question stringlengths 16 1.6k | solution stringlengths 3 2.73k | answer stringlengths 0 168 | bloom_taxonomy listlengths 1 4 |
|---|---|---|---|
จงหาค่าของ $\lceil{\sqrt{20}}\rceil^2$. | เนื่องจาก $\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}$ หรือเทียบเท่ากับ $4<\sqrt{20}<5$ จำนวนเต็มที่เล็กที่สุดที่มากกว่าหรือเท่ากับ $\sqrt{20}$ ต้องเป็น $5$ ดังนั้น $\lceil{\sqrt{20}}\rceil^2=5^2=\boxed{25}$ | 25 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ด้วยความเร็ว 50 ไมล์ต่อชั่วโมง รถยนต์จะเดินทางไกลเท่าใดใน $2\frac{3}{4}$ ชั่วโมง? แสดงคำตอบเป็นจำนวน혼 | ในสองชั่วโมง รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 50 ไมล์ต่อชั่วโมงจะวิ่งได้ $50$ ไมล์ต่อชั่วโมง $\times 2$ ชั่วโมง $= 100$ ไมล์ ตอนนี้เราหาว่ารถยนต์สามารถวิ่งได้ไกลเท่าใดใน $3/4$ ของชั่วโมง ซึ่งก็คือ $50$ ไมล์ต่อชั่วโมง $\times \frac{3}{4}$ ชั่วโมง $ = \frac{150}{4} = 37 \frac{1}{2}$ ไมล์ ดังนั้น รถยนต์จะวิ่งได้ทั้งหมด $100 + 37... | 137 \frac{1}{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl} ax+3, &\text{ if }x>2, \\
x-5 &\text{ if } -2 \le x \le 2, \\
2x-b &\text{ if } x <-2.
\end{array}
\right.\]จงหา $a+b$ ถ้าฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนนี้ต่อเนื่อง (หมายความว่ากราฟของมันสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอขึ้น) | เพื่อให้ฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนต่อเนื่อง กรณีต่างๆ ต้อง "มาบรรจบกัน" ที่ $2$ และ $-2$ ตัวอย่างเช่น $ax+3$ และ $x-5$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=2$ นี่หมายความว่า $a(2)+3=2-5$ ซึ่งเราแก้สมการได้ $2a=-6 \Rightarrow a=-3$ เช่นเดียวกัน $x-5$ และ $2x-b$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=-2$ แทนค่าลงไป เราได้ $-2-5=2(-2)-b$ ซึ่งหมายความว่า $b=3$ ดังน... | a+b=-3+3=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ดีกรีของพหุนาม $(4 +5x^3 +100 +2\pi x^4 + \sqrt{10}x^4 +9)$ คือเท่าไร | พหุนามนี้ไม่ได้เขียนอยู่ในรูปมาตรฐาน อย่างไรก็ตาม เราไม่จำเป็นต้องเขียนในรูปมาตรฐาน หรือไม่จำเป็นต้องใส่ใจสัมประสิทธิ์ เราเพียงแค่ดูเลขชี้กำลังของ $x$ เราพบพจน์ $x^4$ และไม่มีพจน์อื่นที่มีดีกรีสูงกว่า ดังนั้น $\boxed{4}$ คือดีกรีของพหุนาม | \boxed{4} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์"
] |
แซมได้รับการว่าจ้างให้ทำงานเป็นเวลา 20 วัน ในวันที่เขาทำงาน เขาจะได้รับเงิน $\$$60 แต่ละวัน หากเขาไม่ได้ทำงานในวันใด วันนั้นเงินเดือนของเขาจะถูกหัก $\$$30 ในตอนท้ายของ 20 วัน เขาได้รับเงิน $\$$660 แซมไม่ได้ทำงานกี่วัน? | ให้ $x$ เป็นจำนวนวันที่แซมทำงาน และ $y$ เป็นจำนวนวันที่เขาไม่ได้ทำงาน เราสามารถตั้งระบบสมการต่อไปนี้เพื่อแสดงข้อมูลที่กำหนด: \begin{align*}
x+y &= 20 \\
60x - 30y &= 660 \\
\end{align*} สมการแรกแสดงจำนวนวันที่แซมทำงานทั้งหมด และสมการที่สองแสดงกำไรทั้งหมดของเขา การแก้หา $x$ ในสมการแรกจะได้ $x = 20 - y$ การแทนค่าลงในสมกา... | \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
วงดนตรีที่มีสมาชิก $m$ คนในแต่ละแถว $r$ แถว โดยที่ $m$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็ม วงดนตรีวงหนึ่งมีสมาชิกน้อยกว่า 100 คน ผู้อำนวยวงจัดให้สมาชิกยืนเป็นแถวเรียงกันและพบว่ามีสมาชิก 2 คนเหลืออยู่ ถ้าเขาเพิ่มจำนวนสมาชิกในแต่ละแถวขึ้น 1 คน และลดจำนวนแถวลง 2 แถว จะมีที่พอดีสำหรับสมาชิกทุกคนในวงดนตรี จงหาจำนวนสมาชิกสูงสุดที่วงดนตรีว... | ให้ $x$ เป็นจำนวนสมาชิกในแต่ละแถวสำหรับการจัดแถวครั้งแรก เมื่อมีสมาชิกเหลืออยู่ 2 คน จากข้อมูลที่กำหนด เราสามารถเขียนสมการได้ 2 สมการ: $$rx+2=m$$ $$(r-2)(x+1)=m$$ เมื่อตั้งสมการให้เท่ากัน เราจะได้: $$rx+2=(r-2)(x+1)=rx-2x+r-2$$ $$2=-2x+r-2$$ $$4=r-2x$$ เราทราบว่าวงดนตรีมีสมาชิกน้อยกว่า 100 คน จากสมการแรก เราต้องมี $rx$... | \boxed{98} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $p$ ทั้งหมดที่ทำให้สำหรับทุก ๆ $q>0$ เราได้ $$\frac{3(pq^2+p^2q+3q^2+3pq)}{p+q}>2p^2q?$$ แสดงคำตอบในรูปของช่วงค่าในรูปทศนิยม | ก่อนอื่นเราจะทำให้อัตราส่วนซับซ้อนนั้นง่ายขึ้น เราพยายามแยกตัวประกอบของตัวเศษทางด้านซ้าย: \begin{align*}
pq^2+p^2q+3q^2+3pq &= q(pq + p^2 + 3q + 3p) \\
&= q[ p(q+p) + 3(q+p) ] \\
&= q(p+3)(q+p).
\end{align*}การแทนค่านี้ในอสมการของเราจะได้ $$\frac{3q(p+3)(p+q)}{p+q}>2p^2q.$$เราสังเกตว่าด้านซ้ายมี $p+q$ ทั้งในตัวเศษและตั... | \boxed{[0,3)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นตรงที่ผ่านจุด $(1, 7)$ และ $(3, 11)$ ตัดแกน $y$ ที่จุดใด จงแสดงคำตอบในรูปของจุดที่เรียงกัน | แกน $y$ คือเส้นตรงที่ $x$-coordinate มีค่าเท่ากับ $0$ โดยใช้จุดที่กำหนดให้ เมื่อ $x$-coordinate ลดลง $2$ $y$-coordinate จะลดลง $4$ ดังนั้น เมื่อ $x$-coordinate ลดลง $1$ จาก $1$ เป็น $0$ $y$-coordinate จะลดลง $2$ จาก $7$ เป็น $5$ จุดที่ต้องการคือ $\boxed{(0,5)}$ | \boxed{(0,5)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^2$ ในการกระจายผลคูณของ $(ax^3 + 3x^2 - 2x)(bx^2 - 7x - 4)$ | เราต้องพิจารณาเฉพาะพจน์ที่คูณกันแล้วมีดีกรีเท่ากับ $2$ เท่านั้น ซึ่งจะได้จากผลคูณของพจน์ $3x^2$ และ $-4$ และผลคูณของพจน์ $-2x$ และ $-7x$ ดังนั้น $$(3x^2) \times (-4) + (-2x) \times (-7x) = -12x^2 + 14x^2 = 2x^2,$$สัมประสิทธิ์คือ $\boxed{2}$ | \boxed{2} | [
"จำแนก",
"นำไปใช้"
] |
จุด $(-1,4)$ และ $(2,-3)$ เป็นจุดยอดที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส | ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือระยะห่างระหว่างจุดที่กำหนด หรือ $\sqrt{(-1 - 2)^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{58}$ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือกำลังสองของความยาวด้าน หรือ $\boxed{58}$ | \boxed{58} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สามก๊อกน้ำเติมน้ำในอ่าง 100 แกลลอนเต็มภายใน 6 นาที หากมีก๊อกน้ำ 6 ก๊อก จะใช้เวลานานเท่าไรเป็นวินาทีในการเติมน้ำในอ่าง 25 แกลลอน โดยสมมติว่าก๊อกน้ำทุกก๊อกจ่ายน้ำด้วยอัตราเดียวกัน | เนื่องจากก๊อกน้ำสามก๊อกสามารถเติมน้ำในอ่าง 100 แกลลอนให้เต็มภายใน 6 นาที ดังนั้น หากมีก๊อกน้ำ 6 ก๊อก จะสามารถเติมน้ำได้เร็วขึ้นเป็นสองเท่า ซึ่งใช้เวลา 3 นาที นอกจากนี้ อ่างน้ำมีขนาดเล็กกว่า 1 ใน 4 ดังนั้นจะเต็มเร็วขึ้น 4 เท่า ซึ่งจะใช้เวลา $3/4$ นาที หรือ $\boxed{45}$ วินาที | \boxed{45} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
2x^2 - 3&\text{ถ้า } x\le 2, \\
ax + 4 &\text{ถ้า } x>2.
\end{cases}
\]จงหาค่าของ $a$ ถ้ากราฟของ $y=f(x)$ ต่อเนื่อง (หมายถึงสามารถวาดกราฟได้โดยไม่ต้องยกดินสอขึ้น) | ถ้ากราฟของ $f$ ต่อเนื่อง กราฟของทั้งสองกรณีจะต้องมาบรรจบกันเมื่อ $x=2$ ซึ่ง (ในความหมายที่ไม่เคร่งครัด) เป็นจุดแบ่งระหว่างสองกรณี ดังนั้นเราต้องมี $2\cdot 2^2 -3 = 2a + 4.$ แก้สมการนี้จะได้ $a = \boxed{\frac{1}{2}}.$ | a = \boxed{\frac{1}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
3x^2 + 2&\text{if } x\le 3, \\
ax - 1 &\text{if } x>3.
\end{cases}
\]จงหาค่า $a$ ถ้ากราฟของ $y=f(x)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (หมายถึงสามารถวาดกราฟได้โดยไม่ต้องยกดินสอจากกระดาษ) | ถ้ากราฟของ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง กราฟของทั้งสองกรณีจะต้องมาบรรจบกันเมื่อ $x=3$ ซึ่ง (ในความหมายที่ไม่เคร่งครัด) เป็นจุดแบ่งระหว่างสองกรณี ดังนั้นเราต้องมี $3(3^2) + 2 = 3a - 1$ แก้สมการนี้จะได้ $a = \boxed{10}$ | a = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่สอดคล้องกับ $\frac{\sqrt{3x+5}}{\sqrt{6x+5}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เราเริ่มต้นด้วยการคูณไขว้และยกกำลังสองทั้งสองข้าง \begin{align*}
\frac{\sqrt{3x+5}}{\sqrt{6x+5}}&=\frac{\sqrt{5}}{3}\\
3\sqrt{3x+5}&=\sqrt{5}\cdot\sqrt{6x+5}\\
\left(3\sqrt{3x+5}\right)^2&=\left(\sqrt{5}\cdot\sqrt{6x+5}\right)^2\\
9(3x+5) &=5(6x+5)\\
20 &= 3x\\
x&=\boxed{\frac{20}{3}}.\\
\end{align*}ตรวจสอบพบว่าค่าของ ... | x | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดสมการ $x^2+kx+5 = 0$ มีรากที่ต่างกัน $\sqrt{61}$ จงหาค่า $k$ ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ | จากสูตรกำลังสอง รากของสมการคือ \begin{align*}
\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-4(5)(1)}}{2(1)}\\
&=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-20}}{2}.
\end{align*} เราต้องการหาผลต่างของราก ดังนั้นเราจึงนำรากที่ใหญ่กว่าลบด้วยรากที่เล็กกว่า: \begin{align*}
\left(\frac{-k+\sqrt{k^2-20}}{2}\right)-\left(\frac{-k-\sqrt{k^2-... | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแสดง $\frac{0.\overline{666}}{1.\overline{333}}$ ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เราอาจจะเห็นว่าส่วนบนคือ $\frac{2}{3}$ และส่วนล่างคือ $\frac{4}{3}$ ซึ่งจะให้ค่าเท่ากับ $\frac{1}{2}$ ถ้าไม่ใช่ ให้เรียกตัวเศษว่า $x$ คูณด้วย 10 และลบด้วย $x$ จะได้ $9x = 6$ ดังนั้น $x = \frac{2}{3}$ จากนั้นเราจะเห็นว่าส่วนล่างคือ $1 + \frac{x}{2}$ ซึ่งจะให้ค่าเท่ากับ $\boxed{\frac{1}{2}}$ สำหรับเศษส่วนทั้งหมด | \boxed{\frac{1}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นตรงเส้นหนึ่งมีค่าความชันเท่ากับ $-7$ และผ่านจุด $(3,0)$ สมการของเส้นตรงนี้สามารถเขียนอยู่ในรูป $y = mx+b$ ค่าของ $m+b$ คือเท่าไร? | ก่อนอื่นจงจำไว้ว่าความชันของเส้นตรงในรูป $y=mx+b$ เท่ากับ $m$ ดังนั้นเส้นตรงต้องอยู่ในรูป $y=-7x+b$ ต่อไปแทนจุด $(3,0)$ และแก้หา $b$: \begin{align*}
0&=-7(3)+b\\
\Rightarrow\qquad 0&=-21+b\\
\Rightarrow\qquad 21&=b
\end{align*} ดังนั้นค่าของ $m+b$ คือ $-7+21=\boxed{14}$ | -7+21=\boxed{14} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าจำนวนเต็มที่มากที่สุดของ $b$ ที่ทำให้นิพจน์ $\frac{9x^3+4x^2+11x+7}{x^2+bx+8}$ มีโดเมนเป็นจำนวนจริงทั้งหมด | เพื่อให้นิพจน์มีโดเมนเป็นจำนวนจริงทั้งหมด พหุนาม $x^2+bx+8 = 0$ ต้องไม่มีรากจำนวนจริง ดิสคริมิแนนต์ของพหุนามนี้คือ $b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = b^2 - 32$ พหุนามไม่มีรากจำนวนจริงก็ต่อเมื่อดิสคริมิแนนต์เป็นลบ ดังนั้น $b^2 - 32 < 0$ หรือ $b^2 < 32$ จำนวนเต็ม $b$ ที่มากที่สุดที่สอดคล้องกับอสมการนี้คือ $\boxed{5}$ | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แครอลขับรถอย่างต่อเนื่องตั้งแต่เวลา 09:40 น. จนถึง 13:20 น. ของวันเดียวกัน และครอบคลุมระยะทาง 165 ไมล์ เธอมีอัตราเร็วเฉลี่ยเท่าไร (เป็นไมล์ต่อชั่วโมง) | อัตราเร็วเฉลี่ยถูกนิยามว่าเป็นระยะทางที่เดินทางหารด้วยเวลาที่เดินทาง แครอลขับรถ 165 ไมล์ ใน $3\frac{40}{60}=3\frac{2}{3}=\frac{11}{3}$ ชั่วโมง ดังนั้นอัตราเร็วเฉลี่ยของเธอคือ $\frac{165}{\frac{11}{3}}=3\cdot15=\boxed{45}$ ไมล์ต่อชั่วโมง | \frac{165}{\frac{11}{3}}=3\cdot15=\boxed{45} | [
"นำไปใช้"
] |
ลูกบอลเคลื่อนที่บนเส้นทางพาราโบลา โดยความสูง (เป็นฟุต) ถูกกำหนดโดยนิพจน์ $-16t^2+64t+31$ โดยที่ $t$ คือเวลาหลังจากการปล่อยออกไป ความสูงสูงสุดของลูกบอลเป็นเท่าไร (เป็นฟุต) | การหาความสูงสูงสุดของลูกบอลคือการหาค่าสูงสุดของนิพจน์ $-16t^2+64t+31$ เราจะทำได้โดยการเติมกำลังสอง การแยกตัวประกอบ $-16$ จากสองพจน์แรก เราได้ \[-16t^2+64t+31=-16(t^2-4t)+31.\]เพื่อเติมกำลังสอง เราบวกและลบ $(-4/2)^2=4$ ภายในวงเล็บเพื่อให้ได้ \begin{align*}
-16(t^2-4t)+31&=-16(t^2-4t+4-4)+31\\
&=-16([t-2]^2-4)+31\\
&=-1... | 0+95=\boxed{95} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $d\not=0$ เราสามารถเขียน $\left(12d+13+14d^2\right)+\left(2d+1\right)$ ในรูป $ad+b+cd^2$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหา $a+b+c$ | การบวกพจน์ $d$ จะได้ $14d$ การบวกพจน์คงตัวจะได้ $14$ การบวกพจน์ $d^2$ จะได้ $14d^2$ การบวกพจน์ทั้งหมดจะได้ ${14d+14+14d^2}$ ดังนั้น $a+b+c = \boxed{42}$ | a+b+c = \boxed{42} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นรากของสมการ $x^2-mx+2=0.$ สมมติว่า $a+(1/b)$ และ $b+(1/a)$ เป็นรากของสมการ $x^2-px+q=0.$ จงหาค่าของ $q$ | เนื่องจาก $a$ และ $b$ เป็นรากของ $x^2 - mx + 2 = 0,$ เราได้ \[
x^2 - mx + 2 = (x-a)(x-b)\quad \text{และ} \quad ab = 2.
\] ในทำนองเดียวกัน พจน์คงตัวของ $x^2 - px + q$ คือผลคูณของ $a + (1/b)$ และ $b + (1/a),$ ดังนั้น \[
q=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right)= ab+1+1+\frac{1}{ab}=\boxed{\frac{9}{2}}.
\] | 9/2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2+y^2=-2x-10y-16$ คือจุด $(x,y)$ จงหาค่าของ $x+y$ | เราจะเติมกำลังสองเพื่อหาสมการมาตรฐานของวงกลม ย้ายพจน์ที่ไม่ใช่ค่าคงตัวจาก RHS ไป LHS เราได้ $x^2+2x+y^2+10y=-16$ เติมกำลังสองใน $x$ เราบวก $(2/2)^2=1$ ทั้งสองข้าง เติมกำลังสองใน $y$ เราบวก $(10/2)^2=25$ ทั้งสองข้าง สมการจะกลายเป็น \begin{align*}
x^2+2x+y^2+10y&=-16\\
\Rightarrow x^2+2x+1+y^2+10y+25&=10\\
\Rightarrow (x... | x+y=-1+(-5)=\boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $f$, $g$, $h$ และ $j$ คือ 5, 6, 7 และ 8 แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นลำดับนั้น ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของผลรวมของสี่ผลคูณ $fg$, $gh$, $hj$ และ $fj$ คือเท่าใด | พิจารณาผลคูณเป็นคู่ๆ เราได้ \[
(f+g+h+j)^2=f^2+g^2+h^2+j^2+2(fg+fh+fj+gh+gj+hj),
\] ดังนั้น \[
fg+gh+hj+fj=\frac{(f+g+h+j)^2-f^2-g^2-h^2-j^2}{2}-(fh+gj).
\] เนื่องจากเศษทางด้านขวามือไม่ขึ้นอยู่กับว่าค่าของ $f$, $g$, $h$ และ $j$ ถูกกำหนดอย่างไร เราเพิ่มค่า $fg+gh+hj+fj$ โดยการย่อ $fh+gj$ ลง ตรวจสอบค่าที่แตกต่างกันสามค่... | $\frac{(5+6+7+8)^2-5^2-6^2-7^2-8^2}{2}-82=\boxed{169}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แต่ละพจน์ของลำดับ (หลังจากพจน์แรก) มีค่าเป็นสัดส่วนผกผันกับพจน์ก่อนหน้า และค่าคงที่แห่งสัดส่วนยังคงเท่าเดิม ถ้าพจน์แรกคือ 2 และพจน์ที่สองคือ 5 พจน์ที่ 12 คือเท่าไร | จงจำไว้ว่าปริมาณสองปริมาณมีสัดส่วนผกผันกันถ้าผลคูณของมันคงที่ ดังนั้น ผลคูณของพจน์คู่ใดๆ ของลำดับเท่ากัน เนื่องจากพจน์แรกและพจน์ที่สองคือ 2 และ 5 ผลคูณของพจน์คู่ใดๆ คือ 10 ดังนั้น พจน์ที่สามคือ $10/5=2$ พจน์ที่สี่คือ $10/2=5$ และอื่นๆ เราเห็นว่าพจน์ที่ $n$ คือ 5 สำหรับทุกๆ $n$ ที่เป็นจำนวนคู่ ดังนั้น พจน์ที่ 12 คือ $\b... | \boxed{5} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สามพจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ 1, 10 และ 19 ตามลำดับ ค่าของพจน์ที่ 21 คือเท่าใด | ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้คือ $10 - 1 = 9$ ดังนั้นพจน์ที่ $21^{\text{st}}$ คือ $1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181}$ | 1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับ $y=\frac{x+2}{5x-7}$ มีค่า $x$ ใดที่เส้นกำลุ่งตั้งฉาก? | เส้นกำลุ่งตั้งฉากจะเกิดขึ้นเมื่อส่วนของเศษส่วนเท่ากับ 0 ทำให้ $y$ ไม่นิยาม เพื่อให้ส่วนเท่ากับ 0 เราได้ $5x-7=0\Rightarrow x=\boxed{\frac{7}{5}}$ | 5x-7=0\Rightarrow x=\boxed{\frac{7}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x-y=15$ และ $xy=4$ จงหาค่าของ $x^2+y^2$ | ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการแรก เราจะได้ $x^2-2xy+y^2=225$ ดังนั้นเราทราบว่า $x^2+y^2=225+2xy$ เนื่องจาก $xy=4$ เราพบว่า $x^2+y^2=225+2(4)=\boxed{233}$ | x^2+y^2=225+2(4)=\boxed{233} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ลำดับเรขาคณิตของจำนวนเต็มบวกถูกสร้างขึ้นโดยมีพจน์แรกคือ 2 และพจน์ที่ห้าคือ 162 พจน์ที่หกของลำดับนี้คือเท่าใด | ให้ลำดับเรขาคณิตมีอัตราส่วนร่วม $r$ เราทราบว่า $2\cdot r^4=162$ หรือ $r=3$ ดังนั้นพจน์ที่หกคือ $2 \cdot r^5 = 2 \cdot 3^5 = \boxed{486}$ | 2 \cdot r^5 = 2 \cdot 3^5 = \boxed{486} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ลำดับเรขาคณิตของจำนวนเต็มบวกถูกสร้างขึ้น โดยพจน์แรกคือ 3 และพจน์ที่สี่คือ 192 จงหาพจน์ที่สามของลำดับนี้ | ให้ลำดับเรขาคณิตมีอัตราส่วนร่วม $r$ เราทราบว่า $3\cdot r^3=192$ หรือ $r=4$ ดังนั้น พจน์ที่สามคือ $3 \cdot r^2 = 3 \cdot 4^2 = \boxed{48}$ | 3 \cdot r^2 = 3 \cdot 4^2 = \boxed{48} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2+y^2=-4x+6y-12$ และจุด $(1,7)$ | ย้ายพจน์ไปทาง LHS เราจะได้ $x^2+4x+y^2-6y=-12$ เติมกำลังสองใน $x$ เราบวก $(4/2)^2=4$ ทั้งสองข้าง เติมกำลังสองใน $y$ เราบวก $(6/2)^2=9$ ทั้งสองข้าง เราจะได้สมการ $x^2+4x+4+y^2-6y+9=1 \Rightarrow (x+2)^2+(y-3)^2=1$ ดังนั้นวงกลมมีจุดศูนย์กลาง $(-2,3)$ ความยาวระหว่างจุดศูนย์กลางนี้และจุด $(1,7)$ คือ $\sqrt{(1-(-2))^2+(... | \sqrt{(1-(-2))^2+(7-3)^2}=\boxed{5} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $2^8=4^x$ จงหาค่าของ $x$ | เขียน $4$ ใหม่เป็น $2^2$ เพื่อให้ได้ $4^x=2^{2x}$ เนื่องจาก $2^8=2^{2x}$ เราได้ $2x=8$ ซึ่งหมายความว่า $x=\boxed{4}$ | x=\boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพจน์ที่ 100 ของลำดับเลขคณิต 6, 10, 14, 18, ... | ผลต่างร่วมคือ $10 - 6 = 4$ ดังนั้นพจน์ที่ 100 คือ $6+99\cdot 4=\boxed{402}$ | 6+99\cdot 4=\boxed{402} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้าระบบสมการ egin{align*}
3x+y&=a,\\
2x+5y&=2a,
\end{align*} มีคำตอบ $(x,y)$ เมื่อ $x=2$ จงคำนวณค่า $a$ | แทนค่า $x=2$ ลงในสมการ จะได้สมการ
\begin{align*}
y+6&=a,\\
5y+4&=2a.
\end{align*}
คูณสมการแรกด้วย $5$ แล้วลบออกจากสมการที่สอง จะได้
$$-26=-3a\Rightarrow a=\boxed{\frac{26}{3}}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
ผลต่างบวกระหว่าง $120\%$ ของ 30 และ $130\%$ ของ 20 คือเท่าไร | หนึ่งร้อยยี่สิบเปอร์เซ็นต์ของ 30 คือ $120\cdot30\cdot\frac{1}{100}=36$ และ $130\%$ ของ 20 คือ $ 130\cdot 20\cdot\frac{1}{100}=26$. ผลต่างระหว่าง 36 และ 26 คือ $\boxed{10}$. | \boxed{10} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กราฟของ $y=\frac{2}{x^2+x-6}$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งกี่เส้น? | ตัวส่วนของฟังก์ชันตรรกยะตัวนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$ เนื่องจากตัวเศษไม่เป็นศูนย์เสมอ จึงจะมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งเมื่อตัวส่วนเป็น 0 ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $x = 2$ และ $x = -3$ ดังนั้นกราฟจึงมี $\boxed{2}$ เส้นกำลุ่งแนวตั้ง | \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในวันหนึ่งที่เมืองซอลท์เลค รัฐยูทาห์ อุณหภูมิถูกกำหนดโดย $-t^2 +12t+50$ โดยที่ $t$ คือเวลาที่ผ่านไปหลังเที่ยง (เป็นชั่วโมง) จงหาค่า $t$ ที่มากที่สุดที่อุณหภูมิเท่ากับ 77 องศา? | เราตั้งสมการอุณหภูมิเท่ากับ 77 องศา: \begin{align*}
-t^2 +12t+50&=77\\
t^2-12t+27&=0\\
(t-3)(t-9)&=0
\end{align*}เราเห็นว่าอุณหภูมิเท่ากับ 77 องศา สองครั้ง: ที่ $t=3$ และ $t=9$ ดังนั้นคำตอบของเราคือ $\boxed{9}$ | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้นิพจน์ต่อไปนี้ใน $x$ ง่ายขึ้น: \[2x+8x^2+9-(4-2x-8x^2).\] เขียนคำตอบของคุณในรูป $ax^2 +bx+c$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นตัวเลข | นิพจน์ที่กำหนดให้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $2x+8x^2+9-4+2x+8x^2$ การรวมพจน์ที่คล้ายกัน นิพจน์สุดท้ายนี้เท่ากับ $(2x+2x)+(8x^2+8x^2)+(9-4)=\boxed{16x^2+4x+5}$ | (2x+2x)+(8x^2+8x^2)+(9-4)=\boxed{16x^2+4x+5} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $i^5+i^{-25}+i^{45}$ | เราทราบว่า $i^5 = i^4\cdot i = 1\cdot (i) = i$. เรายังทราบอีกว่า $i^{-25} = 1/i^{25} = 1/(i^{24}\cdot i) = 1/[1\cdot (i)] = 1/i = \frac1{i}\cdot\frac{i}{i} = i/(-1) = -i$ และ $i^{45} = (i^{44})\cdot i= 1\cdot i =i$ ดังนั้น การบวกผลลัพธ์ทั้งสามนี้จะได้ $i^5 + i^{-25} + i^{45} = i+-i+i = \boxed{i}$ | $i^5 + i^{-25} + i^{45} = i+-i+i = \boxed{i}$ | [
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $a^3\cdot a^2$ เมื่อ $a= 5$. | นิพจน์ที่กำหนดให้เท่ากับ $a^{3+2}=a^5$. แทนค่า $a$ ลงในนิพจน์ จะได้ $5^5=\boxed{3125}$ | 5^5=\boxed{3125} | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $(2x+5)(x-3)=14$ จงหาผลรวมของค่า $x$ ที่เป็นไปได้ | ขยายด้านซ้ายของสมการที่กำหนดให้ เราได้ $2x^2-x-15=14 \Rightarrow 2x^2-x-29=0$ เนื่องจากในสมการกำลังสองที่มีรูปแบบ $ax^2+bx+c=0$ ผลรวมของรากคือ $-b/a$ ผลรวมของรากของสมการที่กำหนดคือ $1/2=\boxed{.5}$ | 1/2=\boxed{.5} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาช่วงของฟังก์ชัน $f(x) = \sqrt{x^2}$. | เราสามารถเห็นได้ว่า $f(x) = \sqrt{x^2} = |x|$. (โปรดทราบว่า $f(x) \not = x$ เนื่องจาก $x$ อาจเป็นลบ) เนื่องจาก $|x|$ มีค่าเป็นจำนวนไม่เป็นลบทั้งหมด ช่วงของฟังก์ชันคือ $\boxed{[0,\infty)}$. | \boxed{[0,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในขวดน้ำวิตามินขนาด 8 ออนซ์ มีแคลอรี 125 แคลอรี ขวดน้ำวิตามินขนาด 12 ออนซ์ จะมีแคลอรีกี่แคลอรี แสดงคำตอบในรูปทศนิยม | เรารู้ว่ามี 125 แคลอรี ใน 8 ออนซ์ของน้ำวิตามิน ดังนั้นเราสามารถตั้งสัดส่วน $\frac{125}{8}=\frac{x}{12}$ โดยที่ $x$ คือจำนวนแคลอรีที่บรรจุในขวด 12 ออนซ์ เมื่อแก้สมการหา $x$ เราจะพบว่า $x=\left(\frac{125}{8}\right)(12)=\boxed{187.5}$ แคลอรี | x=\left(\frac{125}{8}\right)(12)=\boxed{187.5} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ $(17^6-17^5)\div16=17^x$ | แยกตัวประกอบ $17^5$ ออกจากสองพจน์ในวงเล็บ เราได้ $17^5(17-1)\div16=17^5$ ดังนั้น $x=\boxed{5}$ | x=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ที่อุณหภูมิคงที่ ความดันของตัวอย่างก๊าซเป็นสัดส่วนผกผันกับปริมาตรของมัน ฉันมีไฮโดรเจนอยู่ในภาชนะ 3.67 ลิตร ที่ความดัน 4 kPa ถ้าฉันย้ายทั้งหมดไปยังภาชนะ 1.835 ลิตร ที่อุณหภูมิเดียวกัน ความดันใหม่จะเป็นเท่าไรในหน่วย kPa | เนื่องจากความดัน $p$ ของไฮโดรเจนและปริมาตร $v$ เป็นสัดส่วนผกผันกัน $pv=k$ สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า จากภาชนะแรก เราทราบว่า $k=3.67\cdot4=14.68$ ดังนั้น เมื่อเราเคลื่อนย้ายไปยังภาชนะ 1.835 ลิตร เราจะได้ว่า $1.835p=14.68$ ดังนั้น $p=\boxed{8}$ kPa | p=\boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สิบ treeks มีน้ำหนักเท่ากับสาม squigs และหนึ่ง goolee. สอง treeks และหนึ่ง goolee มีน้ำหนักเท่ากับหนึ่ง squig. treeks กี่ตัวจะมีน้ำหนักเท่ากับหนึ่ง squig? | ให้ $t,s,g$ แทนน้ำหนักของ treek หนึ่งตัว, น้ำหนักของ squig หนึ่งตัว และน้ำหนักของ goolee หนึ่งตัว ตามลำดับ จากข้อมูลที่กำหนดให้เราจะได้ \begin{align*}
10t &=3s+g\\
2t +g &= s.
\end{align*} เนื่องจากเราต้องการหา $s$ ในรูปของ $t$ เราจึงต้องการกำจัด $g$ บวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้ \begin{align*}
10t+2t+g &= 3s+g+s\\
... | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่ารากของพหุนาม $x^2 - mx + n$ เป็นจำนวนเฉพาะบวก (ไม่จำเป็นต้องต่างกัน) โดยที่ $m < 20$ มีค่าที่เป็นไปได้ของ $n$ กี่ค่า? | ให้ $p$ และ $q$ เป็นรากที่เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วเราทราบว่า $m = p+q$ และ $n = pq$ เนื่องจาก $m < 20$ จำนวนเฉพาะ $p$ และ $q$ ต้องน้อยกว่า $20$ ทั้งคู่
จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า $20$ คือ $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $17,$ $19$ ตอนนี้เรา liệt kêคู่ $(p, q)$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ โดยที่ $p + q < 20$ และอย่าลืมรวมกรณีที่ $p=q$ ด... | 18 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแก้สมการสำหรับ $w$ และแสดงเป็นเศษส่วนอย่างง่าย: $\frac{1\frac16}w=\frac{42}3$. | การทำให้ข้างซ้ายมือง่ายขึ้นจะได้ \[\frac{1\frac16}{w} = \frac{\frac{7}{6}}{w} = \frac{7}{6}\cdot\frac1w = \frac{7}{6w},\] ดังนั้นสมการคือ \[\frac{7}{6w} = \frac{42}{3} = 14.\] คูณทั้งสองข้างด้วย $6w$ จะได้ $7=14(6w)$. หารทั้งสองข้างด้วย 7 จะได้ $1=2(6w)$ และหารทั้งสองข้างด้วย 12 จะได้ $w = \boxed{\frac{1}{12}}$. | w = \boxed{\frac{1}{12}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $(1+2i)6-3i$. | กระจาย 6 เข้าไป และทำการลดรูป: $(1+2i)6-3i=6+12i-3i=\boxed{6+9i}$ | (1+2i)6-3i=6+12i-3i=\boxed{6+9i} | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
กำหนดให้ $(x,y)$ เป็นคู่ลำดับของจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ $x^2+y^2=14x+48y$ จงหาค่าสูงสุดของ $y$ | ย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายมือ เราจะได้สมการ $x^2-14x+y^2-48y=0$ ทำการเติมกำลังสองในพจน์กำลังสองของ $x$ เราบวก $(14/2)^2=49$ เข้าไปในทั้งสองข้าง ทำการเติมกำลังสองในพจน์กำลังสองของ $y$ เราบวก $(48/2)^2=576$ เข้าไปในทั้งสองข้าง เราได้สมการ \[(x^2-14x+49)+(y^2-48y+576)=625 \Rightarrow (x-7)^2+(y-24)^2=625\] จัดรูปใหม่ เราได... | \boxed{49} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณของกำลังสองของคำตอบของสมการ $2x^2 + 13x + 6 = 0$ | จากสูตรของเวียต้า ผลคูณของคำตอบคือ $6/2 = 3$ ดังนั้น ผลคูณของกำลังสองของคำตอบคือ $3^2 = \boxed{9}$ | 3^2 = \boxed{9}. | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ $f(1)=2$, $f(4)=3$, $f(7)=4$ และ $f^{-1}(x)$ เป็นฟังก์ชันผกผันของ $f(x)$ จงหาค่าของ $f^{-1}(f^{-1}(3))$ | เราสังเกตได้ว่า $f(4)=3$ ดังนั้น $f^{-1}(3)=4$ ดังนั้นเราจึงมี $f^{-1}(f^{-1}(3))=f^{-1}(4)$ จากตรงนี้เราเห็นว่า $f(7)=4$ ดังนั้น $f^{-1}(4)=7$ ดังนั้น $f^{-1}(f^{-1}(3))=\boxed{7}$ | f^{-1}(f^{-1}(3))=\boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $x$ ใดจะทำให้ค่าของ $x^2- 14x + 3$ มีค่าน้อยที่สุด | เริ่มต้นด้วยการเติมกำลังสอง: \begin{align*}
x^2-14x+3&= x^2-14x +\left(\frac{14}{2}\right)^2 - \left(\frac{14}{2}\right)^2 + 3\\
& = x^2 -14x + 7^2 - 49 + 3\\
&=(x-7)^2 - 46.\end{align*}เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงมีค่าอย่างน้อย 0 เราได้ $$(x-7)^2\ge 0,$$โดยที่ $(x-7)^2 =0$ เฉพาะเมื่อ $x=7$. ดังนั้น $(x-7)^2 - 46$ ม... | x=\boxed{7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $m$ และ $n$ สอดคล้องกับ $mn=7$ และ $m+n=8$ จงหาค่าของ $|m-n|$ | เรามีสมการสองสมการและตัวแปรสองตัว ดังนั้นเราสามารถแก้สมการหา $m$ และ $n$ ได้โดยตรง จากนั้นคำนวณ $|m-n|$ ได้ อย่างไรก็ตาม การทำแบบนั้นจะยุ่งยาก ดังนั้นเราจึงมองหาแนวทางอื่น เรา squaring สมการที่สองเพื่อให้ได้ $(m+n)^2 = m^2 + 2mn +n^2 = 64$ เราทราบว่า $mn=7$ ดังนั้นเราสามารถลบสมการ $4mn=28$ เพื่อให้ได้ $m^2 -2mn + n^2 =... | |m-n|=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ฉันเลือกจำนวนเต็ม $n$ สุ่มระหว่าง $1$ ถึง $10$ (รวม) ความน่าจะเป็นที่ $n$ ที่ฉันเลือก จะไม่มีคำตอบจริงของสมการ $x(x+5) = -n$ คือเท่าไร? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | ก่อนอื่นเราหาเซตคำตอบที่ทำให้สมการไม่มีคำตอบจริง เราเริ่มจากจัดเรียงสมการ $x(x+5) = -n$ เป็น $x^2 + 5x + n = 0$ ถ้า $b^2 - 4ac < 0$ สมการจะไม่มีคำตอบจริง ดังนั้นเราต้องการแก้สมการ $25 - 4n < 0$ บวก $4n$ ทั้งสองข้างและหารด้วย $4$ เราจะได้ $n>6.25$ ความน่าจะเป็นที่ฉันเลือกตัวเลข $7, 8, 9$ หรือ $10$ คือ $\boxed{\frac{2... | \boxed{\frac{2}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำตอบของ $x(x-3)=1$ สามารถแสดงในรูป $ rac{a+\sqrt{b}}{c}$ และ $ rac{a-\sqrt{b}}{c}$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงหา $abc$ | กระจายด้านซ้ายมือและลบ 1 จากทั้งสองข้างเพื่อให้ได้ $x^2-3x-1=0$ การตรวจสอบจะพบว่า $x^2-3x-1$ ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ง่ายๆ ดังนั้นเราจึงแทนค่าสัมประสิทธิ์ 1, $-3$ และ $-1$ ลงในสูตรกำลังสอง: \[
\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-(4)(1)(-1)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}.
\]ดังนั้น $a=3$, $b=13$ และ $c=2$... | abc=(3)(13)(2)=\boxed{78} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สูตรอาหารต้องการเกลือ $ rac{1}{4}$ ช้อนชา สำหรับน้ำ 1 ควอร์ต จะใช้ปริมาณน้ำกี่ควอร์ตสำหรับเกลือ 2 ช้อนชา? | การใช้เกลือ 2 ช้อนชา จะต้องใช้เกลือ $ rac{1}{4}$ ช้อนชา จำนวน 8 ครั้ง ดังนั้นจะใช้ $oxed{8}$ ควอร์ตของน้ำ | $oxed{8}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $a\ast b = 2a+5b-ab$, จงหาค่าของ $3\ast10$ | จากนิยามของฟังก์ชันที่กำหนดให้ $3\ast 10 = 2(3)+5(10)-(3)(10) = 6+50-30=\boxed{26}$ | 26 | [
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของเลขห้าหลักสองจำนวน $AMC10$ และ $AMC12$ เท่ากับ $123422.$ จงหาค่าของ $A + M + C?$ | เนื่องจากหลักสุดท้ายสองหลักของ $AMC10$ และ $AMC12$ บวกกันได้ $22$ ดังนั้น \[
AMC + AMC = 2(AMC) = 1234.
\] ดังนั้น $AMC=617$ ดังนั้น $A=6,$ $M=1,$ $C=7,$ และ $A+M+C = 6+1+7 = \boxed{14}.$ | A+M+C = 6+1+7 = \boxed{14}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในลำดับ 0, 1, 1, 3, 6, 9, 27, ..., พจน์แรกคือ 0. พจน์ต่อๆ มาได้มาจากการบวกและคูณด้วยจำนวนเต็มที่ต่อเนื่องกัน เริ่มต้นด้วย 1. ตัวอย่างเช่น พจน์ที่สองได้มาจากการบวก 1 กับพจน์แรก; พจน์ที่สามได้มาจากการคูณพจน์ที่สองด้วย 1; พจน์ที่สี่ได้มาจากการบวก 2 กับพจน์ที่สาม; และอื่นๆ. พจน์แรกที่มีค่ามากกว่า 125 มีค่าเท่าใด? | จากลำดับที่ 27 เราบวกสี่เพื่อให้ได้ 31 จากนั้นคูณ 31 ด้วยสี่เพื่อให้ได้ 124 จากนั้นบวกห้ากับ 124 เพื่อให้ได้ 129 ดังนั้น $\boxed{129}$ คือพจน์แรกที่มีค่ามากกว่า 125. | \boxed{129} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ประเมินค่าของ $\log_21$. | เรามี $2^0=1$ ดังนั้น $\log_2 1 = \boxed{0}$. | \log_2 1 = \boxed{0} | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
ม้าตัวหนึ่งห่างจากศูนย์กลางของม้าหมุน 64 ฟุต ทำการหมุน 27 รอบ เพื่อที่จะเดินทางระยะทางเท่ากัน ม้าตัวหนึ่งที่ห่างจากศูนย์กลาง 16 ฟุต ต้องหมุนกี่รอบ? | รัศมีของเส้นทางวงกลมของม้าตัวที่อยู่ใกล้ศูนย์กลางมากกว่าคือ $\frac{1}{4}$ ของรัศมีของเส้นทางของม้าตัวที่อยู่ห่างจากศูนย์กลางมากขึ้น เนื่องจากเส้นรอบวงเป็นสัดส่วนโดยตรงกับรัศมี ความยาวของเส้นทางที่สั้นกว่าคือ $\frac{1}{4}$ ของความยาวของเส้นทางที่ยาวกว่า ดังนั้น จำนวนการหมุนที่ต้องทำ 4 เท่า เพื่อไประยะทางเท่ากัน ซึ่งคือ ... | 27\times4=\boxed{108} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการ $y = -4.9t^2 - 3.5t + 2.4$ แสดงความสัมพันธ์ระหว่างความสูง $y$ (หน่วยเป็นเมตร) กับเวลาที่ผ่านไป $t$ (หน่วยเป็นวินาที) ของลูกบอลที่ถูกโยนลงมาด้วยความเร็ว 3.5 เมตรต่อวินาที จากความสูง 2.4 เมตรจากพื้นดิน ลูกบอลจะใช้เวลากี่วินาทีในการตกลงถึงพื้นดิน? แสดงคำตอบเป็นทศนิยมปัดเศษเป็นร้อยละ | กำหนดให้ $y$ เท่ากับศูนย์ เราจะได้ดังนี้: \begin{align*}
0& = -4.9t^2 -3.5t + 2.4\\
& = 49t^2 + 35t - 24\\
& = (7t-3)(7t + 8)\\
\end{align*}เนื่องจาก $t$ ต้องเป็นบวก เราจะเห็นว่า $t = \frac{3}{7} \approx \boxed{0.43}.$ | t = \frac{3}{7} \approx \boxed{0.43}. | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาผลรวมของพหุคูณของ 3 ทั้งหมดระหว่าง 100 ถึง 200 | พหุคูณของ 3 ที่น้อยที่สุดระหว่าง 100 ถึง 200 คือ 102 และพหุคูณที่มากที่สุดคือ 198 ดังนั้นเราต้องการหาผลรวมของอนุกรมเลขคณิต $102 + 105 + \dots + 198$.
พจน์ที่ $n$ ในลำดับเลขคณิตนี้คือ $102 + 3(n - 1) = 3n + 99$. ถ้า $3n + 99 = 198$ แล้ว $n = 33$ ดังนั้นจำนวนพจน์ในลำดับนี้คือ 33.
ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยขอ... | (102 + 198)/2 \cdot 33 = \boxed{4950}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงแก้สมการหาค่า $x$ : $$(\sqrt{12x}+12)(\sqrt{3x}-6)=4(x+3)+x-34$$ | ก่อนอื่นเราสังเกตว่า $x$ ต้องไม่เป็นลบ เนื่องจาก $\sqrt{12x}$ ไม่นิยามถ้า $x<0$ จากนั้นเราทำให้อสมการทั้งสองข้างง่ายขึ้น โดยการขยายผลคูณทางซ้ายมือ จะได้ \begin{align*}
(\sqrt{12x} + 12)(\sqrt{3x} - 6) &= \sqrt{12x}(\sqrt{3x} - 6) + 12(\sqrt{3x} - 6)\\
&= \sqrt{36x^2} - 6\sqrt{12x} + 12\sqrt{3x} - 72.
\end{align*}ต่อไปเ... | 50 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มกี่จำนวนที่อยู่ในลำดับเลขคณิต 13, 20, 27, 34, $\dots$, 2008? | ผลต่างร่วมคือ $20 - 13 = 7$. ถ้าลำดับนี้มี $n$ พจน์ แล้ว $13 + 7(n - 1) = 2008$ แก้สมการเพื่อหา $n$ จะได้ $n = \boxed{286}$ | n = \boxed{286} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)=\dfrac{x+5}{3}$ และ $g(x)=\dfrac{1}{f^{-1}(x)+1}$ จงหาค่าของ $g(3)$ | เราเริ่มต้นด้วยการคำนวณฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}(x)$ แทน $ f^{-1}(x)$ ลงในฟังก์ชัน $f(x) = \frac{x + 5}{3}$ เราได้ \[f(f^{-1}(x))=\dfrac{f^{-1}(x)+5}{3}.\]เนื่องจาก $f(f^{-1}(x)) = x$ สำหรับทุก $x$ ในโดเมนของ $f^{-1}$ เราได้ \[x=\dfrac{f^{-1}(x)+5}{3}.\]แก้สมการเพื่อหา $f^{-1}(x)$ จะได้ $$f^{-1}(x)=3x-5.$$ดังนั้นเราสามารถเ... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหาค่าของ \[\frac 2{\log_4{2000^6}} + \frac 3{\log_5{2000^6}},\]แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ | ใช้สมบัติ $\log_a b^x = x \log_a b,$ เราได้ \[\begin{aligned} \frac 2{\log_4{2000^6}} + \frac 3{\log_5{2000^6}} &= \frac{2}{6\log_4 2000} + \frac{3}{6\log_5 2000} \\ &= \frac{1}{3\log_4 2000} + \frac{1}{2\log_5 2000}. \end{aligned}\]เนื่องจาก $\log_a b = \frac1{\log_b a}$, เราสามารถเขียนได้ \[\frac{1}{3\log_4 2000} + \... | \boxed{\tfrac{1}{6}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์",
"ประเมิน"
] |
จากจุดสี่จุด $(2,2)$, $(9,11)$, $(5,7)$, และ $(11,17)$ มีสามจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุดใดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงนั้น | พิจารณาจุด $P$, $Q$, และ $R$ ถ้าความชันระหว่างจุด $P$ และ $Q$ เท่ากับความชันระหว่างจุด $Q$ และ $R$ จุด $P$, $Q$, และ $R$ จะ共线กัน ดังนั้นเราต้องหาความชันระหว่างคู่ของจุดที่เป็นไปได้ทุกคู่ มาตั้งชื่อให้กับจุดเหล่านี้: $A=(2,2)$, $B=(9,11)$, $C=(5,7)$, และ $D=(11,17)$ เราสร้างตารางของคู่ของจุดที่เป็นไปได้ทั้งหมดและคำนวณคว... | \boxed{(9,11)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $|z - 5 - i| = 5.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[|z - 1 + 2i|^2 + |z - 9 - 4i|^2.\] | กำหนดให้ $z = x + yi,$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง แล้ว $|x + yi - 5 - i| = |(x - 5) + (y - 1)i| = 5,$ ดังนั้น
\[(x - 5)^2 + (y - 1)^2 = 25.\]ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $x^2 - 10x + y^2 - 2y = -1.$
นอกจากนี้,
\begin{align*}
|z - 1 + 2i|^2 + |z - 9 - 4i|^2 &= |x + yi - 1 + 2i|^2 + |x + yi - 9 - 4i|^2 \\
&= |(x - 1) + (y ... | 10^2 = 100. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $a+b=3$ และ $a^3+b^3=81$ จงหา $ab$. | นึกถึงการแยกตัวประกอบผลต่างกำลังสาม $a^3+b^3= (a+b)(a^{2}-ab+b^{2}).$ เราแทนค่าจากสมการที่กำหนดให้ได้ $81=(3)(a^2-ab+b^2)$. ดังนั้น $a^2-ab+b^2=27$. เราทราบว่า $(a+b)^2=9=a^2+2ab+b^2$. เราใช้สมการทั้งสอง $$a^2+2ab+b^2=9$$และ $$a^2-ab+b^2=27.$$โดยการลบสมการที่สองจากสมการแรก เราได้ว่า $2ab+ab=9-27$. ดังนั้น $3ab=-18$ ดั... | ab=\boxed{-6} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, $c$, $d$, และ $e$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $a+b+c+d+e=2010$ และให้ $M$ เป็นค่าสูงสุดของผลรวม $a+b$, $b+c$, $c+d$ และ $d+e$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $M$ | เราทราบว่า
\[M = \max \{a + b, b + c, c + d, d + e\}.\]โดยเฉพาะ $a + b \le M,$ $b + c \le M,$ และ $d + e \le M.$ เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก $c < M.$ ดังนั้น
\[(a + b) + c + (d + e) < 3M.\]จากนั้น $2010 < 3M$ ดังนั้น $M > 670.$ เนื่องจาก $M$ เป็นจำนวนเต็ม $M \ge 671.$
สมการเป็นจริงถ้า $a = 669,$ $b = 1,$ $c = 670,$... | \boxed{671}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนจริง $a$ และ $b$ ถูกเลือกมาโดยที่ $1<a<b$ โดยที่ไม่มีรูปสามเหลี่ยมใดๆ ที่มีพื้นที่เป็นบวกที่มีความยาวด้านเป็น $1, a,$ และ $b$ หรือ $\tfrac{1}{b}, \tfrac{1}{a},$ และ $1$. จงหาค่า $b$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ | เราทราบว่า $1 < a < b.$ เรายังทราบอีกด้วยว่า 1, $a,$ และ $b$ ไม่สามารถเป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ ดังนั้นอย่างน้อยหนึ่งในอสมการต่อไปนี้
\begin{align*}
1 + a &> b, \\
1 + b &> a, \\
a + b &> 1
\end{align*}ไม่เป็นจริง. เราเห็นว่า $1 + b > b > a$ และ $a + b > a > 1,$ ดังนั้นอสมการที่ไม่เป็นจริงเพียงอสมการเดียวคือ $1 + a... | \boxed{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนคำตอบจริงของสมการ
\[\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x - 3} + \dots + \frac{100}{x - 100} = x.\] | กำหนดให้
\[f(x) = \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x - 3} + \dots + \frac{100}{x - 100}.\]พิจารณา กราฟของ $y = f(x).$
[asy]
unitsize(1 cm);
real func(real x) {
return((1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + 4/(x - 4) + 5/(x - 5) + 6/(x - 6))/15);
}
draw((-2,0)--(8,0));
draw((0,-2)--(0,2));
draw((1,-2)--(1... | \boxed{101} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้
\[f(x) = \frac{x^2 - 6x + 6}{2x - 4}\]และ
\[g(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x - d}.\]ทราบว่า
$\bullet$ กราฟของ $f(x)$ และ $g(x)$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งเหมือนกัน
$\bullet$ เส้นกำลุ่งเฉียงของ $f(x)$ และ $g(x)$ ตั้งฉากกัน และจุดตัดของเส้นกำลุ่งเฉียงทั้งสองอยู่บนแกน $y$
$\bullet$ กราฟของ $f(x)$ และ $g(x)$ มีจุดตัดกัน... | เส้นกำลุ่งแนวตั้งของ $f(x)$ คือ $x = 2.$ ดังนั้น $d = 2.$
โดยการหารแบบยาว
\[f(x) = \frac{1}{2} x - 2 - \frac{2}{2x - 4}.\]ดังนั้น เส้นกำลุ่งเฉียงของ $f(x)$ คือ $y = \frac{1}{2} x - 2,$ ซึ่งผ่านจุด $(0,-2).$ ดังนั้น เส้นกำลุ่งเฉียงของ $g(x)$ คือ
\[y = -2x - 2.\]ดังนั้น
\[g(x) = -2x - 2 + \frac{k}{x - 2}\]สำหรับค่าคงท... | \boxed{\left( 4, -\frac{1}{2} \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการพหุนาม \[x^3 + bx + c = 0,\]โดยที่ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนตรรกยะ มี $3-\sqrt{7}$ เป็นราก สมการนี้ยังมีรากที่เป็นจำนวนเต็มอีกด้วย รากนั้นคืออะไร? | เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจำนวนตรรกยะ รากสังยุคของ $3-\sqrt{7}$ ซึ่งก็คือ $3+\sqrt{7}$ จะต้องเป็นรากของพหุนามเช่นกัน โดยทฤษฎีบทของ Vieta ผลรวมของรากของพหุนามนี้เท่ากับ $0$ ; เนื่องจาก $(3-\sqrt{7}) + (3+\sqrt{7}) = 6$ รากที่สามซึ่งเป็นจำนวนเต็มต้องเท่ากับ $0 - 6 = \boxed{-6}$. | 0 - 6 = \boxed{-6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่
\[a + b + c = ab + ac + bc = abc = 1.\]กรุณาใส่ค่า $a,$ $b,$ $c$ ที่แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค ในลำดับใดก็ได้ | จากสูตรของ Vieta's $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของ
\[x^3 - x^2 + x - 1 = 0.\]เราสามารถเขียนได้ว่า $x^2 (x - 1) + (x - 1) = 0,$ หรือ $(x - 1)(x^2 + 1) = 0.$ รากคือ $\boxed{1,i,-i}.$ | \boxed{1,i,-i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของพจน์ในอนุกรมเรขาอนันต์เท่ากับ 15 และผลบวกของกำลังสองของพจน์เท่ากับ 45 จงหาพจน์แรก | ให้ $a$ เป็นพจน์แรก และ $r$ เป็นอัตราส่วนร่วม แล้ว
\begin{align*}
\frac{a}{1 - r} &= 15, \\
\frac{a^2}{1 - r^2} &= 45.
\end{align*}จากสมการแรก $a = 15(1 - r).$ แทนค่าลงในสมการที่สอง เราได้
\[\frac{225 (1 - r)^2}{1 - r^2} = 45.\]ส่วนของตัวส่วนแยกตัวประกอบได้เป็น $(1 + r)(1 - r),$ ดังนั้นสมการจึงลดรูปเป็น
\[\frac{5 (1 -... | a = 15 \left( 1 - \frac{2}{3} \right) = \boxed{5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้สมการจริง \[\frac{x^3+2x^2}{x^2+3x+2} + x = -6.\]เขียนคำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เราสังเกตได้ว่าเราสามารถทำให้เศษส่วนง่ายขึ้น: \[\frac{x^3+2x^2}{x^2+3x+2} = \frac{x^2(x+2)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2}{x+1},\]โดยที่ $x \neq -2.$ ดังนั้นเราจึงมี \[\frac{x^2}{x+1} + x = -6.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $x+1$ จะได้ \[x^2 + x(x+1) = -6(x+1),\]หรือ \[2x^2+7x+6=0.\]สมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น \[(2x+3)(x+2) = 0,\]ดังน... | x = \boxed{-\tfrac32}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสามหลักสุดท้ายของ $9^{105}.$ | เราสามารถเขียน $9^{105} = (10 - 1)^{105}.$ จากทฤษฎีบททวินาม,
\[(10 - 1)^{105} = 10^{105} - \binom{105}{1} 10^{104} + \binom{105}{2} 10^{103} - \dots + \binom{105}{102} 10^3 - \binom{105}{103} 10^2 + \binom{105}{104} 10 - 1.\]พจน์ทั้งหมดจนถึง $\binom{105}{102} 10^3$ หารด้วย $10^3$ ลงตัว ดังนั้นเพื่อหาสามหลักสุดท้าย เราส... | \boxed{049}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบจริงของสมการ
\[x^4 - 2x^3 - x + 2 = 0.\] | เราสามารถแยกตัวประกอบพหุนามได้ดังนี้
\begin{align*}
x^4 - 2x^3 - x + 2 &= (x - 2) x^3 - (x - 2) \\
&= (x - 2)(x^3 - 1) \\
&= (x - 2)(x - 1)(x^2 + x + 1).
\end{align*}ตัวประกอบกำลังสอง $x^2 + x + 1$ ไม่มีคำตอบจริง ดังนั้นคำตอบจริงคือ $\boxed{1,2}.$ | \boxed{1,2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อใดที่กราฟของ $y=ax^2+3x+1$ และ $y=-x-1$ ตัดกันที่จุดเดียว? | กราฟของ $y=ax^2+3x+1$ และ $y=-x-1$ ตัดกันที่จุดเดียวเมื่อสมการ
$$ax^2+3x+1=-x-1$$มีคำตอบเดียว สมการนี้จะลดรูปเป็น $ax^2+4x+2=0$ ซึ่งมีคำตอบเดียวเมื่อค่าพิจารณา (discriminant) เท่ากับ 0, กล่าวคือ,
$$4^2-4(a)(2)=0.$$แก้สมการเพื่อหาค่า $a$ จะได้ $a=\boxed{2}$. | a=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $x + y + z = 6.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{x^2 + y^2}{x + y} + \frac{x^2 + z^2}{x + z} + \frac{y^2 + z^2}{y + z}.\] | โดยอสมการ QM-AM,
\[\sqrt{\frac{x^2 + y^2}{2}} \ge \frac{x + y}{2}.\]ดังนั้น
\[\frac{x^2 + y^2}{2} \ge \left( \frac{x + y}{2} \right)^2,\]ซึ่งเราสามารถจัดรูปใหม่เป็น
\[\frac{x^2 + y^2}{x + y} \ge \frac{x + y}{2}.\]ทำนองเดียวกัน,
\begin{align*}
\frac{x^2 + y^2}{x + y} &\ge \frac{x + y}{2}, \\
\frac{y^2 + z^2}{y + z} &\g... | \boxed{6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ดาวเคราะห์ชื่อ เซเวียร์ มีวงโคจรเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสหนึ่ง เมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด (จุดใกล้ดวงอาทิตย์) จะอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ 2 หน่วยดาราศาสตร์ (AU) และเมื่ออยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ที่สุด (จุดไกลดวงอาทิตย์) จะอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ 12 AU เมื่อเซเวียร์อยู่ตรงกลางวงโคจรตามที่แสดง ให้หาว่าเซเวียร์อยู่... | ให้ $A$ เป็นจุดใกล้ดวงอาทิตย์, ให้ $B$ เป็นจุดไกลดวงอาทิตย์, ให้ $F$ เป็นจุดโฟกัสที่ดวงอาทิตย์อยู่, ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงรี และให้ $M$ เป็นตำแหน่งปัจจุบันของเซเวียร์
[asy]
unitsize(1 cm);
pair A, B, F, M, O;
path ell = xscale(2)*Circle((0,0),1);
A = (-2,0);
B = (2,0);
F = (-sqrt(3),0);
O = (0,0);
M = (0,-1)... | MF = AO = \frac{14}{2} = \boxed{7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้จุด $P,$ $Q,$ และ $R$ แทนด้วยจำนวนเชิงซ้อน $z,$ $(1 + i) z,$ และ $2 \overline{z},$ ตามลำดับ โดยที่ $|z| = 1.$ เมื่อ $P,$ $Q$, และ $R$ ไม่共线 ให้ $S$ เป็นจุดยอดที่สี่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน $PQSR.$ จงหาความยาวสูงสุดระหว่าง $S$ กับจุดกำเนิดบนระนาบเชิงซ้อน | ให้ $w$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับจุด $S.$ เนื่องจาก $PQSR$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
\[w = (1 + i) z + 2 \overline{z} - z,\]ดังนั้น $w = 2 \overline{z} + iz.$ แล้ว $\overline{w} = 2z - i \overline{z},$ ดังนั้น
\begin{align*}
|w|^2 &= w \overline{w} \\
&= (2 \overline{z} + iz)(2z - i \overline{z}) \\
&= 4 z \over... | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ไฮเปอร์โบลา มีโฟกัสสองจุดอยู่ที่ $(5, 0)$ และ $(9, 4).$ จงหาพิกัดของจุดศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลา | จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อโฟกัสทั้งสอง จุด ดังนั้นจุดศูนย์กลางมีพิกัด $\left(\frac{5+9}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = \boxed{(7,2)}.$ | \left(\frac{5+9}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = \boxed{(7,2)}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[2 \sqrt{x} + \frac{1}{x}\]สำหรับ $x > 0.$ | โดย AM-GM,
\[2 \sqrt{x} + \frac{1}{x} = \sqrt{x} + \sqrt{x} + \frac{1}{x} \ge 3 \sqrt[3]{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}} = 3.\]สมการเป็นจริงเมื่อ $x = 1,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{3}.$ | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ $\frac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{2}+1} + \dfrac{2}{\sqrt{3}-1}}$ ง่ายขึ้น | เราทำให้นิพจน์เศษส่วนย่อยๆ ง่ายขึ้นโดยการคูณด้วยสังยุคของส่วน: \[\frac{1}{\sqrt2+1} = \frac{1}{\sqrt2+1} \cdot \frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1} = \sqrt2-1\]และ \[\frac{2}{\sqrt3-1} = \frac{2}{\sqrt3-1} \cdot \frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1} = \sqrt3+1.\]ดังนั้น นิพจน์ที่กำหนดจึงกลายเป็น \[\frac{1}{(\sqrt2-1)+(\sqrt3+1)} = \frac1{\sq... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
พหุนาม $x^3 - 2004 x^2 + mx + n$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และมีศูนย์ที่แตกต่างกัน 3 ตัว ซึ่งเป็นจำนวนบวก ศูนย์ตัวหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม และเป็นผลบวกของอีกสองศูนย์ มีค่าของ $n$ ที่เป็นไปได้กี่ค่า? | ให้ $a$ แทนศูนย์ที่เป็นจำนวนเต็ม เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $x^3$ คือ 1 จึงไม่มีศูนย์ตรรกยะอื่น ดังนั้นอีกสองศูนย์ต้องเป็น $\frac{a}{2} \pm r$ สำหรับจำนวนอตรรกยะ $r$ พหุนามจะเป็น \[(x-a) \left( x - \frac{a}{2} - r \right) \left( x - \frac{a}{2} + r \right) = x^3 - 2ax^2 + \left( \frac{5}{4}a^2 - r^2 \right) x - a \left... | n | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับสาม $(x,y,z)$ ของจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ
\begin{align*}
x + yz &= 7, \\
y + xz &= 10, \\
z + xy &= 10.
\end{align*}เป็น $(x_1,y_1,z_1),$ $(x_2,y_2,z_2),$ $\dots,$ $(x_n,y_n,z_n).$ จงหา $x_1 + x_2 + \dots + x_n.$ | ลบสมการ $y + xz = 10$ และ $z + xy = 10$ เราได้
\[y + xz - z - xy = 0.\]แล้ว $y - z + x(z - y) = 0,$ ดังนั้น $(y - z)(1 - x) = 0.$ ดังนั้น $y = z$ หรือ $x = 1.$
ถ้า $x = 1,$ แล้ว $yz = 6$ และ $y + z = 10.$ จากสูตรของ Vieta's $y$ และ $z$ เป็นรากของ $t^2 - 10t + 6 = 0.$ ดังนั้น $x = 1$ สำหรับลำดับสาม $(x,y,z)$ สองคู่
... | 2 + 5 = \boxed{7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่ต่างกัน 3 จำนวน ซึ่ง $a,$ $b,$ $c$ เป็นลำดับเรขาคณิต และ
\[\log_c a, \ \log_b c, \ \log_a b\]เป็นลำดับเลขคณิต จงหาผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต | เนื่องจาก $a,$ $b,$ $c$ เป็นลำดับเรขาคณิต ดังนั้น $b = \sqrt{ac}.$ ดังนั้น ลอการิทึมทั้งสามจะกลายเป็น
\[\log_c a, \ \log_{\sqrt{ac}} c, \ \log_a \sqrt{ac}.\]กำหนดให้ $x = \log_c a.$ ดังนั้น โดยสูตรการเปลี่ยนฐาน
\[\log_{\sqrt{ac}} c = \frac{\log_c c}{\log_c \sqrt{ac}} = \frac{1}{\frac{1}{2} \log_c ac} = \frac{2}{\log_... | x^2 = \frac{1 - 5x}{2}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A$ เป็นจุดบนวงกลม $x^2 + y^2 - 12x + 31 = 0,$ และ $B$ เป็นจุดบนพาราโบลา $y^2 = 4x.$ จงหาค่าของระยะทาง $AB$ ที่น้อยที่สุด | ทำการเติมกำลังสองใน $x^2 + y^2 - 12x + 31 = 0,$ เราได้
\[(x - 6)^2 + y^2 = 5.\]ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(6,0),$ และรัศมีของวงกลมคือ $\sqrt{5}.$
สังเกตว่าพาราโบลา $y^2 = 4x$ เปิดออกทางด้านขวา. กำหนดให้ $2t$ เป็นพิกัด $y$ ของ $B.$ ดังนั้น
\[x = \frac{y^2}{4} = \frac{(2t)^2}{4} = t^2,\]ดังนั้น $B = (t^2,2t).$
... | \boxed{\sqrt{5}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
วงรีมีจุดโฟกัสที่ $(0, 2)$ และ $(3, 0)$ มันมีจุดตัดแกน $x$ สองจุด หนึ่งในนั้นคือจุดกำเนิด จุดตัดแกน $x$ อีกจุดคืออะไร? ป้อนคำตอบของคุณเป็นคู่ลำดับ | ผลรวมของระยะทางจาก $(0,0)$ ถึงจุดโฟกัสทั้งสองคือ $ 2 + 3 = 5.$ ตามนิยามของวงรี ผลรวมของระยะทางจากจุดใดๆ บนวงรีถึงจุดโฟกัสทั้งสองต้องเท่ากับ $5$ ด้วย ดังนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า $(x, 0)$ เป็นจุดตัดแกน $x$ อีกจุด หนึ่งในนั้นคือจุดกำเนิด จุดตัดแกน $x$ อีกจุดคืออะไร? ป้อนคำตอบของคุณเป็นคู่ลำดับ | \boxed{\left(\tfrac{15}{4},0\right)}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{4}{7} \cdots \frac{49}{52} \cdot \frac{50}{53}$. เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | สังเกตว่าตั้งแต่ $\frac{4}{7}$ ถึง $\frac{50}{53}$ ตัวเศษของแต่ละเศษส่วนจะตัดกันกับตัวส่วนของเศษส่วนสามเทอมก่อนหน้า ดังนั้นผลคูณจะ सरล์ตัดเป็น \[\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{51\cdot 52\cdot 53 }= \boxed{\frac{1}{23426}}.\] | \frac{1}{23426} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $(x, y)$ เป็นคำตอบของระบบสมการ \[\begin{aligned} \lfloor x \rfloor + \{y\} &= 2.4, \\ \{x\} + \lfloor y \rfloor &= 5.1. \end{aligned} \] จงคำนวณ $|x - y|.$ | พิจารณาสมการแรก \[\lfloor x \rfloor + \{y\} = 2.4.\] เนื่องจาก $\lfloor x \rfloor$ เป็นจำนวนเต็ม ในขณะที่ $0 \le \{y\} < 1$ ความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือ $\lfloor x \rfloor = 2$ และ $\{y\} = 0.4.$ เช่นเดียวกัน จากสมการที่สอง เราได้ $\{x\} = 0.1$ และ $\lfloor y \rfloor = 5.$ ดังนั้น \[x = \lfloor x \rfloor + \{x\} = ... | |x-y| = |2.1-5.4| = \boxed{3.3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $m$ เป็นจำนวนเต็มบวก และให้ $a_0, a_1, \dots , a_m$ เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ $a_0 = 37$, $a_1 = 72$, $a_m=0$, และ $$ a_{k+1} = a_{k-1} - \frac{3}{a_k} $$สำหรับ $k = 1,
2, \dots, m-1$. จงหาค่า $m$. | เราเขียนการถดถอยที่กำหนดใหม่เป็น \[a_ka_{k+1} = a_{k-1}a_k - 3.\]สิ่งนี้บ่งบอกว่าจำนวน $a_0a_1, a_1a_2, a_2a_3, \ldots$ รูปแบบลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ $-3$ เราได้ $a_0a_1 = 37 \cdot 72$ และ $a_{m-1}a_m = 0$ (เพราะ $a_m = 0$) เนื่องจากสองพจน์นี้ห่างกัน $m-1$ พจน์ เราได้ \[a_{m-1}a_m - a_0a_1 = 0 - 37 \cdot 72 ... | m-1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน
\[\frac{xy}{x^2 + y^2}\]ในโดเมน $\frac{2}{5} \le x \le \frac{1}{2}$ และ $\frac{1}{3} \le y \le \frac{3}{8}.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\[\frac{xy}{x^2 + y^2} = \frac{1}{\frac{x^2 + y^2}{xy}} = \frac{1}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}.\]ให้ $t = \frac{x}{y},$ ดังนั้น $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = t + \frac{1}{t}.$ เราต้องการเพิ่มค่าของตัวส่วนนี้
ให้
\[f(t) = t + \frac{1}{t}.\]สมมติว่า $0 < t < u.$ แล้ว
\begin{align*}
f(u) - f(t) &= u ... | \boxed{\frac{6}{13}}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $y = -3x^2 - 6x.$ | จงจำไว้ว่าพาราโบลาถูกนิยามว่าเป็นเซตของจุดทั้งหมดที่ห่างจากจุดโฟกัส $F$ และไดเร็คทริกซ์เท่ากัน การเติมกำลังสองบน $x$ เราได้
\[y = -3(x + 1)^2 + 3.\]เพื่อให้พีชคณิตง่ายขึ้น เราสามารถหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $y = -3x^2$ เลื่อนพาราโบลาไปทางซ้าย 1 หน่วยเพื่อให้ได้ $y = -3(x + 1)^2$ และจากนั้นเลื่อนขึ้น 3 หน่วยเพื่อหาจุดโฟกัส... | \boxed{\left( -1, \frac{35}{12} \right)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้าเส้นตรง $2y - 2a = 6x$ และ $y + 1 = (a + 6)x$ ขนานกัน จงหาค่าของ $a$ | เมื่อจัดสมการเส้นตรงแรกให้อยู่ในรูป $y = mx + c$ จะได้ $y = 3x + a$ ซึ่งแสดงว่าเส้นตรงนี้มีค่าความชันเท่ากับ 3. ทำนองเดียวกัน สมการเส้นตรงที่สองจะอยู่ในรูป $y = (a + 6)x - 1$ ซึ่งแสดงว่าเส้นตรงนี้มีค่าความชันเท่ากับ $a + 6$. เนื่องจากเส้นตรงทั้งสองขนานกัน ค่าความชันของเส้นตรงทั้งสองจะเท่ากัน: $3 = a + 6 \Rightarrow a ... | 3 = a + 6 \Rightarrow a = \boxed{-3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x = 101$ และ $x^3y - 2x^2y + xy = 101000$ จงหาค่าของ $y$ | สังเกตว่าด้านซ้ายมือของสมการที่สองสามารถแยกตัวประกอบได้: $(x^2 - 2x + 1)xy = (x - 1)^2xy = 101000$ กำหนดให้ $x = 101$ ดังนั้น $(101- 1)^2(101)y = 1010000y = 101000$ จะได้ว่า $y = \boxed{\frac{1}{10}}$ | y = \boxed{\frac{1}{10}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.