question stringlengths 16 1.6k | solution stringlengths 3 2.73k | answer stringlengths 0 168 | bloom_taxonomy listlengths 1 4 |
|---|---|---|---|
จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวก $r$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $$\mathop{\text{lcm}}[r,700] = 7000~?$$ | สังเกตการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะ $700=2^2\cdot 5^2\cdot 7$ และ $7000=2^3\cdot 5^3\cdot 7$.
ถ้า $\mathop{\text{lcm}}[r,700]=7000$ จะได้ว่า $r$ เป็นตัวหารของ $7000$ ดังนั้นเราสามารถเขียน $r=2^\alpha\cdot 5^\beta\cdot 7^\gamma$ โดยที่ $0\le\alpha\le 3$, $0\le\beta\le 3$, และ $0\le\gamma\le 1$.
ยิ่งไปกว่านั้น เรารู้ว่า... | 1000+7000=\boxed{8000} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัว โดย \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
9 - 2x & \text{ถ้า } x \le 3, \\
ax + b & \text{ถ้า } x > 3.
\end{array}
\right.\]ฟังก์ชัน $f$ มีสมบัติที่ $f(f(x)) = x$ สำหรับทุกค่า $x$ จงหาค่า $a + b$ | กำหนดให้ $x = 0$ เราได้ $f(0) = 9$ เนื่องจาก $9 > 3$ ดังนั้น $f(9) = 9a + b$ ดังนั้น $$f(f(0)) = f(9) = 9a + b.$$แต่ $f(f(x)) = x$ สำหรับทุกค่า $x$ ดังนั้น $9a + b = 0.$
กำหนดให้ $x = 1$ เราได้ $f(1) = 7$ เนื่องจาก $7 > 3$ ดังนั้น $f(7) = 7a + b$ ดังนั้น $$f(f(1)) = f(7) = 7a + b.$$แต่ $f(f(x)) = x$ สำหรับทุกค่า $x$ ด... | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดสมการกำลังสอง $3x^2-24x+72$ สามารถเขียนในรูป $a(x+b)^2+c$ โดยที่ $a$, $b$, และ $c$ เป็นค่าคงตัว จงหาค่าของ $a+b+c$ | เราทำการเติมกำลังสอง
การแยกตัวประกอบ 3 ออกจากพจน์กำลังสองและพจน์เส้นตรงจะได้ $3x^2 - 24x = 3(x^2 - 8x)$.
เนื่องจาก $(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16$ เราสามารถเขียนได้ $$3(x-4)^2 = 3x^2 - 24x + 48.$$สมการกำลังสองนี้ตรงกับสมการ $3x^2-24x+72$ ที่กำหนดไว้ในทุกพจน์ยกเว้นพจน์คงตัว เราสามารถเขียนได้
\begin{align*}
3x^2 - 24x + 72 ... | a+b+c = 3-4+24 = \boxed{23} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สองวงกลมที่มีศูนย์กลางร่วมกันมีรัศมี 1 นิ้ว และ 10 นิ้ว ตามลำดับ พื้นที่ (เป็นตารางนิ้ว) ที่อยู่นอกวงกลมวงเล็กแต่ภายในวงกลมวงใหญ่มีค่าเท่าไร แสดงคำตอบในรูปของ $\pi$ | พื้นที่ของวงกลมวงในคือ $\pi$ พื้นที่ของวงกลมวงนอกคือ $100\pi$ ดังนั้น การลบ $\pi$ ออกจาก $100\pi$ เราจะได้ $\boxed{99\pi \text{ square inches}}$ | \boxed{99\pi \text{ square inches}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาตัวประกอบร่วมมากที่สุดของ $20!$ และ $200,000$ (หมายเหตุ: ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว $n!$ แทนผลคูณ $1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot (n-1)\cdot n$.) | การแยกตัวประกอบของ $200,000$ เป็น $2^6 \cdot 5^5$ จากนั้นนับจำนวนตัวประกอบของ $2$ และ $5$ ใน $20!$. เนื่องจากมีจำนวนคู่ $10$ จำนวน ดังนั้นมีตัวประกอบของ $2$ มากกว่า $6$ ตัว มี $4$ ตัวประกอบของ $5$ ดังนั้นตัวประกอบร่วมมากที่สุดคือ $2^6 \cdot 5^4=\boxed{40,\!000}$. | 2^6 \cdot 5^4=\boxed{40,\!000} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ทิมต้องการสร้างกราฟวงกลมแสดงจำนวนแพทย์ผู้เชี่ยวชาญด้านการแพทย์อวกาศ เขา 알고 있는 다음 정보입니다.
$\bullet$ แพทย์ชายอายุต่ำกว่า 35 ปี 53 คน
$\bullet$ แพทย์หญิงอายุต่ำกว่า 35 ปี 8 คน
$\bullet$ แพทย์ชายอายุระหว่าง 35 ถึง 44 ปี 155 คน
$\bullet$ แพทย์หญิงอายุระหว่าง 35 ถึง 44 ปี 17 คน
$\bullet$ แพทย์ชายอายุระหว่าง 45 ถึง 54 ป... | โดยรวมแล้วมีแพทย์ด้านการแพทย์อวกาศ $53 + 8 + 155 + 17 + 145 + 10 + 98 + 2 = 488$ คน แพทย์ชายอายุ 45-54 ปีคิดเป็น $145/488$ ของประชากรนี้ ดังนั้นพวกเขาควรคิดเป็นเศษส่วนนั้นของมุมศูนย์กลางของกราฟวงกลมด้วย เนื่องจากมี 360 องศาในมุมศูนย์กลางที่จะแบ่งออกเป็นกลุ่ม กลุ่มชายอายุ 45-54 ปีควรได้รับ $\frac{145}{488}\cdot360\appro... | \frac{145}{488}\cdot360\approx\boxed{107} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาผลคูณของ $5$ ที่น้อยที่สุดซึ่งมีค่ามากกว่า $-32$ | จากการหาร $-32$ ด้วย $5$ จะได้ $-6$ เหลือเศษ $-2$ หรือ $$-32 = -6 \cdot 5 - 2.$$ดังนั้น $-6 \cdot 5 = \boxed{-30}$ คือผลคูณของ $5$ ที่น้อยที่สุดซึ่งมีค่ามากกว่า $-32$ | -30 | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาจำนวนรากจริงของสมการ
\[x^4 - 2x^2 - 7 = 0.\] | ให้ $y = x^2,$ ดังนั้น
\[y^2 - 2y - 7 = 0.\]โดยสูตรกำลังสอง รากของสมการคือ $y = 1 \pm 2 \sqrt{2},$ ดังนั้น
\[x^2 = 1 \pm 2 \sqrt{2}.\]เนื่องจาก $1 - 2 \sqrt{2} < 0,$ เราจะต้องมี $x^2 = 1 + 2 \sqrt{2},$ ซึ่งมีรากจริง $\boxed{2}$ ราก | \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก $\triangle ABC$ ที่แสดงอยู่ $AB = 15$ หน่วย, $AC = 24$ หน่วย และจุด $D,$ $E,$ และ $F$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $\overline{AC}, \overline{AB}$ และ $\overline{BC}$ ตามลำดับ พื้นที่ของ $\triangle DEF$ มีค่าเท่าไร (หน่วยเป็นตารางหน่วย) ?
[asy]
size(150);
import olympiad;
pair A,B,C,D,E,F;
A = (0,0); B = (15, ... | เนื่องจาก $D, E,$ และ $F$ เป็นจุดกึ่งกลาง สามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นจึงเท่ากัน (ดูรูป): $\overline{DF} \cong \overline{AE} \cong \overline{EB}$, เพราะเส้นที่เชื่อมจุดกึ่งกลางในสามเหลี่ยมจะมีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐาน ในทำนองเดียวกัน $\overline{DE} \cong \overline{CF} \cong \overline{FB}$ และ $\overline{EF} \cong \overl... | พื้นที่ของ $\triangle DEF$ เท่ากับ $\triangle AED = \frac{15}{2} \cdot \frac{24}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{15 \cdot 24}{8} = 15 \cdot 3 = \boxed{45 \text{ units}^2}$ | [
"unknown"
] |
ตัวอักษร $A, B$ และ $C$ ถูกนำมาใช้เพื่อสร้างคำสามตัวอักษรที่เป็นไปได้ทั้งหมด เมื่อคำเหล่านี้เรียงตามลำดับตัวอักษรและใส่หมายเลขไว้ โดยที่ $AAA$ คือคำที่ 1 และ $CCC$ คือคำที่ 27 คำไหนจะเป็นคำที่สอดคล้องกับตำแหน่งของคำ $BAB$ บนรายการ | มี 9 คำที่เป็นไปได้ที่เริ่มต้นด้วย A ในรายการ ดังนั้นคำแรกที่เริ่มต้นด้วย B, BAA คือคำที่ 10 BAB เป็นคำถัดไปหลังจาก BAA หรือคำที่หมายเลข $\boxed{11}$. | \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูกเต๋าแปดหน้าที่เป็นธรรมยุติธรรมที่มีหน้าหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และ 8 ถูกโยน 6 ครั้ง และบันทึกลำดับของตัวเลขที่ปรากฏขึ้น มีลำดับที่เป็นไปได้กี่ลำดับ?
[asy]
draw((0,0)--(10,10)--(-2,8)--cycle);
draw((-2,8)--(0,0)--(-11,10)--cycle);
draw((-2,8)--(0,23)--(10,10));
draw((0,23)--(-11,10));
draw((0,23)--(2.5,13)--(10,... | การโยนแต่ละครั้งใน 6 ครั้ง สามารถให้ผลลัพธ์ได้ 8 แบบ ดังนั้นคำตอบคือ $$8^6=\boxed{262144}$$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] | |
หนังสือคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนหน้าเป็นเลขสองหลักถูกแบ่งออกเป็นหัวข้อต่างๆ แต่ละหัวข้อมีหน้าอยู่ $12$ หน้า ยกเว้นตอนจบซึ่งมี $11$ หน้า ทุกหน้าเป็นของหัวข้อ และในส่วนท้ายของหน้าที่ $5$ จะมีข้อเท็จจริงเล็กๆ อยู่ที่ส่วนท้ายของหน้า เริ่มตั้งแต่หน้าที่ $5$ ถ้าข้อเท็จจริงเล็กๆ อยู่ที่ส่วนท้ายของหน้าที่สองจากหน้าสุดท้าย หนังสือเล... | สมมติว่าหนังสือเล่มนี้มี $p$ หน้า จะได้ว่า $p \equiv 11 \pmod{12}$ นอกจากนี้ เนื่องจากหน้าที่สองจากหน้าสุดท้ายมีข้อเท็จจริงเล็กๆ ดังนั้น $p-1$ หารด้วย $5$ ลงตัว ดังนั้น $p \equiv 1 \pmod{5}$ โดยทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน เนื่องจาก $11 \equiv 1 \pmod{5}$ ดังนั้น $p \equiv 11 \pmod{60}$ ตอนนี้ $p$ เป็นจำนวนสองหลัก ดังนั้นมันต... | \boxed{71} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในกลุ่มนักเรียนมัธยมปลาย 30 คน มี 8 คนเรียนภาษาฝรั่งเศส 12 คนเรียนภาษาสเปน และ 3 คนเรียนทั้งสองภาษา มีนักเรียนกี่คนในกลุ่มนี้ที่เรียน neither ภาษาฝรั่งเศสหรือภาษาสเปน? | แผนภาพ Venn จะช่วยอธิบายวิธีแก้ปัญหา ให้วงรีแทนเซตของนักเรียนที่เรียนภาษาฝรั่งเศส และวงรีอีกวงแทนเซตของนักเรียนที่เรียนภาษาสเปน ในแผนภาพ โปรดสังเกตว่า จุดตัด (ทับซ้อน) ของวงรีทั้งสองแทนเซตของนักเรียนที่เรียนทั้งภาษาฝรั่งเศสและภาษาสเปน (ดูบริเวณ B) เราเริ่มต้นด้วยการวาง 3 x ในบริเวณ B ซึ่งแทนนักเรียนที่เรียนทั้งภาษาฝรั... | 30-17=\boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $n$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
\[
\cos \Bigl( \frac{\pi}{n} \Bigr) \cos \Bigl( \frac{2\pi}{n} \Bigr)
\cos \Bigl( \frac{4\pi}{n} \Bigr) \cos \Bigl( \frac{8\pi}{n} \Bigr)
\cos \Bigl( \frac{16\pi}{n} \Bigr)
= \frac{1}{32}.
\]ใส่คำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | ก่อนอื่น ให้คูณทั้งสองข้างด้วย $\sin \frac{\pi}{n}$:
\[\sin \frac{\pi}{n} \cos \frac{\pi}{n} \cos \frac{2 \pi}{n} \cos \frac{4 \pi}{n} \cos \frac{8 \pi}{n} \cos \frac{16 \pi}{n} = \frac{1}{32} \sin \frac{\pi}{n}.\]โดยสูตรมุมสองเท่า $\sin \frac{\pi}{n} \cos \frac{\pi}{n} = \frac{1}{2} \sin \frac{2 \pi}{n},$ ดังนั้น
\[\f... | \boxed{3, 11, 33}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่ $f(x) g(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่, ฟังก์ชันคี่ หรือไม่เป็นทั้งคู่และคี่?
ใส่ "คี่", "คู่", หรือ "ไม่เป็นทั้งคู่และคี่". | เนื่องจาก $f(x)$ และ $g(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่
\[f(-x)g(-x) = f(x)g(x),\]ดังนั้น $f(x) g(x)$ เป็นฟังก์ชัน $\boxed{\text{คู่}}$. | \boxed{\text{คู่}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในงานเลี้ยงมีการจับมือกันทั้งหมด 78 ครั้ง ถ้าแต่ละคนจับมือกันคนละครั้งกับคนอื่นๆ จะมีคนมางานเลี้ยงกี่คน | เนื่องจากแต่ละคนจับมือกันคนละครั้งกับคนอื่นๆ ทุกคู่ของคนจะจับมือกันครั้งเดียว ดังนั้น 78 แทนจำนวนคู่ ซึ่งเราสามารถนับได้เป็น ${n \choose 2}$ โดยที่ $n$ คือจำนวนคนที่มาร่วมงานเลี้ยง ดังนั้น $n(n-1) = 2 \cdot 78 = 2 \cdot 6 \cdot 13 = 12 \cdot 13$ ดังนั้น $n=13$ จะได้จำนวนคนที่มางานเลี้ยงเท่ากับ $\boxed{13}$ คน | \boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $(-125)^{4/3}$ | เราได้ว่า \[(-125)^{4/3} = ((-5)^3)^{4/3} = (-5)^{3\cdot (4/3)} = (-5)^4 = \boxed{625}.\] | 625 | [
"ประยุกต์"
] |
พาราโบลาหนึ่งมีจุดยอดที่ $(4,-5)$ และมีจุดตัดแกน $x$ สองจุด หนึ่งจุดเป็นบวก และอีกจุดเป็นลบ ถ้าพาราโบลาเป็นกราฟของ $y = ax^2 + bx + c$ สัมประสิทธิ์ใดใน $a,$ $b,$ และ $c$ ที่ต้องเป็นบวก?
ใส่สัมประสิทธิ์ที่ต้องเป็นบวก แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณคิดว่า $a$ และ $c$ ต้องเป็นบวก ให้ใส่ "$a,$ $c$", โดยไม่มี... | พิกัด $y$ ของจุดยอดเป็นลบ และมีจุดตัดแกน $x$ สองจุด ดังนั้นพาราโบลาต้องหงายขึ้น ซึ่งหมายความว่า $a$ ต้องเป็นบวก นอกจากนี้ จุดตัดแกน $x$ หนึ่งจุดเป็นบวก และอีกจุดเป็นลบ ดังนั้น จุดตัดแกน $y$ $c$ ต้องเป็นลบ
พิกัด $x$ ของจุดยอดเป็นบวก ซึ่งก็คือ $-\frac{b}{2a}$ เนื่องจาก $a$ เป็นบวก $b$ จึงเป็นลบ
ดังนั้น สัมประสิทธิ์เดีย... | \boxed{a}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลูกบาศก์ที่มีความยาวของด้าน $s > 0$ มีสมบัติที่พื้นที่ผิวของมันเท่ากับผลรวมของปริมาตรของมันและห้าเท่าของความยาวด้านของมัน จงคำนวณผลรวมของค่า $s$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
[asy]
size(5cm,5cm);
pair A,B,C,D,E,F,G,H;
A=(0,0);
B=(1,0);
C=(1,1);
D=(0,1);
E=(0.3,1.5);
F=C+(E-D);
G=B+(E-D);
H=A+(E-D);
draw(A--B--C--D--A--H--E)... | ปริมาตรของลูกบาศก์คือ $s^3$ และพื้นที่ผิวของมันคือ $6s^2$ ดังนั้นเราได้ $6s^2=s^3+5s$ หรือ $0=s^3-6s^2+5s=s(s-1)(s-5)$ ดังนั้นค่า $s$ ที่เป็นไปได้ที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งสองค่าคือ 1 และ 5 ผลรวมของค่าเหล่านี้คือ $\boxed{6}$ | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a$ เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งทำให้สมการ
\[x^3 + ax^2 + ax + 1 = 0\]มีรากเป็นจำนวนจริงทั้งหมด จงหาค่า $a$ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ | สังเกตว่า $x = -1$ เป็นรากของ $x^3 + ax^2 + ax + 1 = 0$ เสมอ ดังนั้นเราสามารถแยกตัวประกอบ $x + 1$ ได้เป็น
\[(x + 1) (x^2 + (a - 1) x + 1) = 0.\]ตัวประกอบกำลังสองจะมีรากเป็นจำนวนจริงก็ต่อเมื่อ discriminant มีค่าไม่เป็นลบ:
\[(a - 1)^2 - 4 \ge 0.\]ซึ่งจะลดรูปเป็น $a^2 - 2a - 3 \ge 0$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $(a + 1)(a - 3... | \boxed{3}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีจำนวนพจน์กี่พจน์ในลำดับ $\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\ldots$ ที่มีค่าไม่เกิน $20$? | $20^2 = 400$ ดังนั้นรากที่สองของจำนวนตั้งแต่ $1$ ถึง $400$ จะมีค่าไม่เกิน $20$ เนื่องจากลำดับนี้เริ่มต้นที่ $1$ จึงมี $\boxed{400}$ พจน์ | \boxed{400} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
สำหรับค่าของ $c$ ใด วงกลมที่มีสมการ $x^2 + 8x + y^2 + 4y + c = 0$ จะมีรัศมียาว 3 หน่วย? | การเติมกำลังสองให้เราได้ $(x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 20 - c$ เนื่องจากเราต้องการให้รัศมียาว 3 หน่วย ดังนั้นเราต้องมี $20 - c = 3^2$ เป็นผลให้ $c = \boxed{11}$ | c = \boxed{11} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เบนจามินกำลังพยายามไขกุญแจรหัสแบบผสม ตัวกุญแจประเภทนี้มี 5 หลักตั้งแต่ 0 ถึง 9 และเบนจามินรู้ว่ารหัสสำหรับประเภทของกุญแจนี้จะไม่มีหลักซ้ำกันเลย มีรหัสที่ถูกต้องกี่รหัส? | สำหรับหลักแรกของเขา เบนจามินมีตัวเลือก 10 ตัว สำหรับหลักที่สอง เขาจะมีตัวเลือก 9 ตัว เนื่องจากเขาไม่สามารถทำซ้ำหลักใด ๆ ได้ สำหรับหลักที่สาม, สี่ และห้า เขาจะมีตัวเลือก 8, 7 และ 6 ตัวตามลำดับ ดังนั้นจึงมี $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = \boxed{30,\!240}$ รหัสที่เป็นไปได้ | 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = \boxed{30,\!240} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เมื่อ $3y^3-13y^2+11y+23$ หารด้วย $3y+2$ แล้ว ผลหารคือ $y^2-5y+c$ และเศษเหลือเป็นค่าคงที่ จงหาเศษเหลือ | ให้เศษเหลือเป็น $r$ ซึ่งเป็นค่าคงที่ แล้วเราทราบว่า
$$3y^3-13y^2+11y+23 = (3y+2)(y^2-5y+c) + r.$$เมื่อขยายจะได้
$$3y^3-13y^2+11y+23 = 3y^3-15y^2+3cy+2y^2-10y+2c + r$$ซึ่งจะเรียบง่ายเป็น
$$11y+23 = 3cy-10y+2c + r.$$เนื่องจากเศษเหลือเป็นค่าคงที่ เราทราบว่า
$$11y = (3c-10)y$$เมื่อแก้หา $c$ จะได้ $c=7$.
แล้วเศษเหลือ $r = 2... | r = 23 - 2c =23-14 = \boxed{9}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปดาวหลายเหลี่ยมถูกวาดบนหน้าปัดนาฬิกาโดยการวาดคอร์ดจากแต่ละตัวเลขไปยังตัวเลขที่ห้าที่นับตามเข็มนาฬิกาจากตัวเลขนั้น นั่นคือ คอร์ดถูกวาดจาก 12 ถึง 5, จาก 5 ถึง 10, จาก 10 ถึง 3 และอื่นๆ จนสิ้นสุดที่ 12 ขนาดของมุมที่แต่ละจุดยอดในรูปดาวหลายเหลี่ยมมีค่าเท่าไร? | พิจารณาคอร์ดสองเส้นที่มีจุดปลายที่ 5 ส่วนโค้งที่ย่อยโดยมุมที่กำหนดโดยคอร์ดเหล่านี้ขยายจาก 10 ถึง 12 ดังนั้นขนาดของส่วนโค้งเป็น $(2/12)(360)=60$ โดยทฤษฎีบทมุมศูนย์กลาง ขนาดของมุมนี้เป็น $(1/2)(60)=30$ โดยสมมาตร ขนาดของมุมที่แต่ละจุดยอดคือ $\boxed{30}$ | \boxed{30} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้เส้นตรง $L$ เป็นจุดตัดระหว่างระนาบ $x + y + z - 6 = 0$ และ $2x + 3y + 4z + 5 = 0.$ จงหาสมการของระนาบที่บรรจุเส้นตรง $L$ และจุด $(1,1,1).$ แสดงคำตอบในรูป
\[Ax + By + Cz + D = 0,\]โดยที่ $A,$ $B,$ $C,$ $D$ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ $A > 0$ และ $\gcd(|A|,|B|,|C|,|D|) = 1.$ | พิจารณาสมการ
\[a(x + y + z - 6) + b(2x + 3y + 4z + 5) = 0,\]โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัวบางค่า. เนื่องจาก $L$ อยู่ในระนาบทั้งสอง $L$ จึงสอดคล้องกับสมการ $x + y + z - 6 = 0$ และ $2x + 3y + 4z + 5 = 0$ ดังนั้น $L$ จึงสอดคล้องกับสมการข้างต้น.
เราต้องการให้ $(1,1,1)$ สอดคล้องกับสมการด้วย ดังนั้นเราแทนค่าเหล่านี้ลงไป จะ... | \boxed{20x + 23y + 26z - 69 = 0}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จานาอินาพยายามแก้สมการต่อไปนี้โดยการเติมกำลังสอง: $$x^2+18x-9 = 0.$$ เธอสามารถเขียนสมการข้างต้นใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้ได้: $$(x + b)^2 = c,$$โดยที่ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $c$? | เราเขียนสมการใหม่ดังนี้ โดยพยายามสร้างกำลังสองของทวินามทางด้านซ้าย: \begin{align*}
x^2 + 18x - 9 &= 0\\
x^2 + 18x + 81 &= 90\\
(x + 9)^2 &= 90.
\end{align*}เราเห็นว่าสิ่งนี้ทำงานได้อย่างชัดเจน และ $c = \boxed{90}.$ | c = \boxed{90}. | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
ในห้องเรียนที่มีนักเรียน 30 คน มีนักเรียนที่เคยไปเม็กซิโก 7 คน และนักเรียนที่เคยไปอังกฤษ 11 คน จากนักเรียน 30 คนนี้ มี 4 คนที่เคยไปทั้งเม็กซิโกและอังกฤษ มีนักเรียนกี่คนที่ไม่ได้ไปเม็กซิโกหรืออังกฤษ | จากนักเรียน 7 คนที่เคยไปเม็กซิโก มี 4 คนที่เคยไปอังกฤษด้วย ดังนั้น $7-4=3$ คนที่เคยไปเม็กซิโกแต่ไม่เคยไปอังกฤษ
จากนักเรียน 11 คนที่เคยไปอังกฤษ มี 4 คนที่เคยไปเม็กซิโกด้วย ดังนั้น $11-4=7$ คนที่เคยไปอังกฤษแต่ไม่เคยไปเม็กซิโก
ดังนั้น มี 3 คนที่เคยไปเม็กซิโกเท่านั้น 7 คนที่เคยไปอังกฤษเท่านั้น และ 4 คนที่เคยไปทั้งสองประเ... | 30-3-7-4=\boxed{16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ห้าถูกบวกเข้ากับสี่เท่าของจำนวนเต็มตัวหนึ่งได้ผลลัพธ์ 277 จำนวนเต็มตัวนั้นคือจำนวนใด | ให้จำนวนเต็มตัวนั้นเป็น $n$ ดังนั้น ห้าบวกกับสี่เท่าของ $n$ เทียบเท่ากับนิพจน์: $$5+4n$$เราทราบว่าผลลัพธ์ของนิพจน์นี้คือ 277 ดังนั้นเราสามารถตั้งสมการได้: \begin{align*}
5+4n&=277 \\
4n&=272 \\
n&=68.
\end{align*}ดังนั้น จำนวนเต็มตัวนั้นคือ $\boxed{68}$. | \boxed{68} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดของสมการ $\tan{19x^{\circ}}=\dfrac{\cos{96^{\circ}}+\sin{96^{\circ}}}{\cos{96^{\circ}}-\sin{96^{\circ}}}$. | จากสูตรการบวกของฟังก์ชันแทนเจนต์
\begin{align*}
\frac{\cos 96^\circ + \sin 96^\circ}{\cos 96^\circ - \sin 96^\circ} &= \frac{1 + \tan 96^\circ}{1 - \tan 96^\circ} \\
&= \frac{\tan 45^\circ + \tan 96^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 96^\circ} \\
&= \tan (45^\circ + 96^\circ) \\
&= \tan 141^\circ.
\end{align*}ดังนั้น เราต้อ... | x \equiv \boxed{159} \pmod{180}. | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาหลักหน่วยของผลบวกของกำลังสามบวกที่ 21 ตัวแรก | สังเกตว่าสำหรับจำนวนเต็ม $n$ ใดๆ ที่สอดคล้องกับ $1 \le n \le 19, n \neq 10$ โดยใช้การแยกตัวประกอบผลบวกของกำลังสาม $n^3 + (20 - n)^3 = (n + 20 - n)(n^2 + (20-n)n + (20-n)^2)$ $ = 20(n^2 + (20-n)n + (20-n)^2)$. ดังนั้นเราสามารถจับคู่จำนวนเต็มแต่ละตัวกับผลต่างระหว่าง $20$ และจำนวนเต็มนั้น และผลบวกของกำลังสามของมันหารด้วย ... | \boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เฉลี่ยการตีของโจเป็น .323 (นั่นคือเขาตีเฉลี่ย 0.323 ครั้งต่อการตี) ความน่าจะเป็นที่เขาจะตีได้ 3 ครั้งใน 3 ครั้งที่ตีคือเท่าใด? แสดงคำตอบเป็นทศนิยมปัดเศษถึงร้อยละ | การตีของโจแต่ละครั้งเป็นอิสระจากครั้งอื่น ๆ นั่นคือความน่าจะเป็นที่จะตีได้ในแต่ละครั้งจะไม่เปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับว่าเขาตีหรือพลาดลูกก่อนหน้าหรือไม่ ดังนั้นในการคำนวณความน่าจะเป็นที่เขาจะตีได้ 3 ครั้งใน 3 ครั้งที่ตี เราเพียงแค่ยกกำลัง 3 ของ 0.323 เพื่อให้ได้ 0.033 ปัดเศษเป็นร้อยละที่ใกล้เคียงที่สุดจะได้ $\boxed{0.03}$ | \boxed{0.03} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $S$ เป็นเซตของทุกจุด $(x,y,z)$ ที่สอดคล้องกับ $x^2 + y^2 + z^2 \le 25$ และ $z \ge 0.$ คำนวณความยาวด้านของลูกบาศก์ที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุอยู่ใน $S.$ | สังเกตว่า $S$ เป็นครึ่งบนของทรงกลมที่มีรัศมี 5.
ให้ $s$ เป็นความยาวด้านของลูกบาศก์ แล้วหน้าหนึ่งของลูกบาศก์จะอยู่ในแนวเดียวกับระนาบ $xy$ ; จุดศูนย์กลางของหน้านี้คือ $O = (0,0,0).$
[asy]
unitsize(1.2 cm);
pair A, B, C, D, O, T, X, Y, Z;
pair x, y, z;
x = (2,-0.2);
y = (1.2,0.8);
z = (0,2);
X = (0,0);
Y = x;
T = y;
... | s = \boxed{\frac{5 \sqrt{6}}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ ที่สอดคล้องกับ $f(1) = 2$ และ
\[f(xy) = f(x) f(y) - f(x + y) + 1\]สำหรับทุก $x,$ $y \in \mathbb{Q}.$
ให้ $n$ เป็นจำนวนของค่าที่เป็นไปได้ของ $f \left( \frac{1}{2} \right),$ และให้ $s$ เป็นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f \left( \frac{1}{2} \right).$ จงหา $n \times s.$ | กำหนด $y = 1,$ เราได้
\[f(x) = 2f(x) - f(x + 1) + 1,\]ดังนั้น $f(x + 1) = f(x) + 1$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}.$ จากนั้น
\begin{align*}
f(x + 2) &= f(x + 1) + 1 = f(x) + 2, \\
f(x + 3) &= f(x + 2) + 1 = f(x) + 3,
\end{align*}และอื่นๆ. โดยทั่วไป,
\[f(x + n) = f(x) + n\]สำหรับทุก $x \in \mathbb{Q}$ และทุกจำนวนเต็ม $n.$... | n \times s = \boxed{\frac{3}{2}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันมีกี่ตัวในการแยกตัวประกอบของ $117\cdot119$? | ทั้งสองจำนวนนี้ดูเหมือนจะเป็นจำนวนเฉพาะ แต่จริงๆแล้วไม่ใช่ $117=3^2\cdot13$ และ $119=7\cdot17$ นั่นทำให้มีจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน $\boxed{4}$ ตัว ในการแยกตัวประกอบ | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามจุดยอดของลูกบาศก์คือ $P=(7,12,10)$, $Q=(8,8,1)$, และ $R=(11,3,9)$. ความยาวของด้านของลูกบาศก์คือเท่าไร? | เราคำนวณ \[\begin{aligned} PQ &= \sqrt{(7-8)^2 + (12-8)^2 + (10-1)^2} = 7\sqrt{2}, \\ QR &= \sqrt{(8-11)^2 + (8-3)^2 + (1-9)^2} = 7\sqrt{2}, \\ PR &= \sqrt{(7-11)^2 + (12-3)^2 + (10-9)^2} = 7\sqrt{2}. \end{aligned}\]ดังนั้น $PQR$ เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เกิดจากสามจุดยอดของลูกบาศก์. นั่นหมายความว่าด้านของ $PQR$ แต่ล... | 7 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รถบัสจะมาถึงป้ายรถเมล์ของเจอร์รี่ทุกๆ 20 นาที เริ่มต้นเวลา 05:13 น. ถ้าเจอร์รี่มาถึงเวลา 08:35 น. เขาจะต้องรอนานเท่าไรถึงรถบัสคันต่อไป | เนื่องจาก 20 นาทีหาร 60 นาที (ซึ่งเท่ากับ 1 ชั่วโมง) ลงตัว จึงหมายความว่ารถบัสจะจอดทุกๆ 13 นาที, $13 + 20 = 33$ นาที และ $33 + 20 = 53$ นาทีหลังจากทุกๆ ชั่วโมง ดังนั้นหลังจากเวลา 08:35 น. ครั้งต่อไปที่รถบัสจะจอดคือ 08:53 น. ดังนั้นเจอร์รี่ต้องรอนาน $53 - 35 = \boxed{18}$ นาที | 53 - 35 = \boxed{18} | [
"ประยุกต์"
] |
จงหาความน่าจะเป็นที่จำนวนเต็มที่เลือกมาแบบสุ่มจากเซต $$\{1,2,3,\ldots,100\}$$ จะหารด้วย 2 ลงตัวและไม่หารด้วย 3 ลงตัว แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เนื่องจาก $100 = 50\cdot 2$ มีจำนวนเต็ม 50 จำนวนในเซตที่หารด้วย 2 ลงตัว จำนวนในจำนวนนี้ที่หารด้วย 3 ลงตัวด้วย คือ คูณของ 6 ในเซต การหาร 100 ด้วย 6 จะได้ $16\frac23$ ดังนั้นมี 16 คูณของ 6 ในเซต ซึ่งเหลือ $50-16 = 34$ คูณของ 2 ที่ไม่ใช่คูณของ 3 มีจำนวนเต็ม 100 จำนวนในเซต ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ $\dfrac{34}{1... | \dfrac{34}{100} = \boxed{\dfrac{17}{50}} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำตอบของสมการ $(x+1)(x+2) = x+3$ สามารถเขียนได้ในรูป $m+\sqrt n$ และ $m-\sqrt n$ โดยที่ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $m+n$? | ראשית, เราขยายด้านซ้ายของสมการของเราเพื่อให้ได้ $$x^2+3x+2 = x+3.$$จากนั้นเราลบ $x+3$ จากทั้งสองข้างเพื่อให้ได้สมการกำลังสองในรูปแบบมาตรฐาน: $$x^2+2x-1 = 0.$$สมการนี้ไม่แยกตัวประกอบในทางที่ชัดเจน ดังนั้นเราจึงใช้สูตรกำลังสอง ซึ่งให้คำตอบของ $$x = \frac{-(2) \pm\sqrt{(2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}.$$... | -1+2=\boxed{1} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ $z = a + bi,$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า
\[z^3 + |z|^2 + z = 0,\]จงหาคู่ลำดับ $(a,b)$ | เราสามารถเขียน $|z|^2 = z \overline{z},$ ดังนั้นสมการจะกลายเป็น
\[z^3 + z \overline{z} + z = 0.\]เนื่องจาก $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก $z = a + bi$ ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราสามารถหารทั้งสองข้างของสมการข้างต้นด้วย $z$ ซึ่งจะได้
\[z^2 + \overline{z} + 1 = 0.\]จากนั้น $(a + bi)^2 + \overline{a + bi} + 1 = 0,$ หรือ
\[a^2... | (a,b) = \boxed{\left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2} \right)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดจำนวนเต็มบวก $n$ ที่ทำให้ $n < 10{,}000$ จำนวน $n+2005$ มีตัวประกอบบวกที่แตกต่างกันちょうど 21 ตัว จงหาผลรวมของค่า $n$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ | ให้ $k = n+2005$ เนื่องจาก $1 \le n \le 9999$ เราได้ $2006 \le k \le 12004$ เราทราบว่า $k$ มีตัวประกอบบวกที่แตกต่างกันちょうど 21 ตัว จำนวนตัวประกอบบวกของจำนวนเต็มบวกที่มีการแยกตัวประกอบเป็น अभाजน์ $p_1^{e_1}p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$ คือ $(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)$ เนื่องจาก $21 = 7 \cdot 3$ และ 7 และ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ ... | n = k - 2005 | [
"จำแนก",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $f(n)$ เป็นผลรวมของตัวหารจำนวนเต็มบวกของ $n$ ถ้า $n$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $f(f(n))$ เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน เรียก $n$ ว่าจำนวนเฉพาะชนิดกระดอน จงหาจำนวนเฉพาะชนิดกระดอนที่น้อยที่สุด | เราทดสอบจำนวนเฉพาะขนาดเล็ก จำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดคือ $2$ แต่สังเกตว่า $f(2) = 3$ และ $f(3) = 4$ จากนั้นเราทดสอบ $3$ และสังเกตว่า $f(4) = 7$ ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น $\boxed{3}$ คือจำนวนเฉพาะชนิดกระดอนที่น้อยที่สุด | \boxed{3} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้ารากของสมการกำลังสอง $4x^2+7x+k$ คือ $\frac{-7\pm i\sqrt{15}}{8}$ แล้ว $k$ มีค่าเท่าใด | จากสูตรกำลังสอง เราพบว่ารากของสมการกำลังสองคือ $\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4(4)(k)}}{8}=\frac{-7\pm\sqrt{49-16k}}{8}$ เนื่องจากโจทย์บอกว่ารากเหล่านี้ต้องเท่ากับ $\frac{-7\pm\sqrt{15}i}{8}$ ดังนั้น \begin{align*} \sqrt{49-16k}&=\sqrt{15}i
\\\Rightarrow\qquad \sqrt{49-16k}&=\sqrt{-15}
\\\Rightarrow\qquad 49-16k&=-15
\\\Rightar... | 4 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คอร์ดมีความยาว 6 หน่วย แบ่งวงกลมออกเป็นสองบริเวณที่แตกต่างกัน ถ้าวงกลมมีรัศมี 6 หน่วย พื้นที่ของบริเวณที่ใหญ่กว่าเป็นเท่าไรในหน่วยตาราง? แสดงคำตอบของคุณในรูปรากที่ง่ายที่สุดของ $\pi$ | วาดรัศมีไปยังจุดตัดของคอร์ดกับวงกลม สามเหลี่ยมด้านเท่าจะถูกสร้างขึ้นโดยมีพื้นที่ $\frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ อย่างไรก็ตาม ส่วนทั้งหมดมีพื้นที่ $\frac{36\pi}{6} = 6\pi$ ถ้าเราลบพื้นที่ของภาคออกจากพื้นที่ของวงกลมทั้งหมด และจากนั้นบวกพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่ากลับเข้ามา เราจะได้พื้นที่ของบริเวณที่ใหญ่กว่า พื้นที... | 36\pi - 6\pi + 9\sqrt{3} = \boxed{30\pi + 9\sqrt{3}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรในคำว่า NINE | ก่อนอื่นเราจะนับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนถ้า N ทั้งสองตัวแตกต่างกัน ซึ่งก็คือ 4! จากนั้นเนื่องจาก N ทั้งสองตัวเหมือนกัน เราหารด้วย $2!$ เพื่อนับการเรียงสับเปลี่ยนของ N ดังนั้นคำตอบคือ $\dfrac{4!}{2!} = \boxed{12}$ | \dfrac{4!}{2!} = \boxed{12} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ความกว้าง ความยาว และความสูงของรูปปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉากแต่ละด้านเพิ่มขึ้น $10\%$. ปริมาณของรูปปริซึมเพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์? แสดงคำตอบเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | จงจำไว้ว่าการเพิ่มปริมาณขึ้น $p\%$ เทียบเท่ากับการคูณด้วย $1+p\%$. ถ้าความยาว ความกว้าง และความสูงเดิมคือ $l$, $w$ และ $h$ ตามลำดับ ดังนั้นความยาว ความกว้าง และความสูงใหม่คือ $1.1l$, $1.1w$ และ $1.1h$ ตามลำดับ. ดังนั้นปริมาตรใหม่คือ $(1.1l)(1.1w)(1.1h)=(1.1)^3(lwh)=1.331(lwh)$ ซึ่งมากกว่าปริมาตรเดิม $lwh$ อยู่ 1.331 เท... | 33% | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในถุงที่มีลูกแก้ว 20 ลูก มีลูกแก้วสีน้ำเงิน 5 ลูก ต้องเติมลูกแก้วสีน้ำเงินกี่ลูกลงในถุง เพื่อให้ความน่าจะเป็นในการหยิบลูกแก้วสีน้ำเงินแบบสุ่มเป็น $\frac{1}{2}$? | ถ้าเติมลูกแก้วสีน้ำเงิน $x$ ลูก ลำดับของลูกแก้วสีน้ำเงินในถุงจะเป็น $\frac{5 + x}{20 + x}$ เราต้องการให้ค่านี้เท่ากับ $1/2$ ดังนั้น $\frac{5 + x}{20 + x}= \frac{1}{2}$ เมื่อจัดรูปสมการจะได้ $10 + 2x = 20 + x$ แก้สมการหาค่า $x$ จะได้ $x = \boxed{10}$ | x = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูป heptagon ปกติอยู่ในระนาบเดียวกันและมีด้าน $\overline{AD}$ ร่วมกันดังแสดง มุม $BAC$ มีขนาดกี่องศา แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนธรรมดา
[asy]
for(int i=0; i <=7; ++i) {
draw(dir(360*i/7+90)--dir(360*(i+1)/7+90));
}
pair A = dir(360*3/7+90);
pair F = dir(360*4/7+90);
pair C = A+dir(90)*(F-A);
pair D =... | ขนาดของมุมภายในแต่ละมุมในรูป $n$-gon ปกติคือ $180(n-2)/n$ องศา ดังนั้นขนาดของมุม $\angle BAD$ คือ $180(7-2)/7=\frac{900}7$ องศา และขนาดของมุม $CAD$ คือ 90 องศา ผลต่างของมันคือ $\angle BAC$ มีขนาดเท่ากับ \[\frac{900}7-\frac{630}7=\boxed{\frac{270}7\text{ องศา}}.\] | $\angle BAC$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าสูงสุดของ
\[\frac{x - y}{x^4 + y^4 + 6}\]เหนือจำนวนจริง $x$ และ $y$ ทั้งหมด | เห็นได้ชัดว่าค่าสูงสุดเกิดขึ้นเมื่อ $x$ เป็นบวกและ $y$ เป็นลบ ให้ $z = -y$ ดังนั้น $z$ เป็นบวก และ $y = -z$ แล้ว
\[\frac{x - y}{x^4 + y^4 + 6} = \frac{x + z}{x^4 + z^4 + 6}.\]โดย AM-GM,
\[x^4 + 1 + 1 + 1 \ge 4 \sqrt[4]{x^4} = 4x,\]และ
\[z^4 + 1 + 1 + 1 \ge 4 \sqrt[4]{z^4} = 4z.\]ดังนั้น $x^4 + z^4 + 6 \ge 4(x + z)$ ซึ่... | \boxed{\frac{1}{4}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สำหรับค่าคงที่ $c,$ ในพิกัดกระบอก $(r,\theta,z),$ จงหารูปร่างที่อธิบายโดยสมการ
\[z = c.\](A) เส้นตรง
(B) วงกลม
(C) ระนาบ
(D) ทรงกลม
(E) ทรงกระบอก
(F) กรวย
ใส่อักษรของตัวเลือกที่ถูกต้อง | ในพิกัดกระบอก $z$ แสดงถึงพิกัด $z$ ของจุด ดังนั้น สำหรับพิกัด $z$ ที่คงที่ $c$ จุดทั้งหมดจะอยู่บนระนาบที่ขนานกับระนาบ $xy$ คำตอบคือ $\boxed{\text{(C)}}.$
[asy]
import three;
import solids;
size(200);
currentprojection = perspective(6,3,2);
currentlight = (1,0,1);
real theta = 120;
draw((-2,0,0)--(2,0,0));
draw((0,-2... | C | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาจำนวนเส้นกำลุ่งแนวตั้งในกราฟของ
\[y = \frac{(x + 8) (x + 5)^2 (x + 1)^3 x^5 (x - 3)^2}{(x + 7) (x + 5)^2 (x + 1) x (x - 3)^3 (x - 4)}.\] | มีตัวประกอบของ $x + 5,$ $x + 1,$ และ $x$ ทั้งในตัวเศษและตัวส่วน และตัวประกอบในตัวส่วนจะตัดกันกับตัวประกอบในตัวเศษ ดังนั้นกราฟจะมีรูที่ $x = -5,$ $x = -1,$ และ $x = 0.$
มีตัวประกอบของ $x + 7$ ในตัวส่วน ดังนั้นจะมีเส้นกำลุ่งแนวตั้งที่ $x = -7.$ มีสามตัวประกอบของ $x - 3$ ในตัวส่วน และสองตัวประกอบของ $x - 3$ ในตัวเศษ ดังน... | \boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สูตรทำข้าวป๊อปอัดกรอบจะได้ส่วนผสมที่เต็มพิมพ์ 9 นิ้ว x 13 นิ้ว สูง 1 นิ้ว ถ้าส่วนผสมข้าวป๊อปอัดกรอบที่ได้จากสูตร 1.5 เท่าของสูตรเดิมถูกเทลงในพิมพ์ขนาด 10 นิ้ว x 15 นิ้ว พิมพ์จะเต็มสูงเท่าไรเป็นนิ้ว? แสดงคำตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง | ปริมาตรของข้าวป๊อปอัดกรอบที่ได้จากสูตรเดิมคือ $9\cdot 13\cdot 1 = 117$ ลูกบาศก์นิ้ว ดังนั้นปริมาตรที่ได้จากการทำ 1.5 เท่าของสูตรเดิมคือ $1.5\cdot 117 =175.5$ ลูกบาศก์นิ้ว ดังนั้นความสูงที่พิมพ์เต็มคือ $\frac{175.5}{10\cdot 15} = \boxed{1.17}$ นิ้ว | \frac{175.5}{10\cdot 15} = \boxed{1.17} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
ในรูปที่กำหนดให้ เส้นตั้งฉากถูกวาดจาก B ในสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCD ไปยังเส้นทแยงมุม AC ที่จุด X ด้าน AB ยาว 6 เซนติเมตร และเส้นทแยงมุม AC ยาว 10 เซนติเมตร จุด X ห่างจากจุดกึ่งกลาง M ของเส้นทแยงมุม AC กี่เซนติเมตร? แสดงคำตอบเป็นทศนิยมโดยปัดเศษเป็นหลักที่สิบ
[asy]
draw((0,0)--(25,0)--(25,15)--(0,15)--cycle,linewidth(1));
... | เราเห็นว่า $\triangle ABX \sim \triangle ACB$ เนื่องจาก $\angle BXA = \angle ABC$ และ $\angle A$ เป็นมุมร่วมของทั้งสองรูปสามเหลี่ยม จากความคล้ายนี้ เราได้สมการ $\frac{AB}{AC}=\frac{AX}{AB}$ แทนค่าความยาวด้านที่ทราบและแก้สมการหา AX เราได้ $\frac{6}{10}=\frac{AX}{6}\Rightarrow AX=3.6$ เนื่องจาก $AM=10/2=5$ ดังนั้น $XM=... | XM=5-3.6=\boxed{1.4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ในรูปภาพ $DC$ มีความยาวเป็นสองเท่าของ $BD$ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $ABC$ เท่ากับเท่าไร? [asy]
draw((0,0)--(-3,0)--(0,4)--cycle);
draw((0,0)--(6,0)--(0,4)--cycle);
label("3",(-1.5,0),N);
label("4",(0,2),E);
label("$A$",(0,4),N);
label("$B$",(-3,0),S);
label("$C$",(6,0),S);
label("$D$",(0,0),S);
draw((0,0.4)--(0.4,0.4)-... | เนื่องจาก $BD=3$ และ $DC$ มีความยาวเป็นสองเท่าของ $BD$ ดังนั้น $DC=6.$ [asy]
draw((0,0)--(-3,0)--(0,4)--cycle);
draw((0,0)--(6,0)--(0,4)--cycle);
label("3",(-1.5,0),N);
label("4",(0,2),E);
label("$A$",(0,4),N);
label("$B$",(-3,0),S);
label("$C$",(6,0),S);
label("$D$",(0,0),S);
label("6",(3,0),N);
draw((0,0.4)--(0.4,0.4... | 18 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ให้ $0, a, b, c$ เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแนวทวนเข็มนาฬิกา จงคำนวณ
\[\frac{ac + b^2}{ab}.\]แสดงคำตอบในรูปทศนิยม | นี่คือภาพของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสของเราที่มีจุดยอดเชื่อมต่อกับจุดกำเนิด:
[asy]
import TrigMacros;
size(180);
pair O, A, B, C;
rr_cartesian_axes(-2, 8, -5, 7, complexplane = true, usegrid = false);
O = (0,0);
A = (3, -1);
B = scale(sqrt(2))*rotate(45)*A;
C = rotate(90)*A;
draw(A--B--C--O--cycle);
draw(O--B);
... | \frac{c}{b} = \frac{1 + i}{2}. | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดกราฟของ $y = \frac{p(x)}{q(x)}$ ดังรูป โดยที่ $p(x)$ และ $q(x)$ เป็นพหุนามกำลังสอง (Assume that the grid lines are at integers.)
[asy]
unitsize(0.6 cm);
real func (real x) {
return (-(x + 5)*(x - 4)/(x - 2)^2);
}
int i;
for (i = -8; i <= 8; ++i) {
draw((i,-8)--(i,8),gray(0.7));
draw((-8,i)--(8,i),gray(0.... | เนื่องจากมีเส้นกำทายแนวตั้งเพียงเส้นเดียวที่ $x = 2,$ เราสามารถสมมติได้ว่า $q(x) = (x - 2)^2.$
เนื่องจากกราฟผ่านจุด $(4,0)$ และ $(-5,0),$ $p(x) = k(x - 4)(x + 5)$ สำหรับค่าคงที่ $k$ ใดๆ ดังนั้น
\[\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{k(x - 4)(x + 5)}{(x - 2)^2}.\]เนื่องจากเส้นกำทายแนวนอนคือ $y = -1,$ $k = -1,$ ดังนั้น
\[\frac{p(x... | k = -1, | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีวิธีการหยิบไพ่ 5 ใบ จากสำรับไพ่ 52 ใบได้กี่วิธี โดยที่ลำดับของไพ่ที่หยิบขึ้นมาไม่สำคัญ? | เราเลือกไพ่ 5 ใบ จาก 52 ใบ ซึ่งแสดงได้ด้วย ${{52}\choose{5}}=\boxed{2,\!598,\!960}$ | {{52}\choose{5}}=\boxed{2,\!598,\!960} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงแก้สมการสำหรับ $w$ และแสดงในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ: $\frac{1\frac16}w=\frac{42}3$. | การทำให้สมการทางซ้ายมือง่ายขึ้นจะได้ \[\frac{1\frac16}{w} = \frac{\frac{7}{6}}{w} = \frac{7}{6}\cdot\frac1w = \frac{7}{6w},\] ดังนั้นสมการคือ \[\frac{7}{6w} = \frac{42}{3} = 14.\] คูณทั้งสองข้างด้วย $6w$ จะได้ $7=14(6w)$. หารทั้งสองข้างด้วย $7$ จะได้ $1=2(6w)$ และหารทั้งสองข้างด้วย $12$ จะได้ $w = \boxed{\frac{1}{12}}$... | w = \boxed{\frac{1}{12}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถุงใบหนึ่งมีลูกบอล 4 ลูก ลูกบอลแต่ละลูกมีสีเดียวกัน และมี 3 สีที่แตกต่างกันอยู่ในถุง จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอล 2 ลูกแรกที่เลือกโดยไม่ใส่กลับ จะมีสีเดียวกัน แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างง่าย | มีวิธีเลือกคู่ลูกบอลได้ทั้งหมด ${4 \choose 2} = 6$ วิธี เนื่องจากมีลูกบอลเพียง 4 ลูก และมี 3 สีที่แตกต่างกัน จึงมีคู่ลูกบอลที่มีสีเดียวกันเพียง 1 คู่ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้คู่ลูกบอลที่มีสีเดียวกันนี้คือ $\boxed{\frac{1}{6}}$ | \boxed{\frac{1}{6}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จากกลุ่มคน 8 คน จะมีวิธีเลือกคณะกรรมการ 3 คนได้กี่วิธี? | มี $\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!}=\boxed{56}$ วิธีในการเลือก 3 คนจากกลุ่ม 8 คน โดยไม่คำนึงถึงลำดับ | \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!}=\boxed{56} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลคูณของตัวประกอบบวกที่ไม่ใช่ตัวเลข $n$ เอง สามารถเขียนได้ในรูป $n^{(ax+b)/c}$ โดยที่ $x$ คือจำนวนตัวหารบวกของ $n$, $c$ เป็นจำนวนเต็มบวก และตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสามตัว $a$, $b$ และ $c$ คือ $1$ จงหา $a+b+c$ | จงจำไว้ว่า โดยการจับคู่ตัวหารของ $n$ เราสามารถแสดงให้เห็นว่า ผลคูณของตัวประกอบบวกของ $n$ คือ $n^\frac{x}{2}$ เราหารสูตรนี้ด้วย $n$ เพื่อให้ได้ผลคูณของตัวประกอบบวกที่ไม่ใช่ตัวเลข $n$ เอง และเราได้ $\frac{n^\frac{x}{2}}{n} = n^{\frac{x}{2}-1} = n^\frac{x-2}{2}$ ดังนั้น $a = 1$, $b = -2$ และ $c = 2$ ดังนั้น $a+b+c = \boxe... | a+b+c = \boxed{1} | [
"จำ",
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งถูกวาดในรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่า สร้างรูปแปดเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมขึ้นมา จงหาค่าของ $x$?
[asy]
import markers;
for(int i=0; i <=10; ++i) {
draw(dir(360*i/10+90)--dir(360*(i+1)/10+90));
}
pair A = dir(360*0/10+90);
pair F = dir(360*7/10+90);
pair G = dir(360*8/10+90);
pair H = dir(360*9/10+90);
draw... | มุมของรูป n เหลี่ยมด้านเท่า มีขนาด $\left(\frac{180(n-2)}n\right)^\circ$ ดังนั้น มุมในรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่ามีขนาด \[y=\frac{180\cdot8}{10}=144\]องศา
เราสังเกตว่า เนื่องจากมุมที่ใหญ่กว่าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน และด้านที่สอดคล้องกันทั้งสามด้านเท่ากัน รูปนี้จึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหน้าจั่ว ดังนั้นเราได้มุมดั... | x=\boxed{36} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
10 คนเข้าร่วมงานเลี้ยง ในงานเลี้ยงนี้ทุกคนจับมือกับทุกคน มีการจับมือกันกี่ครั้งในงานเลี้ยง? | เราสามารถเลือก 2 คนจากกลุ่ม 10 คนเพื่อจับมือกัน โดยไม่คำนึงถึงลำดับ ใน $\binom{10}{2} = \boxed{45}$ วิธี | \binom{10}{2} = \boxed{45} | [
"ประยุกต์ใช้"
] |
จงหาค่าของ $x$ โดยที่ \[\sqrt{x+7} - \sqrt{x} = \sqrt{3}.\] | บวก $\sqrt{x}$ เข้าทั้งสองข้าง จะได้ \[\sqrt{x+7} = \sqrt{x} + \sqrt{3}.\]จากนั้น ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้ \[x + 7 = x + 3 + 2\sqrt{3x},\]หรือ \[4 = 2\sqrt{3x}.\]ดังนั้น $2 = \sqrt{3x}$ ดังนั้น $4 = 3x$ และ $x = \boxed{\frac{4}{3}}.$ | x = \boxed{\frac{4}{3}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละรูปมีด้านยาว 6 หน่วย และทับซ้อนกันดังแสดงในรูปด้านล่าง จุดที่ด้านตัดกันเป็นจุดกึ่งกลาง จงหาพื้นที่ของรูปสีเทาเป็นหน่วยตาราง
[asy]
size(3cm,3cm);
fill((0,1)--(1,1)--(1,2)--(0,2)--cycle,lightgray);
fill((0.5,0.5)--(1.5,0.5)--(1.5,1.5)--(0.5,1.5)
--cycle,lightgray);
fill((1,0)--(2,0)--(2,1)--(1... | แบ่งรูปโดยต่อด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส``ตรงกลาง''ดังแสดงทางด้านขวา สี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละรูปมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก $3 \times 3$ รูปที่ทับกัน รูปที่แรเงาประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็ก $3 \times 3$ จำนวน 10 รูป ดังนั้นพื้นที่ของมันคือ $10 \times 9 = \boxed{90\text{ หน่วยตาราง}}$
[asy]
size(3cm,3cm);
fill((0,1)--(1,1)... | 10 \times 9 = \boxed{90\text{ หน่วยตาราง}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
50% ของ $ rac{1}{3}$ ของ 36 คือเท่าใด | $ rac{1}{3}$ ของ 36 คือ 12 และ 50% ของ 12 คือ $oxed{6}$ | $oxed{6}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
เมื่อเขียนในรูปมาตรฐาน ผลคูณ $\left(9.2 \times 10^2\right)\left(8 \times 10^6\right)$ จะมีศูนย์กี่ตัว | ก่อนอื่น ให้ทำให้ง่ายขึ้น $(9.2\times 10^2)(8\times 10^6)=73.6\times 10^8$. ตัวประกอบ $10^8$ บอกเราว่าต้องเลื่อนจุดทศนิยมใน 73.6 ไปทางขวา 8 ตำแหน่ง ขั้นตอนแรกเลื่อนจุดทศนิยมผ่าน 6 และขั้นตอนถัดไปอีก $\boxed{7}$ ขั้นตอนแต่ละขั้นตอนจะนำตัวเลข 0 มา | \boxed{7} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และให้ $k$ เป็นจำนวนของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $2^n$ ซึ่งเป็นจำนวนผกผัน modulo $2^n$ ถ้า $2^n\equiv 3\pmod{13}$ แล้วเศษที่เหลือเมื่อ $k$ หารด้วย $13$ เท่ากับเท่าไร? | เนื่องจาก $2^n$ เป็นกำลังของ $2$ ตัวประกอบเฉพาะเพียงตัวเดียวคือ $2$ ดังนั้นจำนวนเต็มคี่ทุกจำนวนเป็นจำนวนผกผัน modulo $2^n$ และจำนวนเต็มคู่ทุกจำนวนไม่เป็นจำนวนผกผัน modulo $2^n$ ในจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า $2^n$ มีจำนวนเต็มคี่อยู่ $\frac{2^n}{2}=2^{n-1}$ จำนวน ดังนั้น \[k=2^{n-1}\equiv 2^{-1}2^n\equiv 7\cdot 3\equiv 21\... | \frac{2^n}{2}=2^{n-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ทั้งหมดที่อยู่ในช่วง $-\frac{\pi}{2}$ ถึง $\frac{\pi}{2}$ ซึ่งทำให้ $1 - \sin^4 x - \cos^2 x = \frac{1}{16}$ จงแสดงคำตอบทั้งหมดที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค | เนื่องจาก $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ สมการจะกลายเป็น $\sin^2 x - \sin^4 x = \frac{1}{16}$ หรือ
\[\sin^4 x - \sin^2 x + \frac{1}{16} = 0.\]เราสามารถเขียนสมการนี้ในรูปสมการกำลังสองของ $\sin^2 x$:
\[(\sin^2 x)^2 - \sin^2 x + \frac{1}{16} = 0.\]โดยใช้สูตรกำลังสอง
\[\sin^2 x = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{4}.\]ดังนั้น
\[\cos 2x = 1... | \boxed{-\frac{5 \pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ของ น.ส. แฮมิลตัน ต้องการเข้าร่วมการแข่งขันบาสเกตบอลแบบทีมละ 3 คนประจำปี Lance, Sally, Joy และ Fred ได้รับเลือกให้เป็นสมาชิกของทีม มีวิธีเลือกผู้เล่นตัวจริง 3 คนได้กี่วิธี? | เมื่อมีผู้เล่น 3 คนเป็นตัวจริง จะมีผู้เล่นสำรอง 1 คน เนื่องจากผู้เล่นทั้ง 4 คนสามารถเป็นผู้เล่นสำรองได้ จึงมี 4 วิธีในการเลือกทีมตัวจริง: Lance-Sally-Joy, Lance-Sally-Fred, Lance-Joy-Fred และ Sally-Joy-Fred หรือเราสามารถสังเกตได้ว่าเรามี $\boxed{4}$ ตัวเลือกสำหรับผู้เล่นที่จะไม่ลงสนาม! | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $g(x) = x^2 - 11x + 30,$ และให้ $f(x)$ เป็นพหุนามซึ่งทำให้
\[g(f(x)) = x^4 - 14x^3 + 62x^2 - 91x + 42.\]จงหาผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(10^{100}).$ | กำหนดให้ $d$ เป็นดีกรีของ $f(x).$ ดังนั้น ดีกรีของ $g(f(x))$ คือ $2d = 4,$ ดังนั้น $d = 2.$
ดังนั้น ให้ $f(x) = ax^2 + bx + c.$ แล้ว
\begin{align*}
g(f(x)) &= g(ax^2 + bx + c) \\
&= (ax^2 + bx + c)^2 - 11(ax^2 + bx + c) + 30 \\
&= a^2 x^4 + 2abx^3 + (2ac + b^2 - 11a) x^2 + (2bc - 11b) x + c^2 - 11c + 30.
\end{align*... | \boxed{11}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนจริง $t$ ที่ $\tan t$ และ $\sec t$ ถูกนิยาม จุด
\[(x,y) = (\tan t, \sec t)\]ถูกพล็อตลงบนกราฟ จุดที่ถูกพล็อตทั้งหมดอยู่ในเส้นโค้งประเภทใด?
(A) เส้นตรง
(B) วงกลม
(C) พาราโบลา
(D) 타원
(E) ไฮเปอร์โบลา
ใส่ตัวอักษรของตัวเลือกที่ถูกต้อง | ให้ $x = \tan t$ และ $y = \sec t.$ แล้ว
\[y^2 - x^2 = \sec^2 t - \tan^2 t = 1,\]ดังนั้นจุดที่ถูกพล็อตทั้งหมดอยู่ในไฮเปอร์โบลา คำตอบคือ $\boxed{\text{(E)}}.$ | \boxed{\text{(E)}}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาคำตอบของสมการ $(x - 3)^3 + (x -7)^3 = (2x - 10)^3.$ | ให้ $a = x - 3$ และ $b = x - 7.$ ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการที่กำหนดให้ใหม่ได้เป็น
\[a^3 + b^3 = (a + b)^3.\]เมื่อขยาย, เราได้ $a^3 + b^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3,$ ดังนั้น $3a^2 b + 3ab^2 = 0,$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น
\[3ab(a + b) = 0.\]ดังนั้น $a = 0,$ $b = 0,$ หรือ $a + b = 0.$ จากนั้น $x - 3 = 0,$ $x - 7 = 0,$... | \boxed{3, 5, 7}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เมื่อหารผลบวกของ $129^{34}+96^{38}$ ด้วย 11 แล้วจะเหลือเศษเท่าใด | เราใช้สมบัติที่ว่า $a \equiv b \pmod{m}$ หมายถึง $a^c \equiv b^c \pmod{m}$.
เนื่องจาก $129 \equiv -3 \pmod{11}$ และ $96 \equiv -3 \pmod{11}$ ดังนั้น $$129^{34}+96^{38} \equiv (-3)^{34}+(-3)^{38} \equiv 3^{34}+3^{38} \pmod{11}.$$เนื่องจาก $3^5 \equiv 1 \pmod{11},$ เราจะเห็นว่า $3^{34} = (3^5)^{6} \cdot 3^4$ และ $3^{38}... | 9 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลำดับ 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, $\ldots$ ประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกทั้งหมดจากน้อยไปหามากที่ไม่ใช่กำลังสองหรือกำลังสาม จงหาพจน์ที่ $400^{\mathrm{th}}$ ของลำดับ | ลองนับจำนวนกำลังสองและกำลังสามที่น้อยกว่า $441=21^2$ ดู มีกำลังสองที่น้อยกว่า 441 อยู่ยี่สิบตัว: $1^2, 2^2, \ldots, 20^2$ มีกำลังสามที่น้อยกว่า 441 อยู่เจ็ดตัว: $1^3, 2^3, \ldots, 7^3$ ดังนั้นดูเหมือนว่าจะมี $20+7=27$ จำนวนที่น้อยกว่า 441 ซึ่งเป็นกำลังสองหรือกำลังสาม
แต่รอก่อน! $1=1^2=1^3$ เป็นทั้งกำลังสองและกำลังสาม... | \boxed{425} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แองกี้ตัดสินใจใช้ห้องเรียนของเธอเป็นตัวอย่างเพื่อคาดการณ์จำนวนนักเรียนทั้งหมดในโรงเรียนของเธอที่สวมเสื้อสีแดงในวันวาเลนไทน์ เธอสังเกตว่ามีนักเรียน 11 คนสวมเสื้อสีแดงในห้องเรียนของเธอที่มีนักเรียน 24 คน โดยใช้สัดส่วนนี้ แองกี้จะประมาณว่ามีนักเรียนจำนวนเท่าใดในจำนวน 480 คนในโรงเรียนของเธอที่สวมเสื้อสีแดง? | เราสามารถใช้ข้อมูลที่กำหนดให้สร้างอัตราส่วนและแก้หาจำนวนเด็กในโรงเรียนที่สวมเสื้อสีแดง ให้ $x$ เท่ากับจำนวนนักเรียนทั้งหมดที่สวมเสื้อสีแดงในโรงเรียน จากข้อมูลที่กำหนดให้ เรามี $$ \frac{11}{24} = \frac{x}{480},$$ ดังนั้น $$ x = \frac{480 \cdot 11}{24},$$ ซึ่งหมายความว่า $$ x = 20 \cdot 11 = \boxed{220}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
ในปีการศึกษา มีสมาชิกชมรมหมากรุก 10 คน เล่นหมากรุกทั้งหมด 900 게임 ในระหว่างการฝึกซ้อม แต่ละคนเล่นกับสมาชิกคนอื่น ๆ $N$ ครั้ง ค่าของ $N$ คือเท่าไร? | เนื่องจากมีสมาชิกชมรม 10 คน จึงมีการจับคู่สมาชิก $\binom{10}{2} = \frac{10\cdot 9}{2} = 45$ คู่ ดังนั้นแต่ละคู่ต้องเล่น $\frac{900}{45} = \boxed{20}$ เกม | $\frac{900}{45} = \boxed{20}$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl} ax+3, &\text{ if }x>2, \\
x-5 &\text{ if } -2 \le x \le 2, \\
2x-b &\text{ if } x <-2.
\end{array}
\right.\]จงหา $a+b$ ถ้าฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนนี้ต่อเนื่อง (หมายความว่ากราฟของมันสามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอขึ้น) | เพื่อให้ฟังก์ชันแบบชิ้นส่วนต่อเนื่อง กรณีต่างๆ ต้อง "มาบรรจบกัน" ที่ $2$ และ $-2$ ตัวอย่างเช่น $ax+3$ และ $x-5$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=2$ นี่หมายความว่า $a(2)+3=2-5$ ซึ่งเราแก้สมการได้ $2a=-6 \Rightarrow a=-3$ เช่นเดียวกัน $x-5$ และ $2x-b$ ต้องเท่ากันเมื่อ $x=-2$ แทนค่าลงไป เราได้ $-2-5=2(-2)-b$ ซึ่งหมายความว่า $b=3$ ดังน... | a+b=-3+3=\boxed{0} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ผลรวมของสองจำนวนคือ 45 และผลต่างของสองจำนวนนั้นคือ 3 จงหาจำนวนที่น้อยกว่า | ให้ $x,y$ เป็นจำนวนที่มากกว่าและน้อยกว่าตามลำดับ เรามี $x+y=45$ และ $x-y=3$ ดังนั้น: $y=\frac{1}{2}((x+y)-(x-y))=\frac{1}{2}(45-3)=\boxed{21}$. | y=\frac{1}{2}((x+y)-(x-y))=\frac{1}{2}(45-3)=\boxed{21} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นรากของสมการ $x^2-mx+2=0.$ สมมติว่า $a+(1/b)$ และ $b+(1/a)$ เป็นรากของสมการ $x^2-px+q=0.$ จงหาค่าของ $q?$ | เนื่องจาก $a$ และ $b$ เป็นรากของ $x^2 - mx + 2 = 0,$ เราได้ \[
x^2 - mx + 2 = (x-a)(x-b)\quad \text{และ} \quad ab = 2.
\] ในทำนองเดียวกัน พจน์คงตัวของ $x^2 - px + q$ คือ ผลคูณของ $a + (1/b)$ และ $b + (1/a),$ ดังนั้น \[
q=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right)= ab+1+1+\frac{1}{ab}=\boxed{\frac{9}{2}}.
\] | 9/2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2+y^2=-2x-10y-16$ คือจุด $(x,y)$ จงหาค่าของ $x+y$? | เราจะเติมกำลังสองเพื่อหาสมการมาตรฐานของวงกลม ย้ายทุกพจน์ยกเว้นพจน์คงตัวจาก RHS ไป LHS เราได้ $x^2+2x+y^2+10y=-16$ เติมกำลังสองใน $x$ เราบวก $(2/2)^2=1$ เข้าไปในทั้งสองข้าง เติมกำลังสองใน $y$ เราบวก $(10/2)^2=25$ เข้าไปในทั้งสองข้าง สมการจะกลายเป็น \begin{align*}
x^2+2x+y^2+10y&=-16\\
\Rightarrow x^2+2x+1+y^2+10y+25&=10... | x+y=-1+(-5)=\boxed{-6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามพจน์แรกของลำดับเลขคณิตคือ 1, 10 และ 19 ตามลำดับ ค่าของพจน์ที่ 21 คือเท่าใด | ผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิตนี้คือ $10 - 1 = 9$ ดังนั้นพจน์ที่ $21^{\text{st}}$ คือ $1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181}$ | 1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ \[ (a^2+b)^2 - (a^2-b)^2, \]ถ้า $a=4$ และ $b=1$. | วิธีที่รวดเร็วที่สุดอาจจะเป็นการใช้การแยกตัวประกอบผลต่างของกำลังสอง: \begin{align*}
(a^2 + b)^2 - (a^2 - b)^2 &= \bigl[ (a^2 + b) + (a^2 - b) \bigr] \cdot
\bigl[ (a^2 + b) - (a^2 - b) \bigr] \\
&= ( a^2 + b + a^2 - b) \cdot (a^2 + b - a^2 +b ) \\
&= (2 a^2 ) \cdot (2 b) \\
&= 4 a^2 b. \end{align*}เนื่องจาก $a= 4$ และ $... | 64 | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x)=3x^3+2$ จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $f^{-1}(x)=4$ | สมการ $f^{-1}(x)=4$ เทียบเท่ากับ $x=f(4)$ ดังนั้นเราต้องการหาค่า $f(4)$ เราคำนวณ $f(4) = 3 \cdot 4^3 + 2 = \boxed{194}$ | f(4) = 3 \cdot 4^3 + 2 = \boxed{194} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ $2x(x-3) + 3(x-3)$ | เราสามารถแยกตัวประกอบ $x-3$ ออกจากแต่ละพจน์ได้: \[2x(x-3) + 3(x-3) = 2x\cdot (x-3) + 3\cdot (x-3) = \boxed{(2x+3)(x-3)}.\] ถ้าคุณยังไม่เห็นว่ามันทำงานอย่างไร ลองแทน $A$ แทน $x-3$ ทุกที่ในนิพจน์เดิม แล้วเราจะเห็นการแยกตัวประกอบได้ชัดเจนขึ้น: \[2xA +3A = 2x\cdot A + 3\cdot A = (2x+3)A.\] แทน $x-3$ กลับเข้าไปใน $A$ เราจะไ... | (2x+3)(x-3) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor{\pi}\rfloor$. | เราต้องหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $\pi$ เนื่องจาก $\pi$ ประมาณ $3.14$ คำตอบคือ $\boxed{3}$ | \boxed{3} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดว่ากราฟของ $y=h(x)$ และ $y=j(x)$ ตัดกันที่ $(2,2),$ $(4,6),$ $(6,12),$ และ $(8,12)$ มีจุดหนึ่งที่กราฟของ $y=h(2x)$ และ $y=2j(x)$ ต้องตัดกัน จงหาผลรวมของพิกัดของจุดนั้น | ข้อมูลที่กำหนดให้เราทราบว่า $$\begin{array}{c@{\qquad}c}
h(2)=j(2)=2, & h(4)=j(4)=6, \\
h(6)=j(6)=12, & h(8)=j(8)=12.
\end{array}$$ถ้ากราฟของ $y=h(2x)$ และ $y=2j(x)$ ตัดกันที่ $(a,b),$ แล้ว $$h(2a)=2j(a)= b.$$ตรวจสอบความเป็นไปได้ในตารางข้างต้น เราจะเห็นว่า $h(8)=2j(4)=12.$ ดังนั้น กราฟของ $y=h(2x)$ และ $y=2j(x)$ ตัดกัน... | \boxed{16}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหา $h(x)$ โดยให้พจน์เรียงตามกำลังของ $x$ ลดลง เมื่อ \[9x^3-3x+1+h(x)=3x^2-5x+3.\] | แก้สมการนี้ได้ดังนี้ \[h(x)=(3x^2-5x+3)-(9x^3-3x+1)=\boxed{-9x^3+3x^2-2x+2}\] | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
จงหา czynนับเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของ $9879$ | เราเห็นว่า
$$9879=10000-121=100^2-11^2$$ดังนั้น
$$9879=(100-11)(100+11)=89(111)=3*37*89$$ดังนั้น คำตอบคือ $\boxed{89}$ | \boxed{89} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $\lfloor\sqrt{17}\rfloor^2$. | เนื่องจาก $\sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{25}$ หรือ $4<\sqrt{17}<5$ จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $\sqrt{17}$ คือ $4$ ดังนั้น $4^2=\boxed{16}$ | 4^2=\boxed{16} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^2$ ในการกระจายของผลคูณ $$(2x^2 +3x +4)(5x^2 +6x +7).$$ | การกระจายแสดงว่า \begin{align*}
&(2x^2 +3x +4)(5x^2 +6x +7) \\
&\qquad= 2x^2(5x^2+6x+7) + 3x(5x^2+6x+7) \\
&\qquad\qquad+4(5x^2+6x+7) \\
& \qquad= 10x^4 +27x^3 +52x^2 +42x+7.
\end{align*}สัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสองคือ 52. แทนที่จะกระจายผลคูณของพหุนามสองตัว เราสามารถสังเกตได้ว่าพจน์กำลังสองในผลคูณจะได้มาจากผลรวมของพจน์ท... | \boxed{52} | [
"จำ",
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนด $f(x) = \frac{2x-1}{x+5}$ ผกผันของ $f(x)$ อาจเขียนอยู่ในรูป $f^{-1}(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ โดยที่ $a$, $b$, $c$, และ $d$ เป็นจำนวนจริง จงหา $a/c$ | ถ้าเราแทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ เราจะได้ \[f(f^{-1}(x))=\frac{2f^{-1}(x)-1}{f^{-1}(x)+5}.\]เนื่องจาก $f^{-1}(f(x))=x$ เราจะได้ \begin{align*}
\frac{2f^{-1}(x)-1}{f^{-1}(x)+5}&=x \\
\Rightarrow \quad 2f^{-1}(x)-1&=x(f^{-1}(x)+5) \\
\Rightarrow \quad 2f^{-1}(x)-1&=x f^{-1}(x)+5x.
\end{align*}ย้ายพจน์ที่เกี่ยวข้อ... | (a,b,c,d)=(5b,b,-b,2b) | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนเต็ม $x$ กี่จำนวนที่ทำให้ $x^2 < 7x$ จริง? | ก่อนอื่น เราเห็นว่า $0$ ไม่สอดคล้องกับอสมการ ดังนั้นเราสามารถหารด้วย $x$ ได้ ถ้า $x$ เป็นบวก เราสามารถหารได้ $x<7$ และมีจำนวนเต็มบวก $6$ จำนวนที่สอดคล้องกับสิ่งนี้ ถ้า $x$ เป็นลบ เราหารได้ $x>7$ ซึ่งไม่มีจำนวนเต็มลบจำนวนใดสอดคล้อง ดังนั้นจำนวนของคำตอบจำนวนเต็มคือ $\boxed{6}$ | \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาเศษส่วนที่เท่ากับ $0.\overline{73}$ | เราสามารถเขียนได้ว่า \[0.\overline{73} = \frac{73}{100} + \frac{73}{10000} + \frac{73}{1000000} + \cdots.\]อนุกรมเรขาอนันต์นี้มีพจน์แรก $73/100$ และอัตราส่วนร่วม $1/100$ ดังนั้น \[0.\overline{73} = \frac{73/100}{1-1/100} = \boxed{\frac{73}{99}}.\] | 73/99 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $(3,17)$ และ $(9,-4)$ เป็นพิกัดของจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกันของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จงหาผลรวมของพิกัด $y$ ของอีก 2 จุดยอด | จุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะตรงกัน ดังนั้น จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่ต่อจุด $(3,17)$ และ $(9,-4)$ ก็เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่ต่ออีก 2 จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย พิกัด $y$ ของจุดกึ่งกลางเท่ากับค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$ ของจุดปลายทั้งสอง ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของพิกัด $y$ ของ $(3,17)$ และ... | 17+(-4)=\boxed{13} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของคำตอบของสมการ $(3x+5)(2x-9) = 0$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | ขยายข้างซ้ายของสมการที่กำหนดให้ เราได้ $6x^2-17x-45=0$ เนื่องจากสำหรับสมการกำลังสอง $ax^2+bx+c=0$ ผลรวมของคำตอบคือ $-b/a$ ผลรวมของคำตอบของสมการที่กำหนดคือ $-\frac{-17}{6}=\boxed{\frac{17}{6}}$ (เราอาจจะเพียงแค่สังเกตว่ารากคือ $-5/3$ และ $9/2$ และบวกค่าเหล่านี้เข้าด้วยกัน แต่ใครชอบบวกเศษส่วนล่ะ) | 17/6 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดฟังก์ชัน $f(x) = 2x - 5$ จงหาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $f(x)$ เท่ากับ $f^{-1}(x)$ | แทน $f^{-1}(x)$ ลงในนิพจน์ของ $f$ เราได้ \[f(f^{-1}(x))=2f^{-1}(x)-5.\]เนื่องจาก $f(f^{-1}(x))=x$ สำหรับทุกค่า $x$ ในโดเมนของ $f^{-1}$ เราได้ \[x=2f^{-1}(x)-5.\]หรือ \[f^{-1}(x)=\frac{x+5}2.\]เราต้องการแก้สมการ $f(x) = f^{-1}(x)$ ดังนั้น \[2x-5=\frac{x+5}2.\]หรือ \[4x-10=x+5.\]แก้สมการหา $x$ เราได้ $x = \boxed{5}$. | x = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มีค่าของ $a$ สองค่าที่ทำให้สมการ $4x^2+ax+8x+9=0$ มีคำตอบ $x$ เพียงคำตอบเดียว ค่าของผลบวกของค่า $a$ ทั้งสองนั้นคือเท่าใด | จากสูตรกำลังสอง เราได้ \[x=\frac{-(a+8)\pm \sqrt{(a+8)^2-4\cdot 4\cdot 9}}{2\cdot 4}. \]สมการมีคำตอบเพียงคำตอบเดียวก็ต่อเมื่อค่าของตัวเลือก (discriminant), $(a+8)^2-144$, เป็น 0 นั่นหมายความว่า $a=-20$ หรือ $a=4$ และผลบวกคือ $\boxed{-16}$ | \boxed{-16} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สำหรับจำนวนใด ๆ $x$ เราได้รับแจ้งว่า $x\&=7-x$ และ $\&x = x -7$. จงหาค่าของ $\&(12\&)$ | เรามี $\&(12\&)=\&(7-12)=\&(-5)=(-5-7)=\boxed{-12}$. | \&(12\&)=\&(7-12)=\&(-5)=(-5-7)=\boxed{-12} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x+\frac{1}{x}=6$ แล้ว $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ มีค่าเท่าใด | ยกกำลังสองสมการที่กำหนดให้ เราจะได้ $x^2+2(x)\left(\frac{1}{x}\right) +\frac{1}{x^2}=36,$ ดังนั้น $x^2+\frac{1}{x^2}=\boxed{34}.$ | x^2+\frac{1}{x^2}=\boxed{34}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.