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 a/Curso[[:space:]]de[[:space:]]Ecuaciones[[:space:]]Diferenciales/03-Ecuaciones[[:space:]]Diferenciales[[:space:]]de[[:space:]]Primer[[:space:]]Orden/08-Funciones[[:space:]]Homogéneas[[:space:]]y[[:space:]]Métodos[[:space:]]de[[:space:]]Verificación.mp4 filter=lfs diff=lfs merge=lfs -text
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+a/Curso[[:space:]]de[[:space:]]Ecuaciones[[:space:]]Diferenciales/03-Ecuaciones[[:space:]]Diferenciales[[:space:]]de[[:space:]]Primer[[:space:]]Orden/17-Identificación[[:space:]]y[[:space:]]Solución[[:space:]]de[[:space:]]Ecuaciones[[:space:]]Diferenciales[[:space:]]Lineales.mp4 filter=lfs diff=lfs merge=lfs -text
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a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/10-Resolución de Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Lineales.vtt

@@ -0,0 +1,117 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:09.520
+La ruta que tenemos hasta el momento es,
+primero yo encuentro una ecuación diferencial, yo
+
+00:09.520 --> 00:16.200
+voy a tratar de solucionarla por el método
+de la separación de variables, si no es posible
+
+00:16.200 --> 00:22.000
+busco un polinomio para tratar de hacer
+una sustitución lineal, en dado caso que no sea
+
+00:22.000 --> 00:30.760
+posible verifico si la función es exacta o no,
+si no es exacta verificamos si es homogénea
+
+00:30.760 --> 00:37.200
+utilizando las fórmulas y los métodos que
+vimos en la clase pasada, pero si no es pues
+
+00:37.200 --> 00:44.480
+que te encuentres con una ecuación de este
+estilo, y que es esto, es una ecuación con
+
+00:44.480 --> 00:50.520
+coeficientes lineales, ¿como reconocemos
+una ecuación con coeficientes lineales?,
+
+00:50.520 --> 00:57.720
+porque al igual que en la sustitución
+lineal encontramos un x, un y que están solitos
+
+00:57.720 --> 01:06.160
+y una constante, y los coeficientes que
+acompañan esas variables, mi x y mi y son coeficientes
+
+01:06.160 --> 01:12.880
+constantes, por ejemplo como la ecuación
+que tenemos aquí en pantallas, ahora bien
+
+01:12.880 --> 01:18.120
+tu te estarás preguntando pero porque no
+utilizo una sustitución lineal, la sustitución
+
+01:18.120 --> 01:24.960
+lineal no funciona si tenemos un solo
+polinomio que reemplazar, pero en este caso ya vemos
+
+01:24.960 --> 01:31.160
+que tenemos dos polinomios que sustituir,
+por lo tanto ese método no nos sirve, cuando
+
+01:31.160 --> 01:36.680
+tengamos algo de este estilo vemos allí
+que los coeficientes que acompañan mi variable
+
+01:36.680 --> 01:43.680
+son el 3, el 2 y que tenemos las
+constantes menos 3, 4 y más 1 y ya hemos descartado
+
+01:43.680 --> 01:49.480
+todas las opciones que vimos anteriormente,
+lo que vamos a hacer es una traslación de
+
+01:49.480 --> 01:55.440
+los ejes con un cambio de variables,
+¿que es una traslación de los ejes?, simplemente
+
+01:55.440 --> 02:02.160
+es que yo voy a reemplazar mi variable x
+por ejemplo por una nueva variable con una traslación,
+
+02:02.160 --> 02:09.320
+le voy a sumar una constante y por ejemplo
+a mi variable y también la tengo que trasladar,
+
+02:09.320 --> 02:16.400
+ambas variables la transformo, ¿esto para
+qué?, para poder obtener una ecuación homogénea
+
+02:16.400 --> 02:22.200
+a partir de esta ecuación con coeficientes
+lineales y a partir de esa ecuación homogénea
+
+02:22.200 --> 02:27.920
+nosotros ya vimos que lo que obtenemos es
+una ecuación separable, así es, cuando tenemos
+
+02:27.920 --> 02:32.640
+ecuaciones con coeficientes lineales vamos
+a hacer todo un procedimiento para convertirla
+
+02:32.640 --> 02:39.040
+en homogénea y esa homogénea la vamos a
+convertir en una separable para al final integrar y
+
+02:39.040 --> 02:44.840
+obtener la solución de nuestra ecuación
+diferencial, por eso era que les mencionaba
+
+02:44.840 --> 02:50.200
+la importancia de las ecuaciones de
+variables separables porque van a ser y van a tener
+
+02:50.200 --> 02:54.560
+muchas aplicaciones en todos los
+ejercicios que estamos viendo, así que en la siguiente
+
+02:54.560 --> 03:01.720
+clase vamos a ver un ejercicio de una
+ecuación con coeficientes lineales, vamos a la siguiente
+
+03:01.720 --> 03:09.200
+clase.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/11-Resolución de Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:4be0eca1b95f4d37b32899376285cd7bcc682fc6fe774c64de1d3a027a690a5f
+size 203183653

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/11-Resolución de Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden.vtt

@@ -0,0 +1,632 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:08.480
+En esta clase vamos a solucionar un
+ejemplo de una ecuación diferencial de
+
+00:08.480 --> 00:11.920
+primer orden que tenga coeficientes lineales.
+
+00:11.920 --> 00:15.640
+Vamos a recordar cómo va a ser el proceso.
+Primero que todo yo tengo que
+
+00:15.640 --> 00:22.080
+realizar una traslación de ejes con lo
+cual obtendré una ecuación homogénea y
+
+00:22.080 --> 00:26.480
+ya sabemos cómo solucionar una ecuación
+homogénea que consiste en hacer una
+
+00:26.480 --> 00:32.520
+sustitución para tratar de hallar una
+ecuación separable. Así que vamos a
+
+00:32.520 --> 00:37.080
+trabajar con la ecuación que tenemos aquí
+en nuestras pantallas. Sabemos que
+
+00:37.080 --> 00:42.720
+es una ecuación de coeficientes lineales
+porque tiene uno y dos polinomios y los
+
+00:42.720 --> 00:47.880
+coeficientes que acompañan este polinomio
+son lineales. Así que el
+
+00:47.880 --> 00:53.360
+primer paso será realizar la traslación de
+mis ejes. ¿Pero en qué valor? Esa es la
+
+00:53.360 --> 00:58.760
+pregunta que nos tenemos que hacer acá.
+¿En qué valor lo vamos a trasladar? Y para
+
+00:58.760 --> 01:04.840
+eso vamos a solucionar el siguiente
+sistema de ecuaciones. Voy a colocar mi
+
+01:04.840 --> 01:11.480
+primer polinomio más 6 y lo voy a igualar
+a 0 y voy a colocar mi segundo
+
+01:11.480 --> 01:20.960
+polinomio más 2 igual a 0 y acá tengo un
+sistema de dos ecuaciones x y y con dos
+
+01:20.960 --> 01:26.880
+de dos incógnitas x y y con dos ecuaciones.
+Es muy sencillo de solucionar
+
+01:26.880 --> 01:31.560
+por nuestros cursos de matemáticas básica
+hemos debido
+
+01:31.560 --> 01:36.320
+aprender a solucionar este tipo de sistemas.
+En este caso yo voy a utilizar
+
+01:36.320 --> 01:41.680
+el sistema de eliminación que consiste en
+que yo puedo multiplicar estas
+
+01:41.680 --> 01:47.440
+ecuaciones por una constante o por un
+número y puedo hacer operaciones entre
+
+01:47.440 --> 01:54.080
+ellas. En este caso yo voy a multiplicar
+esta ecuación de acá abajo por menos 1
+
+01:54.080 --> 02:00.920
+y si yo la multiplico por menos 1 lo que
+yo voy a obtener es menos x
+
+02:00.920 --> 02:08.040
+menos y menos 2 y pues 0 nos queda 0 y
+vamos a
+
+02:08.040 --> 02:16.280
+operar acá menos 3x menos x nos queda
+menos 4x más y con menos y se nos va que
+
+02:16.280 --> 02:21.720
+era el objetivo que queríamos sacar una de
+las variables más 6 menos 2 me queda
+
+02:21.720 --> 02:29.880
+más 4 y esto me queda igual a 0 más 0 pues
+nos queda 0 y ya tengo un sistema
+
+02:29.880 --> 02:35.000
+de una ecuación con una sola incógnita que
+yo puedo resolver fácilmente
+
+02:35.000 --> 02:43.880
+simplemente menos 4x más 4 igual a 0 paso
+el más 4 al otro lado menos 4x es
+
+02:43.880 --> 02:53.280
+igual a menos 4 y x nos va a quedar igual
+a menos 4 sobre menos 4 es decir
+
+02:53.280 --> 03:01.080
+nos va a quedar igual a 1 y ya tenemos la
+distancia a la que voy a
+
+03:01.080 --> 03:08.240
+trasladar mi eje x es decir mi eje x vamos
+a utilizar este color va a quedar
+
+03:08.240 --> 03:15.040
+trasladado 1 más 1 este valor que nos dio
+en x vamos a
+
+03:15.040 --> 03:19.840
+trasladar 1 y para hallar el valor de y
+pues simplemente yo ya tengo el valor de
+
+03:19.840 --> 03:24.880
+x así que puedo recurrir a cualquiera de
+estas dos ecuaciones veo que la segunda
+
+03:24.880 --> 03:32.840
+es un poquito más sencilla así que menos x
+menos y menos 2 es igual a 0
+
+03:32.840 --> 03:41.720
+entonces ya tengo el valor de x que sería
+menos 1 menos y menos 2 igual a 0
+
+03:41.720 --> 03:50.400
+menos 1 menos 2 nos queda menos 3 menos y
+igual a 0 y simplemente puedo pasar la
+
+03:50.400 --> 03:57.160
+y al otro lado y obtengo que menos 3 es
+igual a mi y y he obtenido el valor en
+
+03:57.160 --> 04:02.920
+el que voy a trasladar mi eje y que va a
+ser una
+
+04:02.920 --> 04:09.600
+una nueva variable v más mi constante en
+este caso es menos 3 entonces nos queda
+
+04:09.600 --> 04:16.480
+menos 3 y ahora tengo que hallar de x y de
+y para hacer la respectiva
+
+04:16.480 --> 04:22.640
+traslación entonces de x me va a quedar
+aplicamos las mismas propiedades de la
+
+04:22.640 --> 04:29.640
+derivada me va a quedar de u y la derivada
+de una constante es 0 así que
+
+04:29.640 --> 04:39.160
+así nos queda y en este caso de y nos va a
+quedar de v y nuevamente la derivada
+
+04:39.160 --> 04:46.160
+de una constante va a ser 0 y con esto
+hemos concluido el primer paso que es la
+
+04:46.160 --> 04:53.240
+traslación de mis ejes ya sé por qué
+valores los voy a trasladar con esta
+
+04:53.240 --> 04:59.440
+traslación que nosotros hemos conseguido
+obtener la idea es ahora poder buscar
+
+04:59.440 --> 05:04.320
+encontrar una ecuación homogénea a partir
+de esa ecuación que teníamos así
+
+05:04.320 --> 05:11.160
+que vamos a reemplazar esos valores de x y
+de x así como los de y y de y que
+
+05:11.160 --> 05:17.160
+hemos obtenido en nuestra ecuación así que
+tenemos lo siguiente
+
+05:17.160 --> 05:24.400
+acá vemos menos 3x más y más 6 así que
+vamos a reemplazar cada uno de nuestros
+
+05:24.400 --> 05:34.600
+valores entonces tenemos menos 3 quién es
+x? x va a ser u más 1 entonces u más
+
+05:34.600 --> 05:54.280
+1 más y quién es y? v menos 3, v menos 3
+más 6, más 6 y todo esto por dx
+
+05:55.880 --> 05:59.080
+más
+x
+
+05:59.080 --> 06:02.800
+x es u más
+1
+
+06:02.800 --> 06:18.000
+u más 1 más y que es v más 3, v menos 3
+más 2 todo esto por dy es igual a 0 y ya
+
+06:18.000 --> 06:26.560
+hemos reemplazado los valores importante
+que este de x ahora es du
+
+06:26.560 --> 06:34.200
+y este de y ahora es du lo tenemos que
+reemplazar también y miremos que
+
+06:34.200 --> 06:38.760
+podemos cómo podemos simplificar esta
+expresión que tenemos acá podemos
+
+06:38.760 --> 06:46.240
+deshacernos de estos paréntesis y yo
+obtendría menos 3 u más
+
+06:46.240 --> 06:49.360
+menos
+3
+
+06:49.360 --> 06:59.320
+menos 3 más v menos 3 más 6 todo esto por
+du
+
+06:59.320 --> 07:03.840
+y acá pues ya vemos que podemos por
+ejemplo sumar los coeficientes que
+
+07:03.840 --> 07:12.720
+tenemos más 1 más 2 menos 3 nos quedaría 0
+así que sólo nos quedaría u más v por
+
+07:12.720 --> 07:20.240
+du igual a 0 de la misma forma acá ya
+tengo menos 3 menos 3 menos 6 más 6
+
+07:20.240 --> 07:28.240
+igual a 0 así que tendría menos 3
+u
+
+07:28.240 --> 07:35.000
+menos 3 u este se fue este se fue y este
+se fue más v
+
+07:35.000 --> 07:45.720
+por du más u más v por du es igual a
+0
+
+07:45.720 --> 07:52.520
+y observemos que tenemos acá tenemos una
+ecuación homogénea porque porque el
+
+07:52.520 --> 07:59.400
+grado de este término es 1 el grado de
+este término es 1 el grado
+
+07:59.400 --> 08:04.720
+de este término es 1 y el grado de este
+término es 1 todos los grados de todos
+
+08:04.720 --> 08:08.560
+los términos son iguales por lo tanto yo
+puedo decir que esta es una ecuación
+
+08:08.560 --> 08:14.320
+homogénea de grado
+1
+
+08:14.440 --> 08:20.540
+y con eso yo ya puedo solucionar mi
+sistema yo ya sé cómo solucionar una
+
+08:20.540 --> 08:27.800
+solución homogénea de grado 1 así que lo
+que vamos a hacer es ya encontramos
+
+08:27.800 --> 08:32.240
+mi ecuación homogénea ahora para resolver
+para solucionar esta ecuación
+
+08:32.240 --> 08:38.360
+vamos a hacer una sustitución vamos a
+colocar nuestra ecuación homogénea en
+
+08:38.360 --> 08:43.840
+la parte de arriba vamos a colocarla
+acá
+
+08:44.640 --> 08:53.200
+para que no nos consuma espacio menos 3 u
+más v por du
+
+08:53.880 --> 08:56.560
+más
+
+08:56.560 --> 09:04.960
+u más v por deb es igual a
+0
+
+09:04.960 --> 09:11.120
+y esa va a ser la ecuación homogénea que
+vamos a solucionar
+
+09:11.520 --> 09:17.120
+ya hemos encontrado una ecuación homogénea
+el siguiente paso y que ya lo
+
+09:17.120 --> 09:20.320
+hemos repasado en nuestras clases
+anteriores para solucionar una ecuación
+
+09:20.320 --> 09:26.120
+homogénea es realizar una sustitución
+nosotros teníamos una variable x que por
+
+09:26.120 --> 09:31.360
+ejemplo reemplazamos por una variable y
+por v en este caso ya tenemos otras dos
+
+09:31.360 --> 09:35.920
+variables así que tendremos que
+reemplazarlo o sustituirlo por una nueva
+
+09:35.920 --> 09:40.880
+variable continuemos con mi tablero ya
+tengo mi
+
+09:40.880 --> 09:46.080
+ecuación homogénea que quiero solucionar y
+yo tengo que reemplazar una de las
+
+09:46.080 --> 09:51.840
+variables en este caso yo voy a reemplazar
+la variable v
+
+09:51.840 --> 10:00.720
+y la sustitución que voy a realizar es mi
+variable v va a ser igual a u
+
+10:00.720 --> 10:04.800
+por w esta es la nueva variable que yo voy
+a
+
+10:04.800 --> 10:09.280
+asumir para esta ecuación cuando teníamos
+sólo en variables de x y y yo
+
+10:09.280 --> 10:15.720
+utilizaba la u o la w o la u o la v pero
+como en este caso ya tengo u y v me toca
+
+10:15.720 --> 10:23.080
+acudir a una nueva y ya tengo v ahora
+tenemos que hallar de v que sería igual
+
+10:23.080 --> 10:28.400
+a la derivada de la primera por la segunda
+más la derivada de la segunda
+
+10:28.400 --> 10:35.400
+por la primera y es decir acá tendríamos w
+por du
+
+10:35.400 --> 10:43.480
+más u por dw es decir la nueva ecuación
+que encontremos tiene que quedar en
+
+10:43.480 --> 10:50.040
+términos de u y de w no pueden haber u es
+que nos podemos confundir en ese
+
+10:50.040 --> 10:55.640
+punto así que empecemos a reemplazar mis
+variables
+
+10:55.640 --> 11:03.760
+acá menos 3 u 1 la voy a sustituir así que
+quedaría exactamente igual menos 3 u
+
+11:03.760 --> 11:12.360
+más v que v ahora es u por w y todo esto
+por du que no la voy a
+
+11:12.360 --> 11:17.160
+reemplazar más lo que tengo acá es
+u
+
+11:17.160 --> 11:25.720
+nuevamente esa no la reemplazo más v que v
+es u por w
+
+11:25.880 --> 11:33.800
+y por dv ya tengo el valor que es aquí así
+que simplemente lo reemplazo w du
+
+11:33.800 --> 11:44.960
+más u dw igual a 0 y simplemente
+solucionemos los paréntesis y miremos
+
+11:44.960 --> 11:52.680
+qué términos podemos cancelar el primer
+término me quedará menos 3 u
+
+11:52.680 --> 12:02.360
+du más u por w por
+du
+
+12:02.360 --> 12:09.440
+y ya hemos solucionado este ahora nos toca
+esta suma el primero por el primero
+
+12:09.440 --> 12:14.720
+de acá u w
+du
+
+12:14.720 --> 12:19.560
+ya tenemos este con este ahora este con
+este más
+
+12:19.560 --> 12:26.120
+u cuadrado dw ya tenemos este con este y
+este con
+
+12:26.120 --> 12:37.600
+este vamos ahora este con este más u w
+cuadrado u w cuadrado por du
+
+12:37.960 --> 12:49.640
+más el último este por este entonces nos
+quedaría u cuadrado w dw igual a 0
+
+12:49.640 --> 12:54.080
+ya con esta ecuación lo que vamos a tratar
+de hacer es agrupar todo lo que
+
+12:54.080 --> 13:01.000
+tenga mi variable du y todo lo que tenga
+mi variable dw en dos partes
+
+13:01.000 --> 13:08.080
+diferentes entonces vamos con todo lo que
+tiene du vamos por ejemplo
+
+13:08.080 --> 13:15.520
+menos 3 u menos 3 u y este ya lo tenemos
+vamos a
+
+13:15.520 --> 13:25.040
+marcar lo que ya tenemos más u w u w y ya
+tendríamos este de acá este de acá
+
+13:25.040 --> 13:33.240
+vamos con más u w y ya tendríamos este de
+acá este tiene
+
+13:33.240 --> 13:42.200
+dw entonces lo dejamos para ahora este
+tiene du entonces más u w
+
+13:42.200 --> 13:48.920
+cuadrado y hemos completado todos los que
+tienen du
+
+13:48.920 --> 13:54.720
+así que todos estos su factor común va a
+ser du
+
+13:54.720 --> 14:02.840
+más vamos a completar todo lo que tiene dw
+entonces simplemente acá nos queda u
+
+14:02.840 --> 14:09.000
+cuadrado más ya tenemos este de
+acá
+
+14:09.000 --> 14:15.560
+u cuadrado más u cuadrado por
+w
+
+14:15.560 --> 14:22.240
+de w y ya estamos tratando de separar
+nuestras
+
+14:22.240 --> 14:30.000
+variables ahora qué podemos hacer por
+ejemplo acá tenemos dos en común u w
+
+14:30.000 --> 14:39.520
+más u w entonces simplemente nos quedaría
+este término como más 2 u w
+
+14:39.520 --> 14:50.160
+más 2 u w y ya tenemos nuestra ecuación
+prácticamente separada que podemos hacer
+
+14:50.160 --> 14:55.560
+ahora observemos que ésta tiene en común
+todos los términos la u y ésta
+
+14:55.560 --> 15:01.640
+tiene en común los términos w u cuadrado
+entonces saquemos u de nuestra
+
+15:01.640 --> 15:13.640
+expresión y obtenemos lo siguiente u
+factor de menos 3 más 2 w más w
+
+15:13.640 --> 15:17.800
+cuadrado por
+du
+
+15:17.800 --> 15:22.360
+más u
+cuadrado
+
+15:22.360 --> 15:28.200
+por 1 más
+w
+
+15:28.200 --> 15:37.160
+de w igual a 0 y observemos que ya tenemos
+todo a punta de factores por lo
+
+15:37.160 --> 15:42.400
+cual podríamos separar nuestras variables
+cómo hacemos eso simplemente
+
+15:42.400 --> 15:50.960
+pasemos todo este factor al otro lado a
+restar es decir tendría u menos 3 más
+
+15:50.960 --> 16:01.480
+2 w más w cuadrado de u es igual a menos u
+cuadrado
+
+16:01.480 --> 16:12.840
+1 más w de w y podría pasar este u
+cuadrado a dividir acá y todo este
+
+16:12.840 --> 16:22.440
+término a dividir acá y que obtendríamos
+como resultado tendríamos u sobre u
+
+16:22.440 --> 16:41.240
+cuadrado de u es igual y acá que quedó 1
+más w sobre menos 3 más 2 w más w
+
+16:41.240 --> 16:51.720
+cuadrado todo esto por w y hemos
+conseguido una ecuación separable hemos
+
+16:51.720 --> 16:56.240
+conseguido una ecuación separable que era
+nuestro objetivo y esta ecuación
+
+16:56.240 --> 17:02.160
+separable la podemos resolver de manera
+más sencilla así que voy a anotar esa
+
+17:02.160 --> 17:08.160
+ecuación separable que obtuvimos
+simplemente voy a borrar nuestro
+
+17:08.160 --> 17:13.560
+tablero por
+aquí
+
+17:13.840 --> 17:18.720
+y vamos a anotar la ecuación separable que
+obtuvimos
+
+17:18.720 --> 17:24.000
+de acuerdo vamos a notar por
+acá
+
+17:24.000 --> 17:44.560
+que fue u sobre u cuadrado de u igual a 1
+más w sobre menos 3 más 2 w más w
+
+17:44.560 --> 17:49.600
+cuadrado y con eso hemos obtenido
+nuestra
+
+17:49.600 --> 17:55.480
+ecuación acá teníamos un signo negativo de
+nuestra ecuación anterior y con eso
+
+17:55.480 --> 18:02.040
+ya podemos solucionar esta ecuación
+separable
+
+18:02.040 --> 18:06.800
+ya tenemos una ecuación separable a partir
+de mi ecuación con coeficientes
+
+18:06.800 --> 18:12.560
+lineales te invito a que la hagas las
+soluciones y compartas tu resultado en
+
+18:12.560 --> 18:17.600
+la sección de comentarios en la siguiente
+clase trataremos de resolverlo juntos
+
+18:17.600 --> 18:21.000
+pero la idea es que practiques todo lo que
+has aprendido hasta el momento en la
+
+18:21.000 --> 18:49.320
+solución de esta
+ecuación
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/12-Solución de Ecuaciones Diferenciales Separable paso a paso.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:2ccb42469f2adf0a0712c0c69fe1341282ca7b1d24b81754d9f64f116ccae725
+size 114371151

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/12-Solución de Ecuaciones Diferenciales Separable paso a paso.vtt

@@ -0,0 +1,325 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:10.700
+¿Cómo te fue solucionando la ecuación
+diferencial? Espero hayas compartido tu resultado en la sección de comentarios.
+
+00:10.700 --> 00:14.100
+Vamos a continuar con nuestro ejercicio en
+esta clase.
+
+00:15.100 --> 00:21.500
+Tenemos nuestra ecuación separable, a la
+cual llegamos en la clase anterior. Ahora intentemos solucionarla.
+
+00:22.300 --> 00:28.700
+Simplemente recordemos que tenemos que
+integrar a cada lado de mi ecuación y ver cuál es la solución.
+
+00:28.700 --> 00:30.100
+Entonces vamos a
+integrar.
+
+00:30.600 --> 00:35.600
+Primero que todo este menos podemos
+pasarlo acá para que se nos faciliten los cálculos.
+
+00:36.100 --> 00:40.700
+Y podemos hallar nuestra integral acá y
+nuestra integral acá.
+
+00:40.700 --> 00:50.500
+De igual manera, u sobre u cuadrado,
+pues podemos cancelar una de las u's de abajo, así que nos quedaría 1 sobre u.
+
+00:51.500 --> 00:55.600
+Y ya podemos saber que esta es la integral.
+
+00:55.600 --> 01:02.100
+Esta integral ya la conocemos, simplemente
+nos va a quedar como el menos logaritmo natural de u.
+
+01:03.100 --> 01:06.300
+Y ahora, ¿cómo podemos solucionar esta
+integral?
+
+01:07.100 --> 01:15.900
+Pues bien, la integral del logaritmo
+natural en realidad lo que dice es que yo puedo tener la siguiente ecuación.
+
+01:15.900 --> 01:17.600
+Logaritmo natural de
+uv.
+
+01:17.600 --> 01:24.100
+Que si yo tengo una función y yo arriba
+tengo su derivada, esa integral es igual al logaritmo natural de uv.
+
+01:24.100 --> 01:34.100
+Y lo que yo tengo abajo en este caso es mi
+uv sería w cuadrado más 2w más 3, que es este término de acá.
+
+01:34.100 --> 01:36.100
+¿Cuál es la derivada de ese
+término?
+
+01:36.100 --> 01:42.100
+Simplemente sería 2w más 2,
+¿verdad?
+
+01:42.100 --> 01:50.100
+Y observemos que eso lo podríamos obtener
+arriba si yo multiplicara esta función por 2.
+
+01:50.100 --> 01:53.100
+Entonces eso es lo que vamos a hacer.
+
+01:53.100 --> 02:00.100
+Nosotros vamos a multiplicar arriba,
+pero si multiplicamos arriba también tenemos que multiplicar abajo.
+
+02:00.100 --> 02:03.100
+Entonces multiplicamos arriba y abajo por 2.
+
+02:04.100 --> 02:14.100
+W más 1 menos 3 más 2w más w cuadrado,
+w cuadrado de w.
+
+02:15.100 --> 02:18.100
+Y ya podríamos arriba tener 2w más 2.
+
+02:18.100 --> 02:23.100
+Entonces eso es lo que vamos a obtener,
+ya podemos borrar acá.
+
+02:24.100 --> 02:26.100
+¿Esto a qué sería
+igual?
+
+02:26.100 --> 02:39.100
+A 1 medio de la integral de 2w más 2 sobre
+menos 3 más 2w más w cuadrado de w.
+
+02:39.100 --> 02:48.100
+Y ya sé que toda esta integral la puedo
+solucionar y es el logaritmo natural de la función que yo tengo abajo.
+
+02:48.100 --> 03:01.100
+Entonces el resultado sería menos
+logaritmo natural de u es igual a 1 medio de w cuadrado más 2w menos 3.
+
+03:01.100 --> 03:10.100
+Y no olvidemos que debe haber una
+constante en algún lado de mi ecuación, porque estamos hablando de integrales.
+
+03:10.100 --> 03:19.100
+Acá saldría una constante y acá saldría
+una constante que al sumarlas o al restarlas me quedaría solo una constante.
+
+03:19.100 --> 03:23.100
+Así que yo voy a pasar esa constante a
+este lado.
+
+03:23.100 --> 03:35.100
+Voy a decir que el menos logaritmo natural
+de u más una constante es igual a 1 medio de w cuadrado más 2w menos 3.
+
+03:36.100 --> 03:40.100
+Y este 2 yo lo puedo pasar al otro lado a
+multiplicar.
+
+03:40.100 --> 04:02.100
+Así que nos quedaría menos 2 logaritmo
+natural de u más dos veces mi constante igual a w cuadrado más 2w menos 3 al logaritmo natural de esto.
+
+04:02.100 --> 04:12.100
+Y ya acá me faltó el logaritmo natural de
+esto w cuadrado.
+
+04:12.100 --> 04:17.100
+Ahora sí, y ya estamos en este punto de mi
+ecuación.
+
+04:17.100 --> 04:21.100
+Ahora ¿qué nos falta? Deshacernos de ese
+logaritmo natural.
+
+04:21.100 --> 04:27.100
+¿Qué lo podemos hacer? Utilizando la
+exponencial como lo hemos venido haciendo normalmente.
+
+04:27.100 --> 04:38.100
+Entonces tenemos la exponencial de toda
+esta expresión y este menos 2 lo puedo yo pasar arriba de mi u por las propiedades del logaritmo natural.
+
+04:38.100 --> 04:55.100
+Entonces me quedaría exponencial del
+logaritmo natural de u a la menos 2 más 2c igual a e a la logaritmo natural de w cuadrado más 2w menos 3.
+
+04:55.100 --> 05:00.100
+Y esta expresión de acá yo la puedo separar.
+
+05:00.100 --> 05:12.100
+Yo puedo decir que como tengo una suma de
+mis potencias yo puedo separarla como e a la logaritmo natural de u a la menos 2 por e a la 2c.
+
+05:12.100 --> 05:22.100
+Y esto sería igual, e con logaritmo
+natural se me cancelan, por lo cual a este lado de la ecuación tendría solo w cuadrado más 2w menos 3.
+
+05:22.100 --> 05:38.100
+E con logaritmo natural se pueden ir,
+así que yo tengo acá u a la menos 2, u a la menos 2 y e a la 2c es un número elevado a una constante, así que me quedaría una constante.
+
+05:38.100 --> 05:46.100
+Y eso sería igual a w cuadrado más 2w menos 3.
+
+05:46.100 --> 05:56.100
+Y hemos encontrado la solución para mi
+ecuación diferencial separable que yo tenía aquí.
+
+05:56.100 --> 06:03.100
+Ya hemos encontrado la solución de mi
+ecuación separable, así que vamos a anotarla acá en otro color.
+
+06:03.100 --> 06:05.100
+Ya la
+tengo.
+
+06:05.100 --> 06:24.100
+Entonces simplemente la solución de mi
+ecuación es u a la menos 2 por c es igual a w cuadrado más 2w menos 3.
+
+06:24.100 --> 06:30.100
+Ya con la solución de nuestra ecuación
+tenemos el 90% de nuestro ejercicio.
+
+06:30.100 --> 06:38.100
+Solo hay que observar un pequeño detalle y
+es que todavía nos aparecen las variables de w y u por ejemplo.
+
+06:38.100 --> 06:45.100
+Y nuestra ecuación era en términos de x y
+y así que tenemos que realizar la de vuelta.
+
+06:45.100 --> 06:52.100
+La sustitución que hicimos era que b era
+igual a u por w.
+
+06:52.100 --> 06:54.100
+Entonces ¿a qué será igual
+w?
+
+06:54.100 --> 07:04.100
+w será igual a v sobre u, así que
+reemplacémoslo en la solución de mi ecuación.
+
+07:04.100 --> 07:10.100
+Entonces u a la menos 2 es lo mismo que
+tener c sobre u a la 2.
+
+07:10.100 --> 07:26.100
+w cuadrado, tengo v menos u al cuadrado
+más 2 por v sobre u y esto menos 3.
+
+07:26.100 --> 07:31.100
+Y acá pues simplemente tendría, podría
+solucionarlo.
+
+07:31.100 --> 07:41.100
+Esto quedaría acá como v al cuadrado sobre
+u al cuadrado más 2v sobre u menos 3.
+
+07:41.100 --> 07:44.100
+¿De
+acuerdo?
+
+07:44.100 --> 07:46.100
+Vemos que puedo hacer otra operación.
+
+07:46.100 --> 07:50.100
+Podría pasar este u cuadrado al otro lado
+a multiplicar.
+
+07:50.100 --> 08:05.100
+Y obtendría que mi constante es igual a v
+al cuadrado más 2v u menos 3 por u al cuadrado.
+
+08:05.100 --> 08:11.100
+Simplemente he pasado este u cuadrado a
+multiplicar a cada uno de estos términos.
+
+08:11.100 --> 08:15.100
+Y ya he vuelto a este paso de mi sustitución.
+
+08:15.100 --> 08:19.100
+Ahora tenemos mi solución en función de v y u.
+
+08:19.100 --> 08:23.100
+Solo nos queda realizar la traslación que
+hicimos.
+
+08:23.100 --> 08:37.100
+Entonces si yo tenía que x era igual a u
+más 1, pues yo sé que u va a ser igual a x menos 1.
+
+08:37.100 --> 08:47.100
+Y si yo tenía que y era igual a v menos 3,
+v es igual a y más 3.
+
+08:47.100 --> 09:02.100
+Y con eso la solución final de mi ecuación
+va a quedar dada por una constante que es igual a y más 3 al cuadrado más 2 por u.
+
+09:02.100 --> 09:03.100
+¿Quién es
+u?
+
+09:03.100 --> 09:15.100
+x menos 1, y más 3 menos 3 veces u, que es
+x menos 1 al cuadrado.
+
+09:15.100 --> 09:17.100
+Y lo hemos
+conseguido.
+
+09:17.100 --> 09:22.100
+Tenemos la solución de nuestra ecuación
+diferencial.
+
+09:22.100 --> 09:24.100
+Lo hemos
+conseguido.
+
+09:24.100 --> 09:27.100
+Hemos encontrado la solución para mi
+ecuación diferencial.
+
+09:27.100 --> 09:35.100
+Vamos a repasar rápidamente todo lo que
+hicimos para solucionar esta ecuación diferencial con coeficientes lineales.
+
+09:35.100 --> 09:40.100
+Nuestro primer paso es hacer una
+traslación de ejes para obtener una ecuación homogénea.
+
+09:40.100 --> 09:48.100
+Y ya sabemos que la ecuación homogénea se
+resuelve utilizando una sustitución para obtener una ecuación separable.
+
+09:48.100 --> 09:56.100
+Una vez obtengamos la solución de esta
+ecuación separable, vamos a obtener una solución que está primero trasladada y sustituida.
+
+09:56.100 --> 10:03.100
+Así que para devolvernos y encontrar la
+solución diferencial en los términos de nuestra primera ecuación,
+
+10:03.100 --> 10:09.100
+tendremos que volver a hacer la
+sustitución y al final volver a hacer la traslación.
+
+10:09.100 --> 10:18.100
+Espero que te haya gustado este ejercicio,
+que lo hayas comprendido y sigamos adelante con otro tipo de ecuación diferencial.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/13-Factor Integrante para Ecuaciones Diferenciales Exactas.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
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+oid sha256:f0111258d5396f04a40e30ab4120b1a7a0e856c8beb54bd0b15995d246a8a98d
+size 53740549

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/13-Factor Integrante para Ecuaciones Diferenciales Exactas.vtt

@@ -0,0 +1,254 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:08.960
+Busquemos solucionar la ecuación que vemos
+allí en pantallas.
+
+00:08.960 --> 00:17.720
+Tenemos 2y cuadrado más 3x por dx más 2xy
+por dy igual a 0, que es una ecuación de
+
+00:17.720 --> 00:22.640
+la forma a la que hemos estado
+acostumbrados a trabajar hasta el momento.
+
+00:22.640 --> 00:26.120
+Y empecemos a mirar si es una ecuación
+separable.
+
+00:26.120 --> 00:30.840
+Yo me doy cuenta que yo no puedo poner las
+x de un lado y las y de otro lado, por lo
+
+00:30.840 --> 00:35.360
+cual yo descarto que esta ecuación sea
+separable.
+
+00:35.360 --> 00:40.280
+Yo miro si es una ecuación diferencial de
+coeficientes lineales.
+
+00:40.280 --> 00:46.820
+Vemos que para que sea de coeficientes
+lineales x y y deben aparecer sin ningún exponente
+
+00:46.820 --> 00:50.400
+o sin ninguna cosa que altere su linealidad.
+
+00:50.400 --> 00:53.880
+Vemos que el primer término tiene y al
+cuadrado.
+
+00:53.880 --> 00:58.960
+Por lo tal, coeficientes lineales no puede
+ser esta ecuación.
+
+00:58.960 --> 01:02.920
+Ahora miremos si esta sería una ecuación
+homogénea.
+
+01:02.920 --> 01:08.040
+Uno de los métodos que vimos para evaluar
+si la ecuación era homogénea o no era inspeccionar
+
+01:08.040 --> 01:10.400
+los grados de cada uno de los términos.
+
+01:10.400 --> 01:12.880
+Y tenemos la siguiente
+ecuación.
+
+01:12.880 --> 01:16.120
+En el primer término tenemos 2y al cuadrado.
+
+01:16.120 --> 01:21.400
+Recordemos que tenemos que evaluar los
+exponentes de cada uno de los términos.
+
+01:21.400 --> 01:24.320
+Así que el grado de ese término será 2.
+
+01:24.320 --> 01:28.100
+Pero para el segundo tendremos
+1.
+
+01:28.100 --> 01:32.240
+Y para este nuevamente tendremos 2 porque
+sumamos el de x y y.
+
+01:32.240 --> 01:36.160
+Pero no todos son
+iguales.
+
+01:36.160 --> 01:40.680
+Es decir, si todos fueran 2 diríamos que
+es una función homogénea de grado 2.
+
+01:40.680 --> 01:49.040
+Pero como hay uno diferente, ya yo puedo
+descartar que mi ecuación diferencial sea homogénea.
+
+01:49.040 --> 01:53.960
+Solo nos queda saber si es exacta o no
+para poder aplicar uno de los métodos que hemos
+
+01:53.960 --> 01:54.960
+visto.
+
+01:54.960 --> 02:02.400
+Así que ya sabemos que m es 2y al cuadrado
+más 3x y vamos a hallar la derivada con respecto
+
+02:02.400 --> 02:04.280
+a y de esta
+m.
+
+02:04.280 --> 02:07.960
+Nos damos cuenta que es igual a
+4y.
+
+02:07.960 --> 02:13.680
+Como es con respecto a y simplemente bajo
+el 2 por 2 me da 4 y bajo el exponente y ese
+
+02:13.680 --> 02:17.800
+3x queda como una constante que no tengo
+en cuenta.
+
+02:17.800 --> 02:23.920
+Y vamos ahora a evaluar la derivada de n
+con respecto a x.
+
+02:23.920 --> 02:29.040
+Solo tengo 2xy así que solo dejo la
+constante que sería 2y.
+
+02:29.040 --> 02:33.080
+Sin embargo vemos que estas expresiones
+son diferentes.
+
+02:33.080 --> 02:38.800
+Es decir, la derivada de m con respecto a
+y es diferente a la derivada de n con respecto
+
+02:38.800 --> 02:39.800
+a
+x.
+
+02:39.800 --> 02:43.640
+Por lo tanto, esta ecuación tampoco sería
+exacta.
+
+02:43.640 --> 02:49.560
+Pero observemos qué pasaría si
+multiplicamos cada uno de los términos que vemos allí
+
+02:49.560 --> 02:51.520
+en la ecuación por
+x.
+
+02:51.520 --> 02:56.380
+Tenemos nuestra misma ecuación original,
+solo que vamos a multiplicar cada término
+
+02:56.380 --> 02:57.380
+por
+x.
+
+02:57.380 --> 03:01.280
+Y evaluemos qué
+pasaría.
+
+03:01.280 --> 03:07.600
+Primero tenemos 2y al cuadrado por x,
+tendríamos 2xy al cuadrado más 3x al cuadrado y en el
+
+03:07.600 --> 03:11.600
+segundo término tendríamos 2x al cuadrado
+por y.
+
+03:11.600 --> 03:15.400
+Así que nuestro m cambiaría y nuestro n
+cambiaría.
+
+03:15.400 --> 03:21.880
+Y qué pasa si yo vuelvo a evaluar la
+derivada de m con respecto a y.
+
+03:21.880 --> 03:27.800
+En esta ocasión voy a tener, como es con
+respecto a y, baja el 2 del exponente de y,
+
+03:27.800 --> 03:34.480
+tendría 4x por y y del otro lado seguiría
+teniendo solas x, así que este término se
+
+03:34.480 --> 03:35.760
+eliminaría.
+
+03:35.760 --> 03:42.640
+Y la derivada de n con respecto a x
+tendría 2 baja a multiplicar por el 2 de mi x, tendría
+
+03:42.640 --> 03:45.140
+4xy.
+
+03:45.140 --> 03:52.360
+Así es, hemos encontrado una ecuación
+exacta porque ya las derivadas son totalmente iguales.
+
+03:52.360 --> 03:57.340
+Y esto lo hicimos gracias a qué, a esa
+multiplicación por ese x.
+
+03:57.340 --> 04:00.720
+Así que x es un factor
+integrante.
+
+04:00.720 --> 04:04.280
+¿Qué es un factor integrante
+entonces?
+
+04:04.280 --> 04:09.800
+Es un término por el cual yo puedo
+multiplicar una función para convertirla en una función
+
+04:09.800 --> 04:11.000
+exacta.
+
+04:11.000 --> 04:17.480
+Y vamos a ver en las clases siguientes que
+hay tres casos de factores integrantes.
+
+04:17.480 --> 04:21.940
+En el primer caso en el que el factor
+integrante sólo dependerá de x.
+
+04:21.940 --> 04:27.360
+Un segundo caso donde el factor integrante
+dependerá de sólo y.
+
+04:27.360 --> 04:34.040
+Y en el tercer caso tendremos un factor
+integrante que depende tanto de x como de y.
+
+04:34.040 --> 04:39.880
+Así que acompáñenme en la siguiente clase
+donde empezaremos a explorar lo que es el
+
+04:39.880 --> 04:42.560
+factor integrante del caso
+1.
+
+04:42.560 --> 04:47.800
+Aprenderemos cómo hallar este factor y a
+solucionar una ecuación diferencial a través
+
+04:47.800 --> 04:48.800
+de este
+método.
+
+04:48.800 --> 05:07.800
+Nos vemos en la siguiente
+clase.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/14-Factor Integrante en Ecuaciones Diferenciales Exactas.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:425a3d1ff0e8a7df23d71d4791210edb63c2fc56f02dbb1c3b7546ad524b8377
+size 160507750

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/14-Factor Integrante en Ecuaciones Diferenciales Exactas.vtt

@@ -0,0 +1,587 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:09.120
+Vamos a ver uno por uno los casos de
+nuestro factor integrante.
+
+00:09.120 --> 00:14.260
+Recordemos que el factor integrante nos
+sirve cuando tenemos una función de este estilo
+
+00:14.260 --> 00:19.060
+que nosotros creemos que puede ser exacta
+y vamos a hallar el factor integrante que
+
+00:19.060 --> 00:22.360
+hace que esa función efectivamente sea exacta.
+
+00:22.360 --> 00:27.960
+Nuestro primer paso será comprobar que la
+derivada parcial de m con respecto a y es
+
+00:27.960 --> 00:32.040
+diferente de la derivada parcial de n con
+respecto a x.
+
+00:32.040 --> 00:38.520
+Y cómo hallamos ese factor integrante.
+Pues bien, vamos a aplicar la siguiente fórmula.
+
+00:38.520 --> 00:43.520
+Nos dice que va a ser la resta entre esas
+derivadas parciales que acabamos de hallar
+
+00:43.520 --> 00:46.080
+sobre mi
+n.
+
+00:46.080 --> 00:50.640
+Esa n es esa parte de la función que vemos
+arriba que está multiplicada por el factor
+
+00:50.640 --> 00:51.640
+de
+y.
+
+00:51.640 --> 00:58.760
+Y si el resultado de esa función es una
+función que depende de x, significa que estamos hablando
+
+00:58.760 --> 01:01.200
+del factor integrante caso
+1.
+
+01:01.200 --> 01:06.520
+Y en ese caso hallamos el factor
+integrante mediante la fórmula que vemos en nuestras
+
+01:06.520 --> 01:08.520
+pantallas.
+
+01:08.520 --> 01:14.160
+Pero qué pasa si esa función no depende de
+x solamente, sino que por ejemplo depende
+
+01:14.160 --> 01:17.040
+de y o de
+xy.
+
+01:17.040 --> 01:22.880
+Entonces acudimos a nuestra segunda fórmula.
+Nuevamente comprobamos que las derivadas no
+
+01:22.880 --> 01:26.160
+son iguales, pero aplicamos una fórmula
+diferente.
+
+01:26.160 --> 01:30.800
+Esta vez vamos a aplicar la fórmula que
+vemos allí en pantallas.
+
+01:30.800 --> 01:35.280
+Que sería lo mismo que decir acá,
+cambiamos simplemente los signos.
+
+01:35.280 --> 01:41.000
+Y si al aplicar esta fórmula, que como
+vemos en el denominador no tenemos a n sino a m
+
+01:41.000 --> 01:44.760
+y que hemos cambiado los signos de la resta.
+
+01:44.760 --> 01:49.840
+Si al aplicar esta fórmula nos da una
+función que depende de y, estaríamos hablando del
+
+01:49.840 --> 01:51.480
+caso número
+2.
+
+01:51.480 --> 02:00.280
+Y en este caso número 2, nuestro factor
+integrante será la exponencial de la integral de e
+
+02:00.280 --> 02:04.520
+a esa función que acabamos de hallar con
+respecto a y.
+
+02:04.520 --> 02:10.360
+Y si en dado caso no nos dio una función
+con respecto a y, entonces estaríamos hablando
+
+02:10.360 --> 02:13.680
+del factor integrante caso número 3.
+
+02:13.680 --> 02:19.800
+Aquí nuevamente vamos a cambiar la fórmula
+y en esta ocasión nuestro denominador no
+
+02:19.800 --> 02:25.520
+va a ser ni n ni m, sino va a ser n y
+menos m x.
+
+02:25.520 --> 02:33.360
+Y esta función nos debe dar una función
+que depende de x y que depende de y.
+
+02:33.360 --> 02:39.720
+A esa x y lo que voy a hacer será
+asignarle una nueva variable llamada z y nuestro factor
+
+02:39.720 --> 02:43.640
+integrante será el que vemos en nuestras
+pantallas.
+
+02:43.640 --> 02:49.760
+Vemos que todas las ecuaciones son
+similares pero que depende de la función que nos dé
+
+02:49.760 --> 02:50.760
+al
+final.
+
+02:50.760 --> 02:56.640
+Acompáñenme en el tablero a evaluar el
+factor integrante caso número 1 y cómo podemos
+
+02:56.640 --> 02:58.600
+identificarlo
+fácilmente.
+
+02:58.600 --> 03:00.280
+Vamos al
+tablero.
+
+03:00.280 --> 03:04.760
+Vamos a evaluar la ecuación que tenemos en
+nuestros tableros y miremos de qué factor
+
+03:04.760 --> 03:07.560
+integrante estamos
+hablando.
+
+03:07.560 --> 03:13.720
+Lo primero que hacemos es evaluar nuestra
+función y ver que tiene la forma efectivamente
+
+03:13.720 --> 03:24.280
+m de x menos n de y y podemos identificar
+que m sería igual a 10 menos 6y más e a
+
+03:24.280 --> 03:30.560
+la menos 3x y que mi n sería igual a menos 2.
+
+03:30.560 --> 03:34.160
+Nuestro siguiente paso es verificar si es
+exacta o no.
+
+03:34.160 --> 03:38.200
+Si es exacta no tendría sentido aplicar el
+factor integrante ya que recordemos que el
+
+03:38.200 --> 03:42.640
+factor integrante es para encontrar una
+función exacta.
+
+03:42.640 --> 03:50.040
+Así que evaluamos la derivada de m con
+respecto a y.
+
+03:50.040 --> 03:55.240
+La derivada de una constante es 0, la
+derivada de menos 6y nos queda menos 6, la constante
+
+03:55.240 --> 04:00.360
+que acompaña a la variable y la derivada
+de a a la menos 3x como es un término que
+
+04:00.360 --> 04:07.040
+depende sólo de x es una constante así que
+es 0 y nuestra derivada con respecto a y de
+
+04:07.040 --> 04:09.520
+m quedaría sólo menos
+6.
+
+04:09.520 --> 04:14.800
+Ahora la derivada de n con respecto a x.
+
+04:14.800 --> 04:20.040
+Tenemos que n es una constante por lo cual
+nos quedaría 0.
+
+04:20.040 --> 04:24.400
+Ahora ya sabemos que es una función que no
+es exacta.
+
+04:24.400 --> 04:29.080
+Entonces tenemos que empezar a aplicar las
+fórmulas del factor integrante para ver de
+
+04:29.080 --> 04:32.520
+qué factor integrante estamos hablando.
+
+04:32.520 --> 04:37.960
+El primer caso que vamos a ver es con esta
+función que nos dice que es de m de y menos
+
+04:37.960 --> 04:39.880
+de n de x sobre
+n.
+
+04:39.880 --> 04:50.040
+Ya tenemos de m de y que es menos 6 y ya
+tenemos de n de x que es 0 entonces menos 0 sobre
+
+04:50.040 --> 04:54.240
+n y n es menos
+2.
+
+04:54.240 --> 05:00.880
+Y esto que nos da como resultado menos 6
+sobre menos 2 y esto es igual a 3.
+
+05:00.880 --> 05:04.880
+Nos ha dado una constante como resultado.
+
+05:04.880 --> 05:10.560
+Cuando nos da como resultado una constante
+o una función que depende solamente de x,
+
+05:10.560 --> 05:17.240
+por ejemplo 3x, pero no es el caso,
+entonces estaremos hablando del factor integrante
+
+05:17.240 --> 05:18.720
+caso número
+1.
+
+05:18.720 --> 05:24.320
+Y cuando es el factor integrante caso
+número 1 lo hallamos mediante la siguiente fórmula.
+
+05:24.320 --> 05:30.800
+Mi factor integrante será a la exponencial
+de la integral de esa función o de esa constante
+
+05:30.800 --> 05:33.960
+que yo acabo de hallar que nos dio 3.
+
+05:33.960 --> 05:42.920
+Entonces apliquemos esa ecuación para
+mirar nuestro resultado.
+
+05:42.920 --> 05:52.600
+Entonces nuestro factor integrante será e
+a la integral de quién?
+
+05:52.600 --> 06:00.080
+Del resultado que obtuvimos al hacer esta
+operación de 3 por dx.
+
+06:00.080 --> 06:10.200
+Y la integral de 3 de simplemente una
+constante va a ser igual a 3x.
+
+06:10.200 --> 06:15.600
+Y ahí ya tenemos nuestro factor integrante,
+pero vamos a comprobar si efectivamente es
+
+06:15.600 --> 06:17.400
+un factor integrante o
+no.
+
+06:17.400 --> 06:21.560
+Comprobemos si ahora esta ecuación es
+exacta o no.
+
+06:21.560 --> 06:26.420
+Entonces ya con nuestro factor integrante
+lo único que tenemos que hacer es multiplicarlo
+
+06:26.420 --> 06:28.800
+por nuestra m y por nuestra
+n.
+
+06:28.800 --> 06:43.080
+Entonces tendríamos e a la 3x por mi m que
+sería 10 menos 6y más e a la menos 3x.
+
+06:43.080 --> 06:54.360
+Ese sería mi m y mi n sería igual a menos
+2 e por e.
+
+06:54.360 --> 07:01.520
+Coloquemoslo de otro color, e a la 3x.
+
+07:01.520 --> 07:07.840
+Nuestro siguiente paso será evaluar la
+derivada de m con respecto a y y la derivada de n con
+
+07:07.840 --> 07:08.840
+respecto a
+x.
+
+07:08.840 --> 07:13.560
+Pero antes de acá podemos hacer algunas
+operaciones, así que miremos qué obtenemos.
+
+07:13.560 --> 07:32.880
+El primer término acá será 10e a la 3x
+menos 6y e a la 3x, ¿de acuerdo?
+
+07:32.880 --> 07:41.560
+Más e a la 3x más e a la menos 3x
+simplemente nos queda como si este número con este número
+
+07:41.560 --> 07:44.160
+nos queda 1. ¿Por
+qué?
+
+07:44.160 --> 07:51.120
+Porque los exponentes se suman y 3x menos
+3x nos quedaría 0 e a la 0 nos quedaría
+
+07:51.120 --> 07:59.640
+1 y ya tendríamos mi expresión para m y n
+pues seguiría igual.
+
+07:59.640 --> 08:05.880
+Ahora cuál es la derivada de m con
+respecto a y.
+
+08:05.880 --> 08:10.040
+Simplemente el primer término vemos que
+depende totalmente de x así que sería 0.
+
+08:10.040 --> 08:20.360
+En el segundo nos quedaría e a la 3x como
+una constante y menos 6 como una constante
+
+08:20.360 --> 08:30.520
+así que nos quedaría menos 6 por e a la 3x
+que es todo lo que acompaña a la constante
+
+08:30.520 --> 08:34.760
+y la derivada de 1 sería igual a 0 menos 6x.
+
+08:34.760 --> 08:40.200
+¿Y cuál sería la derivada de n con
+respecto a x?
+
+08:40.200 --> 08:48.320
+Acá tenemos 3x simplemente como vemos que
+menos 2 es una constante así que la puedo
+
+08:48.320 --> 08:56.080
+dejar intacta y la derivada de e a la 3x
+que es, si yo lo vamos a hacer acá, e a la 3x
+
+08:56.080 --> 09:02.040
+su derivada será la misma función e a la
+3x por la derivada interna que en este caso
+
+09:02.040 --> 09:03.720
+es
+3.
+
+09:03.720 --> 09:13.680
+Entonces ese 3 pasa a multiplicar este 2 y
+me queda acá menos 6 e a la 3x y vemos que
+
+09:13.680 --> 09:19.360
+las derivadas parciales efectivamente son
+iguales por lo cual hemos hallado una ecuación
+
+09:19.360 --> 09:26.600
+exacta a partir de una ecuación que no era
+exacta usando el factor integrante caso número
+
+09:26.600 --> 09:27.600
+1.
+
+09:27.600 --> 09:32.800
+Ya tenemos una ecuación que se puede
+resolver por el método de ecuaciones exactas.
+
+09:32.800 --> 09:38.040
+Así que vamos a anotar esta ecuación y
+vamos a resolverla por el método de la ecuación
+
+09:38.040 --> 09:39.560
+exacta.
+
+09:39.560 --> 09:45.980
+Ya tenemos la ecuación exacta resultante
+de esa ecuación no exacta y que la obtenemos
+
+09:45.980 --> 09:49.480
+a partir de multiplicarla por nuestro
+factor integrante.
+
+09:49.480 --> 09:55.000
+Ahora solucionamos esta ecuación para
+refrescar los conocimientos sobre las ecuaciones exactas.
+
+09:55.000 --> 09:59.960
+Recordemos que acá tenemos un nuevo m y un
+nuevo n y que lo que tenemos que hacer es
+
+09:59.960 --> 10:07.440
+integrar m con respecto a x para obtener f
+o integrar n con respecto a y para obtener
+
+10:07.440 --> 10:08.440
+mi
+f.
+
+10:08.440 --> 10:15.680
+Como vemos que me queda mucho más sencillo
+integrar 2e a la 3x entonces vamos a tomar
+
+10:15.680 --> 10:16.760
+ese
+camino.
+
+10:16.760 --> 10:26.600
+Vamos a hallar la integral de menos 2e a
+la 3x con respecto a y para hallar mi función
+
+10:26.600 --> 10:28.360
+y esto a que será
+igual.
+
+10:28.360 --> 10:37.160
+Le saco el menos 2e a la 3x porque todo
+depende de x y estamos integrando con respecto a y
+
+10:37.160 --> 10:40.920
+por y y esa va a ser mi
+función.
+
+10:40.920 --> 10:49.280
+Yo voy a decir que esa es mi función y ya
+tengo f.
+
+10:49.280 --> 10:56.240
+Ahora recordemos que acá hay una constante
+pero que esa constante en las ecuaciones exactas
+
+10:56.240 --> 10:59.800
+va a ser una función que depende de x.
+
+10:59.800 --> 11:05.080
+Así que como hallamos esa función que
+depende de x pues el siguiente paso será derivar
+
+11:05.080 --> 11:07.040
+f con respecto a
+x.
+
+11:07.040 --> 11:12.000
+¿Y cuál es la derivada de esta función con
+respecto a x?
+
+11:12.000 --> 11:19.760
+Tendríamos menos 2 queda la misma función
+e a la 3x, el 3 bajaría a multiplicar acá
+
+11:19.760 --> 11:28.760
+nos quedaría menos 6 e a la 3x por y que
+la tomaríamos como una constante más la
+
+11:28.760 --> 11:38.360
+derivada de g a la x y ya tendríamos la
+derivada de f con respecto a x.
+
+11:38.360 --> 11:45.080
+Ahora esta parte que tenemos acá nosotros
+sabemos que es igual a mi m por la propiedad
+
+11:45.080 --> 11:51.160
+porque yo ya sé que la derivada de la
+función con respecto a x es igual a m.
+
+11:51.160 --> 12:04.200
+Entonces lo que yo tengo al final es que
+10 e a la 3x menos 6y e a la 3x más 1 que es
+
+12:04.200 --> 12:10.080
+esta m que yo tengo acá tiene que ser
+igual a esto que yo tengo acá.
+
+12:10.080 --> 12:23.000
+Va a ser igual a menos 6y e a la 3x más mi
+derivada de g a la x.
+
+12:23.000 --> 12:28.040
+Y acá vemos que yo tengo estos dos
+términos exactamente iguales por lo cual lo puedo simplemente
+
+12:28.040 --> 12:36.440
+cancelar y yo sé que la derivada vamos a
+ya tengo mi función arriba entonces simplemente
+
+12:36.440 --> 12:41.120
+vamos a borrar
+acá.
+
+12:41.120 --> 12:51.040
+Entonces de acá que podemos obtener que 10
+e a la 3x más 1 va a ser igual a mi derivada
+
+12:51.040 --> 12:58.280
+de x y como si yo ya tengo la derivada acá
+yo simplemente tengo que integrar para obtener
+
+12:58.280 --> 13:04.760
+la ecuación que es g de x porque yo tengo
+la derivada de g de x así que mi g de x va
+
+13:04.760 --> 13:19.120
+a ser igual a la integral de 10 e a la 3x
+más 1 y ya tengo todo lo que necesito.
+
+13:19.120 --> 13:30.240
+Vamos a desarrollar esa integral y esa
+integral va a ser igual a que 10 e a la 3x nos va a
+
+13:30.240 --> 13:39.000
+quedar como 10 porque es una constante el
+e a la 3x nos queda como e a la 3x sobre 3
+
+13:39.000 --> 13:46.680
+más x y yo ya he hallado mi g de x por lo
+tanto si yo ya tenía que f es igual a menos
+
+13:46.680 --> 13:52.760
+2 e a la 3x por y más g de x simplemente
+la reemplazo para obtener mi función final
+
+13:52.760 --> 14:02.400
+así que la solución de mi función en total
+va a ser menos 2 e a la 3x por y más g de
+
+14:02.400 --> 14:13.120
+x que lo hemos acabado de hallar 10 3 e a
+la 3x más x y siempre más una constante
+
+14:13.120 --> 14:19.680
+y hemos encontrado la solución de mi
+ecuación diferencial que teníamos al principio como
+
+14:19.680 --> 14:24.920
+lo hicimos encontrando el factor
+integrante convirtiéndolo en una ecuación exacta y
+
+14:24.920 --> 14:30.200
+solucionando mi ecuación con el
+procedimiento que habíamos visto para ecuaciones exactas.
+
+14:30.200 --> 14:34.000
+En la siguiente clase veremos lo que es el
+factor integrante caso número 2.
+
+14:34.000 --> 14:51.000
+Acompáñenme.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/15-Resolución de Ecuaciones Diferenciales con Factor Integrante Caso 2.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:b6b39d56c24e5c586201a5b8bc4ffe05598bf5bb70c8e4ae53db0e75755fd2fe
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a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/15-Resolución de Ecuaciones Diferenciales con Factor Integrante Caso 2.vtt

@@ -0,0 +1,493 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:07.960
+Ya resolvimos nuestra primera ecuación
+utilizando el factor integrante,
+
+00:07.960 --> 00:13.800
+pero ¿qué pasa cuando yo trato de hallar
+ese factor integrante y veo que al aplicar la ecuación
+
+00:13.800 --> 00:18.640
+no me da una función que depende de x o
+una constante?
+
+00:18.640 --> 00:22.720
+Estaríamos hablando del factor integrante
+número 2.
+
+00:22.720 --> 00:26.440
+Tenemos la siguiente ecuación diferencial.
+
+00:26.440 --> 00:32.680
+Nuestro primer paso será averiguar si esta
+es exacta o no.
+
+00:32.680 --> 00:38.200
+Si es exacta no tendríamos que encontrar
+un factor integrante, así que vamos a hacer eso.
+
+00:38.200 --> 00:42.240
+Vamos primero a mirar si es exacta o no.
+
+00:42.240 --> 00:48.640
+Entonces tener en cuenta que este sería
+nuestro m porque es el factor que está acompañando mi dx,
+
+00:48.640 --> 01:02.240
+que sería "-2xy", y mi n que sería 3x²-y²,
+ese sería mi n, el término que está acompañando a mi de y.
+
+01:02.240 --> 01:05.240
+Averiguemos si es una ecuación exacta o no.
+
+01:05.240 --> 01:10.640
+Entonces lo que tenemos que hacer es
+encontrar la derivada de m con respecto a y.
+
+01:10.640 --> 01:16.480
+Yo sé que la derivada de y simplemente es
+lo que la esté acompañando, va a ser la constante,
+
+01:16.480 --> 01:25.040
+"-2x", y la derivada de n con respecto a x,
+esto va a ser una constante, por lo tanto esta parte se va,
+
+01:25.040 --> 01:33.640
+y esto nos quedaría, baja el 2 a
+multiplicar el 3 y acá le bajamos el grado 1, me quedaría 6x.
+
+01:33.640 --> 01:41.640
+Y efectivamente he comprobado que la
+ecuación no es exacta, por lo tanto tendríamos que acudir al factor integrante.
+
+01:41.640 --> 01:50.440
+Que como ya vimos tiene 3 casos y tenemos
+que empezar a investigar uno por uno para saber de qué caso del factor integrante estamos hablando.
+
+01:50.440 --> 01:54.440
+Así que vamos a empezar por el caso número 1.
+
+01:54.440 --> 02:03.240
+Tengo que esta es la fórmula, así que
+vamos a encontrar que obtenemos de m de y tenemos "-2x",
+
+02:03.240 --> 02:15.240
+menos de n de x, "-6x", sobre n, n es 3x²
+menos y².
+
+02:15.240 --> 02:28.440
+Si hacemos, si resolvemos el numerador "-2x",
+"-6x", nos quedaría "-8x", sobre 3x² menos y².
+
+02:28.440 --> 02:39.240
+Pero que observamos, que lo que tenemos
+acá es un resultado que depende de x, pero que también depende de y.
+
+02:39.240 --> 02:49.840
+Por lo tanto no nos sirve el factor
+integrante caso número 1, porque solo nos servirá si este resultado es una constante o es un resultado que depende solo de x.
+
+02:49.840 --> 02:55.240
+Así que pasamos al siguiente caso, vamos a
+analizar si es el caso número 2.
+
+02:55.240 --> 03:03.840
+La fórmula es la que tenemos acá, vemos
+que el numerador se mantiene pero en el denominador vamos a colocar "-m",
+
+03:03.840 --> 03:17.440
+así que vamos a borrar acá, el numerador
+lo mantenemos, que sería de m de y "-2x", menos de n de x que sería "-6",
+
+03:17.440 --> 03:31.240
+pero lo vamos a dividir con respecto a "-m",
+yo ya sé que m es "-2xy", así que mi m, mi "-m", quedará positivo y será 2xy.
+
+03:31.240 --> 03:40.240
+Y vamos a ver qué resultado obtenemos,
+nuevamente para el numerador tendríamos "-8x", sobre 2xy,
+
+03:40.240 --> 03:53.040
+y arriba y abajo tengo una x que puedo
+cancelar perfectamente, así que el resultado sería "-4y",
+
+03:53.040 --> 04:06.840
+y ese es un resultado que solo depende de y,
+por lo tanto estamos hablando efectivamente del caso número 2 del factor integrante.
+
+04:06.840 --> 04:15.240
+Recordemos, aplicamos nuestra fórmula para
+el caso número 1, si nos da una constante o un valor que depende solo de x,
+
+04:15.240 --> 04:25.040
+bien, estamos hallando un factor
+integrante para el caso número 1, si no nos da esa situación, si hay una y involucrada, pasamos al caso número 2.
+
+04:25.040 --> 04:31.440
+En el caso número 2 aplicamos la fórmula y
+nos tiene que dar un resultado que depende totalmente de y,
+
+04:31.440 --> 04:39.840
+como en este caso lo obtuvimos, estamos
+hablando del caso número 2, entonces ya descartamos el caso número 1
+
+04:39.840 --> 04:47.440
+y ya sabemos que el factor integrante será
+de la forma que tenemos acá.
+
+04:47.440 --> 04:57.640
+Mi factor integrante, que depende de y,
+será igual a e por la integral de "-4y", de y.
+
+04:57.640 --> 05:06.240
+Y vamos a hallar nuestro factor integrante,
+simplemente vamos a resolver esto en esta ecuación,
+
+05:06.240 --> 05:17.840
+yo veo que el "-4y", lo podría sacar de mi
+integral, me quedaría 1 sobre y de y, y la integral de 1 sobre y es logaritmo natural,
+
+05:17.840 --> 05:28.040
+entonces acá simplemente tendría logaritmo
+natural de y, y tengo e y tengo logaritmo natural,
+
+05:28.040 --> 05:35.240
+sin embargo yo veo que hay un "-4", que
+está interpuesto entre e y logaritmo natural,
+
+05:35.240 --> 05:41.440
+por propiedades de los logaritmos
+naturales yo puedo pasar este "-4", como exponente de mi y,
+
+05:41.440 --> 05:53.940
+así que lo que obtendría sería logaritmo
+natural de y a la "-4", y ya tengo mi e con mi logaritmo natural juntos,
+
+05:53.940 --> 05:59.040
+por decirlo así, y yo sé que esas
+propiedades son inversas, por lo tanto yo la puedo eliminar,
+
+05:59.040 --> 06:07.240
+y mi factor integrante quedaría como y a
+la "-4", que es lo mismo que 1 sobre y a la 4.
+
+06:07.240 --> 06:16.640
+Ya hemos hallado nuestro factor integrante,
+ahora vamos a saber si efectivamente logramos obtener una ecuación exacta o no,
+
+06:16.640 --> 06:23.440
+vamos a comprobarlo, con nuestro factor
+integrante vamos a multiplicarlo por mi n y por mi m,
+
+06:23.440 --> 06:34.240
+y vamos a ver qué resultado obtenemos,
+el primero vamos a 1 sobre y a la 4, por 3x cuadrado menos y cuadrado,
+
+06:34.240 --> 06:46.440
+y por este lado tenemos menos 1 sobre y a
+la 4 por 2xy dx, igual a 0.
+
+06:46.440 --> 06:51.940
+Nuestro 9n, este va de y, nuestro 9n ¿qué
+será?
+
+06:51.940 --> 06:59.340
+Pues simplemente vamos a multiplicarlo por
+cada uno de los términos, acá tendríamos 3x cuadrado sobre y a la 4,
+
+06:59.340 --> 07:12.740
+menos y al cuadrado sobre y a la 4 de y,
+menos 2xy sobre y a la 4 dx, igual a 0.
+
+07:12.740 --> 07:21.840
+Solucionamos acá, en este primer término
+no podemos hacer nada, y a la 2 menos y a la 4 nos quedaría como,
+
+07:21.840 --> 07:35.540
+bueno, coloquemoslo acá, y a la 4 menos 1
+sobre y al cuadrado de y, y en este término nos quedaría simplemente una y,
+
+07:35.540 --> 07:47.740
+la podemos cancelar, así que nos quedaría
+2x sobre y a la 3 dx, y ya tendría un nuevo m y un nuevo n,
+
+07:47.740 --> 07:52.140
+este sería mi m y este sería mi
+n.
+
+07:52.140 --> 07:56.840
+Solo nos queda comprobar si las derivadas
+son efectivamente iguales,
+
+07:56.840 --> 08:03.240
+así que vamos a hallar la derivada de m
+con respecto a y y la derivada de n con respecto a x.
+
+08:03.240 --> 08:13.140
+La derivada de m con respecto a y sería,
+de m con respecto a y, menos 2x a la 3,
+
+08:13.140 --> 08:22.440
+menos 2x sobre y a la menos 3, es lo mismo
+que poner mi y arriba con el exponente negativo.
+
+08:22.440 --> 08:30.340
+Y aplicamos simplemente la propiedad de la
+derivada normal, este menos 3 pasa a multiplicar este número que yo tengo acá,
+
+08:30.340 --> 08:41.140
+entonces menos 3 por menos 2 me daría 6x y
+a y yo le tengo que restar una unidad,
+
+08:41.140 --> 08:52.940
+entonces yo tendría menos 3 menos 1 nos
+quedaría menos 4 y ese 6x y menos 4, ese y menos 4 yo lo puedo pasar abajo,
+
+08:52.940 --> 08:58.040
+es exactamente lo mismo, y a la 4 positivo,
+¿de acuerdo?
+
+08:58.040 --> 09:05.940
+Y ya hemos hallado nuestra derivada de m
+con respecto a y, solo nos queda hallar la derivada de n con respecto a x.
+
+09:05.940 --> 09:18.140
+Entonces, como acá tenemos un término que
+depende exclusivamente de y, se cancela, nos quedan ceros y tendríamos 3x cuadrado,
+
+09:18.140 --> 09:29.440
+el cuadrado pasa a multiplicar este 3,
+así que nos quedaría 6, 6, a este 2 le restamos una unidad, 2 menos 1,
+
+09:29.440 --> 09:37.240
+nos quedaría exactamente x y este y a la 4
+es un término que depende de y, por lo tanto lo tomamos como una constante,
+
+09:37.240 --> 09:40.040
+así que queda exactamente
+igual.
+
+09:40.940 --> 09:50.440
+Y lo que vemos es que obtenemos
+exactamente el mismo resultado, hemos encontrado una ecuación exacta,
+
+09:50.440 --> 09:57.940
+a partir de una ecuación que no era exacta
+al principio, utilizando nuestro factor integrante caso número 2,
+
+09:57.940 --> 10:04.640
+solo nos quedaría resolver nuestra
+ecuación diferencial exacta que tenemos aquí.
+
+10:05.340 --> 10:10.440
+Este procedimiento para resolver esta
+ecuación exacta, tú ya lo sabes hacer, sin embargo,
+
+10:10.440 --> 10:16.440
+vamos a hacerlo juntos para que nos quede
+totalmente claro cómo solucionamos las ecuaciones exactas.
+
+10:17.040 --> 10:24.240
+Ya tenemos nuestra nueva ecuación
+diferencial que hemos obtenido a partir de multiplicarla por el factor integrante,
+
+10:24.240 --> 10:28.640
+vamos a aplicar el método de ecuaciones
+exactas para resolver esta ecuación.
+
+10:28.640 --> 10:40.940
+Recordemos que yo tengo mi m y mi n,
+en este caso, y que la derivada de m con respecto a x es igual a esta m que yo tengo acá,
+
+10:40.940 --> 10:52.040
+a "-2x sobre y a la 3", así que lo que
+tengo que integrar, la derivada de f con respecto a x es igual a mi m,
+
+10:52.040 --> 10:59.240
+"-2x y a la 3", así que si yo integro acá
+a lado, lo que yo obtendré acá será mi función.
+
+10:59.240 --> 11:09.440
+Así que integremos esto con respecto a x,
+simplemente este menos y este y a la 3 salen de mi integral porque son constantes,
+
+11:10.240 --> 11:16.640
+tomo mi y como una constante, el "-2",
+también lo puedo sacar, "-2 sobre y a la 3",
+
+11:16.640 --> 11:25.640
+y sólo me queda la integral de x de x y
+eso es igual a simplemente sumarle a mi numerador una unidad,
+
+11:25.640 --> 11:32.040
+es decir, si tengo 1 me quedaría 2 y lo
+divido por ese nuevo resultado que yo he obtenido,
+
+11:32.040 --> 11:42.040
+es decir, me queda "-2y a la 3", x al
+cuadrado sobre 2 y he encontrado mi función de x.
+
+11:42.040 --> 11:47.540
+Pero de las integrales siempre sale una
+constante y como ya hemos visto en las funciones exactas,
+
+11:47.540 --> 11:52.240
+esa constante en este caso dependerá de y,
+¿por qué?
+
+11:52.240 --> 12:00.340
+Porque al yo derivar eso me hará este
+resultado, no importa lo que yo tenga ya, porque sólo depende de y, ¿de acuerdo?
+
+12:00.340 --> 12:08.940
+Este "-2 con este 2 se pueden cancelar y
+me quedaría al final, x cuadrado sobre y a la 3",
+
+12:08.940 --> 12:13.240
+vamos a colocarlo más bonito, x cuadrado
+sobre y a la 3.
+
+12:14.840 --> 12:20.140
+Ahora, yo tengo que derivar ese resultado
+que he obtenido con respecto a y,
+
+12:20.140 --> 12:25.940
+vamos a derivar eso que tenemos allí con
+respecto a y, entonces, ¿y por qué hacemos eso?
+
+12:25.940 --> 12:31.740
+Porque la derivada de mi función con
+respecto a y va a ser igual a n,
+
+12:32.240 --> 12:36.940
+entonces si yo hallo esa derivada, acá
+obtendría la derivada de este término,
+
+12:36.940 --> 12:42.940
+lo podría igualar con ese n, integramos y
+obtenemos esa constante que tenemos allí.
+
+12:43.640 --> 12:50.240
+Entonces, la derivada de mi función con
+respecto a y va a ser "-x cuadrado",
+
+12:50.240 --> 12:56.440
+que lo dejamos afuera porque es una constante,
+por y, lo subimos para ver qué tenemos,
+
+12:56.840 --> 13:04.740
+hallamos la derivada de ese y a la "-3",
+simplemente baja el 3 a multiplicar lo que yo tenga acá,
+
+13:04.740 --> 13:12.140
+entonces tendría "-3 por "-3", por este
+menos nos queda acá al final 3 positivo,
+
+13:13.940 --> 13:18.940
+y se disminuye una unidad a ese y a la "-3",
+entonces, y a la "-3",
+
+13:19.440 --> 13:26.840
+"-1", y a la "-4", nos quedaría acá, y a la 4,
+más la derivada del segundo término con respecto a y.
+
+13:26.840 --> 13:36.640
+Y yo ya sé que todo eso debe ser igual a mi n,
+eso debe ser igual a el n que yo tengo acá,
+
+13:36.640 --> 13:44.640
+que es 3x cuadrado sobre y a la 4, menos 1
+sobre y al cuadrado.
+
+13:45.640 --> 13:51.440
+Y vemos allí, yo ya tengo esa igualdad,
+y lo que tengo allí es que este término
+
+13:51.440 --> 13:57.540
+lo puedo cancelar con este automáticamente,
+así que al final lo que tendría es que la derivada de y
+
+13:58.440 --> 14:06.040
+es igual a "-y a la "-2", que recordemos
+que lo podemos escribir de ambas formas.
+
+14:07.140 --> 14:09.140
+¿Qué nos falta? ¿Qué tenemos que
+hacer?
+
+14:09.340 --> 14:15.140
+Integrar a ambos lados de esta ecuación,
+para al final yo obtener mi g de y.
+
+14:15.140 --> 14:20.940
+Entonces, ¿cuál es la integral de "-y a la
+"-2"?
+
+14:21.440 --> 14:27.440
+Simplemente vamos a nuevamente hacer
+nuestra operación, sacamos el menos de la integral,
+
+14:28.140 --> 14:35.040
+y a la "-2", con respecto a y, simplemente
+le vamos a sumar una unidad aquí,
+
+14:35.040 --> 14:49.740
+me quedará "-y", "-2 más 1", nos queda "-1",
+nos queda la "-1", sobre "-1", y al final nos quedaría
+
+14:52.740 --> 14:53.240
+y.
+
+14:55.740 --> 15:00.240
+Sí, pero vamos a escribirlo mejor para
+tenerlo totalmente claro.
+
+15:00.240 --> 15:09.240
+"-2 menos 1", nos quedaría y a la "-1",
+y lo dividimos sobre ese número que sería "-1".
+
+15:10.040 --> 15:18.640
+Entonces, este menos con este menos se nos
+va y obtendríamos nuestro resultado que es y a la "-1",
+
+15:19.240 --> 15:25.540
+más una constante, y ese sería g de y,
+porque acá tenemos la integral de una derivada
+
+15:25.540 --> 15:35.540
+que nos da la función, por la relación
+entre integrales y derivadas que vimos al principio de este módulo.
+
+15:35.840 --> 15:42.840
+Y ya tenemos todo, tenemos nuestra función
+que es esta que tenemos acá, vamos a colocarla con otro color.
+
+15:43.940 --> 15:54.140
+La solución de mi ecuación va a ser "-x²
+sobre y³", más mi g de y, que lo he encontrado acá,
+
+15:54.140 --> 16:01.640
+y ya tenemos "-1 sobre y", recordemos que
+lo podemos escribir de esta manera, más una constante.
+
+16:02.840 --> 16:10.840
+Y ya hemos encontrado la solución de
+nuestra ecuación diferencial utilizando un factor integrante caso número 2.
+
+16:11.840 --> 16:17.840
+En la siguiente clase veremos qué pasa
+cuando al hacer la fórmula para el factor integrante,
+
+16:17.840 --> 16:24.840
+no nos da ni una constante, no nos da una
+función que depende de x y no nos da una función que depende de y.
+
+16:25.040 --> 16:30.140
+Estaríamos hablando del factor integrante
+número 3, caso número 3,
+
+16:30.140 --> 16:50.140
+así que acompáñenme en la siguiente clase
+para ver cómo resolveríamos este ejercicio.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/16-Resolución de Ecuaciones Diferenciales con Factor Integrante.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:0e6abfa3003cf5f95c9b8ae160e4c09104fa6992fe453dbeb0e5cc4978dec6b5
+size 183196403

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/16-Resolución de Ecuaciones Diferenciales con Factor Integrante.vtt

@@ -0,0 +1,482 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:09.360
+Vamos a solucionar una nueva ecuación
+diferencial, pero antes hagamos un recuento de todo el
+
+00:09.360 --> 00:14.340
+proceso que llevamos desde el principio.
+Siempre que tengamos una ecuación diferencial, vamos
+
+00:14.340 --> 00:19.960
+a verificar si es separable o no, después
+podemos verificar si es posible realizar una
+
+00:19.960 --> 00:26.000
+sustitución lineal, si hay algún polinomio
+que podamos sustituir. De no ser así, podemos
+
+00:26.000 --> 00:33.680
+verificar si es exacta o no. Si no es exacta,
+podríamos aplicar un factor integrante o
+
+00:33.680 --> 00:38.840
+podríamos mirar si es homogénea. Si
+definitivamente no es homogénea, nos vamos a guiar por el
+
+00:38.840 --> 00:45.080
+factor integrante. Y ya sabemos que el
+factor integrante tiene tres casos diferentes. En
+
+00:45.080 --> 00:51.480
+el primer caso, vamos a evaluar si
+aplicando la fórmula tenemos una función que depende
+
+00:51.480 --> 00:58.640
+sólo de x o una constante. Si es así,
+efectivamente estamos hablando del caso número 1. Si no
+
+00:58.640 --> 01:04.400
+es así, aplicamos la fórmula del caso
+número 2. Y si obtenemos una función que sólo depende
+
+01:04.400 --> 01:11.480
+de y, muy bien, hemos encontrado que se
+trata de un factor integrante, caso número 2. Pero
+
+01:11.480 --> 01:18.000
+si no pasa esto y si me da una función que
+depende de x y y, ¿qué vamos a hacer? Pues
+
+01:18.000 --> 01:24.160
+bien, tenemos el siguiente ejercicio en
+nuestro tablero. Es la siguiente ecuación, yo ya
+
+01:24.160 --> 01:29.240
+he descartado que es separable, que puedo
+aplicar una sustitución lineal, ya he descartado
+
+01:29.240 --> 01:36.000
+que es homogénea, así que verifiquemos si
+es exacta o no. Nuestro primer paso será
+
+01:36.000 --> 01:48.320
+que quede la forma, recordemos, m de x más
+n de y igual a 0. Vemos que acá hay dos términos
+
+01:48.320 --> 01:56.760
+que están agrupados con dx, y de x y 3y a
+la 3x a la 4x, entonces lo primero que tenemos
+
+01:56.760 --> 02:10.200
+que hacer es agrupar esos términos, y más
+3y a la 3x a la 4 por dx más x de y igual
+
+02:10.200 --> 02:17.400
+a 0. Y ya tenemos nuestra ecuación de la
+forma que queríamos. Siempre es importante
+
+02:17.400 --> 02:24.400
+para poder identificar quién es m y quién
+es n. En este caso, m a qué va a ser igual.
+
+02:24.400 --> 02:31.320
+m es el término que me está acompañando a
+mi de x, entonces va a ser y más 3y más
+
+02:31.320 --> 02:42.560
+3y a la 3x a la 4. ¿Y quién va a ser n? n
+va a ser x. Ahora, ya tenemos una ecuación
+
+02:42.560 --> 02:46.640
+de esta forma, ya vimos que no es homogénea,
+así que el siguiente paso será verificar
+
+02:46.640 --> 02:53.360
+si es o no es exacta. Para ello vamos a
+hallar la derivada de m con respecto a y y la derivada
+
+02:53.360 --> 03:04.160
+de n con respecto a x. Y vamos a proceder.
+La derivada de m con respecto a y. Acá tendríamos
+
+03:04.160 --> 03:12.680
+un coeficiente que acompañase a y, por lo
+cual tendríamos 1 más 3x a la 4, x es una
+
+03:12.680 --> 03:20.000
+constante y 3 también, por lo cual nos
+queda exactamente igual y solo nos faltaría hallar
+
+03:20.000 --> 03:29.560
+la derivada de y a la 3. Y a la 3
+simplemente baja el 3 a multiplicar y a mi grado 3 le
+
+03:29.560 --> 03:35.600
+restó una unidad. Entonces este 3 pasa a
+multiplicar este 3, tendríamos acá 9x a
+
+03:35.600 --> 03:44.280
+la 4, y a la 2. Y hemos hallado la
+derivada de m con respecto a y. A hallar la derivada
+
+03:44.280 --> 03:52.560
+de n con respecto a x, simplemente tengo x
+entonces me queda la constante 1. Y vemos
+
+03:52.560 --> 03:59.080
+que son totalmente diferentes, así que no
+es una ecuación exacta, por lo tanto vamos
+
+03:59.080 --> 04:05.440
+a mirar si yo puedo aplicar un factor
+integrante o no. Como no sabemos de qué factor integrante
+
+04:05.440 --> 04:12.760
+estamos hablando, empezamos siempre por el
+caso número 1. Y acá tenemos la fórmula.
+
+04:12.760 --> 04:22.000
+Y vamos a ver qué resultado nos da.
+Entonces yo tengo dm de y que sería 1 más 9x a la
+
+04:22.000 --> 04:33.520
+4, y al cuadrado, menos la derivada de n
+con respecto a x, menos 1, sobre n. ¿Y quién
+
+04:33.520 --> 04:41.480
+es n? n viene siendo x. Acá yo trato de
+solucionar lo más que pueda, simplemente 1 menos 1 tendría
+
+04:41.480 --> 04:50.440
+9x a la 4y al cuadrado sobre x, y una x la
+puedo cancelar con la otra x y obtendría
+
+04:50.440 --> 04:59.840
+9x a la 3y al cuadrado. Y observo que
+efectivamente en este lado de la ecuación no he obtenido
+
+04:59.840 --> 05:06.440
+ni una constante ni una función que
+depende sólo de x, sino que aparece y, entonces el
+
+05:06.440 --> 05:14.160
+caso 1 lo descartamos de nuestra ecuación
+diferencial. Vamos ahora a evaluar el caso
+
+05:14.160 --> 05:24.120
+número 2. Nuestra fórmula será la derivada
+de m con respecto a y, 1 más 9x 4y al cuadrado,
+
+05:24.120 --> 05:34.440
+menos nx menos 1, sobre menos m. Es decir,
+m yo lo tengo acá y es menos m, entonces
+
+05:34.440 --> 05:43.480
+me quedaría menos y, menos 3y a la 3x a la 4.
+Y vamos a tratar de resolver para ver qué
+
+05:43.480 --> 05:51.420
+nos da. Nuevamente el 1 con el 1 se me va
+y arriba tengo 9x a la 4y al cuadrado sobre
+
+05:51.420 --> 06:02.560
+menos y, menos 3y a la 3x a la 4. Y lo que
+yo veo ahí es nuevamente una combinación
+
+06:02.560 --> 06:09.040
+de x y y. Si hubiera sido sólo una función
+que depende de y, estaríamos hablando del
+
+06:09.040 --> 06:14.960
+caso número 2. Pero vemos que nuevamente
+me aparecen allí todos estos términos. Así
+
+06:14.960 --> 06:23.240
+que caso número 2 descartado. Y vamos a
+aplicar la fórmula para el caso número 3. Entonces
+
+06:23.240 --> 06:35.840
+tenemos dm de y, 1 más 9x a la 4y al cuadrado,
+menos dn de x menos 1, sobre n por y. ¿Quién
+
+06:35.840 --> 06:47.760
+es n? n es x y lo voy a multiplicar por y.
+Entonces me quedaría xy, menos mx. ¿Quién
+
+06:47.760 --> 06:55.240
+es m? m es esta función que yo tengo acá y
+la voy a multiplicar por x. Así que es lo
+
+06:55.240 --> 07:02.280
+mismo que multiplicar todos los términos
+por x. Recordando el signo negativo. Entonces
+
+07:02.280 --> 07:17.000
+me quedaría menos yx, menos 3y al cubo x a
+la 5. Y miremos qué podemos solucionar.
+
+07:17.000 --> 07:27.680
+Este 1 con este 1 se nos van, nos queda
+arriba 9x a la 4y al cuadrado. Y que obtenemos abajo.
+
+07:27.680 --> 07:40.960
+xy menos yx se nos van de la ecuación y
+obtendría al final menos 3y a la 3x a la 5. Y ahí vemos
+
+07:40.960 --> 07:48.520
+que tenemos x en el numerador y en el
+denominador al igual que y. Entonces y este 9 y este 3
+
+07:48.520 --> 07:57.080
+también lo podemos dividir. Entonces el 9
+con el 3 simplemente me queda menos 3 arriba.
+
+07:57.080 --> 08:10.640
+3, 4 y x, 5 me queda solo una x abajo y y
+al cuadrado arriba. Y y a la 3 abajo me queda
+
+08:10.640 --> 08:21.480
+solo y arriba. Y ¿qué he obtenido? He
+obtenido una función que depende exclusivamente de
+
+08:21.480 --> 08:28.320
+x y y. Como yo tengo una función que
+depende de x y y, efectivamente yo estoy hablando
+
+08:28.320 --> 08:36.320
+del caso número 3. Que me indica que si
+tengo una función que depende de x y estoy hablando
+
+08:36.320 --> 08:42.120
+del caso número 3. Y aplico la fórmula
+para hallar el factor integrante en el caso número
+
+08:42.120 --> 08:51.160
+3. ¿Cuál es esa fórmula? Si recordamos de
+nuestras diapositivas, la fórmula va a
+
+08:51.160 --> 09:01.000
+ser igual a nuestro factor integrante que
+depende de x y y ¿de acuerdo? La idea es
+
+09:01.000 --> 09:07.320
+asignarle un nuevo valor a x y y que va a
+ser z. Entonces donde yo tenga x y y lo voy
+
+09:07.320 --> 09:13.480
+a reemplazar por z. Entonces va a ser mi
+factor integrante que depende de z. Va a ser igual
+
+09:13.480 --> 09:27.560
+a e a la integral de menos 3, lo que
+tenemos acá, sobre x y y, es decir sobre z de z.
+
+09:27.560 --> 09:32.960
+Y ya simplemente nos queda solucionar esa
+integral. Ya sabemos que el menos 3 lo podemos
+
+09:32.960 --> 09:41.400
+sacar de nuestra exponencial, nos quedaría
+e a la menos 3 integral de 1 sobre z de z.
+
+09:41.400 --> 09:49.040
+Nosotros ya sabemos que la integral de 1
+sobre z es logaritmo natural de z, entonces nos
+
+09:49.040 --> 09:56.640
+quedaría e a la menos 3 por logaritmo
+natural de z. Hemos solucionado nuestra integral,
+
+09:56.640 --> 10:01.720
+vemos que nuevamente tenemos una
+exponencial y un logaritmo natural que queremos cancelar,
+
+10:01.720 --> 10:07.080
+pero está este menos 3 de por medio,
+así que lo que hacemos es e logaritmo natural
+
+10:07.080 --> 10:13.120
+de z a la menos 3 por las propiedades del
+logaritmo natural, cancelamos nuestro e con
+
+10:13.120 --> 10:22.440
+el logaritmo natural y obtenemos al final
+z a la menos 3. O lo que sería igual 1 sobre
+
+10:22.440 --> 10:33.800
+z a la 3. Y simplemente nos queda ¿quién
+es z? x y y. Así que nuestro factor integrante
+
+10:33.800 --> 10:41.720
+sería 1 sobre x y a la 3, vamos a
+colocarlo con otro color acá, nuestro factor integrante
+
+10:41.720 --> 10:54.360
+sería 1 sobre x y a la 3. Y lo hemos
+encontrado. Ahora el siguiente paso será evaluar si efectivamente
+
+10:54.360 --> 11:02.040
+este factor integrante nos permite obtener
+una ecuación exacta a partir de nuestra ecuación
+
+11:02.040 --> 11:07.840
+original, así que vamos a hacer ese proceso.
+Ya tenemos nuestro factor integrante, ahora
+
+11:07.840 --> 11:16.200
+multipliquemoslo por cada una de mis
+partes y comprobemos que efectivamente era un factor
+
+11:16.200 --> 11:22.920
+integrante de mi ecuación. Simplemente voy
+a multiplicar 1 sobre x y a la 3, es decir
+
+11:22.920 --> 11:40.200
+1 sobre x y a la 3, todo esto a la 3,
+por y más 3 y a la 3, x a la 4 de x, más 1 sobre
+
+11:40.200 --> 11:50.440
+x y a la 3 por x de y. Y observemos qué
+resultado nos da. Entonces, nuestro primer término
+
+11:50.440 --> 12:03.240
+será y sobre x y a la 3 más 3 y a la 3,
+x a la 4 sobre x. Bueno, podemos deshacernos
+
+12:03.240 --> 12:10.920
+de ese al cubo, simplemente sería colocar
+x al cubo, y al cubo, entonces acá nos quedaría
+
+12:10.920 --> 12:22.320
+x al cubo, y al cubo, todo esto por dx y
+acá en esta parte nos quedaría más x sobre x
+
+12:22.320 --> 12:31.160
+a la 3, y a la 3 de y. Y ya simplemente es
+mirar qué podemos cancelar. Acá una y con
+
+12:31.160 --> 12:40.960
+una y de abajo se nos va y acá nos queda 1
+sobre x a la 3, y al cuadrado. Acá qué
+
+12:40.960 --> 12:47.760
+tenemos, x a la 4 y x a las 3, sólo nos
+queda una x arriba, podemos quitarla abajo y ya
+
+12:47.760 --> 12:56.360
+la 3 con ya la 3 se nos va. Entonces sólo
+de este término sólo nos queda 3x. ¿De
+
+12:56.360 --> 13:05.640
+acuerdo? Ahora, acá tenemos una x y 3x abajo,
+entonces simplemente acá nos queda 2 y podemos
+
+13:05.640 --> 13:14.120
+quitar la x de arriba. Y comprobemos,
+comprobemos que efectivamente tenemos una ecuación exacta.
+
+13:14.120 --> 13:27.520
+Nuestro nuevo m, nuestro nuevo m, vamos a
+colocarlo aquí, será 1 sobre x a la 3, y
+
+13:27.520 --> 13:37.880
+al cuadrado, más 3x y nuestro nuevo n será
+1 sobre x al cuadrado, y al cubo. Y evaluemos
+
+13:37.880 --> 13:46.160
+las derivadas parciales para evaluar si
+tenemos una ecuación exacta o no. Vamos a empezar
+
+13:46.160 --> 13:54.800
+con la derivada de m con respecto a y.
+La derivada de m con respecto a y, m con respecto
+
+13:54.800 --> 14:04.040
+a y, de 1 sobre x, 3y al cuadrado más 3x.
+Observamos que el 3x es una constante que
+
+14:04.040 --> 14:09.280
+depende de x, es una constante, así que la
+podemos eliminar y sólo nos quedaría este
+
+14:09.280 --> 14:17.060
+término, el 1 sobre x a la 3 es una
+constante y sólo nos quedaría ya la derivada de y
+
+14:17.060 --> 14:23.800
+a la menos 2. Lo que hacemos es bajar ese
+menos 2, es decir, bajarlo a multiplicar toda
+
+14:23.800 --> 14:32.680
+mi ecuación, 1 sobre x a la 3, bajamos ese
+menos 2 y a este le vamos a restar un 1. Menos
+
+14:32.680 --> 14:40.680
+2 menos 1 nos queda a la menos 3, a la
+menos 3 y hemos obtenido nuestra derivada que sería
+
+14:40.680 --> 14:49.320
+menos 2 sobre x a la 3, y a la 3,
+simplemente bajamos ese ya. Y ahora hayemos la derivada
+
+14:49.320 --> 14:59.080
+de m con respecto, la derivada de n con
+respecto a x. Y observemos que obtenemos, sería 1
+
+14:59.080 --> 15:08.920
+sobre x al cuadrado y a la 3, el 1 sobre y
+a la 3 es una parte que sólo depende de y,
+
+15:08.920 --> 15:14.360
+por lo tanto lo asumimos como una constante,
+1 sobre y a la 3 y sólo tendríamos que hallar
+
+15:14.360 --> 15:23.240
+la derivada de x a la menos 2. Nuevamente
+bajamos ese menos 2, el menos 2 pasa acá
+
+15:23.240 --> 15:31.520
+a multiplicar y a menos 2 le resto una unidad,
+menos 2 menos 1 nos queda menos 3. Y hemos
+
+15:31.520 --> 15:39.080
+obtenido la derivada, simplemente ya a la
+3 y bajamos el x a la menos 3. Y lo hemos
+
+15:39.080 --> 15:46.880
+conseguido, ambas son iguales, hemos
+obtenido una ecuación exacta a partir de mi ecuación
+
+15:46.880 --> 15:53.760
+inicial utilizando el factor integrante.
+Ya sabemos cómo solucionar las ecuaciones exactas,
+
+15:53.760 --> 16:00.400
+así que ya podemos terminar de solucionar
+nuestro problema. Y así hemos obtenido una
+
+16:00.400 --> 16:05.880
+ecuación exacta utilizando el factor
+integrante número 3. Ahora es tu turno para que soluciones
+
+16:05.880 --> 16:10.120
+esta ecuación utilizando los conocimientos
+que hemos visto. Ya hemos resuelto algunas
+
+16:10.120 --> 16:15.040
+ecuaciones exactas y si quieres comprobar
+tu resultado en los archivos de la clase encontrarás
+
+16:15.040 --> 16:21.960
+este ejercicio paso a paso para que
+verifiques tu resultado. En la próxima clase veremos
+
+16:21.960 --> 16:29.040
+otro caso muy especial de los factores
+integrantes utilizando los coeficientes lineales. Vamos
+
+16:29.040 --> 16:46.040
+a ver de qué se
+trata.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/17-Identificación y Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
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a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/17-Identificación y Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales.vtt

@@ -0,0 +1,262 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:08.480
+Ya vimos que el factor integrante es una
+herramienta muy importante que nos ayudará a solucionar
+
+00:08.480 --> 00:13.540
+ecuaciones que en un principio no vemos
+como exactas y aplicando el factor integrante las
+
+00:13.540 --> 00:19.140
+convertimos en funciones exactas. El
+factor integrante también nos va a ayudar a solucionar
+
+00:19.140 --> 00:25.900
+otro tipo de ecuaciones que son las
+ecuaciones diferenciales lineales. ¿Cómo podemos identificar
+
+00:25.900 --> 00:31.220
+una ecuación diferencial lineal? La
+ecuación diferencial lineal va a tener la siguiente
+
+00:31.220 --> 00:39.020
+forma, donde yo tengo una función f de 1
+por la primera derivada de mi y de x más
+
+00:39.020 --> 00:45.100
+una segunda función multiplicada por y y
+una tercera función que depende sólo de
+
+00:45.100 --> 00:51.060
+x. Lo importante aquí y por lo cual lo
+vamos a llamar lineal es porque la derivada de y
+
+00:51.060 --> 00:57.900
+de x y mi y aparecen solitarias. Vemos que
+aparecen sin ninguna exponencial, sin ningún
+
+00:57.900 --> 01:04.580
+coseno, sin ningún al cuadrado, aparecen
+totalmente solas por lo cual decimos que es
+
+01:04.580 --> 01:10.380
+una ecuación diferencial lineal. Vemos que
+lo importante es lo que pase con la variable
+
+01:10.380 --> 01:17.380
+dependiente. Ahora, por ejemplo, miremos
+la siguiente ecuación. ¿Será que es una ecuación
+
+01:17.380 --> 01:24.020
+diferencial lineal o no? Vemos allí que
+aparece una función que depende totalmente de x.
+
+01:24.020 --> 01:30.340
+Vemos que aparece una f de x también
+multiplicada por y y otra función multiplicada por su
+
+01:30.340 --> 01:36.980
+derivada. Así que como la derivada está
+sola y la y también está sola decimos efectivamente
+
+01:36.980 --> 01:42.700
+que es una ecuación diferencial lineal que
+simplemente para colocarla igual que la estructura
+
+01:42.700 --> 01:48.140
+de arriba, que la estructura de arriba lo
+podríamos modificar así. Miremos la siguiente
+
+01:48.140 --> 01:54.740
+ecuación. Observamos que la primera
+derivada también aparece sin ninguna modificación.
+
+01:54.740 --> 02:01.980
+La función, la variable dependiente
+también aparece totalmente sola. Entonces, efectivamente
+
+02:01.980 --> 02:09.280
+acá también tenemos otro caso de una
+ecuación diferencial lineal. Veamos este caso. Tenemos
+
+02:09.280 --> 02:17.020
+la derivada de mi función solita, pero
+observemos que y tiene un coeficiente allí, tiene un
+
+02:17.020 --> 02:24.420
+y al cubo. Es decir, mi variable
+dependiente está elevada al cubo. Por lo tanto, esta
+
+02:24.420 --> 02:32.420
+función diríamos que no es lineal y no
+podríamos aplicar lo que vamos a ver a continuación.
+
+02:32.420 --> 02:37.260
+Y observemos este último ejemplo para que
+lo tengamos con total claridad. Allí vemos
+
+02:37.260 --> 02:46.140
+que aparece la derivada de mi función
+solita y aparece x también sola. Sin embargo, observamos
+
+02:46.140 --> 02:52.780
+que allí la variable dependiente ya no es y,
+sino que es x y que mi variable independiente
+
+02:52.780 --> 02:57.620
+sería y. Y lo que estamos mirando acá es
+la forma de esa variable dependiente, de la
+
+02:57.620 --> 03:03.820
+derivada de y y de y. O en este caso,
+la derivada de x y de x y vemos que aparecen solas, por
+
+03:03.820 --> 03:11.200
+lo cual estamos hablando de una ecuación
+diferencial lineal. Muy bien. Ahora, la pregunta
+
+03:11.200 --> 03:17.060
+es ¿qué pasaría si en una ecuación
+diferencial lineal, como la que yo tengo aquí en nuestras
+
+03:17.060 --> 03:25.180
+pantallas, qué pasaría si esa f2 de x
+fuera la derivada de f1 de x? ¿Qué pasaría si
+
+03:25.180 --> 03:31.720
+estuviéramos hablando de que yo tengo la
+derivada de una función por una función
+
+03:31.720 --> 03:37.100
+más la derivada de la otra función por mi
+función? Exacto. Estaríamos hablando de
+
+03:37.100 --> 03:42.620
+la propiedad de la multiplicación de dos
+derivadas. Recuerda que si tenemos, por ejemplo, la derivada
+
+03:42.620 --> 03:49.740
+de x y es la derivada de x por la derivada
+de y, no, la derivada de x por y más la derivada
+
+03:49.740 --> 03:56.500
+de y por la derivada de x. Entonces,
+si esta condición fuera posible que se cumpliera,
+
+03:56.500 --> 04:04.260
+yo tendría que sería igual a la derivada,
+en realidad, de esa f1 por mi y. Y estaría
+
+04:04.260 --> 04:08.260
+hablando de la siguiente relación. Ya me
+olvidaría de esa primera parte y estaría
+
+04:08.260 --> 04:14.500
+hablando de que la derivada de la
+multiplicación de esas dos funciones sería mi f3 de x que
+
+04:14.500 --> 04:20.180
+yo tenía arriba. Y ya podría simplemente
+integrar y como yo tengo la integral de una
+
+04:20.180 --> 04:25.180
+derivada, podríamos salir de eso y tener
+solo la multiplicación de dos funciones.
+
+04:25.180 --> 04:31.820
+Ahora, la pregunta es, ¿cómo yo puedo
+garantizar que esa f1 de x efectivamente es la derivada
+
+04:31.820 --> 04:38.780
+de f2 de x? Pues bien, ahí es donde
+recurrimos nuevamente a nuestro factor integrante. Así
+
+04:38.780 --> 04:43.380
+que el procedimiento, cuando tengamos una
+ecuación diferencial lineal de la siguiente
+
+04:43.380 --> 04:48.740
+forma, vamos a hacer el siguiente
+procedimiento. Nuestro primer paso va a ser dividir todo
+
+04:48.740 --> 04:55.420
+por esa f1 de x que tenemos allí,
+garantizando así que el primer término quede totalmente
+
+04:55.420 --> 05:02.340
+solo. Vamos a tener para el término de y
+una f2 de x sobre f1 de x, que le vamos a
+
+05:02.340 --> 05:08.060
+asignar un nuevo nombre como p de x y a
+las dos funciones que tenemos allá, simplemente
+
+05:08.060 --> 05:14.260
+le vamos a asignar ahora el nombre de q de x.
+Y vamos a aplicar nuestro factor integrante.
+
+05:14.260 --> 05:20.620
+Y acá ya vemos que la condición que
+tenemos que cumplir es que ese factor integrante multiplicado
+
+05:20.620 --> 05:25.780
+por una p de x sea igual a la derivada del
+factor integrante. Esa es la condición que
+
+05:25.780 --> 05:33.140
+tenemos que lograr para cumplir con todo
+lo que vimos en la slide anterior. Y si eso lo
+
+05:33.140 --> 05:41.020
+tenemos resuelto, yo ya puedo hallar el
+factor integrante de la siguiente forma. El factor
+
+05:41.020 --> 05:46.860
+integrante simplemente va a ser igual a la
+exponencial de la integral de esa p de x que
+
+05:46.860 --> 05:53.060
+yo tengo de la forma arriba. Y la ecuación
+que tenemos arriba nos quedaría entonces
+
+05:53.060 --> 05:59.060
+simplemente como la derivada de mi factor
+integrante por mi función y. Y eso sería
+
+05:59.060 --> 06:04.260
+igual a mi factor integrante por mi q de x.
+Y ya tendría simplemente que integrar a cada
+
+06:04.260 --> 06:09.800
+lado. Y a mi lado izquierdo lo que tengo
+es la integral de la derivada, por lo cual simplemente
+
+06:09.800 --> 06:16.140
+las cancelo. Recordemos que son
+propiedades inversas. Y nos quedaría al final la siguiente
+
+06:16.140 --> 06:24.500
+ecuación. Esta es la ecuación para
+resolver una ecuación diferencial lineal utilizando
+
+06:24.500 --> 06:29.020
+un factor integrante. Quería que supieras
+claramente cuál era el proceso para llegar
+
+06:29.020 --> 06:35.300
+a esa solución. Ya cuando la vayamos a
+resolver simplemente tendremos que aplicar estas fórmulas.
+
+06:35.300 --> 06:40.420
+Todo eso lo veremos en la siguiente clase
+a través de un ejemplo práctico donde aplicaremos
+
+06:40.420 --> 06:44.620
+estas ecuaciones y solucionaremos nuestra
+ecuación a través del factor integrante.
+
+06:44.620 --> 07:05.620
+Nos vemos en la siguiente
+clase.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/18-Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales con Factor Integrante.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
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a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/03-Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden/18-Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales con Factor Integrante.vtt

@@ -0,0 +1,264 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:02.000
+¡Clic!
+
+00:04.080 --> 00:09.040
+Hemos visto tres casos muy importantes del
+factor integrante.
+
+00:09.200 --> 00:14.160
+Sin embargo, habrá otro tipo de ecuación
+en el que el factor integrante nos permitirá
+
+00:14.600 --> 00:18.480
+solucionar la ecuación de manera súper
+rápido y súper fácil.
+
+00:19.280 --> 00:22.200
+Observemos la ecuación que tenemos en
+nuestras pantallas.
+
+00:22.800 --> 00:28.720
+Por lo que vimos en la clase anterior,
+es fácil reconocer que es una ecuación diferencial lineal. ¿Por qué?
+
+00:28.720 --> 00:33.560
+Porque el término con la derivada, es decir,
+el de y de x,
+
+00:34.360 --> 00:41.480
+aparece completamente solo y el término y
+también aparece solo. No nos importa lo que tengamos
+
+00:42.360 --> 00:47.320
+como funciones de x, es decir, si acá
+hubiera un x a la 3,
+
+00:47.760 --> 00:52.320
+no nos importaría un coseno de esta x,
+tampoco nos importaría,
+
+00:52.720 --> 00:56.920
+pero por ejemplo, si hubiera acá un y al
+cuadrado o una modificación
+
+00:56.920 --> 01:02.120
+de mi variable dependiente, ya no sería
+una ecuación diferencial lineal.
+
+01:02.880 --> 01:07.640
+Y con esto ya hemos identificado que es
+una ecuación diferencial lineal.
+
+01:07.640 --> 01:13.280
+Cuando tengamos este tipo de ecuaciones,
+va a ser muy sencillo solucionarlos con el factor integral.
+
+01:13.720 --> 01:18.640
+Lo que buscamos, nuestro primer paso será
+una ecuación de la siguiente forma,
+
+01:18.640 --> 01:26.800
+donde el y de x lo encontramos totalmente
+solo, una función p de x multiplicado por esta y que vemos acá,
+
+01:27.040 --> 01:33.760
+y una función q de x. Y simplemente
+tendremos que encontrar nuestro factor integrante
+
+01:34.280 --> 01:40.760
+a través de esta ecuación y ya, como vimos
+en la clase pasada, ya vimos de dónde surgen las ecuaciones,
+
+01:41.000 --> 01:44.760
+nuestra ecuación diferencial estará
+solucionada con esta fórmula.
+
+01:44.760 --> 01:49.320
+Entonces, el primer paso será
+efectivamente obtener algo de esta forma,
+
+01:49.320 --> 01:57.480
+dejando este y de x solito. Así que lo que
+vamos a hacer en este caso es dividir todo sobre x a la 3.
+
+01:57.480 --> 02:04.200
+Si yo divido todo sobre x a la 3,
+obtendría lo que vemos aquí.
+
+02:04.200 --> 02:16.040
+Simplemente estoy modificando la fórmula y
+al principio yo obtendría de y de x más 3,
+
+02:16.040 --> 02:29.000
+me quedaría un x abajo, y a este lado me
+quedaría x sobre x a la 3, me quedaría 1 sobre x al cuadrado.
+
+02:29.000 --> 02:37.240
+Y así de sencillo, ya hemos obtenido una
+nueva ecuación con base de esta forma.
+
+02:37.240 --> 02:43.720
+Así que ya puedo recurrir a mi factor
+integrante, yo ya sé que mi factor integrante lo puedo hallar mediante esta fórmula.
+
+02:43.720 --> 02:50.600
+Identificando claramente quién es p de x,
+vamos a anotarlo acá, mi p de x, ¿quién va a ser?
+
+02:50.600 --> 02:59.640
+El término que acompaña a la y, va a ser 3
+sobre x, y mi q de x, ¿quién va a ser?
+
+02:59.640 --> 03:07.080
+1 sobre x cuadrado, que es la función que
+me queda al otro lado de la igualdad, 1 sobre x cuadrado.
+
+03:07.080 --> 03:11.960
+Y apliquemos nuestra fórmula, la fórmula
+nos dice, utilicemos otro color,
+
+03:11.960 --> 03:22.040
+la fórmula nos dice que el factor
+integrante va a ser igual a e a la integral de px, ¿quién es px?
+
+03:22.040 --> 03:25.480
+3 sobre x de
+x.
+
+03:25.480 --> 03:33.000
+Hallemos ese factor integrante,
+simplemente vamos a solucionar la integral de arriba, nos queda e,
+
+03:33.000 --> 03:37.640
+el 3 lo puedo sacar y me queda la integral
+de 1 sobre x de x,
+
+03:37.640 --> 03:44.360
+yo sé que esa integral es el logaritmo
+natural de x, y como ya hemos visto,
+
+03:44.360 --> 03:49.240
+para poder deshacernos de esa exponencial
+y ese logaritmo natural, yo puedo recurrir a la propiedad
+
+03:49.240 --> 03:54.440
+que me dice que este 3 lo puedo pasar
+arriba como exponente en el logaritmo natural,
+
+03:54.440 --> 04:02.360
+y ya me queda e y logaritmo natural para
+cancelarlos, así que mi factor integrante será x a la 3.
+
+04:02.360 --> 04:10.120
+Y ya hemos hallado ese factor integrante,
+simplemente nos queda hallar la solución de nuestra ecuación,
+
+04:10.120 --> 04:17.720
+utilizando la fórmula que ya tenemos de
+ecuaciones diferenciales, entonces simplemente la solución de mi ecuación,
+
+04:17.720 --> 04:34.680
+y va a estar dada por 1 sobre el factor
+integrante, que va a ser x a la 3, x a la 3 por la integral de mi factor integrante,
+
+04:34.680 --> 04:46.840
+mi factor integrante es x a la 3, ¿por
+quién? Por mi q de x que es 1 sobre x cuadrado, 1 sobre x cuadrado por dx.
+
+04:46.840 --> 05:00.120
+Entonces vamos a hallar esta integral,
+simplemente lo que obtenemos es 1 sobre x a la 3, x a la 3 sobre x a la 2,
+
+05:00.120 --> 05:09.640
+me queda la integral de x, de x, y la
+integral de x simplemente va a ser x al cuadrado sobre 2,
+
+05:09.640 --> 05:16.920
+recordemos que simplemente sumamos un
+exponente acá, acá tenemos 1, sería sumarle 1 acá y dividirlo sobre 1 más 1,
+
+05:16.920 --> 05:30.440
+entonces nos quedaría x a la 2 sobre 2,
+x a la 2 sobre 2 y este x a la 3 lo tenemos abajo, x a la 3.
+
+05:30.440 --> 05:45.320
+Y x a la 2 y x a la 3 nos queda 1 sobre 2x,
+y así de sencillo, hemos encontrado la solución de mi ecuación diferencial.
+
+05:45.320 --> 05:52.760
+Importante que acá como estamos hablando
+de una integral, nos va a quedar una constante C, que siempre vamos a tener presente,
+
+05:52.760 --> 05:58.200
+y con eso hemos concluido lo que son las
+ecuaciones diferenciales lineales.
+
+05:58.200 --> 06:03.160
+Recordemos brevemente el proceso para esta
+ecuación diferencial lineal,
+
+06:03.160 --> 06:08.360
+tenemos que identificar que de y de x
+estén totalmente solos, al igual que la y,
+
+06:08.360 --> 06:14.360
+si es así vamos a buscar una ecuación de
+la fórmula que, de la forma que vemos acá,
+
+06:14.360 --> 06:19.880
+donde queda de y de x más una función por
+y igual a otra función,
+
+06:19.880 --> 06:26.920
+y ya con eso puedo aplicar este factor
+integrante, simplemente la exponencial de mi integral de p de x,
+
+06:26.920 --> 06:34.440
+que es el término que acompaña mi y,
+y ya con mi factor integrante puedo simplemente reemplazar en la ecuación,
+
+06:34.440 --> 06:38.120
+para obtener la solución de mi ecuación
+diferencial.
+
+06:38.120 --> 06:45.080
+Y con esto hemos concluido nuestro
+recorrido por las ecuaciones diferenciales de primer orden.
+
+06:45.080 --> 06:52.760
+Brevemente, vimos ecuaciones diferenciales
+separables, vimos que podíamos aplicar sustituciones lineales,
+
+06:52.760 --> 07:01.400
+vimos que podíamos tener ecuaciones de
+coeficientes lineales, ecuaciones exactas, ecuaciones homogéneas,
+
+07:01.400 --> 07:06.040
+y en dado caso que no se presentara
+ninguno de estas alternativas,
+
+07:06.040 --> 07:10.680
+acudíamos al factor integrante, que como
+ya vimos es una herramienta súper útil,
+
+07:10.680 --> 07:14.760
+para encontrar ecuaciones exactas de donde
+no eran exactas,
+
+07:14.760 --> 07:18.200
+o como vimos en el tema de ecuaciones
+diferenciales lineales,
+
+07:18.200 --> 07:22.520
+nos permiten solucionar la ecuación de una
+manera muy rápida y efectiva.
+
+07:22.520 --> 07:24.840
+Y con esto hemos concluido este primer módulo.
+
+07:24.840 --> 07:53.480
+Acompáñenme en el siguiente módulo de este
+curso.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/04-Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden/01-Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden Soluciones Independientes.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:6e1094887d30cce556a09918e69ee9f6706fdcf2b144687211d5922fdef51208
+size 91797139

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/04-Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden/01-Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden Soluciones Independientes.vtt

@@ -0,0 +1,415 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:00.500
+¡Clic!
+
+00:03.920 --> 00:08.240
+Hemos culminado nuestro módulo de las
+ecuaciones diferenciales de primer orden.
+
+00:08.440 --> 00:12.020
+Ya sabes y ya tienes las herramientas
+necesarias para solucionar
+
+00:12.360 --> 00:15.800
+la mayoría de ecuaciones diferenciales de
+primer orden que podemos encontrar
+
+00:16.120 --> 00:20.000
+a lo largo de tu estudio, de las aplicaciones,
+de tus proyectos
+
+00:20.120 --> 00:23.640
+o si estás estudiando matemáticas ya
+podrás solucionar cualquier ecuación
+
+00:23.960 --> 00:25.240
+que te pongan en tu
+camino.
+
+00:25.640 --> 00:27.720
+Es hora de pasar al siguiente nivel.
+
+00:27.720 --> 00:32.680
+Vamos a ver en este módulo las ecuaciones
+diferenciales de segundo orden.
+
+00:33.000 --> 00:37.240
+Vamos a ver que hay unos tipos en los cuales,
+de ecuaciones diferenciales de segundo orden
+
+00:37.240 --> 00:39.240
+en los cuales nos vamos a
+enfocar.
+
+00:39.800 --> 00:43.560
+Pero antes quiero que revisemos un
+concepto que es súper importante
+
+00:43.560 --> 00:48.280
+y que nos va a servir para solucionar las
+ecuaciones diferenciales de segundo orden.
+
+00:48.680 --> 00:53.640
+Y este es el concepto de las soluciones
+linealmente independientes.
+
+00:53.640 --> 00:58.600
+Supongamos que yo tengo esta ecuación que
+vemos en pantalla.
+
+00:58.600 --> 01:02.280
+Es una ecuación de segundo orden. ¿Por qué
+lo sabemos?
+
+01:02.920 --> 01:08.360
+Recordemos que es una ecuación de segundo
+orden porque la derivada máxima que aparece
+
+01:08.360 --> 01:13.720
+es la segunda, esa es la y con doble
+apóstrofe que vemos allí, es la derivada segunda de y
+
+01:13.720 --> 01:21.880
+con respecto a t o a x en este caso,
+no es explícito, más 5y' la derivada de y
+
+01:21.880 --> 01:25.000
+menos 6y igual a
+0.
+
+01:25.000 --> 01:35.800
+Y evaluemos si y igual a e a la x es
+efectivamente una solución o no de mi ecuación diferencial.
+
+01:35.800 --> 01:39.560
+¿Cómo yo encuentro si y igual a e a la x
+es una solución?
+
+01:39.560 --> 01:44.920
+Pues lo que yo tengo que hacer es hallar
+la primera derivada, hallar la segunda derivada
+
+01:44.920 --> 01:47.400
+y reemplazarla en mi ecuación,
+¿verdad?
+
+01:47.400 --> 01:49.400
+Vamos a ver que nos
+da.
+
+01:49.400 --> 01:52.440
+Yo ya tengo mi y igual a e a la
+x.
+
+01:52.440 --> 01:54.520
+¿Cuál es la derivada de e a la
+x?
+
+01:54.520 --> 01:59.480
+Simplemente dejamos la misma exponencial
+por la derivada del exponente que en este caso
+
+01:59.480 --> 02:05.240
+tenemos x entonces la derivada es 1,
+por lo tanto la primera derivada nos queda exactamente igual.
+
+02:05.240 --> 02:11.720
+Y la segunda derivada que sería nuevamente
+la derivada de e a la x, pues viene siendo e a la x.
+
+02:11.720 --> 02:17.560
+Y ya tenemos nuestra función, nuestra
+primera derivada y nuestra segunda derivada, así
+
+02:17.560 --> 02:20.680
+que simplemente reemplacemosla en nuestra
+ecuación.
+
+02:20.680 --> 02:26.360
+Tenemos la segunda derivada que es e a la
+x más 5 veces, que es el coeficiente que tenemos
+
+02:26.360 --> 02:31.640
+allí, por e a la x menos 6 e a la x.
+
+02:31.640 --> 02:38.520
+Y lo que obtenemos al final es 6 e a la x
+menos 6 e a la x, es decir tenemos 0.
+
+02:38.520 --> 02:44.440
+Es decir, efectivamente e a la x es una
+solución de mi ecuación lineal.
+
+02:44.440 --> 02:52.040
+Ahora miremos si esta es otra solución de
+mi ecuación lineal, 2 e a la x.
+
+02:52.040 --> 02:59.240
+Volvamos a hacer nuestro procedimiento,
+vamos a hallar la derivada de 2 e a la x y la segunda
+
+02:59.240 --> 03:04.200
+derivada para comprobar si efectivamente
+tenemos una solución de mi ecuación.
+
+03:04.200 --> 03:09.880
+La primera derivada va a ser igual a 2 e a
+la x y la segunda derivada va a ser exactamente
+
+03:09.880 --> 03:12.520
+igual, 2 e a la
+x.
+
+03:12.520 --> 03:15.000
+Y reemplacemosla en nuestra ecuación.
+
+03:15.000 --> 03:20.360
+Para el segundo término vamos a tener 5 por 2,
+nos va a quedar 10 y para el tercer término
+
+03:20.360 --> 03:25.880
+nos va a quedar menos 6 por 2, nos va a
+quedar menos 12 e a la x.
+
+03:25.880 --> 03:33.160
+Y al final lo que yo tengo acá es 12 e a
+la x menos 12 e a la x es igual a 0.
+
+03:33.160 --> 03:38.760
+Así que hemos obtenido nuevamente otra
+solución.
+
+03:38.760 --> 03:45.080
+Entonces yo podría determinar que una
+solución en realidad es cualquier constante por e a
+
+03:45.080 --> 03:50.440
+la x, cualquier múltiplo de esa función
+que yo haya dado será una solución de mi
+
+03:50.440 --> 03:51.440
+función.
+
+03:51.440 --> 03:57.200
+Para ello los invito a que prueben si 3 e
+a la x es una función, es una solución o
+
+03:57.200 --> 03:58.200
+no de mi
+ecuación.
+
+03:58.200 --> 04:03.480
+Simplemente realiza el mismo procedimiento
+allí en tu cuaderno, en tus anotaciones,
+
+04:03.480 --> 04:07.480
+haya la primera derivada, haya la segunda
+derivada y verifica si es una solución o
+
+04:07.480 --> 04:08.480
+no.
+
+04:08.480 --> 04:14.280
+Bueno, ya hemos hallado lo que sería mi
+primera solución para mi función.
+
+04:14.280 --> 04:21.320
+Pero qué pasa por ejemplo de esta otra
+función que yo tengo acá, e a la menos 6x.
+
+04:21.320 --> 04:26.280
+Vemos que el exponente ha cambiado, antes
+teníamos e a la x, ahora tenemos e a la menos
+
+04:26.280 --> 04:29.480
+6x y volvamos a hacer el procedimiento.
+
+04:29.480 --> 04:34.800
+Hallamos la primera derivada, hallamos la
+segunda derivada y verifiquemos que es una
+
+04:34.800 --> 04:37.240
+solución o no de mi
+sistema.
+
+04:37.240 --> 04:43.360
+En este caso ya tengo mi función, mi
+primera derivada, vamos a multiplicarlo por la derivada
+
+04:43.360 --> 04:46.080
+interna que en este caso va a ser menos 6.
+
+04:46.080 --> 04:50.680
+Entonces digamos que ya cambia la primera
+derivada, nos quedaría menos 6 e a la menos
+
+04:50.680 --> 04:57.400
+6x y la segunda derivada, el menos 6
+vuelve a multiplicar por menos 6, nos quedaría 36
+
+04:57.400 --> 05:00.320
+positivo e a la menos
+6x.
+
+05:00.320 --> 05:03.080
+Y vamos a reemplazarlo en mi ecuación.
+
+05:03.080 --> 05:10.280
+Al final lo que tendría es lo siguiente,
+36 e a la menos 6x más 5 por menos 6 menos
+
+05:10.280 --> 05:14.080
+6x, e a la menos
+6x.
+
+05:14.080 --> 05:22.480
+Y al final obtendríamos lo siguiente,
+36 menos 30 menos 6 e a la menos x, por lo tanto
+
+05:22.480 --> 05:26.240
+yo tendría nuevamente
+0.
+
+05:26.240 --> 05:31.720
+Es decir, he encontrado otra solución
+totalmente diferente a la primera que había hallado,
+
+05:31.720 --> 05:32.720
+¿verdad?
+
+05:32.720 --> 05:39.040
+Entonces yo también puedo decir y puedo
+comprobar, por ejemplo, que todos los múltiplos de esta
+
+05:39.040 --> 05:47.000
+otra función de e a la menos 6x también
+son soluciones de mi ecuación de segundo
+
+05:47.000 --> 05:48.000
+orden.
+
+05:48.000 --> 05:52.320
+Te invito a que pruebes, por ejemplo,
+con algunos múltiplos con e a la menos 6x y verifiques
+
+05:52.320 --> 05:56.000
+que efectivamente es una
+solución.
+
+05:56.000 --> 06:02.800
+Entonces veo que yo ya tengo dos
+soluciones para esta ecuación de segundo orden y que
+
+06:02.800 --> 06:04.760
+ambas son totalmente
+diferentes.
+
+06:04.760 --> 06:06.280
+¿Por qué son
+diferentes?
+
+06:06.280 --> 06:12.600
+Porque no importa por qué constante o qué
+modificación yo le trate de hacer a e a la
+
+06:12.600 --> 06:16.480
+x, yo nunca podré obtener e a la menos 6x.
+
+06:16.480 --> 06:21.300
+Y precisamente por eso se llaman
+soluciones linealmente independientes, porque no existe
+
+06:21.300 --> 06:27.480
+ninguna constante por la que yo pueda
+multiplicar e a la x para que me de e a la menos 6x.
+
+06:27.480 --> 06:31.640
+Es decir, ambas soluciones son totalmente
+independientes.
+
+06:31.640 --> 06:38.920
+Y también podemos comprobar que cualquier
+combinación de estas soluciones linealmente
+
+06:38.920 --> 06:45.960
+independientes, es decir, cualquier
+constante por mi primera solución linealmente independiente
+
+06:45.960 --> 06:50.980
+más cualquier constante por mi segunda
+solución linealmente independiente también va a ser
+
+06:50.980 --> 06:54.880
+una solución de mi ecuación diferencial de
+segundo orden.
+
+06:54.880 --> 07:01.400
+Es decir, yo tengo dos soluciones
+linealmente independientes y una solución general.
+
+07:01.400 --> 07:08.280
+Esta va a ser la solución general de mi
+ecuación diferencial de segundo orden.
+
+07:08.280 --> 07:14.000
+Acá vemos matemáticamente cómo se expresa
+una solución linealmente independiente.
+
+07:14.000 --> 07:19.420
+Básicamente lo que nos dice aquí es que
+son linealmente independientes porque no importa
+
+07:19.420 --> 07:25.500
+por qué constante yo multiplique a esta,
+nunca voy a obtener la otra solución linealmente
+
+07:25.500 --> 07:26.500
+independiente.
+
+07:26.500 --> 07:32.900
+Y es importante que tengamos claro
+entonces lo que viene a continuación.
+
+07:32.900 --> 07:40.880
+Una ecuación diferencial de segundo orden
+va a tener dos soluciones linealmente independientes.
+
+07:40.880 --> 07:47.020
+Una ecuación de tercer orden va a tener
+tres soluciones linealmente independientes.
+
+07:47.020 --> 07:52.340
+Y en general una ecuación diferencial de n
+orden va a tener n soluciones linealmente
+
+07:52.340 --> 07:54.360
+independientes.
+
+07:54.360 --> 07:59.240
+Ya con eso sabemos que las ecuaciones que
+vayamos a ver de segundo orden van a tener
+
+07:59.240 --> 08:01.520
+máximo dos
+soluciones.
+
+08:01.520 --> 08:05.640
+Y con esto ya hemos dado entrada a lo que
+son las ecuaciones diferenciales de segundo
+
+08:05.640 --> 08:06.640
+orden.
+
+08:06.640 --> 08:10.860
+Así que ya sabemos que tenemos que hallar
+dos soluciones linealmente independientes
+
+08:10.860 --> 08:15.660
+y una solución general y habremos resuelto
+una ecuación diferencial de segundo orden.
+
+08:15.660 --> 08:18.620
+Vamos a ver el primer caso en la siguiente
+clase.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/04-Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden/02-Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:c3f780f8df42b11bde906b544f1a76106f0f4dd4a95178d30b03f5ba3cfef3b4
+size 70554794

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/04-Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden/02-Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes.vtt

@@ -0,0 +1,323 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:09.440
+Ya vimos que las ecuaciones diferenciales
+de segundo orden van a tener dos soluciones
+
+00:09.440 --> 00:12.760
+linealmente independientes y una solución
+general.
+
+00:12.760 --> 00:17.360
+Así que vayamos directo a nuestro primer
+caso de ecuación diferencial de segundo orden
+
+00:17.360 --> 00:21.560
+que serán las de coeficientes constantes
+homogéneas.
+
+00:21.560 --> 00:27.240
+Vamos a ver qué es esto y vamos a darle
+solución a nuestra ecuación diferencial.
+
+00:27.240 --> 00:32.000
+Esto nos servirá de base para las
+ecuaciones que veamos más adelante.
+
+00:32.000 --> 00:38.640
+Así que, ¿qué es una ecuación diferencial
+lineal homogénea de coeficientes constantes?
+
+00:38.640 --> 00:42.680
+Acá teníamos una ecuación y esta es una
+ecuación homogénea.
+
+00:42.680 --> 00:44.840
+¿Por qué es
+homogénea?
+
+00:44.840 --> 00:47.680
+Porque es igualada a
+cero.
+
+00:47.680 --> 00:50.960
+Esa es la condición para que sea una
+ecuación homogénea.
+
+00:50.960 --> 00:57.220
+Yo tengo mi segunda derivada por una función,
+mi primera derivada por una función, mi función
+
+00:57.220 --> 01:01.280
+por otra función de x y es igual a cero.
+
+01:01.280 --> 01:08.040
+Por ejemplo, la siguiente ecuación es
+homogénea porque está igualada a cero.
+
+01:08.040 --> 01:12.960
+Sin embargo, no es de coeficientes
+constantes porque los elementos que me acompañan la
+
+01:12.960 --> 01:17.960
+segunda derivada y la primera derivada no
+son coeficientes constantes.
+
+01:17.960 --> 01:23.440
+Así que la ecuación que vamos a resolver
+en esta clase será una como la que tenemos
+
+01:23.440 --> 01:31.520
+aquí en pantallas, donde yo tengo
+coeficientes constantes en cada uno de mis términos.
+
+01:31.520 --> 01:37.520
+Por ejemplo, a la segunda derivada lo
+acompaña el 1, que se podría simplemente no escribir
+
+01:37.520 --> 01:38.520
+como vemos
+allí.
+
+01:38.520 --> 01:44.040
+A la primera derivada lo acompaña el 5 y a
+mi función lo acompaña el menos 6.
+
+01:44.040 --> 01:48.120
+Es decir, mis coeficientes serían 1,
+5 y menos 6.
+
+01:48.120 --> 01:54.120
+Entonces, eso que tenemos allí es una
+ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes
+
+01:54.120 --> 01:58.320
+constantes y homogénea porque es igual a cero.
+
+01:58.320 --> 02:06.380
+Cuando veamos esta ecuación vamos a
+suponer que la solución es de este tipo, y igual
+
+02:06.380 --> 02:08.340
+a e a la de
+rx.
+
+02:08.340 --> 02:10.400
+Vamos a solucionar ya esta ecuación.
+
+02:10.400 --> 02:16.060
+Así que empezamos suponiendo que nuestra
+solución es y igual a e a la de rx.
+
+02:16.060 --> 02:20.800
+Cuando ya tenemos nuestra solución, así
+como lo hicimos cuando evaluamos las soluciones
+
+02:20.800 --> 02:26.920
+linealmente independientes, lo que vamos a
+hacer es identificar su primera derivada,
+
+02:26.920 --> 02:31.040
+identificar su segunda derivada y
+reemplazarlo en la ecuación.
+
+02:31.040 --> 02:37.760
+Así que la primera derivada de e a la de
+rx será r e a la de rx.
+
+02:37.760 --> 02:43.040
+Recordemos, simplemente es la misma
+exponencial por la derivada que tengamos arriba.
+
+02:43.040 --> 02:48.480
+La derivada de r a la de rx es r, así que
+nos quedará r e a la de rx.
+
+02:48.480 --> 02:53.160
+Y la segunda derivada será r al cuadrado
+por e a la de rx.
+
+02:53.160 --> 02:58.620
+Ahora vamos a reemplazar estos términos
+que hemos acabado de hallar en nuestra ecuación
+
+02:58.620 --> 03:01.000
+y obtendríamos lo
+siguiente.
+
+03:01.000 --> 03:07.680
+r al cuadrado e a la de rx más 5 veces la
+primera derivada que es r e a la de rx menos
+
+03:07.680 --> 03:10.280
+6 e a la de
+rx.
+
+03:10.280 --> 03:16.800
+Y lo que podemos hacer allí es simplemente
+factorizar ese e a la de rx y obtenemos lo
+
+03:16.800 --> 03:21.440
+que vemos allí, r al cuadrado más 5r menos 6.
+
+03:21.440 --> 03:24.800
+Y observemos que esa ecuación es igual a 0.
+
+03:24.800 --> 03:31.200
+Tengo un polinomio que multiplicado por e
+a la de rx es igual a 0.
+
+03:31.200 --> 03:36.940
+Y la función exponencial no puede ser
+negativa para ningún valor, así que lo que tenemos
+
+03:36.940 --> 03:43.640
+es lo siguiente, que r al cuadrado más 5r
+menos 6 debe ser igual a 0.
+
+03:43.640 --> 03:50.560
+Y esto es lo que vamos a llamar la
+ecuación característica de mi sistema.
+
+03:50.560 --> 03:57.620
+Aquí partimos de mi ecuación y hemos
+conseguido la ecuación característica del sistema.
+
+03:57.620 --> 04:02.400
+Una vez allá de esta ecuación, esta es una
+ecuación cuadrática, la cual ya hemos aprendido
+
+04:02.400 --> 04:06.360
+a resolver en los cursos de matemáticas
+básicas.
+
+04:06.360 --> 04:11.560
+Nuevamente recordarles que el curso de
+cálculo para análisis de datos está disponible en
+
+04:11.560 --> 04:12.560
+Platzi.
+
+04:12.560 --> 04:16.800
+Pero bueno, vamos a solucionar esta
+ecuación cuadrática.
+
+04:16.800 --> 04:21.480
+En este caso, esta ecuación cuadrática la
+podríamos resolver de la siguiente forma.
+
+04:21.480 --> 04:27.440
+Simplemente tenemos que factorizar,
+encontrar dos números que multiplicados den menos 6
+
+04:27.440 --> 04:30.280
+y que al sumarlos den
+5.
+
+04:30.280 --> 04:33.360
+Por lo tanto tenemos más 6 y menos 1.
+
+04:33.360 --> 04:38.560
+Y allí nos estarán indicando que las
+soluciones de esa ecuación cuadrática es, la primera
+
+04:38.560 --> 04:42.060
+es que r es igual a menos
+6.
+
+04:42.060 --> 04:45.640
+Simplemente cogemos nuestro primer factor,
+lo igualamos a 0.
+
+04:45.640 --> 04:47.920
+Cogemos nuestro segundo factor, lo
+igualamos a 0.
+
+04:47.920 --> 04:51.080
+Y de la primera obtenemos que r es igual a
+menos 6.
+
+04:51.080 --> 04:55.240
+Y de la segunda obtenemos que r es igual a
+menos 1.
+
+04:55.240 --> 04:56.240
+A
+1.
+
+04:56.240 --> 05:02.040
+Y observemos o recordemos que habíamos
+supuesto una solución de mi ecuación de la forma
+
+05:02.040 --> 05:04.400
+y igual a la
+rx.
+
+05:04.400 --> 05:06.440
+Y aquí tenemos dos
+r's.
+
+05:06.440 --> 05:12.640
+Así que hemos encontrado nuestras dos
+soluciones linealmente independientes.
+
+05:12.640 --> 05:17.280
+La primera con el primer r, y igual a la
+menos 6x.
+
+05:17.280 --> 05:22.480
+Y la segunda, y2 igual a la
+ex.
+
+05:22.480 --> 05:27.480
+Y estas son las dos soluciones linealmente
+independientes de mi sistema.
+
+05:27.480 --> 05:32.280
+Ahora, si recordamos nuestra primera clase
+dijimos que cualquier coeficiente multiplicado
+
+05:32.280 --> 05:37.600
+por estas soluciones iba a ser también una
+solución de mi sistema.
+
+05:37.600 --> 05:44.040
+Y que la suma de estas soluciones iba a
+ser la solución general de mi sistema.
+
+05:44.040 --> 05:50.880
+Así que nuestra solución general para esta
+ecuación diferencial va a ser de la forma,
+
+05:50.880 --> 05:57.160
+una constante por mi primera solución lineal,
+y igual a e a la menos 6x, más una constante
+
+05:57.160 --> 06:02.400
+por e a la ex, que es mi segunda solución
+lineal.
+
+06:02.400 --> 06:06.640
+Y ya, así hemos encontrado la solución
+para nuestra primera ecuación diferencial
+
+06:06.640 --> 06:09.200
+de segundo
+orden.
+
+06:09.200 --> 06:15.120
+En la siguiente clase veremos estos
+conceptos aplicados a otro ejemplo para que nos quede
+
+06:15.120 --> 06:19.560
+completamente claro este tema y poder
+seguir avanzando en nuestro estudio de ecuaciones
+
+06:19.560 --> 06:21.440
+diferenciales de segundo
+orden.
+
+06:21.440 --> 06:28.440
+Muchas
+gracias.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/04-Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden/03-Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Segundo Orden.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:295b80bd17a39aa52dd7d04204a2b9cb3b804eeeea8dde0cdb16cf2b6a7d24fc
+size 122173345

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/04-Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden/03-Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Segundo Orden.vtt

@@ -0,0 +1,415 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:09.560
+Ya hemos arrancado con nuestro estudio de
+las ecuaciones diferenciales de segundo orden.
+
+00:09.560 --> 00:15.600
+Y como te mencioné, la base para
+solucionar ecuaciones diferenciales de segundo orden
+
+00:15.600 --> 00:22.000
+son las ecuaciones diferenciales
+homogéneas con coeficientes constantes.
+
+00:22.000 --> 00:24.920
+Así que vamos a desarrollar un ejemplo.
+
+00:24.920 --> 00:31.360
+Supongamos que tenemos esta ecuación,
+siempre que tengamos una ecuación,
+
+00:31.360 --> 00:35.000
+nuestro primer paso será identificar de
+cuál estamos hablando.
+
+00:35.000 --> 00:41.240
+Vemos que es de segundo orden porque acá
+aparece que estamos hablando de la segunda derivada
+
+00:41.240 --> 00:45.880
+y si recordemos nuestros conceptos de
+ecuaciones, de fundamentos de ecuaciones,
+
+00:45.880 --> 00:49.960
+el orden de una ecuación estará dado por
+su máxima derivada.
+
+00:49.960 --> 00:53.960
+De igual manera vemos que está por
+coeficientes constantes
+
+00:53.960 --> 01:01.000
+porque los términos que acompañan a la y
+en este caso sería 1, 2 y menos 1.
+
+01:01.000 --> 01:05.760
+Son coeficientes constantes, no son
+funciones que dependen de x ni nada,
+
+01:05.760 --> 01:09.000
+entonces estamos hablando de coeficientes
+constantes.
+
+01:09.000 --> 01:15.920
+Y por último estamos hablando de una
+ecuación homogénea porque es igual a 0.
+
+01:15.920 --> 01:19.080
+Si es igual a 0 ya estamos hablando de una
+ecuación homogénea,
+
+01:19.080 --> 01:26.520
+entonces efectivamente estamos hablando de
+una ecuación de segundo orden homogénea de coeficientes constantes.
+
+01:26.520 --> 01:30.360
+¿Y cómo vamos a solucionar esta
+ecuación?
+
+01:30.360 --> 01:35.000
+En la mayoría y en todas las ecuaciones
+que vamos a ver de segundo orden,
+
+01:35.000 --> 01:37.480
+yo tengo que asumir una
+solución.
+
+01:37.480 --> 01:43.800
+En este caso yo asumo que mi solución es
+de la forma y igual a e a la rx
+
+01:43.800 --> 01:50.120
+y nuestro objetivo tiene que ser encontrar
+esa r que representa mi solución.
+
+01:50.120 --> 01:54.840
+Entonces si yo ya sé que esta es una
+solución de mi ecuación diferencial,
+
+01:54.840 --> 01:56.200
+¿yo qué tengo que
+hacer?
+
+01:56.200 --> 02:02.280
+Pues ya tengo esta y, sería encontrar la
+derivada de y y la segunda derivada de y
+
+02:02.280 --> 02:07.400
+y reemplazarla en esta parte de la
+ecuación para ver qué obtengo.
+
+02:07.400 --> 02:11.800
+Nuestro primer paso será, ya dijimos cuál
+era nuestra solución,
+
+02:11.800 --> 02:14.600
+será encontrar la ecuación característica,
+
+02:14.600 --> 02:24.920
+que yo puedo saber que la ecuación
+característica es r² más 2r menos 1 igual a 0.
+
+02:24.920 --> 02:29.560
+Simplemente voy a reemplazar la segunda
+derivada por r²,
+
+02:29.560 --> 02:35.400
+la primera derivada por un r y el último
+término, con lo cual el coeficiente que tenga allí.
+
+02:35.400 --> 02:38.840
+Si no recuerdas cómo sacamos esta ecuación
+característica,
+
+02:38.840 --> 02:44.760
+vamos a hallarla nosotros a través del
+procedimiento que les mencioné.
+
+02:44.760 --> 02:49.640
+Entonces, ¿cuál será la derivada de e a la
+rx?
+
+02:49.640 --> 02:55.320
+La derivada de e a la rx es la misma
+exponencial
+
+02:55.320 --> 02:58.920
+multiplicada por la derivada de lo que yo
+tengo adentro, entonces
+
+02:58.920 --> 03:04.920
+xr me queda r y yo tendría la derivada de
+e a la rx,
+
+03:04.920 --> 03:10.680
+así que simplemente la anoto acá, re a la
+rx
+
+03:10.680 --> 03:14.760
+y la segunda derivada, simplemente
+repetiré el procedimiento,
+
+03:14.760 --> 03:21.720
+esta r baja, entonces me queda r² e a la rx.
+
+03:21.720 --> 03:24.360
+Y reemplacémoslo en nuestra ecuación.
+
+03:24.360 --> 03:32.520
+Yo obtendría primero la segunda derivada,
+que sería r² e a la rx
+
+03:32.520 --> 03:41.320
+más dos veces mi primera derivada, re a la
+rx
+
+03:41.320 --> 03:46.840
+menos mi función, menos e a la rx igual a 0.
+
+03:46.840 --> 03:52.200
+Y de estos términos que yo veo acá, yo veo
+que el que se repite en cada uno de ellos es e a la rx,
+
+03:52.200 --> 03:57.240
+es un factor común, así que yo lo saco de
+mi ecuación, e a la rx
+
+03:57.240 --> 04:03.480
+por r² más 2r menos 1 igual a
+0.
+
+04:03.480 --> 04:08.120
+Así que como la multiplicación de estos
+dos es igual a 0,
+
+04:08.120 --> 04:13.560
+uno de esos dos debe ser igual a 0 y la
+exponencial no puede ser igual a 0,
+
+04:13.560 --> 04:20.120
+así que tengo que mi ecuación
+característica debe ser r² más 2r menos 1 igual a 0,
+
+04:20.120 --> 04:24.760
+que era la misma que teníamos aquí, ya
+sabes que a la próxima
+
+04:24.760 --> 04:30.520
+simplemente la puedes hallar directamente,
+pero si quieres comprobar cómo es el procedimiento,
+
+04:30.520 --> 04:32.520
+lo puedes
+hacer.
+
+04:32.520 --> 04:36.280
+Y ya tenemos nuestra ecuación característica.
+
+04:36.280 --> 04:42.920
+El siguiente paso será, si vemos la forma
+de esta ecuación,
+
+04:42.920 --> 04:50.440
+es la forma de una ecuación cuadrática,
+en la que decíamos que ax² más bx más c es igual a 0,
+
+04:50.440 --> 04:57.080
+que recordamos de nuestro... de
+matemáticas básicas, de nuestro cálculo diferencial,
+
+04:57.080 --> 05:03.240
+así que simplemente vamos a aplicar la
+fórmula para solucionar una ecuación diferencial,
+
+05:03.240 --> 05:05.240
+una ecuación
+cuadrática.
+
+05:05.240 --> 05:10.120
+¿Cuál es nuestra fórmula? Nuestra fórmula
+dice que es igual a menos b,
+
+05:10.120 --> 05:19.560
+más o menos raíz de b² menos 4ac sobre 2a.
+
+05:19.560 --> 05:24.040
+Esa es la forma en la que solucionamos una
+ecuación cuadrática.
+
+05:24.040 --> 05:27.160
+¿Dónde quienes van a ser mis
+coeficientes?
+
+05:27.160 --> 05:38.120
+A va a ser 1, b va a ser 2 y c va a ser
+menos 1.
+
+05:38.120 --> 05:41.720
+Y reemplacemos esos valores acá para ver
+qué obtenemos.
+
+05:41.720 --> 05:52.760
+Yo obtengo lo siguiente, menos b menos 2
+más o menos raíz de b², 2² que sería 4,
+
+05:52.760 --> 06:01.160
+menos 4 por 1 que sería 4 por 1, 4 por c
+que sería menos 1.
+
+06:01.160 --> 06:08.520
+Entonces me quedaría acá 4 más 4 al final,
+pero comprobémoslo para que no nos enredemos,
+
+06:08.520 --> 06:19.080
+entonces quedaría 4 menos 4 por 1 por
+menos 1 sobre 2a y 2a me quedaría 2.
+
+06:19.080 --> 06:28.680
+Ahora sí solucionemos nuestra raíz y nos
+quedaría menos 2 más o menos raíz de 4 menos,
+
+06:28.680 --> 06:35.480
+4 por 1 por menos 1 queda 4 menos 4 con
+este menos queda más 4,
+
+06:35.480 --> 06:47.640
+es decir me queda raíz de 8, raíz de 8
+sobre 2, menos 2 más o menos raíz de 8 sobre 2.
+
+06:47.640 --> 06:55.640
+8 es un número que no tiene raíz, pero yo
+puedo descomponer 8 en dos fracciones.
+
+06:55.640 --> 07:01.080
+¿A qué me refiero? 8 yo lo puedo
+descomponer por ejemplo, hagámoslo acá,
+
+07:01.080 --> 07:09.080
+si yo tengo raíz de 8, yo puedo decir que
+esa raíz de 8 es lo mismo que decir raíz de 4 por 2,
+
+07:09.080 --> 07:17.880
+porque 4 por 2 es 8 y si yo tengo eso yo
+puedo decir que es igual a la raíz de 4 por la raíz de 2,
+
+07:17.880 --> 07:24.280
+yo lo puedo separar y yo sé que la raíz de
+4 es 2, efectivamente esa sí la conozco,
+
+07:24.280 --> 07:29.080
+entonces yo obtendría al final este
+resultado que me queda más fácil para trabajarlo.
+
+07:29.080 --> 07:39.080
+Entonces ya sabemos que esa raíz de 8
+puede ser más o menos 2 raíz de 2 sobre 2.
+
+07:40.440 --> 07:45.080
+Y ahora lo único que nos queda es, si
+queremos simplificarlo aún más,
+
+07:45.080 --> 07:50.280
+este 2 está dividiendo ambos términos,
+entonces el primer término me quedaría menos 2 sobre 2,
+
+07:50.280 --> 07:57.480
+me quedaría menos 1 más o menos 2 sobre 2,
+me quedaría raíz de 2.
+
+07:57.480 --> 08:05.840
+Y he hallado mi R, que era nuestro
+objetivo a través de este proceso.
+
+08:05.840 --> 08:16.320
+Así que ya sabemos que la solución es de
+la forma Y igual a E a la Rx y ya sabemos quién es R.
+
+08:16.320 --> 08:26.480
+Entonces simplemente vamos a ponerlo por aquí,
+vamos a borrar esto, vamos a borrar esto,
+
+08:26.480 --> 08:44.320
+y yo ya sé que mi solución es Y igual a E
+a la R menos 1 más o menos raíz de 2 por X.
+
+08:46.320 --> 08:55.080
+Pero, ¿qué pasa? Es una ecuación
+diferencial de segundo orden y recordemos que yo tengo
+
+08:55.080 --> 09:00.320
+dos soluciones linealmente independientes
+que están dadas por mis R's,
+
+09:00.320 --> 09:10.320
+así que yo tomaré que mi solución 1 será E
+a la menos 1 por... con el signo más, más raíz de 2X,
+
+09:10.320 --> 09:19.320
+esa será mi solución 1 y mi solución 2
+será igual a E a la menos 1 menos raíz de 2X.
+
+09:19.320 --> 09:26.520
+Es decir, una solución... ya vemos que la
+ecuación cuadrática nos da dos soluciones, una con más y otra con menos,
+
+09:26.520 --> 09:32.400
+así que simplemente las separamos y ya
+tengo mis dos soluciones linealmente independientes
+
+09:32.400 --> 09:34.720
+para mi ecuación diferencial de segundo orden.
+
+09:34.720 --> 09:41.200
+Y recordemos de nuestra clase anterior que
+hay una solución general, general para esa ecuación,
+
+09:41.200 --> 09:47.120
+que va a ser una suma de estas dos ecuaciones.
+
+09:47.120 --> 09:54.120
+Además vimos que también cualquier
+múltiplo de estas soluciones también eran soluciones de mi ecuación diferencial,
+
+09:54.120 --> 10:03.320
+así que en realidad mi ecuación... mi
+solución 1 va a ser igual a cualquier constante E1 menos 1 más raíz de 2 por X
+
+10:03.320 --> 10:11.120
+y mi solución 2 va a ser igual a cualquier
+constante E a la menos 1 menos raíz de 2 por X
+
+10:11.120 --> 10:21.920
+y que mi solución general, que es la
+solución en la que vamos a trabajar, va a ser igual a la suma de estas dos soluciones
+
+10:21.920 --> 10:27.920
+más C E a la menos 1 menos raíz de 2X.
+
+10:27.920 --> 10:34.320
+Es decir, es una combinación lineal de
+esas dos soluciones linealmente independientes.
+
+10:34.320 --> 10:40.520
+Y con esto hemos concluido la base para
+cualquier solución de ecuación diferencial de segundo orden
+
+10:40.520 --> 10:45.320
+porque lo que vamos a ver más adelante
+está estrictamente relacionado con eso.
+
+10:45.320 --> 10:50.120
+Recuerda siempre hallar las dos soluciones
+linealmente independientes
+
+10:50.120 --> 10:54.520
+y acordarte que la solución general va a
+ser la suma de esas...
+
+10:54.520 --> 10:58.920
+una combinación lineal de esas soluciones
+linealmente independientes.
+
+10:58.920 --> 11:12.920
+Nos vemos en la próxima clase. Muchas gracias.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/04-Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden/04-Ecuaciones Diferenciales Soluciones con Raíces Complejas.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
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+size 76039697

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/04-Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden/04-Ecuaciones Diferenciales Soluciones con Raíces Complejas.vtt

@@ -0,0 +1,249 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:09.280
+En esta clase solucionaremos otro ejemplo
+de una ecuación diferencial de segundo orden
+
+00:09.280 --> 00:15.240
+de coeficientes constantes. Sin embargo,
+vamos a ver que nos vamos a encontrar con una sorpresa
+
+00:15.240 --> 00:22.700
+al avanzar en el ejercicio. Vamos a
+resolver la siguiente ecuación diferencial.
+
+00:22.700 --> 00:28.560
+Tenemos la segunda derivada de mi función
+menos 6 veces la primera derivada más 13
+
+00:28.560 --> 00:35.600
+veces mi función. Vemos allí que los
+coeficientes son 1, menos 6 y 13. Por lo tanto, estamos
+
+00:35.600 --> 00:40.600
+hablando de una ecuación diferencial de
+segundo orden de coeficientes constantes y vemos que
+
+00:40.600 --> 00:47.240
+está igualada a 0. Por lo tal, tenemos una
+ecuación homogénea, homogénea con coeficientes
+
+00:47.240 --> 00:53.100
+constantes. Y vamos a hacer el mismo
+procedimiento que hicimos en la clase pasada. Vamos a suponer
+
+00:53.100 --> 00:59.400
+que nuestra solución es de la forma e a la rx.
+Vamos a hallar nuevamente la primera
+
+00:59.400 --> 01:05.980
+derivada y la segunda derivada para
+reemplazarlo en mi ecuación y ver cuál es la solución.
+
+01:05.980 --> 01:11.660
+Entonces yo hallo mi primera derivada,
+r e a la rx, mi segunda derivada, r cuadrado
+
+01:11.660 --> 01:17.340
+e a la rx y yo encuentro que mi ecuación
+característica es de la forma r cuadrado
+
+01:17.340 --> 01:23.420
+menos 6r más 13. Ya vimos que la ecuación
+característica simplemente la podemos hallar
+
+01:23.420 --> 01:31.660
+reemplazando la segunda derivada por r
+cuadrado, la primera derivada por r y la función simplemente
+
+01:31.660 --> 01:39.660
+por 1. Y vamos a intentar hallar la
+solución de mi ecuación cuadrática que hemos obtenido.
+
+01:39.660 --> 01:46.060
+Nuevamente podemos tratar de obtenerla a
+través de la factorización, es decir, dos números
+
+01:46.060 --> 01:53.660
+que multiplicados den 13 y que sumados den 6,
+pero no lo vamos a encontrar. Vemos que
+
+01:53.660 --> 02:00.580
+no hay números que cumplan esta función.
+Así que vamos a aplicar nuestra ecuación
+
+02:00.580 --> 02:05.220
+de la función cuadrática, la que hemos
+trabajado en los cursos de matemáticas básicas y que
+
+02:05.220 --> 02:10.220
+nos dice que para solucionar una ecuación
+cuadrática simplemente la solución será
+
+02:10.220 --> 02:17.620
+igual a menos b más o menos raíz de b al
+cuadrado menos 4ac sobre 2a, donde a va a
+
+02:17.620 --> 02:26.180
+ser 1, b va a ser menos 6 y c va a ser 13.
+Reemplazamos esos valores en nuestra ecuación
+
+02:26.180 --> 02:31.380
+y obtenemos lo siguiente. El primer
+término es menos b, entonces nos queda menos menos
+
+02:31.380 --> 02:38.100
+6, por lo tal queda 6 positivo, más o
+menos la raíz de menos 6 al cuadrado menos 4 por
+
+02:38.100 --> 02:48.060
+1 por 13 sobre 2 por 1 y nos queda de la
+siguiente forma. Al solucionar ese término que yo tengo
+
+02:48.060 --> 02:54.580
+dentro de mi raíz voy a ver que me queda
+lo siguiente, voy a ver que me queda la raíz
+
+02:54.580 --> 03:03.260
+de un número negativo y para muchos de
+ustedes esto nunca lo hemos visto. Aquí vamos a encontrar
+
+03:03.260 --> 03:08.140
+cómo haya la raíz de un número negativo,
+sencillamente no existe ¿verdad? pero cuando
+
+03:08.140 --> 03:17.020
+yo tengo ese 16 que está dentro de mi raíz
+yo podría decir que ese menos 16 es igual
+
+03:17.020 --> 03:25.820
+a 16 por menos 1 ¿verdad? menos 16
+simplemente va a ser igual a 16 por menos 1 y yo la raíz
+
+03:25.820 --> 03:31.940
+de 16 si la tengo clara, yo tengo claro
+que la raíz de 16 es igual a 4, solo me quedaría
+
+03:31.940 --> 03:40.620
+la raíz de menos 1 y ese es el número
+imaginario y ese es un número complejo que se ve en
+
+03:40.620 --> 03:46.340
+el estudio de matemáticas complejas pero
+que no hace parte de ese curso pero que tú
+
+03:46.340 --> 03:53.100
+sepas que cuando veas esa i significa la
+raíz de menos 1 y nos queda la operación de la
+
+03:53.100 --> 03:59.820
+siguiente forma y si resolvemos
+simplemente ese 2 que vemos abajo pasa a ser 6 sobre 2
+
+03:59.820 --> 04:06.980
+más 4 sobre 2 y es decir el 2 pasa a
+dividir cada uno de los términos tengo 3 más o menos
+
+04:06.980 --> 04:14.300
+2i así que mi solución allí estarán dadas
+mis dos soluciones, la primera solución estará
+
+04:14.300 --> 04:20.780
+por 3 más 2i y mi segunda solución por 3
+menos 2i, ese más y menos vienen de la ecuación
+
+04:20.780 --> 04:27.220
+cuadrática que nos dice menos b más menos
+pero pasa algo y es que yo no puedo dejar
+
+04:27.220 --> 04:34.940
+una solución expresada con un término
+imaginario con esa letra i, yo decía que mi solución
+
+04:34.940 --> 04:42.620
+es igual a y igual a e a la rx pero cuando
+yo tengo una raíz compleja que es lo que
+
+04:42.620 --> 04:48.380
+estamos tratando de solucionar cuando yo
+veo ese término y la solución va a tomar esta
+
+04:48.380 --> 04:54.440
+forma la solución va a cambiar de forma la
+solución va a ser de la forma e a la ax una
+
+04:54.440 --> 05:03.940
+constante por mi coseno de bx más una
+constante por seno de bx donde yo puedo reemplazar a
+
+05:03.940 --> 05:09.860
+y b por los términos que obtuve a partir
+de mi raíz es decir en nuestro caso a será
+
+05:09.860 --> 05:16.940
+3 y b será 2 no es necesario tomar más 2 y
+menos 2 no es necesario tener dos soluciones
+
+05:16.940 --> 05:22.980
+sino solamente una de ellas la solución me
+quedará expresada de la siguiente forma sólo
+
+05:22.980 --> 05:29.460
+vamos a tomar la solución positiva en este
+caso y yo voy a decir que mi solución final
+
+05:29.460 --> 05:38.180
+para esta ecuación va a quedar dada de la
+forma y igual a e a la 3 porque 3 es esa que
+
+05:38.180 --> 05:44.700
+obtuvimos a través de mi solución por una
+constante por un coseno por b y b es igual
+
+05:44.700 --> 05:52.960
+a 2 es ese término que acompaña a mi raíz
+a mi a mi número complejo más una constante
+
+05:52.960 --> 05:59.700
+por seno de ese mismo 2 por x y esta será
+mi solución observemos que allí ya no tenemos
+
+05:59.700 --> 06:06.340
+una un número complejo así que hemos
+garantizado que esa es la solución de mi ecuación compleja
+
+06:06.340 --> 06:10.740
+si están interesados o si tienen dudas de
+saber por qué se convierte así esto viene
+
+06:10.740 --> 06:15.200
+de una expresión que se utiliza en
+matemáticas complejas donde yo puedo convertir un número
+
+06:15.200 --> 06:23.180
+e a la y x a través de esta relación y yo
+paso un número complejo al plano ya que lo
+
+06:23.180 --> 06:27.680
+pueda trabajar en el tiempo así que no es
+parte de este curso pero podríamos verlo
+
+06:27.680 --> 06:34.960
+en un curso de matemáticas complejas y con
+esto hemos concluido este segundo ejercicio
+
+06:34.960 --> 06:39.360
+de ecuaciones diferenciales de segundo
+orden ya vemos que dependiendo de la solución podríamos
+
+06:39.360 --> 06:46.060
+estar hablando de una solución normal o
+una solución con raíces complejas vamos en la
+
+06:46.060 --> 06:50.900
+siguiente clase a ver otro ejemplo con
+raíces complejas y ver cómo lo solucionamos aplicando
+
+06:50.900 --> 07:10.900
+estas herramientas que hemos aprendido.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/04-Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden/05-Solución de Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden con Raíces Complejas.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:84906cc75408431ea613a1255097dbfbf36155f21924d64c270cb7c00b592e58
+size 83776800

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/04-Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden/05-Solución de Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden con Raíces Complejas.vtt

@@ -0,0 +1,279 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:04.000
+¿Cómo resolver una ecuación de segundo
+orden?
+
+00:04.000 --> 00:08.300
+Vamos a ver una nueva ecuación diferencial
+de segundo orden,
+
+00:08.300 --> 00:12.900
+que como vimos en la clase anterior,
+vamos a hacer exactamente el mismo procedimiento
+
+00:12.900 --> 00:18.400
+para resolver una ecuación de segundo
+orden homogénea con coeficientes constantes,
+
+00:18.400 --> 00:21.500
+pero que nos vamos a encontrar con una
+raíz compleja.
+
+00:21.500 --> 00:25.700
+Vamos por ejemplo a solucionar la ecuación
+que tenemos acá.
+
+00:25.700 --> 00:34.900
+Nosotros ya sabemos que nuestro primer
+paso es asumir la solución de la forma y igual a y a la rx.
+
+00:34.900 --> 00:41.300
+Cuando yo asumo esa solución, yo lo que
+voy a hacer es hallar la primera derivada, la segunda derivada
+
+00:41.300 --> 00:46.700
+y la reemplazo en esa ecuación para
+obtener la ecuación característica del sistema.
+
+00:46.700 --> 00:51.300
+Pero ya vimos que podemos encontrar esa
+ecuación característica directamente,
+
+00:51.300 --> 00:56.200
+simplemente reemplazando la segunda
+derivada por r²,
+
+00:56.200 --> 01:02.500
+reemplazando mi segunda derivada por mi
+primera derivada por r
+
+01:02.500 --> 01:12.700
+y reemplazando mi función por simplemente
+el coeficiente que yo tenga allí, igual a 0.
+
+01:12.700 --> 01:16.300
+Y ya tengo la ecuación característica de
+mi sistema,
+
+01:16.300 --> 01:21.700
+que como vemos r² más 2r y más 2x es
+simplemente una ecuación cuadrática
+
+01:21.700 --> 01:27.100
+en la cual podemos aplicar nuestra
+ecuación para solucionar una ecuación cuadrática.
+
+01:27.100 --> 01:44.700
+Entonces recordemos la solución, es x es
+igual a menos b más o menos raíz de b² menos 4ac sobre 2a.
+
+01:44.700 --> 01:50.500
+Y esa es la solución de una ecuación
+cuadrática que seguramente ya la has visto en varias partes
+
+01:50.500 --> 01:52.500
+en tus estudios de
+matemáticas.
+
+01:52.500 --> 01:57.900
+En este caso no tenemos x sino que tenemos
+un r.
+
+01:57.900 --> 02:00.500
+Y vamos a identificar los coeficientes.
+
+02:00.500 --> 02:08.900
+En este caso tenemos que a es igual a 1,
+b es igual a 2 y c es igual a 2.
+
+02:08.900 --> 02:13.900
+Y solucionemos nuestra ecuación,
+simplemente reemplacemos los términos.
+
+02:13.900 --> 02:22.500
+Tenemos que menos b sería menos 2 más o
+menos raíz de b².
+
+02:22.500 --> 02:37.700
+b² sería 2², 4 menos 4 por 1 que es a y
+por c que es 2 sobre 2a.
+
+02:37.700 --> 02:41.500
+Que a es 1 entonces nos quedaría sobre 2.
+
+02:41.500 --> 02:56.500
+Y si solucionamos eso obtendremos menos 2
+más o menos raíz de 4 menos 4 por 1 por 2 nos quedaría 8 sobre 2.
+
+02:56.500 --> 03:10.500
+Y es aquí la sorpresa que nos encontramos
+porque si solucionamos eso nos da más o menos raíz de 4 menos 8 de menos 4 sobre 2.
+
+03:10.500 --> 03:15.900
+¿Y cómo yo puedo hallar la raíz de un
+número negativo?
+
+03:15.900 --> 03:22.100
+Es aquí cuando acudimos a i, a nuestro
+número imaginario que no es parte del estudio de esta clase
+
+03:22.100 --> 03:25.100
+pero que hace parte del estudio de la
+matemática compleja.
+
+03:25.100 --> 03:31.500
+Que es ese i que es igual a raíz de menos 1.
+
+03:31.500 --> 03:40.100
+Así que cuando ya sabes que encuentres este i,
+están hablando de un número imaginario que me representa una raíz negativa.
+
+03:40.100 --> 03:44.100
+¿Y cómo yo puedo pasar menos
+4?
+
+03:44.100 --> 03:47.100
+Supongamos que yo quiero hallar la raíz de
+menos 4.
+
+03:47.100 --> 03:49.500
+Ese menos 4 yo lo puedo descomponer en dos
+números.
+
+03:49.500 --> 03:59.100
+Yo puedo decir que es igual a la raíz de 4
+por menos 1 porque 4 por menos 1 me daría el menos 4.
+
+03:59.100 --> 04:06.100
+Así que esto lo puedo descomponer todavía
+más en la raíz de 4 por la raíz de menos 1.
+
+04:06.100 --> 04:12.100
+Y la raíz de 4 yo ya sé que es 2 y la raíz
+de menos 1 yo ya sé que es i.
+
+04:12.100 --> 04:17.100
+Entonces en total me quedaría
+2i.
+
+04:17.100 --> 04:24.100
+Y ahora vamos a borrar nuestro tablero y
+vamos a colocar.
+
+04:24.100 --> 04:33.100
+Ya sabemos que esto es 2i, así que al
+final nos quedaría menos 2 más o menos 2i sobre 2.
+
+04:33.100 --> 04:39.100
+Este 2 está dividiendo esta suma así que
+podríamos separarla.
+
+04:39.100 --> 04:41.100
+Es decir, menos 2 sobre 2 y menos 2 sobre 2.
+
+04:41.100 --> 04:44.100
+Está dividiendo ambos términos de la ecuación.
+
+04:44.100 --> 04:50.100
+Entonces nos quedaría menos 1 más o menos i.
+
+04:50.100 --> 04:56.100
+Simplemente menos 2 sobre 2 nos queda
+menos 1 más o menos 2 sobre 2 nos queda 1.
+
+04:56.100 --> 05:00.100
+Y hemos hallado la r que nosotros tenemos.
+
+05:00.100 --> 05:10.100
+En teoría nuestra solución sería de la
+forma y igual e a la menos 1 más o menos i por x.
+
+05:10.100 --> 05:16.100
+Pero resulta que cuando yo hallo
+ecuaciones la solución de mi ecuación diferencial de segundo orden,
+
+05:16.100 --> 05:21.100
+yo no puedo expresar esa solución en
+términos de números imaginarios.
+
+05:21.100 --> 05:26.100
+Y es ahí cuando asumimos la solución que
+vimos la clase pasada.
+
+05:26.100 --> 05:30.100
+Cuando tengamos una solución con un número
+imaginario,
+
+05:30.100 --> 05:39.100
+al final decimos que nuestra solución no
+es y igual a la rx, sino que la solución total nos va a quedar de la siguiente forma.
+
+05:39.100 --> 05:53.100
+e a la ax por una constante por coseno de
+bx más una constante 2 por seno de bx.
+
+05:53.100 --> 05:58.100
+¿Y quién es este a y este
+b?
+
+05:58.100 --> 06:04.100
+Simplemente ese a y ese b van a ser estos
+términos que están con mi número imaginario.
+
+06:04.100 --> 06:08.100
+Acá si no es necesario tomar en cuenta la
+suma y la resta.
+
+06:08.100 --> 06:11.100
+Recordemos que cuando hablábamos de
+coeficientes lineales,
+
+06:11.100 --> 06:16.100
+decíamos que una solución estaba dada por
+la suma y otra por la resta.
+
+06:16.100 --> 06:21.100
+En este caso solo vamos a tomar uno de los
+dos casos que por lo general es la suma.
+
+06:21.100 --> 06:33.100
+Entonces yo ya sé que mi a va a ser igual
+a menos uno y mi b, que es el término que acompaña el y, es igual a uno.
+
+06:33.100 --> 06:42.100
+Así que la solución de mi sistema será e a
+la menos x por c1 coseno,
+
+06:42.100 --> 06:55.100
+coseno de mi b que es 1x, más una
+constante 2 por seno de mi b que es 1x.
+
+06:55.100 --> 07:01.100
+Y he encontrado la solución de mi ecuación
+diferencial homogénea del segundo orden,
+
+07:01.100 --> 07:05.100
+que es el caso específico de una raíz
+compleja.
+
+07:05.100 --> 07:14.100
+Y vemos que en la solución yo ya no tengo
+números imaginarios por la relación que vimos en la clase pasada.
+
+07:14.100 --> 07:20.100
+Y con eso hemos concluido lo que es el
+estudio de las ecuaciones diferenciales homogéneas.
+
+07:20.100 --> 07:25.100
+Pero, ¿qué pasará si yo tengo una ecuación
+diferencial que no es homogénea?
+
+07:25.100 --> 07:27.100
+Es decir, que no es igual a
+cero.
+
+07:27.100 --> 07:35.100
+Acompáñenme en la próxima clase para ver
+cómo resolvemos este tipo de ecuaciones.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/04-Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden/06-Método de Coeficientes Indeterminados en Ecuaciones Diferenciales.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:c08df8c4abcfc0b0678a980bc91370b5cfa77f00834c7b64fb9ab892b0584d09
+size 52281299

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/04-Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden/06-Método de Coeficientes Indeterminados en Ecuaciones Diferenciales.vtt

@@ -0,0 +1,234 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:08.960
+Ya hemos aprendido a solucionar ecuaciones
+diferenciales de segundo orden con coeficientes
+
+00:08.960 --> 00:13.480
+constantes que son homogéneas, que son
+iguales a 0.
+
+00:13.480 --> 00:18.040
+Pero qué pasa si te enfrentas contra una
+ecuación que no es igual a 0, que por ejemplo
+
+00:18.040 --> 00:21.200
+tienes una función a tu
+derecha.
+
+00:21.200 --> 00:29.320
+Pues bien, las ecuaciones diferenciales no
+homogéneas son de este tipo, donde encontramos
+
+00:29.320 --> 00:31.960
+una función a mi lado
+derecho.
+
+00:31.960 --> 00:37.160
+Yo puedo encontrar mi segunda derivada
+acompañada por una función, mi primera derivada por
+
+00:37.160 --> 00:42.720
+una función, mi función acompañada por
+otra función que depende de x y al igual otra
+
+00:42.720 --> 00:47.840
+función, a diferencia de la homogénea
+donde yo tenía todo igual a 0.
+
+00:47.840 --> 00:51.360
+Por ejemplo, observemos la siguiente ecuación.
+
+00:51.360 --> 00:57.920
+Yo sé que esa es una ecuación de
+coeficientes constantes y que es igual a 0, por lo tanto
+
+00:57.920 --> 01:02.080
+esta será una ecuación
+homogénea.
+
+01:02.080 --> 01:07.440
+Pero qué pasa si yo me encuentro, por ejemplo,
+con esta ecuación que vemos allí en pantallas.
+
+01:07.440 --> 01:14.160
+Vemos que no es igual a 0 y que es igual a
+una función, a 3x al cuadrado.
+
+01:14.160 --> 01:18.880
+Es decir, yo tendría una ecuación
+diferencial no homogénea.
+
+01:18.880 --> 01:23.640
+Pero hay algo muy importante en las
+ecuaciones diferenciales y es que esta ecuación diferencial
+
+01:23.640 --> 01:29.720
+no homogénea tiene una ecuación
+diferencial homogénea que está relacionada con esta
+
+01:29.720 --> 01:30.720
+ecuación.
+
+01:30.720 --> 01:31.720
+¿Cómo
+así?
+
+01:31.720 --> 01:37.120
+Sí, mientras en la parte izquierda se
+conserva, simplemente vamos a decir que la ecuación
+
+01:37.120 --> 01:42.400
+homogénea que está relacionada con esa es
+como si anularamos esa parte derecha y simplemente
+
+01:42.400 --> 01:44.080
+la igualamos a
+0.
+
+01:44.080 --> 01:51.720
+Y vamos a decir que esa es la ecuación
+homogénea relacionada con mi ecuación no homogénea.
+
+01:51.720 --> 01:58.240
+Por ejemplo, veamos esta ecuación no
+homogénea, veamos ahí que a la izquierda tenemos nuestra
+
+01:58.240 --> 02:02.520
+ecuación normal con mi segunda derivada,
+mi primera derivada de la función, es igual
+
+02:02.520 --> 02:03.880
+a una función
+0x.
+
+02:03.880 --> 02:08.320
+¿Cuál será la ecuación homogénea
+relacionada?
+
+02:08.320 --> 02:16.040
+Pues simplemente vamos a reemplazar toda
+esta función por un 0 y vamos a denominarla por
+
+02:16.040 --> 02:17.040
+sus
+iniciales.
+
+02:17.040 --> 02:22.280
+Vamos a decir que es la EHR, ecuación
+homogénea relacionada.
+
+02:22.280 --> 02:29.360
+¿Y cuál será el procedimiento para
+resolver estas ecuaciones no homogéneas?
+
+02:29.360 --> 02:36.800
+Pues bien, el primer paso será aplicar o
+encontrar la solución general de la ecuación
+
+02:36.800 --> 02:41.360
+homogénea relacionada, que es lo que hemos
+venido haciendo hasta el principio.
+
+02:41.360 --> 02:47.040
+Recordemos que para hacer eso primero
+tenemos que hallar las dos soluciones linealmente
+
+02:47.040 --> 02:51.840
+independientes y que la solución general
+podrá ser una suma de los coeficientes de
+
+02:51.840 --> 02:58.120
+cada una de la suma de esas dos soluciones
+linealmente independientes y esa la vamos
+
+02:58.120 --> 03:01.440
+a denominar como
+YH.
+
+03:01.440 --> 03:08.320
+El siguiente paso será encontrar una
+solución particular para la ecuación no homogénea,
+
+03:08.320 --> 03:15.380
+es decir, yo ya tengo una solución general
+asociada a mi ecuación homogénea relacionada,
+
+03:15.380 --> 03:21.600
+ahora voy a hallar una solución particular
+para toda mi ecuación no homogénea, es decir,
+
+03:21.600 --> 03:28.560
+la que veíamos al principio y vamos a ver
+que hay dos métodos para encontrar este tipo
+
+03:28.560 --> 03:30.760
+de
+soluciones.
+
+03:30.760 --> 03:34.600
+Esta la vamos a llamar la solución
+particular y la vamos a representar por JP.
+
+03:34.600 --> 03:37.120
+Hay dos tipos de formas de encontrarla.
+
+03:37.120 --> 03:44.160
+El primero de ellos es coeficientes
+indeterminados y el segundo de ellos es variación de parámetros.
+
+03:44.160 --> 03:49.040
+Vamos a ver estos dos métodos para cubrir
+todo lo que son las ecuaciones diferenciales
+
+03:49.040 --> 03:51.120
+de segundo
+orden.
+
+03:51.120 --> 03:57.480
+Y una vez obtenida mi solución general y
+mi solución particular, pues la solución
+
+03:57.480 --> 04:04.700
+general de esa ecuación no homogénea será
+la solución de la ecuación homogénea relacionada
+
+04:04.700 --> 04:11.600
+más la solución particular que he hallado
+por cualquiera de los dos métodos.
+
+04:11.600 --> 04:16.640
+Y con eso ya sabemos cómo solucionar
+ecuaciones no homogéneas.
+
+04:16.640 --> 04:23.960
+Así que en la siguiente clase lo que vamos
+a ver es ese método de coeficientes indeterminados
+
+04:23.960 --> 04:28.680
+por el cual podremos calcular la solución
+particular de mi ecuación diferencial de
+
+04:28.680 --> 04:30.320
+segundo
+orden.
+
+04:30.320 --> 04:35.320
+Además en esta clase nos servirá para
+recordar cómo es el proceso para llegar a la solución
+
+04:35.320 --> 04:37.200
+de una ecuación
+homogénea.
+
+04:37.200 --> 04:42.040
+Así que repasaremos todos nuestros
+conceptos y aprenderemos algo nuevo en la siguiente
+
+04:42.040 --> 04:43.040
+clase.
+
+04:43.040 --> 05:02.040
+Nos vemos
+allá.
+

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/04-Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden/07-Solución de Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas Coeficientes Indeterminados.mp4

@@ -0,0 +1,3 @@
+version https://git-lfs.github.com/spec/v1
+oid sha256:6fbecbd514e43daa2447fbab20bea3183d13e98a395f90118bb73fc30cd78fe2
+size 102990246

a/Curso de Ecuaciones Diferenciales/04-Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden/07-Solución de Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas Coeficientes Indeterminados.vtt

@@ -0,0 +1,487 @@
+WEBVTT
+
+00:00.000 --> 00:03.900
+¿Cómo solucionar una ecuación no
+homogénea?
+
+00:03.900 --> 00:07.040
+Para solucionar una ecuación no homogénea,
+
+00:07.480 --> 00:13.860
+recordemos que primero tendremos que
+encontrar la solución general de esa ecuación homogénea relacionada
+
+00:14.240 --> 00:18.880
+y después vamos a hallar la solución
+particular de mi ecuación no homogénea.
+
+00:19.460 --> 00:23.440
+Y hay dos métodos para encontrar esa
+solución particular,
+
+00:23.440 --> 00:27.200
+el primero de ellos es por coeficientes
+indeterminados
+
+00:27.200 --> 00:30.280
+y el segundo de ellos es variación de
+parámetros.
+
+00:30.280 --> 00:34.480
+En esta clase vamos a ver coeficientes
+indeterminados.
+
+00:34.480 --> 00:37.440
+Vamos a hacer nuestro primer ejemplo.
+
+00:38.720 --> 00:43.360
+Pero antes miremos, esta sería una
+ecuación diferencial no homogénea
+
+00:43.360 --> 00:48.880
+porque vemos que tiene allí un 3x que es
+una función, por lo tanto sería no homogénea,
+
+00:49.640 --> 00:54.360
+pero esta sería la ecuación homogénea
+relacionada.
+
+00:54.360 --> 00:58.200
+Entonces de acuerdo al procedimiento que
+vimos,
+
+00:58.200 --> 01:03.640
+lo primero que haremos será encontrar
+solución general para esta ecuación homogénea
+
+01:04.360 --> 01:06.760
+relacionada que ya la tenemos
+completamente clara.
+
+01:06.760 --> 01:12.160
+Recordemos el procedimiento, simplemente
+vamos a empezar hallando la ecuación característica
+
+01:12.160 --> 01:14.160
+de esta ecuación
+homogénea.
+
+01:14.480 --> 01:19.880
+Recordemos que simplemente tenemos que
+cambiar esa segunda derivada por r al cuadrado más
+
+01:19.880 --> 01:24.440
+3 veces donde tenemos la primera derivada,
+cambiamos por r
+
+01:24.440 --> 01:28.080
+y donde tenemos sólo la función vamos a
+colocar un 1
+
+01:28.080 --> 01:32.400
+o lo podemos simplemente dejar el
+coeficiente que tengamos en la ecuación homogénea.
+
+01:33.280 --> 01:37.840
+Y ahora tenemos que solucionar esa
+ecuación cuadrática.
+
+01:38.400 --> 01:42.240
+Podemos aplicar nuestra fórmula de la
+ecuación cuadrática
+
+01:42.240 --> 01:48.080
+o podemos en este caso factorizar mediante
+dos números que multiplicados nos den 2
+
+01:48.080 --> 01:50.080
+y sumados nos den
+3.
+
+01:50.080 --> 01:56.880
+Y así yo he encontrado esta factorización
+que podría ser r más 2 y r más 1.
+
+01:56.880 --> 02:02.160
+Si hallamos la ecuación cuadrática tenemos
+que llegar exactamente al mismo resultado.
+
+02:02.160 --> 02:08.480
+Y con base en esto yo ya puedo asumir que
+tengo mis dos soluciones
+
+02:09.280 --> 02:13.480
+para mi ecuación diferencial homogénea
+relacionada.
+
+02:13.480 --> 02:17.760
+Mi primera solución va a ser e igual a la
+menos 2x.
+
+02:17.760 --> 02:20.480
+¿Por qué? Porque si yo tengo r más 2 igual
+a 0,
+
+02:20.480 --> 02:23.280
+mi primera solución va a ser r igual a
+menos 2
+
+02:23.280 --> 02:26.080
+y mi segunda solución va a ser r igual a
+menos 1.
+
+02:26.080 --> 02:30.400
+Así que las dos soluciones van a estar
+representadas de la misma forma.
+
+02:30.400 --> 02:35.480
+Mi primera solución va a ser e a la menos
+2x y mi segunda solución va a ser e a la menos x.
+
+02:35.480 --> 02:38.480
+Y la solución general ¿a qué va a ser
+igual?
+
+02:38.480 --> 02:45.480
+A cualquier combinación, es decir, de la
+suma de cualquier constante multiplicadas por estas
+
+02:45.480 --> 02:48.080
+soluciones que yo he
+hallado.
+
+02:48.080 --> 02:56.480
+Es decir, cualquier constante por mi e a
+la menos x más cualquier constante por e a la menos 2x.
+
+02:56.480 --> 02:57.680
+Es una combinación
+lineal.
+
+02:57.680 --> 03:03.080
+Recordemos que esto es para una ecuación
+diferencial homogénea,
+
+03:03.080 --> 03:06.280
+que en este caso está relacionado con una
+ecuación no homogénea.
+
+03:06.280 --> 03:09.480
+Y ya tenemos nuestra solución general.
+
+03:09.480 --> 03:15.680
+El siguiente paso será encontrar la
+solución particular de acuerdo a esa,
+
+03:15.680 --> 03:21.280
+a ese resultado, a esa función que tenemos
+al lado derecho de nuestra ecuación no homogénea,
+
+03:21.280 --> 03:24.980
+que en lugar de ser 0 es
+3x.
+
+03:24.980 --> 03:26.480
+Es lo que tenemos
+allí.
+
+03:26.480 --> 03:28.480
+¿Y qué es
+3x?
+
+03:28.480 --> 03:32.280
+3x es un polinomio de grado
+1.
+
+03:32.280 --> 03:38.880
+Por lo tanto, vamos a asumir que mi
+función o que la solución particular de esa ecuación
+
+03:38.880 --> 03:41.080
+es de la misma
+forma.
+
+03:41.080 --> 03:43.680
+Es un polinomio de grado
+1.
+
+03:43.680 --> 03:48.280
+Entonces yo voy a asumir que mi solución
+particular es un polinomio de un grado 1.
+
+03:48.280 --> 03:50.880
+Es decir, ax más
+b.
+
+03:50.880 --> 03:53.880
+¿Por qué se llama coeficientes
+indeterminados?
+
+03:53.880 --> 03:58.080
+Pues porque a y b son coeficientes que yo
+no tengo determinados.
+
+03:58.080 --> 04:01.080
+Son coeficientes indeterminados de mi función.
+
+04:01.080 --> 04:05.080
+Así que mi objetivo será encontrar esos
+coeficientes.
+
+04:05.080 --> 04:11.480
+Si por ejemplo en esta función tuviera que
+es igual a 3x al cuadrado,
+
+04:11.480 --> 04:13.680
+ese es un polinomio grado
+2.
+
+04:13.680 --> 04:21.480
+Por lo cual yo, mi solución tendría que
+ser asumida como ax al cuadrado más bx más c.
+
+04:21.480 --> 04:27.080
+Este método de coeficientes indeterminados
+también nos sirve para evaluar funciones
+
+04:27.080 --> 04:32.080
+que terminan en seno, coseno o que son
+exponenciales.
+
+04:32.080 --> 04:36.080
+Pero aquí estamos evaluando el primer caso
+que es de polinomios.
+
+04:36.080 --> 04:43.080
+Así que vamos a tratar de encontrar esos
+dos coeficientes a y b de mi función.
+
+04:43.080 --> 04:44.480
+Entonces, ¿cómo hacemos
+esto?
+
+04:44.480 --> 04:48.080
+Yo ya asumí mi solución
+particular
+
+04:48.080 --> 04:51.680
+y si yo lo quiero reemplazar en mi
+ecuación principal,
+
+04:51.680 --> 04:54.080
+donde tengo la segunda derivada y la
+primera derivada,
+
+04:54.080 --> 04:58.280
+pues tengo que calcular la primera
+derivada y la segunda derivada
+
+04:58.280 --> 05:01.080
+de mi solución particular que estoy hallando.
+
+05:01.080 --> 05:04.880
+En este caso, la solución particular ax más b,
+
+05:04.880 --> 05:09.280
+su primera derivada será a, porque es el
+coeficiente que acompaña a la x.
+
+05:09.280 --> 05:11.280
+¿Y mi segunda derivada cuál
+será?
+
+05:11.280 --> 05:14.880
+Pues la derivada de una constante es igual
+a 0.
+
+05:14.880 --> 05:18.480
+Así que yo ya tengo mi primera y mi
+segunda derivada,
+
+05:18.480 --> 05:22.680
+ahora simplemente nos queda reemplazar en
+la ecuación principal.
+
+05:22.680 --> 05:24.080
+A ver qué
+obtenemos.
+
+05:24.080 --> 05:30.880
+Segunda derivada igual a 0 más 3 veces la
+primera derivada, que es a,
+
+05:30.880 --> 05:36.880
+más 2 veces mi función o la solución que
+yo le di, que fue ax más b,
+
+05:36.880 --> 05:42.880
+debe ser igual a 3x, a ese polinomio que
+yo tenía a la derecha al principio.
+
+05:43.880 --> 05:48.080
+Y con eso, entonces, yo llego a la
+siguiente conclusión.
+
+05:48.080 --> 05:52.880
+Yo tengo que 3a más 2ax más 2b es igual a 3x.
+
+05:52.880 --> 05:56.680
+Allí lo que hicimos simplemente fue
+multiplicar ese 2
+
+05:56.680 --> 06:00.880
+por cada uno de los términos que teníamos
+entre paréntesis.
+
+06:00.880 --> 06:04.080
+Y ahora simplemente lo
+agrupamos,
+
+06:04.080 --> 06:07.480
+dejo a mi lado izquierdo los elementos que
+tienen x
+
+06:07.480 --> 06:10.680
+y a mi lado derecho los elementos que no
+tienen x.
+
+06:10.680 --> 06:14.080
+Y esta igualdad se debe
+cumplir.
+
+06:14.080 --> 06:18.680
+Acá nos tenemos que detener a hacer un
+análisis.
+
+06:18.680 --> 06:22.880
+Y si yo tengo a mi lado izquierdo una
+parte que tiene a,
+
+06:22.880 --> 06:28.680
+que tiene mi variable x, esa parte debe
+corresponder con lo que yo tenga a la derecha.
+
+06:28.680 --> 06:35.280
+De la misma forma, la parte que no tiene x
+debe corresponder con lo que yo tenga a la derecha.
+
+06:35.280 --> 06:41.880
+Así que yo puedo asumir que estas dos
+igualdades se deben cumplir.
+
+06:41.880 --> 06:47.880
+Y entonces aquí es donde vamos a hallar el
+resultado de esos coeficientes a y b.
+
+06:47.880 --> 06:49.280
+¿Cómo lo vamos a
+hacer?
+
+06:49.280 --> 06:58.680
+Supongamos que yo sigo con mi ecuación y
+tengo que 2a es el término que acompaña a mi x a la izquierda
+
+06:58.680 --> 07:03.880
+y 3 es igual al término que acompaña a mi
+x a la derecha.
+
+07:03.880 --> 07:10.080
+Por lo tanto, a partir de esa suposición,
+yo ya sé que 2a debe ser igual a 3.
+
+07:10.080 --> 07:12.480
+Y simplemente acá ya puedo despejar a.
+
+07:12.480 --> 07:15.480
+Voy a tener que a es igual a 3 medios.
+
+07:15.480 --> 07:20.680
+Y hemos encontrado nuestro primer
+coeficiente indeterminado que ahora es determinado.
+
+07:20.680 --> 07:23.480
+Y ahora, ¿cómo hallamos el
+segundo?
+
+07:23.480 --> 07:32.680
+Pues, toda esa segunda parte que yo veía a
+la derecha debe ser igual a lo que yo tenga en el otro lado de mi ecuación.
+
+07:32.680 --> 07:35.880
+Pero al otro lado de la ecuación no hay
+absolutamente nada.
+
+07:35.880 --> 07:42.080
+Por lo tanto, 3a más 2b debe ser igual a 0.
+
+07:42.080 --> 07:46.880
+Y aquí ya tenemos a, así que simplemente
+reemplazamos ese a que ya tenemos.
+
+07:46.880 --> 07:51.080
+3 por 3 medios más 2b debe ser igual a 0.
+
+07:51.080 --> 07:56.480
+Tenemos un sistema de una ecuación con una
+incógnita, así que simplemente lo que tenemos es
+
+07:56.480 --> 08:03.680
+que resolver las operaciones que tengamos
+allí, más 2b igual a 0 y obtenemos nuestro b.
+
+08:03.680 --> 08:09.080
+Hemos hallado los coeficientes que antes
+eran indeterminados, ya los tenemos.
+
+08:09.080 --> 08:15.280
+Y recordemos que nuestra solución
+particular era de la forma ax más b.
+
+08:15.280 --> 08:17.280
+Esta es la solución
+particular.
+
+08:17.280 --> 08:25.680
+Así que ya tenemos nuestra solución
+particular, que va a ser nuestro a, 3 medios por x, menos 9 cuartos,
+
+08:25.680 --> 08:28.480
+porque b nos dio
+negativo.
+
+08:28.480 --> 08:31.880
+¿Y qué nos falta? ¿Será que ya está el
+ejercicio completo?
+
+08:31.880 --> 08:41.280
+Recordemos que la solución de una ecuación
+homogénea es la suma de la solución general de la ecuación homogénea relacionada,
+
+08:41.280 --> 08:44.280
+más la solución particular que acabamos de
+hallar.
+
+08:44.280 --> 08:51.880
+Así que la solución completa para esta
+ecuación diferencial no homogénea, va a estar dada por la siguiente ecuación.
+
+08:51.880 --> 08:57.080
+Donde yo tengo al principio, vemos que es
+la solución general de mi ecuación homogénea relacionada,
+
+08:57.080 --> 09:02.680
+que la hicimos al principio, más lo que es
+mi solución particular.
+
+09:02.680 --> 09:10.280
+Y con eso hemos concluido el primer método
+para solucionar ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden.
+
+09:10.280 --> 09:17.080
+En la siguiente clase veremos otro ejemplo
+con el que este tema nos quedará absolutamente claro.
+
+09:17.080 --> 09:30.080
+Acompáñenme en la siguiente
+clase.
+