conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\sqrt{3}-i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $iz$ , $\\overline{z}$ , $\\frac{z}{\\overline{z}}$ និង $\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{3+1}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-3+3i$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $iz$ , $\\frac{1}{z}$ , $z^{2}$ និង $\\overline{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-3\\right)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z^{2}$ , $\\frac{z}{\\overline{z}}$ និង $\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=2\\sqrt{3}+2i$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $\\frac{1}{z}$ , $z^{3}$ និង $-z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-2+2i$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $-z$ , $z^{3}$ និង $\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=2-2i\\sqrt{3}$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $iz$ , $z^{3}$ និង $-z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-4-4i\\sqrt{3}$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $\\overline{z}$ , $-z$ និង $z^{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-4\\right)^{2}+\\left(-4\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{16+48}=\\sqrt{64}=8$$\nតា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=4-4i\\sqrt{3}$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $\\frac{1}{z}$ , $-z$ , $iz$ និង $\\overline{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{4^{2}+\\left(-4\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{16+48}=\\sqrt{64}=8$$\nតាង $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-2+2i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z^{3}$ , $\\frac{z}{\\overline{z}}$ និង $-z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=2+2i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $\\frac{1}{z}$ , $z^{3}$ និង $\\frac{z}{\\overline{z}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-1+i$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $iz$ , $-z$ , $z^{2}$ និង $\\frac{z}{\\overline{z}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-4+4i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $\\overline{z}$ , $z^{2}$ , $\\frac{z}{\\overline{z}}$ និង $-z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-4\\right)^{2}+\\left(4\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{16+48}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-1+i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z^{3}$ , $\\frac{1}{z}$ , $-z$ និង $\\frac{z}{\\overline{z}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេប... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=1-i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $-z$ , $\\frac{z}{\\overline{z}}$ , $iz$ និង $\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{1^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-1-i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $-z$ , $\\frac{1}{z}$ និង $z^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេប... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-2+2i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z^{3}$ , $\\frac{z}{\\overline{z}}$ , $-z$ និង $\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-2\\sqrt{3}-2i$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $-z$ , $z^{3}$ , $iz$ និង $z^{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-1-i\\sqrt{3}$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $\\frac{1}{z}$ , $z^{2}$ និង $iz$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-2+2i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $iz$ , $-z$ និង $\\overline{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nអាគុយម៉ង... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=3+3i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $\\overline{z}$ , $\\frac{1}{z}$ , $-z$ និង $z^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=2-2i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z^{3}$ , $iz$ និង $-z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{a... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-2+2i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z^{2}$ , $\\frac{1}{z}$ , $\\frac{z}{\\overline{z}}$ និង $iz$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nអាគ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-2-2i\\sqrt{3}$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $iz$ , $\\frac{z}{\\overline{z}}$ , $z^{3}$ និង $z^{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-2-2i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z^{3}$ , $z^{2}$ , $-z$ និង $\\frac{z}{\\overline{z}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=2-2i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $-z$ , $\\frac{z}{\\overline{z}}$ និង $\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\sqrt{3}-i$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $-z$ , $\\overline{z}$ , $z^{2}$ និង $z^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-\\sqrt{3}+i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z^{3}$ , $z^{2}$ និង $\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-1-i$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $iz$ , $\\frac{z}{\\overline{z}}$ , $z^{3}$ និង $-z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-4\\sqrt{3}-4i$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $\\frac{z}{\\overline{z}}$ , $\\overline{z}$ , $z^{2}$ និង $iz$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-4\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-4\\right)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\sqrt{3}+i$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $\\frac{z}{\\overline{z}}$ , $iz$ និង $z^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\nតាង $\\alpha$ ជ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z^{3}$ , $\\overline{z}$ , $\\frac{z}{\\overline{z}}$ និង $-z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{2}\\rig... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=3+3i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $\\overline{z}$ , $-z$ និង $\\frac{z}{\\overline{z}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេប... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-2+2i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $\\overline{z}$ , $z^{3}$ , $iz$ និង $-z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=2+2i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $\\frac{z}{\\overline{z}}$ , $\\frac{1}{z}$ និង $iz$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=1+i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $iz$ , $z^{3}$ , $\\overline{z}$ និង $z^{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=\\sqrt{2}\\left(\\frac{\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $\\overline{z}$ , $-z$ , $z^{2}$ និង $iz$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=3-3i\\sqrt{3}$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $\\overline{z}$ , $\\frac{z}{\\overline{z}}$ និង $-z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+\\left(-3\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{9+27}=\\sqrt{3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-2-2i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $\\frac{z}{\\overline{z}}$ , $z^{3}$ , $-z$ និង $\\overline{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $\\frac{1}{z}$ , $iz$ , $-z$ និង $z^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-1+i$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z^{3}$ , $-z$ , $\\frac{1}{z}$ និង $\\overline{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=2+2i\\sqrt{3}$ ។ រកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $iz$ , $\\frac{1}{z}$ និង $z^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $u=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ និង $v=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\right)$ ។ គណនា $u\\times v$ និង $\\frac{u}{v}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=2\\sqrt{3}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{4}+i\\sin\\frac{\\pi}{4}\\right)$ និង $B=\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}$ ។ គណនា $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\right)$ និង $z_{2}=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)$ ។ គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $u=6\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ និង $v=3\\left(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $u\\times v$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=2\\left(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)$ និង $B=4\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{6}+i\\sin\\frac{5\\pi}{6}\\right)$ ។ សរសេរ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=2\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{3}+i\\sin\\frac{\\pi}{3}\\right)$ និង $z_{2}=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=2\\left(\\cos\\frac{\\pi}{12}+i\\sin\\frac{\\pi}{12}\\right)$ និង $z_{2}=4\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)\\right)$ ។ គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=4\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{6}+i\\sin\\frac{5\\pi}{6}\\right)$ និង $z_{2}=2\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\right)$ ។ គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{6}+i\\sin\\frac{5\\pi}{6}\\right)$ និង $z_{2}=4\\left(\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=2\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ និង $z_{2}=3\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)\\right)$ ។ គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួច... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=2\\sqrt{2}\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)\\right)$ និង $B=3\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ។ គណនា $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=4\\left(\\cos\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)\\right)$ និង $B=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{6}+i\\sin\\frac{\\pi}{6}\\right)$ ។ សរសេរ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=6\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)\\right)$ និង $z_{2}=4\\left(\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=3\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{12}+i\\sin\\frac{5\\pi}{12}\\right)$ និង $z_{2}=\\sqrt{3}\\left(\\cos\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)\\right)$ ។ គណនា $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=\\sqrt{3}\\left(\\cos\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)\\right)$ និង $z_{2}=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)$ ។ សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=\\sqrt{3}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{12}+i\\sin\\frac{\\pi}{12}\\right)$ និង $z_{2}=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)$ ។ សរសេរ $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=3\\left(\\cos\\frac{\\pi}{4}+i\\sin\\frac{\\pi}{4}\\right)$ និង $z_{2}=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)$ ។ គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណិត ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=4\\left(\\cos\\frac{\\pi}{3}+i\\sin\\frac{\\pi}{3}\\right)$ និង $z_{2}=4\\left(\\cos\\frac{\\pi}{12}+i\\sin\\frac{\\pi}{12}\\right)$ ។ គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=\\sqrt{3}\\left(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)$ និង $z_{2}=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{3\\pi}{4}+i\\sin\\frac{3\\pi}{4}\\right)$ ។ សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $u=2\\sqrt{3}\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ និង $v=2\\left(\\cos\\frac{\\pi}{6}+i\\sin\\frac{\\pi}{6}\\right)$ ។ សរសេរ $u\\times v$ និង $\\frac{u}{v}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=2\\sqrt{2}\\left(\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{5\\pi}{6}\\right)\\right)$ និង $z_{2}=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ។ សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីក... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=2\\left(\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{5\\pi}{6}\\right)\\right)$ និង $B=3\\left(\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)\\right)$ ។ គណនា $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=3\\left(\\cos\\frac{3\\pi}{4}+i\\sin\\frac{3\\pi}{4}\\right)$ និង $z_{2}=\\sqrt{6}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{12}+i\\sin\\frac{\\pi}{12}\\right)$ ។ សរសេរ $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"val... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=5\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{6}+i\\sin\\frac{5\\pi}{6}\\right)$ និង $z_{2}=4\\left(\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{5\\pi}{6}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=6\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)\\right)$ និង $B=3\\left(\\cos\\frac{3\\pi}{4}+i\\sin\\frac{3\\pi}{4}\\right)$ ។ គណនា $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from":... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $u=5\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{12}+i\\sin\\frac{5\\pi}{12}\\right)$ និង $v=\\sqrt{6}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{3}+i\\sin\\frac{\\pi}{3}\\right)$ ។ គណនា $u\\times v$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $u=2\\sqrt{3}\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)\\right)$ និង $v=4\\left(\\cos\\frac{\\pi}{6}+i\\sin\\frac{\\pi}{6}\\right)$ ។ គណនា $u\\times v$ និង $\\frac{u}{v}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណិត... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $u=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{3}+i\\sin\\frac{\\pi}{3}\\right)$ និង $v=\\sqrt{6}\\left(\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $u\\times v$ និង $\\frac{u}{v}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=5\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ និង $z_{2}=4\\left(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)$ ។ គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=\\sqrt{3}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{3}+i\\sin\\frac{\\pi}{3}\\right)$ និង $z_{2}=2\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{6}+i\\sin\\frac{5\\pi}{6}\\right)$ ។ សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value":... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $u=5\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)\\right)$ និង $v=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{3\\pi}{4}+i\\sin\\frac{3\\pi}{4}\\right)$ ។ សរសេរ $u\\times v$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gp... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=2\\sqrt{3}\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ និង $z_{2}=\\sqrt{3}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{6}+i\\sin\\frac{\\pi}{6}\\right)$ ។ សរសេរ $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=2\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{12}+i\\sin\\frac{5\\pi}{12}\\right)$ និង $z_{2}=4\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=\\sqrt{3}\\left(\\cos\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)\\right)$ និង $B=3\\left(\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=2\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{3\\pi}{4}+i\\sin\\frac{3\\pi}{4}\\right)$ និង $z_{2}=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $u=3\\left(\\cos\\frac{\\pi}{3}+i\\sin\\frac{\\pi}{3}\\right)$ និង $v=\\cos\\frac{5\\pi}{6}+i\\sin\\frac{5\\pi}{6}$ ។ សរសេរ $u\\times v$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងបាន ៖\n$$u\\times v=3\\left[\\cos\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $u=6\\left(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)$ និង $v=\\sqrt{3}\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{6}+i\\sin\\frac{5\\pi}{6}\\right)$ ។ គណនា $\\frac{u}{v}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=2\\left(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)$ និង $z_{2}=3\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=4\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{12}+i\\sin\\frac{5\\pi}{12}\\right)$ និង $z_{2}=\\sqrt{3}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{6}+i\\sin\\frac{\\pi}{6}\\right)$ ។ គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)$ និង $B=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $u=5\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\right)$ និង $v=3\\left(\\cos\\frac{\\pi}{12}+i\\sin\\frac{\\pi}{12}\\right)$ ។ គណនា $u\\times v$ និង $\\frac{u}{v}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $u=\\sqrt{3}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{3}+i\\sin\\frac{\\pi}{3}\\right)$ និង $v=\\sqrt{6}\\left(\\cos\\frac{3\\pi}{4}+i\\sin\\frac{3\\pi}{4}\\right)$ ។ គណនា $u\\times v$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $u=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{4}+i\\sin\\frac{\\pi}{4}\\right)$ និង $v=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{6}+i\\sin\\frac{\\pi}{6}\\right)$ ។ គណនា $u\\times v$ និង $\\frac{u}{v}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)$ និង $B=3\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ។ គណនា $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $u=4\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{12}+i\\sin\\frac{5\\pi}{12}\\right)$ និង $v=4\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{6}+i\\sin\\frac{5\\pi}{6}\\right)$ ។ គណនា $\\frac{u}{v}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងបាន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $u=6\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)\\right)$ និង $v=4\\left(\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)\\right)$ ។ គណនា $\\frac{u}{v}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $u=2\\sqrt{3}\\left(\\cos\\frac{3\\pi}{4}+i\\sin\\frac{3\\pi}{4}\\right)$ និង $v=4\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ។ សរសេរ $u\\times v$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណម៉ូឌុលនឹ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=3\\left(\\cos\\frac{\\pi}{4}+i\\sin\\frac{\\pi}{4}\\right)$ និង $B=\\sqrt{6}\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $u=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\right)$ និង $v=\\sqrt{3}\\left(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $u\\times v$ និង $\\frac{u}{v}$ ជាទម្រង់... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=2\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{12}+i\\sin\\frac{5\\pi}{12}\\right)$ និង $z_{2}=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ។ គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=2\\left(\\cos\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)\\right)$ និង $z_{2}=4\\left(\\cos\\frac{\\pi}{3}+i\\sin\\frac{\\pi}{3}\\right)$ ។ គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=6\\left(\\cos\\frac{\\pi}{3}+i\\sin\\frac{\\pi}{3}\\right)$ និង $B=4\\left(\\cos\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=3\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)\\right)$ និង $B=2\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{6}+i\\sin\\frac{5\\pi}{6}\\right)$ ។ គណនា $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=3\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)\\right)$ និង $z_{2}=4\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{6}+i\\sin\\frac{5\\pi}{6}\\right)$ ។ សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=6\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)\\right)$ និង $z_{2}=3\\left(\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=4\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{12}+i\\sin\\frac{5\\pi}{12}\\right)$ និង $z_{2}=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{5\\pi}{6}\\right)\\right)$ ។ សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=3\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\right)$ និង $z_{2}=\\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{3}+i\\sin\\frac{\\pi}{3}\\right)$ ។ សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=4\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)\\right)$ និង $z_{2}=4\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ។ សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចជាទម្រង់... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=2\\sqrt{3}\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{12}+i\\sin\\frac{5\\pi}{12}\\right)$ និង $z_{2}=\\cos\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ។ គណនា $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចសរសេរលទ្ធផលជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.