conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=3-3i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $z\\bar{z}=|z|^2=18$ យើងបាន $\\frac{1}{z}=\\frac{\\bar{z}}{|z|^2}$ ។\n$$\\frac{1}{z}=\\frac{3+3i}{18}=\\frac{1}{6}+\\frac{1}{6}i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{1}{z}=\\frac{1}{6}+\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-(3-5i)z-10-5i=0$ ។\na. គណនា $(5-i)^{2}$ ។\nb. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nc. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. ពន្លាតការេ ៖\n$$(5-i)^{2}=25-1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-3-5i$ និង $z_2=1-i$ ។\n១. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\n២. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\n៣. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-6z+10=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\n២. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\n៣. ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើ គណនា $z_1^2+z_2^2$ និង $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. យើងមា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(3-2i)i^{16}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $16=4\\times 4+0$ នោះ $i^{16}=1$ ។\n$$z=3-2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=3-2i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}-4z+13=0$ ។ ដោយមិនគណនាឫស រកម៉ូឌុលនៃឫសទាំងពីរ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណពិត និង $\\Delta<0$ ដូច្នេះឫសទាំងពីរឆ្លាស់គ្នា គឺ $z_2=\\overline{z_1}$ ។\nនាំឱ្យ $z_1z_2=z_1\\overline{z_1}=|z_1|^2=13$ ។\n$$|z_1|=|z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-8z-32$ ។ ដោយដឹងថា $z_0=-2+2i$ ជាឫសនៃ $P(z)=0$ ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ហើយ $-2+2i$ ជាឫស នោះ $-2-2i$ ក៏ជាឫសដែរ ។\nពហុធាចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z+2-2i)(z+2+2i)=z^{2}+4z+8$$\nចែកពហុធា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=3(-2-i)-2(-3+5i)$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចបញ្ជាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណចូលក្នុងវង់ក្រចក រួចបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$z=-6-3i+6-10i=-13i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{0}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{-13}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $(1+i)^{4}$ ដោយគណនា $(1+i)^{2}$ ជាមុន ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេមុន ៖\n$$(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i$$\nស្វ័យគុណទី $4$ គឺជាការេនៃលទ្ធផលនេះ ៖\n$$(1+i)^{4}=\\left[(1+i)^{2}\\right]^{2}=2i^{2}=4i^{2}=-4$$\nដូចនេះ $\\boxed{(1+i)^{4}=-4}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរមានមេគុណពិត ដែលមានឫសមួយគឺ $-4+6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ឫសមួយទៀតគឺចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ $z_2=-4-6i$ ។\n$$z_1+z_2=-8\\quad,\\quad z_1z_2=16+36=52$$\nសមីការគឺ $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ សមីការដែលរកបានគឺ $\\boxed{z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $4z-3\\bar{z}=-3+28i$ ។\nb. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nc. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}+4iz-1+4i=0$ ។\n១. គណនា $(2-4i)^{2}$ ។\n២. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\n៤. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ពន្លាតការេ ៖\n$$(2-4i)^{2}=4-16i+1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z_1$ , $z_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}-2z+10=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។ ដោយមិនគណនាឫស រកម៉ូឌុលនៃឫសទាំងពីរ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណពិត និង $\\Delta<0$ ដូច្នេះឫសទាំងពីរឆ្លាស់គ្នា គឺ $z_2=\\overline{z_1}$ ។\nនាំឱ្យ $z_1z_2=z_1\\overline{z_1}=|z_1|^2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(m^{2}+m)+(m^{2}+7m+12)i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត (ផ្នែកពិតស្មើសូន្យ) ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើសូន្យ ៖\n$$m^{2}+m=0$$\nគេបាន $m=-1$ ឬ $m=0$ ។\nចំពោះតម្លៃទាំងនេ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1=-2-6i$ និង $z_2=2+i$ ។ គណនា $\\overline{\\left(\\frac{z_1}{z_2}\\right)}$ រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាវាស្មើនឹង $\\frac{\\overline{z_1}}{\\overline{z_2}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង ៖\n$$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{-2-6i}{2+i}=\\frac{(-2-6i)(2-i)}{(2+i)(2-i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{4}+6z^{2}-7=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ យើងបាន ៖\n$$t^{2}+6t-7=0\\Leftrightarrow (t-1)(t+7)=0$$\n$$z^{2}=1\\Rightarrow z=\\pm 1$$\n$$z^{2}=-7\\Rightarrow z=\\pm i\\sqrt{7}$$\nដូចនេះ សមីការមានឫសបួនគឺ $\\box... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $\\left(\\frac{-4+i}{1+4i}\\right)^{60}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសម្រួលផលចែកជាមុន ៖\n$$\\frac{-4+i}{1+4i}=\\frac{(-4+i)(1-4i)}{(1+4i)(1-4i)}=\\frac{17i}{1+16}=\\frac{17i}{17}=i$$\nដោយ $60=4\\times 15+0$ យើងបាន ៖\n$$i^{60}=1$$\nដូចនេះ លទ្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $(-3+3i)^{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តការេនៃទ្វេធា ៖\n$$(-3+3i)^{2}=9-18i+9i^{2}=-18i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-3+3i)^{2}=-18i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_A=2+4i$ , $z_B=4+2i$ និង $z_C=4+4i$ ។\nក. សង់ចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ។\nខ. គណនាប្រវែង $AB$ , $AC$ និង $BC$ ។\nគ. តើត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណប្រភេទអ្វី ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ចំណុចទាំងបីគឺ $A(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{1-i}{1+i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចគណនា $\\left(\\frac{1-i}{1+i}\\right)^{46}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1-i}{1+i}=\\frac{(1-i)^{2}}{(1-i)(1+i)}=\\frac{-2i}{2}=-i$$\nដោយ $46=4\\times 11+2$ យើងបាន ៖\n$$(-i)^{46}=(-1)^{46}i^{46}=-1$$\nដូចនេះ លទ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $|z|=17$ និងផ្នែកពិតនៃ $z$ ស្មើនឹង $15$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=15+iy$ ដែល $y\\in\\mathbb{R}$ ។\n$$|z|=\\sqrt{225+y^{2}}=17\\Rightarrow y^{2}=64\\Rightarrow y=\\pm 8$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=15+8i}$ ឬ $\\boxed{z=15-8i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $(x-y)+(3x+y)i=-6-10i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\nគេបានប្រព័ន្ធសមីការ ៖\n$$\\begin{cases}x-y=-6\\\\3x+y=-10\\end{cases}$$\nដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ យើងប... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $\\frac{z+3+3i}{z-2-2i}=6+5i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "លក្ខខណ្ឌ ៖ $z\\neq 2+2i$ ។ គុណអង្គទាំងពីរនឹង $z-2-2i$ ៖\n$$z+3+3i=(6+5i)\\left[z-2-2i\\right]$$\nប្រមូលតួមាន $z$ ៖\n$$(-5-5i)z=-5-25i$$\n$$z=\\frac{-5-25i}{-5-5i}=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សរសេរ $Z=5z+i\\bar{z}$ ជាទម្រង់ $A+iB$ ដែល $A,B$ ជាកន្សោមនៃ $x$ និង $y$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=x-iy$ យើងបាន ៖\n$$Z=5(x+iy)+i(x-iy)$$\n$$Z=5x+5iy+ix+y$$\nប្រមូលផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$Z=(5x+y)+i(x+5... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{2}+5z+4$ ។ គណនា $P(-2+2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $(-2+2i)^{2}=-8i$ ។\nជំនួសចូល ៖\n$$P(-2+2i)=(-8i)+5(-2+2i)+4=-6+2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{P(-2+2i)=-6+2i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ស្រាយបញ្ជាក់ថា $i^{4n}+i^{4n+3}=1-i$ ចំពោះគ្រប់ $n\\in\\mathbb{N}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $i^{4n}=\\left(i^{4}\\right)^{n}=1^n=1$ ។ ដូច្នេះ ៖\n$$i^{4n}=i^{4n}\\times i^{0}=1$$\n$$i^{4n+3}=i^{4n}\\times i^{3}=-i$$\nបូកលទ្ធផលទាំងពីរ ៖\n$$i^{4n}+i^{4n+3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើ $-2+2i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+(4-6i)z-3-12i=0$ ឬទេ ? ពន្យល់ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-2+2i$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង យើងបានតម្លៃ ៖\n$$(-2+2i)^{2}+(4-6i)(-2+2i)-3-12i=1$$\nតម្លៃនេះខុសពីសូន្យ ។\nដូចនេះ $-2+2i$ មិនមែនជាឫសនៃសមីការទេ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=1-4i$ ។ គណនា $-2\\bar{z}-4+i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=1+4i$ យើងបាន ៖\n$$-2\\bar{z}-4+i=-2(1+4i)-4+i=-6-7i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{-6-7i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(-2-3i)\\bar{z}-2-i=-19+6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងដោះស្រាយរក $\\bar{z}$ ជាមុន ៖\n$$(-2-3i)\\bar{z}=-17+7i$$\n$$\\bar{z}=\\frac{-17+7i}{-2-3i}=\\frac{(-17+7i)(-2+3i)}{(-2-3i)(-2+3i)}=\\frac{13-65i}{4+9}=\\frac{13-65i}{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-5-i$ ។ គណនា $-2\\bar{z}-1-5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=-5+i$ យើងបាន ៖\n$$-2\\bar{z}-1-5i=-2(-5+i)-1-5i=9-7i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{9-7i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $\\frac{x}{3+i}+\\frac{y}{1-i}=-5+7i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{x}{3+i}=\\frac{x(3-i)}{10}\\quad,\\quad\\frac{y}{1-i}=\\frac{y(1+i)}{2}$$\nយើងប្រៀបធៀបផ្នែកពិតនឹងផ្នែកពិត និងផ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\frac{1}{z}$ ដោយដឹងថា $z=2-i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $z\\bar{z}=|z|^2=5$ យើងបាន $\\frac{1}{z}=\\frac{\\bar{z}}{|z|^2}$ ។\n$$\\frac{1}{z}=\\frac{2+i}{5}=\\frac{2}{5}+\\frac{1}{5}i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{1}{z}=\\frac{2}{5}+\\frac{1}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-(2+6i)z-11+10i=0$ ។\nក- គណនា $(4-2i)^{2}$ ។\nខ- គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nឃ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ពន្លាតការេ ៖\n$$(4-2i)^{2}=1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-(6+2i)z+16+12i=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(6+2i)^{2}-4(16+12i)=(32+24i)-(64+48i)=-32-24i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=-32-24i$ ។\nយក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z=(3-4i)(-5+2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាផលគុណជាមុន ៖\n$$(3-4i)(-5+2i)=-15+6i+20i-8i^{2}=-15+26i+8=-7+26i$$\nរួចប្តូរសញ្ញាផ្នែកនិមិត្ត ៖ ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់គឺ $-7-26i$ ។\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{-7-26i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z=\\frac{-9-3i}{1+2i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $1-2i$ ។ គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$z=\\frac{-9-3i}{1+2i}=\\frac{(-9-3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\\frac{-15+15i}{1+4}=\\frac{-15+15i}{5}=-3+3i$$\nដូច... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+2z^{2}+9z+18$ ។\na. គណនា $P(-2)$ ។\nb. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z+2)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nc. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nd. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $-2$ , $3i$ និង $-3i$ ។ គ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=5(5+5i)+2(-3+5i)$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចបញ្ជាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណចូលក្នុងវង់ក្រចក រួចបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$z=25+25i-6+10i=19+35i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{19}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{35}$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=7-i$ និង $z_2=3+i$ ។\na. គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. គេបាន ៖\n$$z_1-z_2=(7-i)-(3+i)=4-2i$$\n$$z_1\\t... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}+2z^{2}+az+b$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។ រក $a$ និង $b$ ដោយដឹងថា $P(-2+i)=0$ រួចរកឫសទាំងអស់នៃ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនា $(-2+i)^{2}=3-4i$ និង $(-2+i)^{3}=-2+11i$ ។\nជំនួសចូល $P$ ៖\n$$(-2+11i)+2(3-4i)+a(-2+i)+b=0$$\n$$(4-2a+b)+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-2z+10=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=-2$ , $c=10$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\\times 1\\times 10=-36=(6i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំផ្លិចពីរឆ្លាស់គ្នា ៖\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលបូកខាងក្រោម ៖ $S=1+i+i^{2}+\\cdots+i^{1719}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តួបួនជាប់គ្នាណាក៏ដោយ មានផលបូកស្មើសូន្យ ព្រោះ $1+i+i^2+i^3=1+i-1-i=0$ ។\nផលបូកនេះមានតួចំនួន $1720$ ។ ដោយ $1720=4\\times 430+0$ ក្រុមបួនតួទាំង $430$ មានផលបូកសូន្យ ហើយនៅសល់ $0$ តួចុងក្រោ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរដែលមានឫស $z_1=-1-3i$ និង $z_2=-2+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាផលបូក និងផលគុណនៃឫស ៖\n$$z_1+z_2=-3$$\n$$z_1z_2=(-1-3i)(-2+3i)=2-3i+6i-9i^{2}=2+3i+9=11+3i$$\nសមីការមានរាង $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z^{2}+3z+11+3i=0}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^2+13=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^2=-1$ យើងអាចសរសេរ ៖\n$$z^{2}=-13\\Leftrightarrow z^{2}=13i^{2}\\Leftrightarrow z^{2}-(i\\sqrt{13})^{2}=0$$\nដាក់ជាកត្តា ៖\n$$(z-i\\sqrt{13})(z+i\\sqrt{13})=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $x(-4-i)+y(-2-i)=-8-3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តដោយឡែក ៖\n$$(-4x-2y)-(x+y)i=-8-3i$$\nចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$\\begin{cases}-4x-2y=-8\\\\-x-y=-3\\e... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃចំនួនខាងក្រោម ៖ $z_1=5-i\\sqrt{3}$ , $z_2=-5$ , $z_3=2-i$ , $z_4=4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $a+bi$ គឺ $a-bi$ គឺយើងប្តូរសញ្ញាផ្នែកនិមិត្តតែប៉ុណ្ណោះ ។\n$$\\overline{z_1}=5+i\\sqrt{3}$$\n$$\\overline{z_2}=-5$$\n$$\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}+6z^{2}-40=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ យើងបាន ៖\n$$t^{2}+6t-40=0\\Leftrightarrow (t-4)(t+10)=0$$\n$$z^{2}=4\\Rightarrow z=\\pm 2$$\n$$z^{2}=-10\\Rightarrow z=\\pm i\\sqrt{10}$$\nដូចនេះ សមីការមានឫសបួនគឺ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុលនៃ $z=\\frac{1}{2}-\\frac{6}{5}i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=\\sqrt{\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{6}{5}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{169}{100}}=\\frac{13}{10}$$\nដូចនេះ $\\boxed{|z|=\\frac{13}{10}}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{-3-4i}{2+i}$ ។ តើផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z$ ស្មើនឹងប៉ុន្មាន ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\n$$z=\\frac{-3-4i}{2+i}=\\frac{(-3-4i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\\frac{-10-5i}{4+1}=\\frac{-10-5i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $z^2=-16$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^2=-1$ យើងអាចសរសេរ ៖\n$$z^{2}=-16\\Leftrightarrow z^{2}=16i^{2}\\Leftrightarrow z^{2}-(4i)^{2}=0$$\nដាក់ជាកត្តា ៖\n$$(z-4i)(z+4i)=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=4i}$ ឬ $\\boxed{z=-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P=i\\times i^{2}\\times\\cdots\\times i^{19}$ ។ សរសេរ $P$ ជាទម្រង់សាមញ្ញ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផលគុណនៃស្វ័យគុណមានគោលដូចគ្នា ស្មើនឹងគោលនោះដែលមាននិទស្សន្តជាផលបូកនៃនិទស្សន្ត ៖\n$$P=i^{1+2+\\cdots+19}=i^{\\frac{19\\times 20}{2}}=i^{190}$$\nដោយ $190=4\\t... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+z^{2}+3z-5$ ។\nក. គណនា $P(1)$ ។\nខ. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z-1)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $1$ , $-1+2i$ និង $-1-2i$ ។ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}+12z+52=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរជារាងកាណូនិក ៖\n$$z^{2}+12z+52=0\\Leftrightarrow (z+6)^{2}+16=0$$\n$$(z+6)^{2}=-16=16i^{2}$$\n$z+6=4i$ ឬ $ z+6=-4i$\nដូចនេះ សំណុំឫសគឺ $\\boxed{\\left\\{-6+4i\\,;\\,-6-4i\\rig... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-(1+3i)z-8+19i=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(1+3i)^{2}-4(-8+19i)=(-8+6i)-(-32+76i)=24-70i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=24-70i$ ។\nតាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\math... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^2=98i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សមីការ $(x+iy)^2=98i$ ផ្តល់ ៖\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0\\\\2xy=98\\end{cases}$$\nសមីការទីមួយឱ្យ $y=x$ ឬ $y=-x$ ។\nបើ $y=x$ នោះ $2x^2=98$ នាំ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=2\\sqrt{3}+2i$ និង $z_2=1+i$ ។\nក. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nខ. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។\nឃ. គណនា $\\overline{z_1}\\times z_2$ ។"
},
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $S=(1+i)^{8}+(1-i)^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $(1+i)^2=2i$ និង $(1-i)^2=-2i$ យើងបាន ៖\n$$(1+i)^{8}=(2i)^{4}=16$$\n$$(1-i)^{8}=(-2i)^{4}=16$$\n$$S=32$$\nដូចនេះ $\\boxed{S=32}$ ជាចំនួនពិត ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-3-4i$ និង $z_2=2+6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=a+bi$ គេមាន $|z|=r=\\sqrt{a^2+b^2}$ ។\n$$|z_1|=r_1=\\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}=\\sqrt{25}=5$$\n$$|z_2|=r_2=\\sqrt{2^{2}+6^{2}}=\\sqrt{40}=2\\sqrt{10}$$\nដូចនេះ ម៉ូឌុលនៃ $z_1$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយមិនពន្លាត គណនា $\\left|(2-2i)(-4+5i)\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងប្រើ $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ ៖\n$$|2-2i|=\\sqrt{8}\\quad,\\quad|-4+5i|=\\sqrt{41}$$\n$$\\sqrt{8}\\times\\sqrt{41}=\\sqrt{328}=2\\sqrt{82}$$\nដូចនេះ ម៉ូឌុលនៃផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{2\\sqr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=2+2i$ និង $B=1-i\\sqrt{3}$ ។\n១. សរសេរ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n២. រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។\n៣. បង្ហាញថា $B^3=-8$ និង $A^2=8i$ ។\n៤. ទាញរកតម្លៃនៃ $A^6+B^{6}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ពន្លាត ៖... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យ $z_1=-6+3i$ និង $z_2=-7-4i$ ។ សរសេរ $2z_1+z_2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តដោយឡែកពីគ្នា ៖\nផ្នែកពិត ៖ $2\\times(-6)+(1)\\times(-7)=-19$\nផ្នែកនិមិត្ត ៖ $2\\times(3)+(1)\\times(-4)=2$\nដូចនេះ $\\boxed{2z_1+z_2=-1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិតវិជ្ជមាន $a$ និងចំនួនពិត $b$ ដែល $(a+bi)^2=3+4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតអង្គខាងឆ្វេង ៖ $a^2-b^2+2abi=3+4i$ ។ យើងបាន ៖\n$$\\begin{cases}a^{2}-b^{2}=3\\\\ab=2\\end{cases}$$\nជំនួស $b=\\frac{2}{a}$ ក្នុងសមីការទីមួយ ហើយគុណនឹង $a^2$ ៖\n$$a^{4}-3a... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-10z+41=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=-10$ , $c=41$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-10)^{2}-4\\times 1\\times 41=-64=(8i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការម... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=14+2i$ និង $z_2=4-3i$ ។\na. គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. គេបាន ៖\n$$z_1-z_2=(14+2i)-(4-3i)=10+5i$$\n$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}-(3-i)z^{2}+(6+5i)z-8-14i$ ។\n១. បង្ហាញថា $P(2)=0$ ។\n២. កំណត់ពហុធា $Q(z)$ ដែល $P(z)=(z-2)Q(z)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ជំនួស ៖\n$$P(2)=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{P(2)=0}$ ។\n២. ចែក $P(z)$ នឹង $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}-(5-3i)z+8=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(5-3i)^{2}-48=(16-30i)-32=-16-30i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=-16-30i$ ។\nយក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $\\delta^2=-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z_1$ , $z_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}-6z+18=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។ ដោយមិនដោះស្រាយសមីការ គណនា $z_1^2+z_2^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=6\\quad,\\quad z_1z_2=18$$\n$$z_1^{2}+z_2^{2}=(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-5$ និង $z_2=2+i$ ។ គណនា $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $2-i$ ។ យើងគុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{-5}{2+i}=\\frac{(-5)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\\frac{-10+5i}{4+1}=\\frac{-10+5i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-2+3i$ និង $z_2=-1-i$ ។ គណនា $z_1\\times z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគុណតួនីមួយៗនៃវង់ក្រចកទីមួយនឹងវង់ក្រចកទីពីរ ៖\n$$(-2+3i)(-1-i)=2+2i-3i-3i^{2}=2-i+3=5-i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{5-i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{4}+14z^{2}+40=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$t^{2}+14t+40=0\\Leftrightarrow (t+4)(t+10)=0$$\nនាំឱ្យ $t=-4$ ឬ $t=-10$ ។\n$$z^{2}=-4\\Rightarrow z=\\pm 2i$$\n$$z^{2}=-10\\Rightarrow z=\\pm i\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រក $|z_1|$ និង $|z_2|$ ដោយដឹងថា $z_1=6+8i$ ហើយ $z_2=6+4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=a+bi$ គេមាន $|z|=r=\\sqrt{a^2+b^2}$ ។\n$$|z_1|=r_1=\\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\\sqrt{100}=10$$\n$$|z_2|=r_2=\\sqrt{6^{2}+4^{2}}=\\sqrt{52}=2\\sqrt{13}$$\nដូចនេះ ម៉ូឌុលនៃ $z_1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $\\bar{z}=z^2$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យកម៉ូឌុលអង្គទាំងពីរ យើងបាន $|z|=|z|^2$ ដូច្នេះ $|z|=0$ ឬ $|z|=1$ ។\nករណី $|z|=0$ ៖ $z=0$ ជាឫស ។\nករណី $|z|=1$ ៖ គុណអង្គទាំងពីរនឹង $z$ យើងបាន $z\\bar{z}=z^3$ គឺ $z^3=1$ ។ ដោយ $z^3-1=(z-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-8z+32=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ- គេឱ្យ $w=z_1+2i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{w}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- យើងមាន ៖\n$$\\D... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=10i$ និង $z_2=1-3i$ ។ គណនា $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\n$$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{10i}{1-3i}=\\frac{10i(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)}=\\frac{-30+10i}{1+9}=\\frac{-30+10i}{10}=-3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $3z+2\\bar{z}=20+2i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}=x-iy$ ។ ជំនួសចូលសមីការ ៖\n$$3(x+iy)+2(x-iy)=20+2i$$\n$$5x+yi=20+2i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\b... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $4z-2\\bar{z}=6+18i$ ។\nខ. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nគ. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nឃ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ ៖ $$\\begin{cases}z+2w=5-5i\\\\2iz-w=-1\\end{cases}$$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណសមីការទីពីរនឹង $2$ រួចបូកនឹងសមីការទីមួយ ដើម្បីបំបាត់ $w$ ៖\n$$(1+4i)z=3-5i$$\n$$z=\\frac{3-5i}{1+4i}=\\frac{(3-5i)(1-4i)}{(1+4i)(1-4i)}=\\frac{-17-17i}{1+16... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(1-3i)z=-17+11i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $1-3i$ ៖\n$$z=\\frac{-17+11i}{1-3i}=\\frac{(-17+11i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)}=\\frac{-50-40i}{1+9}=\\frac{-50-40i}{10}=-5-4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=-5-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ និង $w$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ប្រព័ន្ធសមីការ ៖ $$\\begin{cases}z+2w=-7+3i\\\\2iz-w=3-12i\\end{cases}$$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណសមីការទីពីរនឹង $2$ រួចបូកនឹងសមីការទីមួយ ដើម្បីបំបាត់ $w$ ៖\n$$(1+4i)z=-1-21i$$\n$$z=\\frac{-1-21i}{1+4i}=\\frac{(-1-21... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}+z-5-5i=0$ ។\n១. គណនា $(5+2i)^{2}$ ។\n២. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\n៤. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ពន្លាតការេ ៖\n$$(5+2i)^{2}=25+20i+4i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_A=-2-2i$ , $z_B=-1+4i$ និង $z_C=-3+4i$ ។\nក. សង់ចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ។\nខ. គណនាប្រវែង $AB$ , $AC$ និង $BC$ ។\nគ. តើត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណប្រភេទអ្វី ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ចំណុចទាំងបីគឺ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-2z^{2}+4z-8$ ។\n១. គណនា $P(2)$ ។\n២. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z-2)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\n៤. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $2$ , $2i$ និង $-2i$ ។ គណនា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{m-2i}{1+2i}$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត ។ រួចគណនា $z$ ចំពោះតម្លៃនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1-2i$ ៖\n$$z=\\frac{(m-2i)(1-2i)}{5}=\\frac{m-4}{5}+\\frac{-2m-2}{5}i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z\\bar{z}+3(z-\\bar{z})=17+24i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ យើងមាន $z\\bar{z}=x^2+y^2$ និង $z-\\bar{z}=2iy$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$x^{2}+y^{2}+6yi=17+24i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\be... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-2z+2=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nb. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nc. ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើ គណនា $z_1^2+z_2^2$ និង $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. គណនាឌី... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+4z+13=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nb. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nc. ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើ គណនា $z_1^2+z_2^2$ និង $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. យើងមា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=-7-24i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $-7-24i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=-7-24i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=-7-24i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\begin{ca... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{3}-3z^{2}+9z-27=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ដោយដឹងថា $3i$ ជាឫសមួយរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ហើយ $3i$ ជាឫស នោះ $-3i$ ក៏ជាឫសដែរ ។\nពហុធាចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-3i)(z+3i)=z^{2}+9$$\nចែកពហុធា យើងបាន ៖\n$$z^{3}-3z^{2}+9z-27=(z-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-1+i$ និង $z_2=\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ ។\nក. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nខ. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^4-2z^3+6z^2-8z+8$ ។\n១. គណនា $P(2i)$ ។\n២. ពន្យល់ថាហេតុអ្វី $-2i$ ក៏ជាឫសនៃ $P(z)=0$ ដែរ ។\n៣. សរសេរ $P(z)$ ជាផលគុណ $(z^2+4)(z^2+az+b)$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។\n៤. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចរកម៉ូឌុលនៃឫសនីមួយៗ ។"
},
{
"from": "gpt",
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយមិនពន្លាត គណនា $\\left|(-3+3i)(3-i)\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងប្រើ $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ ៖\n$$|-3+3i|=\\sqrt{18}\\quad,\\quad|3-i|=\\sqrt{10}$$\n$$\\sqrt{18}\\times\\sqrt{10}=\\sqrt{180}=6\\sqrt{5}$$\nដូចនេះ ម៉ូឌុលនៃផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{6\\sqrt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}+(2-i)z-1+5i=0$ ។\nក- គណនា $(4-3i)^{2}$ ។\nខ- គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nឃ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ពន្លាតការេ ៖\n$$(4-3i)^{2}=16-2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $(-3-i)z+6+3i=-2+17i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បញ្ជូន $6+3i$ ទៅអង្គខាងស្តាំ ៖\n$$(-3-i)z=(-2+17i)-(6+3i)=-8+14i$$\nចែកនឹងមេគុណនៃ $z$ ៖\n$$z=\\frac{-8+14i}{-3-i}=\\frac{(-8+14i)(-3+i)}{(-3-i)(-3+i)}=\\frac{10-50i}{9+1}=\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $\\overline{(-4-2i)(-5-3i)}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\overline{z_1\\times z_2}=\\overline{z_1}\\times\\overline{z_2}$ យើងអាចយកចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃកត្តានីមួយៗមុន ៖\n$$\\overline{(-4-2i)(-5-3i)}=(-4+2i)(-5+3i)=20-12i-10i+6i^{2}=20-22i-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $2z+4\\bar{z}=12-4i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}=x-iy$ ។ ជំនួសចូលសមីការ ៖\n$$2(x+iy)+4(x-iy)=12-4i$$\n$$6x-2yi=12-4i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $(E)$ ៖ $z^2-(3+4i)z-1+5i=0$ ។\na. គណនាឌីសគ្រីមីណង់ $\\Delta$ នៃសមីការ $(E)$ រួចបង្ហាញថា $\\Delta=(1+2i)^2$ ។\nb. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានម៉ូឌុលធំជាង ។\nc. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nd. គណនា $\\left|\\frac{z_1}{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}-12z+45=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរជារាងកាណូនិក ៖\n$$z^{2}-12z+45=0\\Leftrightarrow (z-6)^{2}+9=0$$\n$$(z-6)^{2}=-9=9i^{2}$$\n$z-6=3i$ ឬ $ z-6=-3i$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z_1=6+3i}$ និង $\\boxed{z_2=6... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $-\\frac{7}{4}+6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $-\\frac{7}{4}+6i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=-\\frac{7}{4}+6i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=-\\frac{7}{4}+6i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា ន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+6z+25=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\n២. គេឱ្យ $w=z_1+2i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{w}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. គណនាឌីសគ្រីមីណង... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $(\\sqrt{2}+i\\sqrt{3})^{2}=-1+2i\\sqrt{6}$ រួចទាញរកឫសការេនៃ $-1+2i\\sqrt{6}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ៖\n$$(\\sqrt{2}+i\\sqrt{3})^{2}=2+2\\times\\sqrt{2}\\times i \\sqrt{3}+3i^{2}=-1+2i\\sqrt{6}$$\nដូច្នេះ ចំនួននេះ និងចំនួនផ្ទុយរបស់វា សុទ... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.