conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយប្រើរូបមន្តដឺម័រ បង្ហាញថា $\\left(\\sqrt{3}+i\\right)^{6}=(1+i)^{12}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាអង្គនីមួយៗដោយរូបមន្តដឺម័រ ។\n$$\\left(\\sqrt{3}+i\\right)^{6}=2^{6}\\left(\\cos\\pi+i\\sin\\pi\\right)=-64$$\n$$(1+i)^{12}=\\left(\\sqrt{2}\\right)^{12}\\lef... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ ។ រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z^{5}$ ដោយមិនពន្លាត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$|z|=\\sqrt{2+2}=2$ ហើយ $z=2\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}+i\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)=2\\left(\\cos\\frac{\\pi}{4}+i\\sin\\frac{\\pi}{4}\\right)$ ។\nតា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកអាគុយម៉ង់នៃ $z=\\sqrt{3}-i$ ក្នុងចន្លោះ $[0,2\\pi)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$|z|=2$ ។ យើងមាន $\\cos\\alpha=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ និង $\\sin\\alpha=-\\frac{1}{2}$ ។ មុំនៅកាដ្រង់ទីបួន ដូច្នេះ $\\alpha=-\\frac{\\pi}{6}+2k\\pi$ ។\nយក $k=1$ ដើម្បីបានមុំក្នុងចន្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z=-\\sqrt{2}+i\\sqrt{6}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=-\\sqrt{2}+i\\sqrt{6}$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{6}\\right)^{2}}=\\sqrt{2+6}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $B=-5-5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $B=-5-5i$ ។\n$$|B|=r=\\sqrt{\\left(-5\\right)^{2}+\\left(-5\\right)^{2}}=\\sqrt{25+25}=\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $B$ ។ គេបាន\n$$\\cos\\alpha=\\frac{-5}{5\\sqrt{2}}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុល និងកំណត់អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=1-i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $1$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $-1$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|w|=r=\\sqrt{1^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ $\\alpha$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖\n$$\\cos\\alpha=\\frac{1}{\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=-1-i\\sqrt{3}$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់របស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $w=-1-i\\sqrt{3}$ ។\n$$|w|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។ គេបាន\n$$\\c... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុល និងកំណត់អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=-\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $w=-\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ។\n$$|w|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $A=2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $2$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $0$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|A|=r=\\sqrt{2^{2}+0^{2}}=\\sqrt{4+0}=2$$\nអាគុយម៉ង់ $\\alpha$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖\n$$\\cos\\alpha=\\frac{2}{2}=1=\\cos 0,\\quad \\sin\\alpha=0=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $B=-3-3i\\sqrt{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $B=-3-3i\\sqrt{3}$ ។\n$$|B|=r=\\sqrt{\\left(-3\\right)^{2}+\\left(-3\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{9+27}=\\sqrt{36}=6$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $B$ ។ គេបាន\n$$\\cos\\alpha=\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $Z=\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ ។ គណនា $|Z|$ រួចរកអាគុយម៉ង់នៃ $Z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $\\sqrt{2}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $-\\sqrt{2}$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|Z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{2+2}=\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z=-\\sqrt{3}+i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=-\\sqrt{3}+i$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\cos\\alpha=\\frac{-\\sqrt{3}}{2}=-\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z=-2\\sqrt{2}+2i\\sqrt{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $-2\\sqrt{2}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $2\\sqrt{2}$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(2\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{8+8}=\\sqrt{16}=4$$\nអាគុយម... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=i$ ។ គណនា $|w|$ រួចរកអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $0$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $1$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|w|=r=\\sqrt{0^{2}+1^{2}}=\\sqrt{0+1}=1$$\nអាគុយម៉ង់ $\\alpha$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖\n$$\\cos\\alpha=0=\\cos\\frac{\\pi}{2},\\quad \... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុល និងកំណត់អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\sqrt{2}-i\\sqrt{6}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $-\\sqrt{2}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $-\\sqrt{6}$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{6}\\right)^{2}}=\\sqrt{2+6}=\\sqrt{8}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $A=-\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $A=-\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ ។\n$$|A|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{2+2}=\\sqrt{4}=2$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $A$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុល និងកំណត់អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $A=\\sqrt{2}-i\\sqrt{6}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $A=\\sqrt{2}-i\\sqrt{6}$ ។\n$$|A|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{6}\\right)^{2}}=\\sqrt{2+6}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=2i$ ។ គណនា $|A|$ រួចរកអាគុយម៉ង់នៃ $A$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $0$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $2$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|A|=r=\\sqrt{0^{2}+2^{2}}=\\sqrt{0+4}=2$$\nអាគុយម៉ង់ $\\alpha$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖\n$$\\cos\\alpha=0=\\cos\\frac{\\pi}{2},\\quad \\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $A=-5$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $-5$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $0$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|A|=r=\\sqrt{\\left(-5\\right)^{2}+0^{2}}=\\sqrt{25+0}=5$$\nអាគុយម៉ង់ $\\alpha$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖\n$$\\cos\\alpha=\\frac{-5}{5}=-1=\\cos\\pi,\\quad \\si... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-2\\sqrt{3}-2i$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់របស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=-2\\sqrt{3}-2i$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $Z=-1-i$ ។ គណនា $|Z|$ រួចរកអាគុយម៉ង់នៃ $Z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $-1$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $-1$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|Z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ $\\alpha$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖\n$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុល និងកំណត់អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=-2-2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $w=-2-2i$ ។\n$$|w|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។ គេបាន\n$$\\cos\\alpha=\\frac{-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=\\frac{1}{2}-i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់របស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $w=\\frac{1}{2}-i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។\n$$|w|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុល និងកំណត់អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $z=3-3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=3-3i$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\cos\\alpha=\\frac{3}{3\\sqrt{2}}=\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z=\\sqrt{3}-i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=\\sqrt{3}-i$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\cos\\alpha=\\frac{\\sqrt{3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $z=2\\sqrt{3}+2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=2\\sqrt{3}+2i$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\cos\\alpha=\\frac{2\\sqrt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $w=4$ ។ គណនា $|w|$ រួចរកអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $4$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $0$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|w|=r=\\sqrt{4^{2}+0^{2}}=\\sqrt{16+0}=4$$\nអាគុយម៉ង់ $\\alpha$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖\n$$\\cos\\alpha=\\frac{4}{4}=1=\\cos 0,\\quad ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុល និងកំណត់អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $z=-2-2i\\sqrt{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $-2$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $-2\\sqrt{3}$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nអាគុយម៉ង់ $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុល និងកំណត់អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $z=-5+5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $-5$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $5$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-5\\right)^{2}+5^{2}}=\\sqrt{25+25}=\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ $\\alpha$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖\n$$\\cos\\alp... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុល និងកំណត់អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $B=3+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $3$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $3$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|B|=r=\\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ $\\alpha$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖\n$$\\cos\\alpha=\\frac{3}{3\\sqrt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $Z=-2\\sqrt{3}+6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $Z=-2\\sqrt{3}+6i$ ។\n$$|Z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+6^{2}}=\\sqrt{12+36}=\\sqrt{48}=4\\sqrt{3}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $Z$ ។ គេបាន\n$$\\cos\\alpha=\\frac{-2\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=\\sqrt{3}+i\\sqrt{3}$ ។ គណនា $|z|$ រួចរកអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $\\sqrt{3}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\sqrt{3}$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{3+3}=\\sqrt{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុល និងកំណត់អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=-\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $Z=4+4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $4$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $4$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|Z|=r=\\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\\sqrt{16+16}=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ $\\alpha$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖\n$$\\cos\\alpha=\\frac{4}{4\\sqrt{2}}=\\frac{\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $B=\\sqrt{6}+i\\sqrt{2}$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់របស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $\\sqrt{6}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\sqrt{2}$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|B|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{6}\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{6+2}=\\sqrt{8}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុល និងកំណត់អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $B=-6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $0$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $-6$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|B|=r=\\sqrt{0^{2}+\\left(-6\\right)^{2}}=\\sqrt{0+36}=6$$\nអាគុយម៉ង់ $\\alpha$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖\n$$\\cos\\alpha=0=\\cos\\left(-\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{4}+\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $A=2\\sqrt{2}+2i\\sqrt{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $A=2\\sqrt{2}+2i\\sqrt{2}$ ។\n$$|A|=r=\\sqrt{\\left(2\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(2\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{8+8}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $A$ ។ គេបាន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុល និងកំណត់អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=-2\\sqrt{2}-2i\\sqrt{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $w=-2\\sqrt{2}-2i\\sqrt{2}$ ។\n$$|w|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(-2\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{8+8}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $\\alpha$ ជាអា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}-\\frac{1}{2}i$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់របស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}-\\frac{1}{2}i$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}}=\\sqr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុល និងកំណត់អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=1+i\\sqrt{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផ្នែកពិតគឺ $1$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\sqrt{3}$ ។ ម៉ូឌុល ៖\n$$|w|=r=\\sqrt{1^{2}+\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\nអាគុយម៉ង់ $\\alpha$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖\n$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=\\frac{\\sqrt{3}}{2}-\\frac{1}{2}i$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់របស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $w=\\frac{\\sqrt{3}}{2}-\\frac{1}{2}i$ ។\n$$|w|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុល និងកំណត់អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $z=-3-3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=-3-3i$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-3\\right)^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\cos\\alpha=\\frac{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=1+i$ ។ គណនា $|z|$ រួចរកអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=1+i$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\cos\\alpha=\\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\co... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $B=-4-4i\\sqrt{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $B=-4-4i\\sqrt{3}$ ។\n$$|B|=r=\\sqrt{\\left(-4\\right)^{2}+\\left(-4\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{16+48}=\\sqrt{64}=8$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $B$ ។ គេបាន\n$$\\cos\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុល និងកំណត់អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=\\sqrt{3}+i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $w=\\sqrt{3}+i$ ។\n$$|w|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។ គេបាន\n$$\\cos\\alpha=\\frac{\\sqrt{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុល និងកំណត់អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $z=-2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=-2i$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{0^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{0+4}=2$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\cos\\alpha=0=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)$$\n$$\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z=\\sqrt{6}-i\\sqrt{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=\\sqrt{6}-i\\sqrt{2}$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{6}\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{6+2}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $w=\\frac{4}{1+i}$ ។ សរសេរ $w$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1-i$ ៖\n$$w=\\frac{4\\left(1-i\\right)}{1^{2}+1^{2}}=\\frac{4\\left(1-i\\right)}{2}=2-2i$$\nតាង $w=r(\\cos\\alpha+i\\sin\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=-5+5i$ ។ រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|w|=r=\\sqrt{\\left(-5\\right)^{2}+5^{2}}=\\sqrt{25+25}=\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$w=5\\sqrt{2}\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}+i\\frac{\\sqrt{2}}{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=-2\\sqrt{2}-2i\\sqrt{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(-2\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{8+8}=\\sqrt{16}=4$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=4\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=\\left(-1+i\\sqrt{3}\\right)\\left(-3\\sqrt{3}-3i\\right)$ ។ គណនា $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចរកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $u=-1+i\\sqrt{3}$ និង $v=-3\\sqrt{3}-3i$ ។\n$$u\\times v=\\left(-1+i\\sqrt{3}\\right)\\left(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $w=1+i\\sqrt{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|w|=r=\\sqrt{1^{2}+\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{1}{2}=\\cos\\frac{\\pi}{3},\\quad \\sin\\alpha=\\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\sin... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-2\\sqrt{3}-6i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-6\\right)^{2}}=\\sqrt{12+36}=\\sqrt{48}=4\\sqrt{3}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=4\\sqrt{3}\\left(-\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $w=3-i\\sqrt{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|w|=r=\\sqrt{3^{2}+\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{9+3}=\\sqrt{12}=2\\sqrt{3}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{3}{2\\sqrt{3}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $z=-1-i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=\\sqrt{2}\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)$$\nដោយ $-\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=2+2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{2}{2\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\cos\\frac{\\pi}{4},\\quad \\sin\\alpha=\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=\\frac{4}{2-2i}$ ។ សរសេរ $A$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2+2i$ ៖\n$$A=\\frac{4\\left(2+2i\\right)}{2^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\frac{4\\left(2+2i\\right)}{8}=1+i$$\nតាង $A=r(\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=\\left(2+2i\\sqrt{3}\\right)^{2}$ ។ ពន្លាត $w$ រួចសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ដោយប្រើ $i^{2}=-1$ ៖\n$$w=2^{2}+2\\times 2\\times 2\\sqrt{3}\\,i-\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}=-8+8i\\sqrt{3}$$\n$$|w|=r=\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $B=\\frac{8}{1-i}$ ។ សរសេរ $B$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1+i$ ៖\n$$B=\\frac{8\\left(1+i\\right)}{1^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\frac{8\\left(1+i\\right)}{2}=4+4i$$\n$$|B|=r=\\sqr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $B=\\frac{6}{-\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}}$ ។ សរសេរ $B$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ ៖\n$$B=\\frac{6\\left(-\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}\\right)}{\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=-2\\sqrt{3}-2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{-2\\sqrt{3}}{4}=-\\frac{\\sqrt{3}}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $Z=-2\\sqrt{3}+2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|Z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{-2\\sqrt{3}}{4}=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\cos\\frac{5\\pi}{6},\\q... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចូរសរសេរ $z=3+3i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{3}{3\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\cos\\frac{\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=3-3i$ ។ ចូរសរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=3\\sqrt{2}\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{\\sqrt{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $B=\\frac{8}{-1-i}$ ។ សរសេរ $B$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-1+i$ ៖\n$$B=\\frac{8\\left(-1+i\\right)}{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\frac{8\\left(-1+i\\right)}{2}=-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=\\frac{2}{-1+i}$ ។ សរសេរ $A$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-1-i$ ៖\n$$A=\\frac{2\\left(-1-i\\right)}{\\left(-1\\right)^{2}+1^{2}}=\\frac{2\\left(-1-i\\right)}{2}=-1-i$$\n$$|A|=r=\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $B=2\\sqrt{2}+2i\\sqrt{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|B|=r=\\sqrt{\\left(2\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(2\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{8+8}=\\sqrt{16}=4$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$B=4\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}+i\\frac{\\sqrt{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចូរសរសេរ $Z=-\\sqrt{2}+i\\sqrt{6}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|Z|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{6}\\right)^{2}}=\\sqrt{2+6}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{-\\sqrt{2}}{2\\sqrt{2}}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $Z=\\frac{6}{1-i}$ ។ សរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1+i$ ៖\n$$Z=\\frac{6\\left(1+i\\right)}{1^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\frac{6\\left(1+i\\right)}{2}=3+3i$$\nតាង $Z=r(\\co... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=2\\sqrt{2}-2i\\sqrt{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(2\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(-2\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{8+8}=\\sqrt{16}=4$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=4\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{\\sq... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=\\left(2-2i\\sqrt{3}\\right)^{2}$ ។ ពន្លាត $A$ រួចសរសេរចំនួនកុំផ្លិច $A$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ដោយប្រើ $i^{2}=-1$ ៖\n$$A=2^{2}+2\\times 2\\times \\left(-2\\sqrt{3}\\right)\\,i-\\left(-2\\sqrt{3}\\right)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\left(-4-4i\\sqrt{3}\\right)^{2}$ ។ ពន្លាត $z$ រួចសរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ដោយប្រើ $i^{2}=-1$ ៖\n$$z=\\left(-4\\right)^{2}+2\\times \\left(-4\\right)\\times \\left(-4\\sqrt{3}\\right)\\,i-\\left... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=-2\\sqrt{3}+6i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+6^{2}}=\\sqrt{12+36}=\\sqrt{48}=4\\sqrt{3}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{-2\\sqrt{3}}{4\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-6-2i\\sqrt{3}$ ។ រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-6\\right)^{2}+\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{36+12}=\\sqrt{48}=4\\sqrt{3}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=4\\sqrt{3}\\left(-\\frac{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ ។ សរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|w|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{2+2}=\\sqrt{4}=2$$\nហើយ\n$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $B=\\frac{2}{-1+i\\sqrt{3}}$ ។ សរសេរ $B$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-1-i\\sqrt{3}$ ៖\n$$B=\\frac{2\\left(-1-i\\sqrt{3}\\right)}{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{2}{-\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ ៖\n$$z=\\frac{2\\left(-\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}\\right)}{\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=2-2i$ ។ សរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|w|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$w=2\\sqrt{2}\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{\\sqrt{2}}{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-2-2i\\sqrt{3}$ ។ ចូរសរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nហើយ\n$$\\cos\\a... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=\\left(4\\sqrt{3}-4i\\right)^{2}$ ។ ពន្លាត $z$ រួចចូរសរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ដោយប្រើ $i^{2}=-1$ ៖\n$$z=\\left(4\\sqrt{3}\\right)^{2}+2\\times 4\\sqrt{3}\\times \\left(-4\\right)\\,i-\\left(-4\\rig... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $w=-2-2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|w|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{-2}{2\\sqrt{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=-3+3i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-3\\right)^{2}+\\left(3\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{9+27}=\\sqrt{36}=6$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{-3}{6}=-\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $w=\\frac{4}{-2\\sqrt{3}+2i}$ ។ សរសេរ $w$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-2\\sqrt{3}-2i$ ៖\n$$w=\\frac{4\\left(-2\\sqrt{3}-2i\\right)}{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2^{2}}=\\frac{4\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចូរសរសេរ $z=-\\sqrt{3}-i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{-\\sqrt{3}}{2}=-\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\left(-2\\sqrt{3}-2i\\right)^{2}$ ។ ពន្លាត $z$ រួចរកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ដោយប្រើ $i^{2}=-1$ ៖\n$$z=\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2\\times \\left(-2\\sqrt{3}\\right)\\times \\left(-2\\right)\\,i-\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=1+i$ ។ សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{2}{-2+2i}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-2-2i$ ៖\n$$z=\\frac{2\\left(-2-2i\\right)}{\\left(-2\\right)^{2}+2^{2}}=\\frac{2\\left(-2-2i\\right)}{8}=-\\frac{1}{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=\\frac{8}{-2+2i\\sqrt{3}}$ ។ សរសេរ $w$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-2-2i\\sqrt{3}$ ៖\n$$w=\\frac{8\\left(-2-2i\\sqrt{3}\\right)}{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(2\\sqrt{3}\\right)^... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}+\\frac{1}{2}i$ ។ រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $A$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|A|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{3}{4}+\\frac{1}{4}}=\\sqrt{1}=1$$\nអ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $Z=\\left(-2\\sqrt{3}+2i\\right)\\left(4\\sqrt{3}-4i\\right)$ ។ គណនា $Z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចសរសេរចំនួនកុំផ្លិច $Z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $u=-2\\sqrt{3}+2i$ និង $v=4\\sqrt{3}-4i$ ។\n$$u\\times v=\\left(-2\\sqrt{3}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $Z=\\frac{8}{-\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}}$ ។ សរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ ៖\n$$Z=\\frac{8\\left(-\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}\\right)}{\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=\\left(-3\\sqrt{3}-3i\\right)\\left(2-2i\\sqrt{3}\\right)$ ។ គណនា $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចសរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $u=-3\\sqrt{3}-3i$ និង $v=2-2i\\sqrt{3}$ ។\n$$u\\times v=\\left(-3\\sqrt{3}-3i\\right)\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{4}{-2-2i}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-2+2i$ ៖\n$$z=\\frac{4\\left(-2+2i\\right)}{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\frac{4\\left(-2+2i\\right)}{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=2\\sqrt{3}+2i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{2\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=6-2i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{6^{2}+\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{36+12}=\\sqrt{48}=4\\sqrt{3}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $w=-5i$ ។ រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|w|=r=\\sqrt{0^{2}+\\left(-5\\right)^{2}}=\\sqrt{0+25}=5$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=0=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)\\\\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=\\left(-1+i\\sqrt{3}\\right)\\left(-1+i\\sqrt{3}\\right)$ ។ គណនា $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចរកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $u=-1+i\\sqrt{3}$ និង $v=-1+i\\sqrt{3}$ ។\n$$u\\times v=\\left(-1+i\\sqrt{3}\\right)\\left(-1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=\\left(-4+4i\\sqrt{3}\\right)^{2}$ ។ ពន្លាត $z$ រួចរកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ដោយប្រើ $i^{2}=-1$ ៖\n$$z=\\left(-4\\right)^{2}+2\\times \\left(-4\\right)\\times 4\\sqrt{3}\\,i-\\left(4\\sqrt{3}\\right)^{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=\\frac{8}{2\\sqrt{3}-2i}$ ។ សរសេរ $w$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2\\sqrt{3}+2i$ ៖\n$$w=\\frac{8\\left(2\\sqrt{3}+2i\\right)}{\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-2\\right)^{2}... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.