conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=-2\\sqrt{3}+2i$ និង $z_{2}=1+i$ ។\nក. សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\left(-\\frac{11\\pi}{12}\\right)$ និង $\\sin\\left(-\\frac{1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=-3+3i$ និង $z_{2}=-1+i\\sqrt{3}$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\frac{\\pi}{12}$ និង $\\sin\\frac{\\pi}{12}$ ។"
},
{
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=4\\sqrt{3}+4i$ និង $z_{2}=1+i$ ។\nក. គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\frac{5\\pi}{12}$ និង $\\sin\\frac{5\\pi}{12}$ ។"
},
{
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=-3+3i$ និង $z_{2}=-2-2i\\sqrt{3}$ ។\nក. សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\frac{\\pi}{12}$ និង $\\sin\\frac{\\pi}{12}$ ។"
},
{
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=1-i$ និង $z_{2}=3\\sqrt{3}-3i$ ។\nក. សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)$ និង $\\sin\\left(-\\frac{5\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=1+i$ និង $z_{2}=\\sqrt{3}-i$ ។\nក. សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\frac{\\pi}{12}$ និង $\\sin\\frac{\\pi}{12}$ ។"
},
{
"from... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ និង $z_{2}=-\\sqrt{3}-i$ ។\nក. សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\left(-\\frac{7\\pi}{12}\\right)$ និង $\\sin\\le... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=2-2i$ និង $z_{2}=1+i\\sqrt{3}$ ។\nក. សរសេរ $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\left(-\\frac{7\\pi}{12}\\right)$ និង $\\sin\\left(-\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=2\\sqrt{3}-2i$ និង $z_{2}=2+2i$ ។\nក. គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\frac{\\pi}{12}$ និង $\\sin\\frac{\\pi}{12}$ ។"
},
{
"... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=3+3i$ និង $z_{2}=2\\sqrt{3}+2i$ ។\nក. គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\frac{5\\pi}{12}$ និង $\\sin\\frac{5\\pi}{12}$ ។"
},
{
"... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=-3+3i\\sqrt{3}$ និង $z_{2}=2+2i$ ។\nក. សរសេរ $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\frac{5\\pi}{12}$ និង $\\sin\\frac{5\\pi}{12}$ ។"
},
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=-\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ និង $z_{2}=2\\sqrt{3}-2i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\frac{11\\pi}{12}$ និង $\\sin\\frac{11\\pi}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=3-3i$ និង $z_{2}=-3+3i\\sqrt{3}$ ។\nក. សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\frac{5\\pi}{12}$ និង $\\sin\\frac{5\\pi}{12}$ ។"
},
{
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=-2+2i$ និង $z_{2}=4-4i\\sqrt{3}$ ។\nក. សរសេរ $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\left(-\\frac{11\\pi}{12}\\right)$ និង $\\sin\\left(-\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=2\\sqrt{3}-2i$ និង $z_{2}=1-i$ ។\nក. សរសេរ $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)$ និង $\\sin\\left(-\\frac{5\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=-\\sqrt{3}+i$ និង $z_{2}=\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ ។\nក. សរសេរ $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\left(-\\frac{11\\pi}{12}\\right)$ និង $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=-1-i\\sqrt{3}$ និង $z_{2}=2-2i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)$ និង $\\sin\\left(-\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ និង $z_{2}=-4\\sqrt{3}-4i$ ។\nក. គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\frac{11\\pi}{12}$ និង $\\sin\\frac{11\\pi}{1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=1+i$ និង $z_{2}=2\\sqrt{3}-2i$ ។\nក. គណនា $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\frac{5\\pi}{12}$ និង $\\sin\\frac{5\\pi}{12}$ ។"
},
{
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=-4\\sqrt{3}+4i$ និង $z_{2}=-1-i$ ។\nក. គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\frac{\\pi}{12}$ និង $\\sin\\frac{\\pi}{12}$ ។"
},
{
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=-2+2i$ និង $z_{2}=-3\\sqrt{3}+3i$ ។\nក. សរសេរ $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{12}\\right)$ និង $\\sin\\left(-\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=2\\sqrt{3}-2i$ និង $z_{2}=-1-i$ ។\nក. គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\left(-\\frac{11\\pi}{12}\\right)$ និង $\\sin\\left(-\\frac{11... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=-2\\sqrt{3}-2i$ និង $z_{2}=2+2i$ ។\nក. គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\left(-\\frac{7\\pi}{12}\\right)$ និង $\\sin\\left(-\\frac{7\\p... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=1+i$ និង $z_{2}=-2+2i\\sqrt{3}$ ។\nក. សរសេរ $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)$ និង $\\sin\\left(-\\frac{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=1-i\\sqrt{3}$ និង $z_{2}=\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ ។\nក. សរសេរ $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $\\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{12}\\right)$ និង $\\si... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_{1}=-2\\sqrt{3}+2i$ និង $z_{2}=-2+2i$ ។\nក. គណនា $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. សរសេរ $z_{1}$ , $z_{2}$ និង $z_{1}\\times z_{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nគ. ទាញរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃ $\\cos\\left(-\\frac{5\\pi}{12}\\right)$ និង $\\sin\\left(-\\frac{5... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-4+4i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $z^{6}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-4\\right)^{2}+\\left(4\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{16+48}=\\sqrt{64}=8$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=2-2i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z^{9}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-2\\sqrt{3}+2i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $z^{5}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=4\\left(-\\frac{\\sqrt{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=3-3i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z^{5}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=3\\sqrt{2}\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{\\sqr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $A=1+i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $A^{9}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|A|=r=\\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\cos\\frac{\\pi}{4},\\quad \\sin\\a... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(-2\\sqrt{3}-2i\\right)^{6}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $A=-2\\sqrt{3}-2i$ ។\n$$|A|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $A$ ។ គេបាន\n$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=-1+i\\sqrt{3}$ ។ គណនា $A^{9}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $A=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|A|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{-1}{2}=-\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(-2\\sqrt{3}+2i\\right)^{3}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=-2\\sqrt{3}+2i$ ។\nតាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nហើយ\n$$\\cos... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=\\sqrt{3}+i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z^{9}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=2\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}+i\\frac{1}{2}\\rig... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(-1-i\\right)^{3}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=-1-i$ ។\nម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{-1}{\\sqrt{2}}=-\\frac{\\sqrt{2}}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(2-2i\\right)^{7}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=2-2i$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=2\\sqrt{2}\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=2-2i$ ។ គណនា $w^{9}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|w|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{2}{2\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $w=-2+2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $w^{10}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|w|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{-2}{2\\sqr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-1+i$ ។ គណនា $z^{6}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{-1}{\\sqrt{2}}=-\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\cos... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=4\\sqrt{3}-4i$ ។ សរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $w^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|w|=r=\\sqrt{\\left(4\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-4\\right)^{2}}=\\sqrt{48+16}=\\sqrt{64}=8$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $Z=-2-2i$ ។ សរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $Z^{6}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $Z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|Z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nហើយ\n$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(-2+2i\\right)^{9}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=-2+2i$ ។\nម៉ូឌុល ៖ $$|w|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{-2}{2\\sqrt{2}}=-\\frac{\\sqrt{2}}{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(-\\sqrt{3}-i\\right)^{9}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=-\\sqrt{3}-i$ ។\nតាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\nហើយ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-1+i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $z^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{-1}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=2+2i$ ។ គណនា $z^{4}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{2}{2\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\cos\\frac{\\pi}{4... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=-1-i\\sqrt{3}$ ។ គណនា $A^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|A|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$A=2\\left(-\\frac{1}{2}-i\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $B=-1+i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរ $B$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $B^{12}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $B=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|B|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(-2+2i\\sqrt{3}\\right)^{8}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=-2+2i\\sqrt{3}$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=4\\left(-\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(2-2i\\sqrt{3}\\right)^{3}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $B=2-2i\\sqrt{3}$ ។\nម៉ូឌុល ៖ $$|B|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{2}{4}=\\frac{1}{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $B=-1-i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរ $B$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $B^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|B|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{-1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=-2+2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z^{8}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=2\\sqrt{2}\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}+i\\frac{\\sq... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $Z=1-i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $Z^{4}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $Z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|Z|=r=\\sqrt{1^{2}+\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\nហើយ\n$$\\cos\\a... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $w=1+i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $w^{5}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|w|=r=\\sqrt{1^{2}+\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\nហើយ\n$$\\cos\\al... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(3-3i\\right)^{9}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=3-3i$ ។\n$$|w|=r=\\sqrt{3^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$w=3\\sqrt{2}\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-2+2i\\sqrt{3}$ ។ គណនា $z^{7}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{-2}{4}=-\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(-3+3i\\sqrt{3}\\right)^{6}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $B=-3+3i\\sqrt{3}$ ។\n$$|B|=r=\\sqrt{\\left(-3\\right)^{2}+\\left(3\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{9+27}=\\sqrt{36}=6$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $B$ ។ គេបាន\n$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=-1+i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z^{12}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{-1}{\\sqrt{2}}=-\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\cos\\frac{3\\p... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}\\right)^{10}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ ។\n$$|w|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{2+2}=\\sqrt{4}=2$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=2+2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z^{6}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{2}{2\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $Z=-3+3i$ ។ សរសេរ $Z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $Z^{9}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $Z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|Z|=r=\\sqrt{\\left(-3\\right)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=\\sqrt{3}-i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $z^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\nហ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $w=1+i$ ។ គណនា $w^{10}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|w|=r=\\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\cos\\frac{\\pi}{4}\\\\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=-2+2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z^{6}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{-2}{2\\sqrt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=2\\sqrt{3}-2i$ ។ សរសេរ $A$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $A^{7}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $A=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|A|=r=\\sqrt{\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $z^{10}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{2+2}=\\sqrt{4}=2$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\a... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $Z=2-2i$ ។ គណនា $Z^{6}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|Z|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{2}{2\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\righ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=2\\sqrt{3}+2i$ ។ គណនា $z^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{2\\sqrt{3}}{4}=\\frac{\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=-2-2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z^{10}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=2\\sqrt{2}\\left(-\\frac{\\sqrt{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(-3\\sqrt{3}-3i\\right)^{5}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=-3\\sqrt{3}-3i$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-3\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{27+9}=\\sqrt{36}=6$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=-2\\sqrt{3}+2i$ ។ គណនា $A^{10}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|A|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{-2\\sqrt{3}}{4}=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\cos\\frac{5\\pi... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $z^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{2+2}=\\sqrt{4}=2$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=2-2i$ ។ គណនា $z^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{2}{2\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=2+2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z^{12}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{2}{2\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\cos\\frac{\\pi}{4},\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $B=\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ ។ គណនា $B^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|B|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{2+2}=\\sqrt{4}=2$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $B$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=\\sqrt{3}-i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z^{6}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\nហើយ\n$$\\cos\\alph... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-1-i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $z^{12}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=\\sqrt{2}\\left(-\\frac{\\sqr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(3-3i\\right)^{8}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $B=3-3i$ ។\nតាង $B=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|B|=r=\\sqrt{3^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{3}{3\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-3\\sqrt{3}+3i$ ។ គណនា $z^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-3\\sqrt{3}\\right)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{27+9}=\\sqrt{36}=6$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{-3\\sqrt{3}}{6}=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\cos\\frac{5\\pi}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(2+2i\\sqrt{3}\\right)^{6}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=2+2i\\sqrt{3}$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\c... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-1-i$ ។ គណនា $z^{10}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{-1}{\\sqrt{2}}=-\\frac{\\sqrt{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $B=-2\\sqrt{3}-2i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $B^{10}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|B|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $B$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligne... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(-2-2i\\sqrt{3}\\right)^{10}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=-2-2i\\sqrt{3}$ ។\nម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=1-i$ ។ គណនា $z^{9}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{1^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=\\sqrt{2}\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)$$\nដោយ $\\frac{\\sqrt{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-2+2i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $z^{9}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=3-3i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z^{4}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+\\left(-3\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{9+27}=\\sqrt{36}=6$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{3}{6}=\\frac{1}{2}=\\cos\\left(-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=2-2i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $z^{6}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nហើយ\n$$\\co... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-2+2i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $z^{4}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(-\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}\\right)^{10}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=-\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{2+2}=\\sqrt{4}=2$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(-1-i\\sqrt{3}\\right)^{12}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=-1-i\\sqrt{3}$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\be... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(-\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}\\right)^{6}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $B=-\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ ។\nម៉ូឌុល ៖ $$|B|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{2+2}=\\sqrt{4}=2$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(3+3i\\right)^{4}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=3+3i$ ។\n$$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{3}{3\\sqrt{2}}=\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-3\\sqrt{3}-3i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $z^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-3\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{27+9}=\\sqrt{36}=6$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=6\\left... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=3\\sqrt{3}+3i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z^{8}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(3\\sqrt{3}\\right)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{27+9}=\\sqrt{36}=6$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=6\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}+i\\frac{1}{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $Z=1-i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $Z^{8}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|Z|=r=\\sqrt{1^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\cos\\left(-\\frac{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-1-i\\sqrt{3}$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $z^{7}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-4\\sqrt{3}+4i$ ។ គណនា $z^{5}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-4\\sqrt{3}\\right)^{2}+4^{2}}=\\sqrt{48+16}=\\sqrt{64}=8$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=8\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}+i\\frac{1}{2}\\right)$$\nដោយ $-\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $B=-1-i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $B^{6}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|B|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{-1}{2}=-\\frac{1}{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(\\sqrt{3}+i\\right)^{10}$ ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $A=\\sqrt{3}+i$ ។\nតាង $A=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|A|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $B=1+i$ ។ គណនា $B^{6}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|B|=r=\\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\cos\\frac{\\pi}{4},\\quad \\sin\\alpha=\\frac{1}{\\sqrt{2}}... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.