question stringlengths 16 1.6k | solution stringlengths 3 2.73k | answer stringlengths 0 168 | bloom_taxonomy listlengths 1 4 |
|---|---|---|---|
ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง ขาของสามเหลี่ยมมีขนาด 40 นิ้ว และ 42 นิ้ว จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม | พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของขา ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ $$(1/2)(40)(42) = \boxed{840\text{ ตารางนิ้ว}}.$$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
คิมเบอร์ลียืมเงินลูซี่ 1000 ดอลลาร์ โดยลูซี่คิดดอกเบี้ยร้อยละ 5 ต่อเดือน (คิดดอกเบี้ยทบต้นทุกเดือน) จงหาจำนวนเดือนที่น้อยที่สุดที่คิมเบอร์ลีจะต้องจ่ายหนี้มากกว่าสองเท่าของเงินที่ยืมมา | เนื่องจากจำนวนเงินที่คิมเบอร์ลีต้องจ่ายจะถูกคูณด้วย 1.05 ในแต่ละเดือน เราต้องการจำนวนเต็ม $t$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $1.05^t>2$ เมื่อลองแทนค่าจำนวนเต็ม $t$ เราจะพบว่า $\boxed{15}$ คือค่าที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ | \boxed{15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันของ $5^5 - 5^3$ | กำลังที่มากที่สุดของ $5$ ที่หารทั้งสองพจน์ได้คือ $5^3$ เราแยกตัวประกอบ $5^3$ ออกดังนี้: \begin{align*}
5^5 - 5^3 &= 5^3 \cdot 5^2 - 5^3 \cdot 1 \\
&= 5^3(5^2 - 1)
\end{align*} $5^2 - 1 = 24$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $2^3 \cdot 3$ ดังนั้นการแยกตัวประกอบเฉพาะคือ ${2^3 \cdot 3 \cdot 5^3}$ และผลรวมของตัวประกอบเฉพาะคือ $2+3+... | 2+3+5 = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้าเราแสดง $3x^2 - 6x - 2$ ในรูป $a(x - h)^2 + k$ แล้ว $a + h + k$ มีค่าเท่าใด | เราเติมกำลังสอง ก่อนอื่น เราแยก 3 ออกจากพจน์ $3x^2 - 6x$ เพื่อให้ได้ $3(x^2 - 2x)$ เราสามารถยกกำลังสองของ $x - 1$ เพื่อให้ได้ $x^2 - 2x + 1$ ดังนั้น $3(x^2 - 2x) = 3[(x - 1)^2 - 1] = 3(x - 1)^2 - 3$ และ \[3(x^2 - 2x) - 2 = 3(x - 1)^2 - 3 - 2 = 3(x - 1)^2 - 5.\]เราเห็นว่า $a = 3$, $h = 1$ และ $k = -5$ ดังนั้น $a + h + ... | a + h + k = 3 + 1 + (-5) = \boxed{-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ซึ่ง $f(6)-f(2)=12$ จงหาค่าของ $f(12)-f(2)$ | เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน (slope) จะคงที่ ดังนั้น
\[\frac{f(6) - f(2)}{6-2} = \frac{f(12) - f(2)}{12 - 2},\]ดังนั้น \[\frac{12}{4} =\frac{f(12) - f(2)}{10},\]และ $f(12) - f(2) = \boxed{30}$. | f(12) - f(2) = \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $2|x| + 7 < 17$. | เริ่มจากแก้สมการอสมการเพื่อให้มีเพียงปริมาณค่าสัมบูรณ์ทางซ้ายมือและค่าคงที่ทางขวามือ
\begin{align*}
2|x| + 7&< 17\\
2|x|&<10\\
|x|&<5
\end{align*}เพื่อแก้สมการอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์ เราต้องแปลงเป็นสมการอสมการสองสมการ หนึ่งสมการเป็นปกติ อีกสมการหนึ่งมีเครื่องหมายกลับด้านและค่าผลลัพธ์ตรงกันข้าม ทั้งสองสมการจะมีค่าสัมบูร... | \boxed{-4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็มใดเพียงจำนวนเดียวที่กำลังสองของมันน้อยกว่าสองเท่าของมัน? | จำนวนเต็มคือ $\boxed{1}$ เพราะว่า $1^2=1<2$ | 1^2=1<2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่า: $64^2-36^2$ | $64^2 - 36^2$ สามารถเขียนในรูป $(64+36)(64-36)$ ได้ ซึ่งจะเท่ากับ $100 \cdot 28$ หรือ $\boxed{2800}$ | \boxed{2800} | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
จำนวนเฉพาะ Mersenne ถูกนิยามว่าเป็นจำนวนเฉพาะที่มีรูปแบบ $2^n - 1$ โดยที่ $n$ ต้องเป็นจำนวนเฉพาะด้วย ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก $2^3 - 1 = 7$ และ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ 7 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ Mersenne จำนวนเฉพาะ Mersenne ที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่า 200 คือจำนวนเท่าใด | จำนวนเฉพาะ Mersenne ที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่า 200 คือ $2^7 - 1 = 128 - 1 = \boxed{127}$ จำนวนเฉพาะ Mersenne ที่เป็นไปได้ถัดไป $2^{11} - 1 = 2047$ มีค่ามากเกินไป (และไม่ใช่จำนวนเฉพาะ) | 127 | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จากรายการอนันต์ของจำนวนต่อไปนี้ มีจำนวนเต็มกี่จำนวน? $$\sqrt{4096},\sqrt[3]{4096},\sqrt[4]{4096},\sqrt[5]{4096},\sqrt[6]{4096},\ldots$$ | เนื่องจาก $4096=2^{12}$ จำนวนหนึ่งในรายการนี้จะเป็นจำนวนเต็ม ถ้าจำนวนในรากเป็นตัวประกอบของ 12 ดังนั้น จำนวนในรายการที่เป็นจำนวนเต็มมีเพียง $\sqrt{4096}=2^6=64$, $\sqrt[3]{4096}=2^4=16$, $\sqrt[4]{4096}=2^3=8$, $\sqrt[6]{4096}=2^2=4$ และ $\sqrt[12]{4096}=2$ นั่นคือมีจำนวนเต็มทั้งหมด $\boxed{5}$ จำนวน | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แซคคารีจ่ายเงิน $1 สำหรับ汉堡ด้วยเหรียญ 32 เหรียญ และไม่ได้รับเงินทอน เหรียญแต่ละเหรียญเป็นเหรียญเพนนีหรือเหรียญไนckel แซคคารีใช้เหรียญไนckel จำนวนเท่าใด | ถ้า $p$ คือจำนวนเพนนี และ $n$ คือจำนวนเหรียญไนckel ที่แซคคารีใช้ เราจะได้รับ \begin{align*}
p+n&=32\text{, และ} \\
p+5n&=100.
\end{align*} ลบสมการแรกจากสมการที่สอง เราพบว่า $4n=68$ ซึ่งหมายความว่า $n=\boxed{17}$ | n=\boxed{17} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนจริงใดที่เท่ากับนิพจน์ $2 + \frac{4}{1 + \frac{4}{2 + \frac{4}{1 + \cdots}}}$, โดยที่ $1$ และ $2$ สลับกัน? | ให้ $x$ เป็นจำนวนที่กำหนด ดังนั้น $x = 2 + \frac{4}{1 + \frac{4}{\left(2 + \frac{4}{1 + \cdots}\right)}}$. พจน์ในวงเล็บเป็นคำจำกัดความของ $x$ ดังนั้น $$x = 2+\frac{4x}{x + 4}.$$ คูณด้วย $(x+4)$ ทั้งสองข้างและทำให้ง่ายขึ้นจะได้ $x(x+4) = 2(x+4) + 4x \Longrightarrow x^2 + 4x = 2x + 8 + 4x.$ ดังนั้น เราได้สมการกำลังสอง ... | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงแสดง $\frac{31}{2\cdot5^6}$ ในรูปทศนิยมสิ้นสุด | เนื่องจากทศนิยมสิ้นสุดสามารถเขียนในรูปของ $\frac{a}{10^b}$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม เราต้องการเขียนเศษส่วนใหม่ให้มีส่วนของ $10^b=2^b\cdot5^b$ \[ \frac{31}{2\cdot5^6}\cdot\frac{2^{5}}{2^{5}}=\frac{31\cdot2^{5}}{10^{6}}=\frac{992}{10^{6}}. \]เนื่องจากส่วนประกอบด้วย $10^6$ เท่านั้น ดังนั้นจะมีเลขโดดทั้งหมด 6 ตัวทา... | \boxed{0.000992} | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัว และ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
ax + b & \text{if } x < 2, \\
8 - 3x & \text{if } x \ge 2.
\end{array}
\right.\]ฟังก์ชัน $f$ มีสมบัติที่ $f(f(x)) = x$ สำหรับทุกค่า $x$ จงหา $a + b$ | กำหนดให้ $x = 3$ เราได้ $f(3) = -1$ เนื่องจาก $-1 < 2$ ดังนั้น $f(-1) = -a + b$ ดังนั้น $f(f(3)) = f(-1) = -a + b$ แต่ $f(f(x)) = x$ สำหรับทุกค่า $x$ ดังนั้น $-a + b = 3$
กำหนดให้ $x = 4$ เราได้ $f(4) = -4$ เนื่องจาก $-4 < 2$ ดังนั้น $f(-4) = -4a + b$ ดังนั้น $f(f(4)) = f(-4) = -4a + b$ แต่ $f(f(x)) = x$ สำหรับทุกค่า... | 7/3 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ส่วนของเศษส่วนน้อยกว่า 3 เท่าของส่วนของตัวส่วน 7 ถ้าเศษส่วนเทียบเท่ากับ $2/5$ ตัวเศษของเศษส่วนคืออะไร? | เราให้ตัวเศษเป็น $x$ ดังนั้นส่วนของตัวส่วนคือ $3x-7$ เนื่องจากเศษส่วนเท่ากับ $2/5$ เราจึงมี $x/(3x-7) = 2/5$ คูณทั้งสองข้างด้วย $5(3x-7)$ (หรือคูณไขว้) จะได้ $5x = 2(3x-7)$ ขยายด้านขวาจะได้ $5x = 6x - 14$ ลบ $6x$ จากทั้งสองข้างจะได้ $-x = -14$ ดังนั้นเราพบ $x = \boxed{14}$ | x = \boxed{14} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดที่ทำให้ $n^2+12n-2007$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาเศษที่เหลือเมื่อ $S$ หารด้วย $1000$. | ถ้า $n^2 + 12n - 2007 = m^2$ เราสามารถเติมกำลังสองในด้านซ้ายมือเพื่อให้ได้ $n^2 + 12n + 36 = m^2 + 2043$ ดังนั้น $(n+6)^2 = m^2 + 2043$ ลบ $m^2$ และแยกตัวประกอบด้านซ้ายมือ เราจะได้ $(n + m + 6)(n - m + 6) = 2043$. $2043 = 3^2 \cdot 227$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบเป็น 2 ตัวประกอบได้ 3 วิธี $2043 \cdot 1 = 3 \cdot 681 = 227 ... | \boxed{464} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $x, y, z$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ \begin{align*}
y+z & = 13, \\
z+x & = 14, \\
x+y & = 15.
\end{align*} จงหาค่าของ $\sqrt{xyz(x+y+z)}$. | นำสมการทั้งสามมาบวกกัน แล้วหารด้วย 2 จะได้ $x+y+z = 21$ ดังนั้น $x = 8, y = 7, z = 6$ และ $\sqrt{xyz(x+y+z)} = \sqrt{21(8)(7)(6)} = \sqrt{2^4\cdot 3^2 \cdot 7^2} = \boxed{84}$ | \sqrt{xyz(x+y+z)} = \sqrt{21(8)(7)(6)} = \sqrt{2^4\cdot 3^2 \cdot 7^2} = \boxed{84} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่า $t$ ที่มีค่าน้อยที่สุดที่ทำให้ \[\frac{13t^2 - 34t + 12}{3t - 2 } + 5t = 6t - 1.\] | เราอาจจะลองแยกตัวประกอบพหุนาม แต่ก็ไม่ได้ช่วยอะไร เราเริ่มต้นด้วยการลบ $5t$ จากทั้งสองข้างเพื่อแยกตัวประกอบของเศษส่วน ซึ่งจะได้ \[\frac{13t^2 -34t + 12}{3t-2 } = t-1.\]คูณทั้งสองข้างด้วย $3t-2$ จะได้ \[13t^ 2-34t + 12 = (t-1)(3t-2).\]ขยายข้างขวาจะได้ $13t^2 - 34t + 12 = 3t^2 -5t+2$, ดังนั้น $10t^2 -29t +10 = 0$. ... | \boxed{\frac{2}{5}} | [
"unknown"
] |
ถ้า $f(x)=\dfrac{x-3}{x-4}$ แล้ว สำหรับค่าของ $x$ ใด $f^{-1}(x)$ ไม่นิยาม? | เราเริ่มต้นด้วยการหาฟังก์ชันผกผันของ $f$ โดยนิยาม เราทราบว่า $f(f^{-1}(x)) = x$ ดังนั้น $$\frac{f^{-1}(x)-3}{f^{-1}(x)-4} = x.$$เราสามารถแก้สมการนี้เพื่อหา $f^{-1}(x)$ ได้ เริ่มจากการคูณทั้งสองข้างด้วย $f^{-1}(x)-4$: $$f^{-1}(x)-3 = x\cdot(f^{-1}(x)-4).$$จากนั้นขยาย: $$f^{-1}(x)-3 = x\cdot f^{-1}(x)-4x.$$จากนั้นจัดเรีย... | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นาตาลีมีต้นบลูเบอร์รีที่ให้ผลผลิตบลูเบอร์รีได้ 8 ถังต่อต้น ถ้าเธอสามารถแลกเปลี่ยนบลูเบอร์รี 5 ถังเพื่อแลกกับมะเขือเทศ 2 ผล เธอต้องเด็ดบลูเบอร์รีจากต้นกี่ต้นจึงจะมีมะเขือเทศได้ 48 ผล? | เรารู้สมการสองสมการดังนี้: \begin{align*}
1\text{ ต้น} &= 8\text{ ถัง}\\
5\text{ ถัง} &= 2\text{ มะเขือเทศ}.
\end{align*} เพื่อหาค่า 48 มะเขือเทศในรูปของต้น เราคูณด้วยเศษส่วนที่เท่ากับ 1 โดยที่ตัวเศษและตัวส่วนอยู่ในหน่วยที่ต่างกัน ยกเลิกหน่วยตามที่เราไป ดังนั้น เราตั้งสมการต่อไปนี้เพื่อหาคำตอบ: $48\text{ มะเขือเทศ} = 4... | 48\text{ มะเขือเทศ} = 48\text{ มะเขือเทศ}\times \frac{5\text{ ถัง}}{2\text{ มะเขือเทศ}}\times\frac{1 \text{ ต้น}}{8\text{ ถัง}}=\boxed{15} \text{ ต้น} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงคำนวณค่าของ $(2 + 1)(2^2 + 1^2)(2^4 + 1^4)$ | เราสามารถคูณตรงๆ ได้ แต่จะยุ่งยาก เราจะคูณนิพจน์ทั้งหมดด้วย $\frac{2-1}{2-1}$ และใช้ผลต่างของกำลังสอง: \begin{align*}
&\ \ \ \ \frac{1}{2-1}(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1^2)(2^4 + 1^4) \\
&= (2^2 - 1^2)(2^2 + 1^2)(2^4 + 1^4) \\
&= (2^4 - 1^4)(2^4 + 1^4) \\
&= 2^8 - 1^8 \\
&= \boxed{255}.
\end{align*} | 255 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\sqrt{2x^2+1}=\sqrt{19}$, จงหาค่าเฉลี่ยของค่า $x$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ | เริ่มต้นด้วยการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ \begin{align*} (\sqrt{2x^2+1})^2& =(\sqrt{19})^2
\\ 2x^2+1& =19
\\\Rightarrow 2x^2& =18
\\\Rightarrow x^2& =9
\end{align*}จากสมการนี้ จะเห็นได้ว่าค่า $x$ ที่เป็นไปได้มีเพียง 3 และ -3 ดังนั้นค่าเฉลี่ยคือ $\boxed{0}$ | \boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อายุของมิคกี้มีค่าน้อยกว่า 300% ของอายุเจอร์รี่ 4 ปี ถ้ามิคกี้มีอายุ 14 ปี เจอร์รี่มีอายุเท่าไร | ให้ $M$ และ $J$ เป็นอายุของมิคกี้และเจอร์รี่ตามลำดับ จากนั้น 300% ของอายุของเจอร์รี่คือ $3J$ เนื่องจากอายุของมิคกี้มีค่าน้อยกว่า 300% ของอายุของเจอร์รี่ 4 ปี เราได้ว่า $M=3J - 4$ กำหนดให้ $M = 14$ ดังนั้น $14 = 3J-4$ บวก 4 ทั้งสองข้างจะได้ $18 = 3J$ ดังนั้น $J=6$ และเจอร์รี่มีอายุ $\boxed{6}$ ปี | \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
นิพจน์ $\frac{x-3}{4x}$ มีค่าเท่ากับศูนย์สำหรับค่าของ $x$ ใด | เศษส่วนจะมีค่าเท่ากับศูนย์ ถ้าส่วนบนเท่ากับศูนย์ ดังนั้น $x-3=0$ ดังนั้น $x=\boxed{3}$ (โปรดสังเกตว่าที่ค่า $x$ นี้ ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์) | x | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาค่าที่มากที่สุดของ $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ $|x-5|=12$ | เราสามารถแยกนิพจน์ $|x-5|=12$ เป็นสองกรณีแยกต่างหาก: $x-5=12$ และ $x-5=-12$ สำหรับกรณีแรก การแก้หา $x$ จะให้ $x=12+5=17$ สำหรับกรณีที่สอง เราจะได้ $x=-12+5=-7$ ดังนั้น $x=17$ และ $x=-7$ ทั้งสองสอดคล้องกับสมการ เนื่องจากโจทย์ถามหาค่าที่มากที่สุดของ $x$ คำตอบของเราคือ $\boxed{17}$ | \boxed{17} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ปลายด้านหนึ่งของส่วนของเส้นตรงคือ $(4,3)$ และจุดกึ่งกลางของมันคือ $(2,9)$ ผลรวมของพิกัดของปลายด้านที่สองคือเท่าไร? | ให้ปลายด้านที่สองเป็น $(x, y)$ เราทราบว่า $\frac{4 + x}{2} + \frac{3 + y}{2} = 2 + 9 = 11$ ดังนั้น $7 + x + y = 22$ และ $x + y = \boxed{15}$ | x + y = \boxed{15} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
โจและโจแอนน์ซื้อกาแฟ 12 ออนซ์ ในถ้วย 16 ออนซ์ โจดื่มกาแฟ 2 ออนซ์ แล้วเติมครีม 2 ออนซ์ โจแอนน์เติมครีม 2 ออนซ์ คนให้เข้ากันแล้วดื่ม 2 ออนซ์ อัตราส่วนของปริมาณครีมในกาแฟของโจต่อปริมาณครีมในกาแฟของโจแอนน์เป็นเท่าใด แสดงคำตอบเป็นเศษส่วน | โจมีครีม 2 ออนซ์ ในถ้วย โจแอนน์ดื่มกาแฟ 2 ออนซ์ จากส่วนผสมกาแฟ-ครีม 14 ออนซ์ ในถ้วยของเธอ ดังนั้นเธอจึงเหลือครีม $12/14 = 6/7$ ของครีม 2 ออนซ์ ของเธอ ดังนั้น อัตราส่วนของปริมาณครีมในกาแฟของโจต่อปริมาณครีมในกาแฟของโจแอนน์คือ \[
\frac{2}{\frac{6}{7}\cdot2} = \boxed{\frac{7}{6}}.
\] | 12/14 = 6/7 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีการ์ด 50 ใบ, หมายเลข 1 ถึง 50 วางอยู่ในกล่อง ใบหนึ่งถูกเลือกแบบสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขบนการ์ดเป็นจำนวนเฉพาะ และเป็นผลคูณของ 7 แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย | จำนวนเฉพาะที่เป็นผลคูณของ 7 เท่านั้นคือ 7 จำนวนอื่นๆ ที่เป็นผลคูณของ 7 จะมีตัวหารบวกอย่างน้อย 3 ตัว: 1, 7 และตัวมันเอง ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขที่เลือกเป็นจำนวนเฉพาะและเป็นผลคูณของ 7 คือ $\boxed{\frac{1}{50}}$ | \boxed{\frac{1}{50}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $\sqrt{x+ 7} = 9$. | เนื่องจาก $\sqrt{x+7} = 9$ เราทราบว่า 9 คือจำนวนที่กำลังสองเท่ากับ $x+7$ ดังนั้นเราได้ \[x+7 = 9^2.\] ซึ่งจะได้ $x + 7= 81$ ดังนั้น $x= \boxed{74}$. | x= \boxed{74} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของสามจำนวน $a, b$ และ $c$ เท่ากับ 60 ถ้าเราลด $a$ ลง 7 เราจะได้ค่า $N$ ถ้าเราเพิ่ม $b$ ขึ้น 7 เราจะได้ค่า $N$ ถ้าเราคูณ $c$ ด้วย 7 เราจะได้ค่า $N$ ค่าของ $N$ คือเท่าไร? | แปลงคำเป็นสมการ เราได้สมการ \begin{align*}
a+b+c&=60\\
a-7&=N\\
b+7&=N\\
7c&=N\\
\end{align*} เราจะแสดงค่าของ $a$, $b$ และ $c$ ในรูปของ $N$ แล้วแทนสมการเหล่านี้ลงในสมการที่กำหนดมาเพื่อแก้หา $N$ จากสมการที่สองเราได้ $a=N+7$ จากสมการที่สามเราได้ $b=N-7$ จากสมการที่สี่เราได้ $c=N/7$ แทนสมการเหล่านี้ลงในสมการที่กำหนดมาเพื่... | (N+7)+(N-7)+(N/7)=60\Rightarrow N=\boxed{28} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $(-27)^{5/3}$ | เราได้ว่า \[(-27)^{5/3} = ((-3)^3)^{5/3} = (-3)^{3(5/3)} = (-3)^5 = \boxed{-243}.\] | -243 | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $361+2(19)(6)+36=x$. | เราสังเกตว่า $361=19^2$ และ $36=6^2$ ดังนั้น $x=19^2+2(19)(6)+6^2$ ซึ่งเป็นการกระจายทวินามของ $(19+6)^2=25^2=\boxed{625}$ | (19+6)^2=25^2=\boxed{625} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คริสทอฟแก้สมการกำลังสอง $11x^2-44x-99=0$ โดยวิธีการเติมกำลังสอง ในกระบวนการนี้ เขาได้สมการที่เทียบเท่ากัน $$(x+r)^2 = s,$$โดยที่ $r$ และ $s$ เป็นค่าคงที่
จงหา $r+s$? | หารทั้งสองข้างของสมการ $11x^2-44x-99$ ด้วย $11$ เราได้ $$x^2-4x-9 = 0.$$กำลังสองที่สอดคล้องกับ $x^2-4x-9$ ยกเว้นพจน์คงที่คือ $(x-2)^2$ ซึ่งเท่ากับ $x^2-4x+4$ และดังนั้นเท่ากับ $(x^2-4x-9)+13$.
ดังนั้น โดยการบวก $13$ ลงในแต่ละข้าง คริสทอฟจึงเขียนสมการ $x^2-4x-9 = 0$ ใหม่เป็น $$(x-2)^2 = 13$$เราได้ $r=-2$, $s=13$ และดัง... | r+s=\boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
การปีนบันไดชั้นแรกใช้เวลาของจิมมี่ 20 วินาที และแต่ละชั้นที่ตามมาใช้เวลามากกว่าชั้นก่อนหน้า 5 วินาที ใช้เวลาทั้งหมดกี่วินาทีในการปีนบันได 5 ชั้นแรก? | จำนวนวินาทีที่จิมมี่ใช้ในการปีนบันได 5 ชั้นแรกคือ 20, 25, 30, 35 และ 40
ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ ดังนั้นผลรวมคือ $(20 + 40)/2 \cdot 5 = \boxed{150}$ | (20 + 40)/2 \cdot 5 = \boxed{150} | [
"ประยุกต์"
] |
ผลบวกของสองจำนวนคือ $12$ และผลต่างของสองจำนวนนั้นคือ $20$ จำนวนที่น้อยกว่าคือเท่าไร? | ให้ $x$ เป็นจำนวนที่มากขึ้น และ $y$ เป็นจำนวนที่น้อยกว่า แล้วเราจะมี $x+y=12$ และ $x-y=20$ ถ้าเราลบสมการที่สองจากสมการแรก เราจะได้ $$x+y-(x-y)=12-20\qquad\Rightarrow 2y=-8\qquad\Rightarrow y=-4.$$ จำนวนที่น้อยกว่าคือ $\boxed{-4}$. | \boxed{-4} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในระนาบデカร์ต จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด $A(a,b)$ และ $B(c,d)$ คือ $M(m,n)$ ถ้า $A$ ถูกเลื่อนขึ้นไปทางแนวตั้ง 8 หน่วย และเลื่อนไปทางขวา 2 หน่วย และ $B$ ถูกเลื่อนลงไปทางแนวตั้ง 2 หน่วย และเลื่อนไปทางซ้าย 10 หน่วย จุดกึ่งกลางใหม่ระหว่าง $A$ และ $B$ คือ $M'$. ระยะห่างระหว่าง $M$ และ $M'$ คือเท่าไร | ก่อนที่จะเคลื่อนย้าย จุดกึ่งกลาง (ในรูปของ $a$, $b$, $c$, และ $d$) คือ $M(m,n)=\left(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}\right)$. $A$ ถูกเลื่อนไปยังจุด $(a+2,b+8)$. $B$ ถูกเลื่อนไปยังจุด $(c-10,d-2)$. เราพบว่าจุดกึ่งกลางใหม่ $M'$ คือ \begin{align*}
\left(\frac{a+2+c-10}{2},\frac{b+8+d-2}{2}\right)&=\left(\frac{a+c}{2}-4,\frac{... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
วิศวกรคนหนึ่งลงทุนเงิน $\$10,\!000$ ในใบรับฝากเงินออมระยะสั้น 6 เดือน ซึ่งจ่ายอัตราดอกเบี้ยแบบธรรมดาเป็นรายปี $12\%$. หลังจาก 6 เดือน เธอลงทุนมูลค่าทั้งหมดของการลงทุนในใบรับฝากเงินออมระยะสั้นอีก 6 เดือน หลังจาก 6 เดือน มูลค่าการลงทุนอยู่ที่ $\$11,\!130$. ถ้าอัตราดอกเบี้ยรายปีของใบรับฝากเงินออมระยะสั้นใบที่สองคือ $r\%$,... | สำหรับ 6 เดือนแรก อัตราดอกเบี้ย (แบบง่าย) คือ $12/2 = 6$ เปอร์เซ็นต์ ดังนั้น การลงทุนจะเติบโตเป็น $10000 \cdot 1.06 = 10600$.
ให้อัตราดอกเบี้ยรายปีของใบรับฝากเงินออมระยะสั้นใบที่สองเป็น $r$ เปอร์เซ็นต์ จากนั้น อัตราดอกเบี้ยสำหรับ 6 เดือนคือ $r/2$ ดังนั้นการลงทุนจะเติบโตเป็น $10600 \cdot \left( 1 + \frac{r/2}{100} \rig... | r = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $(\sqrt[6]{4})^9$. | เราได้ว่า $$(\sqrt[6]{4})^9 = (4^{1/6})^9 = 4^{\frac{1}{6}\cdot 9} = 4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = \boxed{8}.$$ | 8 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl} ax+3, &\text{ if }x>2, \\
x-5 &\text{ if } -2 \le x \le 2, \\
2x-b &\text{ if } x <-2.
\end{array}
\right.\]จงหา $a+b$ เมื่อฟังก์ชันแบบทีละส่วนนี้ต่อเนื่อง (หมายความว่ากราฟของมันสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอขึ้น) | เพื่อให้ฟังก์ชันแบบทีละส่วนต่อเนื่อง กรณีต่างๆ ต้อง "มาบรรจบกัน" ที่ $2$ และ $-2$ ตัวอย่างเช่น $ax+3$ และ $x-5$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=2$ นี่หมายความว่า $a(2)+3=2-5$ ซึ่งเราแก้สมการได้ $2a=-6 \Rightarrow a=-3$ ในทำนองเดียวกัน $x-5$ และ $2x-b$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=-2$ แทนค่าลงไปจะได้ $-2-5=2(-2)-b$ ซึ่งหมายความว่า $b=3$ ดัง... | a+b=-3+3=\boxed{0} | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $d$ และ $e$ เป็นคำตอบของสมการ $3x^2+10x-25=0$ จงหาค่าของ $(d-e)^2$ | การแยกตัวประกอบสมการเดิม: \[3x^2+10x-25=(3x-5)(x+5)=0\]ดังนั้น คำตอบสองคำตอบคือ $3x-5=0$ และ $x+5=0$. \begin{align*}
3x-5&=0\\
3x&=5\\
x&=\frac{5}{3}
\end{align*}
\begin{align*}
x+5&=0\\
x&=-5
\end{align*}ดังนั้น $d$ หรือ $e$ อาจเท่ากับ $\frac{5}{3}$ หรือ $-5$ อย่างไรก็ตาม $(d-e)^2=(e-d)^2$ ดังที่แสดงด้านล่าง. \begin{... | -5=e | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่สามารถแทนได้ด้วยผลต่างของสมาชิกสองตัวที่แตกต่างกันของเซต $\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$? | เห็นได้ชัดว่าผลต่างบวกที่มากที่สุดคือ $6 - 1 = 5$ นอกจากนี้ เราสามารถใช้ 6 เพื่อให้แน่ใจว่าเราสามารถรับผลต่างจำนวนเต็มบวกทั้งหมดได้ถึง 5: $6 - 5 = 1$, $6 - 4 = 2$, $6 - 3 = 3$, $6 - 2 = 4$, $6 - 1 = 5$ ดังนั้นมี $\boxed{5}$ ผลต่างที่เป็นไปได้ | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สี่ปีที่แล้ว คุณลงทุนเงินจำนวนหนึ่งที่อัตราดอกเบี้ยร้อยละ 10 คุณมีเงิน $439.23 ในบัญชีตอนนี้ หากดอกเบี้ยทบต้นเป็นรายปี คุณลงทุนไปเท่าไรเมื่อสี่ปีก่อน? | ให้ $x$ เป็นจำนวนเงินเริ่มต้น หลังจากสี่ปี ด้วยอัตราดอกเบี้ยรายปีร้อยละ 10 การลงทุนจะเติบโตเป็น $x \cdot 1.1^4$ ดังนั้น $x \cdot 1.1^4 = 439.23$ ดังนั้น $x = 439.23/1.1^4 = \boxed{300}$ | x = 439.23/1.1^4 = \boxed{300} | [
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $54 \times 46$ ในใจ | เราสามารถเขียนนิพจน์นี้ใหม่เป็น $(50 + 4)\times (50 - 4)$ ซึ่งเป็นผลต่างของกำลังสอง: $(50 + 4)(50 - 4) = 50^2 - 4^2 = 2500 - 16 = \boxed{2484}$ | (50 + 4)(50 - 4) = 50^2 - 4^2 = 2500 - 16 = \boxed{2484} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ \[f(x) =
\begin{cases}
9x+4 &\text{ถ้า }x\text{ เป็นจำนวนเต็ม}, \\
\lfloor{x}\rfloor+5 &\text{ถ้า }x\text{ ไม่เป็นจำนวนเต็ม}.
\end{cases}
\]จงหา $f(\sqrt{29})$. | เนื่องจาก 29 ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ เราทราบว่า $\sqrt{29}$ ไม่สามารถเท่ากับจำนวนเต็มได้ ดังนั้น $f(\sqrt{29})=\lfloor\sqrt{29}\rfloor+5=5+5=\boxed{10}$. | f(\sqrt{29})=\lfloor\sqrt{29}\rfloor+5=5+5=\boxed{10} | [
"ประยุกต์"
] |
เมื่อ Joyce นับเหรียญเพนนีในธนาคารของเธอทีละ 5 เหรียญ เธอจะมีเหรียญเหลือ 1 เหรียญ เมื่อนับทีละ 3 เหรียญ เธอจะมีเหรียญเหลือ 2 เหรียญ จำนวนเหรียญเพนนีที่น้อยที่สุดที่อยู่ในธนาคารคือเท่าไร | ให้ $a$ เป็นจำนวนเหรียญเพนนีที่น้อยที่สุดที่ Joyce อาจมีในธนาคาร จากนั้น \begin{align*}
a & \equiv 1\pmod 5\\
a & \equiv 2\pmod 3
\end{align*} วิธีแก้ปัญหาบวกจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดสำหรับ $a\equiv 1\pmod 5$ คือ $1,6,11$ โชคดีที่ $\boxed{11}$ เป็นไปตามเงื่อนไข $a\equiv 2\pmod 3$ | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $a+b=24$ จงหาค่าของ $ab$ เมื่อ $2ab + 10a = 3b + 222$ | เราเริ่มต้นด้วยการเขียนสมการใหม่เป็น $2ab + 10a - 3b = 222$ จากนั้นเราสามารถใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ชื่นชอบของซิมอนโดยการลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ได้ $2ab + 10a - 3b - 15 = 207$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $$(2a - 3)(b + 5) = 207$$เราทราบว่าการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะของ $207 = 3^2 \cdot 23$ และ $a$ แล... | ab = \boxed{108} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $h(x)$ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมน $[-8,8]$ และ $g(x)=h\left(\frac x2\right)$ แล้ว โดเมนของ $g(x)$ เป็นช่วงของความกว้างเท่าใด | เนื่องจากเราได้นิยาม $g(x) = h\left(\frac{x}{2}\right)$ จึงเป็นจำนวนจริง $x$ อยู่ในโดเมนของ $g$ ก็ต่อเมื่อ $\frac{x}{2}$ อยู่ในโดเมนของ $h$ ดังนั้น โดเมนของ $g$ ประกอบด้วย $x$ ทั้งหมดที่ทำให้ $$-8\le \frac x2\le 8.$$คำตอบของอสมการนี้ถูกกำหนดโดย $-16\le x\le 16$ ดังนั้น โดเมนของ $g$ เป็นช่วงของความกว้าง $16 - (-16) = \b... | 16 - (-16) = \boxed{32} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของจำนวนสองจำนวนคือ 30 และผลต่างของจำนวนทั้งสองคือ 4 จงหาจำนวนที่ใหญ่กว่า | กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนที่ใหญ่กว่าและเล็กกว่าตามลำดับ เราได้ว่า $x+y=30$ และ $x-y=4$ ดังนั้น: $x=\frac{1}{2}((x+y)+(x-y))=\frac{1}{2}(30+4)=\boxed{17}$ | x=\frac{1}{2}((x+y)+(x-y))=\frac{1}{2}(30+4)=\boxed{17} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เลขโดดตัวใดอยู่ในตำแหน่งทศนิยมตำแหน่งที่ 100 ของการแทนค่าทศนิยมของ $\frac{6}{7}$? | การแทนค่าทศนิยมของ $\frac{6}{7}$ คือ $0.\overline{857142}$ ซึ่งซ้ำทุกๆ 6 หลัก เนื่องจาก 100 หารด้วย 6 มีเศษ 4 ดังนั้นหลักที่ 100 จะเหมือนกับหลักที่ 4 หลังจุดทศนิยม ซึ่งก็คือ $\boxed{1}$ | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x)=\frac{16}{5+3x}$, จงหาค่าของ $\left[f^{-1}(2)\right]^{-2}$ | แทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ เราได้ \[f(f^{-1}(x))=\frac{16}{5+3f^{-1}(x)}.\]เนื่องจาก $f(f^{-1}(x))=x$ สำหรับทุก $x$ ในโดเมนของ $f^{-1}$ เราได้ \[x=\frac{16}{5+3f^{-1}(x)}.\]เมื่อ $x=2$ จะได้ \[2=\frac{16}{5+3f^{-1}(2)}.\]แก้สมการหา $f^{-1}(2)$ เราพบว่า $f^{-1}(2) = 1$ ดังนั้น $[f^{-1}(2)]^{-2} = 1^{-2} = \boxed{... | [f^{-1}(2)]^{-2} = 1^{-2} = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่พจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ $x+y$, $x-y$, $xy$, และ $x/y$ ตามลำดับ พจน์ที่ห้าคืออะไร จงแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เนื่องจากผลต่างของพจน์สองพจน์แรกคือ $-2y$ พจน์ที่สามและสี่ของลำดับต้องเป็น $x-3y$ และ $x-5y$ ดังนั้น \[
x-3y = xy \quad\text{และ}\quad x-5y = \frac{x}{y},
\]ดังนั้น $xy - 5y^{2} = x.$ เมื่อรวมสมการเหล่านี้ เราจะได้ \[
(x - 3y) - 5y^{2}= x\quad\text{และ, 따라서 }\quad -3y - 5y^{2} = 0.
\]เนื่องจาก $y$ ไม่สามารถเป็น 0 ได้ เ... | x - 7y
= \boxed{\frac{123}{40}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลบวกของห้าพจน์แรกในลำดับเรขาคณิต $\frac13,\frac19,\frac1{27},\dots$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | นี่คืออนุกรมเรขาคณิตจำกัดที่มีพจน์แรก $\frac13$ และอัตราส่วนร่วม $\frac13$ มีห้าพจน์ ดังนั้นผลบวกของอนุกรมนี้คือ $\frac{\frac13\left(1-\left(\frac13\right)^5\right)}{1-\frac13} = \boxed{\frac{121}{243}}$ | $\frac{\frac13\left(1-\left(\frac13\right)^5\right)}{1-\frac13} = \boxed{\frac{121}{243}}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนด $x+y = 10$ และ $2x+y = 13$ จงหาค่าของ $x^2-y^2$ | ลบสมการแรกจากสมการที่สอง เราจะได้ $2x+y-(x+y)=13-10 \Rightarrow x=3$ แทนค่า $x$ ลงในสมการแรกเพื่อหาค่า $y$ เราจะได้ $y=10-x=7$ ดังนั้น $x^2-y^2=3^2-7^2=\boxed{-40}$ | x^2-y^2=3^2-7^2=\boxed{-40} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนเต็มระหว่าง $500$ ถึง $1000$ ที่มีเลขโดด $3$ และ $4$ อยู่ด้วยกัน | เราสังเกตว่าหลักร้อยของจำนวนเต็มระหว่าง $500$ ถึง $1000$ ไม่สามารถเป็น $3$ หรือ $4$ ได้ ดังนั้น $3$ และ $4$ ต้องเป็นหลักสิบและหลักหน่วย (อยู่ในลำดับ $34$ หรือ $43$) เนื่องจากจำนวนเต็มต้องอยู่ระหว่าง $500$ ถึง $1000$ จะมี $5$ ตัวเลือกสำหรับหลักร้อยของจำนวนเต็มนี้ ($5$, $6$, $7$, $8$ หรือ $9$) ดังนั้นจะมี $2 \times 5 = \... | 2 \times 5 = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt{9}$ ในรูปของจำนวนเต็มบวก | ปัจจัยทั้งสามมีค่าเท่ากับ 3 ดังนั้นผลคูณคือ $3\cdot3\cdot3=\boxed{27}$ | 3\cdot3\cdot3=\boxed{27} | [
"นำไปใช้"
] |
กำหนดการดำเนินการ $*$ สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์ดังนี้: $a * b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ถ้า $a+b = 9$ และ $ a \times b = 20$ จงหาค่าของ $a*b$ เขียนคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | สังเกตว่า $a * b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$ กำหนดให้ $a + b = 9$ และ $ab = 20$ ถ้าเราแทนค่าเหล่านี้ลงใน $\frac{a + b}{ab}$ เราจะเห็นว่า $a * b = \boxed{\frac{9}{20}}$ | a * b = \boxed{\frac{9}{20}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $r$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\lfloor r \rfloor + r = 12.2$ | เราสังเกตว่า $r$ ต้องเป็นจำนวนบวก เพราะว่าถ้าไม่เช่นนั้น $\lfloor r \rfloor + r$ จะเป็นจำนวนไม่เป็นบวก ต่อไป เนื่องจาก $\lfloor r \rfloor$ เป็นจำนวนเต็ม และ $\lfloor r \rfloor + r=12.2$ ดังนั้นส่วน thập phânของ $r$ ต้องเป็น $0.2$ ดังนั้น $r=n+0.2$ สำหรับจำนวนเต็ม $n$ บางจำนวน เพื่อให้ $\lfloor r\rfloor =n$ และ $\lfloor... | \boxed{r=6.2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเต็มบวก $x$ กี่จำนวนที่ทำให้ $x^2 + 6x + 9$ มีค่าอยู่ระหว่าง 20 ถึง 40 | เราเห็นว่า $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ ถ้า $x$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก เราจะเห็นว่านิพจน์นี้สามารถมีค่าเท่ากับกำลังสองสมบูรณ์ใดๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 16 ดังนั้น ปัญหาจึงถามว่ามีกำลังสองสมบูรณ์กี่จำนวนที่อยู่ระหว่าง 20 ถึง 40 มีเพียง $\boxed{2}$ จำนวน คือ 25 และ 36 | \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นิพจน์ $x^2 + 15x + 54$ สามารถเขียนได้ในรูป $(x + a)(x + b)$ และนิพจน์ $x^2 - 17x + 72$ เขียนได้ในรูป $(x - b)(x - c)$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $a + b + c$ | การแยกตัวประกอบ เราพบว่า $x^2 + 15x + 54 = (x + 9)(x + 6)$ และ $x^2 - 17x + 72 = (x - 9)(x - 8)$ เราจะเห็นว่า $b = 9$ ดังนั้น $a = 6$ และ $c = 8$ และ $a + b + c = \boxed{23}.$ | a + b + c = \boxed{23}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุด (7, -24) มีค่าเท่าไร | เราใช้สูตรระยะทาง: $$\sqrt{(7-0)^2 + ((-24)-0)^2} = \sqrt{49+ 576} = \sqrt{625} = \boxed{25}.$$- OR -
สังเกตว่าจุดกำเนิด จุด (7, -24) และจุด (7, 0) ประกอบเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 7 และ 24 ซึ่งเป็นสามเท่าพีทาโกรัส ดังนั้น ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $\boxed{25}$. | \boxed{25} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $P(n)$ และ $S(n)$ แทนผลคูณและผลบวกตามลำดับ ของหลักของจำนวนเต็ม $n$ ตัวอย่างเช่น $P(23) = 6$ และ $S(23) = 5$ สมมติว่า $N$ เป็นจำนวนสองหลัก ซึ่ง $N = P(N) + S(N)$ หลักหน่วยของ $N$ คือเท่าใด? | สมมติว่า $N=10a+b$ แล้ว $10a+b=ab+(a+b)$ จะได้ว่า $9a=ab$ ซึ่งหมายความว่า $b=9$ เนื่องจาก $a \neq 0$ ดังนั้นหลักหน่วยของ $N$ คือ $\boxed{9}$ | \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อกำลังสองของสามเท่าของจำนวนเต็มบวก ลดลงด้วยจำนวนเต็มนั้น ผลลัพธ์คือ $2010$ จำนวนเต็มนั้นคือจำนวนใด | ให้ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก ข้อความในโจทย์บ่งบอกว่า $(3x)^2 - x = 2010$ หรือจัดเรียงใหม่ว่า $9x^2 - x - 2010 = 0$ สมมติว่าสิ่งนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $9x^2 - x - 2010 = (ax+b)(cx+d) = acx^2 + (bc + ad)x + bd$ เราสามารถแยกตัวประกอบ $2010 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67$ ถ้า $a$ และ $c$ ทั้งคู่หารด้วย $3$ ลงตัว $bc + ad$ ก็หารด... | x = \boxed{15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของพจน์ที่ 25 ของลำดับเลขคณิต $2,
5, 8, \ldots$ | ผลต่างร่วมคือ $5 - 2 = 3$ ดังนั้นพจน์ที่ 25 คือ $2 + 3 \cdot 24 = \boxed{74}$ | 2 + 3 \cdot 24 = \boxed{74} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าต่ำสุดของนิพจน์ $x^2+y^2-6x+4y+18$ เมื่อ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง | จัดรูปนิพจน์ใหม่ จะได้ \[x^2-6x+y^2+4y+18\]เติมกำลังสองสมบูรณ์ใน $x$ เราต้องบวกและลบ $(6/2)^2=9$ เติมกำลังสองสมบูรณ์ใน $y$ เราต้องบวกและลบ $(4/2)^2=4$ ดังนั้น จะได้ \[(x^2-6x+9)-9+(y^2+4y+4)-4+18 \Rightarrow (x-3)^2+(y+2)^2+5\]เนื่องจากค่าต่ำสุดของ $(x-3)^2$ และ $(y+2)^2$ คือ $0$ (กำลังสองที่สมบูรณ์ไม่สามารถเป็นลบได้)... | 5 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่าจุด $(9,7)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x)$ มีจุดหนึ่งที่ต้องอยู่บนกราฟของ $2y=\frac{f(2x)}2+2$ จุดนั้นมีผลรวมของพิกัดเท่ากับเท่าใด | เนื่องจาก $(9,7)$ อยู่บนกราฟของ $y=f(x)$ เราทราบว่า \[7=f(9).\]ถ้าเราแทน $x=\frac92$ ลงใน $2y=\frac{f(2x)}2+2$ เราจะได้ \[2y=\frac{f(2\cdot9/2)}2+2=\frac72+2=\frac{11}2.\]ดังนั้น $(x,y)=\left(\frac92,\frac{11}4\right)$ อยู่บนกราฟของ \[2y=\frac{f(2x)}2+2.\]ผลรวมของพิกัดเหล่านี้คือ \[\frac92+\frac{11}4=\boxed{\frac{2... | (x,y)=\left(\frac92,\frac{11}4\right) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คุณมีเสื้อ 3 ตัว และกางเกง 4 ตัว คุณสามารถทำชุดเสื้อผ้าได้กี่ชุด โดยชุดหนึ่งประกอบด้วยเสื้อ 1 ตัว และกางเกง 1 ตัว? | สำหรับเสื้อแต่ละตัวที่คุณเลือก คุณสามารถเลือกกางเกงได้ 1 ตัว จาก 4 ตัว ดังนั้น เนื่องจากคุณสามารถเลือกเสื้อได้ 1 ตัว จาก 3 ตัว จึงมี $3 \cdot 4 = \boxed{12}$ ชุดที่เป็นไปได้ | 3 \cdot 4 = \boxed{12} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ราคาโทรทัศน์ถูกหั่นลดลง $40\%$ และถูกตัดลดอีก $40\%$ ในระหว่างการ распродаja. ราคาเดิมลดลงไปกี่เปอร์เซ็นต์? | ให้ราคาเดิมของโทรทัศน์เป็น $T$ ดังนั้นราคาปัจจุบันคือ $0.6(0.6T)=0.36T$ ดังนั้นโดยรวมแล้วราคาลดลง $1-0.36=\boxed{64\%}$ | 1-0.36=\boxed{64\%} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $19^2-17^2+15^2-13^2+11^2-9^2+7^2-5^2+3^2-1^2?$ | เราสามารถเริ่มต้นด้วยการจับคู่พจน์ในนิพจน์นี้และแยกตัวประกอบเป็นผลต่างของกำลังสอง: \begin{align*}
&\phantom{=} \,\,\, (19^2-17^2)+(15^2-13^2)+(11^2-9^2)+(7^2-5^2)+(3^2-1^2) \\
&= 2(19 + 17) + 2(15 + 13) + 2(11 + 9) + 2(7 + 5) + 2(3 + 1)\\
&= 2(19 + 17 + 15 + 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1) \\
&= 2(100) \\
&= \boxed{200}.
... | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
สมมติว่า $f$ และ $g$ เป็นพหุนาม และ $h(x)=f(g(x))+g(x)$ จงหาดีกรีของ $g(x)$ โดยที่ดีกรีของ $h(x)$ เท่ากับ 6 และดีกรีของ $f(x)$ เท่ากับ 2 | $f(g(x))$ ต้องมีดีกรีเท่ากับ 6 เพราะมันจะสร้างพจน์ที่มีเลขชี้กำลังสูงสุดของพหุนาม เพราะ $f(x)$ เป็นพหุนามดีกรี 2 เราสามารถเขียนได้ว่า $f(x)=bx^2+cx+d$ พจน์ที่มีเลขชี้กำลังสูงสุดใน $f(g(x))$ มาจากการนำ $bx^2$ หรือ $b(g(x))^2$ มาคูณกัน ให้ $g(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_0$ แล้ว พจน์ที่มีเลขช... | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $a$ เป็นพหุคูณของ $456$ จงหาตัวหารร่วมมากที่สุดของ $3a^3+a^2+4a+57$ และ $a$ | เราใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด \begin{align*}
\text{gcd}\,(3a^3+a^2+4a+57,a)
&=\text{gcd}\,(3a^3+a^2+4a+57-(3a^2+a+4)a,a)\\
&=\text{gcd}\,(57,a).
\end{align*}เนื่องจาก $57$ เป็นตัวหารของ $456$ และ $a$ เป็นพหุคูณของ $456$ ตัวหารร่วมมากที่สุดคือ $\boxed{57}$ | \boxed{57} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะถูกเรียกว่า “เท่” ถ้าจำนวนหน่วยตารางในพื้นที่ของมันเท่ากับสองเท่าของจำนวนหน่วยในเส้นรอบรูปของมัน สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เท่ต้องมีด้านที่มีความยาวเป็นจำนวนเต็มด้วย ผลรวมของพื้นที่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เท่คือเท่าไร | ให้ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น $a$ และ $b.$ จะได้ว่า $ab=4(a+b).$ ขยายและย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางด้านซ้ายมือ $ab-4a-4b=0.$ บวก 16 เข้าไปในทั้งสองข้างเพื่อให้สามารถแยกตัวประกอบได้:
\[a(b-4)-4(b-4)=(a-4)(b-4)=16. \]จากจุดนี้ คู่ $(a,b)$ ที่ให้พื้นที่ต่างกันคือ $(5,20),$ $(6,12),$ และ $(8,8),$ และผลรวมของพื้นที่ที่เป็น... | \boxed{236}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor{\pi}\rfloor$。 | เราต้องการหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับ $\pi$ เนื่องจาก $\pi$ ประมาณ $3.14$ คำตอบคือ $\boxed{3}$。 | \boxed{3} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้เส้นตรง $p$ เป็นเส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของ $A = (24, 7)$ และ $B = (3, 4).$ โดยที่ $AB$ ตัด $p$ ที่ $C = (x, y),$ จงหาค่าของ $2x - 4y$? | เส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของ $AB$ ต้องตัด $AB$ ที่จุดกึ่งกลาง ดังนั้น $C$ คือจุดกึ่งกลางของ $AB$ เราใช้สูตรของจุดกึ่งกลางเพื่อหา $C = \left(\frac{24 + 3}{2}, \frac{7 + 4}{2} \right) = \left(\frac{27}{2}, \frac{11}{2} \right).$ ดังนั้น $2x - 4y = 27 - 22 = \boxed{5}.$ | 2x - 4y = 27 - 22 = \boxed{5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในตาชั่ง, ลูกบอลสีเขียว 3 ลูกสมดุลกับลูกบอลสีน้ำเงิน 6 ลูก, ลูกบอลสีเหลือง 2 ลูกสมดุลกับลูกบอลสีน้ำเงิน 5 ลูก, และลูกบอลสีน้ำเงิน 6 ลูกสมดุลกับลูกบอลสีขาว 4 ลูก. จำนวนลูกบอลสีน้ำเงินที่ต้องการเพื่อให้สมดุลกับลูกบอลสีเขียว 4 ลูก, ลูกบอลสีเหลือง 2 ลูก และลูกบอลสีขาว 2 ลูก คือเท่าใด? | เราจะกำหนดตัวแปรให้กับน้ำหนักของลูกบอลแต่ละสีโดยใช้ตัวอักษรตัวแรกของสีนั้น. เราได้ $3G=6B\implies 1G=2B$, $2Y=5B\implies 1Y=2.5B$, และ $6B=4W\implies 1W=1.5B$. ดังนั้น $4G+2Y+2W=4(2B)+2(2.5B)+2(1.5B)=8B+5B+3B=16B$, และคำตอบของเราคือ $\boxed{16}$. | \boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x - y = 6$ และ $x + y = 12$ จงหาค่าของ $y$ | ลบสมการแรกจากสมการที่สอง: \begin{align*}
(x+y)-(x-y) &= 12-6\\
2y &= 6\\
y &= \boxed{3}.
\end{align*} | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ลูคต้องการรั้วที่ดินรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่อย่างน้อย 400 ตารางฟุต เขาควรทำด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวเท่าใดหากเขาต้องการใช้รั้วน้อยที่สุด? | พื้นที่ของที่ดินจะเป็น $s^2$ โดยที่ $s$ คือความยาวของด้าน เนื่องจากต้องมีพื้นที่อย่างน้อย 400 ตารางฟุต เราได้ $s^2\geq 400$ ดังนั้นเราได้ $s \le -20 \text{ or } s \ge 20$ เนื่องจากขนาดไม่สามารถเป็นลบได้ ค่าที่น้อยที่สุดของ $s$ จะเป็น $\boxed{20}$ | \boxed{20} | [
"ประยุกต์"
] |
จำนวนกำลังของ 3 ที่ต่อเนื่องกันถูกนำมารวมกันเพื่อสร้างลำดับนี้: $3^0,3^0+ 3^1, 3^0+ 3^1+ 3^2$, และอื่นๆ ค่าของพจน์ที่สี่ของลำดับนี้เมื่อทำให้ง่ายที่สุดคือเท่าใด? | พจน์ที่สี่ในลำดับนี้คือ $3^0+3^1+3^2+3^3 = 1+3+9+27 = \boxed{40}$ | 3^0+3^1+3^2+3^3 = 1+3+9+27 = \boxed{40} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
วันหนึ่งสามารถแบ่งออกเป็นช่วงเวลา 86,400 ช่วงของ 1 วินาที; 43,200 ช่วงของ 2 วินาที; หรือในหลายๆ วิธี ในทั้งหมด มีวิธีการแบ่งวันออกเป็น $n$ ช่วงของ $m$ วินาที ได้กี่วิธี โดยที่ $n$ และ $m$ เป็นจำนวนเต็มบวก? | วันหนึ่งมี $86,\!400$ วินาที $86,\!400=2^7\cdot3^3\cdot5^2$ ดังนั้น 86,400 มี $ (7+1)(3+1)(2+1)=96$ หารของจำนวนเต็มบวก ดังนั้นจึงมี $96/2=48$ คู่ (ที่ไม่ได้เรียงลำดับ) ของตัวประกอบ โดยที่ผลคูณของแต่ละคู่คือ $86,\!400.$ เนื่องจาก ``$n$ ช่วงของ $m$ วินาที'' แตกต่างจาก ``$m$ ช่วงของ $n$ วินาที'' เราต้องคูณ 48 ด้วย 2 เพื่อ... | \boxed{96} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\log_5 (x+4)=3$ จงหา $\log_{11} x$ | เพื่อที่จะหา $\log_{11} x$ เราต้องหาค่าของ $x$ ก่อน เราเริ่มต้นด้วยการเขียน $\log_5 (x+4)=3$ ในรูปเลขชี้กำลัง ซึ่งจะได้ $5^3=x+4$ เมื่อแก้สมการหา $x$ เราจะได้ $x=5^3-4=125-4=121$ หลังจากแทนค่า $x$ นี้ลงในนิพจน์ที่สองแล้ว เราต้องหา $\log_{11} 121$ เนื่องจากเราทราบว่า $11^2=121$ ดังนั้น $\log_{11} 121=\boxed{2}$ | \log_{11} 121=\boxed{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของนิพจน์ $[ a-(b-c) ] - [(a-b) - c ]$ เมื่อ $a = 17$, $b=21$ และ $c=5$ | เราสามารถคำนวณโดยตรงได้: \begin{align*}
[ a-(b-c) ] - [(a-b) - c ] &= [17 - (21-5)] - [(17-21)-5]\\
&= [17-16] - [-4-5]\\
&= 1 - (-9) = \boxed{10}.
\end{align*}
เราสามารถทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นก่อนได้: \begin{align*}
[ a-(b-c) ] - [(a-b) - c ] &= [a-b+c] - [a-b-c]\\
&=a-b+c -a+b+c\\
&=2c.
\end{align*} จากนั้นเราได้ $2c = ... | 2c = 2(5) = 10 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
นาตาเลียมีต้นบลูเบอร์รีที่ให้ผลบลูเบอร์รีได้ 8 ถังต่อต้น ถ้าเธอสามารถแลกเปลี่ยนบลูเบอร์รี 5 ถังเพื่อแลกกับมะเขือเทศ 2 ผล เธอต้องเด็ดบลูเบอร์รีจากต้นกี่ต้นเพื่อให้ได้มะเขือเทศ 48 ผล? | เรารู้สมการสองสมการดังนี้: \begin{align*}
1\text{ ต้น} &= 8\text{ ถัง}\\
5\text{ ถัง} &= 2\text{ มะเขือเทศ}.
\end{align*} เพื่อหาค่า 48 มะเขือเทศในรูปของต้น เราคูณด้วยเศษส่วนที่เท่ากับ 1 โดยที่ตัวเศษและตัวส่วนอยู่ในหน่วยที่ต่างกัน ยกเลิกหน่วยตามที่เราไป ดังนั้นเราตั้งสมการต่อไปนี้เพื่อหาคำตอบ: $48\text{ มะเขือเทศ} = 48... | 48\text{ มะเขือเทศ} = 48\text{ มะเขือเทศ}\times \frac{5\text{ ถัง}}{2\text{ มะเขือเทศ}}\times\frac{1 \text{ ต้น}}{8\text{ ถัง}}=\boxed{15} \text{ ต้น} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ เมื่อ $4(x - x^3) - 3(x^2 - x^3 + x^5) + 2(4x^2 - x^9)$ ถูกทำให้เรียบง่าย | สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ใน $4(x - x^3) - 3(x^2 - x^3 + x^5) + 2(4x^2 - x^9)$ คือ $-3 + 2 \cdot 4 = \boxed{5}$ | -3 + 2 \cdot 4 = \boxed{5} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาตัวประกอบเฉพาะที่มากที่สุดของ 99 | 99 = 3² × 11 ดังนั้นตัวประกอบเฉพาะที่มากที่สุดคือ 11 | 11 | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จำนวนตัวหารของ 63 ที่เป็นตัวหารของ 72 ด้วยมีกี่ตัว (โปรดจำไว้ว่าตัวหารอาจเป็นบวกหรือลบ) | ก่อนอื่น จดรายการตัวประกอบของ 63 คือ -63, -21, -9, -7, -3, -1, 1, 3, 7, 9, 21 และ 63 จากนั้น จดรายการตัวประกอบของ 72 คือ -72, -36, -24, -18, -12, -9, -8, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 และ 72 เมื่อเปรียบเทียบรายการทั้งสอง เราจะเห็นว่าตัวหารที่ 63 และ 72 공유กันคือ -9, -3, -1, 1, 3 และ 9 (สังเกตว่... | \boxed{6} | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์"
] |
มีจำนวนเต็มกี่จำนวนในลำดับ $ -33, -28, -23, \ldots, 52, 57?$ | บวก 3 เข้ากับสมาชิกแต่ละตัวของลำดับเพื่อให้ได้ $-30,-25,-20,\ldots,55,60$ แล้วหารด้วย 5 จะได้ $-6$,$-5$,$-4$,$\ldots$, $11$,$12$ บวก 7 เข้ากับแต่ละจำนวนในลำดับจะได้ $1,2,3,\ldots,18,19$ ดังนั้นมีจำนวน $\boxed{19}$ จำนวนในลำดับ | \boxed{19} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เพื่อคำนวณ $41^2$ เดวิดคิดค่า $40^2$ ในใจ และบวก 81 เดวิดลบจำนวนหนึ่งจาก $40^2$ เพื่อคำนวณ $39^2$ เขา ลบจำนวนเท่าใด? | เราเห็นว่า $39^2 = (40 - 1)^2 = 40^2 - 2\cdot 40 \cdot 1 +1 = 40^2 - 79$ ดังนั้น เดวิดลบ $\boxed{79}$ | \boxed{79} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนน 12 คะแนนคือ 82 เมื่อคะแนนที่สูงสุดและต่ำสุดถูกลบออก ค่าเฉลี่ยใหม่จะกลายเป็น 84 ถ้าคะแนนสูงสุดของ 12 คะแนนคือ 98 คะแนนต่ำสุดคือเท่าไร | ถ้าค่าเฉลี่ยของคะแนน $12$ คะแนนคือ $82$ แล้วผลรวมของคะแนน $12$ คะแนนคือ $82\times12$. หลังจากลบคะแนนสองคะแนนออก ผลรวมของคะแนนที่เหลือ 10 คะแนนคือ $84\times10=840$. ผลรวมของคะแนนสองคะแนนที่ถูกลบคือ $$82\times12-840=4(41\times6-210)=4(246-210)=4(36)=144.$$ เนื่องจากคะแนนที่ถูกลบออกคะแนนหนึ่งคือ $98$ คะแนนที่ถูกลบออกอีกคะ... | 144-98=\boxed{46} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของสมการ $x + 2y + 3 = 0$ ตั้งฉากกับกราฟของสมการ $ax + 2y + 3 = 0$ ค่าของ $a$ คือเท่าใด | เนื่องจากกราฟทั้งสองตั้งฉากกัน สัมประสิทธิ์ของเส้นตรงของกราฟทั้งสองต้องคูณกันได้ -1 กราฟเส้นแรกมีสัมประสิทธิ์ของเส้นตรง $-\frac12$ และกราฟเส้นที่สองมีสัมประสิทธิ์ของเส้นตรง $-\frac{a}{2}$ ดังนั้น $\frac{a}{4}=-1$ และ $a=\boxed{-4}$ | a=\boxed{-4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x)=\frac{x+4}{x^2+ax+b}$, และ $f(x)$ มีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x=1$ และ $x=-2$ จงหาผลรวมของ $a$ และ $b$ | เราทราบว่าฟังก์ชันตรรกยะจะมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ค่าของ $x$ ซึ่ง $f(x)$ ไม่นิยาม นอกจากนี้เรายังทราบว่า $f(x)$ ไม่นิยามเมื่อส่วนของเศษส่วนเท่ากับศูนย์ เนื่องจากมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x=1$ และ $x=-2$ ฟังก์ชันต้องไม่นิยามที่ค่าสองค่านี้ ดังนั้น $(x-1)(x+2)=x^2+ax+b=0 \Rightarrow x^2+x-2=x^2+ax+b$ ดังนั้น $a=1$ และ $b=-2$... | a+b=1+(-2)=\boxed{-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ขยายนิพจน์ต่อไปนี้: $16(2x+5)$ | เมื่อใช้สมบัติการ distributive เราจะบวกผลคูณของ 16 และ $2x$ กับผลคูณของ 16 และ 5:
\begin{align*}
16(2x+5) &= 16\cdot 2x+16\cdot 5\\
&= \boxed{32x+80}
\end{align*} | 32x+80 | [
"ความจำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลบวกของกำลังสองของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเท่ากับ 90 และผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนนั้นเท่ากับ 27 จงหาผลบวกของจำนวนเต็มสองจำนวนนั้น | กำหนดให้จำนวนเต็มสองจำนวนนั้นคือ $x$ และ $y$ เราทราบว่า $x^2 + y^2 = 90$ และ $xy = 27$ เราต้องการหา $x + y$ สังเกตว่า $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 90 + 2\cdot 27 = 144$ เมื่อนำรากที่สองของ 144 เราจะได้ $x + y = \boxed{12}$ | x + y = \boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูกบอลถูกปล่อยจากความสูง 10 ฟุต และจะเด้งกลับขึ้นมาครึ่งหนึ่งของระยะทางที่ตกลงมาเสมอ หลังจากกระเด้งกี่ครั้ง ลูกบอลจะถึงความสูงสูงสุดน้อยกว่า 1 ฟุตเป็นครั้งแรก? | เรามีลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรก 10 และอัตราส่วนร่วม $1/2$ พจน์ใดๆ ในลำดับนี้สามารถแทนด้วย $10\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k$ โดยที่ $k$ คือจำนวนครั้งที่กระเด้ง (ตัวอย่างเช่น เมื่อ $k=1$, $10\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k=5$ หรือความสูงของการกระเด้งครั้งที่ $k=1^\text{st}$ ) เราต้องหา $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $10\cdot... | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลคูณที่มากที่สุดของ 9 ซึ่งมีค่าน้อยกว่า -70 | เมื่อหาร -70 ด้วย 9 จะได้ -8 เศษ 2 หรือ $$-70 = -8 \cdot 9 + 2.$$ดังนั้น $-8 \cdot 9 = \boxed{-72}$ คือผลคูณที่มากที่สุดของ 9 ซึ่งมีค่าน้อยกว่า -70. | -72 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ $\frac{1}{x} + \frac{2}{x} \div \frac{4}{x} = 0.75$ | แปลงเครื่องหมายหารเป็นการคูณและทำให้ง่ายขึ้น เราได้ \begin{align*}
\frac{1}{x}+\frac{2}{x}\cdot\frac{x}{4}&=.75 \\
\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{2}&=.75\\
\Rightarrow \frac{1}{x}&=.25\\
\Rightarrow x&=\boxed{4}.
\end{align*} | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เริ่มต้นด้วยจำนวน 100, Shaffiq ซ้ำแล้วซ้ำเล่าหารจำนวนของเขาด้วยสองแล้วนำจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนนั้นมาใช้ เขาต้องทำเช่นนี้กี่ครั้งก่อนที่เขาจะถึงจำนวน 1? | หลังจากทำเช่นนี้สองครั้ง เขาจะได้ $25$ จากนั้นเขาหาร $25$ ด้วย $2$ เพื่อให้ได้ $12.5$ และจากนั้นนำจำนวนเต็มที่มากที่สุดมาใช้เพื่อให้ได้ $12$ ตอนนี้เขาหารด้วย $2$ สองครั้งเพื่อให้ได้ $3$ สุดท้ายเขาหารด้วย $2$ เพื่อให้ได้ $1.5$ และนำจำนวนเต็มที่มากที่สุดมาใช้เพื่อให้ได้ $1$ นี่คือทั้งหมด $\boxed{6}$ ครั้ง | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อัตราส่วนของแมวต่อสุนัขที่ร้านสัตว์เลี้ยงคือ 2:3 มีแมว 14 ตัว มีสุนัขกี่ตัวที่ร้านสัตว์เลี้ยง | มีสุนัข 3 ตัว สำหรับทุกๆ 2 ตัวของแมว และมี $14/2=7$ ชุดของ 2 ตัวของแมว ดังนั้นจึงมี $3(7)=\boxed{21\text{ สุนัข}}$ | 3(7)=\boxed{21\text{ สุนัข}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
โจแอนขี่จักรยานด้วยความเร็วเฉลี่ย 12 ไมล์ต่อชั่วโมง เป็นเวลา 3 ชั่วโมงครึ่ง ถ้าเพื่อนของเธอ ฟราน ขี่จักรยานเป็นเวลา 3 ชั่วโมง เธอจะต้องขี่จักรยานด้วยความเร็วเฉลี่ยเท่าไร ไมล์ต่อชั่วโมง เพื่อเดินทางเท่ากับโจแอน? | ในเวลา $3\frac{1}{2}$ ชั่วโมง โจแอนเดินทาง $\left(3\frac{1}{2}\text{ ชั่วโมง}\right)(12\text{ ไมล์ต่อชั่วโมง})=42$ ไมล์ ถ้าฟรานขี่จักรยานด้วยความเร็วเฉลี่ย $s$ ไมล์ต่อชั่วโมง เธอจะเดินทาง $3s$ ไมล์ ในเวลา 3 ชั่วโมง การแก้สมการ $3s=42$ เราพบว่า $s=\boxed{14}$ ไมล์ต่อชั่วโมง | s=\boxed{14} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้: $145b^2 +29b$ | ตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $145b^2$ และ $29b$ คือ $29b$ เราแยกตัวประกอบ $29b$ ออกจากพจน์ทั้งสองได้ดังนี้:\begin{align*}
145b^2 +29b &= 29b \cdot 5b+ 29b \cdot 1\\
&=\boxed{29b(5b+1)}.
\end{align*} | 29b(5b+1) | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ผู้รับเหมาสตีฟตกลงที่จะเสร็จสิ้นงานใน 30 วัน หลังจาก 6 วันเขาพบว่า 8 คนที่ได้รับมอบหมายให้ทำงานได้ทำเสร็จไปแล้ว $\frac{1}{3}$ ของงาน ถ้าทุกคนทำงานด้วยอัตราเดียวกัน จำนวนคนน้อยที่สุดที่เขาต้องเก็บไว้เพื่อให้แน่ใจว่างานจะเสร็จตามเวลาคือเท่าไร | เหลือ 24 วัน ซึ่งเป็น 4 เท่าของที่ผ่านมา ดังนั้น หากสตีฟเก็บคนงานไว้ 8 คน พวกเขาจะทำ $4\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3}$ ของงานใน 24 วันนี้ เขาต้องการให้ทำ $\frac{2}{3}$ ของงานใน 24 วันนี้ หรือครึ่งหนึ่งของ $\frac{4}{3}$ ดังนั้นเขาต้องเก็บคนงานไว้ให้ได้อย่างน้อยครึ่งหนึ่ง: $\boxed{4}$. | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ลูกบอลชนิดพิเศษถูกปล่อยจากหน้าต่างที่สูงจากพื้นดิน 16 เมตร ในแต่ละครั้งที่กระเด้งมันจะกระดอนขึ้น $\frac34$ ของระยะทางสูงสุดก่อนหน้า ลูกบอลถูกจับเมื่อมันถึงจุดสูงสุดหลังจากกระเด้งลงสู่พื้นเป็นครั้งที่สาม ถึงเมตรที่ใกล้เคียงที่สุด ลูกบอลเดินทางไปไกลเท่าใด | ลูกบอลเดินทาง $16+16\cdot\frac34+16\cdot\left(\frac34\right)^2 = 16+ 12+9 = 37$ เมตร ในสามครั้งที่ตกลงมา ลูกบอลยังเดินทาง $16\cdot\frac34+16\cdot\left(\frac34\right)^2+16\cdot\left(\frac34\right)^3 = 12+9+\frac{27}4 = 27.75$ เมตร ในสามครั้งที่กระเด้งขึ้น ดังนั้น ลูกบอลเดินทาง $37+27.75 = 64.75 \approx \boxed{65}$ เมตร ... | 37+27.75 = 64.75 \approx \boxed{65} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.