question stringlengths 16 1.6k | solution stringlengths 3 2.73k | answer stringlengths 0 168 | bloom_taxonomy listlengths 1 4 |
|---|---|---|---|
จงหาการแทนค่าฐาน 4 ของจำนวนฐาน 2 $11011000_2$ | แทนที่จะแปลงเป็นฐาน 10 แล้วจึงแปลงเป็นฐาน 4 เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $2^2=4$ เราได้ $11011000_2=1\cdot2^7+1\cdot2^6+1\cdot2^4+1\cdot2^3$ $=2\cdot(2^2)^3+1\cdot(2^2)^3+1\cdot(2^2)^2+2\cdot(2^2)^1$ $=3\cdot4^3+1\cdot4^2+2\cdot4^1+0\cdot4^0=\boxed{3120_4}$. | =3\cdot4^3+1\cdot4^2+2\cdot4^1+0\cdot4^0=\boxed{3120_4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของพิกัดจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย $(6, 12)$ และ $(0, -6)$ | จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ คือ $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.
ดังนั้น จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงคือ $\left(\frac{6+0}{2}, \frac{12+(-6)}{2}\right)$, ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $(3,3)$. ผลรวมของพิกัดเหล่านี้คือ $\boxed{6}$. | \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับจำนวนเต็มประกอบ $n$ ทั้งหมด จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่หารผลต่างระหว่าง $n$ กับกำลังสามของ $n$ ได้เสมอ | สังเกตว่า $n^3 - n$ หาค่าได้เป็น $n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n-1)n(n+1)$ เราสังเกตว่าในจำนวนเต็มสามจำนวนที่เรียงกันติดกัน จะมีอย่างน้อยหนึ่งจำนวนที่หารด้วย $2$ ได้ และอย่างน้อยหนึ่งจำนวนที่หารด้วย $3$ ได้ ดังนั้นเราทราบว่า $6$ ต้องหาร $n^3 - n$ ได้เสมอ ในความเป็นจริง นี่คือจำนวนเต็มที่มากที่สุด; สำหรับ $n = 6$ จะได้ $n^3... | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $t(x) = 3x-8$ และ $s(t(x)) = x^2 + 3x - 2$ จงหา $s(1)$ | เราไม่ทราบ $s(x)$ ดังนั้นเราจึงไม่มีนิพจน์ที่สามารถแทนค่า $1$ เข้าไปเพื่อหาคำตอบได้ อย่างไรก็ตาม เราทราบว่า $s(t(x)) = x^2 +3x-2$ ดังนั้น หากเราสามารถหาค่า $x$ ที่ทำให้ $t(x) = 1$ เราจะสามารถใช้ $s(t(x))$ เพื่อหา $s(1)$ ได้
ถ้า $t(x) = 1$ จะได้ $3x-8=1$ ซึ่งจะได้ $x =3$ ดังนั้น $t(3)=1$ ดังนั้น $s(t(3)) = s(1)$ แต่... | s(t(3)) = 3^2 +3(3) -2 = \boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงกลมมีพื้นที่ $\pi$ ตารางหน่วย ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเป็นเท่าไร หน่วย | ให้ความยาวของรัศมีเป็น $r$ หน่วย $r^2\pi=\pi$ ดังนั้น $r=1$ เส้นผ่านศูนย์กลางเป็นสองเท่าของรัศมี หรือ $\boxed{2}$ หน่วย | \boxed{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มบวกสามจำนวนที่เรียงติดกันเท่ากับ 7805 จงหาผลรวมของกำลังสามของจำนวนเต็มสามจำนวนเดิม | ถ้า $n$ คือจำนวนตรงกลางของจำนวนเต็มเหล่านี้ เราจะได้ $(n-1)^2+n^2+(n+1)^2 = 3n^2+2 = 7805$ หรือ $n^2 = 2601$ ซึ่งหมายความว่า $n=51$ ดังนั้นผลรวมของกำลังสามคือ $50^3+51^3+52^3 = \boxed{398259}$ | 50^3+51^3+52^3 = \boxed{398259} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามในสี่ของจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ $(5, 11)$, $(16, 11)$ และ $(16, -2)$ พื้นที่ของส่วนที่ตัดกันระหว่างบริเวณรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้และบริเวณภายในกราฟของสมการ $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 9$ คือเท่าไร แสดงคำตอบในรูปของ $\pi$ | ด้านของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกับแกน ดังนั้น จุดยอดที่สี่ต้องทำเส้นแนวตั้งกับ (5,11) และเส้นแนวนอนกับ (16,-2); ซึ่งหมายความว่า จุดยอดที่สี่คือ (5,-2) กราฟของบริเวณภายในสมการคือวงกลมที่มีรัศมี 3 และจุดศูนย์กลาง (5,-2): [asy]
size(150);
defaultpen(linewidth(.8pt));
fill(Arc((5,-2),3,0,90)--(5,-2)--cycle,gray);
draw(Circ... | \frac14r^2\pi=\frac14\cdot3^2\pi=\boxed{\frac94\pi} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x^2-mx+24$ เป็นสมการกำลังสองที่มีราก $x_1$ และ $x_2$ ถ้า $x_1$ และ $x_2$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาจำนวนค่าที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันของ $m$ | โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติให้ $x_1$ เป็นรากที่น้อยกว่า ในสมการกำลังสอง $ax^2+bx+c$ รากจะรวมกันเป็น $\frac{-b}{a}$ และคูณกันเป็น $\frac{c}{a}$ ดังนั้น $x_1x_2=\frac{24}{1}=24$ และ $x_1+x_2=m$ เนื่องจาก $x_1$ และ $x_2$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม จึงมีเพียง 4 คู่ของจำนวนเต็มบวก $(x_1,x_2)$ ที่คูณกันได้ 24 -- $(1,24), (2,12), (3,8),... | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาผลรวมของเลขโดดในรูปทศนิยมของ $2^{2005} \times 5^{2007} \times 3$ | เราได้ $$2^{2005}\times5^{2007}\times3=(2\times5)^{2005}\times5^2\times3=75\times10^{2005},$$ ดังนั้นผลรวมของเลขโดดเท่ากับ $7+5=\boxed{12}$. | 7+5=\boxed{12} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เลขจำนวนสี่หลัก $3AA1$ หารด้วย 9 ลงตัว $A$ แทนเลขหลักใด | ถ้าจำนวนหนึ่งหารด้วย 9 ลงตัว ผลรวมของเลขโดดของจำนวนนั้นจะต้องหารด้วย 9 ลงตัวด้วย ผลรวมของเลขโดดในจำนวนนี้คือ $3+A+A+1=2A+4$ ลองแทนค่า $A$ ต่างๆ เพื่อดูว่าค่าใดทำให้ผลรวมของเลขโดดหารด้วย 9 ลงตัว เราจะพบว่าไม่มีค่าของ $A$ ใดที่ทำให้ $2A+4$ หารด้วย 9 ลงตัว ยกเว้น $A=7$ เราจะเห็นว่า $4+2A=18$ ดังนั้น $A=\boxed{7}$ | A=\boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพจน์ที่สิบในลำดับเรขาคณิต $9,3,1,\frac 13, \ldots$ | เราสามารถเขียนพจน์ทั้งหมดจนถึงพจน์ที่สิบได้ แต่เราสามารถหาสูตรสำหรับพจน์ที่ $n$ ในลำดับเรขาคณิตได้ เนื่องจาก 9 เป็นพจน์แรก และเราคูณด้วย $\frac{1}{3}$ เพื่อหาพจน์ถัดไป เราจึงได้ว่าสูตรสำหรับลำดับเรขาคณิตคือ $a_n=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{(n-1)}$ นั่นหมายความว่า $a_{10}=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^9=\frac{3^2... | a_{10}=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^9=\frac{3^2}{3^9}=\frac{1}{3^7}=\boxed{\frac{1}{2187}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
โรงแรมแห่งหนึ่งคิดค่าห้องพักโดยคิดค่าคงที่สำหรับคืนแรก และเพิ่มค่าคงที่สำหรับคืนต่อๆ ไป ถ้าจอร์จจ่ายเงิน $155 สำหรับการพัก 3 คืน และโนอาห์จ่ายเงิน $290 สำหรับการพัก 6 คืน ค่าคงที่สำหรับคืนแรกคือเท่าไร | ให้ $f$ เป็นค่าคงที่สำหรับคืนแรก และ $n$ เป็นค่าคงที่สำหรับคืนต่อๆ ไป โปรดทราบว่าคืนแรกนั้นรวมอยู่ในค่าคงที่ เราสามารถสร้างระบบสมการสองสมการเพื่อแสดงข้อมูลที่กำหนดดังนี้:
\begin{align*}
f + 2n &= 155 \\
f + 5n &= 290 \\
\end{align*}วิธีที่ง่ายที่สุดในการกำจัด $f$ คือแก้สมการสำหรับ $n$ และจากนั้นแก้สมการสำหรับ $f$ โดยใ... | \boxed{\$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อสก็อตทำให้สมการกำลังสอง $x^2 + 8x - 1 = 0$ อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ จะได้สมการในรูป $(x + a)^2 = b$ ค่าของ $b$ คือเท่าใด | เราสามารถยกกำลังสองของ $x + 4$ เพื่อให้ได้ $x^2 + 8x + 16$ ดังนั้นสมการที่กำหนดจะกลายเป็น $x^2 + 8x - 1 = (x^2 + 8x + 16) - 16 - 1 = (x + 4)^2 - 17 = 0$ ซึ่งหมายความว่า $(x + 4)^2 = 17$ เราจะเห็นว่า $b = \boxed{17}$ | b = \boxed{17} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มบวกสามจำนวนที่เรียงติดกันเท่ากับ 7805 จงหาผลรวมของกำลังสามของจำนวนเต็มสามจำนวนเดิม | ถ้า $n$ คือจำนวนตรงกลางของจำนวนเต็มเหล่านี้ เราจะมี $(n-1)^2+n^2+(n+1)^2 = 3n^2+2 = 7805$ หรือ $n^2 = 2601$ ซึ่งหมายความว่า $n=51$ ดังนั้นผลรวมของกำลังสามคือ $50^3+51^3+52^3 = \boxed{398259}$ | 50^3+51^3+52^3 = \boxed{398259} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แต่ละพจน์ในลำดับ $2048, 512, 128, x,
y, 2, \frac 12, \frac 18,...$ ได้มาจากการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัว ค่าของ $x + y$ เท่ากับเท่าใด | ให้ค่าคงตัวนี้เป็น $r$ เพื่อที่จะได้จาก $2$ ไป $\frac{1}{2}$ เราคูณด้วย $r$ ดังนั้น $2r = \frac{1}{2}$ หรือ $r = \frac{1}{4}$ เพื่อที่จะได้จาก $128$ ไป $x$ เราคูณด้วย $\frac{1}{4}$ ดังนั้น $x = 128 \cdot \frac{1}{4} = 32$ เพื่อที่จะได้จาก $32$ ไป $y$ เราคูณด้วย $\frac{1}{4}$ ดังนั้น $y = 32 \cdot \frac{1}{4} = 8$ ดังนั... | x + y = 32 + 8 = \boxed{40} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ซึ่ง $f(6)-f(2)=12$ จงหาค่าของ $f(12)-f(2)$ | เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันจะคงที่ ดังนั้น
\[\frac{f(6) - f(2)}{6-2} = \frac{f(12) - f(2)}{12 - 2},\]ดังนั้น \[\frac{12}{4} =\frac{f(12) - f(2)}{10},\]และ $f(12) - f(2) = \boxed{30}$. | f(12) - f(2) = \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\frac{3^4+3^2}{3^3-3}$ และแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ตัวประกอบร่วมของ 3 ในตัวเศษและตัวประกอบร่วมของ 3 ในตัวส่วนจะตัดกัน: \[
\frac{3^4+3^2}{3^3-3}=\frac{3(3^3+3^1)}{3(3^2-1)}=\frac{3^3+3^1}{3^2-1}
\] ตอนนี้ ตัวเศษคือ $3^3+3=27+3=30$ และตัวส่วนคือ $3^2-1=9-1=8$ ดังนั้น เศษส่วนจะลดรูปเป็น $\dfrac{30}{8}=\boxed{\dfrac{15}{4}}$ | \dfrac{30}{8}=\boxed{\dfrac{15}{4}} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $(w+13)^2=(3w+7)(2w+4)$ จงหา $w^2$ แสดงคำตอบในรูปทศนิยม | เราขยายทั้งสองข้างเพื่อหา
\begin{align*}
(w+13)(w+13)&=(3w+7)(2w+4)\\
w^2+26w+169&=3w(2w+4)+7(2w+4)\\
w^2+26w+169&=6w^2+12w+14w+28\\
w^2+26w+169&=6w^2+26w+28\\
w^2+169&=6w^2+28\\
141&=5w^2\\
\frac{141}{5}&=w^2.\\
\end{align*}
ดังนั้น คำตอบในรูปทศนิยมคือ $\frac{141}{5}=\boxed{28.2}$ | \frac{141}{5}=\boxed{28.2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่า $k$ ใดที่สมการ $x^2+10x+y^2+6y-k=0$ แทนวงกลมที่มีรัศมี 6? | ทำการเติมกำลังสอง เราสามารถเขียนสมการนี้ใหม่เป็น $(x+5)^2-25+(y+3)^2-9=k$ หรือ $(x+5)^2+(y+3)^2=34+k$ เนื่องจากสมการนี้ต้องแทนวงกลมที่มีรัศมี 6 เราต้องการ $34+k=6^2=36$ ดังนั้น $k=\boxed{2}$ | k=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของสมการกำลังสอง $y = ax^2 + bx + c$ มีสมบัติดังนี้: (1) ค่าสูงสุดของ $y = ax^2 + bx + c$ คือ 5 ซึ่งเกิดขึ้นที่ $x = 3$ (2) กราฟผ่านจุด $(0,-13)$ ถ้ากราฟผ่านจุด $(4,m)$ แล้วค่าของ $m$ คือเท่าใด? | เนื่องจากค่าสูงสุดของ $y = ax^2 + bx + c$ คือ 5 ซึ่งเกิดขึ้นที่ $x = 3$ ดังนั้นจุดยอดของพาราโบลาคือ $(3,5)$ ดังนั้นสมการกำลังสองอยู่ในรูป $y = a(x - 3)^2 + 5$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนลบ (เราทราบว่า $a$ เป็นลบเพราะ $y$ มีค่าสูงสุด)
นอกจากนี้เรายังทราบว่ากราฟผ่านจุด $(0,-13)$ แทนค่าพิกัดนี้ลงในสมการ $y = a(x - 3)^2 + 5$ เรา... | m = - 2 \cdot 1^2 + 5 = \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
หนึ่งและครึ่งของจำนวนใดเท่ากับ 30? | ให้จำนวนนั้นเป็น $x$ เราทราบว่า $\frac{3}{2} x = 30$ ดังนั้นการคูณทั้งสองข้างด้วย $\frac{2}{3}$ จะได้ $x = \boxed{20}$ | x = \boxed{20} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $y$ ในสมการ $y = x^2 + 12x + 5$ | เราเติมกำลังสองทางขวามือโดยการบวก $(12/2)^2 = 36$ ลงทั้งสองข้าง: $y+36 = x^2 + 12x + 36 + 5$ ดังนั้น $y+36 = (x+6)^2 + 5$ ซึ่งให้ $y = (x+6)^2 - 31$ เนื่องจาก $(x+6)^2$ เป็นค่าไม่เป็นลบ และ $(x+6)^2=0$ เมื่อ $x=-6$ ค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $y$ คือ $\boxed{-31}$ | \boxed{-31} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีวิธีการอย่างไรในการใส่ลูกบอลที่เหมือนกัน 4 ลูกลงในกล่องที่เหมือนกัน 2 ใบ? | ในปัญหานี้ เราเพียงแค่ต้องนับจำนวนวิธีในการแบ่ง 4 สิ่งลงใน 2 กลุ่ม มีเพียง 3 วิธีเท่านั้น: $\{4,0\}$, $\{3,1\}$ และ $\{2,2\}$. ดังนั้น มีเพียง $\boxed{3}$ วิธีในการใส่ลูกบอลที่เหมือนกัน 4 ลูกลงในกล่องที่เหมือนกัน 2 ใบ | \boxed{3} | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
แก้ระบบสมการต่อไปนี้: \begin{align*}
3x-5y&=-11,\\
7x+2y&=-12.
\end{align*}แสดงคำตอบในรูปของคู่ลำดับ $(x,y).$ | เราสามารถหาค่า $x$ ได้โดยการบวกสมการแรกสองเท่าเข้ากับสมการที่สองห้าเท่า จาก \begin{align*}
2(3x-5y)+5(7x+2y)&=6x+35x\\&=41x,
\end{align*}และ \begin{align*}
2(3x-5y)+5(7x+2y)&=2(-11)+5(-12)\\&=-22-60\\&=-82,
\end{align*}เราจะได้ว่า $41x = -82$ หรือ $x=-2.$
แทนค่า $x$ ลงในสมการที่สอง เราจะหาค่า $y$ ได้: \begin{align*}
7... | \boxed{(-2,1)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า 10 เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเซต $\{6, 13, 18, 4, x\}$ ค่าของ $x$ คือเท่าใด? | มีจำนวน 5 ตัวในเซตนี้ ดังนั้น \begin{align*}
\frac{6+13+18+4+x}{5}&=10 \\
6+13+18+4+x&=50 \\
6+4+13+18+x&=50 \\
10+31+x &=50 \\
41+x&=50 \\
x &= \boxed{9}
\end{align*} | 9 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
วงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกัน มีรัศมี 19 หน่วย และ 29 หน่วย ล้อมรอบพื้นที่ที่ถูกแรเงา วงกลมวงที่สามจะถูกวาดขึ้นโดยมีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ที่ถูกแรเงา รัศมีของวงกลมวงที่สามต้องเป็นเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด
[asy]
filldraw(circle((0,0),29),gray);
filldraw(circle((0,0),19),white);
dot((0,0));
draw((0,0... | เนื่องจากพื้นที่ที่ถูกแรเงาคือพื้นที่ภายในวงกลมวงใหญ่แต่ไม่อยู่ในวงกลมวงเล็ก พื้นที่ของมันคือ $29^2 \pi - 19^2\pi = 480\pi$. ดังนั้น ให้รัศมีของวงกลมวงที่สามเป็น $r$ เราได้ว่า $\pi r^2 = 480 \pi$ หรือ $r = \sqrt{480} = \boxed{4\sqrt{30}}$ | r = \sqrt{480} = \boxed{4\sqrt{30}} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $x (x+y) = 27$ และ $y (x+y) = 54$ จงหาค่าของ $(x+y)^2$ | สังเกตว่าถ้าเราบวก $x(x+y)$ และ $y(x+y)$ เราสามารถแยกตัวประกอบ $(x+y)$ ออกมาได้ ดังนั้น $(x+y)^2 = x(x+y) + y(x+y)$ ดังนั้น $(x+y)^2 = 27 + 54 = \boxed{81}$ | (x+y)^2 = 27 + 54 = \boxed{81} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปมีความสัมพันธ์กันเป็น $25:36$ อัตราส่วนของเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งสองรูปเป็นเท่าไร จงแสดงคำตอบในรูป $a:b$ | โดยทั่วไป ถ้าอัตราส่วนของเส้นรอบรูปของรูปที่คล้ายกันสองรูปเป็น $a/b$ อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปเหล่านั้นจะเป็น $(a/b)^2$ ดังนั้นในกรณีนี้ $(a/b)^2 = 25/36$ หรือ $a/b = 5/6$ ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{5:6}$ | \boxed{5:6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ $2x(x-3) + 3(x-3)$ | เราสามารถแยกตัวประกอบ $x-3$ ออกจากแต่ละพจน์ได้: \[2x(x-3) + 3(x-3) = 2x\cdot (x-3) + 3\cdot (x-3) = \boxed{(2x+3)(x-3)}.\] ถ้าคุณยังไม่เห็นว่ามันทำงานอย่างไร ลองแทน $A$ แทน $x-3$ ทุกที่ในนิพจน์เดิม แล้วเราจะเห็นการแยกตัวประกอบได้ชัดเจนขึ้น: \[2xA +3A = 2x\cdot A + 3\cdot A = (2x+3)A.\] แทน $x-3$ กลับเข้าไปใน $A$ เราจะไ... | (2x+3)(x-3) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า
\begin{eqnarray*}&(1)& x\text{ และ }y\text{ เป็นจำนวนเต็มระหว่าง 100 ถึง 999, รวมทั้ง }x\text{ และ }y\text{ เป็นจำนวนเต็มระหว่าง 100 ถึง 999, รวมทั้ง}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ &(2)& y\text{ เป็นจำนวนที่เกิดจากการกลับลำดับหลักของ }x\text{; และ}\\ &(3)& z=|x-y|. \end{eqnarray*}
มีค่า $z$ ที่แ... | เราแสดงจำนวนเป็น $x=100a+10b+c$ และ $y=100c+10b+a$. จากนี้เราได้\begin{eqnarray*}z&=&|100a+10b+c-100c-10b-a|\\&=&|99a-99c|\\&=&99|a-c|\\ \end{eqnarray*}เนื่องจาก $a$ และ $c$ เป็นหลัก และ $a$ และ $c$ อยู่ระหว่าง 1 ถึง 9 (จากเงื่อนไข 1) จะมีค่าที่เป็นไปได้ $\boxed{9}$ ค่า (เนื่องจากหลักทั้งหมดยกเว้น 9 สามารถแสดงได้ในลักษ... | 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พจน์ $140, a, \frac{45}{28}$ เป็นพจน์แรก, พจน์ที่สอง และพจน์ที่สาม ตามลำดับ ของลำดับเรขาคณิต ถ้า $a$ เป็นจำนวนบวก จงหาค่าของ $a$ | กำหนดให้ $r$ เป็นอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต เราได้สมการ $140\cdot r = a$ และ $a \cdot r = \frac{45}{28}$ จากสมการแรก เราแก้หา $r$ ได้ $r=\frac{a}{140}$ และแทนค่า $r$ ลงในสมการที่สองเพื่อกำจัด $r$ จะได้ $a \cdot \frac{a}{140} = \frac{45}{28}$ หรือ $a = \boxed{15}$ | a = \boxed{15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวน 2017 เป็นจำนวนเฉพาะ. กำหนด $S = \sum \limits_{k=0}^{62} \dbinom{2014}{k}$. จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $S$ หารด้วย 2017
$\textbf{(A) }32\qquad \textbf{(B) }684\qquad \textbf{(C) }1024\qquad \textbf{(D) }1576\qquad \textbf{(E) }2016\qquad$ | สังเกตว่า $2014\equiv -3 \mod2017$. เราได้ว่าสำหรับ $k\ge1$\[\dbinom{2014}{k}\equiv \frac{(-3)(-4)(-5)....(-2-k)}{k!}\mod 2017\]\[\equiv (-1)^k\dbinom{k+2}{k} \mod 2017\]\[\equiv (-1)^k\dbinom{k+2}{2} \mod 2017\]ดังนั้น\[\sum \limits_{k=0}^{62} \dbinom{2014}{k}\equiv \sum \limits_{k=0}^{62}(-1)^k\dbinom{k+2}{2} \mod 20... | 1024 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คริสทอฟแก้สมการกำลังสอง $11x^2-44x-99=0$ โดยวิธีการเติมกำลังสอง ในกระบวนการนี้ เขาได้สมการที่เทียบเท่ากัน $$(x+r)^2 = s,$$โดยที่ $r$ และ $s$ เป็นค่าคงที่
$r+s$ มีค่าเท่าใด? | หารทั้งสองข้างของสมการ $11x^2-44x-99$ ด้วย $11$ เราได้ $$x^2-4x-9 = 0.$$กำลังสองที่เห็นด้วยกับ $x^2-4x-9$ ยกเว้นพจน์คงที่คือ $(x-2)^2$ ซึ่งเท่ากับ $x^2-4x+4$ และดังนั้นจึงเท่ากับ $(x^2-4x-9)+13$.
ดังนั้น โดยการบวก $13$ เข้ากับแต่ละข้าง คริสทอฟจึงเขียนสมการ $x^2-4x-9 = 0$ ใหม่เป็น $$(x-2)^2 = 13$$เราได้ $r=-2$, $s=13$ ... | r+s=\boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันสองจำนวน $x$ และ $y$ เป็นตัวประกอบของ 36 ถ้า $x\cdot y$ ไม่ใช่ตัวประกอบของ 36 แล้วค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $x\cdot y$ คือเท่าใด | เราเริ่มต้นด้วยการแสดงตัวประกอบทั้งหมดของ 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. ตอนนี้เราสามารถเริ่มแสดงผลคูณของตัวประกอบจากน้อยไปหามาก และหาค่าแรกในรายการที่สองที่ไม่ปรากฏในรายการแรก: 1, 2, 3, 4, 6, 8... 8 ไม่ใช่ตัวประกอบของ 36 แต่เป็นผลคูณของ 2 และ 4. เราสามารถตรวจสอบได้ว่าไม่มีผลคูณของตัวประกอบที่น้อยกว่า 8 ที่ไม่หาร 36... | \boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $ 6 \div 3 - 2 - 8 + 2 \cdot 8$? | ให้จำไว้ว่าการคูณและหารต้องทำก่อนการบวกและลบ เราจะได้ \[
6 \div 3 - 2 - 8 + 2 \cdot 8 = 2 - 2 - 8 + 16.
\]เราเขียนการลบใหม่เป็นการบวกของจำนวนลบเพื่อที่เราจะสามารถจัดเรียงใหม่ได้: \begin{align*}
2 - 2 - 8 + 16 &= 2 + (-2) + (-8) + 16 \\
&= 16 + 2 + (-2) + (-8) \\
&= 18 - (2+8) \\
&= 18-10 \\
&= \boxed{8}.
\end{align*} | 8 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด (-2, 4) และ (3, -8) | เราใช้สูตรระยะทางเพื่อหาว่าระยะทางคือ $$ \sqrt{(3-(-2))^2+(-8-4)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=\boxed{13}.$$ | 13 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาว่า $ rac{1}{7}$ เป็นเศษส่วนเท่าใดของ $ rac{1}{2}$ | โจทย์ข้อนี้ถามว่า $ rac{\frac{1}{7}}{\frac{1}{2}}$ เท่ากับเท่าใด (นักเรียนที่เก่งกว่าอาจวิเคราะห์ได้อีกแบบหนึ่ง โดยการเขียนข้อความที่เป็นคำพูดนี้ให้อยู่ในรูปสมการ เราได้ $x \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{7}$ โดยที่ $x$ คือเศษส่วนของ $ rac{1}{2}$ ที่เราต้องการหาค่า หารทั้งสองข้างด้วย $ rac{1}{2}$ เราได้ $x = \frac{\frac{... | \boxed{\frac{2}{7}} | [
"เข้าใจ",
"นำไปใช้"
] |
มีจำนวนเต็มบวก 7 หลักกี่จำนวน (โปรดทราบว่าเราไม่ยอมรับจำนวนเต็ม "7 หลัก" ที่ขึ้นต้นด้วย 0 เช่น 0123456; นี่เป็นจำนวนเต็ม 6 หลักจริง ๆ) | มี 9 ตัวเลือกสำหรับหลักแรก (สามารถเป็น 1-9) และมี 10 ตัวเลือกสำหรับแต่ละหลักที่เหลืออีก 6 หลัก (สามารถเป็น 0-9) ดังนั้นมี $9 \cdot 10^6 = \boxed{9,\!000,\!000}$ จำนวนที่เป็นไปได้ | 9 \cdot 10^6 = \boxed{9,\!000,\!000} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ค่าของ $x$ ใด ที่จะทำให้ $x^2- 10x + 24$ มีค่าน้อยที่สุด | เริ่มต้นด้วยการเติมกำลังสอง \[x^2-10x+24=(x-5)^2-1.\] เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงมีค่าอย่างน้อย 0 ดังนั้น $(x-5)^2\ge 0$ และ $(x-5)^2-1 \ge -1.$ ดังนั้น ค่าต่ำสุดของสมการกำลังสองคือ $-1$ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $x=\boxed{5}.$ | x=\boxed{5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ขบวนรถสินค้าวิ่งได้ 1 ไมล์ใน 1 นาที 30 วินาที ด้วยอัตราเร็วนี้ ขบวนรถจะวิ่งได้กี่ไมล์ใน 1 ชั่วโมง | ขบวนรถวิ่งได้ 1 ไมล์ใน 1 นาที 30 วินาที ดังนั้นจะวิ่งได้ 2 ไมล์ใน 3 นาที เนื่องจาก 60 นาที มี 20 กลุ่มของ 3 นาที ขบวนรถจะวิ่งได้ $20 \times 2 = \boxed{40}$ ไมล์ใน 1 ชั่วโมง | 20 \times 2 = \boxed{40} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเชิงซ้อน 3 จำนวน $a+bi$, $c+di$, และ $e+fi$ ถ้า $b=1$, $e=-a-c$ และผลบวกของจำนวนเชิงซ้อนทั้งสามเท่ากับ $-i$ จงหา $d+f$ | เราทราบว่า $a+bi+c+di+e+fi=-i$ ดังนั้นส่วนจริงบวกกันเท่ากับ 0 และส่วนจินตภาพบวกกันเท่ากับ -1 เราจะได้ \begin{align*}
a+c+e&=0\\
b+d+f&=-1\\
\end{align*}เราทราบว่า $b=1$ ดังนั้น $d+f=\boxed{-2}$ | d+f=\boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ \[\frac{5x+1}{2x^2+5x-3}=\frac{2x}{2x-1}\] สำหรับ $x$. | เราสังเกตว่าส่วนทางซ้ายตัวประกอบได้, ให้ \[\frac{5x+1}{(2x-1)(x+3)}=\frac{2x}{2x-1}.\]ตราบใดที่ $x\neq\frac12$ เราอนุญาตให้ยกเลิก $2x-1$ จากส่วนได้, ให้ \[\frac{5x+1}{x+3}=2x.\]ตอนนี้เราสามารถคูณไขว้เพื่อหา \[5x+1=2x(x+3)=2x^2+6x.\]เราสามารถทำให้มันง่ายขึ้นเป็น \[2x^2+x-1=0\]และจากนั้นตัวประกอบเป็น \[(x+1)(2x-1)=0.... | x=\boxed{-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $k$ ที่ทำให้สมการ $kx^2 -5x-12 = 0$ มีคำตอบ $x=3$ และ $ x = -\frac{4}{3}$ | ให้ความจำว่าสำหรับสมการในรูป $ax^2 + bx + c = 0$ ผลบวกของรากเท่ากับ $-b/a$ และผลคูณของรากเท่ากับ $c/a$.
ดังนั้น เราสามารถเขียนระบบสมการได้ดังนี้ \begin{align*}
3 - \frac{4}{3} &= \frac{5}{k} \\
-4 &= \frac{-12}{k}
\end{align*}
สมการที่สองบอกเราทันทีว่า $k = \boxed{3}$. | k = \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $0.8= \frac{y}{186+x}$, จงหาค่า $x$ ที่น้อยที่สุด เมื่อ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มบวก | สังเกตว่า $0.8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$, ดังนั้น $\frac{4}{5} = \frac{y}{186+x}$. เนื่องจาก $x$ เป็นจำนวนบวก เราต้องการหาจำนวนที่น้อยที่สุดที่มากกว่า 186 และเป็นพหุคูณของ 5 ซึ่งจำนวนนั้นคือ 190 ซึ่งหมายถึง $\boxed{x=4}$. | \boxed{x=4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ใส่เลขโดด 6, 7, 8 และ 9 ลงในช่องสี่เหลี่ยมแต่ละช่อง เพื่อให้ได้ผลคูณที่น้อยที่สุด ผลคูณนี้มีค่าเท่าไร? [asy]draw((0,.5)--(10,.5),linewidth(1));
draw((4,1)--(6,1)--(6,3)--(4,3)--(4,1),linewidth(1));
draw((7,1)--(9,1)--(9,3)--(7,3)--(7,1),linewidth(1));
draw((7,4)--(9,4)--(9,6)--(7,6)--(7,4),linewidth(1));
draw((4,4)--(... | เราต้องการให้เลขตัวเล็กอยู่หลักสิบ ดังนั้น 6 และ 7 อยู่ทางซ้าย และ 8 และ 9 อยู่ทางขวา เราจึงมี 2 กรณี: $68\times79=5372$ และ $69\times78=5382$ ผลคูณที่น้อยกว่าคือ $\boxed{5372}$ ซึ่งเป็นคำตอบของเรา | \boxed{5372} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายที่สุด $(2x^3)^3$ | กระจายเลขชี้กำลังและใช้กฎของเลขชี้กำลังของเลขชี้กำลัง เราได้ $(2x^3)^3=(2^3)((x^{3})^3)=8(x^{3\ast3})=\boxed{8x^9}$ | (2x^3)^3=(2^3)((x^{3})^3)=8(x^{3\ast3})=\boxed{8x^9} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ และ \[f(z) = \left\{
\begin{array}{cl}
z^{2}&\text{ ถ้า }z\text{ ไม่ใช่จำนวนจริง}, \\
-z^2 &\text{ ถ้า }z\text{ เป็นจำนวนจริง}.
\end{array}
\right.\] จงหาค่าของ $f(f(f(f(1+i))))$. | เราคำนวณจากด้านในออกไป เนื่องจาก $1+i$ ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้น $f(1+i)=(1+i)^2=1+2i-1=2i$ ดังนั้น $f(f(f(f(1+i))))=f(f(f(2i)))$. เนื่องจาก $2i$ ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้น $f(2i)=(2i)^2=-4$ ดังนั้น $f(f(f(2i)))=f(f(-4))$. เนื่องจาก $-4$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น $f(-4)=-(-4)^2=-16$ ดังนั้น $f(f(-4))=f(-16)$. เนื่องจาก $-16$ เป... | f(-16)=\boxed{-256} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เลขสี่หลัก $3AA1$ หารด้วย 9 ลงตัว $A$ แทนเลขหลักใด | ถ้าจำนวนหนึ่งหารด้วย 9 ลงตัว ผลบวกของเลขโดดของจำนวนนั้นจะต้องหารด้วย 9 ลงตัวด้วย ผลบวกของเลขโดดคือ $3+A+A+1=2A+4$ ลองแทนค่า $A$ ที่ต่าง ๆ เพื่อดูว่าค่าใดทำให้ผลบวกของเลขโดดหารด้วย 9 ลงตัว เราจะพบว่าไม่มีค่าของ $A$ ใดที่ทำให้ $2A+4$ หารด้วย 9 ลงตัว ยกเว้น $A=7$ เราจะเห็นว่า $4+2A=18$ ดังนั้น $A=\boxed{7}$ | A=\boxed{7} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เวนดี้มีรั้ว 180 ฟุต เธอต้องการล้อมพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่เป็นสิบเท่าของเส้นรอบรูป ถ้าเธอใช้รั้วทั้งหมด ความยาวด้านที่ยาวที่สุดของล้อมพื้นที่คือเท่าไร? | ให้ความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น $l$ และความกว้างเป็น $w$ โดยทั่วไป เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถแสดงได้เป็นผลรวมของด้านทั้งสี่ ดังนั้นเท่ากับ $2l+2w$ เช่นเดียวกัน เราสามารถแสดงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น $lw$ เนื่องจากเราทราบว่าเวนดี้ใช้รั้วทั้งหมด เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เธอล้อมจะต้องเท่ากับ 180 ฟุต... | \boxed{60} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
หาดีกรีของพหุนาม $(3x^2 +11)^{12}$ | ดีกรีของพหุนามคือดีกรีของพจน์ที่มีเลขชี้กำลังสูงสุด เนื่องจากดีกรีของ $3x^2 +11$ คือ 2 และเนื่องจาก $(x^a)^{12} = x^{12a}$ สำหรับค่าคงที่ $a$ ที่เป็นบวกใดๆ คำตอบคือ $2 \cdot 12 = \boxed{24}$ | 2 \cdot 12 = \boxed{24} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ค่าของ $K$ ในสมการ $16^3\times8^3=2^K$ คือเท่าใด | ทำให้ง่ายขึ้น \[
16^3\times 8^3=(2^4)^3\times(2^3)^3=2^{12}\times2^{9}=2^{21}.
\] ดังนั้น $2^{21}=2^K$ หมายถึง $K=\boxed{21}$. | K=\boxed{21} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มกี่จำนวนระหว่าง 300 ถึง 500 ที่ผลรวมของหลักของมันเท่ากับ 16 | เราต้องพิจารณา 2 กรณี:
กรณีที่หลักร้อยเป็น 3 เราต้องการให้ผลรวมของหลักสิบและหลักหน่วยเท่ากับ 13. เราได้ $4+9=5+8=6+7=13,$ ซึ่งให้ผลลัพธ์ทั้งหมด 6 ตัวเลือก (สองตัวเลือกสำหรับแต่ละคู่ที่บวกกันได้ 13).
กรณีที่หลักร้อยเป็น 4 เราต้องการให้ผลรวมของหลักสิบและหลักหน่วยเท่ากับ 12. เราได้ $3+9=4+8=5+7=6+6=12.$ คู่แรกให้ 2 วิธี... | 6+7= \boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วันพุธจะอยู่ห่างจากวันอังคารกี่วัน | วันพุธอยู่ถัดจากวันอังคาร 1 วัน ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{1}$ | $\boxed{1}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในลำดับของจำนวนเต็มบวก แต่ละพจน์หลังจากพจน์แรกมีค่าเท่ากับ $ rac{1}{3}$ ของผลบวกของพจน์ที่มาก่อนหน้าและพจน์ถัดไปในลำดับนั้น พจน์ที่ 5 ของลำดับนี้มีค่าเท่าใด ถ้าพจน์ที่ 1 มีค่าเท่ากับ 2 และพจน์ที่ 4 มีค่าเท่ากับ 34? | ให้ $a,b,c$ แทนพจน์ที่ 2, 3 และ 5 ตามลำดับ ลำดับของเราจึงเป็น $2,a,b,34,c,\dots$ จากข้อมูลที่กำหนดให้ เราได้ \begin{align*}
a &= \frac13(2+b)\\
b &= \frac13(a+34)\\
34 &= \frac13(b+c).
\end{align*} ก่อนที่เราจะหา $c$ เราใช้สองสมการแรกในการแก้หา $b$ โดยการแทน $a = \frac13(2+b)$ เราได้ \begin{align*}
b &= \frac13(\frac13... | 89 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อเล็กซิอาออกแบบโลโก้กว้าง 2 นิ้ว และสูง 1.5 นิ้ว เพื่อใช้บนสมุดของโรงเรียนของเธอ โรงเรียนต้องการให้โลโก้บนสมุดกว้าง 8 นิ้ว จะสูงเท่าไรเป็นนิ้ว หากขยายสัดส่วน? | หากความกว้างเพิ่มจาก 2 นิ้วเป็น 8 นิ้ว จะถูกคูณด้วย 4 หากรูปภาพขยายสัดส่วน ความสูงก็จะถูกคูณด้วย 4 เช่นกัน ดังนั้น โลโก้ที่ขยายใหญ่ขึ้นจะมีความสูง $1.5\times4=\boxed{6}$ นิ้ว | 1.5\times4=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบ $t^2-121$ | เรามี $t^2 -121 = t^2 - 11^2 = \boxed{(t-11)(t+11)}$. | t^2 -121 = t^2 - 11^2 = \boxed{(t-11)(t+11)} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $ rac{5}{33}$ เขียนในรูปทศนิยม จะมีเลขหลักใดอยู่ที่ตำแหน่งที่ 92 ทางด้านขวาของจุดทศนิยม | เมื่อเราเขียน $ rac{5}{33}$ ในรูปทศนิยมโดยใช้การหารยาว เราจะได้ $0.\overline{15}=0.15151515\ldots$. สังเกตรูปแบบที่เราได้ที่นี่: ถ้า $n$ เป็นเลขคี่ ตัวเลขที่ตำแหน่งที่ $n$ ทางด้านขวาของจุดทศนิยมจะเป็น $1$ ; ถ้า $n$ เป็นเลขคู่ ตัวเลขที่ตำแหน่งที่ $n$ ทางด้านขวาของจุดทศนิยมจะเป็น $5$ . เนื่องจาก $92$ เป็นเลขคู่ ตัวเลขที... | \boxed{5}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์"
] |
ผลคูณของเลขหน้าสองหน้าที่ต่อเนื่องกันเป็น 18,360. ผลรวมของเลขหน้าสองหน้านี้เท่ากับเท่าใด | ให้เลขหน้าสองหน้าที่ต่อเนื่องกันเป็น $n$ และ $n + 1.$ ดังนั้น, ข้อปัญหาสามารถสร้างแบบจำลองได้ด้วยสมการ $n(n+1) = 18360.$ เราสามารถเขียนสมการใหม่เป็น $n^2 + n - 18360=0.$
จากนั้นโดยใช้สูตรกำลังสอง เราพบว่า $$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4\cdot 18360}}{2}.$$ ดังนั้น $n = 135.$ ดังนั้น $n + (n + 1) = \boxed{271}.$
สมการนี... | n + (n + 1) = \boxed{271}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาตัวหารร่วมมากที่สุดของ 128, 144 และ 480 | $128=2^7$ และ $144=12^2=2^4 \cdot 3^2,$ ดังนั้นตัวหารร่วมมากที่สุดของสามจำนวนนี้มีค่ามากที่สุดเท่ากับ $2^4=16$. ในความเป็นจริง $480$ หารด้วย $16$ ลงตัว ดังนั้น $\boxed{16}$ คือตัวหารร่วมมากที่สุดของสามจำนวนนี้ | \boxed{16} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจุดตัดของเส้นตรง $9x-4y=30$ และ $7x+y=11.$ แสดงคำตอบในรูปของลำดับคู่ $(x,y).$ | เราสามารถหาค่า $x$ ได้โดยนำสมการที่สองคูณด้วย 4 แล้วบวกกับสมการแรก: $$4(7x+y)+(9x-4y)=28x+9x=37x=4(11)+30=74\implies x=2.$$แทนค่า $x$ ลงในสมการที่สองเพื่อหาค่า $y:$ $$7x+y=11\implies y=11-7x=11-7(2)=-3.$$ดังนั้นคำตอบคือ $\boxed{(2,-3)}.$ | \boxed{(2,-3)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สมมติว่า $x$ เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์เชิงการสอดคล้องต่อไปนี้: \begin{align*}
3+x &\equiv 2^2 \pmod{3^3} \\
5+x &\equiv 3^2 \pmod{5^3} \\
7+x &\equiv 5^2 \pmod{7^3}
\end{align*}เศษเหลือเมื่อ $x$ หารด้วย $105$ คือเท่าใด? | เนื่องจาก $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$ ตามทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน เราเพียงแค่ต้องหาเศษเหลือเมื่อ $x$ หารด้วย $3$, $5$ และ $7$ เนื่องจาก $3+x$ หารด้วย $27 = 3^3$ เหลือเศษ $4$ ดังนั้น $3+x \equiv 4 \pmod{3}$ และ $x\equiv 1 \pmod{3}$ เช่นเดียวกัน \begin{align*}
x &\equiv 9 \equiv 4 \pmod{5} \\
x &\equiv 25 \equiv 4 \pmod{7}.
\... | x \equiv \boxed{4} \pmod{105} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมแกนทำโทรศัพท์ของฟาติมาหายไป เมแกนรู้ว่าสามหลักแรกคือ 296 หรือ 299 สี่หลักที่เหลือคือ 0, 1, 6 และ 7 แต่เธอไม่แน่ใจในลำดับของหลักเหล่านี้ ถ้าเมแกนกดหมายเลขเจ็ดหลักแบบสุ่มที่ตรงตามเงื่อนไขนี้ โอกาสที่เธอจะกดหมายเลขของฟาติมาถูกต้องคือเท่าใด แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนธรรมดา | มี 2 วิธีที่เมแกนสามารถพิมพ์สามหลักแรกได้ มี $4! = 24$ ลำดับที่ต่างกันของหลัก 0, 1, 6 และ 7 สำหรับสี่หลักสุดท้าย ดังนั้นจึงมี $2 \cdot 24 = 48$ หมายเลขที่เธอสามารถกดได้ เนื่องจากมีหมายเลขเดียวเท่านั้นที่เป็นของฟาติมา มีความน่าจะเป็น $\boxed{\frac{1}{48}}$ ที่เมแกนจะเดาถูก | \boxed{\frac{1}{48}} | [
"ความน่าจะเป็น"
] |
รูปสามเหลี่ยมทุกรูปมีค่าเท่ากัน และวงกลมทุกวงมีค่าเท่ากัน ผลรวมของวงกลมสามวงเท่ากับเท่าไร? \begin{align*}
\Delta + \bigcirc + \Delta + \bigcirc + \Delta&= 21\\
\bigcirc + \Delta+\bigcirc+\Delta+\bigcirc &= 19\\
\bigcirc + \bigcirc + \bigcirc &= \ ?
\end{align*} | แทนรูปสามเหลี่ยมด้วยตัวอักษร $a$ และวงกลมด้วยตัวอักษร $b$ สมการที่กำหนดจะกลายเป็น \begin{align*}
3a+2b&=21\\
2a+3b&=19.
\end{align*}คูณสมการแรกด้วย $2$ จะได้ $6a+4b=42$ คูณสมการที่สองด้วย $3$ จะได้ $6a+9b=57$ ลบสมการทั้งสองเพื่อกำจัด $a$ จะได้ $5b=15$ คูณทั้งสองข้างด้วย $\frac{3}{5}$ จะได้ $$\frac{3}{5}\cdot 5b = \frac... | \boxed{9}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของสองจำนวนคือ $19$ และผลต่างของสองจำนวนนั้นคือ $5$ จงหาผลคูณของสองจำนวนนั้น | ให้จำนวนทั้งสองเป็น $x$ และ $y$ ข้อปัญหาจะถูกแปลงเป็นระบบสมการ: \begin{align*}
x+y &= 19\\
x-y &= 5.
\end{align*} บวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกัน เราจะได้ $x+y+x-y = 24$ ซึ่งหมายความว่า $2x = 24$ ดังนั้น $x = 12$ ลบสมการทั้งสองเข้าด้วยกัน เราจะได้ $(x+y)-(x-y) = 14$ ซึ่งหมายความว่า $2y = 14$ ดังนั้น $y = 7$ ผลคูณที่ต้องการค... | xy = 12\cdot7 =\boxed{84} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดซึ่งกำลังสองของมันมากกว่าสองเท่าของมัน 48 | จากข้อมูลที่กำหนดให้ เราได้ $x^2 = 2x + 48$ จัดรูปใหม่ได้ $x^2 - 2x - 48 = 0$ ซึ่งเราสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(x+6)(x-8) = 0$ ดังนั้น $x = -6$ หรือ $8$ เนื่องจากต้องการจำนวนที่น้อยกว่า $\boxed{-6}$ จึงเป็นคำตอบ | \boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รากที่สองของ $x$ มากกว่า 2 และน้อยกว่า 4 มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ | เราได้: $4 > \sqrt{x} > 2$ ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ $16 > x > 4$ ดังนั้น จำนวนเต็มตั้งแต่ 15 ถึง 5 รวมทั้ง 5 สอดคล้องกับอสมการนี้ นั่นคือมีจำนวนเต็มทั้งหมด $15-5+1=\boxed{11}$ จำนวน | 15-5+1=\boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อัตราส่วนของ $x$ ต่อ $y$ คือเท่าใด ถ้า: $\frac{10x-3y}{13x-2y} = \frac{3}{5}$? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | คูณทั้งสองข้างของสมการที่กำหนดด้วยตัวส่วนทั้งสอง จะได้ \begin{align*}
5(10x-3y)&=3(13x-2y) \implies \\
50x-15y&=39x-6y.
\end{align*} รวบรวมพจน์ที่คล้ายกันโดยการบวก $15y$ และ $-39x$ เข้ากับทั้งสองข้าง จะได้ $11x=9y$. สุดท้าย หารทั้งสองข้างด้วย $11y$ จะพบว่า $\dfrac{x}{y}=\boxed{\frac{9}{11}}$. | \dfrac{x}{y}=\boxed{\frac{9}{11}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนกำลังของ 3 ที่ต่อเนื่องกันถูกนำมารวมกันเพื่อสร้างลำดับนี้: $3^0,3^0+ 3^1, 3^0+ 3^1+ 3^2$, และอื่นๆ ค่าของพจน์ที่สี่ของลำดับนี้เมื่อทำให้ง่ายที่สุดมีค่าเท่าใด? | พจน์ที่สี่ในลำดับนี้คือ $3^0+3^1+3^2+3^3 = 1+3+9+27 = \boxed{40}$ | 3^0+3^1+3^2+3^3 = 1+3+9+27 = \boxed{40} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ประเมินผลคูณของ \[ (a-10) \cdot (a-9) \cdot \dotsm \cdot (a-1) \cdot a, \] เมื่อ $a=2$. | สังเกตว่า $a-2 = 0$ เนื่องจาก $a = 2$ ดังนั้น ผลคูณที่กำหนดคือ \[ (a -10) \dotsm (a-3) \cdot (a-2) \cdot (a-1) \cdot a = (a-10) \dotsm (a-3) \cdot 0 \cdot (a-1) \cdot a, \] ซึ่งเท่ากับ $\boxed{0}$ เนื่องจากศูนย์คูณกับจำนวนจริงใดๆ จะเท่ากับศูนย์ | \boxed{0} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของพจน์แรกในลำดับเรขาคณิต $a,b,c,32,64$ | อัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตนี้คือ $\frac{64}{32} = 2$ ดังนั้น พจน์แรกคือ $\frac{32}{2^3} = \frac{32}{8} = \boxed{4}$ | \frac{32}{2^3} = \frac{32}{8} = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)=2x^4+x^3+x^2-3x+r$ จงหาค่าของ $r$ ที่ทำให้ $f(2)=0$ | การแทนค่าจะได้ \[f(2)=2(2)^4+(2)^3+(2)^2-3(2)+r=32+8+4-6+r=38+r.\]ค่านี้เท่ากับ 0 เมื่อ $r=\boxed{-38}$. | r=\boxed{-38} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณของค่า $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $|4x|+3=35$ | เราเริ่มต้นด้วยการลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ เพื่อแยกค่าสัมบูรณ์ นี่จะให้ $|4x|=35-3=32$ ซึ่งเราสามารถแยกออกเป็นสองกรณีแยกต่างหาก: $4x=32$ และ $4x=-32$ สำหรับกรณีแรก การแก้หา $x$ จะให้ $x=\frac{32}{4}=8$ สำหรับกรณีที่สอง เราจะได้ $x=-\frac{32}{4}=-8$ ดังนั้น ค่า $x$ ทั้งสองที่สอดคล้องกับสมการเริ่มต้นคือ $x=8$ และ $x=-... | (8)(-8)=\boxed{-64} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่พจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ $x+y$, $x-y$, $xy$, และ $x/y$ ตามลำดับ จงหาพจน์ที่ห้าของลำดับนี้ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เนื่องจากผลต่างของพจน์สองพจน์แรกคือ $-2y$ พจน์ที่สามและสี่ของลำดับนี้ต้องเป็น $x-3y$ และ $x-5y$ ดังนั้น \[
x-3y = xy \quad\text{และ}\quad x-5y = \frac{x}{y},
\]ดังนั้น $xy - 5y^{2} = x.$ รวมสมการเหล่านี้เราจะได้ \[
(x - 3y) - 5y^{2}= x\quad\text{และ, 따라서, }\quad -3y - 5y^{2} = 0.
\]เนื่องจาก $y$ ไม่สามารถเป็น 0 ได้ เรา... | x - 7y
= \boxed{\frac{123}{40}} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่สอดคล้องกับอสมการ $-8\pi\le n\le10\pi$? | จำนวน $\pi$ อยู่ระหว่าง $3.14$ และ $3.15$ ดังนั้น $-8\pi$ อยู่ระหว่าง $-8(3.15) = 25.2$ และ $-8(3.14) = 25.12$ เช่นเดียวกัน $10\pi$ อยู่ระหว่าง $31.4$ และ $31.5$ สิ่งนี้เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าจำนวนเต็ม $n$ ระหว่าง $-8\pi$ และ $10\pi$ คือ $$-25, -24, -23, -22, \ldots, 28, 29, 30, 31.$$ มีจำนวนเต็มลบ $25$ จำนวนในรายการนี้... | \boxed{57} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ $y = -4.9t^2 + 23.8t$ อธิบายความสูง (เป็นเมตร) ของวัตถุที่ถูกยิงขึ้นจากพื้นดินด้วยความเร็ว 23.8 เมตรต่อวินาที ในเวลาเท่าไร วัตถุจะถึงความสูง 28 เมตรเป็นครั้งแรก? | กำหนดให้ $y$ เท่ากับ 28 เราจะได้ดังนี้: \begin{align*}
28& = -4.9t^2 + 23.8t\\
0 & = -4.9t^2 + 23.8t - 28\\
0 & = 49t^2 - 238t + 280\\
& = 7t^2 - 34t + 40\\
& = (7t - 20)(t - 2)
\end{align*}ค่าที่เป็นไปได้ของ $t$ คือ $\frac{20}{7} \approx 2.857$ หรือ $2.$ จากค่าเหล่านี้ เราเลือกค่า $t$ ที่น้อยกว่า หรือ $\boxed{2}.$ | \boxed{2}. | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
เช็คเวกก้ามีหมากฝรั่งรสเชอร์รี่ 20 ชิ้น และหมากฝรั่งรสองุ่น 30 ชิ้น บางส่วนอยู่ในซองที่สมบูรณ์ ส่วนที่เหลือเป็นชิ้นหลวม ๆ แต่ละซองที่สมบูรณ์มีหมากฝรั่ง $x$ ชิ้นพอดี ถ้าเช็คเวกก้าทำหมากฝรั่งรสเชอร์รี่หายไป 1 ซอง อัตราส่วนของจำนวนหมากฝรั่งรสเชอร์รี่ที่เขามีต่อจำนวนหมากฝรั่งรสองุ่นจะเป็นเท่ากันกับกรณีที่เขาพบหมากฝรั่งรสอง... | ถ้าเช็คเวกก้าทำหมากฝรั่งรสเชอร์รี่หายไป 1 ซอง อัตราส่วนของจำนวนหมากฝรั่งรสเชอร์รี่ที่เขามีต่อจำนวนหมากฝรั่งรสองุ่นคือ $(20-x)/30$ ถ้าเขาพบหมากฝรั่งรสองุ่นเพิ่มอีก 5 ซอง อัตราส่วนนี้จะเป็น $20/(30+5x)$ อัตราส่วนทั้งสองนี้ต้องเท่ากัน ดังนั้นเราจะได้ \begin{align*}
\frac{20-x}{30} &= \frac{20}{30+5x} \quad\implies\\
(20-x... | x=\boxed{14} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $\triangle+q=59$ และ $(\triangle+q)+q=106$ จงหาค่าของ $\triangle$ | แทน $\triangle + q = 59$ ลงในสมการที่สองจะได้ $59 + q = 106$ ดังนั้น $q= 106-59 = 47$ แทน $q=47$ ลงใน $\triangle + q =59$ จะได้ $\triangle + 47 = 59$ ดังนั้น $\triangle = \boxed{12}$ | \triangle = \boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ริชาร์ดกำลังสร้างสนามหลังบ้านรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยใช้รั้ว 360 ฟุต รั้วต้องครอบคลุมสามด้านของสนามหลังบ้าน (ด้านที่สี่ติดกับบ้านของริชาร์ด) พื้นที่สูงสุดของสนามหลังบ้านนี้คือเท่าไร? | ให้ความยาวของสนามหลังบ้านเป็น $l$ และความกว้างเป็น $w$ เราได้สมการ $l+2w=360$ เราต้องการเพิ่มพื้นที่ของสนามหลังบ้านรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ ซึ่งกำหนดโดย $lw$ จากสมการของเรา เราทราบว่า $l=360-2w$ แทนค่านี้ลงในนิพจน์ของพื้นที่ เราได้ \[(360-2w)(w)=360w-2w^2\]เราจะทำการเติมกำลังสองเพื่อหาค่าสูงสุดของนิพจน์นี้ การแยกตัวประก... | \boxed{16200} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor\sqrt{63}\rfloor$. | สังเกตว่า $7<\sqrt{63}<8$ เนื่องจาก $\sqrt{49}<\sqrt{63}<\sqrt{64}$ ดังนั้นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $\sqrt{63}$ คือ $\boxed{7}$ | \boxed{7} | [
"วิเคราะห์"
] |
สองเส้นตรงมีจุดตัดแกน $y$ ที่ไม่ใช่ศูนย์เหมือนกัน เส้นตรงแรกมีค่าความชัน 10 และจุดตัดแกน $x$ คือ $(s, 0)$ เส้นตรงที่สองมีค่าความชัน 6 และจุดตัดแกน $x$ คือ $(t, 0)$ อัตราส่วนของ $s$ ต่อ $t$ เท่ากับเท่าใด แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ | สมการของเส้นตรงแรกคือ $y = 10x + b$ โดยที่ $b$ คือจุดตัดแกน $y$ ของเส้นตรงทั้งสอง เนื่องจาก $(s, 0)$ อยู่บนเส้นตรงนี้ เราสามารถแทนค่านี้ลงในสมการของเส้นตรงเพื่อให้ได้ $0 = 10s + b \Rightarrow s = -\frac{b}{10}$ ในทำนองเดียวกัน เส้นตรงที่สองมีสมการ $y = 6x + b$ แทนค่า $(t, 0)$ ลงในสมการนี้จะได้ $0 = 6t + b \Rightarrow ... | $\frac{s}{t} = -\frac{b}{10} \cdot - \frac{6}{b} = \boxed{\frac{3}{5}}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บันไดความยาว 8.5 เมตร กำลังเอนอยู่กับผนังแนวตั้ง บันไดนี้ห่างจากผนังกี่เมตร ถ้าบันไดนี้ไปถึง 7.5 เมตรบนผนัง? | เรามีสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยอัตราส่วนของด้านประกอบมุมฉากหนึ่งกับด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $15:17$ เนื่องจาก 8, 15, 17 เป็นสามเท่าของพีทาโกรัส อัตราส่วนของอีกด้านประกอบมุมฉากหนึ่งกับด้านตรงข้ามมุมฉากต้องเป็น $8:17$ ถ้าความยาวของด้านนี้คือ $x$ นั่นหมายความว่า $x/8.5 = 8/17$ ดังนั้น $x = \boxed{4}$ เมตร | x = \boxed{4} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ที่ศูนย์ออกกำลังกาย Hardey Fitness Center พนักงานได้ทำการสำรวจสมาชิกของพวกเขา อายุเฉลี่ยของสมาชิกหญิงคือ 40 ปี อายุเฉลี่ยของสมาชิกชายคือ 25 ปี อายุเฉลี่ยของสมาชิกทั้งหมดคือ 30 ปี สัดส่วนของสมาชิกหญิงต่อสมาชิกชายเท่ากับเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ให้ $m$ แทนจำนวนสมาชิกชายและ $f$ แทนจำนวนสมาชิกหญิง ผลรวมของอายุของสมาชิกหญิงคือ $40f$ และผลรวมของอายุของสมาชิกชายคือ $25m$ ผลรวมของอายุของสมาชิกทั้งหมดคือ $40f+25m$ และจำนวนสมาชิกทั้งหมดคือ $f+m$ เนื่องจากอายุเฉลี่ยของสมาชิกทั้งหมดคือ $30$ เราได้ \[
\frac{40f+25m}{f+m}=30.
\] คูณทั้งสองข้างด้วย $f+m$ เพื่อให้ได้ \[
40... | f/m=\boxed{\frac{1}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของค่า $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $2^{x^2-3x-2} = 4^{x - 4}$ | เขียนข้างขวาของสมการให้อยู่ในรูปของเลข 2 เป็นฐาน เราได้ $4^{x-4} = (2^2)^{x-4} = 2^{2(x-4)} = 2^{2x-8}$ ดังนั้นสมการของเราคือ $$2^{x^2-3x-2} = 2^{2x - 8}.$$ จากนั้นโดยการ equate 지수 เราได้ $$x^2 - 3x - 2 = 2x - 8.$$ นี้จะให้สมการกำลังสอง $$x^2 - 5x + 6 = 0.$$ การแยกตัวประกอบจะได้ $(x-2)(x-3)=0$ ซึ่งมีคำตอบ $x = 2,3$ ผลร... | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x)=\dfrac{x+1}{3x-4}$ จงหาค่าของ $f(5)$ | เราสามารถหาคำตอบนี้ได้โดยการแทนค่า 5 ลงในฟังก์ชัน: \begin{align*} f(5)& = \dfrac{5+1}{3(5)-4}
\\ & = \dfrac{6}{15-4}
\\ & = \boxed{\dfrac{6}{11}}
\end{align*} | [
"ประยุกต์"
] | |
สมมติว่า $f(z)$ และ $g(z)$ เป็นพหุนามใน $z$ และดีกรีของ $g(z)$ น้อยกว่าดีกรีของ $f(z)$ ถ้าดีกรีของ $f(z)$ เท่ากับสอง ดีกรีของ $f(z)+g(z)$ คือเท่าไร | เรามี $f(z)=a_2 \cdot z^2+a_1 \cdot z+a_0$ และ $g(z)=b_1 \cdot z+b_0$ โดยที่ $a_2$ ไม่เท่ากับศูนย์ แล้ว $f(z)+g(z)=a_2 \cdot z^2+(a_1+b_1) \cdot z+(a_0+b_0)$ ดีกรีของพหุนามนี้คือ $\boxed{2}$ | \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $\odot$ นิยามโดย $a \odot b = a + \frac{3a}{2b}$ จงหาค่าของ $8 \odot 6$ | เราได้ว่า $8\odot 6 = 8+\frac{3(8)}{2(6)}=8+2=\boxed{10}$ | 8\odot 6 = 8+\frac{3(8)}{2(6)}=8+2=\boxed{10} | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลบวก: $1+2+3+4+\dots +48+49$ | สำหรับทุกจำนวน $n$, $1 + 2 + \dots + n = n(n + 1)/2$ ดังนั้น $1 + 2 + \dots + 49 = 49 \cdot 50/2 = \boxed{1225}$ | 1 + 2 + \dots + 49 = 49 \cdot 50/2 = \boxed{1225} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ: $(17+10)^2-(17-10)^2$ | เราได้รับสมการในรูป $x^2 - y^2$ ดังนั้นเราจึงแยกตัวประกอบสมการเป็น $(x+y)(x-y)$ เพื่อให้ได้ $(17+10+17-10)(17+10-17+10)$ ซึ่งจะ सरวมเป็น $34 \cdot 20 = \boxed{680}$ | 34 \cdot 20 = \boxed{680} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $n$ เมื่อ $8^n\cdot8^n\cdot8^n=64^3$. | สมการ $8^n\cdot8^n\cdot8^n=64^3$ สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $8^{3n}=64^3$. เรารู้ว่า $64=8^2$ ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการใหม่เป็น $8^{3n}=8^{2(3)}$ การแก้หาค่า $n$ จะได้ $n=\boxed{2}$. | n=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีวิธีการจัดคน 4 คนนั่งบนเก้าอี้ 5 ตัว ได้กี่วิธี | ให้คนตัวเล็กสุดนั่งก่อน จากนั้นคนถัดไปที่อายุน้อยกว่า และเรียงต่อมา คนแรกมี 5 วิธีในการเลือกที่นั่ง ไม่ว่าคนแรกจะนั่งที่ไหน คนถัดไปจะมี 4 วิธีในการเลือกที่นั่ง ไม่ว่าคนแรกและคนที่สองจะนั่งที่ไหน คนที่สามจะมี 3 วิธีในการเลือกที่นั่ง คนที่สี่จะมี 2 วิธีในการเลือกที่นั่ง ดังนั้นมี $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 = \boxed{120}$ วิ... | 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 = \boxed{120} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แมรี่สามารถตัดหญ้าได้ในเวลา 4 ชั่วโมง และทอมสามารถตัดหญ้าได้ในเวลา 5 ชั่วโมง ถ้าทอมทำงานคนเดียวเป็นเวลา 2 ชั่วโมง ส่วนที่เหลือของลานหญ้าที่ยังไม่ได้ตัดเป็นเท่าไร | ถ้าทอมสามารถตัดหญ้าได้ในเวลา 5 ชั่วโมง นั่นหมายความว่าใน 1 ชั่วโมง เขาสามารถตัดหญ้าได้ $ rac{1}{5}$ ของลานหญ้า เนื่องจากเขาตัดหญ้าเป็นเวลา 2 ชั่วโมง เขาจึงตัดหญ้าเสร็จ $ rac{2}{5}$ ของลานหญ้า นั่นหมายความว่ายังเหลือ $1 - rac{2}{5} = oxed{ rac{3}{5}}$ ของลานหญ้าที่ยังไม่ได้ตัด | $1 - \frac{2}{5} = \boxed{\frac{3}{5}}$ | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จูเลียทำงาน 48 ชั่วโมงต่อสัปดาห์ เป็นเวลา 12 สัปดาห์ในช่วงฤดูร้อน โดยได้เงิน $5000 ถ้าเธอทำงาน 48 สัปดาห์ในช่วงปีการศึกษาด้วยอัตราค่าจ้างเท่าเดิม และต้องการได้เงินอีก $5000 เธอต้องทำงานกี่ชั่วโมงต่อสัปดาห์ | เนื่องจากเธอต้องการได้เงินเท่าเดิม หากเธอทำงานนานขึ้น 4 เท่า เธอสามารถทำงานน้อยลง 4 เท่า นั่นคือเธอสามารถทำงาน $\frac{1}{4} \cdot 48 = \boxed{12}$ ชั่วโมงต่อสัปดาห์ | $\frac{1}{4} \cdot 48 = \boxed{12}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อเขียน $10!$ ในระบบเลขฐาน 9 จะมีศูนย์อยู่ท้ายจำนวนกี่หลัก เมื่อ $10!$ คือ $a_na_{n-1}\cdots a_1a_0$ ในระบบเลขฐาน 9 โดยที่ $10! = 9^na_n + 9^{n-1}a_{n-1} + \cdots + 9a_1 + a_0$ และให้ $k$ เป็นจำนวนศูนย์ที่อยู่ท้ายของการแทนค่า $10!$ ในระบบเลขฐาน 9 นั่นคือ $9^k$ หาร $10!$ ลงตัวโดยไม่มีเศษ เนื่องจาก $9^{k-1}a_{k-1} + \... | เมื่อเขียน $10!$ ในระบบเลขฐาน 9 จะมีศูนย์อยู่ท้ายจำนวนกี่หลัก เมื่อ $10!$ คือ $a_na_{n-1}\cdots a_1a_0$ ในระบบเลขฐาน 9 โดยที่ $10! = 9^na_n + 9^{n-1}a_{n-1} + \cdots + 9a_1 + a_0$ และให้ $k$ เป็นจำนวนศูนย์ที่อยู่ท้ายของการแทนค่า $10!$ ในระบบเลขฐาน 9 นั่นคือ $9^k$ หาร $10!$ ลงตัวโดยไม่มีเศษ เนื่องจาก $9^{k-1}a_{k-1} + \... | \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor-2.54\rfloor+\lceil25.4\rceil$. | จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $-2.54$ คือ $-3$ ; จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $25.4$ คือ $26$ ดังนั้น $\lfloor -2.54 \rfloor + \lceil 25.4 \rceil = -3+26=\boxed{23}$ | $\lfloor -2.54 \rfloor + \lceil 25.4 \rceil = -3+26=\boxed{23}$ | [
"ประยุกต์"
] |
เส้นตรงที่ผ่านจุด $(9, 1)$ และ $(5, 5)$ ตัดแกน $x$ ที่จุดใด | แกน $x$ มีสมการ $y = 0$ ดังนั้นเราต้องหาค่า $x$ เมื่อ $y = 0$ เราสังเกตว่าความชันของเส้นตรงคือ $\frac{9 - 5}{1 - 5} = -1$ ดังนั้นเพื่อไปยัง $y = 1$ เราสามารถเริ่มที่ $(9, 1)$ และลงไป 1 หน่วยในทิศทาง $y$ เนื่องจากความชันของเส้นตรงคือ $-1$ เราทราบว่าการลงไปใน $y$ โดย 1 หน่วยจะทำให้ $x$ เพิ่มขึ้น 1 หน่วย (นั่นคือ $x$ จะเท... | \boxed{(10, 0)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดใหญ่มีด้านยาว $(x+7)$ และ $(x+5)$ ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดใหญ่มีรูเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านยาว $(2x-3)$ และ $(x-2)$ จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดใหญ่ (ไม่รวมพื้นที่ของรู) แสดงคำตอบเป็นพหุนามใน $x$ | พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดใหญ่คือ $(x+7)(x+5)$ และพื้นที่ของรูคือ $(2x-3)(x-2)$ เพื่อให้ได้คำตอบ เราลบพื้นที่ของรูออกจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดใหญ่ \begin{align*}
(x&+7)(x+5)-(2x-3)(x-2)\\
&=x(x+5)+7(x+5)-2x(x-2)+3(x-2)\\
&=x^2+5x+7x+35-2x^2+4x+3x-6\\
&=\boxed{-x^2+19x+29}.
\end{align*} | -x^2 + 19x + 29 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาผลรวมของแปดพจน์ในลำดับเลขคณิต $-2, 3, \dots, 33$ | ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ ดังนั้นผลรวมคือ $\dfrac{-2 + 33}{2} \cdot 8 = \boxed{124}$ | \dfrac{-2 + 33}{2} \cdot 8 = \boxed{124} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดสมการกำลังสอง $3x^2 - 7x - 8 = 0$ ผลต่างบวกระหว่างรากทั้งสองของสมการสามารถเขียนได้ในรูป $\frac{\sqrt{m}}{n}$ โดยที่ $n$ เป็นจำนวนเต็ม และ $m$ เป็นจำนวนเต็มที่หารด้วยกำลังสองของจำนวนเฉพาะไม่ได้ จงหา $m + n$ | รากของสมการกำหนดโดย $\frac{7 \pm \sqrt{7^2 + 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$ เมื่อคำนวณผลต่างของราก จะเห็นว่าพจน์ $7$ ในตัวเศษจะตัดกันออกไป ดังนั้นผลต่างคือ $2 \times \frac{\sqrt{7^2 + 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{145}}{3}$ ดังนั้น คำตอบคือ $145 + 3 = \boxed{148}$ | 145 + 3 = \boxed{148} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุด $(9, -5)$ และ $(-3, -1)$ เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม จงหาผลรวมของพิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลม | จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดกึ่งกลางของเส้นผ่านศูนย์กลางใดๆ ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $\left(\frac{9+(-3)}{2}, \frac{(-5)+(-1)}{2}\right) = (3, -3)$. ผลรวมของพิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $3 + (-3) = \boxed{0}$ | 3 + (-3) = \boxed{0} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีเลข 0 กี่ตัวที่อยู่ทางด้านขวาของจุดทศนิยมและอยู่ก่อนตัวเลขไม่เท่ากับศูนย์ตัวแรกในรูปทศนิยมสิ้นสุดของ $\frac{1}{2^5\cdot5^8}$? | ทศนิยมสิ้นสุดสามารถเขียนได้ในรูป $\frac{a}{10^b}$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นเราจึงพยายามทำให้ตัวส่วนเป็นรูป $10^b$: $$\frac{1}{2^5\cdot5^8}\cdot\frac{2^3}{2^3}=\frac{2^3}{10^8}=\frac{8}{10^8}.$$เศษส่วน $\frac{8}{10^8}$ หมายความว่ามี 8 หลักอยู่ทางด้านขวาของจุดทศนิยม โดยตัวสุดท้ายคือ 8 ดังนั้นจึงมี $\boxed{... | \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.