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import Mathlib.Tactic.SplitIfs
namespace OAI
/-! # A literal one-cell lower-bound reduction
Requiring the selected entry to be at least t is equivalent to subtracting
t from that entry, its incident margins and its capacity. The three guards
are retained explicitly, including for zero margins and structural zeros.
-/
namespace ContingencyTables.BoundedCellShift
open scoped BigOperators
variable {m n : ℕ}
def margin (r : Fin m→ℕ) (i₀ : Fin m) (t : ℕ) (i : Fin m) : ℕ :=
if i=i₀ then r i-t else r i
def lower (X : Fin m→Fin n→ℕ) (i₀ : Fin m) (j₀ : Fin n) (t : ℕ)
(i : Fin m) (j : Fin n) : ℕ :=
if i=i₀ ∧ j=j₀ then X i j-t else X i j
def raise (X : Fin m→Fin n→ℕ) (i₀ : Fin m) (j₀ : Fin n) (t : ℕ)
(i : Fin m) (j : Fin n) : ℕ :=
X i j+if i=i₀ ∧ j=j₀ then t else 0
lemma lower_raise (X : Fin m→Fin n→ℕ) (i₀ : Fin m) (j₀ : Fin n) (t : ℕ) :
lower (raise X i₀ j₀ t) i₀ j₀ t=X := by
funext i j
by_cases hi : i=i₀ <;> by_cases hj : j=j₀ <;> simp [lower,raise,hi,hj]
lemma raise_lower (X : Fin m→Fin n→ℕ) (i₀ : Fin m) (j₀ : Fin n) (t : ℕ)
(ht : t≤X i₀ j₀) : raise (lower X i₀ j₀ t) i₀ j₀ t=X := by
funext i j
by_cases hi : i=i₀ <;> by_cases hj : j=j₀
· subst i; subst j
simpa only [raise,lower,ite_true,true_and,add_zero] using Nat.sub_add_cancel ht
all_goals simp [lower,raise,hi,hj]
lemma raise_row_sum (X : Fin m→Fin n→ℕ) (i₀ : Fin m) (j₀ : Fin n)
(t : ℕ) (i : Fin m) :
(∑ j,raise X i₀ j₀ t i j)=(∑ j,X i j)+if i=i₀ then t else 0 := by
by_cases hi : i=i₀
· subst i
simp [raise,Finset.sum_add_distrib]
· simp [raise,hi]
lemma raise_column_sum (X : Fin m→Fin n→ℕ) (i₀ : Fin m) (j₀ : Fin n)
(t : ℕ) (j : Fin n) :
(∑ i,raise X i₀ j₀ t i j)=(∑ i,X i j)+if j=j₀ then t else 0 := by
by_cases hj : j=j₀
· subst j
simp [raise,Finset.sum_add_distrib]
· simp [raise,hj]
lemma lower_margins (X : Fin m→Fin n→ℕ) (r : Fin m→ℕ) (c : Fin n→ℕ)
(i₀ : Fin m) (j₀ : Fin n) (t : ℕ) (hm : HasMargins X r c)
(ht : t≤X i₀ j₀) :
HasMargins (lower X i₀ j₀ t) (margin r i₀ t) (margin c j₀ t) := by
have he := raise_lower X i₀ j₀ t ht
constructor
· intro i
by_cases hi : i=i₀
· subst i
have hs := raise_row_sum (lower X i₀ j₀ t) i₀ j₀ t i₀
rw [he,hm.1 i₀] at hs
simp only [ite_true] at hs
simp only [margin,ite_true]
omega
· have hs := raise_row_sum (lower X i₀ j₀ t) i₀ j₀ t i
rw [he,hm.1 i] at hs
simpa only [margin,hi,ite_false,Nat.add_zero] using hs.symm
· intro j
by_cases hj : j=j₀
· subst j
have hs := raise_column_sum (lower X i₀ j₀ t) i₀ j₀ t j₀
rw [he,hm.2 j₀] at hs
simp only [ite_true] at hs
simp only [margin,ite_true]
omega
· have hs := raise_column_sum (lower X i₀ j₀ t) i₀ j₀ t j
rw [he,hm.2 j] at hs
simpa only [margin,hj,ite_false,Nat.add_zero] using hs.symm
lemma raise_margins (Y : Fin m→Fin n→ℕ) (r : Fin m→ℕ) (c : Fin n→ℕ)
(i₀ : Fin m) (j₀ : Fin n) (t : ℕ)
(hr : t≤r i₀) (hc : t≤c j₀)
(hm : HasMargins Y (margin r i₀ t) (margin c j₀ t)) :
HasMargins (raise Y i₀ j₀ t) r c := by
constructor
· intro i
rw [raise_row_sum,hm.1 i]
by_cases hi : i=i₀
· subst i
simpa [margin] using Nat.sub_add_cancel hr
· simp [margin,hi]
· intro j
rw [raise_column_sum,hm.2 j]
by_cases hj : j=j₀
· subst j
simpa [margin] using Nat.sub_add_cancel hc
· simp [margin,hj]
lemma lower_bounds (X b : Fin m→Fin n→ℕ) (i₀ : Fin m) (j₀ : Fin n)
(t : ℕ) (hb : ∀ i j,X i j≤b i j) :
∀ i j,lower X i₀ j₀ t i j≤lower b i₀ j₀ t i j := by
intro i j
unfold lower
split_ifs
· exact Nat.sub_le_sub_right (hb i j) t
· exact hb i j
lemma raise_bounds (Y b : Fin m→Fin n→ℕ) (i₀ : Fin m) (j₀ : Fin n)
(t : ℕ) (ht : t≤b i₀ j₀)
(hb : ∀ i j,Y i j≤lower b i₀ j₀ t i j) :
∀ i j,raise Y i₀ j₀ t i j≤b i j := by
intro i j
have h := hb i j
by_cases hi : i=i₀ <;> by_cases hj : j=j₀
· subst i; subst j
simp only [lower,ite_true,true_and] at h
simp only [raise,ite_true,true_and]
omega
all_goals simpa [raise,lower,hi,hj] using h
theorem feasible_lower_iff (r : Fin m→ℕ) (c : Fin n→ℕ)
(b : Fin m→Fin n→ℕ) (i₀ : Fin m) (j₀ : Fin n) (t : ℕ) :
(∃ X,HasMargins X r c ∧ (∀ i j,X i j≤b i j) ∧ t≤X i₀ j₀) ↔
t≤r i₀ ∧ t≤c j₀ ∧ t≤b i₀ j₀ ∧
∃ Y,HasMargins Y (margin r i₀ t) (margin c j₀ t) ∧
∀ i j,Y i j≤lower b i₀ j₀ t i j := by
constructor
· rintro ⟨X,hm,hb,ht⟩
have hc : X i₀ j₀≤c j₀ := by
rw [←hm.2 j₀]
exact Finset.single_le_sum (f := fun i=>X i j₀) (fun _ _=>Nat.zero_le _)
(Finset.mem_univ i₀)
exact ⟨ht.trans (entry_le_row hm i₀ j₀),ht.trans hc,ht.trans (hb i₀ j₀),
lower X i₀ j₀ t,lower_margins X r c i₀ j₀ t hm ht,lower_bounds X b i₀ j₀ t hb⟩
· rintro ⟨hr,hc,hb,Y,hm,hy⟩
refine ⟨raise Y i₀ j₀ t,raise_margins Y r c i₀ j₀ t hr hc hm,
raise_bounds Y b i₀ j₀ t hb hy,?_⟩
simp only [raise,ite_true,true_and]
omega
end ContingencyTables.BoundedCellShift
end OAI
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