question stringlengths 16 1.6k | solution stringlengths 3 2.73k | answer stringlengths 0 168 | bloom_taxonomy listlengths 1 4 |
|---|---|---|---|
กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับ $x^2 - 2x + 2 \le P(x) \le 2x^2 - 4x + 3$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด และสมมติว่า $P(11) = 181$ จงหา $P(16)$ | เขียนพหุนามกำลังสองที่กำหนดให้ในรูปจุดยอด เราได้ \[1 + (x-1)^2 \le P(x) \le 1 + 2(x-1)^2.\]ทั้งสองพหุนามนี้มีจุดยอดที่ $(1, 1)$ ; เมื่อพิจารณาจากรูปร่างของกราฟของพหุนามกำลังสอง เราจะเห็นว่า $P$ ต้องมีจุดยอดที่ $(1,1)$ ด้วย ดังนั้น \[P(x) = 1 + k(x-1)^2\]สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า กำหนด $x = 11$ เราได้ $181 = 1 +100k$ ด... | 406 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เซตของคำตอบทั้งหมดของระบบสมการ \[ \begin{cases}& 2x+y \le 4 \\& x+y \ge 1 \\& x \ge 0 \\& y \ge 0 \end{cases} \] เป็นรูปสี่เหลี่ยม ถ้าความยาวของด้านที่ยาวที่สุดเป็น $a\sqrt{b}$ หน่วย (อยู่ในรูปรากที่ง่ายที่สุด) จงหา $a+b$ | [asy]
Label f;
f.p=fontsize(6);
xaxis(0,3,Ticks(f, 1.0));
yaxis(0,5,Ticks(f, 1.0));
fill((0,1)--(0,4)--(2,0)--(1,0)--cycle, grey);
draw((-.5,5)--(2.5,-1), dashed, Arrows);
draw((-1,2)--(2,-1), dashed, Arrows);
[/asy]
เส้นทแยงมุมด้านบนเป็นกราฟของ $2x+y=4$. เส้นทแยงมุมด้านล่างเป็นกราฟของ $x+y=1$. แกน y เป็นกราฟของ $... | a+b=2+5=\boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงขยายและทำให้ 간단 $(x^2-5x+7)-(x-3)(x-2)$ | เราเห็นว่า $(x^2-5x+7)-(x-3)(x-2) = x^2-5x+7 -x^2 +5x - 6 = \boxed{1},$ ซึ่งเป็นคำตอบของเรา | (x^2-5x+7)-(x-3)(x-2) = x^2-5x+7 -x^2 +5x - 6 = \boxed{1}, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนจริง $x^{}_{}$ กี่จำนวนที่สอดคล้องกับสมการ $\frac{1}{5}\log_2 x = \sin (5\pi x)$? | แสดงกราฟของ $y = \frac{1}{5} \log_2 x$ และ $y = \sin (5 \pi x)$ ดังนี้
[asy]
unitsize(2.5 cm);
real x;
real logfunction(real x) {
return(1/5*log(x)/log(2));
}
real sinefunction(real x) {
return(sin(5*pi*x));
}
path foo = (-0.1,sinefunction(-0.1));
for (x = -0.1; x <= 4; x = x + 0.01) {
foo = foo--(x,sinefun... | 5 + 2 \cdot (79 - 3 + 1) = \boxed{159} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีวิธีการเลือกอักษร 3 ตัวที่แตกต่างกันจากตัวอักษรในภาษาอังกฤษได้กี่วิธี โดยไม่คำนึงถึงลำดับ หากเราต้องเลือกสระ 1 ตัว (A, E, I, O, หรือ U) และพยัญชนะ 2 ตัว? | เรามีตัวเลือก 5 ตัวสำหรับการเลือกสระ และเราต้องเลือก 2 ตัวจากตัวอักษรที่เหลืออีก 21 ตัว ซึ่งรวมเป็น $\binom{21}{2} = 210$ ตัวเลือกสำหรับพยัญชนะ นี่จะให้ผลรวมทั้งหมดเป็น $5 \times 210 = \boxed{1050}$ | 5 \times 210 = \boxed{1050} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ $29^{13} - 5^{13}$ modulo 7 | ก่อนอื่น โปรดทราบว่า $29 \equiv 1$ modulo 7 ดังนั้น $29^{13} \equiv 1$ modulo 7. นอกจากนี้ $5 \equiv (-2)$ ดังนั้น $1 - 5^{13} \equiv 1 + 2^{13}$ modulo 7. สุดท้าย $2^3 \equiv 1$ modulo 7 ดังนั้น $2^{13} \equiv 2(2^3)^4 \equiv 2 \cdot 1 \equiv 2$. ดังนั้น $29^{13} - 5^{13} \equiv 1+2 \equiv \boxed{3}$ modulo 7. | 29^{13} - 5^{13} \equiv 1+2 \equiv \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าล้อมรอบด้วยสนามกีฬาตามที่แสดงไว้ด้านล่าง สนามกีฬาประกอบด้วยสองด้านของสนาม และวงกลมครึ่งวงกลมสองวง ความยาวของสนามกีฬาเท่ากับ 400 เมตร พื้นที่ของสนามมากที่สุดเท่าใด (หน่วยเป็นตารางเมตร) ?
[asy]
unitsize(1 cm);
filldraw((0,0)--(3,0)--(3,2)--(0,2)--cycle,lightgreen);
draw((0,0)--(3,0),linewidth(2*b... | ให้ความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับ $w$ และให้รัศมีของวงกลมครึ่งวงกลมแต่ละวงเท่ากับ $r.$
[asy]
unitsize(1 cm);
filldraw((0,0)--(3,0)--(3,2)--(0,2)--cycle,lightgreen);
draw((0,0)--(3,0),linewidth(2*bp));
draw((0,2)--(3,2),linewidth(2*bp));
draw(arc((3,1),1,-90,90),linewidth(2*bp));
draw(arc((0,1),1,90,270),linewidt... | \boxed{\frac{20000}{\pi}}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปภาพนี้มีสามเหลี่ยมอยู่กี่รูป?
[asy]size(50);
draw((0,0)--(1,0)--(0,0)--(0,1));
draw((1,1)--(0,1)--(1,0)--(1,1)--(0,0));[/asy] | มีสามเหลี่ยมเล็ก 4 รูป และสามเหลี่ยมที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมเล็ก 2 รูป (ประกอบด้วยด้านสองด้านและเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ดังนั้นมีสามเหลี่ยมทั้งหมด $\boxed{8}$ รูป | \boxed{8} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าเฉลี่ยของ $\frac{1}{2}$ และ $\frac{7}{8}$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ผลบวกของสองเศษส่วนคือ $\frac{1}{2}+\frac{7}{8}=\frac{11}{8}$ ดังนั้นค่าเฉลี่ยของมันคือ $\frac{1}{2}\left(\frac{11}{8}\right)=\boxed{\frac{11}{16}}$ | $\frac{1}{2}\left(\frac{11}{8}\right)=\boxed{\frac{11}{16}}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เบคก้ามีเลขโดดทองเหลืองสำหรับเลขที่บ้าน 3 ตัว คือ 2, 3 และ 5 เธอสามารถสร้างเลขที่แตกต่างกันได้กี่ตัวโดยใช้เลขโดดหนึ่งตัวขึ้นไป? | ถ้าเบคก้าใช้เลขโดดเพียงตัวเดียว เธอสามารถสร้างเลขได้ 3 ตัว ถ้าเธอใช้เลขโดดสองตัว เธอมีตัวเลือก 3 ตัวสำหรับหลักสิบ และ 2 ตัวสำหรับหลักหน่วย ดังนั้นเธอสามารถสร้างเลขได้ 6 ตัว สุดท้าย ถ้าเบคก้าใช้เลขโดดทั้งสามตัว เธอมีตัวเลือก 3 ตัวสำหรับหลักร้อย 2 ตัวสำหรับหลักสิบ และ 1 ตัวสำหรับหลักหน่วย ดังนั้นเธอสามารถสร้างเลขได้ 6 ตั... | 3 + 6 + 6 = \boxed{15} | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
ในรูปสามเหลี่ยม $\triangle ABC$ เราได้ว่า $AB=7$, $AC=8$, และ $BC=9$. จุด $D$ อยู่บนวงกลมแนบรูปของรูปสามเหลี่ยมซึ่งทำให้ $\overline{AD}$ แบ่งครึ่ง $\angle BAC$. จงหาค่าของ $AD/CD$? | สมมติว่า $AD$ และ $BC$ ตัดกันที่ $E$.
[asy]
pair A,B,C,D,I;
A=(-9,-4.36);
B=(-7,7.14);
C=(8,-6);
D=(7.5,6.61);
I=(2.7,3);
draw(Circle((0,0),10));
draw(A--B--C--cycle,linewidth(0.7));
draw(B--D--C);
draw(A--D);
label("$E$",I,S);
label("$B$",B,N);
label("$D$",D,NE);
label("$C$",C,E);
label("$A$",A,SW);
[/asy]
เนื่องจาก... | \triangle ADC | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นรอบรูป 176 ถูกแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เท่ากัน 5 รูปดังแสดงในแผนภาพ เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 รูปใน 5 รูปเท่าไร?
[asy]
unitsize(0.6 cm);
draw((0,0)--(6,0)--(6,5)--(0,5)--cycle);
draw((0,2)--(6,2));
draw((3,0)--(3,2));
draw((2,2)--(2,5));
draw((4,2)--(4,5));
[/asy] | ให้ $x$ และ $y$ เป็นความกว้างและความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 รูปใน 5 รูปตามลำดับ
[asy]
unitsize(0.6 cm);
draw((0,0)--(6,0)--(6,5)--(0,5)--cycle);
draw((0,2)--(6,2));
draw((3,0)--(3,2));
draw((2,2)--(2,5));
draw((4,2)--(4,5));
label("$x$", (1,5), N);
label("$x$", (3,5), N);
label("$x$", (5,5), N);
label("$y$", (6,7/2... | 2x + 2y = \boxed{80} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $\mathbf{v}$ และ $\mathbf{w}$ เป็นเวกเตอร์ โดยที่ $\|\mathbf{v}\| = 3$ และ $\|\mathbf{w}\| = 4.$ จงหาค่าต่ำสุดของ $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}.$ | ถ้า $\theta$ เป็นมุมระหว่าง $\mathbf{v}$ และ $\mathbf{w},$ แล้ว
\[\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \|\mathbf{v}\| \|\mathbf{w}\| \cos \theta = 12 \cos \theta.\]ค่านี้จะน้อยที่สุดเมื่อ $\cos \theta = -1,$ ซึ่งจะได้ค่าต่ำสุดเท่ากับ $\boxed{-12}.$ | \boxed{-12}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่าฉันมีหนังสือคณิตศาสตร์ หนังสือประวัติศาสตร์ และหนังสือฟิสิกส์ จำนวนไม่จำกัด ซึ่งมีขนาดเท่ากัน และฉันมีพื้นที่บนชั้นวางหนังสือสำหรับหนังสือ 8 เล่ม ในวิธีการใดฉันสามารถจัดเรียงหนังสือ 8 เล่มบนชั้นวางหนังสือได้โดยที่ไม่มีหนังสือประเภทเดียวกันอยู่ติดกัน? | เราสามารถเลือกหนังสือเล่มใดก็ได้สำหรับตำแหน่งแรกบนชั้นวางหนังสือ ซึ่งมี $3$ ความเป็นไปได้ หลังจากวางหนังสือเล่มนี้แล้ว เราสามารถเลือกหนังสือประเภทอื่นใดก็ได้จากสองประเภทที่เหลือมาวางไว้ติดกันได้ ในทำนองเดียวกัน จะมีสองทางเลือกสำหรับเล่มที่สามหลังจากเล่มที่สองถูกเลือกแล้ว จะมีสองทางเลือกสำหรับเล่มหนังสือแต่ละเล่มหลังจ... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
มีกล้องถ่ายภาพ 2 ตัวที่ถ่ายภาพทางแยกถนน กล้อง A เริ่มถ่ายภาพเวลา 6:00 น. และถ่ายภาพทุกๆ 11 นาที กล้อง B เริ่มถ่ายภาพเวลา 7:00 น. และถ่ายภาพทุกๆ 7 นาที กล้อง A และกล้อง B ถ่ายภาพพร้อมกันที่เวลาเดียวกัน 4 ครั้ง ก่อนเที่ยง เมื่อกล้อง A และกล้อง B ถ่ายภาพพร้อมกันเป็นครั้งสุดท้าย ก่อนเที่ยงกี่นาที? | ถ้ากล้อง A และกล้อง B ถ่ายภาพพร้อมกัน พวกเขาจะถ่ายภาพอีกครั้งหลังจากผ่านไป 77 นาที ดังนั้น ถ้าเราสามารถหาครั้งแรกที่พวกเขาถ่ายภาพพร้อมกันได้ เราก็สามารถบวก 77 นาที ต่อไปเพื่อหาว่าภาพที่สี่ถูกถ่ายเมื่อไหร่ ภาพแรกของกล้อง A หลังจาก 7:00 น. คือ 7:06 ตามด้วย 7:17 และ 7:28 กล้อง B จะถ่ายภาพเวลา 7:28 จากที่นี่ เราบวก 77 นาที... | 41 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \dotsm \times \frac{8}{9}$ เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | ส่วนของเศษส่วนแต่ละตัวจะตัดกันกับเศษของเศษส่วนถัดไป เหลือเพียงเศษตัวแรกและส่วนตัวสุดท้าย ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{\frac{2}{9}}$ | \boxed{\frac{2}{9}} | [
"ความเข้าใจ",
"การประยุกต์"
] |
ถุงใบหนึ่งมีบล็อกที่เท่ากัน 16 ก้อน โดยมี 4 ก้อนเป็นสีน้ำเงิน และ 12 ก้อนเป็นสีแดง จงหาความน่าจะเป็นที่เมื่อหยิบบล็อก 2 ก้อนจากถุงพร้อมกัน จะได้บล็อกสีน้ำเงินทั้ง 2 ก้อน | พิจารณา 16 ก้อนบล็อกเป็นบล็อกที่แตกต่างกัน เราสามารถเลือกคู่ของบล็อกได้ ${16 \choose 2} = 120$ คู่ จากจำนวนนี้ เนื่องจากมีบล็อกสีน้ำเงิน 4 ก้อน ${4 \choose 2} = 6$ คู่เป็นคู่ของบล็อกสีน้ำเงิน ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้คู่ของบล็อกสีน้ำเงินคือ $\frac{6}{120} =\boxed{ \frac{1}{20}}$. | \frac{6}{120} =\boxed{ \frac{1}{20}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
หนังสือเล่มหนึ่งมี 50 หน้าที่ถูกหมายเลขจาก 1 ถึง 50 ถูกปรับหมายเลขใหม่จาก 50 ถึง 1 มีกี่หน้าที่เลขหน้าทั้งสองชุดมีหลักหน่วยเหมือนกัน? | สำหรับหน้าใดๆ ผลรวมของหมายเลขหน้าเดิมและหมายเลขหน้าใหม่คือ 51 ซึ่งเป็นเลขคี่ ดังนั้นไม่มีหน้าใดที่เลขหน้าทั้งสองชุดมีหลักหน่วยเหมือนกัน และคำตอบคือ $\boxed{0}$. | \boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ \[ x = \frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}} ?\] | สังเกตว่า \[ \frac{1}{x} = 2 - \frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}} = 2 - x, \] เราเพียงแค่แก้สมการกำลังสอง $x^2 - 2x +1 = (x-1)^2 = 0$ ดังนั้นเราจะได้ $x = \boxed{1}$ | x = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\frac{a}{b}$ คือความน่าจะเป็นที่ส่วนกลับของจำนวนเต็มบวกคี่ที่เลือกแบบสุ่มน้อยกว่า 2010 จะให้ทศนิยมสิ้นสุด โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน จงหา $a+b$ | มีจำนวนเต็มบวก 2009 ตัวน้อยกว่า 2010 ซึ่งมี 1005 ตัวที่เป็นจำนวนคี่ ถ้า $\frac{1}{n}$ เท่ากับทศนิยมสิ้นสุด $n$ จะหารด้วย 2 และ 5 เท่านั้น อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเรามีข้อจำกัดเพิ่มเติมที่ $n$ เป็นจำนวนคี่ $n$ ต้องเป็นกำลังของ 5 มีห้ากำลังของ 5 น้อยกว่า 2010 \begin{align*}
5^0 &= 1 \\
5^1 &= 5 \\
5^2 &= 25 \\
5^3 &= 125 \... | 1+201 = \boxed{202} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 2 จะมีจำนวนหลักเป็นสองเท่าของจำนวนหลักที่ได้เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 3 แสดงคำตอบในระบบเลขฐาน 10 | เราพิจารณาจำนวนเต็มที่เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 2 จะมี 2 หลัก และเมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 3 จะมี 1 หลัก จำนวนเต็มดังกล่าวต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ $10_2 = 2$ แต่มีค่าน้อยกว่า $10_3 = 3$ จำนวนเต็มเพียงจำนวนเดียวที่ตรงตามเงื่อนไขนี้คือ 2
ต่อมาพิจารณาจำนวนเต็มที่เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 2 จะมี 4 หลัก และเมื่อเขียนในระบบเลขฐา... | \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด
\[\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix} \quad \text{และ} \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -11 \\ 1 \\ 28 \end{pmatrix}.\]มีเวกเตอร์ $\mathbf{p}$ และ $\mathbf{d}$ ที่ทำให้เส้นตรงที่ผ่าน $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ สามารถเขียนได้ในรูป
\[\mathbf{v} = \mathbf{p} + \mathbf{d} t.\]นอกจากนี้ สำหรั... | จากสมบัติที่กำหนด ระยะห่างระหว่าง $\bold{v}$ และ $\bold{a}$ เป็น 0 เมื่อ $t = 0$ ดังนั้น $\bold{v} = \bold{a}$ แต่สมการ $\bold{v} = \bold{p} + \bold{d} t$ จะกลายเป็น
\[\bold{v} = \bold{p}\]เมื่อ $t = 0$ ดังนั้น $\bold{p} = \bold{a}$ ดังนั้นสมการของเส้นตรงคือ
\[\bold{v} = \bold{a} + \bold{d} t.\]นอกจากนี้ เวกเตอร์ $\bol... | \bold{d} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พรมมีราคา $\$21.95$ ต่อตารางหลา และวัสดุรองพรมมีราคา $\$2.55$ ต่อตารางหลา เฟลิกซ์วางแผนที่จะติดตั้งวัสดุรองพรมและพรมในบริเวณที่แสดงในแผนภาพ ค่าใช้จ่ายในการติดตั้งพรมและวัสดุรองพรมที่ต้องการเพื่อครอบคลุมห้องพอดีคือเท่าไร?
[asy]
unitsize(0.2 inch);
//import geometry;
draw((0,0)--(9,0)--(9,2)--(4,2)--(4,5)--(0,5)--(0,0)... | ห้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 5 หลา x 9 หลา โดยมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 3 หลา x 5 หลา ถูกตัดออกจากมุมหนึ่ง พื้นที่ของห้องคือ $(5\text{ yd.})(9\text{ yd.})-(3\text{ yd.})(5\text{ yd.})=30$ ตารางหลา ค่าใช้จ่ายรวมต่อตารางหลาสำหรับพรมและวัสดุรองพรมคือ $\$21.95+\$2.55=\$24.50$. ค่าใช้จ่ายรวมคือ 30 ตารางหลา คูณ $\$24.50... | \boxed{735} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
35 นักเรียนเข้าร่วมการประชุมชมรมคณิตศาสตร์ จำนวนนักเรียนหญิงที่เข้าร่วมประชุมเป็นทวีคูณของ 13 และมีนักเรียนหญิงมากกว่านักเรียนชายที่เข้าร่วมประชุม มีกี่คนนักเรียนชายที่เข้าร่วมประชุม | เราสมมติว่าจำนวนนักเรียนหญิงเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและไม่เกิน 35 ทวีคูณของ 13 ที่ไม่เป็นลบและน้อยกว่า 35 คือ 0, 13 และ 26 เนื่องจากจำนวนนักเรียนหญิงมากกว่าจำนวนนักเรียนชาย ตัวเลือกที่ถูกต้องเพียงอย่างเดียวคือมี 26 นักเรียนหญิง นั่นหมายความว่ามี $35-26 = \boxed{9}$ นักเรียนชายที่เข้าร่วมประชุม | 35-26 = \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\displaystyle{(2^3)}^{\frac{4}{3}}$ | เราได้ว่า $(2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^{3\cdot \frac{4}{3}} = 2^4 = \boxed{16}$ | 16 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ส่วนของเส้นตรง $AB$ มีความยาว 4 เซนติเมตร และเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม $P$ ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ จุด $C$ อยู่บนวงกลม $P$ และ $BC = 2$ เซนติเมตร พื้นที่ของบริเวณที่แรเงาคือเท่าไร?
[asy]
import graph;
fill(Circle((0,0),20),gray(0.7));
draw(Circle((0,0),20));
draw((-16,12)--(16,-12)--(0,-20)--cycle);
fill((-16,12)--... | พื้นที่ของบริเวณที่แรเงาเท่ากับพื้นที่ของวงกลมลบด้วยพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่ของวงกลมคือ $2^2\pi=4\pi$ เพื่อหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เราจะมองหาข้อมูลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากมุม $ACB$ ตัด $180^\circ$ ของวงกลม เราทราบว่า $m\angle ACB=\frac{180^\circ}2=90^\circ$ ดังนั้นรูปสามเหลี่ยม $ACB$ เป็นรูปสามเหลี่ยม... | \boxed{4\pi - 2\sqrt{3}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มฐานสิบกี่จำนวนที่อยู่ในรูป 4หลักในฐานสาม และ 2หลักในฐานหก | จำนวนเต็มฐานสิบที่อยู่ในรูป 4 หลักในฐานสามมีค่าตั้งแต่ $1000_3=3^3=27$ ถึงน้อยกว่า $10000_3=3^4=81$ จำนวนเต็มฐานสิบที่อยู่ในรูป 2 หลักในฐานหกมีค่าตั้งแต่ $10_6=6^1=6$ ถึงน้อยกว่า $100_6=6^2=36$ ดังนั้น สำหรับจำนวน $n$ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข จะต้องเป็น $27\le n <36$ $n$ อาจเป็นจำนวนตั้งแต่ 27 ถึง 35 รวมทั้งหมด $\boxed{9... | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $c$ เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งทำให้ $x^2+cx+9c$ เท่ากับกำลังสองของทวินาม แล้ว $c$ มีค่าเท่าใด? | ถ้า $x^2+cx+9c$ เป็นกำลังสองของทวินาม แล้วเนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ เท่ากับ 1 ทวินามต้องอยู่ในรูป $x+a$ สำหรับค่า $a$ ใดๆ ดังนั้นเราจึงมี $$(x+a)^2 = x^2+cx+9c.$$เมื่อขยายด้านซ้ายมือ เราจะได้ $$x^2 + 2ax + a^2 = x^2 + cx + 9c.$$สัมประสิทธิ์ของ $x$ ต้องเท่ากัน ดังนั้น $2a=c$. นอกจากนี้ พจน์คงตัวต้องเท่ากัน ดังนั้น ... | 36 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวกสองหลักทั้งหมด ซึ่งหลักหนึ่งเป็นสามเท่าของอีกหลักหนึ่ง | เรามีสองกรณี:
$\bullet$ กรณีที่ 1: หลักสิบเป็นสามเท่าของหลักหน่วย ในกรณีนี้เราได้ $31,$ $62,$ และ $93.$
$\bullet$ กรณีที่ 2: หลักหน่วยเป็นสามเท่าของหลักสิบ ในกรณีนี้เราได้ $13,$ $26,$ และ $39.$
นำผลรวมของทั้งสองกรณี: เราได้ $31+62+93+13+26+39 = \boxed{264}.$ | 31+62+93+13+26+39 = \boxed{264}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เงินฝาก 10,000 ดอลลาร์ที่อัตราดอกเบี้ย 4.5% ต่อปี และคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นประจำทุกปี จะได้ดอกเบี้ยเป็นเงินเท่าไรในระยะเวลา 2 ปี? แสดงคำตอบเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง | หลังจาก 2 ปี ด้วยอัตราดอกเบี้ย 4.5% ต่อปี การลงทุนจะเติบโตเป็น $10000 \cdot (1.045)^2 = 10920.25$ ดอลลาร์ ดังนั้นดอกเบี้ยที่ได้รับคือ $10920.25 - 10000 = \boxed{920.25}$ ดอลลาร์ | 920.25 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
อาณานิคมของแบคทีเรียจะเพิ่มเป็นสองเท่าทุกชั่วโมง ในเวลา 1:00 น. มีแบคทีเรีย 10 ตัวอยู่ในจานเพาะเชื้อ ในเวลา 21:00 น. ในวันเดียวกัน ประชากรแบคทีเรียมีจำนวนเท่าไร | ทุกชั่วโมง ประชากรแบคทีเรียจะคูณด้วย 2 ในเวลา 14:00 น. ประชากรแบคทีเรียเพิ่มเป็นสองเท่าครั้งเดียว และมีแบคทีเรีย $10\cdot2$ ตัว ในเวลา 15:00 น. ประชากรแบคทีเรียเพิ่มเป็นสองเท่าสองครั้ง และมีแบคทีเรีย $10\cdot2\cdot2$ ตัว เป็นต้น ในเวลา 21:00 น. อาณานิคมแบคทีเรียเพิ่มเป็นสองเท่า 8 ครั้ง ดังนั้นจึงมีแบคทีเรีย $10\cdot2\c... | 2560 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ โดยที่ $f(1) = 2$ และ
\[f(xy) = f(x) f(y) - f(x + y) + 1\]สำหรับทุก $x,$ $y \in \mathbb{Q}.$
ให้ $n$ เป็นจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของ $f \left( \frac{1}{2} \right)$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f \left( \frac{1}{2} \right).$ จงหา $n \times s.$ | กำหนด $y = 1,$ เราได้
\[f(x) = 2f(x) - f(x + 1) + 1,\]ดังนั้น $f(x + 1) = f(x) + 1$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}.$ แล้ว
\begin{align*}
f(x + 2) &= f(x + 1) + 1 = f(x) + 2, \\
f(x + 3) &= f(x + 2) + 1 = f(x) + 3,
\end{align*}และอื่นๆ ในทั่วไป,
\[f(x + n) = f(x) + n\]สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}$ และทุกจำนวนเต็ม $n.$
เนื่... | n \times s = \boxed{\frac{3}{2}}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เจ็ดใบมีตัวอักษร C, B, T, A, E, M และ H ใบละตัวถูกใส่ในหมวก ตัวอักษรแต่ละตัวใช้เพียงครั้งเดียว สจ๊วร์ตจะหยิบสี่ใบออกแบบสุ่มและไม่ใส่กลับ จงหาความน่าจะเป็นที่สจ๊วร์ตจะหยิบ M, A, T, H ในลำดับนี้ แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย | ความน่าจะเป็นที่สจ๊วร์ตจะหยิบ M ออกก่อนคือ 1/7 ความน่าจะเป็นที่เขาจะหยิบ A ออกถัดไปคือ 1/6 เพราะตอนนี้เหลือตัวอักษร 6 ตัว ต่อไป ความน่าจะเป็นที่เขาจะหยิบ T ออกถัดไปคือ 1/5 และความน่าจะเป็นที่ H จะตามมาคือ 1/4 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เขาจะหยิบ M, A, T, H ในลำดับนี้คือ $1/7 \times 1/6 \times 1/5 \times 1/4 = \boxed{\frac... | 1/7 \times 1/6 \times 1/5 \times 1/4 = \boxed{\frac{1}{840}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีวิธีจัดที่นั่ง 8 คน รอบโต๊ะกลมกี่วิธี ถ้าปิแอร์และโทมัสต้องการนั่งติดกัน แต่โรซ่าไม่ต้องการนั่งติดกับทั้งคู่ (ไม่นับการหมุน แต่แยกการสะท้อน) | วิธีที่ 1: เราเลือกที่นั่งใดๆ สำหรับปิแอร์ จากนั้นจัดที่นั่งให้คนอื่นๆ สัมพันธ์กับปิแอร์ มี 2 ทางเลือกสำหรับโทมัส; ขวาหรือซ้ายของปิแอร์ จากนั้น มี 4 ที่นั่งที่เป็นไปได้สำหรับโรซ่าที่ไม่ติดกับปิแอร์หรือโทมัส 5 คนที่เหลือสามารถจัดเรียงได้ใน $5!$ วิธี ดังนั้นมีวิธีจัดเรียงคนรอบโต๊ะทั้งหมด $2\cdot 4\cdot 5!=960$ วิธี
วิธี... | 1440 - 480 = \boxed{960} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าจำนวนลบหนึ่งคูณด้วย 6 ผลลัพธ์จะเท่ากับ 20 น้อยกว่าจำนวนเดิม จำนวนเดิมมีค่าเท่าใด | ให้จำนวนนั้นเป็น $x$ เราทราบว่า $6x=x-20$ ลบ $x$ จากทั้งสองข้างจะได้ $5x=-20$ จากนั้นหารทั้งสองข้างด้วย 5 จะได้ $x= \boxed{-4}$ | x= \boxed{-4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้า $WXYZ$ ถูกวาดบนรูปสามเหลี่ยม $ABC$ โดยที่จุด $W$ อยู่บนส่วนของเส้นตรง $AB$ จุด $X$ อยู่บนส่วนของเส้นตรง $AC$ และจุด $Y$ และ $Z$ อยู่บนส่วนของเส้นตรง $BC$ ดังแสดง ถ้า $m\angle BWZ=26^{\circ}$ และ $m\angle CXY=64^{\circ}$ แล้ว $m\angle BAC$ มีค่าเท่าใดเป็นองศา? [asy]
unitsize(0.3cm);
draw((0,0)--(4.5,6)-... | เนื่องจาก $WXYZ$ เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า มุม $XYC$ และ $WZB$ เป็นมุมฉาก เนื่องจากมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากรวมกันได้ $90^\circ$ ดังนั้น $m\angle WBZ=90-m\angle BWZ=90-26=64^\circ$ และ $m\angle XCY=90-m\angle CXY=90-64=26^\circ$ ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ มุมภายในต้องรวมกันได้ $180^\circ$ ดังนั้น $m\angle BAC=180-m\angle WBZ-m\... | m\angle BAC=180-m\angle WBZ-m\angle XCY=180-64-26=\boxed{90^\circ} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แปลงจำนวนฐาน-$64$ $100_{64}$ เป็นฐาน $62$ | จำนวน $100_{64}$ ตามนิยามคือ $64^2$ เราสามารถเขียนใหม่เป็น $(62+2)^2$ จากนั้นใช้พีชคณิตขยายเป็น $62^2 + 4\cdot 62 + 4$ เขียนในฐาน $62$ เราได้ $\boxed{144}$ (นั่นคือ $144_{62}$) | 144_{62} | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $re^{i \theta}$ เป็นรากของสมการ
\[z^8 - z^7 + z^6 - z^5 + z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 = 0,\]โดยที่ $r > 0$ และ $0 \le \theta < 2 \pi,$ จงหาผลรวมของค่า $ heta$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด | สมการที่กำหนดให้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น
\[\frac{z^9 + 1}{z + 1} = 0.\]ดังนั้น $z^9 + 1 = 0,$ หรือ $z^9 = -1.$ เนื่องจาก $z = e^{i \theta},$
\[e^{9i \theta} = -1.\]นั่นหมายความว่า $9 \theta = \pi + 2 \pi k$ สำหรับจำนวนเต็ม $k$ ใดๆ เนื่องจาก $0 \le \theta < 2 \pi,$ ค่า $k$ ที่เป็นไปได้คือ 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7 และ 8. (เรา... | 8π | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $a+b+c+d+e+f$ สำหรับการแทนค่าทศนิยมของ $\frac{4}{37}+\frac{3}{11}+\frac{23}{9}=2.abcdef\ldots$? | เราสามารถใช้การหารยาวเพื่อหาการแทนค่าทศนิยมของเศษส่วนทั้งสามได้ แต่มีวิธีที่ฉลาดกว่า
เราเริ่มต้นด้วยการหาเศษส่วนที่เทียบเท่ากันที่มีตัวส่วนน้อยกว่ากำลังของ 10 หนึ่งตัว ตัวอย่างเช่น สำหรับ $\frac{3}{11}$ เราสามารถคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย 9 เพื่อเขียนตัวเลขนี้ใหม่เป็น $\frac{27}{99}$ ตอนนี้เราสามารถเขียนเศษส่วนนี้ใหม่เป็... | 9+3+6+3+9+0=\boxed{30} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เมื่อจำนวนเต็มฐานสิบ 269 ถูกแปลงเป็นฐานห้า ผลรวมของหลักจะเท่ากับเท่าใด | กำลังของ 5 ที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 269 คือ $5^3=125$ ผลคูณของ 125 ที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 269 คือ $2\cdot125=250$ ดังนั้นหลักในหลักของ $5^3$ คือ 2 หลังจากลบ 250 จาก 269 เราได้ $269-250=19$ เราสามารถแสดง 19 เป็น $3\cdot5^1+4\cdot5^0$ นั่นหมายความว่าเรามี 3 ในหลักของ $5^1$ และ 4 ในหลักของ $5^0$ การแทนค่าฐานห้าของ 269 คื... | 2+0+3+4=\boxed{9} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้สมการกราฟดังต่อไปนี้เป็นพาราโบลา วงกลม วงรี ไฮเปอร์โบลา จุด เส้น สองเส้น หรือว่างเปล่า
$y^2 - x +5y - 25 = 0$ | เราสามารถจัดเรียงสมการนี้ใหม่เป็น $x = y^2 + 5y - 25$ ซึ่งเป็นพาราโบลาที่เปิดออกด้านข้าง $\boxed{\text{parabola}}$. | \boxed{\text{parabola}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ผลรวมของสี่จำนวนคู่บวกต่อเนื่องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาผลรวมที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ | กำหนดให้ $2n-2$, $2n$, $2n+2$ และ $2n+4$ เป็นสี่จำนวนคู่บวกต่อเนื่อง ถ้า $(2n-2)+(2n)+(2n+2)+(2n+4)=8n+4=2^2(2n+1)=m^2$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $m$ บางจำนวน แล้ว $2n+1$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์คี่ $2n+1=1^2$ ให้ $n=0$ ซึ่งเราปฏิเสธเพราะจำนวนเต็มของเราเป็นบวก $2n+1=3^2$ ให้ $n=4$ ซึ่งให้ผลรวมเป็น $8\times4+4=36$ ดังนั้นผลรวมท... | \boxed{36} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฟิลิปโยนเหรียญที่ไม่เป็นธรรม 8 ครั้ง เหรียญนี้มีโอกาสออกหัวเป็นสองเท่าของก้อย ฟิลิปมีโอกาสได้หัวちょうど 3 ครั้ง มากกว่าได้หัวちょうど 2 ครั้ง เท่าใด? | ความน่าจะเป็นที่ฟิลิปโยนเหรียญได้ $k$ หัวคือ $$\binom8k\left(\frac23\right)^k\left(\frac13\right)^{8-k}=\frac1{3^8}\binom8k2^k,$$ เนื่องจากมี $\binom{8}{k}$ วิธีที่ $k$ จาก $8$ เหรียญจะออกหัว และแต่ละวิธีการจัดเรียง $k$ หัวจาก $8$ เหรียญนี้จะเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น $\left(\frac23\right)^k\left(\frac13\right)^{8-k}$.... | [
"ประยุกต์"
] | |
สำหรับ $n \ge 0$ , ให้ $F_n$ แทนจำนวน Fibonacci ตัวที่ $n$ (นั่นคือ $F_0 = 0, F_1 = 1$ และ $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ สำหรับทุก $n \ge 2$) ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของตัวหารร่วมมากของจำนวน Fibonacci สองจำนวนที่ต่อเนื่องกันคือเท่าใด? | เราต้องการหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $\text{gcd}\,(F_{n}, F_{n-1})$. เนื่องจาก $F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2},$ โดยอัลกอริทึมของยุคลิด นี่เทียบเท่ากับการหา \begin{align*}
\text{gcd}\,(F_{n-1} + F_{n-2}, F_{n-1}) &= \text{gcd}\,(F_{n-1} + F_{n-2} - F_{n-1}, F_{n-1}) \\
&= \text{gcd}\,(F_{n-1}, F_{n-2}).
\end{align*}ดังนั้น... | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}$ หารด้วย 7 | เพื่อหาผลบวก เราพิจารณาเลขยกกำลังของ 2 ตัวแรก modulo 7: \begin{align*}
2^0 &\equiv 1, \\
2^1 &\equiv 2, \\
2^2 &\equiv 4, \\
2^3 &\equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}
\end{align*}เนื่องจาก $2^3 \equiv 1 \pmod{7}$ เลขยกกำลังของ 2 modulo 7 จะซ้ำในรอบทุกๆ 3 ตัว ดังนั้น \begin{align*}
&1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100} \\
&\quad\e... | 2^3 \equiv 1 \pmod{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้าน 9 ด้าน มีเส้นทแยงมุมภายในกี่เส้น (เส้นทแยงมุมภายใน คือ เส้นที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่ไม่มีด้านเชื่อมต่อระหว่างจุดยอดเหล่านั้น) | รูปรูปหลายเหลี่ยมมีจุดยอด 9 จุด ดังนั้นจากจุดยอดแต่ละจุดอาจมีจุดยอดอื่นอีก 8 จุดที่เราสามารถลากเส้นทแยงมุมไปได้ อย่างไรก็ตาม 2 จุดใน 8 จุดนี้เชื่อมต่อกับจุดยอดเดิมด้วยด้าน ดังนั้นจึงไม่เชื่อมต่อด้วยเส้นทแยงมุมภายใน ดังนั้นจุดยอดแต่ละจุดเชื่อมต่อกับจุดอื่นๆ อีก 6 จุดด้วยเส้นทแยงมุมภายใน นี่ให้จำนวนเบื้องต้นของ $9 \times... | \dfrac{9\times 6}{2} = \boxed{27} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เครื่องบินสีน้ำเงิน, เครื่องบินสีแดง และเครื่องบินสีขาว กำลังรอที่จะ décoller จากท่าอากาศยานที่มีรันเวย์สองรันเวย์ เครื่องบินต้อง décoller จากท่าอากาศยานทีละลำ แต่สามารถ décoller จากรันเวย์ใดก็ได้ มีวิธีการจัดตารางการ décoller ทั้งหมดกี่วิธี (วิธีหนึ่งคือ เครื่องบินสีน้ำเงินบนรันเวย์ A ตามด้วยเครื่องบินสีแดงบนรันเวย์ B... | มี 3 วิธีในการเลือกเครื่องบินลำแรก และ 2 วิธีในการเลือกที่ที่จะ décoller ในทำนองเดียวกัน มี 2 วิธีในการเลือกเครื่องบินลำที่สองหลังจากเครื่องบินลำแรก décoller แล้ว และ 2 วิธีในการเลือกที่ที่จะ décoller เช่นเดียวกับ 1 วิธีในการเลือกเครื่องบินลำสุดท้าย และ 2 วิธีในการเลือกรันเวย์ของมัน คูณกันได้ทั้งหมด $3\cdot2\cdot2\cdo... | 3\cdot2\cdot2\cdot2\cdot1\cdot2=3\cdot2^4=\boxed{48} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีด้านเท่ากัน 5 นิ้ว และฐาน 6 นิ้ว ถูกจารึกไว้ในวงกลม จงหาความยาวรัศมีของวงกลมเป็นนิ้ว | เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังนั้นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของฐานของมันจึงเป็นแกนสมมาตร ซึ่งผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่รูปสามเหลี่ยมถูกจารึกไว้: [asy]
unitsize(20);
draw(Circle((0,0),25/8));
draw(((-3,-7/8)--(3,-7/8)--(0,25/8)--cycle));
dot((0,0));
draw(((0,25/8)--(0,-7/8)),dotted);
draw(((0,-5/8)--(-1/4,-5/8)--(-1/4,-7/8)... | r=\frac{25}{8}=\boxed{3\frac18} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จำนวน Fibonacci ถูกกำหนดแบบเรียกซ้ำโดยสมการ
\[ F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}\]สำหรับจำนวนเต็ม $ n \ge 2$ ทุกจำนวน โดยมีค่าเริ่มต้น $ F_0 = 0$ และ $ F_1 = 1$. ให้ $ G_n = F_{3n}$ เป็นจำนวน Fibonacci ทุกๆ สามตัว มีค่าคงที่ $ a$ และ $ b$ ซึ่งจำนวนเต็ม $ n \ge 2$ ทุกจำนวน สอดคล้องกับ
\[ G_n = a G_{n - 1} + b G_{n - 2}.\]จงห... | เราต้องการเขียน $G_n$ ในรูปของ $G_{n-1}$ และ $G_{n-2}$ เนื่องจาก $G_n = F_{3n}$ นี้ก็เหมือนกับการเขียน $F_{3n}$ ในรูปของ $F_{3(n-1)}$ และ $F_{3(n-2)}$ เพื่อทำเช่นนี้ เราใช้ความสัมพันธ์แบบเรียกซ้ำที่กำหนดให้ซ้ำๆ
$$ \begin{aligned} G_n &= F_{3n} \\
&=F_{3n-1} + F_{3n-2} \\
&=2F_{3n-2} + F_{3n-3} \\
&=3F_{3n-3} + 2F_{3n-... | (a,b) = \boxed{(4,1)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความน่าจะเป็นที่ผลคูณของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนที่แตกต่างกัน ซึ่งน้อยกว่า 100 ที่เลือกมาแบบสุ่ม จะเป็นพหุคูณของ 3 | เราสามารถเลือกจำนวนสองจำนวนได้ใน $\binom{99}{2}=4851$ วิธี สองจำนวนจะมีผลคูณเป็นพหุคูณของ 3 หากอย่างน้อยหนึ่งในนั้นเป็นพหุคูณของ 3 เราสามารถนับจำนวนวิธีที่ผลคูณจะไม่เป็นพหุคูณของ 3 ได้ง่ายกว่า: เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นเมื่อไม่มีจำนวนใดเป็นพหุคูณของ 3 มี $\frac{99}{3}=33$ พหุคูณของ 3 น้อยกว่า 100 และ $99-33=66$ จำนวนที่ไม... | \frac{2706}{4851}=\boxed{\frac{82}{147}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า 4 daps เท่ากับ 7 yaps และ 5 yaps เท่ากับ 3 baps แล้ว 42 baps เท่ากับ daps กี่ตัว | คูณ $5\text{ yaps}=3\text{ baps}$ ด้วย 14 เพื่อหาว่า 70 yaps เท่ากับ 42 baps. จากนั้นคูณ $4\text{ daps}=7\text{ yaps}$ ด้วย 10 เพื่อหาว่า $\boxed{40}$ daps เท่ากับ 70 yaps. | \boxed{40} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในระบบเลขฐานสาม $a = 2012_3$ และ $b = 201_3$ ผลคูณ $ab$ เขียนในระบบเลขฐานสามเป็นเท่าใด | เราสามารถคูณในระบบเลขฐาน 3 ได้เหมือนกับในระบบเลขฐาน 10: ทุกครั้งที่เราได้จำนวนมากกว่า 3 เราจะบันทึกเศษที่ได้เมื่อหารจำนวนนั้นด้วย 3 และนำผลหารไปบวกต่อ \[
\begin{array}{r}
2012 \\
\times 201 \\ \hline
2012 \\
11101\hphantom{00} \\ \hline
1112112
\end{array}
\] ดังนั้น ผลคูณคือ $\boxed{1112112_3}.$ | \boxed{1112112_3}. | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนด $P(x)$ เป็นพหุนาม ซึ่งเมื่อ $P(x)$ หารด้วย $x-13$ แล้วเหลือเศษ 19 และเมื่อ $P(x)$ หารด้วย $x+17$ แล้วเหลือเศษ $-11$ จงหาเศษที่ได้เมื่อ $P(x)$ หารด้วย $(x-13)(x+17)$ | เนื่องจากเราหารด้วยพหุนามกำลังสอง เศษจะมีดีกรีน้อยกว่า 2 ดังนั้นเศษ $r(x)=ax+b$ สำหรับค่าคงที่ $a$ และ $b$ บางค่า เราได้
$$P(x) = (x-13)(x+17)Q(x) +ax+b$$โดยที่ $Q(x)$ คือผลหารของการหาร
จากนั้นโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ
$$\begin{aligned} P(13) &= 13a+b = 19 \\
P(-17) &= -17a+b = -11 \end{aligned}$$.
การแก้ระบบสมการนี้จะได้... | \boxed{x+6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยม $PAB$ และสี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ อยู่ในระนาบตั้งฉากกัน โดยที่ $PA=3$, $PB=4$, และ $AB=5$ จงหาค่าของ $PD$ [asy]
size(100); defaultpen(linewidth(0.8)); dotfactor=4;
draw((0,-0.5)--(0,3)--(5,3)--(5,-0.5)--cycle);
filldraw((0,0)--(-2,-2)--(3,-2)--(5,0)--cycle,white,defaultpen);
draw((1.5,0)--(3.5,0)--(3.5,2)--(... | เนื่องจากส่วนของเส้นตรง $AD$ ตั้งฉากกับระนาบของ $PAB$ มุม $PAD$ จึงเป็นมุมฉาก ในสามเหลี่ยมมุมฉาก $PAD, PA=3$ และ $AD=AB=5$ โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส $PD = \sqrt{3^2+5^2}=\boxed{\sqrt{34}}$ ข้อเท็จจริงที่ว่า $PB=4$ ไม่จำเป็นต้องใช้ | PB=4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าพจน์แรกของลำดับเลขคณิตเท่ากับพจน์ที่สามลบพจน์ที่สอง และพจน์ที่สี่เท่ากับ 8 แล้ว พจน์แรกคือเท่าไร | ให้ $d$ เป็นผลต่างร่วม เราทราบว่าพจน์แรกเท่ากับพจน์ที่สามลบพจน์ที่สอง ดังนั้นพจน์แรกเท่ากับ $d$ แล้ว พจน์ที่สองเท่ากับ $2d$ พจน์ที่สามเท่ากับ $3d$ และพจน์ที่สี่เท่ากับ $4d = 8$ ดังนั้นพจน์แรกคือ $d = \boxed{2}$ | d = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สเตซี่กำลังยืนอยู่ในทุ่งหญ้า เธอเดินไปทางทิศตะวันตก 11 เมตร, ทางทิศเหนือ 30 เมตร, ทางทิศตะวันตก 4 เมตร และสุดท้ายทางทิศใต้ 22 เมตร เธออยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นกี่เมตร? | สเตซี่เดินไปทางทิศตะวันตกทั้งหมด $11+4=15$ เมตร และเธอเดินไปทางทิศเหนือสุทธิ $30-22=8$ เมตร ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เธออยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น $\sqrt{8^2+15^2}=\boxed{17\text{ meters}}$ | \sqrt{8^2+15^2}=\boxed{17\text{ meters}} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
มีเด็กชาย 8 คน และเด็กหญิง 6 คน ซึ่งเป็นสมาชิกของวงทรัมเป็ตในวงโยธวาทิต จากสมาชิกของวงทรัมเป็ต กำลังจะจัดตั้งวงดนตรีขนาด 5 คน หากวงดนตรีขนาด 5 คนนี้ต้องประกอบด้วยเด็กชาย 3 คน และเด็กหญิง 2 คน จะมีวงดนตรีขนาด 5 คนที่เป็นไปได้กี่วง | ก่อนอื่นเราพิจารณาว่ามีวิธีการเลือกเด็กชาย 3 คน จาก 8 คน ได้กี่วิธี มี $8$ ทางเลือกสำหรับเด็กชายคนแรก, $7$ ทางเลือกสำหรับเด็กชายคนที่สอง และ $6$ ทางเลือกสำหรับเด็กชายคนที่สาม อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเด็กชายแต่ละคนไม่แตกต่างกัน เราจึงนับซ้ำ และต้องหารด้วย $3 \cdot 2$ ในทำนองเดียวกัน มี $6 \cdot 5$ วิธีในการเลือกเด็กหญิง 2... | \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 2} = \boxed{840} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จำนวนเต็ม $x$ โดยที่ $10 \leq x \leq 99$ จะถูกเลือก ถ้าทุกการเลือกมีความน่าจะเป็นเท่ากัน จงหาความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งหลักของ $x$ เป็น 7 | มี 90 ตัวเลือกที่เป็นไปได้สำหรับ $x$ มี 10 ตัวเลือกที่มีหลักสิบเป็น 7 และ 9 ตัวเลือกที่มีหลักหน่วยเป็น 7 เนื่องจาก 77 ได้รับการนับซ้ำ 2 ครั้ง จึงมี $10 + 9 - 1 = 18$ ตัวเลือกของ $x$ ที่อย่างน้อยหนึ่งหลักเป็น 7 ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ $\frac{18}{90} = \boxed{\frac{1}{5}}$. | \frac{18}{90} = \boxed{\frac{1}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $\sin 90^\circ$. | การหมุนจุด $(1,0)$ รอบจุดกำเนิดทวนเข็มนาฬิกา $90^\circ$ จะได้จุด $(0,1)$ ดังนั้น $\sin 90^\circ = \boxed{1}$ | $\sin 90^\circ = \boxed{1}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในสวนสนุกแห่งหนึ่งมีส่วนลดสำหรับการซื้อตั๋วจำนวนมาก ถ้าซื้อตั๋วไม่เกิน 60 ใบในหนึ่งครั้ง ราคาของแต่ละใบจะเท่ากับ 70 เหรียญ แต่ถ้าซื้อตั๋วมากกว่า 60 ใบในครั้งเดียว ราคาของแต่ละใบจะลดลง 1 เหรียญสำหรับตั๋วที่ซื้อเพิ่มขึ้นทุกใบ ถ้า $t$ คือจำนวนตั๋วที่ซื้อในครั้งเดียว จำนวน $t$ ที่มากที่สุดที่ทำให้สวนสนุกมีกำไรมากกว่า 4200 ... | ให้ $t$ แทนจำนวนตั๋วที่ขายในครั้งเดียว เราจะได้อสมการต่อไปนี้: \begin{align*} 4200&<(70-(t-60))(t)
\\4200&<(130-t)(t)
\\4200&<130t-t^2
\\\Rightarrow\qquad t^2-130t+4200&<0
\\\Rightarrow\qquad (t-60)(t-70)&<0
\end{align*}เนื่องจากรากของสมการด้านซ้ายมือคือ 60 และ 70 อสมการจะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายที่จุดทั้งสองนี้ สำหรับ $... | t=\boxed{69} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาสมการของเส้นตรงที่สัมผัสกับพาราโบลาทั้งสอง $y^2 = 4x$ และ $x^2 = -32y.$ แสดงคำตอบในรูป "$y = mx + b$". | กำหนด $x = \frac{y^2}{4},$ เราได้
\[y = \frac{my^2}{4} + b,\]หรือ $my^2 - 4y + 4b = 0.$ เนื่องจากเส้นตรงสัมผัส พาราโบลา ดังนั้นสมการกำลังสองนี้มีรากคู่ ซึ่งหมายความว่าตัวจำแนกเท่ากับ 0. ดังนั้น,
\[16 - 4(m)(4b) = 0,\]หรือ $bm = 1.$
กำหนด $y = -\frac{x^2}{32},$ เราได้
\[-\frac{x^2}{32} = mx + b,\]หรือ $x^2 + 32mx + 3... | \boxed{y = \frac{1}{2} x + 2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฉันกำลังจะซื้อผลไม้แปลก ๆ. มังคุดราคา $x-4$ ดอลลาร์. Starfruit ราคาถูกกว่า rambutan ห้าดอลลาร์. Rambutan ราคาแพงกว่ามังคุด $2x$ ดอลลาร์. ต้องเสียเงินเท่าไหร่ในการซื้อ rambutan หนึ่งผล, starfruit สองผล และมังคุดสามผล? คำตอบของคุณจะเป็นนิพจน์ที่ขึ้นอยู่กับ $x$. | เรารู้ว่ามังคุดหนึ่งผลราคา $x-4$ ดอลลาร์. นั่นหมายความว่า rambutan หนึ่งผลราคา $(x-4) + 2x = 3x-4$ ดอลลาร์. จากนั้น starfruit หนึ่งผลราคา $(3x-4) -5 = 3x-9$ ดอลลาร์. เราต้องการหา $1 \cdot (3x-4) + 2 \cdot (3x-9) + 3 \cdot (x-4)$. การกระจายนิพจน์สามนิพจน์นี้ให้เราได้ $(3x-4) + (6x-18) + (3x-12)$. สุดท้าย เราบวกพจน์... | \boxed{-34 + 12x} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามลูกบาศก์ $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ ซึ่งมีรากที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองราก มีสมบัติดังต่อไปนี้:
(i) ผลรวมของรากทั้งหมดเท่ากับสองเท่าของผลคูณของรากทั้งหมด
(ii) ผลรวมของกำลังสองของรากทั้งหมดเท่ากับ 3 เท่าของผลคูณของรากทั้งหมด
(iii) $f(1) = 1.$
จงหาค่า $c.$ | ให้ $r,$ $s,$ $t$ เป็นรากของพหุนามลูกบาศก์ จากสูตรของ Vieta's formulas,
\begin{align*}
r + s + t &= -a, \\
rs + rt + st &= b, \\
rst &= -c.
\end{align*}จากเงื่อนไข (i), $-a = -2c,$ ดังนั้น $a = 2c.$
กำลังสองสมการ $r + s + t = -a,$ เราได้
\[r^2 + s^2 + t^2 + 2(rs + rt + st) = a^2.\]ดังนั้น
\[r^2 + s^2 + t^2 = a^2 - 2(r... | c = \boxed{-\frac{9}{4}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ห้าถูกบวกเข้ากับสี่เท่าของจำนวนเต็มตัวหนึ่งได้ผลลัพธ์เป็น 277 จำนวนเต็มตัวนั้นคือจำนวนใด | ให้จำนวนเต็มตัวนั้นเป็น $n$ ดังนั้น ห้าบวกกับสี่เท่าของ $n$ เทียบเท่ากับนิพจน์: $$5+4n$$เราทราบว่าผลลัพธ์ของนิพจน์นี้คือ 277 ดังนั้นเราสามารถตั้งสมการได้: \begin{align*}
5+4n&=277 \\
4n&=272 \\
n&=68.
\end{align*}ดังนั้น จำนวนเต็มตัวนั้นคือ $\boxed{68}$. | \boxed{68} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สามเหลี่ยม $AXY$ มีความคล้ายคลึงกับสามเหลี่ยม $ZBC$ ถ้า $AX = 6$ เซนติเมตร, $ZB = 18$ เซนติเมตร และ $ZC = 63$ เซนติเมตร จงหาความยาวของส่วน $AY$ เป็นเซนติเมตร | เนื่องจากมีความคล้ายคลึงกัน $\frac{AX}{ZB} = \frac{AY}{ZC}$ ดังนั้น $\frac{1}{3} = \frac{AY}{63} \rightarrow AY = \boxed{21}$ | $\frac{1}{3} = \frac{AY}{63} \rightarrow AY = \boxed{21}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนพหุคูณบวกของ 9 ที่น้อยกว่า 1000 | ก่อนอื่น เราจะหาพหุคูณของ 9 ที่มากที่สุดและน้อยกว่า 1000 เนื่องจาก $1000 \div 9 = 111$ เศษ 1 พหุคูณของ 9 ที่มากที่สุดและน้อยกว่า 1000 คือ $111 \cdot 9$ หรือ 999
ดังนั้น ทุกจำนวนในรูป $n \cdot 9$ จะใช้ได้ หาก $n$ เป็นบวกและมากที่สุด 111 มีค่า $n$ ทั้งหมด 111 ค่า ดังนั้นมีพหุคูณของ 9 ที่น้อยกว่า 1000 ทั้งหมด $\boxed{111... | 111 | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน $z$ ซึ่งส่วนจริงของ $ rac{1}{z}$ เท่ากับ $ rac{1}{6}$ เซตนี้จะสร้างเป็นเส้นโค้ง จงหาพื้นที่ของบริเวณภายในเส้นโค้ง | โดยทั่วไป ส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน $z$ กำหนดโดย
\[\frac{z + \overline{z}}{2}.\]ดังนั้น ส่วนจริงของ $1/z$ เท่ากับ 1/6 ก็ต่อเมื่อ
\[\frac{\frac{1}{z} + \frac{1}{\overline{z}}}{2} = \frac{1}{6},\]หรือ
\[\frac{1}{z} + \frac{1}{\overline{z}} = \frac{1}{3}.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $3z \overline{z}$ เราได้
\[3z + 3 \overline{z} =... | \boxed{9 \pi} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของตัวประกอบเฉพาะของ 85,085 | $85085=85\cdot1001=(5\cdot17)\cdot(11\cdot91)=5\cdot17\cdot11\cdot(7\cdot13)$. ดังนั้น ผลรวมของตัวประกอบเฉพาะของมันคือ $5+17+11+7+13=\boxed{53}$ | 5+17+11+7+13=\boxed{53} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
มีวิธีการกี่วิธีในการจัดตั้งคณะกรรมาธิการระหว่างประเทศ หากเราต้องเลือกประเทศในยุโรป 1 ประเทศ จากประเทศในยุโรป 6 ประเทศ ประเทศในเอเชีย 1 ประเทศ จากประเทศในเอเชีย 4 ประเทศ ประเทศในอเมริกาเหนือ 1 ประเทศ จากประเทศในอเมริกาเหนือ 3 ประเทศ และประเทศในทวีปแอฟริกา 1 ประเทศ จากประเทศในทวีปแอฟริกา 7 ประเทศ | มีหกวิธีในการเลือกประเทศในยุโรปหนึ่งประเทศ สี่วิธีในการเลือกประเทศในเอเชียหนึ่งประเทศ สามวิธีในการเลือกประเทศในอเมริกาเหนือหนึ่งประเทศ และเจ็ดวิธีในการเลือกประเทศในทวีปแอฟริกาหนึ่งประเทศ ดังนั้น มี $6 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 7 = \boxed{504}$ วิธีในการจัดตั้งคณะกรรมาธิการระหว่างประเทศ | 6 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 7 = \boxed{504} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่น้อยกว่า $100\pi$? | จากความรู้เกี่ยวกับการ展开ทศนิยมของ $\pi$ เราสามารถประมาณได้ว่า $100 \pi \approx 314.15$ ดังนั้นจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $100\pi$ คือ 314. ดังนั้นจำนวนเต็มบวกคือ 1, 2, 3, $\ldots$, 313, 314 รวมทั้งหมด $\boxed{314}$ จำนวน | \boxed{314} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
สามคู่ไปดูหนัง พวกเขาต้องการนั่งด้วยกันเพื่อความเพลิดเพลินสูงสุด แต่กลับเข้าแถวแบบสุ่มในแถวที่มีหกที่นั่ง ความน่าจะเป็นที่พวกเขาจะนั่งในรูปแบบที่เหมาะสมทางสังคม คือ รูปแบบที่แต่ละคนนั่งอยู่ติดกับคู่ของตนเองคือเท่าไร? | มี $\binom{6}{2} = 15$ วิธีในการเลือกคนที่จะนั่งในสองที่นั่งแรก และมี 3 วิธีที่คนสองคนนั้นจะเป็นคู่ มีความน่าจะเป็น $3/15 = 1/5$ ที่สองที่นั่งแรกจะเป็นคู่ หากคู่หนึ่งนั่งสำเร็จแล้ว จะมี $\binom{4}{2} = 6$ วิธีในการนั่งคนในสองที่นั่งถัดไป และมี 2 วิธีที่คนสองคนนั้นจะเป็นคู่ (คุณสามารถเลือกคู่ใดคู่หนึ่งจากสองคู่ที่เหลือ)... | 1/5 \cdot 1/3 = \boxed{\frac{1}{15}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาจำนวนเฉพาะที่มากที่สุด (ในรูปทศนิยม) ที่หารผลบวก $$ 1_2 + 10_2 + 100_2 + \cdots + 100000000_2. $$ ลงตัว | เราสามารถเห็นได้ว่า \begin{align*}
1_2 + 10_2 + 100_2 + \cdots + 100000000_2 &= 111111111_2 \\
&= 1000000000_2 - 1\\
& = 2^9 - 1.
\end{align*}เราสามารถแยกตัวประกอบ $2^9 - 1 = 8^3 - 1$ เป็นผลต่างของกำลังสามเพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น: $$ 8^3 - 1 = (8 - 1)(8^2 + 8 + 1) = 7 \cdot 73. $$เนื่องจาก $\boxed{73}$ เป็นจำนวนเฉพาะ จ... | \boxed{73} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวก $r$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $$\mathop{\text{lcm}}[r,700] = 7000~?$$ | สังเกตการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะ $700=2^2\cdot 5^2\cdot 7$ และ $7000=2^3\cdot 5^3\cdot 7$.
ถ้า $\mathop{\text{lcm}}[r,700]=7000$ แล้วโดยเฉพาะ $r$ เป็นตัวหารของ $7000$ ดังนั้นเราสามารถเขียน $r=2^\alpha\cdot 5^\beta\cdot 7^\gamma$ โดยที่ $0\le\alpha\le 3$, $0\le\beta\le 3$, และ $0\le\gamma\le 1$.
ยิ่งกว่านั้น เราทราบ... | 1000+7000=\boxed{8000} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = 2x-3$ และ $g(x) = x+1$ จงหาค่าของ $g(f(5)-1)$ | เรามี $f(5) = 2(5) -3 = 7$ ดังนั้น $g(f(5)-1) = g(7-1) = g(6) = 6+1 = \boxed{7}$ | g(f(5)-1) = g(7-1) = g(6) = 6+1 = \boxed{7} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของจุด $(a,b)$ บนระนาบพิกัด โดยที่ $a$ และ $b$ แต่ละตัวอาจเป็น $-1$, 0 หรือ 1 มีเส้นตรงที่แตกต่างกันกี่เส้นที่ผ่านจุดใน $S$ อย่างน้อย 2 จุด | มี $\binom{9}{2}=36$ คู่ของจุดใน $S$ และแต่ละคู่กำหนดเส้นตรง 1 เส้น อย่างไรก็ตาม มีเส้นตรงแนวนอน 3 เส้น เส้นตรงแนวตั้ง 3 เส้น และเส้นตรงทแยงมุม 2 เส้น ที่ผ่านจุดใน $S$ จำนวน 3 จุด และเส้นตรงเหล่านี้แต่ละเส้นถูกกำหนดโดย 3 คู่ของจุดที่แตกต่างกันใน $S$ ดังนั้น จำนวนเส้นตรงที่แตกต่างกันคือ $36 - 2 \cdot 8= \boxed{20}$ | 36 - 2 \cdot 8= \boxed{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มบวกน้อยกว่า 1000 จำนวนใดบ้างที่มีตัวหารบวกที่แตกต่างกันเพียง 3 ตัว? | จากสูตรการหาจำนวนตัวหารบวกทั้งหมด จำนวนเต็มบวกในรูป $p^{2}$ สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ ใดๆ จะมีตัวหารบวกเพียง 3 ตัว ดังนั้นเราต้องนับจำนวนจำนวนเฉพาะระหว่าง 1 ถึง $\sqrt{1000}$ (กำลังสองของจำนวนเฉพาะเหล่านี้คือจำนวนเต็มบวกน้อยกว่า 1000 ที่มีตัวหารบวกเพียง 3 ตัว) มีจำนวนเฉพาะ $\boxed{11}$ ตัวดังนี้: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... | \boxed{11} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จักรยานกำลังแล่นด้วยความเร็ว 20 ฟุตต่อนาที ความเร็วของจักรยานแสดงเป็นนิ้วต่อวินาทีเท่าใด | มี 12 นิ้วใน 1 ฟุต ดังนั้นจักรยานกำลังแล่นด้วยความเร็ว 12(20) = 240 นิ้วต่อนาที มี 60 วินาทีใน 1 นาที ดังนั้นจักรยานกำลังแล่นด้วยความเร็ว $\frac{240}{60}=\boxed{4}$ นิ้วต่อวินาที | $\frac{240}{60}=\boxed{4}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายที่ $(2, 4)$ และ $(0, -2)$ และจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายที่ $(5, 1)$ และ $(1, 5)$ แสดงคำตอบในรูปที่ง่ายที่สุด | เราทราบว่าจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ คือ $$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right).$$จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงแรกคือ $$\left(\frac{2+0}{2}, \frac{4+(-2)}{2}\right) = (1,1),$$และจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่สองคือ $$\left(\frac{5+1}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (3,... | \frac{3-1}{3-1} = \boxed{1}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีจำนวนเต็มกี่จำนวนระหว่าง 1 ถึง 2005 ที่หารด้วย 3 หรือ 4 แต่ไม่หารด้วย 12 | เนื่องจาก $\frac{2005}{3} = 668\frac13$ มี 668 พหุคูณของ 3 ระหว่าง 1 ถึง 2005. เนื่องจาก $\frac{2005}{4} = 501\frac14$ มี 501 พหุคูณของ 4 ระหว่าง 1 ถึง 2005. เนื่องจาก $\frac{2005}{12} = 167\frac{1}{12}$ มี 167 พหุคูณของ 12 ระหว่าง 1 ถึง 2005.
พหุคูณของ 12 ทุกจำนวนเป็นพหุคูณของ 3 และ 4 ดังนั้นมี $668-167 = 501$ พหุคู... | 501+334 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทีมฟุตบอลของแอนนี่กำลังฝึกパス โดยที่สมาชิกทั้ง 11 คนต้องส่งบอลให้กันคนละ 3 ครั้ง จงหาว่าต้องส่งบอลทั้งหมดกี่ครั้ง ก่อนที่การฝึกจะเสร็จ | การส่งบอลในฟุตบอลแตกต่างจากการจับมือตรงที่ การที่บุคคล A ส่งบอลให้บุคคล B นั้นแตกต่างจากการที่บุคคล B ส่งบอลให้บุคคล A ดังนั้นมีสมาชิกในทีม $11$ คนที่สามารถส่งบอลให้สมาชิกคนอื่น ๆ ได้ $10$ คน ซึ่งหมายความว่ามีการส่งบอลระหว่างสมาชิกในทีม $11 \cdot 10 = 110$ ครั้ง เนื่องจากแต่ละคนต้องส่งบอลให้กันคนละ 3 ครั้ง เราคูณ $110... | \boxed{330}, | [
"จำ",
"เข้าใจ",
"นำไปใช้"
] |
มีวิธีจัดที่นั่ง 8 คนที่แตกต่างกันรอบโต๊ะกลม 8 ที่นั่งได้กี่วิธี โดยที่การจัดที่นั่งสองแบบจะถือว่าเทียบเท่ากันหากสามารถหมุนโต๊ะเพื่อให้ได้รูปแบบเดียวกัน | มี $8!$ วิธีในการจัดที่นั่งของผู้คนรอบโต๊ะ แต่สิ่งนี้จะนับแต่ละรูปแบบที่ถูกต้อง 8 ครั้ง (ครั้งหนึ่งสำหรับการหมุนแต่ละครั้งของรูปแบบเดียวกัน) คำตอบคือ $\dfrac{8!}{8} = 7! = \boxed{5040}$ | \dfrac{8!}{8} = 7! = \boxed{5040} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ทิมต้องการสร้างกราฟวงกลมแสดงจำนวนแพทย์ผู้เชี่ยวชาญด้านการแพทย์อวกาศ เขา 알고 있는 정보는 다음과 같습니다.
$\bullet$ แพทย์ชายอายุต่ำกว่า 35 ปี จำนวน 53 คน
$\bullet$ แพทย์หญิงอายุต่ำกว่า 35 ปี จำนวน 8 คน
$\bullet$ แพทย์ชายอายุระหว่าง 35 ถึง 44 ปี จำนวน 155 คน
$\bullet$ แพทย์หญิงอายุระหว่าง 35 ถึง 44 ปี จำนวน 17 คน
$\bullet$ แพท... | โดยรวมแล้ว มีแพทย์ด้านการแพทย์อวกาศจำนวน $53+8+155+17+145+10+98+2=488$ คน ชายอายุ 45-54 ปี คิดเป็น $145/488$ ของประชากรนี้ ดังนั้นพวกเขาควรคิดเป็นเศษส่วนนั้นของมุมศูนย์กลางของกราฟวงกลมด้วย เนื่องจากมุมศูนย์กลางมี 360 องศาในการแบ่งส่วนระหว่างกลุ่ม กลุ่มชายอายุ 45-54 ปีควรได้รับ $\frac{145}{488}\cdot360\approx\boxed{107}... | \frac{145}{488}\cdot360\approx\boxed{107} | [
"จำแนก",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ช่วงของฟังก์ชัน $f(x)$ คือ $[-3,5].$ ให้ $g(x) = [f(x)]^2.$ จงหาช่วงของฟังก์ชัน $g(x).$ | ให้ $y = f(x),$ ดังนั้น $y$ จะมีค่าตั้งแต่ $-3$ ถึง 5 รวม จากนั้น $y^2$ จะมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 25 รวม (ถ้าเราเลือกค่าใดๆ จาก $-3$ ถึง 0 และยกกำลังสอง เราจะได้ค่าตั้งแต่ 0 ถึง 9 และถ้าเราเลือกค่าใดๆ จาก 0 ถึง 5 และยกกำลังสอง เราจะได้ค่าตั้งแต่ 0 ถึง 25) ดังนั้น ช่วงของ $g(x)$ คือ $\boxed{[0,25]}.$ | \boxed{[0,25]}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ทีมวิ่งของนักเรียนหญิงต้องวิ่ง 3 ไมล์ในวันแรกของการฝึกซ้อม และ 6 ไมล์ทุกวันหลังจากนั้น ทีมวิ่งของนักเรียนชายต้องวิ่ง 5 ไมล์ทุกวันของการฝึกซ้อม โค้ชจะสั่งหอกใหม่ในตอนท้ายของวันเมื่อระยะทางวิ่งรวมของแต่ละคนในทีมวิ่งของนักเรียนหญิงมากกว่านักเรียนชาย นักเรียนหญิงแต่ละคนจะวิ่งระยะทางรวมเท่าไรเมื่อโค้ชสั่งอุปกรณ์ใหม่? | ให้ $d$ แทนจำนวนวันของการฝึกซ้อม ระยะทางวิ่งของนักเรียนหญิงแต่ละคนสามารถแสดงได้เป็น $3+6(d-1)$ และระยะทางวิ่งของนักเรียนชายแต่ละคนคือ $5d$ นักเรียนหญิงจะวิ่งแซงหน้านักเรียนชายหลังจาก $d$ วันถ้า $3+6(d-1)>5d$ เราแก้สมการอสมการนี้ดังนี้: \begin{align*}
3+6(d-1) &> 5d \quad \implies \\
3+6d-6 &> 5d \quad \implies \\
6d-5d... | 3+6(4-1)=\boxed{21} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าจำนวนสามหลัก $\underline{2d2}$ หารด้วย 7 ลงตัว ค่าของ $d$ คือเท่าไร | เราสามารถใช้กฎการหารด้วย 7: ลบหลักสุดท้ายออก, ลบสองเท่าของหลักสุดท้ายจากจำนวนที่เหลือ และตรวจสอบว่าผลลัพธ์หารด้วย 7 ลงตัวหรือไม่ (กฎนี้ไม่ค่อยได้ใช้เนื่องจากไม่ง่ายเท่ากฎการหารด้วยจำนวนอื่นๆ แต่ก็ยังมีประโยชน์!) เพื่อดูว่ากฎนี้ใช้ได้กับจำนวน $\underline{2d2}$ หรือไม่ กฎบอกว่าให้ลบหลักสุดท้าย (2) ออก เหลือจำนวน $\underl... | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหา khoảng cáchระหว่างจุดโฟกัสของไฮเปอร์โบลา
\[\frac{x^2}{50} - \frac{y^2}{22} = 2.\] | ก่อนอื่น เราหารทั้งสองข้างด้วย 2 เพื่อให้ได้
\[\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{44} = 1.\]จากนั้น $a^2 = 100$ และ $b^2 = 44,$ ดังนั้น $c^2 = 144,$ และ $c = 12.$ ดังนั้น ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสคือ $2c = \boxed{24}.$ | 2c = \boxed{24}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าที่ง่ายที่สุดของ $\frac{10! + 11! + 12!}{10! + 11!}$ | เราทำการแยกตัวประกอบเล็กน้อย โดยใช้สมบัติของแฟกทอเรียล:
\[\frac{10! + 11! + 12!}{10! + 11!} = \frac{10!(1+11+11\cdot 12)}{10!(1+11)} = \frac{1+11+11\cdot 12}{12} = \frac{12 + 11 \cdot 12}{12} = \frac{12\cdot 12}{12} = \boxed{12}.\] | 12 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของผลรวม $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} +\cdots + \frac{1}{9900}$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | ก่อนอื่น ตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้บางครั้งเรียกว่า ``จำนวน oblong'' เนื่องจากสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างมากกว่าความยาว 1 หน่วย: $1 \times 2 = 2, 2 \times 3 = 6, 3 \times 4 = 12, 4 \times 5 = 20$ เป็นต้น ตัวส่วนตัวสุดท้ายในนิพจน์คือ $99 \times 100 = 9900$ มาลองหาผลรวมของเศษส่วนทีละไม่กี่ตัวดู และดูว่าเราสังเ... | \frac{99}{100} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับจำนวนจริง $t,$ จุด
\[(x,y) = (\cos t, \cos 2t)\]ถูกพล็อตลงบนกราฟ จุดที่ถูกพล็อตทั้งหมดอยู่บนเส้นโค้งประเภทใด?
(A) เส้นตรง
(B) วงกลม
(C) พาราโบลา
(D) วงรี
(E) ไฮเปอร์โบลา
ใส่อักษรของตัวเลือกที่ถูกต้อง | สังเกตว่า
\[y = \cos 2t = 2 \cos^2 t - 1 = 2x^2 - 1,\]ดังนั้นจุดที่ถูกพล็อตทั้งหมดอยู่บนพาราโบลา คำตอบคือ $\boxed{\text{(C)}}.$ | \boxed{\text{(C)}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $n$ ที่ $2 \le n \le 100$ มีกี่จำนวนที่ทำให้ $\binom{n}{2}$ เป็นเลขคี่? | $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ เพื่อให้เศษส่วนนี้เป็นเลขคี่ $n$ หรือ $n-1$ จะต้องไม่หารด้วย $4$ ได้ เพราะว่า $n$ และ $n-1$ จะมีเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่เป็นเลขคู่ มีจำนวนเต็ม $25$ จำนวนที่ $n$ หารด้วย $4$ ได้ ซึ่งเป็นตัวเลขพหุคูณของ $4$ ตั้งแต่ $4$ ถึง $100$ มีจำนวนเต็ม $24$ จำนวนที่ $n-1$ หารด้วย $4$ ได้ เราสามารถหา... | 99 - 49 = \boxed{50} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $a@b=\dfrac{a^3-b^3}{a-b}$, สำหรับจำนวนจริง $a$ กี่ค่าที่ทำให้ $a@1=0$? | เราต้องการแก้สมการ $\frac{a^3 - 1}{a - 1} = 0.$ ดังนั้น
\[\frac{(a - 1)(a^2 + a + 1)}{a - 1} = 0,\]นั่นคือ $a^2 + a + 1 = 0.$ สมการกำลังสองนี้ไม่มีรากจริง ดังนั้นจำนวนของคำตอบจริงคือ $\boxed{0}.$ | \boxed{0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $|(1-i)^8|$ | เราทราบว่าขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีคุณสมบัติการคูณ: ขนาดของ $|ab|$ คือผลคูณของ $|a|\cdot |b|$. ดังนั้น \[\left|\left(1-i\right)^8\right|=\left|1-i\right|^8\]ขนาดของ $1-i$ คือ $\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$ ; ดังนั้น คำตอบของเราคือ $\left(\sqrt{2}\right) ^8=\boxed{16}$. Ringo ไม่ได้ให้การพักผ่อนมากนัก | $\left(\sqrt{2}\right) ^8=\boxed{16}$ | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จำนวนเฉพาะที่เป็นพาลินโดรมมี 3 หลัก มีค่าเท่าใด | จำนวนเฉพาะที่เป็นพาลินโดรม 3 หลัก คือ 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929 | 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
วงล้อหมุน I แบ่งออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กัน และติดป้ายหมายเลข 2, 3, 4 และ 5 วงล้อหมุน II แบ่งออกเป็นห้าส่วนเท่า ๆ กัน และติดป้ายหมายเลข 1, 3, 5, 7 และ 9 ถ้าหมุนวงล้อทั้งสอง และนำตัวเลขที่ได้มาคูณกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ผลคูณจะเป็นจำนวนคู่สองหลัก แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ให้ผลลัพธ์แสดงเป็นคู่ลำดับ โดยพิกัดตัวแรกสอดคล้องกับวงล้อหมุน I และพิกัดตัวที่สองสอดคล้องกับวงล้อหมุน II เนื่องจากตัวเลขในส่วนของวงล้อหมุน II เป็นเลขคี่ทั้งหมด วงล้อหมุน I ต้องให้เลขคู่เพื่อให้ผลคูณเป็นเลขคู่ ผลลัพธ์ $(2,5)$, $(2,7)$, $(2,9)$, $(4,3)$, $(4,5)$, $(4,7)$ และ $(4,9)$ เป็นผลลัพธ์ที่ผลคูณเป็นจำนวนคู่สองหลัก... | \boxed{\frac{7}{20}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เซตของจำนวนเต็มบวกสามตัว {a, b, c} มีกี่เซต (ลำดับไม่สำคัญ) ที่ทำให้ $a\times b\times c=2310$ (จำนวนเต็มบวก a, b และ c ต้องต่างกัน) | การแยกตัวประกอบของ 2310 คือ $2310 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11.$ ดังนั้น เราได้สมการ \[ abc = 2310 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11,\]โดยที่ $a, b, c$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกที่ต่างกัน และลำดับไม่สำคัญ มี $3$ วิธีในการกำหนดจำนวนเฉพาะแต่ละตัวทางด้านขวามือให้กับตัวแปร $a, b, c$ หนึ่งตัว ซึ่งให้ $3^5 = 243$ วิธีแ... | 40 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีวิธีการเขียน $9$ เป็นผลบวกของ $1$ , $2$ และ $4$ ได้กี่วิธี โดยที่ลำดับของตัวตั้งสำคัญ? ตัวอย่างเช่น $4 + 4 + 1$ และ $1 + 4 + 4$ เป็นสองวิธีที่ต่างกัน | ก่อนอื่น เราหาจำนวนวิธีในการเขียน 9 เป็นผลบวกของ 1, 2 และ 4 โดยที่ลำดับของตัวตั้งไม่สำคัญ เราพบกรณีเหล่านี้: \begin{align*}
&4+4+1 \\
&4+2+2+1 \\
&4+2+1+1+1 \\
&4+1+1+1+1+1 \\
&2+2+2+2+1 \\
&2+2+2+1+1+1 \\
&2+2+1+1+1+1+1 \\
&2+1+1+1+1+1+1+1 \\
&1+1+1+1+1+1+1+1+1
\end{align*}มี $3!/2!=3$ วิธีที่แตกต่างกันสำหรับผลบวกแรก ... | 96 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็ม $x$ ตัวใดที่สอดคล้องกับสมการ: $2^{x + 2} = 32$ ? | สองยกกำลัง 5 เท่ากับ 32 และเนื่องจากฟังก์ชัน $f(x)=2^x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มอย่างเดียวกัน 5 คือจำนวนจริง $r$ ตัวเดียวที่ทำให้ $2^r=32$ ดังนั้น $x+2=5\implies x=\boxed{3}$ | x+2=5\implies x=\boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมเกิดเป็นลำดับเลขคณิต ถ้าขนาดของมุมที่ใหญ่ที่สุดคือ $129^{\circ}$ มุมที่ใหญ่เป็นอันดับสองมีขนาดเท่าไรเป็นองศา | ให้ส่วนต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้เป็น $d$ ดังนั้นมุมที่ใหญ่เป็นอันดับสองมีขนาด $129-d$ องศา มุมที่ใหญ่เป็นอันดับสามมีขนาด $129-2d$ องศา และมุมที่เล็กที่สุดมีขนาด $129-3d$ องศา เราทราบว่าผลรวมของมุมภายในรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับ 360 องศา ดังนั้นเราได้สมการ $129 + (129-d) + (129-2d) + (129-3d) = 360$ จากสมการนี้เราจะได้ว่า $d... | 129-d=129-26=\boxed{103} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับของจำนวนจริงบวก $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[\sum_{i = 1}^n a_i = 96, \quad \sum_{i = 1}^n a_i^2 = 144, \quad \sum_{i = 1}^n a_i^3 = 216.\]จงหาผลรวมของค่า $n$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(a_1 + a_2 + \dots + a_n)(a_1^3 + a_2^3 + \dots + a_n^3) \ge (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)^2.\]เนื่องจาก $96 \cdot 216 = 144^2,$ เราได้ว่าสมการในอสมการ Cauchy-Schwarz มีค่าเท่ากัน ซึ่งหมายความว่า
\[\frac{a_1^3}{a_1} = \frac{a_2^3}{a_2} = \dots = \frac{a_n^3}{a_n}.\]ดังนั้น $a_1^2 = a_2^2 =... | n = \boxed{64}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับ $0 \le x \le 40$ และ $0 \le y \le 50,$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\sqrt{x^2 + 400} + \sqrt{y^2 + 900} + \sqrt{x^2 + y^2 - 80x - 100y + 4100}.\] | ทำการเติมกำลังสองใน $x$ และ $y,$ นิพจน์จะกลายเป็น
\[\sqrt{x^2 + 400} + \sqrt{y^2 + 900} + \sqrt{(x - 40)^2 + (y - 50)^2} = \sqrt{x^2 + 400} + \sqrt{y^2 + 900} + \sqrt{(40 - x)^2 + (50 - y)^2}.\]โดย QM-AM,
\begin{align*}
\sqrt{\frac{x^2 + 400}{2}} &\ge \frac{x + 20}{2}, \\
\sqrt{\frac{y^2 + 900}{2}} &\ge \frac{y + 30}{2... | \boxed{70 \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.