| # 方法：物理信息增强的选择性状态空间模型（PI-Mamba）for 多合金 MD 轨迹 |
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| 对应 `step 2.docx` 的四项要求：(i) 多合金/多工况条件输入；(ii) 时序状态递推； |
| (iii) 多任务输出；(iv) 允许标签缺失。所有实现见 `code/pimamba/`。 |
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| ## 1. 问题形式化 |
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| 对样本 $s$（一种合金 + 一组载荷条件）给定应变序列 |
| $\varepsilon_{1:T}$（本数据 $T=401$，$\varepsilon\in[0,0.2]$，$\Delta\varepsilon=5\times10^{-4}$）， |
| 模型递推隐藏状态并同时输出 13 个物理量： |
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| $$ |
| \mathbf{h}_t = f_\theta(\mathbf{h}_{t-1}, \mathbf{u}_t, \mathbf{c}_s), \qquad |
| \hat{\mathbf{y}}_t = g_\theta(\mathbf{h}_t, \mathbf{c}_s), \qquad |
| \hat{\mathbf{y}}_t \in \mathbb{R}^{13} |
| $$ |
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| 其中 $\mathbf{u}_t$ 为动态输入（应变、应变增量、$\log_{10}\dot\varepsilon$、$T_0$、拉/压符号）， |
| $\mathbf{c}_s$ 为静态条件（成分、VEC、δ、ΔH_mix、几何、系综、初始微观状态等）。 |
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| **标签缺失**：每个样本只有部分目标有标注。定义观测掩码 |
| $m_{t,k}\in\{0,1\}$，损失只在 $m_{t,k}=1$ 处计算。 |
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| ## 2. 选择性状态空间递推（S6） |
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| 连续时间状态空间 |
| $\dot{\mathbf{h}}(t)=\mathbf{A}\mathbf{h}(t)+\mathbf{B}\mathbf{u}(t)$ |
| 在零阶保持（ZOH）离散化下为 |
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| $$ |
| \mathbf{h}_t = \bar{\mathbf{A}}_t \mathbf{h}_{t-1} + \bar{\mathbf{B}}_t \mathbf{u}_t,\quad |
| \bar{\mathbf{A}}_t=\exp(\Delta_t \mathbf{A}),\quad |
| \bar{\mathbf{B}}_t=(\Delta_t\mathbf{A})^{-1}\big(e^{\Delta_t\mathbf{A}}-\mathbf{I}\big)\Delta_t\mathbf{B}_t |
| $$ |
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| 关键是 $\Delta_t$、$\mathbf{B}_t$、$\mathbf{C}_t$ 都是输入的函数（选择性）， |
| 因此模型能对「弹性→屈服→塑性硬化」这类**分段切换**自适应地改变记忆尺度： |
| 弹性段需要长记忆（$\Delta$ 小、$\bar A\to1$），位错增殖段需要快速更新（$\Delta$ 大）。 |
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| 实现为分块并行扫描（`models.selective_scan`），复杂度 $O(T)$、无递归依赖， |
| 在长度 401 的序列上比逐点循环快一个数量级；数值上用 chunk 内 |
| `cumprod/cumsum` 并 clamp $\Delta\in[10^{-4},0.2]$。 |
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| **Mamba-2 变体**（`Mamba2Block`）：多头（4 头）、每头独立的 $\mathbf{A}$、 |
| 组共享 $\mathbf{B}/\mathbf{C}$、$d_{state}=64$，结构上等价于 SSD 分解的门控线性注意力， |
| 用于检验「SSM 的优势是否依赖于具体参数化」。 |
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| ## 3. 物理信息注入（PI-Mamba） |
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| 三条物理通道，均可单独消融： |
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| 1. **静态条件调制（FiLM）**：$\mathbf{c}_s$ 经 MLP 得到 $(\gamma_\ell,\beta_\ell)$， |
| 在每层 SSM 之后做 $\mathbf{h}\leftarrow(1+\gamma_\ell)\odot\mathbf{h}+\beta_\ell$， |
| 使同一套动力学参数可随合金成分连续变化（对应「多合金条件输入」）。 |
| 2. **微观→宏观耦合**：应力头不直接读 $\mathbf{h}_t$，而是读 |
| $[\mathbf{h}_t,\ \mathbf{W}\,\mathbf{z}_t]$，其中 |
| $\mathbf{z}_t=[\xi_{BCC},\xi_{FCC},\xi_{HCP},\xi_{other},\rho_{1..7},\rho_{twin}]$ |
| 是同一时刻的微观预测。这实现了「微观结构演化 → 宏观流动应力」的显式通路， |
| 也是第 6 节敏感性分析的抓手。 |
| 3. **物理约束损失**（可选，`--physics`）： |
| - 单调性：$\rho_{total}$、$\rho_{twin}$ 在塑性段非减（软约束，hinge）； |
| - 初态一致：$t=1$ 的微观预测应接近表格给出的初始值； |
| - 光滑性：应力二阶差分惩罚（抑制非物理振荡）。 |
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| ## 4. 多任务输出头 |
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| 共享主干 + **每个物理量独立输出头**（step 2 明确要求，避免异量纲目标互相干扰）： |
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| | 头 | 输出维度 | 激活 | 说明 | |
| |---|---|---|---| |
| | 应力 | 1 | 线性 | z-score 空间 | |
| | 相分数 | 4 | softmax | 单纯形约束，和为 1 | |
| | 位错密度 | 7 | softplus | 非负 | |
| | 孪晶密度 | 1 | softplus | 非负 | |
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| 损失为掩码 MSE 的加权和： |
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| $$ |
| \mathcal{L}=\sum_{k} w_k \frac{\sum_{t}m_{t,k}(\hat y_{t,k}-y_{t,k})^2}{\sum_t m_{t,k}} |
| +\lambda_{mono}\mathcal{L}_{mono}+\lambda_{init}\mathcal{L}_{init}+\lambda_{smooth}\mathcal{L}_{smooth} |
| $$ |
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| 权重 $w_k = 1/\max(\mathrm{Var}_k, 0.05)$ 后归一化到均值 1：相分数是 0–1 原始尺度 |
| （MSE ~1e-2），应力是 z-score（MSE ~1），若不配平，13 个头等权会把相分数头淹没。 |
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| ## 5. 归一化 |
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| | 类型 | 变换 | 理由 | |
| |---|---|---| |
| | 应力、温度等物理量 | z-score | 常规 | |
| | 应变率（1e8–5e11） | $\log_{10}$ → z-score | 跨 3.7 个数量级 | |
| | 几何尺寸 | $\log_{10}$ → z-score，配适用性 flag | 形状不同，缺失维度不能填 0 | |
| | 位错/孪晶密度 | $\mathrm{asinh}(x/s_0)$ → z-score | 零值有定义、大值近似对数 | |
| | 相分数、one-hot、flag | 不缩放 | 本身无量纲且界于 [0,1] | |
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| `Normalizer` 只在训练集上拟合并随 checkpoint 保存，避免信息泄漏。 |
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| ## 6. 训练协议 |
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| - 优化器 AdamW，`wd=1e-4`，OneCycleLR（`pct_start=0.25`），`max_lr=3e-4`，300 epochs， |
| batch=8，梯度裁剪 1.0。 |
| - **不使用内部验证集早停**：33 个样本下 15% 留出只有约 4 条轨迹，早停完全由噪声驱动 |
| （见报告 §5.1 的诊断）。改为固定轮次 + 完整退火，测试集即 5 折的 out-of-fold 样本。 |
| - 数值防护：loss 或梯度范数非有限时跳过该 batch（不更新权重），并记录 `nan_batches`。 |
| - 每个配置记录 `metrics.json / history.json / curves.csv / predictions.npz / model.pt`。 |
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| ## 7. 评估 |
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| - 物理单位下逐目标 $R^2$、MAE、nMAE（=MAE/σ_y）、bias。 |
| - **主指标**：7 个目标的宏平均 $R^2$（`sigma, xi_*×4, rho_total, twin`）； |
| 6 个位错分型目标单列（覆盖 3–6 个样本，R² 不稳定）。 |
| - **应力分解**：把总 $R^2$ 拆成 |
| - `level_oracle_r2`：若精确知道每条曲线的均值（只知道"哪个合金多强"）能达到的上界； |
| - `shape_r2`：去掉每条曲线自身均值后的 $R^2$（刻画硬化/软化形状）； |
| - `level_corr` / `level_mae`：样本级平均应力的相关与偏差。 |
| - **曲线指标**：峰值相对误差、$\varepsilon=0.02/0.05/0.10$ 处应力相对误差、曲线 RMSE。 |
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| ## 8. 实验设计 |
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| | 套件 | 目的 | 规模 | |
| |---|---|---| |
| | `main` | 7 种架构对比（MLP/GRU/LSTM/Transformer/Mamba/Mamba-2/PI-Mamba） | 5 折 × 2 种子 | |
| | `loao` | 跨合金泛化：留一合金体系 | 10 个体系 × 4 模型 | |
| | `ablation` | 耦合/物理损失/几何/flag/系综/初态/归一化 | 8 变体 × 5 折 | |
| | `dataeff` | 数据效率 25/50/75/100% | 4 模型 × 4 比例 × 5 折 | |
| | 敏感性 | $\partial\sigma/\partial z_{micro}$ 反事实 | 训练好的 PI-Mamba | |
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| ## 9. 复现 |
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| ```bash |
| cd code |
| python -m pimamba.build_dataset # 解析 Excel -> data/processed |
| python -m pimamba.train --model pimamba --split kfold --fold 0 --epochs 300 |
| python -m pimamba.run_experiments --suite all --seeds 0 1 |
| python -m pimamba.report # 生成表格与图 |
| ``` |
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| 环境：Python 3.12、PyTorch 2.8（CUDA 12.8）或 2.15（CPU），单卡 A800-80GB 即可， |
| 全部实验合计 < 4 GPU·小时。 |
