conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកខាងក្រោម ៖ $\\frac{-17+2i\\sqrt{3}}{2+i\\sqrt{3}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2-i\\sqrt{3}$ ។ ភាគបែងក្លាយជា $4+3=7$ ។\n$$\\frac{-17+2i\\sqrt{3}}{2+i\\sqrt{3}}=\\frac{(-17+2i\\sqrt{3})(2-i\\sqrt{3})}{7}=\\frac{-28+21i\\sqrt{3}}{7}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-4+2i$ និង $z_2=3+i$ ។\nក. គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\nខ. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. យើងមាន ៖\n$$z_1-z_2=(-4+2i)-(3+i)=-7+i$$\n$$z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. រកចំនួនកុំផ្លិច $\\delta$ ដែល $\\delta^2=-5+12i$ ។\n២. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $z^2+iz+1-3i=0$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការខាងលើក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. តាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សមីការ $\\delta^2=-5+12i$ ផ្តល់ ៖\n$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-(5-2i)z+14-2i=0$ ។\nក- គណនា $(1-6i)^{2}$ ។\nខ- គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nឃ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ពន្លាតការេ ៖\n$$(1-6i)^{2}=1-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x+2i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $\\bar{z}$ ៖\n$$\\frac{1}{z}=\\frac{\\bar{z}}{z\\bar{z}}=\\frac{x-2i}{x^{2}+4}$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតគឺ $\\boxed{\\frac{x}{x^{2}+4}}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $3z+2\\bar{z}=-10-5i$ ។\nខ- រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nគ- សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nឃ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $(\\sqrt{6}-i\\sqrt{2})^{2}=4-4i\\sqrt{3}$ រួចទាញរកឫសការេនៃ $4-4i\\sqrt{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ៖\n$$(\\sqrt{6}-i\\sqrt{2})^{2}=6-2\\times\\sqrt{6}\\times i \\sqrt{2}+2i^{2}=4-4i\\sqrt{3}$$\nដូច្នេះ ចំនួននេះ និងចំនួនផ្ទុយរបស់វា សុទ្ធត... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $4z+3\\bar{z}=35-2i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}=x-iy$ ។ ជំនួសចូលសមីការ ៖\n$$4(x+iy)+3(x-iy)=35-2i$$\n$$7x+yi=35-2i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\b... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $m$ និង $n$ ដែលសមីការ $2z^{2}+mz+n=0$ មានឫសមួយគឺ $-6+6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $m,n$ ជាចំនួនពិត ឫសមួយទៀតគឺ $-6-6i$ ។ ផលបូកឫសស្មើ $-\\frac{m}{2}$ ហើយផលគុណឫសស្មើ $\\frac{n}{2}$ ។\n$$-\\frac{m}{2}=-12\\Rightarrow m=24$$\n$$\\frac{n}{2}=72\\Righ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{m-3i}{2+i}$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត ។ រួចគណនា $z$ ចំពោះតម្លៃនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2-i$ ៖\n$$z=\\frac{(m-3i)(2-i)}{5}=\\frac{2m-3}{5}+\\frac{-m-6}{5}i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=3+i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}-4z^{2}-2z+20=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=8+6i$ និង $z_0^3=18+26i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(18+26i)-4(8+6i)-2(3+i)+20=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=3+i}$ ជាឫសនៃសមីការនេះ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z=3(-3+5i)-2(2+4i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណចូលក្នុងវង់ក្រចក រួចបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$z=-9+15i-(4+8i)=-13+7i$$\nដូចនេះ $z=-13+7i$ មានផ្នែកពិត $\\boxed{-13}$ និងផ្នែកនិមិត្ត $\\boxed{7}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=\\frac{1}{2}+\\frac{3}{4}i$ និង $z_2=\\frac{3}{2}-\\frac{1}{4}i$ ។ គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1-z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បូកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តរៀងគ្នា ៖\n$$z_1+z_2=\\left(\\frac{1}{2}+\\frac{3}{2}\\right)+\\left(\\frac{3}{4}-\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-(1+2i)z-12-6i=0$ ។\nក- គណនា $(7+2i)^{2}$ ។\nខ- គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nឃ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ពន្លាតការេ ៖\n$$(7+2i)^{2}=49... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=2-i$ និង $z_2=1-2i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{z_1}+\\frac{1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{1}{2-i}=\\frac{2+i}{5}=\\frac{2}{5}+\\frac{1}{5}i$$\n$$\\frac{1}{1-2i}=\\frac{1+2i}{5}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}+(2+3i)z=0$ ។\nក. គណនា $(2+3i)^{2}$ ។\nខ. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nឃ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ពន្លាតការេ ៖\n$$(2+3i)^{2}=4+12i+9i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $(-2+i)^{4}$ ដោយគណនា $(-2+i)^{2}$ ជាមុន ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេមុន ៖\n$$(-2+i)^{2}=4-4i+i^{2}=3-4i$$\nស្វ័យគុណទី $4$ គឺជាការេនៃលទ្ធផលនេះ ៖\n$$(-2+i)^{4}=\\left[(-2+i)^{2}\\right]^{2}=(3-4i)^{2}=9-24i+16i^{2}=-7-24i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-2+i)^... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+9=0$ ។ គណនា $\\frac{z_1}{z_2}+\\frac{z_2}{z_1}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=0\\quad,\\quad z_1z_2=9$$\n$$\\frac{z_1}{z_2}+\\frac{z_2}{z_1}=\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $(x+iy)+3(x-iy)=8-8i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$(4)x-2yi=8-8i$$\nចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$4x=8\\quad,\\quad -2y=-8$$\nនាំឱ្យ $x=2$ និង $y=4$ ។\nដូចនេ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+(1-3i)z-8-4i=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-1+3i)^{2}-4(-8-4i)=(-8-6i)-(-32-16i)=24+10i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=24+10i$ ។\nតាង $\\delta... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $A=3i^{21}+\\frac{1}{i^{92}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនឹង $4$ ៖ $i^{21}=i$ និង $i^{92}=1$ ។\nដោយ $i^{92}=1$ នោះ $\\frac{1}{i^{92}}=1$ ។\n$$A=1+3i$$\nដូចនេះ $\\boxed{A=1+3i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរមានមេគុណពិត ដែលមានឫសមួយគឺ $5-4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ឫសមួយទៀតគឺចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ $z_2=5+4i$ ។\n$$z_1+z_2=10\\quad,\\quad z_1z_2=25+16=41$$\nសមីការគឺ $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ សមីការដែលរកបានគឺ $\\boxed{z^{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $z_0=-\\sqrt{3}+i$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}+2\\sqrt{3}z+4=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនា ៖\n$$z_0^{2}=(-\\sqrt{3}+i)^{2}=2-2i\\sqrt{3}$$\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(2-2i\\sqrt{3})+2\\sqrt{3}(-\\sqrt{3}+i)+4=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=-\\sqrt{3}+i}$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-3z^{2}+4z-12$ ។\nក. គណនា $P(3)$ ។\nខ. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z-3)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $3$ , $2i$ និង $-2i$ ។ គណន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-7+6i$ និង $z_2=2-i$ ។\nក- រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\nខ- គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\nគ- បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $(\\sqrt{7}-2i)^{2}=3-4i\\sqrt{7}$ រួចទាញរកឫសការេនៃ $3-4i\\sqrt{7}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ៖\n$$(\\sqrt{7}-2i)^{2}=7-2\\times\\sqrt{7}\\times i 2+4i^{2}=3-4i\\sqrt{7}$$\nដូច្នេះ ចំនួននេះ និងចំនួនផ្ទុយរបស់វា សុទ្ធតែមានការេស្មើនឹង $3-4i\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $(2+3i)z+4-2i=-1+23i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បញ្ជូន $4-2i$ ទៅអង្គខាងស្តាំ ៖\n$$(2+3i)z=(-1+23i)-(4-2i)=-5+25i$$\nចែកនឹងមេគុណនៃ $z$ ៖\n$$z=\\frac{-5+25i}{2+3i}=\\frac{(-5+25i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}=\\frac{65+65i}{4+9}=\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរដែលមានឫស $z_1=2-4i$ និង $z_2=1+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាផលបូក និងផលគុណនៃឫស ៖\n$$z_1+z_2=3-i$$\n$$z_1z_2=(2-4i)(1+3i)=2+6i-4i-12i^{2}=2+2i+12=14+2i$$\nសមីការមានរាង $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z^{2}-(3-i)z+14+2i=0}$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}+10z+61=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=10$ , $c=61$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=10^{2}-4\\times 1\\times 61=-144=(12i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំផ្លិចពីរឆ្លាស់គ្នា ៖\n$$z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z_1$ , $z_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}+1=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។ គណនា $\\frac{1}{z_1}+\\frac{1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=0\\quad,\\quad z_1z_2=1$$\n$$\\frac{1}{z_1}+\\frac{1}{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $(x+iy)+3(x-iy)=8+6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$(4)x-2yi=8+6i$$\nចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$4x=8\\quad,\\quad -2y=6$$\nនាំឱ្យ $x=2$ និង $y=-3$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-15+5i$ និង $z_2=3+4i$ ។\nក. គណនា $2z_1-z_2$ ។\nខ. សរសេរ $Z=\\frac{z_1+z_2}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $Z=\\frac{z_1}{z_2}+1$ ។\nឃ. រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $Z^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. យើងបាន ៖\n$$2z_1-z_2=(-30... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $2z+3\\bar{z}=15-3i$ ។\nខ- រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nគ- សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nឃ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}+(5-i)z+8-4i=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-5+i)^{2}-4(8-4i)=(24-10i)-(32-16i)=-8+6i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=-8+6i$ ។\nតាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រក $|z_1|$ និង $|z_2|$ ដោយដឹងថា $z_1=-7-24i$ ហើយ $z_2=-4+6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=a+bi$ គេមាន $|z|=r=\\sqrt{a^2+b^2}$ ។\n$$|z_1|=r_1=\\sqrt{(-7)^{2}+(-24)^{2}}=\\sqrt{625}=25$$\n$$|z_2|=r_2=\\sqrt{(-4)^{2}+6^{2}}=\\sqrt{52}=2\\sqrt{13}$$\nដូចនេះ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(z+3+i)^{2}=-5+12i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $Z=z+(3+i)$ ។ សមីការក្លាយជា $Z^2=-5+12i$ ។ យើងរកឫសការេនៃ $-5+12i$ ៖\nយក $Z=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $Z^2=-5+12i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=-5+12i\\Leftrightarrow x^{2}-y^... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=2+i$ ។ គណនា $3\\bar{z}+(1+2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=2-i$ យើងបាន ៖\n$$3\\bar{z}+(1+2i)=3(2-i)+(1+2i)=7-i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{7-i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=\\frac{1+i}{1-i}$ ។ គណនា $w$ រួចទាញរក $w^{27}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1+i}{1-i}=\\frac{(1+i)^{2}}{(1+i)(1-i)}=\\frac{2i}{2}=i$$\nដោយ $27=4\\times 6+3$ យើងបាន ៖\n$$i^{27}=-i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{-i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $x(-4+4i)+y(2+3i)=18-23i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តដោយឡែក ៖\n$$(-4x+2y)+(4x+3y)i=18-23i$$\nចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$\\begin{cases}-4x+2y=18\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $m$ និង $n$ ដែលសមីការ $2z^{2}+mz+n=0$ មានឫសមួយគឺ $6-4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $m,n$ ជាចំនួនពិត ឫសមួយទៀតគឺ $6+4i$ ។ ផលបូកឫសស្មើ $-\\frac{m}{2}$ ហើយផលគុណឫសស្មើ $\\frac{n}{2}$ ។\n$$-\\frac{m}{2}=12\\Rightarrow m=-24$$\n$$\\frac{n}{2}=52\\Righta... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកនៃចំនួនកុំផ្លិច ៖ $\\frac{1-3i}{1+3i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\n$$\\frac{1-3i}{1+3i}=\\frac{(1-3i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)}=\\frac{-8-6i}{1+9}=\\frac{-8-6i}{10}=-\\frac{4}{5}-\\frac{3}{5}i$$\nដូចនេះ $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=-1+i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}+3z^{2}+4z+2=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=-2i$ និង $z_0^3=2+2i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(2+2i)+3(-2i)+4(-1+i)+2=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=-1+i}$ ជាឫសនៃសមីការនេះ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $(1-i)^{2}$ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $(1-i)^{16}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$(1-i)^{2}=1-2i+i^{2}=-2i$$\nដូច្នេះ ៖\n$$(1-i)^{16}=\\left[(1-i)^{2}\\right]^{8}=(-2i)^{8}=2^{8}i^{8}$$\nដោយ $i^{8}=1$ និង $2^{8}=256$ យើងបាន $(1-i)^{16}=256$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{(1-i)^{1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សរសេរ $Z=4z+2i\\bar{z}$ ជាទម្រង់ $A+iB$ ដែល $A,B$ ជាកន្សោមនៃ $x$ និង $y$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=x-iy$ យើងបាន ៖\n$$Z=4(x+iy)+2i(x-iy)$$\n$$Z=4x+4iy+2ix+2y$$\nប្រមូលផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$Z=(4x+2y)+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+5z^{2}+8z+6$ ។\nក. គណនា $P(-3)$ ។\nខ. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z+3)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $-3$ , $-1+i$ និង $-1-i$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m-3i)(1+4i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកចំនួនពិត $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត រួចគណនា $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$z=(m+12)+(4m-3)i$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើសូន្យ ៖\n$$m+12=0\\Leftrigh... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z=-6-4i$ គណនា $z+\\bar{z}$ , $z-\\bar{z}$ និង $z\\bar{z}$ រួចបញ្ជាក់ថាមួយណាជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $\\bar{z}=-6+4i$ ។\n$$z+\\bar{z}=(-6-4i)-6+4i=-12$$\n$$z-\\bar{z}=(-6-4i)-(-6+4i)=-8i$$\n$$z\\times\\bar{z}=(-6)^{2}+4^{2}=52$$\nដូចនេ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-3-9i$ និង $z_2=2+i$ ។\n១. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\n២. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\n៣. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $\\frac{x}{3+i}+\\frac{y}{2+i}=4$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{x}{3+i}=\\frac{x(3-i)}{10}\\quad,\\quad\\frac{y}{2+i}=\\frac{y(2-i)}{5}$$\nយើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ ល... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $(x+iy)+2(x-iy)=-12-3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$(3)x-1yi=-12-3i$$\nយើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ លុះត្រាតែ $a=c$ និង $b=d$ ។\n$$3x=-12\\quad,\\quad -y=-3$$\nនាំឱ្យ $x=-4$ និង $y=3$ ។\nដូចនេះ $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $(-1+5i)(5-i)$ ជាទម្រង់ $a+bi$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយដឹងថា $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$(-1+5i)(5-i)=-5+i+25i-5i^{2}=-5+26i+5=26i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{26i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $m$ ដើម្បីឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m-2)+7i$ មានម៉ូឌុលស្មើនឹង $25$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=\\sqrt{(m-2)^{2}+49}=25$$\nលើកការេអង្គទាំងពីរ ៖\n$$(m-2)^{2}+49=625\\Leftrightarrow (m-2)^{2}=576$$\n$m-2=24$ ឬ $ m-2=-24$\nដូចនេះ $\\boxed{m=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-2+4i$ និង $z_2=1-i$ ។\n១. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\n២. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\n៣. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(3-2i)\\bar{z}-5-3i=9-8i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងដោះស្រាយរក $\\bar{z}$ ជាមុន ៖\n$$(3-2i)\\bar{z}=14-5i$$\n$$\\bar{z}=\\frac{14-5i}{3-2i}=\\frac{(14-5i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}=\\frac{52+13i}{9+4}=\\frac{52+13i}{13}=4+i$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=1+3i$ ។ គណនា $z^2$ រួចទាញរក $z^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេជាមុនសិន ៖\n$$(1+3i)^{2}=1+6i+9i^{2}=-8+6i$$\nគុណនឹងកត្តាដើមម្តងទៀត ៖\n$$(1+3i)^{3}=(-8+6i)(1+3i)=-8-24i+6i+18i^{2}=-8-18i-18=-26-18i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(1+3i)^{3}=-26-18i}$ ។"
}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-6z+25=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ. គេឱ្យ $w=z_1+3i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{w}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. យើងមាន ៖\n$$\\D... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-7-i$ និង $z_2=3+4i$ ។\nក- គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\nខ- សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- គេបាន ៖\n$$z_1-z_2=(-7-i)-(3+4i)=-10-5i$$\n$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(m-i)(2+i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ កំណត់តម្លៃនៃចំនួនពិត $m$ ដែលធ្វើឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត ហើយគណនាតម្លៃនៃ $z$ ពេលនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$z=(2m+1)+(m-2)i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តស្មើសូន្យ ៖\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z\\bar{z}+2(z-\\bar{z})=18-12i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ យើងមាន $z\\bar{z}=x^2+y^2$ និង $z-\\bar{z}=2iy$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$x^{2}+y^{2}+4yi=18-12i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្ន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=5-5i$ និង $z_2=2-i$ ។\na. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\nb. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\nc. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}+(4+8i)z-3+16i=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\Delta=(-4-8i)^{2}-4(-3+16i)=(-48+64i)-(-12+64i)=-36$$\nដោយ $\\Delta=-36=6i^{2}$ ដែលជាការេប្រាកដ យើងបាន ៖\n$$z_1=\\frac{(-4-8i)+6i}{2}=-2-i\\quad,\\quad z_2=\\frac{(-4-8... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1-2i$ និង $z_2=1+i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{z_1}+\\frac{1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{1}{1-2i}=\\frac{1+2i}{5}=\\frac{1}{5}+\\frac{2}{5}i$$\n$$\\frac{1}{1+i}=\\frac{1-i}{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=\\frac{-3-6i}{3+2i}$ ជាទម្រង់ $a+bi$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $3-2i$ ។ យើងគុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$\\frac{-3-6i}{3+2i}=\\frac{(-3-6i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}=\\frac{-21-12i}{9+4}=\\frac{-21-12i}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=2+i$ និង $z_2=1+i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{z_1}+\\frac{1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{1}{2+i}=\\frac{2-i}{5}=\\frac{2}{5}-\\frac{1}{5}i$$\n$$\\frac{1}{1+i}=\\frac{1-i}{2}=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $\\frac{1+2i}{2-i}=i$ ដោយមិនប្រើការគុណនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគ្រាន់តែផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $i$ គុណនឹងភាគបែងស្មើនឹងភាគយក ៖\n$$i(2-i)=2i-i^{2}=1+2i$$\nដោយ $2-i\\neq 0$ ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $2-i$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{1+2i}{2-i}=i}$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{2+11i}{2+i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $2-i$ ។ គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$z=\\frac{2+11i}{2+i}=\\frac{(2+11i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\\frac{15+20i}{4+1}=\\frac{15+20i}{5}=3+4i$$\nដូ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq 3-i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z-(2-2i)}{z-(3-i)}$ ។\n១. គណនា $f(3+2i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n២. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=3$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $f(3+2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ភាគយកគឺ $(3+2i)-(2-2i)=1+4i$ ហើយភាគបែងគឺ $(3+2i)-(3-i)=3i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}+z^{2}+z-39$ ។ គណនា $P(3)$ រួចដាក់ $P(z)$ ជាកត្តា ហើយដោះស្រាយ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=3$ ៖ $27+9+3-39=0$ ។ ដូច្នេះ $z=3$ ជាឫស ហើយ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង $z-3$ ។\nចែកពហុធា យើងបាន ៖\n$$P(z)=(z-3)(z^{2}+4z+13)$$\nដោះស្រាយ $z^{2}+4z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $A=i^{66}+\\frac{1}{i^{96}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនឹង $4$ ៖ $i^{66}=-1$ និង $i^{96}=1$ ។\nដោយ $i^{96}=1$ នោះ $\\frac{1}{i^{96}}=1$ ។\n$$A=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{A=0}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{2}-(2-2i)z+4-2i=0$ ។ បង្ហាញថា $z_1=1+i$ ជាឫសរបស់សមីការនេះ រួចទាញរកឫសមួយទៀត $z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=1+i$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(1+i)^{2}-(2-2i)(1+i)+(4-2i)=2i-4+(4-2i)=0$$\nដូច្នេះ $z_1=1+i$ ជាឫស ។\nផលគុណឫសនៃសមីការ $z^2+bz+c=0$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq-2i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z-(3-2i)}{z+2i}$ ។\n១. គណនា $f(1-4i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n២. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=2$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $f(1-4i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ភាគយកគឺ $(1-4i)-(3-2i)=-2-2i$ ហើយភាគបែងគឺ $(1-4i)+2i=1-2i$ ។\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=\\sqrt{3}+i$ និង $B=3+i\\sqrt{3}$ ។\nក- គណនា $A+B$ និង $A\\times B$ ។\nខ- សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។\nឃ- គណនា $\\overline{A}\\times B$ ។"
},
{
"from": "gpt",
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ ដែល $|x-(4-3i)|=|x+1-2i|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរភាពស្មើគ្នានៃការេម៉ូឌុល ៖\n$$(x-4)^{2}+9=(x+1)^{2}+4$$\nពន្លាត ហើយលុបតួ $x^2$ ៖\n$$-8x+25=2x+5$$\n$$-10x=-20$$\nដូចនេះ $\\boxed{x=2}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $(1-2i)(-3-2i)(1+2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណកត្តាពីរដំបូងជាមុនសិន ៖\n$$(1-2i)(-3-2i)=-3-2i+6i+4i^{2}=-3+4i-4=-7+4i$$\nរួចគុណលទ្ធផលនឹងកត្តាទីបី ៖\n$$(-7+4i)(1+2i)=-7-14i+4i+8i^{2}=-7-10i-8=-15-10i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-3-4i$ និង $z_2=-4-2i$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $|z_1\\times z_2|=|z_1|\\times|z_2|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$z_1\\times z_2=4+22i$$\n$$|z_1\\times z_2|=\\sqrt{16+484}=\\sqrt{500}\\quad(1)$$\nគណនាអង្គខាងស្តាំ ៖\n$$|z_1|\\t... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq-i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z-2i}{z+i}$ ។\nក- គណនា $f(3-4i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ- ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $f(3-4i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ភាគយកគឺ $(3-4i)-2i=3-6i$ ហើយភាគបែងគឺ $(3-4i)+i=3-3i$ ។\n$$f(3-4i)=\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=6-5i$ ។ គណនា $3\\bar{z}-5+6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=6+5i$ យើងបាន ៖\n$$3\\bar{z}-5+6i=3(6+5i)-5+6i=13+21i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{13+21i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=4(-1-i)-2(1+2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងបូកផ្នែកពិតជាមួយផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តជាមួយផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$z=-4-4i-(2+4i)=-6-8i$$\nដូចនេះ $z=-6-8i$ មានផ្នែកពិត $\\boxed{-6}$ និងផ្នែកនិមិត្ត $\\boxed{-8}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(-2-4i)i^{66}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $66=4\\times 16+2$ នោះ $i^{66}=-1$ ។\n$$z=(-2-4i)\\times(-1)=2+4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=2+4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយគណនា $(1+i)^{2}$ សរសេរ $(1+i)^{14}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i$$\nដូច្នេះ ៖\n$$(1+i)^{14}=\\left[(1+i)^{2}\\right]^{7}=(2i)^{7}=2^{7}i^{7}$$\nដោយ $i^{7}=-i$ និង $2^{7}=128$ យើងបាន $(1+i)^{14}=-128i$ ។\nដូចនេះ $\\boxe... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}-3z^{2}+az+b$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។ រក $a$ និង $b$ ដោយដឹងថា $P(1+2i)=0$ រួចរកឫសទាំងអស់នៃ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនា $(1+2i)^{2}=-3+4i$ និង $(1+2i)^{3}=-11-2i$ ។\nជំនួសចូល $P$ ៖\n$$(-11-2i)-3(-3+4i)+a(1+2i)+b=0$$\n$$(-2+a+b... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x+i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $w=z^2+3z$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$z^{2}=x^{2}+2xi-1$$\n$$w=(x^{2}+3x-1)+(2x+3)i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតគឺ $\\boxed{x^{2}+3x-1}$ ហើយផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{2x+3}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(3-i)z+1-2i=(1+2i)z+(18-8i)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ទៅអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$\\left[(3-i)-(1+2i)\\right]z=(18-8i)-(1-2i)$$\n$$(2-3i)z=17-6i$$\n$$z=\\frac{17-6i}{2-3i}=\\frac{(17-6i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $(1+i)^4=-4$ ដោយគណនា $(1+i)^2$ ជាមុន ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជាដំបូង យើងពន្លាតការេ ៖\n$$(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i$$\nលើកការេម្តងទៀត ៖\n$$(1+i)^{4}=(2i)^{2}=4i^{2}=-4$$\nដូចនេះ $\\boxed{(1+i)^4=-4}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(1-i)z=(-2+3i)z-35+5i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ៖\n$$\\left[(1-i)-(-2+3i)\\right]z=-35+5i$$\n$$(3-4i)z=-35+5i$$\n$$z=\\frac{-35+5i}{3-4i}=\\frac{(-35+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}=\\frac{-125-125i}{9+16}=\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $2iz+3\\bar{z}=-3+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y$ ជាចំនួនពិត ។ ពន្លាតអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$2i(x+iy)+3(x-iy)=(3x-2y)+(2x-3y)i$$\nយើងបានប្រព័ន្ធសមីការ ៖\n$$\\begin{cases}3x-2y=-3\\\\2x-3y=3\\end{cases}$$\nដោះស្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{3}+(1-5i)z^{2}-(5+6i)z-8-2i=0$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះមានឫសជាចំនួននិមិត្តមួយ រួចរកឫសនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=iy$ ដែល $y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫស ។ ជំនួសចូលសមីការ ហើយបំបែកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$(-y^{2}+6y-8)-(y^{3}-5y^{2}+5y+2)i=0$$\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq 3-3i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z+3-i}{z-(3-3i)}$ ។\n១. គណនា $f(1+3i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n២. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=3$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $f(1+3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ភាគយកគឺ $(1+3i)-(-3+i)=4+2i$ ហើយភាគបែងគឺ $(1+3i)-(3-3i)=-2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា បើ $|z+1|=|z-1|$ នោះផ្នែកពិតនៃ $z$ ស្មើសូន្យ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ លើកការេអង្គទាំងពីរ ៖\n$$(x+1)^{2}+y^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}$$\nពន្លាត ហើយលុបតួដូចគ្នា យើងបាន $4x=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{x=0}$ គឺផ្នែកពិតនៃ $z$ ស្មើសូន្យ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-8z+20=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nគ. ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើ គណនា $z_1^2+z_2^2$ និង $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. យើងមា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរជាទម្រង់សាមញ្ញ $i^{19}$ , $i^{762}$ និង $i^{2180}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^4=1$ ស្វ័យគុណនៃ $i$ វិលជុំតាមខួប $4$ ។\n$$i^{19}=i^{4\\times 4+3}=\\left(i^{4}\\right)^{4}\\times i^{3}=i^{3}=-i$$\n$$i^{762}=i^{4\\times 190+2}=\\left(i^{4}\\right)^{190}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយគណនា $(1-i)^{2}$ សរសេរ $(1-i)^{6}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$(1-i)^{2}=1-2i+i^{2}=-2i$$\nដូច្នេះ ៖\n$$(1-i)^{6}=\\left[(1-i)^{2}\\right]^{3}=(-2i)^{3}=-2^{3}i^{3}$$\nដោយ $i^{3}=-i$ និង $2^{3}=8$ យើងបាន $(1-i)^{6}=8i$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{(1-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-7z^{2}+31z-25$ ។\n១. គណនា $P(1)$ ។\n២. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z-1)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\n៤. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $1$ , $3+4i$ និង $3-4i$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{-7-4i}{i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $i$ ដើម្បីឱ្យភាគបែងក្លាយជាចំនួនពិត ៖\n$$\\frac{-7-4i}{i}=\\frac{(-7-4i)i}{i\\times i}=\\frac{4-7i}{-1}=-4+7i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{-7-4i}{i}=-4+7i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-2+11i$ និង $z_2=2-i$ ។\n១. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\n២. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\n៣. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=2\\sqrt{3}+2i$ និង $z_2=1+i\\sqrt{3}$ ។\n១. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"valu... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $z^2=-10$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^2=-1$ យើងអាចសរសេរ ៖\n$$z^{2}=-10\\Leftrightarrow z^{2}=10i^{2}\\Leftrightarrow z^{2}-(i\\sqrt{10})^{2}=0$$\nដាក់ជាកត្តា ៖\n$$(z-i\\sqrt{10})(z+i\\sqrt{10})=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=i\\sqrt{1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=4i(-3-3i)-4-5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាម $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$z=-12i-12i^{2}-4-5i=-12i+12-4-5i=8-17i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{8}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{-17}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យផលបូក $S=i+i^{2}+i^{3}+\\cdots+i^{1192}$ ។ គណនា $S$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ស្វ័យគុណបួនតួជាប់គ្នាមានផលបូកសូន្យ ព្រោះ $i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0$ ។\nផលបូកនេះមានតួចំនួន $1192$ ។ ដោយ $1192=4\\times 298+0$ ក្រុមបួនតួទាំង $298$ មានផលបូកសូន្យ ហើយនៅសល់ $0$ តួចុង... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុលនៃ $z=\\frac{8}{25}-\\frac{6}{25}i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=\\sqrt{\\left(\\frac{8}{25}\\right)^{2}+\\left(\\frac{6}{25}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{4}{25}}=\\frac{2}{5}$$\nដូចនេះ $\\boxed{|z|=\\frac{2}{5}}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.