conversations listlengths 2 2 | source stringclasses 8
values |
|---|---|
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+4z^{2}+6z-36$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=-3+3i$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{4}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0}$ ៖ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-7z^{2}+20z-24$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=2-2i$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0}$ ៖ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-4z^{2}+6z-4$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=1+i$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0}$ ៖ $z_{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-z^{2}+4z+48$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=2+2i\\sqrt{3}$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+z^{2}-4z+6$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=1-i$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0}$ ៖ $z_{0... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-2z+4$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=1+i$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0}$ ៖ $z_{0}^{2}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+z^{2}-4z+6$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=1+i$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{6}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0}$ ៖ $z_{0... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-2z^{2}+16$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=2-2i$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0}$ ៖ $z_{0... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+4z^{2}+6z-36$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=-3+3i$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0}$ ៖ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+9z^{2}+36z+54$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=-3+3i$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0}$ ៖ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-5z^{2}+8z-6$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=1-i$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0}$ ៖ $z_{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+2z^{2}+8z-32$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=-2-2i\\sqrt{3}$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-2z-4$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=-1+i$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{8}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0}$ ៖ $z_{0}^{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-3z^{2}+6z-4$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=1-i\\sqrt{3}$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-4z^{2}+6z-4$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=1-i$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{6}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0}$ ៖ $z_{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+z^{2}+2z-4$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=-1+i\\sqrt{3}$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+4z^{2}+6z-36$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=-3-3i$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{4}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0}$ ៖ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}+6z^{2}+16z+16$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=-2+2i$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0}$ ៖ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-8$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=-1-i\\sqrt{3}$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0}$ ៖ $z_{... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-5z^{2}+12z+18$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=3+3i$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0}$ ៖ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យពហុធា $P(z)=z^{3}-2z+4$ ។\nក. បង្ហាញថា $z_{0}=1-i$ ជាឫសរបស់សមីការ $P(z)=0$ ។\nខ. ដោះស្រាយសមីការ $P(z)=0$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។\nគ. សរសេរ $z_{0}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ រួចគណនា $z_{0}^{4}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ក. គណនាស្វ័យគុណនៃ $z_{0}$ ៖ $z_{0}^{2}=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}=-81$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=-81$ ។\n$$|w|=r=\\sqrt{\\left(-81\\right)^{2}+0^{2}}=\\sqrt{6561+0}=81$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{-81}{81}=-1=\\cos\\pi\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $3$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=\\cos\\frac{\\pi}{4}+i\\sin\\frac{\\pi}{4}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=\\cos\\frac{\\pi}{4}+i\\sin\\frac{\\pi}{4}$ ។\nតាង $z=\\rho(\\cos\\beta+i\\sin\\beta)$ ដែល $\\rho>0$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=-64$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ទាំងអស់ដែល $z^{6}=w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|w|=r=\\sqrt{\\left(-64\\right)^{2}+0^{2}}=\\sqrt{4096+0}=64$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{-64}{64}=-1=\\cos\\pi\\\\\\sin\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}=\\frac{9\\sqrt{3}}{2}-\\frac{9}{2}i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=\\frac{9\\sqrt{3}}{2}-\\frac{9}{2}i$ ។\nម៉ូឌុល ៖ $$|w|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{9\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{9}{2}\\right)^{2}}=\\sqr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $3$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=\\frac{27\\sqrt{2}}{2}+i\\frac{27\\sqrt{2}}{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|w|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{27\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{27\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{729}{2}+\\frac{729}{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{3}=4\\sqrt{2}-4i\\sqrt{2}$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=4\\sqrt{2}-4i\\sqrt{2}$ ។\n$$|w|=r=\\sqrt{\\left(4\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(-4\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{32+32}=\\sqrt{64}=8$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ទាំងអស់ដែល $z^{3}=w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|w|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=\\cos\\pi+i\\sin\\pi$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ទាំងអស់ដែល $z^{4}=w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=\\cos\\pi+i\\sin\\pi$ ។\nតាង $z=\\rho(\\cos\\beta+i\\sin\\beta)$ ដែល $\\rho>0$ ។ តាមរូបមន្តដឺម័រ $z^{4}=\\rho^{4}(\\cos 4\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=-27$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ទាំងអស់ដែល $z^{3}=w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|w|=r=\\sqrt{\\left(-27\\right)^{2}+0^{2}}=\\sqrt{729+0}=27$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{-27}{27}=-1=\\cos\\pi\\\\\\sin\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $6$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=8\\left(\\cos\\pi+i\\sin\\pi\\right)$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=8\\left(\\cos\\pi+i\\sin\\pi\\right)$ ។\nតាង $z=\\rho(\\cos\\beta+i\\sin\\beta)$ ដែល $\\rho>0$ ។ តាមរូបមន្តដ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $3$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=-1$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|w|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+0^{2}}=\\sqrt{1+0}=1$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=-1=\\cos\\pi$$\n$$\\sin\\alpha=0=\\sin\\pi$$\nនាំឱ្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=-i$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ទាំងអស់ដែល $z^{6}=w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|w|=r=\\sqrt{0^{2}+\\left(-1\\right)^{2}}=\\sqrt{0+1}=1$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=0=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)$$\n$$\\sin\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=2+2i\\sqrt{3}$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ទាំងអស់ដែល $z^{4}=w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|w|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{2}{4}=\\frac... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ទាំងអស់ដែល $z^{3}=w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\r... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}=\\cos\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=\\cos\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ។\nយើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{3}=8\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)\\right)$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=8\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)\\right... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=4\\left(\\cos\\frac{\\pi}{2}+i\\sin\\frac{\\pi}{2}\\right)$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ទាំងអស់ដែល $z^{2}=w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=4\\left(\\cos\\frac{\\pi}{2}+i\\sin\\frac{\\pi}{2}\\right)$ ។\nតាង $z=\\rho(\\cos\\be... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $w=-16$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|w|=r=\\sqrt{\\left(-16\\right)^{2}+0^{2}}=\\sqrt{256+0}=16$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=\\frac{-16}{16}=-1=\\cos\\pi\\\\\\sin\\alph... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}=4\\sqrt{3}+4i$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=4\\sqrt{3}+4i$ ។\n$$|w|=r=\\sqrt{\\left(4\\sqrt{3}\\right)^{2}+4^{2}}=\\sqrt{48+16}=\\sqrt{64}=8$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ទាំងអស់ដែល $z^{4}=w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}$ ។\nតាង $z=\\rho(\\cos\\beta+i\\sin\\beta)$ ដែល $\\rho... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $6$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=-64i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|w|=r=\\sqrt{0^{2}+\\left(-64\\right)^{2}}=\\sqrt{0+4096}=64$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=0=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{3}=-\\frac{\\sqrt{2}}{2}+i\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=-\\frac{\\sqrt{2}}{2}+i\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ។\n$$|w|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\rig... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $3$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=8$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|w|=r=\\sqrt{8^{2}+0^{2}}=\\sqrt{64+0}=8$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{8}{8}=1=\\cos 0,\\quad \\sin\\alpha=0=\\sin 0$$\nដូច្នេះ $\\alpha=0+2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $4$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=4\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=4\\left(\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}\\right)$ ។\nតាង $z=\\rho(\\cos\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{3}=8\\left(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\right)$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=8\\left(\\cos\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{3\\pi}{4}\\right)\\r... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $4$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=16\\left(\\cos\\pi+i\\sin\\pi\\right)$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=16\\left(\\cos\\pi+i\\sin\\pi\\right)$ ។\nតាង $z=\\rho(\\cos\\beta+i\\sin\\beta)$ ដែល $\\rho>0$ ។ តាមរូបមន្... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $w=\\frac{\\sqrt{3}}{2}+\\frac{1}{2}i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|w|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{3}{4}+\\frac{1}{4}}=\\sqrt{1}=1$$\nអាគុ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $w=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $3$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=8\\left(\\cos\\frac{\\pi}{2}+i\\sin\\frac{\\pi}{2}\\right)$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=8\\left(\\cos\\frac{\\pi}{2}+i\\sin\\frac{\\pi}{2}\\right)$ ។\nតាង $z=\\rho(\\cos\\bet... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $4$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\ri... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}=2-2i\\sqrt{3}$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=2-2i\\sqrt{3}$ ។\n$$|w|=r=\\sqrt{2^{2}+\\left(-2\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{4+12}=\\sqrt{16}=4$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $3$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=1$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|w|=r=\\sqrt{1^{2}+0^{2}}=\\sqrt{1+0}=1$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=1=\\cos 0\\\\\\sin\\alpha&=0=\\sin 0\\end{aligned}$$\n$\\Right... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=-8i$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ទាំងអស់ដែល $z^{6}=w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|w|=r=\\sqrt{0^{2}+\\left(-8\\right)^{2}}=\\sqrt{0+64}=8$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=0=\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right),\\quad \\sin\\alpha=\\frac{-8}{8}=-1=\\s... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}=\\frac{81}{2}-i\\frac{81\\sqrt{3}}{2}$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=\\frac{81}{2}-i\\frac{81\\sqrt{3}}{2}$ ។\n$$|w|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{81}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{81\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=-\\frac{\\sqrt{2}}{2}-i\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ទាំងអស់ដែល $z^{3}=w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|w|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}+\\left(-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}}=\\sqr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $3$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=27\\left(\\cos\\frac{\\pi}{2}+i\\sin\\frac{\\pi}{2}\\right)$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=27\\left(\\cos\\frac{\\pi}{2}+i\\sin\\frac{\\pi}{2}\\right)$ ។\nតាង $z=\\rho(\\cos\\b... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{3}=27\\left(\\cos\\frac{3\\pi}{4}+i\\sin\\frac{3\\pi}{4}\\right)$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=27\\left(\\cos\\frac{3\\pi}{4}+i\\sin\\frac{3\\pi}{4}\\right)$ ។\nយើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=27\\left(\\cos\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}=4\\left(\\cos\\pi+i\\sin\\pi\\right)$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=4\\left(\\cos\\pi+i\\sin\\pi\\right)$ ។\nយើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=4\\left(\\cos\\pi+i\\sin\\pi\\right)$ ។\nតាង $z=\\rho(\\cos\\beta... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{3}=27\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\right)$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=27\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\rig... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}=-1$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=-1$ ។\nតាង $w=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|w|=r=\\sqrt{\\left(-1\\right)^{2}+0^{2}}=\\sqrt{1+0}=1$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=-1=\\cos\\pi$$\n$$\\sin\\alpha=0=\\sin\\pi... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=8+8i\\sqrt{3}$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ទាំងអស់ដែល $z^{4}=w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|w|=r=\\sqrt{8^{2}+\\left(8\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{64+192}=\\sqrt{256}=16$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{8}{16}=\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=-8+8i\\sqrt{3}$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ទាំងអស់ដែល $z^{4}=w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|w|=r=\\sqrt{\\left(-8\\right)^{2}+\\left(8\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{64+192}=\\sqrt{256}=16$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{4}=-\\frac{81}{2}+i\\frac{81\\sqrt{3}}{2}$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=-\\frac{81}{2}+i\\frac{81\\sqrt{3}}{2}$ ។\nម៉ូឌុល ៖ $$|w|=r=\\sqrt{\\left(-\\frac{81}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{81\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $4$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|w|=r=\\sqrt{\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\frac{1}{4}+\\frac{3}{4}}=\\sqrt{1}=1$$\nតាង $\\alp... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $3$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=8\\left(\\cos\\pi+i\\sin\\pi\\right)$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=8\\left(\\cos\\pi+i\\sin\\pi\\right)$ ។\nតាង $z=\\rho(\\cos\\beta+i\\sin\\beta)$ ដែល $\\rho>0$ ។ តាមរូបមន្តដ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $4$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=16\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)+i\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)\\right)$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=16\\left(\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{3}\\right)+i\\sin\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសការេនៃចំនួនកុំផ្លិច $w=8+8i\\sqrt{3}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=r(\\cos\\alpha+i\\sin\\alpha)$ ។ យើងមាន $$|w|=r=\\sqrt{8^{2}+\\left(8\\sqrt{3}\\right)^{2}}=\\sqrt{64+192}=\\sqrt{256}=16$$\nហើយ\n$$\\cos\\alpha=\\frac{8}{16}=\\fra... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $3$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=4\\sqrt{2}+4i\\sqrt{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|w|=r=\\sqrt{\\left(4\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(4\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{32+32}=\\sqrt{64}=8$$\nដាក់ម៉ូឌុលជាកត្តារួម គេបាន ៖\n$$w=8\\left(\\frac{\\sq... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $6$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=\\cos\\frac{\\pi}{2}+i\\sin\\frac{\\pi}{2}$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=\\cos\\frac{\\pi}{2}+i\\sin\\frac{\\pi}{2}$ ។\nតាង $z=\\rho(\\cos\\beta+i\\sin\\beta)$ ដែល $\\rho>0$ ។... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $3$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=i$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "$$|w|=r=\\sqrt{0^{2}+1^{2}}=\\sqrt{0+1}=1$$\nតាង $\\alpha$ ជាអាគុយម៉ង់នៃ $w$ ។ គេបាន\n$$\\begin{aligned}\\cos\\alpha&=0=\\cos\\frac{\\pi}{2}\\\\\\sin\\alpha&=1=\\sin\\frac{\\pi}{2}... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{6}=8\\left(\\cos\\frac{\\pi}{2}+i\\sin\\frac{\\pi}{2}\\right)$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=8\\left(\\cos\\frac{\\pi}{2}+i\\sin\\frac{\\pi}{2}\\right)$ ។\nយើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=8\\left(\\cos\\frac{\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{2}=8\\left(\\cos\\frac{\\pi}{2}+i\\sin\\frac{\\pi}{2}\\right)$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=8\\left(\\cos\\frac{\\pi}{2}+i\\sin\\frac{\\pi}{2}\\right)$ ។\nយើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=8\\left(\\cos\\frac{\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យ $w=-4\\sqrt{2}+4i\\sqrt{2}$ ។ រកចំនួនកុំផ្លិច $z$ ទាំងអស់ដែល $z^{3}=w$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ម៉ូឌុល ៖ $$|w|=r=\\sqrt{\\left(-4\\sqrt{2}\\right)^{2}+\\left(4\\sqrt{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{32+32}=\\sqrt{64}=8$$\nអាគុយម៉ង់ ៖ $$\\cos\\alpha=\\frac{-4\\sqr... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{6}=64\\left(\\cos 0+i\\sin 0\\right)$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាង $w=64\\left(\\cos 0+i\\sin 0\\right)$ ។\nយើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=64\\left(\\cos 0+i\\sin 0\\right)$ ។\nតាង $z=\\rho(\\cos\\beta+i\\sin\\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $4$ នៃចំនួនកុំផ្លិច $w=4\\left(\\cos\\pi+i\\sin\\pi\\right)$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "យើងសរសេរ $w$ ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ $w=4\\left(\\cos\\pi+i\\sin\\pi\\right)$ ។\nតាង $z=\\rho(\\cos\\beta+i\\sin\\beta)$ ដែល $\\rho>0$ ។ តាមរូបមន្តដ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{3}=1$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សរសេរ $1=\\cos 0+i\\sin 0$ ។ តាង $z=\\rho(\\cos\\beta+i\\sin\\beta)$ ។ តាមរូបមន្តដឺម័រ ៖\n$$\\rho^{3}=1\\quad\\text{និង}\\quad 3\\beta=2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}$$\nដូច្នេះ $\\rho=1$ និ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{6}+i\\sin\\frac{2\\pi}{6}$ ។ គណនា $\\omega^{24}\\times\\omega^{32}$ និង $\\omega^{24}+\\omega^{32}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $\\omega^{6}=\\cos 2\\pi+i\\sin 2\\pi=1$ ។ ដូច្នេះស្វ័យគុណនៃ $\\omega$ វិលជុំរៀងរាល់ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{12}+i\\sin\\frac{2\\pi}{12}$ ។ បង្ហាញថា $1+\\omega+\\omega^{2}+\\cdots+\\omega^{11}=0$ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $S=\\cos\\frac{2\\pi}{12}+\\cos\\frac{4\\pi}{12}+\\cdots+\\cos\\frac{22\\pi}{12}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $12$ នៃចំនួន $1$ ទាំងអស់ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សរសេរ $1=\\cos 0+i\\sin 0$ ។ តាង $z=\\rho(\\cos\\beta+i\\sin\\beta)$ ។ តាមរូបមន្តដឺម័រ ៖\n$$\\rho^{12}=1\\quad\\text{និង}\\quad 12\\beta=2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}$$\nដូច្នេះ $\\rho=... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{6}=1$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សរសេរ $1=\\cos 0+i\\sin 0$ ។ តាង $z=\\rho(\\cos\\beta+i\\sin\\beta)$ ។ តាមរូបមន្តដឺម័រ ៖\n$$\\rho^{6}=1\\quad\\text{និង}\\quad 6\\beta=2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}$$\nដូច្នេះ $\\rho=1$ និ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{10}+i\\sin\\frac{2\\pi}{10}$ ។ បង្ហាញថា $1+\\omega+\\omega^{2}+\\cdots+\\omega^{9}=0$ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $S=\\cos\\frac{2\\pi}{10}+\\cos\\frac{4\\pi}{10}+\\cdots+\\cos\\frac{18\\pi}{10}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $\... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{5}+i\\sin\\frac{2\\pi}{5}$ ។ បង្ហាញថា $1+\\omega+\\omega^{2}+\\cdots+\\omega^{4}=0$ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $S=\\cos\\frac{2\\pi}{5}+\\cos\\frac{4\\pi}{5}+\\cdots+\\cos\\frac{8\\pi}{5}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $\\omega... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "រកឫសទី $4$ នៃចំនួន $1$ ទាំងអស់ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សរសេរ $1=\\cos 0+i\\sin 0$ ។ តាង $z=\\rho(\\cos\\beta+i\\sin\\beta)$ ។ តាមរូបមន្តដឺម័រ ៖\n$$\\rho^{4}=1\\quad\\text{និង}\\quad 4\\beta=2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}$$\nដូច្នេះ $\\rho=1$ ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{6}+i\\sin\\frac{2\\pi}{6}$ ។ គណនា $\\omega^{20}\\times\\omega^{7}$ និង $\\omega^{20}+\\omega^{7}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $\\omega^{6}=\\cos 2\\pi+i\\sin 2\\pi=1$ ។ ដូច្នេះស្វ័យគុណនៃ $\\omega$ វិលជុំរៀងរាល់ $6$... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{5}=1$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សរសេរ $1=\\cos 0+i\\sin 0$ ។ តាង $z=\\rho(\\cos\\beta+i\\sin\\beta)$ ។ តាមរូបមន្តដឺម័រ ៖\n$$\\rho^{5}=1\\quad\\text{និង}\\quad 5\\beta=2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}$$\nដូច្នេះ $\\rho=1$ និ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{6}+i\\sin\\frac{2\\pi}{6}$ ។ គណនា $\\omega^{36}\\times\\omega^{16}$ និង $\\omega^{36}+\\omega^{16}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $\\omega^{6}=\\cos 2\\pi+i\\sin 2\\pi=1$ ។ ដូច្នេះស្វ័យគុណនៃ $\\omega$ វិលជុំរៀងរាល់ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{4}+i\\sin\\frac{2\\pi}{4}$ ។ បង្ហាញថា $1+\\omega+\\omega^{2}+\\cdots+\\omega^{3}=0$ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $S=\\cos\\frac{2\\pi}{4}+\\cos\\frac{4\\pi}{4}+\\cdots+\\cos\\frac{6\\pi}{4}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $\\omega... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{12}+i\\sin\\frac{2\\pi}{12}$ ។ គណនា $\\omega^{28}\\times\\omega^{48}$ និង $\\omega^{28}+\\omega^{48}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $\\omega^{12}=\\cos 2\\pi+i\\sin 2\\pi=1$ ។ ដូច្នេះស្វ័យគុណនៃ $\\omega$ វិលជុំរៀងរាល... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}$ ។ គណនា $\\omega^{31}\\times\\omega^{32}$ និង $\\omega^{31}+\\omega^{32}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $\\omega^{3}=\\cos 2\\pi+i\\sin 2\\pi=1$ ។ ដូច្នេះស្វ័យគុណនៃ $\\omega$ វិលជុំរៀងរាល់ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{6}+i\\sin\\frac{2\\pi}{6}$ ។ គណនា $\\omega^{18}\\times\\omega^{11}$ និង $\\omega^{18}+\\omega^{11}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $\\omega^{6}=\\cos 2\\pi+i\\sin 2\\pi=1$ ។ ដូច្នេះស្វ័យគុណនៃ $\\omega$ វិលជុំរៀងរាល់ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}$ ។ បង្ហាញថា $1+\\omega+\\omega^{2}+\\cdots+\\omega^{2}=0$ រួចទាញរកតម្លៃនៃ $S=\\cos\\frac{2\\pi}{3}+\\cos\\frac{4\\pi}{3}+\\cdots+\\cos\\frac{4\\pi}{3}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $\\omega... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{4}+i\\sin\\frac{2\\pi}{4}$ ។ គណនា $\\omega^{23}\\times\\omega^{60}$ និង $\\omega^{23}+\\omega^{60}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $\\omega^{4}=\\cos 2\\pi+i\\sin 2\\pi=1$ ។ ដូច្នេះស្វ័យគុណនៃ $\\omega$ វិលជុំរៀងរាល់ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{12}+i\\sin\\frac{2\\pi}{12}$ ។ គណនា $\\omega^{27}\\times\\omega^{19}$ និង $\\omega^{27}+\\omega^{19}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $\\omega^{12}=\\cos 2\\pi+i\\sin 2\\pi=1$ ។ ដូច្នេះស្វ័យគុណនៃ $\\omega$ វិលជុំរៀងរាល... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{12}+i\\sin\\frac{2\\pi}{12}$ ។ គណនា $\\omega^{54}\\times\\omega^{40}$ និង $\\omega^{54}+\\omega^{40}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $\\omega^{12}=\\cos 2\\pi+i\\sin 2\\pi=1$ ។ ដូច្នេះស្វ័យគុណនៃ $\\omega$ វិលជុំរៀងរាល... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "ដោះស្រាយសមីការ $z^{8}=1$ ក្នុងសំណុំចំនួនកុំផ្លិច ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "សរសេរ $1=\\cos 0+i\\sin 0$ ។ តាង $z=\\rho(\\cos\\beta+i\\sin\\beta)$ ។ តាមរូបមន្តដឺម័រ ៖\n$$\\rho^{8}=1\\quad\\text{និង}\\quad 8\\beta=2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}$$\nដូច្នេះ $\\rho=1$ និ... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{6}+i\\sin\\frac{2\\pi}{6}$ ។ គណនា $\\omega^{41}\\times\\omega^{39}$ និង $\\omega^{41}+\\omega^{39}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $\\omega^{6}=\\cos 2\\pi+i\\sin 2\\pi=1$ ។ ដូច្នេះស្វ័យគុណនៃ $\\omega$ វិលជុំរៀងរាល់ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "តាង $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}$ ។ គណនា $\\omega^{59}\\times\\omega^{34}$ និង $\\omega^{59}+\\omega^{34}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "តាមរូបមន្តដឺម័រ $\\omega^{3}=\\cos 2\\pi+i\\sin 2\\pi=1$ ។ ដូច្នេះស្វ័យគុណនៃ $\\omega$ វិលជុំរៀងរាល់ $... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $\\omega=-\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។ បង្ហាញថា $1+\\omega+\\omega^{2}=0$ រួចគណនា $\\left(1+\\omega\\right)^{18}$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}$ ។ តាមរូបមន្តដឺម័... | BacII-Math-AI/complex |
[
{
"from": "human",
"value": "គេឱ្យចំនួនកុំផ្លិច $\\omega=-\\frac{1}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ។ គណនា $\\left(3+3\\omega\\right)\\left(3+3\\omega^{2}\\right)$ ។"
},
{
"from": "gpt",
"value": "ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ៖ $\\omega=\\cos\\frac{2\\pi}{3}+i\\sin\\frac{2\\pi}{3}$ ។ តាមរូបមន្តដឺម័រ $\\omega^{3... | BacII-Math-AI/complex |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.