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Error code: DatasetGenerationCastError
Exception: DatasetGenerationCastError
Message: An error occurred while generating the dataset
All the data files must have the same columns, but at some point there are 4 new columns ({'warnings', 'section_label', 'official_program_scope', 'topic_focus'}) and 5 missing columns ({'solution', 'instruction', 'year', 'modality', 'final_answer'}).
This happened while the json dataset builder was generating data using
hf://datasets/emna04/MASTOURI-TUN-BAC-MATH/alignment_metadata_existing_couples.json (at revision becb4bbbe893b3c3d74371ce0829518e1e254f38), ['hf://datasets/emna04/MASTOURI-TUN-BAC-MATH@becb4bbbe893b3c3d74371ce0829518e1e254f38/MASTOURI-TUN-BAC-MATH.json', 'hf://datasets/emna04/MASTOURI-TUN-BAC-MATH@becb4bbbe893b3c3d74371ce0829518e1e254f38/alignment_metadata_existing_couples.json'], ['hf://datasets/emna04/MASTOURI-TUN-BAC-MATH@becb4bbbe893b3c3d74371ce0829518e1e254f38/MASTOURI-TUN-BAC-MATH.json', 'hf://datasets/emna04/MASTOURI-TUN-BAC-MATH@becb4bbbe893b3c3d74371ce0829518e1e254f38/alignment_metadata_existing_couples.json']
Please either edit the data files to have matching columns, or separate them into different configurations (see docs at https://hf.co/docs/hub/datasets-manual-configuration#multiple-configurations)
Traceback: Traceback (most recent call last):
File "/usr/local/lib/python3.14/site-packages/datasets/builder.py", line 1856, in _prepare_split_single
writer.write_table(table)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^^^^^
File "/usr/local/lib/python3.14/site-packages/datasets/arrow_writer.py", line 811, in write_table
self._write_table(pa_table, writer_batch_size=writer_batch_size)
~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
File "/usr/local/lib/python3.14/site-packages/datasets/arrow_writer.py", line 822, in _write_table
pa_table = table_cast(pa_table, self._schema)
File "/usr/local/lib/python3.14/site-packages/datasets/table.py", line 2381, in table_cast
return cast_table_to_schema(table, schema)
File "/usr/local/lib/python3.14/site-packages/datasets/table.py", line 2309, in cast_table_to_schema
raise CastError(
...<3 lines>...
)
datasets.table.CastError: Couldn't cast
section: string
section_label: string
topic: string
official_program_scope: string
topic_focus: string
warnings: list<item: null>
child 0, item: null
to
{'topic': Value('string'), 'section': Value('string'), 'year': Value('string'), 'instruction': Value('string'), 'solution': Value('string'), 'final_answer': Value('string'), 'modality': Value('string')}
because column names don't match
During handling of the above exception, another exception occurred:
Traceback (most recent call last):
File "/src/services/worker/src/worker/job_runners/config/parquet_and_info.py", line 1379, in compute_config_parquet_and_info_response
parquet_operations, partial, estimated_dataset_info = stream_convert_to_parquet(
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^
builder, max_dataset_size_bytes=max_dataset_size_bytes
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
)
^
File "/src/services/worker/src/worker/job_runners/config/parquet_and_info.py", line 956, in stream_convert_to_parquet
builder._prepare_split(split_generator=splits_generators[split], file_format="parquet")
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
File "/usr/local/lib/python3.14/site-packages/datasets/builder.py", line 1702, in _prepare_split
for job_id, done, content in self._prepare_split_single(
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^
gen_kwargs=gen_kwargs, job_id=job_id, **_prepare_split_args
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
):
^
File "/usr/local/lib/python3.14/site-packages/datasets/builder.py", line 1858, in _prepare_split_single
raise DatasetGenerationCastError.from_cast_error(
...<4 lines>...
)
datasets.exceptions.DatasetGenerationCastError: An error occurred while generating the dataset
All the data files must have the same columns, but at some point there are 4 new columns ({'warnings', 'section_label', 'official_program_scope', 'topic_focus'}) and 5 missing columns ({'solution', 'instruction', 'year', 'modality', 'final_answer'}).
This happened while the json dataset builder was generating data using
hf://datasets/emna04/MASTOURI-TUN-BAC-MATH/alignment_metadata_existing_couples.json (at revision becb4bbbe893b3c3d74371ce0829518e1e254f38), ['hf://datasets/emna04/MASTOURI-TUN-BAC-MATH@becb4bbbe893b3c3d74371ce0829518e1e254f38/MASTOURI-TUN-BAC-MATH.json', 'hf://datasets/emna04/MASTOURI-TUN-BAC-MATH@becb4bbbe893b3c3d74371ce0829518e1e254f38/alignment_metadata_existing_couples.json'], ['hf://datasets/emna04/MASTOURI-TUN-BAC-MATH@becb4bbbe893b3c3d74371ce0829518e1e254f38/MASTOURI-TUN-BAC-MATH.json', 'hf://datasets/emna04/MASTOURI-TUN-BAC-MATH@becb4bbbe893b3c3d74371ce0829518e1e254f38/alignment_metadata_existing_couples.json']
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topic string | section string | year string | modality string | instruction string | solution string | final_answer string |
|---|---|---|---|---|---|---|
Géométrie — similitudes, isométries et transformations du plan | mathematiques | 2022-controle | figure - annexe géométrique avec les points O, B, E, F, I ; triangles OEB et OEF rectangles, angles orientés marqués \(\frac{\pi}{6}\), puis constructions autour de la similitude. | Le plan est orienté. Dans la figure de l'annexe jointe, le triangle OEB est rectangle en B et \((\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OB})\equiv \frac{\pi}{6}[2\pi]\) ; le triangle OEF est rectangle en E et \((\overrightarrow{FE},\overrightarrow{FO})\equiv \frac{\pi}{6}[2\pi]\) ; le point I est le milieu du segment \([O... | 1) R est la composée de deux symétries axiales d'axes sécants en O, donc c'est une rotation de centre O et d'angle \(2(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OE})=-\frac{\pi}{3}\). Comme OEF est rectangle en E, \((\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE})\equiv \frac{\pi}{3}[2\pi]\), et comme I est le milieu de \([OF]\), l... | L'axe de g est la droite \((EF)\), \(\Omega\) est le symétrique de F par rapport à E, et les points \(\Omega\), B et I sont alignés. |
Probabilités — loi binomiale et schéma de Bernoulli | mathematiques | 2022-controle | null | On dispose d'une urne contenant cinq boules portant les numéros \(-1,0,0,1,2\), indiscernables au toucher. Une épreuve consiste à tirer simultanément deux boules. 1) On considère les événements A : « les deux boules tirées sont de même numéro » et B : « avoir au moins une boule numérotée 0 » : a) calculer \(p(A)\) ; b)... | 1) \(p(A)=\frac{\binom{2}{2}}{\binom{5}{2}}=\frac{1}{10}\). De plus \(p(B)=1-p(\overline{B})=1-\frac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}}=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}\). 2) \(X(\Omega)=\{-2,-1,0,2\}\) avec \(p(X=-2)=\frac{1}{10}\), \(p(X=-1)=\frac{1}{10}\), \(p(X=0)=\frac{7}{10}\), \(p(X=2)=\frac{1}{10}\). Alors \(E(X)=-2\times\... | \(p(A)=\frac{1}{10}\), \(p(B)=\frac{7}{10}\), \(E(X)=-\frac{1}{10}\), \(V(X)=\frac{89}{100}=0{,}89\), \(P(Y=1)=\frac{7n\,3^{n-1}}{10^n}\), et la plus petite valeur de n est \(8\). |
Arithmétique — congruences, divisibilité, Bézout et équations diophantiennes | mathematiques | 2022-controle | null | Partie A : soit p un nombre premier tel que \(p>3\) et \(p\equiv 2\pmod 3\). On considère dans \(\mathbb Z\) l'équation \((E_p): x^3\equiv 1\pmod p\). 1) Montrer que si \(x\equiv 1\pmod p\), alors x est solution de \((E_p)\). 2) Soit x une solution de \((E_p)\) : a) montrer que \(x^{p-1}\equiv 1\pmod p\) ; b) en déduir... | Partie A : 1) Si \(x\equiv 1\pmod p\), alors \(x^3\equiv 1\pmod p\). 2) Si x est solution, p ne divise pas x ; par le petit théorème de Fermat, \(x^{p-1}\equiv 1\pmod p\). Comme \(p=3m+2\), on a \(x^{p-1}=x^{3m+1}=(x^3)^m x\equiv x\pmod p\), d'où \(x\equiv 1\pmod p\). 3) Ainsi \((E_p)\) admet pour seules solutions \(x=... | Les solutions de \((E_p)\) sont \(x=1+kp\) avec \(k\in\mathbb Z\). Pour \((E_{43})\), on obtient \(x\equiv 1\), \(6\) ou \(36\pmod{43}\), soit \(S=\{1+43k,6+43k,36+43k\mid k\in\mathbb Z\}\). |
Analyse — suites définies par une intégrale | mathematiques | 2022-controle | graph - courbe paire \((C)\) de \(f(x)=\frac{e^x}{1+e^{2x}}\), sommet en \(\left(0,\frac12\right)\), asymptote horizontale \(y=0\), puis représentation de l'aire limitée par \((C)\), l'axe des abscisses et \(x=\pm \lambda\). | Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=\frac{e^x}{1+e^{2x}}\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Partie A : 1) montrer que f est paire ; 2) montrer que \(\lim_{x\to +\infty}f(x)=0\) et interpréter ; 3) a) montrer que \(f'(x)=\frac{(1-e^{2x})e^x}{(1+e^{2x})^2}\) ; b... | Partie A : \(f(-x)=\frac{e^{-x}}{1+e^{-2x}}=\frac{e^x}{1+e^{2x}}=f(x)\), donc f est paire. De plus \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\), donc la droite \(y=0\) est asymptote horizontale à \((C)\). On a \(f'(x)=\frac{(1-e^{2x})e^x}{(1+e^{2x})^2}\), donc \(f'(x)>0\) si \(x<0\), \(f'(0)=0\), \(f'(x)<0\) si \(x>0\) ; ainsi f croît... | \(F(x)=\arctan(x)-\frac\pi4\), \(\lim_{\lambda\to +\infty}A(\lambda)=\frac\pi2\), \(\lim_{n\to +\infty}I_n=0\) et \(\lim_{n\to +\infty} nI_n=\arctan(e)-\frac\pi4\). |
Géométrie — nombres complexes | sciences-experimentales | 2022-principale | figure - figure 1 de l'annexe : cercle trigonométrique et construction d'un losange OABC à partir de points d'affixes \(i\), \(i+e^{i\theta}\) et \(e^{i\theta}\). | Soit un réel \(\theta\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\). 1) Résoudre dans \(\mathbb C\) l'équation \((E): z^2-(i+2e^{i\theta})z+e^{2i\theta}+ie^{i\theta}=0\). 2) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points A, B et C d'affixes respectives \(z_A=i\), \(z_B=i... | 1) Le discriminant vaut \(\Delta=(i+2e^{i\theta})^2-4(e^{2i\theta}+ie^{i\theta})=-1=i^2\). Les solutions sont donc \(z_1=\frac{i+2e^{i\theta}+i}{2}=i+e^{i\theta}\) et \(z_2=\frac{i+2e^{i\theta}-i}{2}=e^{i\theta}\). 2) On a \(\frac{z_A-z_B}{z_B-z_C}=ie^{i\theta}\). Les points A, B et C sont alignés si et seulement si ce... | Les solutions de \((E)\) sont \(i+e^{i\theta}\) et \(e^{i\theta}\), et le losange d'aire \(\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\) s'obtient pour \(\theta=\frac\pi{12}\), avec \(\cos\frac\pi{12}=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\). |
Probabilités — conditionnement, probabilités totales et Bayes | sciences-experimentales | 2022-principale | figure - arbre de probabilité à compléter avec les branches \(A\), \(\overline A\), \(F\) et \(\overline F\), en particulier \(P(A)=\frac23\) et \(P(F\mid A)=\frac14\). | On considère l'arbre de probabilité ci-contre où A et F sont deux événements tels que \(P(F)=\frac{5}{12}\). 1) Montrer que \(P(\overline A\cap F)=\frac14\). 2) Calculer alors \(P(F\mid \overline A)\). 3) Recopier et compléter l'arbre de probabilité. 4) Calculer \(P(\overline A\mid \overline F)\). | On a \(F=(F\cap \overline A)\cup(F\cap A)\), donc \(P(F\cap \overline A)=P(F)-P(F\cap A)=\frac{5}{12}-\frac23\times\frac14=\frac14\). Ensuite \(P(F\mid \overline A)=\frac{P(F\cap \overline A)}{P(\overline A)}=\frac{1/4}{1/3}=\frac34\). L'arbre complété est donc : \(P(A)=\frac23\), \(P(\overline A)=\frac13\), \(P(F\mid ... | \(P(\overline A\cap F)=\frac14\), \(P(F\mid \overline A)=\frac34\), et \(P(\overline A\mid \overline F)=\frac17\). |
Analyse — suites définies par une intégrale | sciences-experimentales | 2022-principale | null | 1) On considère la suite \((K_n)\) définie pour tout entier \(n\ge 1\) par \(K_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x^2}\,dx\) : a) montrer que \(K_1=\frac12\ln2\) ; b) vérifier que, pour tout entier \(n\ge1\), \(K_{n+2}+K_n=\frac{1}{n+1}\) ; c) en déduire la valeur de \(K_3\) ; d) montrer que, pour tout entier \(n\ge1\), \(0\le K_n... | 1) \(K_1=\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\,dx=\frac12\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}\,dx=\frac12\ln2\). Ensuite \(K_{n+2}+K_n=\int_0^1\frac{x^{n+2}+x^n}{1+x^2}\,dx=\int_0^1x^n\,dx=\frac{1}{n+1}\). Pour \(n=1\), on obtient \(K_3+K_1=\frac12\), donc \(K_3=\frac12-\frac12\ln2\). De plus \(0\le \frac{1}{1+x^2}\le1\) sur \([0,1]\), donc \(... | \(K_3=\frac12-\frac12\ln2\), \(\lim_{n\to+\infty}K_n=0\), \(\lim_{n\to+\infty}I_n=0\) et \(\lim_{n\to+\infty}nI_n=\ln2\). |
Analyse — fonction logarithme népérien | sciences-experimentales | 2022-principale | graph - figure 2 avec la courbe \((\zeta)\), la droite asymptote \(\Delta:y=-x\), les tangentes \((T_A)\) et \((T_B)\), et les abscisses \(\alpha\) et \(\beta\). | A) 1) Donner le sens de variation de la fonction \(u\) définie sur \(\mathbb R\) par \(u(x)=1+xe^x\). 2) En déduire que, pour tout réel x, \(1+xe^x>0\). B) On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=-x+\ln(1+xe^x)\) et on désigne par \((\zeta)\) sa courbe représentative. 1) a) Montrer que \(\li... | A) \(u'(x)=(1+x)e^x\), donc u décroît sur \(]-\infty,-1]\), croît sur \([-1,+\infty[\), et son minimum vaut \(u(-1)=1-e^{-1}>0\), d'où \(1+xe^x>0\) pour tout x. B) 1) \(f(x)=-x+\ln(1+xe^x)\to +\infty\) quand \(x\to-\infty\), et \(f(x)+x=\ln(1+xe^x)\to0\), donc \(\Delta:y=-x\) est asymptote oblique au voisinage de \(-\i... | La courbe \((\zeta)\) admet \(\Delta:y=-x\) comme asymptote au voisinage de \(-\infty\), elle est décroissante puis croissante avec minimum en 0, les points d'inflexion sont en \(A(\alpha,f(\alpha))\) et \(B(\beta,f(\beta))\), et \(\lim_{\lambda\to+\infty}A_\lambda=+\infty\) avec \(\lim_{\lambda\to+\infty}\frac{A_\lamb... |
Statistiques — séries à deux caractères, régression et corrélation | sciences-experimentales | 2022-controle | null | Le tableau ci-dessous donne, pour les années 2008 à 2017, la production de lait cru en Tunisie : pour les annees 2008 a 2017, de rangs \(I=1,2,\dots,10\), les productions annuelles \(P\) (en millions de litres) sont respectivement \(1014\), \(1030\), \(1059\), \(1096\), \(1124\), \(1175\), \(1218\), \(1376\), \(1428\) ... | Le coefficient de corrélation est \(r=0{,}97\), ce qui traduit une forte corrélation linéaire positive entre I et P. La droite de régression de P en I est \(P=51{,}38I+911{,}8\). Pour 2023, le rang est \(I=16\), donc \(P\approx 51{,}38\times16+911{,}8=1733{,}88\) millions de litres. La condition \(P\ge1800\) donne \(51... | \(r=0{,}97\), \(P=51{,}38I+911{,}8\), la production estimée en 2023 est \(1733{,}88\) millions de litres, elle dépassera 1800 à partir de 2025, et elle répondra au besoin de la Tunisie en 2024. |
Probabilités — loi binomiale et schéma de Bernoulli | sciences-experimentales | 2022-controle | null | Une urne contient quatre boules rouges et six boules noires, indiscernables au toucher. Une épreuve consiste à tirer simultanément trois boules de l'urne. 1) On considère l'événement A : « obtenir une seule boule rouge » ; montrer que \(P(A)=0{,}5\). 2) Calculer la probabilité de l'événement B : « obtenir aucune boule ... | Pour A, \(P(A)=\frac{\binom41\binom62}{\binom{10}3}=\frac{4\times15}{120}=\frac12\). Pour B, \(P(B)=\frac{\binom63}{\binom{10}3}=\frac{20}{120}=\frac16\). Lorsqu'on répète l'épreuve avec remise, le succès « obtenir une seule boule rouge » a une probabilité \(p=\frac12\), donc X suit une loi binomiale de paramètre \(\le... | \(P(A)=\frac12\), \(P(B)=\frac16\), \(X\sim\mathcal B\left(n,\frac12\right)\), \(E(X)=\frac n2\) et \(V(X)=\frac n4\). |
Géométrie — nombres complexes | sciences-experimentales | 2022-controle | figure - repère orthonormé dans le plan complexe, cercle \((\zeta)\) de centre O et de rayon 2, points A, B, C puis construction du point H. | 1) On considère dans \(\mathbb C\) l'équation \((E): z^2-2(1+i)e^{i\pi/6}z+4ie^{i\pi/3}=0\) : a) vérifier que \(2e^{i\pi/6}\) est une solution de \((E)\) ; b) en déduire l'autre solution et la mettre sous forme exponentielle. 2) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considèr... | 1) En remplaçant z par \(2e^{i\pi/6}\), on obtient bien 0, donc \(2e^{i\pi/6}\) est solution. Comme le produit des racines vaut \(4ie^{i\pi/3}\), l'autre solution est \(z'=\frac{4ie^{i\pi/3}}{2e^{i\pi/6}}=2ie^{i\pi/6}=2e^{i2\pi/3}\). 2) \(|z_A|=|\sqrt3+i|=2\) et \(|z_B|=|-1+i\sqrt3|=2\), donc A et B appartiennent au ce... | L'autre solution de \((E)\) est \(2e^{i2\pi/3}\), et \(H\) est le point d'intersection de la droite \(y=x\) avec la perpendiculaire à \((BC)\) menée par A ; son affixe est \(z_H=\sqrt2(1+\sqrt3)e^{i\pi/4}\). |
Analyse — fonctions réciproques et bijection | sciences-experimentales | 2022-controle | graph - courbe \((\zeta)\) de \(f(x)=x\ln x-\frac12\ln^2x\) sur \(]0,+\infty[\), tangente \((T)\) en 1, droite \(\Delta:y=x\), puis courbe réciproque \((\Gamma)\) symétrique de \((\zeta)\) par rapport à \(\Delta\). | On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=x\ln x-\frac12\ln^2x\). On désigne par \((\zeta)\) sa courbe représentative. 1) a) Montrer que \(\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\). b) Montrer que \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). c) Montrer que \((\zeta)\) admet, au voisinage de \(+\infty\), une branc... | On a \(\lim_{x\to0^+}x\ln x=0\) et \(\lim_{x\to0^+}\ln^2x=+\infty\), donc \(f(x)\to-\infty\). Lorsque \(x\to+\infty\), \(x\ln x\to+\infty\) et \(\frac{f(x)}x=\ln x-\frac{\ln^2x}{2x}\to+\infty\), d'où une branche parabolique de direction \((O,\vec j)\). De plus \(f'(x)=1+\frac{(x-1)\ln x}{x}\), et \((x-1)\ln x\ge0\) pou... | La fonction f est une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(\mathbb R\), la droite \(\Delta:y=x\) coupe \((\zeta)\) en un unique point d'abscisse \(\alpha\in]3{,}3;3{,}4[\), et l'aire demandée vaut \(A'=\frac{e^2-2e+5}{4}\). |
Statistiques — séries à deux caractères, régression et corrélation | economie-et-gestion | 2022-principale | graph - annexe avec quadrillage pour représenter le nuage de points des dettes de l'État en fonction du rang de l'année. | Le tableau statistique donne les endettements d'un État, en milliards de dinars, entre 2015 et 2020 : pour les annees 2015 a 2020, de rangs \(x_i=1,2,3,4,5,6\), les dettes sont respectivement \(y_i=45{,}13\) ; \(53{,}462\) ; \(66{,}146\) ; \(78{,}72\) ; \(80{,}833\) ; \(86{,}667\). 1) a) Représenter en annexe le nuage ... | Le nuage de points est approximativement allongé autour d'une droite, donc un ajustement affine est justifié. Par la méthode des moindres carrés, on obtient la droite de régression \(D:y=8{,}64x+38{,}26\). Pour 2022, on a \(x=8\), donc la dette estimée vaut \(y=8{,}64\times8+38{,}26=107{,}38\) milliards de dinars. Avec... | La droite de régression est \(y=8{,}64x+38{,}26\), l'estimation affine en 2022 est \(107{,}38\), l'estimation exponentielle est \(117{,}92\), et l'ajustement exponentiel est le plus pertinent. |
Algèbre — matrices, déterminants et systèmes linéaires | economie-et-gestion | 2022-principale | null | 1) On considère la matrice \(M_\alpha=\begin{pmatrix}5&4&6\\ \alpha&2&1\\ 1&4&3\end{pmatrix}\), avec \(\alpha\in\mathbb R\) : a) montrer que \(\det(M_\alpha)=12\alpha+2\) ; b) en déduire l'ensemble des réels \(\alpha\) pour lesquels \(M_\alpha\) est inversible. 2) On donne les matrices \(A=\begin{pmatrix}5&4&6\\ 4&2&1\... | 1) En développant le déterminant, on obtient \(\det(M_\alpha)=5(6-4)-\alpha(12-24)+(4-12)=12\alpha+2\). Ainsi \(M_\alpha\) est inversible si et seulement si \(12\alpha+2\neq0\), soit \(\alpha\neq-\frac16\). 2) On calcule \(A\times B=50I_3\). Par conséquent \(A^{-1}=\frac1{50}B=\begin{pmatrix}\frac1{25}&\frac6{25}&-\fra... | \(M_\alpha\) est inversible ssi \(\alpha\neq-\frac16\), \(A^{-1}=\frac1{50}B\), la solution du système est \((100,120,80)\), et la confiserie remplit 100 sacs de \(G_1\), 120 sacs de \(G_2\) et 80 sacs de \(G_3\). |
Analyse — fonction logarithme népérien | economie-et-gestion | 2022-principale | graph - repère orthonormé avec les courbes \((C_1)\) de \(\ln x\) et \((C_2)\) de \(e^x\), la droite verticale \(x=\alpha\), puis le segment \(MN\). | Soit \(g\) la fonction définie sur \([0,+\infty[\) par \(g(x)=xe^x-1\). 1) a) Montrer que g est strictement croissante sur \([0,+\infty[\). b) Dresser le tableau de variation de g. c) Montrer que l'équation \(g(x)=0\) admet dans \([0,+\infty[\) une unique solution \(\alpha\) et que \(0{,}5<\alpha<0{,}6\). d) Recopier e... | 1) \(g'(x)=e^x+xe^x>0\) sur \([0,+\infty[\), donc g est strictement croissante. On a \(g(0)=-1\) et \(g(x)\to+\infty\), donc l'équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\in[0,+\infty[\), avec \(g(0{,}5)<0\) et \(g(0{,}6)>0\), donc \(0{,}5<\alpha<0{,}6\). Le signe de g est négatif sur \([0,\alpha[\), nul en ... | Il existe un unique \(\alpha\in]0{,}5;0{,}6[\) tel que \(\alpha e^\alpha=1\), la fonction f est décroissante puis croissante avec minimum en \(\alpha\), et \(MN=e^\alpha-\ln\alpha=\alpha+\frac1\alpha\). |
Graphes — théorie des graphes et graphes probabilistes | economie-et-gestion | 2022-principale | graph - graphe non orienté \((G)\) sur les sommets A, B, C, D, E puis graphe orienté \((G')\) associé à la circulation, avec la matrice d'adjacence et les puissances \(M^4\), \(M^5\). | On considère le graphe \((G)\) ci-contre : chaque sommet représente une boutique et chaque arête une rue ; les arêtes de \((G)\) sont \(AB\), \(AC\), \(AD\), \(AE\), \(BC\), \(CD\) et \(DE\). 1) a) Donner l'ordre du graphe \((G)\). b) Recopier et compléter le tableau des degrés des sommets A, B, C, D et E. c) Un piéton... | 1) L'ordre du graphe est 5. Les degrés sont : A = 4, B = 2, C = 3, D = 3, E = 2. Le graphe est connexe et possède exactement deux sommets de degré impair, donc il admet une chaîne eulérienne : un piéton peut donc parcourir chaque rue une seule fois. 2) Le sous-graphe \(\{A,B,C\}\) est complet, donc le nombre chromatiqu... | L'ordre de \((G)\) est 5, le graphe admet une chaîne eulérienne, son nombre chromatique est \(n=3\), il y a 4 chaînes orientées de longueur 4 de B à D, et 8 chaînes orientées de longueur 5 de B à D. |
Statistiques — séries à deux caractères, régression et corrélation | economie-et-gestion | 2022-controle | graph - annexe 1 avec quadrillage pour placer le nuage de points de l'évolution du SMIG, puis comparaison de deux ajustements. | Le tableau statistique donne l'évolution du montant brut, en dinars, du SMIG en Tunisie entre 2011 et 2019 pour 40 heures de travail hebdomadaire : pour les annees 2011 a 2019, de rangs \(x_i=1,\dots,9\), le montant brut \(y_i\) de l'heure (en dinars) vaut respectivement \(1{,}421\) ; \(1{,}497\) ; \(1{,}497\) ; \(1{,}... | Le nuage de points est allongé autour d'une droite, donc un ajustement affine est justifié. Par la méthode de Mayer, on obtient \(G_1(3;1{,}534)\) et \(G_2(7{,}5;1{,}821)\) ; la droite de Mayer admise par l'enonce est \(D:y=0{,}064x+1{,}342\). Pour 2021, le rang est \(x=11\), donc le montant horaire estimé vaut \(0{,}0... | La méthode de Mayer donne \(D:y=0{,}064x+1{,}342\), la méthode des moindres carrés donne \(D':y=0{,}066x+1{,}33\), et l'ajustement par les moindres carrés est le plus approprié. |
Analyse — fonction exponentielle | economie-et-gestion | 2022-controle | graph - courbe \((C_f)\) de \(f(x)=(1-x)e^x\), tangente T au point d'abscisse 1, asymptote \(y=0\) vers \(-\infty\), et aire comprise entre \((C_f)\), l'axe des abscisses, \(x=0\) et \(x=1\). | Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=(1-x)e^x\). On désigne par \((C_f)\) sa courbe représentative. 1) a) Justifier que \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\) et interpréter graphiquement le résultat. b) Déterminer \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et montrer que \(\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=-\infty\). 2) a) ... | On a \(\lim_{x\to-\infty}(1-x)e^x=0\), donc la droite \(y=0\) est asymptote à \((C_f)\) au voisinage de \(-\infty\). Quand \(x\to+\infty\), \((1-x)e^x\to-\infty\), et \(\frac{f(x)}x=\frac{1-x}{x}e^x\to-\infty\), ce qui traduit une branche infinie parabolique de direction \((O,\vec j)\). La fonction est dérivable et \(f... | La tangente en 1 est \((T):y=-e(x-1)\), la courbe \((C_f)\) est située au-dessous de T sur \(\mathbb R\), et l'aire demandée vaut \(e-2\). |
Graphes — théorie des graphes et graphes probabilistes | economie-et-gestion | 2022-controle | graph - graphe pondéré \((G)\) modélisant un circuit de ski, avec durées sur les arêtes ; annexe 2 contenant le tableau de l'algorithme de Dijkstra. | Un groupe de skieurs décide de pratiquer son sport sur un circuit modélisé par le graphe pondéré \((G)\). Chaque sommet représente une station et chaque arête une piste dont la durée de parcours en minutes est indiquée : \(A-B:3\), \(A-F:10\), \(B-C:12\), \(B-G:17\), \(C-D:16\), \(C-G:8\), \(D-E:8\), \(D-F:18\), \(D-G:... | Les degrés sont : A = 2, B = 3, C = 3, D = 4, E = 2, F = 4, G = 4. Le graphe est connexe et possède exactement deux sommets de degré impair, donc il admet au moins une chaîne eulérienne. L'algorithme de Dijkstra donne comme plus court chemin de A à D le parcours \(A-F-G-D\), de durée totale \(22\) minutes. Comme le ski... | Le graphe admet une chaîne eulérienne, et le plus court chemin de A à D est \(A-F-G-D\) de durée \(22\) minutes ; un skieur partant à 16h36 arrive à 16h58 et rejoint donc le groupe à l'heure. |
Probabilités — conditionnement, probabilités totales et Bayes | economie-et-gestion | 2022-controle | figure - arbre de probabilité sur les options A et B d'un téléphone portable, puis tableau de loi de la variable aléatoire X représentant le bénéfice. | Une entreprise fabrique une marque déterminée de téléphones portables avec ou sans les options A et B. On sait que 50 % des téléphones présentent l'option A, 60 % présentent l'option B et 20 % présentent à la fois A et B. On choisit au hasard un téléphone. 1) a) Donner \(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(A\cap B)\). b) En déduir... | On a \(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}6\) et \(P(A\cap B)=0{,}2\). Ainsi \(P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4\). L'événement \(B\cap\overline A\) signifie : « le téléphone présente l'option B mais pas l'option A » ; sa probabilité vaut \(P(B)-P(A\cap B)=0{,}6-0{,}2=0{,}4\), donc \(P(B\mid\overline A... | \(P(B\mid A)=0{,}4\), \(P(B\mid\overline A)=0{,}8\), la loi de X est \((50,58,62,68)\) avec probabilités \((0{,}1,0{,}3,0{,}4,0{,}2)\), et le bénéfice moyen pour 1000 téléphones est \(60800\) dinars. |
Géométrie — géométrie dans l’espace | sciences-techniques | 2022-principale | null | Dans l'espace muni d'un repere orthonorme direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on donne les points \(A(-1,-1,-1)\), \(B(-2,-1,0)\), \(C(1,1,-5)\) et le vecteur \(\overrightarrow{N}=(1,1,1)\). 1) a) Verifier que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{N}\) et en deduire que les points A, B et... | 1) \(\overrightarrow{AB}=(-1,0,1)\) et \(\overrightarrow{AC}=(2,2,-4)\), donc \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(-2,-2,-2)=-2\overrightarrow{N}\neq\overrightarrow{0}\), ainsi A, B et C ne sont pas alignes. Le vecteur \(\overrightarrow{N}\) est normal a \(P\), d'ou \(P:x+y+z+d=0\), puis comme \(A\in P\), \(... | On obtient \(P:x+y+z+3=0\), \(H\) projete orthogonal de E sur \(P\), \(\mathcal V_{EABC}=2\), \(\mathcal S\) sphere de centre \(E(1,0,2)\) et de rayon \(\sqrt{14}\), \(P\cap\mathcal S\) cercle de centre H et de rayon \(\sqrt{2}\), \(Q\cap\mathcal S\) cercle de centre E et de rayon \(\sqrt{14}\), et les deux cercles se ... |
Analyse — suites numériques | sciences-techniques | 2022-principale | null | On considere la suite \((u_n)\) definie sur \(\mathbb N\) par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{2u_n-1}{u_n}\), pour tout \(n\in\mathbb N\). 1) a) Montrer par recurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n>1\). b) Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}-u_n=-\dfrac{(u_n-1)^2}{u_n}\). c) Montrer que la s... | 1) Par recurrence, \(u_n>1\) pour tout \(n\). Ensuite \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2u_n-1}{u_n}-u_n=-\dfrac{(u_n-1)^2}{u_n}<0\), donc \((u_n)\) est decroissante et minoree par 1 ; elle converge vers une limite \(\ell\ge 1\). En passant a la limite dans la relation de recurrence, \(\ell=\dfrac{2\ell-1}{\ell}\), donc \((\ell-1)^... | La suite \((u_n)\) est decroissante, converge vers 1, et \(u_n=\dfrac{n+2}{n+1}\). On a aussi \(S_n=\ln(n+2)\), et le plus petit entier \(n\) tel que \(S_n>10\) est \(22025\). |
Géométrie — nombres complexes | sciences-techniques | 2022-principale | figure - figure 1 de l'annexe avec le cercle \((\zeta)\) de centre I et de rayon 1, puis constructions des points F, G, K, L et du triangle \(DKL\). | Le plan est rapporte a un repere orthonorme direct \((O,\vec{u},\vec{v})\). On considere les points F, G et I d'affixes respectives \(z_F=\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)i\), \(z_G=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+\dfrac12 i\) et \(z_I=-\dfrac12+i\). 1) a) Verifier que \(z_F-z_I=\dfrac12+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(z_G-z_I=\dfr... | 1) Les affixes donnent bien \(z_F-z_I=\dfrac12+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(z_G-z_I=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac12 i\). Leurs modules valent 1, donc F et G appartiennent au cercle \((\zeta)\) de centre I et de rayon 1. Comme \(z_F-z_I=i(z_G-z_I)\), les vecteurs \(\overrightarrow{IF}\) et \(\overrightarrow{IG}\) sont perpe... | L'equation \(z^2+3z+\dfrac{25}{4}+2\sqrt{3}=0\) admet pour solutions \(-\dfrac32+i(1+\sqrt{3})\) et \(-\dfrac32-i(1+\sqrt{3})\), et le cercle \((\zeta)\) est inscrit dans le triangle \(DKL\). |
Analyse — fonction logarithme népérien | sciences-techniques | 2022-principale | graph - courbe \((C)\) de \(g(x)=\dfrac{e^x}{e^x-1}\) sur \(]0,+\infty[\), puis figure 2 avec la droite \(\Delta:y=x\), le point \((\alpha,f(\alpha))\) et la courbe \((\Gamma)\) de \(f(x)=\ln(e^x-1)\). | 1) Soit la fonction \(g\) definie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac{e^x}{e^x-1}\). On donne ci-contre la courbe representative \((C)\) de \(g\) dans un repere orthonorme. En utilisant le graphique : a) determiner \(g(\ln 2)\), \(\lim_{x\to0^+}g(x)\) et \(\lim_{x\to+\infty}g(x)\). b) Justifier que pour tout \(x\in]0... | 1) D'apres le graphique, \(g(\ln2)=2\), \(\lim_{x\to0^+}g(x)=+\infty\) et \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=1\). La fonction \(g\) est strictement decroissante sur \(]0,+\infty[\), donc \(g'(x)<0\), et sa courbe reste au-dessus de la droite \(y=1\), d'ou \(g(x)>1\). 2) \(\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) et \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=... | La fonction \(f\) est strictement croissante, sa courbe \((\Gamma)\) admet \(\Delta:y=x\) comme asymptote et reste au-dessous de \(\Delta\), l'equation \(f(x)=g(x)\) admet une unique solution \(\alpha\), et \(I=2\). |
Géométrie — géométrie dans l’espace | sciences-techniques | 2022-controle | null | Dans l'espace muni d'un repere orthonorme direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on donne les points \(A(1,2,1)\), \(B(1,0,-1)\) et \(C(3,2,1)\). 1) a) Determiner \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\). En deduire que les points A, B et C ne sont pas alignes. b) Soit \(P\) le plan passant par A, B et C. Mont... | 1) \(\overrightarrow{AB}=(0,-2,-2)\) et \(\overrightarrow{AC}=(2,0,0)\), donc \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(0,-4,4)\neq\overrightarrow{0}\), d'ou A, B et C non alignes. Un vecteur normal a \(P\) est donc \((0,-4,4)\), ce qui donne \(P:y-z-1=0\). 2) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\), do... | On obtient \(P:y-z-1=0\), \(S\) sphere de centre \(I(2,1,0)\) et de rayon \(\sqrt3\), \((\zeta)\) cercle circonscrit a \(ABC\), \(d(M_\alpha,P)=\sqrt2|\alpha|\), \(V_\alpha=\dfrac43|\alpha|\), et \(V_\alpha=\dfrac{2\sqrt6}{3}\) pour \(\alpha=\pm\dfrac{\sqrt6}{2}\), valeurs pour lesquelles \(M_\alpha\in S\). |
Géométrie — nombres complexes | sciences-techniques | 2022-controle | figure - figure 1 de l'annexe avec le cercle \((\zeta)\) de centre E et de rayon 2, puis construction de H, F et G. | Le plan est rapporte a un repere orthonorme direct \((O,\vec{u},\vec{v})\). 1) a) Verifier que \((2\sqrt{3}+2i)^2=8+8i\sqrt{3}\). b) Resoudre dans \(\mathbb C\) l'equation \(z^2-2i\sqrt{3}z-5-2i\sqrt{3}=0\). 2) On considere les points E, F et G d'affixes respectives \(z_E=1\), \(z_F=\sqrt{3}+i(1+\sqrt{3})\) et \(z_G=-\... | 1) \((2\sqrt{3}+2i)^2=8+8i\sqrt{3}\). Le discriminant de l'equation vaut donc \(8+8i\sqrt{3}=(2\sqrt{3}+2i)^2\), d'ou les solutions \(z=\sqrt{3}+i(1+\sqrt{3})\) et \(z=-\sqrt{3}+i(-1+\sqrt{3})\). 2) Comme \(z_G-1=i(z_F-1)\), les vecteurs \(\overrightarrow{EG}\) et \(\overrightarrow{EF}\) sont perpendiculaires et de mem... | L'equation \(z^2-2i\sqrt{3}z-5-2i\sqrt{3}=0\) admet pour solutions \(\sqrt{3}+i(1+\sqrt{3})\) et \(-\sqrt{3}+i(-1+\sqrt{3})\). Le point \(H\) a pour affixe \(i\sqrt{3}\), le triangle EFG est rectangle isocele en E, et le cercle de centre H et de rayon 2 est son cercle circonscrit. |
Analyse — suites numériques | sciences-techniques | 2022-controle | null | On considere la suite \((u_n)\) definie sur \(\mathbb N\) par \(u_0=\dfrac32\) et \(u_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3u_n^2+4}}{2}\), pour tout \(n\in\mathbb N\). 1) a) Montrer par recurrence que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(0<u_n<2\). b) Montrer que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u_{n+1}^2-u_n^2=\dfrac{4-u_n^2}{4}\). c) En dedu... | 1) Par recurrence, \(0<u_n<2\) pour tout \(n\). De plus \(u_{n+1}^2-u_n^2=\dfrac{3u_n^2+4}{4}-u_n^2=\dfrac{4-u_n^2}{4}>0\), donc \((u_n)\) est croissante. Elle est majoree par 2, donc convergente vers une limite \(\ell\in]0,2]\). En passant a la limite dans \(u_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3u_n^2+4}}{2}\), on obtient \(4\ell^2=3... | La suite \((u_n)\) est croissante, converge vers 2, et \(u_n=\sqrt{4-\dfrac74\left(\dfrac34\right)^n}\). On a aussi \(S_n=-7\left(1-\left(\dfrac34\right)^{n+1}\right)+4(n+1)\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{S_n}{n}=4\). |
Analyse — fonction logarithme népérien | sciences-techniques | 2022-controle | graph - figure 2 avec la droite \(\Delta:y=x\), le point \(A(e,f(e))\), la tangente \(T\) en A et la courbe \((C)\) de \(f(x)=x+\dfrac{2\ln x}{x}\). | 1) On considere la fonction \(g\) definie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=x^2+2-2\ln x\). On donne le tableau de signe de la fonction derivee \(g'\) de \(g\). a) Donner le sens de variation de \(g\) sur \(]0,+\infty[\). b) Calculer \(g(1)\). En deduire que pour tout \(x\in]0,+\infty[\), \(g(x)>0\). 2) Soit \(f\) la fonc... | 1) Le tableau donne que \(g\) decroit sur \(]0,1]\) puis croit sur \([1,+\infty[\). Son minimum est \(g(1)=3\), donc \(g(x)>0\) pour tout \(x>0\). 2) \(\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) et \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). On a \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}>0\), donc \(f\) est strictement croissante et l'equation \(f(x)=0\) a... | La fonction \(f\) est strictement croissante et admet une unique racine \(\alpha\in]0{,}7,0{,}8[\), la droite \(\Delta:y=x\) est asymptote en \(+\infty\), la tangente en A est \(T:y=x+\dfrac2e\), et \(I(\lambda)=(\ln\lambda)^2\). L'aire vaut 2 pour \(\lambda=e^{\sqrt2}\) ou \(\lambda=e^{-\sqrt2}\). |
Géométrie — nombres complexes | sciences-informatiques | 2022-principale | figure - repere complexe avec les points A, B et C d'affixes \(3-i\), \(1-2i\) et \(1+3i\), et le cercle de diametre \([BC]\). | 1) On considere dans \(\mathbb C\) l'equation \((E): z^2-(4-3i)z+1-7i=0\). a) Verifier que \((2+i)^2=3+4i\). b) Resoudre \((E)\). 2) Le plan complexe est rapporte a un repere orthonorme direct \((O,\vec{u},\vec{v})\). On considere les points A, B et C d'affixes respectives \(z_A=3-i\), \(z_B=1-2i\) et \(z_C=1+3i\). On ... | 1) \((2+i)^2=3+4i\). Le discriminant de \((E)\) vaut \((4-3i)^2-4(1-7i)=3+4i=(2+i)^2\), donc les solutions sont \(z=\dfrac{4-3i\pm(2+i)}{2}\), soit \(z=3-i\) et \(z=1-2i\). 2) On calcule \((z_A-z_B)\overline{(z_A-z_C)}=(2+i)\overline{(2-4i)}=10i\in i\mathbb R\), donc les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overright... | Les solutions de \((E)\) sont \(3-i\) et \(1-2i\). Le cercle \((\mathcal E)\) a pour centre \(\Omega\) d'affixe \(1+\dfrac12 i\) et pour rayon \(\dfrac52\). Les points M tels que \(S=5\) ont pour affixes \(3+2i\), \(3-i\), \(-1+2i\) et \(-1-i\). |
Arithmétique — congruences, divisibilité, Bézout et équations diophantiennes | sciences-informatiques | 2022-principale | null | 1) On considere dans \(\mathbb Z\times\mathbb Z\) l'equation \((E'): 3x-4y=7\). a) Verifier que \((1,-1)\) est une solution de \((E')\). b) Determiner les couples \((x,y)\in\mathbb Z\times\mathbb Z\) solutions de \((E')\). 2) Pour tout \(n\in\mathbb N\), on considere les nombres \(a_n=4n^2+8n-3\) et \(b_n=3n^2+6n-4\). ... | 1) \((1,-1)\) verifie bien \(3x-4y=7\). Toute solution entiere s'ecrit \(x=1+4k\), \(y=3k-1\), \(k\in\mathbb Z\). 2) On a \(a_n=4(n^2+2n-1)+1\) et \(b_n=3(n^2+2n-1)-1\), donc \(3a_n-4b_n=7\). Ainsi \((a_n,b_n)\) est solution de \((E')\), et tout diviseur commun \(d_n\) de \(a_n\) et \(b_n\) divise 7 ; comme \(d_n>0\), ... | Les solutions de \((E')\) sont \((x,y)=(1+4k,3k-1)\) avec \(k\in\mathbb Z\). Pour les suites, \(d_n=7\) si \(n\equiv6\pmod7\), et \(d_n=1\) sinon. |
Analyse — suites numériques | sciences-informatiques | 2022-principale | null | On considere la suite \((U_n)\) definie sur \(\mathbb N\) par \(U_0=1\) et \(U_{n+1}=e^{-n}U_n\), pour tout \(n\in\mathbb N\). 1) a) Calculer \(U_1\) et \(U_2\). b) Montrer par recurrence que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(U_n>0\). c) Justifier que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(e^{-n}\le1\) et montrer que \((U_n)\) es... | 1) \(U_1=e^0U_0=1\) et \(U_2=e^{-1}U_1=e^{-1}\). La recurrence montre immediatement que \(U_n>0\) pour tout \(n\). Comme \(e^{-n}\le1\), on a \(U_{n+1}=e^{-n}U_n\le U_n\), donc \((U_n)\) est decroissante. Elle est minoree par 0, donc convergente. 2) \(V_{n+1}-V_n=\ln(U_{n+1})-\ln(U_n)=\ln(e^{-n})=-n\). Avec \(V_0=0\), ... | On a \(U_1=1\), \(U_2=e^{-1}\), \(U_n=e^{-\frac{n(n-1)}{2}}\) pour tout \(n\in\mathbb N\), et \(\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=0\). |
Analyse — fonction logarithme népérien | sciences-informatiques | 2022-principale | graph - annexe avec la courbe \((C)\) de \(g(x)=2e^x-1\), puis tracé de la courbe \((\Gamma)\) de \(f(x)=2e^x(e^x-1)\) et hachurage des domaines \(D\) et \(D_\alpha\). | On donne dans l'annexe jointe, la courbe \((C)\) dans un repere orthonorme \((O,\vec{i},\vec{j})\) de la fonction \(g\) definie sur \(\mathbb R\) par \(g(x)=2e^x-1\). 1) En utilisant le graphique, determiner \(g(-\ln2)\) et donner le signe de \(g\) sur \(\mathbb R\). 2) On donne la fonction \(f\) definie sur \(\mathbb ... | 1) \(g(-\ln2)=2e^{-\ln2}-1=0\). Comme \(g\) est croissante, on a \(g(x)<0\) pour \(x< -\ln2\), \(g(-\ln2)=0\), et \(g(x)>0\) pour \(x> -\ln2\). 2) \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\), donc \((\Gamma)\) admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale a gauche. De plus \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\lim_{x\to+\i... | On a \(g(-\ln2)=0\), \(f(-\ln2)=-\dfrac12\), les courbes se coupent en \(A\left(\ln\dfrac{2-\sqrt2}{2},1-\sqrt2\right)\) et \(B\left(\ln\dfrac{2+\sqrt2}{2},1+\sqrt2\right)\), \(I=\dfrac14\), et \(I_\alpha=I\) si et seulement si \(\alpha=\ln\dfrac{2-\sqrt2}{2}\). |
Géométrie — nombres complexes | sciences-informatiques | 2022-controle | null | 1) On considere dans \(\mathbb C\) l'equation \((E): z^2-(5+i)z+8+4i=0\). a) Verifier que \((1-3i)^2=-8-6i\). b) Resoudre l'equation \((E)\). 2) Le plan complexe est rapporte a un repere orthonorme \((O,\vec{u},\vec{v})\). On considere les points A, B et C d'affixes respectives \(z_A=1+i\), \(z_B=2+2i\) et \(z_C=3-i\).... | 1) \((1-3i)^2=-8-6i\). Le discriminant de \((E)\) vaut \((5+i)^2-4(8+4i)=-8-6i=(1-3i)^2\), donc les solutions sont \(z=\dfrac{5+i\pm(1-3i)}{2}\), soit \(z=3-i\) et \(z=2+2i\). 2) On a \((z_A-z_C)\overline{(z_A-z_B)}=(-2+2i)\overline{(-1-i)}=-4i\in i\mathbb R\), donc les vecteurs \(\overrightarrow{CA}\) et \(\overrighta... | Les solutions de \((E)\) sont \(3-i\) et \(2+2i\). Le triangle ABC est rectangle en A, \((AB)\parallel(CD)\), \(AB=\sqrt2\), \(CD=2\sqrt2\), et l'aire du quadrilatere \(ABCD\) vaut 6. |
Algèbre — matrices, déterminants et systèmes linéaires | sciences-informatiques | 2022-controle | null | On considere la matrice \(M=\begin{pmatrix}\alpha&-1&1\\2&-2&1\\-2&1&-2\end{pmatrix}\), ou \(\alpha\) est un nombre reel. 1) a) Montrer que \(\det(M)=3\alpha-4\). b) Pour quelle valeur de \(\alpha\) la matrice \(M\) n'est-elle pas inversible ? 2) Dans la suite de l'exercice on prend \(\alpha=1\). a) Calculer \(M^2\) pu... | 1) Le calcul direct du determinant donne \(\det(M)=3\alpha-4\). Ainsi \(M\) n'est pas inversible si et seulement si \(3\alpha-4=0\), soit \(\alpha=\dfrac43\). 2) Pour \(\alpha=1\), on obtient \(M^2=\begin{pmatrix}-3&2&-2\\-4&3&-2\\4&-2&3\end{pmatrix}\), et l'on verifie alors que \(M^2+2M=-I_3\). Comme \(M\) est inversi... | \(\det(M)=3\alpha-4\), donc \(M\) n'est pas inversible pour \(\alpha=\dfrac43\). Pour \(\alpha=1\), \(M^{-1}=-M-2I_3\), et le systeme \((S)\) a pour solution unique \((x,y,z)=(1,1,1)\). |
Arithmétique — congruences, divisibilité, Bézout et équations diophantiennes | sciences-informatiques | 2022-controle | null | On considere dans \(\mathbb Z\times\mathbb Z\) l'equation \((E'):2x-y=7\). 1) a) Verifier que le couple \((3,-1)\) est une solution de \((E')\). b) Resoudre l'equation \((E')\). 2) a) Verifier que \(5^6\equiv1\pmod7\). b) Determiner suivant les valeurs de l'entier naturel \(n\), les restes possibles de la division eucl... | 1) \((3,-1)\) verifie bien \(2x-y=7\). Toute solution entiere de \((E')\) s'ecrit \(x=3+k\), \(y=-1+2k\), avec \(k\in\mathbb Z\). 2) \(5^6=15625\equiv1\pmod7\). Les restes de \(5^n\) modulo 7 suivent donc un cycle de periode 6 : \(1,5,4,6,2,3\) selon que \(n\equiv0,1,2,3,4,5\pmod6\). 3) On a \(2a_n-b_n=2(5^n+3)-(2\cdot... | Les solutions de \((E')\) sont \((x,y)=(3+k,-1+2k)\), \(k\in\mathbb Z\). Pour les suites, \(a_n\wedge b_n\) ne peut valoir que 1 ou 7, et \(a_n\wedge b_n=7\) si et seulement si \(n\equiv2\pmod6\). |
Statistiques — séries à deux caractères, régression et corrélation | sciences-informatiques | 2022-controle | null | Un centre specialise en jeux video, nomme « Gamma », offre des formations permettant de developper les competences des professionnels du domaine. Le tableau ci-dessous donne les tarifs de la formation selon le nombre d'inscrits : \(x\in\{1,5,10,15,20\}\) et \(y\in\{2500,11500,21000,30000,36000\}\). Les valeurs demandee... | Le coefficient de correlation du nuage est \(r\approx0{,}9948\), ce qui traduit une tres forte correlation lineaire positive entre le nombre d'inscrits et le prix. La droite de regression de \(y\) en \(x\) est \(y\approx1775{,}5633x+2089{,}2548\). Pour 17 ingenieurs, on obtient \(y\approx1775{,}5633\times17+2089{,}2548... | \(r\approx0{,}9948\), la droite de regression est \(y\approx1775{,}5633x+2089{,}2548\), le cout estime pour 17 ingenieurs est \(32273{,}8302\) dinars, et la somme \(30096{,}500\) dinars permet bien de former ces 17 ingenieurs selon l'ajustement \(x=0{,}0006y-1{,}0579\). |
Analyse — fonction logarithme népérien | sciences-informatiques | 2022-controle | graph - annexe avec la droite \(\Delta:y=\dfrac4e x-\dfrac1{e^2}\), le point d'inflexion \(I\left(\dfrac1e,f\left(\dfrac1e\right)\right)\), et le trace de la courbe \((C)\) de \(f(x)=x^2(1-2\ln x)\). | Le tableau ci-contre donne les variations de la fonction \(g\) definie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=-4x\ln x\). 1) Calculer \(g(1)\) et donner le signe de \(g\) sur \(]0,+\infty[\). 2) Soit \(f\) la fonction definie sur \([0,+\infty[\) par \(f(x)=x^2(1-2\ln x)\) si \(x>0\) et \(f(0)=0\). On designe par \((C)\) sa cou... | 1) \(g(1)=-4\cdot1\cdot\ln1=0\). Comme \(\ln x<0\) sur \(]0,1[\) et \(\ln x>0\) sur \(]1,+\infty[\), on a \(g(x)>0\) sur \(]0,1[\), \(g(1)=0\), puis \(g(x)<0\) sur \(]1,+\infty[\). 2) \(f_d'(0)=\lim_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0^+}x(1-2\ln x)=0\), donc \((C)\) admet en O une demi-tangente horizontale. On a ... | On a \(g(1)=0\), \(f'(x)=g(x)\), \(f\) croissante puis decroissante avec maximum \(f(1)=1\), le point d'inflexion est \(I\left(\dfrac1e,\dfrac3{e^2}\right)\), la tangente en I est \(\Delta:y=\dfrac4e x-\dfrac1{e^2}\), \(f(\sqrt e)=0\), et \(\mathcal A=\dfrac29 e\sqrt e-\dfrac59\). |
Géométrie — nombres complexes | mathematiques | 2021-principale | figure - annexe avec le rectangle \(OABC\) de centre I, le point D sur \([OA]\), puis les points \(\Omega\), J, K, E, M, N et P associes aux transformations du plan. | Le plan est oriente dans le sens direct. Dans la figure de l'annexe jointe, \(OABC\) est un rectangle de centre I tel que \(OC=1\), \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\equiv\dfrac\pi6\,[2\pi]\) et D est le point du segment \([OA]\) tel que \(OD=OC\). 1) a) Montrer qu'il existe un unique deplacement \(f\) qui en... | 1) Le quadrilatere \(OABC\) est un rectangle de centre I, et dans le triangle OAB rectangle en A on a \(AB=OC=1\) et \(\widehat{AOB}=\dfrac\pi6\), donc \(OB=2\) et \(IB=\dfrac{OB}{2}=1=OD\) ; comme \(OD=IB\neq0\), il existe un unique deplacement envoyant O sur I et D sur B. Comme \((\overrightarrow{OD},\overrightarrow{... | Le deplacement \(f\) est la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\dfrac\pi6\), avec \(\Omega=\operatorname{med}[OI]\cap\operatorname{med}[BD]\). L'antideplacement \(g\) est la symetrie glissante \(g=S_{(JK)}\circ t_{\overrightarrow{EJ}}\). On a \(f^{-1}\circ g=S_{(OA)}\), \(f(E)=J\), \((O\Omega)\perp(JK)\), \(z_I... |
Arithmétique — congruences, divisibilité, Bézout et équations diophantiennes | mathematiques | 2021-principale | null | 1) a) Montrer par recurrence que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(21^n\equiv1+20n\pmod{100}\). b) En deduire les deux derniers chiffres de l'entier \(2021^{2021}\). On note \(E\) l'ensemble des entiers \(x\in\mathbb Z\) tels que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(x^n\equiv1+n(x-1)\pmod{100}\). 2) Verifier que 21 est un eleme... | 1) La recurrence donne \(21^n\equiv1+20n\pmod{100}\) pour tout \(n\in\mathbb N\). Comme \(2021\equiv21\pmod{100}\), on a \(2021^{2021}\equiv21^{2021}\equiv1+20\cdot2021\equiv21\pmod{100}\). Les deux derniers chiffres sont donc 2 et 1. 2) La relation precedente montre directement que 21 appartient a \(E\). 3) Si \(x\in ... | On a \(21^n\equiv1+20n\pmod{100}\), donc \(2021^{2021}\equiv21\pmod{100}\) et ses deux derniers chiffres sont 21. L'ensemble cherche est \(E=\{1+10q\mid q\in\mathbb Z\}\). |
Géométrie — similitudes, isométries et transformations du plan | mathematiques | 2021-principale | graph - courbe \((\mathcal C)\) de \(\varphi(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}\), puis famille de courbes translatees \((\mathcal C_n)\) et etude des solutions \(\alpha_n\). | 1) Soit \(\varphi\) la fonction definie sur \(]0,+\infty[\) par \(\varphi(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}\). On designe par \((\mathcal C)\) sa courbe representative dans un repere orthonorme \((O,\vec{i},\vec{j})\) du plan. a) Calculer \(\lim_{x\to0^+}\varphi(x)\) et \(\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)\). Interpreter graphiquement l... | 1) \(\lim_{x\to0^+}\varphi(x)=+\infty\), donc l'axe \(x=0\) est une asymptote verticale ; \(\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=0\), donc l'axe des abscisses est une asymptote horizontale a droite. De plus \(\varphi'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^2}\), ainsi \(\varphi\) est croissante sur \(]0,1]\) puis decroissante sur \([1,+\infty[\)... | La fonction \(\varphi\) est croissante sur \(]0,1]\), decroissante sur \([1,+\infty[\), coupe l'axe des abscisses en \(\left(\dfrac1e,0\right)\), et \((\mathcal C_n)\) est l'image de \((\mathcal C)\) par la translation de vecteur \(-n\vec{i}\). Pour chaque \(n\ge1\), l'equation \(h_n(x)=0\) admet une unique solution \(... |
Analyse — fonction exponentielle | mathematiques | 2021-principale | graph - deux courbes \((\mathcal C_f)\) et \((\mathcal C_g)\) de \(f(x)=e^{-\sqrt{x}}\) et \(g(x)=\sqrt{x}e^{-\sqrt{x}}\), coupees par les droites \(x=0\) et \(x=\lambda\). | 1) Soit F et H les fonctions definies sur \([0,+\infty[\) par \(F(x)=\int_1^x e^{-\sqrt{t}}\,dt\) et \(H(x)=\dfrac4e-2(1+\sqrt{x})e^{-\sqrt{x}}\). a) Montrer que F est derivable sur \([0,+\infty[\) et donner \(F'(x)\). b) Montrer que pour tout \(x>0\), \(F(x)=H(x)\). c) En deduire que \(F(0)=H(0)\). 2) Soit G la foncti... | 1) Par le theoreme fondamental de l'analyse, F est derivable et \(F'(x)=e^{-\sqrt{x}}\). On verifie que \(H'(x)=e^{-\sqrt{x}}\) pour \(x>0\), et comme \(F(1)=H(1)=0\), on obtient \(F(x)=H(x)\) sur \(]0,+\infty[\). Par continuite, \(F(0)=H(0)=\dfrac4e-2\). 2) Une integration par parties dans \(G(x)=\int_1^x \dfrac{t}{\s... | On a \(F(x)=\dfrac4e-2(1+\sqrt{x})e^{-\sqrt{x}}\), \(G(x)=\dfrac2e-2xe^{-\sqrt{x}}+2F(x)\), \(\mathcal A_1=\dfrac6e-2\), \(\mathcal A_\lambda=\mathcal A_1+G(\lambda)-F(\lambda)\), et \(\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\mathcal A_\lambda=\dfrac{12}{e}-2\). |
Arithmétique — congruences, divisibilité, Bézout et équations diophantiennes | mathematiques | 2021-controle | null | Soit \(a\in\mathbb Z\). 1) Determiner les restes possibles modulo 6 de \(a^2\). 2) Verifier que \(a^3\equiv a\pmod 6\). 3) a) Montrer par recurrence que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(a^{2n+1}\equiv a\pmod 6\). b) En deduire que pour tout entier \(n\ge1\), \(a^{2n}\equiv a^2\pmod 6\). 4) Resoudre dans \(\mathbb Z^2\) l... | Les restes possibles de \(a^2\) modulo 6 sont \(0,1,3,4\). On verifie ensuite que \(a^3\equiv a\pmod 6\). Par recurrence, on obtient pour tout \(n\in\mathbb N\), \(a^{2n+1}\equiv a\pmod 6\), puis pour tout \(n\ge1\), \(a^{2n}\equiv a^2\pmod 6\). Dans le systeme, on a \(x^7\equiv x\pmod 6\) et \(y^8\equiv y^2\pmod 6\), ... | Les solutions sont \((x,y)=(1+6p,1+6q)\) ou \((x,y)=(1+6p,5+6q)\), avec \(p,q\in\mathbb Z\). |
Géométrie — similitudes, isométries et transformations du plan | mathematiques | 2021-controle | figure - triangle rectangle et isocele \(ABC\) en \(A\), point \(O\) milieu de \([BC]\), triangles equilateraux directs \(AEB\) et \(ACF\), puis points \(\Omega\), \(A'\), \(I\) et \(J\). | Le plan est oriente dans le sens direct. Dans la figure 1 de l'annexe jointe, \(ABC\) est un triangle rectangle et isocele en \(A\) de sens direct, \(O\) est le milieu de \([BC]\), et les triangles \(AEB\) et \(ACF\) sont equilateraux directs. 1) Soit \(r_1\) la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\dfrac{5\pi}{6}\). ... | Comme \(AB=AC=AF\) et \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF})\equiv\dfrac{5\pi}{6}\,[2\pi]\), la rotation \(r_1\) envoie \(B\) sur \(F\). De meme, \(AE=AB=AC\) et \((\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AC})\equiv\dfrac{5\pi}{6}\,[2\pi]\), donc \(r_1(E)=C\). La droite \((AO)\) est la mediatrice de \([BC]\), d'ou \(S... | On obtient \(r_1(B)=F\), \(r_1(E)=C\), \(S([BE])=[CF]\), \(A\), \(O\) et \(\Omega\) alignes, \(f=r_1\) ou \(f=r_2\) de centre \(\Omega\) et d'angle \(-\dfrac{\pi}{6}\), le quadrilatere \(ACA'F\) est un losange, et \(g=S_{(IJ)}\circ t_{\overrightarrow{IJ}}\). |
Géométrie — nombres complexes | mathematiques | 2021-controle | figure - repere orthonorme direct, droite \(\Delta:x=-\dfrac12\), droite \((OB)\), points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), puis construction de \(Q\) a partir d'un point \(P\in\Delta\). | Le plan est rapporte a un repere orthonorme direct \((O,\vec{u},\vec{v})\). 1) a) Resoudre dans \(\mathbb C\) l'equation \(z^2+z+\dfrac13=0\). On note \(z_1\) et \(z_2\) les solutions avec \(\Im(z_1)>0\). b) Ecrire \(z_1\) sous forme exponentielle. Dans la figure 2 de l'annexe jointe, \(A\) et \(B\) sont les points d'a... | L'equation \(z^2+z+\dfrac13=0\) admet pour solutions \(z_1=-\dfrac12+\dfrac{i}{2\sqrt3}\) et \(z_2=-\dfrac12-\dfrac{i}{2\sqrt3}\). On a donc \(z_1=\dfrac1{\sqrt3}e^{i5\pi/6}\). Comme \(C\in\Delta\cap(OB)\), on a \(\Re(z_C)=-\dfrac12\) et \(\arg(z_C)=\arg(z_B)=\dfrac{5\pi}{6}\,[2\pi]\), ce qui impose \(z_C=z_1\). On ver... | On a \(z_1=-\dfrac12+\dfrac{i}{2\sqrt3}=\dfrac1{\sqrt3}e^{i5\pi/6}\), \(z_2=-\dfrac12-\dfrac{i}{2\sqrt3}\), \(z_D=z_1^3=\dfrac{i}{3\sqrt3}\), \(\dfrac{z_D-1}{z_1-1}=\dfrac23\), et le lieu des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AN}\) soient colineaires est la droite \(\Delta\) reunie avec... |
Analyse — suites définies par une intégrale | mathematiques | 2021-controle | graph - courbe \((\mathcal C_g)\) de \(g(x)=xe^x\), courbe \((\mathcal C_f)\) de \(f(x)=g(x)-(g(x))^2\), points d'abscisses \(\alpha\) et \(\beta\) definis par \(g(\alpha)=1\) et \(g(\beta)=\dfrac12\). | Partie A. Dans la figure 3 de l'annexe jointe, on a trace la courbe representative \((\mathcal C_g)\) de la fonction \(g\) definie sur \(\mathbb R\) par \(g(x)=xe^x\). Les reels \(\alpha\) et \(\beta\) verifient \(g(\alpha)=1\) et \(g(\beta)=\dfrac12\). 1) En utilisant le graphique : a) donner le tableau de signe de \(... | On lit sur le graphique que \(g'(x)<0\) sur \(]-\infty,-1[\), \(g'(-1)=0\) et \(g'(x)>0\) sur \(]-1,+\infty[\). On en deduit \(g(x)<\dfrac12\) pour \(x<\beta\), et \(g(x)<1\) pour \(x<\alpha\). Comme \(g\left(\dfrac12\right)=\dfrac12e^{1/2}<1\), on a bien \(\alpha>\dfrac12\). Ensuite \(f(\alpha)=0\) et \(f(\beta)=\dfra... | On a \(f(\alpha)=0\), \(f(\beta)=\dfrac14\), \(y=0\) asymptote horizontale a gauche pour \((\mathcal C_f)\), \(\mathcal A=\dfrac14-\dfrac1{2\alpha}+\dfrac1{4\alpha^2}\), \(J_n\to0\), et \(\sqrt[n]{J_n}\to1\). |
Probabilités — loi binomiale et schéma de Bernoulli | sciences-experimentales | 2021-principal | null | On considere un de cubique equilibre a six faces dont deux portent le chiffre 1 et quatre portent le chiffre 2. Si le de donne 1, on tire une boule dans l'urne \(U_1\) contenant une boule blanche et trois boules rouges; si le de donne 2, on tire une boule dans l'urne \(U_2\) contenant deux boules blanches et deux boule... | Comme le de comporte deux faces \(1\) sur six, \(P(D)=\dfrac13\). On a \(P(B\mid D)=\dfrac14\) et \(P(B\mid \overline D)=\dfrac12\). D'ou \(P(B)=P(D)P(B\mid D)+P(\overline D)P(B\mid \overline D)=\dfrac13\cdot\dfrac14+\dfrac23\cdot\dfrac12=\dfrac5{12}\). Ainsi \(P(D\mid B)=\dfrac{P(D\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac13\cdot\fr... | On a \(P(B)=\dfrac5{12}\), \(P(U_1\mid B)=\dfrac15\), \(X\sim\mathcal B\left(5,\dfrac5{12}\right)\), \(P(X=1)=\dfrac{60025}{248832}\), et \(q=\dfrac{245707}{248832}\). |
Géométrie — nombres complexes | sciences-experimentales | 2021-principal | figure - plan complexe avec le carre \(OABC\), puis cercle circonscrit au triangle \(OAB\) et point mobile \(M\) d'affixe \(1+i\sqrt3+2e^{i\theta}\). | 1) a) Verifier que \((2\sqrt3-2i)^2=8-8i\sqrt3\). b) Resoudre dans \(\mathbb C\) l'equation \(z^2-2(1+i\sqrt3)z+4(-1+i\sqrt3)=0\). 2) Dans le plan complexe muni d'un repere orthonorme direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considere les points \(A\), \(B\) et \(C\) d'affixes respectives \(z_A=1+\sqrt3-i(1-\sqrt3)\), \(z_B=2+... | On verifie d'abord que \((2\sqrt3-2i)^2=8-8i\sqrt3\). Le discriminant de l'equation vaut \(8-8i\sqrt3\), donc les solutions sont \(z_A=1+\sqrt3-i(1-\sqrt3)\) et \(z_C=1-\sqrt3+i(1+\sqrt3)\). Comme \(z_C=iz_A\), les vecteurs \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OC}\) sont perpendiculaires et de meme norme; le tr... | Les solutions de l'equation sont \(1+\sqrt3-i(1-\sqrt3)\) et \(1-\sqrt3+i(1+\sqrt3)\). On obtient \(OABC\) carre, \(z_B=4e^{i\pi/3}\), \(M=B\) pour \(\theta=\dfrac\pi3\), et le lieu de \(M\) est le cercle circonscrit au triangle \(OAB\). |
Analyse — fonction logarithme népérien | sciences-experimentales | 2021-principal | null | On considere les integrales \(K=\int_{\sqrt e}^{e}\dfrac{x\ln x}{(x^2-1)^2}\,dx\) et \(J=\int_{\sqrt e}^{e}\dfrac1{x(x^2-1)}\,dx\). 1) a) Verifier que pour tout \(x\in[\sqrt e,e]\), \(\dfrac1{x(x^2-1)}=\dfrac{x}{x^2-1}-\dfrac1x\). b) Calculer \(J\). 2) a) Montrer a l'aide d'une integration par parties que \(2K=J+\dfrac... | On a \(\dfrac{x}{x^2-1}-\dfrac1x=\dfrac1{x(x^2-1)}\). Ainsi \(J=\int_{\sqrt e}^{e}\left(\dfrac{x}{x^2-1}-\dfrac1x\right)dx=\left[\dfrac12\ln(x^2-1)-\ln x\right]_{\sqrt e}^{e}=\dfrac12\ln(e+1)-\dfrac12\). Une integration par parties sur \(K\) donne \(2K=J+\dfrac1{2(e+1)}\). En remplacant \(J\), on obtient \(K=\dfrac12J+... | On obtient \(J=\dfrac12\ln(e+1)-\dfrac12\) et \(K=-\dfrac14+\dfrac14\ln(e+1)+\dfrac1{4(e+1)}\). |
Analyse — fonctions réciproques et bijection | sciences-experimentales | 2021-principal | graph - courbe \((\mathcal C)\) d'une fonction \(f\) definie sur \(]0,+\infty[\), asymptote verticale \(x=0\), tangente \(T\) en \(A\left(\dfrac12,0\right)\), droite \(y=x\), point \(B\left(\dfrac{25}{6},\ln5\right)\), puis courbe reciproque \((\mathcal C')\). | Dans l'annexe 2, on a trace dans le plan muni d'un repere orthonorme \((O,\vec i,\vec j)\) la courbe \((\mathcal C)\) d'une fonction \(f\) derivable et strictement croissante sur \(]0,+\infty[\), sa tangente \(T\) au point \(A\left(\dfrac12,0\right)\), ainsi que la droite \(y=x\). On sait que la droite \(x=0\) est une ... | On lit que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=0\); comme \(f\) est strictement croissante, elle realise une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(\mathbb R\). La tangente \(T\) en \(A\) a pour equation \(y=\dfrac43x-\dfrac23\), donc ... | La fonction \(f\) est strictement croissante de \(-\infty\) vers \(+\infty\), \(f'\left(\dfrac12\right)=\dfrac43\), \(f^{-1}(x)=\dfrac{e^{2x}}{1+e^x}=e^x-\dfrac{e^x}{1+e^x}\), la tangente a \((\mathcal C')\) au point d'abscisse 0 est \(y=\dfrac34x+\dfrac12\), et \(\mathcal A=-4+\dfrac{25}{6}\ln5+\ln3\). |
Probabilités — conditionnement, probabilités totales et Bayes | sciences-experimentales | 2021-controle | null | Pour chacune des questions suivantes, une seule des reponses proposees est exacte. 1) Dans une population, \(P(D)=0{,}15\), \(P(H)=0{,}05\) et \(P(D\cap H)=0{,}03\). Calculer \(P(D\cup H)\). 2) Calculer \(P(H\mid D)\). 3) On lance trois fois un de equilibre dont deux faces portent la lettre \(A\), trois la lettre \(B\)... | On a \(P(D\cup H)=P(D)+P(H)-P(D\cap H)=0{,}15+0{,}05-0{,}03=0{,}17\). Ensuite \(P(H\mid D)=\dfrac{P(D\cap H)}{P(D)}=\dfrac{0{,}03}{0{,}15}=0{,}2\). Pour les lancers du de lettre, \(P(B,A,C)=\dfrac36\cdot\dfrac26\cdot\dfrac16=\dfrac1{36}\). Enfin \(P(\text{au moins un }A)=1-P(\text{aucun }A)=1-\left(\dfrac23\right)^3\). | Les bonnes reponses sont : \(0{,}17\), \(0{,}2\), \(\dfrac1{36}\) et \(1-\left(\dfrac23\right)^3\). |
Géométrie — nombres complexes | sciences-experimentales | 2021-controle | figure - rectangle \(ABCD\) inscrit dans le cercle de centre \(I\) et de rayon 2 dans le plan complexe. | On considere dans \(\mathbb C\) l'equation \((E):z^2-2iz+(-3+2i\sqrt3)=0\). 1) a) Verifier que \(\sqrt3\) est une solution de \((E)\). b) Determiner l'autre solution. 2) Le plan est rapporte a un repere orthonorme direct \((O,\vec u,\vec v)\). On designe par \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et \(I\) les points d'affixes resp... | On verifie que \(\sqrt3\) annule \((E)\). La somme des racines vaut \(2i\), donc l'autre racine est \(-\sqrt3+2i\). On calcule \(AC=|z_C-z_A|=|-2\sqrt3-2i|=4\) et \(BD=|z_B-z_D|=|-2\sqrt3+2i|=4\), donc \(AC=BD\). De plus \(\overrightarrow{AB}=z_B-z_A=-2\sqrt3\) et \(\overrightarrow{DC}=z_C-z_D=-2\sqrt3\), tandis que \(... | L'autre solution de \((E)\) est \(-\sqrt3+2i\). Le quadrilatere \(ABCD\) est un rectangle inscrit dans le cercle de centre \(I\) et de rayon 2, et son aire vaut \(4\sqrt3\). |
Analyse — fonctions réciproques et bijection | sciences-experimentales | 2021-controle | graph - courbe \((\zeta)\) de \(f(x)=\dfrac{x}{x+1}+\ln(x+1)\), droite \(\Delta:y=x\), courbe reciproque \((\zeta')\), et region d'aire \(\mathcal A(\alpha)\). | Soit \(f\) la fonction definie sur \(]-1,+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{x}{x+1}+\ln(x+1)\). On designe par \((\zeta)\) sa courbe representative. A) 1) a) Calculer \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)\) et interpreter graphiquement le resultat. b) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et montrer que \(\lim\limits_{x\to+\inft... | On a \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=-\infty\), donc \(x=-1\) est une asymptote verticale, et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) avec \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=0\). Comme \(f'(x)=\dfrac1{(x+1)^2}+\dfrac1{x+1}>0\), la fonction \(f\) est strictement croissante et realise une bijection de \(]-1,+\infty[... | La fonction \(f\) est strictement croissante et bijective de \(]-1,+\infty[\) sur \(\mathbb R\). L'equation \(f(x)=x\) admet exactement deux solutions \(0\) et \(\alpha\), avec \(1{,}5<\alpha<1{,}6\), et \(\mathcal A(\alpha)=2\alpha\ln(\alpha+1)-\alpha^2\). |
Analyse — fonction logarithme népérien | sciences-experimentales | 2021-controle | null | Soient \(g\) et \(h\) les fonctions definies sur \([1,+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}\) et \(h(x)=\dfrac1{\sqrt{x^2-2x+2}}\). 1) Soient \(G(x)=\sqrt{x^2-2x+2}\) et \(H(x)=\ln\left(x-1+\sqrt{x^2-2x+2}\right)\). Montrer que \(G\) et \(H\) sont des primitives respectives de \(g\) et \(h\) sur \([1,+\inf... | On verifie que \(G'(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}=g(x)\) et que \(H'(x)=\dfrac1{\sqrt{x^2-2x+2}}=h(x)\). Ainsi \(I=H(2)-H(1)=\ln(1+\sqrt2)\). De plus \(I+J=\int_1^2\dfrac{1+(x-1)^2}{\sqrt{x^2-2x+2}}dx=\int_1^2\sqrt{x^2-2x+2}\,dx=K\). Une integration par parties sur \(J\) donne \(J=\sqrt2-K\). En combinant avec \(I+J=... | On a \(I=\ln(1+\sqrt2)\), \(I+J=K\), \(J=\sqrt2-K\), et donc \(J=\dfrac{\sqrt2-\ln(1+\sqrt2)}2\). |
Algèbre — matrices, déterminants et systèmes linéaires | economie-et-gestion | 2021-principal | null | On considere les matrices \(A=\begin{pmatrix}32&21&12\\20&7&12\\12&21&9\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}189&-63&-168\\36&-144&144\\-336&420&196\end{pmatrix}\). 1) a) Calculer \(\det(A)\) et en deduire que \(A\) est inversible. b) Determiner \(AB\) et en deduire \(A^{-1}\). 2) Soit le systeme \((S):\begin{cases}32x... | On calcule \(\det(A)=-2772\neq0\), donc \(A\) est inversible. De plus \(AB=2772I_3\), d'ou \(A^{-1}=\dfrac1{2772}B\). Le systeme \((S)\) s'ecrit \(AX=C\), avec \(X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\) et \(C=\begin{pmatrix}3500\\2180\\2460\end{pmatrix}\). Alors \(X=A^{-1}C=\dfrac1{2772}BC\), ce qui donne \((x,y,z)=(40... | On a \(\det(A)=-2772\), \(A^{-1}=\dfrac1{2772}B\), la solution de \((S)\) est \((40,60,80)\), et les prix initiaux sont 40 dinars la chemise, 60 dinars le pantalon et 80 dinars le pull. |
Graphes — théorie des graphes et graphes probabilistes | economie-et-gestion | 2021-principal | figure - graphe non oriente \((G)\) sur \(A,B,C,D,E\), puis graphe oriente \((G')\) sur les memes sommets pour la matrice d'adjacence. | Dans un manege, on modelise cinq appareils par les sommets \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et \(E\), et les allees par les aretes du graphe \((G)\), qui sont \(AB\), \(AE\), \(BC\), \(BD\), \(CD\) et \(DE\). 1) a) Completer le tableau des degres des sommets. b) Determiner la nature du sous-graphe constitue par \(B\), \(C\) ... | Les degres sont \(d(A)=2\), \(d(B)=3\), \(d(C)=2\), \(d(D)=3\) et \(d(E)=2\). Le sous-graphe induit par \(\{B,C,D\}\) est complet d'ordre 3, donc un \(K_3\). Le nombre chromatique verifie \(3\le\gamma(G)\le4\), et l'on peut colorier \((G)\) avec 3 couleurs; ainsi \(\gamma(G)=3\). Le graphe \((G)\) est connexe et admet ... | On a \(d(A)=2\), \(d(B)=3\), \(d(C)=2\), \(d(D)=3\), \(d(E)=2\), \(\gamma(G)=3\), une chaine eulerienne existe, \(M=\begin{pmatrix}0&1&0&0&1\\0&0&1&1&0\\0&1&0&1&0\\0&0&1&0&1\\1&0&0&1&0\end{pmatrix}\), il y a 5 chaines de longueur 5 de \(D\) a \(B\), et 20 chaines fermees de longueur 5. |
Statistiques — séries à deux caractères, régression et corrélation | economie-et-gestion | 2021-principal | graph - nuage de points des depenses \((x_i,y_i)\) de 2012 a 2019, puis ajustement apres transformation \(T=\dfrac5X\). | Le tableau donne les depenses d'une entreprise, en milliers de dinars, de 2012 a 2019 : \((x_i,y_i)=(1,6),(2,3{,}5),(3,2{,}6),(4,2{,}2),(5,2),(6,1{,}8),(7,1{,}7),(8,1{,}6)\), ou \(x_i\) est le rang de l'annee. I) 1) a) Representer le nuage de points dans un repere orthogonal. b) Dire si un ajustement affine est envisag... | Le nuage n'est pas suffisamment allonge autour d'une droite pour justifier un ajustement affine direct. Le point moyen est \(G(4{,}5;2{,}675)\). Le coefficient de correlation lineaire de \((X,Y)\) vaut \(r_1\approx-0{,}836\). Avec \(T=\dfrac5X\), on obtient les valeurs \(5\), \(2{,}5\), \(1{,}667\), \(1{,}25\), \(1\), ... | On a \(G(4{,}5;2{,}675)\), \(r_1\approx-0{,}836\), \(r_2\approx0{,}9999\), la droite de regression est \(y=1{,}006t+0{,}966\), et l'estimation pour 2022 est \(1{,}423\) millier de dinars, soit environ 1423 dinars. |
Analyse — fonction exponentielle | economie-et-gestion | 2021-principal | graph - droite \(\Delta:y=x\) et courbe \((C)\) de \(f(x)=x-e^{x-2}\), avec deux intersections d'abscisses \(\alpha\) et \(\beta\). | Soit \(f\) la fonction definie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=x-e^{x-2}\), et \((C)\) sa courbe representative. 1) a) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\). b) Verifier que la droite \(\Delta:y=x\) est une asymptote a \((C)\) au voisinage de \(-\infty\). c) Etudier la position relative de \((C)\) par rapport a \(\De... | On a \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) et \(f(x)-x=-e^{x-2}\to0\), donc \(\Delta:y=x\) est asymptote a \((C)\) au voisinage de \(-\infty\). Comme \(f(x)-x=-e^{x-2}<0\), la courbe \((C)\) est toujours au-dessous de \(\Delta\). A droite, \(f(x)=x-e^{x-2}\to-\infty\) et \(\dfrac{f(x)}x=1-\dfrac{e^{x-2}}x\to-\infty... | La droite \(\Delta:y=x\) est une asymptote a gauche, \((C)\) reste au-dessous de \(\Delta\), \(f\) atteint son maximum \(1\) en \(x=2\), l'equation \(f(x)=0\) admet deux solutions \(\alpha\approx0{,}16\) et \(\beta\approx3{,}15\), le gain maximal est de 1000 dinars pour 200 composantes, et l'entreprise est gagnante pou... |
Statistiques — séries à deux caractères, régression et corrélation | economie-et-gestion | 2021-controle | graph - nuage de points de l'evolution du prix du \(m^2\) de tissu entre 1995 et 2019, puis droite de regression affine. | Le tableau resume l'evolution du prix de vente du \(m^2\) d'un meme tissu de 1995 a 2019. Les annees sont codees par \(x=0,2,5,9,15,18,24\) et les prix correspondants sont \(y=50,55,65,75,98,105,130\). 1) a) Representer le nuage de points de la serie \((X,Y)\). b) Justifier qu'un ajustement affine est envisageable. c) ... | Le nuage est bien allonge autour d'une droite, ce qui rend l'ajustement affine pertinent. Le point moyen est \(G(10{,}4;82{,}6)\). Le coefficient de correlation lineaire vaut \(r\approx0{,}998\), ce qui confirme l'ajustement. La droite de regression de \(Y\) en \(X\) est \(y=3{,}298x+48{,}179\). Pour 2022, on a \(x=27\... | On a \(G(10{,}4;82{,}6)\), \(r\approx0{,}998\), la droite de regression \(D:y=3{,}298x+48{,}179\), et le prix estime de \(50\,m^2\) en 2022 est d'environ 6861 dinars. |
Graphes — théorie des graphes et graphes probabilistes | economie-et-gestion | 2021-controle | figure - graphe non oriente \((T)\) sur \(A,B,C,D,E,F,G\), puis matrice d'adjacence et comptage de chaines de longueur 3. | On considere le graphe non oriente \((T)\) dont les sommets sont \(A,B,C,D,E,F,G\) et dont les aretes sont \(AC\), \(AD\), \(AE\), \(AG\), \(BC\), \(BG\), \(CD\), \(DE\), \(EF\), \(EG\) et \(FG\). 1) a) Determiner l'ordre de \((T)\). b) Dire si \((T)\) est complet, et pourquoi. 2) a) Completer le tableau des degres. b)... | Le graphe \((T)\) a 7 sommets, donc son ordre est 7. Il n'est pas complet car, par exemple, \(A\) et \(B\) ne sont pas adjacents. Les degres sont \(d(A)=4\), \(d(B)=2\), \(d(C)=3\), \(d(D)=3\), \(d(E)=4\), \(d(F)=2\) et \(d(G)=4\). Comme deux sommets exactement, \(C\) et \(D\), sont de degre impair, le graphe n'admet p... | L'ordre de \((T)\) est 7, \((T)\) n'est pas complet, \(\gamma=3\), \((T)\) n'a pas de cycle eulerien mais admet une chaine eulerienne, \(M=\begin{pmatrix}0&0&1&1&1&0&1\\0&0&1&0&0&0&1\\1&1&0&1&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&0\\1&0&0&1&0&1&1\\0&0&0&0&1&0&1\\1&1&0&0&1&1&0\end{pmatrix}\), et il y a 4 chaines de longueur 3 reliant \(B\... |
Algèbre — matrices, déterminants et systèmes linéaires | economie-et-gestion | 2021-controle | null | I) On donne les matrices \(Q=\begin{pmatrix}20&30&10\\20&10&40\\30&20&30\end{pmatrix}\), \(P=\begin{pmatrix}5\\2{,}5\\4\end{pmatrix}\) et \(A=\begin{pmatrix}20&15&8\\20&5&32\\15&5&12\end{pmatrix}\). 1) Calculer \(Q\times P\). 2) a) Calculer \(\det(A)\) et en deduire que \(A\) est inversible. b) Verifier que \(A^{-1}=\d... | On calcule \(Q\times P=\begin{pmatrix}215\\285\\320\end{pmatrix}\). De plus \(\det(A)=1800\neq0\), donc \(A\) est inversible, et le produit \(A\times\begin{pmatrix}-100&-140&440\\240&120&-480\\25&125&-200\end{pmatrix}=1800I_3\) verifie bien la formule donnee pour \(A^{-1}\). Le cout mensuel des trois matieres vaut \(35... | On a \(Q\times P=\begin{pmatrix}215\\285\\320\end{pmatrix}\), \(\det(A)=1800\), le cout mensuel initial est 820 milles dinars, les hausses sont \(x=2\%\), \(y=4\%\), \(z=2{,}5\%\), et le cout mensuel apres hausse est de 841 milles dinars. |
Analyse — suites numériques | economie-et-gestion | 2021-controle | graph - courbe \(\Gamma\) de \(g\) sur \([0,+\infty[\), droite \(\Delta:y=x+1\), points d'intersection d'abscisses \(\alpha\) et \(\beta\), puis fonction \(f(x)=4\ln(x+1)-(x+1)\). | Dans un repere orthonorme \((O,\vec i,\vec j)\), on a represente la courbe \(\Gamma\) d'une fonction \(g\) definie sur \([0,+\infty[\) et la droite \(\Delta\) d'equation \(y=x+1\). La courbe \(\Gamma\) admet au voisinage de \(+\infty\) une branche parabolique de direction asymptotique celle de \((O,\vec i)\), et \(\Del... | La lecture graphique donne \(g(x)\to+\infty\) et \(\dfrac{g(x)}x\to0\) quand \(x\to+\infty\). La courbe \(\Gamma\) est au-dessous de \(\Delta\) pour \(x<\alpha\), au-dessus pour \(\alpha<x<\beta\), puis de nouveau au-dessous pour \(x>\beta\). On a \(f(x)=4\ln(x+1)-(x+1)\to-\infty\) quand \(x\to+\infty\), et \(f'(x)=\df... | On a \(g(x)\to+\infty\), \(\dfrac{g(x)}x\to0\), \(f(x)=g(x)-h(x)\), le benefice maximal est atteint pour 3 appareils par jour et vaut environ 1545 dinars, fabriquer 7 appareils est rentable, et l'usine devient perdante a partir de 8 appareils par jour. |
Analyse — fonctions, limites, continuité, dérivation et représentation graphique | sciences-techniques | 2021-principal | null | Pour chaque question, une seule des trois reponses proposees est exacte. On donne le tableau de variations d'une fonction numerique \(f\) : \(f'(x)>0\) sur \(]-\infty,-1[\) et sur \(]-1,1[\), \(f'(1)=0\), \(f'(x)<0\) sur \(]1,3[\), \(f'(3)=0\) et \(f'(x)>0\) sur \(]3,+\infty[\) ; \(f\) croit de \(-3\) (limite en \(-\in... | Le tableau montre une discontinuite en \(x=-1\) seulement, donc \(D_f=\mathbb R\setminus\{-1\}\). L'equation \(f(x)=m\) a exactement 4 solutions quand la droite horizontale coupe les quatre branches, ce qui se produit pour \(m\in]2,4[\). L'une des asymptotes lues sur le tableau est l'asymptote horizontale \(y=-3\) lors... | Les bonnes reponses sont 1) c, 2) a, 3) c, 4) b : \(D_f=\mathbb R\setminus\{-1\}\), \(m\in]2,4[\), une asymptote est \(y=-3\), et une equation possible de la tangente en \(x=2\) est \(y=-x+5\). |
Analyse — fonctions réciproques et bijection | sciences-techniques | 2021-principal | graph - courbe \((C)\) de \(f(x)=(2x+1)e^{-2x}\), point d'inflexion \(I\left(\dfrac12,\dfrac2e\right)\), tangente \(T\) en \(I\), puis courbe reciproque \((C')\) de la restriction a \([0,+\infty[\). | Soit \(f\) la fonction definie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=(2x+1)e^{-2x}\), et \((C)\) sa courbe representative dans un repere orthonorme \((O,\vec i,\vec j)\). 1) a) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et montrer que \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}x=+\infty\), puis interpreter graphiquement. b) Montrer... | On a \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}x=+\infty\), donc \((C)\) admet a gauche une branche parabolique de direction l'axe des ordonnees. De plus \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\), donc \(y=0\) est une asymptote horizontale a droite. Comme \(f'(x)=-4xe^{-2x}\), la fon... | On obtient \(f'(x)=-4xe^{-2x}\), \(I\left(\dfrac12,\dfrac2e\right)\) point d'inflexion, \(T:y=-\dfrac1e(2x-3)\), \(J=]0,1]\), et \(A=\dfrac{2e-5}{2e}\). |
Géométrie — géométrie dans l’espace | sciences-techniques | 2021-principal | null | Dans l'espace rapporte a un repere orthonorme direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considere les points \(A(1,0,1)\), \(B(0,-2,1)\), \(C(0,0,2)\) et le vecteur \(\vec N=(2,-1,2)\). 1) Verifier que les points \(A\), \(B\) et \(C\) determinent un plan \(P\). 2) a) Verifier que \(\vec N\) est orthogonal a chacun des ve... | Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}=(-1,-2,0)\) et \(\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)\) ne sont pas colineaires, donc \(A\), \(B\) et \(C\) determinent un plan. On verifie que \(\vec N\cdot\overrightarrow{AB}=0\) et \(\vec N\cdot\overrightarrow{AC}=0\), donc \(\vec N\) est normal a \(P\), d'ou \(P:2x-y+2z-4=0\). Comme \(2\c... | On obtient \(P:2x-y+2z-4=0\), \(H\left(\dfrac49,-\dfrac29,\dfrac{13}9\right)\) projete orthogonal de \(E\) sur \(P\) et orthocentre de \(ABC\), \(S\) sphere de centre \(E\) et de rayon 1, et \(S\cap P=(\zeta)\) est un cercle de centre \(H\) et de rayon \(\dfrac{\sqrt5}{3}\). |
Géométrie — nombres complexes | sciences-techniques | 2021-principal | figure - plan complexe avec les cercles \((C_1)\) de centre \(O\) et de rayon 1 et \((C_2)\) de centre \(O\) et de rayon 2, points \(A\), \(B\), \(C\), puis point \(H\) defini par deux droites construites a partir de \((AC)\) et de \(B\). | I) 1) Ecrire \((1-i\sqrt3)^2\) sous forme cartesienne. 2) Resoudre dans \(\mathbb C\) l'equation \(2z^2-4i\sqrt3\,z-5+i\sqrt3=0\). II) Dans le plan complexe rapporte a un repere orthonorme direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considere les points \(A\), \(B\) et \(C\) d'affixes respectives \(z_A=\dfrac{1+i\sqrt3}{2}\), \(z... | On a \((1-i\sqrt3)^2=-2-2i\sqrt3\). L'equation quadratique admet pour solutions \(z_1=\dfrac{1+i\sqrt3}{2}\) et \(z_2=\dfrac{-1+3i\sqrt3}{2}\). En forme exponentielle, \(z_A=e^{i\pi/3}\) et \(z_C=2e^{i2\pi/3}\). On en deduit \(|z_A|=1\) et \(|z_C|=2\), donc \(A\in(C_1)\) et \(C\in(C_2)\). De plus \(z_A+z_C=z_B\), ce qu... | On obtient \((1-i\sqrt3)^2=-2-2i\sqrt3\), les solutions \(\dfrac{1+i\sqrt3}{2}\) et \(\dfrac{-1+3i\sqrt3}{2}\), \(z_A=e^{i\pi/3}\), \(z_C=2e^{i2\pi/3}\), \(OABC\) parallelogramme, \((AC)\) tangente a \((C_1)\), \(z_H=\dfrac{5+3i\sqrt3}{2}\), et le triangle \(BIH\) est equilateral. |
Analyse — fonction logarithme népérien | sciences-techniques | 2021-controle | null | Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois reponses proposees est exacte. 1) Donner une primitive sur \(]1,+\infty[\) de la fonction \(x\mapsto\dfrac1{x\ln x}\). 2) Calculer \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1-x^2)}x\). 3) Identifier une primitive de la fonction definie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=e^x+\df... | On a \(\dfrac{d}{dx}\ln(\ln x)=\dfrac1{x\ln x}\), donc une primitive sur \(]1,+\infty[\) est \(\ln(\ln x)\). Ensuite \(\ln(1-x^2)\sim -x^2\) quand \(x\to0\), d'ou \(\dfrac{\ln(1-x^2)}x\to0\). Une primitive de \(e^x+\dfrac13\) est \(e^x+\dfrac{x}{3}\). Enfin \(e^{\ln(x^2)}+e^{-\ln x}=x^2+\dfrac1x\), puisque \(x>0\). | Les bonnes reponses sont : \(\ln(\ln x)\), \(0\), \(e^x+\dfrac{x}{3}\), et \(x^2+\dfrac1x\). |
Analyse — fonctions réciproques et bijection | sciences-techniques | 2021-controle | graph - courbe \((C)\) de \(f\), point \(A(\ln3,\ln3)\), droites \(D:y=x+2\) et \(D':y=x-2\), puis courbe reciproque \((C')\). | Soit \(f\) la fonction definie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=ax+b-\dfrac{4e^x}{e^x+3}\), ou \(a\) et \(b\) sont deux reels. Dans un repere orthonorme, la courbe representative \((C)\) de \(f\) admet au point \(A(\ln3,\ln3)\) une tangente horizontale. 1) a) Verifier que \(f\) est derivable sur \(\mathbb R\) et montrer qu... | La condition \(f(\ln3)=\ln3\) et l'horizontalite de la tangente en \(A\) donnent \(f'(\ln3)=0\). On en deduit \(a=1\), puis \(b=2\), d'ou \(f(x)=x-2+\dfrac{12}{e^x+3}\). Quand \(x\to-\infty\), on a \(f(x)\sim x+2\), donc \(D:y=x+2\) est une asymptote a gauche. Quand \(x\to+\infty\), on a \(f(x)\sim x-2\), donc \(D':y=x... | On obtient \(a=1\), \(b=2\), \(f(x)=x-2+\dfrac{12}{e^x+3}\), les asymptotes \(y=x+2\) a gauche et \(y=x-2\) a droite, \(f\) bijection de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\), une unique racine \(\alpha\in]-1{,}8;-1{,}7[\), et \(A=4\ln\left(\dfrac{3}{2-\alpha}\right)-\dfrac{\alpha^2}{2}-2\alpha\). |
Géométrie — nombres complexes | sciences-techniques | 2021-controle | figure - cercle \((C)\) de centre \(A\) et de rayon 4 dans le plan complexe, puis construction des points \(B\), \(C\), \(D\) et du point \(I=(CD)\cap(O,\vec u)\). | I) On considere dans \(\mathbb C\) l'equation \((E):z^2-(4e^{i\pi/4}+2\sqrt2\,e^{-i\pi/4})z+4\sqrt2-2i=0\). 1) Verifier que \((4e^{i\pi/4}+2\sqrt2\,e^{-i\pi/4})^2=16\sqrt2+8i\). 2) Resoudre \((E)\) et ecrire les solutions sous forme cartesienne. II) Le plan complexe est rapporte a un repere orthonorme direct \((O,\vec ... | Le calcul donne bien \((4e^{i\pi/4}+2\sqrt2\,e^{-i\pi/4})^2=16\sqrt2+8i\). L'equation \((E)\) admet pour solutions \(z_1=1-i\) et \(z_2=1+2\sqrt2+i(2\sqrt2-1)\). Dans le plan, \(|z_B-z_A|=4\), donc \(B\) appartient au cercle de centre \(A\) et de rayon 4. De plus \(\dfrac{z_B-z_A}{z_A}\in i\mathbb R\), ce qui montre qu... | Les solutions de \((E)\) sont \(1-i\) et \(1+2\sqrt2+i(2\sqrt2-1)\). On a \(B\in(C)\), \(\dfrac{z_B-z_A}{z_A}\in i\mathbb R\), \(\dfrac{z_D-z_C}{z_B}=-i\), et la droite \((BI)\) est perpendiculaire a \((OD)\). |
Géométrie — géométrie dans l’espace | sciences-techniques | 2021-controle | null | Dans l'espace rapporte a un repere orthonorme direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considere les points \(A(0,0,1)\), \(B(1,0,-1)\) et \(C(1,1,1)\). 1) Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) determinent un plan \(P\). 2) Soit \(\vec n=(a,b,c)\) avec \(c\neq0\). a) Montrer que \(\vec n\) est normal a \(P\) si e... | Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}=(1,0,-2)\) et \(\overrightarrow{AC}=(1,1,0)\) ne sont pas colineaires, donc \(A\), \(B\) et \(C\) determinent un plan. La condition \(\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0\) et \(\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0\) conduit au systeme \(a-2c=0\) et \(a+b=0\), d'ou \(a=2c\) et \(b=-2c\). En p... | On obtient \(P:2x-2y+z-1=0\), \(I\left(\dfrac12,0,-\dfrac12\right)\), \(G\left(\dfrac13,\dfrac13,\dfrac23\right)\), \(D=(0,1,3)\), et \(ABCD\) est un parallelogramme. |
Analyse — fonctions, limites, continuité, dérivation et représentation graphique | lettres | 2021-principal | graph - courbe \((C)\) de \(f(x)=\dfrac13x^3-\dfrac12x^2-2x+\dfrac{13}{6}\), points \(A(1,0)\), \(B(2,-2)\), \(C\left(0,\dfrac{13}{6}\right)\), droite \((AB)\) tangente en \(A\), et deux tangentes horizontales aux abscisses \(-1\) et 2. | Soit \(f\) la fonction definie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=\dfrac13x^3-\dfrac12x^2-2x+\dfrac{13}{6}\). Dans un repere orthonorme, on a place les points \(A(1,0)\), \(B(2,-2)\) et \(C\left(0,\dfrac{13}{6}\right)\), represente la courbe \((C)\) de \(f\), trace la droite \((AB)\) tangente a \((C)\) au point \(A\), et les... | On calcule \(f(-1)=\dfrac{10}{3}\) et \(f(2)=-\dfrac76\). Comme \(f\) est un polynome de degre 3 de coefficient directeur positif, on a \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). Sa derivee est \(f'(x)=x^2-x-2=(x+1)(x-2)\), donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty,-1]\), dec... | On a \(f'(x)=(x+1)(x-2)\), \(f\) croissante puis decroissante puis croissante, maximum local \(\dfrac{10}{3}\) en \(-1\), minimum local \(-\dfrac76\) en 2, \(f(0)=\dfrac{13}{6}\), \(f(1)=0\), \(f'(2)=0\), \(f'(1)=-2\), et les equations \(f(x)=-2\) et \(f(x)=-\dfrac76\) admettent respectivement 1 et 2 solutions. |
Statistiques — séries à deux caractères, régression et corrélation | lettres | 2021-principal | graph - nuage de points de la serie \((X,Y)\) donnant le nombre de diplomes en litterature et arts entre 2010 et 2015, avec droite de regression affine. | Le tableau indique l'evolution du nombre de diplomes de l'enseignement superieur public dans le domaine de la litterature et des arts en Tunisie de 2010 a 2015. Les rangs sont \(X=1,2,3,4,5,6\) et les effectifs correspondants sont \(Y=15509,17081,13628,11401,10945,10084\). 1) Construire le nuage de la serie \((X,Y)\). ... | Le point moyen est \(G(3{,}5;13108)\). Le coefficient de correlation lineaire est \(\rho_{XY}\approx-0{,}92\), ce qui traduit une forte liaison lineaire negative. La droite de regression de \(Y\) en \(X\) est \(Y\approx-1364{,}57X+17884\). L'annee 2021 correspond au rang \(X=12\), donc l'estimation fournie par la droit... | On obtient \(G(3{,}5;13108)\), \(\rho_{XY}\approx-0{,}92\), la droite de regression \(Y\approx-1364{,}57X+17884\), et une estimation d'environ 1509 diplomes pour 2021. |
Probabilités — dénombrement et équiprobabilité | lettres | 2021-principal | null | Pour passer un examen oral, un etudiant lance simultanement deux tetraedres reguliers et equilibres. Le premier porte les noms "Al-Mutanabbi", "Saadi Youssef", "Ibn Bord", "Chebbi", le second "Abou Tammam", "Kabbani", "Al-Sayyab", "Darwich". Les poetes anciens sont : Al-Mutanabbi, Ibn Bord et Abou Tammam. Les autres so... | Le premier tetraedre porte 2 poetes anciens et 2 modernes, tandis que le second porte 1 poete ancien et 3 modernes. Ainsi la probabilite d'obtenir deux sujets de poesie ancienne est \(\dfrac24\times\dfrac14=\dfrac18\). La probabilite d'obtenir deux sujets de poesie moderne est \(\dfrac24\times\dfrac34=\dfrac38\). L'eve... | On a \(P(\text{deux sujets anciens})=\dfrac18\), \(P(\text{deux sujets modernes})=\dfrac38\), \(P(A)=\dfrac12\), et pour trois etudiants la probabilite demandee est \(\dfrac78\). |
Probabilités — variables aléatoires, espérance et variance | sport | 2021-principal | null | Un joueur de tennis participe a un tournoi. Il ne passe au tour suivant que s'il gagne le match precedent. Pour remporter le trophee, il doit gagner trois matchs successifs : quart de finale, demi-finale et finale. La probabilite qu'il gagne le quart est 0,8, celle de gagner la demi-finale est 0,6, et celle de gagner l... | On a \(P(A)=1-0{,}8=0{,}2\). Le joueur atteint la finale s'il gagne le quart puis la demi-finale, donc \(P(B)=0{,}8\times0{,}6=0{,}48\). Il quitte le tournoi apres la demi-finale s'il gagne le quart puis perd la demi-finale, donc \(P(C)=0{,}8\times0{,}4=0{,}32\). La variable \(X\) prend les valeurs \(0,1,2,3\). On a \(... | On obtient \(P(A)=0{,}2\), \(P(B)=0{,}48\), \(P(C)=0{,}32\), la loi \(P(X=0)=0{,}2\), \(P(X=1)=0{,}32\), \(P(X=2)=0{,}288\), \(P(X=3)=0{,}192\), puis \(E(X)=1{,}472\) et \(V(X)\approx1{,}033\). |
Analyse — fonctions réciproques et bijection | sport | 2021-principal | graph - courbe \((C')\) de \(g(x)=\dfrac1{x-2}\) sur \(]-\infty,2[\), courbe \((C)\) de \(f(x)=\dfrac{2x-3}{x-2}\), asymptotes \(x=2\) et \(y=2\), puis domaine \(D\) entre les deux courbes et les droites \(x=-1\) et \(x=0\). | Soit \(f\) la fonction definie sur \(]-\infty,2[\) par \(f(x)=\dfrac{2x-3}{x-2}\), et \((C)\) sa courbe representative dans un repere orthonorme. 1) a) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to2^-}f(x)\). b) Donner les equations des asymptotes a \((C)\). 2) a) Montrer que pour tout \(x\in]-\inft... | On a \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=2\) et \(\lim\limits_{x\to2^-}f(x)=-\infty\). Les asymptotes sont donc \(y=2\) et \(x=2\). Comme \(f'(x)=-\dfrac1{(x-2)^2}<0\), la fonction est strictement decroissante sur tout son domaine. Avec les limites precedentes, elle realise une bijection de \(]-\infty,2[\) sur \(]-\infty,2... | On obtient les asymptotes \(x=2\) et \(y=2\), \(f\) est strictement decroissante et bijective de \(]-\infty,2[\) sur \(]-\infty,2[\), \(f^{-1}=f\), \((C)\) est la translation verticale de \((C')\) de vecteur \((0,2)\), et l'aire de \(D\) vaut 2. |
Analyse — intégrales, primitives, aires et volumes | sport | 2021-principal | graph - courbe \((\Gamma)\) d'une fonction \(f\), droite \(\Delta:y=-x+\dfrac43\) tangente en \(x=1\), tangentes horizontales aux points \(A(0,1)\) et \(B\left(2,-\dfrac13\right)\), puis domaine \(E\) entre \((\Gamma)\), l'axe des abscisses et les droites \(x=\alpha\) et \(x=3\). | Dans l'annexe, on a trace dans un repere orthonorme la courbe \((\Gamma)\) d'une fonction \(f\) definie et derivable sur \(\mathbb R\) et la droite \(\Delta\) d'equation \(y=-x+\dfrac43\). On sait que \((\Gamma)\) admet deux branches paraboliques de direction l'axe des ordonnees, deux tangentes horizontales aux points ... | Le graphique donne \(f(0)=1\) et, comme \(\Delta\) est tangente en \(x=1\), son coefficient directeur vaut \(f'(1)=-1\). La courbe coupe l'axe des abscisses en trois points, donc \(f(x)=0\) admet 3 solutions reelles. Les branches paraboliques indiquent \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\i... | On obtient \(f(x)=\dfrac13x^3-x^2+1\), \(f\) croissante puis decroissante puis croissante, \(f(x)=0\) admet 3 solutions reelles, \(\alpha\in]2,3[\) verifie \(\alpha^3=3(\alpha^2-1)\) et \(\alpha^4=3(3\alpha^2-\alpha-3)\), et l'aire \(E\) vaut \(\dfrac14(\alpha^2-3\alpha+2)\). |
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MASTOURI-TUN-BAC-MATH
Tunisian Baccalaureate Mathematics Exercises, curated and validated by Emna Mastouri.
MASTOURI-TUN-BAC-MATH is a collection of 620 mathematics exercises taken from Tunisian baccalaureate exams (principal and contrôle sessions, 2005 to 2022). Each exercise comes with its statement, a worked solution and a final answer, and is labelled by exam section, year/session and mathematical topic. Statements and solutions are written in French with LaTeX formulas.
Why this dataset
Tunisian baccalaureate mathematics is a rich source of structured, multi-step problems (complex numbers, sequences, spatial geometry, arithmetic, probability, and more), yet it is almost absent from public NLP and reasoning benchmarks. This dataset aims to:
- support the evaluation and fine-tuning of language models on French-language, curriculum-based mathematical reasoning;
- give students and teachers a well-organised, topic-labelled revision resource;
- enable research on educational AI and on mathematical reasoning in under-represented curricula.
Dataset structure
The data is a single JSON file (data-set_validated.json): a list of 620 objects.
Fields
| Field | Type | Description |
|---|---|---|
topic |
string | Mathematical topic, in the form Domain — subtopic (e.g. Analyse — suites numériques). |
section |
string | Baccalaureate section the exercise belongs to. |
year |
string | Exam year and session, in the form YYYY-session (e.g. 2017-principal). |
modality |
string (optional) | Present in 322 of 620 items. Describes non-textual material the exercise relies on (figure, annex, graph). |
instruction |
string | Full exercise statement, with LaTeX. |
solution |
string | Worked solution. |
final_answer |
string | Final answer(s) of the exercise. |
Example
{
"topic": "Géométrie — similitudes, isométries et transformations du plan",
"section": "mathematiques",
"year": "2022-controle",
"modality": "figure - annexe géométrique avec les points O, B, E, F, I ...",
"instruction": "Le plan est orienté. Dans la figure de l'annexe jointe, le triangle OEB est rectangle en B ...",
"solution": "...",
"final_answer": "..."
}
Statistics
By section
| Section | Exercises |
|---|---|
| sciences-experimentales | 120 |
| mathematiques | 114 |
| economie-et-gestion | 114 |
| sciences-informatiques | 105 |
| sciences-techniques | 103 |
| sport | 52 |
| lettres | 12 |
| Total | 620 |
By session type: about 326 principal and 298 contrôle exercises (the year field spells these slightly differently in a few items, see Known limitations).
Years covered: 2005, 2006, 2008 to 2019, 2021, 2022 (36 distinct year/session labels).
By topic (22 topics)
| Topic | Exercises |
|---|---|
| Géométrie, nombres complexes | 93 |
| Analyse, suites numériques | 78 |
| Analyse, fonction logarithme népérien | 60 |
| Géométrie, géométrie dans l'espace | 54 |
| Arithmétique, congruences, divisibilité, Bézout, équations diophantiennes | 45 |
| Statistiques, séries à deux caractères, régression et corrélation | 35 |
| Algèbre, matrices, déterminants et systèmes linéaires | 34 |
| Analyse, fonctions réciproques et bijection | 30 |
| Géométrie, similitudes, isométries et transformations du plan | 28 |
| Analyse, fonction exponentielle | 28 |
| Probabilités, variables aléatoires, espérance et variance | 26 |
| Analyse, suites définies par une intégrale | 20 |
| Graphes, théorie des graphes et graphes probabilistes | 20 |
| Probabilités, conditionnement, probabilités totales et Bayes | 19 |
| Probabilités, dénombrement et équiprobabilité | 14 |
| Analyse, intégrales, primitives, aires et volumes | 7 |
| Géométrie, coniques | 7 |
| Probabilités, loi exponentielle | 7 |
| Probabilités, loi binomiale et schéma de Bernoulli | 5 |
| Analyse, fonctions, limites, continuité, dérivation, représentation graphique | 4 |
| Analyse, équations différentielles | 4 |
| Statistiques, séries à un caractère | 2 |
The average statement length is roughly 935 characters.
Loading the data
After your access request has been approved:
from datasets import load_dataset
ds = load_dataset("emna04/MASTOURI-TUN-BAC-MATH", split="train")
print(ds[0]["topic"])
print(ds[0]["instruction"])
Or with plain JSON:
import json
data = json.load(open("data-set_validated.json", encoding="utf-8"))
print(len(data)) # 620
Data collection and curation
- Source: official Tunisian baccalaureate mathematics exams (principal and contrôle sessions).
- Curation by the author: selection of exercises, transcription to text with LaTeX, assignment of section, year/session and topic labels, and writing/verification of solutions and final answers.
- Validation: the file name (
data-set_validated) reflects a validation pass over the entries. (Add here a short description of how you validated, for example manual review of every solution, cross-check of final answers, or a second reviewer.)
Intended uses
- Benchmarking and fine-tuning LLMs on French mathematical reasoning.
- Educational tools: exercise recommendation, tutoring, topic-based revision.
- Research on curriculum-aligned mathematical problem solving.
Known limitations
- Figures are not included. Many exercises refer to a figure, annex or graph (see
modality). Only a textual description is given, so these items cannot be fully solved from the text alone. - Uneven coverage. Some topics and sections are much better represented than others (for example
lettreshas only 12 items and several topics have fewer than 10). - Inconsistent session labels. A few
yearvalues use variant spellings (principale,control) for the same session types. Normalise them before grouping. - Language. Everything is in French; formulas use LaTeX.
- Optional field.
modalityexists only for part of the data. - Despite validation, errors in transcription or solutions may remain. Please report them.
License and notice on original content
The dataset compilation, the labelling, the structure and the solutions are released under CC BY-NC 4.0 (attribution, non-commercial).
The original exam statements were produced by the Tunisian Ministry of Education and remain the property of their rights holders. This dataset is shared for research and educational purposes. It is not affiliated with or endorsed by the Ministry. For any commercial use, please contact the author.
Access
This dataset is gated. The page is public, but files are available only after the author approves your request. Requests are reviewed manually, based on the information in the access form (profile and intended use).
Citation
If you use MASTOURI-TUN-BAC-MATH, please cite:
@dataset{mastouri2026tunbacmath,
author = {Mastouri, Emna},
title = {MASTOURI-TUN-BAC-MATH: Tunisian Baccalaureate Mathematics Exercises},
year = {2026},
publisher = {Hugging Face},
url = {https://huggingface.co/datasets/emna04/MASTOURI-TUN-BAC-MATH}
}
Author and contact
Emna Mastouri Email: emna.mastouri@etudiant-isi.utm.tn
Feedback, corrections and collaboration proposals are welcome.
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