question stringlengths 16 1.6k | solution stringlengths 3 2.73k | answer stringlengths 0 168 | bloom_taxonomy listlengths 1 4 |
|---|---|---|---|
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ สอดคล้องกับ
\[b^2 f(a) = a^2 f(b)\]สำหรับจำนวนจริง $a$ และ $b$ ทั้งหมด ถ้า $f(2) \neq 0$ จงหา
\[\frac{f(5) - f(1)}{f(2)}.\] | กำหนด $a = 5$ และ $b = 2$ จะได้
\[4f(5) = 25f(2),\]ดังนั้น $\frac{f(5)}{f(2)} = \frac{25}{4}.$
กำหนด $a = 1$ และ $b = 2$ จะได้
\[4f(1) = f(2),\]ดังนั้น $\frac{f(1)}{f(2)} = \frac{1}{4}.$ ดังนั้น,
\[\frac{f(5) - f(1)}{f(2)} = \frac{25}{4} - \frac{1}{4} = \boxed{6}.\] | 6 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
\[f(x,y,z) = \frac{x}{x + y} + \frac{y}{y + z} + \frac{z}{z + x}.\] | ก่อนอื่น โปรดทราบว่า
\begin{align*}
f(x,y,z) &= \frac{x}{x + y} + \frac{y}{y + z} + \frac{z}{z + x} \\
&> \frac{x}{x + y + z} + \frac{y}{y + z + x} + \frac{z}{z + x + y} \\
&= \frac{x + y + z}{x + y + z} = 1.
\end{align*}ให้ $\epsilon$ เป็นจำนวนบวกขนาดเล็ก จากนั้น
\begin{align*}
f(\epsilon^2,\epsilon,1) &= \frac{\epsil... | \boxed{(1,2)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาจุดสัมผัสของพาราโบลา $y = x^2 + 15x + 32$ และ $x = y^2 + 49y + 593$ | นำสมการทั้งสองมาบวกกัน จะได้
\[x + y = x^2 + 15x + 32 + y^2 + 49y + 593,\]หรือ $x^2 + 14x + y^2 + 48y + 625.$ ทำการเติมกำลังสองใน $x$ และ $y,$ จะได้
\[(x + 7)^2 + (y + 24)^2 = 0.\]เราสามารถตรวจสอบได้ว่า $\boxed{(-7,-24)}$ อยู่บนพาราโบลาทั้งสอง ดังนั้นนี่คือจุดสัมผัส | \boxed{(-7,-24)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $k$ ทั้งหมดที่ทำให้โดเมนของ
\[b(x) = \frac{kx^2 + 2x - 5}{-5x^2 + 2x + k}\]เป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด | โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดก็ต่อเมื่อส่วน $-5x^2 + 2x + k$ ไม่เป็นศูนย์สำหรับทุกค่า $x$ 换言之，สมการกำลังสอง
\[-5x^2 + 2x + k = 0\]ไม่ควรมีคำตอบจริงใดๆ นั่นหมายความว่า เงื่อนไขจำกัด (discriminant) เป็นลบ นั่นคือ
\[4 - 4(-5)(k) = 4 + 20k < 0.\]เมื่อแก้สมการแล้ว เราจะได้ $k < -\frac{1}{5}.$ ดังนั้น เซตของค่า... | \boxed{\left( -\infty, -\frac{1}{5} \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหา khoảng cáchระหว่างจุดโฟกัสของวงรี
\[\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{4} = 7.\] | ראשית, เราหารทั้งสองข้างด้วย 7, เพื่อให้ได้
\[\frac{x^2}{140} + \frac{y^2}{28} = 1.\]ดังนั้น $a^2 = 140$ และ $b^2 = 28,$ ดังนั้น $c^2 = a^2 - b^2 = 140 - 28 = 112.$ ดังนั้น $c = \sqrt{112} = 4 \sqrt{7},$ ดังนั้นระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสคือ $2c = \boxed{8 \sqrt{7}}.$ | 2c = \boxed{8 \sqrt{7}}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ทฤษฎีบทที่โด่งดังกล่าวว่า กำหนดจุด 5 จุดในระนาบ โดยไม่มีจุด 3 จุดใดๆ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะมีรูปกรวย (วงรี, अतिเย Vip, หรือพาราโบลา) ที่ผ่านจุดทั้ง 5 จุดเพียงรูปเดียว รูปกรวยที่ผ่านจุด 5 จุด \[(-\tfrac32, 1), \; (0,0), \;(0,2),\; (3,0),\; (3,2).\]เป็นวงรีที่มีแกนขนานกับแกนพิกัด จงหาความยาวของแกนรอง | จุด 4 จุด $(0,0),$ $(0,2),$ $(3,0),$ และ $(3,2)$ สร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และเส้นตรงแนวนอนผ่าน $(-\tfrac32, 1)$ แบ่งรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าครึ่งหนึ่ง ดังนั้น โดยการสังเกต เราหวังว่าจุดศูนย์กลางของวงรีจะตรงกับจุดศูนย์กลางของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งมีพิกัด $\left(\tfrac32, 1\right),$ และแกนเอกของมันควรผ่านจุด $(-\tfrac... | 2b = \boxed{\frac{4\sqrt3}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งมีค่ามากกว่า 3 ทั้งหมด โดยที่
\[\frac{(x + 2)^2}{y + z - 2} + \frac{(y + 4)^2}{z + x - 4} + \frac{(z + 6)^2}{x + y - 6} = 36.\]จงหาคำตอบของ $(x,y,z).$ | โดย Cauchy-Schwarz,
\[(y + z - 2) + (z + x - 4) + (x + y - 6)] \left[ \frac{(x + 2)^2}{y + z - 2} + \frac{(y + 4)^2}{z + x - 4} + \frac{(z + 6)^2}{x + y - 6} \right] \ge [(x + 2) + (y + 4) + (z + 6)]^2.\]ซึ่งจะได้
\[36(2x + 2y + 2z - 12) \ge (x + y + z + 12)^2.\]กำหนดให้ $s = x + y + z.$ ดังนั้น $36(2s - 12) \ge (s + ... | (x,y,z) = \boxed{(10,8,6)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนาม $p(x)$ ที่ทำให้
\[p(p(x)) = xp(x) + x^2.\] | ให้ $n$ เป็นดีกรีของ $p(x).$ ดังนั้น ดีกรีของ $p(p(x))$ คือ $n^2,$ และดีกรีของ $xp(x)$ คือ $n + 1.$
ถ้า $n \ge 2,$ แล้วดีกรีของ $xp(x) + x^2$ คือ $n + 1,$ ซึ่งน้อยกว่า $n^2$ นอกจากนี้ $p(x)$ ไม่สามารถเป็นพหุนามคงตัวได้ ดังนั้นดีกรีของ $p(x)$ คือ $n = 1.$
ให้ $p(x) = ax + b.$ แล้ว
\[p(p(x)) = p(ax + b) = a(ax + b) ... | p(x) = \boxed{-x + 1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลำดับของจำนวนเต็มบวก $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\dots$ มีสมบัติว่า
\[a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_n\]สำหรับทุก $n \ge 1.$ ถ้า $a_7 = 120,$ จงหา $a_8.$ | ให้ $a_1 = a$ และ $a_2 = b.$ แล้ว
\begin{align*}
a_3 &= a + b, \\
a_4 &= a + 2b, \\
a_5 &= 2a + 3b, \\
a_6 &= 3a + 5b, \\
a_7 &= 5a + 8b, \\
a_8 &= 8a + 13b.
\end{align*}ดังนั้น $5a + 8b = 120.$ แล้ว $5a = 120 - 8b = 8(15 - b).$ เนื่องจาก 5 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 8 ดังนั้น $a$ หารด้วย 8 ลงตัว
ถ้า $a = 8,$ แล้ว $... | a_8 = 8a + 13b = \boxed{194}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนของ 10-tuples $(x_1, x_2, \dots, x_{10})$ ของจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\[(1 - x_1)^2 + (x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + \dots + (x_9 - x_{10})^2 + x_{10}^2 = \frac{1}{11}.\] | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\begin{align*}
&[(1^2 + 1^2 + 1^2 + \dots + 1^2 + 1^2)][(1 - x_1)^2 + (x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + \dots + (x_9 - x_{10})^2 + x_{10}^2] \\
&\ge [(1 - x_1) + (x_1 - x_2) + (x_2 - x_3) + \dots + (x_9 - x_{10}) + x_{10}]^2 = 1.
\end{align*}จากเงื่อนไขที่กำหนด เราได้ว่าสมการเป็นจริง ดังนั้นโดยเ... | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งสอดคล้องกับ
\[\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{y + 2} = \frac{1}{3}.\]จงหาค่าต่ำสุดของ $x + 2y.$ | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[((x + 2) + 2(y + 2)) \left( \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{y + 2} \right) \ge (1 + \sqrt{2})^2.\]ดังนั้น
\[x + 2 + 2y + 4 \ge 3 (1 + \sqrt{2})^2 = 9 + 6 \sqrt{2},\]นั่นคือ $x + 2y \ge 3 + 6 \sqrt{2}.$
สมการเกิดขึ้นเมื่อ $(x + 2)^2 = 2(y + 2)^2,$ หรือ $x + 2 = (y + 2) \sqrt{2}.$ แทนค่าลงใน $\fr... | \boxed{3 + 6 \sqrt{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $xyz = \frac{2}{3}.$ จงหาค่าต่ำสุดของ
\[x^2 + 6xy + 18y^2 + 12yz + 4z^2.\] | เราอาจพยายามนำทฤษฎีบท AM-GM มาประยุกต์โดยตรงกับพจน์ทั้งห้า โดยไม่สนใจค่าคงตัว จะได้พจน์
\[\sqrt[5]{x^2 \cdot xy \cdot y^2 \cdot yz \cdot z^2} = \sqrt[5]{x^3 y^4 z^3}.\]วิธีนี้ไม่สำเร็จ เพราะเงื่อนไขคือ $xyz = \frac{2}{3}$ ดังนั้นเราต้องการกำลังของ $xyz.$ ดังนั้น เพื่อให้ได้กำลังของ $y$ เพิ่มขึ้น หนึ่งกำลังเมื่อเทียบกั... | \boxed{18}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เมื่อพหุนาม $x^4-7x^3+9x^2+16x-13$ หารด้วย $x-3$ แล้วจะเหลือเศษเท่าใด | โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ เศษที่เหลือเมื่อ $f(x) = x^4-7x^3+9x^2+16x-13$ หารด้วย $x - 3$ คือ
$$\begin{aligned} f(3)&=3^4-7\cdot3^3+9\cdot3^2+16\cdot3-13 \\&= 3^3(3-7+3) + 35\\ &= \boxed{8}. \end{aligned}$$ | 8 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ \[\frac 2{\log_4{2000^6}} + \frac 3{\log_5{2000^6}},\]แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ใช้สมบัติ $\log_a b^x = x \log_a b,$ เราได้ \[\begin{aligned} \frac 2{\log_4{2000^6}} + \frac 3{\log_5{2000^6}} &= \frac{2}{6\log_4 2000} + \frac{3}{6\log_5 2000} \\ &= \frac{1}{3\log_4 2000} + \frac{1}{2\log_5 2000}. \end{aligned}\]เนื่องจาก $\log_a b = \frac1{\log_b a}$, เราสามารถเขียนได้ว่า \[\frac{1}{3\log_4 2000} ... | \boxed{\tfrac{1}{6}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน โดยที่ $\dfrac ab=\dfrac1{2^1}+\dfrac2{3^2}+\dfrac3{2^3}+\dfrac4{3^4}+\dfrac5{2^5}+\dfrac6{3^6}+\cdots$, โดยตัวเศษจะเพิ่มขึ้นทีละ $1$ และตัวส่วนจะสลับกันระหว่างเลขยกกำลังของ $2$ และ $3$ โดยเลขชี้กำลังจะเพิ่มขึ้นทีละ $1$ สำหรับพจน์ถัดไป คำนวณ $a+b$
| เราสามารถแยกผลบวกออกเป็นสองกลุ่มของจำนวนที่เราต้องการบวก: $\tfrac12 + \tfrac{3}{2^3} + \tfrac{5}{2^5} \cdots$ และ $\tfrac{2}{3^2} + \tfrac{4}{3^4} + \tfrac{6}{3^6} \cdots$
ให้ $X$ เป็นผลบวกของลำดับแรก ดังนั้นเราจะมี\begin{align*} X &= \frac12 + \frac{3}{2^3} + \frac{5}{2^5} \cdots \\ \frac{X}{4} &= 0 + \frac{1}{2^3} + ... | a+b = \boxed{689}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
\[\frac{1}{x^2 + 11x - 8} + \frac{1}{x^2 + 2x - 8} + \frac{1}{x^2 - 13x - 8} = 0.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | ให้ $y = x^2 - 13x - 8.$ ดังนั้น เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดได้เป็น
\[\frac{1}{y + 24x} + \frac{1}{y + 15x} + \frac{1}{y} = 0.\]คูณทุกอย่างด้วย $(y + 24x)(y + 15x)y,$ เราจะได้
\[(y + 15x)y + y(y + 24x) + (y + 24x)(y + 15x) = 0.\]สมการนี้จะลดรูปเป็น $360x^2 + 78xy + 3y^2 = 0,$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $3(20x + y)(... | \boxed{8,1,-1,-8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสามหลักสุดท้ายของ $9^{105}.$ | เราสามารถเขียน $9^{105} = (10 - 1)^{105}.$ จากทฤษฎีบททวินาม,
\[(10 - 1)^{105} = 10^{105} - \binom{105}{1} 10^{104} + \binom{105}{2} 10^{103} - \dots + \binom{105}{102} 10^3 - \binom{105}{103} 10^2 + \binom{105}{104} 10 - 1.\]พจน์ทั้งหมดจนถึง $\binom{105}{102} 10^3$ หารด้วย $10^3$ ลงตัว ดังนั้นเพื่อหาสามหลักสุดท้าย เราส... | \boxed{049}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ ที่สอดคล้องกับ
\[xf(y) = yf(x)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด ถ้า $f(15) = 20$ จงหา $f(3)$. | กำหนด $y = 3$ และ $x = 15$ เราได้
\[15f(3) = 3f(15) = 60,\]ดังนั้น $f(3) = \boxed{4}$. | f(3) = \boxed{4}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $S$ เป็นเซตของ 10-tuples $(a_0, a_1, \dots, a_9),$ โดยที่แต่ละสมาชิกเป็น 0 หรือ 1 ดังนั้น $S$ มี $2^{10}$ 10-tuples สำหรับ 10-tuple $s = (a_0, a_1, \dots, a_9)$ ใน $S,$ ให้ $p_s(x)$ เป็นพหุนามดีกรีสูงสุด 9 ซึ่ง
\[p_s(n) = a_n\]สำหรับ $0 \le n \le 9.$ ตัวอย่างเช่น $p(x) = p_{(0,1,0,0,1,0,1,0,0,0)}(x)$ เป็นพหุนามด... | กำหนด
\[p(x) = \sum_{s \in S} p_s(x).\]แล้วสำหรับ $n$ ใดๆ $0 \le n \le 9,$
\[p(n) = \sum_{s \in S} p_s(n) = 2^9 = 512,\]เพราะ $p_s(n) = 0$ สำหรับพหุนาม $p_s(x)$ จำนวน 512 ตัว และ $p_s(n) = 1$ สำหรับพหุนาม $p_s(x)$ จำนวน 512 ตัว.
ดังนั้น $p(x) = 512$ สำหรับค่า $n = 0,$ 1, 2, $\dots,$ 9 จำนวน 10 ค่า นอกจากนี้ $p(x)$ มี... | p(10) = \boxed{512}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แก้สมการอสมการ
\[\frac{x^2 - 25}{x + 5} < 0.\] | เราสามารถแยกตัวประกอบตัวเศษได้เป็น
\[\frac{(x - 5)(x + 5)}{x + 5} < 0.\]ถ้า $x \neq -5,$ สมการจะง่ายขึ้นเป็น $x - 5 < 0.$ เนื่องจากนิพจน์ไม่นิยามสำหรับ $x = -5,$ คำตอบคือ
\[x \in \boxed{(-\infty,-5) \cup (-5,5)}.\] | x = -5, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)=ax^2+bx+c$ โดยที่ $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม สมมติว่า $f(1)=0$, $50<f(7)<60$, $70<f(8)<80$, $5000k<f(100)<5000(k+1)$ สำหรับจำนวนเต็ม $k$ จงหาค่าของ $k$ | จาก $f(1) = 0,$ $a + b + c = 0,$ ดังนั้น $c = -a - b.$ แล้ว
\[f(7) = 49a + 7b + c = 48a + 6b = 6(8a + b),\]ดังนั้นจาก $50 < f(7) < 60,$
\[50 < 6(8a + b) < 60.\]พหุคูณของ 6 ที่อยู่ในช่วงนี้คือ 54 ซึ่งนำไปสู่ $8a + b = 9.$
นอกจากนี้,
\[f(8) = 64a + 8b + c = 63a + 7b = 7(9a + b),\]ดังนั้นจาก $70 < f(8) < 80,$
\[70 < 7(9... | k = \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x_1, x_2, \ldots, x_n$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับ $|x_i| < 1$ สำหรับ $i = 1, 2, \dots, n,$ และ \[|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| = 19 + |x_1 + x_2 + \dots + x_n|.\] จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $n$ | ด้านซ้ายมือสอดคล้องกับ \[|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| < 1 + 1 + \dots + 1 = n,\]ในขณะที่ด้านขวามือสอดคล้องกับ \[19 + |x_1 + x_2 + \dots + x_n| \ge 19.\]ดังนั้น $n > 19$ ดังนั้น $n \ge 20.$ เป็นไปได้ที่ $n=20,$ เนื่องจาก ตัวอย่างเช่น เราสามารถเลือก \[\begin{aligned} x_1 = x_2 = \dots = x_{10} &= \tfrac{19}{20}, \\ x_{1... | \boxed{20}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $\log_2 \frac{2}{1} + \log_2 \frac{3}{2} + \cdots + \log_2 \frac{2009}{2008} + \log_2 \frac{2010}{2009}$ | จงจำไว้ว่า $\log_2 \frac{x}{y} = \log_2 x - \log_2 y$ นำเอกลักษณ์นี้ไปใช้กับแต่ละพจน์ในผลรวม เราพบว่าผลรวมเท่ากับ $(\log_2 2 - \log_2 1) + (\log_2 3 - \log_2 2) + \cdots + (\log_2 2010 - \log_2 2009)$ พจน์กลางส่วนใหญ่จะยกเลิกกันออกไป; นิพจน์ในที่สุดจะประเมินเป็น
\[\log_2 2010 - \log_2 1 = \log_2 2010.\]โปรดทราบว่า $2^... | \boxed{10} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลรวมของคำตอบจริงทั้งหมดของสมการ \[\frac{x-2}{x^2+4x+1} = \frac{x-5}{x^2-10x}.\] | เพื่อกำจัดเศษส่วน เราคูณด้วย $(x^2+4x+1)(x^2-10x)$ ทั้งสองข้าง ซึ่งจะได้ \[(x-2)(x^2-10x) = (x-5)(x^2+4x+1).\]展開ทั้งสองข้างจะได้ \[x^3 - 12x^2 + 20x = x^3 -x^2 -19x -5,\]ดังนั้น \[0 =11x^2 -39 x -5.\]จากสูตรของ Vieta ผลรวมของรากของสมการนี้คือ $\boxed{\tfrac{39}{11}}\,.$ (เราสามารถคำนวณรากโดยตรงและตรวจสอบว่ารากเหล่านั้น... | \boxed{\tfrac{39}{11}}\,. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $\alpha$ และ $\beta$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุค ซึ่ง $\frac{\alpha}{\beta^2}$ เป็นจำนวนจริง และ $|\alpha - \beta| = 2 \sqrt{3}.$ จงหา $|\alpha|.$ | กำหนดให้ $\alpha = x + yi$ และ $\beta = x - yi.$ จาก $|\alpha - \beta| = 2 \sqrt{3},$ จะได้ $2|y| = 2 \sqrt{3},$ ดังนั้น $|y| = \sqrt{3}.$
เนื่องจาก $\frac{\alpha}{\beta^2}$ เป็นจำนวนจริง และ $\alpha$ และ $\beta$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุค ดังนั้น $\alpha^2 \beta^2$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น $\frac{\alpha}{\beta^2} \cdot \al... | 2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $f(x) = \frac{x}{5} + 3$ และ $g(x) = 4-x$ ถ้า $f(g(a)) = 5$ จงหา $a$ | เรารู้ว่า
$$\begin{aligned} f(g(a)) &= f(4-a) \\
&= \frac{4-a}{5} + 3 = 5.
\end{aligned}$$คูณทั้งสองข้างด้วย 5 จะได้
$$ 4-a + 15 = 25.$$แก้สมการหา $a$,
$$ a = \boxed{-6}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
ยกเว้นสองพจน์แรก แต่ละพจน์ของลำดับ $1000, x, 1000 - x,\ldots$ ได้มาจากการลบพจน์ก่อนหน้าจากพจน์ก่อนหน้าของมัน พจน์สุดท้ายของลำดับคือพจน์ลบแรกที่พบ $x$ จำนวนเต็มบวกตัวใดที่สร้างลำดับความยาวสูงสุด? | ให้พจน์ของลำดับเป็น $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\dots.$ แล้ว
\begin{align*}
a_1 &= 1000, \\
a_2 &= x, \\
a_3 &= 1000 - x, \\
a_4 &= 2x - 1000, \\
a_5 &= 2000 - 3x, \\
a_6 &= 5x - 3000, \\
a_7 &= 5000 - 8x, \\
a_8 &= 13x - 8000, \\
a_9 &= 13000 - 21x, \\
a_{10} &= 34x - 21000, \\
a_{11} &= 34000 - 55x.
\end{align*}ถ้าลำดับถึ... | \boxed{618}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่า $k$ ทั้งหมดที่ทำให้ผลต่างบวกของรากของสมการ
\[5x^2 + 4x + k = 0\]เท่ากับผลบวกของกำลังสองของรากเหล่านั้น ใส่ค่า $k$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | ให้ $a$ และ $b$ เป็นรากของสมการนี้ จากนั้นเราต้องการ
\[|a - b| = a^2 + b^2.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราได้
\[(a - b)^2 = (a^2 + b^2)^2.\]จากสูตรของ Vieta's, $a + b = -\frac{4}{5}$ และ $ab = \frac{k}{5}.$ ยกกำลังสองสมการ $a + b = -\frac{4}{5},$ เราได้
\[a^2 + 2ab + b^2 = \frac{16}{25}.\]แล้ว
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2... | \boxed{\frac{3}{5}, -\frac{12}{5}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ตัวหารร่วมมากที่สุดของ $x^2+ax+b$ และ $x^2+bx+c$ คือ $x+1$ (ในเซตของพหุนามใน $x$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม) และตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของ $x^2+ax+b$ และ $x^2+bx+c$ คือ $x^3-4x^2+x+6$ จงหา $a+b+c$ | เนื่องจาก $x+1$ หาร $x^2+ax+b$ ลงตัว และพจน์คงตัวคือ $b$ เราได้ว่า $x^2+ax+b=(x+1)(x+b)$ และในทำนองเดียวกัน $x^2+bx+c=(x+1)(x+c)$ ดังนั้น $a=b+1=c+2$ นอกจากนี้ ตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของพหุนามทั้งสองคือ $(x+1)(x+b)(x+b-1)=x^3-4x^2+x+6$ ดังนั้น $b=-2$ ดังนั้น $a=-1$ และ $c=-3$ และ $a+b+c=\boxed{-6}$ | a+b+c=\boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนาม $x^3 - 2004 x^2 + mx + n$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และมีรากที่แตกต่างกัน 3 รากเป็นจำนวนบวก รากหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม และเป็นผลบวกของอีกสองราก มีค่าของ $n$ ได้กี่ค่า? | ให้ $a$ แทนรากที่เป็นจำนวนเต็ม เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $x^3$ เท่ากับ 1 จึงไม่มีรากที่เป็นจำนวนตรรกยะอื่น รากอีกสองรากต้องเป็น $\frac{a}{2} \pm r$ สำหรับจำนวนอตรรกยะ $r$ พหุนามจะกลายเป็น \[(x-a) \left( x - \frac{a}{2} - r \right) \left( x - \frac{a}{2} + r \right) = x^3 - 2ax^2 + \left( \frac{5}{4}a^2 - r^2 \right) x ... | n | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $\omega$ เป็นรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงของ $z^3 = 1.$ จงหาจำนวนของคู่ลำดับ $(a,b)$ ของจำนวนเต็มที่ทำให้ $|a \omega + b| = 1.$ | เรามี $z^3 - 1 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(z - 1)(z^2 + z + 1) = 0.$ เนื่องจาก $\omega$ ไม่ใช่จำนวนจริง $\omega$ สอดคล้องกับ
\[\omega^2 + \omega + 1 = 0.\]โดยสูตรกำลังสอง,
\[\omega = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2}.\]ให้ $\omega = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}.$ แล้ว $|a \omega + b|^2 = 1.$ นอกจากนี้,
\begin{align*}
|a \o... | 6 | [
"unknown"
] |
จงหาค่าของผลรวม $-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 +\dots+ 10,\!000$ | แต่ละคู่ของพจน์ติดกันมีผลรวมเท่ากับ 1 และมีพจน์ทั้งหมด $10,\!000$ พจน์ ดังนั้นผลรวมคือ $10,\!000/2=\boxed{5000}$ | 10,\!000/2=\boxed{5000} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดฟังก์ชัน ממשจริง $f$ มีสมบัติว่า เมื่อ $a,$ $b,$ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับ $a + b = 2^n$ สมการ
\[f(a) + f(b) = n^2\]จะ成立 จงหาค่าของ $f(2002)$ | จากสมบัติที่กำหนดให้
\begin{align*}
f(2002) &= 11^2 - f(46), \\
f(46) &= 6^2 - f(18), \\
f(18) &= 5^2 - f(14), \\
f(14) &= 4^2 - f(2).
\end{align*}นอกจากนี้ $f(2) + f(2) = 4$ ดังนั้น $f(2) = 2.$ ดังนั้น
\begin{align*}
f(14) &= 4^2 - 2 = 14, \\
f(18) &= 5^2 - 14 = 11, \\
f(46) &= 6^2 - 11 = 25, \\
f(2002) &= 11^2 - 25 ... | 96 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บริเวณระหว่างกราฟของ $y = f (x)$ และแกน $x$ ซึ่งถูกแรเงาในรูปนี้ มีพื้นที่ 10 ตารางหน่วย พื้นที่ระหว่างกราฟของ $y = 3f (x -2)$ และแกน $x$ จะเป็นเท่าไร?
[asy]
defaultpen(linewidth(0.75));
fill((10,0)..(30,20)..(40,15)--(50,40)..(58,39)--(70,0)--cycle,gray(.7));
draw((10,0)..(30,20)..(40,15)--(50,40)..(58,39)--(70,0)--c... | กราฟของ $y=f(x-2)$ เป็นเพียงกราฟของ $y=f(x)$ ที่เลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าถ้า $(a,b)$ เป็นจุดบนกราฟของ $y=f(x)$ แล้ว $(a+2,b)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x-2)$ จากนั้นกราฟของ $y=3f(x-2)$ เป็นกราฟของ $y=f(x-2)$ ที่ปรับขนาดโดยปัจจัย 3 ในทิศทางแนวตั้ง เพื่อดูสิ่งนี้ โปรดทราบว่าถ้า $(a,b)$ อยู่บนกราฟของ $y=f... | \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ให้หาค่าของพหุนาม \[ x^3 - 2x^2 - 8x + 4, \]โดยที่ $x$ เป็นจำนวนบวกซึ่งทำให้ $x^2 - 2x - 8 = 0$. | เราสังเกตว่า \[ x^3 - 2x^2 - 8x + 4 = (x^2 - 2x - 8) \cdot x + 4 = 0 \cdot x + 4, \]เนื่องจาก $x^2 - 2x - 8 = 0$. ตอนนี้ $0 \cdot x + 4= \boxed{4}$, ดังนั้นนี่คือคำตอบของเรา.
เรายังสามารถแก้หา $x$ จากข้อมูลที่กำหนดได้ด้วย นิพจน์ $x^2 - 2x - 8$ หาค่าได้ $(x + 2)(x-4)$. ดังนั้น $x$ ต้องเท่ากับ 4 หรือ $-2$. เนื่องจาก... | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[f(g(x)) = f(x) g(x).\]ถ้า $g(2) = 37,$ จงหา $g(x).$ | กำหนดให้ $m$ และ $n$ เป็นดีกรีของ $f(x)$ และ $g(x)$ ตามลำดับ แล้วดีกรีของ $f(g(x))$ คือ $mn.$ ดีกรีของ $f(x) g(x)$ คือ $m + n,$ ดังนั้น
\[mn = m + n.\]โดยใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ชื่นชอบของซิมอน เราได้ $(m - 1)(n - 1) = 1,$ ดังนั้น $m = n = 2.$
กำหนดให้ $f(x) = ax^2 + bx + c$ และ $g(x) = dx^2 + ex + f.$ แล้ว
\[a(dx... | g(x) = \boxed{x^2 + 33x - 33}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, และ $c$ เป็นรากที่ 3 ของ $x^3-x+1=0$ จงหาค่าของ $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$ | เราสามารถแทน $x=y-1$ เพื่อให้ได้พหุนามที่มีรากเป็น $a+1$, $b+1$, $c+1$ นั่นคือ
\[(y-1)^3-(y-1)+1=y^3-3y^2+2y+1.\]ผลบวกของส่วนกลับของรากของพหุนามนี้ โดยใช้สูตรของ Vieta's formulas คือ $\frac{2}{-1}=\boxed{-2}$. | \frac{2}{-1}=\boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $z^2 - 8z + 37 = 0$ มีค่าที่เป็นไปได้ของ $|z|$ กี่ค่า? | เราสามารถใช้สูตรกำลังสองได้ แต่มีทางลัด: โปรดทราบว่าถ้าสมการกำลังสองไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ สารละลายจะมีรูปแบบ $p \pm \sqrt{q}$ หรือ $p \pm i \sqrt{q}$ ในกรณีแรก ถ้าทั้งสองคำตอบเป็นจำนวนจริง จะมี 2 ค่าที่แตกต่างกันของ $|z|$ ในขณะที่ในกรณีที่สอง จะมีค่าเดียว เนื่องจาก $|p + i\sqrt{q}| = |p - i\sqrt{q}| = \sqrt{p^2 + q}$ ด... | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อนุกรมเรขาอนันต์อนุกรมหนึ่งมีพจน์แรกเท่ากับ $12$ และพจน์ที่สองเท่ากับ $4$ อีกอนุกรมเรขาอนันต์อนุกรมหนึ่งมีพจน์แรกเท่ากับ $12$ พจน์ที่สองเท่ากับ $4+n$ และผลบวกเท่ากับสี่เท่าของอนุกรมแรก จงหาค่าของ $n$ | สังเกตว่าถ้าอนุกรมทั้งสองมีอัตราส่วนร่วมของ $a$ และ $b$ ตามลำดับ แล้ว $4\left( \frac{12}{1-a} \right) = \frac{12}{1-b}.$ เมื่อทำให้ง่ายขึ้น $4(1-b)=1-a.$ แทนค่า $a= \frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ และ $b= \frac{4+n}{12}=\frac{1}{3}+\frac{n}{12},$ เราจะพบว่า $n=\boxed{6}.$ | n=\boxed{6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนจริง $x$ ที่เป็นค่าบวก ซึ่งทำให้สมการ $\frac{1}{2}\left( 3x^2-1\right) = \left( x^2-50x-10\right)\left( x^2+25x+5\right)$ เป็นจริง | กำหนดให้ $a = x^2-50x-10$ และ $b = x^2+25x+5$ สมการที่กำหนดจะกลายเป็น
\[\frac{a+2b-1}{2} = ab,\]ดังนั้น $0=2ab-a-2b+1=(a-1)(2b-1)$. แล้ว $a-1=x^2-50x-11=0$ หรือ $2b-1=2x^2+50x+9=0$ สมการแรกมีรากบวกคือ $x=\boxed{25 + 2\sqrt{159}}$ ในขณะที่สมการที่สองไม่มีราก | x=\boxed{25 + 2\sqrt{159}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามในสี่จุดปลายของแกนวงรีคือ \[(-2, 4), \; (3, -2), \; (8, 4).\] จงหาความยาวระหว่างจุดโฟกัสของวงรี | แกนสองแกนของวงรีตั้งฉากซึ่งกันและกัน ดังนั้น จุดปลายของแกนแต่ละแกนต้องอยู่ห่างจากจุดปลายของแกนอีกแกนเท่ากัน จุดเดียวที่จุดที่กำหนดทั้งสามซึ่งอยู่ห่างจากจุดอื่น ๆ เท่ากันคือ $(3, -2)$ ดังนั้น จุดที่สี่ที่หายไปต้องเป็นจุดปลายของแกนเดียวกัน และจุด $(-2, 4)$ และ $(8, 4)$ ต้องเป็นจุดปลายของแกนเดียวกัน
จุดศูนย์กลางของวงรีคื... | 2 \sqrt{6^2 - 5^2} =\boxed{2 \sqrt{11}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนจริง $a^{}_{}$ กี่จำนวนที่ทำให้สมการกำลังสอง $x^2 + ax^{}_{} + 6a=0$ มีรากที่เป็นจำนวนเต็มสำหรับ $x^{}_{}$? | ให้ $r$ และ $s$ เป็นรากจำนวนเต็ม จากสูตรของ Vieta's จะได้ว่า $r+s=-a$ และ $rs=6a.$ ดังนั้น \[rs + 6(r+s) = 0.\]ใช้ Simon's Favorite Factoring Trick จะได้ \[rs + 6(r+s) + 36 = 36 \implies (r+6)(s+6) = 36.\]จำนวน $36 = 2^2 3^2$ มี $2(2+1)(2+1) = 18$ ตัวประกอบ ทั้งบวกและลบ; พวกมันมาเป็นคู่ $8$ คู่ มีตัวเลขเดี่ยว $6$ และ $... | a. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$, $b$, $c$, $d$ และ $e$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $a+b+c+d+e=2010$ และให้ $M$ เป็นค่ามากที่สุดของผลรวม $a+b$, $b+c$, $c+d$ และ $d+e$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $M$ | เรามีว่า
\[M = \max \{a + b, b + c, c + d, d + e\}.\]โดยเฉพาะ $a + b \le M,$ $b + c \le M,$ และ $d + e \le M.$ เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก $c < M.$ ดังนั้น,
\[(a + b) + c + (d + e) < 3M.\]แล้ว $2010 < 3M,$ ดังนั้น $M > 670.$ เนื่องจาก $M$ เป็นจำนวนเต็ม $M \ge 671.$
ค่าเท่ากันเกิดขึ้นถ้า $a = 669,$ $b = 1,$ $c = ... | \boxed{671}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $C$ สัมผัสแกน $x$ และแกน $y$ ที่เป็นบวก และสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(3,0)$ และรัศมี 1 อยู่ภายนอก วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $C$ มีรัศมีเท่าใด | ให้ $r$ เป็นรัศมีของวงกลมดังกล่าว เนื่องจากวงกลมสัมผัสแกน $x$ และแกน $y$ ที่เป็นบวก จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(r,r).$ วงกลมนี้ยังสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(3,0)$ และรัศมี 1 ดังนั้น
\[(r - 3)^2 + r^2 = (r + 1)^2.\]สมการนี้จะลดรูปเป็น $r^2 - 8r + 8 = 0.$ โดยสูตรกำลังสอง รากของสมการคือ $r = 4 \pm 2 \sqrt{2}.$ ดังน... | 8 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่งมีจำนวนเต็มบวก $x, y, z$ ที่สอดคล้องกับสมการ \[
n^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+3x+3y+3z-6
\] | สมการที่กำหนดให้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $n^2 = (x+y+z+1)^2+(x+y+z+1)-8$. ให้ $r = x+y+z+1$ เราจะได้ $n^2 = r^2+r-8$. เห็นได้ชัดว่าหนึ่งในความเป็นไปได้คือ $n=r=\boxed{8}$ ซึ่งเป็นจริงเมื่อ $x=y=1, z=6$. ในทางกลับกัน สำหรับ $r > 8$ เราจะได้ $r^2 < r^2+r-8 < (r+1)^2.$ | r^2 < r^2+r-8 < (r+1)^2. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
\[\frac{6}{\sqrt{x - 8} - 9} + \frac{1}{\sqrt{x - 8} - 4} + \frac{7}{\sqrt{x - 8} + 4} + \frac{12}{\sqrt{x - 8} + 9} = 0.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | ให้ $y = \sqrt{x - 8},$ ดังนั้น
\[\frac{6}{y - 9} + \frac{1}{y - 4} + \frac{7}{y + 4} + \frac{12}{y + 9} = 0.\]สังเกตว่า
\[\frac{6}{y - 9} + \frac{12}{y + 9} = \frac{6(y + 9) + 12(y - 9)}{y^2 - 81} = \frac{18y - 54}{y^2 - 81} = \frac{18(y - 3)}{y^2 - 81},\]และ
\[\frac{1}{y - 4} + \frac{7}{y + 4} = \frac{y + 4 + 7(y - 4... | \boxed{17,44}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทฤษฎีการขยายทวินามใช้ได้กับเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม นั่นคือ สำหรับจำนวนจริง $x$, $y$ และ $r$ ทั้งหมด โดยที่ $|x|>|y|$,
\[(x+y)^r=x^r+rx^{r-1}y^1+\frac{r(r-1)}2x^{r-2}y^2+\frac{r(r-1)(r-2)}{3!}x^{r-3}y^3+\cdots\]สามหลักแรกทางด้านขวาของจุดทศนิยมในแทนค่าทศนิยมของ $\left(10^{2002}+1\right)^{10/7}$ คืออะไร? | ตามสูตรที่กำหนดในโจทย์
\[(10^{2002} + 1)^{10/7} = 10^{2860} + \frac{10}{7} \cdot 10^{858} + \frac{\frac{10}{7} \cdot \frac{3}{7}}{2} \cdot 10^{-1144} + \dotsb.\]เทอมเดียวที่ส่งผลต่อหลักทศนิยมสองสามหลักทางด้านขวาของจุดทศนิยมในจำนวนนี้คือ
\[\frac{10}{7} \cdot 10^{858} = 10^{859} \cdot \frac{1}{7} = 10^{859} \cdot 0.14285... | \boxed{428}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดลำดับที่นิยามแบบเรียกซ้ำโดย $u_1 = a > 0$ และ
\[u_{n + 1} = -\frac{1}{u_n + 1}\]สำหรับ $n \ge 1.$ แสดง $u_{16}$ ในรูปของ $a.$ | เรามีว่า
\begin{align*}
u_2 &= -\frac{1}{a + 1}, \\
u_3 &= -\frac{1}{-\frac{1}{a + 1} + 1} = -\frac{a + 1}{a}, \\
u_4 &= -\frac{1}{-\frac{a + 1}{a} + 1} = a.
\end{align*}เนื่องจาก $u_4 = u_1,$ และแต่ละพจน์ขึ้นอยู่กับพจน์ก่อนหน้าเท่านั้น ลำดับจึงเป็นคาบ โดยมีคาบยาว 3 ดังนั้น $u_{16} = u_1 = \boxed{a}.$ | u_{16} = u_1 = \boxed{a}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ
\[f(f(x - y)) = f(x) f(y) - f(x) + f(y) - xy\]สำหรับทุก $x,$ $y.$ จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(1)$. | กำหนด $a = f(0)$ และ $b = f(f(0))$. แทน $y = x$ ในสมการที่กำหนด เราจะได้
\[[f(x)]^2 - x^2 = b \quad (1)\]สำหรับทุก $x$. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับ $x = 0$, $a^2 = b$.
แทน $y = 0$ ในสมการที่กำหนด เราจะได้
\[f(f(x)) = (a - 1) f(x) + a \quad (2)\]สำหรับทุก $x$.
แทน $f(x)$ สำหรับ $x$ ในสมการ (1) เราจะได้
\[[f(f(x))]^2 - ... | \boxed{-1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
คำนวณค่าที่แน่นอนของนิพจน์
\[|\pi - |\pi - 7||.\]เขียนคำตอบของคุณโดยใช้เฉพาะจำนวนเต็มและ $\pi,$ โดยไม่มีเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ | เนื่องจาก $\pi < 7,$
\[|\pi - 7| = 7 - \pi.\]ดังนั้น,
\[|\pi - |\pi - 7|| = |\pi - (7 - \pi)| = |2 \pi - 7|.\]เราทราบว่า $\pi \approx 3.1416 < \frac{7}{2},$ ดังนั้น
\[|2 \pi - 7| = \boxed{7 - 2 \pi}.\] | \pi \approx 3.1416 < \frac{7}{2}, | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของจำนวนจริงบวก กำหนดให้ $f : S \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ
\[f(x) f(y) = f(xy) + 2005 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 2004 \right)\]สำหรับทุก $x,$ $y > 0.$
ให้ $n$ เป็นจำนวนของค่าที่เป็นไปได้ของ $f(2)$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(2)$ จงหา $n \times s.$ | กำหนดให้ $y = 1,$ เราได้
\[f(x) f(1) = f(x) + \frac{2005}{x} + 2005^2.\]ค่า $f(1)$ ไม่สามารถเป็น 1 ได้ ดังนั้นเราสามารถแก้หา $f(x)$ ได้เป็น
\[f(x) = \frac{2005/x + 2005^2}{f(1) - 1}.\]โดยเฉพาะ
\[f(1) = \frac{2005 + 2005^2}{f(1) - 1}.\]ดังนั้น $f(1)^2 - f(1) - 2005^2 - 2005 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(f(1) - 2006)(f... | n \times s = \boxed{\frac{4011}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของสมการ \[\sqrt{(x-3)^2 + (y+4)^2} + \sqrt{(x+5)^2 + (y-8)^2} = 20.\]เป็นวงรี จงหาความยาวระหว่างจุดโฟกัสของวงรี | กำหนดให้ $F_1 = (3, -4)$ และ $F_2 = (-5, 8)$ แล้ว สำหรับจุด $P = (x, y)$ ใดๆ เราสามารถเขียนสมการที่กำหนดใหม่ได้เป็น \[PF_1 + PF_2 = 20\]โดยสูตรระยะทาง ดังนั้น วงรีจะมีจุดโฟกัส $F_1$ และ $F_2$ ดังนั้นคำตอบคือ \[F_1F_2 = \sqrt{(3+5)^2 + (-4-8)^2} = \sqrt{8^2 + 12^2} = \boxed{4\sqrt{13}}.\] | F_2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงที่ต่างกัน ซึ่งสอดคล้องกับ
\[\frac{a^3 + 6}{a} = \frac{b^3 + 6}{b} = \frac{c^3 + 6}{c}.\]จงหาค่าของ $a^3 + b^3 + c^3.$ | กำหนดให้
\[k = \frac{a^3 + 6}{a} = \frac{b^3 + 6}{b} = \frac{c^3 + 6}{c}.\]แล้ว $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นรากของสมการ
\[k = \frac{x^3 + 6}{x},\]หรือ $x^3 - kx + 6 = 0.$ โดยใช้สูตรของ Vieta's, $a + b + c = 0.$
นอกจากนี้,
\begin{align*}
a^3 - ka + 6 &= 0, \\
b^3 - kb + 6 &= 0, \\
c^3 - kc + 6 &= 0.
\end{align*}บวกสมการเหล่... | a^3 + b^3 + c^3 = k(a + b + c) - 18 = \boxed{-18}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของรากที่ 2007 ของ $(x-1)^{2007}+2(x-2)^{2006}+3(x-3)^{2005}+\cdots+2006(x-2006)^2+2007(x-2007)$ | เนื่องจากสูตรของ Vieta's ถ้าเราทราบสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2007}$ และ $x^{2006}$ เราสามารถหาผลรวมของรากทั้งหมดได้ สัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2007}$ ง่ายต่อการหา -- คือ 1. โดยใช้ทฤษฎีบททวินามใน $(x-1)^{2007}$ สัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2006}$ คือ $-\tbinom{2007}{2006} + 2 = -2005$. ดังนั้น โดยสูตรของ Vieta's ผลรวมของรากทั้งหม... | \tfrac{-(-2005)}{1} = \boxed{2005} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง
\[|z - 12| + |z - 5i| = 13.\]จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $|z|.$ | โดยอสมการสามเหลี่ยม,
\[|z - 12| + |z - 5i| = |z - 12| + |5i - z| \ge |(z - 12) + (5i - z)| = |-12 + 5i| = 13.\]แต่เราทราบว่า $|z - 12| + |z - 5i| = 13.$ วิธีเดียวที่ความเท่ากันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $z$ อยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อ 12 และ $5i$ ในระนาบเชิงซ้อน.
[asy]
unitsize(0.4 cm);
pair Z = interp((0,5),(12,0... | h = \boxed{\frac{60}{13}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $m$ บางจำนวน พหุนาม $x^3 - 2011x + m$ มีรากจำนวนเต็มสามราก คือ $a$, $b$, และ $c$ จงหา $|a| + |b| + |c|$ | จากสูตรของ Vieta's \[\left\{ \begin{aligned} a + b + c &= 0 \\ ab+bc+ac&=-2011. \end{aligned} \right.\]เนื่องจาก $a+b=-c,$ สมการที่สองจะกลายเป็น $ab+(-c)c = -2011$, หรือ \[c^2 - ab= 2011.\]อย่างน้อยสองตัวใน $a, b, c$ ต้องมีเครื่องหมายเดียวกัน; โดยไม่เสียนัยทั่วไป ให้ $a$ และ $b$ มีเครื่องหมายเดียวกัน นอกจากนี้ เนื่องจา... | $\{a, b\} = \{-10, -39\}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พหุนาม
\[ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\]มีสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนเต็ม และมีราก $-2,$ $5,$ $9,$ และ $-1/3.$ ถ้า $e$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $e$ | โดยทฤษฎีบทรากจำนวนเต็ม $-2,$ $5,$ และ $9$ ต้องหาร $e$ ลงตัว ดังนั้น $e$ ต้องมีค่าอย่างน้อย 90 พหุนาม
\[(x + 2)(x - 5)(x - 9)(3x + 1) = 3x^4 - 35x^3 + 39x^2 + 287x + 90\]ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด ดังนั้นค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $e$ คือ $\boxed{90}.$ | \boxed{90}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $p(x)$ เป็นพหุนามกำลังสอง ซึ่ง $[p(x)]^3 - x$ หารด้วย $(x - 1)(x + 1)(x - 8)$ ลงตัว จงหา $p(13)$ | โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ เราต้องการให้ $[p(x)]^3 - x$ เท่ากับ 0 ที่ $x = 1,$ $x = -1,$ และ $x = 8.$ ดังนั้น $p(1) = 1,$ $p(-1) = -1,$ และ $p(8) = 2.$
เนื่องจาก $p(x)$ เป็นพหุนามกำลังสอง ให้ $p(x) = ax^2 + bx + c.$ แล้ว
\begin{align*}
a + b + c &= 1, \\
a - b + c &= -1, \\
64a + 8b + c &= 2.
\end{align*}แก้ระบบสมการนี้ เราจ... | p(13) = -\frac{2}{21} \cdot 13^2 + 13 + \frac{2}{21} = \boxed{-3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับวงรี $16x^2 - 64x + y^2 + 4y + 4 = 0,$ จงหา khoảng cáchระหว่างจุดโฟกัส | จัดรูปสมการโดยวิธีการเติมกำลังสองใน $x$ และ $y,$ เราจะได้
\[16(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 64.\]แล้ว
\[\frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{64} = 1.\]ดังนั้น $a = 8$ และ $b = 2,$ ดังนั้น $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{60} = 2 \sqrt{15}.$ ดังนั้น ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสคือ $2c = \boxed{4 \sqrt{15}}.$ | 2c = \boxed{4 \sqrt{15}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
หกส่วนโค้งของพาราโบลา $y = x^2$ ที่เท่ากันถูกจัดเรียงในระนาบ โดยที่จุดยอดแต่ละจุดสัมผัสกับวงกลม และพาราโบลาแต่ละส่วนสัมผัสกับเพื่อนบ้านของมันสองส่วน จงหา半徑ของวงกลม
[asy]
unitsize(1 cm);
real func (real x) {
return (x^2 + 3/4);
}
path parab = graph(func,-1.5,1.5);
draw(parab);
draw(rotate(60)*(parab));
draw(rotate... | ให้ $r$ เป็นรัศมีของวงกลม จากนั้นเราสามารถสมมติได้ว่ากราฟของพาราโบลาส่วนหนึ่งคือ $y = x^2 + r.$
เนื่องจาก $\tan 60^\circ = \sqrt{3},$ พาราโบลา $y = x^2 + r$ จะสัมผัสกับเส้น $y = x \sqrt{3}.$
[asy]
unitsize(1 cm);
real func (real x) {
return (x^2 + 3/4);
}
path parab = graph(func,-1.5,1.5);
draw(dir(240)--3*dir(6... | r = \boxed{\frac{3}{4}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สองจำนวนจริง $x$ และ $y$ สอดคล้องกับ $x-y=4$ และ $x^3-y^3=28$. จงคำนวณค่า $xy$. | วิธีที่ 1. สมการแรกให้ $x = y+4$. แทนค่าลงในสมการที่สอง เราได้ \[(y+4)^3 - y^3 = 28 \implies 12y^2 + 48y + 36 = 0.\]ดังนั้น $y^2 + 4y + 3 = 0$ ดังนั้น $(y+1)(y+3) = 0$. ดังนั้น $y=-1$ และ $x=y+4=3$ หรือ $y=-3$ และ $x=y+4=1$. ในกรณีใดก็ตาม $xy = \boxed{-3}$.
วิธีที่ 2. สมการที่สองแยกตัวประกอบโดยผลต่างของกำลังสาม ดังนี้... | xy = \frac{-9}{3} = \boxed{-3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาสมการเส้นกำกับเฉียงของกราฟของ $\frac{2x^2+7x+10}{2x+3}$?
ใส่นำเสนอคำตอบของคุณในรูป $y = mx + b.$ | การหารพหุนามยาวให้ผลลัพธ์ดังนี้
\[
\begin{array}{c|ccc}
\multicolumn{2}{r}{x} & +2 \\
\cline{2-4}
2x+3 & 2x^2&+7x&+10 \\
\multicolumn{2}{r}{2x^2} & +3x & \\
\cline{2-3}
\multicolumn{2}{r}{0} & 4x & +10 \\
\multicolumn{2}{r}{} & 4x & +6 \\
\cline{3-4}
\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 4 \\
\end{array}
\]ดังนั้น เราสามารถเ... | \boxed{y = x+2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดบริเวณ $S$ ในระนาบเชิงซ้อนโดย \begin{align*}
S = \{x + iy: - 1\le x\le1, - 1\le y\le1\}.
\end{align*} เลือกจำนวนเชิงซ้อน $z = x + iy$ จาก $S$ โดยสุ่มอย่างสม่ำเสมอ จงหาความน่าจะเป็นที่ $\left(\frac34 + \frac34i\right)z$ ก็อยู่ใน $S$ ด้วย | เราสามารถคำนวณได้โดยตรงว่า
\[\left(\frac34 + \frac34i\right)z = \left(\frac34 + \frac34i\right)(x + iy) = \frac{3(x-y)}4 + \frac{3(x+y)}4 \cdot i.\]จำนวนเชิงซ้อนนี้จะอยู่ใน $S$ ก็ต่อเมื่อ $-1 \leq \frac{3(x-y)}4 \leq 1$ และในเวลาเดียวกัน $-1 \leq \frac{3(x+y)}4 \leq 1$ ซึ่งจะได้ว่า $|x-y|\leq\frac 43$ และ $|x+y|\leq\fr... | \frac{ [S\cap T]}4 = \frac{ 4 - \frac 89 }4 = 1 - \frac 29 = \boxed{\frac 79} | [
"unknown"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของจำนวนจริงบวก และกำหนดให้ $f : S \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ
\[f(x) f(y) = f(xy) + 2005 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 2004 \right)\]สำหรับทุก $x,$ $y > 0.$
กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนของค่าที่เป็นไปได้ของ $f(2)$ และกำหนดให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(2)$ จงหา $n \... | กำหนดให้ $y = 1,$ เราได้
\[f(x) f(1) = f(x) + \frac{2005}{x} + 2005^2.\]ค่า $f(1)$ ไม่สามารถเป็น 1 ดังนั้นเราสามารถแก้สมการเพื่อหา $f(x)$ ได้
\[f(x) = \frac{2005/x + 2005^2}{f(1) - 1}.\]โดยเฉพาะ
\[f(1) = \frac{2005 + 2005^2}{f(1) - 1}.\]ดังนั้น $f(1)^2 - f(1) - 2005^2 - 2005 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(f(1) - 2006)... | n \times s = \boxed{\frac{4011}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $x^{100}$ หารด้วย $(x + 1)^3.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
x^{100} &= [(x + 1) - 1]^{100} \\
&= (x + 1)^{100} - \binom{100}{1} (x + 1)^{99} + \binom{100}{2} (x + 1)^{98} + \dots - \binom{100}{97} (x + 1)^3 + \binom{100}{98} (x + 1)^2 - \binom{100}{99} (x + 1) + 1.
\end{align*}เมื่อหารด้วย $(x + 1)^3$ เศษที่เหลือคือ
\[\binom{100}{98} (x + 1)^... | (x + 1)^3, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่า $x$ (จำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน) ทั้งหมดที่เป็นคำตอบของสมการ
\[x^4+64=0.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เราสามารถแยกตัวประกอบ $x^4+64$ เป็นผลต่างของกำลังสองได้:
\begin{align*}
x^4+64 &= (x^2)^2 - (8i)^2 \\
&= (x^2-8i)(x^2+8i).
\end{align*}ดังนั้น คำตอบคือรากที่สองของ $8i$ และ $-8i$.
รากที่สองของ $i$ คือ $\pm\left(\frac{\sqrt 2}2+\frac{\sqrt 2}2i\right)$. ดังนั้น รากที่สองของ $8i$ คือ $\pm\sqrt 8\left(\frac{\sqrt 2}2+\fr... | x=\boxed{2+2i,\,-2-2i,\,-2+2i,\,2-2i} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $f_{1}(x)=\sqrt{1-x}$, และสำหรับจำนวนเต็ม $n \geq 2$, กำหนด \[f_{n}(x)=f_{n-1}\left(\sqrt{n^2 - x}\right).\]ให้ $N$ เป็นค่าที่มากที่สุดของ $n$ ที่ทำให้โดเมนของ $f_n$ ไม่ว่างเปล่า สำหรับค่า $N$ นี้ โดเมนของ $f_N$ ประกอบด้วยจุดเดียว $\{c\}.$ จงคำนวณ $c.$ | ฟังก์ชัน $f_{1}(x)=\sqrt{1-x}$ ถูกนิยามเมื่อ $x\leq1$. ต่อไปนี้ \[f_{2}(x)=f_{1}(\sqrt{4-x})=\sqrt{1-\sqrt{4-x}}.\]เพื่อให้ถูกนิยาม เราต้องมี $4-x\ge0$ หรือ $x \le 4,$ และจำนวน $\sqrt{4-x}$ ต้องอยู่ในโดเมนของ $f_1,$ ดังนั้น $\sqrt{4-x} \le 1,$ หรือ $x \ge 3.$ ดังนั้น โดเมนของ $f_2$ คือ $[3, 4].$
ในทำนองเดียวกัน สำหรับ... | c = \boxed{-231}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $ f(x) = x^3 + x + 1$. สมมติว่า $ g$ เป็นพหุนามดีกรีสาม ซึ่ง $ g(0) = - 1$, และรากของ $ g$ เป็นกำลังสองของรากของ $ f$. จงหา $ g(9)$. | กำหนดให้ $r,$ $s,$ และ $t$ เป็นรากของ $f(x)$, ดังนั้น $f(x)=(x-r)(x-s)(x-t)$. แล้ว $r^2,$ $s^2,$ และ $t^2$ เป็นรากของ $g$, ดังนั้นเราสามารถเขียน \[g(x) = A(x-r^2)(x-s^2)(x-t^2)\]สำหรับค่าคงที่ $A$ บางค่า. แทน $x=0$, เราได้ \[-1 = -Ar^2s^2t^2.\]เราทราบว่า $rst = -1$ โดย Vieta, ดังนั้น \[-1 = -A(-1)^2 = -A\]และ $A=1$. แ... | 899 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[xy - \frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2} = 3.\]จงหาผลรวมของค่า $(x - 1)(y - 1)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด | จากสมการที่กำหนดให้ $x^3 y^3 - x^3 - y^3 = 3x^2 y^2,$ หรือ
\[x^3 y^3 - x^3 - y^3 - 3x^2 y^2 = 0.\]เราสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc).\]โดยที่ $a = xy,$ $b = -x,$ และ $c = -y,$ เราได้
\[x^3 y^3 - x^3 - y^3 - 3x^2 y^2 = (xy - x - y)(a^2 + b^2 + c^2 - ab -... | \boxed{5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาโดเมนของฟังก์ชัน $g(x) = \frac{3x+1}{x+8}$ แสดงคำตอบในรูปของสัญกรณ์ช่วง | สูตรของ $g(x)$ มีค่าที่นิยามไว้เว้นแต่ส่วนของมันจะเป็น 0; ดังนั้นเราต้องแยก $-8$ ออกจากโดเมน โดเมนของ $g(x)$ คือ $\boxed{(-\infty, -8) \cup (-8, \infty)}$. | \boxed{(-\infty, -8) \cup (-8, \infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[\frac{x^2}{x - 8}\]สำหรับ $x > 8.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\[\frac{x^2}{x - 8} = \frac{x^2 - 64 + 64}{x - 8} = \frac{(x - 8)(x + 8) + 64}{x - 8} = x + 8 + \frac{64}{x - 8} = x - 8 + \frac{64}{x - 8} + 16.\]โดย AM-GM,
\[x - 8 + \frac{64}{x - 8} \ge 2 \sqrt{(x - 8) \cdot \frac{64}{x - 8}} = 16,\]ดังนั้น
\[\frac{x^2}{x - 8} \ge 32.\]ค่าเท่ากันเกิดขึ้นเมื่อ $x... | \boxed{32}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)$ ซึ่งสอดคล้องกับ $f(1) = 1$ และ
\[f(x + y) = 3^y f(x) + 2^x f(y)\]สำหรับจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด จงหาฟังก์ชัน $f(x)$. | สลับบทบาทของ $x$ และ $y$ เราจะได้
\[f(y + x) = 3^x f(y) + 2^y f(x).\]ดังนั้น,
\[3^y f(x) + 2^x f(y) = 3^x f(y) + 2^y f(x).\]แล้ว
\[(3^y - 2^y) f(x) = (3^x - 2^x) f(y),\]ดังนั้นสำหรับ $x \neq 0$ และ $y \neq 0,$
\[\frac{f(x)}{3^x - 2^x} = \frac{f(y)}{3^y - 2^y}.\]กำหนด $y = 1,$ เราจะได้
\[\frac{f(x)}{3^x - 2^x} = \frac{f... | x = 0. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x,$ $y,$ $z$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $x + y + z = 1,$ และ $x \ge -\frac{1}{3},$ $y \ge -1,$ และ $z \ge -\frac{5}{3}.$ จงหาค่าสูงสุดของ
\[\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3y + 3} + \sqrt{3z + 5}.\] | โดยอสมการ Cauchy-Schwarz,
\[(1 + 1 + 1)(3x + 1 + 3y + 3 + 3z + 5) \ge (\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3y + 3} + \sqrt{3z + 5})^2.\]ดังนั้น
\[(\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3y + 3} + \sqrt{3z + 5})^2 \le (3)(3 + 1 + 3 + 5) = 36,\]นั่นคือ $\sqrt{3x + 1} + \sqrt{3y + 3} + \sqrt{3z + 5} \le 6.$
สมการเกิดขึ้นเมื่อ $3x + 1 = 3y + 3 = 3z + 5... | \boxed{6}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มอยู่ในรูป
\[x^3 + a_2 x^2 + a_1 x - 11 = 0.\]ระบุรากจำนวนเต็มที่เป็นไปได้ทั้งหมดของพหุนามนี้ แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | ตามทฤษฎีบทรากจำนวนเต็ม รากจำนวนเต็มที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือตัวหารทั้งหมดของ 11 (รวมถึงตัวหารลบ) ดังนั้นจึงเป็น $\boxed{-11, -1, 1, 11}.$ | \boxed{-11, -1, 1, 11}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $b_1,$ $b_2,$ $b_3,$ $c_1,$ $c_2,$ $c_3$ เท่ากับ $1,$ $2,$ $3,$ $\dots,$ $9$ ในลำดับใดๆ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ
\[a_1 a_2 a_3 + b_1 b_2 b_3 + c_1 c_2 c_3.\] | กำหนดให้ $S = a_1 a_2 a_3 + b_1 b_2 b_3 + c_1 c_2 c_3.$ โดย AM-GM,
\[S \ge 3 \sqrt[3]{a_1 a_2 a_3 b_1 b_2 b_3 c_1 c_2 c_3} = 3 \sqrt[3]{9!} \approx 213.98.\]เนื่องจาก $S$ เป็นจำนวนเต็ม $S \ge 214.$
สังเกตว่า
\[2 \cdot 5 \cdot 7 + 1 \cdot 8 \cdot 9 + 3 \cdot 4 \cdot 6 = 214,\]ดังนั้นค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $S$... | \boxed{214}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $2(x^2 + y^2) = x + y.$ จงหาค่าสูงสุดของ $x - y.$ | เราสามารถเขียน $2(x^2 + y^2) = x + y$ เป็น $2x^2 + 2y^2 = x + y.$ ดังนั้น $2x^2 + 4xy + 2y^2 = x + y + 4xy,$ ดังนั้น
\[4xy = 2(x^2 + 2xy + y^2) - (x + y) = 2(x + y)^2 - (x + y).\]นอกจากนี้,
\begin{align*}
(x - y)^2 &= x^2 - 2xy + y^2 \\
&= (x + y)^2 - 4xy \\
&= (x + y) - (x + y)^2.
\end{align*}ทำการเติมกำลังสองใน $x +... | \boxed{\frac{1}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดลำดับของจำนวนจริง $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\dots$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[a_n = a_{n - 1} a_{n + 1}\]สำหรับทุก $n \ge 2.$ ถ้า $a_1 = 1 + \sqrt{7}$ และ $a_{1776} = 13 + \sqrt{7}$ จงหาค่าของ $a_{2009}.$ | จากการกำหนดความสัมพันธ์ซ้ำ
\[a_{n + 1} = \frac{a_n}{a_{n - 1}}.\]กำหนด $a = a_1$ และ $b = a_2.$ ดังนั้น
\begin{align*}
a_3 &= \frac{a_2}{a_1} = \frac{b}{a}, \\
a_4 &= \frac{a_3}{a_2} = \frac{b/a}{b} = \frac{1}{a}, \\
a_5 &= \frac{a_4}{a_3} = \frac{1/a}{b/a} = \frac{1}{b}, \\
a_6 &= \frac{a_5}{a_4} = \frac{1/b}{1/a} = ... | a_7 = a_1, | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพหุนาม $P(x)$ ที่ไม่ใช่พหุนาม상수 ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
\[P(P(x)) = (x^2 + x + 1) P(x).\] | ให้ $d$ เป็นดีกรีของ $P(x).$ ดังนั้น ดีกรีของ $P(P(x))$ คือ $d^2,$ และดีกรีของ $(x^2 + x + 1) P(x)$ คือ $d + 2,$ ดังนั้น
\[d^2 = d + 2.\]แล้ว $d^2 - d - 2 = (d - 2)(d + 1) = 0.$ เนื่องจาก $d$ เป็นบวก $d = 2.$
ให้ $P(x) = ax^2 + bx + c.$ แล้ว
\begin{align*}
P(P(x)) &= a(ax^2 + bx + c)^2 + b(ax^2 + bx + c) + c \\
&= ... | P(x) = \boxed{x^2 + x}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของผลคูณอนันต์ $(2^{1/3})(4^{1/9})(8^{1/27})(16^{1/81}) \dotsm.$ ใส่คำตอบในรูป "\sqrt[a]{b}", ซึ่งหมายถึง $\sqrt[a]{b}.$ | เราสามารถเขียนผลคูณได้ดังนี้
\begin{align*}
(2^{1/3})(4^{1/9})(8^{1/27})(16^{1/81}) \dotsm &= 2^{1/3} \cdot (2^2)^{1/9} \cdot (2^3)^{1/27} \cdot (2^4)^{1/81} \dotsm \\
&= 2^{1/3} \cdot 2^{2/3^2} \cdot 2^{3/3^3} \cdot 2^{4/3^4} \dotsm \\
&= 2^{1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + 4/3^4 + \dotsb}.
\end{align*}ให้
\[S = \frac{1}{3} + \f... | 2^{3/4} = \boxed{\sqrt[4]{8}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของ 10-tuples $(a_0, a_1, \dots, a_9),$ โดยที่แต่ละสมาชิกเป็น 0 หรือ 1 ดังนั้น $S$ มี $2^{10}$ 10-tuples. สำหรับ 10-tuple $s = (a_0, a_1, \dots, a_9)$ ใดๆ ใน $S,$ ให้ $p_s(x)$ เป็นพหุนามดีกรีไม่เกิน 9 ซึ่ง
\[p_s(n) = a_n\]สำหรับ $0 \le n \le 9.$ ตัวอย่างเช่น $p(x) = p_{(0,1,0,0,1,0,1,0,0,0)}(x)$ เป... | กำหนดให้
\[p(x) = \sum_{s \in S} p_s(x).\]สำหรับ $n$ ใดๆ,$0 \le n \le 9,$
\[p(n) = \sum_{s \in S} p_s(n) = 2^9 = 512,\]เพราะ $p_s(n) = 0$ สำหรับพหุนาม $p_s(x)$ จำนวน 512 ตัว และ $p_s(n) = 1$ สำหรับพหุนาม $p_s(x)$ จำนวน 512 ตัว.
ดังนั้น $p(x) = 512$ สำหรับค่า $n = 0,$ 1, 2, $\dots,$ 9 จำนวน 10 ค่า. นอกจากนี้ $p(x)$ มี... | p(10) = \boxed{512}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $x^{100}$ หารด้วย $(x + 1)^3.$ | เราสามารถเขียนได้ว่า
\begin{align*}
x^{100} &= [(x + 1) - 1]^{100} \\
&= (x + 1)^{100} - \binom{100}{1} (x + 1)^{99} + \binom{100}{2} (x + 1)^{98} + \dots - \binom{100}{97} (x + 1)^3 + \binom{100}{98} (x + 1)^2 - \binom{100}{99} (x + 1) + 1.
\end{align*}เมื่อหารด้วย $(x + 1)^3$ เศษที่เหลือคือ
\[\binom{100}{98} (x + 1)^... | (x + 1)^3, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r,$ $s,$ $t$ เป็นรากของ $2x^3 - 7x^2 - 6 = 0.$ จงหาค่าของ $rst.$ | จากสูตรของ Vieta's, $rst = \frac{6}{2} = \boxed{3}.$ | rst = \frac{6}{2} = \boxed{3}. | [
"นำไปใช้"
] |
ในถุงริบบิ้นขนาดใหญ่ มีริบบิ้นสีแดง $\frac{1}{5}$ สีน้ำเงิน $\frac{1}{2}$ สีเขียว $\frac{1}{10}$ และที่เหลือ 30 อันเป็นสีขาว มีริบบิ้นสีเขียวกี่อัน? | เราบวกเศษส่วนของริบบิ้นที่ไม่ใช่สีแดง และได้ $\frac{1}{5}+\frac{1}{2}+\frac{1}{10}=\frac{2+5+1}{10}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ ดังนั้น 30 ริบบิ้นประกอบด้วย $1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$ ของริบบิ้นทั้งหมด และจำนวนริบบิ้นทั้งหมดคือ $5\times30=150$ ริบบิ้นสีเขียวเป็น $\frac{1}{10}$ ของจำนวนทั้งหมด และ $\frac{1}{10}\times150=... | \boxed{15} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แก้สมการ
\[(x^3 + 3x^2 \sqrt{2} + 6x + 2 \sqrt{2}) + (x + \sqrt{2}) = 0.\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้เป็น
\[(x + \sqrt{2})^3 + (x + \sqrt{2}) = 0.\]ดังนั้น
\[(x + \sqrt{2})[(x + \sqrt{2})^2 + 1] = 0,\]นั่นคือ $x = -\sqrt{2}$ หรือ $(x + \sqrt{2})^2 = -1.$ สำหรับสมการหลัง
\[x + \sqrt{2} = \pm i,\]นั่นคือ $x = -\sqrt{2} \pm i.$
ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{-\sqrt{2}, -\sqrt{2} + i, -\sqrt{2} - i}.$ | \boxed{-\sqrt{2}, -\sqrt{2} + i, -\sqrt{2} - i}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของ $y^2 + 2xy + 40|x|= 400$ แบ่งระนาบออกเป็นหลายบริเวณ จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ล้อมรอบ | เพื่อจัดการกับพจน์ $|x|$ เราพิจารณาในกรณีของเครื่องหมายของ $x$:
ถ้า $x \ge 0$ เราได้ $y^2+2xy+40x=400$ แยก $x$ เราได้ $x(2y+40) = 400-y^2$ ซึ่งเราสามารถแยกตัวประกอบเป็น \[2x(y+20) = (20-y)(y+20).\]ดังนั้น $y=-20$ หรือ $2x=20-y$ ซึ่งเทียบเท่ากับ $y=20-2x$.
ถ้า $x < 0$ เราได้ $y^2+2xy-40x=400$ แยก $x$ เราได้ $x(2y-40)... | 40 \cdot 20 = \boxed{800} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x^5 - x^4 + x^3 - px^2 + qx + 4$ หารด้วย $(x + 2)(x - 1)$ ลงตัว จงหาค่า $(p,q)$ | จากทฤษฎีบทเศษเหลือ พหุนามจะเป็น 0 เมื่อ $x = -2$ และ $x = 1$ ดังนั้น
\begin{align*}
(-2)^5 - (-2)^4 + (-2)^3 - p(-2)^2 + q(-2) + 4 &= 0, \\
1 - 1 + 1 - p + q + 4 &= 0.
\end{align*}ดังนั้น $-4p - 2q = 52$ และ $-p + q = -5$ แก้สมการจะได้ $(p,q) = \boxed{(-7,-12)}.$ | (p,q) = \boxed{(-7,-12)}. | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าของ $c,$ โดยที่ $\lfloor c\rfloor$ เป็นคำตอบของ \[2x^2 + 17x - 55 = 0\]และ $\{ c \} = c - \lfloor c \rfloor $ เป็นคำตอบของ \[6x^2 - 23x + 7 = 0.\] | สมการกำลังสองตัวแรกแยกตัวประกอบได้เป็น \[(2x-5)(x+11) = 0,\]ดังนั้นรากของสมการคือ $\tfrac52$ และ $-11.$ เนื่องจาก $\lfloor c \rfloor$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $\lfloor c \rfloor = -11.$
สมการกำลังสองตัวที่สองแยกตัวประกอบได้เป็น \[(3x-1)(2x-7) = 0,\]ดังนั้นรากของสมการคือ $\tfrac13$ และ $\tfrac72.$ เนื่องจาก $0 \le \{c... | c = \lfloor c\rfloor + \{c\} = -11 + \tfrac13 = \boxed{-\tfrac{32}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของ
\[f(x) = x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x + \frac{1}{x}}\]สำหรับ $x > 0.$ | พิจารณาฟังก์ชัน
\[g(x) = x + \frac{1}{x}.\]ถ้า $1 \le x < y,$ แล้ว
\begin{align*}
g(y) - g(x) &= y + \frac{1}{y} - x - \frac{1}{x} \\
&= y - x + \frac{1}{y} - \frac{1}{x} \\
&= y - x + \frac{x - y}{xy} \\
&= (y - x) \left( 1 - \frac{1}{xy} \right) \\
&= \frac{(y - x)(xy - 1)}{xy} \\
&> 0.
\end{align*}ดังนั้น $g(x)$ เป็... | x + \frac{1}{x} = 1, | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $p$ ทั้งหมดที่ทำให้สมการ
\[x^4 + 2px^3 + x^2 + 2px + 1 = 0\]มีรากจริงที่เป็นลบอย่างน้อยสองรากที่แตกต่างกัน | เราเห็นว่า $x = 0$ ไม่สามารถเป็นรากของพหุนามได้ หารทั้งสองข้างด้วย $x^2$ เราได้
\[x^2 + 2px + 1 + \frac{2p}{x} + \frac{1}{x^2} = 0.\]ให้ $y = x + \frac{1}{x}.$ แล้ว
\[y^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2},\]ดังนั้น
\[y^2 - 2 + 2py + 1 = 0,\]หรือ $y^2 + 2py - 1 = 0.$ ดังนั้น,
\[p = \frac{1 - y^2}{2y}.\]ถ้า $x$ เป็นลบ จาก AM-GM... | p | [
"unknown"
] |
มีจำนวนจริงบวกกี่คำตอบของสมการ $x^{10}+7x^9+14x^8+1729x^7-1379x^6=0$? | เราสามารถแยกตัวประกอบสมการได้ดังนี้
\[x^6 (x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 1729x - 1379) = 0.\]เนื่องจากเราต้องการหาคำตอบจริงบวก สมการจะลดรูปเป็น
\[x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 1729x - 1379.\]พิจารณาฟังก์ชัน $f(x) = x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 1729x - 1379.$ ฟังก์ชันนี้เพิ่มขึ้นเมื่อ $x > 0.$ นอกจากนี้ $f(0) < 0$ และ $f(1) > 0,$ ดังนั้นมีคำตอบ... | (0,1). | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณของรากของสมการ \[(2x^3 + x^2 - 8x + 20)(5x^3 - 25x^2 + 19) = 0.\] | เมื่อคูณพหุนามทางซ้ายมือออก จะได้พหุนามดีกรี $6$ ตามสูตรของ Vieta ผลคูณของรากถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ของ $x^6$ และพจน์คงตัว สัมประสิทธิ์ของ $x^6$ คือ $2 \cdot 5 = 10$ และพจน์คงตัวคือ $20 \cdot 19 = 380$ ดังนั้น ผลคูณของรากคือ $\tfrac{380}{10} = \boxed{38}.$ | \tfrac{380}{10} = \boxed{38}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชันต่อไปนี้ โดยมีโดเมนของแต่ละฟังก์ชันกำหนดไว้ด้วย
A. $a(x) = \sqrt{2 - x},$ $x \in (-\infty,2].$
B. $b(x) = x^3 - x,$ $x \in \mathbb{R}.$
C. $c(x) = x + \frac{1}{x},$ $x \in (0,\infty).$
D. $d(x) = 2x^2 + 4x + 7,$ $x \in [0,\infty).$
E. $e(x) = |x - 2| + |x + 3|,$ $x \in \mathbb{R}.$
F. $f(x) = 3^x + 7... | A. ฟังก์ชัน $a(x) = \sqrt{2 - x}$ เป็นฟังก์ชันลดลง ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันผกผัน
B. โปรดสังเกตว่า $b(0) = b(1) = 0,$ ดังนั้นฟังก์ชัน $b(x)$ จึงไม่มีฟังก์ชันผกผัน
C. โปรดสังเกตว่า $c \left( \frac{1}{2} \right) = c(2) = \frac{5}{2},$ ดังนั้นฟังก์ชัน $c(x)$ จึงไม่มีฟังก์ชันผกผัน
D. ฟังก์ชัน $d(x) = 2x^2 + 4x + 7 = 2(x + 1)... | \boxed{\text{A, D, F, G, H}}. | [
"unknown"
] |
ถ้า $f(x)$ เป็นพหุนามกำลังสี่ที่มีสัมประสิทธิ์นำเป็น 1 ซึ่ง $f(-1)=-1$, $f(2)=-4$, $f(-3)=-9$, และ $f(4)=-16$ จงหา $f(1)$ | ให้ $g(x) = f(x) + x^2.$ ดังนั้น $g(x)$ เป็นพหุนามกำลังสี่ที่มีสัมประสิทธิ์นำเป็น 1 และ $g(-1) = g(2) = g(-3) = f(4) = 0,$ ดังนั้น
\[g(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 4).\]ดังนั้น $f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 4) - x^2.$ โดยเฉพาะ $f(1) = (2)(-1)(4)(-3) - 1 = \boxed{23}.$ | f(1) = (2)(-1)(4)(-3) - 1 = \boxed{23}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ตัวหารร่วมมากที่สุดของ $x^2+ax+b$ และ $x^2+bx+c$ คือ $x+1$ (ในเซตของพหุนามใน $x$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม) และตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของ $x^2+ax+b$ และ $x^2+bx+c$ คือ $x^3-4x^2+x+6$ จงหา $a+b+c$ | เนื่องจาก $x+1$ หาร $x^2+ax+b$ ลงตัว และพจน์คงตัวคือ $b$ เราได้ว่า $x^2+ax+b=(x+1)(x+b)$ และในทำนองเดียวกัน $x^2+bx+c=(x+1)(x+c)$ ดังนั้น $a=b+1=c+2$ นอกจากนี้ ตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของพหุนามทั้งสองคือ $(x+1)(x+b)(x+b-1)=x^3-4x^2+x+6$ ดังนั้น $b=-2$ ดังนั้น $a=-1$ และ $c=-3$ และ $a+b+c=\boxed{-6}$ | a+b+c=\boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยที่
\[xy - \frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2} = 3.\]จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $(x - 1)(y - 1).$ | จากสมการที่กำหนดให้ $x^3 y^3 - x^3 - y^3 = 3x^2 y^2,$ หรือ
\[x^3 y^3 - x^3 - y^3 - 3x^2 y^2 = 0.\]เราสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้
\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc).\]โดยแทน $a = xy,$ $b = -x,$ และ $c = -y,$ เราได้
\[x^3 y^3 - x^3 - y^3 - 3x^2 y^2 = (xy - x - y)(a^2 + b^2 + c^2 - ab -... | \boxed{5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำหรับจำนวนจริงบวกทั้งหมด ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข $f(x) > 0$ สำหรับทุก $x > 0$ และ
\[f(x - y) = \sqrt{f(xy) + 2}\]สำหรับทุก $x > y > 0.$ จงหาค่าของ $f(2009).$ | เราจะพิสูจน์ก่อนว่ามีจำนวนจริงบวก $x$ และ $y$ ที่ทำให้ $x - y = xy = 2009.$ จากสมการเหล่านี้
\[x^2 - 2xy + y^2 = 2009^2,\]ดังนั้น $x^2 + 2xy + y^2 = 2009^2 + 4 \cdot 2009.$ แล้ว $x + y = \sqrt{2009^2 + 4 \cdot 2009},$ ดังนั้นโดยสูตรของ Vieta's, $x$ และ $y$ เป็นรากของ
\[t^2 - (\sqrt{2009^2 + 4 \cdot 2009}) t + 2009 = 0... | a = \boxed{2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาช่วงของฟังก์ชัน
\[h(x) = \frac{2(x + 7)(x - 3)}{x + 7}.\] | ถ้า $x \neq -7,$ เราสามารถตัดตัวประกอบของ $x + 7$ ออกได้
\[h(x) = 2(x - 3).\]ถ้า $x$ อนุญาตให้เป็นจำนวนจริงใดๆ $2(x - 3)$ ก็สามารถเป็นจำนวนจริงใดๆ ได้ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันไม่ได้นิยามสำหรับ $x = -7$ ดังนั้นฟังก์ชันจึงไม่สามารถรับค่า $2(-7 - 3) = -20$ ได้
ดังนั้น ช่วงของฟังก์ชันคือ $\boxed{(-\infty,-20) \cup (-20,\inf... | \boxed{(-\infty,-20) \cup (-20,\infty)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a,$ $b,$ $c$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่
\begin{align*}
ab + 4b &= -16, \\
bc + 4c &= -16, \\
ca + 4a &= -16.
\end{align*}จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $abc$ แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค | นำสมการทั้งสามมาบวกกัน จะได้
\[ab + ac + bc + 4(a + b + c) = -48.\]นำสมการทั้งสามไปคูณด้วย $c,$ $a,$ $b$ ตามลำดับ จะได้
\begin{align*}
abc + 4bc &= -16c, \\
abc + 4ac &= -16a, \\
abc + 4ab &= -16b.
\end{align*}นำสมการทั้งสามมาบวกกัน จะได้
\[3abc + 4(ab + ac + bc) = -16(a + b + c).\]ดังนั้น
\begin{align*}
3abc &= -4(ab ... | abc = \boxed{64}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
\[\sqrt[3]{2 - x} + \sqrt{x - 1} = 1.\]เขียนคำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยจุลภาค | ให้ $y = \sqrt[3]{2 - x}.$ แล้ว $y^3 = 2 - x,$ ดังนั้น $x = 2 - y^3.$ แล้ว
\[\sqrt{x - 1} = \sqrt{1 - y^3},\]ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการที่กำหนดให้เป็น $y + \sqrt{1 - y^3} = 1.$ แล้ว
\[\sqrt{1 - y^3} = 1 - y.\]ยกกำลังสองทั้งสองข้าง เราได้ $1 - y^3 = 1 - 2y + y^2,$ ดังนั้น $y^3 + y^2 - 2y = 0.$ สมการนี้แยกตัวประกอบได... | x = \boxed{1,2,10}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริง จงคำนวณค่าจำนวนเต็มสูงสุดของ
\[\frac{3x^2 + 9x + 17}{3x^2 + 9x + 7}.\] | ראשית เราสามารถเขียนได้
\[\frac{3x^2 + 9x + 17}{3x^2 + 9x + 7} = \frac{(3x^2 + 9x + 7) + 10}{3x^2 + 9x + 7} = 1 + \frac{10}{3x^2 + 9x + 7}.\]ดังนั้น เราต้องการลดค่า $3x^2 + 9x + 7$ ลงให้น้อยที่สุด
โดยการเติมกำลังสอง เราได้
\[3x^2 + 9x + 7 = 3 \left( x + \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{1}{4},\]ดังนั้น ค่าต่ำสุดของ $3x^2 ... | 1 + \frac{10}{1/4} = \boxed{41}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.