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+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:09.920
+¡Hola! Bienvenido a este curso de
+ecuaciones diferenciales. Mi nombre es Sergio y es para
+
+00:09.920 --> 00:13.960
+mí un placer volverlos a acompañar. Ya he
+tenido la oportunidad de acompañarlos en
+
+00:13.960 --> 00:19.920
+el curso de cálculo multivariable, álgebra
+lineal, matemáticas discretas, así que espero
+
+00:19.920 --> 00:25.580
+que disfruten este curso y que podamos
+aprender juntos. Es importante que sepas que para este
+
+00:25.580 --> 00:32.280
+curso vamos a trabajar con temas como
+integrales, derivadas, logaritmo natural, así que si
+
+00:32.280 --> 00:37.520
+no tienes muy claros estos conceptos,
+a pesar de que yo voy a tratar de explicártelos en
+
+00:37.520 --> 00:42.500
+cada clase que vayamos a verlos, te
+recomiendo el curso de cálculo para análisis de datos
+
+00:42.500 --> 00:48.360
+que tiene Platzi para ti, así que ve a
+chequearlo si no estás seguro que tengas estos conceptos
+
+00:48.360 --> 00:54.140
+claro. Y nada, darte la bienvenida. ¿Qué
+vamos a ver en este curso? Vamos a ver los
+
+00:54.140 --> 00:59.780
+fundamentos de ecuaciones diferenciales,
+para qué nos pueden servir las ecuaciones diferenciales,
+
+00:59.780 --> 01:04.560
+qué es una ecuación diferencial, qué
+significa solucionar una ecuación diferencial. Haremos
+
+01:04.560 --> 01:09.420
+todo un recorrido por todas las ecuaciones
+diferenciales de primer orden, de segundo
+
+01:09.420 --> 01:15.400
+orden y aprenderás a crear modelos
+matemáticos utilizando ecuaciones diferenciales. Y haremos
+
+01:15.400 --> 01:24.080
+una breve descripción de lo que es la
+transformada de Laplace. Así que sin más preámbulo te
+
+01:24.080 --> 01:29.340
+invito a nuestra primera clase, a nuestro
+primer módulo del curso de ecuaciones diferenciales.
+
+01:29.340 --> 01:54.860
+Bienvenido.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/01-Introducción al Curso/01-diapositivas-ecuaciones-diferenciales-5_b972419e-ce3d-4ad2-bf13-dc4ac8547753.pdf

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+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:09.200
+¡Hola! Bienvenidos a esta primera parte
+del curso de ecuaciones diferenciales.
+
+00:09.200 --> 00:13.280
+Vamos a ver lo que son los fundamentos de
+las ecuaciones diferenciales.
+
+00:13.280 --> 00:17.320
+En este módulo veremos para qué nos sirven
+las ecuaciones diferenciales,
+
+00:17.320 --> 00:22.360
+qué es una ecuación diferencial, qué
+significa resolver una ecuación diferencial,
+
+00:22.360 --> 00:28.840
+e inclusive vamos a hacer un pequeño
+recorderis de todos esos conceptos matemáticos que necesitas
+
+00:28.840 --> 00:31.480
+para resolver las ecuaciones diferenciales.
+
+00:31.480 --> 00:37.680
+¿Qué mejor que empezar sabiendo para qué
+nos sirven las ecuaciones diferenciales que con un ejemplo?
+
+00:37.680 --> 00:43.680
+Supongamos que tenemos una población de
+personas, una población en un determinado pueblo.
+
+00:43.680 --> 00:51.920
+Supongamos que tenemos 100 personas que
+habitan allí y que nacen 10 personas cada día.
+
+00:51.920 --> 00:54.320
+Esto puede ser
+verdad.
+
+00:54.320 --> 00:59.840
+Y supongamos que nosotros queremos saber
+cuántas personas hay después de 4 días.
+
+00:59.840 --> 01:01.440
+Muy sencillo,
+¿verdad?
+
+01:01.440 --> 01:06.640
+Simplemente tendríamos que multiplicar
+esos 4 días por 10 personas
+
+01:06.640 --> 01:11.960
+y yo podría decir que habrían 140 personas
+después de 4 días.
+
+01:11.960 --> 01:15.040
+Pero qué tan preciso es este modelo.
+
+01:15.040 --> 01:19.920
+Porque imagínate que ya no son 100
+personas sino que tenemos 1000 personas.
+
+01:19.920 --> 01:25.360
+Cuando hayan 1000 personas seguramente ya
+no habrán 10 personas que nacen por día
+
+01:25.360 --> 01:26.840
+sino que habrán muchas
+más.
+
+01:26.840 --> 01:34.840
+Es decir, a medida que yo tenga más gente,
+la tasa de natalidad empezará a incrementar con ella.
+
+01:34.840 --> 01:40.440
+Así que un modelo más óptimo, más preciso
+y que vamos a ver más adelante
+
+01:40.440 --> 01:43.080
+es haciendo la siguiente suposición,
+
+01:43.080 --> 01:48.320
+que el crecimiento es proporcional al
+número de personas que yo tengo.
+
+01:48.320 --> 01:51.880
+En este caso vemos que hay 100 personas y
+que nacen 10.
+
+01:51.880 --> 01:57.880
+Si yo tengo 200 sería coherente o sería
+más preciso por lo menos decir que
+
+01:57.880 --> 02:02.560
+cuando yo tenga 200 personas habrán 20
+personas que nacen.
+
+02:02.560 --> 02:07.120
+Y empecemos a calcular cuántas personas
+habrían después de los 4 días
+
+02:07.120 --> 02:11.080
+con base en esta nueva suposición que
+nosotros estamos haciendo.
+
+02:11.080 --> 02:15.160
+En el primer día nosotros teníamos 100
+personas.
+
+02:15.160 --> 02:20.720
+Al principio, después de un día ya
+tendríamos 110 personas, ¿verdad?
+
+02:20.720 --> 02:23.840
+Pero la tasa de crecimiento esta vez
+incrementará
+
+02:23.840 --> 02:28.200
+porque estábamos hablando 100 con 10,
+es decir una décima parte.
+
+02:28.200 --> 02:32.440
+Ahora, ¿cuál será esa décima parte de
+110?
+
+02:32.440 --> 02:35.520
+Ya no será 10 sino que será 11 personas.
+
+02:35.520 --> 02:44.320
+Entonces para el segundo día ya no
+tendremos 120 sino 110 más esas 11 que ahora están creciendo.
+
+02:44.320 --> 02:46.760
+Y ya tendremos
+121.
+
+02:46.760 --> 02:50.120
+Ahora la tasa de crecimiento incrementará.
+
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+Ahora será el 10% de ese
+121.
+
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+Y tendremos un crecimiento de
+12.1.
+
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+Así que para el tercer día ya tendremos
+133 personas.
+
+03:03.160 --> 03:07.400
+Y nuevamente recalculamos esa tasa de
+crecimiento del 10%
+
+03:07.400 --> 03:12.240
+y nos da que para el cuarto día tendríamos
+147 personas.
+
+03:12.240 --> 03:14.120
+Esto sería más
+preciso.
+
+03:14.120 --> 03:21.080
+Pero déjenme preguntarles qué pasaría si
+me pidieran cuántas personas habrá después de un año,
+
+03:21.080 --> 03:25.680
+después de dos años, después de por
+ejemplo tres meses.
+
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+Sería muy desgastante hacer todo este
+cálculo una y otra vez para cada situación que me pidan.
+
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+Así que todo eso lo podremos modelar a
+través de una ecuación diferencial
+
+03:37.720 --> 03:43.640
+con la cual veremos que nos podrá dar
+todos estos datos haciendo una sola operación.
+
+03:43.640 --> 03:50.360
+Ahora veamos otro ejemplo en el cual
+podríamos aplicar las ecuaciones diferenciales.
+
+03:50.360 --> 03:57.920
+Supongamos que yo saco una pizza del horno
+y que esta está a 80°C.
+
+03:57.920 --> 03:58.840
+¿De
+acuerdo?
+
+03:58.840 --> 04:06.080
+Por otro lado, en otra parte tenemos una
+pizza que está a solo 40°C
+
+04:06.080 --> 04:11.720
+y que la temperatura ambiente, es decir,
+la temperatura en el exterior afuera del horno,
+
+04:11.720 --> 04:13.720
+es
+20°C.
+
+04:13.720 --> 04:20.160
+Ahora, supongamos que yo mido la
+temperatura de estas dos pizzas después de 10 minutos,
+
+04:20.160 --> 04:22.160
+después de un intervalo de
+tiempo.
+
+04:22.160 --> 04:29.520
+Y yo veo que la temperatura de esta pizza
+ha disminuido de 80°C a 50°C.
+
+04:29.520 --> 04:32.840
+Es decir, hay una diferencia de 30°C.
+
+04:32.840 --> 04:36.680
+Pero ¿cuál será la temperatura de la otra
+pizza?
+
+04:36.680 --> 04:40.520
+¿Será que también ha bajado
+30°C?
+
+04:40.520 --> 04:45.120
+¿Será coherente decir que esta pizza está
+a 10°C,
+
+04:45.120 --> 04:49.280
+que está aún inclusive más fría que el
+ambiente que la rodea?
+
+04:49.280 --> 04:51.280
+No tiene sentido,
+¿verdad?
+
+04:51.280 --> 04:57.760
+Y esto es porque hay una ley de
+enfriamiento que dice que la velocidad de enfriamiento
+
+04:57.760 --> 05:03.040
+es proporcional a la diferencia de
+temperaturas que existen entre ellas.
+
+05:03.040 --> 05:07.360
+Y es otro ejemplo de lo que podríamos
+hacer con ecuaciones diferenciales.
+
+05:07.360 --> 05:12.520
+Para resumir esta clase, lo que nos
+permiten las ecuaciones diferenciales
+
+05:12.520 --> 05:16.040
+es modelar fenómenos que existen en la
+realidad,
+
+05:16.040 --> 05:20.160
+que dependen del tiempo y que dependen de
+otras variables.
+
+05:20.160 --> 05:24.240
+Esto lo vamos a ver con más claridad en la
+próxima clase en la que veremos
+
+05:24.240 --> 05:28.760
+qué es una ecuación diferencial y qué
+exactamente estoy relacionando entre sí.
+
+05:28.760 --> 05:38.760
+Nos vemos en la próxima
+clase.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/02-Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales/01-diapositivas-ecuaciones-diferenciales-5_4c55951b-477e-4224-a47c-4a3f62e76a14.pdf

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a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/02-Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales/02-Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Conceptos Básicos y Ejemplos.vtt

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+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:08.720
+Ya sabes qué tipo de problemas podemos
+modelar utilizando ecuaciones diferenciales.
+
+00:08.720 --> 00:17.000
+Vimos que nos sirve para representar
+problemas que cambian con el tiempo y que tienen alguna dependencia con otras variables.
+
+00:17.000 --> 00:20.240
+Pues eso es una ecuación diferencial.
+
+00:20.240 --> 00:27.680
+Vamos a hablar de que una ecuación
+diferencial es una igualdad en la cual yo relaciono una función,
+
+00:27.680 --> 00:38.080
+que esa función por lo general la podemos
+ver expresada con estos términos y de x, y, f de t, las funciones que hemos estado acostumbradas.
+
+00:38.080 --> 00:41.080
+También relaciona las
+variables.
+
+00:41.080 --> 00:46.880
+¿Cuáles son las variables? Por ejemplo
+cuando tenemos y de x estamos hablando de que esa variable es x,
+
+00:46.880 --> 00:53.680
+estamos hablando de que esa variable puede
+ser el tiempo, si vemos allá arriba f de t, lo que estamos hablando es una función
+
+00:53.680 --> 01:00.680
+que depende del tiempo o cualquier otra
+letra que utilicemos para representar la variable con la que estemos trabajando.
+
+01:00.680 --> 01:09.800
+Y lo más importante de una ecuación
+diferencial es que me relaciona la función, las variables, pero también me relaciona las derivadas.
+
+01:09.800 --> 01:16.240
+Es decir, cómo esa función, cómo esas
+variables están cambiando con el tiempo.
+
+01:16.240 --> 01:22.680
+Que era lo que hablábamos de mi
+crecimiento poblacional, por ejemplo decíamos que mi población crece con el tiempo,
+
+01:22.680 --> 01:29.680
+que por ejemplo esa pizza recién sacada
+del horno está cambiando su temperatura con el tiempo,
+
+01:29.680 --> 01:34.080
+entonces me está representando una derivada.
+
+01:34.080 --> 01:42.480
+Que si recordamos de nuestro curso de
+matemáticas básicas, representa una razón de cambio, una rapidez de cambio,
+
+01:42.480 --> 01:50.480
+y por ejemplo cuando hablamos de f de t,
+estamos hablando de que cambia con el tiempo o con respecto a otra variable.
+
+01:50.480 --> 01:56.480
+Allí vemos cómo podemos representar las
+derivadas en una ecuación o en una igualdad,
+
+01:56.480 --> 02:02.480
+por lo general se representa con ese
+apóstrofe, por lo general la podemos representar como dy de x,
+
+02:02.480 --> 02:07.680
+o con dos apóstrofes que me estaría
+indicando una segunda derivada.
+
+02:07.680 --> 02:17.680
+Entonces la ecuación diferencial es una
+igualdad, es una ecuación que me relaciona estas tres aspectos en una sola ecuación.
+
+02:17.680 --> 02:24.480
+Vamos a ver algunos ejemplos de ecuaciones
+diferenciales, por ejemplo el que tenemos allí en pantalla,
+
+02:24.480 --> 02:30.480
+es una ecuación diferencial porque tengo
+la segunda derivada de y con respecto a x,
+
+02:30.480 --> 02:38.880
+más la primera derivada de y con respecto a x,
+más la misma función, más una relación con mi variable igual a 0,
+
+02:38.880 --> 02:43.880
+es decir tengo una igualdad donde veo
+todas estas tres variables.
+
+02:43.880 --> 02:49.880
+Es importante mencionarte que no tienen
+que aparecer todas las variables, puede simplemente aparecer la primera derivada,
+
+02:49.880 --> 02:56.880
+una variable o solo la primera derivada,
+pero en general esta es la forma en la que va a aparecer una ecuación diferencial.
+
+02:56.880 --> 03:04.880
+Como esta que tenemos allí en nuestras
+pantallas, simplemente una derivada que en este caso la representamos con el apóstrofe,
+
+03:04.880 --> 03:14.880
+igual a 4y más x, acá por ejemplo estamos
+hablando de f de x, nuevamente representamos su derivada más la variable,
+
+03:14.880 --> 03:23.880
+acá tenemos otro ejemplo de una ecuación
+diferencial, donde utilizamos la segunda derivada, la primera derivada,
+
+03:23.880 --> 03:31.880
+o por ejemplo en esta ecuación que vemos allí,
+vemos que es la derivada de x con respecto al tiempo.
+
+03:31.880 --> 03:39.880
+En las que vimos anteriormente, por
+ejemplo en la primera, la variable sobre la cual estamos derivando es la x,
+
+03:39.880 --> 03:46.880
+en la segunda es la x, en la tercera es la x,
+pero vemos que en esa última que hemos colocado es el tiempo.
+
+03:46.880 --> 03:53.880
+Y acá hay dos conceptos que quiero que nos
+queden completamente claros antes de poder continuar,
+
+03:53.880 --> 04:00.880
+y es ¿cuál es la variable dependiente y
+cuál es la variable independiente en una ecuación?
+
+04:00.880 --> 04:07.880
+Siempre que nosotros estemos derivando con
+respecto a una función, esa va a ser mi variable independiente.
+
+04:07.880 --> 04:15.880
+Para tener este concepto claro, por
+ejemplo miremos esta ecuación, y es igual a 5x más 1.
+
+04:15.880 --> 04:25.880
+¿Qué pasa si x es igual a 1? Pues que y
+toma otro valor, es decir, y depende de x en cierta forma.
+
+04:25.880 --> 04:33.880
+Si x es igual a 2, y toma otro valor,
+entonces x yo puedo decir que es independiente,
+
+04:33.880 --> 04:39.880
+porque ella puede tomar valores y
+dependiendo de esos valores de x, es que depende de y,
+
+04:39.880 --> 04:47.880
+por lo tanto yo puedo decir que y es mi
+variable dependiente y que x es mi variable independiente.
+
+04:47.880 --> 04:58.880
+De la misma forma si yo tengo una ecuación
+de este estilo, x va a ser mi variable independiente y y va a ser mi variable dependiente.
+
+04:58.880 --> 05:02.880
+Esto nos va a servir mucho para todo lo
+que vamos a ver en este curso,
+
+05:02.880 --> 05:10.880
+y en general para entender más los
+conceptos como las derivadas, las ecuaciones y las igualdades.
+
+05:10.880 --> 05:17.880
+De acuerdo, vamos a ver ahora qué tipos de
+ecuaciones diferenciales podemos encontrar.
+
+05:17.880 --> 05:27.880
+El primer tipo de ecuación diferencial y
+en el cual vamos a concentrarnos en este curso son las ecuaciones diferenciales ordinarias.
+
+05:27.880 --> 05:32.880
+¿Cuál es la característica de estas
+ecuaciones? Que tienen sólo una variable independiente,
+
+05:32.880 --> 05:35.880
+como las que hemos visto anteriormente.
+
+05:35.880 --> 05:48.880
+¿Por qué? Porque la variable independiente
+aquí es nuestra x, es la variable con la cual estamos sacando la derivada.
+
+05:48.880 --> 05:57.880
+Por ejemplo, esta de allí, en esta
+ecuación que tenemos allí, también nuestra variable independiente es x.
+
+05:57.880 --> 06:06.880
+Hay un segundo tipo de ecuación, o por
+ejemplo en esta ecuación que tenemos aquí, en este caso nuestra variable dependiente es y,
+
+06:06.880 --> 06:11.880
+y nuestra variable independiente es t,
+que ya sabemos cómo identificarlas.
+
+06:11.880 --> 06:18.880
+Ahora, hay otro tipo de ecuaciones
+diferenciales que no vamos a estudiar en este curso,
+
+06:18.880 --> 06:22.880
+pero que es importante que sepan que
+existen y es las ecuaciones diferenciales parciales.
+
+06:22.880 --> 06:29.880
+¿Qué significa esto? Que existen más,
+más de una variable independiente.
+
+06:29.880 --> 06:37.880
+Por ejemplo, si estudiamos el curso de
+cálculo multivariable, vimos que hay ecuaciones que me relacionan varias variables.
+
+06:37.880 --> 06:41.880
+Si no has tomado el curso, te invito a que
+lo tomes ya mismo.
+
+06:41.880 --> 06:47.880
+Por ejemplo, el volumen de un cilindro.
+Nosotros sabemos que es pi r cuadrado por h.
+
+06:47.880 --> 06:55.880
+Entonces vemos que ahí el volumen depende
+de dos variables, del radio y de la altura del volumen.
+
+06:55.880 --> 07:04.880
+Es decir, yo tengo una función que depende
+de r y de h, y yo por ejemplo podría tener una ecuación diferencial de este estilo,
+
+07:04.880 --> 07:13.880
+donde yo tengo la función a medida que
+cambia con respecto a r, o la función que cambia con respecto a mi altura.
+
+07:13.880 --> 07:20.880
+Y yo podría tener todas estas variables,
+todos estos componentes relacionados en una sola igualdad.
+
+07:20.880 --> 07:29.880
+Por ejemplo, esta de aquí. Vemos que
+tendríamos dos variables independientes en este caso, que sería x y que sería z.
+
+07:29.880 --> 07:39.880
+Y con esto hemos culminado lo que es una
+ecuación diferencial y cuáles son los tipos de ecuaciones diferenciales que podemos encontrar.
+
+07:39.880 --> 07:46.880
+En la próxima clase veremos qué es el orden,
+cómo identificar el orden de una ecuación diferencial,
+
+07:46.880 --> 07:51.880
+y qué es la linealidad que podemos
+encontrar en una ecuación diferencial.
+
+07:51.880 --> 08:11.880
+Así que los invito a tomar la próxima clase.
+Muchas gracias.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/02-Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales/02-diapositivas-ecuaciones-diferenciales_4942c69a-fb9e-4ee4-aa44-56a67f5891d4.pdf

@@ -0,0 +1,3 @@
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a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/02-Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales/03-Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales Orden y Linealidad.vtt

@@ -0,0 +1,358 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:09.380
+Ya vimos que hay diferentes tipos de
+ecuaciones diferenciales dependiendo del número de variables
+
+00:09.380 --> 00:15.140
+independientes que tengan. Las ecuaciones
+diferenciales también las podemos clasificar
+
+00:15.140 --> 00:21.060
+según su orden y según la linealidad que
+éstas tengan. Vamos a ver primero qué es
+
+00:21.060 --> 00:27.140
+el orden. ¿Qué es el orden de una ecuación
+diferencial? Simplemente hace alusión a la
+
+00:27.140 --> 00:33.140
+máxima derivada que aparezca en la
+ecuación diferencial. Ya vimos que la ecuación diferencial
+
+00:33.140 --> 00:38.340
+relaciona sus derivadas, sus variables y
+la función, así que simplemente será basarnos
+
+00:38.340 --> 00:42.900
+en cuál es la máxima derivada que
+encontramos en la ecuación diferencial. Por ejemplo, aquí
+
+00:42.900 --> 00:48.820
+tenemos tres casos. Quiero que miren cada
+uno de ellos, identifiquen la derivada de
+
+00:48.820 --> 00:54.500
+mayor valor en cada uno de ellos. Vemos
+que en el primer caso tenemos la segunda derivada
+
+00:54.500 --> 01:00.180
+de Y con respecto a X, la primera derivada,
+la función y una variable. Así que la segunda
+
+01:00.180 --> 01:06.660
+derivada es la mayor derivada que encontramos,
+por lo tanto, ese es el orden de mi función.
+
+01:06.660 --> 01:14.100
+En la siguiente ecuación diferencial que
+vemos allí, vemos que yo tengo una primera derivada
+
+01:14.100 --> 01:21.260
+y es la única que tengo. Por lo tanto,
+el orden de esta ecuación será 1. Y en el tercer
+
+01:21.260 --> 01:27.660
+caso vemos allí esos tres apóstrofes que
+me indican una tercera derivada y es la mayor
+
+01:27.660 --> 01:33.260
+de las que encontramos allí, así que el
+orden de esta ecuación diferencial será
+
+01:33.260 --> 01:40.740
+de orden 3. Y ahora vamos a ver qué es la
+linealidad, la linealidad de una función.
+
+01:40.740 --> 01:45.540
+Si recordamos de nuestros conceptos de
+matemáticas básicas, una ecuación lineal es, por ejemplo,
+
+01:45.540 --> 01:51.020
+la ecuación de una recta, porque encuentro
+las variables sin coeficientes, sin exponentes,
+
+01:51.020 --> 01:58.140
+sin cosenos, sin senos. Así que la
+linealidad de una ecuación diferencial vamos a basarnos
+
+01:58.140 --> 02:07.220
+en la variable dependiente, es decir,
+la derivada de Y de X, la derivada, la variable Y y no
+
+02:07.220 --> 02:12.620
+nos va a importar la variable independiente,
+no nos va a importar la variable X. Si yo
+
+02:12.620 --> 02:21.020
+veo que mi variable dependiente, es decir,
+la Y está sin ningún exponencial, sin ningún
+
+02:21.020 --> 02:27.100
+al cuadrado, sin ningún tipo de modificación,
+yo digo que mi ecuación es lineal. ¿A qué
+
+02:27.100 --> 02:31.460
+me refiero? Veamos, por ejemplo, esta
+ecuación que tenemos allí. Vemos que la segunda derivada
+
+02:31.460 --> 02:36.220
+aparece sola, vemos que la primera
+derivada también aparece sola, mi función aparece
+
+02:36.220 --> 02:43.300
+sola, por lo tanto yo digo que es lineal.
+Pero, ¿qué pasa, por ejemplo, en esta función
+
+02:43.300 --> 02:50.360
+que yo tengo acá? Esa Y, que es mi
+variable dependiente, aparece con coseno y en otra
+
+02:50.360 --> 02:55.100
+aparece al cubo, simplemente con que ya
+aparezca modificada alguna de estas maneras, yo ya
+
+02:55.100 --> 03:02.300
+puedo decir que mi ecuación es no lineal,
+porque ya se comporta de una manera diferente.
+
+03:02.300 --> 03:08.620
+Veamos, por ejemplo, este caso, yo tengo
+la segunda derivada Y que aparece solita, la
+
+03:08.620 --> 03:14.180
+función que aparece sola, sin ningún tipo
+de modificación, tengo X que aparece al cubo,
+
+03:14.180 --> 03:19.340
+pero X es mi variable independiente,
+entonces no tiene importancia para la linealidad de
+
+03:19.340 --> 03:26.420
+la ecuación, así que yo puedo decir que
+esta es completamente lineal. Y veamos ahora
+
+03:26.420 --> 03:33.900
+este ejemplo, aparece mi primera derivada
+solita, aparece mi función sola, aparece
+
+03:33.900 --> 03:38.940
+la variable 4X, pero vemos que hay un
+término allí exponencial que me relaciona a esa variable
+
+03:38.940 --> 03:46.580
+dependiente. Como ya tengo una exponencial,
+hace que mi función se comporte de otra manera
+
+03:46.580 --> 03:53.780
+que es no lineal, así que ya yo puedo
+decir que esta ecuación es no lineal. Así que
+
+03:53.780 --> 03:58.380
+ya sabes clasificar funciones dependiendo
+del número de variables independientes que
+
+03:58.380 --> 04:06.380
+tengan, dependiendo del orden y
+dependiendo de la linealidad de la función. ¿De acuerdo?
+
+04:06.380 --> 04:13.660
+Pero ¿qué significa solucionar una
+ecuación diferencial? Vamos a ver qué significa solucionar
+
+04:13.660 --> 04:19.140
+una ecuación diferencial y un término muy
+importante que van a ser los valores iniciales.
+
+04:19.140 --> 04:25.140
+Cuando yo tenía una ecuación normal,
+de las que trabajábamos en matemáticas básicas,
+
+04:25.140 --> 04:31.620
+solucionar una ecuación significaba
+encontrar ese número que me satisfaciera la ecuación.
+
+04:31.620 --> 04:37.900
+Por ejemplo, si yo tenía Y más 5 igual a 2,
+yo sabía que mi Y era igual a menos 3.
+
+04:37.900 --> 04:45.140
+Yo encontraba un número por el cual esa
+igualdad era cierta. Cuando vamos a hablar de ecuaciones
+
+04:45.140 --> 04:51.380
+diferenciales, yo no voy a buscar un número,
+sino voy a buscar una función. O es más,
+
+04:51.380 --> 04:58.780
+voy a buscar un conjunto de funciones que
+me satisfagan esa igualdad, esa ecuación.
+
+04:58.780 --> 05:05.220
+Por ejemplo, yo tengo la siguiente
+ecuación diferencial que vemos allí. Y' es decir,
+
+05:05.220 --> 05:13.340
+la derivada de Y con respecto a X, menos
+6X al cuadrado igual a 0. Y vamos a ver si esta
+
+05:13.340 --> 05:19.020
+es una solución o no, si esta función que
+yo tengo allí es una solución o no de mi
+
+05:19.020 --> 05:24.660
+ecuación diferencial. ¿Cómo yo sé si es
+una solución o no? Pues, vamos a la ecuación
+
+05:24.660 --> 05:30.260
+y vemos que yo tengo que hallar la
+derivada de Y. Así que hallemos la derivada de Y.
+
+05:30.260 --> 05:35.740
+Por propiedades de la derivada, yo sé que
+tengo que bajar el exponente 3 por 2, 6, y
+
+05:35.740 --> 05:41.540
+que el grado del exponente que yo tengo allí,
+X a la 3, va a bajar 1. Por lo tanto, la derivada
+
+05:41.540 --> 05:49.820
+de Y va a ser 6X al cuadrado. Y si yo
+reemplazo ese 6X al cuadrado en mi ecuación, yo tengo
+
+05:49.820 --> 05:57.500
+lo siguiente. 6X al cuadrado menos 6X al
+cuadrado igual a 0. Así que se cumplió la igualdad
+
+05:57.500 --> 06:03.860
+y por lo tanto yo puedo decir que 2X a la
+3 es una solución de mi ecuación, es una
+
+06:03.860 --> 06:08.780
+función. Yo hallé la función que satisface
+mi ecuación. Pero, ¿qué pasa por ejemplo
+
+06:08.780 --> 06:15.700
+si yo quisiera ver si esta Y también es
+una solución de mi ecuación? En este caso tengo
+
+06:15.700 --> 06:26.800
+2X a la 3 más 3. Miremos si esta es una
+solución o no. Hallemos la derivada de esa ecuación.
+
+06:26.800 --> 06:34.100
+Si hacemos nuestro análisis, la derivada
+de 2X a la 3 es 6X al cuadrado y la derivada
+
+06:34.100 --> 06:41.640
+de una constante es 0. Así que nuevamente
+yo tendría la misma derivada. Y si yo reemplazara
+
+06:41.640 --> 06:46.980
+mi ecuación, me daría cuenta que también
+es una solución de mi sistema. ¿Qué pasa
+
+06:46.980 --> 06:53.460
+si yo calculo la derivada para esta
+ecuación que yo tengo allí? Nuevamente tendría la
+
+06:53.460 --> 06:59.780
+misma solución. Así que también tendría
+esta solución. Inclusive si el coeficiente
+
+06:59.780 --> 07:04.780
+fuera negativo, también sería una solución
+de mi ecuación diferencial porque todas cumplen
+
+07:04.780 --> 07:11.980
+con el requisito. Así que la primera solución,
+la segunda solución, la tercera solución,
+
+07:11.980 --> 07:17.620
+yo podría decir que tengo una solución
+general de mi ecuación diferencial que va a estar
+
+07:17.620 --> 07:25.220
+representada por 2X a la 3 más una constante.
+Y esa constante puede ser cualquier valor
+
+07:25.220 --> 07:32.580
+porque ya sabemos que la derivada de esa
+constante va a ser 0. Y por último, terminamos esta
+
+07:32.580 --> 07:38.980
+clase mirando lo que es el valor inicial.
+En ciertos problemas, en ciertas condiciones,
+
+07:38.980 --> 07:46.420
+yo tengo que, por ejemplo, tengo una
+ecuación diferencial pero tengo una condición. Por
+
+07:46.420 --> 07:50.820
+ejemplo, supongamos que yo tengo la misma
+ecuación de allí pero yo tengo la condición
+
+07:50.820 --> 07:58.420
+de que la función evaluada en 0 es igual a 2.
+Y probemos la primera solución que yo
+
+07:58.420 --> 08:05.140
+di, esa que tenemos allá a nuestra izquierda.
+Para evaluar Y en 0 igual a 2, simplemente
+
+08:05.140 --> 08:11.100
+tendremos que reemplazar nuestra X, que es
+nuestra variable independiente, por 0. Y miremos
+
+08:11.100 --> 08:18.340
+qué nos da. Si yo reemplazo 2X a la 3 por 0,
+me va a dar 0, que es diferente de 2, por
+
+08:18.340 --> 08:26.180
+lo tanto, no estoy cumpliendo esa
+condición inicial. Pero, ¿qué pasa si yo, por ejemplo,
+
+08:26.180 --> 08:32.740
+evaluara este caso? Yo tengo que mi
+solución es 2X a la 3 más 2, simplemente vuelvo a
+
+08:32.740 --> 08:41.140
+reemplazar X por 0 y yo tengo que al final
+me dará 2. Por lo tanto, la solución de
+
+08:41.140 --> 08:48.420
+esa ecuación diferencial será 2X a la 3 más 2.
+Es decir, los valores iniciales nos
+
+08:48.420 --> 08:53.060
+permiten encontrar soluciones específicas.
+Si yo no tengo valores iniciales, encontraré
+
+08:53.060 --> 08:58.900
+soluciones generales, un conjunto de
+funciones que me satisfacen la ecuación, pero las condiciones
+
+08:58.900 --> 09:07.060
+iniciales me acotan el problema y me
+permiten identificar 1, 2 o un número limitado de
+
+09:07.060 --> 09:13.740
+soluciones. Y con eso hemos concluido lo
+que son los fundamentos de las ecuaciones diferenciales.
+
+09:13.740 --> 09:20.700
+Ya sabes qué tipo de problemas vamos a ver,
+ya sabes cómo clasificar una ecuación diferencial,
+
+09:20.700 --> 09:26.180
+ya sabes el orden y la linealidad. ¿Qué
+significa resolver una ecuación diferencial?
+
+09:26.180 --> 09:31.660
+Solo nos queda hacer un pequeño repaso de
+conceptos claves que nos servirán para entrar
+
+09:31.660 --> 09:37.660
+al siguiente módulo. Nos vemos en la
+siguiente clase.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/02-Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales/03-diapositivas-ecuaciones-diferenciales_71d19cc6-7879-4487-96b3-0c3260fcc4ae.pdf

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:7973acd8c0393c987238fae11738eebb47c9541620ac627b8ffb5f3be18eddf5
+size 2505789

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/02-Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales/04-Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:c80eb1955bedb92ae3b739dc90975be822a88358166f45018eb801b8e917cde9
+size 72527644

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/02-Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales/04-Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden.vtt

@@ -0,0 +1,288 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:12.000
+Ya tenemos todos los fundamentos de
+ecuaciones diferenciales para adentrarnos en lo que es la solución de ecuaciones diferenciales de primer orden.
+
+00:12.000 --> 00:19.500
+Sin embargo, antes quiero que realicemos
+algunos conceptos básicos, mínimos, sobre derivadas integrales,
+
+00:19.500 --> 00:28.500
+sobre potencias con mismas bases y sobre
+propiedades del logaritmo natural que vamos a estar utilizando constantemente a lo largo de todo lo que se viene.
+
+00:28.500 --> 00:38.000
+Sin embargo, si tú quisieras profundizar
+en todo lo que son las derivadas integrales y ver muchos más conceptos básicos sobre matemáticas,
+
+00:38.000 --> 00:43.500
+te recomiendo el curso de cálculo para
+análisis de datos que tenemos en Platzi para ti.
+
+00:43.500 --> 00:45.500
+Así que,
+chequéalo.
+
+00:45.500 --> 00:50.000
+Sin embargo, vamos acá con este pequeño
+recorderiz que tenemos para ti.
+
+00:50.000 --> 00:54.500
+Vamos a ver primero la relación derivada
+integral.
+
+00:54.500 --> 01:00.500
+Vamos a ver, por ejemplo, si yo tengo mi
+función y igual a 3x cuadrada,
+
+01:00.500 --> 01:05.500
+miremos cuál es la derivada y la integral
+de esta función.
+
+01:05.500 --> 01:15.500
+La derivada no es más que bajar el
+exponente 2 que tenemos, multiplicarlo por el coeficiente que está acompañando mi variable, me quedaría 6,
+
+01:15.500 --> 01:24.000
+y a este x a la 2 le vamos a restar una
+unidad al, es decir, 2 menos 1.
+
+01:24.000 --> 01:26.500
+Y acá nos quedaría simplemente
+x.
+
+01:26.500 --> 01:29.000
+Y esa sería la derivada de mi función.
+
+01:29.000 --> 01:31.500
+Ahora, ¿cuál sería la
+integral?
+
+01:31.500 --> 01:34.500
+La integral de 3x
+cuadrada.
+
+01:34.500 --> 01:39.500
+Entonces, la integral, vamos a hacer el
+proceso contrario.
+
+01:39.500 --> 01:46.500
+A esta x le vamos a agregar una unidad,
+el 3 lo podemos sacar de la integral, así que nos quedaría afuera.
+
+01:46.500 --> 01:58.000
+Al x le vamos a agregar una unidad, es decir,
+2 más 1, 3, y lo vamos a dividir sobre este número que hemos hallado aquí, sobre el 2 más 1, 3.
+
+01:58.000 --> 02:03.500
+Así que la integral de esta función sería
+x al cubo.
+
+02:03.500 --> 02:08.500
+Y ya tenemos lo que es mi integral y mi
+derivada.
+
+02:08.500 --> 02:11.500
+Pero, ¿cuál es la relación derivada
+integral?
+
+02:11.500 --> 02:19.000
+Supongamos que yo tengo la derivada 6 a la
+x y que yo desconozco mi función.
+
+02:19.000 --> 02:20.500
+Yo desconozco mi
+función.
+
+02:20.500 --> 02:24.500
+Miremos qué es la integral de esta 6 a la x.
+
+02:24.500 --> 02:27.500
+¿Cuál es la integral de 6 a la
+x?
+
+02:27.500 --> 02:31.000
+Vamos a utilizar el mismo procedimiento
+que utilizamos arriba.
+
+02:31.000 --> 02:39.500
+Le vamos a sumar un exponente, en este
+caso es como si tuviéramos 6x a la 1, así que nos queda 6x al cuadrado sobre 2.
+
+02:39.500 --> 02:45.500
+Y si yo divido 6 entre 2, me queda el 3.
+
+02:45.500 --> 02:49.500
+Es decir, me queda 3x al
+cuadrado.
+
+02:49.500 --> 02:54.500
+Quiero que observemos que me da mi función
+original.
+
+02:54.500 --> 03:00.000
+Ahora, ¿qué pasa si yo derivo lo que era
+la integral de mi función?
+
+03:00.000 --> 03:07.500
+Derivemos x a la 3, simplemente baja el 3,
+me queda 3x,
+
+03:07.500 --> 03:15.500
+y le resto un exponente a ese 3, una
+unidad a este 3 que yo tenía acá y me queda 3x al cuadrado.
+
+03:15.500 --> 03:17.500
+¿Qué he
+hallado?
+
+03:17.500 --> 03:20.500
+Nuevamente he hallado mi
+función.
+
+03:20.500 --> 03:22.500
+¿Esto qué nos quiere
+decir?
+
+03:22.500 --> 03:29.500
+Que si yo tengo la derivada de una función,
+yo integro para obtener esa función original.
+
+03:29.500 --> 03:34.500
+Y si yo tengo la integral de mi función,
+yo derivo para obtener mi función.
+
+03:34.500 --> 03:39.500
+Es decir, son como operaciones que se
+complementan entre sí.
+
+03:39.500 --> 03:42.500
+Si yo tengo la derivada, integro y obtengo
+mi función.
+
+03:42.500 --> 03:45.500
+Y si tengo mi integral, yo derivo para
+obtener mi función.
+
+03:45.500 --> 03:47.500
+¿Vale? Súper
+claro.
+
+03:47.500 --> 03:49.500
+Potencias con mismas bases, muy sencillo.
+
+03:49.500 --> 03:56.500
+Simplemente si yo tengo dos potencias que
+están con la misma base,
+
+03:56.500 --> 03:59.500
+por ejemplo acá, x a la 3 por x a la 2,
+
+03:59.500 --> 04:05.500
+simplemente voy a sumar los exponentes que
+tengan esas bases.
+
+04:05.500 --> 04:14.500
+Por ejemplo, y a la 3 y a la 2,
+simplemente yo voy a sumar las bases.
+
+04:14.500 --> 04:21.500
+Y de la misma forma si yo tengo división
+entre potencias, 3 y 2,
+
+04:21.500 --> 04:24.500
+lo que voy a hacer es restar las bases.
+
+04:24.500 --> 04:28.500
+3 menos 2 nos quedaría simplemente x.
+
+04:28.500 --> 04:32.500
+Y acá también hay una cosa que necesitamos
+tener completamente claro.
+
+04:32.500 --> 04:37.500
+Es que si yo tengo, por ejemplo, x a la
+menos 1,
+
+04:37.500 --> 04:41.500
+es lo mismo que decir que yo tengo 1 sobre x.
+
+04:41.500 --> 04:47.500
+O si yo tengo e a la menos 2, es lo mismo
+que decir que yo tengo 1 sobre e a la 2.
+
+04:47.500 --> 04:52.500
+Para que tengamos claro cómo trabajamos
+con exponentes.
+
+04:52.500 --> 04:57.500
+Y lo último que necesitamos saber antes de
+adentrarnos en nuestro estudio de ecuaciones diferenciales,
+
+04:57.500 --> 05:01.500
+es algunas propiedades del logaritmo natural.
+
+05:01.500 --> 05:11.500
+Por ejemplo, digamos que yo tengo
+logaritmo natural de 3 es igual a 2x.
+
+05:11.500 --> 05:15.500
+¿Cómo yo puedo quitar ese logaritmo
+natural?
+
+05:15.500 --> 05:20.500
+Yo puedo poner la exponencial a ambos
+lados de mi ecuación.
+
+05:20.500 --> 05:27.500
+Es decir, e a la logaritmo natural de 3 es
+igual a e a la 2x.
+
+05:27.500 --> 05:33.500
+Y la exponencial con el logaritmo natural
+son propiedades inversas.
+
+05:33.500 --> 05:38.500
+Es decir, yo puedo cancelar la exponencial
+con el logaritmo natural
+
+05:38.500 --> 05:44.500
+y lo que tendría al final simplemente es 3
+es igual a e a la 2x.
+
+05:44.500 --> 05:50.500
+Súper importante que tengamos eso claro,
+la exponencial con el logaritmo natural se cancela.
+
+05:50.500 --> 05:53.500
+Y me quedaría solo lo que yo tengo arriba.
+
+05:53.500 --> 06:02.500
+Y la última propiedad que vamos a ver es
+que por ejemplo si yo tengo 3 logaritmo natural de x,
+
+06:02.500 --> 06:10.500
+por propiedades del logaritmo natural yo
+puedo decir que eso es igual al logaritmo natural de x elevado a la 3.
+
+06:10.500 --> 06:16.500
+Y ya con esto tenemos nuestro paquete de
+herramientas para poder adentrarnos en el estudio
+
+06:16.500 --> 06:21.500
+de las ecuaciones diferenciales de primer
+orden que es lo que viene en el siguiente módulo.
+
+06:21.500 --> 06:26.500
+Nuevamente recordarles el curso de cálculo
+para análisis de datos que está en Platzi
+
+06:26.500 --> 06:29.500
+si quieren profundizar en todos estos
+conceptos.
+
+06:29.500 --> 06:42.500
+Y nos vemos en el siguiente
+módulo.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/02-Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales/04-diapositivas-ecuaciones-diferenciales_cf580f42-fdd8-4e7e-a19c-9d1da7921d67.pdf

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
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a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/01-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Método de Separación de Variables.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
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a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/01-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Método de Separación de Variables.vtt

@@ -0,0 +1,304 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:07.640
+Bienvenidos a este nuevo módulo del curso
+de ecuaciones diferenciales.
+
+00:07.640 --> 00:15.200
+Este módulo va a ser centrado en todo lo
+que son las ecuaciones diferenciales de primer orden,
+
+00:15.200 --> 00:21.200
+ya que son las que tienen más aplicaciones
+y las que más vamos a encontrar en la literatura,
+
+00:21.200 --> 00:23.840
+y que seguramente encontrarás de
+aplicaciones en tus proyectos.
+
+00:23.840 --> 00:31.400
+Aquí vamos a hacer un recorrido por todos
+los tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden que vas a encontrar,
+
+00:31.400 --> 00:36.400
+y al final te vamos a dar una ruta para
+que identifiques cuál sería,
+
+00:36.400 --> 00:41.640
+si tú estás tratando de solucionar una
+ecuación, cuál sería el método óptimo de solución.
+
+00:41.640 --> 00:46.400
+Ya sabemos cuáles son las ecuaciones
+diferenciales de primer orden,
+
+00:46.400 --> 00:52.080
+recordemos que son las que su máxima
+derivada es 1, porque tienen orden 1.
+
+00:52.080 --> 00:57.840
+Así que vamos a empezar a ver las
+ecuaciones separables.
+
+00:57.840 --> 01:05.120
+Como su nombre lo indica, una ecuación
+separable es aquella en la que yo puedo separar dos cosas.
+
+01:05.120 --> 01:07.120
+¿Qué cosas puedo
+separar?
+
+01:07.120 --> 01:11.840
+Supongamos que yo tengo una ecuación
+diferencial de la siguiente forma,
+
+01:11.840 --> 01:18.160
+donde tengo mi primera derivada de y de x,
+es igual a una función de x y y.
+
+01:18.160 --> 01:20.800
+Ya vimos que relaciona las variables con
+la función,
+
+01:20.800 --> 01:30.960
+así que yo podría separar esa f de x y y
+en una función que depende de x y una función que depende de y.
+
+01:30.960 --> 01:36.720
+Y al final lo que tendría que hacer es
+simplemente, matemáticamente,
+
+01:36.720 --> 01:41.440
+tomar esa de y de x como si fuera una
+división de y sobre de x,
+
+01:41.440 --> 01:45.760
+podría pasar el de x al otro lado de mi
+ecuación,
+
+01:45.760 --> 01:51.840
+y al final yo podría tener de un solo lado
+todo lo que dependa de y,
+
+01:51.840 --> 01:57.920
+y del otro lado todo lo que dependa de x,
+así como lo tenemos en pantallas.
+
+01:57.920 --> 02:03.200
+Y yo simplemente digo que 1 sobre py me da
+otra función que depende de y,
+
+02:03.200 --> 02:05.680
+y al final lo que tendría es
+esto.
+
+02:05.680 --> 02:13.200
+Una función multiplicada por el
+diferencial de y, y otra función de x que depende de x.
+
+02:13.200 --> 02:18.000
+He separado mis y y he separado mis x.
+
+02:18.000 --> 02:22.480
+Al final que tendría que hacer,
+simplemente integrar.
+
+02:22.480 --> 02:26.720
+Ya vimos que si yo tengo la derivada y
+quiero hallar la función,
+
+02:26.720 --> 02:28.560
+lo que tengo que hacer es
+integrar.
+
+02:28.560 --> 02:34.400
+Así que si yo integro a cada lado de mi
+ecuación, al final obtendré mi función,
+
+02:34.400 --> 02:39.040
+como vimos que era la relación entre las
+derivadas y las integrales.
+
+02:39.040 --> 02:43.680
+Y al final lo que obtendré es eso, mi
+función que depende de y,
+
+02:43.680 --> 02:46.640
+con mis variables en x más una constante c.
+
+02:46.640 --> 02:51.760
+Recordemos que las integrales siempre nos
+dejan una constante volando,
+
+02:51.760 --> 02:53.840
+una constante ahí que queda más
+c.
+
+02:53.840 --> 02:59.760
+Vamos a ver un ejemplo con el cual
+tendremos las ecuaciones separables totalmente claras.
+
+02:59.760 --> 03:03.040
+Supongamos que yo quiero solucionar la
+siguiente ecuación.
+
+03:03.040 --> 03:09.600
+x al cuadrado por la derivada de y más 7
+igual a x.
+
+03:09.600 --> 03:11.840
+Nuestro primer paso ¿cuál
+será?
+
+03:11.840 --> 03:18.320
+Será expresar esa derivada de y con
+respecto a x como si fuera una división.
+
+03:18.320 --> 03:24.320
+La vamos a trabajar como si fuera una
+división y vamos a pasar ese más 7 al otro lado.
+
+03:24.320 --> 03:29.520
+Porque recordemos que estamos buscando que
+a un solo lado quede todo lo que tenga x
+
+03:29.520 --> 03:31.360
+y al otro lado todo lo que tenga
+y.
+
+03:31.360 --> 03:36.960
+En este punto lo que yo puedo hacer es
+pasar ese de x a multiplicar al otro lado
+
+03:36.960 --> 03:40.240
+y vemos que allí yo ya he separado mis
+variables.
+
+03:40.240 --> 03:49.040
+Yo ya tengo de un lado y al cuadrado de y
+y el otro lado x menos 7 que yo lo puedo integrar con respecto a x.
+
+03:49.040 --> 03:50.880
+Así que eso es lo que vamos a hacer.
+
+03:50.880 --> 03:56.720
+Vamos a integrar a cada lado de mi
+ecuación y vamos a ver qué obtenemos.
+
+03:56.720 --> 04:07.120
+Ya sabemos cómo integrar una función así
+que al lado izquierdo de mi ecuación lo que yo obtendré es y al cubo sobre 3.
+
+04:07.120 --> 04:12.080
+Si recordamos nuestros conceptos de
+matemáticas básicas más una constante.
+
+04:12.080 --> 04:15.760
+Una constante que siempre queda cuando
+integramos una función.
+
+04:15.760 --> 04:18.960
+Y la integral del otro lado de mi función
+¿qué queda?
+
+04:18.960 --> 04:21.680
+Yo la puedo separar ¿cuál es la integral
+de x?
+
+04:21.680 --> 04:23.360
+x al cuadrado sobre
+2.
+
+04:23.360 --> 04:25.680
+¿Cuál es la integral de
+7?
+
+04:25.680 --> 04:29.040
+Simplemente le agregamos nuestra variable 7x.
+
+04:29.040 --> 04:39.920
+Me quedaría x al cuadrado sobre 2 menos 7x
+más otra constante que surge de esta integral que hemos hallado a este lado.
+
+04:39.920 --> 04:42.960
+Vemos que tenemos dos
+constantes.
+
+04:42.960 --> 04:47.840
+Sin embargo yo puedo pasar la constante 1
+a restar al otro lado.
+
+04:47.840 --> 04:51.920
+Tendría constante 2 menos constante 1.
+
+04:51.920 --> 04:55.200
+Lo que tendría al final sería otra nueva
+constante.
+
+04:55.200 --> 05:02.400
+Así que las constantes no nos vamos a
+preocupar porque en cada integral salga una constante.
+
+05:02.400 --> 05:10.720
+Sino que al final vamos a tener en cuenta
+una constante que va a ser como el resultado de todas las sumas y restas y operaciones de las otras constantes.
+
+05:10.720 --> 05:15.920
+Entonces tenemos lo que vemos en pantalla
+y vamos a tratar de despejar y.
+
+05:15.920 --> 05:23.040
+Para despejar esa y simplemente ya vemos
+que podemos pasar el 3 que está dividiendo a este lado de la ecuación.
+
+05:23.040 --> 05:29.200
+Lo puedo pasar a multiplicar a cada uno de
+los factores que tenemos a mi derecha.
+
+05:29.200 --> 05:31.840
+Y tendría algo como lo
+siguiente.
+
+05:31.840 --> 05:38.400
+3 por x al cuadrado sobre 2 menos 7x más
+c3 y todo eso multiplicado por 3.
+
+05:38.400 --> 05:47.840
+Solo nos queda pasar ese exponente 3 al
+otro lado de mi ecuación y yo obtendría lo que vemos en pantalla.
+
+05:47.840 --> 05:56.000
+Tendría todos mis términos multiplicados
+por 3 y al final yo simplemente paso ese 3 al otro lado.
+
+05:56.000 --> 06:04.160
+Recordemos que si queremos expresar por
+ejemplo pasar ya al cuadrado al otro lado lo podemos expresar como una raíz o como 1 sobre 2.
+
+06:04.160 --> 06:09.760
+En este caso tenemos 6 al cubo por lo cual
+nos quedaría 1 sobre 3.
+
+06:09.760 --> 06:20.080
+Y ese es el método de separación de
+variables que es el método más sencillo, más básico que podemos tener en cuenta en las ecuaciones diferenciales de primer orden.
+
+06:20.080 --> 06:26.160
+Siempre que tú veas una ecuación
+diferencial busca la forma de separar las variables.
+
+06:26.160 --> 06:32.800
+Si no puedes vamos a ver otros métodos que
+te permitirán ir identificando qué tipo de ecuación tienes.
+
+06:32.800 --> 06:47.920
+Para que nos quede aún más claro este
+concepto vamos a realizar un ejemplo en el tablero en que buscaremos solucionar una ecuación por el método de separación de variables con una condición inicial.
+
+06:47.920 --> 06:56.720
+En la siguiente clase veremos un ejercicio
+con condiciones iniciales en el que intentaremos aplicar estos conceptos de la separación de variables.
+
+06:56.720 --> 07:03.920
+Amos.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/01-diapositivas-ecuaciones-diferenciales_8309a23f-de1c-490c-ace4-e459edb36ead.pdf

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:7973acd8c0393c987238fae11738eebb47c9541620ac627b8ffb5f3be18eddf5
+size 2505789

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/02-Resolución de Ecuaciones Diferenciales Separable por Variables.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:68d5ae04c7b1d0cb20558e4f11a6271357011681be7c76235de6ecb19a5c1a98
+size 80742481

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/02-Resolución de Ecuaciones Diferenciales Separable por Variables.vtt

@@ -0,0 +1,291 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:08.960
+Ya vimos lo que son las ecuaciones separables,
+es momento de aplicar estos conocimientos
+
+00:08.960 --> 00:15.620
+a través de un ejercicio práctico, así que
+vamos a desarrollar el siguiente ejercicio.
+
+00:15.620 --> 00:21.440
+Yo tengo la siguiente ecuación diferencial,
+observemos que tengo x más 5 por la derivada
+
+00:21.440 --> 00:28.440
+de y es igual a y menos 1 y lo que tenemos
+acá es una condición inicial.
+
+00:28.440 --> 00:34.080
+Recordemos de los fundamentos de
+ecuaciones que esta ecuación tiene una solución general,
+
+00:34.080 --> 00:38.700
+pero cuando yo tengo condiciones iniciales
+ya encuentro una solución específica para
+
+00:38.700 --> 00:45.280
+esa ecuación diferencial. Vamos a ver cómo
+yo puedo separar las variables
+
+00:45.280 --> 00:49.840
+en esta función. Nuestro primer paso
+siempre va a ser expresar
+
+00:49.840 --> 00:55.880
+las derivadas, si las tenemos expresadas
+así con apóstrofes, será expresarlas como una
+
+00:55.880 --> 01:07.280
+división, entonces yo tendría x más 5 por
+dy sobre dx es igual a y menos 1 y ya podemos
+
+01:07.280 --> 01:12.320
+jugar con esta como si fuera una división,
+es decir, yo podría pasar este dx a multiplicar
+
+01:12.320 --> 01:18.240
+acá o el dy a dividir, yo la podría
+manipular de acuerdo a lo que yo necesite.
+
+01:18.240 --> 01:23.280
+En este caso yo veo que el dx lo podría
+pasar a multiplicar al otro lado, tendría
+
+01:23.280 --> 01:35.080
+x más 5 por dy es igual a y menos 1 por dx
+y podría pasar ahora este y menos 1 a dividir
+
+01:35.080 --> 01:43.240
+acá y este x más 5 a dividir al otro lado
+y lo que obtendríamos sería dy sobre y menos
+
+01:43.240 --> 01:56.360
+1 es igual a dx sobre x más 5 y habré
+separado mis variables.
+
+01:56.360 --> 02:03.400
+Ya tengo todo lo que es y a este lado de
+mi ecuación y todo lo que es x a este lado de
+
+02:03.400 --> 02:08.680
+mi ecuación, solo nos quedaría integrar
+para obtener la solución de la ecuación.
+
+02:08.680 --> 02:13.840
+No lo integramos porque tenemos la
+derivada y recordemos que si tenemos la derivada, integramos
+
+02:13.840 --> 02:21.440
+para obtener la función, así que vamos a
+integrar acá al lado de mi ecuación y vamos
+
+02:21.440 --> 02:23.600
+a ver qué
+obtenemos.
+
+02:23.600 --> 02:30.200
+Para ello vamos a recordar esta propiedad
+que dice que si yo tengo la derivada, la integral
+
+02:30.200 --> 02:40.380
+de dx sobre x, eso es igual al logaritmo
+natural de x, es decir que si yo tengo una función
+
+02:40.380 --> 02:46.140
+en mi denominador y yo tengo su derivada
+en la parte superior, eso es igual al logaritmo
+
+02:46.140 --> 02:48.280
+natural de mi
+función.
+
+02:48.280 --> 02:59.400
+Por lo tanto lo que obtendría acá es
+logaritmo natural de y menos 1 más una constante, cuando
+
+02:59.400 --> 03:06.280
+trabajamos con integrales siempre tenemos
+unas constantes, es igual al logaritmo natural
+
+03:06.280 --> 03:11.320
+de x más 5 más una
+constante.
+
+03:11.320 --> 03:15.760
+Y yo tengo dos constantes diferentes,
+yo podría por ejemplo esta constante que tengo acá
+
+03:15.760 --> 03:20.760
+pasarla a restar y una constante menos
+otra constante seguiría siendo una constante,
+
+03:20.760 --> 03:25.320
+por lo cual solo es necesario que tengamos
+en cuenta una de ellas.
+
+03:25.320 --> 03:30.560
+Yo voy a dejar en este caso la que tengo a
+este lado de mi ecuación.
+
+03:30.560 --> 03:35.120
+Recordemos que cuando yo tengo logaritmo
+natural en mi función, una manera de eliminarlo o
+
+03:35.120 --> 03:40.400
+de solucionar lo que está dentro del
+logaritmo natural es utilizando la exponencial.
+
+03:40.400 --> 03:45.920
+Así que vamos a aplicar exponencial a cada
+lado de mi ecuación y lo que obtendríamos
+
+03:45.920 --> 03:47.320
+sería lo
+siguiente.
+
+03:47.320 --> 03:55.680
+E a la logaritmo natural de y menos 1 es
+igual a E a la logaritmo natural de x más 5 más
+
+03:55.680 --> 03:56.720
+c.
+
+03:56.720 --> 04:03.600
+Y acá lo que tengo es una misma base y
+tengo una suma de exponentes arriba.
+
+04:03.600 --> 04:09.800
+Esto yo lo podría expresar por las
+propiedades que vimos como, esto lo podría expresar como
+
+04:09.800 --> 04:15.120
+E logaritmo natural de x más 5 por E a la c.
+
+04:15.120 --> 04:20.720
+Recordemos que cuando tenemos esto con la
+misma base simplemente sumamos los exponentes
+
+04:20.720 --> 04:24.640
+que es lo mismo que tendríamos arriba.
+
+04:24.640 --> 04:29.200
+Y ahora ya podemos eliminar ese logaritmo
+natural.
+
+04:29.200 --> 04:33.740
+Simplemente ya sabemos que es la operación
+inversa de la exponencial, por lo tanto lo
+
+04:33.740 --> 04:44.960
+podemos eliminar y nos quedaría
+simplemente y menos 1 es igual a x más 5 por E a la c.
+
+04:44.960 --> 04:52.200
+Y si yo tengo E a la c, E es un número y
+un número elevado a una constante lo que
+
+04:52.200 --> 04:55.520
+voy a obtener al final es una constante.
+
+04:55.520 --> 05:01.660
+Así que yo lo que tengo acá es una constante.
+
+05:01.660 --> 05:05.840
+Y ya tengo la solución de mi ecuación.
+
+05:05.840 --> 05:09.920
+Prácticamente simplemente nos faltaría
+pasar este menos 1 al otro lado y nos quedaría
+
+05:09.920 --> 05:17.880
+que y sería igual a una constante por x
+más 5 más 1.
+
+05:17.880 --> 05:21.960
+Y esa será la solución general de mi ecuación.
+
+05:21.960 --> 05:27.400
+Sin embargo nuestro problema no solo viene
+la ecuación sino que viene con una condición
+
+05:27.400 --> 05:28.820
+inicial.
+
+05:28.820 --> 05:33.560
+Ahora vamos a aplicar esa condición
+inicial para hallar la solución específica o la
+
+05:33.560 --> 05:36.160
+solución particular de este problema.
+
+05:36.160 --> 05:43.520
+Si ya tengo mi ecuación simplemente vamos
+a reemplazar por la condición inicial.
+
+05:43.520 --> 05:48.840
+Yo tengo que y cuando reemplazo mi x por 1
+es igual a 0.
+
+05:48.840 --> 06:01.120
+Así que reemplacemos 1 acá, es decir,
+y igual a mi constante por 1 más 5 más 1 para cumplir
+
+06:01.120 --> 06:02.400
+con
+esto.
+
+06:02.400 --> 06:08.560
+Y yo tengo que y es igual a 6 veces mi
+constante más 1.
+
+06:08.560 --> 06:14.260
+Y eso debe ser igual a 0 porque esa es la
+condición inicial.
+
+06:14.260 --> 06:19.320
+Si yo tengo esa condición inicial
+simplemente voy a despejar mi constante y yo tengo que
+
+06:19.320 --> 06:26.560
+mi constante en este caso va a ser menos 1,
+paso este menos 1 a este lado, sobre 6.
+
+06:26.560 --> 06:32.020
+Y ya he hallado la solución específica
+para esta ecuación diferencial que será igual
+
+06:32.020 --> 06:33.020
+a
+qué?
+
+06:33.020 --> 06:40.040
+A esta solución general pero donde yo
+reemplazo mi constante por la constante que he hallado
+
+06:40.040 --> 06:48.200
+acá que será menos 1 sexto de x más 5 más 1.
+
+06:48.200 --> 06:54.520
+Y ahora sí he hallado la solución
+particular para mi ecuación diferencial.
+
+06:54.520 --> 07:00.680
+Y con esto hemos visto el primer método de
+solución de ecuaciones diferenciales de primer
+
+07:00.680 --> 07:05.800
+orden que es el método más básico y por el
+cual debemos empezar siempre.
+
+07:05.800 --> 07:11.920
+En la siguiente clase aprenderemos un
+nuevo método que nos servirá para solucionar ecuaciones
+
+07:11.920 --> 07:15.400
+en las que no podamos separar las variables.
+
+07:15.400 --> 07:33.880
+Nos vemos en la siguiente
+clase.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/03-Comprobación de Ecuaciones Diferenciales Separables.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:3a8021bc34c3673933f5acff19d3934c8d7f618b83a75f60db11cbbbd08c8f3f
+size 80553468

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/03-Comprobación de Ecuaciones Diferenciales Separables.vtt

@@ -0,0 +1,367 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:09.180
+Ya vimos que es una ecuación separable y
+cómo la podemos solucionar.
+
+00:09.180 --> 00:14.700
+Antes de pasar a nuestro segundo método,
+puede que veamos una ecuación que no sea
+
+00:14.700 --> 00:20.000
+separable a simple vista, pero que aún así
+sea separable en realidad.
+
+00:20.000 --> 00:24.300
+Así que existe un procedimiento para saber
+si una ecuación es separable o no, si es
+
+00:24.300 --> 00:25.300
+factorizable.
+
+00:25.300 --> 00:30.860
+Si podríamos, por ejemplo, poner todas las
+X y las Y a un lado.
+
+00:30.860 --> 00:34.680
+Y ese procedimiento lo vamos a ver a
+continuación.
+
+00:34.680 --> 00:36.840
+¿Qué tenemos que hacer
+primero?
+
+00:36.840 --> 00:43.920
+Tenemos nuestra ecuación y le vamos a
+asignar valores a X y a Y de forma que la ecuación
+
+00:43.920 --> 00:47.380
+al final me dé diferente de
+0.
+
+00:47.380 --> 00:54.460
+Como segundo paso, vamos a calcular una
+nueva función en la que multiplicaremos el resultado
+
+00:54.460 --> 01:01.080
+de cambiar nuestra variable X por Y y el
+resultado de multiplicar nuestra variable X por cambiar
+
+01:01.080 --> 01:02.340
+la
+Y.
+
+01:02.340 --> 01:05.220
+Así como lo vemos en
+pantallas.
+
+01:05.220 --> 01:11.600
+Y nuestro tercer paso será comprobar si la
+función evaluada en esos puntos iniciales
+
+01:11.600 --> 01:17.440
+que hicimos en el primer paso multiplicada
+por mi función de X y Y es igual a la función
+
+01:17.440 --> 01:19.820
+que hallamos en el segundo
+paso.
+
+01:19.820 --> 01:24.560
+Suena un poco complejo, ¿verdad? pero te
+vas a dar cuenta que es mucho más sencilla
+
+01:24.560 --> 01:27.040
+cuando lo pongamos en
+práctica.
+
+01:27.040 --> 01:35.280
+Vamos por ejemplo a encontrar si la
+ecuación que tenemos en pantalla es una ecuación separable
+
+01:35.280 --> 01:36.280
+o
+no.
+
+01:36.280 --> 01:37.880
+¿Cómo lo vamos a
+hacer?
+
+01:37.880 --> 01:38.880
+Aplicando este
+procedimiento.
+
+01:38.880 --> 01:44.960
+Así que vamos al tablero y encontremos si
+esta es una ecuación separable o no.
+
+01:44.960 --> 01:51.280
+Vamos a ver el procedimiento paso por paso
+en un ejercicio que tenemos aquí en nuestro
+
+01:51.280 --> 01:52.600
+tablero.
+
+01:52.600 --> 01:57.240
+Recordemos que a veces no es fácil mirar
+si la ecuación es separable o no.
+
+01:57.240 --> 02:03.220
+Pero si aplicamos estos pasos al final no
+solo sabremos si es separable o no, sino que
+
+02:03.220 --> 02:06.760
+obtendremos cuál sería esta separación de
+variables.
+
+02:06.760 --> 02:13.900
+Primero vamos a encontrar un X sub 0 y un
+Y sub 0 tal que el valor de mi función de
+
+02:13.900 --> 02:15.080
+diferente de
+0.
+
+02:15.080 --> 02:21.800
+Es decir, yo le voy a dar varios valores a
+X y a Y de manera que busque que esto sea
+
+02:21.800 --> 02:23.120
+diferente de
+0.
+
+02:23.120 --> 02:30.400
+Por ejemplo, yo voy a decir que mi X sub 0
+y mi Y sub 0 ambos son iguales a 0.
+
+02:30.400 --> 02:35.160
+Es decir, donde yo tenga X y donde tenga Y
+voy a reemplazarlos por 0.
+
+02:35.160 --> 02:43.720
+Acá tendría 0 al cuadrado por 0 al
+cuadrado más 0 por 0 más 0 tendría 0.
+
+02:43.720 --> 02:47.380
+Y mi condición es que tiene que ser
+diferente de 0.
+
+02:47.380 --> 02:50.560
+Por lo tanto, estos valores no nos servirían.
+
+02:50.560 --> 02:55.360
+Así que probemos ahora, por ejemplo,
+con 1 y 1.
+
+02:55.360 --> 02:59.360
+No necesariamente tienen que ser los mismos,
+simplemente yo tengo que asignarle los valores.
+
+02:59.360 --> 03:02.520
+Vamos a ver qué nos da con 1 y
+1.
+
+03:02.520 --> 03:11.960
+Tendría 1 al cuadrado por 1 al cuadrado
+tendría 1 más 1 por 1 al cuadrado tendría 1 más
+
+03:11.960 --> 03:17.960
+1 y tendría más Y al cuadrado
+1.
+
+03:17.960 --> 03:22.440
+Entonces tendría 1 más 1 más 1 tendría
+igual a 3.
+
+03:22.440 --> 03:26.120
+Por lo tanto, hemos desarrollado el primer
+paso.
+
+03:26.120 --> 03:35.920
+Nuestro F de X sub 0 y Y sub 0 será igual a 3.
+
+03:35.920 --> 03:36.920
+¿Qué
+es?
+
+03:36.920 --> 03:40.360
+Y los valores que tomamos fueron 1 y 1.
+
+03:40.360 --> 03:47.400
+Lo siguiente que vamos a hacer es calcular
+F de X sub 0 por Y y F de X por Y sub 0.
+
+03:47.400 --> 03:50.160
+Vamos primero a hacer esta
+parte.
+
+03:50.160 --> 03:51.960
+F de X sub 0 por
+Y.
+
+03:51.960 --> 03:58.480
+X sub 0 es 1, así que donde yo tenga X voy
+a colocar 1 y el Y lo voy a dejar tal como
+
+03:58.480 --> 03:59.480
+está.
+
+03:59.480 --> 04:00.480
+A ver,
+empecemos.
+
+04:00.480 --> 04:02.760
+Donde yo tengo X tengo
+1.
+
+04:02.760 --> 04:05.640
+1 al cuadrado por Y al
+cuadrado.
+
+04:05.640 --> 04:16.720
+Y si lo dejo totalmente igual más 1 por Y
+al cuadrado más Y al cuadrado.
+
+04:16.720 --> 04:23.160
+Y ya tengo 1 al cuadrado es 1 así que lo
+podemos quitar y ya tengo la primera parte
+
+04:23.160 --> 04:25.200
+de mi
+función.
+
+04:25.200 --> 04:30.880
+Ahora vamos a multiplicarlo por X coma Y
+sub 0.
+
+04:30.880 --> 04:31.880
+¿Esto qué
+significa?
+
+04:31.880 --> 04:38.680
+Donde tenga X voy a dejar el X y donde
+tenga Y sub 0 pues voy a colocar mi valor de Y sub
+
+04:38.680 --> 04:39.680
+0 que es
+1.
+
+04:39.680 --> 04:46.440
+Entonces X al cuadrado por Y al cuadrado.
+
+04:46.440 --> 04:49.040
+Y al cuadrado es 1 por lo tanto lo podemos
+quitar.
+
+04:49.040 --> 04:57.720
+Más X por Y al cuadrado que es 1 más 1.
+
+04:57.720 --> 05:02.640
+Y habremos calculado lo que es nuestra
+función.
+
+05:02.640 --> 05:07.840
+Acá lo que podemos hacer es tenemos Y al
+cuadrado más Y al cuadrado más Y al cuadrado.
+
+05:07.840 --> 05:13.200
+Tenemos todos los términos iguales por lo
+tanto esto podría quedar como 3Y cuadrado.
+
+05:13.200 --> 05:14.960
+¿De
+acuerdo?
+
+05:14.960 --> 05:17.560
+Y acá tendremos X cuadrado más X más 1.
+
+05:17.560 --> 05:22.360
+Ahí no podemos hacer nada
+más.
+
+05:22.360 --> 05:27.700
+Nuestro siguiente paso será comprobar si F
+de X sub 0, Y sub 0 que fue lo que hayamos
+
+05:27.700 --> 05:35.480
+multiplicado por mi función original es
+igual a esto que es lo que hemos acabado de hallar.
+
+05:35.480 --> 05:46.440
+Entonces mi F de X sub 0, Y sub 0 era 3
+por mi función original X cuadrado, Y cuadrado
+
+05:46.440 --> 05:52.340
+más X, Y cuadrado más Y
+cuadrado.
+
+05:52.340 --> 05:56.560
+Vamos a comprobar si esto es igual a esto
+que tenemos acá.
+
+05:56.560 --> 06:04.720
+3Y cuadrado por X cuadrado más X más 1.
+
+06:04.720 --> 06:11.440
+Y vemos que el 3 lo podemos cancelar
+porque está multiplicado a ambos lados de mi ecuación.
+
+06:11.440 --> 06:15.160
+Entonces simplemente lo podríamos cancelar
+y nos quedaría acá.
+
+06:15.160 --> 06:22.640
+F de X cuadrado, Y cuadrado más X, Y
+cuadrado más Y cuadrado es igual a Y cuadrado por
+
+06:22.640 --> 06:30.520
+X cuadrado, me queda Y cuadrado, X
+cuadrado más Y cuadrado por X, Y cuadrado por X más
+
+06:30.520 --> 06:32.160
+Y
+cuadrado.
+
+06:32.160 --> 06:38.360
+Y efectivamente ambos términos son iguales
+por lo tanto yo he separado mis ecuaciones.
+
+06:38.360 --> 06:40.680
+¿En qué punto las he
+separado?
+
+06:40.680 --> 06:45.880
+Vemos que acá ya tengo mi ecuación
+separada porque tengo todas las variables de Y a un
+
+06:45.880 --> 06:50.040
+lado y tengo todas las variables de X a un
+lado.
+
+06:50.040 --> 06:54.900
+Al principio puede que no sea tan claro
+cómo hacer esa separación de variables, pero verás
+
+06:54.900 --> 07:00.520
+que aplicando el método no sólo sabrás si
+es o no separable sino que obtendrás la
+
+07:00.520 --> 07:02.920
+separación de variables como
+tal.
+
+07:02.920 --> 07:08.560
+Y con esto hemos concluido nuestro primer
+método para la solución de ecuaciones diferenciales
+
+07:08.560 --> 07:09.840
+de primer
+orden.
+
+07:09.840 --> 07:14.680
+En la siguiente clase veremos el método de
+sustitución lineal.
+
+07:14.680 --> 07:41.680
+Acompáñenme.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/04-Método de Sustitución Lineal en Ecuaciones Diferenciales.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:0d7a553f8abfba21f4756c73719a7cd818a111204c75698fe614c11743976ddd
+size 81075909

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/04-Método de Sustitución Lineal en Ecuaciones Diferenciales.vtt

@@ -0,0 +1,305 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:12.000
+Ya vimos nuestro primer método que es el
+método por separación de variables y este es uno de los métodos más importantes
+
+00:12.000 --> 00:22.000
+porque vamos a ver que los métodos que
+vamos a ver en esta clase y más adelante lo que van a hacer es buscar formas de llegar a esa ecuación separable.
+
+00:22.000 --> 00:34.000
+También vimos un procedimiento para
+aquellas ecuaciones que veamos que tal vez no se pueden separar, un procedimiento para saber si efectivamente son separables o no.
+
+00:34.000 --> 00:42.000
+En esta clase vamos a ver un nuevo método
+llamado sustitución lineal que como su nombre lo indica vamos a hacer una sustitución.
+
+00:42.000 --> 00:53.000
+¿Y en qué casos podemos aplicarlo? Cuando
+tengamos ecuaciones de este tipo, donde veamos de y de x es igual a una función de x más y más c.
+
+00:53.000 --> 01:04.000
+¿En qué consiste este método? Pues en
+sustituir ese polinomio que yo tengo a mi derecha, a la derecha de mi ecuación por una nueva variable, una nueva variable v en este caso.
+
+01:04.000 --> 01:20.000
+Y el siguiente paso será hallar la
+diferencial de esa nueva variable. La diferencial aplica las mismas normas de la derivada, es decir, yo tendría la diferencial de x más la diferencial de y más la diferencial de una constante.
+
+01:20.000 --> 01:28.000
+Y al igual que la derivada, la derivada de
+una constante es 0, por lo tanto eliminaríamos esa constante.
+
+01:28.000 --> 01:37.000
+Nuestro siguiente paso será dividir todo
+por dx. Vamos a dividir cada término de esta expresión por dx y obtendríamos lo que vemos allí.
+
+01:37.000 --> 01:47.000
+Y vemos que ese término dx sobre dx lo
+podría cancelar, lo podría cancelar y me quedaría como 1.
+
+01:47.000 --> 01:57.000
+Y obtendríamos lo que vemos allí en pantallas.
+Ahora podemos de esa ecuación que tenemos allí despejar de y de x.
+
+01:57.000 --> 02:06.000
+De y de x me quedaría como lo que vemos
+allí y observemos que este de y de x lo podría reemplazar en mi ecuación principal.
+
+02:06.000 --> 02:10.000
+Si hacemos ese reemplazo nos quedaría de
+la siguiente forma.
+
+02:10.000 --> 02:18.000
+Y qué pasa si ahora aplicamos la sustitución.
+Ese polinomio x más y más c no es otra cosa que mi variable v.
+
+02:18.000 --> 02:23.000
+Por lo tanto yo podría tener esta nueva
+expresión.
+
+02:23.000 --> 02:28.000
+¿Y por qué hicimos esta sustitución? ¿Para
+qué sustituir por otra variable y hacer todo este proceso?
+
+02:28.000 --> 02:34.000
+Porque lo que vemos allí, esa nueva
+ecuación que nosotros hemos obtenido es separable.
+
+02:34.000 --> 02:41.000
+Yo podría, por ejemplo, pasar ese más 1 al
+otro lado y al final obtener esto.
+
+02:41.000 --> 02:48.000
+Vemos que ya tengo la diferencial de v por
+v más x al otro lado y simplemente podría pasar eso a dividir.
+
+02:48.000 --> 02:56.000
+Y lo que obtendría allí es que, exacto,
+es una ecuación separable que fue el primer método que vimos.
+
+02:56.000 --> 03:03.000
+Y que como ya dije es de suma importancia
+porque va a tener una aplicación en los métodos que vayamos a ver de aquí en adelante.
+
+03:03.000 --> 03:08.000
+Veamos un ejemplo con este método de
+sustitución lineal.
+
+03:08.000 --> 03:12.000
+Bueno, nuestro paso final será integrar
+esa ecuación.
+
+03:12.000 --> 03:19.000
+Veamos el ejemplo. Supongamos que tenemos
+esta ecuación de y sobre dx, x más y más 4.
+
+03:19.000 --> 03:24.000
+Ya sabemos que la sustitución que vamos a
+utilizar es ese v.
+
+03:24.000 --> 03:31.000
+Es ese polinomio el que vamos a sustituir
+por una variable llamada v en este caso.
+
+03:31.000 --> 03:34.000
+Y su diferencial aquí va a ser igual.
+
+03:34.000 --> 03:44.000
+x, diferencial de x es de x, diferencial
+de y es de y y la derivada o la diferencial de una constante va a ser 0.
+
+03:44.000 --> 03:48.000
+Así que vamos a tener esa expresión que
+tenemos allí.
+
+03:48.000 --> 03:51.000
+Nuestro siguiente paso va a ser dividir
+todo por x.
+
+03:51.000 --> 03:58.000
+Entonces vamos a tener una expresión de
+esta forma y yo ya sé que yo puedo eliminar ese de x con ese de x.
+
+03:58.000 --> 04:01.000
+Que me va a quedar como un
+1.
+
+04:01.000 --> 04:08.000
+Nuestro siguiente paso va a ser despejar
+ese de y de x y vamos a obtener lo siguiente.
+
+04:08.000 --> 04:15.000
+Ya tengo la expresión para mi de y de x
+que ya puedo reemplazar en la ecuación diferencial que quiero solucionar.
+
+04:15.000 --> 04:17.000
+Que es la del
+principio.
+
+04:17.000 --> 04:22.000
+Estos de y de x son iguales por lo cual
+tendré eso, lo reemplazo en el polinomio.
+
+04:22.000 --> 04:27.000
+Y mi polinomio que es? Pues la sustitución
+que realicé de verdad.
+
+04:27.000 --> 04:32.000
+Así que lo que voy a obtener es esa v al
+otro lado de mi ecuación.
+
+04:32.000 --> 04:35.000
+Y ya vimos que esta es una ecuación separable.
+
+04:35.000 --> 04:38.000
+Simplemente paso el más 1 al otro lado.
+
+04:38.000 --> 04:45.000
+Como tengo el de v y el de x separados yo
+puedo pasar el de x al otro lado a multiplicar.
+
+04:45.000 --> 04:49.000
+Y puedo pasar el v más 1 al otro lado a
+dividir.
+
+04:49.000 --> 04:51.000
+Y lo he
+logrado.
+
+04:51.000 --> 04:55.000
+He conseguido una ecuación separable que
+ya sé solucionar.
+
+04:55.000 --> 04:58.000
+Por lo que hemos visto a lo largo de este
+curso.
+
+04:58.000 --> 05:03.000
+Pero recordemos esos conceptos y
+recordemos como solucionaríamos esta ecuación.
+
+05:03.000 --> 05:06.000
+Simplemente vamos a integrar acá al lado
+de la ecuación.
+
+05:06.000 --> 05:10.000
+Yo ya sé que la integral de x es
+x.
+
+05:10.000 --> 05:14.000
+Y que la integral de v más 1 es logaritmo
+natural de v más 1.
+
+05:14.000 --> 05:17.000
+Y no olvidemos nuestra
+constante.
+
+05:17.000 --> 05:23.000
+Con una sola constante es suficiente para
+mencionar que ahí está calculada la integral.
+
+05:23.000 --> 05:27.000
+Ya hemos hallado nuestra
+solución.
+
+05:27.000 --> 05:32.000
+Pero nos falta realizar, recordemos que
+hicimos una sustitución.
+
+05:32.000 --> 05:38.000
+Entonces nos falta reemplazar ese valor,
+esa variable por la sustitución que hicimos.
+
+05:38.000 --> 05:40.000
+Que fue x más y más
+4.
+
+05:40.000 --> 05:42.000
+Lo reemplazamos en mi
+ecuación.
+
+05:42.000 --> 05:46.000
+Yo veo que puedo sumar allí el 4 más el 1.
+
+05:46.000 --> 05:51.000
+Y recordemos que para eliminar un
+logaritmo natural vamos a utilizar la exponencial.
+
+05:51.000 --> 05:54.000
+Así que aplicamos exponencial a cada lado.
+
+05:54.000 --> 05:58.000
+Lo que tengo al lado derecho de la
+ecuación es e a la x más c.
+
+05:58.000 --> 06:03.000
+Que si recordamos las propiedades de
+multiplicación de potencias con la misma base.
+
+06:03.000 --> 06:12.000
+Yo lo puedo multiplicar, yo lo puedo
+expresar como una multiplicación de e a la x por e a la c.
+
+06:12.000 --> 06:18.000
+Donde e a la c es una constante porque es
+un número elevado a otro número.
+
+06:18.000 --> 06:20.000
+Me queda como una constante
+total.
+
+06:20.000 --> 06:27.000
+Y que al lado izquierdo de mi ecuación
+simplemente la exponencial con el logaritmo natural se van a cancelar.
+
+06:27.000 --> 06:33.000
+Por lo tanto tendré simplemente mi
+polinomio x más y más 5.
+
+06:33.000 --> 06:37.000
+Y de allí yo simplemente ya puedo despejar.
+
+06:37.000 --> 06:39.000
+Yo puedo despejar mi
+y.
+
+06:39.000 --> 06:46.000
+Y tendría que mi y es igual a e a la x por
+una constante menos x menos 5.
+
+06:46.000 --> 06:53.000
+Y así he hallado la solución de mi
+ecuación diferencial a través del método de sustitución lineal.
+
+06:53.000 --> 06:54.000
+Retomemos.
+
+06:54.000 --> 06:56.000
+Yo tengo un polinomio a la
+derecha.
+
+06:56.000 --> 07:02.000
+Yo realizo una sustitución con el objetivo
+de obtener una ecuación separable.
+
+07:02.000 --> 07:04.000
+Que son las más sencillas de realizar.
+
+07:04.000 --> 07:11.000
+Simplemente integraré a ambos lados de mi
+expresión y obtendré mi ecuación.
+
+07:11.000 --> 07:14.000
+Y con esto hemos visto las bases de este
+método.
+
+07:14.000 --> 07:17.000
+Vamos a ver otro ejemplo en la siguiente
+clase.
+
+07:17.000 --> 07:44.000
+Vamos.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/05-Método de Sustitución Lineal en Ecuaciones Diferenciales.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:6d0dc615fa6238f101caf559dfb93853a501306b6c89023edccac20f8fc99689
+size 82908061

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/05-Método de Sustitución Lineal en Ecuaciones Diferenciales.vtt

@@ -0,0 +1,324 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:08.360
+Vamos a resolver la siguiente ecuación
+diferencial.
+
+00:08.360 --> 00:13.080
+Cuando nosotros tratamos de solucionar una
+ecuación diferencial, recordemos que el primer
+
+00:13.080 --> 00:16.440
+paso será verificar si es separable o no.
+
+00:16.440 --> 00:21.680
+Para ello podemos utilizar el
+procedimiento que vimos en las clases anteriores.
+
+00:21.680 --> 00:26.980
+Si definitivamente no es separable,
+miremos si podemos aplicar una sustitución lineal,
+
+00:26.980 --> 00:31.720
+y así hemos un polinomio de tal manera que
+lo podamos sustituir.
+
+00:31.720 --> 00:34.120
+Vamos a ver el siguiente
+caso.
+
+00:34.120 --> 00:40.680
+Tenemos de y de x es igual a seno de un
+polinomio menos un medio.
+
+00:40.680 --> 00:48.800
+Por lo tanto yo podría efectivamente
+aplicar una sustitución lineal, y sería este.
+
+00:48.800 --> 00:56.720
+Lo vamos a utilizar con mi letra v, y
+sería x más 2y más 4.
+
+00:56.720 --> 01:01.880
+Esta sería la sustitución que yo voy a
+realizar, porque yo veo que este polinomio efectivamente
+
+01:01.880 --> 01:07.440
+cumple con la condición de ser lineal y
+tener x, y y una constante.
+
+01:07.440 --> 01:13.840
+Ahora solo nos queda hallar el diferencial
+de esta variable.
+
+01:13.840 --> 01:20.480
+Yo sé que de b va a ser igual a de x más 2
+de y.
+
+01:20.480 --> 01:24.680
+Recordemos que para los diferenciales
+aplicamos las mismas leyes de las derivadas, así que
+
+01:24.680 --> 01:31.940
+2y, simplemente saco el 2, que es una
+constante, y lo multiplico por de y, y yo sé que la
+
+01:31.940 --> 01:36.040
+derivada y el diferencial de una constante
+es 0.
+
+01:36.040 --> 01:39.960
+Entonces tendría de x más 2 de
+y.
+
+01:39.960 --> 01:41.920
+Y ahora qué podemos
+hacer.
+
+01:41.920 --> 01:45.200
+Recordemos que el siguiente paso es
+dividir todo por de x.
+
+01:45.200 --> 01:55.440
+Si yo divido esto por de x más 2 de y de x,
+yo sé que este me queda como si fuera
+
+01:55.440 --> 01:56.880
+un
+1.
+
+01:56.880 --> 01:58.960
+¿De
+acuerdo?
+
+01:58.960 --> 02:04.920
+El siguiente paso será despejar ese de y
+de x que yo tengo acá.
+
+02:04.920 --> 02:06.440
+Entonces ¿cómo puedo
+despejarlo?
+
+02:06.440 --> 02:18.800
+Vamos a pasar el 1 a restar a este lado,
+de x menos 1 es igual a 2 de y de x.
+
+02:18.800 --> 02:26.720
+Y solo me queda pasar este 2 a dividir
+toda mi expresión y yo quedaría con algo de esta
+
+02:26.720 --> 02:27.760
+forma.
+
+02:27.760 --> 02:34.280
+Y yo he hallado mi de y de
+x.
+
+02:34.280 --> 02:39.240
+Como ya tengo mi de y de x, yo lo puedo
+reemplazar acá en mi ecuación original.
+
+02:39.240 --> 02:41.200
+Entonces yo que
+tengo.
+
+02:41.200 --> 02:45.840
+Ya tengo de y de x, vamos a hacerlo acá.
+
+02:45.840 --> 02:56.480
+Entonces yo tengo que dv sobre de x menos
+1 y todo eso sobre 2 es igual a qué?
+
+02:56.480 --> 03:00.760
+Al seno de
+quién?
+
+03:00.760 --> 03:02.280
+De mi
+sustitución.
+
+03:02.280 --> 03:11.280
+De v, que fue la que yo hallé acá, seno de
+v menos 1 medio.
+
+03:11.280 --> 03:18.840
+Y ya tengo una expresión nueva con la cual
+puedo trabajar y que depende de mi variable
+
+03:18.840 --> 03:19.840
+v.
+
+03:19.840 --> 03:26.760
+Vamos a ver qué obtenemos al hacer, al
+tratar de modificar esta expresión.
+
+03:26.760 --> 03:31.120
+Yo lo primero que puedo hacer es, por ejemplo,
+este 2 lo puedo pasar a multiplicar al otro
+
+03:31.120 --> 03:42.560
+lado de mi ecuación y yo obtendría dv
+sobre de x menos 1 es igual a 2 seno de v menos,
+
+03:42.560 --> 03:47.840
+recordemos este 2 lo estamos pasando a
+multiplicar, entonces pasa a multiplicar este y este término
+
+03:47.840 --> 03:52.460
+menos 2 sobre 2, acá me quedaría
+1.
+
+03:52.460 --> 03:55.200
+Y ya obtendría lo
+siguiente.
+
+03:55.200 --> 03:57.360
+También este menos 1 lo podría eliminar.
+
+03:57.360 --> 03:58.360
+¿Por
+qué?
+
+03:58.360 --> 04:04.600
+Porque este a sumar acá o este a sumar acá
+se cancelarían, entonces simplemente yo tendría
+
+04:04.600 --> 04:07.960
+algo de este
+estilo.
+
+04:07.960 --> 04:13.040
+Y vemos que esta ecuación efectivamente ya
+es separable porque podría colocar todos
+
+04:13.040 --> 04:18.080
+los términos que tienen v a un lado y
+todos los términos que tienen x al otro lado.
+
+04:18.080 --> 04:29.000
+En este caso yo puedo pasar este seno de v
+acá y quedaría dv sobre seno de v es igual
+
+04:29.000 --> 04:31.160
+a 2 por de
+x.
+
+04:31.160 --> 04:32.400
+Y lo he
+logrado.
+
+04:32.400 --> 04:39.000
+Tengo una ecuación separable con la cual
+ya puedo trabajar y simplemente nos hace falta
+
+04:39.000 --> 04:42.400
+integrar a cada lado de mi ecuación.
+
+04:42.400 --> 04:48.240
+Acá tendría la integral de 2 de x,
+simplemente esto lo tomo como una constante que puedo
+
+04:48.240 --> 04:52.660
+sacar de mi integral y podría trabajar así.
+
+04:52.660 --> 05:01.960
+Y yo sé que la integral de dx es igual a x,
+por lo cual la integral a este lado me
+
+05:01.960 --> 05:08.080
+quedaría como 2x más una
+constante.
+
+05:08.080 --> 05:11.320
+Y ahora, ¿esta integral cómo la podemos
+solucionar?
+
+05:11.320 --> 05:14.320
+Pues es una integral de una función
+trigonométrica.
+
+05:14.320 --> 05:22.740
+Yo sé que el seno de v es igual a la
+cosecante, cosecante, entonces yo tendría cosecante
+
+05:22.740 --> 05:32.800
+de v, y por propiedades de funciones
+trigonométricas que pueden revisar cuando revisen las integrales,
+
+05:32.800 --> 05:41.760
+yo sé que la integral de una cosecante es
+igual al logaritmo natural de cosecante de
+
+05:41.760 --> 05:45.520
+v más la cotangente de
+v.
+
+05:45.520 --> 05:50.480
+Y todo esto me quedaría igual a 2x más c.
+
+05:50.480 --> 05:55.040
+Y simplemente me queda reemplazar mi v,
+¿por qué?
+
+05:55.040 --> 05:58.520
+Por la sustitución que yo realicé al
+principio.
+
+05:58.520 --> 06:11.760
+Y al final yo obtendría que esto es igual
+a la cosecante de mi v, x más 2y más 4,
+
+06:11.760 --> 06:28.760
+más la cotangente de mi v, de x más 2y más 4,
+igual a 2x más c.
+
+06:28.760 --> 06:33.360
+Y esto es lo máximo que yo podría
+simplificar esta ecuación.
+
+06:33.360 --> 06:36.880
+Por lo tal, esa será la solución de mi
+ecuación diferencial.
+
+06:36.880 --> 06:43.640
+Recordando, cuando veamos que en la
+ecuación hay un polinomio, busquemos la sustitución
+
+06:43.640 --> 06:50.880
+lineal y esa sustitución lineal me llevará
+a encontrar una ecuación diferencial separable
+
+06:50.880 --> 06:53.320
+que ya puedo trabajar mucho más fácil.
+
+06:53.320 --> 06:58.520
+Acá lo que hicimos fue hallar la integral
+de una función trigonométrica.
+
+06:58.520 --> 07:02.280
+Y con eso hemos concluido el método de
+sustitución lineal.
+
+07:02.280 --> 07:08.320
+Recordemos, vamos a evaluar una ecuación
+diferencial, vemos si es separable o no.
+
+07:08.320 --> 07:13.400
+Si no lo es, lo que hacemos es mirar si
+tiene algún polinomio que podamos sustituir.
+
+07:13.400 --> 07:19.320
+Si es así, aplicamos la sustitución y
+vamos a obtener una ecuación diferencial separable.
+
+07:19.320 --> 07:23.280
+Y con eso concluimos este método de
+sustitución lineal.
+
+07:23.280 --> 07:26.960
+Si quieren saber otro método de ecuaciones
+diferenciales, acompáñenme en la siguiente
+
+07:26.960 --> 07:39.800
+clase.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/06-Ecuaciones Diferenciales Exactas Condiciones y Solución Paso a Paso.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:2786d7a48cbb781d534ffbbeabadb1fbbc1a50a692be2cc719193c41c77e0c3d
+size 93050736

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/06-Ecuaciones Diferenciales Exactas Condiciones y Solución Paso a Paso.vtt

@@ -0,0 +1,432 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:09.160
+Las ecuaciones diferenciales exactas van a
+cumplir dos condiciones.
+
+00:09.160 --> 00:16.800
+La primera de ellas es que yo la pueda
+escribir de esta forma, como una función m con dx
+
+00:16.800 --> 00:22.880
+y una función n con dy, y e igual a cero.
+
+00:22.880 --> 00:30.000
+Y la segunda condición, súper importante,
+es que la derivada de m con respecto a y sea
+
+00:30.000 --> 00:35.120
+igual a la derivada de n con respecto a x.
+
+00:35.120 --> 00:41.160
+Entonces, si eso es verdad, yo asumo dos
+cosas.
+
+00:41.160 --> 00:48.120
+Primero que todo, que la derivada de mi
+función con respecto a x va a ser igual a ese m que
+
+00:48.120 --> 00:54.240
+yo tenía en mi función y que la derivada
+de mi función con respecto a y va a ser igual
+
+00:54.240 --> 00:55.840
+a n de
+x.
+
+00:55.840 --> 00:58.360
+Eso ya lo damos por
+cierto.
+
+00:58.360 --> 01:07.080
+Es decir, yo tengo m y tengo n y si
+cumplen las dos condiciones, esta m es la derivada
+
+01:07.080 --> 01:13.360
+con respecto a x de mi función y esta n es
+mi derivada con respecto a y de mi función.
+
+01:13.360 --> 01:17.560
+Vamos a ver esto a través de un ejemplo.
+
+01:17.560 --> 01:25.400
+Y vamos a verificar que la siguiente
+función sea exacta.
+
+01:25.400 --> 01:34.160
+Tenemos x a la menos 1 por y por dx más
+logaritmo natural de x más 3y cuadrado por dy.
+
+01:34.160 --> 01:39.640
+Entonces, nuestro primer paso será
+identificar quién es m y quién es n.
+
+01:39.640 --> 01:48.840
+M es la función que me va a estar
+multiplicando el de x y n va a ser la función que me está
+
+01:48.840 --> 01:50.800
+multiplicando el de
+y.
+
+01:50.800 --> 01:54.080
+Entonces, vemos que la podemos escribir de
+esta forma.
+
+01:54.080 --> 01:57.800
+Por lo tanto, nuestra primera condición
+está evaluada.
+
+01:57.800 --> 01:59.600
+Ahora vamos a mirar la segunda condición.
+
+01:59.600 --> 02:05.440
+Nos decía que tendríamos que encontrar que
+la derivada de m con respecto a y es igual
+
+02:05.440 --> 02:08.160
+a la derivada de n con respecto a x.
+
+02:08.160 --> 02:14.080
+Recordemos de nuestros conceptos de
+matemáticas básicas que si estamos derivando con respecto
+
+02:14.080 --> 02:20.320
+a y es como si x fuera una constante y si
+estamos derivando con respecto a x es como
+
+02:20.320 --> 02:23.400
+si y fuera una
+constante.
+
+02:23.400 --> 02:26.400
+Así que encontremos nuestra primera derivada.
+
+02:26.400 --> 02:29.880
+Encontramos la derivada de m con respecto a y.
+
+02:29.880 --> 02:37.080
+Entonces, estamos derivando x a la menos 1
+por y y tomamos a x menos 1 como si fuera
+
+02:37.080 --> 02:43.800
+una constante y sólo nos quedaría la
+derivada de y y la derivada de y es 1.
+
+02:43.800 --> 02:49.200
+Así que yo tendría que la solución es x a
+la menos 1 que también lo podría expresar
+
+02:49.200 --> 02:51.680
+como 1 sobre
+x.
+
+02:51.680 --> 02:55.360
+Ahora hayemos la otra parte de mi ecuación.
+
+02:55.360 --> 02:59.520
+Hayemos de la derivada de n con respecto a x.
+
+02:59.520 --> 03:04.320
+Aquí lo que vamos a tomar es y como si
+fuera una constante.
+
+03:04.320 --> 03:09.880
+Pues todo ese término de 3y cuadrado lo
+podríamos quitar porque la derivada de una constante
+
+03:09.880 --> 03:19.480
+es 0 y sólo nos quedaría la derivada de
+logaritmo natural de x que es 1 sobre x y
+
+03:19.480 --> 03:22.960
+ya hemos cumplido la
+condición.
+
+03:22.960 --> 03:30.120
+Ambas derivadas son exactamente iguales
+por lo tal tenemos una ecuación exacta que vamos
+
+03:30.120 --> 03:32.200
+a solucionar con este
+método.
+
+03:32.200 --> 03:35.600
+Tercer paso verificar si es una ecuación
+exacta.
+
+03:35.600 --> 03:40.640
+Ahora, ¿cuál es nuestro segundo
+paso?
+
+03:40.640 --> 03:42.880
+Vamos a integrar a m o a
+n.
+
+03:42.880 --> 03:43.880
+¿Por
+qué?
+
+03:43.880 --> 03:46.440
+¿Por qué vamos a
+integrar?
+
+03:46.440 --> 03:53.720
+Porque si yo sé que la derivada de mi
+función con respecto a x es igual a m y si yo sé
+
+03:53.720 --> 04:01.240
+que mi derivada de la función con respecto
+a y, si yo integro esa m yo estaría hallando
+
+04:01.240 --> 04:02.240
+la
+función.
+
+04:02.240 --> 04:06.600
+Recuerda que si yo integro la derivada me
+está dando la función o si yo derivo la
+
+04:06.600 --> 04:08.600
+integral me estará dando la función.
+
+04:08.600 --> 04:11.920
+¿Y en qué se basará si yo elija m o
+n?
+
+04:11.920 --> 04:14.560
+En la que me quede más
+sencilla.
+
+04:14.560 --> 04:21.080
+Yo puedo integrar tanto m como n
+dependiendo de la que me quede más fácil integrar a
+
+04:21.080 --> 04:22.080
+mí.
+
+04:22.080 --> 04:27.600
+Entonces recordemos la derivada de mi
+función con respecto a x va a ser igual a m y la derivada
+
+04:27.600 --> 04:32.160
+de mi función con respecto a y va a ser
+igual a n.
+
+04:32.160 --> 04:37.000
+En este caso me queda mucho más sencillo
+integrar m.
+
+04:37.000 --> 04:38.000
+¿Por
+qué?
+
+04:38.000 --> 04:42.920
+Porque veo que en el n hay un logaritmo
+natural, hay un 3y al cuadrado, así que vamos a irnos
+
+04:42.920 --> 04:45.480
+por el lado de
+m.
+
+04:45.480 --> 04:49.640
+Y vamos a calcular la integral de esta m.
+
+04:49.640 --> 04:51.720
+Integral con respecto a
+qué?
+
+04:51.720 --> 04:54.640
+Con respecto a
+x.
+
+04:54.640 --> 04:58.760
+Y si yo integro con respecto a x yo voy a
+obtener mi función.
+
+04:58.760 --> 05:04.600
+Yo lo que tengo es que mi función, como yo
+estoy integrando con respecto a x, y es una
+
+05:04.600 --> 05:11.480
+constante, yo la puedo sacar de esa
+constante y yo tengo la integral de x a la menos 1.
+
+05:11.480 --> 05:17.560
+Simplemente aplicamos las propiedades de
+las integrales, vamos a sumar un...
+
+05:17.560 --> 05:21.120
+Y yo tengo que
+la...
+
+05:21.120 --> 05:24.480
+Mi función aquí va a ser igual a
+y.
+
+05:24.480 --> 05:29.240
+Logaritmo natural de x más g de
+y.
+
+05:29.240 --> 05:33.800
+Normalmente cuando nosotros hayamos las
+integrales nos queda una constante.
+
+05:33.800 --> 05:39.520
+En este caso estamos integrando con
+respecto a x, por lo tanto esa constante va a ser una
+
+05:39.520 --> 05:42.760
+función pero que depende solamente de y.
+
+05:42.760 --> 05:44.680
+¿Por qué depende solamente de
+y?
+
+05:44.680 --> 05:50.120
+Porque cuando yo derive me queda igual a 0,
+estaría cumpliendo la misma condición.
+
+05:50.120 --> 05:56.320
+Nuestro tercer paso será encontrar esa
+función que depende de y y para eso vamos a derivar
+
+05:56.320 --> 06:00.000
+a f con respecto a la otra variable que no
+hallamos.
+
+06:00.000 --> 06:04.840
+Es decir, si en el primer paso integramos
+con respecto a m, me va a dar una función
+
+06:04.840 --> 06:09.720
+que depende de y al final, por lo tanto
+tengo que derivar con respecto a y en el tercer
+
+06:09.720 --> 06:10.720
+paso.
+
+06:10.720 --> 06:15.720
+Si en el segundo paso yo integre con
+respecto a n, me va a dar una función que depende
+
+06:15.720 --> 06:17.240
+de x al
+final.
+
+06:17.240 --> 06:21.800
+Así que yo tengo que derivar a f con
+respecto a x en el tercer paso.
+
+06:21.800 --> 06:26.080
+Y yo ya sé que mi f es esta función que
+hemos hallado.
+
+06:26.080 --> 06:30.960
+La derivada, vamos a hallar la derivada de
+eso y me va a dar la derivada del logaritmo
+
+06:30.960 --> 06:38.520
+natural de x con la derivada de y al final,
+que es lo que tenemos allí en pantallas.
+
+06:38.520 --> 06:45.340
+Y simplemente ahora lo que vamos a hacer es,
+como yo sé que esa derivada que he hallado
+
+06:45.340 --> 06:52.280
+era igual a n de x, pues yo ya sé que mi n
+de x era logaritmo natural de x más 3y
+
+06:52.280 --> 06:53.280
+al
+cuadrado.
+
+06:53.280 --> 06:59.320
+Y yo puedo simplemente eliminar a ambos
+lados de mi ecuación el logaritmo natural de x
+
+06:59.320 --> 07:04.920
+y me quedará que la derivada de g de y va
+a ser igual a 3y al cuadrado.
+
+07:04.920 --> 07:07.520
+Ya tengo la derivada de esa función g de y.
+
+07:07.520 --> 07:09.800
+¿Cómo hallo la función g de
+y?
+
+07:09.800 --> 07:10.920
+Integrando
+nuevamente.
+
+07:10.920 --> 07:16.880
+Yo vuelvo a integrar esa función g de y
+para obtener la función.
+
+07:16.880 --> 07:21.040
+Yo vuelvo a integrar la derivada de g de y
+para obtener mi g de y.
+
+07:21.040 --> 07:25.600
+Y simplemente aplico mi integral acá al
+lado de la ecuación.
+
+07:25.600 --> 07:33.080
+La integrande 3y al cuadrado es 3y al cubo
+sobre 3 más una constante y ese será igual
+
+07:33.080 --> 07:34.920
+a mi g de
+y.
+
+07:34.920 --> 07:35.920
+¿Qué?
+
+07:35.920 --> 07:36.920
+Lo vemos
+allí.
+
+07:36.920 --> 07:39.520
+Así que yo ya tengo ambas partes de mi
+ecuación.
+
+07:39.520 --> 07:44.440
+Esa f que vemos arriba en nuestras pantallas,
+y logaritmo natural de x y ya tengo ese g
+
+07:44.440 --> 07:47.560
+de y que estaba
+buscando.
+
+07:47.560 --> 07:55.880
+Por lo tanto, mi solución, al final,
+mi ecuación diferencial ya la hemos resuelto y es y logaritmo
+
+07:55.880 --> 08:01.880
+natural de x más y al cubo más una
+constante que siempre va a quedar expresada por la solución
+
+08:01.880 --> 08:05.840
+general de la
+ecuación.
+
+08:05.840 --> 08:12.040
+Vamos a ver otro ejemplo en el que
+aplicaremos estos pasos uno por uno en la próxima clase
+
+08:12.040 --> 08:13.760
+para que nos quede totalmente claro.
+
+08:13.760 --> 08:17.960
+Yo sé que este proceso puede ser un poco
+tedioso, pero ya con el otro ejemplo estoy
+
+08:17.960 --> 08:20.600
+seguro que lo vamos a entender totalmente.
+
+08:20.600 --> 08:39.080
+Escúchame la siguiente clase para ver este
+ejemplo.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/07-Ecuaciones Diferenciales Exactas Solución Paso a Paso.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:27a497dfd476f60f56a31fcad77d6f4da682735933bd2c1b6346dbdb4e9cea8a
+size 110444853

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/07-Ecuaciones Diferenciales Exactas Solución Paso a Paso.vtt

@@ -0,0 +1,387 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:07.120
+Vamos a resolver otra ecuación diferencial.
+
+00:07.120 --> 00:11.400
+Nuestro primer paso será identificar si es
+separable o no.
+
+00:11.400 --> 00:16.440
+Después vamos a mirar si podemos realizar
+algún tipo de sustitución,
+
+00:16.440 --> 00:18.840
+si hay algún polinomio que podamos sustituir.
+
+00:18.840 --> 00:24.160
+Y de no ser así, vamos a pasar a ver si
+nuestra ecuación es exacta o no,
+
+00:24.160 --> 00:27.600
+que es lo que vimos en nuestra clase anterior.
+
+00:27.600 --> 00:32.960
+Vamos a chequear la siguiente ecuación
+diferencial.
+
+00:32.960 --> 00:40.280
+Tengo y cuadrado e a la x menos coseno de
+x dx más 2y e a la x dy.
+
+00:40.280 --> 00:47.600
+Recordemos que nuestra primera condición
+para mirar si puede ser una ecuación exacta o no,
+
+00:47.600 --> 00:54.600
+es que la podamos escribir de la forma m
+de x más n de y igual a 0.
+
+00:54.600 --> 01:00.640
+Y efectivamente vemos que nuestra ecuación
+diferencial la podríamos escribir de esa forma.
+
+01:00.640 --> 01:07.800
+Así que el siguiente paso será identificar
+quién es m y quién es n en mi ecuación.
+
+01:07.800 --> 01:13.360
+Nuestro m va a ser el término que acompaña
+a esta de x,
+
+01:13.360 --> 01:18.960
+es decir y cuadrado e a la x menos coseno
+de x.
+
+01:18.960 --> 01:24.320
+Y quién va a ser nuestra n, pues el
+término que acompaña a de y.
+
+01:24.320 --> 01:27.800
+n es igual a 2y e a la
+x.
+
+01:27.800 --> 01:33.880
+Y nuestra segunda condición para mirar si
+efectivamente esta es una ecuación exacta o no,
+
+01:33.880 --> 01:42.800
+es encontrar la derivada de m con respecto
+a y y la derivada de n con respecto a x.
+
+01:42.800 --> 01:47.960
+Si estas dos son iguales, efectivamente es
+una ecuación exacta.
+
+01:47.960 --> 01:49.600
+Así que vamos a
+verificarlo.
+
+01:49.600 --> 01:54.600
+Busquemos la derivada de m con respecto a y.
+
+01:54.600 --> 01:57.400
+Vamos con este primer
+término.
+
+01:57.400 --> 02:02.600
+Con respecto a y, entonces e a la x lo
+puedo asumir como una constante,
+
+02:02.600 --> 02:04.600
+yo la puedo dejar totalmente
+igual.
+
+02:04.600 --> 02:13.200
+Y la derivada de y cuadrado simplemente es
+bajar el 2 y a y le quito una unidad arriba,
+
+02:13.200 --> 02:21.200
+entonces me queda e a la x 2y o lo podría
+organizar como 2 e a la x y.
+
+02:23.200 --> 02:28.200
+Y nuestro segundo término depende de x y
+lo podemos tomar como una constante,
+
+02:28.200 --> 02:31.600
+así que la derivada con respecto a y
+simplemente va a ser 0.
+
+02:31.600 --> 02:37.200
+Ahora, ¿cuál es la derivada de nuestro
+término n con respecto a x?
+
+02:37.200 --> 02:42.800
+2y es una constante, por lo cual yo lo
+podría simplemente sacar de mi expresión.
+
+02:42.800 --> 02:45.800
+¿Y cuál es la derivada de e a la
+x?
+
+02:45.800 --> 02:51.800
+Simplemente va a ser la misma exponente
+por la derivada que yo tenga arriba de x
+
+02:51.800 --> 02:59.800
+y la derivada de x es igual a 1, así que
+hemos hallado la derivada de n con respecto a x.
+
+02:59.800 --> 03:06.800
+Y vemos que tenemos exactamente la misma
+expresión, acá tenemos 2y e a la x
+
+03:06.800 --> 03:14.800
+y la derivada de m con respecto a y y la
+derivada de n con respecto a x efectivamente son las mismas.
+
+03:14.800 --> 03:21.800
+Así que hemos encontrado una ecuación
+exacta y lo que tenemos en una ecuación exacta
+
+03:21.800 --> 03:26.800
+son estas dos condiciones que vemos allí
+que son las más importantes
+
+03:26.800 --> 03:30.800
+y en las que de pronto puede estar el
+grado de dificultad de estas ecuaciones.
+
+03:30.800 --> 03:37.800
+Es entender que la derivada de la función
+que yo trato de hallar con respecto a x es igual a m
+
+03:37.800 --> 03:41.800
+y que la derivada de mi función con
+respecto a y es igual a n.
+
+03:41.800 --> 03:48.800
+Así que el siguiente paso es integrar o
+esta con respecto a y para obtener mi función
+
+03:48.800 --> 03:52.800
+o integrar esta con respecto a x para
+obtener mi función.
+
+03:52.800 --> 03:54.800
+¿Cuál de las dos será más
+sencilla?
+
+03:54.800 --> 04:00.800
+Como esta tiene el término coseno, me
+queda más sencillo integrar esta.
+
+04:00.800 --> 04:13.800
+Así que voy a integrar n, 2y e a la x con
+respecto a y para encontrar mi función.
+
+04:13.800 --> 04:19.800
+¿Por qué para encontrar mi función? Porque
+yo sé que la derivada de mi función con respecto a y es n.
+
+04:19.800 --> 04:23.800
+Así que si yo integro con respecto a y,
+yo estaré hallando mi función.
+
+04:23.800 --> 04:26.800
+¿Y cuál es la integral de esto con
+respecto a y?
+
+04:26.800 --> 04:32.800
+Yo puedo sacar mi e a la x porque lo asumo
+como una constante.
+
+04:32.800 --> 04:40.800
+Yo puedo, digamos con respecto a y, sacar
+el 2 también, me quedaría 2e a la x
+
+04:40.800 --> 04:46.800
+y simplemente me queda dentro de la
+integral el y, y de y.
+
+04:46.800 --> 04:54.800
+Y la integral de y, de y, yo ya sé que es
+simplemente y al cuadrado sobre 2.
+
+04:54.800 --> 04:59.800
+Por 2e a la x, yo puedo cancelar esos dos.
+
+04:59.800 --> 05:05.800
+Y he obtenido mi integral con respecto a y.
+
+05:05.800 --> 05:11.800
+Sin embargo, recordemos que cuando
+evaluamos las integrales al final nos queda una constante, ¿verdad?
+
+05:11.800 --> 05:16.800
+Cuando hallamos las funciones, estamos
+hallando una ecuación diferencial exacta,
+
+05:16.800 --> 05:21.800
+esta constante va a ser una función que
+depende de x.
+
+05:21.800 --> 05:25.800
+Va a ser una g de
+x.
+
+05:25.800 --> 05:29.800
+¿Por qué que depende de x? Porque como yo
+estoy integrando con respecto a y,
+
+05:29.800 --> 05:37.800
+si yo acá tuviera una función que depende
+de x, al evaluar la derivada igual se me daría 0.
+
+05:37.800 --> 05:39.800
+Entonces me daría la misma
+n.
+
+05:39.800 --> 05:42.800
+Entonces esta es una función que depende de x.
+
+05:42.800 --> 05:46.800
+¿Y cómo hacemos para hallar esa función
+que depende de x?
+
+05:46.800 --> 05:50.800
+Pues ahí es cuando acudimos a nuestra
+segunda propiedad,
+
+05:50.800 --> 05:55.800
+que la derivada de mi función con respecto
+a x es igual a m.
+
+05:55.800 --> 06:02.800
+Así que ya sé que esta es mi función,
+ahora hallemos la derivada de esa función con respecto a x.
+
+06:02.800 --> 06:06.800
+¿Cuál es la derivada de esta función con
+respecto a x?
+
+06:06.800 --> 06:13.800
+Simplemente tengo y cuadrado que me
+quedaría igual porque lo asumiría como una constante
+
+06:13.800 --> 06:17.800
+y la derivada de e a la x me quedaría
+exactamente e a la x.
+
+06:17.800 --> 06:26.800
+Y la derivada de g a la x me quedaría más
+g derivada x, me quedaría la derivada de g a la x.
+
+06:26.800 --> 06:33.800
+Y yo sé que esto tiene que ser igual a qué,
+a mi m, a esto que yo tengo acá.
+
+06:33.800 --> 06:40.800
+Y cuadrado e a la x menos coseno de x.
+
+06:40.800 --> 06:43.800
+Y ya estoy cumpliendo esa
+igualdad.
+
+06:43.800 --> 06:46.800
+¿Qué podemos identificar de
+acá?
+
+06:46.800 --> 06:52.800
+Y cuadrado e a la x y y cuadrado a la x
+simplemente los puedo eliminar de mi ecuación
+
+06:52.800 --> 07:06.800
+y yo lo que obtendría es que mi coseno de
+x menos coseno de x va a ser igual a la integral a esa expresión que yo tengo allí.
+
+07:06.800 --> 07:08.800
+A mi derivada de a la
+x.
+
+07:08.800 --> 07:12.800
+Así que ¿qué puedo hacer para hallar cuál
+es g de x?
+
+07:12.800 --> 07:15.800
+Exacto, volvemos a integrar nuevamente.
+
+07:15.800 --> 07:27.800
+Entonces yo tengo que la integral de menos,
+el menos lo puedo sacar de mi integral, coseno de x va a ser igual a la integral de la derivada de g de x.
+
+07:27.800 --> 07:31.800
+Por lo tanto eso va a ser igual a g de x.
+
+07:31.800 --> 07:41.800
+Ahora simplemente nos queda hallar esta
+integral y yo puedo deducir de ahí que la g de x por la integral de una función trigonométrica,
+
+07:41.800 --> 07:47.800
+la integral del coseno me queda seno,
+entonces esto me queda como menos seno de x.
+
+07:47.800 --> 07:52.800
+Y yo ya he encontrado el valor de g de x.
+
+07:52.800 --> 07:56.800
+Simplemente me queda reemplazarlo en mi
+función principal.
+
+07:56.800 --> 08:06.800
+Entonces ya sé que la solución va a ser e
+a la x y al cuadrado más g de x y sé que g de x es menos seno de x.
+
+08:06.800 --> 08:13.800
+Y no olvidemos que siempre queda una
+constante al final de toda mi integral.
+
+08:13.800 --> 08:23.800
+Y esa, esta que tenemos acá va a ser la
+solución de mi ecuación diferencial por el método de ecuaciones exactas.
+
+08:23.800 --> 08:35.800
+Recordemos, simplemente yo tengo una ecuación,
+yo miro, compruebo si es exacta y el siguiente paso será encontrar mi función a partir de integrar m o de integrar n.
+
+08:35.800 --> 08:49.800
+Una vez tengo integradas esas funciones me
+va a generar una función que depende de la otra variable y aplico la otra regla.
+
+08:49.800 --> 08:54.800
+Entonces derivo y vuelvo a integrar para
+encontrar esa función.
+
+08:54.800 --> 09:00.800
+Y con eso concluimos la solución de una
+ecuación diferencial por el método de ecuaciones exactas.
+
+09:00.800 --> 09:09.800
+Recapitulemos un poco, tenemos una ecuación,
+efectivamente comprobamos que es exacta y ya sabemos que se cumplen dos condiciones.
+
+09:09.800 --> 09:16.800
+Que la derivada de la función con respecto
+a x es m y que la derivada de la función con respecto a y es n.
+
+09:16.800 --> 09:27.800
+Así que el siguiente paso es integrar para
+encontrar esa función que nos va a dar como resultante un otro término que depende de la otra variable.
+
+09:27.800 --> 09:44.800
+Y nuestro siguiente paso será derivar para
+encontrar esa otra variable y al final integramos nuevamente para encontrar esa constante y así encontrar la solución general de mi ecuación diferencial.
+
+09:44.800 --> 09:48.800
+Espero que nos haya quedado super claro
+las ecuaciones diferenciales exactas.
+
+09:48.800 --> 09:53.800
+Vamos a ver otro método que se llaman
+ecuaciones homogéneas.
+
+09:53.800 --> 09:57.800
+Nos vemos en la próxima clase para ver
+este tipo de ecuaciones.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/08-Funciones Homogéneas y Métodos de Verificación.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:04d1fe59e026f4289d769eb70f2d3bbd4b27b1add7695fe0c96c716b996f988d
+size 69203676

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/08-Funciones Homogéneas y Métodos de Verificación.vtt

@@ -0,0 +1,217 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:10.160
+En esta clase veremos lo que es una
+función homogénea, pero antes hagamos un breve repaso
+
+00:10.160 --> 00:15.920
+por el recorrido que hemos dado hasta aquí.
+Nuestro primer paso es observar si nuestra
+
+00:15.920 --> 00:21.960
+ecuación es separable o no. En dado caso
+que no sea separable vamos a ver si es posible
+
+00:21.960 --> 00:28.480
+realizar una sustitución, si vemos un
+polinomio por el cual podamos sustituir nuestra ecuación
+
+00:28.480 --> 00:35.240
+para obtener una ecuación separable.
+En dado caso que no, vamos a verificar si esta ecuación
+
+00:35.240 --> 00:42.480
+es exacta. Y en dado caso que no sea exacta,
+miraremos si es homogénea o no. Y cómo podemos
+
+00:42.480 --> 00:48.400
+saber si una función es homogénea o no,
+cómo podemos identificarla. Recordemos que
+
+00:48.400 --> 00:54.440
+tenemos una ecuación de esta forma. Así
+verificábamos si una ecuación es exacta o no, pero cómo
+
+00:54.440 --> 01:01.880
+podemos verificar si una ecuación es
+homogénea o no. Lo primero que vamos a hacer es, existen
+
+01:01.880 --> 01:07.480
+dos métodos, el primero es aplicando una
+fórmula y el segundo método es por inspección.
+
+01:07.480 --> 01:14.240
+Cómo será esta fórmula, nos dice que si yo
+tengo mi función de Tx y de Ty y eso es
+
+01:14.240 --> 01:23.320
+igual a T a la n por x a la y, entonces la
+función es homogénea de grado n. ¿Qué significa
+
+01:23.320 --> 01:28.920
+esto? Que donde yo tenga x, voy a
+reemplazarlo por Tx y donde yo tenga y, voy a reemplazarlo
+
+01:28.920 --> 01:36.320
+por Ty y si al final yo encuentro un
+método de factorizar esa T, esa n que vemos allí
+
+01:36.320 --> 01:45.920
+va a ser el grado de mi orden homogénea.
+Y el segundo método consiste en inspeccionar
+
+01:45.920 --> 01:51.560
+cada término, cada grado de cada término y
+si el grado de cada término de mi función
+
+01:51.560 --> 01:58.120
+es exactamente el mismo, entonces yo digo
+que mi orden es de ese grado. Vamos a ver
+
+01:58.120 --> 02:04.820
+esto a través de un ejemplo muy sencillo.
+Vamos a evaluar si esta función es homogénea
+
+02:04.820 --> 02:11.480
+o no. Yo tengo en esta función, que tengo
+ahí mi n, que sería x cuadrado y cuadrado
+
+02:11.480 --> 02:17.400
+de y, porque es el término que acompaña a
+esa de y y tendría que mi m es y a la 4
+
+02:17.400 --> 02:27.080
+menos x a la 4 de x. Vamos a reemplazar
+ahora esas x y esas y por T a la x y T a la y y
+
+02:27.080 --> 02:32.960
+miremos qué resultado tenemos. Entonces en
+el primer término teníamos x cuadrado y
+
+02:32.960 --> 02:41.360
+cuadrado. Lo que yo tendría aquí es Tx
+cuadrado y Ty cuadrado y del otro lado de la ecuación
+
+02:41.360 --> 02:49.960
+yo tenía y a la 4 ahora tendré Ty a la 4
+menos Tx a la 4. Simplemente hemos reemplazado
+
+02:49.960 --> 02:57.860
+x y y por Tx y por Ty. Y solucionemos.
+Tx al cuadrado simplemente podría decir que
+
+02:57.860 --> 03:04.000
+este es T al cuadrado, x al cuadrado,
+hacemos lo mismo para el segundo término y de la
+
+03:04.000 --> 03:10.240
+misma forma para el lado derecho de mi
+expresión. Tendría lo que vemos en pantalla. Y como
+
+03:10.240 --> 03:15.960
+yo tengo en mi, al lado izquierdo de mi
+ecuación T al cuadrado por T al cuadrado me quedaría
+
+03:15.960 --> 03:24.040
+T a la 4. Las x y la y no la puedo
+multiplicar y del lado derecho podría factorizar. Yo
+
+03:24.040 --> 03:35.440
+podría factorizar T a la 4. Y como yo
+tengo un T a la 4 que me multiplica esa función,
+
+03:35.440 --> 03:43.280
+observemos que yo, ¿qué tengo? Al lado
+izquierdo tengo T a la 4 por x cuadrado y al cuadrado
+
+03:43.280 --> 03:49.840
+que era mi función original. Y del lado
+derecho tengo T a la 4 por lo que tenía antes y a
+
+03:49.840 --> 03:57.280
+la 4 menos x a la 4. Es decir, yo he
+factorizado ese T a la 4 por lo cual yo digo que esta
+
+03:57.280 --> 04:04.320
+función es homogénea de grado n. El
+segundo método es mucho más sencillo y se llama
+
+04:04.320 --> 04:11.120
+por inspección de datos. Simplemente yo
+tengo que mirar el grado de cada uno de los términos.
+
+04:11.120 --> 04:16.520
+¿Cuántos términos yo tengo acá? Tengo uno
+que es x cuadrado y al cuadrado. Tengo
+
+04:16.520 --> 04:23.160
+otro término que es y a la 4 y tengo otro
+término que es x a la 4. El grado del primer
+
+04:23.160 --> 04:29.760
+término, que es este, simplemente yo tengo
+que coger ambas variables y sumarle los exponentes.
+
+04:29.760 --> 04:38.800
+Es decir, 2 más 2 igual a 4. El segundo
+término sería y a la 4. Nuevamente yo solo miro los
+
+04:38.800 --> 04:45.440
+exponentes. Veo que el exponente es 4.
+Y para el tercer término yo tengo que su exponente
+
+04:45.440 --> 04:54.880
+es 4. Es decir, todos los exponentes de
+cada uno de mis términos son iguales. Es igual
+
+04:54.880 --> 05:01.200
+a 4. Por lo cual yo digo que mi función es
+homogénea de grado 4. Simplemente tengo que
+
+05:01.200 --> 05:06.200
+evaluar cada uno de los términos. Así que
+vamos a ver cuál es el procedimiento
+
+05:06.200 --> 05:11.600
+para solucionar una ecuación diferencial
+homogénea. Simplemente nuestro primer paso
+
+05:11.600 --> 05:15.960
+es verificar que la ecuación sea homogénea
+después de todo el recorrido que ya hemos
+
+05:15.960 --> 05:23.000
+hecho verificando que no sea exacta,
+por ejemplo. Luego de esto vamos a cambiar una de las variables.
+
+05:23.000 --> 05:30.200
+Donde yo tenga x voy a poner, por ejemplo,
+y por una nueva variable v. O donde yo tenga
+
+05:30.200 --> 05:37.920
+y voy a poner xv por v, dependiendo de
+cuál de las dos me resulte más sencilla. Luego
+
+05:37.920 --> 05:44.920
+de esto vamos a realizar una sustitución.
+Y la sustitución nos va a quedar de la misma
+
+05:44.920 --> 05:51.960
+forma donde reemplazaremos no solo la
+variable, sino también su derivada. Y por último vamos
+
+05:51.960 --> 05:58.680
+a integrar para resolver nuestra ecuación.
+Ya sabemos que la integral es una ayuda fundamental
+
+05:58.680 --> 06:04.520
+y que nos va a permitir ayudarlas a
+encontrar la solución de nuestro ejercicio. En la próxima
+
+06:04.520 --> 06:10.880
+clase veremos un ejemplo donde aplicaremos
+este proceso paso a paso y resolveremos una
+
+06:10.880 --> 06:22.880
+ecuación diferencial homogénea. Nos vemos.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/09-Resolución de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:d71a168b49b92306fa397e192ed89e31f08f8b7a480d6007c8b608bc263fc22f
+size 106265195

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/09-Resolución de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas.vtt

@@ -0,0 +1,629 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:03.760
+¿Cómo solucionar la función
+homogénea?
+
+00:04.260 --> 00:07.100
+Hasta aquí ya vimos dos
+formas
+
+00:07.100 --> 00:11.020
+en las que podemos comprobar que mi
+solución es homogénea o no.
+
+00:11.460 --> 00:14.460
+La primera puede que quede un poco
+complicada
+
+00:14.460 --> 00:17.100
+porque nos toca aplicar la
+fórmula
+
+00:17.100 --> 00:19.340
+y la segunda puede que resulte más
+sencilla
+
+00:19.340 --> 00:22.700
+porque inspeccionamos simplemente los
+datos de mi función.
+
+00:23.060 --> 00:24.780
+Ahora que ya sabemos
+cómo...
+
+00:25.580 --> 00:27.020
+qué es una función
+homogénea,
+
+00:27.020 --> 00:30.780
+vamos a solucionarla a través del método
+que vimos en la clase anterior.
+
+00:31.280 --> 00:32.620
+Vamos a
+mirar
+
+00:33.740 --> 00:36.820
+cómo podemos solucionar esta ecuación
+homogénea.
+
+00:36.820 --> 00:40.860
+Nuestro primer paso será hacer una
+sustitución.
+
+00:40.860 --> 00:43.420
+Vamos a sustituir en este
+caso
+
+00:43.420 --> 00:47.500
+mi variable y por una nueva variable
+u
+
+00:47.500 --> 00:49.300
+y por
+x.
+
+00:49.300 --> 00:51.980
+Recordemos que yo también podría sustituir
+x
+
+00:51.980 --> 00:55.940
+y al final tendría que dar exactamente el
+mismo resultado.
+
+00:55.940 --> 01:01.340
+Ya tengo y, ahora tengo que darle el
+diferencial de y.
+
+01:01.340 --> 01:03.820
+¿A qué va a ser igual el
+diferencial
+
+01:03.820 --> 01:06.540
+si yo tengo una multiplicación de dos
+funciones diferentes?
+
+01:06.540 --> 01:11.980
+Pues va a ser igual a la derivada de la
+primera por la segunda
+
+01:11.980 --> 01:17.460
+más la derivada de la segunda por la primera.
+
+01:17.460 --> 01:18.500
+¿Recuerdan?
+
+01:18.500 --> 01:21.220
+Recordemos los conceptos básicos de la
+derivada
+
+01:21.220 --> 01:23.300
+cuando yo tengo una multiplicación de
+funciones
+
+01:23.300 --> 01:26.820
+simplemente es la derivada de la primera
+por la segunda
+
+01:26.820 --> 01:28.860
+más la derivada de la segunda por la
+primera
+
+01:28.860 --> 01:30.540
+que es lo que tenemos acá
+escrito
+
+01:30.540 --> 01:34.260
+y ya tenemos las dos sustituciones que
+vamos a realizar
+
+01:34.260 --> 01:36.580
+a partir de nuestra
+función.
+
+01:36.580 --> 01:39.220
+Simplemente en nuestra función
+original
+
+01:39.220 --> 01:41.740
+vamos a cambiar y por u de
+x
+
+01:41.740 --> 01:45.980
+y de y por du por x más dx por
+u.
+
+01:45.980 --> 01:47.340
+Vamos a
+hacerlo.
+
+01:47.340 --> 01:50.100
+El primer término que tenemos es y al
+cuadrado
+
+01:50.100 --> 01:51.980
+pero y va a ser u de
+x
+
+01:51.980 --> 01:57.500
+así que yo tengo u por x al
+cuadrado
+
+01:57.500 --> 02:01.020
+menos x al cuadrado, esa no la cambio,
+
+02:01.020 --> 02:04.340
+todo esto por
+dx
+
+02:04.340 --> 02:09.260
+y esto va a ser igual a x que no la
+cambio
+
+02:09.260 --> 02:15.660
+por y, y que es u de x, u de x por
+dy
+
+02:15.660 --> 02:19.260
+y dy ya sabemos que es toda esta expresión
+que tengo acá
+
+02:19.260 --> 02:25.860
+entonces va a ser du x más dx por
+u
+
+02:25.860 --> 02:29.260
+y vamos a solucionar cada uno de estos
+términos.
+
+02:29.260 --> 02:31.020
+Empecemos por el
+primero,
+
+02:31.020 --> 02:34.260
+yo tengo dos términos elevados al
+cuadrado
+
+02:34.260 --> 02:37.540
+simplemente es cada uno de ellos elevados
+al cuadrado
+
+02:37.540 --> 02:44.020
+u al cuadrado, x al cuadrado, menos x al
+cuadrado por dx
+
+02:44.020 --> 02:46.100
+y esto va a ser igual a
+qué?
+
+02:46.100 --> 02:51.340
+a u por x por x, tengo u x al
+cuadrado
+
+02:51.340 --> 02:57.660
+por du x más dx
+u.
+
+02:57.660 --> 02:58.820
+¿De
+acuerdo?
+
+02:58.820 --> 03:03.660
+Y ahora multipliquemos cada uno de los
+términos por su factor,
+
+03:03.660 --> 03:10.060
+en este caso tendría u cuadrado x al
+cuadrado de x
+
+03:10.060 --> 03:12.900
+menos x al cuadrado de
+x.
+
+03:12.900 --> 03:15.020
+Acá lo que hicimos simplemente
+fue,
+
+03:15.020 --> 03:17.220
+como tengo una resta multiplicado por un
+factor
+
+03:17.220 --> 03:20.820
+simplemente es este por este menos este
+por este.
+
+03:20.820 --> 03:22.260
+¿De
+acuerdo?
+
+03:22.260 --> 03:24.980
+Y hagamos lo mismo a este lado de la ecuación,
+
+03:24.980 --> 03:32.180
+acá lo que vamos a tener es u, u x al
+cubo
+
+03:32.180 --> 03:37.420
+porque acá tengo otra x, x al cuadrado por x.
+
+03:37.420 --> 03:51.140
+A ver, tengo u x al cubo por du más u,
+u al cubo, u al cuadrado,
+
+03:51.140 --> 03:58.580
+tengo 2u por x al cuadrado por
+dx.
+
+03:58.580 --> 04:02.060
+Y ya tengo todos los términos de esta
+ecuación.
+
+04:02.060 --> 04:05.740
+Ahora lo que podemos ver es que este
+término de acá,
+
+04:05.740 --> 04:08.660
+lo vamos a colocar con otro
+color,
+
+04:08.660 --> 04:13.140
+este término de acá es exactamente el
+mismo que yo
+
+04:13.140 --> 04:16.420
+tengo acá y está en el lado contrario de
+la ecuación,
+
+04:16.420 --> 04:19.740
+o sea que si yo paso este a restar acá o
+este a restar acá
+
+04:19.740 --> 04:22.100
+se
+cancelaría.
+
+04:22.100 --> 04:25.300
+Entonces yo ya tengo menos términos,
+
+04:25.300 --> 04:32.780
+vamos a anotarlos acá, menos x cuadrado dx
+es igual a u x
+
+04:32.780 --> 04:35.860
+al cubo por
+du.
+
+04:35.860 --> 04:38.860
+Esto es lo que tenemos hasta el momento.
+
+04:38.860 --> 04:42.540
+Y ahora vamos a tratar de simplificar lo
+que tenemos
+
+04:42.540 --> 04:43.040
+allí.
+
+04:43.040 --> 04:48.380
+Por ejemplo, este x al cubo yo lo puedo
+bajar acá y tendría x
+
+04:48.380 --> 04:59.780
+al cuadrado sobre x al cubo menos dx es
+igual a u por du.
+
+04:59.780 --> 05:01.860
+¿Y qué tenemos
+acá?
+
+05:01.860 --> 05:02.380
+Exacto.
+
+05:02.380 --> 05:05.300
+Hemos encontrado una ecuación separable.
+
+05:05.300 --> 05:05.900
+¿Por
+qué?
+
+05:05.900 --> 05:10.260
+Porque a este lado tenemos todo lo de x y
+a este lado tenemos
+
+05:10.260 --> 05:11.940
+todo lo de
+u.
+
+05:11.940 --> 05:15.700
+x a la 2 sobre x a la 3 simplemente sería
+lo mismo que
+
+05:15.700 --> 05:21.020
+tener 1 sobre
+x.
+
+05:21.020 --> 05:27.260
+1 sobre x porque nos quedaría x a la menos 1.
+
+05:27.260 --> 05:31.660
+Y ya tengo lo que sería mi ecuación separable.
+
+05:31.660 --> 05:34.020
+Ya sabemos el procedimiento para
+solucionar una ecuación
+
+05:34.020 --> 05:34.820
+separable.
+
+05:34.820 --> 05:38.140
+Así que te invito a que pauses el video y
+trates de
+
+05:38.140 --> 05:39.860
+solucionarlo por ti
+mismo.
+
+05:39.860 --> 05:43.180
+Pero en dado caso que no lo recuerdes,
+vamos a refrescarlo.
+
+05:43.180 --> 05:46.540
+Vamos a solucionar esta ecuación separable.
+
+05:46.540 --> 05:52.140
+Para ello voy a borrar el tablero y vamos
+a continuar a
+
+05:52.140 --> 05:53.740
+partir de este
+punto.
+
+05:53.740 --> 05:56.180
+Ya vimos que el método de solución de
+ecuaciones
+
+05:56.180 --> 06:00.860
+homogéneas lo que busca es hacer dos
+sustituciones para el
+
+06:00.860 --> 06:04.740
+final nuevamente obtener una ecuación
+separable.
+
+06:04.740 --> 06:07.420
+Una ecuación separable que ya sabemos cómo
+resolver,
+
+06:07.420 --> 06:10.820
+pero que vamos a continuar desarrollando
+porque al final
+
+06:10.820 --> 06:14.580
+necesitamos resustituir esas variables que
+sustituimos al
+
+06:14.580 --> 06:15.420
+principio.
+
+06:15.420 --> 06:18.340
+Vamos a ver cómo sería este procedimiento.
+
+06:18.340 --> 06:21.860
+Esta fue la ecuación separable que yo
+obtuve a partir de esta
+
+06:21.860 --> 06:27.820
+ecuación homogénea y realizando estas dos
+sustituciones.
+
+06:27.820 --> 06:32.020
+Ahora lo que tenemos que hacer es
+simplemente integrar a cada
+
+06:32.020 --> 06:34.060
+lado.
+
+06:34.060 --> 06:36.420
+Y cuando yo integro a cada lado de mi
+ecuación,
+
+06:36.420 --> 06:39.380
+yo ya sé que la integral de esta parte va
+a ser igual al
+
+06:39.380 --> 06:43.020
+logaritmo natural de mi
+x.
+
+06:43.020 --> 06:44.460
+De
+acuerdo.
+
+06:44.460 --> 06:47.660
+Y acá tengo la integral de u con respecto a u.
+
+06:47.660 --> 06:50.860
+Simplemente vamos a sumar como hacemos con
+la x,
+
+06:50.860 --> 06:57.940
+normalmente u al cuadrado sobre 2 más una
+constante.
+
+06:57.940 --> 07:02.260
+Y este menos de acá lo teníamos acá,
+
+07:02.260 --> 07:06.180
+pero para simplificar los cálculos vamos a
+colocarlo al
+
+07:06.180 --> 07:06.860
+lado de
+allá.
+
+07:06.860 --> 07:10.340
+Entonces simplemente vamos a colocar acá
+positivo y acá
+
+07:10.340 --> 07:11.340
+negativo.
+
+07:11.340 --> 07:14.860
+Y en la constante no nos interesa porque
+positiva o
+
+07:14.860 --> 07:19.180
+negativa termina siendo una constante en
+nuestra ecuación.
+
+07:19.180 --> 07:23.220
+Así que ya tenemos logaritmo natural de x
+es igual a menos u
+
+07:23.220 --> 07:26.580
+cuadrado sobre 2 más
+c.
+
+07:26.580 --> 07:28.380
+Y tenemos un logaritmo
+natural.
+
+07:28.380 --> 07:31.060
+¿Cómo nos deshacemos de ese logaritmo
+natural?
+
+07:31.060 --> 07:32.700
+Utilizando la
+exponencial.
+
+07:32.700 --> 07:36.020
+Utilizamos la exponencial acá al lado de
+mi ecuación y me
+
+07:36.020 --> 07:41.860
+quedaría e a la logaritmo natural de x es
+igual a e a la
+
+07:41.860 --> 07:47.300
+menos u cuadrado sobre 2 más
+c.
+
+07:47.300 --> 07:49.260
+Utilizamos la ley de potencias
+acá,
+
+07:49.260 --> 07:51.820
+como yo tengo una suma de exponentes,
+
+07:51.820 --> 07:55.860
+entonces lo que yo tengo es logaritmo
+natural de x es igual
+
+07:55.860 --> 08:01.220
+a e a la menos u cuadrado sobre 2 por e a
+la c.
+
+08:01.220 --> 08:03.260
+Y yo tengo e a la
+c.
+
+08:03.260 --> 08:06.740
+e a la c es un número, es decir, e es un
+número.
+
+08:06.740 --> 08:08.580
+Y si lo multiplico por una constante,
+
+08:08.580 --> 08:13.860
+pues lo que voy a tener acá al final es
+otra constante.
+
+08:13.860 --> 08:18.620
+Y recordemos que exponencial con logaritmo
+natural se cancelan y
+
+08:18.620 --> 08:20.860
+nos quedaría solo lo que tenemos allí.
+
+08:20.860 --> 08:24.020
+Así que yo tengo
+x.
+
+08:24.020 --> 08:28.260
+x es igual a la exponencial de menos u
+cuadrado sobre 2 por c.
+
+08:28.260 --> 08:32.100
+Y ya tendría todo listo, solo me haría
+falta reemplazar.
+
+08:32.100 --> 08:34.340
+¿Qué es este valor de
+u?
+
+08:34.340 --> 08:38.140
+Pues simplemente acudimos a la sustitución
+que hemos hecho.
+
+08:38.140 --> 08:42.540
+Y yo digo que despejo u, simplemente paso
+la x al otro
+
+08:42.540 --> 08:44.940
+lado, y sobre
+x.
+
+08:44.940 --> 08:48.860
+Y vamos a reemplazar en lo que obtuvimos acá.
+
+08:48.860 --> 08:52.620
+Es igual a menos, el 1 medio lo puedo sacar.
+
+08:52.620 --> 08:59.380
+Y tengo y sobre x al cuadrado, todo esto
+por c.
+
+08:59.380 --> 09:04.620
+Y he hallado la solución para mi ecuación
+homogénea.
+
+09:04.620 --> 09:08.220
+Importante que siempre tiene que quedar en
+los términos de x y
+
+09:08.220 --> 09:12.380
+y, es decir, en los términos que fue
+principalmente expuesta
+
+09:12.380 --> 09:13.340
+a la
+ecuación.
+
+09:13.340 --> 09:16.300
+Es importante que no lo dejemos con la
+sustitución,
+
+09:16.300 --> 09:19.900
+sino que al final lleguemos a nuestra
+respuesta.
+
+09:19.900 --> 09:24.860
+Y con esto hemos concluido otro método
+para solucionar
+
+09:24.860 --> 09:26.540
+ecuaciones
+diferenciales.
+
+09:26.540 --> 09:29.340
+En la próxima clase veremos el método para
+solucionar
+
+09:29.340 --> 09:32.940
+ecuaciones diferenciales con coeficientes
+lineales.
+
+09:32.940 --> 09:42.580
+Nos vemos
+allá.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/10-Resolución de Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Lineales.mp4

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