conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-4+4i\\sqrt{3}$ (ដែល $\\overline{z}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z$) ។ គណនា $S=z^{4}-\\left(\\overline{z}\\right)^{4}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-4\\right)^{2}+\\left(4\\sq... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=3-3i$ (ដែល $\\overline{z}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z$) ។ គណនា $S=z^{6}-\\left(\\overline{z}\\right)^{6}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-2\\sqrt{3}+2i$ (ដែល $\\overline{z}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z$) ។ គណនា $S=z^{5}-\\left(\\overline{z}\\right)^{5}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-1-i$ (ដែល $\\overline{z}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z$) ។ គណនា $S=z^{5}+\\left(\\overline{z}\\right)^{5}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=1-i\\sqrt{3}$ (ដែល $\\overline{z}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z$) ។ គណនា $S=z^{9}+\\left(\\overline{z}\\right)^{9}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{1^{2}+\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ (ដែល $\\overline{z}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z$) ។ គណនា $S=z^{8}-\\left(\\overline{z}\\right)^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{2+2}=\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=3-3i$ (ដែល $\\overline{z}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z$) ។ គណនា $S=z^{4}-\\left(\\overline{z}\\right)^{4}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-1-i$ (ដែល $\\overline{z}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z$) ។ គណនា $S=z^{3}-\\left(\\overline{z}\\right)^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=2+2i$ (ដែល $\\overline{z}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z$) ។ គណនា $S=z^{10}+\\left(\\overline{z}\\right)^{10}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=2-2i$ (ដែល $\\overline{z}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z$) ។ គណនា $S=z^{7}+\\left(\\overline{z}\\right)^{7}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\c... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-3+3i\\sqrt{3}$ (ដែល $\\overline{z}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z$) ។ គណនា $S=z^{7}-\\left(\\overline{z}\\right)^{7}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-3\\right)^{2}+\\left(3\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{9+27}=\\sqrt{36}=6$$\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-2+2i$ (ដែល $\\overline{z}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z$) ។ គណនា $S=z^{7}-\\left(\\overline{z}\\right)^{7}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=4-4i\\sqrt{3}$ (ដែល $\\overline{z}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z$) ។ គណនា $S=z^{3}+\\left(\\overline{z}\\right)^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{4^{2}+\\left(-4\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{16+48}=\\sqrt{64}=8$$\nតាង $\\alpha$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-2-2i$ (ដែល $\\overline{z}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z$) ។ គណនា $S=z^{3}-\\left(\\overline{z}\\right)^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nតាង $\\al... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=3-3i$ (ដែល $\\overline{z}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z$) ។ គណនា $S=z^{8}+\\left(\\overline{z}\\right)^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ (ដែល $\\overline{z}$ ជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ $z$) ។ គណនា $S=z^{8}-\\left(\\overline{z}\\right)^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{2+2}=\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{\\sqrt{3}}{2}-\\frac{1}{2}i$ ។ បង្ហាញថា $|z|=1$ រួចរកតម្លៃនៃ $z^{2024}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{3}{4}+\\frac{1}{4}}=\\sqrt{1}=1$$\nតាង $\\a... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។ គណនា $z^{121}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{4}+\\frac{3}{4}}=\\sqrt{1}=1$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{\\sqrt{2}}{2}+i\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $|z|=1$ រួចរកតម្លៃនៃ $z^{1000}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{1}{2}-i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។ គណនា $z^{301}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{4}+\\frac{3}{4}}=\\sqrt{1}=1$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $|z|=1$ រួចរកតម្លៃនៃ $z^{121}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-\\frac{\\sqrt{2}}{2}+i\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $|z|=1$ រួចរកតម្លៃនៃ $z^{121}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}}=\\sqrt{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}+\\frac{1}{2}i$ ។ គណនា $z^{100}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{3}{4}+\\frac{1}{4}}=\\sqrt{1}=1$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}+\\frac{1}{2}i$ ។ គណនា $z^{200}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{3}{4}+\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}+\\frac{1}{2}i$ ។ គណនា $z^{2022}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{3}{4}+\\frac{1}{4}}=\\sqrt{1}=1$$\nអាគុយម៉ង់ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}-\\frac{1}{2}i$ ។ បង្ហាញថា $|z|=1$ រួចរកតម្លៃនៃ $z^{2026}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-\\frac{1}{2}-i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $|z|=1$ រួចរកតម្លៃនៃ $z^{2022}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{4}+\\frac{3}{4}}=\\sqrt{1}=1$$\nតាង $\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-\\frac{\\sqrt{2}}{2}+i\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $|z|=1$ រួចរកតម្លៃនៃ $z^{2024}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}}=\\sqrt... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{\\sqrt{3}}{2}-\\frac{1}{2}i$ ។ គណនា $z^{1000}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{3}{4}+\\frac{1}{4}}=\\sqrt{1}=1$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{\\sqrt{3}}{2}+\\frac{1}{2}i$ ។ គណនា $z^{77}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{3}{4}+\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $|z|=1$ រួចរកតម្លៃនៃ $z^{365}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{4}+\\frac{3}{4}}=\\sqrt{1}=1$$\nតាង $\\a... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}+\\frac{1}{2}i$ ។ គណនា $z^{2026}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{3}{4}+\\frac{1}{4}}=\\sqrt{1}=1$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{\\sqrt{3}}{2}+\\frac{1}{2}i$ ។ គណនា $z^{301}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{3}{4}+\\frac{1}{4}}=\\sqrt{1}=1$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $|z|=1$ រួចរកតម្លៃនៃ $z^{121}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}}=\\sqrt{1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ។ គណនា $z^{150}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}}=\\sqrt{1}=1... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\frac{1}{2}-i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។ គណនា $z^{99}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{4}+\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{\\sqrt{2}}{2}+i\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $|z|=1$ រួចរកតម្លៃនៃ $z^{100}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{\\sqrt{2}}{2}+i\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ។ គណនា $z^{121}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}}=\\sqrt{1}=1$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ។ គណនា $z^{100}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}}=\\sqrt{1}=1$$\nតាង $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-\\frac{1}{2}-i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $|z|=1$ រួចរកតម្លៃនៃ $z^{301}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{4}+\\frac{3}{4}}=\\sqrt{1}=1$$\nតាង $\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\frac{1}{2}-i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $|z|=1$ រួចរកតម្លៃនៃ $z^{2024}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-1+i$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\sqrt{3}+i$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=2\\left(\\frac{\\sqrt{3}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-2-2i\\sqrt{3}$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sq... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-3\\sqrt{3}+3i$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-3\\sqrt{3}\\right)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{27+9}=\\sqrt{36}=6$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេប... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-1-i$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{a... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-4\\sqrt{3}+4i$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-4\\sqrt{3}\\right)^{2}+4^{2}}=\\sqrt{48+16}=\\sqrt{64}=8$$\nហើយ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-3+3i$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-3\\right)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=3\\sqrt{2}\\left(-\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួននិមិត្ត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{2+2}=\\sqrt{4}=2$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=1+i\\sqrt{3}$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{1^{2}+\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=2\\left(\\frac{1}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=3+3i\\sqrt{3}$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+\\left(3\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{9+27}=\\sqrt{36}=6$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=6\\left(\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-1+i$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{-1}{\\sqrt{2}}=-\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=2-2i$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិតអវិជ្ជមាន រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{2}{2\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-\\sqrt{2}-i\\sqrt{2}$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{2+2}=\\sqrt{4}=2$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-2+2i\\sqrt{3}$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=3\\sqrt{3}-3i$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(3\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{27+9}=\\sqrt{36}=6$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-3+3i\\sqrt{3}$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-3\\right)^{2}+\\left(3\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{9+27}=\\sqrt{36}=6$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-1-i\\sqrt{3}$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=1-i\\sqrt{3}$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{1^{2}+\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\nហើយ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=2-2i\\sqrt{3}$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-1+i\\sqrt{3}$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{1+3}=\\sqrt{4}=2$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=1+i$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួននិមិត្ត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\cos\\fr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-4-4i\\sqrt{3}$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-4\\right)^{2}+\\left(-4\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{16+4... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=2\\sqrt{3}-2i$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-2\\right)^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=2+2i\\sqrt{3}$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nហើយ\n$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-2+2i$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=2\\sqrt{2}\\left(-\\frac{\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-\\sqrt{3}-i$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=1-i$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិតអវិជ្ជមាន រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{1^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{1}{\\sqrt{2}}=\\f... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=3-3i\\sqrt{3}$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិតអវិជ្ជមាន រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+\\left(-3\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{9+27}=\\sqrt{36}=6$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=6\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-3\\sqrt{3}-3i$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-3\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{27+9}=\\sqrt{36}=6$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-4\\sqrt{3}-4i$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-4\\sqrt{3}\\right)^{2}+\\left(-4\\right)^{2}}=\\sqrt{48+16}=\\sqr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=2\\sqrt{3}+2i$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=4\\left(\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=3\\sqrt{3}+3i$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(3\\sqrt{3}\\right)^{2}+3^{2}}=\\sqrt{27+9}=\\sqrt{36}=6$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=6\\left(\\frac{\\sq... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=2-2i\\sqrt{3}$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nហើយ\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=1+i$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{1}{\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=-3-3i$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-3\\right)^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=1-i$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{1^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{1+1}=\\sqrt{2}$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$z=\\sqrt{2}\\left(\\frac{\\sqrt{2}}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=2\\sqrt{3}+2i$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{2\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-2\\sqrt{3}+2i$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=3-3i$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួននិមិត្ត រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{3^{2}+\\left(-3\\right)^{2}}=\\sqrt{9+9}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$$\nហើយ\n... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=-2\\sqrt{3}+2i$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិត ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{12+4}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$\\begin{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-3-3i\\sqrt{3}$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិត រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{\\left(-3\\right)^{2}+\\left(-3\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{9+27}=\\sqrt{36}=6$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=-2+2i$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $z=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|z|=r=\\sqrt{\\left(-2\\right)^{2}+2^{2}}=\\sqrt{4+4}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$$\nហ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=4+4i\\sqrt{3}$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{4^{2}+\\left(4\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{16+48}=\\sqrt{64}=8$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\sqrt{3}+i$ ។ កំណត់ចំនួនគត់ធម្មជាតិ $n>0$ តូចបំផុត ដែល $z^{n}$ ជាចំនួននិមិត្ត រួចគណនា $z^{n}$ នោះ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|z|=r=\\sqrt{\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+1^{2}}=\\sqrt{3+1}=\\sqrt{4}=2$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{\\sqr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេមានចំនួនកុំផ្លិច $z=4-4i\\sqrt{3}$ ។ រកចំនួនគត់វិជ្ជមាន $n$ តូចបំផុត ដើម្បីឱ្យ $z^{n}$ ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|z|=r=\\sqrt{4^{2}+\\left(-4\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{16+48}=\\sqrt{64}=8$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។ គេបាន\n$$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\left(2-i\\right)\\left(m+i\\right)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រក $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖ $$z=2m+2i-1mi-i^{2}=\\left(2m+1\\right)+i\\left(2-m\\right)$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះត្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\left(-1+2i\\right)\\left(m+i\\right)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រក $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖ $$z=\\left(-1\\right)m-i+2mi+2i^{2}=\\left(-m-2\\right)+i\\left(-1+2m\\right)$$\n$z$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\left(3+2i\\right)\\left(m+i\\right)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រក $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖ $$z=3m+3i+2mi+2i^{2}=\\left(3m-2\\right)+i\\left(3+2m\\right)$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=m+i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រក $m$ ដើម្បីឱ្យ $\\frac{5\\pi}{6}$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចគណនា $|z|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បើ $z$ មានអាគុយម៉ង់ $\\frac{5\\pi}{6}$ នោះ $z=r\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{6}+i\\sin\\frac{5\\pi}{6}\\right)$ ដែល $r>0$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=m+i\\sqrt{3}$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រក $m$ ដើម្បីឱ្យ $\\frac{2\\pi}{3}$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចគណនា $|z|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បើ $z$ មានអាគុយម៉ង់ $\\frac{2\\pi}{3}$ នោះ $z=r\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ដ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=m+3i\\sqrt{3}$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រក $m$ ដើម្បីឱ្យ $\\frac{\\pi}{3}$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចគណនា $|z|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បើ $z$ មានអាគុយម៉ង់ $\\frac{\\pi}{3}$ នោះ $z=r\\left(\\cos\\frac{\\pi}{3}+i\\sin\\frac{\\pi}{3}\\right)$ ដែល ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\left(3-2i\\right)\\left(m+i\\right)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រក $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖ $$z=3m+3i-2mi-2i^{2}=\\left(3m+2\\right)+i\\left(3-2m\\right)$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\left(2+3i\\right)\\left(m+i\\right)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រក $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖ $$z=2m+2i+3mi+3i^{2}=\\left(2m-3\\right)+i\\left(2+3m\\right)$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=m+2i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រក $m$ ដើម្បីឱ្យ $\\frac{5\\pi}{6}$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចគណនា $|z|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បើ $z$ មានអាគុយម៉ង់ $\\frac{5\\pi}{6}$ នោះ $z=r\\left(\\cos\\frac{5\\pi}{6}+i\\sin\\frac{5\\pi}{6}\\right)$ ដែល $r>0$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=m+2i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រក $m$ ដើម្បីឱ្យ $\\frac{\\pi}{6}$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចគណនា $|z|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បើ $z$ មានអាគុយម៉ង់ $\\frac{\\pi}{6}$ នោះ $z=r\\left(\\cos\\frac{\\pi}{6}+i\\sin\\frac{\\pi}{6}\\right)$ ដែល $r>0$ ។ គ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=m+3i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រក $m$ ដើម្បីឱ្យ $\\frac{\\pi}{4}$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចគណនា $|z|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បើ $z$ មានអាគុយម៉ង់ $\\frac{\\pi}{4}$ នោះ $z=r\\left(\\cos\\frac{\\pi}{4}+i\\sin\\frac{\\pi}{4}\\right)$ ដែល $r>0$ ។ គ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=m+i\\sqrt{3}$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រក $m$ ដើម្បីឱ្យ $\\frac{\\pi}{3}$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចគណនា $|z|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បើ $z$ មានអាគុយម៉ង់ $\\frac{\\pi}{3}$ នោះ $z=r\\left(\\cos\\frac{\\pi}{3}+i\\sin\\frac{\\pi}{3}\\right)$ ដែល $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $z=m+i$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រក $m$ ដើម្បីឱ្យ $\\frac{\\pi}{6}$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $z$ រួចគណនា $|z|$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "បើ $z$ មានអាគុយម៉ង់ $\\frac{\\pi}{6}$ នោះ $z=r\\left(\\cos\\frac{\\pi}{6}+i\\sin\\frac{\\pi}{6}\\right)$ ដែល $r>0$ ។ គេ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $z=\\left(1+i\\right)\\left(m+i\\right)$ ដែល $m$ ជាចំនួនពិត ។ រក $m$ ដើម្បីឱ្យ $z$ ជាចំនួននិមិត្ត រួចកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ $z$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ពន្លាត ៖ $$z=m+i+1mi+i^{2}=\\left(m-1\\right)+i\\left(1+m\\right)$$\n$z$ ជាចំនួននិមិត្ត លុះត្រាត... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.