question stringlengths 16 1.6k | solution stringlengths 3 2.73k | answer stringlengths 0 168 | bloom_taxonomy listlengths 1 4 |
|---|---|---|---|
จงหาผลคูณร่วมน้อยที่สุดของ 6, 8 และ 10 | $6=2\cdot3$, $8=2^3$, และ $10=2\cdot5$, ดังนั้น ผลคูณร่วมน้อยที่สุดของ 6, 8 และ 10 คือ $2^3\cdot3\cdot5=\boxed{120}$ | $2^3\cdot3\cdot5=\boxed{120}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $\frac{1357_{9}}{100_{4}}-2460_{8}+5678_{9}$ แล้วแสดงคำตอบในระบบเลขฐานสิบ | ก่อนอื่น เราจะแปลงเลขจำนวนต่อไปนี้เป็นเลขฐานสิบ: $$1357_{9}= 7\cdot9^{0}+5\cdot9^{1}+3\cdot9^{2}+1\cdot9^{3} = 7+45+243+729 = 1024_{10},$$$$100_{4} = 0\cdot4^{0}+0\cdot4^{1}+1\cdot4^{2} = 16_{10},$$$$2460_{8} = 0\cdot8^{0}+6\cdot8^{1}+4\cdot8^{2}+2\cdot8^{3} = 48+256+1024 = 1328_{10},\quad\text{and}$$$$5678_{9} = 8\cd... | $\frac{1024}{16}-1328+4202 = \boxed{2938}.$ | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
ผลรวมของสี่จำนวนเท่ากับครึ่งหนึ่ง จงหาค่าเฉลี่ยของสี่จำนวนนั้น แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เนื่องจากค่าเฉลี่ยของสี่จำนวนคือผลรวมของจำนวนนั้นหารด้วยสี่ ค่าเฉลี่ยคือ $\dfrac{1/2}{4} = \boxed{\frac{1}{8}}$. | \dfrac{1/2}{4} = \boxed{\frac{1}{8}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $100^3 = 10^x$ | เนื่องจาก $100 = 10^2$ เราได้ \[10^x = 100^3 = (10^2)^3 = 10^{2\cdot 3} = 10^6,\] ดังนั้น $x = \boxed{6}$. | x = \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจุดตัดแกน $y$ ของเส้นตรง $x - 2y = 5$ | จุดตัดแกน $y$ คือจุดที่เส้นตรงตัดแกน $y$ พิกัด $x$ ของจุดนี้คือ 0 แทน $x=0$ ในสมการจะได้ $-2y = 5$ ดังนั้น $y = \boxed{-\frac{5}{2}}$ | y = \boxed{-\frac{5}{2}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้: $37a^2 +111a$ | ตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $37a^2$ และ $111a$ คือ $37a$ เราแยกตัวประกอบ $37a$ ออกจากพจน์ทั้งสองได้\begin{align*}
37a^2 + 111a &= 37a \cdot a+ 37a \cdot 3\\
&=\boxed{37a(a+3)}
\end{align*} | 37a(a+3) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาตัวหารที่มากที่สุดของ 372 ซึ่งน้อยกว่า 50 และเป็นตัวประกอบของ 72 ด้วย | เราสามารถ liệt kêตัวประกอบบวกทั้งหมดของ 372 ได้ดังนี้ 1, 2, 3, 4, 6, 12, 31, 62, 93, 124, 186 และ 372 ตัวหารที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 50 คือ 31 แต่ 31 ไม่ใช่ตัวประกอบของ 72 ตัวประกอบบวกของ 72 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 และ 72 ดังนั้น ตัวหารที่มากที่สุดของ 372 ที่น้อยกว่า 50 และเป็นตัวประกอบของ 72 คือ $\boxed... | \boxed{12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $r=3^s-s$ และ $s=2^n+1$ จงหาค่าของ $r$ เมื่อ $n=2$ | เริ่มต้นด้วยการแทนค่า $n=2$ ลงในนิพจน์ของ $s$ เพื่อหาค่า $s=2^2+1=5$ จากนั้นแทนค่า $s=5$ ลงในนิพจน์ของ $r$ เพื่อหาค่า $r=3^5-5=243-5=\boxed{238}$ | r=3^5-5=243-5=\boxed{238} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
นักเรียนที่โรงเรียน Sherry Curtis สามารถลงคะแนนเสียงเลือกกิจกรรมหนึ่งรายการขึ้นไปสำหรับวันกีฬาของโรงเรียน ด้านล่างนี้แสดงให้เห็นถึงสามตัวเลือกยอดนิยม จงเรียงชื่อตัวเลือกจากมากไปน้อยตามความนิยม โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
กิจกรรม & กีฬาตะกร้อ & ปิกนิก & ซอฟต์บอล \\ \hline
& & &\\[-1.... | การเขียนใหม่ของเศษส่วนเพื่อให้มีส่วนร่วมกันเป็น 60, เราได้ \begin{align*}
\text{กีฬาตะกร้อ: }&\frac{22}{60} \\
\text{ปิกนิก: }&\frac{21}{60} \\
\text{ซอฟต์บอล: }&\frac{25}{60}
\end{align*} ดังนั้นลำดับคือ $\boxed{\text{ซอฟต์บอล, กีฬาตะกร้อ, ปิกนิก}}.$ | \boxed{\text{ซอฟต์บอล, กีฬาตะกร้อ, ปิกนิก}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ในห้องเรียนที่มีนักเรียน 30 คน ทุกคนเรียนคณิตศาสตร์และประวัติศาสตร์ นักเรียน 7 คน ได้รับเกรด A ในประวัติศาสตร์ และ 13 คน ได้รับเกรด A ในคณิตศาสตร์ รวมถึง 4 คนที่ได้รับเกรด A ในทั้งสองวิชา มีนักเรียนกี่คนที่ไม่ได้รับเกรด A ในวิชาใดวิชาหนึ่งเลย? | การบวกจำนวนนักเรียนที่ได้เกรด A ในประวัติศาสตร์และคณิตศาสตร์จะได้ $7+13 = 20$ แต่การนับนี้จะนับนักเรียน 4 คนที่ได้เกรด A ในทั้งสองวิชาซ้ำสองครั้ง ดังนั้นจึงมี $20-4=16$ นักเรียนที่แตกต่างกันที่ได้รับเกรด A ในอย่างน้อยหนึ่งวิชา นั่นหมายความว่ามี $30-16=\boxed{14}$ คนที่ไม่ได้รับเกรด A ในวิชาใดเลย | 30-16=\boxed{14} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของค่า $b$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ซึ่งทำให้สมการกำลังสอง $2x^2 + 5x + b = 0$ มีรากเป็นจำนวนตรรกยะ | ถ้าสมการกำลังสอง $2x^2 + 5x + b = 0$ มีรากที่เป็นจำนวนตรรกยะทั้งสองราก ดังนั้น เงื่อนไขจำเป็นคือ ตัวเลือกของ $b$ จะต้องทำให้ค่าพจน์ discriminant ($5^2 - 4 \cdot 2 \cdot b = 25 - 8b$) เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เนื่องจาก $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $25 - 8b \ge 0 \Longrightarrow b \in \{1,2,3\}$. เมื่อทดสอบค่า $b$ แต่ละค่า เ... | 2 + 3 = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ \[\frac{x^2+x+1}{x+1}=x+2\]สำหรับ $x$. | การคูณไขว้จะได้ \[x^2+x+1=(x+2)(x+1)=x^2+3x+2.\]ดังนั้น \[0=2x+1\]และ $x=\boxed{-\frac12}$. | x=\boxed{-\frac12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นิพจน์ $x^2 - 16x + 60$ สามารถเขียนอยู่ในรูป $(x - a)(x - b)$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและ $a > b$ จงหาค่าของ $3b - a$? | การแยกตัวประกอบ เราได้ $x^2 - 16x + 60 = (x - 10)(x - 6)$ ดังนั้น $a = 10$ และ $b = 6$ และ $3b - a = 18 - 10 = \boxed{8}.$ | 3b - a = 18 - 10 = \boxed{8}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมใดๆ มีค่าเฉลี่ยเท่าไร | ค่าเฉลี่ยของเซตของตัวเลขคือผลรวมของตัวเลขเหล่านั้นหารด้วยจำนวนทั้งหมดของตัวเลข ผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมคือ $180^\circ$ และมี 3 มุม ดังนั้นค่าเฉลี่ยของมันคือ $\frac{180^\circ}{3} = \boxed{60^\circ}$ | \frac{180^\circ}{3} = \boxed{60^\circ} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
มีจำนวนเต็มบวก $x$ และ $y$ ที่สอดคล้องกับระบบสมการ\begin{align*} \log_{10} x + 2 \log_{10} (\text{gcd}(x,y)) &= 60\\ \log_{10} y + 2 \log_{10} (\text{lcm}(x,y)) &= 570. \end{align*}ให้ $m$ เป็นจำนวนของตัวประกอบเฉพาะ (ไม่จำเป็นต้องต่างกัน) ในการแยกตัวประกอบเฉพาะของ $x$ และให้ $n$ เป็นจำนวนของตัวประกอบเฉพาะ (ไม่จำเป็นต้อ... | บวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้ $\log x+\log y+2(\log(\gcd(x,y))+\log(\text{lcm}(x,y)))=630$. จากนั้นใช้ทฤษฎี $\log a+\log b=\log ab$ จะได้สมการ $\log (xy)+2(\log(\gcd(x,y))+\log(\text{lcm}(x,y)))=630$. ใช้ทฤษฎี $\gcd(x,y) \cdot \text{lcm}(x,y)=x\cdot y$ ร่วมกับทฤษฎีที่กล่าวมาแล้ว จะได้สมการ $3\log(xy)=630$. สามารถทำให... | 40+840 = \boxed{880} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ต้องบวกเข้ากับ 412 เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็นพหุคูณของ 3 | สังเกตว่าการหาร 412 ด้วย 3 จะได้ผลหาร 137 และเศษ 1 ดังนั้นพหุคูณของ 3 ถัดไปจะต้องมากกว่า 412 เป็น $3-1=\boxed{2}$ | 3-1=\boxed{2} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
8400 และ 7560 มีตัวหารร่วมบวกกี่ตัว? | $$ \text{gcd}(7560, 8400) = 840 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 $$ตัวหารร่วมของ 7560 และ 8400 คือตัวหารของ GCD ของมัน: $$ t(840) = (3+1)(1+1)(1+1)(1+1) = \boxed{32}. $$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหาค่าของ $19^2-17^2+15^2-13^2+11^2-9^2+7^2-5^2+3^2-1^2?$ | เราสามารถเริ่มต้นด้วยการจับคู่พจน์ในนิพจน์นี้และแยกตัวประกอบเป็นผลต่างของกำลังสอง: \begin{align*}
&\phantom{=} \,\,\, (19^2-17^2)+(15^2-13^2)+(11^2-9^2)+(7^2-5^2)+(3^2-1^2) \\
&= 2(19 + 17) + 2(15 + 13) + 2(11 + 9) + 2(7 + 5) + 2(3 + 1)\\
&= 2(19 + 17 + 15 + 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1) \\
&= 2(100) \\
&= \boxed{200}.
... | 200 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับค่าจริงของ $a$ ค่าใดที่ทำให้ นิพจน์ $\frac{a+3}{a^2-4}$ ไม่นิยาม? แสดงคำตอบในลำดับที่เพิ่มขึ้นโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เมื่อส่วนเป็น 0 นิพจน์จะไม่นิยาม ดังนั้นเราจึงกำหนดส่วนเป็น 0 และแก้สมการ: $$a^2-4=(a-2)(a+2)=0.$$ ดังนั้นนิพจน์จะไม่นิยามเมื่อ $a=\boxed{-2, 2}.$ | a=\boxed{-2, 2}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $(x + 2)(3x^2 - x + 5) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ แล้วค่าของ $A + B + C + D$ เท่ากับเท่าใด | การกระจาย $(x + 2)(3x^2 - x + 5)$ จะได้ \begin{align*}
&x(3x^2)+x(-x)+x(5) +2(3x^2)+2(-x)+2(5) \\
&\qquad = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D .\end{align*}การคำนวณผลคูณทางซ้ายมือจะได้ \[3x^3-x^2+5x+6x^2-2x+10 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D .\]การทำให้ 식 ซ้ายมือเรียบง่ายจะได้ \[3x^3+5x^2+3x+10 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D,\]ดังนั้น $A=3$, $B=5$, ... | 21 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับค่า $k$ ใดที่สมการ $x^2+10x+y^2+6y-k=0$ แทนวงกลมรัศมี 6? | ทำการเติมกำลังสอง เราสามารถเขียนสมการนี้ใหม่เป็น $(x+5)^2-25+(y+3)^2-9=k$ หรือ $(x+5)^2+(y+3)^2=34+k$ เนื่องจากสมการนี้ต้องแทนวงกลมรัศมี 6 เราต้องการ $34+k=6^2=36$ ดังนั้น $k=\boxed{2}$ | k=\boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลต่างระหว่าง $\frac{6^2 + 6^2}{6}$ และ $\frac{6^2 \times 6^2}{6}$ | เราคำนวณได้ว่า $\frac{6^2 + 6^2}{6} = \frac{6^2}{6} + \frac{6^2}{6} = 6 + 6 = 12$ และ $\frac{6^2 \times 6^2}{6} = \frac{6^2}{6}\times 6^2 = 6\times 6^2 = 6\times 36 = 216$ ดังนั้น ผลต่างระหว่างสองค่านี้คือ $216 - 12 = \boxed{204}$ | 216 - 12 = \boxed{204} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด $(1,1)$ และ $(4,7)$ แสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด | ระยะห่างในแนวนอนระหว่าง $(1,1)$ และ $(4,7)$ คือ $4-1=3$ หน่วย ระยะห่างในแนวตั้งระหว่างจุดทั้งสองคือ $7-1=6$ หน่วย ดังนั้น เส้นตรงที่มีจุดปลายเป็น $(1,1)$ และ $(4,7)$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 หน่วย และ 6 หน่วย ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของส่วนของเส้นตรงนี้คือ $\sqrt{3^2+6^2}=3\... | \sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{1^2+2^2}=\boxed{3\sqrt{5}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ลำดับเรขาคณิตของจำนวนเต็มบวกถูกสร้างขึ้น โดยพจน์แรกคือ 2 และพจน์ที่ห้าคือ 162 จงหาพจน์ที่หกของลำดับนี้ | ให้ลำดับเรขาคณิตนี้มีอัตราส่วนร่วม $r$ เราทราบว่า $2\cdot r^4=162$ หรือ $r=3$ ดังนั้น พจน์ที่หกคือ $2 \cdot r^5 = 2 \cdot 3^5 = \boxed{486}$ | 2 \cdot r^5 = 2 \cdot 3^5 = \boxed{486} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
วินนี่มีลูกอมเชอร์รี่ 45 ลูก, ลูกอมวินเทอร์กรีน 116 ลูก, ลูกอมองุ่น 4 ลูก และลูกอมกุ้งค็อกเทล 229 ลูก เธอแจกจ่ายลูกอมให้กับเพื่อนสนิท 11 คน โดยไม่คำนึงถึงรสชาติ โดยแต่ละคนจะได้รับจำนวนลูกอมเท่ากัน และแจกจ่ายลูกอมให้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้ วินนี่จะเหลือลูกอมกี่ลูก? | เราต้องการทราบว่า $45+116+4+229$ หารด้วย 11 จะเหลือเศษเท่าไร เศษของแต่ละจำนวนนี้สามารถคำนวณได้ง่ายๆ ดังนั้นเราสามารถพูดได้ว่า \[45+116+4+229\equiv1+6+4+9=20\equiv9\pmod{11}.\]ดังนั้นวินนี่จะเหลือลูกอม $\boxed{9}$ ลูก หลังจากการแจกจ่าย หวังว่าเธอจะไม่ได้เก็บลูกอมกุ้งค็อกเทลไว้ | \boxed{9} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในเมืองเพอร์เฟคต์วิลล์ ถนนทุกสายกว้าง 20 ฟุต และบล็อกที่ล้อมรอบเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านละ 400 ฟุต ตามที่แสดงในรูป ซาราห์วิ่งรอบบล็อกที่ด้าน 400 ฟุตของถนน ในขณะที่แซมวิ่งที่ฝั่งตรงข้ามของถนน แซมวิ่งมากกว่าซาราห์กี่ฟุตต่อรอบ? | ที่มุมถนนแต่ละมุม แซมวิ่งมากกว่าซาราห์ 40 ฟุต ในส่วนอื่น แซมวิ่งระยะทางเท่ากับซาราห์ เนื่องจากมีมุม 4 มุม แซมวิ่งมากกว่าซาราห์ $40\cdot4=\boxed{160}$ ฟุต | 40\cdot4=\boxed{160} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนใดจะได้เมื่อเพิ่ม 50 ขึ้น $120\%$? | เนื่องจาก $120\%$ ของ 50 คือ $1.2(50) = 60$ เมื่อเราเพิ่ม 50 ขึ้น $120\%$ เราจะได้ $50 + 60 = \boxed{110}$ อีกวิธีหนึ่ง เราสามารถหาคำตอบได้โดยการคูณ 50 ด้วย $1 + 1.2 = 2.2$ ซึ่งก็จะให้เรา $\boxed{110}$ เช่นกัน | \boxed{110} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาความยาวระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดกำเนิดไปยังวงกลมที่กำหนดโดย $x^2-24x +y^2+10y +160=0$ | เราทำให้สมการสมบูรณ์กำลังสองโดยสังเกตว่าสมการของวงกลมเทียบเท่ากับ \[(x^2-24x+144) +(y^2+10y+25) -9 =0,\] ซึ่งเทียบเท่ากับ \[(x-12)^2 +(y+5)^2=3^2.\] ดังนั้นจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(12,-5)$ และโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส ระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $13$ (เราสามารถจำได้ว่าเรามีสามเหลี่ยม $5-12-13$ ) เนื่องจ... | 13-3=\boxed{10} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
คีโกะโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ และเอฟรามโยนเหรียญบาท 2 เหรียญ จงหาความน่าจะเป็นที่เอฟรามจะได้จำนวนหน้าหัวเท่ากับคีโกะ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ทำรายการผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด:
\begin{tabular}{c c c}
& & \text{จำนวนหน้าหัวเท่ากัน}\\
\text{คีโกะ} & \text{เอฟราม} & \text{หรือไม่?}\\
\text{หน้า} & \text{หน้าหน้า} & \text{ไม่}\\
\text{หน้า} & \text{หน้าหลัง} & \text{ใช่}\\
\text{หน้า} & \text{หลังหน้า} & \text{ใช่}\\
\text{หน้า} & \text{หลังหลัง} & \text{ไม่}\... | \boxed{\frac{3}{8}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $C = (3, 5)$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB,$ โดยที่ $A = (1, 8)$ และ $B = (x, y).$ จงหาค่าของ $xy$? | เห็นได้ชัดว่า $C$ ต้องเป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ หาก $C$ เป็นจุดที่ใกล้เคียงกับ $A$ และ $B$ มากที่สุด โดยใช้สูตรของจุดกึ่งกลาง เราได้ว่า: $$\left(\frac{1 + x}{2}, \frac{8 + y}{2}\right) = \left(3, 5\right).$$ดังนั้น $\frac{1 + x}{2} = 3$ ดังนั้น $x = 5.$ ในขณะเดียวกัน $\frac{8 + y}{2} = 5$ ดังนั้น $y = 2.$ คำตอบของเราคือ ... | xy = \boxed{10}. | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
เลขสี่หลัก $3AA1$ หารด้วย 9 ลงตัว ตัวเลข $A$ แทนตัวเลขตัวใด | ถ้าจำนวนใดหารด้วย 9 ลงตัว ผลรวมของเลขโดดของจำนวนนั้นจะต้องหารด้วย 9 ลงตัวด้วย ผลรวมของเลขโดดในเลขนี้คือ $3+A+A+1=2A+4$. ลองแทนค่า $A$ ต่างๆ เพื่อดูว่าค่าใดทำให้ผลรวมของเลขโดดหารด้วย 9 ลงตัว เราจะพบว่าไม่มีค่าของ $A$ ใดที่ทำให้ $2A+4$ หารด้วย 9 ลงตัว ยกเว้น $A=7$ เราจะเห็นว่า $4+2A=18$ ดังนั้น $A=\boxed{7}$ | A=\boxed{7} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่า $z$ ใดที่ทำให้ $z^2-40z+340\le 4$ จงแสดงคำตอบในรูปของช่วง | เราสามารถทำให้สมการง่ายขึ้นเป็น $z^2-40z+336\le 0$ เราสามารถหาคำตอบของสมการได้โดยใช้สูตรกำลังสอง แต่มีวิธีที่ง่ายกว่าโดยการแยกตัวประกอบ: $z^2-40z+336=(z-12)(z-28)$ ดังนั้นพาราโบลา $z^2-40z+336$ จะเปลี่ยนเครื่องหมายที่ $z=12$ และ $z=28$ คำตอบคือช่วง $(-\infty,12]\cup[28,\infty)$ หรือ $[12,28]$ เราทดสอบค่าต่างๆ เพื่อให้ไ... | \boxed{[12,28]} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
การจัดแถววงดนตรีแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือ การจัดสมาชิกวงดนตรี $m$ คน ในแต่ละแถว $r$ แถว โดยที่ $m$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็ม วงดนตรีวงหนึ่งมีสมาชิกวงดนตรีLessThan 100 คน ผู้อำนวยวงจัดให้พวกเขาอยู่ในรูปแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าและพบว่าเขาเหลือสมาชิก 2 คน หากเขาเพิ่มจำนวนสมาชิกในแต่ละแถวเป็น 1 คน และลดจำนวนแถวลง 2 แถว จะมีที่พอดีสำห... | ให้ $x$ เป็นจำนวนสมาชิกวงดนตรีในแต่ละแถวสำหรับการจัดแบบเดิม เมื่อเหลือ 2 คน จากข้อมูลที่กำหนดเราสามารถเขียนสมการได้ 2 สมการ: $$rx+2=m$$ $$(r-2)(x+1)=m$$ เมื่อตั้งสมการให้เท่ากัน เราพบว่า: $$rx+2=(r-2)(x+1)=rx-2x+r-2$$ $$2=-2x+r-2$$ $$4=r-2x$$ เราทราบว่าวงดนตรีมีสมาชิกน้อยกว่า 100 คน จากสมการแรกเราต้องมี $rx$ น้อยกว่า 9... | \boxed{98} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดการดำเนินการ $a\nabla b = 2 + b^a$ จงหาค่าของ $(1\nabla 2) \nabla 3$? | เราจะเห็นว่า
$$1\nabla 2=2+2^1=4$$
จากนั้น,
$$4\nabla 3=2+3^4=83$$
ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{83}$. | \boxed{83} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าจำนวนเจ็ดหลัก $854n526$ หารด้วย $11$ ลงตัว $n$ มีค่าเท่าใด | จำนวนหารด้วย $11$ ลงตัวก็ต่อเมื่อผลบวกของหลักที่ $1$, $3$, $5$, ... ลบด้วยผลบวกของหลักที่ $2$, $4$, $6$, ... เป็นพหุคูณของ $11$ ผลบวกของหลักที่ $1$, $3$, $5$, $6$ คือ $8+4+5+6=23$ ผลบวกของหลักที่ $2$, $4$, $6$ คือ $5+n+2=7+n$ ดังนั้น $23-(7+n)=16-n$ ต้องเป็นพหุคูณของ $11$ ซึ่งจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $n=\boxed{5}$ เท่านั้น | n=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ในเมืองแห่งหนึ่ง อัตราภาษีมีดังนี้: ภาษี $x\%$ จะถูกเก็บสำหรับรายได้ $x$ พันดอลลาร์ รายได้เท่าใด (เป็นดอลลาร์) ที่จะให้เงินเดือนสุทธิมากที่สุด (เงินเดือนสุทธิคือรายได้ลบภาษีจากรายได้นั้น) | จำนวนภาษีที่เก็บได้คือ $\frac{x}{100} \cdot 1000x = 10x^2,$ ดังนั้นเงินเดือนสุทธิคือ
\[1000x - 10x^2.\]ทำการเติมกำลังสอง เราได้
\begin{align*}
1000x - 10x^2 &= -10(x^2 - 100x) \\
&= -10(x^2 - 100x + 2500) + 25000 \\
&= -10(x - 50)^2 + 25000.
\end{align*}เงินเดือนสุทธิสูงสุดจะเกิดขึ้นเมื่อ $x = 50,$ ซึ่งสอดคล้องกับรายได... | \boxed{50000} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาจำนวนหลักคี่ในระบบเลขฐานสี่ของ $233_{10}$ | เราเริ่มต้นด้วยการแปลง $233_{10}$ เป็นเลขฐานสี่ เนื่องจาก $4^3=64$ เป็นกำลังของ 4 ที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่า 233 และ $3\cdot64=192$ เป็นผลคูณของ 64 ที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่า 233 ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของพจน์ $4^3$ จะเป็น 3 จากที่นี่เราเหลือเศษ $233-192=41$ กำลังของ 4 ที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่าจำนวนนี้คือ $4^2=16$ และผลคูณของ 1... | \boxed{2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
โจแอนขี่จักรยานด้วยความเร็วเฉลี่ย 12 ไมล์ต่อชั่วโมงเป็นเวลา 3 ชั่วโมงครึ่ง ถ้าเพื่อนของเธอ ฟราน ขี่จักรยานเป็นเวลา 3 ชั่วโมง ฟรานจะต้องขี่จักรยานด้วยความเร็วเฉลี่ยเท่าไร ไมล์ต่อชั่วโมง เพื่อเดินทางเท่ากับโจแอน | ในเวลา $3\frac{1}{2}$ ชั่วโมง โจแอนเดินทาง $\left(3\frac{1}{2}\text{ ชั่วโมง}\right)(12\text{ ไมล์ต่อชั่วโมง})=42$ ไมล์ ถ้าความเร็วเฉลี่ยของฟรานเป็น $s$ ไมล์ต่อชั่วโมง ฟรานจะเดินทาง $3s$ ไมล์ในเวลา 3 ชั่วโมง การแก้สมการ $3s=42$ เราพบว่า $s=\boxed{14}$ ไมล์ต่อชั่วโมง | s=\boxed{14} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาผลรวมของค่า $k$ ทั้งหมดที่ทำให้สมการ $2x^2-kx+8=0$ มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มต่างกันสองจำนวน | เราใช้ความจริงที่ว่าผลรวมและผลคูณของรากของสมการกำลังสอง $ax^2+bx+c=0$ กำหนดโดย $-b/a$ และ $c/a$ ตามลำดับ สมมติว่ารากทั้งสองของสมการคือ $p$ และ $q$ ดังนั้น $p+q=k/2$ อย่างไรก็ตามข้อจำกัดเดียวที่เหลือสำหรับ $p$ และ $q$ คือ $pq = 4$ และ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็มที่ต่างกัน สำหรับแต่ละความเป็นไปได้ $(p,q)$ เราจะมีความเป็นไป... | 0 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด $(1,1)$ และ $(4,7)$ แสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด | ระยะห่างในแนวนอนระหว่าง $(1,1)$ และ $(4,7)$ คือ $4-1=3$ หน่วย ระยะห่างในแนวตั้งระหว่างจุดทั้งสองคือ $7-1=6$ หน่วย ดังนั้น เส้นที่จุดปลายเป็น $(1,1)$ และ $(4,7)$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 หน่วย และ 6 หน่วย ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของส่วนของเส้นตรงนี้คือ $\sqrt{3^2+6^2}=3\sq... | \sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{1^2+2^2}=\boxed{3\sqrt{5}} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แก้สมการสำหรับ $x$: $(x-4)^3=\left(\frac18\right)^{-1}$ | ก่อนอื่น เราทราบว่า $\left(\frac18\right)^{-1} = 8$ ดังนั้นสมการคือ $(x-4)^3 = 8$ การหารากที่สามของทั้งสองข้างจะได้ $x-4 = 2$ ดังนั้น $x=\boxed{6}$ | x=\boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ให้ $p$ และ $q$ เป็นคำตอบที่แตกต่างกันสองคำตอบของสมการ $$ \frac{4x-12}{x^2+2x-15}=x+2.$$ถ้า $p > q$ ค่าของ $p - q$ เท่ากับเท่าใด | ก่อนอื่นเราลองแยกตัวประกอบด้านซ้ายมือเพื่อทำให้มันง่ายขึ้น: $$ \frac{4x-12}{x^2+2x-15}=\frac{4(x-3)}{(x-3)(x+5)}=\frac{4}{x+5}.$$ตอนนี้เราสามารถคูณทั้งสองข้างด้วย $(x+5)$ และแก้หา $x$: \begin{align*}
\frac{4}{x+5}&=x+2\quad\Rightarrow\\
4&=(x+5)(x+2)\quad\Rightarrow\\
&=x^2+7x+10\quad\Rightarrow\\
0&=x^2+7x+6\quad\Righ... | p-q=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณผลรวมของอนุกรมเรขาคณิต $-1 -3-9-27 -81-243-729$. | พจน์แรกคือ $-1$ อัตราส่วนร่วมคือ $3$ และมี 7 พจน์ ดังนั้นผลรวมเท่ากับ \[\frac{(-1)(3^7-1)}{3-1} = \frac{-2186}{2} = \boxed{-1093}.\] | -1093 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหา $ rac{5}{6}$ ของ 30 | เราทราบว่า "of" หมายถึง "times" ดังนั้น \[\frac56\cdot 30 = \frac{5\cdot 30}{6} = 5\cdot \frac{30}{6} = 5\cdot 5 = \boxed{25}.\]เราอาจคำนวณได้โดยตรง \[\frac56\cdot 30 = \frac{5\cdot 30}{6} = \frac{150}{6} = 150\div 6 = \boxed{25}.\] | 25 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวและความกว้างเป็นจำนวนเต็ม มีเส้นรอบรูป 100 หน่วย พื้นที่น้อยที่สุดของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้มีค่าเท่าไร | สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นรอบรูปคงที่จะมีพื้นที่น้อยที่สุดเมื่อมิติหนึ่งยาวที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ และอีกมิติหนึ่งสั้นที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เพื่อดูสิ่งนี้ ให้ $x$ เป็นมิติที่สั้นกว่า และ $y$ เป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า และสังเกตว่า $y=x(50-x)$ กราฟของ $y=x(50-x)$ เป็นพาราโบลาที่หงายลงมีจุดยอดที่ $(25,625)$ และดั... | 49\cdot 1=\boxed{49} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\sqrt{3^3 + 3^3 + 3^3}$ | เนื่องจาก $3^3 = 3\times 3\times 3 = 3\times 9 = 27$ ดังนั้น \[ \sqrt{3^3+3^3+3^3} = \sqrt{27+27+27}=\sqrt{81}=\boxed{9}. \] | 9 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ลูกบอลถูกปล่อยจากความสูง 1000 ฟุต และจะเด้งกลับขึ้นมาครึ่งหนึ่งของระยะทางที่ตกลงมาเสมอ หลังจากเด้งกี่ครั้ง ลูกบอลจะถึงความสูงสูงสุดน้อยกว่า 1 ฟุตเป็นครั้งแรก? | เรามีลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรก 1000 และอัตราส่วนร่วม $1/2$ พจน์ใดๆ ในลำดับนี้สามารถแทนได้ด้วย $1000\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k$ โดยที่ $k$ คือจำนวนครั้งที่เด้ง (ตัวอย่างเช่น เมื่อ $k=1$, $1000\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^k=500$ หรือความสูงของการเด้งครั้งที่ $k=1^\text{st}$ ) เราต้องหา $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $10... | \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $\sqrt{\frac{2}{x} + 2} = \frac{3}{2}$ จงหาค่าของ $x$ | ยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการจะได้ $\frac 2x + 2 = \frac 94$ ลบ $2$ จากทั้งสองข้างจะได้ $\frac 2x = \frac 14$ ดังนั้น $x = \boxed{8}$ | x = \boxed{8} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2 - 2x + y^2 - 4y - 28 = 0$ | ทำการเติมกำลังสอง เราจะได้ $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 33$ ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $\boxed{(1, 2)}$ | \boxed{(1, 2)} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
วิศวกรคนหนึ่งลงทุนเงิน $\$10,\!000$ ในใบรับรองการออมระยะเวลาหกเดือนที่ให้ผลตอบแทนอัตราดอกเบี้ยแบบง่ายต่อปีที่ $12\%$. หลังจากหกเดือน เธอลงทุนมูลค่ารวมของการลงทุนในใบรับรองอีกหกเดือนหนึ่ง หลังจากหกเดือนมูลค่าของการลงทุนอยู่ที่ $\$11,\!130$. ถ้าอัตราดอกเบี้ยต่อปีของใบรับรองใบที่สองคือ $r\%$, แล้ว $r$ มีค่าเท่าใด? | สำหรับหกเดือนแรก อัตราดอกเบี้ย (แบบง่าย) คือ $12/2 = 6$ เปอร์เซ็นต์ ดังนั้นการลงทุนจะเติบโตเป็น $10000 \cdot 1.06 = 10600$.
ให้อัตราดอกเบี้ยต่อปีของใบรับรองใบที่สองเป็น $r$ เปอร์เซ็นต์ จากนั้นอัตราดอกเบี้ยสำหรับหกเดือนคือ $r/2$ ดังนั้นการลงทุนจะเติบโตเป็น $10600 \cdot \left( 1 + \frac{r/2}{100} \right)$. ดังนั้น, \[1... | r = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพจน์ที่แปดของลำดับเลขคณิต $\frac 23, 1, \frac 43, \dots$? แสดงคำตอบในรูปที่ง่ายที่สุด | ผลต่างร่วมคือ $1 - 2/3 = 1/3$ ดังนั้นพจน์ที่แปดคือ $\frac{2}{3}+7\cdot\frac{1}{3}=\boxed{3}$ | \frac{2}{3}+7\cdot\frac{1}{3}=\boxed{3} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สำหรับค่า $c$ ใด วงกลมที่มีสมการ $x^2 + 6x + y^2 - 4y + c = 0$ จะมีรัศมียาว 4 หน่วย? | การเติมกำลังสองให้เราได้ $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 13 - c$. เนื่องจากเราต้องการให้รัศมียาว 4 หน่วย เราต้องมี $13 - c = 4^2$ ดังนั้น $c = \boxed{-3}$. | c = \boxed{-3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในข้อสอบพีชคณิต มี $5x$ ข้อ Lucky Lacy ทำพลาดไป $x$ ข้อ เธอทำถูกกี่เปอร์เซ็นต์ | ถ้า Lucky Lacy ทำพลาด $x$ ข้อ จาก $5x$ ข้อ เธอต้องทำถูก $5x-x=4x$ ข้อ ดังนั้น เปอร์เซ็นต์ของข้อที่ Lacy ทำถูกคือ $\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}=\frac{80}{100}=\boxed{80 \%}$. | \frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}=\frac{80}{100}=\boxed{80 \%} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหา khoảng cáchระหว่างจุด $(-5,-2)$ และ $(7,3)$ | เราใช้สูตรระยะทางเพื่อหาว่าระยะทางคือ \[\sqrt{(-5 -7)^2 + (-2-3)^2} = \!\sqrt{144 + 25} = \boxed{13}.\] | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $\log_{12}3x=2$ | เขียนสมการในรูปเลขชี้กำลังจะได้ $12^2=3x$ เนื่องจาก $3x=144$ ดังนั้น $x=\boxed{48}$ | x=\boxed{48} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ประเมินค่าของ $\lfloor\sqrt{17}\rfloor^2$. | เนื่องจาก $\sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{25}$ หรือ $4<\sqrt{17}<5$ จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $\sqrt{17}$ คือ $4$ ดังนั้น $4^2=\boxed{16}$ | 4^2=\boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กราฟของพาราโบลาสีแดงที่แสดงอยู่คือกราฟของสมการ $x = ay^2 + by + c$ จงหาค่าของ $c$ (เส้นตารางห่างกันหนึ่งหน่วย) | จุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่ $(-4,2)$ ดังนั้นสมการของพาราโบลาอยู่ในรูป \[x = a(y - 2)^2 - 4.\]พาราโบลาผ่านจุด $(-2,4)$ แทนค่าเหล่านี้ลงในสมการข้างต้น เราจะได้ \[-2 = a(4 - 2)^2 - 4.\]แก้สมการหา $a$ เราจะได้ $a = 1/2$ ดังนั้นสมการของพาราโบลาถูกกำหนดโดย \[x = \frac{1}{2} (y - 2)^2 - 4 = \frac{1}{2} (y^2 - 4y + 4) - 4 = \frac... | c = \boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $c$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $$\frac{c}{3} \le 2+c < -2(1+c).$$แสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วงเวลา โดยทำให้ง่ายที่สุดสำหรับเศษส่วนที่ปรากฏในคำตอบ | เรามีอสมการสองข้อที่ $c$ ต้องสอดคล้อง เราพิจารณาอสมการเหล่านี้ทีละข้อ
อสมการข้อแรกคือ $\frac{c}{3}\le 2+c$ คูณทั้งสองข้างด้วย $3$ เราได้ $$c\le 6+3c.$$ลบ $3c$ จากทั้งสองข้างได้ $$-2c\le 6.$$เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย $-2$ ได้ แต่เราต้องกลับทิศทางของอสมการเนื่องจาก $-2$ เป็นลบ ซึ่งจะได้ $c\ge -3$.
อสมการข้อที่สองคือ ... | c\in\boxed{\left[-3,-\frac{4}{3}\right)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $y$ ในสมการ $y = x^2 + 12x + 5$ | เราเติมกำลังสองทางขวามือโดยการบวก $(12/2)^2 = 36$ ลงทั้งสองข้าง: $y+36 = x^2 + 12x + 36 + 5$ ดังนั้น $y+36 = (x+6)^2 + 5$ ซึ่งจะได้ $y = (x+6)^2 - 31$ เนื่องจาก $(x+6)^2$ เป็นค่าไม่เป็นลบ และ $(x+6)^2=0$ เมื่อ $x=-6$ ค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $y$ คือ $-31$ | \boxed{-31} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ตัวหารจำนวนเต็มบวกของ 175 ยกเว้น 1 ถูกเรียงรอบวงกลมเพื่อให้คู่ของจำนวนเต็มที่อยู่ติดกันมีตัวประกอบร่วมกันมากกว่า 1 ผลรวมของจำนวนเต็มสองจำนวนที่อยู่ติดกับ 7 คือเท่าใด | $175=5^2\cdot7^1$. เพื่อเรียงตัวหารของ 175 เราสามารถ (สะดวก) เริ่มต้นด้วยตัวหาร 7 เนื่องจาก $\gcd(5,7)=1$ ตัวหารสองตัวที่อยู่ติดกับ 7 ต้องเป็นพหุคูณของ 7 ซึ่งหมายความว่าต้องเป็น $5^1\cdot7=35$ และ $5^2\cdot7=175$ ดังนั้น ผลรวมของจำนวนเต็มสองจำนวนที่อยู่ติดกับ 7 คือ $35+175=\boxed{210}$ | 35+175=\boxed{210} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณค่าที่แน่นอนของนิพจน์ $\left|\pi - | \pi - 7 | \right|$. เขียนคำตอบของคุณโดยใช้เฉพาะจำนวนเต็มและ $\pi$ โดยไม่มีเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ | เราเริ่มต้นด้วยการตรวจสอบปริมาณ $|\pi - 7|$. เนื่องจาก $\pi$ น้อยกว่า 4 จะเห็นได้ชัดว่า $\pi-7$ จะเป็นลบ ดังนั้นเราต้องลบปริมาณนี้เพื่อให้ได้ค่าสัมบูรณ์ ซึ่งจะต้องเป็นบวกเสมอ กล่าวคือ \[ |\pi - 7| = -(\pi - 7) = 7- \pi. \] ต่อไปเราพิจารณา นิพจน์ $\pi-|\pi - 7|$ ซึ่งลดลงเป็น $2\pi - 7$ ตามการคำนวณข้างต้น เนื่องจาก $\pi$... | \boxed{7-2\pi}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $x$ กี่จำนวนที่ทำให้ $x^2 < 7x$ จริง? | ก่อนอื่น เราเห็นว่า $0$ ไม่สอดคล้องกับอสมการ ดังนั้นเราสามารถหารด้วย $x$ ได้ ถ้า $x$ เป็นบวก เราสามารถหารได้ $x<7$ และมีจำนวนเต็มบวก $6$ จำนวนที่สอดคล้องกับสิ่งนี้ ถ้า $x$ เป็นลบ เราหารได้ $x>7$ ซึ่งไม่มีจำนวนเต็มลบจำนวนใดสอดคล้อง ดังนั้นจำนวนของคำตอบจำนวนเต็มคือ $\boxed{6}$ | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ขณะยืนต่อแถวเพื่อซื้อตั๋วคอนเสิร์ต คิตเดินเข้าใกล้หน้าต่างขายตั๋ว 60 ฟุต ในเวลา 30 นาที ด้วยอัตราเร็วนี้ จะใช้เวลากี่นาทีในการเดินไปยังหน้าต่างขายตั๋วที่เหลืออีก 70 หลา? | เธอเดินไป 60 ฟุต ใน 30 นาที ซึ่งหมายความว่าอัตราเร็วของเธอคือ $\frac{60}{30} = 2$ ฟุตต่อนาที เธอมีระยะทางที่เหลืออีก $70\cdot 3 = 210$ ฟุต ซึ่งหมายความว่าเธอจะต้องใช้เวลา $\frac{210}{2} = \boxed{105}$ นาที | \frac{210}{2} = \boxed{105} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
สมมติว่าเรามีลูกเต๋า 8 หน้าที่มี 4 หน้าสีแดง 3 หน้าสีเหลือง และ 1 หน้าสีน้ำเงิน ความน่าจะเป็นที่จะโยนได้หน้าสีเหลืองคือเท่าไร? | มี 3 หน้าสีเหลือง และ 8 หน้าทั้งหมด ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะโยนได้หน้าสีเหลืองคือ $\boxed{\dfrac38}$. | \boxed{\dfrac38} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ประเมินค่าของ $$64^{1/2}\cdot27^{-1/3}\cdot16^{1/4}.$$ | ประเมินค่าของแต่ละตัวประกอบ: $64^{1/2}=(8^2)^{1/2}=8$ , ในขณะที่ $27^{-1/3}=\frac{1}{(3^3)^{1/3}}=\frac13$ และ $16^{1/4}=(2^4)^{1/4}=2$ คูณตัวประกอบที่เรียบง่ายเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้คำตอบของ $\boxed{\frac{16}{3}}$ | \boxed{\frac{16}{3}} | [
"ประยุกต์"
] |
เมื่อจำนวนฐานสอง $100101110010_2$ หารด้วย 4 แล้ว จะได้เศษเท่าใด (แสดงคำตอบในระบบเลขฐานสิบ) | จำนวนฐานสอง $b_k b_{k - 1} \dots b_2 b_1 b_0$ เท่ากับ $2^k b_k + 2^{k - 1} b_{k - 1} + \dots + 4b_2 + 2b_1 + b_0$ ดังนั้นเมื่อจำนวนนี้หารด้วย 4 เศษที่ได้คือ $2b_1 + b_0$ ดังนั้นเมื่อจำนวน $100101110010_2$ หารด้วย 4 เศษที่ได้คือ $2 \cdot 1 + 0 = \boxed{2}$ | 2 \cdot 1 + 0 = \boxed{2} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
สมมติว่า $f$ เป็นฟังก์ชันและ $f^{-1}$ เป็นฟังก์ชันผกผันของ $f$ ถ้า $f(3)=4$, $f(5)=1$ และ $f(2)=5$ จงหาค่าของ $f^{-1}\left(f^{-1}(5)+f^{-1}(4)\right)$ | ถ้า $f(2)=5$ และ $f(3)=4$ ดังนั้น $f^{-1}(5)=2$ และ $f^{-1}(4)=3$ ตามลำดับ ดังนั้น $f^{-1}\left(f^{-1}(5)+f^{-1}(4)\right)=f^{-1}\left(2+3\right)=f^{-1}(5) = \boxed{2}$ | f^{-1}\left(f^{-1}(5)+f^{-1}(4)\right)=f^{-1}\left(2+3\right)=f^{-1}(5) = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่า: $\frac{10^{-2}5^0}{10^{-3}}$ | เรามี $10^{-2} = \frac{1}{10^2}$ และ $\frac{1}{10^{-3}} = 10^3$ ดังนั้น \[\frac{10^{-2}5^0}{10^{-3}} = \frac{10^35^0}{10^2} = 10^{3-2}5^0 = (10)(1) = \boxed{10}.\] | 10 | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
ผลรวมของคำตอบสองคำตอบของสมการ $54-15x-x^2=0$ คือเท่าใด | ถ้าสองคำตอบคือ $r$ และ $s$ ดังนั้น ข้างซ้ายของสมการอาจแยกตัวประกอบเป็น $-(x-r)(x-s)$ เมื่อคูณออกจะได้ $-x^2+(r+s)x-rs$ ดังนั้น $r+s$ คือสัมประสิทธิ์ของ $x$ ในสมการ นั่นคือ $-15$ | $-15$ | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
มีชมรมคณิตศาสตร์ 3 ชมรมในเขตการศึกษา มีนักเรียน 5, 7 และ 8 คนตามลำดับ แต่ละชมรมมีประธานร่วม 2 คน ถ้าฉันเลือกชมรม наугад และเลือกสมาชิก 3 คนจากชมรมนั้นเพื่อมอบหนังสือ $\emph{Introduction to} \allowbreak\ \emph{Counting and} \allowbreak\ \emph{Probability}$ ความน่าจะเป็นที่ 2 ในจำนวนคนที่ได้รับหนังสือจะเป็นประธานร่วมเท่... | มีโอกาส $\dfrac{1}{3}$ ที่ฉันจะเลือกชมรมแต่ละชมรม ให้ $n$ เป็นจำนวนนักเรียนในชมรมนั้น มี $\dbinom{n}{3}$ วิธีในการเลือกกลุ่มนักเรียน 3 คนจากชมรมคณิตศาสตร์ที่มี $n$ สมาชิก มีเพียง $\dbinom{n-2}{1}$ กลุ่มนี้เท่านั้นที่ประกอบด้วยประธานร่วม 2 คน หลังจากที่ฉันเลือกชมรมแล้ว ความน่าจะเป็นที่ฉันจะมอบหนังสือให้ประธานร่วมคือ $\d... | \boxed{\dfrac{11}{60}} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมการกำลังสอง $ax^2+20x+c=0$ มีคำตอบเดียวพอดี ถ้า $a+c=29$ และ $a<c$ จงหาคู่ลำดับ $(a,c)$ | เนื่องจากสมการกำลังสองมีคำตอบเดียว ดังนั้น อนุพันธ์ (discriminant) ต้องเท่ากับศูนย์ อนุพันธ์คือ $b^2-4ac=400-4ac=0$ ดังนั้น $ac=\frac{400}{4}=100$ เราต้องหา $a$ และ $c$ ที่สอดคล้องกับ $a+c=29$ และ $ac=100$ เราสามารถเขียนสมการกำลังสองแล้วแก้ได้ แต่เราจะใช้การจัดรูปพีชคณิตที่ฉลาด: เนื่องจาก $a+c=29$ เราได้ $$(a+c)^2=a^2+... | \boxed{(4,25)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อนุกรมเรขาอนันต์มีอัตราส่วนร่วม $-1/5$ และผลรวม 16 จงหาพจน์แรกของอนุกรม | ให้พจน์แรกเป็น $a$ เนื่องจากผลรวมของอนุกรมคือ 16 เราได้ $16= \frac{a}{1-(-1/5)} = \frac{a}{6/5} = \frac{5a}{6}$ ดังนั้น $a=\boxed{\frac{96}{5}}$ | a=\boxed{\frac{96}{5}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงแก้สมการ $3^{2x} = \sqrt{27}$ และแสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เนื่องจาก $\sqrt{27} = 27^{\frac{1}{2}} = (3^3)^\frac{1}{2} = 3^{\frac{3}{2}}$ เราได้ว่า $3^{2x}=3^{\frac{3}{2}}$ ดังนั้น $2x=\frac{3}{2}$ และ $x=\boxed{\frac{3}{4}}$ | x=\boxed{\frac{3}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่า $x$ ที่มากที่สุดที่ทำให้นิพจน์ \[\dfrac{x+1}{8x^2-65x+8}\] ไม่นิยาม คือเท่าไร? | ในกรณีนี้ เศษส่วนจะไม่นิยามก็ต่อเมื่อส่วนของมันเท่ากับศูนย์ เพราะเหตุนี้ เราสามารถละเลยตัวเศษได้ เราเริ่มต้นด้วยการกำหนดให้ทวินามในส่วนเท่ากับ 0: \begin{align*} 8x^2-65x+8=0
\\\Rightarrow\qquad (8x-1)(x-8)=0
\end{align*} เราพบว่าค่าที่เป็นไปได้สองค่าสำหรับ $x$ คือ $\frac18$ และ $8$ เนื่องจากคำถามถามหาค่าที่มากที่สุด คำ... | \boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กระรอกวิ่งด้วยความเร็วคงที่ 4 ไมล์ต่อชั่วโมง ใช้เวลานานเท่าใดสำหรับกระรอกตัวนี้ที่จะวิ่ง 1 ไมล์ แสดงคำตอบของคุณเป็นนาที | โดยใช้สูตร $time = \frac{distance}{rate}$ เราจะเห็นว่ากระรอกใช้เวลา $\frac{1}{4}$ ชั่วโมงในการวิ่ง 1 ไมล์ ซึ่งเท่ากับ $\boxed{15}$ นาที | \boxed{15} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
มาร์กาเร็ตเริ่มต้นสะสมแสตมป์ เธอสะสมแสตมป์ได้ 8 แสตมป์ในวันแรก ในแต่ละวันถัดมา เธอสะสมแสตมป์เพิ่มขึ้น 8 แสตมป์จากจำนวนแสตมป์ที่สะสมในวันก่อนหน้า หากเธอสะสมแสตมป์เป็นเวลา 5 วันติดต่อกัน เฉลี่ยแล้วเธอสะสมแสตมป์วันละกี่แสตมป์? | พิจารณาลำดับ 8, 16, 24, ... ของจำนวนแสตมป์ที่มาร์กาเร็ตสะสมในแต่ละวัน ค่าเฉลี่ยของลำดับเลขคณิตเท่ากับค่ามัธยฐาน ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของลำดับเลขคณิตห้าพจน์นี้เท่ากับพจน์ที่สาม $\boxed{24}$ | \boxed{24} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดให้ $x, y, z$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับสมการ \begin{align*}
y+z & = 13, \\
z+x & = 14, \\
x+y & = 15.
\end{align*} จงหาค่าของ $\sqrt{xyz(x+y+z)}$. | นำสมการทั้งสามมาบวกกัน และหารด้วย 2 จะได้ $x+y+z = 21$ ดังนั้น $x = 8, y = 7, z = 6$ และ $\sqrt{xyz(x+y+z)} = \sqrt{21(8)(7)(6)} = \sqrt{2^4\cdot 3^2 \cdot 7^2} = \boxed{84}$ | \sqrt{xyz(x+y+z)} = \sqrt{21(8)(7)(6)} = \sqrt{2^4\cdot 3^2 \cdot 7^2} = \boxed{84} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x)=\frac{16}{5+3x}$, จงหาค่าของ $\left[f^{-1}(2)\right]^{-2}$ | แทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ เราได้ \[f(f^{-1}(x))=\frac{16}{5+3f^{-1}(x)}.\]เนื่องจาก $f(f^{-1}(x))=x$ สำหรับทุก $x$ ในโดเมนของ $f^{-1}$ เราได้ \[x=\frac{16}{5+3f^{-1}(x)}.\]เมื่อ $x=2$ จะได้ \[2=\frac{16}{5+3f^{-1}(2)}.\]แก้สมการหา $f^{-1}(2)$ เราได้ $f^{-1}(2) = 1$. ดังนั้น $[f^{-1}(2)]^{-2} = 1^{-2} = \boxed{... | [f^{-1}(2)]^{-2} = 1^{-2} = \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $\sqrt{10p} \cdot \sqrt{5p^2} \cdot \sqrt{6p^4}$ . แสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุดในรูปของ $p$.
หมายเหตุ: เมื่อป้อนรากที่สองที่มีตัวอักษรมากกว่าหนึ่งตัว คุณต้องใช้วงเล็บหรือวงเล็บเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น คุณควรป้อน $\sqrt{14}$ เป็น "sqrt(14)" หรือ "sqrt{14}". | เขียนทุกอย่างในรูปของการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะ การแสดงออกที่กำหนดคือ \begin{align*}
\sqrt{2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot p^7} &= \sqrt{(2^2 \cdot 5^2 \cdot p^6) \cdot (3 \cdot p)} \\
&= \boxed{10p^3 \sqrt{3p}}.
\end{align*} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] | |
จงหาค่าของพจน์ที่ 25 ของลำดับเลขคณิต $2,
5, 8, \ldots$ | ผลต่างร่วมคือ $5 - 2 = 3$ ดังนั้นพจน์ที่ $25$ คือ $2 + 3 \cdot 24 = \boxed{74}$ | 2 + 3 \cdot 24 = \boxed{74} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
สมมติว่า $d\not=0$ เราสามารถเขียน $\left(12d+13+14d^2\right)+\left(2d+1\right)$ ในรูป $ad+b+cd^2$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหา $a+b+c$ | การบวกพจน์ $d$ จะได้ $14d$ การบวกพจน์คงที่ จะได้ $14$ การบวกพจน์ $d^2$ จะได้ $14d^2$ การบวกพจน์ทั้งหมดจะได้ ${14d+14+14d^2}$ ดังนั้น $a+b+c = \boxed{42}$ | a+b+c = \boxed{42} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลบวกของจำนวนสองจำนวน $x$ และ $y$ เท่ากับ 399 และค่าของเศษส่วน $\frac{x}{y}$ เท่ากับ 0.9 จงหาค่าของ $y - x$ | เรามีระบบสมการดังนี้: \begin{align*}
x + y &= 399 \\
\frac{x}{y} &= 0.9 \\
\end{align*} จากสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างด้วย $y$ จะได้ $x=.9y$ จากนั้นแทนสมการที่สองลงในสมการแรกเพื่อกำจัด $x$ จะได้ $.9y+y=399$ หรือ $y=210$ แทนค่านี้ลงในสมการแรกของระบบสมการเดิมจะได้ $x+210=399$ หรือ $x=189$ ดังนั้น $y-x=210-189=\boxed{21}$ | y-x=210-189=\boxed{21} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ตัวหารร่วมมากที่สุดของ 21 และจำนวนหนึ่งระหว่าง 50 ถึง 60 คือ 7. จำนวนนั้นคือจำนวนใด? | ถ้าตัวหารร่วมมากที่สุดของ 21 คือ 7 ดังนั้นจำนวนอื่นจะต้องเป็นพหุคูณของ 7. พหุคูณของ 7 ที่อยู่ระหว่าง 50 ถึง 60 คือ $\boxed{56}$ ดังนั้น นั่นคือคำตอบของเรา | \boxed{56} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ลินดีย์ทำการสำรวจนักเรียน 300 คนในโรงเรียนของเธอ เธอพบว่ามีนักเรียน 60 คนที่เลี้ยงสุนัข และมีเพียง 30 คนเท่านั้นที่เลี้ยงแมว นักเรียนกี่เปอร์เซ็นต์ที่เลี้ยงแมว? | 30 คนในจำนวนนักเรียน 300 คนเลี้ยงแมว ซึ่งทำให้เป็นเศษส่วน: $\frac{30}{300} = \frac{1}{10} = \boxed{10\%}$. | \frac{30}{300} = \frac{1}{10} = \boxed{10\%} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาความยาวระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างวงกลมที่กำหนดโดย $x^2-10x +y^2-4y-7=0$ และ $x^2+14x +y^2+6y+49=0$ | เราเติมกำลังสองสำหรับสมการแรกโดยสังเกตว่าสมการแรกเทียบเท่ากับ \[
(x^2-10x +25) +(y^2-4y +4)=36,
\] ซึ่งเทียบเท่ากับ \[
(x-5)^2 +(y-2)^2 =6^2.
\] เช่นเดียวกัน สมการของวงกลมที่สองคือ \[
(x+7)^2 +(y+3)^2 =3^2.
\] ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(5,2)$ และ $(-7,-3)$ และรัศมีของวงกลมเท่ากับ 6 และ 3 ตามลำดับ ระยะทางระหว่างจ... | 13-3-6 = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการ \[\frac{2x+4}{x^2+4x-5}=\frac{2-x}{x-1}\]หาค่า $x$. | เราสังเกตว่าส่วนทางซ้ายตัวประกอบได้, ให้ \[\frac{2x+4}{(x-1)(x+5)}=\frac{2-x}{x-1}.\]ตราบใดที่ $x\neq1$ เราอนุญาตให้ยกเลิก $x-1$ จากส่วนได้, ให้ \[\frac{2x+4}{x+5}=2-x.\]ตอนนี้เราสามารถคูณไขว้เพื่อหา \[2x+4=(2-x)(x+5)=-x^2-3x+10.\]เราทำให้มันง่ายขึ้นเป็น \[x^2+5x-6=0\]และจากนั้นตัวประกอบเป็น \[(x-1)(x+6)=0.\]สังเกตว่... | x=\boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ใช้เลขโดด 1, 2, 3, 4, 5 จงหาจำนวนเลขจำนวนเต็มสามหลักคู่ที่น้อยกว่า 500 ที่สามารถสร้างได้ ถ้าสามารถใช้เลขโดดแต่ละหลักได้มากกว่าหนึ่งครั้ง | มีสี่ตัวเลือกสำหรับหลักร้อย: 1, 2, 3 หรือ 4 หลักสิบไม่มีข้อจำกัด; มันอาจเป็นเลขโดดใดก็ได้จากห้าหลักสุดท้าย หลักหน่วยสามารถเป็น 2 หรือ 4 เท่านั้น ดังนั้นมี $4 \cdot 5 \cdot 2 = \boxed{40}$ จำนวนดังกล่าวที่สามารถสร้างได้ | 4 \cdot 5 \cdot 2 = \boxed{40} | [
"จำแนก",
"นำไปใช้"
] |
จงหาจุดตัดของเส้นตรงที่กำหนดโดย $y=-4x$ และ $y-2=12x$ แสดงคำตอบในรูปของลำดับคู่ โดยให้พิกัดทั้งสองอยู่ในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เพื่อหาจุดตัด เราต้องหาจุดที่สอดคล้องกับสมการทั้งสอง ดังนั้นเราต้องแก้ระบบสมการ \begin{align*}
y&=-4x, \\
y-2&=12x.
\end{align*} แทนนิพจน์ของ $y$ ในสมการแรกด้วยสมการที่สอง เราจะได้ $-4x-2=12x$ แก้สมการหา $x$ เราจะได้ $x=-\frac{1}{8}$ แทนค่า $x$ นี้ลงในนิพจน์ของ $y$ ในสมการแรก เราจะได้ $y=-4\cdot -\frac{1}{8}=\frac{1}... | \boxed{\left(-\frac{1}{8}, \frac{1}{2}\right)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $t(x) = 3x-8$ และ $s(t(x)) = x^2 + 3x - 2$ จงหา $s(1)$ | เราไม่ทราบ $s(x)$ ดังนั้นเราจึงไม่มีนิพจน์ที่สามารถแทนค่า $1$ เข้าไปเพื่อให้ได้คำตอบ เราทราบว่า $s(t(x)) = x^2 +3x-2$ ดังนั้น หากเราสามารถหาค่า $x$ ที่ทำให้ $t(x) = 1$ เราสามารถใช้ $s(t(x))$ เพื่อหา $s(1)$ ได้
ถ้า $t(x) = 1$ แล้ว $3x-8=1$ ซึ่งจะได้ $x =3$ ดังนั้น $t(3)=1$ ดังนั้น $s(t(3)) = s(1)$ แต่เรารู้ว่า $s(t(x)... | s(t(3)) = 3^2 +3(3) -2 = \boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงทำให้ง่ายขึ้น: $\sqrt{50} + \sqrt{18}$ . แสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด | การแยกตัวประกอบของ 50 เป็นจำนวนเฉพาะ เราพบว่า $\sqrt{50}=\sqrt{2\cdot5^2}=\sqrt{2}\sqrt{5^2}=5\sqrt{2}$. ในทำนองเดียวกัน $\sqrt{18}=\sqrt{2}\sqrt{9}=3\sqrt{2}$. 5 รากที่สองของ 2 บวก 3 รากที่สองของ 2 เท่ากับ $\boxed{8\sqrt{2}}$. | \boxed{8\sqrt{2}} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
พาราโบลาที่มีสมการ $y = x^2 + bx + c$ ผ่านจุด $(2,3)$ และ $(4,3)$ ค่าของ $c$ คือเท่าใด | แทน $(2,3)$ และ $(4,3)$ ลงในสมการเพื่อให้ได้ \[
3 = 4 + 2b + c \quad\text{และ}\quad 3 = 16 + 4b + c.
\] ลบพจน์ที่สอดคล้องกันในสมการเหล่านี้จะได้ $0 = 12 + 2b$ ดังนั้น \[
b = -6\quad\text{และ}\quad c = 3 -4 -2(-6) = \boxed{11}.
\]
หรือ
พาราโบลาสมมาตรเกี่ยวกับเส้นแนวตั้งที่ผ่านจุดยอด และจุด $(2,3)$ และ $(4,3)$ มีค่า ... | c = 9 + 2 = \boxed{11}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มที่มากกว่า 3 และน้อยกว่า 12 | เราต้องการหาผลรวมของอนุกรมเลขคณิต $4+5+\dots+11$.
ผลรวมของอนุกรมเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย คูณด้วยจำนวนพจน์ จำนวนพจน์คือ $11 - 4 + 1 = 8$ ดังนั้นผลรวมคือ $(4 + 11)/2 \cdot 8 = \boxed{60}$ | (4 + 11)/2 \cdot 8 = \boxed{60} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แผนผังของสวนสาธารณะแสดงให้เห็นว่า 1 นิ้วแทน 800 ฟุต เส้นส่วนในแผนผังที่มีความยาว 4.75 นิ้วแทนระยะทางจริงกี่ฟุต? | เนื่องจากแต่ละนิ้วของเส้นส่วน 4.75 นิ้วแทน 800 ฟุต ดังนั้นเส้นส่วนทั้งหมดแทน $4.75\times800=\frac{19}{4}\cdot800=19\cdot200=\boxed{3800}$ ฟุต | 4.75\times800=\frac{19}{4}\cdot800=19\cdot200=\boxed{3800} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จากจุดห้าจุด (3, 10), (6, 20), (12, 35), (18, 40) และ (20, 50) ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดที่อยู่เหนือเส้นตรง $y = 2x + 7$ ในระนาบพิกัด คือเท่าใด | จุดจะอยู่เหนือ $y=2x+7$ ถ้าพิกัด $y$ ของจุดนั้นมากกว่า 2 เท่าของพิกัด $x$ บวก 7 เมื่อตรวจสอบจุดที่กำหนดให้ เราพบว่า (6,20), (12,35) และ (20,50) สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดเหล่านี้คือ $6+12+20=\boxed{38}$ | 6+12+20=\boxed{38} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่\[\frac{5}{9} < \frac{p}{q} < \frac{4}{7}\]และ $q$ มีค่าน้อยที่สุด จงหา $q-p$?
$\textbf{(A) } 7 \qquad \textbf{(B) } 11 \qquad \textbf{(C) } 13 \qquad \textbf{(D) } 17 \qquad \textbf{(E) } 19$
| เราอ้างว่า ระหว่างเศษส่วนสองจำนวน $a/b$ และ $c/d$ ถ้า $bc-ad=1$ เศษส่วนที่มีส่วนน้อยที่สุดระหว่างสองจำนวนนี้คือ $\frac{a+c}{b+d}$ เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราเห็นว่า
\[\frac{1}{bd}=\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\left(\frac{c}{d}-\frac{p}{q}\right)+\left(\frac{p}{q}-\frac{a}{b}\right) \geq \frac{1}{dq}+\frac{1}{bq},\]ซึ่งลดรูปเป็น... | \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x+y = 6$ และ $x^2-y^2 = 12$ แล้ว $x-y$ มีค่าเท่าใด | เนื่องจากเราสามารถเขียน $12 = x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 6(x-y)$ ได้ ดังนั้น $x-y = \boxed{2}$ | x-y = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เพื่อเป็น trò đùa, Tim ตัดสินใจขโมยส้อมของ Nathan ระหว่างทานอาหารค่ำ แต่เพื่อไม่ให้ถูกจับได้ เขาก็โน้มน้าวให้คนอื่นทำแทนเขา ในวันจันทร์ เขาโน้มน้าวให้ Joe ทำ ในวันอังคาร เขาสามารถโน้มน้าวให้ Ambie หรือ John ทำได้ ในวันพุธ เขาไม่สามารถโน้มน้าวให้ทั้งสามคนนั้นทำได้ แต่มีคนอื่นอีกห้าคนที่เขาสามารถโน้มน้าวได้ ในวันพฤหัสบดี... | มี 1 ทางเลือกสำหรับวันจันทร์ 2 ทางเลือกสำหรับวันอังคาร 5 ทางเลือกสำหรับวันพุธ 4 ทางเลือกสำหรับวันพฤหัสบดี และ 1 ทางเลือกสำหรับวันศุกร์ รวมเป็น $1\cdot 2\cdot 5\cdot 4\cdot 1 = \boxed{40}$ วิธีที่แตกต่างกันของกลุ่มคนที่ยินดีทำ | 1\cdot 2\cdot 5\cdot 4\cdot 1 = \boxed{40} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor{\pi}\rfloor$. | เราต้องการหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับ $\pi$ เนื่องจาก $\pi$ ประมาณ $3.14$ ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{3}$ | \boxed{3} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
พิราเวนาต้องเดินทางจาก $A$ ไป $B,$ จาก $B$ ไป $C,$ จากนั้นจาก $C$ ไป $A.$ แต่ละส่วนของการเดินทางจะทำโดยรถโดยสารหรือเครื่องบินเท่านั้น. เมืองทั้งสามนี้จัดเรียงเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังแสดง โดย $C$ อยู่ห่างจาก $A$ เป็นระยะ $3000\text{ km}$ และ $B$ อยู่ห่างจาก $A$ เป็นระยะ $3250\text{ km}.$ การโดยสารรถโดยสารจะเสียค่าใช้จ... | ค่าใช้จ่ายในการบินคือ $\$0.10$ ต่อกิโลเมตร บวกกับค่าธรรมเนียมจอง $\$100.$ การบินจาก $A$ ไป $B$ เป็นระยะทาง $3250\text{ km}$ ค่าใช้จ่ายคือ $$3250\times 0.10 + 100=325+100=\boxed{\$425}.$$ | 425}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงทำให้รูปธรรมของนิพจน์ต่อไปนี้ใน $x$: \[3x+7x^2+5-(2-3x-7x^2).\] เขียนคำตอบของคุณในรูป $ax^2 +bx+c$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นตัวเลข | นิพจน์ที่กำหนดให้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $3x+7x^2+5-2+3x+7x^2$ การรวมพจน์ที่คล้ายกัน นิพจน์สุดท้ายนี้เท่ากับ $(3x+3x)+(7x^2+7x^2)+(5-2)=\boxed{14x^2+6x+3}$ | (3x+3x)+(7x^2+7x^2)+(5-2)=\boxed{14x^2+6x+3} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.