question stringlengths 16 1.6k | solution stringlengths 3 2.73k | answer stringlengths 0 168 | bloom_taxonomy listlengths 1 4 |
|---|---|---|---|
Xanthia อ่านได้ 100 หน้าต่อชั่วโมง และ Molly อ่านได้ 50 หน้าต่อชั่วโมง ถ้าทั้งสองคนอ่านหนังสือเล่มเดียวกัน และหนังสือเล่มนั้นมี 225 หน้า Xanthia จะใช้เวลานานกว่า Molly กี่นาทีในการอ่านหนังสือเล่มนี้? | การอ่านหนังสือใช้เวลา Xanthia
$\frac{225}{100}=2.25$ ชั่วโมง.
Molly ใช้เวลา
$\frac{225}{50}=4.5$ ชั่วโมง.
ความแตกต่างคือ $2.25$ ชั่วโมง หรือ $2.25(60)=\boxed{135}$ นาที. | 2.25(60)=\boxed{135} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
จงหาผลบวก: $1+2+3+4+\dots +48+49$ | สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n$, $1 + 2 + \dots + n = n(n + 1)/2$ ดังนั้น $1 + 2 + \dots + 49 = 49 \cdot 50/2 = \boxed{1225}$ | 1 + 2 + \dots + 49 = 49 \cdot 50/2 = \boxed{1225} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แยกตัวประกอบ $9y^2-30y+25$ | พจน์กำลังสองคือกำลังสองของ $3y$ , พจน์คงตัวคือกำลังสองของ $-5$ และพจน์เส้นตรงเท่ากับ $2(3y)(-5)$ ดังนั้น $9y^2 -30y + 25 = \boxed{(3y - 5)^2}$ | 9y^2 -30y + 25 = \boxed{(3y - 5)^2} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงคำนวณ $139+27+23+11$ | เนื่องจากการบวกมีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม เราสามารถจัดเรียงพจน์ใหม่ได้ดังนี้:
$139+27+23+11=(139+11)+(27+23)=150+50=\boxed{200}$ | 139+27+23+11=(139+11)+(27+23)=150+50=\boxed{200} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในลำดับเลขคณิต $17, a, b, c, 41$ จงหาค่าของ $b$ | ในลำดับเลขคณิต เฉลี่ยของสองพจน์เท่ากับค่าของพจน์ที่อยู่ตรงกลางระหว่างสองพจน์นั้น ดังนั้น $b = \frac{17 + 41}{2} = \boxed{29}$ | b = \frac{17 + 41}{2} = \boxed{29} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $a\star b = \dfrac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}$ ถ้า $ x \star 24 = 7$ จงหาค่าของ $x$ | เรารู้ว่า $x\star24=\dfrac{\sqrt{x+24}}{\sqrt{x-24}}=7$ เนื่องจากเราไม่สามารถหาค่ารากที่สองของจำนวนลบได้ และเนื่องจากส่วนของเศษส่วนไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ เราจึงทราบว่า $x-24>0$ ดังนั้น ค่าประมาณของ $x$ ที่สมเหตุสมผลคือ $x=25$ $\dfrac{\sqrt{25+24}}{\sqrt{25-24}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{1}}=7$ ตามที่ต้องการ ดังนั้น คำตอบข... | x=\boxed{25} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด $(2,4)$ แกนสมมาตรเป็นแนวตั้ง และผ่านจุด $(1,1)$ แสดงคำตอบในรูป "$ax^2+bx+c$" | เนื่องจากแกนสมมาตรเป็นแนวตั้งและจุดยอดคือ $(2,4)$ พาราโบลาอาจเขียนได้ในรูป \[y=a(x-2)^2+4\] สำหรับค่า $a$ บางค่า แทนจุด $(1,1)$ ลงในนิพจน์นี้จะได้ \[1=a(1-2)^2+4=a+4.\] นี่บอกเราว่า $a=-3$.
สมการของเราคือ \[y=-3(x-2)^2+4.\] การแปลงเป็นรูป $y=ax^2+bx+c$ ต้องการขยายกำลังสอง ดังนั้นเราจะได้ \[y=-3(x^2-4x+4)+4=\boxed... | y=ax^2+bx+c | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ในเมืองแห่งหนึ่ง อัตราภาษีเก็บเป็นดังนี้: ภาษี $x\%$ จะถูกเก็บจากรายได้ $x$ พันดอลลาร์ รายได้เท่าใด (เป็นดอลลาร์) ที่จะทำให้ได้เงินเดือนสุทธิมากที่สุด (เงินเดือนสุทธิคือรายได้ลบภาษีที่ต้องจ่าย) | จำนวนภาษีที่เก็บได้คือ $\frac{x}{100} \cdot 1000x = 10x^2,$ ดังนั้นเงินเดือนสุทธิคือ
\[1000x - 10x^2.\]เมื่อจัดรูปสมการโดยการเติมกำลังสอง เราได้
\begin{align*}
1000x - 10x^2 &= -10(x^2 - 100x) \\
&= -10(x^2 - 100x + 2500) + 25000 \\
&= -10(x - 50)^2 + 25000.
\end{align*}เงินเดือนสุทธิสูงสุดจะเกิดขึ้นเมื่อ $x = 50,$ ซึ่... | \boxed{50000} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กระจายนิพจน์ต่อไปนี้: $3(8x^2-2x+1)$ | เมื่อใช้สมบัติการ distributive เราจะบวกผลคูณของ 3 และ $8x^2$, 3 และ $-2x$, และ 3 และ 1: \begin{align*}
3(8x^2-2x+1) &= 3\cdot 8x^2+3\cdot (-2x) + 3 \cdot 1\\
&= \boxed{24x^2-6x+3}
\end{align*} | 24x² - 6x + 3 | [
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $\log_6 (4x)=2$ จงหา $\log_x 27$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | เราเริ่มต้นด้วยการแก้หา $x$ จากสมการแรก $\log_6 (4x)=2$ เขียนในรูปเลขชี้กำลัง เราพบว่า $4x=6^2$ ซึ่งทำให้ $x=\frac{6^2}{4}=9$ หลังจากแทนค่า $x$ นี้ลงใน $\log_x 27$ เราจะได้นิพจน์ $\log_9 27$ เนื่องจาก $27=(9)(3)=(9^1)(9^{\frac12})=9^{\frac32}$ เราจึงเห็นว่า $\log_9 27=\boxed{\frac32}$ | \log_9 27=\boxed{\frac32} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแก้สมการ \[\frac{5x+1}{2x^2+5x-3}=\frac{2x}{2x-1}\] สำหรับ $x$. | เราสังเกตว่าส่วนทางซ้ายสามารถแยกตัวประกอบได้ ซึ่งจะให้ \[\frac{5x+1}{(2x-1)(x+3)}=\frac{2x}{2x-1}.\]ตราบใดที่ $x\neq\frac12$ เราสามารถตัด $2x-1$ จากส่วนได้ ซึ่งจะให้ \[\frac{5x+1}{x+3}=2x.\]จากนั้นเราสามารถคูณไขว้เพื่อหา \[5x+1=2x(x+3)=2x^2+6x.\]เราสามารถทำให้สมการง่ายขึ้นเป็น \[2x^2+x-1=0\]และแยกตัวประกอบเป็น \[(x+1... | x=\boxed{-1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างวงกลมที่กำหนดโดย $x^2-10x +y^2-4y-7=0$ และ $x^2+14x +y^2+6y+49=0$ | เราเติมกำลังสองสำหรับสมการแรกโดยสังเกตว่าสมการแรกเทียบเท่ากับ \[
(x^2-10x +25) +(y^2-4y +4)=36,
\] ซึ่งเทียบเท่ากับ \[
(x-5)^2 +(y-2)^2 =6^2.
\] เช่นเดียวกัน สมการของวงกลมที่สองคือ \[
(x+7)^2 +(y+3)^2 =3^2.
\] ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ $(5,2)$ และ $(-7,-3)$ และรัศมีของวงกลมเท่ากับ 6 และ 3 ตามลำดับ ระยะทางระหว่างจ... | 13-3-6 = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $(x^2 - k)(x + k) = x^3 + k(x^2 - x - 5)$ และ $k\neq 0$ จงหาค่าของ $k$ | ถ้าเราคูณ $(x^2 - k)$ ด้วย $(x + k)$ เราจะได้ $x^3 + kx^2 - kx - k^2$ เราสามารถแยกตัวประกอบ $k$ ออกจากพจน์สุดท้ายสามพจน์นี้ ซึ่งจะได้ $x^3 + k(x^2 - x - k)$ เมื่อเราตั้งค่านี้เท่ากับด้านขวาของสมการเดิม $x^3 + k(x^2 -x - 5)$ เราจะได้ $x^3 + k(x^2 - x - k) = x^3 + k(x^2 - x - 5)$ การเปรียบเทียบอย่างระมัดระวังระหว่างสองด้... | k = \boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาผลรวมของพิกัดจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย $(6, 12)$ และ $(0, -6)$ | จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลาย $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ คือ $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.
ดังนั้น จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงคือ $\left(\frac{6+0}{2}, \frac{12+(-6)}{2}\right)$ ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $(3,3)$ ผลรวมของพิกัดเหล่านี้คือ $\boxed{6}$ | \boxed{6} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่า $y$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $3y^2 + 5y + 2 = 4$ | ทำดังนี้: \begin{align*}
3y^2 + 5y + 2 &= 4\\
3y^2 + 5y - 2 &= 0\\
(3y - 1)(y + 2) &= 0.
\end{align*}จะได้ $y = \frac{1}{3}$ หรือ $y = -2.$ จากค่าทั้งสอง $y = \boxed{-2}$ เป็นค่าที่น้อยกว่า ดังนั้นเป็นคำตอบของเรา | y = \boxed{-2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $3+a=4-b$ และ $4+b=7+a$ แล้ว $3-a$ มีค่าเท่าใด | เริ่มต้นด้วยการแก้ระบบสมการ egin{align*}
3+a&=4-b, \\
4+b&=7+a.
\end{align*}บวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกัน เราได้ $3+a+4+b=4-b+7+a$ ซึ่งสามารถลดรูปเป็น $7+a+b=11+a-b$ ยกเลิก $a$ จากทั้งสองข้าง เราได้ $7+b=11-b$ แก้สมการเพื่อหาค่า $b$ เราพบว่า $b=2$ แทนค่า $b$ ลงในสมการแรกข้างต้น เราได้ $3+a=4-2$ ดังนั้น $a=-1$ และ $3-a=\b... | 3-a=\boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ผลรวมของสามจำนวนคู่ต่อเนื่องคือเท่าใด ถ้าผลรวมของจำนวนคู่แรกและจำนวนคู่ที่สามเท่ากับ 128 | ผลรวมของลำดับเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้ายคูณด้วยจำนวนพจน์ ในกรณีนี้ ค่าเฉลี่ยของพจน์แรกและพจน์สุดท้ายคือ $\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{128}{2}=64$ และจำนวนพจน์คือ 3 เราคูณกันได้ $64\cdot3=\boxed{192}$ | 64\cdot3=\boxed{192} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
คำนวณ $54 \times 46$ ในใจ | เราสามารถเขียนนิพจน์นี้ใหม่เป็น $(50 + 4)\times (50 - 4)$ ซึ่งเป็นผลต่างของกำลังสอง: $(50 + 4)(50 - 4) = 50^2 - 4^2 = 2500 - 16 = \boxed{2484}$ | (50 + 4)(50 - 4) = 50^2 - 4^2 = 2500 - 16 = \boxed{2484} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการ $x^2+y^2=8x-6y-20$ คือจุด $(x,y)$ จงหาค่าของ $x+y$ | เราจะเติมกำลังสองเพื่อหาสมการมาตรฐานของวงกลม ย้ายทุกพจน์ยกเว้นพจน์คงตัวจาก RHS ไป LHS เราได้ $x^2-8x+y^2+6y=-20$ เติมกำลังสองใน $x$ เราบวก $(-8/2)^2=16$ เข้าทั้งสองข้าง เติมกำลังสองใน $y$ เราบวก $(6/2)^2=9$ เข้าทั้งสองข้าง สมการกลายเป็น \begin{align*}
x^2-8x+y^2+6y&=-20\\
\Rightarrow x^2-8x+16+y^2+6y+9&=5\\
\Rightarrow... | x+y=4+(-3)=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลำดับเรขาคณิตเริ่มต้นด้วย $16$, $-24$, $36$, $-54$ อัตราส่วนร่วมของลำดับนี้คือเท่าใด | อัตราส่วนร่วมคือ $(-24)/16 = \boxed{-\frac{3}{2}}$. | (-24)/16 = \boxed{-\frac{3}{2}} | [
"จำ",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $f(x)=\dfrac{5x+1}{x-1}$ จงหาค่าของ $f(7)$ | เราสามารถหาคำตอบนี้ได้โดยการแทนค่า 7 ลงในฟังก์ชัน: \begin{align*} f(7)& = \dfrac{5(7)+1}{7-1}
\\ & = \dfrac{35+1}{6}
\\ & = \dfrac{36}{6}
\\ & = \boxed{6}
\end{align*} | 6 | [
"นำไปใช้"
] |
หลังจากแซลลี่ยิง 20 ครั้ง เธอทำได้ 55% ของการยิงของเธอ หลังจากที่เธอทำการยิงอีก 5 ครั้ง เธอเพิ่มเปอร์เซ็นต์การยิงของเธอเป็น 56% เธอทำการยิงใน 5 ครั้งสุดท้ายได้กี่ครั้ง? | ถ้าแซลลี่ทำได้ 55% ของการยิง 20 ครั้ง เธอทำได้ $0.55 \times 20 = 11$ ครั้ง ถ้าแซลลี่ทำได้ 56% ของการยิง 25 ครั้ง เธอทำได้ $0.56 \times 25 = 14$ ครั้ง ดังนั้นเธอทำได้ $14-11=\boxed{3}$ ครั้งใน 5 ครั้งสุดท้าย | 14-11=\boxed{3} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ค่าของ $k$ ใดจะทำให้ $x^2 - 16x + k$ เป็นกำลังสองของทวินาม? | เราทราบว่า $x^2 - 16x + k = (x + b)^2 = x^2 + 2bx + b^2$ สำหรับบางค่าของ $b.$ เนื่องจาก $2bx = -16x$ เราจึงสามารถอนุมานได้ว่า $b = -8.$ ตอนนี้การขยาย $(x - 8)^2$ จะได้ $x^2 - 16x + 64$ ดังนั้น $k = \boxed{64}.$ | k = \boxed{64}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
พิจารณาเส้นตรงต่อไปนี้ \begin{align*}
y&=3x+5 \\ 2y&=4x+5 \\ 3y&=9x-2 \\ 2y&=x-3 \\ 4y&=x-5.
\end{align*}กำหนดให้คู่ของเส้นตรงเป็น $\emph{ดี}$ ถ้าเส้นตรงทั้งสองเส้นขนานกันหรือตั้งฉากกัน ในบรรดาคู่ของเส้นตรงที่แสดงให้ดู มีกี่คู่ที่เป็นคู่ที่ดี? | เราหาความชันของแต่ละเส้นตรง ความชันคือ $\frac31=3$, $\frac42=2$, $\frac93=3$, $\frac12$, และ $\frac14$.
เส้นตรงที่ขนานกันจะมีความชันเท่ากัน ดังนั้นเส้น $a$ และ $c$ ขนานกัน เส้นตรงที่ตั้งฉากกันจะมีความชันเป็นส่วนกลับของกันและกันและมีเครื่องหมายตรงกันข้าม ไม่มีเส้นตรงใดที่มีความชันเป็นส่วนกลับของกันและกันและมีเครื่องหมาย... | 1+0=\boxed{1} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันของ $5^5 - 5^3$ | กำลังที่สูงที่สุดของ $5$ ที่หารทั้งสองพจน์ได้คือ $5^3$ เราแยกตัวประกอบ $5^3$ ออกดังนี้: \begin{align*}
5^5 - 5^3 &= 5^3 \cdot 5^2 - 5^3 \cdot 1 \\
&= 5^3(5^2 - 1)
\end{align*} $5^2 - 1 = 24$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $2^3 \cdot 3$ ดังนั้นการแยกตัวประกอบเฉพาะคือ ${2^3 \cdot 3 \cdot 5^3}$ และผลรวมของตัวประกอบเฉพาะคือ $2+3+... | 2+3+5 = \boxed{10} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สองเส้นตรง $y = 4x - 19$ และ $2x+y = 95$ ตัดกัน จงหาค่าของ $x$ ที่จุดตัด | ที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้น ค่า $x$ จะเท่ากัน และค่า $y$ จะเท่ากัน เราสามารถกำหนด $4x - 19 = 95 - 2x$ เพื่อหาค่า $x$ ที่ค่า $y$ เท่ากัน
\begin{align*}
4x - 19 &= 95 - 2x \\
6x &= 114 \\
x &= \boxed{19}.
\end{align*} | 19 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แบคทีเรียในโหลเพิ่มขึ้นเป็นสามเท่าทุกๆ 20 วินาที หลังจากผ่านไปสามนาที มีแบคทีเรียในโหล 275,562 ตัว มีแบคทีเรียกี่ตัวในโหลที่เริ่มต้นการทดลอง? | หลังจากสามนาที จำนวนแบคทีเรีย $n$ เพิ่มขึ้นเป็นสามเท่า $9$ ครั้ง นี่ทำให้เราได้สมการ $n \cdot 3^9 = 275,\!562$ หรือ $19,\!683n=275,\!562$ ดังนั้น $n = \boxed{14}$ | n = \boxed{14} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สำหรับค่าจริงของ $b$ ใดที่ทำให้ค่าของนิพจน์ $\frac{1}{2}b^2 + 5b - 3$ มีค่าน้อยที่สุด | เราเติมกำลังสอง: \begin{align*}
\frac{1}{2}b^2 + 5b - 3 & = (\frac{1}{2}b^2 + 5b) - 3\\
&= \frac{1}{2}(b^2 + 10b + 25) - 3 -25 \cdot \frac{1}{2}\\
&= \frac{1}{2}(b + 5)^2 - \frac{31}{2}.
\end{align*} ค่าต่ำสุดของ $\frac{1}{2}(b + 5)^2$ คือ $0$ เพราะกำลังสองของจำนวนจริงไม่เป็นลบ ดังนั้น ค่าต่ำสุดของนิพจน์เกิดขึ้นที่ $b ... | b = \boxed{-5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อัล เบ็ตตี้ และ แคลร์ แบ่งเงิน $\$1000$ เพื่อลงทุนในรูปแบบที่แตกต่างกัน แต่ละคนเริ่มต้นด้วยจำนวนเงินที่ต่างกัน หลังจากสิ้นสุดปีหนึ่ง พวกเขามีเงินรวมกัน $\$1500$ เบ็ตตี้และแคลร์เพิ่มเงินของพวกเขาเป็นสองเท่า ในขณะที่อัลสูญเสียเงินไป $\$100$ อัลมีเงินส่วนแบ่งเดิมเท่าไร? | กำหนดให้ส่วนแบ่งเดิมของอัล เบ็ตตี้ และ แคลร์ เป็น $a$, $b$, และ $c$ ตามลำดับ จากนั้น \[
a + b + c = 1000\quad\text{และ}\quad a-100 + 2(b+c) = 1500.
\] แทน $b+c=1000-a$ ในสมการที่สอง เราได้ \[
a -100 + 2(1000-a)=1500.
\] นี่จะให้ $a=\boxed{400}$ ซึ่งเป็นส่วนแบ่งเดิมของอัล
โปรดทราบว่าแม้ว่าเราจะทราบว่า $b+c = 600$ แต่เร... | c | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แดเนียลทำงานที่ร้านขายเครื่องใช้ไฟฟ้า และเขาอ้างว่าความนิยมของเครื่องปิ้งขนมปัง (วัดจากจำนวนยอดขาย) เป็นสัดส่วนผกผันกับราคาของมัน หาก 12 ลูกค้าซื้อเครื่องปิ้งขนมปังที่ราคา $500 ตามทฤษฎีของแดเนียล จะมีลูกค้ากี่คนที่ซื้อเครื่องปิ้งขนมปังที่ราคา $750 | ให้ความนิยมของเครื่องปิ้งขนมปัง (หรือจำนวนลูกค้าที่ซื้อเครื่องใช้ไฟฟ้า) เท่ากับ $p$ และให้ราคาของเครื่องปิ้งขนมปังเท่ากับ $c$ ตามทฤษฎีของแดเนียล $p$ และ $c$ เป็นสัดส่วนผกผัน ดังนั้น $(p)(c)=k$ สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า หาก $p=12$ เมื่อ $c=500$ ดังนั้น $k=(12)(500)=6000$ ดังนั้นเมื่อ $c=750$ \begin{align*} (p)(c)&=k
\\\... | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมมติว่า $a$ เป็นปริมาณผกผันกับ $b$ ให้ $a_1,a_2$ เป็นค่าของ $a$ สองค่าที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่ง $\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{3}$ ให้ $b_1,b_2$ เป็นค่าของ $b$ ที่สัมพันธ์กัน ถ้า $b_1,b_2$ ไม่เท่ากับศูนย์ จงหาค่าของ $\frac{b_1}{b_2}$ | ถ้า $a$ เป็นปริมาณผกผันกับ $b$ ผลคูณ $ab$ จะเป็นค่าคงที่ สำหรับ $a_1$ และ $a_2$ นี้บ่งบอกว่า: $$a_1\cdot b_1=a_2\cdot b_2$$เราสามารถหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย $b_1\cdot a_2$ เพื่อหา: \begin{align*}
\frac{a_1\cdot b_1}{b_1\cdot a_2}&=\frac{a_2\cdot b_2}{b_1\cdot a_2}\\
\Rightarrow\qquad \frac{2}{3}=\frac{a_1}{a_2}&=\... | b_1\cdot a_2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด $(2,2)$ และ $(-1,-1)$ | เราใช้สูตรระยะทาง: $\sqrt{((-1) - 2)^2 + ((-1) - 2)^2} = \sqrt{9 + 9} = \boxed{3\sqrt{2}}$.
- หรือ -
เราสังเกตว่าจุด $(2, 2)$, $(-1, -1)$, และ $(2, -1)$ สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากด้านเท่า (สามเหลี่ยม 45-45-90) ที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $\boxed{3\sqrt{2}}$ | \boxed{3\sqrt{2}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาค่าของ $n$ จากสมการ $5^{2n + 1} = \frac{1}{25}$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | $\frac{1}{25}$ เท่ากับ $5^{-2}$ ดังนั้นเราได้ $5^{2n+1}=5^{-2}$ ซึ่งจะได้ $2n+1=-2$ เมื่อแก้สมการหา $n$ จะได้ $n=\boxed{-\frac{3}{2}}$ | n=\boxed{-\frac{3}{2}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $2|x| + 7 < 17$ | เริ่มจากแก้สมการอสมการเพื่อให้มีเพียงปริมาณค่าสัมบูรณ์ทางซ้ายมือและค่าคงที่ทางขวามือ
\begin{align*}
2|x| + 7&< 17\\
2|x|&<10\\
|x|&<5
\end{align*}เพื่อแก้สมการอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์ เราต้องแปลงเป็นสมการอสมการสองสมการ หนึ่งสมการเป็นปกติ อีกสมการหนึ่งมีเครื่องหมายกลับด้านและค่าผลลัพธ์ตรงกันข้าม ทั้งสองสมการจะมีค่าสัมบูร... | \boxed{-4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $f(x) = 3-\!\sqrt{x}$ และ $g(x) = 5x + 2x^2$ จงหาค่าของ $f(g(-5))$ | เราได้ว่า $g(-5) = 5(-5) + 2(-5)^2 = -25 + 50 = 25$ ดังนั้น $f(g(-5)) = f(25) = 3 - \!\sqrt{25} = 3-5=\boxed{-2}$ | f(g(-5)) = f(25) = 3 - \!\sqrt{25} = 3-5=\boxed{-2} | [
"ประยุกต์ใช้",
"วิเคราะห์"
] |
นิพจน์ $x^2 + 15x + 54$ สามารถเขียนได้ในรูป $(x + a)(x + b)$ และนิพจน์ $x^2 - 17x + 72$ เขียนได้ในรูป $(x - b)(x - c)$ โดยที่ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $a + b + c$ | การแยกตัวประกอบ เราพบว่า $x^2 + 15x + 54 = (x + 9)(x + 6)$ และ $x^2 - 17x + 72 = (x - 9)(x - 8)$ เราจะเห็นว่า $b = 9$ ดังนั้น $a = 6$ และ $c = 8$ และ $a + b + c = \boxed{23}.$ | a + b + c = \boxed{23}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ ในสมการ $9^4+9^4+9^4=3^x$ | เขียนข้างซ้ายของสมการใหม่เป็น $3\cdot 9^4=3\cdot (3^2)^4=3\cdot 3^8=3^9$. แก้สมการ $3^9=3^x$ เราได้ $x=\boxed{9}$ | x=\boxed{9} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวน $x$ สอดคล้องกับ $5x^2 + 4 = 3x + 9$ จงหาค่าของ $(10x - 3)^2$ | ראשית, เราเคลื่อนย้ายพจน์ทั้งหมดไปข้างหนึ่งเพื่อให้ได้ $5x^2 - 3x - 5 = 0.$ เห็นว่าการแยกตัวประกอบจะไม่ทำงาน เราจึงใช้สูตรกำลังสอง: \begin{align*}
x &= \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(5)(-5)}}{2 (5)}\\
&= \frac{3 \pm \sqrt{9 + 100}}{10} = \frac{3 \pm \sqrt{109}}{10}.
\end{align*}ตอนนี้เราเห็นว่า $10x = 3 \pm \sqrt{109... | (10x - 3)^2 = 100x^2 - 60x + 9 = 20(5x^2 - 3x) + 9 = 20 \cdot 5 + 9 = \boxed{109} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $r$ ที่ทำให้ \[\frac{r^2 - 5r + 4}{r^2-8r+7} = \frac{r^2 - 2r -15}{r^2 -r - 20}.\] | เราไม่ควรคูณไขว้กันโดยตรงเพราะดูยุ่งยาก เราจะเริ่มต้นด้วยการแยกตัวประกอบของพหุนามแต่ละตัว หวังว่าจะได้การลบล้างที่สะดวก การแยกตัวประกอบของพหุนามทั้ง 4 ตัวจะได้ \[\frac{(r-4)(r-1)}{(r-7)(r-1)} = \frac{(r-5)(r+3)}{(r-5)(r+4)}.\]การลบล้างตัวประกอบร่วมกันในแต่ละด้านจะได้ \[\frac{r-4}{r-7} = \frac{r+3}{r+4}.\]คูณไขว้จะ... | r=\boxed{-5/4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แก้สมการหาค่า $m$: $(m-4)^3 = \left(\frac 18\right)^{-1}$. | เรามี $\left(\frac{1}{8}\right)^{-1}=8=2^3$ ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการที่กำหนดใหม่ได้เป็น $$(m-4)^3=2^3.$$ ดังนั้น $m-4 = 2$ ดังนั้น $m=\boxed{6}$. | m=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
โรงเรียนชนบทในสหรัฐอเมริกา มีนักเรียนลงทะเบียน 105 คน มีนักเรียนชาย 60 คน และนักเรียนหญิง 45 คน ถ้า $\frac{1}{10}$ ของนักเรียนชาย และ $\frac{1}{3}$ ของนักเรียนหญิง ลาหยุดในวันหนึ่ง นักเรียนที่ลาหยุดคิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด | $\frac{1}{10}$ ของ $60$ นักเรียนชาย คือ $60/10=6$ คน ในขณะที่ $\frac{1}{3}$ ของ $45$ นักเรียนหญิง คือ $45/3=15$ คน ดังนั้นมีนักเรียน $21$ คน ที่ลาหยุดในวันนั้น เนื่องจากเราทราบว่า $\frac{21}{105}=\frac{1}{5}$ และ $\frac{1}{5}$ เท่ากับ $20\%$ ดังนั้น $\boxed{20 \%}$ ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด ลาหยุด | \boxed{20 \%} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมมติว่า $\alpha$ มีค่าผกผันกับ $\beta$. ถ้า $\alpha = -3$ เมื่อ $\beta = -6$ จงหา $\alpha$ เมื่อ $\beta = 8$ แสดงคำตอบเป็นเศษส่วน | เนื่องจาก $\alpha$ มีค่าผกผันกับ $\beta$ ตามนิยาม $\alpha\beta = k$ สำหรับค่าคงที่ $k$ บางค่า แทนค่าลงไป เราจะได้ $(-3)\cdot (-6) = k$ ดังนั้น $k = 18$ ดังนั้น เมื่อ $\beta = 8$ เราได้ว่า $8\alpha = 18$ หรือ $\alpha = \boxed{\frac{9}{4}}$ | \alpha = \boxed{\frac{9}{4}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการกำลังสอง $ax^2 + bx + c$ สามารถเขียนในรูป $2(x - 4)^2 + 8$ เมื่อสมการกำลังสอง $3ax^2 + 3bx + 3c$ เขียนในรูป $n(x - h)^2 + k$ ค่าของ $h$ คือเท่าใด | เราทราบว่า $ax^2 + bx + c = 2(x - 4)^2 + 8$ คูณทั้งสองข้างด้วย 3 จะได้ \[3ax^2 + 3bx + 3c = 6(x - 4)^2 + 24.\]ค่าของ $h$ ซึ่งก็คือ $\boxed{4}$ จะยังคงเหมือนเดิม | \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สมการกำลังสอง $x^2+mx+n=0$ มีรากที่เป็นสองเท่าของรากของ $x^2+px+m=0,$ และ $m,$ $n,$ และ $p$ ไม่เป็นศูนย์ ใด ๆ ค่าของ $n/p$ เท่ากับเท่าใด | ให้ $r_1$ และ $r_2$ เป็นรากของ $x^2+px+m=0.$ เนื่องจากรากของ $x^2+mx+n=0$ คือ $2r_1$ และ $2r_2$ เราได้ความสัมพันธ์ดังนี้: \[
m=r_1 r_2,\quad n=4r_1 r_2,\quad p=-(r_1+r_2), \quad\text{and}\quad
m=-2(r_1+r_2).
\] ดังนั้น \[
n = 4m, \quad p = \frac{1}{2}m,
\quad\text{and}\quad
\frac{n}{p}=\frac{4m}{\frac{1}{2}m}=\boxed{8}... | 8 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฉันมีรูปภาพที่มีขนาด $x$ และ $y$ (หน่วยเป็นนิ้ว) โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 ฉันต้องการวางรูปภาพนี้ในกรอบรูปทรงยาวที่มีขนาด $(2x + 3)$ และ $(y+2)$ ถ้าฉันวัดพื้นที่ของกรอบรูปได้ 34 ตารางนิ้ว พื้นที่ของรูปภาพเป็นเท่าไร (หน่วยเป็นตารางนิ้ว) (หมายเหตุว่า "พื้นที่ของกรอบรูป" หมายถึงบริเวณที่แรเงาในรูปด้านล่... | พื้นที่ของกรอบรูปเท่ากับ \begin{align*}
(2x + 3) \cdot (y+2) - x \cdot y &= 2xy + 4x + 3y + 6 - xy \\
&= xy + 4x + 3y + 6 \\
&= 34.
\end{align*}เพื่อใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ชื่นชอบของซิมอน เราบวก 6 เข้ากับทั้งสองข้างของสมการ: $$xy + 4x + 3y + 12 = 40,$$ดังนั้น $$(x + 3)(y+4) = 40.$$พิจารณาคู่ตัวประกอบของ 40 เราจะเห็... | x \times y = \boxed{8} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ฉันมีถุงที่มีลูกแก้วสีน้ำเงินและสีเหลืองอยู่ข้างใน ในขณะนี้ อัตราส่วนของลูกแก้วสีน้ำเงินต่อลูกแก้วสีเหลืองคือ 8:5 ถ้าฉันเอาลูกแก้วสีน้ำเงินออก 12 ลูก และเติมลูกแก้วสีเหลือง 21 ลูก อัตราส่วนจะเป็น 1:3 มีลูกแก้วสีน้ำเงินกี่ลูกในถุงก่อนที่ฉันจะเอาออก? | ให้ $x$ แทนจำนวนลูกแก้วสีน้ำเงินและ $y$ แทนจำนวนลูกแก้วสีเหลืองก่อนที่ฉันจะเติมเพิ่ม เราทราบว่าอัตราส่วนของลูกแก้วสีน้ำเงินต่อลูกแก้วสีเหลืองคือ 8:5 ดังนั้น $\dfrac{x}{y}=\dfrac{8}{5}$ นอกจากนี้ หลังจากที่เราเอาลูกแก้วสีน้ำเงินออกและเติมลูกแก้วสีเหลือง จำนวนลูกแก้วสีน้ำเงินและลูกแก้วสีเหลืองทั้งหมดจะเป็น $x-12$ และ $y+... | \boxed{24} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้าเส้นตรงที่มีสมการ $y = 8x + 2$ และ $y = (2c)x - 4$ ขนานกัน จงหาค่าของ $c$ | เส้นตรงขนานกันก็ต่อเมื่อความชันเท่ากัน ความชันของเส้นตรงที่มีสมการ $y = mx + b$ คือ $m$ ดังนั้น $8 = 2c \Rightarrow c = \boxed{4}$ | 8 = 2c \Rightarrow c = \boxed{4} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x+y=\frac{7}{13}$ และ $x-y=\frac{1}{91}$ จงหาค่าของ $x^2-y^2$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ | เราทราบว่า $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$ แทนค่าลงไปจะได้ $x^2 - y^2 = \frac{7}{13}\cdot\frac{1}{91} = \boxed{\frac{1}{169}}$ | $x^2 - y^2 = \frac{7}{13}\cdot\frac{1}{91} = \boxed{\frac{1}{169}}$ | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ถ้า $x+\frac{1}{y}=1$ และ $y+\frac{1}{z}=1$ แล้วผลคูณของ $xyz$ มีค่าเท่าใด | คูณทั้งสองข้างของสมการแรกด้วย $y$ และคูณทั้งสองข้างของสมการที่สองด้วย $z$ จะได้ \begin{align*}
xy+1 &= y \\
yz+1 &= z.
\end{align*} แทน $xy+1$ ด้วย $y$ ในสมการที่สอง จะได้ \[
(xy+1)z+1=z,
\] ซึ่งสามารถลดรูปเป็น \[
xyz+z+1=z.
\] ลบ $z+1$ จากทั้งสองข้าง จะได้ว่า $xyz=z-(z+1)=\boxed{-1}.$ | xyz=z-(z+1)=\boxed{-1}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จากจุดห้าจุด (3, 10), (6, 20), (12, 35), (18, 40) และ (20, 50) ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดที่อยู่เหนือเส้นตรง $y = 2x + 7$ ในระนาบพิกัดคือเท่าไร | จุดจะอยู่เหนือ $y=2x+7$ ถ้าพิกัด $y$ ของจุดนั้นมากกว่า 2 เท่าของพิกัด $x$ บวก 7 เมื่อตรวจสอบจุดที่กำหนดให้ เราพบว่า $(6,20)$, $(12,35)$ และ $(20,50)$ สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ ผลรวมของพิกัด $x$ ของจุดเหล่านี้คือ $6+12+20=\boxed{38}$ | 6+12+20=\boxed{38} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $p(x) = x^4 - 3x + 2$ แล้วสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^3$ ในพหุนาม $(p(x))^3$ คือเท่าใด | โดยการสังเกต เมื่อขยายพจน์ของผลคูณ $(x^4 - 3x + 2)(x^4 - 3x + 2)(x^4 - 3x + 2)$ พจน์เดียวที่เป็นดีกรี 3 จะเป็นพจน์ที่ได้จากการคูณพจน์เชิงเส้นทั้งสามเข้าด้วยกัน ดังนั้นสัมประสิทธิ์ที่ต้องการคือ $(-3)(-3)(-3)=\boxed{-27}$ | (-3)(-3)(-3)=\boxed{-27} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ และ \[f(z) = \left\{
\begin{array}{cl}
z^{2}&\text{ ถ้า }z\text{ ไม่ใช่จำนวนจริง}, \\
-z^2 &\text{ ถ้า }z\text{ เป็นจำนวนจริง}.
\end{array}
\right.\] จงหาค่าของ $f(f(f(f(1+i))))$. | เราคำนวณจากด้านในออกไป เนื่องจาก $1+i$ ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้น $f(1+i)=(1+i)^2=1+2i-1=2i$ ดังนั้น $f(f(f(f(1+i))))=f(f(f(2i)))$ เนื่องจาก $2i$ ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้น $f(2i)=(2i)^2=-4$ ดังนั้น $f(f(f(2i)))=f(f(-4))$ เนื่องจาก $-4$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น $f(-4)=-(-4)^2=-16$ ดังนั้น $f(f(-4))=f(-16)$ เนื่องจาก $-16$ เป็นจ... | f(-16)=\boxed{-256} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าจำนวนเต็มที่มากที่สุดของ $b$ ที่ทำให้ $-4$ ไม่อยู่ในช่วงของ $y=x^2+bx+12$ | เราจะเห็นว่า $-4$ ไม่อยู่ในช่วงของ $f(x) = x^2 + bx + 12$ ก็ต่อเมื่อสมการ $x^2 + bx + 12 = -4$ ไม่มีรากจริง เราสามารถเขียนสมการใหม่เป็น $x^2 + bx + 16 = 0$ ดีเทอร์มิแนนต์ของสมการกำลังสองนี้คือ $b^2 - 4 \cdot 16 = b^2 - 64$ สมการกำลังสองไม่มีรากจริงก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์เป็นลบ ดังนั้น $b^2 - 64 < 0$ หรือ $b^2 < 64$ ... | b = \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ลอร่าแก้สมการ $|x-5| = 2$ ในขณะที่เจนแก้สมการที่มีรูปแบบ $x^2+ bx + c = 0$ ซึ่งมีคำตอบของ $x$ เหมือนกับสมการของลอร่า จงหาคู่ลำดับ $(b, c)$ | เริ่มต้นด้วยการแก้สมการของลอร่า ถ้า $x-5$ เป็นบวก: $$|x-5|=x-5=2$$ $$x=7$$ ในทางกลับกัน ถ้า $x-5$ เป็นลบ: $$|x-5|=5-x=2$$ $$x=3$$ สมการกำลังสองของเจนต้องมีรากของ 7 และ 3 ในรูปที่แยกตัวประกอบ สมการกำลังสองนี้จะมีลักษณะดังนี้: $$(x-3)(x-7)=0$$ ขยายออกเราจะพบสมการของเจนคือ: $$x^2-10x+21=0$$ คู่ลำดับคือ $\boxed{(-10,21)}$. | \boxed{(-10,21)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $x$ เมื่อ $100^3 = 10^x$ | เนื่องจาก $100 = 10^2$ เราได้ \[10^x = 100^3 = (10^2)^3 = 10^{2\cdot 3} = 10^6,\] ดังนั้น $x = \boxed{6}$. | x = \boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
อนุกรมเรขาอนันต์มีอัตราส่วนร่วม $1/8$ และผลบวก 60 จงหาพจน์แรกของอนุกรม | ให้พจน์แรกเป็น $a$ เนื่องจากผลบวกของอนุกรมคือ 60 เราได้ $$60= \frac{a}{1-(1/8)} = \frac{a}{7/8} = \frac{8a}{7}.$$ดังนั้น $a=\frac{7}{8}\cdot60=\boxed{\frac{105}{2}}$. | a=\frac{7}{8}\cdot60=\boxed{\frac{105}{2}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
รyuosuke กำลังไปรับเพื่อนที่ทำงาน อ่านเลขไมล์ได้ 74,568 เมื่อเขาไปรับเพื่อน และอ่านเลขไมล์ได้ 74,592 เมื่อเขาไปส่งเพื่อนที่บ้าน รถของ Ryosuke วิ่งได้ 28 ไมล์ต่อแกลลอน และราคาของน้ำมัน 1 แกลลอนคือ $4.05 ค่าใช้จ่ายในการใช้น้ำมันในการขับรถพาเพื่อนกลับบ้านจากที่ทำงานคือเท่าไร (แสดงคำตอบเป็นดอลลาร์และปัดเศษเป็นสองตำแหน่งท... | Ryosuke ขับรถไประยะทาง 74,592 - 74,568 = 24 ไมล์ ระหว่างที่เขาไปรับเพื่อนและส่งเพื่อนถึงบ้าน เนื่องจากรถของเขาวิ่งได้ 28 ไมล์ต่อแกลลอน เขาใช้ 24/28 หรือ 12/14 ของแกลลอน ด้วยราคา $4.05 ต่อแกลลอน ค่าใช้จ่ายในการเดินทางประมาณ 12/14 × 4.05 ≈ $3.47 | 3.47 | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
กล่องหนึ่งมีช็อกโกแลต 25 เม็ด ราคา 6 ดอลลาร์ ถ้าต้องการซื้อช็อกโกแลต 600 เม็ด จะต้องจ่ายเงินเท่าไร | 600 เม็ดช็อกโกแลตเป็น $\frac{600}{25} = 24$ เท่าของ 25 เม็ด ดังนั้นการคูณจำนวนช็อกโกแลตด้วย 24 จะทำให้ราคาคูณ 24 ด้วยเช่นกัน ดังนั้น 600 เม็ดช็อกโกแลตราคา $24\cdot 6 = \boxed{144}$ ดอลลาร์ | 24\cdot 6 = \boxed{144} | [
"ประยุกต์"
] |
ถ้าจุด $(3,6)$ อยู่บนกราฟของ $y=g(x)$ และ $h(x)=(g(x))^2$ สำหรับทุก $x$ แล้วจะมีจุดหนึ่งที่ต้องอยู่บนกราฟของ $y=h(x)$ จุดนั้นมีผลรวมของพิกัดเท่ากับเท่าใด | ข้อเท็จจริงที่ว่า $(3,6)$ อยู่บนกราฟของ $y=g(x)$ หมายความว่า $g(3)=6$ ดังนั้น $h(3)=(g(3))^2=6^2=36$ ซึ่งบอกเราว่า $(3,36)$ อยู่บนกราฟของ $y=h(x)$ ผลรวมของพิกัดของจุดนี้คือ $\boxed{39}$ | \boxed{39} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
สามเหลี่ยมมีจุดยอดที่พิกัด (2,2), (5,6) และ (6,2) ความยาวของด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมีจำนวนหน่วยเท่าใด? | เราต้องหาความ distanced ระหว่างคู่ของจุด
ระยะห่างระหว่าง (2, 2) และ (6, 2) คือ 4 เนื่องจากจุดทั้งสองนี้มีพิกัด y เท่ากัน
ระยะห่างระหว่าง (2, 2) และ (5, 6) คือ $\sqrt{(5 - 2)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
ระยะห่างระหว่าง (5, 6) และ (6, 2) คือ $\sqrt{(6 - 5)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.
จาก 4, ... | \boxed{5} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลบวกของสองจำนวนคือ $30$ ส่วนต่างของสองจำนวนนั้นคือ $4$ จงหาจำนวนที่ใหญ่กว่า | ให้ $x,y$ เป็นจำนวนที่ใหญ่กว่าและเล็กกว่า ตามลำดับ เรามี $x+y=30$ และ $x-y=4$ ดังนั้น: $x=\frac{1}{2}((x+y)+(x-y))=\frac{1}{2}(30+4)=\boxed{17}$ | x=\frac{1}{2}((x+y)+(x-y))=\frac{1}{2}(30+4)=\boxed{17} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แก้ระบบสมการต่อไปนี้: \begin{align*}
3x-5y&=-1.5,\\
7x+2y&=4.7.
\end{align*}แสดงคำตอบในรูปของคู่ลำดับ $(x,y)$ ของทศนิยม | เราสามารถหาค่า $x$ ได้โดยการบวกสมการแรกสองเท่าเข้ากับสมการที่สองห้าเท่า จาก \begin{align*}
2(3x-5y)+5(7x+2y)&=6x+35x\\&=41x,
\end{align*}และ \begin{align*}
2(3x-5y)+5(7x+2y)&=2(-1.5)+5(4.7)\\&=-3+23.5\\&=20.5,
\end{align*}เราจะได้ว่า $41x = 20.5$ หรือ $x=0.5.$
แทนค่า $x$ ลงในสมการที่สอง เราจะหาค่า $y$ ได้: \begin{alig... | \boxed{(0.5,0.6)}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จำนวนบวก $a$ ถูกเลือกมาเพื่อให้พจน์ $20, a, \frac{5}{4}$ เป็นพจน์แรก พจน์ที่สอง และพจน์ที่สาม ตามลำดับ ของลำดับเรขาคณิต จงหาค่าของ $a$ ถ้า $a$ เป็นจำนวนบวก | ให้ $r$ เป็นอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต เราได้สมการ $20\cdot r = a$ และ $a \cdot r = \frac{5}{4}$ จากสมการแรก เราแก้หา $r$ ได้ $r=\frac{a}{20}$ และแทนค่า $r$ ลงในสมการที่สองเพื่อกำจัด $r$ จะได้ $a \cdot \frac{a}{20} = \frac{5}{4}$ หรือ $a = \boxed{5}$ | a = \boxed{5} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กระจายผลคูณ $$(x^2-2x+2)(x^2+2x+2).$$ | โดยสมบัติการ distributive นี้เทียบเท่ากับ: $$x^2(x^2+2x+2)-2x(x^2+2x+2)+2(x^2+2x+2)$$ตอนนี้เราสามารถกระจายในแต่ละส่วนข้างต้น และจัดกลุ่มพจน์ที่คล้ายกัน: $$x^4+2x^3+2x^2-2x^3-4x^2-4x+2x^2+4x+4$$$$\boxed{x^4+4}$$ | [
"นำไปใช้"
] | |
กำหนดให้ $f(x)=2x^4+x^3+x^2-3x+r$ จงหาค่าของ $r$ ที่ทำให้ $f(2)=0$ | การแทนค่าจะได้ \[f(2)=2(2)^4+(2)^3+(2)^2-3(2)+r=32+8+4-6+r=38+r.\]ค่านี้เท่ากับ 0 เมื่อ $r=\boxed{-38}$. | r=\boxed{-38} | [
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $A$ เป็นจุดยอดของกราฟของสมการ $y=x^2 - 2x + 3 $ และ $B$ เป็นจุดยอดของกราฟของสมการ $y=x^2 + 4x + 10 $. จงหาความยาวระหว่าง $A$ และ $B$ | การเติมกำลังสองในแต่ละสมการจะได้สมการ $y=(x - 1)^2 + 2 $ และ $y=(x + 2)^2 + 6$. ดังนั้น $A = (1, 2)$ และ $B = (-2, 6)$. เราสามารถหาความยาวระหว่าง $A$ และ $B$ ได้เป็น $\sqrt{(1-(-2))^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9+16} =\boxed{5}$. | \sqrt{(1-(-2))^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9+16} =\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
การลงทุนจำนวน $\$$10,000$ ถูกนำไปลงทุนในพันธบัตรของรัฐบาลที่ให้ผลตอบแทน 6$\%$ ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นเป็นประจำทุกปี ในสิ้นปีที่ 5 จะมีจำนวนเงินทั้งหมดเท่าไรในเงินลงทุนนี้ จงแสดงคำตอบของคุณเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | หลังจาก 5 ปี ด้วยอัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี เงินลงทุนจะเติบโตเป็น $10000 \cdot 1.06^5 = \boxed{13382}$ เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด | 10000 \cdot 1.06^5 = \boxed{13382} | [
"ประยุกต์",
"วิเคราะห์"
] |
สังเกตว่า $9^2 = 81$ ซึ่งไม่มีเลขศูนย์ $99^2 = 9801$ ซึ่งมีเลขศูนย์ 1 ตัว และ $999^2 = 998,\!001$ ซึ่งมีเลขศูนย์ 2 ตัว สมมติว่ารูปแบบนี้ดำเนินต่อไป $99,\!999,\!999^2$ จะมีเลขศูนย์กี่ตัวในผลคูณ? | รูปแบบนี้บ่งชี้ว่าสำหรับจำนวนที่มีเลข 9 จำนวน $n$ ตัว จำนวนนั้นยกกำลังสองจะมีเลขศูนย์ $n-1$ ตัว ดังนั้น $99,\!999,\!999^2$ ควรมีเลขศูนย์ $8-1=7$ ตัว เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราสังเกตว่า $99,\!999,\!999=10^8-1$ ดังนั้น $99,\!999,\!999^2=(10^8-1)^2=10^{16}-2\cdot10^8+1$ พิจารณาการแสดงออกนี้ทีละพจน์ พจน์แรก $10^{16}$ สร้างจำน... | \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
จงหาค่าของ $525^2 - 475^2$ | $525^2 - 475^2$ สามารถเขียนในรูป $(525+475)(525-475)$ ได้ ซึ่งจะเท่ากับ $1000 \cdot 50$ ซึ่งเท่ากับ $\boxed{50000}$ | \boxed{50000} | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
แก้สมการหาค่า $x$: $\frac{5x}{(x+3)} - \frac3{(x+3)} = \frac1{(x+3)}$ | ก่อนอื่น ให้รวมเศษส่วนทางซ้ายมือให้ได้ $\frac{5x-3}{x+3} = \frac{1}{x+3}$ จากนั้น คูณทั้งสองข้างด้วย $x+3$ เพื่อกำจัดตัวส่วนและจะได้ $5x-3 = 1$ บวก 3 ทั้งสองข้างจะได้ $5x=4$ ดังนั้น $x = \boxed{\frac{4}{5}}$ | x = \boxed{\frac{4}{5}} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
กำหนดให้ \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl}
ax+3 & \text{ if }x>0, \\
ab & \text{ if }x=0, \\
bx+c & \text{ if }x<0.
\end{array}
\right.\]ถ้า $f(2)=5$, $f(0)=5$, และ $f(-2)=-10$ และ $a$, $b$, และ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ แล้ว $a+b+c$ มีค่าเท่าใด? | เนื่องจาก $2>0$ เราทราบว่า $f(2)=a(2)+3=5$. แก้สมการหา $a$ จะได้ $a=1$. เมื่อ $x=0$ เราได้ว่า $f(0)=ab=5$. เราทราบแล้วว่า $a=1$ ดังนั้น $b=5$. เนื่องจาก -2 เป็นจำนวนลบ เราทราบว่า $f(-2)=b(-2)+c=(5)(-2)+c=-10$. นี่บอกเราว่า $c=0$ ดังนั้นคำตอบของเราคือ $a+b+c=1+5+0=\boxed{6}$ | a+b+c=1+5+0=\boxed{6} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $a\star b = a^b+ab$ ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2 และ $a\star b =15$ จงหา $a+b$ | เนื่องจาก $a$ และ $b$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก และเนื่องจาก $b$ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 2 เราทราบว่าค่าสูงสุดของ $a$ คือ 3 (เพราะ $4^2+4(2)=24>15$) เนื่องจาก $a$ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 2 $a$ มีค่าที่เป็นไปได้เพียง 2 ค่าเท่านั้น ถ้า $a=2$ เราจะได้ $2^b+2b=15$ หรือ $2(2^{b-1}+b)=15$ หรือ $2^{b-1}+b=7.5$ อย่างไรก็ตาม เนื่องจาก... | a+b=3+2=\boxed{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
เลขจำนวนใดที่ได้จากการเพิ่ม 50 ขึ้น $120\%$? | เนื่องจาก $120\%$ ของ 50 เท่ากับ $1.2(50) = 60$ เมื่อเพิ่ม 50 ขึ้น $120\%$ เราจะได้ $50 + 60 = \boxed{110}$ หรืออีกวิธีหนึ่ง เราสามารถหาคำตอบได้โดยการคูณ 50 ด้วย $1 + 1.2 = 2.2$ ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็น $\boxed{110}$ เช่นกัน | \boxed{110} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แก้สมการ $x>0$ และ $5x^2+9x-18=0$ แสดงคำตอบในรูปเศษส่วนอย่างง่าย | $5x^2+9x-18$ สามารถเขียนได้เป็น $(5x-6)(x+3)$ เนื่องจาก $x$ ต้องเป็นบวก ตัวประกอบที่ต้องพิจารณาคือ $(5x-6)$ ดังนั้น: \begin{align*}
5x-6&=0\\
5x&=6\\
x&=\boxed{\frac{6}{5}}
\end{align*} | \frac{6}{5} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ต้นไม้ต้นหนึ่งสูงขึ้นเป็นสองเท่าทุกปี จนกระทั่งสูง 32 ฟุตที่สิ้นสุดปีที่ 6 ต้นไม้สูงเท่าไรในปีที่ 3 | ถอยหลังกลับไป เราจะเห็นว่าต้นไม้สูง $32/2 = 16$ ฟุตที่สิ้นสุดปีที่ 5, $16/2 = 8$ ฟุตที่สิ้นสุดปีที่ 4 และ $8/2 = \boxed{4 \text{ ฟุต}}$ ที่สิ้นสุดปีที่ 3 | 8/2 = \boxed{4 \text{ ฟุต}} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แอนโทเนตได้คะแนน $70\%$ จากข้อสอบ 10 ข้อ, $80\%$ จากข้อสอบ 20 ข้อ และ $90\%$ จากข้อสอบ 30 ข้อ ถ้ารวมข้อสอบทั้งสามเป็นข้อสอบเดียวที่มี 60 ข้อ เธอได้คะแนนร้อยละเท่าใดเมื่อปัดเศษเป็นจำนวนเต็มร้อยละที่ใกล้เคียงที่สุด | สังเกตว่า $70\%$ ของ 10 คือ 7, $80\%$ ของ 20 คือ 16 และ $90\%$ ของ 30 คือ 27 แอนโทเนตตอบถูก $7+16+27=50$ ข้อ จากทั้งหมด 60 ข้อ คะแนนรวมของเธอคือ $\frac{50}{60}$ หรือ $83.\overline{3}\%$. เมื่อปัดเศษเป็นจำนวนเต็มร้อยละที่ใกล้เคียงที่สุด คำตอบคือ $\boxed{83\%}$. | \boxed{83\%} | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
กำหนดว่า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $a+b=24$ จงหาค่าของ $ab$ เมื่อ $2ab + 10a = 3b + 222$ | เราเริ่มต้นด้วยการเขียนสมการใหม่เป็น $2ab + 10a - 3b = 222$ จากนั้นเราใช้เทคนิคการแยกตัวประกอบที่ชื่นชอบของซิมอนโดยการลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ได้ $2ab + 10a - 3b - 15 = 207$ ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $$(2a - 3)(b + 5) = 207$$เราทราบว่าการแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะ $207 = 3^2 \cdot 23$ และ $a$ และ $b$ เป็... | ab = \boxed{108} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงแก้สมการหาค่า $x$ เมื่อ $8^{4x-6}=\left(\frac{1}{2}\right)^{x+5}$. | เนื่องจาก $8=\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$ สมการสามารถเขียนใหม่ได้เป็น $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3(4x-6)}=\left(\frac{1}{2}\right)^{x+5}$. จากสมการนี้ เราเห็นว่า $-3(4x-6)=x+5$. เมื่อทำให้ง่ายขึ้น เราได้ \begin{align*}
-12x+18&=x+5\\
\Rightarrow -13x+18&=5\\
\Rightarrow -13x&=-13\\
\Rightarrow x&=\boxed{1}.
\end{al... | 1 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
สมมติว่า $f(x)=\frac{1}{2x+b}$. สำหรับค่าของ $b$ ใด $f^{-1}(x)=\frac{1-2x}{2x}$? | แทน $f(x)$ ลงในสมการ $f^{-1}(x) = \frac{1 - 2x}{2x}$ และสังเกตว่า $f^{-1}(f(x)) = x$ สำหรับ $x$ ทั้งหมดในโดเมนของ $f$ เราได้ \[x = \frac{1 - 2f(x)}{2f(x)}.\] แก้สมการเพื่อหา $f(x)$ เราได้ \[f(x) = \frac{1}{2x + 2}.\] ดังนั้น $b = \boxed{2}$. | b = \boxed{2} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ประเมินค่าของ $i^{11} + i^{111}$ | เลขยกกำลังของ $i$ จะซ้ำทุกๆ สี่กำลัง: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, $i^5=i$, $i^6=-1$ และอื่นๆ ดังนั้นเพื่อที่จะหาค่าของ $i^n$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม เราเพียงแค่ต้องหาเศษที่เหลือเมื่อ $n$ หารด้วย 4 เศษที่เหลือเมื่อ 11 และ 111 หารด้วย 4 คือ 3 ดังนั้น $i^{11} + i^{111} = i^3 + i^3 = -i + (-i) = \boxed{-2i}$ | i^{11} + i^{111} = i^3 + i^3 = -i + (-i) = \boxed{-2i} | [
"จำ",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของคำตอบจำนวนเต็มทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $1<(x-2)^2<25$ | ให้ $y = x - 2,$ ดังนั้น $1 < y^2 < 25.$ คำตอบจำนวนเต็มของ $y$ คือ $-4,$ $-3,$ $-2, 2, 3, 4,$ ดังนั้นคำตอบของ $x$ คือ $-4 + 2 = -2,$ $-3 + 2 = -1,$ $-2 + 2 = 0,$ $2 + 2 = 4,$ $3 + 2 = 5,$ และ $4 + 2 = 6.$ ผลรวมของคำตอบเหล่านี้คือ $(-2) + (-1) + 0 + 4 + 5 + 6 = \boxed{12}.$ | (-2) + (-1) + 0 + 4 + 5 + 6 = \boxed{12}. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
เรามี $3 \cdot f(x) + 4 \cdot g(x) = h(x)$ โดยที่ $f(x),$ $g(x),$ และ $h(x)$ เป็นพหุนามใน $x$ ทั้งหมด ถ้าดีกรีของ $f(x)$ เท่ากับ $8$ และดีกรีของ $h(x)$ เท่ากับ $9$ แล้วดีกรีต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $g(x)$ คือเท่าใด | ถ้าดีกรีของ $h(x)$ เท่ากับ $9$ นั่นหมายความว่ามีพจน์ $x^9$ ใน $h(x)$ พจน์นั้นไม่สามารถมาจาก $f(x)$ ได้ เนื่องจากดีกรีของ $f(x)$ เท่ากับ $8$ ดังนั้นพจน์นั้นต้องมาจาก $g(x)$ นั่นหมายความว่าดีกรีของ $g(x)$ ต้องมีค่าอย่างน้อย $\boxed{9}$ และในความเป็นจริงแล้วดีกรีของมันสามารถเป็นเพียง $9$ เท่านั้น | 9. | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
ถ้า $f(x) = 3x + 1$ แล้ว $f(3)$ มีค่าเท่าใด | เราได้ว่า $f(3) = 3(3) + 1 = \boxed{10}$ | f(3) = 3(3) + 1 = \boxed{10} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
กำหนดให้ $f(x)=4x+5$ จงหาค่าของ $f^{-1}(f^{-1}(9))$ | แทน $f^{-1}(x)$ เข้าใน $f$ เราได้ $f(f^{-1}(x)) =4f^{-1}(x) + 5$ ดังนั้น $x = 4f^{-1}(x) + 5$ แก้สมการนี้หา $f^{-1}(x)$ ได้ $f^{-1}(x) = \frac{x-5}{4}$ ดังนั้น \begin{align*}
f^{-1}(f^{-1}(9)) & = f^{-1}\left(\frac{9-5}{4}\right) \\
& = f^{-1}(1) \\
& = \frac{1-5}{4} \\
& = \boxed{-1}.
\end{align*} | -1 | [
"วิเคราะห์",
"ประเมิน"
] |
แก้สมการ $2(3^x) = 162$ เพื่อหาค่า $x$ | หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2 เพื่อให้ได้ $3^x = 81$ เนื่องจาก $3$ ยกกำลัง 4 เท่ากับ 81 ดังนั้น $x = \boxed{4}$ | x=\boxed{4} | [
"แก้ปัญหา",
"วิเคราะห์"
] |
ถ้า $x - y = 6$ และ $x + y = 12$ จงหาค่าของ $y$ | ลบสมการแรกจากสมการที่สอง: \begin{align*}
(x+y)-(x-y) &= 12-6\\
2y &= 6\\
y &= \boxed{3}.
\end{align*} | 3 | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
จงหาความยาวระหว่างจุด $(1,1)$ และ $(4,7)$ แสดงคำตอบในรูปรากที่ง่ายที่สุด | ระยะทางแนวนอนระหว่าง $(1,1)$ และ $(4,7)$ คือ $4-1=3$ หน่วย ระยะทางแนวตั้งระหว่างจุดทั้งสองคือ $7-1=6$ หน่วย ดังนั้น เส้นที่จุดปลายเป็น $(1,1)$ และ $(4,7)$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 หน่วย และ 6 หน่วย ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของเส้นนี้คือ $\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{1^2+2^2}=\box... | \sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{1^2+2^2}=\boxed{3\sqrt{5}} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
แต่ละเล่มในสิบเล่มของผลงานที่รวบรวมของธีโอดอร์ สเตอร์จอน มีจำหน่ายในรูปแบบปกอ่อนราคา $15 หรือปกแข็งราคา $25 เทเรซ่าซื้อหนังสือแต่ละเล่มในสิบเล่มนี้ทั้งหมดเป็นเงิน $220 เธอซื้อเล่มปกแข็งกี่เล่ม? | สมมติว่าเธอซื้อเล่มปกแข็ง $h$ เล่ม และเล่มปกอ่อน $p$ เล่ม เธอซื้อหนังสือทั้งหมด 10 เล่ม ดังนั้น $h+p=10$ ค่าใช้จ่ายทั้งหมดของเธอ $25h+15p$ เท่ากับ $220 หรือหารด้วย 5 ได้ $5h+3p=44$ คูณสมการแรกด้วย 3 แล้วลบออกจากสมการที่สอง เราได้ $5h-3h+3p-3p=2h=44-30=14$ หรือ $h=\boxed{7}$ | h=\boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
มี 12 คู่ลำดับของจำนวนเต็ม $(x,y)$ ที่สอดคล้องกับ $x^2 + y^2 = 25$ ผลรวม $x+y$ ที่มากที่สุดเท่ากับเท่าใด | กราฟของ $x^2 + y^2 = 25$ เป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(0,0)$ และมีรัศมี $\sqrt{25}=5$ เริ่มจาก $(-5, 0)$ และหมุนไปรอบ ๆ วงกลม เราจะได้ 12 จุดบนวงกลมดังนี้:
$(-5, 0)$, $(-4, 3)$, $(-3, 4)$, $(0, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 0)$, $(4, -3)$, $(3, -4)$, $(0, -5)$, $(-3, -4)$, $(-4, -3)$.
ผลรวมที่มากที่สุดที่เป็นไป... | 7 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยบริเวณที่กำหนดโดยสมการ $x^2+y^2+10x+24y=0$ | เราเติมกำลังสองใน $x$ โดยการบวก $(10/2)^2=25$ ทั้งสองข้าง และเติมกำลังสองใน $y$ โดยการบวก $(24/2)^2=144$ ทั้งสองข้าง เรามีสมการ \[(x^2+10x+25)+(y^2+24y+144)=169 \Rightarrow (x+5)^2+(y+12)^2=169\]เราเห็นว่านี่คือสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $(-5,-12)$ และรัศมี 13 ดังนั้น พื้นที่ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วยวงกลมนี้คือ $\pi... | \pi \cdot 13^2=\boxed{169\pi} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ส่วนของเส้นตรงเริ่มต้นที่ $(1, 3)$ มีความยาว 5 หน่วย และสิ้นสุดที่จุด $(4, x)$ โดยที่ $x > 0$ จงหาค่าของ $x$ | เราใช้สูตรระยะทาง: $$\sqrt{(4 - 1)^2 + (x - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (x - 3)^2} = \sqrt{x^2 - 6x + 18} = 5.$$ ยกกำลังสองทั้งสองข้างและจัดรูปพจน์ใหม่ เราพบว่า \begin{align*}
x^2 - 6x + 18 &= 25 \\
x^2 - 6x - 7 &= 0\\
(x - 7)(x + 1) &= 0
\end{align*} ดังนั้น $x = 7$ หรือ $x = -1$ เราได้รับว่า $x > 0$ ดังนั้น $x = \boxed{7}$.
... | x = \boxed{7} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
ถ้า $x^2+bx+16$ มีรากจริงอย่างน้อยหนึ่งราก จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $b$ แสดงคำตอบในรูปสัญกรณ์ช่วง | พิจารณาสูตรกำลังสอง $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ เพื่อให้สมการกำลังสองมีรากจริง นิพจน์ใต้รากที่สอง (ตัวเลือก) ต้องเป็นบวกหรือเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราได้อสมการ \begin{align*} b^2-4ac&\ge0
\\\Rightarrow\qquad b^2-4(1)(16)&\ge0
\\\Rightarrow\qquad b^2-64&\ge0
\\\Rightarrow\qquad (b+8)(b-8)&\ge0
\end{align*} ดังนั้นเร... | b\in\boxed{(-\infty,-8]\cup [8,\infty)} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
แยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้ให้สมบูรณ์: \[(6a^3+92a^2-7)-(-7a^3+a^2-7)\] | ก่อนอื่น ให้รวมพจน์ที่คล้ายกันในนิพจน์: \begin{align*}
&(6a^3+92a^2-7)-(-7a^3+a^2-7)\\
& \qquad=6a^3+92a^2-7+7a^3-a^2+7\\
&\qquad=13a^3+91a^2.
\end{align*}เราสามารถแยกตัวประกอบ $13a^2$ ออกจากนิพจน์ได้ ซึ่งจะได้ \[13a^3+91a^2=\boxed{13a^2(a+7)}.\] | 13a^2 | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
กำหนดให้ $X,$ $Y,$ และ $Z$ เป็นจุดที่ $\frac{XZ}{XY} = \frac{ZY}{XY} = \frac{1}{2}.$ ถ้า $Y = (1, 7)$, $Z = (-1, -7)$, แล้วผลรวมของพิกัดของ $X$ เท่ากับเท่าใด | จากโจทย์ เราจะเห็นว่า $XZ = ZY$ และ $XZ + ZY = XY$ ซึ่งหมายความว่า $X,$ $Y,$ และ $Z$ สร้างรูปสามเหลี่ยมเสื่อม กล่าวคือ $Z$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $XY$. เนื่องจากจาก $Y$ ไป $Z$ เราไป 2 หน่วยทางซ้ายและ 14 หน่วยลง เราทำเช่นเดียวกันเพื่อไปยัง $X = (-1 - 2, -7 -14) = (-3, -21).$ ดังนั้น ผลรวมของพิกัดของ $X$ คือ $\boxed{-24}.$ | \boxed{-24}. | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาค่าของ $y(y-3x)$ เมื่อ $x=3$ และ $y=0$ | เนื่องจาก 0 คูณกับจำนวนใดๆ จะได้ 0 ดังนั้น เมื่อ $y=0$ เราได้ $y(y-3x) = 0(y-3x) = \boxed{0}$ | y(y-3x) = 0(y-3x) = \boxed{0} | [
"ประยุกต์"
] |
สำหรับค่าของ $x$ ใดบ้างที่ทำให้ $x^2 - 5x - 4 \le 10$ เป็นจริง? แสดงคำตอบในรูปของสัญกรณ์ช่วง | จัดรูปใหม่ $x^2 - 5x - 14 \le 0$. พหุนามกำลังสองทางซ้ายมือสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2) \le 0$. ดังนั้น $x-7$ และ $x+2$ จะมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ดังนั้น $-2 \le x \le 7$ และ $\boxed{x \in [-2,7]}$. | \boxed{x \in [-2,7]} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
จงหาผลรวมของสัมประสิทธิ์ในพหุนาม $-2(x^7 - x^4 + 3x^2 - 5) + 4(x^3 + 2x) - 3(x^5 - 4)$ | ผลรวมของสัมประสิทธิ์ในพหุนาม $-2(x^7 - x^4 + 3x^2 - 5) + 4(x^3 + 2x) - 3(x^5 - 4)$ คือ $-2 (1 - 1 + 3 - 5) + 4 (1 + 2) - 3 (1 - 4) = (-2) \cdot (-2) + 4 \cdot 3 - 3 \cdot (-3) = \boxed{25}$ (ผลรวมของสัมประสิทธิ์ในพหุนามสามารถหาได้โดยการแทนตัวแปรด้วย 1) | -2 (1 - 1 + 3 - 5) + 4 (1 + 2) - 3 (1 - 4) = (-2) \cdot (-2) + 4 \cdot 3 - 3 \cdot (-3) = \boxed{25} | [
"จำ",
"นำไปใช้"
] |
ผลคูณของกำลังสองของคำตอบของสมการ $2x^2 + 13x + 6 = 0$ คือเท่าใด | จากสูตรของ Vieta ผลคูณของคำตอบคือ $6/2 = 3$ ดังนั้น ผลคูณของกำลังสองของคำตอบคือ $3^2 = \boxed{9}$ | 3^2 = \boxed{9}. | [
"นำไปใช้",
"วิเคราะห์"
] |
תחוםของฟังก์ชัน $$k(y) = \frac{1}{2y+1}~?$$ แสดงคำตอบในสัญกรณ์ช่วง | เศษส่วน $\frac{1}{2y+1}$ ไม่นิยามก็ต่อเมื่อส่วนตัวเป็นศูนย์ เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อ $y$ เป็นคำตอบของสมการ $$2y+1=0,$$ ซึ่งก็คือ $y=-\frac 12$ ดังนั้นโดเมนของ $k(y)$ คือ $$\boxed{\left(-\infty,-\frac 12\right)\cup \left(-\frac 12,\infty\right)}.$$ | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] | |
อัตราส่วนของจำนวนสองจำนวนคือ $3:5$ เมื่อนำ 4 ลบออกจากจำนวนที่น้อยกว่า และนำ 8 บวกเข้ากับจำนวนที่มากกว่า อัตราส่วนใหม่จะเป็น $2:7$ จำนวนที่มากกว่าของจำนวนทั้งสองก่อนที่จะนำ 8 บวกเข้าไปคือเท่าไร | ให้ $a$ เป็นจำนวนที่น้อยกว่า และ $b$ เป็นจำนวนที่มากกว่า จากนั้น $\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{5}$ ดังนั้น $5a=3b$ นอกจากนี้ $\dfrac{a-4}{b+8}=\dfrac{2}{7}$ ดังนั้นการคูณไขว้จะได้ $7(a-4)=2(b+8)$ ตอนนี้เรามีระบบสมการเชิงเส้นสองสมการ การแก้สมการจะได้ $a=12$, $b=20$ เนื่องจากคำถามถามถึงค่าของ $b$ คำตอบของเราคือ $\boxed{20}$ | \boxed{20} | [
"วิเคราะห์",
"ประยุกต์"
] |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.