question stringlengths 16 1.6k | solution stringlengths 3 2.73k | answer stringlengths 0 168 | bloom_taxonomy listlengths 1 4 |
|---|---|---|---|
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $xyz = \frac{2}{3}.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[x^2 + 6xy + 18y^2 + 12yz + 4z^2.\] | เราอาจจะพยายามนำทฤษฎีบท AM-GM มาใช้กับพจน์ทั้งห้าโดยตรง โดยไม่สนใจค่าคงตัว จะได้พจน์
\[\sqrt[5]{x^2 \cdot xy \cdot y^2 \cdot yz \cdot z^2} = \sqrt[5]{x^3 y^4 z^3}.\]วิธีนี้ไม่สำเร็จ เพราะเงื่อนไขคือ $xyz = \frac{2}{3}$ ดังนั้นเราต้องการกำลังของ $xyz.$ ดังนั้นเพื่อให้ได้กำลังของ $y$ เพิ่มขึ้น หนึ่งกำลังเมื่อเทียบกับ $x... | \boxed{18}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สมมติว่าจำนวน $a$ สอดคล้องกับสมการ $4 = a + a^{ - 1}.$ จงหาค่าของ $a^{4} + a^{ - 4}?$ | ยกกำลังสองสมการ $4 = a+a^{-1},$ เราได้ \[16 = \left(a+a^{-1}\right)^2 = a^2 + 2a a^{-1} + a^{-2} = a^2 + 2 + a^{-2},\]ดังนั้น $14 = a^2 + a^{-2}.$ เพื่อหาค่าที่ต้องการ เรายกกำลังสองอีกครั้ง ได้ \[196 = a^4 + 2a^2 a^{-2} + a^{-4} = a^4 + 2 + a^{-4}.\]ดังนั้น $\boxed{194} = a^4 + a^{-4}.$ | \boxed{194} = a^4 + a^{-4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีสามคู่ของจำนวนจริง $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, และ $(x_3,y_3)$ ที่สอดคล้องกับสมการ $x^3-3xy^2=2005$ และ $y^3-3x^2y=2004$ ทั้งสองสมการ จงคำนวณ $\left(1-\frac{x_1}{y_1}\right)\left(1-\frac{x_2}{y_2}\right)\left(1-\frac{x_3}{y_3}\right)$ | จากสมการที่กำหนดให้
\[2004(x^3-3xy^2)-2005(y^3-3x^2y)=0.\]หารทั้งสองข้างด้วย $y^3$ และกำหนด $t=\frac{x}{y}$ จะได้
\[2004(t^3-3t)-2005(1-3t^2)=0.\]การตรวจสอบอย่างรวดเร็วแสดงให้เห็นว่าสมการลูกบาศก์นี้มีรากจริงสามราก เนื่องจากสามรากนี้เป็น $\frac{x_1}{y_1}$, $\frac{x_2}{y_2}$, และ $\frac{x_3}{y_3}$ เราจะต้องมี
\[2004(t^3-... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงคำนวณ \[ \left\lfloor \dfrac {2005^3}{2003 \cdot 2004} - \dfrac {2003^3}{2004 \cdot 2005} \right\rfloor,\]โดยที่ $\lfloor x \rfloor$ แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $x.$ | ให้ $n = 2004,$ ดังนั้นนิพจน์จะกลายเป็น \[ \left\lfloor \frac{(n+1)^3}{(n-1)n} - \frac{(n-1)^3}{n(n+1)} \right\rfloor.\]เมื่อรวมเศษส่วนภายใต้ส่วนร่วม $(n-1)n(n+1),$ เราได้ \[\begin{aligned} \left\lfloor \frac{(n+1)^3}{(n-1)n} - \frac{(n-1)^3}{n(n+1)} \right\rfloor &= \left\lfloor \frac{(n+1)^4 - (n-1)^4}{(n-1)n(n+1)} \... | 8 < \frac{8(n^2+1)}{n^2-1} < 8.016 < 9, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันคี่ $f(f(f(x)))$ เป็นฟังก์ชันคู่, คี่ หรือไม่เป็นทั้งคู่และคี่?
ใส่ "คี่", "คู่" หรือ "ไม่เป็นทั้งคู่และคี่". | เรามีว่า
\[f(f(f(-x))) = f(f(-f(x)) = f(-f(f(x))) = -f(f(f(x))),\]ดังนั้น $f(f(f(x)))$ เป็นฟังก์ชัน $\boxed{\text{คี่}}$. | \boxed{\text{คี่}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่า $t$ ที่เป็นบวก ซึ่งสอดคล้องกับ $ab = t-2i$ โดยที่ $|a|=2$ และ $|b|=\sqrt{26}$ | จากข้อมูลที่กำหนดให้เรารู้ว่า $|a| |b| = |ab| = 2\sqrt{26}$ เราสามารถเขียน $|ab| = |t-2i| = \sqrt{t^2 + 4}$ ได้เช่นกัน เมื่อเทียบกันจะได้ $$\sqrt{t^2 + 4} = 2\sqrt{26} \Rightarrow
t^2 + 4 = 104.$$ คำตอบที่เป็นบวกคือ $t = \boxed{10}$. | t = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มอยู่ในรูป
\[9x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + 15 = 0.\]จงหาจำนวนรากตรรกยะที่เป็นไปได้ต่าง ๆ ของพหุนามนี้ | โดยทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวมีรูปแบบ $\pm \frac{a}{b},$ โดยที่ $a$ หาร 15 ลงตัว และ $b$ หาร 9 ลงตัว ดังนั้น รากตรรกยะที่เป็นไปได้คือ
\[\pm 1, \ \pm 3, \ \pm 5, \ \pm 15, \ \pm \frac{1}{3}, \ \pm \frac{5}{3}, \ \pm \frac{1}{9}, \ \pm \frac{5}{9}.\]ดังนั้น มีรากตรรกยะที่เป็นไปได้ $\boxed{16}$ ... | \boxed{16} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ
\[\frac{x - 4}{(x - 2)^2} < 0.\]แสดงคำตอบในรูปของสัญกรณ์ช่วง | สังเกตว่า $(x - 2)^2 > 0$ สำหรับทุก $x \neq 2.$ ดังนั้น สำหรับ $x \neq 2,$ $\frac{x - 4}{(x - 2)^2}$ มีเครื่องหมายเดียวกับ $x - 4.$ ดังนั้น คำตอบคือ $x \in \boxed{(-\infty,2) \cup (2,4)}.$ | x \in \boxed{(-\infty,2) \cup (2,4)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ
\[(x^3 + 3x^2 \sqrt{2} + 6x + 2 \sqrt{2}) + (x + \sqrt{2}) = 0.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้เป็น
\[(x + \sqrt{2})^3 + (x + \sqrt{2}) = 0.\]ดังนั้น
\[(x + \sqrt{2})[(x + \sqrt{2})^2 + 1] = 0,\]นั่นคือ $x = -\sqrt{2}$ หรือ $(x + \sqrt{2})^2 = -1.$ สำหรับสมการหลัง
\[x + \sqrt{2} = \pm i,\]นั่นคือ $x = -\sqrt{2} \pm i.$
ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{-\sqrt{2}, -\sqrt{2} + i, -\sqrt{2} - i}.$ | \boxed{-\sqrt{2}, -\sqrt{2} + i, -\sqrt{2} - i}. | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
จงคำนวณค่าของ
\[\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}.\] | พิจารณาแต่ละพจน์อยู่ในรูป $x^4 + 324$ เราจะแยกตัวประกอบดังนี้: \[\begin{aligned} x^4 + 324 &= (x^4 + 36x^2 + 324) - 36x^2\\& = (x^2+18)^2 - 36x^2 \\& = (x^2-6x+18)(x^2+6x+18) \\ &= (x(x-6)+18)(x(x+6)+18). \end{aligned}\]ดังนั้น นิพจน์ที่กำหนดจึงเท่ากับ \[\frac{(10\cdot4+18)(10\cdot16+18)(22\cdot16+18)(22\cdot28+18) \d... | 373 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพหุนามซึ่ง
\[P(x) = P(0) + P(1) x + P(2) x^2\]และ $P(-1) = 1.$ จงหา $P(x).$ | แทนค่า $x = -1,$ $x = 1,$ และ $x = 2$ เราจะได้
\begin{align*}
1 = P(-1) &= P(0) - P(1) + P(2), \\
P(1) &= P(0) + P(1) + P(2), \\
P(2) &= P(0) + 2P(1) + 4P(2),
\end{align*}ตามลำดับ แก้ระบบสมการนี้สำหรับ $P(0),$ $P(1),$ และ $P(2)$ เราจะได้ $P(0) = -1,$ $P(1) = -1,$ และ $P(2) = 1,$ ดังนั้น
\[P(x) = \boxed{x^2 - x - 1}.\] | P(2) = 1, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จากตัวเลือกต่อไปนี้ ตัวใดมีค่ามากที่สุด? (เขียน A, B หรือ C) \[ A.\ \ \frac{2006}{2005}+\frac{2006}{2007} \qquad B.\ \ \frac{2006}{2007}+\frac{2008}{2007} \qquad C.\ \ \frac{2007}{2006}+\frac{2007}{2008} \] | โจทย์ข้อนี้แสดงให้เห็นว่าพีชคณิตสามารถทำให้การคำนวณเลขคณิตกระจ่างขึ้น การเปรียบเทียบปริมาณเหล่านี้โดยตรงนั้นเป็นเรื่องยุ่งยาก แทนที่จะทำเช่นนั้น เราสังเกตว่าตัวเลือกแรกและตัวเลือกที่สามมีรูปแบบเดียวกันคือ $\frac{n}{n-1}+\frac{n}{n+1}$ โดยที่ $n=2006$ และ $n=2007$ การเขียนนิพจน์นี้ใหม่ในรูปพีชคณิตจะได้ \[ \frac{n(n+1)}{... | \boxed{\text{A}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ $|z| = 2.$ จงหาค่าระยะห่างที่มากที่สุดระหว่าง $(3 + 4i)z^3$ และ $z^5$ เมื่อพล็อตในระนาบเชิงซ้อน | เราต้องการเพิ่มค่าสูงสุดของ
\[|(3 + 4i)z^3 - z^5| = |z^3| |3 + 4i - z^2| = |z|^3 |3 + 4i - z^2| = 8 |3 + 4i - z^2|.\]换句话说，我们想要最大化 $3 + 4i$ 和 $z^2$ 之间的距离。
เนื่องจาก $|z| = 2,$ เซตของจำนวนเชิงซ้อนที่มีรูปแบบ $z^2$ จะอยู่บนวงกลมที่มีรัศมี $|z|^2 = 4.$ ระยะห่างระหว่าง $3 + 4i$ และ $z^2$ จะมากที่สุดเมื่อ $z^2$ อยู่บนเส้นตร... | 8 \cdot 9 = \boxed{72}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จอห์นอายุน้อยกว่าพ่อ 24 ปี ผลรวมอายุของทั้งสองคนคือ 68 ปี จอห์นอายุเท่าไหร่ | ให้ $j$ แทนอายุของจอห์น และ $d$ แทนอายุของพ่อ เราพยายามที่จะหาค่าของ $j$ เราสามารถสร้างระบบสมการสองสมการเพื่อแสดงข้อมูลที่กำหนดไว้ ดังนี้
\begin{align*}
j &= d - 24 \\
j + d &= 68 \\
\end{align*}เราต้องการหา $j$ ดังนั้นเราต้องกำจัด $d$ จากสมการข้างต้น การเขียนสมการแรกใหม่เราได้ $d = j+24$ แทนค่านี้ลงในสมการที่สองเพื่อ... | \boxed{22} | [
"จำ",
"เข้าใจ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาพหุนามmonicดีกรี 4 ใน $x$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ โดยที่ $\sqrt{2} +\sqrt{3}$ เป็นรากของพหุนาม | เราเริ่มต้นด้วยการสร้างพหุนามกำลังสองที่มี $\sqrt{2} +\sqrt{3}$ และ $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ เป็นราก ผลบวกของรากคือ $\sqrt{2} +\sqrt{3}+\sqrt{2} -\sqrt{3}=2\sqrt{2}.$ ผลคูณของรากคือ $(\sqrt{2} +\sqrt{3})(\sqrt{2} -\sqrt{3})=2-3=-1.$ ดังนั้น พหุนามกำลังสองที่มีราก $\sqrt{2} +\sqrt{3}$ และ $\sqrt{2} -\sqrt{3}$ คือ $$x^2-2\s... | \sqrt{2} +\sqrt{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $2+\sqrt{3}$ เป็นรากของสมการ \[x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0\]และ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนตรรกยะ จงคำนวณค่า $b$ | เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจำนวนตรรกยะ รากสังยุค $2-\sqrt{3}$ ต้องเป็นรากของพหุนามเช่นกัน โดยสูตรของ Vieta ผลคูณของรากของพหุนามนี้เท่ากับ $-10$ และผลคูณของรากทั้งสองนี้คือ $(2+\sqrt3)(2-\sqrt3) = 1$ ดังนั้นรากที่เหลือต้องเท่ากับ $\frac{-10}{1} = -10$ จากนั้นโดยสูตรของ Vieta อีกครั้ง เราได้ \[b = (-10)(2-\sqrt3) ... | \frac{-10}{1} = -10. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบที่น้อยที่สุดของสมการ $x^4-34x^2+225=0$ | เราต้องการแยกตัวประกอบทางซ้ายมือในรูป \[
(x^2-\boxed{\phantom{09}})(x^2-\boxed{\phantom{25}}).
\] จำนวนในวงเล็บต้องคูณกันได้ $225$ และบวกกันได้ $34$ เราเขียน $225=3\cdot3\cdot5\cdot5$ และลองคูณกันเป็นคู่ๆ จนกว่าจะพบว่า 9 และ 25 ตอบสนองเงื่อนไข จากนั้นเราแยกตัวประกอบต่อไปโดยใช้ผลต่างของกำลังสองและแก้สมการ \begin{align*}... | x=\boxed{-5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดสมการ
\[x^5 - x^2 - x - 1 = p_1(x) p_2(x) \dotsm p_k(x),\]โดยที่ $p_i(x)$ เป็นพหุนามไม่คงตัวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และมีดีกรีเป็น 1 ซึ่งไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีกในจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $p_1(2) + p_2(2) + \dots + p_k(2).$ | เราสามารถแยกตัวประกอบได้โดยการจับคู่ $x^5$ และ $-x,$ และ $-x^2$ และ $-1$:
\begin{align*}
x^5 - x^2 - x - 1 &= (x^5 - x) - (x^2 + 1) \\
&= x(x^4 - 1) - (x^2 + 1) \\
&= x(x^2 + 1)(x^2 - 1) - (x^2 + 1) \\
&= (x^2 + 1)(x^3 - x - 1).
\end{align*}ถ้า $x^3 - x - 1$ แยกตัวประกอบได้อีก ก็ต้องมีตัวประกอบเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่าม... | (2^2 + 1) + (2^3 - 2 - 1) = \boxed{10}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $(u_n)$ เป็นลำดับของจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ
\[u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n\]และ $u_3=9$ และ $u_6=128$ แล้ว $u_5$ มีค่าเท่าใด? | ให้ $u_4 = a.$ แล้ว $u_5 = 2u_4 + u_3 = 2a + 9$ และ $u_6 = 2u_5 + u_4 = 2(2a + 9) + a = 5a + 18 = 128.$ แก้สมการหา $a,$ เราได้ $a = 22,$ ดังนั้น $u_5 = 2 \cdot 22 + 9 = \boxed{53}.$ | u_5 = 2 \cdot 22 + 9 = \boxed{53}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จำนวนเต็มบวก $a$, $b$, $c$, และ $d$ สอดคล้องกับ $a > b > c > d$, $a + b + c + d = 2010$, และ $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010$. จงหาจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของ $a.$ | สังเกตว่า \[2010 = a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = (a-b)(a+b) + (c-d)(c+d).\]ถ้า $a-b > 1$ หรือ $c-d > 1$ แล้ว \[(a-b)(a+b) + (c-d)(c+d) > (a+b) + (c+d) = 2010,\]ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง ดังนั้นเราต้องมี $a-b=1$ และ $c-d=1.$ กล่าวคือ โดยการกำหนด $b=a-1$ และ $d=c-1$ เราได้ \[a+b+c+d = 2a+2c-2 = 2010 \implies a+c = 1006,\]และเราต้องมี... | a. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนจริง $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ \[\frac{x-1}{x-3} \ge 2.\](แสดงคำตอบในรูปของช่วง) | ลบ 2 จากทั้งสองข้าง เราได้ \[\frac{x-1}{x-3} - 2 \ge 0,\]หรือ \[\frac{x-1 - 2(x-3)}{x-3} = \frac{-x+5}{x-3} \ge 0.\]กลับด้านทั้งสองข้าง เราได้ \[\frac{x-5}{x-3} \le 0.\]กำหนดให้ $f(x) = \frac{x-5}{x-3},$ เราสร้างตารางเครื่องหมายด้วยปัจจัยสองตัว $x-5$ และ $x-3$: \begin{tabular}{c|cc|c} &$x-5$ &$x-3$ &$f(x)$ \\ \hline$x<... | \boxed{ (3, 5] }. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $x^2 + \frac{1}{x^2} = A,$ และ $x - \frac{1}{x} = B,$ โดยที่ $A$ และ $B$ เป็นจำนวนบวก จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $\frac{A}{B}.$ | สังเกตว่า
\[B^2 = \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = A - 2,\]ดังนั้น
\[\frac{A}{B} = \frac{B^2 + 2}{B} = B + \frac{2}{B}.\]โดยอสมการ AM-GM,
\[B + \frac{2}{B} \ge 2 \sqrt{B \cdot \frac{2}{B}} = 2 \sqrt{2}.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ (ซึ่งมี $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2... | \boxed{2 \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่า $c$ ใด วงกลมที่มีสมการ $x^2 + 6x + y^2 - 4y + c = 0$ จะมีรัศมียาว 4 หน่วย? | การเติมกำลังสองให้เรา $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 13 - c$ เนื่องจากเราต้องการให้รัศมียาว 4 หน่วย เราต้องมี $13 - c = 4^2$ ดังนั้น $c = \boxed{-3}$ | c = \boxed{-3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับ $-1<r<1$ กำหนดให้ $S(r)$ แทนผลรวมของอนุกรมเรขาคณิต \[12+12r+12r^2+12r^3+\cdots .\]ให้ $a$ เป็นจำนวนระหว่าง $-1$ และ $1$ ซึ่งสอดคล้องกับ $S(a)S(-a)=2016$ จงหา $S(a)+S(-a)$ | โดยสูตรของอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ \[S(r) = \frac{12}{1-r}.\]ดังนั้น เราได้รับว่า \[S(a)S(-a) = \frac{12}{1-a} \cdot \frac{12}{1+a} = \frac{144}{1-a^2} = 2016.\]แทนที่จะแก้หา $a$ ออกมาโดยตรง เราสังเกตว่า \[\begin{aligned} S(a) + S(-a) &= \frac{12}{1-a} + \frac{12}{1+a}\\& = \frac{12(1-a)+12(1+a)}{1-a^2}\\& = \frac{24}{1-a^... | 336 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พาราโบลาหนึ่งมีจุดโฟกัส $(3,3)$ และไดเร็คทริกซ์ $3x + 7y = 21.$ จงแสดงสมการของพาราโบลาในรูป
\[ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0,\]โดยที่ $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f$ เป็นจำนวนเต็ม, $a$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $\gcd(|a|,|b|,|c|,|d|,|e|,|f|) = 1.$ | ให้ $(x,y)$ เป็นจุดบนพาราโบลา ระยะห่างจาก $(x,y)$ ถึงจุดโฟกัสคือ
\[\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 3)^2}.\]ระยะห่างจาก $(x,y)$ ถึงเส้นตรง $3x + 7y - 21 = 0$ คือ
\[\frac{|3x + 7y - 21|}{\sqrt{3^2 + 7^2}} = \frac{|3x + 7y - 21|}{\sqrt{58}}.\]โดยนิยามของพาราโบลา ระยะทางเหล่านี้เท่ากัน ดังนั้น,
\[\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 3)^2} = \f... | \boxed{49x^2 - 42xy + 9y^2 - 222x - 54y + 603 = 0}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ส่วนโค้งของพาราโบลา $y = (x + 1)^2$ และ $x + 4 = (y - 3)^2$ ตัดกันที่สี่จุด จุดทั้งสี่นี้ nằmบนวงกลมที่มีรัศมี $r$ จงหา $r^2$ | บวกสมการ $y = (x + 1)^2$ และ $x + 4 = (y - 3)^2$ เข้าด้วยกัน จะได้
\[x + y + 4 = (x + 1)^2 + (y - 3)^2.\](จุดใดๆ ที่สอดคล้องกับสมการทั้งสองสมการ จะต้องสอดคล้องกับสมการนี้ด้วย)
ทำการเติมกำลังสองใน $x$ และ $y$ จะได้
\[\left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{7}{2} \right)^2 = \frac{13}{2}.\]ดังนั้น $r^2 = \bo... | r^2 = \boxed{\frac{13}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็ม $x$ ที่ทำให้อสมการ
\[x^2 + bx + 2 \le 0.\]เป็นจริงเพียง 3 จำนวน จงหาจำนวนค่าของ $b$ ที่เป็นจำนวนเต็มที่เป็นไปได้ | รากของสมการ $x^2 + bx + 2 = 0$ ที่สอดคล้องกันคือ
\[\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 8}}{2}.\](โปรดทราบว่ารากเหล่านี้ต้องเป็นจำนวนจริง มิฉะนั้น อสมการ $x^2 + bx + 2 \le 0$ จะไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง) ดังนั้น คำตอบของอสมการ $x^2 + bx + 2 \le 0$ คือ
\[\frac{-b - \sqrt{b^2 - 8}}{2} \le x \le \frac{-b + \sqrt{b^2 - 8}}{2}.\]ถ้าคว... | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
เส้นตรงที่มีจุดตัดแกน y ที่ $(0,5)$ ตัดวงรี $9x^2 + 16y^2 = 144$ จงหาความชันที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเส้นตรงนี้ | เส้นตรงอยู่ในรูป $y = mx + 5$ แทนค่าลงไปจะได้
\[9x^2 + 16(mx + 5)^2 = 144.\]展開จะได้
\[(16m^2 + 9) x^2 + 160mx + 256 = 0.\]เพื่อให้เส้นตรงและวงรีตัดกัน สมการกำลังสองนี้ต้องมีรากจริง ซึ่งหมายความว่า ตัวเลือกของมันไม่เป็นลบ:
\[(160m)^2 - 4(16m^2 + 9)(256) \ge 0.\]จะได้ $m^2 \ge 1$ ดังนั้น ความชันที่เป็นไปได้คือ $m \in \bo... | m \in \boxed{(-\infty,-1] \cup [1,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนาม $p(x),$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับ
\[p(x^3) - p(x^3 - 2) = [p(x)]^2 + 12\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทุกจำนวน | กำหนดให้
\[p(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0,\]โดยที่ $a_n \neq 0.$ แล้ว
\begin{align*}
p(x^3) - p(x^3 - 2) &= a_n x^{3n} + a_{n - 1} x^{3n - 3} + \dotsb - a_n (x^3 - 2)^n - a_{n - 1} (x^3 - 2)^{n - 1} - \dotsb \\
&= a_n x^{3n} + a_{n - 1} x^{3n - 3} + \dotsb - a_n x^{3n} - 2na_n x^{3n - 3} - ... | p(x) = \boxed{6x^3 - 6}. | [
"unknown"
] |
กำหนดให้ $w,$ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนไม่เป็นลบ ซึ่งผลรวมของมันเท่ากับ 100 จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ
\[wx + xy + yz.\] | เราทราบว่า
\[wx + xy + yz \le wx + xy + yz + zw = (w + y)(x + z).\]โดย AM-GM,
\[(w + y)(x + z) \le \left( \frac{(w + y) + (x + z)}{2} \right)^2 = 2500.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $w = x = 50$ และ $y = z = 0,$ ดังนั้นค่าสูงสุดที่เป็นไปได้คือ $\boxed{2500}.$ | \boxed{2500}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $x + y + z = 1.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{x + y}{xyz}.\] | โดยอสมการ AM-HM
\[\frac{x + y}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{2xy}{x + y},\]ดังนั้น $\frac{x + y}{xy} \ge \frac{4}{x + y}.$ นั่นคือ
\[\frac{x + y}{xyz} \ge \frac{4}{(x + y)z}.\]โดยอสมการ AM-GM
\[\sqrt{(x + y)z} \le \frac{x + y + z}{2} = \frac{1}{2},\]ดังนั้น $(x + y)z \le \frac{1}{4}.$ นั่นคือ
\... | \boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $a$ ที่น้อยที่สุด ซึ่ง $x^4 + a^2$ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะสำหรับจำนวนเต็ม $x$ ใดๆ | สำหรับ $1 \le a \le 7,$ เราให้ค่าของ $x$ ซึ่ง $x^4 + a^2$ เป็นจำนวนเฉพาะ:
\[
\begin{array}{c|c|c}
a & x & a^4 + x^2 \\ \hline
1 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 5 \\
3 & 10 & 10009 \\
4 & 1 & 17 \\
5 & 2 & 41 \\
6 & 1 & 37 \\
7 & 20 & 160049
\end{array}
\]สำหรับ $a = 8,$
\begin{align*}
x^4 + a^2 &= x^4 + 64 \\
&= x^4 + 16x^2 + 64 - ... | \boxed{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $k$ และ $m$ เป็นจำนวนจริง และสมมติว่ารากของสมการ \[x^3 - 7x^2 + kx - m = 0\]เป็นจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันสามจำนวน จงคำนวณ $k + m.$ | จากสูตรของ Vieta ผลรวมของรากของสมการคือ $7.$ นอกจากนี้ สามสิ่งของจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันที่มีผลรวมเท่ากับ $7$ คือ $\{1, 2, 4\}.$ เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าค่าที่มากที่สุดที่จำนวนเต็มใด ๆ ในสามจำนวนนี้สามารถมีได้คือ $7 - 1 - 2 = 4,$ และวิธีเดียวที่จะเลือกสามจำนวนใน $1, 2, 3, 4$ เพื่อให้ผลรวมเท่ากับ $7$ คือ เลือก $1,$ ... | k+m = 14+8 = \boxed{22}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนจริงทั้งหมด $a$ ที่ทำให้สมการ
\[x^3 - ax^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0\]มีคำตอบจริงเพียงคำตอบเดียวใน $x$. | เขียนสมการใหม่ในรูปสมการกำลังสองของ $a$ เราได้
\[a^2 - (x^2 + 2x) a + (x^3 - 1) = a^2 - (x^2 + 2x) a + (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0.\]จากนั้นเราสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น
\[(a - (x - 1))(a - (x^2 + x + 1)) = 0.\]ดังนั้น รากหนึ่งของ $x$ คือ $x = a + 1.$ เราต้องการค่าของ $a$ ที่ทำให้
\[x^2 + x + 1 - a = 0\]ไม่มีรากจริง ในคำอื... | a \in \boxed{\left( -\infty, \frac{3}{4} \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่งมีจำนวนเต็มบวก $x, y, z$ ที่สอดคล้องกับสมการ \[
n^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+3x+3y+3z-6
\] | สมการที่กำหนดสามารถเขียนใหม่ได้เป็น $n^2 = (x+y+z+1)^2+(x+y+z+1)-8$. กำหนด $r = x+y+z+1$ จะได้ $n^2 = r^2+r-8$. เห็นได้ชัดว่าหนึ่งในความเป็นไปได้คือ $n=r=\boxed{8}$ ซึ่งเป็นจริงเมื่อ $x=y=1, z=6$. ในทางกลับกัน สำหรับ $r > 8$ เราได้ $r^2 < r^2+r-8 < (r+1)^2.$ | r^2 < r^2+r-8 < (r+1)^2. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ \[\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x+2} = kx\]มีรากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนちょうど 2 ราก จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $k$ ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน
ใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | คูณทั้งสองข้างด้วย $(x+1)(x+2)$ จะได้ \[x(x+2) + x(x+1) = kx(x+1)(x+2),\]หรือ \[2x^2 + 3x = kx^3 + 3kx^2 + 2kx.\]จัดรูปใหม่เป็นสมการ \[0 = kx^3 + (3k-2)x^2 + (2k-3)x,\]หรือ \[0 = x(kx^2 + (3k-2)x + (2k-3)).\]เห็นได้ชัดว่า $x = 0$ เป็นรากของสมการนี้ รากอื่นๆ ทั้งหมดต้องสอดคล้องกับสมการ \[0 = kx^2 + (3k-2)x + (2k-3).\]ถ้... | k = \boxed{0,\tfrac32, 2i, -2i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $*$ นิยามโดย
\[a * b = \frac{a - b}{1 - ab}.\]จงคำนวณ
\[1 * (2 * (3 * (\dotsb (999 * 1000) \dotsb))).\] | กำหนดให้ $x = 2 * (3 * ( \dotsb (999 * 1000) \dotsb ))).$ แล้ว
\[1 * (2 * (3 * (\dotsb (999 * 1000) \dotsb))) = 1 * x = \frac{1 - x}{1 - x} = \boxed{1}.\]เพื่อความรอบคอบ เราควรพิสูจน์ว่า $x \neq 1.$ ข้อนี้ให้ผู้อ่านพิสูจน์เอง | x \neq 1. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
วงกลมวงหนึ่งอยู่ภายในพาราโบลาที่มีสมการ $y = x^2,$ โดยสัมผัสกับพาราโบลาที่จุดสองจุด จงหาว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่สูงกว่าจุดสัมผัสเท่าใด | กำหนดให้จุดสัมผัสจุดหนึ่งเป็น $(a,a^2).$ โดยสมมาตร จุดสัมผัสอีกจุดหนึ่งคือ $(-a,a^2).$ โดยสมมาตร จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่บนแกน $y.$ กำหนดให้จุดศูนย์กลางเป็น $(0,b),$ และให้รัศมีเป็น $r.$
[asy]
unitsize(1.5 cm);
real func (real x) {
return(x^2);
}
pair A = (1,1), O = (0,3/2);
draw(Circle(O,sqrt(5)/2));
draw(grap... | (a,a^2) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, $c$, $d$, และ $e$ เป็นจำนวนเต็มบวกโดยที่ $a+b+c+d+e=2010$ และให้ $M$ เป็นค่ามากที่สุดของผลรวม $a+b$, $b+c$, $c+d$ และ $d+e$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $M$ | เรามีว่า
\[M = \max \{a + b, b + c, c + d, d + e\}.\]โดยเฉพาะ $a + b \le M,$ $b + c \le M,$ และ $d + e \le M.$ เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก $c < M.$ ดังนั้น
\[(a + b) + c + (d + e) < 3M.\]แล้ว $2010 < 3M$ ดังนั้น $M > 670.$ เนื่องจาก $M$ เป็นจำนวนเต็ม $M \ge 671.$
สมการเกิดขึ้นเมื่อ $a = 669,$ $b = 1,$ $c = 670,$ $d... | \boxed{671}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนจริง $x$ ที่เป็นบวก ซึ่งทำให้สมการ $\frac{1}{2}\left( 3x^2-1\right) = \left( x^2-50x-10\right)\left( x^2+25x+5\right)$ เป็นจริง | กำหนด $a = x^2-50x-10$ และ $b = x^2+25x+5$ สมการที่กำหนดจะกลายเป็น
\[\frac{a+2b-1}{2} = ab,\]ดังนั้น $0=2ab-a-2b+1=(a-1)(2b-1)$ จากนั้น $a-1=x^2-50x-11=0$ หรือ $2b-1=2x^2+50x+9=0$ สมการแรกมีรากบวก $x=\boxed{25 + 2\sqrt{159}}$ ในขณะที่สมการที่สองไม่มีราก | x=\boxed{25 + 2\sqrt{159}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนจริง $r$ และ $s$ เป็นรากของ $p(x)=x^3+ax+b$ และ $r+4$ และ $s-3$ เป็นรากของ $q(x)=x^3+ax+b+240$ ใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $b$ ที่คั่นด้วยจุลภาค | จากสูตรของ Vieta ผลรวมของรากของ $p(x)$ เท่ากับ 0 ดังนั้นรากที่สามคือ $t = -r - s.$ นอกจากนี้,
\[a = rs + rt + st.\]ผลรวมของรากของ $q(x)$ เท่ากับ 0 เช่นกัน ดังนั้นรากที่สามคือ $-(r + 4) - (s - 3) = -r - s - 1 = t - 1.$ นอกจากนี้,
\[a = (r + 4)(s - 3) + (r + 4)(t - 1) + (s - 3)(t - 1).\]ดังนั้น,
\[rs + rt + st = (r + 4... | \boxed{-330,90}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในตารางเวทมนตร์ ผลรวมของจำนวนทั้งสามในแถว คอลัมน์ หรือเส้นทแยงมุมใดๆ จะมีค่าเท่ากัน รูปแสดงด้านล่างแสดงจำนวน 4 จำนวนของตารางเวทมนตร์ จงหาค่าของ $x$.
[asy]
size(2cm);
for (int i=0; i<=3; ++i) draw((i,0)--(i,3)^^(0,i)--(3,i));
label("$x$",(0.5,2.5));label("$19$",(1.5,2.5));
label("$96$",(2.5,2.5));label("$1$",(0.5,1.5));... | กำหนดให้จำนวนที่เหลือเป็น $d, e, f, g, h,$ ดังแสดง: [asy]
size(2cm);
for (int i=0; i<=3; ++i) draw((i,0)--(i,3)^^(0,i)--(3,i));
label("$x$",(0.5,2.5));label("$19$",(1.5,2.5));
label("$96$",(2.5,2.5));label("$1$",(0.5,1.5));
label("$d$",(1.5,1.5));label("$e$",(2.5,1.5));
label("$f$",(0.5,0.5));label("$g$",(1.5,0.5));lab... | x = \boxed{200}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวกสามจำนวน ซึ่งผลรวมของมันเท่ากับ 1 ถ้าไม่มีจำนวนใดที่มากกว่าสองเท่าของจำนวนอื่น ๆ แล้ว จงหาค่าต่ำสุดของผลคูณ $xyz.$ | กำหนดให้สามจำนวนนี้เป็น $x,$ $y,$ และ $z.$ โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติว่า $x \le y \le z.$ แล้ว $z \le 2x.$
สมมติว่า $z < 2x.$ ให้ $x_1 = \frac{x + z}{3}$ และ $z_1 = \frac{2x + 2z}{3}.$ แล้ว $z_1 = 2x_1,$ และ $x_1 + z_1 = x + z.$ (เราไม่เปลี่ยนค่าของ $y.$) สังเกตว่า
\begin{align*}
xyz - x_1 yz_1 &= y \left( xz - \fr... | \boxed{\frac{1}{32}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบ $w^4-16$ ให้มากที่สุด โดยที่ตัวประกอบเป็นพหุนามเอกซ์โมนิกที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง | เนื่องจาก $w^4$ และ 16 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่ เราสามารถใช้การแยกตัวประกอบผลต่างของกำลังสองได้: \[w^4-16=(w^2)^2 - 4^2 = (w^2-4)(w^2+4)\]. เรายังไม่เสร็จ! นิพจน์ $w^2 - 4$ ก็เป็นผลต่างของกำลังสองเช่นกัน ซึ่งเราสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $w^2 - 4=(w-2)(w+2)$. ดังนั้นเราจึงมี \[w^4-16 = (w^2-4)(w^2+4) = \boxed{(w-2)(w+... | w^2 - 4=(w-2)(w+2) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ
\[|z - 3i| + |z - 4| = 5.\]จงหาค่าต่ำสุดของ $|z|.$ | โดยอสมการสามเหลี่ยม
\[|z - 3i| + |z - 4| = |z - 4| + |3i - z| \ge |(z - 4) + (3i - z)| = |-4 + 3i| = 5.\]แต่เราทราบว่า $|z - 3i| + |z - 4| = 5.$ วิธีเดียวที่ความเท่ากันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $z$ อยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อ 4 และ $3i$ ในระนาบเชิงซ้อน.
[asy]
unitsize(1 cm);
pair Z = interp((0,3),(4,0),0.6);
pair... | h = \boxed{\frac{12}{5}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในลำดับจำนวนเต็มบวกสี่จำนวนที่เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ สามจำนวนแรกสร้างลำดับเลขคณิต สามจำนวนสุดท้ายสร้างลำดับเรขาคณิต และจำนวนแรกและจำนวนที่สี่ต่างกัน 30 จงหาผลรวมของสี่จำนวนนั้น | กำหนดให้สามจำนวนแรกเป็น $a,$ $a+d,$ และ $a+2d$ โดยที่ $a$ และ $d$ เป็นจำนวนเต็มบวก จากนั้นจำนวนที่สี่คือ $a+30.$ เนื่องจากสามจำนวนสุดท้ายสร้างลำดับเรขาคณิต เราจึงมี \[(a+d)(a+30) = (a+2d)^2,\]หรือ \[a^2 + (30+d) a + 30d = a^2 + 4ad + 4d^2.\]แก้สมการหา $a$ เราได้ \[a = \frac{4d^2-30d}{30-3d} = \frac{2d(2d-15)}{3(10-d)}.... | 129 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามกำลังสอง $P(x),$ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง, สอดคล้องกับ
\[P(x^3 + x) \ge P(x^2 + 1)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด จงหาผลบวกของรากของ $P(x).$ | ให้ $P(x) = ax^2 + bx + c.$ แล้ว
\[a(x^3 + x)^2 + b(x^3 + x) + c \ge a(x^2 + 1)^2 + b(x^2 + 1) + c\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด. สิ่งนี้จะทำให้เป็น
\[ax^6 + ax^4 + bx^3 - (a + b)x^2 + bx - a - b \ge 0.\]สิ่งนี้แยกตัวประกอบเป็น
\[(x - 1)(x^2 + 1)(ax^3 + ax^2 + ax + a + b) \ge 0.\]สำหรับความไม่เท่ากันนี้จะต้องเป็นจริงส... | -\frac{b}{a} = \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ มีจำนวนจริง $x_1,$ $x_2,$ $\dots,$ $x_n$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\begin{align*}
x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n &= 1000, \\
x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + \dots + x_n^4 &= 512000.
\end{align*}จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(1^2 + 1^2 + \dots + 1^2)(x_1^2 + x_2^2 + \dots + \dots + x_n^2) \ge (x_1 + x_2 + \dots + x_n)^2 = 1000^2,\]ดังนั้น $x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \ge \frac{1000^2}{n}.$
อีกครั้งโดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(1^2 + 1^2 + \dots + 1^2)(x_1^4 + x_2^4 + \dots + \dots + x_n^4) \ge (x_1^2 + x_2^2 +... | \boxed{125}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ มีรากเป็นจำนวนทั้งหมดดังนี้ \[1+\sqrt{2}, \; 2+\sqrt{3}, \;3+\sqrt{4},\; \dots, \;1000+\sqrt{1001}\] จงหาดีกรีต่ำสุดที่เป็นไปได้ของพหุนามนี้ | เราทราบว่าถ้าพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ มีจำนวนอตรรกยะ $a + \sqrt{b}$ เป็นราก แล้วคอนจูเกตของรากที่เป็นรากที่สอง $a - \sqrt{b},$ ก็ต้องเป็นรากของพหุนามด้วย
สำหรับทุก $n = 1, 2, \ldots, 1000,$ จำนวน $n + \sqrt{n+1}$ เป็นรากของพหุนามที่กำหนด ดังนั้นเราคิดว่าแต่ละรากต้องมีรากคอนจูเกตที่สอดคล้องกัน ซึ่งจะให้รา... | \boxed{1970}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $y = x^2.$ | จงจำไว้ว่าพาราโบลาถูกนิยามว่าเป็นเซตของจุดทั้งหมดที่ห่างจากจุดโฟกัส $F$ และไดเร็คทริกซ์เท่ากัน
เนื่องจากพาราโบลา $y = x^2$ สมมาตรรอบแกน $y$ จุดโฟกัสอยู่ที่จุดที่มีรูปแบบ $(0,f).$ ให้ $y = d$ เป็นสมการของไดเร็คทริกซ์
[asy]
unitsize(1.5 cm);
pair F, P, Q;
F = (0,1/4);
P = (1,1);
Q = (1,-1/4);
real parab (real x) {
... | \boxed{\left( 0, \frac{1}{4} \right)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $f(x)$ นิยามสำหรับจำนวนเต็ม $x \ge 0,$ $f(1) = 1,$ และ
\[f(a + b) = f(a) + f(b) - 2f(ab)\]สำหรับจำนวนเต็ม $a,$ $b \ge 0$ ทั้งหมด จงคำนวณ $f(1986).$ | กำหนด $b = 0$ ในสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด เราได้
\[f(a) = f(a) + f(0) - 2f(0),\]ดังนั้น $f(0) = 0.$
กำหนด $b = 1$ ในสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด เราได้
\[f(a + 1) = f(a) + f(1) - 2f(a) = f(1) - f(a).\]แล้ว
\begin{align*}
f(a + 2) &= f(1) - f(a + 1) \\
&= f(1) - [f(1) - f(a)] \\
&= f(a).
\end{align*}ดังนั้น $f(1986) = f(1... | f(1986) = f(1984) = \dots = f(2) = f(0) = \boxed{0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบบวกของสมการ
\[\sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \dotsb}}} = \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \dotsm}}}.\] | กำหนดให้
\[y = \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \dotsm}}}.\]แล้ว
\[y^3 = x \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \dotsm}} = xy,\]ดังนั้น $y^2 = x.$
กำหนดให้
\[z = \sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \dotsb}}}.\]แล้ว
\[z^3 = x + \sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \dotsb}} = x + z,\]ดังนั้น $z^3 - z = x.$
เนื่องจาก $z = y,$ $y^3 - y = x = y... | y | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ
\[-1 < \frac{x^2 - 14x + 11}{x^2 - 2x + 3} < 1.\] | เราพิจารณาอสมการทั้งสองแยกกัน
อสมการทางซ้ายเทียบเท่ากับ
\[\frac{x^2 - 14x + 11}{x^2 - 2x + 3} + 1 > 0,\]หรือ
\[\frac{2x^2 - 16x + 14}{x^2 - 2x + 3} > 0.\]แล้ว
\[\frac{x^2 - 8x + 7}{x^2 - 2x + 3} > 0.\]ตัวส่วน $x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2$ เป็นค่าบวกเสมอ
พหุนามกำลังสอง $(x - 1)(x - 7)$ เป็นค่าบวกอย่างแม่นยำเมื่อ $x <... | x > \frac{2}{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $P(z)=x^3+ax^2+bx+c$ โดยที่ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง มีจำนวนเชิงซ้อน $w$ ที่ทำให้รากของ $P(z)$ คือ $w+3i$, $w+9i$ และ $2w-4$ โดยที่ $i^2=-1$ จงหา $a+b+c$ | กำหนด $w = x + yi,$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง แล้วผลบวกของรากทั้งสามคือ
\[(w + 3i) + (w + 9i) + (2w - 4) = 4w - 4 + 12i = 4x + 4yi - 4 + 12i.\]จากสูตรของ Vieta ผลบวกของรากเท่ากับ $-a,$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น $(4x - 4) + (4y + 12)i$ ต้องเป็นจำนวนจริง ซึ่งหมายความว่า $y = -3.$ ดังนั้น รากทั้งสามคือ $w + 3i = x,$ $... | a + b + c = \boxed{-136}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของนิพจน์ต่อไปนี้เท่ากับเท่าใด: $1 - 4 + 7 - 10 + 13 - \cdots - 46 + 49 - 52 + 55$ ? | จับคู่พจน์ทุก ๆ สองพจน์ เริ่มจากพจน์แรก เราจะเห็นว่าผลรวมของแต่ละคู่คือ $-3$ มี $(49+5)/6=9$ คู่ ดังนั้นผลรวมของคู่ทั้งหมดคือ $-3\cdot9=-27$ นำผลรวมนั้นบวกกับพจน์สุดท้ายของอนุกรม และค่าของนิพจน์ทั้งหมดคือ $-27+55=\boxed{28}$ | -27+55=\boxed{28} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าตัวเลขของ $k$ ที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง
\[\frac{7}{x + y} = \frac{k}{x + z} = \frac{11}{z - y}.\] | โดยทั่วไป ถ้าเรามีเศษส่วน $\frac{a}{b} = \frac{c}{d},$ แล้ว
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d}.\]เพื่อดูว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น ให้ $k = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}.$ ดังนั้น $a = kb$ และ $c = kd,$ ดังนั้น
\[\frac{a + c}{b + d} = \frac{kb + kd}{b + d} = k.\]นำไปใช้ในที่นี้ เราได้
\[\frac{7}{x + y} = \frac{... | k = \boxed{18}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f,$ $g,$ และ $h$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $abcd = 4$ และ $efgh = 9.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[(ae)^2 + (bf)^2 + (cg)^2 + (dh)^2.\] | โดย AM-GM,
\begin{align*}
(ae)^2 + (bf)^2 + (cg)^2 + (dh)^2 &\ge 4 \sqrt[4]{(ae)^2 (bf)^2 (cg)^2 (dh)^2} \\
&= 4 \sqrt[4]{(abcdefgh)^2} \\
&= 24.
\end{align*}ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $(ae)^2 = (bf)^2 = (cg)^2 = (dh)^2,$ $abcd = 4,$ และ $efgh = 9.$ ตัวอย่างเช่น เราสามารถกำหนด $a = b = c = d = \sqrt{2}$ และ $e = f = g = ... | \boxed{24}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $(1 + i)^4.$ | เรามีว่า
\[(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i,\]ดังนั้น $(1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = \boxed{-4}.$ | (1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = \boxed{-4}. | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $x + y + z = 1.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}.\] | โดย AM-HM,
\[\frac{x + y + z}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}.\]ดังนั้น,
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{x + y + z} = 9.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x = y = z = \frac{1}{3},$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{9}.$ | \boxed{9}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
โดยการแยกตัวประกอบเศษส่วน
\[\frac{1}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 2} + \frac{D}{x + 3} + \frac{E}{x + 4}\]สำหรับค่าคงที่บางค่า $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ และ $E.$ จงหา $A + B + C + D + E.$ | ลบส่วนของสมการ เราได้
\begin{align*}
1 &= A(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) \\
&\quad + Bx(x + 2)(x + 3)(x + 4) \\
&\quad + Cx(x + 1)(x + 3)(x + 4) \\
&\quad + Dx(x + 1)(x + 2)(x + 4) \\
&\quad + Ex(x + 1)(x + 2)(x + 3).
\end{align*}เราสามารถใช้เทคนิคการแก้สมการสำหรับค่าคงที่แต่ละตัวได้ หรือเราสามารถสังเกตว่าทั้งสองข้างของ... | A + B + C + D + E = \boxed{0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r$, $s$, และ $t$ เป็นคำตอบของสมการ $x^3-5x^2+6x=9$.
คำนวณ $\frac{rs}t + \frac{st}r + \frac{tr}s$. | เราสามารถเขียนสมการลูกบาศก์ใหม่ได้เป็น $x^3-5x^2+6x-9=0$. ก่อนอื่น เรามาพิจารณาความสัมพันธ์ที่สูตรของ Vieta ให้ไว้:
\begin{align*}
-(r+s+t) &= -5,\quad(\clubsuit) \\
rs+rt+st &= 6,\phantom{-}\quad(\textcolor{red}{\diamondsuit}) \\
-rst &= -9.\,\quad(\textcolor{red}{\heartsuit})
\end{align*}เราต้องการคำนวณ
$$\frac{rs}t ... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
แก้อสมการ
\[\frac{x}{x + 3} \ge 0.\]แสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง | เราสามารถสร้างตารางเครื่องหมายได้ดังนี้:
\[
\begin{array}{c|ccc}
& x < -3 & -3 < x < 0 & 0 < x \\ \hline
x + 3 & - & + & + \\
x & - & - & + \\
\frac{x}{x + 3} & + & - & +
\end{array}
\]นอกจากนี้ $\frac{x}{x + 3} = 0$ สำหรับ $x = 0.$
ดังนั้น คำตอบคือ $x \in \boxed{(-\infty,-3) \cup [0,\infty)}.$ | x \in \boxed{(-\infty,-3) \cup [0,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนด $L(x) = x - \frac{x^2}{2}$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก กำหนด $a_n$ โดย
\[
a_n = L \Bigl( L \Bigl( L \Bigl( \cdots L \Bigl( \frac{17}{n} \Bigr) \cdots \Bigr) \Bigr) \Bigr),
\]โดยมี $n$ ครั้งของ $L$. ตัวอย่างเช่น,
\[
a_4 = L \Bigl( L \Bigl( L \Bigl( L \Bigl( \frac{17}{4} \Bigr) \Bigr) \Big... | สังเกตว่า $0 < L(x) < x$ สำหรับ $0 < x < 2.$ สมมติว่า $n$ มีค่ามากพอ, คือ $n \ge 9,$ เราได้ว่า $0 < a_n < \frac{17}{n} < 2.$
จาก $L(x) = x - \frac{x^2}{2},$ เราสามารถเขียนได้
\[\frac{1}{L(x)} = \frac{1}{x - \frac{x^2}{2}} = \frac{2}{2x - x^2} = \frac{2}{x(2 - x)} = \frac{x + (2 - x)}{x(2 - x)} = \frac{1}{x} + \frac{1}... | L = \boxed{\frac{34}{19}}. | [
"unknown"
] |
กำหนดให้ $\omega$ เป็นรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงของ $z^3 = 1.$ จงหาจำนวนคู่ลำดับ $(a,b)$ ของจำนวนเต็มที่ทำให้ $|a \omega + b| = 1.$ | เรามี $z^3 - 1 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(z - 1)(z^2 + z + 1) = 0.$ เนื่องจาก $\omega$ ไม่ใช่จำนวนจริง $\omega$ สอดคล้องกับ
\[\omega^2 + \omega + 1 = 0.\]โดยสูตรกำลังสอง
\[\omega = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2}.\]ให้ $\omega = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}.$ แล้ว $|a \omega + b|^2 = 1.$ นอกจากนี้
\begin{align*}
|a \ome... | 6 | [
"Apply",
"Analyze"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[2x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 2y + 4\]เหนือจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
2x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 2y + 4 &= (x^2 + y^2 + 1 + 2x + 2y + 2xy) + (x^2 - 4x + 4) - 1 \\
&= (x + y + 1)^2 + (x - 2)^2 - 1.
\end{align*}ดังนั้น ค่าต่ำสุดคือ $\boxed{-1},$ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $x + y + 1 = 0$ และ $x - 2 = 0,$ หรือ $x = 2$ และ $y = -3.$ | y = -3. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มอยู่ในรูป
\[9x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + 15 = 0.\]จงหาจำนวนรากตรรกยะที่เป็นไปได้ต่าง ๆ ของพหุนามนี้ | โดยทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวมีรูปแบบ $\pm \frac{a}{b},$ โดยที่ $a$ หาร 15 ลงตัว และ $b$ หาร 9 ลงตัว ดังนั้น รากตรรกยะที่เป็นไปได้คือ
\[\pm 1, \ \pm 3, \ \pm 5, \ \pm 15, \ \pm \frac{1}{3}, \ \pm \frac{5}{3}, \ \pm \frac{1}{9}, \ \pm \frac{5}{9}.\]ดังนั้น มีรากตรรกยะที่เป็นไปได้ $\boxed{16}$ ... | \boxed{16} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีจำนวนเต็มบวกจาก 1 ถึง 600 (รวม) กี่จำนวนที่มีเลขโดด 5 อย่างน้อยหนึ่งหลัก (ตัวเลข 152 และ 553 เป็นตัวเลขที่ประกอบด้วยเลขโดด 5 อย่างน้อยหนึ่งหลัก แต่ 430 ไม่ใช่) | คำใบ้ "อย่างน้อย" บอกให้เราลองใช้การนับแบบเสริม -- เราจะนับจำนวนตัวเลขที่ไม่มีเลขโดด 5 เลย และลบออกจาก 600 เนื่องจากมีตัวเลข 600 ตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 600
เพื่อสร้างตัวเลขที่ไม่มีเลขโดด 5 เลยที่น้อยกว่า 600 เราจะมีตัวเลือก 5 ตัวสำหรับตัวเลขหลักแรก: 0, 1, 2, 3 หรือ 4 (เราต้องจำไว้ว่าต้องรวม 600 ด้วย) เราสามารถใช้เลขโดดใด... | 600-405 = \boxed{195} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[b^2 f(a) = a^2 f(b)\]สำหรับจำนวนจริง $a$ และ $b$ ทั้งหมด ถ้า $f(2) \neq 0$ จงหา
\[\frac{f(5) - f(1)}{f(2)}.\] | กำหนด $a = 5$ และ $b = 2$ จะได้
\[4f(5) = 25f(2),\]ดังนั้น $\frac{f(5)}{f(2)} = \frac{25}{4}.$
กำหนด $a = 1$ และ $b = 2$ จะได้
\[4f(1) = f(2),\]ดังนั้น $\frac{f(1)}{f(2)} = \frac{1}{4}.$ ดังนั้น
\[\frac{f(5) - f(1)}{f(2)} = \frac{25}{4} - \frac{1}{4} = \boxed{6}.\] | 6 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A = (1,0)$ และ $B = (5,4).$ กำหนดให้ $P$ เป็นจุดบนพาราโบลา $y^2 = 4x.$ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $AP + BP.$ | สังเกตว่า $A$ เป็นจุดโฟกัสของพาราโบลา $y^2 = 4x,$ และไดเร็คทริกซ์คือ $x = -1.$ ดังนั้นโดยนิยามของพาราโบลา ระยะทางจาก $P$ ถึง $A$ เท่ากับระยะทางจาก $P$ ถึงเส้นตรง $x = -1.$ กำหนดให้ $Q$ เป็นจุดบน $x = -1$ ที่ใกล้กับ $P$ ที่สุด และกำหนดให้ $R$ เป็นจุดบน $x = -1$ ที่ใกล้กับ $B$ ที่สุด.
[asy]
unitsize(0.6 cm);
real upp... | \boxed{6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $y = -3x^2 - 6x$ | จงจำไว้ว่าพาราโบลาถูกนิยามว่าเป็นเซตของทุกจุดที่ห่างจากจุดโฟกัส $F$ และไดเร็คทริกซ์เท่ากัน โดยการเติมกำลังสองของ $x$ เราจะได้
\[y = -3(x + 1)^2 + 3.\]เพื่อให้พีชคณิตง่ายขึ้น เราสามารถหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $y = -3x^2$ เลื่อนพาราโบลาไปทางซ้าย 1 หน่วยเพื่อให้ได้ $y = -3(x + 1)^2$ และจากนั้นเลื่อนขึ้น 3 หน่วยเพื่อหาจุดโฟ... | \boxed{\left( -1, \frac{35}{12} \right)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สมมติว่าทั้งสี่จำนวน \[2 - \sqrt{5}, \;4+\sqrt{10}, \;14 - 2\sqrt{7}, \;-\sqrt{2}\]เป็นรากของพหุนามเดียวกันที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ และไม่เท่ากับศูนย์ จงหาดีกรีต่ำสุดที่เป็นไปได้ของพหุนาม | เนื่องจากพหุนามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ รากสังยุคของแต่ละรากทั้งสี่ต้องเป็นรากของพหุนามด้วย ดังนั้น พหุนามมีรากอย่างน้อย $4 \times 2 = 8$ ราก ดังนั้นดีกรีของมันต้องอย่างน้อย 8
สังเกตว่า สำหรับแต่ละจำนวนทั้งสี่ พหุนามกำลังสองเอกภาพที่มีจำนวนนั้นและสังยุคของมันจะมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น พหุนามกำลั... | \boxed{8}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจุด $O$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงรีที่มีแกนเอก $\overline{AB}$ และแกนโท $\overline{CD}.$ จุด $F$ เป็นจุดโฟกัสจุดหนึ่งของวงรี ถ้า $OF = 6$ และเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $OCF$ เท่ากับ 2 จงคำนวณผลคูณ $(AB)(CD).$ | กำหนด $a = OA = OB$ และ $b = OC = OD.$ แล้ว $a^2 - b^2 = OF^2 = 36.$
[asy]
unitsize(0.5 cm);
path ell = xscale(5)*yscale(3)*Circle((0,0),1);
pair A, B, C, D, F, O;
A = (5,0);
B = (-5,0);
C = (0,3);
D = (0,-3);
F = (4,0);
O = (0,0);
draw(ell);
draw(A--B);
draw(C--D);
draw(C--F);
draw(incircle(O,C,F));
label("$A$", ... | (AB)(CD) = \boxed{65}. | [
"จำแนก",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
หนึ่งในรากของสมการ
\[ax^3 + 3x^2 + bx - 65 = 0,\]คือ $-2 - 3i,$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง จงหาว่ารากจริงของพหุนามลูกบาศก์นี้มีค่าเท่าใด | เนื่องจาก $-2 - 3i$ เป็นราก
\[a (-2 - 3i)^3 + 3 (-2 - 3i)^2 + b (-2 - 3i) - 65 = 0.\]เมื่อขยาย, เราได้
\[(-80 + 46a - 2b) + (36 - 9a - 3b)i = 0.\]ดังนั้น $-80 + 46a - 2b = 0$ และ $36 - 9a - 3b = 0.$ เมื่อแก้สมการ, เราพบว่า $a = 2$ และ $b = 6.$
พหุนามลูกบาศก์คือ $2x^3 + 3x^2 + 6x - 65 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(2... | \boxed{\frac{5}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ จะมีจำนวนจริง $x_1,$ $x_2,$ $\dots,$ $x_n$ ที่สอดคล้องกับ
\begin{align*}
x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n &= 1000, \\
x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + \dots + x_n^4 &= 512000.
\end{align*}จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(1^2 + 1^2 + \dots + 1^2)(x_1^2 + x_2^2 + \dots + \dots + x_n^2) \ge (x_1 + x_2 + \dots + x_n)^2 = 1000^2,\]ดังนั้น $x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \ge \frac{1000^2}{n}.$
อีกครั้งโดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(1^2 + 1^2 + \dots + 1^2)(x_1^4 + x_2^4 + \dots + \dots + x_n^4) \ge (x_1^2 + x_2^2 +... | \boxed{125}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของ
\[x^3 - 5x + 7 = 0.\]จงหาพหุนามเอกหน่วยใน $x$ ซึ่งมีรากเป็น $a - 2,$ $b - 2,$ และ $c - 2.$ | กำหนดให้ $y = x - 2.$ แล้ว $x = y + 2,$ ดังนั้น
\[(y + 2)^3 - 5(y + 2) + 7 = 0.\] 식을 간단히 하면 $y^3 + 6y^2 + 7y + 5 = 0.$ พหุนามที่สอดคล้องกันใน $x$ คือ $\boxed{x^3 + 6x^2 + 7x + 5}.$ | \boxed{x^3 + 6x^2 + 7x + 5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้อสมการ
\[-4x^2 + 7x + 2 < 0.\] | สมการอสมการสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น
\[-(4x + 1)(x - 2) < 0.\]ดังนั้นคำตอบคือ $x \in \boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{4} \right) \cup (2,\infty)}.$ | x \in \boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{4} \right) \cup (2,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ บนเซตของจำนวนเต็มและสอดคล้องกับ \[f(n)= \begin{cases} n-3 & \mbox{if }n\ge 1000 \\ f(f(n+5)) & \mbox{if }n<1000. \end{cases}\]จงหา $f(84)$. | กำหนด (1) และ (2) เป็นส่วนที่สองของนิยามของ $f$ ตามลำดับ ถ้าเราเริ่มใช้คำจำกัดความของ $f$ เพื่อคำนวณ $f(84)$ เราใช้ (2) จนกว่าอาร์กิวเมนต์จะอย่างน้อย 1000: \[f(84) = f(f(89)) = f(f(f(94))) = \dots = f^N(1004)\](โดยที่ $f^N$ หมายถึงการประสาน $f$ กับตัวมันเอง $N$ ครั้ง สำหรับบางค่า $N$ ) จำนวน $84, 89, 94, \dots, 1004$ เ... | f^3(1004) = f(1004) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ช่องสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกถูกติดป้ายหมายเลขดังแสดงด้านล่าง
[asy]
unitsize(0.8 cm);
int i, j;
for (i = 0; i <= 8; ++i) {
draw((i,0)--(i,8));
draw((0,i)--(8,i));
}
for (i = 0; i <= 7; ++i) {
for (j = 0; j <= 7; ++j) {
label("$\frac{1}{" + string(i + 8 - j) + "}$", (i + 0.5, j + 0.5));
}}
[/asy]
เลือกช่องสี่... | หมายเลขแถว 1, 2, 3, $\dots,$ 8 จากบนลงล่าง ให้ $r_1$ เป็นหมายเลขแถวของช่องสี่เหลี่ยมที่เลือกในหลักแรก (ตัวอย่างเช่น ถ้าเลือกช่องสี่เหลี่ยมที่ 5 ในหลักแรก $r_1 = 5.$) ดังนั้นป้ายของช่องสี่เหลี่ยมนั้นคือ $\frac{1}{r_1}.$
ในทำนองเดียวกัน ถ้า $r_2$ เป็นหมายเลขแถวของช่องสี่เหลี่ยมที่เลือกในหลักที่สอง ป้ายของมันคือ
\[\fra... | \boxed{1}. | [
"unknown"
] |
กำหนดให้ $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ $f(1) = 1$ และ
\[f(xy + f(x)) = xf(y) + f(x)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด
ให้ $n$ เป็นจำนวนของค่าที่เป็นไปได้ของ $f \left( \frac{1}{2} \right),$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f \left( \frac{1}{2} \right).$ จงหา $n \times s... | กำหนด $y = 0,$ เราได้
\[f(f(x)) = xf(0) + f(x)\]สำหรับทุก $x.$ โดยเฉพาะ $f(f(0)) = f(0).$
กำหนด $x = f(0)$ และ $y = 0,$ เราได้
\[f(f(f(0))) = f(0)^2 + f(f(0)).\]สังเกตว่า $f(f(f(0))) = f(f(0)) = f(0)$ และ $f(f(0)) = f(0),$ ดังนั้น $f(0) = f(0)^2 + f(0).$ จากนั้น $f(0)^2 = 0,$ ดังนั้น $f(0) = 0.$ ดังนั้น
\[f(f(x)) =... | n \times s = \boxed{\frac{1}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนาม $p(x)$ มีเศษเหลือ $-1$ เมื่อหารด้วย $x - 1,$ มีเศษเหลือ 3 เมื่อหารด้วย $x - 2,$ และมีเศษเหลือ 4 เมื่อหารด้วย $x + 3.$ ให้ $r(x)$ เป็นเศษเหลือเมื่อ $p(x)$ หารด้วย $(x - 1)(x - 2)(x + 3).$ จงหา $r(6).$ | โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ $p(1) = -1,$ $p(2) = 3,$ และ $p(-3) = 4.$
เมื่อ $p(x)$ หารด้วย $(x - 1)(x - 2)(x + 3)$ เศษเหลือจะมีรูป $ax^2 + bx + c.$ ดังนั้น
\[p(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 3) q(x) + ax^2 + bx + c\]สำหรับพหุนาม $q(x)$ บางตัว. เมื่อแทนค่า $x = 1,$ $x = 2,$ และ $x = -3$ เราได้
\begin{align*}
a + b + c &= p(1) = -1, ... | r(6) = \frac{21}{20} \cdot 6^2 + \frac{17}{20} \cdot 6 - \frac{29}{10} = \boxed{40}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดการดำเนินการแบบทวิภาค $\diamondsuit$ มีสมบัติว่า $a\,\diamondsuit\, (b\,\diamondsuit \,c) = (a\,\diamondsuit \,b)\cdot c$ และ $a\,\diamondsuit \,a=1$ สำหรับจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ $a, b,$ และ $c$ (โดยที่ $\cdot$ แทนการคูณ) จงหาคำตอบของสมการ $2016 \,\diamondsuit\, (6\,\diamondsuit\, x)=100.$ | กำหนดให้ $b = a$ และ $c = a,$ เราได้
\[a \, \diamondsuit \, (a \, \diamondsuit \, a) = (a \, \diamondsuit \, a) \cdot a,\]ซึ่งลดรูปเป็น $a \, \diamondsuit \, 1 = a$ สำหรับจำนวน $a$ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ ใดๆ
กำหนดให้ $c = b,$ เราได้
\[a \, \diamondsuit \, (b \, \diamondsuit \, b) = (a \, \diamondsuit \, b) \cdot b,\]ซึ่งล... | x = \boxed{\frac{25}{84}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r,$ $s,$ และ $t$ เป็นรากของสมการ $x^3 - 20x^2 + 18x - 7 = 0.$ จงหาค่าของ $\frac{r}{\frac{1}{r}+st} + \frac{s}{\frac{1}{s}+tr} + \frac{t}{\frac{1}{t}+rs}.$ | สังเกตว่า \[\frac{r}{\frac{1}{r}+st} = \frac{r^2}{1+rst} = \frac{r^2}{1+7} = \frac{r^2}{8},\]เนื่องจาก $rst=7$ ตามสูตรของ Vieta's. โดยการคำนวณที่คล้ายกัน เราได้ \[\frac{r}{\frac{1}{r}+st} + \frac{s}{\frac{1}{s}+tr} + \frac{t}{\frac{1}{t}+rs} = \frac{r^2+s^2+t^2}{8},\]ซึ่งเท่ากับ \[\frac{(r+s+t)^2 - 2(rs+st+tr)}{8}=\fra... | rst=7 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยม $ABC^{}_{}$ มี $AB=9^{}_{}$ และ $BC: AC=40: 41^{}_{}$. พื้นที่มากที่สุดที่สามเหลี่ยมนี้จะมีได้คือเท่าใด? | ให้ $BC = 40x$ และ $AC = 41x.$ โดยอสมการสามเหลี่ยม $x$ ต้องสอดคล้องกับ
\begin{align*}
9 + 40x &> 41x, \\
9 + 41x &> 40x, \\
40x + 41x &> 9.
\end{align*}อสมการข้อแรกบอกเราว่า $x < 9,$ อสมการข้อที่สองเป็นจริงเสมอ และอสมการข้อที่สามบอกเราว่า $x > \frac{1}{9}.$
ครึ่ง परिметрคือ $s = \frac{9 + 81x}{2},$ ดังนั้นโดยสูตรของ ... | \boxed{820}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $t$ เป็นพารามิเตอร์ที่แปรค่าไปทั่วจำนวนจริงใดๆ พาราโบลาใดๆ ที่อยู่ในรูป
\[y = 3x^2 + tx - 2t\]ผ่านจุดคงที่ จงหาจุดคงที่นี้ | เพื่อหาจุดคงที่ เราต้องการกำจัด $t$ ในสมการ
\[y = 3x^2 + tx - 2t.\]เราสามารถทำได้โดยการแทน $x = 2.$ จะได้ $y = 3 \cdot 2^2 = 12,$ ดังนั้นจุดคงที่คือ $\boxed{(2,12)}.$ | \boxed{(2,12)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟ $y = 3(x-h)^2 + j$ และ $y = 2(x-h)^2 + k$ มีจุดตัดแกน $y$ เท่ากับ $2013$ และ $2014$ ตามลำดับ และแต่ละกราฟมีจุดตัดแกน $x$ เป็นจำนวนเต็มบวกสองจุด จงหาค่า $h$ | แทน $x=0$ ในสมการทั้งสอง เราได้ \[2013 = 3h^2 + j \quad \text{และ} \quad 2014 = 2h^2 + k.\]แก้สมการหา $j$ และ $k$ เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดใหม่ได้เป็น \[y = 3(x-h)^2 + (2013-3h^2) \quad \text{and} \quad y = 2(x-h)^2 + (2014-2h^2),\]หรือ \[y = 3x^2 - 6xh + 2013 = 3(x^2-2hx+671) \quad \text{ and } \quad y = 2x^2 - 4hx ... | h = \boxed{36}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มอยู่ในรูป
\[9x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + 15 = 0.\]จงหาจำนวนของรากตรรกยะที่เป็นไปได้ต่าง ๆ ของพหุนามนี้ | โดยทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคืออยู่ในรูป $\pm \frac{a}{b},$ โดยที่ $a$ หาร 15 ลงตัว และ $b$ หาร 9 ลงตัว ดังนั้น รากตรรกยะที่เป็นไปได้คือ
\[\pm 1, \ \pm 3, \ \pm 5, \ \pm 15, \ \pm \frac{1}{3}, \ \pm \frac{5}{3}, \ \pm \frac{1}{9}, \ \pm \frac{5}{9}.\]ดังนั้น มีรากตรรกยะที่เป็นไปได้ $\boxed{1... | \boxed{16} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $A = (1,0),$ $B = (4,3),$ และ $C = (p,q)$ เป็นสามจุดบนพาราโบลา $y = -x^2 + 6x - 5,$ โดยที่ $1 \le p \le 4.$ จงหาพื้นที่สูงสุดของสามเหลี่ยม $ABC.$ | เราทราบว่า $q = -p^2 + 6p - 5,$ ดังนั้นโดยทฤษฎีบทเชือกลาย, พื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ คือ
\begin{align*}
&\frac{1}{2} |(1)(3) + (4)(-p^2 + 6p - 5) + (p)(0) - (0)(4) - (3)(p) - (-p^2 + 6p - 5)(1)| \\
&= \frac{1}{2} |-3p^2 + 15p - 12| \\
&= \frac{3}{2} |p^2 - 5p + 4| \\
&= \frac{3}{2} |(p - 1)(p - 4)|.
\end{align*}เนื่อง... | p = \frac{5}{2}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $3x + 2y \le 7$ และ $2x + 4y \le 8.$ จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x + y.$ | หารอสมการที่สองด้วย 2 เราได้ $x + 2y \le 4.$ บวกอสมการแรก $3x + 2y \le 7$ เข้าไป เราได้
\[4x + 4y \le 11,\]ดังนั้น $x + y \le \frac{11}{4}.$
สมการเป็นจริงเมื่อ $x = \frac{3}{2}$ และ $y = \frac{5}{4}$ ดังนั้นค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x + y$ คือ $\boxed{\frac{11}{4}}.$ | \boxed{\frac{11}{4}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดสมการ
\[ax^3 + (a + 2b) x^2 + (b - 3a) x + (8 - a) = 0\]มีรากเป็น $-2$ และ 3 จงหาอีก 1 ราก | เนื่องจาก $-2$ และ 3 เป็นราก ดังนั้น
\begin{align*}
a(-2)^3 + (a + 2b) (-2)^2 + (b - 3a)(-2) + (8 - a) &= 0, \\
a(3)^3 + (a + 2b) 3^2 + (b - 3a)(3) + (8 - a) &= 0.
\end{align*}เมื่อแก้สมการจะได้ $a = \frac{8}{9}$ และ $b = -\frac{40}{27}.$ จากทฤษฎีบทของ Vieta ผลรวมของรากคือ
\[-\frac{a + 2b}{a} = \frac{7}{3},\]ดังนั้นอี... | \frac{7}{3} - (-2) - 3 = \boxed{\frac{4}{3}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับ
\[\frac{1}{x + 1} + \frac{6}{x + 5} \ge 1.\] | ลบ 1 จากทั้งสองข้างและนำทุกเทอมไปหารด้วยตัวหารร่วมกัน เราจะได้
\[\frac{-x^2 + x + 6}{(x + 1)(x + 5)} \ge 0.\]เทียบเท่ากับ
\[\frac{x^2 - x - 6}{(x + 1)(x + 5)} \le 0.\]เราสามารถแยกตัวประกอบของเศษส่วนได้
\[\frac{(x - 3)(x + 2)}{(x + 1)(x + 5)} \le 0.\]เราสร้างตารางเครื่องหมายตามนั้น
\begin{tabular}{c|cccc|c} &$x-3$ &$x+2... | x = 3. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนาม $P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$ มีสมบัติที่ค่าเฉลี่ยของรากของมัน ผลคูณของรากของมัน และผลรวมของสัมประสิทธิ์ของมันมีค่าเท่ากัน จุดตัดแกน y ของกราฟ $y = P(x)$ คือ 8 จงหาค่าของ $b$ | จุดตัดแกน y ของกราฟคือจุดที่ $x=0$ ที่จุดนี้ $P(x)=c$ ซึ่งเราทราบว่าเท่ากับ 8 ดังนั้น $c=8$ ผลคูณของรากของพหุนามที่กำหนดคือ $-\frac{c}{2}=-4$ ข้อปัญหาให้ว่าค่าเฉลี่ยของรากต้องเท่ากับ $-4$ ด้วย ดังนั้นผลรวมของรากทั้งสาม (นี่คือสมการลูกบาศก์) เท่ากับ $3 \cdot -4 = -12$ ผลรวมของรากยังเท่ากับ $-\frac{a}{2}$ ดังนั้น $a=24$ ... | b=\boxed{-38} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นพหุนามลูกบาศก์ที่มีสัมประสิทธิ์ชั้นนำเท่ากับ 1 และ $r$ เป็นจำนวนจริง สองในรากของ $f(x)$ คือ $r + 1$ และ $r + 7$ สองในรากของ $g(x)$ คือ $r + 3$ และ $r + 9$ และ
\[f(x) - g(x) = r\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทุกจำนวน จงหา $r$ | โดยทฤษฎีบทเศษเหลือกำลัง
\[f(x) = (x - r - 1)(x - r - 7)(x - a)\]และ
\[g(x) = (x - r - 3)(x - r - 9)(x - b)\]สำหรับจำนวนจริง $a$ และ $b$ บางจำนวน
แล้ว
\[f(x) - g(x) = (x - r - 1)(x - r - 7)(x - a) - (x - r - 3)(x - r - 9)(x - b) = r\]สำหรับ $x$ ทุกจำนวน
แทน $x$ ด้วย $r + 3$ เราได้
\[(2)(-4)(r + 3 - a) = r.\]แทน $x$ ด้... | r = \boxed{32}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของรากที่ 2007 ของ $(x-1)^{2007}+2(x-2)^{2006}+3(x-3)^{2005}+\cdots+2006(x-2006)^2+2007(x-2007)$ | เนื่องจากสูตรของ Vieta's ถ้าเราทราบสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2007}$ และ $x^{2006}$ เราสามารถหาผลรวมของรากทั้งหมดได้ สัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2007}$ ง่ายต่อการหา -- คือ 1. โดยใช้ทฤษฎีบททวินามใน $(x-1)^{2007}$ สัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2006}$ คือ $-\tbinom{2007}{2006} + 2 = -2005$. ดังนั้น โดยสูตรของ Vieta's ผลรวมของรากทั้งหม... | \tfrac{-(-2005)}{1} = \boxed{2005} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง หนึ่งในรากของสมการ
\[x^3 + ax^2 - x + b = 0\]คือ $1 - 2i.$ จงหาคู่ลำดับ $(a,b).$ | เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจำนวนจริง อีกหนึ่งรากคือสังยุคของ $1 - 2i$ ซึ่งก็คือ $1 + 2i.$ ให้ $r$ เป็นรากที่สาม แล้วพหุนามคือ
\[(x - 1 + 2i)(x - 1 - 2i)(x - r) = x^3 - (r + 2)x^2 + (2r + 5)x - 5r.\]ดังนั้น $2r + 5 = -1$ ดังนั้น $r = -3.$ แล้ว $a = -(r + 2) = 1$ และ $b = -5r = 15$ ดังนั้น $(a,b) = \boxed{(1,1... | (a,b) = \boxed{(1,15)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาฟังก์ชันกำลังสอง $f(x) = x^2 + ax + b$ ที่สอดคล้องกับ
\[\frac{f(f(x) + x)}{f(x)} = x^2 + 1776x + 2010.\] | เรามีว่า
\begin{align*}
f(f(x) + x) &= f(x^2 + (a + 1) x + b) \\
&= (x^2 + (a + 1)x + b)^2 + a(x^2 + (a + 1) x + b) + b \\
&= x^4 + (2a + 2) x^3 + (a^2 + 3a + 2b + 1) x^2 + (a^2 + 2ab + a + 2b) x + (ab + b^2 + b).
\end{align*}เราสามารถเขียนได้เป็น
\begin{align*}
&x^4 + (2a + 2) x^3 + (a^2 + 3a + 2b + 1) x^2 + (a^2 + 2a... | f(x) = \boxed{x^2 + 1774x + 235}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวน $a,$ $b,$ $c,$ $d$ มีค่าเท่ากับ 1, 2, 3, 4 ในลำดับใดๆ จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ
\[ab + bc + cd + da.\] | เราสามารถแยกตัวประกอบ $ab + bc + cd + da$ เป็น $(a + c)(b + d).$ จากนั้นโดย AM-GM,
\[(a + c)(b + d) \le \frac{[(a + c) + (b + d)]^2}{4} = \frac{10^2}{4} = 25.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $a = 1,$ $b = 2,$ $c = 4,$ และ $d = 3,$ ดังนั้นค่าสูงสุดที่เป็นไปได้คือ $\boxed{25}.$ | \boxed{25}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $k$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $k > 1$ และ
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5n-1}{k^n} = \frac{13}{4}.\]จงหาค่าของ $k$. | กำหนด $$S =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5n-1}{k^n} = \frac{4}{k} + \frac{9}{k^2} + \frac{14}{k^3} + \dotsb.$$นำ $k$ คูณทั้งสองข้าง จะได้
$$kS = 4 + \frac{9}{k} + \frac{14}{k^2} + \frac{19}{k^3} + \dotsb.$$นำสมการที่สองลบด้วยสมการที่หนึ่ง จะได้
$$\begin{aligned}(k-1)S &= 4 + \frac{5}{k} + \frac{5}{k^2} + \frac{5}{... | k = \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าคงตัว $c$ ใดบ้าง กราฟของ $f(x) = \frac{x^2-x+c}{x^2+x-20}$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งเพียงเส้นเดียว?
กรุณาใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เราสามารถแยกตัวประกอบของส่วนของเศษส่วนได้เป็น $$f(x) = \frac{x^2-x+c}{(x-4)(x+5)}.$$ดังนั้น กราฟของ $f(x)$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x=-5$ และ $x=4$ เว้นแต่จะมีตัวประกอบของ $x-4$ หรือ $x+5$ ในตัวเศษที่ยกเลิกตัวประกอบที่สอดคล้องกันในตัวส่วน (ในกรณีนี้จะมีรูที่จุดนั้นแทนที่จะเป็นเส้นกำลุ่ง) ดังนั้น เราต้องหา $c$ ที่ทำให้ $... | c = \boxed{-12 \text{ หรือ } -30}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงกลมวงหนึ่งอยู่ภายในพาราโบลาที่มีสมการ $y = x^2$ โดยสัมผัสกับพาราโบลาที่จุดสองจุด จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่สูงกว่าจุดสัมผัสเท่าใด? | ให้จุดสัมผัสจุดหนึ่งเป็น $(a,a^2).$ เนื่องจากสมมาตร จุดสัมผัสอีกจุดหนึ่งคือ $(-a,a^2).$ และเนื่องจากสมมาตร จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่บนแกน $y.$ ให้จุดศูนย์กลางเป็น $(0,b),$ และให้รัศมีเป็น $r.$
[asy]
unitsize(1.5 cm);
real func (real x) {
return(x^2);
}
pair A = (1,1), O = (0,3/2);
draw(Circle(O,sqrt(5)/2));
dra... | (a,a^2) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนจริง $x$ สอดคล้องกับ $x^2 - 5x + 6 < 0.$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $x^2 + 5x + 6.$ | อสมการ $x^2 - 5x + 6 < 0$ สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(x - 2)(x - 3) < 0,$ ดังนั้นคำตอบคือ $2 < x < 3.$ เนื่องจาก $x^2 + 5x + 6$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วงนี้ เราได้ว่า
\[x^2 + 5x + 6 > 2^2 + 5 \cdot 2 + 6 = 20\]และ
\[x^2 + 5x + 6 < 3^2 + 5 \cdot 3 + 6 = 30.\]ดังนั้น เซตของค่าที่เป็นไปได้ของ $x^2 + 5x + 6$ คือ $\boxed{(20... | \boxed{(20,30)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.