conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=-4\\sqrt{3}-4i$ ។ ចូរសរសេរ $A$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|A|=r=\\sqrt{\\left(-4\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-4\\right)^{2}}=\\sqrt{48+16}=\\sqrt{64}=8$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $A$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=4-4i$ ។ រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{4^{2}+\\left(-4\\right)^{2}}=\\sqrt{16+16}=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=4\\sqrt{2}\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{\\sqrt{2}}{2}\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $Z=1-i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|Z|=r=\\sqrt{1^{2}+\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $Z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{1}{2}=\\cos\\left(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=\\frac{6}{-4+4i\\sqrt{3}}$ ។ សរសេរ $w$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-4-4i\\sqrt{3}$ ៖\n$$w=\\frac{6\\left(-4-4i\\sqrt{3}\\right)}{\\left(-4\\right)^{2}+\\left(4\\sqrt{3}\\right)^... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=1$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{1^{2}+0^{2}}=\\sqrt{1+0}=1$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=1=\\cos 0,\\quad \\sin\\alpha=0=\\sin 0$$\nដូច្នេះ $\\alpha=0+2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}$ ហើយ $$z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-1$ ។ រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+0^{2}}=\\sqrt{1+0}=1$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=-1=\\cos\\pi,\\quad \\sin\\alpha=0=\\sin\\pi$$\nដូច្នេះ $\\alpha=\\pi+2k\\pi,\\ k\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $B=-3\\sqrt{3}-3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|B|=r=\\sqrt{\\left(-3\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{27+9}=\\sqrt{36}=6$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$B=6\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}-i\\frac{1}{2}\\right)$$\nដោយ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $Z=4$ ។ ចូរសរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $Z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|Z|=r=\\sqrt{4^{2}+0^{2}}=\\sqrt{16+0}=4$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{4}{4}=1=\\cos 0$$\n$$\\sin\\alpha=0=\\sin 0$$\nនាំឱ្យ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=\\left(-2\\sqrt{3}+2i\\right)^{2}$ ។ ពន្លាត $A$ រួចចូរសរសេរ $A$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ដោយប្រើ $i^{2}=-1$ ៖\n$$A=\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2\\times \\left(-2\\sqrt{3}\\right)\\times 2\\,i-2^{2}=8-8i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $B=\\frac{8}{-2\\sqrt{3}+2i}$ ។ សរសេរ $B$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-2\\sqrt{3}-2i$ ៖\n$$B=\\frac{8\\left(-2\\sqrt{3}-2i\\right)}{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2^{2}}=\\frac{8\\le... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចូរសរសេរ $z=3\\sqrt{3}-3i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(3\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{27+9}=\\sqrt{36}=6$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{3\\sqrt{3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=5+5i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{5^{2}+\\left(5\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{25+75}=\\sqrt{100}=10$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=10\\left(\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$$\nដោយ $\\frac{1}{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=\\frac{8}{-1-i\\sqrt{3}}$ ។ សរសេរ $w$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-1+i\\sqrt{3}$ ៖\n$$w=\\frac{8\\left(-1+i\\sqrt{3}\\right)}{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចូរសរសេរ $Z=4i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $Z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|Z|=r=\\sqrt{0^{2}+4^{2}}=\\sqrt{0+16}=4$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=0=\\cos\\frac{\\pi}{2}$$\n$$\\sin\\alpha=\\frac{4}{4}=1=\\sin\\frac{\\pi}{2}$$\nនាំឱ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=\\left(-1-i\\sqrt{3}\\right)\\left(2\\sqrt{3}-2i\\right)$ ។ គណនា $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចសរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $u=-1-i\\sqrt{3}$ និង $v=2\\sqrt{3}-2i$ ។\n$$u\\times v=\\left(-1-i\\sqrt{3}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=\\frac{6}{1-i\\sqrt{3}}$ ។ សរសេរ $w$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1+i\\sqrt{3}$ ៖\n$$w=\\frac{6\\left(1+i\\sqrt{3}\\right)}{1^{2}+\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\frac{6\\left(1+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{8}{-4+4i\\sqrt{3}}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-4-4i\\sqrt{3}$ ៖\n$$z=\\frac{8\\left(-4-4i\\sqrt{3}\\right)}{\\left(-4\\right)^{2}+\\left(4\\sqrt{3}\\right)^{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{6}{-1+i}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-1-i$ ៖\n$$z=\\frac{6\\left(-1-i\\right)}{\\left(-1\\right)^{2}+1^{2}}=\\frac{6\\left(-1-i\\right)}{2}=-3-3i$$\n$$|z|=r=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $Z=\\frac{\\sqrt{3}}{2}+\\frac{1}{2}i$ ។ ចូរសរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|Z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{3}{4}+\\frac{1}{4}}=\\sqrt{1}=1$$\nតាង $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=\\left(1+i\\sqrt{3}\\right)^{2}$ ។ ពន្លាត $z$ រួចសរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ដោយប្រើ $i^{2}=-1$ ៖\n$$z=1^{2}+2\\times 1\\times \\sqrt{3}\\,i-\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}=-2+2i\\sqrt{3}$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $B=\\left(-\\sqrt{3}-i\\right)^{2}$ ។ ពន្លាត $B$ រួចចូរសរសេរ $B$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ដោយប្រើ $i^{2}=-1$ ៖\n$$B=\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}+2\\times \\left(-\\sqrt{3}\\right)\\times \\left(-1\\right)\\,i-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចូរសរសេរ $z=-\\sqrt{3}+3i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{3+9}=\\sqrt{12}=2\\sqrt{3}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{-\\sqrt{3}}{2\\sq... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=\\left(-2\\sqrt{3}-2i\\right)\\left(1-i\\sqrt{3}\\right)$ ។ គណនា $w$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចចូរសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $u=-2\\sqrt{3}-2i$ និង $v=1-i\\sqrt{3}$ ។\n$$u\\times v=\\left(-2\\sqrt{3}-2i\\right)\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $B=\\frac{2}{1+i\\sqrt{3}}$ ។ សរសេរ $B$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1-i\\sqrt{3}$ ៖\n$$B=\\frac{2\\left(1-i\\sqrt{3}\\right)}{1^{2}+\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\frac{2\\left(1-i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $A=6$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|A|=r=\\sqrt{6^{2}+0^{2}}=\\sqrt{36+0}=6$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $A$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{6}{6}=1=\\cos 0\\\\\\sin\\alpha&=0=\\sin 0\\end{aligned}$$\n$\\Rightarrow \... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=1-i$ ។ ចូរសរសេរ $A$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $A=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|A|=r=\\sqrt{1^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចូរសរសេរ $z=-4\\sqrt{3}+4i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-4\\sqrt{3}\\right)^{2}+4^{2}}=\\sqrt{48+16}=\\sqrt{64}=8$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{-4\\sqrt{3}}{8}=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\cos\\frac{5\\pi}{6}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=6+2i\\sqrt{3}$ ។ ចូរសរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{6^{2}+\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{36+12}=\\sqrt{48}=4\\sqrt{3}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{6}{4\\sqrt{3}}=\\frac{\\sqr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $Z=-2+2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|Z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{-2}{2\\sqrt{2}}=-\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\cos\\frac{3\\pi}{4},\\quad \\sin\\alph... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z=2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{0^{2}+2^{2}}=\\sqrt{0+4}=2$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=0=\\cos\\frac{\\pi}{2},\\quad \\sin\\alpha=\\frac{2}{2}=1=\\sin\\frac{\\pi}{2}$$\nដូច្នេះ $\\alpha=\\frac{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=5-5i$ ។ សរសេរចំនួនកុំផ្លិច $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{5^{2}+\\left(-5\\right)^{2}}=\\sqrt{25+25}=\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{5}{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចូរសរសេរ $w=-3+i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|w|=r=\\sqrt{\\left(-3\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{9+3}=\\sqrt{12}=2\\sqrt{3}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{-3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=\\frac{4}{2+2i}$ ។ សរសេរ $A$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2-2i$ ៖\n$$A=\\frac{4\\left(2-2i\\right)}{2^{2}+2^{2}}=\\frac{4\\left(2-2i\\right)}{8}=1-i$$\nតាង $A=r(\\cos\\alpha+i\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=3-3i\\sqrt{3}$ ។ រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+\\left(-3\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{9+27}=\\sqrt{36}=6$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{3}{6}=\\frac{1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=\\frac{8}{-2+2i}$ ។ សរសេរ $A$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-2-2i$ ៖\n$$A=\\frac{8\\left(-2-2i\\right)}{\\left(-2\\right)^{2}+2^{2}}=\\frac{8\\left(-2-2i\\right)}{8}=-2-2i$$\n$$|A... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=\\sqrt{3}+i\\sqrt{3}$ ។ រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|w|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{3+3}=\\sqrt{6}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\c... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $B=\\frac{4}{-2\\sqrt{3}-2i}$ ។ សរសេរ $B$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $-2\\sqrt{3}+2i$ ៖\n$$B=\\frac{4\\left(-2\\sqrt{3}+2i\\right)}{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-2\\right)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-5$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-5\\right)^{2}+0^{2}}=\\sqrt{25+0}=5$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{-5}{5}=-1=\\cos\\pi$$\n$$\\sin\\alpha=0... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=\\sqrt{2}-i\\sqrt{6}$ , $z_{2}=\\sqrt{3}+i\\sqrt{3}$ និង $z_{3}=5$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=\\sqrt{2}-i\\sqrt{6}$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{6}\\right... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=-4-4i\\sqrt{3}$ , $z_{2}=-3+i\\sqrt{3}$ និង $z_{3}=i$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=-4-4i\\sqrt{3}$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(-4\\right)^{2}+\\left(-4\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{16+48}=\\sq... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=-3+3i\\sqrt{3}$ , $z_{2}=5i$ និង $z_{3}=2+2i$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=-3+3i\\sqrt{3}$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(-3\\right)^{2}+\\left(3\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{9+27}=\\sqrt{36}=6$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=-2i$ និង $z_{2}=2\\sqrt{3}+6i$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=-2i$ ៖ ចំនួននេះជាចំនួននិមិត្ត ហើយផ្នែកនិមិត្តអវិជ្ជមាន ដូច្នេះ $|z_{1}|=2$ ហើយគេយកអាគុយម៉ង់ $-\\frac{\\pi}{2}$ ។ គេបាន $$z_{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោមជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $z_{1}=2$ , $z_{2}=-\\sqrt{3}+3i$ និង $z_{3}=-2\\sqrt{2}-2i\\sqrt{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=2$ ៖ ចំនួននេះជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន ដូច្នេះ $|z_{1}|=2$ ហើយគេយកអាគុយម៉ង់ $0$ ។ គេបាន $$z_{1}=2\\left(\\cos... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=4-4i$ , $z_{2}=-6+2i\\sqrt{3}$ និង $z_{3}=5$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=4-4i$ ៖\nម៉ូឌុល ៖ $$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{4^{2}+\\left(-4\\right)^{2}}=\\sqrt{16+16}=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=-5\\sqrt{3}+5i$ , $z_{2}=2\\sqrt{3}+2i$ និង $z_{3}=5i$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=-5\\sqrt{3}+5i$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(-5\\sqrt{3}\\right)^{2}+5^{2}}=\\sqrt{75+25}=\\sqrt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=-1+i$ , $z_{2}=-2\\sqrt{2}-2i\\sqrt{2}$ និង $z_{3}=-2i$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=-1+i$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោមជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $z_{1}=-\\sqrt{3}-i$ , $z_{2}=3+3i$ និង $z_{3}=-2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=-\\sqrt{3}-i$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោមជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $z_{1}=-3+3i$ និង $z_{2}=5+5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=-3+3i$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(-3\\right)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z_{1}=3\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=-4-4i$ , $z_{2}=3i$ និង $z_{3}=-2\\sqrt{3}-2i$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=-4-4i$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(-4\\right)^{2}+\\left(-4\\right)^{2}}=\\sqrt{16+16}=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$$\nដាក់... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=1+i$ , $z_{2}=-\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ និង $z_{3}=2+2i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=1+i$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nដ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោមជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $z_{1}=\\sqrt{6}+i\\sqrt{2}$ , $z_{2}=3\\sqrt{3}+3i$ និង $z_{3}=5-5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=\\sqrt{6}+i\\sqrt{2}$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(\\sqrt{6}\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{2}\\right)^... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=-4+4i$ , $z_{2}=-\\sqrt{2}+i\\sqrt{6}$ និង $z_{3}=\\sqrt{3}-i$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=-4+4i$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(-4\\right)^{2}+4^{2}}=\\sqrt{16+16}=\\sqrt{32}=4\\sq... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=4+4i$ និង $z_{2}=-4i$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=4+4i$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\\sqrt{16+16}=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z_{1}=4\\sqrt{2}\\left(\\frac{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=1$ , $z_{2}=-\\sqrt{3}+i\\sqrt{3}$ និង $z_{3}=6-2i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=1$ ៖ ចំនួននេះជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន ដូច្នេះ $|z_{1}|=1$ ហើយគេយកអាគុយម៉ង់ $0$ ។ គេបាន $$z_{1}=\\cos... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោមជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $z_{1}=3+i\\sqrt{3}$ , $z_{2}=-6+2i\\sqrt{3}$ និង $z_{3}=-4+4i\\sqrt{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=3+i\\sqrt{3}$ ៖\nតាង $z_{1}=r_{1}(\\cos\\alpha_{1}+i\\sin\\alpha_{1})$ ។ យើងមាន $$|z_{1}|=r_{1}=\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោមជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $z_{1}=4+4i\\sqrt{3}$ , $z_{2}=4-4i$ និង $z_{3}=-5$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=4+4i\\sqrt{3}$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{4^{2}+\\left(4\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{16+48}=\\sqrt{64}=8$$\nតាង $\\alpha... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=3$ , $z_{2}=-2-2i\\sqrt{3}$ និង $z_{3}=4-4i$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=3$ ៖ ចំនួននេះជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន ដូច្នេះ $|z_{1}|=3$ ហើយគេយកអាគុយម៉ង់ $0$ ។ គេបាន $$z_{1}=3\\left(\\cos 0+i\\sin 0\\right)$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=-\\sqrt{3}+i$ និង $z_{2}=-\\sqrt{3}-i$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=-\\sqrt{3}+i$ ៖\nម៉ូឌុល ៖ $$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=-3\\sqrt{3}-3i$ និង $z_{2}=4$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=-3\\sqrt{3}-3i$ ៖\nម៉ូឌុល ៖ $$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(-3\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{27+9}=\\sqrt{36}=6$$\nអាគុ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោមជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $z_{1}=i$ , $z_{2}=5+5i$ និង $z_{3}=-1+i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=i$ ៖ ចំនួននេះជាចំនួននិមិត្ត ហើយផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន ដូច្នេះ $|z_{1}|=1$ ហើយគេយកអាគុយម៉ង់ $\\frac{\\pi}{2}$ ។ គេបាន $$z_{1}=\\cos\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=-4-4i$ , $z_{2}=-2$ និង $z_{3}=3$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=-4-4i$ ៖\nតាង $z_{1}=r_{1}(\\cos\\alpha_{1}+i\\sin\\alpha_{1})$ ។ យើងមាន $$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(-4\\right)^{2}+\\left(-4\\right... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=1-i$ , $z_{2}=-3+3i\\sqrt{3}$ និង $z_{3}=5$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=1-i$ ៖\nម៉ូឌុល ៖ $$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{1^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha_{1}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=5-5i\\sqrt{3}$ និង $z_{2}=-6$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=5-5i\\sqrt{3}$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{5^{2}+\\left(-5\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{25+75}=\\sqrt{100}=10$$\nតាង $\\alpha_{1}$ ជាអាគុយម៉... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោមជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $z_{1}=2+2i$ , $z_{2}=6$ និង $z_{3}=-2-2i\\sqrt{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=2+2i$ ៖\nតាង $z_{1}=r_{1}(\\cos\\alpha_{1}+i\\sin\\alpha_{1})$ ។ យើងមាន $$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=3\\sqrt{3}+3i$ , $z_{2}=-6-2i\\sqrt{3}$ និង $z_{3}=-5$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=3\\sqrt{3}+3i$ ៖\nម៉ូឌុល ៖ $$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(3\\sqrt{3}\\right)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{27+9}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោមជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $z_{1}=2-2i\\sqrt{3}$ , $z_{2}=-2\\sqrt{2}-2i\\sqrt{2}$ និង $z_{3}=-3+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=2-2i\\sqrt{3}$ ៖\nម៉ូឌុល ៖ $$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោមជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $z_{1}=\\sqrt{3}+3i$ , $z_{2}=-1-i$ និង $z_{3}=1-i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=\\sqrt{3}+3i$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{3+9}=\\sqrt{12}=2\\sqrt{3}$$\nតាង $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោមជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $z_{1}=1+i$ , $z_{2}=4i$ និង $z_{3}=-2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=1+i$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z_{1}=\\sqrt{2}\\left(\\frac{\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោមជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $z_{1}=\\sqrt{3}-i\\sqrt{3}$ , $z_{2}=3\\sqrt{3}+3i$ និង $z_{3}=-5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=\\sqrt{3}-i\\sqrt{3}$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{3}\\right)^... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=2+2i$ , $z_{2}=3-3i$ និង $z_{3}=-3i$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=2+2i$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha_{1}$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z_{1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=5+5i$ , $z_{2}=-5+5i\\sqrt{3}$ និង $z_{3}=4-4i$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=5+5i$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\\sqrt{25+25}=\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោមជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $z_{1}=2+2i\\sqrt{3}$ និង $z_{2}=-2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=2+2i\\sqrt{3}$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{2^{2}+\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $\\alpha_{1}$ ជាអាគុយម៉... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=2-2i\\sqrt{3}$ , $z_{2}=4$ និង $z_{3}=3-i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=2-2i\\sqrt{3}$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nដាក់ម៉ូឌ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=2+2i\\sqrt{3}$ និង $z_{2}=-2+2i$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=2+2i\\sqrt{3}$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{2^{2}+\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $\\alpha_{1}$ ជាអាគុយម៉ង... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=2-2i$ និង $z_{2}=-2i$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=2-2i$ ៖\nម៉ូឌុល ៖ $$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha_{1}=\\frac{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=\\sqrt{3}-i$ និង $z_{2}=3$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=\\sqrt{3}-i$ ៖\nម៉ូឌុល ៖ $$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោមជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $z_{1}=-2-2i\\sqrt{3}$ , $z_{2}=1+i\\sqrt{3}$ និង $z_{3}=5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=-2-2i\\sqrt{3}$ ៖\nតាង $z_{1}=r_{1}(\\cos\\alpha_{1}+i\\sin\\alpha_{1})$ ។ យើងមាន $$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=-2\\sqrt{3}-2i$ , $z_{2}=-2-2i$ និង $z_{3}=-3$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=-2\\sqrt{3}-2i$ ៖\nតាង $z_{1}=r_{1}(\\cos\\alpha_{1}+i\\sin\\alpha_{1})$ ។ យើងមាន $$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=-2\\sqrt{2}-2i\\sqrt{2}$ , $z_{2}=6+2i\\sqrt{3}$ និង $z_{3}=2i$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=-2\\sqrt{2}-2i\\sqrt{2}$ ៖\nតាង $z_{1}=r_{1}(\\cos\\alpha_{1}+i\\sin\\alpha_{1})$ ។ យើងមាន ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោមជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $z_{1}=-1-i$ , $z_{2}=-2-2i$ និង $z_{3}=4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=-1-i$ ៖\nតាង $z_{1}=r_{1}(\\cos\\alpha_{1}+i\\sin\\alpha_{1})$ ។ យើងមាន $$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-1\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=2\\sqrt{3}+2i$ , $z_{2}=\\frac{1}{2}-i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ និង $z_{3}=3$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=2\\sqrt{3}+2i$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=4-4i$ , $z_{2}=6i$ និង $z_{3}=-5-5i$ ។ សរសេរចំនួនទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=4-4i$ ៖\nតាង $z_{1}=r_{1}(\\cos\\alpha_{1}+i\\sin\\alpha_{1})$ ។ យើងមាន $$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{4^{2}+\\left(-4\\right)^{2}}=\\sqrt{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចខាងក្រោមជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $z_{1}=2+2i$ , $z_{2}=-\\sqrt{3}-i\\sqrt{3}$ និង $z_{3}=3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z_{1}=2+2i$ ៖\n$$|z_{1}|=r_{1}=\\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $B=6\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\right)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $B=6\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\rig... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិច $A$ មានម៉ូឌុល $8$ និងអាគុយម៉ង់ $0$ ។ សរសេរ $A$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងបាន $A=8\\left(\\cos 0+i\\sin 0\\right)$ ។\nដោយ $\\cos 0=1$ និង $\\sin 0=0$ នោះ\n$$A=8\\left(1\\right)=8$$\nដូចនេះ ទម្រង់ពីជគណិតគឺ $\\boxed{A=8}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=6\\left(\\cos\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)\\right)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=6\\left(\\cos\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=4\\left(\\cos\\frac{\\pi}{6}+i\\sin\\frac{\\pi}{6}\\right)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=4\\left(\\cos\\frac{\\pi}{6}+i\\sin\\frac{\\pi}{6}\\right)$ ។\nដោយ $\\cos\\frac{\\pi}{6}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ និង $\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ។\nដោយ $\\cos\\frac{2\\pi}{3}=-\\frac{1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=2\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $w$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $w=2\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិច $Z$ មានម៉ូឌុល $8$ និងអាគុយម៉ង់ $\\frac{\\pi}{4}$ ។ សរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងបាន $Z=8\\left(\\cos\\frac{\\pi}{4}+i\\sin\\frac{\\pi}{4}\\right)$ ។\nដោយ $\\cos\\frac{\\pi}{4}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ និង $\\sin\\frac{\\pi}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $Z=2\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $Z=2\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=4\\left(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=4\\left(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=2\\sqrt{2}\\left(\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{5\\pi}{6}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=2\\sqrt{2}\\left(\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $B=10\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $B$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $B=10\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\righ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=4\\left(\\cos\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)\\right)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=4\\left(\\cos\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិច $A$ មានម៉ូឌុល $10$ និងអាគុយម៉ង់ $\\frac{5\\pi}{6}$ ។ សរសេរ $A$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងបាន $A=10\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{6}+i\\sin\\frac{5\\pi}{6}\\right)$ ។\nដោយ $\\cos\\frac{5\\pi}{6}=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ និង $\\sin\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=5\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=5\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $Z=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $Z=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $w=4\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{6}+i\\sin\\frac{5\\pi}{6}\\right)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $w=4\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{6}+i\\sin\\frac{5\\pi}{6}\\right)$ ។\nដោយ $\\cos\\frac{5\\pi}{6}=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ និ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=2\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z=2\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ។\nដោយ $\\cos\\frac{2\\pi}{3}=-\\frac{1}{2}$ និង $\\sin... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.