conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^2+z+1=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$\\Delta=1-4=-3=\\left(i\\sqrt{3}\\right)^{2}$$\nសមីការមានឫសពីរ ៖\n$$z_1=\\frac{-1+i\\sqrt{3}}{2}\\quad,\\quad z_2=\\frac{-1-i\\sqrt{3}}{2}$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_1=-\\frac{1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-(1+4i)z-3+i=0$ ។\na. គណនា $(1+2i)^{2}$ ។\nb. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nc. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. ពន្លាតការេ ៖\n$$(1+2i)^{2}=1+4i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq-2-3i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z+2-i}{z+2+3i}$ ។\n១. គណនា $f(-4+3i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n២. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=2$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $f(-4+3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ភាគយកគឺ $(-4+3i)-(-2+i)=-2+2i$ ហើយភាគបែងគឺ $(-4+3i)-(-2-3i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+13z+34$ ។ ដោយដឹងថា $z_0=1+4i$ ជាឫសនៃ $P(z)=0$ ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ហើយ $1+4i$ ជាឫស នោះ $1-4i$ ក៏ជាឫសដែរ ។\nពហុធាចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-(1+4i))(z-(1-4i))=z^{2}-2z+17$$\nចែកពហ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^2+15=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^2=-1$ យើងអាចសរសេរ ៖\n$$z^{2}=-15\\Leftrightarrow z^{2}=15i^{2}\\Leftrightarrow z^{2}-(i\\sqrt{15})^{2}=0$$\nដាក់ជាកត្តា ៖\n$$(z-i\\sqrt{15})(z+i\\sqrt{15})=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-2-2i$ ។ គណនា $z^2$ រួចទាញរក $z^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេជាមុនសិន ៖\n$$(-2-2i)^{2}=4+8i+4i^{2}=8i$$\nគុណនឹងកត្តាដើមម្តងទៀត ៖\n$$(-2-2i)^{3}=8i(-2-2i)=-16i-16i^{2}=-16i+16=16-16i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-2-2i)^{3}=16-16i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $(-6+4i)(1+4i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយដឹងថា $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$(-6+4i)(1+4i)=-6-24i+4i+16i^{2}=-6-20i-16=-22-20i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{-22-20i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z\\bar{z}+3(z-\\bar{z})=13+18i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ យើងមាន $z\\bar{z}=x^2+y^2$ និង $z-\\bar{z}=2iy$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$x^{2}+y^{2}+6yi=13+18i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\begin... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $(-3-2i)z-4+2i=-23-2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បញ្ជូន $-4+2i$ ទៅអង្គខាងស្តាំ ៖\n$$(-3-2i)z=(-23-2i)-(-4+2i)=-19-4i$$\nចែកនឹងមេគុណនៃ $z$ ៖\n$$z=\\frac{-19-4i}{-3-2i}=\\frac{(-19-4i)(-3+2i)}{(-3-2i)(-3+2i)}=\\frac{65-26i}{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដាក់ជាកត្តាក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវកន្សោម $z^2+4$ និង $z^2+2z+5$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "កន្សោមទីមួយ ៖ ដោយ $4=-(2i)^2$ យើងបាន ៖\n$$z^{2}+4=z^{2}-(2i)^{2}=(z-2i)(z+2i)$$\nកន្សោមទីពីរ ៖ យើងបំពេញការេ ៖\n$$z^{2}+2z+5=(z+1)^{2}+4=(z+1-2i)(z+1+2i)$$\nដូចនេះ $\\boxe... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(-2+2i)z-4+6i=-4+10i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បញ្ជូន $-4+6i$ ទៅអង្គខាងស្តាំ ៖\n$$(-2+2i)z=(-4+10i)-(-4+6i)=4i$$\nចែកនឹងមេគុណនៃ $z$ ៖\n$$z=\\frac{4i}{-2+2i}=\\frac{4i(-2-2i)}{(-2+2i)(-2-2i)}=\\frac{8-8i}{4+4}=\\frac{8-8... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^2=72i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សមីការ $(x+iy)^2=72i$ ផ្តល់ ៖\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0\\\\2xy=72\\end{cases}$$\nសមីការទីមួយឱ្យ $y=x$ ឬ $y=-x$ ។\nបើ $y=x$ នោះ $2x^2=72$ នាំ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(3+2i)\\bar{z}+(1+5i)=10-2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងដោះស្រាយរក $\\bar{z}$ ជាមុន ៖\n$$(3+2i)\\bar{z}=9-7i$$\n$$\\bar{z}=\\frac{9-7i}{3+2i}=\\frac{(9-7i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}=\\frac{13-39i}{9+4}=\\frac{13-39i}{13}=1-3i$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}-(1+6i)z-10=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(1+6i)^{2}-4(-10)=(-35+12i)-(-40)=5+12i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=5+12i$ ។\nយក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $\\delt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_A=1+4i$ , $z_B=-4i$ និង $z_C=4+3i$ ។\nក. សង់ចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ។\nខ. គណនាប្រវែង $AB$ , $AC$ និង $BC$ ។\nគ. តើត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណប្រភេទអ្វី ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ចំណុចទាំងបីគឺ $A(1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=2-3i\\sqrt{2}$ និង $B=1+i\\sqrt{2}$ ។ គណនា $A\\times B$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយកត់សម្គាល់ថា $\\left(i\\sqrt{2}\\right)^{2}=-2$ ៖\n$$(2-3i\\sqrt{2})(1+i\\sqrt{2})=2+2i\\sqrt{2}-3i\\sqrt{2}-3\\left(i\\sqrt{2}\\right)^{2}=8-i\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}-2z+5=0$ ។ គណនា $\\frac{z_1}{z_2}+\\frac{z_2}{z_1}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=2\\quad,\\quad z_1z_2=5$$\n$$\\frac{z_1}{z_2}+\\frac{z_2}{z_1}=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $(-4-i)(3+i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត $a+bi$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគុណតួនីមួយៗនៃវង់ក្រចកទីមួយនឹងវង់ក្រចកទីពីរ ៖\n$$(-4-i)(3+i)=-12-4i-3i-i^{2}=-12-7i+1=-11-7i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{-11-7i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $(-1-i)^{3}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេជាមុនសិន ៖\n$$(-1-i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i$$\nគុណនឹងកត្តាដើមម្តងទៀត ៖\n$$(-1-i)^{3}=2i(-1-i)=-2i-2i^{2}=-2i+2=2-2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-1-i)^{3}=2-2i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=(m-1)+24i$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $|z|=25$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=\\sqrt{(m-1)^{2}+576}=25$$\nលើកការេអង្គទាំងពីរ ៖\n$$(m-1)^{2}+576=625\\Leftrightarrow (m-1)^{2}=49$$\n$m-1=7$ ឬ $ m-1=-7$\nដូចនេះ $\\boxed{m=8... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}+13z-34=0$ រួចរកឫសទាំងអស់ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $P(z)=z^{3}+13z-34$ ។ ជំនួស $z=2$ ៖ $8+0+26-34=0$ ។ ដូច្នេះ $z=2$ ជាឫស ហើយ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង $z-2$ ។\nចែកពហុធា យើងបាន ៖\n$$P(z)=(z-2)(z^{2}+2z+17)$$\nដោះ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-2i(5-2i)-5-2i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចបញ្ជាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយដឹងថា $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$z=-10i+4i^{2}-5-2i=-10i-4-5-2i=-9-12i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{-9}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{-12... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}+(5+i)z^{2}+(11+2i)z+7-9i$ ។\n១. បង្ហាញថា $P(i)=0$ ។\n២. កំណត់ពហុធា $Q(z)$ ដែល $P(z)=(z-i)Q(z)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ជំនួស ៖\n$$P(i)=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{P(i)=0}$ ។\n២. ចែក $P(z)$ នឹង $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-6-8i$ និង $z_2=-1-4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=a+bi$ គេមាន $|z|=r=\\sqrt{a^2+b^2}$ ។\n$$|z_1|=r_1=\\sqrt{(-6)^{2}+(-8)^{2}}=\\sqrt{100}=10$$\n$$|z_2|=r_2=\\sqrt{(-1)^{2}+(-4)^{2}}=\\sqrt{17}$$\nដូចនេះ ម៉ូឌុលនៃ $z_1$ គឺ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq 1-2i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z-(2-3i)}{z-(1-2i)}$ ។\n១. គណនា $f(1+4i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n២. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=1-i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $f(1+4i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ភាគយកគឺ $(1+4i)-(2-3i)=-1+7i$ ហើយភាគបែងគឺ $(1+4i)-(1-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $(6+4i)(6-4i)$ ដោយមិនពន្លាតតួម្តងមួយៗ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផលគុណនេះមានរាង $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ ។\nដោយ $a=6$ និង $b=4$ យើងបាន ៖\n$$(6+4i)(6-4i)=6^{2}+4^{2}=36+16=52$$\nដូចនេះ ផលគុណជាចំនួនពិតស្មើនឹង $\\boxed{52}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=\\sqrt{3}+3i$ និង $B=2\\sqrt{3}+2i$ ។\n១. គណនា $A+B$ និង $A\\times B$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. បូកផ្នែកពិត និងផ្នែក... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=\\frac{1+i}{1-i}$ ។ គណនា $w$ រួចទាញរក $w^{25}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1+i}{1-i}=\\frac{(1+i)^{2}}{(1+i)(1-i)}=\\frac{2i}{2}=i$$\nដោយ $25=4\\times 6+1$ យើងបាន ៖\n$$i^{25}=i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{3}-3iz^{2}-(13+5i)z-12+12i=0$ ។ រកឫសជាចំនួនពិតនៃសមីការនេះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t$ ជាឫសពិត ។ ជំនួស $z=t$ ហើយបំបែកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$(t^{3}-13t-12)-(3t^{2}+5t-12)i=0$$\nដោយ $t$ ជាចំនួនពិត យើងបាន ៖\n$$\\begin{cases}t^{3}-13t-1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $(-1+i)^{4}$ ដោយគណនា $(-1+i)^{2}$ ជាមុន ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេមុន ៖\n$$(-1+i)^{2}=1-2i+i^{2}=-2i$$\nស្វ័យគុណទី $4$ គឺជាការេនៃលទ្ធផលនេះ ៖\n$$(-1+i)^{4}=\\left[(-1+i)^{2}\\right]^{2}=(-2i)^{2}=4i^{2}=-4$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-1+i)^{4}=-4}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=4+4i$ និង $z_2=-4-3i$ ។ គណនា $4z_1+z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z_1$ និង $z_2$ យើងបាន ៖\n$$4z_1+z_2=4(4+4i)-4-3i=16+16i-4-3i=12+13i$$\nដូចនេះ $\\boxed{4z_1+z_2=12+13i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $m$ និង $n$ ដែលសមីការ $3z^{2}+mz+n=0$ មានឫសមួយគឺ $-5+4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $m,n$ ជាចំនួនពិត ឫសមួយទៀតគឺ $-5-4i$ ។ ផលបូកឫសស្មើ $-\\frac{m}{3}$ ហើយផលគុណឫសស្មើ $\\frac{n}{3}$ ។\n$$-\\frac{m}{3}=-10\\Rightarrow m=30$$\n$$\\frac{n}{3}=41\\Righ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $z_1-z_2$ ដោយដឹងថា $z_1=-4-3i$ ហើយ $z_2=5+i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តដោយឡែកពីគ្នា ៖\nផ្នែកពិត ៖ $1\\times(-4)-1\\times(5)=-9$\nផ្នែកនិមិត្ត ៖ $1\\times(-3)-1\\times(1)=-4$\nដូចនេះ $\\boxed{z_1-z_2=-9-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq-3-2i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z+3i}{z+3+2i}$ ។\nក- គណនា $f(-1-3i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ- ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=3$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $f(-1-3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ភាគយកគឺ $(-1-3i)+3i=-1$ ហើយភាគបែងគឺ $(-1-3i)-(-3-2i)=2-i$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $-2iz+4+4i=12-6i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$-2iz=8-10i$$\nគុណអង្គទាំងពីរនឹង $i$ ដើម្បីលុប $i$ ពីមេគុណ ៖\n$$2z=10+8i$$\n$$z=5+4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=5+4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃ $z^2-2z+5=0$ ។ រកសមីការដឺក្រេទីពីរដែលមានឫស $z_1^2$ និង $z_2^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផលបូកឫសថ្មីគឺ ៖\n$$z_1^{2}+z_2^{2}=(z_1+z_2)^{2}-2z_1z_2=4-10=-6$$\nផលគុណឫសថ្មីគឺ $(z_1z_2)^2=25$ ។\nដូចនេះ សមីការដែលរកគឺ $\\boxed{z^2+6z+25=0... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x-2i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $x$ ដើម្បីឱ្យ $z^2+4z$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$z^{2}+4z=x^{2}-4-4xi+4x-8i$$\nផ្នែកនិមិត្តគឺ $-4x-8$ ។ កន្សោមជាចំនួនពិត លុះត្រាតែ ៖\n$$-4x-8=0\\Leftrightarrow x=-2$$\nដូចនេះ $\\boxed{x=-2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $(1+i)^{2}$ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $(1+i)^{22}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i$$\nដូច្នេះ ៖\n$$(1+i)^{22}=\\left[(1+i)^{2}\\right]^{11}=(2i)^{11}=2^{11}i^{11}$$\nដោយ $i^{11}=-i$ និង $2^{11}=2048$ យើងបាន $(1+i)^{22}=-2048i$ ។\nដូចនេះ $\\boxed... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{3}+(1-5i)z^{2}-(7-2i)z+8+2i=0$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះមានឫសជាចំនួននិមិត្តមួយ រួចរកឫសនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=iy$ ដែល $y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫស ។ ជំនួសចូលសមីការ ហើយបំបែកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$(-y^{2}-2y+8)-(y^{3}-5y^{2}+7y-2)i=0$$\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរសមីការរាង $z^2+bz+c=0$ ដែលមានឫសពីរគឺ $3+2i$ និង $-2+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាផលបូក និងផលគុណនៃឫស ៖\n$$z_1+z_2=1+5i$$\n$$z_1z_2=(3+2i)(-2+3i)=-6+9i-4i+6i^{2}=-6+5i-6=-12+5i$$\nសមីការមានរាង $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z^{2}-(1+5i)z-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(x+iy)(2+2i)=-8$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(x+iy)(2+2i)=(2x-2y)+(2x+2y)i$$\nយើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ លុះត្រាតែ $a=c$ និង $b=d$ ។\n$$\\begin{cases}2x-2y=-8\\\\2x+2y=0\\end{cases}$$\nដោះ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $A=3i^{55}+\\frac{1}{i^{38}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនឹង $4$ ៖ $i^{55}=-i$ និង $i^{38}=-1$ ។\n$$\\frac{1}{i^{38}}=\\frac{1}{-1}=-1$$\n$$A=-1-3i$$\nដូចនេះ $\\boxed{A=-1-3i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $3$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}-9z^{2}+36z-54=0$ រួចរកឫសទាំងអស់ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $P(z)=z^{3}-9z^{2}+36z-54$ ។ ជំនួស $z=3$ ៖ $27-81+108-54=0$ ។ ដូច្នេះ $z=3$ ជាឫស ហើយ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង $z-3$ ។\nចែកពហុធា យើងបាន ៖\n$$P(z)=(z-3)(z^... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរសមីការរាង $z^2+bz+c=0$ ដែលមានឫសពីរគឺ $2-3i$ និង $-2-3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាផលបូក និងផលគុណនៃឫស ៖\n$$z_1+z_2=-6i$$\n$$z_1z_2=(2-3i)(-2-3i)=-4-6i+6i+9i^{2}=-4-9=-13$$\nសមីការមានរាង $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z^{2}+6iz-13=0}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+6z+18=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=6$ , $c=18$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=6^{2}-4\\times 1\\times 18=-36=(6i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនពិត $-8$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^2=-1$ យើងអាចសរសេរ ៖\n$$z^{2}=-8\\Leftrightarrow z^{2}=8i^{2}\\Leftrightarrow z^{2}-(2i\\sqrt{2})^{2}=0$$\nដាក់ជាកត្តា ៖\n$$(z-2i\\sqrt{2})(z+2i\\sqrt{2})=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=2i\\sq... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=-3+2i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}+5z^{2}+7z-13=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=5-12i$ និង $z_0^3=9+46i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(9+46i)+5(5-12i)+7(-3+2i)-13=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=-3+2i}$ ជាឫសនៃសមីការនេះ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $(-2x+3y)+(x-2y)i=-11+8i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\nគេបានប្រព័ន្ធសមីការ ៖\n$$\\begin{cases}-2x+3y=-11\\\\x-2y=8\\end{cases}$$\nដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ គេទទួលប... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-1-i$ និង $z_2=4-i$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $|z_1\\times z_2|=|z_1|\\times|z_2|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$z_1\\times z_2=-5-3i$$\n$$|z_1\\times z_2|=\\sqrt{25+9}=\\sqrt{34}\\quad(1)$$\nគណនាអង្គខាងស្តាំ ៖\n$$|z_1|\\times|z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1=-5-5i$ និង $z_2=1+3i$ ។ គណនា $\\overline{\\left(\\frac{z_1}{z_2}\\right)}$ រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាវាស្មើនឹង $\\frac{\\overline{z_1}}{\\overline{z_2}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង ៖\n$$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{-5-5i}{1+3i}=\\frac{(-5-5i)(1-3i)}{(1+3i)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $(4+2i\\sqrt{5})(4+3i\\sqrt{5})$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយកត់សម្គាល់ថា $\\left(i\\sqrt{5}\\right)^{2}=-5$ ៖\n$$(4+2i\\sqrt{5})(4+3i\\sqrt{5})=16+12i\\sqrt{5}+8i\\sqrt{5}+6\\left(i\\sqrt{5}\\right)^{2}=-14+20i\\sqrt{5}$$\nដូចនេះ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកខាងក្រោម ៖ $\\frac{3+i}{3i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងលុប $i$ ពីភាគបែង ដោយគុណនឹង $i$ ទាំងភាគយក និងភាគបែង ៖\n$$\\frac{3+i}{3i}=\\frac{(3+i)i}{3i\\times i}=\\frac{-1+3i}{-3}=\\frac{1}{3}-i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{3+i}{3i}=\\frac{1}{3}-i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=4-3i$ ។ គណនា $z+\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1}{z}=\\frac{1}{4-3i}=\\frac{4+3i}{25}=\\frac{4}{25}+\\frac{3}{25}i$$\n$$z+\\frac{1}{z}=(4-3i)+\\left(\\frac{4}{25}+\\frac{3}{25}i\\right)=\\frac{104}{25}-\\frac{72}{25}i$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $z_0=1-i\\sqrt{3}$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}-2z+4=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនា ៖\n$$z_0^{2}=(1-i\\sqrt{3})^{2}=-2-2i\\sqrt{3}$$\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(-2-2i\\sqrt{3})-2(1-i\\sqrt{3})+4=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=1-i\\sqrt{3}}$ ជាឫសរបស់សមីការន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}+49=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=0$ , $c=49$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=0^{2}-4\\times 1\\times 49=-196=(14i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំផ្លិចពីរឆ្លាស់គ្នា ៖\n$$z_1=\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}+(2+3i)z-4-12i=0$ ។\nក. គណនា $(6+5i)^{2}$ ។\nខ. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nឃ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ពន្លាតការេ ៖\n$$(6+5i)^{2}=36... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យ $z_1=-2-5i$ និង $z_2=6-3i$ ។ សរសេរ $z_1-z_2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z_1$ និង $z_2$ គេបាន ៖\n$$z_1-z_2=(-2-5i)-(6-3i)=-2-5i-6+3i=-8-2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_1-z_2=-8-2i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $i^{14}$ , $i^{317}$ និង $i^{1943}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងដឹងថា $i^4=1$ ដូច្នេះចែកនិទស្សន្តនឹង $4$ ហើយយកសំណល់ ។\n$$i^{14}=i^{4\\times 3+2}=\\left(i^{4}\\right)^{3}\\times i^{2}=i^{2}=-1$$\n$$i^{317}=i^{4\\times 79+1}=\\left(i^{4}\\righ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកខាងក្រោម ៖ $\\frac{-5+3i}{2i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $i$ ដើម្បីឱ្យភាគបែងក្លាយជាចំនួនពិត ៖\n$$\\frac{-5+3i}{2i}=\\frac{(-5+3i)i}{2i\\times i}=\\frac{-3-5i}{-2}=\\frac{3}{2}+\\frac{5}{2}i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{-5+3i}{2i}=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $\\frac{5}{4}+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $\\delta^2=\\frac{5}{4}+3i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=\\frac{5}{4}+3i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=\\frac{5}{4}+3i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(\\sqrt{3}+i\\right)^{2}$ ។ ទាញរកឫសការេនៃ $2+2i\\sqrt{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ៖\n$$(\\sqrt{3}+i)^{2}=3+2\\times\\sqrt{3}\\times i 1+i^{2}=2+2i\\sqrt{3}$$\nដូច្នេះ ចំនួននេះ និងចំនួនផ្ទុយរបស់វា សុទ្ធតែមានការេស្មើនឹង $2+2i\\sqrt{3}$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=9-13i$ និង $z_2=4-3i$ ។\nក- គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\nខ- សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- គេបាន ៖\n$$z_1-z_2=(9-13i)-(4-3i)=5-10i$$\n$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $(E)$ ៖ $z^3-(2-i)z^2+(1-2i)z-2=0$ ។\na. បង្ហាញថាសមីការ $(E)$ មានឫសជាចំនួនពិតតែមួយ រួចរកឫសនោះ ។\nb. រកចំនួនកុំផ្លិច $p$ និង $q$ ដែលអង្គខាងឆ្វេងនៃ $(E)$ ស្មើនឹង $(z-2)(z^2+pz+q)$ ។\nc. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value"... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ $z+\\bar{z}=-10$ និង $z\\bar{z}=34$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $y>0$ ។ យើងមាន $z+\\bar{z}=2x$ និង $z\\bar{z}=x^2+y^2$ ។\n$$2x=-10\\Rightarrow x=-5$$\n$$x^{2}+y^{2}=34\\Rightarrow y^{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកខាងក្រោម ៖ $\\frac{-4+7i}{2i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងលុប $i$ ពីភាគបែង ដោយគុណនឹង $i$ ទាំងភាគយក និងភាគបែង ៖\n$$\\frac{-4+7i}{2i}=\\frac{(-4+7i)i}{2i\\times i}=\\frac{-7-4i}{-2}=\\frac{7}{2}+2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{-4+7i}{2i}=\\frac{7}{2}+2i}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}-2z+10=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរជារាងកាណូនិក ៖\n$$z^{2}-2z+10=0\\Leftrightarrow (z-1)^{2}+9=0$$\n$$(z-1)^{2}=-9=9i^{2}$$\n$z-1=3i$ ឬ $ z-1=-3i$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z_1=1+3i}$ និង $\\boxed{z_2=1-3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-16+8i$ និង $z_2=1-3i$ ។ សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $1+3i$ ។ យើងគុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{-16+8i}{1-3i}=\\frac{(-16+8i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^2+6=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^2=-1$ យើងអាចសរសេរ ៖\n$$z^{2}=-6\\Leftrightarrow z^{2}=6i^{2}\\Leftrightarrow z^{2}-(i\\sqrt{6})^{2}=0$$\nដាក់ជាកត្តា ៖\n$$(z-i\\sqrt{6})(z+i\\sqrt{6})=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=i\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{-3+4i}{1+2i}$ ។ តើផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z$ ស្មើនឹងប៉ុន្មាន ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $1-2i$ ។ គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$z=\\frac{-3+4i}{1+2i}=\\frac{(-3+4i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\\frac{5+10i}{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $4z_1-2z_2$ ដោយដឹងថា $z_1=-3-3i$ ហើយ $z_2=4-3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z_1$ និង $z_2$ គេបាន ៖\n$$4z_1-2z_2=4(-3-3i)-2(4-3i)=-12-12i-8+6i=-20-6i$$\nដូចនេះ $\\boxed{4z_1-2z_2=-20-6i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $3z+2\\bar{z}=10-4i$ ។\nខ- រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nគ- សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nឃ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $(2-3i)^{3}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្ត $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ ដោយ $i^2=-1$ និង $i^3=-i$ យើងបាន ៖\n$$(2-3i)^{3}=8-36i+54i^{2}-27i^{3}=8-36i-54+27i=-46-9i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(2-3i)^{3}=-46-9i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{m-i}{1+3i}$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត ។ រួចគណនា $z$ ចំពោះតម្លៃនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1-3i$ ៖\n$$z=\\frac{(m-i)(1-3i)}{10}=\\frac{m-3}{10}+\\frac{-3m-1}{10}i$$\n$z$ ជាចំនួននិម... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-6z+13=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\n២. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\n៣. ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើ គណនា $z_1^2+z_2^2$ និង $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. យើងមា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យផលបូក $S=1+i+i^{2}+\\cdots+i^{1988}$ ។ គណនា $S$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តួបួនជាប់គ្នាណាក៏ដោយ មានផលបូកស្មើសូន្យ ព្រោះ $1+i+i^2+i^3=1+i-1-i=0$ ។\nផលបូកនេះមានតួចំនួន $1989$ ។ ដោយ $1989=4\\times 497+1$ ក្រុមបួនតួទាំង $497$ មានផលបូកសូន្យ ហើយនៅសល់ $1$ តួចុងក្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ និង $z_2=1+i$ ។\na. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។\nd. គណនា $\\overline{z_1}\\times z_2$ ។"... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុលនៃ $z=\\frac{6}{5}+\\frac{8}{5}i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=\\sqrt{\\left(\\frac{6}{5}\\right)^{2}+\\left(\\frac{8}{5}\\right)^{2}}=\\sqrt{4}=2$$\nដូចនេះ $\\boxed{|z|=2}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+2z+17=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\n២. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\n៣. ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើ គណនា $z_1^2+z_2^2$ និង $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. យើងមា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-4z+20=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ. សរសេរ $z_1^2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រក $|z_1|$ រួចបង្ហាញថា $z_1\\times z_2=|z_1|^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលគុណនៃចំនួនកុំផ្លិច ៖ $P=i\\times i^{2}\\times i^{3}\\times\\cdots\\times i^{27}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផលគុណនៃស្វ័យគុណមានគោលដូចគ្នា ស្មើនឹងគោលនោះដែលមាននិទស្សន្តជាផលបូកនៃនិទស្សន្ត ៖\n$$P=i^{1+2+\\cdots+27}=i^{\\frac{27\\times 28}{2}}=i^{378}$$\nដោយ $3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $i^{55}$ , $i^{208}$ និង $i^{1556}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^4=1$ ស្វ័យគុណនៃ $i$ វិលជុំតាមខួប $4$ ។\n$$i^{55}=i^{4\\times 13+3}=\\left(i^{4}\\right)^{13}\\times i^{3}=i^{3}=-i$$\n$$i^{208}=i^{4\\times 52+0}=\\left(i^{4}\\right)^{52}\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}-2z^{2}+4z-8=0$ រួចរកឫសទាំងអស់ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $P(z)=z^{3}-2z^{2}+4z-8$ ។ ជំនួស $z=2$ ៖ $8-8+8-8=0$ ។ ដូច្នេះ $z=2$ ជាឫស ហើយ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង $z-2$ ។\nចែកពហុធា យើងបាន ៖\n$$P(z)=(z-2)(z^{2}+4)$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $i^{10}$ , $i^{157}$ និង $i^{1907}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងដឹងថា $i^4=1$ ដូច្នេះចែកនិទស្សន្តនឹង $4$ ហើយយកសំណល់ ។\n$$i^{10}=i^{4\\times 2+2}=\\left(i^{4}\\right)^{2}\\times i^{2}=i^{2}=-1$$\n$$i^{157}=i^{4\\times 39+1}=\\left(i^{4}\\righ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq-2$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z+2-i}{z+2}$ ។\nក. គណនា $f(1+3i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=3$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nគ. រកម៉ូឌុលនៃ $f(1+3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ភាគយកគឺ $(1+3i)-(-2+i)=3+2i$ ហើយភាគបែងគឺ $(1+3i)-(-2)=3+3i$ ។\n$$f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ និង $w$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ប្រព័ន្ធសមីការ ៖ $$\\begin{cases}z+2w=-3+3i\\\\iz-w=6-5i\\end{cases}$$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណសមីការទីពីរនឹង $2$ រួចបូកនឹងសមីការទីមួយ ដើម្បីបំបាត់ $w$ ៖\n$$(1+2i)z=9-7i$$\n$$z=\\frac{9-7i}{1+2i}=\\frac{(9-7i)(1-2i)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(2-i)z=(2-3i)z-2+2i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ៖\n$$\\left[(2-i)-(2-3i)\\right]z=-2+2i$$\n$$2iz=-2+2i$$\n$$z=\\frac{-2+2i}{2i}=\\frac{(-2+2i)(-2i)}{2i(-2i)}=\\frac{4+4i}{4}=1+i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=1+i}$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq 3+3i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z+1+i}{z-(3+3i)}$ ។\n១. គណនា $f(2+3i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n២. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=3$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $f(2+3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ភាគយកគឺ $(2+3i)-(-1-i)=3+4i$ ហើយភាគបែងគឺ $(2+3i)-(3+3i)=-1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}-6z^{3}+31z^{2}-66z+130=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ដោយដឹងថា $2+3i$ ជាឫសមួយ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $P(z)=z^{4}-6z^{3}+31z^{2}-66z+130$ ។ ដោយមេគុណជាចំនួនពិត $2-3i$ ក៏ជាឫសដែរ ។ ដូច្នេះ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-(2+3i))(z-(2-3i))=z^{2}-4z+1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=2i$ និង $B=1-i$ ។\nក- គណនា $A+B$ និង $A\\times B$ ។\nខ- សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។\nឃ- គណនា $\\overline{A}\\times B$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- បូកផ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}-4z^{3}+17z^{2}-36z+72=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ដោយដឹងថា $3i$ ជាឫសមួយ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $P(z)=z^{4}-4z^{3}+17z^{2}-36z+72$ ។ ដោយមេគុណជាចំនួនពិត $-3i$ ក៏ជាឫសដែរ ។ ដូច្នេះ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-3i)(z+3i)=z^{2}+9$$\nធ្វើវិធីចែកព... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $(x+iy)(-2-2i)=18+2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(x+iy)(-2-2i)=(-2x+2y)-(2x+2y)i$$\nយើងប្រៀបធៀបផ្នែកពិតនឹងផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនឹងផ្នែកនិមិត្ត ។\n$$\\begin{cases}-2x+2y=18\\\\-2x-2y=2\\end{cases}$$\nដោះស្រា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1+i$ និង $z_2=-\\sqrt{3}+i$ ។\nក- គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nខ- សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- បូ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z=(-1+4i)(-2+5i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិតដោយពន្លាតផលគុណ ដោយប្រើ $i^2=-1$ ៖\n$$z=2-5i-8i+20i^{2}=2-13i-20=-18-13i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{-18}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{-13}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $(1+i)^{2}$ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $(1+i)^{10}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i$$\nដូច្នេះ ៖\n$$(1+i)^{10}=\\left[(1+i)^{2}\\right]^{5}=(2i)^{5}=2^{5}i^{5}$$\nដោយ $i^{5}=i$ និង $2^{5}=32$ យើងបាន $(1+i)^{10}=32i$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{(1+i)^{10}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-2+4i$ និង $z_2=-1-6i$ ។ គណនា $5z_1+2z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z_1$ និង $z_2$ យើងបាន ៖\n$$5z_1+2z_2=5(-2+4i)+2(-1-6i)=-10+20i-2-12i=-12+8i$$\nដូចនេះ $\\boxed{5z_1+2z_2=-12+8i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-1-5i$ ។ គណនា $2\\bar{z}-5-i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=-1+5i$ យើងបាន ៖\n$$2\\bar{z}-5-i=2(-1+5i)-5-i=-7+9i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{-7+9i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{5-10i}{2-i}$ ។ តើផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z$ ស្មើនឹងប៉ុន្មាន ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\n$$z=\\frac{5-10i}{2-i}=\\frac{(5-10i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\\frac{20-15i}{4+1}=\\frac{20-15i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=3+i$ និង $z_2=1+2i$ ។\na. គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. គេបាន ៖\n$$z_1-z_2=(3+i)-(1+2i)=2-i$$\n$$z_1\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $(4+2i\\sqrt{2})(2+2i\\sqrt{2})$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយកត់សម្គាល់ថា $\\left(i\\sqrt{2}\\right)^{2}=-2$ ៖\n$$(4+2i\\sqrt{2})(2+2i\\sqrt{2})=8+8i\\sqrt{2}+4i\\sqrt{2}+4\\left(i\\sqrt{2}\\right)^{2}=12i\\sqrt{2}$$\nដូចនេះ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq-3-3i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z+2-3i}{z+3+3i}$ ។\nក- គណនា $f(-2+3i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ- ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=3$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $f(-2+3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ភាគយកគឺ $(-2+3i)-(-2+3i)=0$ ហើយភាគបែងគឺ $(-2+3i)-(-3-3i)=... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.