conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq 3$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z+2-2i}{z-3}$ ។\n១. គណនា $f(3-4i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n២. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=1+i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $f(3-4i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ភាគយកគឺ $(3-4i)-(-2+2i)=5-6i$ ហើយភាគបែងគឺ $(3-4i)-3=-4i$ ។\n$$f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=2-3i$ ។ គណនា $-2\\bar{z}-3+2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $\\bar{z}=2+3i$ យើងបាន ៖\n$$-2\\bar{z}-3+2i=-2(2+3i)-3+2i=-7-4i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{-7-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x+2i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $w=z^2-3z$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$z^{2}=x^{2}+4xi-4$$\n$$w=(x^{2}-3x-4)+(4x-6)i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតគឺ $\\boxed{x^{2}-3x-4}$ ហើយផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{4x-6}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $\\left|\\frac{-3-4i}{-4+3i}\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|=\\frac{|z_1|}{|z_2|}$ យើងគណនាម៉ូឌុលនៃភាគយក និងភាគបែងដោយឡែក ៖\n$$|-3-4i|=5\\quad,\\quad|-4+3i|=5$$\n$$\\left|\\frac{-3-4i}{-4+3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $(4-7i)(4+7i)$ ជាចំនួនពិត រួចគណនាតម្លៃរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផលគុណនេះមានរាង $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ ។\nដោយ $a=4$ និង $b=7$ យើងបាន ៖\n$$(4-7i)(4+7i)=4^{2}+7^{2}=16+49=65$$\nដូចនេះ ផលគុណជាចំនួនពិតស្មើនឹង $\\boxed{65}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{4}-6z^{3}+15z^{2}-18z+10$ ។ បង្ហាញថា $P(2+i)=0$ ។ ដាក់ $P(z)$ ជាផលគុណនៃពហុធាដឺក្រេទីពីរមានមេគុណពិតពីរ រួចដោះស្រាយ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត $2-i$ ក៏ជាឫសដែរ ។ ដូច្នេះ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-(2+i))(z-(2-i))=z^{2}-4z+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សមីការ $(x+iy)^2=2i$ ផ្តល់ ៖\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0\\\\2xy=2\\end{cases}$$\nសមីការទីមួយឱ្យ $y=x$ ឬ $y=-x$ ។\nបើ $y=x$ នោះ $2x^2=2$ នាំឱ្យ $x=\\pm 1$ ។ ករណី $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-1+3i$ និង $z_2=-1-3i$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $|z_1\\times z_2|=|z_1|\\times|z_2|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$z_1\\times z_2=10$$\n$$|z_1\\times z_2|=\\sqrt{100+0}=\\sqrt{100}\\quad(1)$$\nគណនាអង្គខាងស្តាំ ៖\n$$|z_1|\\times... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(-1-i)z-1+4i=(2-i)z-13+10i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ទៅអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$\\left[(-1-i)-(2-i)\\right]z=(-13+10i)-(-1+4i)$$\n$$(-3)z=-12+6i$$\n$$z=\\frac{-12+6i}{-3}=4-2i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=4-2i}$ ។"
}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលគុណខាងក្រោម ៖ $(5-4i)(-3-5i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគុណតួនីមួយៗនៃវង់ក្រចកទីមួយនឹងវង់ក្រចកទីពីរ ៖\n$$(5-4i)(-3-5i)=-15-25i+12i+20i^{2}=-15-13i-20=-35-13i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{-35-13i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-1+2i$ និង $z_2=-2+3i$ ។ គណនា $\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $z_1+z_2=-3+5i$ និង $z_1-z_2=1-i$ ។\n$$\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=\\frac{-3+5i}{1-i}=\\frac{(-3+5i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\\frac{-8+2i}{1+1}=\\frac{-8... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(1+i)z-2\\bar{z}=-7+13i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y$ ជាចំនួនពិត ។ ពន្លាតអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(1+i)(x+iy)-2(x-iy)=(-x-y)+(x+3y)i$$\nយើងបានប្រព័ន្ធសមីការ ៖\n$$\\begin{cases}-x-y=-7\\\\x+3y=13\\end{cases}$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើ $3+3i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}-(2+2i)z-6i=0$ ឬទេ ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=3+3i$ ៖\n$$(3+3i)^{2}-(2+2i)(3+3i)-6i=18i-12i-6i=0$$\nដូចនេះ $3+3i$ ជាឫសនៃសមីការ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. តាង $z=x+iy$ ។ សរសេរលក្ខខណ្ឌ $|z-1|=|z+i|$ ជាទំនាក់ទំនងរវាង $x$ និង $y$ ។\n២. រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ទាំងអស់ដែល $|z-1|=|z+i|$ និង $|z|=3\\sqrt{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. លើកការេអង្គទាំងពីរ ៖\n$$(x-1)^{2}+y^{2}=x^{2}+(y+1)^{2}$$\nពន្លាត ហើយលុបតួដូចគ្នា ៖ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z+|z|=32-24i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ ផ្នែកនិមិត្តនៃអង្គទាំងពីរស្មើគ្នា ព្រោះ $|z|$ ជាចំនួនពិត ដូច្នេះ $y=-24$ ។\nផ្នែកពិតផ្តល់ ៖\n$$x+\\sqrt{x^{2}+576}=32$$\n$$\\sqrt{x^{2}+576}=32-x$$\nដោយលើកការេអង្គទាំងពី... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}-8z+65=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មេគុណ $b=-8$ ជាចំនួនគូ ដូច្នេះយើងប្រើ $b'=-4$ ។\n$$\\Delta'=b'^{2}-ac=(-4)^{2}-65=-49=(7i)^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_1=4+7i\\quad,\\quad z_2=4-7i$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z_1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+8z+20=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ- គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nគ- ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើ គណនា $z_1^2+z_2^2$ និង $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- គណនាឌ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $4z-2\\bar{z}=-8-6i$ ។\nខ- រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nគ- សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nឃ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(1-3i)z=(2-2i)z-1+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ប្រមូលតួមាន $z$ ៖\n$$\\left[(1-3i)-(2-2i)\\right]z=-1+3i$$\n$$(-1-i)z=-1+3i$$\n$$z=\\frac{-1+3i}{-1-i}=\\frac{(-1+3i)(-1+i)}{(-1-i)(-1+i)}=\\frac{-2-4i}{1+1}=\\frac{-2-4i}{2}=-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ $z+\\bar{z}=10$ និង $z\\bar{z}=26$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $y>0$ ។ យើងមាន $z+\\bar{z}=2x$ និង $z\\bar{z}=x^2+y^2$ ។\n$$2x=10\\Rightarrow x=5$$\n$$x^{2}+y^{2}=26\\Rightarrow y^{2}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-1+5i$ និង $z_2=-2+3i$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $\\overline{z_1\\times z_2}=\\overline{z_1}\\times\\overline{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$z_1\\times z_2=2-3i-10i+15i^{2}=2-13i-15=-13-13i$$\n$$\\overline{z_1\\times z_2}=-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $3iz-4+4i=-10+10i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$3iz=-6+6i$$\nគុណអង្គទាំងពីរនឹង $i$ ដើម្បីលុប $i$ ពីមេគុណ ៖\n$$-3z=-6-6i$$\n$$z=2+2i$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z=2+2i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្កើតសមីការដឺក្រេទីពីរ $z^2+bz+c=0$ ដែល $b,c\\in\\mathbb{R}$ ហើយមានឫស $z_1=1-i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ឫសមួយទៀតគឺចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ $z_2=1+i$ ។\n$$z_1+z_2=2\\quad,\\quad z_1z_2=1+1=2$$\nសមីការគឺ $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ សមីកា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $z_0=1+i$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}-2z+2=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនា ៖\n$$z_0^{2}=(1+i)^{2}=2i$$\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$2i-2(1+i)+2=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=1+i}$ ជាឫសរបស់សមីការនេះ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1+5i$ និង $z_2=-4+2i$ ។ គណនា $z_1\\times z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតផលគុណ ៖\n$$(1+5i)(-4+2i)=-4+2i-20i+10i^{2}=-4-18i-10=-14-18i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{-14-18i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-(2+5i)z-14+8i=0$ ។\nក- គណនា $(6-i)^{2}$ ។\nខ- គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nឃ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ពន្លាតការេ ៖\n$$(6-i)^{2}=36-1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z=2i(-1-5i)-4-3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$z=-2i-10i^{2}-4-3i=-2i+10-4-3i=6-5i$$\nដូចនេះ $z=6-5i$ មានផ្នែកពិត $\\boxed{6}$ និងផ្នែកនិមិត្ត $\\boxed{-5}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-2+4i$ និង $z_2=-3-7i$ ។ គណនា $5z_1+3z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z_1$ និង $z_2$ យើងបាន ៖\n$$5z_1+3z_2=5(-2+4i)+3(-3-7i)=-10+20i-9-21i=-19-i$$\nដូចនេះ $\\boxed{5z_1+3z_2=-19-i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-(4+3i)z+7+i=0$ ។\nក. គណនា $(2+5i)^{2}$ ។\nខ. គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nឃ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ពន្លាតការេ ៖\n$$(2+5i)^{2}=4+20... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}+5z^{2}+19z-25$ ។ គណនា $P(1)$ រួចដាក់ $P(z)$ ជាកត្តា ហើយដោះស្រាយ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=1$ ៖ $1+5+19-25=0$ ។ ដូច្នេះ $z=1$ ជាឫស ហើយ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង $z-1$ ។\nចែកពហុធា យើងបាន ៖\n$$P(z)=(z-1)(z^{2}+6z+25)$$\nដោះស្រាយ $z^{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយមិនពន្លាត គណនា $\\left|(-5+2i)(1-2i)\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងប្រើ $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ ៖\n$$|-5+2i|=\\sqrt{29}\\quad,\\quad|1-2i|=\\sqrt{5}$$\n$$\\sqrt{29}\\times\\sqrt{5}=\\sqrt{145}$$\nដូចនេះ ម៉ូឌុលនៃផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{\\sqrt{145}}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរមានមេគុណពិត ដែលមានឫសមួយគឺ $5-5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ឫសមួយទៀតគឺចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ $z_2=5+5i$ ។\n$$z_1+z_2=10\\quad,\\quad z_1z_2=25+25=50$$\nសមីការគឺ $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ សមីការដែលរកបានគឺ $\\boxed{z^{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{2}+(2+4i)z-3+2i=0$ ។ បង្ហាញថា $z_1=-i$ ជាឫសរបស់សមីការនេះ រួចទាញរកឫសមួយទៀត $z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-i$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(-i)^{2}+(2+4i)(-i)-3+2i=(-1)-(-4+2i)-3+2i=0$$\nដូច្នេះ $z_1=-i$ ជាឫស ។\nផលគុណឫសនៃសមីការ $z^2+bz+c=0$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $(1+i)^{2}$ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $(1+i)^{16}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i$$\nដូច្នេះ ៖\n$$(1+i)^{16}=\\left[(1+i)^{2}\\right]^{8}=(2i)^{8}=2^{8}i^{8}$$\nដោយ $i^{8}=1$ និង $2^{8}=256$ យើងបាន $(1+i)^{16}=256$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{(1+i)^{16}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-3-7i$ និង $z_2=-1+6i$ ។ គណនា $2z_1+z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z_1$ និង $z_2$ គេបាន ៖\n$$2z_1+z_2=2(-3-7i)-1+6i=-6-14i-1+6i=-7-8i$$\nដូចនេះ $\\boxed{2z_1+z_2=-7-8i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=7+i$ និង $z_2=1+3i$ ។\nក. គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\nខ. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គេបាន ៖\n$$z_1-z_2=(7+i)-(1+3i)=6-2i$$\n$$z_1\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុលនៃ $z=\\frac{12}{5}-i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=\\sqrt{\\left(\\frac{12}{5}\\right)^{2}+\\left(1\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{169}{25}}=\\frac{13}{5}$$\nដូចនេះ $\\boxed{|z|=\\frac{13}{5}}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-2+i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $z\\bar{z}=|z|^2=5$ យើងបាន $\\frac{1}{z}=\\frac{\\bar{z}}{|z|^2}$ ។\n$$\\frac{1}{z}=\\frac{-2-i}{5}=-\\frac{2}{5}-\\frac{1}{5}i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{1}{z}=-\\frac{2}{5}-\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=4(-5-5i)+3(3-3i)$ ។ តើផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z$ ស្មើនឹងប៉ុន្មាន ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងបូកផ្នែកពិតជាមួយផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តជាមួយផ្នែកនិមិត្ត ៖\n$$z=-20-20i+(9-9i)=-11-29i$$\nដូចនេះ $z=-11-29i$ មានផ្នែកពិត $\\boxed{-11}$ និង... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}-(1+4i)z^{2}-(12-10i)z+12-6i$ ។\n១. បង្ហាញថា $P(1)=0$ ។\n២. កំណត់ពហុធា $Q(z)$ ដែល $P(z)=(z-1)Q(z)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ជំនួស ៖\n$$P(1)=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{P(1)=0}$ ។\n២. ចែក $P(z)$ នឹ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(x+iy)(1-3i)=10+20i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(x+iy)(1-3i)=(x+3y)-(3x-y)i$$\nចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$\\begin{cases}x+3y=10\\\\-3x+y=20\\end{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}+(4-i)z^{2}+(12-10i)z-6-12i$ ។\n១. បង្ហាញថា $P(i)=0$ ។\n២. កំណត់ពហុធា $Q(z)$ ដែល $P(z)=(z-i)Q(z)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ជំនួស ៖\n$$P(i)=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{P(i)=0}$ ។\n២. ចែក $P(z)$ នឹង... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{4}+4z^{3}+9z^{2}+4z+8$ ។ បង្ហាញថា $P(-2+2i)=0$ ។ ដាក់ $P(z)$ ជាផលគុណនៃពហុធាដឺក្រេទីពីរមានមេគុណពិតពីរ រួចដោះស្រាយ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត $-2-2i$ ក៏ជាឫសដែរ ។ ដូច្នេះ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z+2-2i)(z+2+2i)=z^{2}+4z+8... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{2}+z+3$ ។ គណនា $P(-3+i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $(-3+i)^{2}=8-6i$ ។\nជំនួសចូល ៖\n$$P(-3+i)=(8-6i)+1(-3+i)+3=8-5i$$\nដូចនេះ $\\boxed{P(-3+i)=8-5i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $A=2i^{60}+\\frac{1}{i^{15}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនឹង $4$ ៖ $i^{60}=1$ និង $i^{15}=-i$ ។\n$$\\frac{1}{i^{15}}=\\frac{1}{-i}=i$$\n(យើងប្រើ $\\frac{1}{i}=\\frac{i}{i^2}=-i$ ។)\n$$A=2+i$$\nដូចនេះ $\\boxed{A=2+i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(-3-i)z+6-5i=7+12i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បញ្ជូន $6-5i$ ទៅអង្គខាងស្តាំ ៖\n$$(-3-i)z=(7+12i)-(6-5i)=1+17i$$\nចែកនឹងមេគុណនៃ $z$ ៖\n$$z=\\frac{1+17i}{-3-i}=\\frac{(1+17i)(-3+i)}{(-3-i)(-3+i)}=\\frac{-20-50i}{9+1}=\\frac{-20... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុលនៃ $z=\\frac{8}{13}+\\frac{6}{13}i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=\\sqrt{\\left(\\frac{8}{13}\\right)^{2}+\\left(\\frac{6}{13}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{100}{169}}=\\frac{10}{13}$$\nដូចនេះ $\\boxed{|z|=\\frac{10}{13}}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(x+iy)(1+i)=-8-2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $1+i$ ៖\n$$x+iy=\\frac{-8-2i}{1+i}=\\frac{(-8-2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\\frac{-10+6i}{1+1}=\\frac{-10+6i}{2}=-5+3i$$\nយើងប្រៀបធៀបផ្នែកពិតនឹងផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1=-12-4i$ និង $z_2=2-i$ ។ គណនា $\\overline{\\left(\\frac{z_1}{z_2}\\right)}$ រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាវាស្មើនឹង $\\frac{\\overline{z_1}}{\\overline{z_2}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង ៖\n$$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{-12-4i}{2-i}=\\frac{(-12-4i)(2+i)}{(2-i)(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z=1+3i$ សរសេរ $z-\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1}{z}=\\frac{1}{1+3i}=\\frac{1-3i}{10}=\\frac{1}{10}-\\frac{3}{10}i$$\n$$z-\\frac{1}{z}=(1+3i)-\\left(\\frac{1}{10}-\\frac{3}{10}i\\right)=\\frac{9}{10}+\\frac{33}{10}i$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z=-1-6i$ គណនា $z+\\bar{z}$ , $z-\\bar{z}$ និង $z\\bar{z}$ រួចបញ្ជាក់ថាមួយណាជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $\\bar{z}=-1+6i$ ។\n$$z+\\bar{z}=(-1-6i)-1+6i=-2$$\n$$z-\\bar{z}=(-1-6i)-(-1+6i)=-12i$$\n$$z\\times\\bar{z}=(-1)^{2}+6^{2}=37$$\nដូចនេ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=\\frac{-7-i}{1-2i}$ ជាទម្រង់ $a+bi$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\n$$\\frac{-7-i}{1-2i}=\\frac{(-7-i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\\frac{-5-15i}{1+4}=\\frac{-5-15i}{5}=-1-3i$$\nដូចនេះ $\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-3z^{2}+7z+75$ ។\na. គណនា $P(-3)$ ។\nb. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z+3)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nc. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nd. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $-3$ , $3+4i$ និង $3-4i$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m+i)(3+3i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកចំនួនពិត $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត រួចគណនា $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតផលគុណ ៖\n$$z=(3m-3)+(3m+3)i$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើសូន្យ ៖\n$$3m-3=0\\Leftrightarrow m=1$$\nដូចន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ និង $w$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ប្រព័ន្ធសមីការ ៖ $$\\begin{cases}z+2w=-10-10i\\\\iz-w=7-i\\end{cases}$$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណសមីការទីពីរនឹង $2$ រួចបូកនឹងសមីការទីមួយ ដើម្បីបំបាត់ $w$ ៖\n$$(1+2i)z=4-12i$$\n$$z=\\frac{4-12i}{1+2i}=\\frac{(4-12i)(1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=3+i$ ។ គណនា $z+\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1}{z}=\\frac{1}{3+i}=\\frac{3-i}{10}=\\frac{3}{10}-\\frac{1}{10}i$$\n$$z+\\frac{1}{z}=(3+i)+\\left(\\frac{3}{10}-\\frac{1}{10}i\\right)=\\frac{33}{10}+\\frac{9}{10}i$$\nដូចនេ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z=(5-3i)(4+4i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតផលគុណ ដោយប្រើ $i^2=-1$ ៖\n$$z=20+20i-12i-12i^{2}=20+8i+12=32+8i$$\nដូចនេះ $z=32+8i$ មានផ្នែកពិត $\\boxed{32}$ និងផ្នែកនិមិត្ត $\\boxed{8}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $(-3+2i)^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេជាមុនសិន ៖\n$$(-3+2i)^{2}=9-12i+4i^{2}=5-12i$$\nគុណនឹងកត្តាដើមម្តងទៀត ៖\n$$(-3+2i)^{3}=(5-12i)(-3+2i)=-15+10i+36i-24i^{2}=-15+46i+24=9+46i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-3+2i)^{3}=9+46i}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_A=4-4i$ , $z_B=4+3i$ និង $z_C=3+3i$ ។\nក. សង់ចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ។\nខ. គណនាប្រវែង $AB$ , $AC$ និង $BC$ ។\nគ. តើត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណប្រភេទអ្វី ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ចំណុចទាំងបីគឺ $A(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ និង $B=\\sqrt{6}+i\\sqrt{2}$ ។\nក- គណនា $A+B$ និង $A\\times B$ ។\nខ- សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។\nឃ- គណនា $\\overline{A}\\times B$ ។"
},
{
"... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=3-2i$ និង $z_2=5-i$ ។ គណនា $\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $z_1+z_2=8-3i$ និង $z_1-z_2=-2-i$ ។\n$$\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=\\frac{8-3i}{-2-i}=\\frac{(8-3i)(-2+i)}{(-2-i)(-2+i)}=\\frac{-13+14i}{4+1}=\\frac{-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+4z+20=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ- សរសេរ $z_1^2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រក $|z_1|$ រួចបង្ហាញថា $z_1\\times z_2=|z_1|^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+2z+17=0$ ។ គណនា $\\frac{z_1}{z_2}+\\frac{z_2}{z_1}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=-2\\quad,\\quad z_1z_2=17$$\n$$\\frac{z_1}{z_2}+\\frac{z_2}{z_1}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-3z^{2}+16z+20$ ។\nក. គណនា $P(-1)$ ។\nខ. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z+1)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $-1$ , $2+4i$ និង $2-4i$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $\\left|\\frac{-4+3i}{-8+6i}\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|=\\frac{|z_1|}{|z_2|}$ យើងគណនាម៉ូឌុលនៃភាគយក និងភាគបែងដោយឡែក ៖\n$$|-4+3i|=5\\quad,\\quad|-8+6i|=10$$\n$$\\left|\\frac{-4+3i}{-8+6i}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=1-2i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $z\\bar{z}=|z|^2=5$ យើងបាន $\\frac{1}{z}=\\frac{\\bar{z}}{|z|^2}$ ។\n$$\\frac{1}{z}=\\frac{1+2i}{5}=\\frac{1}{5}+\\frac{2}{5}i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{1}{z}=\\frac{1}{5}+\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=1+i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}-4z^{2}+6z-4=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=2i$ និង $z_0^3=-2+2i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(-2+2i)-4\\times 2i+6(1+i)-4=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=1+i}$ ជាឫសនៃសមីការនេះ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $Z$ ដែល $Z^2=48-14i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $Z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $48-14i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=48-14i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=48-14i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\begin{cases}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}+10z+74=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=10$ , $c=74$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=10^{2}-4\\times 1\\times 74=-196=(14i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំផ្លិចពីរឆ្លាស់គ្នា ៖\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=3+i$ ។ តាង $w=\\frac{z}{1+i}+\\frac{\\bar{z}}{1-i}$ ។ ពន្យល់ថាហេតុអ្វី $w$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តួទីពីរជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃតួទីមួយ ព្រោះ $\\overline{\\left(\\frac{z}{1+i}\\right)}=\\frac{\\bar{z}}{1-i}$ ។ ផលបូកនៃចំនួនមួយ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m+3i)(-1+3i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ កំណត់តម្លៃនៃចំនួនពិត $m$ ដែលធ្វើឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត ហើយគណនាតម្លៃនៃ $z$ ពេលនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$z=(-m-9)+(3m-3)i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តស្មើសូន្យ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+8z+32=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nគ. ដោយប្រើលទ្ធផលខាងលើ គណនា $z_1^2+z_2^2$ និង $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាឌ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $-3+4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $-3+4i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=-3+4i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=-3+4i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\begin{cases}x^... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $x(-4+i)+y(-1-2i)=16+5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តដោយឡែក ៖\n$$(-4x-y)+(x-2y)i=16+5i$$\nចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$\\begin{cases}-4x-y=16\\\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}-4z^{3}+17z^{2}-16z+52=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ដោយដឹងថា $2+3i$ ជាឫសមួយ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $P(z)=z^{4}-4z^{3}+17z^{2}-16z+52$ ។ ដោយមេគុណជាចំនួនពិត $2-3i$ ក៏ជាឫសដែរ ។ ដូច្នេះ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z-(2+3i))(z-(2-3i))=z^{2}-4z+13$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកនៃចំនួនកុំផ្លិច ៖ $\\frac{1+2i}{2+2i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងលុប $i$ ពីភាគបែង ដោយគុណនឹង $i$ ទាំងភាគយក និងភាគបែង ៖\n$$\\frac{1+2i}{2+2i}=\\frac{(1+2i)i}{2+2i\\times i}=\\frac{-2+i}{-2+2i}=\\frac{3}{4}+\\frac{1}{4}i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{1+2i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $Z=(-3-2i)^{4}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេមុន ៖\n$$(-3-2i)^{2}=9+12i+4i^{2}=5+12i$$\nស្វ័យគុណទី $4$ គឺជាការេនៃលទ្ធផលនេះ ៖\n$$(-3-2i)^{4}=\\left[(-3-2i)^{2}\\right]^{2}=(5+12i)^{2}=25+120i+144i^{2}=-119+120i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $A=2i^{70}+\\frac{1}{i^{158}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនឹង $4$ ៖ $i^{70}=-1$ និង $i^{158}=-1$ ។\n$$\\frac{1}{i^{158}}=\\frac{1}{-1}=-1$$\n$$A=-3$$\nដូចនេះ $\\boxed{A=-3}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $(-1+2i)^{2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តការេនៃទ្វេធា ៖\n$$(-1+2i)^{2}=1-4i+4i^{2}=-3-4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-1+2i)^{2}=-3-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=\\frac{-1-2i}{1-i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាភាគយក និងភាគបែងដោយឡែក បន្ទាប់ពីគុណនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\nភាគបែង ៖ $(1-i)(1+i)=1+1=2$\nភាគយក ៖ $(-1-2i)(1+i)=-1-i-2i-2i^{2}=-1-3i+2=1-3i$\n$$\\frac{-1-2i}{1-i}=\\frac{1-3i}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+7z^{2}+17z+15$ ។ ដោយដឹងថា $z_0=-2+i$ ជាឫសនៃ $P(z)=0$ ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ហើយ $-2+i$ ជាឫស នោះ $-2-i$ ក៏ជាឫសដែរ ។\nពហុធាចែកដាច់នឹង ៖\n$$(z+2-i)(z+2+i)=z^{2}+4z+5$$\nចែកពហ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}-3z^{2}-5z+39$ ។ គណនា $P(-3)$ រួចដាក់ $P(z)$ ជាកត្តា ហើយដោះស្រាយ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-3$ ៖ $-27-27+15+39=0$ ។ ដូច្នេះ $z=-3$ ជាឫស ហើយ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង $z+3$ ។\nចែកពហុធា យើងបាន ៖\n$$P(z)=(z+3)(z^{2}-6z+13)$$\nដោះស្រាយ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យ $z_1=-3+7i$ និង $z_2=-3-3i$ ។ សរសេរ $3z_1-z_2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z_1$ និង $z_2$ គេបាន ៖\n$$3z_1-z_2=3(-3+7i)-(-3-3i)=-9+21i+3+3i=-6+24i$$\nដូចនេះ $\\boxed{3z_1-z_2=-6+24i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=-2+4i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}+2z^{2}+12z-40=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=-12-16i$ និង $z_0^3=88-16i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(88-16i)+2(-12-16i)+12(-2+4i)-40=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=-2+4i}$ ជាឫសនៃសមីការន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលបូកខាងក្រោម ៖ $S=i+i^{2}+i^{3}+\\cdots+i^{339}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ស្វ័យគុណបួនតួជាប់គ្នាមានផលបូកសូន្យ ព្រោះ $i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0$ ។\nផលបូកនេះមានតួចំនួន $339$ ។ ដោយ $339=4\\times 84+3$ ក្រុមបួនតួទាំង $84$ មានផលបូកសូន្យ ហើយនៅសល់ $3$ តួចុងក្រោយ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x+3i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $w=z^2-3z$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$z^{2}=x^{2}+6xi-9$$\n$$w=(x^{2}-3x-9)+(6x-9)i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតគឺ $\\boxed{x^{2}-3x-9}$ ហើយផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{6x-9}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=1-i\\sqrt{5}$ និង $B=4+2i\\sqrt{5}$ ។ គណនា $A\\times B$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយកត់សម្គាល់ថា $\\left(i\\sqrt{5}\\right)^{2}=-5$ ៖\n$$(1-i\\sqrt{5})(4+2i\\sqrt{5})=4+2i\\sqrt{5}-4i\\sqrt{5}-2\\left(i\\sqrt{5}\\right)^{2}=14-2i\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលគុណខាងក្រោម ៖ $(3+i)(-3+4i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាម $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$(3+i)(-3+4i)=-9+12i-3i+4i^{2}=-9+9i-4=-13+9i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{-13+9i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=(-4+4i)(1-2i)$ ។ សរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចបញ្ជាក់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគុណតួនីមួយៗ ដោយប្រើ $i^2=-1$ ៖\n$$z=-4+8i+4i-8i^{2}=-4+12i+8=4+12i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{4}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{12}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រក $|z_1|$ និង $|z_2|$ ដោយដឹងថា $z_1=-8-6i$ ហើយ $z_2=4-i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំពោះ $z=a+bi$ គេមាន $|z|=r=\\sqrt{a^2+b^2}$ ។\n$$|z_1|=r_1=\\sqrt{(-8)^{2}+(-6)^{2}}=\\sqrt{100}=10$$\n$$|z_2|=r_2=\\sqrt{4^{2}+(-1)^{2}}=\\sqrt{17}$$\nដូចនេះ ម៉ូឌុលនៃ $z_1$ គ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1-2i$ និង $z_2=2-i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{z_1}+\\frac{1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរប្រភាគនីមួយៗជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$\\frac{1}{1-2i}=\\frac{1+2i}{5}=\\frac{1}{5}+\\frac{2}{5}i$$\n$$\\frac{1}{2-i}=\\frac{2+i}{5}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=3-i$ ។ គណនា $z+\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1}{z}=\\frac{1}{3-i}=\\frac{3+i}{10}=\\frac{3}{10}+\\frac{1}{10}i$$\n$$z+\\frac{1}{z}=(3-i)+\\left(\\frac{3}{10}+\\frac{1}{10}i\\right)=\\frac{33}{10}-\\frac{9}{10}i$$\nដូចនេ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-z-1+3i=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4(-1+3i)=1-(-4+12i)=5-12i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=5-12i$ ។\nយក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $\\delta^2=5-12i$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m^{2}-4)+(m^{2}-5m)i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត (ផ្នែកពិតស្មើសូន្យ) ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើសូន្យ ៖\n$$m^{2}-4=0$$\nនាំឱ្យ $m=-2$ ឬ $m=2$ ។\nចំពោះតម្លៃទាំងនេះ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្កើតសមីការដឺក្រេទីពីរ $z^2+bz+c=0$ ដែល $b,c\\in\\mathbb{R}$ ហើយមានឫស $z_1=2+6i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ឫសមួយទៀតគឺចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ $z_2=2-6i$ ។\n$$z_1+z_2=4\\quad,\\quad z_1z_2=4+36=40$$\nសមីការគឺ $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ ស... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $(1-i)^{2}$ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $(1-i)^{24}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$(1-i)^{2}=1-2i+i^{2}=-2i$$\nដូច្នេះ ៖\n$$(1-i)^{24}=\\left[(1-i)^{2}\\right]^{12}=(-2i)^{12}=2^{12}i^{12}$$\nដោយ $i^{12}=1$ និង $2^{12}=4096$ យើងបាន $(1-i)^{24}=4096$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $3iz-4+2i=-19-13i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$3iz=-15-15i$$\nគុណអង្គទាំងពីរនឹង $i$ ដើម្បីលុប $i$ ពីមេគុណ ៖\n$$-3z=15-15i$$\n$$z=-5+5i$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z=-5+5i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរមានមេគុណពិត ដែលមានឫសមួយគឺ $4+2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមេគុណជាចំនួនពិត ឫសមួយទៀតគឺចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ $z_2=4-2i$ ។\n$$z_1+z_2=8\\quad,\\quad z_1z_2=16+4=20$$\nសមីការគឺ $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ សមីការដែលរកបានគឺ $\\boxed{z^{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-8-16i$ និង $z_2=1-3i$ ។\nក. គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\nខ. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. យើងមាន ៖\n$$z_1-z_2=(-8-16i)-(1-3i)=-9-13i$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-5-5i$ និង $z_2=3-i$ ។\na. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\nb. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\nc. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.