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import OAI.Geometry.CylinderCovering.Rational.SimilarityDefinitions
namespace OAI
noncomputable section
namespace RationalDictionary
abbrev Plane := EuclideanSpace ℝ (Fin 2)
abbrev Space := EuclideanSpace ℝ (Fin 3)
def vec2 (x y : ℝ) : Plane := !₂[x, y]
def vec3 (x y z : ℝ) : Space := !₂[x, y, z]
def c0 : ℝ := 1 / Real.sqrt 2
def ell : ℝ := 1 / (2 * Real.sqrt 2)
def g (d0 s : ℝ) : ℝ := (1 + d0) / (s + d0)
def gPrime (d0 s : ℝ) : ℝ := -(1 + d0) / (s + d0) ^ 2
def v1 (d0 u s : ℝ) : ℝ :=
c0 ^ 2 * s * g d0 s + (1 / 2) * (c0 ^ 2 * s ^ 2 - u ^ 2) * gPrime d0 s
def v2 (d0 u s : ℝ) : ℝ := u * g d0 s
def velocity (d0 : ℝ) (p : Plane) : Plane := vec2 (v1 d0 (p 0) (p 1)) (v2 d0 (p 0) (p 1))
def A0 (d0 : ℝ) : ℝ := c0 ^ 2 * (1 - 1 / (2 * (1 + d0)))
def B0 (d0 : ℝ) : ℝ := 1 / (2 * (1 + d0))
def a0 (d0 u : ℝ) : ℝ := A0 d0 * u ^ 2 + B0 d0 * u ^ 4
def uncenteredDomain (d0 eta0 k : ℝ) : Set Plane :=
{p | 0 ≤ p 1 ∧ p 1 ≤ 3 / 2 ∧ |p 0| ≤ c0 * p 1 ∧
p 1 ≤ 1 + k ^ 2 * (a0 d0 (p 0) + eta0)}
def labelMap (p : Plane) : Plane := vec2 (ell * p 0) ((1 - p 1) / 2)
def centeredRegularization (d0 : ℝ) : ℝ := d0 / 2
def centeredTilt (d0 k : ℝ) : ℝ := 4 * (1 + d0) * k
def centeredPadding (eta0 k : ℝ) : ℝ := eta0 * k ^ 2 / 2
def centeredMargin (d0 eta0 : ℝ) : ℝ := eta0 / (32 * (1 + d0) ^ 2)
def lineMap (d0 k r : ℝ) (p : Plane) : Plane := p + (r * k) • velocity d0 p
def inverseLabelMap (p : Plane) : Plane := vec2 (p 0 / ell) (1 - 2 * p 1)
def reflectLabel (p : Plane) : Plane := vec2 (-p 0) (p 1)
def uncenteredFirstSweep (d0 eta0 k : ℝ) : Set Space :=
{z | ∃ p ∈ uncenteredDomain d0 eta0 k, ∃ r : ℝ, |r| ≤ 2 * c0 ∧
z = vec3 r (lineMap d0 k r p 0) (lineMap d0 k r p 1)}
def uncenteredSecondSweep (d0 eta0 k : ℝ) : Set Space :=
{z | ∃ p ∈ uncenteredDomain d0 eta0 k, ∃ r : ℝ, |r| ≤ 2 * c0 ∧
z = vec3 (lineMap d0 k (-r) p 0) r (2 - lineMap d0 k (-r) p 1)}
def centeredFirstPoint (d eps x : ℝ) (p : Plane) : Space :=
vec3 x (p 0 + eps * x * SlopeRational.a d (p 0) (p 1))
(c0 * (p 1 + eps * x * SlopeRational.b d (p 0) (p 1)))
def centeredSecondPoint (d eps y : ℝ) (p : Plane) : Space :=
vec3 (p 0 - eps * y * SlopeRational.a d (p 0) (p 1)) y
(-c0 * (p 1 - eps * y * SlopeRational.b d (p 0) (p 1)))
def centeredFirstSweep (d eps q : ℝ) : Set Space :=
{z | ∃ p ∈ SlopeRational.labelDomain d eps q, ∃ x : ℝ, |x| ≤ 1 / 2 ∧
z = centeredFirstPoint d eps x p}
def centeredSecondSweep (d eps q : ℝ) : Set Space :=
{z | ∃ p ∈ SlopeRational.labelDomain d eps q, ∃ y : ℝ, |y| ≤ 1 / 2 ∧
z = centeredSecondPoint d eps y p}
def threshold (d0 k r u : ℝ) : ℝ :=
1 + k * r * u + k ^ 2 * (a0 d0 u - r ^ 2 * v1 d0 u 1)
def uncenteredWeight (d0 k : ℝ) (p : Plane) : ℝ :=
1 / Real.sqrt (1 + k ^ 2 * (v1 d0 (p 0) (p 1) ^ 2 + v2 d0 (p 0) (p 1) ^ 2))
def centeredWeight (d eps : ℝ) (p : Plane) : ℝ :=
c0 / Real.sqrt (1 + eps ^ 2 *
(SlopeRational.a d (p 0) (p 1) ^ 2 + c0 ^ 2 * SlopeRational.b d (p 0) (p 1) ^ 2))
def uncenteredCost (d0 eta0 k : ℝ) : ℝ :=
∫ p in uncenteredDomain d0 eta0 k, uncenteredWeight d0 k p
def centeredCost (d eps q : ℝ) : ℝ :=
∫ p in SlopeRational.labelDomain d eps q, centeredWeight d eps p
end RationalDictionary
end
end OAI
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