conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=-27+36i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $-27+36i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=-27+36i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=-27+36i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\begi... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m^{2}-3m-4)+(m^{2}+7m+12)i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត (ផ្នែកពិតស្មើសូន្យ) ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើសូន្យ ៖\n$$m^{2}-3m-4=0$$\nនាំឱ្យ $m=-1$ ឬ $m=4$ ។\nចំពោះតម្ល... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=4-2i$ ។ គណនា $2\\bar{z}-2+4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=4+2i$ យើងបាន ៖\n$$2\\bar{z}-2+4i=2(4+2i)-2+4i=6+8i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{6+8i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}+12z+40=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មេគុណ $b=12$ ជាចំនួនគូ ដូច្នេះយើងប្រើ $b'=6$ ។\n$$\\Delta'=b'^{2}-ac=6^{2}-40=-4=(2i)^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_1=-6+2i\\quad,\\quad z_2=-6-2i$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z_1=-6+2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=3-3i$ និង $z_2=3-2i$ ។ គណនា $\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $z_1+z_2=6-5i$ និង $z_1-z_2=-i$ ។\n$$\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=\\frac{6-5i}{-i}=\\frac{(6-5i)i}{(-i)i}=5+6i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{z_1+z_2}{z_1-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{2}-(4+2i)z-1+4i=0$ ។ បង្ហាញថា $z_1=i$ ជាឫសរបស់សមីការនេះ រួចទាញរកឫសមួយទៀត $z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=i$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$i^{2}-(4+2i)i-1+4i=(-1)-(-2+4i)-1+4i=0$$\nដូច្នេះ $z_1=i$ ជាឫស ។\nផលគុណឫសនៃសមីការ $z^2+bz+c=0$ គឺ $z_1z_... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}+8z+41=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មេគុណ $b=8$ ជាចំនួនគូ ដូច្នេះយើងប្រើ $b'=4$ ។\n$$\\Delta'=b'^{2}-ac=4^{2}-41=-25=(5i)^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_1=-4+5i\\quad,\\quad z_2=-4-5i$$\nដូចនេះ សំណុំឫសគឺ $\\boxed{\\left\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-4z+20=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ- គេឱ្យ $w=z_1+3i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{w}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- គណនាឌីសគ្រីមីណង... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}-6z^{2}+28z-40=0$ រួចរកឫសទាំងអស់ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $P(z)=z^{3}-6z^{2}+28z-40$ ។ ជំនួស $z=2$ ៖ $8-24+56-40=0$ ។ ដូច្នេះ $z=2$ ជាឫស ហើយ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង $z-2$ ។\nចែកពហុធា យើងបាន ៖\n$$P(z)=(z-2)(z^{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $P(1+i)$ ដោយដឹងថា $P(z)=z^4+2z^2-3z+1$ ។ ប្រើ $(1+i)^2=2i$ ដើម្បីកាត់បន្ថយការគណនា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $(1+i)^2=2i$ និង $(1+i)^4=(2i)^2=-4$ ។ ជំនួសចូល ៖\n$$P(1+i)=-4+2(2i)-3(1+i)+1=-4+4i-3-3i+1=-6+i$$\nដូចនេះ $\\boxed{P(1+i)=-6+i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x+3i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $w=z^2-2z$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$z^{2}=x^{2}+6xi-9$$\n$$w=(x^{2}-2x-9)+(6x-6)i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតគឺ $\\boxed{x^{2}-2x-9}$ ហើយផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{6x-6}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $Z=(-1-3i)^{4}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេមុន ៖\n$$(-1-3i)^{2}=1+6i+9i^{2}=-8+6i$$\nស្វ័យគុណទី $4$ គឺជាការេនៃលទ្ធផលនេះ ៖\n$$(-1-3i)^{4}=\\left[(-1-3i)^{2}\\right]^{2}=(-8+6i)^{2}=64-96i+36i^{2}=28-96i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-1-3i)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+6z+10=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\n២. គេឱ្យ $w=z_1+i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{w}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. គណនាឌីសគ្រីមីណង់... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $\\left(\\frac{1-3i}{3+i}\\right)^{5}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសម្រួលផលចែកជាមុន ៖\n$$\\frac{1-3i}{3+i}=\\frac{(1-3i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\\frac{-10i}{9+1}=\\frac{-10i}{10}=-i$$\nដោយ $5=4\\times 1+1$ យើងបាន ៖\n$$(-i)^{5}=-i$$\nដូច... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-3+i$ និង $z_2=-4-4i$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $\\overline{z_1\\times z_2}=\\overline{z_1}\\times\\overline{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$z_1\\times z_2=12+12i-4i-4i^{2}=12+8i+4=16+8i$$\n$$\\overline{z_1\\times z_2}=16-8i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^2-2(1+i)z+1+2i=0$ ដោយប្រើ $\\Delta'$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $b'=-(1+i)$ ។ គណនា ៖\n$$\\Delta'=(1+i)^{2}-(1+2i)=2i-1-2i=-1=i^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_1=1+i+i=1+2i\\quad,\\quad z_2=1+i-i=1$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_1=1+2i}$ និង $\\boxed{z_... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $(3-i)z=(3+i)z+(10-4i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ៖\n$$\\left[(3-i)-(3+i)\\right]z=10-4i$$\n$$(-2i)z=10-4i$$\n$$z=\\frac{10-4i}{-2i}=\\frac{(10-4i)2i}{(-2i)2i}=\\frac{8+20i}{4}=2+5i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=2+5... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=6-6i$ ។ គណនា $z+\\bar{z}$ , $z-\\bar{z}$ និង $z\\times\\bar{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $\\bar{z}=6+6i$ ។\n$$z+\\bar{z}=(6-6i)+(6+6i)=12$$\n$$z-\\bar{z}=(6-6i)-(6+6i)=-12i$$\n$$z\\times\\bar{z}=6^{2}+6^{2}=72$$\nដូចនេះ $\\boxed{z+\\bar{z}=12}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $\\frac{7}{4}-6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $\\frac{7}{4}-6i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=\\frac{7}{4}-6i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=\\frac{7}{4}-6i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x-i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $\\bar{z}$ ៖\n$$\\frac{1}{z}=\\frac{\\bar{z}}{z\\bar{z}}=\\frac{x+i}{x^{2}+1}$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតគឺ $\\boxed{\\frac{x}{x^{2}+1}}$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $5z-\\bar{z}=4-24i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}=x-iy$ ។ ជំនួសចូលសមីការ ៖\n$$5(x+iy)-(x-iy)=4-24i$$\n$$4x+6yi=4-24i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\be... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{3}-3z^{2}+4z+8=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ដោយដឹងថា $2+2i$ ជាឫសមួយរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ហើយ $2+2i$ ជាឫស នោះ $2-2i$ ក៏ជាឫសដែរ ។\nពហុធាចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-(2+2i))(z-(2-2i))=z^{2}-4z+8$$\nចែកពហុធា យើងបាន ៖\n$$z^{3}-3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=\\sqrt{3}+i$ និង $z_2=-1+i\\sqrt{3}$ ។\n១. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។\n៤. គណនា $\\overline{z_1}\\times z_2$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $(1-i)^{3}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេជាមុនសិន ៖\n$$(1-i)^{2}=1-2i+i^{2}=-2i$$\nគុណនឹងកត្តាដើមម្តងទៀត ៖\n$$(1-i)^{3}=(-2i)(1-i)=-2i+2i^{2}=-2i-2=-2-2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(1-i)^{3}=-2-2i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(\\sqrt{7}+i\\sqrt{6}\\right)^{2}$ ។ ទាញរកឫសការេនៃ $1+2i\\sqrt{42}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ៖\n$$(\\sqrt{7}+i\\sqrt{6})^{2}=7+2\\times\\sqrt{7}\\times i \\sqrt{6}+6i^{2}=1+2i\\sqrt{42}$$\nដូច្នេះ ចំនួននេះ និងចំនួនផ្ទុយរបស់វា សុទ្ធតែមាន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $(x+iy)+2(x-iy)=12+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$(3)x-1yi=12+3i$$\nចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$3x=12\\quad,\\quad -y=3$$\nនាំឱ្យ $x=4$ និង $y=-3$ ។\nដូច... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=3-11i$ និង $z_2=3-i$ ។\nក. គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\nខ. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គេបាន ៖\n$$z_1-z_2=(3-11i)-(3-i)=-10i$$\n$$z_... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+8z+32=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\n២. សរសេរ $z_1^2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រក $|z_1|$ រួចបង្ហាញថា $z_1\\times z_2=|z_1|^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយពន្លាតជាជំហាន បង្ហាញថា $\\left(1+i\\sqrt{3}\\right)^3=-8$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេជាមុន ៖\n$$\\left(1+i\\sqrt{3}\\right)^{2}=1+2i\\sqrt{3}-3=-2+2i\\sqrt{3}$$\nគុណនឹង $1+i\\sqrt{3}$ ៖\n$$\\left(-2+2i\\sqrt{3}\\right)\\left(1+i\\sqrt{3}\\right)=-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq-2-i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z-2}{z+2+i}$ ។\nក. គណនា $f(-1-3i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=-i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nគ. រកម៉ូឌុលនៃ $f(-1-3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ភាគយកគឺ $(-1-3i)-2=-3-3i$ ហើយភាគបែងគឺ $(-1-3i)-(-2-i)=1-2i$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=3-i$ និង $z_2=-1-2i$ ។ គណនា $|z_1\\times z_2|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងប្រើ $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ ៖\n$$|3-i|=\\sqrt{10}\\quad,\\quad|-1-2i|=\\sqrt{5}$$\n$$\\sqrt{10}\\times\\sqrt{5}=\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}$$\nដូចនេះ ម៉ូឌុលនៃផលគុណស្មើ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-4+6i$ និង $z_2=1-i$ ។ គណនា $z_1\\times z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ព្រោះ $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$(-4+6i)(1-i)=-4+4i+6i-6i^{2}=-4+10i+6=2+10i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{2+10i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(m^{2}+5m+4)+(m^{2}-7m+10)i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត (ផ្នែកពិតស្មើសូន្យ) ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើសូន្យ ៖\n$$m^{2}+5m+4=0$$\nនាំឱ្យ $m=-4$ ឬ $m=-1$ ។\nចំពោះតម្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z=1+2i$ សរសេរ $z-\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1}{z}=\\frac{1}{1+2i}=\\frac{1-2i}{5}=\\frac{1}{5}-\\frac{2}{5}i$$\n$$z-\\frac{1}{z}=(1+2i)-\\left(\\frac{1}{5}-\\frac{2}{5}i\\right)=\\frac{4}{5}+\\frac{12}{5}i$$\nដូចនេះ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលគុណនៃចំនួនកុំផ្លិច ៖ $(3-5i)(-3+3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតផលគុណ ៖\n$$(3-5i)(-3+3i)=-9+9i+15i-15i^{2}=-9+24i+15=6+24i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{6+24i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-8z+25=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ- គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nគ- ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើ គណនា $z_1^2+z_2^2$ និង $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- គណនាឌ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1+5i$ និង $z_2=1-i$ ។\nក. គណនា $2z_1-z_2$ ។\nខ. សរសេរ $Z=\\frac{z_1+z_2}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $Z=\\frac{z_1}{z_2}+1$ ។\nឃ. រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $Z^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. យើងបាន ៖\n$$2z_1-z_2=(2+10i)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}+(5+3i)z+6+9i=0$ ។\nក. គណនា $(1-3i)^{2}$ ។\nខ. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nឃ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ពន្លាតការេ ៖\n$$(1-3i)^{2}=1-6... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរសមីការរាង $z^2+bz+c=0$ ដែលមានឫសពីរគឺ $-4+4i$ និង $-4+i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាផលបូក និងផលគុណនៃឫស ៖\n$$z_1+z_2=-8+5i$$\n$$z_1z_2=(-4+4i)(-4+i)=16-4i-16i+4i^{2}=16-20i-4=12-20i$$\nសមីការមានរាង $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z^{2}+(8-5i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $x^{2}-y^{2}+2xyi=-7-24i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ លុះត្រាតែ $a=c$ និង $b=d$ ។\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=-7\\\\2xy=-24\\end{cases}$$\nពីសមីការទីពីរ $y=\\frac{-12}{x}$ ។ ជំនួសចូលសមីការទីមួយ ហ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $(1+2i)z-2-i=(-1+3i)z-9-5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ទៅអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$\\left[(1+2i)-(-1+3i)\\right]z=(-9-5i)-(-2-i)$$\n$$(2-i)z=-7-4i$$\n$$z=\\frac{-7-4i}{2-i}=\\frac{(-7-4i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\\frac{-1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $3z-2\\bar{z}=-1+20i$ ។\n២. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\n៣. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៤. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{4}+8z^{2}+12=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$t^{2}+8t+12=0\\Leftrightarrow (t+2)(t+6)=0$$\nនាំឱ្យ $t=-2$ ឬ $t=-6$ ។\n$$z^{2}=-2\\Rightarrow z=\\pm i\\sqrt{2}$$\n$$z^{2}=-6\\Rightarrow z=\\pm ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $x^{2}-y^{2}+2xyi=16+30i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ លុះត្រាតែ $a=c$ និង $b=d$ ។\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=16\\\\2xy=30\\end{cases}$$\nពីសមីការទីពីរ $y=\\frac{15}{x}$ ។ ជំនួសចូលសមីការទីមួយ ហើយ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x-2i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $x$ ដើម្បីឱ្យ $z^2+z$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$z^{2}+z=x^{2}-4-4xi+x-2i$$\nផ្នែកនិមិត្តគឺ $-4x-2$ ។ កន្សោមជាចំនួនពិត លុះត្រាតែ ៖\n$$-4x-2=0\\Leftrightarrow x=-\\frac{1}{2}$$\nដូចនេះ $\\box... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+7z^{2}+25z+39$ ។\na. គណនា $P(-3)$ ។\nb. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z+3)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nc. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nd. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $-3$ , $-2+3i$ និង $-2-3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1=-7-4i$ និង $z_2=2-i$ ។ គណនា $\\overline{\\left(\\frac{z_1}{z_2}\\right)}$ រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាវាស្មើនឹង $\\frac{\\overline{z_1}}{\\overline{z_2}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង ៖\n$$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{-7-4i}{2-i}=\\frac{(-7-4i)(2+i)}{(2-i)(2+i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-(2-i)z+3+9i=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(2-i)^{2}-4(3+9i)=(3-4i)-(12+36i)=-9-40i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=-9-40i$ ។\nយក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $-2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}+8z^{2}+22z+20=0$ រួចរកឫសទាំងអស់ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $P(z)=z^{3}+8z^{2}+22z+20$ ។ ជំនួស $z=-2$ ៖ $-8+32-44+20=0$ ។ ដូច្នេះ $z=-2$ ជាឫស ហើយ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង $z+2$ ។\nចែកពហុធា យើងបាន ៖\n$$P(z)=(z+2)(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=3+2i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $z\\bar{z}=|z|^2=13$ យើងបាន $\\frac{1}{z}=\\frac{\\bar{z}}{|z|^2}$ ។\n$$\\frac{1}{z}=\\frac{3-2i}{13}=\\frac{3}{13}-\\frac{2}{13}i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{1}{z}=\\frac{3}{13}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}+10z+34=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=10$ , $c=34$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=10^{2}-4\\times 1\\times 34=-36=(6i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំផ្លិចពីរឆ្លាស់គ្នា ៖\n$$z_1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $3z+\\bar{z}=8-10i$ ។\nb. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nc. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(2-i)\\bar{z}-3-2i=-11-3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងដោះស្រាយរក $\\bar{z}$ ជាមុន ៖\n$$(2-i)\\bar{z}=-8-i$$\n$$\\bar{z}=\\frac{-8-i}{2-i}=\\frac{(-8-i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\\frac{-15-10i}{4+1}=\\frac{-15-10i}{5}=-3-2i$$\n$z$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $A=3i^{26}+\\frac{1}{i^{136}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនឹង $4$ ៖ $i^{26}=-1$ និង $i^{136}=1$ ។\nដោយ $i^{136}=1$ នោះ $\\frac{1}{i^{136}}=1$ ។\n$$A=-2$$\nដូចនេះ $\\boxed{A=-2}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}+(2+2i)z^{2}-(2-9i)z-7-i$ ។\n១. បង្ហាញថា $P(-i)=0$ ។\n២. កំណត់ពហុធា $Q(z)$ ដែល $P(z)=(z+i)Q(z)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ជំនួស ៖\n$$P(-i)=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{P(-i)=0}$ ។\n២. ចែក $P(z)$ នឹង... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1-2i$ និង $z_2=5-2i$ ។ គណនា $\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $z_1+z_2=6-4i$ និង $z_1-z_2=-4$ ។\n$$\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=\\frac{6-4i}{-4}=-\\frac{3}{2}+i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=-\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(2-3i)z=-25+5i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $2-3i$ ៖\n$$z=\\frac{-25+5i}{2-3i}=\\frac{(-25+5i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}=\\frac{-65-65i}{4+9}=\\frac{-65-65i}{13}=-5-5i$$\nដូចនេះ $\\bo... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq-3-3i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z-3}{z+3+3i}$ ។\nក. គណនា $f(2+2i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=2i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nគ. រកម៉ូឌុលនៃ $f(2+2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ភាគយកគឺ $(2+2i)-3=-1+2i$ ហើយភាគបែងគឺ $(2+2i)-(-3-3i)=5+5i$ ។\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=11+2i$ និង $z_2=1+2i$ ។\nក. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\nខ. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\nគ. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(-1+3i)(-1+3i)(1-2i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណកត្តាពីរដំបូងជាមុនសិន ៖\n$$(-1+3i)(-1+3i)=1-3i-3i+9i^{2}=1-6i-9=-8-6i$$\nរួចគុណលទ្ធផលនឹងកត្តាទីបី ៖\n$$(-8-6i)(1-2i)=-8+16i-6i+12i^{2}=-8+10i-12=-20+10i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{-20... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃចំនួនខាងក្រោម ៖ $z_1=4-i\\sqrt{3}$ , $z_2=4i$ , $z_3=3$ , $z_4=9-2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $a+bi$ គឺ $a-bi$ គឺយើងប្តូរសញ្ញាផ្នែកនិមិត្តតែប៉ុណ្ណោះ ។\n$$\\overline{z_1}=4+i\\sqrt{3}$$\n$$\\overline{z_2}=-4i$$\n$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $\\left|\\frac{-8-6i}{5+12i}\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|=\\frac{|z_1|}{|z_2|}$ យើងគណនាម៉ូឌុលនៃភាគយក និងភាគបែងដោយឡែក ៖\n$$|-8-6i|=10\\quad,\\quad|5+12i|=13$$\n$$\\left|\\frac{-8... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=7-i$ និង $z_2=1-i$ ។\nក- រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\nខ- គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\nគ- បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^6-1=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងដាក់ជាកត្តា ៖\n$$z^{6}-1=(z^{3}-1)(z^{3}+1)=(z-1)(z^{2}+z+1)(z+1)(z^{2}-z+1)$$\nកត្តាដឺក្រេទីមួយឱ្យ $z=1$ និង $z=-1$ ។\nសមីការ $z^2+z+1=0$ មាន $\\Delta=-3$ ឱ្យ $z=\\frac{-1\\pm i\\sq... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(x-y)+(2x-y)i=8+11i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\nគេបានប្រព័ន្ធសមីការ ៖\n$$\\begin{cases}x-y=8\\\\2x-y=11\\end{cases}$$\nដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ គេទទួ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-14+2i$ និង $z_2=3+i$ ។\n១. គណនា $2z_1-z_2$ ។\n២. សរសេរ $Z=\\frac{z_1+z_2}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $Z=\\frac{z_1}{z_2}+1$ ។\n៤. រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $Z^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. យើងបាន ៖\n$$2z_1-z_2=(-28+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}-2z^{3}+14z^{2}-18z+45=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ដោយដឹងថា $3i$ ជាឫសមួយ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $P(z)=z^{4}-2z^{3}+14z^{2}-18z+45$ ។ ដោយមេគុណជាចំនួនពិត $-3i$ ក៏ជាឫសដែរ ។ ដូច្នេះ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-3i)(z+3i)=z^{2}+9$$\nធ្វើវិធីចែកព... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z_1$ , $z_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}-6z+13=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។ ដោយមិនគណនាឫស រកម៉ូឌុលនៃឫសទាំងពីរ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណពិត និង $\\Delta<0$ ដូច្នេះឫសទាំងពីរឆ្លាស់គ្នា គឺ $z_2=\\overline{z_1}$ ។\nនាំឱ្យ $z_1z_2=z_1\\overline{z_1}=|z_1|^2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq 2i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z+1-i}{z-2i}$ ។\nក. គណនា $f(1+2i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=1-i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nគ. រកម៉ូឌុលនៃ $f(1+2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ភាគយកគឺ $(1+2i)-(-1+i)=2+i$ ហើយភាគបែងគឺ $(1+2i)-2i=1$ ។\n$$f(1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}+3z+10=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=3^{2}-4\\times 10=-31=\\left(i\\sqrt{31}\\right)^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_{1,2}=\\frac{-3\\pm i\\sqrt{31}}{2}$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z_1=-\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_A=1+3i$ , $z_B=-3$ និង $z_C=4-i$ ។\na. សង់ចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ។\nb. គណនាប្រវែង $AB$ , $AC$ និង $BC$ ។\nc. តើត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណប្រភេទអ្វី ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. ចំណុចទាំងបីគឺ $A(1,3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $\\frac{x}{2+i}+\\frac{y}{1+2i}=3+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{x}{2+i}=\\frac{x(2-i)}{5}\\quad,\\quad\\frac{y}{1+2i}=\\frac{y(1-2i)}{5}$$\nយើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(2-i)\\bar{z}+(4+i)=-2-6i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងដោះស្រាយរក $\\bar{z}$ ជាមុន ៖\n$$(2-i)\\bar{z}=-6-7i$$\n$$\\bar{z}=\\frac{-6-7i}{2-i}=\\frac{(-6-7i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\\frac{-5-20i}{4+1}=\\frac{-5-20i}{5}=-1-4i$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-8z^{2}+21z-20$ ។\nក. គណនា $P(4)$ ។\nខ. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z-4)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $4$ , $2+i$ និង $2-i$ ។ គ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=(3-2i)^{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ហើយជំនួស $i^2=-1$ ៖\n$$z=9-12i+4i^{2}=9-12i-4=5-12i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{5}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{-12}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $x^{2}-y^{2}+2xyi=3+4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ លុះត្រាតែ $a=c$ និង $b=d$ ។\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=3\\\\2xy=4\\end{cases}$$\nពីសមីការទីពីរ $y=\\frac{2}{x}$ ។ ជំនួសចូលសមីការទីមួយ ហើយគុណនឹ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $Z=(1+3i)^{4}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេមុន ៖\n$$(1+3i)^{2}=1+6i+9i^{2}=-8+6i$$\nស្វ័យគុណទី $4$ គឺជាការេនៃលទ្ធផលនេះ ៖\n$$(1+3i)^{4}=\\left[(1+3i)^{2}\\right]^{2}=(-8+6i)^{2}=64-96i+36i^{2}=28-96i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(1+3i)^{4}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(2-i)^{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តការេនៃទ្វេធា ៖\n$$(2-i)^{2}=4-4i+i^{2}=3-4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(2-i)^{2}=3-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $z_1-3z_2$ ដោយដឹងថា $z_1=5-2i$ ហើយ $z_2=-2-7i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តដោយឡែកពីគ្នា ៖\nផ្នែកពិត ៖ $1\\times(5)-3\\times(-2)=11$\nផ្នែកនិមិត្ត ៖ $1\\times(-2)-3\\times(-7)=19$\nដូចនេះ $\\boxed{z_1-3z_2=11+19i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យ $z_1=3+i$ និង $z_2=4-4i$ ។ សរសេរ $z_1+z_2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តដោយឡែកពីគ្នា ៖\nផ្នែកពិត ៖ $1\\times(3)+(1)\\times(4)=7$\nផ្នែកនិមិត្ត ៖ $1\\times(1)+(1)\\times(-4)=-3$\nដូចនេះ $\\boxed{z_1+z_2=7-3i}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-3+4i$ និង $z_2=2-i$ ។ គណនា $\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $z_1+z_2=-1+3i$ និង $z_1-z_2=-5+5i$ ។\n$$\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=\\frac{-1+3i}{-5+5i}=\\frac{(-1+3i)(-5-5i)}{(-5+5i)(-5-5i)}=\\frac{20-10i}{25+25... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+6z+10=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ- គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nគ- ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើ គណនា $z_1^2+z_2^2$ និង $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- យើងមា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=1-i\\sqrt{3}$ និង $B=\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ ។\n១. គណនា $A+B$ និង $A\\times B$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. បូកផ្នែកពិត ន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+2z^{2}+16z+32$ ។\na. គណនា $P(-2)$ ។\nb. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z+2)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nc. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nd. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $-2$ , $4i$ និង $-4i$ ។ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1-i\\sqrt{3}$ និង $z_2=2-2i$ ។\na. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។\nd. គណនា $\\overline{z_1}\\times z_2$ ។"
},
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m^{2}+m-2)+(m^{2}-8m+15)i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត (ផ្នែកពិតស្មើសូន្យ) ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើសូន្យ ៖\n$$m^{2}+m-2=0$$\nនាំឱ្យ $m=-2$ ឬ $m=1$ ។\nចំពោះតម្លៃទ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលបូកខាងក្រោម ៖ $S=i+i^{2}+i^{3}+\\cdots+i^{859}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ស្វ័យគុណបួនតួជាប់គ្នាមានផលបូកសូន្យ ព្រោះ $i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0$ ។\nផលបូកនេះមានតួចំនួន $859$ ។ ដោយ $859=4\\times 214+3$ ក្រុមបួនតួទាំង $214$ មានផលបូកសូន្យ ហើយនៅសល់ $3$ តួចុងក្រោយ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(m^{2}-1)+(m^{2}-4)i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត រួចរកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តរបស់វាស្មើសូន្យ ៖\n$$m^{2}-4=0$$\nសមីការដឺក្រេទីពីរន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z=3-i$ សរសេរ $z-\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1}{z}=\\frac{1}{3-i}=\\frac{3+i}{10}=\\frac{3}{10}+\\frac{1}{10}i$$\n$$z-\\frac{1}{z}=(3-i)-\\left(\\frac{3}{10}+\\frac{1}{10}i\\right)=\\frac{27}{10}-\\frac{11}{10}i$$\nដូ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $A=2i^{19}+\\frac{1}{i^{102}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនឹង $4$ ៖ $i^{19}=-i$ និង $i^{102}=-1$ ។\n$$\\frac{1}{i^{102}}=\\frac{1}{-1}=-1$$\n$$A=-1-2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{A=-1-2i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{4}-34z^{2}-72=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ យើងបាន ៖\n$$t^{2}-34t-72=0\\Leftrightarrow (t-36)(t+2)=0$$\n$$z^{2}=36\\Rightarrow z=\\pm 6$$\n$$z^{2}=-2\\Rightarrow z=\\pm i\\sqrt{2}$$\nដូចនេះ សមីការមានឫសបួនគឺ $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(m-2i)(2+4i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកចំនួនពិត $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតផលគុណ ៖\n$$z=(2m+8)+(4m-4)i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តស្មើសូន្យ ៖\n$$4m-4=0\\Leftrightarrow m=1$$\nដូចនេះ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}-8z^{3}+35z^{2}-86z+130=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ដោយដឹងថា $1+3i$ ជាឫសមួយ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $P(z)=z^{4}-8z^{3}+35z^{2}-86z+130$ ។ ដោយមេគុណជាចំនួនពិត $1-3i$ ក៏ជាឫសដែរ ។ ដូច្នេះ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-(1+3i))(z-(1-3i))=z^{2}-2z+1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=2i(-1+3i)+(1-5i)$ ។ តើផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z$ ស្មើនឹងប៉ុន្មាន ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាម $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$z=-2i+6i^{2}+1-5i=-2i-6+1-5i=-5-7i$$\nដូចនេះ $z=-5-7i$ មានផ្នែកពិត $\\boxed{-5}$ និងផ្នែកនិមិត្ត $\\boxed{-7}$ ។"
}
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}+17z^{2}+70=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$t^{2}+17t+70=0\\Leftrightarrow (t+7)(t+10)=0$$\nនាំឱ្យ $t=-7$ ឬ $t=-10$ ។\n$$z^{2}=-7\\Rightarrow z=\\pm i\\sqrt{7}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=3i(-5+5i)+(3+3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាម $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$z=-15i+15i^{2}+3+3i=-15i-15+3+3i=-12-12i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{-12}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{-12}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សម្រួលកន្សោម $A=2i^{112}+i^{84}-2i^{265}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនីមួយៗនឹង $4$ ៖\n$112=4\\times 28+0$ នាំឱ្យ $i^{112}=1$\n$84=4\\times 21+0$ នាំឱ្យ $i^{84}=1$\n$265=4\\times 66+1$ នាំឱ្យ $i^{265}=i$\nយើងបាន ៖\n$$A=2(1)+1-2(i)=3-2i$$\nដូចនេះ $\\b... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^2-(3+i)z+m+2i=0$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។\nក. រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យសមីការមានឫសជាចំនួនពិត ហើយរកឫសពិតនោះ ។\nខ. ចំពោះតម្លៃ $m$ ខាងលើ រកឫសមួយទៀតនៃសមីការ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. តាង $t$ ជាឫសពិត ។ ជំនួសក្នុងសមីការ ហើយបំបែកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+5z^{2}+8z+6$ ។ ដោយដឹងថា $z_0=-1+i$ ជាឫសនៃ $P(z)=0$ ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ហើយ $-1+i$ ជាឫស នោះ $-1-i$ ក៏ជាឫសដែរ ។\nពហុធាចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z+1-i)(z+1+i)=z^{2}+2z+2$$\nចែកពហុធ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $\\frac{1}{4-3i}+\\frac{1}{1+2i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{1}{4-3i}=\\frac{4+3i}{25}=\\frac{4}{25}+\\frac{3}{25}i$$\n$$\\frac{1}{1+2i}=\\frac{1-2i}{5}=\\frac{1}{5}-\\frac{2}{5}i$$\nបូ... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.