question stringlengths 16 1.6k | solution stringlengths 3 2.73k | answer stringlengths 0 168 | bloom_taxonomy listlengths 1 4 |
|---|---|---|---|
มีจำนวนจริงบวกกี่คำตอบที่สอดคล้องกับสมการ $x^{10}+7x^9+14x^8+1729x^7-1379x^6=0$? | เราสามารถแยกตัวประกอบสมการได้เป็น
\[x^6 (x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 1729x - 1379) = 0.\]เนื่องจากเราต้องการหาคำตอบจริงบวก สมการจะลดรูปเป็น
\[x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 1729x - 1379.\]พิจารณาฟังก์ชัน $f(x) = x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 1729x - 1379.$ ฟังก์ชันนี้เพิ่มขึ้นสำหรับ $x > 0.$ นอกจากนี้ $f(0) < 0$ และ $f(1) > 0,$ ดังนั้นมีคำตอบจ... | (0,1). | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับที่นิยามแบบวนซ้ำโดย $u_1 = a > 0$ และ
\[u_{n + 1} = -\frac{1}{u_n + 1}\]สำหรับ $n \ge 1.$ แสดง $u_{16}$ ในรูปของ $a.$ | เรามีว่า
\begin{align*}
u_2 &= -\frac{1}{a + 1}, \\
u_3 &= -\frac{1}{-\frac{1}{a + 1} + 1} = -\frac{a + 1}{a}, \\
u_4 &= -\frac{1}{-\frac{a + 1}{a} + 1} = a.
\end{align*}เนื่องจาก $u_4 = u_1,$ และแต่ละพจน์ขึ้นอยู่กับพจน์ก่อนหน้าเท่านั้น ลำดับจึงเป็นคาบ โดยมีคาบยาว 3 ดังนั้น $u_{16} = u_1 = \boxed{a}.$ | u_{16} = u_1 = \boxed{a}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $a<0$ และ $a<b<c$ ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริงเสมอ?
$ab < bc$
$ac<bc$
$ab< ac$
$a+b<b+c$
$c/a <1$
กรุณาใส่คำตอบเป็นรายการตัวเลือกที่เป็นจริงเสมอ ตัวอย่างเช่น หากคุณคิดว่าตัวเลือกแรกและตัวเลือกที่สามเป็นจริง ให้ใส่ A, C | พิจารณา $b$ ที่เป็นลบและ $c$ ที่เป็นบวก จากนั้น $ab$ เป็นบวกและ $bc$ เป็นลบ ดังนั้นข้อความนี้จึงไม่เป็นจริง
หากเราพิจารณาจำนวนลบสำหรับตัวแปรทั้งสาม $ac>bc$ ดังนั้นข้อความนี้จึงไม่เป็นจริง
พิจารณา $b$ ที่เป็นลบและ $c$ ที่เป็นบวก จากนั้น $ab$ เป็นบวกและ $ac$ เป็นลบ ดังนั้นข้อความนี้จึงไม่เป็นจริง
การลบ $b$ จากทั้งสองข้าง... | \boxed{D, E} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากมีความยาว $\log_4 27$ และ $\log_2 9.$ ถ้าความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $h,$ จงคำนวณ $4^h.$ | ให้ $t = \log_4 3.$ แล้ว $\log_4 27 = 3 \log_4 3 = 3t,$ และ $\log_2 9 = \frac{\log_4 9}{\log_4 2} = \frac{2 \log_4 3}{1/2} = 4t.$ ดังนั้นสามเหลี่ยมนี้มีด้านในอัตราส่วน $3:4:5,$ ดังนั้น $h = 5t = 5 \log_4 3 = \log_4 243.$ ดังนั้น $4^h = \boxed{243}.$ | 4^h = \boxed{243}. | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n \le 1000$ ที่สามารถเขียนอยู่ในรูป
\[\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 3x \rfloor = n\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ | ให้ $m = \lfloor x \rfloor.$
ถ้า $m \le x < m + \frac{1}{3},$ แล้ว
\[\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 3x \rfloor = m + 2m + 3m = 6m.\]ถ้า $m + \frac{1}{3} \le x < m + \frac{1}{2},$ แล้ว
\[\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 3x \rfloor = m + 2m + 3m + 1 = 6m + 1.\]ถ้า $m + \frac{1}{2} \le x... | 166 + 167 + 167 + 167 = \boxed{667}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \ge 1 + \log_2 \frac{2014}{2015}.\] | ก่อนอื่น,
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) = \log_2 \left[ \prod_{k = 0}^n \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \right].\]เราต้องการหาค่าของ
\[(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x^{2^n})\]ที่ $x = \frac{1}{2}.$ โดยใช้ผลต่างกำลังสอง,
\begin{align*}
(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x^... | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้จุด $P,$ $Q,$ และ $R$ แทนด้วยจำนวนเชิงซ้อน $z,$ $(1 + i) z,$ และ $2 \overline{z}$ ตามลำดับ โดยที่ $|z| = 1.$ เมื่อ $P,$ $Q$, และ $R$ ไม่共线 ให้ $S$ เป็นจุดยอดที่สี่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน $PQSR.$ จงหาความยาวสูงสุดระหว่าง $S$ กับจุดกำเนิดบนระนาบเชิงซ้อน | ให้ $w$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับจุด $S.$ เนื่องจาก $PQSR$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
\[w = (1 + i) z + 2 \overline{z} - z,\]ดังนั้น $w = 2 \overline{z} + iz.$ แล้ว $\overline{w} = 2z - i \overline{z},$ ดังนั้น
\begin{align*}
|w|^2 &= w \overline{w} \\
&= (2 \overline{z} + iz)(2z - i \overline{z}) \\
&= 4 z \overl... | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จากเซตของจำนวนเต็ม $\{1,2,3,\dots,2009\}$, เลือก $k$ คู่ $\{a_i,b_i\}$ โดยที่ $a_i<b_i$ เพื่อให้ไม่มีสองคู่ใดมีสมาชิกที่เหมือนกัน สมมติว่าผลรวมทั้งหมด $a_i+b_i$ นั้นแตกต่างกันและน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2009 จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $k$. | กำหนดให้
\[S = \sum_{i = 1}^k (a_i + b_i).\]เนื่องจาก $a_i$ และ $b_i$ ทั้งหมดแตกต่างกัน
\[S \ge 1 + 2 + \dots + 2k = \frac{(2k)(2k + 1)}{2} = k(2k + 1).\]เนื่องจากผลรวม $k$ คู่ $a_1 + b_1,$ $a_2 + b_2,$ $\dots,$ $a_k + b_k$ ทั้งหมดแตกต่างกันและน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2009
\[S \le (2010 - k) + (2011 - k) + \dots + 2009 = \f... | \boxed{803}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนาม $x^3 - 2004 x^2 + mx + n$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มและมีรากที่แตกต่างกัน 3 ราก ซึ่งเป็นจำนวนบวก รากหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม และเป็นผลบวกของอีกสองราก มีค่าของ $n$ ที่เป็นไปได้กี่ค่า? | ให้ $a$ แทนรากที่เป็นจำนวนเต็ม เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $x^3$ เท่ากับ 1 จึงไม่มีรากอื่นที่เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นอีกสองรากต้องเป็น $\frac{a}{2} \pm r$ สำหรับจำนวนอตรรกยะ $r$ พหุนามจะเป็น \[(x-a) \left( x - \frac{a}{2} - r \right) \left( x - \frac{a}{2} + r \right) = x^3 - 2ax^2 + \left( \frac{5}{4}a^2 - r^2 \right) x ... | n | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ตัวหารร่วมมากที่สุดของ $x^2+ax+b$ และ $x^2+bx+c$ คือ $x+1$ (ในเซตของพหุนามใน $x$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม) และตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของ $x^2+ax+b$ และ $x^2+bx+c$ คือ $x^3-4x^2+x+6$ จงหา $a+b+c$ | เนื่องจาก $x+1$ หาร $x^2+ax+b$ ลงตัว และพจน์คงตัวคือ $b$ เราได้ว่า $x^2+ax+b=(x+1)(x+b)$ และในทำนองเดียวกัน $x^2+bx+c=(x+1)(x+c)$ ดังนั้น $a=b+1=c+2$ นอกจากนี้ ตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของพหุนามทั้งสองคือ $(x+1)(x+b)(x+b-1)=x^3-4x^2+x+6$ ดังนั้น $b=-2$ ดังนั้น $a=-1$ และ $c=-3$ และ $a+b+c=\boxed{-6}$ | a+b+c=\boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของสมการ \[ x^2 + 4y^2 - 10x + 56y = k\]เป็นวงรีที่ไม่เสื่อมสภาพก็ต่อเมื่อ $k > a.$ ค่าของ $a$ คืออะไร? | เพื่อที่จะพยายามเขียนสมการที่กำหนดให้อยู่ในรูปมาตรฐาน เราจะเติมกำลังสองในตัวแปรแต่ละตัว: \[\begin{aligned} (x^2-10x) + 4(y^2+14y) &= k \\ (x^2-10x+25) + 4(y^2+14y+49) &= k + 25 + 4(49) = k + 221 \\ (x-5)^2 + 4(y+7)^2 &= k + 221. \end{aligned}\]เราจะเห็นว่าถ้า $k + 221 > 0,$ แล้วเราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $k + 221$ เพื... | a = \boxed{-221}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[a^3 - 15a^2 + 20a - 50 = 0 \quad \text{และ} \quad 8b^3 - 60b^2 - 290b + 2575 = 0.\]จงคำนวณค่า $a + b.$ | กำหนดให้ $x = a - 5.$ แล้ว $a = x + 5,$ ดังนั้น
\[(x + 5)^3 - 15(x + 5)^2 + 20(x + 5) - 50 = 0,\]ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $x^3 - 55x - 200 = 0.$
กำหนดให้ $y = b - \frac{5}{2}.$ แล้ว $b = y + \frac{5}{2},$ ดังนั้น
\[8 \left( y + \frac{5}{2} \right)^3 - 60 \left( y + \frac{5}{2} \right)^2 - 290 \left( y + \frac{5}{2} \righ... | a + b = 5 + \frac{5}{2} = \boxed{\frac{15}{2}}. | [
"unknown"
] |
มีจำนวนเชิงซ้อนในรูป $z = x + yi,$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\[z^3 = -74 + ci,\]โดยที่ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่า $z$. | จากการยกกำลังสามของสมการ $z = x + yi,$ เราได้
\begin{align*}
z^3 &= (x + yi)^3 \\
&= x^3 + 3x^2 yi + 3xy^2 i^2 + y^3 i^3 \\
&= x^3 + 3x^2 yi - 3xy^2 - y^3 i \\
&= (x^3 - 3xy^2) + (3x^2 y - y^3)i.
\end{align*}ดังนั้น $x^3 - 3xy^2 = -74.$ เราจะได้
\[x(x^2 - 3y^2) = -74.\]นั่นหมายความว่า $x$ ต้องเป็นตัวหารของ 74 ซึ่งหมาย... | z = \boxed{1 + 5i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสี่รากของสมการ
\[2x^4 + x^3 - 6x^2 + x + 2 = 0.\]
ใส่สี่ราก (นับ multiplicity) ที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | หารสมการด้วย $x^2,$ เราได้
\[2x^2 + x - 6 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} = 0.\]
ให้ $y = x + \frac{1}{x}.$ แล้ว
\[y^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2},\]ดังนั้น $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2.$ ดังนั้น เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้เป็น
\[2(y^2 - 2) + y - 6 = 0.\]
ซึ่งจะเรียบง่ายเป็น $2y^2 + y - 10 = 0.$ รากของสมการนี้คือ $y = ... | \boxed{1, 1, -2, -\frac{1}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ให้ $a_1,$ $a_2,$ $\dots,$ $a_{100}$ แต่ละตัวมีค่าเท่ากับ $1$ หรือ $-1$ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นบวกของ
\[\sum_{1 \le i < j \le 100} a_i a_j.\] | ให้ $S$ แทนผลบวกที่กำหนด ดังนั้น
\begin{align*}
2S &= (a_1 + a_2 + \dots + a_{100})^2 - (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{100}^2) \\
&= (a_1 + a_2 + \dots + a_{100})^2 - 100.
\end{align*}เพื่อหาค่าต่ำสุดที่เป็นบวกของ $2S$ เราต้องการให้ $(a_1 + a_2 + \dots + a_{100})^2$ มีค่าใกล้เคียงกับ 100 มากที่สุด (ในขณะที่มากกว่า 100) เ... | \frac{144 - 100}{2} = \boxed{22}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $\alpha$ และ $\beta$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุคซึ่ง $\frac{\alpha}{\beta^2}$ เป็นจำนวนจริง และ $|\alpha - \beta| = 2 \sqrt{3}.$ จงหา $|\alpha|.$ | กำหนดให้ $\alpha = x + yi$ และ $\beta = x - yi.$ จาก $|\alpha - \beta| = 2 \sqrt{3},$ จะได้ $2|y| = 2 \sqrt{3},$ ดังนั้น $|y| = \sqrt{3}.$
เนื่องจาก $\frac{\alpha}{\beta^2}$ เป็นจำนวนจริง และ $\alpha$ และ $\beta$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุค ดังนั้น $\alpha^2 \beta^2$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น $\frac{\alpha}{\beta^2} \cdot \al... | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนาม $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง และ $f(2i)=f(2+i)=0$ จงหาค่าของ $a+b+c+d$ | เนื่องจาก $f(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง และ $2i$ และ $2+i$ เป็นราก ดังนั้น รากของสมการที่เป็นสังยุคของมัน คือ $-2i$ และ $2-i$ ก็เป็นรากเช่นกัน ดังนั้น
\begin{align*}
f(x)&=(x+2i)(x-2i)(x-(2+i))(x-(2-i))\\
&=(x^2+4)(x^2-4x+5)\\
&=x^4-4x^3+9x^2-16x+20.
\end{align*}ดังนั้น $a+b+c+d=-4+9-16+20=\boxed{9}$. | a+b+c+d=-4+9-16+20=\boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณค่าที่แน่นอนของนิพจน์
\[|\pi - |\pi - 7||.\]เขียนคำตอบของคุณโดยใช้เฉพาะจำนวนเต็มและ $\pi,$ โดยไม่มีเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ | เนื่องจาก $\pi < 7,$
\[|\pi - 7| = 7 - \pi.\]ดังนั้น,
\[|\pi - |\pi - 7|| = |\pi - (7 - \pi)| = |2 \pi - 7|.\]เราทราบว่า $\pi \approx 3.1416 < \frac{7}{2},$ ดังนั้น
\[|2 \pi - 7| = \boxed{7 - 2 \pi}.\] | \pi \approx 3.1416 < \frac{7}{2}, | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $f(x)$ เป็นพหุนามกำลังสี่ที่มีสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ 1 ซึ่ง $f(-1)=-1$, $f(2)=-4$, $f(-3)=-9$, และ $f(4)=-16$ จงหา $f(1)$. | ให้ $g(x) = f(x) + x^2.$ แล้ว $g(x)$ ก็เป็นพหุนามกำลังสี่ที่มีสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ 1 เช่นกัน และ $g(-1) = g(2) = g(-3) = f(4) = 0,$ ดังนั้น
\[g(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 4).\]ดังนั้น $f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 4) - x^2.$ โดยเฉพาะ $f(1) = (2)(-1)(4)(-3) - 1 = \boxed{23}.$ | f(1) = (2)(-1)(4)(-3) - 1 = \boxed{23}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $k$ เป็นจำนวนจริงที่ $k > 1$ และ
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5n-1}{k^n} = \frac{13}{4}.\] จงหาค่า $k.$ | กำหนด $$S =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5n-1}{k^n} = \frac{4}{k} + \frac{9}{k^2} + \frac{14}{k^3} + \dotsb.$$ คูณด้วย $k$ จะได้
$$kS = 4 + \frac{9}{k} + \frac{14}{k^2} + \frac{19}{k^3} + \dotsb.$$ ลบสมการแรกจากสมการที่สองจะได้
$$\begin{aligned}(k-1)S &= 4 + \frac{5}{k} + \frac{5}{k^2} + \frac{5}{k^3} + \dotsb \\
... | k = \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A = (1,0)$ และ $B = (5,4).$ กำหนดให้ $P$ เป็นจุดบนพาราโบลา $y^2 = 4x.$ จงหาค่าต่ำสุดของ $AP + BP.$ | สังเกตว่า $A$ เป็นจุดโฟกัสของพาราโบลา $y^2 = 4x,$ และไดเร็คทริกซ์คือ $x = -1.$ ดังนั้นโดยนิยามของพาราโบลา ระยะทางจาก $P$ ถึง $A$ เท่ากับระยะทางจาก $P$ ถึงเส้นตรง $x = -1.$ กำหนดให้ $Q$ เป็นจุดบน $x = -1$ ที่ใกล้กับ $P$ ที่สุด และกำหนดให้ $R$ เป็นจุดบน $x = -1$ ที่ใกล้กับ $B$ ที่สุด.
[asy]
unitsize(0.6 cm);
real upp... | \boxed{6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C} $ โดย $ f(z) = z^2 + iz + 1 $. จงหาจำนวนของจำนวนเชิงซ้อน $z $ ที่ทำให้ $ \text{Im}(z) > 0 $ และส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ $f(z)$ เป็นจำนวนเต็มที่มีค่าสัมบูรณ์ไม่เกิน $ 10 $ | สมมติว่า $f(z)=z^2+iz+1=c=a+bi$. เราต้องการหา $z$ ที่มี $\text{Im}(z)>0$ ซึ่ง $a,b$ เป็นจำนวนเต็มที่ $|a|, |b|\leq 10$.
เริ่มต้นด้วยการใช้สูตรกำลังสอง:
$ z = \frac{1}{2} (-i \pm \sqrt{-1-4(1-c)}) = -\frac{i}{2} \pm \sqrt{ -\frac{5}{4} + c }$
โดยทั่วไป พิจารณาส่วนจินตภาพของรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน: $\sqrt{u}$, โดย $... | 231+168=\boxed{399} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นตรงที่ผ่านจุด $(1, 7)$ และ $(3, 11)$ ตัดแกน $y$ ที่จุดใด จงแสดงคำตอบในรูปของจุดที่ขึ้นคู่ | แกน $y$ คือเส้นตรงที่ $x$-พิกัดมีค่าเท่ากับ $0$ โดยใช้จุดที่กำหนดให้ เมื่อ $x$-พิกัดลดลง $2$ $y$-พิกัดจะลดลง $4$ ดังนั้น เมื่อ $x$-พิกัดลดลง $1$ จาก $1$ เป็น $0$ $y$-พิกัดจะลดลง $2$ จาก $7$ เป็น $5$ จุดที่ได้คือ $\boxed{(0,5)}$ | \boxed{(0,5)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนาม $x^3 -ax^2 + bx -2010$ มีรากเป็นจำนวนเต็มบวกสามจำนวน จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $a$ | จากสูตรของ Vieta's เราทราบว่า $a$ คือผลรวมของรากทั้งสามของพหุนาม $x^3-ax^2+bx-2010$ สูตรของ Vieta's บอกเราอีกว่า $2010$ คือผลคูณของรากจำนวนเต็มทั้งสาม นอกจากนี้ $2010$ หารด้วย $2\cdot3\cdot5\cdot67$ แต่เนื่องจากพหุนามมีรากเพียงสามจำนวน ดังนั้นสองในสี่จำนวนเฉพาะต้องถูกคูณกันเพื่อให้เหลือรากสามจำนวน เพื่อให้ $a$ น้อย... | $6+5+67=\boxed{78}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเชิงซ้อนอยู่ในรูป $z = x + yi,$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\[z^3 = -74 + ci,\]โดยที่ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $z$. | ยกกำลังสามของสมการ $z = x + yi,$ จะได้
\begin{align*}
z^3 &= (x + yi)^3 \\
&= x^3 + 3x^2 yi + 3xy^2 i^2 + y^3 i^3 \\
&= x^3 + 3x^2 yi - 3xy^2 - y^3 i \\
&= (x^3 - 3xy^2) + (3x^2 y - y^3)i.
\end{align*}ดังนั้น $x^3 - 3xy^2 = -74.$ เราจะได้
\[x(x^2 - 3y^2) = -74.\]ดังนั้น $x$ ต้องเป็นตัวหารของ 74 ซึ่งหมายความว่า $x$ ต้อ... | z = \boxed{1 + 5i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวกที่ $a + b = 1.$ จงหาเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}.$ | โดย AM-HM,
\[\frac{a + b}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}.\]ดังนั้น,
\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{a + b} = 4.\]สมการเป็นจริงเมื่อ $a = b = \frac{1}{2}.$
สังเกตว่าเมื่อ $a$ เข้าใกล้ 0 และ $b$ เข้าใกล้ 1, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ จะมีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ. ดังนั้น เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $\... | \boxed{[4,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนฟังก์ชัน $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับ
\[f(xy) + f(xz) - f(x) f(yz) \ge 1\]สำหรับจำนวนจริง $x,$ $y,$ และ $z$ ทุกจำนวน | กำหนด $x = y = z = 0,$ เราได้
\[f(0) + f(0) - f(0)^2 \ge 1,\]ดังนั้น $f(0)^2 - 2f(0) + 1 \le 0.$ แล้ว $(f(0) - 1)^2 \le 0,$ ซึ่งบังคับให้ $f(0) = 1.$
กำหนด $x = y = z = 1,$ เราได้
\[f(1) + f(1) - f(1)^2 \ge 1,\]ดังนั้น $f(1)^2 - 2f(1) + 1 \le 0.$ แล้ว $(f(1) - 1)^2 \le 0,$ ซึ่งบังคับให้ $f(1) = 1.$
กำหนด $y = z = 0... | f(x). | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับ $\frac{x(x+1)}{(x-4)^2} \ge 12.$ (แสดงคำตอบในรูปของช่วง) | เนื่องจาก $(x-4)^2$ เป็นค่าไม่เป็นลบเสมอ เราสามารถคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วย $(x-4)^2$ โดยไม่ต้องเปลี่ยนทิศทางของอสมการ โดยมีเงื่อนไขว่า $x \neq 4$: \[\begin{aligned} x(x+1) &\ge 12(x-4)^2 \\ 0 &\ge 11x^2 - 97x + 192. \end{aligned}\]พหุนามกำลังสองนี้แยกตัวประกอบได้เป็น \[0 \ge (x-3)(11x-64),\]ซึ่งเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $3... | x \neq 4, | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อพหุนาม $x^{1000}$ หารด้วยพหุนาม $(x^2 + 1)(x + 1)$ | สังเกตว่า $(x^2 + 1)(x + 1)$ เป็นตัวประกอบของ $(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1) = x^4 - 1.$ เนื่องจาก
\[x^{1000} - 1 = (x^4 - 1)(x^{996} + x^{992} + x^{988} + \dots + x^8 + x^4 + 1),\]เศษที่เหลือเมื่อ $x^{1000}$ หารด้วย $(x^2 + 1)(x + 1)$ คือ $\boxed{1}.$ | \boxed{1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ \[\frac 2{\log_4{2000^6}} + \frac 3{\log_5{2000^6}},\]เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ใช้สมบัติ $\log_a b^x = x \log_a b,$ เราได้ \[\begin{aligned} \frac 2{\log_4{2000^6}} + \frac 3{\log_5{2000^6}} &= \frac{2}{6\log_4 2000} + \frac{3}{6\log_5 2000} \\ &= \frac{1}{3\log_4 2000} + \frac{1}{2\log_5 2000}. \end{aligned}\]เนื่องจาก $\log_a b = \frac1{\log_b a}$, เราสามารถเขียนได้ \[\frac{1}{3\log_4 2000} + \... | \boxed{\tfrac{1}{6}} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนจริงบวก $x$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง
\[\lfloor x^2 \rfloor - x \lfloor x \rfloor = 6.\] | ให้ $n = \lfloor x \rfloor$ และ $f = \{x\}.$ ดังนั้น $x = n + f,$ ดังนั้น
\[\lfloor n^2 + 2nf + f^2 \rfloor - (n + f) n = 6.\]เนื่องจาก $n^2$ เป็นจำนวนเต็ม เราสามารถนำออกจากฟังก์ชัน floor ได้ ดังนี้
\[n^2 + \lfloor 2nf + f^2 \rfloor - n^2 - nf = 6.\]ดังนั้น,
\[\lfloor 2nf + f^2 \rfloor - nf = 6.\]เนื่องจาก $\lfloor 2n... | \boxed{\frac{55}{7}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ไบรอันจดจำนวนเต็มสี่จำนวน $w > x > y > z$ ซึ่งผลรวมของจำนวนเหล่านี้คือ 44 ค่าต่างของจำนวนบวกของจำนวนเหล่านี้คือ 1, 3, 4, 5, 6 และ 9 ผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $w$ คือเท่าไร | ผลต่างที่มากที่สุดต้องเป็น $w - z = 9.$ ผลต่างสองจำนวน $w - x$ และ $x - z$ ต้องบวกกันได้ $w - z = 9.$ ในทำนองเดียวกัน ผลต่างสองจำนวนของ $w - y$ และ $y - z$ ต้องบวกกันได้ 9. ดังนั้น $\{w - x, x - z\}$ และ $\{w - y, y - z\}$ ต้องเป็น $\{3,6\}$ และ $\{4,5\}$ ในลำดับใดลำดับหนึ่ง. สิ่งนี้จะทำให้ $x - y = 1.$
กรณีที่ 1:... | 15 + 16 = \boxed{31}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของรากที่เป็นจำนวนตรรกยะของ $g(x)=x^3-9x^2+16x-4$. | โดยทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะ $p/q$ ใดๆ ของ $g(x)$ ต้องมี $p$ หาร 4 ลงตัว และ $q$ หาร 1 ลงตัว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่ารากตรรกยะใดๆ ต้องเป็นตัวหารจำนวนเต็มของ 4
โดยการทดลองตัวประกอบจำนวนเต็มของ 4 เราพบว่า $g(2) = 8-9\cdot4+16\cdot2-4=0$. ดังนั้นโดยทฤษฎีบทปัจจัย $x-2$ เป็นตัวประกอบของ $g(x)$. ด้วยการหารพหุนาม เราสา... | \boxed{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นกำกับเฉียงของนิพจน์เชิงตรรกยะ $y = \frac{2x^2 + 3x - 7}{x-3}$ คือเส้นตรงที่กราฟของสมการนี้เข้าใกล้เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $\infty$ หรือ $-\infty$. ถ้าเส้นตรงนี้มีรูปแบบ $y = mx + b$ จงหา $m+b$. | เพื่อแก้ปัญหานี้ เราสามารถใช้การหารยาวหรือการหารสังเคราะห์เพื่อประเมินผลหารของนิพจน์เชิงตรรกยะที่กำหนด หรือเราสามารถเขียนใหม่เทอมตัวเศษเป็น $2x^2 + 3x - 7$ $ = 2x^2 + 3x - 7 - 9x + 9x$ $ = 2x(x-3) + 9x - 7 - 20 + 20$ $ = 2x(x-3) + 9(x-3) + 20$. ดังนั้น $$y = \frac{2x^2 + 3x - 7}{x-3} = \frac{(2x+9)(x-3) + 20}{x-3} = 2x... | 11 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $x + 2y + z = 4.$ จงหาค่าสูงสุดของ
\[xy + xz + yz.\] | เราสามารถแก้หา $y$ ได้ดังนี้
\[y = \frac{4 - x - z}{2}.\]แทนค่าลงไปจะได้
\[xy + xz + yz = \frac{-x^2 + 4x - z^2 + 4z}{2} = \frac{8 - (x - 2)^2 - (z - 2)^2}{2}.\]ค่าสูงสุดคือ $\boxed{4},$ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $x = 2$ และ $z = 2$ (และ $y = 0$). | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงแสดงผลรวมต่อไปนี้ในรูปเศษส่วนร่วม: $$\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 5} + \dots + \frac{1}{9\cdot 10}$$ | สังเกตว่าแต่ละพจน์สามารถเขียนได้เป็น \[ \frac{1}{n (n+1)} = \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}.\] นี่สามารถหาได้โดยการกำหนด \[\frac{1}{n (n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} \] สำหรับค่า $A$ และ $B$ ที่ไม่ทราบค่า และจากนั้นคูณไขว้เพื่อแก้หา $A$ และ $B.$ จากจุดนี้ เราจะเห็นว่า $-\frac{1}{n+1}$ ของแต่ละพจน์จะตัดกันกับ $\frac{1}... | 1 - \frac{1}{(9)+1} = \boxed{\frac{9}{10}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ บนจำนวนเต็มบวกดังนี้:
\[f(n) = \left\{
\begin{array}{cl}
n + 10 & \text{ถ้า $n < 10$}, \\
f(n - 5) & \text{ถ้า $n \ge 10$}.
\end{array}
\right.\]จงหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน | เราเห็นว่า $f(n) = n + 10$ สำหรับ $n = 1,$ 2, 3, $\dots,$ 9. แล้ว
\begin{align*}
f(10) &= f(5) = 15, \\
f(11) &= f(6) = 16, \\
f(12) &= f(7) = 17, \\
f(13) &= f(8) = 18, \\
f(14) &= f(9) = 19, \\
f(15) &= f(10) = 15,
\end{align*}และต่อจากนี้ไป ฟังก์ชันจะเกิดเป็นคาบ ด้วยคาบ 5. ดังนั้น ค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือ $\boxed{1... | \boxed{19}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง
\[|z - 12| + |z - 5i| = 13.\]จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $|z|.$ | โดยอสมการสามเหลี่ยม,
\[|z - 12| + |z - 5i| = |z - 12| + |5i - z| \ge |(z - 12) + (5i - z)| = |-12 + 5i| = 13.\]แต่เราทราบว่า $|z - 12| + |z - 5i| = 13.$ วิธีเดียวที่ความเท่ากันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $z$ อยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อม 12 และ $5i$ ในระนาบเชิงซ้อน.
[asy]
unitsize(0.4 cm);
pair Z = interp((0,5),(12,0),0... | h = \boxed{\frac{60}{13}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \ge 1 + \log_2 \frac{2014}{2015}.\] | ก่อนอื่น
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) = \log_2 \left[ \prod_{k = 0}^n \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \right].\]เราต้องการหาค่าของ
\[(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x^{2^n})\]ที่ $x = \frac{1}{2}.$ โดยใช้ผลต่างของกำลังสอง
\begin{align*}
(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x... | \boxed{3}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $x + y + z = 1.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}.\] | โดย AM-HM,
\[\frac{x + y + z}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}.\]ดังนั้น,
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{x + y + z} = 9.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x = y = z = \frac{1}{3},$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{9}.$ | \boxed{9}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาโดเมนของฟังก์ชัน
\[g(x) = \frac{x^3 + 11x - 2}{|x - 3| + |x + 1|}.\] | นิพจน์ถูกนิยามก็ต่อเมื่อส่วน $|x - 3| + |x + 1|$ ไม่เท่ากับ 0 เนื่องจากฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์มีค่าไม่เป็นลบเสมอ ดังนั้น $|x - 3| + |x + 1| = 0$ ก็ต่อเมื่อ $|x - 3|$ และ $|x + 1|$ เท่ากับ 0 ในทางกลับกัน สิ่งนี้เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ $x = 3$ และ $x = -1$ เท่านั้น แน่นอน $x$ ไม่สามารถเป็น 3 และ $-1$ ได้ในเวลาเดียวกัน ดังนั้นส่วน... | \boxed{(-\infty,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการอสมการ
\[\frac{(x - 2)(x - 3)(x - 4)}{(x - 1)(x - 5)(x - 6)} > 0.\] | เราสามารถสร้างตารางเครื่องหมายได้ แต่เนื่องจากตัวประกอบทั้งหมดเป็นเส้นตรง เราสามารถติดตามสิ่งที่เกิดขึ้นกับนิพจน์เมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น เมื่อ $x = 0$ นิพจน์เป็นบวก เมื่อ $x$ เพิ่มขึ้นเกิน 1 นิพจน์จะกลายเป็นลบ เมื่อ $x$ เพิ่มขึ้นเกิน 2 นิพจน์จะกลายเป็นบวก และอื่นๆ ดังนั้นคำตอบคือ
\[x \in \boxed{(-\infty,1) \cup (2,3) \cup ... | x | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ ไม่นิยามสำหรับ $x = 0,$ แต่สำหรับจำนวนจริง $x$ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมด,
\[f(x) + 2f \left( \frac{1}{x} \right) = 3x.\]จงหาคำตอบจริงของ $f(x) = f(-x).$ ใส่คำตอบจริงที่คั่นด้วยจุลภาค | กำหนดให้
\[f(x) + 2f \left( \frac{1}{x} \right) = 3x.\]แทน $x$ ด้วย $\frac{1}{x},$ เราได้
\[f \left( \frac{1}{x} \right) + 2f(x) = \frac{3}{x}.\]เราสามารถพิจารณาสมการเหล่านี้เป็นระบบใน $f(x)$ และ $f \left( \frac{1}{x} \right).$ แก้หา $f(x),$ เราพบ
\[f(x) = \frac{2 - x^2}{x}.\]จากนั้นสมการ $f(x) = f(-x)$ จะกลายเป็น
\[\... | \boxed{\sqrt{2},-\sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อพหุนาม $p(x)$ หารด้วย $x + 1$ แล้วเหลือเศษ 5 และเมื่อ $p(x)$ หารด้วย $x + 5$ แล้วเหลือเศษ $-7$ จงหาเศษที่ได้เมื่อ $p(x)$ หารด้วย $(x + 1)(x + 5)$ | เศษที่ได้เมื่อ $p(x)$ หารด้วย $(x + 1)(x + 5)$ จะอยู่ในรูป $ax + b$ ดังนั้น เราสามารถสมมติได้ว่า
\[p(x) = (x + 1)(x + 5) q(x) + ax + b,\]โดยที่ $q(x)$ คือ thươngจากการหาร
โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ $p(-1) = 5$ และ $p(-5) = -7$ แทนค่า $x = -1$ และ $x = -5$ ในสมการข้างต้น เราจะได้
\begin{align*}
-a + b &= 5, \\
-5a + b &= -7.
... | \boxed{3x + 8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแสดงผลบวกต่อไปนี้ในรูปเศษส่วนร่วม: $$\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 5} + \dots + \frac{1}{9\cdot 10}$$ | สังเกตว่าแต่ละพจน์สามารถเขียนได้เป็น \[ \frac{1}{n (n+1)} = \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}.\] นี่สามารถหาได้โดยการกำหนด \[\frac{1}{n (n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} \] สำหรับค่า $A$ และ $B$ ที่ไม่ทราบค่า และคูณไขว้เพื่อแก้หา $A$ และ $B.$ จากจุดนี้ เราจะเห็นว่า $-\frac{1}{n+1}$ ของแต่ละพจน์จะตัดกันกับ $\frac{1}{n}$ ขอ... | 1 - \frac{1}{(9)+1} = \boxed{\frac{9}{10}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่ง $a + b + c = 0.$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
\[\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc}.\]ใส่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่คั่นด้วยจุลภาค | จากสมการ $a + b + c = 0,$ $c = -a - b.$ ดังนั้น,
\begin{align*}
\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} &= -\frac{a^3 + b^3 - (a + b)^3}{ab(a + b)} \\
&= \frac{3a^2 b + 3ab^2}{ab(a + b)} \\
&= \frac{3ab(a + b)}{ab(a + b)} \\
&= \boxed{3}.
\end{align*}โดยทฤษฎีบทตัวประกอบพหุตัวแปร แสดงว่า $a + b + c$ เป็นตัวประกอบของ $a^3 + b^3 + ... | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $3x + 2y \le 7$ และ $2x + 4y \le 8.$ จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x + y.$ | หารอสมการที่สองด้วย 2 จะได้ $x + 2y \le 4.$ บวกอสมการแรก $3x + 2y \le 7$ จะได้
\[4x + 4y \le 11,\]ดังนั้น $x + y \le \frac{11}{4}.$
ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x = \frac{3}{2}$ และ $y = \frac{5}{4}$ ดังนั้น ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x + y$ คือ $\boxed{\frac{11}{4}}.$ | \boxed{\frac{11}{4}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ
\[|z - 3i| + |z - 4| = 5.\]จงหาค่าต่ำสุดของ $|z|.$ | โดยอสมการสามเหลี่ยม,
\[|z - 3i| + |z - 4| = |z - 4| + |3i - z| \ge |(z - 4) + (3i - z)| = |-4 + 3i| = 5.\]แต่เราทราบว่า $|z - 3i| + |z - 4| = 5.$ วิธีเดียวที่ความเท่ากันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $z$ อยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อ 4 และ $3i$ ในระนาบเชิงซ้อน.
[asy]
unitsize(1 cm);
pair Z = interp((0,3),(4,0),0.6);
pai... | h = \boxed{\frac{12}{5}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริงไม่เป็นลบ กำหนด
\begin{align*}
A &= \sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 5} + \sqrt{z + 10}, \\
B &= \sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 1} + \sqrt{z + 1}.
\end{align*}จงหาค่าต่ำสุดของ $A^2 - B^2.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
A^2 - B^2 &= (A + B)(A - B) \\
&= (\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 5} + \sqrt{y + 1} + \sqrt{z + 10} + \sqrt{z + 1}) \\
&\quad \times (\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1} + \sqrt{y + 5} - \sqrt{y + 1} + \sqrt{z + 10} - \sqrt{z + 1}).
\end{align*}กำหนด
\begin{align*}
a_1 &= \sqrt{x + ... | \boxed{36}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $x = -\frac{1}{12} y^2.$ | จงจำไว้ว่าพาราโบลาถูกนิยามว่าเป็นเซตของจุดทั้งหมดที่ห่างจากจุดโฟกัส $F$ และไดเร็คทริกซ์เท่ากัน
เนื่องจากพาราโบลา $x = -\frac{1}{12} y^2$ สมมาตรรอบแกน $x$ จุดโฟกัสอยู่ที่จุดที่มีรูปแบบ $(f,0).$ ให้ $x = d$ เป็นสมการของไดเร็คทริกซ์
[asy]
unitsize(1.5 cm);
pair F, P, Q;
F = (-1/4,0);
P = (-1,1);
Q = (-1/4,1);
real p... | \boxed{(-3,0)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[f(x) + 2f(1 - x) = 3x^2\]สำหรับทุกค่า $x.$ จงหา $f(4).$ | แทน $x = 4$ ในสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด จะได้
\[f(4) + 2f(-3) = 48.\]แทน $x = -3$ ในสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด จะได้
\[f(-3) + 2f(4) = 27.\]คูณสมการที่สองด้วย 2 จะได้ $2f(-3) + 4f(4) = 54.$ ลบสมการ $f(4) + 2f(-3) = 48$ จะได้ $3f(4) = 6$ ดังนั้น $f(4) = \boxed{2}.$ | f(4) = \boxed{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[xf(y) = yf(x)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด ถ้า $f(15) = 20$ จงหา $f(3)$ | กำหนด $y = 3$ และ $x = 15$ เราได้
\[15f(3) = 3f(15) = 60,\]ดังนั้น $f(3) = \boxed{4}$. | f(3) = \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดการดำเนินการแบบทวิภาค $\diamondsuit$ มีสมบัติว่า $a\,\diamondsuit\, (b\,\diamondsuit \,c) = (a\,\diamondsuit \,b)\cdot c$ และ $a\,\diamondsuit \,a=1$ สำหรับจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ $a, b,$ และ $c$ (ที่นี่ $\cdot$ แทนการคูณ) จงหาคำตอบของสมการ $2016 \,\diamondsuit\, (6\,\diamondsuit\, x)=100.$ | กำหนด $b = a$ และ $c = a,$ เราได้
\[a \, \diamondsuit \, (a \, \diamondsuit \, a) = (a \, \diamondsuit \, a) \cdot a,\]ซึ่งลดรูปเป็น $a \, \diamondsuit \, 1 = a$ สำหรับจำนวน $a$ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ใดๆ
กำหนด $c = b,$ เราได้
\[a \, \diamondsuit \, (b \, \diamondsuit \, b) = (a \, \diamondsuit \, b) \cdot b,\]ซึ่งลดรูปเป็... | x = \boxed{\frac{25}{84}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $k$ ที่ทำให้
\[3 + \frac{3 + k}{4} + \frac{3 + 2k}{4^2} + \frac{3 + 3k}{4^3} + \dotsb = 8.\] | เราได้ว่า
\[3 + \frac{3 + k}{4} + \frac{3 + 2k}{4^2} + \frac{3 + 3k}{4^3} + \dotsb = 8.\]คูณสมการนี้ด้วย 4 เราได้
\[12 + (3 + k) + \frac{3 + 2k}{4} + \frac{3 + 3k}{4^2} + \dotsb = 32.\]ลบสมการทั้งสอง เราได้
\[12 + k + \frac{k}{4} + \frac{k}{4^2} + \frac{k}{4^3} + \dotsb = 24.\]ดังนั้น
\[12 + \frac{k}{1 - 1/4} = 24.\]แก... | k = \boxed{9}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงรีที่มีสมการ
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]ประกอบด้วยวงกลม $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ และ $(x + 1)^2 +y^2 = 1.$ แล้วพื้นที่ของวงรีที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้สามารถแสดงในรูป $k \pi.$ จงหา $k.$ | เราสามารถสมมติได้ว่าวงรีสัมผัสวงกลม $(x - 1)^2 + y^2 = 1.$ จากสมการนี้ $y^2 = 1 - (x - 1)^2.$ แทนค่าลงในสมการของวงรี เราจะได้
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{1 - (x - 1)^2}{b^2} = 1.\]สมการนี้จะลดรูปเป็น
\[(a^2 - b^2) x^2 - 2a^2 x + a^2 b^2 = 0.\]เนื่องจากความสมมาตร พิกัด $x$ ของจุดสัมผัสทั้งสองจะเท่ากัน ดังนั้น ตัวกำหนดของ... | a = \frac{3 \sqrt{2}}{2}. | [
"unknown"
] |
กำหนดให้ตัวเลข 2, 3, 4, 5, 6, 7 ถูกกำหนดให้กับหน้าของลูกบาศก์ 6 หน้า โดยมีตัวเลข 1 ตัวต่อหน้า สำหรับแต่ละจุดยอด 8 จุดของลูกบาศก์ คำนวณผลคูณของตัวเลข 3 ตัว โดยที่ 3 ตัวเลขนั้นคือตัวเลขที่กำหนดให้กับหน้า 3 หน้าที่รวมจุดยอดนั้น จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของผลรวมของผลคูณ 8 ตัวนี้ | ให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f$ เป็นป้ายกำกับของลูกบาศก์ โดยที่ $a$ และ $b$ ตรงข้ามกัน, $c$ และ $d$ ตรงข้ามกัน และ $e$ และ $f$ ตรงข้ามกัน ดังนั้นผลรวมของผลคูณ 8 ตัวคือ
\[ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf = (a + b)(c + d)(e + f).\]โดย AM-GM,
\[(a + b)(c + d)(e + f) \le \left[ \frac{(a + b) + (c + d) + (e + ... | \boxed{729}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
\[f(x,y,z) = \frac{x}{x + y} + \frac{y}{y + z} + \frac{z}{z + x}.\] | ก่อนอื่น โปรดทราบว่า
\begin{align*}
f(x,y,z) &= \frac{x}{x + y} + \frac{y}{y + z} + \frac{z}{z + x} \\
&> \frac{x}{x + y + z} + \frac{y}{y + z + x} + \frac{z}{z + x + y} \\
&= \frac{x + y + z}{x + y + z} = 1.
\end{align*}ให้ $\epsilon$ เป็นจำนวนบวกขนาดเล็ก จากนั้น
\begin{align*}
f(\epsilon^2,\epsilon,1) &= \frac{\epsil... | \boxed{(1,2)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $p(x)$ เป็นพหุนามเอกซ์โมนิกของดีกรี 6 ซึ่ง $p(1) = 1,$ $p(2) = 2,$ $p(3) = 3,$ $p(4) = 4,$ $p(5) = 5,$ และ $p(6) = 6.$ จงหา $p(7).$ | พิจารณาพหุนาม $q(x) = p(x) - x.$ พหุนามนี้มีค่าเป็น 0 ที่ $x = 1,$ 2, 3, 4, 5, และ 6 ดังนั้น $x - 1,$ $x - 2,$ $x - 3,$ $x - 4,$ $x - 5,$ และ $x - 6$ เป็นตัวประกอบของ $q(x).$ นอกจากนี้ $p(x)$ เป็นพหุนามเอกซ์โมนิกของดีกรี 6 ดังนั้น $q(x)$ เป็นพหุนามเอกซ์โมนิกของดีกรี 6. ดังนั้น,
\[q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x... | p(7) = q(7) + 7 = \boxed{727}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[f(x) + 2f(1 - x) = 3x^2\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด จงหาค่า $f(3)$. | แทน $x$ ด้วย 3 เราได้
\[f(3) + 2f(-2) = 27.\]แทน $x$ ด้วย $-2$ เราได้
\[f(-2) + 2f(3) = 12.\]แก้สมการระบบนี้สำหรับ $f(3)$ และ $f(-2)$ เราจะได้ $f(3) = \boxed{-1}$ และ $f(-2) = 14.$ | f(-2) = 14. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวกสามจำนวน ซึ่งผลรวมของมันเท่ากับ 1 ถ้าไม่มีจำนวนใดที่มากกว่าจำนวนอื่นสองเท่า จงหาค่าต่ำสุดของผลคูณ $xyz.$ | กำหนดให้สามจำนวนนี้เป็น $x,$ $y,$ และ $z.$ โดยที่ไม่มีการสูญเสียความทั่วไป ให้สมมติว่า $x \le y \le z.$ แล้ว $z \le 2x.$
สมมติว่า $z < 2x.$ ให้ $x_1 = \frac{x + z}{3}$ และ $z_1 = \frac{2x + 2z}{3}.$ แล้ว $z_1 = 2x_1,$ และ $x_1 + z_1 = x + z.$ (เราไม่ได้เปลี่ยนค่าของ $y.$) สังเกตว่า
\begin{align*}
xyz - x_1 yz_1 &= y ... | \boxed{\frac{1}{32}}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลบวกของรากจริงของ $x^4 - 4x - 1 = 0.$ | เราพยายามหาการแยกตัวประกอบของ $x^4 - 4x - 1$ ในรูป $(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d).$ ดังนั้น
\[x^4 + (a + c) x^3 + (ac + b + d) x^2 + (ad + bc) x + bd = x^4 - 4x - 1.\]เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ เราได้
\begin{align*}
a + c &= 0, \\
ac + b + d &= 0, \\
ad + bc &= -4, \\
bd &= -1.
\end{align*}จากสมการแรก $c = -a.$ แทนค่าลงไป เ... | \boxed{\sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $r^{13} + 1$ หารด้วย $r - 1$ | วิธีที่ 1
ให้ $f(r)=r^{13}+1$ ตามทฤษฎีบทเศษเหลือ เศษที่เหลือเมื่อ $f(r)$ หารด้วย $r-1$ คือ $f(1) = 1^{13}+1 = \boxed{2}$
วิธีที่ 2
ถ้าคุณคุ้นเคยกับอนุกรมเรขาคณิต คุณอาจสังเกตเห็นว่า
$$\frac{r^{13}-1}{r-1} = r^{12}+r^{11}+r^{10}+\cdots+r^2+r+1.$$ดังนั้น $r^{13}+1 = (r^{13}-1)+2 = (r^{12}+r^{11}+\cdots+r+1)(r-1)+2$ ด... | \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง $x + y + z = 1.$ จงหาค่าสูงสุดของ $x^3 y^2 z.$ | โดย AM-GM,
\begin{align*}
x + y + z &= \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{y}{2} + z \\
&\ge 6 \sqrt[6]{\frac{x^3 y^2 z}{108}}.
\end{align*}เนื่องจาก $x + y + z = 1,$ เราได้
\[x^3 y^2 z \le \frac{108}{6^6} = \frac{1}{432}.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = z.$ ร่วมกับเงื่อ... | \boxed{\frac{1}{432}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาพหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งมีรากเป็น $-2 - i \sqrt{5}$ | ถ้าพหุนามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง แล้วคอนจูเกตเชิงซ้อนของรากใดๆ จะต้องเป็นรากด้วยเช่นกัน ดังนั้นรากอีกตัวหนึ่งคือ $-2 + i \sqrt{5}$ ดังนั้นพหุนามคือ
\[(x + 2 + i \sqrt{5})(x + 2 - i \sqrt{5}) = (x + 2)^2 - 5i^2 = \boxed{x^2 + 4x + 9}.\] | $x^2 + 4x + 9$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าต่ำสุดของ
\[a^2 + b^2 + \frac{1}{(a + b)^2}.\] | กำหนดให้ $s = a + b.$ โดย QM-AM,
\[\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \ge \frac{a + b}{2} = \frac{s}{2}.\]ดังนั้น $\frac{a^2 + b^2}{2} \ge \frac{s^2}{4},$ ดังนั้น $a^2 + b^2 \ge \frac{s^2}{2}.$ ดังนั้น,
\[a^2 + b^2 + \frac{1}{(a + b)^2} \ge \frac{s^2}{2} + \frac{1}{s^2}.\]โดย AM-GM,
\[\frac{s^2}{2} + \frac{1}{s^2} \ge 2 \sqr... | \boxed{\sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
โดยการแยกตัวประกอบเศษส่วน
\[\frac{1}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 2} + \frac{D}{x + 3} + \frac{E}{x + 4}\]สำหรับค่าคงที่บางค่า $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ และ $E.$ จงหา $A + B + C + D + E.$ | ล้างส่วนของเศษส่วน เราจะได้
\begin{align*}
1 &= A(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) \\
&\quad + Bx(x + 2)(x + 3)(x + 4) \\
&\quad + Cx(x + 1)(x + 3)(x + 4) \\
&\quad + Dx(x + 1)(x + 2)(x + 4) \\
&\quad + Ex(x + 1)(x + 2)(x + 3).
\end{align*}เราสามารถใช้เทคนิคทั่วไปในการแก้หาค่าคงที่แต่ละตัว หรือเราสามารถสังเกตว่าทั้งสองข้างแ... | A + B + C + D + E = \boxed{0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $x^3 - 3x + 5$ หารด้วย $x + 2.$ | โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ เราสามารถหาเศษเหลือได้โดยการแทน $x = -2.$ จะได้เศษเหลือเท่ากับ $(-2)^3 - 3(-2) + 5 = \boxed{3}.$ | (-2)^3 - 3(-2) + 5 = \boxed{3}. | [
"นำไปใช้"
] |
สมมติว่า $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชัน ซึ่ง $f^{-1}(g(x))=5x+3$ จงหา $g^{-1}(f(-7))$ | เราทราบว่า $f^{-1}(u)=v$ เทียบเท่ากับ $u=f(v)$ ดังนั้น $f^{-1}(g(x))=5x+3$ เทียบเท่ากับ \[g(x)=f(5x+3).\]เราสามารถใช้ $g(s)=t$ เทียบเท่ากับ $s=g^{-1}(t)$ เพื่อกล่าวว่า \[x=g^{-1}(f(5x+3)).\]สิ่งนี้ให้การแสดงออกที่ประกอบด้วย $g^{-1}\circ f$.
ตอนนี้เราแก้สมการ: \[g^{-1}(f(-7))=g^{-1}(f(5(-2)+3)).\]ถ้า $x=-2$ สมการ $g^{... | g^{-1}(f(5x+3))=x | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม และ $x^2 - x - 1$ เป็นตัวประกอบของ $ax^3 + bx^2 + 1$ จงหาค่า $b$ | ถ้า $x^2 - x - 1$ เป็นตัวประกอบของ $ax^3 + bx^2 + 1$ ตัวประกอบอีกตัวหนึ่งจะต้องเป็นเส้นตรง โดยสัมประสิทธิ์ของ $x$ คือ $a$ และสัมประสิทธิ์คงตัวคือ $-1$ ดังนั้น
\[(x^2 - x - 1)(ax - 1) = ax^3 + bx^2 + 1.\]เมื่อขยายจะได้
\[ax^3 - (a + 1) x^2 + (1 - a) x + 1 = ax^3 + bx^2 + 1.\]เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์จะได้
\begin{align*}
-(... | b = -(a + 1) = \boxed{-2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $c$ ที่เป็นจำนวนจริงกี่ค่าที่ทำให้ $\left|\frac12-ci\right| = \frac34$? | เรามี $\left|\frac12-ci\right| = \sqrt{{\frac12}^2 + (-c)^2} = \sqrt{c^2 + \frac14}$, ดังนั้น $\left|\frac12-ci\right| = \frac34$ จะได้ $\sqrt{c^2 + \frac14} = \frac34$. ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ $c^2 + \frac14 = \frac9{16}$, ดังนั้น $c^2=\frac5{16}$. การหารากที่สองของทั้งสองข้างจะได้ $c = \frac{\sqrt5}4$ และ $c... | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับ $(a_i)$ โดย $a_{n + 2} = \frac {a_n + 2009} {1 + a_{n + 1}}$ สำหรับ $n \ge 1$ โดยที่สมาชิกของลำดับเป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $a_1 + a_2$ | จากนิยามของลำดับจะได้ $$a_3(a_2+1) = a_1+2009, \;\; a_4(a_3+1) = a_2+2009, \;\; a_5(a_4+1) = a_3 + 2009.$$ ลบสมการที่ต่อเนื่องกันจะได้ $a_3-a_1 = (a_3+1)(a_4-a_2)$ และ $a_4-a_2=(a_4+1)(a_5-a_3)$.
สมมติว่า $a_3-a_1\neq 0$. แล้ว $a_4-a_2\neq 0$, $a_5-a_3\neq 0$, และต่อเนื่องไป เพราะ $|a_{n+2}+1| \ge 2$, จะได้
\[0<|a_{n+... | \boxed{90} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายที่ $A(2, -2)$ และ $B(14, 4)$ ถูกต่อผ่าน $B$ ไปยังจุด $C$ ถ้า $BC = \frac{1}{3} \cdot AB$ พิกัดของจุด $C$ คืออะไร จงแสดงคำตอบเป็นคู่ลำดับ | จาก $A$ ไปยัง $B$ พิกัด $x$ เพิ่มขึ้น 12 และพิกัด $y$ เพิ่มขึ้น 6 ถ้าเราต่ออีก $\frac{1}{3}$ ของระยะทางนี้ พิกัด $x$ จะเพิ่มขึ้น $\frac{1}{3}12=4$ และพิกัด $y$ จะเพิ่มขึ้น $\frac{1}{3}6=2$ เราจะได้ $C=(14+4,4+2)=\boxed{(18,6)}$. | C=(14+4,4+2)=\boxed{(18,6)} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $h(x),$ สำหรับค่า $x$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก โดย \[h(x) = \left\{\begin{aligned} \log_2 x & \quad \text{ ถ้า } \log_2 x \text{ เป็นจำนวนเต็ม} \\ 1 + h(x + 1) & \quad \text{ มิฉะนั้น}. \end{aligned} \right.\] จงคำนวณค่า $h(100).$ | โดยใช้ส่วนที่สองของนิยาม เราได้ \[h(100) = 1 + h(101) = 2 + h(102) = 3 + h(103) = \dots = 28 + h(128).\] เนื่องจาก $128 = 2^7,$ เราใช้ส่วนแรกของนิยามเพื่อให้ได้ \[h(100) = 28 + 7 = \boxed{35}.\] | 35 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)=\frac{b}{2x-3}$ ถ้า $f(2)=f^{-1}(b+1)$ จงหาผลคูณของค่า $b$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ | จากนิยามของ $f$ เราสามารถคำนวณ $f(2)$ ได้: \[f(2)=\frac{b}{2\cdot2-3}=\frac b{1}=b.\]ดังนั้นเราต้องการหาค่า $b$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ ซึ่ง \[b=f^{-1}(b+1).\]สิ่งนี้เทียบเท่ากับ \[f(b)=b+1.\]เมื่อเราแทน $x=b$ ลงในนิยามของ $f$ เราได้ \[f(b)=\frac{b}{2b-3},\]ดังนั้นเราจึงกำลังมองหาคำตอบ $b$ ทั้งหมดของสมการ \[\frac{b}{2b-3... | \boxed{-\frac{3}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x_1,x_2,\ldots,x_7$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\[\begin{aligned} x_1+4x_2+9x_3+16x_4+25x_5+36x_6+49x_7 &= 1 \\
4x_1+9x_2+16x_3+25x_4+36x_5+49x_6+64x_7 &= 12 \\
9x_1+16x_2+25x_3+36x_4+49x_5+64x_6+81x_7 &= 123. \end{aligned}\]จงหาค่าของ $16x_1+25x_2+36x_3+49x_4+64x_5+81x_6+100x_7$. | กำหนดให้ \[f(t) = x_1(t+1)^2 + x_2(t+2)^2 + \cdots + x_7(t+7)^2.\]จากสมการที่กำหนดให้ จะได้ว่า $f(0) = 1$, $f(1) = 12$ และ $f(2) = 123$ และเราต้องการหาค่า $f(3)$.
เนื่องจาก $f(t)$ เป็นฟังก์ชันกำลังสอง เราสามารถกำหนดให้ $f(t) = At^2 + Bt + C$ โดยที่ $A, B, C$ เป็นค่าคงที่ จากนั้นเราจะได้สมการ \[\begin{aligned} C &= 1, ... | 334 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[f(xy) = xf(y)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด ถ้า $f(1) = 25$ จงหา $f(79)$. | กำหนด $x = 79$ และ $y = 1$ เราได้
\[f(79) = 79f(1) = 79 \cdot 25 = \boxed{1975}.\] | 1975 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $0 \le p \le 1$ และ $0 \le q \le 1$ กำหนด $F(p, q)$ โดย
\[
F(p, q) = -2pq + 3p(1-q) + 3(1-p)q - 4(1-p)(1-q).
\]กำหนด $G(p)$ เป็นค่าสูงสุดของ $F(p, q)$ เหนือ $q$ ทั้งหมด (ในช่วง $0 \le q \le 1$). ค่า $p$ (ในช่วง $0 \le p \le 1$) ที่ทำให้ $G(p)$ มีค่าน้อยที่สุดคือเท่าใด? | สังเกตว่าสำหรับค่า $p$ ที่คงที่ $F(p,q)$ เป็นเส้นตรงใน $q$ ซึ่งหมายความว่า $F(p,q)$ จะมีค่าสูงสุดที่ $q = 0$ หรือ $q = 1$ เราคำนวณได้ว่า $F(p,0) = 7p - 4$ และ $F(p,1) = 3 - 5p.$ ดังนั้น,
\[G(p) = \max(7p - 4,3 - 5p).\]สังเกตว่า $7p - 4 = 3 - 5p$ เมื่อ $p = \frac{7}{12}.$ ดังนั้น $G(p) = 3 - 5p$ สำหรับ $p < \frac{7}{1... | p = \boxed{\frac{7}{12}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาระยะหารเมื่อ $x^5-23x^3+11x^2-14x+10$ หารด้วย $x+5$ | เราใช้การหารสังเคราะห์
\[
\begin{array}{rrrrrrr}
\multicolumn{1}{r|}{-5} & {1} & 0 & -23 & 11 & -14 & 10 \\
\multicolumn{1}{r|}{} & & -5& 25& -10 & -5 & 95 \\
\cline{2-7}
& 1& -5& 2& 1 & -19& \multicolumn{1}{|r}{105} \\
\end{array}
\]ดังนั้นเราได้ผลหารของ $\boxed{x^4-5x^3+2x^2+x-19}$ และเศษของ $105$ | 105 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $a$ ที่ทำให้สมการ $ |x^2 + 2ax + 3a|\le2$ มีคำตอบเดียวใน $ x$. | ให้ $f(x) = x^2+2ax+3a.$ เราต้องการให้กราฟของ $y=f(x)$ ตัดกับ "แถบ" $-2 \le y \le 2$ ที่จุดเดียว เพราะกราฟของ $y=f(x)$ เป็นพาราโบลาที่หงายขึ้น ดังนั้นสิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อค่าต่ำสุดของ $f(x)$ เท่ากับ $2.$
เพื่อหาค่าต่ำสุดของ $f(x)$ จงเติมส่วนที่ขาด: \[f(x) = (x^2+2ax+a^2) + (3a-a^2) = (x+a)^2 + (3a-a^2).\]ดังนั้นค... | a = \boxed{1, 2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบที่น้อยที่สุดของสมการ \[\lfloor x^2 \rfloor - \lfloor x \rfloor^2 = 17.\] | กำหนดให้ $n = \lfloor x \rfloor$ และ $a = \{x\}.$ ดังนั้น \[\begin{aligned} \lfloor x^2 \rfloor &= \lfloor (n+a)^2 \rfloor \\& = \lfloor n^2 + 2na + a^2 \rfloor \\ &= n^2 + \lfloor 2na + a^2 \rfloor \end{aligned}\]เนื่องจาก $n^2$ เป็นจำนวนเต็ม. กำหนดให้ $\lfloor x^2 \rfloor - n^2 = 17,$ ดังนั้นเราได้สมการ \[\lfloor 2n... | \boxed{7\sqrt2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[xy - \frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2} = 3.\]จงหาผลรวมของค่า $(x - 1)(y - 1)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด | จากสมการที่กำหนดให้ $x^3 y^3 - x^3 - y^3 = 3x^2 y^2,$ หรือ
\[x^3 y^3 - x^3 - y^3 - 3x^2 y^2 = 0.\]เราสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc).\]โดยให้ $a = xy,$ $b = -x,$ และ $c = -y,$ เราได้
\[x^3 y^3 - x^3 - y^3 - 3x^2 y^2 = (xy - x - y)(a^2 + b^2 + c^2 - ab -... | \boxed{5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f(x) = \frac{3}{2x^{6}-5}$ ฟังก์ชัน $f$ เป็นฟังก์ชันคู่ ฟังก์ชันคี่ หรือไม่เป็นทั้งคู่และคี่?
กรุณาใส่ "คี่", "คู่" หรือ "ไม่เป็นทั้งคู่และคี่". | $$f(-x) = \frac{3}{2(-x)^{6}-5} = \frac{3}{2x^{6}-5} = f(x)$$ดังนั้น $f$ เป็น $\boxed{\text{คู่}}.$ | \boxed{\text{คู่}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมมติว่า $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ตัวหารร่วมมากที่สุดของ $x^2+ax+b$ และ $x^2+bx+c$ คือ $x+1$ (ในเซตของพหุนามใน $x$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม) และตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของ $x^2+ax+b$ และ $x^2+bx+c$ คือ $x^3-4x^2+x+6$ จงหา $a+b+c$ | เนื่องจาก $x+1$ หาร $x^2+ax+b$ ลงตัว และพจน์คงตัวคือ $b$ เราได้ว่า $x^2+ax+b=(x+1)(x+b)$ และในทำนองเดียวกัน $x^2+bx+c=(x+1)(x+c)$ ดังนั้น $a=b+1=c+2$ นอกจากนี้ ตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของพหุนามทั้งสองคือ $(x+1)(x+b)(x+b-1)=x^3-4x^2+x+6$ ดังนั้น $b=-2$ ดังนั้น $a=-1$ และ $c=-3$ และ $a+b+c=\boxed{-6}$ | a+b+c=\boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[f(xy) = \frac{f(x)}{y}\]สำหรับจำนวนจริงบวก $x$ และ $y$ ทั้งหมด ถ้า $f(30) = 20$ จงหา $f(40)$ | กำหนด $x = 30$ และ $y = \frac{4}{3},$ เราได้
\[f(40) = \frac{f(30)}{4/3} = \frac{20}{4/3} = \boxed{15}.\] | 15 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, และ $c$ เป็นรากที่ 3 ของ $x^3-x+1=0$ จงหาค่าของ $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$ | เราสามารถแทน $x=y-1$ เพื่อให้ได้พหุนามที่มีราก $a+1$, $b+1$, $c+1$ นั่นคือ
\[(y-1)^3-(y-1)+1=y^3-3y^2+2y+1.\]ผลบวกของส่วนกลับของรากของพหุนามนี้ โดยใช้สูตรของ Vieta's คือ $\frac{2}{-1}=\boxed{-2}$. | \frac{2}{-1}=\boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของเส้นตรง $5x + 8y = 10$ และวงกลม $x^2 + y^2 = 1$ ตัดกันกี่ครั้ง? | แก้สมการ $5x + 8y = 10$ เพื่อหา $y$ จะได้ $y = \frac{10 - 5x}{8}.$ แทนค่าลงใน $x^2 + y^2 = 1$ จะได้
\[x^2 + \left( \frac{10 - 5x}{8} \right)^2 = 1.\]สมการนี้จะกลายเป็น $89x^2 - 100x + 36 = 0.$ ตัวเลือกของสมการกำลังสองนี้คือ $100^2 - 4 \cdot 89 \cdot 36 = -2816.$ เนื่องจากตัวเลือกเป็นลบ สมการกำลังสองนี้ไม่มีรากจริง ด... | \boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการของเส้นกำเอียงเฉียงของกราฟของ $\frac{2x^2+7x+10}{2x+3}$ คืออะไร?
กรุณาใส่คำตอบในรูป $y = mx + b.$ | การหารพหุนามยาวให้ผลลัพธ์ดังนี้
\[
\begin{array}{c|ccc}
\multicolumn{2}{r}{x} & +2 \\
\cline{2-4}
2x+3 & 2x^2&+7x&+10 \\
\multicolumn{2}{r}{2x^2} & +3x & \\
\cline{2-3}
\multicolumn{2}{r}{0} & 4x & +10 \\
\multicolumn{2}{r}{} & 4x & +6 \\
\cline{3-4}
\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 4 \\
\end{array}
\]ดังนั้น เราสามารถเ... | \boxed{y = x+2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x^2 + \frac{1}{x^2} = A,$ และ $x - \frac{1}{x} = B,$ โดยที่ $A$ และ $B$ เป็นจำนวนบวก จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $\frac{A}{B}.$ | สังเกตว่า
\[B^2 = \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = A - 2,\]ดังนั้น
\[\frac{A}{B} = \frac{B^2 + 2}{B} = B + \frac{2}{B}.\]โดยอสมการ AM-GM,
\[B + \frac{2}{B} \ge 2 \sqrt{B \cdot \frac{2}{B}} = 2 \sqrt{2}.\]สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ (ซึ่งมี $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2... | \boxed{2 \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งมี $3 + i$ เป็นราก และสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ เท่ากับ 2 | เนื่องจากพหุนามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง อีกหนึ่งรากต้องเป็น $3 - i$ ดังนั้น พหุนามคือ
\begin{align*}
2(x - 3 - i)(x - 3 + i) &= 2((x - 3)^2 - i^2) \\
&= 2((x - 3)^2 + 1) \\
&= \boxed{2x^2 - 12x + 20}.
\end{align*} | 2 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการอสมการ
\[\frac{x^2 - 25}{x + 5} < 0.\] | เราสามารถแยกตัวประกอบตัวเศษได้เป็น
\[\frac{(x - 5)(x + 5)}{x + 5} < 0.\]ถ้า $x \neq -5,$ สมการจะง่ายขึ้นเป็น $x - 5 < 0.$ เนื่องจากนิพจน์ไม่นิยามสำหรับ $x = -5$ คำตอบคือ
\[x \in \boxed{(-\infty,-5) \cup (-5,5)}.\] | x = -5, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[f(x + y) = f(x) f(y)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด ถ้า $f(2) = 3$ จงหา $f(6)$. | กำหนด $x = 2$ และ $y = 2$ จะได้
\[f(4) = f(2) f(2) = 9.\]กำหนด $x = 4$ และ $y = 2$ จะได้
\[f(6) = f(4) f(2) = \boxed{27}.\] | 27 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับวงรี $16x^2 - 64x + y^2 + 4y + 4 = 0,$ จงหาความยาวระหว่างจุดโฟกัส | จัดรูปสมการโดยวิธีการเติมกำลังสองใน $x$ และ $y,$ เราได้
\[16(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 64.\]แล้ว
\[\frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{64} = 1.\]ดังนั้น $a = 8$ และ $b = 2,$ ดังนั้น $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{60} = 2 \sqrt{15}.$ ดังนั้น ความยาวระหว่างจุดโฟกัสคือ $2c = \boxed{4 \sqrt{15}}.$ | 2c = \boxed{4 \sqrt{15}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบอย่างสมบูรณ์: $x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1$. | สังเกตว่า $x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1$ มีลักษณะคล้ายกับ $(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ มาก ถ้าเราแทน $y = x^2$ นิพจน์ของเราจะกลายเป็น $x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1 = y^3 - 3y^2 + 3y - 1 = (y - 1)^3$.
จากนั้นเราแทน $x^2$ กลับเข้าไปใน $y$: $(y - 1)^3 = (x^2 - 1)^3$ สังเกตว่า $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ ดังนั้นการแยกตัวประกอบของ... | $x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1 = (x^2 - 1)^3 = ((x-1)(x+1))^3 = \boxed{(x-1)^3(x+1)^3}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x + 8} - \frac{1}{x + 10} + \frac{1}{x + 12} + \frac{1}{x + 14} = 0\]มีราก 4 รากอยู่ในรูป $-a \pm \sqrt{b \pm c \sqrt{d}},$ โดยที่ $a,$ $b,$ $c,$ $d$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $d$ ไม่หารด้วยกำลังสองของจำนวนเฉพาะใดๆ จงหา $a + b + c + d.$ | เราสามารถจับคู่พจน์ดังนี้:
\[\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 14} \right) + \left( \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 12} \right) - \left( \frac{1}{x + 4} + \frac{1}{x + 10} \right) - \left( \frac{1}{x+ 6} + \frac{1}{x + 8} \right) = 0.\]จากนั้น
\[\frac{2x + 14}{x^2 + 14x} + \frac{2x + 14}{x^2 + 14x + 24} - \frac{2x + 14}... | a + b + c + d = 7 + 19 + 6 + 5 = \boxed{37}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวกสามจำนวน ซึ่งผลบวกของมันเท่ากับ 1 ถ้าไม่มีจำนวนใดมากกว่าสองเท่าของจำนวนอื่น ๆ แล้ว จงหาค่าต่ำสุดของผลคูณ $xyz.$ | กำหนดให้สามจำนวนนี้เป็น $x,$ $y,$ และ $z.$ โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติว่า $x \le y \le z.$ แล้ว $z \le 2x.$
สมมติว่า $z < 2x.$ ให้ $x_1 = \frac{x + z}{3}$ และ $z_1 = \frac{2x + 2z}{3}.$ แล้ว $z_1 = 2x_1,$ และ $x_1 + z_1 = x + z.$ (เราไม่เปลี่ยนค่าของ $y.$) สังเกตว่า
\begin{align*}
xyz - x_1 yz_1 &= y \left( xz - \frac{... | \boxed{\frac{1}{32}}. | [
"จำแนก",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $t$ ที่เป็นบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ $ab = t-2i$ เมื่อ $|a|=2$ และ $|b|=\sqrt{26}$ | จากข้อมูลที่กำหนดให้ เราทราบว่า $|a| |b| = |ab| = 2\sqrt{26}$ เราสามารถเขียน $|ab|$ ได้เป็น $|t-2i| = \sqrt{t^2 + 4}$ เมื่อนำมาเทียบกันจะได้ $$\sqrt{t^2 + 4} = 2\sqrt{26} \Rightarrow
t^2 + 4 = 104.$$ ค่า $t$ ที่เป็นบวกคือ $t = \boxed{10}$. | t = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\sqrt{x^2 + (1 - x)^2} + \sqrt{(1 - x)^2 + (1 + x)^2}\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด | ในระนาบพิกัด ให้ $A = (0,1),$ $B = (1,-1),$ และ $P = (x,x).$ แล้ว
\[AP = \sqrt{x^2 + (1 - x)^2}\]และ
\[BP = \sqrt{(x - 1)^2 + (x + 1)^2},\]ดังนั้นเราต้องการหาค่าต่ำสุดของ $AP + BP,$ โดยที่ $P$ อยู่บนเส้น $y = x.$
[asy]
unitsize(2.5 cm);
pair A, B, P;
A = (0,1);
B = (1,-1);
P = (0.8,0.8);
draw(A--P--B);
draw((-0.2,... | \boxed{\sqrt{5}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งมี $-2 - 3i$ เป็นราก และสัมประสิทธิ์ของ $x$ เป็น $-4$ | เนื่องจากสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง อีกหนึ่งรากต้องเป็น $-2 + 3i$ ดังนั้น พหุนามกำลังสองเป็นผลคูณคงที่ของ
\[(x + 2 + 3i)(x + 2 - 3i) = (x + 2)^2 - (3i)^2 = (x + 2)^2 + 9 = x^2 + 4x + 13.\]เราต้องการให้สัมประสิทธิ์ของ $x$ เป็น $-4$ ดังนั้น เราคูณพหุนามกำลังสองนี้ด้วย $-1$ เพื่อให้ได้ $\boxed{-x^2 - 4x - 13}.$ | \boxed{-x^2 - 4x - 13}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $b_1$, $b_2$, $b_3$, $c_1$, $c_2$, และ $c_3$ เป็นจำนวนจริง โดยที่สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ เราได้
\[
x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = (x^2 + b_1 x + c_1)(x^2 + b_2 x + c_2)(x^2 + b_3 x + c_3).
\]จงคำนวณค่า $b_1 c_1 + b_2 c_2 + b_3 c_3$. | กำหนดให้ $P$ เป็นพหุนามที่นิยามโดย $P(x) = x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1$. สังเกตว่า $(x+1)P(x) = x^7 + 1$. ดังนั้นรากของ $P$ อยู่บนวงกลมหน่วย. ดังนั้นรากของแต่ละตัวประกอบกำลังสอง $x^2 + b_kx + c_k$ ก็อยู่บนวงกลมหน่วยเช่นกัน. เนื่องจากแต่ละตัวประกอบกำลังสองมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง รากของมันจึงมาเป็นคู่สังยุ... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\sqrt{x^2 + (1 - x)^2} + \sqrt{(1 - x)^2 + (1 + x)^2}\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด | ในระนาบพิกัด ให้ $A = (0,1),$ $B = (1,-1),$ และ $P = (x,x).$ แล้ว
\[AP = \sqrt{x^2 + (1 - x)^2}\]และ
\[BP = \sqrt{(x - 1)^2 + (x + 1)^2},\]ดังนั้นเราต้องการที่จะย่อ $AP + BP,$ ภายใต้เงื่อนไขที่ $P$ อยู่บนเส้น $y = x.$
[asy]
unitsize(2.5 cm);
pair A, B, P;
A = (0,1);
B = (1,-1);
P = (0.8,0.8);
draw(A--P--B);
draw((... | \boxed{\sqrt{5}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.