conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}-4z+40=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរជារាងកាណូនិក ៖\n$$z^{2}-4z+40=0\\Leftrightarrow (z-2)^{2}+36=0$$\n$$(z-2)^{2}=-36=36i^{2}$$\n$z-2=6i$ ឬ $ z-2=-6i$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z_1=2+6i}$ និង $\\boxed{z_2=2-6... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{2}+(1-7i)z-24=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-1+7i)^{2}-4(-24)=(-48-14i)-(-96)=48-14i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=48-14i$ ។\nតាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫស... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរជាទម្រង់សាមញ្ញ $i^{62}$ , $i^{539}$ និង $i^{1756}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $i^4=1$ ស្វ័យគុណនៃ $i$ វិលជុំតាមខួប $4$ ។\n$$i^{62}=i^{4\\times 15+2}=\\left(i^{4}\\right)^{15}\\times i^{2}=i^{2}=-1$$\n$$i^{539}=i^{4\\times 134+3}=\\left(i^{4}\\right)^{13... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលគុណនៃ $z=4-9i$ និងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់របស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2$ ។\nដោយ $a=4$ និង $b=9$ យើងបាន ៖\n$$(4-9i)(4+9i)=4^{2}+9^{2}=16+81=97$$\nដូចនេះ ផលគុណជាចំនួនពិតស្មើនឹង $\\boxed{97}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្ហាញថា $z_0=1+i\\sqrt{3}$ ជាឫសរបស់សមីការ $z^{2}-2z+4=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនា ៖\n$$z_0^{2}=(1+i\\sqrt{3})^{2}=-2+2i\\sqrt{3}$$\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(-2+2i\\sqrt{3})-2(1+i\\sqrt{3})+4=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=1+i\\sqrt{3}}$ ជាឫសរបស់សមីការន... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនា $(-6+3i)(-6-3i)$ ដោយមិនពន្លាតតួម្តងមួយៗ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ផលគុណនេះមានរាង $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ ។\nដោយ $a=6$ និង $b=3$ យើងបាន ៖\n$$(-6+3i)(-6-3i)=6^{2}+3^{2}=36+9=45$$\nដូចនេះ ផលគុណជាចំនួនពិតស្មើនឹង $\\boxed{45}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=(m^{2}-9m+20)+(m^{2}-5m)i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$z$ ជាចំនួនពិត លុះត្រាតែផ្នែកនិមិត្តរបស់វាស្មើសូន្យ ៖\n$$m^{2}-5m=0$$\nសមីការដឺក្រេទីពីរនេះមានឫស $m=0$ ឬ $m=5$ ។\nដូចនេះ $z$ ជា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(4-3i)z=-20-10i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $4-3i$ ៖\n$$z=\\frac{-20-10i}{4-3i}=\\frac{(-20-10i)(4+3i)}{(4-3i)(4+3i)}=\\frac{-50-100i}{16+9}=\\frac{-50-100i}{25}=-2-4i$$\nដូចនេះ $\\boxed{z=-2-4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $2iz+4-i=-6-7i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$2iz=-10-6i$$\nគុណអង្គទាំងពីរនឹង $i$ ដើម្បីលុប $i$ ពីមេគុណ ៖\n$$-2z=6-10i$$\n$$z=-3+5i$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z=-3+5i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $(2+i\\sqrt{3})(4+2i\\sqrt{3})$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយកត់សម្គាល់ថា $\\left(i\\sqrt{3}\\right)^{2}=-3$ ៖\n$$(2+i\\sqrt{3})(4+2i\\sqrt{3})=8+4i\\sqrt{3}+4i\\sqrt{3}+2\\left(i\\sqrt{3}\\right)^{2}=2+8i\\sqrt{3}$$\nដូចនេះ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+5z^{2}+9z+5$ ។\n១. គណនា $P(-1)$ ។\n២. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z+1)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\n៣. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\n៤. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $-1$ , $-2+i$ និង $-2-i$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើ $-3+i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{2}+(6-4i)z+8-12i=0$ ឬទេ ? ពន្យល់ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z=-3+i$ ក្នុងអង្គខាងឆ្វេង យើងបានតម្លៃ ៖\n$$(-3+i)^{2}+(6-4i)(-3+i)+(8-12i)=2$$\nតម្លៃនេះខុសពីសូន្យ ។\nដូចនេះ $-3+i$ មិនមែនជាឫសនៃសមីការទេ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $z_0=3+4i$ ជាឫសនៃសមីការ $z^{3}-8z^{2}+37z-50=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាស្វ័យគុណនៃ $z_0$ ៖ $z_0^2=-7+24i$ និង $z_0^3=-117+44i$ ។\nជំនួសក្នុងអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(-117+44i)-8(-7+24i)+37(3+4i)-50=0$$\nដូចនេះ $\\boxed{z_0=3+4i}$ ជាឫសនៃសមីការនេ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. គណនា $(1+i)^2$ និង $(1-i)^2$ ។\n២. ទាញរកតម្លៃនៃ $(1+i)^{20}$ និង $(1-i)^{20}$ ។\n៣. គណនា $(1+i)^{20}+(1-i)^{20}$ ។\n៤. សរសេរ $\\frac{1+i}{1-i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត រួចគណនា $\\left(\\frac{1+i}{1-i}\\right)^{2026}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ពន្លាតការេ ដោយ $i^2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{-8+3i\\sqrt{3}}{2+i\\sqrt{3}}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $2-i\\sqrt{3}$ ។ ភាគបែងក្លាយជា $4+3=7$ ។\n$$\\frac{-8+3i\\sqrt{3}}{2+i\\sqrt{3}}=\\frac{(-8+3i\\sqrt{3})(2-i\\sqrt{3})}{7}=\\frac{-7+14i\\sqrt{3}}{7}=-... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}+15z^{2}+50=0$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ រួចសរសេរចម្លើយជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$t^{2}+15t+50=0\\Leftrightarrow (t+5)(t+10)=0$$\nនាំឱ្យ $t=-5$ ឬ $t=-10$ ។\n$$z^{2}=-5\\Rightarrow z=\\pm i\\sqrt{5}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានសមីការ $(E)$ ៖ $z^{2}-(5+7i)z-8+16i=0$ ។\nក- គណនា $(3+i)^{2}$ ។\nខ- គណនាឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការ $(E)$ ។\nគ- ដោះស្រាយសមីការ $(E)$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nឃ- ផ្ទៀងផ្ទាត់ផលបូកឫស និងផលគុណឫសនៃសមីការ $(E)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- ពន្លាតការេ ៖\n$$(3+i)^{2}=9+6i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក- ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-8z+32=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ- គេឱ្យ $w=z_1+3i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{w}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ- រកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក- គណនាឌីសគ្រីមីណង... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}-13z^{2}-48=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ យើងបាន ៖\n$$t^{2}-13t-48=0\\Leftrightarrow (t-16)(t+3)=0$$\n$$z^{2}=16\\Rightarrow z=\\pm 4$$\n$$z^{2}=-3\\Rightarrow z=\\pm i\\sqrt{3}$$\nដូចនេះ សមីការមានឫសបួនគឺ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោមខាងក្រោម ៖ $\\left|(2-i)^{10}\\right|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|2-i|=\\sqrt{4+1}=\\sqrt{5}$$\nតាមលក្ខណៈម៉ូឌុល $|z^n|=|z|^n$ យើងបាន ៖\n$$\\left|(2-i)^{10}\\right|=\\left(\\sqrt{5}\\right)^{10}=3125$$\nដូចនេះ លទ្ធផលគឺ $\\boxed{3125}$ ។"
}
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $z_A=-1-4i$ , $z_B=-4+2i$ និង $z_C=4i$ ។\n១. សង់ចំណុច $A$ , $B$ , $C$ ។\n២. គណនាប្រវែង $AB$ , $AC$ និង $BC$ ។\n៣. តើត្រីកោណ $ABC$ ជាត្រីកោណប្រភេទអ្វី ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ចំណុចទាំងបីគឺ $A(... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-4z+20=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមីការមានមេគុណ $a=1$ , $b=-4$ , $c=20$ ។ គណនាឌីសគ្រីមីណង់ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\\times 1\\times 20=-64=(8i)^{2}$$\nដោយ $\\Delta<0$ សមីការមានឫសកុំផ្លិចពីរឆ្លាស់គ្នា ៖\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $\\left(\\frac{-2+i}{1+2i}\\right)^{11}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសម្រួលផលចែកជាមុន ៖\n$$\\frac{-2+i}{1+2i}=\\frac{(-2+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\\frac{5i}{1+4}=\\frac{5i}{5}=i$$\nដោយ $11=4\\times 2+3$ យើងបាន ៖\n$$i^{11}=-i$$\nដូចនេះ លទ្ធផលស... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកទម្រង់ពីជគណិតនៃ $\\frac{1}{z}$ ដោយដឹងថា $z=2+2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $z\\bar{z}=|z|^2=8$ យើងបាន $\\frac{1}{z}=\\frac{\\bar{z}}{|z|^2}$ ។\n$$\\frac{1}{z}=\\frac{2-2i}{8}=\\frac{1}{4}-\\frac{1}{4}i$$\nដូចនេះ $\\boxed{\\frac{1}{z}=\\frac{1}{4}-\\frac{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq-1-i$ គេកំណត់ $f(z)=\\frac{z-(1+3i)}{z+1+i}$ ។\na. គណនា $f(-1+i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nb. ដោះស្រាយសមីការ $f(z)=1+i$ ក្នុង $\\mathbb{C}$ ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $f(-1+i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. ភាគយកគឺ $(-1+i)-(1+3i)=-2-2i$ ហើយភាគបែងគឺ $(-1+i)-(-1-i)=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $z^2=2\\bar{z}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ។ យើងបាន ៖\n$$x^{2}-y^{2}+2xyi=2x-2yi$$\n$$\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=2x\\\\2xy=-2y\\end{cases}$$\nសមីការទីពីរសរសេរ $y(2x+2)=0$ ។\nករណី $y=0$ ៖ $x^2=2x$ ឱ្យ $x=0$ ឬ $x=2$ ។\nករណ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "a. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}-8z+25=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nb. គេឱ្យ $w=z_1+3i$ ។ សរសេរ $\\frac{1}{w}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nc. រកម៉ូឌុលនៃ $z_1\\times w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "a. គណនាឌីសគ្រីមីណង... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}-2iz-13-16i=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ឌីសគ្រីមីណង់នៃសមីការគឺ ៖\n$$\\Delta=b^{2}-4ac=2i^{2}-4(-13-16i)=(-4)-(-52-64i)=48+64i$$\nយើងត្រូវរកឫសការេនៃ $\\Delta=48+64i$ ។\nតាង $\\delta=x+iy$ ដែល $x,y\\in\\mathbb{R}$ ជាឫ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z_1=4-2i$ និង $z_2=1-3i$ ។\n១. គណនា $2z_1-z_2$ ។\n២. សរសេរ $Z=\\frac{z_1+z_2}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\n៣. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $Z=\\frac{z_1}{z_2}+1$ ។\n៤. រកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $Z^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. យើងបាន ៖\n$$2z_1-z_2=(8-4i)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកខាងក្រោម ៖ $\\frac{7-5i}{3+i}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាភាគយក និងភាគបែងដោយឡែក បន្ទាប់ពីគុណនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\nភាគបែង ៖ $(3+i)(3-i)=9+1=10$\nភាគយក ៖ $(7-5i)(3-i)=21-7i-15i+5i^{2}=21-22i-5=16-22i$\n$$\\frac{7-5i}{3+i}=\\frac{16-22i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $(x+iy)(-2+4i)=-6-8i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាតអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(x+iy)(-2+4i)=(-2x-4y)+(4x-2y)i$$\nយើងប្រៀបធៀបផ្នែកពិតនឹងផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនឹងផ្នែកនិមិត្ត ។\n$$\\begin{cases}-2x-4y=-6\\\\4x-2y=-8\\end{cases}$$\nដោះស្រា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $(6+5i)(2-i)$ ជាទម្រង់ពីជគណិត $a+bi$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយដឹងថា $i^2=-1$ យើងបាន ៖\n$$(6+5i)(2-i)=12-6i+10i-5i^{2}=12+4i+5=17+4i$$\nដូចនេះ ផលគុណស្មើនឹង $\\boxed{17+4i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក. ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}+6z+25=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។ តាង $z_1$ ជាឫសដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន និង $z_2$ ជាឫសមួយទៀត ។\nខ. សរសេរ $z_1^2$ និង $\\frac{z_1}{z_2}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។\nគ. រក $|z_1|$ រួចបង្ហាញថា $z_1\\times z_2=|z_1|^2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $(1+i)z-2\\bar{z}=1+5i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $x,y$ ជាចំនួនពិត ។ ពន្លាតអង្គខាងឆ្វេង ៖\n$$(1+i)(x+iy)-2(x-iy)=(-x-y)+(x+3y)i$$\nយើងបានប្រព័ន្ធសមីការ ៖\n$$\\begin{cases}-x-y=1\\\\x+3y=5\\end{cases}$$\nដោះស្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_1=-7-7i$ និង $z_2=1+5i$ ។ គណនា $4z_1+3z_2$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ជំនួស $z_1$ និង $z_2$ យើងបាន ៖\n$$4z_1+3z_2=4(-7-7i)+3(1+5i)=-28-28i+3+15i=-25-13i$$\nដូចនេះ $\\boxed{4z_1+3z_2=-25-13i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់ $z^{4}+16z^{2}+63=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $t=z^2$ ។ សមីការក្លាយជា ៖\n$$t^{2}+16t+63=0\\Leftrightarrow (t+7)(t+9)=0$$\nនាំឱ្យ $t=-7$ ឬ $t=-9$ ។\n$$z^{2}=-7\\Rightarrow z=\\pm i\\sqrt{7}$$\n$$z^{2}=-9\\Rightarrow z=\\p... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែលមានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ $z+\\bar{z}=10$ និង $z\\bar{z}=34$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=x+iy$ ដែល $y>0$ ។ យើងមាន $z+\\bar{z}=2x$ និង $z\\bar{z}=x^2+y^2$ ។\n$$2x=10\\Rightarrow x=5$$\n$$x^{2}+y^{2}=34\\Rightarrow y^{2}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាតម្លៃនៃកន្សោម $\\left(\\frac{-3+4i}{4+3i}\\right)^{35}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសម្រួលផលចែកជាមុន ៖\n$$\\frac{-3+4i}{4+3i}=\\frac{(-3+4i)(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)}=\\frac{25i}{16+9}=\\frac{25i}{25}=i$$\nដោយ $35=4\\times 8+3$ យើងបាន ៖\n$$i^{35}=-i$$\nដូចនេះ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលចែកនៃចំនួនកុំផ្លិច ៖ $\\frac{12+4i\\sqrt{3}}{3-i\\sqrt{3}}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គុណភាគយក និងភាគបែងនឹង $3+i\\sqrt{3}$ ។ ភាគបែងក្លាយជា $9+3=12$ ។\n$$\\frac{12+4i\\sqrt{3}}{3-i\\sqrt{3}}=\\frac{(12+4i\\sqrt{3})(3+i\\sqrt{3})}{12}=\\frac{24+24i\\sqrt{3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x,y$ ដែលធ្វើឱ្យ $(x+iy)+3(x-iy)=20+4i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ហើយបូកតួដូចគ្នា ៖\n$$(4)x-2yi=20+4i$$\nចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា លុះត្រាតែផ្នែកពិតស្មើគ្នា ហើយផ្នែកនិមិត្តស្មើគ្នា ។\n$$4x=20\\quad,\\quad -2y=4$$\nនាំឱ្យ $x=5$ និង $y=-2$ ។\nដូ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនពិត $x$ ដែល $|x-(2-3i)|=|x+2-i|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរភាពស្មើគ្នានៃការេម៉ូឌុល ៖\n$$(x-2)^{2}+9=(x+2)^{2}+1$$\nពន្លាត ហើយលុបតួ $x^2$ ៖\n$$-4x+13=4x+5$$\n$$-8x=-8$$\nដូចនេះ $\\boxed{x=1}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "សរសេរ $\\frac{19-8i}{4-3i}$ ជាទម្រង់ពីជគណិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាភាគយក និងភាគបែងដោយឡែក បន្ទាប់ពីគុណនឹងចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃភាគបែង ៖\nភាគបែង ៖ $(4-3i)(4+3i)=16+9=25$\nភាគយក ៖ $(19-8i)(4+3i)=76+57i-32i-24i^{2}=76+25i+24=100+25i$\n$$\\frac{19-8i}{4-3i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=x+3i$ ដែល $x\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $x$ ដើម្បីឱ្យ $z^2+2z$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖\n$$z^{2}+2z=x^{2}-9+6xi+2x+6i$$\nផ្នែកនិមិត្តគឺ $6x+6$ ។ កន្សោមជាចំនួនពិត លុះត្រាតែ ៖\n$$6x+6=0\\Leftrightarrow x=-1$$\nដូចនេះ $\\boxed{x=-1}$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-8z^{2}+24z-32$ ។\nក. គណនា $P(4)$ ។\nខ. រកចំនួនពិត $\\alpha$ និង $\\beta$ ដែល $P(z)=(z-4)(z^2+\\alpha z+\\beta)$ ។\nគ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nឃ. ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច តាង $A$ , $B$ , $C$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃឫស $4$ , $2+2i$ និង $2-2i$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការដឺក្រេទីពីរដែលមានឫស $z_1=4+4i$ និង $z_2=2+3i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "គណនាផលបូក និងផលគុណនៃឫស ៖\n$$z_1+z_2=6+7i$$\n$$z_1z_2=(4+4i)(2+3i)=8+12i+8i+12i^{2}=8+20i-12=-4+20i$$\nសមីការមានរាង $z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2=0$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z^{2}-(6+7i)z-4+20i=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយក្នុង $\\mathbb{C}$ នូវសមីការ $z^{2}-6z+34=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "មេគុណ $b=-6$ ជាចំនួនគូ ដូច្នេះយើងប្រើ $b'=-3$ ។\n$$\\Delta'=b'^{2}-ac=(-3)^{2}-34=-25=(5i)^{2}$$\nឫសទាំងពីរគឺ ៖\n$$z_1=3+5i\\quad,\\quad z_2=3-5i$$\nដូចនេះ សមីការមានឫស $\\boxed{z_1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-2+2i$ ។ គណនា $z^2$ រួចទាញរក $z^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេជាមុនសិន ៖\n$$(-2+2i)^{2}=4-8i+4i^{2}=-8i$$\nគុណនឹងកត្តាដើមម្តងទៀត ៖\n$$(-2+2i)^{3}=(-8i)(-2+2i)=16i-16i^{2}=16i+16=16+16i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(-2+2i)^{3}=16+16i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=3-3i$ ។ គណនា $z^2$ រួចទាញរក $z^3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនាការេជាមុនសិន ៖\n$$(3-3i)^{2}=9-18i+9i^{2}=-18i$$\nគុណនឹងកត្តាដើមម្តងទៀត ៖\n$$(3-3i)^{3}=(-18i)(3-3i)=-54i+54i^{2}=-54i-54=-54-54i$$\nដូចនេះ $\\boxed{(3-3i)^{3}=-54-54i}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាផលគុណនៃកត្តាទាំងបួន $(1+i)(1+i^2)(1+i^3)(1+i^4)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "កុំប្រញាប់ពន្លាត ។ កត្តាទីពីរគឺ $1+i^2=1-1=0$ ។\nផលគុណដែលមានកត្តាមួយស្មើសូន្យ ស្មើសូន្យ ។\nដូចនេះ ផលគុណគឺ $\\boxed{0}$ ។"
}
] | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=(m+3)+6i$ ដែល $m\\in\\mathbb{R}$ ។ រកតម្លៃ $m$ ដើម្បីឱ្យ $|z|=10$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន ៖\n$$|z|=\\sqrt{(m+3)^{2}+36}=10$$\nលើកការេអង្គទាំងពីរ ៖\n$$(m+3)^{2}+36=100\\Leftrightarrow (m+3)^{2}=64$$\n$m+3=8$ ឬ $ m+3=-8$\nដូចនេះ $\\boxed{m=5}$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z_A=2$, $z_B=1+i\\sqrt{3}$ និង $z_C=-1+i\\sqrt{3}$ ដែលមានរូបភាព $A$, $B$, $C$ ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច ។\nក. សរសេរ $z_B$ និង $z_C$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។\nខ. បង្ហាញថាចតុកោណ $OABC$ ជាចតុកោណស្មើ ។\nគ. គណនាផ្ទៃក្រឡានៃ $OABC$ ។\nឃ. ផ្ទៀងផ្ទាត់ថាការបង្វិលជុំវិញ $O$ មុំ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេដឹងថា $A(1+i)$ និង $C(5+3i)$ ជាកំពូលឈមនៃការេ $ABCD$ ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច ដោយ $(\\overrightarrow{JA},\\overrightarrow{JB})=\\frac{\\pi}{2}$ ដែល $J$ ជាផ្ចិតនៃការេ ។\n១. រកចំនួនកុំផ្លិច $z_J$ ។\n២. ដោយប្រើការបង្វិលជុំវិញ $J$ រក $z_B$ និង $z_D$ ។\n៣. គណនាប្រវែងជ្រុង និងផ្ទៃក្រឡានៃកា... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច គេឱ្យ $A(-2)$, $B(8)$ និង $C(4i)$ ។\nក. បង្ហាញថាត្រីកោណ $ABC$ កែងត្រង់ $C$ ។\nខ. រកផ្ចិត និងកាំនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ រួចសរសេរវាជារាង $|z-\\omega|=r$ ។\nគ. ជើងកម្ពស់ពី $C$ លើ $(AB)$ ជាចំណុចណា ? ផ្ទៀងផ្ទាត់ថា $OC^{2}=OA\\times OB$ ។"
},
{
"from": "gpt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z\\neq-1$ គេឱ្យ $Z=\\frac{z-2i}{z+1}$ ដែល $z=x+iy$ ។ តាង $M$ ជារូបភាពនៃ $z$ ។\n១. គណនាផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តនៃ $Z$ តាម $x$ និង $y$ ។\n២. រកសំណុំចំណុច $M$ ដែល $Z$ ជាចំនួនពិត ។\n៣. រកសំណុំចំណុច $M$ ដែលផ្នែកពិតនៃ $Z$ ស្មើសូន្យ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $A(3)$ និង $B(-3)$ ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច ។\nក. រកសំណុំ $(\\Gamma)$ នៃចំណុច $M(z)$ ដែល $|z-3|=2|z+3|$ ។\nខ. រកចំណុចប្រសព្វនៃ $(\\Gamma)$ ជាមួយអ័ក្សពិត ។\nគ. ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌចំពោះចំណុចទាំងនោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. យក $z=x+iy$ ។ ការេនៃលក្ខខណ្ឌឱ្យ $(x... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យត្រីកោណ $OAB$ និងចំណុច $C$, $D$ ជារូបភាពនៃ $ia$ និង $-ib$ ដែល $a$, $b$ ជារូបភាពរៀងគ្នានៃ $A$, $B$ ។\n១. បង្ហាញថា $c-b=-i(d-a)$ ដែល $c=ia$, $d=-ib$ ។\n២. ទាញបញ្ជាក់ថា $BC=AD$ និង $(BC)\\perp(AD)$ ។\n៣. អនុវត្តចំពោះ $a=3$ និង $b=1+2i$ ដោយរក $c$, $d$ និង $BC$ ។"
},
{
"... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចតុកោណ $ABCD$ ដែល $A(-1+i)$, $B(3+2i)$, $C(4-2i)$, $D(-2-3i)$ ។ តាង $E$, $F$, $G$, $H$ ជាចំណុចកណ្តាលនៃ $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$ ។\nក. រកចំនួនកុំផ្លិចនៃចំណុចទាំងបួននេះ ។\nខ. បង្ហាញថា $EFGH$ ជាប្រលេឡូក្រាម ។\nគ. ស្រាយបញ្ជាក់ថាលទ្ធផលនេះពិតចំពោះចតុកោណណាក៏ដោយ ។"
},
{
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $j=-\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។\n១. សរសេរ $j$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $j^{2}$, $j^{3}$ និង $1+j+j^{2}$ ។\n២. តាង $A$, $B$, $C$ ជារូបភាពនៃ $1$, $j$, $j^{2}$ ។ បង្ហាញថា $ABC$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស ។\n៣. រកទីប្រជុំទម្ងន់ និងផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណនេះ ។"
},
{
"from":... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យបំលែង $f$ ដែលភ្ជាប់ $M(z)$ ទៅ $M'(z')$ ដោយ $z'=iz+2$ ។\nក. រកចំណុចនឹង $\\Omega$ នៃ $f$ ។\nខ. បង្ហាញថា $f$ ជាការបង្វិល ហើយកំណត់មុំ ។\nគ. រកសមីការនៃរូបភាពនៃអ័ក្សពិតតាម $f$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ដោះស្រាយ $z=iz+2$ ៖ $z(1-i)=2$ នាំឱ្យ $z=\\frac{2}{1-i}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានរង្វង់ $(C_1):|z-1|=1$ និង $(C_2):|z-5-4i|=3$ ។\n១. រកចំណុច $\\Omega$ និងចំនួនពិតវិជ្ជមាន $k$ ដើម្បីឱ្យការពង្រីកផ្ចិត $\\Omega$ ផលធៀប $k$ បញ្ជូន $(C_1)$ ទៅ $(C_2)$ ។\n២. សរសេររូបមន្ត $z'$ តាម $z$ ។\n៣. រករូបភាពនៃចំណុច $T(2)$ ដែលនៅលើ $(C_1)$ រួចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាវានៅលើ $(C_2)$ ។"... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z_A=1+i$, $z_B=3+2i$ និង $z_C=m+4i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។\nក. រក $m$ ដើម្បីឱ្យត្រីកោណ $ABC$ កែងត្រង់ $A$ ។\nខ. ចំពោះតម្លៃនោះ គណនា $AB$, $AC$ និងផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ ។\nគ. គណនាផលធៀប $\\frac{AC}{AB}$ ហើយបញ្ជាក់ថាត្រីកោណនេះមិនសមបាត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យរង្វង់ $(C):|z-1-i|=\\sqrt{5}$ និងចំណុច $T(2+3i)$ ។\n១. បង្ហាញថា $T$ នៅលើ $(C)$ ។\n២. រកសមីការបន្ទាត់ប៉ះនឹង $(C)$ ត្រង់ $T$ ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌថា $\\frac{z-z_T}{z_T-1-i}$ មានផ្នែកពិតស្មើសូន្យ ។\n៣. បន្ទាត់ប៉ះកាត់អ័ក្សត្រង់ $P$ និង $Q$ ។ គណនាផ្ទៃក្រឡាត្រីកោណ $OPQ$ ។"
},
{
... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z$ ជាចំនួនកុំផ្លិចដែល $|z|=1$ និង $z\\neq\\pm 1$ ។ តាង $A(1)$, $B(-1)$ និង $M(z)$ ។\nក. បង្ហាញថា $\\bar{z}=\\frac{1}{z}$ ។\nខ. ស្រាយបញ្ជាក់ថា $\\frac{z+1}{z-1}$ មានផ្នែកពិតស្មើសូន្យ ។\nគ. ទាញបញ្ជាក់ថាត្រីកោណ $AMB$ កែងត្រង់ $M$ ។ អនុវត្តចំពោះ $z=\\frac{3}{5}+\\frac{4}{5}i$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "១. ដោះស្រាយសមីការ $z^{3}+8=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ដោយដាក់ជាកត្តា ។\n២. តាង $A$, $B$, $C$ ជារូបភាពនៃឫស ដោយ $A$ ជារូបភាពនៃឫសពិត ហើយ $B$ មានផ្នែកនិមិត្តវិជ្ជមាន ។ បង្ហាញថា $ABC$ ជាត្រីកោណសម័ង្ស ។\n៣. រកកាំនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ និងផ្ទៃក្រឡារបស់ត្រីកោណ ។"
},
{
"from": ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $A(0)$, $B(4)$, $C(3+2i)$ និង $D(1+2i)$ ។\nក. បង្ហាញថា $ABCD$ ជាចតុកោណព្នាយសមបាត ។\nខ. គណនាផ្ទៃក្រឡារបស់វា ។\nគ. រកចំណុចប្រសព្វ $K$ នៃអង្កត់ទ្រូង $[AC]$ និង $[BD]$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. យើងមាន $\\frac{z_C-z_D}{z_B-z_A}=\\frac{2}{4}=\\frac{1}{2}$ ជ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យបំលែង $f:\\ z'=iz+1$ និងបន្ទាត់ $(d):y=x$ ។\n១. បង្ហាញថាគ្រប់ចំណុចនៃ $(d)$ មានរាង $z=t(1+i)$ ដែល $t$ ជាចំនួនពិត ។\n២. រកសមីការរូបភាព $(d')$ នៃ $(d)$ ។\n៣. បង្ហាញថា $(d)\\perp(d')$ ហើយរកចំណុចប្រសព្វរបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. ចំណុចនៃ $(d)$ មាន $x=y... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យបំលែង $g$ ដែលភ្ជាប់ $M(z)$ ទៅ $M'(z')$ ដោយ $z'=i\\bar{z}$ ។\nក. សរសេរ $x'$ និង $y'$ តាម $x$ និង $y$ ។\nខ. រកសំណុំចំណុចនឹងនៃ $g$ ។\nគ. ចំពោះ $A(3+i)$ រក $A'$ ហើយបង្ហាញថាបន្ទាត់ $y=x$ ជាមេដ្យាទ័រនៃ $[AA']$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. យើងមាន $z'=i(x-iy)=y+i... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z\\neq 0$ មានរូបភាព $M$ ហើយ $N$ ជារូបភាពនៃ $(1+i)z$ ។\n១. គណនា $\\frac{z_N-z_M}{z_O-z_M}$ ។\n២. ទាញរកប្រភេទនៃត្រីកោណ $OMN$ ។\n៣. សម្រាប់ $z=2+i$ រក $z_N$ និងផ្ទៃក្រឡានៃត្រីកោណ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. យើងមាន $z_N-z_M=(1+i)z-z=iz$ និង $z_O-z_M=-z$ ។ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេកំណត់ចំណុច $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ ជារូបភាពនៃ $z_0=1$ និង $z_{n+1}=(1+i)z_n$ ។\nក. គណនា $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$ ។\nខ. បង្ហាញថា $OA_n=(\\sqrt{2})^{n}$ និង $A_nA_{n+1}=OA_n$ ។\nគ. រកផលបូក $A_0A_1+A_1A_2+A_2A_3+A_3A_4$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $A(7+i)$, $B(5+5i)$ និង $C(-2+4i)$ ។\n១. រកសមីការមេដ្យាទ័រនៃ $[AB]$ និង $[AC]$ ដោយប្រើ $|z-z_A|=|z-z_B|$ និង $|z-z_A|=|z-z_C|$ ។\n២. ទាញរកផ្ចិត $\\Omega$ និងកាំនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ $ABC$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "១. យក $z=x+iy$ ។ លក្ខខណ្ឌទីមួយឱ្យ $(x... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $a=5$ និង $b=-3+4i$ មានរូបភាព $A$ និង $B$ ហើយ $C$ ជារូបភាពនៃ $a+b$ ។\nក. បង្ហាញថា $OACB$ ជាចតុកោណស្មើ ។\nខ. ស្រាយបញ្ជាក់ថាបើ $|a|=|b|$ នោះ $\\frac{a+b}{a-b}$ មានផ្នែកពិតស្មើសូន្យ ។\nគ. ផ្ទៀងផ្ទាត់លទ្ធផលនេះ រួចគណនាផ្ទៃក្រឡានៃ $OACB$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $|z|=|z-2|=|z-2i|$ ។ តើចំណុចរូបភាពនៃ $z$ មានតួនាទីអ្វីក្នុងត្រីកោណដែលមានកំពូល $O$, $2$, $2i$ ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សមភាព $|z|=|z-2|$ ដាក់ចំណុចនៅលើមេដ្យាទ័រនៃ $[O,2]$ ដូច្នេះ $x=1$ ។ សមភាព $|z|=|z-2i|$ ផ្តល់ $y=1$ ។\nចម្ងាយទៅកំពូលទាំ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គណនាចម្ងាយរវាងរូបភាពនៃឫសទាំងពីររបស់សមីការ $z^{2}+4z+13=0$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $\\Delta'=4-13=-9=(3i)^{2}$ ។ ឫសគឺ $z_1=-2+3i$ និង $z_2=-2-3i$ ។\nចំណុចទាំងពីរឆ្លុះគ្នាធៀបនឹងអ័ក្សពិត ហើយ $|z_1-z_2|=|6i|=6$ ។\nដូចនេះ ចម្ងាយគឺ $\\boxed{6}$ ឯកតា ។\n\n``... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំណុច $M(z)$ រត់លើរង្វង់ $|z-3-4i|=2$ ។ រកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃ $|z|$ ។ តើតម្លៃតូចបំផុតកើតឡើងត្រង់ចំណុចណា ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $\\Omega(3+4i)$ ។ យើងមាន $O\\Omega=|3+4i|=5$ ។ សរសេរ $z=(3+4i)+(z-3-4i)$ ។ តាមវិសមភាពត្រីកោណ ៖\n$$|3+4i|-|z-3-4i|\\le|z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បើ $|z|=2$ រកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃ $|z-1|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "កន្សោម $|z-1|$ គឺចម្ងាយពី $M(z)$ ទៅ $A(1)$ ។ តាមវិសមភាពត្រីកោណ ៖\n$$|z|-1\\le|z-1|\\le|z|+1$$\nដោយ $|z|=2$ គេបាន $1\\le|z-1|\\le 3$ ។\nតម្លៃទាំងពីរនេះកើតឡើងពិតមែន ៖ ចំពោះ $z=2$ យើងបាន $|... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ស្រាយបញ្ជាក់ថា $OA\\perp OB$ លុះត្រាតែផ្នែកពិតនៃ $a\\bar{b}$ ស្មើសូន្យ ដែល $A(a)$, $B(b)$ ខុសពី $O$ ។ ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះ $a=2+i$ និង $b=-1+2i$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $\\frac{a}{b}=\\frac{a\\bar{b}}{|b|^{2}}$ ។ ភាគបែងជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន ដូច្នេះ $\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើត្រីកោណដែលមានកំពូលជារូបភាពនៃ $1$, $i$ និង $-1$ មានរាងអ្វី ? រកផ្ទៃក្រឡារបស់វា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $A(1)$, $B(i)$, $C(-1)$ ។ គេបាន $BA=|1-i|=\\sqrt{2}$, $BC=|-1-i|=\\sqrt{2}$ និង $AC=2$ ។\nដោយ $AC^{2}=4=BA^{2}+BC^{2}$ ត្រីកោណកែងត្រង់ $B$ ហើយសមបាត ។ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសមីការបន្ទាត់ដែលកាត់តាមចំណុច $A(1+i)$ និង $B(3+5i)$ ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌថា $\\frac{z-z_A}{z_B-z_A}$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z_B-z_A=2+4i$ ។ យក $z=x+iy$ ៖\n$$\\frac{(x-1)+(y-1)i}{2+4i}=\\frac{\\left[(x-1)+(y-1)i\\right](2-4i)}{20}$$\nផ្នែកនិមិ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់សំណុំចំណុច $M(z)$ ដែល $(1-i)z+(1+i)\\bar{z}=4$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "កន្សោម $(1+i)\\bar{z}$ ជាចំនួនឆ្លាស់នៃ $(1-i)z$ ។ ផលបូកនៃចំនួនមួយនិងចំនួនឆ្លាស់របស់វាស្មើពីរដងផ្នែកពិត ។\nយក $z=x+iy$ ។ គេបាន $(1-i)(x+iy)=(x+y)+(y-x)i$ ។ លក្ខខណ្ឌក្លាយជា $2(x+y)=4$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ស្រាយថាសំណុំចំណុច $M(z)$ ដែល $z\\bar{z}-2(z+\\bar{z})+3=0$ ជារង្វង់ ។ រកផ្ចិត និងកាំ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមទំនាក់ទំនង $z\\bar{z}=x^{2}+y^{2}$ និង $z+\\bar{z}=2x$ សមីការក្លាយជា $x^{2}+y^{2}-4x+3=0$ ។\nបំពេញជាការេ ៖ $(x-2)^{2}+y^{2}=1$ ។\nដូចនេះ វាជារង្វង... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំណុច $M$ នៅលើអ័ក្សពិតដែលនៅស្មើចម្ងាយពី $A(1+2i)$ និង $B(3+i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំណុច $M$ មានរាង $M(x)$ ។ លក្ខខណ្ឌ $MA=MB$ ឱ្យ $(x-1)^{2}+4=(x-3)^{2}+1$ ។\nពន្លាតហើយសម្រួល ៖ $-2x+5=-6x+10$ នាំឱ្យ $x=\\frac{5}{4}$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{M\\left(\\frac{5}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "នៅលើអ័ក្សនិមិត្ត រកចំណុច $N$ ដែល $NA=NB$ ដោយដឹងថា $A(2)$ និង $B(1+3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យក $N(iy)$ ។ គេបាន $4+y^{2}=1+(y-3)^{2}$ ឬ $4=10-6y$ ។ នាំឱ្យ $y=1$ ។\nផ្ទៀងផ្ទាត់ ៖ $NA=|2-i|=\\sqrt{5}$ និង $NB=|1+2i|=\\sqrt{5}$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{N(i)}$ ។\n\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $A(1+i)$ និង $B(4+7i)$ ។ រកចំណុច $M$ លើ $[AB]$ ដែល $\\overrightarrow{AM}=2\\overrightarrow{MB}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ទំនាក់ទំនងវ៉ិចទ័រសរសេរជា $z_M-z_A=2(z_B-z_M)$ ។ ប្រមូលតួ ៖ $3z_M=z_A+2z_B$ ។\nគេបាន $z_M=\\frac{(1+i)+(8+14i)}{3}=\\frac{9+15i}{3}=3... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកមុំ $(\\overrightarrow{OB},\\overrightarrow{OC})$ ដោយដឹងថា $B(1+i)$ និង $C(2)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងគណនា $\\frac{z_C}{z_B}=\\frac{2}{1+i}=\\frac{2(1-i)}{2}=1-i$ ។ ចំនួននេះស្មើ $\\sqrt{2}\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "បង្វិលវ៉ិចទ័រ $\\vec{u}$ ដែលមានចំនួនកុំផ្លិច $3+i$ មុំ $\\frac{\\pi}{2}$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិចនៃវ៉ិចទ័រថ្មី ហើយបញ្ជាក់ប្រវែង ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ការបង្វិលមុំ $\\frac{\\pi}{2}$ គឺការគុណនឹង $i$ ៖ $i(3+i)=-1+3i$ ។ ម៉ូឌុលមិនប្រែប្រួល $|-1+3i|=\\sqrt{10}=|3+i|$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $A(1)$ និង $B(3+i)$ ។ សង់ការេ $ABCD$ ដោយ $(\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AD})=\\frac{\\pi}{2}$ ។ រក $z_C$ និង $z_D$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "វ៉ិចទ័រ $\\overrightarrow{AB}$ មានចំនួន $2+i$ ។ វ៉ិចទ័រ $\\overrightarrow{AD}$ បានពីការបង្វិលមុំ $\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឆកោណនិយ័ត $ABCDEF$ មានផ្ចិត $O$ និង $A(2)$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិចនៃ $B$ និង $C$ រួចគណនាផ្ទៃក្រឡានៃឆកោណ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "កំពូលបន្តបន្ទាប់បានពីការបង្វិលជុំវិញ $O$ មុំ $\\frac{\\pi}{3}$ ។ គេបាន $z_B=2\\left(\\cos\\frac{\\pi}{3}+i\\sin\\frac{\\pi}{3}\\right)=1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ពិពណ៌នាសំណុំចំណុច $M(z)$ ដែល $|z-1|<|z+1|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $A(1)$ និង $B(-1)$ ។ លក្ខខណ្ឌមានន័យថា $M$ នៅជិត $A$ ជាង $B$ ។ យក $z=x+iy$ ៖\n$$(x-1)^{2}+y^{2}<(x+1)^{2}+y^{2}\\ \\Leftrightarrow\\ -2x<2x\\ \\Leftrightarrow\\ x>0$$\nដូចនេះ សំណុំគឺកន្លះប... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំណុច $M(z)$ ផ្ទៀងផ្ទាត់ $1\\le$ ផ្នែកពិតនៃ $z\\le 3$ និង $-1\\le$ ផ្នែកនិមិត្តនៃ $z\\le 2$ ។ គូសសំណុំនេះ រួចរកផ្ទៃក្រឡា ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សំណុំនេះគឺចតុកោណកែងដែលមានកំពូល $1-i$, $3-i$, $3+2i$, $1+2i$ ។\nប្រវែងជ្រុងគឺ $|3-1|=2$ និង $|2-(-1)|=3$ ។\nដូចនេះ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកផ្ទៃក្រឡានៃសំណុំចំណុច $M(z)$ ដែល $1\\le|z-i|\\le 3$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $\\Omega(i)$ ។ លក្ខខណ្ឌឱ្យ $1\\le\\Omega M\\le 3$ ។ នេះជាផ្ទៃរវាងរង្វង់ផ្ចិតរួមពីរ កាំ $1$ និង $3$ ។\nផ្ទៃក្រឡាគឺផលដកនៃផ្ទៃរង្វង់ទាំងពីរ ៖ $S=\\pi\\times 3^{2}-\\pi\\times 1^{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ដែល $|z|=5$ និង $|z-6|=5$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំណុច $M(z)$ នៅស្មើចម្ងាយពី $O$ និង $A(6)$ ដូច្នេះ $x=3$ ។ ជំនួសក្នុង $x^{2}+y^{2}=25$ គេបាន $y^{2}=16$ ឬ $y=\\pm 4$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{z=3+4i}$ ឬ $\\boxed{z=3-4i}$ ។\n\n```latex\n\\begin{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកចំណុចប្រសព្វនៃរង្វង់ $|z|=5$ ជាមួយបន្ទាត់ដែលផលបូកផ្នែកពិត និងផ្នែកនិមិត្តស្មើ $7$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យក $z=x+iy$ ជាមួយ $y=7-x$ ។ ជំនួសក្នុង $x^{2}+y^{2}=25$ ៖ $2x^{2}-14x+24=0$ ឬ $(x-3)(x-4)=0$ ។\nដូចនេះ ចំណុចប្រសព្វគឺរូបភាពនៃ $\\boxed{3+4i}$ និង $\\b... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសំណុំចំណុច $M(z)$ ដែលផ្នែកពិតនៃ $z^{2}$ ស្មើសូន្យ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យក $z=x+iy$ ។ គេបាន $z^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi$ ។ លក្ខខណ្ឌឱ្យ $x^{2}-y^{2}=0$ ឬ $(x-y)(x+y)=0$ ។\nដូចនេះ សំណុំគឺបន្ទាត់ពីរ $\\boxed{y=x}$ និង $\\boxed{y=-x}$ ។\n\n```latex\n\\begin{tikz... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "កំណត់សំណុំចំណុច $M(z)$ ដែល $|z+\\bar{z}|=4$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ដោយ $z+\\bar{z}=2x$ លក្ខខណ្ឌក្លាយជា $|2x|=4$ ឬ $|x|=2$ ។\nដូចនេះ សំណុំគឺបន្ទាត់ឈរពីរ $\\boxed{x=2}$ និង $\\boxed{x=-2}$ ។\n\n```latex\n\\begin{tikzpicture}[scale=0.6,>=stealth]\n\\draw[very ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើសំណុំចំណុច $M(z)$ ដែល $|z|^{2}=z+\\bar{z}$ ជាខ្សែអ្វី ?"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យក $z=x+iy$ ។ សមីការក្លាយជា $x^{2}+y^{2}=2x$ ឬ $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ ។\nដូចនេះ វាជារង្វង់ផ្ចិត $\\boxed{1}$ កាំ $\\boxed{1}$ ដែលកាត់តាមគល់ $O$ ។\n\n```latex\n\\begin{tikzpicture}[s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកសំណុំចំណុច $M(z)$ ជាមួយ $z\\neq 0$ ដើម្បីឱ្យ $z+\\frac{1}{z}$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យក $z=x+iy$ ។ យើងមាន $\\frac{1}{z}=\\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}$ ។ ផ្នែកនិមិត្តនៃ $z+\\frac{1}{z}$ គឺ\n$$y-\\frac{y}{x^{2}+y^{2}}=y\\cdot\\frac{x^{2}+y^{2}-1}{x^{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ចំពោះ $z=1+i$ តាង $M$ និង $N$ ជារូបភាពនៃ $z$ និង $z^{2}$ ។ កំណត់ប្រភេទនៃត្រីកោណ $OMN$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងមាន $z^{2}=2i$ ។ ប្រវែង ៖ $OM=\\sqrt{2}$, $MN=|2i-1-i|=|-1+i|=\\sqrt{2}$ និង $ON=2$ ។\nដោយ $ON^{2}=4=OM^{2}+MN^{2}$ ។\nដូចនេះ $OMN$ ជាត្រីកោណ $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យបំលែង $z'=-\\bar{z}+2$ ។ រកសំណុំចំណុចនឹង ហើយបង្ហាញថាបំលែងនេះជាការឆ្លុះធៀបនឹងបន្ទាត់មួយ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យក $z=x+iy$ ។ គេបាន $z'=-x+iy+2=(2-x)+iy$ ។ ដូច្នេះ $y'=y$ និង $x'=2-x$ ។\nចំណុចនឹងផ្ទៀងផ្ទាត់ $x=2-x$ ឬ $x=1$ ។ ចំពោះគ្រប់ $M$ ចំណុចកណ្តាលនៃ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តើបំលែង $z'=-z+2+2i$ ជាបំលែងអ្វី ? រករូបភាពនៃ $A(3)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ចំណុចនឹងផ្ទៀងផ្ទាត់ $2z=2+2i$ ឬ $z=1+i$ ។ យើងបាន $z'-(1+i)=-\\left[z-(1+i)\\right]$ ។ ដោយ $-1=\\cos\\pi+i\\sin\\pi$ វាជាការបង្វិលជុំវិញ $\\Omega(1+i)$ មុំ $\\pi$ ។\nជំនួស ៖ $z_{A'}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកការរំកិលដែលបញ្ជូន $A(1-i)$ ទៅ $A'(4+i)$ រួចរករូបភាពនៃ $C(-2+3i)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "វ៉ិចទ័រនៃការរំកិលមានចំនួន $z_{A'}-z_A=3+2i$ ។ រូបមន្តគឺ $z'=z+3+2i$ ។\nជំនួស $z=-2+3i$ ឱ្យ $z'=1+5i$ ។\nដូចនេះ $\\boxed{\\vec{u}(3+2i)}$ និង $\\boxed{z_{C'}=1+5i}$ ។\n... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.