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方法：物理信息增强的选择性状态空间模型（PI-Mamba）for 多合金 MD 轨迹

对应 step 2.docx 的四项要求：(i) 多合金/多工况条件输入；(ii) 时序状态递推； (iii) 多任务输出；(iv) 允许标签缺失。所有实现见 code/pimamba/。

1. 问题形式化

对样本 $s$（一种合金 + 一组载荷条件）给定应变序列 $\varepsilon_{1:T}$（本数据 $T=401$，$\varepsilon\in[0,0.2]$，$\Delta\varepsilon=5\times10^{-4}$）， 模型递推隐藏状态并同时输出 13 个物理量：

$${\mathbf{h}}_t=f_{\theta }({\mathbf{h}}_{t-1},{\mathbf{u}}_t,{\mathbf{c}}_s),{\widehat{\mathbf{y}}}_t=g_{\theta }({\mathbf{h}}_t,{\mathbf{c}}_s),{\widehat{\mathbf{y}}}_t\in {\mathbb{R}}^{13}\backslash mathbf\{h\}\_t\; =\; f\_\backslash theta(\backslash mathbf\{h\}\_\{t-1\},\; \backslash mathbf\{u\}\_t,\; \backslash mathbf\{c\}\_s),\; \backslash qquad\; \backslash hat\{\backslash mathbf\{y\}\}\_t\; =\; g\_\backslash theta(\backslash mathbf\{h\}\_t,\; \backslash mathbf\{c\}\_s),\; \backslash qquad\; \backslash hat\{\backslash mathbf\{y\}\}\_t\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^\{13\}$$

其中 $\mathbf{u}t$ 为动态输入（应变、应变增量、$\log{10}\dot\varepsilon$、$T_0$、拉/压符号）， $\mathbf{c}_s$ 为静态条件（成分、VEC、δ、ΔH_mix、几何、系综、初始微观状态等）。

标签缺失：每个样本只有部分目标有标注。定义观测掩码 $m_{t,k}\in{0,1}$，损失只在 $m_{t,k}=1$ 处计算。

2. 选择性状态空间递推（S6）

连续时间状态空间 $\dot{\mathbf{h}}(t)=\mathbf{A}\mathbf{h}(t)+\mathbf{B}\mathbf{u}(t)$ 在零阶保持（ZOH）离散化下为

$${\mathbf{h}}_t={\bar{\mathbf{A}}}_t{\mathbf{h}}_{t-1}+{\bar{\mathbf{B}}}_t{\mathbf{u}}_t,{\bar{\mathbf{A}}}_t=\exp ({\mathrm{\Delta }}_t\mathbf{A}),{\bar{\mathbf{B}}}_t=({\mathrm{\Delta }}_t\mathbf{A}{)}^{-1}(e^{{\mathrm{\Delta }}_t\mathbf{A}}-\mathbf{I}){\mathrm{\Delta }}_t{\mathbf{B}}_t\backslash mathbf\{h\}\_t\; =\; \backslash bar\{\backslash mathbf\{A\}\}\_t\; \backslash mathbf\{h\}\_\{t-1\}\; +\; \backslash bar\{\backslash mathbf\{B\}\}\_t\; \backslash mathbf\{u\}\_t,\backslash quad\; \backslash bar\{\backslash mathbf\{A\}\}\_t=\backslash exp(\backslash Delta\_t\; \backslash mathbf\{A\}),\backslash quad\; \backslash bar\{\backslash mathbf\{B\}\}\_t=(\backslash Delta\_t\backslash mathbf\{A\})^\{-1\}\backslash big(e^\{\backslash Delta\_t\backslash mathbf\{A\}\}-\backslash mathbf\{I\}\backslash big)\backslash Delta\_t\backslash mathbf\{B\}\_t$$

关键是 $\Delta_t$、$\mathbf{B}_t$、$\mathbf{C}_t$ 都是输入的函数（选择性）， 因此模型能对「弹性→屈服→塑性硬化」这类分段切换自适应地改变记忆尺度： 弹性段需要长记忆（$\Delta$ 小、$\bar A\to1$），位错增殖段需要快速更新（$\Delta$ 大）。

实现为分块并行扫描（models.selective_scan），复杂度 $O(T)$、无递归依赖， 在长度 401 的序列上比逐点循环快一个数量级；数值上用 chunk 内 cumprod/cumsum 并 clamp $\Delta\in[10^{-4},0.2]$。

Mamba-2 变体（Mamba2Block）：多头（4 头）、每头独立的 $\mathbf{A}$、 组共享 $\mathbf{B}/\mathbf{C}$、$d_{state}=64$，结构上等价于 SSD 分解的门控线性注意力， 用于检验「SSM 的优势是否依赖于具体参数化」。

3. 物理信息注入（PI-Mamba）

三条物理通道，均可单独消融：

1. 静态条件调制（FiLM）：$\mathbf{c}_s$ 经 MLP 得到 $(\gamma_\ell,\beta_\ell)$， 在每层 SSM 之后做 $\mathbf{h}\leftarrow(1+\gamma_\ell)\odot\mathbf{h}+\beta_\ell$， 使同一套动力学参数可随合金成分连续变化（对应「多合金条件输入」）。
2. 微观→宏观耦合：应力头不直接读 $\mathbf{h}t$，而是读 $[\mathbf{h}t,\ \mathbf{W},\mathbf{z}t]$，其中 $\mathbf{z}t=[\xi{BCC},\xi{FCC},\xi{HCP},\xi{other},\rho_{1..7},\rho_{twin}]$ 是同一时刻的微观预测。这实现了「微观结构演化 → 宏观流动应力」的显式通路， 也是第 6 节敏感性分析的抓手。
3. 物理约束损失（可选，--physics）：
   • 单调性：$\rho_{total}$、$\rho_{twin}$ 在塑性段非减（软约束，hinge）；
   • 初态一致：$t=1$ 的微观预测应接近表格给出的初始值；
   • 光滑性：应力二阶差分惩罚（抑制非物理振荡）。

4. 多任务输出头

共享主干 + 每个物理量独立输出头（step 2 明确要求，避免异量纲目标互相干扰）：

头	输出维度	激活	说明
应力	1	线性	z-score 空间
相分数	4	softmax	单纯形约束，和为 1
位错密度	7	softplus	非负
孪晶密度	1	softplus	非负

损失为掩码 MSE 的加权和：

$$\mathcal{L}=\sum _k{w}_k\frac{\sum _t{m}_{t,k}({\widehat{y}}_{t,k}-y_{t,k}{)}^2}{\sum _t{m}_{t,k}}+{\lambda }_{mono}{\mathcal{L}}_{mono}+{\lambda }_{init}{\mathcal{L}}_{init}+{\lambda }_{smooth}{\mathcal{L}}_{smooth}\backslash mathcal\{L\}=\backslash sum\_\{k\}\; w\_k\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{t\}m\_\{t,k\}(\backslash hat\; y\_\{t,k\}-y\_\{t,k\})^2\}\{\backslash sum\_t\; m\_\{t,k\}\}\; +\backslash lambda\_\{mono\}\backslash mathcal\{L\}\_\{mono\}+\backslash lambda\_\{init\}\backslash mathcal\{L\}\_\{init\}+\backslash lambda\_\{smooth\}\backslash mathcal\{L\}\_\{smooth\}$$

权重 $w_k = 1/\max(\mathrm{Var}_k, 0.05)$ 后归一化到均值 1：相分数是 0–1 原始尺度 （MSE ~1e-2），应力是 z-score（MSE ~1），若不配平，13 个头等权会把相分数头淹没。

5. 归一化

类型	变换	理由
应力、温度等物理量	z-score	常规
应变率（1e8–5e11）	$\log_{10}$ → z-score	跨 3.7 个数量级
几何尺寸	$\log_{10}$ → z-score，配适用性 flag	形状不同，缺失维度不能填 0
位错/孪晶密度	$\mathrm{asinh}(x/s_0)$ → z-score	零值有定义、大值近似对数
相分数、one-hot、flag	不缩放	本身无量纲且界于 [0,1]

Normalizer 只在训练集上拟合并随 checkpoint 保存，避免信息泄漏。

6. 训练协议

• 优化器 AdamW，wd=1e-4，OneCycleLR（pct_start=0.25），max_lr=3e-4，300 epochs， batch=8，梯度裁剪 1.0。
• 不使用内部验证集早停：33 个样本下 15% 留出只有约 4 条轨迹，早停完全由噪声驱动 （见报告 §5.1 的诊断）。改为固定轮次 + 完整退火，测试集即 5 折的 out-of-fold 样本。
• 数值防护：loss 或梯度范数非有限时跳过该 batch（不更新权重），并记录 nan_batches。
• 每个配置记录 metrics.json / history.json / curves.csv / predictions.npz / model.pt。

7. 评估

• 物理单位下逐目标 $R^2$、MAE、nMAE（=MAE/σ_y）、bias。
• 主指标：7 个目标的宏平均 $R^2$（sigma, xi_*×4, rho_total, twin）； 6 个位错分型目标单列（覆盖 3–6 个样本，R² 不稳定）。
• 应力分解：把总 $R^2$ 拆成
  • level_oracle_r2：若精确知道每条曲线的均值（只知道"哪个合金多强"）能达到的上界；
  • shape_r2：去掉每条曲线自身均值后的 $R^2$（刻画硬化/软化形状）；
  • level_corr / level_mae：样本级平均应力的相关与偏差。
• 曲线指标：峰值相对误差、$\varepsilon=0.02/0.05/0.10$ 处应力相对误差、曲线 RMSE。

8. 实验设计

套件	目的	规模
main	7 种架构对比（MLP/GRU/LSTM/Transformer/Mamba/Mamba-2/PI-Mamba）	5 折 × 2 种子
loao	跨合金泛化：留一合金体系	10 个体系 × 4 模型
ablation	耦合/物理损失/几何/flag/系综/初态/归一化	8 变体 × 5 折
dataeff	数据效率 25/50/75/100%	4 模型 × 4 比例 × 5 折
敏感性	$\partial\sigma/\partial z_{micro}$ 反事实	训练好的 PI-Mamba

9. 复现

cd code
python -m pimamba.build_dataset          # 解析 Excel -> data/processed
python -m pimamba.train --model pimamba --split kfold --fold 0 --epochs 300
python -m pimamba.run_experiments --suite all --seeds 0 1
python -m pimamba.report                 # 生成表格与图

环境：Python 3.12、PyTorch 2.8（CUDA 12.8）或 2.15（CPU），单卡 A800-80GB 即可， 全部实验合计 < 4 GPU·小时。