conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(-3+3i)i^{90}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $90=4\\times 22+2$ នោះ $i^{90}=-1$ ។\n$$z=(-3+3i)\\times(-1)=3-3i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=3-3i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}+(6+12i)z-18+36i=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\Delta=(-6-12i)^{2}-4(-18+36i)=(-108+144i)-(-72+144i)=-36$$\nដោយ $\\Delta=-36=6i^{2}$ ដែលជាការេប្រាកដ យើងបាន ៖\n$$z_1=\\frac{(-6-12i)+6i}{2}=-3-3i\\quad,\\quad z_2=\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^2+2iz+3=0$ ដោយសរសេរជារាងកាណូនិក ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងបំពេញការេ ដោយប្រើ $(z+i)^2=z^2+2iz-1$ ៖\n$$z^{2}+2iz+3=(z+i)^{2}+4=0$$\nនាំឱ្យ $(z+i)^2=-4=(2i)^2$ ។ ដូច្នេះ $z+i=2i$ ឬ $z+i=-2i$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z=i}$ ឬ $\\boxed{z=-3i}$ ។"
}
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{3}+(2+5i)z^{2}-(2-5i)z-2+8i=0$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះមានឫសជាចំនួននិមិត្តមួយ រួចរកឫសនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=iy$ ដែល $y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫស ។ ជំនួសចូលសមីការ ហើយបំបែកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$(-2y^{2}-5y-2)-(y^{3}+5y^{2}+2y-8)i=0$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-7-i$ និង $z_2=3+4i$ ។\nក. គណនា $3z_1-z_2$ ។\nខ. សរសេរ $Z=\\frac{z_1+z_2}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $Z=\\frac{z_1}{z_2}+1$ ។\nឃ. រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $Z^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. យើងបាន ៖\n$$3z_1-z_2=(-21-3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $(-4+3i)^{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តការេនៃទ្វេធា ៖\n$$(-4+3i)^{2}=16-24i+9i^{2}=7-24i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-4+3i)^{2}=7-24i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $\\frac{x}{1+2i}+\\frac{y}{2+i}=-1-7i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{x}{1+2i}=\\frac{x(1-2i)}{5}\\quad,\\quad\\frac{y}{2+i}=\\frac{y(2-i)}{5}$$\nយើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ លុះត្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $(1+i\\sqrt{7})^{2}=-6+2i\\sqrt{7}$ រួចទាញរកឫសការេនៃ $-6+2i\\sqrt{7}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ៖\n$$(1+i\\sqrt{7})^{2}=1+2\\times 1\\times i \\sqrt{7}+7i^{2}=-6+2i\\sqrt{7}$$\nដូច្នេះ ចំនួននេះ និងចំនួនផ្ទុយរបស់វា សុទ្ធតែមានការេស្មើនឹង $-6+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+(3-3i)z-2-3i=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-3+3i)^{2}-4(-2-3i)=(-18i)-(-8-12i)=8-6i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=8-6i$ ។\nយក $\\delta=x+iy$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-16-13i$ និង $z_2=3+4i$ ។\nក- រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\nខ- គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\nគ- បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}-2z^{3}+5z^{2}-4z+40=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ដោយដឹងថា $-1+2i$ ជាឫសមួយ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $P(z)=z^{4}-2z^{3}+5z^{2}-4z+40$ ។ ដោយមេគុណជាចំនួនពិត $-1-2i$ ក៏ជាឫសដែរ ។ ដូច្នេះ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z+1-2i)(z+1+2i)=z^{2}+2z+5$$\nធ្វើ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរជាទម្រង់សាមញ្ញ $i^{8}$ , $i^{448}$ និង $i^{1358}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ស្វ័យគុណនៃ $i$ មានតម្លៃដដែលៗគឺ $i,-1,-i,1$ ។\n$$i^{8}=i^{4\\times 2+0}=\\left(i^{4}\\right)^{2}\\times i^{0}=i^{0}=1$$\n$$i^{448}=i^{4\\times 112+0}=\\left(i^{4}\\right)^{112}\\ti... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=\\frac{17-6i}{2-3i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\n$$\\frac{17-6i}{2-3i}=\\frac{(17-6i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}=\\frac{52+39i}{4+9}=\\frac{52+39i}{13}=4+3i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{17-6i}{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1$ , $z_2$ មិនមែនជាចំនួនពិត ដែលផលបូក និងផលគុណរបស់វាសុទ្ធតែជាចំនួនពិត ។ បង្ហាញថា $z_2=\\overline{z_1}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z_1=a+bi$ , $z_2=c+di$ ដែល $b\\neq 0$ និង $d\\neq 0$ ។\nផលបូកជាចំនួនពិត ឱ្យ $b+d=0$ គឺ $d=-b$ ។\nផលគុណមាន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-(2-3i)z=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(2-3i)^{2}-40=(-5-12i)-0=-5-12i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=-5-12i$ ។\nតាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(m+3i)(-1-3i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ កំណត់តម្លៃនៃចំនួនពិត $m$ ដែលធ្វើឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត ហើយគណនាតម្លៃនៃ $z$ ពេលនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតផលគុណ ៖\n$$z=(-m+9)-(3m+3)i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តស្មើសូន្យ ៖\n$$-3m-3=0\\Le... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}-(2+2i)z+1+2i=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\Delta=(2+2i)^{2}-4(1+2i)=8i-(4+8i)=-4$$\nដោយ $\\Delta=-4=2i^{2}$ ដែលជាការេប្រាកដ យើងបាន ៖\n$$z_1=\\frac{(2+2i)+2i}{2}=1+2i\\quad,\\quad z_2=\\frac{(2+2i)-2i}{2}=1$$\nដូចនេះ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(x+iy)+4(x-iy)=-5+9i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$(5)x-3yi=-5+9i$$\nយើងប្រៀបធៀបផ្នែកពិតនឹងផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនឹងផ្នែកនិមិត្ត ។\n$$5x=-5\\quad,\\quad -3y=9$$\nនាំឱ្យ $x=-1$ និង $y=-3$ ។\nដូចន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+(8-6i)z+8-24i=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\Delta=(-8+6i)^{2}-4(8-24i)=(28-96i)-(32-96i)=-4$$\nដោយ $\\Delta=-4=2i^{2}$ ដែលជាការេប្រាកដ យើងបាន ៖\n$$z_1=\\frac{(-8+6i)+2i}{2}=-4+4i\\quad,... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}-2z+17=0$ ។ គណនា $\\frac{1}{z_1}+\\frac{1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=2\\quad,\\quad z_1z_2=17$$\n$$\\frac{1}{z_1}+\\frac{1}{z_2}=\\frac{z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-4+3i$ និង $z_2=3-i$ ។ គណនា $\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $z_1+z_2=-1+2i$ និង $z_1-z_2=-7+4i$ ។\n$$\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=\\frac{-1+2i}{-7+4i}=\\frac{(-1+2i)(-7-4i)}{(-7+4i)(-7-4i)}=\\frac{15-10i}{49+16... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុលនៃ $z=-2-2i\\sqrt{5}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{(-2)^{2}+\\left(2\\sqrt{5}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+20}=2\\sqrt{6}$$\nដូចនេះ $\\boxed{|z|=2\\sqrt{6}}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=\\frac{1-i}{1+i}$ ។ គណនា $w$ រួចទាញរក $w^{91}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1-i}{1+i}=\\frac{(1-i)^{2}}{(1-i)(1+i)}=\\frac{-2i}{2}=-i$$\nដោយ $91=4\\times 22+3$ យើងបាន ៖\n$$(-i)^{91}=(-1)^{91}i^{91}=i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកនៃចំនួនកុំផ្លិច ៖ $\\frac{14-2i\\sqrt{2}}{2+i\\sqrt{2}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2-i\\sqrt{2}$ ។ ភាគបែងក្លាយជា $4+2=6$ ។\n$$\\frac{14-2i\\sqrt{2}}{2+i\\sqrt{2}}=\\frac{(14-2i\\sqrt{2})(2-i\\sqrt{2})}{6}=\\frac{24-18i\\sqrt{2}}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}+(4-3i)z+1-7i=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-4+3i)^{2}-4(1-7i)=(7-24i)-(4-28i)=3+4i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=3+4i$ ។\nយក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $\\delta... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{m+2i}{1+2i}$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត ។ រួចគណនា $z$ ចំពោះតម្លៃនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1-2i$ ៖\n$$z=\\frac{(m+2i)(1-2i)}{5}=\\frac{m+4}{5}+\\frac{-2m+2}{5}i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ $\\frac{z}{\\bar{z}}=i$ និង $|z|=\\sqrt{2}$ ។ រក $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ សមីការទីមួយសរសេរជា $z=i\\bar{z}$ ៖\n$$x+iy=i(x-iy)=y+ix$$\nនាំឱ្យ $x=y$ ។ បន្ទាប់មក $|z|^2=2x^2=2$ ឱ្យ $x=\\pm 1$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z=1+i}$ ឬ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-4z+29=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nb. គេឱ្យ $w=z_1+i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{w}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. គណនាឌីសគ្រីមីណង់... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1-8i$ និង $z_2=2-i$ ។\nក- គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\nខ- សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- គេបាន ៖\n$$z_1-z_2=(1-8i)-(2-i)=-1-7i$$\n$$z_1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}+13z^{2}+40=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$t^{2}+13t+40=0\\Leftrightarrow (t+5)(t+8)=0$$\nនាំឱ្យ $t=-5$ ឬ $t=-8$ ។\n$$z^{2}=-5\\Rightarrow z=\\pm i\\sqrt{5}$$\n$$z^{2}=-8\\Rightarrow z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $\\left|\\frac{8+6i}{5-12i}\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|=\\frac{|z_1|}{|z_2|}$ យើងគណនាម៉ូឌុលនៃភាគយក និងភាគបែងដោយឡែក ៖\n$$|8+6i|=10\\quad,\\quad|5-12i|=13$$\n$$\\left|\\frac{8+6i}{5-12i}\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{7+3i}{-i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $i$ ដើម្បីឱ្យភាគបែងក្លាយជាចំនួនពិត ៖\n$$\\frac{7+3i}{-i}=\\frac{(7+3i)i}{-i\\times i}=-3+7i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{7+3i}{-i}=-3+7i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកខាងក្រោម ៖ $\\frac{-3+3i\\sqrt{2}}{1+i\\sqrt{2}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1-i\\sqrt{2}$ ។ ភាគបែងក្លាយជា $1+2=3$ ។\n$$\\frac{-3+3i\\sqrt{2}}{1+i\\sqrt{2}}=\\frac{(-3+3i\\sqrt{2})(1-i\\sqrt{2})}{3}=\\frac{3+6i\\sqrt{2}}{3}=1+2i\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $2z+3\\bar{z}=-15-5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}=x-iy$ ។ ជំនួសចូលសមីការ ៖\n$$2(x+iy)+3(x-iy)=-15-5i$$\n$$5x-yi=-15-5i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\be... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}-12z+85=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=-12$ , $c=85$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-12)^{2}-4\\times 1\\times 85=-196=(14i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំផ្លិចពីរឆ្លាស់គ្នា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z=3+2i$ សរសេរ $z-\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1}{z}=\\frac{1}{3+2i}=\\frac{3-2i}{13}=\\frac{3}{13}-\\frac{2}{13}i$$\n$$z-\\frac{1}{z}=(3+2i)-\\left(\\frac{3}{13}-\\frac{2}{13}i\\right)=\\frac{36}{13}+\\frac{28}{13}i$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}-(1+6i)z-8+2i=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(1+6i)^{2}-4(-8+2i)=(-35+12i)-(-32+8i)=-3+4i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=-3+4i$ ។\nតាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-(3-4i)z-1-7i=0$ ។\na. គណនា $(1+2i)^{2}$ ។\nb. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nc. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. ពន្លាតការេ ៖\n$$(1+2i)^{2}=1+4... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x+3i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $\\bar{z}$ ៖\n$$\\frac{1}{z}=\\frac{\\bar{z}}{z\\bar{z}}=\\frac{x-3i}{x^{2}+9}$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតគឺ $\\boxed{\\frac{x}{x^{2}+9}}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}+z^{2}+(8+6i)z+8+6i$ ។\n១. បង្ហាញថា $P(-1)=0$ ។\n២. កំណត់ពហុធា $Q(z)$ ដែល $P(z)=(z+1)Q(z)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ជំនួស ៖\n$$P(-1)=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{P(-1)=0}$ ។\n២. ចែក $P(z)$ នឹង $z+1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=7+2i$ និង $z_2=-5-3i$ ។ គណនា $2z_1+z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តដោយឡែកពីគ្នា ៖\nផ្នែកពិត ៖ $2\\times(7)+(1)\\times(-5)=9$\nផ្នែកនិមិត្ត ៖ $2\\times(2)+(1)\\times(-3)=1$\nដូចនេះ $\\boxed{2z_1+z_2=9+i}$ ។"... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $P(z)=z^{2}+3z+1$ ចំពោះ $z=3-3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $(3-3i)^{2}=-18i$ ។\nជំនួសចូល ៖\n$$P(3-3i)=(-18i)+3(3-3i)+1=10-27i$$\nដូចនេះ $\\boxed{P(3-3i)=10-27i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $\\frac{1}{3+4i}+\\frac{1}{2-i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{1}{3+4i}=\\frac{3-4i}{25}=\\frac{3}{25}-\\frac{4}{25}i$$\n$$\\frac{1}{2-i}=\\frac{2+i}{5}=\\frac{2}{5}+\\frac{1}{5}i$$\nបូកផ្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+5z^{2}+4z-10$ ។\na. គណនា $P(1)$ ។\nb. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z-1)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nc. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nd. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $1$ , $-3+i$ និង $-3-i$ ។ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z+|z|=6-12i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ ផ្នែកនិមិត្តនៃអង្គទាំងពីរស្មើគ្នា ព្រោះ $|z|$ ជាចំនួនពិត ដូច្នេះ $y=-12$ ។\nផ្នែកពិតផ្តល់ ៖\n$$x+\\sqrt{x^{2}+144}=6$$\n$$\\sqrt{x^{2}+144}=6-x$$\nដោយលើកការេអង្គទាំងពីរ (... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-2+2i$ ។ គណនា $2\\bar{z}-2+2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=-2-2i$ យើងបាន ៖\n$$2\\bar{z}-2+2i=2(-2-2i)-2+2i=-6-2i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{-6-2i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z=2-i$ សរសេរ $z-\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1}{z}=\\frac{1}{2-i}=\\frac{2+i}{5}=\\frac{2}{5}+\\frac{1}{5}i$$\n$$z-\\frac{1}{z}=(2-i)-\\left(\\frac{2}{5}+\\frac{1}{5}i\\right)=\\frac{8}{5}-\\frac{6}{5}i$$\nដូចនេះ លទ្ធ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{-14+2i\\sqrt{5}}{1-i\\sqrt{5}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1+i\\sqrt{5}$ ។ ភាគបែងក្លាយជា $1+5=6$ ។\n$$\\frac{-14+2i\\sqrt{5}}{1-i\\sqrt{5}}=\\frac{(-14+2i\\sqrt{5})(1+i\\sqrt{5})}{6}=\\frac{-24-12i\\sqrt{5}}{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{-6+7i}{3+4i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\n$$\\frac{-6+7i}{3+4i}=\\frac{(-6+7i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\\frac{10+45i}{9+16}=\\frac{10+45i}{25}=\\frac{2}{5}+\\frac{9}{5}i$$\nដូចនេះ $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=1+2i$ ។ គណនា $|z|$ រួចទាញរក $|z^{6}|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=|1+2i|=\\sqrt{1+4}=\\sqrt{5}$$\nតាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $|z^n|=|z|^n$ យើងបាន ៖\n$$\\left|(1+2i)^{6}\\right|=\\left(\\sqrt{5}\\right)^{6}=125$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{125}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=5(2-4i)-2(2+4i)$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចបញ្ជាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងបូកផ្នែកពិតជាមួយផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តជាមួយផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$z=10-20i-(4+8i)=6-28i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{6}$ និងផ្នែកនិ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(-x-2y)+(3x-y)i=11+2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ លុះត្រាតែ $a=c$ និង $b=d$ ។\nគេបានប្រព័ន្ធសមីការ ៖\n$$\\begin{cases}-x-2y=11\\\\3x-y=2\\end{cases}$$\nដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ គេទទួលបាន $x... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=2+i\\sqrt{2}$ និង $B=1-3i\\sqrt{2}$ ។ គណនា $A\\times B$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយកត់សម្គាល់ថា $\\left(i\\sqrt{2}\\right)^{2}=-2$ ៖\n$$(2+i\\sqrt{2})(1-3i\\sqrt{2})=2-6i\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}-3\\left(i\\sqrt{2}\\right)^{2}=8-5i\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+2z+17=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ. សរសេរ $z_1^2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រក $|z_1|$ រួចបង្ហាញថា $z_1\\times z_2=|z_1|^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=2\\sqrt{3}+2i$ និង $z_2=-\\sqrt{3}+i$ ។\nក. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nខ. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។\nឃ. គណនា $\\overline{z_1}\\times z_2$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=(2+3i)^{2}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចបញ្ជាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្ត $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ យើងបាន ៖\n$$z=4+12i+9i^{2}=4+12i-9=-5+12i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{-5}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{14-8i}{2-3i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\n$$\\frac{14-8i}{2-3i}=\\frac{(14-8i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}=\\frac{52+26i}{4+9}=\\frac{52+26i}{13}=4+2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{14-8i}{2-3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $(x+iy)(-1-4i)=20+12i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(x+iy)(-1-4i)=(-x+4y)-(4x+y)i$$\nចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$\\begin{cases}-x+4y=20\\\\-4x-y=12\\en... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $\\frac{9}{4}+10i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $\\frac{9}{4}+10i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=\\frac{9}{4}+10i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=\\frac{9}{4}+10i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា ន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{m+3i}{2+i}$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត ។ រួចគណនា $z$ ចំពោះតម្លៃនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2-i$ ៖\n$$z=\\frac{(m+3i)(2-i)}{5}=\\frac{2m+3}{5}+\\frac{-m+6}{5}i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-2+i$ និង $z_2=2+4i$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $|z_1\\times z_2|=|z_1|\\times|z_2|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$z_1\\times z_2=-8-6i$$\n$$|z_1\\times z_2|=\\sqrt{64+36}=\\sqrt{100}\\quad(1)$$\nគណនាអង្គខាងស្តាំ ៖\n$$|z_1|\\time... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃ $i$ ហើយសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $i$ ។ យើងបាន ៖\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0\\\\2xy=1\\end{cases}$$\nដោយ $xy>0$ សមីការទីមួយឱ្យ $x=y$ ។ ជំនួសចូលសមីការទីពីរ ៖ $2x^2=1$ នាំឱ្យ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $m$ ដើម្បីឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m-1)+7i$ មានម៉ូឌុលស្មើនឹង $25$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=\\sqrt{(m-1)^{2}+49}=25$$\nលើកការេអង្គទាំងពីរ ៖\n$$(m-1)^{2}+49=625\\Leftrightarrow (m-1)^{2}=576$$\n$m-1=24$ ឬ $ m-1=-24$\nដូចនេះ $\\boxed{m=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(x+iy)+2(x-iy)=9+4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$(3)x-1yi=9+4i$$\nយើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ លុះត្រាតែ $a=c$ និង $b=d$ ។\n$$3x=9\\quad,\\quad -y=4$$\nនាំឱ្យ $x=3$ និង $y=-4$ ។\nដូចនេះ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+6z+10=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ. គេឱ្យ $w=z_1+3i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{w}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. យើងមាន ៖\n$$\\D... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $(2-6i)(-6-3i)$ ជាទម្រង់ $a+bi$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតផលគុណ ៖\n$$(2-6i)(-6-3i)=-12-6i+36i+18i^{2}=-12+30i-18=-30+30i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{-30+30i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(1-3i)z=(2+i)z+(6+7i)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ៖\n$$\\left[(1-3i)-(2+i)\\right]z=6+7i$$\n$$(-1-4i)z=6+7i$$\n$$z=\\frac{6+7i}{-1-4i}=\\frac{(6+7i)(-1+4i)}{(-1-4i)(-1+4i)}=\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ ដែល $|x-(4-4i)|=|x-(3-3i)|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរភាពស្មើគ្នានៃការេម៉ូឌុល ៖\n$$(x-4)^{2}+16=(x-3)^{2}+9$$\nពន្លាត ហើយលុបតួ $x^2$ ៖\n$$-8x+32=-6x+18$$\n$$-2x=-14$$\nដូចនេះ $\\boxed{x=7}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យផលបូក $S=i+i^{2}+i^{3}+\\cdots+i^{765}$ ។ គណនា $S$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ស្វ័យគុណបួនតួជាប់គ្នាមានផលបូកសូន្យ ព្រោះ $i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0$ ។\nផលបូកនេះមានតួចំនួន $765$ ។ ដោយ $765=4\\times 191+1$ ក្រុមបួនតួទាំង $191$ មានផលបូកសូន្យ ហើយនៅសល់ $1$ តួចុងក្រ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ ៖ $$\\begin{cases}z+w=6-4i\\\\2iz-w=7+5i\\end{cases}$$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បូកសមីការទាំងពីរ ដើម្បីបំបាត់ $w$ ៖\n$$(1+2i)z=13+i$$\n$$z=\\frac{13+i}{1+2i}=\\frac{(13+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\\frac{15-25i}{1+4}=\\frac{15-25i}{5}=3-5i$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $|z|=10$ និងផ្នែកពិតនៃ $z$ ស្មើនឹង $6$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=6+iy$ ដែល $y\\in\\mathbb{R}$ ។\n$$|z|=\\sqrt{36+y^{2}}=10\\Rightarrow y^{2}=64\\Rightarrow y=\\pm 8$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=6+8i}$ ឬ $\\boxed{z=6-8i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $z+|z|=25-5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ ផ្នែកនិមិត្តនៃអង្គទាំងពីរស្មើគ្នា ព្រោះ $|z|$ ជាចំនួនពិត ដូច្នេះ $y=-5$ ។\nផ្នែកពិតផ្តល់ ៖\n$$x+\\sqrt{x^{2}+25}=25$$\n$$\\sqrt{x^{2}+25}=25-x$$\nដោយលើកការេអង្គទាំងពីរ (លក្ខខណ្ឌ $x\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-1+i$ ។ គណនា $z+\\bar{z}$ , $z-\\bar{z}$ និង $z\\times\\bar{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $\\bar{z}=-1-i$ ។\n$$z+\\bar{z}=(-1+i)-1-i=-2$$\n$$z-\\bar{z}=(-1+i)-(-1-i)=2i$$\n$$z\\times\\bar{z}=(-1)^{2}+1^{2}=2$$\nដូចនេះ $\\boxed{z+\\bar{z}=-2}$ ន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(-1-4i)i^{184}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $184=4\\times 46+0$ នោះ $i^{184}=1$ ។\n$$z=-1-4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=-1-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-8z+20=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មេគុណ $b=-8$ ជាចំនួនគូ ដូច្នេះយើងប្រើ $b'=-4$ ។\n$$\\Delta'=b'^{2}-ac=(-4)^{2}-20=-4=(2i)^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_1=4+2i\\quad,\\quad z_2=4-2i$$\nដូចនេះ សំណុំឫសគឺ $\\boxed{\\lef... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-(5-5i)z-2-14i=0$ ។\n១. គណនា $(3+i)^{2}$ ។\n២. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\n៤. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ពន្លាតការេ ៖\n$$(3+i)^{2}=9+6i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=4i(-2+2i)-5+3i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចបញ្ជាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាម $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$z=-8i+8i^{2}-5+3i=-8i-8-5+3i=-13-5i$$\nដូចនេះ $z=-13-5i$ មានផ្នែកពិត $\\boxed{-13}$ និងផ្នែកនិមិត្ត $\\boxed{-5}$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=8-i$ និង $z_2=2+i$ ។\na. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\nb. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\nc. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-2+5i$ និង $z_2=1-4i$ ។ គណនា $\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $z_1+z_2=-1+i$ និង $z_1-z_2=-3+9i$ ។\n$$\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=\\frac{-1+i}{-3+9i}=\\frac{(-1+i)(-3-9i)}{(-3+9i)(-3-9i)}=\\frac{12+6i}{9+81}=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $\\frac{x}{3+i}+\\frac{y}{1+i}=4$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{x}{3+i}=\\frac{x(3-i)}{10}\\quad,\\quad\\frac{y}{1+i}=\\frac{y(1-i)}{2}$$\nចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្ន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+6z+10=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nb. សរសេរ $z_1^2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រក $|z_1|$ រួចបង្ហាញថា $z_1\\times z_2=|z_1|^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលគុណនៃចំនួនកុំផ្លិច ៖ $(-1-i)(6-5i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគុណតួនីមួយៗនៃវង់ក្រចកទីមួយនឹងវង់ក្រចកទីពីរ ៖\n$$(-1-i)(6-5i)=-6+5i-6i+5i^{2}=-6-i-5=-11-i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{-11-i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $(1+i)^{2}+(1-i)^{2}$ ជាចំនួនពិត រួចគណនាតម្លៃរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $(1+i)^2=2i$ និង $(1-i)^2=-2i$ យើងបាន ៖\n$$(1+i)^{2}=(2i)^{1}=2i$$\n$$(1-i)^{2}=(-2i)^{1}=-2i$$\n$$S=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{S=0}$ ជាចំនួនពិត ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-5z^{2}+8z-6$ ។ ដោយដឹងថា $z_0=1+i$ ជាឫសនៃ $P(z)=0$ ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ហើយ $1+i$ ជាឫស នោះ $1-i$ ក៏ជាឫសដែរ ។\nពហុធាចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-(1+i))(z-(1-i))=z^{2}-2z+2$$\nចែកពហុ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-2+2i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $z\\bar{z}=|z|^2=8$ យើងបាន $\\frac{1}{z}=\\frac{\\bar{z}}{|z|^2}$ ។\n$$\\frac{1}{z}=\\frac{-2-2i}{8}=-\\frac{1}{4}-\\frac{1}{4}i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{1}{z}=-\\frac{1}{4}-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1+3i$ និង $z_2=-4-i$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $|z_1\\times z_2|=|z_1|\\times|z_2|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$z_1\\times z_2=-1-13i$$\n$$|z_1\\times z_2|=\\sqrt{1+169}=\\sqrt{170}\\quad(1)$$\nគណនាអង្គខាងស្តាំ ៖\n$$|z_1|\\tim... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើ $-1+2i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+(2-6i)z-4-6i=0$ ឬទេ ? ពន្យល់ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-1+2i$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង យើងបានតម្លៃ ៖\n$$(-1+2i)^{2}+(2-6i)(-1+2i)-4-6i=3$$\nតម្លៃនេះខុសពីសូន្យ ។\nដូចនេះ $-1+2i$ មិនមែនជាឫសនៃសមីការទេ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើ $-2-i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+(4-2i)z+7-4i=0$ ឬទេ ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-2-i$ ៖\n$$(-2-i)^{2}+(4-2i)(-2-i)+(7-4i)=(3+4i)-10+(7-4i)=0$$\nដូចនេះ $-2-i$ ជាឫសនៃសមីការ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}-4z^{2}+6z-4$ ។ គណនា $P(2)$ រួចដាក់ $P(z)$ ជាកត្តា ហើយដោះស្រាយ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=2$ ៖ $8-16+12-4=0$ ។ ដូច្នេះ $z=2$ ជាឫស ហើយ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង $z-2$ ។\nចែកពហុធា យើងបាន ៖\n$$P(z)=(z-2)(z^{2}-2z+2)$$\nដោះស្រាយ $z^{2}-2z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+8z^{2}+37z+50$ ។ ដោយដឹងថា $z_0=-3+4i$ ជាឫសនៃ $P(z)=0$ ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ហើយ $-3+4i$ ជាឫស នោះ $-3-4i$ ក៏ជាឫសដែរ ។\nពហុធាចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z+3-4i)(z+3+4i)=z^{2}+6z+25$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោមក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ៖\n$$\\begin{cases}z_1+iz_2=-1\\\\2z_1-z_2=3-5i\\end{cases}$$\nខ. គណនា $|z_1|$ និង $|z_2|$ ។\nគ. សរសេរ $z_1\\times\\overline{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nឃ. ទាញរក $\\frac{z_1}{z_2}$ ដោយប្រើ $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-16-2i$ និង $z_2=2-3i$ ។\nក- គណនា $2z_1-z_2$ ។\nខ- សរសេរ $Z=\\frac{z_1+z_2}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $Z=\\frac{z_1}{z_2}+1$ ។\nឃ- រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $Z^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- យើងបាន ៖\n$$2z_1-z_2=(-32... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=3+4i$ និង $z_2=3+i$ ។ គណនា $z_1\\times z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគុណតួនីមួយៗនៃវង់ក្រចកទីមួយនឹងវង់ក្រចកទីពីរ ៖\n$$(3+4i)(3+i)=9+3i+12i+4i^{2}=9+15i-4=5+15i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{5+15i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}-6z^{2}+21z-26=0$ រួចរកឫសទាំងអស់ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $P(z)=z^{3}-6z^{2}+21z-26$ ។ ជំនួស $z=2$ ៖ $8-24+42-26=0$ ។ ដូច្នេះ $z=2$ ជាឫស ហើយ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង $z-2$ ។\nចែកពហុធា យើងបាន ៖\n$$P(z)=(z-2)(z^{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-z^{2}-4z-6$ ។ ដោយដឹងថា $z_0=-1+i$ ជាឫសនៃ $P(z)=0$ ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ហើយ $-1+i$ ជាឫស នោះ $-1-i$ ក៏ជាឫសដែរ ។\nពហុធាចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z+1-i)(z+1+i)=z^{2}+2z+2$$\nចែកពហុធា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z_1$ , $z_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}+8z+20=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។ គណនា $\\frac{z_1}{z_2}+\\frac{z_2}{z_1}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=-8\\quad,\\quad z_1z_2=20$$\n$$\\frac{z_1}{z_2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{-5+6i\\sqrt{3}}{2-i\\sqrt{3}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2+i\\sqrt{3}$ ។ ភាគបែងក្លាយជា $4+3=7$ ។\n$$\\frac{-5+6i\\sqrt{3}}{2-i\\sqrt{3}}=\\frac{(-5+6i\\sqrt{3})(2+i\\sqrt{3})}{7}=\\frac{-28+7i\\sqrt{3}}{7}=-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើ $3-2i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}-(6-5i)z+4-15i=0$ ឬទេ ? ពន្យល់ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=3-2i$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង យើងបានតម្លៃ ៖\n$$(3-2i)^{2}-(6-5i)(3-2i)+(4-15i)=1$$\nតម្លៃនេះខុសពីសូន្យ ។\nដូចនេះ $3-2i$ មិនមែនជាឫសនៃសមីការទេ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សម្រួលកន្សោម $A=-2i^{260}-i^{73}-2i^{93}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនីមួយៗនឹង $4$ ៖\n$260=4\\times 65+0$ នាំឱ្យ $i^{260}=1$\n$73=4\\times 18+1$ នាំឱ្យ $i^{73}=i$\n$93=4\\times 23+1$ នាំឱ្យ $i^{93}=i$\nយើងបាន ៖\n$$A=-2(1)-i-2(i)=-2-3i$$\nដូចនេះ $\\b... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃចំនួនកុំផ្លិចនីមួយៗ ៖ $z_1=1+i\\sqrt{3}$ , $z_2=6i$ , $z_3=-9+i$ , $z_4=-5$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $a+bi$ គឺ $a-bi$ គឺយើងប្តូរសញ្ញាផ្នែកនិមិត្តតែប៉ុណ្ណោះ ។\n$$\\overline{z_1}=1-i\\sqrt{3}$$\n$$\\overline{z_2}=... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.