question stringlengths 16 1.6k | solution stringlengths 3 2.73k | answer stringlengths 0 168 | bloom_taxonomy listlengths 1 4 |
|---|---|---|---|
ถ้า $A,B$ และ $C$ เป็นหลักที่ไม่ใช่ศูนย์และแตกต่างกันในระบบฐาน 6 โดยที่ $\overline{ABC}_6 + \overline{BCA}_6+ \overline{CAB}_6 = \overline{AAA0}_6$ จงหา $B+C$ ในระบบฐาน 6 | จากนิยามของฐาน จะได้ว่า $\overline{ABC}_6 = 6^2 \cdot A + 6 \cdot B + C$. สังเกตว่าหลักทุกหลักปรากฏในช่องที่เป็นไปได้ทุกช่องครั้งละหนึ่งครั้ง ดังนั้น $\overline{ABC}_6 + \overline{BCA}_6+ \overline{CAB}_6 = (6^2 + 6 + 1)(A + B + C).$ ค่านี้เท่ากับผลบวก $\overline{AAA0}_6 = 6^3 \cdot A + 6^2 \cdot A + 6 \cdot A = (6^2 ... | B+C = \boxed{5}_6 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพจน์ถัดไปในลำดับเรขาคณิต $$2, 6x, 18x^2, 54x^3, \ldots ?$$ แสดงคำตอบในรูปของ $x$. | อัตราส่วนร่วมคือ $\frac{6x}{2} = 3x$ นั่นคือ แต่ละพจน์ได้มาจากการคูณ $3x$ กับพจน์ก่อนหน้า พจน์ถัดไปคือ $54x^3 \cdot 3x = \boxed{162x^4}$ | 54x^3 \cdot 3x = \boxed{162x^4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จอห์นเชื่อว่าจำนวนชั่วโมงที่เขาหลับก่อนสอบและคะแนนสอบของเขาสัมพันธ์กันแบบผกผัน ในการสอบครั้งแรกของเขา เขาได้นอน 8 ชั่วโมง และได้คะแนน 70 ในการสอบ เขาต้องนอนกี่ชั่วโมงก่อนสอบครั้งที่สอง (ปัดเศษเป็นทศนิยม) เพื่อให้คะแนนเฉลี่ยของการสอบทั้งสองครั้งเป็น 80 | ก่อนอื่นเพื่อให้ได้คะแนนเฉลี่ย 80 เขาต้องได้คะแนน 90 ในการสอบครั้งที่สอง เนื่องจากคะแนนสอบและจำนวนชั่วโมงการนอนสัมพันธ์กันแบบผกผัน ผลคูณของมันจึงเป็นค่าคงที่ ดังนั้น $70\cdot 8 = 90 \cdot h \Rightarrow h = 56/9 \approx \boxed{6.2}$ | 70\cdot 8 = 90 \cdot h \Rightarrow h = 56/9 \approx \boxed{6.2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามพจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ 1, 10 และ 19 ตามลำดับ ค่าของพจน์ที่ 21 คือเท่าใด | ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้คือ $10 - 1 = 9$ ดังนั้นพจน์ที่ $21^{\text{st}}$ คือ $1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181}$ | 1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงแสดง $\frac{0.\overline{666}}{1.\overline{333}}$ ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เราอาจจะเห็นว่าตัวเศษคือ $\frac{2}{3}$ และตัวส่วนคือ $\frac{4}{3}$ ซึ่งจะได้ค่าเท่ากับ $\frac{1}{2}$ ถ้าไม่ใช่แบบนั้น ให้เรียกตัวเศษว่า $x$ คูณด้วย 10 และลบด้วย $x$ จะได้ $9x = 6$ ดังนั้น $x = \frac{2}{3}$ เราสังเกตว่าตัวส่วนคือ $1 + \frac{x}{2}$ ซึ่งจะทำให้เราได้ค่าของเศษส่วนทั้งหมดเท่ากับ $\boxed{\frac{1}{2}}$ | \boxed{\frac{1}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำตอบของ $4x^2 + 3 = 3x - 9$ สามารถเขียนได้ในรูป $x = a \pm b i,$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง. จงหาค่า $a + b^2$. แสดงคำตอบของคุณในรูปเศษส่วน. | ก่อนอื่นเรานำพจน์ทั้งหมดไปไว้ข้างเดียวกันเพื่อให้ได้ $4x^2 - 3x + 12 = 0.$ เห็นว่าการแยกตัวประกอบจะไม่ใช้ได้ผล เราจึงใช้สูตรกำลังสอง: \begin{align*}
x &= \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(4)(12)}}{2 (4)}\\
&= \frac{3 \pm \sqrt{9 - 192}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{-183}}{8} = \frac{3}{8} \pm \frac{\sqrt{183}}{8}i.
\end{align... | a + b^2 = \dfrac{3}{8} + \dfrac{183}{64} = \boxed{\dfrac{207}{64}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สีจะถูกผสมเพื่อให้สัดส่วนของสีแดงต่อสีขาวเป็น 3 ต่อ 2 ถ้าเบนต้องการทำสีผสม 30 กระป๋องและกระป๋องทั้งหมดมีปริมาตรเท่ากัน เขาจะต้องใช้สีแดงกี่กระป๋อง | เนื่องจาก $3/(3+2)=3/5$ ของปริมาณสีทั้งหมดเป็นสีแดง เขาจะต้องใช้ $\frac{3}{5}\cdot30=\boxed{18}$ กระป๋องของสีแดง | \frac{3}{5}\cdot30=\boxed{18} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาคู่ลำดับของจำนวนเต็ม $(x,y)$ ที่สอดคล้องกับสมการ $12x + 21y = 15$ และ $21x + 12y = 51$ | ทำใหสมการทั้งสองง่ายขึ้นโดยหารด้วย 3: \begin{align*}
4x + 7y &= 5 \\
7x + 4y &= 17.
\end{align*} เราแก้ระบบสมการนี้โดยใช้วิธีการกำจัด คูณสมการแรกด้วย 7 และสมการที่สองด้วย $-4$ เพื่อให้ได้ \begin{align*}
28x + 49y &= 35 \\
-28x -16y &= -68.
\end{align*} บวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้ $33y=-33$ ดังนั้น $y=-1$ แทนค่า $y... | (x,y)=\boxed{(3,-1)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กล่องดินสอ 100 ด้าม ที่มีชื่อสลักราคา $30. ดินสอ 2500 ด้าม ราคาเท่าไร? | อัตราส่วนของดินสอต่อราคาคือ $100:$30. การคูณทั้งสองส่วนของอัตราส่วนนี้ด้วย 25 จะได้อัตราส่วน $2500:$750 ดังนั้น ดินสอ 2500 ด้าม ราคา $\boxed{\$750}$. | \boxed{\ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $r$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\lfloor r \rfloor + r = 12.2$. | อันดับแรก เราสังเกตว่า $r$ ต้องเป็นจำนวนบวก เพราะว่าถ้าไม่เช่นนั้น $\lfloor r \rfloor + r$ จะเป็นจำนวนไม่เป็นบวก ต่อไป เนื่องจาก $\lfloor r \rfloor$ เป็นจำนวนเต็ม และ $\lfloor r \rfloor + r=12.2$ ส่วนทศนิยมของ $r$ ต้องเป็น $0.2$ ดังนั้น $r=n+0.2$ สำหรับจำนวนเต็ม $n$ ใดๆ เพื่อให้ $\lfloor r\rfloor =n$ และ $\lfloor r \rf... | \boxed{r=6.2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าที่มากที่สุดของ $n$ ที่ทำให้ $5x^2+nx+48$ สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นสองตัวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม | ตัวประกอบสองตัวของ $5x^2+nx+48$ ต้องอยู่ในรูป $(5x+A)(x+B)$ โดยที่ $A$ และ $B$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกเพื่อให้เกิดค่าที่มากที่สุดของ $n$ ดังนั้น $AB=48$ และ $5B+A=n$ เพื่อให้เกิดค่าที่มากที่สุดของ $n$ $B$ ต้องเท่ากับ $48$ ดังนั้น $A=1$ \[5B+A=5(48)+1=\boxed{241}\] | A=1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนตัวเลขที่ได้จากการคูณสมาชิกที่แตกต่างกันสองตัวขึ้นไปของเซต $\{1,2,3,5,11\}$ | สังเกตว่า เนื่องจากสามารถคูณสมาชิกได้สองตัวขึ้นไป การคูณด้วย $1$ จะมีผลก็ต่อเมื่อเป็นหนึ่งในสองตัวเลข ดังนั้น การคูณด้วย $1$ จะเพิ่มจำนวนตัวเลขที่เป็นไปได้อีก $4$ ตัวเลข
ต่อไปนี้ เราเพียงแค่ต้องพิจารณาจำนวนการผสมผสานที่สามารถทำได้จาก $2$, $3$, $5$ และ $11$
การเลือกสองตัวจากเซตนี้มี $6$ ความเป็นไปได้: $2 \cdot 3$, $2... | 4 + 6 + 4 + 1 = \boxed{15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวระยะทางบนระนาบพิกัดคาร์ทีเซียน จากจุด $(1, -1)$ ไปยังจุด $(7, 7)$ | โดยใช้สูตรระยะทาง เราได้ว่าระยะทางคือ $$\sqrt{ (1-7)^2 + (-1-7)^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = \boxed{10}.$$ | 10 | [
"นำไปใช้"
] |
กระจายผลคูณ ${(2x+3)(x+5)}$ | เมื่อใช้สมบัติการ distributive เป็นครั้งแรก เราบวกผลคูณของ $2x+3$ และ $x$ กับผลคูณของ $2x+3$ และ 5:
\begin{align*}
(2x+3)(x+5) &= (2x+3) \cdot x + (2x+3) \cdot 5\\
&= x(2x+3) + 5(2x+3)
\end{align*}เราใช้สมบัติการ distributive อีกครั้งและรวมพจน์ที่คล้ายกัน:
\begin{align*}
x(2x+3) + 5(2x+3) &= 2x^2 + 3x + 10x+ 15\\
&= ... | 2x^2 + 13x + 15 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดเซตของจุด $(x,y)$ ทั้งหมดในระนาบพิกัด โดยที่พิกัดหนึ่งมีค่าเป็นสองเท่าของอีกพิกัดหนึ่ง ถ้าเราพล็อตจุดทั้งหมดเหล่านี้ กราฟจะแบ่งระนาบออกเป็นกี่บริเวณ | กรณีที่พิกัด $y$ เป็นสองเท่าของพิกัด $x$ เราจะได้เส้นตรง $y=2x$ หรือกรณีที่พิกัด $x$ เป็นสองเท่าของพิกัด $y$ เราจะได้เส้นตรง $y=\frac{1}{2}x$ กราฟของเส้นตรงทั้งสองแสดงดังนี้:
[asy]
Label f;
f.p=fontsize(3);
xaxis(-5,5,Ticks(f, 1.0));
yaxis(-10,10,Ticks(f, 1.0));
draw((-5,-10)--(5,10),Arrows);
draw((-5,-2.5)--(5,2.... | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความชันของเส้นตรงที่กำหนดโดยคำตอบสองคำตอบใดๆ ของสมการ $\frac{2}{x}+\frac{3}{y} = 0$? แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย | เราสามารถเห็นได้อย่างรวดเร็วว่าเราสามารถหาคำตอบของสมการได้ถ้าเศษส่วนแรกเป็น 1 และเศษส่วนที่สองเป็น -1 ซึ่งจะได้ $(x, y) = (2, -3)$. ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราให้ $(x, y) = (-2, 3)$ เราจะได้เศษส่วนแรกเป็น $-1$ และเศษส่วนที่สองเป็น 1 ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสองนี้คือ $\frac{-3 - 3}{2 - (-2)} = \boxed{- \frac 32}$. | \frac{-3 - 3}{2 - (-2)} = \boxed{- \frac 32} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}, abcd\not=0$ และ $f(f(x))=x$ สำหรับทุก $x$ ในโดเมนของ $f$ จงหาค่าของ $a+d$ | เงื่อนไข $f(f(x))$ หมายความว่า $f$ เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวมันเอง ดังนั้นกราฟของมันสมมาตรรอบเส้น $y = x$ ด้วยฟังก์ชันตรรกยะในรูปแบบนี้ เราจะมีเส้นกำกับสองเส้น: เส้นกำกับแนวตั้งที่ $x=-d/c$ ถ้า $cx+d$ ไม่หาร $ax+b$ และเส้นกำกับแนวนอนที่ $y=a/c$ ถ้าเราหาลิมิตของ $f(x)$ เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $\pm\infty$ เพื่อให้ $f$ เป็นฟังก์... | a+d=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในเกม parlour game พ่อมดถามผู้เข้าร่วมคนหนึ่งให้คิดเลขสามหลัก $(abc)$ โดย $a$, $b$ และ $c$ แทนหลักในฐาน $10$ ตามลำดับที่ระบุ พ่อมดจะขอให้คนนั้นสร้างตัวเลข $(acb)$, $(bca)$, $(bac)$, $(cab)$ และ $(cba)$ บวกเลขห้าตัวเลขนี้ และเปิดเผยผลรวม $N$ หากทราบค่า $N$ พ่อมดสามารถระบุตัวเลขเดิม $(abc)$ ได้ เล่นบทบาทของพ่อมดและกำหนด ... | ให้ $m$ เป็นจำนวน $100a+10b+c$ สังเกตว่า $3194+m=222(a+b+c)$ ดังนั้น
\[m\equiv -3194\equiv -86\equiv 136\pmod{222}\]
นี่จะลด $m$ เป็นหนึ่งใน $136, 358, 580, 802$ แต่ยัง $a+b+c=\frac{3194+m}{222}>\frac{3194}{222}>14$ ดังนั้น $a+b+c\geq 15$ จากตัวเลือกทั้งสี่ตัวเลือก มีเพียง $m = \boxed{358}$ เท่านั้นที่สอดคล้องกับอสมกา... | m = \boxed{358} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $x$ กี่ค่าที่ทำให้ นิพจน์ $\frac{x^2-9}{(x^2+2x-3)(x-3)}$ ไม่นิยาม? | นิพจน์ไม่นิยามเมื่อส่วนของเศษส่วนมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงกำลังมองหาค่าของ $x$ ที่สอดคล้องกับ $(x^2+2x-3)(x-3)=0$ พหุนามนี้แยกตัวประกอบได้อีกเป็น $(x-1)(x+3)(x-3)=0$ ซึ่งให้คำตอบ $x=1$, $x=-3$ และ $x=3$ ดังนั้นมี $\boxed{3}$ ค่าของ $x$ ที่ทำให้ นิพจน์ไม่นิยาม | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมมติว่า $f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด และสมมติว่า $f$ มีอินเวอร์ส (นั่นคือ $f^{-1}(x)$ มีอยู่สำหรับ $x$ ทั้งหมดในช่วงของ $f$)
ถ้ากราฟของ $y=f(x^2)$ และ $y=f(x^4)$ ถูกวาดขึ้น จุดตัดของกราฟทั้งสองมีกี่จุด? | มีจุดตัดสำหรับแต่ละ $x$ ที่ทำให้ $f(x^2)=f(x^4)$ เนื่องจาก $f$ มีอินเวอร์ส สมการนี้เป็นจริงก็ต่อเมื่อ $x^2=x^4$ เท่านั้น ดังนั้นเราจึงเพียงแค่หาคำตอบของสมการนั้น เราสามารถจัดเรียงสมการ $x^2=x^4$ ได้ดังนี้: \begin{align*}
0 &= x^4-x^2 \\
0 &= x^2(x^2-1) \\
0 &= x^2(x+1)(x-1)
\end{align*}การแยกตัวประกอบครั้งสุดท้ายแสดงให... | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว 20 นิ้ว และ 21 นิ้ว ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่าไร นิ้ว | สมมติว่าด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $h$ นิ้ว ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส $h^2=20^2+21^2=400+441=841$ ดังนั้น $h=\sqrt{841}=29$ ความยาวจึงเท่ากับ $\boxed{29}$ นิ้ว | \boxed{29} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาช่วงของฟังก์ชัน $f(x) = \frac{1}{x^2}$ | สังเกตว่า $f(x) = \frac{1}{x^2} >0$ สำหรับทุก $x$ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ นั่นคือ ช่วงของ $f$ ต้องประกอบด้วยจำนวนบวกเท่านั้น ในทางกลับกัน ถ้า $a$ เป็นจำนวนบวก แล้ว \[f\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)=\frac{1}{(1/\sqrt{a})^2} = a,\]ดังนั้น $a$ จึงอยู่ในช่วงของ $f$ จริงๆ ดังนั้น ช่วงของ $f$ คือเซตของจำนวนจริงบวกทั้งหมด ในสัญกร... | \boxed{(0,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $k$ ที่ทำให้สมการ $kx^2 -5x-12 = 0$ มีคำตอบ $x=3$ และ $ x = -\frac{4}{3}$ | ให้ความจำว่าสำหรับสมการรูป $ax^2 + bx + c = 0$ ผลบวกของรากเท่ากับ $-b/a$ และผลคูณของรากเท่ากับ $c/a$.
ดังนั้น เราสามารถเขียนระบบสมการได้ดังนี้ \begin{align*}
3 - \frac{4}{3} &= \frac{5}{k} \\
-4 &= \frac{-12}{k}
\end{align*}
สมการที่สองบอกเราทันทีว่า $k = \boxed{3}$. | k = \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปรูปหลายเหลี่ยมนูนรูปหนึ่งมีด้าน 7 ด้าน และมีมุมฉากเพียงมุมเดียว รูปหลายเหลี่ยมรูปนี้มีเส้นทแยงมุมกี่เส้น | สำหรับจุดยอดแต่ละจุด เราสามารถสร้างเส้นทแยงมุมได้โดยการเชื่อมต่อกับจุดยอดที่ไม่ติดกันใดๆ หากมีจุดยอด $n$ จุด จะมีเส้นทแยงมุม $n(n-3)$ เส้นที่เราวาด แต่เราคำนวณซ้ำโดยปัจจัย 2 เนื่องจากแต่ละเส้นทแยงมุมสามารถสร้างได้จากจุดยอด 2 จุด ดังนั้นจึงมีเส้นทแยงมุม $n(n-3)/2$ เส้น ในปัญหานี้ เนื่องจาก $n=7$ จะมี $7\cdot4/2=\boxed{1... | 7\cdot4/2=\boxed{14} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ข้อสอบคณิตศาสตร์ของโทริมี 75 ข้อ: 10 ข้อเลขคณิต, 30 ข้อพีชคณิต และ 35 ข้อเรขาคณิต แม้ว่าเธอจะตอบถูก $70\%$ ของข้อเลขคณิต, $40\%$ ของข้อพีชคณิต และ $60\%$ ของข้อเรขาคณิต เธอก็สอบตกเพราะเธอตอบถูกน้อยกว่า $60\%$ ของข้อทั้งหมด เธอต้องตอบถูกเพิ่มอีกกี่ข้อจึงจะได้เกรดผ่าน $60\%$? | เนื่องจาก $70\%(10)+40\%(30)+60\%(35)=7+12+21=40$ เธอตอบถูก 40 ข้อ เธอต้องตอบถูก $60\%(75)=45$ ข้อจึงจะผ่าน ดังนั้นเธอต้องตอบถูกเพิ่มอีก $\boxed{5}$ ข้อ | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จำนวนหนึ่งในเซต $\{50, 51, 52, 53, ... , 999\}$ ถูกเลือกแบบสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นที่จำนวนนั้นจะเป็นจำนวนเลขสองหลัก แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เพื่อหาจำนวนของจำนวนในเซตนี้ เราลบ 49 ออกจากทุกจำนวน ทำให้เซตกลายเป็น $\{1, 2, 3, \ldots , 950 \}$ ซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีจำนวนทั้งหมด 950 จำนวน นอกจากนี้ เซต $\{ 50, 51, 52, \ldots, 98, 99 \}$ สอดคล้องกับเซต $\{ 1, 2, 3, \ldots , 49, 50 \}$ ที่นับได้ง่ายกว่าโดยการลบ 49 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะเลือกจำนวนเลขสองหลักคือ $\... | \frac{50}{950} = \boxed{\frac{1}{19}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $x=\frac{2009^2-2009}{2009}$ แล้ว $x$ มีค่าเท่าใด | แยกตัวประกอบ 2009 ออกจากตัวเศษ: \[
\frac{2009^2-2009}{2009}=\frac{2009(2009-1)}{2009}=\boxed{2008}.
\] | 2008 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในจำนวนเต็มหกหลัก $3A6,\!792$ หลัก $A$ ที่มีค่ามากที่สุดที่ทำให้จำนวนเต็มหกหลักนี้หารด้วย 3 ลงตัวคือเท่าไร | ผลบวกของหลักของจำนวนเต็มนี้คือ $A+27$ ดังนั้นจำนวนเต็มนี้หารด้วย 3 ลงตัวถ้า $A$ มีค่าเท่ากับ 0, 3, 6 หรือ 9 เพราะนี่คือค่าที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวของหลัก $A$ ที่ทำให้ $A + 27$ หารด้วย 3 ลงตัว ค่าที่มากที่สุดคือ $\boxed{9}$ | \boxed{9} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับจำนวนเต็มบวก $n\geq 2$ มีกี่จำนวนที่ทำให้ $1001_n$ เป็นจำนวนเฉพาะ | เราเห็นว่าจำนวนที่กำหนดให้เท่ากับ $1 \cdot n^3 + 1 = n^3 + 1$. โดยใช้การแยกตัวประกอบผลบวกของลูกบาศก์ เราได้ว่า $n^3 + 1 = (n+1)(n^2 - n + 1)$. เนื่องจาก $1$ เป็นหลักในฐานนั้น $n > 1$ และ $n+1 > 1$ และ $n^2 - n + 1 > n - n + 1 = 1$ ดังนั้น $n^3 + 1$ เป็นผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนที่มากกว่า $1$ ดังนั้น $1001_n$ เป็นจำนวนเ... | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor\sqrt{17}\rfloor^2$. | เนื่องจาก $\sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{25}$ หรือ $4<\sqrt{17}<5$ จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $\sqrt{17}$ คือ $4$ ดังนั้น $4^2=\boxed{16}$ | 4^2=\boxed{16} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ $55^2 - 45^2$ ในใจ | จงจำว่า $a^2 - b^2$ สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(a+b)(a-b)$ ดังนั้น $55^2 - 45^2 = (55+45)(55-45) = (100)(10) = \boxed{1000}$ | 55^2 - 45^2 = (55+45)(55-45) = (100)(10) = \boxed{1000} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สูตรอาหารต้องการ $4 \frac{1}{2}$ ถ้วยตวงของแป้ง หากคุณทำครึ่งสูตร คุณจะต้องใช้แป้งกี่ถ้วยตวง แสดงคำตอบของคุณในรูปของจำนวนผสม | เพื่อทำครึ่งสูตร คุณจะต้องใช้แป้งครึ่งหนึ่งของ $4 \frac{1}{2}$ ถ้วยตวง เนื่องจากครึ่งหนึ่งของ $4$ คือ $2$ และครึ่งหนึ่งของ $\frac{1}{2}$ คือ $\frac{1}{4}$ เราพบว่าต้องใช้แป้ง $\boxed{2\frac{1}{4}}$ ถ้วยตวง | \boxed{2\frac{1}{4}} | [
"นำไปใช้"
] |
ณ เวลา $t=0,$ ลูกบอลถูกโยนลงมาด้วยความเร็ว 24 ฟุตต่อวินาที จากความสูง 160 ฟุตเหนือพื้นดิน สมการ $h = -16t^2 - 24t +160$ อธิบายความสูง (เป็นฟุต) ของลูกบอล ในเวลา $t$ วินาที ลูกบอลจะกระทบพื้นในเวลาเท่าไร? แสดงคำตอบเป็นทศนิยม | กำหนดให้ $h$ เท่ากับศูนย์ เราจะได้ดังนี้: \begin{align*}
0& = -16t^2 - 24t + 160\\
& = 2t^2 +3t - 20\\
& = (2t-5)(t+4)\\
\end{align*}ค่า $t$ ที่เป็นลบเป็นค่าที่ไม่ต้องการ ดังนั้นเราจะได้ $t=\boxed{2.5}$ | t=\boxed{2.5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบของ $x|x| = 2x+1$ ที่มีค่าน้อยที่สุด | เราพิจารณา 2 กรณี คือ $x$ เป็นจำนวนไม่เป็นลบ (ดังนั้น $|x| = x$) และ $x$ เป็นจำนวนลบ (ดังนั้น $|x| = -x$)
เมื่อ $x\ge 0,$ สมการจะกลายเป็น $x^2-2x-1=0$. นำสูตรกำลังสองมาใช้จะได้ $ x=1\pm\sqrt{2}.$ อย่างไรก็ตาม $x$ ต้องเป็นจำนวนไม่เป็นลบในกรณีนี้ ดังนั้น $x = 1+\sqrt{2}$.
เมื่อ $x<0,$ สมการจะกลายเป็น $x^2+2x+1=0$, ดั... | x=\boxed{-1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาพจน์ที่สิบในลำดับเรขาคณิต $9,3,1,\frac 13, \ldots$ | เราสามารถเขียนพจน์ทั้งหมดจนถึงพจน์ที่สิบได้ แต่เราจะหาสูตรสำหรับพจน์ที่ $n$ ในลำดับเรขาคณิตแทน เนื่องจาก 9 เป็นพจน์แรก และเราคูณด้วย $\frac{1}{3}$ เพื่อหาพจน์ถัดไป เราจึงได้ว่าสูตรสำหรับลำดับเรขาคณิตคือ $a_n=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{(n-1)}$. ดังนั้น $a_{10}=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^9=\frac{3^2}{3^9}=\frac{... | a_{10}=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^9=\frac{3^2}{3^9}=\frac{1}{3^7}=\boxed{\frac{1}{2187}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลคูณของ 21 ที่น้อยที่สุดซึ่งมากกว่า 380 | การหาร 380 ด้วย 21 จะได้ผลหาร 18 และเศษ 2 ดังนั้น $21 \cdot 18$ คือผลคูณของ 21 ที่มากที่สุดซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับ 380 และ $21 \cdot 19 = \boxed{399}$ คือผลคูณของ 21 ที่น้อยที่สุดซึ่งมากกว่า 380 | 21 \cdot 19 = \boxed{399} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่สอดคล้องกับ $\sqrt[5]{x\sqrt{x^3}}=3$. | เราสามารถเขียนใหม่เทอมใต้รากที่ 5 ได้: $x\sqrt{x^3} = x \cdot x^{3/2} = x^{5/2}$. จากนั้นเรารวมรูปร่างของนิพจน์ทั้งหมดทางด้านซ้ายของสมการ ซึ่งจะได้ $\sqrt[5]{x^{5/2}}=(x^{5/2})^{1/5} = x ^{(5/2)\cdot(1/5)} = x^{1/2}$. ตอนนี้เรามี $\sqrt{x}=3$ และเราสามารถยกกำลังสองทั้งสองข้างเพื่อหา $x=\boxed{9}$. | x=\boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $p$ และ $q$ เป็นคำตอบที่แตกต่างกันสองคำตอบของสมการ $$(x-3)(x+3) = 21x - 63.$$ ถ้า $p > q$ จงหาค่าของ $p - q$? | การแยกตัวประกอบทางขวามือ เราจะเห็นว่า $(x-3)(x+3) = 21(x-3)$. เมื่อทำให้ง่ายขึ้น เราได้ $(x-3)(x+3) - 21(x-3) = (x-3)(x-18)$ ดังนั้น $p$ และ $q$ ของเราคือ 18 และ 3 ดังนั้น $p - q = \boxed{15}.$ | p - q = \boxed{15}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x \diamondsuit y = 3x + 5y$ สำหรับทุก $x$ และ $y$ แล้วค่าของ $2 \diamondsuit 7$ คือเท่าไร? | เราได้ว่า $2 \diamondsuit 7 = 3(2)+5(7) = 6+35 = \boxed{41}$ | 2 \diamondsuit 7 = 3(2)+5(7) = 6+35 = \boxed{41} | [
"นำไปใช้"
] |
กำหนดจุด $P(-2,7)$ และ $Q(4,y)$ บนระนาบพิกัด จงหาค่าของ $y$ ที่ทำให้ความชันของเส้นตรงที่ผ่าน $P$ และ $Q$ เท่ากับ $\frac{-3}{2}$ | ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(x_1,y_1)$ และ $(x_2,y_2)$ คือ: $$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\text{ความชัน}$$ ในกรณีนี้ เราได้: $$\frac{y-7}{4-(-2)}=\frac{-3}{2}$$ $$2y-14=-18$$ $$2y=-4$$ $$y=\boxed{-2}$$ | [
"ประยุกต์ใช้"
] | |
จำนวนจริงบวก $r,s$ สอดคล้องกับสมการ $r^2 + s^2 = 1$ และ $r^4 + s^4= \frac{7}{8}$. จงหาค่า $rs$. | เรามี $2r^2s^2 = (r^4 + 2r^2s^2 + s^4) - (r^4 + s^4) = (r^2 + s^2)^2 - (r^4 + s^4) = (1)^2 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$, ดังนั้น $r^2s^2 = \frac{1}{16}$. นั่นหมายความว่า $rs = \boxed{\frac{1}{4}}$. | rs = \boxed{\frac{1}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าเส้นตรง $2y - 2a = 6x$ และ $y + 1 = (a + 6)x$ ขนานกัน จงหาค่าของ $a$ | เมื่อจัดสมการเส้นตรงแรกให้อยู่ในรูป $y = mx + c$ จะได้ $y = 3x + a$ ซึ่งแสดงว่าเส้นตรงนี้มีค่าความชันเท่ากับ 3. เช่นเดียวกัน เมื่อจัดสมการเส้นตรงที่สองให้อยู่ในรูป $y = mx + c$ จะได้ $y = (a + 6)x - 1$ ซึ่งแสดงว่าเส้นตรงนี้มีค่าความชันเท่ากับ $a + 6$. เนื่องจากเส้นตรงทั้งสองขนานกัน ค่าความชันของเส้นตรงทั้งสองจะเท่ากัน:... | 3 = a + 6 \Rightarrow a = \boxed{-3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x) = x^2-2x + m$ และ $g(x) = x^2-2x + 4m$ เมื่อ $x = 4$ จงหาค่าของ $m$ ถ้า $2f(4) = g(4)$ | $2f(4)=g(4)$ ดังนั้น $2\left(16-8+m\right)=16-8+4m$. เมื่อขยายข้างซ้ายจะได้ $16+2m=8+4m$ หรือ $8=2m$ และ $m=\boxed{4}$. | m=\boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ให้รากของสมการ $5x^2 + 3x + 4$ เป็น $a$ และ $b$ โดยที่ $\alpha = \frac{1}{a}$ และ $\beta = \frac{1}{b}$ จงหาค่าของ $\alpha + \beta$ | กำหนดให้รากของ $5x^2 + 3x +4$ เป็น $a$ และ $b$ เราทราบว่า $\alpha = \frac{1}{a}$ และ $\beta = \frac{1}{b}$ ดังนั้น $$\alpha + \beta = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}.$$
จากความสัมพันธ์ระหว่างผลบวก/ผลคูณของรากกับสัมประสิทธิ์ของพหุนาม เราทราบว่า $a + b = \frac{-3}{5}$ และ $ab = \frac{4}{5}$
ดังนั้น $\alph... | $\alpha + \beta = \dfrac{a + b}{ab} = \boxed{-\dfrac{3}{4}}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $\lvert2x+ 7\rvert\le 16$ เป็นจริง | เห็นได้ชัดว่า อสมการนี้มีคำตอบบางคำตอบที่ทำให้ $2x+7$ เป็นลบ ตัวอย่างเช่น ถ้า $x = -4$ แล้ว $2x+7 = -1$ ดังนั้น $|2x+7| = 1$ ซึ่งน้อยกว่า 16 เมื่อเราทำให้ $x$ เล็กลง $2x+7$ จะมีค่าเล็กลงไปอีก ดังนั้น $|2x+7|$ จะมีค่ามากขึ้น แต่เราสามารถทำให้ $x$ เล็กได้มากน้อยเพียงใด? เพื่อหาคำตอบนี้ เราสังเกตว่าถ้า $2x+7$ เป็นลบ แล้ว ... | -11 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทุกๆ 5 คนชาวอเมริกันจะมี 1 คนที่เป็นภูมิแพ้ ในกลุ่มตัวอย่างของชาวอเมริกัน 250 คน คุณคาดว่าจะมีกี่คนที่เป็นภูมิแพ้? | (1/5)(250) = 50, ดังนั้นในกลุ่มตัวอย่าง 250 คน จะมี $\boxed{50}$ คนที่คาดว่าจะเป็นภูมิแพ้ | \boxed{50} | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x+y = 6$ และ $x^2-y^2 = 12$ แล้ว $x-y$ มีค่าเท่าใด | เนื่องจากเราสามารถเขียน $12 = x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 6(x-y)$ ดังนั้น $x-y = \boxed{2}$ | x-y = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ $9^4+9^4+9^4=3^x$ | เขียนข้างซ้ายของสมการใหม่เป็น $3\cdot 9^4=3\cdot (3^2)^4=3\cdot 3^8=3^9$. แก้สมการ $3^9=3^x$ จะได้ $x=\boxed{9}$ | x=\boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู $ABCD$ ด้าน $\overline{AB}$ และ $\overline{CD}$ ขนานกัน $\angle A = 2\angle D$ และ $\angle C = 3\angle B$ จงหา $\angle B$ | เนื่องจาก $\overline{AB}\parallel\overline{CD}$ เราได้ว่า $\angle B+ \angle C = 180^\circ$ เนื่องจาก $\angle C = 3\angle B$ เราได้ว่า $\angle B + 3\angle B = 180^\circ$ ดังนั้น $4\angle B = 180^\circ$ ซึ่งหมายความว่า $\angle B = 180^\circ/4 = \boxed{45^\circ}$ | D | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x+y = 6$ และ $x^2-y^2 = 12$ แล้ว $x-y$ มีค่าเท่าใด? | เนื่องจากเราสามารถเขียน $12 = x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 6(x-y)$ ดังนั้น $x-y = oxed{2}$ | x-y = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จากจุดห้าจุด (3, 10), (6, 20), (12, 35), (18, 40) และ (20, 50) ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดที่อยู่เหนือเส้นตรง $y = 2x + 7$ บนระนาบพิกัด คือเท่าใด | จุดจะอยู่เหนือ $y=2x+7$ ถ้าพิกัด $y$ ของจุดนั้นมากกว่า 2 เท่าของพิกัด $x$ บวก 7 เมื่อตรวจสอบจุดที่กำหนดให้ เราพบว่า (6,20), (12,35) และ (20,50) สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดเหล่านี้คือ $6+12+20=\boxed{38}$ | 6+12+20=\boxed{38} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลต่างของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเท่ากับ 6 และผลคูณของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 112. ผลรวมของจำนวนทั้งสองเท่ากับเท่าใด | กำหนดให้จำนวนทั้งสองเป็น $x$ และ $y$ โดยที่ $x>y$. เราได้สมการ \begin{align*}
x-y&=6\\
xy&=112
\end{align*}ยกกำลังสองสมการแรก เราได้ \[(x-y)^2=6^2\Rightarrow x^2-2xy+y^2=36\]คูณสมการที่สองด้วยสี่ เราได้ $4xy = 4\cdot112=448$. บวกสมการทั้งสองนี้เข้าด้วยกัน เราได้ \[x^2-2xy+y^2+4xy=36+448 \Rightarrow (x+y)^2=484 \Righta... | \boxed{22} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แก้สมการ $2(3^x) = 162$ เพื่อหาค่า $x$ | หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2 เพื่อให้ได้ $3^x=81$ เนื่องจาก $3$ ยกกำลัง 4 เท่ากับ 81 ดังนั้น $x=\boxed{4}$ | x=\boxed{4} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
ที่โรงเรียนวิชาการ เพื่อที่จะผ่านการทดสอบพีชคณิต คุณต้องได้คะแนนอย่างน้อย $80\%$. ถ้ามี 35 ข้อในแบบทดสอบ ข้อมากที่สุดที่คุณสามารถพลาดได้และยังผ่านอยู่คือข้อใด? | ถ้าคุณต้องได้คะแนนอย่างน้อย $80 \%$, คุณจึงไม่สามารถพลาดได้มากกว่า $20 \% = 1/5$ ของข้อปัญหา $1/5$ ของ $35$ เท่ากับ $7$ ดังนั้นคุณสามารถพลาดได้มากที่สุด $\boxed{7}$ ข้อและยังผ่านอยู่ | \boxed{7} | [
"ประยุกต์"
] |
คะแนนใน 3 ครั้งแรกของทริชาคือ 88, 73 และ 70 หลังจากสอบอีก 2 ครั้ง คะแนนเฉลี่ยของทั้ง 5 ครั้งคือ 81 คะแนนแต่ละครั้งน้อยกว่า 90 และคะแนนของทริชาในแต่ละครั้งต่างกันเป็นจำนวนเต็ม จงเรียงคะแนนทั้ง 5 ครั้งของทริชาจากมากไปน้อยโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | ถ้าคะแนนเฉลี่ยของทริชาคือ 81 หลังจากสอบ 5 ครั้ง เธอต้องได้คะแนนรวม $5\cdot 81 - (88 + 73 + 70) = 174$ ใน 2 ครั้งสุดท้าย โดยที่คะแนนแต่ละครั้งน้อยกว่า 90 นั่นหมายความว่าทริชาได้คะแนน 87 และ 87, 88 และ 86 หรือ 89 และ 85 ใน 2 ครั้งสุดท้าย
เนื่องจากคะแนนของทริชาในแต่ละครั้งต่างกันเป็นจำนวนเต็ม เธอจึงไม่สามารถได้คะแนน 87 แ... | \boxed{89, 88, 85, 73, 70} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 10 | จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า $10$ คือ $2,3,5,7$ ดังนั้นผลรวมคือ $2+3+5+7=\boxed{17}$ | 2+3+5+7=\boxed{17} | [
"จำ",
"เข้าใจ",
"นำไปใช้"
] |
รถยนต์คันหนึ่งเดินทางจาก $A$ ไปยัง $B$ ระยะทาง 120 ไมล์ ด้วยความเร็ว 60 ไมล์ต่อชั่วโมง และจากนั้นก็กลับไปยัง $A$ บนเส้นทางเดียวกัน ถ้าอัตราเร็วเฉลี่ยของการเดินทางไปกลับคือ 45 ไมล์ต่อชั่วโมง อัตราเร็วของรถยนต์ในการเดินทางกลับจาก $B$ ไปยัง $A$ คือเท่าไร (เป็นไมล์ต่อชั่วโมง) | ให้ $d$ แทนระยะทาง (เป็นไมล์) จาก $A$ ไปยัง $B$ และให้ $r$ แทนความเร็วของรถยนต์ (เป็นไมล์ต่อชั่วโมง) ในการเดินทางกลับ ใช้เวลา $d/60$ ชั่วโมงในการเดินทางจาก $A$ ไปยัง $B$ และใช้เวลา $d/r$ ชั่วโมงในการเดินทางจาก $B$ ไปยัง $A$ การเดินทางไปกลับ ระยะทาง $2d$ ไมล์ จะถูกครอบคลุมใน $d/60+d/r$ ชั่วโมง ด้วยความเร็วเฉลี่ย \[
\... | r=\boxed{36} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ให้ $P$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก (เช่น รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก) มีด้านที่มีความยาวเป็นจำนวนเต็ม $a, b, c,$ โดยที่ $a\le b\le c.$ ระนาบหนึ่งขนานกับหน้าหนึ่งของ $P$ ตัด $P$ เป็นสองรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก โดยรูปหนึ่งคล้ายกับ $P$ และทั้งสองรูปมีปริมาตรไม่เป็นศูนย์ กำหนดให้ $b=1995$ จงหาจำนวนสามลำดับ $(a, b, c)$ ที่ทำให้ระนาบดังกล... | ให้ $P'$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกับ $P$ และให้ด้านของ $P'$ มีความยาว $x,y,z$ โดยที่ $x \le y \le z$. แล้ว
\[\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac zc < 1.\]
สังเกตว่าถ้าอัตราส่วนของความคล้ายเท่ากับ $1$ เราจะได้รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีปริมาตรเป็นศูนย์ เนื่องจากหน้าหนึ่งของ $P'$ เป็นหน้าหนึ่งของ $P$ จะได้ว่า $P$ และ $... | \boxed{40} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นตรง $y = 3$ ตัดกราฟของ $y = 4x^2 + x - 1$ ที่จุด $A$ และ $B$ ระยะห่างระหว่าง $A$ และ $B$ สามารถเขียนได้ในรูป $\frac{\sqrt{m}}{n}$ โดยที่ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวประกอบร่วมกันอื่นใดนอกจาก 1 จงหาค่าของ $m - n$ | เพื่อให้กราฟของ $y=3$ และ $y=4x^2 + x -1$ ตัดกัน เราต้องมี $3 = 4x^2 + x - 1$ ดังนั้น $4x^2 + x - 4 = 0$ โดยสูตรกำลังสอง ถ้า $ax^2 + bx + c = 0$ แล้ว $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a};$$ผลต่าง (เป็นบวก) ของรากทั้งสองนี้ถูกกำหนดโดย $\left|\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}\right|$. เนื่องจาก $A$ และ $B$ อยู่บนเส้นตรงแนวน... | \boxed{61} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ \[\frac{2x+4}{x^2+4x-5}=\frac{2-x}{x-1}\]หาค่า $x$ | เราสังเกตว่าส่วนทางซ้ายสามารถแยกตัวประกอบได้ ดังนั้น \[\frac{2x+4}{(x-1)(x+5)}=\frac{2-x}{x-1}.\]ตราบใดที่ $x\neq1$ เราสามารถตัด $x-1$ จากส่วนได้ ซึ่งจะได้ \[\frac{2x+4}{x+5}=2-x.\]จากนั้นเราสามารถคูณไขว้เพื่อหา \[2x+4=(2-x)(x+5)=-x^2-3x+10.\]เราสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น \[x^2+5x-6=0\]และแยกตัวประกอบเป็น \[(x-1)(x+6)=0... | x=\boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นตรงที่ผ่านจุด $(1, 7)$ และ $(3, 11)$ ตัดแกน $y$ ที่จุดใด แสดงคำตอบในรูปของจุดที่เรียงกัน | แกน $y$ คือเส้นตรงที่ $x$-coordinate มีค่าเท่ากับ $0$ โดยใช้จุดที่กำหนดให้ เมื่อ $x$-coordinate ลดลง $2$ $y$-coordinate จะลดลง $4$ ดังนั้น เมื่อ $x$-coordinate ลดลง $1$ จาก $1$ เป็น $0$ $y$-coordinate จะลดลง $2$ จาก $7$ เป็น $5$ จุดคือ $\boxed{(0,5)}$ | \boxed{(0,5)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้ามีช่างทาสี 4 คน ทาสีเสร็จใน $1.25$ วันทำการ ถ้ามีช่างทาสีเพียง 3 คน และทำงานด้วยอัตราเดียวกัน จะใช้เวลาเท่าไรในการทาสีเสร็จ แสดงคำตอบเป็นจำนวน hỗนฐาน | จำนวนช่างทาสีจะผกผันกับเวลาที่ต้องใช้ในการทำงาน นั่นคือ ผลคูณของ $(\text{จำนวนช่างทาสี})\times(\text{วันทำการ})$ จะเป็นค่าคงที่ ในกรณีนี้ ค่าคงที่นี้จะเป็น: $$4\times 1.25=5$$ สำหรับช่างทาสี 3 คน ผลคูณจะยังคงเท่าเดิม ให้ $D$ เท่ากับจำนวนวันทำการที่ช่างทาสี 3 คนจะใช้ในการทาสีเสร็จ ดังนั้น \begin{align*}
3\times D&=5... | D | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ฟังก์ชัน $\lfloor x\rfloor$ เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $x$ หรือเท่ากับ $x$ ตัวอย่างเช่น $\lfloor 5.67\rfloor = 5$, $\lfloor -\tfrac 14\rfloor = -1$, และ $\lfloor 8\rfloor = 8$.
ช่วงของฟังก์ชัน $$f(x) = \lfloor x\rfloor - x~?$$ แสดงคำตอบในสัญกรณ์ช่วง | สังเกตว่าถ้า $0\le x<1$ แล้ว $\lfloor x\rfloor = 0$ ดังนั้น $f(x)=-x$ ดังนั้นช่วงของ $f(x)$ รวมช่วง $(-1,0]$. นี่คือช่วงทั้งหมด; $f(x)$ ไม่สามารถน้อยกว่าหรือเท่ากับ $-1$ ได้ เพราะ $x$ และ $\lfloor x\rfloor$ จำเป็นต้องต่างกันน้อยกว่า $1$ และ $f(x)$ ไม่สามารถเป็นบวกได้ เพราะ $\lfloor x\rfloor$ เป็นจำนวนเต็มที่น้อยกว่าหรื... | \boxed{(-1,0]} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีการใส่การ์ด 40 ใบลงในกล่อง โดยแต่ละใบมีหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 หรือ 10 โดยแต่ละหมายเลขปรากฏบนการ์ด 4 ใบ สุ่มหยิบการ์ด 4 ใบจากกล่องโดยไม่ใส่กลับ ให้ $p$ เป็นความน่าจะเป็นที่การ์ดทั้ง 4 ใบมีหมายเลขเดียวกัน และให้ $q$ เป็นความน่าจะเป็นที่การ์ด 3 ใบมีหมายเลข $a$ และการ์ดอีกใบมีหมายเลข $b$ ที่ไม่เท่ากับ $a$ จ... | จำนวนวิธีทั้งหมดในการเลือกหมายเลขคือ $\binom{40}{4}.$ มี 10 วิธีที่เป็นไปได้ที่การ์ดทั้ง 4 ใบจะมีหมายเลขเดียวกัน.
ต่อไปเราต้องหาจำนวนวิธีที่การ์ด 3 ใบมีหมายเลข $a$ และการ์ดอีกใบมีหมายเลข $b$ โดยที่ $b\ne a$ มี $10\cdot 9 = 90$ วิธีในการเลือกหมายเลขที่แตกต่างกัน $a$ และ $b$ (สังเกตว่าลำดับที่เราเลือกตัวเลขสองตัวนี้มีคว... | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
จำนวนเต็มแปดหลักถูกสร้างขึ้นโดยการทำซ้ำจำนวนเต็มบวกสี่หลัก ตัวอย่างเช่น 25,632,563 หรือ 60,786,078 เป็นจำนวนเต็มในรูปแบบนี้ ห.ร.ม. ของจำนวนเต็มแปดหลักทั้งหมดในรูปแบบนี้คือเท่าไร | ถ้าจำนวนเต็มสี่หลักที่ทำซ้ำคือ $n$ แล้วจำนวนเต็มแปดหลักคือ $10^4n+n=10001n$ ดังนั้นทุกจำนวนในรูปแบบนี้มีตัวประกอบร่วม 10001 พิจารณา $10001\cdot1000$ และ $10001\cdot1001$ หลังจากหารตัวประกอบ 10001 ออกแล้ว 1000 และ 1001 ไม่มีตัวประกอบร่วมที่ไม่สำคัญ ดังนั้น ห.ร.ม. ต้องเป็น $\boxed{10001}$ | \boxed{10001} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $
f(n) =
\begin{cases}
n^2+1 & \text{ถ้า }n\text{ เป็นจำนวนคี่} \\
\dfrac{n}{2} & \text{ถ้า }n\text{ เป็นจำนวนคู่}
\end{cases}.
$
จงหาจำนวนเต็ม $n$ จาก 1 ถึง 100 ซึ่ง $f ( f (\dotsb f (n) \dotsb )) = 1$ สำหรับจำนวนครั้งที่ใช้ฟังก์ชัน $f$ บางจำนวน | เราสังเกตว่าถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว $f(n)$ ก็เป็นจำนวนเต็มบวกเช่นกัน เราอ้างว่า $f ( f (\dotsb f (n) \dotsb )) = 1$ สำหรับจำนวนครั้งที่ใช้ฟังก์ชัน $f$ บางจำนวนก็ต่อเมื่อ $n = 1, 2, 4, 8, 16, 32,$ และ $64.$ (กล่าวคือ $n$ ต้องเป็นกำลังของ 2.)
สังเกตว่า $f(1) = 2,$ ดังนั้น $f(f(1)) = f(2) = 1.$ ถ้า $n > 1$ เป็นกำลัง... | \boxed{7} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x^3 + x^2 + x + 1$ เมื่อ $x = 3$ | เราแทนค่า $x = 3$ ลงในนิพจน์ จะได้ $3^3 + 3^2 + 3 + 1 = 27 + 9 + 3 + 1 = \boxed{40}$ | 3^3 + 3^2 + 3 + 1 = 27 + 9 + 3 + 1 = \boxed{40} | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ $8x^2 - 38x + 35 = 0$ แสดงคำตอบเป็นทศนิยม | เราสามารถเขียนใหม่ด้านซ้ายของสมการ $8x^2 - 38x + 35$ เป็น $(2x - 7)(4x - 5)$ ดังนั้นเราจึงมี $(2x - 7)(4x - 5) = 0$ ดังนั้น การแก้สมการ $2x - 7 = 0$ และ $4x - 5 = 0$ จะให้เรา $x = 3.5$ และ $x = 1.25$ เป็นคำตอบของเรา เนื่องจาก $1.25 < 3.5$ คำตอบสุดท้ายของเราคือ $x = \boxed{1.25}$ | x = \boxed{1.25} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a\oplus b=3a+4b$ สำหรับจำนวนจริง $a$ และ $b$ ทั้งหมด จงหาค่าของ $3\oplus 1$ | เราได้ว่า $3\oplus 1 = 3\cdot 3 + 4\cdot 1 = \boxed{13}$ | 3\oplus 1 = 3\cdot 3 + 4\cdot 1 = \boxed{13} | [
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $r$ และ $s$ เป็นจำนวนจริงใดๆ และกำหนดการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ $\#$ ดังนี้: $r\ \#\ 0 = r, r\ \#\ s = s\ \#\ r$, และ $(r + 1)\ \#\ s = (r\ \#\ s) + s + 1$. จงหาค่าของ $11\ \#\ 5$ | จากเงื่อนไขสองข้อแรก เราได้ว่า $0 \# 11 = 11 \# 0 = 11$.
จากเงื่อนไขข้อที่สาม โดยให้ $r=0$ และ $s=11$ เราได้ว่า $1 \# 11 = (0 \# 11)+12=11+12$.
เมื่อเราเพิ่มค่า $r$ ขึ้น $1$ ค่าของ $r \# 11$ จะเพิ่มขึ้น $s+1=11+1=12$. เนื่องจากเราต้องการเพิ่มค่า $r$ ขึ้น $5$ ครั้งเพื่อหาค่า $11 \#5 =5 \# 11$ เราต้องการเพิ่มค่า $0 \# ... | 11 \# 5 = 5 \# 11 = 11+ 5 \cdot 12 = 11+60= \boxed{71}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเต็มบวก $a$ กี่ค่าที่ทำให้ $x = 2$ เป็นคำตอบจำนวนเต็มบวกเพียงค่าเดียวของระบบอสมการ $$
\begin{cases}
2x>3x-3\\
3x-a>-6
\end{cases}
$$ | ถ้าเราเริ่มต้นด้วยการพิจารณาอสมการแรก เราจะเห็นว่ามันเทียบเท่ากับ $3>x$ ดังนั้นจำนวนเต็มบวก $x$ ที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวคือ $x=1$ หรือ $x=2$ ตอนนี้มาพิจารณาสมการที่สอง ถ้า $x=2$ เราจะมี $$3(2)-a>-6 \Rightarrow 12>a$$ ถ้า $x=1,$ แล้ว $$3(1)-a>-6 \Rightarrow 9>a.$$ เราต้องการให้ $x=2$ เป็นคำตอบเพียงค่าเดียว ดังนั้นเราต้... | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
บ็อบกำลังไปเยือนประเทศญี่ปุ่นและเขาต้องการซื้อกาแฟราคา 200 เยน ถ้าหนึ่งดอลลาร์สหรัฐมีค่าเท่ากับ 108 เยน เขาต้องใช้เงินเท่าไรเป็นดอลลาร์สหรัฐ (ปัดเศษเป็นร้อยละ) เพื่อซื้อกาแฟ (คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขในปัญหานี้ได้) | บ็อบต้องจ่าย 200 เยน ซึ่งเราสามารถคูณด้วยปัจจัยการแปลง $\frac{1\ \text{USD}}{108\ \text{yen}}$ เพื่อให้ได้ค่าเป็นดอลลาร์สหรัฐ การคำนวณจะพบว่าบ็อบต้องใช้ $200\ \text{yen} \cdot \frac{1\ \text{USD}}{108\ \text{yen}} \approx \boxed{1.85\ \text{USD}}$ เพื่อซื้อกาแฟ | $200\ \text{yen} \cdot \frac{1\ \text{USD}}{108\ \text{yen}} \approx \boxed{1.85\ \text{USD}}$ | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2+y^2=8x-6y-20$ คือจุด $(x,y)$ จงหาค่าของ $x+y$ | เราจะเติมกำลังสองเพื่อหาสมการมาตรฐานของวงกลม ย้ายทุกพจน์ยกเว้นพจน์คงตัวจาก RHS ไป LHS จะได้ $x^2-8x+y^2+6y=-20$ เติมกำลังสองใน $x$ เราบวก $(-8/2)^2=16$ เข้าไปในทั้งสองข้าง เติมกำลังสองใน $y$ เราบวก $(6/2)^2=9$ เข้าไปในทั้งสองข้าง สมการจะกลายเป็น \begin{align*}
x^2-8x+y^2+6y&=-20\\
\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+6y+9&=5\\
\R... | x+y=4+(-3)=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อาร์เธอร์เดินไปทางทิศตะวันออก 6 บล็อก และเดินไปทางทิศเหนือ 12 บล็อก ถ้าแต่ละบล็อกยาว 1 ใน 3 ไมล์ อาร์เธอร์เดินไปทั้งหมดกี่ไมล์ | อาร์เธอร์เดินไป $6+12=18$ บล็อก ซึ่งเท่ากับ $$18\left(\frac{1}{3}\right)=\boxed{6}$$ ไมล์ | 6 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $23^2 + 2(23)(2) + 2^2$ | นี่คือกำลังสองของทวินาม: $23^2 + 2(23)(2) + 2^2 = (23+2)^2 = 25^2 = \boxed{625}$. | 23^2 + 2(23)(2) + 2^2 = (23+2)^2 = 25^2 = \boxed{625} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของจำนวนเต็มบวก 18 จำนวนที่เรียงติดกันเป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของผลรวมนี้ | ให้ $n, n+1, \dots , n+17$ เป็นจำนวนเต็มบวก 18 จำนวนที่เรียงติดกัน ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ ดังนั้นผลรวมคือ \[\frac{n + (n + 17)}{2} \cdot 18 = 9(2n + 17).\]เนื่องจาก 9 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ $2n+17$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์เช่นกัน ค่าที่น้อยที่สุดของ $n$ ที่ทำให้เกิดกร... | 9(2n+17) = 9\cdot 25 = \boxed{225} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ซูซี่ Q มีเงิน 1000 ดอลลาร์สหรัฐที่จะลงทุน เธอลงทุนบางส่วนของเงินที่ธนาคาร Pretty Penny ซึ่งคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นรายปีที่ 3 เปอร์เซ็นต์ เธอลงทุนส่วนที่เหลือที่ธนาคาร Five and Dime ซึ่งคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นรายปีที่ 5 เปอร์เซ็นต์ หลังจาก 2 ปี ซูซี่มีเงินรวมเป็น 1090.02 ดอลลาร์สหรัฐ เธอลงทุนเงินดอลลาร์สหรัฐจำนวนเท่าใดที่ธนา... | ให้ $x$ เป็นจำนวนเงินดอลลาร์สหรัฐที่ซูซี่ Q ลงทุนที่ธนาคาร Pretty Penny ดังนั้นเธอลงทุน $1000 - x$ ที่ธนาคาร Five and Dime หลังจาก 2 ปีบัญชีของเธอที่ธนาคาร Pretty Penny เติบโตเป็น $x \cdot 1.03^2$ และบัญชีของเธอที่ธนาคาร Five and Dime เติบโตเป็น $(1000 - x) \cdot 1.05^2$ ดังนั้น \[x \cdot 1.03^2 + (1000 - x) \cdot 1.05... | 300 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $95^2$ ในใจ | เรามี $(90 + 5)^2 = 90^2 + 2(90)(5) + 5^2 = 8100 + 900 + 25 = \boxed{9025}$. | (90 + 5)^2 = 90^2 + 2(90)(5) + 5^2 = 8100 + 900 + 25 = \boxed{9025} | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาเลขโดด $N$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $2345N$ หารด้วย 6 ลงตัว | จำนวน $2345N$ หารด้วย 6 ลงตัวก็ต่อเมื่อมันหารด้วย 2 และ 3 ลงตัว
จำนวน $2345N$ หารด้วย 2 ลงตัวก็ต่อเมื่อเลขโดดหลักสุดท้าย $N$ เป็นเลขคู่ ดังนั้น $N$ ต้องเป็น 0, 2, 4, 6 หรือ 8
จำนวน $2345N$ หารด้วย 3 ลงตัวก็ต่อเมื่อผลบวกของเลขโดดของมันหารด้วย 3 ลงตัว ซึ่งก็คือ $2 + 3 + 4 + 5 + N = N + 14$ เราเห็นว่า $N + 14$ หารด้วย 3... | N = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้ให้สมบูรณ์: $9x^2+3x$ | ตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $9x^2$ และ $3x$ คือ $3x$ เราแยกตัวประกอบ $3x$ ออกจากแต่ละพจน์เพื่อให้ได้\begin{align*}
9x^2+3x &= 3x\cdot 3x + 3x \cdot 1\\
&= \boxed{3x(3x+1)}.
\end{align*} | 3x(3x+1) | [
"ความจำ",
"เข้าใจ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดฟังก์ชันชิ้นส่วน \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl} ax+3, &\text{ if }x>2, \\
x-5 &\text{ if } -2 \le x \le 2, \\
2x-b &\text{ if } x <-2.
\end{array}
\right.\] จงหา $a+b$ ถ้าฟังก์ชันชิ้นส่วนนี้ต่อเนื่อง (หมายความว่ากราฟของมันสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอขึ้น) | เพื่อให้ฟังก์ชันชิ้นส่วนต่อเนื่อง กรณีต่างๆ ต้อง "มาบรรจบกัน" ที่ $2$ และ $-2$ ตัวอย่างเช่น $ax+3$ และ $x-5$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=2$ นี่หมายความว่า $a(2)+3=2-5$ ซึ่งเราแก้สมการได้ $2a=-6 \Rightarrow a=-3$ เช่นเดียวกัน $x-5$ และ $2x-b$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=-2$ แทนค่าเข้าไป เราได้ $-2-5=2(-2)-b$ ซึ่งหมายความว่า $b=3$ ดังนั... | a+b=-3+3=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รถไฟสินค้าวิ่งได้ 1 ไมล์ใน 1 นาที 30 วินาที ด้วยอัตราเร็วนี้ รถไฟจะวิ่งได้กี่ไมล์ใน 1 ชั่วโมง | รถไฟวิ่งได้ 1 ไมล์ใน 1 นาที 30 วินาที ดังนั้นจะวิ่งได้ 2 ไมล์ใน 3 นาที เนื่องจาก 60 นาที มี 20 กลุ่มของ 3 นาที รถไฟจะวิ่งได้ $20 \times 2 = \boxed{40}$ ไมล์ใน 1 ชั่วโมง | 20 \times 2 = \boxed{40} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สี่ปีที่แล้ว คุณลงทุนเงินจำนวนหนึ่งที่อัตราดอกเบี้ยร้อยละ 10 ปัจจุบันคุณมีเงิน $439.23 ในบัญชี หากดอกเบี้ยทบต้นเป็นรายปี คุณลงทุนเงินจำนวนเท่าใดเมื่อสี่ปีที่แล้ว? | ให้ $x$ เป็นจำนวนเงินเริ่มต้น หลังจากสี่ปี ด้วยอัตราดอกเบี้ยรายปีร้อยละ 10 การลงทุนจะเติบโตเป็น $x \cdot 1.1^4$ ดังนั้น $x \cdot 1.1^4 = 439.23$ ดังนั้น $x = 439.23/1.1^4 = \boxed{300}$ | x = 439.23/1.1^4 = \boxed{300} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
รามานุจันและฮาร์ดีเล่นเกมโดยทั้งคู่เลือกจำนวนเชิงซ้อน ถ้าผลคูณของจำนวนของพวกเขาคือ $32-8i$ และฮาร์ดีเลือก $5+3i$ รามานุจันเลือกจำนวนใด | ให้จำนวนของฮาร์ดีเป็น $h$ และจำนวนของรามานุจันเป็น $r$ เราได้สมการ: \begin{align*}
rh&=32-8i,\\
h&=5+3i.
\end{align*} ดังนั้น \[r=\frac{32-8i}{5+3i}.\] คูณบนและล่างด้วยคอนจูเกตของ $5+3i$ เราได้ \[r=\frac{(32-8i)(5-3i)}{34}\] หรือ \[r=\frac{136-136i}{34}=\boxed{4-4i}\] | 4-4i | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีวิธีการเลือกหนังสือ 4 เล่ม จากชั้นที่มีหนังสือ 6 เล่ม ได้กี่วิธี หากลำดับที่เลือกหนังสือไม่สำคัญ? | เราสามารถเลือกหนังสือ 4 เล่ม จาก 6 เล่ม ได้ใน $\binom{6}{4}=\boxed{15}$ วิธี | \binom{6}{4}=\boxed{15} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้ากำหนดให้ $a \text{ Y } b$ หมายถึง $a \text{ Y } b = a^2 - 2ab + b^2$ ค่าของ $3 \text{ Y } 2$ เท่ากับเท่าใด | เราได้ว่า $3 \text{ Y } 2 = 3^2-2(2)(3)+2^2 = 9+4-12 = \boxed{1}$.
หรืออีกวิธีหนึ่ง คุณอาจสังเกตว่า $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ ดังนั้น คำตอบคือ $(3-2)^2 = 1^2 = \boxed{1}$. | (3-2)^2 = 1^2 = \boxed{1} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จากจุดห้าจุด (3, 10), (6, 20), (12, 35), (18, 40) และ (20, 50) ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดที่อยู่เหนือเส้นตรง $y = 2x + 7$ บนระนาบพิกัด คือเท่าใด | จุดใดอยู่เหนือ $y=2x+7$ ถ้าพิกัด $y$ ของจุดนั้นมากกว่า 2 คูณด้วยพิกัด $x$ ของจุดนั้นบวก 7. เมื่อตรวจสอบจุดที่กำหนดให้ เราพบว่า $(6,20)$, $(12,35)$ และ $(20,50)$ สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดเหล่านี้คือ $6+12+20=\boxed{38}$ | 6+12+20=\boxed{38} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าอัตราส่วนของ $b$ ต่อ $a$ คือ 3 แล้วค่าของ $a$ เท่ากับเท่าใด เมื่อ $b=12-5a$? | อัตราส่วนที่กำหนดให้เราทราบว่า $\frac{b}{a}=3$ หรือว่า $b=3a$ เราแทนค่านี้ของ $b$ เพื่อให้ได้สมการที่มีตัวแปรตัวเดียวเท่านั้น เราพบว่า \begin{align*}
3a&=12-5a \\
\Rightarrow \quad 8a&=12 \\
\Rightarrow \quad a &= 12/8 \\
\Rightarrow \quad a &= \boxed{\frac{3}{2}}.
\end{align*} | $\frac{3}{2}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูกบอลเคลื่อนที่บนเส้นทางพาราโบลา ซึ่งความสูง (หน่วยเป็นฟุต) ถูกกำหนดโดยนิพจน์ $-16t^2+32t+15$ โดยที่ $t$ คือเวลาหลังจากการยิง ความสูงสูงสุดของลูกบอลเป็นเท่าไร หน่วยเป็นฟุต | การหาความสูงสูงสุดของลูกบอลเท่ากับการเพิ่มนิพจน์ $-16t^2+32t+15$ ให้สูงสุด เราจะทำได้โดยการเติมกำลังสอง การแยกตัวประกอบ $-16$ จากสองพจน์แรก เราได้ \[-16t^2+32t+15=-16(t^2-2t)+15\]เพื่อเติมกำลังสอง เราบวกและลบ $(-2/2)^2=1$ ภายในวงเล็บเพื่อให้ได้ \begin{align*}
-16(t^2-2t)+15&=-16(t^2-2t+1-1)+15\\
&=-16([t-1]^2-1)+15\\
... | 0+31=\boxed{31} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวและความกว้างเป็นจำนวนเต็ม มีเส้นรอบรูป 100 หน่วย จงหาจำนวนหน่วยตารางของพื้นที่ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ | สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นรอบรูปคงที่จะมีพื้นที่น้อยที่สุดเมื่อมิติหนึ่งยาวที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ และอีกมิติสั้นที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เพื่อดูสิ่งนี้ ให้ $x$ เป็นมิติที่สั้นกว่า และ $y$ เป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า และสังเกตว่า $y=x(50-x)$ กราฟของ $y=x(50-x)$ เป็นพาราโบลาที่หงายลงที่มีจุดยอดที่ $(25,625)$ และดังนั... | 49\cdot 1=\boxed{49} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเต็ม $G$ และ $H$ โดยที่
\[\frac{G}{x+5}+\frac{H}{x^2-4x}=\frac{x^2-2x+10}{x^3+x^2-20x}\]สำหรับค่าจริงของ $x$ ทั้งหมด ยกเว้น $-5$, $0$, และ $4$ จงหา $H/G$. | ก่อนอื่น ให้เราแยกตัวประกอบของตัวส่วน เพื่อให้ได้ \[\frac{G}{x + 5} + \frac{H}{x(x - 4)} = \frac{x^2 - 2x + 10}{x(x + 5)(x - 4)}.\]จากนั้น เราคูณทั้งสองข้างด้วย $x(x + 5)(x - 4)$ เพื่อให้ได้ \[Gx(x - 4) + H(x + 5) = x^2 - 2x + 10.\]เราสามารถแก้หา $G$ และ $H$ ได้โดยการแทนค่าของ $x$ ที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น การตั้งค่า $x ... | H/G = 2/1 = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของค่า $x$ ทั้งหมดที่เป็นคำตอบของสมการ $x^2 = 7x - 12$ | เราเขียนสมการใหม่เป็น $x^2 - 7x + 12 = 0$ ผลรวมของคำตอบของสมการนี้คือ $-\frac{-7}{1} = \boxed{7}$ | -\frac{-7}{1} = \boxed{7} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ชมรมหมากรุกมีสมาชิก 26 คน แต่มีเพียง 16 คนเท่านั้นที่เข้าร่วมการประชุมครั้งล่าสุด: ครึ่งหนึ่งของเด็กผู้หญิงเข้าร่วมประชุม แต่เด็กผู้ชายทุกคนเข้าร่วมประชุม มีเด็กผู้หญิงในชมรมหมากรุกกี่คน? | ให้มี $B$ เด็กผู้ชายและ $G$ เด็กผู้หญิง เนื่องจากสมาชิกทุกคนเป็นเด็กผู้ชายหรือเด็กผู้หญิง $B+G=26$ นอกจากนี้เรายังมี $\frac{1}{2}G+B=16$ ลบสมการที่สองออกจากสมการแรก เราได้:
$\frac{1}{2}G=26-16=10\implies G=20$.
ดังนั้นมี $\boxed{20}$ เด็กผู้หญิงในชมรมหมากรุก | \boxed{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $A$ และ $B$ ที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง
\[\frac{3x+5}{x^2-x-42}=\frac{A}{x-7}+\frac{B}{x+6}.\]เขียนคำตอบในรูป $(A,B)$ | เราแยกตัวประกอบของส่วนของเศษส่วนทางซ้ายมือ เพื่อให้ได้ \[\frac{3x+5}{(x-7)(x+6)}= \frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x + 6}.\]จากนั้นเราคูณทั้งสองข้างด้วย $(x - 7)(x + 6)$ เพื่อให้ได้ \[3x + 5 = A(x + 6) + B(x - 7).\]เราสามารถหาค่า $A$ และ $B$ ได้โดยการแทนค่า $x$ ที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น การแทน $x = 7$ สมการจะกลายเป็น $26 = 13A... | (A,B) = \boxed{(2,1)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน \[f(x) =
\begin{cases}
9x+4 &\text{ถ้า }x\text{ เป็นจำนวนเต็ม}, \\
\lfloor{x}\rfloor+5 &\text{ถ้า }x\text{ ไม่เป็นจำนวนเต็ม}.
\end{cases}
\]จงหา $f(\sqrt{29})$. | เนื่องจาก 29 ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ เราจึงทราบว่า $\sqrt{29}$ ไม่สามารถเท่ากับจำนวนเต็มได้ ดังนั้น $f(\sqrt{29})=\lfloor\sqrt{29}\rfloor+5=5+5=\boxed{10}$. | f(\sqrt{29})=\lfloor\sqrt{29}\rfloor+5=5+5=\boxed{10} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $y$ ในสมการ $\frac{30}{50}=\sqrt{\frac{y}{50}}$ | ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราได้ $\frac{30^2}{50^2}=\frac{y}{50}$ แก้สมการหา $y$ จะได้ $y=900/50=\boxed{18}$ | y=900/50=\boxed{18} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก และกำหนดให้ $n=x^2+2x+17$ และ $d=2x+5$ เป็นจำนวนเต็ม เมื่อหาร $n$ ด้วย $d$ แล้วผลหารคือ $x$ และเศษเหลือคือ $7$ จงหาค่าของ $x$ | เนื่องจากเราทราบว่าผลหารเมื่อหาร $n$ ด้วย $d$ คือ $x$ และมีเศษเหลือ $7$ เราสามารถเขียนได้ว่า $n/d = x + 7/d$ แทนค่า $n$ และ $d$ ลงไปจะได้ $$\frac{x^2+2x+17}{2x+5}=x+\frac{7}{2x+5}.$$ คูณตลอดด้วย $2x+5$ จะได้
\begin{align*}
x^2+2x+17&=x(2x+5)+7\\
x^2+2x+17&=2x^2+5x+7\\
0&=x^2+3x-10\\
0&=(x-2)(x+5).
\end{align*}ดังนั้น ... | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อัลลีและเบ็ตตี้เล่นเกมโดยผลัดกันทอยลูกเต๋า 6 หน้า ถ้าผู้เล่นทอยได้ $n$ เธอจะได้รับ $f(n)$ คะแนน โดยที่ \[f(n) = \left\{
\begin{array}{cl} 6 & \text{ ถ้า }n\text{ หารด้วย 2 และ 3 ลงตัว}, \\
2 & \text{ ถ้า }n\text{ หารด้วย 2 ลงตัว}, \\
0 & \text{ ถ้า }n\text{ ไม่หารด้วย 2 ลงตัว}.
\end{array}
\right.\]อัลลีทอยลูกเต๋า 4 ค... | สำหรับอัลลี 5 และ 1 ทำให้เธอไม่ได้คะแนนเพราะไม่หารด้วย 2 ลงตัว ในขณะที่ 4 และ 2 หารด้วย 2 ลงตัวและทำให้เธอได้ 2 คะแนนต่อครั้ง รวมเป็น 4 คะแนน สำหรับเบ็ตตี้ 3 และ 3 ทำให้เธอไม่ได้คะแนน 2 ทำให้เธอได้ 2 คะแนน และ 6 หารด้วย 2 และ 3 ลงตัว ทำให้เธอได้ 6 คะแนน ดังนั้นเบ็ตตี้มีคะแนนรวม 8 คะแนน และผลคูณของคะแนนรวมของอัลลีและเบ็... | 4\cdot8=\boxed{32} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลต่างบวกระหว่างคำตอบสองคำตอบของสมการ $\displaystyle\sqrt[3]{4 - \frac{x^2}{3}} = -2$ | เราจะกำจัดเครื่องหมายรากที่สามโดยการยกกำลังสามทั้งสองข้าง ซึ่งจะได้ $4-\frac{x^2}{3} = -8$ การแก้สมการนี้จะได้ $x^2 = 36$ ดังนั้น $x=6$ หรือ $x=-6$ ดังนั้น ผลต่างบวกระหว่างสองคำตอบคือ $\boxed{12}$ | \boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของนิพจน์ต่อไปนี้: $\frac{1}{3}-\frac{1}{9}+\frac{1}{27}-\frac{1}{81}+\frac{1}{243}$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | นี่เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี 5 พจน์ พจน์แรกคือ $1/3$ และอัตราส่วนร่วมคือ $-1/3$ ผลรวมของอนุกรมนี้คือ $\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\cdot(-\frac{1}{3})^5}{1-(-\frac{1}{3})} = \frac{\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^6}{1+\frac{1}{3}}=\boxed{\frac{61}{243}}$ | \frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\cdot(-\frac{1}{3})^5}{1-(-\frac{1}{3})} = \frac{\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^6}{1+\frac{1}{3}}=\boxed{\frac{61}{243}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.