conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=(5+2i)^{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ហើយជំនួស $i^2=-1$ ៖\n$$z=25+20i+4i^{2}=25+20i-4=21+20i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{21}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{20}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+8z+25=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ- សរសេរ $z_1^2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រក $|z_1|$ រួចបង្ហាញថា $z_1\\times z_2=|z_1|^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $x^{2}-y^{2}+2xyi=-5+12i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងប្រៀបធៀបផ្នែកពិតនឹងផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនឹងផ្នែកនិមិត្ត ។\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=-5\\\\2xy=12\\end{cases}$$\nពីសមីការទីពីរ $y=\\frac{6}{x}$ ។ ជំនួសចូលសមីការទី... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សរសេរ $Z=2z+2i\\bar{z}$ ជាទម្រង់ $A+iB$ ដែល $A,B$ ជាកន្សោមនៃ $x$ និង $y$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=x-iy$ យើងបាន ៖\n$$Z=2(x+iy)+2i(x-iy)$$\n$$Z=2x+2iy+2ix+2y$$\nប្រមូលផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$Z=(2x+2y)+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+2z+26=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ- គេឱ្យ $w=z_1+2i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{w}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- គណនាឌីសគ្រីមីណង... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}+8z+52=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=8$ , $c=52$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=8^{2}-4\\times 1\\times 52=-144=(12i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំផ្លិចពីរឆ្លាស់គ្នា ៖\n$$z_1=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=(-2+5i)^{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្ត $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ យើងបាន ៖\n$$z=4-20i+25i^{2}=4-20i-25=-21-20i$$\nដូចនេះ $z=-21-20i$ មានផ្នែកពិត $\\boxed{-21}$ និងផ្នែកនិមិត្ត $\\boxed{-20}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(4-3i)z=8+19i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $4-3i$ ៖\n$$z=\\frac{8+19i}{4-3i}=\\frac{(8+19i)(4+3i)}{(4-3i)(4+3i)}=\\frac{-25+100i}{16+9}=\\frac{-25+100i}{25}=-1+4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=-1+4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=5(4+4i)+2(-3-3i)$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចបញ្ជាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងបូកផ្នែកពិតជាមួយផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តជាមួយផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$z=20+20i-6-6i=14+14i$$\nដូចនេះ $z=14+14i$ មានផ្នែកពិត $\\boxed{14}$ និងផ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $A=3i^{247}+2i^{333}+i^{98}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនីមួយៗនឹង $4$ ៖\n$247=4\\times 61+3$ នាំឱ្យ $i^{247}=-i$\n$333=4\\times 83+1$ នាំឱ្យ $i^{333}=i$\n$98=4\\times 24+2$ នាំឱ្យ $i^{98}=-1$\nយើងបាន ៖\n$$A=3(-i)+2(i)-1=-1-i$$\nដូច... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-8z+41=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=-8$ , $c=41$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4\\times 1\\times 41=-100=(10i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំផ្លិចពីរឆ្លាស់គ្នា ៖... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=4-4i$ និង $z_2=-3+2i$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $|z_1\\times z_2|=|z_1|\\times|z_2|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$z_1\\times z_2=-4+20i$$\n$$|z_1\\times z_2|=\\sqrt{16+400}=\\sqrt{416}\\quad(1)$$\nគណនាអង្គខាងស្តាំ ៖\n$$|z_1|\\t... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-5+2i$ ។ គណនា $3\\bar{z}-2+5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=-5-2i$ យើងបាន ៖\n$$3\\bar{z}-2+5i=3(-5-2i)-2+5i=-17-i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{-17-i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(-4-i)i^{81}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $81=4\\times 20+1$ នោះ $i^{81}=i$ ។\n$$z=(-4-i)\\times(i)=1-4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=1-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរដែលមានឫស $z_1=-4+3i$ និង $z_2=-3+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាផលបូក និងផលគុណនៃឫស ៖\n$$z_1+z_2=-7+6i$$\n$$z_1z_2=(-4+3i)(-3+3i)=12-12i-9i+9i^{2}=12-21i-9=3-21i$$\nសមីការមានរាង $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z^{2}+(7-6i)z+3-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m-i)(3+3i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកចំនួនពិត $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតផលគុណ ៖\n$$z=(3m+3)+(3m-3)i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តស្មើសូន្យ ៖\n$$3m-3=0\\Leftrightarrow m=1$$\nដូចនេះ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សរសេរ $Z=3z+3i\\bar{z}$ ជាទម្រង់ $A+iB$ ដែល $A,B$ ជាកន្សោមនៃ $x$ និង $y$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=x-iy$ យើងបាន ៖\n$$Z=3(x+iy)+3i(x-iy)$$\n$$Z=3x+3iy+3ix+3y$$\nប្រមូលផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$Z=(3x+3y)+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=2-2i$ និង $z_2=3+i\\sqrt{3}$ ។\nក- គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nខ- សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ប... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{3}+(2-3i)z^{2}-(6+12i)z-9-9i=0$ ។ រកឫសជាចំនួនពិតនៃសមីការនេះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t$ ជាឫសពិត ។ ជំនួស $z=t$ ហើយបំបែកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$(t^{3}+2t^{2}-6t-9)-(3t^{2}+12t+9)i=0$$\nដោយ $t$ ជាចំនួនពិត យើងបាន ៖\n$$\\begin{cases}t^{3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. បង្ហាញថា ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n$ គេបាន $i^n+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=0$ ។\n២. គណនា $S=1+i+i^2+\\cdots+i^{2026}$ ។\n៣. គណនា $T=1+2i+3i^2+4i^3+5i^4+6i^5+7i^6+8i^7$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ដាក់ $i^n$ ជាកត្តារួម ៖\n$$i^{n}+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=i^{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $z^2=-11$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^2=-1$ យើងអាចសរសេរ ៖\n$$z^{2}=-11\\Leftrightarrow z^{2}=11i^{2}\\Leftrightarrow z^{2}-(i\\sqrt{11})^{2}=0$$\nដាក់ជាកត្តា ៖\n$$(z-i\\sqrt{11})(z+i\\sqrt{11})=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=i\\sqrt{1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(1+3i)\\bar{z}-1-4i=-11+16i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងដោះស្រាយរក $\\bar{z}$ ជាមុន ៖\n$$(1+3i)\\bar{z}=-10+20i$$\n$$\\bar{z}=\\frac{-10+20i}{1+3i}=\\frac{(-10+20i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)}=\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-4-3i$ និង $z_2=-3-5i$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $\\overline{z_1\\times z_2}=\\overline{z_1}\\times\\overline{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$z_1\\times z_2=12+20i+9i+15i^{2}=12+29i-15=-3+29i$$\n$$\\overline{z_1\\times z_2}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-4+2i$ និង $z_2=4-3i$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $|z_1\\times z_2|=|z_1|\\times|z_2|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$z_1\\times z_2=-10+20i$$\n$$|z_1\\times z_2|=\\sqrt{100+400}=\\sqrt{500}\\quad(1)$$\nគណនាអង្គខាងស្តាំ ៖\n$$|z_1|\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=4+3i$ និង $z_2=2-i$ ។\n១. គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. យើងមាន ៖\n$$z_1-z_2=(4+3i)-(2-i)=2+4i$$\n$$z_1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_A=-3-2i$ , $z_B=-4+i$ និង $z_C=-2+i$ ។\n១. សង់ចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ។\n២. គណនាប្រវែង $AB$ , $AC$ និង $BC$ ។\n៣. តើត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណប្រភេទអ្វី ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ចំណុចទាំងបីគឺ $A... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z_1$ , $z_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}+2z+10=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។ គណនា $\\frac{1}{z_1}+\\frac{1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=-2\\quad,\\quad z_1z_2=10$$\n$$\\frac{1}{z_1}+\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកនៃចំនួនកុំផ្លិច ៖ $\\frac{-2+3i}{-i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងលុប $i$ ពីភាគបែង ដោយគុណនឹង $i$ ទាំងភាគយក និងភាគបែង ៖\n$$\\frac{-2+3i}{-i}=\\frac{(-2+3i)i}{-i\\times i}=-3-2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{-2+3i}{-i}=-3-2i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+(6+2i)z+4+6i=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\Delta=(-6-2i)^{2}-4(4+6i)=(32+24i)-(16+24i)=16$$\nដោយ $\\Delta=16=4^{2}$ ដែលជាការេប្រាកដ យើងបាន ៖\n$$z_1=\\frac{(-6-2i)+4}{2}=-1-i\\quad,\\quad z_2=\\frac{(-6-2i)-4}{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-2+i$ ។ គណនា $z^2$ រួចទាញរក $z^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេជាមុនសិន ៖\n$$(-2+i)^{2}=4-4i+i^{2}=3-4i$$\nគុណនឹងកត្តាដើមម្តងទៀត ៖\n$$(-2+i)^{3}=(3-4i)(-2+i)=-6+3i+8i-4i^{2}=-6+11i+4=-2+11i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-2+i)^{3}=-2+11i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(m-3i)(4-3i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ កំណត់តម្លៃនៃចំនួនពិត $m$ ដែលធ្វើឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត ហើយគណនាតម្លៃនៃ $z$ ពេលនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតផលគុណ ៖\n$$z=(4m-9)-(3m+12)i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តស្មើសូន្យ ៖\n$$-3m-12=0\\L... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=\\frac{7+5i}{1-i}$ ជាទម្រង់ $a+bi$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាភាគយក និងភាគបែងដោយឡែក បន្ទាប់ពីគុណនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\nភាគបែង ៖ $(1-i)(1+i)=1+1=2$\nភាគយក ៖ $(7+5i)(1+i)=7+7i+5i+5i^{2}=7+12i-5=2+12i$\n$$\\frac{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m-i)(1+3i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកចំនួនពិត $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត រួចគណនា $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតផលគុណ ៖\n$$z=(m+3)+(3m-1)i$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើសូន្យ ៖\n$$m+3=0\\Leftrightarrow m=-3$$\nដូចនេ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-6+7i$ និង $z_2=1-2i$ ។\n១. គណនា $2z_1-z_2$ ។\n២. សរសេរ $Z=\\frac{z_1+z_2}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $Z=\\frac{z_1}{z_2}+1$ ។\n៤. រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $Z^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. យើងបាន ៖\n$$2z_1-z_2=(-12+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកនៃចំនួនកុំផ្លិច ៖ $\\frac{-7-7i\\sqrt{5}}{3+i\\sqrt{5}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $3-i\\sqrt{5}$ ។ ភាគបែងក្លាយជា $9+5=14$ ។\n$$\\frac{-7-7i\\sqrt{5}}{3+i\\sqrt{5}}=\\frac{(-7-7i\\sqrt{5})(3-i\\sqrt{5})}{14}=\\frac{-56-14i\\sqrt{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $x^{2}-y^{2}+2xyi=-8+6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=-8\\\\2xy=6\\end{cases}$$\nពីសមីការទីពីរ $y=\\frac{3}{x}$ ។ ជំនួស... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $(1+i)^5$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រើ $(1+i)^2=2i$ ។ យើងបំបែកនិទស្សន្ត $5=2+2+1$ ៖\n$$(1+i)^{5}=(2i)^{2}(1+i)=-4(1+i)=-4-4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(1+i)^5=-4-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=3+2i$ ។ គណនា $-2\\bar{z}-2-3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=3-2i$ យើងបាន ៖\n$$-2\\bar{z}-2-3i=-2(3-2i)-2-3i=-8+i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{-8+i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-19+8i$ និង $z_2=4-3i$ ។\n១. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\n២. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\n៣. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=5+i$ និង $z_2=3-3i$ ។ គណនា $|z_1\\times z_2|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $|z_1\\times z_2|=|z_1|\\times|z_2|$ យើងបាន ៖\n$$|5+i|=\\sqrt{26}\\quad,\\quad|3-3i|=\\sqrt{18}$$\n$$\\sqrt{26}\\times\\sqrt{18}=\\sqrt{468}=6\\sqrt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $\\frac{z+3+2i}{z-4+2i}=1-i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "លក្ខខណ្ឌ ៖ $z\\neq 4-2i$ ។ គុណអង្គទាំងពីរនឹង $z-4+2i$ ៖\n$$z+3+2i=(1-i)\\left[z-4+2i\\right]$$\nប្រមូលតួមាន $z$ ៖\n$$iz=-5+4i$$\n$$z=\\frac{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}-3z^{2}+7z-5$ ។ គណនា $P(1)$ រួចដាក់ $P(z)$ ជាកត្តា ហើយដោះស្រាយ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=1$ ៖ $1-3+7-5=0$ ។ ដូច្នេះ $z=1$ ជាឫស ហើយ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង $z-1$ ។\nចែកពហុធា យើងបាន ៖\n$$P(z)=(z-1)(z^{2}-2z+5)$$\nដោះស្រាយ $z^{2}-2z+5... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=\\sqrt{3}+3i$ និង $z_2=\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ ។\na. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។\nd. គណនា $\\overline{z_1}\\time... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m^{2}+3m-10)+(m^{2}-m)i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត (ផ្នែកពិតស្មើសូន្យ) ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើសូន្យ ៖\n$$m^{2}+3m-10=0$$\nគេបាន $m=-5$ ឬ $m=2$ ។\nចំពោះតម្លៃទា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(x+iy)+4(x-iy)=-10+15i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$(5)x-3yi=-10+15i$$\nយើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ លុះត្រាតែ $a=c$ និង $b=d$ ។\n$$5x=-10\\quad,\\quad -3y=15$$\nនាំឱ្យ $x=-2$ និង $y=-5$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{2}+2z+2$ ។ គណនា $P(-2+2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $(-2+2i)^{2}=-8i$ ។\nជំនួសចូល ៖\n$$P(-2+2i)=(-8i)+2(-2+2i)+2=-2-4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{P(-2+2i)=-2-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=1-i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $z\\bar{z}=|z|^2=2$ យើងបាន $\\frac{1}{z}=\\frac{\\bar{z}}{|z|^2}$ ។\n$$\\frac{1}{z}=\\frac{1+i}{2}=\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{1}{z}=\\frac{1}{2}+\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $5z-3\\bar{z}=-8-24i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}=x-iy$ ។ ជំនួសចូលសមីការ ៖\n$$5(x+iy)-3(x-iy)=-8-24i$$\n$$2x+8yi=-8-24i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\b... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $A=2i^{78}+\\frac{1}{i^{278}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនឹង $4$ ៖ $i^{78}=-1$ និង $i^{278}=-1$ ។\n$$\\frac{1}{i^{278}}=\\frac{1}{-1}=-1$$\n$$A=-3$$\nដូចនេះ $\\boxed{A=-3}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{-8-16i}{1-3i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\n$$\\frac{-8-16i}{1-3i}=\\frac{(-8-16i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)}=\\frac{40-40i}{1+9}=\\frac{40-40i}{10}=4-4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{-8-16i}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=1-i\\sqrt{3}$ និង $B=2\\sqrt{3}+2i$ ។\n១. គណនា $A+B$ និង $A\\times B$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។\n៤. គណនា $\\overline{A}\\times B$ ។"
},
{
"from": "gpt",
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x+3i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $x$ ដើម្បីឱ្យ $z^2+z$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$z^{2}+z=x^{2}-9+6xi+x+3i$$\nផ្នែកនិមិត្តគឺ $6x+3$ ។ កន្សោមជាចំនួនពិត លុះត្រាតែ ៖\n$$6x+3=0\\Leftrightarrow x=-\\frac{1}{2}$$\nដូចនេះ $\\boxed... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(-1-i)\\bar{z}+(5+2i)=2+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងដោះស្រាយរក $\\bar{z}$ ជាមុន ៖\n$$(-1-i)\\bar{z}=-3+i$$\n$$\\bar{z}=\\frac{-3+i}{-1-i}=\\frac{(-3+i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)}=\\frac{2-4i}{1+1}=\\frac{2-4i}{2}=1-2i$$\n$z$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(1+i)z=4$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $1+i$ ៖\n$$z=\\frac{4}{1+i}=\\frac{4(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\\frac{4-4i}{1+1}=\\frac{4-4i}{2}=2-2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=2-2i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-iz-2-6i=0$ ។\nក. គណនា $(4+3i)^{2}$ ។\nខ. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nឃ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ពន្លាតការេ ៖\n$$(4+3i)^{2}=16+24i+9... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+2z+26=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=2$ , $c=26$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\\times 1\\times 26=-100=(10i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសក... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq 2-2i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z-(2-3i)}{z-(2-2i)}$ ។\nក- គណនា $f(3+i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ- ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $f(3+i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ភាគយកគឺ $(3+i)-(2-3i)=1+4i$ ហើយភាគបែងគឺ $(3+i)-(2-2i)=1+3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(1+4i)(5-2i)$ ។ តើផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z$ ស្មើនឹងប៉ុន្មាន ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគុណតួនីមួយៗ ដោយប្រើ $i^2=-1$ ៖\n$$z=5-2i+20i-8i^{2}=5+18i+8=13+18i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{13}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{18}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{4}+5z^{2}+4=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$t^{2}+5t+4=0\\Leftrightarrow (t+1)(t+4)=0$$\nនាំឱ្យ $t=-1$ ឬ $t=-4$ ។\n$$z^{2}=-1\\Rightarrow z=\\pm i$$\n$$z^{2}=-4\\Rightarrow z=\\pm 2i$$\nដូ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $S=(1+i)^{10}+(1-i)^{10}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $(1+i)^2=2i$ និង $(1-i)^2=-2i$ យើងបាន ៖\n$$(1+i)^{10}=(2i)^{5}=32i$$\n$$(1-i)^{10}=(-2i)^{5}=-32i$$\n$$S=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{S=0}$ ជាចំនួនពិត ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m^{2}+m-12)+(m^{2}-5m)i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត រួចរកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តរបស់វាស្មើសូន្យ ៖\n$$m^{2}-5m=0$$\nដោះស្រាយសមីកា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z=(1-3i)(5-2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\overline{z_1\\times z_2}=\\overline{z_1}\\times\\overline{z_2}$ យើងអាចយកចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃកត្តានីមួយៗមុន ៖\n$$\\overline{(1-3i)(5-2i)}=(1+3i)(5+2i)=5+2i+15i+6i^{2}=5+17i-6=-1+17i$$\nដ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $4z-3\\bar{z}=2+7i$ ។\n២. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\n៣. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៤. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{1+9i}{1-i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $1+i$ ។ យើងគុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$\\frac{1+9i}{1-i}=\\frac{(1+9i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\\frac{-8+10i}{1+1}=\\frac{-8+10i}{2}=-4+5i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{1+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $S=(1+i)^{18}+(1-i)^{18}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $(1+i)^2=2i$ និង $(1-i)^2=-2i$ យើងបាន ៖\n$$(1+i)^{18}=(2i)^{9}=512i$$\n$$(1-i)^{18}=(-2i)^{9}=-512i$$\n$$S=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{S=0}$ ជាចំនួនពិត ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $(2+i\\sqrt{5})^{2}=-1+4i\\sqrt{5}$ រួចទាញរកឫសការេនៃ $-1+4i\\sqrt{5}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ៖\n$$(2+i\\sqrt{5})^{2}=4+2\\times 2\\times i \\sqrt{5}+5i^{2}=-1+4i\\sqrt{5}$$\nដូច្នេះ ចំនួននេះ និងចំនួនផ្ទុយរបស់វា សុទ្ធតែមានការេស្មើនឹង $-1+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z=4-3i$ គណនា $z+\\bar{z}$ , $z-\\bar{z}$ និង $z\\bar{z}$ រួចបញ្ជាក់ថាមួយណាជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $\\bar{z}=4+3i$ ។\n$$z+\\bar{z}=(4-3i)+(4+3i)=8$$\n$$z-\\bar{z}=(4-3i)-(4+3i)=-6i$$\n$$z\\times\\bar{z}=4^{2}+3^{2}=25$$\nដូចនេះ $\\box... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $\\left(\\frac{-2+5i}{5+2i}\\right)^{42}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសម្រួលផលចែកជាមុន ៖\n$$\\frac{-2+5i}{5+2i}=\\frac{(-2+5i)(5-2i)}{(5+2i)(5-2i)}=\\frac{29i}{25+4}=\\frac{29i}{29}=i$$\nដោយ $42=4\\times 10+2$ យើងបាន ៖\n$$i^{42}=-1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-2+16i$ និង $z_2=2-3i$ ។\n១. គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. គេបាន ៖\n$$z_1-z_2=(-2+16i)-(2-3i)=-4+19i$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $i^{98}$ , $i^{920}$ និង $i^{1178}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ស្វ័យគុណនៃ $i$ មានតម្លៃដដែលៗគឺ $i,-1,-i,1$ ។\n$$i^{98}=i^{4\\times 24+2}=\\left(i^{4}\\right)^{24}\\times i^{2}=i^{2}=-1$$\n$$i^{920}=i^{4\\times 230+0}=\\left(i^{4}\\right)^{23... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេដឹងថា $z_0=5+2i$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}+az+b=0$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។ កំណត់ $a$ និង $b$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=5+2i$ ក្នុងសមីការ ៖\n$$(5+2i)^{2}+a(5+2i)+b=0$$\n$$(21+20i)+a(5+2i)+b=0$$\n$$(21+5a+b)+(20+2a)i=0$$\nចំនួនកុំផ្លិចស្មើសូន្យ លុះត្រា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{m+i}{1-i}$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត ។ រួចគណនា $z$ ចំពោះតម្លៃនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1+i$ ៖\n$$z=\\frac{(m+i)(1+i)}{2}=\\frac{m-1}{2}+\\frac{m+1}{2}i$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=3+5i$ និង $z_2=1+i$ ។\nក. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\nខ. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\nគ. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $(1+i)z^2-2z+1-i=0$ ។\nក. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z=1$ ជាឫសរបស់សមីការនេះ ។\nខ. សរសេរ $\\frac{1-i}{1+i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. ដោយប្រើផលគុណឫស រកឫសមួយទៀត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ជំនួស $z=1$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(1+i)-2+1-i=0$$\nដូចនេះ $z=1$ ជាឫសរបស់សមី... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}+2z+17=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=2$ , $c=17$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\\times 1\\times 17=-64=(8i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំផ្លិចពីរឆ្លាស់គ្នា ៖\n$$z_1=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $2z^{2}-10z+13=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=(-10)^{2}-4\\times 2\\times 13=-4=(2i)^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_1=\\frac{10+2i}{4}=\\frac{5}{2}+\\frac{1}{2}i\\quad,\\quad z_2=\\frac{10-2i}{4}=\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(-2+4i)i^{106}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $106=4\\times 26+2$ នោះ $i^{106}=-1$ ។\n$$z=(-2+4i)\\times(-1)=2-4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=2-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $(1-3i)z-5+6i=-16-i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បញ្ជូន $-5+6i$ ទៅអង្គខាងស្តាំ ៖\n$$(1-3i)z=(-16-i)-(-5+6i)=-11-7i$$\nចែកនឹងមេគុណនៃ $z$ ៖\n$$z=\\frac{-11-7i}{1-3i}=\\frac{(-11-7i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)}=\\frac{10-40i}{1+9}=\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}+(1-i)z-12-4i=0$ ។\na. គណនា $(7+i)^{2}$ ។\nb. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nc. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. ពន្លាតការេ ៖\n$$(7+i)^{2}=49+14... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1-i\\sqrt{3}$ និង $z_2=-1+i$ ។\na. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។\nd. គណនា $\\overline{z_1}\\times z_2$ ។"
},
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}-(7+3i)z+12+12i=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(7+3i)^{2}-4(12+12i)=(40+42i)-(48+48i)=-8-6i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=-8-6i$ ។\nតាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+z+12=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=1^{2}-4\\times 12=-47=\\left(i\\sqrt{47}\\right)^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_{1,2}=\\frac{-1\\pm i\\sqrt{47}}{2}$$\nដូចនេះ សំណ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុលនៃ $z=4-4i\\sqrt{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{4^{2}+\\left(4\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{16+48}=8$$\nដូចនេះ $\\boxed{|z|=8}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $-50i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សមីការ $(x+iy)^2=-50i$ ផ្តល់ ៖\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0\\\\2xy=-50\\end{cases}$$\nសមីការទីមួយឱ្យ $y=x$ ឬ $y=-x$ ។\nបើ $y=-x$ នោះ $-2x^2=-50$ នាំឱ្យ $x=\\pm 5... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+(2-2i)z-8-8i=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-2+2i)^{2}-4(-8-8i)=(-8i)-(-32-32i)=32+24i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=32+24i$ ។\nយក $\\delta=x+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $(-3-3i)^{3}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្ត $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ ដោយ $i^2=-1$ និង $i^3=-i$ យើងបាន ៖\n$$(-3-3i)^{3}=-27-81i-81i^{2}-27i^{3}=-27-81i+81+27i=54-54i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-3-3i)^{3}=54-54i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យ $z_1=-3+i$ និង $z_2=-6+2i$ ។ សរសេរ $5z_1-2z_2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តដោយឡែកពីគ្នា ៖\nផ្នែកពិត ៖ $5\\times(-3)-2\\times(-6)=-3$\nផ្នែកនិមិត្ត ៖ $5\\times(1)-2\\times(2)=1$\nដូចនេះ $\\boxed{5z_1-2z_2=-3+i}$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=(m+2)+6i$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $|z|=10$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=\\sqrt{(m+2)^{2}+36}=10$$\nលើកការេអង្គទាំងពីរ ៖\n$$(m+2)^{2}+36=100\\Leftrightarrow (m+2)^{2}=64$$\n$m+2=8$ ឬ $ m+2=-8$\nដូចនេះ $\\boxed{m=6}$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $4z-2\\bar{z}=6+24i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}=x-iy$ ។ ជំនួសចូលសមីការ ៖\n$$4(x+iy)-2(x-iy)=6+24i$$\n$$2x+6yi=6+24i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\b... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(m-2i)(-2-i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកចំនួនពិត $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតផលគុណ ៖\n$$z=(-2m-2)-(m-4)i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តស្មើសូន្យ ៖\n$$-m+4=0\\Leftrightarrow m=4$$\nដូចនេះ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដាក់ $z^4+4$ ជាផលគុណនៃកត្តាដឺក្រេទីមួយបួនក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងបន្ថែម និងដក $4z^2$ ដើម្បីបង្កើតផលដកការេ ៖\n$$z^{4}+4=(z^{2}+2)^{2}-4z^{2}=(z^{2}+2z+2)(z^{2}-2z+2)$$\nកត្តាទីមួយមានឫស $-1\\pm i$ ហើយកត្តាទីពីរមានឫស $1\\pm i$ ។\nដូចនេះ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $(-4+i)^{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តការេនៃទ្វេធា ៖\n$$(-4+i)^{2}=16-8i+i^{2}=15-8i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-4+i)^{2}=15-8i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $|z|=|z-2|=|z-2i|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ សមភាព $|z|=|z-2|$ ឱ្យ ៖\n$$x^{2}+y^{2}=(x-2)^{2}+y^{2}\\Leftrightarrow 4x=4\\Leftrightarrow x=1$$\nស្រដៀងគ្នា សមភាព $|z|=|z-2i|$ ឱ្យ $y=1$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z=1+i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $(-1+i)^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្ត $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ ដោយ $i^2=-1$ និង $i^3=-i$ យើងបាន ៖\n$$(-1+i)^{3}=-1+3i-3i^{2}+i^{3}=-1+3i+3-i=2+2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-1+i)^{3}=2+2i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}+6z+10=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរជារាងកាណូនិក ៖\n$$z^{2}+6z+10=0\\Leftrightarrow (z+3)^{2}+1=0$$\n$$(z+3)^{2}=-1=i^{2}$$\n$z+3=i$ ឬ $ z+3=-i$\nដូចនេះ សំណុំឫសគឺ $\\boxed{\\left\\{-3+i\\,;\\,-3-i\\right\\}}$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=3i(-5-5i)+(2+i)$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចបញ្ជាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាម $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$z=-15i-15i^{2}+2+i=-15i+15+2+i=17-14i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{17}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{-14}$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z_1$ , $z_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}+4z+20=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។ ដោយមិនដោះស្រាយសមីការ គណនា $z_1^2+z_2^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=-4\\quad,\\quad z_1z_2=20$$\n$$z_1^{2}+z_2^{2}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{2}+(4-4i)z+3-4i=0$ ។ បង្ហាញថា $z_1=-1$ ជាឫសរបស់សមីការនេះ រួចទាញរកឫសមួយទៀត $z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-1$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(-1)^{2}+(4-4i)(-1)+(3-4i)=1-(4-4i)+(3-4i)=0$$\nដូច្នេះ $z_1=-1$ ជាឫស ។\nផលគុណឫសនៃសមីការ $z^2+bz+c=0$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}-6z+10=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មេគុណ $b=-6$ ជាចំនួនគូ ដូច្នេះយើងប្រើ $b'=-3$ ។\n$$\\Delta'=b'^{2}-ac=(-3)^{2}-10=-1=i^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_1=3+i\\quad,\\quad z_2=3-i$$\nដូចនេះ សំណុំឫសគឺ $\\boxed{\\left\\{3+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $\\delta$ ដែល $\\delta^2=-21-20i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $-21-20i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=-21-20i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=-21-20i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្ម... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.