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namespace OAI
noncomputable section
namespace SlopeRational
abbrev Plane := EuclideanSpace ℝ (Fin 2)
def vec2 (x y : ℝ) : Plane := WithLp.toLp 2 ![x, y]
def radius (T : ℝ) : ℝ := 1 / 2 - T
def potential (d Y T : ℝ) : ℝ :=
(Y ^ 2 - radius T ^ 2 / 4) / (4 * (radius T + d))
def a (d Y T : ℝ) : ℝ :=
-Y ^ 2 / (4 * (radius T + d) ^ 2) -
radius T * (radius T + 2 * d) / (16 * (radius T + d) ^ 2)
def b (d Y T : ℝ) : ℝ := Y / (2 * (radius T + d))
def field (d : ℝ) (z : Plane) : Plane := vec2 (a d (z 0) (z 1)) (b d (z 0) (z 1))
def wedge : Set Plane := {z | 2 * |z 0| ≤ radius (z 1)}
def alpha (d : ℝ) : ℝ := 1 / (1 + 2 * d)
def ceilingConstant (d : ℝ) : ℝ :=
((1 / 2 : ℝ) * (1 / 2 + 2 * d)) / (16 * (1 / 2 + d) ^ 2)
def ceilingQuadratic (d : ℝ) : ℝ := 1 / (4 * (1 / 2 + d) ^ 2)
def ceilingCoefficient (d Y : ℝ) : ℝ := ceilingConstant d + ceilingQuadratic d * Y ^ 2
def ceilingPolynomial (d Y : ℝ) : ℝ := alpha d * ceilingCoefficient d Y * Y ^ 2
def labelDomain (d ε q : ℝ) : Set Plane :=
{z | z ∈ wedge ∧ -(1 / 4 : ℝ) ≤ z 1 ∧
-ε ^ 2 * ceilingPolynomial d (z 0) - q ≤ z 1}
end SlopeRational
end
end OAI
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