conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $z_0=-1+i\\sqrt{3}$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}+2z+4=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនា ៖\n$$z_0^{2}=(-1+i\\sqrt{3})^{2}=-2-2i\\sqrt{3}$$\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(-2-2i\\sqrt{3})+2(-1+i\\sqrt{3})+4=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=-1+i\\sqrt{3}}$ ជាឫសរបស់សមី... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=1+4i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}+13z+34=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=-15+8i$ និង $z_0^3=-47-52i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(-47-52i)+0(-15+8i)+13(1+4i)+34=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=1+4i}$ ជាឫសនៃសមីការនេះ ។"
}
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m-i)(-2-2i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ កំណត់ $m\\in\\mathbb{R}$ ដើម្បីឱ្យផ្នែកពិតនៃ $z$ ស្មើសូន្យ ហើយគណនា $z$ ពេលនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$z=(-2m-2)-(2m-2)i$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើសូន្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $Z$ ដែល $Z^2=15+8i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $Z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $15+8i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=15+8i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=15+8i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\begin{cases}x^{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ ៖ $$\\begin{cases}z+2w=-8+5i\\\\-iz-w=-2i\\end{cases}$$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណសមីការទីពីរនឹង $2$ រួចបូកនឹងសមីការទីមួយ ដើម្បីបំបាត់ $w$ ៖\n$$(1-2i)z=-8+i$$\n$$z=\\frac{-8+i}{1-2i}=\\frac{(-8+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\\frac{-10-15i}{1+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើ $1+3i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}-(2+8i)z-11+8i=0$ ឬទេ ? ពន្យល់ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=1+3i$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង យើងបានតម្លៃ ៖\n$$(1+3i)^{2}-(2+8i)(1+3i)-11+8i=3$$\nតម្លៃនេះខុសពីសូន្យ ។\nដូចនេះ $1+3i$ មិនមែនជាឫសនៃសមីការទេ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $\\left|\\frac{-3-4i}{-6-8i}\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|=\\frac{|z_1|}{|z_2|}$ យើងគណនាម៉ូឌុលនៃភាគយក និងភាគបែងដោយឡែក ៖\n$$|-3-4i|=5\\quad,\\quad|-6-8i|=10$$\n$$\\left|\\frac{-3-4i}{-6-8i}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(z-3+2i)^{2}=-21+20i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $Z=z-3+2i$ ។ សមីការក្លាយជា $Z^2=-21+20i$ ។ យើងរកឫសការេនៃ $-21+20i$ ៖\nតាង $Z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $-21+20i$ ។\nយើងបាន ៖\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនពិត $-24$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^2=-1$ យើងអាចសរសេរ ៖\n$$z^{2}=-24\\Leftrightarrow z^{2}=24i^{2}\\Leftrightarrow z^{2}-(2i\\sqrt{6})^{2}=0$$\nដាក់ជាកត្តា ៖\n$$(z-2i\\sqrt{6})(z+2i\\sqrt{6})=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=2i\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $-\\frac{21}{4}-5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $-\\frac{21}{4}-5i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=-\\frac{21}{4}-5i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=-\\frac{21}{4}-5i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(1-2i)z+3+2i=(-1+i)z-12+5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ទៅអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$\\left[(1-2i)-(-1+i)\\right]z=(-12+5i)-(3+2i)$$\n$$(2-3i)z=-15+3i$$\n$$z=\\frac{-15+3i}{2-3i}=\\frac{(-15+3i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}=\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(-2+2i)\\bar{z}+(5-i)=17+7i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងដោះស្រាយរក $\\bar{z}$ ជាមុន ៖\n$$(-2+2i)\\bar{z}=12+8i$$\n$$\\bar{z}=\\frac{12+8i}{-2+2i}=\\frac{(12+8i)(-2-2i)}{(-2+2i)(-2-2i)}=\\frac{-8-40i}{4+4}=\\frac{-8-40i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=1-i$ ។ គណនា $|z|$ រួចទាញរក $|z^{7}|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=|1-i|=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nតាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $|z^n|=|z|^n$ យើងបាន ៖\n$$\\left|(1-i)^{7}\\right|=\\left(\\sqrt{2}\\right)^{7}=8\\sqrt{2}$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{8\\sqrt{2}}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $(x+iy)+3(x-iy)=16-6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$(4)x-2yi=16-6i$$\nយើងប្រៀបធៀបផ្នែកពិតនឹងផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនឹងផ្នែកនិមិត្ត ។\n$$4x=16\\quad,\\quad -2y=-6$$\nនាំឱ្យ $x=4$ និង $y=3$ ។\nដូចនេះ $\\boxed... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានពហុធា $P(z)=z^3-3z^2+(3+2i)z-1-2i$ ដែល $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិច ។\n១. គណនា $P(1)$ ។\n២. រកចំនួនកុំផ្លិច $a$ និង $b$ ដែល $P(z)=(z-1)(z^2+az+b)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\n៤. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $1$ , $i$ និង $2-i$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ $z+\\bar{z}=-10$ និង $z\\bar{z}=29$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $y>0$ ។ យើងមាន $z+\\bar{z}=2x$ និង $z\\bar{z}=x^2+y^2$ ។\n$$2x=-10\\Rightarrow x=-5$$\n$$x^{2}+y^{2}=29\\Rightarrow y^{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}+8z+32=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=8$ , $c=32$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=8^{2}-4\\times 1\\times 32=-64=(8i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំផ្លិចពីរឆ្លាស់គ្នា ៖\n$$z_1=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{3}-3z^{2}+54=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ដោយដឹងថា $3+3i$ ជាឫសមួយរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ហើយ $3+3i$ ជាឫស នោះ $3-3i$ ក៏ជាឫសដែរ ។\nពហុធាចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-(3+3i))(z-(3-3i))=z^{2}-6z+18$$\nចែកពហុធា យើងបាន ៖\n$$z^{3}-3z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្កើតសមីការដឺក្រេទីពីរ $z^2+bz+c=0$ ដែល $b,c\\in\\mathbb{R}$ ហើយមានឫស $z_1=-3+4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ឫសមួយទៀតគឺចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ $z_2=-3-4i$ ។\n$$z_1+z_2=-6\\quad,\\quad z_1z_2=9+16=25$$\nសមីការគឺ $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរដែលមានឫស $z_1=1-2i$ និង $z_2=-1+i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាផលបូក និងផលគុណនៃឫស ៖\n$$z_1+z_2=-i$$\n$$z_1z_2=(1-2i)(-1+i)=-1+i+2i-2i^{2}=-1+3i+2=1+3i$$\nសមីការមានរាង $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z^{2}+iz+1+3i=0}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^3+8=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដាក់ជាកត្តា តាម $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ ៖\n$$z^{3}+8=(z+2)(z^{2}-2z+4)$$\nកត្តាទីមួយឱ្យ $z=-2$ ។ ចំពោះកត្តាទីពីរ $\\Delta'=1-4=-3=\\left(i\\sqrt{3}\\right)^2$ ។\nដូចនេះ ឫសទាំងបីគឺ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយមិនពន្លាត គណនា $\\left|(-1-4i)(-4-2i)\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងប្រើ $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ ៖\n$$|-1-4i|=\\sqrt{17}\\quad,\\quad|-4-2i|=\\sqrt{20}$$\n$$\\sqrt{17}\\times\\sqrt{20}=\\sqrt{340}=2\\sqrt{85}$$\nដូចនេះ ម៉ូឌុលនៃផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{2\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1=10$ និង $z_2=2+i$ ។ គណនា $\\overline{\\left(\\frac{z_1}{z_2}\\right)}$ រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាវាស្មើនឹង $\\frac{\\overline{z_1}}{\\overline{z_2}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង ៖\n$$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{10}{2+i}=\\frac{10(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\\frac{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}-iz^{2}+(4-10i)z-20-4i$ ។\n១. បង្ហាញថា $P(2i)=0$ ។\n២. កំណត់ពហុធា $Q(z)$ ដែល $P(z)=(z-2i)Q(z)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ជំនួស ៖\n$$P(2i)=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{P(2i)=0}$ ។\n២. ចែក $P(z)$ នឹង ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{3}-(3-3i)z^{2}-2iz-1+2i=0$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះមានឫសជាចំនួននិមិត្តមួយ រួចរកឫសនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=iy$ ដែល $y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫស ។ ជំនួសចូលសមីការ ហើយបំបែកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$(3y^{2}+2y-1)-(y^{3}+3y^{2}-2)i=0$$\nនាំឱ្យ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{3}+(3+i)z^{2}+(4+7i)z-2+4i=0$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះមានឫសជាចំនួននិមិត្តមួយ រួចរកឫសនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=iy$ ដែល $y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫស ។ ជំនួសចូលសមីការ ហើយបំបែកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$(-3y^{2}-7y-2)-(y^{3}+y^{2}-4y-4)i=0$$\nន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}+(3-4i)z=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-3+4i)^{2}-40=(-7-24i)-0=-7-24i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=-7-24i$ ។\nតាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $\\De... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើ $-1+3i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+(2-8i)z-12-8i=0$ ឬទេ ? ពន្យល់ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-1+3i$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង យើងបានតម្លៃ ៖\n$$(-1+3i)^{2}+(2-8i)(-1+3i)-12-8i=2$$\nតម្លៃនេះខុសពីសូន្យ ។\nដូចនេះ $-1+3i$ មិនមែនជាឫសនៃសមីការទេ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(m-3i)(-2-i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ កំណត់តម្លៃនៃចំនួនពិត $m$ ដែលធ្វើឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត ហើយគណនាតម្លៃនៃ $z$ ពេលនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតផលគុណ ៖\n$$z=(-2m-3)-(m-6)i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តស្មើសូន្យ ៖\n$$-m+6=0\\Left... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយមិនពន្លាត គណនា $\\left|(-2-i)(4-5i)\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងប្រើ $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ ៖\n$$|-2-i|=\\sqrt{5}\\quad,\\quad|4-5i|=\\sqrt{41}$$\n$$\\sqrt{5}\\times\\sqrt{41}=\\sqrt{205}$$\nដូចនេះ ម៉ូឌុលនៃផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{\\sqrt{205}}$ ។"
}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z+3\\bar{z}=12-10i$ ។\nb. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nc. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-z^{2}+3z+5$ ។\na. គណនា $P(-1)$ ។\nb. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z+1)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nc. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nd. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $-1$ , $1+2i$ និង $1-2i$ ។ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}-2z+37=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=-2$ , $c=37$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\\times 1\\times 37=-144=(12i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំផ្លិចពីរឆ្លាស់គ្នា ៖\n$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}+6z^{2}+8=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$t^{2}+6t+8=0\\Leftrightarrow (t+2)(t+4)=0$$\nនាំឱ្យ $t=-2$ ឬ $t=-4$ ។\n$$z^{2}=-2\\Rightarrow z=\\pm i\\sqrt{2}$$\n$$z^{2}=-4\\Rightarrow z=\\p... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(1-2i)(1+i)(-1-2i)$ ជាទម្រង់ $a+bi$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណកត្តាពីរដំបូងជាមុនសិន ៖\n$$(1-2i)(1+i)=1+i-2i-2i^{2}=1-i+2=3-i$$\nរួចគុណលទ្ធផលនឹងកត្តាទីបី ៖\n$$(3-i)(-1-2i)=-3-6i+i+2i^{2}=-3-5i-2=-5-5i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\b... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រក $|z_1|$ និង $|z_2|$ ដោយដឹងថា $z_1=20+21i$ ហើយ $z_2=5-7i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=a+bi$ គេមាន $|z|=r=\\sqrt{a^2+b^2}$ ។\n$$|z_1|=r_1=\\sqrt{20^{2}+21^{2}}=\\sqrt{841}=29$$\n$$|z_2|=r_2=\\sqrt{5^{2}+(-7)^{2}}=\\sqrt{74}$$\nដូចនេះ ម៉ូឌុលនៃ $z_1$ គឺ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $(x+iy)+4(x-iy)=5+9i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$(5)x-3yi=5+9i$$\nចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$5x=5\\quad,\\quad -3y=9$$\nនាំឱ្យ $x=1$ និង $y=-3$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $A=-i^{195}+2i^{392}+i^{310}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនីមួយៗនឹង $4$ ៖\n$195=4\\times 48+3$ នាំឱ្យ $i^{195}=-i$\n$392=4\\times 98+0$ នាំឱ្យ $i^{392}=1$\n$310=4\\times 77+2$ នាំឱ្យ $i^{310}=-1$\nជំនួសចូលកន្សោម ៖\n$$A=i+2(1)-1=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z_1$ , $z_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}+8z+41=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។ ដោយមិនគណនាឫស រកម៉ូឌុលនៃឫសទាំងពីរ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណពិត និង $\\Delta<0$ ដូច្នេះឫសទាំងពីរឆ្លាស់គ្នា គឺ $z_2=\\overline{z_1}$ ។\nនាំឱ្យ $z_1z_2=z_1\\overline{z_1}=|z_1|^2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^3-(2+i)z^2+(2+2i)z-2i$ ។\n១. បង្ហាញថា សមីការ $P(z)=0$ មានឫសជាចំនួននិមិត្ត $z_0=iy$ ($y\\in\\mathbb{R}$) រួចកំណត់ $y$ ។\n២. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\n៣. តាង $A(i)$ , $B(1+i)$ , $C(1-i)$ ។ គណនា $AB$ , $BC$ , $CA$ ហើយបញ្ជាក់ប្រភេទនៃត្រីកោណ $ABC$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}-2z+2=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=-2$ , $c=2$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\\times 1\\times 2=-4=(2i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំផ្លិចពីរឆ្លាស់គ្នា ៖\n$$z_1=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{-12}{2+i\\sqrt{2}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2-i\\sqrt{2}$ ។ ភាគបែងក្លាយជា $4+2=6$ ។\n$$\\frac{-12}{2+i\\sqrt{2}}=\\frac{(-12)(2-i\\sqrt{2})}{6}=\\frac{-24+12i\\sqrt{2}}{6}=-4+2i\\sqrt{2}$$\nដូចនេះ $\\boxed... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ និង $w$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ប្រព័ន្ធសមីការ ៖ $$\\begin{cases}z+2w=5-9i\\\\2iz-w=6-4i\\end{cases}$$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណសមីការទីពីរនឹង $2$ រួចបូកនឹងសមីការទីមួយ ដើម្បីបំបាត់ $w$ ៖\n$$(1+4i)z=17-17i$$\n$$z=\\frac{17-17i}{1+4i}=\\frac{(17-17i)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^2=-8i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សមីការ $(x+iy)^2=-8i$ ផ្តល់ ៖\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0\\\\2xy=-8\\end{cases}$$\nសមីការទីមួយឱ្យ $y=x$ ឬ $y=-x$ ។\nបើ $y=-x$ នោះ $-2x^2=-8$ ន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=1+i$ និង $B=\\sqrt{3}+i$ ។\nក. គណនា $A+B$ និង $A\\times B$ ។\nខ. សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. បូកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តរៀងគ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $4z+2\\bar{z}=-12+4i$ ។\nខ. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nគ. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nឃ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+2z+26=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nb. សរសេរ $z_1^2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រក $|z_1|$ រួចបង្ហាញថា $z_1\\times z_2=|z_1|^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $-18i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សមីការ $(x+iy)^2=-18i$ ផ្តល់ ៖\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0\\\\2xy=-18\\end{cases}$$\nសមីការទីមួយឱ្យ $y=x$ ឬ $y=-x$ ។\nបើ $y=-x$ នោះ $-2x^2=-18$ នាំឱ្យ $x=\\pm 3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_A=1+4i$ , $z_B=1-i$ និង $z_C=-3-4i$ ។\n១. សង់ចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ។\n២. គណនាប្រវែង $AB$ , $AC$ និង $BC$ ។\n៣. តើត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណប្រភេទអ្វី ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ចំណុចទាំងបីគឺ $A(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=(2-4i)^{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ហើយជំនួស $i^2=-1$ ៖\n$$z=4-16i+16i^{2}=4-16i-16=-12-16i$$\nដូចនេះ $z=-12-16i$ មានផ្នែកពិត $\\boxed{-12}$ និងផ្នែកនិមិត្ត $\\boxed{-16}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-18+i$ និង $z_2=3+4i$ ។\n១. គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. យើងមាន ៖\n$$z_1-z_2=(-18+i)-(3+4i)=-21-3i$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $(3-i)\\bar{z}+(5-5i)=10$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងដោះស្រាយរក $\\bar{z}$ ជាមុន ៖\n$$(3-i)\\bar{z}=5+5i$$\n$$\\bar{z}=\\frac{5+5i}{3-i}=\\frac{(5+5i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\\frac{10+20i}{9+1}=\\frac{10+20i}{10}=1+2i$$\n$z$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-\\sqrt{3}+i$ និង $z_2=2\\sqrt{3}+2i$ ។\na. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"valu... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m^{2}+8m+15)+(m^{2}-5m+6)i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត (ផ្នែកពិតស្មើសូន្យ) ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើសូន្យ ៖\n$$m^{2}+8m+15=0$$\nនាំឱ្យ $m=-5$ ឬ $m=-3$ ។\nចំពោះតម... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=2+i$ ។ គណនា $z+\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1}{z}=\\frac{1}{2+i}=\\frac{2-i}{5}=\\frac{2}{5}-\\frac{1}{5}i$$\n$$z+\\frac{1}{z}=(2+i)+\\left(\\frac{2}{5}-\\frac{1}{5}i\\right)=\\frac{12}{5}+\\frac{4}{5}i$$\nដូចនេះ លទ្ធផ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $(x+iy)(-4-3i)=1+32i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $-4-3i$ ៖\n$$x+iy=\\frac{1+32i}{-4-3i}=\\frac{(1+32i)(-4+3i)}{(-4-3i)(-4+3i)}=\\frac{-100-125i}{16+9}=\\frac{-100-125i}{25}=-4-5i$$\nយើងប្រៀបធៀបផ្នែកពិតនឹងផ្ន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រក $|z_1|$ និង $|z_2|$ ដោយដឹងថា $z_1=-12-9i$ ហើយ $z_2=5+i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=a+bi$ គេមាន $|z|=r=\\sqrt{a^2+b^2}$ ។\n$$|z_1|=r_1=\\sqrt{(-12)^{2}+(-9)^{2}}=\\sqrt{225}=15$$\n$$|z_2|=r_2=\\sqrt{5^{2}+1^{2}}=\\sqrt{26}$$\nដូចនេះ ម៉ូឌុលនៃ $z_1$ គឺ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x+2i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $w=z^2+4z$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$z^{2}=x^{2}+4xi-4$$\n$$w=(x^{2}+4x-4)+(4x+8)i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតគឺ $\\boxed{x^{2}+4x-4}$ ហើយផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{4x+8}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា ចំនួន $\\frac{1+i}{1-i}+\\frac{1-i}{1+i}$ ស្មើសូន្យ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រភាគទីមួយស្មើនឹង $i$ ព្រោះ ៖\n$$\\frac{1+i}{1-i}=\\frac{(1+i)^{2}}{2}=\\frac{2i}{2}=i$$\nប្រភាគទីពីរជាច្រាសនៃប្រភាគទីមួយ គឺ $\\frac{1}{i}=-i$ ។\nដូចនេះ ផលបូកគឺ $i-i=\\boxe... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $\\frac{x}{1-2i}+\\frac{y}{2+i}=-14-3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{x}{1-2i}=\\frac{x(1+2i)}{5}\\quad,\\quad\\frac{y}{2+i}=\\frac{y(2-i)}{5}$$\nយើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq 2$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z+3-3i}{z-2}$ ។\na. គណនា $f(1+4i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nb. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=3$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $f(1+4i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. ភាគយកគឺ $(1+4i)-(-3+3i)=4+i$ ហើយភាគបែងគឺ $(1+4i)-2=-1+4i$ ។\n$$f(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{2-6i}{1-i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $1+i$ ។ យើងគុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$\\frac{2-6i}{1-i}=\\frac{(2-6i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\\frac{8-4i}{1+1}=\\frac{8-4i}{2}=4-2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{2-6i}{1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃចំនួនកុំផ្លិចនីមួយៗ ៖ $z_1=1-i\\sqrt{5}$ , $z_2=4i$ , $z_3=-5$ , $z_4=6-i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $a+bi$ គឺ $a-bi$ គឺយើងប្តូរសញ្ញាផ្នែកនិមិត្តតែប៉ុណ្ណោះ ។\n$$\\overline{z_1}=1+i\\sqrt{5}$$\n$$\\overline{z_2}=-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(1-i\\sqrt{3}\\right)^{2}$ ។ ទាញរកឫសការេនៃ $-2-2i\\sqrt{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ៖\n$$(1-i\\sqrt{3})^{2}=1-2\\times 1\\times i \\sqrt{3}+3i^{2}=-2-2i\\sqrt{3}$$\nដូច្នេះ ចំនួននេះ និងចំនួនផ្ទុយរបស់វា សុទ្ធតែមានការេស្មើនឹង $-2-2i\\sqr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(1-i\\sqrt{5}\\right)^{2}$ ។ ទាញរកឫសការេនៃ $-4-2i\\sqrt{5}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ៖\n$$(1-i\\sqrt{5})^{2}=1-2\\times 1\\times i \\sqrt{5}+5i^{2}=-4-2i\\sqrt{5}$$\nដូច្នេះ ចំនួននេះ និងចំនួនផ្ទុយរបស់វា សុទ្ធតែមានការេស្មើនឹង $-4-2i\\sqr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $z^2=3\\bar{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ យើងបាន ៖\n$$x^{2}-y^{2}+2xyi=3x-3yi$$\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=3x\\\\2xy=-3y\\end{cases}$$\nសមីការទីពីរសរសេរ $y(2x+3)=0$ ។\nករណី $y=0$ ៖ $x^2=3x$ ឱ្យ $x=0$ ឬ $x=3$ ។\nករណ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(1-2i)z=(-1+3i)z-17-i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ៖\n$$\\left[(1-2i)-(-1+3i)\\right]z=-17-i$$\n$$(2-5i)z=-17-i$$\n$$z=\\frac{-17-i}{2-5i}=\\frac{(-17-i)(2+5i)}{(2-5i)(2+5i)}=\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}-3z^{2}+az+b$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។ រក $a$ និង $b$ ដោយដឹងថា $P(3i)=0$ រួចរកឫសទាំងអស់នៃ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនា $(3i)^{2}=-9$ និង $(3i)^{3}=-27i$ ។\nជំនួសចូល $P$ ៖\n$$(-27i)-3(-9)+a3i+b=0$$\n$$(27+b)-(27-3a)i=0$$\nផ្នែកព... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}+(1+4i)z-9-3i=0$ ។\nក- គណនា $(5+2i)^{2}$ ។\nខ- គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nឃ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ពន្លាតការេ ៖\n$$(5+2i)^{2}=25+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $(-2-3i)\\bar{z}-3+i=8-15i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងដោះស្រាយរក $\\bar{z}$ ជាមុន ៖\n$$(-2-3i)\\bar{z}=11-16i$$\n$$\\bar{z}=\\frac{11-16i}{-2-3i}=\\frac{(11-16i)(-2+3i)}{(-2-3i)(-2+3i)}=\\frac{26+65i}{4+9}=\\frac{26+65i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-3-i$ ។ គណនា $2\\bar{z}-2-6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=-3+i$ យើងបាន ៖\n$$2\\bar{z}-2-6i=2(-3+i)-2-6i=-8-4i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{-8-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{3}-8z^{2}+37z-50=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ដោយដឹងថា $3+4i$ ជាឫសមួយរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ហើយ $3+4i$ ជាឫស នោះ $3-4i$ ក៏ជាឫសដែរ ។\nពហុធាចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-(3+4i))(z-(3-4i))=z^{2}-6z+25$$\nចែកពហុធា យើងបាន ៖\n$$z^{3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq-1-3i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z+3}{z+1+3i}$ ។\na. គណនា $f(-1+2i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nb. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $f(-1+2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. ភាគយកគឺ $(-1+2i)-(-3)=2+2i$ ហើយភាគបែងគឺ $(-1+2i)-(-1-3i)=5i$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ ៖ $$\\begin{cases}z+3w=-10-10i\\\\2iz-w=6+7i\\end{cases}$$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណសមីការទីពីរនឹង $3$ រួចបូកនឹងសមីការទីមួយ ដើម្បីបំបាត់ $w$ ៖\n$$(1+6i)z=8+11i$$\n$$z=\\frac{8+11i}{1+6i}=\\frac{(8+11i)(1-6i)}{(1+6i)(1-6i)}=\\frac{74-37... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}-2z+5=0$ ។ គណនា $\\frac{1}{z_1}+\\frac{1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=2\\quad,\\quad z_1z_2=5$$\n$$\\frac{1}{z_1}+\\frac{1}{z_2}=\\frac{z_1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z_1$ , $z_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}+4z+5=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។ ដោយមិនដោះស្រាយសមីការ គណនា $z_1^2+z_2^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=-4\\quad,\\quad z_1z_2=5$$\n$$z_1^{2}+z_2^{2}=(z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P=i\\times i^{2}\\times\\cdots\\times i^{13}$ ។ សរសេរ $P$ ជាទម្រង់សាមញ្ញ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផលគុណនៃស្វ័យគុណមានគោលដូចគ្នា ស្មើនឹងគោលនោះដែលមាននិទស្សន្តជាផលបូកនៃនិទស្សន្ត ៖\n$$P=i^{1+2+\\cdots+13}=i^{\\frac{13\\times 14}{2}}=i^{91}$$\nដោយ $91=4\\tim... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $x^{2}-y^{2}+2xyi=-16+30i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=-16\\\\2xy=30\\end{cases}$$\nពីសមីការទីពីរ $y=\\frac{15}{x}$ ។ ជំ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq-1-3i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z+3-3i}{z+1+3i}$ ។\nក- គណនា $f(1-2i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ- ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=-i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $f(1-2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ភាគយកគឺ $(1-2i)-(-3+3i)=4-5i$ ហើយភាគបែងគឺ $(1-2i)-(-1-3i)=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=a+bi$ ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា $|\\bar{z}|=|z|$ និង $z\\bar{z}=|z|^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $\\bar{z}=a-bi$ ដូច្នេះ ៖\n$$|\\bar{z}|=\\sqrt{a^{2}+(-b)^{2}}=\\sqrt{a^{2}+b^{2}}=|z|$$\nចំពោះទំនាក់ទំនងទីពីរ ៖\n$$z\\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}-b^{2}i^{2}=a^... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុលនៃ $z=1-\\frac{12}{5}i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=\\sqrt{\\left(1\\right)^{2}+\\left(\\frac{12}{5}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{169}{25}}=\\frac{13}{5}$$\nដូចនេះ $\\boxed{|z|=\\frac{13}{5}}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ ដែល $|x+3+4i|=|x-(4-3i)|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរភាពស្មើគ្នានៃការេម៉ូឌុល ៖\n$$(x+3)^{2}+16=(x-4)^{2}+9$$\nពន្លាត ហើយលុបតួ $x^2$ ៖\n$$6x+25=-8x+25$$\n$$14x=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{x=0}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m-i)(-4-2i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកចំនួនពិត $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$z=(-4m-2)-(2m-4)i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តស្មើសូន្យ ៖\n$$-2m+4=0\\Leftrighta... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្កើតសមីការដឺក្រេទីពីរ $z^2+bz+c=0$ ដែល $b,c\\in\\mathbb{R}$ ហើយមានឫស $z_1=-2-3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ឫសមួយទៀតគឺចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ $z_2=-2+3i$ ។\n$$z_1+z_2=-4\\quad,\\quad z_1z_2=4+9=13$$\nសមីការគឺ $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}-7z^{2}+24z-18$ ។ គណនា $P(1)$ រួចដាក់ $P(z)$ ជាកត្តា ហើយដោះស្រាយ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=1$ ៖ $1-7+24-18=0$ ។ ដូច្នេះ $z=1$ ជាឫស ហើយ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង $z-1$ ។\nចែកពហុធា យើងបាន ៖\n$$P(z)=(z-1)(z^{2}-6z+18)$$\nដោះស្រាយ $z^{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{m+3i}{1+3i}$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត ។ រួចគណនា $z$ ចំពោះតម្លៃនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1-3i$ ៖\n$$z=\\frac{(m+3i)(1-3i)}{10}=\\frac{m+9}{10}+\\frac{-3m+3}{10}i$$\n$z$ ជាចំនួនន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $(\\sqrt{5}-i\\sqrt{3})^{2}=2-2i\\sqrt{15}$ រួចទាញរកឫសការេនៃ $2-2i\\sqrt{15}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ៖\n$$(\\sqrt{5}-i\\sqrt{3})^{2}=5-2\\times\\sqrt{5}\\times i \\sqrt{3}+3i^{2}=2-2i\\sqrt{15}$$\nដូច្នេះ ចំនួននេះ និងចំនួនផ្ទុយរបស់វា សុទ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(x+iy)-2(x-iy)=2-6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$(-1)x+(3)yi=2-6i$$\nចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$-x=2\\quad,\\quad 3y=-6$$\nនាំឱ្យ $x=-2$ និង $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $4z+3\\bar{z}=-28-i$ ។\nb. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nc. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $(3-i)^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្ត $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ ដោយ $i^2=-1$ និង $i^3=-i$ យើងបាន ៖\n$$(3-i)^{3}=27-27i+9i^{2}-i^{3}=27-27i-9+i=18-26i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(3-i)^{3}=18-26i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(-x-2y)+(2x-y)i=-2-11i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ លុះត្រាតែ $a=c$ និង $b=d$ ។\nគេបានប្រព័ន្ធសមីការ ៖\n$$\\begin{cases}-x-2y=-2\\\\2x-y=-11\\end{cases}$$\nដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ យើងបាន $x... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រក $|z_1|$ និង $|z_2|$ ដោយដឹងថា $z_1=-8+6i$ ហើយ $z_2=6-5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=a+bi$ គេមាន $|z|=r=\\sqrt{a^2+b^2}$ ។\n$$|z_1|=r_1=\\sqrt{(-8)^{2}+6^{2}}=\\sqrt{100}=10$$\n$$|z_2|=r_2=\\sqrt{6^{2}+(-5)^{2}}=\\sqrt{61}$$\nដូចនេះ ម៉ូឌុលនៃ $z_1$ គឺ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $3z_1-3z_2$ ដោយដឹងថា $z_1=5-7i$ ហើយ $z_2=6-7i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z_1$ និង $z_2$ គេបាន ៖\n$$3z_1-3z_2=3(5-7i)-3(6-7i)=15-21i-18+21i=-3$$\nដូចនេះ $\\boxed{3z_1-3z_2=-3}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $\\left(\\frac{3-2i}{2+3i}\\right)^{20}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសម្រួលផលចែកជាមុន ៖\n$$\\frac{3-2i}{2+3i}=\\frac{(3-2i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}=\\frac{-13i}{4+9}=\\frac{-13i}{13}=-i$$\nដោយ $20=4\\times 5+0$ យើងបាន ៖\n$$(-i)^{20}=1$$\nដូច... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1+i$ និង $z_2=3+i\\sqrt{3}$ ។\na. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។\nd. គណនា $\\overline{z_1}\\times z_2$ ។"
},
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=\\frac{5+5i}{1+3i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាភាគយក និងភាគបែងដោយឡែក បន្ទាប់ពីគុណនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\nភាគបែង ៖ $(1+3i)(1-3i)=1+9=10$\nភាគយក ៖ $(5+5i)(1-3i)=5-15i+5i-15i^{2}=5-10i+15=20-10i$\n$$\\frac{5+5i}{1+3i}=\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq-3-3i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z+3i}{z+3+3i}$ ។\nក- គណនា $f(-3+2i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ- ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=1+i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $f(-3+2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ភាគយកគឺ $(-3+2i)+3i=-3+5i$ ហើយភាគបែងគឺ $(-3+2i)-(-3-3i)=5... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $(x+y)+(3x-2y)i=-8-9i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងប្រៀបធៀបផ្នែកពិតនឹងផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនឹងផ្នែកនិមិត្ត ។\nគេបានប្រព័ន្ធសមីការ ៖\n$$\\begin{cases}x+y=-8\\\\3x-2y=-9\\end{cases}$$\nដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ គេទទួលបាន $x=-5$ និង $y=-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-(7+3i)z+16+8i=0$ ។\na. គណនា $(1+5i)^{2}$ ។\nb. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nc. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. ពន្លាតការេ ៖\n$$(1+5i)^{2}=1+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{4}+13z^{2}+36=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$t^{2}+13t+36=0\\Leftrightarrow (t+4)(t+9)=0$$\nនាំឱ្យ $t=-4$ ឬ $t=-9$ ។\n$$z^{2}=-4\\Rightarrow z=\\pm 2i$$\n$$z^{2}=-9\\Rightarrow z=\\pm 3i$$\n... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.