conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-10z+29=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរជារាងកាណូនិក ៖\n$$z^{2}-10z+29=0\\Leftrightarrow (z-5)^{2}+4=0$$\n$$(z-5)^{2}=-4=4i^{2}$$\n$z-5=2i$ ឬ $ z-5=-2i$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z_... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $3z-2\\bar{z}=-1-15i$ ។\nb. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nc. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+3z^{2}+4z+2$ ។\na. គណនា $P(-1)$ ។\nb. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z+1)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nc. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nd. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $-1$ , $-1+i$ និង $-1-i$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $z^2=4\\bar{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ យើងបាន ៖\n$$x^{2}-y^{2}+2xyi=4x-4yi$$\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=4x\\\\2xy=-4y\\end{cases}$$\nសមីការទីពីរសរសេរ $y(2x+4)=0$ ។\nករណី $y=0$ ៖ $x^2=4x$ ឱ្យ $x=0$ ឬ $x=4$ ។\nករណ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}+(1-2i)z-2+2i=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-1+2i)^{2}-4(-2+2i)=(-3-4i)-(-8+8i)=5-12i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=5-12i$ ។\nតាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សរសេរ $Z=3z-2i\\bar{z}$ ជាទម្រង់ $A+iB$ ដែល $A,B$ ជាកន្សោមនៃ $x$ និង $y$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=x-iy$ យើងបាន ៖\n$$Z=3(x+iy)-2i(x-iy)$$\n$$Z=3x+3iy-2ix-2y$$\nប្រមូលផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$Z=(3x-2y)+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ ៖ $$\\begin{cases}z+w=4-i\\\\iz-w=-1+8i\\end{cases}$$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បូកសមីការទាំងពីរ ដើម្បីបំបាត់ $w$ ៖\n$$(1+i)z=3+7i$$\n$$z=\\frac{3+7i}{1+i}=\\frac{(3+7i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\\frac{10+4i}{1+1}=\\frac{10+4i}{2}=5+2i$$\nជំនួសចូ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-8z+25=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=-8$ , $c=25$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4\\times 1\\times 25=-36=(6i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $(x+iy)+2(x-iy)=9-4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$(3)x-1yi=9-4i$$\nចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$3x=9\\quad,\\quad -y=-4$$\nនាំឱ្យ $x=3$ និង $y=4$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $z^2=5\\bar{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ យើងបាន ៖\n$$x^{2}-y^{2}+2xyi=5x-5yi$$\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=5x\\\\2xy=-5y\\end{cases}$$\nសមីការទីពីរសរសេរ $y(2x+5)=0$ ។\nករណី $y=0$ ៖ $x^2=5x$ ឱ្យ $x=0$ ឬ $x=5$ ។\nករណ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_A=-4$ , $z_B=-4i$ និង $z_C=-4-4i$ ។\na. សង់ចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ។\nb. គណនាប្រវែង $AB$ , $AC$ និង $BC$ ។\nc. តើត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណប្រភេទអ្វី ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. ចំណុចទាំងបីគឺ $A(-4... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=3-i\\sqrt{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{9+2}=\\sqrt{11}$$\nដូចនេះ $\\boxed{|z|=\\sqrt{11}}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $(-1-i)(1-3i)(-3+2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណកត្តាពីរដំបូងជាមុនសិន ៖\n$$(-1-i)(1-3i)=-1+3i-i+3i^{2}=-1+2i-3=-4+2i$$\nរួចគុណលទ្ធផលនឹងកត្តាទីបី ៖\n$$(-4+2i)(-3+2i)=12-8i-6i+4i^{2}=12-14i-4=8-14i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{8-14i}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើ $-1+2i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}-iz+1+3i=0$ ឬទេ ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-1+2i$ ៖\n$$(-1+2i)^{2}-i(-1+2i)+(1+3i)=(-3-4i)-(-2-i)+(1+3i)=0$$\nដូចនេះ $-1+2i$ ជាឫសនៃសមីការ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}-6z^{2}+az+b$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។ រក $a$ និង $b$ ដោយដឹងថា $P(2+4i)=0$ រួចរកឫសទាំងអស់នៃ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនា $(2+4i)^{2}=-12+16i$ និង $(2+4i)^{3}=-88-16i$ ។\nជំនួសចូល $P$ ៖\n$$(-88-16i)-6(-12+16i)+a(2+4i)+b=0$$\n$$(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{m+2i}{1-2i}$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត ។ រួចគណនា $z$ ចំពោះតម្លៃនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1+2i$ ៖\n$$z=\\frac{(m+2i)(1+2i)}{5}=\\frac{m-4}{5}+\\frac{2m+2}{5}i$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $m$ ដើម្បីឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m+3)+7i$ មានម៉ូឌុលស្មើនឹង $25$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=\\sqrt{(m+3)^{2}+49}=25$$\nលើកការេអង្គទាំងពីរ ៖\n$$(m+3)^{2}+49=625\\Leftrightarrow (m+3)^{2}=576$$\n$m+3=24$ ឬ $ m+3=-24$\nដូចនេះ $\\boxed{m=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $\\delta$ ដែល $\\delta^2=7-24i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $7-24i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=7-24i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=7-24i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=-2+3i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}+7z^{2}+25z+39=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=-5-12i$ និង $z_0^3=46+9i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(46+9i)+7(-5-12i)+25(-2+3i)+39=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=-2+3i}$ ជាឫសនៃសមីការនេះ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(m-2i)(-3-4i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ កំណត់តម្លៃនៃចំនួនពិត $m$ ដែលធ្វើឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត ហើយគណនាតម្លៃនៃ $z$ ពេលនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$z=(-3m-8)-(4m-6)i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តស្មើសូន្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-5z^{2}+17z-13$ ។\nក. គណនា $P(1)$ ។\nខ. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z-1)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $1$ , $2+3i$ និង $2-3i$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកខាងក្រោម ៖ $\\frac{-5+15i}{3-i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាភាគយក និងភាគបែងដោយឡែក បន្ទាប់ពីគុណនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\nភាគបែង ៖ $(3-i)(3+i)=9+1=10$\nភាគយក ៖ $(-5+15i)(3+i)=-15-5i+45i+15i^{2}=-15+40i-15=-30+40i$\n$$\\frac{-5+15i}{3-i}=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=-3+i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}+7z^{2}+16z+10=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=8-6i$ និង $z_0^3=-18+26i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(-18+26i)+7(8-6i)+16(-3+i)+10=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=-3+i}$ ជាឫសនៃសមីការនេះ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m+4i)(1-4i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ កំណត់តម្លៃនៃចំនួនពិត $m$ ដែលធ្វើឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត ហើយគណនាតម្លៃនៃ $z$ ពេលនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$z=(m+16)-(4m-4)i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តស្មើសូន្យ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{m-3i}{3+i}$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត ។ រួចគណនា $z$ ចំពោះតម្លៃនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $3-i$ ៖\n$$z=\\frac{(m-3i)(3-i)}{10}=\\frac{3m-3}{10}+\\frac{-m-9}{10}i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ ៖ $$\\begin{cases}z+2w=-3-i\\\\iz-w=7-i\\end{cases}$$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណសមីការទីពីរនឹង $2$ រួចបូកនឹងសមីការទីមួយ ដើម្បីបំបាត់ $w$ ៖\n$$(1+2i)z=11-3i$$\n$$z=\\frac{11-3i}{1+2i}=\\frac{(11-3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\\frac{5-25i}{1+4... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ និង $w$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ប្រព័ន្ធសមីការ ៖ $$\\begin{cases}z+w=-1+3i\\\\2iz-w=4-2i\\end{cases}$$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បូកសមីការទាំងពីរ ដើម្បីបំបាត់ $w$ ៖\n$$(1+2i)z=3+i$$\n$$z=\\frac{3+i}{1+2i}=\\frac{(3+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\\frac{5-5i}{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+8z+65=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=8$ , $c=65$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=8^{2}-4\\times 1\\times 65=-196=(14i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសក... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}-(3+6i)z-13+9i=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\Delta=(3+6i)^{2}-4(-13+9i)=(-27+36i)-(-52+36i)=25$$\nដោយ $\\Delta=25=5^{2}$ ដែលជាការេប្រាកដ យើងបាន ៖\n$$z_1=\\frac{(3+6i)+5}{2}=4+3i\\quad,\\quad z_2=\\frac{(3+6i)-5}{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=\\frac{5-6i}{2+2i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $i$ ដើម្បីឱ្យភាគបែងក្លាយជាចំនួនពិត ៖\n$$\\frac{5-6i}{2+2i}=\\frac{(5-6i)i}{2+2i\\times i}=\\frac{6+5i}{-2+2i}=-\\frac{1}{4}-\\frac{11}{4}i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{5-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_A=3-2i$ , $z_B=-2i$ និង $z_C=-4i$ ។\nក. សង់ចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ។\nខ. គណនាប្រវែង $AB$ , $AC$ និង $BC$ ។\nគ. តើត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណប្រភេទអ្វី ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ចំណុចទាំងបីគឺ $A(3,... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}-2z+5=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=-2$ , $c=5$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\\times 1\\times 5=-16=(4i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំផ្លិចពីរឆ្លាស់គ្នា ៖\n$$z_... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $iz+5-4i=6$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$iz=1+4i$$\nគុណអង្គទាំងពីរនឹង $i$ ដើម្បីលុប $i$ ពីមេគុណ ៖\n$$-z=-4+i$$\n$$z=4-i$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z=4-i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1=-6$ និង $z_2=1+i$ ។ គណនា $\\overline{\\left(\\frac{z_1}{z_2}\\right)}$ រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាវាស្មើនឹង $\\frac{\\overline{z_1}}{\\overline{z_2}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង ៖\n$$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{-6}{1+i}=\\frac{(-6)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=a+bi$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា $z^2=\\bar{z}^2$ លុះត្រាតែ $a=0$ ឬ $b=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតអង្គទាំងពីរ ៖\n$$z^{2}=a^{2}-b^{2}+2abi\\quad,\\quad\\bar{z}^{2}=a^{2}-b^{2}-2abi$$\nអង្គទាំងពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែ $4abi=0$ គឺ $ab=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{a=0}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $x(-1-4i)+y(1-2i)=8+14i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តដោយឡែក ៖\n$$(-x+y)-(4x+2y)i=8+14i$$\nយើងប្រៀបធៀបផ្នែកពិតនឹងផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនឹងផ្នែកនិមិត្ត ។\n$$\\begin{cases}-x+y=8\\\\-4x-2y=14\\end{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-4+8i$ ។ គណនា $z+\\bar{z}$ , $z-\\bar{z}$ និង $z\\times\\bar{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $\\bar{z}=-4-8i$ ។\n$$z+\\bar{z}=(-4+8i)-4-8i=-8$$\n$$z-\\bar{z}=(-4+8i)-(-4-8i)=16i$$\n$$z\\times\\bar{z}=(-4)^{2}+8^{2}=80$$\nដូចនេះ $\\boxed{z+\\bar{z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-2+4i$ និង $z_2=1+i$ ។ គណនា $|z_1\\times z_2|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $|z_1\\times z_2|=|z_1|\\times|z_2|$ យើងបាន ៖\n$$|-2+4i|=\\sqrt{20}\\quad,\\quad|1+i|=\\sqrt{2}$$\n$$\\sqrt{20}\\times\\sqrt{2}=\\sqrt{40}=2\\sqrt{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $(-2-6i)(-1+5i)$ ជាទម្រង់ $a+bi$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគុណតួនីមួយៗនៃវង់ក្រចកទីមួយនឹងវង់ក្រចកទីពីរ ៖\n$$(-2-6i)(-1+5i)=2-10i+6i-30i^{2}=2-4i+30=32-4i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{32-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}+(2+4i)z=0$ ។\n១. គណនា $(2+4i)^{2}$ ។\n២. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\n៤. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ពន្លាតការេ ៖\n$$(2+4i)^{2}=4+16i+16... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{5}{1+2i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $1-2i$ ។ គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$z=\\frac{5}{1+2i}=\\frac{5(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\\frac{5-10i}{1+4}=\\frac{5-10i}{5}=1-2i$$\nដូចនេះ $z=1-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+2z^{2}-3z-10$ ។\nក. គណនា $P(2)$ ។\nខ. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z-2)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $2$ , $-2+i$ និង $-2-i$ ។ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $2z-3\\bar{z}=2-5i$ ។\nb. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nc. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $3z-2\\bar{z}=-1+25i$ ។\nខ- រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nគ- សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nឃ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=2+i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}-6z^{2}+13z-10=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=3+4i$ និង $z_0^3=2+11i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(2+11i)-6(3+4i)+13(2+i)-10=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=2+i}$ ជាឫសនៃសមីការនេះ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $|z|=10$ និងផ្នែកពិតនៃ $z$ ស្មើនឹង $8$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=8+iy$ ដែល $y\\in\\mathbb{R}$ ។\n$$|z|=\\sqrt{64+y^{2}}=10\\Rightarrow y^{2}=36\\Rightarrow y=\\pm 6$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=8+6i}$ ឬ $\\boxed{z=8-6i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{-3-4i}{3+i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $3-i$ ។ យើងគុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$\\frac{-3-4i}{3+i}=\\frac{(-3-4i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\\frac{-13-9i}{9+1}=\\frac{-13-9i}{10}=-\\frac{13}{10}-\\frac{9}{10}i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃចំនួនកុំផ្លិចនីមួយៗ ៖ $z_1=-1-9i$ , $z_2=3$ , $z_3=5-i\\sqrt{5}$ , $z_4=2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $a+bi$ គឺ $a-bi$ គឺយើងប្តូរសញ្ញាផ្នែកនិមិត្តតែប៉ុណ្ណោះ ។\n$$\\overline{z_1}=-1+9i$$\n$$\\overline{z_2}=3$$\n$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $(-3-3i)(1-i)(-2+2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណកត្តាពីរដំបូងជាមុនសិន ៖\n$$(-3-3i)(1-i)=-3+3i-3i+3i^{2}=-3-3=-6$$\nរួចគុណលទ្ធផលនឹងកត្តាទីបី ៖\n$$(-6)(-2+2i)=12-12i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{12-12i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(-i)z+2\\bar{z}=-9+9i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y$ ជាចំនួនពិត ។ ពន្លាតអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(-i)(x+iy)+2(x-iy)=(2x+y)-(x+2y)i$$\nយើងបានប្រព័ន្ធសមីការ ៖\n$$\\begin{cases}2x+y=-9\\\\-x-2y=9\\end{cases}$$\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $2z-i\\bar{z}=3i$ ។\nខ. គណនា $|z|$ ។\nគ. សរសេរ $z^2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nឃ. ទាញរកឫសការេនៃ $-3+4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$2x+2iy-i(x-iy)=3i\\Leftrightarrow(2x-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=8+16i$ និង $z_2=3+i$ ។\nក. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\nខ. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\nគ. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+(1-2i)z-7-i=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\Delta=(-1+2i)^{2}-4(-7-i)=(-3-4i)-(-28-4i)=25$$\nដោយ $\\Delta=25=5^{2}$ ដែលជាការេប្រាកដ យើងបាន ៖\n$$z_1=\\frac{(-1+2i)+5}{2}=2+i\\quad,\\quad z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z\\bar{z}+(z-\\bar{z})=17-2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ យើងមាន $z\\bar{z}=x^2+y^2$ និង $z-\\bar{z}=2iy$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$x^{2}+y^{2}+2yi=17-2i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\begin... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+16=0$ ។ ដោយមិនដោះស្រាយសមីការ គណនា $z_1^2+z_2^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=0\\quad,\\quad z_1z_2=16$$\n$$z_1^{2}+z_2^{2}=(z_1+z_2)^{2}-2z_1z_2=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=2\\sqrt{3}+2i$ និង $B=\\sqrt{3}+i$ ។\n១. គណនា $A+B$ និង $A\\times B$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. បូកផ្នែកពិត និងផ្នែកន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $(2-i)^{4}$ ដោយគណនា $(2-i)^{2}$ ជាមុន ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេមុន ៖\n$$(2-i)^{2}=4-4i+i^{2}=3-4i$$\nស្វ័យគុណទី $4$ គឺជាការេនៃលទ្ធផលនេះ ៖\n$$(2-i)^{4}=\\left[(2-i)^{2}\\right]^{2}=(3-4i)^{2}=9-24i+16i^{2}=-7-24i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(2-i)^{4}=-7... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $A=i^{30}+\\frac{1}{i^{259}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនឹង $4$ ៖ $i^{30}=-1$ និង $i^{259}=-i$ ។\n$$\\frac{1}{i^{259}}=\\frac{1}{-i}=i$$\n(យើងប្រើ $\\frac{1}{i}=\\frac{i}{i^2}=-i$ ។)\n$$A=-1+i$$\nដូចនេះ $\\boxed{A=-1+i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq-3$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z+3i}{z+3}$ ។\nក. គណនា $f(-1+i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nគ. រកម៉ូឌុលនៃ $f(-1+i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ភាគយកគឺ $(-1+i)+3i=-1+4i$ ហើយភាគបែងគឺ $(-1+i)-(-3)=2+i$ ។\n$$f(-1+i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-6+12i$ និង $z_2=1+3i$ ។\na. គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. គេបាន ៖\n$$z_1-z_2=(-6+12i)-(1+3i)=-7+9i$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរមានមេគុណពិត ដែលមានឫសមួយគឺ $1+6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ឫសមួយទៀតគឺចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ $z_2=1-6i$ ។\n$$z_1+z_2=2\\quad,\\quad z_1z_2=1+36=37$$\nសមីការគឺ $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ សមីការដែលរកបានគឺ $\\boxed{z^{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកខាងក្រោម ៖ $\\frac{-5+4i}{-i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $i$ ដើម្បីឱ្យភាគបែងក្លាយជាចំនួនពិត ៖\n$$\\frac{-5+4i}{-i}=\\frac{(-5+4i)i}{-i\\times i}=-4-5i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{-5+4i}{-i}=-4-5i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^2=-32i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សមីការ $(x+iy)^2=-32i$ ផ្តល់ ៖\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0\\\\2xy=-32\\end{cases}$$\nសមីការទីមួយឱ្យ $y=x$ ឬ $y=-x$ ។\nបើ $y=-x$ នោះ $-2x^2=-3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{4}+4z^{2}+3=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$t^{2}+4t+3=0\\Leftrightarrow (t+1)(t+3)=0$$\nនាំឱ្យ $t=-1$ ឬ $t=-3$ ។\n$$z^{2}=-1\\Rightarrow z=\\pm i$$\n$$z^{2}=-3\\Rightarrow z=\\pm i\\sqrt{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-8z+17=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nb. សរសេរ $z_1^2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រក $|z_1|$ រួចបង្ហាញថា $z_1\\times z_2=|z_1|^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{1}{(1-i)^2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ភាគបែងគឺ $(1-i)^2=-2i$ ។ គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $i$ ៖\n$$\\frac{1}{-2i}=\\frac{i}{-2i^{2}}=\\frac{i}{2}$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{1}{(1-i)^2}=\\frac{1}{2}i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-3+i$ និង $z_2=1+i$ ។\nក- គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\nខ- សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- យើងមាន ៖\n$$z_1-z_2=(-3+i)-(1+i)=-4$$\n$$z_1\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=-1+i\\sqrt{3}$ និង $B=\\sqrt{3}+i$ ។\n១. គណនា $A+B$ និង $A\\times B$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. បូកផ្នែកពិត និងផ្នែកន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}+5iz-13-9i=0$ ។\n១. គណនា $(6+3i)^{2}$ ។\n២. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\n៤. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ពន្លាតការេ ៖\n$$(6+3i)^{2}=36+36i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $(2-i)^2+(2+i)^2$ ដោយមិនចាំបាច់រកលទ្ធផលដោយឡែកនៃផ្នែកនិមិត្ត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនទាំងពីរឆ្លាស់គ្នា ដូច្នេះការេរបស់វាក៏ឆ្លាស់គ្នាដែរ ហើយផលបូកស្មើនឹងពីរដងផ្នែកពិត ។ យើងមាន ៖\n$$(2+i)^{2}=4+4i-1=3+4i$$\nផ្នែកពិតគឺ $3$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{(2-i)^2+(2+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $4z+2\\bar{z}=6-8i$ ។\nខ. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nគ. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nឃ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z_1$ , $z_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}-4z+8=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។ គណនា $\\frac{z_1}{z_2}+\\frac{z_2}{z_1}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=4\\quad,\\quad z_1z_2=8$$\n$$\\frac{z_1}{z_2}+\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុលនៃ $z=\\frac{6}{13}-\\frac{8}{13}i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=\\sqrt{\\left(\\frac{6}{13}\\right)^{2}+\\left(\\frac{8}{13}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{100}{169}}=\\frac{10}{13}$$\nដូចនេះ $\\boxed{|z|=\\frac{10}{13}}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{m-i}{1-i}$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត ។ រួចគណនា $z$ ចំពោះតម្លៃនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1+i$ ៖\n$$z=\\frac{(m-i)(1+i)}{2}=\\frac{m+1}{2}+\\frac{m-1}{2}i$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(-4-i)i^{182}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $182=4\\times 45+2$ នោះ $i^{182}=-1$ ។\n$$z=(-4-i)\\times(-1)=4+i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=4+i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $m$ និង $n$ ដែលសមីការ $2z^{2}+mz+n=0$ មានឫសមួយគឺ $1+5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $m,n$ ជាចំនួនពិត ឫសមួយទៀតគឺ $1-5i$ ។ ផលបូកឫសស្មើ $-\\frac{m}{2}$ ហើយផលគុណឫសស្មើ $\\frac{n}{2}$ ។\n$$-\\frac{m}{2}=2\\Rightarrow m=-4$$\n$$\\frac{n}{2}=26\\Rightarr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1+i\\sqrt{3}$ និង $z_2=-1+i$ ។\nក- គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nខ- សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ប... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $\\frac{x}{1-2i}+\\frac{y}{1-i}=-9-14i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{x}{1-2i}=\\frac{x(1+2i)}{5}\\quad,\\quad\\frac{y}{1-i}=\\frac{y(1+i)}{2}$$\nចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{2+10i\\sqrt{5}}{3+i\\sqrt{5}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $3-i\\sqrt{5}$ ។ ភាគបែងក្លាយជា $9+5=14$ ។\n$$\\frac{2+10i\\sqrt{5}}{3+i\\sqrt{5}}=\\frac{(2+10i\\sqrt{5})(3-i\\sqrt{5})}{14}=\\frac{56+28i\\sqrt{5}}{14... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq 1-i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z-(3+2i)}{z-(1-i)}$ ។\n១. គណនា $f(1-3i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n២. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=-i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $f(1-3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ភាគយកគឺ $(1-3i)-(3+2i)=-2-5i$ ហើយភាគបែងគឺ $(1-3i)-(1-i)=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=2+2i$ និង $z_2=\\sqrt{6}+i\\sqrt{2}$ ។\nក- គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nខ- សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $4z-3\\bar{z}=5-35i$ ។\nខ. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nគ. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nឃ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-3z+4=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=(-3)^{2}-4\\times 4=-7=\\left(i\\sqrt{7}\\right)^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_{1,2}=\\frac{3\\pm i\\sqrt{7}}{2}$$\nដូចនេះ សំណុំ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}-2z+10=0$ ។ គណនា $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=2\\quad,\\quad z_1z_2=10$$\n$$z_1^{3}+z_2^{3}=(z_1+z_2)^{3}-3z_1z_2(z_1+z_2)=2^{3}-3\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=-1+2i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}+z^{2}+3z-5=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=-3-4i$ និង $z_0^3=11-2i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(11-2i)+1(-3-4i)+3(-1+2i)-5=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=-1+2i}$ ជាឫសនៃសមីការនេះ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $\\frac{z-1}{z+1}=i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "លក្ខខណ្ឌ ៖ $z\\neq -1$ ។ គុណអង្គទាំងពីរនឹង $z+1$ ៖\n$$z-1=iz+i\\Leftrightarrow z(1-i)=1+i$$\nចែកនឹង $1-i$ ៖\n$$z=\\frac{1+i}{1-i}=i$$\nតម្លៃនេះខុសពី $-1$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z=i}$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្កើតសមីការដឺក្រេទីពីរ $z^2+bz+c=0$ ដែល $b,c\\in\\mathbb{R}$ ហើយមានឫស $z_1=-2-6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ឫសមួយទៀតគឺចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ $z_2=-2+6i$ ។\n$$z_1+z_2=-4\\quad,\\quad z_1z_2=4+36=40$$\nសមីការគឺ $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=-3+4i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}+4z^{2}+13z-50=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=-7-24i$ និង $z_0^3=117+44i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(117+44i)+4(-7-24i)+13(-3+4i)-50=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=-3+4i}$ ជាឫសនៃសមីការន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $(x+iy)(2+4i)=-6+28i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $2+4i$ ៖\n$$x+iy=\\frac{-6+28i}{2+4i}=\\frac{(-6+28i)(2-4i)}{(2+4i)(2-4i)}=\\frac{100+80i}{4+16}=\\frac{100+80i}{20}=5+4i$$\nយើងប្រៀបធៀបផ្នែកពិតនឹងផ្នែកពិត និងផ្នែកនិ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+4z+29=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\n២. គេឱ្យ $w=z_1+2i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{w}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. យើងមាន ៖\n$$\\D... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=2-14i$ និង $z_2=1+3i$ ។\n១. គណនា $2z_1-z_2$ ។\n២. សរសេរ $Z=\\frac{z_1+z_2}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $Z=\\frac{z_1}{z_2}+1$ ។\n៤. រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $Z^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. យើងបាន ៖\n$$2z_1-z_2=(4-28... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $Z$ ដែល $Z^2=20+48i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $Z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $20+48i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=20+48i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=20+48i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\begin{cases}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z-2\\bar{z}=3+3i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}=x-iy$ ។ ជំនួសចូលសមីការ ៖\n$$(x+iy)-2(x-iy)=3+3i$$\n$$-x+3yi=3+3i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $(2+i)z-5-3i=(3+i)z-3-7i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ទៅអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$\\left[(2+i)-(3+i)\\right]z=(-3-7i)-(-5-3i)$$\n$$(-1)z=2-4i$$\n$$z=\\frac{2-4i}{-1}=-2+4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=-2+4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(-1-2i)z-4-3i=(-3+3i)z-25+6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ទៅអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$\\left[(-1-2i)-(-3+3i)\\right]z=(-25+6i)-(-4-3i)$$\n$$(2-5i)z=-21+9i$$\n$$z=\\frac{-21+9i}{2-5i}=\\frac{(-21+9i)(2+5i)}{(2-5i)(2+5i)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z\\bar{z}+3(z-\\bar{z})=34+18i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ យើងមាន $z\\bar{z}=x^2+y^2$ និង $z-\\bar{z}=2iy$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$x^{2}+y^{2}+6yi=34+18i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\b... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(1+3i)z=(-2-2i)z+34$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ៖\n$$\\left[(1+3i)-(-2-2i)\\right]z=34$$\n$$(3+5i)z=34$$\n$$z=\\frac{34}{3+5i}=\\frac{34(3-5i)}{(3+5i)(3-5i)}=\\frac{102-170i}{9+25}=\\frac{102-170i}{34}=3-5... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $\\frac{x}{3+i}+\\frac{y}{2+i}=-20+8i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{x}{3+i}=\\frac{x(3-i)}{10}\\quad,\\quad\\frac{y}{2+i}=\\frac{y(2-i)}{5}$$\nយើងប្រៀបធៀបផ្នែកពិតនឹងផ្នែកពិត និង... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃចំនួនខាងក្រោម ៖ $z_1=8$ , $z_2=9-3i$ , $z_3=-3i$ , $z_4=5+i\\sqrt{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $a+bi$ គឺ $a-bi$ គឺយើងប្តូរសញ្ញាផ្នែកនិមិត្តតែប៉ុណ្ណោះ ។\n$$\\overline{z_1}=8$$\n$$\\overline{z_2}=9+3i$$\n$$\\overline... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $4z-2\\bar{z}=-8+18i$ ។\nb. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nc. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.