conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $\\frac{1}{3-i}+\\frac{1}{2+i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{1}{3-i}=\\frac{3+i}{10}=\\frac{3}{10}+\\frac{1}{10}i$$\n$$\\frac{1}{2+i}=\\frac{2-i}{5}=\\frac{2}{5}-\\frac{1}{5}i$$\nបូកផ្នែកពិតនឹងផ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+5z^{2}+23z+51$ ។\nក- គណនា $P(-3)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z+3)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $-3$ , $-1+4i$ និង $-1-4... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=7-i$ និង $z_2=3+i$ ។\nក- រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\nខ- គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\nគ- បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z+3\\bar{z}=8+8i$ ។\nb. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nc. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(1-i)z-4+i=(-1+3i)z+(24-5i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ទៅអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$\\left[(1-i)-(-1+3i)\\right]z=(24-5i)-(-4+i)$$\n$$(2-4i)z=28-6i$$\n$$z=\\frac{28-6i}{2-4i}=\\frac{(28-6i)(2+4i)}{(2-4i)(2+4i)}=\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n$ គេបាន $i^{4n+2}+i^{4n+3}=-1-i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $i^{4n}=\\left(i^{4}\\right)^{n}=1^n=1$ ។ ដូច្នេះ ៖\n$$i^{4n+2}=i^{4n}\\times i^{2}=-1$$\n$$i^{4n+3}=i^{4n}\\times i^{3}=-i$$\nបូកលទ្ធផលទាំងពីរ ៖\n$$i^{4n+2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z=(5+5i)(1-3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាផលគុណជាមុន ៖\n$$(5+5i)(1-3i)=5-15i+5i-15i^{2}=5-10i+15=20-10i$$\nរួចប្តូរសញ្ញាផ្នែកនិមិត្ត ៖ ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់គឺ $20+10i$ ។\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{20+10i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-1+i\\sqrt{3}$ និង $z_2=\\sqrt{3}-i$ ។\na. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។\nd. គណនា $\\overline{z_1}\\times z_2$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{3}-(1+2i)z^{2}-(2-3i)z+2+i=0$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះមានឫសជាចំនួននិមិត្តមួយ រួចរកឫសនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=iy$ ដែល $y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫស ។ ជំនួសចូលសមីការ ហើយបំបែកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$(y^{2}-3y+2)-(y^{3}-2y^{2}+2y-1)i=0$$\nនា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(-4+2i)i^{177}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $177=4\\times 44+1$ នោះ $i^{177}=i$ ។\n$$z=(-4+2i)\\times(i)=-2-4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=-2-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សរសេរ $Z=2z-i\\bar{z}$ ជាទម្រង់ $A+iB$ ដែល $A,B$ ជាកន្សោមនៃ $x$ និង $y$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=x-iy$ យើងបាន ៖\n$$Z=2(x+iy)-i(x-iy)$$\n$$Z=2x+2iy-ix-y$$\nប្រមូលផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$Z=(2x-y)+i(-x+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $(-6+5i)(-6-5i)$ ជាចំនួនពិត រួចគណនាតម្លៃរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2$ ។\nដោយ $a=6$ និង $b=5$ យើងបាន ៖\n$$(-6+5i)(-6-5i)=6^{2}+5^{2}=36+25=61$$\nដូចនេះ ផលគុណជាចំនួនពិតស្មើនឹង $\\boxed{61}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x-2i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $x$ ដើម្បីឱ្យ $z^2+3z$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$z^{2}+3z=x^{2}-4-4xi+3x-6i$$\nផ្នែកនិមិត្តគឺ $-4x-6$ ។ កន្សោមជាចំនួនពិត លុះត្រាតែ ៖\n$$-4x-6=0\\Leftrightarrow x=-\\frac{3}{2}$$\nដូចនេះ $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z=(5-i)(-4-3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាផលគុណជាមុន ៖\n$$(5-i)(-4-3i)=-20-15i+4i+3i^{2}=-20-11i-3=-23-11i$$\nរួចប្តូរសញ្ញាផ្នែកនិមិត្ត ៖ ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់គឺ $-23+11i$ ។\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{-23+11i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-4z^{2}+z-4$ ។\n១. គណនា $P(4)$ ។\n២. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z-4)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\n៤. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $4$ , $i$ និង $-i$ ។ គណនា $A... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1+i\\sqrt{3}$ និង $z_2=\\sqrt{6}+i\\sqrt{2}$ ។\n១. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលគុណនៃ $z=-5+2i$ និងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់របស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2$ ។\nដោយ $a=5$ និង $b=2$ យើងបាន ៖\n$$(-5+2i)(-5-2i)=5^{2}+2^{2}=25+4=29$$\nដូចនេះ ផលគុណជាចំនួនពិតស្មើនឹង $\\boxed{29}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}+(6+5i)z+4+18i=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-6-5i)^{2}-4(4+18i)=(11+60i)-(16+72i)=-5-12i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=-5-12i$ ។\nយក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{m+i}{2-i}$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត ។ រួចគណនា $z$ ចំពោះតម្លៃនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2+i$ ៖\n$$z=\\frac{(m+i)(2+i)}{5}=\\frac{2m-1}{5}+\\frac{m+2}{5}i$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $|z|=13$ និងផ្នែកពិតនៃ $z$ ស្មើនឹង $5$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=5+iy$ ដែល $y\\in\\mathbb{R}$ ។\n$$|z|=\\sqrt{25+y^{2}}=13\\Rightarrow y^{2}=144\\Rightarrow y=\\pm 12$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=5+12i}$ ឬ $\\boxed{z=5-12i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-4z+5=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nb. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nc. ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើ គណនា $z_1^2+z_2^2$ និង $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. យើងមាន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{m-2i}{2+i}$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត ។ រួចគណនា $z$ ចំពោះតម្លៃនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2-i$ ៖\n$$z=\\frac{(m-2i)(2-i)}{5}=\\frac{2m-2}{5}+\\frac{-m-4}{5}i$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត្ត... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_A=-3+2i$ , $z_B=-3-3i$ និង $z_C=-2+2i$ ។\nក. សង់ចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ។\nខ. គណនាប្រវែង $AB$ , $AC$ និង $BC$ ។\nគ. តើត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណប្រភេទអ្វី ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ចំណុចទាំងបីគឺ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+(1-2i)z-4+20i=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-1+2i)^{2}-4(-4+20i)=(-3-4i)-(-16+80i)=13-84i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=13-84i$ ។\nតាង $\\del... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរជាទម្រង់សាមញ្ញ $i^{35}$ , $i^{448}$ និង $i^{1807}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងដឹងថា $i^4=1$ ដូច្នេះចែកនិទស្សន្តនឹង $4$ ហើយយកសំណល់ ។\n$$i^{35}=i^{4\\times 8+3}=\\left(i^{4}\\right)^{8}\\times i^{3}=i^{3}=-i$$\n$$i^{448}=i^{4\\times 112+0}=\\left(i^{4}\\r... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុលនៃ $z=-4+i\\sqrt{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{(-4)^{2}+\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{16+3}=\\sqrt{19}$$\nដូចនេះ $\\boxed{|z|=\\sqrt{19}}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq 2i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z-(3-3i)}{z-2i}$ ។\na. គណនា $f(4+i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nb. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=1-i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $f(4+i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. ភាគយកគឺ $(4+i)-(3-3i)=1+4i$ ហើយភាគបែងគឺ $(4+i)-2i=4-i$ ។\n$$f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $2z^{2}+8=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=0^{2}-4\\times 2\\times 8=-64=(8i)^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_1=\\frac{0+8i}{4}=2i\\quad,\\quad z_2=\\frac{0-8i}{4}=-2i$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z_1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $iz+2\\bar{z}=-7-8i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y$ ជាចំនួនពិត ។ ពន្លាតអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$i(x+iy)+2(x-iy)=(2x-y)+(x-2y)i$$\nយើងបានប្រព័ន្ធសមីការ ៖\n$$\\begin{cases}2x-y=-7\\\\x-2y=-8\\end{cases}$$\nដោះស្រាយប្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $Z$ ដែល $Z^2=5-12i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $Z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $5-12i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=5-12i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=5-12i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\begin{cases}x^{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើ $-3-i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+2z-2-4i=0$ ឬទេ ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-3-i$ ៖\n$$(-3-i)^{2}+(2)(-3-i)-2-4i=(8+6i)-(6+2i)-2-4i=0$$\nដូចនេះ $-3-i$ ជាឫសនៃសមីការ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរដែលមានឫស $z_1=-3-3i$ និង $z_2=3+2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាផលបូក និងផលគុណនៃឫស ៖\n$$z_1+z_2=-i$$\n$$z_1z_2=(-3-3i)(3+2i)=-9-6i-9i-6i^{2}=-9-15i+6=-3-15i$$\nសមីការមានរាង $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z^{2}+iz-3-15i=0}$ ។"... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយគណនា $(1+i)^{2}$ សរសេរ $(1+i)^{8}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i$$\nដូច្នេះ ៖\n$$(1+i)^{8}=\\left[(1+i)^{2}\\right]^{4}=(2i)^{4}=2^{4}i^{4}$$\nដោយ $i^{4}=1$ និង $2^{4}=16$ យើងបាន $(1+i)^{8}=16$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{(1+i)^... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $(3+i)^{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តការេនៃទ្វេធា ៖\n$$(3+i)^{2}=9+6i+i^{2}=8+6i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(3+i)^{2}=8+6i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-2-4i$ និង $z_2=-4-5i$ ។ គណនា $\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $z_1+z_2=-6-9i$ និង $z_1-z_2=2+i$ ។\n$$\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=\\frac{-6-9i}{2+i}=\\frac{(-6-9i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\\frac{-21-12i}{4+1}=\\frac{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=1-i$ និង $B=2-2i$ ។\nក- គណនា $A+B$ និង $A\\times B$ ។\nខ- សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- បូកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តរៀងគ្នា ៖\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-2z+10=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ. សរសេរ $z_1^2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រក $|z_1|$ រួចបង្ហាញថា $z_1\\times z_2=|z_1|^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកនៃចំនួនកុំផ្លិច ៖ $\\frac{-13+11i}{3-i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\n$$\\frac{-13+11i}{3-i}=\\frac{(-13+11i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\\frac{-50+20i}{9+1}=\\frac{-50+20i}{10}=-5+2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $z^2=-3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^2=-1$ យើងអាចសរសេរ ៖\n$$z^{2}=-3\\Leftrightarrow z^{2}=3i^{2}\\Leftrightarrow z^{2}-(i\\sqrt{3})^{2}=0$$\nដាក់ជាកត្តា ៖\n$$(z-i\\sqrt{3})(z+i\\sqrt{3})=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=i\\sqrt{3}}$ ឬ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $\\delta$ ដែល $\\delta^2=-15-8i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $\\delta^2=-15-8i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=-15-8i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=-15-8i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}+z^{2}+az+b$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។ រក $a$ និង $b$ ដោយដឹងថា $P(3i)=0$ រួចរកឫសទាំងអស់នៃ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនា $(3i)^{2}=-9$ និង $(3i)^{3}=-27i$ ។\nជំនួសចូល $P$ ៖\n$$(-27i)+1(-9)+a3i+b=0$$\n$$(-9+b)-(27-3a)i=0$$\nផ្នែកពិ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(m^{2}+4m-5)+(m^{2}+2m-8)i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត រួចរកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តរបស់វាស្មើសូន្យ ៖\n$$m^{2}+2m-8=0$$\nសមីការដឺក... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរមានមេគុណពិត ដែលមានឫសមួយគឺ $6+i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ឫសមួយទៀតគឺចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ $z_2=6-i$ ។\n$$z_1+z_2=12\\quad,\\quad z_1z_2=36+1=37$$\nសមីការគឺ $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ សមីការដែលរកបានគឺ $\\boxed{z^{2}-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-2+16i$ និង $z_2=2-3i$ ។\nក. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\nខ. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\nគ. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}-6z+13=0$ ។ ដោយមិនដោះស្រាយសមីការ គណនា $z_1^2+z_2^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=6\\quad,\\quad z_1z_2=13$$\n$$z_1^{2}+z_2^{2}=(z_1+z_2)^{2}-2z_1z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{m-2i}{1+i}$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត ។ រួចគណនា $z$ ចំពោះតម្លៃនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1-i$ ៖\n$$z=\\frac{(m-2i)(1-i)}{2}=\\frac{m-2}{2}+\\frac{-m-2}{2}i$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត្ត ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{-4+2i\\sqrt{5}}{1+i\\sqrt{5}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1-i\\sqrt{5}$ ។ ភាគបែងក្លាយជា $1+5=6$ ។\n$$\\frac{-4+2i\\sqrt{5}}{1+i\\sqrt{5}}=\\frac{(-4+2i\\sqrt{5})(1-i\\sqrt{5})}{6}=\\frac{6+6i\\sqrt{5}}{6}=1+i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $P(z)=z^{2}+4z+1$ ចំពោះ $z=3-2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $(3-2i)^{2}=5-12i$ ។\nជំនួសចូល ៖\n$$P(3-2i)=(5-12i)+4(3-2i)+1=18-20i$$\nដូចនេះ $\\boxed{P(3-2i)=18-20i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើ $-3+i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+(6-i)z+11-3i=0$ ឬទេ ? ពន្យល់ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-3+i$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង យើងបានតម្លៃ ៖\n$$(-3+i)^{2}+(6-i)(-3+i)+(11-3i)=2$$\nតម្លៃនេះខុសពីសូន្យ ។\nដូចនេះ $-3+i$ មិនមែនជាឫសនៃសមីការទេ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{4}-8z^{3}+37z^{2}-84z+104$ ។ បង្ហាញថា $P(2+3i)=0$ ។ ដាក់ $P(z)$ ជាផលគុណនៃពហុធាដឺក្រេទីពីរមានមេគុណពិតពីរ រួចដោះស្រាយ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត $2-3i$ ក៏ជាឫសដែរ ។ ដូច្នេះ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-(2+3i))(z-(2-3i))=z^{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $3z+2\\bar{z}=15-5i$ ។\n២. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\n៣. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៤. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z=(2+i)(-5+3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\overline{z_1\\times z_2}=\\overline{z_1}\\times\\overline{z_2}$ យើងអាចយកចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃកត្តានីមួយៗមុន ៖\n$$\\overline{(2+i)(-5+3i)}=(2-i)(-5-3i)=-10-6i+5i+3i^{2}=-10-i-3=-13-i$$\nដ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សម្រួលកន្សោម $\\frac{1}{1+i}+\\frac{1}{1-i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ធ្វើឱ្យមានភាគបែងរួម ។ ភាគបែងរួមគឺ $(1+i)(1-i)=2$ ៖\n$$\\frac{1}{1+i}+\\frac{1}{1-i}=\\frac{(1-i)+(1+i)}{2}=\\frac{2}{2}=1$$\nដូចនេះ កន្សោមស្មើនឹង $\\boxed{1}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $k$ ដែល $|(k+2i)(1-i)|=2\\sqrt{10}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមលក្ខណៈម៉ូឌុល ៖\n$$|(k+2i)(1-i)|=|k+2i|\\times|1-i|=\\sqrt{k^{2}+4}\\times\\sqrt{2}$$\nដូច្នេះ $\\sqrt{2\\left(k^2+4\\right)}=2\\sqrt{10}$ ។ លើកការេ ៖\n$$2(k^{2}+4)=40\\Leftrightarrow k... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z_1$ , $z_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}+9=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។ ដោយមិនដោះស្រាយសមីការ គណនា $z_1^2+z_2^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=0\\quad,\\quad z_1z_2=9$$\n$$z_1^{2}+z_2^{2}=(z_1+z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកនៃចំនួនកុំផ្លិច ៖ $\\frac{2+5i}{2+2i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងលុប $i$ ពីភាគបែង ដោយគុណនឹង $i$ ទាំងភាគយក និងភាគបែង ៖\n$$\\frac{2+5i}{2+2i}=\\frac{(2+5i)i}{2+2i\\times i}=\\frac{-5+2i}{-2+2i}=\\frac{7}{4}+\\frac{3}{4}i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{2+5... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រក $|z_1|$ និង $|z_2|$ ដោយដឹងថា $z_1=3-4i$ ហើយ $z_2=-7+6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=a+bi$ គេមាន $|z|=r=\\sqrt{a^2+b^2}$ ។\n$$|z_1|=r_1=\\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\\sqrt{25}=5$$\n$$|z_2|=r_2=\\sqrt{(-7)^{2}+6^{2}}=\\sqrt{85}$$\nដូចនេះ ម៉ូឌុលនៃ $z_1$ គឺ $\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $(1+i)^{2}$ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $(1+i)^{4}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i$$\nដូច្នេះ ៖\n$$(1+i)^{4}=\\left[(1+i)^{2}\\right]^{2}=(2i)^{2}=2^{2}i^{2}$$\nដោយ $i^{2}=-1$ និង $2^{2}=4$ យើងបាន $(1+i)^{4}=-4$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{(1+i)^{4}=-4}$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=5-5i$ និង $z_2=2-i$ ។\nក. គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\nខ. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គេបាន ៖\n$$z_1-z_2=(5-5i)-(2-i)=3-4i$$\n$$z_1\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ ដែល $|x-(2-2i)|=|x-(1-i)|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរភាពស្មើគ្នានៃការេម៉ូឌុល ៖\n$$(x-2)^{2}+4=(x-1)^{2}+1$$\nពន្លាត ហើយលុបតួ $x^2$ ៖\n$$-4x+8=-2x+2$$\n$$-2x=-6$$\nដូចនេះ $\\boxed{x=3}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=2-2i$ និង $B=\\sqrt{6}+i\\sqrt{2}$ ។\na. គណនា $A+B$ និង $A\\times B$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. បូកផ្នែកពិត និងផ្នែកន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $(-2x-2y)+(x+3y)i=-2-i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងប្រៀបធៀបផ្នែកពិតនឹងផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនឹងផ្នែកនិមិត្ត ។\nគេបានប្រព័ន្ធសមីការ ៖\n$$\\begin{cases}-2x-2y=-2\\\\x+3y=-1\\end{cases}$$\nដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ យើងបាន $x=2$ ន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលគុណនៃ $z=4-6i$ និងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់របស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2$ ។\nដោយ $a=4$ និង $b=6$ យើងបាន ៖\n$$(4-6i)(4+6i)=4^{2}+6^{2}=16+36=52$$\nដូចនេះ ផលគុណជាចំនួនពិតស្មើនឹង $\\boxed{52}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $x(-4-i)+y(-2+3i)=6-2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តដោយឡែក ៖\n$$(-4x-2y)-(x-3y)i=6-2i$$\nយើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ លុះត្រាតែ $a=c$ និង $b=d$ ។\n$$\\begin{cases}-4x-2y=6\\\\-x+3y=-2\\end{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}+3z^{2}+az+b$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។ រក $a$ និង $b$ ដោយដឹងថា $P(2i)=0$ រួចរកឫសទាំងអស់នៃ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនា $(2i)^{2}=-4$ និង $(2i)^{3}=-8i$ ។\nជំនួសចូល $P$ ៖\n$$(-8i)+3(-4)+a2i+b=0$$\n$$(-12+b)-(8-2a)i=0$$\nផ្នែកពិត... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $3z+\\bar{z}=12+2i$ ។\nខ. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nគ. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nឃ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+(1-3i)z-4-3i=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-1+3i)^{2}-4(-4-3i)=(-8-6i)-(-16-12i)=8+6i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=8+6i$ ។\nតាង $\\delta=x+i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកខាងក្រោម ៖ $\\frac{6-7i}{-i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងលុប $i$ ពីភាគបែង ដោយគុណនឹង $i$ ទាំងភាគយក និងភាគបែង ៖\n$$\\frac{6-7i}{-i}=\\frac{(6-7i)i}{-i\\times i}=7+6i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{6-7i}{-i}=7+6i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សរសេរ $Z=5z+2i\\bar{z}$ ជាទម្រង់ $A+iB$ ដែល $A,B$ ជាកន្សោមនៃ $x$ និង $y$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=x-iy$ យើងបាន ៖\n$$Z=5(x+iy)+2i(x-iy)$$\n$$Z=5x+5iy+2ix+2y$$\nប្រមូលផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$Z=(5x+2y)+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x-i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $x$ ដើម្បីឱ្យ $z^2+2z$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$z^{2}+2z=x^{2}-1-2xi+2x-2i$$\nផ្នែកនិមិត្តគឺ $-2x-2$ ។ កន្សោមជាចំនួនពិត លុះត្រាតែ ៖\n$$-2x-2=0\\Leftrightarrow x=-1$$\nដូចនេះ $\\boxed{x=-1}$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $i^{8}$ , $i^{579}$ និង $i^{1273}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ស្វ័យគុណនៃ $i$ មានតម្លៃដដែលៗគឺ $i,-1,-i,1$ ។\n$$i^{8}=i^{4\\times 2+0}=\\left(i^{4}\\right)^{2}\\times i^{0}=i^{0}=1$$\n$$i^{579}=i^{4\\times 144+3}=\\left(i^{4}\\right)^{144}\\t... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកម៉ូឌុលនៃផលចែក $z=\\frac{-12-5i}{-8+6i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|=\\frac{|z_1|}{|z_2|}$ យើងគណនាម៉ូឌុលនៃភាគយក និងភាគបែងដោយឡែក ៖\n$$|-12-5i|=13\\quad,\\quad|-8+6i|=10$$\n$$\\left|\\frac{-12-5i}{-8+6i}\\right|=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1=-13-9i$ និង $z_2=1+3i$ ។ គណនា $\\overline{\\left(\\frac{z_1}{z_2}\\right)}$ រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាវាស្មើនឹង $\\frac{\\overline{z_1}}{\\overline{z_2}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង ៖\n$$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{-13-9i}{1+3i}=\\frac{(-13-9i)(1-3i)}{(1+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=\\frac{1+i}{1-i}$ ។ គណនា $w$ រួចទាញរក $w^{16}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1+i}{1-i}=\\frac{(1+i)^{2}}{(1+i)(1-i)}=\\frac{2i}{2}=i$$\nដោយ $16=4\\times 4+0$ យើងបាន ៖\n$$i^{16}=1$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{1}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1+i$ និង $z_2=\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ ។\na. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value"... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ $z+\\bar{z}=10$ និង $z\\bar{z}=41$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $y>0$ ។ យើងមាន $z+\\bar{z}=2x$ និង $z\\bar{z}=x^2+y^2$ ។\n$$2x=10\\Rightarrow x=5$$\n$$x^{2}+y^{2}=41\\Rightarrow y^{2}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-28-4i$ និង $z_2=4-3i$ ។ គណនា $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $4+3i$ ។ យើងគុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{-28-4i}{4-3i}=\\frac{(-28-4i)(4+3i)}{(4-3i)(4+3i)}=\\frac{-100-100... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=9+2i$ និង $z_2=1-2i$ ។\n១. គណនា $3z_1-z_2$ ។\n២. សរសេរ $Z=\\frac{z_1+z_2}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $Z=\\frac{z_1}{z_2}+1$ ។\n៤. រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $Z^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. យើងបាន ៖\n$$3z_1-z_2=(27+6i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-5iz-22+4i=0$ ។\n១. គណនា $(8-i)^{2}$ ។\n២. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\n៤. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ពន្លាតការេ ៖\n$$(8-i)^{2}=64-16i+i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{1+i}{1-i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចគណនា $\\left(\\frac{1+i}{1-i}\\right)^{74}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1+i}{1-i}=\\frac{(1+i)^{2}}{(1+i)(1-i)}=\\frac{2i}{2}=i$$\nដោយ $74=4\\times 18+2$ យើងបាន ៖\n$$i^{74}=-1$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{-1}$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z\\bar{z}+2(z-\\bar{z})=26+20i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ យើងមាន $z\\bar{z}=x^2+y^2$ និង $z-\\bar{z}=2iy$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$x^{2}+y^{2}+4yi=26+20i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\be... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=-3+i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}+4z^{2}-2z-20=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=8-6i$ និង $z_0^3=-18+26i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(-18+26i)+4(8-6i)-2(-3+i)-20=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=-3+i}$ ជាឫសនៃសមីការនេះ ។"
}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z=5(3-i)+3(1-i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងបូកផ្នែកពិតជាមួយផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តជាមួយផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$z=15-5i+(3-3i)=18-8i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{18}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{-8}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-20+4i$ និង $z_2=3+2i$ ។\na. គណនា $3z_1-z_2$ ។\nb. សរសេរ $Z=\\frac{z_1+z_2}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $Z=\\frac{z_1}{z_2}+1$ ។\nd. រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $Z^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. យើងបាន ៖\n$$3z_1-z_2=(-60... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x-i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $w=z^2+2z$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$z^{2}=x^{2}-2xi-1$$\n$$w=(x^{2}+2x-1)-(2x+2)i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតគឺ $\\boxed{x^{2}+2x-1}$ ហើយផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{-2x-2}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z=4i(-3+5i)+(4-5i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាម $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$z=-12i+20i^{2}+4-5i=-12i-20+4-5i=-16-17i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{-16}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{-17}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $(1-3i)^{3}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេជាមុនសិន ៖\n$$(1-3i)^{2}=1-6i+9i^{2}=-8-6i$$\nគុណនឹងកត្តាដើមម្តងទៀត ៖\n$$(1-3i)^{3}=(-8-6i)(1-3i)=-8+24i-6i+18i^{2}=-8+18i-18=-26+18i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(1-3i)^{3}=-26+18i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(-1-2i)(2+2i)(-2-i)$ ជាទម្រង់ $a+bi$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណកត្តាពីរដំបូងជាមុនសិន ៖\n$$(-1-2i)(2+2i)=-2-2i-4i-4i^{2}=-2-6i+4=2-6i$$\nរួចគុណលទ្ធផលនឹងកត្តាទីបី ៖\n$$(2-6i)(-2-i)=-4-2i+12i+6i^{2}=-4+10i-6=-10+10i$$\nដូចនេះ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=(1+5i)(1-3i)$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចបញ្ជាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគុណតួនីមួយៗ ដោយប្រើ $i^2=-1$ ៖\n$$z=1-3i+5i-15i^{2}=1+2i+15=16+2i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{16}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{2}$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+6z+18=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ. គេឱ្យ $w=z_1+3i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{w}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាឌីសគ្រីមីណង... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{4}+4z^{3}+9z^{2}+4z+8$ ។ បង្ហាញថា $P(i)=0$ ។ ដាក់ $P(z)$ ជាផលគុណនៃពហុធាដឺក្រេទីពីរមានមេគុណពិតពីរ រួចដោះស្រាយ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត $-i$ ក៏ជាឫសដែរ ។ ដូច្នេះ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-i)(z+i)=z^{2}+1$$\nធ្វើវិធីចែកព... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $\\left(\\frac{2-5i}{5+2i}\\right)^{40}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសម្រួលផលចែកជាមុន ៖\n$$\\frac{2-5i}{5+2i}=\\frac{(2-5i)(5-2i)}{(5+2i)(5-2i)}=\\frac{-29i}{25+4}=\\frac{-29i}{29}=-i$$\nដោយ $40=4\\times 10+0$ យើងបាន ៖\n$$(-i)^{40}=1$$\nដូចន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=\\sqrt{3}-i$ និង $B=2-2i$ ។\na. គណនា $A+B$ និង $A\\times B$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។\nd. គណនា $\\overline{A}\\times B$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value"... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-7z^{2}+20z-24$ ។ ដោយដឹងថា $z_0=2+2i$ ជាឫសនៃ $P(z)=0$ ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ហើយ $2+2i$ ជាឫស នោះ $2-2i$ ក៏ជាឫសដែរ ។\nពហុធាចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-(2+2i))(z-(2-2i))=z^{2}-4z+8$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=2-2i$ និង $z_2=1+i$ ។\nក. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nខ. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. បូកផ្នែកពិ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}-8z+65=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរជារាងកាណូនិក ៖\n$$z^{2}-8z+65=0\\Leftrightarrow (z-4)^{2}+49=0$$\n$$(z-4)^{2}=-49=49i^{2}$$\n$z-4=7i$ ឬ $ z-4=-7i$\nដូចនេះ សំណុំឫសគឺ $\\boxed{\\left\\{4+7i\\,;\\,4-7i\\right\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-8z+20=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nb. គេឱ្យ $w=z_1+2i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{w}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. គណនាឌីសគ្រីមីណង... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{3}+(4+3i)z^{2}+(1+9i)z-6+6i=0$ ។ រកឫសជាចំនួនពិតនៃសមីការនេះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t$ ជាឫសពិត ។ ជំនួស $z=t$ ហើយបំបែកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$(t^{3}+4t^{2}+t-6)+(3t^{2}+9t+6)i=0$$\nដោយ $t$ ជាចំនួនពិត យើងបាន ៖\n$$\\begin{cases}t^{3}+4... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{9+7i}{3-i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $3+i$ ។ យើងគុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$\\frac{9+7i}{3-i}=\\frac{(9+7i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\\frac{20+30i}{9+1}=\\frac{20+30i}{10}=2+3i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{9+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $5z+\\bar{z}=6-20i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}=x-iy$ ។ ជំនួសចូលសមីការ ៖\n$$5(x+iy)+(x-iy)=6-20i$$\n$$6x+4yi=6-20i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែ... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.