question stringlengths 16 1.6k | solution stringlengths 3 2.73k | answer stringlengths 0 168 | bloom_taxonomy listlengths 1 4 |
|---|---|---|---|
พจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ $2005$ แต่ละพจน์ถัดมาเป็นผลรวมของเลขยกกำลังสามของหลักของพจน์ก่อนหน้า พจน์ที่ ${2005}^{\text{th}}$ ของลำดับนี้คืออะไร? | พจน์ที่ขึ้นต้นของลำดับคือ
\[2005, 133, 55, 250, 133.\]เนื่องจากแต่ละพจน์ขึ้นอยู่กับพจน์ก่อนหน้าเท่านั้น และพจน์ที่ห้าตรงกับพจน์ที่สอง ลำดับจึงเป็นคาบ มีคาบ 3
ดังนั้น พจน์ที่ 2005 เท่ากับพจน์ที่ 4 ซึ่งคือ $\boxed{250}.$ | \boxed{250}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \ge 1 + \log_2 \frac{2014}{2015}.\] | ראשית,
\[\sum_{k = 0}^n \log_2 \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) = \log_2 \left[ \prod_{k = 0}^n \left( 1 + \frac{1}{2^{2^k}} \right) \right].\]เราต้องการประเมิน
\[(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x^{2^n})\]ที่ $x = \frac{1}{2}.$ โดยผลต่างของกำลังสอง,
\begin{align*}
(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) \dotsm (1 + x^{2^n... | \boxed{3}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x^{70}$ ในการกระจายของ
\[(x - 1)(x^2 - 2)(x^3 - 3) \dotsm (x^{11} - 11)(x^{12} - 12).\] | ดีกรีของพหุนามคือ $1 + 2 + 3 + \dots + 12 = \frac{12 \cdot 13}{2} = 78.$
เมื่อเราขยาย $(x - 1)(x^2 - 2)(x^3 - 3) \dotsm (x^{11} - 11)(x^{12} - 12),$ เราเลือกพจน์หนึ่งจากแต่ละตัวประกอบ ตัวอย่างเช่น จากตัวประกอบแรก $x - 1,$ เราสามารถเลือก $x$ หรือ $-1.$ จากตัวประกอบที่สอง $x^2 - 2,$ เราสามารถเลือก $x^2$ หรือ $-2,$ และอื... | (-8) + 34 + (-22) = \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $x_1,$ $x_2,$ $x_3$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 60.$ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ
\[x_1^2 + x_2^2 + x_3^2.\] | โดย Cauchy-Schwarz,
\[(1 + 4 + 9)(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) \ge (x_1 + 2x_2 + 3x_3)^2 = 60^2,\]ดังนั้น $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \ge \frac{3600}{14} = \frac{1800}{7}.$
สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x_1 = \frac{x_2}{2} = \frac{x_3}{3}$ และ $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 60.$ เราสามารถแก้สมการได้ $x_1 = \frac{30}{7},$ $x_2 = \frac{60}{7},$ และ $... | \boxed{\frac{1800}{7}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สัมประสิทธิ์ของพหุนาม
\[a_{10} x^{10} + a_9 x^9 + a_8 x^8 + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0\]เป็นจำนวนเต็ม และราก $r_1,$ $r_2,$ $\dots,$ $r_{10}$ เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด นอกจากนี้ รากของพหุนาม
\[a_0 x^{10} + a_1 x^9 + a_2 x^8 + \dots + a_8 x^2 + a_9 x + a_{10} = 0\]ก็คือ $r_1,$ $r_2,$ $\dots,$ $r_{10}$ เช่นกัน จงหาจำนว... | ให้ $r$ เป็นรากจำนวนเต็มของพหุนามตัวแรก $p(x) = a_{10} x^{10} + a_9 x^9 + a_8 x^8 + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0,$ ดังนั้น
\[a_{10} r^{10} + a_9 r^9 + \dots + a_1 r + a_0 = 0.\]เนื่องจาก $a_0$ ไม่เท่ากับ 0, $r$ ไม่สามารถเท่ากับ 0 ได้ ดังนั้น เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $r^{10},$ เพื่อให้ได้
\[a_{10} + a_9 \cdot \f... | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)=2x+1$ จงหาผลรวมของค่า $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $f^{-1}(x)=f(x^{-1})$ | เพื่อหา $f^{-1}$ เราแทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ ซึ่งจะได้ \[f(f^{-1}(x))=2f^{-1}(x)+1.\]เนื่องจาก $f(f^{-1}(x))=x$ สมการนี้จึงเทียบเท่ากับ \[x=2f^{-1}(x)+1,\]ซึ่งสามารถลดรูปได้เป็น \[f^{-1}(x)=\frac{x-1}2.\]ถ้าเราสมมติว่า $x$ เป็นคำตอบของ $f^{-1}(x)=f(x^{-1})$ เราจะได้ \[\frac{x-1}2=\frac 2x+1=\frac{2+x}x.\]ก... | -\frac{-3}{1}=\boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้
\[f(x) = \frac{ax}{x + 1}.\]จงหาค่าคงตัว $a$ ที่ทำให้ $f(f(x)) = x$ สำหรับทุกค่า $x \neq -1.$ | เรามี
\begin{align*}
f(f(x)) &= f \left( \frac{ax}{x + 1} \right) \\
&= \frac{a \cdot \frac{ax}{x + 1}}{\frac{ax}{x + 1} + 1} \\
&= \frac{a^2 x}{ax + x + 1}.
\end{align*}เราต้องการ
\[\frac{a^2 x}{ax + x + 1} = x\]สำหรับ $x \neq -1.$ จะได้
\[a^2 x = ax^2 + x^2 + x.\]เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ เราได้ $a^2 = 1$ และ $a + 1 = ... | a = \boxed{-1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณของรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงของสมการ $x^4-4x^3+6x^2-4x=2005.$ | เราสังเกตเห็นส่วนหนึ่งของการกระจายของ $(x-1)^4$ ทางด้านซ้ายมือ เพิ่ม 1 ทั้งสองข้าง เราได้ \[x^4-4x^3+6x^2-4x+1=2006,\]ซึ่งหมายความว่า $(x-1)^4 = 2006.$ ดังนั้น \[x-1 = \sqrt[4]{2006}, i\sqrt[4]{2006}, -\sqrt[4]{2006}, -i\sqrt[4]{2006}.\]เนื่องจากเราต้องการรากที่ไม่ใช่จำนวนจริง เราจึงพิจารณาเฉพาะราก \[ x = 1 \pm i\sqrt[... | (x-1)^4 = 2006. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $p(x)$ เป็นพหุนามเอกซ์โมนิคดีกรี 4 ซึ่ง $p(1) = 17,$ $p(2) = 34,$ และ $p(3) = 51.$ จงหา $p(0) + p(4).$ | กำหนดให้ $f(x) = p(x) - 17x.$ ดังนั้น $f(1) = f(2) = f(3) = 0.$ นอกจากนี้ $f(x)$ เป็นพหุนามเอกซ์โมนิคดีกรี 4 ดังนั้น
\[f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - r),\]สำหรับจำนวนจริง $r$ ใดๆ. ดังนั้น
\[p(x) = f(x) + 17x = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - r) + 17x.\]ดังนั้น
\begin{align*}
p(0) + p(4) &= (0 - 1)(0 - 2)(0 - 3)(0 - r) +... | 92 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวกที่ทำให้ $5x^2 + 10xy = x^3 + 2x^2 y$ จงหาค่าของ $x$ | สังเกตว่าเราสามารถแยกตัวประกอบ $5x$ ออกจากพจน์ทางซ้ายมือได้เป็น $5x(x+2y)$ เช่นเดียวกัน เราสามารถแยกตัวประกอบ $x^2$ ออกจากพจน์ทางขวามือได้เป็น $x^2(x+2y)$ ดังนั้นเราจึงมี $5x(x+2y) = x^2(x+2y)$ เนื่องจาก $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวก เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $x(x+2y)$ ได้อย่างปลอดภัย ซึ่งจะได้ $x = \boxed{5}$ | x = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่
\[a + b + c = ab + ac + bc = abc = 1.\]จงใส่ค่า $a,$ $b,$ $c$ ที่คั่นด้วยจุลภาค ในลำดับใดก็ได้ | จากสูตรของ Vieta's $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของ
\[x^3 - x^2 + x - 1 = 0.\]เราสามารถเขียนได้เป็น $x^2 (x - 1) + (x - 1) = 0,$ หรือ $(x - 1)(x^2 + 1) = 0.$ รากคือ $\boxed{1,i,-i}.$ | \boxed{1,i,-i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บริเวณระหว่างกราฟของ $y = f (x)$ และแกน $x$ ซึ่งถูกแรเงาในรูปนี้ มีพื้นที่ 10 ตารางหน่วย พื้นที่ระหว่างกราฟของ $y = 3f (x -2)$ และแกน $x$ จะมีค่าเท่าใด?
[asy]
defaultpen(linewidth(0.75));
fill((10,0)..(30,20)..(40,15)--(50,40)..(58,39)--(70,0)--cycle,gray(.7));
draw((10,0)..(30,20)..(40,15)--(50,40)..(58,39)--(70,0)--... | กราฟของ $y=f(x-2)$ คือ กราฟของ $y=f(x)$ ที่เลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าถ้า $(a,b)$ เป็นจุดบนกราฟของ $y=f(x)$ แล้ว $(a+2,b)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x-2)$ จากนั้นกราฟของ $y=3f(x-2)$ คือ กราฟของ $y=f(x-2)$ ที่ปรับขนาดโดยปัจจัย 3 ในทิศทางแนวตั้ง เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าถ้า $(a,b)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x-2)... | \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $2(x^2 + y^2) = x + y.$ จงหาค่าสูงสุดของ $x - y.$ | เราสามารถเขียน $2(x^2 + y^2) = x + y$ เป็น $2x^2 + 2y^2 = x + y.$ แล้ว $2x^2 + 4xy + 2y^2 = x + y + 4xy,$ ดังนั้น
\[4xy = 2(x^2 + 2xy + y^2) - (x + y) = 2(x + y)^2 - (x + y).\]นอกจากนี้,
\begin{align*}
(x - y)^2 &= x^2 - 2xy + y^2 \\
&= (x + y)^2 - 4xy \\
&= (x + y) - (x + y)^2.
\end{align*}ทำการเติมกำลังสองใน $x + y,$... | \boxed{\frac{1}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมมติว่ารากของ $x^3+3x^2+4x-11=0$ คือ $a$, $b$, และ $c$ และรากของ $x^3+rx^2+sx+t=0$ คือ $a+b$, $b+c$, และ $c+a$ จงหาค่า $t$ | โดยสูตรของ Vieta's \[t = -(a+b)(b+c)(c+a).\]จากพหุนามลูกบาศก์สมการแรก เราได้ว่า $a+b+c=-3$ ใช้สมการนี้เราสามารถเขียนใหม่ค่า $t$ เป็น \[t = -(-3-c)(-3-a)(-3-b).\]เพื่อคำนวณค่านี้ได้อย่างรวดเร็ว ให้สังเกตว่า สำหรับ $x$ ใดๆ \[x^3 + 3x^2 + 4x - 11 = (x-a)(x-b)(x-c)\]โดยทฤษฎีบทปัจจัย แทน $x = -3$ เราได้ \[(-3)^3 + 3(-3)^2 ... | t = -(-23) = \boxed{23} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณค่าที่แน่นอนของนิพจน์
\[|\pi - |\pi - 7||.\]เขียนคำตอบของคุณโดยใช้เฉพาะจำนวนเต็มและ $\pi,$ โดยไม่มีเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ | เนื่องจาก $\pi < 7,$
\[|\pi - 7| = 7 - \pi.\]ดังนั้น,
\[|\pi - |\pi - 7|| = |\pi - (7 - \pi)| = |2 \pi - 7|.\]เราทราบว่า $\pi \approx 3.1416 < \frac{7}{2},$ ดังนั้น
\[|2 \pi - 7| = \boxed{7 - 2 \pi}.\] | \pi \approx 3.1416 < \frac{7}{2}, | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $x + y + z = 1.$ จงหาค่าสูงสุดของ $x^3 y^2 z.$ | โดย AM-GM,
\begin{align*}
x + y + z &= \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{y}{2} + z \\
&\ge 6 \sqrt[6]{\frac{x^3 y^2 z}{108}}.
\end{align*}เนื่องจาก $x + y + z = 1,$ จะได้
\[x^3 y^2 z \le \frac{108}{6^6} = \frac{1}{432}.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = z.$ ร่วมกับเงื่อน... | \boxed{\frac{1}{432}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c,$ $d$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4.\]จงหาค่าสูงสุดของ $a^3 + b^3 + c^3 + d^3.$ | จากสมการ $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4,$ จะได้ว่า $a^2 \le 4,$ ดังนั้น $a \le 2,$ หรือ $2 - a \ge 0.$ ดังนั้น
\[(2 - a) a^2 \ge 0,\]ดังนั้น $a^3 \le 2a^2.$ ทำนองเดียวกัน $b^3 \le 2b^2,$ $c^3 \le 2c^2,$ และ $d^3 \le 2d^2.$ นำอสมการทั้งหมดมาบวกกัน จะได้
\[a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \le 2(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) = 8.\]สมการเกิด... | \boxed{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แก้สมการอสมการ
\[-4x^2 + 7x + 2 < 0.\] | สมการอสมการตัวประกอบได้เป็น
\[-(4x + 1)(x - 2) < 0.\]ดังนั้นคำตอบคือ $x \in \boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{4} \right) \cup (2,\infty)}.$ | x \in \boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{4} \right) \cup (2,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, และ $c$ เป็นรากที่ 3 ของ $x^3-x+1=0$ จงหาค่าของ $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$ | เราสามารถแทน $x=y-1$ เพื่อให้ได้พหุนามที่มีราก $a+1$, $b+1$, $c+1$ นั่นคือ
\[(y-1)^3-(y-1)+1=y^3-3y^2+2y+1.\]ผลบวกของส่วนกลับของรากของพหุนามนี้ โดยใช้สูตรของ Vieta's คือ $\frac{2}{-1}=\boxed{-2}$ | \frac{2}{-1}=\boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุด $(6,12)$ และพาราโบลาที่กำหนดโดยสมการ $x = \frac{y^2}{2}.$ | ให้ $P = \left( \frac{a^2}{2}, a \right)$ เป็นจุดบนพาราโบลา เราจะหาสมการของเส้นสัมผัสกับพาราโบลาที่จุด $P$ ก่อน
[asy]
unitsize(0.5 cm);
real y;
pair P = (8,4);
path parab = ((-5)^2/2,-5);
for (y = -5; y <= 5; y = y + 0.01) {
parab = parab--(y^2/2,y);
}
draw(parab,red);
draw((P + (-4,-4/4))--(P + (4,4/4)),dashed... | \sqrt{(8 - 6)^2 + (4 - 12)^2} = \boxed{2 \sqrt{17}}. | [
"unknown"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[(12 - x)(10 - x)(12 + x)(10 + x).\] | ขยายและเติมกำลังสอง เราได้
\begin{align*}
(12 - x)(10 - x)(12 + x)(10 + x) &= (10 + x)(10 - x)(12 + x)(12 - x) \\
&= (100 - x^2)(144 - x^2) \\
&= x^4 - 244x^2 + 14400 \\
&= (x^2 - 122)^2 - 484.
\end{align*}ค่าต่ำสุดของ $\boxed{-484}$ เกิดขึ้นที่ $x = \pm \sqrt{122}.$ | x = \pm \sqrt{122}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมมติว่ากราฟของ \[2x^2 + y^2 + 8x - 10y + c = 0\]ประกอบด้วยจุดเดียว (ในกรณีนี้ เรียกกราฟว่าวงรีเสื่อม) จงหา $c.$ | เราพยายามเขียนสมการที่กำหนดให้อยู่ในรูปมาตรฐานสำหรับวงรี โดยการเติมกำลังสองในตัวแปรทั้งสอง เราได้ \[\begin{aligned} 2(x^2+4x) + (y^2-10y) + c &= 0 \\ 2(x^2+4x+4) + (y^2-10y+25) + c &= 33 \\ 2(x+2)^2 + (y-5)^2 &= 33-c. \end{aligned}\]เพื่อให้สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน เราปกติจะพยายามหารด้วย $33-c,$ และถ้า $33-c>0,$ แล้วเร... | c=\boxed{33}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสมการเส้นกำกับเอียงของกราฟของ $\frac{2x^2+7x+10}{2x+3}$?
ใส่นิพจน์คำตอบในรูป $y = mx + b.$ | การหารพหุนามให้ผลลัพธ์
\[
\begin{array}{c|ccc}
\multicolumn{2}{r}{x} & +2 \\
\cline{2-4}
2x+3 & 2x^2&+7x&+10 \\
\multicolumn{2}{r}{2x^2} & +3x & \\
\cline{2-3}
\multicolumn{2}{r}{0} & 4x & +10 \\
\multicolumn{2}{r}{} & 4x & +6 \\
\cline{3-4}
\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 4 \\
\end{array}
\]ดังนั้น เราสามารถเขียนได้ว่... | \boxed{y = x+2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $(u_n)$ เป็นลำดับของจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับ
\[u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n\]และ $u_3=9$ และ $u_6=128$ จงหาค่าของ $u_5$ | ให้ $u_4 = a.$ แล้ว $u_5 = 2u_4 + u_3 = 2a + 9$ และ $u_6 = 2u_5 + u_4 = 2(2a + 9) + a = 5a + 18 = 128.$ แก้สมการหาค่า $a,$ เราได้ $a = 22,$ ดังนั้น $u_5 = 2 \cdot 22 + 9 = \boxed{53}.$ | u_5 = 2 \cdot 22 + 9 = \boxed{53}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[f(x + y) = f(x) + f(y)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด และ $f(4) = 5.$ จงหา $f(5).$ | เราสามารถเขียนได้
\begin{align*}
f(4) &= f(3) + f(1) \\
&= f(2) + f(1) + f(1) \\
&= f(1) + f(1) + f(1) + f(1),
\end{align*}ดังนั้น $4f(1) = 5,$ ซึ่งหมายความว่า $f(1) =\frac{5}{4}.$ ดังนั้น,
\[f(5) = f(1) + f(4) = 5 + \frac{5}{4} = \boxed{\frac{25}{4}}.\] | f(1) =\frac{5}{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนามลูกบาศก์ $p(x)$ สอดคล้องกับ
\[p(n) = \frac{1}{n^2}\]สำหรับ $n = 1, 2, 3,$ และ $4.$ จงหา $p(5).$ | ให้ $q(x) = x^2 p(x) - 1.$ แล้ว $q(x)$ เป็นพหุนามดีกรี 5 และ $q(n) = 0$ สำหรับ $n = 1,$ 2, 3, และ 4, ดังนั้น
\[q(x) = (ax + b)(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)\]สำหรับค่าคงที่ $a$ และ $b$ บางค่า.
เราทราบว่า $q(0) = 0^2 \cdot p(0) - 1 = -1.$ แต่การตั้งค่า $x = 0$ ในสมการข้างต้น เราจะได้
\[q(0) = 24b,\]ดังนั้น $b = -\frac{... | p(x) = \frac{q(5) + 1}{25} = \boxed{-\frac{5}{12}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $a_1 = a_2 = a_3 = 1.$ สำหรับ $n > 3,$ กำหนดให้ $a_n$ เป็นจำนวนของจำนวนจริง $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ
\[x^4 - 2a_{n - 1} x^2 + a_{n - 2} a_{n - 3} = 0.\]จงคำนวณผลรวม $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{1000}.$ | พิจารณาสมการกำลังสี่ของรูปแบบ $x^4 - 2px^2 + q = 0,$ โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ เราสามารถเขียนสมการนี้ใหม่ในรูป
\[(x^2 - p)^2 = p^2 - q.\]$\bullet$ ถ้า $p^2 - q < 0,$ จะมีรากจริง 0 ตัว
$\bullet$ ถ้า $p^2 - q = 0$ และ $p = 0$ (ดังนั้น $p = q = 0$), จะมีรากจริง 1 ตัว คือ $x = 0.$
$\bullet$ ถ้า $p^2 - ... | 2329 | [
"จำแนก",
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $b$ ทั้งหมดที่ทำให้ระบบสมการต่อไปนี้มีคำตอบ $(x,y)$ ในจำนวนจริง:
\begin{align*}
\sqrt{xy} &= b^b, \\
\log_b (x^{\log_b y}) + \log_b (y^{\log_b x}) &= 4b^4.
\end{align*} | กำหนด $m = \log_b x$ และ $n = \log_b y.$ ดังนั้น $x = b^m$ และ $y = b^n.$ แทนค่าลงในสมการแรก เราจะได้
\[\sqrt{b^m \cdot b^n} = b^b,\]ดังนั้น $b^{m + n} = b^{2b},$ ซึ่งหมายถึง $m + n = 2b.$
สมการที่สองจะกลายเป็น
\[\log_b (b^{mn}) + \log_b (b^{mn}) = 4b^4,\]ดังนั้น $2mn = 4b^4,$ หรือ $mn = 2b^4.$
จากอสมการสามเหลี่ยม ... | \boxed{\left( 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right]}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของคำตอบจริงทั้งหมดของสมการ \[\sqrt{x} + \sqrt{\frac{4}{x}} + \sqrt{x + \frac{4}{x}} = 6.\] | เราต้องการยกกำลังสองสมการเพื่อกำจัดรากที่สอง ในการทำเช่นนั้น เราจะย้ายพจน์ $\sqrt{x+\frac4x}$ ไปทางขวามือ ก่อน ซึ่งจะได้ \[\sqrt{x} + \sqrt{\frac{4}{x}} = 6 - \sqrt{x+\frac{4}{x}}.\]ตอนนี้เราเห็นว่าการยกกำลังสองจะทำให้เกิดพจน์ร่วมกันมากมายที่ด้านซ้ายและขวา ซึ่งจะถูกยกเลิก: \[\begin{aligned} \\ \left(\sqrt{x} + \sqrt{\... | 64/9 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[f(x) + 2f(1 - x) = 3x^2\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด จงหา $f(3).$ | แทน $x = 3$ จะได้
\[f(3) + 2f(-2) = 27.\]แทน $x = -2$ จะได้
\[f(-2) + 2f(3) = 12.\]แก้สมการนี้เป็นระบบสมการใน $f(3)$ และ $f(-2)$ จะได้ $f(3) = \boxed{-1}$ และ $f(-2) = 14.$ | f(-2) = 14. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A = (-3, 0),$ $B=(-2,1),$ $C=(2,1),$ และ $D=(3,0).$ สมมติว่าจุด $P$ สอดคล้องกับ \[PA + PD = PB + PC = 8.\]แล้วพิกัด $y$ ของ $P,$ เมื่อทำให้ง่ายที่สุด, สามารถแสดงในรูป $\frac{-a + b \sqrt{c}}{d},$ โดยที่ $a,$ $b,$ $c,$ $d$ เป็นจำนวนเต็มบวก. จงหา $a + b + c + d.$ | เนื่องจาก $PA + PD = 8,$ จุด $P$ ต้องอยู่บนวงรีที่มีจุดโฟกัสที่ $A$ และ $D,$ และแกนเอกมีขนาด 8. เนื่องจากระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสคือ $3 - (-3) = 6,$ แกนรองมีขนาด $\sqrt{8^2 - 6^2} = 2\sqrt{7}.$ ดังนั้นเซมิ-แกนมีขนาด 4 และ $\sqrt{7},$ ตามลำดับ, และจุดศูนย์กลางของวงรีคือ $(0,0),$ ดังนั้นสมการของวงรีนี้คือ \[\frac{x^2}{16}... | 7 + 2 + 21 + 5 = \boxed{35}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $(1 + i)^4.$ | เรามีว่า
\[(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i,\]ดังนั้น $(1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = \boxed{-4}.$ | (1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = \boxed{-4}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $f(x) = |g(x^3)|$ ถ้า $g$ เป็นฟังก์ชันคี่ $f$ เป็นฟังก์ชันคี่, ฟังก์ชันคู่ หรือไม่เป็นทั้งสองอย่าง?
ใส่ "คี่", "คู่" หรือ "ไม่เป็นทั้งสองอย่าง" | $$f(-x) = |g((-x)^3)| = |g(-x^3)|$$เนื่องจาก $g$ เป็นฟังก์ชันคี่ $g(-x) = -g(x)$ ดังนั้น,
$$f(-x) = |-g(x^3)| = |g(x^3)| = f(x).$$ดังนั้น $f$ เป็น $\boxed{\text{คู่}}$. | \boxed{\text{คู่}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง หนึ่งในรากของสมการ
\[x^3 + ax^2 - x + b = 0\]คือ $1 - 2i.$ จงหาคู่ลำดับ $(a,b).$ | เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพหุนามเป็นจำนวนจริง อีกหนึ่งรากคือสังยุคของ $1 - 2i$ นั่นคือ $1 + 2i.$ ให้ $r$ เป็นรากที่สาม แล้วพหุนามคือ
\[(x - 1 + 2i)(x - 1 - 2i)(x - r) = x^3 - (r + 2)x^2 + (2r + 5)x - 5r.\]ดังนั้น $2r + 5 = -1$ ดังนั้น $r = -3.$ ดังนั้น $a = -(r + 2) = 1$ และ $b = -5r = 15$ ดังนั้น $(a,b) = \boxed{(1,15... | (a,b) = \boxed{(1,15)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ
\[f(f(x) + y) = f(x^2 - y) + 4f(x) y\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด
ให้ $n$ เป็นจำนวนของค่าที่เป็นไปได้ของ $f(3)$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(3)$ จงหา $n \times s.$ | กำหนดให้ $y = \frac{x^2 - f(x)}{2}.$ แล้ว
\[f \left( f(x) + \frac{x^2 - f(x)}{2} \right) = f \left( x^2 - \frac{x^2 - f(x)}{2} \right) + 4f(x) \cdot \frac{x^2 - f(x)}{2}.\]เมื่อทำให้ง่ายขึ้น เราได้
\[f \left( \frac{x^2 + f(x)}{2} \right) = f \left( \frac{x^2 + f(x)}{2} \right) + 2f(x) (x^2 - f(x)),\]ดังนั้น $f(x) (x^2... | n \times s = \boxed{18}. | [
"unknown"
] |
จงหาผลคูณของรากของสมการ \[(2x^3 + x^2 - 8x + 20)(5x^3 - 25x^2 + 19) = 0.\] | เมื่อคูณพหุนามทางซ้ายมือออก จะได้พหุนามดีกรี 6 ตามสูตรของเวียตา ผลคูณของรากถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ของ $x^6$ และพจน์คงตัว สัมประสิทธิ์ของ $x^6$ คือ $2 \cdot 5 = 10$ และพจน์คงตัวคือ $20 \cdot 19 = 380$ ดังนั้น ผลคูณของรากคือ $\tfrac{380}{10} = \boxed{38}.$ | \tfrac{380}{10} = \boxed{38}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{(x^2 + 3x + 1)(y^2 + 3y + 1)(z^2 + 3z + 1)}{xyz}.\] | โดย AM-GM,
\[x^2 + 1 \ge 2x,\]ดังนั้น
\[\frac{x^2 + 3x + 1}{x} \ge \frac{5x}{x} = 5.\]ทำนองเดียวกัน,
\[\frac{y^2 + 3y + 1}{y} \ge 5\]และ
\[\frac{z^2 + 3z + 1}{z} \ge 5,\]ดังนั้น
\[\frac{(x^2 + 3x + 1)(y^2 + 3y + 1)(z^2 + 3z + 1)}{xyz} \ge 125.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x = y = z = 1,$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\boxed{125}.$ | \boxed{125}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง $|z| = 2$ จงหาระยะห่างที่มากที่สุดระหว่าง $(3 + 4i)z^3$ และ $z^5$ เมื่อพล็อตในระนาบเชิงซ้อน | เราต้องการเพิ่มค่าสูงสุดของ
\[|(3 + 4i)z^3 - z^5| = |z^3| |3 + 4i - z^2| = |z|^3 |3 + 4i - z^2| = 8 |3 + 4i - z^2|.\]换句话说，我们希望最大化 $3 + 4i$ 和 $z^2$ 之间的距离。
เนื่องจาก $|z| = 2,$ เซตของจำนวนเชิงซ้อนที่มีรูปแบบ $z^2$ จะอยู่บนวงกลมที่มีรัศมี $|z|^2 = 4.$ ระยะห่างระหว่าง $3 + 4i$ และ $z^2$ จะมากที่สุดเมื่อ $z^2$ อยู่บนเส้นตร... | 8 \cdot 9 = \boxed{72}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = x^2-3x$ จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $f(f(x)) = f(x)$ แสดงคำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | การขยาย $f(f(x)) = f(x)$ จะได้ $$(x^2-3x)^2-3(x^2-3x)=x^2-3x.$$แทนที่จะขยาย เราสามารถลบ $x^2-3x$ จากทั้งสองข้างเพื่อให้ได้ $$(x^2-3x)^2-4(x^2-3x)=0.$$การแยกตัวประกอบ $x^2-3x$ จะได้ $(x^2-3x)(x^2-3x-4)=0$. การแยกตัวประกอบแต่ละกำลังสอง เราจะได้ $$x(x-3)(x+1)(x-4)=0.$$ดังนั้น ค่าของ $x$ คือ $\boxed{0, 3, -1, 4}$. | \boxed{0, 3, -1, 4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดวงกลม $C_1$ และ $C_2$ โดยสมการ $x^2 + y^2 = 1$ และ $(x - 2)^2 + y^2 = 16$ ตามลำดับ จงหาสถานที่ของจุดศูนย์กลาง $(a,b)$ ของวงกลมทั้งหมดที่สัมผัสภายนอกกับ $C_1$ และสัมผัสภายในกับ $C_2$ แสดงคำตอบของคุณในรูป
\[Pa^2 + Qb^2 + Ra + Sb + T = 0,\]โดยที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม $P$ เป็นบวก และ $\gcd(|P|,|Q|,|R|,|S|,... | ให้ $(a,b)$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่สัมผัสกับ $C_1$ และ $C_2$ และให้ $r$ เป็นรัศมี
[asy]
unitsize(1 cm);
pair A, B, O, P, Q;
O = (0,0);
P = (2,0);
Q = (1,sqrt(21)/2);
A = intersectionpoint(O--Q,Circle(Q,1.5));
B = intersectionpoint(Q--interp(P,Q,2),Circle(Q,1.5));
draw(Circle(O,1));
draw(Circle(P,4));
draw(Circl... | \boxed{84a^2 + 100b^2 - 168a - 441 = 0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $\mathcal P$ เป็นพาราโบลา และให้ $V_1$ และ $F_1$ เป็นจุดยอดและจุดโฟกัสของพาราโบลาตามลำดับ ให้ $A$ และ $B$ เป็นจุดบน $\mathcal P$ โดยที่ $\angle AV_1 B = 90^\circ$ ให้ $\mathcal Q$ เป็นสถานที่ของจุดกึ่งกลางของ $\overline{AB}$ ปรากฏว่า $\mathcal Q$ เป็นพาราโบลาเช่นกัน และให้ $V_2$ และ $F_2$ แทนจุดยอดและจุดโฟก... | เนื่องจากพาราโบลาทั้งหมดคล้ายกัน เราจึงสมมติได้ว่า $\mathcal P$ เป็นเส้นโค้ง $y = x^2$ ดังนั้น $V_1 = (0,0).$ จากนั้น ถ้า $A = (a, a^2)$ และ $B = (b, b^2)$ ความชันของเส้น $AV_1$ คือ $a$ และความชันของเส้น $BV_1$ คือ $b$ เนื่องจาก $\angle AV_1 B = 90^\circ,$ $ab = -1$. จากนั้น จุดกึ่งกลางของ $\overline{AB}$ คือ \[
\lef... | \frac{F_1F_2}{V_1V_2} = \boxed{\frac78} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
หนึ่งในรากของ $z^2 = -55 + 48i$ คือ $3 + 8i.$ รากอีกตัวคืออะไร? | รากอีกตัวเป็นเพียงค่าลบของ $3 + 8i$ ซึ่งก็คือ $\boxed{-3 - 8i}.$ | \boxed{-3 - 8i}. | [
"วิเคราะห์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $6x^4-14x^3-4x^2+2x-26$ หารด้วย $2x - 6.$ | เนื่องจาก $2x - 6 = 2(x - 3)$ ตามทฤษฎีบทเศษเหลือ เราสามารถหาเศษเหลือได้โดยการแทน $x = 3$ ดังนั้น เศษเหลือคือ
\[6 \cdot 3^4 - 14 \cdot 3^3 - 4 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 - 26 = \boxed{52}.\] | 52 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = x|x|.$ จงหา $f^{-1}(4) + f^{-1}(-100).$ | เราสามารถเขียน $f(x)$ ได้ดังนี้:
\[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
x^2 & \text{ถ้า $x > 0$}, \\
0 & \text{ถ้า $x = 0$}, \\
-x^2 & \text{ถ้า $x < 0$}.
\end{array}
\right.\]ดังนั้น $f^{-1}(4) + f^{-1}(-100) = 2 + (-10) = \boxed{-8}.$ | f^{-1}(4) + f^{-1}(-100) = 2 + (-10) = \boxed{-8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเซตของจำนวนจริงที่ทำให้ฟังก์ชัน $g(x) = \frac{x^3-2x^2+4x+3}{x^2-4x+3}$ มีค่านิยาม. เขียนคำตอบในรูปของการรวมช่วงของจำนวนจริง | กำหนดให้ $p(x) = x^2-4x+3$. จำนวน $c$ จะไม่อยู่ในเซตของจำนวนจริงที่ทำให้ฟังก์ชัน $g$ มีค่านิยาม ก็ต่อเมื่อ $p(c) = 0$. ดังนั้นเราได้
$$c^2-4c+3=0.$$การแยกตัวประกอบจะได้
$$(c-3)(c-1) = 0.$$การแก้สมการหา $c$ จะได้ $1$ และ $3$. ดังนั้น เซตของจำนวนจริงที่ทำให้ฟังก์ชัน $g$ มีค่านิยามคือ $\boxed{(-\infty, 1) \cup (1, 3) \cup... | \boxed{(-\infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a_1,$ $a_2,$ $a_3$ เป็นสามพจน์แรกของลำดับเรขาคณิต ถ้า $a_1 = 1$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $4a_2 + 5a_3$ | กำหนดให้ $r$ เป็นอัตราส่วนร่วม แล้ว $a_2 = r$ และ $a_3 = r^2$ ดังนั้น
\[4a_2 + 5a_3 = 4r + 5r^2 = 5 \left( r + \frac{2}{5} \right)^2 - \frac{4}{5}.\]ดังนั้น ค่าต่ำสุดคือ $\boxed{-\frac{4}{5}}$ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $r = -\frac{2}{5}.$ | r = -\frac{2}{5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง
\[z^2 + |z|^2 = 3 - 5i.\]จงหา $|z|^2.$ | กำหนดให้ $z = a + bi,$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น $z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2$ และ $|z|^2 = a^2 + b^2,$ ดังนั้น
\[a^2 + 2abi - b^2 + a^2 + b^2 = 3 - 5i.\]เมื่อเทียบส่วนจริงและส่วนจินตภาพ เราได้
\begin{align*}
2a^2 &= 3, \\
2ab &= -5.
\end{align*}จากสมการแรก $a^2 = \frac{3}{2}.$ จากสมการที่สอง,
\... | a^2 = \frac{3}{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x_1,$ $x_2,$ $x_3$ เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 60.$ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ
\[x_1^2 + x_2^2 + x_3^2.\] | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(1 + 4 + 9)(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) \ge (x_1 + 2x_2 + 3x_3)^2 = 60^2,\]ดังนั้น $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \ge \frac{3600}{14} = \frac{1800}{7}.$
สมการเกิดขึ้นเมื่อ $x_1 = \frac{x_2}{2} = \frac{x_3}{3}$ และ $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 60.$ เราสามารถแก้สมการได้ $x_1 = \frac{30}{7},$ $x_2 = \frac{60}{7},$... | \boxed{\frac{1800}{7}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สำหรับค่า $c$ กี่ค่าในช่วง $[0, 1000]$ สมการ \[7 \lfloor x \rfloor + 2 \lceil x \rceil = c\]มีคำตอบสำหรับ $x$? | เราพยายามแก้สมการสำหรับค่าทั่วไปของ $c.$ ถ้า $x$ เป็นจำนวนเต็ม แล้ว $\lfloor x\rfloor = \lceil x \rceil = x,$ ดังนั้นเราได้สมการ \[ 7x + 2x = c,\]ดังนั้น $x = \frac{c}{9}.$ เนื่องจาก $x$ เป็นจำนวนเต็มในกรณีนี้ คำตอบนี้ मान्य ถ้าหาก $c$ เป็นพหุคูณของ $9.$
ถ้า $x$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม แล้ว $\lceil x \rceil = \lfloor x\rfloo... | c. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดสมการ
\[x^5 - x^2 - x - 1 = p_1(x) p_2(x) \dotsm p_k(x),\]โดยที่ $p_i(x)$ เป็นพหุนามไม่คงตัวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และมีดีกรีเป็น 1 ซึ่งไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีกในจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $p_1(2) + p_2(2) + \dots + p_k(2).$ | เราสามารถแยกตัวประกอบได้โดยการจับคู่ $x^5$ และ $-x,$ และ $-x^2$ และ $-1$:
\begin{align*}
x^5 - x^2 - x - 1 &= (x^5 - x) - (x^2 + 1) \\
&= x(x^4 - 1) - (x^2 + 1) \\
&= x(x^2 + 1)(x^2 - 1) - (x^2 + 1) \\
&= (x^2 + 1)(x^3 - x - 1).
\end{align*}ถ้า $x^3 - x - 1$ แยกตัวประกอบได้อีก ก็ต้องมีตัวประกอบเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่าม... | (2^2 + 1) + (2^3 - 2 - 1) = \boxed{10}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ที่ค่าใดของ $a$ กราฟของ $y=ax^2+3x+1$ และ $y=-x-1$ ตัดกันที่จุดเดียว? | กราฟของ $y=ax^2+3x+1$ และ $y=-x-1$ ตัดกันที่จุดเดียวเมื่อสมการ
$$ax^2+3x+1=-x-1$$มีคำตอบเดียว สมการนี้จะลดรูปเป็น $ax^2+4x+2=0$ ซึ่งมีคำตอบเดียวเมื่อค่าพจน์ discriminant เท่ากับ 0, กล่าวคือ,
$$4^2-4(a)(2)=0.$$แก้สมการหา $a$ จะได้ $a=\boxed{2}$. | a=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพื้นที่ของวงรีที่กำหนดโดย $x^2 + 6x + 4y^2 - 8y + 9 = 0.$ | ทำให้สมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์ใน $x$ และ $y,$ เราได้
\[(x + 3)^2 + 4(y - 1)^2 = 4.\]ดังนั้น
\[\frac{(x + 3)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{1} = 1,\]แกนกึ่งเอกมีค่า 2, แกนกึ่งโทมีค่า 1 และพื้นที่มีค่า $\boxed{2 \pi}.$ | \boxed{2 \pi}. | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
คอลเลกชันของบัตรที่ถูกจัดลำดับหมายเลข มีบัตรหนึ่งใบที่มีหมายเลข 1, บัตรสองใบที่มีหมายเลข 2 และอื่นๆ ไปจนถึง $n$ ใบที่มีหมายเลข $n$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ จงหา $n$ ถ้าค่าเฉลี่ยของบัตรในคอลเลกชันนี้คือ 2017 | จำนวนของบัตรคือ $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ และผลรวมของค่าของบัตรทั้งหมดคือ
\[1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}.\]ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของบัตรคือ
\[\frac{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}}{\frac{n(n + 1)}{2}} = \frac{2n + 1}{3}.\]กำหนดให้ค่านี้เท่ากับ 2017 และแก้สมการ เราจะได้ $n = \boxed... | n = \boxed{3025}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)=ax^2+bx+c$ โดยที่ $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม สมมติว่า $f(1)=0$, $50<f(7)<60$, $70<f(8)<80$, $5000k<f(100)<5000(k+1)$ สำหรับจำนวนเต็ม $k$ כלשהשהו จงหาค่าของ $k$ | จาก $f(1) = 0,$ $a + b + c = 0,$ ดังนั้น $c = -a - b.$ แล้ว
\[f(7) = 49a + 7b + c = 48a + 6b = 6(8a + b),\]ดังนั้นจาก $50 < f(7) < 60,$
\[50 < 6(8a + b) < 60.\]ผลคูณของ 6 ที่อยู่ในช่วงนี้คือ 54 ซึ่งนำไปสู่ $8a + b = 9.$
นอกจากนี้,
\[f(8) = 64a + 8b + c = 63a + 7b = 7(9a + b),\]ดังนั้นจาก $70 < f(8) < 80,$
\[70 < 7(9a... | k = \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดโฟกัสของพาราโบลา $x = -\frac{1}{12} y^2.$ | ความทรงจำว่าพาราโบลาถูกกำหนดให้เป็นเซตของจุดทั้งหมดที่ห่างจากจุดโฟกัส $F$ และไดเร็คทริกซ์เท่ากัน
เนื่องจากพาราโบลา $x = -\frac{1}{12} y^2$ สมมาตรรอบแกน $x$ จุดโฟกัสอยู่ที่จุดที่มีรูปแบบ $(f,0).$ ให้ $x = d$ เป็นสมการของไดเร็คทริกซ์
[asy]
unitsize(1.5 cm);
pair F, P, Q;
F = (-1/4,0);
P = (-1,1);
Q = (-1/4,1);
real... | \boxed{(-3,0)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนฟังก์ชัน $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับ
\[f(x + f(y)) = x + y\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด | กำหนด $x = -f(y),$ เราได้
\[f(0) = -f(y) + y,\]ดังนั้น $f(y) = y - f(0)$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด จากนั้นสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนดจะกลายเป็น
\[f(x + y - f(0)) = x + y,\]หรือ $x + y - f(0) - f(0) = x + y$ ดังนั้น $f(0) = 0$ ดังนั้น $f(x) = x$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด ฟังก์ชันนี้สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันที่กำหนด... | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณผลคูณของรากของสมการ \[x^3 - 12x^2 + 48x + 28 = 0.\] | โดยสูตรของ Vieta ผลคูณของรากเท่ากับค่าลบของสัมประสิทธิ์ของพจน์คงที่หารด้วยสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีกำลังสูงสุด ($x^3$) ดังนั้น คำตอบคือ \[\frac{-28}{1} = \boxed{-28}.\] | -28 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $x$ โดยที่ $x$ ไม่เท่ากับศูนย์ และจำนวน $\{x\},$ $\lfloor x \rfloor,$ และ $x$ เป็นลำดับเลขคณิตในลำดับนั้น (เราให้ $\{x\} = x - \lfloor x\rfloor.$) | เราต้องมี \[\lfloor x \rfloor - \{x\} = x - \lfloor x \rfloor,\]หรืออย่างง่ายคือด้านขวา \[\lfloor x \rfloor - \{x\} = \{x\}.\]ดังนั้น \[\lfloor x \rfloor = 2\{x\}.\]เนื่องจากด้านซ้ายเป็นจำนวนเต็ม $2\{x\}$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม เราทราบว่า $0 \le \{x\} < 1$ ดังนั้น $\{x\} = 0$ หรือ $\{x\} = \tfrac12$ ถ้า $\{x\} = 0$ แล้ว $\l... | x = 1 + \tfrac12 = \boxed{\tfrac32}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นพหุนามดีกรีสามที่มีสัมประสิทธิ์ชั้นนำเท่ากับ 1 และ $r$ เป็นจำนวนจริง สองรากของ $f(x)$ คือ $r + 1$ และ $r + 7$ สองรากของ $g(x)$ คือ $r + 3$ และ $r + 9$ และ
\[f(x) - g(x) = r\]สำหรับจำนวนจริง $x$ ทุกตัว จงหาค่า $r$ | โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ,
\[f(x) = (x - r - 1)(x - r - 7)(x - a)\]และ
\[g(x) = (x - r - 3)(x - r - 9)(x - b)\]สำหรับจำนวนจริง $a$ และ $b$ บางจำนวน
แล้ว
\[f(x) - g(x) = (x - r - 1)(x - r - 7)(x - a) - (x - r - 3)(x - r - 9)(x - b) = r\]สำหรับ $x$ ทุกตัว
แทน $x = r + 3$ เราได้
\[(2)(-4)(r + 3 - a) = r.\]แทน $x = r + 9$ เราได... | r = \boxed{32}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $p(x) = x^2 + bx + c,$ โดยที่ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม ถ้า $p(x)$ เป็นตัวประกอบของ $x^4 + 6x^2 + 25$ และ $3x^4 + 4x^2 + 28x + 5$ จงหาค่าของ $p(1)$ | เนื่องจาก $p(x)$ เป็นตัวประกอบของ $x^4 + 6x^2 + 25$ และ $3x^4 + 4x^2 + 28x + 5$ ดังนั้น $p(x)$ ต้องเป็นตัวประกอบของ
\[3(x^4 + 6x^2 + 25) - (3x^4 + 4x^2 + 28x + 5) = 14x^2 - 28x + 70 = 14(x^2 - 2x + 5).\]ดังนั้น $p(x) = x^2 - 2x + 5,$ และ $p(1) = 1 - 2 + 5 = \boxed{4}.$ | p(1) = 1 - 2 + 5 = \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของรากของสมการ \[x\sqrt{x} - 6x + 7\sqrt{x} - 1 = 0,\]กำหนดว่ารากทั้งหมดเป็นจำนวนจริงและไม่เป็นลบ | สมการที่กำหนดให้ไม่ใช่สมการพหุนาม ดังนั้นเราจึงไม่สามารถใช้สูตรของ Vieta ได้โดยตรง เพื่อสร้างสมการพหุนามที่เกี่ยวข้อง เราแทน $y = \sqrt{x},$ หรือ $x = y^2,$ ให้ \[y^3 - 6y^2 + 7y - 1 = 0.\]สำหรับค่าของ $y$ แต่ละค่าที่สอดคล้องกับสมการนี้ ค่าของ $x$ ที่สอดคล้องกับสมการเดิมคือ $x = y^2.$ ดังนั้นเราต้องการหาผลรวมของกำลังส... | 22 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ \[\frac{x^2}{x+1} \ge \frac{2}{x-1} + \frac{5}{4}.\] | นำพจน์ทางขวามือมารวมกัน เราจะได้ \[\frac{x^2}{x+1} \ge \frac{5x+3}{4(x-1)}.\]จากนั้นย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายมือและรวมตัวส่วนอีกครั้ง เราจะได้ \[\begin{aligned} \frac{x^2}{x+1} - \frac{5x+3}{4(x-1)} &\ge 0 \\ \frac{4x^2(x-1)-(x+1)(5x+3)}{(x+1)(x-1)} &\ge 0 \\ \frac{4x^3-9x^2-8x-3}{(x+1)(x-1)} &\ge 0. \end{aligned}\]เราพ... | x ∈ (-1, 1) ∪ [3, ∞) | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนด $f(x) = \frac{3}{2x^{6}-5}$ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่ ฟังก์ชันคี่ หรือไม่เป็นทั้งคู่และคี่?
กรอก "คี่", "คู่" หรือ "ไม่เป็นทั้งคู่และคี่" | $$f(-x) = \frac{3}{2(-x)^{6}-5} = \frac{3}{2x^{6}-5} = f(x)$$ดังนั้น $f$ เป็น $\boxed{\text{คู่}}.$ | \boxed{\text{คู่}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของนิพจน์ต่อไปนี้: $1 - 4 + 7 - 10 + 13 - \cdots - 46 + 49 - 52 + 55$ | จับคู่พจน์ละสองพจน์ เริ่มตั้งแต่พจน์แรก เราจะเห็นว่าผลบวกของแต่ละคู่คือ $-3$ มี $(49+5)/6=9$ คู่ ดังนั้นผลบวกของทุกคู่คือ $-3\cdot9=-27$ นำผลบวกนั้นมาบวกกับพจน์สุดท้ายของอนุกรม ผลรวมของอนุกรมทั้งหมดคือ $-27+55=\boxed{28}$ | -27+55=\boxed{28} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x^5 - x^4 + x^3 - px^2 + qx + 4$ หารด้วย $(x + 2)(x - 1)$ ลงตัว จงหาคู่อันดับ $(p,q)$ | โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ พหุนามจะเท่ากับ 0 เมื่อ $x = -2$ และ $x = 1$ ดังนั้น
\begin{align*}
(-2)^5 - (-2)^4 + (-2)^3 - p(-2)^2 + q(-2) + 4 &= 0, \\
1 - 1 + 1 - p + q + 4 &= 0.
\end{align*}แล้ว $-4p - 2q = 52$ และ $-p + q = -5$ แก้สมการจะได้ $(p,q) = \boxed{(-7,-12)}.$ | (p,q) = \boxed{(-7,-12)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อพหุนาม $p(x)$ หารด้วย $x + 1$ แล้วเหลือเศษ 5 เมื่อ $p(x)$ หารด้วย $x + 5$ แล้วเหลือเศษ $-7$ จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $p(x)$ หารด้วย $(x + 1)(x + 5)$ | เศษที่เหลือเมื่อ $p(x)$ หารด้วย $(x + 1)(x + 5)$ อยู่ในรูป $ax + b$ ดังนั้นเราสามารถสมมติได้ว่า
\[p(x) = (x + 1)(x + 5) q(x) + ax + b,\]โดยที่ $q(x)$ คือ thươngใน phépหาร
โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ $p(-1) = 5$ และ $p(-5) = -7$ แทน $x = -1$ และ $x = -5$ ในสมการข้างต้น เราจะได้
\begin{align*}
-a + b &= 5, \\
-5a + b &= -7.
\en... | \boxed{3x + 8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z,$ $v,$ $w$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $x^2 + y^2 + z^2 + v^2 + w^2 = 2016.$ ให้ $M$ เป็นค่าสูงสุดของ
\[xz + 2yz + 3zv + 7zw,\]และให้ $x_M,$ $y_M$, $z_M,$ $v_M,$ $w_M$ เป็นค่าของ $x,$ $y,$ $z,$ $v,$ $w,$ ตามลำดับ ที่ทำให้เกิดค่าสูงสุดของ $M.$ จงหา $M + x_M + y_M + z_M + v_M + w_M.$ | สังเกตว่า $xz + 2yz + 3zv + 7zw = z(x + 2y + 3v + 7w).$ โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\begin{align*}
x + 2y + 3v + 7w &\le \sqrt{(1 + 4 + 9 + 49)(x^2 + y^2 + v^2 + w^2)} \\
&= \sqrt{63 (x^2 + y^2 + v^2 + w^2)} \\
&= 3 \sqrt{7(2016 - z^2)},
\end{align*}ดังนั้น $z(x + 2y + 3v + 7w) \le 3z \sqrt{7(2016 - z^2)} = 3 \sqrt{7z^2... | w = 28. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง พิจารณาข้อความต่อไปนี้ 5 ข้อ:
$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$
$a^2 > b^2$
$a < b$
$a < 0$
$b < 0$
ข้อความสูงสุดที่เป็นจริงสำหรับค่าของ $a$ และ $b$ ใดๆ มีได้กี่ข้อ? | สมมติว่า $a < 0,$ $b < 0,$ และ $a < b.$ แล้ว
\[\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} > 0,\]ดังนั้น $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}.$ ดังนั้น ไม่สามารถเป็นจริงได้ทั้งหมด 5 ข้อ
ถ้าเราให้ $a = -2$ และ $b = -1,$ ข้อความทั้งหมดจะเป็นจริงยกเว้นข้อความแรก ดังนั้นจำนวนสูงสุดของข้อความที่เป็นจริงคือ $\boxed{4}.$ | \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $b,c$ เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งรากของพหุนาม $x^2-x-1$ เป็นรากของพหุนาม $x^5-bx-c$ ด้วย จงหาผลคูณ $bc$ | กำหนดให้ $r$ เป็นรากของ $x^2-x-1$ ดังนั้น เมื่อจัดรูปใหม่ จะได้
$$r^2 = r+1.$$คูณทั้งสองข้างด้วย $r$ และแทนค่า จะได้
\begin{align*}
r^3 &= r^2+r \\
&= (r+1)+r \\
&= 2r+1.
\end{align*}ทำซ้ำกระบวนการนี้สองครั้ง จะได้
\begin{align*}
r^4 &= r(2r+1) \\
&= 2r^2+r \\
&= 2(r+1)+r \\
&= 3r+2
\end{align*}และ
\begin{align*}
r^5 &... | bc = 5\cdot 3 = \boxed{15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นลำดับเลขคณิตสามพจน์ โดยที่ทุกพจน์เป็นบวก และ $abc = 64$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $b$ | โดย AM-GM,
\[\frac{a + b + c}{3} \ge \sqrt[3]{abc} = \sqrt[3]{64} = 4.\]เนื่องจาก $a,$ $b,$ $c$ เป็นลำดับเลขคณิต $\frac{a + b + c}{3} = b,$ ดังนั้น $b \ge 4.$
สมการเป็นจริงเมื่อ $a = b = c = 4$ ดังนั้นค่าที่น้อยที่สุดของ $b$ คือ $\boxed{4}.$ | \boxed{4}. | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
\[x^2 + 4x + 4x \sqrt{x + 3} = 13.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดได้เป็น
\[x^2 + 4x \sqrt{x + 3} + 4(x + 3) = 25.\]ดังนั้น
\[(x + 2 \sqrt{x + 3})^2 = 25,\]ดังนั้น $x + 2 \sqrt{x + 3} = \pm 5.$ จากนั้น
\[-x \pm 5 = 2 \sqrt{x + 3}.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราจะได้ $x^2 \pm 10x + 25 = 4x + 12.$
ในกรณี $+$, เราจะได้
\[x^2 + 6x + 13 = 0,\]ซึ่งไม่มีคำตอบจริง
ใ... | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็มบวก $a$, $b$, และ $c$ ถูกเลือกมาโดยที่ $a<b<c$ และระบบสมการ \[
2x + y = 2003\quad\text{and}\quad y = |x-a| + |x-b| + |x-c|
\]มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว จงหาค่าต่ำสุดของ $c$ | เนื่องจากระบบสมการมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว กราฟของสมการทั้งสองต้องตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น ถ้า $x<a$ สมการ $y = |x-a| + |x-b| + |x-c|$ เทียบเท่ากับ $y =-3x + (a+b+c)$ โดยการคำนวณที่คล้ายกัน เราได้
\[
y =
\begin{cases}
-3x + (a+b+c), &\text{if }x<a\\
-x + (-a+b+c), &\text{if }a\le x<b\\
x + (-a-b+c), &\text{if }b\le x<... | \boxed{1002} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[
2 < \frac{x - y}{x + y} < 5.
\]ถ้า $\frac{x}{y}$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของมัน | กำหนดให้ $\frac{x}{y} = t$ แล้ว $x = ty$ ดังนั้นเราสามารถเขียนได้ว่า \[\frac{x-y}{x+y} = \frac{ty-y}{ty+y} = \frac{t-1}{t+1}.\]ดังนั้นเราได้ \[2 < \frac{t-1}{t+1} < 5,\]ซึ่งเราสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: \[\begin{aligned} 2 < 1 &- \frac{2}{t+1} < 5 \\ 1 <&-\frac{2}{t+1} < 4 \\ -\frac{1}{2} > &\frac{1}{t+1} > -2. \end{ali... | \boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x > 0$ ในลำดับเลขคณิตต่อไปนี้: $1^2, x^2, 3^2, \ldots$. | พจน์ $x^2$ คือค่าเฉลี่ยของ $1^2 = 1$ และ $3^2 = 9$ ดังนั้น $x^2 = (1 + 9)/2 = 5$ เนื่องจาก $x > 0$ ดังนั้น $x = \boxed{\sqrt{5}}$ | x = \boxed{\sqrt{5}} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f$ มีสมบัติที่ว่า สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ ในโดเมนของมัน $1/x$ ก็อยู่ในโดเมนของมันเช่นกัน และ \[
f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = x.
\]เซตของจำนวนจริงที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถอยู่ในโดเมนของ $f$ คือเซตใด?
(a) ${\{x\mid x\ne0\}}$
(b) ${\{x\mid x<0\}}$
(c) ${\{x\mid x>0\}}$
(d) ${\{x\mid x\ne-1\ \text{and... | เงื่อนไขของ $f$ หมายความว่า \[
x = f(x) + f\displaystyle\left(\frac{1}{x}\displaystyle\right)\]และ \[\frac{1}{x} = f\left(\frac{1}{x}\right) +
f\displaystyle\left(\frac{1}{1/x}\displaystyle\right) = f\displaystyle\left(\frac{1}{x}\displaystyle\right) + f(x).
\]ดังนั้น ถ้า $x$ อยู่ในโดเมนของ $f$ แล้ว $x = 1/x$ ดังนั้น $... | \boxed{E} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนฟังก์ชัน $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับ
\[f(xy) + f(xz) - f(x) f(yz) \ge 1\]สำหรับจำนวนจริง $x,$ $y,$ และ $z$ ทั้งหมด | กำหนด $x = y = z = 0,$ เราได้
\[f(0) + f(0) - f(0)^2 \ge 1,\]ดังนั้น $f(0)^2 - 2f(0) + 1 \le 0.$ แล้ว $(f(0) - 1)^2 \le 0,$ ซึ่งบังคับให้ $f(0) = 1.$
กำหนด $x = y = z = 1,$ เราได้
\[f(1) + f(1) - f(1)^2 \ge 1,\]ดังนั้น $f(1)^2 - 2f(1) + 1 \le 0.$ แล้ว $(f(1) - 1)^2 \le 0,$ ซึ่งบังคับให้ $f(1) = 1.$
กำหนด $y = z = 0... | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $\frac 1p$ -array เป็นการจัดเรียงจำนวนอนันต์แบบมีโครงสร้าง ตัวอย่างเช่น $\frac 13$ -array ถูกสร้างขึ้นดังนี้:
\begin{align*} 1 \qquad \frac 13\,\ \qquad \frac 19\,\ \qquad \frac 1{27} \qquad &\cdots\\ \frac 16 \qquad \frac 1{18}\,\ \qquad \frac{1}{54} \qquad &\cdots\\ \frac 1{36} \qquad \frac 1{108} \qquad &\cdo... | สังเกตว่าค่าในแถวที่ $r$ และหลักที่ $c$ ถูกกำหนดโดย $\left(\frac{1}{(2p)^r}\right)\left(\frac{1}{p^c}\right)$. เราต้องการประเมินผลรวมเหนือ $r,c$ ทั้งหมด ดังนั้นผลรวมจะถูกกำหนดโดยใช้สูตรสำหรับอนุกรมเรขาคณิตอนันต์:
\begin{align*}\sum_{r=1}^{\infty}\sum_{c=1}^{\infty} \left(\frac{1}{(2p)^r}\right)\left(\frac{1}{p^c}\righ... | \boxed{1} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าสัมบูรณ์ของ $7-24i$ | เราได้ว่า $|7-24i| = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \boxed{25}$ | |7-24i| = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \boxed{25} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงคำนวณ \[\lfloor 1 \rfloor + \lfloor 1.6 \rfloor + \lfloor 2.2 \rfloor + \lfloor 2.8 \rfloor + \dots + \lfloor 99.4 \rfloor + \lfloor 100 \rfloor,\]โดยที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันพื้นเป็นลำดับเลขคณิต | เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $\lfloor x \rfloor = x - \{x\}$ สำหรับทุก $x.$ ดังนั้น เราเพียงแค่คำนวณผลรวมของลำดับเลขคณิตเอง \[1 + 1.6 + 2.2 + \dots + 100,\]แล้วลบผลรวมของส่วนเศษ \[\{1\} + \{1.6\} + \{2.2\} + \dots + \{100\}.\]ความต่างร่วมของลำดับเลขคณิตคือ $0.6,$ ดังนั้นจำนวนพจน์คือ $1 + \frac{100 - 1}{0.6} = 166.$ จากนั้น ... | 5 \cdot 0.6 = 3, | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์ $1+2\left(\dfrac{1}{1998}\right)+3\left(\dfrac{1}{1998}\right)^2+4\left(\dfrac{1}{1998}\right)^3+\cdots$. | กำหนดให้
\[S = 1+2\left(\dfrac{1}{1998}\right)+3\left(\dfrac{1}{1998}\right)^2+4\left(\dfrac{1}{1998}\right)^3+\dotsb.\]แล้ว
\[1998S = 1998 + 2 + \frac{3}{1998} + \frac{4}{1998^2} + \dotsb.\]ลบสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราได้
\[1997S = 1998 + 1 + \frac{1}{1998} + \frac{1}{1988^2} + \dotsb = \frac{1998}{1 - 1/1998} = \fr... | S = \boxed{\frac{3992004}{3988009}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f_0(x)=x+|x-100|-|x+100|$, และสำหรับ $n\geq 1$, กำหนด $f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1$. จงหาจำนวนค่าของ $x$ ที่ทำให้ $f_{100}(x)=0$? | สำหรับจำนวนเต็ม $n \ge 1$ และ $k \ge 0,$ ถ้า $f_{n - 1}(x) = \pm k,$ แล้ว
\[f_n(x) = |f_{n - 1}(x)| - 1 = k - 1.\]นั่นหมายความว่าถ้า $f_0(x) = \pm k,$ แล้ว $f_k(x) = 0.$
ยิ่งกว่านั้น ถ้า $f_n(x) = 0,$ แล้ว $f_{n + 1}(x) = -1,$ และ $f_{n + 2}(x) = 0.$ ดังนั้น $f_{100}(x) = 0$ ก็ต่อเมื่อ $f_0(x) = 2k$ สำหรับจำนวนเต็ม $... | 2 + 2 + 3 \cdot 99 = \boxed{301}. | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพิกัดของจุดศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลา \[\frac{(2y-2)^2}{5^2} - \frac{(3x-4)^2}{4^2} = 1.\] | รูปแบบมาตรฐานของสมการไฮเปอร์โบลาที่วางแนวตั้งซึ่งมีจุดศูนย์กลางที่ $(h, k)$ คือ \[\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1.\]แต่สมการที่กำหนดให้ไม่ใช่รูปแบบมาตรฐาน เพราะพจน์ $2y$ และ $3x$ ปรากฏแทน $y$ และ $x$ ดังนั้นเราจึงแยกตัวประกอบ $2^2$ และ $3^2$ จากสองพจน์ทางซ้ายมือ ให้ \[\frac{2^2(y-1)^2}{5^2} - \frac{3^2(x-... | \boxed{\left(\frac43, 1\right)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $p, q,$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์สามจำนวน ซึ่ง $p + q + r = 26$ และ\[\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{360}{pqr} = 1,\] จงคำนวณ $pqr$.
| \begin{align*} \frac {1}{p} + \frac {1}{q} + \frac {1}{r} + \frac {360}{pqr} & = 1 \\ pq + pr + qr + 360 & = pqr \\ 360 & = pqr - pq - pr - qr \\ & = (p - 1)(q - 1)(r - 1) - (p + q + r) + 1 \\ & = (p - 1)(q - 1)(r - 1) - 25 \\ 385 & = (p - 1)(q - 1)(r - 1) \\ \end{align*}
จากตรงนี้ คุณสามารถแยกตัวประกอบ $385$ เป... | 6 \cdot 8 \cdot 12=\boxed{576} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุด ซึ่ง $n + i,$ $(n + i)^2,$ และ $(n + i)^3$ เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งมีพื้นที่มากกว่า 2015 | เรามี
\[(n + i)^2 = n^2 + 2ni + i^2 = (n^2 - 1) + (2n)i,\]และ
\[(n + i)^3 = n^3 + 3n^2 i + 3ni^2 + i^3 = (n^3 - 3n) + (3n^2 - 1)i.\]โดยทฤษฎีเชือกลาย, พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด $(n,1),$ $(n^2 - 1,2n),$ และ $(n^3 - 3n,3n^2 - 1)$ คือ
\begin{align*}
&\frac{1}{2} \left|(n)(2n) + (n^2 - 1)(3n^2 - 1) + (n^3 - 3n)(1) ... | \boxed{9}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนพจน์ในนิพจน์ที่เรียบง่ายของ \[(x+y+z)^{2006}+(x-y-z)^{2006}\]โดยการขยายนิพจน์และรวมพจน์ที่คล้ายกัน | มีพจน์เดียวพอดีในนิพจน์ที่เรียบง่ายสำหรับโมโนเมียลของรูป $x^ay^bz^c$ โดยที่ $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ $a$ เป็นจำนวนคู่ และ $a+b+c=2006$ มีค่า $a$ ที่เป็นจำนวนคู่ 1004 ค่า โดยที่ $0\leq a\leq 2006$ สำหรับค่า $a$ แต่ละค่า $b$ สามารถเป็นค่าจำนวนเต็ม $2007-a$ ค่าใดๆ ระหว่าง 0 ถึง $2006-a$ รวมทั้งค่าของ $c$ จะ... | c | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ $9^x - 3^x + 1$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด | ให้ $y = 3^x.$ ดังนั้น
\[9^x - 3^x + 1 = y^2 - y + 1 = \left( y - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}.\]ดังนั้น ค่าต่ำสุดคือ $\boxed{\frac{3}{4}}$ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $y = \frac{1}{2}$ หรือ $x = \log_3 \frac{1}{2}.$ | x = \log_3 \frac{1}{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนจริงบวก $x,$ $y,$ และ $z,$ จงคำนวณค่าสูงสุดของ
\[\frac{xyz(x + y + z)}{(x + y)^2 (y + z)^2}.\] | โดย AM-GM,
\[xz + (xy + y^2 + yz) \ge 2 \sqrt{xz(xy + y^2 + yz)} = 2 \sqrt{xyz(x + y + z)}.\]แต่ $xz + (xy + y^2 + yz) = (x + y)(y + z),$ ดังนั้น
\[(x + y)(y + z) \ge 2 \sqrt{xyz(x + y + z)}.\]จากนั้น $(x + y)^2 (y + z)^2 \ge 4xyz(x + y + z),$ ดังนั้น
\[\frac{xyz(x + y + z)}{(x + y)^2 (y + 2)^2} \le \frac{1}{4}.\]สมการ... | \boxed{\frac{1}{4}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แปลงจุด $(0,3)$ ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นระบบพิกัดเชิงขั้ว ใส่คำตอบในรูป $(r,\theta),$ โดยที่ $r > 0$ และ $0 \le \theta < 2 \pi.$ | เรามีว่า $r = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3.$ นอกจากนี้ ถ้าเราลากเส้นเชื่อมจุดกำเนิดและ $(0,3)$ เส้นนี้จะทำมุม $\frac{\pi}{2}$ กับแกน $x$ ที่เป็นบวก
[asy]
unitsize(0.8 cm);
draw((-0.5,0)--(3.5,0));
draw((0,-0.5)--(0,3.5));
draw(arc((0,0),3,0,90),red,Arrow(6));
dot((0,3), red);
label("$(0,3)$", (0,3), W);
dot((3,0), red);
[/... | \boxed{\left( 3, \frac{\pi}{2} \right)}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แก้สมการ $2k+5 = 13$ เพื่อหาค่า $k$ | ลบ 5 จากทั้งสองข้างจะได้ $2k = 8$ และหารด้วย 2 จะได้ $k = \boxed{4}$ | k = \boxed{4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงคำนวณค่าของ $\sin 1755^\circ$. | การหมุน $360^\circ$ เท่ากับการไม่ทำอะไร ดังนั้นการหมุน $1755^\circ$ เท่ากับการหมุน $1755^\circ - 4\cdot 360^\circ = 315^\circ$ ดังนั้น $\sin 1755^\circ = \sin (1755^\circ - 4\cdot 360^\circ) = \sin 315^\circ$.
ให้ $P$ เป็นจุดบนวงกลมหน่วยที่หมุนจาก $(1,0)$ ทวนเข็มนาฬิกา $315^\circ$ และให้ $D$ เป็นจุดบนแกน $x$ ที่ลากตั้... | $\sin 1755^\circ = \sin 315^\circ = \boxed{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สัมประสิทธิ์ของ $x^{50}$ ใน
\[(1 + x)^{1000} + 2x (1 + x)^{999} + 3x^2 (1 + x)^{998} + \dots + 1001x^{1000}\]สามารถเขียนได้ในรูป $\binom{n}{k}.$ จงหาค่า $n + k$ ที่น้อยที่สุด | กำหนด
\[S = (1 + x)^{1000} + 2x (1 + x)^{999} + \dots + 1000x^{999} (1 + x) + 1001x^{1000}\]แล้ว
\begin{align*}
xS &= x (1 + x)^{1000} + 2x^2 (1 + x)^{999} + \dots + 1000x^{1000} (1 + x) + 1001x^{1001}, \\
(1 + x)S &= (1 + x)^{1001} + 2x (1 + x)^{1000} + \dots + 1000x^{999} (1 + x)^2 + 1001x^{1000} (1 + x).
\end{align*... | 1002 + 50 = \boxed{1052}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บนระนาบ $xy$ จุดกำเนิดถูกกำหนดให้เป็น $M$ จุด $(1,0)$, $(-1,0)$, $(0,1)$ และ $(0,-1)$ ถูกกำหนดให้เป็น $A$ จุด $(2,0)$, $(1,1)$, $(0,2)$, $(-1, 1)$, $(-2, 0)$, $(-1, -1)$, $(0, -2)$ และ $(1, -1)$ ถูกกำหนดให้เป็น $T$ จุด $(3,0)$, $(2,1)$, $(1,2)$, $(0, 3)$, $(-1, 2)$, $(-2, 1)$, $(-3, 0)$, $(-2,-1)$, $(-1,-2)$, $(0, -3)$... | จาก M เราสามารถดำเนินการไปยัง A ได้สี่แบบ โปรดทราบว่าตัวอักษรทั้งหมดสมมาตรกัน ดังนั้นเราสามารถนับกรณีเดียว (เช่น กรณีที่เคลื่อนที่จาก M ไปยัง A ล่าง) และคูณด้วยสี่
จาก A ล่าง เราสามารถดำเนินการไปยัง T ใดๆ ได้สามตัว จาก T สองตัวที่อยู่ด้านข้างของ A เราสามารถดำเนินการไปยัง H หนึ่งตัวได้ จาก T ที่อยู่ใต้ A เราสามารถดำเนิ... | 4 \cdot 7 = \boxed{28} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาหลักที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวสุดท้ายทางด้านขวาของจุดทศนิยมในทศนิยมของ $\frac{141}{400}$ | สังเกตว่า $400 = 4 \cdot 10^2 = 2^2 \cdot 10^2 = 2^4 \cdot 5^2$ ดังนั้น $\frac{141}{400} = \frac{141}{2^4 \cdot 5^2}$ ถ้าเราคูณเศษส่วนนี้ด้วย $10^4$ เราจะเลื่อนตัวเลขทั้งหมด $4$ ตำแหน่งไปทางซ้าย ดังนั้น $\frac{141}{2^4 \cdot 5^2} \cdot 10^4 = 141 \cdot 5^2 = 3525$ ดังนั้นหลักที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวสุดท้ายคือ $\boxed{5}$ | \boxed{5} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $a+b=7$ และ $a^3+b^3=42$ จงหาค่าของผลบวก $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$? แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | ยกกำลังสามของทั้งสองข้างของ $a+b=7$ จะได้ \[
a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=343.
\] แทน 42 ด้วย $a^3+b^3$ และแยกตัวประกอบ $3ab$ ออกจากสองพจน์ที่เหลือ. \begin{align*}
42+3ab(a+b)&=343 \implies \\
3ab(a+b)&=301 \implies \\
3ab(7)&=301 \implies \\
3ab&=43 \implies \\
ab&=\frac{43}{3}.
\end{align*} สุดท้าย $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\f... | \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{7}{43/3}=\boxed{\frac{21}{43}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $101^{3} - 3 \cdot 101^{2} + 3 \cdot 101 -1$ | นิพจน์ที่กำหนดให้เป็นการกระจายของ $(101-1)^3$ โดยทั่วไป การกระจายของ $(a-b)^3$ เท่ากับ \[a^3-3\cdot a^2\cdot b+3\cdot a\cdot b^2-b^3\]
ในกรณีนี้ $a=101,b=1$ ดังนั้น $101^3-3\cdot 101^2+3\cdot 101-1=(101-1)^3$ ; เราสามารถคำนวณ $100^3=\boxed{1000000}$ ได้อย่างง่ายดาย | 100^3=\boxed{1000000} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีจำนวนเต็มบวกน้อยกว่า 1000 ที่มีจำนวนตัวหารที่แตกต่างกันเพียง 3 ตัว มีกี่จำนวน | จากสูตรการหาจำนวนตัวหารทั้งหมด เราทราบว่าจำนวนเต็มบวกที่อยู่ในรูป $p^{2}$ โดยที่ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ จะมีจำนวนตัวหารที่แตกต่างกันเพียง 3 ตัว ดังนั้นเราต้องนับจำนวนจำนวนเฉพาะระหว่าง 1 ถึง $\sqrt{1000}$ (กำลังสองของจำนวนเฉพาะเหล่านี้เป็นจำนวนเต็มบวกน้อยกว่า 1000 ที่มีจำนวนตัวหารที่แตกต่างกันเพียง 3 ตัว) มีจำนวนเฉพาะ $\box... | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อลันเก็บเงิน 500 ดอลลาร์ในบัญชีธนาคารที่ให้ดอกเบี้ยทบต้น 3 เปอร์เซ็นต์ต่อปี หากไม่มีธุรกรรมอื่นๆ หลังจาก 10 ปี จะมีเงินในบัญชีธนาคารของอลันเท่าไร (ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด) | หลังจากสิบปี ด้วยอัตราดอกเบี้ยรายปี 3 เปอร์เซ็นต์ บัญชีธนาคารจะเติบโตเป็น $500 \cdot 1.03^{10} = \boxed{672}$ ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | 500 \cdot 1.03^{10} = \boxed{672} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
ค่าของ $x$ ใดจะทำให้ $x^2- 14x + 3$ มีค่าน้อยที่สุด | เราเริ่มต้นด้วยการเติมกำลังสอง: \begin{align*}
x^2-14x+3&= x^2-14x +\left(\frac{14}{2}\right)^2 - \left(\frac{14}{2}\right)^2 + 3\\
& = x^2 -14x + 7^2 - 49 + 3\\
&=(x-7)^2 - 46.\end{align*}เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงมีค่าไม่น้อยกว่า 0 เราได้ $$(x-7)^2\ge 0,$$โดยที่ $(x-7)^2 =0$ เฉพาะเมื่อ $x=7$. ดังนั้น $(x-7)^2 - ... | x=\boxed{7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
เส้นตรง $y=(3a+2)x-2$ และ $2y=(a-4)x+2$ ขนานกัน ค่าของ $a$ เท่ากับเท่าใด | เราหาความชันของเส้นตรงทั้งสองเส้นแล้วให้เท่ากัน เนื่องจากเส้นตรงขนานกันจะมีความชันเท่ากัน นี่จะได้ $3a+2=\frac{a}{2}-2$ ซึ่งหมายถึง $a=\boxed{-\frac{8}{5}}$ | a=\boxed{-\frac{8}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นรอบรูป 176 ถูกแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เท่ากัน 5 รูปดังแสดงในรูปภาพ เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 รูปใน 5 รูปเท่ากับเท่าไร?
[asy]
unitsize(0.6 cm);
draw((0,0)--(6,0)--(6,5)--(0,5)--cycle);
draw((0,2)--(6,2));
draw((3,0)--(3,2));
draw((2,2)--(2,5));
draw((4,2)--(4,5));
[/asy] | ให้ $x$ และ $y$ เป็นความกว้างและความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 รูปใน 5 รูปตามลำดับ
[asy]
unitsize(0.6 cm);
draw((0,0)--(6,0)--(6,5)--(0,5)--cycle);
draw((0,2)--(6,2));
draw((3,0)--(3,2));
draw((2,2)--(2,5));
draw((4,2)--(4,5));
label("$x$", (1,5), N);
label("$x$", (3,5), N);
label("$x$", (5,5), N);
label("$y$", (6,7/2... | 2x + 2y = \boxed{80} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.