conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យបំលែង $f$ ភ្ជាប់ចំណុច $M(z)$ ទៅចំណុច $M'(z')$ កំណត់ដោយ $z'=\\left(1+i\\right)z-2+i$ ។\nក. រកចំណុចនឹង $\\Omega$ នៃ $f$ ។\nខ. បង្ហាញថា $z'-z_\\Omega=\\left(1+i\\right)(z-z_\\Omega)$ រួចរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $a=1+i$ ។\nគ. រកចំនួនកុំផ្លិចនៃរូបភាព $A'$ នៃចំណុច $A(-i)$ ។ តើត្រី... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យបំលែង $f$ បំលែងចំណុច $M(z)$ ទៅជាចំណុច $M'(z')$ កំណត់ដោយ $z'=\\left(-1-i\\right)z+2+i$ ។\n១. រកចំណុចនឹង $\\Omega$ នៃ $f$ ។\n២. បង្ហាញថា $z'-z_\\Omega=\\left(-1-i\\right)(z-z_\\Omega)$ រួចរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $a=-1-i$ ។\n៣. រកចំនួនកុំផ្លិចនៃរូបភាព $A'$ នៃចំណុច $A(1+2i)$ ។ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យបំលែង $f$ ឱ្យត្រូវចំណុច $M(z)$ នឹងចំណុច $M'(z')$ កំណត់ដោយ $z'=\\left(1+i\\sqrt{3}\\right)z-2\\sqrt{3}+i\\sqrt{3}$ ។\nក- រកចំណុចនឹង $\\Omega$ នៃ $f$ ។\nខ- បង្ហាញថា $z'-z_\\Omega=\\left(1+i\\sqrt{3}\\right)(z-z_\\Omega)$ រួចរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $a=1+i\\sqrt{3}$ ។\nគ- រកចំន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យបំលែង $f$ ភ្ជាប់ចំណុច $M(z)$ ទៅចំណុច $M'(z')$ កំណត់ដោយ $z'=\\left(1+i\\right)z+2-2i$ ។\nក. រកចំណុចនឹង $\\Omega$ នៃ $f$ ។\nខ. បង្ហាញថា $z'-z_\\Omega=\\left(1+i\\right)(z-z_\\Omega)$ រួចរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $a=1+i$ ។\nគ. រកចំនួនកុំផ្លិចនៃរូបភាព $A'$ នៃចំណុច $A(2+4i)$ ។ តើត... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យបំលែង $f$ ឱ្យត្រូវចំណុច $M(z)$ នឹងចំណុច $M'(z')$ កំណត់ដោយ $z'=\\left(\\sqrt{3}-i\\right)z+2-2\\sqrt{3}+2i$ ។\n១. រកចំណុចនឹង $\\Omega$ នៃ $f$ ។\n២. បង្ហាញថា $z'-z_\\Omega=\\left(\\sqrt{3}-i\\right)(z-z_\\Omega)$ រួចរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $a=\\sqrt{3}-i$ ។\n៣. រកចំនួនកុំផ្លិ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យបំលែង $f$ ឱ្យត្រូវចំណុច $M(z)$ នឹងចំណុច $M'(z')$ កំណត់ដោយ $z'=\\left(\\sqrt{3}-i\\right)z-2+\\left(2-2\\sqrt{3}\\right)i$ ។\nក- រកចំណុចនឹង $\\Omega$ នៃ $f$ ។\nខ- បង្ហាញថា $z'-z_\\Omega=\\left(\\sqrt{3}-i\\right)(z-z_\\Omega)$ រួចរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $a=\\sqrt{3}-i$ ។\nគ-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យបំលែង $f$ បំលែងចំណុច $M(z)$ ទៅជាចំណុច $M'(z')$ កំណត់ដោយ $z'=\\left(1+i\\sqrt{3}\\right)z-2\\sqrt{3}-2i\\sqrt{3}$ ។\nក. រកចំណុចនឹង $\\Omega$ នៃ $f$ ។\nខ. បង្ហាញថា $z'-z_\\Omega=\\left(1+i\\sqrt{3}\\right)(z-z_\\Omega)$ រួចរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $a=1+i\\sqrt{3}$ ។\nគ. រកចំនួ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យបំលែង $f$ ឱ្យត្រូវចំណុច $M(z)$ នឹងចំណុច $M'(z')$ កំណត់ដោយ $z'=\\left(\\sqrt{3}-i\\right)z+\\sqrt{3}-\\left(2-\\sqrt{3}\\right)i$ ។\nក. រកចំណុចនឹង $\\Omega$ នៃ $f$ ។\nខ. បង្ហាញថា $z'-z_\\Omega=\\left(\\sqrt{3}-i\\right)(z-z_\\Omega)$ រួចរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $a=\\sqrt{3}-i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យបំលែង $f$ ឱ្យត្រូវចំណុច $M(z)$ នឹងចំណុច $M'(z')$ កំណត់ដោយ $z'=\\left(1-i\\sqrt{3}\\right)z+\\sqrt{3}-2i\\sqrt{3}$ ។\nក. រកចំណុចនឹង $\\Omega$ នៃ $f$ ។\nខ. បង្ហាញថា $z'-z_\\Omega=\\left(1-i\\sqrt{3}\\right)(z-z_\\Omega)$ រួចរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $a=1-i\\sqrt{3}$ ។\nគ. រកចំន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យបំលែង $f$ ឱ្យត្រូវចំណុច $M(z)$ នឹងចំណុច $M'(z')$ កំណត់ដោយ $z'=\\left(\\frac{1}{2}+\\frac{\\sqrt{3}}{2}i\\right)z-\\frac{\\sqrt{3}}{2}-\\frac{1}{2}-\\left(\\frac{1}{2}-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)i$ ។\nក- រកចំណុចនឹង $\\Omega$ នៃ $f$ ។\nខ- បង្ហាញថា $z'-z_\\Omega=\\left(\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+8z^{2}+24z+32$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\n១. គណនា $P(-4)$ ។\n២. រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z+4\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\n៤. តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-6z^{2}+10z-8$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\nក- គណនា $P(4)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z-4\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាពន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-3z^{2}-15z-91$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\n១. គណនា $P(7)$ ។\n២. រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z-7\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\n៤. តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាព... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-7z^{2}+19z-13$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\n១. គណនា $P(1)$ ។\n២. រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z-1\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\n៤. តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាព... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-8z^{2}+24z-32$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\nក- គណនា $P(4)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z-4\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាព... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-8z^{2}+21z-20$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\n១. គណនា $P(4)$ ។\n២. រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z-4\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\n៤. តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាព... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-2z^{2}+2z$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\nក- គណនា $P(0)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាពនៃ $z_... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-7z^{2}+17z-15$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\n១. គណនា $P(3)$ ។\n២. រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z-3\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\n៤. តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាព... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-15z^{2}+67z-117$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\nក- គណនា $P(9)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z-9\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+3z^{2}+z-5$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\nក. គណនា $P(1)$ ។\nខ. រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z-1\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ. តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាពនៃ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-11z^{2}+40z-50$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\nក- គណនា $P(5)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z-5\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-6z^{2}+18z-40$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\nក- គណនា $P(4)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z-4\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាព... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+5z^{2}+9z+5$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\nក. គណនា $P(-1)$ ។\nខ. រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z+1\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ. តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាពន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+3z^{2}+9z-13$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\nក- គណនា $P(1)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z-1\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាពន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-6z^{2}+18z$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\n១. គណនា $P(0)$ ។\n២. រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\n៤. តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាពនៃ $z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+7z^{2}+17z+15$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\nក. គណនា $P(-3)$ ។\nខ. រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z+3\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ. តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+4z^{2}+8z$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\nក- គណនា $P(0)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាពនៃ $z_... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-9z^{2}+33z-65$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\nក- គណនា $P(5)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z-5\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាព... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-5z^{2}+8z-6$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\nក- គណនា $P(3)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z-3\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាពនៃ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-9z^{2}+19z-35$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\nក- គណនា $P(7)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z-7\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាព... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-10z^{2}+32z-48$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\nក. គណនា $P(6)$ ។\nខ. រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z-6\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ. តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+6z+20$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\n១. គណនា $P(-2)$ ។\n២. រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z+2\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\n៤. តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាពនៃ $z_1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-9z^{2}+24z-70$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\nក. គណនា $P(7)$ ។\nខ. រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z-7\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ. តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាព... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+z^{2}-2$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\nក- គណនា $P(1)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\beta$ និង $\\gamma$ ដើម្បីឱ្យ $P(z)=\\left(z-1\\right)\\left(z^{2}+\\beta z+\\gamma\\right)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- តាង $A,\\ B,\\ C$ ជារូបភាពនៃ $z_... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=\\sqrt{6}+i\\sqrt{2}$ និង $z_{2}=1-i$ ។\n១. សរសេរ $z_{1}$ និង $z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\n២. គណនា $Z=\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត និងជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\n៣. ទាញរកតម្លៃនៃ $\\cos\\frac{5\\pi}{12}$ , $\\sin\\frac{5\\pi}{12}$ និង $\\tan\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $(E):\\ z^{2}-(1+3i)z-2+2i=0$ ។\nក. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $(1-i)^{2}=-2i$ រួចដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nខ. តាង $z_{1}$ ជាឫសដែលមានផ្នែកពិតខុសពីសូន្យ និង $z_{2}$ ជាឫសមួយទៀត ។ សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. គណន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $\\theta$ ជាចំនួនពិត ដែល $-\\pi<\\theta<\\pi$ និង $z=1+\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ។\n១. បង្ហាញថា $z=2\\cos\\frac{\\theta}{2}\\left(\\cos\\frac{\\theta}{2}+i\\sin\\frac{\\theta}{2}\\right)$ ។\n២. ទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។\n៣. អនុវត្ត ៖ យក $\\theta=\\frac{\\pi}{2}$ រ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=1+\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ដែល $\\pi<\\theta<2\\pi$ ។\nក. បង្ហាញថា $\\cos\\frac{\\theta}{2}<0$ រួចសរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. ផ្ទៀងផ្ទាត់លទ្ធផលនេះចំពោះ $\\theta=\\frac{4\\pi}{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ដោយ $\\pi<\\theta<2\\pi$ យើងបាន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $n$ ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ។\n១. សរសេរ $1+i\\sqrt{3}$ និង $1-i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\n២. បង្ហាញថា $\\left(1+i\\sqrt{3}\\right)^{n}+\\left(1-i\\sqrt{3}\\right)^{n}=2^{n+1}\\cos\\frac{n\\pi}{3}$ ។\n៣. ទាញរកតម្លៃនៃ $\\left(1+i\\sqrt{3}\\right)^{9}+\\left(1-i\\sqrt{3}\\ri... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{5}=1$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nក. ដោះស្រាយសមីការនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{5}+i\\sin\\frac{2\\pi}{5}$ ។ បង្ហាញថា $\\omega^{4}+\\omega^{3}+\\omega^{2}+\\omega+1=0$ ។\nគ. តាង $t=\\omega+\\frac{1}{\\omega}$ ។ បង្ហាញថា $t^{2}+t-1=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. ដោយប្រើរូបមន្តដឺម័រ បង្ហាញថា $\\cos 3\\theta=4\\cos^{3}\\theta-3\\cos\\theta$ ។\n២. ដោះស្រាយសមីការ $\\cos 3\\theta=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ។\n៣. ទាញរកឫសទាំងបីនៃសមីការ $4x^{3}-3x=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. តាមរូបមន្តដឺម័រ $(\\cos\\theta... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោយពន្លាត $(\\cos\\theta+i\\sin\\theta)^{3}$ បង្ហាញថា $\\tan 3\\theta=\\frac{3\\tan\\theta-\\tan^{3}\\theta}{1-3\\tan^{2}\\theta}$ ។\nខ. យក $\\theta=\\frac{\\pi}{12}$ និងតាង $t=\\tan\\frac{\\pi}{12}$ ។ បង្ហាញថា $t^{3}-3t^{2}-3t+1=0$ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃនៃ $\\tan\\frac{\\pi}{12}$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{6}-9z^{3}+8=0$ ។\n១. ដោយតាង $u=z^{3}$ រកតម្លៃរបស់ $u$ ។\n២. ដោះស្រាយសមីការដើមក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\n៣. បង្ហាញថា ផលគុណនៃឫសទាំងប្រាំមួយស្មើ $8$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. សមីការក្លាយជា $u^{2}-9u+8=0$ គឺ $(u-1)(u-8)=0$ ។ ដូច្នេះ $u=1$ ឬ $u=8... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. សរសេរ $-4$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចដោះស្រាយសមីការ $z^{4}+4=0$ ។\nខ. ដៅរូបភាពនៃឫសទាំងនោះក្នុងប្លង់កុំផ្លិច រួចបង្ហាញថាជាកំពូលនៃការេមួយ ។\nគ. ទាញបង្ហាញថា $z^{4}+4=\\left(z^{2}-2z+2\\right)\\left(z^{2}+2z+2\\right)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. យើងមាន $-4=4(\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $\\left(\\frac{z+i}{z-i}\\right)^{4}=1$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ដែល $z\\neq i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $u=\\frac{z+i}{z-i}$ ។ សមីការក្លាយជា $u^{4}=1$ ដែលមានឫសបួន ៖ $u=1$ , $u=i$ , $u=-1$ , $u=-i$ ។\nពីនិយមន័យនៃ $u$ យើងទាញ $z$ មកវិញ ។\n• $u... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha$ ដែល $0<\\alpha<2\\pi$ ។\n១. បង្ហាញថា $1+z=2\\cos\\frac{\\alpha}{2}\\left(\\cos\\frac{\\alpha}{2}+i\\sin\\frac{\\alpha}{2}\\right)$ ។\n២. បង្ហាញថា $1-z=-2i\\sin\\frac{\\alpha}{2}\\left(\\cos\\frac{\\alpha}{2}+i\\sin\\frac{\\alpha}{2}\\right)$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $Z=\\frac{\\left(\\sqrt{3}+i\\right)^{7}}{(1+i)^{10}}$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $Z$ រួចសរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បើពន្លាតនឹងវែងពេក យើងប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។ យើងមាន\n$$\\sqrt{3}+i=2\\left(\\cos\\frac{\\pi}{6}+i\\sin\\frac{\\pi... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $u=\\frac{\\sqrt{3}+i}{1-i}$ ។\nក. សរសេរ $u$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. រកគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ ដែល $u^{n}$ ជាចំនួនពិត ។\nគ. រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដែល $u^{n}$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន រួចគណនា $u^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ភាគយកមានម៉ូឌុ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x>0$ , $y>0$ និង $z^{2}=1+i$ ។\n១. សរសេរ $1+i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចបង្ហាញថា អាគុយម៉ង់នៃ $z$ គឺ $\\frac{\\pi}{8}$ ។\n២. ដោយប្រើ $x^{2}-y^{2}$ និង $x^{2}+y^{2}$ រកតម្លៃ $x^{2}$ និង $y^{2}$ ។\n៣. ទាញរកតម្លៃនៃ $\\cos\\frac{\\pi}{8}$ និង $\\sin\\frac{\\pi}{8}$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ គណនា $(1+i)^{10}$ ។\nខ. ពន្លាត $(1+i)^{10}$ តាមទ្វេធាញូតុន រួចទាញរកតម្លៃនៃ\n$$A=1-45+210-210+45-1\\quad\\text{និង}\\quad B=10-120+252-120+10$$\nបង្ហាញថា $A$ និង $B$ ជាផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $(1+i)^{10}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value":... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}$ ។\n១. បង្ហាញថា $\\omega^{3}=1$ និង $1+\\omega+\\omega^{2}=0$ ។\n២. បង្ហាញថា ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $a$ , $b$ , $c$ ៖ $(a+b+c)\\left(a+b\\omega+c\\omega^{2}\\right)\\left(a+b\\omega^{2}+c\\omega\\right)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{\\pi}{3}+i\\sin\\frac{\\pi}{3}$ ។\nក. បង្ហាញថា $\\omega^{k}$ ដែល $k=0,1,\\ldots,5$ ជាឫសទាំងអស់នៃ $z^{6}-1=0$ ។\nខ. ទាញបង្ហាញថា $(1-\\omega)\\left(1-\\omega^{2}\\right)\\left(1-\\omega^{3}\\right)\\left(1-\\omega^{4}\\right)\\left(1-\\omega^{5}\\right)=6$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $M_{n}$ ជារូបភាពនៃ $z_{n}=(1+i)^{n}$ ដែល $n$ ជាចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមាន ។\n១. គណនា $z_{0}$ , $z_{1}$ , $z_{2}$ , $z_{3}$ និង $z_{4}$ រួចដៅចំណុចទាំងនោះ ។\n២. បង្ហាញថា $z_{n+1}-z_{n}=iz_{n}$ ។ ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OM_{n}M_{n+1}$ ។\n៣. រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមាន $z_{1}=-1+i$ និង $z_{2}=1+i\\sqrt{3}$ ។\nក. គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z_{1}$ , $z_{2}$ ។\nគ. សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោយយកអាគុយម៉ង់ក្នុងចន្លោះ $(-\\pi,\\pi]$ ។\nឃ. ទាញរកតម្លៃនៃ $\\cos\\frac{11\\pi}{12}$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{2}-2z\\cos\\theta+1=0$ ដែល $0<\\theta<\\pi$ ។\n១. ដោះស្រាយសមីការនេះក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ហើយសរសេរឫសជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\n២. បង្ហាញថា $z_{1}^{n}+z_{2}^{n}=2\\cos n\\theta$ ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ ។\n៣. អនុវត្ត ៖ បើ $z_{1}$ , $z_{2}$ ជាឫសនៃ $z^{2}-\\sqrt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $z^{2}-2iz-2=0$ ។\nក. ដោះស្រាយសមីការនេះ ។ តាង $z_{1}$ ជាឫសដែលមានផ្នែកពិតវិជ្ជមាន និង $z_{2}$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ និង $z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ តាមពីរវិធី ។\nឃ. គណនា $z_{1}^{10}+z_{2}^{10}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{4}-z^{2}+1=0$ ។\n១. ដោយតាង $u=z^{2}$ រក $u$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\n២. ទាញរកឫសទាំងបួននៃសមីការ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. បង្ហាញថា ឫសនីមួយៗផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{12}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. $u^{2}-u+1=0$ មាន $\\Delta=-3=\\left(i\\sqrt{3}\\right)^{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}$ និង $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ។ ដោយពិនិត្យ $z+z\\omega+z\\omega^{2}$ បង្ហាញថា $\\cos\\theta+\\cos\\left(\\theta+\\frac{2\\pi}{3}\\right)+\\cos\\left(\\theta+\\frac{4\\pi}{3}\\right)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ដែល $0<\\theta<2\\pi$ ។\n១. បង្ហាញថា $z^{n}-1=2i\\sin\\frac{n\\theta}{2}\\left(\\cos\\frac{n\\theta}{2}+i\\sin\\frac{n\\theta}{2}\\right)$ ។\n២. ដោយប្រើ $z+z^{2}+z^{3}=\\frac{z\\left(z^{3}-1\\right)}{z-1}$ ទាញបង្ហាញថា $\\cos\\theta+\\cos 2\\the... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពនៃ $z_{A}=1+2i$ និង $z_{B}=4+3i$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិច $z_{C}$ និង $z_{D}$ ដែល $ABCD$ ជាការេ ហើយកំពូលរៀបតាមទិសច្រាសទ្រនិចនាឡិកា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ការគុណនឹង $i$ បង្វិលវ៉ិចទ័រមួយមុំ $\\frac{\\pi}{2}$ ដោយមិនប្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពនៃ $z_{A}=1+i$ និង $z_{B}=3+i$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិច $z_{C}$ ដែល $ABC$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ត្រីកោណសម័ង្សមាន $AC=AB$ និងមុំ $BAC$ ស្មើ $\\frac{\\pi}{3}$ ។ ដូច្នេះ $z_{C}-z_{A}$ បានមកពី $z_{B}-z_{A}$ ដោយគុណនឹង $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\alpha$ ជាចំនួនពិត ដែល $\\cos\\alpha\\neq0$ ។\nក. បង្ហាញថា $\\frac{1+i\\tan\\alpha}{1-i\\tan\\alpha}=\\cos 2\\alpha+i\\sin 2\\alpha$ ។\nខ. ទាញបង្ហាញថា $\\left(\\frac{1+i\\tan\\alpha}{1-i\\tan\\alpha}\\right)^{n}=\\frac{1+i\\tan n\\alpha}{1-i\\tan n\\alpha}$ ចំពោះ $n$ ដែល $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=-5$ , $z_{2}=3i$ និង $z_{3}=-2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនទាំងបីនេះនៅលើអ័ក្សមួយក្នុងចំណោមអ័ក្សទាំងពីរ ដូច្នេះមិនចាំបាច់គណនាច្រើនទេ ។\n• $z_{1}=-5$ នៅលើអ័ក្សពិតខាងអវិជ្ជមាន ៖ $|z_{1}|=5$ និងអាគុយម៉ង់គឺ $\\pi+2k\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សិស្សម្នាក់សរសេរថា $-1-i=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{4}+i\\sin\\frac{\\pi}{4}\\right)$ ព្រោះ $\\tan\\alpha=\\frac{-1}{-1}=1$ ។ តើគាត់ខុសត្រង់ណា ? សរសេរចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល $\\sqrt{2}$ ត្រឹមត្រូវ ។ ចំណុចខុសគឺការកំណត់មុំដោយប... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ពិនិត្យសមភាព $1-i\\sqrt{3}=2\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ។ តើវាត្រឹមត្រូវឬទេ ? បើមិនត្រឹមត្រូវ សូមកែ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាអង្គខាងស្ដាំ ៖\n$$2\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)=2\\left(-\\frac{1}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ស្រាយបញ្ជាក់ថា $(\\cos a+i\\sin a)(\\cos b+i\\sin b)=\\cos(a+b)+i\\sin(a+b)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតអង្គខាងឆ្វេង ហើយប្រើ $i^{2}=-1$ ៖\n$$(\\cos a+i\\sin a)(\\cos b+i\\sin b)=\\cos a\\cos b-\\sin a\\sin b+i(\\sin a\\cos b+\\cos a\\sin b)$$\nតាមរូបមន្តផ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=r_{1}(\\cos\\alpha_{1}+i\\sin\\alpha_{1})$ និង $z_{2}=r_{2}(\\cos\\alpha_{2}+i\\sin\\alpha_{2})$ ដែល $r_{1},r_{2}>0$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់រូបមន្តផលចែក $\\frac{z_{1}}{z_{2}}=\\frac{r_{1}}{r_{2}}\\left[\\cos(\\alpha_{1}-\\alpha_{2})+i\\sin(\\alpha_{1}-\\alpha_{2})\\right]$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ស្រាយបញ្ជាក់ដោយវិចារកំណើនថា $(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)^{n}=\\cos n\\alpha+i\\sin n\\alpha$ ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $n=1$ សមភាពពិតជាក់ស្ដែង ។\nឧបមាថាសមភាពពិតចំពោះ $n=m$ ។ គុណអង្គទាំងពីរនឹង $\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha$ ៖... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយដឹងថារូបមន្តដឺម័រពិតចំពោះចំនួនគត់វិជ្ជមាន បង្ហាញថាវាពិតដែរចំពោះនិទស្សន្តអវិជ្ជមាន $-n$ ។ រួចគណនា $\\left(\\cos\\frac{\\pi}{6}+i\\sin\\frac{\\pi}{6}\\right)^{-3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន\n$$(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)^{-n}=\\frac{1}{\\cos n\\alpha+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ បង្ហាញថា $|z_{1}z_{2}|=|z_{1}|\\times|z_{2}|$ ។ អនុវត្តដើម្បីគណនា $\\left|\\left(3+4i\\right)\\left(1-i\\sqrt{3}\\right)\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z_{1}=r_{1}(\\cos\\alpha_{1}+i\\sin\\alpha_{1})$ និង $z_{2}=r_{2}(\\cos\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ។ បង្ហាញថា $|z|=1$ និង $\\frac{1}{z}=\\overline{z}$ ។ រួចគណនា $\\frac{1}{z}$ ពេល $\\theta=\\frac{\\pi}{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $|z|=\\sqrt{\\cos^{2}\\theta+\\sin^{2}\\theta}=1$ ។\nម្យ៉ាងទៀត $z\\times\\overline{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $(1+i)^{2}$ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $(1+i)^{12}$ ដោយមិនប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់លទ្ធផលដោយរូបមន្តដឺម័រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i$ ។ ដូច្នេះ $(1+i)^{12}=(2i)^{6}=2^{6}i^{6}=64\\times(-1)=-64$ ។\nផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖ $1+i=\\sqrt{2}\\left... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ គណនា $i^{2026}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$i=\\cos\\frac{\\pi}{2}+i\\sin\\frac{\\pi}{2}$ ។ តាមរូបមន្តដឺម័រ ៖\n$$i^{2026}=\\cos 1013\\pi+i\\sin 1013\\pi$$\nដោយ $1013$ ជាចំនួនសេស $\\cos 1013\\pi=-1$ និង $\\sin 1013\\pi=0$ ។\nដូច... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}$ មានម៉ូឌុល $2$ និងអាគុយម៉ង់ $\\frac{\\pi}{3}$ ។ ចំនួនកុំផ្លិច $z_{2}$ មានម៉ូឌុល $3$ និងអាគុយម៉ង់ $\\frac{\\pi}{6}$ ។ សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណម៉ូឌុលនឹងម៉ូឌុល ៖ $2\\times 3=6$ ។ បូកអាគុយម៉ង់ ៖ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $\\left(\\cos\\frac{\\pi}{9}+i\\sin\\frac{\\pi}{9}\\right)^{3}$ និង $\\left(\\cos\\frac{\\pi}{18}+i\\sin\\frac{\\pi}{18}\\right)^{6}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុំ $\\frac{\\pi}{9}$ មិនមែនជាមុំស្គាល់ទេ ប៉ុន្តែរូបមន្តដឺម័របំប្លែងវាទៅជាមុំស្គាល... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សម្រួលកន្សោម $E=\\frac{(\\cos\\theta+i\\sin\\theta)^{5}}{(\\cos 2\\theta-i\\sin 2\\theta)^{2}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ភាគយកស្មើ $\\cos 5\\theta+i\\sin 5\\theta$ តាមរូបមន្តដឺម័រ ។\nសម្រាប់ភាគបែង ត្រូវកែជារាងត្រឹមត្រូវសិន ៖ $\\cos 2\\theta-i\\sin 2\\theta=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $P=(\\cos\\theta+i\\sin\\theta)^{3}(\\sin\\theta+i\\cos\\theta)$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "កត្តាទីពីរមិនមែនជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រទេ ព្រោះស៊ីនុសនៅមុខ ។ ដោយ $\\sin\\theta=\\cos\\left(\\frac{\\pi}{2}-\\theta\\right)$ និង $\\cos\\theta=\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ $z+\\frac{1}{z}=\\sqrt{3}$ ។ រក $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z^{6}+\\frac{1}{z^{6}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណនឹង $z\\neq0$ ៖ $z^{2}-\\sqrt{3}z+1=0$ ។ ឌីសគ្រីមីណង់ $\\Delta=3-4=-1=i^{2}$ ។ ឫសគឺ\n$$z=\\frac{\\sqrt{3}\\pm i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេដឹងថា $z+\\frac{1}{z}=1$ ។ គណនា $z^{2025}+\\frac{1}{z^{2025}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ទម្រង់ដែលសមីការនេះមាន ៖ $z^{2}-z+1=0$ មាន $\\Delta=-3=\\left(i\\sqrt{3}\\right)^{2}$ ។ ឫសគឺ $z=\\frac{1\\pm i\\sqrt{3}}{2}=\\cos\\frac{\\pi}{3}\\pm i\\sin\\frac{\\pi}{3}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យ $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ដែល $z+\\frac{1}{z}=-\\sqrt{2}$ ។ បង្ហាញថា $z^{8}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការសមមូលនឹង $z^{2}+\\sqrt{2}z+1=0$ ។ យើងមាន $\\Delta=2-4=-2=\\left(i\\sqrt{2}\\right)^{2}$ ។ ឫសគឺ\n$$z=\\frac{-\\sqrt{2}\\pm i\\sqrt{2}}{2}=\\cos\\frac{3\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទីបីនៃ $8$ រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ថា ផលបូករបស់ពួកវាស្មើ $0$ និងផលគុណស្មើ $8$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សរសេរ $8=8(\\cos 0+i\\sin 0)$ ។ ឫសទីបីមានម៉ូឌុល $2$ និងអាគុយម៉ង់ $\\frac{2k\\pi}{3}$ ៖\n$$z_{0}=2,\\quad z_{1}=2\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃ $i$ តាមពីរវិធី ៖ ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និងទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "វិធីទី១ ៖ $i=\\cos\\frac{\\pi}{2}+i\\sin\\frac{\\pi}{2}$ ។ ឫសការេមានម៉ូឌុល $1$ និងអាគុយម៉ង់ $\\frac{\\pi}{4}+k\\pi$ ។ យើងបាន $\\frac{\\sqrt{2}}{2}+i\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}=-8i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃ $-8i$ គឺ $8\\left[\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)\\right]$ ។\nតាង $z=\\rho(\\cos\\beta+i\\sin\\beta)$ ។ យើងបាន $\\rho^{2}=8$ និង $2\\beta=-\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{3}+1=0$ ដោយដាក់ជាកត្តា រួចផ្ទៀងផ្ទាត់តាមទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដាក់ជាកត្តា ៖ $z^{3}+1=(z+1)\\left(z^{2}-z+1\\right)$ ។ កត្តាទីពីរមាន $\\Delta=-3=\\left(i\\sqrt{3}\\right)^{2}$ ។ ឫសគឺ $-1$ និង $\\frac{1\\pm i\\sqrt{3}}{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}+1=0$ រួចទាញបង្ហាញថា $x^{4}+1=\\left(x^{2}-\\sqrt{2}x+1\\right)\\left(x^{2}+\\sqrt{2}x+1\\right)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$-1=\\cos\\pi+i\\sin\\pi$ ។ ឫសទីបួនមានម៉ូឌុល $1$ និងអាគុយម៉ង់ $\\frac{\\pi}{4}+\\frac{k\\pi}{2}$ ។ យើងបាន\n$$z=\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា បើ $z^{n}=1$ ដែល $n$ ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះ $|z|=1$ ។ តើចំនួន $\\frac{3}{5}+\\frac{4}{5}i$ ដែលមានម៉ូឌុល $1$ ត្រូវតែជាឫសទី $n$ នៃ $1$ ឬទេ ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យកម៉ូឌុលនៃអង្គទាំងពីរ ៖ $|z|^{n}=1$ ។ ដោយ $|z|$ ជាចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមាន យើងបាន $|z|=1$ ។\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$ ដែល $-\\pi<\\theta<\\pi$ ។ បង្ហាញថា $\\frac{z-1}{z+1}$ ជាចំនួននិមិត្ត ។ គណនាវាពេល $\\theta=\\frac{\\pi}{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $\\overline{z}+1$ ។ ដោយ $z\\overline{z}=1$ ៖\n$$\\frac{z-1}{z+1}=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំណុច $A$ និង $B$ ជារូបភាពនៃ $z_{1}=2+i$ និង $z_{2}=-1+2i$ ។ គណនា $\\frac{z_{2}}{z_{1}}$ រួចបង្ហាញថា $OA$ កែងនឹង $OB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2-i$ ៖\n$$\\frac{z_{2}}{z_{1}}=\\frac{(-1+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\\frac{-2+i+4i-2i^{2}}{5... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_{1}=1+i\\sqrt{3}$ និង $z_{2}=-2-2i\\sqrt{3}$ ។ តើចំណុច $O$ , $A(z_{1})$ និង $B(z_{2})$ នៅលើបន្ទាត់តែមួយឬទេ ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពិនិត្យផលចែក ៖ $z_{2}=-2\\left(1+i\\sqrt{3}\\right)=-2z_{1}$ ដូច្នេះ $\\frac{z_{2}}{z_{1}}=-2$ ជាចំនួនពិត ។\nអាគុយម៉ង់... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកគ្រប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ ដែល $(1+i)^{n}=(1-i)^{n}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $1-i\\neq0$ សមីការសមមូលនឹង $\\left(\\frac{1+i}{1-i}\\right)^{n}=1$ ។\nគណនា ៖ $\\frac{1+i}{1-i}=\\frac{(1+i)^{2}}{2}=\\frac{2i}{2}=i$ ។ សមីការក្លាយជា $i^{n}=1$ ។\nដោយ $i=\\cos\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $\\left(-1+i\\sqrt{3}\\right)^{3}=8$ រួចគណនា $\\left(-1+i\\sqrt{3}\\right)^{15}+\\left(-1-i\\sqrt{3}\\right)^{15}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$-1+i\\sqrt{3}=2\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ។ តាមរូបមន្តដឺម័រ $\\left(-1+i\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេដឹងថា $\\cos 5\\theta=16\\cos^{5}\\theta-20\\cos^{3}\\theta+5\\cos\\theta$ ជាលទ្ធផលនៃរូបមន្តដឺម័រ ។ ដោយយក $\\theta=\\frac{\\pi}{10}$ រកតម្លៃនៃ $\\cos^{2}\\frac{\\pi}{10}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពេល $\\theta=\\frac{\\pi}{10}$ យើងមាន $\\cos 5\\theta=\\cos\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយប្រើរូបមន្តដឺម័រ សរសេរ $\\cos 4\\theta$ ជាអនុគមន៍នៃ $\\cos\\theta$ តែមួយគត់ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យកផ្នែកពិតនៃ $(\\cos\\theta+i\\sin\\theta)^{4}$ ៖\n$$\\cos 4\\theta=\\cos^{4}\\theta-6\\cos^{2}\\theta\\sin^{2}\\theta+\\sin^{4}\\theta$$\nតាង $c=\\cos\\th... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $\\frac{\\sin 4\\theta}{\\sin\\theta}=8\\cos^{3}\\theta-4\\cos\\theta$ ចំពោះ $\\sin\\theta\\neq0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យកផ្នែកនិមិត្តនៃ $(\\cos\\theta+i\\sin\\theta)^{4}$ ៖\n$$\\sin 4\\theta=4\\cos^{3}\\theta\\sin\\theta-4\\cos\\theta\\sin^{3}\\t... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយសរសេរ $\\sqrt{3}+i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រកតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃ $f(x)=\\sqrt{3}\\cos x+\\sin x$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $\\sqrt{3}+i=2\\left(\\cos\\frac{\\pi}{6}+i\\sin\\frac{\\pi}{6}\\right)$ ។ ដូច្នេះ $\\sqrt{3}=2\\cos\\frac{\\pi}{6}$ និង $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{1+i\\tan\\frac{\\pi}{6}}{1-i\\tan\\frac{\\pi}{6}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\tan\\frac{\\pi}{6}=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ យើងគុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $\\cos\\frac{\\pi}{6}$ ៖\n$$\\frac{\\cos\\frac{\\pi}{6}+i\\sin\\frac{\\pi}{6}}{\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $\\left(\\frac{1+i}{1-i}\\right)^{2026}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សម្រួលកន្សោមក្នុងវង់ក្រចកសិន ៖ $\\frac{1+i}{1-i}=\\frac{(1+i)^{2}}{(1-i)(1+i)}=\\frac{2i}{2}=i$ ។\nដូច្នេះកន្សោមស្មើ $i^{2026}$ ។ ដោយ $2026=4\\times 506+2$ យើងបាន $i^{2026}=i^... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $0<\\theta<\\frac{\\pi}{2}$ ។ សរសេរ $z=\\sin\\theta-i\\cos\\theta$ និង $w=-\\cos\\theta-i\\sin\\theta$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនទាំងពីរមានម៉ូឌុល $1$ ព្រោះ $\\sin^{2}\\theta+\\cos^{2}\\theta=1$ ។\nសម្រាប់ $z$ យើងប្រើ $\\sin\\the... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $0<\\theta<\\pi$ ។ សរសេរ $z=\\sin\\theta+i(1-\\cos\\theta)$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រើរូបមន្តមុំពីរដង $\\sin\\theta=2\\sin\\frac{\\theta}{2}\\cos\\frac{\\theta}{2}$ និង $1-\\cos\\theta=2\\sin^{2}\\frac{\\theta}{2}$ ៖\n$$z=2\\sin\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $Z=(1+i)\\left(1+i\\sqrt{3}\\right)\\left(\\sqrt{3}+i\\right)$ រួចសរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "កត្តាទាំងបីមានទម្រង់ ៖\n$$1+i=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{4}+i\\sin\\frac{\\pi}{4}\\right),\\ 1+i\\sqrt{3}=2\\le... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.