conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=4+2i$ ។ គណនា $2\\bar{z}-2-4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=4-2i$ យើងបាន ៖\n$$2\\bar{z}-2-4i=2(4-2i)-2-4i=6-8i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{6-8i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុលនៃ $z=\\frac{3}{5}+\\frac{4}{5}i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=\\sqrt{\\left(\\frac{3}{5}\\right)^{2}+\\left(\\frac{4}{5}\\right)^{2}}=\\sqrt{1}=1$$\nដូចនេះ $\\boxed{|z|=1}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m+2i)(-4-i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកចំនួនពិត $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតផលគុណ ៖\n$$z=(-4m+2)-(m+8)i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តស្មើសូន្យ ៖\n$$-m-8=0\\Leftrightarrow m=-8$$\nដូចនេះ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលគុណខាងក្រោម ៖ $(-2+2i)(5+6i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាម $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$(-2+2i)(5+6i)=-10-12i+10i+12i^{2}=-10-2i-12=-22-2i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{-22-2i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{4}-6z^{3}+23z^{2}-34z+26$ ។ បង្ហាញថា $P(2+3i)=0$ ។ ដាក់ $P(z)$ ជាផលគុណនៃពហុធាដឺក្រេទីពីរមានមេគុណពិតពីរ រួចដោះស្រាយ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត $2-3i$ ក៏ជាឫសដែរ ។ ដូច្នេះ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-(2+3i))(z-(2-3i))=z^{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(-2+i)z-6+2i=-16+2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បញ្ជូន $-6+2i$ ទៅអង្គខាងស្តាំ ៖\n$$(-2+i)z=(-16+2i)-(-6+2i)=-10$$\nចែកនឹងមេគុណនៃ $z$ ៖\n$$z=\\frac{-10}{-2+i}=\\frac{(-10)(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)}=\\frac{20+10i}{4+1}=\\frac{20+10i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}+3z^{2}-6z+10=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ដោយដឹងថា $-1+2i$ ជាឫសមួយ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $P(z)=z^{4}+3z^{2}-6z+10$ ។ ដោយមេគុណជាចំនួនពិត $-1-2i$ ក៏ជាឫសដែរ ។ ដូច្នេះ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z+1-2i)(z+1+2i)=z^{2}+2z+5$$\nធ្វើវិធីចែកពហុធា យ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=\\sqrt{6}+i\\sqrt{2}$ និង $B=2+2i$ ។\nក- គណនា $A+B$ និង $A\\times B$ ។\nខ- សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- បូកផ្នែកពិត និងផ្នែកន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1=-4+12i$ និង $z_2=2-i$ ។ គណនា $\\overline{\\left(\\frac{z_1}{z_2}\\right)}$ រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាវាស្មើនឹង $\\frac{\\overline{z_1}}{\\overline{z_2}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង ៖\n$$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{-4+12i}{2-i}=\\frac{(-4+12i)(2+i)}{(2-i)(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-8z+41=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\n២. គេឱ្យ $w=z_1+i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{w}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. គណនាឌីសគ្រីមីណង់... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $2z-3\\bar{z}=5+15i$ ។\nខ. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nគ. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nឃ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=3-21i$ និង $z_2=3+4i$ ។\nក. គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\nខ. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គេបាន ៖\n$$z_1-z_2=(3-21i)-(3+4i)=-25i$$\n$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $i^{41}$ , $i^{120}$ និង $i^{1923}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^4=1$ ស្វ័យគុណនៃ $i$ វិលជុំតាមខួប $4$ ។\n$$i^{41}=i^{4\\times 10+1}=\\left(i^{4}\\right)^{10}\\times i^{1}=i^{1}=i$$\n$$i^{120}=i^{4\\times 30+0}=\\left(i^{4}\\right)^{30}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-5z+5+3i=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=5^{2}-4(5+3i)=25-(20+12i)=5-12i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=5-12i$ ។\nតាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $(-1-3i)z+1+3i=11+13i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បញ្ជូន $1+3i$ ទៅអង្គខាងស្តាំ ៖\n$$(-1-3i)z=(11+13i)-(1+3i)=10+10i$$\nចែកនឹងមេគុណនៃ $z$ ៖\n$$z=\\frac{10+10i}{-1-3i}=\\frac{(10+10i)(-1+3i)}{(-1-3i)(-1+3i)}=\\frac{-40+20i}{1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=3+2i$ និង $z_2=-2+3i$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $\\overline{z_1\\times z_2}=\\overline{z_1}\\times\\overline{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$z_1\\times z_2=-6+9i-4i+6i^{2}=-6+5i-6=-12+5i$$\n$$\\overline{z_1\\times z_2}=-12-5... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា ចំពោះគ្រប់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n$ គេបាន $i^{4n}+i^{4n+1}=1+i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $i^{4n}=\\left(i^{4}\\right)^{n}=1^n=1$ ។ ដូច្នេះ ៖\n$$i^{4n}=i^{4n}\\times i^{0}=1$$\n$$i^{4n+1}=i^{4n}\\times i^{1}=i$$\nបូកលទ្ធផលទាំងពីរ ៖\n$$i^{4n}+i^{4n+1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $x^{2}-y^{2}+2xyi=21+20i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ លុះត្រាតែ $a=c$ និង $b=d$ ។\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=21\\\\2xy=20\\end{cases}$$\nពីសមីការទីពីរ $y=\\frac{10}{x}$ ។ ជំនួសចូលសមីកា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-8z^{2}+37z-50$ ។\na. គណនា $P(2)$ ។\nb. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z-2)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nc. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nd. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $2$ , $3+4i$ និង $3-4i$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-(6+i)z+20-4i=0$ ។\nក. គណនា $(2+7i)^{2}$ ។\nខ. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nឃ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ពន្លាតការេ ៖\n$$(2+7i)^{2}=4+2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(-1-2i)^{2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត $a+bi$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តការេនៃទ្វេធា ៖\n$$(-1-2i)^{2}=1+4i+4i^{2}=-3+4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-1-2i)^{2}=-3+4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z-2\\bar{z}=-2+9i$ ។\nb. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nc. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x+2i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $x$ ដើម្បីឱ្យ $z^2+3z$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$z^{2}+3z=x^{2}-4+4xi+3x+6i$$\nផ្នែកនិមិត្តគឺ $4x+6$ ។ កន្សោមជាចំនួនពិត លុះត្រាតែ ៖\n$$4x+6=0\\Leftrightarrow x=-\\frac{3}{2}$$\nដូចនេះ $\\bo... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(1+2i)(3+3i)(1-3i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត $a+bi$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណកត្តាពីរដំបូងជាមុនសិន ៖\n$$(1+2i)(3+3i)=3+3i+6i+6i^{2}=3+9i-6=-3+9i$$\nរួចគុណលទ្ធផលនឹងកត្តាទីបី ៖\n$$(-3+9i)(1-3i)=-3+9i+9i-27i^{2}=-3+18i+27=24+18i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{24... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-6z+25=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\n២. សរសេរ $z_1^2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រក $|z_1|$ រួចបង្ហាញថា $z_1\\times z_2=|z_1|^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃចំនួនខាងក្រោម ៖ $z_1=8-4i$ , $z_2=6i$ , $z_3=4+i\\sqrt{3}$ , $z_4=-5$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $a+bi$ គឺ $a-bi$ គឺយើងប្តូរសញ្ញាផ្នែកនិមិត្តតែប៉ុណ្ណោះ ។\n$$\\overline{z_1}=8+4i$$\n$$\\overline{z_2}=-6i$$\n$$\\overli... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}+z+14=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=1^{2}-4\\times 14=-55=\\left(i\\sqrt{55}\\right)^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_{1,2}=\\frac{-1\\pm i\\sqrt{55}}{2}$$\nដូចនេះ សំណុំឫសគឺ $\\boxed{\\left\\{-\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{10+10i}{1+3i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $1-3i$ ។ គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$z=\\frac{10+10i}{1+3i}=\\frac{(10+10i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)}=\\frac{40-20i}{1+9}=\\frac{40-20i}{10}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=-1+4i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}-2z^{2}+9z-68=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=-15-8i$ និង $z_0^3=47-52i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(47-52i)-2(-15-8i)+9(-1+4i)-68=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=-1+4i}$ ជាឫសនៃសមីការនេះ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}+2z+14=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=2^{2}-4\\times 14=-52=\\left(2i\\sqrt{13}\\right)^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_{1,2}=\\frac{-2\\pm 2i\\sqrt{13}}{2}$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z_1=-1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{4}+z^{2}-90=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ យើងបាន ៖\n$$t^{2}+t-90=0\\Leftrightarrow (t-9)(t+10)=0$$\n$$z^{2}=9\\Rightarrow z=\\pm 3$$\n$$z^{2}=-10\\Rightarrow z=\\pm i\\sqrt{10}$$\nដូចនេះ សមីការមានឫសបួនគឺ $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P$ មានមេគុណជាចំនួនពិត ។\nក. ស្រាយបញ្ជាក់ថា បើ $z_0$ ជាឫសនៃ $P(z)=0$ នោះ $\\overline{z_0}$ ក៏ជាឫសដែរ ដោយធ្វើចំពោះពហុធាដឺក្រេទីបី $P(z)=az^3+bz^2+cz+d$ ។\nខ. អនុវត្តចំពោះ $P(z)=z^3-z^2+2$ ដោយដឹងថា $P(1+i)=0$ ៖ រកឫសទាំងអស់នៃ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរមានមេគុណពិត ដែលមានឫសមួយគឺ $2-6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ឫសមួយទៀតគឺចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ $z_2=2+6i$ ។\n$$z_1+z_2=4\\quad,\\quad z_1z_2=4+36=40$$\nសមីការគឺ $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ សមីការដែលរកបានគឺ $\\boxed{z^{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq 1-2i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z-(3-2i)}{z-(1-2i)}$ ។\na. គណនា $f(1-3i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nb. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=1+i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $f(1-3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. ភាគយកគឺ $(1-3i)-(3-2i)=-2-i$ ហើយភាគបែងគឺ $(1-3i)-(1-2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{2}-4z+4-8i=0$ ។ បង្ហាញថា $z_1=-2i$ ជាឫសរបស់សមីការនេះ រួចទាញរកឫសមួយទៀត $z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-2i$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(-2i)^{2}-4(-2i)+(4-8i)=(-4)+8i+(4-8i)=0$$\nដូច្នេះ $z_1=-2i$ ជាឫស ។\nផលគុណឫសនៃសមីការ $z^2+bz+c=0$ គឺ $z_... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $Z=(1+2i)^{4}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេមុន ៖\n$$(1+2i)^{2}=1+4i+4i^{2}=-3+4i$$\nស្វ័យគុណទី $4$ គឺជាការេនៃលទ្ធផលនេះ ៖\n$$(1+2i)^{4}=\\left[(1+2i)^{2}\\right]^{2}=(-3+4i)^{2}=9-24i+16i^{2}=-7-24i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(1+2i)^{4}=-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(x+iy)+3(x-iy)=16+10i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$(4)x-2yi=16+10i$$\nយើងប្រៀបធៀបផ្នែកពិតនឹងផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនឹងផ្នែកនិមិត្ត ។\n$$4x=16\\quad,\\quad -2y=10$$\nនាំឱ្យ $x=4$ និង $y=-5$ ។\nដូ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=2-3i$ ។ គណនា $z+\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1}{z}=\\frac{1}{2-3i}=\\frac{2+3i}{13}=\\frac{2}{13}+\\frac{3}{13}i$$\n$$z+\\frac{1}{z}=(2-3i)+\\left(\\frac{2}{13}+\\frac{3}{13}i\\right)=\\frac{28}{13}-\\frac{36}{13}i$$\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $(1+i)^{12}+(1-i)^{12}$ ជាចំនួនពិត រួចគណនាតម្លៃរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $(1+i)^2=2i$ និង $(1-i)^2=-2i$ យើងបាន ៖\n$$(1+i)^{12}=(2i)^{6}=-64$$\n$$(1-i)^{12}=(-2i)^{6}=-64$$\n$$S=-128$$\nដូចនេះ $\\boxed{S=-128}$ ជាចំនួនពិត ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^2-2iz-1=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។ តើសមីការមានឫសប៉ុន្មាន ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $(z-i)^2=z^2-2iz+i^2=z^2-2iz-1$ សមីការសរសេរបានជា ៖\n$$(z-i)^{2}=0$$\nនេះជាករណី $\\Delta=0$ ។\nដូចនេះ សមីការមានឫសឌុបតែមួយគឺ $\\boxed{z=i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុលនៃ $z=-4+2i\\sqrt{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=r=\\sqrt{(-4)^{2}+\\left(2\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{16+8}=2\\sqrt{6}$$\nដូចនេះ $\\boxed{|z|=2\\sqrt{6}}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^4=16$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $z^4-16=(z^2-4)(z^2+4)$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$(z-2)(z+2)(z-2i)(z+2i)=0$$\nដូចនេះ ឫសទាំងបួនគឺ $\\boxed{2\\,,\\ -2\\,,\\ 2i\\,,\\ -2i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq-2$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z+3}{z+2}$ ។\n១. គណនា $f(-4-4i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n២. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=3$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $f(-4-4i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ភាគយកគឺ $(-4-4i)-(-3)=-1-4i$ ហើយភាគបែងគឺ $(-4-4i)-(-2)=-2-4i$ ។\n$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}-(2-5i)z-9-3i=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(2-5i)^{2}-4(-9-3i)=(-21-20i)-(-36-12i)=15-8i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=15-8i$ ។\nយក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}-6z+10=0$ ។ គណនា $\\frac{z_1}{z_2}+\\frac{z_2}{z_1}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=6\\quad,\\quad z_1z_2=10$$\n$$\\frac{z_1}{z_2}+\\frac{z_2}{z_1}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-8-14i$ និង $z_2=3+2i$ ។\nក. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\nខ. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\nគ. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $\\left|(1-i\\sqrt{3})^{8}\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|1-i\\sqrt{3}|=\\sqrt{1+3}=2$$\nតាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $|z^n|=|z|^n$ យើងបាន ៖\n$$\\left|(1-i\\sqrt{3})^{8}\\right|=\\left(2\\right)^{8}=256$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{256}$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $4z+\\bar{z}=-10+9i$ ។\nb. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nc. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nd. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+4z+5=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nb. សរសេរ $z_1^2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រក $|z_1|$ រួចបង្ហាញថា $z_1\\times z_2=|z_1|^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}+8z^{3}+34z^{2}+72z+65=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ដោយដឹងថា $-2+3i$ ជាឫសមួយ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $P(z)=z^{4}+8z^{3}+34z^{2}+72z+65$ ។ ដោយមេគុណជាចំនួនពិត $-2-3i$ ក៏ជាឫសដែរ ។ ដូច្នេះ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z+2-3i)(z+2+3i)=z^{2}+4z+13$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $z_1$ , $z_2$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}+1=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។ គណនា $\\frac{z_1}{z_2}+\\frac{z_2}{z_1}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=0\\quad,\\quad z_1z_2=1$$\n$$\\frac{z_1}{z_2}+\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ស្រាយបញ្ជាក់ថា $i^{4n+2}+i^{4n}=0$ ចំពោះគ្រប់ $n\\in\\mathbb{N}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $i^{4n}=\\left(i^{4}\\right)^{n}=1^n=1$ ។ ដូច្នេះ ៖\n$$i^{4n+2}=i^{4n}\\times i^{2}=-1$$\n$$i^{4n}=i^{4n}\\times i^{0}=1$$\nបូកលទ្ធផលទាំងពីរ ៖\n$$i^{4n+2}+i^{4n}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-15+5i$ និង $z_2=3+i$ ។\nក- គណនា $3z_1-z_2$ ។\nខ- សរសេរ $Z=\\frac{z_1+z_2}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $Z=\\frac{z_1}{z_2}+1$ ។\nឃ- រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $Z^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- យើងបាន ៖\n$$3z_1-z_2=(-45+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យ $z_1=6+2i$ និង $z_2=2-7i$ ។ សរសេរ $5z_1-z_2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តដោយឡែកពីគ្នា ៖\nផ្នែកពិត ៖ $5\\times(6)-1\\times(2)=28$\nផ្នែកនិមិត្ត ៖ $5\\times(2)-1\\times(-7)=17$\nដូចនេះ $\\boxed{5z_1-z_2=28+17i}$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $(-2+3i)z+1-i=(-1-i)z+(12+6i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ទៅអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$\\left[(-2+3i)-(-1-i)\\right]z=(12+6i)-(1-i)$$\n$$(-1+4i)z=11+7i$$\n$$z=\\frac{11+7i}{-1+4i}=\\frac{(11+7i)(-1-4i)}{(-1+4i)(-1-4i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $(-2+3i)^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេជាមុនសិន ៖\n$$(-2+3i)^{2}=4-12i+9i^{2}=-5-12i$$\nគុណនឹងកត្តាដើមម្តងទៀត ៖\n$$(-2+3i)^{3}=(-5-12i)(-2+3i)=10-15i+24i-36i^{2}=10+9i+36=46+9i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-2+3i)^{3}=46+9i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-2i(-5+3i)+(2-2i)$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចបញ្ជាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ព្រោះ $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$z=10i-6i^{2}+2-2i=10i+6+2-2i=8+8i$$\nដូចនេះ $z=8+8i$ មានផ្នែកពិត $\\boxed{8}$ និងផ្នែកនិមិត្ត $\\boxed{8}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq-3+2i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z-(2-i)}{z+3-2i}$ ។\nក. គណនា $f(1+2i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=1-i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nគ. រកម៉ូឌុលនៃ $f(1+2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ភាគយកគឺ $(1+2i)-(2-i)=-1+3i$ ហើយភាគបែងគឺ $(1+2i)-(-3+2i)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=\\sqrt{2}+i\\sqrt{2}$ និង $z_2=1-i$ ។\n១. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value"... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq 2$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z+3i}{z-2}$ ។\nក- គណនា $f(1-2i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ- ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=2$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $f(1-2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ភាគយកគឺ $(1-2i)+3i=1+i$ ហើយភាគបែងគឺ $(1-2i)-2=-1-2i$ ។\n$$f(1-2i)=\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(m^{2}-7m+10)+(m^{2}+5m+4)i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត (ផ្នែកពិតស្មើសូន្យ) ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើសូន្យ ៖\n$$m^{2}-7m+10=0$$\nនាំឱ្យ $m=2$ ឬ $m=5$ ។\nចំពោះតម្ល... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $(-6+5i)(3+3i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត $a+bi$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាម $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$(-6+5i)(3+3i)=-18-18i+15i+15i^{2}=-18-3i-15=-33-3i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{-33-3i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(\\sqrt{3}+i\\right)^3$ រួចទាញរក $\\left(\\sqrt{3}+i\\right)^6$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ៖\n$$\\left(\\sqrt{3}+i\\right)^{2}=3+2i\\sqrt{3}-1=2+2i\\sqrt{3}$$\nបន្ទាប់មកគុណនឹង $\\sqrt{3}+i$ ៖\n$$\\left(2+2i\\sqrt{3}\\right)\\left(\\sqrt{3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1=10$ និង $z_2=2-i$ ។ គណនា $\\overline{\\left(\\frac{z_1}{z_2}\\right)}$ រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាវាស្មើនឹង $\\frac{\\overline{z_1}}{\\overline{z_2}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង ៖\n$$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{10}{2-i}=\\frac{10(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\\frac{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $(\\sqrt{6}+i)^{2}=5+2i\\sqrt{6}$ រួចទាញរកឫសការេនៃ $5+2i\\sqrt{6}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ៖\n$$(\\sqrt{6}+i)^{2}=6+2\\times\\sqrt{6}\\times i 1+i^{2}=5+2i\\sqrt{6}$$\nដូច្នេះ ចំនួននេះ និងចំនួនផ្ទុយរបស់វា សុទ្ធតែមានការេស្មើនឹង $5+2i\\sqrt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+6z+18=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nb. គេឱ្យ $w=z_1+2i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{w}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. យើងមាន ៖\n$$\\D... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $|z|=5$ និងផ្នែកពិតនៃ $z$ ស្មើនឹង $3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=3+iy$ ដែល $y\\in\\mathbb{R}$ ។\n$$|z|=\\sqrt{9+y^{2}}=5\\Rightarrow y^{2}=16\\Rightarrow y=\\pm 4$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=3+4i}$ ឬ $\\boxed{z=3-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+4z+5=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nគ. ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើ គណនា $z_1^2+z_2^2$ និង $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. យើងមាន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើ $-1-3i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+4iz-4-2i=0$ ឬទេ ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-1-3i$ ៖\n$$(-1-3i)^{2}+4i(-1-3i)-4-2i=(-8+6i)-(-12+4i)-4-2i=0$$\nដូចនេះ $-1-3i$ ជាឫសនៃសមីការ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+z+11=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=1^{2}-4\\times 11=-43=\\left(i\\sqrt{43}\\right)^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_{1,2}=\\frac{-1\\pm i\\sqrt{43}}{2}$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z_1=-\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $A=2+2i$ និង $B=\\sqrt{6}+i\\sqrt{2}$ ។\nក- គណនា $A+B$ និង $A\\times B$ ។\nខ- សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។\nឃ- គណនា $\\overline{A}\\times B$ ។"
},
{
"from": "gpt",
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-3i(2-i)+(2+3i)$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចបញ្ជាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាម $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$z=-6i+3i^{2}+2+3i=-6i-3+2+3i=-1-3i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{-1}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{-3}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}-2z+8=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=(-2)^{2}-4\\times 8=-28=\\left(2i\\sqrt{7}\\right)^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_{1,2}=\\frac{2\\pm 2i\\sqrt{7}}{2}$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z_1=1+i\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $\\frac{15}{4}+2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $\\frac{15}{4}+2i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=\\frac{15}{4}+2i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=\\frac{15}{4}+2i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា ន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេដឹងថា $z_0=1+6i$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}+az+b=0$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។ កំណត់ $a$ និង $b$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=1+6i$ ក្នុងសមីការ ៖\n$$(1+6i)^{2}+a(1+6i)+b=0$$\n$$(-35+12i)+a(1+6i)+b=0$$\n$$(-35+a+b)+(12+6a)i=0$$\nចំនួនកុំផ្លិចស្មើសូន្យ លុះត្រ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $(x+iy)(-1+4i)=13+16i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(x+iy)(-1+4i)=(-x-4y)+(4x-y)i$$\nយើងប្រើលក្ខខណ្ឌស្មើគ្នា ៖ $a+bi=c+di$ លុះត្រាតែ $a=c$ និង $b=d$ ។\n$$\\begin{cases}-x-4y=13\\\\4x-y=16\\end{cases}$$\nដោះស្រាយ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សិស្សម្នាក់សរសេរថា $\\sqrt{-4}\\times\\sqrt{-9}=\\sqrt{36}=6$ ។ តើត្រឹមត្រូវឬទេ ? បើយក $2i$ និង $3i$ ជាឫសការេរបស់ $-4$ និង $-9$ រកផលគុណពិតប្រាកដ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "រូបមន្ត $\\sqrt{a}\\times\\sqrt{b}=\\sqrt{ab}$ ប្រើបានតែចំពោះ $a,b\\ge 0$ ប៉ុណ្ណោះ ។ នៅទី... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិចដែល $|z|=1$ និង $z\\neq -1$ ។ បង្ហាញថា $\\frac{z-1}{z+1}$ មានផ្នែកពិតស្មើសូន្យ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=\\frac{z-1}{z+1}$ ។ យើងនឹងបង្ហាញថា $\\bar{w}=-w$ ។ ដោយ $|z|=1$ យើងមាន $\\bar{z}=\\frac{1}{z}$ ។\n$$\\bar{w}=\\frac{\\bar{z}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=-2+4i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}+3z^{2}+16z-20=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=-12-16i$ និង $z_0^3=88-16i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(88-16i)+3(-12-16i)+16(-2+4i)-20=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=-2+4i}$ ជាឫសនៃសមីការន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(1-i)i^{26}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $26=4\\times 6+2$ នោះ $i^{26}=-1$ ។\n$$z=(1-i)\\times(-1)=-1+i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=-1+i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z\\bar{z}+2(z-\\bar{z})=20-16i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ យើងមាន $z\\bar{z}=x^2+y^2$ និង $z-\\bar{z}=2iy$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$x^{2}+y^{2}+4yi=20-16i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្ន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-(5-5i)z+2-11i=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(5-5i)^{2}-4(2-11i)=(-50i)-(8-44i)=-8-6i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=-8-6i$ ។\nយក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=2i(4-3i)-2-4i$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចបញ្ជាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$z=8i-6i^{2}-2-4i=8i+6-2-4i=4+4i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{4}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{4}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+2z+37=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរជារាងកាណូនិក ៖\n$$z^{2}+2z+37=0\\Leftrightarrow (z+1)^{2}+36=0$$\n$$(z+1)^{2}=-36=36i^{2}$$\n$z+1=6i$ ឬ $ z+1=-6i$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=\\frac{1-i}{1+i}$ ។ គណនា $w$ រួចទាញរក $w^{13}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1-i}{1+i}=\\frac{(1-i)^{2}}{(1-i)(1+i)}=\\frac{-2i}{2}=-i$$\nដោយ $13=4\\times 3+1$ យើងបាន ៖\n$$(-i)^{13}=(-1)^{13}i^{13}=-i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{-i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq-1$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z-(1-i)}{z+1}$ ។\na. គណនា $f(-3-i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nb. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=-i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $f(-3-i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. ភាគយកគឺ $(-3-i)-(1-i)=-4$ ហើយភាគបែងគឺ $(-3-i)-(-1)=-2-i$ ។\n$$f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យ $z_1=3-4i$ និង $z_2=5-i$ ។ សរសេរ $z_1-z_2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តដោយឡែកពីគ្នា ៖\nផ្នែកពិត ៖ $1\\times(3)-1\\times(5)=-2$\nផ្នែកនិមិត្ត ៖ $1\\times(-4)-1\\times(-1)=-3$\nដូចនេះ $\\boxed{z_1-z_2=-2-3i}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-3z+12+20i=0$ ។\nក- គណនា $(5-8i)^{2}$ ។\nខ- គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nឃ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ពន្លាតការេ ៖\n$$(5-8i)^{2}=25-80i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=(1+i)^{2}$ ជាទម្រង់ $a+bi$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តការេនៃទ្វេធា ៖\n$$(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(1+i)^{2}=2i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $3z+\\bar{z}=16-8i$ ។\n២. រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\n៣. សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៤. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ $z+\\bar{z}=4$ និង $z\\bar{z}=5$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $y>0$ ។ យើងមាន $z+\\bar{z}=2x$ និង $z\\bar{z}=x^2+y^2$ ។\n$$2x=4\\Rightarrow x=2$$\n$$x^{2}+y^{2}=5\\Rightarrow y^{2}=1\\R... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃចំនួនខាងក្រោម ៖ $z_1=-5-9i$ , $z_2=-7i$ , $z_3=4+i\\sqrt{5}$ , $z_4=8$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $a+bi$ គឺ $a-bi$ គឺយើងប្តូរសញ្ញាផ្នែកនិមិត្តតែប៉ុណ្ណោះ ។\n$$\\overline{z_1}=-5+9i$$\n$$\\overline{z_2}=7i$$\n$$\\overl... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលគុណនៃចំនួនកុំផ្លិច ៖ $P=i\\times i^{2}\\times i^{3}\\times\\cdots\\times i^{40}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផលគុណនៃស្វ័យគុណមានគោលដូចគ្នា ស្មើនឹងគោលនោះដែលមាននិទស្សន្តជាផលបូកនៃនិទស្សន្ត ៖\n$$P=i^{1+2+\\cdots+40}=i^{\\frac{40\\times 41}{2}}=i^{820}$$\nដោយ $8... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=\\sqrt{3}+3i$ និង $z_2=-1+i\\sqrt{3}$ ។\na. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"valu... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=\\frac{-3+3i}{1+3i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $1-3i$ ។ យើងគុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$\\frac{-3+3i}{1+3i}=\\frac{(-3+3i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)}=\\frac{6+12i}{1+9}=\\frac{6+12i}{10}=\\frac{3}{5}+\\frac{6}{5... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1+7i$ និង $z_2=3+i$ ។ សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\n$$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{1+7i}{3+i}=\\frac{(1+7i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\\frac{10+20i}{9+1}=\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $(-1-6i)(-1+6i)$ ជាចំនួនពិត រួចគណនាតម្លៃរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2$ ។\nដោយ $a=1$ និង $b=6$ យើងបាន ៖\n$$(-1-6i)(-1+6i)=1^{2}+6^{2}=1+36=37$$\nដូចនេះ ផលគុណជាចំនួនពិតស្មើនឹង $\\boxed{37}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $x(-1-4i)+y(3-2i)=-14i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តដោយឡែក ៖\n$$(-x+3y)-(4x+2y)i=-14i$$\nចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$\\begin{cases}-x+3y=0\\\\-4... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{3}+(2+3i)z^{2}+(2+3i)z-1+4i=0$ ។ បង្ហាញថាសមីការនេះមានឫសជាចំនួននិមិត្តមួយ រួចរកឫសនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=iy$ ដែល $y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫស ។ ជំនួសចូលសមីការ ហើយបំបែកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$(-2y^{2}-3y-1)-(y^{3}+3y^{2}-2y-4)i=0$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $(1-2i)z=-4+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $1-2i$ ៖\n$$z=\\frac{-4+3i}{1-2i}=\\frac{(-4+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\\frac{-10-5i}{1+4}=\\frac{-10-5i}{5}=-2-i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=-2-i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.