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namespace OAI
noncomputable section
open Set Filter
open scoped ContDiff ENNReal
namespace FlatWeighted
variable {V : Type} [NormedAddCommGroup V] [InnerProductSpace ℝ V] [FiniteDimensional ℝ V]
def finiteLocalDomain (T a : ℝ) (p : V × ℝ) : Set (V × ℝ) :=
{q | ‖q.1‖<a ∧ -a^4<q.2 ∧ q.2<a^4 ∧ -T≤(chart p q).2 ∧ (chart p q).2<0}
def finiteYNorm (α w a T : ℝ) (f : V × ℝ → ℂ) : ℝ≥0∞ :=
⨆ p : {p : V × ℝ // -T≤p.2 ∧ p.2<0},
holderNorm α (finiteLocalDomain T a p.val) (pullback (w-4) p.val f)
def innerExtension (ψ : ℝ → ℝ) (T : ℝ) (f : V × ℝ → ℂ) (p : V × ℝ) : ℂ :=
if -T≤p.2 then f p else
ψ ((-p.2-T)/(‖p.1‖^2+Real.sqrt T)^2) • f (p.1,-T)
def ExtensionCutoff (ψ : ℝ → ℝ) : Prop :=
ContDiff ℝ ∞ ψ ∧ (∀ s : ℝ, 0 ≤ s → 0≤ψ s ∧ ψ s≤1) ∧
(∃ ε : ℝ, 0<ε ∧ ∀ s ∈ Icc 0 ε, ψ s=1) ∧ (∀ s : ℝ, 1 ≤ s → ψ s=0)
end FlatWeighted
end
end OAI
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