question stringlengths 16 1.6k | solution stringlengths 3 2.73k | answer stringlengths 0 168 | bloom_taxonomy listlengths 1 4 |
|---|---|---|---|
จงหาค่าของ $525^2 - 475^2$ | $525^2 - 475^2$ สามารถเขียนในรูป $(525+475)(525-475)$ ได้ ซึ่งจะเท่ากับ $1000 \cdot 50$ ซึ่งเท่ากับ $\boxed{50000}$ | \boxed{50000} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $f(x) = 3x + 3$ และ $g(x) = 4x + 3.$ จงหาค่าของ $f(g(f(2)))$ | เราเริ่มต้นโดยหาค่า $f(2) = 9.$ ดังนั้น $g(f(2)) = g(9) = 39.$ สุดท้าย $f(g(f(2))) = f(39) = \boxed{120}.$ | f(g(f(2))) = f(39) = \boxed{120}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $19^2-17^2+15^2-13^2+11^2-9^2+7^2-5^2+3^2-1^2?$ | เราสามารถเริ่มต้นด้วยการจับคู่พจน์ในนิพจน์นี้และแยกตัวประกอบเป็นผลต่างของกำลังสอง: \begin{align*}
&\phantom{=} \,\,\, (19^2-17^2)+(15^2-13^2)+(11^2-9^2)+(7^2-5^2)+(3^2-1^2) \\
&= 2(19 + 17) + 2(15 + 13) + 2(11 + 9) + 2(7 + 5) + 2(3 + 1)\\
&= 2(19 + 17 + 15 + 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1) \\
&= 2(100) \\
&= \boxed{200}.
... | 200 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ค่าต่ำสุดของ $z$ คือเท่าใด ถ้า $z=x^2+2y^2+6x-4y+22?$ | ראשית, จบกำลังสองดังนี้: $$z=x^2+2y^2+6x-4y+22=\left(x^2+6x\right)+2\left(y^2-2y\right)+22.$$เพื่อจบกำลังสอง เราต้องบวก $\left(\dfrac{6}{2}\right)^2=9$ หลังจาก $6x$ และ $\left(\dfrac{2}{2}\right)^2=1$ หลังจาก $-2y.$ ดังนั้นเราจึงมี $$z+9+2(1)=\left(x^2+6x+9\right)+2\left(y^2-2y+1\right)+22.$$ซึ่งจะได้ $$z=\left(x+3\rig... | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] | |
สมมติว่า $a$ มีค่าผกผันกับ $b$ ให้ $a_1,a_2$ เป็นค่าสองค่าที่ไม่เท่ากับศูนย์ของ $a$ ซึ่ง $\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{3}$ ให้ $b_1,b_2$ เป็นค่า $b$ ที่สัมพันธ์กัน ถ้า $b_1,b_2$ ไม่เท่ากับศูนย์ จงหาค่าของ $\frac{b_1}{b_2}$ | ถ้า $a$ มีค่าผกผันกับ $b$ ผลคูณ $ab$ จะเป็นค่าคงที่ สำหรับ $a_1$ และ $a_2$ นี้หมายความว่า: $$a_1\cdot b_1=a_2\cdot b_2$$เราสามารถหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย $b_1\cdot a_2$ เพื่อหา: \begin{align*}
\frac{a_1\cdot b_1}{b_1\cdot a_2}&=\frac{a_2\cdot b_2}{b_1\cdot a_2}\\
\Rightarrow\qquad \frac{2}{3}=\frac{a_1}{a_2}&=\fra... | b_1\cdot a_2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $a+b=24$ จงหาค่าของ $ab$ เมื่อ $2ab + 10a = 3b + 222$ | เรารีเขียนสมการเป็น $2ab + 10a - 3b = 222$ จากนั้นใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ชื่นชอบของซิม่อน โดยลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ได้ $2ab + 10a - 3b - 15 = 207$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $$(2a - 3)(b + 5) = 207$$เราทราบว่าการแยกตัวประกอบเฉพาะของ $207 = 3^2 \cdot 23$ และ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้นคำตอบ... | ab = \boxed{108} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เรามีสมการ $3 \cdot f(x) + 4 \cdot g(x) = h(x)$ โดยที่ $f(x),$ $g(x),$ และ $h(x)$ เป็นพหุนามใน $x$ ทั้งหมด ถ้าดีกรีของ $f(x)$ คือ $8$ และดีกรีของ $h(x)$ คือ $9$ แล้วดีกรีต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $g(x)$ คือเท่าใด? | ถ้าดีกรีของ $h(x)$ คือ $9$ นั่นหมายความว่ามีพจน์ $x^9$ ใน $h(x)$ พจน์นั้นมาจาก $f(x)$ ไม่ได้ เพราะดีกรีของ $f(x)$ คือ $8$ ดังนั้นพจน์นั้นต้องมาจาก $g(x)$ นั่นหมายความว่าดีกรีของ $g(x)$ ต้องมีค่าอย่างน้อย $\boxed{9}$ และจริง ๆ แล้วมันก็มีค่าได้เพียง $9$ เท่านั้น | 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สำหรับกราฟของสมการกำลังสอง $y = ax^2 + bx + c$ จุดยอดของพาราโบลาคือ $(3,7)$ และจุดตัดแกน $x$ หนึ่งจุดคือ $(-2,0)$ จุดตัดแกน $x$ อีกจุดมีพิกัด $x$ เท่าใด | เนื่องจากจุดยอดของพาราโบลาคือ $(3,7)$ พาราโบลาสมมาตรรอบเส้น $x = 3$ นอกจากนี้ จุดตัดแกน $x$ ทั้งสองของพาราโบลาสมมาตรรอบเส้นนี้ด้วย จุดตัดแกน $x$ หนึ่งจุดคือ $(-2,0)$ ซึ่งห่างจากเส้น $x = 3$ เป็น $3 - (-2) = 5$ ดังนั้น จุดตัดแกน $x$ อีกจุดอยู่ที่ $(3 + 5,0) = (8,0)$ พิกัด $x$ ของจุดตัดแกน $x$ นี้คือ $\boxed{8}$ | \boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor 3.2\rfloor$. | เนื่องจาก $3$ เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $3.2$ เราจึงได้ว่า $\lfloor 3.2\rfloor = \boxed{3}.$ | $\lfloor 3.2\rfloor = \boxed{3}.$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวกห้าหลักที่น้อยที่สุดซึ่งสอดคล้องกับ 5 (mod 15) | ใช้การหารยาว เราพบว่า 10,000 หารด้วย 15 ได้ผลหาร 666 เศษ 10 ดังนั้น 10,005 เป็นพหุคูณของ 15 และ 10,010 เป็นจำนวนเต็มห้าหลักที่น้อยที่สุดซึ่งสอดคล้องกับ 5 (mod 15) เพื่อยืนยัน โปรดทราบว่า 10,010-15 = 9,995 เป็นจำนวนเต็มถัดไปที่สอดคล้องกับ 5 (mod 15) | 10,010 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ และ \[f(z) = \left\{
\begin{array}{cl}
z^{2}&\text{ ถ้า }z\text{ ไม่ใช่จำนวนจริง}, \\
-z^2 &\text{ ถ้า }z\text{ เป็นจำนวนจริง}.
\end{array}
\right.\] จงหาค่าของ $f(f(f(f(1+i))))$. | เราคำนวณจากด้านในออกไป เนื่องจาก $1+i$ ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้น $f(1+i)=(1+i)^2=1+2i-1=2i$ ดังนั้น $f(f(f(f(1+i))))=f(f(f(2i)))$. เนื่องจาก $2i$ ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้น $f(2i)=(2i)^2=-4$ ดังนั้น $f(f(f(2i)))=f(f(-4))$. เนื่องจาก $-4$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น $f(-4)=-(-4)^2=-16$ ดังนั้น $f(f(-4))=f(-16)$. เนื่องจาก $-16$ เป... | f(-16)=\boxed{-256} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
นิพจน์ $\frac{x-3}{4x}$ มีค่าเท่ากับศูนย์สำหรับค่าของ $x$ ใด? | เศษส่วนจะมีค่าเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเศษเท่ากับศูนย์ ดังนั้น $x-3=0$ ดังนั้น $x=\boxed{3}$ (โปรดทราบว่าที่ค่า $x$ นี้ ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์) | x | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดจำนวนเต็มบวก $N$ ว่าเป็นเลขคู่ 7-10 ถ้าหลักของการแทนค่าฐาน-7 ของ $N$ สร้างเป็นจำนวนฐาน-10 ที่เป็นสองเท่าของ $N$ ตัวอย่างเช่น $51$ เป็นเลขคู่ 7-10 เพราะการแทนค่าฐาน-7 ของมันคือ $102$ จงหาเลขคู่ 7-10 ที่ใหญ่ที่สุด
| เราให้ $N_7 = \overline{a_na_{n-1}\cdots a_0}_7$ ; เราได้รับว่า
\[2(a_na_{n-1}\cdots a_0)_7 = (a_na_{n-1}\cdots a_0)_{10}\](เนื่องจากหลักในการแทนค่าฐาน 7 ของ $N$ สร้างเป็นจำนวนที่มีหลักเดียวกันในฐาน 10 เมื่อคูณด้วย 2)
ขยายแล้วเราจะได้ว่า
\[2 \cdot 7^n a_n + 2 \cdot 7^{n-1} a_{n-1} + \cdots + 2a_0 = 10^na_n + 10^{n-1}a_... | 630_7 = \boxed{315}_{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่หน่วยแต่ละหน่วยเท่ากับ 1 ฟุต สุนัขตัวหนึ่งถูกผูกติดกับเสาที่จุด $(4,3)$ ด้วยเชือกยาว 10 ฟุต จงหาความยาวระยะทางที่ไกลที่สุดที่สุนัขตัวนี้จะอยู่ห่างจากจุดกำเนิด | พื้นที่ที่สุนัขสามารถไปได้คือวงกลมที่มีรัศมี 10 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $(4,3)$ จุดที่อยู่ห่างจาก $(0,0)$ ที่สุดในวงกลมจะเป็นจุดบนเส้นรอบวงของวงกลมซึ่งอยู่บนเส้นผ่านศูนย์กลางเดียวกันกับ $(0,0)$ แต่ฝั่งตรงข้ามกับจุดศูนย์กลางของวงกลม
ระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลมโดยใช้สูตรระยะทางคือ $\sqrt{(4-0)... | \boxed{15} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนด $a \star b = a^2 + 2ab + b^2$ จงหาค่าของ $a \star b$ เมื่อ $a = 4$ และ $b = 6$? | สังเกตว่า $a \star b = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ ดังนั้น $4 \star 6 = (4 + 6)^2 = 10^2 = \boxed{100}$ | 4 \star 6 = (4 + 6)^2 = 10^2 = \boxed{100} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนยาว 10 นิ้ว และ 24 นิ้ว จงหาความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นนิ้ว | เส้นทแยงมุมตั้งฉากและแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน ดังนั้นความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถคำนวณได้จาก $\sqrt{5^2+12^2} = 13$ ดังนั้นความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ $4 \times 13 = \boxed{52}$ นิ้ว | 4 \times 13 = \boxed{52} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดฟังก์ชันดังต่อไปนี้: $$\begin{array}{ccc}
f(x) & = & 5x^2 - \frac{1}{x}+ 3\\
g(x) & = & x^2-k
\end{array}$$ถ้า $f(2) - g(2) = 2$ แล้วค่าของ $k$ เท่ากับเท่าใด? | เราแทนค่า $f(2) = 5(2)^2 - \frac{1}{2} + 3 = \frac{45}{2}$ และ $g(2) = (2)^2 - k = 4 - k$ ดังนั้น $f(2) - g(2) = 2$ จะได้ $\frac{45}{2} - 4 + k=2$ แก้สมการหา $k$ จะได้ $k = \frac{4}{2} - \frac{45}{2} + \frac{8}{2}$ ดังนั้น $\boxed{k = \frac{-33}{2}}$ | \boxed{k = \frac{-33}{2}} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
เมื่อพหุนาม $-5x^3 - 5x^2 - 7x + 1$ คูณด้วย $-x^2 - 6x + 1$ แล้วรวบรวมพจน์เหมือนกัน สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ จะเท่ากับเท่าใด | แทนที่จะขยายผลคูณทั้งหมด เราสามารถดูเฉพาะพจน์ที่เมื่อคูณกันแล้วจะได้ $x^2$ เท่านั้น เราทราบว่า: $$x^2=x^2\cdot 1=x\cdot x=1\cdot x^2$$ดังนั้น พจน์ $x^2$ ในการขยายผลจะเท่ากับผลรวมของพจน์เหล่านี้: $$(-5x^2)(1)+(-7x)(-6x)+(1)(-x^2)$$เมื่อทำให้ง่ายขึ้นจะได้: \begin{align*}
(-5x^2)(1)+(-7x)(-6x)+(1)(-x^2)&=-5x^2+42x^2-x^2\\... | \boxed{36} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บาวได้รับเงิน $\$1,\!000$ ในวันเกิดของเขา เขาตัดสินใจที่จะลงทุนเงินในบัญชีธนาคารที่ให้ผลตอบแทน $10\%$ ต่อปี คิดเป็นเงินดอลลาร์ว่าบาวจะได้รับดอกเบี้ยทั้งหมดเท่าไรหลังจาก 3 ปี? | จำนวนเงินในบัญชีจะถูกคูณด้วย 1.1 ทุกปี ดังนั้นหลังจาก 3 ปี จำนวนเงินคือ $1000(1.1)^3=11^3=1331$ ดอลลาร์ ดอกเบี้ยที่ได้รับคือ $1331-1000=\boxed{331}$ ดอลลาร์ | 1331-1000=\boxed{331} | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดว่า $9^2 = 81$ ซึ่งไม่มีเลขศูนย์ $99^2 = 9801$ ซึ่งมีเลขศูนย์ 1 ตัว และ $999^2 = 998,\!001$ ซึ่งมีเลขศูนย์ 2 ตัว ถ้ารูปแบบนี้ยังคงดำเนินต่อไป $99,\!999,\!999^2$ จะมีเลขศูนย์กี่ตัว? | รูปแบบนี้บ่งชี้ว่าสำหรับจำนวนที่มีเลข 9 จำนวน $n$ ตัว จำนวนนั้นยกกำลังสองจะมีเลขศูนย์ $n-1$ ตัว ดังนั้น $99,\!999,\!999^2$ ควรมีเลขศูนย์ $8-1=7$ ตัว เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราสังเกตว่า $99,\!999,\!999=10^8-1$ ดังนั้น $99,\!999,\!999^2=(10^8-1)^2=10^{16}-2\cdot10^8+1$ พิจารณาการแสดงออกนี้ทีละเทอม เทอมแรก $10^{16}$ สร้างจำน... | \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
มีจำนวนเชิงซ้อน 3 จำนวน คือ $a+bi$, $c+di$, และ $e+fi$ ถ้า $b=3$, $e=-a-c$ และผลบวกของจำนวนเหล่านี้คือ $2i$ จงหา $d+f$ | เราทราบว่า $a+bi+c+di+e+fi=2i$ ดังนั้น ส่วนจริงบวกกันได้ 0 และส่วนจินตภาพบวกกันได้ 2 เราจึงมี \begin{align*}
a+c+e&=0\\
b+d+f&=2\\
\end{align*} เราทราบว่า $b=3$ ดังนั้น $d+f=\boxed{-1}$ | d+f=\boxed{-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Xanthia อ่านได้ 100 หน้าต่อชั่วโมง และ Molly อ่านได้ 50 หน้าต่อชั่วโมง ถ้าทั้งสองคนอ่านหนังสือเล่มเดียวกัน และหนังสือเล่มนั้นมี 225 หน้า Xanthia จะใช้เวลานานกว่า Molly กี่นาทีในการอ่านหนังสือเล่มนี้? | การอ่านหนังสือใช้เวลา Xanthia
$\frac{225}{100}=2.25$ ชั่วโมง.
Molly ใช้เวลา
$\frac{225}{50}=4.5$ ชั่วโมง.
ความแตกต่างคือ $2.25$ ชั่วโมง หรือ $2.25(60)=\boxed{135}$ นาที. | 2.25(60)=\boxed{135} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาคู่ลำดับ $(j,k)$ ที่สอดคล้องกับสมการ $5j-42k=1$ และ $2k-j=3$. | เราสามารถคูณสมการที่สองด้วย 5 เพื่อให้สมการของเราเป็น \begin{align*}
5j -42k &=1\text{, และ} \\
-5j +10k &=15. \end{align*} การบวกสมการเหล่านี้จะได้ $-32k=16$ ดังนั้น $k=-16/32=-1/2$ เราแทนค่านี้ของ $k$ ลงในสมการใดสมการหนึ่งเพื่อแก้หา $j$: \begin{align*}
2\left(\frac{-1}{2}\right)-j&=3 \quad \Rightarrow \\ j &= -4.
\en... | \boxed{(-4,-\frac{1}{2})} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการกำลังสอง $3x^2+4x-9$ มีรากจริงสองราก จงหาผลรวมของกำลังสองของรากทั้งสองนี้ แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ | กำหนดให้ $x_1$ และ $x_2$ เป็นรากของสมการ $3x^2+4x-9$ เราต้องการหา $x_1^2+x_2^2$ สังเกตว่า $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ เราทราบว่า $x_1+x_2$ ผลบวกของราก เท่ากับ $\frac{-b}{a}$ ซึ่งสำหรับสมการนี้คือ $\frac{-4}{3}$ เช่นเดียวกัน เราทราบว่า $x_1x_2$ ผลคูณของราก เท่ากับ $\frac{c}{a}$ ซึ่งสำหรับสมการนี้คือ $\frac{-9}{3}... | x_1^2+x_2^2=\left(\frac{-4}{3}\right)^2-2\left(\frac{-9}{3}\right)=\frac{16}{9}+\frac{18}{3}=\boxed{\frac{70}{9}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าไฮดีสามารถทาสีผนังได้ใน 45 นาที เธอสามารถทาสีผนังได้กี่ส่วนใน 9 นาที | เนื่องจาก 9 นาทีเป็น 1/5 ของ 45 นาที เราสามารถหาส่วนของผนังที่ไฮดีสามารถทาสีได้ใน 9 นาทีได้โดยการหารปริมาณผนังที่ไฮดีสามารถทาสีได้ใน 45 นาทีด้วย 5 เนื่องจากไฮดีสามารถทาสีผนังทั้งหมดได้ใน 45 นาที ดังนั้นเธอสามารถทาสีได้ $\boxed{\frac{1}{5}}$ ของผนังใน 9 นาที | 9 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในปี ค.ศ. 1960 มีรายงานผู้ป่วยโรคหัด 450,000 รายในสหรัฐอเมริกา ในปี ค.ศ. 1996 มีรายงานผู้ป่วย 500 ราย ถ้าจำนวนผู้ป่วยที่รายงานตั้งแต่ปี ค.ศ. 1960 ถึงปี ค.ศ. 1996 ลดลงตามเส้นตรง จะมีผู้ป่วยโรคหัดรายงานในปี ค.ศ. 1987 กี่ราย | ในช่วง $1996-1960=36$ ปี จำนวนผู้ป่วยโรคหัดลดลง $450,\!000-500=449,\!500$ ราย ดังนั้น ในช่วง $1987-1960=27$ ปี จำนวนผู้ป่วยจะลดลง $\frac{27}{36}\cdot(449,\!500)=337,\!125$ ราย ดังนั้น จำนวนผู้ป่วยในปี ค.ศ. 1987 จะเป็น $450,\!000-337,\!125=\boxed{112,\!875}$ ราย ถ้าจำนวนผู้ป่วยลดลงตามเส้นตรง | 450,\!000-337,\!125=\boxed{112,\!875} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ขยายผลคูณ ${3(x+4)(x+5)}$ | ก่อนอื่น เราใช้สมบัติการ distributive เพื่อขยายตัวประกอบสองตัวแรก:
\begin{align*}
3(x+4)(x+5) &= (3\cdot x + 3 \cdot 4) (x+5)\\
&=(3x+12)(x+5)
\end{align*}เราใช้สมบัติการ distributive อีกครั้งโดยการบวกผลคูณของ $3x+12$ และ $x$ กับผลคูณของ $3x+12$ และ 5:
\begin{align*}
(3x+12)(x+5) &= (3x+12) \cdot x +(3x+12) \cdot 5\\... | 3x^2 + 27x + 60 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $\star$ นิยามโดย $a \star b = a^2 \div b$ มีจำนวนเต็มกี่ค่าของ $x$ ที่ทำให้ค่าของ $10 \star x$ เป็นจำนวนเต็มบวก | ถ้า $10 \star x = n$ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว $10^2 = 100 = nx$ กล่าวคือ $x$ ต้องเป็นตัวหารบวกของ 100 เนื่องจาก 100 หารได้เป็น $100 = 2^2 \cdot 5^2$ เลขชี้กำลังบอกเราว่า 100 มีตัวหารบวก $oxed{9}$ ตัว | (2+1)(2+1) = \boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ขยายนิพจน์ต่อไปนี้: $16(2x+5)$ | เมื่อใช้สมบัติการ distributive เราจะบวกผลคูณของ 16 และ $2x$ กับผลคูณของ 16 และ 5:
\begin{align*}
16(2x+5) &= 16\cdot 2x+16\cdot 5\\
&= \boxed{32x+80}
\end{align*} | 32x+80 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนด $f(x)=3x-8$ ถ้า $f^{-1}$ คือผกผันของ $f$ จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $f(x)=f^{-1}(x)$ | แทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ เราได้ \[f(f^{-1}(x))=3f^{-1}(x)-8.\]เนื่องจาก $f(f^{-1}(x))=x$ สำหรับทุก $x$ ในโดเมนของ $f^{-1}$ เราได้ \[x=3f^{-1}(x)-8.\]หรือ \[f^{-1}(x)=\frac{x+8}3.\]เราต้องการแก้สมการ $f(x) = f^{-1}(x)$ ดังนั้น \[3x-8=\frac{x+8}3.\]หรือ \[9x-24=x+8.\]แก้สมการหา $x$ เราได้ $x = \boxed{4}$. | x = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฉันมีถุงหินอ่อนที่มีแต่สีแดง, สีน้ำเงิน, และสีเขียว อัตราส่วนของหินอ่อนสีแดงต่อหินอ่อนสีน้ำเงินต่อหินอ่อนสีเขียวคือ $1:5:3$ มีหินอ่อนสีเขียว 27 เม็ดในถุง มีหินอ่อนทั้งหมดกี่เม็ดในถุง? | เนื่องจากอัตราส่วนของหินอ่อนสีแดงต่อหินอ่อนสีน้ำเงินต่อหินอ่อนสีเขียวคือ $1:5:3$ อัตราส่วนของหินอ่อนสีเขียวต่อจำนวนหินอ่อนทั้งหมดคือ $3/(1+5+3) = 3/9=1/3$ เนื่องจากหินอ่อนสีเขียวเป็นหนึ่งในสามของจำนวนทั้งหมด และมีหินอ่อนสีเขียว 27 เม็ด ดังนั้นต้องมี $3\cdot 27 = \boxed{81}$ หินอ่อนทั้งหมด | 3\cdot 27 = \boxed{81} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเชิงซ้อน 3 จำนวน $a+bi$, $c+di$, และ $e+fi$ ถ้า $b=1$, $e=-a-c$ และผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนทั้งสามเท่ากับ $-i$ จงหา $d+f$ | เราทราบว่า $a+bi+c+di+e+fi=-i$ ดังนั้น ส่วนจริงบวกกันแล้วเท่ากับ 0 และส่วนจินตภาพบวกกันแล้วเท่ากับ -1 เราจะได้ \begin{align*}
a+c+e&=0\\
b+d+f&=-1\\
\end{align*}เราทราบว่า $b=1$ ดังนั้น $d+f=\boxed{-2}$ | d+f=\boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อักษร T สร้างขึ้นจากการวางสี่เหลี่ยมผืนผ้า 2 รูป ขนาด $2\:\text{นิ้ว}\!\times\!4\:\text{นิ้ว}$ ne xt to each other, as shown. ความยาวรอบรูปของ T เท่ากับเท่าไร นิ้ว? [asy]
draw((1,0)--(3,0)--(3,4)--(4,4)--(4,6)--(0,6)--(0,4)--(1,4)--cycle);
[/asy] | [asy]
draw((1,0)--(3,0)--(3,4)--(4,4)--(4,6)--(0,6)--(0,4)--(1,4)--cycle);
label("2", (2, 0), S);
label("4", (3,2), E);
label("4", (1,2), W);
label("1", (.5, 4), S);
label("1", (3.5, 4), S);
label("2", (0, 5), W);
label("2", (4,5), E);
label("4", (2,6), N);
draw((1,4)--(3,4), linetype("8 8"));
[/asy] ความยาวรอบรูปเท่าก... | 2(12) - 2(2) = 24
- 4 = \boxed{20} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สูตรอาหารต้องการแป้ง $4 \frac{1}{2}$ ถ้วย ถ้าคุณทำครึ่งสูตร คุณต้องการแป้งกี่ถ้วย? แสดงคำตอบเป็นจำนวนผสม | เพื่อทำครึ่งสูตร คุณต้องการแป้งเพียงครึ่งหนึ่งของ $4 \frac{1}{2}$ ถ้วย เนื่องจากครึ่งหนึ่งของ $4$ คือ $2$ และครึ่งหนึ่งของ $\frac{1}{2}$ คือ $\frac{1}{4},$ เราพบว่าต้องการแป้ง $\boxed{2\frac{1}{4}}$ ถ้วย | \boxed{2\frac{1}{4}} | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
ถ้า $(x + y)^2 = 1$ และ $xy = -4$ จงหาค่าของ $x^2 + y^2$ | เราทราบว่า $(x + y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy = 1$ เราต้องการหา $x^2 + y^2$ และกำหนดให้ $xy = -4$ ดังนั้น $x^2 + y^2 + 2xy = x^2 + y^2 + 2(-4) = 1$ จะได้ว่า $x^2 + y^2 = \boxed 9$ | x^2 + y^2 = \boxed 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
บนระนาบพิกัดคาร์ทีเซียน จุด $(2,1)$ และ $(3, 4)$ เป็นจุดที่อยู่ติดกันบนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส | เราใช้สูตรระยะทางในการหาระยะห่างระหว่างจุดทั้งสอง ซึ่งเป็นความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
$\sqrt{(3-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{1+9} = \sqrt{10}$ ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ $(\sqrt{10})^2 = \boxed{10}$ | (\sqrt{10})^2 = \boxed{10} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เศษส่วนธรรมดาใดที่อยู่ตรงกลางระหว่าง $\frac{2}{3}$ และ $\frac{4}{5}$? | ค่าเฉลี่ยของสองจำนวนอยู่ตรงกลางระหว่างจำนวนนั้นๆ ดังนั้น $\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}+\frac{4}{5}\right)=\boxed{\frac{11}{15}}$ อยู่ตรงกลางระหว่าง $\frac{2}{3}$ และ $\frac{4}{5}$. | \frac{11}{15} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า 5 lunks สามารถแลกได้ 3 kunks และ 2 kunks จะซื้อได้ 4 apples, จะต้องใช้ lunks กี่ตัวในการซื้อแอปเปิ้ล 1 โหล? | 1 โหลแอปเปิ้ลมี 12 แอปเปิ้ล ซึ่งมีราคา 6 kunks (เนื่องจาก 4 แอปเปิ้ลมีราคา 2 kunks) ซึ่งมีราคา 10 lunks (เนื่องจาก 3 kunks มีราคา 5 lunks). | 5\cdot2=\boxed{10} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แจ็คเดินขึ้นเนินเขาด้วยความเร็ว $(x^2-11x-22)$ ไมล์ต่อชั่วโมง ในขณะเดียวกันจิลเดินไประยะทางทั้งหมด $(x^2-3x-54)$ ไมล์ ในเวลา $(x+6)$ ชั่วโมง ถ้าแจ็คและจิลเดินด้วยความเร็วเท่ากัน ความเร็วที่ว่านั้นคือเท่าไร เป็นไมล์ต่อชั่วโมง | ก่อนอื่นเราหาความเร็วของจิลเป็นไมล์ต่อชั่วโมงโดยการหารระยะทางทั้งหมดด้วยเวลา ซึ่งเราสามารถยกเลิกตัวประกอบร่วมได้: \begin{align*}
\text{ความเร็วของจิล}&=\frac{x^2-3x-54}{x+6}\quad\Rightarrow\\
&=\frac{(x-9)(x+6)}{x+6}\quad\Rightarrow\\
&=(x-9).
\end{align*}จากนั้นเรากำหนดความเร็วทั้งสองให้เท่ากันและแก้หา $x$: \begin{ali... | 13-9=\boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x) = x^{2}-2x+5$ และ $g(x) =x+3$ จงหาค่าของ $f(g(5)) -g(f(5))$ | เนื่องจาก $g(5) = 5+3=8$ และ $f(5) = 5^2 - 2(5) + 5 = 25-10+5 = 20$ เราได้ว่า $f(g(5)) -g(f(5)) = f(8) - g(20) = 8^2 - 2(8) + 5 - (20+3) = 64 - 16 + 5 - 23 = \boxed{30}$ | f(g(5)) -g(f(5)) = f(8) - g(20) = 8^2 - 2(8) + 5 - (20+3) = 64 - 16 + 5 - 23 = \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $88 \div 4 \div 2$ | เราทำการหารจากซ้ายไปขวาเพื่อหาคำตอบ: \[88 \div 4 \div 2 = 22 \div 2 = \boxed{11}.\] | 11 | [
"ความจำ",
"ความเข้าใจ"
] |
กำหนดสมการ $x(3x-7)=-3$ คำตอบของสมการนี้สามารถเขียนในรูป $\frac{m+\sqrt{n}}{p}$ และ $\frac{m-\sqrt{n}}{p}$ โดยที่ $m$, $n$, และ $p$ มีตัวหารร่วมมากที่สุดเท่ากับ 1 จงหา $m+n+p$ | กระจายข้างซ้ายและบวก 3 ทั้งสองข้าง จะได้ $3x^2-7x+3=0$ เนื่องจากไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ง่ายๆ เราจึงใช้สูตรกำลังสอง: \[
\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{7\pm\sqrt{7^{2}-4 \cdot 3 \cdot 3}}{2\cdot 3} = \frac{7 \pm\sqrt{13}}{6}.
\] เนื่องจาก $7$, $13$, และ $6$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน $m=7$, $n=13$, และ $p=6$ ด... | m+n+p=7+13+6=\boxed{26} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $A=4-3i$, $M=-4+i$, $S=i$, และ $P=2$ จงหา $A-M+S-P$. | บวกส่วนจริงและส่วนจินตภาพแยกกัน เราได้ $(4-(-4)+0-2)+(-3-1+1-0)i=\boxed{6-3i}$. | (4-(-4)+0-2)+(-3-1+1-0)i=\boxed{6-3i} | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด $(2,2)$ และ $(-1,-1)$ | เราใช้สูตรระยะทาง: $\sqrt{((-1) - 2)^2 + ((-1) - 2)^2} = \sqrt{9 + 9} = \boxed{3\sqrt{2}}$.
- OR -
เราสังเกตว่าจุด $(2, 2)$, $(-1, -1)$, และ $(2, -1)$ สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากด้านเท่า (สามเหลี่ยม 45-45-90) ที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 ดังนั้น hypotenuse มีความยาว $\boxed{3\sqrt{2}}$ | \boxed{3\sqrt{2}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นรากของสมการ $x^2-mx+2=0.$ สมมติว่า $a+(1/b)$ และ $b+(1/a)$ เป็นรากของสมการ $x^2-px+q=0.$ จงหาค่าของ $q?$ | เนื่องจาก $a$ และ $b$ เป็นรากของ $x^2 - mx + 2 = 0,$ เราได้ \[
x^2 - mx + 2 = (x-a)(x-b)\quad \text{และ} \quad ab = 2.
\] ในทำนองเดียวกัน พจน์คงตัวของ $x^2 - px + q$ คือผลคูณของ $a + (1/b)$ และ $b + (1/a),$ ดังนั้น \[
q=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right)= ab+1+1+\frac{1}{ab}=\boxed{\frac{9}{2}}.
\] | 9/2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ตามตารางด้านล่างนี้ มีเงินดอลลาร์เท่าไรในค่ามัธยฐานของเงินเดือน 59 รายที่จ่ายให้พนักงานของบริษัทนี้?
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\textbf{ตำแหน่ง}&\textbf{\# ตำแหน่ง}&\textbf{เงินเดือน}\\\hline
ประธาน&1&$\$130{,}000$\\\hline
รองประธาน&5&$\$90{,}000$\\\hline
ผู้อำนวยการ&10&$\$75{,}000$\\\hline
ผู้ช่วยผู้อำนวยการ&6&$... | เนื่องจากพนักงานมากกว่าครึ่งเป็นผู้เชี่ยวชาญฝ่ายบริหาร เงินเดือนมัธยฐานจะเป็นของผู้เชี่ยวชาญฝ่ายบริหาร ดังนั้น $\boxed{\$23{,}000}$. | \boxed{\$23{,}000} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
โบสถ์แห่งหนึ่งมีการสั่นระฆังทุกๆ 15 นาที โรงเรียนแห่งหนึ่งมีการสั่นระฆังทุกๆ 20 นาที และศูนย์ดูแลเด็กแห่งหนึ่งมีการสั่นระฆังทุกๆ 25 นาที ถ้าพวกเขาทั้งหมดสั่นระฆังพร้อมกันเวลาเที่ยงในวันเดียวกัน เวลาใดที่พวกเขาจะสั่นระฆังพร้อมกันอีกครั้ง? (ตอบในรูปแบบ AB:CD โดยไม่มี am หรือ pm เช่น 08:00) | เราเพียงแค่ต้องหาผลคูณร่วมน้อยที่สุดของ 15, 20 และ 25 พวกเขาสามารถแสดงเป็น $3 \times 5$, $4 \times 5$, $5 \times 5$ - เนื่องจาก 3, 4 และ 5 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ LCM ของพวกเขาจะเป็น $5 \times 3 \times 4 \times 5 = 300$ ดังนั้นหลังจาก 300 นาที พวกเขาจะสั่นระฆังพร้อมกันอีกครั้ง 300 นาที เท่ากับ 5 ชั่วโมง ดังนั้น $\boxed{... | \boxed{05\!:\!00} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณผลรวมของอนุกรมเรขาคณิต $-1 + 2 - 4 + 8 - \cdots + 512$. | พจน์แรกคือ $-1$ อัตราส่วนร่วมคือ $-2$ และมี 10 พจน์ ดังนั้นผลรวมเท่ากับ \[\frac{(-1)((-2)^{10}-1)}{-2-1} = \frac{-1023}{-3} = \boxed{341}.\] | 341 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าจำนวนเต็ม $b$ ที่มากที่สุด ที่ทำให้ $-4$ ไม่อยู่ในช่วงของ $y=x^2+bx+12$ | เราจะเห็นว่า $-4$ ไม่อยู่ในช่วงของ $f(x) = x^2 + bx + 12$ ก็ต่อเมื่อสมการ $x^2 + bx + 12 = -4$ ไม่มีรากจริง เราสามารถเขียนสมการใหม่เป็น $x^2 + bx + 16 = 0$ ดีเทอร์มิแนนต์ของสมการกำลังสองนี้คือ $b^2 - 4 \cdot 16 = b^2 - 64$ สมการกำลังสองไม่มีรากจริงก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์เป็นลบ ดังนั้น $b^2 - 64 < 0$ หรือ $b^2 < 64$ จ... | b = \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชันแบบทีละชิ้น \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl} ax+3, &\text{ if }x>2, \\
x-5 &\text{ if } -2 \le x \le 2, \\
2x-b &\text{ if } x <-2.
\end{array}
\right.\] จงหา $a+b$ ถ้าฟังก์ชันแบบทีละชิ้นนี้ต่อเนื่อง (หมายความว่ากราฟของมันสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอขึ้นจากกระดาษ) | เพื่อให้ฟังก์ชันแบบทีละชิ้นต่อเนื่อง กรณีต่างๆ ต้อง "มาบรรจบกัน" ที่ $2$ และ $-2$ ตัวอย่างเช่น $ax+3$ และ $x-5$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=2$ นี่หมายความว่า $a(2)+3=2-5$ ซึ่งเราแก้สมการได้ $2a=-6 \Rightarrow a=-3$ เช่นเดียวกัน $x-5$ และ $2x-b$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=-2$ แทนค่าลงไป เราได้ $-2-5=2(-2)-b$ ซึ่งหมายความว่า $b=3$ ดังน... | a+b=-3+3=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้าแห่งหนึ่งมีความกว้างครึ่งหนึ่งของความยาว และถูกปิดล้อมด้วยรั้ว 54 เมตรทั้งหมด พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้มีกี่ตารางเมตร | ให้ความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น $w$ ดังนั้นความยาวของมันคือ $2w$ ดังนั้นเส้นรอบรูปของมันคือ $2(w + 2w) = 6w = 54$ ดังนั้น $w = 9$ และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ $9(2\cdot 9) = \boxed{162}$ ตารางเมตร | 9(2\cdot 9) = \boxed{162} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
รูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็ก 3 รูปถูกวาดอยู่ภายใน โดยความยาวด้านถูกกำหนดไว้แล้ว พื้นที่ของบริเวณสีเทาที่มีรูปร่างเป็นตัว $\text L$ มีค่าเท่าใด? [asy]
/* AMC8 2000 #6 Problem */
draw((0,0)--(5,0)--(5,5)--(0,5)--cycle);
draw((1,5)--(1,1)--(5,1));
draw((0,4)--(4,4)--(4,0));... | บริเวณสีเทาที่มีรูปร่างเป็นตัว $\text L$ ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูปที่มีพื้นที่ $3\times 1=3$ บวกกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มุมที่มีพื้นที่ $1\times 1=1$ ดังนั้นพื้นที่ของรูป $\text L$ คือ $2\times 3+1=\boxed{7}.$
หรือ
$\text{Square }FECG-\text{Square }FHIJ=4\times 4-3\times 3 =16-9=\boxed{7}.$
หรือ
บริเวณสีเทาที... | \boxed{7}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถุงหนึ่งมีองุ่นที่จะแจกจ่ายให้กับเด็กนักเรียน 5 คนในชั้นเรียนอย่างเท่าเทียมกัน และองุ่นที่เหลือจะถูกทิ้งไป ถ้าแต่ละนักเรียนได้รับจำนวนองุ่นที่มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ จำนวนองุ่นที่มากที่สุดที่อาจถูกทิ้งไปคือเท่าใด | ถ้าเรามีองุ่นอย่างน้อย 5 ผล เราสามารถให้แต่ละคนเพิ่มได้อีก 1 ผล ดังนั้นพวกเขาจึงไม่ได้รับจำนวนองุ่นที่มากที่สุด ในทางกลับกัน ถ้าเรามีองุ่น 4 ผล เราไม่สามารถแจกออกไปได้อีกโดยไม่ต้องละทิ้งนักเรียนอย่างน้อย 1 คน ดังนั้น $\boxed{4}$ ผลองุ่นคือค่าสูงสุดที่เราทิ้ง | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เบรนดาเดินทางจาก $(-4,5)$ ไปยัง $(5,-4)$ แต่เธอต้องแวะที่จุดกำเนิดระหว่างทาง เธอต้องเดินทางไกลเท่าใด? | การเดินทางของเบรนดามี 2 ส่วน: จาก $(-4,5)$ ไปยัง $(0,0)$ และจาก $(0,0)$ ไปยัง $(5,-4)$ โดยใช้สูตรระยะทาง ระยะทางทั้งหมดคือ \begin{align*}
\sqrt{(-4-0)^2+(5-0)^2}&+\sqrt{(5-0)^2+(-4-0)^2}\\
&=\sqrt{16+25}+\sqrt{25+16}\\
&=\boxed{2\sqrt{41}}.
\end{align*} | 2√41 | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $x$ กี่จำนวนที่ทำให้ $5x^{2}+19x+16 > 20$ ไม่เป็นจริง | เราสามารถลดรูปความอสมการเป็น $5x^{2}+19x-4 > 0$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบเป็น $(5x-1)(x+4)>0$ เราเห็นว่าความอสมการนี้เป็นจริงเมื่อ $x<-4$ และ $\frac{1}{5}<x$ เพราะในกรณีแรก $5x-1$ และ $x+4$ เป็นลบทั้งคู่ และในกรณีหลังเป็นบวกทั้งคู่ นั่นหมายความว่าความอสมการไม่เป็นจริงสำหรับ $x$ ที่อยู่ระหว่าง $-4$ และ $\frac{1}{5}$ จำนวนเ... | \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สามพจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ 1, 10 และ 19 ตามลำดับ ค่าของพจน์ที่ 21 คือเท่าใด | ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้คือ $10 - 1 = 9$ ดังนั้นพจน์ที่ $21^{\text{st}}$ คือ $1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181}$ | 1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลบวกของสี่พจน์แรกของลำดับเลขคณิตเท่ากับ $10$ ถ้าพจน์ที่ห้าเท่ากับ $5$ พจน์ที่หกเท่ากับเท่าไร | ให้ $x$ แทนส่วนต่างร่วมระหว่างพจน์ที่ต่อเนื่องกันสองพจน์ เราสามารถแสดงพจน์สี่พจน์แรกในรูปของ $x$ และพจน์ที่ห้าได้: พจน์ที่สี่คือ $5-x$ พจน์ที่สามคือ $5-2x$ และอื่นๆ ดังนั้น $(5-4x) + (5-3x) + (5-2x) + (5-x) = 10$ ซึ่งเมื่อทำให้ง่ายขึ้นจะได้ $-10x = -10$ หรือ $x = 1$ ดังนั้นพจน์ที่หกคือ $5+1 = \boxed{6}$ | 5+1 = \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดเซตของจุดทั้งหมด $(x,y)$ บนระนาบพิกัด ซึ่งพิกัดหนึ่งมีค่าเป็นสองเท่าของอีกพิกัดหนึ่ง หากเราพล็อตจุดทั้งหมดเหล่านี้ กราฟจะแบ่งระนาบออกเป็นกี่บริเวณ | พิกัด $y$ เป็นสองเท่าของพิกัด $x$ เราได้เส้นตรง $y=2x$ หรือพิกัด $x$ เป็นสองเท่าของพิกัด $y$ เราได้เส้นตรง $y=\frac{1}{2}x$ กราฟของเส้นตรงทั้งสองแสดงดังนี้:
[asy]
Label f;
f.p=fontsize(3);
xaxis(-5,5,Ticks(f, 1.0));
yaxis(-10,10,Ticks(f, 1.0));
draw((-5,-10)--(5,10),Arrows);
draw((-5,-2.5)--(5,2.5),Arrows);
[/asy]... | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $(81)^{\frac12}=3^m$. Find $m$. | เนื่องจาก $81 = 3^4$ เราได้ \[3^m = (81)^{\frac12} = (3^4)^{\frac12} = 3^{4\cdot \frac12} = 3^2,\] ซึ่งหมายความว่า $m=\boxed{2}$. | m=\boxed{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลรวมของค่า $y$ ทั้งหมดที่ทำให้นิพจน์ $\frac{y+6}{y^2-5y+4}$ ไม่นิยาม คือเท่าใด | นิพจน์ที่กำหนดจะไม่นิยามเมื่อส่วนเป็นศูนย์ ดังนั้นเราต้องการหาผลรวมของศูนย์ $y$ ของสมการกำลังสอง $y^2-5y+4$ เนื่องจากสำหรับสมการกำลังสอง $ax^2+bx+c=0$ ผลรวมของคำตอบคือ $-b/a$ ผลรวมของศูนย์ของสมการกำลังสอง $y^2-5y+4$ คือ $5/1=\boxed{5}$ | 5/1=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ เป็นพหุนามเอกซ์ ซึ่ง $f(0)=4$ และ $f(1)=10$ ถ้า $f(x)$ มีดีกรี $2$ จงหา $f(x)$ แสดงคำตอบในรูป $ax^2+bx+c$ โดยที่ $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนจริง | เนื่องจาก $f(x)$ มีดีกรี $2$ เราทราบว่ามันอยู่ในรูป $ax^2+bx+c$ พหุนามเอกซ์คือพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ $1$ ดังนั้น $a=1$ เนื่องจาก $f(0)=4$ เราทราบว่า $1(0)^2+b(0)+c=4$ ดังนั้น $c=4$ เนื่องจาก $f(1)=10$ เราทราบว่า $1(1)^2+b(1)+4=10$ ดังนั้น $b+5=10$ และ $b=5$ ดังนั้น $f(x)=\boxed{x^2+5x+4}$ | f(x)=\boxed{x^2+5x+4} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แจสมินมีที่หนีบกระดาษ 2 อันในวันจันทร์ จากนั้น 6 อันในวันอังคาร และจำนวนที่หนีบกระดาษของเธอก้าวหน้าขึ้นเป็น 3 เท่าในแต่ละวันถัดไป ในวันใดของสัปดาห์ที่เธอมียอดที่หนีบกระดาษมากกว่า 100 อันเป็นครั้งแรก? | นี่คือลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรก 2 และอัตราส่วนร่วม 3 ดังนั้น พจน์ใดๆ ในลำดับนี้สามารถแทนได้ด้วย $2\cdot3^k$ สำหรับจำนวนเต็มไม่เป็นลบ $k$ โดยที่ $k+1$ แทนหมายเลขพจน์ (ตัวอย่างเช่น เมื่อ $k=0$, $2\cdot3^k = 2$ ซึ่งเป็นพจน์ที่ $k+1=1^\text{st}$ ของลำดับ) เราต้องหา $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $2\cdot3^k>100$ โดยใช้การทดลองแล... | \boxed{\text{วันศุกร์}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาขอบเขตของฟังก์ชัน $\frac{x+1}{x^2+6x+8}$. | เนื่องจากเราไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ค่าของ $x$ ที่ทำให้ส่วนของเศษส่วนมีค่าเท่ากับศูนย์จะต้องถูกตัดออกจากขอบเขต ดังนั้น เราต้องหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $x^2+6x+8=0$ ก่อน เนื่องจากสมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น $(x+4)(x+2)=0$ ค่าที่เราต้องตัดออกจากขอบเขตมีเพียง $-4$ และ $-2$ เท่านั้น ซึ่งจะได้คำตอบ $x\in\box... | x\in\boxed{(-\infty,-4)\cup(-4, -2)\cup(-2,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อจำนวนเต็มสองหลัก $MM$ ซึ่งมีหลักเหมือนกัน คูณด้วยจำนวนเต็มหลักเดียว $M$ ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนเต็มสามหลัก $NPM$ จงหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $NPM$ | $M=1$, $5$, หรือ $6$ เนื่องจากไม่มีหลักอื่นๆ ที่มีสมบัติที่หลักหน่วยของ $M\times M$ เป็น $M$ ดังนั้น ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $MM\times M=NPM$ คือ $66\times6=\boxed{396}$ | 66\times6=\boxed{396} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาตัวหารร่วมมากของ $2^{1001}-1$ และ $2^{1012}-1$ | โดยใช้อัลกอริทึมของยุคลิด \begin{align*}
&\text{gcd}\,(2^{1012}-1, 2^{1001}-1) \\
&\qquad= \text{gcd}\, (2^{1012}-1 - 2^{11}(2^{1001}-1), 2^{1001}-1) \\
&\qquad= \text{gcd}\,(2^{11}-1, 2^{1001}-1)
\end{align*} โดยใช้กฎการหารด้วย 11 เราทราบว่า 11 หาร 1001 ลงตัว เขียน $2^{1001}$ เป็น $(2^{11})^{91}$ และ 1 เป็น $1^{91}$ ... | $2^{11}-1 = \boxed{2047}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x$, $y$, และ $z$ เป็นจำนวนบวก โดยที่ $xy=24$, $xz = 48$, และ $yz=72$ จงหาค่าของ $x+y+z$ | เนื่องจาก $$x=\frac{24}{y}=\frac{48}{z}$$ เราได้ว่า $z = 2y$. ดังนั้น $72
= 2y^2$ ซึ่งหมายความว่า $y=6$, $x = 4$, และ $z = 12$. ดังนั้น $x+y+z = \boxed{22}$. | x+y+z = \boxed{22} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดพหุนาม \[f(x)=1-12x+3x^2-4x^3+5x^4\] และ \[g(x)=3-2x-6x^3+9x^4.\] จงหาค่า $c$ ที่ทำให้พหุนาม $f(x)+cg(x)$ มีดีกรี 3. | พหุนาม $f(x)+cg(x)$ จะมีดีกรี 3 ก็ต่อเมื่อ พจน์ $x^4$ ยกเลิกกัน และ พจน์ $x^3$ ไม่เป็นศูนย์ พจน์ $x^4$ ของ $f(x)+cg(x)$ คือ \[5x^4+c(9x^4)=(5+9c)x^4.\] ซึ่งเป็นศูนย์เมื่อ $c=-5/9$.
ถ้า $c=-5/9$ พจน์ $x^3$ คือ \[-4x^3+c(-6x^3)=(-4-6\cdot -5/9)x^3=-\frac{2}{3}x^3\neq0.\]ดังนั้นมีเพียงหนึ่งคำตอบ $c=\boxed{-\frac{5}{9}... | c=\boxed{-\frac{5}{9}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีผู้มา dựรับประทานอาหาร 7 คน แต่โต๊ะกลมมีที่นั่งเพียง 6 ที่ ถ้าการจัดที่นั่งสองแบบที่เป็นการหมุนของกันและกันถือว่าเหมือนกัน แล้วมีวิธีการเลือก 6 คนและจัดที่นั่งให้พวกเขาที่โต๊ะกี่วิธี? | มี 7 วิธีในการเลือกคนที่ต้องยืนอยู่ ในการจัดที่นั่ง 6 คนที่เหลือ มี 6 ที่นั่งที่คนแรกสามารถเลือกได้ 5 ที่นั่งที่เหลือสำหรับคนที่สอง และอื่นๆ ลงไปจนถึง 1 ที่นั่งสำหรับคนสุดท้าย สิ่งนี้บ่งชี้ว่ามี $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 6!$ วิธีในการจัดที่นั่ง 6 คน อย่างไรก็ตาม แต่ละการจัดที่นั่งสามารถหมุนได้ 6 วิธี ด... | 7\cdot 5! = \boxed{840} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ใช้เวลา 15 คนทำงานอย่างต่อเนื่อง 4 วันในการขุดรากฐานสำหรับอพาร์ทเมนต์หลังใหม่ ใช้เวลาเท่าไรหากมี 25 คนทำงานด้วยอัตราเดียวกัน แสดงคำตอบเป็นทศนิยมโดยปัดเศษเป็นหลักที่ tenths | จำนวนคนและเวลาในการขุดรากฐานเป็นปริมาณที่ผกผันกัน ให้ $m$ เท่ากับจำนวนคนและ $d$ เท่ากับจำนวนวันในการสร้างรากฐาน นั่นหมายความว่า $md=k$ สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า จากข้อมูลที่กำหนด $15\cdot 4=60=k$ ทราบค่าของ $k$ แล้วเราสามารถแก้หาจำนวนวันที่จะใช้ในการขุดรากฐานโดยใช้ 25 คน: \begin{align*}
25\cdot d&=60\\
\Rightarrow\... | 2.4 | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ค่าเฉลี่ยของ $x+6$, $6x+2$, และ $2x+7$ คือ $4x-7$ จงหาค่าของ $x$ | ค่าเฉลี่ยของ $x+6$, $6x+2$, และ $2x+7$ คือ $\dfrac{1}{3}((x+6)+(6x+2)+(2x+7))$. การทำให้ง่ายขึ้นของนิพจน์นี้ให้ $\dfrac{1}{3}(9x+15)=3x+5$. เราทราบว่าค่าเฉลี่ยก็คือ $4x-7$ ดังนั้น $3x+5=4x-7$. ลบ $3x-7$ จากทั้งสองข้างของสมการนี้จะได้ $x=\boxed{12}$. | x=\boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แก้สมการ \[\frac{3x^2+2x+1}{x-1}=3x+1\]หาค่า $x$ | การคูณไขว้จะได้ \[3x^2+2x+1=(x-1)(3x+1)=3x^2-2x-1.\]ดังนั้น \[4x=-2\]และ $x=\boxed{-\frac{1}2}$. | x=\boxed{-\frac{1}2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เพื่อคำนวณ $31^2$ เอมิลี่คิดค่า $30^2$ ในใจและบวก 61 เอมิลี่ลบจำนวนหนึ่งจาก $30^2$ เพื่อคำนวณ $29^2$ เอมิลี่ลบจำนวนเท่าใด? | เราเห็นว่า $29^2 = (30 - 1)^2 = 30^2 - 2\cdot 30 \cdot 1 +1 = 30^2 - 59$ ดังนั้น เอมิลี่ลบ $\boxed{59}$ | \boxed{59} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้ารถโรงเรียนออกจากโรงเรียนโดยมีนักเรียน 48 คน และครึ่งหนึ่งของนักเรียนลงจากรถที่แต่ละป้ายจอด 3 ป้ายแรก จะมีนักเรียนกี่คน 남อยู่บนรถหลังจากป้ายจอดที่สาม | ที่แต่ละป้ายจอด จำนวนนักเรียนบนรถจะถูกหารด้วย 2 ดังนั้น หลังจาก 3 ป้ายจอด จำนวนนักเรียนบนรถคือ $48(\frac12)^3 = \frac{48}8 = \boxed{6}$ | 48(\frac12)^3 = \frac{48}8 = \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จำนวนเต็มที่โชคดีคือจำนวนเต็มบวกที่หารด้วยผลบวกของหลักของมันได้ จำนวนที่น้อยที่สุดที่เป็นผลคูณบวกของ 9 ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มที่โชคดีคือจำนวนใด | จดรายการผลคูณบวกของ 9 ตัวแรก: $9, 18, 27, 36, \dots$. เราจะเห็นว่าจำนวนเหล่านี้เป็นจำนวนเต็มที่โชคดีทั้งหมด เนื่องจากหลักของมันรวมกันได้ 9 และรูปแบบของการเพิ่มหลักแรกขึ้น 1 ในขณะที่ลดหลักที่สองลง 1 จะคงคุณสมบัตินี้ไว้ อย่างไรก็ตาม รูปแบบนี้จะหยุดหลังจากหลักสุดท้ายถึง 0 จริงอยู่ 90 ยังเป็นจำนวนเต็มที่โชคดี แต่ 99 ไม่ใช่... | \boxed{99} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้: $145b^2 +29b$ | ตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $145b^2$ และ $29b$ คือ $29b$ เราแยกตัวประกอบ $29b$ ออกจากพจน์ทั้งสองได้ดังนี้:\begin{align*}
145b^2 +29b &= 29b \cdot 5b+ 29b \cdot 1\\
&=\boxed{29b(5b+1)}.
\end{align*} | 29b | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวกคี่ตัวที่ 87 | จำนวนเต็มบวกคี่ทุกจำนวนสามารถเขียนอยู่ในรูป $2x - 1$ โดยที่ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่าหรือเท่ากับ 1 เมื่อ $x = 1$ สูตรจะให้จำนวนเต็มบวกคี่ตัวแรกคือ 1 เมื่อ $x = 2$ สูตรจะให้จำนวนเต็มบวกคี่ตัวที่สองคือ 3 ดังนั้นจำนวนเต็มบวกคี่ตัวที่ 87 จะเป็น $2 \cdot 87 - 1 = \boxed{173}$ | 2 \cdot 87 - 1 = \boxed{173} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดว่า $2^x+ 2^x+ 2^x+ 2^x= 512$ จงหาค่าของ $x$ | ก่อนอื่น ให้เราทำให้อัตราส่วนทางซ้ายมือง่ายขึ้น และเราจะได้ \[2^x+2^x+2^x+2^x = 4\cdot 2^x = 2^2\cdot 2^x = 2^{x+2}.\]สังเกตว่า $512 = 2^9$ สมการของเราตอนนี้คือ $2^{x+2} = 2^9$ ดังนั้น $x+2 = 9$ ดังนั้น $x=\boxed{7}$. | x=\boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $\log_4 64$. | เนื่องจาก $4^3=64$ ดังนั้น $\log_4 64 = \boxed{3}$ | $\log_4 64 = \boxed{3}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้การดำเนินการ $\&$ นิยามโดย $a \& b = (a+b)(a-b)$ ค่าของ $6 \& 3$ เท่ากับเท่าใด | แทนค่าลงในนิยาม $6\& 3 = (6 + 3)(6-3) = 9\cdot 3 = \boxed{27}$ | 6\& 3 = (6 + 3)(6-3) = 9\cdot 3 = \boxed{27} | [
"นำไปใช้"
] |
กำหนด $\delta(x) = 3x + 8$ และ $\phi(x) = 8x + 7$ จงหาค่า $x$ เมื่อ $\delta(\phi(x)) = 7$ | เราสามารถเห็นได้ว่า $\delta(\phi(x)) = 3(8x + 7) + 8 = 24x + 29.$ ดังนั้น เราได้ว่า $24x + 29 = 7$ ซึ่งให้ $24x = -22$ ดังนั้น $x = \boxed{-\dfrac{11}{12}}.$ | x = \boxed{-\dfrac{11}{12}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เซดริกฝากเงิน $\$12,\!000$ ลงในบัญชีที่จ่ายดอกเบี้ย $5\%$ ต่อปีแบบทบต้น
แดเนียลฝากเงิน $\$12,\!000$ ลงในบัญชีที่จ่ายดอกเบี้ย $7\%$ ต่อปีแบบดอกเบี้ย साधारण
ในอีก $15$ ปี เซดริกและแดเนียลเปรียบเทียบยอดคงเหลือของตน To the nearest dollar, what is the positive difference between their balances? | เราสามารถหายอดคงเหลือของเซดริกได้โดยการหา $\$12,\!000(1 + 0.05)^{15} \approx \$24,\!947.14.$
เราสามารถหายอดคงเหลือของแดเนียลได้โดยการหา $\$12,\!000(1 + 15 \cdot 0.07) \approx \$24,\!600.$
ดังนั้น ความแตกต่างระหว่างยอดคงเหลือของพวกเขาโดยประมาณคือ $\$24,\!947.14 - \$24,\!600 \approx \boxed{\$347}.$ | 347 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $2x - y = 5$ และ $x + 2y = 5$ จงหาค่าของ $x$ | เพื่อหาค่า $x$ เราต้องการกำจัด $y$ คูณสมการแรกด้วย $2$ แล้วบวกกับสมการที่สอง: \begin{align*}
(4x-2y) + (x+2y) &= 10+5\\
5x &= 15\\
x &= \boxed{3}
\end{align*} | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
คำนวณ $54 \times 46$ ในใจ | เราสามารถเขียนใหม่ได้เป็น $(50 + 4)\times (50 - 4)$ ซึ่งเป็นผลต่างของกำลังสอง: $(50 + 4)(50 - 4) = 50^2 - 4^2 = 2500 - 16 = \boxed{2484}$ | (50 + 4)(50 - 4) = 50^2 - 4^2 = 2500 - 16 = \boxed{2484} | [
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\log_\frac{1}{3}9$. | ให้ $x = \log_\frac{1}{3}9$ ดังนั้นเราจะต้องมี $\left(\frac{1}{3}\right)^x = 9$ ดังนั้น $x=\boxed{-2}$ | x=\boxed{-2} | [
"ประยุกต์"
] |
ห้องรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีขนาด 12 ฟุต x 6 ฟุต ต้องใช้พรมกี่ตารางหลาในการปูพื้นห้อง | พื้นที่ของห้องคือ $(12\text{ ft.}) (6\text{ ft.})=72$ ตารางฟุต เนื่องจาก 1 หลาเท่ากับ 3 ฟุต 1 ตารางหลาเท่ากับ 9 ตารางฟุต ดังนั้น $72/9=\boxed{8}$ ตารางหลาจึงต้องใช้ในการปูพื้น | 72/9=\boxed{8} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้เส้นตรง $p$ เป็นเส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของ $A = (24, 7)$ และ $B = (3, 4).$ โดยที่ $AB$ ตัด $p$ ที่ $C = (x, y),$ จงหาค่าของ $2x - 4y$? | เส้นตั้งฉากและแบ่งครึ่งของ $AB$ ต้องตัด $AB$ ที่จุดกึ่งกลาง ดังนั้น $C$ จึงเป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ เราใช้สูตรจุดกึ่งกลางเพื่อหาว่า $C = \left(\frac{24 + 3}{2}, \frac{7 + 4}{2} \right) = \left(\frac{27}{2}, \frac{11}{2} \right).$ ดังนั้น $2x - 4y = 27 - 22 = \boxed{5}.$ | 2x - 4y = 27 - 22 = \boxed{5}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เสื้อตัวหนึ่งมีราคาปกติ $30$ ดอลลาร์ ลดราคา $20\%$ แมรี่มีคูปองที่ลดราคาอีก $25\%$ จากราคาลดแล้ว ส่วนลดเดียวที่ให้ราคาสุดท้ายเหมือนกับส่วนลดสองครั้งติดต่อกันคือเท่าไร | การลดราคา $20\%$ เทียบเท่ากับการคูณด้วย $1-20\%=1-0.2=\frac{4}{5}$ เช่นเดียวกัน การลดราคา $25\%$ เทียบเท่ากับการคูณด้วย $\frac{3}{4}$ การใช้ส่วนลดทั้งสองครั้ง เราคูณด้วย $\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{5}=0.6$ เนื่องจาก $1-0.6=0.4=40\%$ การคูณด้วย 0.6 ให้ส่วนลด $\boxed{40\%}$ | \boxed{40\%} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้าเส้นตรงที่มีสมการ $y = 8x + 2$ และ $y = (2c)x - 4$ ขนานกัน ค่าของ $c$ คือเท่าใด | เส้นตรงขนานกันก็ต่อเมื่อความชันเท่ากัน ความชันของเส้นตรงที่มีสมการ $y = mx + b$ คือ $m$ ดังนั้น $8 = 2c \Rightarrow c = \boxed{4}$ | 8 = 2c \Rightarrow c = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $x+y$ คือเท่าใด โดยที่ $x^{2} + y^{2} =90$ และ $xy=27$? | เรามี $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=90+2\cdot27=144$ ดังนั้น $x+y=12$ หรือ $x+y=-12$ เราต้องการค่าที่ใหญ่กว่า หรือ $x+y=\boxed{12}$ | x+y=\boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x - y = 6$ และ $x + y = 12$ จงหาค่าของ $y$ | ลบสมการแรกจากสมการที่สอง: \begin{align*}
(x+y)-(x-y) &= 12-6\\
2y &= 6\\
y &= \boxed{3}.
\end{align*} | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านยาว 14 เซนติเมตร, 8 เซนติเมตร และ 9 เซนติเมตร เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมนี้ยาวกี่เซนติเมตร | เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมถูกนิยามว่าเป็นผลรวมของความยาวของด้านของรูปหลายเหลี่ยม ดังนั้น เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 14 เซนติเมตร, 8 เซนติเมตร และ 9 เซนติเมตร คือ $\boxed{31}$ เซนติเมตร | \boxed{31} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาโดเมนของฟังก์ชัน $$w(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt[3]{x-3}~?$$ แสดงคำตอบในรูปของสัญกรณ์ช่วง | สังเกตว่า $\sqrt[3]{x-3}$ นิยามสำหรับทุกค่าของ $x$ ข้อจำกัดเดียวมาจากพจน์ $\sqrt{x-2}$ ซึ่งนิยามก็ต่อเมื่อ $x-2$ เป็นค่าไม่เป็นลบ ดังนั้นโดเมนของ $w(x)$ คือ $\boxed{[2,\infty)}$. | \boxed{[2,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในระนาบデカร์ต จุด $(2,1)$ และ $(3, 4)$ เป็นจุดที่อยู่ติดกันบนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส | เราใช้สูตรระยะทางเพื่อหาระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองจุด ซึ่งเป็นความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
$\sqrt{(3-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{1+9} = \sqrt{10}$. ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ $(\sqrt{10})^2 = \boxed{10}$. | (\sqrt{10})^2 = \boxed{10} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนเต็มลบ $x$ ที่มีค่าน้อยที่สุดซึ่งสอดคล้องกับความสมภาค $34x+6\equiv 2\pmod {20}$ | เราสามารถทำให้ความสมภาคง่ายขึ้นดังนี้ (ความสมภาคทั้งหมดที่ตามมาเทียบเท่ากัน):
\begin{align*}
34x+6&\equiv 2\pmod {20}\\
14x+6&\equiv 2\pmod {20}\\
14x&\equiv 16\pmod {20}\\
7x&\equiv 8\pmod {10}\\
21x&\equiv 8\cdot 3\pmod {10}\\
x&\equiv 24\pmod{10}\\
x&\equiv 4\pmod{10}\\
x&\equiv \boxed{-6}\pmod{10}.
\end{align*} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
คำนวณ
$3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3(1+3)))))))))$ | อย่าให้วงเล็บจำนวนมากหลอกลวงเรา เราจะเขียนนิพจน์ใหม่เป็นอนุกรมเรขาคณิต: \[3+3^2+3^3+\cdots +3^9 +3^{10}.\]ตอนนี้เราสามารถคำนวณผลรวมได้เป็น $\frac{3^{11}-3}{3-1}=\boxed{88572}.$ | \frac{3^{11}-3}{3-1}=\boxed{88572}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เมื่อผลบวกของจำนวนนับ 102 ตัวแรกหารด้วย 5250 จะเหลือเศษเท่าใด (จำนวนนับตัวแรกคือ 1) | สำหรับทุกจำนวน $n$, $1 + 2 + \dots + n = n(n + 1)/2$ ดังนั้น $1 + 2 + \dots + 102 = 102 \cdot 103/2 = 5253$ เศษที่เหลือเมื่อ 5253 หารด้วย 5250 คือ $\boxed{3}$ | \boxed{3} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $p(x) = x^4 - 3x + 2$ แล้วสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^3$ ในพหุนาม $(p(x))^3$ คือเท่าใด | จากการสังเกต เมื่อขยายพจน์ของผลคูณ $(x^4 - 3x + 2)(x^4 - 3x + 2)(x^4 - 3x + 2)$ พจน์เดียวที่ มีดีกรีเท่ากับ 3 จะเป็นพจน์ที่ได้จากการคูณพจน์เชิงเส้นทั้งสามเข้าด้วยกัน ดังนั้นสัมประสิทธิ์ที่ต้องการคือ $(-3)(-3)(-3)=\boxed{-27}$ | (-3)(-3)(-3)=\boxed{-27} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าบวกของ $n$ ที่ทำให้สมการ $9x^2+nx+1=0$ มีคำตอบ $x$ เพียงคำตอบเดียว | ถ้าสมการกำลังสองทางซ้ายมือมีราก $x$ เพียงรากเดียว แสดงว่ามันต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ หาร 9 ทั้งสองข้างจะได้ $x^2+\frac{n}{9}x+\frac{1}{9}=0$ เพื่อให้ข้างซ้ายมือเป็นกำลังสองสมบูรณ์ มันต้องแยกตัวประกอบเป็น $\left(x+\frac{1}{3}\right)^2=x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}$ หรือ $\left(x-\frac{1}{3}\right)^2=x^2-\frac{2}{3}x+\frac... | n=\frac{2}{3}\cdot9=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลคูณของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนที่ต่อเนื่องกันเท่ากับ 506 จงหาผลบวกของจำนวนทั้งสอง | กำหนดให้ $x(x+1) = 506$ ดังนั้น $x^2 + x = 506$ ซึ่งหมายความว่า $x^2 + x - 506 =0$ การแยกตัวประกอบของ 506 คือ $2\cdot 11 \cdot 23$ ดังนั้นเราจะเห็นว่าสมการกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(x + 23)(x-22)=0$ คำตอบที่เป็นบวกคือ $x=22$ ดังนั้นจำนวนทั้งสองคือ 22 และ 23 ผลบวกของจำนวนทั้งสองคือ $22+23 = \boxed{45}$ | 22+23 = \boxed{45} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงแก้สมการหาค่า $r$ : $$\frac{r+3}{r-2} = \frac{r-1}{r+1}.$$แสดงคำตอบในรูปเศษส่วน | ทำการคูณไขว้ (ซึ่งเทียบเท่ากับการคูณทั้งสองข้างด้วย $r-2$ และ $r+1$) จะได้ \[(r+3)(r+1) = (r-1)(r-2).\]展開ผลคูณทั้งสองข้างจะได้ \[r^2 + 3r + r + 3 = r^2 -r - 2r + 2.\]ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $r^2 + 4r + 3 = r^2 - 3r + 2$. นำ $r^2$ ลบออกจากทั้งสองข้าง และจัดกลุ่มพจน์จะได้ $7r = -1$ ดังนั้น $r = \boxed{-\frac{1}{7}}$. | r = \boxed{-\frac{1}{7}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.