conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-5z^{2}+23z-51$ ។\nក. គណនា $P(3)$ ។\nខ. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z-3)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $3$ , $1+4i$ និង $1-4i$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-2+3i$ និង $z_2=-4-i$ ។ គណនា $\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $z_1+z_2=-6+2i$ និង $z_1-z_2=2+4i$ ។\n$$\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=\\frac{-6+2i}{2+4i}=\\frac{(-6+2i)(2-4i)}{(2+4i)(2-4i)}=\\frac{-4+28i}{4+16}=\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(5-3i)^{2}$ ។ តើផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z$ ស្មើនឹងប៉ុន្មាន ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្ត $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ យើងបាន ៖\n$$z=25-30i+9i^{2}=25-30i-9=16-30i$$\nដូចនេះ $z=16-30i$ មានផ្នែកពិត $\\boxed{16}$ និងផ្នែកនិមិត្ត $\\boxed{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=\\frac{5-15i}{1+3i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត $a+bi$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $1-3i$ ។ យើងគុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$\\frac{5-15i}{1+3i}=\\frac{(5-15i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)}=\\frac{-40-30i}{1+9}=\\frac{-40-30i}{10}=-4-3i$$\nដូចន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(1+i)z=(-2-i)z+(1+5i)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ៖\n$$\\left[(1+i)-(-2-i)\\right]z=1+5i$$\n$$(3+2i)z=1+5i$$\n$$z=\\frac{1+5i}{3+2i}=\\frac{(1+5i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}=\\frac{13+1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z=(1-4i)(-5+3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\overline{z_1\\times z_2}=\\overline{z_1}\\times\\overline{z_2}$ យើងអាចយកចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃកត្តានីមួយៗមុន ៖\n$$\\overline{(1-4i)(-5+3i)}=(1+4i)(-5-3i)=-5-3i-20i-12i^{2}=-5-23i+12=7-23... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-(1-4i)z-2-8i=0$ ។\nក- គណនា $(3+4i)^{2}$ ។\nខ- គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nឃ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ពន្លាតការេ ៖\n$$(3+4i)^{2}=9+2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=3-5i$ និង $z_2=-4-i$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $\\overline{z_1\\times z_2}=\\overline{z_1}\\times\\overline{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$z_1\\times z_2=-12-3i+20i+5i^{2}=-12+17i-5=-17+17i$$\n$$\\overline{z_1\\times z_2}=-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{3}-(6-3i)z^{2}+(5-7i)z+12-6i=0$ ។ រកឫសជាចំនួនពិតនៃសមីការនេះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t$ ជាឫសពិត ។ ជំនួស $z=t$ ហើយបំបែកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$(t^{3}-6t^{2}+5t+12)+(3t^{2}-7t-6)i=0$$\nដោយ $t$ ជាចំនួនពិត យើងបាន ៖\n$$\\begin{cases}t^{3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}+(3-i)z^{2}+(1-4i)z-5+5i$ ។\n១. បង្ហាញថា $P(1)=0$ ។\n២. កំណត់ពហុធា $Q(z)$ ដែល $P(z)=(z-1)Q(z)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ជំនួស ៖\n$$P(1)=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{P(1)=0}$ ។\n២. ចែក $P(z)$ នឹង $z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $k$ ដើម្បីឱ្យ $(1+ki)^2$ មានផ្នែកពិតស្មើសូន្យ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$(1+ki)^{2}=1-k^{2}+2ki$$\nផ្នែកពិតស្មើសូន្យ លុះត្រាតែ $1-k^2=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{k=1}$ ឬ $\\boxed{k=-1}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=4+8i$ និង $z_2=3+i$ ។\na. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\nb. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\nc. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សម្រួលកន្សោម $A=-i^{85}+i^{317}+4i^{299}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនីមួយៗនឹង $4$ ៖\n$85=4\\times 21+1$ នាំឱ្យ $i^{85}=i$\n$317=4\\times 79+1$ នាំឱ្យ $i^{317}=i$\n$299=4\\times 74+3$ នាំឱ្យ $i^{299}=-i$\nជំនួសចូលកន្សោម ៖\n$$A=-i+i+4(-i)=-4i$$\nដូចន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{m-3i}{1-i}$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត ។ រួចគណនា $z$ ចំពោះតម្លៃនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1+i$ ៖\n$$z=\\frac{(m-3i)(1+i)}{2}=\\frac{m+3}{2}+\\frac{m-3}{2}i$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត្ត ល... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $2z+\\bar{z}=12-i$ ។\nខ. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nគ. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nឃ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ ដែល $|x-(4-i)|=|x+1+4i|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរភាពស្មើគ្នានៃការេម៉ូឌុល ៖\n$$(x-4)^{2}+1=(x+1)^{2}+16$$\nពន្លាត ហើយលុបតួ $x^2$ ៖\n$$-8x+17=2x+17$$\n$$-10x=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{x=0}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើ $1+i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}-(2+i)z+3+i=0$ ឬទេ ? ពន្យល់ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=1+i$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង យើងបានតម្លៃ ៖\n$$(1+i)^{2}-(2+i)(1+i)+(3+i)=2$$\nតម្លៃនេះខុសពីសូន្យ ។\nដូចនេះ $1+i$ មិនមែនជាឫសនៃសមីការទេ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យ $z_1=-4-2i$ និង $z_2=2+5i$ ។ សរសេរ $4z_1-z_2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z_1$ និង $z_2$ យើងបាន ៖\n$$4z_1-z_2=4(-4-2i)-(2+5i)=-16-8i-2-5i=-18-13i$$\nដូចនេះ $\\boxed{4z_1-z_2=-18-13i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរសមីការរាង $z^2+bz+c=0$ ដែលមានឫសពីរគឺ $-1+3i$ និង $-2-3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាផលបូក និងផលគុណនៃឫស ៖\n$$z_1+z_2=-3$$\n$$z_1z_2=(-1+3i)(-2-3i)=2+3i-6i-9i^{2}=2-3i+9=11-3i$$\nសមីការមានរាង $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z^{2}+3z+11-3i=0}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_A=2-2i$ , $z_B=2+2i$ និង $z_C=3-2i$ ។\nក- សង់ចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ។\nខ- គណនាប្រវែង $AB$ , $AC$ និង $BC$ ។\nគ- តើត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណប្រភេទអ្វី ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ចំណុចទាំងបីគឺ $A(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $4z+\\bar{z}=-10+15i$ ។\nb. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nc. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{4}-8z^{3}+27z^{2}-50z+50$ ។ បង្ហាញថា $P(1+2i)=0$ ។ ដាក់ $P(z)$ ជាផលគុណនៃពហុធាដឺក្រេទីពីរមានមេគុណពិតពីរ រួចដោះស្រាយ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត $1-2i$ ក៏ជាឫសដែរ ។ ដូច្នេះ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-(1+2i))(z-(1-2i))=z^{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-(1-i)z+4+7i=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(1-i)^{2}-4(4+7i)=(-2i)-(16+28i)=-16-30i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=-16-30i$ ។\nយក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z=3i(-5-i)+(5-3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយដឹងថា $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$z=-15i-3i^{2}+5-3i=-15i+3+5-3i=8-18i$$\nដូចនេះ $z=8-18i$ មានផ្នែកពិត $\\boxed{8}$ និងផ្នែកនិមិត្ត $\\boxed{-18}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $\\frac{x}{1+2i}+\\frac{y}{1-i}=9-3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{x}{1+2i}=\\frac{x(1-2i)}{5}\\quad,\\quad\\frac{y}{1-i}=\\frac{y(1+i)}{2}$$\nយើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ លុះត្រ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=1-i$ ។ គណនា $z+\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1}{z}=\\frac{1}{1-i}=\\frac{1+i}{2}=\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}i$$\n$$z+\\frac{1}{z}=(1-i)+\\left(\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}i\\right)=\\frac{3}{2}-\\frac{1}{2}i$$\nដូចនេះ លទ្ធផល... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(2+i)z=8-6i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $2+i$ ៖\n$$z=\\frac{8-6i}{2+i}=\\frac{(8-6i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\\frac{10-20i}{4+1}=\\frac{10-20i}{5}=2-4i$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z=2-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-3z+18+4i=0$ ។\nក- គណនា $(1-8i)^{2}$ ។\nខ- គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nឃ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ពន្លាតការេ ៖\n$$(1-8i)^{2}=1-16i+6... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=1+2i$ ។ គណនា $|z|$ រួចទាញរក $|z^{9}|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=|1+2i|=\\sqrt{1+4}=\\sqrt{5}$$\nតាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $|z^n|=|z|^n$ យើងបាន ៖\n$$\\left|(1+2i)^{9}\\right|=\\left(\\sqrt{5}\\right)^{9}=625\\sqrt{5}$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{625\\sqrt{5... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $\\left(\\frac{-1+3i}{3+i}\\right)^{35}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសម្រួលផលចែកជាមុន ៖\n$$\\frac{-1+3i}{3+i}=\\frac{(-1+3i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\\frac{10i}{9+1}=\\frac{10i}{10}=i$$\nដោយ $35=4\\times 8+3$ យើងបាន ៖\n$$i^{35}=-i$$\nដូចនេះ លទ្ធផល... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $P(z)=z^{2}-5z+5$ ចំពោះ $z=-1+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $(-1+3i)^{2}=-8-6i$ ។\nជំនួសចូល ៖\n$$P(-1+3i)=(-8-6i)-5(-1+3i)+5=2-21i$$\nដូចនេះ $\\boxed{P(-1+3i)=2-21i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $|z|=13$ និងផ្នែកពិតនៃ $z$ ស្មើនឹង $12$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=12+iy$ ដែល $y\\in\\mathbb{R}$ ។\n$$|z|=\\sqrt{144+y^{2}}=13\\Rightarrow y^{2}=25\\Rightarrow y=\\pm 5$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=12+5i}$ ឬ $\\boxed{z=12-5i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{3}+(3-3i)z^{2}-(3+7i)z-4+i=0$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះមានឫសជាចំនួននិមិត្តមួយ រួចរកឫសនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=iy$ ដែល $y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫស ។ ជំនួសចូលសមីការ ហើយបំបែកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$(-3y^{2}+7y-4)-(y^{3}-3y^{2}+3y-1)i=0$$\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-4-2i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $z\\bar{z}=|z|^2=20$ យើងបាន $\\frac{1}{z}=\\frac{\\bar{z}}{|z|^2}$ ។\n$$\\frac{1}{z}=\\frac{-4+2i}{20}=-\\frac{1}{5}+\\frac{1}{10}i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{1}{z}=-\\frac{1}{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរសមីការរាង $z^2+bz+c=0$ ដែលមានឫសពីរគឺ $3-4i$ និង $4+2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាផលបូក និងផលគុណនៃឫស ៖\n$$z_1+z_2=7-2i$$\n$$z_1z_2=(3-4i)(4+2i)=12+6i-16i-8i^{2}=12-10i+8=20-10i$$\nសមីការមានរាង $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z^{2}-(7-2i)z+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}+3z+3=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=3^{2}-4\\times 3=-3=\\left(i\\sqrt{3}\\right)^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_{1,2}=\\frac{-3\\pm i\\sqrt{3}}{2}$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z_1=-\\frac{3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-16-2i$ និង $z_2=3+2i$ ។\na. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\nb. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\nc. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(3-4i)^{2}$ ជាទម្រង់ $a+bi$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តការេនៃទ្វេធា ៖\n$$(3-4i)^{2}=9-24i+16i^{2}=-7-24i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(3-4i)^{2}=-7-24i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=(5+3i)(-5-3i)$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចបញ្ជាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតផលគុណ ដោយប្រើ $i^2=-1$ ៖\n$$z=-25-15i-15i-9i^{2}=-25-30i+9=-16-30i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{-16}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxe... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរដែលមានឫស $z_1=2+2i$ និង $z_2=2-2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាផលបូក និងផលគុណនៃឫស ៖\n$$z_1+z_2=4$$\n$$z_1z_2=(2+2i)(2-2i)=4-4i+4i-4i^{2}=4+4=8$$\nសមីការមានរាង $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z^{2}-4z+8=0}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $A=3i^{219}-i^{99}-2i^{168}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនីមួយៗនឹង $4$ ៖\n$219=4\\times 54+3$ នាំឱ្យ $i^{219}=-i$\n$99=4\\times 24+3$ នាំឱ្យ $i^{99}=-i$\n$168=4\\times 42+0$ នាំឱ្យ $i^{168}=1$\nយើងបាន ៖\n$$A=3(-i)+i-2(1)=-2-2i$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យ $z_1=-4-2i$ និង $z_2=-3-2i$ ។ សរសេរ $2z_1-z_2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តដោយឡែកពីគ្នា ៖\nផ្នែកពិត ៖ $2\\times(-4)-1\\times(-3)=-5$\nផ្នែកនិមិត្ត ៖ $2\\times(-2)-1\\times(-2)=-2$\nដូចនេះ $\\boxed{2z_1-z_2=-5-2i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-8z+41=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ- គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nគ- ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើ គណនា $z_1^2+z_2^2$ និង $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- យើងមា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $\\left|\\frac{-12+5i}{-3-4i}\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|=\\frac{|z_1|}{|z_2|}$ យើងគណនាម៉ូឌុលនៃភាគយក និងភាគបែងដោយឡែក ៖\n$$|-12+5i|=13\\quad,\\quad|-3-4i|=5$$\n$$\\left|\\frac{-12+5i}{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=2\\sqrt{3}+2i$ និង $z_2=\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ ។\n១. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សម្រួលកន្សោម $A=2i^{351}-i^{217}+2i^{117}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនីមួយៗនឹង $4$ ៖\n$351=4\\times 87+3$ នាំឱ្យ $i^{351}=-i$\n$217=4\\times 54+1$ នាំឱ្យ $i^{217}=i$\n$117=4\\times 29+1$ នាំឱ្យ $i^{117}=i$\nយើងបាន ៖\n$$A=2(-i)-i+2(i)=-i$$\nដូចនេះ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=\\sqrt{3}+i$ និង $B=-\\sqrt{3}+i$ ។\n១. គណនា $A+B$ និង $A\\times B$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. បូកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-1-18i$ និង $z_2=3+4i$ ។\na. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\nb. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\nc. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រក $|z_1|$ និង $|z_2|$ ដោយដឹងថា $z_1=9-12i$ ហើយ $z_2=-2+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=a+bi$ គេមាន $|z|=r=\\sqrt{a^2+b^2}$ ។\n$$|z_1|=r_1=\\sqrt{9^{2}+(-12)^{2}}=\\sqrt{225}=15$$\n$$|z_2|=r_2=\\sqrt{(-2)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{13}$$\nដូចនេះ ម៉ូឌុលនៃ $z_1$ គ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុលនៃ $z=\\frac{1}{2}+\\frac{6}{5}i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=\\sqrt{\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{6}{5}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{169}{100}}=\\frac{13}{10}$$\nដូចនេះ $\\boxed{|z|=\\frac{13}{10}}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(\\sqrt{5}-i\\sqrt{2}\\right)^{2}$ ។ ទាញរកឫសការេនៃ $3-2i\\sqrt{10}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ៖\n$$(\\sqrt{5}-i\\sqrt{2})^{2}=5-2\\times\\sqrt{5}\\times i \\sqrt{2}+2i^{2}=3-2i\\sqrt{10}$$\nដូច្នេះ ចំនួននេះ និងចំនួនផ្ទុយរបស់វា សុទ្ធតែមាន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(2-i)\\bar{z}+(3-i)=-5-2i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងដោះស្រាយរក $\\bar{z}$ ជាមុន ៖\n$$(2-i)\\bar{z}=-8-i$$\n$$\\bar{z}=\\frac{-8-i}{2-i}=\\frac{(-8-i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\\frac{-15-10i}{4+1}=\\frac{-15-10i}{5}=-3-2i$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-5z^{2}+19z+25$ ។ ដោយដឹងថា $z_0=3+4i$ ជាឫសនៃ $P(z)=0$ ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ហើយ $3+4i$ ជាឫស នោះ $3-4i$ ក៏ជាឫសដែរ ។\nពហុធាចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-(3+4i))(z-(3-4i))=z^{2}-6z+25$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $(3-i)z+4-4i=(-3+2i)z+(4+11i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ទៅអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$\\left[(3-i)-(-3+2i)\\right]z=(4+11i)-(4-4i)$$\n$$(6-3i)z=15i$$\n$$z=\\frac{15i}{6-3i}=\\frac{15i(6+3i)}{(6-3i)(6+3i)}=\\frac{-45... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=7-6i$ និង $z_2=2-i$ ។\n១. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\n២. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\n៣. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $4z+\\bar{z}=10+3i$ ។\nខ. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nគ. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nឃ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $(\\sqrt{5}-i\\sqrt{7})^{2}=-2-2i\\sqrt{35}$ រួចទាញរកឫសការេនៃ $-2-2i\\sqrt{35}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ៖\n$$(\\sqrt{5}-i\\sqrt{7})^{2}=5-2\\times\\sqrt{5}\\times i \\sqrt{7}+7i^{2}=-2-2i\\sqrt{35}$$\nដូច្នេះ ចំនួននេះ និងចំនួនផ្ទុយរបស់វា ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(-1-4i)(2-5i)$ ។ តើផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z$ ស្មើនឹងប៉ុន្មាន ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតផលគុណ ដោយប្រើ $i^2=-1$ ៖\n$$z=-2+5i-8i+20i^{2}=-2-3i-20=-22-3i$$\nដូចនេះ $z=-22-3i$ មានផ្នែកពិត $\\boxed{-22}$ និងផ្នែកនិមិត្ត $\\boxed{-3}$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(3+2i)i^{179}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $179=4\\times 44+3$ នោះ $i^{179}=-i$ ។\n$$z=(3+2i)\\times(-i)=2-3i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=2-3i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-4z+5=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=-4$ , $c=5$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\\times 1\\times 5=-4=(2i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដោយដឹងថា $-1-2i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+az+b=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-1-2i$ ក្នុងសមីការ ៖\n$$(-1-2i)^{2}+a(-1-2i)+b=0$$\n$$(-3+4i)+a(-1-2i)+b=0$$\n$$(-3-a+b)+(4-2a)i=0$$\nចំនួនកុំផ្លិចស្មើសូន្យ លុះត្រាតែផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដោយដឹងថា $-1-3i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+az+b=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-1-3i$ ក្នុងសមីការ ៖\n$$(-1-3i)^{2}+a(-1-3i)+b=0$$\n$$(-8+6i)+a(-1-3i)+b=0$$\n$$(-8-a+b)+(6-3a)i=0$$\nចំនួនកុំផ្លិចស្មើសូន្យ លុះត្រាតែផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=11+3i$ និង $z_2=3-i$ ។\n១. គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. គេបាន ៖\n$$z_1-z_2=(11+3i)-(3-i)=8+4i$$\n$$z_... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}-10z+50=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=-10$ , $c=50$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-10)^{2}-4\\times 1\\times 50=-100=(10i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំផ្លិចពីរឆ្លាស់គ្នា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $A=-2i^{305}-i^{336}+2i^{262}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនីមួយៗនឹង $4$ ៖\n$305=4\\times 76+1$ នាំឱ្យ $i^{305}=i$\n$336=4\\times 84+0$ នាំឱ្យ $i^{336}=1$\n$262=4\\times 65+2$ នាំឱ្យ $i^{262}=-1$\nយើងបាន ៖\n$$A=-2(i)-1+2(-1)=-3-2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m^{2}+2m-8)+(m^{2}-4m)i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត រួចរកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តរបស់វាស្មើសូន្យ ៖\n$$m^{2}-4m=0$$\nសមីការដឺក្រេទ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}-4z+8=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=-4$ , $c=8$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\\times 1\\times 8=-16=(4i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំផ្លិចពីរឆ្លាស់គ្នា ៖\n$$z_1=\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=\\frac{-3+6i}{1-i}$ ជាទម្រង់ $a+bi$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $1+i$ ។ យើងគុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$\\frac{-3+6i}{1-i}=\\frac{(-3+6i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\\frac{-9+3i}{1+1}=\\frac{-9+3i}{2}=-\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z\\bar{z}+2(z-\\bar{z})=29+20i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ យើងមាន $z\\bar{z}=x^2+y^2$ និង $z-\\bar{z}=2iy$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$x^{2}+y^{2}+4yi=29+20i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\b... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z=(-2+3i)(3-i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិតដោយពន្លាតផលគុណ ដោយប្រើ $i^2=-1$ ៖\n$$z=-6+2i+9i-3i^{2}=-6+11i+3=-3+11i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{-3}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{11}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z\\bar{z}+2(z-\\bar{z})=50-20i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ យើងមាន $z\\bar{z}=x^2+y^2$ និង $z-\\bar{z}=2iy$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$x^{2}+y^{2}+4yi=50-20i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្ន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $z+|z|=8+4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ ផ្នែកនិមិត្តនៃអង្គទាំងពីរស្មើគ្នា ព្រោះ $|z|$ ជាចំនួនពិត ដូច្នេះ $y=4$ ។\nផ្នែកពិតផ្តល់ ៖\n$$x+\\sqrt{x^{2}+16}=8$$\n$$\\sqrt{x^{2}+16}=8-x$$\nដោយលើកការេអង្គទាំងពីរ (លក្ខខណ្ឌ $x\\le ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយមិនពន្លាត គណនា $\\left|(-5+3i)(-2+5i)\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $|z_1\\times z_2|=|z_1|\\times|z_2|$ យើងបាន ៖\n$$|-5+3i|=\\sqrt{34}\\quad,\\quad|-2+5i|=\\sqrt{29}$$\n$$\\sqrt{34}\\times\\sqrt{29}=\\sqrt{986}$$\nដូចនេះ ម៉ូឌុលនៃផលគុណស... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=2+4i$ និង $z_2=-1-i$ ។ គណនា $\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $z_1+z_2=1+3i$ និង $z_1-z_2=3+5i$ ។\n$$\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=\\frac{1+3i}{3+5i}=\\frac{(1+3i)(3-5i)}{(3+5i)(3-5i)}=\\frac{18+4i}{9+25}=\\frac{1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-(4+5i)z-3+11i=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(4+5i)^{2}-4(-3+11i)=(-9+40i)-(-12+44i)=3-4i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=3-4i$ ។\nតាង $\\delta=x... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $-\\frac{15}{4}+2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $\\delta^2=-\\frac{15}{4}+2i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=-\\frac{15}{4}+2i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=-\\frac{15}{4}+2i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា ន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរជាទម្រង់សាមញ្ញ $i^{19}$ , $i^{440}$ និង $i^{2332}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ស្វ័យគុណនៃ $i$ មានតម្លៃដដែលៗគឺ $i,-1,-i,1$ ។\n$$i^{19}=i^{4\\times 4+3}=\\left(i^{4}\\right)^{4}\\times i^{3}=i^{3}=-i$$\n$$i^{440}=i^{4\\times 110+0}=\\left(i^{4}\\right)^{110}\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+(6+9i)z-9+27i=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\Delta=(-6-9i)^{2}-4(-9+27i)=(-45+108i)-(-36+108i)=-9$$\nដោយ $\\Delta=-9=3i^{2}$ ដែលជាការេប្រាកដ យើងបាន ៖\n$$z_1=\\frac{(-6-9i)+3i}{2}=-3-3i\\quad,\\quad z_2=\\frac{(-6... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $j=-\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។\nក. គណនា $j^2$ រួចបង្ហាញថា $j^2=\\bar{j}$ ។\nខ. បង្ហាញថា $1+j+j^2=0$ ។\nគ. បង្ហាញថា $j^3=1$ ។\nឃ. ទាញរកតម្លៃនៃ $j^{2026}+j^{2027}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ពន្លាតការេ ៖\n$$j^{2}=\\frac{1}{4}-2\\t... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-10z+34=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=-10$ , $c=34$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-10)^{2}-4\\times 1\\times 34=-36=(6i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការម... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x-3i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $\\bar{z}$ ៖\n$$\\frac{1}{z}=\\frac{\\bar{z}}{z\\bar{z}}=\\frac{x+3i}{x^{2}+9}$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតគឺ $\\boxed{\\frac{x}{x^{2}+9}}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n$ គេបាន $i^{4n+1}+i^{4n+2}=-1+i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $i^{4n}=\\left(i^{4}\\right)^{n}=1^n=1$ ។ ដូច្នេះ ៖\n$$i^{4n+1}=i^{4n}\\times i^{1}=i$$\n$$i^{4n+2}=i^{4n}\\times i^{2}=-1$$\nបូកលទ្ធផលទាំងពីរ ៖\n$$i^{4n+1}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-5+2i$ និង $z_2=-4-i$ ។ គណនា $\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $z_1+z_2=-9+i$ និង $z_1-z_2=-1+3i$ ។\n$$\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=\\frac{-9+i}{-1+3i}=\\frac{(-9+i)(-1-3i)}{(-1+3i)(-1-3i)}=\\frac{12+26i}{1+9}=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $(x+iy)(-2+2i)=12i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(x+iy)(-2+2i)=(-2x-2y)+(2x-2y)i$$\nចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$\\begin{cases}-2x-2y=0\\\\2x-2y=12\\end... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^2-2mz+m^2+4=0$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។\n១. ដោះស្រាយសមីការនេះក្នុង $\\mathbb{C}$ ជាអនុគមន៍នៃ $m$ ។\n២. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា ឫសទាំងពីរជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់គ្នា ។\n៣. រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យឫសនីមួយៗមានម៉ូឌុលស្មើនឹង $\\sqrt{13}$ ។\n៤. ចំពោះ $m>0$ ដែលរកបាន សរសេរ $z_1^2$ ជាទម្រង់ពី... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលគុណខាងក្រោម ៖ $(4-6i)(4-3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគុណតួនីមួយៗនៃវង់ក្រចកទីមួយនឹងវង់ក្រចកទីពីរ ៖\n$$(4-6i)(4-3i)=16-12i-24i+18i^{2}=16-36i-18=-2-36i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{-2-36i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(m^{2}+m)+(m^{2}-m-6)i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត រួចរកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តរបស់វាស្មើសូន្យ ៖\n$$m^{2}-m-6=0$$\nដោះស្រាយសមីការ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(1+2i)z=-1+13i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $1+2i$ ៖\n$$z=\\frac{-1+13i}{1+2i}=\\frac{(-1+13i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\\frac{25+15i}{1+4}=\\frac{25+15i}{5}=5+3i$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z=5+3i}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=\\frac{1-i}{1+i}$ ។ គណនា $w$ រួចទាញរក $w^{106}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1-i}{1+i}=\\frac{(1-i)^{2}}{(1-i)(1+i)}=\\frac{-2i}{2}=-i$$\nដោយ $106=4\\times 26+2$ យើងបាន ៖\n$$(-i)^{106}=(-1)^{106}i^{106}=-1$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{-1}$ ។"
}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ ដែល $|x-(3+2i)|=|x+2+3i|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរភាពស្មើគ្នានៃការេម៉ូឌុល ៖\n$$(x-3)^{2}+4=(x+2)^{2}+9$$\nពន្លាត ហើយលុបតួ $x^2$ ៖\n$$-6x+13=4x+13$$\n$$-10x=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{x=0}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+4z+20=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរជារាងកាណូនិក ៖\n$$z^{2}+4z+20=0\\Leftrightarrow (z+2)^{2}+16=0$$\n$$(z+2)^{2}=-16=16i^{2}$$\n$z+2=4i$ ឬ $ z+2=-4i$\nដូចនេះ សំណុំឫសគឺ $\\boxed{\\left\\{-2+4i\\,;\\,-2-4i\\r... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_A=-i$ , $z_B=-3+3i$ និង $z_C=-4+2i$ ។\n១. សង់ចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ។\n២. គណនាប្រវែង $AB$ , $AC$ និង $BC$ ។\n៣. តើត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណប្រភេទអ្វី ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ចំណុចទាំងបីគឺ $A(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $\\left|\\frac{-3-4i}{3+4i}\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|=\\frac{|z_1|}{|z_2|}$ យើងគណនាម៉ូឌុលនៃភាគយក និងភាគបែងដោយឡែក ៖\n$$|-3-4i|=5\\quad,\\quad|3+4i|=5$$\n$$\\left|\\frac{-3-4i}{3+4i}\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-7-6i$ និង $z_2=2+i$ ។\n១. គណនា $3z_1-z_2$ ។\n២. សរសេរ $Z=\\frac{z_1+z_2}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $Z=\\frac{z_1}{z_2}+1$ ។\n៤. រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $Z^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. យើងបាន ៖\n$$3z_1-z_2=(-21-1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1-i$ និង $z_2=1-2i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{z_1}+\\frac{1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{1}{1-i}=\\frac{1+i}{2}=\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}i$$\n$$\\frac{1}{1-2i}=\\frac{1+2i}{5}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរដែលមានឫស $z_1=2-i$ និង $z_2=3+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាផលបូក និងផលគុណនៃឫស ៖\n$$z_1+z_2=5+2i$$\n$$z_1z_2=(2-i)(3+3i)=6+6i-3i-3i^{2}=6+3i+3=9+3i$$\nសមីការមានរាង $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z^{2}-(5+2i)z+9+3i=0}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $(x+iy)(-4-2i)=-8-24i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $-4-2i$ ៖\n$$x+iy=\\frac{-8-24i}{-4-2i}=\\frac{(-8-24i)(-4+2i)}{(-4-2i)(-4+2i)}=\\frac{80+80i}{16+4}=\\frac{80+80i}{20}=4+4i$$\nយើងប្រៀបធៀបផ្នែកពិតនឹងផ្នែកពិ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $4z-\\bar{z}=-15-5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}=x-iy$ ។ ជំនួសចូលសមីការ ៖\n$$4(x+iy)-(x-iy)=-15-5i$$\n$$3x+5yi=-15-5i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-1+i$ និង $z_2=2i$ ។\n១. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. បូកផ្នែកពិត... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(1+3i)z+2-3i=(2+i)z-3-18i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ទៅអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$\\left[(1+3i)-(2+i)\\right]z=(-3-18i)-(2-3i)$$\n$$(-1+2i)z=-5-15i$$\n$$z=\\frac{-5-15i}{-1+2i}=\\frac{(-5-15i)(-1-2i)}{(-1+2i)(-1-2... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.