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import OAI.Combinatorics.BalancedRyser.Local.InjectionAuxiliaryExposure
namespace OAI
namespace Balanced.AlignedListProbability
open TupleAlignment PartialAlignment
noncomputable section
attribute [local instance] Classical.propDecidable
variable {F : Type*} [Field F] [Fintype F] [DecidableEq F]
def generatedOffsets (d : Fin 4 → Direction F)
(hd : ∀ i, d i ≠ d (i + 1)) (σ : Fin 4 → Bool)
(g : Direction F) (hg : ∀ i, d i ≠ g) (c : F)
(J : Finset (Fin 4)) (hJ : J.card ≤ 1) (a : Fin 4 → Bool → F)
(x : {i : Fin 4 // i ∈ freePositions J} → F) : Fin 4 → Bool → F :=
((alignedFreeCoordinatesEquiv d hd σ g hg c J hJ a).symm x).1.1
def generatedPositions (d : Fin 4 → Direction F)
(hd : ∀ i, d i ≠ d (i + 1)) (σ : Fin 4 → Bool)
(g : Direction F) (hg : ∀ i, d i ≠ g) (c : F)
(J : Finset (Fin 4)) (hJ : J.card ≤ 1) (a : Fin 4 → Bool → F)
(x : {i : Fin 4 // i ∈ freePositions J} → F) : Fin 4 → Point F :=
tuplePositionEquiv d hd σ (generatedOffsets d hd σ g hg c J hJ a x)
theorem generatedPositions_old_left (d : Fin 4 → Direction F)
(hd : ∀ i, d i ≠ d (i + 1)) (σ : Fin 4 → Bool)
(g : Direction F) (hg : ∀ i, d i ≠ g) (c : F)
(J : Finset (Fin 4)) (hJ : J.card ≤ 1) (a : Fin 4 → Bool → F)
(x : {i : Fin 4 // i ∈ freePositions J} → F) (i : Fin 4) (hi : i ∈ J) :
generatedPositions d hd σ g hg c J hJ a x i =
lineIntersection (d i, a i (σ i)) (g,c) :=
alignedPartial_position_old_left d hd σ g hg c J a
((alignedFreeCoordinatesEquiv d hd σ g hg c J hJ a).symm x) i hi
theorem generatedPositions_old_right (d : Fin 4 → Direction F)
(hd : ∀ i, d i ≠ d (i + 1)) (σ : Fin 4 → Bool)
(g : Direction F) (hg : ∀ i, d i ≠ g) (c : F)
(J : Finset (Fin 4)) (hJ : J.card ≤ 1) (a : Fin 4 → Bool → F)
(x : {i : Fin 4 // i ∈ freePositions J} → F) (i : Fin 4) (hi : i + 1 ∈ J) :
generatedPositions d hd σ g hg c J hJ a x i =
lineIntersection (d (i+1), a (i+1) (!(σ (i+1)))) (g,c) :=
alignedPartial_position_old_right d hd σ g hg c J a
((alignedFreeCoordinatesEquiv d hd σ g hg c J hJ a).symm x) i hi
theorem generatedPositions_free (d : Fin 4 → Direction F)
(hd : ∀ i, d i ≠ d (i + 1)) (σ : Fin 4 → Bool)
(g : Direction F) (hg : ∀ i, d i ≠ g) (c : F)
(J : Finset (Fin 4)) (hJ : J.card ≤ 1) (a : Fin 4 → Bool → F)
(x : {i : Fin 4 // i ∈ freePositions J} → F)
(i : {i : Fin 4 // i ∈ freePositions J}) :
generatedPositions d hd σ g hg c J hJ a x i =
((linePointEquiv g c).symm (x i)).1 :=
alignedPartial_generated_free d hd σ g hg c J hJ a x i
theorem generatedPositions_agree_old (d d' : Fin 4 → Direction F)
(hd : ∀ i, d i ≠ d (i + 1)) (hd' : ∀ i, d' i ≠ d' (i + 1))
(σ : Fin 4 → Bool) (g : Direction F)
(hg : ∀ i, d i ≠ g) (hg' : ∀ i, d' i ≠ g) (c : F)
(J : Finset (Fin 4)) (hJ : J.card ≤ 1) (a a' : Fin 4 → Bool → F)
(hdir : ∀ i ∈ J, d i = d' i) (hoff : ∀ i ∈ J, a i = a' i)
(x : {i : Fin 4 // i ∈ freePositions J} → F) :
generatedPositions d hd σ g hg c J hJ a x =
generatedPositions d' hd' σ g hg' c J hJ a' x := by
funext i
by_cases hi : i ∈ J
· rw [generatedPositions_old_left d hd σ g hg c J hJ a x i hi,
generatedPositions_old_left d' hd' σ g hg' c J hJ a' x i hi,
hdir i hi, hoff i hi]
· by_cases hn : i + 1 ∈ J
· rw [generatedPositions_old_right d hd σ g hg c J hJ a x i hn,
generatedPositions_old_right d' hd' σ g hg' c J hJ a' x i hn,
hdir (i+1) hn, hoff (i+1) hn]
· have hf : i ∈ freePositions J := by simp [freePositions, hi, hn]
exact (generatedPositions_free d hd σ g hg c J hJ a x ⟨i,hf⟩).trans
(generatedPositions_free d' hd' σ g hg' c J hJ a' x ⟨i,hf⟩).symm
theorem generatedOffsets_from_positions (d : Fin 4 → Direction F)
(hd : ∀ i, d i ≠ d (i + 1)) (σ : Fin 4 → Bool)
(g : Direction F) (hg : ∀ i, d i ≠ g) (c : F)
(J : Finset (Fin 4)) (hJ : J.card ≤ 1) (a : Fin 4 → Bool → F)
(x : {i : Fin 4 // i ∈ freePositions J} → F) (i : Fin 4) (s : Bool) :
generatedOffsets d hd σ g hg c J hJ a x i s =
if s = σ i then lineEval (d i) (generatedPositions d hd σ g hg c J hJ a x i)
else lineEval (d i) (generatedPositions d hd σ g hg c J hJ a x (i-1)) := by
have h := congrFun (congrFun
((tuplePositionEquiv d hd σ).symm_apply_apply
(generatedOffsets d hd σ g hg c J hJ a x)) i) s
simpa only [tuplePositionEquiv_symm_apply, generatedPositions] using h.symm
def generatedPointLaw (d : Fin 4 → Direction F)
(hd : ∀ i, d i ≠ d (i + 1)) (σ : Fin 4 → Bool)
(g : Direction F) (hg : ∀ i, d i ≠ g) (c : F)
(J : Finset (Fin 4)) (hJ : J.card ≤ 1) (a : Fin 4 → Bool → F) :
PMF (Fin 4 → Point F) :=
(PMF.uniformOfFintype ({i : Fin 4 // i ∈ freePositions J} → F)).map
(generatedPositions d hd σ g hg c J hJ a)
theorem generatedPointLaw_agree_old (d d' : Fin 4 → Direction F)
(hd : ∀ i, d i ≠ d (i + 1)) (hd' : ∀ i, d' i ≠ d' (i + 1))
(σ : Fin 4 → Bool) (g : Direction F)
(hg : ∀ i, d i ≠ g) (hg' : ∀ i, d' i ≠ g) (c : F)
(J : Finset (Fin 4)) (hJ : J.card ≤ 1) (a a' : Fin 4 → Bool → F)
(hdir : ∀ i ∈ J, d i = d' i) (hoff : ∀ i ∈ J, a i = a' i) :
generatedPointLaw d hd σ g hg c J hJ a =
generatedPointLaw d' hd' σ g hg' c J hJ a' := by
unfold generatedPointLaw
congr 1
funext x
exact generatedPositions_agree_old d d' hd hd' σ g hg hg' c J hJ a a' hdir hoff x
end
end Balanced.AlignedListProbability
end OAI
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