conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ និង $w$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ប្រព័ន្ធសមីការ ៖ $$\\begin{cases}z+3w=7+6i\\\\2iz-w=-7+7i\\end{cases}$$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណសមីការទីពីរនឹង $3$ រួចបូកនឹងសមីការទីមួយ ដើម្បីបំបាត់ $w$ ៖\n$$(1+6i)z=-14+27i$$\n$$z=\\frac{-14+27i}{1+6i}=\\frac{(-14+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x+i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $\\bar{z}$ ៖\n$$\\frac{1}{z}=\\frac{\\bar{z}}{z\\bar{z}}=\\frac{x-i}{x^{2}+1}$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតគឺ $\\boxed{\\frac{x}{x^{2}+1}}$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=8+16i$ និង $z_2=1-3i$ ។\na. គណនា $3z_1-z_2$ ។\nb. សរសេរ $Z=\\frac{z_1+z_2}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $Z=\\frac{z_1}{z_2}+1$ ។\nd. រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $Z^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. យើងបាន ៖\n$$3z_1-z_2=(24+4... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $z_0=1-i$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}-2z+2=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនា ៖\n$$z_0^{2}=(1-i)^{2}=-2i$$\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(-2i)-2(1-i)+2=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=1-i}$ ជាឫសរបស់សមីការនេះ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}-5z^{2}-36=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ យើងបាន ៖\n$$t^{2}-5t-36=0\\Leftrightarrow (t-9)(t+4)=0$$\n$$z^{2}=9\\Rightarrow z=\\pm 3$$\n$$z^{2}=-4\\Rightarrow z=\\pm 2i$$\nដូចនេះ សម... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃចំនួនកុំផ្លិចនីមួយៗ ៖ $z_1=-5$ , $z_2=-7i$ , $z_3=3-i\\sqrt{3}$ , $z_4=7+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $a+bi$ គឺ $a-bi$ គឺយើងប្តូរសញ្ញាផ្នែកនិមិត្តតែប៉ុណ្ណោះ ។\n$$\\overline{z_1}=-5$$\n$$\\overline{z_2}=7i$$\n$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $\\left|(1+i\\sqrt{2})^{3}\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|1+i\\sqrt{2}|=\\sqrt{1+2}=\\sqrt{3}$$\nតាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $|z^n|=|z|^n$ យើងបាន ៖\n$$\\left|(1+i\\sqrt{2})^{3}\\right|=\\left(\\sqrt{3}\\right)^{3}=3\\sqrt{3}$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $Z$ ដែល $Z^2=-35+12i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យក $Z=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $Z^2=-35+12i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=-35+12i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=-35+12i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\begin{cases}x^{2}-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1+i\\sqrt{3}$ និង $z_2=\\sqrt{3}+3i$ ។\na. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។\nd. គណនា $\\overline{z_1}\\times z_2$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(2+i)z=1-7i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $2+i$ ៖\n$$z=\\frac{1-7i}{2+i}=\\frac{(1-7i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\\frac{-5-15i}{4+1}=\\frac{-5-15i}{5}=-1-3i$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z=-1-3i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $\\frac{x}{3+i}+\\frac{y}{2+i}=-10+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{x}{3+i}=\\frac{x(3-i)}{10}\\quad,\\quad\\frac{y}{2+i}=\\frac{y(2-i)}{5}$$\nយើងប្រៀបធៀបផ្នែកពិតនឹងផ្នែកពិត និងផ្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{2}+(1-i)z+6+2i=0$ ។ បង្ហាញថា $z_1=-2i$ ជាឫសរបស់សមីការនេះ រួចទាញរកឫសមួយទៀត $z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-2i$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(-2i)^{2}+(1-i)(-2i)+(6+2i)=(-4)-(2+2i)+(6+2i)=0$$\nដូច្នេះ $z_1=-2i$ ជាឫស ។\nផលគុណឫសនៃសមីការ $z^2+bz... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $x(2-i)+y(-4-2i)=4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តដោយឡែក ៖\n$$(2x-4y)-(x+2y)i=4i$$\nចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$\\begin{cases}2x-4y=0\\\\-x-2y=4\\e... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=-9-40i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $\\delta^2=-9-40i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=-9-40i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=-9-40i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\begin{cases}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1+i$ និង $z_2=4+2i$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $\\overline{z_1\\times z_2}=\\overline{z_1}\\times\\overline{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$z_1\\times z_2=4+2i+4i+2i^{2}=4+6i-2=2+6i$$\n$$\\overline{z_1\\times z_2}=2-6i\\quad(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}+9z^{2}+18=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$t^{2}+9t+18=0\\Leftrightarrow (t+3)(t+6)=0$$\nនាំឱ្យ $t=-3$ ឬ $t=-6$ ។\n$$z^{2}=-3\\Rightarrow z=\\pm i\\sqrt{3}$$\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=3-4i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $z\\bar{z}=|z|^2=25$ យើងបាន $\\frac{1}{z}=\\frac{\\bar{z}}{|z|^2}$ ។\n$$\\frac{1}{z}=\\frac{3+4i}{25}=\\frac{3}{25}+\\frac{4}{25}i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{1}{z}=\\frac{3}{25}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{2}+4$ ។ គណនា $P(3-i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $(3-i)^{2}=8-6i$ ។\nជំនួសចូល ៖\n$$P(3-i)=(8-6i)+0(3-i)+4=12-6i$$\nដូចនេះ $\\boxed{P(3-i)=12-6i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត $a$ ម៉ូឌុលនៃ $\\frac{a+i}{1+ai}$ ស្មើនឹង $1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមលក្ខណៈម៉ូឌុល ម៉ូឌុលនៃផលចែកស្មើនឹងផលចែកនៃម៉ូឌុល ។ ភាគយក និងភាគបែងមានម៉ូឌុលដូចគ្នា ៖\n$$|a+i|=\\sqrt{a^{2}+1}\\quad,\\quad|1+ai|=\\sqrt{1+a^{2}}$$\nភាគបែងមិនសូន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-9z^{2}+28z-30$ ។\nក- គណនា $P(3)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z-3)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $3$ , $3+i$ និង $3-i$ ។ គ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(1+i)z=(2-3i)z+(15-9i)$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ៖\n$$\\left[(1+i)-(2-3i)\\right]z=15-9i$$\n$$(-1+4i)z=15-9i$$\n$$z=\\frac{15-9i}{-1+4i}=\\frac{(15-9i)(-1-4i)}{(-1+4i)(-1-4i)}=\\frac{-51-51i}{1+16}=\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+(1-3i)z-3i=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-1+3i)^{2}-4(-3i)=(-8-6i)+12i=-8+6i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=-8+6i$ ។\nតាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសកា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-4+i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $z\\bar{z}=|z|^2=17$ យើងបាន $\\frac{1}{z}=\\frac{\\bar{z}}{|z|^2}$ ។\n$$\\frac{1}{z}=\\frac{-4-i}{17}=-\\frac{4}{17}-\\frac{1}{17}i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{1}{z}=-\\frac{4}{1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{3}-(1+3i)z^{2}+(2+3i)z-8+6i=0$ ។ រកឫសជាចំនួនពិតនៃសមីការនេះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t$ ជាឫសពិត ។ ជំនួស $z=t$ ហើយបំបែកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$(t^{3}-t^{2}+2t-8)-(3t^{2}-3t-6)i=0$$\nដោយ $t$ ជាចំនួនពិត យើងបាន ៖\n$$\\begin{cases}t^{3}-t... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+4z+5=0$ ។ គណនា $\\frac{1}{z_1}+\\frac{1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=-4\\quad,\\quad z_1z_2=5$$\n$$\\frac{1}{z_1}+\\frac{1}{z_2}=\\frac{z_... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(-i)z-2\\bar{z}=1-4i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y$ ជាចំនួនពិត ។ ពន្លាតអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(-i)(x+iy)-2(x-iy)=(-2x+y)-(x-2y)i$$\nយើងបានប្រព័ន្ធសមីការ ៖\n$$\\begin{cases}-2x+y=1\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $A=2i^{63}+\\frac{1}{i^{52}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនឹង $4$ ៖ $i^{63}=-i$ និង $i^{52}=1$ ។\nដោយ $i^{52}=1$ នោះ $\\frac{1}{i^{52}}=1$ ។\n$$A=1-2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{A=1-2i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq 2i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z+1+3i}{z-2i}$ ។\na. គណនា $f(4-4i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nb. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=2$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $f(4-4i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. ភាគយកគឺ $(4-4i)-(-1-3i)=5-i$ ហើយភាគបែងគឺ $(4-4i)-2i=4-6i$ ។\n$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(2-i)z=(2-2i)z+(3+2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ៖\n$$\\left[(2-i)-(2-2i)\\right]z=3+2i$$\n$$iz=3+2i$$\n$$z=\\frac{3+2i}{i}=\\frac{(3+2i)(-i)}{i(-i)}=2-3i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=2-3i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z_1$ , $z_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}-4z+13=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។ គណនា $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=4\\quad,\\quad z_1z_2=13$$\n$$z_1^{3}+z_2^{3}=(z_1+z_2)^{3}-3z_1z_2(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរដែលមានឫស $z_1=3-2i$ និង $z_2=1+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាផលបូក និងផលគុណនៃឫស ៖\n$$z_1+z_2=4+i$$\n$$z_1z_2=(3-2i)(1+3i)=3+9i-2i-6i^{2}=3+7i+6=9+7i$$\nសមីការមានរាង $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z^{2}-(4+i)z+9+7i=0}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^2=-98i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សមីការ $(x+iy)^2=-98i$ ផ្តល់ ៖\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0\\\\2xy=-98\\end{cases}$$\nសមីការទីមួយឱ្យ $y=x$ ឬ $y=-x$ ។\nបើ $y=-x$ នោះ $-2x^2=-9... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=2\\sqrt{3}+2i$ និង $z_2=2i$ ។\na. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។\nd. គណនា $\\overline{z_1}\\times z_2$ ។"
},
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(2-i)z-3-2i=(1+i)z+(2+8i)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ទៅអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$\\left[(2-i)-(1+i)\\right]z=(2+8i)-(-3-2i)$$\n$$(1-2i)z=5+10i$$\n$$z=\\frac{5+10i}{1-2i}=\\frac{(5+10i)(1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-3-3i$ ។ គណនា $-2\\bar{z}-6-6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=-3+3i$ យើងបាន ៖\n$$-2\\bar{z}-6-6i=-2(-3+3i)-6-6i=-12i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{-12i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើ $-3-3i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+(6+7i)z-2+21i=0$ ឬទេ ? ពន្យល់ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-3-3i$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង យើងបានតម្លៃ ៖\n$$(-3-3i)^{2}+(6+7i)(-3-3i)-2+21i=1$$\nតម្លៃនេះខុសពីសូន្យ ។\nដូចនេះ $-3-3i$ មិនមែនជាឫសនៃសមីការទេ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $(2-3i)(3+i)(1+2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណកត្តាពីរដំបូងជាមុនសិន ៖\n$$(2-3i)(3+i)=6+2i-9i-3i^{2}=6-7i+3=9-7i$$\nរួចគុណលទ្ធផលនឹងកត្តាទីបី ៖\n$$(9-7i)(1+2i)=9+18i-7i-14i^{2}=9+11i+14=23+11i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{23+11i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1+i\\sqrt{3}$ និង $z_2=\\sqrt{3}-i$ ។\n១. គណនា $z_1\\times z_2$ ។\n២. គណនា $\\frac{z_1}{z_2}$ រួចបង្ហាញថា $z_1=iz_2$ ។\n៣. ទាញរកតម្លៃនៃ $\\left(\\frac{z_1}{z_2}\\right)^{2023}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ពន្លាតផលគុណ ៖\n$$z_1\\times z_... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(2+i)\\bar{z}-4-5i=2-7i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងដោះស្រាយរក $\\bar{z}$ ជាមុន ៖\n$$(2+i)\\bar{z}=6-2i$$\n$$\\bar{z}=\\frac{6-2i}{2+i}=\\frac{(6-2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\\frac{10-10i}{4+1}=\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលបូកខាងក្រោម ៖ $S=1+i+i^{2}+\\cdots+i^{788}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តួបួនជាប់គ្នាណាក៏ដោយ មានផលបូកស្មើសូន្យ ព្រោះ $1+i+i^2+i^3=1+i-1-i=0$ ។\nផលបូកនេះមានតួចំនួន $789$ ។ ដោយ $789=4\\times 197+1$ ក្រុមបួនតួទាំង $197$ មានផលបូកសូន្យ ហើយនៅសល់ $1$ តួចុងក្រោយ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-6z+34=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nb. សរសេរ $z_1^2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រក $|z_1|$ រួចបង្ហាញថា $z_1\\times z_2=|z_1|^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=1+3i$ ។ គណនា $z+\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1}{z}=\\frac{1}{1+3i}=\\frac{1-3i}{10}=\\frac{1}{10}-\\frac{3}{10}i$$\n$$z+\\frac{1}{z}=(1+3i)+\\left(\\frac{1}{10}-\\frac{3}{10}i\\right)=\\frac{11}{10}+\\frac{27}{10}i$$\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $(x+iy)(-2+2i)=16+4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $-2+2i$ ៖\n$$x+iy=\\frac{16+4i}{-2+2i}=\\frac{(16+4i)(-2-2i)}{(-2+2i)(-2-2i)}=\\frac{-24-40i}{4+4}=\\frac{-24-40i}{8}=-3-5i$$\nយើងប្រៀបធៀបផ្នែកពិតនឹងផ្នែកពិត និងផ្នែក... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-(3+2i)z-1+13i=0$ ។\na. គណនា $(5-4i)^{2}$ ។\nb. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nc. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. ពន្លាតការេ ៖\n$$(5-4i)^{2}=25... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}-6z+10=0$ ។ ដោយមិនដោះស្រាយសមីការ គណនា $z_1^2+z_2^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=6\\quad,\\quad z_1z_2=10$$\n$$z_1^{2}+z_2^{2}=(z_1+z_2)^{2}-2z_1z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}-10z+74=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=-10$ , $c=74$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-10)^{2}-4\\times 1\\times 74=-196=(14i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំផ្លិចពីរឆ្លាស់គ្នា ៖\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(-3-2i)^{2}$ ជាទម្រង់ $a+bi$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តការេនៃទ្វេធា ៖\n$$(-3-2i)^{2}=9+12i+4i^{2}=5+12i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-3-2i)^{2}=5+12i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $Z$ ដែល $Z^2=-32-24i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យក $Z=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $Z^2=-32-24i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=-32-24i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=-32-24i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\begin{cases}x^{2}-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើ $-2+i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+(4-3i)z+4-6i=0$ ឬទេ ? ពន្យល់ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-2+i$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង យើងបានតម្លៃ ៖\n$$(-2+i)^{2}+(4-3i)(-2+i)+(4-6i)=2$$\nតម្លៃនេះខុសពីសូន្យ ។\nដូចនេះ $-2+i$ មិនមែនជាឫសនៃសមីការទេ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(4-3i)z=3+29i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $4-3i$ ៖\n$$z=\\frac{3+29i}{4-3i}=\\frac{(3+29i)(4+3i)}{(4-3i)(4+3i)}=\\frac{-75+125i}{16+9}=\\frac{-75+125i}{25}=-3+5i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=-3+5i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x+2i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $w=z^2-2z$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$z^{2}=x^{2}+4xi-4$$\n$$w=(x^{2}-2x-4)+(4x-4)i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតគឺ $\\boxed{x^{2}-2x-4}$ ហើយផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{4x-4}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-1+5i$ ។ គណនា $2\\bar{z}+(5-i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=-1-5i$ យើងបាន ៖\n$$2\\bar{z}+(5-i)=2(-1-5i)+(5-i)=3-11i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{3-11i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{4}+2500=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $z^4=-2500$ យើងរកឃើញ $z^2=\\pm 50i$ ព្រោះ $(50i)^{2}=-2500$ ។\nករណី $z^2=50i$ ៖ ដោយ $(5+5i)^{2}=50i$ នោះ $z=\\pm(5+5i)$ ។\nករណី $z^2=-50i$ ៖ ដោយ $(5-5i)^{2}=-50i$ នោះ $z=\\pm(5-5i)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-(2+3i)z+1+13i=0$ ។\na. គណនា $(4-5i)^{2}$ ។\nb. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nc. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. ពន្លាតការេ ៖\n$$(4-5i)^{2}=16... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{4}+14z^{2}+48=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$t^{2}+14t+48=0\\Leftrightarrow (t+6)(t+8)=0$$\nនាំឱ្យ $t=-6$ ឬ $t=-8$ ។\n$$z^{2}=-6\\Rightarrow z=\\pm i\\sqrt{6}$$\n$$z^{2}=-8\\Rightarrow z=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-2z+2=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nb. សរសេរ $z_1^2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រក $|z_1|$ រួចបង្ហាញថា $z_1\\times z_2=|z_1|^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}-(8-8i)z+1-32i=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\Delta=(8-8i)^{2}-4(1-32i)=(-128i)-(4-128i)=-4$$\nដោយ $\\Delta=-4=2i^{2}$ ដែលជាការេប្រាកដ យើងបាន ៖\n$$z_1=\\frac{(8-8i)+2i}{2}=4-3i\\quad,\\quad z_2=\\frac{(8-8i)-2i}{2}=4-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x+3i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $w=z^2+4z$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$z^{2}=x^{2}+6xi-9$$\n$$w=(x^{2}+4x-9)+(6x+12)i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតគឺ $\\boxed{x^{2}+4x-9}$ ហើយផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{6x+12}$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $m$ ដើម្បីឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m+1)+8i$ មានម៉ូឌុលស្មើនឹង $10$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=\\sqrt{(m+1)^{2}+64}=10$$\nលើកការេអង្គទាំងពីរ ៖\n$$(m+1)^{2}+64=100\\Leftrightarrow (m+1)^{2}=36$$\n$m+1=6$ ឬ $ m+1=-6$\nដូចនេះ $\\boxed{m=5}$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=2+4i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}-3z^{2}+16z+20=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=-12+16i$ និង $z_0^3=-88-16i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(-88-16i)-3(-12+16i)+16(2+4i)+20=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=2+4i}$ ជាឫសនៃសមីការនេ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\sqrt{3}+i$ ។ គណនា $|z|$ រួចទាញរក $|z^{4}|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=|\\sqrt{3}+i|=\\sqrt{3+1}=2$$\nតាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $|z^n|=|z|^n$ យើងបាន ៖\n$$\\left|(\\sqrt{3}+i)^{4}\\right|=\\left(2\\right)^{4}=16$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{16}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z=\\frac{8+4i}{1+3i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $1-3i$ ។ គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$z=\\frac{8+4i}{1+3i}=\\frac{(8+4i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)}=\\frac{20-20i}{1+9}=\\frac{20-20i}{10}=2-2i$$\nដូចនេះ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-5-i$ និង $z_2=1+i$ ។\nក- គណនា $3z_1-z_2$ ។\nខ- សរសេរ $Z=\\frac{z_1+z_2}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $Z=\\frac{z_1}{z_2}+1$ ។\nឃ- រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $Z^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- យើងបាន ៖\n$$3z_1-z_2=(-15-3i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+4z+8=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nគ. ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើ គណនា $z_1^2+z_2^2$ និង $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាឌី... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=2+i\\sqrt{2}$ និង $B=1+3i\\sqrt{2}$ ។ គណនា $A\\times B$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយកត់សម្គាល់ថា $\\left(i\\sqrt{2}\\right)^{2}=-2$ ៖\n$$(2+i\\sqrt{2})(1+3i\\sqrt{2})=2+6i\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}+3\\left(i\\sqrt{2}\\right)^{2}=-4+7i\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=\\frac{4-3i}{2+i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត $a+bi$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\n$$\\frac{4-3i}{2+i}=\\frac{(4-3i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\\frac{5-10i}{4+1}=\\frac{5-10i}{5}=1-2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{4-3i}{2+i}=1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $(-1+3i)(-6+2i)$ ជាទម្រង់ $a+bi$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$(-1+3i)(-6+2i)=6-2i-18i+6i^{2}=6-20i-6=-20i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{-20i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=1+2i$ ។ គណនា $|z|$ រួចទាញរក $|z^{4}|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=|1+2i|=\\sqrt{1+4}=\\sqrt{5}$$\nតាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $|z^n|=|z|^n$ យើងបាន ៖\n$$\\left|(1+2i)^{4}\\right|=\\left(\\sqrt{5}\\right)^{4}=25$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{25}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $(1-i)^{2}$ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $(1-i)^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$(1-i)^{2}=1-2i+i^{2}=-2i$$\nដូច្នេះ ៖\n$$(1-i)^{8}=\\left[(1-i)^{2}\\right]^{4}=(-2i)^{4}=2^{4}i^{4}$$\nដោយ $i^{4}=1$ និង $2^{4}=16$ យើងបាន $(1-i)^{8}=16$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{(1-i)^{8}=16}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}+10z+26=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរជារាងកាណូនិក ៖\n$$z^{2}+10z+26=0\\Leftrightarrow (z+5)^{2}+1=0$$\n$$(z+5)^{2}=-1=i^{2}$$\n$z+5=i$ ឬ $ z+5=-i$\nដូចនេះ សំណុំឫសគឺ $\\boxed{\\left\\{-5+i\\,;\\,-5-i\\right\\}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកខាងក្រោម ៖ $\\frac{7+11i}{1-2i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាភាគយក និងភាគបែងដោយឡែក បន្ទាប់ពីគុណនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\nភាគបែង ៖ $(1-2i)(1+2i)=1+4=5$\nភាគយក ៖ $(7+11i)(1+2i)=7+14i+11i+22i^{2}=7+25i-22=-15+25i$\n$$\\frac{7+11i}{1-2i}=\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z=-3i(-5-2i)-3-4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ព្រោះ $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$z=15i+6i^{2}-3-4i=15i-6-3-4i=-9+11i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{-9}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{11}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+8z+32=0$ ។ គណនា $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=-8\\quad,\\quad z_1z_2=32$$\n$$z_1^{3}+z_2^{3}=(z_1+z_2)^{3}-3z_1z_2(z_1+z_2)=(-8)^{3}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $x(2+i)+y(1-i)=8+i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តដោយឡែក ៖\n$$(2x+y)+(x-y)i=8+i$$\nយើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ លុះត្រាតែ $a=c$ និង $b=d$ ។\n$$\\begin{cases}2x+y=8\\\\x-y=1\\end{cases}$$\nដោះ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $(-2+i)^{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តការេនៃទ្វេធា ៖\n$$(-2+i)^{2}=4-4i+i^{2}=3-4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-2+i)^{2}=3-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $2z_1+3z_2$ ដោយដឹងថា $z_1=-5-4i$ ហើយ $z_2=5+2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z_1$ និង $z_2$ គេបាន ៖\n$$2z_1+3z_2=2(-5-4i)+3(5+2i)=-10-8i+15+6i=5-2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{2z_1+3z_2=5-2i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=1+i$ និង $B=2+2i$ ។\nក. គណនា $A+B$ និង $A\\times B$ ។\nខ. សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។\nឃ. គណនា $\\overline{A}\\times B$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. បូ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច $z=x+iy$ ($x,y\\in\\mathbb{R}$) ដែល $z\\neq 1$ គេតាង $Z=\\frac{z+i}{z-1}$ ។\nក. បង្ហាញថា ផ្នែកពិតនៃ $Z$ គឺ $\\frac{x^2+y^2-x+y}{(x-1)^2+y^2}$ ហើយផ្នែកនិមិត្តនៃ $Z$ គឺ $\\frac{x-y-1}{(x-1)^2+y^2}$ ។\nខ. រកទំនាក់ទំនងរវាង $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $Z$ ជាចំនួនពិត ។\nគ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $(x+iy)(2-4i)=10$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $2-4i$ ៖\n$$x+iy=\\frac{10}{2-4i}=\\frac{10(2+4i)}{(2-4i)(2+4i)}=\\frac{20+40i}{4+16}=\\frac{20+40i}{20}=1+2i$$\nយើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ លុះត្រាតែ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=-2+3i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}+2z^{2}+5z-26=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=-5-12i$ និង $z_0^3=46+9i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(46+9i)+2(-5-12i)+5(-2+3i)-26=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=-2+3i}$ ជាឫសនៃសមីការនេះ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+6z+18=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nគ. ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើ គណនា $z_1^2+z_2^2$ និង $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាឌ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(m-2i)(-3-i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកចំនួនពិត $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតផលគុណ ៖\n$$z=(-3m-2)-(m-6)i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តស្មើសូន្យ ៖\n$$-m+6=0\\Leftrightarrow m=6$$\nដូចនេះ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+3z^{2}+19z+17$ ។\nក. គណនា $P(-1)$ ។\nខ. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z+1)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $-1$ , $-1+4i$ និង $-1-4... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ $z+\\bar{z}=-2$ និង $z\\bar{z}=10$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $y>0$ ។ យើងមាន $z+\\bar{z}=2x$ និង $z\\bar{z}=x^2+y^2$ ។\n$$2x=-2\\Rightarrow x=-1$$\n$$x^{2}+y^{2}=10\\Rightarrow y^{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z_1$ , $z_2$ ជាឫសនៃ $z^2-2z+5=0$ ។ ដោយមិនដោះស្រាយសមីការ រកសមីការដឺក្រេទីពីរដែលមានឫស $z_1+1$ និង $z_2+1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងដឹងថា $z_1+z_2=2$ និង $z_1z_2=5$ ។ ចំពោះឫសថ្មី ៖\n$$(z_1+1)+(z_2+1)=2+2=4$$\n$$(z_1+1)(z_2+1)=z_1z_2+z_1+z_2+1=5+2+1=8$$\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរជាទម្រង់សាមញ្ញ $i^{37}$ , $i^{616}$ និង $i^{1751}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^4=1$ ស្វ័យគុណនៃ $i$ វិលជុំតាមខួប $4$ ។\n$$i^{37}=i^{4\\times 9+1}=\\left(i^{4}\\right)^{9}\\times i^{1}=i^{1}=i$$\n$$i^{616}=i^{4\\times 154+0}=\\left(i^{4}\\right)^{154}\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(\\sqrt{7}-i\\right)^{2}$ ។ ទាញរកឫសការេនៃ $6-2i\\sqrt{7}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ៖\n$$(\\sqrt{7}-i)^{2}=7-2\\times\\sqrt{7}\\times i 1+i^{2}=6-2i\\sqrt{7}$$\nដូច្នេះ ចំនួននេះ និងចំនួនផ្ទុយរបស់វា សុទ្ធតែមានការេស្មើនឹង $6-2i\\sqrt{7}$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-4+2i$ និង $z_2=5+5i$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $\\overline{z_1\\times z_2}=\\overline{z_1}\\times\\overline{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$z_1\\times z_2=-20-20i+10i+10i^{2}=-20-10i-10=-30-10i$$\n$$\\overline{z_1\\times z_... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{2}+(1+4i)z-2-4i=0$ ។ បង្ហាញថា $z_1=1$ ជាឫសរបស់សមីការនេះ រួចទាញរកឫសមួយទៀត $z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=1$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$1^{2}-(-1-4i)1-2-4i=1-(-1-4i)-2-4i=0$$\nដូច្នេះ $z_1=1$ ជាឫស ។\nផលគុណឫសនៃសមីការ $z^2+bz+c=0$ គឺ $z_1z_2=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $(x+iy)-2(x-iy)=-3-6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$(-1)x+(3)yi=-3-6i$$\nយើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ លុះត្រាតែ $a=c$ និង $b=d$ ។\n$$-x=-3\\quad,\\quad 3y=-6$$\nនាំឱ្យ $x=3$ និង $y=-2$ ។\nដូ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរដែលមានឫស $z_1=2+4i$ និង $z_2=-1+4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាផលបូក និងផលគុណនៃឫស ៖\n$$z_1+z_2=1+8i$$\n$$z_1z_2=(2+4i)(-1+4i)=-2+8i-4i+16i^{2}=-2+4i-16=-18+4i$$\nសមីការមានរាង $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z^{2}-(1+8i)z-18+4... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $z^2=6\\bar{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ យើងបាន ៖\n$$x^{2}-y^{2}+2xyi=6x-6yi$$\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=6x\\\\2xy=-6y\\end{cases}$$\nសមីការទីពីរសរសេរ $y(2x+6)=0$ ។\nករណី $y=0$ ៖ $x^2=6x$ ឱ្យ $x=0$ ឬ $x=6$ ។\nករណ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{-12-8i\\sqrt{3}}{3-i\\sqrt{3}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $3+i\\sqrt{3}$ ។ ភាគបែងក្លាយជា $9+3=12$ ។\n$$\\frac{-12-8i\\sqrt{3}}{3-i\\sqrt{3}}=\\frac{(-12-8i\\sqrt{3})(3+i\\sqrt{3})}{12}=\\frac{-12-36i\\sqrt{3}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=-3+4i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}+7z^{2}+31z+25=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=-7-24i$ និង $z_0^3=117+44i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(117+44i)+7(-7-24i)+31(-3+4i)+25=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=-3+4i}$ ជាឫសនៃសមីការន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-6-5i$ ។ គណនា $2\\bar{z}-10-12i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=-6+5i$ យើងបាន ៖\n$$2\\bar{z}-10-12i=2(-6+5i)-10-12i=-22-2i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{-22-2i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $3z+2\\bar{z}=15+2i$ ។\n២. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\n៣. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៤. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=2+3i\\sqrt{5}$ និង $B=2+i\\sqrt{5}$ ។ គណនា $A\\times B$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយកត់សម្គាល់ថា $\\left(i\\sqrt{5}\\right)^{2}=-5$ ៖\n$$(2+3i\\sqrt{5})(2+i\\sqrt{5})=4+2i\\sqrt{5}+6i\\sqrt{5}+3\\left(i\\sqrt{5}\\right)^{2}=-11+8i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $3z_1+3z_2$ ដោយដឹងថា $z_1=7-6i$ ហើយ $z_2=3+7i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z_1$ និង $z_2$ យើងបាន ៖\n$$3z_1+3z_2=3(7-6i)+3(3+7i)=21-18i+9+21i=30+3i$$\nដូចនេះ $\\boxed{3z_1+3z_2=30+3i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z=-2i(-3+4i)-4-i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$z=6i-8i^{2}-4-i=6i+8-4-i=4+5i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{4}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{5}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-2z+26=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nb. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nc. ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើ គណនា $z_1^2+z_2^2$ និង $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. គណនាឌ... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.