question stringlengths 16 1.6k | solution stringlengths 3 2.73k | answer stringlengths 0 168 | bloom_taxonomy listlengths 1 4 |
|---|---|---|---|
รูปหกเหลี่ยมปกติถูกตัดเพื่อสร้างรูปสิบสองเหลี่ยมปกติโดยการตัดสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เหมือนกันออกจากมุมทั้งหกของมัน ร้อยละเท่าใดของพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมเดิมถูกตัดออก แสดงคำตอบของคุณเป็นทศนิยมตำแหน่งที่ใกล้เคียงที่สุด | โดยไม่เสียความทั่วไป ให้ความยาวด้านของรูปหกเหลี่ยมเท่ากับ 1 หน่วย และให้ $u$ เป็นความยาวของด้านที่เท่ากันในสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ถูกตัดออก กำหนดจุด $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ และ $F$ ดังที่แสดงในรูป สามเหลี่ยม $CDB$ เป็นสามเหลี่ยม 30-60-90 ดังนั้น $CD=u/2$ และ $DB=u\sqrt{3}/2$ นอกจากนี้ $AB=1-2u$ เพราะ $CF=1$ และ $CB=AF... | 7.2% | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จัตุรัสที่มีจุดยอด $(-1, -1)$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$ และ $(1, 1)$ ถูกตัดโดยเส้นตรง $y=\frac{x}{2}+ 1$ เป็นรูปสามเหลี่ยมและรูปห้าเหลี่ยม พื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมมีกี่ตารางหน่วย แสดงคำตอบเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง | วาดจัตุรัสและเส้นตรงเพื่อให้เห็นว่าเส้นตรงตัดด้านบนและด้านซ้ายของจัตุรัส แทนค่า $y=1$ และ $x=-1$ ลงในสมการของเส้นตรง เราจะพบว่าจุดตัดคือ (0,1) และ $(-1,\frac{1}{2})$ ด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านขวาที่ถูกตัดออก (แรเงาในรูป) มีความยาว 1 และ 1/2 หน่วย ดังนั้นพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ $\frac{1}{2}(1)\left(\frac{1}{2}\right)... | 3.75 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $P=(a,b)$ เป็นจุดตัดของเส้นตรง $y=2x-10$ และเส้นตรงที่ผ่านจุด $(7,8)$ และ $(9,0)$ จงคำนวณ $a+b$ | ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(7,8)$ และ $(9,0)$ คือ $\frac{8-0}{7-9}=\frac{8}{-2}=-4$. ดังนั้น เส้นตรงมีสมการ $y=-4x+b$ สำหรับค่า $b$ บางค่า เนื่องจาก $B(9,0)$ อยู่บนเส้นตรงนี้ เราได้ $0=-4(9)+b \Rightarrow b=36$ ดังนั้น สมการของเส้นตรงคือ $y=-4x+36$.
เพื่อหาจุดตัดระหว่างเส้นตรงที่มีสมการ $y=-4x+36$ และ $y=2x-10$ เราใ... | a+b=\frac{23}{3}+\frac{16}{3}=\frac{39}{3}=\boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $80325$ หาร $n!$ ลงตัว | เราหาการแยกตัวประกอบของ $80325$ ซึ่งได้ $3^3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 17$ จำนวนเฉพาะที่มากที่สุดในการแยกตัวประกอบคือ $17$ ดังนั้น $n$ ต้องมีค่าอย่างน้อย $17$ เนื่องจากมีสามตัวประกอบของ $3$ สองตัวประกอบของ $5$ และหนึ่งตัวประกอบของ $7$ ในการแยกตัวประกอบของ $17!$ ค่าต่ำสุดของ $n$ คือ $\boxed{17}$ | \boxed{17} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ด้าน $CD$ ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ มีความยาว 12 เมตร ดังแสดงในรูป สามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับด้าน $CD$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งสามรูป จงหาพื้นที่ของบริเวณที่แรเงาทั้งหมด แสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด [asy]
import olympiad; size(150); defaultpen(linewidth(0.8));
fill((2,2*sqrt(3))--(4,0)--(6,2*sqrt(3))--cycle^^(6,2*s... | สามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่อยู่ปลายสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถนำมาต่อกันได้เพื่อสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งเหมือนกับสามเหลี่ยมด้านเท่าอื่นๆ ในรูป ดังนั้น $AB$ เท่ากับความยาวรวมของด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า 3 ด้าน ดังนั้นแต่ละด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่ามีขนาด $12/3 = 4$ ดังนั้นปัญหาของเราคือการหาพื้นที่รวมของสามเหลี่ยมด้านเท่าสอ... | 2(4\sqrt{3}) = \boxed{8\sqrt{3}} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในรูปดาวห้าแฉกที่แสดงให้เห็น ตัวอักษร $A$, $B$, $C$, $D$, และ $E$ ถูกแทนที่ด้วยตัวเลข 3, 5, 6, 7, และ 9 แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องเป็นลำดับนี้ ผลรวมของตัวเลขที่ปลายของส่วนของเส้นตรง $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DE}$, และ $\overline{EA}$ สร้างเป็นลำดับเลขคณิต แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องเป็นลำดับนี... | แต่ละจำนวนปรากฏในสองผลรวม ดังนั้นผลรวมของลำดับคือ \[
2(3+5+6+7+9)=60.
\]พจน์กึ่งกลางของลำดับเลขคณิตห้าพจน์คือค่าเฉลี่ยของพจน์ ดังนั้น $60/5=\boxed{12}$ คือพจน์กึ่งกลาง
รูปแสดงการจัดเรียงของห้าตัวเลขที่ตรงตามข้อกำหนด
[asy]
pair A,B,C,D,E;
A=(0,10);
B=(5.9,-8.1);
C=(-9.5,3.1);
D=(9.5,3.1);
E=(-5.9,-8.1);
draw(A--B--C--... | 60/5=\boxed{12} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีจุดยอดดังต่อไปนี้: $$(5,4), (-5,4), (-5,-4), (5,-4).$$ จงหาจำนวนจุดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ | รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีขนาด 10 หน่วย x 8 หน่วย ทำให้มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 8 x 6 อยู่ภายใน ซึ่งสร้างเป็นแถวของจุดตาข่าย 9 x 7 นั่นคือมีจุดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็ม $\boxed{63}$ จุด ดังแสดงในรูป [asy]
import olympiad; size(150); defaultpen(linewidth(0.8));
add(grid(10,8));
draw((1,1)--(9,1)--(9,7)--(1,7)--cycle,linewidth... | \boxed{63} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เจอเรมียร์กำลังนั่งรถที่กำลังวิ่งด้วยความเร็ว 60 ไมล์ต่อชั่วโมง ด้วยอัตราเร็วนี้ เขาจะใช้เวลานานเท่าไรในการเดินทาง 20 ไมล์? | ระยะทางเท่ากับอัตราเร็วคูณด้วยเวลา ดังนั้นการเดินทางครั้งนี้จะใช้เวลา $$\frac{20\text{ mi.}}{60\text{ mph}}=\frac{1}{3}\text{ hours}.$$ หนึ่งในสามของชั่วโมงคือ $\boxed{20}$ นาที. | \boxed{20} | [
"นำไปใช้"
] |
วงกลมมีจุดศูนย์กลางเดียวกันกับวงรี และผ่านจุดโฟกัส $F_1$ และ $F_2$ ของวงรี เส้นโค้งทั้งสองตัดกันที่ 4 จุด ให้ $P$ เป็นจุดตัดใดๆ ถ้าแกนเอกของวงรียาว 15 และพื้นที่ของสามเหลี่ยม $PF_1 F_2$ เท่ากับ 26 จงคำนวณระยะห่างระหว่างจุดโฟกัส | ให้ $x = PF_1$ และ $y = PF_2.$ ดังนั้น $x + y = 15$ และ $\frac{1}{2} xy = 26,$ ดังนั้น $xy = 52.$
[asy]
unitsize(0.5 cm);
path ell = xscale(5)*yscale(3)*Circle((0,0),1);
pair P = intersectionpoints(ell,Circle((0,0),4))[1];
pair[] F;
F[1] = (-4,0);
F[2] = (4,0);
draw(ell);
draw(Circle((0,0),4));
draw((-5,0)--(5,0),... | F_1 F_2 = \boxed{11}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยม $ABCD$ มีด้านยาว 4 นิ้ว และสี่เหลี่ยมจัตุรัสภายในแต่ละรูปถูกสร้างขึ้นโดยการเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านนอก มีพื้นที่ของบริเวณที่แรเงาในหน่วยตารางนิ้วเท่าไร?
[asy]
draw( (-1,-1)--(1,-1) -- (1,1) -- (-1,1)--cycle); draw( (-2,-2)--(2,-2) -- (2,2) -- (-2,2)--cycle);
draw( (-2, -2) -- (2, ... | การเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิม ดังนั้น สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดจากการเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของ $ABCD$ มีพื้นที่ $\frac12\cdot 4^2 = 8$ ตารางนิ้ว สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เล็กที่สุดในแผนภาพถูกสร้างขึ้นโดยการเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของสี่เหลี่... | 8-4=\boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ: $0.\overline{7}-0.\overline{4}+0.\overline{2}$. เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | โดยทั่วไป เพื่อแสดงจำนวน $0.\overline{n}$ ในรูปเศษส่วน เราให้มันเท่ากับ $x$ แล้วลบออกจาก $10x$: $$\begin{array}{r r c r@{}l}
&10x &=& n&.nnnnn\ldots \\
- &x &=& 0&.nnnnn\ldots \\
\hline
&9x &=& n &
\end{array}$$ นี่แสดงว่า $0.\overline{n} = \frac{n}{9}$.
ดังนั้น ปัญหาเดิมของเราจึงลดเหลือการคำนวณ $\frac 79 - \frac 49 +... | \frac 79 - \frac 49 + \frac 29 = \boxed{\frac 59} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แผ่นกระดาษขนาด 10 นิ้ว x 12 นิ้ว มีขอบกระดาษกว้าง 1.5 นิ้ว ที่ทุกด้าน เศษส่วนของพื้นที่กระดาษที่ถูกขอบกระดาษครอบคลุมเท่ากับเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | กระดาษขนาด 10 นิ้ว x 12 นิ้วจะมีพื้นที่ $10 \cdot 12 = 120$ ตารางนิ้ว ถ้ากระดาษนั้นมีขอบกระดาษกว้าง 1.5 นิ้ว ที่ทุกด้าน ส่วนของกระดาษที่ไม่ถูกขอบกระดาษครอบคลุมจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาว $12 - 2(1.5) = 9$ นิ้ว และความกว้าง $10 - 2(1.5) = 7$ นิ้ว ดังนั้น $9 \cdot 7 = 63$ ตารางนิ้วของกระดาษจะไม่ถูกขอบกระดาษครอบ... | \dfrac{57}{120}=\boxed{\dfrac{19}{40}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีวิธีการเรียงลำดับตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ได้กี่วิธี โดยที่เมื่อกำหนดตัวเลขใดๆ ในลำดับ ตัวหารทั้งหมดของตัวเลขนั้น (ไม่รวมตัวเลขนั้นเอง) จะต้องปรากฏทางซ้ายมือของตัวเลขนั้น | เราเริ่มต้นด้วยการหาจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ในการเรียงลำดับตัวเลข 1, 2, 3 และ 6 มีเพียงสองลำดับเท่านั้นที่สอดคล้องกับเงื่อนไขของปัญหา นั่นคือ $(1, 2, 3, 6)$ และ $(1, 3, 2, 6)$ ตอนนี้เราจะแทรกตัวเลข 4 เข้าไปในลำดับ โดยต้องคำนึงว่ามันต้องปรากฏทางด้านขวาของ 1 และ 2 มีตำแหน่งที่เป็นไปได้สามตำแหน่งในกรณีแรก และสองตำแหน่งในกรณ... | \boxed{25} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มาร์คอฟเล่นเกมเป็นเวลาสามตา. ในแต่ละตา เขาจะเลือกโยนลูกเต๋าหกหน้าที่เป็นธรรม หรือพลิกเหรียญที่เป็นธรรม ถ้าเขาโยนได้ 1 หรือ 2 เขาจะเปลี่ยนไปใช้เหรียญในตาถัดไป และถ้าเขาพลิกได้ก้อย เขาจะเปลี่ยนไปใช้ลูกเต๋าในตาถัดไป ถ้ามาร์คอฟเริ่มต้นด้วยการโยนลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่เขาจะพลิกเหรียญในตาที่สามคือเท่าใด? | เราสามารถแก้ปัญหานี้ได้โดยการแบ่งออกเป็นกรณี ถ้ามาร์คอฟโยนได้ 1 หรือ 2 ในตาแรก เขาจะพลิกเหรียญในตาที่สอง เขาต้องพลิกหัวเพื่อพลิกเหรียญในตาที่สาม มีความน่าจะเป็น $\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$ ที่กรณีนี้จะเกิดขึ้น ถ้ามาร์คอฟไม่ได้โยนได้ 1 หรือ 2 ในตาแรก เขาจะโยนลูกเต๋าในตาที่สอง เขาต้องโยนได้ 1 หรือ 2 ในตาที... | \frac{1}{6}+\frac{2}{9}=\boxed{\frac{7}{18}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนกำลังสองที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 225 ซึ่งเป็นพหุคูณของ 9 | เพื่อให้จำนวนใดๆ เป็นพหุคูณของ 9 ผลรวมของหลักของจำนวนนั้นจะต้องหารด้วย 9 ลงตัว เนื่องจาก $225 = 15^2$ จำนวนกำลังสองที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 225 คือ $14^2 = 196$ อย่างไรก็ตาม $1 + 9 + 6 = 16$ ซึ่งไม่หารด้วย 9 ลงตัว จำนวนกำลังสองที่มากที่สุดถัดไปที่น้อยกว่า 225 คือ $13^2 = 169$ แต่ $1 + 6 + 9$ ก็ไม่หารด้วย 9 ลงตัว ต่อไป $... | \boxed{144} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อาณานิคมของแบคทีเรียเพิ่มเป็นสองเท่าทุกชั่วโมง ในเวลา 13:00 น. มีแบคทีเรีย 10 ตัวอยู่ในจานเพาะเชื้อ ในเวลา 21:00 น. ของวันเดียวกัน ประชากรแบคทีเรียมีจำนวนเท่าไร | ทุกชั่วโมง ประชากรแบคทีเรียจะถูกคูณด้วย 2 ในเวลา 14:00 น. ประชากรแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าครั้งหนึ่ง และมีแบคทีเรีย $10\cdot2$ ตัว ในเวลา 15:00 น. ประชากรแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าสองครั้ง และมีแบคทีเรีย $10\cdot2\cdot2$ ตัว เป็นต้น ในเวลา 21:00 น. อาณานิคมแบคทีเรียเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า 8 ครั้ง ดังนั้นจึงมี $10\c... | 2560 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สิบมากกว่าห้าเท่าของจำนวนหนึ่งเท่ากับห้ามากกว่าสิบเท่าของจำนวนนั้น จำนวนนั้นคือจำนวนใด | ถ้าจำนวนนั้นคือ $x$ เราจะได้ $5x+10=10x+5$ ลบ 5 และ $5x$ จากทั้งสองข้างจะได้ $5=5x$ ดังนั้น $x=\boxed{1}$ | x=\boxed{1} | [
"จำแนก",
"แก้ปัญหา"
] |
ถ้า $h(y)=\dfrac{1+y}{2-y}$ แล้วค่าของ $h^{-1}(5)$ คือเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปที่ง่ายที่สุด | $h^{-1}(5)$ ถูกนิยามว่าเป็นจำนวน $y$ ซึ่งทำให้ $h(y)=5$ ดังนั้นเราจึงแก้สมการ $$\frac{1+y}{2-y} = 5.$$คูณทั้งสองข้างด้วย $2-y$ เราได้ $$1+y = 5(2-y).$$กระจายออกมาได้ $$1+y = 10-5y,$$จากนั้นบวก $5y-1$ เข้าทั้งสองข้างได้ $$6y = 9.$$สุดท้ายหารทั้งสองข้างด้วย $6$ และทำให้ सरลงได้ $y=\boxed{\dfrac{3}{2}}$.
สังเกตว่าเราสามา... | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] | |
ในงานเลี้ยงมีการจับมือกันทั้งหมด 78 ครั้ง ถ้าแต่ละคนจับมือกันคนละครั้งกับคนอื่น ๆ จะมีคนมางานเลี้ยงกี่คน | เนื่องจากแต่ละคนจับมือกันคนละครั้งกับคนอื่น ๆ ทุกคู่ของคนจะจับมือกันครั้งเดียว ดังนั้น 78 แทนจำนวนคู่ ซึ่งเราสามารถนับเป็น ${n \choose 2}$ โดยที่ $n$ คือจำนวนคนในงานเลี้ยง ดังนั้น $n(n-1) = 2 \cdot 78 = 2 \cdot 6 \cdot 13 = 12 \cdot 13$ ดังนั้น $n=13$ จะได้ $\boxed{13}$ คนในงานเลี้ยง | \boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปหกเหลี่ยมด้านเท่าขนาดใหญ่ถูกวาดบนพื้นดิน และมีชายคนหนึ่งยืนอยู่ที่จุดยอดหนึ่ง ชายคนนั้นโยนเหรียญ ถ้าเหรียญออกหัว เขาจะเดินตามเข็มนาฬิกาไปตามขอบของรูปหกเหลี่ยมจนถึงจุดยอดที่ใกล้ที่สุด ถ้าเหรียญออกก้อย เขาจะเดินทวนเข็มนาฬิกาไปรอบ ๆ รูปหกเหลี่ยมจนถึงจุดยอดอีกจุดหนึ่ง เมื่อถึงจุดนั้น เขาจะทำซ้ำกระบวนการ ชายคนนั้นโยนเหรี... | มีลำดับการโยนเหรียญหัวก้อยทั้งหมด $2^6=64$ ลำดับที่เป็นไปได้เท่าๆ กัน แต่ละครั้งการโยนเหรียญสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา ดังนั้นแต่ละลำดับของการโยนเหรียญจะสอดคล้องกับลำดับของการเคลื่อนที่ 6 ครั้ง $L$ หรือ $R$ ถ้าชายคนนั้นโยนเหรียญได้หกครั้งติดต่อกัน (หัวหรือก้อย) ซึ่งสอดคล้องกับ $RRRRRR$ หรือ ... | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
บ็อบเล่นเกมโดยที่สำหรับจำนวนบางจำนวน $n$ เขาเลือกจำนวนเต็มแบบสุ่มระหว่าง 0 ถึง $n-1$ รวมทั้งสองค่า ถ้าบ็อบเล่นเกมนี้สำหรับจำนวนเฉพาะสี่ตัวแรก ผลรวมของตัวเลขที่เขาได้รับมีค่ามากกว่า 0 หรือไม่ | จำนวนเฉพาะสี่ตัวแรกคือ 2, 3, 5 และ 7 วิธีเดียวที่ผลรวมของตัวเลขที่บ็อบได้รับจะไม่มากกว่า 0 คือถ้าเขาได้รับ 0 ในแต่ละครั้งที่เขาเล่นเกม ความน่าจะเป็นที่บ็อบจะได้รับ 0 ในแต่ละครั้งที่เขาเล่นคือ $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{7}=\frac{1}{210}$ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่บ็อบจะไม่ได้รับ 0 ทั้งหม... | $1-\frac{1}{210}=\boxed{\frac{209}{210}}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $P(x)$ เป็นพหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับ $x^2 - 2x + 2 \le P(x) \le 2x^2 - 4x + 3$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด และสมมติว่า $P(11) = 181$ จงหา $P(16)$ | เขียนใหม่พหุนามกำลังสองที่กำหนดให้ในรูปจุดยอด เราได้ \[1 + (x-1)^2 \le P(x) \le 1 + 2(x-1)^2.\]ทั้งสองพหุนามนี้มีจุดยอดที่ $(1, 1)$ เมื่อพิจารณาจากรูปร่างของกราฟพหุนามกำลังสอง เราจะเห็นว่า $P$ ต้องมีจุดยอดที่ $(1,1)$ ด้วย ดังนั้น \[P(x) = 1 + k(x-1)^2\]สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า แทน $x = 11$ เราได้ $181 = 1 +100k$ ดังน... | k = \tfrac{9}{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เซตของคำตอบทั้งหมดของระบบสมการ \[ \begin{cases}& 2x+y \le 4 \\& x+y \ge 1 \\& x \ge 0 \\& y \ge 0 \end{cases} \] เป็นรูปสี่เหลี่ยม. ถ้าความยาวของด้านที่ยาวที่สุดมีค่าเป็น $a\sqrt{b}$ (อยู่ในรูปรากที่ง่ายที่สุด) จงหา $a+b$. | [asy]
Label f;
f.p=fontsize(6);
xaxis(0,3,Ticks(f, 1.0));
yaxis(0,5,Ticks(f, 1.0));
fill((0,1)--(0,4)--(2,0)--(1,0)--cycle, grey);
draw((-.5,5)--(2.5,-1), dashed, Arrows);
draw((-1,2)--(2,-1), dashed, Arrows);
[/asy]
เส้นทแยงมุมด้านบนเป็นกราฟของ $2x+y=4$. เส้นทแยงมุมด้านล่างเป็นกราฟของ $x+y=1$. แกน y เป็นกราฟของ $... | a+b=2+5=\boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อดัมโยนลูกเต๋า 6 หน้ามาตรฐาน 2 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่เขาจะไม่ได้โยนเลข质จำนวนบนลูกเต๋าลูกใดเลย แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย | จำนวน质จำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 6 คือ 2, 3 และ 5 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่อดัมจะไม่ได้โยนเลข质จำนวนบนลูกเต๋า 1 ลูกเท่ากับ $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ เนื่องจากมีโอกาสเท่ากันที่จะโยนเลขใดๆ ตั้งแต่ 1 ถึง 6 เนื่องจากลูกเต๋าทั้งสองเป็นอิสระต่อกัน ความน่าจะเป็นที่อดัมจะไม่ได้โยนเลข质จำนวนบนลูกเต๋าทั้งสองลูกเท่ากับ $\frac{1}{2}\cdot\fra... | \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\boxed{\frac{1}{4}} | [
"ความเข้าใจ",
"การประยุกต์"
] |
วอลเตอร์, แอกเนส และฮอลลี่กำลังทำตุ๊กแกจากลูกปัด วอลเตอร์มีลูกปัดสีเขียว 476 เม็ด และลูกปัดสีแดง 32 เม็ด แอกเนสมีลูกปัดสีเขียว 104 เม็ด และลูกปัดสีแดง 16 เม็ด ฮอลลี่มีลูกปัดสีเขียว 281 เม็ด และลูกปัดสีแดง 80 เม็ด พวกเขาแบ่งปันลูกปัดของพวกเขาเพื่อทำตุ๊กแกที่มีจำนวนมากที่สุด หากตุ๊กแกตัวหนึ่งต้องการลูกปัดสีเขียว 94 เม็ด ... | เรามี $476+104+281 \equiv 6+10+93 \equiv 109 \pmod{94}\equiv 15\pmod{94}$.
อย่างไรก็ตาม มีลูกปัดสีแดงเพียง $32+16+80$ เม็ด ซึ่งเพียงพอที่จะทำตุ๊กแกได้ $\frac{32+16+80}{16} = 2+1+5 = 8$ ตัว และ $476+104+281 = 15+94\cdot 9$ ดังนั้น หลังจากที่ทำตุ๊กแกได้ $8$ ตัวแล้ว จะมีลูกปัดสีเขียวเหลืออยู่ $15+94=\boxed{109}$ เม็ด | 15+94=\boxed{109} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีวิธีการเลือกอักษร 3 ตัวที่แตกต่างกันจากตัวอักษรในภาษาอังกฤษได้กี่วิธี โดยไม่คำนึงถึงลำดับ หากเราต้องเลือกสระ 1 ตัว (A, E, I, O, หรือ U) และพยัญชนะ 2 ตัว? | เรามีตัวเลือก 5 ตัวสำหรับการเลือกสระ และเราต้องเลือก 2 ตัวจาก 21 ตัวอักษรที่เหลืออยู่ ซึ่งรวมเป็น $\binom{21}{2} = 210$ ตัวเลือกสำหรับพยัญชนะ นี่จะให้ผลรวมทั้งหมด $5 \times 210 = \boxed{1050}$ | 5 \times 210 = \boxed{1050} | [
"จำแนก",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวก $x$ ที่น้อยที่สุดซึ่งมากกว่า 9 และสอดคล้องกับสมการ
\[\lfloor x \rfloor - 19 \left\lfloor \frac{x}{19} \right\rfloor = 9 = \lfloor x \rfloor - 89 \left\lfloor \frac{x}{89} \right\rfloor.\] | ให้ $q$ และ $r$ เป็นเศษที่ได้เมื่อ $x$ หารด้วย 19 ดังนั้น $x = 19q + r,$ โดยที่ $0 \le r \le 18.$ แล้ว
\begin{align*}
\lfloor x \rfloor - 19 \left\lfloor \frac{x}{19} \right\rfloor &= 19q + r - 19 \left\lfloor \frac{19q + r}{19} \right\rfloor \\
&= 19q + r - 19 \left\lfloor q + \frac{r}{19} \right\rfloor \\
&= 19q + r... | 1691 + 9 = \boxed{1700}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณ $29^{13} - 5^{13}$ modulo 7 | ก่อนอื่น โปรดทราบว่า $29 \equiv 1$ modulo 7 ดังนั้น $29^{13} \equiv 1$ modulo 7. 또한 $5 \equiv (-2)$ ดังนั้น $1 - 5^{13} \equiv 1 + 2^{13}$ modulo 7. สุดท้าย $2^3 \equiv 1$ modulo 7 ดังนั้น $2^{13} \equiv 2(2^3)^4 \equiv 2 \cdot 1 \equiv 2$. ดังนั้น $29^{13} - 5^{13} \equiv 1+2 \equiv \boxed{3}$ modulo 7. | 29^{13} - 5^{13} \equiv 1+2 \equiv \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนคำตอบของ $x$ ใน congruence $64x\equiv 2\pmod {66}$ โดยที่ $0< x\le 100$ | เราสามารถทำให้ congruence ง่ายขึ้นดังนี้: \begin{align*}
64x&\equiv 2\pmod {66}\\
32x&\equiv 1\pmod {33}\\
-x&\equiv 1\pmod {33}\\
x&\equiv -1\pmod{33}\\
x&\equiv 32\pmod{33}.
\end{align*} คำตอบบวกที่น้อยที่สุดของ congruence นี้คือ $32$, $32+33=65$, $32+2\cdot 33=98$ หลังจากนั้น คำตอบจะมากกว่า $100$ และไม่ใช่คำตอบที่ต้... | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วที่มีมุมฉากที่ $A$. เส้นส่วน $BD$ และ $BE$ แบ่งมุม $ABC$ ออกเป็น 3 ส่วนเท่า ๆ กัน. มุม $BDE$ มีขนาดเท่าไร?
[asy]draw((0,0)--(-1,0)--(-1,1)--(0,0)--cycle,linewidth(2));
draw((0,0)--dir(165)*1/cos(pi/12),linewidth(2));
draw((0,0)--dir(150)*1/cos(pi/6),linewidth(2));
draw((-1,... | จากข้อมูลที่กำหนดให้ เราเห็นว่า $\angle ACB = \angle ABC = 45^\circ$. ดังนั้น $\angle ABE = \angle EBD = \angle DBC = 15^\circ$. ดังนั้นเราได้ว่า $\angle ABD = 30^\circ$ และเนื่องจาก $\triangle ABD$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก $\angle ADB = 90-\angle ABD = 60^\circ$. จากนั้นเราเห็นว่า $\angle ADB = \angle BDE$ ดังนั้นเราได้ว... | \angle BDE = \boxed{60^\circ}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในสามเหลี่ยม $\triangle ABC,$ เราทราบว่า $AB = AC = 14$ และ $BC = 26.$ จงหาความยาวของเส้นแบ่งครึ่งมุมที่สั้นที่สุดใน $ABC.$ แสดงคำตอบในรูปของรากที่ง่ายที่สุด | เรามาวาดรูปสามเหลี่ยมกันก่อน [asy]
pair A, B, C;
A = (0, 5.196);
B = (-13, 0);
C = (13, 0);
draw(A--B--C--cycle);
label("$A$", A, N);
label("$B$", B, SW);
label("$C$", C, SE);
[/asy] เราจะเห็นว่าเส้นแบ่งครึ่งมุมที่สั้นที่สุดจะเป็นเส้นแบ่งครึ่งมุมจากจุดยอด $A$ (เราจะปล่อยให้ผู้อ่านพิสูจน์) เราจะเรียกเส้นแบ่งครึ่งมุมนั้น... | AD = \boxed{3\sqrt{3}}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าเฉลี่ยของ $\frac{1}{2}$ และ $\frac{7}{8}$ เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | ผลบวกของสองเศษส่วนคือ $\frac{1}{2}+\frac{7}{8}=\frac{11}{8}$ ดังนั้นค่าเฉลี่ยของมันคือ $\frac{1}{2}\left(\frac{11}{8}\right)=\boxed{\frac{11}{16}}$ | \frac{1}{2}\left(\frac{11}{8}\right)=\boxed{\frac{11}{16}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในรูปสามเหลี่ยม $\triangle ABC$ มี $AB=7$, $AC=8$, และ $BC=9$ จุด $D$ อยู่บนวงกลมแนบรูปสามเหลี่ยมซึ่ง $\overline{AD}$ แบ่งครึ่ง $\angle BAC$ ค่าของ $AD/CD$ เท่ากับเท่าใด | สมมติว่า $AD$ และ $BC$ ตัดกันที่ $E$.
[asy]
pair A,B,C,D,I;
A=(-9,-4.36);
B=(-7,7.14);
C=(8,-6);
D=(7.5,6.61);
I=(2.7,3);
draw(Circle((0,0),10));
draw(A--B--C--cycle,linewidth(0.7));
draw(B--D--C);
draw(A--D);
label("$E$",I,S);
label("$B$",B,N);
label("$D$",D,NE);
label("$C$",C,E);
label("$A$",A,SW);
[/asy]
เนื่องจาก... | \frac{5}{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ 180 และ 450 | $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ และ $450=2\cdot3^2\cdot5^2$ ดังนั้น ตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ 180 และ 450 คือ $2\cdot3^2\cdot5=\boxed{90}$ | 2\cdot3^2\cdot5=\boxed{90} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ตัวเลขจาก 1 ถึง 6 ถูกเรียงลำดับเพื่อสร้างจำนวนหกหลักซึ่งหารด้วย 5 ลงตัว ความน่าจะเป็นที่จำนวนนั้นมากกว่า 500,000 คือเท่าใด จงแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | จากตัวเลข 1 ถึง 6 ตัวเลข 5 ต้องเป็นหลักหน่วย เนื่องจากจำนวนของเราหารด้วย 5 ลงตัว เรามีตัวเลขที่เหลืออยู่ 5 ตัว คือ 1, 2, 3, 4 และ 6 สำหรับหลักห้าหลัก จำนวนนั้นจะมากกว่า 500,000 ก็ต่อเมื่อหลักแสนเป็น 6 ความน่าจะเป็นที่หลักแสน (ซึ่งสามารถเป็น 1, 2, 3, 4 หรือ 6) เป็น 6 คือ $\boxed{\frac{1}{5}}$ | \boxed{\frac{1}{5}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมมติว่าฉันมีหนังสือคณิตศาสตร์ หนังสือประวัติศาสตร์ และหนังสือฟิสิกส์จำนวนไม่จำกัด ซึ่งมีขนาดเท่ากันหมด และฉันมีพื้นที่บนชั้นวางหนังสือสำหรับหนังสือ 8 เล่ม ในจำนวนวิธีการจัดเรียงหนังสือ 8 เล่มบนชั้นวางหนังสือได้อย่างไร ถ้าไม่มีหนังสือสองเล่มประเภทเดียวกันที่อยู่ติดกัน? | เราสามารถเลือกหนังสือเล่มใดก็ได้สำหรับตำแหน่งแรกบนชั้นวางหนังสือ ซึ่งมี 3 ความเป็นไปได้ หลังจากวางหนังสือเล่มนี้แล้ว เราสามารถเลือกหนังสือประเภทใดก็ได้จากสองประเภทที่เหลือเพื่อวางไว้ติดกันทันที ในทำนองเดียวกัน จะมี 2 ตัวเลือกสำหรับเล่มที่สามหลังจากเล่มที่สองถูกเลือก จะมี 2 ตัวเลือกสำหรับหนังสือเล่มต่อๆ ไปหลังจากเล่มแรก... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่ทำให้สมการ $y=\frac{x+1}{x^2-2x+1}$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้ง | เราเริ่มต้นด้วยการแยกตัวประกอบของส่วน: $y=\frac{x+1}{(x-1)^2}$. จะมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x=a$ สำหรับฟังก์ชันตรรกยะ ถ้าส่วนเป็นศูนย์เมื่อ $x=a$ (ยกเว้นเมื่อ $x-a$ เป็นตัวประกอบของตัวเศษด้วย และมี multiplicity เท่ากันในส่วน) ค่าของ $x$ ที่ทำให้เกิดขึ้นมีเพียง $x=\boxed{1}$ เท่านั้น | x=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ \[ x = \frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}} ?\] | สังเกตว่า \[ \frac{1}{x} = 2 - \frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}} = 2 - x, \] เราเพียงแต่ต้องแก้สมการกำลังสอง $x^2 - 2x +1 = (x-1)^2 = 0$ ดังนั้นเราจะเห็นว่า $x = \boxed{1}$ | x = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $\frac{a}{b}$ คือความน่าจะเป็นที่ส่วนกลับของจำนวนเต็มบวกคี่ที่น้อยกว่า 2010 ที่เลือกมาแบบสุ่มจะให้ทศนิยมสิ้นสุด โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวประกอบร่วมกันแล้ว $a+b$ มีค่าเท่าใด | มีจำนวนเต็มบวก 2009 จำนวนที่น้อยกว่า 2010 ซึ่งมี 1005 จำนวนที่เป็นคี่ ถ้า $\frac{1}{n}$ เท่ากับทศนิยมสิ้นสุด $n$ จะหารด้วย 2 และ 5 ได้เท่านั้น อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเรามีข้อจำกัดเพิ่มเติมที่ $n$ เป็นจำนวนคี่ $n$ ต้องเป็นกำลังของ 5 มีห้ากำลังของ 5 ที่น้อยกว่า 2010 \begin{align*}
5^0 &= 1 \\
5^1 &= 5 \\
5^2 &= 25 \\
5^3 ... | 1+201 = \boxed{202} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
หนังสือที่มี 50 หน้าถูกกำหนดหมายเลขหน้าจาก 1 ถึง 50 จากนั้นหน้าของมันถูกกำหนดหมายเลขใหม่แบบย้อนกลับจาก 50 ถึง 1 มีกี่หน้าที่เลขหลักหน่วยของหมายเลขหน้าทั้งสองชุดเหมือนกัน? | สำหรับหน้าใดๆ ผลรวมของหมายเลขหน้าเดิมและหมายเลขหน้าใหม่คือ 51 ซึ่งเป็นเลขคี่ ดังนั้นไม่มีหน้าใดที่เลขหลักหน่วยของหมายเลขหน้าทั้งสองชุดเหมือนกัน และคำตอบคือ $\boxed{0}$ | \boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 2 จะมีจำนวนหลักเป็นสองเท่าของจำนวนหลักที่ได้เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 3 แสดงคำตอบในระบบเลขฐาน 10 | เราพิจารณาจำนวนเต็มที่เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 2 จะมี 2 หลัก และเมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 3 จะมี 1 หลัก จำนวนเต็มดังกล่าวจะต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ $10_2 = 2$ แต่มีค่าน้อยกว่า $10_3 = 3$ จำนวนเต็มเพียงจำนวนเดียวที่สอดคล้องเงื่อนไขนี้คือ 2
ถัดมาเราพิจารณาจำนวนเต็มที่เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 2 จะมี 4 หลัก และเมื่อเขียนในระบ... | \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันกี่จำนวนที่สามารถแทนได้ด้วยผลต่างของจำนวนสองจำนวนในเซต $\{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\}$ | เนื่องจากจำนวนเต็มทั้งหมดเป็นจำนวนคี่ ผลต่างระหว่างจำนวนคู่ใดๆ จะเป็นจำนวนคู่เสมอ ดังนั้น $13 - 1 = 12$ เป็นจำนวนคู่ที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ที่เป็นผลต่าง หนึ่งในผลต่างที่น้อยที่สุดที่เป็นจำนวนคู่บวกคือ 2 ดังนั้นจำนวนเต็มที่รวมอยู่คือ 2, 4, 6, 8, 10 และ 12 รวมเป็นจำนวน $\boxed{6}$ จำนวน | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $\mathbf{a}$ และ $\mathbf{b}$ เป็นเวกเตอร์ โดยที่ $\|\mathbf{a}\| = 3$ และ $\|\mathbf{b}\| = 14$ แล้ว จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\|$. | เรามีว่า
\begin{align*}
\|\bold{a} + \bold{b}\|^2 &= (\bold{a} + \bold{b}) \cdot (\bold{a} + \bold{b}) \\
&= \bold{a} \cdot \bold{a} + 2 \bold{a} \cdot \bold{b} + \bold{b} \cdot \bold{b} \\
&= \|\bold{a}\|^2 + 2 \bold{a} \cdot \bold{b} + \|\bold{b}\|^2.
\end{align*}เราทราบว่า $\|\bold{a}\| = 3$ และ $\|\bold{b}\| = 14$... | \sqrt{121} = \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $ab$ ถ้า $\log_8a+\log_4b^2=5$ และ $\log_8b+\log_4a^2=7$ | ให้ $p = ab$ เราบวกสมการที่กำหนดให้ทั้งสองสมการเข้าด้วยกัน ซึ่งจะได้ \[\begin{aligned} (\log_8 a + \log_4 b^2) + (\log_8 b + \log_4 a^2) &= 12 \\ \log_8 (ab) + \log_4 (a^2b^2)& = 12 \\ \log_8 p + \log_4 p^2 &= 12 \\ \log_8 p + 2 \log_4 p &= 12. \end{aligned} \]โดยใช้สูตรการเปลี่ยนฐาน เราได้ \[\log_8 p = \frac{\log_4 p}... | 512 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่าถ้า $b$ เป็นเศษเหลือ $\pmod{m}$ แล้ว ผลผกผันแบบโมดูลาร์ของ $b$ คือเศษเหลือ $c$ ซึ่ง $bc \equiv 1\pmod{m}$ ตารางด้านล่างแสดงผลผกผันของเศษเหลือบวก 9 ตัวแรกแบบโมดูลาร์ 47. \begin{tabular}{c|ccccccccc}
$b$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
inverse of $\,b$ & 1 & 24 & 16 & 12 & 19 & 8 & 27 & 6 & 21
\end... | เราต้องการหาเศษเหลือ $c$ ซึ่ง $35c \equiv 1 \pmod{47}$ จงจำไว้ว่า เนื่องจาก 35 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 47 ผลผกผันนี้จึงมีอยู่และเป็นเอกลักษณ์ เพื่อใช้ตารางที่กำหนดให้ เราสังเกตว่า $35 = 5\cdot 7$ เราสามารถคูณทั้งสองข้างของ $35c \equiv 1\pmod{47}$ ด้วยผลผกผันของ 5 เพื่อให้ได้ \begin{align*}
19\cdot 5 \cdot 7 \cdot ... | 43 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ส่วนของเส้นตรง $AB$ มีความยาว 4 เซนติเมตร และเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม $P$ ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ จุด $C$ อยู่บนวงกลม $P$ และ $BC = 2$ เซนติเมตร จงหาพื้นที่ของบริเวณที่แรเงา
[asy]
import graph;
fill(Circle((0,0),20),gray(0.7));
draw(Circle((0,0),20));
draw((-16,12)--(16,-12)--(0,-20)--cycle);
fill((-16,12)--(16,-12... | พื้นที่ของบริเวณที่แรเงาเท่ากับพื้นที่ของวงกลมลบพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่ของวงกลมคือ $2^2\pi=4\pi$ เพื่อหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เราจะมองหาข้อมูลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากมุม $ACB$ ตัด $180^\circ$ ของวงกลม เราทราบว่า $m\angle ACB=\frac{180^\circ}2=90^\circ$ ดังนั้นรูปสามเหลี่ยม $ACB$ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉา... | \boxed{4\pi - 2\sqrt{3}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
35 นักเรียนเข้าร่วมการประชุมชมรมคณิตศาสตร์ จำนวนนักเรียนหญิงที่ประชุมเป็นผลคูณของ 13 และมีนักเรียนหญิงมากกว่านักเรียนชายที่เข้าร่วมการประชุม มีกี่คนนักเรียนชายที่ประชุม? | เราสมมติว่าจำนวนนักเรียนหญิงเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและไม่เกิน 35 ผลคูณของ 13 ที่ไม่เป็นลบและน้อยกว่า 35 คือ 0, 13 และ 26 เนื่องจากจำนวนนักเรียนหญิงมากกว่าจำนวนนักเรียนชาย ตัวเลือกที่ถูกต้องเพียงอย่างเดียวคือมี 26 นักเรียนหญิง นั่นหมายถึงมี $35-26 = \boxed{9}$ นักเรียนชายที่ประชุม | 35-26 = \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้นิพจน์ต่อไปนี้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ: $$\sqrt{\dfrac{\dfrac{5}{\sqrt{80}}+\dfrac{\sqrt{845}}{9}+\sqrt{45}}{\sqrt5}}.$$ | ก่อนอื่น เราจะหาร $\sqrt{5}$ ด้วยแต่ละพจน์ในตัวเศษของเศษส่วนภายในรากที่สอง: $$\sqrt{\dfrac{\dfrac{5}{\sqrt{80}}+\dfrac{\sqrt{845}}{9}+\sqrt{45}}{\sqrt5}}=
\sqrt{\frac{5}{\sqrt{80}\cdot\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{845}}{9\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}}.
$$ต่อไป เราจะจัดการกับแต่ละเศษส่วนภายในรากที่สองแยกกัน เริ่มจาก ... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
เส้นรอบรูปของภาควงกลม คือ ผลรวมของด้านทั้งสองที่เกิดจากรัศมี และความยาวของส่วนโค้งที่อยู่ระหว่างรัศมีนั้น ภาควงกลมวงหนึ่งมีเส้นรอบรูป 28 เซนติเมตร และมีพื้นที่ 49 ตารางเซนติเมตร ความยาวของส่วนโค้งของภาควงกลมนี้ยาวเท่าไร | กำหนดให้ความยาวของส่วนโค้งของภาควงกลมนี้ยาว $s$ เซนติเมตร และรัศมีของวงกลมยาว $r$ เซนติเมตร ดังนั้น ภาควงกลมนี้มีพื้นที่เท่ากับ $\frac{s}{2\pi r}\cdot \pi r^2 = \frac{rs}{2} = 49$ ตารางเซนติเมตร นอกจากนี้ เราคำนวณเส้นรอบรูปของภาควงกลมได้ $2r + s = 28$ เซนติเมตร เมื่อแก้สมการจะได้ $s = \boxed{14}$ เซนติเมตร | s = \boxed{14} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $p(x)$ เป็นพหุนามดีกรี 4 ซึ่งสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีดีกรีสูงสุดเท่ากับ 1 และ $p(1) = 3,$ $p(3) = 11,$ และ $p(5) = 27.$ จงหาค่าของ
\[p(-2) + 7p(6).\] | กำหนดให้ $q(x) = p(x) - (x^2 + 2).$ ดังนั้น $q(1) = q(3) = q(5) = 0,$ ดังนั้น
\[q(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - r)\]สำหรับจำนวนจริง $r$ ใดๆ. ดังนั้น $p(x) = q(x) + x^2 + 2 = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - r) = x^2 + 2,$ ดังนั้น
\begin{align*}
p(-2) &= (-2 - 1)(-2 - 3)(-2 - 5)(-2 - r) + (-2)^2 + 2 = 105r + 216, \\
p(6) &=... | p(-2) + 7p(6) = (105r + 216) + 7(128 - 15r) = \boxed{1112}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวกสองหลักทั้งหมดที่หลักหน่วยเป็นสามเท่าของหลักสิบ | เรามีสองกรณี:
$\bullet$ กรณีที่ 1: หลักสิบเป็นสามเท่าของหลักหน่วย ในกรณีนี้เราได้ $31,$ $62,$ และ $93.$
$\bullet$ กรณีที่ 2: หลักหน่วยเป็นสามเท่าของหลักสิบ ในกรณีนี้เราได้ $13,$ $26,$ และ $39.$
นำผลรวมของทั้งสองกรณี: เราได้ $31+62+93+13+26+39 = \boxed{264}.$ | 31+62+93+13+26+39 = \boxed{264}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เงินฝาก $10,000 ที่อัตราดอกเบี้ย 4.5% ต่อปี และคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นประจำทุกปี จะได้ดอกเบี้ยเป็นเงินเท่าไรในเวลา 2 ปี? แสดงคำตอบเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง | หลังจาก 2 ปี ด้วยอัตราดอกเบี้ย 4.5% ต่อปี การลงทุนจะเติบโตเป็น $10000 \cdot (1.045)^2 = 10920.25$ ดังนั้นดอกเบี้ยที่ได้รับคือ $10920.25 - 10000 = \boxed{920.25}$ | 10920.25 - 10000 = \boxed{920.25} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ โดยที่ $f(1) = 2$ และ
\[f(xy) = f(x) f(y) - f(x + y) + 1\]สำหรับทุก $x,$ $y \in \mathbb{Q}.$
ให้ $n$ เป็นจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของ $f \left( \frac{1}{2} \right)$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f \left( \frac{1}{2} \right).$ จงหา $n \times s.$ | กำหนด $y = 1,$ เราได้
\[f(x) = 2f(x) - f(x + 1) + 1,\]ดังนั้น $f(x + 1) = f(x) + 1$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}.$ จากนั้น
\begin{align*}
f(x + 2) &= f(x + 1) + 1 = f(x) + 2, \\
f(x + 3) &= f(x + 2) + 1 = f(x) + 3,
\end{align*}และอื่นๆ. โดยทั่วไป,
\[f(x + n) = f(x) + n\]สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}$ และทุกจำนวนเต็ม $n.... | n \times s = \boxed{\frac{3}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $591{,}3d8$ หารด้วย 12 ลงตัว จงหาผลรวมของเลขโดดทั้งหมดที่สามารถแทน $d$ ได้ | เพื่อให้จำนวนใดหารด้วย 12 ลงตัว จำนวนนั้นต้องหารด้วย 4 และ 3 ลงตัว เพื่อให้จำนวนหารด้วย 4 ลงตัว หลักสุดท้าย 2 หลักต้องหารด้วย 4 ลงตัว ในปัญหานี้ จำนวน $d8$ ต้องหารด้วย 4 ลงตัว ซึ่งจะทำให้ค่าที่เป็นไปได้ของ $d$ คือ $0$, $2$, $4$, $6$ และ $8$ เพื่อให้จำนวนหารด้วย 3 ลงตัว ผลรวมของเลขโดดต้องหารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจาก $5+... | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณบวกน้อยที่สุดของ 72 ที่มีตัวประกอบบวกที่แน่นอน 16 ตัว | การแยกตัวประกอบเฉพาะของ 72 คือ $2^3\cdot 3^2$ ซึ่งมี $(3+1)(2+1) = 12$ ตัวประกอบ
ถ้าเราคูณด้วย 2 เราจะได้ $2^4\cdot 3^2$ ซึ่งมี $(4+1)(2+1) = 15$ ตัวประกอบ การคูณด้วยกำลังของ 2 ที่สูงกว่าจะให้ผลคูณที่มีตัวประกอบบวกมากกว่า 16 ตัว
การคูณด้วย 3 จะได้ $2^3\cdot 3^3$ ซึ่งมี $(3+1)(3+1) = 16$ ตัวประกอบ
การคูณด้วยจำนวนเฉพา... | 2^3\cdot 3^3 = \boxed{216} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทอมได้รับ Mr. Potato Head เป็นของขวัญวันเกิด มันมาพร้อมกับทรงผม 3 แบบ คิ้ว 2 แบบ 눈 1 คู่ หู 2 แบบ ริมฝีปาก 2 แบบ รองเท้าธรรมดา 1 คู่ และรองเท้าโคลwn เป็นของแถม 1 คู่ ถ้าบุคลิก Mr. Potato Head ที่สมบูรณ์ประกอบด้วยคิ้ว 눈 หู ริมฝีปาก รองเท้า และทรงผม (ไม่จำเป็น) ทอมสามารถสร้างบุคลิกที่แปลกใหม่ได้กี่แบบ? โปรดทราบว่า Mr. Po... | มีตัวเลือกคิ้ว 2 แบบ 눈 1 แบบ หู 2 แบบ ริมฝีปาก 2 แบบ รองเท้า 2 แบบ และทรงผม 4 แบบ (ทรงผม 3 แบบ หรือไม่มีผม) และแต่ละแบบสามารถเลือกได้อย่างอิสระจากอีกแบบหนึ่ง ดังนั้นจำนวนการผสมผสานคือผลคูณของตัวเลขเหล่านั้น $2\cdot 1\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 4 = \boxed{64}$ | 2\cdot 1\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 4 = \boxed{64} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เจ็ดใบมีตัวอักษร C, B, T, A, E, M และ H ใบละตัวถูกใส่ในหมวก แต่ละตัวอักษรใช้เพียงครั้งเดียว สจ๊วร์ตจะหยิบสี่ใบออกแบบสุ่มและไม่ใส่กลับ ความน่าจะเป็นที่สจ๊วร์ตจะหยิบ M, A, T, H ในลำดับนี้คือเท่าใด แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนธรรมดา | ความน่าจะเป็นที่สจ๊วร์ตจะหยิบ M ออกมาก่อนคือ 1/7 ความน่าจะเป็นที่เขาจะหยิบ A ออกถัดมาคือ 1/6 เพราะตอนนี้เหลือตัวอักษร 6 ตัว ต่อเนื่องไป ความน่าจะเป็นที่เขาจะหยิบ T ออกถัดมาคือ 1/5 และความน่าจะเป็นที่ H จะตามมาคือ 1/4 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เขาจะหยิบ M, A, T, H ในลำดับนี้คือ $1/7 \times 1/6 \times 1/5 \times 1/4 = \bo... | 1/7 \times 1/6 \times 1/5 \times 1/4 = \boxed{\frac{1}{840}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีวิธีการจัดที่นั่ง 8 คนรอบโต๊ะกลมกี่วิธี ถ้าปีแอร์และโทมัสต้องการนั่งติดกัน แต่โรซ่าไม่ต้องการนั่งติดกับทั้งคู่ (พิจารณาการหมุนเป็นการเรียงที่นั่งที่ไม่แตกต่างกัน แต่การสะท้อนเป็นการเรียงที่นั่งที่แตกต่างกัน) | วิธีที่ 1: เราเลือกที่นั่งใดๆ สำหรับปีแอร์ และจากนั้นจัดที่นั่งของคนอื่นๆ สัมพันธ์กับปีแอร์ มี 2 ทางเลือกสำหรับโทมัส; ทางขวาหรือซ้ายของปีแอร์ จากนั้น มี 4 ที่นั่งที่เป็นไปได้สำหรับโรซ่าที่ไม่ติดกับปีแอร์หรือโทมัส 5 คนที่เหลือสามารถจัดเรียงได้ใน $5!$ วิธี ดังนั้นมีวิธีการจัดเรียงคนรอบโต๊ะทั้งหมด $2\cdot 4\cdot 5!=960$ ว... | 1440 - 480 = \boxed{960} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้า $WXYZ$ ถูกวาดบนรูปสามเหลี่ยม $ABC$ โดยที่จุด $W$ อยู่บนส่วนของเส้น $AB$ จุด $X$ อยู่บนส่วนของเส้น $AC$ และจุด $Y$ และ $Z$ อยู่บนส่วนของเส้น $BC$ ดังแสดง ถ้า $m\angle BWZ=26^{\circ}$ และ $m\angle CXY=64^{\circ}$ แล้ว $m\angle BAC$ มีค่าเท่าใดเป็นองศา? [asy]
unitsize(0.3cm);
draw((0,0)--(4.5,6)--(21,0)--... | เนื่องจาก $WXYZ$ เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า มุม $XYC$ และ $WZB$ เป็นมุมฉาก เนื่องจากมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากรวมกันได้ $90^\circ$ ดังนั้น $m\angle WBZ=90-m\angle BWZ=90-26=64^\circ$ และ $m\angle XCY=90-m\angle CXY=90-64=26^\circ$ ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ มุมภายในต้องรวมกันได้ $180^\circ$ ดังนั้น $m\angle BAC=180-m\angle WBZ-m\... | m\angle BAC=180-m\angle WBZ-m\angle XCY=180-64-26=\boxed{90^\circ} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
วงรีวงหนึ่งถูกกำหนดโดย
\[PF_1 + PF_2 = d.\]สมการของวงรีคือ $4x^2 - 8x + y^2 + 4y - 8 = 0.$ จงหาค่า $d.$ | จัดรูปสมการโดยวิธีการเติมกำลังสองใน $x$ และ $y,$ เราได้
\[4(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16.\]ดังนั้น
\[\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{16} = 1.\]ด้วยเหตุนี้ $d = 2 \cdot 4 = \boxed{8}.$ | d = 2 \cdot 4 = \boxed{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สัมประสิทธิ์ของพหุนาม $p(x)$ เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบทั้งหมด ถ้า $p(1) = 4$ และ $p(5) = 136$ แล้วจงหา $p(6)$ | กำหนดให้
\[p(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0.\]เนื่องจาก $p(1) = 4$ และสัมประสิทธิ์ของ $p(x)$ เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ ดังนั้นสัมประสิทธิ์ $a_i$ แต่ละตัวของ $p(x)$ จะมีค่ามากที่สุด 4. เรายังทราบอีกว่า
\[p(5) = a_n 5^n + a_{n - 1} 5^{n - 1} + \dots + a_1 5 + a_0 = 136.\]เนื่องจาก $5^4 = 625 > 136... | p(6) = 6^3 + 2 \cdot 6 + 1 = \boxed{229}. | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $a+b+c+d+e+f$ สำหรับการแทนค่าทศนิยมของ $\frac{4}{37}+\frac{3}{11}+\frac{23}{9}=2.abcdef\ldots$? | เราสามารถใช้การหารยาวเพื่อหาการแทนค่าทศนิยมของเศษส่วนทั้งสามได้ แต่มีวิธีที่ฉลาดกว่า
เราเริ่มต้นด้วยการหาเศษส่วนที่เทียบเท่ากันที่มีตัวส่วนน้อยกว่ากำลังของ 10 หนึ่งหน่วย ตัวอย่างเช่น สำหรับ $\frac{3}{11}$ เราสามารถคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย 9 เพื่อเขียนตัวเลขใหม่เป็น $\frac{27}{99}$ ตอนนี้ เราสามารถเขียนเศษส่วนนี้ใหม่เป็... | 9+3+6+3+9+0=\boxed{30} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงคำนวณค่าของ $\sin 180^\circ$. | การหมุนจุด $(1,0)$ ทวนเข็มนาฬิกา $180^\circ$ รอบจุดกำเนิดจะได้จุด $(-1,0)$ ดังนั้น $\sin 180^\circ = \boxed{0}$. | $\sin 180^\circ = \boxed{0}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
บิลเดินทางจากซานฟรานซิสโกไปลอสแอนเจลิสเป็นระยะทาง 400 ไมล์ด้วยความเร็ว 50 ไมล์ต่อชั่วโมง แซมเดินทางระยะทางเท่ากันด้วยความเร็ว 40 ไมล์ต่อชั่วโมง แซมใช้เวลานานกว่าบิลกี่ชั่วโมงในการเดินทาง 400 ไมล์ | บิลเดินทาง 400 ไมล์ด้วยความเร็ว 50 ไมล์ต่อชั่วโมงใช้เวลา $\frac{400}{50} = 8$ ชั่วโมง แซมเดินทาง 400 ไมล์ด้วยความเร็ว 40 ไมล์ต่อชั่วโมงใช้เวลา $\frac{400}{40} = 10$ ชั่วโมง ดังนั้น แซมใช้เวลานานกว่าบิล $\boxed{2}$ ชั่วโมง | \boxed{2} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้สมการของกราฟดังต่อไปนี้เป็นรูปพาราโบลา วงกลม วงรี ไฮเปอร์โบลา จุด เส้น สองเส้น หรือว่างเปล่า
$y^2 - x +5y - 25 = 0$ | เราสามารถจัดเรียงสมการนี้ใหม่เป็น $x = y^2 + 5y - 25$ ซึ่งเป็นพาราโบลาที่เปิดออกด้านข้าง $\boxed{\text{parabola}}$ | \boxed{\text{parabola}} | [
"วิเคราะห์"
] |
ผลรวมของสี่จำนวนคู่บวกต่อเนื่องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาผลรวมที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ | กำหนดให้ $2n-2$, $2n$, $2n+2$ และ $2n+4$ เป็นสี่จำนวนคู่บวกต่อเนื่อง ถ้า $(2n-2)+(2n)+(2n+2)+(2n+4)=8n+4=2^2(2n+1)=m^2$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $m$ บางจำนวน แล้ว $2n+1$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์คี่ $2n+1=1^2$ จะได้ $n=0$ ซึ่งเราปฏิเสธเพราะจำนวนเต็มของเราเป็นบวก $2n+1=3^2$ จะได้ $n=4$ ซึ่งให้ผลรวมเป็น $8\times4+4=36$ ดังนั้น ผ... | \boxed{36} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฟิลิปพลิกเหรียญที่ไม่ยุติธรรม 8 ครั้ง เหรียญนี้มีโอกาสออกหัวมากกว่าก้อยเป็นสองเท่า เขาจะได้หัว 3 ครั้ง มากกว่าได้หัว 2 ครั้งกี่เท่า? | ความน่าจะเป็นที่ฟิลิปพลิกเหรียญได้ $k$ หัวคือ $$\binom8k\left(\frac23\right)^k\left(\frac13\right)^{8-k}=\frac1{3^8}\binom8k2^k,$$ เนื่องจากมี $\binom{8}{k}$ วิธีที่ $k$ ใน $8$ เหรียญจะออกหัว และแต่ละวิธีการจัดเรียง $k$ หัว จาก $8$ เหรียญ จะมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากับ $\left(\frac23\right)^k\left(\frac13\right)^{8-k}$. ด... | [
"ประยุกต์ใช้"
] | |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
k(x) &\text{ถ้า }x>3, \\
x^2-6x+12&\text{ถ้า }x\leq3.
\end{cases}
\] จงหาฟังก์ชัน $k(x)$ ที่ทำให้ $f$ เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเอง | สังเกตว่าเนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพจน์เชิงเส้นของกำลังสองคือ $-6$ จุดยอดของพาราโบลาที่เป็นด้านซ้ายของ $f$ อยู่ที่ $x=3$ ดังนั้นการเติมกำลังสองอาจมีประโยชน์ \[x^2-6x+12=(x^2-6x+9)+3=(x-3)^2+3.\]เราต้องการให้ $f(f(x))=x$ สำหรับทุก $x$ เนื่องจาก $f(f(3))=3$ เราทราบว่า $f$ เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเองที่ $x=3$ ดังนั้นเราสามาร... | k(x) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $0^\circ < x < 180^\circ$ และ $\cos x + \sin x = \frac{1}{2},$ แล้ว $\tan x$ สามารถเขียนในรูป $-\frac{a + \sqrt{b}}{c}$ เมื่อ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหา $a + b + c.$ | จากสมการที่กำหนดให้ $\cos x = \frac{1}{2} - \sin x.$ แทนค่าลงใน $\cos^2 x + \sin^2 x = 1,$ เราจะได้
\[\frac{1}{4} - \sin x + \sin^2 x + \sin^2 x = 1.\]ซึ่งสามารถทำให้เป็น सरฬีเป็น $8 \sin^2 x - 4 \sin x - 3 = 0.$ โดยสูตรกำลังสอง
\[\sin x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{4}.\]เนื่องจาก $0^\circ < x < 180^\circ,$ $\sin x$ เป็นค่... | a + b + c = 4 + 7 + 3 = \boxed{14}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}$ หารด้วย 7 | เพื่อหาผลบวก เราพิจารณาเลขชี้กำลังของ 2 ที่หารด้วย 7 ได้ไม่เกิน 7 ตัวแรก: \begin{align*}
2^0 &\equiv 1, \\
2^1 &\equiv 2, \\
2^2 &\equiv 4, \\
2^3 &\equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}
\end{align*}เนื่องจาก $2^3 \equiv 1 \pmod{7}$ เลขชี้กำลังของ 2 หารด้วย 7 จะซ้ำเป็นรอบๆ ละ 3 ตัว ดังนั้น \begin{align*}
&1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots... | 3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีด้านเท่ากัน 5 นิ้ว และฐาน 6 นิ้ว ถูกจารึกไว้ในวงกลม จงหาพื้นที่ของวงกลมเป็นนิ้ว | สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังนั้นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของฐานของมันก็เป็นแกนสมมาตร ซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่สามเหลี่ยมถูกจารึกไว้: [asy]
unitsize(20);
draw(Circle((0,0),25/8));
draw(((-3,-7/8)--(3,-7/8)--(0,25/8)--cycle));
dot((0,0));
draw(((0,25/8)--(0,-7/8)),dotted);
draw(((0,-5/8)--(-1/4,-5/8)--(-1/4,-7/8)));
label("5"... | r=\frac{25}{8}=\boxed{3\frac18} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $ x$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งจำนวน $ \cos(2 \pi x)$, $ \cos(4 \pi x)$, $ \cos(8 \pi x)$, $ \cos(16 \pi x)$, และ $ \cos(32 \pi x)$ ทั้งหมดเป็นจำนวนไม่เป็นบวก จงหาค่าของ $ x$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นบวก | โดยทั่วไป ให้ $t$ เป็นจำนวนจริงบวก และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ให้
\[t = \lfloor t \rfloor + (0.t_1 t_2 t_3 \dots)_2.\]ที่นี่ เราแสดงส่วน thậpเศษของ $t$ ในระบบเลขฐานสอง จากนั้น
\begin{align*}
\cos (2^n \pi t) &= \cos (2^n \pi \lfloor t \rfloor + 2^n \pi (0.t_1 t_2 t_3 \dots)_2) \\
&= \cos (2^n \pi \lfloor t \rfloor + \pi ... | x_6 = 1. | [
"knowledge",
"application",
"analysis"
] |
พหุนาม $ax^3 + bx - c$ หารด้วย $x^2 + bx + c$ ลงตัว โดยที่ $a,$ $b,$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ จงหาค่า $ab$ | ถ้า $ax^3 + bx - c$ หารด้วย $x^2 + bx + c$ ลงตัว อีกตัวประกอบหนึ่งจะต้องอยู่ในรูป $ax - 1$ เพื่อให้สัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสูงสุดและพจน์คงตัวตรงกัน ดังนั้น
\[(x^2 + bx + c)(ax - 1) = ax^3 + bx - c.\]เมื่อขยายออกมาจะได้
\[ax^3 + (ab - 1) x^2 + (ac - b) x - c = ax^3 + bx - c.\]เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์ จะได้
\begin{align*}
... | ab = \boxed{1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าค่าเฉลี่ย (ค่าเฉลี่ย) ของจำนวนเต็มห้าจำนวนที่ต่อเนื่องกันคือ 21 จำนวนเต็มที่เล็กที่สุดในห้าจำนวนนี้คือจำนวนใด | ค่าเฉลี่ยของจำนวนเต็มห้าจำนวนที่ต่อเนื่องกันเท่ากับจำนวนที่อยู่ตรงกลาง เนื่องจากจำนวนมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 21 หากเราแจกจ่ายปริมาณเท่าๆ กัน เราจะมี 21, 21, 21, 21 และ 21 เนื่องจากจำนวนเป็นจำนวนต่อเนื่อง จำนวนที่สองน้อยกว่า 21 ที่อยู่ตรงกลาง 1 ในขณะที่จำนวนที่สี่มากกว่า 21 ที่อยู่ตรงกลาง 1 เช่นเดียวกัน จำนวนแรกน้อยกว่า 21 ท... | \boxed{19}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนด $P(x)$ เป็นพหุนาม เมื่อ $P(x)$ หารด้วย $x-13$ แล้วเหลือเศษ 19 และเมื่อ $P(x)$ หารด้วย $x+17$ แล้วเหลือเศษ $-11$ จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $P(x)$ หารด้วย $(x-13)(x+17)$ | เนื่องจากเราหารด้วยพหุนามกำลังสอง เศษที่เหลือจะมีดีกรีน้อยกว่า 2 ดังนั้นเศษ $r(x)=ax+b$ สำหรับค่าคงที่ $a$ และ $b$ บางค่า เราได้
$$P(x) = (x-13)(x+17)Q(x) +ax+b$$โดยที่ $Q(x)$ คือผลหารของการหาร
จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เราได้
$$\begin{aligned} P(13) &= 13a+b = 19 \\
P(-17) &= -17a+b = -11 \end{aligned}$$.
การแก้ระบบสมการนี้... | \boxed{x+6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจุด $F = (4,0)$ ในระนาบพิกัด ให้ $P$ เป็นจุด และ $Q$ เป็นจุดฉายของจุด $P$ ลงบนเส้นตรง $x = \frac{25}{4}$ จุด $P$ ลากเส้นโค้งในระนาบ ดังนั้น
\[\frac{PF}{PQ} = \frac{4}{5}\]สำหรับจุด $P$ บนเส้นโค้ง จงหาพื้นที่ของบริเวณที่เกิดจากเส้นโค้ง
[asy]
unitsize(1 cm);
pair P, F, Q;
F = (4,0);
P = (5*Cos(60),3*Sin(60));
Q... | กำหนดให้ $P = (x,y)$ ดังนั้น $Q = \left( \frac{25}{4}, y \right).$ เงื่อนไข $\frac{PF}{PQ} = \frac{4}{5}$ จะกลายเป็น
\[\frac{\sqrt{(x - 4)^2 +y^2}}{|\frac{25}{4} - x|} = \frac{4}{5}.\]ดังนั้น $\sqrt{(x - 4)^2 + y^2} = \left| 5 - \frac{4}{5} x \right|,$ หรือ
\[5 \sqrt{(x - 4)^2 + y^2} = |25 - 4x|.\]ยกกำลังสองทั้งสอ... | \pi \cdot 5 \cdot 3 = \boxed{15 \pi}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า 4 daps เท่ากับ 7 yaps และ 5 yaps เท่ากับ 3 baps แล้ว 42 baps เท่ากับกี่ daps | คูณ $5\text{ yaps}=3\text{ baps}$ ด้วย 14 เพื่อหาว่า 70 yaps เท่ากับ 42 baps. จากนั้นคูณ $4\text{ daps}=7\text{ yaps}$ ด้วย 10 เพื่อหาว่า $\boxed{40}$ daps เท่ากับ 70 yaps. | \boxed{40} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\log_2 1$. | เนื่องจาก $2^0 = 1$ ดังนั้น $\log_2 1 = \boxed{0}$. | $\log_2 1 = \boxed{0}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $a,$ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนสามจำนวน (ไม่จำเป็นต้องต่างกัน) ที่เลือกสุ่มและมีการแทนที่จากเซต $\{1,2,3,4,5\},$ ความน่าจะเป็นที่ $ab+c$ เป็นจำนวนคู่เท่ากับเท่าใด? | ผลรวม $ab+c$ เป็นจำนวนคู่ก็ต่อเมื่อ $ab$ และ $c$ เป็นจำนวนคี่ทั้งคู่ หรือเป็นจำนวนคู่ทั้งคู่ ความน่าจะเป็นที่ $c$ เป็นจำนวนคี่คือ $\frac{3}{5},$ และความน่าจะเป็นที่ $ab$ เป็นจำนวนคี่คือ $\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$ (เพราะ $a$ และ $b$ ทั้งคู่ต้องเป็นจำนวนคี่) ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ $ab+c$ เป็นจำนวนคู่คื... | 59/125 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สเตซี่กำลังยืนอยู่ในทุ่งหญ้า เธอเดินไปทางทิศตะวันตก 11 เมตร, ทางทิศเหนือ 30 เมตร, ทางทิศตะวันตก 4 เมตร และสุดท้ายทางทิศใต้ 22 เมตร เธออยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นกี่เมตร? | สเตซี่เดินไปทางทิศตะวันตกทั้งหมด $11+4=15$ เมตร และเธอเดินไปทางทิศเหนือสุทธิ $30-22=8$ เมตร ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เธออยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น $\sqrt{8^2+15^2}=\boxed{17\text{ meters}}$ | \sqrt{8^2+15^2}=\boxed{17\text{ meters}} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้าพจน์แรกของลำดับเลขคณิตเท่ากับพจน์ที่สามลบพจน์ที่สอง และพจน์ที่สี่เท่ากับ 8 แล้ว พจน์แรกคือเท่าใด | กำหนดให้ $d$ เป็นผลต่างร่วม เราทราบว่าพจน์แรกเท่ากับพจน์ที่สามลบพจน์ที่สอง ดังนั้นพจน์แรกเท่ากับ $d$ จากนั้นพจน์ที่สองเท่ากับ $2d$ พจน์ที่สามเท่ากับ $3d$ และพจน์ที่สี่เท่ากับ $4d = 8$ ดังนั้นพจน์แรกคือ $d = \boxed{2}$ | d = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีเด็กชาย 8 คน และเด็กหญิง 6 คน ที่เป็นสมาชิกกลุ่มทรัมเป็ตในวงโยธวาทิต จากสมาชิกกลุ่มทรัมเป็ต กำลังจะจัดตั้งวงดนตรีขนาด 5 คน ถ้าวงดนตรีขนาด 5 คน ต้องประกอบด้วยเด็กชาย 3 คน และเด็กหญิง 2 คน จะมีวงดนตรีขนาด 5 คนที่เป็นไปได้กี่วง | ก่อนอื่น เราพิจารณาว่ามีวิธีการเลือกเด็กชาย 3 คน จาก 8 คนกี่วิธี มี $8$ ตัวเลือกสำหรับเด็กชายคนแรก, $7$ ตัวเลือกสำหรับเด็กชายคนที่สอง และ $6$ ตัวเลือกสำหรับเด็กชายคนที่สาม อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเด็กชายไม่แตกต่างกัน เราจึงนับซ้ำ และต้องหารด้วย $3 \cdot 2$ ในทำนองเดียวกัน มี $6 \cdot 5$ วิธีในการเลือกเด็กหญิง 2 คน หารด้ว... | \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 2} = \boxed{840} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
มีผู้คน 10 คน เข้าร่วมงานเลี้ยง ในระหว่างงานเลี้ยง ทุกคนจับมือกับทุกคน มีการจับมือเกิดขึ้นทั้งหมดกี่ครั้งในงานเลี้ยง? | เราสามารถเลือก 2 คน จากกลุ่ม 10 คน เพื่อจับมือ โดยไม่คำนึงถึงลำดับ ใน $\binom{10}{2} = \boxed{45}$ วิธี | \binom{10}{2} = \boxed{45} | [
"ประยุกต์"
] |
เริ่มต้นที่จุด $A$ ในแผนภาพด้านล่าง โดราเลือกทิศทางใดทิศทางหนึ่งจากสี่ทิศทางที่เป็นไปได้ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน ทุกครั้งที่เธอมาถึงทางแยก เธอจะเลือกทิศทางที่เป็นไปได้แบบสุ่มอีกครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ในสี่ก้าวแรก เธอจะเดินวนรอบสี่เหลี่ยมสีเทาอย่างสมบูรณ์ แสดงคำตอบของคุณเป็นเศษส่วนสามัญ [asy]size(100);
fill((1,1)--(1... | วิธีเดียวที่โดราจะกลับมาที่จุดเริ่มต้นในสี่ก้าวก็ต่อเมื่อเธอเดินตามด้านทั้งสี่ด้านของสี่เหลี่ยมสีเทา เธอสามารถทำได้ในสองวิธี: ตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา ความน่าจะเป็นของแต่ละเส้นทางนี้คือ $\left(\frac{1}{4}\right)^4=\frac{1}{256}$ . ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เธอจะกลับมาที่จุดเริ่มต้นคือ $\dfrac{1}{256}+\dfrac{1}{256}=... | \dfrac{1}{256}+\dfrac{1}{256}=\boxed{\dfrac{1}{128}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $\sin 90^\circ$ | การหมุนจุด $(1,0)$ รอบจุดกำเนิดทวนเข็มนาฬิกา $90^\circ$ จะได้จุด $(0,1)$ ดังนั้น $\sin 90^\circ = \boxed{1}$ | $\sin 90^\circ = \boxed{1}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
พหุนามลูกบาศก์ $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ ที่มีรากที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองราก มีสมบัติดังนี้:
(i) ผลรวมของรากทั้งหมดเท่ากับสองเท่าของผลคูณของรากทั้งหมด
(ii) ผลรวมของกำลังสองของรากทั้งหมดเท่ากับ 3 เท่าของผลคูณของรากทั้งหมด
(iii) $f(1) = 1.$
จงหาค่า $c.$ | ให้ $r,$ $s,$ $t$ เป็นรากของพหุนามลูกบาศก์ จากสูตรของ Vieta's formulas,
\begin{align*}
r + s + t &= -a, \\
rs + rt + st &= b, \\
rst &= -c.
\end{align*}จากเงื่อนไข (i), $-a = -2c,$ ดังนั้น $a = 2c.$
ยกกำลังสองสมการ $r + s + t = -a,$ เราได้
\[r^2 + s^2 + t^2 + 2(rs + rt + st) = a^2.\]ดังนั้น
\[r^2 + s^2 + t^2 = a^2 - 2... | c = \boxed{-\frac{9}{4}}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ในสวนสนุกแห่งหนึ่งมีส่วนลดสำหรับการซื้อตั๋วเป็นจำนวนมาก หากคุณซื้อตั๋วไม่เกิน 60 ใบในหนึ่งครั้ง ราคาของตั๋วแต่ละใบคือ $\$70$ อย่างไรก็ตาม หากคุณซื้อตั๋วมากกว่า 60 ใบในครั้งเดียว ราคาของตั๋วแต่ละใบจะลดลง $\$1$ สำหรับตั๋วแต่ละใบที่ซื้อเพิ่ม หาก $t$ คือจำนวนตั๋วที่ซื้อเป็นจำนวนมากในคราวเดียว จงหาค่า $t$ ที่ใหญ่ที่สุดที่ทำ... | ให้ $t$ แทนจำนวนตั๋วที่ขายในหนึ่งครั้ง เราจะได้อสมการต่อไปนี้: \begin{align*} 4200&<(70-(t-60))(t)
\\4200&<(130-t)(t)
\\4200&<130t-t^2
\\\Rightarrow\qquad t^2-130t+4200&<0
\\\Rightarrow\qquad (t-60)(t-70)&<0
\end{align*}เนื่องจากรากของสมการข้างซ้ายมีค่า 60 และ 70 อสมการจะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายที่จุดสองจุดนี้ สำหรับ $t<... | t=\boxed{69} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สลัดผลไม้สามารถทำได้จากผลไม้ 3 ชนิด จาก 5 ชนิด: แอปเปิ้ล กล้วย องุ่น สตรอเบอร์รี่ และパイñaapple ถ้าสตรอเบอร์รี่และパイñaapple ไม่เข้ากัน และองุ่นและกล้วยไม่น่ากินด้วยกัน มีกี่วิธีที่จะทำสลัดผลไม้ที่อร่อยและน่ากิน? | จำนวนวิธีที่จะเลือกผลไม้ได้ 3 ชนิด จาก 5 ชนิด คือ $\binom{5}{3} = 10$ อย่างไรก็ตาม ถ้าสตรอเบอร์รี่และパイñaapple ไม่สามารถอยู่ด้วยกันได้ จำนวนวิธีจะลดลง 3 วิธี (เพราะสามารถจับคู่กับแอปเปิ้ล องุ่น หรือกล้วยได้) ในทำนองเดียวกัน ถ้าองุ่นและกล้วยไม่สามารถอยู่ด้วยกันได้ จำนวนวิธีจะลดลงอีก 3 วิธี ดังนั้น $10 - 3 - 3 = \boxed{4... | 10 - 3 - 3 = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาขอบเขตของฟังก์ชันที่มีค่าจริง $f(x)=\frac{2x-7}{\sqrt{x^2-5x+6}}$ | ฟังก์ชันถูกนิยามเมื่อค่าภายในรากที่สองเป็นบวก นั่นคือเราต้องมี $x^2-5x+6>0$ การแยกตัวประกอบได้ $(x-3)(x-2)>0$ ดังนั้นตัวประกอบทั้งสองในด้านซ้ายมือเป็นลบหรือเป็นบวกทั้งสอง ตัวประกอบทั้งสองเป็นลบเมื่อ $x<2$ ตัวประกอบทั้งสองเป็นบวกเมื่อ $x>3$ ดังนั้นขอบเขตของ $f(x)$ คือ $x<2 \text{ หรือ } x>3$ หรือ $x \in \boxed{(-\infty... | x \in \boxed{(-\infty, 2) \cup (3, \infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สามเหลี่ยม $AXY$ มีความคล้ายคลึงกับสามเหลี่ยม $ZBC$ ถ้า $AX = 6$ เซนติเมตร, $ZB = 18$ เซนติเมตร และ $ZC = 63$ เซนติเมตร ความยาวของส่วน $AY$ เป็นเท่าไร (หน่วยเป็นเซนติเมตร) | เนื่องจากมีความคล้ายคลึงกัน $\frac{AX}{ZB} = \frac{AY}{ZC}$ ดังนั้น $\frac{1}{3} = \frac{AY}{63} \rightarrow AY = \boxed{21}$ | $\frac{1}{3} = \frac{AY}{63} \rightarrow AY = \boxed{21}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พื้นที่ของสามเหลี่ยม $XYZ$ เท่ากับ 8 ตารางนิ้ว จุด $A$ และ $B$ เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง $\overline{XY}$ และ $\overline{XZ}$ ที่มีความยาวเท่ากัน ตามลำดับ ส่วนสูง $\overline{XC}$ แบ่ง $\overline{YZ}$ เป็นสองส่วนเท่ากัน พื้นที่ (เป็นตารางนิ้ว) ของบริเวณที่แรเงาคือเท่าไร? [asy]
/* AMC8 2002 #20 Problem */
draw((0,... | ส่วนของเส้นตรง $\overline{AD}$ และ $\overline{BE}$ ถูกวาดตั้งฉากกับ $\overline{YZ}$ ส่วนของเส้นตรง $\overline{AB}$, $\overline{AC}$ และ $\overline{BC}$ แบ่ง $\triangle XYZ$ ออกเป็นสี่สามเหลี่ยมที่เท่ากัน ส่วนของเส้นตรงแนวตั้ง $\overline{AD}$, $\overline{XC}$ และ $\overline{BE}$ แบ่งแต่ละส่วนออกเป็นครึ่งหนึ่ง สามในแปดสา... | 3 | [
"จำแนก",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน $z$ ซึ่งส่วนจริงของ $ rac{1}{z}$ เท่ากับ $ rac{1}{6}$ เซตนี้จะสร้างเป็นเส้นโค้ง จงหาพื้นที่ของบริเวณภายในเส้นโค้ง | โดยทั่วไป ส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน $z$ กำหนดโดย
\[\frac{z + \overline{z}}{2}.\]ดังนั้น ส่วนจริงของ $1/z$ เท่ากับ 1/6 ก็ต่อเมื่อ
\[\frac{\frac{1}{z} + \frac{1}{\overline{z}}}{2} = \frac{1}{6},\]หรือ
\[\frac{1}{z} + \frac{1}{\overline{z}} = \frac{1}{3}.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $3z \overline{z}$ เราได้
\[3z + 3 \overline{z} =... | \boxed{9 \pi} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฉันต้องการอ่านหนังสือ 4 เล่มในเดือนหน้า ชั้นวางหนังสือของฉันมีหนังสือ 12 เล่มที่แตกต่างกัน มีวิธีการเลือกหนังสือที่จะอ่านในเดือนหน้ากี่วิธี โดยไม่คำนึงถึงลำดับที่ฉันอ่าน? | ลำดับไม่สำคัญ ดังนั้นเป็นการ tổ합 การเลือก 4 เล่มจาก 12 เล่ม คือ $\binom{12}{4}=\boxed{495}.$ | \binom{12}{4}=\boxed{495}. | [
"จำแนก",
"นำไปใช้"
] |
แถวของสวิตช์ไฟ 8 ตัวควบคุมธนาคารไฟที่ต่างกันในโรงยิมของโรงเรียน ในการเตรียมตัวสำหรับงานเต้นรำของโรงเรียน นักเรียนตัดสินใจว่าพวกเขาต้องการเปิดธนาคารไฟ 1 หรือ 2 ธนาคารระหว่างงานเต้นรำ มีวิธีที่เป็นไปได้กี่วิธีในการตั้งค่าสวิตช์ 8 ตัวนี้เพื่อให้ธนาคารไฟ 1 หรือ 2 ธนาคารเปิดอยู่? | มี 2 กรณีในที่นี้ หากธนาคารไฟ 1 ธนาคารเปิดอยู่ จะมี $\binom{8}{1}=8$ วิธีในการเลือกธนาคารไฟที่เปิดอยู่ หากธนาคารไฟ 2 ธนาคารเปิดอยู่ จะมี $\binom{8}{2}=28$ วิธีในการเลือกธนาคารไฟที่เปิดอยู่ จำนวนการตั้งค่าที่ถูกต้องทั้งหมดคือ $8+28=\boxed{36}$ | 8+28=\boxed{36} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $ABCD$ เป็นทรงสี่หน้าปรกติที่มีความยาวด้าน 2 หน่วย ระนาบขนานกับด้าน $AB$ และ $CD$ และอยู่ตรงกลางระหว่างสองด้านนั้น ตัด $ABCD$ ออกเป็นสองส่วน จงหาพื้นที่ผิวของส่วนใดส่วนหนึ่ง | ระนาบตัดกับแต่ละหน้าของทรงสี่หน้าที่เส้นกึ่งกลางของหน้า; โดยสมมาตร จะเห็นว่าการตัดกันระหว่างระนาบกับทรงสี่หน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 1 หน่วย พื้นที่ผิวของแต่ละส่วนเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงสี่หน้าบวกกับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือ $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \frac{2^2 \sqrt{3}}... | \frac{1}{2}\cdot 4\cdot \frac{2^2 \sqrt{3}}{4}+1=\boxed{1+2\sqrt{3}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $100\pi$ มีกี่จำนวน | จากความรู้เกี่ยวกับการ展开ทศนิยมของ $\pi$ เราสามารถประมาณได้ว่า $100 \pi \approx 314.15$ ดังนั้นจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $100\pi$ คือ 314. ดังนั้นจำนวนเต็มบวกคือ 1, 2, 3, $\ldots$, 313, 314 รวมทั้งหมด $\boxed{314}$ จำนวน | \boxed{314} | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
สามคู่ไปดูหนัง พวกเขาต้องการนั่งด้วยกันเพื่อความเพลิดเพลินสูงสุด แต่กลับเข้าแถวแบบสุ่มในแถวที่มีหกที่นั่ง ความน่าจะเป็นที่พวกเขาจะนั่งในรูปแบบที่เหมาะสมทางสังคม คือ แต่ละคนนั่งอยู่ติดกับคู่ของตนเองคือเท่าไร? | มี $\binom{6}{2} = 15$ วิธีในการเลือกคนที่จะนั่งในที่นั่งสองที่นั่งแรก และ 3 วิธีสำหรับคนสองคนนั้นที่จะเป็นคู่ มีความน่าจะเป็น $3/15 = 1/5$ ที่ที่นั่งสองที่นั่งแรกจะเป็นคู่ หากคู่หนึ่งนั่งสำเร็จ จะมี $\binom{4}{2} = 6$ วิธีในการนั่งคนในสองที่นั่งถัดไป และ 2 วิธีสำหรับคนสองคนนั้นที่จะเป็นคู่ (คุณสามารถเลือกคู่ใดคู่หนึ่ง... | 1/5 \cdot 1/3 = \boxed{\frac{1}{15}} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาคู่ลำดับ $(a,b)$ ของจำนวนจริง ซึ่งทำให้พหุนาม $x^2+ax+b$ มีรากที่ไม่ใช่จำนวนจริง โดยรากนี้มีค่า $343$ เมื่อยกกำลังสาม | เราต้องการให้ $x$ สอดคล้องกับ $x^3 = 343.$ ดังนั้น $x^3 - 343 = 0,$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(x - 7)(x^2 + 7x + 49) = 0.$ ดังนั้น $(a,b) = \boxed{(7,49)}.$ | (a,b) = \boxed{(7,49)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $317^{3}+8^{3}-(2^{(3^{2})}+317^{3})$. | จงจำไว้ว่า $-(x+y)=-x-y$ สำหรับทุก $x$ และ $y$ ดังนั้น $$317^{3}+8^{3}-(2^{(3^{2})}+317^{3})=317^{3}+8^{3}-2^{(3^{2})}-317^{3}.$$ โดยใช้สมบัติการสลับที่ของการบวก เราสามารถจัดเรียงพจน์ใหม่ได้ \begin{align*}
317^{3}+8^{3}-2^{(3^{2})}-317^{3}&=317^{3}+8^{3}+(-2^{(3^{2})})+(-317^{3})\\
&=317^{3}+(-317^{3})+8^{3}+(-2^{(3^... | 2^9+(-2^9)=\boxed{0} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เมื่อรถยนต์ใช้เบรก ระยะทางที่รถยนต์เคลื่อนที่ได้ในแต่ละวินาทีจะน้อยลง 5 ฟุต จากวินาทีที่แล้ว จนกว่ารถจะหยุดสนิท รถยนต์วิ่งไป 45 ฟุตในวินาทีแรกหลังจากที่เบรกถูกใช้ รถยนต์วิ่งไปทั้งหมดกี่ฟุตตั้งแต่เบรกถูกใช้จนรถหยุดสนิท | จำนวนฟุตที่รถยนต์วิ่งในแต่ละวินาทีเป็นลำดับเลขคณิตที่มีพจน์แรก 45 และผลต่างร่วมเท่ากับ -5 เราจะรวมพจน์บวกทั้งหมดในลำดับนี้ (พจน์เหล่านี้แทนจำนวนฟุตที่รถยนต์วิ่งในแต่ละวินาที) ดังนั้นเราต้องการหาผลรวม $45+40+\dots+5$.
ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ จำนวนพจน์คือ $45/5 = 9$... | (45 + 5)/2 \cdot 9 = \boxed{225} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.