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namespace OAI
namespace PlanarHalving
abbrev Point := ℝ × ℝ
def orient (p q r : Point) : ℝ :=
(q.1 - p.1) * (r.2 - p.2) - (q.2 - p.2) * (r.1 - p.1)
def GeneralPosition {n : ℕ} (P : Fin n → Point) : Prop :=
Function.Injective P ∧ ∀ i j l, i ≠ j → j ≠ l → i ≠ l →
orient (P i) (P j) (P l) ≠ 0
noncomputable def sideCount {n : ℕ} (P : Fin n → Point) (i j : Fin n) : ℕ :=
(Finset.univ.filter fun l => 0 < orient (P i) (P j) (P l)).card
noncomputable def halvingCount {n : ℕ} (P : Fin n → Point) : ℕ :=
(Finset.univ.filter fun ij : Fin n × Fin n =>
ij.1 < ij.2 ∧ sideCount P ij.1 ij.2 = (n - 2) / 2 ∧
sideCount P ij.2 ij.1 = (n - 2) / 2).card
noncomputable def slope (p q : Point) : ℝ := (q.2 - p.2) / (q.1 - p.1)
def Generic {n : ℕ} (P : Fin n → Point) : Prop :=
GeneralPosition P ∧
(∀ i j, i ≠ j → (P i).1 ≠ (P j).1) ∧
(∀ i j a b, i < j → a < b → slope (P i) (P j) = slope (P a) (P b) →
i = a ∧ j = b) ∧
(∀ i j a b c d, i < j → a < b → c < d →
(i, j) ≠ (a, b) → (c, d) ≠ (i, j) → (c, d) ≠ (a, b) →
∀ z : Point, z ∈ openSegment ℝ (P i) (P j) →
z ∈ openSegment ℝ (P a) (P b) → z ∉ segment ℝ (P c) (P d))
noncomputable def belowCount {n : ℕ} (P : Fin n → Point) (i j : Fin n) : ℕ :=
let s := slope (P i) (P j)
(Finset.univ.filter fun l => (P l).2 - s * (P l).1 <
(P i).2 - s * (P i).1).card
noncomputable def switchCount {n : ℕ} (P : Fin n → Point) (k : ℕ) : ℕ :=
(Finset.univ.filter fun ij : Fin n × Fin n =>
ij.1 < ij.2 ∧ 0 < k ∧ k < n ∧ belowCount P ij.1 ij.2 = k - 1).card
end PlanarHalving
end OAI
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