "בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות, וזוויות שליד אותה שוק משלימות ל־$180°$.",
   "back": null
  },
  "trap_vs_par": {
   "name": "טרפז או מקבילית",
   "tip": "במקבילית יש שני זוגות של צלעות מקבילות. אם רק זוג אחד מקביל, זה טרפז.",
   "back": null
  },
  "wrong_pair_parallel": {
   "name": "איזה זוג מקביל",
   "tip": "$∢A$ ו־$∢D$ הן זוויות חד־צדדיות על החותך $AD$, ולכן $AB ∥ DC$.",
   "back": null
  },
  "forgot_half_area": {
   "name": "שכחתם לחלק ב־2",
   "tip": "בשטח טרפז, בשטח מעוין (מכפלת אלכסונים) ובשטח משולש מחלקים ב־2.",
   "back": null
  },
  "mult_all": {
   "name": "כפל כל הנתונים",
   "tip": "בשטח טרפז מחברים את הבסיסים: $(a + b) · h : 2$.",
   "back": null
  },
  "trap_one_base": {
   "name": "השתמשתם בבסיס אחד",
   "tip": "בשטח טרפז מחברים את שני הבסיסים: $(a + b) · h : 2$.",
   "back": null
  },
  "par_opposite": {
   "name": "זוויות נגדיות במקבילית",
   "tip": "במקבילית $∢C = ∢A$ ו־$∢D = ∢B$.",
   "back": "g_def"
  },
  "par_adjacent": {
   "name": "זוויות סמוכות במקבילית",
   "tip": "זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל־$180°$: $∢A + ∢B = 180°$.",
   "back": "g_def"
  },
  "par_diag": {
   "name": "האלכסונים חוצים זה את זה",
   "tip": "אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה: כל חלק הוא חצי מהאלכסון שלו.",
   "back": "g_diag"
  },
  "par_trap_iso": {
   "name": "גם טרפז שווה שוקיים כזה",
   "tip": "גם בטרפז שווה שוקיים זוג אחד מקביל וזוג שני שווה, ולכן זה לא מספיק.",
   "back": null
  },
  "kite_par": {
   "name": "גם דלתון כזה",
   "tip": "גם בדלתון האלכסונים מאונכים, ולכן זה לא מספיק כדי לקבוע שהמרובע מקבילית.",
   "back": null
  },
  "domain_sign": {
   "name": "סימן בתחום ההצבה",
   "tip": "המכנה מתאפס כאשר $x − 4 = 0$, כלומר כאשר $x = 4$.",
   "back": null
  },
  "numerator_domain": {
   "name": "המונה אינו מגביל",
   "tip": "רק מכנה ששווה לאפס אסור. המונה יכול להיות כל מספר.",
   "back": null
  },
  "domain_zero": {
   "name": "לא כל מכנה פוסל את $0$",
   "tip": "פוסלים את הערכים שבהם המכנה כולו שווה לאפס.",
   "back": null
  },
  "mult_instead": {
   "name": "כפל במקום חילוק",
   "tip": "$12 = 3x$, ולכן $x = 12 : 3$.",
   "back": null
  },
  "inverse": {
   "name": "התשובה ההפוכה",
   "tip": "כופלים את שני האגפים במכנה ורק אז מבודדים את $x$.",
   "back": null
  },
  "lost_sign_move": {
   "name": "סימן אבד בדרך",
   "tip": "שימו לב לסימן כשפותחים סוגריים וכשמעבירים אגף.",
   "back": null
  },
  "partial_dist": {
   "name": "פילוג חלקי",
   "tip": "כופלים את כל הסוגריים: $2(x − 1) = 2x − 2$, לא $2x − 1$.",
   "back": null
  },
  "add_denoms": {
   "name": "חיבור מכנים",
   "tip": "לא מחברים מכנים: מביאים למכנה משותף, $1/x + 1/(2x) = 2/(2x) + 1/(2x) = 3/(2x)$.",
   "back": null
  },
  "excluded_root": {
   "name": "פתרון מחוץ לתחום ההצבה",
   "tip": "פתרון שמאפס את המכנה אינו פתרון. בודקים כל פתרון מול תחום ההצבה.",
   "back": "r_domain"
  },
  "valid_root_dropped": {
   "name": "פתרון קביל נפסל",
   "tip": "$x = −2$ אינו מאפס את המכנה ומקיים את המשוואה.",
   "back": null
  },
  "mult_only_one": {
   "name": "כפל של איבר אחד בלבד",
   "tip": "כופלים ב־$x$ את כל האיברים בשני האגפים: $x² + 6 = 5x$.",
   "back": null
  },
  "part_vs_whole": {
   "name": "חלק מתוך השלם",
   "tip": "מחלקים בכל האפשרויות (כל התוצאות או כל השטח), לא רק במה שנשאר.",
   "back": null
  },
  "guess_cases": {
   "name": "התוצאות אינן שוות הסתברות",
   "tip": "מנו את כל האפשרויות השקולות, בעזרת טבלה או דיאגרמת עץ.",
   "back": null
  },
  "complement": {
   "name": "מאורע משלים",
   "tip": "ההסתברות של המאורע המשלים היא $1 − P(A)$.",
   "back": "h_complement"
  },
  "relfreq_vs_prob": {
   "name": "שכיחות יחסית לעומת הסתברות",
   "tip": "שכיחות יחסית מחושבת מתוצאות הניסוי; $1/6$ היא ההסתברות התאורטית.",
   "back": null
  },
  "freq_abs": {
   "name": "שכיחות לעומת שכיחות יחסית",
   "tip": "השכיחות היחסית היא השכיחות חלקי מספר הניסויים.",
   "back": null
  },
  "ratio_flipped": {
   "name": "חילוק הפוך",
   "tip": "מחלקים את מספר ההופעות במספר הניסויים, לא להפך.",
   "back": null
  },
  "decimal_error": {
   "name": "טעות במקום העשרוני",
   "tip": "$0.02 = 2/100$, ולכן $1500 · 0.02 = 30$.",
   "back": null
  },
  "prob_as_count": {
   "name": "הסתברות אינה מספר פריטים",
   "tip": "ההסתברות היא לפריט אחד. כופלים אותה במספר הפריטים.",
   "back": null
  },
  "one_stage": {
   "name": "התעלמות מהשלב השני",
   "tip": "יש שני שלבים: כופלים את ההסתברויות לאורך הענף.",
   "back": "h_two_stage"
  },
  "prob_add": {
   "name": "חיבור במקום כפל",
   "tip": "לאורך ענף בעץ כופלים הסתברויות; מחברים רק ענפים נפרדים.",
   "back": "h_two_stage"
  },
  "with_replace": {
   "name": "עם החזרה",
   "tip": "הכדור מוחזר, ולכן בשלב השני ההסתברות זהה לשלב הראשון.",
   "back": null
  },
  "no_replace": {
   "name": "בלי החזרה משתנה השלב השני",
   "tip": "אחרי שהוצאנו כדור בלי להחזיר, נשארו פחות כדורים, ופחות כדורים מהצבע שהוצא.",
   "back": null
  },
  "count_one": {
   "name": "ספרתם צירוף אחד בלבד",
   "tip": "יש $6$ צירופים שסכומם $7$: $(1, 6), (2, 5), …, (6, 1)$, מתוך $36$.",
   "back": null
  },
  "length_vs_area": {
   "name": "יחס אורכים במקום יחס שטחים",
   "tip": "ההסתברות היא יחס השטחים: $5² : 10² = 25 : 100$.",
   "back": null
  },
  "double_count": {
   "name": "ספירה כפולה",
   "tip": "$1/6 + 1/6$ סופר פעמיים את $(6, 6)$. נוח יותר: $1 − (5/6)²$.",
   "back": null
  },
  "both_vs_atleast": {
   "name": "„לפחות פעם אחת“ אינו „פעמיים“",
   "tip": "„לפחות פעם אחת“ כולל גם תוצאות עם $6$ אחד בלבד.",
   "back": null
  },
  "check_both": {
   "name": "בדיקה בשתי המשוואות",
   "tip": "נקודת חיתוך מקיימת את שתי המשוואות: מציבים בכל אחת מהן.",
   "back": null
  },
  "one_solution": {
   "name": "שכחתם פתרון",
   "tip": "למשוואה הריבועית יש שני פתרונות, ולכל אחד יש נקודת חיתוך.",
   "back": null
  },
  "y_sign": {
   "name": "שיעור $y$ שגוי",
   "tip": "מציבים כל $x$ בנפרד: $(−2)² − 2 = 2$. ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי.",
   "back": null
  },
  "sys_meaning": {
   "name": "פתרון וחיתוך גרפים",
   "tip": "כל פתרון של המערכת הוא נקודה משותפת לשני הגרפים.",
   "back": null
  },
  "vertex_height": {
   "name": "ישר אופקי וקודקוד",
   "tip": "ישר אופקי פוגש פרבולה בנקודה אחת בלבד רק בגובה הקודקוד.",
   "back": null
  },
  "product_check": {
   "name": "בדקו את שני התנאים",
   "tip": "המספרים צריכים לקיים גם את הסכום וגם את המכפלה.",
   "back": null
  },
  "rect_diag_equal": {
   "name": "אלכסוני המלבן שווים",
   "tip": "במלבן האלכסונים שווים וחוצים זה את זה.",
   "back": "m_diag"
  },
  "rect_iso": {
   "name": "המשולש $AOB$ שווה שוקיים",
   "tip": "$OA = OB$ (חצאי אלכסונים שווים), ולכן $∢OBA = ∢OAB$.",
   "back": null
  },
  "rect_vs_rhombus": {
   "name": "בלבול בין מלבן למעוין",
   "tip": "מקבילית עם אלכסונים שווים או עם זווית ישרה היא מלבן. מקבילית עם אלכסונים מאונכים או עם צלעות סמוכות שוות היא מעוין.",
   "back": null
  },
  "half_perimeter": {
   "name": "חצי היקף",
   "tip": "$2(a + b) = 26 ⇒ a + b = 13$, ולכן הרוחב $13 − 8 = 5$.",
   "back": null
  },
  "add_lengths": {
   "name": "חיבור אורכים במקום פיתגורס",
   "tip": "חצאי האלכסונים מאונכים, ולכן הצלע היא יתר: $√(8² + 6²)$.",
   "back": null
  },
  "diag_half": {
   "name": "חצאי האלכסונים",
   "tip": "אלכסוני המעוין חוצים זה את זה, ולכן משתמשים בחצאי האלכסונים: $8$ ו־$6$.",
   "back": null
  },
  "rh_bisect": {
   "name": "האלכסון חוצה את הזווית",
   "tip": "במעוין האלכסונים חוצים את הזוויות: $∢ABD = ∢ABC : 2$.",
   "back": "b_angles"
  },
  "rh_perp": {
   "name": "מאונך אינו הזווית עם הצלע",
   "tip": "האלכסונים מאונכים זה לזה, אבל הזווית בין צלע לאלכסון היא חצי מזווית המעוין.",
   "back": null
  },
  "area_add": {
   "name": "חיבור במקום כפל",
   "tip": "שטח מעוין הוא מכפלת האלכסונים חלקי 2.",
   "back": null
  },
  "square_hierarchy": {
   "name": "יחסי הכלה בין מרובעים",
   "tip": "ריבוע הוא מלבן עם צלעות סמוכות שוות, וגם מעוין עם זווית ישרה. לא כל מלבן או מעוין הוא ריבוע.",
   "back": null
  },
  "square_diag": {
   "name": "תכונות אלכסוני הריבוע",
   "tip": "בריבוע האלכסונים מאונכים ($∢AOB = 90°$) וחוצים את הזוויות הישרות ($∢OAB = 45°$).",
   "back": null
  },
  "pos_neg_swap": {
   "name": "חיובית היא מעל ציר $x$",
   "tip": "פונקציה חיובית היכן שהגרף מעל ציר $x$, ושלילית היכן שהוא מתחתיו.",
   "back": null
  },
  "neg_x": {
   "name": "חיוביות אינה $x > 0$",
   "tip": "„פונקציה חיובית“ פירושה $f(x) > 0$ (ערכי $y$ חיוביים), לא $x > 0$.",
   "back": null
  },
  "local_as_abs": {
   "name": "קיצון מקומי אינו בהכרח מוחלט",
   "tip": "מינימום מוחלט הוא הנקודה הנמוכה ביותר בכל הגרף.",
   "back": "n_extremum"
  },
  "max_vs_min": {
   "name": "מקסימום לעומת מינימום",
   "tip": "בנקודת מקסימום הגרף עולה לפניה ויורד אחריה; במינימום להפך.",
   "back": null
  },
  "value_vs_point": {
   "name": "ערך לעומת נקודה",
   "tip": "נקודת קיצון היא זוג $(x, y)$; ערך המקסימום או המינימום הוא שיעור ה־$y$ שלה.",
   "back": null
  },
  "x_as_value": {
   "name": "שיעור $x$ במקום ערך",
   "tip": "הערך המקסימלי הוא שיעור ה־$y$ של נקודת המקסימום, לא שיעור ה־$x$.",
   "back": null
  },
  "count_all": {
   "name": "חיתוכים עם ציר $x$",
   "tip": "חיתוכים עם ציר $x$ פותרים $f(x) = 0$, לא $f(x) = 2$.",
   "back": null
  },
  "x_equals_m": {
   "name": "ישר אנכי במקום אופקי",
   "tip": "פתרונות $f(x) = m$ הם ערכי $x$ שבהם הגרף פוגש את הישר האופקי $y = m$.",
   "back": "n_eq_graph"
  },
  "vshift_dir": {
   "name": "כיוון ההזזה האנכית",
   "tip": "$f(x) + 5$ מזיזה את הגרף $5$ יחידות למעלה, ו־$f(x) − 5$ למטה.",
   "back": null
  },
  "reflect_type": {
   "name": "שיקוף הופך את סוג הקיצון",
   "tip": "שיקוף ביחס לציר $x$ הופך את הגרף, ולכן מקסימום הופך למינימום.",
   "back": null
  },
  "shift_keeps": {
   "name": "הזזה אופקית מזיזה תחומים",
   "tip": "בהזזה אופקית תחומי העלייה והירידה זזים יחד עם הגרף; בהזזה אנכית הם נשמרים.",
   "back": null
  },
  "mult_exponents": {
   "name": "כפל המעריכים",
   "tip": "בכפל חזקות עם אותו בסיס מחברים מעריכים: $a³ · a⁵ = a⁸$.",
   "back": "p_mult_div"
  },
  "coef_doubled": {
   "name": "מקדם שאינו קיים",
   "tip": "$a³ · a⁵$ היא חזקה אחת, בלי מקדם 2.",
   "back": null
  },
  "div_exponents": {
   "name": "חילוק המעריכים",
   "tip": "בחילוק חזקות עם אותו בסיס מחסרים מעריכים: $x¹² : x⁴ = x⁸$.",
   "back": "p_mult_div"
  },
  "pow_pow_add": {
   "name": "חיבור במקום כפל",
   "tip": "בחזקה של חזקה כופלים מעריכים: $(y⁴)³ = y¹²$.",
   "back": "p_power_product"
  },
  "pow_tower": {
   "name": "העלאה בחזקה של המעריך",
   "tip": "$(y⁴)³ = y⁴ · y⁴ · y⁴ = y¹²$.",
   "back": null
  },
  "coef_mult": {
   "name": "המקדם הוכפל במקום שהועלה בחזקה",
   "tip": "$2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16$, לא $2 · 4$.",
   "back": null
  },
  "denom_not_raised": {
   "name": "גם המכנה מועלה בחזקה",
   "tip": "$(a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ$: $3³ = 27$.",
   "back": null
  },
  "zero_power": {
   "name": "חזקת אפס",
   "tip": "כל מספר (שאינו $0$) בחזקת $0$ שווה $1$: $7⁰ = 1$.",
   "back": null
  },
  "bigger_base": {
   "name": "בסיס גדול אינו מספיק",
   "tip": "כדי להשוות, כותבים את החזקות באותו בסיס: $4¹⁴ = (2²)¹⁴ = 2²⁸$.",
   "back": null
  },
  "div_as_mult": {
   "name": "חיבור מעריכים בחילוק",
   "tip": "בחילוק מחסרים מעריכים: $x⁷ : x⁴ = x³$.",
   "back": "p_mult_div"
  },
  "sqrt_add": {
   "name": "פעולה שגויה תחת השורש",
   "tip": "$√a · √b = √(a · b)$, ולכן $√12 · √3 = √36$.",
   "back": null
  },
  "sqrt_forgot": {
   "name": "שכחתם להוציא שורש",
   "tip": "$√36 = 6$.",
   "back": null
  },
  "sqrt_split": {
   "name": "שורש של סכום",
   "tip": "שורש אינו מתפרק על סכום: $√9 + √16 = 3 + 4 = 7$, אבל $√25 = 5$.",
   "back": null
  },
  "frame_one_side": {
   "name": "המסגרת משני הצדדים",
   "tip": "מסגרת או שביל מוסיפים $x$ בכל צד, ולכן האורך החדש הוא $a + 2x$.",
   "back": null
  },
  "speed_diff": {
   "name": "בנסיעה זו לקראת זו מחברים מהירויות",
   "tip": "המרחק ביניהן קטן בכל שעה ב־$70 + 80 = 150$ ק״מ.",
   "back": null
  },
  "one_speed": {
   "name": "השתמשתם במהירות אחת",
   "tip": "שתי המכוניות מתקרבות זו לזו: מחברים את המהירויות.",
   "back": null
  },
  "percent_add": {
   "name": "אחוזים אינם מתקזזים",
   "tip": "ההנחה מחושבת מהמחיר החדש: $1.2 · 0.8 = 0.96$.",
   "back": null
  },
  "square_total": {
   "name": "גידול כולל לעומת גידול בכל פעם",
   "tip": "$(1 + p/100)² = 1.21 ⇒ 1 + p/100 = 1.1$.",
   "back": null
  },
  "percent_split": {
   "name": "אחוזים מצטברים בכפל",
   "tip": "לא מחלקים את הגידול הכולל ב־2: $(1 + p/100)² = 1.21$.",
   "back": null
  },
  "wall_side": {
   "name": "הקיר חוסך צלע",
   "tip": "הגדר מקיפה רק שלוש צלעות: $2x + y = 40$.",
   "back": null
  },
  "percent_of_new": {
   "name": "האחוז מחושב מהמחיר המקורי",
   "tip": "$0.85 · x = 68 ⇒ x = 68 : 0.85$.",
   "back": null
  },
  "percent_as_shekel": {
   "name": "אחוזים אינם שקלים",
   "tip": "$15%$ הם חלק מהמחיר, לא $15$ ₪.",
   "back": null
  },
  "add_vs_ratio": {
   "name": "חיבור במקום יחס",
   "tip": "בדמיון הצלעות פרופורציוניות: כופלים ביחס הדמיון, לא מוסיפים מספר קבוע.",
   "back": null
  },
  "ratio_inverted": {
   "name": "יחס הפוך",
   "tip": "התאימו כל צלע לצלע המתאימה לה, וכפלו ביחס מהמשולש הנתון אל המבוקש.",
   "back": null
  },
  "angle_scale": {
   "name": "זוויות אינן מוכפלות",
   "tip": "במשולשים דומים הזוויות המתאימות שוות; רק הצלעות מוכפלות ביחס.",
   "back": null
  },
  "perim_square": {
   "name": "היקף ביחס הדמיון",
   "tip": "יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון, לא לריבועו.",
   "back": null
  },
  "area_ratio": {
   "name": "יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון",
   "tip": "אם יחס הדמיון $k$, יחס השטחים $k²$.",
   "back": "d_area"
  },
  "wrong_segment": {
   "name": "הצלע המתאימה",
   "tip": "$△ADE ∼ △ABC$, ולכן $DE : BC = AD : AB$.",
   "back": null
  },
  "unit_conv": {
   "name": "המרת יחידות שטח",
   "tip": "$1$ מ״ר $= 100 · 100 = 10,000$ סמ״ר.",
   "back": null
  },
  "const_added": {
   "name": "חיבור במקום כפל באיבר החופשי",
   "tip": "האיבר החופשי הוא מכפלת המספרים: ב־$(x + 4)(x + 2)$ הוא $4 · 2 = 8$. הסכום $4 + 2 = 6$ הוא המקדם של $x$.",
   "back": null
  },
  "neg_times_neg": {
   "name": "מינוס כפול מינוס",
   "tip": "מכפלה של שני מספרים שליליים היא חיובית: $(−7) · (−2) = 14$.",
   "back": null
  },
  "minus_paren": {
   "name": "מינוס לפני סוגריים",
   "tip": "כשמחסרים מכפלה, פותחים אותה בתוך סוגריים ואז מחליפים את הסימן של כל איבר: $−(x² + 4x) = −x² − 4x$.",
   "back": null
  },
  "double_both": {
   "name": "כפל בשני הסוגריים",
   "tip": "המספר שלפני המכפלה כופל אותה פעם אחת: $2(x + 3)(x − 1) = 2(x² + 2x − 3)$.",
   "back": null
  },
  "neg_divide": {
   "name": "סימן בחילוק",
   "tip": "מחלקים גם את הסימן: $−8x = −16 ⇒ x = 2$.",
   "back": null
  },
  "shift_balance": {
   "name": "הגדלה והקטנה אינן מתקזזות",
   "tip": "הגדלה והקטנה באותו מספר משנות את השטח: $(x + 3)(x − 3) = x² − 9$.",
   "back": null
  },
  "sq_as_double": {
   "name": "ריבוע אינו כפל ב־2",
   "tip": "ריבוע הוא כפל של מספר בעצמו: $6² = 6 · 6 = 36$, ולא $6 · 2$.",
   "back": null
  },
  "diffsq_order": {
   "name": "סדר האיברים בהפרש ריבועים",
   "tip": "$(a − b)(a + b) = a² − b²$: מחסרים את ריבוע האיבר שמשנה סימן. $(7 − x)(7 + x) = 49 − x²$.",
   "back": null
  },
  "diffsq_missed": {
   "name": "הפרש ריבועים מתפרק",
   "tip": "$a² − b² = (a − b)(a + b)$. רק סכום ריבועים, כמו $x² + 49$, אינו מתפרק.",
   "back": "t_formulas"
  },
  "lost_one": {
   "name": "במקום האיבר נשאר $1$",
   "tip": "כשאיבר שווה לגורם המשותף, נשאר במקומו $1$: $8x³ − 4x² = 4x²(2x − 1)$.",
   "back": null
  },
  "common_bracket": {
   "name": "סוגריים כגורם משותף",
   "tip": "גם סוגריים שלמים יכולים להיות גורם משותף: $x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3)$.",
   "back": null
  },
  "expanded_not_factored": {
   "name": "פתחתם סוגריים במקום לפרק",
   "tip": "פירוק לגורמים הוא כתיבה כמכפלה. פתיחת סוגריים מחזירה לסכום.",
   "back": null
  },
  "sum_only": {
   "name": "בדקתם רק את הסכום",
   "tip": "שני המספרים צריכים לתת גם את הסכום $b$ וגם את המכפלה $c$.",
   "back": "t_trinomial"
  },
  "t_one_factor": {
   "name": "שני הגורמים יכולים להתאפס",
   "tip": "מכפלה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים שווה לאפס: $(x − 2)(x + 5) = 0 ⇒ x = 2$ או $x = −5$.",
   "back": null
  },
  "factor_nonzero": {
   "name": "האגף השני אינו אפס",
   "tip": "פירוק עוזר רק כשבאגף השני יש $0$. מעבירים קודם הכול לאגף אחד: $x² + 3x − 10 = 0$.",
   "back": null
  },
  "opposite_factor": {
   "name": "גורמים נגדיים",
   "tip": "$5 − x = −(x − 5)$, ולכן $(x − 5) / (5 − x) = −1$.",
   "back": null
  },
  "reduce_flip": {
   "name": "צמצום הפוך",
   "tip": "מה שבמונה נשאר במונה: $3x² / 6x = (3x · x) / (3x · 2) = x / 2$.",
   "back": null
  },
  "a_as_k": {
   "name": "$a$ אינו הזזה",
   "tip": "ב־$y = ax²$ הקודקוד תמיד $(0, 0)$. המקדם $a$ קובע רק את סוג הקיצון.",
   "back": null
  },
  "neg_square": {
   "name": "ריבוע של מספר שלילי",
   "tip": "ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי: $(−2)² = 4$.",
   "back": null
  },
  "squared_coef": {
   "name": "המקדם הועלה בריבוע",
   "tip": "ב־$ax²$ מעלים בריבוע רק את $x$: $3 · (−2)² = 3 · 4 = 12$.",
   "back": null
  },
  "minus_outside": {
   "name": "המינוס מחוץ לריבוע",
   "tip": "ב־$−x²$ מעלים בריבוע את $x$ ורק אחר כך כופלים ב־$−1$: עבור $x = 3$ מקבלים $−9$.",
   "back": null
  },
  "a_from_point": {
   "name": "מציאת $a$ מנקודה",
   "tip": "מציבים את הנקודה: $8 = a · 2²$, ולכן $a = 8 : 4 = 2$.",
   "back": null
  },
  "no_extremum_parabola": {
   "name": "לכל פרבולה יש קיצון",
   "tip": "הקודקוד של כל פרבולה הוא נקודת קיצון: מינימום כאשר $a > 0$, מקסימום כאשר $a < 0$.",
   "back": null
  },
  "touch_point": {
   "name": "נקודת השקה",
   "tip": "כשהקודקוד על ציר $x$, הגרף נוגע בציר רק בקודקוד. בכל שאר הנקודות הוא באותו צד של הציר.",
   "back": null
  },
  "vertex_side": {
   "name": "קודקוד מעל הציר או מתחתיו",
   "tip": "אם הקודקוד מעל ציר $x$ והפרבולה פתוחה כלפי מעלה, הגרף לא מגיע לציר. כך גם כשהקודקוד מתחת והפרבולה פתוחה כלפי מטה.",
   "back": null
  },
  "k_as_yint": {
   "name": "$k$ אינו החיתוך עם ציר $y$",
   "tip": "$k$ הוא שיעור ה־$y$ של הקודקוד. את החיתוך עם ציר $y$ מוצאים בהצבת $x = 0$.",
   "back": null
  },
  "axis_diff": {
   "name": "ממוצע ולא חצי ההפרש",
   "tip": "ציר הסימטריה הוא ממוצע השורשים: $(1 + 5) : 2 = 3$, ולא $(5 − 1) : 2$.",
   "back": null
  },
  "coef_sign": {
   "name": "הסימן שייך למקדם",
   "tip": "המקדם כולל את הסימן שלפניו: ב־$2x² − 3x + 7$ המקדם $b = −3$.",
   "back": null
  },
  "abc_order": {
   "name": "מי הם $a$, $b$ ו־$c$",
   "tip": "ב־$ax² + bx + c$: $a$ הוא מקדם $x²$, $b$ מקדם $x$, ו־$c$ האיבר החופשי, שהוא גם החיתוך עם ציר $y$.",
   "back": null
  },
  "perim_all_sides": {
   "name": "היקף הוא סכום כל הצלעות",
   "tip": "ההיקף הוא סכום ארבע הצלעות. בדלתון: $2a + 2b$, כי יש שני זוגות של צלעות שוות.",
   "back": null
  },
  "bisect_half": {
   "name": "חוצה זווית",
   "tip": "חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות, כל אחת חצי מהזווית.",
   "back": null
  },
  "kite_perp": {
   "name": "אלכסוני הדלתון מאונכים",
   "tip": "בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה: הזווית ביניהם $90°$.",
   "back": "k_diag"
  },
  "pyth": {
   "name": "משפט פיתגורס",
   "tip": "במשולש ישר זווית: ניצב² + ניצב² = יתר². מחסרים כשמחפשים ניצב: $10² − 6² = 64$.",
   "back": null
  },
  "dist_add": {
   "name": "מרחק בין נקודות",
   "tip": "המרחק בין שתי נקודות הוא $√(Δx² + Δy²)$, ולא $Δx + Δy$.",
   "back": null
  },
  "height_is_median": {
   "name": "הגובה לבסיס הוא גם תיכון",
   "tip": "במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה את הבסיס, ולכן $BD = BC : 2$.",
   "back": "i_props"
  },
  "all_60": {
   "name": "שתי זוויות של $60°$",
   "tip": "אם שתי זוויות במשולש הן $60°$, גם השלישית $60°$, ולכן כל הצלעות שוות: המשולש שווה צלעות.",
   "back": null
  },
  "one_role": {
   "name": "קטע אחד, שני תפקידים",
   "tip": "כדי להוכיח שהמשולש שווה שוקיים צריך קטע אחד שממלא שני תפקידים: גובה ותיכון, גובה וחוצה זווית, או תיכון וחוצה זווית.",
   "back": null
  },
  "trap_iso_diag": {
   "name": "אלכסוני טרפז שווה שוקיים",
   "tip": "בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים, אבל הם לא חוצים זה את זה ולא בהכרח מאונכים.",
   "back": null
  },
  "leg_as_height": {
   "name": "השוק אינה הגובה",
   "tip": "הגובה מאונך לבסיסים. השוק משופעת, ולכן היא ארוכה מהגובה (אלא אם הטרפז ישר זווית).",
   "back": null
  },
  "par_not_rect": {
   "name": "תכונה של מלבן",
   "tip": "אלכסונים שווים וזוויות ישרות הם תכונות של מלבן, לא של כל מקבילית.",
   "back": null
  },
  "par_not_rhombus": {
   "name": "תכונה של מעוין",
   "tip": "אלכסונים מאונכים וצלעות שוות הם תכונות של מעוין, לא של כל מקבילית.",
   "back": null
  },
  "par_tests": {
   "name": "איך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית",
   "tip": "מספיק אחד מאלה: שני זוגות צלעות נגדיות מקבילים, או שווים; זוג צלעות נגדיות מקביל ושווה; האלכסונים חוצים זה את זה; זוגות הזוויות הנגדיות שוות.",
   "back": null
  },
  "par_area": {
   "name": "שטח מקבילית",
   "tip": "שטח מקבילית (וגם מעוין) הוא צלע כפול הגובה אליה, בלי חילוק ב־$2$.",
   "back": null
  },
  "vertex_order": {
   "name": "סדר הקודקודים",
   "tip": "במקבילית $ABCD$ הקודקודים מסודרים לפי הסדר, ו־$D = A + C − B$ (בכל שיעור בנפרד).",
   "back": null
  },
  "three_right": {
   "name": "שלוש זוויות ישרות",
   "tip": "אם במרובע שלוש זוויות ישרות, גם הרביעית ישרה: $360° − 270° = 90°$.",
   "back": null
  },
  "way_choice": {
   "name": "בחירת דרך הפתרון",
   "tip": "כש־$(ביטוי)² = מספר$ מוציאים שורש; כשאין איבר חופשי מוציאים גורם משותף; כשקל לפרק טרינום מפרקים; ואחרת משתמשים בנוסחת השורשים.",
   "back": null
  },
  "both_solutions": {
   "name": "יש פתרון נוסף",
   "tip": "למשוואה ריבועית יש לרוב שני פתרונות. בדקו כל אחד מהם מול תנאי השאלה, ופסלו רק פתרון שאינו מתאים לה.",
   "back": null
  },
  "domain_all": {
   "name": "כל המכנים",
   "tip": "בודקים כל מכנה בנפרד: כל ערך שמאפס אחד מהם נפסל.",
   "back": null
  },
  "domain_before_reduce": {
   "name": "תחום ההצבה לפני הצמצום",
   "tip": "את תחום ההצבה קובעים לפי השבר המקורי, לפני הצמצום: גם ערך שמאפס גורם שצומצם נפסל.",
   "back": null
  },
  "neg_base_power": {
   "name": "חזקה של מספר שלילי",
   "tip": "$(−2)⁴ = 16$, אבל $−2⁴ = −16$: בלי סוגריים החזקה חלה רק על $2$.",
   "back": null
  },
  "sqrt_of_square": {
   "name": "שורש של ריבוע",
   "tip": "$√(a²b) = a√b$ כאשר $a ≥ 0$: למשל $√50 = √(25 · 2) = 5√2$.",
   "back": null
  },
  "relative_speed": {
   "name": "מהירות בנסיעה באותו כיוון",
   "tip": "כשנוסעים באותו כיוון, המרחק ביניהם משתנה בהפרש המהירויות.",
   "back": null
  },
  "time_units": {
   "name": "יחידות זמן",
   "tip": "מרחק = מהירות × זמן, ואת הזמן כותבים בשעות: $30$ דקות הן $0.5$ שעה.",
   "back": null
  },
  "percent_base": {
   "name": "אחוז מאיזה מספר",
   "tip": "אחוז נחשב תמיד מהכמות שלפני השינוי: עלייה של $25%$ מ־$80$ היא $80 · 1.25 = 100$.",
   "back": null
  },
  "read_table": {
   "name": "קריאת הנתונים",
   "tip": "קראו שוב את הטבלה או את התרשים, ובדקו שהשתמשתם בשורה ובעמודה הנכונות.",
   "back": null
  },
  "abs_vs_local": {
   "name": "קיצון מוחלט",
   "tip": "נקודת קיצון מקומית היא הגבוהה (או הנמוכה) ביותר רק בסביבתה; קיצון מוחלט הוא הגבוה (או הנמוך) ביותר בכל הגרף.",
   "back": null
  },
  "no_extremum": {
   "name": "פונקציה בלי קיצון",
   "tip": "פונקציה שעולה (או יורדת) לכל אורכה אינה מחליפה כיוון, ולכן אין לה נקודת קיצון.",
   "back": null
  },
  "hshift_keeps_x": {
   "name": "הזזה אופקית משנה את שיעור $x$",
   "tip": "$f(x − 2)$ מזיזה את הגרף $2$ ימינה: כל נקודה $(a, b)$ עוברת ל־$(a + 2, b)$.",
   "back": null
  },
  "vshift_keeps_y": {
   "name": "הזזה אנכית משנה את שיעור $y$",
   "tip": "$f(x) + 2$ מזיזה את הגרף $2$ למעלה: כל נקודה $(a, b)$ עוברת ל־$(a, b + 2)$.",
   "back": null
  },
  "reflect_zeros": {
   "name": "שיקוף ונקודות האפס",
   "tip": "בשיקוף ביחס לציר $x$, $(a, b)$ עוברת ל־$(a, −b)$. נקודות על ציר $x$ נשארות במקומן.",
   "back": null
  },
  "similar_order": {
   "name": "התאמת הקודקודים",
   "tip": "ב־$△ABC ∼ △DEF$ הסדר קובע את ההתאמה: $A ↔ D$, $B ↔ E$, $C ↔ F$, ולכן $AB ↔ DE$.",
   "back": null
  }
 }
}