| import Mathlib |
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| namespace OAI |
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| noncomputable section |
| namespace RadialPhysical |
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| abbrev Space := EuclideanSpace ℝ (Fin 3) |
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| def height (b : ℝ) : ℝ := Real.sqrt 2 * b |
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| def point (b x y t : ℝ) : Space := !₂[x, y, height b * t] |
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| def canonicalPoint (X Y Z : ℝ) : Space := !₂[X, Y, Real.sqrt 2 * Z] |
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| def tetrahedron (b : ℝ) : Set Space := |
| {z | ∃ x y t : ℝ, 0 ≤ t ∧ t ≤ 1 ∧ |x| ≤ b * t ∧ |
| |y| ≤ b * (1 - t) ∧ z = point b x y t} |
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| def effectiveTilt (b eta : ℝ) : ℝ := eta * b ^ 2 |
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| def capPolynomial (b beta s : ℝ) : ℝ := |
| (s ^ 4 + b ^ 2 * s ^ 2) / 4 + b ^ 4 * beta / 2 |
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| def linearCap (b eta beta s : ℝ) : ℝ := 1 / 2 + eta ^ 2 * capPolynomial b beta s |
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| def squareCap (b eta beta s : ℝ) : ℝ := Real.sqrt (1 / 4 + eta ^ 2 * capPolynomial b beta s) |
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| def canonicalProfile (r : ℝ) : ℝ := (r ^ 4 + r ^ 2) / 2 |
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| def canonicalSpeed (r : ℝ) : ℝ := (1 + r ^ 2) ^ 2 / 4 + 2 * r ^ 2 |
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| def canonicalCost (eps : ℝ) (R : ℝ → ℝ) : ℝ := |
| ∫ r in (-1 : ℝ)..1, R r ^ 2 / (2 * Real.sqrt (1 + eps ^ 2 * canonicalSpeed r)) |
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| def scaledDensity (b eta : ℝ) (T : ℝ → ℝ) (s : ℝ) : ℝ := |
| T s ^ 2 / Real.sqrt (1 + eta ^ 2 * ((s ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 / 4 + height b ^ 2 * s ^ 2)) |
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| def scaledCost (b eta : ℝ) (T : ℝ → ℝ) : ℝ := |
| height b * ∫ s in -b..b, scaledDensity b eta T s |
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| def mapToCanonical (b : ℝ) (z : Space) : Space := |
| (2 / b) • z - !₂[0, 0, Real.sqrt 2] |
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| def relativeQuadraticTerm (b eta beta : ℝ) : ℝ := |
| (2 * beta - 1 / 30) * effectiveTilt b eta ^ 2 |
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| def nonorthPoint (p q t : ℝ) : Space := |
| !₂[p / Real.sqrt 2, q / Real.sqrt 2, t] |
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| def centeredLinearCap (b eta beta s : ℝ) : ℝ := |
| 1 + eta ^ 2 * ((s ^ 4 + b ^ 2 * s ^ 2) / 2 + b ^ 4 * beta) |
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| def quadraticCost (b eta beta : ℝ) : ℝ := |
| b * height b / 2 * (1 + relativeQuadraticTerm b eta beta) |
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| def centeredTetrahedron (b : ℝ) : Set Space := |
| {z | ∃ x y t : ℝ, -1 ≤ t ∧ t ≤ 1 ∧ |x| ≤ b * (1 + t) ∧ |
| |y| ≤ b * (1 - t) ∧ z = point b x y t} |
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| def mapCenteredToCanonical (b : ℝ) (z : Space) : Space := (1 / b) • z |
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| end RadialPhysical |
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| end |
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| end OAI |
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