conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{m+i}{2+i}$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត ។ រួចគណនា $z$ ចំពោះតម្លៃនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2-i$ ៖\n$$z=\\frac{(m+i)(2-i)}{5}=\\frac{2m+1}{5}+\\frac{-m+2}{5}i$$\n$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $(8-5i)(8+5i)$ ជាចំនួនពិត រួចគណនាតម្លៃរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2$ ។\nដោយ $a=8$ និង $b=5$ យើងបាន ៖\n$$(8-5i)(8+5i)=8^{2}+5^{2}=64+25=89$$\nដូចនេះ ផលគុណជាចំនួនពិតស្មើនឹង $\\boxed{89}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរជាទម្រង់សាមញ្ញ $i^{89}$ , $i^{226}$ និង $i^{1418}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ស្វ័យគុណនៃ $i$ មានតម្លៃដដែលៗគឺ $i,-1,-i,1$ ។\n$$i^{89}=i^{4\\times 22+1}=\\left(i^{4}\\right)^{22}\\times i^{1}=i^{1}=i$$\n$$i^{226}=i^{4\\times 56+2}=\\left(i^{4}\\right)^{56}\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^2=18i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សមីការ $(x+iy)^2=18i$ ផ្តល់ ៖\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0\\\\2xy=18\\end{cases}$$\nសមីការទីមួយឱ្យ $y=x$ ឬ $y=-x$ ។\nបើ $y=x$ នោះ $2x^2=18$ នាំ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P(z)=z^{3}-z^{2}+az+b$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។ រក $a$ និង $b$ ដោយដឹងថា $P(2+2i)=0$ រួចរកឫសទាំងអស់នៃ $P(z)=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនា $(2+2i)^{2}=8i$ និង $(2+2i)^{3}=-16+16i$ ។\nជំនួសចូល $P$ ៖\n$$(-16+16i)-1\\times 8i+a(2+2i)+b=0$$\n$$(-16+2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលបូកខាងក្រោម ៖ $S=i+i^{2}+i^{3}+\\cdots+i^{1993}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ស្វ័យគុណបួនតួជាប់គ្នាមានផលបូកសូន្យ ព្រោះ $i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0$ ។\nផលបូកនេះមានតួចំនួន $1993$ ។ ដោយ $1993=4\\times 498+1$ ក្រុមបួនតួទាំង $498$ មានផលបូកសូន្យ ហើយនៅសល់ $1$ តួចុងក្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $\\left|\\frac{6+8i}{3+4i}\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|=\\frac{|z_1|}{|z_2|}$ យើងគណនាម៉ូឌុលនៃភាគយក និងភាគបែងដោយឡែក ៖\n$$|6+8i|=10\\quad,\\quad|3+4i|=5$$\n$$\\left|\\frac{6+8i}{3+4i}\\r... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z=2(4+5i)-2(-1+i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណចូលក្នុងវង់ក្រចក រួចបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$z=8+10i+2-2i=10+8i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតនៃ $z$ គឺ $\\boxed{10}$ និងផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{8}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=5+12i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $\\delta^2=5+12i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=5+12i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=5+12i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\begin{cases}x^{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^2=-72i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សមីការ $(x+iy)^2=-72i$ ផ្តល់ ៖\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0\\\\2xy=-72\\end{cases}$$\nសមីការទីមួយឱ្យ $y=x$ ឬ $y=-x$ ។\nបើ $y=-x$ នោះ $-2x^2=-7... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=(m-3i)(-1-4i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ កំណត់ $m\\in\\mathbb{R}$ ដើម្បីឱ្យផ្នែកពិតនៃ $z$ ស្មើសូន្យ ហើយគណនា $z$ ពេលនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$z=(-m-12)-(4m-3)i$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើសូន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $A=\\sqrt{6}+i\\sqrt{2}$ និង $B=\\sqrt{3}-i$ ។\n១. គណនា $A+B$ និង $A\\times B$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{A}{B}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $A$ , $B$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $A\\times B$ និង $\\frac{A}{B}$ ។\n៤. គណនា $\\overline{A}\\times B$ ។"
},
{
"from": "g... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}+324=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $z^4=-324$ យើងរកឃើញ $z^2=\\pm 18i$ ព្រោះ $(18i)^{2}=-324$ ។\nករណី $z^2=18i$ ៖ ដោយ $(3+3i)^{2}=18i$ នោះ $z=\\pm(3+3i)$ ។\nករណី $z^2=-18i$ ៖ ដោយ $(3-3i)^... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-2+4i$ និង $z_2=1+i$ ។ គណនា $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែងគឺ $1-i$ ។ យើងគុណភាគយក និងភាគបែងនឹងវា ៖\n$$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{-2+4i}{1+i}=\\frac{(-2+4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\\frac{2+6i}{1+1}=\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^2+21=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^2=-1$ យើងអាចសរសេរ ៖\n$$z^{2}=-21\\Leftrightarrow z^{2}=21i^{2}\\Leftrightarrow z^{2}-(i\\sqrt{21})^{2}=0$$\nដាក់ជាកត្តា ៖\n$$(z-i\\sqrt{21})(z+i\\sqrt{21})=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-4z^{2}+9z-36$ ។\nក- គណនា $P(4)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z-4)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $4$ , $3i$ និង $-3i$ ។ គណន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ ៖ $$\\begin{cases}z+w=2\\\\iz-w=4+2i\\end{cases}$$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បូកសមីការទាំងពីរ ដើម្បីបំបាត់ $w$ ៖\n$$(1+i)z=6+2i$$\n$$z=\\frac{6+2i}{1+i}=\\frac{(6+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\\frac{8-4i}{1+1}=\\frac{8-4i}{2}=4-2i$$\nជំនួសចូលសមីក... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+2z^{2}+z+2$ ។\nក- គណនា $P(-2)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z+2)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $-2$ , $i$ និង $-i$ ។ គណនា ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}-2z-4=0$ រួចរកឫសទាំងអស់ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $P(z)=z^{3}-2z-4$ ។ ជំនួស $z=2$ ៖ $8+0-4-4=0$ ។ ដូច្នេះ $z=2$ ជាឫស ហើយ $P(z)$ ចែកដាច់នឹង $z-2$ ។\nចែកពហុធា យើងបាន ៖\n$$P(z)=(z-2)(z^{2}+2z+2)$$\nដោះស្រាយ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}-(3+4i)z+12i=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(3+4i)^{2}-412i=(-7+24i)-48i=-7-24i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=-7-24i$ ។\nយក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $\\delta^2=-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $-\\frac{15}{4}-2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $\\delta^2=-\\frac{15}{4}-2i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=-\\frac{15}{4}-2i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=-\\frac{15}{4}-2i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា ន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m-3i)(-3+3i)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ កំណត់ $m\\in\\mathbb{R}$ ដើម្បីឱ្យផ្នែកពិតនៃ $z$ ស្មើសូន្យ ហើយគណនា $z$ ពេលនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $z$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ៖\n$$z=(-3m+9)+(3m+9)i$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើសូន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-22+4i$ និង $z_2=4-3i$ ។\nក- រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\nខ- គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\nគ- បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $|z|=17$ និងផ្នែកពិតនៃ $z$ ស្មើនឹង $8$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=8+iy$ ដែល $y\\in\\mathbb{R}$ ។\n$$|z|=\\sqrt{64+y^{2}}=17\\Rightarrow y^{2}=225\\Rightarrow y=\\pm 15$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=8+15i}$ ឬ $\\boxed{z=8-15i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=4-2i$ និង $z_2=1+2i$ ។ គណនា $\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $z_1+z_2=5$ និង $z_1-z_2=3-4i$ ។\n$$\\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}=\\frac{5}{3-4i}=\\frac{5(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}=\\frac{15+20i}{9+16}=\\frac{15+20i}{25}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-12z+61=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរជារាងកាណូនិក ៖\n$$z^{2}-12z+61=0\\Leftrightarrow (z-6)^{2}+25=0$$\n$$(z-6)^{2}=-25=25i^{2}$$\n$z-6=5i$ ឬ $ z-6=-5i$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ ៖ $$\\begin{cases}z+2w=-2-3i\\\\-iz-w=8\\end{cases}$$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណសមីការទីពីរនឹង $2$ រួចបូកនឹងសមីការទីមួយ ដើម្បីបំបាត់ $w$ ៖\n$$(1-2i)z=14-3i$$\n$$z=\\frac{14-3i}{1-2i}=\\frac{(14-3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\\frac{20+25i}{1+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}+12z^{2}+20=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$t^{2}+12t+20=0\\Leftrightarrow (t+2)(t+10)=0$$\nនាំឱ្យ $t=-2$ ឬ $t=-10$ ។\n$$z^{2}=-2\\Rightarrow z=\\pm i\\sqrt{2}$$\n$$z^{2}=-10\\Rightarro... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_A=-4-2i$ , $z_B=-4+3i$ និង $z_C=-2i$ ។\n១. សង់ចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ។\n២. គណនាប្រវែង $AB$ , $AC$ និង $BC$ ។\n៣. តើត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណប្រភេទអ្វី ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ចំណុចទាំងបីគឺ $A... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=2\\sqrt{3}+2i$ និង $z_2=2i$ ។\n១. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. បូ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-6z+10=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ- សរសេរ $z_1^2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រក $|z_1|$ រួចបង្ហាញថា $z_1\\times z_2=|z_1|^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-2z^{2}+9z-68$ ។\nក- គណនា $P(4)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z-4)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $4$ , $-1+4i$ និង $-1-4i$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}-2z+2=0$ ។ គណនា $\\frac{z_1}{z_2}+\\frac{z_2}{z_1}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=2\\quad,\\quad z_1z_2=2$$\n$$\\frac{z_1}{z_2}+\\frac{z_2}{z_1}=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+2z+5=0$ ។ គណនា $z_1^3+z_2^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=-2\\quad,\\quad z_1z_2=5$$\n$$z_1^{3}+z_2^{3}=(z_1+z_2)^{3}-3z_1z_2(z_1+z_2)=(-2)^{3}-3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^2=50i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សមីការ $(x+iy)^2=50i$ ផ្តល់ ៖\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0\\\\2xy=50\\end{cases}$$\nសមីការទីមួយឱ្យ $y=x$ ឬ $y=-x$ ។\nបើ $y=x$ នោះ $2x^2=50$ នាំ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $P=i\\times i^{2}\\times\\cdots\\times i^{7}$ ។ សរសេរ $P$ ជាទម្រង់សាមញ្ញ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផលគុណនៃស្វ័យគុណមានគោលដូចគ្នា ស្មើនឹងគោលនោះដែលមាននិទស្សន្តជាផលបូកនៃនិទស្សន្ត ៖\n$$P=i^{1+2+\\cdots+7}=i^{\\frac{7\\times 8}{2}}=i^{28}$$\nដោយ $28=4\\times 7... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ស្រាយបញ្ជាក់ថា $z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែ $z=\\bar{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=a+bi$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។ យើងមាន ៖\n$$z=\\bar{z}\\Leftrightarrow a+bi=a-bi\\Leftrightarrow 2bi=0\\Leftrightarrow b=0$$\nលក្ខខណ្ឌ $b=0$ មានន័យថាផ្នែកនិមិត្តស្មើសូន្យ ។\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរដែលមានឫស $z_1=-4-4i$ និង $z_2=-4+i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាផលបូក និងផលគុណនៃឫស ៖\n$$z_1+z_2=-8-3i$$\n$$z_1z_2=(-4-4i)(-4+i)=16-4i+16i-4i^{2}=16+12i+4=20+12i$$\nសមីការមានរាង $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z^{2}+(8+3i)z+20+... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលគុណខាងក្រោម ៖ $P=i\\times i^{2}\\times i^{3}\\times\\cdots\\times i^{11}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផលគុណនៃស្វ័យគុណមានគោលដូចគ្នា ស្មើនឹងគោលនោះដែលមាននិទស្សន្តជាផលបូកនៃនិទស្សន្ត ៖\n$$P=i^{1+2+\\cdots+11}=i^{\\frac{11\\times 12}{2}}=i^{66}$$\nដោយ $66=4\\tim... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x-2i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $w=z^2-3z$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$z^{2}=x^{2}-4xi-4$$\n$$w=(x^{2}-3x-4)-(4x-6)i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតគឺ $\\boxed{x^{2}-3x-4}$ ហើយផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{-4x+6}$ ។"... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=1+i\\sqrt{3}$ និង $z_2=\\sqrt{3}+i$ ។\na. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\nb. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។\nd. គណនា $\\overline{z_1}\\times z_2$ ។"... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ស្រាយបញ្ជាក់ថា ចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច $z_1$ , $z_2$ គេបាន $|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2\\left(|z_1|^2+|z_2|^2\\right)$ ។\nខ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ទំនាក់ទំនងនេះចំពោះ $z_1=3+i$ និង $z_2=1-2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ចំពោះគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច $w$ យើងមាន $|w|^2=w\\bar{w... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ ៖ $$\\begin{cases}z+w=-5-6i\\\\-iz-w=3i\\end{cases}$$"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បូកសមីការទាំងពីរ ដើម្បីបំបាត់ $w$ ៖\n$$(1-i)z=-5-3i$$\n$$z=\\frac{-5-3i}{1-i}=\\frac{(-5-3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\\frac{-2-8i}{1+1}=\\frac{-2-8i}{2}=-1-4i$$\nជំន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $(\\sqrt{3}+2i)^{2}=-1+4i\\sqrt{3}$ រួចទាញរកឫសការេនៃ $-1+4i\\sqrt{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ៖\n$$(\\sqrt{3}+2i)^{2}=3+2\\times\\sqrt{3}\\times i 2+4i^{2}=-1+4i\\sqrt{3}$$\nដូច្នេះ ចំនួននេះ និងចំនួនផ្ទុយរបស់វា សុទ្ធតែមានការេស្មើនឹង $-1+4... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}+10z+41=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរជារាងកាណូនិក ៖\n$$z^{2}+10z+41=0\\Leftrightarrow (z+5)^{2}+16=0$$\n$$(z+5)^{2}=-16=16i^{2}$$\n$z+5=4i$ ឬ $ z+5=-4i$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z_1=-5+4i}$ និង $\\boxed{z_2=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $(5+2i)(-4-4i)$ ជាទម្រង់ $a+bi$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ព្រោះ $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$(5+2i)(-4-4i)=-20-20i-8i-8i^{2}=-20-28i+8=-12-28i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{-12-28i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $4z-2\\bar{z}=8+18i$ ។\nខ- រកម៉ូឌុលនៃ $z$ ។\nគ- សរសេរ $z^2$ និង $\\frac{1}{z}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nឃ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z\\times\\frac{1}{z}=1$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ នោះ $\\bar{z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=-33+56i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យក $\\delta=x+iy$ ($x,y$ ជាចំនួនពិត) ដែល $\\delta^2=-33+56i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=-33+56i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=-33+56i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\begin{ca... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{1-i}{1+i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចគណនា $\\left(\\frac{1-i}{1+i}\\right)^{107}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\frac{1-i}{1+i}=\\frac{(1-i)^{2}}{(1-i)(1+i)}=\\frac{-2i}{2}=-i$$\nដោយ $107=4\\times 26+3$ យើងបាន ៖\n$$(-i)^{107}=(-1)^{107}i^{107}=i$$\nដូចនេ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើ $1+i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+(1-2i)z-3-i=0$ ឬទេ ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=1+i$ ៖\n$$(1+i)^{2}+(1-2i)(1+i)-3-i=2i+3-i-3-i=0$$\nដូចនេះ $1+i$ ជាឫសនៃសមីការ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+8z+41=0$ ។ ដោយមិនដោះស្រាយសមីការ គណនា $z_1^2+z_2^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=-8\\quad,\\quad z_1z_2=41$$\n$$z_1^{2}+z_2^{2}=(z_1+z_2)^{2}-2z_1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $(1+i)^{16}+(1-i)^{16}$ ជាចំនួនពិត រួចគណនាតម្លៃរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $(1+i)^2=2i$ និង $(1-i)^2=-2i$ យើងបាន ៖\n$$(1+i)^{16}=(2i)^{8}=256$$\n$$(1-i)^{16}=(-2i)^{8}=256$$\n$$S=512$$\nដូចនេះ $\\boxed{S=512}$ ជាចំនួនពិត ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $(1+i)z=-6-4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $1+i$ ៖\n$$z=\\frac{-6-4i}{1+i}=\\frac{(-6-4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\\frac{-10+2i}{1+1}=\\frac{-10+2i}{2}=-5+i$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z=-5+i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=4+2i$ និង $z_2=1+i$ ។\nក. គណនា $z_1-z_2$ , $z_1\\times z_2$ ។\nខ. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រក $\\left|\\frac{z_1}{z_2}\\right|$ តាមពីរវិធី ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. យើងមាន ៖\n$$z_1-z_2=(4+2i)-(1+i)=3+i$$\n$$z_1\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $z=(-5+2i)(-2+4i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគុណតួនីមួយៗ ដោយប្រើ $i^2=-1$ ៖\n$$z=10-20i-4i+8i^{2}=10-24i-8=2-24i$$\nដូចនេះ $z=2-24i$ មានផ្នែកពិត $\\boxed{2}$ និងផ្នែកនិមិត្ត $\\boxed{-24}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}+64=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $z^4=-64$ យើងរកឃើញ $z^2=\\pm 8i$ ព្រោះ $(8i)^{2}=-64$ ។\nករណី $z^2=8i$ ៖ ដោយ $(2+2i)^{2}=8i$ នោះ $z=\\pm(2+2i)$ ។\nករណី $z^2=-8i$ ៖ ដោយ $(2-2i)^{2}=-8i$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $A=i^{171}-3i^{391}+4i^{270}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកនិទស្សន្តនីមួយៗនឹង $4$ ៖\n$171=4\\times 42+3$ នាំឱ្យ $i^{171}=-i$\n$391=4\\times 97+3$ នាំឱ្យ $i^{391}=-i$\n$270=4\\times 67+2$ នាំឱ្យ $i^{270}=-1$\nជំនួសចូលកន្សោម ៖\n$$A=(-i)-3(-i)+4... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $32i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ សមីការ $(x+iy)^2=32i$ ផ្តល់ ៖\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0\\\\2xy=32\\end{cases}$$\nសមីការទីមួយឱ្យ $y=x$ ឬ $y=-x$ ។\nបើ $y=x$ នោះ $2x^2=32$ នាំឱ្យ $x=\\pm 4$ ។ ករ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+8z+52=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មេគុណ $b=8$ ជាចំនួនគូ ដូច្នេះយើងប្រើ $b'=4$ ។\n$$\\Delta'=b'^{2}-ac=4^{2}-52=-36=(6i)^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_1=-4+6i\\quad,\\quad z_2=-4-6i$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z_1=-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x+3i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $w=z^2+3z$ ជាអនុគមន៍នៃ $x$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$z^{2}=x^{2}+6xi-9$$\n$$w=(x^{2}+3x-9)+(6x+9)i$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតគឺ $\\boxed{x^{2}+3x-9}$ ហើយផ្នែកនិមិត្តគឺ $\\boxed{6x+9}$ ។"
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាម៉ូឌុលនៃ $z=\\frac{4}{13}+\\frac{3}{13}i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=\\sqrt{\\left(\\frac{4}{13}\\right)^{2}+\\left(\\frac{3}{13}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{25}{169}}=\\frac{5}{13}$$\nដូចនេះ $\\boxed{|z|=\\frac{5}{13}}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=4-8i$ និង $z_2=3-i$ ។\n១. រក $\\overline{z_1}$ , $\\overline{z_2}$ រួចគណនា $z_1+\\overline{z_2}$ ។\n២. គណនា $z_1\\times\\overline{z_2}$ និង $z_2^2$ ។\n៣. បង្ហាញថា $\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{z_1\\times\\overline{z_2}}{|z_2|^2}$ រួចទាញរកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_A=4-2i$ , $z_B=-4-2i$ និង $z_C=4+2i$ ។\nក- សង់ចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ។\nខ- គណនាប្រវែង $AB$ , $AC$ និង $BC$ ។\nគ- តើត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណប្រភេទអ្វី ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ចំណុចទាំងបីគឺ $A... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{8}{1-i\\sqrt{3}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $1+i\\sqrt{3}$ ។ ភាគបែងក្លាយជា $1+3=4$ ។\n$$\\frac{8}{1-i\\sqrt{3}}=\\frac{(8)(1+i\\sqrt{3})}{4}=\\frac{8+8i\\sqrt{3}}{4}=2+2i\\sqrt{3}$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{8}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=\\sqrt{3}+3i$ និង $z_2=1+i$ ។\n១. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។\n៤. គណនា $\\overline{z_1}\\times z_2$ ។"
},
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាឫសការេនៃ $-11+60i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $-11+60i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}=-11+60i\\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=-11+60i$$\nដោយផ្នែកពិតស្មើគ្នា និងផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ៖\n$$\\begin{cases}x^{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=\\sqrt{3}+3i$ និង $z_2=-1+i\\sqrt{3}$ ។\n១. គណនា $z_1+z_2$ និង $z_1\\times z_2$ ។\n២. សរសេរ $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1$ , $z_2$ រួចទាញរកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times z_2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ។\n៤. គណនា $\\overline{z_1}\\times z_2$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $a$ និង $b$ ដោយដឹងថា $3-3i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+az+b=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=3-3i$ ក្នុងសមីការ ៖\n$$(3-3i)^{2}+a(3-3i)+b=0$$\n$$(-18i)+a(3-3i)+b=0$$\n$$(3a+b)-(18+3a)i=0$$\nចំនួនកុំផ្លិចស្មើសូន្យ លុះត្រាតែផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តស្មើសូ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. រកចំនួនកុំផ្លិច $z_1$ និង $z_2$ ដែល $z_1+z_2=3+i$ និង $z_1\\times z_2=2+2i$ ។\n២. គណនា $z_1^2+z_2^2$ ដោយមិនប្រើតម្លៃនៃ $z_1$ និង $z_2$ រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ជាមួយតម្លៃដែលរកបាន ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^2-(3+i)z+2+2i=0$ ។ ឌីសគ្រីមី... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យសមីការ $z^{2}-3iz-3+i=0$ ។ បង្ហាញថា $z_1=1+i$ ជាឫសរបស់សមីការនេះ រួចទាញរកឫសមួយទៀត $z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=1+i$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(1+i)^{2}-3i(1+i)-3+i=2i+3-3i-3+i=0$$\nដូច្នេះ $z_1=1+i$ ជាឫស ។\nផលគុណឫសនៃសមីការ $z^2+bz+c=0$ គឺ $z_1z_2=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+10z+29=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរជារាងកាណូនិក ៖\n$$z^{2}+10z+29=0\\Leftrightarrow (z+5)^{2}+4=0$$\n$$(z+5)^{2}=-4=4i^{2}$$\n$z+5=2i$ ឬ $ z+5=-2i$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z_... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1$ និង $z_2$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}-4z+20=0$ ។ គណនា $\\frac{1}{z_1}+\\frac{1}{z_2}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយមិនចាំបាច់រកឫស យើងប្រើផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការដឺក្រេទីពីរ ៖\n$$z_1+z_2=4\\quad,\\quad z_1z_2=20$$\n$$\\frac{1}{z_1}+\\frac{1}{z_2}=\\frac{z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $z\\bar{z}+2z=7+4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ។ យើងមាន $z\\bar{z}=x^2+y^2$ ។ សមីការសរសេរជា ៖\n$$x^{2}+y^{2}+2x+2yi=7+4i$$\nផ្នែកនិមិត្តឱ្យ $y=2$ ។ ផ្នែកពិតឱ្យ ៖\n$$x^{2}+4+2x=7\\Leftrightarrow ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(1+i)z-\\bar{z}=-4+4i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y$ ជាចំនួនពិត ។ ពន្លាតអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(1+i)(x+iy)-(x-iy)=-y+(x+2y)i$$\nយើងបានប្រព័ន្ធសមីការ ៖\n$$\\begin{cases}-y=-4\\\\x+2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោយមិនពន្លាត គណនា $\\left|(-1+4i)(-1+5i)\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងប្រើ $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ ៖\n$$|-1+4i|=\\sqrt{17}\\quad,\\quad|-1+5i|=\\sqrt{26}$$\n$$\\sqrt{17}\\times\\sqrt{26}=\\sqrt{442}$$\nដូចនេះ ម៉ូឌុលនៃផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{\\sqrt{442}}$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $z=\\frac{-4-8i}{i}$ ជាទម្រង់ $a+bi$ ដែល $a,b\\in\\mathbb{R}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $i$ ដើម្បីឱ្យភាគបែងក្លាយជាចំនួនពិត ៖\n$$\\frac{-4-8i}{i}=\\frac{(-4-8i)i}{i\\times i}=\\frac{8-4i}{-1}=-8+4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{-4-8i}{i}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_1=-6-7i$ និង $z_2=2-i$ ។ គណនា $\\overline{\\left(\\frac{z_1}{z_2}\\right)}$ រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាវាស្មើនឹង $\\frac{\\overline{z_1}}{\\overline{z_2}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង ៖\n$$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{-6-7i}{2-i}=\\frac{(-6-7i)(2+i)}{(2-i)(2+i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់ចំនួនពិត $x$ និង $y$ ដើម្បីឱ្យ $x^{2}-y^{2}+2xyi=-9-40i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=-9\\\\2xy=-40\\end{cases}$$\nពីសមីការទីពីរ $y=\\frac{-20}{x}$ ។ ជំ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+(5+i)z+16+13i=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-5-i)^{2}-4(16+13i)=(24+10i)-(64+52i)=-40-42i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=-40-42i$ ។\nយក $\\del... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x-2i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $\\frac{1}{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $\\bar{z}$ ៖\n$$\\frac{1}{z}=\\frac{\\bar{z}}{z\\bar{z}}=\\frac{x+2i}{x^{2}+4}$$\nដូចនេះ ផ្នែកពិតគឺ $\\boxed{\\frac{x}{x^{2}+4}}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យ $z_1=-6-5i$ និង $z_2=-6+i$ ។ សរសេរ $3z_1-z_2$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z_1$ និង $z_2$ យើងបាន ៖\n$$3z_1-z_2=3(-6-5i)-(-6+i)=-18-15i+6-i=-12-16i$$\nដូចនេះ $\\boxed{3z_1-z_2=-12-16i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=6+7i$ និង $z_2=2-i$ ។\nក. គណនា $2z_1-z_2$ ។\nខ. សរសេរ $Z=\\frac{z_1+z_2}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $Z=\\frac{z_1}{z_2}+1$ ។\nឃ. រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $Z^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. យើងបាន ៖\n$$2z_1-z_2=(12+14i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $\\left(\\sqrt{2}+i\\sqrt{6}\\right)^{2}$ ។ ទាញរកឫសការេនៃ $-4+4i\\sqrt{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតការេ ៖\n$$(\\sqrt{2}+i\\sqrt{6})^{2}=2+2\\times\\sqrt{2}\\times i \\sqrt{6}+6i^{2}=-4+4i\\sqrt{3}$$\nដូច្នេះ ចំនួននេះ និងចំនួនផ្ទុយរបស់វា សុទ្ធតែមាន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $(z+2+i)^{2}=3+4i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $Z=z+(2+i)$ ។ សមីការក្លាយជា $Z^2=3+4i$ ។ យើងរកឫសការេនៃ $3+4i$ ៖\nតាង $Z=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសការេនៃ $3+4i$ ។\nយើងបាន ៖\n$$(x+iy)^{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $\\left(\\frac{-2+3i}{3+2i}\\right)^{49}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសម្រួលផលចែកជាមុន ៖\n$$\\frac{-2+3i}{3+2i}=\\frac{(-2+3i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}=\\frac{13i}{9+4}=\\frac{13i}{13}=i$$\nដោយ $49=4\\times 12+1$ យើងបាន ៖\n$$i^{49}=i$$\nដូចនេះ ល... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq 2-i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z+2+i}{z-(2-i)}$ ។\nក. គណនា $f(1+i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=3$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nគ. រកម៉ូឌុលនៃ $f(1+i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ភាគយកគឺ $(1+i)-(-2-i)=3+2i$ ហើយភាគបែងគឺ $(1+i)-(2-i)=-1+2i$ ។\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{3-7i}{1+2i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាភាគយក និងភាគបែងដោយឡែក បន្ទាប់ពីគុណនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\nភាគបែង ៖ $(1+2i)(1-2i)=1+4=5$\nភាគយក ៖ $(3-7i)(1-2i)=3-6i-7i+14i^{2}=3-13i-14=-11-13i$\n$$\\frac{3-7i}{1+2i}=\\frac{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=2+2i$ ។ គណនា $|z|$ រួចទាញរក $|z^{8}|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=|2+2i|=\\sqrt{4+4}=2\\sqrt{2}$$\nតាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $|z^n|=|z|^n$ យើងបាន ៖\n$$\\left|(2+2i)^{8}\\right|=\\left(2\\sqrt{2}\\right)^{8}=4096$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{4096}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាកន្សោមខាងក្រោម ៖ $(1+3i\\sqrt{5})(3+3i\\sqrt{5})$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយកត់សម្គាល់ថា $\\left(i\\sqrt{5}\\right)^{2}=-5$ ៖\n$$(1+3i\\sqrt{5})(3+3i\\sqrt{5})=3+3i\\sqrt{5}+9i\\sqrt{5}+9\\left(i\\sqrt{5}\\right)^{2}=-42+12i\\sqrt{5}$$\nដូចនេះ លទ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-5z^{2}+24z-20$ ។\nក- គណនា $P(1)$ ។\nខ- រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z-1)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ- ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $1$ , $2+4i$ និង $2-4i$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $(-2+2i)^{4}$ ដោយគណនា $(-2+2i)^{2}$ ជាមុន ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេមុន ៖\n$$(-2+2i)^{2}=4-8i+4i^{2}=-8i$$\nស្វ័យគុណទី $4$ គឺជាការេនៃលទ្ធផលនេះ ៖\n$$(-2+2i)^{4}=\\left[(-2+2i)^{2}\\right]^{2}=(-8i)^{2}=64i^{2}=-64$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-2+2i)^{4}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $(2-i)z=-7+11i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $2-i$ ៖\n$$z=\\frac{-7+11i}{2-i}=\\frac{(-7+11i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\\frac{-25+15i}{4+1}=\\frac{-25+15i}{5}=-5+3i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=-5+3i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+12z+61=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរជារាងកាណូនិក ៖\n$$z^{2}+12z+61=0\\Leftrightarrow (z+6)^{2}+25=0$$\n$$(z+6)^{2}=-25=25i^{2}$$\n$z+6=5i$ ឬ $ z+6=-5i$\nដូចនេះ សំណុំឫសគឺ $\\boxed{\\left\\{-6+5i\\,;\\,-6-5i\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}+(1-i)z+2-2i=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-1+i)^{2}-4(2-2i)=(-2i)-(8-8i)=-8+6i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=-8+6i$ ។\nតាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫសក... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+2z+10=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ- គេឱ្យ $w=z_1+2i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{w}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- យើងមាន ៖\n$$\\D... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+(9+6i)z+11+27i=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$\\Delta=(-9-6i)^{2}-4(11+27i)=(45+108i)-(44+108i)=1$$\nដោយ $\\Delta=1=1^{2}$ ដែលជាការេប្រាកដ យើងបាន ៖\n$$z_1=\\frac{(-9-6i)+1}{2}=-4-3i\\quad,... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនពិត $-5$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^2=-1$ យើងអាចសរសេរ ៖\n$$z^{2}=-5\\Leftrightarrow z^{2}=5i^{2}\\Leftrightarrow z^{2}-(i\\sqrt{5})^{2}=0$$\nដាក់ជាកត្តា ៖\n$$(z-i\\sqrt{5})(z+i\\sqrt{5})=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=i\\sqrt{5... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $2iz-\\bar{z}=-5+i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y$ ជាចំនួនពិត ។ ពន្លាតអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$2i(x+iy)-(x-iy)=(-x-2y)+(2x+y)i$$\nយើងបានប្រព័ន្ធសមីការ ៖\n$$\\begin{cases}-x-2y=-5\\\\2x... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-12z+37=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរជារាងកាណូនិក ៖\n$$z^{2}-12z+37=0\\Leftrightarrow (z-6)^{2}+1=0$$\n$$(z-6)^{2}=-1=i^{2}$$\n$z-6=i$ ឬ $ z-6=-i$\nដូចនេះ សំណុំឫសគឺ $\\boxed{\\left\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{2}-z$ ។ គណនា $P(-1-2i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មុនដំបូង $(-1-2i)^{2}=-3+4i$ ។\nជំនួសចូល ៖\n$$P(-1-2i)=(-3+4i)-1(-1-2i)+0=-2+6i$$\nដូចនេះ $\\boxed{P(-1-2i)=-2+6i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.